PROBABILIDAD
Fenómenos Aleatorios y Probabilidad
• En la naturaleza existen dos tipos de fenómenos:
• Deterministas: explicados por modelos basados en leyes o reglas naturales y
cuyos resultados se pueden predecir.
• Aleatorios: Sus resultados no pueden predecirse antes de su realización y por
lo tanto están sujetos al azar.
• La probabilidad es la medida de la veracidad de ocurrencia de los
resultados de un fenómeno aleatorio. Sus valores extremos son cero
= cuando no existe posibilidad alguna de que ocurra el suceso y uno=
que representa la certeza absoluta.
Muestral
Experimento Aleatorio y Espacio
Espacio
Muestral
• Un experimento aleatorio es aque que al realizarse puede resultar de
dos o más formas dis@ntas, por ejemplo: lanzar una moneda, lanzar
un dado.
• Espacio Muestral es el conjunto de todos los resultados posibles del
experimento, se denota por la letra griega Ω o bien la letra S. Puede
ser finito, numerable o infinito.
⌦ = {! : todos los resultados posibles }
Eventos
• Un evento ocurre cuando uno o más de los resultados del espacio
muestral se lleva a cabo. Cada uno de los resultados del espacio
muestral se conoce como evento simple. Pero también es posible
crear eventos que incluyan más de un resultado llamados eventos
compuestos.
• Dos eventos son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre un
evento, los otros no pueden ocurrir y viceversa.
• Cuando dos eventos o más incluyen todos los resultados del espacio
muestral se dice que son exhaus4vos conjuntamente.
Descripción de eventos como conjuntos
Evento
Descripción como conjunto
Notación
Evento seguro
Espacio muestral
Ω o bien la letra S
Evento imposible
Conjunto vacío
A o B ocurren
Unión de A con B
𝐴∪𝐵
AyB
Intersección de A con B
𝐴∩𝐵
A no ocurre
A complemento
Al menos un Ai
Unión de los Ai
Todos los Ai
Ningún Ai
∅
𝐴! , 𝐴" 𝑜 𝐴̅
&
* 𝐴#
#$%
&
Intersección de los Ai
Complemento de la unión de los
Ai
+ 𝐴#
&
#$%
!
* 𝐴#
#$%
&
= + 𝐴!#
#$%
4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS DE PROBABILIDAD
4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS DE PROBABILIDAD
Representación en Diagramas de Venn
4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS DE PROBABILIDAD
FIGURA 4.8
FIGURA 4.8
F I Gde
UR
A 4de
. 8A " B
Diagrama
Venn
FIGURA 4.9
●
●B
Diagrama de Venn de A "
Diagrama de Venn de A " B
FIGURA 4.9
●
FDiagrama
I G U R A de
4 .Venn
9
Diagrama de Venn A ! B
Diagrama de Venn A ! B
S
EJO
MI CONSEJO
CONSEJO
S
“ambos
. .⇔
. y”
cción
⇔ “ambos
. . . y” . . . y”
tersección
“ambos
y”. “y”.
sólo
⇔ “uno de dos . . . o
nión
⇔ .“uno
de
dos
. . o de dos . . . o
o sólo “o”.
A
A∪B
mbos” o sólo “o”.
“o”.
RA 4.10
BB
A
●
S
A
145
●
S
B
145
145
SS
AA
B
B
B
4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS D
A∩B
A∪B
A∩B
A∩B
ocurran, P(A ! B), debe ser cero. La figura 4.12 es una representa
Venn de dos de estos eventos sin ningún evento simple en común
FIGURA 4.12
Unión
lemento de un
IGURA 4.10
10
A∪B
A
A ! B●
❍
❍
❍
complemento ●
de un
de un
ento
●
Intersección
S
Dos eventos
disjuntos
S
●
●
Ac
Ac
S
Ac
S
A
A
B
A
A
Complemento
Mutuamente excluyentes o disjuntos
donde la frecuencia es el número de vec
número
n de repeticiones del experimen
Enfoques para
el
cálculo
de
probabilidades
Probabilidad
última instancia se genera toda la poblaci
se define como la probabilidad del even
• Enfoque Clásico
• Enfoque Frecuen:sta
#A
P (A) =
#⌦
Frecuencia
P(A) ! lim _________
n
n!"
Como P(A) se comporta como una fr
•ción
Si hacemos
que el número
ny de
que
se
encuentre
entre
0
1;
P(A) !
repe:ciones
del
experimento
se
• La probabilidad se entiende como el evento A siempre ocurre. Cuanto más
haga cada vez más grande (n), o en
el cociente entre los casos
úl:ma instancia se genera toda la
favorables y el total de casos ocurra.
posibles siempre y cuando la
cardinalidad del espacio muestral
sea finita
población. La frecuencia rela:va
del evento A se define como la
probabilidad del evento A
Requisitos que debe de cumplir una función
de Probabilidad
• 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐴 𝑦 𝐵 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 Ω, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐴, 𝐵 ⊆ Ω, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
•0≤𝑃 𝐴 ≤1
•𝑃 Ω =1
• 𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
• 𝑃 𝐴! = 1 − P A
Probabilidad condicional
• La ocurrencia de un evento puede afectar la ocurrencia de otros
eventos.
• Si tenemos dos eventos A y B, la probabilidad condicional de que
suceda A, dado que ocurrió B se define como:
•𝑃 𝐴𝐵 =
"($∩&)
"(&)
• 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) se conoce como la probabilidad conjunta de que ocurrran A
y B, si A y B son independientes 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=P(A)P(B) y por lo tanto
𝑃 𝐴 𝐵 =P(A). P(A) y P(B) son las probabilidades marginales.
