Fria Leonhardt
TOMO I
ESTRUCTURAS DE
HORMIGO N ARMADO
Bases para el dimensionado de
estructuras de hormig6n armado
,
ESTRUCTURAS
DE HORMIGO N ARMADO
•
PLAN DE LA OBRA
TOMO I
F. Leonhardl • E. MOnnlg : BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMI.
GON ARMADO
TOMO 11
F. Leonhardt - E. MOnn lg: CASOS ESPECIALES DEL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE
HORMIGON ARMADO
TOMO /fJ
F. Leonhardl • E. MOnnig: BASES PARA EL ARMADO DE ESTRUCTURAS DE HOAMIGON AR.
MADO
TOMO IV
F. leonhardt: VERIFICACION DE LA CAPACIDAD DE USO
TOMO V
F. Leonhardl: HOAMIGON PRETENSADQ
TOMO VI
F. Leonhardt: BASES PARA LA CONSTRUCCrON DE PUENTES MONOLlTICOS
-
•
ESTRUCTURAS
DE HORMIGON ARMADO
TOMO I
BASES PARA EL DIMENSIONADO
DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO
Fritz Leonhardt
Ingeniero civil. Profesor emérUo en el Instituto
de Construcciones de la Universidad de Sluttgart.
-
.Eduard Monnig
Doctor ingeniero. Doc tor Honoris Causa. Profesor eménto
en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgarl.
Tradu cción del Ingeniero civil CURT R. LESSER,
Diploma de Honor de la U.B.A. (1936),
co n la desinteresada colabo ración
del Ingeniero civil ENRIQUE D. FLlESS ( t 1984),
Profesor Emérito de la U.B.A.
SEGUNOA I n iC ie N REVISADA
Reimpre sión
•
11111111
LtB AERIA " EL ATENEO" EDITORIAL
IUENOS AIRES· LIMA - AIO DE JAIIIEIRO • CARACAS· MUltO
"
BARCELONA · MADRID · I OGOTA
•
"El Ateneo" quiere dejar constancia del desinteresado
asesoramiento y apoyo para la realización de esta obra,
prestados en todo momento por e/Ingeniero Enrique D.
Flless ( t .1984), prestigioso y antiguo
colaborador de nuestra casa.
Titulo de r. obra original: " Vorlesungen über Massivbau"
C> 1973 por Sprlnger • VerlaO. Berlln/Heldelberg
Todos los derechos reservados.
Este libro no puede reproduc irse, lola' o parcialmente,
por nlngUn método gr', lco , eleclrónlco o mecánico,
Incluyendo loa sistemas de fotocopia, regIstro
magnetofónico o de allmemacl6n de datos, sin expreso
consentimIento del editor.
•
Oued. hecho.1 dePósl lo QUoe " ', bleee I1 ley N° 11723
1985. 198&, 1988. " El ATENEO" Pedro Garera S.A
L,lmu liI. Edltorl.1 • Inmobiliaria, Florida 340,
Fundaóa en 1912 por don PedrQ Gafer• .
Bue no~
Aires
..S. B.N'. 950-02·5242·2 ediciÓn completa
lS.B.N. 950-02-5259-7 tomo 1, segunda edición, revisada y corregida
(I.S.B.N . 950-02-5243·0 tomo 1, segunda edición)
J.S.B.N. 3-540-06488-5 Sprlnger . Verlag , Berlin , edición original
Imp,.1Q en T. G Y"N IN ....
A. Aroentlna ~. v "lIlna.
B. Aa., " 10 lIe ma.ro .,. t g/lll
IMPRESO EN LA ARGENTINA
,
Prólogo
Sin duda 8S un honor prologar una obra del Dr. Ing. Leonhardt y especlalme,1te ésta
que llene tanta Importancia en 10$ más recientes progresos en la TécnIca de las Construc·
ciones de Hormigón Armado y Pretensado.
En electo. en los albores de esta técnica fas bases rBcionales con sustento experimenta/ fueron establecidas por el famoso Ingeniero E. M6rsch en numerosos trabajos y en su conoclde obra en seis tomos, cuya traducción a nuestro fdloma ha tenido amplia difusión (Teorla y
practica del hormigón armado).
La obra de MOrsch data de la décade de/30 y desde entonces se ha progresado mucho
en la teorfa yen fas aplicaciones del hormigón armado. Varios nombres pueden asociarse 8 astas progresos, tafes como Sa/iger, Olschlnger, Pucher, etcétera, pero, sin duda, la Influencia
más notable es la de Leonhardt, que ha realizado profundos estudios teórIcos, además de "u merosas experiencias en la Universidad de Stuttgart_
•
Conviene tener presente que los reglamentos en uso en la época de Morsch, tales como
la OIN 1045 en su edición de 1932, que fue adaptade en nuestro Reglamento Técnico de la
Ciudad de Buenos Aires de 1935, constltulan prácticamente un "manual" en el que unas pocas
reglas prácticas permitlan proyectar todos los elementos constitutivos de una estructura de
hormigón (en aquella época solamente en bases. columnas. vigas y losas). Eran tan simples las
reglas que aun un IngenIero sin conocimIentos profundos de la Técnica de las Construcciones,
ni del Análisis Estructural, podfa realizar un proyecto sin dificultad.
De aquel/os reglamentos-manual se ha pasado ahora a lo que pOdrramos l/amar los
reglamentos-tratado. En estos últimos, por ejemplo la Norma OIN 1045 de 1978, además de
reglas constructivas y de proyecto, se plantean una serie de problemas cuya resolucIón queda
8 cargo de quien realiza el proyecto en cada caso particular.
El proyectista en nuestros dlas debe ser, para poder actuar con éxito, un profundO conocedor de la Mecánica de las Estructuras.
Lalnlfuencla de Leonhardt en la Norma O/N 1045 delalJo 1978es, sin duda, importantlslma y se ha ejercido a través de la ComisIón Alemana para el Hormigón Armado y también del
Comité Euro-Internacional del Hormigón.
En nuestro pals acaban de ser aprobadOS, en el ámbito nacionel, los Reglamentos CIRSOC (Centro de InvestigacIón de los Reglamentos Nacionales de SegurIdad para las Obras Civiles) que en lo concerniente al Calculo de los Elementos de Hormigón Armado y Pretensado
son fundamentalmente una adaptacIón de la norma alemana citada en último término.
La importancia de la obra de Leonhardt, que a partir de ahora estará al alcance de los
estudiosos Ingenieros de habla hispana, asl como de quienes tengan un Interés profesional en
el hormigón armado, resulta de que él mIsmo no sOlo ha Influido en las nuevas normas, sino
que además es un critico de algunos aspectos de e/1as, con los que no está de acuerdo. Sus desacuerdos en la gran mayorla de los casos tienen también sustento experimental y los resultados de sus experiencias están cuidadosamente expuestos en este magistral tratado.
Considero que esta obra es Indispensable para cualquier Ingeniero que deba tratar en
"
VII
alguna forma los temas del hormlg6n armado y pretensado, puesto que en ella encontrarán no
1010 el porqué de muchas disposiciones reglamentarias que ahora, por lo que se dilo , son comunes a la Norma OIN y a los Reglamentos CIRSOC, sino también /a descrlpci6n de su fundamento experimental y además su crftica muy correctamente sustentada.
La versl6n en nuestro Idioma fue realizada por e/Ingeniero Curt R. Lesser, egresado en
1936 de la Universidad de Buenos Aires con Diploma de Honor, habiendo tenido durante su extensa carrera profesional un Intimo contacto con las estructuras de hormig6n. En esta importante y dillclltarea cont6 con la desinteresada colaboraci6n y gula del Ingeniero Enrique D. A.
Flless ( t 1984), Profesor Emérito de la Universidad de Buenos Aires. cuya versaci6n en los temas relacionado s con e/ hormigón armado quedó evidenciada a lo largo de una serie de trabajos de la especialidad bien conocidos en nuestro medio y en al extranjero.
En los tiempos que vivimos. la vida útil de los textos y los IIatados es, en general. muy
breve. Puedo afirmar que en este caso /a regla general no se cumplirá pues los experimentos y
fa profundIdad de la teorfa son tales que perdurarán por muchos allos. Es por ello que esta obra
servirá para la formación de alumnos, futuros ingenieros, que luego la seguirán consultando a
/0 largo de su vida profeslona/.
Esto justifica plenamente el esfuerzo realizado por ellng. Flless. ellng. Lesser y la Edl·
torla/ "El Ateneo".
Arturo Juan Bignoll
Ingeniero civil.
Profesor en las Universidades de Buenos Aires
y Católica Argentina. Miembro titular
de las Academias Nacionales de Ingeniería
y de Ciencias Exactas, Flsicas y Naturales y Académico
Correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de Córdoba.
Buenos Aires, diciembre de 1984
•
,
VIII
Indica
Notación , XVII
Blbllogralla de mayor Imponencia. XXLII '
, . INTRODUCCtON,
2. HORMIGON, 3
2.1. Cemento, -4
2.1 1. Cementos normales segUn DIN 116-4, -4
2.1.2. Elección del cemento, 5
2.1.3. Cemento no normalizado, 5
2.2. Agregados Inerles, 5
2.2.1. División de los agregados, 5
•
2.2.2. Dosificación de los agregados, 6
2.3. Agua de amasado, 1
2.4. AdlHvos al hormigón, 1
2.5. Hormigón fresco, 8
2.5.1. Composición del hormigón, 8
2.5.1.1. Contenido de cemento, peso del cemento, 8
2.5.1 .2. Contenido de agua, cantidad de agua, 8
2.5.1 .3. Contenido de material fino, 8
2.5.2. Propiedades del hormigón Iresco, 8
2.6. Factores que Influyen en el endurecimiento del hormigón, 9
2.6.1. Tipo de cemento, 10
2.6.2. Temperatura y grado de madurez, 10
2.6.3. Curado al vapor, 11
2.6.-4. Aecompactado, 11
2.6.5. Curado, 11
2.7. Plazo de desencofrado, 11
2.6. Resistencia del hormigón endurecido, 12
2.8.1. Resistencia ala compresiÓn, 12
2.8.1. 1. Probetas y método de ensayo, 12
2.8.1.2. Resistencia caracterlstica /JwN según OIN 10-45, 13
2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormigón, 1-4
2.8.1.-4. Ensayos acelerados, 1-4
2.8.1.5. Resistencia a la compresión para cargas de larga duraciÓn, '4
2.8.1.6. Resistencia a la compresiÓn para cargas de fallga u o.cllantes, ,-4
2.8. 1.7. Resl.tencla a compresión para temperaturas muy alta, y muy bajas, ,-4
2.8.1.8. Resistencia a la compresión en la estructura, ,-4
2.8.2. Resistencia a la tracción, 15
,
IX
2.8.2.1. Resistencia axll a la tracción, 15
2.8.2.2. Resistencia a la tracción por compresiÓn. 15
2.8.2,3. Tracción por flexión (módulo de rotura), t6
2.8.2.4. Valores numéricos de las resistencias a la tracciÓn, t 7
2.8.3. Resistencias para solicitaciOnes en mAs de una direcciÓn, 17
2.8.". Resistencias al corle, punzonado y torsión, 18
2.9. Deformación del hormigón, 19
2.9.1 . Deformaciones elasllcas, 19
2.9.1.1. Módulo de elasticidad del hormigón, 19
2.9.1.2. Deformación térmica, 20
2.9.1.3. Deformación y módulo de elasticidad transversales, 20
2.9.2. Deformaciones plásticas, independientes del tiempo, 21
2.9.3. Deformaciones en func l6n del tiempo. 22
2.9.3.1. Tipos y causas, 22
2.9.3.2. Desarrollo y dependencia de la contracciÓn de fraguado , 24
2.9.3.3. Desarrollo y factores Que alectan la 'Iuencla , 25
2.9.3.4. Restricciones a la contracciÓn de fraguado y a la fluencla , 27
2.9.3.5. Efectos de la fluencla y la contracción de fraguado sobre las estructuras. 28
2.9.3.6. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguad o y la flu encla segun OIN
1045. 29
2.9.3.7. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguado y de la fluencla segUn
OIN 4227, 31
2.10. Propiedades trslcas del hormlg6n desde el punto de vlsla constructivo. 34
2.10.1 . Durabilidad del hormigón . 34
2.10.2. Conductibilidad térmica. 35
3. ACERO PARA HORMIGON. 36
3.1. Clases y grupos de aceros para hormlg6n , 36
3.2. Propiedades de los aceros para hormigón, 37
3.2.1 . Resistencias, 37
3.2.1.1. Resistencia a la tracci6n, 37
3.2. 1.2. Resistencia a la fatiga, 37
3.2.2. Caracterlsllcas de la deformacl6n, 39
3.3. Influencia de la temperatura sobre las propiedades de los aceros para hormigón, 41
3.4. Aptitud para la soldadura de los aceros para hormigÓn, 42
4. El MATERIAL COMBINADO " HORMIGON ARMADO", 44
4.1 . Comportamiento con junto del acero con el hormig6n, 44
4.1.1. la adherencia en la barra traccionada de hormigÓn armado, 44
4.1.2. la adherencia en vigas de hormigÓn armado, 47
4.1.3. Orlgenes de las tensiones de adherencia en las estructuras portantes. 48
4.2. Forma de actuar de la adherencia, 48
4.2.1. Tipos del efecto de adherencia. 48
4.2.1 .1. Adherencia por contacto, 48
4.2. 1.2. Adherencia por rozamiento, 48
4.2. 1.3. Adherencia por corte, 50
4.2.2. ley de la deformaciÓn por adherencia. 52
4.2.2. 1. DescripciÓn cualitativa de la deformación por adherencia, 52
4.2.2.2. Probetas para el ensayo de arrancam iento, 53
4.2.3. Resistencia a la adherencia, 54
4.2.3.1. Inlluencla de la calidad del hormigón sobre la reslslencla ala adherenCia. 54
4.2.3.2. Inltuencla del perfilado de la superllcle y del diámetro de las barras . 55
4.2.3.3. Influencia de la posiciÓn de la barra. al hormlgonar. 55
4.3. leyes que rigen la adherencia en los elementos de anclaje, 56
4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos, 56
4.3.2. Ensayos de arrancamiento en barras con barras trasversates soldadas, 58
4.4. Valores numéricoS de la adherencia para el cálculo, 58
4.4.1. Generalidades, 58
4.4.2. Verilieaci6n da la adherencia según DIN 1045. 58
5. COMPORTAMIENTO BAJO CARGA DE LAS ESTRUCTURAS OE HORMIGON ARMADO, 60
5.1. Vigas simplemente apoyadas de hormigOn armado solicitadas por lIexiOn y corte, 60
5.1.1. Estado, y comportamiento bajo cargas, 60
x
"
5.1.1.1. Estados I y 11, 60
5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigOn, 65
5.1 .1.3. Rigidez y delormaciOn a la lIexlOn, 65
5.1.2. Comportamiento para 'laKjón pura, 66
5.1 .2.1. Capacidad de carga y capacidad liUl, 66
5.1.2.2. Tipos de rotura por flexión, 67
5.1.3. Comportamiento para IlexlÓn y corte, 67
5.1.3.1. Estado 1, 67
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.1.3.2. Estado 11, 67
5.1.3.3. Formas de rotura por corte, 71
Vigas continuas de hormigón armado, 71
Barras y vigas solicitadas por torsión , 72
5.3.1. Torsión pura, 12
5.3.2. Torsión con lIelCión y corte, 74
Columnas y otros elementos comprimidos, 74
losas (placas) de hormigón armado, 75
5.5.1. Losas de hormigón armado. armadas en una dirección, 75
5.5.2. Losas armadas en dos direcciones, 76
5.5.3. Losas de hormigón armado apoyadas en puntos, 77
Láminas y vigas de gran altura (vigas-pared). 77
Estructuras plegadas, 80
Cáscaras (membranas). 82
Comportamiento de estructuras de hormigón armado para solicitaciones especiales, 82
5.9.t. Forma de aplicar las cargas, 82
5.9.2. Inlluencia de la temperatura, 83
5.9.3. Fuego, incendios, 83
5.9.4. Contracción del hormlQÓn, 85
5.9.5. Fluencla del hormigón, 85
5.9.6. Comportamiento para oscilaciones e Impactos, 85
5.9.7. Comportamiento slsmico, 86
6. BASES PARA LA VERIFICACIQN DE LA SEGURIDAD, 87
6.1. Conceptos básicos, 87
6.1.1. Objeto, 87
6.1.2. Solicitaciones, 87
6.1.3. limites de las posibilidades de uso. est ados limites, 88 •
6.2. Métodos de cálculo para garantizar la seguridad, 86
6.2.1. El procedimiento antiguo sobre la base de tensiones admisibles, 89
6.2.2. Procedimientos basados sobre los estados limites, 89
6.2.3. Procedimiento basado en la leorla de la probabilidad, 89
6.3. Magn itud de 105 coe ficientes de seguridad, 90
6.3.1. Seguridad para la capacidad de carga y estabilidad, 90
6.3.2. Seguridad contra la pérdida de la capacidad de uso, 92
6.4. Dimensionamiento de las estructuras. 92
6.4.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado, 92
6.4.2. Proceso del dimensionado, 93
6,4.3. Dimensionamiento para los distintos tipos de esfuerzos caracterlstlcos en una
sección. 93
6.4.4. Influencia sobre los esfuerzos caraclerlstlcos de las relaciones de rigidez de los estados I
y 11 en las estructuras estállcamenle Indeterminadas, 94
6.4.5. Observaciones relatlY8S a los procedimientos usuales de calculo, 94
7. DIMENSIONADO PARA FLEXION y ESFUERZO AXIL, 96
7.1. Bases de cálculo, 96
7.1.1. Hipótesis para dimensionar, 96
7.1.2. Valores caracterlstlcos de las resistencias de 108 materiales y de 105 diagramas tensión deformación, 97
7.1.2.1. Valores caracterlstlcos del hormigón, 97
7.1.2.2. Valore!! cafacterlstlCOS,del acero para hormigón, 100
7.1.3. Tipos de rotura, distribución de las deformaciones y magnitud del coeficiente de segurl·
dad, 100
,
XI
1.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.1.3.1. Tipos de rotura. 100
7.1.3.2. Repartición de las deformaciones especificas y magnitud del coeficiente de segu·
rldad, 10t
7.1.4. Esfuerzos caracterlstlcos en las secciones y condiciones de equilibrio, 104
7.1.4.1. Esfuerzos caracterls!icos debidos a causas externas. 104
71.4.2. Esfuerzos Interno s en la sección. 105
7.1.4.3. Magnitud y ubicación de la resultan te de compresión DI) en el hormigón, 101
7.1.4.4. Condiciones de equilibrio, 110
Dimensionamiento de secciones con zona comprimida rec tangular, 112
7.2.1. Observaciones previas, 112
12.2. Dimensionamiento para lIexión con esfuerzo axU con grandes excentricidades (eje neutro
ubicado muy arriba de la sección), 112
1.2.2.1. Ecuaciones para el cálculo numérico, 112
7.2.2.2. Diagrama de dimensionamiento adimenslonal (según H. RCtsch) para secciones
sin armadura comprimida, 115
7.2.2.3. Utilización del diagrama de cálculo (según H. Rüsch) para secciones con armadu'
ra comprimida, 118
7.2.2.4. Tablas de cálculo, con dimensiones. para secciones sin armadura
comprimida. 118
7.2.2.5. Empleo de las labias con dimensiones para secciones con armadura comprimida, 121
7.2.2.8. Deducción de un diagrama de cálculo adlmenslonal para secciones sin armadura
comprimida. solicitadas a flexión simple. 124
7.2.2.7. Fórmulas emplrlcas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en l1e.
xlón simple normal. 126
7.2.3. Cálculo para lIexlón con esfuerzo axU para excentricidades media y reducida (eje neutro
muy bajo o que no corte a la sección), 127
1.2.3.1. Diagramas de cálculo según Morsch'Pucher para armadura asimétrica (el eje
neutro corta a la sección muy abajo de la misma). 127
7.2.3.2. Diagrama de cálculo para flexión con esfuerzo axil y armadura simétrica. '33
7.2.3.3. Dimensionado para esfuerzo normal de tracción con pequena excentricidad. '36
7.2.4. Diagramas generales para el dimensionado de secciones rectangulares (diagramas de in·
ler.cclón), 137
DimenSionado de secciones para zona comprimida ~el hormigón no rectangular. '39
7.3.1 . Inlroducclón, 139
1.3.2. Ancho activo de las vlgas·placa, 139
7.3.2.1. Planteo del problema, 139
7.3.2.2. Determinación del ancho activo, 143
7.3.3. Dimensionamiento de las vigas-placa, 145
7.3.3.1. División de los procedimientos de calculo. 145
1.3.3.2. Dimensionado Sin aproximaciones, 146
7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con b/b o < 5, 148
7.3.3.4. Procedimiento aproximado para vigas-placa con alma delgada (b/be OJo 5).148
7.3.4. Dimensionado para zonas comprimidas del hormigón de forma arbitraria. 151
7.3.4.1. Generalidades. 151
7.3.4.2. Dirección y posición del eje neutro. 152
7.3.4.3. DeterminaciÓn de los esfuerzos caracterlsticos crltlcos Mu Y Nu mediante el pro·
cedlmlento grafico de MOrsch. 155
7.3.4.4. Verificación de la capacidad de carga suponiendo una distribución constante de
las tensiones en la zona comprimida del hormigón, 157
1.3.4.5. Dimensionado de secciones circulares, 160
CálculO de elementos comprimidos zunchados sin peligro de pandeo, 161
Armadura mlnlma de tracción en la flexión, 166
Dimensionado de secciones sin armadura. 169
8. DIMENSIONADO PARA ESFUERZOS DE CORTE, 171
8.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado a los esfuerzos de resbalamiento, 171
8.2. Tensiones principales en elementos porlantes homogéneos (EstadO 1). 172
8.2.1. Determinación de las tensiones de resbalamiento para secciones homogéneas (Secciones
de hormigón armadO en el Estado 1), 172
8.2.2. Determinación de las tensiones principales para secciones homogéneas. 174
8.3. Esfuerzos y 'enslones en almas fisuradas (Estado 11), 176
XII
"
8.3.1. AnaJogJa cJéslca del rellculado segli1 E. MOrsch, 176
8.3.2. Cálculo de los esfuerzos y tensiones en las barras ideales de los reticulados de
MOrsch, 176
8.3.2.1. Reticulado clásico con barras traccionadas IncUnadas de un ángulo arbitrarIo
Q, 176
8.3.2.2. Retlculados clblcos con barras de alma tracclonadas, inclinadas, de 45° o
90°, 180
8.3.2.3. Influencia del nivel de aplicación de las cargas sobre los esfuer.zos en un retlcula·
do, 180
8.3.3. Valor numérico de la tensiÓn de resbalamiento to en el alma para el Estado 11, 182
8.4. Capacidad portante al corte del alma de las vigas, 182
8.4.1. Tipos de rotura por cone, 182
8.4.1.1. Rotura al corte por flexión, 182
8.4.1.2. Rotura de corte por tracción, 183
8.4.1 .3. Rotura de las diagonales ideales comprimidas, 183
8.4.1.4. Rotura en el anclaje, 183
8.4.2. Factores que influyen en la capacidad portante al corte, 184
8.4.2 .1. Enumeración de las Influencias, 184
8.4.2.2. Posición y tipo de carga, 186
8.4.2,3. Forma de aplicar la carga, 188
8,4.2.4. Influencia de la armadura longitudinal, 189
8.4.2.5. Influencia de la forma de la secciÓn y de la cuantla de armadura, 190
8.4.2.6. InfluenCia de la altura absoluta de la viga , 194
8.4.3. AplicaciÓn de la anatogla del retlculado, 194
8.5. DimensionamienlO al corte en el alma de las vigas, 195
8.5,1, Fundamentos y conceptos, 195
8.5.2. Oimensionado de la armadura del alma para cobertura total al corte segOn MOrsch, 196
8.5,3. Dimensionado de la armadura del alma para coberlura al corle disminuida, 197
8,5.3.1. Conceptos básicos, 197
8.5.3.2. Valor toO de reducción, 199
8.5.3.3. Cuantla rtS necesaria para la cobertura al corte, 200
8.5.3.4. Armadura mlnlma al corte en el alma de vigas, 200
8,5,3.5, Aeducclón adicional de la armadura de corte necesaria en el caso de cargas cero
canas a los apoyos o vigas cortas, 201
8,5.3.6. limite superior de las tensiones de corte TO para evllar la rotura de las diagonales
Ideales comprimidas, 202
•
8.5.3.1. Valores limites de TO para losas sin armadura de corte, 203
8.5.4. Dimensionado según DIN 1045, 204
8.5.4.1 . Esfuerzo de corte determinante, 204
8.5.4.2. Valor caracterlst lco TO , 204
8.5.4.3. Zonas para los dimensionados al corte, 204
8.6. Dimensionado al corte en casos especiales, 206
8.6.1. Armaduras de unión de cordones, 206
8.6.2. Vigas de hormigón armado de altura variable, 209
8,6.3. ConslderaclOn de los esfuerzos a)(iles en el dimensionado al corte, 212
8.6.3.1. FlexiÓn compuesta cuando el eje neutro corla a la sección, 212
8.6.3.2. Flexión y esfuerzo axil de compresión cuando el eje neutro no corta a la
sección , 213
8.6.3.3. FleXión con esfuerzo axil de tracción cuando el ete neulro es exterior a la
sección , 213
8.6.3.4. Inlluencia de los esfuerzos axiles en vigas de cordones prelensados, 214
9, DIMENSIONADO A LA TOASION , 215
9,1. Conceptos fundamentales, 215
9.2. Tensiones principales en vigas homogéneas sujetas a torsión pura (Estado 1), 216
9.2.1. Torsión de Salnt Venant, 216
9.2.2. Observaciones acerca de la torsiÓn con alabeo restringido de la secciÓn, 220
9,3. Esfuerzos y tensiones en elementos estructurales de hormigón armado debidos a torsión pura
(Estado 11), 223
9.3.1. Analogla del retlculado en torsiÓn pura, 223
9.3.2. Esfuerzos y tensiones en retlculados espaciales tubulares, 225
9.3.2.1 . Aet iculados espaciales tubulares con barras tracclonadas a 45°, 225
,
XIII
i
9.3.2.2. Aetlculado espacial con barras longitudinales y estribos trasversales, 226
9.3.3. Valor caracterlslico de la tensión tangencial de torsiÓn para el Estado 11, 229
9.4. Comportamiento de estructuras de hormigón armado par. tOfsión pura, 232
9.4.1. Ensayos clásicos a la torsión de E. Mórsch efectuados en los anos loo. y 1921 , 232
9.4.2. Aotura 8 la tra cción por torsión (agotamiento de la armadura), 232
9.4.3. Rotura a la compresión por torsión (aplastamiento de 10$ puntales comprimidos del hormlgOn), 232
9.4.4. Roturas en las 8rlslas, 235
9.4.5_ Rotura en los anclales, 235
9.5. Dimensionado de estructuras de hormigón armado sujetas a torsión pura, 235
9.5.1. Planteo del dimensionado a torsión pura, 235
9.5.1.1 . Cuanllas de armadura a la torsión y tensiones, 235
9.5.1.2. Armadura mlnlma para torsión pura, 236
9.5.1.3. Dimensionado de la armadura, 236
9.5. 1.4. UmUe superior de la solicitación por torsión, 238
9.5.2. Dimensionado según OIN 1045 para torsIón pura, 238
9.6. Dimensionado en el caso de torsión combinada con esfuerzos de corte y/o momentos
flexores, 238
9.6.1. Modelos de rotura y resultados experimentales, 238
9.6.2. Calculo simplificado en el caso de torsión combinada con otras solicUaciones, 240
9.6.2.1. Armadura mlnima, 240
9.6.2.2. Dimensionado de las armaduras, 240
9.6.2.3. Umlte superior para (TO + T\) , 241
9.6.3. Dimensionado para torsión y corte segun DIN 1045, 241
10. DIMENSIONADO DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS DE HORMIGON ARMADO, 243
10.1. Sobre la estabHldad de los elementos comprimidos, 243
10.1.1. InfluenCia de las deformaciones, teor!a de It orden, 243
10.1.2. Problemas relativos a la estabilidad y a tensiones, 244
10.1.2.1. Capacidad porlante para carga axil de compresión, 244
10.1.2.2. Capacidad portante para compresión excéntrica , 244
10.2. Capacidad portanle de elementos esbeltos de hormigón armado comprimidos, 245
10.2.1. Planteo del problema de los elementos esbeltos de hormigón armado
comprimidos, 245
10.2.2. Factores Que Influyen en la capacidad portante de elementos comprimidos de hormigón armado, 247
•
10.2.2.1 . Influencia de la distribución de momentos, 248
10.2.2.2. Influencia de las calidades del hormigón y del acero, 249
10.2.2.3. Influencia de la cuantla de armadura, 249
10.2.2.4. Inlluencla de la deformación lenta para cargas de larga duraciÓn, 249
10.3. Verificación de la capacidad portante según la teorla de 11 orden para elementos comprimidos
esbeltos, 251
10.3. 1. Introducción, 251
10.3.2. Rellexlones sobre el valor del coeficiente de segurIdad, 252
10.3.3. Deducción de las expresiones de la curvatura en secciones rectangulares de hormigón
armado, 253
10.3.4. Verlllcaclón de la capacidad portante según la teorla de 11 orden, 260
10.4. Método de la barra sustituta y determinación de las correspondientes luces de pandeo, 263
10.4.1. Método 'de la barra sustituta, 263
10....2. longitudes de pandeo para el método de la barra sustituta, 264
10.4.2.1. Generalidades, 264
10.4.2.2. Longitud de pandeo de coturTlnas (pilares) en pórticos no desplazables, 26"
10.4.2.3. Longl1ud de pandeo de columnas (pilares) en pórticos con nudos despla·
zables, 267
10.5. Verificación de la seguridad al pandeo segun DIN 1045 Y DIN "224, 271
10.5.1. Resumen del problema, 271
10.5.2. Disposiciones fundamentales, 272
10.5.3. Verlllcaclón simplificada de elementos comprimidos de reducida eSbellez (20 < ¡ '" 70)
Y sección constante, 273
10.5.4. Verificación al pandeo simplificada para elementos comprimidos esbeltos Q. > 70), 275
10.5.4.1. Conceptos fundamentales , 275
10.5.4.2. Hipótesis para las relaciones enlre M - N _ x, 275
.,
XIV
10.5.4.3. Deformaciones supuestas de l. barra y momentos correspondientes según la
teor!. de 11 orden, 276
10.5.4.4. Nomogramaa, 278
10.5.4.5. Determinación simplificada de las deformaciones por contracción diferida
Yk. 278
10.5.4.6. Ejemplo de calculo, 280
10.5.5. Recomendaciones sobre disposiciones construclivas, 282
10.6. Verificación de la seguridad al pandeo en casos especiales, 283
10.6.1. Seguridad al pandeo par. el caso de esfuerzo de compresión con excentricidad en
dos direcciones, 283
10.6.1.1. Generalidades, 283
10.6.1.2. Verificación simplificada de la seguridad al pandeo en flexión compuesta
oblicua, 283
10.8.2. Verllleaeión dIJ la estabilidad de sistemas aporlicados, 286
10.6.3. Verificación de la seguridad al pandeo en columnas zunchadas, 287
10.7. Capacidad portante de elementos comprimidos de hormigón simple, 287
10.7.1. Sobre el comporlamlento bajo carga de elementos comprimidos de hormigón
simple, 28~
10.7.2. Dimensionado de elementos comprimidos esbeltos de hormigón simple 6egUn DIN
1045, 289
Bibliografla,
291
J
.,
xv
•
Notación
La OIN 1080 normaliza la notación a utilizar en estructuras de hormigón armado; a conti·
nuación transcribimos un resumen de la misma, con algunas expresiones técnicas en inglé s.
Sublndice
Origen:
F
k
s
t
T
fatiga
fluencia lenta
conlracc:Jón
lapso o in si ante
variación de temperalUra
laligue
creep
shrinkage
lime
•
changa 01 temperature
Naturaleza:
B
O
K
S
T
Z
Zw
flexión
compresión
pandeo
resbalamiento (corte)
torsión
tracción
forzado. restringido
bending, flexure
compresslon
buckl ing
shear
torslon
tansion
restraln!
Dirección, ubicación :
b
e
k
°u
z
hormigón
acero para hormigón
referido al núcleo de la sección
arriba, superior
abajo, inferior
acero para pretensado
bollom
prestressing steel
signif ica magnitud " ideal"
neto
significa valor caracterislico de una resistencia
characteristic strenght
concrete
relnforcing sleel
referred lo kern
'op
Varios:
n
R
ne'
.,
XVII
U
O
00
representa fuerza o esluerzo caracterlstico para
los que se ha agotado la capacidad portante, ej.,
carga de rotura
com ienzo, 1 = O o valor inicial correspondiente al
sistema básico
instante 1 00
=
ultimate
zero-value, initial '"
indelinite
Indice superior
a relerir a la armadura comprimida
relerrlng lo compression sleel
NotaciÓn principal
Dimensiones de la secciÓn:
de , 0
do
d,
e =
e
e.,
es
F
Fo
Foz
F;
Fn
F.
Fe. L
longitud de anclaje de una barra de armadura
ancho de secciones rectangulares
ancho del alma de vigas·placa
anCho acllvo de vigas· placa
diámetro, espesor de losa, allura total de viga,
espesor de pared
diámetro de barra de armadura
altura total de vigas· placa
dIámetro del núcleo de sección zunchada Fk
anchorage length, anchoring '"
widlh
web wldth, web Ihickness
effecllve wldth 01 T'beams
diameler,
overall depth
dlameter 01 reinforcemenl bar
overall deplh
M/N = excentricidad del esfuerzo axil
separación entre barras de armadura
separaciÓn entre estribos verticales
separaciÓn enlre barras inclinadas
área de la secciÓn
secciÓn de hormigón (Iotal)
zona traccionada del hormigón
Fb + (n - 1) Fe
secciÓn ideal
sección de hormigón (neta)
secciÓn de acero traccionado
(generalmente armadura de borde, armadura
longitudinal)
secciÓn de la armadura de corte
excenlrlcity 01 lorce N
spacing 01 relnforcemen! bars
pilCh 01 stlrrups
=
=
secciÓn de la armadura longitudinal
Fe BO sección de un estribo
Fe: s secciÓn de una barra Inclinada
sección de armadura relerlda a la unidad de
longitud
fe, w secciÓn de armadura helicoidal
h
altura de un elemento estructural o de una
estructura
h
distancia del baricentro de la armadura
traccionada al borde comprimido, altura útil
lQ..mismo para la armadura comprimida
i = V J/F = radio de giro
J
momento de Inercia
cross·secllonal area
area 01 concrete
tension zone 01 concrete
transformed section
area 01 tenslon reinforcemenl
area 01 transverse
reinforcemen!, '" '" shear reino
lorcemenl
area 01 longitudinal
relnlorcemen!
'e
s.
S
S
longitud de barra, tramo
longitud de pandeo
momento estático de una superficie
"
XVIII
helical relnforcement
helgh!
ellective depth
radius 01 gyration, '" '" inerlia
momen! 01 inertia, second
momen! 01 area
lenglh ol· a member
buckllng leng!h
lirSI mamenl 01 area, s!alic
moment 01 a sectlon
u
perlmetro de una barra
módulo resistente
W
,
distancia del ele neutro
al borde comprimido
distancia entre resultantes de tracción y
compresión, brazo elástico
z
cuantla de armadura, p. ej. =
circumference 01 a bar
modulus 01 seclion, seclion
modulus
deplh 01 neutral axis
inner lever arm
~
b -h
generalmente expresada en %:
J.l1%) =
¡lo
=
J.lz
=
:~
100 Fe
O-h
= porcentaje de armadura
percentage 01 reinlorcement
= cuanlfa de armadura referida a la sección
lotal de hormigón
=
cuantla de armadura referida a la sección
Iraccionada de hormigón
Valores caraclerlstlcos de los materiales:
E
módulo de elasticidad
Eb
módulo
módulo
módulo
corte
EJEb
E,
G
n =
R
""T
I
Iz
IF
/,
/.
Ow28
/,
PbZ
PBZ
{JspZ
1"
/s
{JO.2
1"
Young's modulus, modulus 01
elasticity
de elasticidad del hormigón
de elasticidad del acero
de elasticidad transversal , módulo de
shear modulus
= relación entre ambos módulos de
elasticidad
grado de madurez
relación o coeficiente de Polsson
coeficiente de dUatación térmica
maturity
Polsson's ralio
coefficienl 01 (thermal)
expansion
slrength
resistencia
resistencia a la tracción
lensiijl strenglh
resistencia a la fatiga
latigue slrenglh
resistencia prismática del hormigón
prism strength (in compression)
resistencia cubica del hormigón
cube slrength
cube strength al 28 days
resistencia cúbica a 28 di as
resistencia clllndrlca a compresión del hormigón
cylinder slrength
resistencia a tracción del hormigón (también (1z)
tensile strength
resistencia a la tracción por flexión (del hormigón) bending lensile strenghl,
modulus 01 rupture
splitting lenslle slrenglh
resi stencia a la tracción por compresión
resistencia caracterlstica del hormigón
characleriSlic strenglh
limite de escurrimiento del acero
yield slrength
limite 0,2 % del acero
0,2 % yield slrength
resistencia a la adherencia entre acero y
bond strength
hormigón
Intensidad de cargas (las mayúsculas corresponden a cargas concentradas, las minúsculas
a cargas distribuidas lineales o superficiales):
carga permanente
carga móvil, carga util, sobrecarga
carga total g + p
q
w,W carga debida al viento
esfuerzo de prelensado
V
componente horizontal de una carga concentrada
H
componente vertical de una carga concentrada
V
g, G
P,P
,
!
dead load
live load
lolal load
wind load
prestresslng force
horizontal component
vertical componenl
XIX
F
Esfuerzos caracterlslicos de una sección:
M
Me
MT
momento
momento flexor
momento torsor
N
esfuerzo axll , esfuerzo normal
esfuerzo de corte
a
moment
bending moment, flexural '"
twlsting moment , momenl 01
lorQue •
normal lorce, axial'"
shear force
Magnitudes de deformación :
f
/lecha
v, v, w desplazamientos
variación de longitud
deformación especifica, variaciÓn relativa de
longitud fj tII , acortamiento especifico en
compresión
Al
(
Tensiones:
tensión
positiva = tensiÓn de tracción
negativa = tensiÓn de compresión
0e
tensión en la armadura de tracción
tensión en la armadura de compresión
0b
tensión de compresión en el hormigón
0bZ
tensión de tracción en el hormigón
01' 011 tensiones principales
0a
tensión dinámica
20 a amplitud de oscilación
T
tensiÓn de resbalamiento o de corte
TO
valor caracterlstlco de la tensiÓn de corte en
vigas de hormigón armado
T1
tensión de adherencia
°
deflection
displacements
elongallon
strain
stress
tenslle stress
compressive stress
oe
principal stresses
s~ear
stress
bond stress
Varios:
.1
=
~
= esbeltez de elementos comprimidos con
k
v
peligro de pandeo
coeficiente, en general
desplazamiento del diagrama de M
"
coeficiente de seguridad
,
slenderness rat io
coelliclenls
displacemenl 01 ~ . line,
shift '" '"
salety factor, factor 01 salety
Unidades de medida:
unidad de masa
= 9,81 kg mIs' unidad de fuerza = masa · aceleración de la gravedad
1 Mp = 1000 kp
(Newlon) = 1 kg miS' = 0,1 kp
1N
1 KN (KlIonewton) = 100 kp; 1 MN (Meganewton) = 100 Mp
1 kg
1 kp
Ji = 1 Pa (Pascal)
m'
1.l:L =1 MN
1 M Pa (Megapascal) = 10 ~
mm'
m'
cm'
=
Abreviaturas
DAIStb.
CEB
FIP
xx
ComisiÓn Alemana para Hormigón Armado
Comité Europeo del Hormigón, Parl s
Federación Internacional del Pretensado
,
Dav
Sociedad Alemana del Hormigón, Wiesbaden
II/BH
Asociación Internacional para la Construcción de
Puentes y Estructuras
Asociación Internacional de Estructuras Laminares
IASS
RILEM
Reunión Internacional de laboratorios de Ensayo
B.u.Slb
de Materiales
Revista "Beton- und Stahlbelonbau"
aSI
a
ao
z
}
el
oe,
cons!
crl!
ma.
mio
med
pi
red
hra
leor
calidades de
{
acero para hormigón
hormigón (viejo)
hormigOn (nue .... o)
cemento
elástico
necesario
constante
critico
máximo
mlnlmo
medio, promedio
plástico
reducido
humedad relallva ambiente
teórico
disp
disponible, existente
corresp
adm
correspondien te
admisible
"
XXI
Bibliografía de mayor importancia
•
En 10 que sigue se mencionan SÓlo libros, revistas y especificaciones Importantes. Al fi·
nal figura una bibllografla detallada de la literatura utilizada en la presente obra.
Historia del hormigón armado
Morsch , E.: Der Eisenbelonbau , Slullgart, Konrad Wittwer, 1922
Haegermann, G. u. a.: Vom Caementum zum Spannbeton. Wiesbaden, Bauverlag GmbH , 1964
Libros de texto clásicos
Morsch, E.: Der Eisenbetonbau. Stuttgart , Konrad Wittwer, 1920-1923
Obra muy completa y fundamental. Deducciones detalladas de la Teorla del Hormigón Armado, fundamentos de la misma mediante la descrlpci6n de numerosos ensayos.
Pucher, A.: Lehrbuch des Sleh/be/onbauss. Wien, Springer, 1953
Excelente y resumido libro de texto . Aplicaciones del hormlg6n armado en edilicios y
construcci6n de puentes. Resumen de la estática de los pórticos, estructuras laminares y
puentes en arco. Recomendaciones constructivas.
Gral , O.: Ole Elgenschaften des Betons. Berlin , Sprlnger, 1960
Obra .f undamental sobre el hormig6n como material de construccl6n y recopllaci6n de re·
sultados experimentales obtenidos hasta 1960.
Hummel , A.: Das Beton·ABe. Berlin , W. Erost u. Sohn, 1959
Texto para la correcta dosificaci6n del hormlg6n y un con trol efectivo del mismo .
Nuevos l ibros de texto
I
Franz, G.: KonstruJctionslehre des Stahlbetons. Berlln , Springer, 1963 y 1968
Contiene en forma resumida pero concisa los fundamentos del hormig6n armado y del
hormig6n pretensado y facilita la adqulslci6n de nuevos conocimientos.
Leonhardt , F.: Spannbeton für die Praxis. Berlln, W. Erost u. Sohn, 1962
"
XXIII
Walz, K.: Herslellung van Beton nach DfN 1045. Düsseldorf, Beton-Verlag, 1971
B6hm, F. Y Labutin, N.: Schalung und Rüstung. Berlin, W. Ernst u. Sohn, 1957
En lo que respecta a los novlslmos desarrollos relativos a encofrados y andamios, la meJor InformaciÓn puede obtenerse en cada caso de los lolletos más recientes de ias firmas
especializadas.
Rüsch, H.: Stahlbeton, Spannbeton. Werkstoffeigenschalten, Bemessungsverlahren. Werner
Verlag, Düsseldor! , 1972
Manuales
Beton·Ka/ender. Berlin , W. Ernst u. Sohn. Editado anualmente en una nueva edición; incluye,
entre otros temas Importantes, Normas (en parte completas y en parte resumidas), entre
ellas DIN 1045, 4227, 1055, 1075, etcétera, también el procedimiento de cálculo según DIN
4224 Y recomendaciones para la ejecuciÓn de la armadura.
SChlelcher, F.: Taschenbuch lür Bauingenieure. Sprlnger-Verlag, 8erlln , 1955
Bürgermelster. G.: Ingenleur·Taschenbuch Bauwesen. Edltlon Leipzlg , 1964 y 1968
Informes sobre Investigaciones y revistas
Alemania: Forschungshelte des Deutschen Ausschusses lür Stah/beton (DAIStb).
Aparecen en forma irregular editados por W. Ernst u. Sohn, 8erHn
En estos cuadernos, a la lecha del orden de 230, se han publicado la totalidad de los resullados más importantes de investigaciones sobre hormigón armado desde 1908.
Betontechnische Berichle. 8eton-Verlag GmbH., Düsseldorf; anual.
Beton-und Stahlbetonbau. W. Ernst u. Sohn, 8erlln; mensual .
Der BauingenJeur. Sprlnger-Verlag, Berlln; mensual.
Die Bautechnik. Verlag W. Ernsl u. Sohn, Berlin; mensual.
8auplanung - Bautechnik. VES Verlag für Sauwesen , 8erlln ; mensual.
Franela
Anna/es de I'lnstltut Technique du 8flt/ment el des TravauJl PuMcs (lTBTP), Paris; men°
sual
Gran Bretana
Magazine al Concrete Research. Cemen! and Concrete AssoclaUon , London ; trimestral
The Structural Englneer. Instltutlon 01 Structural Englneerlng, London; mensual
Concrete. Journal 01 the Concrete Society, landon; mensual
Suiza
Schwelzerlsche Bauze/tung. Zürlch; semanal
EE.UU.
Journa/ 01 the Amerlcsn Concrete Institute (Ael Journsl), Detroit; mensual
Proceedings 01 the AmerIcan Socíety al Civil Englneers (ASCE), Journsl 01 the Structural
Division. New York; mensual
Especificaciones
CEB·FIP: Internalionale Richll!nlen zur Berechnung und Auslührung von Betonbauwer·
ken . 1970
"
XXIV
,
Beton-Handbuch, Leitsatze für die Bauüberwachung und Bauausführung. Deutscher
Belon-Verein e. V., Wiesbaden, 1972
Normas y reglamentos (enlre paréntesIs el ano de aparición)
En lo que respecta a normas debe verificarse siempre sobre la edición mas nueva .
O/N 1045 (1972)
O/N 4224 ( • )
D/N 4227 (1953)
(19541
(1957)
DIN 488 (1972)
DIN 1048 (1972)
DIN 1055
OIN 1080 (1961)
OIN 1084 (1972)
OIN
DIN
OIN
OIN
DIN
1164 (1970)
4030 (1969)
4099 (1972)
4149 (1957)
4158 (1971)
OIN
DtN
DIN
OIN
4159 (1971)
4160 (1962)
4164 (1951)
4223 (1958)
OIN
DIN
DIN
DIN
DIN
4226 (1971)
4232 (1972)
4235 (1955)
4236 (1954)
4240 (1962)
Hormigón y hormigón armado, dimensionado y eJecución.
Dimensionado de estructuras de hormigón armado (actualmente en re·
visión), aparecida primeramente como cuaderno 220 de la DAfStb.
Berlln 1972.
Hormigón pretensado, especificaciones para el dimensionado y eJecu·
ción, con suplementos (actualmente en revisión).
Aceros y sistemas de pretensados para hormigón según DIN 4227. Es·
peclficaciones corrientes para aprobación y recepción .
Especltlcaclones para la Inyección de mortero en las vainas.
(Hojas 1 a 6) Acero para hormigón.
(Hojas 1 a 3) Procedimientos de ensayo para hormigón.
(Hojas 1 a 6 con datos distintos según la edición) Hipótesi s de carga
para estructuras.
51mbotos para el cálculo estático en ciencia de las construcciones.
(Hojas 1 a 3) Control de calidad en construcciones de hormigón arma·
do.
(Hojas 1 a 8) Cementos Portland , metalúrgico, de alto horno y de strass.
Consideración de aguas, suelos y gases agresivos.
Soldadura del acero para hormigón .
Construcciones en zonas slsmlcas alemanas.
Elementos intermedios de hormigón para entrepisos de hormigón armado o pretensado.
Bloques para entrepisos y tabiques,que colaboran estáticamente.
Bloque para entrepisos de relleno.
Gas-beton y hormigón alveolar.
Placas armadas para techos y entrepisos, de gas·beton y hormigón al·
veolar, curadas al vapor.
(Hojas 1 a 3) Agregados para hormigón.
Paredes portantes de hormigón liviano de estructura porosa.
Vibradores de inmersión para compact ación del hormigón .
Mesas vibradoras para compactación del hormigón .
Ensayos de esclerómelro de esfera en hormigones de estructura compacta .
Normas extranjeras en Idioma alemán
Suiza:
sla 162 (1968) Norma para el cálculO, proyecto y construcción de estructuras
de hormigón , hormigón armado y hormigón pretensado .
Austria:
ONOAM B 4200 (10 parles con datos de distintas ediciones). Estructuras de
hormigón, estructuras resistentes de hormigón armado .
.,
xxv
•
1
Introducción
Se enllende por hormigón armado al hormigón que Incluye en su Interior barras de
acero, es decir que el hormigón se "arma" con la Inclusión de barras de acero (derivación del
francés béton armé). Es por elto que el horm igón armado es material combinado, en el que la
....inculaclón entre el hormigón y las armaduras de acero se origina por la adherencia del cernen·
lo como materia' !lgante y por rugosidad.
En las estructuras solicitadas por flexión o por tracción, la armadura debe absorber los
esfuerzos de tracción, por cuanto el hormigón si bien posee una elevada resistencia a la
compresión, su resistencia a la tracción es muy reducida. Como consecuencia de la adherencia, las deformaciones de las barras de acero y del hormigón que las envuelve, deben ser
iguales, es decir: (e = lb para acero y hormigón respectivamente. Dado que el hormigón trac·
cionado no puede acompanar las grandes deformaciones del acero,-aquél se fisura en la zona
de tracción; en consecuencia los esfuerzos de tracción deben ser absorbidos solamente por el
acero.
En una viga de hormigón simple, al alcanzar la tensión máxima el valor de la reslslencla
a la tracción y producirse la primera fisura, se producirla un colapso inmediato, sin poder haber
aprovechado la alta resistencia a compresión del hormigón.
En consecuencia, la armadura debe ubicarse en la zona de tracción del elemento estruc·
tural y, en lo posible, en la dirección de los esfuerzos internos de tracción. Con ello es posible
aprovechar en vigas y losas, la gran resistencia a compresió'n que posee el hormigón.
En el caso de elementos estructurales solicitados solamente por compresión, la Inclu·
slón de armaduras de acero permite aumentar la capacidad portante a la compresión.
El hormigón en el que se utiliza como materialligante cal hidráulica o cemento puzzolá·
nico (de origen volcánico natural) ya era conocido por los romanos. El descubrimiento de la lIa·
mada tierra romana en 1796 por el inglés J . Parker y del cemento Portland por el francés J. Asp·
din en 1824, condujeron al desarrollo de las construcciones de hormigón.
A mediados del siglo XIX, por primera vez se utilizaron en Francia armaduras de acero:
en 1855 J. L Lambot construyó un bote de mortero de cemento reforzado con barras de hierro,
en 1861 J. Monier construyó macetas para flores, de hormigón, armadas con alamb(e (hormigón
Mon ler), en 1861 publicó F. Colgnet, las bases para construir con hormigón armado y expuso en
la Exposic ión Mundial de Parls vigas y canos de hormigón armado.
En 1873, el norteamericano W. E. Ward construyó en Nueva York una casa de hormigón
armado, que aún existe, la "Ward's CasUe". Otros propulsores fueron T. Hyatt , F. Hennebique,
G. A. Wayss, M. Koenen y C. W. F. Oóhring (31·
Emilio Mbrsch (Profesor en la Escuela Superior Técnica de Stutlgart de 1916 a 1948)
publiCÓ en 1902 por encargo de la firma Wayss y Freytag un desarrollo sobre bases cientlflcas
"
del comportamiento del "Hormigón armado" y, partiendo de resultados experimentales la primera teorla, muy cercana a la realidad, para el dimensionado de secciones de hormigón arma·
do (1, 21.
La aparición de fisuras en el hormigón se consideró durante mucho tiempo como peligrosa y retrasó con ello la utilización del hormigón armado. Hoy se sabe que las Usuras capilares se mantienen como tales cuando las barras de la armadura están bien repartidas y no se
utilizan para las mismas diámetros demasiado grandes. Para condiciones normales no existe
peligro de corrosión de las armaduras, siempre Que se evite la existencia de grietas grandes.
Como consecuencia de la fisuraclón,en 1907, M. Koenen propuso someter a tensiones
de compresión muy elevadas, tensando las armaduras, de modo Que al producirse la flexión no
se pudieran originar fisuras. A este tipo de hormigón se lo denomina hoy dla "hormigón pretensado". Los primeros ensayos fallaron porque en ese entonces no se sabia que el hormigón por
fluencia lenta y contracción se contrala y con ello se perdla la tensión previa.en el acero común. Recién en 1928, E. Freyssinet desarrolló métodos utilizando aceros de muy alta resistencia, con los que fue posible tensiones previas de compresión permanentes lo suficientemente
elevadas.
El hormigón armado se utiliza para todo tipo de estructuras, y sus ventajas fundamentales son:
,.
2.
3.
4.
Es fácilmente moldeable: el hormigón fresco se adapta a cualquier forma de encofrada;
las armaduras pueden disponerse siguiendo la trayectoria de los esfuerzos Internos.
Es resistente al fuego, efectos climáticos y desgaste mecánico.
Es apropiado para construcciones monoUticas (sin Juntas) que, por tratarse de estructuras de múltiple indeterminación estática, poseen una gran reserva de capacidad portante y un elevado grado de seguridad.
Es económico (materiales inertes baratos como la arena y el agregado grueso) y, en fa
práctica, no requiere mantenimiento.
Como Inconvenientes se pueden mencionar:
,.
2.
3.
Elevado peso propio de la estructura.
Reducida aislación térmica.
Las modificaciones y su demolición son dificultosas y caras."
<,
2
,
2
Hormigón
El hormigón (concrete) es un conglomeradO constituido por agregados y cemento "de
piedra" como medio ligan te; es decir, es una piedra artillcial. Se prepara mezclando lOS agregados constituidos por arena y grava con cemento yagua, a los que si es necesario se agregan
materiales denominados aditivos, que influyen en las propiedades flsleas o qulmicas del hormigón fresco o endurecido. El hormigón fresco (fresh concrete) se vierte en el encofrado (formwork, mou/d) y se compacta por medio de vibradores. El endurecimiento del hormigón comienza a las pocas horas y, según el tipo de cemento empleado, a los 28 dlas alcanza del 60 al 90 %
de su resistencia final.
La preparación puede ser in situ (concrete casI in situ o in place), en planta central o
transportado (ready mfx concrete). Según su preparación puede distingu irse entre hormigón
fluido, apisonado, proyectado, vibrado, bombeado o centrifugado.
El hormigón endurecido, según sea su peso unitario, puede dividirse en los siguientes
grupos:
3
Hormig6n pesado
P' 2,8 - 5,0 tI m)
Hormlg6n normal
P' 2,0 - 2,8 t/m
Hormlg6n liviano
3
Estructural
P' l,2-2,Ot /m 3
para alslaclón térmica
P' 0,7 - 1,6 t/m
Los hormigones se dividen por el tipo de resistencia cúbica a la compreSiÓn garantida
f1 wN (kp/cm' ) a los 28 dlas de endureolmlento según Normas; p. ej. Bn 350 es un hormlgjn nor·
mal de f1WN
350 kp/cm ' y LB 250 un hormigón liviano estructural de fJwN
250 kplcm l .
De acuerdo con la DIN 1045 el hormigÓn normal se subdivide en los Grupos de Horm igón
=
=
B I Y B 11 :
BI
B 11
(hormigones de dosificación emplrica) abarca los hormigones Bn 50 y Bn 100 (SÓlo para
hormigón simple) asl como también Jos Bn 150 y Bn 250.
(de calidad controlada) son hormigones normales de resistencias Bn 350, Bn 450 y Bn
550, asl como también hormigones con propiedades especiales (alta resistencia a las
heladas, al calor, a los alaques qulmlcos y al desgaste). Para Jos hormigones B JI se es·
tableeen exigencias especiales en lo que respecla a preparación, Instalaciones en el
obrador y control de calidad.
Desde el punto de vista de la compacidad del hormigón endurecido cabe distinguir
entré:
HormIgón compacto, de estructura interna cerrada, es deelr con reducida cantidad de
vaclos entre tos granos de los agregados.
",
3
HormIgón poroso, de estructura abierta, es decir con grandes espacios vaclos entre los
granos de los agregados, por falta de granulomelrla fina, por eJemplo, hormigón con granulometrla de 8 a 16 mm.
Según el destino del hormigón se lo denomina hormigón en masa, por ejemplo, para pre.
sas de embalse u hormigón estructural, por ejemplo para esqueletos de edilic ios, o puentes, et·
eétera.
Blbllografla más Importante: (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13).
2.1 . Cemento
Se obtiene c~lentando una mezcla de calcáreo y arcilla (margas calcáreas) hasta una
temperatura de slnterlzaelÓn (cllnker de cemento) que luego es finamente molida. Los cementos, como ligan tes hidráulicos, son los factores fundamentales de las propiedades de los hor·
mlgones.
2.1.1. Cementos normales segun DIN 1164
PZ
EPZ
Cemento porlland
Cemento metalúrgico
(mln. 65 % PZ, máx. 35 % escoria de alto horno molida)
HOZ Cemento de alto horno
(15 a 64 % PZ, 85 a 36 % escoria de al lo horno molida)
TrZ
Cemento puzzolánico (Trasszement)
(60 % a 80 % PZ, 40 a 20 % Trass
ceniza volcánica)
Los cementos normales pueden contener a lo sumo del 3,5 % al 4,5 01. de sulfatos. y
0,1 % de cloruros (CI-). Un mayor contenido de cloruros implica un peligró de corrosiÓn para las
armaduras. Todos los cementos normales que responden a la DIN 1164 pueden ser mezclados
entre sI.
Las clases de resistencia de los cementos normales (Tabla de Flg. 2.1) se dist inguen de
acuerdo a la resistencia mlnima garantida a la compresión a los 28 dlas, expresada en kplcm J y
determinada en prismas de mortero normalizados V se las individualiza en las bolsas con distintos colores. Con excepción del Z 550, dichos valores mlnimos no dQben ser sobrepasados, en
cada caso, en no más de 200 kp/cm'.
=
Clases de
resistencia Z
250
Resistencia a la compresión
a 28 dlas (kplcml)
Color dia·
tlntlvo
mio
ma.
me'
250
450
350
violeta
negro
negro
rojo
350
L
F
350
SSO
450
marrón claro
450
L
F
450
650
SSO
verde
SSO
-
-
rojo
SSO
Color de
la Impresión
r - .neoro
rojo
negro
Flg. 2.1 . Clases de resistencias de los cemenlos normales según DIN 1164.
Las clases de resistencia Z 350 y Z 450, en el caso de tratarse de cementos de endureci·
miento lento, se Individualizan además con la letra L e impresión en negro en la bolsa, mientras
que a los de alta resistencia inicial se los distingue con una F adicional e impresión roja en la
bolsa.
Para propiedades especiales se utilizan las designaciones especiales NW para cemen4
'.
tos de bajo calor de hIdrataciÓn y HS para cementos de gran resistencia a los sulfatos. Un cemento con resistencia de clase Z 250 debe, además, satisfacer las exigencias para NW o HS o
ambas.
2.1.2. Elección del cemento
Para hormigón armado o pretensado se utiliza generalmente cemento de resistencias Z
350 segun DIN 1164, especialmente PI y EPI. Solamente en el caso de estructuras que deben
endurecer rápldament~ o alcanzar altas resistencias finales, se emplean cementos Z 450 y Z
550, debiendo en estos casos tener presente los elevados calores de hIdratación que se origl·
nan y que dan lugar a deformaciones, tensiones residuafes y que al enfriarse provocan fisuraciones_
El cemento HOZ endurece lentamente, con menor producción de calor de fraguado y
que se disIpa lentamente, resultando en consecuencia adecuado para elementos estructurales
muy gruesos y para hormigón en masa.
lrZ sólo es adecuado para elementos estructurales muy masivos que deben mantenerse humedos mucho tiempo; es rico en SiOl' fija la cal libre y evita ellorescenclas. Ademas, me·
Jora la trabaJabllldad del hormigón fresco y posee una disipación lenta del calor de fraguado .
2.1.3. Cementos no normalizados
Los cementos sobresulfstsdos SHZ se caracterizan especialmente por producir un re·
ducido calor de hidratación y conducen a hormigones resistentes a aguas agresivas. El SHZ no
debe mezclarse con otros cementos o con cal ni tampoco emplearse para hormigón pretensa·
do,
Los cementos alumInosos no deben ser usados para elementos portantes, por cuanto
con el transcurso del tlempo,por recristaUzación,pueden llegar a perder hasta un 60 o/, de su resistencia. Ademas, favorecen ta corrosión de la armadura en ambientes húmedos y cálidos. Desarrollan temperaturas de hidratación muy elevadas, de hasta 80° y alcanzan a las 24 h, 314 de
la resistencia a 28 dlas. También están prohibidas las mezclas de cementos aluminosos con
PI, ya que conducen a cementos de fraguado rápido.
Los cementos expansivos experimentan un aumento de volumen, que puede compensar
la contracción de fraguado. No tienen aplicación en Alemania (14J.
2.2. Agregados Inertes
Es posible utilizar como agregados inertes materiales naturales o artificiales, que posean la resistencia necesaria y no influyan en la resistencIa del hormigón (ver DIN 4226). Por esta
razón deben estar libres de Impurezas (limo, arcilla, humus) y componentes nocivos (0,02 % como máximo de cloruros y 1 % de sulfatos).
El azOcar es especIalmente peligrosa, por cuanto Impide el fraguado del cemento.
La forma de las partlculas y su textura superficial influyen considerablemente en la tr8bajabllldad del hormlg6n y en la adherencia del hormigón : 108 agregados con partlculas redon·
deadas y lisas facilitan el mezclado y compactación del horm igón, mIentras que las de superficie rugosa mejoran la resistencia a la tracción .
2_2.1. División de los agregados
Generalmente se utilizan agregados inertes naturales: arena y canto rodado de depósitos fluviales y morenas (de formas redondeadas y lisas).o piedra partida y arena de trituración,
conducen a hormigones normales. La piedra pómez y escoria de lava, por ejemplo las del Eifel ,
constituyen agregados porosos naturales para hormigones livianos.
Para hormigones pesados se emplea arena de trituración y piedra partida procedente de
barita o magnet ita trituradas. Se usan en especial para nOcleos de reactores como protección
contra la radiación. Entre loS agregados artificiales cabe mencionar las escorias de alto horno
para hormigones normales y livianos, arcillas y pizarras expandidas, para hormigón liviano. Se
encuentra aun en estudio una adecuada clasificación de los agregados livianos por calidades
en función de la resistencia propia de las parUculas y el peso unitario.
"
5
2.2.2. Dosificación de los agregados
Los agregados inertes deben poseer una granulometrla tal que la linea de cribado resul·
te ubicada dentro de la "zona favorable" según DIN 1045 (Flg . 2.2). Para ello es necesario tener
en cuenta, desde el punto de vista de la trabaJabilidad, en especial la zona hasta los 4 mm, es
decir el llamado " mortero". Ten iendo en cuenta que el hormigón se contrae y fluye menos
cuanto menor sea su contenido de mortero, el contenido del mismo, es decir, la granulometrla
comprendida entre O y 4 mm no debe superar el 35 %.
Con granulomelrfas discontinuas (lineas U en Fig. 2.2) denominadas granuJometrlas
quebradas 8S posible obtener hormigones de gran compacidad y alta resistencia con un reducl·
do contenido de cemento (15, 16). La proporción de mortero puede disminuirse hasta un 25 % Y
se reducen la contracción y fluencl a. Prevlamenle a la utilización de este tipo de granulomelrla
deben realizarse ensayos a efectos de verificar su aptitUd.
El princi pio básico debe tomarse de Fig . 2.3; las partlculas pueden ubicarse más cerca·
nas las unas a las olras cuanco fallan las partlculas con d > dJ o d> dJ' En la mayorla de los
~
:
:l
l00r--'--'--r-,--,--r-,,,~"
Zona utilizable
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Zona más lavorable
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O~
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discontinua
~__i7~~~~~~-l~G~"~"~U~I~ome~~'"_a-i.
O
O
1amano de la malla (mm)
0,25 0.5 1,0 2,0 L,O 8,0 16,0 31,5 63.0
Tamano de la malla (mm)
•
Flg. 2.2. LIneas de cribado segun DlN 1045 para la constituc ión de los agregados (Ejemplos para lamanos
máximos del agregado grueso de 31,5" 63 mm. Las zonas mas Ja'lorables aparecen rayadas).
1. Escalón.
Grano grueso (di)
porcentaje de vaclos 26 %.
2. EscalOn .
Grano medio (d, :: 0,156 d,::
porcentaje de 'lacios 12-J.
Grano grueso
d¡
Grano Uno
3. Escalón.
Grano lino (d, :: 0 ,1 56 di)
porcentaje de vaclos 4 %.
Fig. 2.3. Escalonamiento del tamano de los granos para máxima compacidad con agregados redondeados
¡segun Hummel (7}).
6
casos es suficiente una granulometrla dIscontinua de dos escalones, por ejemplo de Oa 2 mm
eon 8a 16mm 00 a 4 mm con 16 a 30 mm .
2.3. Agua de .m...do
Casi la totalidad de las aguas naturales son aptas para ser utilizadas como aguas de
amasado. Se recomienda tener cuidado con las aguas de pantanos y de efluentes Industriales.
El agua de mar no es apropiada para hormigón armado u hormigón pretensado, por el peligro
de corrosión a causa de su contenido de sales.
2.4. Aditivos al hormigón
Enlre tos aditivos al hormigón cabe distinguir entre materiales aditivos y medios aditi·
vos. Materiales aditivos son, por ejemplo, colorantes minerales, polvo de piedra, cenizas vola n·
tes o adiciones minerales con hidraulicidad (por ejemplo Trass). Medios aditivos o aditivos propiamente diChos, son los que por efectos qulmlcos o !lsicos modifican las propiedades del hor'
mlgón; deben estar oficialmente aprobados y só lo deben usarse luego de ensayos de aptitud .
Se utilizan los siguientes aditivos:
8)
b)
e)
d)
e)
f)
g)
Plasllficanles del hormigón (BV), por ejemplo " Plastimenl" o "Betonplast", para mejorar la trabajabllldad del hormigón. Reducen el contenIdo de agua para alcanzar la con·
sistencia deseada, y pueden con ello contribuir a aumentar la resistencia del hormigón
(ver Flg. 2.5).
Retardadores (VZ), cuyo objeto es retrasar el comienzo del fraguado y en general están
contenidos en los plastificantes. Pueden retardar el comienzo del fraguado de 3 a 8 horas, para que en el caso de grandes superficies a hormlgonar las capas sucesivas
adhieran bien entre sI.
Incorporadores de aire (LP), cuyo Objeto es aumentar la resistencia a las hetadas. Al formarse burbujas microscópicas de aire en el hormigón, aumenta su resistencia a las heladas, pero, en general , con ello se reduce algo la resistencia a la compresión y aumenta
la contracción. El porcentaje de aIre Incorporado debe quedar comprendido entre el 3 y
4% .
•
Impermeabilizan tes del hormigón (OM), por ejemplo "Cereslta", "Sike", "Trlkosal", cuyo
objeto es disminuir la permeabilidad del hormigón. Su empleo debe analizarse con carácter critico, por cuanto conducen fácilmente a pérdidas de resistencia.
Un hormigón con una buena granulometrfa y con suficiente material fino (ver Seco
2.5.1.3) y compactado correctamente, resulta impermeable sin necesidad de aditivos;
por otra parte los impermeabilizantes son inoperantes si el hormigón está mal mezclado
o inadecuadamente compactado.
Aceleradores de fraguado (BE) que tienen por lin acelerar el fraguado y el endurecimiento. Estos productos contienen generalmente cloruro de calcio (ClzCe) que, aun en pequeflas cantidades, origina corrosión. i Es preferible usar cemento de aita resistencia
inicial!
Productos anffcongelantes: cuyo fin es bajar el punto crioscópico (punto de congelación). Contienen generalmente c loruros y por ello, debido al peligro de corrosión, su
empleo está prohibido para el hormigón armado o pretensado. Es preferible calentar los
agregados y el agua de amasado y proteger la estructura una vez hormlgonada, usar cemento de alta resistencia inicial o calelaccionar el lugar de trabajo bajo carpas o tinglados protectores.
Otros aditivos. Las resinas PVC (polivinllicas) o epoxldicas juegan un papel especial ca·
da vez más creciente. Sirven para unir elementos prefabricados de hormigón con juntas
de pequeflo espesor o -mezcladas con arena- para preparar morteros artificiales para juntas de mayor espesor o para reparaciones. Tanto su resistencia a la tracción como
a la compresión y adherencia son muy elevadas. Sin embargo, aún no ha sido suficientemente verificada su Inalterabilidad tanto para solicitaciones de tracción permanentes
como para el efecto de altas temperaturas.
"
7
2.5. Hormigón fresco
2.5.1. Composición de/ hormigón
Los contenidos de cemento yagua por mi de hormigón del hormigón fresco, determinan
Importantes propiedades del hormigón, por ejemplo la trabajabilidad del hormigón fresco y la
resistencia a la compresión del hormigón endurecido; la proporción entre cemento y agregados
inertes yagua es, en consecuencia, determinante para proyectar la dosificación del hormigón.
2.5.1.1. Contenido de cemento {kglm l }, peso del cemento {kgJ
El hormigón debe contener tanto cemento como sea necesario para alcanzar la resisten·
cia a la compresión exigida y para que las armaduras queden protegidas contra la corrosión .
Con este objeto se prescriben contenidos mini mas de cemento, que varlan entre 140 y
380 kg/m ' según sea el tipo de control en obra, el módulo de fineza de los agregados, la consis·
tencla deseada para el hormigón y el tamano máximo del agregado grueso (Para mayores detalles ver DIN 1045).
2.5.1.2. ContenIdo de agua {kglm'},cantldad de agua {kg}
El contenido de agua W del hormigón fresco resulta de la re/ación agua·cemento w, es
declr,de la relación entre los pesos del agua y del cemento = w = WfZ. En esta expresión se
Incluye el contenido de agua de los agregados.
Durante el prOCeso de fraguado. una cantidad de agua del orden del 15 % del peso del
cemento se combina qulmicamente; para la hidratación completa del cemento se requiere del
36 % al 42 % (en función de las condiciones ambientales). El reslo del agua se necesita para
obtener la trabajabllldad deseada; su volumen crece con la finura del cemento y de los agrega·
dos Inertes. El agua que no se combina qulmicamente origina la cont racción y forma poros;
cuanto mayor es el contenido de agua, lan lo mayor resultan los acortamientos por contraCl."HI
de fraguado y fluencla (ver Seco 2.9.3).
Al aumentar el contenido de agua disminuyen la resistencia y el módulo de elasllcidad
E; sin embargo existe para cada contenido Z de cemento y un determinado módulo de fineza (11·
nea de cribado o granulometrla), un valor ópt imo de la resistenc ia a la compresión para cada
valor de W/Z (Flg. 2.4).
La Influencia de la calidad del cemento y de la relación agua·cemento sobre la resisten·
cla a la compresión puede observarse en lig. 2.5. Las relaciones agua·cemento reducidas, es
decir mezclas más secas, son posibles de utilizar compactando con vibradores y utilizando adi·
tlvos adecuados. Un limite superior del valor W/Z resulla como consecuencia del peligro de
corrosión.
De acuerdo con DIN 1045, el valor de W/Z no debe ser mayor de 0,65 para Z 250, ni sobrepasar 0,75 para tos restanles cementos normalizados.
2.5.1.3.Conlenido de material fino
Para obtener una buena trabajabllldad (espeCialmente en hormigón bombeado) y una
estructura compacta (por ejemplo en estructuras que, en lo posible, deben ser Impermeables)
el hormigón debe contener una determinada cantidad de material fino. Con ello se entiende el
elemento IIgante (cemento) y la parte de los agregados Inertes comprendidos entre
y
0,25 mm.
En el caso de granulometrla continua se recomienda:
°
para tamano máximo 8 mm : 480 kg de fInos por mi de hormigón.
para tamano máximo 16 mm: 400 kg de finos por mI de hormigón.
para tamano máximo 32 mm: 350 kg de finos por m' de hormigón.
2.5.2. Propiedades del hormigón fresco
La propiedad más importante del hormigón fresco es, además de su densidad Q. su con·
slstencia, que es decisiva para su trabajabllidad. Puede decirse que la consistencia es una me·
dlda de la trabajabilidad.
8
~w,28
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[kP/cm 2
l
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0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
I~
.~
Aelaclón agu.cemento W/Z
Flg. 2.4. Inlluencia de la relación agua·cemento
sobre la resistencia a la compre sión del hormlOón
para distintos contenidos de cemen to.
<
Aelaclón agu.cemento WfZ
Flg. 2.5. Inlluencla de la relación agua-cemento
sobre la resistencia a la compresión fJw. para cementos de distintas resistencias normales (segUn
Walz (11D.
Para determinar la consistencia (rigidez del hormigón fresco) se han desarrollado diversos métodos, ver 11n. las normas DIN 1045 Y DIN 1048 prescriben la medida de compacidad v
(relacl:!ln entre la altura total de un cajón prismático lleno de hormigón y la altura del hormigón
luego de compactado) y la medida de asentamiento a (diámetro med io de la torta de horm igón
resultante en la mesa de asentamiento luego de 15 golpes) . Con relación a dichas medidas de
compacidad, la norma DIN 1045 distingue tres zonas de consistencia:
Zona de conslslencia K 1:
1,45 a 1,26)
consistencia de tierra húmeda, rlgido;
compactación mediante apisonado, mesa de Impacto, mesa
vibradora o vibradores de gran potencia.
Zona de conslslencia K 2:
(v = 1,25 a 1,11;
a<40cm)
plástico, blando.
Compactación mediante vibradores
de inmersión o de superlicie, barras de penetrac ión o apisonado .
Zona de consistencia K 3:
de pastoso a flu ido;
compactación mediante barras de
penetración o similares .
(la vibración es peligrosa, pues origina segregaciÓn).
(v
=
= 1,10 a 1,04;
a = 41 aSO cm)
(v
2.6. Flctores que Influyen en el endurecimiento del hormigón
Tanto el fraguado como el endurecimIento del hormigón resultan considerablemente
influidos por el tipo de cemento, la temperatura y la humedad ambiente.
El desarrollo de la resistencia no se limita a los 28 dlas; la continuación del aumento de
la resistencia con la edad se denomina endurecimiento a posterlorl.
.,
9
2.6.1. Tipo de cemento
El tipo de cemento tiene una gran influencia en el desarrollo y valor final de la resisten·
cia, como puede observarse en el gráfico de lig. 2.6, para condiciones normales de temperatu·
,.,
2.6.2. Temperatura y grado de madurez
Las temperaturas favorables para un desarrollo normal de la resistencia oscilan entre
18° y 25° C. Las temperal uras más elevadas aceleran el endurecimiento, especialmente favorable es el calor humedo hasta 90° e (ver curado al vapor). Las temperaturas Inferiores
a + 18° e hacen más lento el fraguado y por debajo de + 5° e lo retrasan considerablemente .
Por debajo de + 5° e deben adoptarse medidas de precaución especiales (calentamiento de
los agregados y del agua de amasado, protección de tos elementos estructurales con lonas y
esteras, hormigonado bajo carpas calefaccionadas).
La Fig. 2.7 muestra la forma del crecimiento de la resistencia en función del tiempo para
distintas temperaturas. La temperatura existente durante el periodo de endurecimiento tiene
muy poca Influencia en la resistencia final.
Para tener en cuenta la Influencia de la temperatu ra es preferible partir, en lugar de la
edad del hormigón, de la madurez o grado de madurez R se'gún Saul [19J y Nurse [20J. Se entien·
de por madurez la suma de los productos de la temperatu ra y edad, de acuerdo con la fórmula
(2,1)
R = I:t·(T+10)
= temperatura media de un dla en o e
= numero de dlas
donde T
t
El grado de madurez necesario para alcanzar fJw28 , luego de 28 dlas de endurecimiento
28 (20 + 10) = 840.
para 20° e constantes es: Rnec
No se ha tenido en cuenta la influencia del tipo de cemento. La ecuación (2.1) no es váli·
da para bajas temperalUras. por cuanto el proceso quimico del fraguado se interrumpe por de·
bajo de _ 100 C.
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28
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dlas
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2 3 anos
1000 dlas
Fig. 2.6. Desarrollo de la resistencia del hormigón para una temperatura de + 20 0 e y distintas calidades
de cementos normalizados.
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dlas
Flg. 2.7. DesarroUo de la res istencia a la compresión durante el endurecimiento para dist intas temperalur.s del hOlmlg6n (18).
2.6.3. Cursdo s/ vapor
Mediante el curado al vapor pueden alcanzarse muy rápidamente altas resistencias'. En
este case et hormigón experimenta luego una resistenci a a posteriorl reducida, de modo Que su
resistencia final puede reducirse hasta un 10 % con respecto a la correspondiente a probetas
de la misma dosificación pero con curado normal. El enfriamiento lento tiene mucha Importancia en el curado al vapor, pues si no pueden originarse fisuras superficiales.
Un endurecimiento muy rápido se obtiene con el curado 8 V8por a presión de por lo menos 2 atm de sobrepreslón; en este caso aumenta la resistencia I ~nal [211.
2.6.4. Recompacta do
l a resistencia del hormigón puede aumentarse bastante por un recompaclado median·
te vibradores externos, luego de transcurridos de 15 a 45 mln. de la primera compactación con
vibradores de inmersión (yer Walz y SeMlller [221).
2.6.5. Curado
El hormigón recién ejecutado debe se r tratado a posterlad : debe mantenerse caliente,
hl.medo, protegido de l as altas temperaturas, del viento, de las heladas y de la lIul/la muy intensa. la conservaciÓn del calor y la humedad inlluye favorablemente en tas resistencias a la
compresión y tracción, Impermeabilidad y contracción . Los medios adecuados son: cubrirlo
con panos empapados en agua o con arena saturada. Regarlo con agua fria orig ina grandes diferencias de temperatura entre el interior (calor de hidratación) y la superficie, y puede dar lugar a la formación de fisuras superficiales; por ello es poco apropiado.
Para grandes superficies conviene utilizar cubiertas o pellculas que se pulverizan sobre
las mismas e Impiden la evaporación de la humedad superficial , por ejemplo, " ant lsol" , que es
una emulsión de parafina. Estas pellculas no son permanentes en su mayorla, por lo que es necesaria una protección contra los rayos solares. Deben aplicarse a lo sumo una hora después
que el hormigón empieza a " tirar" [23J.
2.7. Plazos de desencofrado
El tiempo de endurecimiento para obtener una determinada resistencia, establece en la
práctica los plazos mlnlmos posibles para el desencofrado (véase la tabla 8 de DIN 1045). Para
"
11
lemperaluras superiores a + 180 e valen como Indice para el desencofrado, por ejemplo, de losas de hormigón armado para lechos, plazos mlnimos de:
10 di as para Z 250
8 di as para Z 350 L
5 dlas para Z 350 F Y Z 450 L
3 dI as para Z 450 F YZ 550
Con lemperaturas por debajo de + 180 C deben Incrementarse los plazos, de acuerdo
con lo Indicado en Fig. 2.7. Los encofrados laterales pueden retirarse antes, pero los del fondo
de vigas de gran luz, etcétera, deben serlo con posterioridad.
2.8. Resistencia del hormigón endurecido
La resistencia del hormigón endurecido se determina generalmente en probetas, que se
moldean simultáneamente con el correspondiente elemento estructural y, en lo posible, se dejan endurecer bajo las mismas condiciones.
El método de ensayo como también la forma y dimensiones de las probetas influyen en
forma decisiva Sobre los valores obtenidos de la resistencia; en consecuencia, una compara·
clón directa de distintos hormigones, sólo es posible cuando las probetas y los métodos de en·
sayo son Iguales, lo que se obtiene por normalización de los mismos (por ejemplo DIN 1048).
2.8.1. ResIstencia a /a compresión
La resistencia a la compresión se determina por solicitación axil en un ensayo rápido,
es decir para aUa velocidad de carga.
La relación de la resistencia a la compresión con la edad del hormigón fue !ratada en la
Seco 2.6 (ver Fig. 2.6) asl como también las influencias del contenido de cemento y de agua.
2.8.1.1. Probetas y métodos de ensayo
Para las Normas y Especificaciones alemanas es determinante la resistencia cubica (Jw
a la edad de 28 dlas, medida en cubos de 20 cm de arista (01 N 1048, DIN 1045). En los EE.UU. y
en las recomendaciones del CES [24) se toma como base la resistencia determinada en ci·
IIndros de d = 15 cm y h = 30 cm, denominada resistencia cfllndrlclla/a compresión Pc. Para
18 resistencia prismática a la compresión, (Jp, aun no se han unificado las dimensiones de la
probeta; generalmente se adopta: altura ~ 4 veces el ancho de la sección.
La esbeltez de la probeta Influye en la resistencia a la compresión, como puede obser·
varse en el grállco de Fig. 2.8; la s placas y piezas muy delgadas pueden soportar resistencias
muy superiores a la resistenci a cubica a la compresión.
El aumento de la resistencia a la compresión axll responde a la restricción de la deforma.
ción transversal originada por los platos rlgldos de acero de la máquina de ensayo (Flg. 2.9 al .
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Flg. 2.8. Aelacl6n entre las resistencias prismáticas /Jo y cúbicas fJw a la compresi6n en funci6n de las res·
pecllvas esbelteces hld y hlb 125].
"
12
SI se elimina dicha restricción a la deformación transversal por Interposición de esponjas o cepillos de alambre de acero (26, 27] (Fig. 2.9 b), se obtienen valores menores de la resistencia a la
compresión.
~nlmfitf- ~::;~:~:. ~"~avéS
de esponjas o
U
alambre de acero
Carga mediante placas
~!zz!ZZ~{ rlgldas de acero
,
,,
,,
I
,,
~ Deformación transversal
,,
b) Rotura por flsuraclón vertical para deformación
trsnsversal sin restricción
aJConos do ruptura para
deformación transversal restringida
Flg. 2.9. Configuración de rOlura de cubos de hormigón con (a) '1 sin (b) restricción ala deformación transversal.
La explicación de la rotura es la siguiente: la deformación transversal origina ten~lones
transversales de tracción [28] (la Resistencia de Materiales clásica niega esta hipótesis). La
confirmac:lón la dan dichos prismas o cubos comprimidos, en tos cuales la deformación transversal no está restringida: rompen por rajaduras debidas a tracción transversal (Flg. 2.9 b), que,
por ejemplo, pueden tener origen en un efecto de agrietamiento de los granos muy duros del
mortero (por ello, en piezas de hormigón armado sujetas a elevadas tensiones de compresión
es perfectamente lógico disponer una armadura transversal).
La reducida resistencia a fa tracción del hormigón fJz es determinante para la rotura; la
relación fJz/po Influye, en consecuencia, también en el valor de la resistencia a la compresión.
La restricción a la deformaciÓn transversal originada por los platos de la máqu ina de en·
sayo, se pone especialmente de manifiesto en probetas de reduclda-dlmensión: cubos peque·
nos a igualdad de otras condiciones arrojan resistencias a la compresión algo mayores. En
el caso de hormigones con agregado grueso muy grande (> 40 mm) deberlan emplearse mold~s
de 30 cm de arista y para granulometrlas muy finas « 15 mm) los de 10 cm de arista. El valor
normal fJw para cubos de 20 cm de arista puede obtenerse aproximadamente multlpllcando los
resultados de los ensayos por los siguientes faclores k:
arista del cubo
factor k
30 cm
1,05
10cm
0,85
Para transformar la resistencia clllndrica a la compresión Pe (en cilindros de d = 15 cm
yh
30 cm) o la prismática fJ p en resistencia cubica a la compreSión fJw (cubos de 20 cm de
arista) son válidos los siguientes valores:
=
segun DI N 1045:
ac
para hormigones" Bn 150
1, 18 Q
w "
'c
para hormigones i!": Bn 250
1,25
Q
'w
a
(2.2)
según las recomendaciones CES (1964):
ac "
0,83
aw
y
ac
" 1,05
ap
(2 .3)
2.8.1.2. Reslstenci8 C8r8cterfstlC8 fJwN segÚn O/N 1045
La división de las clases de resistencia del hormigón (p. ej. Sn 150, Sn 250, etc.) 5G efectúa sobre la base de ensayos de calidad a los 28 dlas, en relación al mlnlmo valor.de la resisten·
.,
13
cia cúbica a la compresión en probetas de 20 cm de arista. Para elto se parte de descartar el
5 % de la totalidad de los ensayos, es decir que sólo un 5 % de un conjunto arbitrario de resul·
lados de ensayos de probetas puede arrojar valores de resistencia Inferiores a ~wN. Análisis esladlstlcos realizados en numerosas obras de gran magnitud y en laboratorios de ensayo de materiales IndIcaron que la fracción del 5 % se mantiene cuando el valor medio ~wm de una serie
de tres cubos de tres hormigonadas distintas es superior en 50 kplcm J a fJwN. Este valor se lo
denomina "acotación" de 50 kplcm J ; por ejemplo, el valor medio de una serie de tres cubos debe alcanzar un valor de fJwm = 400 kplcm l para un hormigón de la clase Sn 350.
2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormigón
Cuando sea necesario conocer, para ensayos de adecuación y calidad, la resistencia Cl;
blca a compresión f1w28 a 28 dlas, partiendo de la correspondiente resistencia a 7 dlas, son váli·
das según DIN 1045 las siguientes relaciones:
I3
I3
w28
w28
.. 1,4 I'w7 para Z 250 ;
11
1,3
~w7
para Z 350 L;
B
" 1,2 I3
para Z 350 F Y Z 450 L
w7
w28
~w28
1, 1 I3 w7 para Z 450 F Y Z 550
2.8. 1.4. Ensayos acelerados
SI a una probeta impermeabilizada, luego de dos horas de su preparación se la sumerge
durante 6 horas en agua hirviente o (sin impermeabilizar) 6 horas en una cámara a 80° e, al dla
siguiente y una vez enlriada la probeta, es posible ensayarla a la compresión. De este resulta·
do, y comparándola con ensayos previOS comparativos de calidad, es posible deducir con sull·
clente aproximación la resistencia normal a 28 di as (ver Walz y Dahms [29f).
2.8.1.5. Resistencia a la compresión para cargas de larga duración
la resistencia a la compresión disminuye para cargas de larga duraciÓn (aflos) (ver [30j).
Esta calda de resistencia se equilibra en parte con el aumento posterior de la misma. A pesar
de ello, para cargas de larga duraciÓn, en las normas de cálculo, se efeclúa para el valor de
cálculo iJR una reducciÓn del 15 % de 0,85 {Jp (ver Cap. 1).
