Ejemplos y Ejercicios resueltos

Recursos para el
Aprendizaje Efectivo de la
ESTADÍSTICA y la
PROBABILIDAD
RAEEP
Ejemplos y
Ejercicios resueltos
Lic. Gabriel Leandro, MBA
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2
Tabla de contenidos
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
3
PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA
13
ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA
19
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
65
INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDAD
84
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
103
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
143
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
170
MUESTREO
192
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
209
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS O PROPORCIONES
POBLACIONALES
236
CORRELACIÓN LINEAL Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
267
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3
1
.
Introducción a la estadística
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
 Explicar el concepto de estadística y sus funciones principales
 Reconocer la diferencia entre estadística descriptiva e inferencial
 Identificar las fases básicas de una investigación estadística
 Conocer las escalas de medición de las variables estadísticas
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4
Ejercicio
de
revisión
Clasifique las siguientes variables como cualitativas o cuantitativas, y en
caso de ser cuantitativas señale si son discretas o continuas:
1. Marca de un refresco producido en el país.
Cualitativa
2. Grado académico de un profesional.
Cualitativa
3. Ingreso mensual familiar.
Cuantitativa continua
4. Número de hijos.
Cuantitativa discreta
5. Talla de una camiseta (pequeña, mediana, grande).
Cualitativa
6. Número de la talla de un pantalón (10, 12, etc.).
Cuantitativa discreta
7. Tiempo de espera en una fila para recibir un servicio.
Cuantitativa continua
8. Ciudad de residencia.
Cualitativa
9. Calidad de un producto (sin defectos, con defectos menores o con
defectos mayores).
Cualitativa
10. Peso de un paquete de harina.
Cuantitativa continua
11. Nombre del principio activo de un medicamento.
Cualitativa
12. Número de personas en una fila.
Cuantitativa discreta
13. Cantidad de energía eléctrica consumida por mes en una empresa.
Cuantitativa continua
14. Número de artículos defectuosos por línea de ensamble.
Cuantitativa discreta
15. Consumo de calorías por día.
Cuantitativa continua
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5
Ejercicio
de
revisión
El encargado de recursos humanos de una empresa va a realizar un estudio
de clima organizacional. Para ello va a aplicar un cuestionario a todos los
funcionarios que actualmente laboran en la empresa y les va a pedir que
den su opinión con respecto a la comunicación dentro de la empresa, el
liderazgo de los gerentes, las relaciones interpersonales, entre otros
aspectos. Con respecto a esta situación indique:
1. ¿Cuál es la unidad estadística?
Un funcionario actual de la empresa
2. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cuantitativa
que pueda interesar en este estudio?
Antigüedad (años de laborar para la empresa)
3. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cualitativa
que pueda interesar en este estudio?
Opinión sobre las relaciones interpersonales
4. ¿Cuál es la población?
Conjunto de funcionarios actuales de la empresa
Ejemplo
Un funcionario de un banco desea hacer una evaluación de cliente interno,
es decir, una evaluación de ciertos servicios que los distintos
departamentos del banco se prestan entre sí. Con ese fin ha elaborado un
cuestionario, el cual, por el nivel de sus contenidos deberá ser aplicado al
personal que ocupa puestos de jefatura. El banco posee 5.000 empleados,
pero solo 350 ocupan puestos de jefatura. Con base en la información
anterior, determine:
1. ¿Cuál es la unidad estadística?
2. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cuantitativa
que pueda interesar en este estudio?
3. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cualitativa
que pueda interesar en este estudio?
4. ¿Cuál es la población?
5. ¿Vale la pena emplear una muestra o es mejor aplicar el cuestionario a
toda la población?
6. Suponga que se aplica el cuestionario a la población, ¿habría error a la
hora de hacer la estimación de los parámetros investigados?
7. ¿Cuál podría ser un posible sesgo?
Solución
1. Dado que el cuestionario solo debe ser aplicado a los puestos de
jefatura, entonces la unidad estadística no corresponde a un empleado
del banco, sino a un empleado que ocupe un puesto de jefatura en el
periodo en el cual se va a realizar el estudio.
2. Una característica o variable cuantitativa que pueda interesar en este
estudio puede ser el tiempo que tiene el funcionario de laborar para el
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6
3.
4.
5.
6.
7.
Ejercicio
de
revisión
banco, o el número de empleados que tiene como subordinados, entre
muchas otras posibles respuestas.
Una característica o variable cualitativa que pueda interesar en este
estudio puede ser la valoración que hace del servicio que presta otro
departamento (calificándolo como muy bueno, bueno, regular, malo o
muy malo), o el departamento para el cual labora el funcionario que
contesta el cuestionario, entro muchas otras respuestas posibles.
Dada la definición que se hizo en la pregunta 1 de la unidad de estudio,
la población correspondería al conjunto de empleados que ocupen
puestos de jefatura en el periodo en el cual se va a realizar el estudio.
Una población está compuesta por 350 personas no es demasiado
grande, por lo que podría emplearse la población. Sin embargo puede
ser que las oficinas se encuentren distribuidas a lo largo de todo el país,
y que por aspectos de costo y tiempo sea mejor emplear una muestra.
Si se aplica el cuestionario a la población, entonces no habrá error de
muestreo a la hora de hacer la estimación de los parámetros
investigados. Este error aparece solo cuando se utiliza una muestra en
el estudio.
Existen muchos posibles sesgos, pero uno muy frecuente es el diseño
inadecuado del cuestionario. Por ejemplo, que contenga preguntas mal
redactadas, que sugieran la respuesta, etc.
Un investigador está interesado en conocer el impacto de las relaciones
entre padres e hijos sobre el desempeño académico de los niños en edad
escolar. Para realizar su estudio ha diseñado un cuestionario que desea
aplicar a una muestra de niños en varias escuelas de la ciudad capital
durante el año 2013. Con respecto a esta situación indique:
1. ¿Cuál es la unidad estadística?
La unidad estadística es un niño en edad escolar matriculado en una
escuela de la ciudad capital durante el año 2013.
2. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cuantitativa
que pueda interesar en este estudio?
Variables cuantitativas: edad, calificaciones, horas de estudio con los
padres, horas de actividades recreativas realizadas con los padres, etc.
3. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cualitativa
que pueda interesar en este estudio?
Variables cualitativas: zona o barrio de residencia, nivel socio
económico de la familia, sexo, etc.
4. ¿Cuál es la población?
Es el conjunto de niños en edad escolar matriculados en una escuela de
la ciudad capital durante el año 2013.
5. ¿Vale la pena emplear una muestra o es mejor aplicar el cuestionario a
toda la población?
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7
Dado que la población estaría compuesta por muchos miles de niños,
entonces para incurrir en menor costo y concluir el estudio en menos
tiempo sería mejor emplear una muestra, además de poder estudiar con
más detalle cada caso.
6. ¿Cuáles ventajas y desventajas tendría realizar el estudio empleando
una muestra no aleatoria?
Ventajas:
- Un muestreo por conveniencia posiblemente dé menores costos y
menor tiempo.
- Un muestreo a juicio podría revelar información de casos de interés
particular para el investigador.
- Un muestreo voluntario podría incluir familias con mucha disposición
a brindar la información.
Desventajas:
- En el muestreo no aleatorio es difícil obtener muestras representativas
de toda la población, por lo que luego no se podrían generalizar las
conclusiones al resto de la población.
7. ¿Cuáles ventajas y desventajas tendría realizar el estudio empleando
una muestra aleatoria?
Ventajas:
- La muestra aleatoria evita los sesgos de selección, o sea, la muestra no
está influida por el criterio del investigador ni su conveniencia.
- La muestra podría ser representativa de la población permitiendo la
inferencia, o sea, generalizar los resultados a toda la población.
Desventajas:
- Mayor costo, más tiempo en la realización del estudio y la negativa de
algunas unidades de estudio.
8. Dé un ejemplo de un posible sesgo que podría presentarse en un estudio
de este tipo.
Posibles causas pueden de sesgos pueden ser:
- Inadecuada selección de la muestra, que refleje solo ciertos estratos de
la sociedad.
- Aplicación del cuestionario en horarios o sitios inapropiados.
- Las variables del estudio son complejas y podría ser muy difícil
definirlas y medirlas.
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8
Ejercicio
de
revisión
Clasifique las siguientes fuentes de información como primarias o
secundarias:
1. Artículo de un periódico sobre el crecimiento de las exportaciones del
país.
 Fuente secundaria
2. Reporte del instituto de estadística del país sobre la evolución del
desempleo a nivel nacional.
 Fuente primaria
3. Informe del Fondo Monetario Internacional sobre las tasas de inflación
de los países de América Latina.
 Fuente secundaria
4. Estado de pérdidas y ganancias de una compañía entregado a sus
accionistas.
 Fuente primaria
5. Folleto de la Organización Panamericana de la Salud sobre la
prevalencia de las enfermedades cardiovasculares en los países de
América Latina.
 Fuente secundaria
6. Artículo de una revista científica en que un investigador presenta los
hallazgos que obtuvo sobre la salud bucodental de una comunidad rural
del país.
 Fuente primaria
7. Anuario estadístico del Banco Interamericano de Desarrollo sobre la
infraestructura vial en los países de América Latina.
 Fuente secundaria
8. Anuario estadístico del Ministerio de Hacienda sobre la recaudación
fiscal.
 Fuente primaria
9. Reporte sobre el control de la calidad de una línea de producción.
 Fuente primaria
10. Informe sobre las mercaderías en existencia de una tienda.
 Fuente primaria
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9
Ejercicio
de
revisión
Clasifique las siguientes variables según su nivel de medición (nominal,
ordinal, de intervalo o de razón):
1. Marca de un refresco producido en el país.
 Nominal
2. Grado académico de un profesional.
 Ordinal
3. Ingreso mensual familiar.
 De razón
4. Número de hijos.
 De razón
5. Talla de una camiseta (pequeña, mediana, grande).
 Ordinal
6. Número de la talla de un pantalón (10, 12, etc.).
 De intervalo
7. Tiempo de espera en una fila para recibir un servicio.
 De razón
8. Ciudad de residencia.
 Nominal
9. Calidad de un producto (sin defectos, con defectos menores o con
defectos mayores).
 Ordinal
10. Peso de un paquete de harina.
 De razón
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Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ):
1. La estadística es un conjunto de ___________ aplicadas a la recolección, descripción y
análisis de datos, los cuales constituyen evidencia numérica para la toma de decisiones en
condiciones de __________. La opción que mejor completa la frase anterior:
( a ) sistemas; incertidumbre
( b ) métodos y teorías; incertidumbre
( c ) métodos y teorías; certidumbre
( d ) métodos y teorías; riesgo
2. Una _____________ es una parte representativa de la población que se selecciona para ser
estudiada ya que la población es demasiado grande para ser estudiada en su totalidad. La
opción que mejor completa la frase anterior es:
( a ) Característica
( b ) Muestra
( c ) Observación
( d ) Población
3. Considere el siguiente concepto: "unidad de interés en el campo bajo estudio, sobre la cual
recae la observación y de la cual se derivan los datos para el análisis". Esto corresponde al
concepto de:
( a ) Unidad estadística
( b ) Característica
( c ) Muestra
( d ) Población
4. De las siguientes, no es una razón para trabajar con muestras en vez de la población es:
( a ) La población se destruye al estudiarla
( b ) El costo de estudiar la población es muy alto
( c ) La población es muy grande
( d ) Ninguna de las anteriores
5. Con respecto a la variable “estatura” es falso que:
( a ) Se mide en una escala de razón
( b ) Es una variable cuantitativa discreta, pues la gente siempre la da como un número entero
( c ) No se puede medir en una escala ordinal, o sea, como grande, mediano, pequeño
( d ) No es una característica de la unidad estadística
6. Un ingeniero debe estimar si las varillas de construcción que la compañía ha comprado
satisfacen los requerimientos establecidos en cuanto al diámetro de las mismas. Para ello se
formula lo siguiente:
A. La unidad estadística es el diámetro de las varillas, pues es lo que le interesa saber.
B. Dado que se han comprado miles de varillas, lo mejor será tomar una muestra de al
menos la mitad de las varillas para tener una muestra representativa.
De las anteriores, con toda certeza, son correctas:
( a ) Ambas afirmaciones
( b ) Solo la afirmación A
( c ) Solo la afirmación B
( d ) Ninguna de las afirmaciones
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7. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. En algunos casos es necesario emplear una muestra porque la población se
destruiría al estudiarla.
B. La principal razón para estudiar una muestra en vez de la población es reducir los
costos.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
8. Un ingeniero requiere determinar si los tiempos que duran los operarios en realizar una
actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. Para ello se formula lo
siguiente:
A. La unidad estadística es el tiempo promedio, pues es lo que le interesa saber.
B. Dado que se han contratado cientos de operarios, lo mejor será tomar una muestra
de al menos el 80% de los operarios para tener una muestra representativa.
De las anteriores, son correctas con toda certeza:
( a ) Ambas afirmaciones
( b ) Solo la afirmación A
( c ) Solo la afirmación B
( d ) Ninguna de las afirmaciones
9. Un ingeniero requiere determinar si los tiempos que duran los operarios en realizar una
actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. La característica “tiempo
de realización de la actividad” es una variable que se mide en una escala:
( a ) De razón
( b ) Ordinal
( c ) De intervalo
( d ) Nominal
10. Un ingeniero requiere determinar si los tiempos que duran los operarios en realizar una
actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. Si la característica “grado
académico del operario” se evalúa como “Primaria incompleta, primaria completa, secundaria
incompleta, secundaria completa”, entonces la variable se mide en una escala:
( a ) De razón
( b ) Ordinal
( c ) De intervalo
( d ) Nominal
11. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño del sistema y para ello
decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido en
segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio
(valorado como bueno, regular o malo). La semana anterior tomó una muestra de 12 llamadas
por día de lunes a miércoles. Los siguientes son los tiempos de las muestras tomadas de lunes
a miércoles:
Número de muestra (tiempo en segundos)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13
15
15
16
16
16
16
17
17
12
15
15
16
16
15
16
18
15
30
40
45
45
50
50
45
35
60
Las preguntas de la 11 a la 17 se basan en la información anterior.
10
19
20
50
11
11
30
80
12
21
40
100
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12
Una variable medida en escala nominal puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Nombre del agente de servicio que atendió
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Número de llamadas hechas por el cliente
12. Con base en la información de la pregunta 11, una variable medida en escala ordinal
puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Nombre del agente de servicio que atendió
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Número de llamadas hechas por el cliente
13. Con base en la información de la pregunta 11, una variable medida en escala de razón
puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Nombre del agente de servicio que atendió
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Ninguna de las anteriores
14. Con base en la información de la pregunta 11, una variable cualitativa puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Número de llamadas atendidas por día
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Número de llamadas hechas por el cliente
15. Con base en la información de la pregunta 11, una variable continua puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Número de llamadas atendidas
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Número de llamadas hechas por el cliente
16. Con base en la información de la pregunta 11, una variable discreta puede ser:
( a ) Tiempo de espera
( b ) Nombre del agente de servicio que atendió
( c ) Grado de satisfacción del cliente
( d ) Ninguna de las anteriores
17. Con base en la información de la pregunta 11, considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Si el centro de llamadas tiene un sistema que registra los tiempos de todas las
llamadas, es mejor hacer un censo.
B. Dado que son muchas las llamadas, es necesario tomar una muestra muy grande.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto con toda certeza que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
Respuestas a los ejercicios de selección múltiple:
1. b
5. b
9. a
13. a
17. b
2. b
6. d
10. b
14. c
3. a
7. a
11. b
15. a
4. d
8. d
12. c
16. d
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2
.
Presentación de la información
estadística
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
 Identificar las formas principales de presentar la información estadística.
 Presentar apropiadamente la información estadística en un formato textual.
 Elaborar cuadros estadísticos.
 Construir gráficos adecuados según el tipo de datos.
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Ejercicio
de
revisión
Con base en los datos proporcionados elabore un cuadro estadístico
completo que incluya todas las partes de un cuadro:
Considere la siguiente información que se obtuvo del estudio
“Comportamiento Clínico y Epidemiológico de las Infecciones
Nosocomiales en la Unidad de Cuidados Intensivos Neonatales del
Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello”.
“Al momento de su egreso fallecieron 61.4% de los recién nacidos.
De ellos el 67.4% fue por enterobacter y 16.2 por pseudomonas
aeruginosa. Un 31.4% de los recién nacidos fue dado de alta y
abandonaron el centro hospitalario un 7.2% en muy malas
condiciones”.
El proyecto fue elaborado por la Dra. Juana María Membreño
Sequeira en el período comprendido de octubre 2002 a enero 2004
y fue publicado en
http://www.minsa.gob.ni/enfermeria/PDF/327.pdf en marzo de
2004.
Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello, Unidad de Cuidados
Intensivos Neonatales, Comportamiento Clínico y Epidemiológico
de las Infecciones Nosocomiales
Octubre 2002 a enero 2004
Condición de egreso
Fallecidos al egresar
Por enterobacter
Por pseudomonas aeruginosa
Por otras infecciones
Dados de alta
Abandonan en malas condiciones
Total
%
41.38%
9.95%
10.07%
31.40%
7.20%
100.00%
Fuente: Membreño Sequeira, Juana María (2004). Comportamiento Clínico y
Epidemiológico de las Infecciones Nosocomiales en la Unidad de Cuidados Intensivos
Neonatales del Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello, Recuperado de
http://www.minsa.gob.ni/enfermeria/PDF/327.pdf
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15
Ejercicio
de
revisión
Indique qué tipo de gráfico emplearía para presentar los siguientes datos.
Explique en cada caso:
a. Porcentaje de niños de un año vacunados contra el sarampión para los
países de América Central en el 2009.
 Barras horizontales
b. Porcentaje de niños de un año vacunados contra el sarampión para
Costa Rica y Panamá del año 2000 al 2009.
 Barras verticales comparativas
c. Tasa de prevalencia del VIH entre la población de 15 a 49 años de
edad por sexo para Costa Rica en el 2009.
 Gráfica circular
d. Relación entre el porcentaje de cobertura de atención prenatal y la
razón de mortalidad materna por cada 100.000 nacidos vivos para 10
países de América Latina en el 2006.
 Gráfica de dispersión
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Si se quiere representar la composición de un todo, el tipo de gráfico adecuado para
representar esos datos es:
( a ) Gráfica de barras horizontales
( b ) Gráfica de barras verticales
( c ) Gráfica circular
( d ) Pictograma
2. Si se tiene una serie cronológica, el tipo de gráfico adecuado para representarla es:
( a ) Gráfica de barras horizontales
( b ) Gráfica de barras verticales
( c ) Histograma
( d ) Diagrama de dispersión
3. Si se tiene una serie cualitativa, el tipo de gráfico adecuado para representarla es:
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
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4. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el porcentaje de niños de un año vacunados
contra el sarampión para los países de América Central en el 2009?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
5. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el porcentaje de niños de un año vacunados
contra el sarampión para Costa Rica y Panamá del año 2000 al 2009?
( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas
( b ) Gráfico de barras horizontales compuestas
( c ) Gráfico de barras verticales comparativas
( d ) Gráfico de barras verticales compuestas
6. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual del número de
personas afectadas por el VIH entre la población de 15 a 49 años de edad por sexo para Costa
Rica en el 2009?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
7. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la relación entre el porcentaje de cobertura
de atención prenatal y la razón de mortalidad materna por cada 100.000 nacidos vivos para 10
países de América Latina en el 2006?
( a ) Gráfico circular
( b ) Diagrama de dispersión
( c ) Pictograma
( d ) Gráfico de barras horizontales
8. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el periodo 2009 – 2011,
¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales de doble dirección
( d ) Gráfico de barras horizontales
9. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el 2011 clasificadas por
tipo de producto, ¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales de doble dirección
( d ) Gráfico de barras horizontales
10. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el periodo 2009 – 2011
por tipo de producto, ¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?
( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas
( b ) Gráfico de barras horizontales compuestas
( c ) Gráfico de barras verticales comparativas
( d ) Gráfica de dispersión
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11. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el monto de las ventas (en dólares) de una
empresa por tipo de producto para el año 2012?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
12. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el monto de las ventas (en dólares) de una
empresa por año del 2007 al 2012?
( a ) Gráfico circular
( b ) Barra 100%
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
13. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual de las ventas de
una empresa por tipo de producto para el año 2012?
( a ) Gráfico circular
( b ) Gráfico lineal
( c ) Gráfico de barras verticales
( d ) Gráfico de barras horizontales
14. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual de las ventas de
una empresa por tipo de producto y según tipo de cliente para el año 2012?
( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas
( b ) Barra 100%
( c ) Gráfico de barras verticales compuestas
( d ) Gráfico de barras horizontales compuestas
15. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para comparar el monto de las ventas de una empresa (en
miles $) por tipo de producto y según tipo de cliente para el año 2012?
( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas
( b ) Barra 100%
( c ) Gráfico de barras verticales compuestas
( d ) Gráfico de barras horizontales compuestas
16. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para comparar el monto de las ventas de una empresa (en
miles $) por tipo de producto para el periodo 2007 al 2012?
( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas
( b ) Gráfico de barras verticales comparativas
( c ) Gráfico de barras verticales compuestas
( d ) Gráfico de barras horizontales compuestas
17. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño de los agentes de servicio
y para ello decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido
en segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio
(valorado como bueno, regular o malo). La semana anterior tomó una muestra de 12 llamadas
por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes. Los siguientes son los
tiempos de las muestras tomadas de lunes a miércoles. El lunes y el martes se tomaron
tiempos de llamadas atendidas y el miércoles solo de llamadas no atendidas:
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18
Día
Lunes
Martes
Miércoles
1
13
12
30
2
15
15
40
3
15
15
45
Número de muestra (tiempo en segundos)
4
5
6
7
8
9
16
16
16
16
17
17
16
16
15
16
18
15
45
50
50
45
35
60
10
19
20
50
11
11
30
80
12
21
40
100
El tipo de gráfico apropiado para representar la distribución porcentual de las llamadas según
el agente que contestó es:
( a ) Gráfico lineal
( b ) Gráfico de barras verticales
( c ) Gráficos de barras horizontales
( d ) Gráfico circular
18. Con base en los datos de la pregunta 17, el tipo de gráfico apropiado para representar el
número de llamadas recibidas por mes durante los últimos 12 meses es:
( a ) Gráfico lineal
( b ) Diagrama de dispersión
( c ) Gráficos de barras horizontales
( d ) Barra 100%
Respuestas a los ejercicios de opción múltiple:
1. c
5. c
9. d
13. a
17. d
2. b
6. a
10. c
14. d
18. a
3. d
7. b
11. d
15. a
4. d
8. b
12. c
16. b
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19
3
.
Análisis descriptivo de la
información estadística
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
 Reconocer la importancia y utilidad de las medidas de posición central.
 Calcular e interpretar las principales medidas de posición en datos no agrupados.
 Calcular e interpretar las principales medidas de variabilidad en datos no agrupados.
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20
Ejemplo
Suponga que se tienen los siguientes datos correspondientes a las ventas
mensuales que ha realizado un vendedor durante los últimos siete meses
(en millones de dólares):
20, 33, 42, 40, 19, 23, 28
Calcule la media aritmética.
Solución
El cálculo de la media sería:
x
20  33  42  40  19  23  28
 29,29
7
Según ese resultado, sus ventas mensuales promedio son de 29,29 millones
de dólares.
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule la media aritmética.
x
40  50  65  85  75  90  60  60  60  75
 66
10
Uso de Excel y Minitab para el cálculo de la media aritmética
Ejemplo
Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tienen
los siguientes datos correspondientes a las ventas mensuales que ha
realizado un vendedor durante los últimos siete meses (en millones de
dólares):
20, 33, 42, 40, 19, 23, 28
Calcule la media aritmética.
Solución
En Excel, se introducen los datos, bien sea en una fila o una columna. En
este caso los datos se encuentran en el rango de celdas de A1 hasta A7:
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21
Luego se elige una celda para determinar el resultado, por ejemplo la celda
B8, y en ella se ingresa la siguiente función de Excel:
=PROMEDIO(A1:A7)
Luego se presiona Enter (o Intro) y se obtiene el resultado de 29,29,
aproximadamente:
En Minitab, se introducen los datos en una columna, por ejemplo la
columna C1:
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se elige Estadística básica y ahí
selecciona Mostrar estadísticas descriptivas. Ahí completa el cuadro de
diálogo seleccionando la variable, que en este caso se encuentra en la
columna C1:
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22
Luego en el botón Estadísticas selecciona la Media:
Luego de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en la
ventana Sesión:
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23
Ejemplo
Suponga que una empresa posee quince vendedores de un determinado
producto. Cuatro de los vendedores lograron vender 50 unidades, 6
vendieron 40 unidades, tres vendieron 35 unidades y 2 vendieron 20
unidades. ¿Cuál es el número de unidades promedio de cada vendedor?
Solución
Dado que existen valores repetidos, entonces se aplica la fórmula:
k
x
x
i 1
fi
i
n

4  50  6  40  3  35  2  20
 39
15
Es decir, el número de unidades promedio vendidas por cada vendedor es
de 39 unidades.
Ejercicio
de
revisión
En un muelle hay 20 contenedores que pesan 15 toneladas cada uno, 25
que pesan 20 toneladas cada uno y 10 que pesan 25 toneladas cada uno.
¿Cuál es el peso promedio de los contenedores?
k
x
x f
i
i 1
n
i

15  20  20  25  25  10
 19,09
55
El peso promedio de los contenedores es 19,09 toneladas.
Ejemplo
Una empresa obtiene distintos márgenes de utilidad según los diferentes
productos que vende. Suponiendo que vende 3 productos diferentes A, B y
C, de acuerdo con los siguientes datos:
Volumen de ventas
Producto
Margen de utilidad
(en millones de dólares)
A
20%
200
B
30%
100
C
40%
60
Total:
$ 360
¿Cuál es el margen de utilidad promedio?
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24
Solución
Para responder a esta pregunta es necesario calcular la media ponderada,
ya que el volumen de ventas de cada producto es distinto, y eso afecta al
promedio. El cálculo debe ser el siguiente:
k
x
x w
i 1
k
i
i
w
i 1

20%  200  30%  100  40%  60
 26.11%
360
i
El margen de utilidad promedio es de 26,11%. Obsérvese que los pesos (
wi ) corresponde a las ventas de cada producto, y entonces se divide entre
el total de ventas.
Ejercicio
de
revisión
En un curso universitario se realizan tres exámenes. El segundo examen
tiene un valor que es el doble del primero y el tercer examen tiene un valor
que es el triple del segundo. Si un estudiante obtiene una nota de 8 en el
primer examen, un 9 en el segundo y un 6 en el tercero (todas estas notas
están en una escala de 0 a 10), calcule su calificación promedio.
k
x
x w
i 1
k
i
i
w
i 1

8 1  9  2  6  6
 6,88
1 2  6
i
La calificación promedio es de 6,88.
Ejemplo
El precio de un cierto producto se incrementó un 5,5% durante 1999, un
7,4% durante el 2000, un 3,7% en el 2001, un 9,85% en el 2002 y un 10%
en el 2003. ¿Cuál ha sido el incremento promedio en el precio de ese
producto?
Solución
Para responder a la pregunta conviene ordenar la información de la manera
siguiente:
Año
Incremento porcentual
En forma decimal
1999
5,50%
1,055
2000
7,40%
1,074
2001
3,70%
1,037
2002
9,85%
1,0985
2003
10,00%
1,10
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25
Aplicando la fórmula de la media geométrica:
Mg  n x1  x2  ...  xn  5 1,055  1,074  1,037  1,0985  1,10  1,0726
Esto quiere decir que el incremento promedio del precio es de 7,26%.
Ejercicio
de
revisión
Un país tuvo una tasa de inflación de 5% durante el año 2009, un 4% en
2010, un 6% en 2011 y 3% en 2012. ¿Cuál es la tasa de inflación promedio
en estos 4 años?
Para responder a la pregunta conviene ordenar la información de la manera
siguiente:
Año
Incremento porcentual
En forma decimal
2009
5%
0.05
2010
4%
0.04
2011
6%
0.06
2012
3%
0.03
Aplicando la fórmula de la media geométrica:
Mg  n x1  x2  ...  xn  4 1,05  1,04  1,06  1,03  1,0449
Esto quiere decir que la inflación promedio es de 4,49%.
Uso de Excel y Minitab para calcular la media geométrica
Ejemplo
Utilice Excel y Minitab para calcular la media geométrica del conjunto de
datos siguiente:
1,055 - 1,074 - 1,037 - 1,0985 - 1,10
Solución
En Excel, primero se introducen los datos en una fila o columna, por
ejemplo, en la columna A, en el rango de celdas de A1 hasta A5:
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Luego, en la celda en la cual se desea el resultado, se introduce la siguiente
función:
=MEDIA.GEOM(A1:A5)
Y así se obtiene el resultado de 1,0726.
En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,
en la columna C1:
Luego, en el menú Calc, se selecciona Calculadora y se completa el cuadro
de diálogo:
Es necesario indicar dónde se desea almacenar el resultado, en este caso en
la columna C2. Luego en el campo Expresión se indica la siguiente
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27
función:
GMEAN(C1)
Y así se obtiene el resultado de 1,0726 en la hoja de trabajo de Minitab, y
no en la ventana Sesión.
Ejemplo
Con base en los siguientes conjuntos de datos, obtenga la moda:
Conjunto 1:
12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25
Conjunto 2:
12, 14, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25
Conjunto 3:
12, 14, 15, 18, 22, 25
Conjunto 4:
12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 2500
Solución
1. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.
2. El dato que más veces aparece es el 14 y el 18, por tanto la moda es 14 y
18. Este es un conjunto bimodal.
3. No tiene moda.
4. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.
Observe que el valor extremo 2500 no afectó el resultado, pues el conjunto
1 y el 4 son iguales excepto por ese valor.
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule la moda o modo.
La moda es 60, el dato más frecuente o más repetido.
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28
Ejemplo
Sean los siguientes datos, 5, 12, 7, 8, 10, 6, y 9, los años de servicios de un
grupo de trabajadores. ¿Cuál es la mediana?
Solución
Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o
decreciente:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 12
Dado que se tienen 7 datos, una cantidad impar de datos, se aplica la
formula:
PMed 
N 1 7 1

4
2
2
Ese resultado indica que la mediana será el cuarto dato de la serie, es decir,
la mediana será 8, Med = 8.
Ejemplo
Sean los siguientes datos, 5, 12, 7, 8, 11, 10, 6, y 9, los años de servicios
de un grupo de trabajadores. ¿Cuál es la mediana?
Solución
Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o
decreciente:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Dado que se tienen 8 datos, una cantidad par de datos, se aplica la formula:
PMed 
N 1 8 1

 4.5
2
2
Ese resultado indica que la mediana estará entre el cuarto y el quinto dato
de la serie, y por tanto será necesario calcular el punto medio entre 8 y 9,
es decir, la mediana será (8+9)/2, Med = 8.5.
Ejercicio
de
revisión
Con base en los siguientes conjuntos de datos:
Conjunto 1: 40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Conjunto 2: 85, 110, 125, 130, 90, 100, 140
Calcule la mediana en cada caso.
Conjunto 1: 40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
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29
PMed 
N  1 10  1

 5,5
2
2
Med 
60  65
 62,5
2
Conjunto 2: 85, 90, 100, 110, 125, 130, 140
PMed 
N 1 7 1

4
2
2
Med = 110
Ejemplo
Suponga que se tienen tres conjuntos de datos y para cada uno de ellos se
conoce la media, mediana y moda:
 Conjunto 1: Media: 20, Mediana: 20, Moda: 20
 Conjunto 2: Media: 30, Mediana: 40, Moda: 50
 Conjunto 3: Media: 120, Mediana: 80, Moda: 70
¿Cuál de los tres conjuntos presenta distribución simétrica, distribución
asimétrica positiva y distribución asimétrica negativa?
Solución
El primer conjunto presenta una distribución simétrica, pues la media, la
moda y la mediana son todas iguales.
El segundo conjunto muestra una distribución asimétrica negativa, dado
que la media es menor que la mediana, y a su vez, la mediana es menor
que la moda.
El tercer conjunto muestra una distribución asimétrica positiva, pues la
media es mayor que la mediana, y la mediana es mayor que la moda.
Ejemplo
A continuación se presentan tres conjuntos de datos. En cada caso, calcule
la media aritmética, la mediana y la moda del siguiente conjunto de datos:
Conjunto 1:
12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16,
16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20
Conjunto 2:
12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18,
18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20
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30
Conjunto 3:
12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14,
14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20
Además en cada caso, construya una gráfica (histograma) para representar
a este conjunto de datos.
Observe la gráfica y la relación entre la media, la mediana y la moda. ¿Qué
puede decirse de la simetría o asimetría de cada conjunto?
Solución
Conjunto 1:
Media = 16
Mediana = 16
Moda = 16
La media, la mediana y la moda son iguales, lo que indica una distribución
simétrica, lo cual se observa claramente en la gráfica siguiente.
5
Frecuencia
4
3
2
1
0
12
14
16
C1
18
20
Conjunto 2:
Media = 17,19
Mediana = 18
Moda = 19
La media es menor que la mediana, y a su vez la mediana es menor que la
moda, lo que indica una distribución asimétrica negativa, lo cual se
observa claramente en la gráfica siguiente.
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31
5
Frecuencia
4
3
2
1
0
12
14
16
C2
18
20
Conjunto 3:
Media = 14,8
Mediana = 14
Moda = 13
La media es mayor que la mediana, y a su vez la mediana es mayor que la
moda, lo que indica una distribución asimétrica positiva, lo cual se observa
claramente en la gráfica siguiente.
5
Frecuencia
4
3
2
1
0
12
14
16
C3
18
20
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32
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Determine qué tipo de simetría o asimetría se presenta.
Se calcula la moda, la mediana y el promedio:
Moda = 60
Mediana = 62.5
Media = 66
Dado que la media es mayor que la mediana y, a su vez, la mediana mayor
que la moda, entonces se presenta una asimetría positiva o hacia la
derecha.
Ejemplo
El número de unidades de un cierto producto vendidas por 10 vendedores
el mes pasado son:
120, 100, 20, 70, 100, 140, 120,150, 100, 40
Determine el primer cuartil, el tercer cuartil, el decil 4 y el 80º percentil.
Solución
Primer cuartil:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150
Paso 2: El primer cuartil equivale al percentil 25, por lo que m = 25 y se
tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:
m
25
n  1  100
10  1  2,75
Pm  100
Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la
posición del percentil 25. Hay que buscar el dato en la posición 2,75.
Como no se tiene un valor en la posición 2,75, quiere decir que el valor del
percentil va a estar entre el segundo valor y el tercero, entonces se realiza
una interpolación. Esto es, se toma el segundo dato en la serie ordenada,
que es 40, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la
fórmula, que es 0,75 por la diferencia entre el segundo y el tercer dato, que
es 70 – 40 = 30. O sea, el percentil equivale a:
Q1 = P25 = 40 + 0,75 * 30 = 62,5
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33
Tercer cuartil:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150
Paso 2: El tercer cuartil equivale al percentil 75, por lo que m = 75 y se
tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:
m
75
n  1  100
10  1  8,25
Pm  100
Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la
posición del percentil 75. Hay que buscar el dato en la posición 8,25.
Como no se tiene un valor en la posición 8,25, quiere decir que el valor del
percentil va a estar entre el octavo valor y el noveno, entonces se realiza
una interpolación. Esto es, se toma el octavo dato en la serie ordenada, que
es 120, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la
fórmula, que es 0,25 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que
es 140 – 120 = 20. O sea, el percentil equivale a:
Q3 = P75 = 120 + 0,25 * 20 = 125
Decil 4:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150
Paso 2: El decil 4 equivale al percentil 40, por lo que m = 40 y se tienen 10
datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:
m
40
n  1  100
10  1  4,4
Pm  100
Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la
posición del percentil 40. Hay que buscar el dato en la posición 4,4. Como
no se tiene un valor en la posición 4,4, quiere decir que el valor del
percentil va a estar entre el cuarto valor y el quinto, entonces se realiza una
interpolación. Esto es, se toma el cuarto dato en la serie ordenada, que es
100, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la
fórmula, que es 0,4 por la diferencia entre el cuarto y el quinto dato, que es
100 – 100 = 0. O sea, el percentil equivale a:
D4 = P40 = 100 + 0,4 * 0 = 100
Percentil 80:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150
Paso 2: Se desea calcular el percentil 80, por lo que m = 80 y se tienen 10
datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:
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34
m
80
n  1  100
10  1  8,8
Pm  100
Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la
posición del percentil 80. Hay que buscar el dato en la posición 8,8. Como
no se tiene un valor en la posición 8,8, quiere decir que el valor del
percentil va a estar entre el octavo valor y el noveno, entonces se realiza
una interpolación. Esto es, se toma el octavo dato en la serie ordenada, que
es 120, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la
fórmula, que es 0,8 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que
es 140 – 120 = 20. O sea, el percentil equivale a:
P80 = 120 + 0,8 * 20 = 136
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule el primer cuartil, el tercer cuartil, el decil 4, el quintil 3 y el
percentil 65.
Primer cuartil:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
Paso 2: Se desea calcular el primer cuartil, que equivale al percentil 25, por
lo que m = 25 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye
en la fórmula:
m
25
n  1  100
10  1  2,75
Pm  100
Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la
posición del percentil 25. Hay que buscar el dato en la posición 2,75.
Como no se tiene un valor en la posición 2,75, quiere decir que el valor del
percentil va a estar entre el segundo valor y el tercero, entonces se realiza
una interpolación. Esto es, se toma el segundo dato en la serie ordenada,
que es 50, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la
fórmula, que es 0,75 por la diferencia entre el segundo y el tercer dato, que
es 60 – 50 = 10. O sea, el percentil equivale a:
P25 = 50 + 0,75 * 10 = 57,5
Tercer cuartil:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
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35
40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
Paso 2: Se desea calcular el tercer cuartil, que equivale al percentil 75, por
lo que m = 75 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye
en la fórmula:
m
75
n  1  100
10  1  8,25
Pm  100
Paso 3: Se toma el octavo dato en la serie ordenada, que es 75, y se le
suma el producto de la parte decimal del resultado de la fórmula, que es
0,25 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que es 85 – 75 =
10. O sea, el percentil equivale a:
P75 = 75 + 0,25 * 10 = 77,5
Decil 4:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
Paso 2: Se desea calcular el decil 4, que equivale al percentil 40, por lo que
m = 40 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la
fórmula:
m
40
n  1  100
10  1  4,4
Pm  100
Paso 3: Se aplica:
P40 = 60 + 0,4 * 0 = 60
Quintil 3:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
Paso 2: Se desea calcular el quintil 3, que equivale al percentil 30, por lo
que m = 30 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye
en la fórmula:
m
30
n  1  100
10  1  3,3
Pm  100
Paso 3: Se aplica:
P30 = 60 + 0,3 * 0 = 60
Percentil 65:
Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:
40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90
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36
Paso 2: Se desea calcular el percentil 65, por lo que m = 65 y se tienen 10
datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:
m
65
n  1  100
10  1  7,15
Pm  100
Paso 3: Se aplica:
P65 = 75 + 0,15 * 0 = 75
Uso de Excel y Minitab para el cálculo de percentiles
Ejemplo
Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: El número de unidades
de un cierto producto vendidas por 10 vendedores el mes pasado son:
20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150
Determine el primer cuartil, el tercer cuartil y el 80º percentil.
Solución
En Excel, primero se introducen los datos en una fila o columna, por
ejemplo, en la columna A, en el rango de celdas de A1 hasta A10:
Para obtener el primer cuartil, en la celda en la cual se desea el resultado,
se introduce la siguiente función:
=CUARTIL(A1:A10;1)
En la función, dentro del paréntesis, primero se indica el rango de datos, y
luego (generalmente separado por punto y coma) se indica el número del
cuartil, que en este caso es 1. Y así se obtiene el resultado de 77,5. Este
resultado cambia con respecto al anterior, calculado manualmente, porque
se está empleando un algoritmo distinto para el cálculo del cuartil. Esto
mismo sucederá en los cálculos siguientes.
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37
Para obtener el tercer cuartil, en la celda en la cual se desea el resultado, se
introduce la siguiente función:
=CUARTIL(A1:A10;3)
En la función, dentro del paréntesis, primero se indica el rango de datos, y
luego (generalmente separado por punto y coma) se indica el número del
cuartil, que en este caso es 3. Y así se obtiene el resultado de 120.
Para obtener el percentil 80, en la celda en la cual se desea el resultado, se
introduce la siguiente función:
=PERCENTIL(A1:A10;0,80)
En la función, dentro del paréntesis, primero se indica el rango de datos, y
luego (generalmente separado por punto y coma) se indica el número del
percentil, pero indicado en forma decimal, que en este caso es 0,80. Y así
se obtiene el resultado de 124.
En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,
en la columna C1:
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se elige Estadística básica y ahí
selecciona Mostrar estadísticas descriptivas. Ahí completa el cuadro de
diálogo seleccionando la variable, que en este caso se encuentra en la
columna C1:
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38
Luego en el botón Estadísticas selecciona primer cuartil y tercer cuartil.
Luego de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en la
ventana Sesión:
Este resultado cambia con respecto al anterior, calculado manualmente y al
obtenido en Excel, porque se está empleando un algoritmo distinto para el
cálculo del cuartil.
Para obtener el percentil se da clic en el menú Calc y se selecciona
Calculadora. Ahí se completa el cuadro de diálogo siguiente:
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39
Se debe indicar en cuál columna se almacenará el resultado, por ejemplo
en la columna C2. Luego en expresión debe seleccionarse la función:
PERCENTILE(número.probabilidad)
En esta función número corresponde a la columna que almacena los datos,
en este caso C1, y probabilidad es el número del percentil expresado en
forma decimal, que sería 0,80:
PERCENTILE(C1.0,80)
Observe que los datos de entrada de la función se separan por medio de un
punto. Luego se da clic en Aceptar y el resultado se obtiene en la hoja de
trabajo, no en la sesión. Según Minitab el percentil 80 es 136.
Ejemplo
Se tiene un conjunto de datos con respecto al cual se conoce la siguiente
información:
Primer cuartil: 20
Tercer cuartil: 36
Mediana: 30
Mínimo: 8
Máximo: 42
Construya la gráfica de caja.
Solución
La gráfica de caja puede construir horizontal o vertical. En este caso se va
a hacer horizontal, por lo que se construye un eje horizontal. Luego se
realizan los siguientes pasos:
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40
Paso 1: Determinar los cuartiles. La caja queda delimitada por el primer
cuartil que es 20 y el tercer cuartil que es 36. En este caso ya están
calculados, pero de otro modo habría que calcularlos, por lo que se dibuja
la caja, la cual inicial en el primer cuartil y finaliza en el tercer cuartil:
Paso 2: Determinar la mediana. En este caso ya está calculada la
mediana. Si no, se calcula. Entonces se traza la línea que representa la
mediana, la cual es 30.
Paso 3: Determinación de los bigotes. Se calculan los valores a y b:
a = Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 20 - 1,5 (36 - 20) = -4
b = Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 36 + 1,5 (36 - 20) = 60
Si el valor de a es menor que el mínimo, entonces el bigote izquierdo llega
hasta el mínimo, pero si a fuera mayor que el mínimo, entonces el bigote
izquierdo llega hasta a. En este caso, como a = -4 y el mínimo es 8,
entonces el bigote izquierdo llegará hasta 8.
Si el valor de b es mayor que el máximo, entonces el bigote derecho llega
hasta el máximo, pero si b fuera menor que el máximo, entonces el bigote
derecho llega hasta b. En este caso, como b = 60 y el máximo es 42
entonces el bigote derecho llegará hasta 42.
Finalmente se traza el brazo o bigote izquierdo, el cual parte de la caja
hasta el punto mínimo, que es 8, y se traza el brazo o bigote derecho, el
cual parte de la caja hasta el punto máximo, que es 42. No hay valores
atípicos en este caso.
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41
Mín
8
0
Ejemplo
10
Q1
20
20
Med Q3 Máx
30 36 42
30
40
50
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
24, 25, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35, 40
Construya la gráfica de caja usando Minitab.
Solución
Paso 1: Determinar los cuartiles. Se calculan los dos cuartiles:
Q1 = 27
Q3 = 31,5
La caja queda delimitada por el primer cuartil que es 27 y el tercer cuartil
que es 31,5, por lo que se dibuja la caja, la cual inicial en el primer cuartil
y finaliza en el tercer cuartil:
Paso 2: Determinar la mediana. Se calcula la mediana, la cual es 30.
Entonces se traza la línea que representa la mediana, la cual es 30.
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42
Paso 3: Determinación de los bigotes. Se calculan los valores a y b:
a = Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 27 - 1,5 (31,5 - 27) = 20,25
b = Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 31,5 + 1,5 (31,5 - 27) = 38,25
Si el valor de a es menor que el mínimo, entonces el bigote izquierdo llega
hasta el mínimo, pero si a fuera mayor que el mínimo, entonces el bigote
izquierdo llega hasta a. En este caso, como a = 20,25 y el mínimo es 24,
entonces el bigote izquierdo llegará hasta 24.
Si el valor de b es mayor que el máximo, entonces el bigote derecho llega
hasta el máximo, pero si b fuera menor que el máximo, entonces el bigote
derecho llega hasta b. En este caso, como b = 38,25 y el máximo es 40,
entonces el bigote derecho llegará hasta 38,25 y el valor de 40 se marcará
con un asterisco, pues se considera como valor atípico.
Uso de Minitab para construir una gráfica de caja
Ejemplo
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
20, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35, 40, 45
Construya la gráfica de caja usando Minitab.
Solución
Para realizar este ejercicio en Minitab se requiere introducir los datos en
una columna de la hoja de trabajo, por ejemplo en la columna C1. Luego
se da clic al menú Grafica y se elige Gráfica de caja. En el cuadro se
escoge Una Y Simple, y se da clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo que
aparece se selecciona la columna que contiene los datos, que en este caso
es la columna C1, y se da clic en Aceptar. Se obtiene la gráfica siguiente:
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43
Gráfica de caja de C1
45
40
C1
35
30
25
20
Como se observa, Minitab hace la gráfica vertical y no horizontal como se
expuso en el ejemplo anterior, sin embargo representa los mismos datos.
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Construya la gráfica de caja.
Gráfica de caja de C1
90
80
C1
70
60
50
40
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44
Ejemplo
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
15, 24, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35
Construya la gráfica de caja usando Minitab e identifique la presencia de
valores atípicos.
Solución
Para realizar este ejercicio en Minitab se requiere introducir los datos en
una columna de la hoja de trabajo, por ejemplo en la columna C1. Luego
se da clic al menú Grafica y se elige Gráfica de caja. En el cuadro se
escoge Una Y Simple, y se da clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo que
aparece se selecciona la columna que contiene los datos, que en este caso
es la columna C1, y se da clic en Aceptar. Se obtiene la gráfica siguiente:
Gráfica de caja de C1
35
C1
30
25
20
15
Minitab ha dibujado la gráfica, pero ha colocado en la parte inferior un
asterisco, el cual representa un valor atípico, o sea, un valor muy grande o
muy pequeño con respecto a los demás datos del conjunto.
Ejemplo
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
15, 24, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35
Calcule, usando Minitab, el primer cuartil, el tercer cuartil y el rango
intercuartil.
Solución
Para realizar este ejercicio en Minitab se requiere introducir los datos en
una columna de la hoja de trabajo, por ejemplo en la columna C1. Luego
se da clic al menú Estadísticas y se elige Mostrar estadísticas descriptivas.
En el cuadro de diálogo se selecciona la variable, en este caso en la
columna C1, y en el botón estadísticas se marca primer cuartil, tercer
cuartil y rango intercuartil, y se da clic en Aceptar.
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45
El resultado se obtiene en la ventana Sesión, e indica que el primer cuartil
es 26,5, el tercer cuartil 31, y el rango intercuartil (RIC = IQR) es 4,5, que
es la diferencia Q3 – Q1 = 31 – 26,5 = 4,5.
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule el rango intercuartil y la desviación cuartil.
Q1 = 57.5
Q3 = 77.5
RIC = Q3 – Q1 = 77.5 – 57.5 = 20
Q = 20/2 = 10
Ejemplo
Se tiene dos conjuntos de datos, el primero corresponde a la estatura de 8
futbolistas, y el segundo corresponde a la estatura de 6 basquetbolistas:
Futbolistas: 1.83, 1.73, 1.75, 1.69, 1.94, 1.83, 1.81, 2.01
Basquetbolistas: 2.01, 2.15, 1.90, 2.28, 1.83, 2.15
Utilice Minitab para elaborar una gráfica de caja para cada conjunto de
datos.
Solución
Primero que todo se introducen los datos en la hoja de trabajo, cada
conjunto en una columna distinta, en este caso C1 para los futbolistas y C2
para los basquetbolistas. Luego se da clic en el menú Gráfica y se elige
Gráfica de caja. En el cuadro de diálogo se selecciona Múltiples Y.
Después se seleccionan las dos variables y se da clic en Aceptar.
Gráfica de caja de C1. C2
2,3
2,2
Datos
2,1
2,0
1,9
1,8
1,7
C1
C2
Al comparar las dos gráficas, se observa que las estaturas de los futbolistas
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46
tienden a ser menores que las de los basquetbolistas, y que el tercer cuartil
de los primeros es, apenas, un poco superior que el primer cuartil de los
segundos.
Además, las estaturas de los futbolistas tienden a ser bastante simétricas,
tal vez con una ligera asimetría positiva, pues la mediana está apenas un
poco abajo de la mitad de la caja y el bigote superior es más largo que el
inferior. Al contrario, las estaturas de los basquetbolistas presentan una
cierta asimetría negativa, pues la mediana está más arriba de la mitad de la
caja, a pesar de que el bigote superior es más largo que el inferior.
Ejemplo
Suponga que se tienen los dos siguientes conjuntos de cinco datos:
Conjunto A: 1, 2, 3, 7, 10
Conjunto B: 1, 9, 9, 10, 10
Se desea calcular el rango de este conjunto de datos.
Solución
Para el conjunto A el máximo es 10 y el mínimo es 1, por lo que su rango
o amplitud será:
Rango = 10 – 1 = 9
Para el conjunto B el máximo también es 10 y el mínimo también es 1, por
lo que su rango o amplitud será:
Rango = 10 – 1 = 9
En este ejemplo se ilustra qué tan limitado es el rango como medida de la
variabilidad, pues en el conjunto todos los datos son muy similares entre
sí, excepto uno de ellos, sin embargo el rango es igual que el del conjunto
A, el cual sí presenta mayor variabilidad.
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule el rango o recorrido.
Solución:
Máximo = 90
Mínimo = 40
Rango = 90 – 40 = 50
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47
Ejemplo
Suponga que se tiene el siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y
se desea calcular la varianza y la desviación estándar de dicha muestra.
Solución
a. Si se emplea la fórmula de la varianza para una muestra, es necesario
calcular la media aritmética primero:
n
x
x
i 1
i

n
1  1  3  10  10 25

5
5
5
b. Luego se calcula la diferencia entre cada dato y la media, resultados que
luego serán elevados al cuadrado:
x
xx
x  x 2
1
1 – 5 = –4
(–4)² = 16
1
1 – 5 = –4
(–4)² = 16
3
3 – 5 = –2
(–2)² = 4
10
10 – 5 = 5
(5)² = 25
10
10 – 5 = 5
(5)² = 25
Suma:
 (x  x)
2
=
86
c. Finalmente se aplica la fórmula:
n
s2 
 (x
i
i 1
 x )2

n 1
86
 21.5
5 1
La varianza es 21.5. Si se desea conocer la desviación estándar, entonces
lo más práctico es sacar la raíz cuadrada de la varianza:
n
s
(x
i 1
i
 x )2
n 1

s2 
21.5  4.64
La desviación estándar es aproximadamente 4.64. Esta medida mide el
grado de dispersión o variabilidad de los datos alrededor de su media.
Mientras más grande sea este valor, indica mayor dispersión.
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48
Ejercicio
de
revisión
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule la varianza y la desviación estándar.
Solución:
a. Si se emplea la fórmula de la varianza para una muestra, es necesario
calcular la media aritmética primero:
n
x
x
i 1
n
i

