Ejercicios de olimpiadas 2

OLIMPIADA MATEMATICA BOLIVIANA
Fundada el 21 de marzo de 1985
DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
PRESENTACION
El presente es un documento que pretende llegar a estudiantes interesados en participar en
pruebas de la Olimpíada Matemática.
No se pretende volver a repetir conceptos, que si bien son importantes, ya se encuentran en la
bibliografía clásica,
Es así que presentamos una colección de ejercicios, los cuales orientarán al estudiante sobre el
alcance que tienen las Olimpiadas Matemáticas.
Se han tomado cuatro áreas importantes de la matemática presentes siempre en pruebas de
competiciones matemáticas:
-
Algebra
Teoría de Números
Combinatoria
Geometría
El libro se presenta con ejercicios preparados para dos niveles:
PRIMER NIVEL Junior: Para estudiantes con edades menores o iguales a 15 años
SEGUNDO NIVEL Senior: Para estudiantes con edades menores o iguales a 18 años
En cada área presentamos ejercicios resueltos, donde indicamos que conceptos deberán repasar
previamente, para la resolución correspondiente.
Los instamos pues a empezar a repasar los conceptos necesarios y a resolver los ejercicios
propuestos.
Con todo cariño.
LOS AUTORES
OLIMPIADA MATEMATICA BOLIVIANA
-
Ing. Gustavo Michel García, Facultad de Ingeniería, Universidad Mayor de San Andrés, La Paz
Ing. Sonia Cordero Cárdenas, Facultad de Ingeniería, Universidad Mayor de San Andrés, La
Paz
Jimmy Santamaría Torrez Ph.D., Carrera de Matemática e Instituto de Investigación
Matemática-IIMAT. Universidad Mayor de San Andrés, La Paz
Ing. Félix Cepeda Ayaviri, Universidad Autónoma Tomas Frías, Potosí
Ing. María Teresa Torres, Universidad Real y Pontificia de San Francisco Xavier, Chuquisaca
Ing. Efraín Martínez, Universidad Autónoma Juan Misael Saracho, Tarija
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
ALGEBRA
PRIMER NIVEL (JUNIOR)
EJEMPLO 1.
Calcular el valor de x en la siguiente ecuación: 4.(82x )= 16 x+1
Debes estudiar previamente:
-Propiedades de exponentes.
-Descomposición de números en factores primos.
Solución.Utilizando propiedades de exponentes y descomponiendo cada número en factores primos:
22 . (23 )2x = (24 )x+1
22 . 26x
= 24(x+1) →
22+6x = 24x+4 → 2+6x= 4x+4 → 6x-4x = 4-2
2x = 2 → x= 1
EJEMPLO 2.
Simplificar la expresión algebraica: ( 92a+b . 3b+3 ) / (81a+2 . 27 b-2 )
Debes estudiar previamente:
-Propiedades de exponentes.
-Descomposición de números en factores primos.
Solución.Utilizando Propiedades de exponentes y descomponiendo cada número en factores primos:
(32 )2a+b . 3b+3 / (34 )a+2 . (33)b-2 = 3 4a+2b+b+3 / 34a+8+3b-6
Sumemos en los exponentes:
34a+3b+3 / 34a+3b+2 = 3 4a+3b+3 – 4a—3b-2 = 31 = 3
RESP.-
3
EJEMPLO 3.
Resolver la ecuación: 4x + 2 x+1 = 8
Debes estudiar previamente:
-Propiedades de exponentes.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