•
2.8.1.6. Resistencia a la compresión para cargas de fatiga u oscilantes
la resistencia en el caso de cargas oscilantes depende del número de alternancias de
carga y de la amplitud de oscil aciÓn 2 0a o de la tensiÓn media Qm' Como resisten cia a la fatiga
(1F se considera el máxImo valor de la resistencia alcanzada para 2 millones de alternancias de
la carga . En el caso de solicItación por compresión, la Fig. 2.10 muestra la relaciÓn entre la resistencia a la latlga f3F y la resIstencia prismática fJp en dos formas distintas de representaciÓn
1311_
2.8.1 .7. Resistencia a compresión para temperaturas muy altas y muy bajas
la Influencia de temperaturas muy altas o muy bajas sobre la resistencia a la compre·
siÓn del hormigón endurecido ha sido poco investigada. las temperaturas muy elevadas, de
hasta 500° e en reactores nucleares en fun cionamiento, Ó 1100° e en incendios que suelen
presentarse, reducen la resIstencia a la compresión, como puede observarse en la Flg. 2.11 , de
acuerdo con ensayos de Welgler y Flscher [32). Temperaturas muy bajas, de _ 150° a-200° C
pueden ocurrir en tanques que contienen gas licuado, en tanques de hormigón armado que re·
cubren tanques de acero , sean subterráneos o ubi cados a nivel del terreno. Ensayos realizados
con cilindros de d = 5 cm y h = 10 cm mostraron Que al descender la temperatura , aumentaba
la resIstencia (Fig. 2.12 de [33)).
2.8.1.8. Resistencia a la compresión en la estructura
La resistencia del hormigón ya endurecido en una estructura, puede determinarse pos·
terlormente sea mediante probetas extraldas de la misma o bien mediante los denom inados
-,
"
ensayos "no destructivos" mediante dispositivos especiales. Las probetas se preparan de tro·
zos de hormigón extraldos de la estructura, aserrándolos en forma cúbica o prismática, o mejor
aún, en forma cillndrlca mediante perforadoras. de núcleos.
Los ensayos no destructivos del hormigón en estructuras son de dos tipos: de impacto y
acústicos (ver [341 y DIN 4240); deben ser realizados únicamente por especialistas con experlen·
cia.
En el ensayo de Impacto se determina sea la impronta (penetración) de una esfera en el
hormigón mediante el marUllo de Impacto (por ejemplo: martillo a resorte de Frank) o bien se
mide el rebote de un martillo a resorte (esclerómetro de Schmidt). El ensayo acústico, en reali·
dad ultrasónico, se utiliza en los EE.UU. y ta U.R.S.S., pero en Alemania se emplea sólo en ca·
sos muy especiales. En este sistema se deduce la resistencia del hormigón, de su conductlbili·
dad al sonido O ultrasonido.
2.8.2. ResistencIa a la traccIón
La resistencia a la tracción depende de numerosos factores, en especial de la adherencia enlfe los granos de los agregados y la pasta endurecida de cemento. Los resultados experi·
mentales muestran gran dispersión, porque, por eJemplo,es casi imposible evitar la presencia
de tensiones propias (residuales) debidas a efectos de temperatura y contracción de fraguado.
Según el método de ensayo empleado cabe distinguir entre: resistencia axll a la tracción, resistencia a la tracción por compresión y resistencia a la tracción por flexión .
2.8.2.1. Resistencia axila la tracción
Los nuevos adhesivos en base a resinas sintéticas de gran resistencia, permiten ensayar a tracción pura a las probetas de hormigón, sin que las mismas experimenten sensibl es
perturbaciones de borde en sus extremos por efecto de las mordazas (Fig. 2.13).
2.8.2.2. ResIstencIa a la tracción por compresión
De acuerdo con la Fig. 2.14 la resistenc ia a la tracción por compresión se determina
sobre una probeta cillndrlca apoyada sobre una generalriz y cargada en la opuesta. El estado
de tensión en este caso es doble; sin embargo la resistencia a la tracción obtenida (JspZ es en
general algo mayor que la correspondiente al ensayo de tracción J)lJra, por cuanto la 'isurac ión
debe comenzar en etlnterior de la probeta (ver Bonzel [35]).
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Tensión media relatlv. ~
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b) PF Y 0u en función de
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FIO. 2.10. Resistencia a la I.tloa fJF del hormigón en l. zona de compresión p.r. 2· 10' alternancias.
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Flg. 2.11 . Influencia de las lemperaturas elevadas del hormigO n sobre la resistencia a compresión en cIlindros (d
5 cm, h :: 7 cm), [32J .
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Secado ~ 105°
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luego del curado
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Curado a una humedad_
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~
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2,0
Curado húmedo
-."
-100
Temperatura T del anuye
-14,0 -160 [oC
I
Flg. 2.12. Influencia de lemperaturas de ensayo muy bajas sobre la resistencia a la compresión del horml·
gOn par. distintos tipos de curado antes del enlrlamlento [33].
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2
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30
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Fig. 2.13. PrObeta parata determl·
nación de la resistencia uil a 'a
tracción (tracclOn pura)
Z
~
Z
Fb
. --
." ,m
2.8.2.3. Tracci6n por flexl6n (m6dUIO de rotura)
La resistencia a la tracción por flexión (Jez se determina rompiendo por flexión una viga
sin armadura . Depende mucho de las dimensiones de la probeta (viga) '1 de la ubicación de las
cargas y hoy se usa principalmente en la construcción de pavimentos de hormlgOn.
La Fig. 2.15 muestra una viga de hormigón de 15 x 15 x 70 cm con dos cargas con·
centradas a los tercios de la luz. La resistencia a la tracc~n por flexión se obtiene partiendo de
"
16
la hipóte sis de una repartición lineal de tensiones en la sección, como valor numérico de la lensión de borde.
~BZ
~3
"u
W
Z
2
/
bd
6
•
Resul ta mayor que la resistencia a la tracción axl! o a la de tracción por compresión,
porque la máxima tensión aparece sólo en las libras més alejadas del eje neutro, de modo Que
las restantes fibras vecInas, menos solicitadas, colabOran en la absorción de la carga
2.8.2.4. Va/ores numéricos de las resistencias a la tracción
No es posible establecer para las relaciones de las resistencias a la tracción entre si y
con la resistencia a la compresión, expresiones de validez general.
La forma, el tamaflo má)(imo y la resistencia propia de los agregados, asl como también
el valor de la relación W/Z y el curado posterior actúan muy distintamente . Como Indice, valen
los valores siguientes; pueden tener variaciones del 25 %, ver O. Graf (41 (todos los val ores en
kp/cml).
o
0,5
v;"
(2.4)
f3 spZ • 1 ,5
h;
h;
o
O' 6
V~'!
w
(2 _S)
~BZ • 2,5 .
VT.:
o
1,O3~
(2 _6)
Resistenci a axil a la
tracción
~z
Resistencia a la
tracción por compresión
Resistencia a la
traccIón por flexión
• 1.3
w
w
2.8.3. Resistencias para solicitaciones en más de una dirección
Tanto la resistencia a la tracción como a la compresión resultan considerabl emente
In!luidas cuando la solicitación es bi o triaxial.
Para solicitación biu;a/la Fig. 2.16 muestra un diagrama, obtenido por Rüsch y Kupfer
en la E.S.T. de Munich mediante nuevos ensayos (27]. La aplicación de la carga se efectuó por
Intermedio de cepillos de acero (ver Flg . 2.9 b) . Para compresión biulal, la resistencia a la
p
5=0,10.
-Ji,
4-
Cubo.
,p
PSPZ'
nor
Compresión
Tracción
G,~
G,
T
I
-- ---5 =O,ld
tt
td
+-
Cilindro
,p
PSPZ' Ttdh
Distribución de tensiones
P
-
<3',
---- '"2
Fig. 2.14. Determinao;ión de la reslslencia a la Iracción por compresión en cilindros o cubos de hormigón
[351·
-,
17
Diagrama de tensiones
Flg. 2.15. Probeta para determinar la Iracclón por Ilexión.
-1,4
Compresión
.
-1,2
-1,0 -0,8 -0,6 -O,,
t
°
-0,2
TracciÓn . G' u
.0,2
0,1* .0 ,2
0,1
o _
.....-
/
G, / ~,
/
I Pp
Tracción
/
.G, / ~,
· 0,2
/
/
- O,,
/
-
-
6l~/~
6',
/ G'I _
/
-1, 15
.1,25
r-- k
r/
/
I
I
G~ /
•
.
J
-0,6
-
Flg. 2.16. Hormigón bajo solicitación blaxlaIJ27].
>-
- 0,8
- 1,0
- 1,2
"! 1,'
.
t
CompresiÓn I
-
rs D Il3 p
compresión crece, mientras que aun pequeMs tracciones en una dirección , reducen considerablemente la resistencia a la compresión en la otra dirección .
El au men to de resistencia a la compresión para solicitación biaxial puede también origi ·
narse en la inhibición de la deformación transversal (ver Seco 2.8.1.1). En ello se basa la ac ción
beneficiosa del zunchado y armaduras transversales , usadas por ejemplo en columnas zunchadas, anclaje de elementos tensores y cargas superficiales parciales . la reducción de la resiso
tenci a a la compresión en la solicitación doble por compresión y tracción debe tenerse muy en
cuenta en esfuerzos que puedan originar fisuras o en la zona comprimida de l as vigas· placa, etcétera.
2.8.4. Resistencias al corte, punzonado y torsión
Resistencia al corle
Resistenci a al punzonado
Resistencia a la torsión
l
no existen res istencias especificas
para el hormigón como
material
frágil
En realidad, tanto para los esfuerzos de corte, torsión o punzonado, se origina un siste·
18
ma de tensiones de tracción y compresión Inclinadas (tensiones principales). La rotura ocurre
al sobrepasarse la resistencia a la tracción en la dirección de la tensión principal de tracción: a
45° para resbalamiento simple sin esfuerzo normal (por ejemplo en torsión), como linea en zig·
zag en el caso de punzonado.
2.9. Deformación del hormigón
Para el hormigón endurecido cabe distinguir:
1.
2.
J.
deformaciones elásticas, debidas a cargas o temperatura, las que al cesar la causa que
las originó desaparecen totalmente.
deformaciones plásticas, producidas por cargas de corta duración pero muy elevadas ,
que al descargar no desaparecen totalmente.
deformaciones en función delliempo y de las condic iones climáticas, debidas a mod ifi·
caciones del gel del cemento, entre las que es necesario distinguir:
contracción e hinchamiento, como deformaciones Independientes de las cargas, produ·
cidos por variaciones de humedad en el gel del cemento;
fluencia (creep) y recuperación , como deformaciones dependientes de las cargas como
consecuencia de cambios de volumen del gel del cemento debidos a cargas y descaro
gas.
Al cargar, comienza la fluencla al poco tiempo de actuar la carga, de modo que es dificil
observar deformaciones puramente elásticas. Por ello en mediciones al efectuar ensayos en
estructuras es necesario determinar siempre el tiempo transcurrido entre la aplicación de la
carga y la medición, pero también es necesario establecer la temperatura y humedad ambien·
tes.
El cálculo de las deformaciones se efectúa esencialmente mediante la teorla matemática de la elasticidad. En principio se parle para ello de las deformaciones especificas c= olE
de un prisma solicitado axilmente con o, donde E es el módulo de elasticidad (módulo de
Young), constante elástica del material.
En lo que sigue trataremos las deformaciones del hormigón con agregados pétreos nor·
males, en lo esencial teniendo en cuenta el diagrama tensión-deformación (o - el correspondiente a un prisma solicitado axilmente.
•
2.9.1. Deformaciones elásticas
2.9.1.1. Módulo de elsstlcidad del hormigón
Un comportamiento elástico puro del hormigón con E = oh = Cte SÓlo eXiste para ten·
slones reducidas y de corta duración (o hasta ~pl3).
la determinación del módulo E del hormigón se efectúa de acuerdo al procedimiento
que muestra la Fig . 2.17. Por repetición rápida del escalón de carga 6 t}::: fJplJ con una veloci·
dad de carga de 5 kp/cm' por segundo es posible eliminar las componentes plásticas inidales
DIagrama o-e para la
primera carga
t- t
L-_~
Flg. 2.17. Determinación del m6dulo E en prismas de hormigón segun DIN 1048.
-t
__~~~~____-1>
dE 10
~
-~ ~p
E
Fuera de escala
.,
19
de la deformación. El módulo E también es función de la velocidad de aplicación de la carga.
Los valores del módulo E obtenidos de esta manera a los 28 dlas en hormigones preparados de
acuerdo a normas, se basan en lo establecido en las normas OIN.
Los valores de Eb correspondientes a una determinada calidad de hormigón son sólo valores medios, porque el tipo de agregado, la granulometrla y la relación agua-cemento W/Z
tienen además marcada influencia.
Además debe tenerse presente que Eb también varia con la edad, la temperatura y humedad ambientes (grado de madurez). Para grandes estructuras debe, por ello, determinarse el
módulo Eb al realizar los ensayos de calidad.
Una fórmulá de uso corriente es (Eb y fJw en kplcm l ):
Eb ·
18
OOO~
(2.7)
En Alemania se admiten, según OIN 1045, los valores de la tabla de Fig. 2.18, siendo
aceptables variaciones de ± 20 "lo.
Clase de reslalencla
Bn 100
Bn 150
Bn 250
Bn 350
Bn 4 50
Bn 550
220 000
260 000
300000
340 000
370000
390000
Eb
( kp/cm
2
1
FIg. 2.18. Valores de calculo del módulo de elasticidad Eb segiJn DIN 1045.
Muchas veces aparecen en la blbliografla valores más elevados de un astllamado " módula E dinámico", que se determina, por ejemplo, en los ensayos sónicos (ver Seco 2.8.1.8). Para
variaciones muy rápidas de las tensiones, es decir para oscilaciones de alta frecuencia, no es
posible que las tensiones alcancen un mismo nivel en la totalidad Clel volumen del cuerpo, de
modo que la deformación resulta menor y el módulo E aparentemente mayor. Por ello no es posible utilizar el "módulo dinámico E" para el cálculo de deformaciones en hormigón armado.
2.9.1.2. Deformación termica
El coeficiente de dilatación térmica (l'T es la deformación que corresponde a una variación de 1° e de temperatura. Para el hormigón se tiene
"'r0'.IO
-.
a 12. 10
-.
f~
Oc 1
En promedio puede admitirse el mismo valor que para el acero (ver Cap. 3) O'T = 10 - 10 l .
El coeficiente de dilataciÓn térmica depende de la temperatura: c uando las mismas son
elevadas, O'T aumenta al crecer la temperatura (hasta cerca de 22.10-1 , ver (32]); para tempera·
turas bajas, (l'T disminuye al disminuir las mismas (hasta cerca de 5.10-1 , ver [33J).
2.9.1.3. Deformación y módulo de elasticidad transversa les
Cada fuerza o tensión, además de la deformación en la d irección de las mismas, originan deformaciones transversales. la relación entre la deformación especifica transversa l y la
longitudinal
~ (coeficiente de Polsson) en el caso del hormigón varIa en función de la resistencia a la compresión del mismo y del grado de solicitación, y su valor oscila entre 0,15 Y 0,25;
en prom6l1io puede admitirse como valor ~ = 0,2.
=
,
Mediante el valor de 11. y conforme a la Teoria de la Elaslicldad, puede determinarse el
m6dulo de elasticidad transversal G:
G •
E
(2.8)
El valor de G s610 puede utilizarse para determinar las deformaciones por corte en
estructuras constituidas por material homogéneo, de donde, para el caso del hormigón, solamente antes de la fisuraclón y para tensiones bajas. Este valor no es posible utilizarlo para calcular deformaciones por corte en el caso de elementos de hormigón lisurados.
2.9.2. Deformaciones plásticas, Independientes del tiempo
los diagramas tensión-deformación del hormigón, para cargas de corta duración y lensiones mayores que 1/3 flp. muestran una fuerle curvatura; en consecuencia, al descargar, la
deformación especifica no se anula (Fig. 2.19). A las deformaciones elásticas hay que agregar
'el + 'pto por lo cual, para solicitaciones elevadas
las deformaciones plásticas, es decir, 'tot
no es posible calcular con Eb
constante.
En las Figs. 2.20 a 136) '1 2.20 b 137] se han representado los diagramas tensión·
deformación, correspondientes a hormigones de distintas resistencias (para el mismo tipo de
agregado y granulometrfa), para velocidad de deformación constante (p. eJ: 1 °/00 en 100 mln) y
carga ax!! y para velocidad de carga constante, respectivamente.
Puede observarse que los valores en los vértices (ob máx :::: IIp) corresponden a Lb = 2,0
a 2,5 °/00 , Independientemente de la resistencia a la compresión, '1 que los diagramas para hormigones de resistencia reducida, hasta alcanzar su vértice, presentan una curvatura mucho
mayor que la de los hormigones de alta resistencia; de ahl que los primeros posean una mayor
proporción de deformación plástica.
la forma de los diagramas tensión-deformación '1 la magnitud de la resistencia a la
compresión dependen además de la diferencia entre la dirección de la carga '1 del hormlgonado, como lo muestra la Ilg. 2.21 para un hormigón de /1w:::: 200 kp/cm J • los prismas hormigona·
dos vertlcalmente muestran cuando la carga actúa en dicha dirección mayores deformaciones
'b y menores resistencias que cuando esta úllima actúa en dirección normal a la de horm i g~­
nado. la explicación de ello reside en la existencia de pequenos vaclos bajo los granos
gruesos del agregadQ por asentamiento del mortero fresco. Para hormigones de alta calidad,
las diferencias son menores 138).
=
1-
=
G
-"7---- -~Descarga + nueva carga
E
Flg. 2.19. Deformaciones de un prisma de hormigón bajo carg. (esQuematlco).
21
S"b[kPlcm 2j
al
b)
,¡j ~ =600
SOO
SOo
I
1//
--
JO O
I
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~
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5
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"
...l..
t 1//
20 O
.0O
"-
/
400
,~
I~JOOI
= 225
~
O
O
2
Fig. 2.20. Diagramas tensión-delormación pata hormigones de distinta calidad, determinados en prismas
con carga axll: a) velocidad de deformaciÓn cte. (361: b) velocidad de carga ele. (31].
G'b kp/cm
2
200
15.
,/
/.
s. y•V
.00
--
O
Cerga normal a la dirección
de hormigonado
Carga en ta direcciÓn
de hormigonado
'.. "["'"" [
Flg. 2.21. Influencia de la diferencia entre las direcciones de carga y hormigonado sobre los diagramas
de un hormigÓn con ~w '" 200 kp/cm J [381.
0-'
2.9.3. Oeformaclones en funci6n del tiempo
2.9.3. 1. Tip,?s y causas
Por efecto del medio ambiente (atmósfera, agua), es decir por las condiciones climáti·
cas, el hormigón experimenta con el tiempo, variaciones volumétricas. la contracción de fraguado es la disminución de volumen originada por la evaporac ión del agua contenida en el hormigón y no combinada qulmicamente. Expansión es el au mento de volumen del hormigón debl·
do a la absorción de agua por elevado grado de humedad ambiente o por curado bajo agua .
Mientras que la contracción de fra guado y la expansión constituyen deformaciones independientes de las cargas, se entiende por fluencia y relajam iento, fenómenos en función del
tiempo, que dependen simultáneamente de la carg a o de la deformación . Fluencla es el incremento de una deformación con el tiempo por efecto de cargas o tensiones de larga duración .
la disminución del valor de la tensión orig inal, para longi tud constante, se denomina relajamiento.
22
"
l [olooJ
Las causas Que originan estas variaciones anelástlcas de las tensiones y deformaciones, residen en ia microestructura de la pasta de cemento endurecida (ver (6))_ Esta pasta de
cerTl8nto es la lechada endurecida, Que envuelve las parllculas de los agregados y las vincula
entre sI.
La base fundamental de la pasta endurecida la constituye el gel de cemento, masa co·
loidal de alta resistencia y muy homogénea, Que incluye en su seno partlculas de mayor lama·
no. como peQuenos trozos de kllnker y cri stales de hidrato de calcio. En el gel de cemento exls·
te agua en distintas formas: como agua combinada Qulmicamente, como agua coloidal en los
poros del gel (aproximadamente 100 veces menores Que los capilares) y como agua libre, ademas de aire en los capi la res y macroporos.
Por ello, la contracción de fraguado se origina por corrugamiento (disminución de volumen) de la masa de gel, proceso duranle el cual se evapora agua no combinada Químicamente
del gel de cemento. Ello ocurre en los elementos de hormigón independientemente de su estado de tensión y es función de las tensiones capilares, del tiempo o bien de la edad del hormi·
gón y esencialmente de las condiciones climaticas, es decir de la temperatura y humedad relativa ambientes. La contracción de fraguado es, en parte, reversible por expansión por curado
en agua o muy elevada humedad relativa ambiente (Fig . 2.22).
En la fluencia de los elementos de hormigón, sometidos a tensiones de larga duración,
el agua no combinada Qulmlcamente es Impelida de los microporos del gel de cemento (poros
del gel) hacia los capilares y se evapora, lo Que tiene como consecuencia una disminución de
volumen del gel (ver también 139, 40J).
Como en el caso de la contracción de fraguado, este proceso resulta Influido por las ten·
slones capilares y en especial influyen nuevamente las condiciones climáticas.
El Incremento de la deformación por fluenda es cada vez menor con el transcurso del
tiempo y se anula sólo después de mucho tIempo; en estructuras al aire libre, por ejemplo, re·
cién después de 15 a 20 anos.
En el caso de compresión axll 0l, aparece también en dirección Iransversal una deformación por ftuencla debida a la deformación transversall q = "'ll- Los resultados experimen·
tales de este problema son aun escasos y se contradicen parcialmente [41 , 42]. Para poder calcular deformaciones por lI uencia en estados dobles de tensión con suficiente exactitud, deberla conocerse la deformación transversal por fluencia.
Análogamente con lo Que ocurre en el caso de la contracción de fraguado, las deformaciones por fluencia son parcialmente reversibles. Es asl Que puede ob~ervarse al proceder a
una descarga que, además de la recuperación elástica, ocurre con elllempo una disminución
adicional de deformación, a la que se denomina " recuperación de lIuencla", "fluencia rever-
e
~e
•
•
'E S
~
w
~
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0,4
u
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•
E 0.6
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10
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1- -
al aire
(70". rL F.¡ 18°C)
--
t
20 [ meses )
,, '~ "
I
I
en agla
I
-
'- -
I
al aire
-
I I
Flg. 2.22. Contracción y expansión de un hormloón con Z 275 y un contenido de cemento de 300 a 350 kg/ml
(segUn A. Hummel [7]).
23
E
Contracción ... Iluencla
Descarga
•
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o
tI
'2
E,k ,Ey •
Ebt. E,
=
recuperación de Iluencia. elasticidad retardada.
deformación permanente por lIuencla, escurrimiento plástico.
Flg. 2.23. Desarrollo de la contracCión y de la fluencla para carga y descarga de un prisma de hormigón (esQuemalizado par. la comprensión del concepto).
sible" o "elasticidad retardada" (Fig. 2.23). Solamente la parte restante 'b( de la deformación
especifica es permanente o Irreversible y se la denomina "esc urrimiento plástico" (f.
En la relajación el proceso de expulsión del agua no combinada qulmicamenle comienza en un principio como en el caso de la fluencia. Por la pérdida de agua interior, debido a la
constancia de volumen, el eslado interno de tensión disminuye, es decir que el resto del agua
es expulsadO con menor presión . Esle proceso se desarrolla también con intensidad decreciente y depende de las condiciones climáticas.
la lIuencla y la relajación ocurren para cualCluier tipo de solicitación, es decir compresión, tracción, corte y torsión; deben tenerse en cuenta principalmente para compresión.
Estas deformaciones dependientes del tiempo resultan siempre Influidas por las propiedades de la masa del gel, es d"Elclr por el contenido de cemento y la relación agua-cemento.
Un eremento de hormigón cargado al poco tiempo de comenzar a endurecer (secado y
grado de madurez reducidos), lIuye más que otro hormigón al que se le aplica la carga luego de
Iranscurrido mucho tiempo.
En las secciones siguientes se hacen consideraciones cualitativas y cuanIHatlvas
sobre contracción de fraguado y lIuenda.
2.9.3.2. Desarrollo y dependencias de la contracci6n de 'ragua do
la Flg. 2.24 muestra el desarrollo en el tiempo de la contracción de fraguado medida en
prismas, y expresada como deformación especif ica " para distintas condiciones. Las propiedades de la contracción de fraguado de cada hormigón se definen por la contracción final
para un tiempo t = "".
Para la contracción de fraguado podemos citar los siguientes factores que la influyen :
l,...
1.
2.
24
La humedad relativa ambiente (rLF.) influye tanto en la magnitud como en la duración de
la contracción de fraguado (Fig. 2.24). Para ello es necesario tener en cuenta la contracción final ts'" para un t = "". El máximo de la contracción de fraguado (ts'" =:: 60 . 10-')
ocurre en edilicios con calefacción o en zonas de clima extremadamente seco.
La contracción final depende considerablemente de la edad o del grado de madurez del
hormigón al comienzo del desecamiento (Flg. 2.24). Si al hormigón se lo mantiene hUme·
do durante un ano es posible reducir la contracción final hasta el 40 %. Para el tiempo
normal de curado de 10 a 28 dlas (zona rayada en Fig . 2.24), la influencia de la edad es,
sin embargo, tan reducida, que en la práctica generalmente puede despreciarse.
•
0 ~L-~~~---++---~,---+~ t
1500
2000 di.,
1000,
o
500
anos
5
4
2
3
,
\r
L F. 35'/,\
0,4+- 0,2
o
t
o
500
2
1009
3
1500
,
4
2000 dias
anos
5
Flg. 2.24. VarIación en función del tiempo de la contracción de fraouado en prismas de hormlgOn de
12112136 cm, par. curados hUmedos de dlsllnla duración para aproximadamente + 180 C,hasta el comienzo de las mediciones (según M. Ms [43J).
3.
4.
5.
las curvas de Fig. 2.24 muestran que la conlracción de fraguado de prisma con una seco
ción de aproximadamente 12 x 12 cm!, para una humedad relativa constan te (rLF) flnaHza entre los 2'y 4 aflos.
Elementos de mayor espesor requieren un tiempo mayor, por ejemplo, para d > 1 m. se lIe·
ga a los 15 anos, porque su secado es mas lento; alcanzan en su Interior un mayor grado
de madurez al comienzo de la desecación y muestran una contracción final menor. la
influencia del espesor es considerable y debe tenerse en cuenta al calcular la contrac·
ción de fraguado (ver Figs . 2.29 y 2.32).
Ya se ha aclarado, que tanto el contenido de agua como de cemento del hormigón Influ·
yen en el valor de la contracción del mismo: un elevado contenido de cemento y/o una re·
laclón agua-cemento alta, aumentan las deformaciones por contracción de fraguado. En
el cálculo, ello se tiene en cuenta partiendo de valores iniciales distintos de la contrac·
clón para los distintos tipos de consistencia K1 , K2 o K3 (ver Sec o2.9.3.6 y 2.9.3.7).
la temperatura del ambiente que rodea al hormigón influye en el desecamiento del hormigón y con ello en la contracción de fraguado. Observaciones realizadas en estructuras
muestran que en Invierno, en general, la contracción se detiene. No existen prácticamente todavla resultados experimentales al respecto; sin embargo, en la práctica, el ingeniero debe tener en cuenta esta circunstancia.
2.9.3.3. Desarrollo y factores que afectan la lIuencia
la deformación por fluencia, para solicitaciones de hasta O'b < 0,4 fJp. es decir para todo el ámbito de las tensiones originadas por las cargas útiles, ha demostrado ser proporcional
25
a la deformaciÓn elástica inicial. Introduciendo un coeficiente de proporcionalidad, el factor de
fluencia ep, la deformación por fluencla resulta ser:
~
(2.9)
.
El factor final de fluencia ep"" para un tiempo I = .... , es lo que caracteriza las propieda·
des de fluencla del hormigón.
El desarrollo con el tiempo de la deformación por fluencia de prismas cargados axilmen·
le, aparece en la Ftg. 2.25, donde {k está expresada por el factor de fluencta ¡PI referido al factor
final ¡p"". Puede observarse que la variación es similar a la de la contracción de fraguado, pero
la duración de la fluencia es mayor . El desarrollo con el tiempo de la deformación por fluencla
se tiene en cuenta, en general, en los cálculos mediante una función e (ver (44]), por ejemplo en
la " ecuación de Oischinger";
-u
(2. 10)
q¡-(1-e)
(
donde}. = 0,03 a 0,04 y t expresado en dras.
Según A. D. Ross Y W. KrOger{45] se obtiene una mejor concordancia con desarrollo real
mediante una expresión hiperbólica:
~
(
.
(a - b· q¡
00
)+ t
.
(2.11)
~oo
donde t en dras, a = 26 y b = 2 para hormigón con curado normal (a = 66 y b = 15 para cura·
do a vapor).
Teniendo en cuenta que las causas de la contracción de fraguado son similares a las de
la fluencia, tenemos que los factores que las afectan son similares:
1.
2.
3.
4.
5.
La influencia de humedad relativa ambiente aparece en la Flg. 2.26. En un ambiente seco,
por ejemplo de humedad relativa (rLF) del 30 %, corriente en edificios con calefacción, la
fluencla del hormigón es esencialmente mayor que en un ambiente húmedo, por ejemplo:
para 70 % a 80 % (rLF) cuando se encuentra en el exlerior; fluye sin embargo también
cuando se encuentra sumergido en agua . Para el cálculo, esta influencia se tiene en
cuenta (ver Seco 2.9.3.6 y 2.9.3.n mediante distintos valores básicos del valor final de la
lIuencia.
La edad, o mejor aún. el grado de madurez del hormigón al iniciar la carga. influye sobre la
fluencia en una medida mucho mayor que en la contracción de fraguado. lo que surge de
las curvas de Fíg . 2.27.
El espesor de la estructura tiene gran influencia sobre la magnitud desarrollada, en el
tiempo, de la lIuencia (las curvas de Fíg. 2.27 son aplicables únicamenle para estructu'
ras de pequeno espesor). Las estructuras gruesas muestran un valor de ,a fluencia final
menor que las delgadas, porque el desecamiento en el interior resulta retardado.
Los elevados con tenidos de cemento yagua aumentan el valor de la fluencia. lo que se
tiene en cuenta en los cálculos usando distintos valores de la fluencia final para las con·
slstenclas Kl, K2 Y K3. Si se desea preparar un hormigón con muy poca fJuencta, es po·
slble, por ejemplo, usando granulometria discontinua, reducir el con tenido de mortero y
con ello alcanzar la resistencia especificada con menos cemento yagua
En lo que se refiere a la influencia de ta temperatura V humedad ambientes, faltan aún ele·
mentas confiables en que basarse. Los primeros ensayos mostraron que la fluencia para
temperaturas alias (> 30° el crece considerablemente 146, 1401. Por observaciones reali·
zadas en puentes se sabe que para temperaturas bajas (p. ej.: de + 5°
a-15° C) la
fluencia prácticamente se suspende.
e
26
•
.
80
'0
"-+
'>
80
,
1W!l-
40
Prismas de 12112136 cm
Caro. aplicada a lOS ,. dlas
,
rLF. 70 '/.; T::::. 18°C , <4> : 2,25
~
,1
= 200 kp/cm • ~w :::5OQkp/cm
(f'b
-
20
f--
1
O
1
0 11
2
,
14
•
S
l\
8
7
9
t
10 anos
FIg. 2.25. VariaCión con el tIempo de la Iluencla de prismas con carga ul1 para humedad relativa ambiente
y temperatura constantes (segun M. R/Ss [43]).
-- -,--,
-
~
- t ipo de cemento . ~ . ;r.;
~
--1--;r7l
~
\!!'
"
~
,.•
~
'afe~~
de a\~.
21' .
1.0
~8
,.8
0.5
-
40
1
-
/'
~
t
humedad
rel8,llva ambiente
/
100
90
80
70
.0
50
JO ("/. ]rLF.
Flg. 2.2e. Variación dellactor de Iluencia en lunclón de la humedad relativa ambiente para cemenlOS nOfma'es '1 de alla resistenc ia (segun O. Wagner 139]).
6.
7.
la Influencia de la clase de piedra de los agregados sólo se halla en los comienzos de su
investigación (47]. El comportamiento del hormigón con agregados livianos será tratado
en una sección especial.
la calidad del cemento influye siempre que los cementos de alta resistencia Inicial alean·
cen, en menos dlas, un grado de madurez mayor que los cementos de endurecimiento nor·
mal.
2.9.3.4. Restricciones a /a contracción de 'ragua do ya/a fluenc/a
la contracción de fraguado comienza siempre en las superficies exteriores y resulta frenada por las zonas Interiores, por lo c'ual,especialmente en estructuras gruesas, se originan
tensiones internas . Estas tensiones propias pueden originar lisuras, por cuanto los mayores
acortamientos por fraguado se producen en la parte exterior de un hormigón joven de reducida
resistencia a la compresión. En consecuencia deberla retardarse siempre el comienzo de la
contracción el mayor tiempo posible, protegiendo al hormigón contra el desecamiento
(curado). (Ver Krenkler 123]).
SI se impide la contracción de fraguado por causas externas, por barras de armadura o
por rozam iento sobre el suelo de fundación, las tensiones de tracción derivadas de los acorta·
mlentos por contracción se reducen por la fluencia del hormigón .
27
Esta reducción de tensiones en grandes estructuras de ingenlerla y en estructuras de
hormigón pretensado se determina generalmente por cálculo. En los casos simples de esqueletos de edificios, para cuanUas medias de armadura es posible tener en cuenta este efecto en
forma aproximada. reduciendo los valores de la contracción de fraguado (ver tabla de Fig. 2.28).
Por ejemplo, si la deformación por contracción resulta impedida por una armadura dls·
puesta en la dirección en que ocurre la contracción, el hormigón resulta descargado por re·
distribución de tensiones sobre las barras de la armadura . Cuando se Impide la deformación
por contracción por esfuerzos externos, dichos esfuerzos aumentan por contracción y las ten·
slones en el hormigón se reducen por relajamiento. En ambos casos se trata de problemas en
los que se acoplan la fluencia y el relajamiento.
2.9.3.5. Electos de /a lIuenc/a y /a contracción de Iraguado sobre las estructuras
Entre los efectos desfavorables podemos mencionar (ver (5)>:
Aumento de la deformación por fleltión por contracción de fraguado y fluencia en ta zona
comprimida (por ejemplo, en vigas y placas).
Aumento de la curvatura por fluencia en columnas con carga excéntrica, con lo cual la ex·
centrlcldad Inicial aumenta y la capacidad de carga de la columna disminuye.
En elementos pretensados. pérdidas de tensión previa por contracción de fraguado y
lIuencia.
Redislribución de tensiones por contracción de fraguado y fluencia en un elemento
estructural vincutado rlgidamente a otras estructuras (por ejemplo, revestimientos de pa·
redes o pilares de puentes) .
Fisuras superficiales por tensiones propias por contracción de fraguado (véase la Seco
2.9.3.4).
Los efectos favorables son :
Eliminación de los picos de tensión por fluencla (por ejemplo, en nudos de pórticos) O por
cargas concentradas (localizadas) sobre el hormigón .
¡r LF
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•
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J
- 365
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,
J
,
I
Safios
Fig. 2.27. Influencia de la edad del hormigón al comienzo de la carga sobre el desarrollo de la lIuencla en
prismas de 12 x 12 x 36 cm (/lw-=' 500. !lb :: 100 kplcml; T = 18° C). (segun M. Al5s [43]).
28
Eliminación por relajamiento y Iluencla de tensiones originadas en causas exlernas (por
ejemplo, asenlamienlo de apoyos en vigas conllnuas).
2.9.3.6. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguado y la fluencia segun DIN 1045
Para el cálculo de las deformaciones por contracción de fraguado y fluencla, la DIN
1045 parte de los siguientes valores básicos para el tiempo t = oo.
(so = valor Ilnal de la contracción de fraguado
f90 = lactar final de fluencia.
Estos valores básicos segun DIN 1045 aparecen en la tabla de Flg. 2.28, en función de la
humedad ambiente y de la consistencia del hormigón y son válidos para un curado de unos 28
dlas de duración a unos 20" C.
Para determinar la deformación por contracción de fraguado originada hasta un deter·
minado tiempo t se utiliza el coeficiente k! que aparece en Fig. 2.29 y, en consecuencia. para el
valor de la contracción tst se tiene:
(paraT = + 20 o C! )
(2. 12)
El coeficiente k, que corresponde al desarrollo en el tiempo de la contracciÓn, IIgura en
el gráfico para distintos "espesores aclivos" dw , por cuanto las estructuras de mucho espesor
se secan, y en consecuencia se conlraen, más lentamente que las delgadas. Para elementos
planos es d w = d = espesor de la pieza; para estructura de barras es válida la expresión (don·
de F
área y U
perlmetro de la sección de hormigón):
=
=
(2. 13)
.
,
Ubicación
de la
estructura
Hume ·
dad
latlva
amblen·
"
Valor final
de la conlracclón
e
Factor IInal de
Ituencia lenta
~o
a,o
para consistencias
Valor redocido de la
conlrac·
ción.
["Io[
K1
K2
K3
K1
K2
K3
,
,a,o
en agua
-
-
-
1, O
1, S
-
en aire
muy húmedo
90
5
- 10' 10-
5
- 15· 10-
1, S
2,2
- 5· 10
en general.
al aire libre
70
- 25· 10-5
5
- 37· 10-
2,0
3,0
- 10· 10-5
en aire
seco
40
_ 40'10-
3,0
4,S
5
- 15 . 10-
(rL A
5
- 60· 10
-S
-S
Fig . 2.28. Valor IInal de la contracción de fraguado asl como de la contracción reducida en funCIón de la
humedad relativa ambiente y de la consistencia del hormigón (segUn DIN t(),45: a 20 0 e para curado normal
durante 28 dlas).
29
•
O.'
O~
O.'
0.'
tiempo
o '----3;---7--~I~'--~'.~~~~~t,~I.fO~d~'.-'----~,
12
'ag
I
S arios
Flg 2.29. Coeficiente k. para el desarrollo en el tiempo de la contracción de Iraguado y de la !luencia la
T = 20· CJ en función del espesor activo d w del elemento estructural (segun DIN 1045).
'.0
"
'.'
'.'
1.0
r
'.'
'.-
1
'.1,1,
1 I
." r
endUfl 0,7
Cemento de
cimiento rapldo
L
• Cemento de endure·
cimiento lento
J
0,'5
"
O+-----____ __1'" _____ '.>
~
3
JO
100
7
14
28
~
log
,,~
Q
'SO 365 dlas
Edad a del hormlg6n al
comienzo de la carga para
T=20oC=C 1e
grado de madurez'
10000 log R
1000
Flg. 2.30. Coeficiente k, con8spondiente a la Inlluencia del grado de endurecimiento del hormigOn en luneiOn de la edad 8 o del grado de madurez R del hormigón al comienzo de la carga y dellipode cemento (s.
gún DIN 1045).
Suele ocurrir que distintos elementos estructurales puedan contraerse libremente duo
rante un cierto tiempo t, antes de que se los vincule entre 51. Cuando por causa de dicha vincu·
lación resulte impedida la continuación de la contracción de fraguado, se originan tensiones
inducidas por el impedimento de que se produzca la contracción por fraguado restante tJ. {s
Mediante el coeficiente kJ se obtiene para A lS:
(2. 14)
El calculo de las deformaciones por fluencia para tensiones constantes se efectúa me·
dlante el ya mencionado factor de fluencla 'PI, es decir:
a
~
k
~
b
!P
Eb
t
(2.9)
donde Eb es el módulo de elasticidad del hormigón determinado a los 28 di as de curado norma!
en prismas (en general. el valor de cálculo según DIN 1045 que figura en la tabla de Fig. 2.18).
Cuando la tensión 0b es variable puede admitirse aproximadamente el valor promedio entre los
valores inicial y final. siempre que la tensión final no difiera de la inicial en mas del 70 %.
30
El factor de fluencia 'Pt lo calcula la DIN 1045 mediante la expresión:
(2. 15)
El desarrollo de la fluencia con el tiempo es similar al de la contracción de fraguado y se
lo contempla mediante el coeficiente k z segun Fig . 2.29.
El coeficiente k¡ tiene en cuenta el grado de endurecimiento del hormigOn al comenzar a
actuar la tensión 0b que da origen a la fluencia (edad a del hormigón); aparece en Fig. 2.30. Para
temperaturas considerablemente variables y, en especial, para bajas temperaturas, ya no es
determinante la edad del hormigón sino su grado de madurez A:
R '" ¿:t (T+ 10)
(2. 1 (J)
donde t = numero de dlas con temperatura T
T
temperatura media diaria del hormigOn en o C.
=
2.9.3.7. E)(presiones para el cálculo de la contracción de fraguado y de la fluencia segun O/N
4227 (nueva edición de 1972)
La comparaCión de los valores de la contracción y la fluencia obtenidos por mediciones,
con los cálculos en la sección anterior mediante el procedimiento simplificado de la DIN 1045,
mostró algunas deficiencias, lo que condujO a proponer un nuevo procedimiento de cálculo [48]
para la DIN 4227 (nueva edición de 1972).
Las deficiencias son:
la influencia del espesor sobre el factor linal de fluencia no se tiene en cuenta (sólo se lo
inCluye en el desarrollo con el tiempo).
no se considera la influencia de la humedad relativa ambiente sobre "el espesor activo
del elemento".
no se tiene en cuenta la influencia del espesor sobre el coeficiente k¡, de la DIN 1045 (un
elemento de hormigón de mucho espesor fluye con el tiempo más que uno delgado).
no existe en realidad ninguna influencia del espesor en estructura bajo agua.
al desarrollo de la fluencia durante los primeros di as en la Fig . ~.29 se lo subestima.
La diferencia fundamental entre los procedimientos de cálculo para la determinación
del factor de fluencia ept de la OIN 4227 con el de la DIN 1045 reside en la separación de la delor·
mación por Iluencia en una parte correspondiente a escurrimiento y otra a la deformación elás·
tica diferida (ver Fig. 2.23), es decir:
(2. 17)
E)(isten otras posibilidades para tener en cuenta la división entre escurrimiento y como
portamiento elástico diferido. Para ello cabe referirse a los trabajos de Trost y lerna, quienes,
para el cálculo de los fenómenos vinculados con el relajamiento,introducen un "coeficiente de
relajamiento" [49]. En lo que sigue, aclararemos brevemente el procedimiento de cálculo segun
DIN 4227 (nueva edición 1972).
Para el cálculo del valor de la contracción de fraguada y del factor de fluencla se parte
del valor básico de la contracción (so Y del factor básico de fluencia <Po' que aparecen en la
tabla de Fig. 2.31.
La influencia del espesor del elemento estructural se conSidera mediante el "espesor
activo" d w, donde d w difiere del definido en la ecuación 2.13 (segun DIN 1045) por un coeficien·
te c, función de la humedad relativa ambiente, es decir:
d
w
=
2F
c-
U
(2 . 18)
donde: c = coeficiente según tabla de Fig. 2.31
F = área total de la sección de hormigón
U = contorno limite de zona de la sección expuesta al desecamiento.
31
•
Ubicación de
la estructura
Valor
medio
ds
(rLF)
la contracción
['l'o]
',0
Valor bhteo de
*¡
<
-
en el agua
Valor basteo del Coeficiente COfres
pondlente al esp6rrlmlento
sor actlvo
lactor de escu-
"o
*¡
,
5
+ 10 ' 10-
0,8
30
en atmósfera
muy humada
90
- 10 .
10. 5
1,3
5
en general
al aire libre
70
5
- 25 . 10-
2,0
1, 5
en atmósfera
muy seca
40
5
- 40 . 10.
3, O
1
") Para estructuras de hormigones con consistencias Kl '1 K3, los valores lU y 'Po debefan reducirse o aumentarse respecllvamente en un 25 '"l•.
Flg. 2.31. Valores básicos de la contraccIón de fraguado y dellactorde escurrimiento, para una consistencia K2, as! como lamblén del coeficiente e correspondiente al espesor activo (segun OIN 4227, nueva edl·
clón 1972).
Cuando un hormigón preparado con cemenlo normal endurece en una temperatura nor·
mal de 20° e , la edad real vale, sin modllicaciones,como "edad eficaz". Para condiciones distintas, aparece en lugar de la edad real la "edad eficaz" que se determina como sigue:
t
donde t =
T
z
kz =
kz =
kz =
w
•
.!.... tt
30
(T + 10)
{2. 191
numero de dI as con temperatura T del hormigón
= temperatura diaria media del hormigón en o e.
= coeficiente que tiene en cuenta la clase de cemen lo:
1,0 para Z 250, Z 350 L, Z 450 L
2,0 para Z 350 F, Z 450 F.
3,0 para Z 550.
Mediante la ecuaciÓn (2.19), se determina también la edad eficaz aw del hormigÓn, don·
de a w es la edad del hormigón a partir de la cual debe tenerse en cuenta la contracción o la que
corresponda al instante en que comienza la fluencia por aplicación de la carga.
El valor de la contracción de 'raguado t:sl correspondien te al periodo de tiempo
comprendido entre I
aw y I
Iw se obtiene mediante el coeficiente ks de Flg. 2.32, de la
ecuaciÓn
=
=
,
• e
" t
6,0
(k
s, t
- k
w
',' w
(2.20)
donde (s,o = valor basico de la contraCCión segun tabla de Flg. 2.3 1.
ks
coeficientes correspondientes al desarrollo de la cont raCCiÓn con el tiempo. de
Fig:' 2.32, en funcIón del espesor activo d w.
=
En dicha fórmula se entienden k s, t w y k s, a como las edades eficaces del hormigón al
fInalizar el perlada de tiempo analizado y para e1 Instante a w en el que la influencia de la
32
contracción de fraguado empieza a actuar, respectivamente . En la ecuación (2.19) se consideralá. kz
1.
El factor de ftuencia 'PI se compone de la parte de escurrimiento (deformación permanente) y la relativa a la deformación elástica diferida. Para un perlado de tiempo comprendido
entre t = aw y t
t w' es válida, para tensión constante, la siguiente expresión:
=
=
(2. 21)
donde:
'Po = factor básico de escurrimiento segun tabla de Fig . 2.31.
k, = coeficientes correspondientes al desarrollo del escurrim iento con el tiempo, que se to,... mará. del diagrama de Flg. 2.33 para la edad t w al flnallzar el perlodo de tiempo considerado
y la edad a w al aplicar la tensión constante en función del espesor activo.
kv = coeficiente correspondiente a la magnitud de la parte correspondiente a la deformación
elá.stica diferida, que se toma del diagrama de Fig . 2.34 para el perlodo (tw - aw )'
SI el perlada de tiempo (tw - aw) es mayor de 3 meses, por razones de simpllcldad y con
suficiente aproximación tomar kv = 1, con lo que la expresión (2.21) se reduce a:
(2.22)
Para variaciones bruscas de las tensiones, puede determinarse el valor resultante de la
def(H'maclón por fluencia, por superposición de tos valores parciales correspondientes a cada
periodo de tiempo en que actOa cada tensión.
Cuando tas tensiones varlan en forma continua, es posible, en lugar de soluciones exactas, utlllzar el promedio entre ta tensión inicial y la final (en principio estimada). Luego de efectuado el cálculo debe verificarse la coincidencia entre la tensión final obtenida y la estimada, y,
si es necesario, realizar un nuevo cálculo con la tensión corregida. Esta soluciÓn aproximada
sólo puede usarse siempre que la tensión final no difiera en más del 70 % de la inicial.
Si las condiciones climáticas varlan considerablemente luego 'de iniciada la contrac·
ción de fraguad o o de aplicada la carga. ello debe tenerse en cuenta dividi endo en distintos va·
lores básicos la contracción de fraguado (S,O Y también los valores básicos del escurrimiento
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k.
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Flg. 2.32. Coeficiente ks correspondiente al desarrollO en elliempo de la contracc ión de fraguado, en fun·
ción de la edad eficaz del hormigón 'w y del espesor activo dw (segun DIN 4227, nueva edición de 1972).
33
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I III
1000
I
I I II
tw
IIOL dlas
Fig. 2.33. Coeficiente kt correspondiente al desarrollo en el tiempo del escurrimiento en función de la edad
eficaz del hormigón t w Y del espesor activo d w (segun DIN 4227, nueva edición de 1972).
Fig. 2.34. Coeficiente kv co rrespondiente a la deformación elástica diferida en función del perlodo activo
(1\11 - awl (según DIN 4227, nueva edición de 1972) ,
2.10. Propiedades físicas del hormigón desde el punto de vista constructivo
2.10.1. Durabilidad del hormigón
Se entiende por durabilidad del hormigón contra acciones distintas de las cargas, entre
otras, las siguientes:
impermeabilidad al agua ,
resistencia a las heladas,
resistencia a agentes agresivos Qufmicos,
resistencia contra acciones mecánicas (frotamiento, desgaste).
34
Al respecto, en la bibliografia sobre "Conocimiento de Materia les", pueden encontrarse
numerosas referencias.
2.10.2. Conductibilidad térmica
El coeficiente de conductibilidad térmica..l., da la cantidad de calor que en una hora y pa·
ra una diferencia de temperatura 6.T = 1° C, atraviesa una superficie de 1 m2 y un espesor de 1
111. Depende del grado de hum e<J ad . del peso unitarIO (jel horrnlgón f.J y especialmente del contt'
nido de arena cuarcltica y su valor. para Q
2,2 a 2.4tlm l , una humedad del orden del 2 'lo en
peso, oscila entre..l.
1,0 yA
2,0 kcallmh oC. Para verificar la aisl ación térmica de techos y
paredes, de acuerdo con la DIN 4108 se utiliza el valor 1,75 kcal /mh oC y para determinar los
gradientes térmicos en secciones de hormigón valores de 1.2 Ó 1,3 kcal'mh oC.
Debe tenerse presente que el acero posee un coeliciente de conductibil idad térmica
mucho mayor (aproximadamente 50 kcallmh oC) que el horm igón . Ello puede conducir a dllerencias de temperatura entre las barras de la armadura y el hormigÓn que las envuelve. que se
traducen en tensiones de fisuraciÓn y en esfuerzos que afectan la adherencia .
=
=
=
35
•
3
Acero para hormigón
El acero utilizado para las armaduras de estructuras de hormigOn armado se denomina
"acero para hormigOn". Para introducir tensiones previas en el hormigón, es decir, para el hormigOn pretensado, se usa el " acero para prelensado" . los elementos individuales se denomi·
nan "barras" o " mallas",
Los aceros para hormlgOn se diferencian segun su:
Calidad: limite de Iluencia, resistencia a la tracción . .11 .ugamiento de rotura.
Superficie: lisa = rugosidad de trafilado. nervlII , Hl u~,
Sistema de fabricación: de dureza natural traillados = sin tratar, deformados en frlo.
Un lugar especial ocupan las que en dispositivos especiales se transforman en "mall as
de acero soldadas para hormigOn armado" y el " bi-Stahl" (dos barras con pequel'los travesal'los
soldados).
En la tabla de Fig . 3.1 figuran algunos de los aceros para hormigón admitidos por las
normas OIN 488 Y OIN 1045.
3.1. Clases y grupos de aceros para horm igón
las barras lisas sÓlo se fabrican con aceros de baja resistencia, mientras que los aceros de alta calidad se utilizan para barras con nervaduras normales al eje (sólo para B St
22134) u oblicuas al mismo (B St 42150 y SOI55), llamadas barras nervuradas o conformadas,
cuyo objeto es mejorar la adherencia con el hormigón .
Las barras que se usan para formar mallas soldadas, pueden ser lisas , ligeramente in·
dentadas -en la tabla de Flg. 3.1 no se las incluye- o nervuradas; los nudos soldados colaboran en la adherencia para ambas direcciones.
Los aceros de dureza natural (sin tratamiento) son aceros cuyas caracterfsticas de resistencia, luego del trafilado y enfriamiento al aire, se basan únicamente en su constitución
qulmlca (aleaciÓn). Poseen en general un elevado limite de fluencia /15.
Por deformación en frio, por ejemplo, torsionado, trafilado o estiramiento es posible aún para acero sin aleaciones especiales, aumentar su resistencia. Estos aceros deformados en fria
no poseen un limite de fluencla definido y se los clasifica según el valor de /10.1correspondiente
al limite 0,2 %; pierden sin embargo sus caracterlstlcas de alta resistencia para temperaturas elevadas. El aumento de resistencia ocurre únicamente en la dirección de la deformación;
en la dirección opuesta, la resistencia es menor (efecto Bauschlnger); es ast que, por eJemplo:
para oanas estiradas en fria, el valor lJo~ es menor a la compresión que a la tracción.
las barras de acero de alla resistencia para hormigón llevan distintas marcas identifi·
36
catorias, que permiten conocer al l abrlcante y el tipo de acero. Es asl que las barras de acero 8
St 22134 R llevan nervaduras dispuestas en ángulo recto, las de acero 8 St 42/50 U nervaduras
inclinadas y dos rectas, dispuestas en la dirección de la barra, las barras de 8 St 42/50 K nerva·
duras inclinadas y dos nervios longitudinales hendidos. Para dichas barras endurecidas por
torsión el paso del nervio helicoidal es del orden de 10 a 12 de, para barras endurecidas por esti·
rada, 100 de. Si el paso de las nervaduras longitudinales es menor de 7 de puede prescindirse
de las nervaduras transversales; en ese caso se origina el llamado efecto tirabuzón, utilizadc
en el acero Caron fabricado en Suiza, que es un acero de sección cuadrada torsionado en fria.
la identificación dellabricante y del pals del que en ciertos casos es Importado el acero, se obtiene mediante la disposición de 2 o 3 nervios engrosados ubicados a distancias preestableci·
das. Se llama la atención sobre el uso de aceros nervurados que no presenten dichas identifi·
caciones. (Es necesario en estos casos realizar ensayos completos segun DIN 488, Hojas 2 y 3.)
las secciones de las barras (Fe en cm l ) pueden obtenerse de tablas que figuran en los
manuales. Es necesario tener en cuenta que la sece,ión real puede ser mayor o aun menor hasta
un 5 % que la sección del circulo cuyo diámetro nominal es de' El diámetro ideal (mm] de los
aceros nervurados para hormigón se obtiene del peso G [g) de una barra de longitud 1 [mm) mediante la fórmula:
d
e
= 12 74
'
,rQ'
re
(3.1)
3.2. Propiedades de los aceros para hormigón
3,2.1. Resistencias
3.2.1.1. Resistencia a /a tracción
la resistencia queda definida por el limite de fluencia /1s y en los aceros sin limite de
fluencia definido por el limite 0,2 % (es decir la tensión para la cual la deformación permanen·
te es del 0,2 %). Cuando se define la calidad de un acero, por ejemplo, 8 St 22134, el primer valor
corresponde al limite de fluencia (kplmmlj, mientras que el segundo indica la resistencia a la
tracción. los valores de /1s y /1z que aparecen en la tabla de Fig. 3.1 corresponden a valores mI·
nimos garantidos; los valores reales pueden, sin embargo, especialmente para barras de pe·
quer"lo diámetro (6 a 10 mm), ser esencialmente mayores (ver también Fig. 3.6).
3.2.1.2. Resistencia a la fatiga
la resistencia a la fatiga /1F de los aceros para hormigón se determina como resistencia
pulsatoria intermitente o pulsatoria luego de 2 x 10' pulsaciones intermitentes a tracción, ya
que cargas oscilantes alternadas por tracción y compresión . rara vez se presentan . la Fig 32
muestra resultados con 8 St 22134 G y B St 42/50 K en probetas sin hormigonar.
la resistencia a la lallga (JF es esenclallllünte menor que la obtenida en un ensayo de
carga rápida. Valores determinantes de la fatiga sólo pueden obtenerse como resultado de en·
sayos con barras hormigonadas, Fig. 3.3. Para ello se considera como "amplitud de pulsación
soportable" 2 0a la diferencia de tensiones 00 - 0u, que para una tensión superior 00 = 0,8/102
admite 2 . 10' ciclos sin alcanzar la rotura. G. Rehm [501 y H. Wascheidt (51) desarrollaron mélo·
dos adecuados de ensayo que fueron adoptados por la norma DIN 488.
la FIg. 3.4 muestra los resultados de dichos ensayos: las barras curvadas admiten una
amplitud de pulsación 00 - 0u menor que las barras rectas; las nervaduras oblicu!is arrojaron
resultados aproximadamente un 20 % mayores Que las dispuestas en forma normal al eje de la
barra, por lo que se las exige para los aceros de alta resistencia.
37
BSt22 1 34RU
BSt 22 / 34 G U
Tipo de acero
B St 42 50 R U BSt 42 / 50 R K
Oesignación
BSt 1 G
Tipo de barra
acero
redondo
acero
nervurado
acero nervurado
liso
nervios
transvers ales
nervios incUnados
Conformación superficial
BSt 1 R
Tratamiento
BStlIlK
5 - 28
6 - 40
Umlte de Iluencla fJS o (J 0.2
2200 kp cm
Sz
3400 kp c m
Resistencia a la tracción
barras rectas
Resistencia oscilante
para20 a = 00 - 0u barras dobladas
O .. 15 de
Posibilidad de soldadura asegurada para
deformación de rotura
!{
1800 kp cm
1800 kp 1cm
- nervurado
1
HA ; al tope con aporte de malerlal
.. sin tratar
2
5000 kp / cm
2
2
2
2000 kp / cm
RA
E (para de !!!: 14.)
K
RA
2
2
RA, RP
E (para de >1 4)
10 %
".~
= conformado en frlo
E - por arco voltaico
Flg. 3.1. Tabla de aceros para hormigón segun DIN 1045'1 DIN 488
acero
redondo
acero
nervurado
"'"
nervios incUnados
4 - 12
2300 kp / cm
18
10
6 - 28
4200 kp l cm
2
RA
~
2
BStlVR
malta de acero
para hormigón
acero en barras para hormigón
Diámetro nominal de[mml
BSt IV G
con formado en frlo
sin tratar
Presentación
G ;hso
BStlIll
nSt 50/ 55 G K BSt5055RK
RP .. al tope por resistencia eléctrica
5000 kp / cm
2
5500 kp / cm
1200 kp / cm
1200 kp / cm
2
2
2
KA, RP
lO 12 mm
sOlo para d
e
8 %
La forma de las nervadura~ de las barras de armadura se determinó sobre la base de ensayos de fatiga [52]. Se demostró que las nervaduras transversales no deblan unirse con toda
su sección a las nervaduras longitudinales, como resultaba conveniente para el procedimiento
de laminaci6n, sino que era preferible que terminaran delante de las nervaduras longitudinales
con sus extremos en bisel. Además, las nervaduras transversales con una inclinación de 60°
con respecto al ele de la barra se comportaban mejor que las dispuestas normales al mismo.
Es as! como se llegó a las disposiciones de 105 aceros nervurados alemanes (Flg. 3.5).
Cada tipo de acero para hormigón deberla -aunque se lo utilice s610 en partes de
estructuras sujetas "principalmente a cargas lijas" (ver DIN 1055, Hoja 3)- admitir una ampli·
tud de oscilación de carga 2 0a;¡' 1000 kp/cm!.
Las barras que se utilicen en estructurós'sometidas a cargas pulsatorias que pueden re·
petirse más de 11('1.4 veces, deben admitir, en probetas según Fig . 3.3, para 2·10' reiteraciones
00 - 0u dadas en la tabla de Fig. 3.1.
de carga, lo~ valores de la amplitud de pulsación 2 0a
=
[kp/cm 2 ]
5000
SS, 22134 GU
ss,
,
Resistencia p
4000
/~
3000
."
E
/
1000
"
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b'
·1000
,,/
..... ,,3'm
•
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O
I
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--
1000
X'- J
¡./
Resistencia a
las oscllacione
13'1 , , /
13',
,
"
V
-
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V
G
V
2000
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V¡J l'
2000
iI
c;
" s~toria 2 o~
42f50RK
3000
O
1000
2000
• G"Q.G"!.!
2
m-
,
3000
G'm
LOOO [kp/cm 2]
Flg. 3.2. Resistencia pulsatorla 2 o, '" 00 - 0u para probetas no hormlgonadas para 2· 10" repeticiones
de carga en lunclOn de la lensiOn media 0m (Diagrama de Sml\h).
3.2.2. Caracterlsticas de la deformación
La Flg 3.6 muestra los diagramas tensión·deformación de algunos aceros solicitados
por tracción. Para compresión pueden admitirse con suficiente aproximación los mismos
diagramas.
Como valor del mÓdulo de elasticidad Ee de los aceros para hormigón puede admitirse
2.100.000 kp/cm! (para aceros deforrnados en fria su valor se reduce a 2.050.000 kplcm!).
Se entiende por "limite de elasticidad" la tensión hasta la cual las deformaciones son
proporcionales a las tensiones. En la práctic3,para los cálculos se considera como propor·
cionalidad hasta la tensión para ICi cual la defornlación permanente no supera el 0,01 % (deno·
mil1~do también, limite de proporcionalidad).
Para estimar la capa:::idad de deformación o ductilidad (ductility) se considera la defor·
mación de rotura di, {%j (ultima te elongation). La misma corresponde a la deformación pero
manente de una longitud de barra igual a 10 de en el ensayo de tracción. La misma incluye una
parte que corresponde a la estricción en la zona de rotura y otra constituida por alargamientos
plásticos en el resto de la lona de medición, la denominada deformación uniforme. Esta última
corresponde aproximadamente a la deformación para 0e = ~z que aparece en Fig. 3.6 Y su va·
lor, según sea el tipo de acero, vana entre 4 y 20 % .
Para establecer la facHidad de doblado en obra son determinantes los ensayos de fle·
xión (bendin,q test) . las barras de B SI 22134 G U deben satisfacer el ensayo de plegado o; 180 0
Sobre mandrilflS de diametro 2 de sin que aparezcan lisuras. las barras de todos los aceros res·
39
Bn 250
()'o' 0,8 ~O,2
Corte 1-1
.L
anclaje mediante trozo S
de barras. soldados <:::
d : ¡Sd.
08 026
1
1~
T
-1'--- - - 150 -t+
_
____
k
Fig. 3.3. Probeta para determinar la amplitud de pulsación 2 o. en barras hormlgonadas. dobladas segUn
DIN .ss, Hoja 3.
4000
~
u
-
3000
'6
2000
""~ .......
~ ----
n
~
1"----.......
¡/j
"o
b
1000
N
o
10'
/
con barras rectas sin hormlgonar
barras rectas
dobladas de
d.IOd.
barras
hormigonadas
dobladas de
d . S d.
2 .10 6 ] .'0 6 N° de repeticiones de carga
Ag. 3.4. Diagramas de W6hler de barras hormlgonadas de acero nervurado para hormigón, en probetas de
acuerdo con Fig. 3.3 1501.
1
Flg . 3.5. Distintos tipos de barras nervuradas para hormloón, según OIN 1045.
40
SS,
mu 1
,/
-
P,
F1Q.. 5..28. Forma de ¡as trayectorias de tensIones en una viga de gran altura , par. cargas superior e Inlerlor.
FIg. 5.29. Aspecto de la fisuraclón en vigas de gran altura,par. cargas superior e Inferior [88J.
sea resistente al resbalamiento o también a la flexión, se obtiene una estructura pleg9.da (laminas plegadas) .
.
Estas estructuras plegadas pueden estar formadas por rectángulos anchos o angostos
(estructuras plegadas prismáticas), por triángulos. por hexágonos, etcétera, lo que perm ite 01).
tener formas variadas (ver Flg. 5.2). Su capacidad de carga la alcanzan, en general , recién cuando sus bordes resullan rigldlzados mediante láminas transversales o pórtiCOS transversales,
de modo que el angulo de plegado en los bordes no pueda modificarse.
Las estructuras plegadas se comportan transversalmente a las aristas como losas y en
la dirección de aquéllas, como laminas. En las aristas las deformac iones son respectivamente
iguales, por lo que los elementos se rlgldlzan entre si de modo que las aristas actúan como
vigas resistentes a la flexión. La capacidad de carga de estas " cuasi vigas" j::lepende de la relación entre la altura y la luz de la estructura plegada.
81
tantes deben soportar el ensayo de plegado alternado, plegando primero a 90° en un sentido y
luego en el opuesto 20° sin que se produzcan ni fi suras ni roturas.
En este caso las barras, luego del doblado a 90° deben someterse durante media hora a
una temperatura de 250° C (eventualmente es suficiente someterlas a solo 100° e). El replegado de 20° se efectúa una vez enfriada la barra. En la tabla de Flg . 3.7 aparecen los diámetros de
los mandriles a usar en este último ensayo.
El coeficiente de dilatación térmica aT para el acero es en promedio el mismo que para
el hormigón (ver Cap. 2).
1
o.T " 10 ·1 0 - 6 [ l / o C.
3.3.1nfluencla de la temperatura sobre las propiedades de los aceros para hormigón
Para muy bajas temperaturas el acero se vuelve frágil, especialmente en las zonas con
entalladuras.
La resistencia del acero a la tracción aumenta hasta una temperatura de 250° e, pero el
limite 0,2 % Y el de fluencla, sólo lo hacen hasta más o menos 100° e. Ambas propiedades dis·
minuyen mucho y muy rápidamente si la temperatura continúa aumentando sobre los valors in·
dlcados (ver Flg. 3.8) . Por ello, las temperaturas mayores de 350° e son peligrosas para las
estructuras, lo que debe tenerse presente en lo que respecta a la resistencia al fuego de acuer·
do con la DIN 4102.
Si, luego de un calentamiento algo mayor de 400° C, ocurre un enfriamiento lento, en el
caso de dureza natural se recupera la resistencia en un valor aproximado al original. Para un
enfriamiento brusco, en cambio, el acero se vuelve frági l.
Su deformabilidad disminuye considerablemente entre 150° y 350° y por ello las barras
deberfan doblarse a temperatura normal o muy alta (600° ).
Los aceros con tratamiento mecánico (tratados en fria) pierden su resistencia aproximadamente en la misma relación con la temperatura que los aceros de dureza natural , pero luego
del enfriamiento, no la recuperan o sólo lo hacen en parte. Para determinadas temperaturas ex·
perimentan también modificaciones en su estructura Interna, lo que puede significar peligro de
rotura frágil 154].
•
El coeficiente 'de conductibilidad térmica 1 del acero es .l. = 50 kcallmh o e (ver Sección
2.10.2).
o
eSt 50/55RK
700 O
."'"
\000
--
¡..-
p
..".
BS! 41'SO RU
-... t-..
')
e SI 4//50 RK
~
E
r-..
""
P", -
~
~
~
o
''''''
--
lOOO
I
es! 22134GU
y RU
-
i'-
~.
..
I
100 O
O
O
2
, , •
,
I
E
10
12
"
20
j
O, S
E.
1,0 [',. [
Fig. 3.6. Diagramas tensiÓn·delormaciÓn de algunos aceros para hormigón.
41
ro y azufre, de modo que no es aconsejable la soldadura por arco voltaico, debiendo emplearse únicamente la soldadura al tope.
Los aceros tratados en 'rro B SI 42/50 K Y B St 50/55 K muestran una dispersión en su
constitución muy reducida, porque de lo contrario, la deformación en frlo y el deseado aumento
de resistencia no serian posibles. Por ello, por regla general, son más apropiados para soldadura al tope o por arco voltaico.
En DIN 488 Hoja 3 figuran indlcacior:es para la ejecución de ensayos de soldadura. Para
la ejecución de uniones soldadas véase DIN 4099 y el prefacio " Fundamentos constructivos".
43
4
El material combinado "hormigón armado"
4.1. Comportamiento conjunto del acero con el hormigón
El hormigón armado debe sus favorables caracterlsUcas para ser usado en estructuras
a la unión resistente al resbalamiento entre el acero y el hormigón. Mediante la adherencia
(bond) se asegura que, en primera aproximación, las barras de acero experimentan las mismas
deformaciones especificas ( que las libras vecinas del hormigón . Considerando que la deformación limite por tracción, [bZ
0 ,15 a 0,25 ' 10 ) es reducida, para sollcilaciones por tracción
más elevadas, el hormigón se fisura, por lo cual, la armadura de acero debe absorber los es·
fuerzas de tracción. la adherencia debe entonces actuar, de modo que el espesor de las fisuras permanezca reducido, es decir que se pueda hablar de fisuras capilares. Dislingulremos
dos estados para el material hormigón armado:
=
Estado 1.
Estado 11.
La zona de tracción del hormigón no se encuentra fisurada, de modo que el hor·
migón también absorbe tracción .
La zona de Iracclón del hormigón presenla numerosas fisuras ; los esfuerzos de
tracc ión deben ser absorbidos en su totalidad por la armadura .
El comportami ento conjunto del hOrmigón con el acero en ambos estados se aclarará a
continuación, tanto enun prlsma de hormigón armado sujeto a solicitación axil de Iracclón como en una viga.
4.1.1. La adherencia en la barra fraccionada de hormigón armado
La barra de hormigón armado se encuentra solicitada en los extremos de la barra de aro
madura, ubicada segun el eje, con las fuerzas de tracción P(Fig. 4.1). El esfuerzo de tracción en
el acero vale, en dichos lugares, le = P, la tensión en el acerooeo = ~Fe Y las correspondientes
deformaciones especificas leo = oeo/E. En los extremos de la barra de hormigón armado, la
adherencia obliga al hormigón también a deformarse y a colaborar en la absorción de la fuerza
de tracción; 0e y le disminuyen, lo que origina un esfuerzo de tracción en el hormigón Zb con
sus correspondientes 0b y lb, A partir de una longitud de transferenCia le las deformaciones de
ambos materiales se Iguala n, es decir (e
lb. En dicha longitud de Iransferencia te actuan en
la superficie de la barra de acero tensiones de adherencia TI' cuya distribución no se conoce
con exactitud. Al comienzo de te, crece T¡ hasta alcanzar un valor que, para 0e elevadas, alean::a el valor de la resistencia a la adherencia fJT1 y luego disminuye rápidamente (Fig. 4.1, diagrama de TI) ' Entre ambas longitudes te no actúa ninguna tensión de adherencia (TI
O), porque
0e Y 0b no varlan.
=
=
44
diámetro de los mandriles
para barras. de delmml
Tipo de acero
;!!;
12
B St 22/34 R U
4d
BSt 42/50 R U,
BSt 42/50 R K
5d
BSt 50/55 G K
-
BSt50¡55RK
4 d
14 hasta 18
20 hasta 28
30 hasla 40
5d
7d
10 de
e
e
6d
e
e
e
8 d
e
-
e
-
-
-
-
-
-
Flg. 3.7 . Oiamelro de los mandriles para el ensayo de plegado alternado.
7000
~z
-,
'000
N
E
~
~
~
N
"'N
5000 f--~q,
4000
2000
,~
......
lODO
°°
100
200
Flg. 3.8. Influencia de la temperatura s.obre
lOO
fIs
8st
mK
~,
........
~s
~
"'-
.
1\"
.... t::---.'
P,
3000
Ó
"'-
.....;..
8 SI 1
"
,~,
r--..... "
'00
'iOO
---
T
600 [oc]
o {J•• I y fJz para los aceros para hormigón I '1111 K [53].
3.4. Aptitud para la soldadura de los aceros para hormigón
A los aceros utilizados en el hormigón armado no se los funde teniendo en cuenta su apliIud para ser soldados. Cuando su constituciÓn es desfavorable, el efecto de la alta temperatura y el enfriado rápido pueden originar endurecimientos '1 una disminuciÓn de su deformsblli·
dad, flsuraclón en caliente y para aceros tratados en frlo, reducción de su resistencia. Por ello,
'1 como medida de precaución deben preverse en cada circunstancia distintos métodos de sol·
dadura, que en casos Importantes debe elegirse el adecuado mediante ensayos de soldadura.
G. Rehm ha descrito en (54J minuciosamente la aptitud de los dlstintoCj aceros alemanes para
ser soldados.
B St 22134 es en general apto para soldadura al tope, y según sea su contenido de carbono, también para soldadura en arco. El B St 42150 U, de dureza natural, posee un contenido de
carbono favorable, pero también hay que contar con la presencia de Irnpurezas como ser IÓ510-
42
En la zona de transferencia, la condición de equilibrio en un elemento de longitud dx es
,
="
donde u
i2I = perlmetro de la barra de armadura,
Fbn = Fb - Fe = área neta de la secctón de hormigón.
= área total de la sección de hormigón .
Fb
Corte m - m
<3',,t p
+
, I " :.¡¡....
-t- dIO:
~.,.I <3'"
<>'.
1
+-,,-+
I
1
I
I
1
I
1
1
1
't t
•
G',
=
G'b
E,
I
1
["lltII:I ~¡¡ 'i' fF.III~1
I
'.
I
a.
'.
E.
1
tlO:l
Flg. 4.1. DistribuciÓn cualitativa de las tensiones
(Ulac\o 1) para tracción axll.
0.>
0b Y T, en un prisma de hormigón armado sin lisurar
'e
la tensión en el acero disminuye en la longitud de "eo a "e,. En el extremo de la long l·
lud de transferencia
el esfuerzo de tracción Zb transferido al hormig6n vale:
'e
Zb " (a eo - ae1 ) Fe "
!"
1'1 (x), U· dx " abo F bn
(4.2\
En la práctica se admite un vator medio Tlm para la tensiÓn de adherencia , por lo que es
posible simplificar la expresión anterior como sigue:
Z
b
~
1'
1m
·u·t
e
" ab'F
bn
14. 3)
Entre ambas zonas de transferencia, para el estado 1,Ias tensiones "e y "b se determinan
mediante una condición de equilibrio y otra de deformación:
equilibriO
(4.4 )
deformación
14.5)
45
Para tensiones bajas 0b < flbZ, ambos materiales 58 compurtan casi elásticamente, es
decir Que son válidas:
(4. 6)
De donde, para el estado I resulta:
(4. 7)
donde el valor n = EelEb, relaciOn entre los mOdulos de elasticidad de ambos materiales, va·
rla entre 6 y 10, de acuerdo con la calidad del hormigÓn. En el estado 1, las tensiones en el
acero mantienen un valor reducido, y para un hormigón Bn 550 pueden alcanzar un valor de
n 0bZ = 6 ' 60 = 360 kplcm' .
la tensiÓn 0b en el hormigÓn se obtiene reemplazando la Ec. (4.7) en la Ec. (4.4):
I
•
F, + a b . F
bn
p
p
;1'F'b-n-'+C:n:-iF',---¡-· F i
14. 8)
A Fila denominaremos sección ideal:
(4.9a)
Para el estado I en la secciÓn ideal FI pueden calcularse las tensiones en el hormigón y
en el acero como si se tratara de un material homog&neo.
Utilizando la cuantla de armadura 1.1 = FeJFb, es posible también eKpresar F¡ en lit forma
siguiente:
Fi • Fb
+ (n - 1)
!o'e "
[1
+ (n - 1) \.1] Fb
(4. 9b)
Si al aumentar la carga , la tensión en el hormigón o~ = P/F¡ alcanza el valor de la resiso
tencla a la tracciÓn PbZ, el mismo se lisura en las zonas débiles de su estructura interna (Fig.
4.2).
En correspondencia con la lisura , la barra se halla entonces en el estado 11. Al producir·
se la fisura, el esfuerzo de tracciÓn Zb, r = PbZ . Fbn que hasta ese momento absorbla el hormigón en la fisura, se transf iere a la barra de acero, aumentando instantáneamente en dicho lugar la tensión a 0eo = PIFe, por cuanto en la fisura SÓlo trabaja el acero. la adherenc ia actúa
en forma tal Que, tanto 0e como 0b, en la fisura, no varlen bruscamente, sino mediante curvas
sobre nuevas zonas de transferencia
en las cuales, actúan nuevamente las tensiones TI' Que
sin embargo, cambian en la fisura su dirección y con ello de signo.
Al continuar aumentando la carga, se originan más lisuras, cuya separaciÓn depende
del grado de adherencia, porque ai lado de una fisura y a lo sumo dentro de la longitud de transferencia
'e
•e
(4. 10)
puede alcanzarse nuevamente el esfuerzo de tracciÓn Zb, r requerida pala que continúe la fisuraciÓn. En la Ilg. 4.2 aparece rayada la distribuc!on cualitativa de las tensiones entre fisuras.
46
Fisuras
1
,
Corte 1·1
p-+~.
_----1±_+L------1t-PF.~
I
Flg .•. 2. Distribución pe las tensiones "e, "b YT, en un prisma de hormigón armado Ilsurado(estado 11)5011'
cllado a la tracciÓn 8l(1I.
4.1.2. La adherencia en vigas de hormigón armado
Cuando se carga una viga, el hormigón colabora en la zona de tracción hasta tanto la
lenslón por flexión en el borde 0bZ. no alcance el valor de la tensión de roJura a la tracciÓn por
rrexlón, es decir 0bZ < ~bZ (Estado 1), (Flg. 4.3). Dado que, nuevamente se dabe tener le = lb, las
tensiones en el acoro resultan en consecuencia 0e = nOb, donde 0b correspon$1e a las fibras
del hormigón ubicadas a la misma distancia Ye del eje barlcéntrlco que la barra de armadura.
las tensiones de flexión para el estado 1pueden calcularse como en el caso de una viga
de material homogéneo, pero ulilizando el momento de inercia Ideal Ji de la sección ideal Fi.
las tensiones en el hormigón en el borde Inlerior dela sección originadas por el mamen·
to flexor M resultan, por ejemplo:
(4.11)
y las tensiones en el acero a una dislancia Ve del eje baricéntrlco:
1
a
•
n M· y
• ----'.~
JI
•
(4. 12)
Al aumontar el momento flexor M, necesariamente deben crecer las tensiones de lIexlón
Ol( en ambos materiales, es decir, 08 y 0b. Además, en el estado 1deben aparecer tensiones de
adherencia T, porque la sección de acero homogeneizada n Fe debe, en cierto modo adherir a
la sección de hormigón. Estas tensiones T1 dependen de d M/dx = Q , es decir del esfuerzo de
corte (ver Cap. 8).
la primera fisura de flexión aparece en la zona del máximo M, por lo que la sección en
correspondencia con la fisura se encuentra en estado 11. la parte activa de la sección está
47
constituida solamente por ta zona comprimida por flexión FbO y las barras de acero Fe (Fig .
4.3). La tensión en el acero se obtiene del esfuerzo de tracción le = Miz en las barras mediante:
Il
Ze
M
"e • -F- " z¡¡;-
e
(4. 13)
e
donde z es el brazo elástico, es decir, la distancia entre el esfuerzo de tracción le y la resultante de compresión Db. Directamente a ambos lados de la fisura actuan en ambas direcciones
tensiones de adherencia TI sobre las longitudes de transferencia le, análogamente a lo que
ocurre en la barra tra~clonada en Fig. 4.2. Al producirse nuevas fisuras se repiten dichos picos
en la distribución de las tensiones de adherencia. las tensiones (lb en el hormigón de la zona
de tracción varlan entre (lb = O Y (lb < fJbZ.
Al aumentar la carga de PI a PJ se originan más lisuras, aun en las zonas en que los momentos disminuyen. Para estados de carga muy elevados, una viga de hormigón armado
muestra fisuras en casi toda su longitud, y por ello, prácticamente se encuentra en su totalidad
en estado 11. la adherencia resulta fuertemente comprometida en cada una de las fisuras.
Es fácil de entender la gran importancia de una adherencia muy buena para las estructuras de hormigón armado.
4.1.3. Orlgenes de las tensiones de adherencia en las estructuras portantes
Las tensiones de adherencia aparecen en cuanto, en un determinado entorno, varlan las
tensiones en el acero. Ello puede ser originado por las. siguientes causas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Las cargas: producen variaciones de tracción o de compresión en el acero.
Fisuras: tienen como consecuencia altos picos localizados de las tensiones de adherencia.
Esfuerzos de anclaje en los extremos de barras: el esfuerzo en la barra debe transferirse
al hormigón por tensiones de adherencia.
Variaciones de temperat ura: por ejemplo en incendios, el elevado coeficiente de conductibilidad térmica del acero origina un calentamiento rápido de las barras de acero en
contraposición con el hOrmigón; quieren alargarse más que el hormigón lo que es impedido por la adherencia hasta que las tensiones de adherencia alcanzan un valor tan elevado
que salta el revestimiento de la armadura.
Contracción de fraguado del hormigón : resulta impedida por la armadura, lo que da origen a tensiones de compresión en ésta y de tracción en el hormigón.
Fluencla del hormigón en elementos comprimidos de hormigón armado (columnas) : por el
acortamiento por lIuencia, las barras de la armadura reciben tensiones adicionates de
compresión y el hormigón se descarga .
4.2. Forma de actuar de la adherencia
4.2.1. Tipos del efecto de adherencia
4.2.1. 1. Adherencia por contacto
Entre el acero y el mortero endurecido de cemento existe un efecto de contacto basado
en la adhesión o en fuerza s capilares, que depende entre otras causas de la rugosidad yestado
de limpieza de las armaduras de acero. Por si solo, no basta para asegurar una buena adherencia y se destruye para pequenos corrimientos_
4.2.1.2. Adherencia por rozamiento
Desaparecida la adherencia por contacto, el mlnimo desplazamiento relallvo entre acero y hormigón origina una resistencia por rozamiento, siempre que existan presiones normales a
la armadura. Estas presiones transversales pueden tener su origen tanto en tensiones de
compresión debidas a las cargas, como a la contracción de Iraguado o al hinchamiento del hor-
48
I
P
~
lA
:I i,
1 .,¡------,-- T
, I
1
P
~
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fisura
L
--'---'---f+- ____ -} ___+B
I
Tensiones en el
1
I
p&<'
1I \/\!--t
V
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I
I
I 1
I
M ,.
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J,
-
I
1
ac~ro ~t para PI
I
I
I
I
I
I
I
Tensiones en el hormigón al nivel Ye
,
1
G"b:::
II
I
I
-¡--I
IIII ~
~
'
1
I
1 1
I
PbZ
para elescalóndecarga PI
G'b para el escalón de carga
P2 > PI
1
I
I
1
Tensiones de adherencia 1
ti
I
II
1 I
1 I
Momentos lIexores
I
Estado I
M
1
I 1
Esfuerzos de corte a
Q:
Flg. 4.3. Distribución de tensiones
0,.0b Y
TI
o
en una viga de hormigón armado para 10$ estados t y 11.
49
mlgón . El coeficiente de rozamlonto, como consecuencia de la rugosidad superficial del acero,
es elevado (¡A = 0,30 a 0,60).
La Ilg. 4.4 muest.a las grandes diferencias de la rugosidad de las superficies de acero
redondo oxidado y recién laminado, asl como también de alambre trafilado, aumentadas 36 ve·
ces. La oxidación origina una rugosidad tal que da lugar a un endentamlento mecánico y con
ello adherencia por corte.
. '
la adherencia por rozamiento conduce a un efecto de adherencia aceptable sólo cuando la presión transversal actúa en forma sistemática.
acero radondo oxidado
acero .adondo roclen laminado
-
alambre tralilado
Flg. 4.4. Rugosidad superllclal .umentada 36 veces (según [55]) .
•. 2. 1.3. Adherencia por corre
Cuando se trata de un endentado mecánico de tipo de enclavijado entre la superllcle del
acero y el hormigón, deben, en primer lugar, romper por corte las "ménsulas de hormigón" que
se forman 8fltre las salientes de la barra, antes que ésta pueda deslizarse en el hormigón (Fig .
4.5). la resistencia al corte constituye el tipo de adherencia más efectivo y seguro, y por otra
parte, necesaria para poder utlllzar tensiones elevadas en el acero. Normalmente se obtiene mediante nervaduras producidas durante el Il'lmlnado (acero nervurado), pero también se obtiene
mediante barras de sección adecuada sometidas a una fuerte torsión (por ejemplo barras
cuadradas en el denominado acero Caron), que actúan con efecto de sacacorcho yen las que
el paso, para el caso de rugosidad natural de laminado,debe ser" 7 0 .
En el caso de barras nervuradas, la magnitud de la resistencia al corte depende de la lar·
ma e inclinación de las nervaduras, de su altura a y de su separación C. G. Rehm ha descrito
dichas dependencias en {57) y ha demnstrado que la denominada "superficie nef\lurada relativa" IR constituye un patrón práctico para comparar barras con distintos tipos de nervaduras.
Dicha superficie nervurada relativa constituye la relación entre la superficie de las nervaduras
FR, que es Igual a la superficie extrema de la consola de hormigón en contacto con el nervio, y
la superficie lateral FM del cil indro de hormigón que rompe por corte.
Para una nervadura Ideal anular, según Figs. 4.5 y 4.6, se tiene:
(4.14 )
Para nervaduras en rnedia luna o Inclinadas (Fig. 4.6), que conducen a una resistencia a
la latiga mayor que las nervaduras anulares se deben considerar las proyecciones de la superficie de las nervaduras.
Tratándose de aceros comunes para hormigón usuales que responden a la DIN 488 se
tiene una superficie nervurada relativa IR que varia entre 0,065 y 0,10; fR no deberla ser mayor
de 0, t5, porque si no la resistencia de las consolas de hormigón no podrla ser aprovechada
(Flg . 4.5 b).
La superficie de rotura por corte de las consolas de hormigón, por tratarse de un mate·
rlal frágil, es una superficie endentada (Flg. 4.7) según las direcciones principales de tracción y
compresión (ver Fig. 4.7 b Y también c segun E. Mórsch 11)) . Es decir que la rotura por corte se
inicia por una rotura por tracción en la dirección de las tensiones principales de tracción, continuando con un desplazamlenlo transversal con fisuración en el hormigón vecino hasta que se
establezca un deslizamiento relallvo entre tos dientes.
50
/
/ //
; , /,'
Efecto de agrietamiento
/
'4'/ / ' / -:/. /.
f /'
,/
/.
/
_z
Separación grande entre nervaduras (fA < 0,10)
"/
/"//,,/,,
".
/,/
,
'
..J!.
/ ~
~
_
al barra nervurada Ideal
Separación pequena
entre nervaduras
(fA
> 0,15)
_ z
b) superficies de roturade
las consolas enlre nervaduras
Flg. 4.5. Aclaraciones de las caracterlstlcas de una barra Ideal, con nervaduras anulares y posibles superfl·
cles de rotura de les consolas de hormigón entre nervaduras [56].
F.
Neryaduras anulares
Neryaduras en media luna
Flg. 4.6. Superficie FA de las nervaduras anulares'y en media luna.
,,
1Tracción
~
~
z.
/:
Tracción
~
- - - - Trayectorias de tracción' "
- - - - - Trayectorias de compresión
Trayectorias y superficies de rotura [56J
a) para gran separación de ner·
yaduras
b) para pequel'la separación de
nervaduras
e) Superficie de rotura
por corte según E.
MOrsch 11].
Flg. 4.7. Distribución cualitat iva de las tensiones principales y superficies de rotura en las consolas de hor·
mlgón entre nervaduras anulares.