40  50  65  85  75  90  60  60  60  75
 66
10
b. Luego se calcula la diferencia entre cada dato y la media, resultados que
luego serán elevados al cuadrado:
x
xx
x  x 2
40
40 – 66
(-26)2 = 676
50
50 – 66
(-16) 2 = 256
65
65 – 66
(-1) 2 = 1
85
85 – 66
192 = 361
75
75 – 66
92 = 81
90
90 – 66
242 = 576
60
60 – 66
(-6) 2 = 36
60
60 – 66
(-6) 2 = 36
60
60 – 66
(-6) 2 = 36
75
75 – 66
92 = 81
Suma:
 (x  x)
2
=
2140
c. Finalmente se aplica la fórmula:
n
s2 
 (x
i 1
i
 x )2
n 1

2140
 237.78
10  1
La varianza es 237.78. Si se desea conocer la desviación estándar,
entonces lo más práctico es sacar la raíz cuadrada de la varianza:
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49
n
s
 (x
i 1
i
 x )2
n 1

s2 
237.78  15.42
La desviación estándar es aproximadamente 15.42.
Uso de Excel y Minitab para calcular la desviación estándar y la varianza
Ejemplo
Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tiene el
siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea calcular la
varianza y la desviación estándar de dicha muestra.
Solución
En Excel, primero se introducen los datos en una fila o columna, por
ejemplo, en la columna A, en el rango de celdas de A1 hasta A5:
Para obtener la varianza, en la celda en la cual se desea el resultado, se
introduce la siguiente función:
=VAR(A1:A5)
Y así se obtiene el resultado de 21,5.
Para obtener la desviación estándar, en la celda en la cual se desea el
resultado, se introduce la siguiente función:
=DESVEST(A1:A5)
Y así se obtiene el resultado de 4,64.
En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,
en la columna C1:
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50
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se elige Estadística básica y ahí
selecciona Mostrar estadísticas descriptivas. Ahí completa el cuadro de
diálogo seleccionando la variable, que en este caso se encuentra en la
columna C1:
Luego en el botón Estadísticas selecciona la varianza y la desviación
estándar:
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51
Luego de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en la
ventana Sesión:
Ejemplo
De acuerdo con datos de un estudio, el gasto destinado a salud en el hogar
en el país tiene una media de $600 anuales y una desviación estándar de
$30. De acuerdo con la regla empírica, ¿por lo menos que porcentaje de los
hogares tendrá un gasto destinado a salud entre $510 y $690?
Solución
Se tiene una media de $600 con una desviación estándar de $30, y el
intervalo dado está entre $510 y $690. Para aplicar la regla empírica es
necesario saber cuántas veces se ha sumado y restado la desviación
estándar al promedio. Esto puede obtenerse fácilmente porque se sabe que
cada límite se obtuvo a partir de   k , así que, tomando el límite
inferior de 510 (y por eso va con signo menos):
600  k * 30  510
Ahora se despeja esa ecuación:
 k * 30  510  600
k  90 /  30
k 3
Si se hubiera tomado el límite superior de 690 se habría obtenido el mismo
resultado de k = 3.
Sabiendo que k = 3, según la regla empírica, el porcentaje de los hogares
que tendrá un gasto destinado a salud entre $510 y $690 será
aproximadamente del 99,7%.
Ejemplo
De acuerdo con datos de un estudio, el gasto destinado a salud en el hogar
en el país tiene una media de $600 anuales y una desviación estándar de
$30. a. De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿por lo menos que
porcentaje de los hogares tendrá un gasto destinado a salud entre $525 y
$675?
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52
Solución
Se tiene una media de $600 con una desviación estándar de $30, y el
intervalo dado está entre $525 y $675. Para aplicar el teorema de
Chebyshev es necesario saber cuántas veces se ha sumado y restado la
desviación estándar al promedio. Esto puede obtenerse fácilmente porque
se sabe que cada límite se obtuvo a partir de   k , así que, tomando el
límite inferior de 525 (y por eso va con signo menos):
600  k * 30  525
Ahora se despeja esa ecuación:
 k * 30  525  600
k  75 /  30
k  2,5
Si se hubiera tomado el límite superior de 675 se habría obtenido el mismo
resultado de k = 2,5.
Sabiendo que k = 3, según el teorema de Chebyshev, se aplica la fórmula
sustituyendo k = 2,5:
1
1
1
1
 1
 1
 0,84
2
2
6,25
k
2,5
Así, el porcentaje de los hogares que tendrá un gasto destinado a salud
entre $525 y $675 será al menos 84%.
Ejercicio
de
revisión
Las botellas de agua envasadas en un proceso de llenado tienen una media
de 501 ml con una desviación estándar de 2 ml.
a. Si no se conoce si la distribución es simétrica o asimétrica, ¿qué
porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua?
b. ¿Cómo cambia su respuesta anterior si se sabe que la distribución del
contenido de agua en las botellas se distribuye normalmente?
Solución:
Media = 501 ml
Desviación estándar = 2 ml
a. Si no se conoce si la distribución es simétrica o asimétrica, ¿qué
porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua?
Si se aplica el Teorema de Chebychev, debido a que no se conoce la forma
de la distribución, entonces es necesario conocer el valor de k, para lo cual
se sustituye en la expresión   k , tomando el valor 505 (igual se puede
hacer con el valor 497):
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53
  k  505
501  k  2  505
2k  505  501
2k  4
k  4/2
k2
Sabiendo que k = 2, entonces se aplica el teorema.
1
1
1
1
 1  2  1   0,75
2
4
k
2
El porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua
es al menos de 75%.
b. ¿Cómo cambia su respuesta anterior si se sabe que la distribución del
contenido de agua en las botellas se distribuye normalmente?
Si se sabe que la distribución del contenido de agua en las botellas se
distribuye normalmente, entonces se aplica la regla empírica. Conociendo
que k = 2, entonces el porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml
y 505 ml de agua es aproximadamente 95.4%.
Ejemplo
Se sabe que los recién nacidos varones de una ciudad tienen un peso medio
de 3.450 gramos, con una desviación estándar de 75 gramos, mientras que
los recién nacidos varones de una zona rural tienen un peso medio de
3.350 gramos con una desviación estándar de 100 gramos. Una madre
residente de esa ciudad acaba de tener un niño con un peso de 3.475
gramos y otra madre residente de la zona rural dada acaba de tener un niño
con un peso de 3.450 gramos, ¿cuál de los dos niños tiene, en términos
relativos, un peso mayor?
Solución
En el caso de la ciudad se tiene que la media () es 3.450 gramos, la
desviación estándar () es 75 gramos y el peso del recién nacido (x) es
3.475 gramos, por lo que el puntaje estandarizado será:
z
x


3475  3450
 0,33
75
En el caso de la zona rural se tiene que la media () es 3.350 gramos, la
desviación estándar () es 100 gramos y el peso del recién nacido (x) es
3.450 gramos, por lo que el puntaje estandarizado será:
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54
z
x


3450  3350
1
100
El puntaje estandarizado para el niño de zona rural es mayor que para el
niño de la ciudad, por lo que, en términos relativos, tiene un peso mayor.
Ejercicio
de
revisión
Suponga que el gasto promedio anual en salud de cada habitante de
Argentina es de $742 con una desviación estándar de $250, mientras que
en Chile se destinan, en promedio, $947 en salud al año, con una
desviación estándar de $358.
Si una persona en Argentina gastó este año $850 en salud, mientras que
otra persona en Chile gastó $1050 en salud, ¿cuál de los dos gastó más en
términos relativos?
Solución:
En términos absolutos, la persona en Chile gastó más, pero en términos
relativos se requiere el cálculo de puntajes estandarizados.
En el caso de la persona en Argentina se tiene que la media () es $742, la
desviación estándar () es $250 y el gasto de la persona (x) es 850, por lo
que el puntaje estandarizado será:
z
x


850  742
 0,43
250
En el caso de la persona en Chile se tiene que la media () es $947, la
desviación estándar () es $358 y el gasto de la persona (x) es 1050, por lo
que el puntaje estandarizado será:
z
x


1050  947
 0,29
358
El puntaje estandarizado para la persona en Argentina es mayor que para la
que está en Chile.
Ejemplo
En el caso del conjunto de datos anterior, se calculó una media de 5 y una
desviación estándar de 4.64, calcule el coeficiente de variación.
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55
Solución
Dado que se calculó una media de 5 y una desviación estándar de 4.64,
entonces el coeficiente de variación es:
CV 
Ejercicio
de
revisión
s
4.64
 100 
 100  92.74%
x
5
Con base en el siguiente conjunto de datos:
40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75
Calcule el coeficiente de variación.
Solución:
Se calcula primero la desviación estándar y la media aritmética:
Desviación estándar (s) = 15.42
Media aritmética ( x ) = 66
Luego se calcula el coeficiente de variación:
CV 
s
15.42
 100 
 100  23.36%
x
66
Uso de Excel y Minitab para calcular el coeficiente de variación
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tiene el siguiente
conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea calcular el coeficiente de
variación de dicha muestra.
Solución
En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,
en la columna C1:
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se elige Estadística básica y ahí
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56
selecciona Mostrar estadísticas descriptivas. Ahí completa el cuadro de
diálogo seleccionando la variable, que en este caso se encuentra en la
columna C1:
Luego en el botón Estadísticas selecciona el coeficiente de variación.
Después de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en
la ventana Sesión:
Uso de Excel y Minitab para calcular medidas descriptivas
Ejemplo
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30
Utilice la herramienta de análisis de datos de Excel para obtener las
principales estadísticas descriptivas de este conjunto de datos.
Solución
Lo primero es introducir los datos en la hoja de Excel. Lo más conveniente
es agregarlos todos en una misma columna, que en este caso va de la celda
A1 hasta la celda A15.
Luego se da clic a la pestaña Datos y en la sección Análisis se elige el
botón Análisis de datos. Ahora elige Estadística descriptiva. Ahora hay
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57
que completar el cuadro de diálogo.
En rango de entrada se indica el rango de datos, por lo que se seleccionan
las celdas de la A1 hasta la A15. Después marca la opción Resumen de
estadísticas y da clic en Aceptar.
Excel genera una serie de medidas estadísticas de uso común, como se
muestra a continuación.
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58
Ejemplo
Se tiene el siguiente conjunto de datos:
24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30
Utilice el resumen gráfico de Minitab para obtener las principales
estadísticas descriptivas de este conjunto de datos.
Solución
El primer paso es digitar estos datos en una columna de la hoja de trabajo
de Minitab, por ejemplo, en la columna C1. Luego se da clic en el menú
Estadísticas, se selecciona Estadística básica y ahí se elige Resumen
gráfico.
En el cuadro de diálogo se selecciona la variable en la columna C1 y se da
clic en Aceptar. Minitab despliega una ventana con un histograma con
ajuste a la curva normal y una gráfica de caja. Además un cuadro con
varias medidas descriptivas y otros datos que se estudiarán más adelante en
este texto.
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59
Resumen para C1
P rueba de normalidad de A nderson-Darling
A -cuadrado
V alor P
24
25
26
27
28
29
30
0,64
0,078
M edia
Desv .Est.
V arianza
A simetría
Kurtosis
N
26,133
1,767
3,124
0,932550
0,217419
15
M ínimo
1er cuartil
M ediana
3er cuartil
M áximo
24,000
25,000
26,000
27,000
30,000
Interv alo de confianza de 95% para la media
25,155
27,112
Interv alo de confianza de 95% para la mediana
25,000
27,000
Interv alo de confianza de 95% para la desv iación estándar
Intervalos de confianza de 95%
1,294
2,787
Media
Mediana
25,0
25,5
26,0
26,5
27,0
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta. (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. En el conjunto de valores 3, 4, 5, 6, 4, 7, 8, 4, 6, 9, 10, la mediana es:
(a)4
(b)7
( c ) 5,5
(d)6
2. La media aritmética del siguiente conjunto de datos 7, 20, 13, 14, 6, 9, 1 es:
( a ) 70
( b ) 20
( c ) 14
( d ) 10
3. La moda del siguiente conjunto de datos 7, 7, 20, 20, 13, 14, 13, 6, 9, 13, 6 es:
(a)7
( b ) 20
( c ) 13
(d)6
4. La media aritmética del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36
5. La mediana del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36
6. La moda del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 20, 6 es:
( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36
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60
7. El primer cuartil del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
(a)7
( b ) 20
( c ) 13
(d)6
8. El tercer cuartil del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
( a ) 14
( b ) 20
( c ) 13
( d ) 17
9. El percentil 30 del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
( a ) 7,6
( b ) 10
(c)7
(d)6
10. El percentil 70 del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
(a)7
( b ) 20
( c ) 13,4
(d)6
11. La desviación estándar del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6
es:
( a ) 25,45
( b ) 5,05
( c ) 1,52
( d ) 44,4
12. La varianza del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:
( a ) 25,45
( b ) 5,05
( c ) 1,52
( d ) 44,4
13. Si en una muestra, la media es igual a la moda y a la mediana, entonces se concluye que:
A. Los datos son iguales
B. La desviación estándar es cero
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que con toda certeza:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
14. Si dos valores en un grupo de datos ocurren más a menudo que otros cualesquiera, la
distribución de los datos será ___________. La opción que mejor completa la frase anterior
es:
( a ) Simétrica
( b ) Bimodal
( c ) Asimétrica positiva
( d ) Asimétrica negativa
15. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Los valores extremos en un conjunto de datos influyen profundamente en la
mediana.
B. Para un arreglo de datos con 50 observaciones, la mediana será el valor de la
vigésima quinta observación en el arreglo.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
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61
16. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Cuando la población tiene sesgo negativo o positivo, a menudo es preferible utilizar
la mediana como la mejor medida de localización, pues siempre se encuentra entre la
media y la moda.
B. Cuando una distribución es simétrica y tiene una moda, el punto más alto en la
curva es la mediana y la media.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
17. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una ventaja del uso de la mediana?
( a ) Los valores extremos afectan a la mediana menos intensamente que a la media
( b ) La mediana es fácil de entender
( c ) Una mediana puede calcularse para descripciones cualitativas
( d ) Ninguna de las anteriores
18. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Las medidas de tendencia central en un conjunto de datos se refieren al grado de
dispersión de las observaciones.
B. La diferencia entre las observaciones más grandes y las más pequeñas en un
conjunto de datos se llama media geométrica.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
19. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. La desviación estándar se mide en las mismas unidades que las observaciones en el
conjunto de datos.
B. Una desventaja del uso del rango para medir la dispersión consiste en que ignora la
naturaleza de las variaciones entre la mayor parte de las observaciones.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
20. Si un grupo de datos tiene tan sólo una moda y el valor de la moda es menor que el de la
media, podremos llegar a la conclusión de que la gráfica de la distribución es:
( a ) Simétrica
( b ) Sesgada a la izquierda
( c ) Sesgada ala derecha
( d ) Platicúrtica
21. ¿Cuál de los siguientes enunciados NO es correcto?
( a ) Algunos conjuntos de datos no tienen media.
( b ) En los cálculos de la media influyen los valores extremos de datos.
( c ) Una media ponderada ha de emplearse cuando es necesario tener en cuenta la
importancia de cada valor.
( d ) Todos estos enunciados son correctos.
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22. ¿Cuál de los siguientes enunciados es el primer paso en el cálculo de la mediana de un
conjunto de datos?
( a ) Obtener el promedio de los dos valores de la mitad en un conjunto de datos.
( b ) Ordenar los datos en un arreglo.
( c ) Determinar los pesos relativos de los valores de los datos por orden de importancia.
( d ) Ninguno de los anteriores.
23. ¿Cuál de los siguientes casos es un ejemplo de una medida relativa de dispersión?
( a ) Desviación estándar
( b ) Varianza
( c ) Coeficiente de variación
( d ) Las opciones a y b pero no c
24. Si p es el mayor de tres enteros consecutivos, entonces el promedio de los tres números
es:
(a)p
(b)p–1
(c)p–3
( d ) 3p – 1
25. La edad promedio de un grupo de 5 amigos es 17,4 años. Si se incorpora al grupo un
amigo de 18 años, la edad promedio de nuevo grupo es:
( a ) 17,5 años
( b ) 17,7 años
( c ) 21 años
( d ) 20,4 años
26. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño de los agentes de servicio
y para ello decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido
en segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio
(valorado como bueno, regular o malo). La semana anterior tomó una muestra de 12 llamadas
por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes. Los siguientes son los
tiempos de las muestras tomadas de lunes a miércoles. El lunes y el martes se tomaron
tiempos de llamadas atendidas y el miércoles solo de llamadas no atendidas:
Día
Lunes
Martes
Miércoles
1
13
12
30
2
15
15
40
3
15
15
45
Número de muestra (tiempo en segundos)
4
5
6
7
8
9
16
16
16
16
17
17
16
16
15
16
18
15
45
50
50
45
35
60
10
19
20
50
11
11
30
80
12
21
40
100
Las preguntas de la 26 a la 43 se basan en la información anterior.
La distribución de los tiempos de las llamadas del día lunes es:
( a ) Simétrica
( b ) Asimétrica positiva
( c ) Asimétrica negativa
( d ) Asimétrica hacia la derecha
27. La distribución de los tiempos de las llamadas del día martes es:
( a ) Simétrica
( b ) Asimétrica positiva
( c ) Asimétrica negativa
( d ) Ninguna de las anteriores
28. El tiempo medio de espera de los clientes de la muestra del día martes es, en segundos:
( a ) 15
( b ) 19
( c ) 16
( d ) Ninguna de las anteriores
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29. La mediana del tiempo de espera de los clientes de la muestra del día martes es, en
segundos:
( a ) 15
( b ) 19
( c ) 16
( d ) Ninguna de las anteriores
30. La moda del tiempo de espera de los clientes de la muestra del día lunes es, en segundos:
( a ) 15
( b ) 15,5
( c ) 16
( d ) Ninguna de las anteriores
31. Con respecto a los datos del día miércoles es verdadero que:
( a ) La distribución es asimétrica a la izquierda
( b ) No se presentan valores extremos
( c ) La distribución es bimodal
( d ) Todas las anteriores son verdaderas
32. El cuartil 1 de los tiempos de espera del día lunes es, en segundos:
( a ) 15,5
( b ) 15
( c ) 16
( d ) 3,25
33. El cuartil 3 de los tiempos de espera del día martes es, en segundos:
( a ) 18,75
( b ) 19,5
( c ) 9,75
( d ) 37,5
34. El percentil 80 de los tiempos de espera del día miércoles es, en segundos:
( a ) 62
( b ) 68
( c ) 10,4
( d ) Ninguna de las anteriores
35. La varianza de los tiempos de espera del día miércoles es, aproximadamente, en
segundos2:
( a ) 19,6
( b ) 384,09
( c ) 13,75
( d ) 189,06
36. La desviación estándar de los tiempos de espera del día martes es, en segundos:
( a ) 5,5
(b)8
( c ) 64
( d ) Ninguna de las anteriores
37. El coeficiente de variación de los tiempos de espera del lunes es:
( a ) 15,99%
( b ) 2,55
( c ) 6,25%
( d ) Ninguna de las anteriores
38. Con relación a la variabilidad relativa de los tiempos de espera es verdadero que el día
cuyos tiempos tienen una dispersión relativa más baja es:
( a ) Lunes
( b ) Martes
( c ) Miércoles
( d ) Falta información para determinarlo
39. El decil 4 de los tiempos de espera del día lunes es, en segundos:
( a ) 5,2
( b ) 15
( c ) 16
( d ) Ninguna de las anteriores
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40. Si el primer cuartil para los tiempos de espera del día viernes es de 14,6 segundos,
entonces es falso que:
( a ) Un 25% de los clientes de ese día esperaron 14,6 segundos o menos
( b ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 14,6 segundos o más
( c ) Un cliente que esperó 12 segundos esperó poco con respecto a los demás
( d ) Ninguna de las anteriores
41. Si la mediana para los tiempos de espera del día viernes es de 19,8 segundos, entonces es
falso, con toda certeza, que:
( a ) Un 50% de los clientes de ese día esperaron 19,8 segundos o menos
( b ) El tiempo de espera promedio de ese día fue de 19,8 segundos
( c ) La mayoría de los clientes esperaron más de 19,8 segundos
( d ) Ninguna de las anteriores
42. Si la media para los tiempos de espera del día viernes es de 21,3 segundos, entonces es
verdadero que:
( a ) La mitad de los clientes esperaron 21,3 segundos o menos
( b ) Un 50% de los clientes de ese día esperaron 21,3 segundos o más
( c ) El tiempo más frecuente fue 21,3 segundos
( d ) Todas las anteriores son falsas
43. Si la media para los tiempos de espera es de 21,3 segundos y la desviación estándar para
los tiempos de espera del día viernes es de 7,6 segundos, entonces es verdadero que:
( a ) Los tiempos de espera tuvieron una variabilidad de 7,6 segundos con relación a su media
( b ) Aproximadamente un 68,3% de los clientes esperaron entre 13,7 y 28,9 segundos
( c ) Aproximadamente un 95,4% de los clientes esperaron entre 6,1 y 36,5 segundos
( d ) Todas las anteriores son verdaderas
Respuestas a ejercicios de selección múltiple:
1. d
6. a
11. b
16. a
21. a
26. a
31. c
36. b
41. d
2. d
7. a
12. a
17. d
22. b
27. b
32. b
37. a
42. d
3. c
8. a
13. d
18. d
23. c
28. b
33. b
38. a
43. d
4. d
9. a
14. b
19. a
24. b
29. c
34. b
39. c
5. b
10. c
15. d
20. b
25. a
30. c
35. b
40. d
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65
4
.
Distribuciones de frecuencias
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
 Construir la tabla de una distribución de frecuencias.
 Representar gráficamente los datos provenientes de una distribución de frecuencias.
 Calcular e interpretar las principales medidas de posición en datos agrupados.
 Calcular e interpretar las principales medidas de variabilidad en datos agrupados.
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66
Distribuciones de frecuencias
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos):
12, 16, 8, 22, 14, 12, 13, 19, 17, 10,
21, 25, 23, 18, 14, 9, 14, 16, 10, 12,
15, 16, 16, 17, 12, 11, 11, 19, 20, 15
Determine cuáles serían los límites reales si se desea construir la tabla de
la distribución de frecuencias empleando 6 clases.
Solución:
– Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar
la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:
Dato mayor: 25
Dato menor: 8
Rango = dato mayor menos dato menor = 25 – 8 = 17
– Selección del intervalo de clase (c): Si se desean 6 clases, entonces se
divide el rango entre 6:
17 ÷ 6 = 2.83
– Determinación de los límites de clase: Los límites reales serán los que
se emplearán en el cálculo de los puntos medios y los demás cálculos
posteriores. Ejemplo:
Límites reales
7,5 – 10,5
10,5 – 13,5
13,5 – 16,5
16,5 – 19,5
19,5 – 22,5
22,5 – 25,5
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos):
12, 16, 8, 22, 14, 12, 13, 19, 17, 10,
21, 25, 23, 18, 14, 9, 14, 16, 10, 12,
15, 16, 16, 17, 12, 11, 11, 19, 20, 15
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67
Si los siguientes son los límites reales, determine las frecuencias absolutas
de cada clase:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
30
Solución:
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine los puntos
medios de cada clase:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Puntos medios
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Puntos medios
9
12
15
18
21
24
Solución:
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68
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine las
frecuencias relativas de cada clase:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
30
100.00%
Frecuencia
absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Frecuencia
relativa
13.33%
23.33%
30.00%
16.67%
10.00%
6.67%
100.00%
Solución:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine las
frecuencias absolutas acumuladas a menos de y a más de de cada clase:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia
absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Frecuencia acumulada
a menos de
a más de
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69
Solución:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Ejercicio
de
revisión
Frecuencia
absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Frecuencia acumulada
a menos de
a más de
4
30
11
26
20
19
25
10
28
5
30
2
-
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine las
frecuencias relativa acumuladas a menos de y a más de de cada clase:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia
relativa
13,33%
23,33%
30,00%
16,67%
10,00%
6,67%
30
Frecuencia acumulada
a menos de
a más de
Frecuencia
relativa
13,33%
23,33%
30,00%
16,67%
10,00%
6,67%
30
Frecuencia acumulada
a menos de
a más de
13.33%
100.00%
26.67%
86.67%
56.67%
63.33%
83.33%
33.33%
93.33%
16.67%
100.00%
6.67%
-
Solución:
Límites
reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
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70
Uso de Excel y Minitab para construir histogramas
Ejemplo
Se tiene la edad de 30 personas en la tabla siguiente:
19
41
28
25
36
24
32
32
22
40
18
27
21
50
35
28
48
26
56
25
43
27
33
34
31
35
43
29
26
39
Utilice Excel y Minitab para construir un histograma que represente dichos
datos.
Solución
En Excel, primero se introducen los datos en una columna (o una fila). En
este caso se introducen los datos en el rango de celdas A1 hasta A30.
En otro rango de celdas se introducen los límites de las clases. Solo es
necesario indicar los límites superiores de las clases, que en este caso
serían 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5, 52.5 y 57.5. Estos límites se
introducirán en este caso en las celdas de B1 hasta B8.
Luego se da clic en la pestaña Datos, y se selecciona Análisis de datos. Si
no aparece el botón de Análisis de datos, se puede instalar dando clic al
botón de Office (en la esquina superior izquierda del programa), y en el
menú se da clic en Opciones de Excel. Ahí se elige en el menú de la
izquierda se da clic en Complementos, y en los complementos de
aplicaciones inactivas se elige Herramientas para análisis. Después se da
clic en el botón Ir que se haya en la parte inferior del cuadro de diálogo, y
en la lista de complementos disponibles se marca Herramientas para
análisis y después se presiona Aceptar).
Ahora al dar clic en el botón de Análisis de datos, en la lista se elige
Histograma y se completa el cuadro de diálogo siguiente:
En rango de entrada se indican los datos de la serie a graficar, que en este
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71
caso están en las celdas de A1 hasta A30. En rango de clases se indican los
límites, los cuales están en las celdas de B1 hasta B8. Luego hay que
marcar la opción Crear gráfico, y se da clic en Aceptar. Excel genera una
tabla y un gráfico como el siguiente:
En Minitab, primero se introducen los datos en la hoja de trabajo. Luego
se da clic en el menú Gráfica y se elige Histograma. En el cuadro de
diálogo se selecciona la opción Simple. Después, en el cuadro se
selecciona como variables de gráficas la columna C1 y se da clic en
Aceptar:
Histograma de C1
7
6
Frecuencia
5
4
3
2
1
0
20
25
30
35
40
45
50
55
C1
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72
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), construya un
histograma para esta variable:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Solución:
Frecuencia absoluta
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
Ejemplo
12
15
18
21
24
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
Límites
reales
17,5 – 22,5
22,5 – 27,5
27,5 – 32,5
32,5 – 37,5
37,5 – 42,5
42,5 – 47,5
47,5 – 52,5
52,5 – 57,5
Puntos
medios
xi
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia
absoluta f i
Frecuencia
relativa
4
5
8
5
3
2
2
1
30
13,33%
16,67%
26,67%
16,67%
10,00%
6,67%
6,67%
3,33%
100,00%
fr  fi n
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
13,33%
30,00%
56,67%
73,33%
83,33%
90,00%
96,67%
100,00%
Calcule la moda.
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73
Solución
La clase modal es la tercera clase, cuyos límites reales son 27,5 – 32,5, su
límite inferior real es 27,5, su intervalo de clase es 5 (límite superior
menos límite inferior = 32,5 – 27,5 = 5) y su frecuencia absoluta es 8. La
clase pre modal (22,5 – 27,5) tiene frecuencia 5 (por tanto d1 = 8 – 5 = 3) y
la pos modal (32,5 – 37,5) tiene frecuencia también de 5 (por tanto d2 = 8 –
5 = 3). El cálculo es:
M o  Li  c
d1
(8  5)
 27.5  5
 30
d1  d 2
(8  5)  (8  5)
La moda es 30.
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la moda:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Solución:
La clase modal es la tercera clase, cuyos límites reales son 13,5 – 16,5, su
límite inferior real es 13,5, su intervalo de clase es 3 (límite superior
menos límite inferior = 16,5 – 13,5 = 5) y su frecuencia absoluta es 9.
La clase pre modal (10,5 – 13,5) tiene frecuencia 7, por tanto el valor de
d1 es d1 = 9 – 7 = 2 y la postmodal (16,5 – 19,5) tiene frecuencia también
de 5, por tanto d2 = 9 – 5 = 4. El cálculo es:
M o  Li  c
d1
(9  7)
 13.5  3
 14.5
d1  d 2
(9  7)  (9  5)
La moda es 14.5.
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74
Ejemplo
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
Puntos
medios
Límites
reales
17,5 – 22,5
22,5 – 27,5
27,5 – 32,5
32,5 – 37,5
37,5 – 42,5
42,5 – 47,5
47,5 – 52,5
52,5 – 57,5
xi
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia
absoluta f i
Frecuencia
relativa
4
5
8
5
3
2
2
1
30
13,33%
16,67%
26,67%
16,67%
10,00%
6,67%
6,67%
3,33%
100,00%
fr  fi n
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
13,33%
30,00%
56,67%
73,33%
83,33%
90,00%
96,67%
100,00%
Calcule la mediana.
Solución
Se tiene que n = 30, por tanto n/2 = 30/2 = 15, lo que quiere decir que la
clase mediana será la tercer clase, ya que su frecuencia acumulada menos
de es 17, que es la que apenas supera a 15. El límite inferior de la clase es
27,5, el intervalo de la clase es 5, la frecuencia acumulada de la clase pre
mediana es 9 y la frecuencia de la clase mediana es 8. Aplicando la
fórmula:
 n  Fi 1  
 30  9 
2


  27,5  5  6  31,25
Med  Li  c
 27,5  5 2
fi
8


 8 




La mediana es 31,25.
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la mediana:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
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75
Solución:
Se calcula la frecuencia absoluta acumulada (F):
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
F
4
11
20
25
28
30
-
Se tiene que n = 30, por tanto n/2 = 30/2 = 15, lo que quiere decir que la
clase mediana será la tercer clase, ya que su frecuencia acumulada menos
de es 20, que es la que apenas supera a 15. El límite inferior de la clase es
13,5, el intervalo de la clase es 3, la frecuencia acumulada de la clase pre
mediana es 11 y la frecuencia de la clase mediana es 9. Aplicando la
fórmula:
 n  Fi 1  
 30  11
  13,5  3 2
  14,83
Med  Li  c  2
fi
9








La mediana es 14.83.
Ejemplo
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
Límites
reales
17,5 – 22,5
22,5 – 27,5
27,5 – 32,5
32,5 – 37,5
37,5 – 42,5
42,5 – 47,5
47,5 – 52,5
52,5 – 57,5
Puntos
medios
xi
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia
absoluta f i
Frecuencia
relativa
4
5
8
5
3
2
2
1
30
13,33%
16,67%
26,67%
16,67%
10,00%
6,67%
6,67%
3,33%
100,00%
fr  fi n
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
13,33%
30,00%
56,67%
73,33%
83,33%
90,00%
96,67%
100,00%
Calcule la media aritmética.
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76
Solución
Para el cálculo es útil el empleo de una tabla auxiliar:
Puntos medios xi
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia absoluta fi
4
5
8
5
3
2
2
1
30
xifi
80
125
240
175
120
90
100
55
985
Aplicando la fórmula:
k
x
x
i 1
n
i
fi

985
 32,83
30
La media es 32,83.
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la media:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Solución:
Para el cálculo es útil el empleo de una tabla auxiliar:
Puntos medios xi
9
12
15
18
21
24
Total
Frecuencia absoluta fi
4
7
9
5
3
2
30
xifi
36
84
135
90
63
48
456
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77
Aplicando la fórmula:
k
x
x
i 1
n
i
fi

456
 15.2
30
La media es 15.2.
Ejemplo
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
Límites
reales
17,5 – 22,5
22,5 – 27,5
27,5 – 32,5
32,5 – 37,5
37,5 – 42,5
42,5 – 47,5
47,5 – 52,5
52,5 – 57,5
Puntos
medios
xi
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia
absoluta f i
Frecuencia
relativa
4
5
8
5
3
2
2
1
30
13,33%
16,67%
26,67%
16,67%
10,00%
6,67%
6,67%
3,33%
100,00%
fr  fi n
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
13,33%
30,00%
56,67%
73,33%
83,33%
90,00%
96,67%
100,00%
Calcule el tercer cuartil.
Solución
El cálculo es muy similar al de la mediana. El tercer cuartil equivale al
percentil 75, por lo tanto se puede buscar en la columna de la frecuencia
relativa acumulada a menos de aquel valor que es el primero en exceder
75%. Esto se da en quinta clase, por lo que el límite inferior de la clase es
37.5, el intervalo de la clase es 5, la frecuencia acumulada de la clase
previa es 22 y la frecuencia de la clase es 3. Aplicando la fórmula:
 mn
 75 x30
 Fi 1  
 22 
100
100
  37,5  5

Q3  P75  Li  c 
fi
3








0,5
 37,5  5 
 38,33
3
La tercer cuartil es 38,33.
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78
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule el primer cuartil
y el percentil 70:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Solución:
Se completa la tabla:
Límites
reales
Frecuencia
absoluta
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
fi
4
7
9
5
3
2
30
Frecuencia
absoluta
acumulada
fi 
4
11
20
25
28
30
Frecuencia
relativa
fr  fi n
13.33%
23.33%
30.00%
16.67%
10.00%
6.67%
100,00%
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
13.33%
36.67%
66.67%
83.33%
93.33%
100.00%
El tercer cuartil equivale al percentil 75, por lo tanto se puede buscar en la
columna de la frecuencia relativa acumulada a menos de aquel valor que es
el primero en exceder 75%. Esto se da en cuarta clase, por lo que el límite
inferior de la clase es 16.5, el intervalo de la clase es 3, la frecuencia
acumulada de la clase previa es 20 y la frecuencia de la clase es 5.
Aplicando la fórmula:
 mn
 75 x30
 Fi 1  
 20 
100
100
  16,5  3
  18
Q3  P75  Li  c 
fi
5








La tercer cuartil es 18.
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79
Ejemplo
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
Puntos
medios
Límites
reales
xi
17,5 – 22,5
22,5 – 27,5
27,5 – 32,5
32,5 – 37,5
37,5 – 42,5
42,5 – 47,5
47,5 – 52,5
52,5 – 57,5
Frecuencia
absoluta f i
Frecuencia
relativa
4
5
8
5
3
2
2
1
30
13,33%
16,67%
26,67%
16,67%
10,00%
6,67%
6,67%
3,33%
100,00%
20
25
30
35
40
45
50
55
Total
Frecuencia
relativa
acumulada
“menos de”
fr  fi n
13,33%
30,00%
56,67%
73,33%
83,33%
90,00%
96,67%
100,00%
Calcule la varianza y la desviación estándar.
Solución
Se supondrá que los datos corresponden a una muestra y se usará la
segunda fórmula de las señaladas anteriormente. También es útil construir
una tabla auxiliar. La media se calculó anteriormente y es de 32.83.
Puntos
medios x i
20
25
30
35
40
45
50
55
Frecuencia
absoluta f i
4
5
8
5
3
2
2
1
30
( xi  x )
( xi  x ) 2
( xi  x ) 2 f i
–12,83
–7,83
–2,83
2,17
7,17
12,17
17,17
22,17
164,69
61,36
8,03
4,69
51,36
148,03
294,69
491,36
Total
658,78
306,81
64,22
23,47
154,08
296,06
589,39
491,36
2584,17
Aplicando la fórmula:
n
s2 
 (x
i 1
i
 x )2 fi
n 1

2584,17
 89,11
30  1
La varianza es de 89,11. Para calcular la desviación estándar se saca la raíz
cuadrada al resultado anterior:
s  s 2  89,11  9,44
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80
Ejercicio
de
revisión
Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de
espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la varianza y la
desviación estándar:
Límites reales
7,5 - 10,5
10,5 - 13,5
13,5 - 16,5
16,5 - 19,5
19,5 - 22,5
22,5 - 25,5
Total
Frecuencia absoluta
4
7
9
5
3
2
30
Solución:
Se supondrá que los datos corresponden a una muestra y se usará la
segunda fórmula de las señaladas anteriormente. También es útil construir
una tabla auxiliar siguiente. La media se calculó anteriormente y es de
15.2.
Puntos
medios x i
9
12
15
18
21
24
Frecuencia
absoluta f i
4
7
9
5
3
2
30
( xi  x )
( xi  x ) 2
( xi  x ) 2 f i
-6.2
-3.2
-0.2
2.8
5.8
8.8
38.44
10.24
0.04
7.84
33.64
77.44
Total
153.76
71.68
0.36
39.2
100.92
154.88
520.8
Aplicando la fórmula:
n
s2 
 (x
i 1
i
 x )2 fi
n 1

520.8
 17.96
30  1
La varianza es de 17.96. Para calcular la desviación estándar se saca la raíz
cuadrada al resultado anterior:
s  s 2  17.96  4.24
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81
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta. (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Considere el siguiente gráfico:
Con respecto a esta gráfica es falso con toda certeza que:
( a ) La variable X es cuantitativa continua
( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias
( c ) Los datos corresponden a una población
( d ) La gráfica corresponde a un histograma
2. Con relación a la gráfica de la pregunta 1, es verdadero que:
( a ) El intervalo de clase es 12,5
( b ) El valor de n es 32
( c ) El punto medio de la segunda clase es 24
( d ) El límite superior de la cuarta clase es 38
3. Con relación a la gráfica de la pregunta 1, es verdadero que:
( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125
( b ) La frecuencia relativa de la sexta clase es 2/30 pues hasta ahí se acumulan 30 datos
( c ) El punto medio de la segunda clase es 24
( d ) La frecuencia absoluta acumulada de la tercera clase es 8
4. Suponga que la variable X de la gráfica de la pregunta 1 corresponde al tiempo, en
segundos, entre la llegada de dos autos consecutivos a un peaje en una autopista durante
periodo aleatoriamente seleccionado. Con respecto a esta afirmación es falso con toda certeza
que:
( a ) Los datos no son confiables pues la muestra es muy pequeña
( b ) El 56,25% de los tiempos entre la llegada de dos autos es de 33,5 segundos
( c ) La mayoría de los tiempos registrados se da entre 26,5 y 33,5 segundos
( d ) Los tiempos de llegada entre dos autos sucesivos nunca son mayores a 54,5 segundos
5. Considere el gráfico de la pregunta 1, la media aritmética es:
( a ) 33,5
( b ) 31,97
( c ) 1023
( d ) Ninguna de las anteriores
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82
6. Considere el gráfico de la pregunta 1, la mediana es:
( a ) 26,5
( b ) 28,83
( c ) 31,75
( d ) Ninguna de las anteriores
7. Considere el gráfico de la pregunta 1, la moda es, redondeando a dos decimales:
( a ) 31,17
( b ) 30
( c ) 26,5
( d ) Ninguna de las anteriores
8. Considere el gráfico de la pregunta 1, el primer cuartil es, redondeando a dos decimales:
( a ) 24,17
( b ) 22,30
( c ) 31,75
( d ) Ninguna de las anteriores
9. Considere el gráfico de la pregunta 1, el percentil 95 es:
( a ) 48,9
( b ) 30,4
( c ) 47,59
( d ) Ninguna de las anteriores
10. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Si quisiéramos unir los puntos medios de barras consecutivas en un histograma de
frecuencia con una serie de líneas, estaríamos graficando un polígono de frecuencias.
B. Por lo regular, los estadísticos consideran que una distribución de frecuencia es
incompleta si tiene menos de 20 clases.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Ambas son verdaderas
( b ) Solo A es verdadera
( c ) Solo B es verdadera
( d ) Ambas son falsas
11. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño de los agentes de servicio
y para ello decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido
en segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio
(valorado como bueno, regular o malo). La semana anterior tomó una muestra de 12 llamadas
por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes.
La siguiente tabla corresponde a las frecuencias de los
tiempos de espera de los clientes para la muestra de
llamadas atendidas durante el día jueves.
Las preguntas de la 11 a la 22 se basan en esta tabla.
El punto medio de la tercera clase es:
( a ) 20,5
( c ) 20
Límites reales
10,5 – 14,5
14,5 – 18,5
18,5 – 22,5
22,5 – 26,5
26,5 – 30,5
Frecuencia
2
4
8
5
1
( b ) 19 a 22
( d ) Ninguna de las anteriores
12. La frecuencia porcentual de la cuarta clase es:
( a ) 25%
( b ) 30%
( c ) 95%
( d ) 5%
13. La frecuencia absoluta acumulada a menos de de la segunda clase es:
(a)4
(b)6
( c ) 18
( d ) 30%
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83
14. La frecuencia relativa acumulada a más de de la tercera clase es:
( a ) 14
( b ) 40%
( c ) 0,70
( d ) Ninguna de las anteriores
15. La frecuencia absoluta acumulada a menos de correspondiente a la tercera clase significa
que:
( a ) 14 clientes esperaron 18,5 segundos o más
( b ) 14 clientes esperaron 18,5 segundos o menos
( c ) 14 clientes esperaron 14,5 segundos o más
( d ) Ninguna de las anteriores
16. La gráfica apropiada para representar las frecuencias absolutas relacionadas con sus
puntos medios se llama:
( a ) Gráfico de barras horizontales
( b ) Polígono de frecuencias
( c ) Ojiva a menos de
( d ) Diagrama de frecuencias acumuladas
17. El tiempo medio de espera de los clientes de la muestra del día jueves es, en segundos:
( a ) 20,5
( b ) 20,3
( c ) 18,5
( d ) Ninguna de las anteriores
18. La mediana del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:
( a ) 20,5
( b ) 20,3
( c ) 18,5
( d ) Ninguna de las anteriores
19. La desviación estándar del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:
( a ) 4,2
( b ) 17,64
( c ) 1,21
( d ) Ninguna de las anteriores
20. El primer cuartil del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:
( a ) 17,5
( b ) 16,5
( c ) 21,5
( d ) Ninguna de las anteriores
21. El percentil 78 del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:
( a ) 23,78
( b ) 19,78
( c ) 22,88
( d ) Ninguna de las anteriores
22. Con respecto al tercer cuartil para los tiempos de espera del día jueves es verdadero que:
( a ) Un 25% de los clientes de ese día esperaron 23,3 segundos o menos
( b ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 23,3 segundos o menos
( c ) Un 25% de los clientes de ese día esperaron 22,5 segundos o menos
( d ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 22,5 segundos o menos
Respuestas a los ejercicios de selección múltiple:
1. b
2. b
3. a
6. c
7. a
8. a
11. a
12. a
13. b
16. b
17. b
18. a
21. a
22. b
4. b
9. a
14. c
19. a
5. b
10. b
15. c
20. a
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84
5
.
Introducción a las probabilidad
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Reconocer la importancia y uso del concepto de probabilidad
2. Aplicar conceptos básicos de conteo
3. Calcular probabilidades empleando la definición clásica de probabilidad
4. Aplicar los principales teoremas y axiomas de probabilidad
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Ejemplo
Si usted invita a 8 personas a comer y hay una mesa con 8 sillas, ¿de
cuántas formas distintas pueden sentarse a la mesa?
Solución
La primer persona que se sienta dispone de 8 posibilidades, la segunda de
sólo 7 (ya que la primera ya se sentó), la tercera tiene 6 posibilidades, la
cuarta 5 y así sucesivamente. Por tanto se pueden sentar de:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 formas distintas
Ejercicio
de
revisión
1. Un restaurante ofrece las siguientes opciones para almorzar:
•
•
•
Tres tipos de plato fuerte: pollo, res, chuleta
Dos tipos de refrescos: frutas, cola
Dos tipos de postre: flan, helado
¿Cuántas órdenes distintas pueden efectuarse?
2. Si una contraseña para retirar dinero de un cajero automático se
compone de 4 dígitos. ¿Cuántas contraseñas distintas son posibles?
Solución:
1. Se aplica el principio de multiplicación de conteo:
# órdenes = 3 x 2 x 2 = 12
2. Cada dígito de la contraseña posee 10 dígitos posibles, por tanto
aplicando el principio de multiplicación de conteo:
# contraseñas = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
Ejemplo
Calcule el factorial de 5.
Solución
El factorial de 5 es:
5! = 5  4  3  2  1 = 120
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Ejercicio
de
revisión
Calcule el factorial de los siguientes números:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
5! =
6! =
10! =
0! =
1! =
70! =
20! =
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800
0! = 1
1! = 1
70! = 1.197857E+100 (usando Excel)
20! = 2.432902E+18 (usando Excel)
Ejemplo
Use Excel y Minitab para calcular el factorial de 5.
Solución
En Excel se emplea la función FACT, la cual tiene la siguiente sintaxis:
=FACT(número)
Donde "número" indica la celda donde se halla el número del cual se desea
calcular el factorial, o bien, simplemente se escribe dicho número.
Entonces, en este caso se digita en la celda en que se desea obtener el
resultado la función:
=FACT(5)
Y así se obtiene el resultado 120.
En Minitab se requiere dar clic al menú Calc y elegir Calculadora. En el
cuadro de diálogo se debe completar la columna de la hoja de trabajo en la
cual se desea almacenar el resultado, por ejemplo, la columna C1. Luego
en expresión se emplea la función FACTORIAL, la cual emplea la
sintaxis:
FACTORIAL(número de elementos)
Donde "número de elementos" es el número del cual se desea obtener el
factorial, o bien, la columna en la que se hallan esos números. En este
caso, si se indica solo el número, entonces la función quedaría:
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87
FACTORIAL(5)
Después se da clic en Aceptar y el resultado 120 se obtiene en la hoja de
trabajo en la celda que se haya indicado.
Ejemplo
Calcule el número de permutaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.
Solución
Se tiene que n = 5 y r = 3:
P(5,3) 
Ejercicio
de
revisión
5!
5! 120
 
