Mecánica Clásica: Errores y Fundamentos Físicos

1. MECÁNICA CLÁSICA.
El mundo es nuestro entorno en donde muchísimos fenómenos se producen
constantemente y un gran número de ellos inciden sobre nuestros cuerpos. Provocan
estímulos a nuestros sentidos y detectamos ya sea el fenómeno o sus efectos.
Estamos en contacto con fenómenos de diferente naturaleza: biológicos, sociales,
físicos, químicos, geológicos. . . y muchos más, pero los únicos fenómenos que
podemos percibir claramente son los de carácter físico.
Por ejemplo, en un fenómeno biológico, percibimos los efectos, pero no podemos
visualizar el fenómeno, porque es imposible que podamos ver como se reproduce una
célula o cómo está ocurriendo el metabolismo.
En los fenómenos químicos, igual que en los biológicos, percibimos los efectos, pero
no podemos visualizar el fenómeno, porque es imposible ver como se produce el
enlace entre dos átomos o como cambia de nivel un electrón.
En cambio los fenómenos físicos en el área de la mecánica, podemos ver como
ocurren, además de percibir los efectos, porque inclusive disfrutamos de ellos y
también tristemente a veces sufrimos por ellos. Por ejemplo:
1.
Si están escuchando a una persona que habla, o están disfrutando de la música,
están percibiendo ondas mecánicas.
2.
Cuando un niño se sube a un juego mecánico que gira, está disfrutando de la
fuerza centrípeta y de la aceleración centrípeta.
3.
Si van en un auto, en un camión, en una bicicleta, en una motocicleta, al arrancar o
frenar, están percibiendo la primera y la segunda ley de Newton.
4.
Si alguien está bailando o está en un columpio, está disfrutando del movimiento
armónico.
5.
Al caminar, tristemente si alguien se tropieza y se cae, sufre por la ley de la
gravitación universal y la tercera ley de Newton. Y hay muchos más ejemplos.
1
Uno de los factores que ha influido fuertemente en la elevación de la calidad de la
vida, es la física, Por ejemplo: en el área de la mecánica, por ella tenemos: Edificios y
Casas construidas con seguridad, Unidades de transporte, Máquinas para producción
en las empresas, Lavadoras. . .
En el área de electromagnetismo: Electricidad, Computadoras, Teléfono, Televisión,
Internet…, sólo se mencionaron algunos ejemplos en esas dos áreas de la física.
Un buen conocimiento de la física permite tener los conocimientos y la capacidad de
raciocinio para comprender y analizar muchos fenómenos y visualizar su
trascendencia y con ello, desarrollar creatividad, que es un factor importante para ser
una persona de éxito y también para impulsar la competitividad de las empresas.
El descubrimiento y desarrollo de las leyes físicas fue hecho mediante:
a
b
c
d
e
)
)
)
)
)
Observaciones
Experimentaciones
Mediciones
Análisis Cualitativo
Análisis Cuantitativo
La física es una ciencia natural, también conocida como ciencia fáctica, porque está
basada en hechos, y para describir y/o analizar cualquier hecho, se requiere hacer
observaciones y mediciones.
El objetivo de la Física Experimental es analizar las características cualitativas y
cuantitativas de los fenómenos físicos, con un enfoque científico.
2
2. ERRORES.
Para analizar las características cuantitativas, entre otras cosas se requiere hacer
mediciones y al efectuar cualquier medición, siempre hay una diferencia entre el valor
obtenido de la medición y el valor que realmente tiene aquello que se mide, o sea, que
siempre hay un error, y a veces se puede minimizar ese error.
Los errores se pueden clasificar de acuerdo a:

Los factores que los originaron (causales)

Por la forma de calcularlos
De acuerdo a los factores que los originaron, los errores se clasifican en:

Aleatorios

De Escala

Sistemáticos
2.1.1 Error Aleatorio
Son generados por factores aleatorios, donde un factor aleatorio es aquel que no
puede ser controlado ni eliminado y cuya influencia sobre el fenómeno es muy
pequeña, o sea que si sólo hubiera un factor aleatorio, no se notaría el efecto, pero
sobre cualquier fenómeno siempre actúan muchos factores aleatorios, y por eso se
nota su influencia.
Sólo algunos ejemplos de factores aleatorios: En caída libre, al caer el balín, el aire
ejerce fuerza de fricción sobre él y también una fuerza ascendente; En plano
horizontal y en el inclinado, también hay fricción del aire y además, la presión del aire
inyectado por el compresor tiene variaciones.
Hay muchos otros factores aleatorios y es importante visualizar los que influyen en
los resultados obtenidos, al realizar cualquier experimento.
3
2.1.2 Error de Escala
Respecto al error de escala, que denotaremos " 𝑬𝑬 " , depende de la precisión del
instrumento de medición. La precisión de medición le denotaremos ( 𝑷𝑴 ); si el
instrumento es analógico, el error de escala es el menor intervalo de medición, entre
2, y si el instrumento es digital, la precisión son las unidades a que fue ajustada, entre
2, el cálculo es igual: 𝑬𝑬 =
𝑷𝑴
𝟐
En el caso del instrumento analógico, el extremo " 𝑨 " de lo que se está midiendo, por
lo general queda dentro de ese intervalo de medición, que es la parte inferior derecha
de la figura ( Fig 1.1 ), y quien realiza la lectura: o hace una estimación de la posición
del extremo dentro de ese intervalo, o redondea a la unidad más cercana, la máxima
diferencia entre el valor real y el estimado, es a lo más la mitad de la longitud del
intervalo.
Para esta figura, suponiendo que son
centímetros, como hay diez divisiones, la
longitud del intervalo de medición es de un
milímetro y por lo tanto, la longitud
estimada es de 𝟑. 𝟕𝟖 [ 𝐜𝐦 ] , si se hace
redondeo, la lectura será 𝟑. 𝟖 [ 𝐜𝐦 ] ; en
ambos casos, el error es menor a
𝟎. 𝟓 [𝐦𝐦 ].
Ejemplo de instrumento analógico:
Si el diámetro de un perno se mide con una regla que tiene división milimétrica, el
intervalo más pequeño es un milímetro: 𝑬𝑬 =
𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟓 [𝒎𝒎 ], si la medición se hace
con un vernier cuya precisión es de 𝟎. 𝟏 [ 𝒎𝒎 ], 𝑬𝑬 =
se hace con un micrómetro cuya precisión es de 𝟎. 𝟎𝟏 [𝒎𝒎 ] ∶
𝑬𝑬 =
𝟎.𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟓 [𝒎𝒎 ]; y si
𝟎. 𝟎𝟏
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 [𝒎𝒎 ]
𝟐
Si el instrumento de medición es digital, la precisión es la unidad que corresponde al
dígito que está en el extremo derecho de la pantalla; por ejemplo, si en caída libre, se
4
mide el tiempo de caída del balín con medidor de tiempo en milisegundos
𝟏𝟎𝟓𝟒 [ 𝒎𝒔 ] y no registra decimales, la precisión es de: 𝟏 [𝒎𝒔 ] = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 [ 𝒔 ],
por lo cual:
𝑬𝑬 =
𝟎.𝟎𝟎𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 [ 𝒔 ]
Si la lectura es de 𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟕 [ 𝒎𝒔 ], la precisión es de 𝟎. 𝟏 [ 𝒎𝒔 ] = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏 [ 𝒔 ]
y por lo tanto 𝑬𝑬 =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓 [ 𝒔 ]; y la lectura está en segundos.
Si en pantalla aparecen dos decimales 𝟏. 𝟎𝟒 [ 𝒔 ], la precisión es de un centésimo de
segundo: 𝑬𝑬 =
𝟎.𝟎𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 [ 𝒔 ]
El valor real del error de escala, tanto para instrumentos de medición analógicos como
digitales, por lo general es menor al calculado; En la medición con instrumento
analógico, en el error influye la apreciación de quien hace la medición y si la medición
es con instrumento digital, sólo depende del instrumento.
Obsérvese que para indicar centímetros, milímetros, segundos y milisegundos, como
unidades, está escrito entre corchetes, que es lo más adecuado, porque de otra
manera se puede generar confusión, por ejemplo, para indicar metro, si se escribe m,
se puede confundir con masa, en cambio, si se escribe entre corchetes [ 𝒎 ], se sabe
que son metros; si gramo se denota como: g , se puede confundir con gravedad, en
cambio  g ], se sabe que son gramos, y si para indicar Teslas se escribe T, se puede
confundir con periodo, en cambio  T ] significa Teslas.
Igual que los errores aleatorios, los errores de escala no pueden ser eliminados,
porque no existe un instrumento de medición con una precisión del 100%, pero a
diferencia de los aleatorios, si se pueden minimizar, empleando instrumentos de
mayor precisión, como es el caso de la regla, el vernier y el micrómetro, el mayor EE
es con la regla y el menor es con el micrómetro.
2.1.3 Error Sistemático
Los errores sistemáticos son ocasionados por una o más fallas en el desarrollo del
experimento y/o en el proceso de medición; Estos errores, a diferencia de los
aleatorios y los de escala, si pueden ser eliminados, es más, deben ser eliminados,
5
impidiendo que ocurran, para lo cual, tanto en el desarrollo del experimento como en
la medición, el procedimiento debe hacerse correctamente.
Ejemplos de procedimientos incorrectos:
1.
2.
3.
Si se va a medir el desplazamiento de un objeto y no se coloca en la posición
adecuada.
Se va a medir la deformación de un resorte y no se toma en cuenta la masa del
dispositivo en donde se colocarán las masas para provocar la deformación.
El equipo con el que se va a realizar el experimento está deteriorado o es colocado
de manera incorrecta.
Ejemplos de errores en el proceso de medición:
4.
5.
6.
2.2
Si se realiza una medición con una regla y la lectura no se efectúa
perpendicularmente a la regla, se le denomina error de paralaje.
Si la medición del desplazamiento de un deslizador no se hace desde el punto de
partida y/o hasta el punto final.
Si el instrumento de medición está mal calibrado o está deteriorado.
Por la forma de calcularlos, los errores se clasifican como:

Error absoluto

Error relativo

Error porcentual

Error total

Error propagado
2.2.1 Error Absoluto.
El error absoluto que denotaremos como 𝑬𝑨𝑩 , es la diferencia, en valor absoluto,
entre el valor real y el valor medido o calculado: 𝐄𝐀𝐁 = │ 𝐗 𝐫𝐞𝐚𝐥 – 𝐗 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐨 │se debe
tener presente que:
6

Valor absoluto significa que el resultado siempre se debe considerar positivo.

Por ser la resta de dos valores, ambos deben estar en las mismas unidades.

Las unidades del error absoluto, son las mismas con las que se efectuó el cálculo.
El error absoluto permite determinar en cuanto difiere el valor medido o calculado,
del valor real, y cuando no se conoce el valor real, que es lo más común, como un
valor aproximado, se puede utilizar una medida de tendencia central de una muestra
del fenómeno.
Las medidas de tendencia central más utilizadas son la media y la mediana.
Si el fenómeno tiene una distribución de
valores sin sesgo o con bajo sesgo (Fig.1.2), lo
̅ ) media porque
adecuado es usar la ( 𝐗
pondera los valores obtenidos, y es
representativa de la posición del fenómeno.
En cambio, si presenta un gran sesgo (Fig 1.3),
lo más adecuado es usar la mediana ( ̃
𝐗 ) o la
̿ ) y no la media, porque como la
moda ( 𝐗
media pondera los valores, aquellos que están
sesgados alejan a la media de la posición de la
gran mayoría de los valores, en cambio la
mediana y la moda no ponderan los valores y
por lo tanto si representan la posición de la
mayoría de los valores.
En el campo de la medicina, la economía, la psicología y muchas otras, es común
encontrar fenómenos que tienen un gran sesgo; en cambio, en el de la física y la
química, los fenómenos tienen un comportamiento que no está sesgado, o tienen un
sesgo muy pequeño, por lo cual, en estas áreas, lo adecuado es usar la media 𝐗̅
para representar la posición, y en caso de que un conjunto de mediciones presenten
un gran sesgo, se puede concluir que hay un fuerte error de procedimiento.
Con el resultado de las mediciones, analíticamente se puede evaluar si hay un gran
sesgo, y también mediante la representación gráfica (histograma, diagrama de barras
o polígono de frecuencias) se puede visualizar si hay o no un gran sesgo, y en caso
de que ocurra, implica que hubo fuerte anomalía ( s ) en una o más de las actividades
del experimento y se debe analizar en que consistieron, para no repetirlas. Para que la
evaluación y/o visualización del sesgo sea confiable, el experimento se debe repetir
un número significativo de veces.
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2.2.2 Error Relativo y Porcentual.
El error relativo (que denotaremos EREL) indica en qué proporción difiere el valor
medido, respecto al valor real o a la aproximación de ese valor real, por lo cual:
𝑬𝑹𝑬𝑳 =
que es equivalente a: 𝑬𝑹𝑬𝑳 =
𝑬𝑨𝑩
𝑿𝒓𝒆𝒂𝒍
| 𝑿𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑿𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 |
𝑿 𝒓𝒆𝒂𝒍
; y el error porcentual, que denotaremos EP, mide
en que porcentaje difiere el valor medido, respecto al valor real (o al cálculo de su
aproximación); analíticamente, es el error relativo, multiplicado por 100:
𝑬𝑷 =
| 𝑿𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑿𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 |
( 𝟏𝟎𝟎)
𝑿𝒓𝒆𝒂𝒍
o también :
EP = 100 ( EREL ).
Como el error absoluto y el valor real, tienen las mismas unidades, al dividirlas,
desaparecen, por lo cual, tanto el error relativo como el porcentual, no tienen
unidades.
Obsérvese que la interpretación del error relativo y el porcentual es la misma, la
diferencia está en su uso; Para aplicación en el campo científico y tecnológico, debe
usarse el relativo y para nuestra vida cotidiana el porcentual, porque la mayoría de la
gente lo puede entender en tanto por ciento, pero no en tanto por uno, que es el
relativo.
Tanto el error absoluto como el relativo y el porcentual permiten:

Evaluar la eficiencia del experimento y/o del proceso de medición, debiendo
analizarse que factores influyeron.

Comparar la eficiencia de dos o más sistemas de medición.
Si se desea comparar la eficiencia de la medición de dos o más fenómenos, y la
diferencia en su magnitud es pequeña, puede usarse tanto el error absoluto, como el
relativo y el porcentual, en cambio, si hay gran diferencia en su magnitud, no debe
usarse el error absoluto, sólo el relativo o el porcentual, porque puede generar una
gran distorsión en la interpretación.
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Considerando que en un proceso no hay error sistemático, entonces la variación en
las mediciones se deben a los factores aleatorios, y por lo tanto el error aleatorio, que
denotaremos 𝐄𝐀 (estadísticamente se le denomina desviación estándar muestral), es:
EA =
𝑺
√𝒏
Donde " 𝒏 " es el número de mediciones en el experimento y " 𝒔 " es su desviación
estándar y sus unidades son las mismas con que se hicieron las mediciones.
En base al concepto de la desviación estándar
∑(𝒙𝒕 − 𝒙)𝟐
𝒔 = √
𝒏−𝟏
se mide el grado de dispersión de los datos respecto a su media, hay otras maneras
de calcularlo pero para el campo de la física: Lo importante es su aplicación y el
análisis de los fenómenos (como en muchos otros campos: química, biología,
medicina, economía, administración, . . .), por lo cual, lo adecuado es obtener " 𝒔 "
directamente por medio de la calculadora o computadora (según el caso) y
concentrarse en su interpretación y aplicación.
2.2.3 Error Total.
Como se señaló anteriormente, no existe un instrumento de medición con precisión
del 100%, en cualquier fenómeno donde se hacen mediciones aparecen siempre
tanto el error aleatorio como el error de escala y a la suma de esos errores se les
denomina error total que denotaremos: " 𝑬𝑻 ".
ET = E A + E E
2.2.4 Error Propagado.
En cualquier proceso de medición y/o experimentación siempre habrá error, y si el
resultado de ese proceso se usa para realizar el cálculo de otra variable, el error es
introducido en el proceso de cálculo y se genera lo que se denomina propagación de
error.
9
Consideremos el siguiente ejemplo: supongamos que se tiene una esfera cuyo
diámetro real es de 25  cm  y al medirla se obtiene como diámetro 24.8  cm , el
error absoluto es:
EAB =  25 – 24.8  = 0.2  cm = 2  mm .
El volumen real de la esfera es: VR =
𝝅 𝑫𝟑
𝟔
=
𝝅 ( 𝟐𝟓 )𝟑
𝟔
= 8,181.23  cm3 
mientras que el volumen calculado con el valor medido será:
VC =
𝝅 𝑫𝟑
𝟔
=
𝝅 ( 𝟐𝟒.𝟖 )𝟑
𝟔
= 7,986.45  cm 3
el error absoluto en el cálculo del volumen es:
EAB =  8,181.23 – 7,986.45  = 194.78  cm 3 = 194,780  mm 3.
¿Qué porcentaje es el error en el cálculo del volumen respecto al error en la
medición? :
𝟏𝟗𝟒. 𝟕𝟖
( 𝟏𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟕, 𝟑𝟗𝟎%
𝟎. 𝟐
Obsérvese que un error de 0.2  cm  se propagó aumentando en un noventa y siete
mil trescientos noventa por ciento.
Y si se introducen dos o más errores en el proceso de cálculo, el error propagado se
expande mucho más. Razón por la cual es importante usar correctamente la
calculadora, porque los cálculos de mediciones en experimentos no dan como
resultado números enteros o con un número finito de decimales (sólo en casos
excepcionales), y por ello, es común que se hagan truncamientos o redondeos, lo
cual es un error.
Si esos resultados se utilizan para hacer otros cálculos, se introduce un error más,
en cambio sí se guardan en la memoria de la calculadora y a partir de ahí se hacen
los otros cálculos, no se está introduciendo un error extra.
En el desarrollo de un experimento, no siempre hay sólo una variable, puede haber 2
o más, y al realizar la medición para cada variable, habrá error aleatorio y error de
escala para cada variable.
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Los resultados de las mediciones de esas dos o más variables, se usan para obtener
el valor de una función que depende de ellas y por lo tanto, siempre hay error
propagado.
Si " 𝐟 " es la función (variable) que se calcula a partir de dos o más variables
(X1 , X2 ...)
Error Propagado
El error aleatorio propagado es:
𝝏𝒇
𝟐
𝝏𝒇
𝟐
EAPf = √( 𝝏 𝑿 ) ( 𝑬𝑨𝑿𝟏 )𝟐 + ( 𝝏 𝑿 ) ( 𝑬𝑨𝑿𝟐 )𝟐 + …
𝟏
𝟐
Si " 𝒇 " depende sólo de una variable:
𝒅𝒇
𝟐
𝒅𝒇
EAPf = √( 𝒅 𝑿 ) ( 𝑬𝑨𝑿 )𝟐 = | ( 𝒅 𝑿 ) 𝑬𝑨𝑿 |
̅
Después de derivar, se debe sustituir el valor de 𝑿
Obsérvese que en el primer caso se usa el símbolo "  " porque son derivadas
parciales, mientras que en el segundo se usa " d ", porque como sólo hay una
variable, no es derivada parcial.
Como se señaló anteriormente, el valor de las derivadas parciales y de los errores
aleatorios al momento de calcularlos, deberán guardarse directamente en la memoria
de la calculadora, para que no tengan redondeo ni truncamiento y con ello evitar:


Un incremento en el cálculo del error propagado.
El riesgo de oprimir una tecla equivocada, por estar usando muchos decimales.
En el cálculo del error propagado, no necesariamente se tiene que usar la letra " 𝐟 " ni
la " 𝐗 ", deben usarse las letras que representan al fenómeno que se está analizando,
por ejemplo en el cálculo de la gravedad en función del tiempo en lugar de " 𝐟 " debe
usarse " 𝐠 " y en lugar de " 𝐗 " debe usarse " 𝐭 ".
11
También existe propagación en el error de escala y el proceso de cálculo es el mismo,
la única diferencia es que se usa EEX en lugar de EAX :
𝟐
𝟐
𝝏𝒇
𝝏𝒇
EEP = √( 𝝏 ) ( 𝑬𝑬𝑿𝟏 )𝟐 + ( 𝝏 ) ( 𝑬𝑬𝑿𝟐 )𝟐
𝑿𝟏
𝑿𝟐
𝒅𝒇
y si es solo con una variable. EE P f = | 𝒅𝑿 ( 𝑬𝑬𝑿 )|
El error total propagado, es la suma de ambos 𝑬𝑻𝑷 = 𝑬𝑨𝑷 + 𝑬𝑬𝑷
Por ejemplo, si se fabrican pernos, y se requiere conocer su volumen para calcular la
densidad del material que se está utilizando; Y en forma aleatoria se toman 5 pernos y
para cada uno se mide la longitud ( L ) y el diámetro ( D ), obteniéndose los siguientes
resultados:
𝑳[𝒄𝒎]
𝑫 [ 𝒄𝒎 ]
8.3
1.17
8.1
1.19
8.2
1.15
8.4
1.20
8.3
1.18
El cálculo del volumen es mediante: V = π r 2 L; Como se requiere el radio ( r ):
𝒓 [ 𝒄𝒎 ]
0.585
0.595
0.575
0.600
0.590
Para calcular el volumen, se requiere conocer la media de la longitud y del radio, y
para calcular el error propagado, se requiere también la desviación estándar.
Introduciendo los datos a la calculadora:
𝐋̅ = 8.26 [ cm ]; S L = 0.114 [ cm ];
𝐫̅ = 0.589 [ cm ]; S r = 9.61769 x 10 – 3[ cm ]
V = π 𝐫̅ 2 𝐋̅ = π ( 0.589 ) 2 ( 8.26 ) =
𝟗. 𝟎𝟎𝟐𝟒 [ 𝒄𝒎 ]𝟑
El error aleatorio para cada variable es:
EA L =
EAr =
12
𝐒𝐋
√𝐧
=
𝟎.𝟏𝟏𝟒
√𝟓
𝐒𝐫
𝟗.𝟔𝟏𝟕𝟔𝟗𝒙𝟏𝟎− 𝟑
√
√𝟓
=
𝐧
= 0.05099 [ cm ]
= 4.30116 x 10 – 3 [ cm ]
Para obtener el error propagado en el cálculo del volumen, " 𝐟 " es " 𝐕 ", " 𝐗 𝟏 "
es " 𝐫 " y " 𝐗 𝟐 " es " 𝐋 ", por lo cual:
𝟐
𝟐
𝐕
𝐕
EPV = √(  𝐫 ) ( 𝐄𝐀 𝐫 )𝟐 + (  𝐋 ) ( 𝐄𝐀 𝐋 )𝟐
𝐕
𝐫
= 2 π r L = 2 π ( 0.589 ) ( 8.26 ) = 30.5686
𝐕
𝐋
= π r 2 = π ( 0.589 2 ) = 1.0899
Sustituyendo
𝟎. 𝟏𝟒𝟐𝟕𝟒 [ 𝒄𝒎 ]𝟑
EPV = √𝟑𝟎. 𝟓𝟔𝟖𝟔𝟐 (𝟒. 𝟑𝟎𝟏𝟏𝟔𝐱𝟏𝟎− 𝟑 )𝟐 + 𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟗𝟐 (𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟗𝟗𝟐 ) =
Comparando el error propagado con el cálculo de Volumen se tiene:
EP% =
𝟎.𝟏𝟒𝟐𝟕𝟒
𝟗.𝟎𝟎𝟐𝟒
𝟏. 𝟓𝟖𝟔%
( 100 ) =
Como es menor al 2 % se concluye que si se
puede usar para el cálculo de la densidad.
Si en vez de un perno, es un balín para el cual se quiere calcular su densidad, y para
ello, hay que calcular el volumen, se mide el diámetro de 5 balines, obteniéndose:
𝑫 [ 𝒄𝒎 ]
1.148
1.184
El volumen de una esfera es: V =
𝒓 [ 𝒄𝒎 ]
0.574
𝟒 𝝅 𝒓𝟑
𝟑
1.200
1.160
1.176
; Como se requiere el radio:
0.592
0.600
0.580
0.588
Introduciendo estos datos a calculadora:
𝐫̅ = 0.5868 [ cm ]
S r = 0.0101587 [ cm ]
EA r =
𝐒𝐫
𝟎.𝟎𝟏𝟎𝟏𝟓𝟖𝟕
√
√𝟓
=
𝐧
= 4.5431 x 10 – 3 [ cm ]
13
V =
𝟒 𝛑 𝐫̅ 𝟑
𝟑
=
𝟒 𝛑 (𝟎.𝟓𝟖𝟔𝟖)𝟑
𝟑
=
𝟎. 𝟖𝟒𝟔𝟑𝟕 [ 𝒄𝒎𝟑 ]
Para el cálculo del error propagado, en el caso del perno, hubo dos variables, el
diámetro y su longitud, en cambio, en el balín sólo hay una variable, por lo cual:
𝟐
𝐝𝐕
𝐝𝐕
EPV =√( 𝐝𝐫 ) ( 𝐄𝐀 𝐫 )𝟐 = | ( 𝐝𝐫 ) 𝐄𝐀 𝐫 |
𝒅𝑽
𝒅𝒓
= 4π r 2 = 4 π ( 0.5868 2 ) = 4.32703
EPV = 4.32703 ( 4.5431 x 10 – 3 ) =
EP% =
𝟎.𝟎𝟏𝟗𝟔𝟓𝟖
𝟎.𝟖𝟒𝟔𝟑𝟕
( 100 ) =
𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟓𝟖 [ 𝒄𝒎𝟑 ]
𝟐. 𝟑𝟐𝟑 %
Obsérvese que el error propagado en el cálculo del volumen del perno, es mayor al
del balín, pero el error porcentual es mayor en el balín, lo cual se debe a que hay una
diferencia significativa entre el volumen del perno y el del balín y como se señaló, en
estos casos lo más adecuado es usar el error relativo o el porcentual; fue más
eficiente el proceso del perno que el del balín.
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3. CAÍDA LIBRE
El objetivo en este experimento es que se compruebe la hipótesis de que el valor de la
gravedad en la Ciudad de México es menor al valor a nivel del mar, mediante la
cuantificación del tiempo que tarda en recorrer cierta distancia, un balín que parte del
reposo.
La acción de la gravedad, es la fuerza que la tierra ejerce sobre cualquier cuerpo, que
es a lo que le llamamos el peso de ese cuerpo, que de acuerdo a la ley de la
gravitación universal de Newton es: F =
G m1 m2
r2
y como esa fuerza genera una
aceleración, esa aceleración es a la que se le denomina gravedad: " g "
A nivel del mar, el valor de la gravedad es de 9.81 [ m/s 2 ], pero como la magnitud de
la fuerza es directamente proporcional al producto de las masas (razón por lo cual, a
mayor masa, se tiene mayor peso), e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa, mientras más alejado esté un cuerpo del centro de la tierra,
la fuerza es menor y como consecuencia el valor de la gravedad es menor.
La Ciudad de México está a más de 2,000 metros arriba del nivel del mar, y como su
distancia al centro de la tierra es mayor que a nivel del mar, aquí el valor de la
gravedad es menor a 9.81; Para determinar su valor, se debe realizar la práctica de
caída libre, mediante el equipo tradicional o con el que tiene un sensor “U”;
empezando con el equipo tradicional:
Utilizar el siguiente equipo.





Aparato de Caída Libre
Contador digital
1 Balín
4 Cables banana – banana (mayor a 1 metro)
Regla graduada
15
Procedimiento.
Paso 1. Realizar las conexiones.
a ) Mediante dos cables banana – banana se deberá conectar la salida START/STOP
del contador digital a la parte superior del dispositivo a partir del cual se libera el
balín.
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b ) Mediante dos cables banana – banana, conectar STOP (que está a la derecha de
START / STOP) del contador digital, a la parte inferior del platillo interruptor, en el
cual se impacta el balín; en este caso y en el anterior no importa la polaridad de
conexión de los cables.
c)
Conectar el contador digital a la toma de corriente de la mesa y encenderlo,
esperar cinco segundos y oprimir la tecla FUNKTION y arriba de esa tecla, debe
iluminarse timer, si no ocurre, hacer presiones en esa tecla, hasta que se ilumine,
después oprimir la tecla TRIGGER hasta que se ilumine y después oprimir
DISPLAY para calibrar el medidor de tiempo en  𝒎𝒔 
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Paso 2. Iniciar el proceso de experimentación mediante.
a ) Uno de los integrantes del equipo debe colocar el balín en el soporte donde se hizo
la conexión de STAR/STOP; jalando el cable de soporte y liberándolo para que el
balín no se caiga.
b ) Otro de los integrantes del equipo deberá asegurarse que el platillo interruptor esté
desplazado hacia arriba y a continuación medir la distancia de la parte inferior del
balín a la parte inferior del platillo interruptor y se deberá registrar esa medición.
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c ) Otro de los integrantes del equipo deberá oprimir la tecla RESET y después la tecla
START, en el inciso c) del paso 1 del procedimiento deberá liberar el balín, jalando el
cable que lo está presionando; El contador digital empezará a operar y en el instante
que impacte en el platillo interruptor, se deberá paralizar la pantalla del contador.
d ) Se deberá anotar el tiempo registrado en el contador, recoger el balín y desplazar
hacia arriba al platillo interruptor, oprimir nuevamente la tecla RESET, colocar otra
vez el balín en el soporte y después presionar la tecla START, y el experimento
deberá repetirse por lo menos cuatro veces más.
e ) Antes de dar por concluido el proceso experimental, se deberá observar si dentro
del conjunto de mediciones hay algún valor que está muy alejado de la mayoría de
los otros, si eso ocurre, hubo un fuerte error en ese proceso experimental, por lo
cual, ese valor deberá ser desechado y hacer una vez más el experimento para
obtener una medición adecuada.
f)
Los otros equipos deberán realizar el mismo experimento, pero cada equipo
deberá hacerlo con una distancia recorrida por el balín, diferente a la que
emplearon los otros equipos.
Paso 3. Efectuar el proceso de cálculo, análisis y conclusión.
a ) Como el balín partió del reposo, su velocidad inicial es cero, por lo cual: 𝐡 =
𝐠 𝐭𝟐
𝟐
,
donde " h " es la distancia recorrida por el balín, que es la medición hecha en el
inciso b) del paso 3 del procedimiento, donde " 𝐠 " es el valor de la gravedad, " 𝐭 "
es el tiempo de recorrido del balín; despejando: 𝐠 =
𝟐𝐡
𝐭𝟐
b ) Lo más conveniente es trabajar en sistema internacional, la distancia en metros y
el tiempo en segundos, para que el valor de la gravedad quede en [ 𝐦 / 𝐬𝟐 ]
c)
Con la calculadora en modo STAT, introducir los tiempos medidos en la caída del
balín y obtener la media: " 𝐭̅ ", y la desviación estándar " 𝐒 𝐭 " de los datos, y con
ello hacer el cálculo de " 𝐠 ".
19
Ejemplo.
Para hacer una estimación del valor de la gravedad, desde una altura de 𝟓𝟑 [ 𝒄𝒎 ] se
dejó caer cinco veces un balín, obteniéndose los siguientes resultados:
𝒕 [ 𝒎𝒔 ]
327.1
329.4
357.6
330.7
329.6
Obsérvese que a simple vista se nota que el tercer valor está muy sesgado; hubo
algún error grave, se desecha ese valor y se realiza otra experimentación,
obteniéndose: 𝟑𝟑𝟎. 𝟕; este valor sustituye a: 𝟑𝟓𝟕. 𝟔
𝒕 [ 𝒎𝒔 ]
327.1
329.4
330.7
329.6
334.5
Determinar.
a ) El valor estimado de la gravedad en la Ciudad de México.
b ) El error aleatorio en el tiempo.
c ) El error de escala, si la precisión del contador digital es de 𝟎. 𝟏 [𝒎𝒔].
d ) El error aleatorio propagado en el cálculo de la gravedad.
e ) El error total en el cálculo de la gravedad y el porcentual de ese error.
f ) El error absoluto y porcentual, si la gravedad en la Ciudad de México es:𝟗. 𝟕𝟖 [ 𝒎/𝒔𝟐 ].
Respuestas.
a ) Transformando los datos a Sistema Internacional:
𝒕 [ 𝒎𝒔 ]
0.3271 0.3294
0.3307
0.3296
0.3345
𝒉 = 𝟎. 𝟓𝟑 [𝒎]
Introduciéndolos a la calculadora se tiene:
𝐭 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟎𝟐𝟔 [ 𝐬 ];
𝐒𝐭 = 𝟐. 𝟕𝟎𝟕𝟗𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 [ 𝐬 ]
además: 𝐡 = 𝟎. 𝟓𝟑 [ 𝐦 ];
Como: 𝐠 =
𝟐𝐡
𝐭𝟐
𝒈 =
𝟐 ( 𝟎.𝟓𝟑 )
𝟎.𝟑𝟑𝟎𝟐𝟔𝟐
𝐧 = 𝟓
= 9.71838 [ m/s2 ]
Como 9.71838 < 9.81 queda comprobada la hipótesis de que el valor de la
gravedad es menor en la Ciudad de México que a nivel del mar, porque la
distancia al centro de la tierra es mayor que a nivel del mar.
20
b)
𝐄𝐀𝐭 =
𝐒𝐭
√𝐧
=
𝟐.𝟕𝟎𝟕𝟗𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟑
√𝟓
=
𝟏. 𝟐𝟏𝟏𝟎𝟑 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 [ 𝒔 ]
c ) El error de escala es la precisión del instrumento entre 2:
𝑬𝑬𝒕 =
d ) 𝑬𝑨𝑷𝒈 = | (
𝒅𝒈
𝒅𝒕
𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏
= 𝟓 𝒙 𝟏𝟎− 𝟓 [ 𝒔 ]
𝟐
) 𝑬𝑨𝒕 |
Para obtener la derivada se puede escribir (entre otras opciones)
𝐠 = 𝟐 𝐡 𝐭 −𝟐
Derivando: (𝐝 𝐠)/(𝐝 𝐭) = – 𝟒 𝐡 𝐭 −𝟑 = –
𝟒𝐡
𝐭𝟑
𝟒(𝟎.𝟓𝟑 )
Sustituyendo: EAPg = | 𝟎.𝟑𝟑𝟎𝟐𝟔𝟑 ( 𝟏. 𝟐𝟏𝟏𝟎𝟑 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 ) |
EAP g =
𝟎. 𝟎𝟕𝟏𝟐𝟕 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
e ) Como: 𝑬𝑻𝒈 = 𝑬𝑨𝑷𝒈 + 𝑬𝑬𝑷𝒈 , se requiere calcular el error de escala
propagado en el cálculo de la gravedad:
𝒅𝒈
𝟒(𝟎.𝟓𝟑 )
𝑬𝑬𝑷𝒈 = |( 𝒅 𝒕 ) 𝑬𝑨𝒕 | = | 𝟎.𝟑𝟑𝟎𝟐𝟔 𝟑 (𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟓 ) | = 𝟐. 𝟗𝟒𝟐𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 [ 𝒎 / 𝒔𝟐 ]
ETg = 0.07127 + 2.9426 x 10 −3 = 𝟎. 𝟎𝟕𝟒𝟐 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
𝑬𝑷% =
𝟎.𝟎𝟕𝟒𝟐
𝟗.𝟕𝟏𝟖𝟑𝟖
( 𝟏𝟎𝟎 ) =
𝟎. 𝟕𝟔𝟑𝟓 %
El error porcentual, respecto al valor calculado de la gravedad es menor al 1%,
por lo cual se puede concluir que no hubo graves errores en el experimento.
f)
El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el valor medido o
calculado:
𝐄𝐀𝐁𝐠 = │𝟗. 𝟕𝟖 – 𝟗. 𝟕𝟏𝟖𝟑𝟖 │ =
𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟔𝟐 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100:
21
𝐄% =
| 𝐗 𝐫𝐞𝐚𝐥 − 𝐗 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐨 |
| 𝟎. 𝟎𝟔𝟏𝟔𝟐 |
( 𝟏𝟎𝟎 ) =
( 𝟏𝟎𝟎) =
𝐗 𝐫𝐞𝐚𝐥
𝟗. 𝟕𝟖
𝟎. 𝟔𝟑 %
El error porcentual, respecto al valor real de la gravedad en la Ciudad de
México es menor al 1%, igual que en el error porcentual calculado en el inciso
anterior, y por lo cual se llega a la misma conclusión.
CAIDA LIBRE CON EL EQUIPO NUEVO
Utilizar el siguiente equipo:
1.- Barra graduada
2.- Sensor “U”, también denominado: Sensor Herradura
3.- Contador de tiempo
4.- Cable banana – banana con terminales de color amarillo
5.- Cable de alimentación ( Conexión eléctrica )
Procedimiento
1.- Colocar el sensor en la barra y conectarlo al sensor de tiempo
2.- Conectar una terminal del cable amarillo banana-banana en la parte
superior trasera de la barra y la otra conectarla a la entrada amarilla del
contador de tiempo.
3.- Conectar el cable de alimentación.
4.- Encender el contador oprimiendo el botón “On”
5.- Seleccionar con el botón “TIME RESOL” una precisión de “0.001 S”
6.- Seleccionar con el botón “FUNCT MODE” al “GATE To GATE”
7.- Oprimir la tecla “START MODE” y seleccionar el “M+ TIMER”
8.- Colocar el balín en el imán que está en la parte superior de la barra.
9.- Verificar que el sensor esté bien alineado para que detecte el paso del
balín.
10.- Medir y registrar la distancia que recorrerá el balín, del imán al sensor
11.- Presionar la tecla “RESET”.
12.- Oprimir la tecla “GO”.
13.- Registrar el tiempo que aparece en la pantalla del contador.
14.- Colocar nuevamente el balín en el imán, repetir las actividades 11, 12 y 13
El objetivo del experimento y el proceso de cálculo son los mismos que se
aplicaron con el equipo anterior.
22
4. PLANO INCLINADO.
Si un objeto está sobre un plano horizontal y las únicas fuerzas que actúan sobre él
son la de atracción de la tierra (el peso) y la fuerza normal, están alineadas y tienen la
misma magnitud, por lo cual, se equilibran, y por lo tanto, no hay aceleración, por lo
cual, el objeto permanece, en reposo.
Si el plano se inclina y no hay fricción, el peso y la normal ya no están alineados y por
lo tanto ya no hay equilibrio, porque la componente del peso que es perpendicular al
plano de contacto " 𝑾𝒀 " se equilibra con la normal, pero para la que es paralela al
plano " 𝑾𝑿 ", no hay fuerza que la equilibre, por lo cual hay aceleración y el objeto se
desplaza.
El ángulo entre el vector
peso " 𝑾 " y su
componente perpendicular al plano " 𝑾𝒀 " es el
mismo del plano inclinado, por lo cual:
𝑾𝒀 = 𝑾 𝑪𝒐𝒔 𝜽
𝑾𝑿 = 𝑾 𝑺𝒆𝒏 𝜽
Como " 𝑾𝒙 " es el que genera la aceleración:
𝑾𝒙 = 𝑾 𝑺𝒆𝒏 𝜽
𝑾𝒙 = 𝒎𝒈 𝑺𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 𝒂
𝒂 = 𝒈 𝑺𝒆𝒏 𝜽 o también: 𝒈 =
𝒂
𝑺𝒆𝒏 𝜽
Es un movimiento uniforme acelerado, por lo
cual: 𝑿 = 𝑽𝒊 𝒕 +
obtiene:
𝑿 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒂 𝒕 𝟐 y como parte del reposo, su velocidad inicial es cero y se
𝒂 𝒕𝟐 ;
donde " 𝑿 " es la distancia recorrida por el objeto (en el
experimento, se le denomina: deslizador ) despejando : 𝒂 =
𝟐𝑿
𝒕𝟐
23
La aceleración se puede calcular mediante la distancia recorrida y el tiempo promedio
empleado; y el error en el cálculo se puede obtener considerando que 𝒂 = 𝒈 𝑺𝒆𝒏 𝜽
es el valor más cercano al valor real.
También, a partir de la aceleración calculada, se puede hacer una estimación del valor
de la gravedad en la Ciudad de México.
Por lo tanto, mediante el experimento con un plano inclinado, se puede:
1. Determinar la aceleración de un objeto que se desplaza sin fricción
2. Otra manera de comprobar la hipótesis de que el valor de la gravedad en la Ciudad
de México es menor que a nivel del mar; Para lo cual, requiere:
Utilizar el siguiente equipo.