-Debes analizar porque
ax no puede ser negativo?
Solución.Escribimos 4 como 22 : 22x + 2x .2 = 8 , Haciendo el Cambio de Variable: 2x = u
Escribimos:
u2 + 2u – 8 = 0 ,
Factorizando:
(u+4) ( u-2) = 0 , de donde obtenemos
u= 2= 2x , esto es x= 1 .
Nota.- la otra posible opción , u= - 4 = 2x , no tiene solución para x.
EJEMPLO 4.
Sabiendo que : x+ y =4 ; xy= 2 Calcular el valor de x 2 + y2
Debes estudiar previamente:
- Desarrollo del Binomio.
Solución.Recordemos en desarrollo del Binomio
(x+ y)2 = x2 +y2 + 2 xy
Remplazamos las dos condiciones: 42 = x2 + y2 + 2.2
Despejemos x2 + y2 = 16 – 4 = 12
RESP: 12
EJEMPLO 5.
Si el polinomio P(x)= 2x3 + 3x2 - 2x + 1 , se divide entre x – 2 , Calcular el resto en la división.
Debes estudiar previamente:
-
Polinomios de una variable
El Teorema del resto.
Solución.Utilizando el Teorema del Resto. P(a)= R
P(1)= 2. 23 + 3. 22 - 2.2 +1 = 25
RESP.- R= 25
EJEMPLO 6.
Calcular la Suma de los coeficientes del Polinomio P(x) = (x-1)4 + (x-2)5 + (2x-3)3
Debes estudiar previamente:
-
El Binomio de Newton.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
-
Debes analizar en un ejemplo sencillo como por (x+1)2 , donde la suma de coeficientes
se halla haciendo x=1.
Solución.En todos los Binomios hacemos x=1, (porque? ) con lo cual obtenemos:
P(1) = (1-1)4 + (1-2)2 + (2.1-3)3 = 0+ 1 + (-1)3 = 0
RESP.- 0
EJEMPLO 7.
Calcular n si el siguiente polinomio es homogéneo.
P(x,y)= xn+1 .( x3 + 2 y n )
Debes estudiar previamente:
-
Homogeneidad en polinomios
Solución.Para que el polinomio sea Homogéneo, la suma de exponentes en cada término debe ser la
misma.
n+1 + 3 = n+1+n de esta ecuación obtenemos n= 3
RESP .- n= 8.EJEMPLO 8.
Sabiendo que el numero de términos de
𝑥𝑚+ 𝑦𝑛
𝑥 2 +𝑦 3
es 6 . Calcular el 4to término
Debes estudiar previamente:
-
Cocientes notables
Solución.El cociente es Notable si se cumple:
𝑚
2
=
𝑛
3
= 6 =Numero de términos
Obtenemos m=12, n= 18.
Reescribiendo el cociente:
𝑥 12 + 𝑥 18
𝑥 2 +𝑥 3
=
𝑎6 + 𝑏 6
𝑎 +𝑏
= a5 - a4 b + a3 b2 - a2 b3 + a b4 + b5
Donde : a= x2 , b= y3 ,
RESP: 4to termino = - a2 b3 = - x4 . y 9
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplificar
2𝑥+2 −2𝑥+4 + 2𝑥−1
2𝑥+5 −2𝑥 −2𝑥+3
RESP.- -1
2. Resolver la ecuación : 4x+1 + 22x-1 .
RESP.- x= 1
3. Simplificar:
𝑎 −1 𝑏 −2 + 𝑎−2 𝑏 −1
𝑏 −2 −𝑎 −2
RESP.-
𝟏
𝒂−𝒃
; a≠b ≠ 0
4. Calcular la suma de los coeficientes del desarrollo de : (2x+ 3y) 6 .
RESP.- 15625
5. Calcular el coeficiente del tercer termino del desarrollo de:
RESP.- 2
𝑥 12 −16
2𝑥 3 +4
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
TEORIA DE NUMEROS
PRIMER NIVEL (JUNIOR)
EJEMPLO 1.
Antonio multiplicó un número por 2½ y obtuvo 50 como resultado. Sin embargo, él debería haber
dividido el número por 2½ para obtener la respuesta correcta. ¿Cuál es la respuesta correcta?
Debes estudiar previamente:
-
Operaciones básicas entre números racionales
Solución.-