Probabilidad Conjunta
• Cuando necesitamos conocer el resultado de dos experimentos que
ocurren al mismo tiempo, tales que son mutuamente excluyentes y
exhaustivos conjuntamente hablaremos de probabilidad conjunta.
Sean A y B dos experimentos aleatorios que cumplen con ser
mutuamente excluyentes y exhaustivos conjuntamente
• La probabilidad conjunta es la probabilidad de que el evento de un
experimento y del otro sucedan al mismo tiempo 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
• La probabilidad marginal es la probabilidad de que ocurra un evento
de cada uno de los experimentos sin tomar en cuenta la ocurrencia
del otro. P(A)
Probabilidad fórmulas:
Regla de la Suma
Regla de la Mul@plicaci o
́ n
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
Si A y B son mutuamente
excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B)
P (A y B) = P (A) · P (B | A)
Si A y B son independientes:
P(A y B) = P(A) · P(B)
Complemento
P (A’) = 1 − P (A)
Teorema de Bayes
P(A|B) =
P(A)·P(B|A)
/{P(A)·P(B|A)+P(A’)·P(B|A’)}
EJEMPLOS
• Cierta empresa envía 60% de sus paquetes de correo
nocturnos por servicio de correo expres. De estos paquetes,
2% llega después de la hora garan>zada de entrega. Si se
selecciona al azar un registro de envíos nocturnos de los
archivos de la compañía, ¿cuál es la probabilidad de que el
paquete sea enviado vía el servicio de correo expres y llegue
tarde?
ta 5
siguiente
muestra
la muestra
distribución
de grupos
hemáticos
entre
• La tabla
siguiente
la distribución
de grupos
hemáticos
entrela pobl
Hoxworth
Bloodgeneral
Center,
Cincinnati,
Ohio):
la población
(Fuente:
Hoxworth
Blood Center, Cincinnati,
Ohio):
Rh+
Rh
A
34%
6%
B
9%
2%
AB
4%
1%
O
38%
6%
• La probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B dado que
Rh− es:
abilidadtiene
de que
una persona tenga sangre tipo B dado que tiene Rh
2
• Al seleccionar una parte moldeada por inyección, la
posibilidad de que ́esta provenga de una de las ocho
cavidades del molde es la misma. ¿Cuál es la
probabilidad de que la parte no provenga de la
cavidad 3 ni de la 4?
•En un lugar se encuentran 30 personas 18
mujeres y 12 hombres. 2 mujeres son mayores
de 40 años y 3 hombres son mayores de 40 años.
Si se escoge una persona al azar, la probabilidad
de que sea hombre o que sea mayor de 40 años
es:
Ejemplo 5 (Tema 4.5):
• En una agencia
lasautos,
ventas
de undemes,
reportaron
los
En de
una autos,
agencia de
las ventas
un mes,
reportaron los
siguientes datos.
siguientes datos.
Rojos
Blancos
Medianos
14
8
Grandes
10
18
• Encuentre las siguientes probabilidades.
a) Comprar un auto mediano y blanco
Encuentre las siguientes probabilidades.
b) Dado que se
compró un auto blanco que sea grande
• c) Dado que el auto
mediano
que
sea yRojo
a) es
Comprar
un auto
mediano
blanco
b) Dado que se compró un auto blanco que sea grande
Nota. Si la pregunta fuera la 3, solo hace falta calcular la probabilidad
intersección y la del evento que ocurrió primero, no hace falta hacer toda la t
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes.
P(H/A)
P(A)
P(H/B)
P(B)
P(C)
P(H/C)
P(H/A) = 0.75, P(H/B) = 0.8 y P(H/C) = 0.95.
Teorema
de
Bayes
Dado que ocurrió el síntoma H, la probabilidad de que proven
B es:
• El teorema
de Bayes permite calcular la probabilidad siguiendo el
proceso inverso. Si ya ocurrió́ el evento H ¿Cuál es la probabilidad de
que venga
A, B o C?de Bayes nos dice que dicha probabilidad se
El de
teorema
• El teorema
de Bayes nos
dicha probabilidad
ob@ene
probabilidad
dedice
B yque
H entre
las suma deselas
probabilidades d
dividiendo la probabilidad de B y H entre las suma de las
probabilidades
de las intersecciones. Esto es:
Esto es:
Observe que las intersecciones corresponden a las ramas fi
Teorema
de
Bayes
Observe que las intersecciones corresponden a las ramas finales del árbol y
cada intersección es el producto de las probabilidades de las ramas anteriore
• Observe que las intersecciones corresponden a las ramas finales del
la forma:
árbol y que cada intersección es el producto de las probabilidades
de las ramas anteriores, de la forma:
• Si se hubiera pedido la probabilidad de que dado H viniera de C,
cambiamos
el numerador
por la probabilidad
yH
Si se hubiera
pedido
la probabilidad
de que dadodeHC viniera
de C, cambiam
numerador por la probabilidad de C y H
EJEMPLO
• Sean A, B y C enfermedades y H un síntoma que
aparece con cualquiera de las 3 enfermedades. Las
enfermedades son excluyentes y un estudio indica:
• P(A) = 0.02, P(B) = 0.01, P(C) = 0.005 y
• P(H/A) = 0.75, P(H/B) = 0.8 y P(H/C) = 0.95.
• Dado que ocurrió́ el síntoma H, la probabilidad de que
provenga de la enfermedad B