24
Riel delgado.
Compresor.
Deslizador.
Cronómetro.
Vernier.
El procedimiento es el siguiente.
a .- Mediante la manguera, conectar el compresor de aire al riel.
b .- Colocar un apoyo en un extremo del riel, para que el riel tenga cierto grado de
inclinación.
c .- Colocar el deslizador en cierta posición y activar el compresor, observando si
no hay irregularidades, como puede ser:

Fuga de aire en la conexión, porque está mal hecha la conexión o porque
está deteriorada la manguera o el extremo de ensamble del riel y hacer las
correcciones;

Que el deslizador se mueve excesivamente lento o no se mueve, lo cual
puede ocurrir porque el ángulo de inclinación del riel es muy pequeño, o
está mal hecha la conexión del compresor, o el compresor está deteriorado
y no hay suficiente presión del aire.
25
d .- Elegir una posición cercana a la
parte elevada del riel, medir la
altura de esa posición, colocando
la parte trasera del vernier sobre
la superficie donde está apoyado
el riel, abrir el vernier hasta que
la parte trasera llegue a la parte
inferior del riel y registrar la
medición; Elegir otra posición del
riel, en un punto cercano al otro
extremo y medir su altura y
anotar tanto las posiciones como
las alturas.
e .- Colocar el deslizador en una posición cercana a la parte más alta del riel.
f .- Uno de los integrantes del equipo sostener la parte inferior del deslizador,
mediante un lápiz, pluma o una barra, para impedir que se desplace en el
momento en que se active el compresor.
g .- Activar el compresor.
h .- Con el cronómetro, otro de los integrantes del equipo, deberá sincronizarse con
el que tiene paralizado el deslizador f) para que en el momento en que lo
libere, accione el cronómetro y en el instante en que el deslizador se impacte
en la parte inferior del riel, detenerlo y registrar la lectura; desactivar el
compresor en el instante en que el deslizador se impacte.
i .- Repetir el experimento, por lo menos cuatro veces más; y al terminar, como se
señaló anteriormente, verificar que no haya algún dato que presente un gran
sesgo.
j .- Otro equipo, realizar el mismo proceso, cambiando la inclinación del riel y/o la
posición a la cual se coloque el deslizador.
k .- Con la información obtenida, se deberán realizar los siguientes cálculos:
26

Determinar el ángulo de inclinación del riel, se restan las alturas:
𝒉 = 𝒉𝟏 – 𝒉𝟐 se restan las posiciones en donde se midieron las alturas
𝑿 = 𝑿 𝟏 – 𝑿𝟐
Se calcula 𝑺𝒆𝒏 𝜽 =

𝒉
𝑿
Con las mediciones de tiempo, calcular: Media, Desviación Estándar,
Error Aleatorio.
a) La aceleración del deslizador, mediante: 𝒂 =
𝟐𝑿
𝒕𝟐
b) El error aleatorio en el tiempo
c) El error de escala
d) El error absoluto, relativo y porcentual, considerando 𝒂 = 𝟗. 𝟕𝟖 𝑺𝒆𝒏 𝜽
como valor real
𝒂
e) El valor estimado de la gravedad, mediante 𝒈 =
𝑺𝒆𝒏 𝜽
, donde " 𝒂 " es
el valor calculado en el punto ( 𝒂. )
f) El error absoluto, relativo y porcentual en el cálculo de " 𝒈 ", si
𝒈 = 𝟗. 𝟕𝟖 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
Ejemplo.
Un riel fue conectado a un compresor de aire y uno de los extremos se elevó
colocándolo en un soporte; en la posición 𝟐𝟎 [ 𝒄𝒎 ] se midió la altura, obteniéndose
𝟕. 𝟔 [ 𝒄𝒎 ] y en la posición 𝟏𝟓𝟎 [ 𝒄𝒎 ] la altura fue de 𝟐𝟖. 𝟑 [ 𝒄𝒎 ] ; Se colocó un
deslizador en la posición 𝟏𝟔𝟎 [ 𝒄𝒎 ] del riel; se activó el compresor para verificar el
punto de impacto del deslizador obteniéndose 𝟏𝟐 [ 𝒄𝒎 ]; A continuación se colocó el
deslizador en la posición inicial y se activó el compresor, midiéndose el tiempo de
desplazamiento: se realizó cinco veces el experimento, obteniéndose los siguientes
resultados en segundos.
𝒕[𝒔]
1.48
1.62
1.49
1.47
1.59
1.54
Determinar.
a ) La aceleración del deslizador.
b ) El error absoluto, relativo y porcentual en el cálculo de la aceleración, si
g = 9.78 [ m / s 2 ]
27
c ) El valor estimado de la gravedad, a partir del valor calculado de la aceleración del
enciso a)
d ) El error absoluto, porcentual en el cálculo de la gravedad.
Respuestas.
𝟐𝑿
a) Como partió del reposos, 𝒂 = 𝒕𝟐
Metiendo los tiempos a calculadora 𝒕̅ = 𝟏. 𝟓𝟑 [ 𝒔 ] ;
𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟒𝟐𝟑 [ 𝒔 ]
La distancia recorrida es: 𝒙 = 𝟏𝟔𝟎 – 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟖 [ 𝒄𝒎 ] = 𝟏. 𝟒𝟖 [ 𝒎 ]
𝟐𝑿
𝟐 ( 𝟏.𝟒𝟖 )
𝟏. 𝟐𝟔𝟒 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
𝒂 = 𝒕𝟐 = 𝟏.𝟓𝟑𝟐 =
b) Para calcular el error absoluto, se debe considerar como valor real:
𝐚 = 𝐠 𝐒𝐞𝐧 𝛉
Donde 𝐒𝐞𝐧 𝛉 =
𝐡
; 𝐡 = 𝟐𝟖. 𝟑 – 𝟕. 𝟔 = 𝟐𝟎. 𝟕 [ 𝐜𝐦 ]
𝐗
𝐗 = 𝟏𝟓𝟎 – 𝟐𝟎 = 𝟏𝟑𝟎 [ 𝐜𝐦 ]
𝐚 = 𝟗. 𝟕𝟖 (
𝟐𝟎.𝟕
𝟏𝟑𝟎
) =
𝟎.𝟐𝟗𝟑
𝟏.𝟓𝟓𝟕
𝐄% =
=
𝐒𝐞𝐧 𝛉 =
𝟐𝟎. 𝟕
𝟏𝟑𝟎
𝟏. 𝟓𝟓𝟕 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
𝐄𝐀𝐁 = │𝟏. 𝟓𝟓𝟕 – 𝟏. 𝟐𝟔𝟒 │ =
𝐄𝐑𝐄𝐋 =
;
𝟎. 𝟐𝟗𝟑 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
𝟎. 𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟖. 𝟖%
El error porcentual, es muy alto, hubo factores que influyeron
fuertemente.
c) 𝐠 =
𝐚
𝐒𝐞𝐧 𝛉
=
𝟏.𝟐𝟔𝟒
𝟐𝟎.𝟕 /𝟏𝟑𝟎
=
𝟕. 𝟗𝟑𝟖 [ 𝒎/𝒔𝟐 ]
d) 𝐄𝐀𝐁 = │𝟗. 𝟕𝟖 – 𝟕. 𝟗𝟑𝟖 │ =
𝐄% =
𝟏.𝟖𝟒𝟐
𝟗.𝟕𝟖
( 𝟏𝟎𝟎 ) = 𝟏𝟖. 𝟖𝟑%
Como consecuencia el error porcentual es muy alto.
28
5. CHOQUE UNIDIMENSIONAL.
Cuando un objeto se encuentra en reposo, a una altura respecto a un marco de
referencia, tiene energía potencial y no tiene energía cinética, si el objeto se libera y la
única fuerza que actúa sobre él es la de la gravedad, su desplazamiento es en una
trayectoria vertical, como en el caso de caída libre, su energía potencial se va
convirtiendo en cinética y en el momento en que se impacta contra una superficie, esa
energía cinética se convierte en otro tipo de energía, como energía potencial de
deformación tanto de la superficie con que se impactó como del mismo objeto, o
energía calorífica o de otro tipo y puede ser que pierda toda la energía cinética o que
recupere una parte de ella.
En el caso de caída libre, si el balín se impacta en el centro del interruptor, el
interruptor absorbe toda esa energía y el balín queda en reposo, y mientras más
alejado del centro del interruptor, ocurra el impacto, absorbe menos energía y el balín
recupera cierta cantidad y por eso rebota.
En el plano inclinado, al impactarse el deslizador con la parte inferior del riel, un
porcentaje significativo de la energía cinética se transforma en potencial de
deformación, tanto de la parte frontal del deslizador como de la parte del riel donde
ocurre el impacto y un buen porcentaje de esa energía la recupera el deslizador, y por
ello rebota de manera significativa; además tanto en este experimento como en el de
caída libre, un porcentaje muy pequeño se disipa por la fricción del aire y en forma de
calor en la zona de impacto, pero es tan pequeño que no se puede apreciar.
El objetivo de esta práctica es visualizar este fenómeno y determinar qué porcentaje
de energía recupera el deslizador y que porcentaje se disipa, Para lo cual:
29
Se requiere el siguiente equipo.