51
4.2.2. Ley de 18 deformacl6n por adherencIa
4.2.2.1. Descrlpcl6n cualitativa de 18 deformacl6n por
adherencia
En la teorla utilizada para el dimensionado del
hormigón armado se admite, groseramente, la vall·
dez de lb
[e aun para el estado 11, es decir que no
existen desplazamientos relativos entre acero y hor·
migón. Ello es correcto para muchos tramos entre fl·
suras. Sin embargo, en las fisuras y entre ellas. se
producen desplazamientos relativos A entre ambos
materiales, en parte porque se pierde la adherencia
por contacto, y también por deformaciones y fisuras
secundarias en las "consolas de hormigón" o "endentados de hormigón" entre nervaduras por adherencia por corte_ Ello ha sido verificado por Y. Gato
(57] Inyectando tinta roja en el hormigón en las cercanras de las barras nervuradas tracclonadas, luego de
la flsuraclón (Flg. 4.8). De esta forma fue posible verificar la existencia, entre las fisuras principales, de fisuras secundarlas Interiores en cada nervadura
transversal, y deformaciones en el endentado de hormigón, asl como también una considerable pérdida
de adherencia (Fig. 4.9).
las fisuras secundarias cambian su Inclinación, entre dos fisuras principales, lo que se corresponde con el cambio de signo de la tensión de adherencia (ver Ilg. 4.2). En una fisura principal, el primer
diente de hormigón rompe en mayor o menor medida
en cada dirección; la adherencia por corte, para elevadas solicitaciones se destruye en una pequen a
longitud, lo que trae como consecuencia un aumento
del espesor de la lisura. Luego de 10.000 ciclos de
c"rga entre o. = 500 Y 2000 kp/cm J , la tinta. roja se
habla distribuido sobre casi la totalidad de la superfl·
cie de la barra; en consecuencia, la adherencia por
contacto se habla destruido, actuando únicamente
la adherencia por corte.
Los desplazamientos 6 se originan prlnclpalmente por deformación del endentado del hormigón ,
y son función de la tensión de corte TI' de la superfi cie relativa de la nervadura fA, y de la resistencia del
hormigón . La relación T I /6 puede considerarse como
resistencia por adherencia (Flg. 4.10). La gran peno
diente inicial del diagrama 11 6 corresponde a la
adherencia por contacto, la parte inclinada a la adhe·
rencla por corte y la parte extendida, que para barras
laminadas lisas es muy pronunciada, representa la
adherencia por rozamiento. Si el diagrama TI·6 es horizontal o declina, eUo significa que la adherencia ha
sido destruida y la barra desliza como consecuencia
de una res lstencla insuficiente por rozamiento.
G. Rehm ha Investigado exhaustivamente es·
ta relación, y menciona una " ley fundamental de la
adherencia" (55). Los diagramas T\ ·6 asl como la resistencia por adherencia y la rigidez por adherencia ,
se determinan por "ensayos de arrancamiento" .
=
Q
I
' :
JO
r-----'
I
L____ _
Flg. 4.8. Mlcroflsuras en la zona de
hOfmigón vecina a una barra nervUfada (segUn Y. Goto [57]).
52
Trayecto·
rias de las
tensiones
prinCipales
de compre'
sión
Medición del desliza·
miento relat!vo .1 entre
el extremo de la barra y
la probeta
PreslOn transversal debida
'a
clOnla derestrlc·
la deformaclOn
transversal
~~f';l~ ~~:::t
p
p
al Probeta Inadecuada, mostrando es·
Quemáticamente el efecto de bóveda
y la presión transversal
b) Probeta segun
Rehnl (551
G.
cl Probela según las Recomendaciones
de
RI ·
lEMICEBlFIP 1581
r"
L
Flg. 4.11. Probetas para el ensayo de arrancamiento y las correspondientes distribuciones de las ten·
siones de adherencia sobre la longitud I v.
La presunta distribución de T, sobre la longitud de anclaje de Fig . 4.11 muestra que con
ello, sólo en el caso de la probeta b) se obtiene un valor cercano a 11 max =:: (h,; para al y C), 1 1 m
queda muy por debajo de la resistencia por adherencia. Por otra parte, los valores de 1 , m son
salisfaclorios a los efectos comparativos y como base para los calcu las.
4.2.3. Resistencia a /a adherencia
Para el dimensionamiento se ha definido como valor de cálculo de /a resistencia por
adherencia TIR. a la tensión de a:1herencia a la que corresponde un deslizamiento del extremo
libre de la barra con respecto al hormigón de Il =:: 0.1 mm. Teniendo en cuenta la correspondiente fuerza P (6. =:: 0,1) se tiene:
T
IR
•
P(t:.=O,l)
u· t
(4, 16)
v
En realidad, la resistencia real por adherencia, especialmente para adherencia por coro
te, es mucho mayor y puede llegar hasta 2 veces el valor de cálculo, en cuyo caso pueden
ocurrir deslizamientos de hasta!J. =:: 1 mm. Teniendo en cuenta la gran dispersión de los valores de la adherencia, se recomienda, sin embargo, utilizar para el dimensionado un valor de
cálculo bastante alejado de {Jn.
4.2.3.1. Influencia de la calidad del hormigón sobre le resistencIa por edherencla
Los ensayos de G. Rehm 1551 han demostrado que, con suficiente aprox imación, puede
admltirse una relación lineal entre {Jyl y {Jw.
54
4.2.3.2. Inlluencia del perfilado de la superllcle y del dMmetro de /85 barras
la Flg. 4.12 muestra la Influencia de la superficie de la barra, especialmente la de la superficie nervurada relat;va fA.
De acuerdo con la Fig. 4.13, el diámetro de de la barra Influye poco sobre el valor de Tlm.
Sin embargo, las barras delgadas son preferibles a las gruesas, porque la secciÓn y con ello el
esfuerzo le que soporta, crece cuadrátlcamente con el diámetro (de!), en cambio el perlmetro u
lo hace linealmente. Disminuyendo el diámetro de de la barra a la mitad (para un mismo T¡m
sobre la longitud IJ. 1), puede ser utilizada para una tensión 0e doble.
dirección del hOrmlgonado ,
,mbo"
c:J i,m ~ I
tlRfl!w
I
+-lOd,--.f-
O,"
•
0,20
,.,..: V,
•
f
0,200
I
'
O,IS
0,10
0.05
mpotramlento vertical
L.
,
A
v..
"
V·
I
•
I
0.100
'.
0,12
ope
O
FIg. " .12. Influencia de la superficie nervu·
rada relativa fR sobre el valor de cálculo de
la resistencia a la adherencia relsl lva TIR
para longitud de anclaje I v = 10 de constante.
I
empotramiento horizontal
- -¡-.-::!:..
,
)
o
I
,
t
~I
I
I
I
I
O+-+-l-l--I--..J.J---4 '.
O 7 14 20 28
4042
t>O [mm]
r.
Flg. 4.13. Influencia del diámetro de la barra
de sobre la ten$.lÓn media de adherencia
lativa para'" = 5 · lO 1, 'R = 0,065,
cm, Pw = 225 kpJcml (561.
'"1 = 14
4.2.3.3. Influencia de la posición de la barra, al hormlgonar
En lo que respecta a la calidad de la adherencia, es Importante el hecho de que las
barras, al hormlgonar, estén dispuestas horizontalmente o verticalmente, asl como su distancia al encofrado. Debido al asentamiento del hormig6n fresco, se Junta debajo de las barras al·
go de agua, que posteriormente es absorbida por el hormigón , formando oquedades o numerosos poros (Flg. 4.14).
La calidad de la adherencia puede, por ello, reducirse hasta menos de la mitad del más favorable valor que corresponde a las barras verticales; la reducción depende de la relación aguacemento, de la dIstancia de la barra al encofrado o también de la capa de hormigón hormigona·
da previamente (Flg. 4.15). Estas grandes diferencias deben ser tenIdas en cuenta al considerar
los valores para el calculo.
,,
,,
,.
FIg. 4.14. Formacl6n de oquedades o poros deba-
Jo de barras horizontales como consecuencia del
asentamiento y e)(udaciÓn de agua.
Oquedad
Poros
55
-
-
~ ...--
0,3
V
V
/'
0,2
/
0,1
~/
¿'-
o
O
V
:/
V
®
V
V
®
~
V _. ~
r-'
-- -- -~ -~ --~
0,2
-
acero n8fVorado ___ acero r6'1ondo liso
'"
1,0 [mm}
0,8
O,,
0,4
Fig. 4.15. Repr esentaci ón eSQuemática de los resullados de ensayos de arrancamiento en barras re ctas,
con dist inta posición durante el hormlgonado, segUn G. Rehm [56].
4.3. Leyas que rigen la adherencia en los elementos de anclaje
4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos
Aun en el caso de existir ganchos extremos, la disposición de las barras durante el hor·
mlgonado conduce a diferencias de rigidez, expresadas en este caso por los diagramas o - 6.
las Flgs. 4.16 y4.17 muestran, respectivamente, los resultados experimentales efectuados con
barras lisas y nervuradas de acero para hormigón armado de" 12 mm .
las barras verticales con ganchos dispuestos con la curvatura dirigida hacia arriba, demuestran ser las más electivas. Al comienzo del gancho, las presiones oblicuas de gran magni·
tud originan deformaciones localizadas que conducen a mayores deslizamientos horizontales,
cuando el hormigón, por asentamiento resulta poroso.
En el acero nervurado, los ganchos, en la parle Inferior de la zona sujeta a tensiones resultan mucho más rlgldos que los de acero liso, pero con todo, la capaCidad portante difiere
muy poco.
12
•
@)
H
~. -
4
-¡
barr.~ lisas
¡
.12
O
0,4
O,,
~.
'"
1,0 (nwnJ
Flg. 4.16. Dlagramasoe - .&. comparativos, para barras lisas de0 12 mm provlat., de oanchos en distintas
disposiciones durante el hormlgonado [56).
56
Q. 2;
_i,_
¡-12
c--
8
r-
4
°
~
0,0\
-\> _D~5'/
#
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1,1 V
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-+ -_.
barras nervuradas
0,2
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@
0,6
"
i5
12
0,8
<
o
o
"
)4
~
1,0
"
[mm)
Flg. 4.17. Diagramas 0e - 4 comparativos para barras nervuradas en distintas disposiciones durante el
hormlgonado [56] .
~. r---r--'--'---r--r--'---r-~~~-,
Pw
Dirección del
hormlgonado
I
V
8
4
0,01
0,2
Fig. 4.18. Influencia comparativa del ángulo" de plegado del gancho en los diagramas"e nervurados para longitud de anclaje Iv ::: 100 ,
a. para aceros
Si se hormigonan barras nervuradas de iguallongltud de anclaje lv = 100 Y se varia el
ángulo O' de plegado del gancho, cuyo comienzo se encuentra a 1 = 20, de 0° pasando a 45°,
90°,135 0 Y 1800 sucesivamente (Fig . 4.18), es posible observar que a la barra recta dispuesta
verticalmente corresponde la máxima rigidez por adherencia y que, en cambio, a la horizontal
corresponde la mlnima, y que la Influencia del plegado del gancho s610 es mayor con respecto
a las barras dispuestas horizontalmente. En consecuencia, en las barras verticales, la Influencia del gancho es Inoperante. los ganchos dan una seguridad mayor para los efectos reductores del asentamiento. los extremos rectos de barras, que se prolongan detrás de los ganchos,
sólo comienzan a actuar después que ocurren los grandes deslizamientos y no tienen mayor
sentido.
Para el acero liso, a fin de evitar un deslizamiento, son necesarios ganchos con un a mlnimo de 135°.
57
4.3.2. Ensayos de arrancamIento en barras con barras transversa/es soldadas
De acuerdo con la Flg. 4.11 el, los ensayos de arrancamiento de barras nervuradas con
trozos soldados de barras transversales [59), indican Que la adherencia de la barra longitudinal
y las barras transversales soldadas actOan y colaboran conjuntamente en el anclaje. El esfuerzo de anclaje que es capaz de absorber la barra transversal, Queda limitado a la resistencia al
corte de la soldadura del nudo, que depende de la relación de diámetros IZI y de la efectividad del
equipo soldador. Es mucho mayor una vez hormigonada que si se la ensaya libre. La resistencia al corte se manifiesta ciertamente en toda su magnitud recién después de producido un determinado deslizamiento. A en el lugar en Que esta ubicada la barra transversal soldada.
La Fig. 4.19 muestra una comparación de los diagramas promedio de oe-A, referidas a
flw. La existencia de la barra transversal en el comienzo del anClaje, permite absorber mayores
esfuerzos al Iniciarse la tracción, Que con dos barras transversales soldadas en el final de la
longitud de anclaje. Las barras transversales ubicadas en el final de la longitud de anclaje, recién actúan con eficiencia para grandes deslizamientos.
~
\~'(;)'
~I'P
'O b"
28
'o~
®/.7
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24
20
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l.
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" '/.",,- ,..." ¿-- ~::::-- V
•
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~,OII!.,S
. @&,O
--
_
-
. ~_12,~-:::::
v: a., a~m
_.
barras nervuradas (KAAI)
t;
Q02
'lOL
'l06
'l08
0,10
0,12
0,16 (mm]
0,1l,
Fig. 4.19. Diagramas promedio 0.,·,4 relativos para barras nervuradas con barras transversales soldadas
(según [59D.
4.4. Valores numéricos de la adherencia para el cá lculo
4.4.1. Generalidades
Para una dada relación TI,A es poSible determinar la variación d aeJdx de la tensión en el
acero, siempre Que se conozca la distribución deTI (x). Para ello, en realidad, lo único interesan·
te son las condiciones para el estado 11. Empero en las fisuras, la distribución de TI (x) depende
de tantos factores Que la ecuación diferencial de ta adherencia, tal como fuera planteada por
G. Rehm (55J, SÓlo tiene un interés cienUllco, pero para la práctica hasta ahora no tiene ninguna
significación.
4.4.2. Verificación de la adherencIa según DlN 1045
La adherencia Juega un papel Importante en la seguridad de las estructuras de horml'
gón armado, no obstante lo cual la verificación numérica es necesaria solamente en anclajes y
esfuerzos de corte muy elevados para el estado 11. Para dichas verificaciones, la norma DIN
1045 da las tensiones TI adm correspondlenles a cargas útltes para dos casos, Que corresponden a la posición de las barras durante el hormigonado (Fig. 4.20). Los valores Incluyen un coellciente de seguridad v
3 con respecto al valor TIA y de v
5 a 6 con relaciÓn a fln.
=
58
=
[kp/cm
Tladm
posición al
hormlgonar
barras
redondas IIllas
barras
nervuradaa
Posición A:
Posición B:
1
Sn
150
Bn
250
3~O
Bn
450
Bn
550
A
3
3, 5
4
4, 5
5
B
6
7
8
9
10
A
7
9
II
13
15
B
14
18
22
26
30
Flg .•. 20. Valores admisibles de cálculo de la tensión de adherencia
tes (segun DIN 100i!5).
Bn
2
T"
para cargas estáticas predominan-
para todas aquellas barras Que no respondan 8 la posición B (condiciones desfavorables de adherencia).
par. todas las barras que al hormigonar, estén lnclinadas entre 45° y 90° con
respecto a la horizontal; en el caso de tratarse de barras planas menos inclinadas u horizontales, sólo 51 al hormigonar se encuentran ubicadas en la mitad InferlOl' del elemento estructural o por lo menos 30 cm por debajo del borde superior de la parte de la sección o de la capa parcial hormigonada (condiciones de
buena adherencia).
Cuando la carga eCJtátlca no es predominante, sÓlo se admite el85 % de los valores Indl·
cados. Para estructuras solicitadas por cargas fuertemente variables, los valores deberán reduclrse de " = 1 - 0;6·2 aa1aeo ... 0,5.
59
5
Comportamiento bajo carga
de las estructuras de hormigón armado
En lo que se refiere a la capacidad de carga de las estructuras, cabe distinguir entre
estructuras de barras y estructuras laminares. Por ejemplo, las vigas y las columnas son
estructuras de barras, mientras que las placas, las láminas planas y curvas son estructuras laminares.
Las Flgs. 5.1 y 5.2 muestran la multiplicidad de posibles formas de estructuras y de seco
ciones de las mismas.
5_1. Vigas simplemente apoyadas de hormigón armado solicitadas por flexión y corte
5.1.1. Estados y comportamiento bajo cargas
5.1.1.1. Estados I y 11
La Flg. 5.3 muestra una viga de hormigón armado cargada con dos cargas concentradas
simétricas armada con una armadura longitudinal para absorber los esfuerzos de tracción por
flexión y otra para los esfuerzos de resbalamiento (armadura del alma). Esta ultima puede estar
constituida solamente por estribos b por una combinación de estribos y barras levantadas de
la armadura longitudinal (barras inclinadas).
Para cargas P reducidas' no aparecen en la viga fisuras mientras que la tensión en el borde debida a la flexión se mantenga inferior a la resistencia a la tracción por flexión es decir
0bZ < {JbZ· Para este esrado I se origina un estado de tensiones principales de tracción y de
compresión; las trayectorias de las tensiones principales -que constituyen las envolventes de
las direcciones principales- se han representado en la Fig. 5.3 a. Al aumentar la carga aparecen las primeras fisuras de flexión en la zona comprendida entre las cargas, una vez que se ha
alcanzado la resistencia a la tracción del hormigón, es decir 0bZ = {JbZ (Flg . 5.3 b). Dicha zona
se encuentra entonces en el estado 11 (zona de tracción fisurada), mienfi"as que en las partes
comprendidas entre las cargas y los apoyos no se presentan fisuras y por lo tanto se encuentran en estado lo
En la Fig. 5.3 b se han representado, además, la parte activa de la sección para los estadoSl y 11, asl como también las correspondientes distribuciones de deformaciorres y tensiones.
Continuando con el aumento de carga, aparecen también fisuras en las zonas entre caro
gas y apoyos, las que, como consecuencia de la inclinación de las trayectorias de la tensión
principal 01 en dicha zona, son oblicuas (fisuras de corte). La inclinación de las fisuras se
corresponde en cierto modo con la de las trayectorias de las tensiones principales (ver Flg . 5.3
a), es decir que es aproximadamente normlll a la dirección de las tensiones principales de trac·
ción .
60
@ muro de contención
o Entrepisos 'Itecho~ aportlcados
losas para ","bl,,,~~ _--o:-::,o-;,,,,o;;~
ménsulas para
d, " " " •.
",0.
<!) Estructura laminar
columna
Silo para cereales
@ recinto prefabricado
dado de fundación
G:l
Estructura laminar
construcción para viviendas
@ Estructura espacial de barras
tribuna
•
Fig. S.1 . Estructuras portantes de hormigón armado.
o Puente en arco con lablero superior
61
~;:;;f!
L
anillo
circular
16mins lroncocónlca
cilindro circular
{fuste)
(!) lamina plegada1rapecial
E~~~~'~"~I1I~O
@ cáscaras de rotación
<D
Techo "$hed" 'amlnar
ii)
bóvedas cáscaras de caflón corrido
circular de fundación
tanque para agua elovado
Silo para
camento
,' ~)
®
' lO)
cáscara esférica
discar. en paraboloide hiperbólico
Pabellón
Flg. 5.2. estructuras portantes da hormigón armado.
62
lámina cWndrlca
®
hiperboloide do rotación
Torre de imlrlamlento
p
p
Armadura de corte
(sólo estribOs)
Sección
EslfibOs '1 barras Inclinadas
J
111111111111111111
1'1:11 '11 :: ' +
Armadura de corte
1 1 1 1
IIll.JJtllilllll1
.----
:1
Sistema formado por
la "iga con arrnadura
M Momento flex or
il lll111lfl lll ll lll ll llll
a
Esfuerzo de corte
Viga sin IIsurar
(Estado 1)
Trayectoria de las
tensiones principales
- - - Tracción
_ _ _ Compresión
,)
,
o
Aparición de
las primeras
fisuras por flexión
o
~b
Estado 11
Estado'
Estado I
Corte trb
Conea·a
Deformaciones
especificas
y tensiones
en las secciones
para los estados I y II
.... b
i
J
Fisuras por lIedÓn
y por corte
poco antes de
alcanzarse la
carga de rotura
Estado 11
cMe trb
-L=L -t,5~ -o--;:f",'.,
U
>"bp'Os = PPDeformaciones especificas y tensiones en
una sección donde se ha alcanzado la rotura
Flg. 5.3. Comportamiento bafo carga '1 eslados de una "iga de hormigón armado simplemente apoyada al
ser cargada hasta alcanzar la rotura
1)
~
1,0
..
Sección
" : O, U
,
LO
1
•
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,,O
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200
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1-1= 0,99·'.
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I
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~s = 4880 kp/cll'l2
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5000
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~
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V
2000
Pe,u
Pu
1-
- ~y
'r,
11
-
1000
O
08 max en el
centro dellflmo
"
JI
°
5
P
10
15
20
25 [ .. ~
Flg. 5.4 . Desarrollo de las solicitaciones en la zona comprimida del hormigón , en los estrlbos y en las
barras longitudinales a lo largo de una viga experimenta l, para tres escalones de carga lOO}.
64
En consecuencia, para cargas elevadas, la viga se encuentra trabajando casi en toda su
longitud en el estado 11, quedando en general libres de fIsuras hasta la rotura, unlcamente las
zonas en el entorno de los apoyos.
5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigón
Es posible obtener una imagen conceptual del comportamiento bajo carga de una viga
de hormigón armado mediante ensayos y por las deformaciones especificas l medidas en los
mismos, mediante las cuales es posible calcular las tensiones o
t· E. L, fig. 5.4 muestra la
variación de las tensiones longitudinales 0b medidas en la superficie de la viga y 0e en la armadura longitudinal, para tres estados de carga:
=
Pg+P = 12 Mp
Perl!. = 21 Mp
Pu=24Mp
1. Carga litll:
2. Cerga critica:
3. Inmediatamente antes de la rotura:
°
Se ha representado el diagrama de las correspondientes a la carga crllica, calculada
según la teorla de la ftexlón para el estado 11. Al establecer la comparación puede observarse
que las tensiones de borde en el hormigón, en la zona de flexión pura (Q
O) alcanzan los valores teóricos 0e y 0b, pero en la zona donde existen esfuerzos de corte, las 0b son menores y las
0e mayores que las teóricas. Sobre los apoyos el esfuerzo de traccIÓn no es nulo. Más adelante
aclararemos este hecho y deduciremos las consecuencIas que tiene para el cálculo. La viga
falló por haberse sobrepasado el limite de lIuencla de la armadura longitudinal 0e > Ils (rotura
por flexiÓn).
En los estribos (armadura de corte) aparecen tenstones elevadas únicamente en la parte
media de la zona en que existen esfuerzos de corte y, tanto en las cercanlas de los apoyos como en las del punto de aplicación de las cargas son visiblemente menores, por cuanto, en
dichos lugares, en fazón de la transferencia de cargas, actúan tensiones vertIcales de compresión ay. Importa aclarar que las tensiones en los estribos debidas a la carga lit 11 mantienen un
valor reducido (en promedio 1000 kpJcm') y recién para elevados incrementos de carga aumen·
tan desproporclonadamente (duplicando la carga litil se llega de 3200 a 4000 kp/cm l , ver diagrama cargas·tensiones). De ello se deduce que el dimensionamIento debe part ir del estado previo
a la rotura.
=
5.1.1.3. Rigidez y deformación
8
la flexión
La variación de la deformación en el centro del tramo, en función de la carga P, se ha
representado en la Fig. 5.5 para la viga de ensayo de Flg . 5.4 . Para el estado 1, la deformación se
manliene reducida y se corresponde exactamente con el valor teórico, calculado sobre la base
de la rigidez a la flexión E JI, teniendo los valores Ideales de la sección. En cuanto aparecen las
primeras fisuras, las deformaciones por flexiÓn crecen más rápidamente. Para fisuras cerradas
Carga P [Mp]
'.0
3,0
I /
./
"V
V
/
,,O
F lg. 5.5. Di agrama c arga ·
deformación resultante de un ensayo realizado con una viga
simplemente apoyada, de sección
rectangular y ji" 1.0 'lo.
iJ/
/
I
2p
/'
~I
p p
I
•
O
O
s
II
•I
f
10
15
[mm]
65
y repitiendo la carga ocurre una nueva relación, casi lineal, que corresponde a una rigidez a la
flexión E JII. En el estado lila viga se comporta también en forma algo elastica, y su deforma·
ción puede calcularse mediante la teorla de la elaSticidad, considerando ta sección activa del
estado 11 con E JII.
La relación de rigideces a la flexiÓn correspondientes a los estados I y 11, depende fun·
damentalmente de la cuanUa de armadura ¡,I: cuanto mayor sea ¡,I, tanto mayor resultará la zona
comprimida del horm igón correspondiente al estado 11 y con ello también será mayor E JII .
La elastica de deformaciÓn resultará más aplanada cuando el acero comienza, a escurrir y/o el hormigón se, deforma plásticamente. Esta fase plástica del comportamiento de la
viga se denomina estado 111.
5.1 .2. Comportamiento para flexión pura
5.1.2.1. Capacidau de carga y capacidad útil
Para flexiÓn pura (M = Cle., a = O), se originan lisuras de flexiÓn cuya separación do·
pende de la cuantla de armadura y delllpo de la misma (Flg. 5.6). Las lisuras se extienden en al·
tura hasta cerca del eje neutro (t = O). La posición del mismo es tal que las fuerzas Interiores,
correspondientes a la resultante tle tracciÓn le que actúa en las barras de acero y la resultante
de compresiÓn Db de la zona comprimida del hormigón, resulten Iguales y cuya distancia z (brazo elástico Interno) sea tal que el momento de las fuerza s interiores MI = 0b ' z = Ze ' z resulte
Igual al momento de las fuerzas exteriores Ma (condiciones de equivalencia).
La "capacidad de carga" puede considerarse como agotada cuando, al aumentar la caro
qa se alcance en el hormigÓn la deformación limite lb máx del 3 al 3.5 %o o en el acero la deformación limite te max =5 %O. La correspondiente carga se llama en este caso carga crItica. La
carga ull l admI sIble es la carga cnl lca alectada del coeliciente v de segundad. ('s deCIr.
Pg + P =
p
p
t
t
Pcrl!
-,-
(5. 1)
Sección en la lisura
ti !1I:1 ~
'b
Gb
=i::::=:)=\±=.E=)e"e"~"o
lli=\;
Reducido numero de lisuras grandes de lIexión para cuant!as de armadura relativamente pequenas o
para pocas barras gruesas
p
p
'b
k
lS
ji )
: Eje 08""0
"'b
Sección en la fisura
)lJJ::i1f
Numerosas fisuras finas para cuanUas relativamente grandes o barras delgadas bien distribuidas
Flg. 5.6. Flsuraclón y distribución de daformaciones en vigas poco y muy armadas.
Mientras la zona comprimida de la sección sea lo suficientemente grande, la viga rompe
recién cuando alcanza una carga aun mayor (carga de rotura). En este caso, el acero continúa
deformándose por encima del limite de escurrimiento fJs sin un apreciable aumento de tensión,
el eje neutro se desplaza hacia arriba aumentando el brazo elástico l , hasta que la zona comp,¡-
66
J
mida se ha estrechado tanto que el hormigón alcanza su deformación de rotura y pierde, en
consecuencia, su capacidad para absorber carga.
En la flexión, la "capacidad de uso" de una viga queda asegurada cuando:
a)
b)
la abertura de las fisuras no SObrepase determinados valores, fijados por el peligro de
corrosión.
la deformación no sea tan grande, que pueda originar Inconvenientes, según sea el destl·
no de la viga.
5.1.2.2. TIpos de rofura por flexión
Para las cuantlas corrientes de armadura ~ = Fefbh la deformación limite del acero
(emax es alcanzada antes del colapso de la zona comprimida. El acero de la armadura longltu·
dinal es el primero en fallar. estamos ante una rotura por tracción por flexión, que se manifies·
ta por la aparicIón de fisuras y una gran deformación. Cuando la armadura longitudinal es muy
fuerte (vigas sobrearmadas) se alcanza primero (b máx, en consecuencia la zona comprimida
de la sección falla antes que la armadura longitudinal: existe entonces una rotura por compre·
sión por flexión que, en el caso de hormigones buenos de alta resistencia, puede producirse
bruscamente, sin manifestaciones previas ostensibles.
Sllas secciones están muy débilmente armadas, puede resultar que el esfuerzo de trae·
ción por flexión en el hormigón Zb resulte ser mayor que el esfuerzo de tracción que puede absorber la armadura Zeu = pz' Fe; en este caso, al producirse la primera fisura, la armadura
p!Jede romper bruscamente Sin manifestaciones previas (61). Esta peligrosa forma de rotura debe evitarse, para lo cual se especifica una cuantla mlnima de armadura ,.min.
5.1.3. Comportamiento para flexión y corte
51.3.1. Estado I
Para vigas simplemente apoyadas solicitadas por carga uniforme, los momentos lIe)(ores M(x) Y con ellos también las tensiones de INrde 0x crecen desde los apoyos al centro del tra·
mo, y simultáneamente actúa un esfuerzo de corte a (x)
dMldx . Sobre la altura de la sección
rectangular o en el alma de una viga· placa, existe en este caso un sistema de tensiones principales de tracción y de compresión, Que a nivel del eje neutro (para el estado I baricéntrico)
lienen inclinaciones de 45 0 y 135 0 respectivamente, respecto del eje de la viga (Fig. 5.7). De
acuerdo con la teoria de la Resistencia de Materiales, las tensiones principales pueden descomponerse en las tensiones 0x. 0,/ Y TX,/' de las que 0,/ , que tiene importancia sólo en la zona de
aplicación de las cargas, puede despreciarse (Fíg. 5.8, ver también Cap. 8).
El ingeniero debe tener una noción precisa de QLIe la tensión de resbalamiento TX,/ no
constituye una solicitación Que actúa asl o asl U. sino que. lo mismo que las componentes de
tensión Ox y 0y, constituye solamente un valor auxiliar de cálculo, Que resulta de haber elegido
el sistema de coordenadas x-y con el eje x paralelo al eje de la viga. En realidad, en la viga actúan únicamente las tensiones principales 01 y 011 de acuerdo con las Figs. 5.7 Ó 5.3 a. Sin embargo para el dimensionamiento en hormigón armado se parte generalmente de 0x o T.
Todo esto fue perfectamente aclarado en 1927 por E. MOrsch (62). El hecho quo para la
tensión de resbalamiento T se trate de un valor auxiliar de cálculo y no de una solicitación real,
resulta perfectamente claro cuando se calculan las tensiones en un elemento prismático con
solicitación 8)(11, referido a un sistema de ejes coordenados x-y, inclinado de 45 0 y 1350 respecto del eje de la pieza (Fig. 5.9). Para una columna donde 00 = 100 kplcm1 , resultada T = 50
kplcm'. Esta columna no podrla ser construida de acuerdo a ningún Rewlamento; ¡por cuanto, T
supera considerablemente el valor admisible! En la realidad, es capaz de soportar cargas sin
ninguna armadura de corte.
=
=
5.1.3.2. Estado /1
Cuando la tensión principal de tracción en el alma de una viga sobrepasa la resistencia
a la tracción del hormigón tJbZ, aparecen lisuras de corte (Fig. 5.10) normales a 01, es decir, en la
dirección de las trayectorias de compresión. Las tensiones prlnclpales de compresión entre las
67
¡ ¡ ¡ I ¡ ¡ I ¡ I I ¡ ¡ ¡ I I ¡ I III III III I I I I I ¡ ¡ ¡ I I I I I I
,
I
I
DirecciÓn de 01 (tensiones de tracción)
Dirección de 011 (tensiones de compresión)
1
I
I
1, i1111+11111111111J1]JlllJD4
I
M
:
I
Q
Flg. 5.7. Trayectorias de las tensiones principales en una viga homogénea para carga uniforme (en el caso
de hormigón armado = es tado 1).
•
Tensión por lIexlOn
Tensión de resbalamiento
"w
a -s
t·t., .t,.' -J-
G)( • t
b
,
Tensión principal
de tracción
•
Tensión principal
de compresión
ángulo Ip entre el
semieje + 11 Y 01
Ig
~
•
...L
G¡
,
Flg . 5.8. Definición y calculo de las tensiones para un estado plano de tensión.
lisuras de corte, pueden continuar actuando prácticamente sin perturbaciones, siempre que
los esfuerzos de tracción que aparecen en el hormigón (como resultado de las 01) sean absorbidos por armaduras de corte, con lo que se impide que las lisuras de corte se continúen abrien·
do. Para ello, lo mejor es disponer la armadura de corte en la dirección de las trayectorias de "1 ,
es decir inclinadas de aproximadamente 45°.
Las fisura s de corte, para secciones rectangulares, se originan generalmente a partir de
las fisuras de flexión, y su Inclinación resulta influida por la redistribución de esfuerzos en es·
68
tas últimas y en parte su inclinaci6n es menor de 45 0 • Como consecuencia, los esfuerzos de
traccl6n en el alma disminuyen. Fisuras puramente de corte, originadas en el alma de la viga,
ocurren en vlgaslcon alas tracclonadas o en vigas de hormigón pretensado (Fig. 5.11). En el es·
tado 11, para la zona de corte fisurada, la mejor forma de materializar la transmisión de esfuer·
zas es Imaginar una viga de reticulado (ana logia de Morsch). las barras de la armadura de coro
te conslltuyen las diagonales traccionadas, y los prismas de hormig6n entre las fisuras de coro
te, las diagonales comprimidas de un reticulado de mallas estrechas. las diagonales trac·
cionadas con 45 0 de Inclinación son las que mejor se corresponden con las tensiones principa·
les (Flg . 5.12 al. Por razones practicas, se prefiere que la armadura de corte esté constituida por
estribos verticales. En este caso. el reticulado esta formado por montantes verticales trac·
cionados y diagonales comprimidas (Fig. 5.12 bl. la diferencia de los montantes traccionados
con la direccl6n de al resulta ciertamente de 45 0 , lo que constituye un efecto desfavorable
sobre el espesor de las fisuras de corte y la magnitud dE'¡ esfuerzo en las diagonales comprimi·
das. En este caso, el esfuerzo en las diagonales comprimidas casi se duplica. los esfuerzos en
los cordones en el caso de la ana logia del reticulado se obtienen partiendo de la hipótesis de
un reliculado Isostatlco simple en un corte vertical (ver Sec o8.3) :
z
o
M
-+ ~
z
2
,
M
D = -
z
-,
Q
(5. 2)
p
,
/
,
X
/<"
<3',,(,
<So·
/
~
'ty . " -
,,0~ <>,
p
;¡,
<5,
=
<>,
=
2 G",
<5,
=
'txy='tyx
=
1 <>,
.,1 ",
cr¡
=
"-.
=
1
a
er,
p
Fig. 5.9. Tensiones princi pales. normales y de resba lamiento en un elemento prismatico con carga axl! , referidas a un sistema de ejes coordenados orientad o a 45°.
- +
1
•
Fig . 5.10. Flsuraclón y rotura de una viga· placa con armadura de corte (las fi su ras de corte se desarrollan a
partir de las de lIexI6n).
69
~
---+______--I_ __ 1I5UI8S do corte por flexión
ausencia de
fi suras de corte
fisuras de corle
en el alma
Flg. 5.11 . Fisuras de corte cerca del apoyo, en el alma de una vlgal no originadas a partir de fisuras de flexión (en el alma 01 > tJbZI-
al Armadura de corte a 45 0
b) Montantes verlleates Iraccionados (estribos)
Flg. 5.12. Analogla del retl culado para los esfuerzos Interiores en la zona de corte en una viga da hormigÓn
armado con esfuerzo de corte constanle.
p
p
,
Flg. 5.13. Eleclo resistente en forma eportlcada o arco conlensor en vigas reclangulares y placas.
En los ensayos realizados, la redistribución de eafuerzos derivados de la h1r61esls del
reliculado para el estado 11, se constata con l cierta aproximación. Naturalmente, deben existir
determ inadas diferencias, porque el retlculado cruzado con múltiples barras traccionadas, resulta estáticamente indeterm inado por vinculo Interno. Por ello, los esfuerzos Internos se
distribuyen de acuerdo a las relaciones de rigideces de modo que el trabajo interno ele deformación resulte mlnlmo. Por ello es que los esfuerzos de tracción en el alma disminuyen cuando
70
las diagonales comprimidas resultan comparati vamente más rlg ldas que el cordón superior
comprimido, que es el caso, por ejemplo, de la sección rectangular. En este caso la inclinación
de las fisuras de corte es menor de 45° . llegando hasta los 30° y el esfuerzo en el cordón superior comprimido sigue una trayectoria en arco o también aportlcada(Flg. 5.13). La parte Inclina·
da del cordón comprimido absorbe una parte del esfuerzo de corte y con ello descarga el alma.
Si Inversamente, el cordón comprimido es muy ancho con respeclo al alma, es decir
b : bo '" 6, el esfuerzo en el primero sólo puede lener poca Inclinación y por ello las fisuras de
corte se diSPonen aproximadamente a 45° (Flg. 5.14).
r
,.....-~ 7 Z
~
.
1-/"" r lr ~
_ f./z I.~ /',,'f
p~
}
/
,
'1\t,
A
t
i
b
,
•
1-J.-
96 c"I
-----.r•
"
/
//,
//
44
L
Sección
'
/
~,
,
DaL
a
•
InclinacIón del esfuerzo en el cordÓn comprimIdo
~
FIg. 5.1• . Trayectoria del.esluerzo en el cordón comprimido en una viga-placa con una relación de anchos
de blb o :z: 6.
Las relaciones de rigidez, que se expresan en función de blbo, pero que también pueden
serlo en la proporCión entre la armadura longitudinal y la de corte, son determinantes de la
distribución de los esfuerzos internos. Para vigas, y a estos efectos, se ha desarrollado una
" ampliación de la ana logia del retlculado" (64] (ver Seco8.4). Con ello, la analogla del retlculado
constituye una valiosa ayuda para explicar cómo funciona en el estado 11 la transferencia del
esfuerzo de corte, pese a la existencia de fisuras.
5.1.3.3. Formas de rotura por corte
Roturas por corte se originan cuando falta la correspondiente armadura o la misma es
muy débil, debido a que las fisuras por corte penetran muy profundamente en la zona comprl·
mida, por lo que se produce el colapso de la misma (rotura a la tracción por corte). Para almas
delgadas, fuertemente armadas, las diagonales de compresión pueden también fallar por ten·
slones oblicuas de compresión muy elevadas (rotura por compresión por corte). Estas roturas
de compresión por corte pueden evitarse mediante una armadura de corte generosamente di·
menslonada o fijando un limite superior a la tensión de resbalamiento TO'
5.2. VIg .. continuas de hormigón armado
Las vigas continuas de varios tramos o los pórticos múltiples, etcétera, soportan , ademas de los momentos positivos, momentos negativos.
71
En lo que se refiere a flexión y corte muestran, en general, el
mismo comportamiento bajo carga que las simplemente apoyadas.
En la Fig. 5.15 puede observarse el aspecto que ofrece en la rotura
una viga continua. Las primeras fisuras aparecen sobre el apoyo Intermedio, porque el momento negativo sobre el apoyo es mayor que
los momentos positivos en los tramos. Por ello, en dicha zona disminuye considerablemente la rigidez (estado 11) con respecto a la de los
tramos (estado 1), de modo que la viga para los sucesivos incrementos
de carga, posee a lo largo de la misma distintos momentos de Inercia.
Como consecuencia, los momentos en los tramos crecen más rápidamente que el momento sobre el apoyo, hasta tanto la aparición de fisuras de flexión en los tramos, originen en los mismos el estado 11.
Como puede observarse en la Fig. 5.15, las fisuras de flexiÓn sobre el
apoyo intermedio se desvlan oblicuamente hacia el punto de apoyo,
debido a las tensiones principales inclinadas de tracción Que apare·
cen en dicha zona como consecuencia de los elevados valores de los
esfuerzos de corte. Penetran más profundamente en la vIga Que en el
caso de flexiÓn pura y dejan una zona de compresión de altura más reducida Que cuando no hay esfuerzo de corte.
Estas circunstancias conducen a una "transferencia de momentos" del apoyo central a los tramos, a un menor aprovechamiento
de la armadura de tracciÓn sobre el apoyo y a un mayor peligro de rotura Sobre el apoyo, sea por flexiÓn o por corte. Por otra parte aparece
en este caso la propiedad, a menudo favorable, de las estructuras de
hormigón armado estáticamente indeterminadas: pueden transferir
cargas de zonas fuertemente solicitadas a otras que lo son menos, lo
que se traduce en una reserva en la capacidad de carga.
En la zona de momento nulo (entre los momentos del tramo, y
sobre el apoyo) la disposición de las fisuras de corte por flexiÓn es tal
que, tanto en el borde superior como en el Inferior, aparecen trac·
ciones. Se origina en realidad un arco con tensor, donde el arco, en las
cercanlas del apoyo intermedio, se apoya en tos estribos, que se encuentran anclados en forma resistente a la tracciÓn en la armadura
sobre el apoyo. De esta circunstancia se obtienen determinadas di·
rectivas para la disposición de la armadura (ver Tomo 111).
5.3. Barras y vigas solicitadas por torsión
5_3.1. Torsión pura
SI una barra cillndrlca o prismática se encuentra solicitada P2r
torsión pura, para el estado I sólo aparecen tensiones de resbala·
miento por torsión TT sin la existencia de 0x. En consecuencia , las lensiones principales en la totalidad del perímetro 01
TT = - 011 resultan Inclinadas de 45 0 y 1350 con respecto al eje x, y las trayectorias
de tensión son hélices que se cruzan a lo largo de la barra (Fig. 5.16).
En consecuencia, deben aparecer fisuras de torsiÓn inClinadas a 45 0
respecto del eje de la barra (Flg. 5.11).
La armadura más adecuada seria una en espiral con una Inclinación de 135 0 , pero Que prácticamente es imposible de realizar . En
consecuencia se disponen dos armaduras paralelas a los ejes x e y,
en forma de enrejado, pero que de acuerdo con la analogla del reticulado, que también es apllcable en este caso, traerla como consecuen-
=
Flg. 5.15. Aspecto de la IIsuración V rotura de
una viga continua de dos tramos, con cargas
concentradas.
72
ela un aumento de los esfuerzos de compresión en los puntales que se forman entre las lisuras
de torsión (Fig. 5.18).
Los ensayos muestran que para el estado ti s610 resulta activa una capa exterior de po..
ca espesor del hormigón, debido a que los elementos estructurales rectangulares de hormigón
armado se comportan como cajones huecos de pared delgada (65J.
45"
trayectorias de tracción
.L
trayectorias de compresión
/
/
GJ:"C t
Flg . 5.16. Trayectorias de las ten siones principales para la sollcltacl6n por torsión pura.
Fig. 5.17. Fisuración en un prisma de hormlgOn armado, sollcltado por lorsión pura (segUn E. M6rsch 11J).
SeccIón
capa activa del
hOrmlgOn en puntales comprimidos
Flg. 5.18. Oisposlclón de la armadura en piezas de hormigón armado, prismáticas, solicitadas por torsl6n.
73
En la torsión pufa, como consecuencia de las fisuras y del apartamiento de la dirección
de la armadura de la de 01, la rigidez a la torsión se reduce considerablemente -de un 3 a un
12 %- con respecto a la correspondiente al estado 1.
5.3.2. Torsión con flexión y corte
En este caso se suman las tensiones de resbalamiento debidas a TQ y TT en un lado de la
sección, y se restan en el opuesto. Como conseCuencia de ello "las trayectorias de las tensiones principales de tracción se complican. Las máximas tensiones principales de tracción
ocurren en la cara donde TQ YTT tienen igual dirección y se suman. En las mismas aparecen las
primeras fisuras de corte aproximadamente orientadas a 45 D •
Si los momentos flexores son grandes en relación a los de torsión , la zona comprimida
por flexión permanece libre de fisuras de torsión y por ello se mantiene en estado 1. En consecuencia, tanto la capacidad de carga como la rigidez a la torsión aumentan considerablemente.
5.4. Columnas y otros elementos comprimidos
Las columnas con carga axll o aproximadamente axll podrlan construirse sin armadura,
por cuanto no aparecen tensiones de tracción. En la mayorfa de los casos, sin embargo, tanto
8s1ribO
barras longitudinales
Fig. S.19. Armadura de una
columna de hormigón armado
Fig. S.lO. lugar de rotura
de una columna de hormlg6n armado con
barras longitudinales
pandeadas por exceslya
separación de ios estribos.
Flg. 5.21 . Configuración de
roturs de una columna de
hormigón armado rota por
oandeo.
74
las losas como las vigas (o viguetas) se encuentran rlgldamente vinculadas con las columnas,
por lo que estas últimas, por efecto de aportlcamlento, deben también soportar momentos tiaxores. Por ello, normalmente las columnas se arman en dirección longitudinal. las barras longitudinales se ubican en las esquinas de la sección, pero en el caso que las dimensiones de ésta sean grandes, también se las distribuye sobre los lados de la misma. Deben asegurarse
contra el pandeo mediante estribos que encierran a las barras longitudinales (Flg. 5.19),
siempre y cuando -por ejemplo en paredes- el recubrimiento de la armadura no sea suficiente por si solo.
las barras longitudinales experimentan el mismo acortamiento especifico, que el hormigón. Teniendo en cuenta que el hormigón se contrae y fluye, las tensiones en el acero de la
armadura longitudinal aumentan con el tiempo y pueden alcanzar valores muy elevados (hasta
el limite de escurrimiento). Es por ello que, en el caso de columnas que deben soportar cargas
muy elevadas, el asegurar las barras longitudinales contra el pandeo mediante estribos es muy
importante. Tanto la separación. como las dimensiones v la forma de los estribos. deben adecuarse a dichos fines. la Flg. 5.20 muestra el lugar en que se prOdujo la rotura en una co·
lumna de ensayo, con barras longitudinales pandeadas.
Para carga axilla capacidad portante de una columl1i:1 pala carga creciente (sin fluencia)
se agota para 'b máx ::::: 2 "/00. En este caso, para barras longitudinales de acero de calidades de
! a IV se sobrepasa el limite de escurrimiento, de modo que la capacidad de carga resulta de la
Fb(JP + Fe 130,2, siempre que no exista peligro de pandeo. Esta capacidad de carga
suma Pu
se redUCe por Inevitables excentricidades de la carga que originan solicitaciones adicionales
por flexiÓn.
Si la esbeltez de la columna es mayor que sld
15 (s = altura de la columna, d
lado
menor de la seCCiÓn), para cargas crecientes, pequeflas excentricidades originan deformaciones laterales crecientes y con ello tensiones de compresión no uniformes, hasta que el hormigón en la zona más altamente solicitada llega a la deformación pléstlca y falla por rotura
(Fig. 5.21). A la rotura de columnas esbeltas por flexiÓn lateral creciente se la denomina "pandeo", aunque no corresponda al verdadero pandeo de la Teorla de la Elasticidad, es decir a un
problema de estabilidad, sino a un problema tenslonal. Para determinar1a capacidad de carga
de una columna esbelta. en el caso del hormigón armado es necesario. por ello, lener en cuenta
en el cálculo la inflUencia de excentricidades imprevistas de las cargas, asl como lamblén el
compor tamiento anelástlco del hormigón y el crecimiento no lineal de la lIexlón lateral (leona
de 2 0 orden).
las paredes y tabiques esbeltos de hormigón armado se comportan en forma semejante. En este caso la transferencia de cargas en la cabeza y el pie de los mismos es más crItica
que el peligro de pandeo.
=
=
=
5.5. losas (placas) da hormigón armado
5.5.1. Losas de hormigón armado, armadas en una dirección
Para cargas uniformemente repartidas, los momentos en la dirección x de una losa armada en una sola dirección son los mismos que para un conjunto de vigas simplemente apoyadas yuxtapuestas, por cuanto no existen diferencias de deformación en la dirección y (prescindiendo de los bordes libreS). En consecuencia, una losa apoyada en una única dirección de
ancho b puede ser calculada en la direcciÓn x como una viga rectangular, Introduciendo un momento referido a un ancho unitario (por ejemplo: 1 m) mx = Mx'b 1M pmlm),
En contraposiciÓn al caso del conjunto de vigas Independientes yuxtapuestas, en la losa, la deformación transversal del hormigón, es decir la libre deformación Ity, resulta sin embargo impedida (Flg. 5.22 a). Ello conduce a la aparición de tensiones Oy y por ello a momentos
my = ¡.t mx (¡; es el coeficiente de Polsson) y constituye la explicación de la menor deformación
de las losas con res pecio a las vigas. Teniendo en cuenta Que los momentos my en compara·
clón con los momentos mil resultan pequerlos, para la rotura de las losas de una dirección valen los mismos conceptos que para las vigas.
El peligro de rotura por corte es muy pequeflo en el caso de las losas h y 01 son de valor
reducIdo), de modo que las losas pueden soportar cargas sIn armadura de corte. Cuando se trata de cargas superficiales elevadas puede, sin embargo, ocurrir una rotura por tracción debido
75
o)
, _ - [ - - - - " 1,
------...,
-=~~~~-~...
Deformación libre
"v- para
- ------j \
,
1
,
\
lajas delgadas
m,
Deformación Impedida en el caso de una losa y
momentos Inducidos resultantes my.
,
b)
I
p
p
J
r
=UITTTTI
I
m_(x=O)
Corte según el eje x
CM' , /0 /".0
d;;::;~ .
OI
Fig. 5.22. Momentos fleKores rnll Y rny de una fosa armada en una dirección a) par. carga uniforme, b) para
carga concentrada.
al esfuerzo de corte, a una distancia entre x = 2 a 3d del apoyo, que debe impedirse disponiendo una adecuada armadura de corte.
Para cargas no uniformes o para cargas concentradas, aparecen, aparte de los momen·
tos flexores m lC , momentos my transversales bajo las cargas y las correspondientes deformaciones. Ambos momentos disminuyen con las distancias x e y al centro de la concentración de
cargas, ver Flg. 5.22 b. Por ello, estas losas deben armarse en dichas zonas con armaduras en
las direcciones )( e y.
Debajo de las cargas concentradas aparecen lisuras en ambas direcciones '1 hasta en
forma circular. En tales casos,en la rotura el hormigón está sujeto a un estado doble de tensión. El ancho en la dirección ly)de la losa que colabora (ancho activo) depende de la relación
'ex: f ev de las armaduras. Para cargas concentradas muy elevadas, en el punto de aplicación
de la carga puede ocurrir una rotura por corte, en la que un cono aplanado de hormigón se punzona (Rotura por punzonado, punchlng failure), ver Flg. 5.26.
5.5.2. Losas armadas en dos direcciones
Las losas con bordes de distintas direcciones o apoyadas en todo su contorno,
muestran un comportamIento bajo carga distinto que las slmptemente apoyadas.
Una losa rectangular apoyada en sus cuatro lados, al ser cargada, se apoya preferentemente en la zona central de los lados, y por fuer. oe la zona delimitada por una elipse Inscripta,
las esquinas de la losa se levantan por sobre sus apoyos (Flg. 5.23). Si se anclan las zonas de
esquina o si eXiste una sobrecarga se onginan momentos principales locales negativos mI
(tracción en la cara superior de la lOSa) de dirección diagonal y, normales a ellos, momentos
principales positivos rTl¡, (tracción en la cara inferior de la losa).
76
De acuerdo con la leorla de las placas, '1 con el sistema usual de coordenadas)( e y, se
calculan los momentos componentes m)(, my y m)(y, que permiten obtener los momentos principales mi Y m, cuyas direcciones se apartan más o menos de las direcciones x e y según sea el
valor de m)(y. las magnitudes de mI Y m, '1 sus direcciones dependen tanto de la posición de la
carga o de su distribuciÓn como del tipo de apoyo.
El anclaje de las esquinas produce por Intermedio del momento de sentido opuesto mi
una notable reducción de los momentos m)( '1 my en la zona central del pano de tosa. la dirección de tos momentos principales en el centro de la losa es normal a la de los bordes de apoyo
(Fig . 5.24) Y en las zonas de esquina, inclinada a 45° _
La Flg_5.25 muestra la distribución de las fisuras en las caras superior e inferior de una
losa rectangular de hormigón armado para el estado de rotura '1 donde puede observarse el
comportamiento bajo carga descripto anles.
las losas de este tipo fallan en general por rotura por flexión con solicitación blaxial del
hormigón . Para c81gas concentradas muy elevadas puede también ocurrir el ya mencionado
punzonamiento en el punto de aplicación de la carga_ Peligro de rotura por corte sobre los apoyos, se presenta raramente.
Un comportamiento similar ocurre en losas triangulares o trapezoidales y para losas
rectangulares apoyadas SÓlo en~tres lados o en dos yuxtapuestos.
la relación entre m)( y my puede resultar Influida por la elección de las cuantlas de armadura en las direcciones x e '1 _ Sin embargo, es más conveniente adoptar una relac ión Que
conduzca a un material que pueda considerarse homogéneo.
5.5.3. Losas de hormigón armado apoyadas en puntos
En el caso de losas con apoyos puntuales (por ejemplo entrepisos sin vigas) o en fundaciones de columnas aisladas, en la zona de apoyo se originan momentos principales (ambos
negatIvos) que actúan en direcciones radiales '1 según circunferencias concéntricas, de modo
que primeramente se forman fisuras circulares (Fig. 5.26 a), las que debido al gran esfuerzo de
corte que actúa simultáneamente, se prolongan en la losa como fisuras de corte muy apianadas_En este caso existe el peligro de punzonamlento, en el que, cuando se trata de losas con
cargas sobre grandes superficies, arranca un cono de hormigón de 30° a 35° de Inclinación. En
losas de fundación. con cargas parciales grandes, la pendiente en la base del cono de punzonamiento puede llegar a 45° (Fig. 5.26 b). Como seguridad contra esle lipo de rotura, deben limitarse los valores de las tensiones de resbalamiento o prever sobre la superficie de rotura cónica una armadura de corte bien dIstribuida. los momentos 119)(ores se absorben mediante armaduras dispuestas según dos o tres direcciones.
5.6. láminas y vigas de gran altura (vigas-pared)
las láminas son estructuras de superficie, cargadas en su plano (las losas o placas,
aquellas donde la carga actúa normal al plano). las láminas dispuestas verticalmente o tabiques constituyen lo que se denomina vigas-pared o vigas de gran altura, cuando salvan una luz.
con sobrecarga en la esquina
con anclaje en la esquina
sin anclaje en la esquina o sin sobrecarga
lineas de apoyo
Flg. 5.23. losa rectangular apoyada en sus cualro lados con carga concentrada, con y sin anClaje en las
esquinas.
77
~t------ " '-------+f
"
Flg. 5.24. Distribución de la dirección de los momentos principales y'de las Irayeclorlas de 105 mismos en
una losa cuadrada y otra rectangular, con apoyos simples.
cara superior de la losa
cara inferior de la losa
Flg. 5.25. Configuración de 'as fisuras en una loaa rectangular de hormigón armado. con carga uniforme,
par. el estado de rotura.
las láminas también pueden actuar horizontalmente como elementos para absorber cargas,
como por ejemplo en techos o tableros de puentes, para absorber los esfuerzos producidos por
el viento. En estos casos también están solicitadas normalmente a su plano.
El comportamiento bajo carga de las láminas de hormigón armado se aclara mejor ana·
lizando las vigas de gran altura.
La diferencia esencial con respecto a una viga corriente, reside en la distinta distribuciÓn de las tensiones principales en la solicitaciÓn por flexión, perfectamente aclarada en el
diagrama de Ox para la !ecclÓn correspondiente a 1/2. Mientras que el diagrama de 0x en la viga
normal es lineal, en la viga de gran altura muestra una fuerte curvatura, con una zona de tracción baja '1 una muy alta de compresión (Fig. 5.27). Esta diferencia 'la se pone de manifiesto para llh
4, pero en la práctica recién se la tiene en cuenta a partir de IIh
2.
la mejor forma de visualizar el comportamiento estático es en este caso analizando en
la Flg. 5.281a5 trayectorias de las tensiones principales (direcciones de 01'1011). Cuando la carga actúa en la parte superior, las trayectorias de compresión se dirigen casi verticalmente y
Juntándose hacia los apoyos, mientras que las de tracción, en las cercanlas de los aooyos, son
relativamente apianadas, de donde resulta que no existen tensiones principales de tracciÓn
=
78
=
cono de 30° a 35°
a) Distribución de las fisuras y cono de rotura en un entrepiso sin vigas
b) Cono de rotura en una losa de fundación
Flg. 5.26. Rotura por punzonado de un trozo CÓnico en una losa apoyada en un punto o con carga con·
centrada.
79
muy Inclinadas Que puedan originar "fisuras de corte" Que hicieran necesario disponer una armadura correspondiente. Las fisuras son todas empinadas y requieren armaduras horizontales
(Flg. 5.29). El peligro de rotura existe principalmente en la zona de los apoyos donde el anclaje
de la armadura y la acción de las reacciones de apoyo, conducen a una solicitación local izada
muy elevada.
De una forma muy distinta se comporta la viga de gran altura cuando la carga no la presiona desdé arriba (- ay) sino Que cuelga por abajo, '10 Que origi na tensiones ay positivas. Por
ello las trayectorias de 011 se desarrollan en forma de arco (Flg. 5.28) Y en cierta medida, las caro
gas cuelgan de arcos. Las trayectorias de 01 son también en este caso aplanadas en la zona In·
feriar y su Inclinación aumenta hacia arriba al acercarse a los bordes lat8f'ales; en la zona media, en la parte interior 01 y 011 son positivas (tracciÓn), lo Que hace necesario disponer una armadur. vertical, Que puede levantarse hacia los bordes laterales. Las fisuras Que muestra la
Flg. 5.29 confirman esta forma de transmisión de cargas.
En el ejemplo de la lámina resulta claro Que, en lo que respecta a los esfuerzos internos,
la ubicación de la carga juega un papel Importante y que es necesario tener en cuenta. En láminas puede ocurrir Que las cargas actúen no sólo en los bordes, sino también en el interior de las
mismas.
En ambos casos -carga superior o inferlor- el esfuerzo longitudinal en el borde traeclonado no disminuye de acuerdo con el diagrama de momentos flexores, sino que mantiene
su valor, una vez Iniciada la flsuraclón por flexión, prácticamente sin variaciÓn hasta los apoyos, de modo Que la armadura, actuando como tensor, no puede variar hasta alcanzar los apoyos, donde debe ser convenientemente anclada. La rotura del anclaje constituye un peligro en
vigas de gran altura.
Teniendo en cuenta que las láminas se construyen de reducido espesor, las tensiones
principales de compresión inclinadas pueden, en el entorno de los apoyos donde las ay tamo
blén se ponen de manifiesto, resultar criticas (rotura por compresiÓn). Esto vale especialmente
en los apoyos Intermedios de vigas de gran altu ra de varios tramos.
5.7, Estructuras plegadas
SI se vincul an entre si láminas formando un cierto ángulo diedro, y de modo que la unión
1¡ 1I ¡1I 11¡1I ¡ I ¡ 1¡¡¡III111 ,_
O
-
0,62 h
-
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Flg . 5.27. DIagramas de las tensiones 0)( en ta sección central de una vIga de gran altura (lid
vIga normal.
80
= 1) Y en una
,/
-
P,
F1Q.. 5..28. Forma de ¡as trayectorias de tensIones en una viga de gran altura , par. cargas superior e Inlerlor.
FIg. 5.29. Aspecto de la fisuraclón en vigas de gran altura,par. cargas superior e Inferior [88J.
sea resistente al resbalamiento o también a la flexión, se obtiene una estructura pleg9.da (laminas plegadas) .
.
Estas estructuras plegadas pueden estar formadas por rectángulos anchos o angostos
(estructuras plegadas prismáticas), por triángulos. por hexágonos, etcétera, lo que perm ite 01).
tener formas variadas (ver Flg. 5.2). Su capacidad de carga la alcanzan, en general , recién cuando sus bordes resullan rigldlzados mediante láminas transversales o pórtiCOS transversales,
de modo que el angulo de plegado en los bordes no pueda modificarse.
Las estructuras plegadas se comportan transversalmente a las aristas como losas y en
la dirección de aquéllas, como laminas. En las aristas las deformac iones son respectivamente
iguales, por lo que los elementos se rlgldlzan entre si de modo que las aristas actúan como
vigas resistentes a la flexión. La capacidad de carga de estas " cuasi vigas" j::lepende de la relación entre la altura y la luz de la estructura plegada.
81
5.8. Cáscaras (membranas)
Las cáscaras son estructuras de superficie, cuyo plano medio es curvo. Pueden ser de
curvatura simple (Flg. 5.2, N°9, 10, 12, 13) o de doble curvatura. Cuando en las cáscaras de
doble curvatura, ambos centros principales de curvatura quedan ubicados de un mismo lado
(Flg. 5.2, N° 11, 14), se dice que la curvatura es de un mismo signo; si en cambio ambos se en·
cuentran ubicados en lados opuestos se habta de una cáscara de curvaturas opuestas(ver Flg .
5.2, N° 15).
La cáscara reúne en slla forma de transmitir cargas de las láminas (tensiones normales
uniformemente dlstrlbuld,as en su espesor) con la de las placas o losas (flexión pura). Para con·
dlclones determinadas entre carga y forma, en zonas parciales o en toda la cáscara, las ten·
slones debidas a la flexión son, en comparación con las tensiones normales, tan reducidas,
que pueden despreciarse. En tal caso se dice que la cáscara trabaja en un estado de tensión
membranal ,
Las cáscaras son adecuadas para absorber en forma satisfactoria un estado de tensión
membranal, pero no lo son sin embargo para absorber tensiones de flexión. Aumentar el espesor de la cáscara para absorber momentos flexores muy grandes, (jeneralmente no da resulta·
do, por cuanto la mayor rigidez a la flexión que se origina, conduce a mayores momentos flexores.
Et estado membranalliene también Importancia práctica, siempre que considerado como un estado en equilibrio, pueda ser calculado en forma muy sencill.a, sin recurrir a condi·
ciones de compatibilidad. Por otra parte sólo es utilizable como base de cálculo cuando no
afecte en forma sensible las condiciones de cpmpatibilldad internas y externas.
En contraposición con el arco, donde un apartamiento de la curva funicular origina flexión, cualquier cáscara puede, trabajando en estado membranal,soportar cargas superficiales
repartidas arbitrariamente o aun varlabtes (por ejemplo: peso propio, viento, nieve). Las cásca·
ras de curvatura simple disponen para ello de limites más estrechos que las de curvatura
doble. Sin embargo, Irregularidades en la repartición de cargas, o ta existencia de cargas concentradas, conducen siempre a una flexión tocaL Deben evitarse las cáscaras muy rebajadas,
porque por efecto de los esfuerzos membranados pueden curvarse tanlo que las correspon·
dientes tensiones de flexión ya no puedan despreciarse o aun no puedan ser soportadas.
Las mayores tensiones de flexión se originan en los bordes, donde generalmente es necesario disponer elementos de borde para transmitir los esfuerzos membranales, cuando sus
deformaciones no son compatibles con las de los bordes de la membrana, Estas tensiones de
flexión se amortiguan rápidamente hacia el interior de la cáscara y por ello se las denomina
perturbaciones de borde. En el caso de cáscaras de gran luz y muy rebajadas existe el peligro
de pandeo por abolladura, si son muy delgadas o no se les ha conferido rigidez medIante nerva·
duras. En lo que respecta a la seguridad contra el pandeo por abolladura hay que tener en cuen·
ta las Inevitables Imperfecciones constructivas. Constituyen la causa de que en lugar de un
estricto pandeo por abolladura, en general resulle un problema tensional, de flexión compues·
ta con esfuerzos de compresión longitudinales. Se prefiere adecuar la forma de las cáscaras de
modo que los esfuerzos membranales resulten de compresión. Pero también es posible cons·
trulr cáscaras que trabajan a la tracción (silos para cereales o cemento, depósitos para agua o
aceite). En estos casos se producen fisuras normales a las direcciones principales de tracción,
cuyo espesor puede limitarse mediante una adecuada elección de la armadura o eliminarse pa·
ra el estado de carga útil mediante pretensado.
5,9. Comportam iento de estructuras de hormigón arm ado pa ra solicitaciones espe·
clales
5.9.1. forma de aplicar las cargas
Cada forma de aplicar la carga en la estructura (Fig. 5,30) -por ejemplo: desde arriba
sobre una superficIe, desde abajo en una péndola, dentro o repartida sobre la altura de la viga
(carga Indlrecta)- origina tensiones loca/{zadas por la aplicación de la carga.
En el caso de vigas, éstas están constituidas principalmente por tensiones de compre-
82
/
/
Vigueta transversal
Flg. 5.30. Tensiones ay en les lonas de aplicación de las cargas par. distintas lormas de aplicarlas.
sión O tracción en la dirección y, es decir Oy (compresión bajo la carga, tracciÓn sobre la
misma), pero también, por el des'Ilo lateral de las tensiones principales originadas por tensiones transversales de tracción o compresión. En el caso del hormigón armado, interesan en
especial las tensiones de tracción, porque hacen necesario el colocar armadura, siempre y
cuando no sean anuladas por tensiones debidas a las cargas (por ejemplo: tensiones de
compresión en vigas).
Estas perturbaciones debidas a la aplicación de las cargas se conocen también como el
principio de Salnl Venant, porque en dicho lugar la distribución de tensiones derivada de la te·
orla de la flexión, se encuentra perturbada '1 se superpone con las tensiones derivadas de la
aplicación de las cargas. Las tensiones que se originan en estas zonas, para el estado 1, es posible calcularlas como problema plano mediante la función de Airy o , actualmente, por el método de los elementos finitos.
5.9.2. InfluencIa de la femperatur8
La Igualdad de los coeficientes de dHatación térmica del acero '1 del hormigón, conduce
a que, para variaciones uniformes de temperatura no se originen en las fibras vecinas de amo
bos materiales diferencias de deformación, por lo que no se producen tensiones de adheren·
cia.
La reducida conductibilidad térmica del hormigón permite que se establezca un gradlen·
te de temperatura en el espesor del hormigón cuando varia la temperatura ambiente.
Una disminución de temperatura de las fibras exteriores signiflcana, por ejemplo, un
acortamiento de las mismas de,
01 ' 6.T. Este acortamiento, sin embargo, resulta impedido
por las flbras Interiores más catlentes; se origina asl una restricción Interna, Que conduce a un
estado propio de tensiones (afuera tracción, adentro compresión) (Fig. 5.31 s9gun (5)).
Segun sea la restricción a la deformación del elemento debido a su ublcaclón pueden,
además, originarse tensIones Inducidas, Que segun sea el signo de la variación de temperatura,
conducen a tensiones de tracción o compresión adicionales. Las tensiones debidas a la temperatura pueden alcanzar fácilmente la resistencia a la tracción del hormigón '1 con ello originar
fisuras. El peligro existe en los primeros dlas posteriores al hormlgonado, cuando la resisten·
cla del hormigón es aun reducida, sobre todo en noches frias. De ello se deduce la necesidad
de un tratamiento posterior cuidadoso, protegiendo al hormigón de un enfriamiento rápido. Pa·
ra grandes diferencias de temperatura, es necesaria una armadura destinada a limitar la fisura·
clón o un pequeno pretensado, porque 51 no se originan unas pocas fisuras, pero anchas '1 por
ello fácilmente visibles.
El monolitismo tan ventajoso de las estructuras de hormigón armado (que confiere rigi·
dez'a la flexión '1 corte) suele conducir a menudo a danos en el caso de variaciones de tempera·
tura. El ingeniero, al proyectar una estructura de hormigón armado debe elegir entre reducidas
variaciones de temperatura (es decir, buena alslaclón térmica), o asegurar, mediante medidas
especiales, la movilidad relAtiva de los elementos constructivos con diferencias de temperatu·
ra, y disponer Juntas de dilatación.
=
5.9.3. Fuego, Incendios
En el caso de incendiOS, las estructuras de hormigón armado están expuestas a la ae-
83
'0
t
Isotérmicas
,,
i~
+- '
t
<o~'1'--
Repartición de 1., tensiones en la sección
de un prisma de hormigón para 1, < 1; sección transversal del prisma
I
fL1-LllilJ.llllLlWJ.llLU,
,
,,
I
I
I
,
1J
k= -~-_---::-<-~-~
jf
~
Distribución de lemperaturas en la sección
central
DeIOfmaciones por temperatura, lal como
ocurrlrl_n si no hubiera restricción
I
Compresión
~
~TraCCi6n~
Estado propio de tensiones debido a la
restricción de las deformaciones, la sección se mantiene pl!!:n.
Flg. 5.31 . Variación de la temperatura y repartición de tensiones en un prisma de hormigOn producidas por
descenso de temperatura ambiente (según [!SD.
ci6n de llamas de alta temperatura. El calor, como consecuencia de la reducida conductibilidad térmica del hormigón, penetra en el mismo muy lentamente, de mOdo que los elementos
normales de hormigón armado poseen, en general y sin proteccl6n adicional, una buena resistencia al fuego.
El recalentamiento del acero es especialmente peligroso porque el acero, para temperaturas superiores a 350° e disminuye rápidamente su resistencia.
El aumento de temperatura del hormlg6n depende de su recubrimiento, es decir que la
duración de la resistencia al fuego puede resultar influida por el espesor del recubrimiento. El
hormigón puede sallar cuando conllene agregados cuarcltlcos o agua Ubre en los poros (lOS
agregados calcáreos son más favorables). La norma DIN 4102 regula la permanencia necesaria
de la resistencia al fuego.
En todos los grandes edificios que pueden estar sometidos al peligro del fuego, debe lenerse presente que todos los elementos estructurales horizonlales (por ejemplo: losas y vigas)
pueden sufrir grandes alargamientos como consecuencia del aumento de temperatura. En este
caso, es necesario prever que las Juntas entre las distintas partes del edificio tengan un Juego
suficiente. La variación de longitud de losas y vigas origina también rotaciones entre las mismas y los elementos de apoyo (columnas, paredes). En este caso pueden aparecer momentos
lIexO(es considerables, que deben ser tenidos en cuenta en el dimensionamiento cuando se
exige seguridad contra derrumbes por incendios (por ejemplo: cuando exista peligro de vidas).
84
5.9.4. Contracción del hormigón
Las deformaciones por contracc}6n de fraguado del hormigón mencionadas en el Cap. 2
resultan Inhibidas parcialmentA en el material compuesto que es el hormigón armado, como
consecuencia de la existencia de armadura. Pero, debido a la adherencia, las fibras vecinas de ambos materiales deben experimentar Iguales deformacionAs: en un elemAnto simétricamente armado aparecen tensiones de compresión en el acero y de tracción en el
hormigón. El elemento, en consecuencia, se acorta en función de una contracción reducida"
(ver Seco 2.9).
Cuando el hormigón se contrae en un elemento unilateralmente armado(por ejemplo: en
una viga), el mismo sufre una curvatura adicional, porque la parle sin armar se acorta más que
la armada. Ello debe ser tenido en cuenta para el cálculo de deformaciones porllexlón. El desecado del hormigón, y con él la contracción, penetra en la masa de hormigón desde afuera, lo
que da origen a un gradiente de contracciones, que conduce, como en el caso del gradiente térmIco, a un estado propio de tensiones. En estructuras estáticamente indeterminadas (por
ejemplo: en pórticOs) el acortamiento por la contracción origina esfuerzos caracterlstlcos Inducidos, similares a los debidos a descensos de temperatura, lo que puede conducir a la forma·
clón de fisuras. La mayor parte de las denominadas "fisuras de contracción" se deben a la acción conjunta de la contracción y disminución de temperatura.
5.9.5. Fluencla del hormigón
En los elementos comprimidos, las tensiones de compresión en el acero aumentan como consecuencia de los acortamientos del hormigón por fluencla.
Por razones de equJllbrlo, las tensiones en el hormigón deben disminuir, es decir que el
hormigón se descarga y parle de la carga se transfiere a la armadura de acero. El acortamiento
por f1uencla de una columna, por ejemplo, resulta limitado por la armadura y puede ser Influido
por la elección de la cuan tia de la misma.
En una viga de hormigón armado solicitada por flexión, el hormigón fluye solamente en
la zona de compresión y en las diagonales comprimidas en el alma. la fluencla conduce a de·
formaciones por flexión, funciones del tiempo y de las condiciones climáticas después del desencofrado (deformaciones adiciOnales), que pueden ser mucho mayores que la deformacIón
elástica InicIal. SI se desea que estas deformaciones adicionales, en general indeseables,
mantengan un valor reducido, es necesario que las tensiones de compresión tengan un valor
reducidO, para lo cual es necesario que ia sección sea poco esbelta o que la zona comprImida
de la misma sea muy grande. TambIén es posible disponer armaduras de compresión, que 11m)·
tan tanto la lIuencia como la contracción de fraguado.
5.9.8. Comportamiento para oscilaciones e Impactos
las estructuras pueden estar sometidas a oscilactones forzadas, pOr ejemplO, por el paso de vehlculos en puentes, o por máquinas en fábricas o por el viento en torres y chimeneas
aisladas. Los choques o Impactos pueden originar oscilaciones libres.
Los elementos de hormigón armado sometidos a grandes oscilaciones (sollcitaclón di·
námica) pueden fallar por rotura frágil del acerode la armadura o por fatiga del hormigón, cuando la repetición de tensiones o el cambio de signo reiterado de las mismas sobrepasan a la resistencia a la fatiga o la amplitud de oscilación admisible (ver Caps. 2 y 3), Por ello se las dImensiona en general para cargas aumentadas (por ejemplo, coeficientes de Impacto según
DIN 1075 o Incrementos de carga según OIN 4024). SI estos coeficIentes se aplican a la carga
máxIma, el cálculo resulta en general muy desfavorable. Resulta preferible determinar la magnitud de la carga que, durante la vida útil de la estructura, se repita muy probablemente unas
2· 10' veces. La consecuente amplitud de oscilación de tensiones no debe pasar del valor admisible 2 a•.
La solicitación oscltante afecta sobre todo la adherencia en las fisuras y aumenta la 11suraclón (aumento del ancho de las fisuras de hasta un 35 % con respecto al inicial). los elementos estructurales con sollcJlaclones dinámicas grandes, deben por ello proyectarse y COns·
trulrse muy cuidadosamente, especialmente en lo que respecta a los radios de curvatura del
acero, recubrimiento y forma y disposición de las armaduras, para limitar la fisuración. En es·
85
tos casos, el hormigón pretensado se adapta mejor que el hormigón armado. La gran amortl·
guaclón interna de las estructuras de hormigón armado constituye una ventaja en lo que se refiere a evitar las oscilaciones por resonancia, para excitaciones de cergas repetidas. El decrecimiento logarltmico de la amortiguación varIa entre 0,4 y 0,6, siendo mayor en el estado ¡¡ que
en el estado 1.
5.9.7. Comportamiento sismico
Los terremotos, en lo que respecta a las estructuras de hormigón armado, deben consl·
derarse como un prOblema dInámico. las oscilacIones de la tIerra pueden actuar en cualquIer
dIrección y aun con componentes verticales.
Las frecuencias, amplitudes y aceleracIones hasta un máx 0,2 g, son casuales. Las
grandes aceleraciones se corresponden en general con altas frecuencias de pequenas ampH·
tudes.
Considerando que la masa de la estructura se desplaza durante el movimiento oscilante, la magnitud de las fuerzas que actuan sobre la misma deperlden en primer término de la ma·
sao La energla cinética del terremoto debe anularse como trabajO de deformación repetido en
cada oscilación.
De acuerdo con ello, las fuerzas que actuan sobre la estructura son tanto mayores,
cuanto menor sean las deformaciones prOducidas por el terremoto. Por ello es que las estructuras elásticamente deformables están expuestas a fuerzas menores que las rfgidas.
las estructuras de poca altura (por ejemplo, pilares de puentes, casas de pisos bajas,
con paredes de hormIgón) pueden ser rlgldas, y con tOdo resIstir los terremotos, siempre que se
las haya dimensionado y armado para resistir grandes esfuerzos, principalmente en dirección
horizontal. En estos casos es suficiente un análisis prácticamente estático.
los edilicIos elevados (de más de 3 Ó 4 pisos) deben ser elásticamente deformables, por
ejemplo con un n(¡cleo esbelto o numerosas columnas, aportlcadas con las losas de los entrepisos.
En este caso es necesario un análisis dlnAmlco con hipótesis preestablecidas para las
causas de las oscilaciones. Si se los dimensiona para las fuerzas asl determinadas y se utiliza
una armadura que permita un "comportamiento dúctil", pueden entonces resistir fuertes lerre·
motos casas de hasta 30 ó 40 pisos.
El "comportamiento dúctil" (ductllity) se obtiene en el caso de fuerzas slsmlcas horizontales, sobre todo mediante un fuerte estribado horizontal de todos los elementos de apoyo.
86
6
Bases para la verificación de la seguridad
6.1. Conceptos bbicos
6.1.1. Objeto
El objeto de la verificación de la seguridad (checking safety) de las estructuras es garantizar:
1.
2.
3.
suficiente resistencia y estabilidad.
adecuada capacidad de uso desde el punto de vista del destino proyectado.
durabilidad satisfactoria.
La seguridad existe cuando la estructura es capaz de resisllr los ataques y solicitaclone9, que contemplan los tres aspectos antes mencion,ados con un margen satisfactorio respecto del colapso. En consecuencia debemos, por una parte, considerar las solicitaciones y
por otra los limites de rotura de la estructura y compararlos entre sI.
6.1.2. Solfclfac/ones
l as estructuras están solicitadas por cargas (peso propio, carga útil) y efectos climátl·
cos, como ser el sol, viento, lluvia, calor, frlo y heladas. Como acciones extraordinarias deben
considerarse eventualmente electos slsmlcos, fuego y explosiones. De estas soliCitaciones,
parte son conocidas (determinadas) y fácilmente calculables como por ejemplo las cargas debidas al peso propio, parte son previsibles dentro de determinados limites y dispersiones, pu·
diendo utilizarse valores máximos probables o estadlslicos (por ejemplo, efecto del viento y de
la temperatura) y parte de acuerdo al desUno de la estructura (cargas útiles). En ciertos casos,
las cargas útiles originan cargas oscilantes, por ejemplo, en el caso de maquinarias o vehlcu,
los que originan en la estructura cargas dinámicas (oscilantes). Teniendo en cuenta lo expues·
to, distinguiremos entre cargas esláticas o predominantemente estáticas, que conducen a soli·
citaciones estáticas y cargas repetidas reiteradamente o cargas oscilantes , que lo hacen a solicitaciones dinámicas.
Las solicitaciones efectivas o prObables a que conducen las mencionadas, se conocen
como "cargas útiles" (design load·working load). Aparte de dichas solicitaciones exteriores,
existen además solicitaciones de las estructuras debidas a esfuerzos Internos originados por
una restricción a la li bre deformaCión, debida a efectos externos. En este caso debemos distinguir entre:
87
fuerzas inducidas externas, que actúan sObre la estructura, como consecuencia de una
restricción a su libre deformación. Originan reacciones de apoyo y esfuerzos caracterlsti·
cos en secciones y son función de la rigidez del sistema;
fuerzas Inducidas internas en estructuras, que no originan reacciones de vinculo y si solo
estados propios de tensión, por ejemplo, diferencias de temperatura en elementos de
gran espesor. Estos estados propios de tensiÓn afectan la capacidad portante de la
estructura. En los razonamientos relativos a la seguridad, juega un rol Importante cuál es
la probabilidad de que los distintos tipos de carga y de acciones puedan ocurrir con su
máximo valor y que resulte necesario superponer para el dimensionamiento. Ello será objeto de un estudio más detallado en la Seco 6.3.1.
6.1.3. LImites de las posibilidades de uso, es lados limites
la estructura debe resistir a las solicitaciones, y existen limites de utilización (estados
limites), que pueden ser calculados para asegurar la segu ridad exigida contra un colapso.
Para lograrlo, se parte de la hipótesis de proyectos rea lizados por Ingenieros estructura·
les su ficientemen te capacitadOs y una correcta ejecución de la estructura.
En primer lugar, cabe distinguir entre dos grupos de esta::os limites:
a) estados limites de rotura.
b) estados limites de utilización.
Para cada estado limite corresponde una carga limite o carga critica.
s) Eslados Ifmites de rotura (ultima te limil slates)
Colapso de la estructura por rotura en lugar crftico1secclón crflica, sección de rotura)
conduce al derrumbe en el caso de vigas isostálicamente sustentadas;
Colapso de la estructura por grandes deformaciones localizadas en varios lugares crftl·
cos (formación de articulaciones plásticas), conduce al colapso en estructuras estática·
mente Indeterminadas, formándose en este caso un mecanismo de rotura o una cadena
cinemática de un grado de libertad;
Volcamlento de la estructura o de parte de ella - pérdida de estabilidad, por ejemplO, por
rotura de un anclaje;
Pandeo recto o por abolladura de partes de la estructura, originado por compresión ex·
céntrica (inestabilidad del equilibrio);
Inestabilidad como consecu~ncla de considerables desplazamientos o deformaciones;
Rotura por fatiga o solicitaciones dinámicas o por deformaciones plásticas por fluencla.
los estados limites o de rotura pueden también originarse por el fuego, explosiones o
efectos sismlcos, los que en cada caso deben ser tenidos en cuenta y verificados .
b) Estados limites de utilización (servlceabflfty Ifmlt sta tes)
Deformaciones excesivas, en especial por flexión, que Impiden un uso normal de la
estructura u originan danos en partes de la misma.
Excesiva fisuraciÓn.
Oscilaciones inadmisibles.
Filtraciones de agua o humedad.
Corrosión del hormigón o et acero.
6.2. MétOdos de calculo para garantizar la seg urid ad
las solicitaciones debidas a las cargas útiles deben mantenerse con suficiente seguri·
dad por debajo de los estados limites de la estructura. ·'Seguridad suficiente" se obtiene mediante los coeficientes de seguridad 11, con los que se multiplica la carga útil, para obtener la
carga portante o carga limite. En la sección 6.3.1 se analizan con más detalles tos coefIcientes
de seguridad. Del desarrollo histÓrico del problema pueden distinguirse Ires métodos de
cálculo distintos.
88
I
6.2.1. El procedimiento antiguo sobre la base de tensiones admisibles
Para la carga util (suma de los máximos valores correspOndientes a los distintos esta·
dos de carga), se calculan las tensiones o en las secciones más solicitadas. Se debe cumplir
o max " o adm = _""""~'r..S~IT.s~'.~n"C~i.",,P==;r::_
coeficiente de seguridad v
En las normas, o adm se fiJa de forma tal que se cumpla v . o adm " (J. Con ello la segurl·
dad se establece sobre la base de la resistencia de los materiales '1 no sobre la del elemento
estructural o la de la estructura resistente. El prOCedimiento de cálculo basado en o adm conducirla a resultados correctos si para la totalidad de las solicitaciones '1 tipos de estructuras
portantes, la tensión o tuviera un comportamiento lineal hasta llegar a la rotura. Pero este no es
el caso, especialmente para el hormigón armado o pretel}sádo. Es por ello que en el método bao
sado en o adm, existen diferencias muy considerables en lo que respecta a la seguridad real, si
los valores de o adm no se refieren a los estados limites de la capacidad de carga de la estruc·
tura, esto último contemplado en ciertos capitulaS de las normas DIN .
6.:2.2. ProcedimIentos basados sobre los estados limites
En este caso se verifica si la carga úll1 o de servicIo multiptlcada por el coeficiente de
seguridad 11 resulta inferior a la carga limite.
La especificación de cálculo expresa en consecuencia: dimensionar la estructura para la carga
limite = v veces la carga útil o de servicio.
Esta condición puede referirse a secciones criticas o en el caso de sistemas estática·
mente Indeterminados extenderse a toda la estructura mediante la formacIón de mecanismos
de rotura.
Dado que en este caso se parte de determinados valores de resistencias '1 de cargas o
estados de carga, a este procedimiento de cálculo se lo denomina " delermlnistico" . Los IIalores de las resistencias y las magnitudes de las cargas a tener en cuenta para el cálculo pueden
establecerse estadistica mente, con el Objeto de tener en cuenta la dispersión de los valores reales . En general se considera por ejemplo que el 95 % de los valores de los ensayos, que se
distribuyen según una curva estadlstlca normal,superan un valor de la resistencia denominado
valor caracterlstico de la resistencia '1 en los que se basan los cálculos '1 el dimensionamiento.
En este procedimiento es posible separar el coeficiente de seguridad en coeficiente de
seguridad de la carga '1 coeficiente de seguridad del materla~'1 hasta es posible utilizar ambos
con valores distintos ('t8r Sec. 6.3.11.
6.2.3. Procedimiento basado en la teorla de la probabilidad
Muchos de los parámetros que aparecen en el cálculo están sujetos no sólo a dlsper.
slones sino también a la casualidad ("clentlflcamente" hablando se trata de valores " estocás·
tlcos"). Esto se cumple sobre todo para esfuerzos originados por la naturaleza, como ser el
viento '1 los efectos slsmlcos, en los que valores máximos estocásticos, Inc6gnitos, puramente
casuales pueden ocurrir luego de transcurridos grandes perlodos de tlempo,por ejemplo, cada
100 al'los. También en nuestras estructuras corrientes, fallas casuales del material pueden con·
ducir a colapsos prematuros. Por ello no existe ninguna seguridad absoluta, sino una determl·
nada probabilidad que la capacidad limite Que debe poseer la estructura, '1 para la que se cal·
culó, exista '1 resulte suficiente. Esta prObabilidad de existencia debe ser elevada. Los especialistas teóricos en probabilidades, lamentablemente opinan en forma negativa sObre este aspecto, diciendo que la prObabilidad de colapso debe ser la mlnlma posible, por ejemplo 10" , lo
que significa que en un millón de casos debe contarse con un único caso de colapso. Es por ello
que la estadlstlca '1 la teorla de las prObabilidades, constituyen en este caso las bases de las
consideraciones relativas a la seguridad que conduce al procedimiento probabillstico, tenlen·
do en cuenta manifestaciones estocásticas.
Esta forma de análisis corresponde, como base, a los cálculos de seguridad del futuro,
pero en la práctica merecen sin embargo la preferencia en el procedimiento de cálculo determl·
nlstlco desarrollado sobre dichas bases. Los valores dispersos (erráticOS) se representan en
curvas de frecuencia o sea curvas de densidad de distribución.
89
Zona central de seguridad
I
I
I
J
I
I
Seguridad caracterfstica
I
I
/
/'
!
Fracciones porcentuales
complementarlas
1
/
95*1.
/ t-
I" "
I
!
ca,•• IImll.
"
'--
Magnitud de la soliCItación
o respectivamente de la carga 1Imlte
Flg. 6.1. La posición relativa de las curvas de frecuencia de la solicitación y de la carga limite determinan
la segurIDad.
La densidad de distribución de las solicitaciones previstas para la estructura, se representa superpuesta a la curva de frecuencia de las cargas limites previstas (Flg. 6.1). Segun sea
la magnitud e Importancia del dan o derivado de un colapso, la separación de dichas curvas o
de dos reducidas fracciones porcentuales deberá. ser elegida mayor o menor. Esta separación,
por ejemplo, de las fracciones del 95 % Y 5 % respecllvamente, corresponde a la seguridad
caraclerlstica o, dicho de otro modo: el coc iente entre los valores de las fracciones constituye
el coeficiente de seguridad v. La probabilidad de la seguridad real es mayOf, y puede sobrepasar la "zona central de seguridad".
