FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS Materia: CÁLCULO DE UNA VARIABLE Taller Formativo No.1 Paralelo: 111 Técnica docente: Miriam Ramos Fecha: 7 de octubre de 2022 Horario: 07h00 - 09h00 SOLUCIÓN Y RÚBRICA TEMA 1 (4 puntos, 15 min) A partir del conjunto referencial Re = ℝ, determine el conjunto de verdad 𝐴𝑝(𝑥 ), si: 𝑝 (𝑥 ) : 1 − 5𝑥 ≥ −3 1 + 2𝑥 Solución: Se manipula la inecuación: 1 − 5𝑥 ≥ −3 1 + 2𝑥 1 − 5𝑥 +3≥0 1 + 2𝑥 1 − 5𝑥 + 3(1 + 2𝑥 ) ≥0 1 + 2𝑥 1 − 5𝑥 + 3 + 6𝑥 ≥0 1 + 2𝑥 4+𝑥 ≥0 1 + 2𝑥 Se obtienen los valores críticos y se analiza la inecuación en la recta numérica: 4+𝑥 = 0 1 + 2𝑥 = 0 → → 𝑥 = −4 2𝑥 = −1 → 𝑥 = − 1⁄2 1 2 Por lo tanto, el conjunto de verdad quedaría expresado como 𝐴𝑝(𝑥) = (−∞, −4] ∪ (− , +∞) . Rúbrica: Manipula la inecuación y la compara con cero. Determina los valores críticos y los analiza en la recta real. Establece el conjunto 𝐴𝑝(𝑥) adecuadamente. 1 Punto 2 Puntos 1 Punto TEMA 2 (7 puntos, 20 min) Si se conoce que ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ: 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛( |𝑥 − 𝑦| + 1 ), verifique que el par (ℝ, 𝑑) cumple con el primer y segundo axioma de métricas. Se analizará el primer axioma, con sus dos partes, en términos de 𝑥 e 𝑦: 𝑖1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [( 𝑥 ≠ 𝑦 ) ⟺ (𝑑(𝑥, 𝑦) > 0)] 𝑥 ≠ 𝑦 ⟺ |𝑥 − 𝑦| > 0 ⟺ ( |𝑥 − 𝑦| + 1 > 1 ) ⟺ 𝑙𝑛( |𝑥 − 𝑦| + 1 ) > 0 Dada la inyectividad de la función logartimo natural 𝑥 ≠ 𝑦 ⟺ 𝑑(𝑥, 𝑦) > 0 𝑖2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [( 𝑥 = 𝑦 ) ⟺ (𝑑(𝑥, 𝑦) = 0)] 𝑥=𝑦 ⟺ |𝑥 − 𝑦| = 0 ⟺ |𝑥 − 𝑦| + 1 = 1 ⟺ 𝑙𝑛( |𝑥 − 𝑦| + 1 ) = 0 Dada la inyectividad de la función logaritmo natural 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 Dado que ambas partes del axioma se cumplen, se establece que el primer axioma se CUMPLE. Luego, se analiza el segundo axioma, en términos de 𝑥 e 𝑦: 𝑖𝑖) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) ] 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛( |𝑥 − 𝑦| + 1 ) = 𝑙𝑛( | −(𝑦 − 𝑥) | + 1 ) = 𝑙𝑛( | 𝑦 − 𝑥 | + 1 ) = 𝑑(𝑦, 𝑥) Así, se establece que el segundo axioma se CUMPLE. Rúbrica: Enuncia en forma correcta el primer axioma con sus dos partes. Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se cumple la primera parte del axioma. Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se cumple la segunda parte del axioma. Enuncia en forma correcta el segundo axioma. Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se cumple el segundo axioma. 1 Punto 2 Puntos 1 Punto 1 Punto 2 Puntos TEMA 3 (4 puntos, 15 min) Considerando el espacio métrico euclidiano en ℝ, grafique en la recta real los siguientes entornos: 𝐴 = N4 (−1) o 𝐵 = N3 (3) 𝐶 = N3 (2) y luego obtenga el conjunto 𝑀, dado por: 𝑀 = 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵) Solución: Se identifican los elementos de cada entorno y se procede a graficar: 𝐴 = N4 (−1), entorno incluido, centrado en −1 y de radio 4. o 𝐵 = N3 (3), entorno no incluido, centrado en 3 y de radio 3. 𝐶 = N3 (2), entorno incluido, centrado en 2 y de radio 3. Con base en estas representaciones, el conjunto intersección 𝐴 ∩ 𝐵 sería el intervalo abierto (0, 3). Por lo tanto, el conjunto 𝑀, quedaría definido como: 𝑀 = (−1,0] ∪ [3, 5) Rúbrica: Grafica en forma correcta cada uno de los entornos (1 punto cada uno). Determina correctamente el conjunto 𝑀. 3 Puntos 1 Punto