 60
(5  3) ! 2!
2
Calcule las siguientes permutaciones:
1. P(8, 5) =
2. P(6, 0) =
3. P(10, 1) =
4. P(5, 5) =
5. P(300, 1) =
6. P(200, 2) =
7. P(n, n) =
8. P(n, 1) =
9. P(n, 0) =
10. P(n, n – 1) =
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P(8, 5) = 6720
P(6, 0) = 1
P(10, 1) = 10
P(5, 5) = 120
P(300, 1) = 300
P(200, 2) = 39800
n!
n!
7. P(n, n) =
  n!
( n  n) ! 0 !
n!
n (n  1) !
8. P(n, 1) =

n
(n  1) ! (n  1) !
n!
n!
9. P(n, 0) =
 1
(n  0) ! n !
n!
n!
10. P(n, n – 1) =
  n!
(n  (n  1)) ! 1!
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88
Ejemplo
Use Excel y Minitab para calcular el número de permutaciones de 5
elementos tomados de 3 en 3.
Solución
En Excel se emplea la función PERMUTACIONES, la cual tiene la
siguiente sintaxis:
=PERMUTACIONES(número; tamaño)
Donde "número" indica la celda donde se halla el valor de n, o bien,
simplemente se escribe dicho valor de n. Luego "tamaño" es la celda en la
cual se haya el valor de r o simplemente el valor de r. Entonces, en este
caso se digita en la celda en que se desea obtener el resultado la función:
=PERMUTACIONES(5; 3)
Y así se obtiene el resultado 60.
En Minitab se requiere dar clic al menú Calc y elegir Calculadora. En el
cuadro de diálogo se debe completar la columna de la hoja de trabajo en la
cual se desea almacenar el resultado, por ejemplo, la columna C1. Luego
en expresión se emplea la función PERMUTATIONS, la cual emplea la
sintaxis:
PERMUTATIONS(número de elementos.número para elegir)
Donde "número de elementos" es el valor de n, o bien, la columna en la
que se halla el valor de n. Luego, "número para elegir" es el valor de r, o la
columna en la que se encuentra el valor de r. En este caso, si se indican
solo los números, entonces la función quedaría:
PERMUTATIONS(5.3)
Después se da clic en Aceptar y el resultado 60 se obtiene en la hoja de
trabajo en la celda que se haya indicado.
Ejemplo
Calcule el número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.
Solución
Se tiene que n = 5 y r = 3:
C (5,3) 
5!
5!
120


 10
3! (5  3) ! 3! 2! 6  2
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89
Ejercicio
de
revisión
Calcule las siguientes probabilidades:
1. C(8, 5) =
2. C(6, 0) =
3. C(10, 1) =
4. C(5, 5) =
5. C(300, 1) =
6. C(200, 2) =
7. C(n, n) =
8. C(n, 1) =
9. C(n, 0) =
10. C(n, n – 1) =
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. ¿Cuántas directivas de tres miembros (presidente, secretario y tesorero)
se pueden formar de un grupo de 8 personas elegibles?
2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden formar de un grupo de 8
personas elegibles?
3. ¿Cuántos comités de tres estudiantes y dos profesores se pueden formar
si hay un grupo de 10 estudiantes y 5 profesores elegibles?
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
C(8, 5) = 56
C(6, 0) = 1
C(10, 1) = 10
C(5, 5) = 1
C(300, 1) = 300
C(200, 2) = 19900
n!
n!
7. C(n, n) =

1
n !(n  n) ! n!0!
n!
n(n  1)!
8. C(n, 1) =

n
1!(n  1) ! 1  (n  1)!
n!
n!
9. C(n, 0) =

1
0!(n  0) ! 1  n !
n!
n(n  1) !
10. C(n, n – 1) =

n
(n  1) !(n  (n  1))! (n  1)!1!
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. ¿Cuántas directivas de tres miembros (presidente, secretario y tesorero)
se pueden formar de un grupo de 8 personas elegibles?
En el caso de las directivas, los puestos implican que el orden es
importante, por tanto se calculan permutaciones. Entonces n = 8, r = 3:
P(8, 3) = 336
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90
2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden formar de un grupo de 8
personas elegibles?
En el caso de los comités, al no haber puestos, el orden no es importante,
por tanto se calculan combinaciones. Entonces n = 8, r = 3:
C(8, 3) = 56
3. ¿Cuántos comités de tres estudiantes y dos profesores se pueden formar
si hay un grupo de 10 estudiantes y 5 profesores elegibles?
Se emplean combinaciones y se calcula por separado para los estudiantes y
los profesores:
C(10, 3) = 120
C(5, 2) = 10
Luego se aplica el principio de multiplicación:
# comités = 120 x 10 = 1200
Ejemplo
Use Excel y Minitab para calcular el número de combinaciones de 5
elementos tomados de 3 en 3.
Solución
En Excel se emplea la función COMBINAT, la cual tiene la siguiente
sintaxis:
=COMBINAT(número; tamaño)
Donde "número" indica la celda donde se halla el valor de n, o bien,
simplemente se escribe dicho valor de n. Luego "tamaño" es la celda en la
cual se haya el valor de r o simplemente el valor de r. Entonces, en este
caso se digita en la celda en que se desea obtener el resultado la función:
=COMBINAT(5; 3)
Y así se obtiene el resultado 10.
En Minitab se requiere dar clic al menú Calc y elegir Calculadora. En el
cuadro de diálogo se debe completar la columna de la hoja de trabajo en la
cual se desea almacenar el resultado, por ejemplo, la columna C1. Luego
en expresión se emplea la función COMBINATIONS, la cual emplea la
sintaxis:
COMBINATIONS(número de elementos.número para elegir)
Donde "número de elementos" es el valor de n, o bien, la columna en la
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91
que se halla el valor de n. Luego, "número para elegir" es el valor de r, o la
columna en la que se encuentra el valor de r. En este caso, si se indican
solo los números, entonces la función quedaría:
COMBINATIONS(5.3)
Después se da clic en Aceptar y el resultado 10 se obtiene en la hoja de
trabajo en la celda que se haya indicado.
Ejemplo
Suponga que en un grupo de 10 bolas hay 5 de color rojo, 3 azules y dos
blancas, ¿cuántas permutaciones son posibles?
Solución
Aplicando la fórmula de permutaciones con elementos repetidos:
n!
10!
3628800 3628800



 2520
n R ! n A ! n B ! 5! 3! 2! 120  6  2
1440
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado perfecto se obtenga un
número par mayor que 2?
Solución
Se define el evento A como obtener un número par mayor de 2. Al tirar el
dado los seis lados tienen igual posibilidad de quedar hacia arriba. Los
números pares mayores que 2 son 4 y 6, por lo tanto:
P( A) 
Ejercicio
de
revisión
a 2
  0,3333
N 6
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Si X es la suma de los puntos,
calcule las siguientes probabilidades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P(X = 3) =
P(X = 6) =
P(X = 7) =
P(X = 11) =
P(X = 12) =
P(X = 15) =
Solución:
Cada dado tiene 6 posibles resultados, por lo que el número total de
posibles resultados es 6 x 6 = 36:
1. P(X = 3) = 2/36
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92
2.
3.
4.
5.
6.
P(X = 6) = 5/36
P(X = 7) = 6/36
P(X = 11) = 2/36
P(X = 12) = 1/36
P(X = 15) = 0
Ejemplo
En un lote de 3.000 piezas producidas en una máquina se encontraron 96
defectuosas. Calcule la probabilidad de piezas defectuosas de esa máquina.
Solución
Si d es el evento obtener una pieza defectuosa, entonces su frecuencia es
96, lo que da la probabilidad:
P( d ) 
Ejercicio
de
revisión
96
 0,0320
3.000
En una ciudad en la que habitan 5.000 personas, se sabe que 2.700 son
mujeres. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea mujer?
Solución:
P( M ) 
Ejercicio
de
revisión
2.700
 0,54
5.000
En cada caso, indique cuál enfoque se emplearía para determinar la
probabilidad de que el evento dado ocurra:
a. Ganar en un juego de ruleta.
b. Enfermar de cáncer de piel.
c. Que un nuevo producto desarrollado por una compañía sea un éxito.
d. Que la realización de un proyecto dure más de lo esperado.
e. Que una computadora nueva falle en un plazo de tres años o menos.
Solución:
a. Enfoque objetivo o clásico
b. Frecuencias relativas
c. Frecuencias relativas
d. Enfoque subjetivo
e. Frecuencias relativas
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93
Ejemplo
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200
cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un
aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un televisor o una
computadora?
Solución
Dado que los eventos televisor (T) y computadora (C) son excluyentes se
calcula cada probabilidad por separado y se suman ambas probabilidades.
Además, en la bodega hay un total de 1000 aparatos:
P(T o C ) 
Ejercicio
de
revisión
400 300
700


 0,7
1000 1000 1000
Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera
y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.
Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que sea
ingeniero civil o ingeniero industrial?
Industrial
Masculino
8
Femenino
7
Total
15
Civil
6
2
8
Electrónica
6
4
10
Otras
6
1
7
Total
26
14
40
Solución:
P(C o I ) 
8 15 23


 0,575
40 40 40
Ejemplo
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200
cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un
aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un televisor o una
computadora o una cámara fotográfica?
Solución
Dado que los eventos televisor (T), computadora (C) y cámara fotográfica
(F) son excluyentes se calcula cada probabilidad por separado y se suman
ambas probabilidades. Además, en la bodega hay un total de 1000
aparatos:
P(T o C o F ) 
400 300
200
900



 0,9
1000 1000 1000 1000
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94
Ejemplo
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200
cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Además, se tienen
algunos datos sobre su nivel de calidad, como perfectos (P) o con defectos
(D), según la tabla:
P
D
Total
T
350
50
400
Tipo de aparato
V
F
80
150
20
50
100
200
C
270
30
300
Total
850
150
1000
Si se selecciona un aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
televisor o que tenga defectos?
Solución
En la bodega hay un total de 1000 aparatos. Dado que los eventos televisor
(T) y que el aparato tenga defectos (D) no son excluyentes se calcula cada
probabilidad por separado y se suman ambas probabilidades, pero también
se resta la probabilidad de que ocurran a la vez:
P(T o D) 
Ejercicio
de
revisión
400 150
50
500



 0,5
1000 1000 1000 1000
Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera
y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.
Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que sea
ingeniero civil o mujer?
Industrial
Masculino
8
Femenino
7
Total
15
Civil
6
2
8
Electrónica
6
4
10
Otras
6
1
7
Total
26
14
40
Solución:
P(C o M ) 
8 14 2 20



 0,5
40 40 40 40
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95
Ejemplo
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200
cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Además, se tienen
algunos datos sobre su nivel de calidad, como perfectos (P) o con defectos
(D), según la tabla:
P
D
Total
T
350
50
400
Tipo de aparato
V
F
80
150
20
50
100
200
C
270
30
300
Total
850
150
1000
Si se selecciona un aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
defectos?
Solución
Dado que solo hay dos niveles de calidad, perfecto (P) o con defectos (D),
entonces podrían considerarse como eventos complementarios, por lo que
la probabilidad de que tenga defectos es igual a uno menos la probabilidad
de que esté perfecto:
P( D)  1 
Ejercicio
de
revisión
850
150

1000 1000
Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera
y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.
Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que no
sea ingeniero civil?
Industrial
Masculino
8
Femenino
7
Total
15
Civil
6
2
8
Electrónica
6
4
10
P( D)  1 
8 32

 0.8
40 40
Otras
6
1
7
Total
26
14
40
Solución:
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Ejemplo
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200
cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Además, se tienen
algunos datos sobre su nivel de calidad, como perfectos (P) o con defectos
(D), según la tabla:
P
D
Total
Tipo de aparato
V
F
80
150
20
50
100
200
T
350
50
400
C
270
30
300
Total
850
150
1000
Si se selecciona un televisor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
defectos?
Solución
Aplicando la definición de probabilidad condicional:
P( D / T ) 
P( DT )
P(T )
Se calcula la probabilidad de que sea televisor y tenga defectos:
P(DT) = 50/1000
Y se divide entre la probabilidad de que sea un televisor:
P( D / T ) 
Ejercicio
de
revisión
P( DT ) 50 / 1000
50


P(T )
400 / 1000 400
Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera
y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.
Si se selecciona al azar un profesional y se sabe que debe ser mujer, ¿cuál
es la probabilidad de que sea ingeniero civil?
Masculino
Femenino
Total
Industrial
8
7
15
Civil
6
2
8
Electrónica
6
4
10
Otras
6
1
7
Total
26
14
40
Solución:
P(C / M ) 
P(CM ) 2 / 40
2


 0.14
P( M ) 14 / 40 14
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97
Ejemplo
Se tiene una caja con 10 bolas de colores: 6 bolas rojas y 4 bolas azules. Se
seleccionarán dos bolas al azar:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda
azul, si la primera bola se regresa a la caja antes de sacar la segunda?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda
azul, si la primera bola no se regresa a la caja antes de sacar la segunda?
Solución
Dado que los eventos televisor (T), computadora (C) y cámara fotográfica
(F) son excluyentes se calcula cada probabilidad por separado y se suman
ambas probabilidades. Además, en la bodega hay un total de 1000
aparatos:
P(T o C o F ) 
Ejercicio
de
revisión
400 300
200
900



 0,9
1000 1000 1000 1000
Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera
y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.
Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que sea
ingeniero civil o ingeniero industrial?
Industrial
Masculino
8
Femenino
7
Total
15
Civil
6
2
8
Electrónica
6
4
10
Otras
6
1
7
Total
26
14
40
Solución:
P(C o I ) 
8 15 23


 0,575
40 40 40
Ejemplo
Si la probabilidad de que un día cualquiera B1 haya venido a la universidad
es del 50% y la probabilidad de que Marta haya viajado con él es del 30%;
la probabilidad de que B2 haya venido a la universidad es del 30% y la de
que Marta haya venido con él es del 25% y la probabilidad de que B3 haya
venido a la universidad es del 20% y la de que Marta haya venido con él es
del 15%. ¿Cuál es la probabilidad de que si Marta vino a clases haya
viajado con B2?
Solución
Calculando primero P(A):
P( A)   P( Bi ) P( A / Bi )  0.5  0.3  0.3  0.25  0.2  0.15  0.255
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98
Y luego aplicando el teorema de Bayes:
P( B2 / A) 
P( B2 ) P( A / B2 ) 0.3  0.25

 0.2941
P( A)
0.255
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Se tiene un grupo de n libros. El número de diferentes órdenes posibles de los n libros en
una mesa no equivale a:
( a ) P(n, n)
( b ) n!
( c ) C(n, n)
( d ) Ninguna de las anteriores
2. Se tiene un grupo de n libros, suponga que los n libros se van a conformar en grupos de 3
libros (suponiendo que n > 3). El número de diferentes grupos con distinto orden, equivale a:
( a ) P(n, 3)
( b ) n! / 3!
( c ) C(n, 3)
( d ) P(n, n – 3)
3. Se tiene un grupo de n libros, suponga que se desea saber el número de diferentes
agrupaciones sin importar el orden de tres libros de los n libros del grupo (n > 3). Ese número
equivale a:
( a ) P(n, 3)
( b ) n! / 3!
( c ) C(n, 3)
( d ) C(n, n – 3)
4. Se tiene un grupo de 5 personas. El número de diferentes disposiciones posibles de los
asientos para este conjunto de 5 individuos que se van a sentar en 5 sillas no equivale a:
( a ) P(5, 5)
( b ) 5!
( c ) C(5, 5)
( d ) Ninguna de las anteriores
5. Se tiene un grupo de 5 personas, suponga que solo se van a sentar 3 de los 5 individuos. El
número de diferentes disposiciones posibles de los asientos para este conjunto de 3
individuos, considerando que pueden ser elegidos 3 cualesquiera de los 5, equivale a:
( a ) P(5, 2)
( b ) 5! / 2!
( c ) C(5, 3)
( d ) Ninguna de las anteriores
6. Se tiene un grupo de 5 personas, suponga que se desea saber el número de diferentes
agrupaciones de tres de los cinco miembros del grupo. Ese número equivale a:
( a ) P(5, 2)
( b ) 5! / 2!
( c ) C(5, 3)
( d ) Ninguna de las anteriores
7. Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera y por sexo
según la tabla:
Masculino
Femenino
Industrial
8
7
Civil
6
2
Electrónica
6
4
Otras
6
1
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99
La probabilidad de que un ingeniero aleatoriamente seleccionado sea una mujer o que haya
estudiado ingeniería industrial (o ambos) es:
( a ) 11/20
( b ) 29/40
( c ) 7/40
( d ) 210/1600
8. Con respecto a los datos del ejercicio 7, la probabilidad de seleccionar al azar un ingeniero
que sea hombre o sea ingeniero civil, pero no ambos, es:
( a ) 11/20
( b ) 34/40
( c ) 28/40
( d ) Ninguna de las anteriores
9. Con respecto a los datos del ejercicio 7, la probabilidad condicional de seleccionar al azar
un ingeniero en electrónica dado que sea mujer es:
( a ) 2/7
( b ) 14/40
( c ) 4/40
( d ) 8/4
10. Con respecto a los datos del ejercicio 7, al calcular la probabilidad de seleccionar al azar
un ingeniero industrial y la probabilidad de seleccionar un ingeniero que sea hombre, se
concluye que los eventos, ser ingeniero industrial y ser de sexo masculino son:
( a ) mutuamente excluyentes y dependientes
( b ) dependientes pero no mutuamente excluyentes
( c ) mutuamente excluyentes e independientes
( d ) ni mutuamente excluyentes ni dependientes
11. Se sabe que la caja A contiene un sobre con un billete de un dólar y otro sobre con un
billete de $10. La caja B contiene 2 sobres, cada uno con un billete de $10. Se elige
aleatoriamente una caja y de ella se selecciona un sobre. Si en el primer paso se selecciona la
caja A, la probabilidad de que en el segundo paso se seleccione un sobre con un billete de $10
es:
( a ) 1/2
( b ) 1/10
(c)1
( d ) Ninguna de las anteriores
12. Con base en los datos de la pregunta 8, si en el segundo paso se selecciona un sobre con
un billete de $10, la probabilidad de que ese sobre provenga de la caja A es:
( a ) 1/3
( b ) 1/4
( c ) 1/2
( d ) Ninguna de las anteriores
13. Un evento que no se puede descomponer en dos o más eventos se llama:
( a ) evento simple
( b ) espacio muestral
( c ) evento compuesto
( d ) probabilidad
14. Para dos eventos complementarios A y B, es verdadero que:
( a ) 0 ≤ P(A) + P(B) ≤ 1
( b ) P(A o B) < 1
( c ) P(A) = 1 + P(B)
( d ) P(A y B) = 1
15. Un ejemplo de la aplicación del enfoque de probabilidad de frecuencias relativas se da al
determinar:
( a ) La probabilidad de que haya recesión el próximo año
( b ) La probabilidad de obtener un 6 al lanzar un dado
( c ) La probabilidad de que en un proceso se obtenga una pieza defectuosa
( d ) La probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería
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100
16. Al calcular C(n, n) se obtiene:
(a)1
(c)0
(b)n
( d ) Ninguna de las anteriores
17. La proporción global de artículos no defectuosos en un proceso de producción continua es
de 0,80. La probabilidad de obtener al azar dos artículos defectuosos consecutivamente es:
( a ) 0,04
( b ) 0,64
( c ) 0,96
( d ) 0,4
18. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola roja no equivale a:
( a ) 1 – 8/25 – 7/25
( b ) 8/25 – 7/25 – 1
( c ) 2/5
( d ) 10/25
19. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo sin
reemplazo, equivale a:
( a ) 8/25 x 9/24
( b ) 8/25 x 10/24
( c ) 10/25 x 8/25
( d ) 8/25 + 10/24
20. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo con
reemplazo, equivale a:
( a ) 8/25 x 9/24
( b ) 8/25 x 10/24
( c ) 10/25 x 8/25
( d ) Ninguna de las anteriores
21. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola verde o una bola roja, equivale a:
( a ) 8/25 x 9/24
( b ) 8/25 + 10/24
( c ) 10/25 x 8/25
( d ) 10/25 + 8/25
22. En una caja hay 10 bolas rojas, 8 bolas azules y 7 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola que no sea verde equivale a:
( a ) –2/5 – 8/25 + 1
( b ) –17/25 + 1
( c ) 18/25
( d ) 10/25 + 7/25
23. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de
seleccionar al azar una bola verde primero y otra bola verde después, en un muestreo sin
reemplazo, equivale a:
( a ) 8/25 x 8/24
( b ) 8/25 x 7/24
( c ) 8/25 x 8/25
( d ) 8/25 + 7/24
24. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3
hijos, entonces la probabilidad de que los tres hijos sean varones es de:
( a ) 0,45
( b ) 0,0911
( c ) 1,35
( d ) 0,1664
25. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3
hijos, entonces la probabilidad de que tenga dos hijos varones es de:
( a ) 0,45
( b ) 0,1113
( c ) 0,3341
( d ) 1,45
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101
26. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3
hijos, entonces la probabilidad de que los dos primeros hijos sean varones es de:
( a ) 0,2025
( b ) 0,45
( c ) 0,1135
( d ) 0,90
27. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3
hijos, entonces la probabilidad de que solo tenga un hijo varón es de:
( a ) 0,1361
( b ) 0,4083
( c ) 1,55
( d ) 0,3025
28. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3
hijos, entonces la probabilidad de que ninguno de los hijos sea varón es de:
( a ) 0,1361
( b ) 0,1663
( c ) 1,65
( d ) 0,55
29. En una caja hay bolas rojas, bolas azules y bolas verdes. La probabilidad de seleccionar al
azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo sin reemplazo, equivale
a:
( a ) P(V) x P(R)
( b ) P(V) x P(R/V)
( c ) P(V) + P(R)
( d ) P(V) x (1 – P(R))
30. En una caja hay bolas rojas, bolas azules y bolas verdes. La probabilidad de seleccionar al
azar una bola que sea verde o bola roja, no equivale a:
( a ) P(V) + P(R) – P(VR)
( b ) 1 – P(A)
( c ) P(V) + P(R)
( d ) P(V) x P(R)
31. Considere la siguiente información: “En una encuesta aplicada a 700 hogares a nivel
nacional, de los cuales la mitad tienen actualmente acceso al servicio de telefonía celular, se
obtuvieron los siguientes datos: ante la apertura en el mercado de telecomunicaciones, el 68%
los usuarios actuales de telefonía celular estaría dispuesto a cambiar de operador. Entre la
población que aun no posee celular, solo un 38% optará por el operador actual, mientras que
el resto escogerá un nuevo proveedor de servicio”. Con base en los datos anteriores, la
probabilidad de seleccionar un hogar al azar de los 700 estudiados que sea un usuario actual
de telefonía celular y que desee mantener ese servicio con el proveedor actual es:
( a ) 0,16
( b ) 0,32
( c ) 112
( d ) 0,68
32. Utilizando la misma información del ejercicio 31, la probabilidad de seleccionar un hogar
al azar de los 700 estudiados que no sea un usuario actual de telefonía celular y que desee
contratar para ese servicio al proveedor actual es:
( a ) 0,38
( b ) 0,19
( c ) 0,62
( d ) 0,31
33. Utilizando la misma información del ejercicio 31, la probabilidad de seleccionar un hogar
al azar de los 700 estudiados que no sea un usuario actual de telefonía celular es:
( a ) 0,31
( b ) 0,38
( c ) 0,62
( d ) 0,5
34. Utilizando la misma información del ejercicio 31, la probabilidad de seleccionar un hogar
al azar de los 700 estudiados que estaría no dispuesto a contratar a un nuevo proveedor de
telefonía celular distinto del actual es:
( a ) 0,62
( b ) 0,68
( c ) 1,3
( d ) 0,65
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102
35. El 56% de los habitantes del país se conectan a internet con regularidad y 53% de los
hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar a dos personas y que
ambas utilicen internet con regularidad es:
( a ) 0,1936
( b ) 0,2809
( c ) 0,3136
( d ) 1,12
36. El 56% de los habitantes del país se conectan a internet con regularidad y 53% de los
hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar dos hogares, tal que el
primero tenga computadora y el segundo no, es:
( a ) 0,2209
( b ) 0,2809
( c ) 0,2491
( d ) 0,3136
37. El 56% de los habitantes del país se conectan a internet con regularidad y 53% de los
hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar un hogar, tal que tenga
computadora o que al menos uno de sus miembros utilice internet con regularidad es:
( a ) 1,09
( b ) 0,2968
( c ) 0,06
( d ) Falta información
38. Un ejemplo de la aplicación del enfoque subjetivo de probabilidad se da al determinar:
( a ) La probabilidad de que internet colapse dentro de 10 años
( b ) La probabilidad de ganar $10.000 en un casino
( c ) La probabilidad de que en un proceso se obtenga una pieza defectuosa todos los días
( d ) La probabilidad de seleccionar al azar una persona que haya nacido en la misma fecha
39. Un evento que no se puede descomponer en dos o más eventos se llama:
( a ) evento simple
( b ) espacio muestral
( c ) evento compuesto
( d ) probabilidad
40. Para dos eventos excluyentes A y B, es falso con toda certeza que:
( a ) 0 ≤ P(A) + P(B) ≤ 1
( b ) P(A o B) = 1
( c ) P(A) = 1 – P(B)
( d ) P(A y B) = 1
Respuestas a las preguntas de selección múltiple:
1. c
6. c
11. a
16. a
21. d
26. a
31. a
36. c
2. a
7. a
12. a
17. a
22. c
27. b
32. b
37. d
3. c
8. a
13. a
18. b
23. b
28. b
33. d
38. a
4. c
9. a
14. a
19. b
24. b
29. b
34. d
39. a
5. b
10. d
15. c
20. c
25. c
30. d
35. c
40. d
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103
6
.
Distribuciones de probabilidad de
variable discreta
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Calcular la media y la varianza de una distribución de probabilidad
2. Resolver problemas empleando la distribución binomial
3. Resolver problemas empleando la distribución hipergeométrica
4. Resolver problemas empleando la distribución de Poisson
5. Resolver problemas empleando la distribución multinomial
6. Resolver problemas empleando la distribución geométrica
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104
Ejemplo
Suponga que se lanza al aire una moneda dos veces para ver si cae “cara”
(evento A) o “cruz” (evento B). Construya la tabla de la distribución de
probabilidad.
Solución
En este caso existen 4 resultados posibles, cada uno con las siguientes
probabilidades:
Evento
AA
AB
BA
BB
Total
Probabilidad
0,25
0,25
0,25
0,25
1,00
La tabla anterior es la distribución de probabilidad para el experimento
“lanzar al aire una moneda dos veces”.
Ejemplo
Suponga que se está efectuando el siguiente juego de dados: el jugador
hace una apuesta y lanza los dos dados. Si la suma de los puntos es 7 u 11,
gana el monto apostado. Pero si sale cualquier otra suma, pierde el monto
apostado. Construya la distribución de probabilidad para la suma de los
puntos de los dos dados y la distribución de probabilidad para los
resultados del juego.
Solución
En este caso existen resultados posibles, cada uno con las siguientes
probabilidades:
Evento
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Sumas
1+1
1 + 2, 2 + 1
1 + 3, 2 + 2, 3 + 1
1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1
1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, 5 + 1
1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1
2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2
3 + 6, 4 + 5, 5 + 4, 6 + 3
4 + 6, 5 + 5, 6 + 4
5 + 6, 6 + 5
6+6
-
Probabilidad
1/12
2/12
3/12
4/12
5/12
6/12
5/12
4/12
3/12
2/12
1/12
1,00
La tabla anterior es la distribución de probabilidad para el experimento
“lanzar al aire una moneda dos veces”.
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105
Ejercicio
de
revisión
En cada uno de los siguientes casos construya la tabla de la distribución de
frecuencias:
1. Una rifa consta de 100 números a un precio de $20 cada uno. El premio
es de $1000 (premio único) y el jugador compra un número.
2. Una rifa consta de 100 números a un precio de $20 cada uno. El premio
es de $1000 (premio único) y el jugador compra dos números.
3. En una caja hay 10 bolas, 2 son azules, 3 son verdes y 5 son rojas. Se
saca una bola y si la bola es azul se ganan cero puntos, si es verde se gana
un punto y si es roja se ganan dos puntos.
4. En una caja hay 10 bolas, 2 son azules, 3 son verdes y 5 son rojas. Se
sacan dos bolas y se suman los puntos sabiendo que si la bola es azul se
ganan cero puntos, si es verde se gana un punto y si es roja se ganan dos
puntos.
Solución:
1. Los posibles resultados son ganar la rifa o perder:
Resultado ($)
Ganar = 980
Perder = -20
Total
Probabilidad
1/100
99/100
100/100 = 1
2. Los posibles resultados son ganar la rifa o perder:
Resultado ($)
Ganar = 960
Perder = -40
Total
Probabilidad
2/100
98/100
100/100 = 1
3. Los posibles resultados son cero puntos (bola azul), un punto (bola
verde) y dos puntos (bola roja):
Resultado
0
1
2
Total
Probabilidad
2/10
3/10
5/10
10/10 = 1
4. Los posibles resultados al sacar una bola son son cero puntos (bola
azul), un punto (bola verde) y dos puntos (bola roja):
Bola 1
Azul
Azul
Bola 2
Azul
Verde
Puntos
0+0
0+1
Resultado
0
1
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106
Azul
Verde
Verde
Verde
Roja
Roja
Roja
Roja
Azul
Verde
Roja
Azul
Verde
Roja
0+2
1+0
1+1
1+2
2+0
2+1
2+2
2
1
2
3
2
3
4
Pero hay que considerar que los colores no están distribuidos en igual
cantidad, sino que la probabilidad de una bola azul es 2/10, la de una bola
verde es 3/10 y de una bola roja es 5/10, por tanto los resultados anteriores
no son igualmente probables:
Bola 1
Azul
Azul
Azul
Verde
Verde
Verde
Roja
Roja
Roja
Bola 2
Azul
Verde
Roja
Azul
Verde
Roja
Azul
Verde
Roja
Resultado
0
1
2
1
2
3
2
3
4
Probabilidad
2/10 x 2/10 = 4/100
2/10 x 3/10 = 6/100
2/10 x 5/10 = 10/100
3/10 x 2/10 = 6/100
3/10 x 3/10 = 9/100
3/10 x 5/10 = 15/100
5/10 x 2/10 = 10/100
5/10 x 3/10 = 15/100
5/10 x 5/10 = 25/100
Resumiendo los resultados:
Resultado
0
1
2
3
4
Ejemplo
Cálculo
4/100
6/100 + 6/100
10/100 + 9/100 + 10/100
15/100 + 15/100
25/100
Total
Calcule la media y la desviación estándar de la demanda semanal de cierto
artículo en una ferretería. Los datos de demanda y su probabilidad de
ocurrencia se dan en la tabla.
Unidades vendidas xi
Probabilidad P(xi)
Solución
Probabilidad
4/100
12/100
29/100
30/100
25/100
100/100 = 1
30
0,20
35
0,28
40
0,30
45
0,15
50
0,07
La media o valor esperado es:
E ( X )     xi P ( xi )
 30  0.2  35  0.28  40  0.30  45  0.15  50  0.07  38.05
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107
Y la varianza es:
 2   ( xi   ) 2 P( xi )  0.2(30  38.05)²  0.28(35  38.05)²
0.30(40  38.05)²  0.15(45  38.05)²  0.07(50  38.05)²  33.95
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
   ²  33.95  5.83
Ejercicio
de
revisión
En cada uno de los siguientes casos, a partir de la tabla de la distribución
de frecuencias, calcule el valor esperado (media) y la desviación estándar:
1. Una rifa consta de 100 números a un precio de $20 cada uno. El premio
es de $1000 (premio único) y el jugador compra un número.
2. Una rifa consta de 100 números a un precio de $20 cada uno. El premio
es de $1000 (premio único) y el jugador compra dos números.
3. En una caja hay 10 bolas, 2 son azules, 3 son verdes y 5 son rojas. Se
saca una bola y si la bola es azul se ganan cero puntos, si es verde se gana
un punto y si es roja se ganan dos puntos.
4. En una caja hay 10 bolas, 2 son azules, 3 son verdes y 5 son rojas. Se
sacan dos bolas y se suman los puntos sabiendo que si la bola es azul se
ganan cero puntos, si es verde se gana un punto y si es roja se ganan dos
puntos.
Solución:
1. La distribución de probabilidad es:
Resultado ($)
980
-20
Total
Probabilidad
1/100
99/100
100/100 = 1
La media o valor esperado es:
E ( X )     xi P ( xi )
 980  1 / 100  20  99 / 100  10
Y la varianza es:
 2   ( xi   ) 2 P( xi )  1 / 100  (980  10)²  99 / 100  (20  10)²
 9900
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108
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
   ²  9900  99.50
2. La distribución de probabilidad es:
Resultado ($)
960
-40
Total
Probabilidad
2/100
98/100
100/100 = 1
La media o valor esperado es:
E ( X )     xi P ( xi )
 960  2 / 100  40  98 / 100  20
Y la varianza es:
 2   ( xi   ) 2 P( xi )  2 / 100  (960  20)²  98 / 100  (40  20)²
 19600
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
   ²  19600  140
3. La distribución de probabilidad es:
Resultado
0
1
2
Total
Probabilidad
2/10
3/10
5/10
10/10 = 1
La media o valor esperado es:
E ( X )     xi P ( xi )
 0  2 / 10  1  3 / 10  2  5 / 10  1.3
Y la varianza es:
 2   ( xi   ) 2 P ( xi )
 2 / 10  (0  1.3)²  3 / 10  (1  1.3)²  5 / 10  (2  1.3)²  0.61
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
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109
   ²  0.61  0.78
4. La distribución de probabilidad es:
Resultado
0
1
2
3
4
Probabilidad
4/100
12/100
29/100
30/100
25/100
100/100 = 1
La media o valor esperado es:
E ( X )     x i P ( xi )
 0  4 / 100  1  12 / 100  2  29 / 100  3  30 / 100  4  25 / 100  2.6
Y la varianza es:
 2   ( xi   ) 2 P ( xi )
 4 / 100  (0  2.6)²  12 / 100  (1  2.6)²  29 / 100  (2  2.6)²
 30 / 100  (3  2.6)²  25 / 100  (4  2.6)²  1.22
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
   ²  1.22  1.10
Ejemplo
Un vendedor de un producto sabe, por su experiencia, que logra la venta en el
30% de los clientes que visita, porcentaje que ha permanecido constante a lo
largo del tiempo. Cada cliente no tiene contacto con los demás. El vendedor
desea saber la probabilidad de que si visita 8 clientes,
a) logre vender en exactamente 3 casos.
b) logre vender en por lo menos 3 casos.
c) logre vender en menos de 6 casos.
d) no logre vender en a lo más 5 casos.
e) no logre en más de 7 casos.
Solución
a) Se tiene que se realizan 8 intentos de vender el producto, por lo que se tiene
que n = 8. Además, se desea saber la probabilidad de lograr 3 ventas, o sea
que x = 3.
En este caso se define éxito como lograr la venta, por tanto p = 0,30.
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La probabilidad de fracaso es q = 1 – p = 1 – 0,30 = 0,70.
Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:
P( X  3) 
8!
(0,30) 3 (0,70) 83  0.2541
3!(8  3) !
b) En este caso se requiere que x ≥ 3, lo que significa que nos interesa que 3 o
más clientes compren el producto, por lo que buscamos:
P( x  3)  P( X  3)  P( X  4)  P( X  5)  P( X  6)  P( X  7)  P( X  8)
Esto implicaría emplear la fórmula anterior 6 veces y luego sumar los
resultados. Una opción que lleva un poco menos de trabajo es calcular lo que
no nos interesa, o sea que 0 clientes, o 1 cliente o 2 clientes compren el
producto, y luego restar esos valores de uno, que es la probabilidad total. O
sea, se puede recurrir a la regla de la complementación para encontrar la
probabilidad de x ≥ 3:
P( x  3)  1  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)
Aplicando la fórmula o la tabla de probabilidades binomiales, se tiene:
P(x ≥ 3) = 1 – 0,0576 – 0,1977 – 0,2965 = 0,4482
c) En este caso se requiere que x < 6, es decir, nos interesa la probabilidad de
que de 0 a 5 clientes compren el producto:
P(x < 6) = P(x ≤ 5)
Obsérvese que no se incluye al 6 mismo, pues se indica menos de 6, así se
calculan las probabilidades para los valores entre 0 y 5:
P(x ≤ 5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5)
= 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 + 0,1361 + 0,0468 = 0.9887
d) Se desea determinar la probabilidad de que a lo más 5 clientes no realicen
la compra. Aquí se considera éxito no lograr la venta, así que p = 0,70 y q =
0,30. Entonces, se debe calcular:
P(x  5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5)
= 0,0001 + 0,0012 + 0,0100 + 0,0467 + 0,1361 + 0,2541
= 0,4482
e) Se desea determinar la probabilidad de que más de 7 clientes no compren el
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producto (p = 0,70). Es decir, solo interesa que x = 8:
P(x = 8) = 0,0576
Ejemplo
Se sabe que la probabilidad de que un cierto tipo de calentador falle ante
un sobrecalentamiento es de 15%, calcule la probabilidad de que entre 6 de
tales calentadores:
a) fallen entre 2 y 4
b) no fallen como máximo 3
Solución
a) Se tiene que n = 6 y que éxito es fallar, así que p = 0,15 y q = 0,85:
P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
Se calcula cada una por separado:
P(X = 2) = C(6, 2) (0,15)2 (0,85)6  2 = 0,1762
P(X = 3) = C(6, 3) (0,15)3 (0,85)6  3 = 0,0415
P(X = 4) = C(6, 4) (0,15)4 (0,85)6  4 = 0,0055
P(X = 5) = C(6, 5) (0,15)5 (0,85)6  5 = 0,0004
Entonces se suman los resultados anteriores:
= 0,1762 + 0,0415 + 0,0055 + 0,0004
= 0,2235
b) Si éxito es no fallar, entonces p = 0,85 y q = 0,15:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Se calcula cada una por separado:
P(X = 0) = C(6, 0) (0,85)0 (0,85)6  0 = 0,0000
P(X = 1) = C(6, 1) (0,85)1 (0,85)6  1 = 0,0004
P(X = 2) = C(6, 2) (0,85)2 (0,85)6  2 = 0,0055
P(X = 3) = C(6, 3) (0,85)3 (0,85)6  3 = 0,0415
Entonces se suman los resultados anteriores:
= 0,0000 + 0,0004 + 0,0055 + 0,0415
= 0,0473
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Ejercicio
de
revisión
Según un estudio aproximadamente tres de cada diez computadoras
portátiles falla en un plazo de 3 años o menos. De una muestra de 10
computadoras portátiles calcule la probabilidad de que, en tres años o
menos:
a. Fallen exactamente 4 computadoras.
b. Fallen menos de 3 computadoras.
c. Fallen como mínimo 8 computadoras.
d. No fallen a lo sumo 7 computadoras.
e. No fallen entre 3 y 5 computadoras.
Solución:
a. Se tiene n = 10 y x = 4. En este caso se define éxito como que falle la
computadora, por tanto p = 3/10 = 0,30. La probabilidad de fracaso es q =
1 – p = 1 – 0,30 = 0,70. Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:
P( X  4) 
10!
(0,30) 4 (0,70)104  0.2001
4!(10  4) !
b. Se tiene n = 10 y x < 3. En este caso se define éxito como que falle la
computadora, por tanto p = 3/10 = 0,30. La probabilidad de fracaso es q =
1 – p = 1 – 0,30 = 0,70. Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:
P( X  3)  P( x  0)  P( x  1)  P( x  2)
 0.0282  0.1211  0.2335  0.3828
c. Se tiene n = 10 y x  8. En este caso se define éxito como que falle la
computadora, por tanto p = 3/10 = 0,30. La probabilidad de fracaso es q =
1 – p = 1 – 0,30 = 0,70. Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:
P( X  8)  P( x  8)  P( x  9)  P( x  10)
 0.0014  0.0001  0.0000  0.0016
d. Se tiene n = 10 y x  7. En este caso se define éxito como que no falle la
computadora, por tanto p = 7/10 = 0,70. La probabilidad de fracaso es q =
1 – p = 1 – 0,70 = 0,30. Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:
P ( X  7)  1  P ( x  7)
 1  ( P( x  8)  P( x  9)  P( x  10))
 1  (0.2335  0.1211  0.0282)
 1  0.3828
 0.6172
e. Se tiene n = 10 y 3  x  5. En este caso se define éxito como que no
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falle la computadora, por tanto p = 7/10 = 0,70. La probabilidad de fracaso
es q = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30. Así, sustituyendo en la fórmula de
probabilidad:
P(3  X  5)  P( x  3)  P( x  4)  P( x  5)
 0.0090  0.0368  0.1029
 0.1487
Uso de Excel y Minitab para la distribución binomial
Ejemplo
Según un estudio, de las muertes de motociclistas en el 2005, el 42% no
tenían el casco puesto en el accidente. Calcule, usando Excel y Minitab, la
probabilidad de que de una muestra de 12 accidentes ocurridos ese año y
seleccionados aleatoriamente:
a. En exactamente 5 de ellos el motociclista no tenía puesto el
casco en el accidente.
b. En menos de 5 de ellos el motociclista no tenía puesto el casco
en el accidente.
Solución
Se tiene que n = 12, el éxito es que no llevara el casco, entonces p = 0,42 y
q = 0,58.
a. Lo que se desea calcular es:
P(X = 5) =
Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.BINOM, cuya sintaxis es:
=DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado como:
=DISTR.BINOM(5;12;0,42;0)
Se indicó acumulado como 0, para calcular el valor exacto y no el
acumulado. El resultado es 0,2285.
b. Lo que se desea calcular es:
P(X < 5) = P(X  4)
Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.BINOM, cuya sintaxis es:
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114
=DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado como:
=DISTR.BINOM(4;12;0,42;1)
Se indicó acumulado como 1, para calcular el valor acumulado. El
resultado es 0,3825.
En Minitab, se tiene los mismos datos, o sea, que n = 12, el éxito es que
no llevara el casco, entonces p = 0,42 y q = 0,58.
a. Lo que se desea calcular es:
P(X = 5) =
Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
probabilidad, y ahí se elige Binomial. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad para que calcule el valor exacto del número de
eventos. El número de ensayos es n y la probabilidad del evento es p. El
número establecido de éxitos se puede dar como una columna, y en ese
caso de debe elegir columna de entrada, o se puede digitar en el cuadro, en
cuyo caso es constante de entrada, que es lo que se muestra en la
ilustración anterior. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado
0,2285 en la ventana Sesión.
b. Lo que se desea calcular es:
P(X < 5) = P(X  4)
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115
Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
probabilidad, y ahí se elige Binomial. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad acumulada para que calcule el valor acumulado
desde x = 0 hasta el número establecido de éxitos. El número de ensayos es
n y la probabilidad del evento es p. El número establecido de éxitos se
puede dar como una columna, y en ese caso de debe elegir columna de
entrada, o se puede digitar en el cuadro, en cuyo caso es constante de
entrada, que es lo que se muestra en la ilustración anterior. Luego se da
clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,3825 en la ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución binomial y
se introduce el dato del número de ensayos y la probabilidad de éxito:
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Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la
probabilidad de que x = 4, entonces se selecciona Cola izquierda y se
escribe el valor de x en el espacio que aparece:
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
probabilidad:
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Gráfica de distribución
Binomial. n=12. p=0,42
0,25
Probabilidad
0,20
0,15
0,10
0,05
0,3825
0,00
Ejemplo
4
X
10
Se tiene un lote de 50 teléfonos celulares y se sabe que 4 de ellos se
dañaron durante el embarque. Se va a tomar una muestra sin reemplazo de
10 de estos aparatos y se desea saber la probabilidad de que:
a) Exactamente un teléfono salga defectuoso.
b) Por lo menos dos teléfonos salgan defectuosos.
c) Como mínimo 7 teléfonos salgan buenas.
Solución
a) En este caso éxito es que un teléfono salga defectuoso, por tanto se
tienen 4 éxitos en la población, o sea, a = 4 defectuosos, N = 50 y n = 10, y
se busca la probabilidad de que en la muestra haya uno defectuoso, es
decir, x = 1, por tanto:
C ( N  a, n  X ) C ( a, X )
C ( N , n)
C 50  4,10  1C 4,1 C 46, 9C 4,1
P( X  1) 

