Unidad 2 – Geometría Euclídea como sistema lógico
Geometría: Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras
en el plano o en el espacio.
Un sistema que depende del razonamiento deductivo se conoce
como sistema lógico.
Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría
apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos
por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las
cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas,
curvas y puntos, entre otras.
Un Sistema formal o lógico consta de:
•
•
•
•
Términos indefinidos
Definiciones
Axiomas
Teoremas
Cualquier proceso de razonamiento debe iniciar en alguna parte con
algunos supuestos no probados. Estos supuestos, cualesquiera que sean,
pueden usarse para deducir (probar) otras proposiciones. Tales supuestos
básicos no probados son llamados Axiomas.
Los Axiomas son asumidos con el propósito de ver qué conclusiones
lógicas pueden ser derivadas a partir de ellos. En cualquier conjunto de
axiomas deben estar presentes algunos términos indefinidos, puesto que
la definiciones de términos siempre constan de otros términos (los cuales
a su vez deben ser definidos, y así sucesivamente), es necesario disponer
de algunos términos con los cuales podamos comenzar.
Cuando un conjunto de axiomas da origen (implica) una nueva
proposición, esa nueva proposición es llamada Teorema. Cuando
consideramos un conjunto de axiomas y todos los teoremas que puedan
obtenerse a partir de ellos por implicación válida, tenemos una entidad
llamada Sistema Axiomático o simplemente Sistema formal o lógico o
simplemente sistema.
Estudiaremos la Geometría Elemental como un ejemplo de sistema
axiomático, donde Los términos indefinidos son: Punto, recta y plano. Se
sabe que tanto la recta y como el plano son conjuntos de puntos.
Definición: Llamamos espacio al conjunto de todos los puntos. El espacio
es el Conjunto Universal de esta teoría.
¿Qué es realmente un punto o una recta o un plano? Puesto que
son términos indefinidos, no hay una definición para ellos, pero pueden
caracterizarse mediante propiedades o relaciones entre ellos que deben
cumplir y que se establecen en los axiomas. Diremos que una recta pasa
por un punto si la recta contiene al punto.
Postulado 1.1: Por dos puntos diferentes pasa una única recta.
Otra manera de expresarlo es: Dos puntos distintos determinan una única
recta.
Postulado 1.2: Toda recta contiene al menos dos puntos diferentes.
Si una recta contiene a los puntos A y B, la denotamos ⃖$$$$⃗
𝐴𝐵.
Definición: Si tres o más puntos pertenecen a una recta se dice que
están alineados o que son colineales.
Postulado 1.3: Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
Otra manera de expresarlo es: Tres puntos no alineados determinan un
plano.
Postulado 1.4: Todo plano contiene al menos tres puntos no alineados.
Postulado 1.5: Si dos puntos diferentes están en un plano, la recta que
ellos determinan está totalmente contenida en el plano.
Postulado 1.7: (Postulado de la regla) Entre la recta y el conjunto de los
números reales existe una correspondencia “biunívoca” que preserva la
distancia y el orden.
El Postulado de la regla permite establecer coordenadas en la recta
y en el plano. Así mismo podemos hablar de la distancia entre dos puntos
A y B que denotamos por AB o también por d(A, B).
𝑑 (𝐴, 𝐵) = +(𝑥- − 𝑥/ )- + (𝑦- − 𝑦/ )La correspondencia mencionada induce en la recta una relación de
orden. Esta relación de orden nos permite, para los puntos de una recta
cualquiera, hablar de “estar entre”, “ser anterior” (preceder), o “seguir
a“. En particular se puede definir segmento de extremos A y B, así como
semirrecta o rayo de origen A que contiene a B.
Definición: El punto B está entre los puntos A y C si A, B y C son
colineales y AC=AB+BC. Se escribe o denota A – B – C.
Definición: Se define el segmento de recta con extremos A y B al
conjunto de puntos entre A y B además de A y de B. Lo denotaremos 2222
𝐴𝐵.
Recuerde que, en la recta real, un segmento abierto no incluye a
los extremos, mientras que el cerrado sí los incluye.
Definición: Se llama longitud de un segmento a la distancia entre sus
puntos extremos, pertenezcan éstos o no al segmento. Si el segmento
tiene extremos A y B denotaremos su longitud por 𝐴𝐵.