Riel delgado
Compresor
Deslizador
El procedimiento es el siguiente:
a .- Hacer el procedimiento del enciso a) al enciso f) del plano inclinado; el proceso d),
no debe realizarse.
b .- Liberar el deslizador y otro de los integrantes del equipo debe estar muy atento a
visualizar en qué posición se detiene completamente el deslizador al impactarse,
desactivar el compresor y anotar el resultado.
c .- Colocar el deslizador en la posición inicial elegida y activar el compresor.
d .- Uno de los integrantes del equipo deberá estar atento para visualizar hasta que
posición llega después del primer rebote, mencionar la cantidad y otro de los
integrantes deberá anotarla.
e .- Sin desactivar el compresor, esperar a que el deslizador baje otra vez y se
impacte, y visualizar hasta que posición llega después del segundo rebote,
mencionar la cantidad, anotarla y desactivar el compresor.
f .- Repetir el experimento por lo menos cuatro veces más.
g .- Los demás equipos deberán realizar el mismo experimento, seleccionando una
posición inicial diferente a la que usaron los otros equipos.
30
A la proporción de energía que se conserva después del impacto, se le denomina
coeficiente de restitución que denotaremos como " 𝒆 ", que multiplicado por 100, indica
el porcentaje de energía que se conserva después del choque y se calcula mediante:
𝐗
𝒆 = √𝐗 𝟐 , donde 𝑿𝟏 es el promedio de las distancias recorridas por el deslizador,
𝟏
después del primer rebote, que es la diferencia de las mediciones anotadas en los
" 𝑿𝟐 " es el promedio de las distancias recorridas, después del
incisos b) y d), y
segundo rebote, que es la diferencia de las mediciones anotadas en los incisos
b) y e).
Como " 𝐞 " depende de dos variables, el error propagado en el cálculo del coeficiente
de restitución es:
𝐞 𝟐
𝐞 𝟐
𝟏
𝟐
𝑬𝑨𝒆 = √(𝐗 ) (𝑬𝑨 𝟏 )𝟐 + (𝐗 ) (𝑬𝑨𝟐 )𝟐 hay que obtener las derivadas parciales, para
lo cual, entre otras opciones, se puede escribir: 𝒆 = 𝑿𝟐 𝟏⁄𝟐 𝑿𝟏 −𝟏⁄𝟐
De ahí:
𝐞
 𝐗𝟏
= −
𝟏
𝟐
𝟏/𝟐
𝐗𝟐
−𝟑/𝟐
𝐗𝟏
;
𝐞
 𝐗𝟐
=
𝟏
𝟐
− 𝟏/𝟐
𝐗𝟐
−𝟏/𝟐
𝐗𝟏
Que también se puede escribir:
𝐞
 𝐗𝟏
=
𝟏
𝟐
𝐗
𝟐
√𝐗 𝟑 ;
𝟏
𝐞
 𝐗𝟐
=
𝟏
𝟐
√𝐗
𝟏
𝟏
𝐗𝟐
Ejemplo
Para determinar el coeficiente de restitución de un material, se hicieron 5 pruebas
mediante un deslizador que resbaló libremente desde el mismo punto y la posición de
la parte delantera al detenerse en el momento del impacto fue de 𝟑. 𝟔 [ 𝒄𝒎 ] ,
alcanzando los siguientes desplazamientos máximos en [𝒄𝒎] después del primer y
segundo impacto:
𝟏𝒆𝒓. 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐 𝑿𝟏
𝟐𝒅𝒐. 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐 𝑿𝟐
87.0
64.3
86.5
63.7
86.8
64.1
86.6
64.0
86.9
64.4
31
Determinar
𝐗
a ) El coeficiente de restitución: 𝒆 = √𝐗𝟐 ; dar la interpretación del resultado.
𝟏
b ) El error aleatorio propagado.
c ) El error porcentual respecto al cálculo del coeficiente de restitución del inciso
anterior.
Respuestas.
a) Para determinar el coeficiente de restitución, se requiere conocer el
desplazamiento medio después del primer impacto y también después del
segundo impacto, para lo cual, a cada medición después de cada impacto, se
le debe restar 3.6 que es la posición en la que se detuvo al momento de
impactarse:
𝟏𝒆𝒓. 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐 𝑿𝟏
𝟐𝒅𝒐. 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐 𝑿𝟐
83.4
60.7
82.9
60.1
83.2
60.5
83.0
60.4
83.3
60.8
Introduciendo estos resultados a la calculadora:
̅ 𝟏 = 𝟖𝟑. 𝟏𝟔 [ 𝐜𝐦 ]
𝐗
𝐒𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟕𝟑𝟔 [ 𝐜𝐦 ]
̅ 𝟐 = 𝟔𝟎. 𝟓 [ 𝐜𝐦 ]
𝐗
𝐒𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟑𝟖𝟔 [ 𝐜𝐦 ]
𝐗
𝟔𝟎.𝟓
Sustituyendo en 𝐞 = √𝐗 𝟐 = √𝟖𝟑.𝟏𝟔 =
𝟏
e = 0.8529 significa que se conserva el 85.29% de la energía
mecánica en cada impacto y se disipa el 14.71%
b) Para determinar el error aleatorio propagado, se requiere obtener el error
aleatorio en las mediciones del primer impacto y del segundo, con los
datos de a).
32
𝐄𝐀𝟏 =
𝐄𝐀𝟐 =
𝐒𝟏
√𝐧
𝐒𝟐
√𝐧
=
𝟎.𝟐𝟎𝟕𝟑𝟔
=
𝟎.𝟐𝟕𝟑𝟖𝟔
√𝟓
√𝟓
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟕 [ 𝐜𝐦 ]
= 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟒𝟕 [ 𝐜𝐦 ]
𝟐
𝟐
𝐞
𝐞
Como 𝐄𝐀 𝐞 = √(𝐗 ) (𝐄𝐀 𝟏 )𝟐 + (𝐗 ) (𝐄𝐀 𝟐 )𝟐 , hay que obtener las derivadas
𝟏
𝟐
parciales, y como se señaló, entre otras opciones, se puede escribir:
𝐞 = 𝐗 𝟐 𝟏⁄𝟐 𝐗 𝟏 −𝟏⁄𝟐 , de ahí:
𝐞
 𝐗𝟏
= −
𝟏
𝟐
⁄𝟐
𝐗 𝟏𝟐
−𝟑/𝟐
𝐗𝟏
= −
𝟏
𝟐
(𝟔𝟎. 𝟓)𝟏⁄𝟐 (𝟖𝟑. 𝟏𝟔)−𝟑⁄𝟐 = −𝟓. 𝟏𝟐𝟖𝟑 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 [𝐜𝐦−𝟏 ]
𝐞
𝟏 − 𝟏/𝟐 −𝟏/𝟐
𝟏
= 𝐗𝟐
𝐗𝟏
= (𝟔𝟎. 𝟓)−𝟏⁄𝟐 (𝟖𝟑. 𝟏𝟔)−𝟏⁄𝟐 = 𝟕. 𝟎𝟒𝟗 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 [ 𝐜𝐦 −𝟏 ]
 𝐗𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝐄𝐀 𝐞 = √(– 𝟓. 𝟏𝟐𝟖𝟑 𝐱𝟏𝟎− 𝟑 ) (𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟕)𝟐 + (𝟕. 𝟎𝟒𝟗 𝐱𝟏𝟎− 𝟑 )𝟐 (𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟒𝟕 )𝟐
𝑬𝑨𝒆 = 𝟗. 𝟖𝟓𝟓𝟑 𝑿 𝟏𝟎−𝟒
c) El error porcentual es:
𝐄% =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟗𝟖𝟓𝟓𝟑
𝟎.𝟖𝟓𝟐𝟗
(𝟏𝟎𝟎) =
𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟓 %
Es muy pequeño, por lo cual, se concluye que es
confiable el coeficiente de restitución calculado.
33
6. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN.
Un modelo de regresión permite describir fenómenos de cualquier naturaleza,
Analizarlos, y pronosticar su comportamiento, existen muchos tipos de modelos de
regresión, se considerará solamente los que se denominan modelos lineales.
Correlación: la expresión co – relación indica si dos fenómenos están relacionados
entre sí, o sea, si el comportamiento de un fenómeno depende del comportamiento de
otro o de otros fenómenos.
Por ejemplo, si en un negocio venden nieve; Es evidente que en épocas cálidas la
venta de nieve será mayor que en épocas frías, o sea que la temperatura influye en el
volumen de ventas, están correlacionados, porque a mayor temperatura, mayor
volumen de ventas y viceversa. Pero no es el único factor, el precio de venta también
está correlacionado con el volumen de ventas, porque si aumentan el precio
disminuye el volumen de ventas y si bajan el precio, aumentan las ventas. En el caso
de la temperatura se dice que hay correlación directa ( o positiva ) y en el caso del
precio hay correlación inversa ( o negativa ).
Desde el punto de vista matemático, en vez de llamarle fenómenos se les denomina
variables y aquella que influye en el valor de la otra se le denomina variable
independiente y la que es influida, se le denomina variable dependiente. Para saber
en qué medida un fenómeno influye en otro, se utiliza el índice de correlación que se
denota " 𝒓 " , siendo: −𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟏 . Si 𝒓 = 𝟏 , o si 𝒓 = − 𝟏, se dice que hay
correlación perfecta, o sea que sólo hay una variable independiente, lo cual o es un
caso excepcional o hay error.
En cambio, si −𝟏 < 𝑟 < 1, indica que en la variable dependiente influyen dos o más
variables, pero no necesariamente esas variables tienen el mismo grado de influencia,
una puede tener mayor influencia que otra, y ésta más que una tercera y así, lo cual
se determina mediante el valor de " 𝐫 ", mientras más cercano esté a uno o a menos
uno, mayor es su grado de influencia y mientras más cercano a cero, menor es el
grado de influencia y si 𝐫 = 𝟎 , no hay influencia, o sea que las variables son
independientes entre sí.
34
Por ejemplo, el fumar, provoca entre muchos otros daños al cuerpo, el cáncer de
pulmón, pero no es el único factor que influye en contraer esa enfermedad, también:
tipo de alimentación, características genéticas, medio ambiente, y hay más. El índice
de correlación entre el fumar y el cáncer es: 𝟎. 𝟔 < 𝒓 < 𝟏 por lo cual, si una persona
no fuma, puede contraer cáncer, pero la probabilidad es muy baja, en cambio si fuma,
la probabilidad de que contraiga cáncer es muy alta. El índice de correlación es
positivo, es directamente proporcional, mientras más fume, más riesgo de contraer la
enfermedad.
Visualización gráfica del valor de " 𝐫 "; considerando un comportamiento lineal, si se
efectúan mediciones, para cada valor de la variable independiente habrá un valor
asociado de la variable dependiente, esa pareja de valores son coordenadas;
Graficando, si los puntos están muy cercanos a una recta de pendiente positiva, el
índice de correlación es muy cercano a uno y si están muy cercanos a una recta de
pendiente negativa, el índice de correlación es muy cercano a menos uno: mientras
más alejados estén de la recta, el índice de correlación es más alejado de 1 o de -1; si
los puntos están dispersos tendientes a acercarse a una circunferencia o a un óvalo, o
si los puntos están muy cercanos a una recta horizontal o vertical, el índice de
correlación es cero o mucho muy cercano a cero.
35
El modelo de regresión es una función matemática que permite analizar las
características de un fenómeno y/o pronosticar el valor de la variable dependiente a
partir de cierto valor de la variable independiente o también, permite pronosticar el
valor requerido de la variable independiente para obtener cierto valor deseado o
esperado de la variable dependiente
Para los experimentos de este curso, la ( 𝒔 ) variable ( 𝒔 ) que se medirán en el
proceso de experimentación, influyen muy fuertemente en los resultados, por lo cual,
para que un modelo de regresión sea confiable, el índice de correlación debe ser muy
cercano a uno: 𝒓 > 𝟎. 𝟗𝟖 𝑜 𝒓 < −𝟎. 𝟗𝟖
Existen diferentes modelos matemáticos: Lineal, cuadrático, exponencial, logarítmico,
pero nos centraremos en lo que se denomina modelo lineal.
Se le denomina lineal, porque la variables independiente tienen propiedad de
proporcionalidad, por ejemplo, si la variable duplica su valor, el efecto en el fenómeno
también se duplica y si la variable disminuye su valor a una tercera parte, el efecto
también disminuye a una tercera parte; consideremos un ejemplo sencillo:
Si 𝒀 = 𝟑𝑿
Cuando 𝑿 = 𝟐
𝒀 = 𝟑(𝟐) = 𝟔
Si 𝑿 = 𝟖
𝒀 = 𝟑 (𝟖) = 𝟐𝟒
El Valor de " 𝑿 " se cuadruplicó, porque pasó de 2 a 8, y el efecto también se
cuadruplicó, porque pasó de 6 a 24, es la propiedad de proporcionalidad.
Algebraicamente se le denomina “ lineal ” porque es la ecuación de una línea recta;
que en forma general se representará como 𝒀 = (𝒎∗ ) 𝑿 + 𝒃 , donde " 𝒀 " es la
variable dependiente y " 𝑿 " la variable independiente, y no necesariamente se
utilizará " 𝒀 " o " 𝑿 ", la letra dependerá del fenómeno que se esté describiendo y/o
analizando.
36
A " 𝒎∗ " y a " 𝒃 " en general se les denomina parámetros, y desde el punto de
vista geométrico, " 𝒎∗ " es la pendiente de la recta y " 𝒃 " es la ordenada al origen.
Pero en el campo de la física, la interpretación de los parámetros dependerá del
fenómeno que se esté describiendo y/o analizando. Algebraicamente a la pendiente
se le denota " m ", pero en el campo de la física, lo recomendable es denotarlo
como " 𝒎∗ " , porque sin el asterisco se puede confundir con masa.
El modelo de regresión se obtiene mediante el método de mínimos cuadrados y hay
diferentes expresiones algebraicas para calcular los parámetros, pero para el objetivo
de este curso, lo importante es la interpretación de los parámetros, por lo cual, deben
obtenerse directamente de la calculadora, debiendo tenerse presente que en algunos
modelos, la " 𝒃 " de la calculadora corresponde a " 𝒎∗ " y la " 𝒂 " corresponde a
la " 𝒃 ", del modelo de regresión.
Para la interpretación de los parámetros, se debe tener presente el modelo teórico del
fenómeno que se está analizando y comparar la ubicación de los parámetros respecto
a la variable independiente y las operaciones que se realizan; por ejemplo:
En el experimento de movimiento rectilíneo uniforme en un plano horizontal, si se
mide posición ( 𝒀 ) contra tiempo ( 𝒕 ), el tiempo es la variable independiente y
la posición es la variable dependiente, el modelo lineal que se obtendrá es:
𝒀 = 𝒎 ∗ 𝒕 + 𝒃 ; y como el modelo teórico es: 𝒀 = 𝑽 𝒕 + 𝒀𝒐 , donde " 𝑽 " es la
velocidad con que se desplaza el objeto y " 𝒀𝒐 " es la posición a partir de la cual se
empezó a medir el tiempo, como " m* " multiplica a " 𝒕 " en el modelo lineal, y " 𝑽 "
multiplica a " 𝒕 " en el modelo teórico, se concluye que 𝒎∗ = V , es la velocidad con
que se desplaza el objeto en el experimento realizado.
Respecto a " b " está sumando; y " Yo " también está sumando, por lo cual se
concluye que " b " es la posición a partir de la cual se empezó a medir el tiempo; Y si
en el experimento, el tiempo se midió desde el punto de partida, " b " debería ser cero
y si no lo es, es un reflejo del grado de error al realizar el experimento.
37
Es importante que también se haga el análisis de cuáles son las unidades de los
parámetros, lo cual se debe realizar tanto desde el enfoque de la física, como
algebraico; Desde el punto de vista de la física, de acuerdo a la interpretación del
parámetro y a las unidades de medición, se obtienen las unidades del parámetro.
En el ejemplo del movimiento rectilíneo uniforme en el plano horizontal se concluyó
que 𝐦∗ es la velocidad con que se desplaza el objeto, y como la velocidad se mide
en unidad de longitud, entre unidad de tiempo, en sistema internacional sus unidades
son: [ 𝐦/𝐬 ] ; y como " 𝐛 " es posición, sus unidades son [ 𝐦 ] ; Si el
desplazamiento se mide en centímetros, las unidades de 𝐦∗ son: [ 𝐜𝐦⁄𝐬 ] y las de
" 𝐛 " son [ cm ]; Las unidades de medición pueden ser de otro sistema, pero para
estos experimentos, estos son los que se utilizarán.
Algebraicamente: Si " 𝐘 " se mide en metros, y el tiempo está en segundos, en
𝐘 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛 al multiplicar: 𝐦∗ t , se deben obtener las unidades de " 𝐘 " , por lo
cual m∗ debe tener metros [ m ] y como " t " está en segundos y está multiplicando,
los segundos deben de desaparecer, por lo cual las unidades de 𝐦∗ debe tener
segundos como divisor: [𝐦/𝐬 ][𝐬] = [𝐦] , por lo cual las unidades de " 𝐦∗ "
son: [𝐦 / 𝐬] ; Y las de 𝐦∗ t son metros [ 𝐦 ]; como " 𝐛 " está sumando a 𝐦∗ t ,
para efectuar una suma, los sumandos deben tener exactamente las mismas
unidades, por lo cual las unidades de " 𝐛 " son: [ 𝐦 ]
38
7. DEFORMACIÓN DE UN RESORTE.
Al aplicar una fuerza sobre cualquier objeto, ese objeto se deforma; dependiendo de la
magnitud de la fuerza y el tipo de material del objeto, la deformación puede ser muy
pequeña, tal que no se puede apreciar, matemáticamente es a lo que se le denomina:
diferencial; puede ser pequeña o puede ser grande, pero si se puede apreciar.
Si la fuerza desaparece, puede ocurrir que el objeto permanezca con la misma
deformación, a lo cual se le denomina: deformación plástica; o que recupere su forma
original, a lo cual se le denomina: deformación elástica; o que recupere parcialmente
su forma original, habiendo cierto grado de deformación permanente.
Al aplicar la fuerza, hay deformación, por lo cual hay desplazamiento o sea que hay
trabajo, que consiste en transferencia de energía; en el caso de la deformación
elástica, esa energía queda almacenada en el cuerpo en forma de energía potencial
de deformación y al desparecer la fuerza, esa energía potencial, se disipa
principalmente en forma de energía cinética.
Entre otros casos, esta es la razón por la cual un resorte que está deformado por la
acción de una fuerza; por ejemplo, si está alargado respecto a su longitud original, si
la fuerza desaparece, el resorte adquiere velocidad recuperando su longitud original, y
si no actúa ninguna otra fuerza, esa energía cinética se convierte en potencial,
comprimiendo el resorte y nuevamente la libera convirtiéndose en energía cinética y el
fenómeno se repite y por ello oscila.
La relación entre la magnitud de la deformación del resorte y la magnitud de la fuerza
se le denomina constante de fuerza del resorte:
𝐅
𝐊 = 𝐗 , que es lo que Hooke
estableció: La deformación de un resorte es directamente proporcional a la magnitud
de la fuerza que se le aplique: 𝐅 = 𝐊 𝐗 ; donde " 𝐊 " es la constante de fuerza del
resorte, " 𝐅 " es la fuerza y " 𝐗 " es la deformación del resorte.
Debe tenerse presente que no es lo mismo longitud, que deformación de la longitud,
por ejemplo, si un resorte que no está deformando, mide 𝟏𝟎  𝐜𝐦  de longitud, y al
aplicarle una fuerza su longitud es de 𝟏𝟐. 𝟓  𝐜𝐦  , la deformación es la diferencia
entre la longitud cuando se aplica la fuerza y la longitud original del resorte:
𝐗 = 𝟏𝟐. 𝟓 – 𝟏𝟎 = 𝟐. 𝟓  𝐜𝐦  .
39
La aplicación de la constante de fuerza de un resorte es importante en ciertos
fenómenos, ejemplo:
1. En un bolígrafo es común que el tubo que contiene a la tinta, el extremo donde
está la puntilla esté apoyado en un resorte con una constante de fuerza pequeña, y
para que salga o se meta la puntilla, se le aplica una fuerza en el otro extremo, la
constante de fuerza es pequeña, y por lo tanto, no se requiere aplicar una gran
fuerza, si la constante de fuerza del resorte fuera muy grande, se requeriría una
fuerza muy grande para que sacarla puntilla o para meterla.
2. La suspensión de un automóvil o un camión, en cada lado lleva un resorte cuya
constante de fuerza es muy grande, porque el peso del auto, la camioneta o el
camión es muy grande y cuando circula, al pasar por una deformación de la
carpeta asfáltica o por un bache, hay un desplazamiento vertical con una energía
cinética grande, esa energía es absorbida por el resorte al deformarse y al liberarla
la absorbe lo que se le denomina amortiguador; Si no tuviera el resorte, el impacto
vertical causaría graves daños a esa unidad de transporte y si no tuviera el
amortiguador, estaría oscilando fuertemente, que también es perjudicial.
La constante de fuerza de un resorte se determina mediante leyes empíricas que se
obtienen con experimentaciones y debido a que la constante puede tener variaciones
pequeñas o grandes, dependiendo del material y de la magnitud de la deformación, lo
adecuado es obtener la constante mediante un modelo de regresión lineal, que
además permite pronosticar la deformación del resorte bajo la acción de cierta fuerza
o la fuerza requerida para que el resorte obtenga cierta deformación.
El objetivo de esta práctica es determinar la magnitud
de la constante de fuerza de un resorte, mediante
experimentaciones, para lo cual se requiere el
siguiente material:




40
Dinamómetro
Equipo completo de Ley de Hooke
Marco de pesas
Regla graduada
El procedimiento es el siguiente.
a .- Tener una tabla como se muestra, para registrar las mediciones en ella.
b .- El equipo de Ley de Hooke tiene un porta pesas, con una masa cuya magnitud
debe ser conocida (𝒎𝒑); si no está especificada, deberá medirse en una balanza y
registrar esa magnitud.
c .- Registrar la lectura de la longitud del resorte antes de colocarle el porta pesas
( 𝑳𝟎 ), colocar en el porta pesas una primera masa ( 𝒎𝒊 ), que no sea grande,
anotando su magnitud ( está en gramos ) en la primera columna, y ver la lectura
de la longitud del resorte ( está en centímetros o en milímetros ) y anotarla en la
segunda columna ( 𝑳 ).
d .- Agregar otra masa al porta pesas y efectuar la lectura de la nueva longitud; anotar
en la primera columna la masa total que se tiene en el porta pesas y registrar la
nueva lectura de la longitud del resorte.
e .- Repetir el proceso, por lo menos cuatro veces más.
f .- A las masas de la primera columna sumarles la masa del porta pesas
𝒎 = 𝒎𝒊 + 𝒎𝒑 , convertir los resultados a kilogramos, dividiendo entre mil y
registrar los resultados finales en la tercera columna
g .- Calcular la deformación del resorte para cada masa " 𝑿 ", restando " 𝑳𝟎 " a las
longitudes registradas en la segunda columna: 𝑿 = 𝑳 – 𝑳𝟎 ; convertirlas a metros,
y anotar los resultados en la cuarta columna.
h .- Como la fuerza que deforma al resorte es el peso de las masas colgadas, más la
del porta pesas, la masa total ( 𝒎 ) se debe multiplicar por el valor de la gravedad
en la CDMX, cuyo valor redondeado es 𝒈 = 𝟗. 𝟕𝟖  𝒎 / 𝒔𝟐  ∶ 𝑭 = 𝟗. 𝟕𝟖 𝒎 y
registrar los resultados en la quinta columna
Registro de datos para la deformación de un resorte: 𝒎𝒑 =
𝒎𝒊 [ 𝒈 ]
𝑳 [ 𝒎𝒎 ]
𝒎 [ 𝑲𝒈 ]
𝑿[𝒎]
𝑳𝟎 =
𝑭[𝑵]
41
Para calcular la constante de fuerza del resorte hay cuatro opciones:
1. Considerar matemáticamente a " 𝑿 " como variable independiente y a " 𝑭 "
como variable dependiente: 𝑭 = 𝑲 𝑿 , aunque desde el punto de vista de la
física, la variable independiente es la masa colgada y la dependiente es la
deformación del resorte, porque la magnitud de la deformación del resorte,
depende de la magnitud de la masa, en cambio la magnitud de la masa no
depende de la magnitud de la deformación.
El modelo lineal que se obtendrá es: 𝑭 = 𝒎∗ 𝑿 + 𝒃; para la interpretación de
los parámetros " 𝐦∗ " y " 𝐛 " , se comparan con la ley teórica: 𝐅 = 𝐊 𝐗. En el
modelo lineal obtenido, " 𝐦∗ " multiplica a " 𝐗 " y en la ley teórica,
"𝐊"
∗
multiplica a " 𝐗 ", por lo cual se concluye que el valor de " 𝐦 " es el de la
constante de fuerza del resorte y sus unidades son  𝐍 / 𝐦  ; Respecto al valor
de " 𝐛 ", en el modelo lineal " 𝐛 " está sumando a " 𝐗 " y en la ley teórica: no
hay nada sumando a " 𝐗 ", por lo cual " 𝐛 " debería ser cero y si no lo es, es un
reflejo del grado de error en el experimento y sus unidades son  𝐍 .
El valor de m∗ siempre debe ser positivo, mientras que el de " 𝒃 " puede ser
positivo o negativo, pero debe ser muy cercano a cero; mientras más alejado
de cero mayor es el error experimental.
2. Si la ley de Hooke se visualiza como: 𝑿 =
𝑿 = 𝒎∗ 𝑭 + 𝒃 ; y 𝒎∗ =
𝟏
𝑲
𝑭
, o como 𝑿 =
𝑲
𝟏
𝑲
𝑭 , el modelo es:
, es el inverso de la constante de fuerza del
resorte y sus unidades  𝒎 / 𝑵 ., la interpretación de " 𝒃 " es la misma, pero
sus unidades son [ 𝒎 ].
𝒎 =
𝑲
modelo lineal será: 𝒎 = 𝒎∗ 𝑿 + 𝒃 ,donde, 𝒎∗ =
𝑲
3. Como 𝑭 = 𝒎 𝒈 , 𝒎 𝒈 = 𝑲 𝑿 , despejando:
𝒈
𝒈
𝑿 ; y por lo tanto, el
, es la razón entre la
constante de fuerza del resorte y el valor de la gravedad, sus unidades son