C 50,10
C 50,10
1101716330  4

 0,4290
10272278170
P ( X / N , a, n) 
b) La probabilidad de que por lo menos dos teléfonos salgan defectuosos
se puede calcular como:
P(X  2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... + P(X = 10)
Lo anterior lleva aplicar la fórmula de la distribución hipergeométrica 9
veces, por lo que es más rápido calcular del modo siguiente, usando el
principio de complementariedad:
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118
P( X  2)  1  P( X  0)  P( X  1)
 1
C 50  4,10  0C 4, 0 C 50  4,10  1C 4,1

C 50,10
C 50,10
 1  0,3968  0,4290  0,1742
c) Se define éxito como que un teléfono salga bueno, así que a = 46
buenos, por tanto:
P( X  7buenos )  P( x  7)  P( x  8)  P( x  9)  P( x  10)
C 50  46,10  7 C 46,7  C 4,3C 46,7 

 0,0208
C 50,10
C 50,10 
C 50  46,10  8C 46,8 C 4,2 C 46,2 
P( x  8) 

 0,1524
C 50,10 
C 50,10 
C 50  46,10  9 C 46,9  C 4,1C 46,9 
P ( x  9) 

 0,4290
C 50,10 
C 50,10 
C 50  46,10  10 C 46,10  C 4,0 C 46,10 
P( x  10) 

 0,3968
C 50,10 
C 50,10 
P ( x  7) 
P( x  7)  0,0208  0,1524  0,4290  0,3968  0,9991
Ejemplo
Para evaluar la calidad de los materiales de construcción comprados, el
departamento de compras realiza muestreos con cierta frecuencia. Hay un
material que se recibe en lotes de 30 unidades. Frecuentemente cada lote
tiene 2 unidades con defectos. Aleatoriamente se seleccionan muestras sin
reemplazo de 4 unidades y se rechaza el lote completo si se encuentra una
o más unidades defectuosas. Determine la probabilidad de aceptación del
lote.
Solución
Dado que se realiza un muestreo sin reemplazo, entonces corresponde a un
experimento hipergeométrico. En la población hay 2 defectuosos, o sea, se
tiene que a = 3, el tamaño de la población es 30, N = 30 y se toma una
muestra de tamaño 4, n = 4.
Para que el lote sea aceptado, en la muestra debe haber cero defectuosos, o
sea, x = 0, por lo tanto la probabilidad de aceptación del lote corresponde a
P(x = 0):
P ( X / N , a, n) 
P( X  0) 
C ( N  a, n  X ) C ( a, X )
C ( N , n)
C 30  2,4  0C 2, 0 20475  1

 0,7471
C 30,4
27405
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119
Ejercicio
de
revisión
Si de un lote de 200 comprimidos de un medicamento se sabe que hay 10
que no satisfacen las especificaciones. Si se toma una muestra de 9 de esos
comprimidos, determine la probabilidad de que:
a. Exactamente 2 de ellos no satisfagan las especificaciones.
b. A lo sumo 2 no satisfagan las especificaciones.
c. Al menos 8 satisfagan las especificaciones.
Solución:
a. En este caso se tienen 10 éxitos en la población, o sea, a = 10, N = 200,
n = 9, x = 2, por tanto:
P ( X / N , a, n) 
P( X  2) 
C ( N  a, n  X ) C ( a, X )
C ( N , n)
C 200  10, 9  2C 10,2
 0.0607
C 200,9
b. En este caso a = 10, N = 200, n = 9, x  2, por tanto:
P( X  2)  P( x  0)  P( x  1)  P( x  2)
 0.6241  0.3086  0.0607
 0.9930
c. En este caso a = 190, N = 200, n = 9, x  8, por tanto:
P( X  8)  P( x  8)  P( x  9)
 0.3086  0.6241
 0.9330
Ejemplo
Se sabe que en un lote de 70 comprimidos para la fiebre hay 8 que no
satisfacen las especificaciones solicitadas. Calcule la probabilidad de que
en una muestra de 5 de esos comprimidos haya exactamente 2
comprimidos que no satisfagan la especificación:
a) usando la fórmula de la distribución hipergeométrica ,
b) usando la binomial como aproximación y compare los valores.
Solución
a) Se considera éxito si un comprimido no satisface la especificación, por
lo que a = 8, N = 70 y n = 5:
P( X  2) 
C 70  8, 5  2C 8, 2
 0,0875
C 70, 5
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120
b) Se puede resolver usando la binomial como aproximación porque N/10
= 70/10 = 7 > n. Con una población de tamaño 70, n puede llegar a valer
hasta 7 y se puede seguir usando la aproximación por la binomial.
Para usar la binomial se necesita tener la probabilidad poblacional p:
p = a/N = 8/70 = 0,11
Aplicando la fórmula de la binomial con n = 5 y p = 0,11 se obtiene:
P( X  2)  C (5,2)(0,11) 2 (0,89) 52  0,0853
La diferencia entre el valor real y el valor aproximado es apenas de:
0,0875 – 0,0853 = 0,0022
Uso de Excel y Minitab para la distribución hipergeométrica
Ejemplo
En un lote de 200 frascos de un medicamento se sabe que 8 frascos no
satisfacen las especificaciones de calidad establecidas para dicho fármaco.
Calcule, usando Excel y Minitab, la probabilidad de que de una muestra
aleatoria de 12 frascos exactamente 3 de ellos no satisfagan las
especificaciones.
Solución
Se tiene que una población N = 200 frascos, a = 8 éxitos (el éxito sería que no
satisfaga la especificación), una muestra n = 12 frascos, y se pregunta la
probabilidad de que 3 no satisfagan la especificación, o sea, que lo que se
desea calcular es:
P(X = 3) =
Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.HIPERGEOM, cuya sintaxis
es:
=DISTR.BINOM(muestra_éxito;núm_de_muestra;población_éxito;núm_de_p
oblación)
Los argumentos de la función anterior son:
muestra_éxito: número establecido de éxitos (x)
núm_de_muestra: tamaño de muestra (n)
población_éxito: número de éxitos en la población (a)
núm_de_población: tamaño de la población (N)
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
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121
resultado como:
=DISTR.HIPERGEOM(3;12;8;200)
El resultado es 0,0074.
En Minitab, se tiene los mismos datos, una población N = 200 frascos, a = 8
éxitos (el éxito sería que no satisfaga la especificación), una muestra n = 12
frascos, y se pregunta la probabilidad de que 3 no satisfagan la especificación,
o sea, que lo que se desea calcular es:
P(X = 3) =
Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de probabilidad,
y ahí se elige Hipergeométrica. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad para que calcule el valor exacto del número de
eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego se
da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,0074 en la ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona Gráfica
de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se selecciona la
opción que dice Ver probabilidad.
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122
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución
hipergeométrica y se introduce el dato del tamaño de población, del número
de éxitos en la población y del tamaño de la muestra:
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige definir
el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la
probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el valor
de x en los dos espacios que aparecen:
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123
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
probabilidad:
Gráfica de distribución
Hipergeométrico. N=200. M=8. n=12
0,6
Probabilidad
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Ejemplo
0,007406
0
X
3
A una oficina de un banco llegan, en promedio, 3 clientes por hora a
solicitar un crédito. Calcule la probabilidad de que:
a) en una hora aleatoriamente seleccionada lleguen exactamente 5 clientes.
b) en una hora aleatoriamente seleccionada lleguen 5 o más clientes.
c) en 5 horas de comportamiento similar lleguen entre 14 y 17 clientes.
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124
Solución
a) Se tiene que la llegada de clientes al banco es de 3 por hora en
promedio, por lo que λ = 3 clientes/hora, entonces la probabilidad de que
lleguen exactamente 5 clientes es:
x e 
35 e 3
P( X  5) 

 0,1008
X!
5!
b) Se sabe que la tasa de llegada de clientes al banco es de 3 por hora en
promedio, por lo que λ = 3 clientes/hora, entonces la probabilidad de que
lleguen más de 5 clientes es:
P(X  5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + ...
Para calcular este resultado es mejor determinar la probabilidad
complementaria:
P(X  5) = 1 – P(X < 5)
P(X  5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4)
Entonces se calcula cada probabilidad por separado:
P( X  0) 
P( X  1) 
P ( X  2) 
P( X  3) 
P ( X  4) 
x e 
30 e 3

 0,0498
X!
0!
 x e 
31 e 3

 01494
X!
1!
 x e 
X!
 x e 
X!
 x e 
X!

3 2 e 3
 0,2240
2!

33 e 3
 02240
3!

3 4 e 3
 0,1680
4!
Luego se resta cada resultado de uno:
P(X  5) = 1 – 0,0498 – 0,1494 – 0,2240 – 0,2240 – 0,1680 = 0,1847
c) Aquí el período de interés es de 5 horas, por lo que λ = 5  3 = 15
clientes/período de 5 horas, entonces se calcula la probabilidad de que
lleguen entre 14 y 17 clientes:
P(14 ≤ x ≤ 17) = P(X = 14) + P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17)
= 0,1024 + 0,1024 + 0,0960 + 0,0847 = 0,3856
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125
Ejercicio
de
revisión
Un promedio de 15 personas por hora ingresa un parque zoológico. Si se
selecciona una hora cualquiera, calcule la probabilidad de que:
a. Ingresen entre 12 y 15 personas.
b. Ingresen menos de 8 personas.
c. Ingresen más de 10 personas.
Solución:
a. Se tiene λ = 15 personas/hora, y 12  x  15:
P(12  X  15)  P( X  12)  P( X  13)  P( X  15)
P( X  12) 
P( X  13) 
P( X  14) 
 x e 
X!
 x e 
X!
 x e 
X!
 x e 

1512 e 15
 0,0829
12!

1513 e 15
 0,0956
13!

1514 e 15
 0,1024
14!
1515 e 15
 0,1024
X!
15!
P(12  X  15)  0.3833
P( X  15) 

b. Se tiene λ = 15 personas/hora, y x < 8:
P( X  8)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)
 P( X  4)  P( X  5)  P( X  6)  P( X  7)
 0.0000  0.0000  0.0000  0.0002
 0.0006  0.0019  0.0048  0.0104
 0.0180
c. Se tiene λ = 15 personas/hora, y x > 10:
P( X  10)  P( X  11)  P( X  12)  P( X  13)  P( X  14)  ...
P( X  10)  1  P( X  10)
 1  ( P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4) 
P( X  5)  P( X  6)  P( X  7)  P( X  8)  P( X  9)  P( X  10))
 1  (0.0000  0.0000  0.0000  0.0002  0.0006  0.0019
 0.0048  0.0104  0.0194  0.0324  0.0486
 0.1185
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126
Uso de Excel y Minitab para la distribución de Poisson
Ejemplo
A una clínica llega un promedio de 5 pacientes cada hora. Calcule, usando
Excel y Minitab, la probabilidad de que en una hora seleccionada en forma
aleatoria lleguen exactamente 3 pacientes.
Solución
Se tiene que una media de 5 pacientes por hora y se pregunta la
probabilidad de que lleguen 3 por hora, o sea, que lo que se desea calcular
es:
P(X = 3) =
Entonces, en Excel se emplea la función POISSON, cuya sintaxis es:
=POISSON(x;media;acumulado)
Los argumentos de la función anterior son:
x: número establecido de éxitos (x)
media: promedio ()
acumulado: 0 si no es acumulado o 1 si es acumulado
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado como:
=POISSON(3;5;0)
El resultado es 0,1404.
En Minitab, con base en los datos dados, una media de 5 pacientes por
hora y se pregunta la probabilidad de que lleguen 3 por hora, o sea, que lo
que se desea calcular es:
P(X = 3) =
Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
probabilidad, y ahí se elige Poisson. Se completa el cuadro de diálogo:
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127
Se selecciona probabilidad para que calcule el valor exacto del número de
eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego
se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,1404 en la ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución Poisson y
se introduce el dato de la media:
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128
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la
probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el
valor de x en los dos espacios que aparecen:
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
probabilidad:
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129
Gráfica de distribución
Poisson. Media=5
0,20
Probabilidad
0,15
0,1404
0,10
0,05
0,00
0
3
X
13
Ejemplo
En un proceso de manufactura de papel se encuentra un defecto por cada
1.000 metros producidos. Calcule la probabilidad de que en una muestra
aleatoria de 10.000 metros de papel se encuentren 8 defectos.
Solución
Tal como se presenta, este es esencialmente un problema de la distribución
binomial, en el cual se tiene una muestra n = 10.000 metros de papel y la
probabilidad de éxito (metro de papel con defectos) es p = 1/1000 = 0,001.
Debido a que n > 20, que p  0,05 y np = 10.000  0,001 = 10  10 se
puede usar la aproximación por la Poisson.
Entonces se determina la media λ = np = 10.000  0,001 = 10, entonces:
P(x = 8) =
x e 
X!

10 8 e 10
 0,112599
8!
Si este problema se hubiera resuelto empleando la distribución binomial,
se tendría n = 10.000, con p = 1/1000 = 0,001, q = 1 – 0,001 = 0,999,
entonces:
P(x = 8) = C(10.000, 8) (0,001)8 (0,999)1000  8 = 0,112622
Se observa claramente que los resultados son sumamente próximos.
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130
Ejemplo
En la tabla se da la distribución de probabilidad del número de delfines (x)
que se encuentran por cada cierta área de mar luego de un derrame de
petróleo de un barco. Si se sabe que esta variable sigue una distribución de
Poisson, muestre que:
λ = σ2
X
P(x)
Solución
0
0,2465
1
0,3452
2
0,2417
3
0,1128
4
0,0395
5
0,0111
6
0,0032
Con base en los datos de la tabla se obtiene primero el valor esperado:
E(x) = 0 * 0,2465 + 1 * 0,3452 + 2 * 0,2417 + 3 * 0,1128 + 4 * 0,0395
+ 5 * 0,0111 + 6 * 0,0032 = 1,39
Luego se calcula la varianza:
σ2 = (x – E(x))2 P(x) = (0 – 1,3997)2 * 0,2465 + ... + (6 – 1,3997)2 *
0,0032
= 1,39
Por lo que queda claro que si λ = 1,39, entonces σ2 = 1,39. Queda
comprobado que λ = σ2.
Ejemplo
Los audífonos fabricados por una empresa son sometidos a un control de
calidad en el cual se clasifican como perfectos, con defectos secundarios o
con defectos mayores. Generalmente el 85% de los audífonos se clasifican
como perfectos, el 10% con defectos secundarios y un 5% con defectos
mayores. En una muestra de 8 audífonos se quiere saber la probabilidad de
que haya 5 perfectos, 2 con defectos secundarios y uno con defectos
mayores.
Solución
Primeramente se plantean los datos del problema:
Perfectos: p1 = 0,85
Con defectos secundarios: p2 = 0,10
Con defectos mayores: p3 = 0,05
Se tiene que x1 = 5, x2 = 2 y que x3 = 1, por lo que n = 5 + 2+ 1 = 8.
Entonces, se sustituye en la fórmula:
P( x1 = 5, x2  2, x3  1) 
8!
(0,85) 5 (0,10) 2 (0,05)1  0,0372
5! 2! 1!
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131
Ejemplo
En una encuesta de intención de voto se obtuvo que el candidato A
obtendría el 35% de los votos, el candidato C el 45% y el candidato B el
restante 20%.
Si se toma una muestra de 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la
mitad deseen votar por el candidato A, dos quintas partes por el candidato
B y el resto por C?
Solución
Primeramente se plantean los datos del problema:
Candidato A: p1 = P(A) = 0,35
Candidato B: p2 = P(B) = 0,20
Candidato C: p3 = P(C) = 0,45
Se tiene que x1 = 5, x2 = 4 y que x3 = 1, por lo que n = 5 + 4+ 1 = 10.
Entonces, se sustituye en la fórmula:
P( x1 = 5, x2  4, x3  1) 
Ejercicio
de
revisión
10!
(0,35) 5 (0,20) 4 (0,45)1  0,0048
5! 4! 1!
Un equipo de futbol gana el 40% de los partidos que juega, empata el 25%
y pierde el resto de los encuentros. Suponiendo que se mantienen estas
proporciones, calcule la probabilidad de que en los próximos 6 partidos:
a. Gane 3 veces, empate 2 y pierda 1 juego.
b. Gane o empate 4 partidos y pierda los otros dos.
Solución:
a. Primeramente se plantean los datos del problema:
Gana: p1 = P(G) = 0,40
Empata: p2 = P(E) = 0,25
Pierde: p3 = P(P) = 1 - 0.40 - 0.25 = 0,35
Se tiene que x1 = 3, x2 = 2 y que x3 = 1, por lo que n = 3 + 2+ 1 = 6.
Entonces, se sustituye en la fórmula:
P( x1 = 3, x2  2, x3  1) 
6!
(0,40) 3 (0,25) 2 (0,35)1  0,084
3! 2! 1!
b. Se convierte en un problema binomial, con p = 0.40 + 0.25 = 0.65, y q =
0.35, n = 6 y x = 4, entonces:
P( X  4) 
6!
(0,65) 4 (0,35) 64  0.3280
4!(6  4) !
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132
Ejemplo
Una empresa de televisión por cable pone a disposición de sus clientes un
número telefónico para proveer soporte en caso de que haya problemas con
el servicio. Sin embargo la central telefónica pasa ocupada el 90% del
tiempo, por lo que los clientes deben hacer más de intento para que su
llamada sea contestada. ¿Cuál es la probabilidad de que la llamada de un
cliente sea contestada en su tercer intento?
Solución
En este problema se busca la probabilidad de que la llamada ingrese, pero
si la central telefónica pasa ocupada el 90% del tiempo, esta probabilidad
es de solo 10%. Esa es la probabilidad de éxito p = 0,10.
Sustituyendo en la fórmula de la distribución geométrica:
P( x  3)  0,10(1  0,10) 31  0,10(0,90) 2  0,081
Ejemplo
En un establecimiento de producción de lana se sabe que el 40% de los
animales poseen algún tipo de lunar que produce fibras pigmentadas, las
cuales reducen el valor del producto. Si se empiezan a examinar los
animales, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta oveja inspeccionada sea
la primera en poseer algún tipo de lunar que produzca fibras pigmentadas?
Solución
Si la primera oveja que posee algún tipo de lunar que produzca fibras
pigmentadas es la quinta (x = 5), quiere decir que las primeras 7 no poseen
este tipo de lunares (x – 1 = 4). La probabilidad de obtener una oveja con
este tipo de lunares es p = 0,40, por tanto, aplicando la fórmula:
P( x  5)  0,40(1  0,40) 51  0,40(0,60) 4  0,0518
Ejercicio
de
revisión
Un basquetbolista encesta el 60% de los tiros libres que lanza. Calcule la
probabilidad de que:
a. El primer tiro que enceste sea el tercero.
b. El primer tiro que falle sea el cuarto.
c. Si el jugador lanza 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste en
exactamente tres ocasiones?
Solución:
a. La probabilidad de éxito p = 0,60 y x = 3,
P( x  3)  0,60(1  0,60) 31  0,096
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133
b. La probabilidad de éxito p = 0,40 y x = 4,
P( x  4)  0,40(1  0,40) 41  0,0864
c. Se convierte en un problema binomial (el número de intentos es fijo),
con p = 0.6 y q = 0.40, n = 6 y x = 3, entonces:
P( X  3) 
6!
(0,60) 3 (0,40) 63  0.2765
3!(6  3) !
Uso de Minitab para la distribución geométrica
Ejemplo
El 10% de las llamadas que ingresan al centro de servicio telefónico de una
empresa son para reportar averías. Calcule, usando Minitab, la
probabilidad de que la primera llamada que ingresa para reportar averías
sea la tercera.
Solución
Se tiene que una probabilidad de éxito p = 0.10 y se pregunta la
probabilidad de que la primera llamada que ingresa para reportar averías
sea la tercera, o sea, que lo que se desea calcular es:
P(X = 3) =
En Minitab, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
probabilidad, y ahí se elige Geométrica. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad para que calcule el valor exacto del número de
eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego
se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,081 en la ventana Sesión.
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También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución geométrica
y se introduce el dato de la probabilidad de éxito:
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la
probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el
valor de x en los dos espacios que aparecen:
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135
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
probabilidad:
Gráfica de distribución
Geométrico. p=0,1
0,10
0,081
Probabilidad
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
1 3
51
X
X = número total de pruebas.
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. La distribución de probabilidad que se aplica en un experimento de acuerdo con un proceso
de Bernoulli y tiene más de dos resultados posibles se llama:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Multinomial
( d ) Poisson
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136
2. La distribución de probabilidad que representa el número de resultados que ocurren en un
intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico se llama:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Multinomial
( d ) Poisson
3. La distribución de probabilidad que se emplea en una sucesión de pruebas y se quiere saber
el número de la prueba en que ocurre el primer éxito se llama:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Geométrica
( d ) Poisson
4. La distribución de probabilidad que se emplea en una situación similar a un proceso de
Bernoulli, pero con un muestreo sin reemplazo, se llama:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Geométrica
( d ) Poisson
5. A continuación se muestra la función de distribución de probabilidad para el número de
accidentes por día que se presentan en una fábrica (nunca se presentan más de 4 accidentes).
X
P(x)
0
0,40
1
0,30
2
3
0,10
4
0,05
¿Cuál es la probabilidad de que se presente en un día cualquiera dos o más accidentes?
( a ) 0,85
( b ) 0,15
( c ) 0,30
( d ) Ninguna de las anteriores
6. Con base en la tabla del ejercicio 4, en el largo plazo, el número esperado de accidentes
diarios en esa fábrica es de:
( a ) 0,8
(b)2
( c ) 1,1
( d ) Ninguna de las anteriores
7. Con base en la tabla del ejercicio 4, la desviación estándar de la distribución de
probabilidad es:
( a ) 1,18
( b ) 0,1215
( c ) 1,39
( d ) 3,68
8. A continuación se muestra la función de distribución de probabilidad para el número de
accidentes por día que se presentan en una fábrica (nunca se presentan más de 4 accidentes).
X
P(x)
0
0,30
1
2
0,20
3
0,10
4
0,02
¿Cuál es la probabilidad de que se presente en un día cualquiera dos o menos accidentes?
( a ) 0,78
( b ) 0,88
(c)1
( d ) Ninguna de las anteriores
9. Con base en la tabla del ejercicio 8, en el largo plazo, el número esperado de accidentes
diarios en esa fábrica es de:
(a)0
( b ) 1,6
(c)2
( d ) 1,16
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137
10. Con base en la tabla del ejercicio 8, la desviación estándar de la distribución de
probabilidad es:
( a ) 1,05
( b ) 1,08
( c ) 1,03
( d ) Ninguna de las anteriores
11. Las acciones de la empresa A tienen una probabilidad de 0,7 de devolver una ganancia de
$200. También tienen una probabilidad de 0,3 de tener una pérdida de $600. En el largo
plazo, ¿cuál es la mejor opción de las siguientes que se puede hacer para maximizar su
beneficio, y por qué?
( a ) Invertir en las acciones porque hay una mayor probabilidad de ganar dinero que perder
dinero.
( b ) No invertir en las acciones debido a la cantidad de dinero por cada pérdida es mayor que
el monto en dólares para cada ganancia.
( c ) Invertir en las acciones porque la inversión tiene un valor esperado positivo.
( d ) No invertir en las acciones debido a que el valor esperado es una pérdida.
12. Las acciones de la empresa A tienen una probabilidad de 0,7 de devolver una ganancia de
$200. También tienen una probabilidad de 0,3 de tener una pérdida de $600. Las acciones de
la empresa B tienen una probabilidad de 0,3 de devolver una ganancia de $600 y una
probabilidad de 0,7 de tener una pérdida de $200. En el largo plazo, usando la desviación
estándar como medida del riesgo, es cierto que:
( a ) Las acciones de la empresa A son más riesgosas que las acciones de la empresa B
( b ) Las acciones de la empresa A son menos riesgosas que las acciones de la empresa B
( c ) Las acciones de la empresa A son igualmente riesgosas que las acciones de la empresa B
( d ) Falta información para determinar la desviación estándar
13. Si usted toma una muestra de 15 artículos con reemplazo, para conocer si se presentan
unidades con algún defecto, entonces se emplea la distribución:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Multinomial
( d ) Geométrica
14. En un proceso de producción se genera una unidad defectuosa por cada 10 unidades
producidas. Si usted desea saber la probabilidad de que, en un muestra de 20 unidades sin
reemplazo, se presenten 2 defectuosas, debería emplear la distribución:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Multinomial
( d ) Ninguna de las anteriores
15. La tasa media de llegadas de vehículos a un peaje es de 10 por minuto. Si usted desea
saber la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente lleguen menos de 50
vehículos, entonces usaría:
( a ) Binomial
( b ) Exponencial
( c ) Poisson
( d ) Normal
16. La tasa media de llegadas de vehículos a un peaje es de 15 por minuto. Si usted desea
saber la probabilidad de que pasen 4 minutos entre la llegada de dos vehículos en una hora
seleccionada aleatoriamente, entonces usaría:
( a ) Binomial
( b ) Exponencial
( c ) Poisson
( d ) Normal
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17. Si se sabe que, en un problema binomial, la probabilidad de éxito es 0.60, en 10 ensayos,
la probabilidad de obtener exactamente 4 fracasos es, aproximadamente:
( a ) 0,1115
( b ) 0,5630
( c ) 0,2508
( d ) Ninguna de las anteriores
18. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 5 éxitos en una población de 12
unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener exactamente 3 fracasos es,
aproximadamente:
( a ) 0,1414
( b ) 0,6465
( c ) 0,3535
( d ) Ninguna de las anteriores
19. Si se sabe que, en un problema geométrico, la probabilidad de éxito es 0.1, entonces la
probabilidad de que el primer éxito sea el tercero es, aproximadamente:
( a ) 0,919
( b ) 0,271
( c ) 0,081
( d ) Ninguna de las anteriores
20. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 7 éxitos en una población es de 10
unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener al menos 3 fracasos es,
aproximadamente:
( a ) 0,7381
( b ) 0,9762
( c ) 0,0333
( d ) 0,2381
21. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 4 éxitos en una población es de 9
unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener a lo sumo 2 fracasos es,
aproximadamente.
( a ) 0,1667
( b ) 0,3571
( c ) 0,6429
( d ) 0,8333
22. Si se sabe que x sigue una distribución de Poisson con media igual a 3, la probabilidad de
x sea mayor que 2 es:
( a ) 0,4232
( b ) 0,8009
( c ) 0,5768
( d ) Ninguna de las anteriores
23. Si se sabe que x sigue una distribución de Poisson con media igual a 5, la probabilidad de
x sea cuando mucho 1 es:
( a ) 0,9933
( b ) 0,0337
( c ) 0,0404
( d ) Ninguna de las anteriores
24. Si los resultados del análisis de un producto pueden ser bueno, regular o malo, y se conoce
que las probabilidades de dichos resultados son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente, entonces en
una muestra de 5 unidades, la probabilidad de que una de ellas sea clasificada como regular, 1
como mala y 3 como buenas es:
( a ) 0,0036
( b ) 0,0324
( c ) 0,1296
( d ) Ninguna de las anteriores
25. Si los resultados del análisis de un producto pueden ser bueno, regular o malo, y se conoce
que las probabilidades de dichos resultados son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente, entonces en
una muestra de 5 unidades, la probabilidad de que 4 de ellas sean clasificadas como buenas
es:
( a ) 0,9222
( b ) 0,7408
( c ) 0,2592
( d ) Ninguna de las anteriores
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26. Si se sabe que, en un problema binomial, la probabilidad de éxito es 0.60, en 10 ensayos,
la cantidad esperada de fracasos es:
( a ) 0,0016
(b)6
(c)4
( d ) Ninguna de las anteriores
27. Si usted controla la calidad de las piezas compradas a un proveedor y desea calcular la
probabilidad de que en un muestreo sin reemplazo se rechace el lote por contener más de 3
piezas defectuosas, entonces se emplea la distribución:
( a ) Binomial
( b ) Hipergeométrica
( c ) Multinomial
( d ) Geométrica
28. Se tiene un cargamento de 60 alarmas contra robo el cual contiene 9 defectuosas. La
probabilidad de que salgan exactamente 2 defectuosas en una muestra de 5 alarmas es:
( a ) 0,8627
( b ) 0,1886
( c ) 0,1373
( d ) Ninguna de las anteriores
29. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad para la
sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo los inspectores del gobierno utilizan una
muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si se curan por lo menos 75 de
ellos. La probabilidad de que lo que dice sea rechazado, si efectivamente la probabilidad de
curación es del 80%, es:
( a ) 0,9162
( b ) 0.0838
( c ) 0,4567
( d ) Ninguna de las anteriores
30. En un proceso de manufactura se sabe que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa
es de 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que la octava pieza inspeccionada sea la primera
defectuosa?
( a ) 0,9826
( b ) 0,9800
( c ) 0,0174
( d ) Ninguna de las anteriores
31. Un fabricante sabe que cierto tipo de refrigeradores tienen una probabilidad de 0,8 de
clasificarse como aceptable, una probabilidad de 0,15 de ser clasificados como con defectos
secundarios y de 0,05 de ser clasificados como con defectos mayores. Si se revisan seis
refrigeradores, escogidos al azar, la probabilidad de que tres sean aceptables, 2 tengan
defectos menores y 1 tenga defecto mayor es:
( a ) 0,9654
( b ) 0,7645
( c ) 0,0346
( d ) Ninguna de las anteriores
32. Una empresa de mercadeo por internet tiene una promoción por e–mail que produce una
respuesta de 15%. Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la
probabilidad de que nadie responda es:
( a ) 0,0000
( b ) 0,8031
( c ) 0,1969
( d ) Ninguna de las anteriores
33. Una empresa de mercadeo por internet tiene una promoción por e–mail que produce una
respuesta de 15%. Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la
probabilidad de que exactamente dos personas respondan es:
( a ) 0,0000
( b ) 0,8241
( c ) 0,2759
( d ) Ninguna de las anteriores
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34. Una empresa de mercadeo por internet tiene una promoción por e–mail que produce una
respuesta de 15%. Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la
probabilidad de que más de la mitad respondan es:
( a ) 0,0000
( b ) 0,9986
( c ) 0,0014
( d ) Ninguna de las anteriores
35. Una empresa de mercadeo por internet tiene una promoción por e–mail que produce una
respuesta de 15%. Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la
probabilidad de que más de 4 no respondan es:
( a ) 0,0099
( b ) 0,0014
( c ) 0,9986
( d ) Ninguna de las anteriores
36. Considere la siguiente información: “En una encuesta aplicada a 700 hogares a nivel
nacional, de los cuales la mitad tienen actualmente acceso al servicio de telefonía celular, se
obtuvieron los siguientes datos: ante la apertura en el mercado de telecomunicaciones, el 68%
los usuarios actuales de telefonía celular estaría dispuesto a cambiar de operador. Entre la
población que aun no posee celular, solo un 38% optará por el operador actual, mientras que
el resto escogerá un nuevo proveedor de servicio”. Si se toma una muestra de 6 hogares que
ya poseen servicio celular, la probabilidad de que todos conserven el operador actual es:
( a ) 0,0011
( b ) 0,0989
( c ) 0,0030
( d ) 0,0568
37. Utilizando la misma información del ejercicio 36, si se toma una muestra de 6 hogares que
ya poseen servicio celular, la probabilidad de que 2 o menos hogares cambien su proveedor
actual de telefonía celular es:
( a ) 0,0011
( b ) 0,0875
( c ) 0,7064
( d ) 0,1527
38. Utilizando la misma información del ejercicio 36, si se toma una muestra de 6 hogares que
aun poseen servicio celular, la probabilidad de que 4 o más hogares utilicen el proveedor
actual en el mercado de telefonía celular es:
( a ) 0,7064
( b ) 0,1202
( c ) 0,3201
( d ) 0,1527
39. Utilizando la misma información del ejercicio 36, si se toma una muestra de 6 hogares que
aun poseen servicio celular, la probabilidad de que 4 o más hogares utilicen el proveedor
actual en el mercado de telefonía celular es:
( a ) 0,7064
( b ) 0,1202
( c ) 0,3201
( d ) 0,1527
40. El jefe de un departamento de recursos humanos de una empresa grande, estudia con
frecuencia el grado de satisfacción de los trabajadores dentro de la empresa, y ha encontrado
que 4 de cada 20 empleados se siente insatisfecho con su salario. Esta proporción se ha
mantenido constante durante mucho tiempo. Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas, la
probabilidad de que exactamente 3 de ellas se sientan insatisfechas con su salario es:
( a ) 0,7064
( b ) 0,1202
( c ) 0,3201
( d ) 0,1468
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41. Es un proceso de Bernoulli es falso que:
( a ) Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo
( b ) La probabilidad de un éxito permanece constante en todos los intentos.
( c ) Todos los intentos repetidos son independientes.
( d ) Ninguna de las anteriores
42. La probabilidad de que cierto componente falle ante una carga axial específica es de 5%.
La probabilidad de que entre 16 de tales componentes fallen entre 2 y 5:
( a ) 0,1891
( b ) 0,8109
( c ) 0,95
( d ) Ninguna de las anteriores
43. Con respecto a las láminas de zinc esmaltadas que se emplearán en el techo de un edificio
nuevo, se sabe que el 95% no tienen defecto alguno, que el 4% tienen, en promedio, un
defecto menor en el esmalte por cada dos metros cuadrados de lámina, y el resto poseen
huecos u otros defectos mayores, y por tanto serán devueltas al proveedor. La probabilidad de
que al seleccionar una muestra aleatoria de 8 láminas haya que devolver a lo sumo una lámina
es:
( a ) 0,9926
( b ) 0,0027
( c ) 0,0074
( d ) Ninguna de las anteriores
44. En relación a la misma situación de la pregunta 43, la probabilidad de que al seleccionar
una muestra aleatoria de 10 láminas haya al menos 8 en perfecto estado es:
( a ) 0,0861
( b) 0,9238
( c ) 0,0115
( d ) Ninguna de las anteriores
45. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si se selecciona una lámina al azar
correspondiente a las que tienen un defecto en el esmalte, entonces la probabilidad de que
posea una superficie continua de 1,5 metros cuadrados sin defecto alguno es:
( a ) 0,5276
( b ) 0,3679
( c ) 0,4724
( d ) Ninguna de las anteriores
46. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si un empleado está inspeccionando
las láminas, entonces la probabilidad de que la primera lámina con defectos en el esmalte sea
la sexta es:
( a ) 0,0340
( b ) 0,0326
( c ) 0,0311
( d ) Ninguna de las anteriores
47. En relación a la misma situación de la pregunta 43, suponga que se han comprado 100
láminas. Si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 6 láminas, la probabilidad de que
exactamente 5 estén en perfecto estado es:
( a ) 0,2430
( b ) 0,2709
( c ) 0,2649
( d ) Ninguna de las anteriores
48. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si se toma una muestra aleatoria de 8
láminas, la probabilidad de que 6 estén en perfecto estado, que una tenga un defecto en el
esmalte y otra un defecto mayor es:
( a ) 0,0261
( b ) 0,0138
( c ) 0,0315
( d ) Ninguna de las anteriores
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49. En una distribución binomial se cuenta la probabilidad de obtener un número establecidos
de éxitos cuando:
( a ) el número de intentos es constante pero la probabilidad de fracaso no
( b ) el número de intentos no es constante ni la probabilidad de fracaso
( c ) el número de intentos es constante y la probabilidad de fracaso también
( d ) el número de intentos no es constante pero la probabilidad de fracaso sí
50. Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. En una distribución de Poisson es verdadero que E(X) = V(X) = λ = σ2
B. Cuando n es relativamente grande y p pequeña, las probabilidades binomiales a menudo
se aproximan por medio de la distribución de Poisson.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Son verdaderas ambas
( b ) Solo B es verdadera
( c ) Son falsas ambas
( d ) Solo A es verdadera
Respuestas a preguntas de selección única:
1. a
6. c
11. d
16. b
21. c
26. c
31. c
36. a
41. d
46. b
2. d
7. a
12. c
17. c
22. c
27. b
32. c
37. b
42. a
47. a
3. c
8. b
13. a
18. c
23. c
28. c
33. c
38. d
43. c
48. d
4. b
9. d
14. b
19. c
24. c
29. b
34. c
39. d
44. c
49. c
5. c
10. c
15. c
20. c
25. c
30. c
35. c
40. d
45. c
50. a
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143
7
.
Distribuciones de probabilidad de
variable continua
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Resolver problemas empleando la distribución normal
2. Resolver problemas empleando la distribución exponencial
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Ejemplo
Se desea saber el valor de las siguientes probabilidades:
a) P(z  1,46) =
b) P(z  1,46) =
c) P(z  –1,46) =
d) P(z  –1,46) =
e) P(1,03  z  1,46) =
Solución
a) La tabla de la curva normal estándar (Apéndice 6) solo da
probabilidades para valores acumulados hasta el número buscado, en otras
palabras, la probabilidad de que la variable z sea menor o igual que cierto
valor. Entonces, si se busca la probabilidad de que z sea menor o igual que
1,46, la tabla va a dar directamente el resultado.
Se desea conocer P(z  1,46), entonces en la tabla se busca el entero y el
primer decimal, o sea, 1,4, en la primera columna, y luego el segundo
decimal, en este caso 6, se busca en la primera fila, tal como se ilustra a
continuación:
El número que aparece donde se cruza esa fila con esa columna es el valor
de la probabilidad, que en este caso es 0,9279.
b) Tal como se señaló anteriormente, la tabla de la distribución normal
estándar del Apéndice 6 solo da la probabilidad de que la variable z sea
menor o igual que cierto valor, pero en este caso se busca la probabilidad
de que z sea mayor que 1,46. Gráficamente este problema se vería del
modo siguiente:
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La tabla daría el área en blanco, no el área sombreada, pero sabiendo que
el área total bajo la curva es igual a 1, entonces se puede calcular:
P(z  1,46) = 1 – P(z  1,46)
De la tabla se obtiene que P(z  1,46) = 0,9279, por lo que:
P(z  1,46) = 1 – P(z  1,46) = 1 – 0,9279 = 0,0721
c) Como se señaló en los casos anteriores, la tabla de la distribución
normal estándar (Apéndice 6) da la probabilidad de que la variable z sea
menor o igual que cierto valor positivo, pero en este caso se busca la
probabilidad de que z sea menor que –1,46. Gráficamente este problema se
vería del modo siguiente:
Dado que la curva es simétrica, entonces la tabla daría el área en blanco,
no el área sombreada, pero sabiendo que el área total bajo la curva es igual
a 1, entonces se puede calcular:
P(z  –1,46) = 1 – P(z  1,46)
De la tabla se obtiene que P(z  1,46) = 0,9279, por lo que:
P(z  –1,46) = 1 – P(z  1,46) = 1 – 0,9279 = 0,0721
d) Nuevamente sabemos que la tabla de la distribución normal estándar
(Apéndice 6) da la probabilidad de que la variable z sea menor o igual que
cierto valor positivo, pero en este caso se busca la probabilidad de que z
sea mayor que –1,46. Gráficamente este problema se vería del modo
siguiente:
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146
Dado que la curva es simétrica, entonces la tabla daría el área sombreada,
entonces se puede calcular:
P(z  –1,46) = P(z  1,46)
De la tabla se obtiene que P(z  1,46) = 0,9279, por lo que:
P(z  –1,46) = P(z  1,46) = 0,9279
e) Este problema se vería en forma gráfica del modo siguiente:
La tabla da el área acumulada hasta 1,46 y da el área acumulada hasta
1,03, por que podría calcularse cada una por separado y luego restar los
resultados:
P(1,03  z  1,46) = P(z  1,46) = P(z  1,03) =
De la tabla se obtiene:
= 0,9279 – 0,8485 = 0,0794
Ejercicio
de
revisión
Calcule el valor de las siguientes probabilidades:
a) P(z  2,38) =
b) P(z  3,01) =
c) P(z  –0,96) =
d) P(z  –2,81) =
e) P(-0,19  z  2,71) =
Solución:
a) P(z  2,38) = 0.9913
b) P(z  3,01) = 0.9987
c) P(z  –0,96) = 0.1685
d) P(z  –2,81) = 0.0025
e) P(-0,19  z  2,71) = 0.9966 - 0.4247 = 0.5719
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147
Ejemplo
La cantidad de refresco envasada por una empresa está normalmente
distribuido con una media de un litro (1000 ml) y tiene desviación estándar
de 30 ml. Calcule las probabilidades de que una botella aleatoriamente
seleccionada tenga una cantidad de refresco:
a) De menos de 1010 ml.
b) Mayor de 1050 ml.
c) Por lo menos de 990 ml.
d) Como máximo de 1090 ml.
e) Entre 980 y 1040 ml.
f) ¿Cuál es el valor máximo del 20% de las botellas con menor
cantidad de líquido?
g) ¿Cuál es el valor mínimo del 40% de las botellas con mayor
cantidad de líquido?
Solución
Se tiene µ = 1000 y σ = 30, y los valores de la probabilidad de z se obtienen
de la tabla.
a) La probabilidad que se busca es P(x  1010). Para las distribuciones
continuas menor o igual es lo mismo que estrictamente menor. Lo primero
que se hace es aplicar la fórmula de estandarización para convertir x en z:
1010  1000 

P( x  1010)  P z 
  P( z  0,33)
30


Para obtener dicha área se aplica la tabla de distribución normal estándar
(Apéndice 6), de donde se obtiene:
P(Z  0,33) = 0,6293
b) Se busca la probabilidad P(x  1050). Aplicando la fórmula de
estandarización y la tabla normal estándar:
1050  1000 

P( x  1050)  P z 

30


 P( z  1,67)  1  0,9525  0,0475
c) Se busca la probabilidad P(x  990). Siguiendo los pasos señalados:
990  1000 

P( x  990)  P z 

30


 P( z  0,33)  0,6293
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148
d) Se requiere encontrar P(x  1090), entonces:
1090  1000 

P( x  1090)  P z 

30


 P( z  3)  0,9987
e) En este caso la probabilidad buscada es P(980  x  1040), por lo que a
cada valor se aplica la fórmula de estandarización y luego la tabla normal
estándar:
P(980  x  1040)
1040  1000 
 9.80  1000
 P
z

30
30


 P(0,67  z  1,33)
 P( z  1,33)  P( z  0,67)
 0,9082  (1  0,7486)
 0,9082  0,2514  0,6568
f) El valor máximo del 20% de las botellas con menor cantidad de líquido
se encuentra al lado izquierdo de la curva, en el cual los valores de z son
negativos, por estar a la izquierda de z = 0 (µ = 0). Gráficamente el
problema queda representado del modo siguiente:
Al buscar en la tabla el valor de z que corresponde a una probabilidad
máxima de 0,20 se encuentra en la tabla del Apéndice 6 que solo aparecen
valores positivos, y no negativos, pero esto no es problema dado que la
curva es simétrica. También se observa que los valores de probabilidad de
la tabla son iguales o mayores que 0,5, y no menores, por lo que el valor de
0,20 no va a aparecer, así que se busca su complemento 1 – 0,20 = 0,80. De
ese modo se busca el valor de probabilidad (no de z) más cercano a 0,80:
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149
Véase que el valor de probabilidad de 0,7995 es el más cercano a 0,80, por
lo que en la primera columna se obtiene el entero y el primer decimal del
valor de z, y en la primera fila el segundo decimal. Así, se obtiene que z =
0,84, pero se dijo que este valor debía ser negativo por encontrase del lado
izquierdo de la gráfica, así que z = –0,84.
Ahora se sustituye y se despeja el valor de x de la fórmula de z:
z
x

x  1000
30
x  0,84 * 30  1000
x  974,8
 0,84 
Esto indica que 974,8 ml es el valor máximo del 20% de las botellas con
menor cantidad de líquido.
g) El valor mínimo del 40% de las botellas con mayor cantidad de líquido
se encuentra al lado derecho de la curva, en el cual los valores de z son
positivos, por estar a la derecha de z = 0 (µ = 0). Gráficamente el problema
queda representado del modo siguiente:
Se observa que los valores de probabilidad de la tabla de la distribución
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150
normal estándar (Apéndice 6) son iguales o mayores que 0,5, y no menores
que 0,5, por lo que el valor de 0,40 no va a aparecer, así que se debe buscar
su complemento 1 – 0,40 = 0,60. De ese modo se busca el valor de
probabilidad (no de z) más cercano a 0,60:
Véase que el valor de probabilidad de 0,5987 es el más cercano a 0,60, por
lo que en la primera columna se obtiene el entero y el primer decimal del
valor de z, y en la primera fila el segundo decimal. Así, se obtiene que z =
0,25.
Ahora se sustituye y se despeja el valor de x de la fórmula de z:
z
x

x  1000
30
x  0,25 * 30  1000
x  1007,5
0,25 
Esto indica que 1007,5 ml es el mínimo del 40% de las botellas con mayor
cantidad de líquido.
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151
Ejemplo
Un profesional dura por las mañanas un promedio de 26 minutos para
llegar a su oficina. Se puede suponer razonablemente que la distribución
del tiempo de los viajes es aproximadamente normal. La desviación
estándar es de 3,5 minutos.
a. ¿De cuánto es la probabilidad de que llegue tarde a una reunión
programada para 8:50 a.m. si ese día salió de su casa a las 8:35?
b. ¿Cuántas veces de las 120 que viajó el último semestre llegó a tiempo, si
debe estar en su oficina a las 9:00 a.m. y acostumbra salir de su casa a las
8:30?
c. Encuentre el tiempo máximo que le tomó el 62% de los viajes más
rápidos.
Solución
Se tiene que µ = 26 minutos y σ = 3,5 minutos.
a. Si salió de su casa a las 8:35 y la reunión es a las 8:50 llegará tarde si el
viaje el toma más de los 15 minutos con que cuenta.
P(llegar tarde) = P(x  15) = P(Z  –3,14) = 0,9992
b. Si sale a las 8:30 y tiene que estar en la oficina a las 9 cuenta con 30
minutos para llegar.
P(llegar a tiempo) = P(x  30) = P(Z  1,14) = 0,8729
De esta forma, el número de veces que llegó a tiempo = 120  0,8729 =
104,75. Por tanto, llegará a tiempo entre 104 y 105 veces de las 120 del
semestre.
c. Los viajes más rápidos son los que toman menos tiempo, por lo tanto, el
área es el 62% del lado izquierdo.
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152
Usando la fórmula de estandarización:
x  26  0,31* 3,5  27,09
De ese modo se tiene que 27,09 minutos es el tiempo máximo que toma el
62% de los viajes más rápidos.
Ejercicio
de
revisión
Un biólogo ha determinado que el peso promedio de los alevines de cierta
especie de tilapia se distribuye normalmente con media de 30 gramos a los
120 días de cultivo y una desviación estándar de 4,5 gramos. Calcule la
probabilidad de que al seleccionar una de estas tilapias al azar tenga un
peso:
a) Mayor que 34 gramos
  30,   4,5
34  30 