Averiguando el número que se multiplicó por 2½
2½ ∗ ‖ ‖ = 50;

5


Sí, es el 20
A obtener la respuesta correcta:

20 ÷ 2½ = 20 ÷ = 8.
2
∗ ‖ ‖ = 50; Ahora, ¿qué número multiplicado por 5 y dividido entre 2 da 50?
5
2
Respuesta. La respuesta correcta es 8
EJEMPLO 2.
En una fiesta a la que fueran 53 personas, en un momento determinado 8 mujeres no bailan y 15
hombres tampoco. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta?
Debes estudiar previamente:
-
Suma, multiplicación y razonamiento
Solución.



Ordenando la información: 53 personas entre hombres y mujeres. 8 mujeres no bailan. 15
varones no bailan
Luego 8+15=23 personas no bailan.
Entonces 53-23=30 personas bailan por parejas.
Conclusión 15 varones y 15 mujeres bailan
Respuesta: 15 mujeres que bailan + 8 mujeres que no bailan = 23 mujeres asistieron a la fiesta.
EJEMPLO 3.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Hallar el menor de siete impares consecutivos, si se sabe que el promedio de ellos es 41
Debes estudiar previamente:
-
Cálculo del promedio de números enteros
Solución.Razonamiento en base al valor del promedio


El promedio aritmético es el valor que “queda” al centro de los números en cuestión y
notamos que el valor dado es impar.
Si son siete números impares consecutivos el promedio coincide con el valor central de los
impares mencionados. En otras palabras, existen tres impares consecutivos mayores que
41 y tres valores impares consecutivos menores a 41.
Respuesta: 35, 37, 39 (menores), 41 y 43, 45 y 47 (mayores) son los números buscados.
EJEMPLO 4.
¿Cuantos números hay entre 0 y 2016 tales que al leerlos de izquierda a derecha o de derecha a
izquierda, nos da el mismo número? (se llaman números capicúa)
Debes estudiar previamente:
-
Conteo, Operaciones aritméticas básicas
Solución.Hagamos el análisis por partes
Entre 0 y 9:
0, 1, 2, …9
total 10 números
Entre 10 y 99
11, 22, 33, …99
total 9 números
Entre 100 y 199:
101, 111, 121, …191 total 10 números
Entre 200 y 299:
202, 212, 222, …292 total 10 números
…
…
Entre 900 y 999:
909, 919, 929, …999 total 10 números
Total entre 0 y 999
total 109 números
Continuando:
Entre 1000 y 1099:
1001
total 1 número
Entre 1100 y 1199:
1111
total 1 número
Entre 1200 y 1299:
1221
total 1 número
…
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Entre 1900 y 1999:
1991
Total entre 1000 y 1999
total 1 número
total 10 números
Finalmente:
Entre 2000 2016:
Respuesta:
2002
total 1 número
Existen 109+10+1=120 números capicúa entre 0 y 2016
EJEMPLO 5.
Se tenían dos salones: uno alumbrado con 48 lámparas y el otro a oscuras. Se apagaron 4 lámparas
del primer salón y se encendieron 2 en el segundo, y se repitió la misma operación hasta que los
dos salones, resultaron con el mismo número de lámparas encendidas. ¿Qué número era este?
Debes estudiar previamente:
-
Planteo y resolución de ecuaciones enteras
Solución.





Sea x veces repetir la operación hasta obtener el mismo número de lámparas encendidas
en ambos salones.
AL cabo de x repeticiones, el número de lámparas encendidas es:
48-4x en el salón alumbrado inicialmente.
2x en el salón a oscuras inicialmente.
Luego ambas deben ser iguales: 48-4x=2x
Resolviendo: x=8
Respuesta: El número de lámparas encendidas es 2x=16
EJEMPLO 6.
Al multiplicar todos los números del 1 al 30. ¿En cuántos ceros termina el producto?
Debes estudiar previamente:
-
Descomposición factorial de enteros
Solución.1x2x3x…x30




Debemos averiguar cuantos 2x5, aparecen al descomponer todos los números (del 1 al 30)
en sus factores primos.
Para ello es suficiente averiguar cuantos 5 existen después de descomponer los números
en sus factores primos, pues, es obvio que existen menos cincos que dos, hay menos
múltiplos de cinco que múltiplos de dos.
Existen 6 múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30).
Pero existe un múltiplo de 25 (el mismo 25), y tiene un cinco más en su descomposición.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I


En total existen 7 cincos al descomponer los números del 1 al 30 en sus factores primos
Y seguro que existen muchos más dos en la descomposición de factores primos del 1 al 30
(a saber existen 23 doses).
Respuesta:
Existen 7 pares de cincos y dos que al multiplicarse dan 10. Luego 30!
Termina en 7 ceros.
EJEMPLO 7.
Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de los dígitos de n y sea P(n) el producto de los
dígitos de n. ¿Cuantos enteros positivos n cumplen que S(n)xP(n)= 2015?
Debes estudiar previamente:
-
Técnicas de conteo
Valor Posicional de los números (decena, centena, unidad)
Generalización en base a tu razonamiento matemático
Solución.