CEB-FIP han Introducido el método probabillstlco un tanlo prematuramente en los
calculos, pero no lo han desarrollado en forma consecuente [241. Es posible encontrar buenas
representaciones en [67, 68, 691 y en las Jornadas de Trabajo sobre " Seguridad" 1973 de la
Deutsche Betonvereln (142].
6.3. Magnitud de los coeficientes da seguridad
6.3.1 . Seguridad para
'a capacidad de carga y estabilidad
El coeficiente de seguridad debe cubrir un gran numero de inseguridades, por ejemplo:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
90
Inexactitudes Inevitables o causadas por errores en las hipótesis de carga, tanto para el
peso propiO como para la sobrecarga, que pueden aumentar las supuestas para el cálculo estático.
Oeficiente estimación de las tensiones reales en el cálculo y dimensionamiento, que se
basan en hipótesis Ideales slmpllllcatlvas.
Apartamiento con respecto al real , del esquema estatlco adoptado, especialmente en el
caso del hormigón armado desde el punto de vista del grado relalivo de empotramiento
de los distintos elementos entre sI.
Diferencias en el comportamiento de los malerlales y de las estructuras en lo que respec·
ta a las leyes de variación 0 - [ adoptadas.
limitación del cálculo a sistemas planos y estados planos de tensión, despreciando la
influencia de las tensiones espaciales sobre la resistencia, aunque en realidad se trate
en general de estructuras espaCiales y estados triples de tensión.
Inexactitudes de cálculo y errores moderados en los mismos.
Estimación errónea de las secciones criticas para el dimensionado.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Hipótesis y consideraciones defectuosas relativas a la excentricidad en problemas de
inestabilidad (pandeO, abolladura).
Efectos no tenidos en cuenta Involuntariamente o despreciadas a sabiendas, tales como
variaciones y diferencias de temperatura, fluencia y contracción de fraguado del hormi·
gón, deformaciones y oscilaciones.
Inexactitudes inevitables y errores de ejecución, como por ejemplo Inexactitud de dimen·
slones, de los pesos unitarios, de dirección (columnas Inclinadas).
Falta de resistencia de los materiales, que no alcanza el valor caracterlstlco garantido y
verIficado por probetas extraldas al azar, especialmente en el caso del hormigón (por
ejemplo los asl llamados nidOS, es decir, lugares mal compactadOs), pero también en el
acero (por ejemplo fallas localizadas por defectos de laminado o Inclusiones).
Ubicación equivocada de la armadura, en especial diferencias en cuanto a la ubicación
de acuerdo a planos (armaduras superiores aplastadas o situaciones similares).
Efectos de corrosión en el hormigón y el acero.
De acuerdo con la teorla de las probabilidades deben analizarse cada una de las Influen.
clas mencionadas en lo que respecta a la seguridad y cubrirse por un factor seria demasiado
complicado. Además, es poco probable que la totalidad de dichos factores de incertidumbre
aparezcan simultáneamente; pero también para la simultaneidad de acción de Inseguridades ,
es necesario plantear consideraciones probablllstlcas. Pero siempre resulta evidente que debe
exigirse un coeficiente de seguridad suficientemente elevado.
La magnitud del coeficiente de seguridad se elige segun sea el tipo de colapso: si se espera que la rotura se produzca bruscamente, sin aviso previo mediante deformaciones o lisuras (rompe de esta forma el hormigón de alta resistencia por compresión) se considera necesario adoptar un coeficiente de seguridad más elevado que para el caso de un tipo de rotura en la
que se presentan manifestaciones de advertencia, por ejemplo, grandes deformaciones, IIsu·
ras de gran espesor o asllllamiento del hormigón comprimido que preanuncian el Colapso, antes de que se llegue a la carga de rotura.
Los coellcientes de seguridad exigidos están fijados por las normas, por ejemplo en
DIN 1045. Actualmente para los esfuerzos caracterlsticos debidos a cargas, en elementos de
hormigón armado, los valores establecidos son:
para rotura con preavlso:" = ',75
para rotura sin preaviso: "
2,1.
=
Además de los esfuerzos caracterlsllcos debidos a cargas, pueden orig inarse esfuerzos
caracterfsticos inducidos por temperatura, contracción, etcétera (ver Seco6.1.2). Los esfuerzos
caracterfsUcos Inducidos, determinados para el estado 1, resultan sin embargo, al pasar al es·
tado 11, menores, al disminuir la rigidez, es decir que no crecen como los esfuerzos caracterfsti·
cos originados por las cargas hasta llegar a la carga critica, sino que en general, hasta pueden
disminuir. Por ello, al dimensionar no deben ser afectados como en el caso de las cargas por
coeficientes de 1,75 a 2,1 sino solo de un coeficiente de seguridad más reducido "Zw' A este
respecto, la DIN 1045 parece un poco arbitrarla pues establece:
coeficiente de seguridad para esfuerzos Inducidos "Zw
= 1,0.
Cuando los esfuerzos inducidos (forzados) juegan un papel Importante, deberla verificarse el valor que mantienen poco antes de alcanzarse el estado limite, partiendo del estado de
deformación existente.
.
Los esfuerzos Inducidos pueden en este caso haber desaparecido totalmente o, por
ejemplO, en columnas con pequena excentricidad, continuar creciendo con la carga. En este ultimo caso, no se Justifica una reducción de "Zw a 1,0, debiendo aplicarse un coeficiente de seguridad para este tipo de esfuerzos, mayor que 1,0.
La norma DIN 1045 utiliza coeficientes de seguridad "globales" (glObal safety factors,
overa/l = ) que cubren tanto un posible aumento de carga como una reducción de la resistencia
de los materiales. En el CES y en determinados paises se usan coeficientes parciales de segu·
ridad (partial safety factors), por ejemplo, factores para cargas 15 > 1 Y factores para materiales 1m < " y que se diferencian segun el riesgo relativo a la carga limite y a los danos emer·
91
gentes de un cOlapso. De esta forma es posible adecuar la seguridad contra el agotamiento de
la resistencia, en forma más satisfactoria a las distintas exigencias de cada caso.
Los coeficientes de seguridad parciales conducen a una seguridad efectiva más
equilibrada que los globales, sobre todo cuando no existe una relación lineal entre cargas y
tensiones. Puede recomendarse elegir, para los coeficientes de seguridad para las cargas, valores de hasta 1,4 a 1,5. Para superposiciones de estados de carga, de acuerdo con la probablll·
dad de que ocurran los valores máximos o que simultáneamente coexistan todos los estados
de carga, los coeficientes de seguridad para los casos aislados de carga, pueden reducirse
hasta 1,0 ó 1,2. los coeficientes para los materiales pueden elegirse de acuerdo con la densl·
dad de reparllclón de sus resistencias o también, de acuerdo a la forma de la curva de frecuencias. Según CEB-FIP, se e,stablece para el hormigón, según sea el tipo de control de calidad ,
rm 1,4 a 1,6, y para el acero 1,15.
=
6.3.2. Seguridad contra la perdIda de la capaCidad de uso
La pérdida de la capacidad de uso puede, en lo esencial, evitarse mediante:
-
.lImitación de las deformaciones
LImitación del espesor de las fisuras.
En laque respecta a los valores limites admisibles, no es posible dar indicaciones de validez general: la deformación admisible por flexión, por ejemplo, depende totalmente del destl·
no de la estructura; el ancho de las fisuras de una viga en una planta qu[mlca, donde existe elevado peligro de corrosión, debe ser menor que en una viga de entrepiso de un edificio seco de
oficinas. El Ingeniero proyectista debe en estos casos, juntamente con el comitente, adoptar
decisiones lógicas.
6.4. Dlmenslonemlento de las estructuras
6.4.1. Conceptos fundamentales para el ,dimensionado
De los razonamientos efectuados sobre seguridad surge groseramente, que debemos
dimensionar nuestros elementos resistentes para una:
Carga limite (portante) necesaria = 1/ veces la carga de servicio.
la seguridad requerida puede verificarse en las secciones Criticas, mediante los esfuer·
zos caracterfsticos N, M, MT Y a , debiendo siempre tenerse, por ejemplo:
1/ (M + N)g + p <. carga Umlle para (M
1/0 0 + p
< carga
+
N)
IIm1te para a , etcétera
En este caso (M + N) significa la acción conjunta del momento (flexión) y esfuerzo axi !.
Cuando M se origina preponderantemente por causas distintas que N, este ú1limo puede también aumentar la capacidad parlante debida a M, siempre que actUe en el interior del núcleo
central de la sección, orl glnando asl una compresIón en la zona tracclonada de la seccIón, y
dismInuyendo con ello la armadura de tracción necesaria. En tales casos, la seguridad necesaria sólo se alcanza si se tiene \11 Mg + p + 1/2 Ng < carga limIte, donde 1/2 < 1,0 según que exis·
ta la probabilidad que NO resulle en realidad menor que la calculada. Respecto a esto, un caso
Ilplco lo constituye el de una torre solicitada por el viento, cuyO Ng disminuye las tensiones de
tracción por flexión debidas al viento.
En estructuras estáticamente indeterminadas puede, además, utilizarse las reservas de
resistencia originadas por redistribución de esfuerzos caracterlsllcos debidos a las deforma·
ciones correspondientes a los reglmenes elástico o plástico (mecanismos de rOlura). Este te·
ma será tratado en detalle en un volumen posterior.
92
6.4.2. Proceso del dimensionado
Una ....ez proyectada la estructura, se estiman sus probables dimensiones, en general en
base a la experiencia o luego de un predimenslonado. luego, mediante un cálculo estático, se
determinan los esfuerzos caracterlstlcos M, N, a y MT debidos al peso propio, carga útil y caro
gas Inducidas (Zwang) en las secciones criticas. luego deben dimenslonarse las secciones pa·
ra dichos esfuerzos. Como dimensionamiento (deslgn dimensioning) se entiende en este caso
el cálculo de las dimensiones necesarias a dar a las secciones/tanto para el hormigón como
para las armaduras de acero, de mOdo que los esfuerzos caracterlstlcos calculados puedan ser
absorbidos con la seguridad preestablecida. Es romún que el cálculo se efectúe únicamente
para dimensionar la armadura, partiendo de secciones de hormigón elegidas a priori , caso éste
en el que se ....erlflcan luego, simultáneamente, las tensiones y las deformaciones en el hormigón
comprimido. También es necesario controlar si la cuan tia de armadura calculada puede ser
ubicada en la sección de hormigón con la separación necesaria de las barras y si la distribución y diámetro de las barras de la armadura adoptada asegura una limitación satisfactoria del
espesor de las fisuras. Aqul nos ocuparemos solamente de mostrar cómo es posible ....eriflcar la
lorma en que pueden absorberse con seguridad los esfuerzos caracterlstlcos.
Normalmente, el dimensionamiento se efectúa solamente para secciones crIticas elegidas de la estructura, en las que uno o ....arlos de los esfuerzos caracterlstlcos alcanzan un . . alor
máximo. Por experiencia se conoce, en general, las secciones a que puede uno limitarse, a
efectos de alcanzar para la totalidad de la estructura la seguridad exigida. En grandes estructuras, por ejemplo. puentes, se dimensiona un número de secciones mucho mayor que para
estructuras simples de un edificio, de mOdo de pOder limitar en forma económica, tanto las aro
maduras longitudinales como las de corte.
En casos especiales no basta conocer los esfuerzos caracterlsticos debidos a las caro
gas exteriores, que actúan en la sección critica elegida, sino que es necesario tener en cuenta
su ....ariaciÓn sobre tOda una parte de la estructura y su influencia en las deformaciones, por
cuanto estas últimas pueden Influir desfa....orablemente sobre los esfuerzos caracterlsticos de
la sección. Este es, por ejemplo, el caso de elementos comprimidos esbeltos (....er Cap. 10) y en
partes de estructuras sujetas a cargas oscilantes (torres esbeltas baJO el efecto de ráfagas,
fundaciones de máquinas, etcétera). También es necesario subordinar al cálculo, la ....erificación de si se satisface la capacidad de uso, limitando la deformación por flexión en .... igas, losas y .... iguetas.
8.4.3. Dimensionamiento para los distintos tipos de esfuerzos caracterlsticos en una sección
En las estructuras actúan los esfuerzos caracterfstlcos N, M Y a simultáneamente, pudiendo los momentos flexores y esfuerzos de corte solicitar a la sección en forma oblicua, es
decir, con componentes según dos ejes ortogonales. Cuando las estructuras son de materiales
homogéneos, es posible calcular las tensiones máximas para solicitaciones combinadas fácil·
mente mediante el empleo de la Resistencia de Materiales y la Teorta de la Elasticidad. Ello no
ocurre para el material heterogéneo con coherencia que es el hormigón armado, porque para
éste, los esfuerzos Interiores, por la existencia de fisuras en el hormigón y por la dirección impuesta generalmente a la armadura por razones constructi .... as, no pueden determinarse en forma exacta. Por esta razón, el dimensionamiento de las .... igas de hormigón armado se realiza
habitualmente en forma separada.
Momentps flexores según los ejes y y z con o sin esfuerzo axil en la dirección x, que originan tensiones normales al plano de la sección.
Esfuerzos de corte en las direcciones z e y, que produ·
cen tensiones en el plano de la sección, y tensiones
principales oblicuas con respecto al eje x.
Momentos torsores respecto del eje x, que producen
tensiones en el plano de la sección, y correspondiente-mente, tensiones principales inclinadas con respecto al
eje x.
•
z
93
La superposición de las solicitaciones debidas a dichas verificaciones independientes
sólo se efectúa en aquellos lugares en que puede resullar crttlca, por ejemplo en el caso de tensiones tangenciales por corte y torsión.
Para lIexlón simple, normal u obllcua,con o sin esfuerzo axi~exlsten procedimientos de
calculo que contemplan el efecto de los esfuerzos resullantes en forma muy cercana a la realidad.
6.4.4. lnflufJncia sobre los esfuerzos caracterlsticos de las reta clones de rIgidez de los estados I
y 11 en las estructuras estáticamente indeterminadas
En el caso de estructuras estáticamente indeterminadas, para determinar los esfuerzos
caracterlstlcos, al realizar el cálcu lo estático, es necesario tener en cuenta las rigideces de los
distintos elementos de la estructura, con el objeto de poder calcular las deformaciones necesarias para las condiciones de compatibilidad.
En las estructuras de hormigón armado se uUlizan normalmente las rigideces EF y EJ de
la sección total para el estado 1, y generalmente sin tener en cuenta la existencia de la armadura . Con ello se obtiene una distribución de esluerzos caracterlsticos aceptable.
En realidad las rigideces cambian para todas aquellas estructuras no pretensadas, al
pasar al estado 11 , lo que ocurre en los elementos solicitados por flexión, torsión o tracción, en
cuanto las tensiones de tracción en el hormigón sobrepasan su resistencia a la tracción.
Estas rigideces correspondientes al estado 11, difieren en parte, muy considerablemente
de las del estado 1. Ello se cumple, por ejemplO, para la rigidez a la flexión de vigas muy planas,
que siempre alcanzan el estado 11, mientras que las columnas permanecen generalmente en el
estado 1. la rigidez a la torsión al pasar al estado 11, disminuye considerablemente con relación
al caso de la flexión. Como consecuencia de estas variaciones entre las relaciones de rigideces,resullan notables diferencias en la distribución de los esfuerzos caracterlsticos, con respecto a las obtenidas introduciendo en forma glObal las rigideces correspondientes al estado I
y determinadas mediante el cálculo estático.
En algunos casos es posible al dimensionar con esfuerzos caracterlsticos correspondientes al estado 11 (eventualmente mediante una acertada distribución de las cuantlas de aro
madura), obtener economlas en los casios de construcción.
De acuerdo con DIN 1045, las rigideces correspondientes al estado 11 pueden utilizarse
para la determinación de los esfuerzos caracterlsticos. Son función de las cuanUas de armadura, que previamente debe ser estimada. Cada variación de armadura significa un cambio de ri·
gldez. Un análisis exaclo resullana muy circunstancial y extenso, por lo que es necesario conformarse con valores medios de las rigideces. Por otra parte una determinación exacta de los
esfuerzos caracterlstlcos no es mayormente necesaria , porque las estructuras de hormlg6n aro
mado estállcamente indeterminadas pueden reacomodarse por redistribución de momentos.
6.4.5. ObservacIones relativas a los procedImIentos usuales de cálculo
En el procedimiento basado en las tensiones admisibles para cargas de servicio (design
based on permissible worklng stresses), las tensiones admisibles se establecen actualmente,
por ejemplo, en DIN 1045 para corte y torsión, de modo lal Que exista el grado de seguridad deseado, para no alcanzar la carga limite del elemento considerado.
En el procedimiento en base a estados limite (l/mil state deslgn) o en el procedimiento
de la carga limite (ultima te load design), se determinan las cargas limite PCril o Pu partiendo de
valores prescriptos de calculo de las resistencias de los materiales.
Por ello la sección crlllca debe dimenslonarse para \1 veces la carga de servicio carga
limite necesaria (lamentablemente llamada en DIN 1045 "carga de rolura" para el cálculo). Para la determinación de la carga limite no se tiene en cuenta un comportamiento lineal de los
materiales o de los esfuerzos Internos en la estructura.
Los valores de calculo de la resistencia de los materiales no son idénticos a los valores
de resistencia obtenidos mediante ensayos normalizados (por ejemplo ~w o pz) sino que se tra·
ta de valores reducidos, cuyo fundamento podrá verse en el capitula 7 con más delalle y que están fijadas por los reglamentos.
los procedimientos basados en la carga I/mite permiten utilizar también reservas de resistencia en algunas partes de las estructuras, por ejemplo teniendo en cuenta redistribución
=
94
de momentos, que ocurre cuando la capacidad de carga a la lIexlón en una zona esta por agotarse, mientras que una zona vecina es capaz aun de absorber momentos. En construcciones
metálicas, hace t~mpo que se hace uso de dicha reserva de resistencia.
El procedimiento de los estados limites de la capacidad de carga, ha sido adoptado pa·
ra la solicitación compuesta en casi todos los paises. pero sin embargo para los estados de
carga correspondientes a carie y torsiÓn presenta aún diflcultades. porque para los mismos no
ha sido posible desarrollar aún leorlas de rotura aceptables.
Tampoco en el caso de cáscaras, laminas '1 estructuras similares es posible aún aplicar
el método de los estados limites.
En la utilizaciÓn práctica de las especificaciones alemanas. no se consideran practica·
mente los diferentes procedimientos de calculo, porque se utilizan como elementos auxiliares
de calculo, tablas, diagramas, etcétera (por eJemplo DIN 4224 o también Cuaderno 220 DAfStb).
en los Que en todos los casos se puede partir de la carga de servicio.
95
7
Dimensionado para flexión y esfuerzo
ax~1
7.1. Bases de calculo
7.1.1. Hipótesis para dimensionar
El dimensionamiento a la flexión, tal como se desarrollará en lo Que sigue, sólo es válido para elementos constructivos (por ejemplo vigas, losas, columnas) de una esbeltez
lid ;¡¡, 2 (1 = longitud o luz, d = altura de la sección). Los elementos con lid '" 2 (láminas y elementos similares) se comportan bajo carga en forma distinta.
Solo en el caso de elementos constructivos muy esbeltos la deformación por corte respecto a la deflexlón es tan pequena, que podemos utilizar la hipótesis de Bernoulli como 1- ley
fundamental para el dimensionamiento:
*
las secciones se mantienen planas luego de la deformación,
de 10 que se deduce que:
*
las deformaciones especificas ( de las fibras de una sección varlan en función a su dis·
tancia y al eje neutro, es decir que el diagrama de las deformaciones especificas es lineal
(Fig.7.1).
La 2- ley fundamental para el dimensionamiento de las secciones de hormigón armado
ya fue enunciada en el capi tulo 5:
*
no se tiene en cuenta para el calculo la resistencia a la tracción del hormigón, es decir
que las zonas del hormigón en las que aparecen deformaciones longitudinales de trac·
clón, no se consideran activas,
de donde se sigue que:
*
para todos los esfuerzos de tracción necesarios para el equilibrio interno, deben preverse
armaduras de acero.
Como 3' ley fundamental, se acepta la hipótesis de una vinculación total entre el acero
y el hormigón, es decir:
*
96
los elementos de sección de acero y de hormigón, ubicados en fibras situadas a la misma
distancia del eje neutro, experimentan la misma deformación especifica.
4 __
..,f--
El
-I-__·~J·_neulro
'.
JFig. 7.1. Diagrama de delormaciones especificas segun la hipOtesls de B8fnouUilpara piezas esbellas (constancia de las
secciones planas en la deformación por lIexlón, diagrama linea' de deformaciones).
deformaciones
l
Si una pieza posee un plano de slmetrla y los esfuerzos caracterlsticos actúan sobre el
mismo, se dice que la "solicitación es unlaxial" (uniaxialloadlng).· Este caso, el más común,
se tratará en las secciones 7.2 a 7.3.3. El dimensionamiento de las secciones asimétricas o
cuando los esfuerzos caracteristlcos no actúan en un plano de simetrla, se analiza en la sec o
7.3.4.
Para flexión normal con esfuerzo axil, la sección activa a tener en cuenta para el cálculo
depende det signo del esfuerzo axll (+ tracción, - compresión) y de la magnitud de la ex·
centricidad (excentricity)··' (Flg. 7.2). La posición del eje neulro (neutrat axis) depende, en cada
caso, también de la relación entre la sección de la armadura y la del hormigón, es decir de la
cantidad de armadura (grado de armadura o cuanlla de armadura).
La capacidad de carga de una sección de hormigón armado se agota cuando el horml·
gón falla por compresión, O el acero por tracción. Por encima de dicha carga de rotura
Pu (U
ultima te) noes posible un aumento de la misma. Al dimensionar, no se utilizan las fa.
slstenclas obtenidas en ensayos realizados con probetas de los meter.lales a utilizar(ver caps. 2
y 3) sino valores menores preestablecidos y garantidos, denominados "resistencias caracterls·
ticas" (characterfstlc strengths). La carga limite obtenida mediante dichos valores se designa
como "carga critica" Pcrit.
En lo sucesivo, utilizaremos para dicho estado limite el sublndlce " U", como por
ejemplo: Pu, Mu, Nu. etc., por cuanto dichas designaciones son uUllzadas en las normas DIN
1045 Y DIN 4224.
=
7.1 .2. Valores caracterlsticos de las resistencias de los materiales y de los diagramas tensión·
deformación
7.1.2.1. Valores caracterlsticos del hormigón
Para el hormigón solicitado por compresión se acepta la relación o', representada en la
Flg. 7.3, constituida por una superficie parabólica (hasta alcanzar 'b = 2 %o) Yuna rectangular
(entre et> 2
Y3,5 %J.¡ Es equivalente para cualquier calidad del hormigón! La ecuación de la pa.
rábola (donde lb aparece en valor absoluto en %o y el sublndice b caracteriza a l como abra.
vlatura) es:
=
'*'"
(7. 1)
• En el ".Ico usual de la Argentina se habla de lIexlón normal o corte normal por lo Que en lo sucesivo
usaremos esla denominación. (N. del r.)
•• Excentricidad
"M. IN.
N
del
n.
91
La forma adoptada para el diagrama o -, del hormigón (parabólica rectangular) no difiere
substancialmente del diagrama (Jo' real (ver Flg. 7.3 b) Y facilita el formuleo de los problemas de
dimensionamiento. La deformación especifica máxima del hormigón 'b = 3,5 O/"" puede utill·
zarse solamente para secciones cuyo diagrama de deformaciones especificas sea triangular,
es decir en las zonas comprimidas de secciones en el estado 11. Para secciones con diagrama
trapecial (estado 1) sólo se admiten deformaciones especificas reducidas en los bordes (ver
seco 7.1.3), y en el caso limite solamente (b = 2 "/",, para compresión axil (repartición rectangular de las deformaciones).
Sección activa
excentlicidades medias 'f grandes e de
una fuerza normal de
compresión N , defor·
maclones por tracción en el borde Inlerlor
_
Estado!!
NI-)
1
Diagramas de,
<t,
F"~
~// 1
~1 E;
(.11
F'
•
•
l
E'
•
E,
•
E"
~E.,
peQuena excentrlcl·
dad e de una luena
normal de compre·
slón N, no existen deformaciones por trae-
'Ió"
_
1- 1
E,
Estado 1
pequena excentrlcl·
dad e de una fuena
normal de tracción N:
sólo existen deforma·
clones por Iracclón
- - Estado 11
(actua solamente la
seccl6n del acero)
•
L
excentricidades me·
dlas y grandes e de
una fuena normal de
traccl6n N:
deformación por tracción en el borde Infe.
no<
_
.
- E;
F~UJ._I
/
/
/
1-1/
F¡
•
E,
Esladoll
-- ------------ -- - - - - -- ---
o
---1-
M
.. -
Flexión simple
_
Estado 11
N=O
Flg. 7.2. Posiciones caracterlsticas de una fuena normal excéntrica as{ como también las correspOndientes sacclones activas y repartición de deformaciones especificas.
98
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300
~R/~ ...... N 0,70
0,70
0,65
0,60
0,55
a)
,
Eb
3,5[· / •• 1
2
Valor de
- 13w:225
],5
¡"/.. 1
Valores relativos medios de los diagramas o', del hormlgOn par. zonas compri midas por fleKiÓn rectangulares, correspondientes a distintas cal,l dades del hor·
mlgOn (según 136] ver IIg. 2.20).
Valorea caraclerlsUcos segun DIN 1045
Flg. 1.3. Valores caractertstlcos del diagrama 0-1 del hormigón segun OIN 1045 Y su comparación con los
.... lor9S Obtenidos en ensayos con prismas con carga excéntrica.
G',
1-- - I
I
;1
~
[ kplcrrf
5000
L 200
I
I
11
I
I
;1
E
,
Fíg. 7.4. Diagrama 0-( bllineal del hormigón para
simplificar el cálculo (segu" DlN 1045).
3,5["'•• ]
1,0 1,35 2,0
!G e
------
- - - - aSt SOls5 [eSt]YI
~
----
851 42/50 ISSt
~
,"
1[)
.Q
2200
ce
e
,"e
~
•
S S t 221 Jl. ISSt 1)
I
I
,
I
I
'OS
,,O
,,O
1: E: e
'36
3,0
Flg. 7.5. Valores caracterlsUcos de los diagramas
,,O
O·l
5,0
I",•• J
de los aceros para hormIgón (según DIN 1045).
99
Para simplificar el cálculo, de acuerdo con la OIN 1045, puede adoptarse un diagrama IN
blllneal de acuerdo con Flg. 7.4 (ver dimensionado de elementos comprimidos, Cap. 10), o también utilizar según Fig. 7.54, una repartición rectangular de tensiones tal como se explica en la
Seco 7.3.4.4. Para los diagramas de dimensionamiento y tablas que figuran en las Seco 7.2 y 7.3,
se utilizó el diagrama parabólico rectangular según Flg. 7.3.
La norma OIN 1045 fija los valores caracterlsticOSfJR de la resistencia a la compresión del
hormigón para las distintas calidades del mismo (ver Fig. 7.3 a). Su reducción con respecto a
los valores garantidos de la resistencia cúbica a la compresión fJwN, se basa en lo siguiente:
a)
b)
en el borde comprimido de las vigas flexionadas y en piezas prismáticas comprimidas, resulta como tensló,", máxima que puede ser absorbida, un valor que corresponde más o
menos a la reslslencla prismática Pp, es decir aproximadamente 0,85 fJwN .
para cargas de larga duración, la resistencia se reduce a aproximadamente al 0,85 de la
que resulta de un ensayo rápido de carga.
De ello se deduce para el valor caracterfstico de la resistencia a la compresión del hormi·
gón:
~R ,. 0.85 . 0.85' ~wN '"
O, 7 ~wN
(7. 2)
Para calidades de hormigón donde fJwN~ 350 kplcrnl, por lo pronto los valores caracterlstlcos fJA que aparecen en la DIN 1045, son mucho más reducidos aunque no se los justifica
objetivamente.
Al establecer estos valores de la resistencia caracter1stlca no se ha tenido en cuenta el
hecho que el hormigón, en estructuras delgadas,no puede compactarse tan bien como en las
probetas empleadas en la determinación de la resistencia del hormigón, de modo que en
dichos casos la resistencia real a la compresión, aun para una ejecución cuidadosa, no se
corresponde con los valores de los ensayos de calidad. En estructuras delgadas existe, además, la Influencia del hecho de que la capa superior de mortero tiene siempre menor resisten·
cia que las más profundas (ver (70]), Influencia que es mucho mayor para los elementos
gruesos normales. Para poder, a pesar de ello, utilizar siempre los valores tJR especificados, de
acuerdo con la OIN 1045, en las estructuras de altura útil h < 10 cm, deben dlmensionarse para
esfuerzos caracter1stlcos aumentados de la relación 151(h + 5).
En la sección 7.3.3.1 se tratará de las recomendaciones expresadas por el C.E.B., basa·
das en los mismos fundamentos anteriores en el sentido de reducir la deformación limite del
hormigón en el caso de placas delgadas comprimidas y de vlgas·placa.
7.1.2.2. Valores caractertsticos del acero para hormigón
En el caso del acero, y para simplificar el cálculo, tanto para solicitaciones pOI' compresión o tracción se utilizan diagramas o" blllneales según Flg. 7.5.
Dentro de limites reducidos al pasar del régimen elástico al plástico, '1 en los cuales las
diferencias son despreciables, al utilizar dichos valores caracterlstlcos nos mantenemos
dentro de los limites de seguridad, con ello el cálculo es Independiente del tipo de acero para
normlgón empleada (tratado o endurecido en frto).
la deformación especifica máxima de los aceros para hormigón (del 5 al 18 '/0), en
estructuras de hormigón armado no puede nunca prácticamente agotarse, porque para grandes deformaciones, las fisuras en el hormigón y la deformación resultarlan excesivamente
grandes. Es por ello que la máxima deformación especifica para el acero a considerar en los
cálculos se limita a 'e
5 %0.
=
7.1.3. Tipos de rotura, distribución de las deformaciones y magnitud del coeficiente de
seguridad
7.1.3.1. Tipos de rotur.
La forma de comportarse bajo carga de las vigas de hormigón armado baja la acción de
momentos flexores, descrita en la Seco5.1.2, permite establecer distintas formas de cOlapso en
función de la cuantla de armadura.
100
Rotura a tracción por flexiÓn: En las secciones de hormigón armado con cuantlas nor·
males de armadur., comienza muy pronto la fisuración en la zona traccionada por flexión, es
decir para tensiones de tracción en el acero aun reducidas. Al aumentar la carga y en cons~
cuencla los momentos flexores, la armadura Iraccionada alcanza el limite de escurrimiento o
la deformación limite, con 10 que la capacidad de carga de la sección prácticamente se ha agotado. Como consecuencia de que el diagrama 0·[, para aceros tratados en fl1O, continua creo
ciendo luego de superarse el limite de escurrimiento (Jo 2 o por la consolidación de los aceros
de dureza natural al sobrepasarse la deformación limite 'de escurrimiento, es posible, evidentemente, un pequeno Incremento de carga para la aparición simultánea de fisuras extremada·
mente anchas. Teniendo en cuenta que el acero rompe sólo para muy grandes deformaciones,
la rotura ocurre finalmente por sobrepasarse la resistencia del hormigón en la zona compriml·
da de la sección cuya altura se reduce cada vez más al aumentar la abertura de las fisuras; sin
embargo el origen de la rotura reside en la falla del acero.
Rotura repentina por tracción por lIexión: En este caso, la resistencia a la tracción de la
armadura de acero ubicada en el borde !racclonado de la sección, se sobrepasa bruscamente
en el preciso Inslante en que se presenta la primera fisura de tracción y entonces el hormigón
no es capaz de absorber el esfuerzo de tracción que hasta ese Instante (en estado 1) soportaba
mediante las tensiones de tracción existentes en la altura de la fisura. Este esfuerzo de trae·
clón debe entonces absorberlo Integramente la sección de acero, lo cual para cuanUas de aro
madura muy reducidas o para el caso de secciones de hormigón relativamente grandes, de hor·
mlgón de alta calidad (elevada resistencia a la tracción), puede conducir a la rolura sin aviso
previo (61J. Debe prestarse especial atención a la posible existencia de tensión previa de trac·
clón en alguna parte de la estructura, originada por solicitaciones inducidas, como por
ejemplo, contracción de fraguado o efectos de temperatura, de modo que la resistenc ia a la
tracción del hormigón se puede alcanzar aun para cargas reducidas. Esta forma de rotura no
puede evitarse mediante el dimensionamiento corriente segun Seco 7.2 y 7.3. En numerosas es·
peciflcaclones extranjeras -pero no en la DtN 1045- se prescribe por eUo una armadura mIni·
ma (ver Seco 7.5).
Rotura a la compresión por flexión: SI la sección está tan fuertemente armada en la zana de tracción, de modo que las tensiones de tracción en la armadura, en comparación con las
tensiones de compresión en el hormigón, crecen en forma lenta al aumentar la carga, se llega
entonces a alcanzar en el borde comprimido de la sección la resistencia a la compresión del
hormIgón, antes que la tensión de tracción en el acero alcance los valores de (Js o {Jo 2 segun el
caso. la rotura ocurre para este caso casi inmediatamente luego de la aparic ión delas primeras fisuras o deformaciones por flexión visibles, es decir con escaso anuncio previo.
Rotura repentina a fa compresión por flexión : En secciones con armaduras de tracción
excesivamente robusta y especialmente en aquellas en las que, para absorber esfuerzos nor·
males de pequena excentricidad, se ha dispuesto una· armadura adicional en la zona de
compresión (= armadura comprimida), por ejemplo en el caso de columnas, la tensión de
compresión en el hOrmigón puede alcanzar el limite de resistencia aun antes que en el borde
menos solicitado aparezcan fisuras (es decir para el estado 1). En estos casos la sección rompe
repentinamente, sin anuncio previo, con desintegración del hormigón en el borde comprImido.
la probabilidad de ocurrencia de este tipo de rotura se mantiene reducida en lo posible mediante el dimensionamiento que describimos, prescindiendo de una rotura repentina de trac·
ción por flexión (prescripción de una armadura mlnima) .
7.1.3.2. Repartición de las deformaciones especificas y magnitud del coeficiente de seguridad
Para las estructuras de hormigón armado solicitadas a la flexión y solicitación axll (fle·
xión compuesta), la norma DIN 1045 establ~e coeficientes de seguridad 11, cuyo valor depende
de la repartición de las deformaciones especificas poco antes de alcanzarse la carga de rotura.
Para una "rotura con anuncio previO" mediante fisuras y deformaciones por flexión, es sufl ·
clente 11 = 1,75. Para dichos "preavisos" de advertencia puede contarse con una deformación
del acero de t "¡" 3 %'0.
Cuanto menor se mantenga la deformación del acero en la zona tracclonada poco antes
de la rotura del hormigón, tanto menor será la fisuración o la deformación de advertencia del
elemento y en consecuencia, tanto mayor será el peligro de una rotura repentina. Puede contar·
101
se con un colapso sin prealliso para deformaciones en el acero (e < O %0; en estos casos, los
esfuerzos caracterlstlcos de la sección se afectarán para el dimensionamiento con el máximo
valor del coeficiente de seguridad \1 = 2,1.
En la zona de transición entre le
30/00 Y (e = O 0/00 el coeficiente de seguridad crece linealmente desde 1,75 a 2,1; en consecuencia se tiene:
=
<
e
(7 . 3)
2,1 i! V " 2,1 - 0,35""3 ~ 1,75
En la Fig. 7.6 aparecen las posibles reparticiones de deformaciones especificas de una
sección de hormigón armado, entre los limites extremos Lb máx y [e máx al alcanzarse la carga
critica. Se diferencian las zonas 1 a 5, delimitadas por las rectas a a h; en lo que sigue se hará
una breve aclaración de lás mismas.
Recta 8:
Recia s';
las deformaciones especificas ( = + 50/00 se mantienen iguales sobre toda la
sección en el caso de solicitación axil de tracción;
la deformación especifica en correspondencia con la armadura superior tiene el
valor tel
PsJE e, y con la inferior te2
+ 5 o/oo.
=
=
l:n las zonas comprendidas entre las rectas a y a' no es posible definir una distribución
de deformaciones en forma univoca, porque para pequenas excentricidades de la fuerza nor·
mal de tracción, también en armaduras poco solicitadas, se sobrepasa la deformación (eS yen·
tonces, como consecuencia del diagrama 0'( blllneal supuesto para el acero (Fig. 7.5) no es pasible establecer una distribución de deformaciones especificas condicionada al equilibrio.
Recta b:
en el borde superior la deformación es (1 = 0, en el inferior, las armaduras Fe2
experimentan una deformación (e2
+ 5 o/oo.
=
Zona 1, comprende entre las rectas a y b todos aquelloS casos en los que, para la totalidad de la sección, sólo aparecen deformaciones por tracción, es decir secciones de tensores
con esfuerzo normal de tracciÓn de muy peque"8 excentricidad.
La sección activa esta constituida únicamente por las armaduras Fe1 y Fe2 (Estado 11,
ver caso c Fig. 7.2). El centro de las posibles rectas de deformaciones es A. La causa de la rotu·
ra reside en la falla del acero; coeficiente de seguridad \1 = 1,75.
Recta c:
en el borde superior la deformación especifica es igual al acortamiento máximo
admisible Iel l = [b máx = 3,50/00 correspondiente a la compresión por flexión ,
mientras que las armaduras ubicadas en la parte Inferior experimentan un alargamiento (e = 5 o/oo. En consecuencia, ambos materiales se aprovechan hasta
alcanzar sus deformaciones limites.
Zona 2 entre las rectas b y c,caracteriza el caso más común de flexión simple o flexión
con esfuerzo 8xll (tracción o compresión), para excentricIdades grandes y medias (Estado 11 ,
eje neutro situado muy arriba en la secciÓn, ver casos e o a y d en Fig . 7.2). El hormigón en este
caso, sólo se aprovecha al máximo en el caso limite de la recta e. El centro de las posibles rectas de deformación es A.
La causa de la rotura reside en la falla del acero; coeficiente de seguridad II
1,75.
=
Recta d:
en el borde superior se tiene
dura Inferior es te = 3 croo.
1e,I = [bmáx =
3,5 croo, la deformación de la arma-
Zona 3 entre las rectas e y d,incluye los casos de secciones sobrearmadas solicitadas a
flexión sImple o flexión eon esfuerzo axil(tracción o compresión) para excentricidades grandes
o medias (Estado 11, eje neutro ubicado muy abajo en la sección, ver casos e o a y d en Fig . 7.2).
Las armaduras de la zona de tracción resultan sobredimenslonadas y para la carga critica alcanzan valores de la deformación inferiores a [e = 50/00. Se aprovecha la resistencia a la
compresión del hormigón y el centro de las posibles rectas de deformaciones es B.
La causa de la rotura reside en la falla del hormigón a la compresión, luego que el acero
fuera solicitado más allá del limite de escurrimiento; coeficiente de seguridad II = 1,75.
102
•
(Tracción) • E
E eS ~ PS/E,
5,0
E"
I
1--'
"--;
I
I
/
I
1I
¡,(b
J
,,O
l,5
(Compresión)
B
Eb·EI
te.Eel
/ /1//
, /1 1
~ ""
G)
• E (-,..
I 1'1.
)'ll¡l
/ /I( //
/
h/y/I
I
O
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+ •
/// 1.le
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1 / / 111. ,1--;/ I
1 / / / I Gl
0 1¡ 1
I // /
1
/
/1 /
1// / /
E, '
E"
-f-- b
--+
Coeficiente de seguridad ..
I
CID 1
A
3,0
5,0
[i;15
•
E,S
O
liCl',1
,,O
E"
E,
J'
Fig. 7.6. Zonas de posibles reparticiones de deformaciones en secciones de hormigón armado. al alcanzar
la caroa criti ca, esf como también yalores de los correspondientes coeficientes de seguridad v (segun OIN
1045).
Recta e:
Rectas I y g:
''1
=-
en el borde superior se tlenet!
3,5
Y el alargamiento de la armadura In·
ferior es Igual a teS
flslEe.
cuando se aprovecha en su totalidad la resistencia a la compresión del horml·
gón, es decir si [1 = - 3,5 'Yoo, la deformaciÓn (el es Igual a cero (recta f) y
corre~pondlentemente [2
O(recta g).
=
=
Zona 1ft limitada por las rectas d y g, InCluye los casos de esfuerzo normal de compresión para excentricidades medias y reducidas (Estado JI , eje neutro ubicado muy abajo en la
sección, ver faso a de Flg 7.2) . la armadura Fe no se aprovecha; centro de las posibles re cias
de deformación es el punto B.
La causa de la rotura reside en la falla del hormigón antes que el acero alcance su limite
de escurrimiento; coeficiente de seguridad v = 2,1 - 0,35 'e 13 de acuerdo con la expresión
17,3),
Recta h:
la distribución de las deformaciones es constante sobre toda la sección con un
valor de , - - 2 croo (como consecuencia de Que el esfuerzo normal de compresión es barlcéntrlco - esfuerzo axll).
lona 5, entre las rectas 9 y h, abarca los casos de esfuerzo normal de compresión con
pequefla excentrlcldad(Estado 1, el eje neutro no corta a la sección, ver caso b de Fig. 7.2). En la
sección sólo se originan tensiones de compresión, por lo que, cuando disminuye la excentricidad del esfuerzo normal de compresión (es decir al aumentar el acortamiento '2 del borde Inferior) la deformación admisible del hormigón [1 en el borde superior debe reducirse. El centro de
las rectas de deformación posible es e, y para '1 , en función de la deformación '2 en el bordo in·
feriar (Iás deformaciones expresadas en valores absolutos) se -tiene:
el· 3,5 - 0 , 75
E:
2
(7.4)
103
La causa de la rolura reside en la falla del hormigón; el coeficiente de seguridad es:
11
= 2,1 .
Las armaduras Fel (y eventualmente también Fe2> se aprovechan hasta ellfmite de escurrimlento, con excepción del B St 50155, para el cual con excentricidades muy reducidas
puede producirse una deformación 'e1 menor que (eS = - 2,38 %0 (ver Fig. 7.5).
7.1.4. Esfuerzos caracterlstlcos en las secciones y condiciones de equilibrio
7.1.4.1. Esfuerzos C8f8cterlstfcos debidos a causas externas
El esfuerzo axil N y el momento flexor M, se determinan mediante un cálculo estático
partiendo de las cargas de servicio g. P o P que actúan sobre la estructura, para lo cual se utiliza como eje de referencia el eje baricéntrico de la sección de hormigón sin lisurar. Teniendo en
cuenla que para el hormigón armado, el estado de rotura es determinante para el dimensiona·
miento (ver Caps. 5 y 6), los esfuerzos caracterlsticos M y N calculados con las cargas de servl·
cio deben multiplicarse por los coeficientes v de seguridad, es decir
~~
--U
• ". M
y
g+ P
NU"''V'
N
(7.5)
g+p
Estos esfuerzos caracterlsllcos Mu y Nu, en lugar de referirlos a los ejes barlcéntrlCOS,
pueden serlo respecto a cualquier eje paralelo a los bar/céntrIcos, obteniéndose asl un momento de reducción. Al dimensionar, se ha observado como conveniente, referir los esfuerzos ca·
racterlstlcos externos a los ejes bar/céntricos de las armaduras de tracción, o, en su caso, de
compresión, situados a distancias Ye e Ye respectivamente del eje barlcéntrico. Con ello se obtienen las cuatro posibilidades equivalentes de representar los esfuerzos caracterlsticos de la
sección Mu y Nu que muestra la Flg . 7.7.
SI la fuerza normal Nu estA aplicada a nivel de la armadura de tracción Fe (caso 3), se
obtiene entonces un momento de reducción
M
• M ..
•U
~ ~
- NU . Y,
(7.6)
Si Nu lo hace a nivel de la armadura comprimida Fe (caso 4), el momento de reducción
es
M•
eU
c M..+N·y •
U
U
(7. 7)
e
En el estado 11 , la altura de la zona comprimida del hormigón o sea de la sección activa
depende del tipo de carga y de la cuantta de armadura (ver por ejemplo Fig. 7.2). Dacio que la
sección activa no se conoce y es función de la solicitación. deberA determinarse por cAlculo
para cada estado de carga.
~r
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(j)
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y.
L
aMU·NU·y~
NU
Flg. 7.7. Transformación de los esfuerzos caractellslicos que aClúan según los ejes baricéntrlcos de una
sección Mu y Hu. en esfuerzos caractertstlcos "de leducclón" elegidos a voluntad, Nu Y M_u o M'el)
104
=
+
G'I( = N/F
G'. ~
! M/W
G'x
~N/F!M/W
a) Superposición de tensiones en una sección homogérlea
•••
ox ldebldo
sólo a N
o.. debido
sólo a M
o. debido
aMyN
b) En una sección de hormigón armado para el estado 11 no existe superposición de electos
Flg. 7.8. Comparación del efecto de N y M sobre una sección de material homogéneo y otra de hormigón armado en el estado 11.
Por esta razÓn, no es posible determinar los efectos de ios esfuerzos caracterlsllcos Nu
y Mu sobre las tensiones y los esfuerzos internos, en forma separada y luego superponerlOs,
como en el caso de una sección de material homogéneo elástico, tal como se demuestra en los
fundamentos de la mecánica teórica del sólido (Fig. 7.8). De ello se deduce que cada posible
combinación de los esfuerzos caraclerlsticos Nu y Mu, debe analizarse para cada caso particular, a efectos de poder apreciar las condiciones más desfavorables. Para ello es posible que un
elemento estructural, en un primer caso, esté solicitado por NUl Y MUl del lado comprimido de
la secciÓn de hormigón, y en un 2° caso por NU2 y MU2 en la zona traCCionada, es decir en el
acero, y que ambas solicitaciones resulten criticas.
Reglas de signos:
El momento M siempre en valor absoluto.
El esfuerzo axll positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.
los valores correspondientes a la sección, por ejemplo, Ya, Ya, e, h', h, como valores absolutos.
7.1.4.2. Esfuerzos internos en la secctón
los esfuerzos caracterfstlcos externos de la secciÓn M y N, debidos a las cargas, originan en la estructura solicitaciones o tensiones. SI se integran los productos 0b . dFb Y 0& , '::Fe
sobre los correspondIentes ámbitos de la sección, se obtienen los denominados esfuerzos internos, por ejemplo Db y le, que deben estar en equilibrio con los esfuerzos caracterlstlcos externos. Para determinar los esfuerzos Internos se parte de las deformaciones especificas [, CU·
ya distribución sobre la sección, de 8<::uerdo con la hipOtesls de Bernoulll (1' ley fundamental),
debe ser lineal. A oartlr de las deformaciones [(previamente supuestas) es posible, mediante
105
los valores céVacterlstlcos de los diagramas o-t: del hormigón y acero (ver Figs. 7.3 y 7.5) determinar los vaJores de las tensiones 0b y 0e. Las Flgs. 7.9 y 7.10 muestran este proceso para seco
ciones de hormigón armado en los estados 11 y I respectivamente.
Una vez determinados los esfuerzos Internos, el control del equilibrio entre los esfuer·
zos Internos y los esfuerzos caracterlsticos externos da una pauta acerca de silos valores 8Upuestos péVa las deformaciones t son correctos (ver Sec. 7.2.2).
Reglas de signos:
Deformaciones por tracción, positivos, por compresión (= acortamientos), negativos.
lb en valor absoluto.
0b en valor absoluto, ya que no se consideran tensiones de tracción en el hormigón, con
lo que quedan excluidas confusiones.
0e positiva = tensión de tracción en la armadura traccionada de secciones en el estado
11.
0e en valor absoluto
tensión de compresión en la armadura comprimida Fe.
Db, De, Ze, en valores absolutos, sentido de la fuerza según actúe como fuerza de tracción
o de compresión.
=
Deformaciones
F'
•
n~
--tt y
Eb
E'
n:~~r)j/
/
"..
"b
•
~K
Oh
U
Tensiones
HormlgOn Acero
Esfuerzos
Esfuerzos caracterlstlcos
Internos eKternos
O~ .G'.·
Fe'
DD'r~b ' b·d9
, b-
'.
/
E.
"
-j; '01
Z.=6". · F.
0',
F,
Flg. 7.9. Cálculo de los esfuerzos Internos en una sección de hormigón armado en el estado 11 solicitada
por flexión y esfuerzo axll (gran excentricidad; el eje neutro corta a la sección).
Delormaclones
iff
(Compresión) Hormigón
E,
E.
F"
"
d h
III
'.,
Tensiones
t1
"
EJ~l
neutro
•• o"
Esfuerzos
Esfuerzos caracterlstlcos
Inleroos externos
".1
"U
"
°bl - · -
"
j;
Acero
Cálculo
D.,
3, ,
E"
E,
r
Yu
~
"u~
t ---+
,
l'
11
"
I
/1
,
0b = 0bl- 0 b2
Flg. 7.10.Cálculo de los esfuerzos Inlernos en una sección de horml~n armado en estado I solicitada por
flexión y compresión para pequefla eKcenlrlcldad (el eje neutro no corta a la sección).
106
7.1.4.3. Magnitud y ubicaci6n de la resultante de compresi6n Db en el hormlg6n
De las Flgs. 7.9 y 7.10 podrá apreciarse que la repartición de las tensiones de compresión en las zonas comprimidas de la sección no es lineal, sino semejante al diagrama 0'( del
hormigón de Flg. 7.3, dependiendo siempre de la correspondiente distribución de deformaciones. De acuerdo con ello es necesario calcular la magnitud de la fuerza de compresión Db
como resultante de las tensiones de compresión y su punto de aplicación, determinando su
recta de acción .
Para una repartición triangular de las deformaciones, con la notación de Flgs. 7.9 y 7.11,
la magnitud de la resultante de compresión tiene como expresión general
y"'x
J
Db '" _
y=o
a(y\.
(7. S)
b (y) - dy
y la distancia de su punto de aplicación al b;orde comprimido de la sección:
y"x
J
y=o
(7.9)
a(Y)· b(Y)· y. dy
En estas ecuaciones Vestá vinculada con Lb de acuerdo con la hipótesis de Bernoulll
(ver Fig. 7.11), Y 0b se obtiene para un (b del diagrama 0'( del hormigón de Fig. 7.3 a o de la
ecuación (7.1).
Para una zons comprImida del hormlg6n de ancho constante b IYJ = cte. = b resulta
(7. la )
x
a
=
1
x -- b
Db
J o- (y) •
Y' dy
(7. 11)
°
r - --7
1 3 ,S·I.. /
I
r-20'/041
o.: -
T
x
11
Q ::kQ.x
. +-0,
__ ---C-
EJ.
neutro
al deformación en el borde tb < 2,0 , ...
V:
- - - r--t --<1. .
~R
b) deformación en el borde lb > 2,0
cy.."
Flg. 7.11. Aclaraciones relativas ala magnitud y forma de la superficie del diagrama de 0b ya la ubicación
de su barlcenlro para el caso de una zona comprimida det hormigón. rectangular (b = cte.), deducidas de
los valores caracterl sticos del diagrama eN del hormigón según Flg . 7.3 a.
107
Para simplificar se han ,Introducido los coeficienfes de uniformidad Q y los coeficientes
de altura ka (por primera vez por H. Aüsch [71J), de modo que las ecuaciones (7.10) y (7.11) se
transforman en
(7.12)
Db=b-x·a.'~R
a
= k
a
- x
(7, 13)
El coeficiente de uniformidad muestra la magnitud de la superficie del diagrama de 0b,
de modo que sobre la altura x, el rectángulo de base o"/lR tiene igual área que la superficie del
diagrama de 0b hasta Iltagar a la deformación de borde €b (Fig. 7.11). Análogamente ka es el coo
eficiente que permite conocer la distancia al borde superior desde el barlcentro de la superficie
del diagrama de abo
Considerando que el diagrama O-€ del hormigón se compone de un arco de parábola y de
una recta, las integrales que determinan (J y ka pueden resolverse fácllmente en forma exacta,
con lo que las expresiones de ambos coeficientes, para repartición triangular de las deformaciones en la zona comprimida del hormigón de un ancho b (Estado 11, eje neutro dentro de la
sección) resultan ser
para Eb ~ 2
%o:
•·
'b
12
(6 - E )
b
8
k
para Eb
i!;
2
•
a
"' , •
k
a
-
(7. 14a)
'b
(7_ 15a)
4(6-E )
b
3 Eb - 2
•
·
(7. 14b)
3 'b
Eb (3 Eb - 4) + 2
(7. 15b)
2 Eb (3 Eb - 2)
En el diagrama de Fig . 7.12 se han representado los valores de los coeficientes Q y ka en
función de la deformación €b del hormigón en el borde de la sección.
Para distribuciones trapeciales de las deformaciones en la zona comprimida del hormigón, es decir cuando existen tensiones de compresión sobre toda la altura de la sección (Estado 1, el eje neutro no corta a la sección), la magnitud de la resultante de compresión en el hormigón Db puede determinarse como diferencia de dos fuerzas de compresión, que se obtienen,
partiendo del eje neutro V = O, de los diagramas de tensiones correspondientes a las deformaciones de borde [1 y €2 (Fig. 7.10). En consecuencia se tiene:
Yo
0b = D b1 - 0b2 =
La (y) .
Yo
bG)· dy =
Yu
f
Yu
a (y)
.b{Yl· dy-
O
f
aGIo
bG)· dy
(7.16)
O
la posición de la resultante Db conviene referirla al eje neutro; para dicha distancia Yd,
su expresión es:
y
108
Yo 1
__
=fa(y)'b(y).y·
(
d
0b O
Yu
dy-
f
O
aGI· bGI· y.
(7.171
Eje neutro
q 810 -
'"
-a;8
ka
0,410
0,7
0,667--
0,400
O,,
0,390
II '"" .
0,5
~
-0,375
0,4
0,3 70
O,J
0,360
0,2
0,350
0,1
0,3 40
°°
0,416
0,333
US
1,0
1,5
2p
2,5
J,O
J,S Eb [',.. [
Flg , 7.12. Coeficiente de uniformidad", 'J coeflclente de altura ka para zona comprimida del hormigón rec·
tangular de una sección en el Estado 11 (el eje neutro corta a la sección), con ejemplo de aplicaciones para
'b
= 2%0.
Para secciones rectangulares es posible introducir un coeficiente de uniformidad O"d y
otro de altura kd (Fig. 7.13) de modo Que resulta:
,
Db = b·d·ad·~R
(7. 18)
yd
(7. 19 )
kd' d
Luego de resolver las integrales, se obtienen para los coeficientes O"d y kd las
ecuaciones siguientes:
1
"d • 189 (125 + 64 El
kd
40
-,
16
E~)
(7,20)
(El - 2)2
2
125 + 64 El -16 El
(7. 21)
109
Por transformación de la Ec. (7.4) resulta para la deformación [2 del borde inferior en fun ció n de la correspondiente al borde superior .q :
(7. 2 2)
La Fig . 7.13 muestra la variación de los coeficientes ad '/~ , as! como también la de la
deforma ción [2 del borde Inferior en función de la correspondiente al superior q .
Para una zona comprimida de ancho variable es posible establecer coeficientes slmlla·
re s, siempre que b(,/) pueda expresarse anallticamente. En el caso de una zona comprimida
trIangular del hormigón , por ejemplo, los coeficientes a y ka aparecen en Flg. 7.14. En la practi·
c a, sin embargo, para zonas comprimidas de forma Irregular, se utilizan programas de calculo
po r computadoras o si no la repartición rectangular de tensiones indicada en la Seco7.3.4.4.
7.1.4.4. Condiciones de equilibrio
Los esfuerzo s internos deben equilibrar a los esfuerzos caracterlsticos externos. Dado
que en nuestro análisis no intervienen esfuerzos de corte, en la sección estudiada deben satisfacerse solamente dos condiciones de equilibrio:
=O
IN
r, ,- ,
L: +--.r/
-
~R
E,
- ,f--
IM = O
Y
T
=.f\:Db
Sb '
~
tÍc! 'P R 'b
·d
Yd= k d · d
T
oc,
-.1---- b
E2
kd
0,09
,,O
-
0 915
0,9
0,0 81,
de
0,08
om
- 0,06
•
,1&
O~
E 2 (',.. 1
O,O L
2,0
kd
~~
0 66
J
O lJ
0,03
E2
~¡ .:.
,,O
0,05
II
...,
0,02
U
0,01
•,
-O
O
2,0 2,1
,2
,3
2, '
2, S
2,6
2,7 2,' 2,9
3,0
3, '
3,2
3,3
3,' 3,5
E, (.,•• ]
Flg. 7. 13. CoeficIente de uniformidad O'd, coeficiente de altura k(j y deformación 12 en el borde menos
compri mido, en función de (1 para una sección rectangul ar en Estado I (el eje neutro no corta a la seCCión),
con un ejemplo de aplicación para f1 = 3 '/.0' .
110
Eje neutro
----OC
-
-- -_.....:...
------"""'
J.-
b
0,7
O,,
0,56
0,54 - O,S
0,55
a
0,4
_0,54 _
0,3
0,53
0,2
0,52
0,1
0,51
°°
I,S
1,0
O,S
0,539
3,0
2,0 2,252,5
Flg. 7.14. Coeficiente de uniformidad" y coeficiente de altura k. para una zona comprimida del hormigón
triangular de una sección en Estado 11 (el eje neutro corta a la sección) con ejemplo de aplicación para
'b = 2,25 'Il00.
Para la primera condición I N
=O se tiene, por ejemplo, Dara una sección en el Estado
11:
N+D+D-Z
b
e
e
(7. 23)
= O
la segunda condición I M = O puede establecerse para un punto arbitrario cualquiera.
O con respecto al eje baricéntrlco de una sección de hormigón no Usurada, con la notación de Fig . 7.9 (ver caso 1 de Flg . 7.7):
Se tiene asl, por ejemplo, para I M
- D
=
(y - a) - D (y _ h') - Z (h - Y )
bo
eo
e
o
+ M '" O
(7.24)
o también
- 0b (y - al - D . y' - Z . y
o
e
e
e
para I M = O con raspecto al punto de aplicación de
e + M '" O
le (caso 3 de
-D z -D (h-k')+M ;: O
b b
e
e
Flg. 7.7):
(7.25)
y con respecto al punto de aplicación de Db (caso 4 de Fig. 7.7):
D
b
(h - h ' - z ) - Z
b
e
(h - h')
+
M'
e
" O
(7. 26)
Para secciones en Estado 1, de acuerdo con Fig . 7.10 es posible plantear las correspon·
dientes ecuaciones.
111
Teniendo en cuenta que só lo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, para resolver
un problema de dimensionamiento, siempre es necesario conocer o estimar todos los valores
en juego menos dos. Para el diagrama de deformaciones es posible establecer a priori condi·
clones: por ejemplo, aprovechar el acero hasta 'e max y con ello determinar Fe. Si se conocen
todas las dimensiones de la secciÓn y Fe, es posible determinar el diagrama de deformaciones
y, en base a él, los esfuerzos caracterlsticos que puede absorber la secciÓn. Las soluciones
explicitas sólo se obtienen en el caso de secciones regulares, como, por ejemplo, en el caso de
secciones rectang ulares (ver Seco 7.2).
7.2. Olmensionamlento.de secciones con zona comprimida rectangular
7.2.1 . Observaciones previas
El dimensionado se efectúa, como se aclarÓ en Cap. 6, fundamentalmente para la carga
limite = 11 veces la carga de servicio (útil) , es decir para Pcrit = ",Pg + p o Mcri t = IIMg+ p. En la
OIN 1045 se utilizan las denominaciones Pu y Mu en lugar de Pcrit y Mcrlt, razón por la c ual en
esta sección los esfuerzos caracterfsticos criticas se designan como Pu y M'u.
En la contribución de E. Grasser en el Betonkalender [72] y en la DIN 4224 (publicada en
un principio como Cuaderno 220 de la DAfStb), los métodos de cálcu lo se basaban en los es,
fuerzos caracterlsticos debidos a la carga de servicio Mg + p Y Ng + p' lo que suponta que ambos
esfuerzos caracterlstlcos deblan afectarse del mismo coeficiente \1 de segu ridad. SI fuera posible un estado crftlco, para el cual el esfuerzo axit N deba ser afectado por un coeficiente de
seguridad menor Que el correspondiente a M, para alcanzar la solicitación más desfavorable,
no tendrla sentido utilizar los diagramas y tablas correspondientes a Mu y Nu reprodu cidas
aqul.
Observación: si denominamos 11M y \IN a los coeficientes de seguridad que, respectiva·
mente, corresponde aplicar al momento flexor y al esfuerzo axil , los métodos de calculo de la
DIN 4224 pueden ser utilizados (en la forma prevista en la misma), luego de haber reducido el
esfuerzo axil N de la relación \IN/11M. A este respecto, los esfuerzos caracterfsticos inducidos,
que pueden ser tenidos en cuent a con el coeficiente de seguridad reducido IIZW = 1,0, el cálcu·
lo puede efectuarse para un valor 1,0/1,75::; 0,6 veces menor.
7.2.2, Dimensionamiento para flexi6n con esfuerzo axil con grandes excentricidades (e;e neutro
ubicado muy arriba de la secci6n)
7.2.2. 1. Ecuaciones para el cá/cu/o numérico
El cálcu lo numérico de las secciones parte de las siguientes relacIones fundamentales
(Sec.7.1):
1)
2)
3)
4)
5)
Conservación de las secciones planas, es decir, proporcionalidad lineal entre las defor·
maciones y su distancia al eje neutro (hipótesis de Bernoulli) .
No se tiene en c uenta la resistencia a la tracción del hormigÓn .
Adherencia total entre acero y hormigÓn.
Diagrama ""' del hormigón según Fig. 7.3 a.
Diagrama ""' del acero para hormigÓn segun Fig. 7.5.
Partiendo de una distribuciÓn de deformaciones dada, con lb en el borde comprimido y
'e en la armadura de tracción , se obtienen las relaciones deducidas a continuaciÓn (Fig. 7.15).
La dimensión , aún desconocida, de la secciÓn actlva del hormigÓn (ver Seco7.1.4.1), es decir la
altura x de la secciÓn activa del hormigón o, lo que es lo mismo, la distancia del borde compri·
mido al eje neutro es:
k h
x
112
(7.27)
donde
k
(7. 28)
x
La deformación t' e se obtiene de la relación
<'
e
<b
la que haciendo ~
x - h'
•
x
= h'/h se transforma en:
(7.29)
La resultante de compresión de la zona comprimida del hormigón. se obtiene utilizando
la Ec . (7.12), con O' según Ec. (7.14) o del diagrama de Fig . 7.12:
0bU " b·
a.. ~R .. b· kx' h. a.. ~R
le:'
(7.3 0 )
los esfuerzos DeU Y Zeu en la zona comprimida y en la armadura de tracción respect iva·
mente, quedan definidos mediante las deformaciones I y t e tomadas del diagrama CH del acero de Fig. 7.5.
te
D
eU
'"
(T'
eU
•
F'
(7. 31 f
e
(7. 3 2)
Para establecer el equilibrio de los momentos, es necesario recurrir a los brazos de palanca de los esfuerzos Internos (brazos elásticos) . Para el brazo elastlco entre la resultante de
compresión del hormigón 0bU y el esfuerzo de tracción Zeu, de acuerdo con la Ec. (7.13) y con
a
= k.x:
h - a • h - k x • ( 1 _ k k ) h .. k h
a
es decir
k
,
a x
z
- l-kk
a x
Análogamente, para el brazo elásticó entre los esfuerzos DeU Y Zeu, con t
tiene:
,
ze - h - h
'" (1 - ~ ) h
(7. 33)
(7.3 4)
= h'/h, se
(7. 35)
Con ello se conocen todos los valores necesarios para establecer las condiciones de
equilibrio 1 N OY I M
O, en función de las dimensiones de la sección de las deformaciones
y de la calidad del hormigón.
La Ec. (7.23) permite plantear IN
O:
=
=
=
113
de donde, mediante las Ec. (7.30) a (7.32) resulta:
(7.36)
La 1: M = O con respecto al punto de aplicación del esfuerzo de tracción
mediante Meu = Mu - Nu' Ya de acuerdo con la Ec. (7.6) a la Ec. (7.25):
M
eU
-O
· z
bU
b
-D
eU
·Z
e
Zeu
conduce,
= O
la que mediante las expresiones anteriores conduce finalmente a:
2
- bh k k
x z
Q
~
R
-
(J'
eU
•
F'
h(l-~ I· O
e
(7.37)
Las ecuaciones (7.36) y (7.37) constituyen la base de todos los cálculos que siguen; las
mismas incluyen las siguientes 12 incógnitas:
En general se conocen las calidades de los materiales, es decir fJs y fJR, asl como tam:
bién las dimensiones b, h, Ye y h', con lo que restan sólo 6 incógnitas:
En el caso de secciones sin armadura comprimida las Incógnitas se reducen a 5, y las
ecuaciones se transforman en consecuencia en:
(7 . 38)
2
-bhkkaf!R • O
(7. 3 9)
x z
r•
Deformaciones
•
1,-
F' -
•
,
F.
Y~
E'.
Acero
G.
"-;U
'.
I
I
I
G. u
E.
o ak o' '(
- <'-
°bU,a~bll
I
•
-+
D.u·G;u · F~
I
S.
. ••
HormigOn
E.
Esfuerzos
caracterlst lcos
externos
Esfuerzos
internos
t,
h
-~- -
Tensiones
Z.U~ G.U·F•
MoU
'.
-j-
-
N
U
Flg. 7.15. Notaciones en una secciOn en el Estado 11, con zona comprimida del hormigOn para el estado limite.
114
En flexión pura sin armadura comprimida las expresiones de las ecuaciones son las si·
guientes:
(7.40'
M
-~
• O
bU
. z
2
b
.. M.._ . bh k k o.
V
x z
~R
• O
( 7. 41 \
con las Incógnitas
Para dimensionar la armadura para esfuerzos caracterlsticos Mu y Nu dados, las unlcas
incógnitas son Fe Y Fé. Cuaiquier hipótesis arbitraria respecto a las deformaciones [b y Le,
cuando se fijan a priori las restantes magnitudes, conduce a una única solución. La dificultad
en el dimensionamiento práctico reside en encontrar la soluciÓn mejor o más econÓmica. Ello
ocurre siempre para flexión con solicitación axit y gran excentricidad, cuando la armadura de
tracciÓn se aprovecha al máximo . En estos casos es conveniente partlr de Le = 5 %0.
Es posible reducir aun más los valores dados del problema, cuando la secciÓn se pro·
yecta sin armadura comprimida. Restan solamente Fe Y[b como incógnitas, lo que permite lIe·
gar a una soluciÓn explicita.
Para determinar los esfuerzos caracterlsticos crfticos Mu y NU, valen las mismas rela·
clones. SI todos los valores de la sección, incluso Fe Y Fé son conocidos, es posible encontrar
para cada distribución de tensiones Le Y un correspondiente par de valores Mu y Nu. Pero, sin
embargo, se busca siempre llegar al valor máximo posible de alcanzar, sea utilizando la arm.
dura para 0eU = fJs con (e = 5 %0 O el hormigÓn con 0bU = fJR y ~tl = 3,5 %0. En este paso el
problema se resuelve por iteración y es posible llegar a soluciones explicitas sólo cuando se
elimina una magnitud adicional , por eJemPlo la armadura comprimida.
Con las relaciones y fÓrmulas dadas es posible resolver todos los problemas de dimensionamiento a flexión con fuerza axil , pero por cierto ellrabajo de cálculo es considerable.
'e
7.2.2.2. Diagrama de dimensionamiento adlmenslonal (segun H. Rüsch) para secciones sin ar·
madura comprimida
Para poder utilizar un diagrama de cálculo independiente. da las dimensiones de la sección , asl como tamb;én para toda s las calidades del hormigón y del acero. conviene transformar el momento critico Meu respecto del eje baricéntrico de la armadura Fe expresado por la
Ec. (1.6) en una expresión adlmenslonal:
(7.42)
Luego se calculan, para pares de valores de [b y [e elegidos arbitrariamente, ·Ios siguientes valores:
k. con Ec. (7 .27)
ka con Ec. (7. 15) o con el diagrama de Flg. 7.12_
k z con Ec. (7.34) y Dbu = o (JR b k. h con Ec. (7.30).
Si en la Ec . (7.30) introducimos un nuevo coeficiente :
(7, 43 )
para la resultante de compresión en el hormigón resulta:
(7.44)
115
De I M
= Ocon respecto al punto de aplicación de leu se slgue,según Ec. (7.39):
2
x z o. ~R
M U :: b h k k
•
y de aqul , de acuerdo con la Ec . (7.42) el momento reducido:
mu
•
S kka
x z
(7. 45a)
m
'" k k
b z
(7. 45b)
o, también, mediante la Ec. (7.43).
eU
En el diagrama de dimensionamiento segun H. Rüsch (Fig. 7.16) se han representado los
coeficientes k z, kb Y k)( asl como también las correspondientes deformaciones (e Y lb relativos
al momento reducido meU'
Este diagrama sirve preferentemente para determinar la armadura Fe necesaria, para 10
cual se procede en la forma siguiente. Conocidas las dimensiones de la secciÓn de hormigón y
la calidad de los materiales, se determinan partiendo de los esfuerzos caracterlstlcos dados
MU y NU los valores correspondien tes a
M
y
eU - M
_.-U _ N
U · ye
Mediante meU puede obtenerse el valor de kb y con ello, segun la Ec. (7.44), calcular el
esfuerzo DbU. El esfuerzo de tracción en la armadura leu se calcula luego mediante la Ec.
(7.38)0
El diagrama de Flg . 7.16 permite también determinar para meU la deformaciÓn del acero
(e, a partir de la cual , mediante el diagrama de Fig . 7.5 puede obtenerse la tensión en et acero
0eU. Con ello la secciÓn necesaria de acero resulta:
Fe nec =
(7. 4 6)
El cálculo de DbU segun Ec. (7.44) puede evitarse, eliminando dicho valor con ayuda de
la Ec. (7.39), es decir:
El brazo elástico Interno zb = kz . h se calcula mediante el coeficiente k z, que puede le·
erse sobre meu en el diagrama de Flg 7.16. Con ello se obtiene de la Ec. (7.46I,con 0eU determl·
nado por medio de (e,una ecuaciÓn más simple para la secciÓn necesaria para el acero
Fe nec. '"
k h. a U
z
116
•
a.u
(7. 47)
"'icH
1,0
¡+1 1111
1'
O,,
en e:~
=rr.
~,::
::::¡::
'+
0,7
I
2:0 3:5 ,,:,
•1 ==¡
[,1..
E
0,6
1:
0,5
::c
, 4,0
1"- -1--- ::.:.::f~,
,
l'
, 1:~: 'fil*~
• 2,0
• 3,0 1: '~
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n'
~
'-
,
±,'
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I,:~
llF'ni!
1, I!
~
lil l
"4
2,0
-
1:
0,1
E, ,
¡
1'
3,0
10
,
r~1
rE,
,
-{l,]1
'-'
,
1
- 0,3
0,39
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0 ,84
0,8
~n
~I
5,0
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M.U · ""U ·NU·Ye
Cálc ulo de secciones sin armadura comprimida (meu" 0,34)
mtu --- kt ', E,. Ik~ l
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kz . h,
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Cálculo de secciones con .rmaour. comprimida (meo> 0,34)
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ConlMeu de / nltU' 0,34
k z ' 0,77 ; E,')O, •• ; E~
+
G". U: ~S .. El,
6 M. U
Ih- h'¡PS
_
G~
NU
+ --
Ps
A N.U
(1'1_1'1') G"U
Flg. 7.16. Dlaorama de calculo segUn H. ROscn para secciones con sección comprlmlda del hormigón rectangular, solicitada por flelllón '/ esfuerzo IXI1, par. grandes y medias 8ltcenlrlctdades. refer ido a esfuer·
zos caracterlstleos crlt leos = 1/ . esluerzos debIdos ala carga de servIcio.
117
En el diagrama de Fig. 7.16, para valores 100 meU ~ 34, todas las rectas se han dibujado
a trazos, por cuanto a partir de dicho valor la deformaciÓn del acero es (e < 3 "/00, lo que conduce a 11 > 1,75. Resulta antleconOmlco J sin sentido, utilizar el diagrama de cálculo en dicha zana, para secciones sin armadura comprimida (ver Seco 7.2.2.6).
El Betonkalender (y también la DIN 4224) muestran una transformación del diagrama an·
tes mencionado, basada en la utilización de los esfuerzos caracterlsticos M y N debidos a las
cargas de servicio.
7.2.2.3. Utilización del diagrama de cálculo (según H. Rüsch) para secciones con armadura
comprimida
Ei diagrama de Fig. 7.16 muestra que, para momentos reducidos grandes, es decir para
deformación del acero le ~ 3 "loo, como consecuencia del incremento del coeficiente de seguridad, resulta afectada la economla de la sección. En estos casos, conviene más utilizar una aro
madura comprimida. El limite a partir del cual se debe adoptar esta solución, queda librado al
criterio del proyectista. Se recomienda sin embargo, considerar como valores limites de Meu ó
meu para dimensionar sin armadura comprimida, el momento que corresponde a (e = 3 "/00
(meu = 0,34). Para momentos mayores que Meu, el exceso sobre dicho valor limite
(7.48)
debe ser absorbido por un par de fuerzas, constituido por una fuerza que actúa sobre la arma·
dura comprimida Fe y una sección adlclonalllFe de la armadura de tracción. El brazo elástico
de dicho par es ze = h - h'.
En consecuencia debe tenerse:
t:. M
eU
= F' . a'
e
eU
. z.
e
'" ó. F
e
. a
eU
. z.
e
(7.49)
La sección total de la armadura de tracción está constituida por el valor Fe dado por la
Ec. (7.47), aumentado del valor llFe dado por la Ec. (7.49), es decir
(7.50)
y la sección necesaria de la armadura comprimida:
Fe nec. "
(h
~
h') .
a'
.u
(7. 51)
le,
El valor de 0eU se obtiene de
que puede tomarse del diagrama de Flg. 7.10 con suficiente aproximación para los valores dados de ~ = h'lh, o si no calcularse mediante la Ec. (7.29).
Debe tenerse presente que el aumento de la capacidad de carga por el agregado de una
armadura comprimida en el caso de flexión simple (sin esfuerzo axil) debe efectuarse sólo en
casos excepcionales (por ejemplo para secciones debilitadas localmente). En ningún caso (aún
para flexión con esfuerzo axil) se considerará para el cálculo Fe con un valor mayor que Fe.
7.2.2.4. Tablas de cálculo, con dimensiones, para secciones sin armadura comprimida
En la práctica, las tablas numéricas son más simples de usar que el diagrama de Fig.
7.16. Con ellas es posible determinar más fácilmente, por ejemplo, la altura útil necesaria o el
momento admisible, que la sección Fe de acero requerida. Pero por otra parte, deben observar·
se determinadas limitaciones, por cuanto modificaciones de la sección activa o de los coeficientes de seguridad incluidos en las tablas, son diflciles de lograr.
118
las tablas que se muestran a continuación en Figs. 7.17 '17.18 ut/flzan coeficientes vin culados a las unidades de medida, de modo que nunca deben olvidarse las relaciontS con las
dimensiones a utilizar.
la ecuación (7.39), sobre la base de 1 M = O con respecto al punto de aplicación de Zeu
conduce a:
M
• b h2 k k
eU
l(
'Z
a. \3
R
despejando h, resulta:
(7. 52)
con el coeliciente
(7. 53a)
o también, transponiendo términos en la Ec . (7.52)
h
(7.53 b)
El valor kh tabulado en Fig . 7.17, que puede calcularse para cualquier combinación de
(b, te '1 fJR. ha sido determinado sobre la base de las siguientes dimensiones:
h
rcm] ,
b
[m]
[Mpm]
~R
2
[ Mp/cm ]
Si en la Ec. (7.47) se introduce un coeficiente:
k•
•
1
(7.54 )
se obtiene:
M.U
(7. 55)
-h-+
En este caso. sin embargo. deben utilizarse las siguientes dimensiones:
h
[m]!
NU [ Mp ]
M
eU
a eU
['Mpm]
2
[Mp/ cm]
Dado Que ka depende de la tensión en el acero 0eU '1 para cada tipo de acero correspon·
den distintos valores limites, la tabla de cálculo debe contener, para cada calidad de acero, la
correspondiente columna con los valores de ke'
De la tabla de Fig . 7.17 pueden separarse partes válidas únicamente para una determinada calidad de acero. La Fig . 7.18 muestra una tabla reduc ida de este tipo, correspondiente a
SSt 42/50.
119
·
El maneJo de estas tablas es muy simple: partiendo de las dimensiones de la sección de
hormigón y para el M.u dado, mediante la Ec . (7.53 b) se determina el valor básico kh. El corres·
pondlente ke para calcular F. nee se lee en el ren~16n que, para la calidad de hormigón emple·
ada, corresponda un valor de kt. menor que el calculado.
Las tablas sólo se han extendido en la medida que se correspondan con las zonas 2 y 3
'S y además,
entre las rectas b y d de Flg. 7.6, es decir, que siempre resulta le > 3 %D Y 0eU
se tiene un untco coeficiente de seguridad \1
1,75.
Con ello, para la utilización de la Ec. (7.55) no son necesarios otros medios auxiliares. El
valor kh. correspondiente a la relaelón de deformaciones le = 3 %O, lb
3,5 %D (recta d de Flg.
1.6), por r8.2anes prActicas debe ser considerado como valor limite. Por ello se lo designa kti (ver
definición de Meu en Sec. 7.2.2.3) Y figura en el ultimo renglón de dicha tabla. SI, mediante la
Ec. (7.52) se llega a un valor kh Inferior a kti, en el caso de flexión simple debe aumentarse la
sección de hormigón o en casos forzosos, prever de acuerdo con Seco 7.2.2.5 una armadura
comprimida.
Tanto en el Betonkalender como en la DIN 4224 figuran tablas más completas que las de
Figs. 7.17 y 7.18, pero SÓlo son aplicables para esfuerzos caracterlstlcos debidos a cargas de
servicio.
=
=
=
k
Bn
150
Bn
250
42,2
k
h
Bn
SSO
Bn
450
550
BSt
BSt BSt
22/34 42/50 SO/55
Bn
'b
,e
[%oJ
[ %o]
e
k
•
k
z
31,9
27,8
'!5,7
24,4
0,46
0,24
0,20
0,25
5, 00
0,05
0,98
21,7
16,8
14, 7
13,5
12,9
0,47
0,25
0,21
0,50
5,00
0,09
0,97
15,3
11,8
lO, :
9.5
9.0
0,48
0,2 5
0,21
0,75
5,00
0,13
0,96
12,1
9.4
8.2
7.5
7.1
0, 48
0,25
0,21
l. O
5,00
0,17
0,94
10,2
7.9
6._
6.4
6.0
0,49
0,26
0,22
1,25
5,00
0,20
0,93
9.0
6.9
,; ,0
5.6
5.3
0,50
0,26
0,22
1,50
5,00
0,23
0,92
8.1
6.3
5.5
5. 1
4.8
0,50
0,26
0,22
1,75
5,00
0,26
0,91
7.5
5.8
5.1
4.7
4.4
0,51
0,27
0,22
2,00
5,00
0,29
0,89
7.0
5.5
4.8
4.4
4. 2
0,52
0,27
0,23
2,25
5,00
0,31
0,88
6.7
5.2
'.5
4.2
4. O
0,52
0,27
0,23
2,50
5,00
0,33
0,87
6.4
5. O
4.3
4.0
3.8
0,53
0,28
0,23
2,75
5,00
0,35
0,86
6.2
4.8
4.2
3.9
3.7
0,54
0,28
0,24
3.0
5,00
0,38
0,85
6.0
4.7
4.1
3.8
3.6
0,54
0,28
0,24
3,25
5,00
0,39
0,84
5.9
4.6
'.0
3.7
3.5
0,55
0,29
0,24
3,50
5,00
0,41
0,83
5.8
<.5
3.9
3.6
3.4
0,55
0,29
0,24
3,50
4,6
0,43
0,82
5.7
<.<
3.8
3.5
3,35 0,56
0,29
0,25
3,50
4.2
0,45
0,81
Observaciones
.-
,'"
•
•e
•"•
~
5.5
<.3
5.4
_.2
3. 7
3,65
---5,31 4.11 3,59
3,45
3.3
0,57
0,30
0,25
3,50
3.8
0,48
0,80
3._
3.2
0,58
0,30
0, 25
3,50
3._
0,51
0,79
0,59
0,31
0,26
3,50
3. O
0,54
0,78
--3.31 3,14
á
¡¡:
~
N
~
¡¡
~
~
-"·
M
•e
¡¡
último renglón
I
co.!!espon.!e...! kIi _____ J
L____
Flg. 7.17. Tablas de c'lculo, en base s dimensiones par. secciones con .rmadura simple, con zona comorl·
mida rectangular para flexión con solicitación oU, con 8ICcentrlcldades medias y grandes p... " veces l.
carga de servicio.
120
>
....-
-
~,
k
Bn 150
IIn 250
Bn 3;;0
Bn 4 50
42
32
28
12
9, O
8, O
l3n 550
•
2G
,.
0,24
',0
7,5
7, O
f).2~
6,5
5 ,5
S,
4,8
0,2(¡
6, 7
5,2
4, 5
4,2
4, O
0,27
6, I
4,8
4. I
3.8
3,6
0,2 8
5,7
4 ,4
3,85
3.55
3,35
0,29
;',4
4,2
3, GS
3,40
3,2S
O, JO
5,3 1
4 . 11
3,59
3,31
3,14
O, JI
o
M
k
[cm]
h
h
Meu[Mpm]
-b-[m)
M.U [Mpm) "N [Mp )
F, nec • k - +,
•
h [m)
~S [Mp/cm)
ul1,mo renglón", k';!
IL _____ ________________
...JI
Flg. 7.18. Parle de la labia de Fig. 7.17 correspondiente al SSI 42150.
7.2.2.5. Empleo de fas tablas con dimensiones para sec ciones con armadura comprimida
Cuando para flexión con Sollci!aci6n axi1 los mo mentos MeU son de una magnitud tal
Que el valor determinante kh resulla Inferior que el kti que figura en el ultimo renglón de la tabla
de Flg . 7.17 o Fig. 7.18 (~e correspondiente = 3 '0/(0), es necesario disponer una armadura
comprimid a. Ta l como se ha demostrado en 7.2.2.3, la ar madura comprimida deberá calcularse
para la diferencia
lIM
eU
'" M
eU
- M*
(7.48)
•u
Para desarrollar un valor auxil iar de cálculo, los dos primeros sumandos de la expresión
de Fe en la Ec. (7.50) se transforman en la forma siguien le, haciendo ¿
h'lh:
=
M*
lIM
eU
, b . a eU
+
eU
(h-h'
lo eU
1
.1
h k,
a
eU
*
(MeU
k
+...!...ÓM
1-
~
)
eU
(7 ,5 6\
De acuerdo con la definición de kh según Ec. (7.5 2) se liene
•
~
M*
.U
-M.U
-.*'
k
de donde
M* •
eU
(7.57)
[1
(7. 58)
h
y con ello, de la Ec. (7.48) se obtiene:
OM
eU
•
M
eU
- M
k'
h
eu
'*"2 "
kh
121
Introduciendo las expresiones (7.57) y (7.58) en la Ec . (7.56), luego de algunas transformaciones
se llega a:
k
(1 .I!. k
k
•
2
)(2..)+
k
z
*
z
h
(7,59)
El 2° cociente del miembro derecho constituye un valor de calculo ke para secciones con
armadura comprimida, cuando se quiere utilizar una fÓrmula de cálculo del tipo de la Ec. (7.55):
(7. 60)
En las tablas siguientes (por ejemplo Fig. 7.19 b) figura ka únicamente para /a separaci6n de la armadura comprimida ~ = h'/h = 0,07. Si ~ es menor, resulta en realidad ke menor
que el valor de la tabla y en consecuencia el valor calculado de Fe nec algo mayor, se esta del
lado de la seguridad. En cambio si t es mayor que 0,07, el correspondiente ke resulta mayor, y
por ello Fe nec también deberá ser mayor que la Que corresponde de acuerdo con la tabla . Para
~ > 0,07 debe, en consecuencia, introducirse un factor de corrección Q (Flg. 7.19 al.
••
k e par.
I! exist
ke para I!O, 07
(7. 61)
•
Las tablas perm1ten obtener las secciones necesarias de armadura mediante la
ecuaciÓn
Fe nec =
M.U
--k
h
•
N
U
.+a. U
(7.62)
donde, de acuerdo con la definiciÓn del valor k;' utilizado, la deformaciÓn es (b = 31foo y la ten·
siÓn en el acero 0eU = fJS.
Para obtener el correspondiente valor auxiliar ke para determinar Fe, se Introducen las
expresiones anteriores en la Ec. (7.51) para Fe y se obtiene finalmente:
k
1 _(
k
Fe nec =
y con ello el coeficien te
k6 resulta
~)
h
2
(7. 63)
ser
(7.64)
'22
Este coeficiente también figura en las tablas solamente para los casos donde
Para valores mayores de t se requiere un lactor Q' de corrección, que resulta ser:
k'e para
~ real
k~
~0 . 07
ri • -"---"=para
~
= 0,07.
(7 . 65)
~
. h'/h
0,07
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
1, O
1,01
1,03
1,06
1,08
1,11
1,13
1,16
1, 19
1, O
1,00
1,01
1,01
1,01
1,01
1,01
1,02
1,02
1,02
0,95
1,00
1,01
1,01
1,02
1,02
1,02
1,02
1,03
1,03
0,90
1,00
1,01
1,02
1,02
1,02
1,03
1,03
1,04
1,04
0,85
1,00
1,01
1,02
1,02
1,03
1,04
1, 04
1,05
1,06
0,80
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,05
1,06
1,07
0,75
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1 ,0 6
1,07
1,08
0,70
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,06
1,07
1,08
1,09
,
P
",/~
P
al coeficientes 'i y Q para t > 0,07
",/~
k'
•
1, O
0,00
0,975
0,01
0.95
0,025
0,925
0,04
0, 90
0,05
0,875
0,06
0 ,85
0,07
0,825
0,08
0,80
0,09
0,775
0,10
0,75
0,11
0,725
0,12
0,70
O, 13
b) coeficientes
k
•
0,31
BSt 42/50
0,30
N
M
Fe nec "
Fé nec
=
-..!!!
h
k
•
M
~k'
h
•
P+
U
·.U
,
P
0,29
0,28
lié y ke para ( < 0,07
Fig. 7.19. Tabla de cálculo para secciones con zona comprl·
mida rectangular con armadura comprimida, complementaria de la tabla adimenslonal de cálcu lo de Flg. 7.17 (valida
únicamente par. eSt 42/50).
'23
El factor de corrección es Independiente de la relación kh/kh . y también figura en las
tablas.
De acuerdo con la Ec. (7.63), la sección necesaria de la armadura Fe resulta ser:
'
F e nec
M
eU
-h-
=
I
(7. 66)
ke' p'
En la Fig . 7.19 se ha reproducido como ejemplo una tabla válida para el acero BSt 42/50.