𝑵 𝒔𝟐
𝒎𝟐
 o también [ 𝐤𝐠⁄𝐦 ]; la interpretación de " 𝐛 " es la misma y sus unidades
son  𝐊𝐠 
42
4. Despejando a 𝑿 ∶ 𝑿 =
donde 𝒎∗ =
𝒈
𝑲
𝒈
𝑲
𝒎 y
el modelo lineal será: 𝑿 = 𝒎 𝒎∗ + 𝒃 ;
, es la razón entre el valor de la gravedad y la constante
de fuerza del resorte, sus unidades son:  𝒎𝟐 / ( 𝑵 𝒔𝟐 )  la interpretación de
" 𝐛 " es la misma y sus unidades son:  𝐦 .
A continuación, programar la calculadora en regresión lineal y si se elige la primera
opción, introducir los valores de " 𝑿 " como la " 𝑿 " de la calculadora y los de " 𝑭 "
como la " 𝒀 " de la calculadora y se obtendrán los valores de 𝒎∗ y de " 𝒃 ", por
lo cual, el modelo lineal es: 𝑭 = 𝒎∗ 𝑿 + 𝒃.
Gráficamente se puede visualizar la constante de fuerza del resorte graficando los
valores como coordenadas ( 𝑿, 𝑭 ) o como ( 𝑿, 𝒎 ), y los puntos deben estar cercanos
a una recta que debe cruzar al eje de ordenadas, en un punto muy cercano al origen;
mientras más cercanos a esa recta estén los puntos y más cercana esté la recta al
origen de coordenadas, menor es el grado de error.
Ejemplo.
𝒎 [𝒈]
𝑿 [𝒎𝒎]
10
20
20
28
30
35
40
45
50
52
60
60
Se realizó el experimento de ley de Hooke con un
porta pesas de 10 [ g ] , se midió la longitud del
resorte antes de colocarle el porta pesas,
obteniéndose 4 [ mm ] , se colocaron diferentes
masas y para cada masa colgada se midió la
longitud, obteniéndose la siguiente tabla de
mediciones.
Determinar.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Por método gráfico si el comportamiento del fenómeno es lineal.
Con la primera opción los valores de 𝐦∗ 𝐲 𝐛 y obtener el modelo de regresión lineal.
El coeficiente de correlación e indicar si el modelo es aceptable.
La interpretación física de los parámetros y el análisis de unidades.
La constante de fuerza del resorte ( 𝑲 ).
La masa que se debe colgar para que el resorte se estire 𝟓 [ 𝐜𝐦 ].
43
Respuestas.
Primero se debe llenar la tabla, trabajando en sistema internacional; En el último
renglón se especifica el proceso de cálculo de las respectivas columnas.
Registro de datos para la deformación de un resorte: 𝐦𝐩 = 𝟏𝟎 [ 𝐠 ]
𝐋𝟎 = 𝟒𝟎 [ 𝐦𝐦 ]
a ) Considerando la primera opción: 𝑭 = 𝑲 𝑿, Se debe graficar a " 𝑭 " contra " 𝑿 ",
que son las dos últimas columnas de la tabla.
Como se puede observar en la gráfica, el fenómeno es lineal, porque si se traza
una recta (línea punteada), los puntos están muy cercanos a esa línea.
También se puede observar que
el grado de error es bajo, porque
además de que los puntos están
cercanos a la línea, esa línea
está muy cercana al origen de
coordenadas.
Introduciendo a la calculadora los datos de la cuarta y quinta columna se tiene:
𝒎∗ = 𝟏𝟐. 𝟏𝟏𝟕𝟔; 𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖
y el modelo lineal es:
𝑭 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟏𝟕𝟔 𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖
44
b ) Con los datos introducidos se tiene:
Como: 𝐫 > 0.98
𝒓 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟏
El modelo es aceptable
c ) El modelo lineal es: 𝑭 = 𝒎∗ 𝒙 + 𝒃 ; si lo comparamos con el modelo teórico:
𝑭 = 𝑲 𝑿 se concluye que " m∗ " corresponde a " 𝑲 " , y como no hay nada
sumando, " 𝒃 " debería ser cero por lo cual:
𝑵
𝒎∗ es la constante de fuerza del resorte, siendo [ 𝒎∗ ] = [ 𝒎 ]
𝒃 es un reflejo del grado de error.
d ) Del inciso anterior, como 𝒎∗ = 𝑲, entonces
[𝒃] = [𝑵]
𝑲 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟏𝟕𝟔 [ 𝑵/𝒎 ]
e ) Como " 𝑭 " es el peso de la masa colgada:
𝑭
𝒎 =𝒈 𝒚,
𝐗 = 𝟓 [𝐜𝐦] = 𝟎. 𝟎𝟓 [𝐦],
Sustituyendo en el modelo lineal:
𝐅 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟏𝟕𝟔 ( 𝟎. 𝟎𝟓 ) + 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟗𝟔𝟖 [ 𝐍 ]
con lo cual
𝐦 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟗𝟔𝟖/ 𝟗. 𝟕𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟑𝟒 [𝐊𝐠]
𝒎 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟑𝟒 [𝑲𝒈] = 𝟔𝟐. 𝟑𝟒 [𝒈]
f ) Si se considera la tercera opción, se deben usar los datos de la tercera y cuarta
columna:
g ) Introduciendo a la calculadora, la deformación (4ª columna) como " 𝑿 " de la
calculadora y la masa como " 𝒀 " (3ª columna) se obtiene: 𝒎∗ = 𝟏. 𝟐𝟑𝟗𝟎, 𝒃 =
𝟑. 𝟗𝟓𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒 ; como el modelo es: 𝒎 = 𝒎∗ 𝒙 + 𝒃
𝒎 = 𝟏. 𝟐𝟑𝟗𝟎 𝑿 + 𝟑. 𝟎𝟕𝟓𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
45
h ) Con los datos introducidos se tiene:
𝒓 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟏 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝒓 > 0.98 el modelo es aceptable
i ) El modelo lineal es: 𝐦 = 𝐦∗ 𝐱 + 𝐛; si lo comparamos con el modelo teórico:
𝐅 = 𝐊 𝐗 donde 𝐅 = 𝐦 𝐠, por lo cual 𝐦 𝐠 = 𝐊 𝐗 y despejando se tiene: 𝐦 =
𝐊
𝐠
𝐗, por lo cual se concluye que 𝐦∗ =
𝐊
𝐠
, y " 𝐛 " debería ser cero:
" 𝒎∗ " es el cociente de la constante de fuerza del resorte entre
𝒈; [ 𝒎∗ ] = [ 𝑲𝒈/𝒎 ]
" 𝒃 " es un reflejo del grado de error. [ 𝒃 ] = [𝒌𝒈]
j ) Del inciso anterior, como 𝒎∗ =
𝑲
𝒈
, 𝑲 = 𝒎∗ 𝒈 = 𝟏. 𝟐𝟑𝟗(𝟗. 𝟕𝟖)
𝑲 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟏𝟕𝟔 [𝑵/𝒎]
k ) Como 𝐱 = 𝟓 [𝐜𝐦] = 𝟎. 𝟎𝟓 [𝐦], sustituyendo en el modelo lineal:
𝐦 = 𝟏. 𝟐𝟑𝟗 (𝟎. 𝟎𝟓) + 𝟑. 𝟎𝟕𝟓𝟔𝐱𝟏𝟎 − 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟐 [𝐊𝐠],
m = 0.0623 [Kg ] = 62.3 [g]
46
8.- PROPIEDADES ELÁSTICAS DE MATERIALES
Como se señaló en deformación de un resorte, cuando se aplica una fuerza sobre un objeto, ese
objeto se deforma, y si la fuerza es muy pequeña la deformación también lo es, por lo cual no
podemos apreciar esa deformación, matemáticamente se le denomina una diferencial, en
cambio, si la fuerza es grande si se puede apreciar esa deformación.
Dependiendo de la estructura geométrica y molecular de un material, dos materiales diferentes
tienen una deformación diferente al aplicarle la misma fuerza, y la magnitud de esa deformación
también depende de la longitud del material, paralela a la fuerza aplicada y del área
perpendicular (transversal ) a esa fuerza; La magnitud de la deformación es directamente
proporcional a la longitud, o sea que a mayor longitud, hay mayor deformación con la misma
fuerza; En cambio, la magnitud de la deformación es inversamente proporcional al área
transversal, o sea que a mayor área se tiene menor deformación al aplicarle la misma fuerza.
Como se mencionó en la deformación de un resorte, cuando desaparece la fuerza que está
deformando al objeto y el objeto regresa a su forma original, a esa deformación se le denomina:
deformación elástica; y si no ocurre, se le denomina deformación plástica.
A la relación entre la fuerza aplicada y el área transversal, se le denomina esfuerzo ( σ ); si la
fuerza se aplica en sentido contrario al objeto, se le denomina fuerza de tensión, y al esfuerzo se
F
le denomina: esfuerzo de tensión; σ = A ; sus unidades son Pascales [ Pa ].
A la relación entre la deformación del objeto ( ∆ L ) y su longitud inicial ( L 0 ) se le denomina:
deformación unitaria ( ε ): ε =
∆L
L0
; Como las unidades de ∆ L y L 0 son las mismas, la
deformación unitaria no tiene unidades.
La deformación elástica tiene un comportamiento
lineal, o sea que la deformación cambia en la misma
proporción que cambia el esfuerzo de tensión que
se le aplica, y para cualquier material hay un
valor máximo de esfuerzo, a partir del cual el
comportamiento de ese material deja de ser
lineal, porque la deformación deja de ser elástica,
se convierte en deformación plástica; a ese
valor máximo de esfuerzo se le denomina:
límite elástico, y si la magnitud del esfuerzo
sigue aumentando, habrá un
valor para el cual el material se rompe,
a ese valor se le denomina: esfuerzo de ruptura.
σ
esfuerzo de ruptura
deformación plástica
límite elástico
deformación elástica
ε
47
El módulo de Young (Y) es la relación entre el esfuerzo de tensión y la deformación unitaria
σ
Y = ε por lo cual: Y =
F
A
∆L
L0
=
F L0
A ∆L
; Como ε no tiene unidades, las unidades del módulo de
Young son las mismas que la del esfuerzo [ Pa ]; gráficamente, es la pendiente de la línea
correspondiente a la deformación elástica.
En el diseño de objetos o mecanismos que estarán sometidos a esfuerzos de magnitud
significativa, es importante conocer el módulo de Young y el límite elástico, que es el máximo
esfuerzo que se le puede aplicar para que no ocurra una deformación plástica.
La práctica de propiedades elásticas de materiales tiene como objetivo determinar el módulo de
Young de ese material, así como el límite elástico y el esfuerzo de ruptura y se requiere el
siguiente material:
Equipo completo de módulo de Young
2 Rollos de alambre, uno de cobre y otro de nylon.
Un flexómetro
Un calibrador
Un micrómetro
24 pesas.
El procedimiento es el siguiente:
1,. Colocar las prensas de mesa del equipo de módulo de Young, separadas entre 50 y 60
centímetros ;
2.- Cortar 70 centímetros de alambre de cobre y con el micrómetro medirle el diámetro (D)
3.- Sujetar un extremo del alambre de cobre en la nuez de gancho;
4.- Hacer un nudo en el otro extremo del alambre, para que ahí se cuelgue la primera pieza;
5.- Colocar el alambre sobre la polea y alinear la aguja de la polea con el cero de la medición de
la deformación del alambre;
6.- Medir la longitud del alambre: del extremo sujeto al nuez de gancho, al punto donde inicia el
contacto con la polea, es la longitud inicial del alambre ( L 0 )
7.- Colocar una pesa en el nodo del alambre, leer la deformación y anotar los datos de la masa
colgada ( m ) y la deformación correspondiente ( ∆ L );
48
8.-Agregar otra masa a la que ya está colgada y leer y registrar la masa total y la deformación;
9.- Repetir el paso 7, agregando más masas hasta que el alambre se rompa.
Construir una tabla como se muestra, para registrar los siguientes cálculos:
a) Dividir el diámetro medido del D =_____ [m] r = ____ [m] A =____[m2 ] L 0 = ___[m]
alambre entre 2, para obtener el radio
y convertirlo a metros, para calcular m [ Kg] ∆L [m]
F[N]
σ [ Pa]
ε
2
el área transversal: A = π r
b) La fuerza de tensión en el
alambre es generada por el peso
de las masas colgadas; calcular
el peso F = mg; con la gravedad de
la ciudad de México: g = 9.78 [m/s 2]
c) Para cada conjunto de masas
colgadas, calcular el esfuerzo de
tensión correspondiente,
F
dividiendo peso entre área σ = A
d) Dividir las correspondientes
lecturas de deformación del
alambre entre su longitud inicial, para obtener cada deformación unitaria ( ε =
∆L
L0
)
e) Graficar las dos últimas columnas, con ε en el eje de abscisas y en base a la gráfica, determinar:
intervalo de comportamiento es lineal, el límite elástico y el esfuerzo de ruptura;
f) Obtener el modelo de regresión del intervalo lineal y obtener el módulo de Young.
EJEMPLO
Para el experimento de propiedades elásticas de la materia se utilizó un hilo de fierro con longitud
inicial L = 86.5 [ cm ] y diámetro de 0.20 [ mm ]. Se aplicaron diferentes fuerzas y se midió la
deformación correspondiente, Obteniéndose los datos siguientes datos:
L [mm] 0.2
0.5
1.0
1.4
1.6
2.2 3.0
4.0 7.2 17.0 27.0
m [ g ] 50
100
150 200 250 300 350
400 450 500 550
a)
Mediante los cálculos correspondientes, llenar la tabla
b)
Graficar ( ε , σ ) y en base a la gráfica determinar en que intervalo de esfuerzo la
deformación es elástica, cual es el límite elástico y cual es el esfuerzo de ruptura, si el cable se
rompió al colgar masas de 550 [ g ]..
c)
Determinar la ley física que rige al fenómeno en la región lineal.
d)
Calcular el Módulo de Young del material empleado.
e)
Calcular el error experimental del módulo de Young, si es de 2.6 x 10 10 [ N / m 2 ].
49
RESPUESTAS
a) Para la primera columna, la masa debe convertirse a Kilogramos; para la segunda columna la
deformación debe convertirse a metros.
Para la tercera columna, cada masa de la primera columna debe multiplicarse por 9.78
En la cuarta columna el área transversal del alambre D = 0.20 [ mm ] = 2 x 10 – 4 [ m ]
r=
2 𝑥 10− 4
2
= 1 x 10 – 4 [ m ]; A = π (1 x 10 – 4 ) 2 = π x 10 – 8 [ m 2 ]
Cuarta columna: se obtiene dividiendo los de la tercera columna entre el área transversal.
Quinta columna: se obtiene dividiendo los de la segunda columna entre L = 0.865 [ m ].
D = 2 x 10 – 4 [ m ]; r = 1 x 10 – 4 [ m ]; A = π x 10 – 8 [ m 2 ]; L 0 = 0.865 [ m ]
m [ Kg ]
∆L[m]
F [N]
σ [ Pa ]
ε
0.05
0.0002
0.489
1.5566x107
2.3121x10-4
0.10
0.0005
0.978
3.1131x107
5.7803x10-4
0.15
0.0010
1.467
4.6696x107
1.1561x10-3
0.20
0.0014
1.956
6.2261x107
1.6185x10-3
0.25
0.0016
2.445
7.7827x107
1.8497x10-3
0.30
0.0022
2.934
9.3392x107
2.5434x10-3
0.35
0.0030
3.423
1.0896x108
3.4682x10-3
0.40
0.0040
3.912
1.2452x108
4.6243x10-3
0.45
0.0072
4.401
1.4009x108
8.3237x10-3
0.50
0.0170
4.890
1.5566x108
1.9653x10-2
0.55
0.0270
5.379
1.7122x108
3.1214x10-2
b) Con los datos de la cuarta y quinta columna se construye la gráfica que se muestra en la
siguiente página y se puede observar que los primeros seis puntos están cercanos a una recta y
a partir del séptimo dato cambia la dirección, por lo cual se concluye que:
La deformación es elástica en el intervalo: 0 ≤ σ ≤ 9.339 x 10 7 [ Pa ]
El límite elástico es: σ = 9.339 x 10 7 [ Pa ]
El esfuerzo de ruptura es: σ = 1.7122 x 10 8 [ Pa ]
50
b) σ x 10 7 [ Pa ]
20
15
10
5
10
20
30
40
60
50
70
80
ε
c) Introduciendo a “ε” como X de la calculadora y a “σ” como Y, se obtiene:
modelo lineal es: σ = m* ε + b, donde m* = 3.3968 x 1010 [ Pa ], b* = 9.3177x10 6 [ Pa ]
La ley física es:
σ = 3.3968x1010 ε + 9.3177x10 6
d) Comparando el modelo teórico σ = Y ε con el modelo lineal σ = m* ε + b*, se observa que
m* es el módulo de Young: m* = Y, y b* debería de ser cero, por lo
cual, es un reflejo del grado de error  m* = Y = 3.3968 x 10 10 [Pa]
e) EAB = │Vreal – Vcalc │ = │ 2.6 x1010 – 3.3968x1010 │ = 7.968 x109 [ Pa ]
EAB
El error porcentual es: E% = Vreal ( 100 ) =
7.968 𝑥 109
2.6 𝑥 1010
( 100 ) = 30.64 %
El error es muy grande, lo cual significa que hubo graves errores en el experimento.
51
9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
Cuando un cuerpo se desliza sobre un plano horizontal y la fuerza neta sobre él es
cero, de acuerdo a la segunda ley de Newton: 𝑭 = 𝒎 𝒂 , la aceleración es cero, y si la
aceleración es cero, ese cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante, que
es a lo que se le denomina Movimiento Rectilíneo Uniforme, o también: Movimiento
Uniforme Rectilíneo (MUR).
Para este experimento, como en el de caída libre, se tiene el equipo tradicional y
equipo con sensores “U”; en ambos casos se usa un deslizador y un riel conectado a
un compresor de aire, colocado horizontalmente; El aire que sale por las perforaciones
que tiene el riel ejerce una fuerza ascendente sobre el deslizador; Por ser ascendente,
va en sentido opuesto al peso del deslizador de tal forma que el deslizador flota en el
aire y deja de hacer contacto con el riel y por lo tanto: Σ F y = 0 .
Al desaparecer el contacto entre el deslizador y el riel, desaparece la fuerza normal y
por lo tanto no hay fuerza de fricción entre el deslizador y el riel, y como el riel está
colocado horizontalmente, no hay ninguna fuerza paralela al plano y por lo tanto :
Σ F x = 0 , la fuerza neta sobre el deslizador es cero, por lo cual no tiene aceleración,
es un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Estrictamente si hay fuerza paralela al plano, porque el aire ejerce fuerza de fricción,
pero es sumamente pequeña, por lo cual se puede considerar que es cero, a lo cual
hay que agregar que el riel no estará perfectamente horizontal, tanto porque la
superficie sobre la que está colocado puede tener pequeño grado de inclinación, y el
riel respecto a esa superficie también presenta cierta inclinación. Si el ángulo de
inclinación es muy pequeño, la componente del peso, paralela al plano es también
muy pequeña y por lo tanto también se puede considerar que es cero.
Como se señaló en el principio, siempre habrá errores aleatorios y de escala y
también puede haber errores sistemáticos; los que se señalaron en el párrafo anterior,
entra en la categoría de error aleatorio.
52
Algunos errores sistemáticos que se pueden cometer en este experimento son:
1. Que el ángulo de inclinación del riel sea significativo, porque no fue nivelado
correctamente.
2. Fuga de aire, porque el compresor no está bien conectado o está deteriorado, lo
cual hace que la presión del aire disminuya significativamente y como
consecuencia hay contacto entre el riel y el deslizador.
3. Realizar incorrectamente las mediciones de la distancia recorrida por el deslizador.
El objetivo de este experimento es obtener un modelo de regresión que permita
analizar y/o pronosticar el comportamiento de un objeto en condiciones similares, para
lo cual:
Se requiere el siguiente material.