P( x  34)  P z 
  P( z  0,89)  1  0,8133  0,1867
4,5 

b) Menor que 32 gramos
  30,   4,5
32  30 

P( x  34)  P z 
  P( z  0,44)  0,6700
4,5 

c) Como máximo 26,8 gramos
  30,   4,5
26,8  30 

P( x  26,8)  P z 
  P( z  0,71)  1  0,7612  0,2488
4,5 

d) ¿Sobre qué valor se encuentra el 78% de los peces de mayor peso?
z = -0,78
x
z

x  30
4,5
x  0,78 * 4,5  30
 0,78 
x  26,49
e) ¿Cuál es el valor más alto sobre el que se encuentra el 35% de los peces
con menor peso?
z = -0,39
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153
z
x

x  30
4,5
x  0,39 * 4,5  30
 0,39 
x  28,24
Ejemplo
Se conoce que el nivel de colesterol en sangre en una población adulta
entre 50 y 60 años se distribuye normalmente con una media de 180
mg/100 ml de sangre y que la desviación estándar es de 30 mg/100 ml.
Calcule, usando Excel y Minitab, la probabilidad de que uno de esos
adultos entre 50 y 60 años tenga un nivel inferior a 200 mg/100 ml de
sangre.
Solución
En Excel: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación
estándar de 30 mg/100ml, y se pregunta la probabilidad de que tenga un
nivel inferior a 200 mg/100 ml, o sea, que lo que se desea calcular es:
P(X < 200) =
Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.NORM, cuya sintaxis es:
= DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)
Los argumentos de la función anterior son:
x: número establecido de la variable (x)
media: promedio ()
desv_estándar: desviación estándar ()
acumulado: 0 si no es acumulado o 1 si es acumulado
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado (se indica al final 1 para que dé el resultado acumulado):
=DISTR.NORM(200;180;30;1)
El resultado es 0,7475.
En Minitab: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación
estándar de 30 mg/100ml, y se pregunta la probabilidad de que tenga un
nivel inferior a 200 mg/100 ml, o sea, que lo que se desea calcular es:
P(X < 200) =
En Minitab, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
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154
probabilidad, y ahí se elige Normal. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad acumulada para que calcule el valor de que x
sea menor que 200 y se completan los datos tal como se muestra en la
imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,7475 en la
ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución normal y se
introduce el dato de la media y la desviación estándar:
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155
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la
probabilidad de que x  200, entonces se selecciona Cola izquierda y se
escribe el valor de x en el espacio que aparece:
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
probabilidad:
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156
Gráfica de distribución
Normal. Media=180. Desv.Est.=30
0,014
0,012
Densidad
0,010
0,008
0,7475
0,006
0,004
0,002
0,000
180
X
200
Ejemplo
Si el peso promedio de un hombre adulto es 74,8 kilogramos con una
desviación estándar de 8 kilogramos. Si las medidas se distribuyen según
una distribución normal, calcule, usando Excel y Minitab, el peso que
separa el 15% de los hombres adultos con menor peso.
Solución
En Excel: Se tiene que una media de 74,5 Kg. con una desviación estándar
de 8 Kg., y se pregunta el peso que separa el 15% de los hombres adultos
con menor peso. Entonces, en Excel se emplea la función
DISTR.NORM.INV, cuya sintaxis es:
= DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estándar)
Los argumentos de la función anterior son:
probabilidad: valor de probabilidad o percentil dado
media: promedio ()
desv_estándar: desviación estándar ()
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado:
=DISTR.NORM.INV(0,15;74,5;8)
El resultado es 66,21 Kg.
En Minitab: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación
estándar de 30 mg/100ml, y se pregunta la probabilidad de que tenga un
nivel inferior a 200 mg/100 ml, o sea, que lo que se desea calcular es:
P(X < 200) =
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157
En Minitab, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de
probabilidad, y ahí se elige Normal. Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad acumulada inversa para que devuelva el valor
de la variable en vez de calcular la probabilidad y se completan los datos
tal como se muestra en la imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene
el resultado 66,21 Kg. en la ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución normal y se
introduce el dato de la media y la desviación estándar:
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158
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por Probabilidad y como en este caso se el
problema se refiere a los de menor peso, entonces se selecciona Cola
izquierda y dado que se requiere saber el valor de x entonces se digita la
probabilidad de 0,15 en el espacio que aparece:
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
variable x en el eje horizontal:
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159
Gráfica de distribución
Normal. Media=74,5. Desv.Est.=8
0,05
Densidad
0,04
0,03
0,02
0,01
0,15
0,00
Ejemplo
66,21
74,5
X
Un ingeniero de sistemas cree que el 30% de las empresas estarían
dispuestas a actualizar el sistema operativo de sus equipos de cómputo a la
nueva versión que va a ser lanzada al mercado dentro de poco tiempo. De
acuerdo con ese dato, calcule la probabilidad de que de una muestra de 80
empresas:
a) entre 25 y 35 actualicen su sistema operativo.
b) por lo menos 20 actualicen su sistema operativo.
c) menos de 60 no actualicen su sistema operativo.
Solución
Este es un problema de distribución binomial, pero que por tener n > 20 se
resuelve por aproximación. En este caso no se puede aplicar la Poisson
porque p > 5%, por lo tanto se resuelve usando la normal como
aproximación.
Al aplicarse la normal se debe realizar una corrección por continuidad
debido a que se está resolviendo un problema de variable discreta con una
distribución de variable continua, para lo cual se restará 0,5 y se sumará
0,5 a los valores de x en el cálculo de la probabilidad, tal como se explicará
más adelante.
a) La probabilidad de que las empresas actualicen su sistema operativo es
de 30%, por lo tanto:
µ = np = 80  0,3 = 24
σ=
npq  80  0,3  0,7  4,10
Se requiere calcular:
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160
P(25  x  35) =
Ahora se va a aplicar la corrección por continuidad, que es de media
unidad (0,5) hacia atrás y media unidad (0,5) hacia delante en el intervalo:
P(25 – 0,5  x  35 + 0,5) =
P(24,5  x  35,5) =
Tomando los valores de  = 24 y  = 4,10, se aplica el cálculo por la curva
normal:
24,5  24
 0,12
4,10
35,5  24
z2 
 2,80
4,10
z1 
Entonces:
P(25  x  35) = P(24,5  x  35,5) = P(0,12  z  2,80)
Aplicando la tabla de la curva normal estándar (Apéndice 6):
= 0,9974 – 0,5478 = 0,4496
Si se utiliza Minitab para hacer el cálculo con la distribución binomial con
valores de n = 80 y p = 0,3, se obtiene una probabilidad de 0,4419, lo cual
indica que la aproximación por la normal tiene un resultado bastante
cercano.
b) En este segundo caso se quiere calcular:
P(x  20)
Al aplicar la corrección por continuidad se recomienda poner los valores
en un intervalo, en este caso desde 20 hasta 80, ya que el tamaño de
muestra es 80, y luego corregir:
P(x  20) = P(19,5  x  80,5)
Luego se estandariza:
19,5  24
 1,10
4,10
80,5  24
z2 
 13,78
4,10
z1 
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161
Calculando con la distribución normal:
P(x  20) = P(19,5  x  80,5) = P(–1,10  z  13,78)
= P(z  13,78) – P(z  –1,10) = 1,0000 – 0,1357 = 0,8643
c) En este caso éxito es que las empresas no deseen actualizar su sistema
operativo, por lo que p = 0,70. Entonces:
µ = np = 80  0,7 = 56
σ=
npq  80  0,7  0,3  4,10
Luego se tiene que se busca:
P(x < 60)
Primero se expresa como el problema equivalente pero empleando el signo
 en vez de <, ya que menos de 60 es lo mismo que menor o igual a 59,
esto para aplicar el mismo procedimiento visto anteriormente:
P(x < 60) = P(x  59)
Ahora se convierte al intervalo, pues menor o igual que 59 equivale al
intervalo de 0 a 59 y se aplica la corrección por continuidad:
P(x < 60) = P(x  59) = P(0  x  59) = P(–0,5  x  59,5)
Ahora se estandariza:
 0,5  56
 13,78
4,10
59,5  56
z2 
 0,85
4,10
z1 
Planteando el problema completo y aplicando la tabla de normal estándar:
P(x < 60) = P(x  59) = P(0  x  59) = P(–0,5  x  59,5)
= P(–13,78  z  0,85) = P(z  0,85) – P(z  –13,78)
= 0,8023 – 0 = 0,8023
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162
Ejemplo
A una oficina de un banco llegan, en promedio, 3 clientes por hora a
solicitar un crédito. Se desea saber la probabilidad de:
a. Que transcurran 30 minutos entre la llegada de un cliente y el siguiente.
b. Que tras la salida de un cliente el próximo llegue en el curso de los 20
minutos siguientes.
Solución
Se tiene que  = 3 clientes por hora:
a. Dado que la pregunta se refiere al periodo 30 minutos, entonces:
 = 3/2 = 1,5
Dado que se busca la probabilidad de que el primer evento no ocurra
dentro de un intervalo temporal dado, entonces se sustituye en la fórmula:
P  e   e 1,5  0,2231
b. En un lapso de 20 minutos,  = 1. Dado que se busca la probabilidad de
que el primer evento ocurra dentro de un intervalo temporal dado, entonces
se sustituye en la fórmula:
P  1  e   1  e 1  1  0,3679  0,6321
Ejemplo
El tiempo requerido para que ocurra una reacción química está
exponencialmente distribuido con un tiempo esperado de 4 minutos:
a. ¿Qué proporción de la sustancia se formará dentro de dos minutos?
b. ¿Qué proporción de la sustancia se formará entre 3 y 8 minutos?
Solución
Se pueden emplear intervalos de un minuto, dado que la reacción se hace,
en promedio, en 4 minutos, entonces el número esperado de sustancia
formada en un minuto será  = 1/4 = 0,25 (este sería la cantidad media de
ocurrencias por minuto), entonces:
a. Dado que la pregunta se refiere al periodo 2 minutos, entonces  = 0,5:
P  e   e 0,5  0,6065
b. Entre 3 y 8 minutos, se usa  = 0,75 y  = 2, respectivamente:
P(4  x  8)  e 0,75  e 2  0,4724  0,1353  0,3370
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163
Ejercicio
de
revisión
Se sabe que la vida útil de cierto tipo de bujías sigue una distribución
exponencial con media de 160.000 km. ¿Cuál es la probabilidad de que
una bujía seleccionada aleatoriamente dure:
a. a lo sumo 180.000 km?
b. entre 150.000 y 200.000 km?
Solución:
a. Se tiene que  = 160.000, se aplica la fórmula P(x) = e–x:
P(x < 180.000) = (1/160000) e (1 / 160000)180000  0,6753
b. Se tiene que  = 160.000, se aplica la fórmula P(x) = e–x:
P(x < 150.000) = (1/160000) e (1 / 150000)180000  0,6084
P(x < 200.000) = (1/160000) e (1 / 160000)200000  0,7135
P(150.000 < x < 200.000) = 0.7135 - 0.6084 = 0.1051
Ejemplo
Los clientes de una tienda llegan en promedio de 20 por hora. Utilice
Excel y Minitab para determinar la probabilidad de que transcurran a lo
sumo 6 minutos después de la llegada del último cliente y el próximo.
Solución
En Excel: Se tiene que una media  = 20 clientes por hora y se pregunta la
probabilidad de que transcurran a lo sumo 6 minutos después de la llegada
del último cliente y el próximo, por lo que x = 0,1, pues equivale a 6
minutos de una hora que tiene 60 minutos, o sea, x = 6/60 = 0,1. Entonces,
en Excel se emplea la función DISTR.EXP, cuya sintaxis es:
= DISTR.EXP(x;lambda;acum)
Los argumentos de la función anterior son:
x: número establecido de la variable (x)
lambda: promedio ()
acumulado: 0 si no es acumulado o 1 si es acumulado
Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el
resultado colocando el valor de x como 0,1, la media de 20 y(se indica al
final 1 para que dé el resultado acumulado):
=DISTR.EXP(0,1;20;1)
El resultado es 0,8647.
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164
En Minitab: Se tiene que una media de 1/20, y se pregunta la probabilidad
de que transcurran a lo sumo 6 minutos después de la llegada del último
cliente y el próximo, por lo que x = 0,1, pues equivale a 6 minutos de una
hora que tiene 60 minutos, o sea, x = 6/60 = 0,1. Se da clic en el menú
Calc, luego en Distribuciones de probabilidad, y ahí se elige Exponencial.
Se completa el cuadro de diálogo:
Se selecciona probabilidad acumulada y se completan los datos tal como se
muestra en la imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado
0,8647 en la ventana Sesión.
También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona
Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se
selecciona la opción que dice Ver probabilidad.
En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución
exponencial y se introduce el dato de la escala, que es la media, y el dato
del valor umbral se puede dejar en cero:
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165
Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige
definir el área sombreada por Valor de x, se selecciona Cola izquierda y se
digita el valor de x de 0,1 en el espacio que aparece:
Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la
variable x en el eje horizontal:
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166
Gráfica de distribución
Exponencial. Escala=0,05. Valor umbral=0
20
Densidad
15
10
0,8647
5
0
0
0,1
X
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Si se sabe que b es una variable normal estándar, ¿Cuál es la probabilidad de que b sea
mayor que 2,5?
( a ) 0,0000
( b ) 0,9938
( c ) 0,0062
( d ) Falta información
2. Si se sabe que b es una variable normal estándar, ¿Cuál es el valor de que b que se ubica en
el percentil 19? Usando la tabla de la distribución normal estándar acumulada:
( a ) 0,88
( b ) 0,7910
( c ) –0,88
( d ) Ninguna de las anteriores
3. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es la probabilidad
de que x sea menor que 10? Usando la tabla de la distribución normal estándar acumulada:
( a ) 0,4121
( b ) 0,7486
( c ) 0,2514
( d ) Ninguna de las anteriores
4. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es la probabilidad
de que x sea como mínimo igual a 8? Usando la tabla de la distribución normal estándar
acumulada:
( a ) 0,6716
( b ) 0,0918
( c ) 0,9082
( d ) Ninguna de las anteriores
5. Si se sabe que x es una variable normal, ¿Cuál es la probabilidad de que x tome valores en
un intervalo de 2 veces la desviación estándar con respecto a la media?
( a ) 0,997
( b ) 0,683
( c ) 0,954
( d ) Falta información
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167
6. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es el valor de x
que separa el 15% superior de los valores posibles de x?
( a ) 0,85
( b ) 8,891
( c ) 15,11
( d ) Ninguna de las anteriores
7. La distribución exponencial permite obtener respuesta a preguntas relacionadas con la
probabilidad de que un evento ocurra en determinado plazo, el tiempo entre dos eventos
sucesivos o el tiempo que transcurre desde un determinado punto temporal hasta un primer
evento, se llama:
( a ) Exponencial
( b ) Normal
( c ) Geométrica
( d ) Poisson
8. Una empresa ha comprado un equipo para su producción que requiere una pieza especial.
Según el proveedor esa pieza especial posee una vida esperada de 8 meses. Si usted desea
saber la probabilidad de tener que reemplazar esta pieza antes de 6 meses, debería emplear la
distribución:
( a ) Binomial
( b ) Normal
( c ) Multinomial
( d ) Geométrica
9. La tasa media de llegadas de clientes a un restaurante de comida rápida es de 4 por minuto.
Si usted desea saber la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente lleguen
menos de 200 clientes, entonces usaría:
( a ) Binomial
( b ) Exponencial
( c ) Poisson
( d ) Normal
10. La tasa media de llegadas de clientes a un restaurante de comida rápida es de 4 por
minuto. Si usted desea saber la probabilidad de que pasen 30 segundos entre la llegada de dos
clientes en una hora seleccionada aleatoriamente, entonces usaría:
( a ) Binomial
( b ) Exponencial
( c ) Poisson
( d ) Normal
11. Una fábrica de cemento empaca su producto en sacos que tienen una media de 51,9
kilogramos, con una desviación estándar de 350 gramos, de acuerdo con una distribución
normal. La especificación es que cada saco pese exactamente 52 kilogramos. La probabilidad
de que un saco seleccionado al azar tenga un exceso en el peso de un kilogramo o más con
respecto al peso especificado es:
( a ) 0,0008
( b ) 0,9992
( c ) 0,0021
( d ) Ninguna de las anteriores
12. Tomando los mismos datos del problema 11, la probabilidad de que un saco seleccionado
al azar tenga un peso en un rango de 2 veces la desviación estándar con respecto al promedio
es:
( a ) 0,9540
( b ) 0,6830
( c ) 0,9970
( d ) Ninguna de las anteriores
13. Tomando los mismos datos del problema 11, la probabilidad de que un saco seleccionado
al azar tenga un peso entre 50 y 52 kilogramos es:
( a ) 0,6125
( b ) 0,3875
( c ) 0,9999
( d ) Ninguna de las anteriores
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14. Tomando los mismos datos del problema 11, la probabilidad de que un saco seleccionado
al azar tenga un peso inferior a 51,1 kilogramos es:
( a ) 0,4991
( b ) 0,5009
( c ) 0,0111
( d ) Ninguna de las anteriores
15. Tomando los mismos datos del problema 11, en un lote de 200 sacos, el número de sacos
que se esperaría que tengan un peso superior a 52,5 kilogramos es:
( a ) 12,5
( b ) 8,64
( c ) 0,0432
( d ) Ninguna de las anteriores
16. Tomando los mismos datos del problema 11, si se considera que si un saco tiene un peso
en el 10% inferior debe reprocesarse, entonces el valor que marca el peso en kilogramos a
partir del cual los sacos deben reprocesarse es:
( a ) 51,95
( b ) 51,45
( c ) 0,5235
( d ) Ninguna de las anteriores
17. Tomando los mismos datos del problema 11, el valor que marca el percentil 85 de los
pesos, en gramos, es:
( a ) 52,26
( b ) 52260
( c ) 0,5154
( d ) Ninguna de las anteriores
18. En una distribución exponencial:
A. La media de la distribución equivale a uno entre lambda
B. La varianza de la distribución equivale a uno entre lambda al cuadrado
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
( a ) Son verdaderas ambas
( b ) Solo B es verdadera
( c ) Son falsas ambas
( d ) Solo A es verdadera
19. ¿Cuál de las siguientes es falsa acerca de los datos que sigue la distribución normal?
( a ) El promedio es el mismo que el modo
( b ) La desviación estándar es la misma que la media
( c ) La mediana es el mismo que el modo
( d ) La mayoría de los datos está dentro de 3 desviaciones estándar de la mediana
20. ¿Cuál de las siguientes no es cierto acerca de la distribución normal?
( a ) la media, la mediana y la moda son iguales
( b ) la curva es sesgada a la derecha
( c ) la curva nunca toca el eje x
( d ) el área bajo la curva es uno
21. En los problemas binomiales en que n > 20 y p > 5%, es falso que:
( a ) se puede emplear la normal para aproximar la binomial
( b ) los resultados de la binomial y la normal son iguales
( c ) los resultados de la binomial y la normal convergen con forme n tiende a infinito
( d ) efectuar el cálculo usando la distribución binomial lleva más trabajo
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169
Respuestas a los ejercicios de selección múltiple:
1. c
6. c
11. a
16. b
21. b
2. c
7. a
12. a
17. b
3. c
8. b
13. a
18. a
4. c
9. c
14. c
19. b
5. c
10. b
15. b
20. b
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170
8
.
Estimación por intervalos
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Explicar el concepto de inferencia estadística.
2. Explicar el teorema del límite central.
3. Calcular intervalos de confianza para la media poblacional.
4. Calcular intervalos de confianza para la proporción poblacional.
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171
Ejemplo
El nivel de glucosa en la sangre de una cierta población compuesta por
5000 miembros tiene una desviación estándar de 29 mg/dl. Se toma una
muestra de 40 personas, ¿cuál es el factor de corrección y el error estándar
de la media?
Solución
El factor de corrección es:
N  n 5000  40

 0,9922
N 1
5000  1
Si la desviación estándar σ = 29, entonces el error estándar de la media es:
x 


n
29
40
 4,59
y aplicando el factor de corrección:
x 
Ejercicio
de
revisión

n

N n
29
5000  40


 4,57
N 1
5000  1
40
La prueba de admisión de una universidad tiene una desviación estándar de
250 puntos. Si se toma una muestra de 60 estudiantes que han aplicado la
prueba, ¿cuál es el error estándar?
¿Cómo cambia el resultado anterior si se sabe que un total de 6000
estudiantes han realizado la prueba?
Solución:
Si la desviación estándar σ = 250, n =60, entonces el error estándar de la
media es:
x 

n

250
 32.27
60
y aplicando el factor de corrección:
x 

n

N  n 250 6000  60


 32.12
N 1
6000  1
60
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172
Ejemplo
Durante una semana se toma una muestra aleatoria de 50 empleados de
una empresa, y se obtiene un salario promedio de $206. Se conoce que la
desviación estándar poblacional de $40.
Determine los intervalos de confianza del 95% para la media de los
salarios de esta empresa.
Solución
Se tiene que n = 50, x = $206, σ = 40 y una confianza 1 – α = 0,95.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α = 0,05, o sea, que se
tendría α/2 = 0,025, por lo que 1 – α/2 = 1 – 0,025 = 0,975. Como n  30 y
σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar z
con α/2 equivale a z = 1,96.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
y σ conocida:
x  Z  / n
 206  1,96  40 / 50
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  206  1,96  40 / 50  194,91
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  206  1,96  40 / 50  217,09
En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la media de los
salarios de esta empresa se encuentra entre $194,91 y $217,09.
Ejercicio
de
revisión
En una muestra de 50 hectáreas tomadas al azar de diferentes fincas
productoras de papa se obtiene un rendimiento promedio de 40 toneladas
por hectárea al emplear un cierto tipo de abono orgánico. Se conoce, por
un estudio previo, que la desviación estándar poblacional es de 8
toneladas/ha. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la media del
rendimiento de papa por hectárea.
Solución:
Se tiene que n = 50, x = 40, σ = 8 y una confianza 1 – α = 0,95.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α = 0,05, o sea, que se
tendría α/2 = 0,025, por lo que 1 – α/2 = 1 – 0,025 = 0,975. Como n  30 y
σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar z
con α/2 equivale a z = 1,96.
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173
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
y σ conocida:
x  Z  / n
 40  1,96  8 / 50
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  40  1,96  8 / 50  37.78
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  40  1,96  8 / 50  42.22
En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la media del
rendimiento de papa por hectárea se encuentra entre 37.78 y 42.22 ton/ha.
Uso de Excel y Minitab para calcular intervalos de confianza
Ejemplo
Utilice Excel y Minitab para resolver el problema: Durante una semana se
toma una muestra aleatoria de 50 empleados de una empresa, y se obtiene
un salario promedio de $206. Se conoce que la desviación estándar
poblacional de $40.
Determine los intervalos de confianza del 95% para la media de los
salarios de esta empresa.
Solución
Se tiene que n = 50, x = $206, σ = 40 y una confianza: 1 – α = 0,95.
En Excel se emplea la función INTERVALO.CONFIANZA, la cual da el
error máximo de estimación, o sea, el resultado de calcular z   / n , por
lo que luego es necesario tomar el promedio obtenido en la muestra y
restar y sumar el valor dado por la función para obtener los límites de
confianza inferior y superior, respectivamente. La función tiene la
siguiente sintaxis:
=INTERVALO.CONFIANZA(alfa;desv_estándar;tamaño)
Los argumentos de la función anterior son:
alfa: es el valor  dado
desv_estándar: es la desviación estándar ( o s)
tamaño: es el tamaño de muestra (n)
Luego se sustituyen los valores:
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174
=INTERVALO.CONFIANZA(0,05;40;50)
Así se obtiene el valor 11,09. Para obtener el límite inferior se resta:
= 206  11,09 = 194,91
Y para obtener el límite superior se suma:
= 206 + 11,09 = 217,09
En conclusión, se tiene una confianza de que la media de los salarios de
esta empresa se encuentra entre $194,91 y $217,09.
En Minitab se da clic en el menú Estadística, se elige Estadística básica y
luego se selecciona Z de 1 muestra. Ahí se completa el cuadro de diálogo
siguiente:
Se marca la opción de datos resumidos y se completan los datos tal como
se muestra en la imagen. En el botón Opciones se indica el nivel de
confianza, que en este caso es 95%. La opción Hipótesis alterna debe
dejarse como "no es igual a". Luego se da clic en Aceptar y el resultado se
obtiene en la ventana Sesión:
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En la salida en la ventana Sesión se observa IC de 95%, que corresponde al
intervalo de confianza del 95%, y que este es 194,91 a 217,09.
Ejemplo
Se sabe que el tiempo que toma completar una prueba psicométrica tiene
una varianza de 225 minutos. Una muestra de 20 estudiantes es sometida a
la prueba obteniéndose una media de 71 minutos. Obtenga los límites de
confianza del 99% para el tiempo medio en que se completa dicha prueba.
Solución
Se tiene que n = 20, x = 71 minutos, σ = 15 minutos (la raíz cuadrada de
225, que es la varianza) y una confianza: 1 – α = 0,99.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,99, entonces α/2 = 0,005. Como n < 30
y σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar
z con α/2 equivale a z = 2,58.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n < 30
y σ conocida:
x  Z  / n
 71  2,58  15 / 20
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  71  2,58  15 / 20  62,36
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  71  2,58  15 / 20  79,64
En conclusión, se tiene una confianza de 99% de que el tiempo de
terminación de la prueba se encuentra entre 62,36 y 79,64 minutos.
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176
Ejercicio
de
revisión
Se desea estimar el consumo promedio de leche de los habitantes de un
pueblo rural. En una muestra de 15 pobladores se obtuvo un consumo
medio por día de 288 ml y se conoce que la desviación estándar es de 52
ml. Determine los intervalos de confianza del 90% para el verdadero
promedio del consumo diario de leche de esta población.
Solución:
Se tiene que n = 15, x = 288 ml, σ = 52 ml y una confianza: 1 – α = 0,90.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,90, entonces α/2 = 0,05. Como n < 30
y σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar
z con α/2 equivale a z = 1,645.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n < 30
y σ conocida:
x  Z  / n
 288  1,645  52 / 15
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  288  1,645  52 / 15  265.91
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  288  1,645  52 / 15  310.09
En conclusión, se tiene una confianza de 90% de que el promedio del
consumo diario de leche de esta población se encuentra entre 265.91 y
310.09 ml.
Ejemplo
En una muestra de 42 personas que se han sometido a un trasplante de
corazón se ha obtenido un tiempo medio de sobrevivencia (en años) de
5,25 años con una desviación estándar muestral de 1,75 años. Hallar un
intervalo de confianza del 95 por ciento para el promedio de vida de todas
las personas que se han sometido a un trasplante de corazón.
Solución
Se tiene que n = 42 personas, x = 5,25 años, s = 1,75 años y una
confianza: 1 – α = 0,95.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α/2 = 0,025. Como n  30
y σ desconocida se debe usar z. De la tabla de la distribución normal
estándar z con α/2 equivale a z = 1,96.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
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177
y σ desconocida:
x  zs/ n
 5,25  1,96  1,75 / 42
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  5,25  1,96  1,75 / 42  4,72
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  5,25  1,96  1,75 / 42  5,78
En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que el promedio de vida
de todas las personas que se han sometido a un trasplante de corazón se
encuentra entre 4,72 y 5,78 años.
Ejercicio
de
revisión
Una empresa productora de harina de trigo empaca paquetes que deben
contener un kilogramo de producto. En una muestra de 60 paquetes se
obtuvo un peso medio de 992 gramos y una desviación estándar muestral
de 44 gramos. Calcule los intervalos de confianza del 98% para el peso
medio de los paquetes de harina.
Solución:
Se tiene que n = 60 paquetes, x = 992 gramos, s = 44 gramos y una
confianza: 1 – α = 0,98.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,98, entonces α/2 = 0,01. Como n  30
y σ desconocida se debe usar z. De la tabla de la distribución normal
estándar z con α/2 equivale a z = 2,33.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
y σ desconocida:
x  zs/ n
 992  2,33  44 / 60
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  992  2,33  44 / 60  978,76
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  992  2,33  44 / 60  1005,26
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178
En conclusión, se tiene una confianza de 98% de que el peso medio de los
paquetes de harina se encuentra entre 978,76 y 1005,26 gramos.
Ejemplo
El ciclo medio de vida de una muestra aleatoria de 12 focos es de 2000
horas, con una desviación estándar muestral de 200 horas. Se supone que
la vida media de los focos se distribuye normalmente. Determine los
intervalos de confianza del 95% para la vida media de los focos.
Solución
Se tiene que n = 10, x = 2000, s = 200 y una confianza: 1 – α = 0,95.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, como n < 30 y σ desconocida, se
debe usar t. Después se busca en la tabla de la distribución t de Student,
con una significancia de 0,05, con dos colas y grados de libertad gl = n  1
= 10  1 = 9, el valor de t equivale a t = 2,262.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
y σ desconocida:
x ts/ n
 2000  2,262  200 / 10
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  2000  2,262  200 / 8  1856,94
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  2000  2,262  200 / 8  2143,06
En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la vida media de los
focos se encuentra entre 1856,94 y 2143,06 horas.
Ejercicio
de
revisión
En una encuesta aplicada a 25 personas residentes de la ciudad capital se
encontró que, por semana, dedicaban un promedio de 4,8 horas a la
lectura, tanto de libros, revistas, periódicos y otros materiales. Se conoce
que la desviación estándar muestral es de 3,5 horas/semana. Determine los
intervalos de confianza del 99% para el número de horas promedio que las
personas dedican a la lectura.
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179
Solución:
Se tiene que n = 25, x = 4,8, s = 3,5 y una confianza: 1 – α = 0,99.
Dado que la confianza es: 1 – α = 0,99, n < 30 y σ desconocida, se debe
usar t. Después se busca en la tabla de la distribución t de Student, con una
significancia de 0,01, con dos colas y grados de libertad gl = n  1 = 25  1
= 24, el valor de t equivale a t = 2,797.
Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n  30
y σ desconocida:
x ts/ n
 4,8  2,797  3,5 / 24
Para obtener el límite inferior se resta:
Li  4,8  2,797  3,5 / 24  2,80
Y para obtener el límite superior se suma:
Ls  4,8  2,797  3,5 / 24  6,80
En conclusión, se tiene una confianza de 99% de que el número de horas
promedio que las personas dedican a la lectura se encuentra entre 2,80 y
6,80 horas.
Uso de Minitab para calcular intervalos de confianza usando la distribución t
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el problema: El ciclo medio de vida de una
muestra aleatoria de 12 focos es de 2000 horas, con una desviación
estándar muestral de 200 horas. Se supone que la vida media de los focos
se distribuye normalmente. Determine los intervalos de confianza del 95%
para la vida media de los focos.
Solución
Se tiene que n = 10, x = 2000, s = 200 y una confianza: 1 – α = 0,95.
En Minitab se da clic en el menú Estadística, se elige Estadística básica y
luego se selecciona t de 1 muestra. Ahí se completa el cuadro de diálogo
siguiente:
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180
Se marca la opción de datos resumidos y se completan los datos tal como
se muestra en la imagen. En el botón Opciones se indica el nivel de
confianza, que en este caso es 95%. La opción Hipótesis alterna debe
dejarse como "no es igual a". Luego se da clic en Aceptar y el resultado se
obtiene en la ventana Sesión:
En la salida en la ventana Sesión se observa IC de 95%, que corresponde al
intervalo de confianza del 95%, y que este es 1856,9 a 2143,1.
Ejemplo
Se sabe que 20 fusibles que fueron sometidos a una sobrecarga del 20% se
fundieron en un tiempo promedio de 10,63 minutos, con desviación
estándar de 2,48 minutos.
a) Si se utiliza x = 10,63 como estimación puntual de la media de tiempo
poblacional, ¿de cuánto es el error máximo si se desea con una confianza
del 95%?
b) Determine un intervalo de confianza del 95% para el promedio
verdadero del tiempo de fusión.
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181
Solución
Se tiene que n = 20, x = 10,63 minutos, s = 2,48 minutos y una confianza:
1 – α = 0,95.
a) Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α/2 = 0,025. Como n <
30 y σ desconocida se debe usar t en vez de Z, con gl = 20 – 1 = 19. De la
tabla t con α/2 = 0,025 y gl = 19, se obtiene tα/2 = 2,093.
De ahí el error: E = tα/2s/ n = 2,093  2,48/ 20 = 1,16 minutos. Se
puede afirmar con una confianza del 95% que la media de la muestra se
aparta de la media poblacional a lo sumo en 1,16 minutos.
b) Si se supone que la población de donde se tomó la muestra es normal, el
intervalo de confianza está dado por x  t / 2  s / n porque n < 30 y σ
desconocida.
En la parte (a) ya se obtuvo el valor del error de la estimación por lo que el
intervalo es 1.16, por lo que los intervalos estarán dados por 10,63 ± 1,16,
de donde se obtiene 10,63 – 1.16 = 9,47 y 10,63 + 1,16 = 11,79. Así se
puede concluir que:
P(9,47 < µ < 11,79) = 0,95
Es decir, 95 de cada 100 promedios calculados con muestras de 20
elementos tendrán un valor de entre 9,47 y 11,79 minutos.
¿Qué pasaría si se supiera que la población no es normal? Entonces se
aplican los intervalos dados por x  k  s / n , donde la confianza está
dada por 1 – 1/k2. Es decir:
1 – 1/k2 = 0,95
Despejando k:
1/k2 = 0,05
1/ 0,05 = 20 = k2
k = 4,472
Calculando los límites:
x  k  s / n  10,63  4,472  2,48
 8,15
20  10,63  2,48  
13,11
Entonces:
P(8,15 < µ < 13,11) = 0,95
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182
Ejemplo
Se toma una muestra de 500 varones adultos y se encuentra que 156 son
fumadores. Encuentre los límites de confianza del 99% para la proporción
de fumadores varones.
Solución
Se tiene que x = 156 fumadores de una muestra de n = 500 varones
adultos, así que la proporción muestral p sería:
p = x/n = 156/500 = 0,312
por lo que q = 1 – p = 1 – 0,312 = 0,688.
La confianza del 99%, es decir, 1 – α = 0,99, α = 0,01, α/2 = 0,005, así que
de la tabla se obtiene z = 2,58, según la distribución normal.
Calculando el intervalo con p = 0,312, q = 0,688, z = 2,58 y n = 500:
pz
0,2586
0,312  0,688 500 = 
0,3653
pq n = 0,312  2,58
Se tiene una confianza del 99% de que la proporción de fumadores está
entre 25,86% y 36,53%.
Ejemplo
El departamento de ventas de una empresa sostiene que se entregan en la
fecha fijada con el cliente el 95% de los pedidos. Si al revisar las fechas de
entrega de 200 órdenes se encontró que 184 fueron entregadas a tiempo,
con los datos de la muestra encuéntrese un intervalo del 95% de confianza
para la proporción verdadera de pedidos entregados a tiempo. Debe
señalarse el error de la estimación.
Solución
Se pide el intervalo para la proporción poblacional p  z pq n con una
confianza del 95%, es decir, 1 – α = 0,95, α = 0,05, α/2 = 0,025, así que de
la tabla se obtiene z = 1,96, según la distribución normal.
Además se tiene que x = 184 entregas a tiempo de una muestra de n = 200
entregas, así que la proporción muestral p sería:
p = x/n = 184/200 = 0,92
por lo que q = 1 – p = 1 – 0,92 = 0,08.
Calculando el intervalo con p = 0,92, q = 0,08, z = 1,96 y n = 200:
pz
pq n = 0,92  1,96
0,92  0,08 200 = 0,92  0,038
El error es 0,038 y el intervalo queda:
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183
P(0,882  p  0,958) = 0,95
Es decir, se tiene una confianza de 95% de que la proporción de pedidos
entregados a tiempo se encuentra entre 88,2% y 95,8%.
Ejercicio
de
revisión
Una empresa desea lanzar un nuevo servicio por internet al mercado y para
ello requiere conocer la proporción de hogares de la zona que posee acceso
a internet. En una muestra 120 hogares, 70 indicaron que poseían algún
tipo de conexión a la red. Determine los intervalos de confianza del 99%
para la proporción de hogares de la zona con acceso a internet.
Solución:
Se pide el intervalo para la proporción poblacional p  z pq n con una
confianza del 99%, es decir, 1 – α = 0,99, α = 0,01, α/2 = 0,005, así que de
la tabla se obtiene z = 2,58, según la distribución normal.
Además se tiene que x = 70, n = 120, entonces la proporción muestral p
sería:
p = x/n = 70/120 = 0,5833
por lo que q = 1 – p = 1 – 0,5833 = 0,4167.
Calculando el intervalo:
pz
pq n = 0,5833  2,58
0,5833  0,4167 120
Los límites son Li = 0,4672 y Ls = 69,94.
Es decir, se tiene una confianza de 99% de que la proporción de hogares de
la zona con acceso a internet se encuentra entre 46,72% y 69,94%.
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184
Uso de Minitab para calcular intervalos de confianza para proporciones
Ejemplo
En una muestra de 1000 adultos y se encuentra que 198 estarán de acuerdo
con la despenalización de la marihuana. Encuentre los límites de confianza
del 99% para la proporción de adultos que apoyarían la despenalización de
la marihuana.
Solución
Se tiene que x = 198 eventos de una muestra de n = 1000 adultos, así que
en el menú Estadísticas / Estadística básica / 1 Proporción se completa el
cuadro, seleccionando la opción Datos resumidos con 198 eventos y 1000
ensayos:
Luego en el botón Opciones se indica el nivel de confianza del 99% y se
debe marcar la opción que dice Utilice la prueba y el intervalo basado en la
distribución normal:
El resultado se obtiene en la ventana Sesión. Se concluye que se tiene una
confianza del 99% de que la proporción de adultos que está de acuerdo con
la despenalización de la marihuana está entre 16,55% y 23,05%.
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185
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Un ejemplo de inferencia estadística es:
(a) Elaborar gráficas para un conjunto de datos muestrales
(b) Calcular la media de la muestra
(c) Estimar un parámetro poblacional a partir de datos muestrales
(d) Calcular la media de una variable a partir de datos poblacionales
2. Un valor que describe una población se denomina:
(a) Parámetro
(b) Estadístico
(c) Estimador
(c) Observación
3. Luis está tratando de estimar el gasto promedio en alimentación de las familias de su país.
Para resolver este problema se puede:
(a) Entrevistar a todas y cada una de las familias del país
(b) Seleccionar algunas familias "modelo" según el criterio de Luis
(c) Seleccionar una muestra aleatoria de familias de todo el país
(d) Seleccionar una muestra de familias cercanas al lugar donde Luis vive
4. De los siguientes, no es un ejemplo de un parámetro:
(a) Media 
(c) Desviación estándar s
(b) Proporción P
(d) Varianza 2
5. Un buen estimador debe ser insesgado, lo cual consiste en:
(a) El valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro que se estima
(b) Se utiliza toda la información proporcionada por la muestra en lo que se refiere al
parámetro
(c) La distribución del estimador está concentrada alrededor del parámetro
(d) La precisión del estimador será mayor para tamaños de muestra grandes
6. Un buen estimador debe ser consistente, lo cual consiste en:
(a) El valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro que se estima
(b) Se utiliza toda la información proporcionada por la muestra en lo que se refiere al
parámetro
(c) La distribución del estimador está concentrada alrededor del parámetro
(d) La precisión del estimador será mayor para tamaños de muestra grandes
7. Un buen estimador debe ser de varianza mínima, lo cual consiste en:
(a) El valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro que se estima
(b) Se utiliza toda la información proporcionada por la muestra en lo que se refiere al
parámetro
(c) La distribución del estimador está concentrada alrededor del parámetro
(d) La precisión del estimador será mayor para tamaños de muestra grandes
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186
8. Si se toman muestras aleatorias de n elementos de una población y se calculan los
promedios es de esperar que:
(a) El valor en cada caso sea igual a valor poblacional
(b) Los valores de las medias no sean todos iguales
(c) Los valores de las medias sean todos iguales
(d) La diferencia entre una media y otra no se atribuya al azar
9. Si se toman muestras aleatorias de n elementos de una población, se calculan los
promedios, se ponen los promedios muestrales en una tabla de frecuencia y se hace un
histograma es de esperar que el gráfico:
(a) Se parezca a una curva normal solo si la población original es normal
(b) Se parezca a una curva normal aun cuando la población original no sea normal
(c) No se parezca a una curva normal, excepto por casualidad
(d) Se parezca a la distribución original de los datos de la población
10. El error estándar consiste en:
(a) La media de los errores muestrales
(b) La desviación estándar de los errores de muestreo
(c) La media de los datos estandarizados
(d) La desviación estándar de las medias muestrales
11. Se sabe que una variable x tiene una desviación estándar de 10. Si se toma una muestra de
16 unidades, entonces el error estándar equivale a:
(a) 2,5
(b) 4
(c) 0,625
(d) Ninguna de las anteriores
12. Se sabe que una variable x tiene una desviación estándar de 10. Si se toma una muestra de
16 unidades de una población de 70, entonces el error estándar equivale a:
(a) 2,5
(b) 2,21
(c) 0,5529
(d) Ninguna de las anteriores
13. La diferencia en, valor absoluto, entre el valor de la media muestral y la media
poblacional se conoce como:
(a) Error estándar
(b) Error de la estimación
(c) Error absoluto medio
(d) Ninguna de las anteriores
14. Cuando se utiliza la media muestral como estimación de la media poblacional µ, la
probabilidad de que esta estimación no falle es:
(a) La media poblacional
(b) El error estándar
(c) El error estimado
(d) El nivel de confianza
15. Se desea estimar la media poblacional de una variable x cuya desviación estándar
poblacional es de 5 unidades. En una muestra de tamaño 45 se obtiene una media de 63
unidades, entonces el valor de z necesario para obtener los intervalos de confianza del 95%
es:
(a) 1,645
(b) 0,95
(c) 1,96
(d) 2,58
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187
16. Se desea estimar la media poblacional de una variable x cuya desviación estándar
poblacional es de 5 unidades. En una muestra de tamaño 45 se obtiene una media de 63
unidades, entonces el al obtener los intervalos de confianza del 95%, el límite inferior es:
(a) 61,77
(b) 61,54
(c) 64,46
(d) Ninguna de las anteriores
17. Se desea estimar la media poblacional de una variable x cuya desviación estándar
poblacional es de 5 unidades. En una muestra de tamaño 45 se obtiene una media de 63
unidades, entonces el al obtener los intervalos de confianza del 95%, se concluye que:
(a) Con una confianza del 95% la media poblacional es 63 unidades
(b) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 61,77 y 64,23 unidades
(c) Con una confianza del 95% la media poblacional es mayor que 61,77 unidades
(d) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 61,54 y 64,46 unidades
18. Se desea estimar la media poblacional de una variable x cuya desviación estándar
poblacional es de 15 unidades. En una muestra de tamaño 200 se obtiene una media de 87
unidades, entonces al obtener los intervalos de confianza del 90%, el límite superior es:
(a) 87
(b) 85,26
(c) 88,74
(d) Ninguna de las anteriores
19. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente cuya
desviación estándar poblacional es de 20 unidades. En una muestra de tamaño 12 se obtiene
una media de 125 unidades, al obtener los intervalos de confianza del 99%, un investigador
realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. Se debe usar un valor de z de 2,58.
B. El límite inferior es 107,07.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
20. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente. En una
muestra de tamaño 12 se obtiene una media de 125 unidades y una desviación estándar de 20
unidades, al obtener los intervalos de confianza del 99%, un investigador realizó las siguientes
dos afirmaciones:
A. Se debe usar un valor de t de 3,11.
B. El límite superior es 142,93.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
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188
21. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente. En una
muestra de tamaño 20 se obtiene una media de 3200 unidades y una desviación estándar de
450 unidades, al obtener los intervalos de confianza del 95%, un investigador realizó las
siguientes dos afirmaciones:
A. Se debe obtener el valor de t con 21 grados de libertad.
B. Los límites de confianza son 2989,39 y 3410,61 unidades.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
22. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. En una muestra de tamaño 80 se
obtiene una media de 30 unidades y una desviación estándar de 4,5 unidades, al obtener los
intervalos de confianza del 99%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. Se debe usar un valor de z de 2,58.
B. El valor de la media poblacional es superior a 28,70.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
23. Al estimar la media poblacional de una variable x, en una muestra de tamaño 50 se obtiene
una media de 1500 unidades y una desviación estándar de 250 unidades. Al obtener los
intervalos de confianza del 95%, es verdadero que:
(a) Con certeza la media está entre 1430,70 y 1569,30
(b) Con una confianza del 95% la media poblacional es mayor que 1430,70 unidades
(c) Con una confianza del 95% la media poblacional está alrededor de 1500 unidades
(d) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 1430,70 y 1569,30 unidades
24. Al estimar la media poblacional de una variable x, en una muestra de tamaño 500 se
obtiene una media de 2150 unidades y una desviación estándar de 600 unidades. Al obtener
los intervalos de confianza del 90% se obtuvo como límite inferior 2105,86 y como límite
superior 2194,14, entonces es verdadero que:
(a) La media está entre 2105,86 y 2194,14
(b) Con una confianza del 90% la media poblacional es menor que 2194,14 unidades
(c) La media poblacional será mayor que 2194,14 con una probabilidad de 5%
(d) La media poblacional estará entre 2105,86 y 2194,14 unidades en 90 de cada 100 muestras
25. Si x es el número de veces que ha ocurrido un evento en una muestra n pruebas, entonces
el cociente x/n representa:
(a) La proporción poblacional
(b) La proporción muestral
(c) La probabilidad de fracaso
(d) Ninguna de las anteriores
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189
26. Se desea estimar una proporción poblacional de una cierta variable. En una muestra de
tamaño 120 se obtiene un conteo de 90 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del
99%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. Se debe usar un valor de z de 2,58.
B. No se pueden calcular los intervalos porque no se tiene la desviación estándar.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
27. Se desea estimar una proporción poblacional de una cierta variable. En una muestra de
tamaño 120 se obtiene un conteo de 90 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del
99%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. La proporción muestral es 0,75.
B. Los intervalos de confianza del 99% son 0,6482 y 0,8518.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
28. Se desea estimar una proporción poblacional de una cierta variable. En una muestra de
tamaño 12 se obtiene un conteo de 5 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del 90%,
un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. Se emplea un valor de t con 11 grados de libertad.
B. El límite superior es de 65,08.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
29. Se desea estimar una proporción poblacional de una cierta variable. En una muestra de
tamaño 1200 se obtiene un conteo de 750 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del
95%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. La proporción poblacional es 62,5%.
B. El límite inferior es de 59,76%.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es incorrecto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
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190
30. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. En una
muestra de tamaño 1100 paquetes de galletas se obtiene una media de 195 gramos con una
desviación estándar de 45 gramos. La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de
galletas debe ser 200 gramos. Al obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado
del control del proceso realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. No hay problema con el peso de las galletas, el 95% de las galletas tiene un peso de 195
grs.
B. El peso especificado de 200 gramos está fuera del intervalo de confianza del 95%.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
31. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. En una
muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se obtienen los siguientes pesos (en gramos):
190
210
201
196
197
185
176
208
200
191
La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de galletas debe ser 200 gramos. Al
obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado del control del proceso realizó las
siguientes dos afirmaciones:
A. El 95% de las galletas tiene un peso entre 188,01 y 202,79 gramos.
B. El peso especificado de 200 gramos está dentro del intervalo de confianza del 95%.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
32. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. Se sabe
que el peso medio de los paquetes de galletas se distribuye normalmente y que tiene una
desviación estándar de 15 gramos. En una muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se
obtienen los siguientes pesos (en gramos):
190
210
201
196
197
185
176
208
200
191
La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de galletas debe ser 200 gramos. Al
obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado del control del proceso realizó las
siguientes dos afirmaciones:
A. El 95% de las galletas tiene un peso entre 186,10 y 204,70 gramos.
B. El peso especificado de 200 gramos está fuera del intervalo de confianza del 95%.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
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191
33. Se desea estimar proporción de las galletas que se elaboran en una fábrica cuyo peso está
por debajo de la especificación. En una muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se obtienen
los siguientes pesos (en gramos):
190
210
201
196
197
185
176
208
200
191
La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de galletas debe ser 200 gramos. Al
obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado del control del proceso realizó las
siguientes dos afirmaciones:
A. El límite superior del 95% es un peso de 90,36 gramos.
B. Con una confianza del 95% entre 29,6% y 90,4% de las galletas pesan menos de 200
grs.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
34. En un periódico se presentan los resultados de una encuesta aplicada a una muestra
aleatoria de 1200 adultos, de los cuales 610 indicaron que la labor del gobierno es buena o
muy buena. El estudio se hizo con una confianza del 95%. Según el autor del artículo la
mayoría de los ciudadanos consideran que la labor del gobierno es buena o muy buena. Con
respecto a esa afirmación del autor del artículo un crítico realizó la siguiente aseveración: "El
autor se ha equivocado, ya que, 1. Con una confianza del 95% la proporción de ciudadanos de
ciudadanos que aprueban la gestión del gobierno podría estar entre 48% y 53,6%, con lo cual
es muy probable que el porcentaje de ciudadanos que están de acuerdo con la gestión del
gobierno sea inferior al 50%". Con respecto a esta situación es correcto que:
(a) El autor está en lo correcto y el crítico está equivocado
(b) El autor está equivocado y el crítico también
(c) El autor está equivocado y el crítico está en lo correcto
(d) Falta información para indicar quién está equivocado y quién no
Respuestas a los ejercicios de selección única:
1. c
6. d
11. a
16. b
21. d
26. b
31. a
2. a
7. c
12. b
17. d
22. b
27. a
32. b
3. c
8. b
13. b
18. c
23. d
28. d
33. d
4. c
9. b
14. d
19. b
24. d
29. b
34. c
5. a
10. d
15. c
20. a
25. b
30. c
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192
9
.
Muestreo
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Explicar la importancia y necesidad de trabajar con muestras para conocer información
sobre la población
2. Describir algunas aplicaciones empresariales del muestreo
3. Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar la media poblacional y proporción
poblacional
4. Describir las principales técnicas de muestreo probabilístico
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193
Ejemplo
Suponga que se desea estimar el gasto promedio diario que realizan los
turistas estadounidenses cuando visitan el país. Por un estudio anterior se
sabe que esta variable tiene una desviación estándar de $46,6. Además, se
desea que la estimación tenga un error máximo de $10 y con una confianza
del 95%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?
Solución
Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del
95% corresponde un valor de z de 1,96. Así que se plantea:
Desviación estándar de la población: σ = $46,6
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = $10
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Sustituyendo los valores en la fórmula:
  z 
 46,6  1,96 
n
 