𝑛 → 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
𝑆(𝑛) → 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛
𝑃(𝑛) → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛
𝑆(𝑛). 𝑃(𝑛) = 2015
2015 = 5.13.31
2015 = 1.2015
Agrupando convenientemente por condición del problema solo cumplen los siguientes
números:
2015 = 5.403
2015 = 1.2015
 𝑆𝑖 𝑛 = ⏟
111 …
111 5
398 𝑢𝑛𝑜𝑠
→ 𝑆(𝑛) = ⏟
1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + 5 = 403 𝑃(𝑛) = ⏟
1.1.1 … .1 . 5 = 5
398
398
∴ 𝑆(𝑛). 𝑃(𝑛) = 403.5 = 2015
La cantidad de números es:
399
𝑃398
=
399!
398!
=399
𝑆𝑖 𝑛 = ⏟
111 … 111 𝑠𝑜𝑙𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
2015
→ 𝑆(𝑛) = ⏟
1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 = 2015 𝑃(𝑛) = ⏟
1.1.1 … .1 = 1
2015
2015
∴ 𝑆(𝑛). 𝑃(𝑛) = 2015.1 = 2015
∴ 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠 399 + 1 = 400
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NIVEL I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿Cuántos números hay en : 7.5 8.7 9.9 … 171.9
2. Escribiendo la sucesión de números naturales. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 3376?
3. En la escritura de la sucesión natural de los números se han usado 29849 cifras. ¿Cuántos
4.
5.
6.
7.
8.
9.
números se han escrito partiendo del 1?
El cociente de dos números es exactamente 7, y su producto es 50575, ¿Cuál es el
mayor?
Un obrero debe recibir por 1 año 24000 dólares y un traje; al cabo de 5 meses es
despedido dándole 9300 dólares y el traje. Calcular el valor del traje
Un examen de admisión tiene 140 preguntas y dura 3 horas. Si un postulante dedica 60
minutos en leer y responder 40 preguntas y de cada 10, acierta 5, ¿Cuántos no acertó o dejo
de responder?
Al residuo de cierta división le faltan 35 unidades para ser igual al divisor. Si se suman
1445 unidades al dividendo el cociente aumenta en 17 unidades y el residuo se vuelve
máximo. Determinar el dividendo, si el cociente es 90
En un aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una.
Si se les coloca en bancas de cuatro alumnos se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos
alumnos hay presentes?
De entre los números: 1,4,7,10,13,...,97,100 (34 números en total), se eligen 19 de ellos.
Demuestre que entre estos 19 siempre hay dos cuya suma es 104.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
INTRODUCCIÓN A LA COMBINATORIA ENUMERATIVA
Conceptos Preliminares
Principios del conteo
Principio del producto. Si una cierta tarea puede realizarse de 𝑚 maneras diferentes, y para cada
una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de 𝑛 maneras distintas, entonces las dos
tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de 𝑛𝑚 formas diferentes. Este principio puede
generalizarse a tres o más tareas.
Principio de la suma. Si una primera tarea puede realizarse de 𝑚 maneras diferentes, mientras que
una segunda tarea puede realizarse de 𝑛 formas diferentes, y no es posible realizar ambas tareas
simultáneamente, entonces cualquiera de ellas puede realizarse de 𝑛 + 𝑚 formas.
Algunos términos importantes.
1. El símbolo ! (que se pronuncia factorial) se define por:
0!=1
y para enteros 𝑛 ≥ 1
𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ⋯ 1
Por ejemplo:
1! = 1
2! = 2 ∙ 1 = 2
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
2. Una permutación es un forma de arreglar o listar objetos en el que el orden es importante. Por
ejemplo si tenemos tres números {2,3,5}, existe seis permutaciones de todos ellos:
2,3,5 2,5,3 3,2,5 3,5,2 5,2,3 5,3,2
Propiedad. Si se tiene 𝑛 objetos diferentes, y se quiere obtener una forma de arreglar (listar) 𝑟 de