Mencionamos aqul los diagramas de Interacción, que se tratan en la Sec o7.2.3, los que
para secciones rectangulares solicitados por flexión con esfuerzo axil y armadura simétrica
(Fe
Fe), también son de aplicación para grandes y medianas excentricidades.
=
7.2.2.6. Deducción de un diagrama de cálculo adimensiona/ para secciones sin armadura
comprimida, solicitadas a flexión simple
En el caso de flexión simple es posible construir en forma sencilla un diagrama de
cá lculo o preparar la correspondiente tabla.
Para ello se parte de l a cuantla geométrica,.. de la armadura que se define como
".
(7. 67)
y que en general se expresa como porcentaje de armadura,.. (%).
Por ello es pOSible expresar el esfuerzo de tracción como sigue:
Z
eU
• F
e
. r¡
eU
= JJbhr¡
(7. 68)
eU
De I M = O respecto del punto de aplicación de Dbu se obtiene
kh=~kbh2a
Z
z
eU
(7.69)
y con ello el momento reducido mU:
"u
-;;"--'
"k •
2
~R
bh
a.u
~R
(7. 70)
la condición I N = O conduce a DbU = ZeU; de donde, mediante las Ec. (7.30) y (7.68):
que por simplificación y transposición de términos se transforma en:
a. u
"-
~R
Qk
x
(7. 7I)
Observación: Si se introduce la Ec. (7.71) en la (7.70) se obtiene nuevamente la ya deducl'
da Ec. (7.45 a): mU = k. kz Q .
Para distribuciones arbitrarias de las deformaclones (dentro de las zonas 2 y 3 de Fig.
7.6) es posible sin embargo, calcul ar pares de valores mu y,... la variación de mu en función del
124
valor porcentual de ¡¡ se muestra en la Flg. 7.20 para un hormigón de calidad Bn 250 y aceros de
distintas calidades. Todas las curvas presentan un quiebre, para cuando se llega a 'eS = PslEe
(por cuanto (b = 3,5 %0 corresponde a la distribución de deformaciones de la recta e de Fig.
7.6). Para deformaciones del acero (e < (eS el porcentaje de armadura necesaria crece considerablemente; dImensionar en dicha zona resultarla antieconómico.
Ellfmite de la cuantla económica de armadura resulta más evidente si se divide mu por
el correspondiente coeficiente de seguridad y se representa la variación del momento reducido
m (Uneas punteadas en Fig. 7.20). Dichas curvas experimentan un segundo Quiebre en correspondencia con la deformaciÓn del acero del 3 'fOIl, Y muestran claramente que, para
m > 0,33811 ,75
0,193, un progresivo aumenlo de la sección de armadura Fe SÓlo conduce a
Incrementos reducidos de los momentos Que es posible absorber.
Para construir un diagrama de cálculo adimenslonal, Que debe ser Independiente de las
calidades del hormigón y del acero, se introduce la cuantla mecánica de armadura ¡;; Que se de·
fine como:
=
(7.72 )
Teniendo en cuenta Que el diagrama de cálculo se limitará a deformaciones del acero
3 %0, para todos los casos se liene 0eU = PS; por ello, reemplazando la (7.72) en las Ec.
(7.70) y (7.71) se obtienen las relaciones simples:
(,!I ~
m
U
" k
z
IJ • a.k
mu,m
0.50..---r~-'-
0,4240,40
0)790)63- -
E~,2.38·~;,
(7 . 74 )
x
TI
-
--r-
~~d''1'~}"'_lE'r's=';"~"'~'1"~'__tm-=u=t-1_~!
BS~~~-'~Í) ~'~O
IBSt NI / /
O,JO
(7. 73)
. IJ
les. mI
~
BSI 22/3<
[BS111
-!-++I
/j -+V -7!-----------+---+-----t
m
0,20
I~,m/
,
0.10
-...--- - -=-E -::;=.::tf"'-==-=-.;:j
-
,
(1
1.
/
tÍ'
/
Calidad del hormigO
Bn 250
(~R .175 kp/cm 2 )
/
/
r- BStI
F.
bh
/
o
2
l
<
,
,
1
•
('1, J
FIg . 7.20. Vl' :aci .. ... de lOS momentos reducidos mu, que pueden ser absorbidos en flell iOn simple en una
secciOn rectangular sin armadura comprimida. pata Bn 250 en lunciOn de la cuanUs geométrica .. y de la
calidad del acero.
125
Como ya se ha explicado, es posible calcular pares de valores mU y ¡¡, para distribu·
clones arbitrarlas de las deformaciones (siempre para [e > 3 %0). Estas relaciones entre mu y ¡¡
se han representado en la Flg. 7.21 como curva de cAlculo. La linea punteada corresponde al
momento reducido m debido a la carga de servicio, que se obliene dividiendo mu por el coeficiente de seguridad v = 1,75. Para la curva correspondiente a mu es posible dar una expresión
aproximada, fácil de recordar, válida para la zona de te > 3 %0_
~
... ¡:¡(1-O,5p:)
(7 .7 5\
0,3
0,2
IJ..t'H-I+'+-'¡e' H++ 11
I±
IJ •
I
AproxImacIón
demparaz", irh
mparaz ", lh
9
O,,
O,,
0,2
O,,
0,3
FIg. 7.21 . Distribución del momento reducidO mU que puede ser absorbido en flexión simple normal por
una sección rectangular sin armadura comprimida en función de la cuanlla mecanlca ~ (las aproximaciones segun Seco 7.2.2.7, con fOrmulas emplrlcas para el brazo elastlco Interno, se han representado en Uneas Interrumpidas).
7.2.2.7. F6rmulas emplricas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en flexi6n
simple normal
la sección necesaria de acero, en el caso de flexión simple normal sin armadura
comprimida, puede, de acuerdo con la Ec. (7.47), es decir
,.
.
eU
determinarse fácilmente, Siempre que sea posible conocer una aproximación para el valor del
brazo elástico interno z '" zb. El diagrama de Fig. 7.16 muestra que el brazo elástico interno,
aproveChando una deformación del acero de (e '" 5 0/00, segun sea et grado de solicitación del
hormigón en la zona comprimida, dentro de los limites de utilización prácticos, vada entre
z = 0,83 h Y z = 0,92 h.
126
El dimensionamiento de la armadura longitudinal queda del lado de la seguridad si
-como es normal en la practica desde hace décadas- se fija aproximadamente ~ < 0,3.
,
• ~h
•
8
0,875 h
Con 0eU = (Js se tiene
Fe nec =
"U
7
8h
.
's
1
> 0.3, l = gh
Para elevadas cuanllas de armadura ~
ros, con lo que res ulta
Fe nec =
(para ~'" 0.3)
= 0,78 h se obtienen valores segu·
(para ;>0,3)
7
gh. ~S
(7.76)
(7. 77)
Estas fórmul as aproximadas o emplricas son también aplicables al caso de flexión con
solicitación axil, siempre '1 cuando se mantengan los mismos limites para ¡ '1 no se considere
en el calculo ninguna armadura comprimida.
7.2.3. C~/culo para flexiÓn con esfuerzo axil para excentricidades media y reducida (eje neutro
muy bajo o que no corte a la sPcciÓn)
7.2.3.1. Diagramas de cálculo segun MOrsch·Pucher para armadura asimétrica (el eje neutro
corta a la sección muy abajo de la misma)
Cuando se utilizan las tablas de cálculo de la Sec. 7.2.2.5 para secciones con armadura
comprimida, a menudo se sobrepasan los limites de Fe lijados por la DIN 1045, Seco 17.2.3 (Fe
debe ser < Fe Y cuando predomina la flexión, Fe debe mantenerse menor que 0,01 FtJ. Para estos casos. se obtiene und solución si en la zona de tracción . Fe no se utiliza al máximo: con el In
el eje neutro se acerca a Fe, ¡la zona comprimida aumenta y
nec se reduce!
Dado que. en la zona de II<lCCIÓn la deformación puede reducirse por calculo, el proble
ma del dimensionamiento se transforma en un problema de múltiples soluciones (ver Sec o
7.2.2.1). E. Mórsch fue el primero en proponer traducir en un diagrama de fácil interpretación .
las relaciones entre las posibles deformaciones y las distribuciones arbitrarias de las armaduras Fe y Fe' Pucher slmpliflcó dicha representación .
En lo que sigue 1se muestran en forma abreviada los caminos para llegar a dichos diagra·
mas para el Estado 11 y se explica la forma de usarlos.
La sección rectangular de hormigón armado debe poseer simalria geométrica en lo que
respecla a la ubicación de las armaduras Fe y Fe (ver parte superior de la Fig . 7.22). Se tiene
asl Ye =
y con ¿ = h'lh resulta :
Fe
'le
1
h. - - d
1+ \
~ _ h' =
2
1 - ~
17.78;
d
(7. 79 )
2(1+~)
Como en las secciones anteriores valen las relaciones
k
x
x
h
•
,,
•
k - I
_
~x';:-_
k
x
'b
k
,
127
Los esfuerzos pueden expresarse en la forma siguiente (o se introduce de acuerdo con
la Ec . (7.14)):
ok
=-~bd
¡ + \
,
Refiriendo las correspondientes armaduras a la sección tolal de hormigón Fb = b d, las
expresiones de las c~antlas geométricas son
,
F
• _e_
\J.o
b d
F'
,
e
(7, 80)
lJ o " b d
y las cuanllas mecánicas
lJo
's
, 'S
,
" lJo -,-
" \J.oT
(7. B 1)
R
R
Mediante las mismas se obtiene para los esfuerzos en el acero
D
eU
•
zeU •
(7. 82)
cr
bd
\J.o
Q
~
I-'R ~
(7.83)
S
A los momentos que aparecen en las ecuaciones (7.6) y (7.7)
,
M·M-N·y
eU
-LJ
U
e
se los refiere a la sección total de hormigón:
,
(7.84)
M'
eU
(7. 85)
Fe
Si se plantea I M = U respecto de
y de Fe respectivamente, se obtienen dos
ecuaciones, en las cuales aparecen en cada una de ellas s610 Feo Fe. Con ka segun Ec. (7.15)
se tiene:
M'
eU
ZeU (h - h')
Con las ecuaciones (7.61) a (7.83) se obtienen para los momentos reducidos:
,
cr eU
8s
128
¡ -
,
~+
1 + ~
1 _ k
o. k
x
,
k
x
(7 . 86)
a x - I!;
k k
1 - ,
~-Qk
1+ ~
(7.87)
x
En estas relaciones , t PR YPs son valores conocidos; las magnitudes o, ka, kx, 0eU y 0eU
pueden determinarse para cualquier diagrama de deformaciones. Con ello se ha llegado a las
ecuaclones con las que es posible expresar los momentos reducidos méu y meU. De las Ec.
(7.86) y Ec . (7.87) luego de algunas Iransformaciones, se llega a:
,
"o
-,
"o
m.u
(1+~)2+
1
Q
k
x
(k k
a x
_ ~)
- ~2
n\U (1 +~)
2
1 _
- o.k
~
x
{l - k
a
k)
x
2
eS
o.u
es
,
o.u
(7.88\
(7.89)
Con estas ecuaciones es posible para un (e elegido arbitrariamente y un dado (b =
:: Lb máx o también para cualquier (b correspondiente a un valor de (e = (e máx fijado a priori.
construir diagramas por puntos. de los Que la Fiq 7.221f·presente uno de elfos . correSpondlf"1l
te a ¿ = 0,1 Y
42/50 para el entorno [e = O a (e = 50/00, aprovechando la zona comprimida
del hormigón para Lb = 3,50/00 (Estado 11).
es!
Este diagrama se utiliza en la forma siguiente: se calculan meu y méu partiendo de Mu
y Nu, se buscan las correspondientes curvas y de los puntos de intersección de ambas, sobre
las rectas hOfll.ontales albltrarlas, se determinan pala las delormaclones preestableCida:, 'l'
las abscisas iAO y ¡:io. De acuerdo con las Ec . (7.88) y (7.89) debe tenerse en cuenta:
la intersección de la reCia de referencia con meU permite obtener
iAo
la intersección de la recta de referencia con meU permite obtener ¡:ió.
El procedimiento de lectura se aclara en el esquema de Fig. 7.23: cada recta 8 ubicada
por debajo de la Intersección de las curvas meu y méu conduce a una solución satisfactoria
donde iio >~; la recta b trazada a partir del punto de Intersección conduce a la solución
¡:io; cualquier re~ta c ubicada por sobre el punlo de
correspondiente a armadura simétrica iio
intersección de ambas curvas significa soluciones impracticables, porque corresponden a
~o > ¡io (inadmisible); las horizontales correspondientes a la deformación del acero {e, ubica·
das por debajo del punto de Intersección de las curvas correspondientes a los valores de meU y
méu calculados, ¡son siempre util izables!
La armadura buscada se obtiene de las Ec. (7.80) y (7.81) como sigue:
=
Fe nt1c =
"o
eS/SR
bd
(7.90 a) ;
F~ nec
=
bd
(7.90 b)
A la derecha del diagrama figuran los coeficientes kx que filan la posicIón del eje neutro
y los coeficientes de seguridad v correspondientes a las respectivas deformaciones del acero.
En la Fig. 7.24 los coeficientes de seguridad ya se han incluido en el diagrama (tal como
en [72J), de modo que las curvas correspondientes ame = maulv y me = meUIv son válidas. Para
los casos normales, los diagramas referidos a los esfuerzos caracterlstlcos debIdos a las cargas de servicio, son más !aclles de utilizar que aquellos establecidos sobre la base de magnitudes de rotura. Sin embargo la vinculación Interna debida a la reducción debida a v, no resulta
lan evidente.
129
.,
BSI
L2I50
".u
h'/h.O,l
MU"NU'Y,
M.U
PSi P.
150
250
l50
"O
5SO
m.U
40,0
2',0
18,3
15,6
14,0
M'
.U
-
F~
ti
MU' NU'~~
M~ U
m~U
E:b"3,S""
t--~ '-.-.--'-.-.'
I ,~
b d 2 ~R
f -
DeU
D bU
bd 2
",
F
PS /f3R bd
-,
•
",
F'
•
f3S'PR
,
-
-
--
r
, 1L
",
~
.,
3,0
l-
•
-l
-~
o'
E
_L
+
t-
~
o'
~
O'
1-
~
o'
~
-'-
O
,I
-'
~
-
bd
k,
1,75
0}.12
+
0,438
,
,
,,O
p;-
0,467
0,500
1,15 - 0,538
1,81
O,sel
1,87
0,635
1,93
0,700
1,98 - 0,778
..,
I
o
0,\
0,2
/
0,3
0.1.
0,5
0,6
0,7
o,e
0,9
1,0
'.1
2,04
0,875
2,10
1,000
¡lo,il~
Fig. 7.22. Diagrama de MÓrsc h·Pucher para el dimensionado de secciones rectangulares con armadura
comprimida para esluerzQS caracterlslicos de rotura MU y NU{eje neulro bajo en la sección) para SSt 42/50
y h '/h = 0.10.
Para una utilización razonable de los diagramas de Figs. 7.22 y 7.24 Y una adecuada
elección de la armadura, es necesario realizar algunas observaciones:
Si el punto de intersección de la recta con las curvas calculadas para meU y meu o respectivamente me y me queda por debajo de (e = (eS (2 'Yoo para SSt 42150), entonces ¡io Y en
consecuencia Fe aumentan mucho y correspondientemente se reducen lió y Fe' En tal ca·
so 10 más económico es disponer armadura simétrica Fe = Fe.
Si el punto de intersección de meu con meU o de me con me queda ubicado por encima de
los limites del diagrama (aprovechamiento de la deformación del acero (e = 5 'Yoo y para
el hormigón (b < 3,5 0/00), de acuerdo con lo establecido en Seco 7.2.2.2 y 7.2.2.4, corres-
130
Recta a:
Recta b:
e,
i'o
Intersección con meu Intersección con meU -
iiO
Intersección de las curvas
meU y meu - ~o = ~
Recta c:
Zona no utilizable
-,---
Conduce a valores no
ulilizables por resullar ji(¡ > i'o.
,, ,
110 t ,
110' P:o
Flg. 7.23. Guia para el uso del diagrama de Flg. 7.22.
SSI
s"
Ps I f3 R
h
250
350
"O
ssO
m,
1,0,0
21, ,0
la,3
15,6
11,,0
";
•
••••
~-
,~
~
x ' k. h
"
,,----
,.---
F.
••••
~
b -~
!
~ l
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F,
F'
•
L,O
M'
•
O d 2 f3R
il,
Z.
~S/PRbd
"
•
fl~
- - - bd
~S' PR
t(',S-O·foo
•\,15
Trr n, -lrT---rr" l1r 'n----¡ '
~
MoN ·V'
M
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5,0 TlT-----rr r r
".
b d 2 ~R
•
O.
O,
d
'1"
h
",
M · N· 'le
m'
EO,l,Sof..
-}----
I
h
,
ISO
F'
,~.---
",
h' fh , 0.1
1.2fSO
¡
o
.
o'
~
1
o
o'
"
;:;.
+/-+,/ ,
o
~
o'
3,0
1\
k,
0,1, \2
0,1,38
0,1,61
¡
0,500
1.15
o.S3a
0,583
187 - 0,6)6
2,0
1,93
0,700
1,98
0,118
2,01,
0,815
1,000
°
0,1
0,2
0,3
O,L
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1, O
1,1
Fig, 7.24. Diagrama de Mórsch-Pucher para el dimensionado de secciones rectangulares con armadura
comprimida para es/uerlOs csrsc/er/sOcos debidos a cargas de servicio M 'J N (eje neulro bajo) para aSI
42150 y h-/h -= 0,10_
ponde prever armadura s imple, Por esta razón sE!.. prescinde de la interpretación del
diagrama para dicha zona,
SI el punto de intersección de las curvas antes mencionadas queda ubicado por debajo
dellfmlle del diagrama de Fig. 7.22, estamos ante un caso de pequena excentricidad con
tensiones de compresión en toda la sección (Estado 1).
En la Flg . 7,25 se muestra a titulo de ejemplo un diagrama correspondiente a este ámbito
de deformaciones para ~ = h'lh = 0,1 Y aSt 42/50. Se util iza enJa misma forma que el de
Flg. 7.22, la manera de evitar que resulte Fe > Fe debe Invertirse: sólo son utilizables las
soluciones correspondientes a rectas ubicadas por encima de las intersecciones de las
curvas correspondientes a meu y meu.
la Flg . 7.25 permite además conocer que para las secciones que trabajan en Estado I resulta siempre conveniente adoptar armadura simétrica , que también conduce a un mlnimo del
consumo total de acero, Para secciones con armadura simétrica son, sin embargo, más aproo
piados los diagramas de Flgs . 7.27 y 7.29, que se reproducen en las secciones siguientes.
eSI
rt
h
'"
h+, ,2
"" h',
<
I
k
b
ti·,. J
a
·3,0
·1,33
· 2,5
l.
2,00
h'/ h . O,1
Dt'l,U
r.
DbU
De2,
- (-
o
0,1
0,2
O)
g
o
O,,
~bd
PS' P.
~'o
Ts'iifR bd
"•
~ l l.o, r n
r;.tl'
.0p.-.
~ V V .~~
wV ~ ki~ ~_9
V
o
M. U
bd 2 PR
F,
--
o'
b d2 ¡3 R
m'eU
0~E2~-2 ·1 ..
11/
M,U
m,u
NU
E
• 2,0
2/50
- 2,O~El~ · 3,S ·I..
d
',2
••• •
_. -0,67
.
>
-r
• • ••
lo
0,5
0,6
,
.
i3' f-'-.'/'-.,
N~
~./-
0,7
0,8
_.~-,,::,-
0,9
1,0
1,1
!lo'p. o
c lave para la util ización
E,
¡"I.. )
,
meU -
I- -= = '::-~
.-
+I
-.
I
I
1zona no utilizable
Fíg. 7.25. Diagrama segUn M6rSCh,PuCher para el dimensionado de secciones rectangulares con armadura
comprimida para valores de rotura Mu Ij NU (el eje neulto no corta a la secclOn) para eSt 42150 Ij
h'/h = 0,10,
132
7.2.3.2. Diagramas de cálculo para flexi6n con esfuerzo axil y armadura simétrica
Como fuera demostrado mediante el diagrama de Fig . 7.25, para flexión con esfuerzo
axil de compresl6n y pequena excentricidad (Estado 1) lo más conveniente es la armadura simétrica Fe
Fe o Fe1
Fe2.
El diagrama que se muestra a continuación en Fig . 7.27 permite un dimensionamiento
rápido y exacto de las secciones rectangulares con armadura simétrica. Su deducción se acla·
rará con la notación de Flg. 7.26 para el estado de deformación correspondiente al Estado 1.
Se introduce la fuerza normal referida a la sección de hormigón b·d (y no a b·h como
ocurre en la Ec . (7.42)):
=
=
(7. 9l)
En lo que sigue se utiUzarán las ya conocidas expresiones:
~ .
1
h ·--d
1+ I
h'
h
h' " d-h . ~d
1+ I
,
"o ._- . "o ._F
F
e2
bd
el
"o "o
y
bd
~S
¡JoS
R
El eje neutro, exterior a la sección, dista del borde más comprimido de la misma (las de·
formaciones en valor abSOluto):
x •
d
(7.92\
donde se entiende por (1 la deformación del hormigón (acortamiento) correspondiente al borde
más solicitado; con (2 = (14 - 4q)13 según Ec. (7.22) resulta:
3
<1
x ' -7 d
2
<1 -
( 7. 93)
Para la deformación en el acero, en 'unción de (1 se tiene
h' e
Eel .. (1 _ -)
x
1
(7.94)
h
€e2 · (1-~)EI
(7.95)
Con el coeficiente de uniformidad Qd según Ec. (7.20) el valor de la resultante de compresión en el hormigón es:
(7.1 8)
la distancia de la resultante de compresión 0bU al eje barlcéntrlco de la sección de hor·
mlgón (irectángulo!) se obtiene del valor del coeficiente kd, dependiente de la deformación de
borde (.1, de acuerdo con la Ec. (7.21), y su valor es 'Id = kd·d.
los restantes esfuerzos Internos son:
oel ,U
2
a
el,U
- F
e1
y
D
e2,U
,. a
e2,U
. F
e2
133
o, considerados como esfuerzos reducidos:
d
el, U
•
oe1,U
oe2, U
bd SR
bd SR
..
17.96)
Como condiciones de equilibrio deben satisfacerse I N = O:
y I M = O con respecto del eje baricéntrico
-D
e2,U
d
,
(--h)-M .· O
2
--u
Sobre la base de los esfuerzos reducidos según las Ec. (7.18), (7.91) Y (7.96) resultan de
las anteriores ecuaciones:
a
el , U
+a
e2,U
(7.97 )
'S
1
~ ~
kd + 2 (1 +
(7. 98)
~)
Para valores dados de ¡ro, ~ y Ps, estas ecuaciones nos dan los valores de nu y mu para
cualquier dlstribucl6n de deformaciones supuestas para el Estado I (para el Estado 11 pueden
plantearse relaciones similares), con los cuales es posible calcular la excentricidad reducida
eld.
(7.991
En la Fig. 7.27 se han representado nU y eld para 8St 42150 Y~ = h'lh = 0,10, aparecien·
do ademAs ~ como parámetro, en un diagrama de cálculo válido para cualquier calidad del
hormigón. AdemAs, se han Incluido curvas auxiliares para los coeficientes de seguridad v. La
curva correspondiente a v = 2,1 deflne el pasaje del Estado I al Estado 11, que es función de PO y
que comienza para excentricidades reducidas de eld = 0,15 (¡:ro = 0,05) hasta eld = 0,3
~ = 1,1). Ademas en la figura se han representado los OslOA, como también ~ mln correspon ·
diente a la armadura mlnlma de ¡..co = 0,4 % para elementos comprimidos (DI N 1045, Sec o
25.2.2.1) .
Para dimensionar secciones, es decir para determinar la armadura necesaria para di ·
mensiones dadas del hormigón, se calcula eld asl como tambié" el esfuerzo axll reducido nU
para un coeficiente de seguridad v estimado y se busca en la Intersección de las correspon·
dientes abscisa y ordenada el coeficiente de seguridad en las curvas auxiliares. SI el coef iclen·
te de seguridad hallado no coincide con el estimado, debe repetirse el cálculo con un coeficien·
te de seguridad corregido, es decir calcular un nuevo nU. Si la coincidencia es suficientemente
sat isfactoria, el punto de Intersección de "U y eld permite obtener el valor PO buscado. De ahl
se deduce que la armadura necesaria es:
~
o
134
bd
z
(7. 100)
¡
Deformaciones
especificas
Tensiones
hormigón
acero
esfuerzos
Internos
esfuerzos
caracterlstlcos
externos
Gd,U
,f
/
I
I
11
1/
l ________ li__
Flg, 7,26, NotaciOn en una secclOn rectangular en estado 1.
NU
nU '
1
-;-b-;d"'
~R-
- l,2
-3,0
<,
1,
h
h/h.O,1
1. 21 SO
B SI
<"
,
DbU
- ?
- 2,8
1
- 2,6
",'
· 2,1.
¡
- 2,2
.
I
- I,e-
~S' ~R
n
-2,0
¡l,
r ___rF_' _' _",F_'_'-,"c"_ , _b '_-._-,
r
Bn
I SO
2S0 3S0
¡3S'I3R 1. 0,0 21.,0
• 1,6
I.S0
SSO
\8,3 IS,6 14,0
Aom;n 0,\600,0960,0730,062 O,OS
-1,0
·0,8
- 0,6
- 0,4
·0,2
o
•
O,,
O,,
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
1,0
1.1
1,2
1,3
1,1. d
Flg, 7,27, Diagrama de cálculo para secciones reclangulares con armadura simétrica para esfuerzo normal
de compresión para, excentricidades relativas eld medias y redu cidas (el eje neutro no corta a la secCIÓn o
es muy cercano al borde) para B St 42150 y h'/h :: 0,10.
Para el uso practico, también en este caso resultan mas simples los diagramas traza·
dos a partir de los esfuerzos caracterlstlcos debidos a la carga de servicio, por cuanto el coefl·
ciente de seguridad ya esta Incluido, lo que evita la estimación de v y un eventual recalculo.
En el caso de esfuerzo axlf(e = O) el acortamiento del hormigón es lb = 2,"00 constante
sobre toda la sección, teniéndose para un coeficiente de seguridad \1 = 2,1:
N
U
" - b d?
R
- {F
+ F e2 1 a eU
el
(7.101a)
o, por ser Fe1 = Fe2, de la Ec. (7.97) con 0el ,U = 0e2,U = 0eU:
a
nU
coo
a
eU
o.U
,.
• 2,2 Mp/cm 2 ,. 6
4,2 Mp/cm
o.u • 4,2 Mp/cm
2
2
-( 1+2
eU
Üo 'S
para B St 22 / 34 (BStl)
5
,. 6
(7.101bl
-- l
para B St 42 /50 (O St 1rI)
5
para B St 50/55 (BSt IV)
(!) (perono/JO,2!
7.2.3.3. Dimensionado pars esfuerzo normsl de tracción con pequefla excentricidad
Este caso se trató en la Fig. 7.2, como caso c. la excentricidad e = MulNu es menor que
la distancia Ye2 ent re la armadura de tracción y el baricentro de la sección. En consecuencia
ya no existe zona comprimida y debe admitirse que toda la sección de hormigón se encuentra
fisurada, de modo que só lo actúan las armaduras (Flg. 7.28). En consecuencia, la forma de la
sección carece de Importancia.
En la Fig. 7.6 este caso corresponde a los diagramas de deformaciones de la zona 1
entre las rectas a y b . Cuando la excentricidad es aproximadamente igual a Ye2, se mantiene
(e l < (eS Y en este caso seria posible dimensionar en base a la distribución de deformaciones.
Para simplificar, en el caso de tracción normal con excentricidades e < Ye2. se parte fundamen·
talmente de la hipó tesis de que Fe l también alcanza las deformaciones en el limite de escurri·
miento, o sea ~5 (ver a este respecto las observaciones de la Seco 7.1.3.2 para las zonas entre
las rectas a y B' ); las diferencias con las soluciones para las rectas de deformación entre a y b
carecen de Importancia.
los esfuerzos lel y le2. en la hipótesis de ig uales tensiones (15 en ambas armaduras ,
resultan con ello proporcionales a las secciones Fe1 y Fe2' Ten iendo en cuenta que debe existir
equilibrio se tiene de:
EN • O.
N
EM' O respecto a Zel,U
N U (Yel + el
rM -
N
O respecto a Z
e2, U
U
- Z el, U
U (Ye2 - el
Z
e2,U
• O
Ze2,U (Yel + Ye2) ., O
Zel.u (Yel +
:v e2 )
" O
Con Zel.U = Fe! . (ls y Ze2,u = Fe2 · (15, se obtiene para las armaduras necesarias
Fe1 nec
=
Fe2 nec =
136
y e2 - .
(7. 102)
(7. 103)
Tensiones
en el acero
r
• • • •
'.,
1
I'.1
."
h
,
'"
~
s,
-
G. 1,U ·
Ps
Esfuerzos
Inlernos
Esfuerzos
caraclerfslicos
el(lernos
7. 1,U
-
i
,•
L
',2
• •• •
G.2 U' PS
Z.2,U
•NU
Flg. 7.28. Notación en una sección totalmente tisurada para esfuerzo normal de tracción con pequena el(·
centrlcldad.
El esfuerzo normal de tracción aplicado Nu se reparte en consecuencia entre las arma·
duras Fe1 Y Fe2, de acuerdo con la ley de la palanca.
Como control debe tenerse:
(7. 104)
Dado que la sección Fel se calcula mediante la diferencia de los valores de Ye2 Y e, que
pueden llegar a ser casi Iguales, para pequel'las diferencias (Ye2 - e) es preferible adoptar para
Fe 1 un valor mayor que el que arroja el cálculo (tener presente: inexactitudes'en el cálculo de
loS esfuerzos caracterlsticos M y N Y con ello de la excentricidad e, iasl como también en la co·
locaciÓn de la armadura a la distancia '1e2!)'
7.2.4. Diagramas geneta/es para el dimensionado de secciones rectangulares (diagramas de in·
teracción)
Si se representa el esfuerzo axll reducido nu en función del momento reducido mu (en
lugar de hacerlo en función de la excentricidad reducida eld como en el diagrama de Flg. 7.27),
se obtiene el llamado diagrama de Interacción para flexión con esfuerzo axil. Estos diagramas
son muy utilizados en los EE.UU. de América '1 también se los ha incluido en la DIN 4224.
La Flg. 7.29 muestra un dlayrama de interacción correspondiente a una secciÓn rectan·
guiar con armadura simétrica para h'/h
0,10 Y BSt 42/50. Permite visualizar la relaciÓn de los
esfuerzos caraclerlsticos de rotura que es capaz de absorber una secciÓn desde compresión
predominanle pasando por lIexlón simple hasta tracción predominante. Sin embargo , su
empleo para problemas prácticos de dimensionamiento se complica por el hecho que el coefi·
ciente de seguridad varia para determinadas zonas de.1 diagrama, en función de (e o 'e2, entre
1,75 Y 2,1. Estos diagramas resultan por ello más fáciles de ulllizar si se los dlsel'la para los es·
fuerzos caracterlstlcos correspondientes a las cargas de servicio (ver DIN 4224).
Este diagrama, derivado de los esfuerzos caracterlstlcos de rotura muestra claramente
que la diferencia de los coeficientes de seguridad para N y M puede conducir a cuantlas de aro
madura necesarias, mayores que si el coeficiente de seguridad 11 es el mismo para N '1 M, de
acuerdo con los diagramas de la DIN 4224 (ver observaciones en Sec. 6.2.1 y 7.2.1): entre nU'"
- 0,45 Y nU = los valores menores de nU, para un mismo mU conducen a valores mayores de
¡;¡o, es decir el estado de carga mas desfavorable corresponde al menor valor de nU con un coeficiente de seguridad IIN< 11M (por ejemplo: para IIN = 1,0).
=
°
137
¡ .. .
> ~
~
h
r.:
Fe!; (' 2
- -'--'
d h
"U
-
1• ' j • ...
F. 2
NU
nU =
-"
~,
bd PR
-
b
~
-3,0
- 2,8
8n
- 2,6
150
~/PR
- 2,4
250
350
' SO 550
'0,0 24,0 18,3
15,6
1',0
- 2,2
- 2,0
¡ ---1-- f--+---1
- 1,8
T
,?~
-1 ,6
• 1,4
T
- ,?' -
- 1,2
,,96
-
1.., ,9?
-1,0
_
1,92 _ _
- 0,8
- 0,6
r'F
I 190
" '
"i='~'
..
.¡otb+4'~ -
+
- 0,1,
',87
1.8t.
'01
- 0,2
',75
O
1,0
.'
0,2
O~
.
' ,1
L
0,_
O,.
t
',0
t
1,2
1,4
I
',-
I
1,.
2Jl
~2
1
I
f
-'--
J
L
I
~
1
J_I_
1---1
l
I
"'1
FIg . 7.29. Diagrama de interacción para fte~IOn con esfuerzo ax ll en el estado de rotura en secciones rectangulares con armadura simélrica de SSI 42J50 y para h Ih = 0.1
138
7.3. Dimensionado de secciones con zona comprimida del hormigón no rectangular
7.3,1. Introducción
En las estructuras de hormigón armado suelen presentarse secciones cuya zona
comprimida afecta la forma de T,O , ~. O o también una forma arbitraria, de modo que en estos
casos, el dimensionamiento debe efectuarse siguiendo los principios básicos de la Seco7.1 . De
enlre éstos. se destaca en primer término la viga con zona comprimida en forma de r , Que, por
sus ventajas económicas constituye el caso más comUn.
7,3.2. Ancho activo de las vigas'plac8
7.3.2.1. Planteo del problema
Se denominan vlgas·placa (tee·beam, T beam, beam and slab struclure) a las vigas cuya
sección afecta la forma de T; la losa actúa como cordón comprimido, la "vi ga" como alma y las
armaduras ubicadas en la parte inferior de ésta, como cordón tracdonado (Fig. 7.30). Con el objeto de asegurar una vinculación resistente a los esfuerzos de resbalamiento entre los corda·
nes comprimi do y tracClonado, el alma debe poseer una armadura de corte, y la losa requiere
una armadura transversal. Como consecuencia de la vinculación resistente al resbalamiento ,
las alas laterales de la losa y el alma experimentan en la flexión las mismas deformaciones Ion·
gltudinales. Al aumentar la distancia al alma, las deformaciones (tensiones) en la losa disminu·
yen; una losa muy ancha, en sus zonas extremas ya no colabora como cordón comprimido de la viga.
En los apoyos de las vigas·placa, la colaboración de la placa como cordón comprimido
debe desarrollarse paulallnamente (zona de actuación progresiva). La Fíg . 7.31 muestra dicho
comportamiento mediante las trayectorias de las tensiones principales. En la losa, las trayec·
torias de compresión comienzan a d6sarrollarse a partir del apoyo, y son, con respecto a la vi·
ga. curvas e inclinadas. Cuando se dimen siona para flexión con solicitación axil. en principio
sólo se tienen en cuenta las componentes tr.O)( de las fuerzas Interiores dirigidas según x; las
componentes transver sales tr.Z se absorben medIante una armadura de unión. cuyo calculo se
detalla en la Seco8.6.1 al tratar la seguridad al corte.
Para determinar el ancho acllvo, se pone en evidencia el esfuerzo de resbalamiento in·
cógnito T en una sección efectuada a lo largo de la unión de la losa con el alma. Este esfuerzo
de resbalamiento T solicita a la losa como lámina (Fig. 7.32, [74]). la determinación exacta de la
repartición de tensiones Implica la solución de una ecuación diferencial, que conduce, median·
te la función de tensión de Airy a la denominada ecuación de la lámina . A este respeclo, meno
cionamos la existencia de análisis más rigurosos y la correspondiente bibliogralla (73. 74, 751.
Actualmente, el problema puede ser resuelto mediante computadoras empleando el método de
los elementos finitos.
la distribución de tas tensiones de compresión longitudinales 0)( en la zona comprimida
de una viga·placa, puede observarse en la Fig . 7.33. Teniendo en cuenta que en las zonas extre·
losa o losa de cubierta como cordón comprlmi·
b -
-
d,
Ji
d,
L
/
alma con armadura
de corle
Fe en el cordón
Iraccionado
Flg. 7.30. la viga·placa y sus partes componentes.
139
mas de la losa la deformaciÓn es menor que en la viga, el eje neutro de la seccIÓn ya no es más
recto sino c urvo. la variaciÓn de las tensiones en la losa depende del tipo de carga, del tipo y
separación de los apoyos, de la relación entre las rigideces a la flexión entre la losa y el alma
de la viga y de la esbeltez l/do de la viga-placa. También influye que los bordes de la losa se·
an libres (viga Independiente) o que aquélla se extlenda lateralmente sobre una serie de vigas.
En el dimensionamiento practico de las vigas·placa de hormigón armado, en lugar de un
cálculo exacto según Fig. 7.32, es suficiente utilizar valores auxiliares tabulados, calculados '
en base a la teorla rigurosa pero mediante hipÓtesis ideales. Estos valores auxiliares nos dan
el ancho de la placa denominado "ancho activo" de la misma (effeet/lle width). Con ello resul·
tan en las fibras superiores del alma la misma deformaciÓn lX y, aproximadamente,la misma re·
sultante de compresión en el cordón comprimido, que las reales. la Flg . 7.34 muestra el volu·
men ideal de tensiones .
la Fig . 7.35 muestra otra forma de representación de las variaciones real e ideal de las
tensiones de compresión longitudinales 0x· Ten iendo en cuenta que en el ámbito del ancho bo
de la viga practicamente no existe variación apreciable de la deformaciÓn de las fibras superiores , las condiciones de igualdad de intensidades de los esfuerzos de compresión. sólo de·
ben satisfacerse para el ancho de la losa excluida la parte correspondiente al alm a:
b
°x max
ml
~
bl
lO ax . dX l
b2
b
a~
m2
max
~J
O
ax
dX
2
Por la forma de las trayectorias de compresión en la losa que muestra la Fig. 7.31 . es posible observar que en el entorno de un apoyo extremo el ancho activo b de la losa debe ser menor que en el 'ramo; en co'nsecuenci a, b es función de la distancia al apoyo. También en los
apoyos intermedios. O en correspondenci a con una carga concentrada, b es menor que en el
tramo. porque también en dichos lugares la colaboraciÓn de los esfuerzos de resbalam iento se
Corte
Sección
~~~-~-~-~
/ ~,it~~~~
/
I
Zonas de
//
1/
I
d
p
I
un 16n pe
¡¡grosas
~
- - - - -
: := ::.
--=---=---1
.-_---=::."": - -
=: -j
--
Trayectorias de tracción
Trayectorias de compre·
slón
Planta: Trayectorias de las tensiones
principales en la zona de transición de
las tensiones longitudinales de flexión
en la losa, con un modelo de las componentes de tracción y compresión su·
puestas.
(El esluerzo de resbalamiento Ax se
considera como resultante de las componentes oblicuas de tracción y
compresión y conduce a un incremento del esfuerzo de compresión.)
Flg. 7_31. TrayectorIas de las tensiones principales en el extremo de una vIga-placa simplemente apoyada.
140
Os
Colaboración de la IOS8 CO'
mo lamina (ds), la que es solicitada por el esfuerzo de
resbalamiento ,
1t
r
--------J
J.~-
-t
Colaboración d,
la losa en la Ilexlón (da).
I
I
I
I
L -
-
Esfuerzos de
resbalamiento T
-----
- --- - -
--~----T
-------.-
--
-----1
Flg . 7.32. Colaboración de la losa en una Yiga-placa segun Brendel (74).
Fig. 7.33. Distribución de las tensiones de compresión 0x '1 forma del eje neutro de una viga-placa para el
Estado 11.
141
,
;¡¡,~'I',,:----'>,,:-c;J rectas
.J.
",",,">,
supuesto recto
Fig. 7.34. Repart ición de tensiones Ideal sobre el ancho b de losa. supuesto como col aborante en una vi·
ga-placa en el Estado 11.
do
-1
•• ••
Xt_
L
i,~-- "
,
_x 2
---~- ,o ~~ ~ -
', -
Fig . 7.35. Comparación. para una viga simple. entre las tensiones de borde (I~ supuestas constantes sobre
los anchos activos parciales b m l Y bm 2 Y la distribución real de ten siones.
a) en el
apoyo
b) bajo una
carga con·
IJ
~
cen t rada o
en un apoyo
Intermedio
I
t
\'--------'
~
,
Flg. 7.36. Disminución del ancho activo b de la losa en un apoyo ex tremo y en uno intermedio en vigas con·
tinuas (, bajo ca rgas concentradas.
142
,
viga de borde
f
e'.
'mi
viga interior
L bm2
1 1
If'm't :. t'm2-fl
fl
~r
/.
,l " l " l J, .,::~¡..--=
" ,c<,_1'l' '. '1'
1
.~
1
'.
I
I
I
I
b3
,l
-.r.I
b3
Flg. 7.37. Ancho activo de losas para vigas Interiores y de borde. en el caso de vigas-placa múltiples.
bml/b l respectivamente b m2 /b 2 respectivamente b m3 /b 3
d/d
para b / e ' b / e respectivamente
1 o
2
o
o
1, O
O,,
0,10
0,18
0,20 ·0,2 2 0,25 0,31
0,38 0,48 0,62 0,82
1,00
O, 15
0,20
0,22 0,25 0,28 0,33
0,40 0,50 0,64 0,82
1,00
0,20
0,23
0,26 0,30 0,34 0,38
0,45 0,55 0,68 0,85
1,00
0,30
0,32
0,36 0,40 0,44 0,50
0,56 0,63 0,74 0,87
1,00
1, O
0,67
0,72 0,78 0,85 0,91
0,95 0,97 0,99 1,00
1,00
0,6
0,7
0,6
0,5
O,,
b / e
3 o
0,3
0,2
O, 1
Flg. 1.38. Anchos activos-~educ ldos bm,/b" brntlbt Y brnJlb3 en función de las relaciones dldo Y b,lIo o
~ ' o Yb:;'o para carga uniforme.
desarrolla paulatinamente (Fig. 7.36). Pese a dicho estrechamiento del anchO activo b. para los
cá.lculos está.tlcos de las vigas continuas. los esfuerzos caracterlstlcos debidos a las cargas
e)(terlores pueden calcularse con un momento de inercia J constante.
7.3.2.2. Determinación del ancho activo
La DIN 4224 da como
apr~)(imación
grosera para el ancho activo:
1
b"'3"e
o
(7.105)
'o
donde es la distancia entre puntos de momento nulo. Como simplificación pueden admitirse
los siguientes valores para ' o (1 = luz).
Para
Para
Para
Para
vigas de un tramo 'o = I
voladizos (con losa comprimida)
= 1,5 1
tramos ¡nieriores de vigas continuas 10 = 0,6 r
tramos e)(tremos de vigas continuas lo = 0,81
'o
143
,
En la DIN 4224, para el calculo exacto de los correspondientes anchos activos, en lugar
de un cálculo riguroso, se simplifica utilizando coeficientes basados en los trabajos de G.
Brendal (74}.
En este caso se desprecia el hecho de que los estudios teóricos se han efectuado apli·
cando la leorla de la elasticidad al caso de vigas de material homogéneo, mientras que en el
caso del hormlgOn armado debemos lener en cuenta la existencia de zonas lisuradas (lisuras
de flexión y de corle en la losa y el alma) y para cargas considerables, lonas comprimidas plas-
tillcadas. Ambas circunstancias actúan en sentido contrario y se compensan algo. de modo
que las aproximaciones son admisibles.
Con las notaciones de Figs. 7.35 y 7.37, el ancho activo vale:
Para vigas aisladas y vigas de borde:
b • b
Para vigas Interiores:
b • b
o
o
+ b
+ b
m1
m2
+ b
+b
(7.106a)
m2
(7. 106b)
m3
donde los anchos parciales b m1 23 pueden determinarse con los coeficientes de la tabla de
Fig. 7.38 en función de dld o y blll~ o b~lo Y bJl1o·
Para el caso particular de una viga·placa, en la Que la losa se une al alma mediante una
cartela inclinada (vou/e) es posible, prescindiendo de lo establecido por la DIN 4224, reemplazar en las Ec . 7.106, b o por el ancho medio aumentado bom del alma, de acuerdo con Fig . 7.39.
,
I
1I
\
J
b.
b) cartela con pendiente mayor de
45'
al cartela con pendiente menor de
45'
Flg. 7.39. Ampliación del ancho del alma de bo a bom para lener en cuenta la elllstencla de las cartelas al
determinar el ancho activo de la losa.
b / e resp. b /t
2 o
l o
•
2,0
1, O
0,8
0,6
O,,
0,2
0,1
0,60
0,61
0,62
0,63
0,65
0,70 .
0,90
Flg. 7.40. Factor>: para la reducción del ancho activo de la losa, valido para carga uniforme, al correspon·
diente a los puntos de aplicación de grandes cargas concentradas o en apoyos Inlermedlos (para un
ancho de carga 8110< 0,1).
.
' 44
Considerando que los valores de la tabla de Flg. 7.38, han sido determinados para cargas unilormemente repartidas, para el caso de cargas concentradas, y siempre que las mismas
sean determinantes para los momentos, deben ser corregidos. El factor de reducción le puede
tomarse de la tabla de Fig. 7.40. Se tiene asl :
b
m,P
..
)t.
b
m,p
(7.107)
donde bm, p se toma de la tabla de Fig. 7.38. Se consideran como "concentradas" aquellas cargas que actúan sobre una longitud a < 0,1
Si a es mayor. no es necesario electuar ninguna
reducción.
la DIN 4224 propone, por razones de simplicidad, disponer sobre los apoyos de una viga
contin ua una losa de compresión inferior, disminuyendo el ancho activo en un 40 %.
En las "igas de borde (edge beams) y vigas aisladas asimétricas, sólo podrá utilizarse el
ancho activo determinado por la Ec. (7.106 a). siempre que la viga resulte asegurada contra fle·
xión lateral mediante vigas transversales, losas o elementos similares. En caso cont rario el eje
neutro resulta inclinado, existiendo entonces "flexión oblicua" de acuerdo con lo establecido
en Seco 7.3.4.
'o'
7.3.3_ Dimensionamiento de las vigas·placa
7.3.3,1, División de los procedimientos de cálculo
la viga-placa posee una gran zona comprimida del hormigón y, en consecuencia. no re·
quiere armadura comprimida. Por ello, sólo trataremos aqul secciones simplemente armadas
(es decir sin armadura comprimida).
Corresponde hacer notar que en el caso de vigas·placa con losas anchas y delgadas, no
se justifica un aprovechamiento del hormigón hasta alcanzar la deformación por compresión
debida a la flexión del 3,5 "loo, porque en este caso la losa se encuentra solicitada aproximadamente como un elemento sujeto a solicitación axil, para la cual, al llegarse a la rotura {b sólo alcanza un valor de 2 0/00 (ver Seco 2.9.2). C.E.S. propone por ello, que en tales casos, a nivel de la
linea media de la losa lb no debe superar el 2 "loo. Este concepto es muy dificil de conciliar con
el proceso de cálclJoio Que se desarrolla aqul , basado en la norma DIN 1045. Por ello se reco·
mienda para grandes estructuras (por ejemplo puentes) donde bid > 10, controlar la deforma·
ción'lb de la losa comprimida como complemento de cálculo, y en caso necesario, modificar
convenientemente las dimensiones de la sección.
la forma de la sección activa, es decir la zona comprimida de una viga·placa en el Esta·
do 11, depende de la posición del eje neutro. la altura x de la zona comprimida puede ser estl'
mada o determinada mediante tablas de cálculo (por ejemplo la de Fig. 7.17) utilizando el coeficiente kx, que corresponda al respectivo ancho activo.
De acuerdo con la posición del eje neutro, cabe distinguir los siguientes casos:
1) El eje neutro cae dentro de la IOS8, es decir )( < d (Fig. 7.4 tI. la zona compr imida es
rectangular y el dimensionado se efectúa de Igual forma Que para una zona comprimida rectangular del hormigón, según Sec o7.2. (Determinación de kx mediante kh en la tabla de Fig. 7.17;
por medio de ke puede calcularse de inmediato Fenec.)
2) El eje neutro corta el alma, es decir x > d (Fig. 7.42). la zona comprimida se extiende
sobre una parte de la sección en forma de T. Para el dimensionamiento pueden considerarse
los siguientes procedimientos:
a)
b)
SoluciÓn exacta: la determinación exacta del eje neutro y del punto de aplicación de la re·
sullante de compresión requiere un considerable esfuerzo de cálculo (ver Seco 7.3.3.2), pero el procedimiento tiene validez general , de modo Que en casos espec iales es posible te·
ner en cuenta la armadura de compresión.
Solución aproximada para secciones compactas con blbo .. 5: el alma absorbe una parte
considerable del esfuerzo de compresión en el hormigón y el dimensionado se efectúa
utilizando uná zona de compresión rectangular de un ancho substituto b¡ (Sec.7.3.3.3).
145
,"
i'-- - - ,
•••
Fig . 7.41 . Viga-placa con el eje neutro ubicado dentro de la losa (x
so de zona comprimida rectangular de ancho b) .
,-I
.
< d, dimensionamiento como para el ca·
,
D,
L
z.
Fig 7,42. Vlga,placa en la Que el eje neutro corta al alma.
e)
Solución aproximada para secciones esbeltas con blbo'" 5: ,a parte del esfuerzo de
compresión que actúa sobre el alma es reducida y simplificando puede despreci arse en
comparación con la que actúa sobre la losa (ver Seco 7.3.3.4) .
7.3.3.2. Dimensionado sin aproximaciones
En las vigas-placa se alcanza generalmente, para el estado limite, el valor
(e max = 5 o/co, pero no asl (bmax. De acuerdo con la lig. 7.43, en este caso, existe entre la deformación [b del hormigón y la distancia x de la linea neutra al borde comprimido, la relación (L
sin signo '1 en IY...):
,
_ _ x_ fE
bh-xe
:
5 _ x_
h-x
(7. 108)
Estimando a priori el valor x, se calcula el valor de la deformación [r en el borde inferior
de la losa:
(7.109)
la intensidad de la resultante de compresión Db se determina como diferencia en las
fuerzas Dbl que actúa sobre la superficie F, = bx '1 Db2 que lo hace sobre F2 = (b· bol (x · dI,
donde en cada caso deberán calcularse los coeficientes de uniformidad "1 '1 "2 mediante la Ec.
(7.14), correspondientes a las deformaciones de borde lb '1 (r o es decir:
' 46
(1
·~)lbq
x
R
(7. 110)
la distancia k. m ,)! de la resultante de compresión al borde superior se obtiene de:
k
om
x •
Dbl . k al . x - D b2 [ d + "a2 (x - d) ]
Db
1
(7. 11l)
_·-,I,--·_kO",I,--_·-",-,(,-I_--,~,-)_(:...lh--'.~c.),,;~+_k0"",-,(,--1_--';'-):2-. x
b
d [d
b
d
d
'1 - ', (1 - bO)(1 -;)
Para el brazo elástico entre la resultante de compresión Db y el esfuerzo de tracción le
en la armadura resulta as!:
z
b
=h-k
am
-x
(7.112)
Cuando se conoce la posición e intensidad de la resultante de compresión en el hormigón Db. el dimensionado de las vigas-placa puede efectuarse mediante las reglas conocidas
(ver Seco 7.2 l. la condición de equilibrio I M = O con respeclo al punto de aplicación de Zeu
según Ec. (7.25) con Meu según la Ec. (7.6).
constituye el control de que la ubicación estimada para el eje neutro es correcta. Si la diferencia es grande (mas del 4 o/,), debe repetirse el cálculo con una estimación mejorada de lI.
Una vez hallada la posición de equilibrio, de la condición I N = O se tiene
M
eU
• - z- + N
[tI+-
U
b
•
L
---b,
I
/
/
/
Fig. 7.43. Determinación de la resultante de compresión Db como diferencia de loS esfuerzos Dbl en la su·
perficie F , :: b)( 'J ~2 de ias superlicles F2 ::: (b - bo) (x - d).
147
y la secciÓn necesaria de armadura con 0eU = (JS (por ser te = 5 '00)
Fe nec
z U
= _e_
Ps
La determinaciÓn de la posición correcta del eje neutro x puede obtenerse también mediante el procedimiento gráfico de E. M6rsch (ver Sec. 7.3.4.3).
7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con blb o,. 5
La superficié en forma de T de la zona comprimida del hormigón , solicitado por el es·
fuerzo de compresiÓn Db se la transforma en un rectángulo, cuyo ancho bl se elige de forma tal
que para la misma posición del eje neutro conduzca a la misma resultante de compresión Db
que en la sección en forma de T (Fig. 7.44), es decir Db(v.placal = O b{recléngulo)'
En este caso se prescinde del hecho Que la posición de DbU no coincide totalmente con
la real. Ello no inlluye en la seguridad porque el punto de aplicación en el rectángulo de re·
emplazo queda por debajo del de la sección real, con lo que resulta z algo menor y Fe algo ma·
yor.
En la DIN 4224 existen tablas para la determinaciÓn de bl, deducidas de las relaciones
que se desarrollan a continuación.
Debe tenerse:
de donde con
Ql - QI
como coeficientes de uniformidad de la sección rectangular :
x
f0 a (y).
b. x
11
b (y) . dy "
.
0. .
~
R
de donde se deduce, con Db de la Ec. (7.110) el ancho b¡:
el
1 -
0.
2 ( 1 -.;;- ) ( 1 -
~) b
• ). . b
(7.113 )
o1
con
,.
01 - o. 2
ho)( 1 - ;d)
(1 -b
0.
1
z
d ')
1 _ 0. 2 (1 _ bO'\(l _ h
0.
kx
b )
1
(7. 114 )
En la tabla de Fig. 7.45 figuran los valores de A en función de d/h, b/bo Y kx . Para que la
tabla resulte de uso sencillo y evitar en lo posible muchas interpolaciones, se han disminuido
los valores de l, desde el punto de vista de la seguridad. Para kx ante todo y por precauciÓn, de·
be tomarse un valor mayor (obsérvese que para (e = 5 %G Y lb máx '= 3.5 %G se tiene
kx
0,412).
Con el ancho Ideal b¡
A· b es posible realizar el cálculo como para una sección con zona comprimida rectangular. Si en este caso kx resulta mayor que el supuesto para la determina·
ciÓn de A y b¡, ¡entonces debe calcularse nuevamente para el mayor valor de kx!
La labia vale hasta k)( = 0,54 (correspondiente a k';). es decir para la totalidad del ámbi·
to de las deformaciones hasla que sea necesaria una armadura de compresión.
=
=
7.3.3.4. Procedimiento aproximado para vigas'placa con alma delgada (blbo O). 5)
En esta aproximación se desprecian las tensiones de compresión en el alma, y el punto
148
í
dIT
,
b
•
"
Db
T
in
JI
h
Obi
•
•••
Fig. 7.44. Transformación de la zona comprimida en forma de T en un reclángulo, con un ancho Ideal b, para Iguales esfuerzos de compresión Db
~ para vlgas,placas de sección compacta, (blb o " 5) .
=
de aplicación de la resultante de compresión puede suponerse con suficiente aproximación
ubicada a df2 del borde superior (Fig. 7.46).
El brazo elástico de las fuerzas inlernas, admitiendo la simplificación es
z
= h -
d
2'
(7. 115)
'i de I M = O con respecto al punto de aplicación de Zeu. resulla ObU = MeUIz, donde MeU se
determina mediante la Ec . (7.6) y utilizando la condición IN = O, se obtiene la sección necesa·
rla de acero.
(7,116)
Fe nec
Una vez determinada la armadura debe controlarse que no se SObrepase la resistenCIa
de la zona comprimida del hormigón. Para ello se verifica que la lensión media 0bm en la losa
no sobrepase el valor caraclerlslico PR. Con DbU = MeU/z se obllene:
a
D
bU
• -b,m
b d
M
o
eU
---'"'-7d
(7. 117 )
bd(h-2')
Esta estimación de 0bm sólo es aceptable cuando la parte lineal del diagrama tensióndeformación cubre totalmente el espesor d de la losa, es decir, cuando la deformación en el
borde inlerior de la losa 'es (r'" 2 'Y.... Si esto no se cumple. es decir Sllr< 2 Ofo:, (a la parte inferior de la losa le corresponde la zona parabólica del diagrama eN del hormigón). las diferencias
resultan sin embargo muy reducidas y se equilibran al adoptar un brazo elástico Interno desfa·
vorable. Si de la Ec . (7.117) se obtienen valores 0bm > PR debe aumentarse ya sea el espesor de
la losa o la altura h de la viga-placa.
los procedimientos aprO)limados e)lplicados parten de suponer la falla del acero (es de·
cir le>'eS> y en consecuencia conducen a resultados admisibles solamente en el caso de fle)lión simple sin esfuerzo a)(il o con esfuerzo axil de tracción y especialmente para vigas-placa
con dlh <; 0 ,4.
149
k,
,
para d/h
para
. b/bo
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0, 15
0 , 10
0,05
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
5,0
7,5
10
15
20
25
0,40
0.35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
1, O
0,46
0,40
0,34
0,29
0,24
0,18
0. 12
0,06
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,50
0,44
0,39
0,33
0,27
0,21
0,14
0,07
0,97
0,96
0,95
0,95
0,95
0,94
0,94
0,93
0 , 93
0,93
0,93
0,93
0 ,50
0,42
0,36
0,30
0,23
0,16
0,08
0,95
0,92
0,90
0,89
0,89
0 , 88
0,87
0,86
0, 86
0.85
0 , 85
0,85
0,50
0,42
0,35
0,28
0,20
0,10
0,91
0,87
0,84
0,82
0,81
0,80
0,79
0,77
0,76
0,75
0,75
0, 7 5
0,50
0,41
0,33
0,24
0, 13
0,87
0,81
0,77
0.75
0,73
0 , 71
0,69
0,67
0,66
0,65
0,64
0,63
0,50
O.3~
0,29
0, 16
0,83
0,75
0,70
0,86
0,64
0 , 62
0,60
0,56
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
0,36
0 , 21
0.79
0,69
0,62
0,58
0,55
0,53
0,50
0,45
0,43
0, 4 1
0,40
0,39
0,50
0,29
0.75
0.62
0.55
0.50
0.46
0.4 4
0.40
0.35
0.32
0.30
0.29
0.28
0,50
O. ?1
0.56
0,47
0.42
0.37
0.34
0.30
0,24
0,21
0,18
0,17
0, 16
Fig. 7.45. Coeficientes l
= b ¡lb para la determinación del ancho Ideal b¡ para el dimensionado de vigas-placa.
.
I
I
r'
1,
,
Control de las tensiones de compresión
r
/"
o
s-'Eje neutro
eb ~ 3,5 °1..
d~f~~u
-
¡_h .d'2
i
••
~~
1
[-
G'tI,PR
<,
---
-
-
NU
2.U
W
"
Flg . 7.46. Dimensionado de vigas-placa de sección esbelta (blboil' 5) Y control de las tensiones de compresión.
Para vigas-placas solicitadas por flexiÓn y esfuerzo axi1 de compresión (especialmente
en el caso de pequena excentricidad), puede ocurrir que partes considerables del alma estén
sujetas a esfuerzos de compresiÓn , hecho que, con los procedimiento$- aproximados explicados, pueden conducir a resultados demasiado poco seguros. En tales casos, el procedimiento
desarrollado anteriormente en la Seco7.3.3.3 es el adecuado, y en el que la zona comprimida del
hormigón en forma de T se transforma en una rectangular de ancho b¡. Por ello en la labia de
Flg. 7.45 figuran también los coeflcienles.1. para b¡ .1.. b correspondientes a algunos casos en
que b1b o > 5 (hasta blbo = 25) , tos valores intermedios pueden interpolarse.
=
7.3.4. Dimensionado para lonas comprimidas del hormigón de forma arbitraria
7.3 .• . 1. Generalidades
Las secciones cuyas zonas comprimidas difieren de la forma rectangular o de r, sólo
son posibles en algunos casos especiales, de resolver por calculo en forma sencilla (secciones
cillndricas, anulares y triangulares) , de modo que en general sólo se dispone de muy pocos elementos au)(iliares de eálculo. En algunos casos es posible, con suficiente aproximación, re·
emplazar por rectángulos las formas que difieren de los mismos, como sucede en los ejemplos
que muestra la Fig . 7.47.
Cuando las diferencias con respecto a la forma rectangular son considerables y para
secciones cuya asimetna es grande, no es posible un calculo directo. En tales casos se calcula
en forma aproximada admillendo una repartición de tensiones rectangular en la zona comprl·
mida del hormigón, o se conforma uno con la verificación de que la armadura de tracción pre·
viamente estimada, juntamente con la sección de hormigón dada (eventualmente incluyendo
armadura comprimida) en posición y dimensiones, conduzcan a una seguridad su.f iciente en lo
que respecta a alcanzar el estado limite .
Para una repartición de tensiones lineal en la zona compr imida del hormigón (por
ejemplo en el antiguo método n) como consecuencia de proporcionalidad existente entre ten·
siones y deformaciones, son aplicables procedimientos de cálculo mas sencillos (ver (2]). Ac·
• •
•••
•• •• •
Fig. 7.47. Transformación aproximada de lonas comprimidas de forma arbllrarla en l o nas rectangulares.
151
tualmente, sin embargo, sólo son aplicables para verificaciones con grados de solicitación
muy reducidos, por ejemplo, para cargas de servIcio.
Es común tener que dimensionar secciones solicitadas por " flexión oblicua" (blBx/al
bendlng) es decir, cuando el eje neutro no es paralelo al borde comprimido. Este caso se presenta para secciones asImétrIcas (por ejemplo vigas·placa con arrlostramlento unilateral
contra la torsión, o solicitadas por momentos en que la linea de fuerzas es Incllnada,con y sin
esfuerzo axil (Fig. 7.48). En la práctica se presentan relativamente pocas secciones de formas
arbitrarias, pero en cambio son muy comunes las secciones rectangulares sujetas a flexión
oblicua con I.$sfuerzo Bxll (por ejemplo columnas de esquina en los esqueletos de hormigón armado).
Para estos casos, se dispone de algunos métodos gráficos auxiliares de cálculo, por
ejemplo en DIN 4224 Y en (72) y (76). Han sido preparados para una serie de problemas posibles
solamente para calidades elegidas de aceros, de la distancia al borde de la armadura, de la dls·
posición de la misma y de la magnitud relaUva de la fuerza axil . Prescindiremos aqul de las deducciones y aclaraciones, debiendo para ello recurrlrse a la blbllografla.
7.3.4.2. DlreccJón y posIción del eje neutro
Para una primera estimación dela posición y dirección del eje neutro y de la disposicIón
de la armadura de tracción estimada (cuya magnitud es fácil de determinar sobre la base del
brazo elástico z estimado), las siguientes condiciones constituyen una ayuda valiosa.
la recta que une los puntos de aplicación de las resultantes Db y le (Indicada con ®en
Flg. 7.48) debe
en flexión simple (sin fuerza aKI1) , ser normal al vector representativo del momento resultante M (a determinar vectorial mente mediante Mx Y My).
en flexión con solicitación axll, pasar por el centro de presión.
Para la primera estimación de la dirección del eje neutro debe cumplirse:
1. Para secciones arbitrarlas es posible utilizar la circunferencia de Inercia de Mohr para
la sección supuesta en un principio como homogénea (Estado I sin tener en cuenta la armadu·
raloSe determinan J,,, Jy y J xy con respecto a un par de ejes coordenados con origen coincidente con el barlcentro de la sección, siendo
J
xy
.. Jx YdF e 0,5 (J
X
+J) -J
Y
45
o· L X
.- Y
8.)
8, j
. t:.F.
J
Con estos datos se construye la circunferencia de Inercia siguiendo las reglas de la mecánica del sólido (Flg . 7.49). la Intersección e de la linea de fuerzas N - O con la circunferencia
se une con el eKtremo del segmento representativo del momento centrifugo JI! . Su prolonga·
clón corta a la circunferencia en D, con lo que queda definida la dirección del efe neutro por la
recta O· D. la posición verdadera del eje neutro, paralela a O· O,debe estimarse. Esta cons·
trucclón supone una repartición aproximadamente de la armadura sobre el perlmetro de la sección .
El momento centrifugo siempre es fácil de calc ular sobre la base de J450 cuando la seco
ción está limitada por rectas, puesto que en este caso J-450 (momento de Inercia con respecto a
la bisectriz de un cuadrante poslllvo) puede calcularse en forma sencilla mediante sumas o restas de superficies triangulares. Para secciones que poseen uno o dos ejes de slmetrfa, resulta
J xy
0, 'J en este caso, en la Flg . 7.49, T Y E colncldlnan .
2. Para secciones rectangulares, supuestas previamente como de material homogéneo,
resulta más sencillo construir la elipse de inercia (elipse central), cuyos semiejes son dJVl2 y
bI.j"IT(ver Fig. 7.50). la tangente trazada en el punto de Intersección de la linea de fuerzas N . O
con la elipse da la dirección del eje neutro; como valor del ángulo o entre la tangente y el eje x
se tiene:
=
M
tan o.
152
J.
M
x
(7.118)
N
N
0-- -- - -----:-1
Corle
t'
•
,
Eje neutro
I
I
Eje neutro
~.¡.
.
.-.' .
Z\ •
/ t
Vlga·placa asimétrica sin
estar asegurada contra
My
"'~
corrimientos y rotaciones
Planta
M'
-]
)
M.
Viga rectangular solicitada por los momentos Mx Y
My según ambos ejes de slmetrla (1lexl6n oblicua)
Fig. 7.48. Ejemplos de secciones con perlmetros rectangulares, pero en que la zona comprimida del hormi·
gón no es rectangular.
.,
Cenlro de presiÓn (p. de ap . de N)
\
•••
Circunferencia de inercia
\
' \ Dirección del eje neutro
Flg. 7.49. Determinación de la dirección del eje neutro mediante la circunferen cia de Mohf, para un a seco
clÓn arbitraria, supuesta homogénea (fuera de escala).
Una vez hallada la dirección del ele neutro, se traza perpendicu lar a la misma un diagra·
ma de deformaciones y con elto se obtiene una primera orientación acerca de la posición del
eje neutro (Fig. 7.51). ~ara ello se adopta un diagrama de deformaciones, que parta de Le
max = 5 %o Idel lado traccionado o de lb max = 3,5 "too del lado comprimido.
Para la zona comprimida delimitada de esta forma, en general , ~ calculo de la resultan·
te de compresión Dbu, utilizando el diagrama rectiUneo·parabóllco de Flg . 7.3, resulta muy la·
borloso. Para ello es necesario dividir la zona comprimida en fajas paralelas al eje neulro de es·
pesor Ay y determinar para cada una de ellas esfuerzos parciales .tr.Db en función del Lb corres·
pondlente al barlcentro de la faja (Flg. 7.51); se tiene as!:
(7. 11 9)
153
donde debe reemp lazarse de acuerdo con F lg. 7.3 O Ec. (7.1):
1
• -
o
4 'R
~
('
Centro de presl6n
í- 1I
d/V12
d
-+\--'1- ._,
tangente en A = direc·
ci6n del eje neulro
Elipse
centra! de
inercia
Fig. 7.50. Determinaci6n de la dlreccl6n del ele neutro mediante la elipse central de Inercia para una sec·
clón supuesta homogénea, solicitada a la lIexión oblicua.
Direccl6n
eje neutro
del
o
E~para ÓF".
lb correspondiente a la faja
(9)
I.&. y - b
o
Linea de fuerzas
E,
p.r.
6F,
Fig. 7.51 . Determlnacl6n de los esfuerzos parciales.&. 0b, .&.De y.&. le partiendo de las deformaciones" para
una dirección del eje neutro supuesta () determinada aproximadamente (en el caso Ilustrado la poslcl6n
del eje neutro se supuso para un estado de deformación te "" 5 %o Y lb" 3,5 ""'J.
154
Los esfuerzos 60e Y lIZe se obtienen de las correspondientes deformaciones del acero
('e y [e y de los diagramas 0"( de Fig. 7.5, obteniéndose ADa = oe . IIF y tr.Ze = 0L • b. Fe'
Los puntos de aplicación de las resultantes de compresión Dbu
IADb + I 6De Y de
la de tracciÓn ~U = I lile se obtienen mediante los procedimientos corrientes de la Estática.
luego es necesario verificar si se satisfacen las condiciones de equilibrio y las adi·
clonales antes mencionadas. En caso necesario, en pasos sucesivos se modifican tanlo la posición como la dirección del eje neutro hasta alcanzar un resultado satisfactorio.
Para secciones rectangulares solicitadas por flexIÓn oblicua con esfuerzo axil, tanto en
la DIN 4224 como en [72) y [76) se han publicado diagramas de Interacción que, para distintas
disposiciones de la armadura, permiten un cálculo simple para los esfuerzos caracterlsticos
Mx, My Y N debidos a las cargas de servicio.
e=
7.3.4.3. Determinaci6n de los esfuerzos caracter/sOcos crfticos Mu y Nu mediante el procedl·
miento gráfico de M6rsch
Para determinar la posición definida del eje neutro,E. Morsch propuso un método gráfi·
co sencillo (77], que además sirve para determinar los esfuerzos caracterlsticos crlticos. En ge'
neral, el procedimiento es aplicable para cualquier forma de sección.
Al determinar los esfuerzos caracterlsticos criticas Mu y NU deben distinguirse dos ca·
sos:
1.
M Y N se aumentan con el mismo factor de seguridad vM = VN = v, es decir el valor de la
excentricidad se mantiene constante.
v
M
. M
\IN ' N
2.
M
N
: e
El esfuerzo axil no se aumenta (VN = 1,0), es decir el valor de la excentricidad varia con
vM:
·u
la determinaciÓn de los esfuerzos caracteristicos Mu Y Nu que se desarrolla a conti·
nuación, corresponde a las aclaraciones generales dadas en Seco 7.2.2 (distribución de deformaciones conocida; se calculan los esfuerzos internos; se resuelven las condiciones de
equilibrio). con la única diferencia que la solución de las ecuaciones correspondientes 'a las
condiciones de equilibrio se resuelve gráficamente.
El procedimiento gráfico se aclara mediante dos ejemplos muy comunes:
1.
2.
Se conoce e = Cte, y se buscan Mu Y NU o VM = VN·
Se conocen NU = N, es decir VN
1 Y se determina eU y consecuentemente MU.
=
Con respecto al número de incógnitas especificadas en Seco 7.2.2 pueden imaginarse
otras muchas poslbilidades,como por ejemplo: condiciones preestablecidas para las distribuciones de las deformaciones (debe utilizarse totalmente el acero), para lo cual es necesario determinar la sección de armadura Fe.
Determlnaci6n de Mu y Nu para e = ete: Cuando se conozcan a priori las dimensiones
de la sección es neces ~rio, para una excentricidad eU = e dada, calcular los valores del esfuer·
zo axil Nu y del momento flexor Mu .
Partiendo de una distribución cual.qulera de deformaciones, por ejemplo, el caso limite
con (e = 5 %0 Y (b = 3,5 %0 como primera hipótesis, se calculan en la forma conocida los esfuerzos internos Db. De y le (ver, por ejemplo Seco 7.1.4.3). Para la Solución debe partirse de una
condición de equilibrio que no Incluya la Incógnita NU. es decir IM = O con respeclo al punto
de aplicación de NU (ver Flg . 7.5.2) .
155
(7.120)
donde
y
A nivel del eje neutro, establecido mediante el diagrama de deformaciones correspondiente a (e
50/00 Ylb
3,5 %o se llevan los valores correspondientes a los miembros izquierdo y derecho de la ecuación, en una escala cualquiera . Los dos valores
~D = De {e - ye> + Db ' eb y ~z = le' ee, en general, para esta primera hipÓtesis de la distribu·
clón de deformaciones, no resultan ser Iguales. En consecuencia se adopta otra variante para
el diagrama de deformaciones con (b < 3,5 0/00, cuando hubiese resultado ~O > ~Z (es decir
cuando el acero fuera determinante, Fig . 7.52 a) o con 'e < 5 0/00 cuando se tiene fJ o < fJ z (zona
comprimida determinante, Fig. 7.52 b). En este caso se justifica tener en cuenta que le no va·
ria para todo (e> [eS como consecuencia de la constancia de la correspondiente OeU
PS,
de modo que la recta fJ z = le . ee se mantiene paralela a la linea vertical de referencia. Para
deformaciones [e < [eS, la recta le . ee constituye la recta de unión entre los puntos correspondientes a [e
~eS con el punto nuio a nivel de la armadura Fe' Para la segunda hipótesis basta,
en consecuencia, determinar únicamente el valor 0b,2 correspondiente al lb adoptado. Luego
de representar dichos valores en la misma forma anterior, se unen entre sI los correspondientes valores de ~D, 1 Y fJ O,2. La intersección de las rectas de unión con la recta le . ee anterior·
mente hallada, nos da la posición Xu del eje neutro, para el que se cumple la condición de la Ec.
(7.120) y que corresponde al diagrama de deform'aclones definitivo con 'sU Y 'bU. Estas defor·
maciones permiten obtener los valores Deu, DbU Y leu, las que, juntamente con la condición
~ H = O conducen al valor del esfuerzo axil:
=
=
=
=
Considerando que e
= Cte es un valor preestablec ido, permite obtener
la seguridad existente resulta ser en consecuencia
Determinación de la excentricidad eU y Mu para Nu = Cte: Para un dado esfuerzo axlt,
por ejemplo Nu = 1,0 N, debe determinarse eu y Mu conocidas las dimensiones de la sección.
Teniendo en cuenta que la excentricidad eU no se conoce, en este caso no es posible partir de
la condición IM. = O(porque en la misma aparecerla eu). Pero , sin embargo, se conoce Nu, de
modo que se dispone de I N = O como condición de partida :
j) " D + D
e
b
"' N
U
+ 2·Z
e
(7. 121 )
De acuerdo con esta condición , para un supuesto diagrama de deformaciones (por
3,5 '0/00 Y 'e
5 0/00), partiendo de los valores de De Y
ejemplo, para una primera hipótesis [b
Db se forma la suma r5 y de Nu y le la suma Z y se representan ambos valores a nivel del eje
neutro, deducido este último del diagrama de deformac iones, mediante segmenlos horizonta·
les (Fig . 7.53).
Para r5 > Z. el acero es el determinante: en el segunda paso de la Iteración se elige en
consecuencia un diagrama de deformaciones donde (b < 3,5 %o (Fig. 7.53 a).
SI. en cambio. O < Z, la zona comprimida del hormigón es la determinante, es decir que
=
156
=
es necesario aumentar las resultantes de compresión De y Db Y consecuentemente reducir el
esfuerzo de tracción le¡por ello en el segundo paso de la iteración se adopta un diagrama de
deformaciones con le< 5 0/00 (Flg. 7.53 b).
Por lo demás, la determinación del punto de Intersección de las curvas O y Z ocurre en
lorma análoga al procedimiento Indicado en FIg. 7.52. Este punto de intersección nos da nuevamente la distancia definitiva Xv del eje neutro al borde comprimido de la sección y mediante
dicho valor y los valores determinantes de las deformaciones (bU y 'eU, los valores DbU, DeU Y
Z.U·
=
Ahora es posible plantear la condición de equilibrio IM
O; si se lo hace, por ejemplo,
con respecto al punto de aplicación de leu, mediante la expresión
el brazo elásllco buscado
(7.122)
Mediante el mismo, es posible determinar el momento critico
y con e =
*,
el coeficiente de seguridad:
•
·u
•
7.3.4.4. Verificacl6n de /a capacidad de carga suponiendo una d/stribucl6n constante de les
tensiones en la zona comprimida del hormlg6n
Con el objeto <le poder resolver numéricamente con facilidad casos en que la zona
comprimida del hormigón no es rectangular, la DIN 1045 admite reemplazar la distribución de
tensiones de Flg. 7.3, por una plasUficaclón total de la zona comprimida, es decir un diagrama
de tensiones rectangular según Flg. 7.50. Con el objeto de que las diferencias con respecto a
las soluciones más exactas basadas en un diagrama parabólico-rectangular resulten lo menor
posible, se han Introducido las siguientes limitaciones :
la tensión constante se supone Igual a 0,95 PRo
la altura del volumen de tensiones se reduce al 80 % de
Ji.
E. Grasser (78J verificó, mediante cálculos comparativos, que la seguridad de dicha
simplificación es satisfactoria. En el extranjero se acostumbra generalmente a dimensionar
únicamente con el diagrama rectangular.
Se tiene aSl, por ejemplo, para b = cte y lb = 3 %0, admitiendo un diagrama rectangu·
lar de tensiones:
D
bU
= O,Sx' 0,95
~R'
~.O.76bXI!R
con un brazo elástico
z . h-k
•
X"
h-O.4x
, 57
1
'
ITft
+-Q
I Yo
y;
al Armadura de tr acción determinante
'b
-
OfU _
bU
D
d
1
L
--+
,
-'J
'/
Y,
Yo
~
Ee = 5'1••
b) Zona comprimida del hormigón determinante
Flg. 7.52. Determinación de MU y NU
par. excentricidad e
<, (--
--1+'-+ - - - -
5'1_
(en comparación con 0bU
=ele conocida,
mediante el procedimiento gráfico de
E. MOrsch. para una seCCIÓn arbilraria dada.
= 0,8 1 bx PR y Z = h · 0,416 h, en la hipótesis del diagrama
parabólico-rect angular).
Con el diagrama simplificado rectangular se obtiene, en general, una sección de arma·
dura Fe nec. mayor que con el diagrama parabólico-rectangular.
El dimensionado de secciones de forma Irregular resulta muy sencillo utilizando el
diagrama rectangular:
El punto de aplicación de la resultante de compresión ObU coincide con el baricentro de
ta sección de la zona comprimida del hormigón, delimitada por una paralela al eje neutro ubica·
da a una distancia 0,2 x del mismo (Fig, 7,55) Y la intensidad de la fuerza 0bU es Igual al área de
la superficie comprimida multiplicada por 0,95 PR,
A continuación se hacen algunas observaciones relativas a algunas incon'gruencias ló'
gicas que surgen del empleo del diagrama simplificado rectangular.
1)
158
=
la reducción del volumen de tensiones se ha deducido para (b máx.
3,5 %0, es decir
para un aprovechamiento total de la capacidad de carga del hormigón. la plastificación
a) Armadur. de Irecelón determinante
I'u
Jh
\
<bU
+h... !:...hIPÓlesls
(O,.Ob'oO
',/
f-t---Sb-
E, : 5" ••
b) Zona comprimida del hormigó n determinante
I
1
Fig . 7.53. OeterminacióR de la excen tricidad BU 0, respeclivamente,
del momento Mu para un esfuerzo
axil Nu cons tante dado, mediante el
procedimiento graflco de E. Morsch
para una sección arbitraria dada.
2)
---
- 2' hipótesis
/
/
"-IN.
Z,I .Z
<, L --f11--j
s',.
lolal es seguro que no se alcanza cuando la deformación en el borde es inferior al 2 °/oc,
Puede suponerse que, para dichas secciones débilmente armadas, desde el punto de visla del aprovechamiento del hormigón , la diferencia con la realidad es considerable. la
DIN 4224 lo admite, sin embargo, porque para la correspondiente reducida altura x de la
zona comprimida, el error en la inten sidad y ubicación de 0bU inf luye en forma despre.
ciable sobre leu y en consecuencia sobre Fe'
Slla excent ricidad del esluerzo normal es reduc ida y por elfo la distancia x del eje neutro
es mayor Que 1,25 veces el espesor d (es decir O,8x > d), de acuerdo con la distribución de
tensiones de Fig . 7.54 , la tensión sobre toda la sección tiene el mismo valor, y la resultante de compresión está aplicada en el baricentro de la sección total. Con ello, el momento
de los esfuerzos Internos debidos a las tensiones en el hormigón resulta igual a cero, a
pesar de que es necesario equilibrar el momento de las fuerzas exteriores con uno opuesto originado por las fuerzas inleriores. En consecuencia, no puede existir en realidad una
tensión uniforme . Para asegurar la existencia del momento de las fuerzas interiores, es
necesario disponer una armadura comprimida. Se hace caso omiso de dichas falla s lógi cas, en mérito a la simpl icid ad_
159
I
t Eb ~J .5
'/"
O,9S PR
l'
l~~l-+
I
,
0,8 11
L
/
I
f--
L ~~/
0,4)(
:~
/
1---'" - -
Tensiones (lb
Deformaciones lb
Fíg 7.54. Aeparlici6n rectangular de tensiones (segun DIN 1045) para el dimensionado simplificado para
secciones con la zona comprimida del hormigón no rectangular '1 comparación con el diagrama
parab61ico-rectangular,
Baricentro
.- de la superl lcle
Posición del
eje neutro --:::...
Dirección del
eje neutro
•
•
•
Fíg. 7.55. Aplicación del diagrama rectangular de tensiones para el dimensionado de una sección rectan·
guiar solicitado a flexión compuesta oblicua (representada para un diagrama de deformaciones supue sto
con lb = 3,5 %0).
7.3.4.5. Dimensionado de secciones circulares
Las secciones ci rculares y anulares pueden calcularse anaUtieamente. Para este tipo de
secciones se han publicado diagramas de interacciÓn (por ejemplo, E. Grasser 179J, K. Tomperl
[BOJ).
Sobre la base de las definiciones utilizadas hasta ahora, se introducen las siguientes re·
laciones:
160
,
"o . ._-,
n,
F
cuantla geométrica de armadura:
(7. 123)
cuanlla mecanica de armadura:
(7. 124)
esfuerzo normal reducido:
(7. 125)
momento reducido:
n r
3
(7. 126)
~R
En la Flg. 7.56, Y como ejemplo de un diagrama de dimensionado para secciones Circula·
res, se reprOduce de (BOl un diagrama de interacción para Q = da I d = 0,8 Y eSt 42/50, donde de
es el diámetro de la circunferencia donde se halla ubicada la armadura.
Para una sección circular con carga axil, resulta una ecuación análoga a la que aparece
en Seco 7.2.3.2 para sección rectangular (Ec. 7.101a).
Fe' 6
S
"' 2,1 N
(7. 127)
7.4. Calculo de elementos comprimidos zunch ados sin peligro de pandeo
El esfuerzo que pueden soportar los elementos comprimidos (columnas) de hormigón
armado de sección circular o aproximadamente circular (por ejemplo. octogonales), es posible,
para pequenas excentricidades y esbeltez reducida, aumentarlo disponiendo una armadura en
forma de zuncho. El efecto del zunchaje (denominado también espiral) consiste en impedir la
deformación transversal del hormigón originada por la carga axil, lo cual origina un estado
trlaxial de tensiones de compresión (01: 02 = oJ}. que conduce a mayores resistencias a la
compresión del hormigón (ver Sec. 2.8.3).
Como aclaración, supongamos un cilindro circular de acero lleno de agua, de diámetro
d, espesor de pared fz y de altura h
1 (Fig. 7.57). Si el contenido de agua se somete a una pre·
sión exterior p, sobre las paredes del cilindro también actúa la presión p, lo que origina en
aquélla un esfuerzo de tracciÓn :
=
z
o
,
1
- P d
(7. 128)
y correspondientemente una tensión en el acero
a
,
o ~
2C
z
Teniendo en cuenta que p actúa sobre toda la superficie del agua nd 2/4, la carg a que
puede sopoqar un recipiente de este tipo depende de la resistencia de la pared:
p
U
0_"_4d'-
(7.129)
161
eSt 42/50
p
:<
0,8
• 3,0
1J. 0 =
F.
• 2,5
- ,,O
••
ils/P.
= 1J.0 TU 2
1<--'"
0,1
0,2
0,3
O,,
0,5
,,O
Fig . 7.56. Diagrama de inleracciÓn para lIe)(ión y esfuerzo a)(il de compresiÓn para secciones circulares
con Q = deld = 0,8 Y eSI 42150.
162
p
11: !
, 11j
'
'k
t
,
"
t
-.-;.-_-:"":;.=::
•
--;.;-------- -
l
=t
-'" ::;:~:---
d
.f-
,
~
'..,
z
Fig. 7.57. Presión hldrostatlca en un cIlindro completamente cerrado.
Flg. 7.58. Notación en una columna con
armadura en espiral.
En las columnas zunchadas de hormigón armado, las circunstancias son similares, pero, sin embargo, el hormigón sujeto a compresión, al contrario de lo que ocurre con el agua , no
es incompresible, sino que se deforma transversalmente en función del coeficiente de Polsson
J.I . De ello resulla que la presión lateral sólo es la l /foI parte de la presión superficial . Un zunchado constituido por barras de sección 'ew separadas de w (paso de la espiral) (Fig. 7.58), puede
imaginárselo transformado en un cilindro de acero de diámetro dk y un espesor fict icio de pa·
red f z
fewl w.
En comparación con la carga portante de columnas sin zunchar, según Ec . (7 ,127), me·
diante el zunchado deJas mismas se obtiene un incremento tJ NU de la capacid ad de carga:
=
nd
1
"
donde
)l
d,
rew
k
~·w ~Sw
( 7,130)
= coeficiente de Polsson
= dlamet ro del eje de la espiral
f,. = sección de la barra espiral
w
Ps.
= paso de la espiral
= limite de escurrimiento del acero de la espiral
Introduciendo
r
F
w
'" n d
ew
(7.131 )
k----W-
resulta
p
w
~Sw
(7.132)
163
la capacidad portante de una columna circular de hormigón armado zunchada, resulla
ser, con NU segun la Ec. (7.127):
P
U
" N+f¡.N " U
U
( "d~
1)
--~+F~+-F,
4
R
e
S
2 ~
w Sw
(7. 133)
En la parte NU de ta carga, en este caso, y a diferencIa con la Ec. (7.127) no debe considerarse la sección total del hormigón de diámetro d, sino sólo la parte interior de diámetro dk,
por cuanto, al alcanzarse la deformación del zuncho correspondiente a (JSw, el revestimiento de
hormigón exterior al "núcleo" de diámetro dk, puede estallar, resultando asl como parte activa
del hormigón.la "sección del núcleo" .
la ecuación (7.133) deducida teóricamente en la forma Indicada, debe, naturalmente,
compararse con resultados experimentates y adecuarse a los mismos. En primer lugar, y sobré
ta base de consideraciones posteriores, es necesario Introducir tres correcciones.
1)
Es necesario establecer un limite superior a la expresión del efecto del zunchado
=
Fw flSw, en función de la resistencia del hormigón.
llene una separación w, el núcleo de horml ·
Considerando que el zuncho de diámetro
gón incluido teóricamente en la pared ciHndrlca de diámetro dk, no puede encontrarse to'
talmente sujeto a presión lateral.
la Fig. 7.59 muestra que ello sólo ocurre en la zona correspondiente a las claves de los arcos de descarga por compresión, que se forman entre las espiras del zuncho .
la deducción teórica supone una presión externa p totalmente uniforme, lo que no es po·
sible asegurar aun para la más mlnima excentricidad de la fuerza actuante P y para pe·
quenas diferencias de la resistencia del hormigón o de deformabllldad y también de la po·
sición de la armadura Fe. Por ello es necesario considerar una reducción del efecto de)
zunchado ante la posibilidad de eventuales excentricidades o por un aumento de la ei·
centricidad e.