Riel delgado
Compresor de aire
Deslizador
Generador de Chispas
Flexómetro
Cinta registradora
El procedimiento es el siguiente.
a .- Colocar el riel sobre la mesa y medir su elevación en los dos extremos, si hay
diferencia en las lecturas, significa que hay inclinación por lo cual se debe
ajustar para que las lecturas sean iguales.
b .- Conectar la manguera del compresor, colocar el deslizador sobre el riel, activar
el compresor y verificar que no haya fuga de aire, a continuación, empujar al
deslizador y observar si se mueve de manera uniforme; Si va aumentando su
velocidad, significa que hay inclinación hacia la dirección del desplazamiento, y
si va disminuyendo, significa que hay inclinación en sentido opuesto o la
presión del aire es baja; Deberá buscarse el ¿por qué? y efectuar las
correcciones adecuadas.
c .- Con un cable banana caimán, conectar el generador de chispas a cualquier
punto extremo del deslizador y con otro cable conectar al extremo del cable
superior del riel.
53
d .- Calibrar el generador de chispas a una frecuencia, que puede ser 𝟏𝟎 [ 𝐇𝐳 ] u
otra frecuencia que no sea muy alta; Activarlo y con un lápiz o barra aislante,
empujar el deslizador para asegurarse que se generen chispas correctamente,
apagarlo y si no operó correctamente buscar el ¿por qué? y hacer las
correcciones adecuadas.
e .- Cortar cinta registradora del tamaño de la trayectoria del deslizador y colocarla
sobre el riel, del lado donde el deslizador emite las chispas.
f .- Uno de los integrantes del equipo activará el compresor y otro con el lápiz o
barra aislante empujar el deslizador y en ese instante otro de los integrantes del
equipo, activar al generador de chispas y en el instante que el deslizador llegue
al otro extremo, desactivar al generador de chispas y al compresor de aire.
g .- Retirar del riel, la cinta registradora, en la cual aparecerán marcas que
corresponden al impacto de cada chispa; medir las distancias de todos los
puntos, respecto a un punto, que puede ser el primero o el segundo y registrar
los datos.
h .- La variable independiente es el tiempo, que denotaremos " 𝐭 ", y la variable
dependiente es la distancia recorrida, que denotaremos " 𝐗 ", por lo cual los
valores de " 𝐭 " se introducen en la " 𝐱 " de la calculadora y los de " 𝐗 " en la
" 𝐲 " de la calculadora y obtener los valores de " 𝐦∗ " y de " 𝐛 " y de " 𝐫 "; y con
ello el modelo de regresión; El tiempo entre cada marca es el periodo, que
denotaremos " 𝐓 " y como es el inverso de la frecuencia: 𝐓 =
asociado a 𝐗 𝟏 es 𝐭 𝟏 =
sucesivamente.
54
𝟏
𝐟
, para 𝐱 𝟐 es 𝐭 𝟐 =
𝟐
𝐟
𝟏
𝐟
, el tiempo
, para 𝐗 𝟑 es 𝐭 𝟑 =
𝟑
𝐟
y así
Ejemplo
Un objeto conectado a un generador de carga con frecuencia de 𝟏𝟎 [ 𝐇𝐳 ] fue lanzado
sobre un plano horizontal con fricción despreciable; se midieron las distancias de las
marcas en [ 𝐦𝐦 ] desde un punto fijo.
𝑿 [𝒎𝒎]
111.5
410.5
169.5
469.0
230.5
530.5
291.5
589.5
348.5
651.5
a ) Construir gráfica posición contra tiempo, y en base a ella concluir si el
comportamiento es lineal,
b ) Obtener el modelo de regresión lineal y en base al coeficiente de correlación
indicar si es aceptable.
c ) Dar la interpretación física de los parámetros y el análisis de sus unidades.
d ) Sobre la gráfica el inciso a), trazar la gráfica del modelo obtenido.
e ) Cuál era la posición del objeto en el instante: 𝒕 = 𝟏. 𝟓 [ 𝒔 ]
Respuestas.
a ) La frecuencia es: 𝐟 = 𝟏𝟎 [ 𝐇𝐳 ] y el periodo es el tiempo entre dos
marcas consecutivas 𝐓 = 𝟏/𝐟 = 𝟏/𝟏𝟎 [ 𝐬 ], 𝐓 = 𝟎. 𝟏 [ 𝐬 ], en base a lo cual
se tiene la siguiente tabla y de ahí la gráfica que se muestra:
t[s]
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x [ mm ]
111.5
169.5
230.5
291.5
348.5
410.5
469.0
530.5
589.5
651.5
Si se traza una línea (punteada) se puede observar que todos los puntos están
cercanos a ella, por lo cual se concluye que el comportamiento es lineal.
55
b ) Introduciendo los datos a calculadora:
𝐦∗ = 𝟓𝟗𝟗. 𝟔𝟔𝟕
𝐛 = 𝟓𝟎. 𝟒𝟑𝟑;
𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖
el modelo lineal es 𝐱 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛 , por lo cual:
Como 𝐫 > 0.98, se puede concluir que:
x = 599.667 t + 50.433
El modelo es aceptable.
c ) Como la fricción es despreciable, durante la trayectoria no actuó ninguna fuerza
que generara una aceleración por lo cual el movimiento es uniforme rectilíneo,
y por lo tanto: 𝐱 = 𝐯 𝐭 + 𝐱 𝟎 , donde " 𝐯 " es la rapidez con que se desplaza el
objeto y " 𝐱 𝟎 " es la posición a partir de la cual se empezó a contar el tiempo,
denominada “posición inicial”; comparando con 𝐱 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛 se concluye:
𝒎∗ es la rapidez con que se desplaza el objeto.
[ 𝒎∗ ] = [ 𝒎𝒎⁄𝒔 ], 𝒃 es la posición inicial del objeto. [ 𝒃 ] = [ 𝒎𝒎 ]
La gráf
d ) La gráfica del modelo se puede trazar con las coordenadas de dos puntos; la
ordenada al origen 𝐛 = 𝟓𝟎. 𝟒𝟑𝟑 es un punto, y sustituyendo 1 en el modelo
lineal obtenido: X = 599.667 ( 1 ) + 50.433 = 650.1 [ mm ]
Los puntos son:
A ( 0 , 50.433 ) [ mm ] ;
B ( 1 , 650.1 ) [ mm ]
56
e ) Para obtener la posición, se sustituye en el modelo obtenido
𝐗 = 𝟓𝟗𝟗. 𝟔𝟔𝟕 ( 𝟏. 𝟓 ) + 𝟓𝟎. 𝟒𝟑𝟑
𝑿 = 𝟗𝟒𝟗. 𝟗𝟑𝟑𝟓 [ 𝒎𝒎 ]
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME, CON EQUIPO NUEVO
Se requiere el siguiente equipo:
1. Soplador de aire ( equivalente al compresor )
2. Dos contadores de tiempo
3.- Dos transformadores
4.- Un riel
5.- Un deslizador;
6.- Un impulsor magnético
7.- 28 cables banana – banana: 10 azules, 10 Rojos y 8 amarillos.
8.- Ocho sensores herradura
9.- Ocho pinzas de nuez
10.- Ocho soportes de varilla.
Procedimiento, además de lo señalado en el inicio con el equipo tradicional:
1.- Colocar los sensores alineados respecto al riel y conectar los cables banana – banana de los
contadores a los sensores, con los respectivos colores ( Los cables azules van a tierra );
2.- Colocar los sensores a las distancias elegidas por los integrantes del equipo y desplazar
manualmente el deslizador, asegurándose que la lámina del deslizador no roce con los sensores;
3.- Oprimir varias veces la tecla “MODE” hasta que esté seleccionada:
1 2
3
4
4.- Debajo de las teclas “Reset” y “Mode” hay teclas que deben desplazarse a la derecha, para
que el sensor detecte al deslizador en el momento en que empiece a cruzarlo.
5.- Colocar el deslizador en el impulsor magnético, oprimiéndolo; Hay tres posiciones de fuerza
de impulso, y medir las distancias de la parte delantera de la lámina a cada uno de los sensores y
registrar las respectivas distancias
57
6.- Oprimir la tecla “Reset” , encender el soplador de aire y oprimir la varilla superior del
impulsor magnético, para que se libere el deslizador
7.- Anotar los tiempos de desplazamiento que aparezcan en pantalla, para las distancias
correspondientes
8.- Efectuar los cálculos que se realizan con el equipo tradicional, excepto el cálculo del tiempo,
porque los valores se obtuvieron directamente en las pantallas de los contadores.
58
10. ONDAS MECÁNICAS.
Las ondas son de gran importancia tanto en el aspecto personal como empresarial,
por que constantemente estamos en contacto con ellas; Las ondas se pueden
clasificar de diferentes maneras:
1. De acuerdo a su origen:
 Mecánicas
 Electromagnéticas
2. Por la forma como se producen las oscilaciones:
 Longitudinales
 Transversales
3. Por la(s) dirección(es) en que se desplazan:
 Unidimensional
 Bidimensional
 Tridimensional
Las ondas mecánicas, son generadas por la oscilación de partículas, por lo cual,
para que existan, se requiere la existencia de material, ya sea sólido, líquido o
gaseoso, en el vacío no pueden existir ondas mecánicas; Se mencionó oscilación y no
desplazamiento, porque en la oscilación, la partícula se desplaza respecto a su
posición original y después retorna y se desplaza en sentido contrario, y el fenómeno
se repite, en cambio al mencionar desplazamiento, la partícula no necesariamente
regresa a su posición original, e inclusive, puede alejarse indefinidamente.
Obsérvese que la onda no son las partículas, es su oscilación, o sea, es la forma
como se desplazan las partículas, por lo cual, las partículas permanecen en la región
donde están oscilando, en cambio las ondas se desplazan y se alejan de la región.
La oscilación de las partículas puede ser paralela la desplazamiento de la onda y a
esto se le denomina oscilación longitudinal, y si la oscilación es perpendicular al
desplazamiento de la onda, se le denomina transversal.
59
Si la onda se desplaza sólo en una dirección, se le denomina unidimensional, si se
desplaza en todas las direcciones de un plano, se le denomina bidimensional y si se
desplaza en todas las direcciones, se le denomina tridimensional.
Como se mencionó, constantemente estamos en contacto con las ondas, por ejemplo,
al tocar una guitarra, la cuerda de la guitarra golpea a las moléculas de aire que la
rodean, esas moléculas golpean a las moléculas que están junto a ellas y rebotan, las
segundas moléculas que fueron golpeadas, golpean a las adyacentes y rebotan y el
fenómeno se va repitiendo, es una onda longitudinal en tres dimensiones.
Las oscilaciones de las moléculas de aire se van desplazando y algunas llegan a
nuestro cuerpo y nos golpean, pero es una fuerza tan pequeña que no lo percibimos,
excepto nuestros oídos, porque son la parte más sensible del cuerpo humano, ahí se
convierten en ondas eléctricas que se desplazan a nuestro cerebro y es lo que
percibimos como sonido; El mismo fenómeno ocurre cuando hablamos o cuando se
golpea a un objeto, si estas ondas no existieran, no oiríamos.
Cuando se aplica una fuerza sobre la cuerda de una guitarra, al desaparecer la fuerza,
las partículas que forman a la cuerda, oscilan y se genera una onda en esa cuerda, y
en este caso, el desplazamiento de las partículas es perpendicular al desplazamiento
de la onda, es una onda transversal; unidimensional, porque sólo se desplaza a lo
largo de la cuerda.
Si en un recipiente se tiene un líquido, y un objeto cae sobre ese líquido, las
moléculas del agua oscilan perpendicularmente a la superficie del agua y se generan
ondas circulares, cuyo centro es el punto donde el objeto se impactó con el agua, son
ondas bidimensionales y transversales, que corresponden al experimento que se
realizará.
Como las ondas son oscilaciones, tienen frecuencia que denotaremos " 𝐟 ", periodo
que denotaremos " 𝐓 ", longitud que denotaremos " 𝛌 ", y velocidad que denotaremos
" 𝐕 ".
La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, en sistema
internacional, la unidad de tiempo es el segundo, por lo cual la frecuencia es el
número de oscilaciones por segundo, que se le denomina Hertz y se denota [ 𝐇𝐳 ], El
periodo es el tiempo que tarda en completarse una oscilación, se mide en
segundos [ 𝐬 ] ; La longitud de onda es la distancia entre dos puntos donde la
60
oscilación tiene el mismo comportamiento, si la onda tiene la forma de una función
seno o coseno, lo común es considerar la distancia entre cresta y cresta, o entre valle
y valle o entre dos nodos alternos, o sea que no son consecutivos.
Todos estos factores están correlacionados, porque: T =
también
λ=
V
f
1
f
, o f =
1
T
; λ = V T, o
; Dependiendo del fenómeno, hay otros factores que influyen, por
ejemplo, en el caso del sonido, la velocidad de la onda depende de la presión
atmosférica y de la temperatura; En la oscilación de una cuerda, depende del
material, de su longitud, de su área transversal y de la tensión a que está sometida
esa cuerda, y su frecuencia depende del punto donde se aplicó la fuerza que la hizo
oscilar.
El experimento a realizar es: Ondas Superficiales en un Líquido, con el objetivo de:
1. Visualizar que es una onda mecánica transversal
2. Visualizar que es una onda bidimensional
3. Medir la longitud de onda para diferentes frecuencias y en base a ello obtener el
modelo de regresión lineal que permite analizar al fenómeno
4. En base a la medición y a otra información que se proporcionará, calcular la
velocidad de propagación de la onda, en agua
Se requiere el siguiente material.

Kit de cubeta de ondas
 Cuba de acrílico
 Espejo de aumento
 Pantalla de proyección
 Lámpara
 Soporte T
 Manguera de drenado