estos objetos sin que ninguno se repita, con 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. Entonces el número de tales permutaciones
es
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
𝑃(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Un caso particular importante es: Tener 𝑛 objetos diferentes y querer formar arreglos (listas) de todos
los 𝑛 elementos sin que ninguno se repita. El número de tales permutaciones es 𝑃(𝑛, 𝑛) = 𝑛!. Es
decir, 𝑛 objetos pueden ser permutados en 𝑛! permutaciones.
3. Una combinación es una forma de arreglar (arreglo) o listar objetos en los que el orden no es
importante.
Propiedad. Si 𝑛, 𝑟 son enteros tales que 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. El número de combinaciones de 𝑛 objetos
𝑛
tomados de 𝑟 en 𝑟 se denota por ( ) (se lee “combinaciones de 𝑛 en 𝑟”) está dado por
𝑟
𝑛
𝑃(𝑛,𝑟)
𝑛!
( )=
=
𝑃(𝑟,𝑟) 𝑟!(𝑛−𝑟)!
𝑟
Por ejemplo si tenemos tres números {2,3,5}, existe tres combinaciones de 2 de estos números:
3!
6
{2,3} {2,5} {3,5}. En efecto, (3) =
= = 3.
2!1!
2
2
EJEMPLO 1.
¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos distintos existen?
Debes estudiar previamente:
-
Principio del producto
Valor posicional de los números (decena, centena, unidad)
Solución.El primer dígito (el de las centenas) puede ser elegido de 9 maneras porque no podemos usar el 0,
el segundo dígito de nueve maneras (no podemos usar el dígito usado anteriormente pero podemos
usar el 0) y el tercer dígito de 8 maneras diferentes (no podemos usar los dos dígitos anteriormente
usados). Entonces por el principio del producto la respuesta es 9 ∙ 9 ∙ 8 = 648.
EJEMPLO 2.
¿Cuántas ensaladas de frutas se pueden preparar con exactamente 4 frutas si disponemos de 10
frutas diferentes?
Debes estudiar previamente:
-
Combinaciones
Solución.-
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NIVEL I
10!
10
)=
=
4!6!
4
Para formas una ensalada basta escoger 4 de las 10 frutas, lo que puede hacerse de (
10∙9∙8∙7∙6!
24∙6!
= 210 maneras.
EJEMPLO 3.
¿Cuántos números enteros positivos de cinco dígitos pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3 y 5?
Debes estudiar previamente:
-
Permutaciones
Valor posicional de los números (decena, centena, unidad)
Principio de la suma
Solución.Como 23150 es diferente a 53210, el orden en los arreglos que buscamos es importante, por eso
usaremos permutaciones para resolver este problema.
Primer método. El número de permutaciones de 5 dígitos diferentes es 5!=120. Sin embargo,
debemos notar que estamos tomando en cuenta las permutaciones donde 0 es el primer dígito de la
izquierda, por ejemplo 01235. Los números como este no son de 5 dígitos, por tanto, las
permutaciones que comienzan con 0 deben ser substraídas del total de permutaciones de 5 dígitos.
El número de permutaciones de 5 dígitos, con 0 comenzando en el lado izquierdo, es de 4! = 24,
entonces la respuesta al problema es 120 − 24 = 96.
Segundo método.
El número de permutaciones con 0 como el dígito de las unidades es 4! = 24.
El número de permutaciones con 0 como el dígito de las decenas es 4! = 24.
El número de permutaciones con 0 como el dígito de las centenas es 4! = 24.
El número de permutaciones con 0 como el dígito de las unidades de mil es 4! = 24.
Por el principio de la suma, la respuesta es 24 + 24 + 24 + 24 = 96.
EJEMPLO 4.
¿De cuántas formas podemos elegir 6 personas, que incluyan por lo menos a dos mujeres, de un
grupo de 7 hombres y 4 mujeres?
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Debes estudiar previamente:
-
Combinaciones
Principio del producto
Principio de la suma
Solución 1.
Las alternativas que usaremos con el principio de la suma son:
4 hombres, 2 mujeres
3 hombres, 3 mujeres
2 hombres, 4 mujeres.
7 4
7 4
7 4
La respuesta es ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 35 ∙ 6 + 35 ∙ 4 + 21 ∙ 1 = 371.
3 3
4 2
2 4
Solución 2.
Podemos contar todos los grupos de 6 personas y restar los grupos donde no hay mujeres y los
grupos donde hay exactamente una mujer:
(
11
7
7
) − ( ) − 4 ∙ ( ) = 462 − 7 − 84 = 371.
6
5
6
Observación. Un error muy común al resolver un problema como el anterior es el siguiente: Como el
grupo de 6 personas debe tener por lo menos dos mujeres, comenzamos eligiendo a las mujeres, lo
4
que se puede hacer de ( ) formas, y después elegimos a 4 personas cualesquiera entre las restantes
2
9
4 9
9 persones, que se puede hacer de ( ) formas. Así obtenemos la respuesta equivocada ( ) ( ) =
4
2 4
6 ∙ 126 = 756. La explicación del error es la siguiente: Consideremos por ejemplo, una selección con
3 mujeres y 3 hombres: 𝑀1 𝑀2 𝑀3 𝐻1 𝐻2 𝐻3 . Esta selección fue contada tres veces. Una cuando 𝑀1 y 𝑀2
fueron elegidas inicialmente, otra cuando 𝑀1 y 𝑀3 fuero elegidas inicialmente y finalmente cuando
𝑀2 y 𝑀3 fueron contadas inicialmente. Cada selección con las cuatro mujeres, fue contada seis
veces. Por esto se obtiene una respuesta equivocada mucho mayor a la correcta.
EJEMPLO 5.
¿De cuántas formas se pueden dividir 8 personas en dos grupos de 4 personas?
Debes estudiar previamente:
-
Permutaciones
Combinaciones
Principio del producto
Solución 1.La división puede ser hecha colocando a las 8 personas en una fila y dividiendo de manera que uno
de los grupos esté formado por las 4 primeras personas y el otro por las 4 últimas. Como hay 8!
maneras de colocar a las personas en una fila, la respuesta parecería ser 8!. Sin embargo,
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
considerando la división 𝑎𝑏𝑐𝑑/𝑒𝑓𝑔ℎ, ella es idéntica a la división 𝑒𝑓𝑔ℎ/𝑎𝑏𝑐𝑑, en efecto, los grupos
son los mismos uno formado por {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y el otro por {𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}. En nuestro conteo, esas divisiones
fueron consideradas como distintas. Además, divisiones como 𝑎𝑏𝑐𝑑/𝑒𝑓𝑔ℎ y 𝑐𝑑𝑏𝑎/𝑔ℎ𝑓𝑒, que difieren
por el orden de los miembros de cada grupo, a pesar de definir los mismos grupos fueron contadas
como diferentes. Cada división fue contada 2 ∙ 4! ∙ 4! veces (2 por causa del orden de los grupos, 4!
por causa del orden de los elementos de los primeros cuatro de la fila y 4! por el orden de los últimos
cuatro. Si contamos 8! divisiones pero cada división fue contada 2 ∙ 4! ∙ 4! veces, la respuesta al
problema es
8!
2∙4!∙4!
= 35.
Solución 2.8
El primer grupo puede ser elegido de ( ) formas. Una vez que elegimos el primer grupo, sobran 4
4
personas y sólo existe una manera de formar el segundo grupo. Por el principio del producto la
8
respuesta parece ser ( ) ∙ 1. Sin embargo, contamos cada división dos veces. Por ejemplo,
4
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}{𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} es idéntica a {𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y fueron contadas como divisiones diferentes.
Entonces la respuesta es
8
( )∙1
4
= 35.
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿Cuántas son las permutaciones de los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 en las que el 5 está situado a
la derecha del 2 y a la izquierda del 3, aunque no necesariamente en lugares consecutivos.