Acuerdo a la definición anterior, el segmento abierto y el cerrado
con los mismos extremos tienen la misma longitud.
En este curso un segmento incluye los extremos.
Definición: Se llaman segmentos congruentes aquellos que tienen la
misma longitud.
En una recta, un punto A cualquiera junto con el orden, determinan
dos subconjuntos muy importantes, estos son las semirrectas o rayos de
origen A, que pueden ser abiertas o cerradas.
??
La semirrecta abierta de origen A que no contiene a B es el conjunto
de puntos de la recta que en el orden de la recta, preceden a A.
La semirrecta cerrada de origen A que contiene a B es el conjunto
de todos los puntos P de la recta 𝐴𝐵 que, en el orden de la recta, siguen
a A y el propio punto A.
La semirrecta cerrada también se llama rayo e incluye al punto que
es el origen del rayo o semirrecta, su notación es $$$$$⃗
𝐴𝐵 y lo componen 2222
𝐴𝐵 ∪
{𝑃: 𝐴 − 𝐵 − 𝑃}. La semirrecta abierta no incluye al punto origen.
Definición: Se llama ángulo a la unión de dos semirrectas o rayos con
origen común, o dos segmentos con un extremo común. El punto común
se llama vértice.
El ángulo se denota por ∠𝐵𝐴𝐶, en ese caso la letra central
corresponde al vértice. Si no hay lugar a confusión de denota ∠𝐴 para
indicar el ángulo de vértice A. Una notación muy cómoda y más simple es
∠1 cuando no se presta a confusión.
Si las dos semirrectas coinciden el ángulo se llama nulo, si son
diferentes y están incluidas en una misma recta el ángulo se llama llano.
Supongamos que 𝑠/ y 𝑠- son semirrectas con origen A; entonces, si 𝑠/ ∪ 𝑠es una semirrecta, diremos que el ángulo es nulo y, por otra parte, si 𝑠/ ∪
𝑠- es una recta, entonces el ángulo se dice llano. ??
Postulado 1.8: (Medidas de ángulos) Asumiremos que a cada ángulo se
le puede asignar un número 𝛼 (su medida) y que dados dos ángulos con
medidas 𝛼 y 𝛽 (𝛼 < 𝛽) se pueden construir ángulos con medidas 𝛼 + 𝛽 y
𝛼 − 𝛽.
La medida de un ángulo llano es 180º o 𝜋 radianes, según el sistema
utilizado. Indicaremos la medida de los ángulos con letras griegas, así:
𝛼 = 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 y decimos que 𝛼 es la medida del ángulo.
Definición: Diremos que dos ángulos son congruentes si tienen la misma
medida.
Notación: Usaremos el símbolo “≃” o “≡” para denotar la congruencia. Así
“∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷” se lee: “el ángulo ABC es congruente al ángulo de vértice D.
$$$$$⃗
Definición: La bisectriz de un ángulo ∠𝐵𝐴𝐶 es una semirrecta o rayo 𝐴𝐷
tal que: ∠𝐵𝐴𝐷 ≃ ∠𝐷𝐴𝐶, con D un punto en el interior del ángulo.
Definición (Rectas perpendiculares): Dos rectas ⃖$$$$⃗
𝐴𝐵 y ⃖$$$$⃗
𝐶𝐷 son
perpendiculares si se cortan de modo que formen ángulos adyacentes
⃖$$$$⃗ ⊥ 𝐶𝐷
⃖$$$$⃗ . Dos segmentos de recta son
rectos. Se simboliza 𝐴𝐵
perpendiculares si se cortan y están contenidos en rectas perpendiculares.
Definición (mediatriz de un segmento): La mediatriz de un segmento de
recta 2222
𝐴𝐵 es la recta K, perpendicular a 2222
𝐴𝐵, que contiene el punto medio C
2222
del segmento 𝐴𝐵.
Definición (bisectriz de un segmento): La bisectriz de un segmento de
recta 2222
𝐴𝐵 es cualquier recta o segmento de recta que contiene al punto
2222.
medio C de dicho segmento, pero a ningún otro punto de 𝐴𝐵
Definición: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas
es 90 ° y suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
DEMOSTRACIONES.
Elementos de una demostración:
1.