Soporte magnético para ondas circulares
Soporte magnético para ondas planas
Compresor de aire
Botella con agua
Flexómetro o vernier
Control de onda de la cuba (Ripple Tank Controller)
61
Procedimiento.
a.- Conectar el control de onda de la cuba (Ripple Tank Controller) con el compresor
de aire, mediante cables banana-banana de tal forma que coincida con los colores.
b.- Conectar la lámpara al control de onda de la cuba.
c.- Vertir el agua a la cubeta.
d.- Fijar el soporte magnético circular del compresor al soporte T de tal manera que
toque la superficie del agua.
e.- Conectar el control de onda de la cuba a la toma de corriente.
f.- Encender el generador de ondas, ajustar la medición del periodo a milisegundos
[ 𝐦𝐬 ] y Ajustarlo a “mode continue”, activarlo y visualizar las ondas tanto en la
superficie del agua, como su reflejo en la parte frontal de la cubeta.
g.- Medir sobre la pantalla donde está el patrón de ondas, la longitud de onda para
frecuencias diferentes y anotar en tabla.
𝑻 [𝒎𝒔]
60
70
80
90
100
110
120
130
𝝀 [𝒎𝒎]
h.- Una vez ya terminado el experimento, vaciar la cubeta por medio de la
manguera de drenado introduciéndola en la botella.
Nota: Dependiendo de la decisión del operador, la luz se puede modificar a continua o
pulsátil, para mayor practicidad se puede colocar una hoja blanca sobre la pantalla del
patrón de ondas, el cual se puede marcar el inicio y final de la longitud de onda, ya
sea blanco-blanco ò negro-negro.
62
Ejemplo.
En una cubeta de ondas se utilizó agua, se generaron diferentes frecuencias y se
midió la longitud de onda " 𝝀 " correspondiente. Los valores de las frecuencias, así
como los del tamaño real de la longitud de onda se muestran en la tabla siguiente:
𝒇 [𝑯𝒛]
𝝀 [𝒄𝒎]
20
1.8
30
1.2
40
1.0
50
0.8
60
0.6
70
0.55
80
0.50
a) Graficar los datos e indicar el comportamiento de " 𝝀 " al cambiar " 𝒇 ".
b) Hallar la ley física correspondiente.
c) Dar la interpretación física de los parámetros y de la ley física
d) Calcular la rapidez de propagación de las ondas
Respuestas.
a ) Como
se
puede
observar, el fenómeno
no
muestra
un
comportamiento lineal y
además " 𝛌 " y " 𝐟 " son
inversamente
proporcionales, o sea
que al aumentar la
frecuencia disminuye la
longitud de la onda y
viceversa.
b ) Como
𝛌 =
𝐕
𝐟
,
algebraicamente se puede observar que el modelo no es lineal, y como
𝛌 = 𝐕 𝐓 calculando el periodo correspondiente a cada frecuencia y operando
con 𝛌 = 𝐕 𝐓. se puede obtener el modelo lineal: 𝛌 = 𝐦∗ 𝐓 + 𝐛 , donde " 𝐦∗ "
es " 𝐕 ", la velocidad de propagación de la onda; construyendo la tabla, con " λ "
en sistema internacional:
63
𝒇 [ 𝑯𝒛 ]
𝝀[𝒎]
𝑻[𝒔]
20
0.018
0.05
30
0.012
0.0333
40
0.010
0.025
50
0.008
0.020
60
0.006
0.0166
70
0.0055
0.0143
80
0.0050
0.0125
Metiendo los datos a calculadora,
donde " 𝐓 " se introduce como
" 𝐗 ", y " 𝛌 " como " 𝐘 ", se obtiene
el siguiente modelo
𝐦∗ = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒,
𝐛 = 𝟔. 𝟕𝟕𝟔𝟕𝟑𝟐 𝐱 𝟏𝟎−𝟒
𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟔𝟔𝟖𝟕𝟒
como 𝐫 > 0.98 , el modelo es
aceptable, por lo cual:
Ley física :
𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒 𝑻 + 𝟔. 𝟕𝟕𝟔𝟕𝟑𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
o también :
𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒
1
+ 𝟔. 𝟕𝟕𝟔𝟕𝟑𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
𝑓
c ) Comparando 𝛌 = 𝐦∗ 𝐓 + 𝐛 𝐜𝐨𝐧 𝛌 = 𝐕 𝐓 se puede observar que m*
multiplica a T y V también multiplica a T , por lo cual 𝐦∗ = 𝐕; por lo que se
refiere a b , en 𝛌 = 𝐕 𝐓 no hay nada que esté sumando, por lo cual debería
ser: 𝐛 = 𝟎
𝒎∗ = 𝑽 ; " 𝒎∗ " es la velocidad de la onda en el agua.
" 𝒃 " Debería ser cero, por lo cual, es un reflejo del grado de error
Ecuación de longitud y frecuencia de la onda.
𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒
64
1
f
+ 𝟔. 𝟕𝟕𝟔𝟕𝟑𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
Ecuación de la longitud y periodo de la onda
𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒 𝑻 + 𝟔. 𝟕𝟕𝟔𝟕𝟑𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
d ) Como 𝐦∗ = 𝐕,
Rapidez de propagación de las ondas: 𝑽 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒 [ 𝒎/𝒔 ]
VIBRACIONES EN UNA CUERDA
Una cuerda puede oscilar (vibrar), sólo si está sometida a una fuerza de
tensión, para lo cual se deben aplicar dos fuerzas con la misma magnitud y en
sentido opuesto en dos puntos de esa cuerda y a la distancia entre esos puntos
la denotaremos “ L “, y para que oscile hay dos opciones: 1) que se le aplique
una fuerza momentánea perpendicular a la cuerda, entre los puntos donde está
sujeta, que es el caso de una guitarra; 2) que se le conecte un vibrador que
genere ciertas frecuencias.
En ambos casos, se genera una onda transversal que como todas las
ondas, tienen periodo ( T ), frecuencia ( f ), longitud ( λ ) y velocidad ( V ), y
como se mencionó anteriormente, en una cuerda también influye el tipo de
material, que se representará con la densidad lineal de masa ( µ ), de la
longitud de la cuerda ( L ) que tiene una masa ( m ), de la fuerza de tensión
( F ) y del número de nodos ( n ), gráficamente un nodo es donde cambia la
concavidad de la forma de la onda.
La relación entre estos factores es:
F = µ V2 ;
µ=
m
L
;
V=fλ;
λn =
2L
n
fn =
nV
2L
;
V=
2Lf
n
Para el experimento de vibraciones en una cuerda, se puede hacer
observaciones y mediciones variando: a) Longitud de la cuerda; b) Número de
nodos; c) Fuerza de tensión; d) frecuencia.
En cualquier caso, se requiere el siguiente material:
-
Generador de funciones
Cable coaxial
Prensa de mesa
Porta pesas
Base cilíndrica
-
Bocina
Aproximadamente 2 metros de hilo
Varilla cilíndrica y cuadrangular
Marco de pesas
Flexómetro
65
Considerando como variables la longitud de la cuerda y el número de
nodos, la fuerza de tensión y la frecuencia son constantes ,el proceso es:
1.- Colocar la bocina en la base cilíndrica y ubicarla en uno de los extremos
de la mesa.
2.-
Colocar la prensa de mesa, en el otro extremo de la mesa.
3.- Poner en la prensa, verticalmente la varilla cuadrangular y
horizontalmente la cilíndrica de forma que ésta quede paralela al lado extremo
de la mesa.
4.- Mediante cinta adhesiva, sujetar un extremo del hilo al cubre polvos de la
bocina.
5.- Pasar el otro extremo del hilo por la barra cilíndrica, de tal manera que
quede colgando una longitud corta y amarrarle el porta pesas junto con las
masas elegidas para obtener la tensión deseada.
6.- Conectar el cable coaxial en la entrada “output trigger” del generador de
funciones y conectar los otros extremos banana en las conexiones traseras de
la bocina, sin importar el orden de conexión.
7.-
Encender el generador y fijar la amplitud en 20 Vpp
8.-
Si el experimento será con frecuencia constante, fijar la frecuencia.
9.-
Dar la salida a la señal oprimiendo “output trigger”
10.- Verificar que en la cuerda estén bien definidos los nodos de la onda, si no
lo están, modificar la longitud o la frecuencia para que ocurra.
11.- Si las variables son longitud y número de nodos, medir la longitud de la
cuerda ( L ), contar el número de nodos y anotar los datos.
12.- Disminuir la longitud de la cuerda hasta que se tenga un nodo menos,
medir la longitud de la cuerda ( L ) y anotar los datos; repetir el proceso.
13.- De acuerdo a las variables, obtener la ley empírica del fenómeno y hacer
el análisis correspondiente.
66
Ejemplo:
Para el experimento de vibraciones en una cuerda, con longitud de
cuerda y número de nodos variables, se colgó una masa total de 25 gramos, se
fijó una frecuencia de 110 [ Hz ] y se midieron las longitudes ( L ) para el
número correspondientes de nodos ( n ), obteniéndose lo siguiente.
L[m]
n
2.03
9
1.82
8
1.60
7
1.44
6
1.26
5
1.01
4
0.81
3
0.54
2
0.25
1
Determinar:
a)
b)
b)
c)
El modelo de regresión;
La interpretación física de los parámetros y análisis de unidades;
La velocidad de la onda;
La densidad lineal de la cuerda.
RESPUESTAS:
a)
Despejando de V =
2Lf
2f
n
V
; n=
L; introduciendo a la calculadora a ( L, n )
se obtiene: m* = 4.5982 ; b = – 0.4974 ; r = 0.9969 > 0.98
Modelo de regresión: n = 4.5982 L – 0.4974; r > 0.98, es aceptable.
b)
m* multiplica a L y
2f
V
también por lo cual : m* =
𝟐𝐟
𝐕
;
no hay nada sumando, por lo cual “ b ” debería ser cero: es un reflejo del
grado de error.
Unidades: m* = [
1/𝑠
𝑚/𝑠
]=[
𝟏
𝐦
];
1
b suma a: m* L y [ 𝑚 ] [m] = [ ] ; por lo cual: b no tiene unidades.
c)
2f
Despejando V = 𝑚∗ =
𝐹
2 ( 110 )
4.5982
𝐹
= 47.844 [ m / s ]
d) despejando de: V = √𝜇; µ = 𝑉 2 =
𝑚𝑔
𝑉2
=
0.025 ( 9.78 )
47.8442
= 1.0681 x 10 – 4 [ Kg / m ]
67
11.- MOVIMIENTO HORIZONTAL BAJO LA ACCIÓN
DE UNA FUERZA CONSTANTE.
Muchos fenómenos no presentan comportamiento lineal, puede ser cuadrático
(como en el caso de movimiento uniforme acelerado), Exponencial (como en el
caso de carga y descarga de un capacitor) o de otra naturaleza, (como en el
caso de péndulo simple), y en varios de ellos se puede manejar directamente el
modelo correspondiente (cuadrático, exponencial, logarítmico) o se puede
hacer un cambio de variable para convertirlo en modelo lineal.
En el caso del movimiento uniforme acelerado, la ley teórica es:
𝐘 = 𝐘𝟎 + 𝐕𝟎 𝐭 +
𝟏
𝟐
𝐚𝐭 𝟐 ; como la variable independiente que es 𝐭 aparece con
exponente 2, es cuadrático y para obtener un modelo lineal, primero quitar 𝐘𝟎
(porque no tiene 𝐭 ):
"𝐭"∶
𝐘 – 𝐘𝟎
𝐭
= 𝐕𝟎 +
obtiene: 𝐙 = 𝐕𝟎 +
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝐘 – 𝐘𝟎 = 𝐕𝟎 𝐭 +
𝟏
𝟐
𝐚 𝐭 𝟐 y después dividir todo entre
𝐚 𝐭 ; haciendo el cambio de variable: 𝐙 =
𝐘 – 𝐘𝟎
𝐭
se
𝐚 𝐭 ; y el modelo lineal asociado será: 𝐙 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛
" 𝐘𝟎 " es la posición del objeto a partir del cual se mide el tiempo, y si la
medición de la posición del objeto en diferentes tiempos, se mide a partir de
" 𝐘𝟎 " , entonces 𝐘𝟎 = 𝟎
La ley física debe darse en términos de las variables originales, por lo cual,
𝐙 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛 , no es la ley física, es el modelo lineal;
sustituyendo
𝐘 – 𝐘𝟎
𝐭
Como 𝐙 =
𝐘 – 𝐘𝐨
𝐭
,
= 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛; esta si es la ley física, pero lo adecuado es
despejar a " 𝐘 " y se obtiene: 𝐘 = 𝐦∗ 𝐭 𝟐 + 𝐛 𝐭 + 𝐘𝟎
Interpretación de los parámetros: " 𝐦∗ " multiplica a: " t2 " y " 𝐛 " multiplica a
" 𝐭 ", y en la ley teórica,
𝟏
𝟐
a multiplica a: " 𝐭 𝟐 " y " 𝐛 "
por lo cual se concluye que 𝐦∗ =
68
𝟏
𝟐
a
y
𝐛 = 𝐕𝟎
multiplica a " 𝐭 " ,
El objetivo del experimento es determinar la aceleración de un deslizador sobre un riel
horizontal, con fuerza de fricción muy pequeña y que está sujeto a una fuerza
horizontal paralela al riel; Y también, obtener el modelo de regresión para el
desplazamiento del deslizador, en función del tiempo.
Para ello se requiere el siguiente material.
Equipo para fuerza constante, formado por:





Riel con sensor y electroimán
Deslizador
Compresor
Masa de dos o más gramos, conectada al deslizador mediante un hilo delgado
Computadora
El procedimiento es el siguiente.
a.- Encender la computadora y abrir el programa: Cassy Lab.
69
b.- Aparece en pantalla la bienvenida de CASSY Lab, selecciona cerrar.
c.- Seleccionar en COM1; CASSY. Y dar click en cargar ejemplo.
70
d.- En pantalla aparece: Ejemplos de ensayo, seleccionar Física.
e.- Seleccionar Movimientos con el carril con cojín de aire (Ecuación de
movimiento de Newton).
71
f.- En pantalla aparece imagen de conexiones del equipo. Y cargar ejemplo.
g.- En pantalla aparecen los datos y la gráfica del experimento anterior, hacer click
izquierdo y seleccionar: Borrar última serie de medición; La pantalla quedará en
blanco;
72
h.- Encender el compresor de aire y dar click de inicio en cronómetro
y al llegar
el deslizador al extremo del riel, hacer click en el mismo cronómetro
detener el conteo.
i.- Copiar tabla y pegar en Excel.
j.- Grabar los datos en memoria USB.
, para
Como el tiempo se mide a partir del punto desde el cual se miden las distancias, 𝐘𝟎 = 𝟎,
en Excel, generar una tercera columna con 𝐙 =
𝐗
𝐭
; La variable independiente es el
tiempo " 𝐭 " y la dependiente es " 𝐙 " , Directamente en Excel obtener el modelo lineal
y/o mediante la calculadora, introduciendo los datos, para obtener: 𝐙 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛
Ejemplo.
En el experimento del movimiento de un móvil bajo la acción de una fuerza constante,
con posición inicial y velocidad inicial cero, se obtuvieron los siguientes datos.
𝒕[𝒔]
𝑿 [𝒎𝒎]
0.05
1
0.10
4
0.15
8.9
0.20
15.7
0.25
24.6
0.30
35.4
0.35
48.2
0.4
63
a) Definir cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente y construir
una tabla de valores para esas variables
b) Determinar si es lineal o no, desde el punto de vista gráfico, de la estadística y
de la física.
c) Mediante cambio de variable, obtener el modelo de regresión lineal, dando la
interpretación física de los parámetros y su análisis de unidades.
d) Obtener la ley física del fenómeno y calcular su aceleración.
e) Cuál era la posición y velocidad del deslizador en 𝒕 = 𝟎. 𝟓𝟓 [ 𝒔 ].
73
Respuestas.
a ) Como la posición depende del tiempo transcurrido, mientras que el tiempo no
depende de la posición, se concluye que:
La variable independiente es el tiempo ( t ) y la variable dependiente es la posición ( 𝑿 )
b ) Graficando cada punto:
𝒕[𝒔]
X [ mm ]
0.05
1
0.10
4
0.15
8.9
0.20
15.7
0.25
24.6
0.30
35.4
0.35
48.2
0.40
63.0
Introduciendo a la calculadora al tiempo como " x " y a la posición como " y ",
se obtiene:
𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟔
donde:
𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟔 < 0.98
El modelo no es lineal: Desde el punto de vista gráfico, se observa que los
intervalos de tiempo son iguales, mientras que los intervalos de
desplazamiento van aumentando y por eso, los puntos están más cercanos a
una parábola que a una recta.
𝒕[𝒔]
74
Desde el punto de vista estadístico, porque el índice de correlación es menor
a 0.98. Desde el punto de vista de la física, como la fuerza de fricción es mucho
menor a la fuerza de tensión, la fuerza total sobre el deslizador es mayor a
cero, por lo cual tiene aceleración, o sea, es un movimiento uniforme
acelerado y por ello no es lineal.
𝑿 [𝒄𝒎 ] 𝒁 [ 𝒄𝒎/𝒔 ]
a)
Como es un movimiento uniforme
0.05
0.1
2
0.10
0.4
4
0.15
0.89
5.933
0.20
1.57
7.85
0.25
2.46
9.845
el cual se hicieron las
0.30
3.54
11.8
cual 𝐙 =
0.35
4.82
13.771
a centímetros se obtiene la tabla que está a la izquierda;
0.40
6.30
15.75
introduciendo a la
acelerado, el modelo teórico es:
𝐗 = 𝐗 𝟎 + 𝐕𝟎 𝐭 +
𝐗 – 𝐗𝐨
𝐭
𝟏
𝐚𝐭 𝟐 y el cambio de variable es: 𝐙 =
𝟐
; Como el tiempo se contó a partir del punto desde
𝐘
y 𝐙 =
𝐭
mediciones, 𝐘𝟎 = 𝟎
𝟏
𝟐
, por lo
𝐚 𝐭 + 𝐕𝟎 convirtiendo milímetros
calculadora se obtiene
𝐦∗ = 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 ,
𝐛 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟎𝟑 ; 𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗
El modelo lineal es:
𝒁 = 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 𝒕 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟎𝟑
Con el cambio de variable,
𝟏
𝟐
𝒂 multiplica a: " 𝐭 ",
y 𝐕𝟎 stá sumando, por lo
cual, la interpretación es:
" 𝒎∗ " es la mitad de la aceleración: 𝒎∗ =
[ 𝒎∗ ] = [ 𝒄𝒎⁄𝒔𝟐 ];
𝟏
𝟐
𝒂 ; y sus unidades son:
𝒃 es la velocidad a partir del cual se midieron las
distancias: 𝒃 = 𝑽𝟎 , [ 𝒃 ] = [ 𝒄𝒎 ]
b ) Importante tener presente que cuando no hay cambio de variable, el modelo
lineal es la ley física, pero cuando hay cambio de variable, el modelo lineal no
es la ley física, porque la ley física debe estar en términos de las variables
originales, además, desde el punto de vista de la física, " Z " no tiene
significado.
Como 𝐙 =
𝐗
𝐭
;
Sustituyendo:
𝐗
𝐭
= 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 𝐭 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟎𝟑
Multiplicando por " t " La ley física es:
𝑿 = 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟎𝟑 𝒕
75
𝐦∗ =
𝟏
𝟐
𝒂 , despejando: 𝒂 = 𝟐 𝒎∗ = 𝟐 ( 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 )
𝒂 = 𝟕𝟖. 𝟒𝟐𝟕𝟐 [ 𝒄𝒎 / 𝒔𝟐 ]
En sistema internacional:
𝒂 = 𝟎. 𝟕𝟖𝟒 [ 𝒎 / 𝒔𝟐 ]
c ) Para obtener la posición, se sustituye el tiempo en la ley física obtenida, para
obtener la velocidad, como es un movimiento uniforme acelerado:
𝑽 = 𝑽𝟎 + 𝒂 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟑 + 𝟕𝟖. 𝟒𝟐𝟕𝟐 𝒕
sustituyendo:
𝐭 = 𝟎. 𝟓𝟓 [ 𝐬 ]: 𝐗 = 𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟑𝟔 ( 𝟎. 𝟓𝟓𝟐 ) + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟎𝟑 ( 𝟎. 𝟓𝟓 ) = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 [ 𝐜𝐦 ]
𝐕 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟑 + 𝟕𝟖. 𝟒𝟐𝟕𝟐 ( 𝟎. 𝟓𝟓 ) = 𝟒𝟑. 𝟏𝟖 [ 𝐜𝐦 / 𝐬 ]
Posición:
𝑿 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 [ 𝒄𝒎 ]
Velocidad:
En sistema
internacional
𝑿 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟖𝟖 [ 𝒎 ]
𝑽 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟏𝟖 [ 𝒎 / 𝒔 ]
𝑽 = 𝟒𝟑. 𝟏𝟖 [ 𝒄𝒎 / 𝒔 ]
12. PÉNDULO SIMPLE.
Cuando un objeto se desplaza respecto a un punto donde está en equilibrio, hasta
alcanzar cierta distancia y después regresa a ese punto y se desplaza en sentido
opuesto hasta alcanzar una distancia igual o muy cercana al primer desplazamiento y
nuevamente regresa al punto de equilibrio y el fenómeno se sigue repitiendo, se dice
que hay un movimiento armónico.
Al máximo desplazamiento respecto al punto de equilibrio se le denomina amplitud
" 𝑨 " , al número de veces que el fenómeno se repite, por unidad de tiempo, se le
denomina frecuencia " 𝒇 " y al tiempo que tarda en completar un ciclo se le denomina
periodo " 𝑻 "
76
Cuando un objeto está conectado respecto a un punto, sin que se pueda alejar o
acercar a ese punto, su oscilación es en una trayectoria que es un segmento de
circunferencia cuyo centro es ese punto, y es a lo que se le denomina péndulo.
Si el conector del objeto con el eje de giro, no tiene masa, se le llama péndulo simple,
y si la tiene, se le denomina péndulo físico; Estrictamente, no existe el péndulo
simple, pero si la masa del conector es muy pequeña, el comportamiento es muy
cercano al de un péndulo simple y se le puede considerar como tal.
Como se puede observar en la figura, hay dos fuerzas que actúan sobre el objeto, el
peso " 𝐖 " y la fuerza de tensión de la cuerda " 𝐓 " ; los componentes del peso, son
" 𝐖𝐭 " , que es tangente a la trayectoria, y " 𝐖𝐫 ", que es perpendicular a la a la
componente tangencial.
Como el objeto no se acerca ni se aleja del eje de
giro, 𝐓 – 𝐖𝐫 = 𝟎 , y por lo tanto, la fuerza que
genera el desplazamiento es " 𝐖𝐭 " cuya magnitud
es: 𝐖𝐭 = 𝐦 𝐠 𝐒𝐞𝐧 𝛉, por lo cual, 𝐚 = 𝐠 𝐒𝐞𝐧 𝛉
Para que el movimiento sea armónico simple, la
aceleración
debe
ser
proporcional
al
desplazamiento, que en este caso, es el
desplazamiento angular ( θ ) y como se puede observar, no es proporcional al ángulo,
sino al seno del ángulo, por lo cual, en el experimento de péndulo simple, para iniciar
las oscilaciones, el ángulo debe ser pequeño, de preferencia no mayor a 20 grados,
porque mientras menor sea el valor del ángulo, su valor es más cercano al del seno,
como se observa en la siguiente tabla:
𝜽 [ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 ]
30
25
20
15
𝜽 [ 𝒓𝒂𝒅 ]
0.5235
0.4363
0.3491
0.2618
𝑺𝒆𝒏 𝜽
0.5000
0.4226
0.3420
0.2589
𝜽 – 𝑺𝒆𝒏 𝜽
0.0235
0.0136
0.0071
0.0030
Para el experimento, se requiere el siguiente material.
 Columna graduada
 Sensor U
 Soporte magnético
77