Respuesta: 604800
2. Determinar el número de enteros de seis dígitos en los que (a) ningún dígito se pueda repetir; (b)
se pueden repetir los dígitos. Responda las partes (a) y (b) con la condición adicional de que el entero
de seis dígitos sea (i) par; (ii) divisible entre 5; (iii) divisible entre 4.
Respuesta:
(a) 9 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 136080 (b) 9 ∙ 105
(i) (a) 68880
(b) 450000
(ii) (a) 28560
(b) 180000
(iii) (a) 33600
(b) 225000
3. Seis niños y tres niñas se sientan en nueve sillas que están en una fila. Las niñas llegan primero
que los niños y deciden elegir sus sillas de manera que cada niña esté entre dos niños. ¿De cuántas
formas pueden las niñas elegir sus sillas?
Respuesta: 60
4. ¿Cuántos triángulos quedan determinados por los vértices de un polígono regular de 𝑛 lados?
¿Cuántos si ninguno de los lados del polígono debe ser un lado de alguno de los triángulos?
OLIMPIADA MATEMATICA BOLIVIANA
Fundada el 21 de marzo de 1985
DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Respuesta:
𝑛
( )
3
𝑛
( ) − 𝑛 − 𝑛(𝑛 − 4),
3
𝑛≥4
5. Se permutan de todas las maneras posibles los dígitos 1,2,4,6,7 y todos los números de 5 dígitos
así formados se escriben en forma creciente.
(a) ¿qué lugar ocupa el número 62417?
(b) ¿qué número está en el 66vo lugar?
(c) ¿cuál es el 200vo dígito escrito?
(d) ¿cuál es la suma de los todos los números escritos?
Respuesta:
(a) 81vo
(b) 46721
(c) 1
(d) 5333280
6. Se tienen 5 puntos sobre la recta 𝑅 y 8 puntos sobre una recta 𝑅’ paralela a 𝑅. ¿Cuántos
cuadriláteros convexos con vértices en 4 de esos 13 puntos existen?
Respuesta: 280
7. Un hombre tiene 5 amigas y 7 amigos. Su esposa tiene 7 amigas y 5 amigos. ¿De cuántas formas
ellos pueden invitar 6 amigas y 6 amigos, si cada uno debe invitar a 6 personas?
Respuesta: 267148 formas
8. Un subconjunto de {1,2,3, … ,10} tiene la propiedad que la suma de sus dígitos es impar. ¿Cuántos
de estos subconjuntos existen?
Respuesta: 526
9. ¿Cuántos subconjuntos 𝑆 de {1,2,3, … ,15} tienen las siguientes dos propiedades?
(1) No existen dos enteros consecutivos que estén en 𝑆.
(2) Si 𝑆 contiene 𝑘 elementos, entonces 𝑆 no contiene un número menor que 𝑘.
Respuesta: 405
10. ¿Cuál es el número de formas de elegir 𝑘 enteros, donde no existen dos consecutivos, de 𝑛
enteros consecutivos?
Respuesta: (
𝑛 − (𝑘 − 1)
)
𝑘
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Fundada el 21 de marzo de 1985
DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
GEOMETRIA
PRIMER NIVEL (JUNIOR)
GEOMETRIA
EJEMPLO 1.
En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y DEF un triángulo equilátero con AC paralela a EF. Si
DG es la prolongación de DE, determine el valor del ángulo DGC.
Debes estudiar previamente:
-Propiedades de angulos
Solución.Trazamos una línea HI paralela a EF por D. <GDI = 60 y <CDI = 45, luego <GDC = <GDI - <CDI =
60 - 45. Por lo tanto <DGC = 75.
45
15
60
45
EJEMPLO 2.
60
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Calcular el área:
Debes estudiar previamente:
-
Areas de triangulos
Solución.-
𝐵
𝐴
=
𝑐
𝑎2
4
-
𝑎2
8
3𝑐
-2
𝑎2
24
𝑆=
EJEMPLO 3.
𝑎2 𝑎2
𝑎2
𝑎2
− −2
=
4
8
24
24
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Hallar la proporción entre la suma de las áreas de los círculos y el área del cuarto círculo, que se
muestran en la figura
Cada círculo pasa por centro del anterior y son tangentes interiormente.
Debes estudiar previamente:
-
Áreas de circunferencias
Progresiones geométricas
Solución.-
1
 1
Sup CM    (1  2 ) 2 r 2
4
 4
(1)
2
1 1
 4r
2
Sup