  83,42  84
10
 E 


2
2
Generalmente cuando se determine el tamaño de muestra se va a redondear
hacia arriba.
De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 84 turistas
estadounidenses para efectuar una estimación del gasto promedio diario en
el país con una confianza del 95% y con una discrepancia máxima entre el
valor estimado y el valor real de $10.
Ejercicio
de
revisión
Se desea estimar el salario promedio de los operarios industriales del país.
Se conoce que la desviación estándar de estos salarios es de $236. Se
requiere una estimación con un error máximo de $50 y una confianza del
99%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?
Solución:
Se plantea:
Desviación estándar de la población: σ = $236
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = $50
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 99%: z = 2,58
Sustituyendo los valores en la fórmula:
   z   236  2,58 
n
 
  148,29  149
50
 E  

2
2
Se requiere una muestra de 149 operarios.
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194
Ejemplo
Una empresa posee un total de 800 camiones que se emplean para repartir
sus productos a nivel nacional. Se desea estimar mediante una muestra
aleatoria de los camiones para determinar la cantidad de kilómetros
recorridos mensualmente. Por otro estudio realizado hace un tiempo, se
conoce que esta variable tiene una desviación estándar de 380 kilómetros.
La estimación debe tener un error máximo de 30 kilómetros y una
confianza del 95%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?
Solución
Dado que la población es finita, entonces la determinación del tamaño de
muestra se efectuará en dos etapas. Primero se calculará el tamaño de
muestra como si la población fuera infinita. Luego se aplicará el factor de
corrección para poblaciones finitas.
Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del
95% corresponde un valor de z de 1,96. Así que se plantea:
Desviación estándar de la población: σ = 380 km.
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 30 km.
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Tamaño de la población: 800 camiones
Sustituyendo los valores en la fórmula:
  z 
 380  1,96 
n
 
  616,36  617
 E 
 30 
2
2
Ahora se aplica el factor de corrección tomando n0 = 617 y N = 800:
n
n0
617

 348,34  349
n0
617
1

1
800
N
De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 349
camiones para estimar la cantidad de kilómetros recorridos mensualmente
con una confianza del 95% y con un error máximo de 30 km.
Ejercicio
de
revisión
El departamento de compras de una empresa grande desea estimar qué
porcentaje de sus 600 proveedores ha actualizado su información, pues el
mes pasado se envió una solicitud a todos los proveedores enviando un
formulario para mantener actualizados todos los datos. ¿De qué tamaño
debe ser la muestra si se quiere una confianza en la estimación del 95% y
que el error no exceda el 5%?
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195
Solución:
Los datos del problema son:
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,05
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Aproximación de la proporción poblacional: p = 0,5
Tamaño de la población: 600 proveedores
Sustituyendo los valores en la fórmula:
2
2
 1,96 
z
n  p(1  p)   0,5(1  0,5)
  384,16  385
E
 0,05 
Ahora se aplica el factor de corrección tomando n = 385 y N = 600:
n
n
1
n
N

385
 234,20  235
385
1
600
Ejemplo
Un fabricante de impresoras desea estimar la cantidad promedio semanal
de hojas de papel que se imprimen en distintas oficinas públicas del país.
Por un estudio anterior se sabe que esta variable tiene una desviación
estándar de 200 hojas. Además, se desea que la estimación tenga un error
máximo de 100 hojas y con una confianza del 95%. ¿Qué tamaño de
muestra se necesita?
Solución
Con base en los datos anteriores, se plantea:
Desviación estándar de la población: σ = 200 hojas
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 100 hojas
Nivel de confianza: 95%
Aplicando los valores en Minitab:
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196
El software genera en resultado en Sesión:
De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 16
oficinas para efectuar la estimación con una confianza del 95% y con una
discrepancia máxima entre el valor estimado y el valor real de 100 hojas.
Ejemplo
Una compañía desea conocer el porcentaje de consumidores de ingresos
medios y altos que estarían dispuestos a efectuar compras por internet en el
transcurso de los próximos 6 meses. No se conoce ninguna estimación
previa de este valor y se desea que la estimación tenga un error máximo de
3% y una confianza del 99%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?
Solución
Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del
99% corresponde un valor de z de 2,58. Además, como no se tiene una
estimación de p, se empleará el valor de 0,5. Entonces se plantea:
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,03
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197
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 99%: z = 2,58
Aproximación de la proporción poblacional: p = 0,5
Sustituyendo los valores en la fórmula:
2
2
 2,58 
z
n  p(1  p)   0,5(1  0,5)
  1.849
E
 0,03 
Es decir, es necesaria una muestra de 1.849 personas de ingresos medios y
altos para efectuar una estimación del porcentaje de consumidores que
estarían dispuestos a efectuar compras por internet en el transcurso de los
próximos 6 meses, estimación que se realizará con una confianza del 99%
y con un error máximo de 3%.
Ejercicio
de
revisión
Un candidato político requiere una estimación del porcentaje de electores
que votaría por él en las próximas elecciones presidenciales. Desea que el
error no exceda el 2,8% y una confianza del 95%. ¿Cuál debe ser el
tamaño de la muestra?
Solución:
Se plantea:
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,028
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Aproximación de la proporción poblacional: P = 0,5
Sustituyendo los valores en la fórmula:
2
2
 1,96 
z
n  p(1  p)   0,5(1  0,5)
  1225
E
 0,028 
Ejemplo
Una empresa desea conocer la proporción de sus empleados que estarían
de acuerdo en un nuevo programa de beneficios. La compañía tiene un
total de 350 colaboradores y quiere hacer la estimación con un error
máximo de 5% y una confianza del 95%. Se estima, por un estudio piloto,
que esta proporción podría ser del 40%. ¿Qué tamaño de muestra se
necesita?
Solución
Dado que la población es finita, entonces la determinación del tamaño de
muestra se efectuará en dos etapas. Primero se calculará el tamaño de
muestra como si la población fuera infinita. Luego se aplicará el factor de
corrección para poblaciones finitas.
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198
Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del
95% corresponde un valor de z de 1,96. Los datos del problema son:
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,05
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Aproximación de la proporción poblacional: p = 0,4
Tamaño de la población: 350 empleados
Sustituyendo los valores en la fórmula:
2
2
 1,96 
z
n  p(1  p)   0,4(1  0,4)
  368,79  369
E
 0,05 
Ahora se aplica el factor de corrección tomando n0 = 369 y N = 350:
n
n0
369

 179,58  180
n0
369
1
1
350
N
Es necesaria una muestra de 180 empleados para tener una estimación de
la proporción de empleados que estarían de acuerdo en un nuevo programa
de beneficios con una confianza del 95% y con un error máximo del 5%.
Ejercicio
de
revisión
Un investigador está investigando la prevalencia de diabetes en adultos
mayores de 30 años en una población de 2000 personas. Desea un nivel de
confianza de 95% y un error máximo de 3,5% en su estimación. ¿De qué
tamaño debe ser su muestra?
Solución:
Los datos del problema son:
Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,035
Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96
Aproximación de la proporción poblacional: p = 0,5
Tamaño de la población: 2000 personas
Sustituyendo los valores en la fórmula:
2
2
 1,96 
z
n  p(1  p)   0,5(1  0,5)
  784
E
 0,035 
Ahora se aplica el factor de corrección tomando n = 784 y N = 2000:
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199
n
n
1
n
N

784
 563,21  564
784
1
2000
Ejemplo
Un auditor desea verificar si todos los cheques emitidos en una compañía
satisfacían los requerimientos de control establecidos por la gerencia.
Durante el mes pasado se emitieron 81 cheques y la muestra debe contener
10 cheques. ¿Cuáles cheques se seleccionarían si se aplica un muestreo
simple al azar y usando la tabla de números aleatorios anterior (tome como
punto inicial la primera columna y segundo renglón de la tabla)?
Solución
Para seleccionar la muestra de 10 cheques de acuerdo con un muestreo
simple al azar, se toman 10 números aleatorios. De acuerdo con lo
establecido en el ejercicio, el punto inicial sería el número 37273. Como
solo se extendieron 98 cheques, que es un número de 2 dígitos, entonces se
requieren 10 números de 2 cifras entre 1 y 81. En la tabla dada estos
número serían 37, 14, 01, 25, 50, 23, 52, 53, 55 y 36 (note que el 93 está
fuera del rango requerido).
Ahora se buscan los cheques con los 10 números seleccionados y el
auditor realiza su verificación.
Ejemplo
Utilice Excel para generar una muestra simple al azar de 5 unidades de una
población total de 20 unidades.
Solución
Tal como se ha mencionado en el muestreo es necesario generar números
aleatorios. Las funciones ALEATORIO y ALEATORIO.ENTRE se
pueden emplear para generar números aleatorios para realizar el muestreo.
Utilice Excel para generar números aleatorios para seleccionar una muestra
de tamaño 5 de una población total de tamaño 20.
Para resolver este ejercicio se va a emplear la función
ALEATORIO.ENTRE la cual genera números aleatorios entre dos valores,
un límite inferior y otro superior, que en este caso serían 1 y 20,
respectivamente, pues se desea obtener números al azar entre 1 y 20,
porque la población es de tamaño 20.
En una celda de la hoja de Excel, por ejemplo, la celda A1 introduce la
función:
= ALEATORIO.ENTRE(1;20)
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200
Y presiona la tecla Intro (Enter). Como se quiere una muestra de tamaño 5,
entonces se copia la fórmula 5 veces:
En este caso se seleccionarían, según la imagen, los elementos 2, 16, 6, 3 y
5 de la población para conformar la muestra.
Ejemplo
Una empresa tiene 700 empleados y se desea tomar una muestra de 20 de
ellos para aplicar un cuestionario sobre la opinión de los colaboradores
sobre los resultados obtenidos luego de la implementación de un nuevo
sistema informático. ¿Cómo se seleccionarían los miembros de la muestra
si se emplea el muestreo aleatorio sistemático?
Solución
Para poder seleccionar la muestra es necesario que previamente se haya
preparado una lista con los nombres de los 700 empleados, la cual servirá
de marco muestral.
Como la población es de 700 personas, N = 700, y se tomará una muestra
de 20 empleados, n = 20, entonces:
k
N 700

 35
n
20
Luego se busca el punto de inicio. Para esto se busca un número aleatorio
entre 1 y 35. Suponga que se ha empleado una tabla de números aleatorios
y que se ha obtenido el 8. Entonces, se selecciona al octavo empleado de la
lista. Ese sería el primer integrante de la muestra.
Para obtener el segundo elemento en la muestra, al 8 se le suma la
constante k, es decir, se le suma 35, por lo que el segundo miembro de la
muestra será el número 43 de la lista, pues 8 + 35 = 43.
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201
De manera similar se obtendrá el tercer elemento en la muestra. A 43 se le
suma la constante k, de modo que se seleccionará al empleado número 78
de la lista, ya que 43 + 35 = 78.
Del mismo modo se seleccionarán los siguientes miembros de la muestra:
Elemento
de la
muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Elemento
seleccionado de
la población
8
8 + 35 = 43
43 + 35 = 78
78 + 35 = 113
113 + 35 = 148
148 + 35 = 183
183 + 35 = 218
218 + 35 = 253
253 + 35 = 288
288 + 35 = 323
Elemento
de la
muestra
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Elemento
seleccionado de
la población
323 + 35 = 358
358 + 35 = 393
393 + 35 =428
428 + 35 = 463
463 + 35 = 498
498 + 35 = 533
533 + 35 = 568
568 + 35 = 603
603 + 35 = 638
638 + 35 = 673
De ese modo vemos como se ha seleccionado a los 20 miembros de la
muestra. Luego se buscan los nombres respectivos en la lista y se aplica el
cuestionario a cada uno de ellos.
Ejemplo
Los empleados de una empresa se pueden dividir en estratos por su
antigüedad de laborar en la compañía. Del total de 1.000 empleados, hay
200 empleados con menos de 5 años de trabajar para la compañía, hay 500
con una antigüedad de 5 años o más pero menos de 10 años en la empresa,
y 300 con una antigüedad de 10 o más años. Se va a seleccionar una
muestra de 50 empleados para conocer la opinión de los empleados sobre
la posibilidad de implementar la modalidad del teletrabajo en la empresa.
¿Cuántos empleados deben seleccionarse de cada estrato?
Solución
Para establecer cuántos empleados deben seleccionarse de cada uno de los
estratos establecidos, si se emplea la afijación proporcional, primero se
debe determinar la frecuencia relativa de cada uno de los estratos en la
población:
Estrato
1
2
3
Antigüedad
Menos de 5 años
De 5 a 10 años
10 años o más
Total
Número de
empleados
200
500
300
1.000
Frecuencia
relativa
0,20
0,50
0,30
1,00
Muestra
por estrato
10
25
15
50
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202
Tal como se observa en la tabla, para obtener la frecuencia relativa de cada
estrato se divide el número de elementos del estrato entre el total de la
población:
Estrato 1: 200/1.000 = 0,20
Estrato 2: 500/1.000 = 0,50
Estrato 3: 300/1.000 = 0,30
Observe que la suma de las frecuencias relativas debe ser exactamente
uno.
Luego para determinar el número de empleados que se incluirán en la
muestra por cada estrato se multiplica cada frecuencia relativa por el
tamaño de muestra, que en este caso es 50:
Estrato 1: 0,20 x 50 = 10
Estrato 2: 0,50 x 50 = 25
Estrato 3: 0,30 x 50 = 15
La suma de los tamaños de muestra por estrato debe ser igual al tamaño de
la muestra total, que en este caso es 50.
Podemos decir que se requiere incluir en la muestra a 10 empleados con
una antigüedad de menos de 5 años, a 25 con una antigüedad de más de 5
años pero menos de 10 años en la empresa, y a 15 con una antigüedad de
10 o más años de laborar para la empresa.
Ejemplo
En un proyecto de investigación se desea conocer el grado de satisfacción
laboral de los profesores universitarios del país. Se requiere una muestra
total de 300 profesores, pero no se posee una lista de todos los profesores
de las universidades del país. ¿Cómo podría obtenerse la muestra en este
estudio?
Solución
Dado que ya está establecido el tamaño de la muestra, el problema consiste
en seleccionar los 300 miembros de la muestra. Como no se cuenta con un
marco muestral, podría emplearse el muestreo por conglomerados. Para
ello se toma una lista de las universidades del país. Cada universidad será
una unidad primaria, es decir, se seleccionará una muestra aleatoria de
varias universidades, para luego tomar una muestra de profesores de cada
una de ellas. Cada muestra de profesores se puede obtener por muestreo
simple al azar o muestreo sistemático.
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203
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. La unidad estadística es:
(a) Una porción o parte de la población de interés
(b) La unidad de interés en un estudio estadístico
(c) La unidad básica en términos de la cual se aplica una técnica de muestreo
(d) La unidad que proporciona los datos relacionados con la unidad de estudio
2. La unidad de información en un estudio es:
(a) Una porción o parte de la población de interés
(b) La unidad de interés en un estudio estadístico
(c) La unidad básica en términos de la cual se aplica una técnica de muestreo
(d) La unidad que proporciona los datos relacionados con la unidad de estudio
3. La unidad de muestreo es:
(a) Una porción o parte de la población de interés
(b) La unidad de interés en un estudio estadístico
(c) La unidad básica en términos de la cual se aplica una técnica de muestreo
(d) La unidad que proporciona los datos relacionados con la unidad de estudio
4. Un banco está estudiando el nivel de satisfacción de los clientes con sus servicios y para tal
fin realizará un estudio por muestreo. Al respecto el investigador a cargo expresó que:
A. La unidad de estudio y la unidad de información son las mismas en este caso.
B. La unidad de muestreo es un cliente del banco.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
5. Una trabajadora social desea investigar algunos aspectos relacionados con la calidad de
vida de los adultos mayores que residen en hogares de ancianos. Para tal fin selecciona una
muestra aleatoria y visita varios hogares de ancianos para valorar si dichas organizaciones
poseen planes e infraestructura adecuados. Al respecto la trabajadora social considera que:
A. La unidad de información corresponde a los ancianos que residen en el hogar visitado.
B. La unidad de muestreo corresponde al director del hogar visitado.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
6. Una nutricionista está investigando la calidad de la nutrición que reciben los niños de una
escuela. Para este fin selecciona una muestra aleatoria y visita los hogares de los niños y
entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que:
A. La unidad de información corresponde a los niños de la escuela.
B. La unidad de muestreo corresponde a los padres de cada uno de los niños seleccionados.
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204
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
7. Una nutricionista está investigando la calidad de la nutrición que reciben los niños de una
escuela. Para este fin selecciona una muestra aleatoria y visita los hogares de los niños y
entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que:
A. El marco muestra es una lista de todos los niños de la escuela.
B. La unidad de estudio corresponde a los padres de cada uno de los niños seleccionados.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
8. Una nutricionista está investigando la calidad de la nutrición que reciben los niños de una
escuela. Para este fin selecciona una muestra aleatoria y visita los hogares de los niños y
entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que es
necesario emplear una muestra porque:
A. Visitar todos los hogares de todos los niños de la escuela requiere demasiado tiempo.
B. El estudio de la variable en cuestión implica la destrucción de la unidad de interés.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es incorrecto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
9. De las siguientes, no es una razón para trabajar con muestras:
(a) Se mejora la calidad de la información recopilada
(b) Se reducen los costos
(c) En ocasiones la población se destruye al ser observada
(d) Se eliminan el riesgo de definir mal la población
10. Una fábrica de fusibles prueba la calidad de su producto terminado. El ingeniero a cargo
afirma que es estrictamente necesario emplear un muestreo porque:
(a) Estudiar la población requeriría demasiado tiempo
(b) Estudiar la muestra es más barato
(c) La prueba del producto es destructiva
(d) La población es infinita
11. Una ___________ es una colección de todos los elementos de un grupo. Una colección de
algunos de esos elementos es una ___________. Las opciones que mejor completan la frase
anterior son:
(a) muestra, población
(b) población, muestra por conveniencia
(c) población, muestra aleatoria
(d) población, muestra
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205
12. Con respecto al tamaño de la muestra es verdadero que:
(a) Depende del tamaño de la población
(b) El nivel de confianza en la estimación no es importante
(c) La variabilidad de la característica que se estima influye fuertemente
(d) Ninguna de las anteriores
13. Con respecto al tamaño de muestra un investigador realizó las siguientes dos
afirmaciones:
A. El costo es determinante del tamaño de muestra, aunque no esté en la fórmula.
B. El nivel de precisión se refiere al nivel de error permitido en la estimación.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
14. Con respecto al uso de muestras un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. Toda investigación estadística requiere la utilización del muestreo.
B. Cuando se estudia la población completa, se dice que se realiza un censo.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(d) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
15. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. Se conoce que la desviación
estándar es de 87 unidades. Se requiere una confianza en la estimación del 90% y que el error
no sea mayor que 20 unidades. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:
(a) 520
(b) 73
(c) 52
(d) Ninguna de las anteriores
16. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. Se conoce que la desviación
estándar es de 87 unidades y que la población está compuesta por 200 unidades. Se requiere
una confianza en la estimación del 95% y que el error no sea mayor que 15 unidades.
Entonces, el tamaño de muestra requerido es:
(a) 130
(b) 92
(c) 79
(d) Ninguna de las anteriores
17. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. Se cuenta con una
estimación previa del 20%. Se requiere una confianza en la estimación del 95% y que el error
no sea mayor que 5%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:
(a) 174
(b) 246
(c) 385
(d) Ninguna de las anteriores
18. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. Se requiere una
confianza en la estimación del 99% y que el error no sea mayor que 3,5%. Entonces, el
tamaño de muestra requerido es:
(a) 1105
(b) 1355
(d) 867
(d) Ninguna de las anteriores
19. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. La población tiene
un tamaño de 220 individuos. Se requiere una confianza en la estimación del 90% y que el
error no sea mayor que 3%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:
(a) 171
(b) 752
(c) 457
(d) 149
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206
20. En un estudio por muestreo se desea estimar la talla promedio de las 400 mujeres que
laboran en una empresa. Por un estudio previo se sabe que la desviación estándar es de 22 cm
y se ha establecido una precisión de 5 cm con una confianza del 99%. Entonces, el tamaño de
muestra requerido es, en número de mujeres:
(a) 98
(b) 129
(c) 105
(d) 84
21. En un estudio por muestreo se desea estimar la proporción de las 400 mujeres que laboran
en una empresa que poseen hijos menores de 10 años. Se ha establecido una precisión de 5%
con una confianza del 95%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es, en número de
mujeres:
(a) 385
(b) 271
(c) 162
(d) 197
22. Un noticiero en la televisión decide realizar una encuesta sobre la calidad de la educación
en el país. Los televidentes que desean participar llaman a un número telefónico y votan por la
opción que consideran más apropiada. Durante el noticiero votaron 5.500 personas, y el 75%
considera que la educación del país debe mejorarse. El tipo de muestreo empleado por este
noticiero es:
(a) Aleatorio
(b) Por conveniencia
(c) Voluntario
(d) De juicio
23. Un noticiero en la televisión decide realizar una encuesta sobre la calidad de la educación
en el país. Los televidentes que desean participar llaman a un número telefónico y votan por la
opción que consideran más apropiada. Durante el noticiero votaron 5.500 personas, y el 75%
considera que la educación del país debe mejorarse. Con respecto a este muestreo es falso
que:
(a) Es una muestra representativa por ser muy grande
(b) Se presenta un posible sesgo de selección
(c) Es un muestreo no aleatorio
(d) La muestra no es representativa a pesar de su tamaño
24. La principal ventaja de un muestreo aleatorio es que:
(a) Elimina los sesgos de selección
(b) Permite la cuantificación y control del error de muestreo
(c) Reduce los costos del estudio
(d) Emplea muestras de menor tamaño
25. La discrepancia, debida al azar, entre la estimación de una característica obtenida a través
de una muestra y su verdadero valor en la población corresponde al concepto de:
(a) Sesgo de selección
(b) Error de muestreo
(c) Sesgo de medición
(d) Aleatoriedad
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207
26. El error sistemático, no debido al azar, y que ocasiona que diferencias entre el valor
estimado a través de la muestra y el valor verdadero corresponde al concepto de:
(a) Sesgo
(b) Error de muestreo
(c) Variabilidad
(d) No aleatoriedad
27. Un gerente está haciendo un estudio de mercado. Ha seleccionado una muestra aleatoria
de 385 consumidores, pero hubo 50 de ellos que no contestaron el cuestionario. Esta
situación:
(a) No es problema porque la mayoría sí lo contestaron
(b) Es un problema porque el tamaño de la muestra efectivamente tomada es menor
(c) Es un problema, pero se resuelve sustituyendo los valores faltantes por sus valores
esperados
(d) No es un problema porque no fue causado intencionalmente por el investigador
28. Con respecto al muestreo un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:
A. La selección de la técnica apropiada no es tan importante como la determinación del
tamaño de la muestra para lograr una muestra representativa.
B. La existencia de un marco muestral bien definido es clave para seleccionar la técnica de
muestreo.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
29. El departamento de recursos humanos de una empresa va a efectuar un estudio por
muestreo sobre la satisfacción de los empleados. La empresa tiene 2500 empleados y el
tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado tomó una lista de todos los
funcionarios de la empresa y con ayuda de un software obtuvo 250 números aleatorios, los
cuales empleó para seleccionar a los empleados que conformarían la muestra. En esta
situación el tiempo de muestreo empleado es:
(a) Muestreo sistemático
(b) Muestreo simple al azar
(c) Muestreo estratificado
(d) Muestreo por conglomerados
30. El departamento de recursos humanos de una empresa va a efectuar un estudio por
muestreo sobre la satisfacción de los empleados. La empresa tiene 2500 empleados y el
tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado calculo un valor k = 2500/250 = 10,
entonces tomó una lista de todos los funcionarios de la empresa, con ayuda de un software
obtuvo un número aleatorio entre uno y diez, y a ese número empezó a sumar 10 una y otra
vez hasta completar 250 números, los cuales empleó para seleccionar a los empleados que
conformarían la muestra. En esta situación el tiempo de muestreo empleado es:
(a) Muestreo sistemático
(b) Muestreo simple al azar
(c) Muestreo estratificado
(d) Muestreo por conglomerados
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208
31. El departamento de recursos humanos de una empresa va a efectuar un estudio por
muestreo sobre la satisfacción de los empleados. La empresa tiene 2500 empleados y el
tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado dividió la empresa en sus distintos
departamentos, por considerar que los empleados en cada uno de ellos tienden a ser más
homogéneos entre sí con respecto a la variable estudiada. Luego tomó una muestra de cada
uno de estos subgrupos, de modo que la muestra total resultante refleje en forma proporcional
la cantidad de empleados que hay en cada departamento. En esta situación el tiempo de
muestreo empleado es:
(a) Muestreo sistemático
(b) Muestreo simple al azar
(c) Muestreo estratificado
(d) Muestreo por conglomerados
32. Con respecto a una muestra sea representativa de una población es correcto que:
(a) Basta con que sea del tamaño apropiado
(b) Debe ser obtenida al azar sin importar su tamaño
(c) Debe al menos el 20% de la población
(d) Ninguna de las anteriores
Respuesta a ejercicios de selección única:
1. b
6. c
11. d
16. c
21. d
26. a
31. c
2. d
7. b
12. c
17. b
22. c
27. b
32. d
3. c
8. d
13. a
18. b
23. a
28. d
4. a
9. d
14. d
19. a
24. b
29. b
5. c
10. c
15. c
20. a
25. b
30. a
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209
10
.
Pruebas de hipótesis
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Plantear las hipótesis nula y alternativa en problemas de decisión con respecto a la media o
la proporción poblacional
2. Identificar los posibles errores que se pueden cometer al tomar decisiones con base en
muestras
3. Describir los pasos del procedimiento de prueba de hipótesis
4. Calcular los estadísticos de prueba adecuados según el tipo de problema
5. Tomar decisiones con base en el procedimiento de prueba de hipótesis
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Ejemplo
Se sabe por estudios previos que los recién nacidos de cierta población
tienen una talla promedio de 49,5 cm. Una enfermera estudió un grupo de
40 recién nacidos, y obtuvo una media de 53,4 cm.
La enfermera desea saber si estos resultados apoyan los estudios previos.
¿Cuáles serían sus hipótesis nula y alternativa?
Solución
En esta situación la enfermera tiene un valor poblacional establecido, que
es que los recién nacidos miden, en promedio, una talla de 49,5 cm. Por
tanto, su hipótesis nula será:
H0: La talla media de los recién nacidos es 49,5 cm.
Pero los datos recopilados sugieren que este promedio podría ser mayor
que 49,5 cm, por lo que, de descartar la hipótesis nula anterior, se aceptaría
la hipótesis alternativa:
H1: La talla media de los recién nacidos es mayor que 49,5 cm.
Generalmente las hipótesis se expresan en términos de símbolos:
H0:  = 49,5
H1:  > 49,5
Ejemplo
En cada uno de los siguientes casos plantee la hipótesis nula y la
alternativa:
1. Un cierto material viene en cajas de peso promedio 17 libras y
desviación estándar 0,4 libras. Se recibe un cargamento grande y se tiene
la sospecha de que el peso promedio de las cajas es inferior al usual. Para
verificar la sospecha se toma una muestra al azar de 86 cajas y se pesan,
obteniéndose un promedio de 16,5 libras. ¿Se puede afirmar que
efectivamente el peso de las cajas es inferior al acostumbrado?
2. En una granja bastante grande se producen pollos. Según los estándares
establecidos, el peso medio de los pollos debe ser de 4,2 Kg. con varianza
1,96. Se desea determinar si es cierta la queja de un grupo de clientes de
que el peso medio ha disminuido durante las últimas semanas. Para
verificar tal afirmación se contrata un ingeniero avícola, el cual toma una
muestra de 65 pollos, y encuentra un peso medio de 3,86 Kg. ¿Significa
esto que efectivamente el peso medio es inferior al usual?
3. De acuerdo con datos de un estudio realizado en un país europeo la edad
promedio de diagnóstico del cáncer de próstata es 75 años. Un
investigador nacional considera que en nuestro país esa edad de
diagnóstico es menor. Se tomó una muestra de 80 casos diagnosticados y
encontró una edad promedio de 69 años con una desviación estándar
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muestral de 9 años. ¿Qué puede concluirse con base en estos datos?
4. Según un estudio los niños de los estratos socio económicos medios y
altos inician alguna práctica de cuidado de su salud buco dental a los 15,6
meses. En una muestra de 35 niños de familias de estratos bajos se
encontró una edad media de inicio de la higiene bucal a los 18,2 meses,
con una desviación estándar de 8,5 meses. ¿Puede considerarse que la edad
de los niños de familias de estratos bajos es mayor que 15,6 meses?
Solución
1. En esta situación se indica que el peso promedio de las cajas en que
viene el material es 17 libras, por tanto se querrá verificar que se satisface
esta especificación, de manera que la hipótesis nula será que el peso
promedio es 17 libras. Por otro lado, en la muestra de 86 cajas se obtuvo
un peso promedio inferior, lo cual también sugiere la pregunta, entonces la
hipótesis nula será que la media es inferior a 17 libras. En resumen:
H0:  = 17
H1:  < 17
2. De acuerdo con este problema existe un estándar de 4,2 Kg. en
promedio por animal, por lo que la hipótesis nula es que el promedio sea
igual a 4,2 Kg. En la muestra se encuentra un peso medio inferior a 4,2
Kg., de modo que la hipótesis nula es que el peso medio es inferior:
H0:  = 4,2
H1:  < 4,2
3. De acuerdo con los datos la edad promedio de diagnóstico del cáncer de
próstata es 75 años, de manera que se plantea la hipótesis nula de que el
promedio es igual a 75. En la muestra se obtiene una edad promedio menor
que 75, así que la hipótesis alternativa sería que la media es menor que 75
años:
H0:  = 75
H1:  < 75
4. Según el estudio la media es 15,6 meses, de modo que la hipótesis nula
será que la media es igual a 15,6. En la muestra se obtuvo un valor más
alto, de manera que la hipótesis alternativa será que la media es mayor que
15,6:
H0:  = 15,6
H1:  > 15,6
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Ejercicio
de
revisión
Un ingeniero está estudiando la vida útil de distintos proyectos construidos
con cierto tipo de pavimento. Se sabe que los camiones pesados producen
un daño elevado y que reducen la vida útil de las vías. Se realiza un
estudio para saber qué proporción de los camiones llevan una carga
excesiva. En el caso de los camiones de 3 ejes se cuenta con un estudio
previo en el que se indica que el 10% de estos vehículos portaban un peso
superior al permitido. En una muestra de 40 de estos camiones, se encontró
que 6 de ellos portaba una carga excesiva. ¿Cuáles es la hipótesis nula y
cuáles es la hipótesis alternativa de este problema?
Solución:
Con base en el estudio previo se puede plantear la hipótesos nula de que el
10% de estos vehículos portaban un peso superior al permitido, o sea, que
la proporción P = 0,10.
Tomando la muestra de 40, de los cuales 6 portaban una carga excesiva, es
decir una proporción p = 6/40 = 0.15, resultado que es mayor que el 10%
del estudio previo, por tanto, podría plantearse la hipótesis alternativa de
que la proporción de camiones que cargan sobrepeso es mayor que 10%.
En resumen:
H0: P = 0,10
H1: P > 0,10
Ejemplo
Un empresario es el único distribuidor de electrodomésticos y productos
tecnológicos de su zona. Leyó en un medio que hasta un 74% de los
internautas ha realizado alguna compra por internet en el transcurso de los
últimos 3 meses. Para comprobar si en su zona esta proporción es similar a
la publicada, aplicó un cuestionario a una muestra de 50 personas que
fueran residentes de la zona y que usaran internet regularmente, y les
preguntó si habían realizado compras en línea en el último trimestre. La
encuesta reveló que 30 internautas de la zona han realizado compras por
internet en ese periodo. O sea, que solo el 60% de los entrevistados
respondió afirmativamente. ¿Cuál sería la hipótesis nula y alternativa en
este caso?
Solución
El empresario desea probar que si es cierto que el 74% de los usuarios de
internet han realizado compras por internet en el último trimestre, por
tanto, su hipótesis nula será:
H0: La proporción de usuarios que internet que ha realizado compras
por internet es igual a 74%.
Pero los datos recopilados indican que ese porcentaje podría ser menor,
por lo que, de descartar la hipótesis nula anterior, se aceptaría la hipótesis
alternativa:
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H1: La proporción de usuarios que internet que ha realizado compras
por internet es menor que 74%.
Generalmente las hipótesis se expresan en términos de símbolos:
H0: P = 0,74
H1: P < 0,74
Ejemplo
Una empresa fabrica bombillos. Cada bombillo tiene una vida esperada de
1000 horas, pero algunos clientes se han quejado de que los bombillos se
queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra y
probar la hipótesis nula de que los bombillos tienen una vida media de
1000 horas, contra la hipótesis alterna de que la vida media de los
bombillos es menor que dicha especificación. ¿Cómo podrían darse y qué
significan los errores tipo I y tipo II en esta situación?
Solución
En esta situación los errores tipo I y tipo II podrían darse si la muestra no
representa bien a la población. Esto puede darse de los modos siguientes:
1. El proceso de producción de la empresa está bien controlado, y la vida
media de los bombillos es 1000 horas, pero en la muestra usada en la
prueba de hipótesis se seleccionaron, por cuestión del azar, muchos
bombillos con una vida media inferior a 1000 horas, por lo que se
rechazó la hipótesis nula de que la vida media de los bombillos es 1000
horas, a pesar de que era verdadera. Este es el error tipo I. Este error
llevaría a la empresa a tratar de mejorar su producción
innecesariamente, lo cual le generaría costos adicionales.
2. El proceso de producción de la empresa no está bien controlado, por lo
que, efectivamente, la vida media de los bombillos es inferior a 1000
horas, como lo han indicado los clientes que se han quejado, pero en la
muestra, por cuestión del azar, se seleccionaron muchos bombillos con
una media cercana a 1000 horas, por lo que no se rechazó la hipótesis
nula, a pesar de que era falsa. Este es el error tipo II. Este error
llevaría a la empresa a no mejorar una producción que sí requiere
mejoras, por lo cual sus clientes podrían dejar de comprar sus
productos.
Ejercicio
de
revisión
Una empresa realiza un estudio de mercado en una muestra de 150
consumidores y se plantea probar la hipótesis de que al menos el 30% de
ellos compraría su producto. ¿Cuáles serían las hipótesis nula y
alternativa? ¿En qué consistirían los errores tipo I y tipo II?
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Solución:
La hipótesis nula es el valor límite que se desea probar de 30%, o sea, que
la proporción P = 0,30. Dado que se cree que al menos el 30% compraría
el producto, entonces la hipótesis alternativa sería P > 30%.
En resumen:
H0: P = 0,30
H1: P > 0,30
En esta situación los errores tipo I y tipo II podrían darse de los modos
siguientes:
1. Si la demanda del producto efectivamente fuera 30% de los
consumidores, pero se comete el error tipo I, entonces se rechaza esa
hipótesis siendo verdadera (acepta la hipótesis alternativa), y por tanto
la empresa hace planes agresivos considerando que la demanda es
mayor, pero va a vender menos.
2. Si se comete el error tipo II, la empresa acepta la hipótesis nula de que
la demanda es 30%, pero esto es falso y la demanda es mayor, entonces
hace planes conservadores, lo que no le permitirá aprovechar un
oportunidad de negocio que es mayor.
Ejemplo
Una empresa fabrica bombillos. Cada bombillo tiene una vida esperada de
1000 horas, pero algunos clientes se han quejado de que los bombillos se
queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra de
50 bombillos y desea probar que los bombillos tienen una vida media de
1000 horas. La media obtenida a partir de la muestra es de 970 horas. Se
conoce que la desviación estándar es 60 horas. Determine, a un nivel de
significación del 5%, si la media poblacional de estos bombillos es
efectivamente de 1000 horas.
Solución
Paso 1. Plantear las hipótesis. Toda prueba inicia planteando las hipótesis.
La hipótesis nula se plantea como H0: μ = μo, donde μo es el valor a probar
(en este caso 1000 horas), y la hipótesis alternativa podría ser como alguna
de las siguientes:
H1: μ > μo
H1: μ < μo
H1: μ ≠ μo
La hipótesis alternativa se formula dependiendo del valor obtenido en la
muestra o de lo que se desee plantear como hipótesis alternativa. Es decir,
si en vez de querer saber si μ > μo o μ < μo, se desea simplemente saber si
μ ≠ μo.
En este ejemplo se desea probar que la media verdadera es de 1000 horas
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(μo = 1000), por lo tanto la hipótesis nula es:
H0: μ = 1000
Como x (valor muestral que “representa” a μ) es igual a 970, que es un
valor menor que 1000, entonces la hipótesis alternativa lógica sería que la
media es menor que 1000, o sea, H1: μ < 1000. En resumen se tiene que las
hipótesis son:
H0: μ = 1000
H1: μ < 1000
Paso 2. Especificar el nivel de significación α (la probabilidad de cometer
el error tipo I) con que se desea trabajar. Los valores usualmente usados
son 5% y 1%. Si se escoge una probabilidad de error tipo I muy pequeña
esto hace que la probabilidad de error tipo II sería muy grande. En el
ejemplo se especifica un valor de α de 0,05.
Paso 3. Se usa el estadístico de prueba apropiado. En el caso de la media,
dependiendo del tamaño de la muestra y si se conoce o no la desviación
estándar poblacional, se usa:
zc 
zc 
tc 
x
/ n
x
s/ n
x
s/ n
con n  30 con σ conocida o con n < 30 y σ conocida
con n  30 con σ desconocida
con n < 30 y σ desconocida
A este valor se le llamará “z calculada” o “t calculada”, según el caso. En
el ejemplo se tiene n > 30 y σ conocida, pues n = 50 y σ = 60 horas, por lo
que se calcula z (según el problema se tiene que x = 970 y de la hipótesis
nula se obtiene que  = 1000):
zc 
x
/ n

970  1000
60 / 50
 3,54
Paso 4. Se especifica un criterio de aceptación o rechazo de la hipótesis
nula según el estadístico de prueba usado en el paso anterior. En las
hipótesis para la media el criterio es:
Prueba de una cola: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como
H1: μ > μ0
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Prueba de una cola: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como
H1: μ < μ0
Prueba de dos colas: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como
H1: μ ≠ μ0
Puede observarse que cuando la hipótesis alternativa se ha planteado como
H1: μ < μ0 o como H1: μ < μ0, entonces se dice que la prueba es de una
cola, y la zona de aceptación queda definida por el valor de 1  .
Cuando la hipótesis alternativa se ha planteado como H1: μ ≠ μ0, entonces
se dice que la prueba es de dos colas, y la zona de aceptación queda
definida por el valor de 1  /2.
El valor de Zα o de tα se obtiene de la tabla respectiva con una probabilidad
igual a 1   en el caso de Z y α en el caso de t en las pruebas de una cola
y con una probabilidad igual a 1  /2 en el caso de Z y α/2 en el caso de t
en las pruebas de dos colas. A este valor de z se le llamará “z tabular” o “z
de la tabla” (por ser obtenida de la tabla de la distribución normal), o en el
caso de t, “t de la tabla”.
Puede establecerse la regla siguiente en términos de z:

Si z c  z t se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis
alternativa H1.
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
Si z c  z t se mantiene la hipótesis nula Ho.
En términos de t sería:


Si t c  t t se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis
alternativa H1.
Si t c  t t se mantiene la hipótesis nula Ho.
En el ejemplo que se está desarrollando, la prueba es de una cola, porque
H1: μ < 1000, por lo tanto se tiene la cola izquierda (porque la hipótesis
alternativa es de menor). De la tabla normal (Apéndice 6) con α = 0,05, se
obtiene Zt = –1,645.
Como |Zc| = 3,54 > |Zt| = 1,645, entonces Zc cae en zona de rechazo de la
H0.
Paso 5. Se acepta o se rechaza la H0 y se toma la decisión. En este ejemplo
se rechaza la hipótesis nula H0. Es decir, se rechaza que μ = 1000 y se
acepta la H1: μ  1000.
La conclusión es que a un nivel de significación del 5% se rechaza la
hipótesis nula de que la vida media de los bombillos es de 1000 horas y se
considera que existe evidencia estadística para aceptar la hipótesis
alternativa de que la vida útil de los focos es menor de 1000 horas.
Ejercicio
de
revisión
Una institución del gobierno periódicamente verifica que las empresas y
los comercios no realicen prácticas abusivas contra los consumidores.
Recientemente ha verificado una muestra de 200 latas de atún cuya
etiqueta indica que contienen 130 grs. como peso escurrido. El promedio
en la muestra fue 112 grs. como peso escurrido Por un estudio anterior se
conoce que la desviación estándar es 20,5 grs.
¿Constituyen estos datos muestrales evidencia suficiente para considerar
que las latas de atún poseen un peso escurrido inferior al ofrecido?
Use un nivel de significancia de 5%.
Solución:
Paso 1. Plantear las hipótesis. Se quiere verificar el dato que aparece en la
etiqueta:
H0: μ = 130
Como x = 112, que es un valor menor que 130, entonces la hipótesis
alternativa sería H1: μ < 130. En resumen se tiene que las hipótesis son:
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218
H0: μ = 130
H1: μ < 130
Paso 2. Especificar el nivel de significación α (la probabilidad de cometer
el error tipo I) con que se desea trabajar. En el ejercicio se especifica un
valor de α de 0,05.
Paso 3. Se usa el estadístico de prueba apropiado. Dado que el tamaño de
la muestra n = 200, que es mayor que 30, y se conoce la desviación
estándar poblacional, se usa:
zc 
x
/ n
con n  30 y con σ conocida
En este ejercicio se tiene n = 200, σ = 20,5, x = 112 y  = 130:
zc 
x
112  130