Balín sujeto a una cuerda delgada
Contador de oscilaciones ( Electronic Oscillation Counter )
Contador de periodo ( Electronic Timer )
Cable banana-banana negro.
Procedimiento.
a. Colocar en la columna graduada el
soporte magnético y el sensor U como se
observa en la siguiente imagen.
b. Se alineara el balín a la mitad de los
orificios del sensor U, ya que es donde se
detecta la oscilación del balín. Fijar la
altura deseada.
c. Conectar el sensor U en la entrada gate del contador de oscilaciones (Electronic
Oscillation Counter), seleccionar el número de oscilaciones que se desee contar (1, 2,
4, 10, 20, 40, 100, 200, 400), y el pulso (Timer) se conecta con banana-banana negro
al contador de periodo (Electronic Timer), como se muestra en la siguiente imagen.
78
d. Ajustar el contador de periodo.
e. Con un pequeño ángulo no mayor a los 15° se suelta el balín a través del
sensor U, con el selector del contador de oscilaciones ( Electronic Oscilation
Counter ) se selecciona count y empezarán a contarse las oscilaciones y a
medirse el periodo; cuando se cumplan el número de oscilaciones a las que se
ajustó, la pantalla del contador de periodo se paralizara; se toma la lectura y se
repite de la medición aplicando reset al contador de oscilaciones.
f. Cambiar la longitud del péndulo y ajustar el sensor de oscilaciones, registrando
la nueva longitud y repetir el proceso por lo menos cinco veces.
𝐋
g. Como la ley es: 𝐓 = 𝟐 √ 𝐠 , para cada longitud se debe conocer el periodo
de oscilación y como 𝐓 =
𝟏
𝐟
se requiere conocer la frecuencia, 𝐟 =
𝐍
𝐭
donde
" 𝐍 " es el número de oscilaciones que se efectuaron y " 𝐭 " es el tiempo que se
midió para ese número de oscilaciones; Obsérvese que la masa que se colgó
no influye en la magnitud del periodo; Como el periodo es directamente
proporcional a la raíz de la longitud de la cuerda, el modelo no es lineal, y para
convertirlo a modelo lineal, hay dos opciones:
79
1. Reescribir: 𝐓 =
𝐓 =
𝟐
√𝐠
𝟐
√𝐠
√𝐋 y el cambio de variable será: 𝐙 = √𝐋 , con lo cual:
𝐙 ; el modelo ya es lineal, a lo cual corresponde: 𝐓 = 𝐦∗ 𝐙 + 𝐛 ,
donde: 𝐦∗ =
𝟐
√𝐠
; " 𝐛 " debería ser cero, y si no lo es, es un reflejo del
grado de error;  𝐦 ∗  = [
𝐬
√𝐦
] y  𝐛  =  𝐬  ; la ley física que corresponde
al fenómeno es: 𝐓 = 𝐦∗ √𝐋 + 𝐛
2. Aplicar logaritmos: 𝐥𝐨𝐠 𝐓 = 𝐥𝐨𝐠 (
𝟐𝛑
√𝐠
) +
𝟏
𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝐋 ; En este caso se deben
hacer dos cambios de variable: 𝐙 = 𝐥𝐨𝐠 𝐓 ; 𝐖 = 𝐥𝐨𝐠 𝐋 ; el modelo
lineal será: 𝐙 =
𝐥𝐨𝐠 𝐋 ;
y
𝟏
𝟐
𝐖 + 𝐛 , donde 𝐦∗ =
𝐛 = 𝐥𝐨𝐠 (
𝟐𝛑
√𝐠
𝟏
𝟐
, porque es lo que multiplica a:
) ; en lugar de usar logaritmo base 10 ( log ) se
puede usar logaritmo natural: 𝐋𝐧 𝐓 = 𝐋𝐧 (
𝟐𝛑
√𝐠
) +
𝟏
𝟐
𝐋𝐧 𝐋 ;
𝐙 = 𝐋𝐧 𝐓 ;
𝐖 = 𝐋𝐧 𝐋
Ejemplo.
En el experimento de péndulo simple, en uno de los extremos del hilo se suspendió
una masa y para diferentes longitudes de la cuerda, se midió el periodo y se
efectuaron 10 oscilaciones ( 𝑵 = 𝟏𝟎 ), como se muestra a continuación.
𝑳 [𝒄𝒎]
20.5
74.0
27.2
85.5
38.8
97.2
54.0
104.0
64.5
112.05
𝑻[𝒔]
0.867
1.688
1.062
1.844
1.226
1.945
1.409
2.021
1.544
2.091
a) Mediante la transformación adecuada obtener el modelo lineal, dar la
interpretación física de los parámetros y su análisis dimensional.
b) Obtener la ley física que rige al experimento.
c) Calcular el valor de la gravedad.
d) Determinar el error absoluto y porcentual, si la gravedad en la CDMX.
es de 𝟗. 𝟕𝟖 [ 𝒎 / 𝒔𝟐 ]
80
𝑳 [ 𝒄𝒎 ]
𝑻[𝒔]
20.5
0.867
𝒁 [ √𝑳 ]
4.528
27.2
38.8
1.062
1.226
5.215
6.229
54.0
1.409
7.348
Haciendo un cambio de variable: 𝐙 = √𝐋 , se
64.5
74.0
1.544
1.688
8.031
8.602
tiene T =
85.5
1.844
9.247
97.2
1.945
9.859
Respuestas.
a ) Considerando la primera opción:
𝟐𝛑
√𝐠
Z lo cual corresponde a un modelo
lineal 𝐓 = 𝐦∗ 𝐙 + 𝐛
Por lo cual, se construye una columna
sacando la raíz de cada uno de los valores
112.5
2.091
10.607
columna " 𝐋 " . Metiendo estos datos
calculadora en modo regresión lineal, " 𝐙 "
como " 𝐱 ", y " 𝐓 " entra como " 𝐲 " obteniéndose los siguientes resultados:
104.0
2.021
10.198
𝐦∗ = 𝟎. 𝟏𝟗𝟖𝟖𝟔
𝐛 = − 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟒𝟗
El modelo lineal es:
𝑻 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟖𝟖𝟔 𝒁 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟒𝟗
En el modelo teórico
𝟐𝛑
√𝐠
"𝐙" ,
de la
a la
entra
𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟑𝟕
multiplica a " 𝐙 ", y no hay nada que esté sumando,
por lo cual “ b ” debería valer cero; interpretación física de los parámetros:
𝒎∗ =
𝟐𝝅
√𝒈
, o sea que ( 𝒎∗ ) es la proporción inversa de la raíz de la gravedad.
b: Como debería ser cero, es un reflejo del grado de error en el
experimento [ 𝒎∗ ] = [
a) Sustituyendo en el modelo lineal a √𝐋
física:
𝒔
√𝒄𝒎
] ; [𝒃] = [𝒔]
en lugar de, " 𝐙 " se obtiene la ley
𝑻 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟖𝟖𝟔 √𝑳 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟒𝟗
b) Como 𝐦∗ =
𝟐𝛑
√𝐠
,
despejando " 𝐠 "
𝟐𝛑 𝟐
𝟐𝛑
𝟐
tenemos: 𝐠 = ( 𝐦 ) = (𝟎.𝟏𝟗𝟖𝟖𝟔)
= 𝟗𝟗𝟖. 𝟑
𝒈 = 𝟗𝟗𝟖. 𝟑 [ 𝒄𝒎 / 𝒔𝟐 ] = 𝟗. 𝟗𝟖𝟑 [ 𝒎 / 𝒔𝟐 ]
81
𝑳 [ 𝒄𝒎 ] 𝑬𝑨𝑩
𝑳𝒏=[ 𝑳| ]𝑔 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑻–[ 𝑔
𝑳𝒏 [ |𝑻 =] | 978 – 998.3 | = 𝟐𝟎. 𝟑 [𝒄𝒎/𝒔𝟐 ]
𝒔 ]𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
c)
𝑬% = (𝐸𝐴𝐵/ 𝑔𝑟𝑒𝑎𝑙 ) (100) = (20.3/978) (100) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟓 %
20.5
3.024
0.867
-0.1427
27.2
3.032
1.062
0.0601
38.8
3.658
1.226
0.237
54
3.988
1.409
0.3428
Por el método 2, aplicando
logaritmo natural es un modelo
lineal:
64.5
4.166
1.544
0.4343
𝐋𝐧 𝐓 =
74
4.304
1.688
0.5235
𝐙 = 𝐋𝐧 𝐓 ; 𝐖 = 𝐋𝐧 𝐋 el modelo
85.5
4.448
1.844
0.6119
97.2
4.576
1.945
0.6652
104.0
4.644
2.021
0.7035
directamente: 𝐋𝐧 𝐋, y 𝐋𝐧 𝐓 ; El
112.5
4.722
2.091
0.7376
introducir así los datos, evita
𝟏
𝟐
𝐋𝐧 𝐋 + 𝐋𝐧 (
lineal es: 𝐙 =
𝟏
𝟐
𝟐𝛑
√𝐠
)
si:
𝐖 + 𝐛
A la calculadora se debe introducir
propagación de error, porque si se calculan por separado los logaritmos y los
redondeos de esos cálculos se introducen a la calculadora, hay error por el
truncamiento o el redondeo.
El modelo lineal es: 𝒁 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟒𝟑 𝑾 – 𝟏. 𝟔𝟒𝟓𝟑
𝒎∗ = 𝟎. 𝟓𝟎𝟒𝟑 es un valor cercano 𝑎 ∶
𝒃 = 𝑳𝒏 (
𝟐𝝅
√𝒈
1
2
, el error no es significativo.
) ; tanto: " 𝒎∗ " como " 𝒃 ", no tienen unidades.
𝐋𝐧 𝐓 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟒𝟑 𝐋𝐧 𝐋 – 𝟏. 𝟔𝟒𝟓𝟑
Ley física: 𝑻 = 𝒆– 𝟏.𝟔𝟒𝟓𝟑 𝑳𝟎.𝟓𝟎𝟒𝟑
Como : 𝐛 = 𝐋𝐧
𝟐𝛑
√𝐠
= – 𝟏. 𝟔𝟒𝟓𝟑,
𝟐𝛑
𝟐
𝐜𝐦
despejando: 𝐠 = (𝐞− 𝟏.𝟔𝟒𝟓𝟑 ) = 𝟏𝟎𝟔𝟎. 𝟑𝟒𝟗𝟖 [ 𝐬𝟐 ]
82
13. MAQUINA DE ATWOOD.
La máquina de Atwood consiste en conectar dos masas de diferente magnitud
mediante una cuerda de masa muy pequeña y colgarlas de una polea de masa y
fricción despreciable.
Como la masa de la cuerda y la polea, así como la fricción son despreciables, se
considera que la magnitud de la aceleración de cada masa, depende sólo de las
𝒎 −𝒎
magnitudes de las masas y de la gravedad: 𝒂 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝒈 ; Donde " 𝒎𝟏 " es la
𝟏
𝟐
masa de mayor magnitud.
Para la realización de este experimento:
Se requiere el siguiente material.






Colchón de aire circular
Compresor de aire
Masas de diferentes magnitudes
Generador de chispas
Cinta registradora
Flexómetro
Procedimiento.
En este experimento, en lugar de una polea, se usará un colchón de aire circular y el
proceso consiste en:
a .- Fijar en la orilla de la mesa, el colchón de aire circular, de tal forma que el
extremo donde saldrá el aire quede fuera de la mesa;
b .- Conectar el compresor de aire, verificando que no haya fuga en la conexión;
c .- Con cables banana caimán, conectar el generador de chispas, con un cable a
cualquier punto del colchón de aire y el otro a la parte donde se emitirán las
chispas
d .- Medir la masa de cada porta pesas y registrar su magnitud;
83
e .- Cortar la cinta registradora con una longitud: del centro del colchón circular, al
piso; y fijar en cada extremo un porta pesas;
f .- Colocar la cinta con uno de sus extremos sobre el colchón de aire;
g .- Colgar en cada porta pesas una masa, de diferente magnitud a la otra,
ubicando la de mayor magnitud en la parte superior,
h .- Deberán coordinarse dos integrantes del equipo, para que uno active el
compresor y en ese instante otro active del generador de chispas y desactivar
ambos equipos, en el instante en que la masa mayor llegue al suelo;
i .- Retirar la cinta, quitarle los porta pesas y medir las distancias de las marcas y
seguir el mismo proceso de cálculo que en el experimento de fuerza constante.
Ejemplo
En el experimento de máquina de Atwood, en un extremo se fijó una masa de 80 [ 𝑔 ]
y en el otro una de 𝟓𝟎 [ 𝒈 ] y en ambos casos un porta pesas cuya masa es de
𝟓 [ 𝒈 ]; El generador se calibró a 𝒇 = 𝟏𝟓 [ 𝑯𝒛 ] y se obtuvieron las siguientes medidas
en [𝒄𝒎].
𝒀 [𝒎𝒎] 0.5 2.0 4.4 7.8 12.2 17.6 24.0 31.3 39.6
a) Graficar: " 𝒀 " como variable dependiente y " 𝒕 " como variable independiente, y
en base a la gráfica indicar si el comportamiento es lineal, indicando el porqué
b) Realizar el cambio de variable adecuado, para que el comportamiento sea
lineal, comprobar el resultado, graficando " 𝒁 " contra " 𝒕 " en la gráfica del
inciso a).
c) Obtener el modelo lineal, dando la interpretación física de los parámetros y su
análisis dimensional, indicando si el modelo es aceptable y porqué.
d) Determinar la aceleración de cada una de las masas y obtener la ecuación que
describe al fenómeno, en términos de sus variables originales.
e) En que instante la velocidad de las masas era de 𝟏𝟕𝟓. 𝟕 [𝒄𝒎/𝒔] y cuál era su
posición.
f) Determinar: error absoluto y porcentual en el cálculo de la aceleración.
84
Respuestas.
a ) La gráfica muestra una curva donde a intervalos iguales de tiempo los
intervalos de desplazamiento son cada vez mayores, lo cual significa que no
hay comportamiento lineal
𝒕 [𝒔]
𝒀 [𝒄𝒎]
1/15
0.5
2/15
2.0
3/15
4.4
4/15
7.8
5/15
12.2
6/15
17.6
7/15
24.0
8/15
31.3
9/15
39.6
10/15
48.9
b ) Como es un movimiento uniformemente acelerado, la transformación es:
𝐙 =
𝐘
𝐭
;
𝐙 = 𝐕𝟎 +
𝟏
𝟐
𝒕 [𝒔]
𝒀 [𝒄𝒎]
𝒁 [𝒄𝒎/𝒔]
1/15
0.5
7.50
2/15
2.0
15.00
3/15
4.4
22.00
4/15
7.8
29.25
5/15
12.2
36.60
6/15
17.6
44.00
7/15
24.0
51.43
8/15
31.3
58.69
9/15
39.6
66.00
10/15
48.9
73.35
𝐚𝐭
La grafica de " 𝐙 " izquierda y como se puede observar corresponde a un
comportamiento lineal, donde a intervalos de tiempo iguales los intervalos de
" 𝐙 " también son iguales.
85
c ) Introduciendo a " 𝐭 " como variable independiente y a " 𝐙 " como variable
dependiente se obtiene: 𝐦∗ = 𝟏𝟎𝟗. 𝟕𝟐𝟗; 𝐛 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟓, 𝐫 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖𝟕𝟓
Modelo lineal:
Z = 109.729 t + 0.1475
como 0.9999875 > 0.99, cumple r > 0.99, por lo cual es aceptable.
𝒎∗ =
𝟏
𝟐
𝒂; es la mitad de la aceleración; [𝒎∗ ] = [𝒄𝒎/𝒔𝟐 ]
b = Vo , es la velocidad en el punto a partir del cual se midió " 𝒕 "; [ 𝒃 ] = [ 𝒄𝒎 / 𝒔 ]
d ) Como 𝒎∗ =
𝟏
𝟐
𝒂, despejando:
𝒂 = 𝟐𝒎∗ = 𝟐 ( 𝟏𝟎𝟗. 𝟕𝟐𝟗 ) = 𝟐𝟏𝟗. 𝟒𝟓𝟖 [𝒄𝒎 / 𝒔𝟐 ]
Igual que en los problemas 1 y 2, sustituyendo 𝐳 =
y despejando
𝐘
𝐭
, en: 𝐳 = 𝐦∗ 𝐭 + 𝐛,
𝒀 = 𝟏𝟎𝟗. 𝟕𝟐𝟗 𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟓 𝒕
e ) Como es un movimiento uniforme acelerado, para determinar el instante
en que V = 175.7 [cm/s], se puede emplear la expresión: 𝐕 = 𝐕𝐨 + 𝐚 𝐭 ;
despejando a " t " :
𝒕 =
𝑽 − 𝑽𝟎
𝟏𝟕𝟓. 𝟕 − 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟓
=
= 𝟎. 𝟕𝟗𝟗𝟗 [ 𝒔 ]  𝟎. 𝟖 [ 𝒔 ]
𝒂
𝟐𝟏𝟗. 𝟒𝟓𝟖
Sustituyendo este valor en la ecuación obtenida en el inciso c)
𝒀 = 𝟏𝟎𝟗. 𝟕𝟐𝟗 (𝟎. 𝟖) 𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟓 (𝟎. 𝟖 ) = 𝟕𝟎. 𝟑𝟒𝟓 [𝒄𝒎]
f ) A las masa que se colgaron, se les debe agregar la del porta pesas:
𝐦𝟏 = 𝟖𝟎 + 𝟓 = 𝟖𝟓 [ 𝐠 ]
𝐦𝟐 = 𝟓𝟎 + 𝟓 = 𝟓𝟓 [ 𝐠 ]
Si se desprecia la fricción, considerando 𝐠 = 𝟗𝟕𝟖 [ 𝐜𝐦 / 𝐬 ] el valor real de
la aceleración es: 𝐚 =
𝐦𝟏 − 𝐦𝟐
𝐦𝟏 + 𝐦𝟐
𝐠 =
𝟖𝟓−𝟓𝟓
𝟖𝟓+𝟓𝟓
( 𝟗𝟕𝟖 ) = 𝟐𝟎𝟗. 𝟓𝟕𝟏 [ 𝐜𝐦 / 𝐬𝟐 ]
𝑬𝑨𝑩 = | 𝟐𝟎𝟗. 𝟓𝟕𝟏 – 𝟐𝟏𝟗. 𝟒𝟓𝟖 | = 𝟗. 𝟖𝟖𝟕 [𝒄𝒎/𝒔𝟐 ] ; 𝑬% =
86
𝟗. 𝟖𝟖𝟕
( 𝟏𝟎𝟎 ) = 𝟒. 𝟕𝟏 %
𝟐𝟎𝟗. 𝟓𝟕𝟏
Manual de
Mecánica Clásica
Autor:
Sergio Anselmo Zamora Goitia
Colaboradores:
Enrique Manuel Álvarez González
Itandehui Hernández Aguilar
Silvia Arzola Flores
87
Índice
1. MECÁNICA CLÁSICA............................................................................................................................................................ 1
2. ERRORES. ............................................................................................................................................................................ 3
2.1.1 Error Aleatorio........................................................................................................................................................... 3
2.1.2 Error de Escala ........................................................................................................................................................... 4
2.1.3 Error Sistemático ....................................................................................................................................................... 5
2.2.1 Error Absoluto. ........................................................................................................................................................... 6
2.2.2 Error Relativo y Porcentual. ...................................................................................................................................... 8
2.2.3 Error Total. ................................................................................................................................................................ 9
2.2.4 Error Propagado. ....................................................................................................................................................... 9
3. CAÍDA LIBRE...................................................................................................................................................................... 15
CAÍDA LIBRE CON EQUIPO NUEVO
22
4. PLANO INCLINADO. .......................................................................................................................................................... 23
5. CHOQUE UNIDIMENSIONAL. ............................................................................................................................................. 29
6. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN. ........................................................................................................................................... 34
7. DEFORMACIÓN DE UN RESORTE. ................................................................................................................................. 3939
8. PROPIEDADES ELÁSTICAS DE MATERIALES. ..................................................................................................................... 47
9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. ........................................................................................................................... 59
- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME CON EQUIPO NUEVO. .............................................. ¡Error! Marcador no definido.
10. ONDAS MECÁNICAS. ...................................................................................................................................................... 76
11. MOVIMIENTO HORIZONTAL BAJO LA ACCIÓN DE UNA FUERZA CONSTANTE. .............................................................. 83
12. PÉNDULO SIMPLE
74
13. MÁQUINA DE ATWOOD
81
88