!J. Nu
2)
3)
-..z.
"w
la evaluación sistemática de la totalidad de los ensayos conocidos hasta ahora, efec·
tuados con columnas zunchadas [81J, condujo, en concordancia con los razonamientos 1) a 3) a
la siguiente ecuación de cálculo, adoptada por la DIN 1045:
N
donde
U
" NO + Il N
U
U
(7.134)
Capacidad de carga de la columna , por ejemplo, según Sec o7.3, Fig. 7.56, teniendo en cuenta una excentricidad de carga e = MulNu, correspondiente a la
sección bruta Fb del hormigón .
(7.13 5)
En la Ec . (7.135), aparte de la nolación ya aclarada, significan
y
F
k
• .!!. d 2
4
k
y = factor que tiene en cuenta la Influencia del coeficiente de Polsson y el aumento de re·
sistencia por la existencia de un estado tr iax ial según Fig. 7.6\>;
la expresión entre paréntesis (Fb - F¡J fJA tiene en cuenta nuevamente la eliminación del
revestimiento de hormigón exterior ~a espirat :
la expresión entre paréntesis (1- ~ llene en cuenta el efecto desfavorable de cargas
o~ NU
excéntricas; conduce para e = M/N
dk/B a un valor nulo y con ello a !J. Nu '"' O.
=
164
L
1-<r----
w ·p
dk
-+~f¡,O:.•=. . =:l=f~w
I
w-~w
;::;:=:l =f 0w
w.p - ¡.. '~,
I
w·p
d
-:
w-!1S w
-~'JI==' =f0W
-J.~-l~---- d k i
Flg. 7.59. Reduccl6n del diámetro activo dkl del
núcleo en relacl6n al diámetro del zuncho dk.
-t (w.0 w )
Como coeficiente de seguridad para columnas zunchadas debe adoptarse siempre
v
= 2,1. El efecto del zunchado sólo se tendrá en cuenta para el cálculo con hormigones de por
lo menos Bn 250.
Aun cuando al establecer la Ec. (7.135) se tuvo también en cuenta que para la carga IImi·
te el revestimiento exterior de hormigón no colaboraba, debe, sin embargo, asegurarse Que el
mismo no estalle para la carga de servicio. la evaluación de ensayos indica Que para una segu·
ridad de 1,25 contra un estallido prematuro, es válida la siguiente expresión, Que según DIN
1045 debe satisfacerse Si/pr~
F w ' ~Sw ~ b P2,3 Fb - 1,4 F¡)
fin.
+
Fe~sJ
(7.136)
en la misma, d puede sacarse de la tabla de Fig. 7.60.
Haciendo 1(
dk/d, resulta Fk = 1(1 . Fb; con ello se obtiene la máxima cuantla mecáni·
ca admisible para el zuncho:
=
F w' flSw
Fb' ~R
2
~6(2,3-1 ,4
_
x + 11 0 )
(7. 137 )
con.
De la ecuación (7.137) se obtienen, por ejemplo, para x: = 0,9 los valores de ¡iw max. Que
figuran en la tabla de Fig. 7.60.
La Fig . 7.61 muestra dentro de qué limites es posible utilizar ventajosamente un zuncha·
do. Para ello se eligieron dos cuantlas mecánicas extremas iJo de Fig. 7.56 Y además se repre·
sentaron para algunos valores de ¡iw las curvas de interacción . Puede observarse Que el efecto
del zunchado se aprecia recién a partir de un determinado valor de ¡iw o de Fw, Y Que al aumen·
tar el momento desaparece muy rápidamente. Dicho limite puede estabt"ecerse mediante las
ecuaciones anteriores y su expresión es:
IJ
w
min
•
1 _,2
(7. 138)
y
Corresponde hacer notar que las cargas Nü + 4 Nu según Ec. (7.134) originan conside·
rabies deformaciones verticales (ise han observado acortamientos de hasta un 30 o;oo!), las Que
165
Factor
Calidad del hormigón
Bn 350
Bn 450
Bn 250
Bn 550
V en Ec. 7.1 35
1,6
\,7
1,8
1 ,9
en Ec. 7.136
0,42
0,39
0,37
0,36
0,49
+ 0,42
0,44
0,43
0, 42
,
i'w mu.
segUn Ec. 7.137
(para ,.. • dk/d '" 0,9)
¡;o
+O,39¡Jo
Fig . 7.60. Factores ,. 6 Y máxima cuanlla mecánica admisible
+ 0,37 ¡jo + 0,36 ~o
i'w max .
deben tenerse presentes al proyectar las estructuras continuas que se apoyen sobre dichas co·
lumnas.
Además. al construir co lumnas zunch adas, deben tenerse en cuenta diversas exigen·
cias constructivas de acuerdo con la OIN 1045, Seco 25.3.
7.5. Armadura minima de tracción en la flexión
Al analizar los tipos de rotura en Seco 7.1.3.1 se aclaró que para armaduras muy débiles
existia el peligro de una rotura brusca, cuando al pasar del estado I al estado 11 el esfuerzo de
tracCión en el hormigón liberado resultaba mayor que el que era capaz de absorber la armadu·
ra, o también cuando el momento que podla ser absorbido en el estado U resultaba ser menor
que el correspondiente al estado 1.
Si se pudiera confiar en la resistencia a la tracción del hormigón, la seguridad para el es·
tado I resultarla mayor que para el estado 11. Sin embargo no se debe dejar de tener en cuenta la
existencia de tensiones propias e inducidas debidas a temperatura. contracción, etcétera; las
mismas pueden alcanzar fácitmente la resistencia a la tracción . Como consecuencia, aun para
la carga de servicio. puede aparecer una fisura, lo que origina simultáneamente la rotura brus·
ca. La fisura puede hacer desaparecer las tensiones propias o inducidas, pero ello resulta in·
cierto para la primera fisura.
La seguridad contra este tipo de rotura sólo se alcanza cuando se cumple:
~.~
De esta condición surle la necesidad de una armadura m(nima. que depende de las cali·
dades del acero y del hormld'6n, y que deduciremos a continuación para una sección rectangu·
lar con armadura simple.
El esfuerzo de tracción que actúa en la armadura longitudinal poco antes de la fisura·
ción es:
Zl • Z
b
+ Z
e
,.
~
bZ
+ F
E
e
.e
Eb
(7. 139)
La fracción le es despreciable por lo reducida en comparación con el esfuerzo simultáneo de tracción en el hormigón lb. En consecuencia, resulta aproximadamente
\
Z
\ 66
1
...
'2
F bZ
fl bZ
(7. 1(0)
donde la sección Fbz corresponde a la zona de tracción det hormigón , que en este c aso se su·
pone aproximadamente igual a d . b/2.
Para el estado 1, a igual Que para una sección homogénea, es válida la expresión
J
M":
U
-
w.~
U
B SI
- 4,0.,_ _ _- ,_ _
1
bZ
· Z·z
1
~Z
b
.
!d
3
42/50
Bn 2SO
~SwsL200 (kp/cm 2 )
d s 50tm
" de las barras longl·
tudln ales: 22 mm
- 3,0 ~~""tt---t---+-
-t-.k-+
recIa
®
(;&12 j dk %L3,L cm,llw ·O,L7
@ !/:Il0,dl( . 43,2tm¡ Ilw s O,33
r:b 8,dl( • L3.0cm, p-w . 0,2 1
o
O
~
__
~
___
o
+--L_~
0,5
___+--L_--'
1,0
Flg . 7.61. Influencia del zunchado en columnas circulares con una espiral de paso w = 4 cm y Ires dlstin·
tos diémelfos de barras (0 w t2, tO 'J 8 mml(para dos cuantlas mecánicas iOo lomadas de Flg 7.56.
=
167
yen consecuencIa
1
2
"'Sb d
~bZ
(7. 141)
Si se refiere el valor medio PbZ al valor caracterlstico de la reslslencía a compresión
PwN, mediante la relación siguiente (ver Seco 2.8.2):
1
~bZ
...
10 ~wN
resulta:
~
... 0,0167 bd
2
~wN
(7. 142)
Para el estado 11, la armadura Fe, para una tensiÓn igual a la resistencia a la tracciÓn de!
acero /3z, puede absorber un esfuerzo de tracciÓn Zll = Fe' ¡JZ' Con un brazo elAstico estimado
en zll::: 0,95 h, de acuerdo con Seco 7.2, resulta un momento:
u Il • ZIl. ,Il _ F •. Q
'."u
I"z' O, 95 h
(7, 143)
La condiciÓn para la armadura mlnima es:
~ ~ ~
(7. 144a)
Introduciendo los valores de las Ec. (7.142) y (7 .143), se obtiene con h = 0.9 d:
F •. "Z' 0,95 h
"
~ 0,0167
0\81
b h2
~
wN
(7, 144b)
De la misma resulla la cuantla v mino que por lo menos debe preverse para evitar una rotura brusca :
F
IJ.
•
:. 00217
min '" b h .
~
wN
S
(7, 145)
z
Como valores promedio. y teniendo en cuenta resultados e)(perimentales de los que se
obtuvieron cuanllas criticas reducidas, pueden recomendarse los valores de v min que, para
secciones rectangutares, figuran en la tabla de Fig . 7.62.
En este caso debe tenerse presente que las calidades de hormigón especificadas para
Bn < 350, en la practica se sobrepasan a menudo. Estas cuanti as mfnlmas se encuentran en
muchas especificaciones e)(tranjeras para hormigón armado.
Para secciones que no son rectangulares, v mln debe referirse a la zona traccionada del
hormigón FbZ correspondiente al estado 1:
(7. 146)
es decir. que para las cuantlas mlnlmas de armadura vz min referidas a las zonas de tracción
por flexión Fbz, corresponden los valores de la tabla de Fíg. 7.62, multiplicados por 1,8. Estos
168
F
Calidad del hormigón
para B St 1
Bn I!: 250
Bn
Bn
•
•
e
",min • b h
0,15
para B St IU. IV
"
0,10 %
450
0,20 %
0,14 %
550
0.25 "!G
0,18 %
Fig. 7,62. CuanHas mlnimas de armadura", mio para secciones rectangulares solicitadas POI lIexión . para
distintas calidades de hormigón y acero.
valores de 11 min y IIz mln deben tenerse especialmente en cuenta en secciones rectangulares
(¡losas!) y para secciones Icon atas Iraccionadas muy grandes.
Los ensayos realizados en Stuttgart descriptos en [61J confirmaron que pafa armaduras
inferiores a 11 min o ,..z mln, la carga, y en consecuencia el momento flexor. podlan aumentarse
de 1,5 a 2,0 veces los valores erlllcos, sin que se observaran manifestaciones ostensibles.
luego se producla una rotura brusca, es decir que la primera fisura significaba la rotura simul·
tánea de la armadura de tracciOn. Este colapso brusco fue tanto más notable, cuanto mejor era la
adherencia de la armadura. Como hasta ahora, por el empleo corriente de armaduras y mallas
lisas de acero para hormlgOn tipo 1, no se tenian en cuenta las cuantlas minimas de armadura
(y que no se especificaban en las Normas), un constructor responsable, ante el empleo predo·
mlnante de los aceros nervurados con muy buenas condiciones de adherencia, aunque no lo
exijan las normas, no.debe prescindir de los limites inferiores teniendo en cuenta las posibles
solicitaciones inducidas.
7.6. Dimenslonaaod. secciones sin armadura
Los elementos constructivos sin armadura se presentan generalmente en el caso de pa·
redes y columnas de altura muy reducida. Para verificar la capacidad de carga, son válidas en
este caso las mismas hlpOtesis del Cap. 7 para elementos armados, con la excepciOn que, debido a la considerable influencia de la excentricidad y a la gran incertidumbre acerca del
correspondiente coeficiente de seguridad, se recomienda utilizar \1 = 2,5. Para estructuras de
Bn 150 y calidades inferiores, corresponde \1 = 3,0.
De acuerdo a lo anterior, la reparticiOn de las tensiones de compresiOn responde al
diagrama parabólico-rectangular de Fig. 7.3 a. Como también en este caso no se deben tener
en cuenta las tensiones de tracción en el hormigOn y no existen armaduras de tracción cuando
se presentan tensiones de tracciOn, es necesario suponer una secciOn reducida, es decir con
" junta abierta" (ver ReparticiOn de tensiones en el terreno en fundaciones con carga excéntrica). Según la DIN 1045, para la carga de servicio. la "junta" puede llegar como máximo hasta el
baricentro de la secciOn total. Además, en el borde comprimido no se debe utilizar la resistencia PR de los hormigones Bn 450 y Bn 550; como valor máximo se admite tlR = 230 kplcm1
correspondiente al hormigÓn Sn 350.
la intensidad del esfuerzo normal que puede ser absorbido resulta determinada en cada
caso, cuando en el borde comprimido se alcanza la máxima deformaclOn del hormigOn , ver Ec .
(7.4) y Fig . 7.6:
3,5
~
€1 " 3,5 - 0,75 €2
~
2,0
(7. 149)
donde L debe introduc irse en valor absoluto y en 'o/co.
169
7
En secciones rectangulares, cuando la Unea de fuerzas coincide con uno de los ejes de
simetrla, la repartición completa de las tensiones, cuando sólo existen tensiones de compre·
slón,puede obtenerse mediante los coeficientes (1d según Ec. (7.20) y con (1 de Ec. (7.14) para
junta abierta, con un máximo en este caso de (1 máx = 0,81 . En consecuencia, para una sección rectangular se tiene
para junta cetiada:
y
d
= k
d
. d
para junta abierta:
Y = d/2 • 0,416 x
d
Para x = d (eje neutro en el borde de la sección) resulta en consecuencia:
e 11m_ "'Y
1
d
= Z"d. O,416d· O,084d
(7.150)
es decir que las juntas abiertas ocurren, cuando se tiene e > 0,084 d.
La máxima excentricidad admisible e mAx. se alcanza cuando x = d12, de donde
0,292 d "" 0,3 d.
e mAx = Yd = dl2 - 0,416· d/2
la evaluación de las relaciones anteriores conduce a que, para secciones rectangulares
sujetas a lIexlón compuesta normal , la siguiente fórmula aproximada conduce a resultados
muy coincidentes con los de las anleriores (ver E. Grasser 172)):
=
(7.151)
la verlllcación de que la junta. para la carga de servicio (suponiendo una repartición lineal de tensiones) no se abre más altá del baricentro, no es necesaria cuando se emplea esta fórmula, por cuanto la hipótesiS utilizada de la repartici6n parabólico-rectangular queda del lado
de la seguridad.
Para secciones de forma cualquiera, se recomienda utilizar el diagrama rectangular de
tensiones explicado en Seco 7.3.4.4, Fig. 7.54. los cálculos resultan asl muy sencillos. pues s6·
lo es necesario determinar la sección. su barlcentro y momento resistente de la zona comprimida reducida en el 20 % de su altura , para verificar si la máxima tensi6n en el borde o, se man°
tiene inferior a 0,95 PR- En 172J figuran mayores detalles para estimar en forma aproximada la
capacidad de carga de secciones no rectangulares.
170
8
Dimensionado para esfuerzos de corte
8.1 . Conceptos fundamentales pa ra el di mensionado a los esfuerzos de
resbala miento
En la Seco 5.1.3 se aclaró Que en todo el ámbito de una viga solicitada por momentos
flex ores varIables y como consecuenci a de ello por un esfuerzo de corle
= dMldx , para el estado I se originaban en tre los cordones tensiones principales Incl inadas 01y 011 (principal stres·
ses), las que pod!an ser ca lculadas sobre la base de las tensiones longitudinales 0M y las ten·
siones de resbalamiento T (shear stre sses) (Fig. 5.7), Lo s esfuerzos de tracción en el alma
correspondientes a las tensiones principales de t racción exigen una armadura , denOrT.inada armadura de corte (shear reinlorcemen t), porque también en este caso tampoco es posible admi·
tir esfuerzos de tracción en el hormigón . las ten siones principales de tracción conducen. ya
sea para la carga de servicio o al crecer ésta para al canzar la carga critica, a la formaciÓn de fi ·
suras de corte, que autorizan a considerar, para el estado 11 , que la estructura de la viga se comporte como un reticulado (truss) segUn muestra la Fig. 5.1 2.
la capacidad portante de las vigas de hormigón armado sólo resulta asegurada cuando,
además de los esfuerzos en los cordones, los esfuerzos de IracciÓn y compresión que se origi·
nan en l as barras ideales del alma , se absorben con la seguridad requerida. la direcciÓn más
favorable para la armadura de corte coincide con la de la tensión principal de tracciÓn 01. es de·
cir aproximadamente 45° (Fig. 5.12 al. Pero, teniendo en cuenta que los estribos normales al eje
de la viga (estribos verticales) son de ejecución más simple, se les da preferencia; el reticulado
es capaz también de absorber cargas disponiendo en el mismo barras traccionadas verticales
(Flg.5.12b).
Para veri ficar la capacidad portante al cort e en vigas de hormigón armado en el estado
11, loS esfuerzos de tracción y compresión en el alma se calculan para el est ado critico (carga
portante necesaria) mediante un modelo de reticulado.
Sobre la base del desarrollo histÓrico, se utiliza, para el dimensionado al corte. el valor
calculado de la tensión de resbalam ien to TO' Apoyándose en numerosoS resultados de ensa·
yos, el valor de TO se limita, con el objeto de garantizar una seguridad suficiente contra la
compreSiÓn oblicua (rotura de las diagonales comprimidas). En la OIN 1045 se utilizan valores
de cálculo TO para cargas de servicio y se dan los correspondientes valores de TO adrn, que pro·
porclonan una amplia seguridad contra una rotura por compresión de las diagonales comprimi·
a
das.
Análogamente como para el dimensionado a la lIexión con solicitación axil (Cap. 7), en
lo que se sigue se explicará el dimensionado al corte solamente para vig as esbeltas (lid ;¡,2);
las vigas de gran altura y las ménsul as muestran un comportamiento bajo carga fund amentalmente distinto, tanto a la flexión como al corte, y deben ser objeto de un análisis especial.
171
p
8.2. Tensiones principales en alemantos portantes homog'neos (Estado 1)
8.2.1. Defermlnación de fas tensiones de resbalamiento para secciones homogéneas (Secciones de hormiQón armado en el Estado 1)
En la Mecánica Técnica, el valor de la tensión de resbalamiento T en un elemento de Ion·
gitud dx de una viga esbelta con la nolación de Flg. B.1, se deduce en la forma siguiente:
y con
T
Para un elemento b (ZI) . dx . dz, la condición de equilibrio para las fuerzas de dlre<:ción x
= T (Zl) y b = b (ZI) tiene por expresión
~a
()
,~
~
",x
(r- b) . d z· d x +
d x' b' d z " O
16. 1)
es decir que, el Incremento del esfuerzo sobre el elemento como consecuencia del aumento de
las tensiones 0x debe originar un esfuerzo de resbalamiento debido a las tensiones T (zl)·
Para la tensión normal 0x vale: a
x
M
M
,, - z. " W
J
i
1
y con la relación conocida dM/dx = a , se obtiene finalmente de la Ec (B.1) para dx .. O y dz -+ O
en la que se cumple el teorema de Cauchy, es decir
T
xz - r- zx
•
T.
la integración de esta ecuación conduce a
16. 2)
donde 5(zl) es el momento estático de la parte de la Se<:ción comprendida entre zl Y lo, con su
signo. En la Ec . (8.2) ya se tiene en cuenta que para el borde libre superior de la Se<:ción zl = lo
no existe tensión de resbalamiento .
Para la tensión de resbalamiento se obtiene de la Ec . (8.2) la conocida fórmula
T
•
QS
J b
16. 3)
--
siempre que el momento estático S se introduzca en la misma con su valor absoluto.
Al repartir la armadura de corte sobre la longitud de la Ylga conylene, a veces, partir en
lugar de la tensiÓn T de resbalamiento, del esfuerzo total resultante T sobre un tramo determi·
nado. Partiendo del esfuerzo de resbalamiento T'
T . b referido a la unidad de longi1ud, se
tiene:
=
T - ¡T'. dx
"'Ir-·
b· dx
16.4)
En una sección restangular, el momento estático a nivel zl es
Z¡
S (zi) .. b
J
zi'
zo· -d/2
172
16. 5)
-ro r-,....~-fÍ
plll)
:'
~=+
+'¡"'d ll
I
1,
¿_.
Superficie
correspondiente
•
,s (z¡)
íd
1
1
1
1
'o
1
1
1
1
1 M. dM
al
,MW, - tH--
,
, i
I
IO.dO
,-
1
-
t~1
~ dz
1
1
),
ar>
cr.'b.d
~D'''··i.'d.)I>d'
_ l:. b·d .
-
[t · bO!;ltbl.dljdll
,
1
1
-" -<
G.
~
11
G .. • d G.
Tensiones
normales
en la cara
Elemento dx de
viga con los es·
fuerzos eSfacte·
en la cara
Elemento d. vIga
dx:dz
con T = t(z)
izquierda
r¡stlcos
derecha
yb=b(z)
Tensiones
normales
Flg . 8.1. Esfuerzos sobre un elemento de viga, para la determinación de la tensión de resbalami ento tiz)
(sistema general de coordenadas empleado en la Mecánica Técnica). En realidad actuan tensiones prin cipales Inclinadas de tracciÓn y compresión.
de donde, con J = bd'J12 resulla para la tensión
T
'
T
Q -6b d3
una ecuaciÓn de 20 grado
d 2
2 J
[<-)
-z .
2
I
(8.6)
Las tensiones T, para una sección rectangular, se distribuyen parabólicamente sobre la
altura de la sección y su máximo valor OCUlre para ZI = 0, es decir, a nivel del baricentro
Tmax
t
3
2"
Q
bd
(8. 7)
Al mismo valor se llega si en la Ec. (8.3) se reemplazan los valores S = bcP18 correspon·
dientes al ele baricéntrico y J
bd'J12; en este caso el valor JJS
2dJ3 es igual al del brazo
elástico interno z entre las resultantes de tracción y compresión O y Z.
En la misma forma se obtienen los valores máximos de la tensión T, a nivel del eje bario
céntrico para el
=
circu lo:
Tm ax
sección anular delgada:
=
4
= '3
Tmax
Q
F'"
=
0,425
Q
2r
(8.8)
2 Q • O. 64 -'2Q
"-'2
F
(r
a
(l!. 9)
r¡)
173
,
8.2.2. Determinación de 18S tensiones principales para secciones homogéneas
En la Seco 5.1.3.1 se aclaró que Ox. ay y T eran valores aultlllares. condicionados únicamente por el sistema de coordenadas x-y adoptado, es decir las componentes de tensión en las
direcciones )(-y de las tensiones prlnclpalesol y 011 (Fig. 8.2). Para el comportamiento resistente,
s610 son determinantes dichas tensiones principales.
Con el objeto de poder calcular las tensiones principales y el ángulo q¡ en el alma de una
viga, mediante las ecuaciones corrientes de un estado plano de tensión, lijaremos, apartándonos de lo establecido en Flg . 8.1 un nuevo sistema de coordenadas x·y (Fig. 8.2). Para ay
Ose
tiene (para ay" O las fórmulas figuran en cualquier manual)
=
N
+
M
la tensión de flexión:
o
la tensión de resbalamiento:
T
•
T
o,
·
!.2
-"-+
2
la tensión principal de tracción :
ji'
x
xy
o"
•
T
o
o
la tensión principal de compresión:
- w
· Tx
!.2
yx
.-
¡ax +
2
Irl +
x
QS
J b
4 T
4
(8.3)
2'
T
2
(8. lOa)
(8. 10b)
Para el angula cp entre 01 y el eje x, de acuerdo con 182] y la regla de signos de Flg. 8 .2, se
liene
.-T
o también
tg2cp =
(S. 11)
2 T
o
x
Dos ejemplos slIVen para visualizar mejor lo anterior, correspondientes a una sección
rectangular homogénea, con un esfuerzo de corte positivo, es decir para una sección sobre el
apoyo izquierdo. la Fig. 8.3 muestra la dirección e intensidad de las tensiones principales en
flexión con corte y la Flg . 8.4,en el caso de flexión con esfuerzos axll y de corte (valores numéricos, por ejemplo, en kp/cm J ).
la repartición de las ten siones principales varia considerablemente cuando el esfuerzo
axil es grande (por ejemplo en el caso de pretensado). Corresponde hacer notar especialmente
que la máxima tensión principal de tracción 01 resulta menor que T mb y que, además, no
siempre ocurre en el borde de la sección, sino que también puede aparecer en el alma; en cuanto resulte
O, aun para grandes esfuerzos axiles, continúan existiendo tensiones de tracción
en el alma.
Además, debe tenerse en cuenta que las tensiones 01 y 011 no pueden determinarse mediante las fórmulas corrientes de la teerla de la flexión en las zonas vecinas a los puntos de
aplicación de grandes fuerzas concentradas (por ejemplo en los apoyos). En dichas zonas, de
una profundidad x:::: d, denominadas también " zonas de perturbación de Salnl Venant", deben
emplearse las funciones de tensión correspondientes a las láminas cargadas en su plano.
T"
174
,
--
+it, "' "O
r'
-
o
,
,
,
-1 ~.~.
~+I
, 't.,
--.
, "o
,
,
,+-) G'J
,
0', ,0
Flg. 8.2. Disposición de las tensiones '1 del ángulo!p para un estado plano de tensión (sistema corriente de
coordenadas).
Angula
Estuer-
ca·
rae t e-
UlS
rfsticos
DlrecclOn e Inlensldad de la
TenTen si 6 n
s 16 n
normal d.
tensión princi·
.,
corte pel de tracción
"
•
Dirección e Inlensldad de la
tensión prlncipel de compre816n 0n
d. IncUnación
res pacto del
(.,
eje x) 1/1
90'
f
100
Fig . 8.3. Tensiones prlnclpaJesol y 011 '1 sus direcciones en una secclOn rectangular sujeta a lIexlOn con esfuerzo de corte positivo.
Ten ·
Estuer-
zos ca·
r se I erlsUcos
"-
I
d
Ten s 16 n
Ten ·
no r.
d.
malo.
co rte
s 16 n
-."
d.
•
SO
/
516 n
p r In·
el psi
O
IL,5
3S
Tensión
principal
de compresión
Angulo de
Inclinación
(01 con respecto
al eJe X) 1/1
t r s e·
e 16 n
'"
.,
,----,50 ,---,----,""
O
.,.'
.5,5
"
17,8 . ll,5
11,1
o
.11,1
.10
O
O
Fig. 8.~. Tensiones principales 0\ you Y sus correspondientes angulos de inclinación para una sección rectangular solicitada por flexión y tracclOn, y esfuerzo de corte positivo.
175
8.3. Esfuerzos y tens iones en almas flsuradas (Estado 11)
8.3. 1. Ana/og/a clásica del retlcu/ado según E. M6rsch
MOrsch en su "analogla clásica del reticulado" (classica/ truss ana/ogy), parte de retlcu·
lados donde se tiene:
cordones paralelos O I Z,
diagonales comprimidas a 45°,
diagonales tracciohadas Inclinadas de un ángulo cualquiera
O'
(en general a 45° Ó 90°).
Una armadura de corte con diagonales tracclonadas a 45° es la más efectiva, porque
corresponde con la direcciÓn de las tensiones principales de tracciÓn para el estado I a nivel del
eje baricéntrlco y, en esta forma, las barras traccionadas ubicadas en el alma de la viga cortan
a las fisuras de corte aproximadamente en forma normal. Estas diagonales traccionadas
pueden estar constituidas sea por barras longitudinales levantadas (bent-up bars) o bien por
estribos inclinados (inClined stirrups). Por razones prácticas se utiliza, sin embargo, en la ma·
yorla de los casos como armadura de corte estribos verticales (vertical stlrrups), de modo que
es necesarlo conSiderar reticulados especiales con barras traccionadas verticales.
Al proyectar la armadura de corte debe tenerse presente que no basta considerar retlculados simples, estáticamente determinados, porque debido a la gran separación entre las
barras traccionadas, una fisura de corte que se origine entre dos de etlas, puede conducir a la
rotura (Fig. 8.5 a). En consecuencia, las barras tracclonadas deben estar más juntas -lo que
conduce a los retlculados que muestran las Figs. 8.5 b Y c- con diagonales múltiples o tamo
blén reticulados cruzados (ver a este respecto las configuraciones de fl suraclón y rotura 5.10,
5.11 asl como también 8.8 y 8.11.
Los retlculados cruzados son estructuras de múltiple indeterminación estática por
vinculas internos, pero, de acuerdo con la analogla del retlculado de MOrsch , se los considera como la superposición de numerosos reticulados estáticamente determinados, ligeramente
desplazados entre si y donde cada uno de ellos absorbe la parte de carga que le corresponde.
Con ello el cálculo de los esfuerzos de traccrón y compresión en las barras Ideales del alma se
efectúa como en el caso de los reUculados simples.
8.3.2. Cá/culo de los esfuerzos y tens iones en las barras Ideales de los reticulados de Mórsch
8.3.2.1. Reticulado clásico con barras fraccionadas Inclinadas de un ángulo arbitrario o
La Fig. 8.6 a muestra un retlculado correspondiente al extremo de una viga con esfuerzo
de corte constante, donde las diagonales comprimidas del alma se encuentran inclinadas de
un ángulo arbitrario O' con respecto del eje x. Cuando la distribución del esfuerzo de corte no es
constante (por ejemplo para carga uniforme), es necesario admitir que la carga se reparte por
partes Iguales entre los cordones superior e Inferior; es decir que siempre, en reticulados, ac·
túa pJ2 arriba y pl2 abajo. En este caso se llega a las mismas ecuaciones que las que resultan
de los desarrollos siguientes (ver a este respecto Sec, 8.3.2.3.).
Los esfuerzos en las barras del reticulado pueden determinarse ya sea mediante pollgo·
nos de fuerzas en cada nudo (como en Flg. 8.6 b) o bien mediante el trazado de un diagrama de
Cremona. Los esfuerzos en las diagonales Zs y Ds calculados de esta manera, deben aún referirse a la unidad de longitud, por cuanto el reticulado considerado, en real idad, constituye sola·
mente la superposición de una serie de reticulados.
El esfuerzo de t racciÓn en el alma la
Olsen 0', se reliere, en general, a la longit ud hori·
zontal as, que en el cálculo práctico corresponde a la separación horizontal entre barras, y con
as = z (1 + ctg o) se obtiene el esfuerzo relativo Z',.
=
z
Z! • -.!. .,
8
176
a
•
=-=--"Q,::-,,-,--:==
sen 0.' z (1 + coto.)
~
z
1
(seno.+coso.)
(8. 12)
~-- "
- ----+,
L
Fisura de corte
Fisura de cor te
a) Par. retlculados simples (sep. de barras !raccionadas ~ 2 z 6 z) es posible una rolur. prematura por coro
te, porque pueden formarse lisuras de corte, no cortadas por barras.
Retlculado con montantes duplicados
Aetlculado cuádruple
b) Retlculado con series de barras Iraccionadas
Reticulado con montantes cuadruplicados.
Aellculado séllluple
el Aeticulado cruzado
!=Ig. 8.5. Configuración de la armadura de corte ejemplificada
del retlculadO.
par. distintos casos de la enelogla clásica
Con la sección Fe, s de las barras de la armadura, situadas a la distancia es medida horizontalmente, resulta como tensión 0e, s en la armadura del alma
a e, ,
e,
Fe,o
1
sen 0.+C08
o.
(8.13)
El esfuerzo Da = Q...{'I correspondiente a una diagonal comprimida debe referirse a una
distancia ao = asfv"2" normal a la diagonal, para poder calcular las tensiones en el hormigón .
Como valor del esfuerzo de compresión relativo se tiene
,
D'
,
• 2 Q .
1
l + coto.
(8. 14)
177
de donde se obtiene la tensión media en el hormigón de una diagonal comprimida de espesor
"o
1
Q
• 2
.,..-,;
(8. 1 5)
l+coto.
o
la variación de los esfuerzos relativos Z5 y Ds en el alma y con ello la de las tensiones
0e, s Y 0b, 45° es proporcional a la variación del esfuerzo de corte O (en este caso constante
sobre toda la longitud de la viga).
la variación de los esfuerzos Z y D en los cordones se obtiene de los pollgonos de fuerzas que muestra la Fig . 8.6 b, para un pano genérico n
Zn :: Q [n + (n -1) cot o. ]
Dn • n' Q (1
+ cot
(8. 16a)
(8. 16b)
0.)
En la Fig. 8.6 c se muestra la variación escalonada de los esfuerzos Z y D en los cordones, obtenidos en la forma indicada para un reticulado simple, mediante lineas llenas; para un
reticulado doble (es decir para dos series de diagonales desplazadas entre sf de a5 '2 Yde las
que cada una absorbe 0 /2), se obtiene la linea escalonada de trazo discontinuo . Para una superposición múltiple (separación infinltésima de los nudos del reticulado) resulta una distribución continua, en este caso lineal de los esfuerzos Z y D, que une los puntos medios del diagrama escalonado.
la comparación de los esfuerzos en una viga homogénea calculados mediante la teorla
de la flexión
Z .. D : :M-
,
(8.17)
muestra que los esfuerzos Z en los cordones tracclonados de un reticulado cruzado con montantes Iraccionados verticales resultan mayores, y menores los de los cordones comprimidos
D. El valor del incremenlo ó-Z del esfuerzo de tracción en el cordón puede determinarse para el
centro de un pano ti mediante la siguiente expresión
.oZ • Z
Con Zn según Ec. (6.16 a) y Mm
= (n -
toz · ~
n
-
Mm
z
Y2) as' O
= (n -
(l-cot 0.)
YI) z(1
+
ctg a)
a se obtiene
(8. 18)
los esfuerzos en el cordOn comprimido se reducen del mismo valor. Por ello, para un re·
ticulado cruzado, los esfuerzos en los cordones pueden expresarse como sigue:
z •
M
-+
Z
92
D •
M
Q
z
"2
(1
- cot 0.)
(8. 19a)
(1 - cot a)
(8. 19b)
El incremento de los esfuerzos de tracción en los cordones o el desplazamiento vertical
6.Z del diagrama representativo de MIz obtenido sobre la base de la leorla de la flexión, pueden
imaginarse también como un desplazamiento 6.x hacia el apoyo del diagrama Miz .
178
a) Retlculado
®
Z,'
\
\
1,
J
OI:Z[1.COIQI/
b) Pollgonos de fuerzas en los nudos
®
cl Distribución de esfuerzos en los nudos
Diagrama Miz
v:t (1 - col a)
~~
Esfuerzos en el
cordón comprimido
O
--~
r_-~",,~;"1"~-~~~~D~~ -~{\-COI
~
al
M
Diagrama Miz
~~7- t':::::::'::-~é>¡-"'l'-t.: ~ ~-COI
1="T
"O" ' -COI a
Z~z.'2'"
Retlculado cru~ado l
al
11-col a )
~! --- _:::. .....____~ .
Esfuerzos en el
cordón tracclonado
Z
Retlculado doble
Rell culado simple
Fi.9. 8.6. Calculo y distribución de los esfuerzos en los cordones y barras de alma de un retlculado ideal segun Mórsch con barras de alma tracclonada s Inclinadas de un angula cualQuiera a.
179
Se tiene as!
6M
• """Q
=
y con AM
AZ . Z y AZ segUn Ec. (8.18) se obtiene el valor del desplazamiento horizontal , denominado medida v del desplazamiento y cuya expresión es:
V"
. 6 xz-(l_cota.)
z
(8.20 )
2
En el prim itivo método de cálculo de Morsch , no se tenia en cuenta dicho desplazamien·
to del diagrama de esfuerzos de tracción.
8.3.2.2. Reticu/ados clásfcos con barras de alma fraccionadas, inclinadas de 45° Ó 90°
De las ecuaciones generales de la sección anterior, pueden deducirse las siguientes re·
laclones para los reticulados más comunes con (J = 45° ó 90° .
Retlculados con barras fraccionadas a 45°
(Barras levantadas o estribos Inclinados)
Retlculados con barras fraccionadas a 90°
(Estribos verticales)
Alma:
Z' • Q
•
;V;
a e,. • Q
z
,
D
(8. 21a)
••
e
F
•
e,'
9z
..9...-
a b ,45° " b z
o
(8. 22a)
¡f2
,
ZBü .. ~
z
ae,Bil
.~
z
e
F
Bü
(8. 22b)
e, Bü
(8. 23a)
D' • 2 Q
z
(8. 24a)
-'L
a b ,45° " 2 b z
(8. 23b)
•
(8. 24b)
o
Cordones:
------
.,
- .,
(8. 25a)
M
Z • +
Q
(8. 26a)
D • -M
z
Q
(8. 27a}
v • 0,5 z
M
Z • D • z
v • O
(8. 21b)
Z
(8. 25b)
(8. 2Gb)
(8. 27b)
SI se comparan los esfuerzos en ambos reliculados, resulta que el retlculado con dlago·
nales a 45° se comporta en forma más favorable,pofQue en este caso la dirección de la armadu·
ra de corte coincide a nivel del eje baricénlrico, con la de las tensiones principales de tracción
para el Estado I (ver trayectorias de las tensiones principales de Fig. 5.7). En los reuculados
con estribos verticales, la diferencia con la dirección de las tensiones principales de tracción ,
origina que las tensiones en el hormigón de las barras ideales comprimidas se dupliquen, y que
los esfuerzos de tracción en los cordones aumenten de AZ
0 12.
=
8.3.2.3. Inffuencla del nivel de aplicación de fas cargas sobre los esfuerzos en un reticulado
Al comienzo de la Seco 8.3.2.1 se estableció Que, para reticulados sometidos a cargas
uniformes, éstas se deben suponer siempre como si actuaran por mitades en los cordones su·
180
a) Carga aplicada arriba
U I 1] 1 LlUIU I I I I I I I I I I I ¡ ¡ I 1 p
1,
J
o
I I I I l LU '-LO U IlLI I r 1 t
11
p
b) Carga colgada de abajo
el Garga p/2 arriba y abaJo
-- --
(carga al
~
[carga b]
Esfuerzos relativos de
I tracción en el alma leú
[carga el
- --
-~
I
I
! Esfuerzos de tracción
I en el c~d6n
/"
,--, ' ,
Aetlculadoslmplel
.
DlagramaMlz l
7..:a......-~~__
Retlculado doble
I
F~~~;""¡;.~~;¡¡;_;;¡=...,--,___~I
Z~M.Q
z 2 Retlculado mulUple cruzado
Flg. 8.7. Distribución de los esluerzos relativos de tracción en el alma '1 de tracción en el cordón para distintas formas de aplicación de las cargas, para un retlculado con estribos verticales y carga uniforme.
perlor e Inferior, con el objeto de poder establecer las ecuaciones correspondientes a los esfuerzos en el reticulado. SI se determinan los esfuerzos en el alma teriendo en cuenta el nivel
de aplicaciÓn de las cargas, se llega por ejemplo para un retlculado con estribos verticales a lo
siguiente:
Para una carga p actuando superiormente (caso a de Fig . 8.7) los esfuerzos relativos de
tracciÓn en el alma disminuyen en p12.
Para una carga p suspendida de la parte inferior (caso b de Fig . 8.7) los esfuerzos relati ·
vos de tracciÓn en el alma Z'Bü aumentan de p/2.
En la Flg. 8.7 aparecen los esfuerzos relativos de tracciÓn en el alma, as! como también
su distribuciÓn a lo largo de la viga. En comparaCión con una viga cargada superiormente, los
estribos, en el caso de una viga con carga inferior soportan una carga Al = P veces mayor. El
nivel de aplicación de la carga no influye en la magnitud de los esfuerzos en los cordones ni en
los de compresión en el alma.
181
8.3.3. Vafor numerico de fa tensiOn de resbalamiento
TO
en el alma psrs el Estado 11
Como valor numérico de la tensiÓn de resbalamiento en el alma de una viga de hormigón
armado fisurada se dellne:
(8.28)
Este valor puede admitirse como el valor del esfuerzo de resbalamiento a nIvel del eje
neutro de una secciÓn en el Estado 11, porque el brazo elástico Interno z corresponde al coelen·
te JfS para el eje barlcéntrico o,en su caso,para el eje neutro de la secciÓn fisurada; ver a este
respecto Ec. (8.3) y (8.7). Para las verificaciones de tensiones, en la práctica son suficientes va·
lores aproximados del brazo elástico z, por ejemplo ver Seco 7.2.2.7 y 7.3.3.4.
El valor numérico de la tensiÓn de resbalamiento, asl como también la solicitaciÓn de
las diagonales ideales comprimidas del hormigón resultan máximas, donde el ancho bo del ai·
ma entre el eje neutro y la armadura del cordón tracclonado es mlnlmo.
Con el objeto de evitar para secciones circulares y anulares cálculos complejos para la
determinaciÓn de z, se Indican a continuaciÓn las siguientes expresiones aproximadas:
-
Circulo:
T
T
SecciÓn
anular:
T
o
o
o
~
Q
0.402'
para r
r
~
0,36
-
Q
r
" 0,85 r
(8.29)
para r
2r
0,64
e
Q
2
•
-
e
• 0,95 r
2
r,
(B.30)
8.4. Capacidad portante al corte del alma de las vigas
8.4.1 . 'TIpos de rotura por corte
Cuando en el alma de una viga las tensiones principales Inclinadas de tracción alcanzan el valor de la resistencia a la tracción del hormigÓn, se originan en dirección normal a las
de 01 fisuras de corte, que dan lugar a la transferencia de los esfuerzos actuantes en el alma
para el estado 1, a la armadura de corte y a las diagonales ideales de hormigón. Esta transferen·
cia de esfuerzos internos depende considerablemente de la secciÓn y dirección de la armadura
de corte y,an consecuencia,son posibles distintas formas de rotura por corte.
8.4.1. 1. Rotura al corte por flexiOn
En la zona de esfuerzos de corte, al aumentar la carga se desarrollan fisuras de corte a
partir de las fisuras de flexión, y cuya curvatura coincide sensiblemente con las trayectorias de
las tensiones principales de compresión . Las fisuras de corte cercanas a los apoyos cambian
rápidamente su direcciÓn muy aplanada Inclinándose hacia arriba y reducen la zona comprimida en una medida tal, que hace que la misma rompa bruscamente por estallido. Este tipo de ro·
tura también ocurre cuando no existe armadura de corte, ver Fig. 8.8. El puntal Inclinado Os em·
puja, como consecuencia general, a la armadura longitudinal hacia abajo y la separa del resto
de la viga, lo que origina fisuras a lo largo de la armadura. En este caso se habla de una " rotura
de corte por flexión" (dIagonal tanslon 'ai/ura) . Una cuantla moderada de armadura de carIe
es suficiente para impedir una rotura de este tipo (ver armadura mlnima de corte en Sec. 8.5.3.4
y 8.5.4.3).
1B2
I
"
-
-" -.......
..:.. '.~
Fíg. 8.8. Rotura de corte por lIexlón en una viga reclangular y una losa sin armaduras de corte.
8.4. 1.2. Rotura de corte por 'racción
a)
b)
Rotura de corte por tracción para espesores normales del alma. Como consecuencia de
las fisuras de flexión se originan numerosas fisuras de corte, de modo que se origina el
efecto de reticulado que muestran las figuras 5.12 y 8.5. SI, al aumentar la carga, se supera el limite de escurrimiento de la armadura de corte ubicada en el alma, como consecuencia se abren las fisuras de corte y se prolongan hacia el cordón comprimido. Entonces, o los estribos se arrancan o la zona comprimida por lIexl6n rompe en forma semejante al caso de rotura de corte por flexl6n; puede, sin embargo, también ocurrir Que las
diagonales ficticias comprimidas fallen por solicitaciones adicionales a la flexión (Flg.
5.10). El origen de la rotura reside en que la armadura del alma alcanzó el limite de escurrimiento del acero (web reln'orcement 'allure).
Rotura de corte por tracci6n en vigas con alma muy delgada. En secciones I con almas
delgadas, en las zonas de momentos reducidos y grandes esfuerzos de corte (cercan las
de un apoyo extremo) se originan las fi suras de corte en el alma, cuando en dichos lugares 01 > fJbZ (es decir, sin partir de una fisura de flexIón, ver Fíg. 5.11). Si, en estos casos, la
armadura del alma es muy débil, la fisura se extiende hacia abajo en todo el espesor y l a
viga falla (Fig 8.9). Este tipo de rotura debe tenerse muy especialmente en cuenta en vi·
gas de horm,gón pretensado.
8.4.1.3. Rotura de las diagonales Ideales comprimidas
En el caso de secciones! con alas muy gruesas, almas muy delgadas y armadura de las
mismas muy robustas se presentan numerosas fisuras de corte inClinadas a 45 D • las zonas
comprimidas del hormigón entre fisuras fallan bruscamente, por estallido, cuando su solicita·
ción alcallza la resistencia a la compresión del hormigón anles que la armadura del alma llegue al limite de escurrimiento (Figs. 8.10 y 8.11). Este tipo de rotura (web compression 'si/ure,
web crushlng 'ailure) determina el limite superior de la capacidad portante al corte del alma de
las vigas, la que, en consecuencia, depende de la resistencia del hormigón a la compresión. la
magnitud del esfu erzo de compresión en las diagonales Ideales comprimidas resulta Influida,
en primer término, por la inclinación de la armadura de corte (ver analogla del reticulado).
804.1.4. Rotura en el anclaje
En losas, vigas rectangulares y vigasIo T con almas de gran espesor, la armadura longi·
tudinal, por el efecto de arco, resulta muy solicitada hasta los apoyos (ver Flg. 5.15), de modo
183
que para un anclaje deficiente, ceden las uniones entre las diagonales Ideales comprimidas y
el cordón tracclonado en las cercanras del apoyo (Flg. 8.12). Cuando existen ganchos, el hormigón del alma puede astillarse (rotura por astllladura). La rotura en el anclaje (anchorage
!ailute) se produce bruscamente . El cedlmlento del anclaje por deslizamiento de la armadura
puede tener como consecuencia una rotura por corte en el alma; estrictamente hablando, este
último tipo de rotura no es en realidad,una rotura por corte porque no son los elementos resiso
tentes del alma los que ceden, sino que es el anclaje del cordón tracclonado el que lo hace en
la zona cercana a los apoyos.
8.4.2. Factores que Influyen en fa capacidad portante al corte
8.4.2.1. Enumeración de 18S Influencias
En la Seco 5.3.1.2 se aclaró en forma sucinta el comportamiento bajo carga de una viga
en la zona de corte. Resultó claro que muchos pará.metros (aproximadamente veinte) Influlan
en la capacidad portante al corte; son los siguientes:
1.
Tipo de carga:
carga concentrada P, carga uniforme p o q
2.
Ubicación de la carga y esbeltez de la viga:
distancia relativa alh de una carga concentrada P al apoyo o valores relativos entre momentos y esfuerzos de corte MIOh
esbeltez de la viga l/h en el caso de carga uniforme
3.
Posición y forma de aplicación de la carga:
directa o ind irecta
cargas suspendidas inferiormente
4.
Armadura longitudinal :
cuantla de armadura I'L, en especial a )( ::::.3 d del apoyo
calidad del acero y en consecuencia deformación de la armadura de tracción
grado de adherencia, influida por la distribución de la armadura de tracción
anclaje
escalonado de la armadura de tracción
5.
Armadura de corte en el alma:
cuantla de armadura JoIS
calidad del acero
grado de adherencia
anclaje en ambos cordones
separación de barras
tipo (estribos verticales, estribos inclinados, barras longitudinales levantadas, combina·
clón de estas últimas con estribos)
6.
Calidad del hormigón
7.
Granulometrla del hormigón:
el tamano máximo del agregado grueso influye sobre la trabazón interna del hormigón
(agrega te interlock)
8.
Forma de la sección: por ejemplo, relación blbo en vigas·placa
9.
Altura absoluta de la sección: las leyes de similitud mecá.nica no tienen validez general
10.
184
Configuración de la estructura: vigas simples o continuas
V
Fisuras de corte
¡..r
/
~
-r/
Estribos
~isurasJd e flexión
I
'"
p
[j
)
V
\
Estribos estirados
o fracturado$.
\
C>
Flg. 8.9. Rotura a tracción por corte, en una viga con alma de poco espesor y débil armadura de corte:
Fig. 8.10. Rotura por compresión de las diagonales ideales en el caso de una armadura del alma muy fuerte
(Ialla brusca del hormigón del alma por tensiones oblicuas de compresión).
Fig. 8. t 1. Rotura por compresión del alma en una sección lcon luerte armadura de corte constituida por
estribos a 45° Iflp = 225 kplcm l , TOU = 159 kp/cm l al alcanzarse la carga de rotura). Ensayos de Stuttgart
[8~ .
•
185
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
... ~-~.... -t--.-1'"-
~-
I I
1 I
~ I
I
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I
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I
I
I
,1
I
I
I
- -...--T-.,--
~-~-'-F--
-.-T-t--
I
I
I
Flg. 8.12. Roturas en los anclajes (según E. MOrsch (11).
En los capltulos siguientes se analizarán las Influencias mas Importantes sobre la base
de resultados experimentales que, en su mayarla, se obtuvieron en los resultados de ensayos
de corte realizados en Stuttgart entre los arios 1960 y 1966 (Informes relativos a ensayos: [64,
85, 86. 87, 88] Yresumenes [63, 89)).
8.4.2.2. Posfción y tipo de carga
La Influencia del tipo de carga es significativa: para carga uniformemente repartida (cargas que actúan directamente aplicadas en la parte superior) los ensayos muestran para vigas
esbeltas, sin armadura de corte, una capacidad portante al corte entre el 20 'le. Y el 30 % superior a la del caso de cargas conceniradas ubicadas en la posición más desfavorable (Flg. 8.13).
Teniendo en cuenta que en la realidad no puede garantlrse una repartición uniforme de las caro
gas, al establecer las normas de cálculo deben considerarse tos resultados más desfavorables
correspondientes a cargas concentradas.
En el caso de cargas concentradas la distancia de las mismas al apoyo Influye considerablemente, en cambio para cargas uniformes es determinante la esbeltez lIh (Flgs. 8.14 Y 8.15).
Como posición más peligrosa para una rotura por corte, con o sin armadura de corte, para el caso de una carga concentrada, resulta ser una distancia a :::: 2,5 h a 3,5 h, a lo que corres·
ponde una relación momento-esfuerzo de corte MIQh = alh :::: 2,5 a 3,5. Para el caso de cargas
uniformes, esbelteces lIh = 10 a 14 corresponden al máximo peligro de rotur&por corte, es de·
cir, a la mlnlma capacidad portante al corte.
la capacidad portante al corte crece considerablemente, en el caso de cargas cercanas.
a los apoyos, al disminuir la relación a/h < 2,5; para cargas uniformes ocurre un incre·
mento similar cuando se tiene llh < 10. Esto responde a que el efecto de estallido resulta más
favorecido, cuanto mayor sea la pendiente de las diagonales Ideales comprimidas, suponiendo
naturalmente un buen anclaje de las barras longitudinales !racclonadas (Fig. 5.13). Al dimen·
sionar la armadura de corte, conviene tener en cuenta este efecto favorable en la capacidad
portante al corte.
SI en un dlagr~ma se representan los momentos de rotura de vigas de hOímigón armado
similares sin armadura de corte, con respecto a las relaciones entre momentos y corte, puede
observarse una disminución, que comienza para aJh = 1, alcanza su mlnlmo para a/h ::: 3 y
luego comienza a crecer hasta que para a/h
7 alcanza el valor del momento de rotura por flexión teórico. G. Kanl denominó a dicha depresión "Valle de corte" 190, 91). Flg. 8.15. El ancho y
la profundidad de dicho valle dependen de la rigidez de la armadura longitudinal tracclonada, es
=
186
p
,
p
'Col) [kp/cm 2 ]
100
carg1as
\
•
O
\
.0
40
V
con~entra~as
Car~a unlf~rme
t\\
,l
O¡¡¡¡¡O¡¡U¡¡Op
JI\;:...,
....
'0
,
,l
./
12S
2S
l
~
'
~
1=$
l
~
IIh Esbeltez (para carga uniforme)
O
O
4
B
12
16
20
24
2B
,11---+1- - " - - " - - " - - " - - 1 ' - - 1 1
a/h Aelación Momento·Corte
=
(pA.ra cargas concentradas)
01234567
+
Q.h
Flg. 8.13. Capacidad portante al corte de vigas sin armadura de corte para cargas uniformes y concentra·
das en función de JIh y respectivamente de a/h.
M
SU
12
•
§
•,
p
- h
10
.
r-
V
\
j
,
,l
/' V\Momento MSU
1\....
p
1
- , -,- V=tl,1M;;;
Momento rotura por fleK. calculado _ Me
&•
;;
[Mpm}
,l
.
Relación momento-corte
" .-
Q ·h
h
para I'L = 1,88 %
O
O
,
3
4
5
•
•
7
• h
Flg. 8.14. Influencia de la posición de la carga sobre la capacidad portante al corte en vigas sin armadura
de corte!J,lL = 1,88 %l.
- 1,88
~ 2,8~L ['/.)
Flg. 8.15. Influencia de la posición de la carga aIh y
de la cuanlla de armadura longitudinal sobre la relación entre el momento de la rotura por corte y el
momento de rot ura por flexión, en vigas Sin arma·
dura por corte ("$chubtal" segiXI G. Kani(90D.
'0
O
.¡±±±iit±::V·
, 4
h
187
decir de la cuantla de armadura longitudinal f.ll y del grado de adherencia (ver Seco8.4.2.4). Al
disminuir f.ll, el momento de rotura por flexión decrece más rápidamente que el momento que
produce la rotura por corte, de modo que eluvalle", para cuantlas reducidas, es menos profundo que para cuantfas f./L grandes. La misiÓn de la armadura de corte es equilibrar la falta de capacidad portante al corte, puesta de manifiesto por la existencia del "valle" , de modo que
siempre se alcance la capacidad portante a la flexiÓn.
En el caso de cargas con M/Oh = alh > 1 o cargas uniformes para esbelteces IIh > 24,
aun sin armadura de corte, no existe peligro de rotura por corte. Considerando que en la zona
a < 1 h no es posible excluir la existencia de cargas concentradas, en las vigas esbeltas, en general , se dispone una armadura de corte (arma'dura mlnlma).
8.4.2.3. Forma de apfic8r fa carg8
Si una viga se une a otra en la totalidad de su altura d (Flg. 8.16 a), la viga que transmite
la carga lo hace en forma distribuida a lo largo del alma de la viga que recibe la carga. Se trata
en este caso de carga indirecta O apoyo Indirecto (Jndir6ct I08dlng o Indirect bearing). Mediante
los ensayos de Stutlgart (64, 88, 92] pudo demostrarse que, para este tipo de vigas, en la zona
de unión, definida según Fig . 8.16 b, es necesario disponer una armadura en caballete de t,ac·
clón, que, en el caso de vigas de hormigón armado o pretensado debe calcularse para absorber
la totalidad del esfuerzo en el apoyo o nudo.
Las vigas Que trabajan en Estado 11 transmiten su carga al apoyo preferentemente por
medio de una diagonal ideal comprimida, y el modelo de retlculado con diagonales de este tipo
muestra en forma evidente la necesidad de disponer barras verticales !raccionadas y como consecuencia, colocar caballetes ¡(accionados (Fig. 8 .16 e).
.)
*' -- d
Viga cargada en forma IndIrecta (viga
transversal) (absorbe
carga)
Viga apoyada en
forma Indirecta (viga principal) (Irasmite carga)
b) Zona de en cuentro
cl Rellculado
Flg. 8.16. Modelo de retlculado y determinación de la zona de encuentro de una viga apoyada Indirectamente.
'88
Sin embargo, fuera de la zona de encuentro, las vigas no resultan Influidas por esta forma de apoyo y transferencia de cargas, es decir que el comportam iento resistente al corte se
mantiene Igual que para el caso de carga o apoyo directo; en lo que respecta al dimensionado
al corte, valen las mismas consideraciones. En la zona de encuentro los caballetes tracclona·
dos cumplen simultáneamente las funciones de la armadura de corte.
Cargas suspendidas Interiormente
Las cargas suspendidas en la parte Inferior de una viga originan tracción en el alma y
deben -tal como surge de la analogla del retlculado- transmitirse al cardón comprimido mediante barras Ideales de alma tracclonadas. Esta armadura de suspensión es complementarla
de la armadura normal de corte.
8.4.2.4. Influencia de fa armadura longitudinal
El desarrollo de una fisura de corte, es decir, su extensión hasta las cercanlas del borde
Inferior de la zona comprimida del hormigón, depende de la rigidez a la deformación de la arma·
dura tracclonada longitudinal: cuanto más débil sea ésta, tanto mayor será su deformación al
aumentar la carga y la peligrosidad de la fisura de corte se manll)esta más rápidamente. La
Influencia de la cuantla JoIl de la armadura longitudinal sobre la capacidad portante al corte, que
también depende de la calidad del acero, se aclarÓ anteriormente en Sec. 8.4.2.2, ver Flg. 8.15. En
la Flg. 8.17 (según D. Netoze1193]), sobre la base de los resultados de ensayos reaHzados por nurnaroeoslnvestlg.:k>res, se ha representado la Influencia de la cuantla~l
Felbh de la armadura
klngltudlnal sobre la capacidad portante al corte en probetas de ensayo sin armadura de corte,
donde los valores de la tensión de rotura por corte TOU están referidos al TOU correspondiente a
unacuantla~l
1%.
SI de acuerdo con lo anterior, la rig idez a la deformación de la armadura Iracclonada
longitudinal Influye en forma preponderante en el desarrollo de las fisuras de corte, un escaionamlento de la misma hacia los apoyos, en forma parecida a la variación de los esfuerzos de
tracción en la armadura, debe reducir la capacidad portante al corte.
En consecuencia, el cordón Iracclonado en la zona de posibles roturas por carie, no de·
be debilitarse mucho. También cuando el anclaje en el apoyo cede, se produce un efecto slml·
=
=
.,',' .
t oU pat....l
toUparaPl ""l'!.
:
:
',2
',a 1- "a,e
0,_
W
Zona de dispersión
[J I I
!m
111
-
--
I
:
I
¡
a
I
a
\0
"'l"
2,0
.f!..
bh
3,0[·'.)
FIg. 8.17. Inf luencl. de la cuantf. de .rmadur. longltudin.I"L sobre la c.p.cldad portante al corte en vi·
gas sin armadura de corte (93).
'89
lar. Ambas influencias deben tenerse en cuenta, desde un punto de vista constructivo, ai proyectar la armadura.
infiuencia adicional tiene el grado o calidad de la adherencia de la armadura longitudl.
nal: por ejemplo los ensayos efectuados muestran que, para una misma cuanlla de armadura
longitudinal, la subdivisión de Fe en barras de menor diámetro influye en forma favorable sobre
la capacidad portante al corte (85J .
8.4.2.5. Irrlluenc/a de la forma de la sección y de 'a cuan,/a de armadura
La forma de la sección tiene una Influericla considerable sobre el comportamiento bajo
carga de las vigas de hormigón armado solicitadas al corte. En el caso de secciones rectangu·
lares puede originarse sin Inconvenientes una fuerte Inclinación del cordón comprimido (ver
Fig . 5.13) Y en muchos casos (en especial para carga un iforme o cargas concentradas vecinas a
los apoyos) absorber la totalidad del esfuerzo de corte mediante la componente vertical Dv del
esfuerzo D en el cordón comprimIdo (Flg. 8.18 a). En las secciones de vigas-placa el esfuerzo en
el cordÓn comprimido sólo puede tener pendiente reducida, porque el mismo, hasta muy cerca
de los apoyos se mantiene en general dentro del ancho de la losa comprimida y sólo se con·
centra en el alma hacia el apoyo, muy lentamente. Por ello, el cordón comprimido sólo puede
absorber una parte del esfuerzo de compresión; la parte mayor de a debe ser soportada en el
alma mediante diagonales.ldeales comprim idas y las barras de la armadura de corte (estribos o
barras inclinadas) (Flg. 8.18 b). La relación entre la rigidez del cordón comprimido de ancho b y
la correspondiente a las dIagonales ideales del alma de ancho bo es mucho mayor en el caso
de vigas-placa que en el de las seccIones rectangulares .
Como " rigidez", en este caso se entiende la rigidez a la deformación de las barras de reliculado, o sea, en general si S = esfuerzo en la barra:
K
-
S
,
.
E
-=S- -
EF
(8.31)
Cuanto mayor sea EF, tanto mayor será la rig idez. Las barras de acero (armadura) resul·
tan en este caso en gen eral mucho menos rlgidas que las barras de hormigón (cordones
comprimidOS, diagonales comprimidas); por ejemplo, para,.. = 1% Y ·EeJEb = 7
K
1
. O 01 F • O 07· E F ... e - E e F e ... 7 E b
'
b
•
b b
14
Las diferentes rigideces a la deformación entre barras comprimidas y ! raccionadas no
fue tenida en cuenta en la analogla del reticulado de MOrsch (Sec. 8.3). Los ensayos de corte de
Stuttgart mostraron por primera vez la Influ enci a de la forma de la sección y en especial la de la
"relaciÓn de rigideces" blbo. El resultado más important e surge de las tensiones medidas en
los estribos (Fig. 8.19). En las vigas sólo se varió la relación blbo, mientras Que la disposición de
la carga, luz de la viga y las armaduras longitudinal FeLy de los estribos Fe.Bü fueron las mismas
para la lola lidad de las vigas. En el caso de la viga rectangular (b/bo = 1), los estribos soporta·
ron tensiones de compresión hasta que poco ant es de llegar a la carga de rotura, los mismos
fueron cruzados por una lisura de corte. En las vigas· placa (b/bo = 2. 3 ó 6). al reducirse el es·
pesor del alma. las ten siones en los estribos aumentaban. pero. en todos los casos las mismas
se mantuvieron muy por debajo de oa ,So.calculada segun la clásica ana logia de MOrsch del retlc ulado (cordones paralelos, diagonales ideales comprimidas Inclinadas a 45°).
Los ensayos demostraron también que tanlo la inclinación de las lisuras de corte como
la de las diagonales comprimidas variaba con la relación bfbo; para b/bo = 1 puede llegar a ser
8 a 12 hasta cerca de 45° . Las diagonales comprim idas con peno
de 30° y crece para blbo
dientes inferiores a 45° conducen a menores esfuerzos de tracción en el alma (ver a este respecto Seco8.4.3) .
=
190
a) Viga rect angular
-~­
U
~-
b) Viga-placa
b -
0--..0..·0
-=-.:::-=
__1 .
- jI.
7
+_0_ _ ::lo,. O
••
_1_1"'bo ·
e) Esfuerzos Internos en vigas con est ribos vert icales o Inclinados
11
6
z:;?
•
Flg. 8.1 8. Comportamiento baJo carga de vigas de sección rectangular y vlgas·placa de hormigón armado.
at e, Bu (kp/cm 2 ]
3500
~
"T
u
~
3000
1
·s
I~ '
2500
..•
- :J
2000
o
Ji
•
•
•
I!
~
o"
500
I
O
'"
3
•
...,
,
",
1j
",
- ......l/V
-500
O
ir
o"
1000
/
'l
<
~
1500
t
9
12
15
P
18 (MPJ
!I "
•
•
-
•
3
0---0
• 2
+-+
•
-
1
Flg. 8. 19. Tensiones medias en los estribos en vigas con distintas relaciones blb o (las restantes dlmen·
slones incluso ta secciÓn de ta armadura de corte se mantuvieron constan tes).
191
I
o
I
I
/
I
I
¡
o
i
I
I
I
04
06
i
,
Flg. 8.20. Esfuerzo de tracción en los estribos con un
grado de seguridad al corte" para en un todo Iguales
I~
y blbo
= 6 (ver FIg. 8.21).
De acuerdo con ello, la combinación de ambos efectos -aumento de la inclinación del
esfuerzo de compresión en el cordón y la reducciÓn de la Inclinación de las diagonales Ideales
comprlmldas- cons.lituyen una aclaración de por qué, al reducirse la relación blbo, los esfuerzos de tracciÓn en el alma (en este caso las ten siones en los estribos) resultan considerablemente menores en comparación con los calculados mediante la 8nalogla del reticulado de
Morsch.
La influencia de la relación de rigidez de los elementos de la estructura portante sobre
la repartición de los esfuerzos internos también se pone de manifiesto cuando en vigas-placa
de igual relación b/bo Y armadura longitudinal traccionada, se varia únicamente la sección FeS
de la armadura de corte, es decir, el grado de seguridad al corle 'f según Seco 8.2.1 (Fig . 8.20). Al
reducirse FeS' el esfuerzo de tracción en el alma disminuye; en este caso el equilibrio Interno ,
exige en consecuencia, que las diagonales Ideales comprimidas sean de menor pendiente, lo
que ha sido realmente constatado en los ensayos (Fig . 8.21) . H. Kupler (941 lo ha demostrado teóricamente mediante el principio del mlnlmo trabajo de deformación.
Si se evalúan los ensayos y representan las proporciones del esfuerzo de corte med ido,
que corresponden a los esfuerzos en el cordón comprimido y en los estribos, para las cargas de
servicio y para cargas cercanas a ras de rotura se obtienen las curvas de Fig . 8.22. Dicha figura
muestra que la proporción del alma que participa en la absorción del esfuerzo de corle, crece
con la relación blbo Y que poco antes de alcanzarse la carga de rotura es mayor Que para la carga de servicio. El cálculo de la armadura de corte correspondiente al alma debe partir de la
distribución de los esfuerzos Internos que ocurren poco antes de la rotura, es decir para la caro
ga portante necesaria" Q; en este caso es necesario tener en c uenta la relación entre el espe·
sor del alma y el del cordón comprimido. la relaciÓn b/bo tiene también validez al calcul ar la
por cuanto el ancho bo del alma influye directamente.
tensión de corte lO
= r!t-z.
a) qrado de cobertura d el co rt e '1
= 0.93
b) grado de cot>crtura del cO fl e '1 '" 0.38
Fig. 8 21 FisuraCló n de una "Iga con bfbo ::: 6 p ara grados de cobefl ura del co rte muy dISPiJl(" ,
192
¡',.J
¡',.J
para carga de servIcio
poco antes de la carga de rotura
100~.
I
3
I I
,
,L
,
zona usual en la práctica
zona usual en la práctica
Flg. 8.22. Repartición del esfuerzo de corte snlre el alma y el cordón par. carga de servicio y par. carga
celcana a la de rotura, en función de blbo.
PI
lP"
3000
,
r
1
2000
1000
O-I""'~-+-rO
20
1-
Viga n: pu == 80 Mp
~
80
estribos verllcales
Viga T2: PU == 100 Mp
estribos a 0
.5
0-----0
-
P
100 [Mp]
Flg. 8.23. Variación de las tensiones en los estribOs en vigas-placas de alma muy delgada (b/b o = 15) para
cobertur a total de la solicitación al corle.
193
Ocurre también Que una parte del esfuerzo de corte es absorbida tanlo por el cordón
comprimido Inclinado como por la armadura del alma. Dicha parte origina efectos secundarios,
tales como:
el efecto de pórtico, consecuencia de las uniones rlgidas a la flexión entre el cordón
comprimido y las diagonales ideales comprimidas,
la trabazón de la superficie de las fisuras de corte debido a los agregados rugosos (agg,e·
gate Interlock),
et electo de enclavamiento de ta armadura longitudinal Iraccionada (dowel action).
También debe. tenerse presente Que aun para almas muy delgadas con blb o = 15 Y ca·
bertura total al corte segun M6rsch , la parte del esfuerzo de corte absorbida por la armadura no
debe Sobrepasar del 80 %, Y por ello tanto para estribos verticales como inclinados a 45 0 la
prueba de ello la dan las vigas T1 y T2 de los ensayas al corte efectuados en Stuttgart (Flg. 8.23).
Aun para vigas 1 con cordones extremadamente gruesos, la resultante de compresión en los
mismos puede tener Inclinaciones entre 1:12 y 1:20, de modo Que los cordones comprimidos
pueden absorber entre el 25% yel 15% del esfuerzo de corte Q.
8.4.2.6. Influencia de la altura absoluta de la viga
Ensayos comparativos realizados con vigas sin armadura de corte y distintas alturas d
para una misma cuantla de armadura longitudinal /AL e igual distribución de barras, mostraron ,
primero en Stuttgart {85, 95) Y luego también en Taranta [96J . Que la capacidad portante al carie
se reduce considerablemente (Fig. 8.24) al aumentar la altura d, siempre Que no se varlen ni la
granulometrla del hormigón ni el recubrimiento 197]. la trabazón de los granos (aggreg8te in·
terlock) juega un papel Importante en las vigas sin armadura de corte. Teniendo en cuenta Que
en la práctica la granulometrla puede variar muy poco, es necesario lener en cuenta la reduc·
ción de TOU '
8.4.3. Ampliación de la ana logIa del rel/culada
Como resultado de los ensayos al corte de Stutlgart , la analogla del reticulado de
Mórsch pudo ser ampliada en el sentido de poder considerar el comportamiento real bajo carga
de reliculados cruzados con cordón superior inclinado 'i diagonales Ideales comprimidas de pendiente menor de 45" (Flg. 8.25). Con ello se llega a una ampliación de la analogla del reticulado
1,2
Q'
O,,
r
zona de disperslOn
0,<
0,2
,
O~--~----~----r----r----r----r----r---~
O
10
70
80 [cm 1
20
lO
50
60
Flg. 8.24. Influencia de la altura absoluta de la viga, o re3pectlvamenle de la altura útil h sobre la capaci·
dad portante al corte de vigas y losas Sin armadura de corle (segun 1931).
194
l'
1"
1- '-t
'--.--_ _---.--'1 T
'"
Q
I
I Aetlculado de alma gruesa (blbo :: 2.¡. 5;
bl ReUculado de alma delgada (blbo
=
'lflllC
~-J..
"
= O,3.¡. 0,6)
6 + 12; '1nec
=0,6 + 1,0)
Flg. 8.25. Retlculados correspondientes a la analogla ampliada para vigas de un tramo.
(modified 'russ 8nafogy). En este caso la inclinación de los elementos comprimidos depende
de las relaciones de rigidez (expresada por blbO> y de la magnitud de la armadura de corte (ver
Sec. 8.4.2.5).
Los reliculados son estáticamente indeterminados por vinculo interno y s610 pueden resolverse con mucho trabajo debido a los numerosos parámetros que Influyen. Es por ello que
no son adecuados para dimensionar la armadura de corte, pero si para mostrar el comportamiento bajo carga. Análogamente al caso de la analogla clásica del retlculado (Sec. 8.3), es po·
sible, también en ta analogla ampliada mostrar, mediante reticulados simples, cómo influye la
Inclinación del cordón comprimido y de las diagonales Ideales comprimidas sobre los esfuer·
zas en los cordones y el alma (Flg . 8.26). Se observa asl que los esfuerzos de tracción en el alma
se reducen en función de la Inclinación del cordón comprimido o de las diagonales ideales
comprimidas de pendiente inferior a 45° y Que el esfuerzo en el cordón !racclonado aumenta en
los apoyos.
La analogla del reticulado ampliada conduce, desde el punto de '.lisia de los esfuerzos
de tracción en el alma que interesan especialmentE¡, a resultados que concuerdan con las mediciones efectuadas en los estribos.
Como consecuencia, y en lo Que respecta a la magnitud de los esfuerzos actuantes en el
cordón comprimida, deben tenerse en cuenta los esfuerzos de tracción en el alma y la medida
de los desplazamIentos v calculados en Seco 8.3.2 para el reticulado clásico son demasiado re·
ducidos y que en la práctica es necesario aumentarlos.
8.5. Dimensionamiento al corte en el alma de las vigas
8.5.1. Fundamentos y conceptos
El dimensionamiento de la armadura de corte en el alma de las vIgas se realiza siempre
cubriendo la máxima seguridad, o sea Que los esfuerzos de tracción Que se originan en el al·
ma de las vigas deben cubrirse totalmente mediante la armadura de carie. Es decir que al hor·
mlgón no se le conUa la absorclOn de ningún esfuerzo de tracción de los que se originan en el
alma, ni tampoco parte de los esfuerzos principales inclinados de tracción .
Para el dimensionado son determinantes los esfuerzos internos correspondientes a la
carga portante necesaria, es decir, 1,75 veces la carga de servicio.
195
El cálculo de los esfuerzos internos que ocurren en el alma poco antes de alcanzarse la
rotura deberla tener en cuenta las reales relaciones de rigidez entre los elementos traccionados y comprimidos de la estructura para el estado 11 y el gran número de factores que influyen
(ver Seco 8.4.2.). Hoy aún no es posible un cálculo de esta naturaleza, por lo que el dimensionado
al corte se realiza mediante la analogla del reliculado .
Morsch ha desarrollado un modelo de este tipo en su " analogla clásica del reticulado"
mediante diagonales ideales comprimidas inclinadas a 45 0 . Si se dimensiona la armadura de
corte FeS según Seco 8.5.2, se habla entonces de "cobertura total al corte según MOrsch".
Si se compara el dimensionado según la "analogla ampliada del reticulado" deducida
de los ensayos de Stultgart con la armadura reducida en una cierta medida correspondiente a
los resultados de Mor-sch , se dice entonces Que se trata de una "cobertura al corte disminuida"
pero con una seguridad al corte total. Como concepto de "grado de cobertura al corte 1)" se entiende la relación
, =
Fe S efectiva existente
S según M6rsch
Fe
(8.32)
Como concepto adicional se introduce además la cuantla de armadura de corte ~S; que
corresponde a la relación entre la sección de armadura de corte medida horizontalmente (en la
dirección x = eje de la viga) y la sección de hormigón ba . es, donde es es la separación horizontal entre las barras de la armadura al corte y bo el espesor del alma. Se liene asl
F
para barras de
inclinación 0-:
"S • b
(8. 33a)
•
o
V2F
para barras a
45 D :
"
e,'
sen a.
e
U
e,'
s • bo e
,
F
para estribos
verticales:
e, BU
"S • b o
e
(8. 33b)
(8.33c)
Bü
8.5.2. Dimensionado de la armadura del alma para cobertura total al corte segun Morsch
Para reticulados que responden a la ana logia clásica según E. Mórsch, en la Seco 8 .3.2
fueron calculados los esfuerzos de tracción asl como también las tensiones 0e. S.
Dichas tensiones en el acero 0e, S' para la carga portante exigida, no deben sobrepasar
el valor caracterlstico ~S correspondiente a la calidad del acero empleado, es decir que para la
carga de servicio a debe cump lirse: 0e S" /3s/l ,75.
Con ello es posible dBterminar, mediante las Ec . (8.13) y (8.22) las secciones necesarias
de la armadura del alma Fe, s que corresponde a una separación es o también la sección
fe. s[cm1Im] referida a la unidad de longitud.
para barras ideales, traccionadas, con una inclinación Q:
,,'
fe,snec. = ~,,~
e
'0
•
e
para barras ideales Iraccionadas inclinadas,
,,'
fe,s nec. =~
e,
'96
Q
1
sen
Ct
+ cas
Ct
(8.34)
= 45°:
Q
(8.35)
para estribos verticales:
F
fe, Bü nec. =
e, Bil
(B. '61
'Bil
En estas expresiones deben Introducirse la totalidad de las barras afectadas por un coro
le horizontal, con el área de su secciÓn: Un estribo de dos ramas con el doble del área de la sección, o en el caso de dos estribos de dos ramas yuxtapuestos, con el cuádruple de su secciÓn
por tratarse de 2 x 2 = 4 rama s. lo mismo vale para barras inclinadas levantadas, sean
simples o mültlples simultáneas.
SI en estas ecuaciones se Introducen los valores carac/erls/lcos de la tensión de corte
TO = Olboz definidos en Sec. 8.3.3 segün Ec. (8.28) se obtienen las siguientes fórmutas, de uso
corriente en la practica:
para diagonales inclinadas de 0' :
F
,
1
fe, s nec. =~:~b
o
o,
"
para diagonales inclinadas de
O'
sen
+ cos o.
o;
(B.
371
= 45°:
F
fe, s nec . =~
,,
,
.-o
b
o
12
(8. 38)
para estribos verticales:
'e, Bij nec. =
Fe,Bil
'sa
'o
o,
·-b
o
(8.39)
la cuantla de armadura al corte 115 segün Ec (8.33), para reticutados con eslribos vertica,
les y barras Inclinadas a 45° , surge de una fórmula fácil de recordar para el dimensionamiento
al corte con cobertura total segün Morsch , y que es
liS nec = .!g
"
(8. 40\
8.5.3. Dimensionado de la armadura del alma para cobertura al corte disminuida
8.5.3. ' . Conceptos básicos
Todas las mediciones de tensiones en el acero, efectuadas en estribos o barras inclina·
das de vig as de hormigón armado con armadura longitudlnaf traccionada dimensionada con
cierta amplitud , mostraron las variaciones caracterlsticas que aparecen en Fig . 8.27, Que sirve
como base para un dimensionamiento muy simple de la armadura al corte.
la armadura de corte resulla seriamente solicitada recién cuando resulta cruzada por
una fisura de corte Olls' las tensiones De en la arma.dura de corte crecen a partir de entonces
casi paralelas al diagrama de De = ToIIIS calculado por MOrsch . Ambos diagramas, al alcanzar
la carga de rotura 0u, mantienen aun una separación Que corresponde al valor 0o. Esta parte
00 del esfuerzo de corte 0u os absorbida por los elementos comprimidos del reticulado de
acuerdo con la ampliación de la ana logia del reticulado, es decir, por el cordÓn comprimido
inclinado y por las diagonales ideales comprimidas, inclinadas de un ángulo menor de {J = 45°
197
Esfuerzos de tracción
Esfuerzo de tracción Esfuerzo de tracción
en el alma Z. sobre
en el cor~~~ _Z.
sobre el apoyo
una longitud Z
RellculadO
o
2
J
,
5
A.O t - -1,5z ~
1'.50 ~
1
198
0,75Q
O,60Q
/,50
1.00
1,00
t- 0.710
11°
2.j
,
CD
®
~5l -
.
O,SQ
0,67Q
/,50
0, 590
1,730
íf .
con respecto al eje JC. Para la carga porlante requerida , la armadura de corte sólo es necesario
que se la calcule para la parte (Ou - 00) del esfuerzo de corte 0u, cuando se utilizan las fórmulas de cAlculo de la snalogla clAslca del reticUlado, es decir que para la ecuación (8.34) re·
sulta:
F
fe, s nec.
= -.!!..!
e
1
,
•
s
(8 .41 )
sen a. + coe a.
Mediante el valor caracterfstico de la tensión de corte correspondiente a la carga portante requerida TOU = OulboZ, se obtiene, en base al valor caracterlstico TOO correspondiente a
la parte 00 del esfuerzo de corte, para la Ec . (8.37).
fa, s nec .
F
e,s
= ___
o
7
- 7
0U
•
00
'-
8
b
1
(8.42)
sen a. + cos a.
o
En la misma 0u debe calcularse mediante el coeficiente de seguridad \1 = 1,75 (falla del
acero); el limite de escurrimiento del acero se limita a (Js" 4200 kplcm l , teniendo en cuenta el
anCho admisible de las fisuras de corte y problemas de anclaje de los estribos en la zona
comprimida.
8.5.3.2. VaJor
TOO
de reducción
El valor TOO, que corresponde a la fracción 00 del esfuerzo de corte, ha sido hasta ahora
determinado en forma puramente emplrlca a partir de numerosos resultados de ensayos . Pudo
observarse Que para vIgas de un solo tramo en las que la relación MIOh disminuye hacia los
apoyos, el valor TOO es considerablemente mayor que para el caso de vigas continuas, en las
:
'.
,
:
21
I
1--..
zona considerada
,
,I
tensión o•. S medida
en la armadura de corte
• a
Fig. 8.27. Dislrlbuclón earaelerlsl lca de las tensiones reales en las armaduras de corte.
Fig. 8.26. Modelos de retleulados simples que aclaran la influencia de talnclinación del cordÓn comprimi·
do '1 de las diagonales Ideales comprimidas sobre los esfuerzos de Iracclón en el alma '1 en el cordón traecionado.
199
que, para los apoyos intermedios, M/Oh crece hacia los mismos, y con ello las fisuras de corte
se hacen más verticales y penetran considerablemente en ta zona comprimida. En vigas con
armadura de corte se observó una correspondencia aproximadamente lineal con la resistencia
a la compresión del hormigón: en vigas de un solo tramo resultó TOO::::: ~w/20. para vigas continuas TOO::::: ~w/28 (ver [63]).
Mientras dichos ya lores no se confirmen en forma indubitable. TOO debe en lo posible
reducirse. Se recomienda uniformar su valor en
7" 00
(8.43 )
:: 0, 03 ~wN
con ello las influencias de blbo y I-lL se mantienen del lado de la seguridad.
8.5. 3.3. CuanOa I-lS necesaria para la cobertura al corte
El grado de cobertura al corte I'J ya fue definida en la Seco8.5.1.
I'J
Fe. S exist o
= Fe,S nec. según M6rsch
(8.32)
Mediante el valor caracterlstico de la tensión de corte, en las Seco 8.5.2 y 8.5.3.1 se obtu·
vieron las siguientes expresiones para la armadura de corte Fe S, inclinada de un ángulo cual.
quiera a con respecto del eje x
segun M6rsch :
,
°
fe, s nec . = - b
V '
1
1
7"
-"Cs- -,o,- bo sen o. + cos o.
o sen o. + cos o.
para cobertura al corte reducida:
fe. s nec. =
V·
7"
o
7"
00
- --.;;,-s--"'-"-
°
1
b -,:,.0,;;-;.;-;+0-;,000,:-:-.
Reemplazando estas expresiones en la Ec. (8 .32) se obtiene también:
V,
I'J nec. =
7" o ~
v· ,
7"
00
' oD
(8.44 )
1 - v . ,
°
°
=
Si de acuerdo con Seco8.5.3.2 se introduce el valor TOO
0,03 (1wN y se tiene en cuenta, de acuerdo con Sec o8.5.3.6 el limite superior de TO' resulta para I'J la curva de Fig. 8.28.
A titulo comparativo, se ha representado en dicha figura la reducción I'J = Toh o2, admitida corrientemente por DIN 1045 (ver Sec o8.5.4.3) solamente para el entorno 2.
8.5.3.4. Armadura mlnima al corte en el alma de vigas
Para evitar una rotura brusca al corte por flexión (ver Sec o8.4.1.1) debe preverse una armadura al corte mlnima . El esfuerzo de tracción que debe ser capaz de absorber dicha armadura trabajando a {Jz debe ser mayor a la que puede absorber el hormigón del alma antes de Que se
originen las fisuras de corte (Estado 1). Este esfuerzo de tracción es tanto mayor, c uanto mejor
sea la calidad del hormigón , y en consecuencia, para establecer su valor se parte de un hormigón de alta resistencia, en este caso de un hormigón de calidad Bn 450. Sobre la base de ensa·
yos [63] se tiene
~ s min . ~s = 6
2DO
% · kp / mm
2
(8 .4 5)
-
"tofl3WN
--
0,25
1
.
-1-
0)0
t o moJI · 0,14 I3wN
,.
I
0,15
I
¡-
0,05
O
0,2
l,7St - t oo
\7S'to
1¡:----~
•
O,~
o armadura mixta al corte)
"
c....:..:;: V
/
k ---- -
-1
"---.::-,..~
o
(p ara estribos vertIcales
00 .O,Ol~
00"
0,10
(p ara eS!ribos Inclinados,
m uy Juntos)
I
!--
t omoJl . 0,23I3wN
r-'
+
l
t
~ B"
--:..~t'
_.;;~:-- -
-
~
_-
--:...:-...:- ::..;.
'
_ en
Bn
11 segúnl0lN 1045
I
O,.
0,6
1,0
'17. !s1!l
t 02
Ó,
Fig . 8.28. CuanUa de cobertura al corte rt para cobertura reducida y su comparación con OIN 1045.
(para B 600 es necesario un aumento del 20%).
Esto significa, en lo que respecta a la cuantla de armadura de corte segun Ec . (8.33) que
para
acero para hormigón 1: IlS min = 0,25%
= 0,14%
acero para hormigón IV: IlS mln = 0,12%
acero para hormigón 111 : IlS min
En vIgas cuyo espesor de alma es b > d es suficiente, en cada zona de borde, disponer la
armadura mlnima referida en cada una de ellas a un ancho br = h12.
8.5.3.5. Reducción adicional de la armadura de corte necesaria en el caso de cargas cercanas a
los apoyos o vigas carl as
Sobre la base del efecto portante favorable de voladizo, mostrado en Sec. 8.4.2.2 para
dichas zonas, se permite que, para las cargas vecinas a los apoyos que disten menos de 2 h. la
parte que Influye del esfuerzo de corte Qp se reduzca aplicando el factor
Para vigas cortas de esbeltez lIh " 8, en el caso de cargas uniformemente distribuidas puede
utilizarse como factor de reducción del esfuerzo de corte
"...
. -.,
•
8 h -
201
El factor J( se ha representado en Fig. 8.29 en función de a/h y de l/h .
Al calcular la armadura de corte de este tipo de vigas, se determina el valor caracterlsti·
co de la tensión de corte TO para un esfuerzo de corte reducido a red, es decir TO = a red/bol,
teniéndose
para vigas con llh
buida p:
> 8 y carga concentrada
Q red· Q
para vigas con lIh
g+ P
a una distancia alh
+
K
< 2 Y sobrecarga distri·
Qp
< 8 sujetas a una carga distribuida p:
Qred"KQ g+p
8.5.3.6. LImite superior de las tensiones de corte
ales comprimidas
TO
para el/ltar /a rotufa de las diagonales Ide·
Los ensayos al corte de StulIgart realizados en I/Igas1con cordones robustos y almas
delgadas, pero fuertemente armadas 186J mostraron que la capacidad portante al corte para
cuantlas al corte muy elevadas .,S, queda limitada por la resistencia a la compresión del hormi·
gón (ino existe resistencia al corte del hormigón!). Las tensiones en el hormigón 00S Ó 0b, 450
en las diagonales ideales comprimidas dependen de la dirección de la armadura de corte . De
acuerdo coo la aoalogla clásica del reticulado (Sec. 8.3.2.2) ya se tenia:
para estribos verticales:
Q
2 ,. o' medido ... 2, 2
b7
o
para estribos a 45°:
a
b.45
o . _Q-- " ,. , medido ... 1,1
b z
o
o
'T
o
Las tensiones de compresión medidas en el hormigón se han representado en Flg . 8.30,
donde se ha tenido en cuenta el estado elástico plano segun A. Rabinson en las diagonales ideo
ales comprimidas (en (86J aún no se habla considerado dicha influencia). Los ensayos de A. Ro·
binson y J. M. Demorieux [98J demostraron que aun en el caso de fisuras de corte muy cercanas
entre si, las diagonales ideales comprimidas resultaban solicitadas a la tracción transversal·
mente, debido a la armadura de corte que las cruzaba.