2.
3.
4.
5.
Teorema a demostrar.
Diagrama.
Lo dado ( Hipótesis )
Lo que hay que demostrar ( Conclusión )
Demostración:
• Proposiciones.
• Razones: Proposiciones dadas. Definiciones.
Postulados. Teoremas previamente demostrados.
Axiomas
o
Definición: Un teorema es una proposición que se obtiene a partir de
postulados y definiciones.
Frecuentemente, los teoremas se enuncian en la forma “Si –
entonces”, es decir en la forma “Si p, entonces q”.
Demostraremos muchos teoremas, de allí la importancia de saber
que la proposición “p” representa la hipótesis y la proposición “q” es la
conclusión.
Ejemplo: Escriba la hipótesis y la conclusión de
“Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.”
Hipótesis: “Los ángulos son opuestos por el vértice.”
Conclusión: “Los ángulos son congruentes.”
Cuando se va a demostrar un teorema se recomienda realizar un
diagrama que ilustre el teorema que se quiere demostrar.
En términos del diagrama, se escribe lo dado y lo que se quiere
demostrar que, en esencia, son la hipótesis y la conclusión.
Ejemplo: Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
Ejemplo: Escribir la siguiente proposición en la forma “Si-entonces” y la
hipótesis, la conclusión. Elaborar un diagrama y escribir lo dado y lo que
se quiere demostrar:
“Una bisectriz de un ángulo interno de un triángulo corta el lado opuesto
del ángulo”.
“Si un ángulo interno de un triángulo tiene una bisectriz, entonces esta
corta el lado opuesto del ángulo”.
Hipótesis: “Un ángulo interno de un triángulo tiene una bisectriz”
Conclusión: “la bisectriz corta el lado opuesto del ángulo”
Diagrama:
Dado: ∆𝐴𝐵𝐶, $$$$$⃗
𝐶𝐷 bisectriz del ∠𝐴𝐶𝐵
$$$$$⃗ ∩ 2222
Demostrar:𝐶𝐷
𝐴𝐵 = {𝐸}
Teorema 2.1:
congruentes.
Los
suplementos
PROPISICIÓN
∠1 y ∠3 son ∠’s suplementarios
∠2 y ∠4 son ∠’s suplementarios
∠1 ≃ ∠2
m∠1+m∠3=180º,
m∠2+m∠4=180º
m∠1+m∠3 = m∠2+m∠4
m∠1=m∠2
m∠1+m∠3 = m∠1+m∠4
m∠3 = m∠4
∠3 ≃ ∠4
de
ángulos
congruentes
RAZÓN
Dado
Por def de ∠’s suplementarios
Axioma de sustitución
Def de ∠’s congruentes
Axioma de sustitución
Axioma de la suma para la =
Def de ∠’s congruentes.
son
Teorema 2.2:
congruentes.
Los
complementos
de
PROPISICIÓN
Teorema 2.2:
congruentes.
Los
congruentes
son
RAZÓN
complementos
PROPISICIÓN
∠1 y ∠3 son ∠’s suplementarios
∠2 y ∠4 son ∠’s suplementarios
∠1 ≃ ∠2
m∠1+m∠3=90º,
m∠2+m∠4=90º
m∠1+m∠3 = m∠2+m∠4
m∠1=m∠2
m∠1+m∠3 = m∠1+m∠4
m∠3 = m∠4
∠3 ≃ ∠4
ángulos
de
ángulos
congruentes
RAZÓN
Dado
Por def de ∠’s complementarios
Axioma de sustitución
Def de ∠’s congruentes
Axioma de sustitución
Axioma de la suma para la =
Def de ∠’s congruentes.
son
Teorema 2.3: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
PROPISICIÓN
RAZÓN
∠1 y ∠3 son ∠’s opuestos por el Dado
vértice
∠𝐵𝐴𝐸 y ∠𝐷𝐴𝐶 son ∠’s llanos
Por def de ∠’s llano
m∠𝐵𝐴𝐸 = 180º
Def de medida de un ∠ llano
m∠𝐷𝐴𝐶 = 180º
m∠𝐵𝐴𝐸 = m∠2 + m∠3
Postulado 1.8
m∠𝐷𝐴𝐶 = m∠1 + m∠2
m∠2 + m∠3 = 180º
Axioma de sustitución
m∠1 + m∠2 = 180º
m∠2 + m∠3 = m∠1 + m∠2
Axioma de sustitución
m∠3 = m∠1
Axioma de la suma de la =
∠1 ≃ ∠3
Def de ∠’s congruentes.