 12,42
 / n 20,5 / 200
Paso 4. Se planteó la hipótesis alternativa H1: μ < 130, entonces se dice
que la prueba es de una cola, y la zona de aceptación queda definida por el
valor de 1   = 1 - 0,05 = 0,95.
El valor de Zα se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar:
Zα = 1.645
Entonces, z c  z t , se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis
alternativa H1.
Paso 5. Se rechaza la H0, es decir, se rechaza que μ = 130 y se acepta la
H1: μ  130.
La conclusión es que a un nivel de significación del 5% se rechaza la
hipótesis nula de que el contenido medio de las latas es 130 gramos y se
considera que existe evidencia estadística para aceptar la hipótesis
alternativa de que el contenido es menor que 130 gramos.
Ejemplo
Una muestra aleatoria de frascos de mantequilla de maní presentaron pesos
de (en gramos):
252, 251, 249, 253, 250, 255, 248, 258
La empresa ha tratado de ajustar el proceso de llenado para que cada frasco
contenga 250 gramos. Verifique, a un nivel de significación del 5% si ese
valor esperado se mantiene sin cambio.
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219
Solución
Se tiene que hay un peso especificado para los frascos de mantequilla de
maní de 250 gramos, por lo que μ0 = 250 y además n = 8.
De los datos de la muestra se obtiene una media x = 252 y una desviación
estándar s = 3,3. Como la media muestral x que “representa” a la media
poblacional μ es mayor que μ0, entonces se planteará una hipótesis
alternativa de μ > μ0.
Paso 1. Planteamiento de las hipótesis:
H0: μ = 250
H1: μ > 250
Paso 2. Como n < 30 y σ desconocida, se calcula tc:
tc 
x
s/ n

252  250
3,3 / 8
 1,72
Paso 3. De la tabla, con una cola, para un nivel de significancia α = 0,05 y
grados de libertad gl = n – 1 = 8 – 1 = 7, se obtiene tα = 1,895.
Paso 4. Como t c  t t , se acepta H0 con α = 0,05.
Paso 5. Se concluye que no hay evidencia suficiente para considerar que el
peso promedio de los frascos de mantequilla de maní es mayor que 250
gramos.
Ejercicio
de
revisión
Una compañía de tarjetas de crédito desea probar si el saldo promedio de
sus clientes es superior a $500. En una muestra de 15 tarjetahabientes se
obtuvo un saldo promedio de $535 con una desviación estándar de $215.
¿Qué puede concluirse a un nivel de significación del 5%?
Solución:
Se quiere probar si la media es superior a $500, por lo que μ0 = 500 y
además n = 15.
De los datos de la muestra se obtiene una media x = 535 y una desviación
estándar s = 215. Como la media muestral x es mayor que μ0, entonces se
planteará una hipótesis alternativa de μ > μ0.
Paso 1. Planteamiento de las hipótesis:
H0: μ = 500
H1: μ > 500
Paso 2. Como n < 30 y σ desconocida, se calcula tc:
tc 
x   535  500

 0,63
s / n 215 / 15
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220
Paso 3. De la tabla, con una cola, para un nivel de significancia α = 0,05 y
grados de libertad gl = n – 1 = 15 – 1 = 14, se obtiene tα = 1,761.
Paso 4. Como t c  t t , se acepta H0 con α = 0,05.
Paso 5. Se concluye que al nivel de significancia del 5% no hay evidencia
suficiente para considerar que el saldo promedio de sus clientes es superior
a $500.
Ejemplo
Pruebe la aseveración de que la proporción de adultos que realizaron algún
tipo de ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es
menor de 20%, si se tomó una muestra de 1.200 personas, de los cuales
215 dicen que realizaron actividad física la semana pasada. Use α = 0.01.
Solución
Hay que distinguir claramente que en los problemas de pruebas de
hipótesis relacionados con proporciones no aparece una variable métrica,
es decir, no aparece un promedio que se pueda medir en centímetros,
gramos, dólares, minutos u otra unidad de medida. En este caso el
problema se relaciona con un porcentaje supuesto de adultos que
realizaron ejercicio físico y el conteo de esas personas en la muestra. En
todos los casos de pruebas de hipótesis sobre una proporción se va a
presentar esta situación, no hay una variable medible y se presentan datos
de una variable que se obtiene por conteo y que se relaciona con respecto a
un total poblacional o muestral (una proporción).
Una vez que se tiene bien definida la naturaleza del problema, entonces se
siguen los mismos 5 pasos expuestos para el caso de las pruebas de
hipótesis sobre la media poblacional.
Paso 1. Planteamiento de las hipótesis: El problema señala que se desea
probar si el 20% de los adultos realizaron ejercicio físico al menos una vez
durante la semana pasada, por lo que la hipótesis nula será:
H0: P = 0,20
Por otro lado, los datos muestrales indican que de los 1200 adultos
encuestados, 215 realizaron ejercicio físico la semana pasada, por lo que se
tendría una proporción muestral equivalente a:
p = 215 / 1200 = 0,1792
Este dato muestral sugiere que la proporción de adultos que realizaron
ejercicio físico es menor que 0,20, por lo que las hipótesis se plantearían
como:
H0: P = 0,20
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221
H1: P < 0,20
Paso 2. El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de
significancia de un 1%.
Paso 3. Como el problema es una prueba de una proporción se calcula zc:
z
x  nP
215  1200  0,20

= –1,80
nPQ
1200  0,20  0,80
De la tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con
una cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33.
Paso 4. Como z c  z t , se acepta H0 con α = 0,01.
Paso 5. Se concluye que no se tiene evidencia estadística suficiente para
rechazar la hipótesis de que la proporción de adultos que realizaron
ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es menor que
20%, a un nivel de significación del 1%.
Ejercicio
de
revisión
Un laboratorio farmacéutico considera que uno de sus fármacos alcanza en
el 80% de los casos su máxima absorción en un plazo de 2 horas. En una
muestra de 120 personas se obtuvo el resultado esperado en 80 casos.
¿Puede sostenerse la afirmación de la empresa a un nivel de significancia
del 95%?
Solución:
Paso 1. Planteamiento de las hipótesis: El problema señala que se desea
probar si el 20% de los adultos realizaron ejercicio físico al menos una vez
durante la semana pasada, por lo que la hipótesis nula será:
H0: P = 0,20
Por otro lado, los datos muestrales indican que de los 1200 adultos
encuestados, 215 realizaron ejercicio físico la semana pasada, por lo que se
tendría una proporción muestral equivalente a:
p = 215 / 1200 = 0,1792
Este dato muestral sugiere que la proporción de adultos que realizaron
ejercicio físico es menor que 0,20, por lo que las hipótesis se plantearían
como:
H0: P = 0,20
H1: P < 0,20
Paso 2. El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de
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222
significancia de un 1%.
Paso 3. Como el problema es una prueba de una proporción se calcula zc:
z
x  nP
215  1200  0,20

= –1,80
nPQ
1200  0,20  0,80
De la tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con
una cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33.
Paso 4. Como z c  z t , se acepta H0 con α = 0,01.
Paso 5. Se concluye que no se tiene evidencia estadística suficiente para
rechazar la hipótesis de que la proporción de adultos que realizaron
ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es menor que
20%, a un nivel de significación del 1%.
Ejemplo
Una empresa fabrica bombillos. Cada bombillo tiene una vida esperada de
1000 horas, pero algunos clientes se han quejado de que los bombillos se
queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra de
50 bombillos y desea probar que los bombillos tienen una vida media de
1000 horas. La media obtenida a partir de la muestra es de 970 horas. Se
conoce que la desviación estándar es 60 horas. Utilice Minitab para
determinar, a un nivel de significación del 5%, si la media poblacional de
estos bombillos es efectivamente de 1000 horas.
Solución
Como en cualquier prueba de hipótesis, se inicia por plantear las hipótesis.
Tal como se expuso anteriormente, las hipótesis son:
H0: μ = 1000
H1: μ < 1000
Luego se especifica el nivel de significación α. En este ejemplo se
especifica un valor de α de 0,05.
Después se selecciona el estadístico de prueba apropiado. En este ejemplo
se tiene n > 30 y σ conocida, pues n = 50 y σ = 60 horas, por lo que se
calcula z. Así, en Minitab se debe dar clic en el menú Estadísticas, luego
en el submenú Estadística básica, y ahí se elige la opción Z de 1
Muestra. Ahora se completa el cuadro de diálogo siguiente:
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223
Se selecciona Muestras en columnas cuando se tiene la serie original de
datos muestrales, pero en este caso ya se tiene calculada la media muestral,
por lo que se escoge Datos resumidos, y se digita el tamaño de la muestra
y la media muestral. Debe marcarse la casilla Realizar prueba de
hipótesis, pues de otro modo Minitab solo dará el intervalo de confianza.
En la celda se digita la media poblacional indicada en la hipótesis nula.
Luego debe darse clic en el botón Opciones, pues es ahí donde se indica el
nivel de significancia y se selecciona la hipótesis alternativa:
Dado que el nivel de significancia de este ejercicio es 5%, entonces el
nivel de confianza será de 95%. En la opción de hipótesis alterna se elige
la que dice menor que, pues la hipótesis alternativa indicada
anteriormente fue H1: μ < 1000.
Luego se da clic en Aceptar, y nuevamente clic en Aceptar, y se obtiene la
siguiente salida en la ventana Sesión de Minitab:
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224
Puede verse que Minitab indica que el valor del estadístico de prueba Zc es
–3,54, que coincide con el valor calculado anteriormente en este capítulo.
De la tabla de la curva normal, o bien, del mismo Minitab se calcula el
valor Zt, que es –1,645, por lo que Zc cae en zona de rechazo de la H0.
Además, observe que Minitab calculó el valor P, que en este caso es 0,000,
un valor inferior al nivel de significancia del 5%, por lo que se rechazaría
la hipótesis nula.
Por cualquiera de los dos criterios (z o valor P), la conclusión es la misma,
que a un nivel de significación del 5% se rechaza la hipótesis nula de que
la vida media de los bombillos es de 1000 horas y se considera que existe
evidencia estadística para aceptar la hipótesis alternativa de que la vida útil
de los bombillos es menor de 1000 horas.
Ejemplo
Pruebe la aseveración de que la proporción de adultos que realizaron algún
tipo de ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es
menor de 20%, si se tomó una muestra de 1.200 personas, de los cuales
215 dicen que realizaron actividad física la semana pasada. Use α = 0.01.
Solución
Las hipótesis se plantearían como (pues este ejemplo ya se explicó
anteriormente en este capítulo):
H0: P = 0,20
H1: P < 0,20
El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de significancia
de un 1%.
Como el problema es una prueba de una proporción, entonces la opción del
menú Estadísticas > Estadística básica que se emplea es 1 Proporción.
Se debe completar el cuadro de diálogo siguiente:
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225
Se selecciona Muestras en columnas cuando se tiene la serie original de
datos muestrales, pero en este caso ya se tiene calculada la cantidad de
eventos o éxitos de la muestra, por lo que se escoge Datos resumidos, y se
digita el número de eventos, que en este caso es 215, y el tamaño de la
muestra o número de ensayos, que es 1200 en este caso. Debe marcarse la
casilla Realizar prueba de hipótesis, pues de otro modo Minitab solo
dará el intervalo de confianza. En la celda se digita la proporción
hipotética, que es la proporción indicada en la hipótesis nula.
Luego debe darse clic en el botón Opciones, pues es ahí donde se indica el
nivel de significancia y se selecciona la hipótesis alternativa:
En este caso, como se indicó un nivel de significancia del 1%, entonces se
digita el nivel de confianza del 99%. En la hipótesis alternativa se había
establecido que era H1: P < 0,20, por lo que se elige menor que, y
finalmente se marca la casilla Utilice la prueba y el intervalo basado en
la distribución normal, pues así Minitab va a utilizar la aproximación
normal para la distribución binomial para calcular la prueba de hipótesis y
el intervalo de confianza, tal como se expuso en ese capítulo en la teoría
relacionada con las pruebas de hipótesis sobre la proporción. Finalmente se
da clic en Aceptar, y luego en Aceptar, y en la ventana Sesión de Minitab
se obtiene el resultado siguiente:
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226
En esta ventana se observa que Minitab ha calculado el valor del
estadístico de prueba z, que es –1,80, y el valor P, que es 0,071. Por
cualquiera de los dos criterios se acepta la hipótesis nula (ya que de la
tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con una
cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33, o bien, el valor P
de 0,071 es mayor que el de significancia α = 0,01. Se concluye que no se
tiene evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis de que la
proporción de adultos que realizaron ejercicio físico durante la semana
pasada es menor que 20%, a un nivel de significación del 1%.
Ejemplo
La nueva directora de desarrollo de sistemas de una empresa consideró que
el tiempo medio de 28 días para resolver los requerimientos de sus
usuarios era demasiado. Ante esta situación optó por implementar una
serie de cambios para acelerar el proceso. Seis meses después, en una
muestra de 27 nuevos requerimientos se obtuvo que el tiempo promedio
para resolverlos fue de 26,9 días, con una desviación estándar de 8 días.
Sin embargo, algunos empleados se han quejado, y piensan que los
cambios más bien retrasan el proceso. Utilizando un 1% de significancia,
evalué si el tiempo medio para resolver los requerimientos de los usuarios
ha cambiado.
Solución
Se inicia por plantear las hipótesis. Se desea probar que el tiempo medio
para resolver los requerimientos de los usuarios es de 28 días, por lo que
esa será la hipótesis nula. Por otro lado, la evidencia muestral indica que
dicho tiempo se ha disminuido, pero algunos empleados opinan lo
contrario, por lo que se podría plantear la hipótesis alternativa como que el
tiempo medio es diferente de 28 días. En resumen, las hipótesis son:
H0: μ = 28
H1: μ ≠ 28
Luego se especifica el nivel de significación α. En este ejemplo se
especifica un valor de α de 0,01.
Después se selecciona el estadístico de prueba apropiado. Se tiene n < 30 y
que la desviación estándar poblacional σ es desconocida, por lo que se
calculará el intervalo de confianza usando t. Tomando una media muestral
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x  26,9 días, n = 27, s = 8 y α = 0,01 (t con dos colas y 26 grados de
libertad es 2,779), por lo que el intervalo de confianza será:
x  t  s / n  26,9  2,779  8
22,62
27  
 31,18
La media planteada en la hipótesis nula es μ = 28 días, valor que se
encuentra dentro del intervalo de confianza calculado, por lo que no podría
rechazarse la hipótesis nula.
Si se calculara el estadístico t se obtendría:
tc 
x
s/ n

26,9  28
8 / 27
 0,714
Ese valor calculado de t es inferior que el valor crítico de 2,779,
confirmando que la hipótesis nula se acepta.
Usando Minitab se obtendría un valor P = 0,481, mayor que el nivel de
significancia, por lo que se acepta la hipótesis nula.
Por cualquiera de los criterios se llega a la misma conclusión, de que se
acepta la hipótesis nula, por lo que no hay evidencia suficiente para
concluir que los tiempos medios para resolver los requerimientos de los
usuarios haya cambiado.
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Cuando se debe decidir, con base en evidencia experimental, si una afirmación hecha
acerca de un parámetro es falsa o verdadera, es necesario realizar:
(a) Una estimación por intervalos
(b) Una prueba de hipótesis
(c) Un análisis de correlación
(d) Un estudio por muestreo
2. Una __________ es una afirmación acerca de un __________ de una o más poblaciones y
que está sujeta a verificación. La opción que mejor completa la frase anterior es:
(a) hipótesis; parámetro
(b) prueba de hipótesis; estimador
(c) prueba de hipótesis; parámetro
(d) hipótesis; estimador
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3. Una prueba de hipótesis es un procedimiento basado en evidencia de la __________ y la
teoría __________ para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. La opción que
mejor completa la frase anterior es:
(a) población; estadística
(b) muestra; de probabilidades
(c) probabilidad; de muestreo
(d) población; de probabilidades
4. En una prueba de hipótesis:
A. La hipótesis alternativa es cualquier hipótesis que se desea probar.
B. La hipótesis nula es la hipótesis que se acepta cuando la hipótesis nula es rechazada.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
5. Un investigador desea probar la hipótesis de que la media de una determinada variable x es
igual a 500. En una muestra obtuvo una media de 350, entonces debe:
(a) rechazar la hipótesis nula porque la diferencia con respecto a la media muestral es muy
grande
(b) rechazar la hipótesis nula porque la media muestral es menor que la media hipotética
(c) aceptar la hipótesis nula porque la diferencia encontrada es muy pequeña
(d) ninguna de las anteriores
6. El nivel de significancia es la probabilidad de:
(a) rechazar la hipótesis nula cuando es falsa
(b) rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera
(c) aceptar la hipótesis nula cuando es falsa
(d) aceptar la hipótesis nula cuando es verdadera
7. El error tipo II se comete cuando se:
(a) rechaza la hipótesis nula cuando es falsa
(b) rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera
(c) acepta la hipótesis nula cuando es falsa
(d) acepta la hipótesis nula cuando es verdadera
8. El error tipo I se comete cuando se:
(a) rechaza la hipótesis nula cuando es falsa
(b) rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera
(c) acepta la hipótesis nula cuando es falsa
(d) acepta la hipótesis nula cuando es verdadera
9. El gerente de una empresa espera que el 60% de sus clientes actuales estén dispuestos a
efectuar compras a través de internet. Para comprobar esta afirmación se efectúa una encuesta
entre una muestra de clientes, en la cual se encuentra que solo el 40% de los clientes
efectuarían compras por internet. Según los estudios financieros de la empresa, se requiere
que al menos el 60% de los clientes actuales realicen compras en línea para que valga la pena
implementar dicha modalidad de negocios. Con respecto a esta situación se han realizado dos
afirmaciones:
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A. Cometer el error tipo I significaría perder una buena oportunidad de negocios.
B. Cometer el error tipo II significaría enfrentarse a pérdidas económicas en un sistema
que no es rentable.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
10. Un candidato de un partido político considera que al menos el 40% de los electores tienen
una opinión favorable acerca de sus planteamientos y, por tanto, votarían por él en las
próximas elecciones. Para comprobar si su expectativa es acertada, decidió efectuar una
encuesta entre un grupo de 200 electores, de los cuales 70 dijeron tener simpatía por este
candidato. Las elecciones se ganan con al menos el 40% de los votos y el candidato
participará solo si posee posibilidades de contar con al menos el 40% de los votos. Con
respecto a esta situación se han realizado dos afirmaciones:
A. Cometer el error tipo II significaría no participar en una elección que pudo haber
ganado.
B. Cometer el error tipo I significaría gastar muchos recursos en propaganda en una
elección que no ganaría.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
11. Las autoridades sanitarias consideran que los recién nacidos procedentes de zonas rurales
deberían pesar al menos 2500 gramos al nacer, en promedio. De presentarse una media
inferior, valdría la pena implementar un programa para la mejora de la atención prenatal en
las zonas rurales. Se decide hacer un estudio por muestreo para valorar esta decisión. Con
respecto a esta situación se han realizado dos afirmaciones:
A. Cometer el error tipo II significaría un deterioro de las condiciones de salud de una
población.
B. Cometer el error tipo I significaría destinar recursos a un programa innecesario.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
12. Con respecto al nivel de significancia usado en las pruebas de hipótesis se han realizado
dos afirmaciones:
A. Generalmente es de 1% o de 5%.
B. Representa la posibilidad de aceptar una hipótesis incorrecta.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
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13. Un contrato laboral exige los operarios realicen una producción diaria no menor de 50
unidades. Una muestra de 150 días de producción revela una media de 47,3 unidades, con una
desviación estándar de 5,7 unidades, ¿se cumple con la disposición del contrato?
En este problema la hipótesis nula es:
(a) La producción media diaria es de 50 unidades.
(b) La producción media diaria es menor que 50 unidades.
(c) La producción media diaria es de 47,3 unidades.
(d) La producción media diaria es mayor que 50 unidades.
14. Un contrato laboral exige los operarios realicen una producción diaria no menor de 50
unidades. Una muestra de 150 días de producción revela una media de 47,3 unidades, con una
desviación estándar de 5,7 unidades, ¿se cumple con la disposición del contrato?
En este problema la hipótesis alternativa es:
(a) La producción media diaria es de 47,3 unidades.
(b) La producción media diaria es menor que 50 unidades.
(c) La producción media diaria es de 47,3 unidades.
(d) La producción media diaria es mayor que 47,3 unidades.
15. En un colegio se estima que, cuando mucho, 25% de los estudiantes se traslada a clases en
bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 180
estudiantes, se encuentra que 60 utilizan este transporte?
En este problema la hipótesis nula es:
(a) Una proporción de 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(b) Una proporción de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(c) Una media de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(d) Una proporción mayor que 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
16. En un colegio se estima que, cuando mucho, 25% de los estudiantes se traslada a clases en
bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 180
estudiantes, se encuentra que 60 utilizan este transporte?
En este problema la hipótesis alternativa es:
(a) Una proporción de 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(b) Una proporción menor que 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(c) Una media mayor de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
(d) Una proporción mayor que 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.
17. Con respecto al procedimiento de prueba de hipótesis se han realizado dos afirmaciones:
A. La prueba de hipótesis solo indica si la hipótesis es apoyada o no por los datos
disponibles.
B. Cuando no se rechaza la hipótesis nula, no se dice que sea verdadera, sino que
probablemente es verdadera.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
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231
18. Con respecto al valor P (que ofrecen la mayoría de los programas de computación como
parte de la prueba de hipótesis) se han realizado dos afirmaciones:
A. El valor P es la probabilidad de obtener un valor muestral más extremo que el
observado cuando la hipótesis nula es falsa.
B. El valor P es el menor nivel de significación al que se puede rechazar la hipótesis nula
cuando sea verdadera.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
19. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se cuenta con
datos de una muestra de 58 observaciones y se conoce el valor de la desviación estándar
poblacional, entonces se emplea como estadístico de prueba:
x
x
(a) zc 
(b) zc 
/ n
s/ n
x  nP
x
(c) tc 
(d) z 
nPQ
s/ n
20. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se cuenta con
datos de una muestra de 17 observaciones y se conoce el valor de la desviación estándar
poblacional, entonces se emplea como estadístico de prueba:
x
x
(a) zc 
(b) zc 
/ n
s/ n
x  nP
x
(c) tc 
(d) z 
nPQ
s/ n
21. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se cuenta con
datos de una muestra de 17 observaciones y no se conoce el valor de la desviación estándar
poblacional, entonces se emplea como estadístico de prueba:
x
x
(a) zc 
(b) zc 
/ n
s/ n
x  nP
x
(c) tc 
(d) z 
nPQ
s/ n
22. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se cuenta con
datos de una muestra de 90 observaciones y no se conoce el valor de la desviación estándar
poblacional, entonces se emplea como estadístico de prueba:
x
x
(a) zc 
(b) zc 
/ n
s/ n
x  nP
x
(c) tc 
(d) z 
nPQ
s/ n
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232
23. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se dice que la
prueba es de dos colas, entonces es verdadero que la hipótesis alternativa puede ser (donde μ0
es el valor hipotético de la media poblacional):
(a) H1: μ > μ0
(b) H1: μ < μ0
(c) H1: μ ≠ μ0
(d) H1: μ = μ0
24. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que no se
rechazó la hipótesis nula, entonces puede ser verdadero que:
(a) zc  zt
(b) tc  tt
(c) tc  tt
(d) Ninguna de las anteriores
25. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que se
rechazó la hipótesis nula, entonces puede ser verdadero que:
(a) z c  z t
(b) t c  t t
(c) z c  z t
(d) Ninguna de las anteriores
26. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que se
rechazó la hipótesis nula, entonces puede ser verdadero que:
(a) z c  z t
(b) valor P < 
(c) tc  tt
(d) valor P > 
27. Si se realiza una prueba de hipótesis de dos colas, con un nivel de significancia del 5%,
entonces el valor z crítico es:
(a) 2,00
(b) 1,645
(c) 1,28
(d) 1,96
28. Si se realiza una prueba de hipótesis de dos colas, con un tamaño de muestra de 10
observaciones y un nivel de significancia del 5%, entonces el valor t crítico es:
(a) 1,96
(b) 2,262
(c) 1,833
(d) 2,228
29. Observe la gráfica:
Con respecto a la gráfica anterior, es falso que:
(a) Si zc es –2,56, se rechaza la hipótesis nula.
(b) Si zc es –1,88, se acepta la hipótesis nula.
(c) Si zc es –3,02, el valor P es menor que el nivel de significancia.
(d) Si |zc| es 2,33, se rechaza la hipótesis nula.
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30. Observe la gráfica:
Con respecto a la gráfica anterior, es falso que:
(a) La prueba es de una cola.
(b) El nivel de significancia es 1%.
(c) La hipótesis nula puede ser H1: μ < 50.
(d) Ninguna de las anteriores.
31. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, la hipótesis nula es:
(a) H0: μ = 2,86
(b) H0: μ = 3,13
(c) H0: μ < 3,13
(d) H0: μ = 1,2
32. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, la hipótesis alternativa es:
(a) H1: μ = 2,86
(b) H1: μ = 3,13
(c) H1: μ < 3,13
(d) H1: μ > 2,86
33. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, es cierto que:
(a) Debe calcularse z porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se desconoce σ
(b) Debe calcularse z porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se conoce σ
(c) Debe calcularse t porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se desconoce σ
(d) Debe calcularse t porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se conoce σ
34. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
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234
Para este problema, es cierto que:
(a) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis nula se emplea el signo <
(b) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo <
(c) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo ≠
(d) Es una prueba de dos colas porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo <
35. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, el valor del estadístico de prueba es:
(a) z = –1,13
(b) t = –1,13
(c) t = 1,711
(d) Ninguna de las anteriores
36. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, al calcular el valor tabular crítico para hacer la prueba es cierto que:
(a) Los grados de libertad son 25
(b) Los grados de libertad son 24
(c) Los grados de libertad son 26
(d) No se necesita determinar los grados de libertad
37. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, el valor tabular crítico para hacer la prueba es:
(a) z = –1,645
(b) t = 1,711
(c) t = –1,711
(d) t = 2,064
38. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, al hacer la prueba es verdadero que:
(a) Se acepta la hipótesis nula porque tc < tt
(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| < |tt|
(c) Se rechaza la hipótesis nula porque tc > tt
(d) Se acepta la hipótesis nula porque |zc|< |zt|
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235
39. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene
3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio
de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de
significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad
es igual a la media nacional?
Para este problema, al hacer la prueba se puede concluir, con respecto al tamaño medio de los
hogares del área metropolitana, que:
(a) El tamaño medio es 2,86 miembros
(b) El tamaño medio es 3,13 miembros
(c) No hay evidencia suficiente para decir que el tamaño medio es menor que 3,13 miembros
(d) Hay evidencia suficiente para decir que el tamaño medio es menor que 3,13 miembros
Respuestas a los ejercicios de selección única:
1. b
6. b
11. a
16. d
21. c
26. b
31. b
36. b
2. a
7. c
12. a
17. a
22. b
27. d
32. c
37. c
3. b
8. a
13. a
18. d
23. c
28. b
33. d
38. b
4. c
9. a
14. b
19. a
24. c
29. d
34. b
39. c
5. d
10. c
15. b
20. a
25. a
30. d
35. b
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236
11
.
Pruebas de hipótesis para la
diferencia de dos medias o
proporciones poblacionales
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Identificar los distintos tipos de problemas para la diferencia de dos medias poblacionales
2. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de medias de dos
poblaciones independientes con distintos tamaños de muestra
3. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de medias con datos
apareados
4. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de diferencia de dos
proporciones
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237
Ejemplo
Una empresa posee operaciones en dos países distintos y en cada país
posee una planta de producción. En uno de los países se tienen 2000
empleados y en el otro 3000. En ambas plantas se realizan los mismos
procesos, pero se ha observado que, según algunos datos muestrales, la
productividad de los operarios tiende a ser mayor en uno de los países que
en el otro.
Los datos recopilados se muestran en la tabla (la media y la desviación
estándar se expresan en número de unidades producidas correctamente por
hora):
Tamaño de
muestra
n
40
50
Planta de
producción
En el país 1
En el país 2
Desviación
estándar

3,1
4,2
Media
x
22
31
Determine, a un nivel de significación del 5%, si se presenta diferencia
entre los dos promedios.
Solución
Se tiene que n1 = 40, n2 = 50, x1 = 22, x 2 = 31, σ1 = 3,1 y σ2 = 4,2.
El ejercicio busca determinar si existe diferencia, por lo que se tendrá que
probar si δ = 0.
Además, se indica que α = 0,05.
Entonces, se plantea la hipótesis nula como:
H0: μ1 – μ2 = 0
Como x1 = 22 < x 2 = 31, entonces se formula la hipótesis alternativa
como:
H1: μ1 – μ2 < 0
Se usa Z porque aunque las desviaciones estándar poblacionales son
desconocidas, se tienen muestras grandes (n ≥ 30):
z
( x1  x 2 )  

2
1
n1


2
2
n2

(22  31)  0
3,12 4,2 2

40
50
 11,69
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238
De la tabla normal con un nivel de significación del 5% se obtiene Zα =
1,645. El valor de Z calculado con la fórmula es menor que el Zα por lo
tanto cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se concluye que se
rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir que existe evidencia suficiente
para creer que la productividad en el primer país es menor que en el
segundo.
Ejemplo
Un vendedor de equipo tecnológico quiere determinar si hay diferencias en
el consumo de este tipo de productos por parte de entre los profesionales
en ciencias económicas y profesionales en ingeniería, pues ha tenido muy
buena experiencia vendiendo equipos para el primer profesional
mencionado.
Seleccionó una muestra al azar de 80 profesionales en ciencias económicas
y 70 ingenieros, encontrando que los primeros gastaron un promedio de
$1.250 en productos tecnológicos durante el último año, con una
desviación estándar de $400. Los ingenieros gastaron en promedio $980,
con una desviación estándar de $620. ¿Existe diferencia significativa, al
1% de significancia entre ambas poblaciones?
Solución
En esta situación se tienen los datos para los dos grupos de profesionales,
las cuales se pueden resumir del modo siguiente:
Grupo
Tamaño de muestra
Promedio
Desviación estándar
1
Ciencias económicas
80
$1.250
$400
2
Ingeniería
70
$980
$620
Se plantean la hipótesis nula como la igual de las dos medias, o sea, que la
diferencia es cero:
H0: μ1 – μ2 = 0
También podrían plantearse la hipótesis nula como:
H0: μ1 = μ2
De acuerdo con la evidencia de la muestra, el promedio para los
profesionales en ciencias económicas es mayor, por lo que la hipótesis
alternativa podría plantearse como:
H1: μ1 > μ2
Así, las hipótesis serían:
H0: μ1 = μ2
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239
H1: μ1 > μ2
Dado que se cuenta con tamaños de muestra superiores a 30 unidades, y se
conocen las desviaciones estándares poblacionales, entonces se aplica el
estadístico de prueba z:
z
( x1  x 2 )  
 12
n1

 22
n2

(1250  980)  0
400 2 620 2

80
70
 3,12
La prueba se realiza a un nivel de significancia del 1%, por lo que de la
tabla de la curva normal estándar se obtiene zt = 2,33.
Dado que el valor crítico | zc | = 3,12 es mayor que | zt | = 2,33, entonces se
rechaza la hipótesis nula. Se concluye que a un nivel de significancia del
1% existe evidencia suficiente para considerar que el consumo de
productos tecnológicos por parte de entre los profesionales en ciencias
económicas es mayor que el de los profesionales en ingeniería.
Ejercicio
de
revisión
Un analista de inversiones requiere asesorar a un cliente con respecto a los
riesgos de invertir en las acciones de dos compañías distintas llamadas
MuchMoney y VeryRich. Para ello toma una muestra de 40 variaciones
diarias en los precios de MuchMoney y obtiene un promedio de $2,8 con
una desviación estándar de $1,2; y una muestra de 50 variaciones diarias
de los precios de VeryRich, las cuales dan una media de $3,5 con una
desviación estándar de $1,8. ¿Es esta evidencia suficiente para considerar
que el comportamiento de ambas acciones es el mismo o son diferentes?
Solución:
Se tiene que n1 = 40, n2 = 50, x1 = 2,8, x 2 = 3,5, σ1 = 1,2 y σ2 = 1,8.
El ejercicio busca determinar si existe diferencia, por lo que se tendrá que
probar si δ = 0.
Se tomará α = 0,05.
Entonces, se plantea la hipótesis nula como:
H0: μ1 – μ2 = 0
Como x1 = 2,8 < x 2 = 3,5, entonces se formula la hipótesis alternativa
como:
H1: μ1 – μ2 < 0
Se usa Z porque aunque las desviaciones estándar poblacionales son
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240
desconocidas, se tienen muestras grandes (n ≥ 30):
z
( x1  x 2 )  

2
1
n1


2
2
n2

(2,8  3,5)  0
1,2 2 1,8 2

40
50
 2,20
De la tabla normal con un nivel de significación del 5% se obtiene Zα =
1,645. El valor de Z calculado con la fórmula es, en valor absoluto, mayor
que el Zα por lo tanto cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se
concluye que se rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir que existe
evidencia suficiente para creer que el comportamiento de ambas acciones
no es el mismo.
Uso de Minitab para realizar la prueba de dos medias
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el problema: Un vendedor de equipo
tecnológico quiere determinar si hay diferencias en el consumo de este tipo
de productos por parte de entre los profesionales en ciencias económicas y
profesionales en ingeniería, pues ha tenido muy buena experiencia
vendiendo equipos para el primer profesional mencionado. Seleccionó una
muestra al azar de 80 profesionales en ciencias económicas y 70
ingenieros, encontrando que los primeros gastaron un promedio de $1.250
en productos tecnológicos durante el último año, con una desviación
estándar de $400. Los ingenieros gastaron en promedio $980, con una
desviación estándar de $620. ¿Existe diferencia significativa, al 1% de
significancia entre ambas poblaciones?
Solución
En esta situación se tienen los datos para los dos grupos de profesionales,
las cuales se pueden resumir del modo siguiente:
Grupo
Tamaño de muestra
Promedio
Desviación estándar
1
Ciencias económicas
80
$1.250
$400
2
Ingeniería
70
$980
$620
Se plantean la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 > μ2
Dado que se cuenta con tamaños de muestra superiores a 30 unidades, y se
conocen las desviaciones estándares poblacionales, entonces se aplica el
estadístico de prueba z, pero en Minitab no aparece en el menú Estadísticas
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241
/ Estadística básica una prueba "z de 2 muestras", sino que solo aparece "t
de 2 muestras". Sin embargo, la distribución normal y la distribución t
convergen conforme se incrementa el tamaño de la muestra, por lo que
usando el menú "t de 2 muestras" se obtendrán resultados bastante
aproximados. Entonces, se da clic al menú Estadísticas, luego Estadística
básica y se selecciona t de 2 muestras, y se completa el cuadro de diálogo
siguiente:
En el cuadro anterior se marcó la opción datos resumidos, pues ya se
cuenta con los cálculos de la media y la desviación estándar en cada caso.
En el botón opciones se indica el nivel de confianza, que en este caso sería
de 99%, pues la significancia es de 1%. La diferencia de la prueba es cero,
ya que se prueba la hipótesis nula de que ambas medias son iguales. Y la
hipótesis alternativa corresponde a que la primera media es mayor que la
segunda, por lo que se indica "mayor que":
Después se da clic en Aceptar, y luego Aceptar en el primer cuadro de
diálogo, y en la ventana Sesión se obtiene:
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242
Se observa el valor de T = 3,12, que en este caso es igual al valor calculado
de z, y además se cuenta con el valor P = 0,001. Por cualquiera de los dos
criterios se rechaza la hipótesis nula.
Ejemplo
Una empresa desea capacitar en gestión de proyectos a todos sus
profesionales. Una muestra de 15 empleados realizó la capacitación y
efectuaron la prueba para obtener la certificación en dicho tema. De los 15
colaboradores que hicieron, 9 la realizaron en modalidad presencial
(asistiendo a clases) y 6 la efectuaron en línea (a través de internet). La
tabla muestra los resultados obtenidos en la prueba final de cada curso.
Presencial
En línea
79
70
88
80
54
72
81
52
73
70
56
61
79
64
58
El departamento de recursos humanos desea saber si una modalidad de
estudio es más efectiva que la otra. Utilice un nivel de significación del
5%.
Solución
Se tienen los datos:
Modalidad presencial: n1 = 9, x1 = 70,2, s1 = 12,5
Modalidad en línea: n2 = 6, x 2 = 67,50, s2 = 9,71
Además, α = 0,05.
Como no se especifica el valor de la diferencia, puede suponerse que va a
ser cero, por lo que δ = 0. Además como x1 > x 2 , se plantean las hipótesis
como:
H0: μ1 – μ2 = 0
H1: μ1 – μ2 > 0
También, podrían plantearse las hipótesis como:
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243
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 > μ2
Debido a que las desviaciones estándar poblacionales son desconocidas y
se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se supone que las
poblaciones son normales y que σ1 = σ2. Se calcula:
2
2
(n1  1) s12  (n2  1) s 22 (9  1)12,5  (6  1)9,71
 

 132,42
n1  n2  2
962
2
Luego se calcula t:
t
( x1  x 2 )  

2
n1


2

n2
(70,2  67,5)  0
132,42 132,42

9
6
 0,45
Aplicando la distribución t:
gl = n1 + n2 –2 = 9 + 6 – 2 = 13
Entonces de la tabla con α = 0,05, se obtiene tα = 1,771.
El valor de t calculado con la fórmula es menor que el tα, por lo tanto, cae
en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α = 0,05. Se
puede decir que la diferencia entre los promedios de ambas modalidades
de estudio no es estadísticamente significativa.
Ejemplo
Los datos corresponden a los tiempos, en minutos, requeridos por una
muestra de empleados de dos departamentos distintos de una empresa en
un simulacro de evacuación de las instalaciones, esto como parte de la
preparación que se realiza ante eventuales situaciones de emergencia,
como terremotos o incendios.
Depto. 1
Depto. 2
5
4
3
2
4
5
1
4
3
6
4
3
9
2
2
Se desea saber a un nivel de significación del 5% si la diferencia de los
tiempos promedio de los dos grupos es significativa.
Solución
Se tienen los datos: n1 = 8, x1 = 3,875, s1 = 2,416, n2 = 7, x 2 = 3,714, s2 =
1,496, α = 0,05. Como no se especifica el valor de la diferencia, puede
suponerse que va a ser cero, por lo que δ = 0. Además como x1 > x 2 , se
plantean las hipótesis como:
H0: μ1 = μ2
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244
H1: μ1 > μ2
Debido a que las desviaciones estándar poblacionales son desconocidas y
se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se supone que las
poblaciones de los tiempos son normales y que σ1 = σ2. Se calcula:
2
2
(n1  1) s12  (n2  1) s 22 (8  1)2,416  (7  1)1,496
 

 4,176
n1  n2  2
872
2
Luego se calcula t:
t
( x1  x 2 )  
2
n1

2
n2

(3,875  3,714)  0
4,176 4,176

8
7
 0,152
Aplicando la distribución t:
gl = n1 + n2 –2 = 8 + 7 – 2 = 13
Entonces tα = 1,771 de la tabla con α = 0,05.
El valor de t calculado con la fórmula es menor que el tα, por lo tanto, cae
en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α = 0,05. Se
puede decir que la diferencia entre los promedios de los tiempos de
evacuación de los dos departamentos no es estadísticamente significativa.
Ejercicio
de
revisión
Un investigador desea determinar si la tasa de mortalidad anestésica se ha
incrementado en los hospitales del país durante el último año. Toma una
muestra de 15 casos de pacientes anestesiados durante este último mes, de
los cuales fallecieron por anestesia dos de ellos, y una muestra de 13 casos
de pacientes anestesiados para el mismo mes del año pasado, y los
registros indican que falleció solamente uno. ¿Son estos datos evidencia
suficiente para concluir que la mortalidad anestésica se ha incrementado?
Use un nivel de significancia del 1%.
Solución:
Se cuenta con la siguiente información:
Último mes este año: p1 = 2/15 = 0,1333
Mismo mes año anterior: p2 = 1/13 = 0,0769
Entonces se calcula p:
p
p1  p 2
2 1

 0,1071
n1  n2 15  13
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245
q = 1 – 0,1071 = 0,8929
Se plantean las hipótesis:
Ho: p1 = p2
H1: p1 > p2
Luego se calcula z:
zc 
p1  p 2
1
1
pq 
 n1 n2




0,1333  0,0769
1 1
0,1071  0,8929  
 15 13 
 0,4814
De la tabla se obtiene Zα/2 = 2,33. El valor de Zc cae en la zona de
aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α = 0,01. La diferencia no
es estadísticamente significativa, es decir, estos datos no apoyan la
afirmación de que la tasa de mortalidad anestésica se ha incrementado en
los hospitales del país durante el último año.
Uso de Minitab para realizar la prueba de dos medias con n pequeña
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el problema: Los datos corresponden a los
tiempos, en minutos, requeridos por una muestra de empleados de dos
departamentos distintos de una empresa en un simulacro de evacuación de
las instalaciones, esto como parte de la preparación que se realiza ante
eventuales situaciones de emergencia, como terremotos o incendios.
Depto. 1
Depto. 2
5
4
3
2
4
5
1
4
3
6
4
3
9
2
2
Se desea saber a un nivel de significación del 5% si la diferencia de los
tiempos promedio de los dos grupos es significativa.
Solución
Primero que todo se introducen los datos en columnas de la hoja de trabajo
de Minitab:
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246
Resulta útil calcular cada una de las medias, para saber que x1 = 3,875 y
que x 2 = 3,714, y se plantean las hipótesis como:
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 > μ2
Debido a que las desviaciones estándar poblacionales son desconocidas y
se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se da clic en el
menú Estadísticas / Estadística básica / t de 2 muestras, y se completa el
cuadro de diálogo siguiente:
En el cuadro de diálogo anterior se marca la opción de Muestras en
diferentes columnas, pues los datos de cada departamento se introdujeron
en una columna separada. Además es necesario marcar la casilla Asumir
varianza iguales. Luego en el botón opciones se indica el nivel de
confianza, que sería de 95%, la diferencia de la prueba, que es cero, y el
signo de la hipótesis alternativa, que es mayor que:
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247
Al dar clic en Aceptar se obtiene en la ventana Sesión la solución
siguiente:
Se observa que el valor calculado de t es 0,15, menor que el tα, por lo
tanto, cae en la zona de aceptación de la hipótesis nula. O bien, se usa el
valor P = 0,441. Se acepta Ho con α = 0,05. Se puede decir que la
diferencia entre los promedios de los tiempos de evacuación de los dos
departamentos no es estadísticamente significativa.
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248
Ejemplo
Los empleados de un departamento de una empresa han realizado un
simulacro de evacuación de las instalaciones, esto como parte de la
preparación que se realiza ante eventuales situaciones de emergencia,
como terremotos o incendios, y se obtuvo, en una muestra de 8 empleados
un tiempo medio de evacuación de 5,25 minutos. Se considera que ese
tiempo es muy alto, por lo que se implementa un plan para informar al
personal sobre los planes de emergencias de la empresa. Luego de estas
medidas se vuelve a realizar el simulacro, y los mismos 8 empleados
promedian 4,5 minutos. La tabla muestra los tiempos antes y después de
las medidas implementadas. Aunque se presenta una mejora, existe la duda
de si esa diferencia es significativa estadísticamente.
Antes
Después
7
5
4
3
5
5
3
4
4
6
5
4
10
6
4
3
Se desea saber a un nivel de significación del 5% si la diferencia de los
tiempos promedio es significativa.
Solución
Primero se calculan las diferencias, di, entre el "antes" y el "después" para
cada una de las observaciones, o sea, se resta el dato "antes" menos el dato
"después":
Antes
Después
Diferencia
7
5
2
4
3
1
5
5
0
3
4
-1
4
6
-2
5
4
1
10
6
4
4
3
1
Con estas diferencias se calcula la media de las diferencias y su desviación
estándar:
x d = 0,75
sd = 1,832
Se plantean las hipótesis:
Ho: μd = 0
H1: μd > 0
Se calcula t:
t
xd
sd
n

0,75
1,832
8
 1,158
Se tienen gl = n –1 = 8 – 1 = 7, con α = 0,05, con una cola, por lo que, de
la tabla, tα = 1,895.
El valor de t calculado es menor que el tα, por lo tanto, cae en la zona de
aceptación de la hipótesis nula. Se rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir
que las medidas implementadas no han sido efectivas.
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249
Ejemplo
La tabla muestra las cantidades producidas por hora elaboradas por 8
operarios antes de recibir un entrenamiento y las cantidades producidas
luego de la misma.
Antes
Después
8
6
8
10
9
7
6
11
9
9
7
12
12
14
12
8
Pruebe la afirmación de que la capacitación ha sido efectiva, al nivel de
significancia de 0,05.
Solución
Primero se calculan las diferencias, di: 2, –2, –2, –5, 0, –5, –2, 4.
Con estas diferencias se calcula: x d = –0,75 y sd = 3,33.
Se plantean las hipótesis:
Ho: μd = 0
H1: μd < 0
Se calcula t:
t
xd
sd
n