•
.,
1,0 -
~
<
u
u
",
••
,'
~
O,S
;;
¡;
•
,,
~
o
o
2
o•
Q5
Flg. 8 29. Factor
202
!¿/ ' ~~~::~-h.
,,
!-
T
~
•
11:
-f
+-
, ,
~
\O
\,S
I~
j
a
\0
~O
~,
,
,,
X ,-,-
ah
-
x.-º2h
" h,
~,
lO
h
de reducción del esruerzo de corte para vigas cortas o cargas cercana s a los apoyos.
G'"b,4S- [kp/cm 2]
200
~PI
C>b,45-
J[
lOO
- --
120
lo
80
40
O
O
2.
.0
"
120
160
-
200 (t-Ip]
Flg. 8.30. Tensiones Ob.45- medidas en las diagonales Ideales comprimidas en vigas con blbo
elevadas so1icitaclones al corte (86].
:=:
15 para
Con el coellciente de seguridad 2,1 (rotura por compresiÓn) con respecto al valor carac·
terlstico de la resistencia a la compresión /lA = 0,7 fJwN y un factor de dispersión 1,15, resultan
los siguientes valores limites superiores de las tensiones admisibles al corte para cargas de
servicio:
para estribos verticales muy juntos:
TO max '"
0,7 "
"wN
2,0.I,15.2,1 .... 0 ,14I\vN
para estribos inclinados (a de 45° a 55°) muy juntos y para armaduras longitudinales de
tracción de barras nervuradas (factor 0,75 por tracciÓn transversal en las diagonales ideales comprimidas):
O, 7
TO max
z
~
. 0,75
w
'1'.ñOC-:-''1".'1'5-:.-'2'.'1- " O, 2 3
~w N
La DIN 1045 ha reducido los limites superiores. Por razones constructivas no tiene mayor sentido uutlzar valores superiores aTo >::; 70 kp/cm J , porque en ese caso la armadura de
corte necesaria es dificil de colocar en las almas delgadas . Además, las barras gruesas de la
armadura en almas delgadas pueden originar astillamlento, ver {99j.
8.5.3.7. Valores limites de TO para losas sin armadura de corte
Es posible construir losas sin armadura de corte, siempre y cuando el efecto de arco segun Fig . 5. t3 sea suficiente desde el punto de vista de la capacidad portanle al corte. El tensor
(armadura longitudinal) debe paro. ello, en lo posible, proyectarse sin interrumpir barras y con
un anclaje muy bueno.
La capacidad portante al corle depende en este caso de la cuantla de armadura longiludinal IIL en la zona de una posIble rotura al corte (x = O a x = 5 d) del espesor total de la losa o,
respectivamente de la altura útil h (ver Seco8.4.2.4 y 8.4.2.6).
De acuerdo con resultados experimentales, D. Netzel [931 desarrollÓ una fÓrmula para
TOU en funciÓn de foiL, fJw y h, segun la cual para armadura longitud inal continua y foiL = 1 % asl
como también para h = 20 cm, es posible eslablecer los siguientes valores limites:
203
tJw = 300 kp/cm J ;
TOU
= 11 kpJcm
para fJw = 500 kp/cm l :
TOU
= 14 kp/cm l
para
J
la influencia de la cuantla de la armadura longitudinal aparece en la Fig . 8.17 (Sec.
8.4 .2.4) y la de la altura útil h en Flg. 8.24 (Sec. 8.4.2.6).
8.5.4. Dimensionado segun D/N 1045
8.5.4.1 . Esfuerzo de corte determinante
El esfuerzo de carie determinante para el dimensionamiento al carie es:
a)
en general: el máximo esfuerzo de corte en el borde del apoyo.
b)
para apoyo directo: el esfuerzo de corte a una distancia Igual a 0,5 h del borde del apoyo
(con ello se tiene en cuenla la reducción admitida del esfuerzo de corte en vigas cortas
según Sec. 8.5.3.5).
c)
para cargas concentradas cercanas a los apoyos, a distancias a " 2 h: la parte propor·
c lonal de la carga concentrada correspondiente al esfuerzo de corte,obtenida por aplica·
ción del factor JI;
a/2 h, es decir JI; Op (ver Seco 8.5.3.5).
=
8.5.4.2. Valor caracterfstlco
TO
El valor caracterlstlco
TO
de la tensión de corte para la carga de servicio es:
al
Para flexión simple o compuesta, siempre que el eje neutro corte a la sección :
el valor caracterlstlco de la tensiÓn de corte en el alma para el estado 11, TO = O/boz, don·
de es determinante el menor espesor del alma en la zona traccionada (ver Seco8.3.3).
bl
Para flexión y compresión y eje neutro que no corta a la secciÓn:
la máxima tensión principal al en el estado 1, en la zona comprimida del hormigón .
c)
Para lIexión y Iracción y eje neutro que no carla a la sección:
el valor caracterlstlco TO calculado sin tener en cuenta el esfuerzo normal de tracción.
las variaciones de sección (altura variable, Sec. 8.6.1, o entalladuras y aberturas) deben
tenerse en cuenta para la determinación de TO ' tanto si su infl'Jencia es favorable como desfavorable .
8.5.4.3. Zonas para los dimensionados al corte
Para los valores caracterlslicos TO determinados mediante los valores determinantes
del esfuerzo de corte, los valores máximos y tres zonas correspondientes a distintas formas de
dimensionado , IIguran en la tabla 14 de la DIN 1045 (en el presente volumen en la tabla de Fig.
8.31).
Zona 1:
T" o ~
.,. o
.,. 011
para losas
0 12
para vigas
;ti; .,.
En el caso de losaS puede prescindlrse de una armadura de corte cuando
., o < k 1 . ., 011
donde:
} a:
20
k} ,. O'd
+ 0,33
~ 0,5
(d = espesor de la losa en m)
204
(8.46)
En las losas, con carga permanente total uniformemente repartida, sin cargas concentradas, no es necesaria una armadura de corte
si:
"'0 < k 2 · "'011
1 -~ k 2 ~ 0,12
+ O,60~ O. 7
d
donde:
(8.47)
Si se dispone en las losas una armadura mlnima al corte de acuerdo con DIN 1045, Sec o
18.5.3.1, pueden utilizarse los valores de To12' Las vigas anchas (bo > 5 d) pueden ser considera·
das como losas .
En el caso de vigas, no es necesaria para la zona 1 una verificación de la cobertura al
corte, pero sin embargo, siempre debe disponerse una armadura m(nima al corte de
para aSt 111 y aSt IV, Que corresponde a una cuan tia mlnima al corte de ¡.¡s min = 0,125% (ver a
este respecto Seco 8.5.3.4). Para aSt 1, se requiere el doble del valor anterior.
Zona 2:
7' 011
7'
012
<
7' o
<,.. o
!!!
7' 02
en losas
j¡ ,.. 02
en vigas
En cualquier sección de la viga, el valor caracterlstico de TO puede reducirse al valor de
cálculo T, para toda zona en Que se mantiene el signo del esfuerzo de corte (cobertura reducida
al corte):
T
T
' -
2
o
(8. 48)
T 02
En consecuencia el grado de cobertura al corte '1 Importa
~.
(8. 49 )
T 02
y se lo compara en Fig . 8.28 con el grado posible '1 de cobertura reducida, de acuerdo con las
experiencias.
La reducción segun Ec. (8.48) no se permite en los casos siguientes:
cuando la carga estética SegÚfl DIN 1055, Hoja 3, no es predominante.
para flexión con tracción y eje neutro Que no corta a la sección.
Zona 3:
7' 02
<
7'
~
o
7' 03
Para dicha zona se exige cobertura total al corte, es decir Que la cobertura vale '1 = 1,0 Y
el valor de cálculo para toda la zona de la viga con el mismo sIgno del esfuerzo de corte es
T •
No se admiten valores
TO
T
o
> T03·
205
En el caso de flexión y tracción y eje neulro que no corta a la viga, no se admiten valores
TO
> T02'
Ele·
meno
10
Zona
1
Ten sl6n de
""rt.
,o
, 0 11
Losas
Vigas
limites para TO (kp/cm'l
por calidades de hormlg6n Bn
15.
25.
35.
45.
55.
2,5
3,5
4
5
5,5
3,5
5,.
,
7
8
Verlflcacl6n
de la cobertu·
ra al corte
Cobertura
al corte
F. Interrumpida
no nacesa-
ninguna
,la
F. continua
2
, 02
12
18
24
27
3.
1
, 012
5
7,5
l.
11
12,5 no necesa·
, 02
12
18
24
27
,.
necesaria
.a
'03
2.
3.
4.
45
5.
necesaria
cobertura lolal
2
,•
necesaria
"a
Observa ·
clones
cobertura reducl·
.a
armadura al corte mln.
tambl'n
en
10S8$
cobertura reducl-
• 5610 para do ;.. 45 cm empleando acero nervurado
Flg. 8.31. Limites de los valores caracterlstlcos de ta tensión de corte TO par. cargas de servIcIo según DIN
1045.
8.8. Dlmenllonado al corte en calOI especiales
8.6.1. Armaduras de unión de cordones
En vigas-placa o vigas'caJón, las losas, que actúan como cordones comprimidos o trac·
clonados.deben vincularse al alma en forma resistente al corte.
En la Sec. 7.3.1 se aclaró la colaboración de la losa como elemento comprlmfdo de una
viga-placa. Con relación a la distribución de las trayectorias de las tensiones principales que
muestra la Flg . 7.31, se origina, para el estado 11, es decir cuando 01 alcanza la resistencia ala
Iracción del hormigón. un slslema de diagonales comprimidas (entre fisuras) y de !racclonadas
correspondientes éstas a armadura de vinculación .
Como base de calculo, sirve, anélogamente que para el caso de las vigas. un modelo
constituido por un reticulado simple; la Fig. 8.32 muestra un ejemplo donde, en lo que respecta
a la separación ea de las barras tracclonadas de la armadura de vinculación, el esfuerzo
de com presión 0 1 en la losa es absorbido por tres barras ideales. Dichas tres barras en la losa
comprimida, absorben cada una de ellas 0 1/3, para lo cual, de acuerdo con la Seco 7.3(Flg. 7.34),
se admite que la tensión o. es constante sobre todo el ancho acUvo. La dirección de los elomentos comprimidos oblicuos se corresponde con la de las trayectorias de compresión en la
losa y se supone que las cercanlas de los apoyos es de 45°; las mismas se aplanan al crecer M
y disminuir Q.
La dirección de las barras traccionadas de la armadura de vinculaciÓn debe, normal·
mente, ser perpendicular al eje x.
Sobre la longitud dx, la parte dO. correspondiente a la losa de la diferencia de las resultantes de compresión dD
dMfz debe transferirse a ambos lados del alma (Flg. 8.32 a).
=
206
Despreciando las tensiones de compresión en el alma, el factor de transferencia" para el caso
de simetrla vale
d
y con .60 = .6Mlz y.6MI.6x
•
• b
b - b
d (b - b )
mI
b· d
a
a
•
o
2b
2 b da
o
(8.50)
a se tiene
6x
,
Q
(8. 5 1)
Del pollgono de fuerzas correspondiente a un nudo se obtiene el esfuerzo de tracción
Za = .6D}13 Y con la Ec. (8.51) el esfuerzo de tracciÓn correspondiente a la armadura de vinculaciÓn referida a la unidad de longitud .6x13
b - b
o
z'
•
_ (8. 52)
2 b
,
Si la armadura de vinculaciÓn tiene una separaciÓn ea y una secciÓn efectiva Fe, a. resulta entonces con fea = Fealea una tensiÓn en el acero
o
e,a •
z'a
Q
z· f
-f-
e,a
b - b
e,a
o
(8.53)
2b
La armadura de vinculaciÓn necesaria debe determinarse para una tensiÓn en el acero
0e. a = f1s y una carga de servicio afectada d~ "
1,75 (agotamiento del acero) y resulta ser
=
b - b
fe,a nec.
o
2 b
v ·Q
z·
(8 . 54)
~S
Partiendo del valor caracterlstico establecido en 8.3.3 para la tensión de corte en el alma TO = Olboz, puede deducirse un valor caracterlstico Ta para la tensión de corte en la unión:
b
T
a
•
o
(b - b )
o
2 b d
(8.55)
a
y por analogla con la Ec. (8.39) se tiene en consecuencia
F
fe,a nec. =~
e
a
T.
o
e
d
•
(8 . 56)
Este valor Ta es mayor que TO para da < bo (b'bo) f2b lo que ocurre muy a menudo para las
grandes losas comprimidas en puentes.
Cuando se trafa de la vinculación de un cordón traccionado fuera del alma (Fig. 8.33) el
esfuerzo .6Z1 en cada lado, la correspondiente armadura del cordón Fe,l, debe unirse en el alma
a las diagonales ideales comprimidas a 45°. Para igual tensión en la totalidad de las barras de
207
¡
¡-+
I
I I
f,
0,,-<-+
it=~-b-m-'---~r
- b: -.!'-
I
~
,,
h
al Variación del esfuerzo en el cordón comprimido en el extremo de la viga y nolación de la seco
ción
F.
b) Retlculado en la losa comprimida (ejemplo con 3 barras)
Fig. 8.32. Modelo de rellculado para la vinculación del cordón comprimido con el alma de una viga-placa.
la armadura longitudinal (despreciando el desplazamiento v) vale liZ,/4Z = Fet/Fe• Y con
= "'Miz y además 6.M/lix = Q resulta
!JZ
Q . 6.x
,
(8.57)
El esfuerzo de tracciÓn referido a la unidad de longitud en la armadura de unión normal
al plano del alma, se obtiene nuevamente partiendo de un pollgono de fuerzas
,
t:.Z
ÓZ 1
"'-a
Ox
y para una carga = 1,75-carga de servicio con
.5
(8.58)
0e,
a = (JS,la armadura de vinculación requerida
F
fe,a nec.
El valor caracterlstico
Ta
~
z· ~S
~
e
•
(8.59)
de la tensión de corte en la unión de un cordón fraccionado es
= F el
F
e
b
o
d
a
•
T
o
(8.60)
yen este caso, también es válida la Ec . (8.56) para la armadura necesaria de vinculación.
208
¡
b - - - - - ___
#-
- - - bml-\'oF. tal.
~Ia
lo
Diagrama de Z
Fe ,a
,
h
al Variación del esfuerzo de tracción sobre un apoyo Intermedio y notación de la sección
z.j
"Q
Z
Q '
~
3
-"-'-'3
b) Sistema de barras en el ala Iracclonada (ejemplo con tres barras)
Flg . 8.33. Modelo de reUculado correspondiente a la unión del cordón Iracejonado del alma de una vig a-
placa.
Observación: Segun DIN 1045 valen como limites para los valores caracterlslicos Ta los
valores que aparecen en la tabla 8.31, donde, según 8.5.4.3, en la unión de un cordón traccionado sólo se admiten valores Ta <; T02. Una cobertura reducida al corte, en principio no es admi sible; ver también a este respecto la deducción de las ecuaciones de dimensionado de las armaduras de unión .
8.6.2. Vigas de hormigón armado de altura variable
En el caso de vigas con cordones traccionados o comprimidos inclinados, una parte del
esfuerzo de corte es absorbido por las componentes verticales 0\1 o lv, de modo que no es necesario que la armadura de corte se proyecte para absorber la totalidad del esfuerzo de corte.
Ya para la analogla ampliada del retlculado para vigas de cordones paralelos (Sec. 8.4.3) en Flg .
8.26 se demostró para reticulados simples que como consecuencia de la Inclinación del cordón
comprimido. los esfuerzos de tracción en el alma se reduclan.
la Fig. 8.34 muestra el reticulado clásico correspondiente a una viga con cordones incli·
nados, diagonales comprimidas inclinadas a 45 0 , Y los cordones comprimidos y tracbonados
Inclinados con respecto del eje x de rO Y rZ respectivamente. Para simplificar las deducciones
los montantes !raccionados se suponen a 90 0 , es decir, estribos verticales. Mediante un
diagrama de Cremona, es posible, por ejemplo, determinar los esfuerzos en los estribos, te·
niéndose para un estribo en la ubicación i
(8. 61)
Para las componentes horizontales de los esfuerzos en los cordones se tiene
209
z
y
,
M.
Zi'
'. h
COB y
Z •
Z¡
de donde resulta
Mi
" Q - -
(8. 62)
(tan YO + tan YZI
z,
SI se admite en forma aproximada, que los esfuerzos en los estribos pueden siempre referirse a las longitudes aso, i ;;r z¡, se obtiene con ello el esfuerzo relativo de tracción en los
estribos
z'
'l
.• _
Bil,)
+
Q __
1
(tan y
M.
zi
zi
tan y )
D
Z
1
(8.63)
La armadura vertical en el alma con una sección activa de barra Fe, Bü y una separación
de las mismas de eeü, resulta, para 08 = (Js y, en general, para 1,75 veces la carga de servicio
conM¡=Myz¡=z
fe,Bil nec.
=
Fe,Bil
eSO
" :z v• f3
~
[ Q S
(tan YO + tan Yz) ]
Para una viga de cordones paralelos, de acuerdo con
'e.80 nee . =
(B. 64)
Seco 8.5.2, Ec. (8.36) se tiene
v· Q
J:l
:lo.
s
y la comparación muestra que una viga con cordones Inclinados puede dimensionarse para un
esfuerzo de corte supuesto reducido:
zM
Qred=Q-
(tan Yo
+
tan YZ)
(B. 65)
En este caso, y en forma aproximada, puede admitirse que la incl inación del cordón
comprimido es Igual a la del borde superior del mismo; la armadura del cordón traccionado se
ubica siempre paralela al borde inferior del mismo.
E. Morsch 121 y H. Bay /100] llegaron a establecer por airo camino una expresión similar
para red:
a
Q red'" Q _
M
11
tan ep
(8. 65a)
donde tan ~ es la suma de las pendientes de los bordes eXleriores de la viga.
Esta retaclón aparece también en DIN 4224 (cuaderno 220 DAISlb) . Dado que h> z. la
ecuación (8.65) conduce a una pequen a reducción con respecto a la Ec . (8.65), con lo Que Queda
del lado de la seguridad.
El valor caracterlstlco de la tensión de corte es
T
210
o
Q red
b . z
o
(B. 66)
Cuando se apliquen las ecuaciones (8.65) y (8.65 a) debe tenerse en cuenta lo siguiente:
el momento M debe Introducirse como valor absoluto
los ángulos yo, yz y (ji son positivos, cuando M y z (o h) crecen o disminuyen simultánea·
mente con x.
La Flg. 8.35 muestra algunos ejemplos de vigas de altura variable, donde en los casos al
y b) M Y z no aumentan o disminuyen simultáneamente y en consecuencia las tensiones de
tracción en el alma resultan mayores que en el caso de vigas de cordones paralelos (a red> al.
Para vigas continuas con cartetas segun Fig. 8.35 e -en especial para cargas mÓviles
de tránsito- E. Mórsch en (101 , 1), luego de minuciosos ensayos, recomienda tener en cuenta
la influencia variable de M y a a lo largo de la viga, mediante la siguiente aproximación , que
queda del lado de la seguridad:
en la sección 1, al comienzo de la cartela:
a, red
'" Q¡
(8. 67a)
• g+p
en la sección 2, en el extremo de la cartela:
¡
al
+ '2 M 2
red " Q
- -,,,,..g-;--,,--,,,,..,p
(tan YO + tan Yzl
2, g+ P
z
M2
D
L--'--/ ~../...
Z1li.o4 /
/
/ / Z,
/
/
/ / Z3
/
/
/
Zlli,i)//
/'
/ D,
D,
/
Zs..z /
/
/
/ / Z2
(8. 67b)
ZSul/
/
/
/
/
/
a
/ / z,
Diagrama de Cremona
~------------------, a
Li
I
I
I
I
ZOo
Variación de los esfuerzos de tracción en los estribos
Fig. 8.34. Retlculado clásico correspondlenle a una viga con cordones inclinados y delermlnaclón de los
esfuerzos en la misma.
211
¡,
y
al
Ee (8.66) con ro = O Y 1Z
a red =a +
=-,
Mlzlan,
z decreciente
foil creciente
~-----'!M
,---~",.;~~----<!
~
~-
bl
z creciente
En t. lona entre XI y X,
Ee (8.66) con 10 = -1 Y 1Z
a red
M decreciente
~~!'~2______~
=
a + Mlz tan,
a la derecha de x¡: YO
"~
=O
=OY1Z =
... r
o red = a - Miz tan ,
el
Ec (B.66) con ro = + ,Yrl = o
a red
=a
- Miz tan ,
Fig . 8.35. E}emplos correspondientes a vigas de altura variable.
Con el objeto de aclarar el interrogante de si también es posible, en vigas de cordones
Inclinados, un dimensionado con cobertura reducida a' corte, se efectuaron ensayos en Slutlgart [601. Se demostró que el dimensionado al corte, mediante el valor reducido TOO
= O,03PwN
utilizado hasta el presente por precaución , puede realizarse mediante el valor caracterlstico
TO = a red/bol con a red segun Ec. (8.65).
8.6.3. Consideración de los esfuerzos axiles en el dimensionado al corte
8.6.3.1. Flexión compuesta cuando el eje neutro corta a fa sección
En estructuras homogéneas (Estado 1) los esfuerzos axlles que actúan además de los
momentos lIexores y esfuerzos de corte, Influyen en la magnitud y dirección de las tensiones
principales, como se muestra en las Flgs. 8.3 y 8.4 de la Sec. 8.2.1 . En cambio, en las estructu '
ras de hormigón armado que trabajan en Estado 11 los esfuerzos longitudina les influyen muy
poco sobre la capacidad portante al corte, siempre que el eje neutro corte a la sección, es decir, que exista una zona comprimida en el hormigón .
Un esfuerzo axil de compresión origina en vigas flexadas fisuras de corte más horlzonta·
les y correspondientemente diagonales ideales comprimidas menos inclinadas. Ello conduce a
una menor solicitaciÓn de la armadura de corte. Como consecuencia, las diagonales ideales de
hormigón comprimidas resultan más solicitadas, pero ten iendo en cuenta los limites '-03 conservativos, establecidos en la DIN 1045 para establecer el valor caracterlstico '-0_ ello puede ser
despreciado en el cálculo.
212
Si el esfuerzo axil es de tracción, las fisuras de corte tienden a verticalizarse y los es·
fuerzas de tracción en el alma aumentan; sin embargo, ensayos efectuados en Stuttgart [1021
demostraron que la capacidad portante al corte de las vigas dimensionadas según la DIN 1045
no resulta afectada.
De eUo puede deducirse que, tanto en la zona de corte 2 (en que se admite una cobertura
al corte reducida) como en la zona de corte 3 (donde se exige una cobertura total), el dlmen·
sionado de la armadura de corte posee siempre grandes reservas de seguridad.
Por ello, fa DIN 1045 establece perfectamente que la influencia de los esfuerzos axiles
puede despreciarse en el dimensionamiento al corte, siempre que el eje neutro corte a la seco
ción.
8.6.3.2. FlexIón y esfuerzo axil de compresión cuando el eje neutro no corta a la sección
Si la excentricidad e de un esfuerzo normal de compresión es pequena (por ejemplo, si
en la sección rectangular es inferior a 0,15 d hasta 0,30 d, ver Fig. 7.27), en este caso el eje
neutro es exterior a la sección y la totalidad de la misma está solicitada a la compresión. Las
tensiones normales de tracción resultan ser en este caso muy reducidas, de modo que no de·
ben temerse roturas por corte en la forma indicada en Seco 8.4. En tales casos no se justificarla
efectuar un dimensionado al corte.
Por ello la DIN 1045 permite que en estos casos, cuando se utilicen sus especifica·
ciones para verificar la seguridad al corte, y para dimensionar la armadura de corte, puede par·
tirse no del valor caracterlstico corriente TO de la tensión de corte, sino de la máxima tensión
principal de tracción 01. La determinación de los valores de estas tensiones en secciones de
hormigón armado es muy laboriosa, debiéndose por ello partir de los valores correspondientes
a una sección de hormigón simple. En elementos estructurales sujetos a esta forma de solicita·
ción (como por ejemplO columnas) no es necesaria una verificación especial de la armadura
constructiva prevista (por ejemplo tos estribos de la columna considerados como armadura de
corte) cuando 01 < To12 (Tabla 14, DIN 1045). Seria de desear para el proyectista poder estimar
en forma fácil dicho limite . En principio sólo puede admitirse que para vigas rectangulares es
posible aceptar dejar de lado la verificación al corte cuando -Independiente de la excentrici·
dad- y para el eje neutro fuera de la sección,el esfuerzo de corte se mantenga a " 0,20 ·I NI.
8.6.3.3. Flexión con esfuerzo 8xil de tracción cuando el eje neutro es exterior a la sección
Si la excentricidad de un esfuerzo axil de tracción resulta e < Ye1 o e < Ye2, estamos ante
una sección totalmente fisurada (ver Seco 7.2.3.3), y sólo se dispone de los dos tensores forma·
dos por la armadura 'para absorber los esfuerzos de corte. En la práctica ello ocurre en el coro
dón traccionado de vigas de hormigón armado con aberturas en el alma. No se dispone aún de
ensayos de este caso excepcional de solicitación al corte, pero fundamentalmente, la capaci·
dad portante al corte sólo puede alcanzarse por el efecto de enclavamiento originado por la aro
madura longitudinal, para lo cual es necesario un buen estribamiento del hormigón que rodea a
la armadura.
Las normas que da la DIN 1045 no son s.atlslactorias y sólo pueden considerarse como
una Solución de compromiso. Conforme a ello no es necesaria ninguna verificación de la caber·
tura al corte, si la máxima tensión principal de tracción 01 para el estado I (!j, 0lmáx no sobrepa·
sa el valor caracterlstlco T0 12 de la tabla 14de la DIN 1045. En los casos donde 01 > Tot2, la veri·
ficaclón de la cobertura al corte debe calcularse mediante
70
b
o
Q
(h-h')
(8.68)
sin tener en cuenta el esfuerzo axil de tracción.
Más importante que respetar las secciones de los estribos calculadas de esta manera,
es una disposición constructiva racional: reducida separación de estribos y que éstos sean
cerrados envolviendo a las armaduras longitudinales inferior y superior.
Para elevados esfuerzos longitudinales de tracción , debe recurrirse al pretensado.
213
8.6.3.4. Influencia de los esfuerzos axiles en vigas de cordones pretensados
SI se calculan para una viga de hormigón armado de altura variable los esfuerzos relativos de tracción en el alma mediante un reticulado clásico, teniendo en cuenta un esfuerzo axil
N, aplicado a nivel del cordón tracclonado, y Que origina un momento de reducción Me, puede
demostrarse Que el dimensionado según Seco 8.6.2.1 u 8.6.2.3 puede efectuarse para un esfuerzo reducido de corte O red, ver Ec. (8.65)
M
OredsQ-
,e
(tan Y
D
+
tan YZ) - N· tan YZ
(8.69)
La DIN 4224 (Cuaderno 220 DAfStb) c'on tiene una ecuación simplificada
Me
ared = Q-TtanqJ
(8. 69a)
donde se supone el cordón traccionado paralelo al eje x, siendo tan cp la pendiente del borde de
la zona comprimida.
214
9
Dimensionado a la torsión
9.1. Conceptos fundamentales
La torsión "pura" originada exclusivamente por un par torsor MT, es decir, sin que aclúen simultáneamente Q, M Y N, se presenta muy raramente en la práctica. Sin embargo sólo
para dicho caso existen suficientes resultados experimentales como para poder analizar el
comportamiento en el estado 11 con conllanza verdadera. Las normas de cálculo desarrolladas
para lorsl6n pura pueden, sin embargo, utilizarse también en forma aproximada para " soUcitaclones combinadas".
En la lorSi6n,Ia sección se alabea como consecuencia de que los alargamientos especl·
flcos de las distintas fibras difieren entre s!. Supondremos que dicho alabeo no resulta Impedido. Esta torsión libre o no restringida se denomina "torsión de Salnt Venant". La restricción del
alabeo origina tensiones normales adicionales, que en el caso de perfiles con rigidez a la toro
Sión, por tratarse de tensiones Inducidas, pueden reducirse considerablemente debido a la 11·
suraclón en el hormigón, En las estructuras portantes masivas, la restricción al alabeo se pre·
senta comunmente, pero en la mayorla de los casos sólo se la tiene en cuenta mediante arma·
duras constructivas.
El dimensionado de la armadura ala torsión parte nuevamente del concepto básico que
el hormigón no puede estar sometido a tensiones directas de tracción producidas por las caro
gas y que el acero debe absorber la totalidad de los esfuerzos de tracción. Para ello debe partir·
se de la carga portante requerida = v veces la carga de servicio, porque -lo mismo que en el
caso del corte- las tensiones en el acero aumentan considerablemente una vez que aparecen
las fisuras.
La seguridad necesaria a la rotura se verifica de modo tal que para v veces la carga de
servicio
las tensiones en el acero para el estado 11 permanezcan por dobajo del limite de escurrl·
miento.
las tensiones de compresión en el hormigón para el estado 11 no sobrepasen una fracción
de la resistencia a la compresión del mismo. que debe ser baja, porque en los punlales
comprimidos aparecen considerables tensiones secundarias.
Para solicitaciones a la torsión considerables debidas a cargas debe siempre verificar·
se también las deformaciones pars el estado 11, porque para este estado la rigidez a la torsión
se reduce considerablemente con respecto a la correspondiente al estado 1, de modo que la ca·
pacldad de uso debld·ala deformaciones excesivas, puede desaparecer. Si existe dicho peligro,
es posible subsanar fácilmente el Inconveniente mediante el uso del pretensado.
215
Los momentos torsores se originan muy a menudo por restricciones, es decir por Impedimento de la deformación; se habla en este caso de "torsión por restricción". El caso clásico
lo constituye la viga de borde de un esqueleto de hormigón armado (Fig. 9.1), que como consecuencia del empotramiento de la losa sufre torsión, y es Impedida de rotar por la rigidez a la flexión de las columnas.
Considerando que en el estado It la rigidez a la torsión de una viga con armadura rectangular (0° y 90° con respecto al eje de la barra) disminuye de 5 a 8 veces con respecto a la rigidez
a la flexión (ver Seco 9.3.1), estos momentos torsores por restricción resultan considerablemente disminuidos durante la transición al estado de flsuraclón. Tanto es asl que, para el dimensionado de este tipo de vigas pueden despreciarse, pero sin embargo, en el estado 1, ¡es necesario tener en cuenta su influencia sobre las columnas!
En la torsión debida a cargas, los momentos torsores son necesarios para satisfacer las
condiciones de equilibrio; en consecuencia se producirla el colapso de la estructura si falla la
capacidad portante a la torsión.
Estos elementos estructurales (Fig. 9.2) deben dimensionarse para absorber totalmente
los momentos torsores.
En el caso de perfiles poco rlgidos a la torsión, por ejemplo, vigaslesbeltas, el esfuerzo
de alabeo por torsión puede ser importante para la absorción de cargas y en consecuencia es
necesario para el equilibriO. Para perfileslpuede considerarse en forma aproximada mediante
unas flexiones opuestas actuando horizontalmente en ambas alas. Para un análisis riguroso
ver [141}.
9_2. Tensiones principales en vigas homogéneas sujetas a torsión pura (Estado 1)
9.2.1. Torsión de Saint Venant
Primeramente recordaremos en forma resumida conceptos de Resistencia de Materiales derivados de la Teb"a de la Elasticidad, ver a este respecto (103, 104}.
me (losa)
~-
Momento de cálculo
de la losa
MT(viga
Me (COlumna).", /'
/
/'
Momento de empotramiento me de la
losa = mT momento torsor en la viga
de borde (referido a la unidad de longitud) mT = me (losa)
"•TIU
"1 e o " o , d • • mpoIT.mloo,o
~ MT de la viga de borde en la colum·
oa
= momoo'o ""'0' MB. P'" ,. 'o·
'"moa
Fig. 9.1 . ~Jemplo de torsión restringida: viga de borde de un entrepiso.
216
:
P o
Momento torsor
~ MB~
P' Q
Momentollexor
Flg. 9.2. Ejemplo de torsión debido 8 cargas exteriores: voladizo solicitado e)(céntrlcamente.
Observación: el momento torsor debe referirse al centro de corte M, que coincide con el
barlcentro S únicamente en secciones con dos ejes de slmetrla; ver ejemplos en Flg. 9.3.
La torsiÓn pura con alabeo libre origina en las barras un sistema de tensiones prlnclpa·
les Inclinadas de 45° y 135 0 , de tracciÓn en el sentido de giro y compresión en el opuesto (Fig.
9.4). Dichas tensiones principales tienen trayectorias en espiral en torno a la barra y son máxi·
mas en la superficie (ver Fig. 9.5).
Para un sistema de ejes coordenados x·y paralelos y normales al eje de la barra, se obtiene como tensión de torsiÓn sÓlo una tensión de corte
T
(9. 1)
•
T
donde: MT = Momento torsor
WT = Módulo resistente a la torsión
Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa 0)(
principal , es decir
= OY = O,
0y
T
es Igual a la tensión
(9.2)
dirección de 01 :
Q:l "
o
45
La Fig. 9.5 muestra la distribución de TT sobre distintas formas de sección . A través de
la sección TT cambia de signo y en correspondencia con el ele y en los vértices es TT = O.
En la Fig . 9.6 se han recopilada los valores de rr mAx y los momentos de inercia polares
JT para las secciones corrientes.
La ana logIa de la membrana de Prandtl permite visualizar la magnitud de la tensión de
torsión en cualquier punto de la sección y el valor del momento de inercia polar: se recorta en la
tapa de un recipiente h~Hmétlco una abertura congruente con la forma de la sección de la barra,
se la recubre con una membrana, por ejemplo, una pellcula Jabonosa y se somete al recipiente
a una presión p. La pellcula se transforma en una burbuja. El volumen de la misma constituye
una medida del momento polar JT y la pendiente en cada punto la de la tensión de torsión TT. La
escala se determina sometiendo al mismo proceso e Igual presión una secciÓn de la que se ca·
nacen JT y TT (por ejemplo, una secciÓn circular). Puede observarse de Inmediato que las len'
slones son máximas a lo largo de los bordes y que en el centro de la secciÓn, es decir, la cima
de la burbuja, se anulan. También en los vértices exteriores agudos son cero las tensiones,
mientras que en los vértices entrantes alcanzan un valor elevado (Fig. 9.7).
217
I
I
+
-
S= M
:,
M ,., centro de corte
,
1.
=r ,"
1,
S = barlcentro
para secciones de pared delgada:
1,
I
S
'I
I
6t,'h+t2'b
I
--L
L
b
Flg . 9.3. Ubicación del centro de corte M y del barlcenlro S para algunas secciones.
Compresión
Tracción
Flg. 9.4. Trayectorias de tensiones principales de una barra cillndrlca sujeta a lorsl6n pura.
-
t
t
-
-
•
•
\V
-
-
¡
-+-T-_ =
-¡
-
(l-
Flg. 9.5. Distribución de las tensiones de torsión en secciones rectangulares circulares y huecas.
21.
MT
WT
TTm!x =
Sección
~1
"r
-"n dT
d
""
-
d;tOJ
!.f)-f-dm
d"
di'
-"
+-, -,¡..-+
",
-" ,2
" • ,,2'
-t,
p
--t,
-+
0 ,1'1
"r
'"
bTd
2,0
,,O
4P
,4
b' d
8,0
6,0
10,0
~
eL
0,196 0,219 0,263 0,281 ~29' 0, 301 0,311 Q333
P
',33 ',01 3,14
3, 55
3,35
3,26
',20 ',00
Fórmula da 8radt
tI
tI
tr
ir-
'2t:~t
+- 'm-.f..
"
-;;l
'.'
d/'
t d m3
"r
',SI
-r- d _·t
-32
" (d 4 .d;4)
"r
G . b~
"
-+
+,.,¡..
32
,:m'
"
-f-,
d4
n
-" 4
- -2
-+
',:$::
JT
1
Fm : b m · d m
-,¡..
d
-t-
.j
' . Fm2
Sección hueca cualquiera
",
¡, .!L
';
2Fm · t min
4 ' bm ' d m
Sección hueca reclangutar
"r
20
2
m
· dm · tmln
- - - > - •- >
bm ·tl
dm · t2
- 5,32
"r
dT
0,113 d'
- S,'I
:~
0,130 d'
•
dm ' l]
Flg. 9.6. Tensión de torsión TT mb y momento de inercia polar para algunas secciones homogéneas según
la leerla de la elasticidad.
21.
En secciones huecas, cuyo espesor de paredes es pequetlo en relación con las restantes dimensiones de la sección, la burbuja debe extenderse de la linea media de la sección hacia todo el espacio vaclo. La analogla de la membrana de Prandtl es especialmente útil en secciones Irregulares para ubicar rápidamente los puntos de máxima tensión de torsión.
Asl como en la teorla de la elasticidad la ana logia de la membrana sirve para visualizar
las tensiones de torsión, lo mismo ocurre en la teorla de la plasticidad con la ana logIa del montlculo de arena de A. Nada/. Una sección totalmente plastificada posee tensiones de torsión
constanles, asl como el correspondiente montlculo de arena tiene el mismo talud en todos los
bordes (Fig. 9.8). El volumen del montlculo de arena es proporcional al momento de plastifica·
ción total Mr. u.
Para secciones constituidas por rectángulos es poslDle, aproximadamente, sumar los
JT de cada uno de ellos y distribuir el momento torsor MT en proporción a los JT individuales
(Flg. 9.9). Se supone con ello que cada rectángulo parcial gira en torno a su propio centro de
corte; en realidad existe un único eje total de torsión que pasa por el centro de corte de la sección total. En realidad el cálculo de los JT deberla efectuarse en relación al centro de corte M.
Pero como en el cálculo sólo aparecen las relaciones relativas de los JT, en general el error cometido es mlnlmo.
Para secciones cualesquiera irregulares, secciones substitutas constltuidas por elipses
o circulas Inscriptos, conducen a valores utilizables de Tf y JT (Fig. 9.10).
En secciones huecas se utiliza la fórmula de Bredt (ver Flg . 9.6).
2. F
(9.3)
t
m
9_2.2. Observaciones acerca de la torsión con alabeo restringido de la sección
Aparte de las rotaciones de la torsión según Salnt Venant, las deformaciones w de las
fibras de la dirección del eje de la barra se denominan alabeos. La Fig. 9.11 muestra el alabeo
de una barra de sección rectangular, que se ha hecho visible mediante una cuadricula dibujada
en las caras laterales 1105].
En este caso, el plano de la sección se transforma en una superficie curva espacial, dependiendo la magnitud del alabeo de la forma de la sección_ En la Fig. 9.12, para algunas secciones se han representado las lineas de nivel de las superficies alabeadas.
Tangente
Membrana
Corte a-a
PresiÓn Interior
horizontal
tangente G' TT = O
tangente ~ TT max
Flg. 9.7. Analogla de la membrana de L. Prandtl para régimen elastleo.
220
\
)..:,...;//
-
Flg. 9.8. Analogla del monUculo de arena según A. Nadar para régimen pléstlco.
para la parta n se tiene:
l:J. MT,n
"t
l, n
•
•
J T. n
¿
JT,n
",
3·6M T,n
b ,
o do
Fig. 9.10. Secciones substitutas para el cálculo de
secciones Irregulares.
Fig. 9.9". Descomposición en rae,ángulos de un
perfil compuesto .
Flg. 9,1,. Barra prismática solicitada por torsión
(segun Tlmoshenko [105)),
221
'-...... cuadrado
triángulo equllatero
rectángulo bid > 1,45
Flg. 9.12. Alabeo de algunas secciones según E. Chwalla [103].
s
~
"
S
I
anillo
I
M
•
Secciones constituidas por la·
Jas angostas cuyas lineas me·
dias se corlan en un punto.
s
,.
circulo
"
l-
I
"
I ~
I
"
"
I
'-
,-
,-/
"
.
,,
"
t, ,
b
M
V --.
I
- - - ~ -1
,"
~
Secciones huecas para deter·
minadas condiciones geométricas
Flg. 9.13. Ejemplos de secciones sin alabeo (ver otras en [103]).
222
En algunos casos especiales de secciones, el alabeo es w = O, denominándose éstas
"secelones sin alabeo" (ejemplos en Flg. 9.13).
Cuando en secciones que se alabean, el alabeo se impide, por ejemplo mediante un blo·
que macizo en el extremo de la barra; como consecuencia se originan tensiones longitudinales
de tracción y compresión 0x, que hacen que la torsión de la sección y con ello las tensiones tan·
genclales TT, disminuyan.
La dislribución de las tensiones longitudinales por alabeo varia a lo largo de la longitud
de la barra. En los lugares donde se produce el impedimento del alabeo, aparecen las ten·
slones máximas, y a partir de ahl disminuyen mas o menos rápidamente según sea la rigidez a
la torsión y la esbeltez de la barra. En la mayor parte de los casos, la zona perturbada es menor
que la "zona de perturbación de Salnt Venan!", con x" d. En Fig. 9.14 se ha representado la
distribución de las tensiones longitudinales por alabeo para una vIga de sección rectangular.
La restricción del alabeo aparece, entre otras causas, en los apoyos Intermedios de vIgas con·
tinuas, en el punto de aplicación de un momento torsor y en los empotramientos extremos.
El cálculo de la magnitud y dIstribución de las tensiones longitudinales por alabeo, se
efectúa normalmente en base a la taorla matematica de la elasllcldad, pero en hormigón arma·
do estos métodos sólo son válidos para aquellas zonas de las vIgas que se encuentran en esta·
do l. Para vigas en estado 11 no se han propuesto aún métodos satisfactorios de cálculo. En vi·
gas con rigidez a la torsión, las tensiones debidas al Impedimento del alabeo originan fisuras
en el hormigón, y se reducen allrabajar ésle en estado 11, por lo cual en lo que respecta a la seguridad juegan un papel secundario. Se recomienda armar las zonas perturbadas, como en el
caso de tensiones inducidas, con el objeto de prever una reducción del ancho de las fisuras (ver
también [l06D.
9.3. E,fuarzos y tanslonas en elementos estructurales de hormigón armado debidos
a torsión pur. (Est.do 11)
9.3.1 . Ana/ogfa del ret/culado en torsión pura
Ensayos realizados en Slullgart 1107) y Zurich (65) demostraron que, luego de aparecer
las fisuras en espiral a 135 0 originadas por la torsión (Fig. 5.1n, con la armadura usual, cerca
de la superficie de la sección total contin uaba colaborando una delgada lámina de hormigón.
Ello fue comprobado, entre airas hechos, por la circunstancia que la barra de sección cuadra·
da llena, trabajando en estado 11 conduce al mismo diagrama de deformación y a las mismas
tensiones en el acero que la sección hueca (suponiendo Iguales armaduras, Fig. 9.15).
Otra comprobación se deduce del hecho que rectángulos de igual sección con
b . d = Cte pero distlntos d y b, para el estado 11 poseen la misma rigidez e Igual capacidad por·
tante a la torsiÓn (Fig. 9.16) aun cuando la relación d/b varle de 1 a 6, lo cual , según Fig . 9.6 para
I
~I
I
¡I
I
~
~l
-W-
Sistema estátIco
DIstribucIón de Iss tensiones
longitudinales por alabeo
Flg. g.1 4. Distribución de las tensiones longitudinales por alabeo para una viga de sección rectangular.
223
el estado I conducirla a grandes diferencias en lo que respecta a JT y TT. Dicho diagrama
muestra también la notable reducción de la rigidez a la torsión para el estado 11, en el caso de
una armadura según Flg. 5.18.
Estos resultados experimentales muestran que para secciones llenas es posible calcular las tensiones con suficiente aproximación tomando como modelo una sección hueca; la
Flg . 9.17, segun W. Fuchsstelner {lOS], muestra los esfuerzos que se originan en este caso. Las
tensiones reales en el acero se obtienen cuando se hace pasar el contorno medio de la sección
My [Mpm]
"
,.- -?
12
.-- .- .
~T
:0,91
0'0
10
• f //1
V
6
4
(la misma armadura)
2
ángulo especifico de t()(slón
,
O
O
2
L
•
[1 ·10 · 2 J
Flg. 9.15. Torsión especifica de vigas de secciones llenas y huecas.
FiGTTl
de
dl b = 1
....... d/b:2
.0
<
'º§•
60
~
•
•
• 40
di b '6
•"•
J.-.
N
~
C.
ii
f&%B' :!0&:J
~
=$
20
O
l-----1-.::.==~~=--~
O
2
MT
3 [Mpm]
Flg.9.16. Rigideces a la torsión de distintas secciones rectangulares de igual area para los estados I y 11.
224
Flg. 9.17. Modelo de una sección llena IIsurada en torsión pura según W. Fuchssteiner [lOS}.
por el centro de las barras longitudinales ubicadas en los vértices. En lo que respecta a la intensidad de las tensiones en el acero y con ello en el dimensionado de la armadura de torsión,
el espesor tr de la pared de tubo hueco supuesto no tiene ninguna influencia y sólo se necesita
para el cálculo de las tensiones de compresión en el hormigón o del valor caracterlstico de la
tensión tangencial de torsión (ver Seco 9.3.3). Los valores limites de los espesores Ir de pared a
considerar figuran en Seco 9.3.3.
Al proyectar la armadura de torsión debe tenerse en cuenta que las paredes del tubo
hueco de pared delgada considerado para el cálculo se suponen constituidas por reticulados,
sea por una sucesión de reticulados múltiples o por reticulados cruzados, análogamente al caso
de los reticulados supuestos para las almas de vigas solicitadas al corte (Fig. 8.5). Las diagonales comprimidas de hormigón tienen un desarrollo hellcoidal en torno al tubo hueco con una
Inclinación de 135° con respecto al eje de la pieza. Análogamente que en el caso de corte, en la
torsión los reticulados tubulares se consideran como resultado de la superposición de reticula·
dos tubulares simples, de modo que el cálculo de los esfuerzos y tensiones se realiza en reliculados simples; ver al respecto las figuras 9.18 y 9.19 según sea la dirección de la armadura.
Los esfuerzos de tracción del reticulado son totalmente absorbidos por la armadura, por
lo que no es posible una reducción Isimilar al caso del corte, porque estos reticulados no pose·
en ni cordones . comprimidos inclinados ni diagonales comprimidas de Inclinación menor de
45°.
9.3.2. Esfuerzos y tensiones en reticulados espaciales tubulBres
9.3.2.1 . Reticulados espaciales tubulares con barras tracclonadas a 45 °
Para el reticulado tubular de Fig. 9.18, el equilibrio en el nudo A se satisface cuando
Del equilibrio de las fuerzas interiores y exteriores en el carie 1-1 resulta:
(9. 4)
con lo cual:
Z:: D
225
Par. pasar al retfculado multlple se requiere conocer los esfuerzos relativos referidos a
la unidad de longitud aZ
2 bm . sen 45 0
bm V2 ao=
=
=
=
D' " _z
a
0-o
a
Z
o
z' ..
o
(9. 5)
Con ellas es posible calcular las tensiones que ocurren en rellculados cruzados. Si para
una secciÓn rectangular se reemplaza b:n por el área media Fm de la secciÓn hueca, se tiene
para
la tensión en el acero:
-
e
F
•. ..¡2
(9.6)
e,.
donde
F
e
-
• secciÓn de la espiral
e, •
• separaciÓn de las barras en la direcciÓn
(eje de la pieza)
•
x
la tensIón en el hormigón:
a
con tr
b
o -
O'
t
(9. 7)
o
2· F
T
m
. t
T
= espesor de la pared del tubo hueco supuesto; para valores limites de tr ver Seco 9.3.3.
9.3.2.2. Reticulado espacial con barras longitudinales y estribos transverseles
Del equilibrio del nudo B del reticulado espacial de Flg. 9.19 (comparar con la armadura
de Flg. 5.18) se tiene con D450 = D:
0
-
o
12
y del equilibrio en la sección vertical 11·11 resulta
o
4,-
V2
asl como también
40
0_'
226
b
m
-2-
o
(9,8)
Empotramiento en
la cara extrema
Esfuerzos caracteristlcos en la sección H
I
Esfuerzos en las barras
que concurren al nudo A
0,,_
.......-'/.I.
0,,_ /
Las barras de corOón no
I
absorben esfuerzos
b ..
Cara e)(trema donde
actoa MT
---"."""",
===
Barras traccionadas
Diagonales ideales
comprimidas
Flg. 9.18. Retlculado para torsión pura, con armadura de lorsión a 45 0 (sección cuadrada hueca y desarrollo simple del reliculadc).
Con ello los esfuerzos resultan ser
D "
y
D
" -{2 "
Para los esfuerzos referidos a la correspondiente unidad de longitud se obtiene:
D
•
D
a
D
ZBü
MT
"
Tm
MT
- "- Z~tl " 2
aBü
2b
(9. 9)
(9. 10)
m
227
-,-m .
U
-cona
L
-
b
z'L
m
•
(9.11)
Para un retlculado compuesto, resultan con ello, para una sección rectangular con Fm
en lugar de b:n:
-
las tensiones en el acero
e Ba
F
z'L
u
EF e, L
u
m
•
Esfuerzos caracterlstlcos en la sección 11·11
(9. 12)
e. BU
m
EF
(9.13)
e,L
Empotramiento en la cara extrema
D
Esfuerzos en las barras
que concurren ar nudO B
r
'm
Cara extrema en
que actúa MT
----
Barras traccionadas
==~,~'C'O
Diagonales Ideales
comprimidas
==a:IlC;;:¡o
Frg. 9.19. Retrculado para torsión pura en el caso de armadura de torsión paralela y ortogonal al eje de la
pieza (sección tubular cuadrada, retlculado simple).
228
-
la tensiÓn en el hormigón
F
m
. t
(9, 14)
T
Para las armaduras ortogonales corrientes constituidas por barras longitudinales y
estribos perpendiculares la tensión de compresión en el hormigón según Ec. (9.14), en las
diagonales a 45°, resultan ser por el efecto de retlculado de un valor doble que en el caso de armaduras a 45° según Ec. (9.7). (Ver proporciones análogas en las tensiones de corte, Seco 8.3.2).
En realidad, ras tensiones localizadas en el hormigón resultan ser aún mayores (ver 9.4.3). Por
ello es necesario por precaución, reducir suficientemente las tensiones en el hormigón.
Para el establecimiento de las condiciones de equilibrio importa poco el que, por
ejemplo, las barras longitudinales estén ubicadas en los cuatro vértices o en.el centro de los lados.
Para asegurar la transferencia de los esfuerzos en las diagonales Ideales comprimidas,
debe sin embargo disponerse (aun en el caso de armadura a 45°) una armadura en los vértices
(ver Seco 9.4.4). Para secciones de grandes dimensiones, y desde el punto de vista de limitación
de fisuras, es necesario repartir la armadura longitudinal a lo largo del perfmetro de la secciÓn.
9.3.3. Valor caracterlstlco de la tensión tangencial de torsión para el estado 11
El valor caracterlstlco de la tensiÓn tangencial por torsiÓn se determina para la secciÓn
tubular hueca medIante la fórmula de Bredt:
v' M
T
(9.15)
en la que, con la notaciÓn de Fig. 9.20, para un espesor tT de pared valen los limites siguientes:
tT '" ~
tT '"
donde b es el lado menor del rectángulo, o
~
donde bm es la separación entre los ejes de las barras de los vértices correspondlent~s al lado menor de la sección, resultando con ello definido d m.
Para una sección rectangular, la Fig. 9.20 muestra las distintas poSibilidades de elec·
ción de la secciÓn hueca sustituta:
b
para
..
;: <
b
para
m
b
6
b
> 6
IFlg. 9.20 b)'
(Fig. 9.20 c):
F
m
b
d
(9. 16)
m m
b
b
5
b
F m "(b-6') (d-6') z sb(d- )
S
19. 17)
SI resulta determinante el criterio tT = bl6, es decir cuando tas barras de esquina están
ubicadas cercanas al borde (Fig. 9.20 cl, corresponde elegir la sección tubular sustituta, según
[24J, de modo tal que sus lados exteriores coincidan con el perfmetro de la sección dada.
Observación: antes, de acuerdo con E. Aausch (1091 en la fÓrmula (9.15) se consideraba
a Fm como la superficie encerrada por el eje del estribo. Esta hipótesis resulta sin embargo Insegura, porque con elta Fm resulta demasiado grande y .en consecuencia T~ demasiado reducida.
En el caso de secciones constituidas por rectAngulos, para la determinaciÓn del área de
la seoclOn hueca se procede como indica la sección 9.21.
Para secciones irregulares, la sección hueca ficticia se forma de acuerdo a lo indicado
en Fig. 9.22, donde d o en su caso d m corresponden al máximo circulo inscripto.
229
•
fF
Detalle A
t,
• 'm
II
/ =
....
dm
.,f.-,," -,¡..
t,·t
d
a) esquemas básicos
T•
1
d
Fm-t b1d
b) barras de esquIna ubicadas
profundamente
-+¡
•L
el barras de esquina ubicadas
cerca del borde
Flg. 9.20. Secciones huecas sus titutas para torsión en seccIones rectangulares en el estado 11 , y distintas
ubicaciones de las barras de esquinas.
I
.~
r,2·
5
t r ,l
d
="6
'tT ,n
=
MJ
Flg. 9.21. Sección hueca sustituta para torsión de
una sección larmada por rectángulos.
230
.-,dm
Flg. 9.22. Sección hueca sustituta para lorslón de
una sección ¡rregular.
•
_
•
d
l.,j<--~- - d m
'm
resp. __
.,¡.' - - - - - d- - -- --,/'-
s
al sección hueca de pared gruesa t i > IT
b) sección hueca de pared delgada Ir < IT
Fig. 9.23. Determinación de las secciones sustitutas en el caso de secciones tubulares huecas.
d
1-
se tiene en cuanta al
aplicar la fórmula de Brad!
Flg. 9.24. Sección sustituta para el calculo de una sección tiples en cajón para puentes.
En el caso de secciones realmente huecas debe tomarse como valor de Ir el verdadero
valor t del espesor de la pared. Pero sin embargo, Si se tiene realmente I > bl66 bm15, en este
caso se considera, como para la sección llena, una secciÓn hueca sustltuta.
La ubicación del contorno medio de la sección hueca sustituta, depende de la ubicación
de la armadura de torsión (ver Flg. 9.23 a y b). Para la sección en cajó n hueco, tlplea de un puenle Que mueslra la Fig. 9.241as parles do losa en voladizo prácticamente no contribuyen en la reslstoncla a la torsl6n y no se tienen en cuenta.
231
9.4. Comportamiento de estructuras de horm igón armado para torsión pura
9.4.1. Ensayos clásicos,ala torsión de E. Mórsch efectuados en los afias 1904 y 1921
La rotu ra por torsi6n en cilindros huecos sin armadura (Fig. 9.25) confirma existencia de
tensiones principales de tracci6n a 45° y su trayectoria helicoldal.
Morsch, medi ante la serie de ensayos representados en Fig. 9.26, constat6 que una aro
madura dispuesta en una sola direccl6n a 0° 6 90° (s610 armaduras,longitudinales o transversales) no podla aumentarse la capacidad de carga a la torsi6n. En cambio, las armaduras helicoidales dispuestas según las trayectorias de las tensiones principales de tracción en una única dirección a 45°,conduclan a los mejores resultados, siendo la carga de rotura considerablemente mayor que la correspondiente al caso de armaduras en dos direcciones, a 0° y 90°. Es·
tos resultados recién fueron confirmados y ampliados en los anos posteriores a 1966 mediante
nuevos ensayos.
9.4.2. Rotura a la tracciÓn por torsiÓn (agotamiento de /a armadura)
El peligro de una rotura brusca, sin an uncio previo, al producirse la primera fisura, eldste también en las solicitaciones por torsión. Por el lo es necesario disponer una armadura mlnlma, capaz de absorber los esfuerzos de tracción transmitidos por el hormigón a la armadura y
que evite una rotura instantánea.
Si la armadura se dimensiona para TT, el acero romperá primero siempre que TT no sea
tan elevada como para que los elementos oblicuos comprimidos de hormigón sufran aplastamiento (ver Seco 9.4.3).
En el caso de armaduras constituidas por estribos y barras longitudinales, las seco
ciones fe en ambas direcciones deben ser iguales (fe, l Y fe, BU); si son distintas, la menor de
ambas es determinante en la rotura. Dentro de determinados limites, las diferencias entre fe, l
Y fe BO' permiten transferencias de esfuerzos por cuanto la dirección de los elementos comprimidos se modifica [65].
Las tensiones en el acero alcanzaron tos valores calculados para cargas repetidas en la
analogla de la sección tubular en estado 11. En la primera carga el incremento de la tensión en
el acero al sobrepasarse la carga de fisuración no fue, como en el caso de las tensiones tangenciales por corte, más o menos paralelo al diagrama 0e
TIlA, sino mucho más acentuada
(Fig. 9.27). En el caso de la torsión no es posible considerar ninguna reducción de las tensiones
de corte en el alma, porque en el reliculado supuesto no es posible considerar la existencia de
un cordón comprimido Inclinado. La reducción corriente en los EE.UU. para el dimensionado a
la torsión es inadmisible por esta razón.
Es natural que las armaduras deben estar perfectamente ancladas.
=
9.4. 3. Rotura a la compresión por torsiÓn (aplastamiento de los puntales comprimidos del hormigón)
La solici tación del hormigón depende en primer término de la dirección de la armadura;
además, adicionalmente aparecen tensiones elevadas secundarias .
Para armaduras a 0° y 90° se han observado en el centro de las superficies exteriores de
Fig. 9.25. Cilindro hueco de homllgón simple luego de su rotura por torsión (Morsch, 1904).
232
,>
,
¡,'"
'>'V'-,"-,'
~ --- # . . . ...
Serie 2
Serie 3
Serle4
Serie 5
Serie 6
Resultados experimentales (promedios de 3 ensayos)
Momento de fisuración [Mpm
2,33
2,33
2,50
Momento de rotura [Mpm
2,33
2,38
2,50
1
2,47
2,70
1
3,78
> 7,00
+
+ la maquina de ensayo no tenra potencia para alcanzar la rotura
Flg. 9.26. Ensayos a la torsión de E. MOrsch (1921) en cilindros con distintas armaduras (fJw = 150 kplcm').
las partes comprimidas, acortamientos (b del hormigón a 135 0 , que corresponden a tensiones
0b
4 TT a 6 TT, es decir mucho mayores que las de esperar en la analogla del reticulado (ver
Sec. 9.3.2). Thürlimann y Lampert (Zurich) encontraron que la justificación res id la en el considerable alabeo de las superficies laterales (Flg. 9.28), por lo cual las partes comprimidas lo eran
con gran excentricidad y por ello el colapso ocurrla mucho antes que para el caso de corte.
En consecuencia, en la torsión el limite superior de TT debe reducirse con respecto al ca·
so de corte.
Con armadura a 45 0 , el alabeo es menor Y 0b mAx un 40 % más reducido, pero, sin em·
bargo, y a este respecto, sólo existen actualmente pocos ensayos, por ejemplo ¡tl0).
=
233
G'. ,Bu
' OOO~----------'-----'-----r-7?-'
GJ
----- ->--Si mb
4000
f 6, Q :S cm
JOOO
-1-----+ ----+-
2000
-1--------+----
1000
o
2
3
4
Flg. 9.27. Varlacl6n de las tensiones en los estribos en vigas rectangulares, con armadura perpendicular
en torsión pura.
"
Tensiones secundarias de
flexión t través de un corte de la
zona comprimida Os
-"'0-"""
'1
i,
tracción
z
Superficie de
dOble curvalura
Flg. 9.28. Deformaciones de una viga de hormigón armado en torsión [65J.
234
empottemlento 8 torsión
u
vértice Que rompe
u
estribo
Flg. 9.29. Desvlo de los elementos comprimidos en las aristas.
9.4.4. Roturas en las aristas
A lo largo de las aristas de las vigas rectangulares, los esfuerzos de compresión de las
zonas comprimidas oblicuas deben variar de dirección en las esquinas, por lo que se originan
esfuerzos de desvlo U (Fig. 9.29), que sólo pueden ser absorbidos por la resistencia a la Irac·
clón del hormigón hasta un determinado valor de TT. Si TT resulta elevado, rompen los vértices,
salvo que estribos poco separados o barras de esquina rlgldas absorban los esfuerzos de des·
vIo. Ensayos realizados con estribos de distintas s'eparaciones demostraron que para el caso
de TT elevados, este tipo de rotura sólo puede evitarse si se adopta una separación de estribos
" 10 cm (111). El limite de ry, por sobre el cual se exigen estribos muy junIos o barras de es·
quina de gran diámetro, puede fijarse normalmente para \1 veces la carga de servicio, en el valor
04 13 N
.,11
T .. 0.
w,
9.4.5. Rotura en los anclajes
En este tipo de rotura, la armadura cede en los anclajes , es decir que los estribos
pueden "resbalar" y las barras longitudinales pueden deslizarse en las zonas de absorción del
flujo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión.
9.5. Dimensionado de estructuras de hormigón armado sujetas a torsión pura
9.5.1. Planteo del dimensionado a torsiÓn pura
9.5.1.1. Cuantfas de armadura a fa torsiÓn y tensiones
Las cuan l/as de armadura lIT correspondientes constituidas por barras longitudinales y
estribos o hélices a 45° se definen como se expresa a continuación:
para barras longitudinales:
~T.L •
EFe, L
Suma de las barras longitudinales
19. 18)
Ir perlmelro del eje medio de la pared
235
-
para estribos verticales:
.
"
e, BU
Fe de un estribo
,----,
· e
T, BU
t
BU
T
(9. 19)
tr' separación de los estribos
para armadura en espiral a (1 = 45°:
F
t
IlT , s '" t T . e s . "o<
.,¡2
e,s
T
.,
(9.20)
s
con es = separación entre barras en espiral en dirección x; las barras longitudinales sólo son
constructivas, en especial en las esquinas.
Con la cuantia ¡.tT de armadura y el valor caracterlstico de la tensión tangencial de torsión T~ se obtienen las siguientes fórmulas fáciles de recordar para las tensiones en el reticulado espacial:
-
lensión en el acero
1I
a
1I
TT
e
".,,--'--IJ T , L
resp.
a
IJT,BU
,
TT
(9. 21)
IJ T, El
tensión en el hormigón
para espiral a 45°: a
b
(9.22)
::
para armadura longitudinal y estribos: a
b ::
.,..i,I
2
(9.23)
9.5.1.2. Armadura mlnlma para torsión pura
La armadura constituida por estribos segun Seco 8.5.3.4 (armadura mlnima de corte) y la
correspondiente armadura longitudinal, evitan una rotura de tracción por torsión sin aviso previo (necesaria únicamente en torsión originada por cargas).
"/0 para B St 22/34
0,25
IlT,L min
IJT, BU min "
0,14 %para B St 42/50
9.5.1.3. Dimensionado de la armadura
La seguridad \1 = 1,75 necesaria,exlste cuando para \1 veces la carga de servicio = caro
ga portante necesaria,se llene 0e" fls·
Para una armadura de torsión constituida por barras longitudinales y estribos normales
por inversión de las Ec. (9.12) y (9.13) se obtienen las ecuaciones de dimensionado
f e, eo nec ,.
236
_F
-:'''-'",Bü" ,
e
BO
'e,L nec ::
EF
u
e,
m
L
'"
1,75 MT
2· F
(9 . 24)
m
o también mediante el valor caracterlstlco T~ segun Ec. (9.15)
fe, Sil nec = fe, L nec •
t
T
•
u......
r,
tT
(9.25)
con una cuantla de armadura según Ec. (9.21)
(9.26)
En lo que antecede, la notación utilizada es la siguiente:
Fe, Sil
eBO
1 Fe, L
um
MT
Fm
= sección de un estribo.
= separación de los estribos en dirección x.
= Suma de las secciones de las barras longitudinales.
= pertmetro medido sobre la linea media de la sección hueca supuesta.
= Momento torsor debido a la carga de servicio.
= Superficie encerrada por las lineas de unión de los centros de las barras longitu·
dlnales de los vértices.
= limite de escurrimiento del acero para hormigón. No es posible utilizar Indiscriminadamente valores superiores a 4200 kplcml debido a las presiones dedesvlo
en los Angulas de los estribos y por los anclajes.
Para b Y d '" 50 cm la armadura longitudinal puede concentrarse en los vértices de la
sección. La separación entre barras longitudinales puede ser mayor, sin Inconvenientes,que la
de los estribos (hasta un máximo de 30 cm) (ver 9.4.4).
Una armadura halicolds/s 45° sólo se justifica para el caso de elevados valores de T II en
secciones huecas de grandes dimensiones, con el objeto de mantener reducidas tanto las Ten·
slones 0b como las deformaciones en las partes comprimidas.
Si los MT aclUan en un solo sentido, es suficiente que el conjunto de la armadura tenga
una única dirección (icomplementada con una armadura longitudinal en los vértices!); si se
tiene ± MT, Fe debe colocarse a 45° y 135°.
Con la notación dada se tiene de la Ec. (9.6)
F
'e, s nec
0
_,8
__ "
(9.27)
•
~s
8
=
donde es
separación entre armaduras a 45° con respecto al eje de la pieza.
Con el valor caracterlstlco T~ según Ec. (9.15) resulta
fe,s nec ..
con la cuanUa de armadura
I-LT ..
fi'
~S
tT
"
(9.28)
de (9.26).
237
9.5.1.4. LImite superior de la solicitación por torsión
Análogamente al resbalamiento debido al esfuerzo de corte, el limite superior queda determinado por la capacidad portante de las diagonales Ideales comprimidas. Dicho limite, te·
niendo en cuenta las elevadas tensiones secundarlas de flexión por alabeo (ver Fig. 9.28) debe
mantenerse reducido.
Con el valor caracterlstlco de la tensión tangencial de torsión T~, según las Ec. (9.14) 6
(9.7) se tiene para la tensión en el hormigón:
para armadura longitudinal y estribos normales
(9.23)
para armadura a 45°:
a
b
(9.22)
•
Para el valor de T~, calculado con la Ec . (9.15) en la sección tubular suslituta según Seco
9.3.3 y con 1,75 veces la carga de servicio, es posible sobre la base de los resultados experi·
menlales disponibles, establecer los siguientes limites superiores:
II
'T m3.ll: "
1
"6
II max = 1
'T
3
. O, 7
~
w. N
0.7 ~w.N
para armadura de torsión constituida por barras
longitudinales y est ribos normales.
para armadura de torsión inclinada a 45°.
Dichos valores sólo pueden utilizarse para separaciones de estribos reducidas e" '" 10
cm (ver Seco 9.4.4).
9.5.2. Dimensionado segun OIN 1045 para torsión pura
La determinación de las secciones de armadura se basa en las ecuaciones deducidas
en las Seco 9.3.2 y 9.5.1; sin embargo,en lugar de la carga portante necesaria y del limite de escurrimiento del acero, se parte de la tensión tangencial debida a la torsión TT en el estado I en
la sección considerada para carga de servicio y de las tensiones admisibles. La ana logia de la
sección tubular hueca no ha sido aún desarrollada. Se tiene asl:
I-IT nec
=
I
'T
0e adm
(9.29)
donde 0e adm no debe superar el valor 2400 kp/cm l . Todas las restantes consideraciones como
en la Seco 9.5.1.3.
Ellfmite superior de la solicitación por torsión se establece limitando la tensiÓn tangen·
cial de torsIÓn TT, determinada mediante la teorla matemática de la elasticidad para carga de
servicio, a los valores TO,2 de la tabla 14, de la DIN 1045.
9.6. Dimensionado an el caso da torsión combinada con esfuerzos de corte y/o mo·
mentos flexores
9.6.1 . Modelos de rotura y resultados experimentales
Para determinados limites de la combinaciÓn de Mr, a y M, existen suficientes resulta·
dos experimentales (en general casi únicamente para secciones rectangulares), como para
238
poder deducir modelos correspondientes al estado de rotura. Como aciaraciÓn damos a contInuaciÓn algunos eJemplos; en lo que sigue nos referiremos a la blbllogratla especializada (113,
1141 además de otras citas bibliográficas.
Si predomina la flexiÓn, la zona comprimida de la misma permanece libre de fisuras
(Fíg. 9.3O).
Para torsión de valor considerable, reducido momento flexor M y gran esfuerzo de corte
a puede suceder que sÓlo quede sin IIsurar aquella cara donde las tensiones tangenciales por
corte y torsión sean de distinto signo (Fig. 9 .31), es decir en la cara donde las zonas comprimidas correspondientes a la ana logia del retlculado para corte tienen dirección opuesta a los de
las zonas comprimidas del rellculado espacial del caso de torsión.
En las superficies de rotura que muestran las Flgs. 9.30 y 9.31, se supone una fisura con·
tinua en espiral en tres caras, de pendiente constante y una zona comprimida en la cuarta. los
esfuerzos de tracción en las armaduras que aparecen a lo largo de las fisuras, pueden deducir·
se de tas condiciones de equilibrio, si se admite como Simplificación, que en todas las barras
se alcanza slmultaneamente el limite de escurrimiento (lo que en realidad no siempre ocurre).
P. lambert ha investigado en detalle la combinaciÓn momento flexor + torsiÓn (651. Su·
pone, para el caso en que predomine la torsiÓn, un modelo de retlculado espacial hueco en ca·
Jón, en el que los elementos comprimidos varian su Inclinación de cara a cara. El ángulo de
Inclinación con respecto al eje de la pieza es, en general, distinto de 45°; supone con ello Que
en las caras determinantes de ta rotura, tanto las barras longitudinales como los estribos,
alcancen el limite de escurrimiento.
El dimensionado sobre la base de un modelo de rotura de este tipo es relativamenle
complicado. Por ello es comun proponer como base para el cé.lculo diagramas de Interacción
deducidos de resultados experimentales. Dichos diagramas no tienen aun una aceptación general, por cuanto el cálculo y disposición de la armadura en los ensayos ha sido en muchos casos deficiente, hecho éste que influye considerablemente en los resultados. Ensayos cuidadosos mostraron cómo, en el caso de torsión con flexlón,los esfuerzos caracterlstlcos posibles
de absorber (en la rotura) dependlan de la disposición de la armadura longitudinal (Flg . 9.32,
165]).
Flg. 9.30. Modelo seglÁ'l N. N. Lesslg para M relativamente grande ¡1 131.
-, - +-I·,Hi¡
Flg. 9.31 . Modeto MgIÁ'l N. N. Lesslg para a relativamente grande ¡1 13J.
239
.
.,/
1.0
.---,
.
O~
.
1'"
-....., ~ ~
" M~
~
O.'
~
0.4
\
"
~
O)
~
O
O
0.2
Q4
O.'
e
e
1,0
Mulo!
"'12
;8.Q~l1cm
10,12
"12,0:11("1
16'12
111 12,0;l1c"1
armadura
longitudinal
transversal
Flg. 9.32. Relación momento torsor-momento fla)(or para el estado de rotura par. distintas disposiciones
de 'a armadura (segun (65D.
la influencia de la acción simultánea de un esfuerzo axi! de compresión o Iracclón
sobre la capacidad portante a la torsión no ha sido aún investigada en forma satisfactoria. En
el caso de un esfuerzo axll de compresión (por ejemplo debido a un pretensadoj, resultan
influidos "favorablemen!e": el momento de !isuración, la inclinación de las fisuras y, dentro de
ciertos limites, la rigidez, pero no asl en cambio (o s610 en forma Insignificante) el momento de rolura por 10rsiÓn.
9.6.2. Calculo simplificado en el caso de torsión combinada con otras solicitaciones
Los resultados experimentales disponibles a la fecha permiten efectuar el siguiente
cálculo simplificado: la sección Fe nec se calcula en forma Independiente para torsión pura y
para a ó M + N Y luego se suman los valores obtenidos. Con ello se obtiene un determinado
" exceso" de seguridad, por ejemplo, armadura longitudinal traccionada (torsión) en la zona
comprimida (lIexión).
La seguridad contra el colapso de las zonas comprimidas se obtiene limitar.do la suma
de las tensiones tangenciales debidas al corte y a la torsión . Debido al alabeo de las caras late·
rales (ver Flg. 9.28) por causa de la torslón,dicho limite debe ser Inferior al correspondiente al
caso en que solo actúa un esfuerzo de corte.
9.6.2.1. Armadura mfnima
La armadura mlnima lIT, Bú tiene los mismos valores dados en Sec:o9.5.1.2, aun c uando
actúen simultáneamente torsión y corte. la armadura longitudinal mlnima ¡.tT, L min, debe
corresponder a la armadura mlnlma de flexión; para torsión + lIexlón lá misma satisface en
general sin barras adicionales.
9.6.2.2. Dimensionado de las armaduras
las armaduras (longitudinal y transversal) se determinan Independientemente para cada uno de los esfuerzos caracterlstlcos M + N, a y MT, Y luego se superponen los valores con·
slderando que el estado de carga que corresponde a a max no se corresponde al que conduce
a MT máx M máx, por ello no deben sumarse los Fe correspondientes a los máximos valores,
°
240
sino solamente los valores de Fe correspondientes a los esfuerzos caracterlstlcos resultantes
de los mismos estados de carga. Asl se deben sumar
Fe, BO para MT máx con Fe, Bü del correspondiente a
o Fa, L del (M + N) determinante con el Fe,L para la tracción debida a MT
Fe, Bü para a mAx con Fe, 80 para el correspondiente MT
Al dimensionar los estribos, en ciertos casos, puede aplicarse para la parte que corres·
ponde a la tensión tangencial por corte,la reducción de la cobertura segun Sec. 8.5.3 ó resp.
8.5.4, pero sin embargo, MT debe considerarse siempre con todo su valor.
9.6.2.3. LImite superior para ho
+ TT)
La solicitación de las zonas comprimidas del hormigón cuapdo actuan slmultá.neamen·
te un esfuerzo de corte y un par torsor, no ha sido aún investigada experimentalmente en forma
slstemá.tlca.
Los limites propuestos actualmente aparecen en Flg. 9.33.
Teniendo en cuenta que de acuerdo con DIN 1045 (ver Seco 9.6.3) la suma TT + TO no de·
be sobrepasar el valor 1,3 · To2, es decir que con To2 = 0,B'T03 (ver tabla de Fig . 8.31) el valor
0,78· To3. la parte utilizable de Tf para absorber a, iresulta muy disminuida aun para una toro
slón (por carga) muy peque"'a! Para valores TT
TT adm = To2 resulta TO" 0,18 To3' Recién pa·
ra valores de TO mayores, se hace notar la influencia reciproca de MT y O.
La recta que corresponde a las recomendaciones del CEB-FIP 124}. significa. en campa·
ración a lo establecido en DIN 1045. una limitación más estricta cuando predomina la torsión y
una reglamentación amplia cuando la proporción del esfuerzo de corte es mayor.
En el dimensionado práctico, ambos procedimientos se diferencian además en que fos
valores de TO Y TT se definen y limitan diferentemente.
=
9.'.3. Dimensionado para torsión
~
corte según O/N 1045
La determinación de los va/ores caracterfslfcos TO Y T.r se efectoa por separado para el
esfuerzo de corte (Sec. 8.5.4.2) y para torsión pura (Sec. 9.5.2) .
'T (kplcm 2 1
lTllrlOI
','
\
\
,,O
"
OIN 1045 119721
I
I
I
Bo 250
I
I
I
I
I
'o,
O
O
0,18
0,78
\0
lo I t o
I
I
O t-~------~~-7.~~
~4
2l,4
lO kplcm 2 ]
Fig. 9.33. Umltfls para". y to asl como también 1: ho + T'f) en corte y torsión (el lndiCI10 ) representa el valor
limite cuando .ctúan independlentemenle a 6 Mr).
241
Como limite superior de
TO
'J
rr
valen las condiciones (ver Sec. 9.6.2.3):
7'0"7'03
·7'T ;!;7'o2
1:(7'0
+ 7'T)
~ 1,3· 7'02
(9.30)
La armadura de corle necesaria debe determinarse por separado pare TO 'J rr. en el caso
que I (To + rr) > To12' SI se tiene TO < To12, en ese caso la armadura calcul ada en base a TO
puede reemplazarse por la armadura mlnlma segun DIN 1045, Sec. 18.5.3.1. los valores de las
armaduras calculadas para cada caso deben sumarse.
.
Si I (TO + rr) " To12, no es necesario proceder al cálculo de verificación de la armadura;
só lo corresponde prever una armadura conslructiva, lenlendo en cuenta las normas relativas a
armaduras mlnlmas.
-
242
10
Dimensionado de elementos comprimidos
de honnig6n armado
10.1. Sobre la .,tabllldad de 101 elementos comprimidos
10.1.1. Inffuencla de fas deformaciones, teorls de 11 orden
En los elementos estructurales de hormigón armado solicitados únicamente a la flexiÓn
es corriente y en general admisible, calcular los esfuerzos caracterlstlcos en el sistema no deformado, es decir, de acuerdo con la reorla de I orden (Fig. 10.1). las bases (lineales) de la leorla
de I orden deben, sin embargo, dejarse de lado, cuando las deformaciones tienen una sensible
influencia sobre los esfuerzos caracterfstlcos y con elto reducen la capacidad portante de un
elemento estructural. En una columna cargada excéntricamente resulta,por ejemplo,que una
vez deformada,la excentricidad e en la sección m·m, aumenta de un valor v (Flg. 10.2), de modo
Que el momento flexor en dicha sección, Que según la teorfa de I orden vale
p . e, aumen·
ta hasta el valor MRl)
P (e + vJ. En columnas esbeltas, el tialor de " no puede despreciarse
Mm =
=
ff
p
.,..,---l ---+It
para peQueflos Angulos
resulta:
1
B ;¡ B' ¡
N ¡ O
e
a.
¡..
p
deformada con
~r!:) =P(e+'1)
Flg. 10.1. Viga sin deformar(l)., deformada(2)(fuera
de escala).
Flg. 10.2. Columna esbelta solicitada por compresiÓn excéntrica.
243
,---
---/----<
~s
----l----<
-~s
Flg. 10.3. Diagrama,,· ( para un materlalldealmente elástico (Ley de Hooke).
Flg. 10.4. Diagrama" -, para un material Ideal
elastoplástlco.
con respecto al de e. Para asegurar el equilibrio entre los momentos e)(teriores y los Inlernos es
necesario tener en cuenta las deformaciones al determinar los esfuerzos caracterlsticos. En
consecuencia, las condiciones de equilibrio deben satisfacerse para el sistema deformado, es
decir, en leorla de 11 orden. Las bases para el cálculo de las deformaciones las constituyen los
diagramas tensión-deformación (o' l) del material utilizado, donde debe tenerse en cuenta la
dispersión de todas las propiedades.
10.1.2. Problemas relativos a la estabilidad y a tensiones
Sobre la base de dos diagramas o' [distintos (Flgs. 10.3 y 10.4), que se utilizan para el
análisis de problemas según la teorla de II orden en construcciones metálicas, aclararemos a
continuación algunos conceptos de la leorla de la estabilidad, ver {115, 116, 117].
10.1.2.1. Capacidad portante para carga axll de compresi6n
-..
Supongamos que la barra de Flg. 10.5, con carga axil,esté constituida por un material
elástico ideal con diagrama o . [ que responda al de Fig. 10.3. Sus deformaciones v son nulas,
mientras P se mantenga por debajo de la primera carga de pandeo de Euler PKI. Si se deforma
de v la barra para P < PKi> se recupera elásticamente hasta alcanzar su forma primitiva (v = O),
es decir que para P < PKI el estado de equilibrio es estable (Flg. 10.6, recta la). En cambio, para
P > PKI son posibles un estado estable (curva 1b) Y uno inestable de equilibrio (recta lc). Para
P = PKI existe equilibrio indiferente (punto de bifurcación).
Existe también una bifurcación del equilibrio cuando el material de la barra se comporta
en forma idealmente elástica e Idealmente plástica, de acuerdo con Flg . 10.4. La carga de bifur·
cación PKI es, sin embargo, en general, distinta para cada diagrama o - [.
La forma de la linea elástica, que para P = PK I, es posible independientemente del valor
de v, constituye la configuración de pandeo del sistema. La distancia entre puntos de Inflexión
de la configuración de pandeo, se denomina longitud de pandeo sK. La esbeltez A. Juega un Importvnte papel en la magnitud de PKI; siendo A. = SK/i donde sK = longitud de pandeo e
i
JtiFb
radio de giro. En secciones rectangulares b . d, la esbeltez A. se acostumbra también a expresar por la relación sK/d, donde SK/d
1 v'12 0,289· A..
=
=
=
=
10.1.2.2. Capacidad portante para compresión excéntrica
Si la barra cargada excéntricamente según Flg. 10.2 está constituida por un material
elástico Ideal (Fig. 10.3), en ese caso a cad
rga P corresponde una determinada deformación v (Flg. 10.6, diagrama 2). P puede aumentar hasta tanto la tensión de borde de la sección
comprimida donde actúa el momento máximo debido a N = P Y M = P (e + v) alcance el valor
limite ou
N/F ± MfW = ± {Jz. Estamos en consecuencia ante un problema tensiona/.
Admitiendo para la barra con carga excéntrica de Flg. 10.2 un material de comporta-
=
244
P
1
-~--
"
\
\
J
\
[
P
"
P"
10
p••
P
P
P
,
.,
I
Fig. 10.5. Barra con
carga 8)(11.
.,
'
'.
'
..
'.
"
\
r@~IO"""""@~Ib"""""@~""""""P-'O-b-,e-m-'-d.-.-Sl-'-b;-lid-'-d-'-O-'-b-'-"-"-'-'-"-'-d-.-,-.-q,-,-,,-.,-,o-11P
@prOblema tenslanal
Fig. 10.6. Diagramas
carg.delormacl6n.
o
Problema de establ1idad sin bifurcación del equilibrio
miento elastoplastlco Ideal según Flg. 10.4, el comportamiento bajo carga varia fundamental mente al alcanzarse el limite de escurrimiento en la secci6f'\ más solicitada.
En el penodo elásllco (oe '" j1s) el momento interno que es capaz de absorber la sección
'i que se opone al momento de las fuerzas exteriores, puede aumentar t;n la medida que lo hace
este ultimo momento M = P (e + v) en función de la deformaciÓn v creciente. Sin embargo, el
momento Interno crece mas lentamente cuando en el borde se alcanza el limite de escurri·
miento y la plastlficación continúa penetrando. La capacldaljl de carga se agota cuando el
diagrama 3 en Flg. 10.6 alcanza su máximo para Pkr = carga érltica.
Para cargas P < Pkr Y deformaciones v < vkr el equilibrio se mantiene es l ... ble; para
P = Pkr Y v = vkr el equilibrio resulta Indiferente. En este estado la plastiflcaclón de la sección
ha penetrado tanto que, para pequenos incrementos de Pkr del orden de II P, el momento de las
fuerzas Int9flores crece menos que el de las exteriores. Para P > Pkr ya no es posible equilibrio
alguno y se produce el colapso de la barra; Pkr se denomina carga portante.
Si se aumenta la deformación por sobre vkr. el equilibrio sólo es posible cuando simultá·
neamente se reduzca la carga P. Esta rama descendente del diagrama carga-deformación defl·
ne el estado de equilibrio Inestable, por cuanto pequenas perturbaciones conducen instantáneamente al colapso de la barra.
SI P < Pk .. exlsten dos posiciones de equilibrio; uno estable cuando v
VI Y otro inestable para v = v1 . Debido a que el diagrama carga-deformaciones es continuo, se dice que se
está ante un problema de estabilidad sin bifurcaciones del equilibrio.
La configuración de deformación (configuración de pandeo) correspondiente a P = Pkr
se denomina elástica de pandeo del sistema, ver Seco10.1.2.1.
=
10.2. Capacidad portante de elementos esbeltos de hormigón armado comprimidos
10.2.1. Planteo del problema de los elementos esbeltos de hormigón armado comprImidos
El comportamiento bajo deformación del hormigón armado no puede ser descrito en foro
ma tan simple como muestran las Figs. 10.3 ó 10.4. El diagrama o - t para el hormigón no es lineal y es distinto según sea la calidad del hormigón (ver Fig. 2.20). La distribución en la zona
245
comprimida difiere de la correspondiente a la zona traccionada, donde s610 es posible alcanzar
valores reducidos de la resistencia. Además, en el hormigón sujeto a una carga de larga duración, se originan deformaciones plásticas función del tiempo, que aumentan la deformación iateral v. Para '31 acero de dureza natural puede suponerse con suficiente aproximación un comportamiento elastoplástico según Fig. 10.4, con las mismas resistencias en las zonas trac·
cionada y comprimida, ver Fig . 7.5. F'ara el acero deformado en fria, las reservas de resistencia
por sobre la rama horizontal 0e = fJs son de cierta Importancia e incrementan la carga porlante.
Al actuar conjuntamente el acero con el hormigón en el hormigón armado, resulta despropor·
cionadamente más complejo el tratamiento anaUtico de la relación entre cargas y deforma·
clones que lo que resulta para el acero solamente. Los métodos de cálculo utilizados en cons·
trucclones metálicas para resolver problemas tenslonales en teonas de 11 orden y en problemas
de estabilidad del equilibrio, no pueden aplicarse sin más a elementos de hormigón armado.
Los diagramas cargas-deformaciones de columnas de hormigón armado tienen , en general, y en función de la cuan tia de armadura, la forma que muestra la curva 3 de Fig. 10.6. La
columna puede romper antes de alcanzar la deformación cntica vkr. Tal es el caso cuando para
P < Pkr, se alcanzan los esfuerzos caracterlsticos de rotura que es capaz de absorber la seco
ción según Cap. 7 (Indicados como Mu y Nu). En la Flg. 10.7 se han representado en un diagra·
ma de interacción función de Pu y Mu las posibilidades de Colapso. En el mismo la curva O caracteriza el colapso por haberse alcanzado los valores de los esfuerzos caracterlsticos de rotura según Cap. 7 con deformaciones [e Y ~b limitadas, ver Fig. 7.29.
Cuando las deformaciones v son despreciables (por ejemplo, para columnas cortas), la
barra rompe para PUl (rotura del material, curva 1). Para esbelteces moderadas l. = sK'i Y defor·
maciones v perceptlbles,sólo se puede alcanzar la carga PUl < PUl , en cuyo caso y como consecuencia del incremento de la excentricidad de e a (e + v), resulta Mu1 > MU I (rotura del material, curva 2). El colapso tiene en este caso también origen en el hecho de haberse alcanzado
los esfuerzos caracterlstlcos de rotura; estamos ante un problema tensional de Ir orden. $1
continúa aumentando la esbeltez, la deformación adicional v crece muy rápidamente, y para
Pkr ' < PUl la barra se vuelve inestable, sin que se hayan alcanzado los esfuerzos caracterlsti·
cos de rotura según Cap. 7 (rotura por Inestabilidad del equilibrio, curva 3).
--- ,
p
I
I
1, •
p. Q'l M
U'
p
Q'l
U
~------------~~--------~"U
curva~: Se alcanzan los esfuerzos caracterlsticos de rotura de la sección (Pu y MU segun Cap. 7).