r
1



...




i
2
3
 4 4

(2)
Dividiendo (2) entre (1):

4r 2
4
16
1
3  2 2 16

 


32 2
2 2
3  (1  2 ) r
3 3 2 2 32 2
3

EJEMPLO 4.
Sea un triángulo ABC, cuyos ángulos internos mantienen una relación 4:8:3 respectivamente.
AM es la bisectriz del ángulo BAC
AN es la bisectriz del ángulo MAC
Cuál es el ángulo obtuso que forma AN con la mediatriz del lado AB es igual a:
Debes estudiar previamente:
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
-
Proporcionalidad de triángulos
Propiedades de ángulos internos en un triangulo
Solución.-
B
M
N
8
4
2

3
x
A
C
Mediatriz de AB
Se forma el triángulo ABN proporcional al triangulo ABC
B
8
D
4
2

A
4
M
N
3
x
C
Mediatriz de AB
La suma de los ángulos del cuadrilátero DBNX es igual a 360°, luego:
90   8  4  x  360 
x  270   12
El valor de
 se lo determina por la suma de ángulos de un triángulo:
4  8  3  180 
15  180 
  12 
Luego el ángulo en X será:
x  270   12
x  270   12 *12 
x  126 
EJEMPLO 5.
OLIMPIADA MATEMATICA BOLIVIANA
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Dado un triángulo isósceles ABC, se traza la bisectriz BD del ángulo en B y resulta otro triángulo
isósceles ABD. Determinar el ángulo que forma la mediana al lado AD con la recta de Euler del
triángulo original ABC.
Debes estudiar previamente:
-
Puntos y líneas notables de triángulos
Recta de Euler
Solución.-
Para que vuelva a resultar un
triángulo isósceles ABD, la única
posibilidad es que el triángulo ABC
sea isósceles a 45°, además la Recta
de Euler del triángulo ABC es una
recta perpendicular al lado AC.
Recta de Euler
B

Como ABD es isósceles, AD es igual
que BD, además la mediana al lado
AD y la Recta de Euler forman un
triángulo rectángulo, luego:
A
D
C
AD
1
tg   2  tg      26 .56 
2
BD
EJEMPLO 6.
Dos triángulos isósceles cuyos lados son x, x, a y x, x, b respectivamente, tal que 𝑎 ≠ 𝑏, tienen
igualárea. Hallar x
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
Debes estudiar previamente:
-
Área de triángulos
Teorema de Pitágoras
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
EJEMPLO 7.
Se tiene un rectángulo formado por la unión de 9 cuadrados,
como se muestra en la figura. Si el cuadrado más pequeño en
dicha figura mide 1 metro de lado, Cual es el área del
rectángulo?
Debes estudiar previamente:
-
Área de cuadrados
Segmentos
tal
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Se considera un cuadrado ABCD de lados AB, BC, CD y DA, y un punto P exterior al cuadrado
̂ 𝑃 = 10°. Calcular la medida del ángulo
tal que el triángulo ABP es isósceles con AP = AB y 𝐴𝐷
𝐴𝑃̂𝐵.
2. Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con AC BC, y P, Q, R puntos de los lados AB, AC, BC,
respectivamente, tales que PQCR es un cuadrado. La circunferencia de centro P y radio PQ corta a
la hipotenusa AB en los puntos D y E, con D entre A y P, y E entre B y P. Si PQ
BE
calcular la longitud del segmento AD.
3. Sea AB un segmento y M su punto medio. Se traza por M la perpendicular a AB y sea C un
punto de esta perpendicular tal que
AB = BC. La perpendicular a AC trazada por su punto medio corta a la perpendicular a AB trazada
por A en el punto D. Calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD.
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DESAFIOS PARA NUEVOS OLIMPISTAS
NIVEL I
4. Sea ABC un triángulo tal que ABC  15 . Si D es un punto del lado AB tal que AD = AC y
̂ = 𝐴𝐶𝐵
̂ , calcular los ángulos del triángulo ABC.
𝐵𝐷𝐶
o
5. Sea ABC un triángulo rectángulo en B. Consideramos el punto D en AC tal que 𝐴𝐵̂ 𝐷 = 45° y el
punto E en BC tal que DE es perpendicular a BC.
Si BE = 24 y EC = 36, calcular el área del triángulo ABD.
6. En el rectángulo ABCD, BC =
EC =
1
CD
3
E
D
y F es el punto donde se cortan AE y BD.
C
F
El triángulo DFE tiene área 12 y el triángulo
A
ABF tiene área 27. Hallar el área del cuadrilátero BCEF.
B
7. En un triángulo rectángulo ABC tal que AB = AC, M es el punto medio de BC. Sea P un punto de
la mediatriz de AC que pertenece al semiplano determinado por BC que no contiene a A. Las
rectas CP y AM se cortan en Q. Calcular el ángulo que forman AP y BQ.
8. Sea ABCD un rectángulo de lados AB  16 y BC  20. Sea E el punto medio del lado AB y F el
punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA. Calcular la medida del
segmento FD.
9. Dado un triángulo equilátero ABC, sean P y Q exteriores al triángulo tales que BQ corta al lado
ˆ  CBQ
ˆ  25 . Calcular APQ
ˆ
AC, CP corta al lado AB, AP=AQ=AB y BCP
o
10. En un triángulo acutángulo ABC sea D en el lado BC tal que AD  BC y E en el lado AC tal que
BE  AC. Si
Cˆ  45o , AB=15 y AE=9, calcular la medida de AD.