FORMULARIO / TEORÍA DE MECANISMOS 1) Análisis de posición Criterio De Kutzbach MOVILIDAD DE MECANISMOS PLANOS m = 3 (n-1) - 2j1 - j2 m = movilidad n = número de barras ji = número de pares que permiten i gdl en el mvto relativo Ley de Grashof mecanismo de Grashof → S + L < P + Q Resolución de la ecuación compleja: 𝒄𝒆𝒊𝜽𝑪 = 𝒂𝒆𝒊𝜽𝑨 + 𝒃𝒆𝒊𝜽𝑩 Caso 1 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 ) Caso 2a Caso 2b Caso 2c 𝑎=𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐶 − 𝜃𝐵 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐴 − 𝜃𝐵 ) 𝑎 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐶 − 𝜃𝐴 ) − 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 ) 𝜃𝐴 = 𝜃𝐶 ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( 𝑐 2 + 𝑎2 − 𝑏 2 ) 2𝑐𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐵 𝜃𝐶 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 ( ) 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐶 − 𝜃𝐴 ) 𝑏=𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 ) 𝑐 𝜃𝐵 = 𝜃𝐴 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐶 − 𝜃𝐴 )) 𝑏 𝑐 2 + 𝑏 2 − 𝑎2 𝜃𝐵 = 𝜃𝐶 ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( ) 2𝑐𝑏 2) Análisis de cinemático Relaciones entre las velocidades/aceleraciones de dos puntos del mismo sólido ⃗ 𝑃2/1 = 𝑉 ⃗ 𝐴2/1 + ⃗Ω ⃗ 2/1 × ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑃2/1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐴2/1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝐴𝑃 𝑉 𝐴𝑃 = 𝑉 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 2/1 × (Ω ⃗⃗ 2/1 × 𝐴𝑃 ) 𝑎𝑃2/1 = 𝑎𝐴2/1 + α ⃗ 2/1 × 𝐴𝑃 + Ω 2 Mvto plano → 𝑎𝑃2/1 = 𝑎𝐴2/1 + α ⃗ 2/1 × ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 − Ω22/1 × ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 ⃗ 𝑃2/1 − 𝑉 ⃗ 𝐴2/1 | 𝑃𝐴 = |𝑉 (𝑎𝑃2/1 − 𝑎𝐴2/1 ) ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ Velocidades/aceleraciones respecto a distintos sistemas de referencia ⃗ 𝑃3/1 = 𝑉 ⃗ 𝑃3/2 + 𝑉 ⃗ 𝑃2/1 𝑉 ⃗⃗ 2/1 × 𝑉 ⃗ 𝑃3/2 𝑎𝑃3/1 = 𝑎𝑃3/2 + 𝑎𝑃2/1 + 2Ω ⃗Ω ⃗ 3/1 = ⃗Ω ⃗ 3/2 + ⃗Ω ⃗ 2/1 ⃗ 2/1 × ⃗Ω ⃗ 3/2 ⃗ 3/1 = α α ⃗ 3/2 + α ⃗ 2/1 + ⃗Ω Centros Instantáneos de rotación Teorema de los tres centros I3,1, I3,2 e I2,1 están alineados ⃗Ω ⃗ 3/1 y ⃗Ω ⃗ 2/1 tienen distintos sentidos I3,2 está entre I3,1 y I2,1 Teorema de la razón de las velocidades angulares Ω3/1 𝐼3/1 𝐼2/1 | |= Ω2/1 𝐼3/2 𝐼3/1 FORMULARIO / TEORIA DE MECANISMOS (ii) 4. Engranajes Paso diametral Módulo 𝑃𝑑 = 𝑍 𝑑 Paso circular 𝑚= 𝑑 𝑍 𝑝=𝜋𝑚 𝜔1 𝑟2 = 𝜔2 𝑟1 Ley fundamental del engrane 𝑎 = 𝑟2 + 𝑟3 = 𝑔𝛼 = 𝑚 (𝑍 + 𝑍3 ) 2 2 𝑟𝑏 = 𝑟 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑔𝛼 𝑃𝑏 𝑝𝑏 = 𝑚 · 𝜋 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑚 [√(𝑍1 + 2)2 − 𝑍12 · 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + √(𝑍2 + 2)2 − 𝑍22 · 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − (𝑍1 + 𝑍2 ) · 𝑠𝑒𝑛𝛼 ] 2 𝑡 = 2𝑟 ( 𝑡𝑝 + 𝑖𝑛𝑣𝛼 − 𝑖𝑛𝑣𝜑) 2𝑟𝑝 𝑝𝑛 = 𝑝𝑡 cos 𝛽 cos 𝛽𝑎 = 𝜀= tan 𝛼𝑛 tan 𝛼𝑡 tan Q1 = 𝑟𝐺 𝑟𝑃 𝑍𝐺 𝑍𝑃 𝑃𝑑𝑛 = 𝑟𝑒 = 𝑃𝑑𝑡 cos 𝛽𝑎 𝑟 cos2 𝛽𝑎 tan Q2 = 𝑚𝑛 = 𝑚𝑡 cos 𝛽 𝑍𝑒 = 𝑍 cos 3 𝛽𝑎 𝑟𝑃 𝑍𝑃 = 𝑟𝐺 𝑍𝐺 =Trenes de engranajes 5. Tren simple Tren compuesto 𝜔𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑍𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =± 𝜔𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑍𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ∏𝑖 𝑍𝑖,𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝜔𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =± 𝜔𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∏𝑖 𝑍𝑖,𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