=
Relación P·M para y
O; MI .0/Pu..0 .. v; rotura del material.
: Relación P.M para y" O; Mu01Pu 'D = (e + v); rotura del material
Pk,@no se alcanza por rotura previa del material.
Curva@: Relación P·M para y .. O; Mkr@/Pkr'® = e + v; rotura por Inestabilidad.
Curva
Curva
I
:
Flg . 10.7. Posibilidades de colapso de elementos comprimidos de hormigón armado, representadas como
diagramas de interacción entre Pu y Mu.
246
QM
z
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2,0
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1
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50
100
150
100
.",
1
"
J
--,-
Fig. 10.8. Relación 0M entre las cargas portantes de columnas con distintos diagramas de momentos en
función de la esbeltez ..1. [118].
El planteo del problema del cálculo y dimensionado de elementos comprimidos de hormlgOn armado, de acuerdo con lo expresado anteriormente, puede formularse como sigue:
.. Para un sistema estático dado, en el que se conocen las dimensiones de las secciones,
disposiciones de las armaduras, cuantlas de las mismas y excentricidades, debe verifi·
carse que el sistema para la carga portante requerida = v veces la carga de servicio, al
crecer e a (e + v) continue manteniéndose en un estado de equilibrio estable y que tamo
poco se sobrepasen los valores de los esfuerzos caracterlstlcos de rotura.
Todas las verificaciones de la capacidad portante en columnas de hormigO n armado se
han resumido segun la DIN 1045 bajo el concepto de Verificación de la seguridad al pandeo, pese a que en su mayor parte se trate de problemas tensionales.
10.2.2. Factores que influyen en /8 capacidad portante de elementos comprimidos de hormigón
armado
En la exposición siguiente de las diversas influencias sobre la capacidad portante de
247
columnas de hormigón armado sujetas al peligro de pandeo,se han utilizado fundamentalmente los trabajos de investigación (118, 119J.
10.2.2.1. Influencia de la distribución de momentos
Los momentos p . e, consecuencia de una excentricidad sistemática e, en las barras
comprimidas pueden diferenciarse según se tenga 6:t = el Ó e, = OÓ el = - el o si el difiere de
el de alguna manera. En la Flg. 10.8 se han representando, en función de la esbeltez ¡, las relaciones Q"M entre las cargas portantes de columnas con Bn 350 y B SI 42150 Y e,
OY las corresel (barra tipo). Puede observarse que las colum·
pondientes a las mismas columnas con el
nas con diagramas con distribución triangular de momentos poseen una capacidad portante
mayor que 1.. de una columna con diagrama dé momentos rectangular (Flg. 10.8 a).
Si la excentricidad el
el (Flg. 10.8 b) la capacidad portante es conSiderablemente
mayor, tanto con respecto a la columna con e, = el como con la de e) = O. La capacidad portante resulta aun mayor al aumentar el valor de la excentricidad el/d.
=
=
=-
"u
"u
1,6
O,,
O,,
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156
156
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O
Caso a) e,
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0,'-
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O
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u
,,
P
lJ<! _~
'l~-'l
Caso c) a, = - e,
Flg. 10.9. Oiagramu de Interacción para esfuerzos caracter1sllcos relativos da rotura mu y nU de colum·
nas rectangulares con distintos diagramas de momentos, en función de la esbeltez .1..11191 .
248
La mayor capacidad portante de las columnas cuyo diagrama de momentos no es constante reside en el hecho que las deformaciones laterales de la barra son menores. Por ello, las
verificaciones de la capacidad portante de columnas con diagramas de momentos variables,
el' resultan siempre del lado de la seguridad.
en la hipótesis que se tenga el
En la FIg. 10.9 se han representado los diagramas de Interacción para esfuerzos carac·
terfstlcos de rotura relativos mU y nU para tres distintos diagramas de momentos que corresponden a las mismas conclusiones que las derivadas de la Fig. 10.8. Han sido construidos para
secciones rectangulares, con armadura simétrica y una cuanlla de armadura promedio y constante.
=
10.2.2.2. Influencia de las calidades del hormigón y del acero
Mientras que para excentricidades relativas eld reducidas es posible obtener un consi·
derable aumento de la capacidad portante sobre la base de una calidad más elevada del hormi·
gón, para una columna con excentricidades relativas crecientes, la influencia sobre la capacl·
dad de carga de la calidad del hormigón disminuye cada vez más. Esto puede observarse en
Flg. 10.10 para el caso de una barra con excentricidades extremas Iguales, mediante la relación
"b entre las cargas portantes de columnas con en 550 y en 150.
La influencia de la calidad del acero muestra una tendencia opuesta. Esta circunstancia
se ha representado en Flg. 10.11, para columnas con e St 50/55 y B St 22134, en la hipótesis de
diagramas o - (blllneales para el acero. la relación ae crece al aumentar la excentricidad rela·
tlva, pero disminuye al aumentar la esbeltez. la capacidad portante de columnas muy esbeltas
y pequena excentricidad, resulta independiente de la calidad del acero, las que pandean antes
que "el acero alcance tensiones de valor elevado.
10.2.2.3. Influencia de la cuan tIa de armadura
Un aumento de lacuantlade armadura,uo = FeJbd = ,u'o = F'eJbd, para un hormigón en
350 aumenta muy poco la capacidad portante. Ello puede observarse en Flg. 10.12, donde se ha
representado la Influencia correspondiente a un aumento del valor /010 del 1 % al 2 % . Para excentricidades relativas pequeftas (eld
1/6) el aumento de la capacidad portante para una
duplicación de la cuantfa de armadura Importa sólo del 25 al 40 % . Para grandes excentricidades (por ejemplo eld = 516) el incremento alcanza del 70 al 80 %. Por ello, para elementos
comprimidos con grandes excentricidades es aconsejable disponer fuertes armaduras.
=
10.2.2.4. Influencia de la fluencia lenta para cargas de larga duración
La lIuencia lenta del hormigón por efecto de la parte de la carga de servicio que actúa
durante largo tiempo, conduce a un aumento de la excentricidad e + vD del valorvk V con ello a
« ,,O
b - Pu para Bn 150
-'-_l - d-.
2,0
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200
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Flg. 10.10. Relación 0b enlre las cargas portantes de columnas de Bn 550 y de Bn 150 en función de la es·
beltez 1 y la e)(centrlcldad relativa eld (118].
249
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Pu p.r. 851 50155
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Flg. 10.11. Aelaclón "e entre 'as cargas portantes de columnas con B SI 42150 Y las con B SI 22/34 en funel6n de la esbeltez 1. y la excentricidad relativa eld [118j.
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Bn. 350
851L2/50
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J
0,1
ISO
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Flg. 10.12. Aelaclón al" entre las cargas portantes de columnas con una cuantla)l.o
'o = 2 -;. Y las de
columnas con fo'o
Ji o = 1 % en función de la esbeltez 1. y 'a excentricidad relativa eld (118J.
=
una reduccIón de la carga portante; véase al respecto (120, 121). En la Flg . 10.13 se han representado los resullados de ensayos (121]. en los cuales columnas con .1. = 104 Y e/d
0,1
fueron sometidas a cargas de larga duraciÓn consIderablemente distintas, ya que en una serie
el tiempo de aplicación de la carga fue de 4 meses y en otra de cerca de 8 anos. Puede observarse la Influencia favorable del endurecimiento a largo plazo sobre la carga portante luego de
cerca de 8 afias, pero también la fuerte reducción de la capacidad de carga en 'unción del valor
relativo de la carga a largo plazo y de la duración de la carga con respecto a la de corto plazo.
La reducción de la carga portante es, para carga de larga duración elevada, tanto mayor
cuanto más grande sea la excentricidad. Con armadura más fuerte, la disminución puede reducirse considerablemente. Resulta especialmente pequena para elásticos de doble curvatura (el
pOSitiva, ea negativa).
=
250
, - - - lo1!:8 anos
1.1
Ps •
41SOkp/cm 2
IIp,S6'' 3Wlpkm
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0 $4 meses
O,,
O,,
PD
Deformaciones de la barra
bajo carga de larga duración
Puo
s
Carga portante para
car~a
O
0,6
de corta duración aplicada 8 t :: 56 dlas
Puo ,.
Garga porlante previa de larga duración
Po
Inlensidad de la carga de larga duración
,.
0,4
O
ID. Tiempo de actuación de 'a carga de larga duración
=
Flg. 10.13. Cargas portantes relativas de columnas con.i. :: 104 y e/d
0,1 en función de la duración de la
carga y de la intensidad de una carga Po de larga duración, para un comienzo de aplicación de la carga 8
una edad de 56 dras (121].
10.3. Verificación de la capacidad portante segun la .toria de 11 orden para elemenlos
comprimidos •• beltol
10.3.1.lntroduccI6n
Un cálculo de la capacidad portante según la teorfa de 11 orden, tiene en cuenta la
Influencia de las deformaciones de la barra sobre los esfuerzos caracterlslicos debidos a las
cargas externas. Las deformaciones de la barra se obtienen por integración de las deforma·
clones de las secciones (= curvaturas) a lo largo de la longitud de la barra , para lo cual, y en lo
que respecta a sus efectos debe tenerse en cuenta:
la distribución de los esfuerzos caracterfsticos a lo largo de la barra.
las condiciones de apoyo en los extremos de la barra.
la posible existencia de cargas transversales.
Las deformaciones de cada una de las secciones de la barra o las curvaturas de sus elementos de longItud dx, resultan influidos por los siguientes parámetros:
Diagrama a· 1 del hormlgOn.
Diagrama a' t del acero para hormigón.
Forma de I~, sección de hormlgOn.
OistrihucH'ln de la armadura en la sección de hormigón.
Cuantle de armadura.
Ma~nltud y dirección de la excentricidad del esfuerzo normal.
A continuación se desarrollarán los fundamentos para la determinación de la curvatura
y diagramas para facilitar su determinación en el caso de secciones rectangulares con arma·
251
dura simétrica. Además se mostrará cómo, mediante el empleo de métodos de cálculo conoci·
dos, es posible, conocidas las curvaturas, determinar las deformaciones de las barras y con
ellas los esfuerzos ~.racter'stlcos correspondientes a la teorla de 11 orden.
10.3.2. Reflexiones sobre el velor del coeflclellte de segurIdad
la verificación de la capacidad portante utilizando la teorla de II orden puede subdivldlrse en:
1)
2)
Determinación de la deformación de los elementos comprimidos y
Verificación de la capacidad portante del elemento comprimido una vez deformado.
En el primer caso no es necesario establecer exigencias tan rigurosas en lo que respecta a la seguridad contra el colapso de los materiales como para el caso 2), porque fallas locali·
zadas tienen una Influencia prácticamente despreciable con respecto a,a deformación total de
una barra. En cambio, el resultado de un cálculo de deformaciones depende en forma considerable de la magnitud de la excentricidad e, cuyas Inexactitudes, hasta el momento, en lo que
respecta a las consideraciones relativas a la seguridad y en especial en lo que respecta a la
Introducción de un coeficiente de seguridad global para la verificación de la capacidad portan·
te, prácticamente no se ha tenido en cuenta.
Rigurosamente Mblando, los conceptos de cálculo 1) y 2) deberlan, en consecuencia,
efectuarse separando los coeficientes de seguridad, ver Seco 6.2 y K. Kordina en (1221.
En las investigaciones teóricas relativas a la seguridad en este aspecto,no se ha llegado a ninguna conclusión convincente. Por ello es necesario contentarse en primer término con
los coeficientes de seguridad global conocidos para ambas partes del cálculO, lo que no obsta
para que se tomen en consideración medidas adicionales debido 8 la gran sensibilidad que
existe en los problemas de estabilidad del equilibrio. A este respecto se adapta preferiblemente la introducción de una denominada excentricidad accidental, que no sólo tiene en cuenta las
Imperfecciones que en realidad existen siempre en la barra (dudosa rectitud del eje de la barra,
etcétera), sino que también debe cubrir las siguientes incertidumbres:
1)
2)
3)
4)
Inseguridad respecto de la posición y dirección del esfuerzo normal exterior.
Diferencias entre los barlcentros geométricos y de la secciÓn deformada, por ejemplO como consecuencia de un desplazamiento de la armadura, aslmetrla de la misma, compac·
taclón y endurecimiento del hormigón, etcétera.
Cambios en la deformación como consecuencia de la fluencia lenta del hormigón, en la
medida que no se efectúe un cálcu lo especial y detallado al respecto.
Influencia de las tensiones propias no tenidas en cuen ta y esfuerzos caracterlsticos inducidos, por ejemplo, por expansión y temperatura.
"u
l:a/d
L_+l____J~:;¡;:=_=:6="~,~d=.:b¡dOt l:Jf/d
a
twd
T"
FIg. 10.14. Influencia de un. Inexactitud lIe sobre el esfuerzo exll relativo nu que puede ser absorbido para
pequeflas y grandes excenlrlcldades, representada en torma de diagrama segun Flg. 7.27.
252
De acuerdo con (1221, la Fig. 10.14 muestra, por ejemplo, cuán dillcil es tener en cuenta
la incertidumbre mencionada en 1): para pequeflas excentricidades e" para un error en el valor
Aa, la reducciÓn tt.n, del esfuerzo axil nU es considerable, mientras que en el caso de excent ricidades eJ mayores, para errores tt.e de Igual magnitud, la diferencia ¿nI en el esfuerzo a absorber es despreciable (ver a este respeclo Flg. 7.27).
En muchos campos de las construcciones se utiliza cada vez mb la excentricidad acci·
dental eu como parte del tratamiento anatltlco de la seguridad. Al valor eu se lo hace depender
en general de la longitud de pandeo sK o también la excentricidad accidental relativa euld de la
esbel tez SK/d, porque la carga portante depende fundamentalmente de la esbeltez (ver Seco
10.1.2).
10.3.3. Deducción de las expresiones de la curvatura en secciones recfangulares de hormigón
armado
Análogamente a lo admitido en Cap. 7, para la determinación de la carga portante debi·
da a un momento flexor, sumado a un esfuerzo axil que aparece en Cap. 7, se admite fundamen·
talmente la validez de la hipótesis de 8ernoulli de la conservación de las secciones planas.
hasta llegar a la rotura.
Como "curvatura" It: se entiende la variación relativa de la pendiente de las tangentes a
la linea elásllca en el intervalo dx. De acuerdo con la Flg. 10.15 la variación angular drp es, para
una variaciÓn de longitud (, . dx de las fibras del borde Interior y { l ' dx del exterior del eleme nto, con respecto a la longitud inicial
E:
2
dx
dx
d
(10. 1)
la variaciÓn angular referida a dx, dqJdx , es la derivada segunda, y", de linea elás Ilca,
o sea igual a la curvatura It:
."
~ : y"
d x
'2
d
(10 . 2)
en la misma, (, y {I deben introducirse con su signo; en consecuencia los valores de It: son negativos.
la eco (10.2) es también válida para secciones con zona de tracción fi surada (Estado 11,
Fig . 10.15 b), siempre que tI se haga igual a:
E"
2
=
I!:
d - X
(10. 3)
e~
En las deducciones siguientes se utilizará el valor adlmensional de la curvatura
(10. 4)
las deformaciones especificas de borde {, y (J pueden relacionarse con los esfuerzos
ca racterlst i:::os internos Ni y M¡ mediante las expresiones deducidas en el Cap. 7 ("i" se utili za
para diferenci ar los esfuerzos internos de los esfuerzos caracterfsticos debIdos a las cargas
exteriores). ?ara la sección rectangu lar con armadura simétrica de Fig. 10.6, para el estado I y
con la notación de Cap. 7 se l lene:
Db + D', + D,
MzD
i
b' Y d
+(D'e -D e I(~2 - h'l
253
a) Estado I
d'
-h- '" ,
2
,
b) Estado 11
--- d
t---------------.-__~----,~
dk
E:zdk
d,
d.
,
+.- - - - -
,l
h
,L
Fig, tO,t5. Notación de un elemento dk para la determinación de la curvatura
slón en los estados I 'J 11 .
o expresado en forma adimensional con t
,
i
• .-,-'::,- '
b d
para flex ión con compfe·
= h'/h:
,
N.
n
~
f3 R
(la. 5)
d + de + d.
h
,
1
Ide - de ) 1-.)
2 ':>
(10, 6)
Para determ inar los esfuerzos inlernos relativos db 'J de, de es necesario además conocer los diagramas,, · (para el hormigón y el acero. Para el cálculo de deformaciones al verificar
254
la capacidad portante (teorla de II orden), en general se utilizan los diagramas ideales (bilineales)
del hormigón y acero, según Figs. 7.4 y 7.5 respectivamente.
5i, para cuantlas mecánicas dadas
0-'
y
F'
e
~s
bd
~R
=
se fiJa a priori la curvatura relativa i
'1 - (J y se varlan (1 Ó (J dentro de los limites admitidos
para el dimensionado (ver Fig. 7.6), se obtienen de las curvas de un diagrama ni - mi función
del parámetro i, las relaciones m-n - i ó M - N - IC. Las Flgs. 10.17 a ~ muestran dichas
familias de curvas para una sección rectangu lar con armadura simétrica de B SI 42/50 Y
¡¡o
ji(, = 0,12; 0,24; 0,48 Y 0,72.
Para.e! estado de equilibrio buscado entre los esfuerzos caracterlsticos internos yexternos de una sección (es decir NI
Na Y Mi
Ma o también ni = na y mi
mal es posible obte·
ner de dichos diagramas, en cada caso,la correspondiente curvatura i en "A:o.
La relación M - N - IC asi obtenida, puede también representarse usando ni como parámetro, Fig. 10.18, lo que es común encontrar en la blbliografla [118,122.123[. Esta forma de
representación permite apreciar otros aspectos del problema y puede resultar útil en la práctl·
ca del cálcuto. Puede observarse que para esfuerzos normales de compresión de gran intensidad (por ejemplo ni = 1,25) el colapso comienza para pequeflas curvaturas (2,5 ".(,o), mientras
para compresiones de reducido valor, además de los momentos !Iexores mI mucho mayores
que pueden absorberse simultáneamente, también las curvaturas pueden llegar a ser considerables.
ª
=
=
=
,
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/
,
,"
""
d
I~ F~
Tensiones en el acero
G'
/
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Tensiones en el hormigón
b
• /~ 0
/
=
II
i
G,
I
Esfuerzos internos
Olstrlbución de deformaciones
'R ~ E,
-E:2: const
- - - - paralela a(Ddesplazada
"
E,
--
Esfuerzos calacterlsl icos de la sección
E,
E.
Fig. 10. 16. Deformaciones. fuerzas y esfuerzos caraclerfsllcos en una seCciÓn rectangular con armadura
simétrica para el estado l.
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- lS - t./)
-'.5
-~
-s,S
-6,0 -6,5
b .. ]
Flg. 10.18. Diagrama m -n - IC con n como parametro para secciones rectangulares con armadu ra simétrica con "o ;- ;;O :: 0 ,24 y B SI 42/50 (segun Flg. 10.17 b)
m;
---------=-"..-Q)Q)
•• E ,"
I
<D
- - - - .- :.=---"
n¡ :: consto
<D
ni = const o
.ji
.ji
a) esfuerzo longitudinal redu cido
0\
b) esfuerzo longitudinal de gran
intensidad n,
Flg. 10.19. Principales re laciones momen tos-curvatura para esfuerzos axUes de compresión de pequena y
gran Intensidad.
Las diferencias generales ent re las curllas correspondientes a pequenO$ y grandes esfuerzos de compresión, surgen de la observación de la Fíg. 10.19 claramente:
Para esfuerzos normales reducidos el gráfico es curvo desde su comienzo. En el punto 1, la
secciÓn se fisura, en el 2 y en el 3 alcanza los limites de escurrimiento la armadura
traccionada y el hormigón comprimido, respectivament e.
En el punto 4 se agota la capacidad portante al alcanzarse las deformaciones limites se·
gún Fig. 7.6.
Para grandes esfuerzos axiles, el gráfICO comienza aprox imadamente recio, y recién em·
pieza a c urvarse, cuando la deformació n especifica de borde (1 sobrepasa el valor
1,35 %:> de acuerdo con Fig. 7.4. La sección no se ' isura, de modo que aparece una nueva
259
modificación, cuando en el punto 3 la armadura comprimida alcanza el limite de escurri·
miento; el punto 4 representa nuevamente la carga critica segun Cap. 7.
Para la estabilidad de una columna esbelta de hormigón armado ocurre a menudo que
no es el punto 4 el determinante, sino los puntos 2 ó 3, que corresponden a haberse alcanzado
el ¡¡mite de escurrimiento en la armadura, porque en dicho caso el momento de los esfuerzos
internos no crece tan rápidamente. las recomendaciones que figuran en la Seco 10.5 y en la
DIN 4224, para cálculos aproximados, utilizan las propiedades antes mencionadas de las curo
vas M - N - x, con N como parámetro; ver Fig. 10.18.
la inclinación de las curvas ni, analogamente a lo que ocurre en la teorla de la elastici·
dad. puede interpretarse como rigideces a la fle)(ión EJ. Aproximadamente dichas curvas dan
al mismo tiempo, aproximaciones válidas de la verdadera rigidez a la flexión de secciones de
hormigón armado sometidas a solicitaciones crecientes.
10.3.4. Verificación de la capacidad portante según la teorla de /1 orden
De los numerosos procedimientCls de cálculo que figuran en la bibliografla (ver p. ej .
[124,125]) utilizaremos en lo que sigue el método de Engesser·Vianello. En primer término ana·
lizaremos el caso sencillo de una columna articulada en ambos extremos, en la que la fuerza de
comp resión v . P actúa en los extremos con la misma excentricidad e.
En primer término dividiremos la longitud de la barra en n partes iguales de longitud tr, x,
para lo cual, cuanto menor es la longitud de las mismas, aumenta la exactitud del valor de las
deformaciones vk calculadas para la barra (Fig. 10.20). Partiendo de los esfuerzos caracterfsti·
cos obtenidos con la teorla de I orden para cada punto k
y
se obtiene en ell er paso de la iteración utilizando las relaciones M - N - x (por ejemplo de
Fig. 10.17) los pesos elásticos W en cada uno de los puntos. Admitiendo una variación parabóli·
ca de la curvatura, para tr, x = sin se tiene en general:
wo
ó x (3, 5'
12
)0,0 + 3· )0,1 • 0,5 · )0,2) (extremo superior de la barra)
Wk ::
W
n
óx
12
óX
12
(1'.k_1 + 10
"k +
kk+ 1)
(10. 7)
(3,5· )O,n + 3 1'.n.l - 0,5· )\.n-2) (extremo Inferior de la barra)
Para la barra recta se tiene que, para ell er paso de la iteración, M = constante y con
ello x = cte., de modo que resulta:
wo
~
W
~
n
1
2
(10. 8)
!lx,)\.
Partiendo de las analoglas
-
260
,
y
- p
puede concebirse la determinación de la linea eláslica v(x) como el trazado del diagrama de
momentos M(x) debido a una carga Ideal Plx) = xIx). Para ello se supone a la barra cargada en
los puntos k con las ca~as concentradas Wk y luego se determina para este estado de carga
tos momentos flexores Mk mediante los procedimientos corrientes. En consecuencia, los momentos flexores M k corresponden a las deformaciones de la barra vk(11, los esfuerzos de carie
Qk a las rotaciones de la barra f4lk(11 debidos al primer paso de la iteración.
, Las condiciones de apoyo del denominado sistema substituto de Mohr deben elegirse
en concordancia con las condiciones de deformación de la barra comprimida. Para una barra
comprimida articulada en ambos extremos se tiene:
Condiciones de deformación de la barra Condiciones de apoyo del sistema sustituto
comprim ida en los puntos O y n:
de Mohr en los puntos O y n:
v • O
M' O
• I
QI O
O
Por conveniencia se adopta un numero impar de elementos 6.X y en consecuencia, en el
primer paso de la iteración de los pesos elásticos W puede expresarse Inmediatamente:
Q
e
n
"
y para el centro de la barra m
M
1
- r:W - W
2
..
. --.-.
,
m
1
O
2
v
" - 8'
2
(10.9)
It
(1)
m
(lO. 10)
Los restantes valores vk(l) se obtienen de la distribución parabólica de los diagramas de
M o de '1(1).
En el segundo paso de la iteración se parte de los esfuerzos caracterlsticos en las seco
clones del sistema deformado
, . ".
N.
•
,
{
,
'" ",..,.. p
¡
I• •
,
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M'
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I
-I'-¡"#. 'f' P
Barra
Momentos
MI
comprimida
p
,
w,
•
,
"
w"
Sistema sustituto
de Mohr
con los
pesos elásticos W
Rolaciones de
la barra ¡¡¡kili
DeformacIones
de la barra 'Ik(1 1
Fig. 10.20. Cálculo de deformaciones segun Vianello (ler paso de iteración).
261
t ,
I
,
T
•
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4'
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k-
O
~
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k
BaHa comprimida
oo'
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Mcf~o ~O
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Qk=~21
.
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w,
O
Wk
Wo
P
k
i5" • ¡pI 21
O-
Sistema substituto
de Mohr con carg as
elásticas W
Mn~~2~O
O
O
Rotaciones
de la barra '4'k(2)
Deformaciones
de la barra ~k(2)
Momentos Mil
Fig, 10.21. Cálculo de deforma ciones segun Vianello (2 0 paso de Iteración),
y nuevamente, utilizando las relaciones M - N - K , se determin an los correspondientes pesos
elásticos W, punto a pun to según Ec. (10.7). Luego se calculan nuevamente en el sistema sustl·
tuto de Mohr, las de formaciones corregidas de la barra Vk(2) (Fig. 10.21).
El cálculo por Heración puede interru mpirse cuando las deformaciones Vk(n) calculadas,
coinciden con las Vl\(n.,). En tal caso, los esfuerzos caracterlsticos de acuerdo con la teorla de
ff orden resultan
(10. 11)
comprobándose ast \a exisl encia de un estado de equilibrio estable para una carg a \1 veces la
carga de servicio.
El colapso de una barra por efecto de una carga \1 veces la carga de servicio se man if ies·
ta por el hecho de que, en un paso de iteración, el valor J(k de la c urvatura corre spondiente a los
esf uerzos caracterl sticos Ni = \l' P y Mi = \1 • P (e + vl\ln)), en las relaciones M - N - J( segUn
Flg. 10.7, resulta exterior a la envolven te de las curvas M - N-J(. Los puntos exteriores a las
envolventes, implicarlan deformaciones lb> 3,5 %o o (e > 5 %O, lo cual no es admisible según
Cap . 7.
Ello signific a que las deformaciones de la barra no convergen hacia una linea elástica
estable, sino que las mismas crecen continuamente y por (lila conducen a la rotura de la barra
Esta tendencia es común en las deformaciones del acero poco antes de alcanzarse ellfmite de
escurrimiento .
En forma totalmente análoga puede efectuarse la verificación de la capacidad portante
de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior. Sólo hay que tener pre·
sente que el sistema substituto de Mohr lo constituye una barra empotrada en su extremo su·
perlor y libre en el inferior (Fig. 10.22).
En el caso de una barra comprimida estáticamente indetermi nada por v(ncu(o externo,
se parte en general de una barra articulada en ambos extremos y las incógnitas hiperestáticas
se determinan de forma tal que satisfagan las condiciones de deformación.
Para la barra articulada en su extremo superior y empot rada en el inferior (Fig . 10.23), lo
anterior significa que: en cada paso de la iteración para determ inar las deformaciones horizon·
tales, debe determinarse el momento de empo tramiento Xn en el punto n, también por iteración
medi ante las relaciones M - N - x, de modo tal que se obteng an <¡In = 5 =
o.
262
También en el caso de barras comprimidas, las dimensiones de sus secciones varlan en
forma continua o discontinua (b, h, Fe) o cuyo eje se encuentra predeformado, o con varias cargas concentradas, la verificación de la capacidad portante según la teorla de II orden, puede realizarse adaptando el método de Engesser-Vianello.
El método de Engesser-Vianello permite tener en cuenta el aumento de las deforma·
ciones como consecuencia de la contracción si, por ejemplo, se establecen nuevas relaciones
M - N - ¡( para un módulo E reducido del hormigón Eb = Et/(1 + Ip). En la práctica es sufj·
ciente adoptar hipótesis simplificadas que se verán más adelante.
10.4. Método de la barra sust itut a y determ inación de las correspondientes luces de
pandeo
10.4.1. Método de la barra sustituta
Se entiende por " barra sustituta" a una barra comprimida con una longitud igual a la
longitud de pandeo de la barra normal, articulada en ambos extremos y cuya carga P tiene en
dichos extremos la misma excentricidad y la misma ubicación relativa de la misma y que se
corresponde con la excentricidad máxima dentro del tercio medio de la longitud de pandeo de
la columna que se analiza.
-.¡r! v ' .
í
1
,
l•
O
O
k
k
W,
W,
Barra comprimida
Sistema sustituto de Mohr
Fig. 10.22. Sistema sustituto de MOtif de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior.
r
O
w,
ao:..po
¡;jo ~ vD
1 'Tv.
k
Wk
Qk' "Pk
Mk ~ vk
,1
W,
C!in:-Pn' O
Mn • v n
,
x,
Barra comprimida,
rlgidamente empotrada
en su base y articulada
en el extremo superior.
Sistema sustituto
de Mohr con
cargas elásticas W
Rolaciones 'Pk
de la barra
Deformaciones
laterales
de la barra
v.
Fig. 10.23. Cálculo de las deformaciones segun Vlanello (Teorla de 11 orden). en una barra rigidamente em·
potrada en su extremo inferior y articulada en el superior (estáticamente indeterminada).
263
De esta definición de la barra equivalente surge que en primer término es necesario estimar en forma adecuada la "longitud" de pandeo sK (en realidad la longitud de la barra equivalente que conduce al mismo grado de seguridad), denominada también simplemente "longitud
equivalente".
Mediante la esbeltez Á como cociente entre la longllud de pandeo sK Y el radio de giro ¡,
en la práctica puede establecerse rápidamente si no existe peligro de pandeo, si el mismo es
insignificante '1 con ello es posible un cálculo aproximado, o si el mismo es grande lo que hace
Indispensable recurrir a las relaciones M - N - J( y al complejo procedimiento numérico de
Vlanello según Seco 10.3.4. En la verificación general de la capacidad portante de acuerdO con
la teorla de 11 orden no es necesario recurrir al concepto de esbeltez.
Para la barra normal se han desarrollado medios auxiliares en funciÓn de la esbeltez,de
la magnitud de la excentrlcidad,de los valores que definen a la sección y al material, etc. (por
ejemplo D1N 4224 o cuaderno 220 de la DAIStb) que slmpllllcan enormemente el trabajo numérico, siempre y cuando la longitud de pandeo de la "barra sustituta" pueda estimarse con sufi·
ciente seguridad.
10.4.2. Longitudes de pandeo para el método de la barra sustItuta
10.4.2.1. Generalidades
En general, la longitud de pandeo para la aplicación del procedimiento de la barra
equivalente se determina sobre la base de la teorla de la elasticidad,para lo cual se consideran
cargas transversales aplicadas solo en los nudos. El comportamiento aneláslico de los elementos de hormigón armado (en especial pérdida de rigidez como consecuencia de fisuraciÓn
en el estado 11) debe tenerse en cuenta,especialmente en los dinteles de los pórticos de nudos
desplazables.
De los clásicos "casos de Euler" se sabe que la relaclólI /l entre la longitud de pandeo
SK '1 la de la barra es funciÓn del tipo de sustentación de los extremos '1 que sK corresponde
siempre a la longitud de la semionda de la configuración de pandeo del mismo sentido de curo
vatura o, en su caso, de la distancia entre los puntos de inflexión de aquélla (Flg. 10.24). Si los
extremos de la barra son desplazables horizontalmente, en tal caso sK resulta ser conside·
rablemente mayor que cuando no son posibles los desplazamientos; en consecuencia, es indispensable tener presente si las estructuras están fijadas horizontalmente en forma rlgida o si
pueden experimentar desplazamientos, en cuyo caso estos últimos pueden obedecer a distintas causas (aslmetrla del sistema o de las cargas, efecto del viento, temperatura, expansión
del hormigón, asentamientos del terreno, esfuerzos de frenado de grúas, etc.). También puede
ocurrir que el empotramiento de las columnas no sea rlgido, de modo que loS " casos de Euler"
no pueden considerarse como una base segura para la determinación de la longitud de pandeo.
10.4.2.2. Longitud de pandeo de columnas (pUares) en pórtiCOS no desplazables
Los sistemas de pórticos no desplazables tienen sus nudos inmovilizados contra
desplazamientos horizontales, por ejemplo, mediante cajas rlgidas de ascensores o escaleras
o por vigas-pared. En la Seco 15.8.1 la DIN 1045 trae recomendaciones mediante las cuales es
posible estimar si la estructura de un edificio, en lo que respecta al cálculo de las columnas.
puede ser considerada como no desplazable lateralmente.
Para determinar la longitud determinante de pandeo de un pilar de pórtico, se considera
en la configuración de pandeo del sistema (Fig . 10.25) el caso de carga más desfavorable
para la columna . La longitud de pandeo determinante corresponde, como en el caso de
Fig . 10.24,a la separación entre puntos de inllexiÓn de la configuración de pandeo de las colum·
nas. Según sea el grado de empotramiento, el punto de inllexlón queda ubicado más o menos
cerca del nudo, y en ciertos casos puede coincidir con éste; es decir que fJ
SK/s puede variar
entre 0,5 y 1,0.
En lo que respecta a la ubicación de los puntos de inflexión, son determinanles las relaciones k de rig ideces, entre las columnas y vigas que concurren , en los extremos de la columna
analizada
=
264
r
k •
(EJS / S)
E( EJ
R
(10.1 2)
I t)
= O corresponde a empotramiento rlgido y k =
... a articulaciones.
En la Fig. 10.26, se indican las rigideces kA y kB correspondientes a los nudos A y B de la
columna AB.
En general, para EJ se considera la sección de hormigón en el Estado I sin tener en
cU,enta la existencia de armaduras . En rigor deberlan utilizarse las rigideces para v veces la caro
ga de servicio, lo cual para Jos dinteles significa prácticamente considerar siempre el Estado 11 .
k
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I
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desplaza bies
Fig. 10.24. Configuraciones y longitudes de pandeo de elementos comprimidos. correspondientes a los ca·
sos de Euler.
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R
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Flg. 10.25. Configuraciones y longitudes de pandeo de algunos pórticos con nudos no desplazables.
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Flg. 10.26. Ejemplo de calculo de '8S rslaclones de rigidez kA '1 ka segun Ee. (10.12) para la columna A-B.
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~
k,
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1,0
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la ul lUzaclón
de esta zona
1
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Fig. 10.27. Nomograrna para determinar la longitud
de pandeo SI( para barras comprimidas con extremos elasticamente empotrados no desplazable!.
[126, 127).
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f .2,5
Fig. 10.28. Longitudes de pandeo de barras elásticamente apoyadas [1281.
266
(lIáUdo para K < 2,5)
la rigidez del dintel EJII resulta con ello notablemente menor que EJI , 10 que reduce el grado de
empotramiento de las columnas y aumenta las relaciones k de rigidez.
B. C. Johnston (126J y J. G. MacGregor (127) han construido un nomograma . Que permile
obtener la longitud de pandeo SK
~. s en función de las relaciones de rigidez kA y kEi (Fig.
10.27). Puede observarse, Que para mayores valores de k también aumenta la longitud de pan
deo. Para una barra comprimida con kA = 1,0 Y ka = 0,5 por ejemplo, de la Fig. 10.27 se ob·
tiene una longitud de pandeo sK = 0,725 s.
A este respecto, en DIN 4224 (H. 220 DAfStb), se hace notar que por razon es de seguri·
dad, no se debe partir de valores de k inferiores a 0,4.
Para casos especiales de barras elásticamente empotradas, desarrollaremos a continuaciÓn un procedimiento debido a H. Kupfer (128J . las constantes elásticas de rotación c (momento en el nudo que origina un giro + 1) se suponen conocidas. En este caso, con
=
.,
-k ' _
EJ . 1
(10. 13)
=
se calcula la relación (1
SK/s mediante las ecuaciones de Fig. 10.28.
En la expresión de c deben considerarse sólo los dinteles que concurren al nudo, cuyas
rotaciones elasticas e, en el caso de pilares superpuestos con peligro de pandeo, deben reparo
tirse entre dichos pilares. la repartición debe efectuarse de modo tal que el "g rado de solicita·
clón al pandeo" [K = SKJ PI Eb J b resulte el mismo para todas las co lumnas con longitudes de
pandeo sK > sI2 (y siempre y cuando para las mismas sK no haya sido determinado para articulaciones).
En la bibliografla, por ejemplo (129},existe numerosa información complementaria relati·
va a la longitud de pandeo en elementos comprimidos de sistemas de nudos no desplaza bies.
Pueden ser aplicados a casos generales aunque han sido desarrollados para materiales homogéneos como el acero.
10.4.2.3. Longitud de pandeo de columnas (pilares) en pórticos con nudos desplazables
En el caso de sistemas aportlcados con nudos desplazables, estos últimos pueden
desplazarse horizontalmente, y el corrimiento horizontal sólo queda limitado por la rigidez del
pórtico. la longitud de pandeo es, también en el caso de barras desplazables, Igual a la longi·
tud de la semionda de la configuración de pandeo, que según sea el sistema, puede prolongar·
se en forma Imaginaria por ftlera del mismo, con el objeto de obtener la semionda total.
Para pórticos altos de varios pisos, la estabilidad total puede facilmente peligrar como
consecuencia de los desplazamientos horizontales (Fig. 10.29). La inclinación de las columnas
sobre varios pisos conduce a una excentricidad creciente de la carga resultante total. Si a la dlfl·
cultad de calculo se agregan los grandes riesgos a que se encuentran sometidos los pilares del
pórtico como consecuencia de la desplazabilidad del sistema, debe llegarse a la conclusión
que es necesario en lo posible, al proyectar, evitar sistemas desplazables, y fijar la estructura
contra desplazamientos horizontales mediante losas de entrepisos y contraventamientos, caJas de escaleras o ascensores, etcétera [ $6/0 un Ingeniero sin experiencia puede asumir la rescargar al comitente el costo de un pórtico de varios pisos, desplazable horizon:a·'de,splaz;,bIIH;dad aumenta la longitud de pandeo, como puede observarse de la como
paración de los sistemas de nudos desplazables y no desplazables de Fig. 10.30. En la barra
empotrada en ambos lados, la longitud de pandeo, como consecuencia de·la desplazabllldad
de uno de sus extremos aumenta de 0,5 s a 1,0 s. En pórticos con dos articulaciones la longitud
de pandeo de los pilares, en los casos práctiCOS y según sea la rigidez a la flexión y tipo de carga del dintel puede aumentar de 1,2 s a 5,0 s (como consecuencia de la desplazabilidad del pórtico, la longitud de pandeo es de por lo menos 2 s).
En el caso de cargas asimétricas las longitudes de pandeo de los pilares de pórtiCOS
son distintas entre si y el pilar menos cargado posee la mayor longltudJe pandeo (Fig. 10.31).
Para series de columnas con grados de solici taciÓn al pandeo (K sK PI E J muy dispares y
cuando existen columnas articuladas junto con otras empotradas, la long id ud de pandeo de
los pilares que confieren rigidez al sistema puede ser muy grande, aspecto éste que ha hecho
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Fíg. 10.29. Configuración de pandeo de un pórtico de varios pisos.
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Fig. 10.30. Comparación de las configuraciones y longitudes de pandeo de sistemas con nudos fijos '1
desplazables.
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'K,
1
Fig. 10.31 . Configuración de pandeo de un pórtico empotrado. desplazable con cargas en (as columnas de
distinta Intensidad.
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a
,W7f0
W/0~~
1
a
no debe utilizarse esla
lona
Flg. 10.32. Nomograma para la determinación de la longitud de pandeo SK de barras comprimidas. correspondientes a pórticos múltiples desplazables \126, 1271.
se
¡las I
seguridad! Sin
en
también Q.uede ser
En el caso d.Pó"';''os desplazables, para determinar el valor k del dintel , debe necesa-
riamente ulllizarse momento de inercia JIU) correspondiente al Estado 11, mientras Que para
las columnas puede aceptarse JII), Cuando
quiere evitar cálculos muy precisos, puede aceptarse una reducción de la rlgldeP'. la flexiÓn del dintel hasta por lo menos el 60% y en el caso
de un dintel articulado en un extremo, hasta el 35%.
En los pó rti cos múltiples de varios pisos, el nomograma da coeficientes ~ de la longitud
de pandeo suficientemente exáctos, unlcamente cuando el grado de solicitaciÓn al pandeo de
dos columnas superpuestas no difieren en más del 25%.
Además, en sistemas aportlcados desplazables, es Indispensable elegir culdadosamen·
te las condiciones de empotramIento en las fundaciones, porque aun peQuenas rotaciones de
Jt
269
.
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jN
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1
I
L
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N
N
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J
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d·
Empotramiento
gido en el terreno
.
I,
Rotación lfI
de la fund aclón
'1
'1
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Empotramiento elástico
~
N
~
I \
en el terreno
•
•
•
•
\
,
\
I
\
\
I
\,
-.f
Fig. 10.33. Comparación de las deformaciones y longitudes de pandeo correspondientes a una columna d·
gidamenle empotrada en el terreno y otra elasticamente empotrada.
pólllco biarticulado
'K\
í,
J,
- ,t
J,
N,
N,
I
"
t
-J
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,
,
2 sv' N 1 oN 1'
,
2SVN¡+ N Z' VI. O,l.e
, N,
'N,
J ,
I
,
•
J,
-+
pórtico empotrado
'K'
1,
J,
J.
-t
N,t,
N,
,•
-J
,
'K2
,
,
•
y \.0, l. e
'VN!, N,
oN Z
'V
NI' N 2
'N,
,,..
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0,1. c;
0,2 e
O,l. e
0,2 e
I
J,
,
entramado múltiple
J,
J,
Ji,F,
Jofo
,
J,f¡
J
0'
J,
.
"
.
J,
,
F,
,
F, '
~
m
m
[2J a
o
,
J,
lm-11
Jil
,
I
J,
[ 2F a o ¡m ·I} F,
Fig. 10.34. Fórmulas para el cálcu lo de \a longitud de pandeo de sistemas aporticados desplazables.
270
las mismas Influyen considerablemente en la configuración de pandeo y aumentan la longilUd
de pandeo (Fig . 10.33) según [135); ver al respecto DIN 4224 (H 220 DAIStb).
Otras normas Incluyen fórmulas sencillas para la longitud de pandeo de pilares de pórti·
cos simples; en la Fig . tO.34 se han compitado ejemplos de ONOAM (ver también DIN 4114).
Las deformaciones correspondientes a la teona de 11 orden, originan también un aumento de los momentos de empotramiento' de los pitares. Si la unión del pilar se dimensiona sola·
mente para el momento de empotramiento correspondiente a la teona de I orden, pueden origi·
narse en dicha sección articulaciones plásticas prematuras, que reducen la rigidez a la lIex ión
supuesta para los dinteles y con ello afectan la seguridad al pandeo del pórtico. Por ello, los
dinteles deben dimensionarse también para absorber y transferir los momentos secundarlos
debidos a la deformación de los pilares (Teona de 11 orden).
10.5. Verificación de la seguridad al pandeo segun DIN 1045 Y DIN 4224
10.5.1. Resumen del problema
La DIN 1045 establece que para elementos comprimidos esbeltos, además del dlmen·
slonado de acuerdo con lo establecido en Cap. 7 debe efectuarse una verificación de la capacl·
dad portante considerando las deformaciones de la barra, es decir, debe efectuarse una "veri fi cación de la seguridad al pandeo". Debido a que dicha verificación según la teorla de 11 orden,
en general es muy trabajosa, en la DIN '045, para determinados limites de la esbeltez Á = SK'i
y de la excentricidad relativa eld correspondientes a la sección determinante, se Indican procedimientos aproximados. Corresponde distinguir los siguientes casos:
'lA"
20
2) eld ... 3,5
para Á< 70
eld ... 3,5 ·mo para Á> 70
3a).1. < 45 para pilares internos de pórticos regulares, cuando se considera la
longitud de pandeo = altura del piso,
sK
s;
=
b)Á< 45 - 25
~r
Oimenslonado según Cap. 7 para el
elemento comprimido sin deformar,
es decir sin verificación de la seguridad al pandeo
para l Mr l>I Md
para elementos comprimidos y elásticamente empotrados en sus extremos
sin cargas transversales (si Á> 45 se
dimensIonará. para
IM¡I >I M1 1> 0,2 dÑ)
4)20 < .1.<70
(Elemento comprimido de
esbeltez reducida)
Cálculo simplificado de la máxima deformación v mediante fórmulas para
una "excentricIdad adicional", f, que
Incluye la excentricidad Involuntaria eu
y para sistemas no desplazables la deformación vk por contracción. Para siso
temas desplazables con 1 > 45, debe
considerarse especialmente vk.
5).1. > 70
(Elementos comprimidos
esbeltos)
Dimens ionado mediante tablas y nomogramas de DIN 4224 (H. 220 DAIStb)
o del Beton·Kalender.
6).1.>200
Inadmisible. (¡Serfa preferIble que el 11·
mite para SK'd = 45 fuera.l. = 1501)
271
las aproximaciones comprendidas de 3) a 5) pueden, sin embargo, usarse solamente
para elementos comprimidos, de secciÓn constante (y también Fe y Fe constantes).
la DIN 4224 da, a través de diagramas y figuras, una visiÓn general de las prescripciones y simplificaciones de la DIN 1045.
10.5.2. Disposiciones fundamenta/es
En general se considera que la seguridad al pandeo de una barra comprimida de horml·
gón armado es satisfactoria, cuando se verifica que, cuando actúan simultáneamente en la si·
tuaclÓn más desfavorable cargas 1,75 veces mayores que las cargas de servicio, es posible un
estado de equilibrio estable que tiene en cuenta las deformaciones de la barra (teorla de 11 oro
den). Simultáneamente debe garantirse, que la barra comprimida sin deformar es capaz de absorber las cargas de servicio con los coeficientes de seguridad \1
1,75 a 2,1 que Se Indican en
el Cap. 7, Fig. 7.6 (es deGir, Seco 17.2.2 de OIN 1045). Para ello deben utilizarse los diagramas 0'(
correspondientes al hormigÓn y acero que aparecen en la Seco 7.1, aunque para simplificar también puede utilizarse para el hormigón el diagrama bilineal de Fig. 7.4.
la excentricidad normal e = M/N del esfuerzo ax!! N debe aumentarse de una excentri·
cldad accidental eu o por una curvatura de la barra que actúa en sentido desfavorable:
=
(10.14)
En casos especiales, como ser torres o pilares de puentes muy altos, puede convenirse
con la direcciÓn de la obra, otro tipo de verificaciÓn.
Fundamentalmente, la distribuciÓn de la excentricidad accidental o consecuente curva·
tura Inicial de la barra comprimida debe ser afln con la configuraciÓn de pandeo: es decir que la
barra solicitada ai pandeo posea, cuando no está sujeta a tensiones una deformacIÓn previa
cuyo máximo valor sea eu en la sección de la máxima defOfmactón por pandeo (Fig. 10.35 a, c.) P.
ra simplificar el cálculo debe, sin embargo, suponerse a la deformaciÓn previa con variaciones
lineales parciales (Flg. 10.35 b) o tenerse en Cuenta mediante una excentricidad adicional (Fig.
10.35 dI.
las deformaciones lentas deben tenerse en cuenta cuando en sistemas no despla·
zables resulta..l. > 70 (en sistemas desplazables..l. > 45) o cuando en el tercio medio de la longi·
tud de pandeo resulta eld < 2,0. Deben determinarse p~lIfa las cargas permanentes correspon·
dientes al estado de carga de servicio (en casos especiales Incluyendo las partes correspon·
dIentes a las cargas mÓviles) y teniendo en cuenta las deformaciones elbticas originadas por
las mismas (Teorla oe 1I orden) )' excentricidades accidentales eu. la deformaciÓn por fluencia
lenta puede calcularse en forma aproximada mediante las ecuaciones que figuran en Seco
10.5.4.5.
las def-:>rmaclones conducer"
especial en barras comprimidas de sistemas aportica·
¡
-.-- ,
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• " >I
I
1
I
I
I
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J.--
1
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I
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I
bI
di
.1
Flg. 10.35. Hipótesis sobre la distribución de excentricidad accidental ey Sobre la longitud de la barra.
272
dos sin arriostramlento (también en columnas en voladizo empotradas en la fundaciÓn) a un
aumento del momento de empotramiento. los elementos empotrados en el elemento comprimido (por ejemplo dintetes de pórticos. fundaciones) deben ser dimensionados para dichas solicitaciones adlcionates. Unlcamente en el caso de estructuras en eleyación. arriostradas
contra despla¡!:amientos horizontales, puede presclndlrse de una yerlflcació n analllica de la absorción de dichos esfuerzos caracterlstlcos adicionales .
10.5.3. Verificación simplificada de elementos comprimidos de reducida esbeltez (20<
sección constante
.l." 70) Y
Estos elementos comprimidos pueden. sobre la base del procedimiento de la barra sustituta. dimensionarse mediante una excentricidad adicional l. la deformación laterat y de la
. barra por efecto de v veces la carga de servicio y la excentricidad accidental eu• se tienen en
cuenta mediante la excentricidad adicional f. que debe suponerse constante sobre toda la tongitud de pandeo. En sistemas desplazables con}. > 45 debe considerarse, ademb, la deformación por fluencia lenta vk.
Para la verificación de la seguridad al pandeo es determinante la sección ubicada
dentro del tercio medio de la longitud de pandeo, a la que corresponde para el estado de carga
de servlclo,la máKima excentricidad normal e del esfuerzo axll. En sistemas no desplazables. la
máxima excentricidad normal e debldai a la carga de servicio en el tercio medio de la longitud
de pandeo, para variación lineal de momentos entre extremos de barras. puede calcularse en
forma aproximada en la forma siguiente:
1
N (O ' 65 .
• • -
(1 0. 15)
IMtl > IMII y M Y N corresponden a la carga de servicio.
SI uno de los extremos de barra está articulado y el otro elásticamente empotrado, utili·
zando la barra sustituta de Flg. 10.36 se obtiene como expresión de la excentricidad
donde
(10. 16)
e · O,67.
En el caso de sistemas desplazables es necesario estimar una configuración de pandeo
y luego calcular el máximo momento Mo en el tercio medio de la distancia entre puntos de infle·
xtón (= longitud de pandeo) (Flg . 10.31).
r
•
J:M1
,
O
1
' ~O
••
"N'
-+
~i
•
","" 1...,
..'
- +
,~
••
1
,• - - - - ~
~
o'
.,.':tt j...,
'1.
•
<l
'l
- -+
f
N
SecciÓn de dimensionado ().
O para la verlllcacl6n de la
seguridad al pandeo
Conflguracl6n de pandeo y lercio medio de
la longitud de pandeo
DistribuciÓn de la ex·
centrlcldad adicional I
Flg. 10.36. Sección de dimensionado y distribución de 'a excentricidad adicional I para una barra compri·
mida no desplazable, empotrada en su extremo superior y articulada en el Inferior.
273
¡
t
\
\
N
-,
.,¡.-
:~+,
O~TH
",
- Me
I!~
N
,
Diagrama
de momentos
Sección a dimensionar 0.0 para
verilicar la seguridad al pan-
1
do'
~
\
~'~
,
______ I
~
t
"
I,,
, ---J--
,
,, ,
,,
,,
I
•
,,
,
I
Configuración de pandeo
y tercio medio de la longitud de pand~o
Distribución
de la excentri·
cldad
adi-
cional'
Fig, 10.37. Sección para dimensionar y distribución de la excentricidad adicional f para un pórtico em·
potrado de nudos desplazables.
En los pórticos desplazables los nudos, en general, estan ubicados en el tercio medio de
la longitud de pandeo. Por ello, en estos casos, e debe siempre determinarse mediante los mo·
mentas de los pilares en correspondencia con los nudos del pórtico. En el caso de la figura
10,37 se ha representado la determinación de f para el extremo superior del pilar.
.
Con el valor de e as! determinado puede calcularse la excentricidad adicional f mediante las siguientes ecuaciones:
para
O
•
para 0,30!:
e
d
e
d
< 0,30
20
f=d h 100
< 2,50
f = d h - 2O
160
e
para 2,50!:d' <3,50:
donde
(= S<fdi'm.m
YO ' 10
~
+
e
d
~
O
O
r"'d~(350_~)
160
'
d
(lO. 18)
(10. 19)
'O
(10. 20)
~' ~?,.".~,)
(= 3,46· SK'd para secciones rectangulares)
d = dimensión de la sección en la dirección de pandeo
e = máxima excentricidad normal del punto de aplicación del esfuerzo para carga de servicio
en el tercio medio de la longitud de pandeo
Mediante las excentricidades e y f se obtienen los esfuerzos caracterlsticos para el di mensionado Nu = \1 N Y Mu = \1 N (e + 1). "La verificación de la seguridad al pandeo" consiste
entonces en efectuar un dimensionado corriente segun Cap. 7 utilizando dichos esfuerzos caracterlsticos, y en el cual el coeficiente de seguridad \1 debe satisfacer las especificaciones
que figuran en la misma.
Las curvas de carga portante de Fig. 10.38 permiten comprender mejor la influencia de f.
los momentos aumentan considerablemente debido a la deformación adicional segun la Tea·
rla de 11 orden, y por ello NU se reduce muCho. El colapso de elementos comprimidos de esbel·
274
tez reducida, ocurre al agotarse la resistencia de los materiales (ver curva para 1 = O en Fig.
10.38).
La barra de Fig. 10.36 (correspondiente a un sistema no desplazable) debe dimensionarse en la sección Q.O para Nu = v N y Mu = v N (e + f) Y en el extremo empotrado para
Nu = \1 N Y Mu = \1 M"
10.5.4. Verificación al pandeo simplificada para elementos comprImidos esbeltos O. > 70)
10.5. 4.1. Conceptos fundamentales
Para columnas esbeltas la Norma DIN 1045 exige una verificación sobre la base de la teorla de 11 orden (ver Sec. 10.31. La DIN 4224 (H 220 DAIStb) trae, para secciones rectangulares y
circulares con determinadas distribuciones de armadura, nomogramas y tablas, que facilitan
la verificación. Estas ayudas de cálculo han sido establecidas sobre la base de hipótesis
simplificadas para las relaciones M - N - It Ypara la distribución de la curvatura a lo largo de
la longitud de la barra, ver también [136].
10.5. 4.2. Hipótesis para las relaciones entre M - N -
It
Las formas muy variadas de las curvas de los diagramas m-n - It, de Fig . 10.18 -con
n como parámetro- se reemplazan por tramos rectos según Flg . 10.19. Dichas recias, para
barras comprimidas con BS! 42150 y BSI 50155 se han elegido como prolongaciones de las rec·
tas de unión de los puntos 8 y b, donde el punto 8 queda ubicado a una altura de 0,5 mU sobre
las verdaderas curvas n y el punto b a 1,0 mu sobre el punto de Intersección a - 2 (en el caso
de carga axil reducida) o respectivamente O - 3 (para grandes cargas axiles), ver Fig . 10.19.
Las tablas 28 b a 36 b del cuaderno 220 de la DAIStb, contienen los siguientes valores:
momento relativo de la carga de servicio
m'
curvatura relativa
XV · -
la
3
(10. 21)
. KU . d
rigidez relativa a la fiexión
bU
"
m_ o
_
I ¡¡ I
(10.22)
En todos los casos se han representado en función:
del esfuerzo axil relatlvo dado
n •
(10.23)
de la cuantla total de armadura
(10.24)
El factor fJ (ver labia de Fig. 10.41) sirve en este caso para poder usar para otras calida·
des de hormigón, las tablas calculadas para Bn 250.
275
la curvatura.: correspondiente a un momento M cualquiera, se obtiene con la relación
simplificada entre M·N·.: siguiente:
(10.25)
Para barras comprimidas con eSt 22134, en el cuaderno 220 de la DAfStt:;, en las tablas
37 b a 39 b se incluyen valores basados en un.diagrama poligonal en lugar de la recta sustituta .
10.5.4.3. Deformaciones supuestas de la barra y momentos correspondientes segun la teorfa
de If orden
La DIN 4224 recomienda como simplificación adicional para la verificación de la seguri·
dad al pandeo segun la teorla de 1I orden en una barra tipo, suponer que la variación de la curva·
NU
nu; _ _-
nu d•
i3
b·d · R
,<
1,_
Según teorla de
I orden
f
¡N
"Ud
Según teorla de
11 orden
\2
I
I
If
¡f
• •
K
~,
1
\
\
0,<
1
IN
N•
O
O
0,1
0,2
m U '· ~
i3
b·
0,<
0,3
R
Fig. tO.38. Curvas de carga portante de elementos comprimidos para distintas esbelteces l .
m
m
0,5 m.n--t-;~
Curva correspondiente a n
,
Curva correspondiente. n
0f-------------~--~
O
a) Diagrama para esfuerzos
longl1udlnales reducidos
U
"U "
R
b) Diagrama para esfuerzos longitudinales
de gran Intensidad
Fig. tO.39. Aproximaciones de las relackmes m-n -2, con n como parámetro, para elementos comprlml·
dos con eSt 42/50 y BSI 50155.
276
'.
I
-,
y moJI
/
- '-=-fl
J:im : T
'. 1
•
\
,
.... Yk \
2
t
----f
V.N
Barra sustituta deformada
Carga vlrlual
Distribución de
la curvatura de
la barra susti·
tuta (supuesta
Distribución
de los momentos vir·
tuales
de la barra sus·
tltuta
parabólica)
Flg. 10.-40. Distribución de la curvatura y diagrama de momentos virluales para el cálculo de la dellexión ia-
tera' v max.
tura debida a flexiones adicionales 8 lo largo de la longitud de pandeo sK es parabólica. La
deflexlÓn vm en el centro de la barra, resulta con ello facil de expresar:
v
ro
=
-
2 [ 5
M. da .. - 8 K 48 ( "'m -
J ."'.
(10.26)
1
2
v m ... - 10 8 K (
)l
m +
1
'4 "' e)
donde Km es la curvatura en el centro de la barra y xe la correspondiente a los extremos de la
misma debidas a los momentos extremos M = N· e; M es el momento en 81 lugar k, originado
por una fuerza virtual 1 que actua en el centro de la longitud de la barra (Flg. 10.(0):
Mk = 0,5·1·Xk·
SI se considera que la excentricidad accidental eu
81300 (igual a sK/JOO en la barra
normal) debe también tenerse en cuenta, de la Ec. (10.26) se deduce que el momento en el
centro de la barra de acuerdo con la teorla de 11 orden es
=
1
r}m
2
••
-(e+-)+-("
+ ~
[
4
U
300
10
m
EN
.)]
(10.27)
e
SI M~< Mu, la verificación de la seguridad al pandeo se satisface.
Suponiendo que JCm
JCU y utilizando la Ec. (10.25) para determlna~ ICe, donde se hace
M
Nu (e + eu), es poSible establecer una ecuación para poder aprovechar totalmente la
barra comprimida, en función de Mu y Nu, la que permite calcular la mblma longitud de pan·
deo admisible de la barra normal s.dm = sK adm.
=
=-
M
--lJ
IIN
sodm
"odm
-(e+--)+--
=N
- (e + - - ) +
300
U (
300
Sodm
U{
10
[
•
U
"u
"u + N U
4
4
+_+
(e
+
Bu
';g;) 1)
:
(lO. 28)
277
Para barras comprimidas con aSt 22/34, resultan dos ecuaciones de condición, debido a
las rectas sustitutas quebradas necesarias para este caso, reproducidas en OIN 4224 (H. 220,
OAfStb).
10.5.4.4. Nomogramas
Partiendo de la Ec. (10.28), K. Kordlna ha construido nomogramas, que figuran en OIN
4224 (H. 220 OAIStb) como tablas 28 a a 39 a. las mismas permiten dimensionar para n, mi, eld
y SK'd dados, es decir, determinar directamente la armadura necesaria. En ellas se tiene en
cuenta la excentricidad accldenlal eu y no es necesario sumarla a la excentricidad normal e. En
la Flg . 10.41 se ha reproducido uno de dichos nomogramas; en la Seco 10.5.4.6 se aclara su
empleo mediante un ejemplo.
10.5.4.5. Determinacl6n simplificada de las deformaciones por contracción diferida vI(
Sobre la base del valor!p del coeficiente de contracción, estimable en forma grosera, un
cálculo exacto teórico de las deformaciones por contracción diferida, conducirla a una exactitud engaflosa, que no existe en la realidad . Como aproximació n al valor máximo de vk, de
acuerdo a una sugerencia de K. Kordlna que figura en el cuaderno 220 de DAfStb, es posible recomendar la siguiente ecuación:
(10.29)
En la misma se tiene:
N
~
•
=
No
seguridad al pandeo, relerida a la carga de pandeo de Euler NE
2
(EJ)
N E • _ _,,...--'W,TT
• carga de pandeo de Euler, d,!nde
'K
(E JI
N
D
W
• [0,6+ 20· (\l +
o
¡.l' ) ] .
o
E
b
. J
b
: rig idez activa a la flexión
• parte de la carga de servicio que actúa en forma permanente
= carga permanente
q:¡ • coeficiente de contracción diferida según Ec. (7) de OIN 1045, Seco 16.4.2 (ver a este
respecto Seco 2.9.3.3)
= excenlricldad normal en el tercio medio de la longitud de pandeo sK. debida a
la carga permanente
'K
e • 300 = excentricidad accidental según Ec. (10.14)
u
En muchos casos es suficiente emplear la ecuación más simplificada:
(10. 30)
cuya solución se ha representado en el diagrama de Flg. 29 del cuaderno 220 de OAfStb.
278
Tabla
f7.1=l=T
Esfuerzo normal reducido
RU\
".
29 a
Bn 250
B SI 42150
h'/d_O. IO
~-'-;- ~r--------'
~,-I '..,;
Sistema estético de la bar" sustitut a
)..'
•
•
"
..
aplicación: SK'd > la
El efecto de la excentricidad accidental Su
según DlN 1045,Sec. 17.4.6, ya se tiene en
, ~__~C~"~'~O~I'~'~O~.~I~~~~~~~~___________
Excentricidad normal
Factor de transformación fJ
Calidad del
hormigón
,
Bn 150
Bn 250
1,66
1, O
Bn 350
Bn 450
Bn 550
0,76
0,65
0,58
Armadura necesaria:
Fe tot
F
e
+F
e
Fig . 10.41 . Nomograma para el dimensionado de elementos comprimidos esbeltos (Tabla 29 a del cuaderno 220 DAIStb, DIN 4224).
279
Las ecuaciones (10.29) y (10.30) tienen en cuenta la reducción de ta deformación por
contracción diferida debida a la existencia de armaduras. Por ello sólo deberlan aplicarse para
secciones con armadura aproximadamente simétrica.
La distribución de las deformaciones vk por contracción diferida debe nuevamenle su·
ponerse con una exactitud satisfactoria, afln a la configuración de pandeo.
Con la excentricidad normal e y las deftexiones laterales del eje de la barra (eu + v¡J, resulta Que la seguridad al pandeo de una columna, Que hasta ahora sólo consideraba la Influencia de las cargas permanentes sobre la carga de servicio, resulta verificada hasta un tiempo
t = 00 para v veces la carga de servicio total.
10,5.4.6. Ejemplo de cálculo
Una columna, empotrada rlgldamente en su base, y con un apoyo móvil en su extremo
superior, con d/b = 40130 cm debe verificarse para las cargas de Fig. 10.42.
Se conoce la configuración de pandeo (ver Fig. 10.24); la longitud de pandeo sK Y con
10,0 m (caso 1 de Euler). (Para empotramiento
ello la de la barra sustituta es sK = 2,0 · 5,0
elástico -por ejemplo como consecuencia de un asentamiento del terreno de fundación- iresullarla de la Flg. 37 de DIN 4224 un factor > 2,O!). La esbeltez es
=
).
a
1.r;;;' 8K
V12. d
3,46
a
10 O
rr
- 87
,
> 70
Considerando Que la esbeltez}. eSj> 70, es necesario tener en cuenta las deformaciones
por contracción diferida.
Con Ho
0,5 Mp, No
25 Mp,
0,2 Y~o tol.
2,5% se calcula la deformación diferida en la forma siguiente:
=
qJ=
=
"o
'D . " NO "
,u
=
0,5 . 5,0
25,0
•
0,1 m
" 10 cm
'K
10,0
" 300 • 300 " 0,033 m " 3,3
cm
3
2
6
n· [0,6 + 20· 0,025] . 3· 10 . 03~
,
12
",,"
10,0
2
- 20 . R
. 25,0
De la Ec. (10.29) se obtiene
0,8' 2,0
20,8-1
v
k
'" (0,100 + 0,033)
[
2,718
1]
a
0..011 m - 1,1 cm
o, mediante la ecuación simplificada (10.30)
vk
" (O 100 + O 033)
0,8' 2,0
• 0 . 011 m . 1,1 cm
•
,
20,8-1-0,4' 2,0
Con ello resulta como excentricidad determinante
e +v
2110
k
• 0,2 ':: 6 + 0,011 • 0 ,2 77 m.
Bn
BSt
t
250
"2ISO
E
.0,266m
o
'ii
•
~
•
o _.
O
tolo . 8," toIpm
t
Momentos
lIexores
Barra sustituta
Secci6n y materiales
Flg. 10."2. Datos para un ele.mplo de c6lculo de elementos comprimidos esbeltos.
La excentricidad accidental eu no es necesario sumarla en este caso, ya Que el no·
mograma de Fig. 10.41 la Incluye.
Sin embargo es necesario aún determinar las siguientes magnitudes iniciales:
na 1,0
-31,5
• _ 263 Mp/ m 2
0 , 3' 0,4
m
1
.. 1, O
(JJ
= 1,0 por ser Bn 250)
8,'
2
• 175 Mp/m
0,3 ' 0, 4'0,4
'K
-d- '
•
25
lO, O
O,T "'
0 , 277
O,,
" 0,69
En ia parte derecha del nomograma (Flg . 10.41) se marca el punto Que corresponde a los
valores SK'd
25 Ye/d
0,69; en la escala del borde Izquierdo se busca m
175, Yluego se
unen ambos puntos mediante una recta. Entre las rectas gula verticales vecinas, correspon·
dientes a n = - 200 Y n
300, se determina por Interpolación sobre la recta 1 el punto
correspondiente a n = - 263. La ubicación del punto asi determinado, que da la solución, referida a las rectas fJJ • foIo tal) nos da la cuantla necesaria de armadura.
En este caso se llene
=
=
=-
=
fJ . foIo tol = 0,022
O,confJ
Fe noc
= 1,OYfolotol
= Fe noc =
= 0 ,0 22
% · 0,022 · 30 · 40
= 13,2 cm!
281
SI se traza una linea auxiliar 2 entre el origen de la escala SK/d derecha y el punto que da
la soluciÓn, su prolongaciÓn hasta la escala de momentos de la Izquierda nos da el momento
\Ag según la teorfa de 11 orden:
m
O,Con
~~
S. '" 1,0:
Il
• 300 Mp/m
2
• 300.0,3·0,4.0,4 · 14,4 Mpm
10.5.5. Recomendaciones sobre disposIciones constructivas
Tanto para el dimensionado de elementos constructivos como para la verificación de la
seguridad al pandeo, es necesario tener presente algunas prescripciones constructivas contenidas en DIN 1045. A ellas corresponden especialmente:
El espesor mlnlmo de elementos comprimidos armados con estribos, de sección llena
debe ser:
para moldeado in situ verticalmente ); 20 cm
para moldeado horizontal y para elementos prefabricados ); 14 cm
la armadura longitudinal Fe, en el borde menos comprimido o, en su caso, Iraccionado
debe ser ); 0,4% de Fb y la armadura total 1 Fe de la sección tOlal,); 0,8% Fb. En este caso se
entiende como Fb "la sección de hormlgOn necesaria estáticamente". la armadura comprimida Fe, en tos casos de verificación de ta capacidad porlante y de la seguridad al pandeo, debe
Incluirse en el cálculo, a lo sumo con el valor de la armadura Fe existente en la misma sección
en el borde traccionado o menos comprimido.
En las secciones de hormigón que desde el punto de vista estático no se aprovechan totalmente, las cuantfas mlnlmas de armadura correspondientes a las secciones de hormigón
existentes, pueden reducirse en la relación entre el esfuerzo axll de compresión actuante y el
que puede absorber la sección de hormigón existente. Esle esfuerzo axll que puede ser absorbido debe, en este caso, calcularse con la excentricidad que se presenta en la barra, sin modificar su esbeltez.
"_
N
- b. d · ~1t
- 0,7
,
I
i-::--+---.--1
-O.'
- 0.6 t--+-j-+--"--~
- 0.5f'-.,-l'.....-+-cr....'-+----1~+--1
-0,45-- 0,4
- O. J t----+-+_
-0.2+-+_
- 0,1
"
FIg. 10.43. Ejemplo de la determlnacl6n de la armadura mlnlma para el caso de secciones de hormlgOn no
utilizad.s al maxlmo.
282
la Flg. 10.43 sirve como aclaración , y corresponde a una parte simplificada de la Fig .
7.20. Para una sección rectangular de 30140 cm armada simétricamente con SSt 42150 y de 8n
250, se han obtenido como esfuerzos caracterlsUcos determinantes (por ejemplo luego de reali·
zar una verlfic.c16n simplificada de la seguridad al pandeo según Sec. 10.5.3) los siguientes:
m" 0,04.;
n
·
~O,4.0
(para carga de servicio)
Con estos valores, el punto 1 nos da JoIo nae
,
= ..o =
0,04 o también
0,04
• '" 0,17
24.,0
¡.lo nec " !Jo
%
A la armadura mlnlma prescripta de JoIo = 14> = 0,4 11/D corresponderla ~ = 0 ,4 241HlO
0,10. Con esta armadura, para excentricidad y esbeltez constantes, podrla absorMrse el esfuerzo axll relativo n = - 0,45, que se obtiene en el punto 2 de la intersección de la
recta O - 1 con la curva correspondiente a ¡:io = 0,1 . (Observación: la pendiente de la recta
1 corresponde a la excentricidad relativa existente eld = m/n = 0,1).
la cuanUa mlnima relativa referida a la sección de hormigón de 30140 cm resulta enton-
= '"
°ce.
¡.Iomln nec = 0,4.
0,40
• 0,355 %
0 , 45
y con ello la armadura mlnlma necesaria
Fenec = Fenec =
0,355
l'Otl .
30· 40 •
4.,3
cm
2
10.6. Verificación de la .eguridad al pandeo en cesos especllle.
10.8.1. Seguridad al pandeo para el caso de esfuerzo de compresión con excentricidad en dos
direcciones
10.6.1.1. Generalidades
SI una fuerza de compresión excéntrica actúa, por ejemplo, en una sección rectangular
no sobre el eje x o el y sino en un plano oblicuo con excentricidades ex y ey (compresión axil
con flexión oblicua, pandeo oblicuo), la barra, según sean los valores de ex/b y eyld , las correspondientes rigideces a la flexión EJ x Y EJ y Y las configuraciones de pandeo en las direcciones
x e y, pueden pandear tanto en la dirección x como en la y.
Para determinadas relaciones, la dirección de pandeo puede, sin embargo, ser también
oblicua (no " pandeo en dos direcciones" sino en una dirección oblicua). Para pandeo oblicuo,
las verificaciones son naturalmente dltlclles, y no se conocen aún soluciones exactas que re·
Quieran un trabajo ,ezonable.
10.6.1.2. Verificación simpUflcada de la seguridad al pandeo en flexión compuesta oblicua
La DIN 1045 permite varlflcar la seourldsd s, oandeo Independientemente para cada d/recclón prlncl".¡)( o y, cuando los tercios medios de las configuraciones de pandeo en los pianos J( e y 110 se superponen entre si. Es el caso, por ejemplo, de las columnas del cobertizo de
Flg. 10.44, donde en la dlrección)( la columna funciona como ménsula empotrada en su base
(tercio med io de l a longitud de pandeo en la zona de empotramiento) y en la dirección y como
empotrada en su base y en el extremo superior con una articulación no desplazable (tercio medio de la longitud de pandeo determinante situado en la parte superior de la COlumna) .
283
Si se superponen los tercios medios de las configuraciones de pandeo (por e/emplo, como en el caso corriente de las columnas de esquina de edilicios elevádos) pueden lambién
efectuarse las verificaciones en forma ~areda peral .. direcciones principales x e y, siempre
que la columna tenga sección rectangular y la relaciÓn entre las excentricidades relativas ex/b
y eyld se mantenga Inferior a 0,2. Ello significa que el esfuerzo normal resultante está aplicado
dentro de la zona rayada de Flg. 10.45, en cuyo caso es tg CI " 0,2 bid.
En todos los casos restanles, la OIN 1045 exige una verlflca~/6n pandeo para f'ex/ón
compuesta oblicua, para lo cual la excentrlcld.ad accidental e u se determina sobre la base de la
mayor de las longitudes de pandeo sKx Y SKy' pero que se supone actuando en el plano del momento actuante.
La DIN 4224 (H. 220 OAIStb) da para este caso un procedimiento aproximado, pero de
aplicación limitada a columnas de sección rectangular y longitudes de pandeo sKx = SKy'
Con la notación de Fig. 10.46, el procedimiento aproximado se aplica en la forma que se
explica a continuación. De las excentricidades relativas a los ejes ¡( e y
a'
••
M
M
• J.
•
Ve •2 + ey2'
e ·
'y • N i
N
(10.31)
se determina un valor de cálculo e r de la excentricidad de la carga en función del ángulo íJentre
la direcciÓn del momento y el eje x:
tan
J'
a
•
••
(10.32)
J..
Con ello introduciendo la excentricidad accidental eu resulta
e • {cos,,'}' + -db lsenJ') (e+ e)
r
u
(10.33)
En esta expresión, el lado b corresponde siempre a la dirección x.
La dirección del eje neutro queda determinada en forma aproximada por el ángulo CI con
respecto al ele x (como la tangente a la elipse de semidiámetros Ix e Iy. ver Sec. 7.3.4)
tan
Con este ángulo CI y sKx
de pandeo
CL •
••
•y
( ~)
b
2
M
• -L (~)
M
x
2
(10. 34)
b
= SKy = sK se determina un valor de célculo sKr de la longitud
•Kr •
.
(10.35)
2
+ (d / b) . cos
2
Cl
El resto del desarrollo de la verificación al pandeo con respecto a un eje oblicuo se reduce, medIante el valor de cálculo er par. la excentricidad según Ec. (10.33) y sKr para la longitud
de pandeo, a una verificación de ' ••egurldad al pandeo respecto del eje y (Flg. 10.46), mediante
los procedimientos aproximados explicados en Seco 10.5.3 y 10.5.4.
Como valores relativos se Introducen e,lb y sKld Y respectivamente 1 = 1/12 . sKlb,,ln·
dependlentemente de si b es el lado mayor o menor de la secciÓn. En la Ec. (10.33), de acuerdo
con el procedimiento aproximado para el cálculo de er, no es necesario tener en cuenta especialmente la excentricidad accidental.
284
N
N
I
I
I
N
r
'K13
I
I
I
Flg. 10.4-4. Ejemplo de un. columna 8n l. que
los tercios medios del., longitudes de pandeo
SI(x y SKI no se superponen (es admisible una
verllicac 60 de l. seguridad al pandeo Independlenta para 188 dlrecclon.es x e y).
Dirección y
Direcc ión x
,
t
d
lan .L'l 0,2
b
Flg. 10.45. Verificación Independiente en 1.,direcclones
x e y admisible, cuando el punto de aplicación del 8S·
fuerzo normal cae dentro de las zonas rayadas.
+- b--+
"
"
.
,
Direcc ión del
pi. no de tre-
,lOo
"
My /N
M./N
,
d
y¡;
...L
¡'i2
d
Dirección del
Dirección de
•• ndeo
ele neutro
"
+--
b
J
Flg. 10.46. Sección rectangular solicitada a la flexión compuesta oblicua.
285
10.6.2. Verificaci6n de la estabilidad de sfstemas aport/cados
la estabilidad de sistemas aportlcados rlgidos no resulta suficientemente asegurada
en todos los casos, por las verificaciones de la seguridad al pandeo de los pilares de pórtl·
cos analizados hasta ahora. A este respecto, la DIN 1045 en la Seco 17.4.9 hace algunas consi·
deraclones. De acuerdo con ellas, el conjunto del sistema puede analizarse segun la teorla de 11
orden para 1,75 veces la carga de servicio, para lo cual se suponen una inclinación del sistema
correspondiente al valor de eu de la barra aislada y valores aproximados de la rigidez a la flexión.
la DIN 4224 (H. 220 DAIStb) recomienda suponer para la rigidez a la Ilexión:
Para la sección rectangular solicitada a la flexión compuesta
(10. 36a)
Para Ilexlón pura,
sección rectangular con armadura si mple
(10. 36b)
viga-placa con armadura simple
(10. 36e)
Para flexión con tracción, sección rec tangular
(10. 36d)
En esta ultima expresión, cuan de la sección de la armadura ne es constan te a lo largo
de la barra, deben considerarse para ... o y ...;, valores medios .
Cuando se trata un sistema aportlcade regular (por ejemplo, pórticos de entrepisos en
edificios), puede admitirse como medida de la inclinación, segun Flg. 10.47
t8no. " -1,3 ~ ,
h
u
(lO. 37)
donde h = altura total
n = número de pisos
eu = ~ = excentricidad accidental, a determinar para cada piso
El factor 1,3 en la Ec. (10.37) tiene en cuenta que la excentricidad accidental determina·
da para cada una de las barras, deberla suponerse alln con la con figuración de pandeo. Dado
que las barras apenas se Inclinan manteniéndose rectas, para obtener una seguridad su ficiente, se ha introducido el factor de mayoraclón 1,3. En forma aproXimada, y para las relaciones
corrientes de rigidez, puede también suponerse:
tan
1
0."
154
(10. 38)
Para el sistema tetal supuesto inclinado en la forma Indicad a, utilizando las rigideces a
flexión (EJ)w muy cercanas a las reales , puede calcularse por Iteración una distribución de los
esfuerzos caracterlsticos y determinar las deformaciones mediante la Ec. (10.25) que da valo·
res aproximados de las relaciones M - N - lt.
286
-,,
: a,,
,:
,,
,,
,
I
I
h
I
j- J (...
I
,I
I
I
I
I
I
I
l
~
.
I
..
I
,.
Fig. 10 .• 7. Definición del 'ngulo de IncHnacl6n de un pórtico.
El análisis finaliza, cuando el paso (n + 1) de la Iteración no presenta diferencias sensibles de los resultados con respecto a los correspondientes al paso n de la Iteración.
En el apénd ice del cuaderno 220 DAfStb figuran más aclaraciones sobre la verificación
del conjunto del sistema.
10.8.3. VerificaciÓn de la seguridad al pandeo en columnas zunchadas
La Influencia crecien te del zunchado sobre la carga portante debe (ver Seco 7.4) tenerse
en cuenta para el cálculo só lo hasta esbelteces .1. = sK/i " 50 Y excentricidades eld" 1/8, por
cuanto la misma, al aumentar la flexión deja de ser e'ecl iva. Para columnas zunchadas con
l > 20 es necesario también lener en c uenta la deformación del eje de la barra según la leorla
de 11 orden. Dado que .l está limitada a 50 puede, en general, utilizarse para columnas zuncha·
das la aproximación según Seco 10.5.3. También la excentricidad normal e
M/N debe
aumentarse del valor f según Ec. (10.18):
=
r •
dk
A - 20
100
VO"
+..!...
~
O
d
-
(10. 39)
k
la ecuación (7.135) que aparece en la Seco7.4 para la determinación del incremento de
la carga portante debido al zunchado, en el caso de colum nas donde exista el peligro de pan·
deo, toma la siguiente forma:
(10. 40)
Para columnas zunchadas esbeltas, sólo podrá tenerse en cuenta el aumento de la ca·
pacidad portante como consecuencia del zunchado, cuando se cumpla
e+ f
-d
k
1
-~ 8
10.7. Capacidad portante de elementos comprimidos de hormigón simple
10.7.1. Sobre el comportamiento bajo carga de elementos comprimidos de hormigón simple
lOs elementos comprimidos de hormigón simple, aun en el caso de esbeltez moderada,
son sensibles a las variaciones de la excentricidad de la carga, porque la aparición de ten·
slones de tracción al analizar la seguridad, hace Que sea necesario considerar la fisuraclón y
con ello una reducción de la sección act iva . A este respecto, se remite a los valores incremen·
287
tados de los coeficientes de seguridad y ecuaciones de dimensionado en función de (JR y de la
excentricidad e que figuran en Seco 7.6.
De las consideraciones efectuadas en la Seco 10.2, relativas a la capacidad portant& de
elementos esbeltos comprimidos armados considerando su CUl'\latura, el consecuente
aumento de la excentricidad (rearla de JI orden) y además la influencia de la contracción diferl·
da e imperfecciones constructivas, resulta que los elementos de hormigón simple comprlml·
dos, al aumentar su esbeltez, deben calcularse con coeficientes de seguridad mayores que pa·
ra el caso de los elementos armados.
Fundamentalmente, para elementos comprimidos de hormigón simples podrlan tamo
blén establecerse las relaciones M - N -x, y mediante las mismas (ver Seco 10.3.3) calcular la
carga Que,al ser sobrepasada, harla que los esfuerzos caracterfsticos internos no pudieran
acampanar el incremento de los esfuerzos caracterlstlcos externos. Pero, considerando que
Ids elementos comprimidos de hormiQón simple, sólo en muy pocos casos son esbeltos y Que
casi únicamente se utilizan como paredes, se prescinde aqul del desarrollo de dichoS medios
auxiliares de cálculo. Para casos especiales consideraremos los procedimientos de M. Levy y
E. Spira (137] y B. Lewicki (138J.
Los autores nombrados en primer término parten en su análisis de un diagrama IN curvo
para el hormigón (hasta· 3,6 0/00) Y contrariamente a los principios básicos aceptados en Ale·
manla, Introducen en el cálculo también la resistencia a la tracción del hormigón (deformación
por tracción (b " 1 0/00). En la Fig. 10.48 se han representado los resultados de dicho estudio. El
diagrama da para una dada esbeltez sKld Y axcentricidad normal e/d, el valor de la carga por·
tante nU referida a bd PR. Dado Que no se tuvieron en cuenta imperfecciones (es decir, aumen·
tos de la excentricidad accidental) ni la Influencia de la contracción diferida, es necesario elegir un coeficiente de seguridad mayor, por ejemplo 2,5 a 3,0, para poder obtener de Pkr la carga
de servicio admisible. La linea de trazos da, para loS valores situados a su Izquierda, la resiso
tencia a la compresión del hormigón y a la derecha la estabilidad del elemento comprimido, determinantes del colapso del elemento. Por debajo de la linea de puntos se tiene la zona para la
cual aparecen fisuras antes de alcanzarse la carga de servicio.
Numerosos edificios altos se han const ruido con paredes de carga de hormigón simple
(espesores de no menos de 7 cm para alturas de pisos de 2,75 m y arriostradas las paredes con
tabiques transversales), lo que comprueba la posibilidad de utilizar dichos elementos compri·
mldos.
....
0.8
.........
""'"
-"O,O,,l
........
.. .......... ~S
0--'
/ ' ....... JO, """'-
.....
0,6
....
04
0.2
o
é'/d -
"'"
.
5
'............
"
--...........
/O
r-......
O,,lO, r-..
..... o'1S
/5
~
o'JO,
...... t--..
-
'.
-..:.;,; ¡;;;----.. ..............
..........
r-.
.....::.:,-.-..
OJ5
040
20
25
JO
J5
Fig. 10.48. Carga portante NU de elementos comprimidos sin armadura en función de la esbeltez SKld Y de
la excentricidad relatlva eld j137j.
288
10.7.2. Dimensionado de elementos comprimidos esbeltos de hormigón simple según DIN 1045
La DIN 1045 da un procedimiento aproximado para tener en cuenta la Inlluencia reduc·
tora de la esbeltez sobre la capacidad portante, que, junto con las normas de célculo dadas en
Seco7.6, permiten obtener estructuras porlantes suficientemente seguras.
En principio se exige que para barras comprimidas la esbeltez.l. = SKIi" 40 (es decir,
que para secciones rectangulares SK/d < 11 ,5) no debe ser sobrepasada. Para paredes, donde
fallas localizadas resullan protegidas por zonas vecinas más resistentes, la esbeltez limite es
mayor,a saber .l." 70 (para la sección rectangular SK/d" 20).
La reducción de la carga portante como consecuencia de las deformaciones del eje de
la barra, se tiene en cuenta mediante un coeficiente le, con el que debe disminuirse la carga portante calculada mediante la Ec . (7.151): La expresión le es
A
m
x · 1 --(1+-)
140
donde: m = e/k =
k
WoIFb
=
=
3
(10.41)
excentricidad referida al radio nuclear k
radio nuclear referido al borde comprimido
y simplemente para secciones rectangulares
,
• 1
(1 + 2: )
(10.42)
la DIN 4224 (H. 220 OAfStb) Incluye un diagrama, del que pueden obtenerse los valores
de
le.
289
FRITZ LEONHAROT
ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO
,. Bases pala el dimensionado de estluctulas de hOlmigón armado
Estructuras de hormigón armado. monumental tratado de Fritz Leonhardt
con Eduard Monnig como coautor de los tres primeros tomos, esta
planeado en seis partes: "Bases para el dimensionado de estructuras
de hormigón armado", "Casos especiales del dimensionado", "Bases para el
armado de estructuras", "Verificación de la capacidad de uso", "Hormigón
pretensa do" y "Construcción de puentes monoliticos".
En esta primera parte se abordan los aspectos lundamentales del
dimensionado de estructuras de hormigón armado, o sea, las propiedades de
los materiales constituyentes del hormigón, de los aceros para armaduras y
del hormigón armado propiamente dicho. Trata. también, el comportamiento
de los elementos estructurales bajo la acción de las solicitaciones, presenta
modernas consideraciones sobre la teoria de seguridad de las estructuras, y
enfoca problemas especificos del dimensionado de elementos solicitados a
flexión, a esfuerzos de corte y a torsión, y del dimensionado de elementos
comprimidos, incluso pandeo.
El gran valor del texto radica, por una parte, en el propósito de hacer
comprender el funcionamiento del complejo material hormigon armado y. por
otra. en proporcionar ayuda practica para el dimensionado en el trabajo
diario del constructor.
Estructuras de Ilurrnlgon armado es, en pocas palabras, una obra ya clasica
que satisface todas las necesidades del estudio y también de la practica. La
admirable precisión de la redacción y el estilo facil. hacen de eUa un texto de
enseñanza especialmente valioso.
De nuestro catalogo
Enrique L De Luca Hormigón pretensado
Benno los ser Hormigón armado (8" ediCiÓn)
Oreste Moretto: Curso de ,'7ormlgón armado (2" ediCión)
-~
-11111111
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