 0,75
3,33
8
 0,637
Se tienen gl = n –1 = 8 – 1 = 7, con α = 0,05, por lo que, de la tabla de la
distribución t se obtiene tα = 1,895.
El valor de t calculado, en valor absoluto, es menor que el tα, por lo tanto,
cae en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α =
0,05. Se puede decir que no hay evidencia estadística suficiente para
concluir que el entrenamiento ha sido efectivo.
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250
Ejercicio
de
revisión
Un ingeniero desea probar la hipótesis de que los neumáticos para
automóviles fabricados en el país son de tanta calidad como los
importados. Con este fin toma una muestra de 7 vehículos los cuales serán
acelerados hasta 100 km/h y luego serán frenados en seco y en cada caso
se medirá la distancia de frenado. La prueba será aplicada a los mismos 7
vehículos, primero con los neumáticos nacionales y luego con los
importados. Después de realizar las pruebas se obtuvieron los siguientes
datos (distancias de frenado en metros):
Automóvil
Neumático nacional
Neumático importado
1
142
140
2
138
139
3
144
142
4
146
139
5
150
141
6
137
137
7
141
135
Pruebe la hipótesis al 5% de significancia.
Solución:
Primero se calculan las diferencias, di: 2, –1, 2, 7, 9, 0, 6.
Con estas diferencias se calcula: x d = 3,57 y sd = 3,78.
Se plantean las hipótesis:
Ho: μd = 0
H1: μd > 0
Se calcula t:
t
xd
sd
n

3,57
 2,5
3,78 7
Se tienen gl = n –1 = 7 – 1 = 6, con α = 0,05, por lo que, de la tabla de la
distribución t se obtiene tα = 1,943.
El valor de t calculado, en valor absoluto, es mayor que el tα, por lo tanto,
cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se rechaza Ho con α = 0,05.
Se puede decir que hay evidencia estadística suficiente para concluir que la
distancia de frenado de los neumáticos para automóviles fabricados en el
país es mayor que la de los importados.
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251
Uso de Minitab para realizar la prueba con observaciones pareadas
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el siguiente problema. La tabla muestra las
cantidades producidas por hora elaboradas por 8 operarios antes de recibir
un entrenamiento y las cantidades producidas luego de la misma.
Antes
Después
8
6
8
10
9
7
6
11
9
9
7
12
12
14
12
8
Pruebe la afirmación al nivel de 0,05, de que la capacitación ha sido
efectiva.
Solución
En Minitab lo primero que se realiza es la introducción de los datos en dos
columnas distintas de la hoja de trabajo:
Se plantean las hipótesis:
Ho: μd = 0
H1: μd < 0
Para esto se da clic en el menú Estadísticas / Estadística básica / t pareada,
y se completa el cuadro de diálogo siguiente, indicando en Muestras en
columnas las columnas en que se hallan los datos:
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252
En el botón Opciones se indica la diferencia de la prueba, que en este caso
es cero, y el signo de la prueba, que es el menor que de la hipótesis
alternativa:
Luego se da clic en Aceptar y Minitab da el resultado en la ventana Sesión:
En esta salida se observa el valor de t calculado de -0,64, que es necesario
comparar con el valor t tabular. También se puede hacer la prueba
empleando el valor P = 0,272. En cualquier caso, se acepta Ho con α =
0,05. Se puede decir que no hay evidencia estadística suficiente para
concluir que el entrenamiento ha sido efectivo.
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253
Ejemplo
Un investigador en el área de tecnología quiere determinar si hay
diferencias en el uso de las redes sociales en internet entre hombres y
mujeres. Para este fin toma una muestra de 40 hombres y 50 mujeres, y
obtuvo que de ellos 28 hombres empleaban a diario al menos una de estas
redes y 25 mujeres también usaban a diario al menos una de las redes. Con
base en esos datos y a un nivel de significancia de 5%, ¿puede concluirse
que existe diferencia significativa entre hombres y mujeres e n cuanto a su
frecuencia de uso de las redes sociales en internet?
Solución
Se cuenta con la siguiente información:
Hombres: p1 = 28/40 = 0,70
Mujeres: p2 = 25/50 = 0,50
Se plantean las hipótesis:
Ho: p1 = p2
H1: p1 > p2
Primero se calculan p y q:
p1  p 2 28  25

 0,59
n1  n2 40  50
p
q = 1 – 0,5889 = 0,41
Luego se calcula z:
z
p1  p 2
1
1 
pq  
 n1 n2 

0,70  0,50
1 
 1
0,59  0,41  
 40 50 
 1,92
De la tabla se obtiene Zα/2 = 1,96. Como puede verse en el gráfico, el valor
de Zc cae en la zona de aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α =
0,05. La diferencia no es estadísticamente significativa. La proporción de
hombres que emplea a diario las redes sociales en internet no es
significativamente diferente de la proporción de mujeres que realizan esta
actividad.
Ejemplo
En un lote de 500 piezas fabricadas esta semana en una línea de
ensamblado se obtuvieron 18 con defectos. En otro lote de 400 piezas
tomadas de otra línea de ensamblado se obtuvieron 25 defectuosas.
Determine si las líneas producen la misma proporción de piezas con
defectos, al nivel de significación de 5%.
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254
Solución
Se cuenta con la siguiente información:
p1 = 18/500 = 0,036
p2 = 25/400 = 0,0625
Entonces se calcula p:
p
p1  p 2
18  25

 0,0478
n1  n2 500  400
q = 1 – 0,0478 = 0,9522
Se plantean las hipótesis:
Ho: p1 = p2
H1: p1 ≠ p2
Luego se calcula z:
zc 
p1  p 2
1
1
pq 
 n1 n2




0,036  0,0625
1 
 1
0,0478  0,9522


 500 400 
 1,852
De la tabla se obtiene Zα/2 = 1,96. El valor de Zc cae en la zona de
aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α = 0,05. La diferencia no
es estadísticamente significativa. La proporción de piezas con defectos
mayores es igual en las dos líneas de ensamble.
Ejercicio
de
revisión
Un investigador cree que las mujeres emplean la tarjeta de crédito más que
los hombres. Para probar su hipótesis toma una muestra de 90 mujeres y
encuentra que 64 de ellas emplea regularmente la tarjeta de crédito. Por
otro lado, una muestra de 120 hombres arrojó que 76 empleaban la tarjeta
de crédito con regularidad. ¿Tiene razón el investigador? Utilice un nivel
de significancia del 1%.
Solución:
Se cuenta con la siguiente información:
Mujeres: p1 = 64/90 = 0,7111
Hombres: p2 = 76/120 = 0,6333
Entonces se calcula p:
p
p1  p 2
64  76

 0,6667
n1  n2 90  120
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255
q = 1 – 0,6667 = 0,3333
Se plantean las hipótesis:
Ho: p1 = p2
H1: p1 > p2
Luego se calcula z:
zc 
p1  p 2
1
1 
pq  
 n1 n2 

0,7111  0,6333
1 
 1
0,6667  0,3333 

 90 120 
 1,18
De la tabla se obtiene Zα/2 = 2,33. El valor de Zc cae en la zona de
aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α = 0,01. La diferencia no
es estadísticamente significativa, es decir, no apoya la afirmación de que
las mujeres emplean la tarjeta de crédito más que los hombres.
Uso de Minitab para la prueba de dos proporciones
Ejemplo
Utilice Minitab para resolver el problema siguiente: En un lote de 500
piezas fabricadas esta semana en una línea de ensamblado se obtuvieron 18
con defectos. En otro lote de 400 piezas tomadas de otra línea de
ensamblado se obtuvieron 25 defectuosas. Determine si las líneas
producen la misma proporción de piezas con defectos, al nivel de
significación de 5%.
Solución
Se cuenta con la siguiente información:
p1 = 18/500 = 0,036
p2 = 25/400 = 0,0625
Entonces, se plantean las hipótesis:
Ho: p1 = p2
H1: p1 ≠ p2
Ahora se da clic en el menú Estadísticas / Estadística básica / 2
proporciones, y se completa el cuadro de diálogo siguiente, indicando en
Datos resumidos los valores correspondientes:
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256
Luego en el botón Opciones se indica el nivel de confianza, el signo de la
prueba (mayor, menor o diferente en la hipótesis alternativa) y se debe
marcar la casilla Utilice el cálculo agrupado de p para la prueba:
Después se da clic en Aceptar y la salida se obtiene en la ventana sesión:
Se observa el valor de z de -1,85, que cae en la zona de aceptación de H0, o
bien, se emplear el valor P = 0,064, que es mayor que el nivel de
significancia de 0,05. Por lo tanto, se acepta concluye que la diferencia en
la proporción de piezas con defectos mayores no es estadísticamente
significativa.
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257
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de
empleados de la primera empresa, que oyen música, y se midió su productividad. También se
tomó una muestra de empleados de la segunda empresa, que no oyen música, y se midió la
productividad empleando los mismos métodos que en la primera empresa.
En un problema como este, la hipótesis nula se podría expresar como, si μ1 es la
productividad media en la primera empresa y μ2 es la productividad media en la segunda
empresa:
(a) H1: μ1 = μ2
(b) H0: μ1 > μ2
(c) H0: μ1 - μ2 = 0
(d) H0: μ1  μ2
2. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de
empleados de la primera empresa, que oyen música, y se midió su productividad. También se
tomó una muestra de empleados de la segunda empresa, que no oyen música, y se midió la
productividad empleando los mismos métodos que en la primera empresa.
En un problema como este, la hipótesis alternativa se podría expresar como, si μ1 es la
productividad media en la primera empresa y μ2 es la productividad media en la segunda
empresa:
(a) H0: μ1 > μ2
(b) H1: μ1 - μ2 > 0
(c) H1: μ1 = μ2
(d) H1: μ1  μ2
3. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de
empleados de la primera empresa, que oyen música, y se midió su productividad. También se
tomó una muestra de empleados de la segunda empresa, que no oyen música, y se midió la
productividad empleando los mismos métodos que en la primera empresa.
En este problema, si las muestras son grandes y las varianzas poblacionales conocidas, se
emplea el siguiente estadístico de prueba:
xd
( x  x2 )  
(a) t  1
(b) t 
2
2
sd n



n1 n2
(c) z 
p1  p 2
1
1
pq 
 n1 n2



(d) z 
( x1  x 2 )  
 12
n1

 22
n2
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258
4. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de
empleados de la primera empresa, que oyen música, y se midió su productividad. También se
tomó una muestra de empleados de la segunda empresa, que no oyen música, y se midió la
productividad empleando los mismos métodos que en la primera empresa.
En este problema, si las muestras son pequeñas y las varianzas poblacionales desconocidas, se
emplea el siguiente estadístico de prueba:
xd
( x  x2 )  
(a) t  1
(b) t 
sd n
2 2

n1 n2
(c) z 
p1  p 2
1
1 
pq  
 n1 n2 
(d) z 
( x1  x 2 )  
 12
n1

 22
n2
5. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 50
empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades
elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 60 empleados de la segunda
empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce
que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y
la segunda empresa, respectivamente.
Con base en estos datos se puede calcular el estadístico de prueba:
(a) z = 2,09
(b) z = 1,96
(c) t = 2,09
(d) Ninguna de las anteriores
6. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 50
empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades
elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 60 empleados de la segunda
empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce
que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y
la segunda empresa, respectivamente.
En este problema, el valor crítico o tabular para hacer la prueba es, al 5% de significancia:
(a) z = 2,09
(b) z = 1,645
(c) t = 1,96
(d) Ninguna de las anteriores
7. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 50
empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades
elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 60 empleados de la segunda
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259
empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce
que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y
la segunda empresa, respectivamente.
En este problema, es correcto que, al 5% de significancia:
(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |zc| > |zt|
(b) Se acepta la hipótesis nula porque |zc| > |zt|
(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |zc| > |zt|
(d) Ninguna de las anteriores
8. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 50
empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades
elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 60 empleados de la segunda
empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce
que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y
la segunda empresa, respectivamente. Al realizar la prueba de hipótesis el gerente de la
primera empresa indica que "hay evidencia muestral suficiente para considerar que la música
sí tiene efecto positivo sobre la productividad", y el gerente de la segunda empresa expresa
que "la evidencia muestral señala que la diferencia entre las productividades medias entre las
dos empresas es significativa".
Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que, al 5% de significancia:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Ambas son falsas
(c) Solo el primer gerente tiene razón
(d) Solo el segundo gerente tiene razón
9. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los
operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando
algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música
genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 10
empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades
elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 15 empleados de la segunda
empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce
que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y
la segunda empresa, respectivamente.
Con base en estos datos se puede calcular el estadístico de prueba:
(a) t = 2,09
(b) z = 2,09
(c) t = 0,92
(d) Ninguna de las anteriores
10. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que
los operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música
empleando algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree
que la música genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una
muestra de 10 empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40
unidades elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 15 empleados de la
segunda empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se
conoce que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la
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260
primera y la segunda empresa, respectivamente. En este problema, el valor crítico o tabular
para hacer la prueba es, al 5% de significancia:
(a) t = 1,714
(b) z = 1,96
(c) t = 1,645
(d) Ninguna de las anteriores
11. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que
los operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música
empleando algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree
que la música genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una
muestra de 10 empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40
unidades elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 15 empleados de la
segunda empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se
conoce que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la
primera y la segunda empresa, respectivamente.
En este problema, es correcto que, al 5% de significancia:
(a) Se acepta la hipótesis alternativa porque |tc| < |tt|
(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| < |tt|
(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| < |tt|
(d) Ninguna de las anteriores
12. Con respecto a los problemas cuando n1 o n2, o ambas, son menores de 30 y se
desconocen las varianzas poblacionales, se afirma que:
A. Se usa el estadístico z  ( x1  x 2 )   
 12

 22
n1
n2
B. Se usa el estadístico t si se puede suponer que las poblaciones son normales y que
σ1 = σ2 = σ.
Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Ambas son falsas
(c) Solo la afirmación A es verdadera
(d) Solo la afirmación B es verdadera
13. Con respecto a los problemas cuando n1 o n2, o ambas, son menores de 30 y se
desconocen las varianzas poblacionales, se afirma que:
(n  1) s12  (n2  1) s 22
A. Se calcula la varianza como  2  1
n1  n2  2
B. Los grados de libertad son gl = n1 + n2 – 2.
Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Ambas son falsas
(c) Solo la afirmación A es verdadera
(d) Solo la afirmación B es verdadera
14. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se
desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió
a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y
10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños. Los resultados obtenidos fueron:
Adultos
Niños
8
9
5
10
6
7
4
8
5
9
6
6
7
8
3
6
8
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261
En este problema, la hipótesis nula se podría expresar como, si μ1 es la evaluación media de
los adultos y μ2 es la evaluación media de los niños:
(a) H1: μ1 = μ2
(b) H0: μ1 > μ2
(c) H0: μ1 - μ2 = 0
(d) H0: μ1  μ2
15. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se
desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió
a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y
10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños.
Los resultados obtenidos fueron:
Adultos
Niños
8
9
5
10
6
7
4
8
5
9
6
6
7
8
3
6
8
En este problema, la hipótesis alternativa se podría expresar como, si μ1 es la evaluación
media de los adultos y μ2 es la evaluación media de los niños:
(a) H1: μ1 < μ2
(b) H1: μ1 = μ2
(c) H0: μ1 - μ2 < 0
(d) H1: μ1  μ2
16. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se
desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió
a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y
10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños. Los resultados obtenidos fueron:
Adultos
Niños
8
9
5
10
6
7
4
8
5
9
6
6
7
8
3
6
8
En este problema, se puede calcular el estadístico de prueba:
(a) |z| = 3,32
(b) t = 1,771
(c) t = -3,32
(d) Ninguna de las anteriores
17. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se
desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió
a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y
10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños.
Los resultados obtenidos fueron:
Adultos
Niños
8
9
5
10
6
7
4
8
5
9
6
6
7
8
3
6
8
En este problema, se puede calcular el valor crítico o tabular, al 5% de significancia:
(a) z = -1,645
(b) t = -1,753
(c) t = -1,746
(d) Ninguna de las anteriores
18. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se
desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió
a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y
10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños.
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262
Los resultados obtenidos fueron:
Adultos
Niños
8
9
5
10
6
7
4
8
5
9
6
6
7
8
3
6
8
En este problema, es correcto que, al 5% de significancia:
(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |tc| > |tt|
(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| > |tt|
(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| > |tt|
(d) Ninguna de las anteriores
19. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo. Los
resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
En este problema se puede plantear la hipótesis nula, donde μd es la media de las diferencias
entre los tiempos con y sin uso del celular:
(a) Ho: μd = 0
(b) Ho: μd  0
(c) H1: μd = 0
(d) Ninguna de las anteriores
20. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo.
Los resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
En este problema no se puede plantear la hipótesis alternativa del modo siguiente, donde μ d es
la media de las diferencias entre los tiempos con y sin uso del celular:
(a) H1: μd < 0
(b) H1: μd  0
(c) H1: μd > 0
(d) Ninguna de las anteriores
21. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo.
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263
Los resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
La desviación estándar de las diferencias es:
(a) 1,033
(b) 1,067
(c) 2,2
(d) Ninguna de las anteriores
22. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo. Los
resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
En este problema se emplea el siguiente estadístico de prueba:
(a) z = 6,74
(b) t = 2,12
(c) t = 6,74
(d) Ninguna de las anteriores
23. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo. Los
resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
En este problema, es correcto que, al 5% de significancia:
(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |tc| > |tt|
(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| > |tt|
(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| > |tt|
(d) Ninguna de las anteriores
24. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas
duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y
cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser
atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar
la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo.
Los resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):
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264
Persona
Usando celular
Sin usar celular
1
6
5
2
8
6
3
10
7
4
9
6
5
7
5
6
12
8
7
8
7
8
9
7
9
15
12
10
9
8
En este problema, se puede concluir que, al 5% de significancia:
(a) No existe diferencia significativa entre los tiempos promedio de los peatones que cruzan la
calle usando el teléfono celular y los que no lo hacen.
(b) Los tiempos promedio de los peatones que cruzan la calle usando el teléfono celular y los
que no lo hacen son iguales.
(c) Los tiempos promedio de los peatones que cruzan la calle usando el teléfono celular son
menores que los tiempos de los que no lo hacen.
(d) Ninguna de las anteriores
25. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento.
¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios actuales tienen
mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
En este problema, la hipótesis nula se puede plantear como:
(a) H1: P1 = P2
(b) H0: P1 > P2
(c) H0: P1 - P2 = 0
(d) H0: P1  P2
26. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios
actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
En este problema, si P1 es la proporción de usuarios actuales que comprarían el nuevo modelo
en la semana del lanzamiento y P2 es la proporción de no usuarios actuales que comprarían el
nuevo modelo en la semana del lanzamiento, la hipótesis alternativa se puede plantear como:
(a) H1: P1 = P2
(c) H1: P1 - P2 < 0
(b) H1: P1 > P2
(d) H1: P1  P2
27. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios
actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
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265
En este problema, si las muestras son grandes, se emplea el siguiente estadístico de prueba:
xd
( x  x2 )  
(a) t  1
(b) t 
2
2
sd n



n1 n2
(c) z 
p1  p 2
1
1 
pq  
 n1 n2 
(d) z 
( x1  x 2 )  
 12
n1

 22
n2
28. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios
actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
En este problema se emplea el siguiente estadístico de prueba:
(a) z = 1,07
(b) z = 1,96
(c) z = 1,10
(d) Ninguna de las anteriores
29. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios
actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
En este problema el cálculo agrupado de p da por resultado:
(a) 0,25
(b) 0,2429
(c) 0,4857
(d) Ninguna de las anteriores
30. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará
un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió
que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo
modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son
usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del
lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios
actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?
En este problema, al 1% de significancia, se puede concluir con respecto a la diferencia entre
la proporción de clientes actuales que comprarían el nuevo modelo y la proporción de los que
no son usuarios actuales que también comprarían el nuevo modelo que:
(a) Existe diferencia significativa entre ambas proporciones.
(b) Ambas proporciones son iguales.
(c) La evidencia muestral no indica que haya diferencia significativa.
(d) Ninguna de las anteriores
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266
Respuestas a los ejercicios de selección única:
1. c
6. b
11. b
16. c
21. a
26. b
2. b
7. c
12. d
17. b
22. c
27. c
3. d
8. a
13. a
18. c
23. c
28. a
4. a
9. c
14. c
19. a
24. d
29. a
5. a
10. a
15. a
20. d
25. c
30. c
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267
12
.
Correlación lineal y regresión lineal
simple
OBJETIVOS:
Al concluir el capítulo, será capaz de:
1. Aplicar el concepto de correlación para analizar la relación dos variables
2. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal simple
3. Distinguir los conceptos de correlación y causalidad
4. Calcular e interpretar los coeficientes de la recta de regresión lineal simple
5. Calcular e interpretar el coeficiente de determinación
6. Emplear la ecuación de la recta de regresión para interpolar y extrapolar nuevos valores de
las variables del modelo
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268
Ejemplo
Un investigador desea analizar la relación entre el número de horas que un
grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen de estadística y la
nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba. ¿Cuáles son las
variables de este problema y cuáles son los datos que el investigador podría
buscar?
Solución
En este caso el investigador analiza la relación entre las dos variables
mencionadas, número de horas que un grupo de estudiantes dedica a
prepararse para un examen de estadística (variable x) y la nota que cada uno
de ellos obtiene en dicha prueba (variable y).
El investigador debe tomar una muestra de estudiantes y registrar los valores
de ambas variables. Suponga que los resultados de observar ocho estudiantes
se resumen en la tabla (las notas están expresadas en una escala de 0 a 100):
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
Ejemplo
Construya el diagrama de dispersión para los datos recopilados en el caso
del investigador que analiza la relación entre el número de horas que un
grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen de estadística y la
nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Solución
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
Para construir el diagrama de dispersión se trazan primero los dos ejes
cartesianos, y luego cada par de valores (x, y) se representa como un punto
en el gráfico. En este caso, por ejemplo, el punto que se encuentra más arriba
a la derecha representa al estudiante número 1, que estudió 21 horas para su
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269
examen y obtuvo una calificación de 80 puntos. El punto que se encuentra
más a la izquierda representa al estudiante número 7, que estudió solo 6
horas y obtuvo una nota de 50.
90
Calificación examen (Y)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Horas de estudio (X)
Ejercicio
de
revisión
En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso familiar
mensual y los gastos mensuales en esparcimiento de las familias. La tabla
muestra los datos para una muestra de 12 familias:
Número
de familia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ingreso familiar mensual
(X, en $)
500
1200
1800
2500
750
800
900
1000
400
650
825
750
Gasto mensual en esparcimiento
(Y, en $)
60
100
150
300
50
30
80
75
25
60
95
60
Construya el diagrama de dispersión.
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270
Solución:
Gasto mensual en esparcimiento
350
300
250
200
150
100
50
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Ingreso familiar mensual
Ejemplo
Construya el diagrama de dispersión, usando Excel y Minitab, para los datos
recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el
número de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un
examen de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha
prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Solución
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
En Excel se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada:
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271
Luego se seleccionan los datos, se da clic en la pestaña Insertar, se
selecciona en la sección Gráficos y se elige la primera opción de Dispersión:
Así, aparecerá en la hoja de Excel el gráfico construido:
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
En Minitab se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada de la hoja de trabajo:
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272
Luego se da clic en el menú Gráfica, y se elige Dispersión. En el cuadro de
diálogo se escoge la opción Simple y se completa el cuadro de diálogo
siguiente:
Al dar clic en el botón Aceptar se obtiene el gráfico en una ventana separada
en Minitab:
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273
Ejemplo
Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson para los datos
recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el
número de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un
examen de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha
prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Solución
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
Para el cálculo del coeficiente conviene preparar una tabla como la
siguiente, en la cual se han agregado tres columnas más, una para los
productos de cada valor de X por cada valor de Y, otra para calcular los
cuadrados de cada valor de X, y una más para cada calcular los cuadrados de
cada valor de Y. Al final se agregó una línea más para calcular las sumatorias
de cada una de las columnas.
1
2
3
4
5
6
7
8
X
Y
21
15
15
9
12
18
6
12
80
60
70
40
60
70
50
50
XY
X2
Y2
Total 
–
Ahora se completan las tres columnas nuevas. La columna XY se completa
multiplicando cada X por cada Y. Por ejemplo, se multiplica 21 por 80, y así
obtiene 1680, después multiplica 15 por 60, que es 900, y así sucesivamente.
La columna X2 se completa elevando al cuadrado cada valor de X. Por
ejemplo, se eleva al cuadrado 21, y así obtiene 441, después eleva al
cuadrado 15, que es 225, y así sucesivamente se completa la columna. La
columna Y se completa elevando al cuadrado cada Y. Por ejemplo, se eleva
80 al cuadrado, y así obtiene 6400, después eleva al cuadrado 60, que es
3600, y así sucesivamente.
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274
1
2
3
4
5
6
7
8
X
Y
XY
X2
Y2
21
15
15
9
12
18
6
12
80
60
70
40
60
70
50
50
1680
900
1050
360
720
1260
300
600
441
225
225
81
144
324
36
144
6400
3600
4900
1600
3600
4900
2500
2500
Total 
Luego se calculan las sumatorias o totales de cada una de las columnas:
1
2
3
4
5
6
7
8
Total 
X
Y
XY
X2
Y2
21
15
15
9
12
18
6
12
108
80
60
70
40
60
70
50
50
480
1680
900
1050
360
720
1260
300
600
6870
441
225
225
81
144
324
36
144
1620
6400
3600
4900
1600
3600
4900
2500
2500
30000





X
Y
XY
X
2
Y2
Finalmente se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de
correlación lineal:
r
N  XY  ( X )( Y )
( N  X 2  ( X ) 2 )( N  Y 2  ( Y ) 2 )
Los valores a sustituir son:
N = 8, X = 108, Y = 480, XY = 6870, X2 = 1620, Y2 = 30000:
r
8  6870  108  480
(8  1620  (108) 2 )(8  30000  (480) 2 )
r = 0,885
–
Ejercicio
de
En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso familiar
mensual y los gastos mensuales en esparcimiento de las familias. La tabla
muestra los datos para una muestra de 12 familias:
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275
revisión
Número
de familia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ingreso familiar mensual
(X, en $)
500
1200
1800
2500
750
800
900
1000
400
650
825
750
Gasto mensual en esparcimiento
(Y, en $)
60
100
150
300
50
30
80
75
25
60
95
60
Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
Solución:
Se construye la tabla de las sumatorias o totales de cada una de las
columnas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total 
X
Y
XY
X2
Y2
500
1200
1800
2500
750
800
900
1000
400
650
825
750
12075
60
100
150
300
50
30
80
75
25
60
95
60
1085
30000
120000
270000
750000
37500
24000
72000
75000
10000
39000
78375
45000
1550875
250000
1440000
3240000
6250000
562500
640000
810000
1000000
160000
422500
680625
562500
16018125
3600
10000
22500
90000
2500
900
6400
5625
625
3600
9025
3600
158375


X
Y

XY

X2

Y2
Se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de correlación lineal:
r
N  XY  ( X )( Y )
( N  X 2  ( X ) 2 )( N  Y 2  ( Y ) 2 )
Los valores a sustituir son:
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276
r
12  1550875  12075  1085
(12  16018125  (12075) 2 )(12  158375  (1085) 2 )
r = 0,9509
Ejemplo
Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson, usando Excel y
Minitab, para los datos recopilados en el caso del investigador que analiza la
relación entre el número de horas que un grupo de estudiantes dedica a
prepararse para un examen de estadística y la nota que cada uno de ellos
obtiene en dicha prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Solución
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
En Excel se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada:
Luego en una celda separada se introduce la función:
=COEF.DE.CORREL(matriz1;matriz2)
Como los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de Y
se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del modo
siguiente:
=COEF.DE.CORREL(A2:A9;B2:B9)
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277
Al presionar la tecla Enter (o Intro) se obtiene el valor del coeficiente de
correlación r = 0,885.
En Minitab se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada de la hoja de trabajo:
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se selecciona Estadística básica y
ahí se busca la opción Correlación. Se debe completar el siguiente cuadro de
diálogo seleccionando las variables de la lista de la izquierda (debe dar doble
clic sobre cada una):
Al dar clic en el botón Aceptar se obtiene el valor del coeficiente de
correlación r = 0,885 en la ventana Sesión de Minitab:
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278
Ejemplo
Para el caso del investigador que desea analizar la relación entre el número
de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen
de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.
¿Cuál sería el modelo que se podría plantear?
Solución
En este caso el investigador analiza la relación entre las dos variables
mencionadas, número de horas que un grupo de estudiantes dedica a
prepararse para un examen de estadística (variable x) y la nota que cada
uno de ellos obtiene en dicha prueba (variable y).
El investigador tomó una muestra de estudiantes y registró los valores de
ambas variables y obtuvo un coeficiente de correlación lineal de Pearson
de r = 0,885, que indica una correlación lineal directa y fuerte entre las dos
variables. Conceptualmente es razonable considerar que la variable
número de horas que un estudiante dedica a prepararse para un examen de
estadística (variable x) pueda ser determinante de la nota que obtiene en
dicha prueba (variable y), por lo que podría formularse un modelo lineal
del tipo:
y = a + bx
donde y es la nota obtenida en el examen, y x es el número de horas
dedicadas a la preparación para el examen.
La constante a indicaría la nota que se obtendría si no se estudiara para el
examen (cero horas de preparación) y la pendiente b indicaría lo que se
esperaría que aumente la nota en el examen por cada hora adicional
dedicada a la preparación para esta prueba. También podría expresarse:
Nota = a + b * Horas de preparación
Ejemplo
Construya el modelo de regresión lineal para los datos recopilados en el caso
del investigador que analiza la relación entre el número de horas que un
grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen de estadística y la
nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
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279
Solución
Las fórmulas de los coeficientes de la recta de regresión emplean los mismos
datos utilizados en el cálculo del coeficiente de correlación lineal, por lo que
se empleará la misma tabla que se construyó cuando se calculó r. Entonces
los datos disponibles son los siguientes:
1
2
3
4
5
6
7
8
Total 
X
Y
XY
X2
Y2
21
15
15
9
12
18
6
12
108
80
60
70
40
60
70
50
50
480
1680
900
1050
360
720
1260
300
600
6870
441
225
225
81
144
324
36
144
1620
6400
3600
4900
1600
3600
4900
2500
2500
30000

X


Y
XY

X2

Y2
Primero se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de pendiente:
b
N  XY  ( X )( Y )
N  X 2  ( X ) 2
b
8  6870  108  480
8  1620  (108) 2
b = 2,41
Después se sustituye en la fórmula de la constante a:
a
a
Y  b  X
N
N
480
108
 2,41
8
8
a = 27,5
Así, el modelo de regresión es:
y = 27,5 + 2,41x
O bien, Nota= 27,5 + 2,41 * Número de horas de preparación.
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280
Ejercicio
de
revisión
En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso familiar
mensual y los gastos mensuales en esparcimiento de las familias. La tabla
muestra los datos para una muestra de 12 familias:
Número
de familia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ingreso familiar mensual
(X, en $)
500
1200
1800
2500
750
800
900
1000
400
650
825
750
Gasto mensual en esparcimiento
(Y, en $)
60
100
150
300
50
30
80
75
25
60
95
60
Calcule la ecuación de regresión.
Solución:
Se construye la tabla:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total 
X
Y
XY
X2
Y2
500
1200
1800
2500
750
800
900
1000
400
650
825
750
12075
60
100
150
300
50
30
80
75
25
60
95
60
1085
30000
120000
270000
750000
37500
24000
72000
75000
10000
39000
78375
45000
1550875
250000
1440000
3240000
6250000
562500
640000
810000
1000000
160000
422500
680625
562500
16018125
3600
10000
22500
90000
2500
900
6400
5625
625
3600
9025
3600
158375





X
Y
XY
X
2
Y2
Primero se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de pendiente:
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281
b
b
N  XY  ( X )( Y )
N  X 2  ( X ) 2
12  1550875  12075  1085
12  16018125  (12075) 2
b = 0,1187
Después se sustituye en la fórmula de la constante a:
a
a
Y  b  X
N
N
1085
12075
 0,1187
12
12
a = -29,03
Así, el modelo de regresión es:
y = -29,03 + 0,1187x
Ejemplo
Construya, usando Excel y Minitab, el modelo de regresión lineal para los
datos recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el
número de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un
examen de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha
prueba.
Número de estudiante
1
2
3
4
5
6
7
8
Solución
Horas de estudio (X)
21
15
15
9
12
18
6
12
Calificación en el examen (Y)
80
60
70
40
60
70
50
50
–
En Excel se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada:
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282
Luego en una celda separada se introduce la función:
=INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x)
Como los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de Y
se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del modo
siguiente:
=INTERSECCION.EJE(B2:B9;A2:A9)
Al presionar la tecla Enter (o Intro) se obtiene el valor del coeficiente de
intersección a = 27,5.
Después, en otra celda se introduce la función:
=PENDIENTE(conocido_y;conocido_x)
Dado que los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de
Y se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del
modo siguiente:
=PENDIENTE(B2:B9;A2:A9)
Al presionar la tecla Enter (o Intro) se obtiene el valor del coeficiente de
pendiente b = 2,407  2,41.
En Minitab se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna
separada de la hoja de trabajo:
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283
Luego se da clic en el menú Estadísticas, se selecciona Regresión y ahí se
busca la opción Regresión. Se debe completar el siguiente cuadro de diálogo
seleccionando la variable y como Respuesta y la variable x como Predictor:
Luego, en la ventana Sesión de Minitab se obtiene:
En la salida de Minitab aparece claramente la ecuación y otros datos sobre el
análisis de regresión, principalmente en lo relacionado con la significancia
estadística del modelo. A continuación, en este capítulo se expone el valor
que Minitab llama R–cuad.
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284
Ejemplo
Para el caso del investigador que desea analizar la relación entre el número
de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen
de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba, y
para el cual se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson
es r = 0,885. Calcule e interprete el coeficiente de determinación R2.
Solución
Dado que ya se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson
es r = 0,885, basta con elevar ese número al cuadrado para obtener el
coeficiente de determinación R2:
R2 = r2 = (0,885)2 = 0,7832
Este resultado quiere decir que el modelo de regresión planteado explica el
78,32% de la variabilidad de y, o sea, que la relación lineal entre la nota en
el examen de estadística y el número de horas de preparación explica el
78,32% de la variabilidad de las notas.
Este valor de R2 indicaría que es un modelo bastante bueno, pues posee un
poder explicativo alto.
Ejercicio
de
revisión
En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso
familiar mensual (X, en dólares) y los gastos mensuales en esparcimiento
de las familias (Y, en dólares). La ecuación de regresión que se ha obtenido
es Y = -29,0 + 0,119X y se obtuvo el coeficiente de correlación lineal de
Pearson r = 0,951. Calcule el coeficiente de determinación.
Solución:
Dado que ya se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson
es r = 0,951, basta con elevar ese número al cuadrado para obtener el
coeficiente de determinación R2:
R2 = r2 = (0,951)2 = 0,9044
Este resultado quiere decir que el modelo de regresión planteado explica el
90,44% de la variabilidad de y, o sea, que la relación lineal entre el ingreso
familiar mensual (X, en dólares) y los gastos mensuales en esparcimiento
de las familias (Y, en dólares) explica el 90,44% de la variabilidad de los
gastos.
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285
Ejemplo
Para el caso del investigador que desea analizar la relación entre el número
de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen
de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba, en el
cual se había obtenido el modelo y = 27,5 + 2,41x, donde y es la nota en el
examen, y x es el número de horas de preparación para la prueba:
a. Interpole la calificación de un estudiante que haya estudiado 13 horas.
b. Extrapole la calificación de un estudiante que haya estudiado 25 horas.
Solución
a. En este primer ejercicio se habla de interpolación ya que el rango de
valores observados de X, los cuales, si se observa en la tabla de datos de
las dos variables, el menor valor de x fue 6 y el mayor 21, por lo que 13 se
encuentra dentro del rango observado. Entonces, para hallar y se sustituye
el valor x = 13 en la ecuación:
y = 27,5 + 2,41x
y = 27,5 + 2,41 * 13
y = 58,83
b. En este segundo ejercicio se habla de extrapolación ya que x = 13 se
encuentra dentro del rango observado. Entonces, para hallar y se sustituye
el valor x = 25 en la ecuación:
y = 27,5 + 2,41x
y = 27,5 + 2,41 * 25
y = 87,75
Lo anterior se ilustra en la gráfica siguiente:
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286
Ejercicio
de
revisión
En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso
familiar mensual (X, en dólares) y los gastos mensuales en esparcimiento
de las familias (Y, en dólares). La ecuación de regresión que ha obtenido es
Y = -29,0 + 0,119X. Las familias estudiadas tenían ingresos que varían
entre $400 y $2500.
a. Interpole el gasto mensual en esparcimiento para una familia con un
ingreso mensual de $800.
b. Extrapole el gasto mensual en esparcimiento para una familia con un
ingreso mensual de $3000.
Solución:
a. Se sustituye el valor de X = 800 en la ecuación:
Y = -29,0 + 0,119X
Y = -29,0 + 0,119 ∙ 800
Y = 66,2
El modelo estima que el gasto mensual en esparcimiento para una familia
con un ingreso mensual de $800 será de $66,2.
b. Se sustituye el valor de X = 3000 en la ecuación:
Y = -29,0 + 0,119X
Y = -29,0 + 0,119 ∙ 3000
Y = 328
El modelo estima que el gasto mensual en esparcimiento para una familia
con un ingreso mensual de $3000 será de $328.
Examen del capítulo:
En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los
ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).
1. Si un investigador descubre que conforme aumenta el número de usuarios de Facebook que
son casados, también aumenta el número de divorcios, entonces podría considerar que:
(a) El mayor uso de Facebook podría ser causante del aumento en el número de divorcios.
(b) Existe una relación causa – efecto entre las dos variables.
(c) Estas dos variables podrían correlacionarse.
(d) La relación entre las dos variables es fuerte y directa.
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287
2. Con relación a la determinación del grado de asociación estadística entre dos variables, un
investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. Solo se trata de establecer la fuerza o intensidad de la relación.
B. Se determina la naturaleza o dirección de la relación, pero no su intensidad.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
3. Con relación a la determinación del grado de asociación estadística entre dos variables, un
investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. Una fuerte relación entre dos variables implica que exista causalidad.
B. Una fuerte relación entre dos variables es condición necesaria de la existencia de
causalidad entre ellas.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
4. Con relación a la determinación del grado de asociación estadística entre dos variables, un
investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. Es posible encontrar un elevado coeficiente de correlación entre dos variables que no
tienen relación alguna.
B. Un alto coeficiente de correlación entre dos variables es espurio si éste se explica por
la presencia de un tercer factor.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
5. Con relación a la determinación de la causalidad entre dos variables, sería falso que la
variable x causa a la variable y, si:
(a) El coeficiente de correlación entre x y y es cercano a –1.
(b) Las variaciones en x en un periodo podrían asociarse con las variaciones de y en el periodo
siguiente.
(c) Cambios de mayor magnitud en x no se asocian con cambios mayores en y.
(d) Existe teoría que respalda la relación causal entre x y y.
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6. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a –1.
(b) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 1.
(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 0.
(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es mayor que 1.
7. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) La relación entre las variables x y y es fuerte e inversa.
(b) La relación entre las variables x y y es débil e inversa.
(c) La relación entre las variables x y y es fuerte y directa.
(d) La relación entre las variables x y y es débil y directa.
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8. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a –1.
(b) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 1.
(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo y cercano a 0.
(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es negativo y cercano a 0.
9. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) La relación entre las variables x y y es fuerte e inversa.
(b) La relación entre las variables x y y es débil e inversa.
(c) La relación entre las variables x y y es fuerte y directa.
(d) La relación entre las variables x y y es débil y directa.
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290
10. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a –1.
(b) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 1.
(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo y cercano a 0.
(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es negativo y cercano a 0.
11. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
2
(a) La relación entre las variables x y y es fuerte e inversa.
(b) La relación entre las variables x y y es débil e inversa.
(c) La relación entre las variables x y y es fuerte y directa.
(d) La relación entre las variables x y y es débil y directa.
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291
12. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a –1.
(b) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 1.
(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 0.
(d) Ninguna de las anteriores.
13. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:
Y
X
(a) La relación entre las variables x y y es fuerte e inversa.
(b) La relación entre las variables x y y es débil e inversa.
(c) La relación entre las variables x y y es fuerte y directa.
(d) No hay relación entre x y y.
14. Si al correlacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente r = –0,87, puede
afirmarse que:
(a) La correlación entre x y y es directa y fuerte.
(b) La asociación lineal entre x y y es directa y moderada.
(c) Las variables x y y tienen una escasa correlación inversa.
(d) Incrementos en x podrían asociarse sistemáticamente con disminuciones en y.
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292
15. Si al correlacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente r = 0,16, puede
afirmarse que:
(a) La correlación entre x y y es directa y fuerte.
(b) La asociación lineal entre x y y es directa y moderada.
(c) Las variables x y y tienen una escasa correlación inversa.
(d) Un aumento fuerte en x no podría asociarse sistemáticamente con un aumento en y.
16. Si se correlacionan las tasas de interés de los préstamos con la cantidad de viviendas
vendidas por periodo, entonces se esperaría que el coeficiente de correlación entre estas dos
variables sea:
(a) Cercano a cero.
(b) Positivo y cercano a uno.
(c) Negativo.
(d) Ninguna de las anteriores.
17. Si se correlaciona el ingreso disponible de un país con el nivel de consumo agregado,
entonces se esperaría que el coeficiente de correlación entre estas dos variables sea:
(a) Cercano a cero.
(b) Positivo y cercano a uno.
(c) Negativo.
(d) Ninguna de las anteriores.
18. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables x y y:
X
Y
11
61
15
68
18
73
22
78
14
69
18
71
17
74
24
76
Entonces el coeficiente de correlación lineal de Pearson equivale a:
(a) 0,83
(b) 1,16
(c) 0,911
(d) Ninguna de las anteriores
19. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables, la humedad relativa
en distintas zonas, y el número de casos de neumonía que se presentaron en un determinado
periodo:
X
Y
86
11
88
9
93
15
91
17
90
10
87
13
88
16
90
17
Entonces el coeficiente de correlación lineal de Pearson equivale a:
(a) 0,456
(b) 0,208
(c) 0,637
(d) Ninguna de las anteriores
20. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables, la humedad relativa
en distintas zonas, y el número de casos de neumonía que se presentaron en un determinado
periodo:
Humedad relativa
Casos de neumonía
86
11
88
9
93
15
91
17
90
10
87
13
88
16
90
17
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293
Entonces puede concluirse que:
(a) La correlación entre la humedad relativa y el número de casos de neumonía es alta
(b) La humedad relativa es claro determinante del número de casos de neumonía
(c) Los puntos del diagrama de dispersión estarán muy cercanos a una línea recta
(d) Ninguna de las anteriores
21. Al observar la gráfica, donde la línea corresponde a la recta de regresión obtenida por el
método de mínimos cuadrados, podría afirmarse que es falso que:
Y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
X
(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo.
(b) La pendiente de la ecuación de regresión es positiva.
(c) La suma de los cuadrados de los residuos es máxima.
(d) El intercepto de la recta es cercano a 20.
22. Al observar la gráfica, donde la línea corresponde a la recta de regresión obtenida por el
método de mínimos cuadrados, la variable x es el número semanal de unidades producidas en
una fábrica y la variable y corresponde a los costos totales de producción, entonces es falso
que:
Y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
X
(a) La pendiente de la recta es el costo incremental de una unidad producida.
(b) La recta estima los costos totales de la fábrica a distintos niveles de producción.
(c) La pendiente de la recta da el costo unitario de producción.
(d) El intercepto de la recta equivale a los costos fijos de producción.
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294
23. Se ha establecido que la relación entre el número de años de experiencia de un vendedor
(X) y los montos que logra vender por mes (Y, en miles de $) está dada por Y = 0,3 + 2X,
entonces no es verdadero que:
(a) Por cada año de experiencia se espera que sus ventas aumenten en $2 mil al mes.
(b) Si tuviera cero experiencia, se esperaría que venda $0,3 mil.
(c) Si tuviera dos años de experiencia, se esperaría que venda $4,6 millones.
(d) Si tuviera un año de experiencia, se esperaría que venda $2,3 millones.
24. Se ha establecido que la relación entre el gasto en publicidad de una empresa (X) y los
montos que logra vender por mes (Y, en millones de $), está dada por Y = 4,3 + 1,5X, entonces
es verdadero que:
(a) Si la empresa no gasta en publicidad, entonces sus ventas serían de $1,5 millones.
(b) Si la empresa gasta $1 millón más en publicidad, se esperaría que sus ventas aumenten en
$4,3 millones.
(c) El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad y las ventas de la empresa
es positivo.
(d) Ninguna de las anteriores.
25. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables, la humedad relativa
en distintas zonas, y el número de casos de neumonía que se presentaron en un determinado
periodo:
Humedad relativa
Casos de neumonía
86
11
88
9
93
15
91
17
90
10
87
13
88
16
90
17
Entonces puede concluirse que:
(a) La pendiente de la ecuación de regresión es –43,3.
(b) La pendiente de la ecuación de regresión es 0,637.
(c) La pendiente de la ecuación de regresión es 0,456.
(d) Ninguna de las anteriores.
26. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables x y y:
X
Y
11
61
15
68
18
73
22
78
14
69
18
71
17
74
24
76
Entonces la ecuación de regresión lineal, tomando a x como variable independiente, es:
(a) y = 51,2 – 1,16x
(b) y = –33,8 + 0,718x
(c) y = 1,16x + 51,2
(d) Ninguna de las anteriores
27. Si al relacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente R2 = 0,87, entonces
es falso con certeza que:
(a) La correlación entre x y y es fuerte.
(b) El modelo lineal entre x y y explica el 93,3% de la variabilidad de y.
(c) El modelo lineal entre x y y explica el 87% de la variabilidad de y.
(d) El coeficiente de correlación lineal entre las dos variables 0,933.
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295
28. Al relacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente R2 = 0,96. Un
investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. El modelo lineal entre x y y no es un buen modelo, porque tiene escaso poder
explicativo.
B. El ajuste de la recta es muy bueno.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
29. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables x y y:
X
Y
11
61
15
68
18
73
22
78
14
69
18
71
17
74
24
76
Un investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. Al realizar la extrapolación del valor x = 10, se obtiene y = 62,8.
B. Al realizar la interpolación del valor x = 12, se obtiene y = 65,12.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
30. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables x y y:
X
Y
14
65
18
72
11
60
20
75
23
80
14
63
17
70
19
74
15
66
16
64
Un investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:
A. Al realizar la extrapolación del valor x = 10, se obtiene y = 57.
B. Al realizar la interpolación del valor x = 12, se obtiene y = 60,54.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:
(a) Ambas son verdaderas
(b) Solo A es verdadera
(c) Ambas son falsas
(d) Solo B es verdadera
Respuestas a los ejercicios de selección única:
1. c
6. b
11. b
16. c
21. c
26. c
2. c
7. c
12. c
17. b
22. c
27. b
3. d
8. c
13. d
18. c
23. c
28. d
4. a
9. d
14. d
19. a
24. c
29. c
5. c
10. a
15. d
20. d
25. b
30. a
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