Integración

Integración
Definición de antiderivada
Si F es la antiderivada de f, entonces la función 𝐹(𝑥) + 𝐶 se conoce como la antiderivada general de f y se
denota
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ↔ 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
El término de la derecha se conoce como la integral indefinida de f con respecto a x.
Propiedades
1. ∫ 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2. ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Lista de Integrales básicas
3. ∫ 𝑘 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑥 + 𝐶
4. ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
1
5. ∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥
6. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
𝑎𝑥
7. ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 + 𝐶
8. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝐶
9. ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = sen(𝑥) + 𝐶
10. ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = tan(𝑥) + 𝐶
11. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = − cot(𝑥) + 𝐶
12. ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ tan (𝑥)𝑑𝑥 = sec (𝑥) + 𝐶
13. ∫ 𝑐𝑠𝑐(𝑥) ∙ cot (𝑥)𝑑𝑥 = − csc(𝑥) + 𝐶
1
14. ∫ 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 = arctan (𝑥) + 𝐶
1
1
𝑥
15. ∫ 𝑥 2 +𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ arctan (𝑎) + 𝐶
16. ∫
17. ∫
18. ∫
1
√1−𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶
1
√𝑎 2 −𝑥 2
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑎) + 𝐶
1
𝑥√𝑥 2 −𝑎2
1
|𝑥|
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝑎 ) + 𝐶
Integración por sustitución
Este método corresponde a la regla de la cadena de derivación y permite calcular integrales de la forma
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥
Se toma la sustitución 𝑢 = 𝑔(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 → ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) ∙ 𝑑𝑢
Fórmulas útiles
𝑛+1
1. ∫(𝑓(𝑥))𝑛 ∙ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 =
(𝑓(𝑥))
+ 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ −1
𝑛+1
𝑓′(𝑥)
2. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶
1
1
𝑥
3. ∫ 𝑥 2 +𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑎 arctan (𝑎) + 𝐶
4. ∫
1
𝑑𝑥
𝑎𝑥+𝑏
1
𝑎
= ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶
1
5. ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
1
𝑎
6. ∫ sen(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
Integración por partes
Este método se emplea para calcular integrales de la forma
∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Se toma una de las funciones para derivar y se define como 𝑢, la otra función se debe integrar y se define
como 𝑑𝑣
𝑢 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
𝑣 = 𝑔(𝑥)
Se tiene que ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢
Cómo escoger 𝑢
I Inversa trigonométrica
L Logarítmica
A Algebraica
T Trigonométrica
E Exponencial
Integrales trigonométricas
3. 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) =
1+cos (2𝑥)
*m y n par
2
Forma: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 (𝑥) ∙ cos 𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
4. 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) =
1−cos (2𝑥)
*m y n par
2
Identidades
5. sec 2 (𝑥) = tan2 (𝑥) + 1
1. 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = 1 − cos 2(𝑥)
2. 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
6. tan2 (𝑥) = sec 2(𝑥) − 1
7. csc 2 (𝑥) = 1 + cot 2 (𝑥)