Definición de Triángulos.
Triángulo Isósceles: Es un triángulo con al menos dos lados con
longitudes equivalentes.
El ángulo incluido entre los lados equivalentes es llamado ángulo vértice,
los otros dos son llamados ángulos de la base y el lado opuesto al ángulo
vértice es la base.
Triángulo Equilátero: Un triángulo con las longitudes de sus lados todas
equivalentes.
Triángulo Equiangular: Un triángulo con las medidas de todos sus
ángulos equivalentes.
Teorema 2.4: Si dos lados de un triángulo son equivalentes, los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes.
Teorema 2.5: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados
opuestos a los ángulos son equivalentes.
⃖$$$$⃗ . Entonces 𝐶𝐷
2222 es una altura
Definición: Sea el 𝛥𝐴𝐵𝐶 dado con 𝐷 y 𝐸 en 𝐴𝐵
2222 es perpendicular a 𝐴𝐵
⃖$$$$⃗ , y 2222
del 𝛥𝐴𝐵𝐶 si 𝐶𝐷
𝐶𝐸 es una mediana del 𝛥𝐴𝐵𝐶 si
𝐴𝐸 = 𝐵𝐸.
Una altura de un triángulo es un segmento de recta con un extremo
en un vértice y el otro en el lado opuesto o en la recta que contiene al
lado opuesto y perpendicular a este.
Una mediana es un segmento de recta con un extremo en un vértice
y el otro en el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Definición: Dos rectas diferentes en un plano son paralelas si no tienen
puntos comunes.
Si 𝑗 es paralela a 𝑘 se denota 𝑗 ∥ 𝑘
Definición: Una transversal es una recta que corta dos o mas rectas, que
están en el mismo plano, en puntos distintos.
Definición: Los cuatro ángulos formados por un par de rectas y una
transversal, de modo que ambos puntos de intersección estén en uno de
los lados de cada ángulo, son ángulos internos. Los otros cuatro ángulos
son ángulos externos.
Definición: Dos ángulos internos no adyacentes en lados opuestos de
una transversal son ángulos alternos internos. Los dos ángulos externos
no adyacentes en lados opuestos de una transversal son ángulos alternos
externos.
Definición: Dos ángulos no adyacentes en el mismo lado de la
transversal son llamados ángulos correspondientes si uno es interno y
el otro es externo
Ángulos alternos internos: ∠3 y ∠5. Además de ∠4 y ∠6
Ángulos alternos externos: ∠1 y ∠7. Además de ∠2 y ∠8
Ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, ∠4 y ∠8
Ángulos internos: ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6
Ángulos externos: ∠1, ∠2, ∠7 y ∠8
Postulado 6: Si dos rectas son cortadas por una transversal, dos ángulos
alternos internos cualesquiera son congruentes si y sólo si las rectas son
paralelas.
Teorema 4: Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, si y
sólo si los ángulos correspondientes son congruentes.
Primer condicional:
Segundo condicional:
Teorema 5: Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, si y
sólo si los ángulos alternos externos son congruentes.
Demostración: Ejercicio!
Teorema 6: Los ángulos internos formados por dos rectas y una
transversal, de modo que los ángulos estén del mismo lado de la
transversal, son suplementarios si y sólo si las rectas son paralelas.
Primer condicional:
Segundo condicional:
Postulado 7: Por un punto exterior a una recta dada, pasa sólo una
paralela a dicha recta.
Este postulado se conoce como Postulado de Euclides.
Teorema 7: La suma de las medidas de los ángulos internos de un
triángulo es 180°.
2222, el ángulo
Definición: Si en un ∆𝐴𝐵𝐶 se prolonga un lado (por ejemplo 𝐴𝐵
∠𝐶𝐵𝐷 se llama ángulo externo y ∠𝐶 y ∠𝐴 representan los ángulos internos
lejanos de él.
Teorema 8: Un ángulo externo de un triángulo mide lo mismo que la
suma de las medidas de los ángulos internos lejanos.