SOLUCIÓN Y RÚBRICA TALLER FORMATIVO 1 PAR 112

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Materia: CÁLCULO DE UNA VARIABLE
Taller Formativo No.1
Paralelo: 112
Técnica docente: Miriam Ramos
Fecha: 6 de octubre de 2022
Horario: 09h00 - 11h00
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
TEMA 1 (4 puntos, 15 min)
A partir del conjunto referencial Re = ℝ, determine el conjunto de verdad 𝐴𝑝(𝑥 ), si:
𝑝 (𝑥 ) :
7𝑥
≥2
3𝑥 − 1
Solución:
Se manipula la inecuación:
7𝑥
≥2
3𝑥 − 1
7𝑥
−2≥0
3𝑥 − 1
7𝑥 − 2(3𝑥 − 1)
≥0
3𝑥 − 1
7𝑥 − 6𝑥 + 2
≥0
3𝑥 − 1
𝑥+2
≥0
3𝑥 − 1
Se obtienen los valores críticos y se analiza la inecuación en la recta numérica:
𝑥+2=0
3𝑥 − 1 = 0
→
→
𝑥 = −2
3𝑥 = 1 →
𝑥 = 1⁄3
1
3
Por lo tanto, el conjunto de verdad quedaría expresado como 𝐴𝑝(𝑥) = (−∞, −2] ∪ ( , +∞).
Rúbrica:
Manipula la inecuación y la compara con cero.
Determina los valores críticos y los analiza en la recta real.
Establece el conjunto 𝐴𝑝(𝑥) adecuadamente.
1 Punto
2 Puntos
1 Punto
TEMA 2 (7 puntos, 20 min)
Si se conoce que ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ: 𝑑(𝑥, 𝑦) =
3|𝑥−𝑦|
, verifique que el par (ℝ, 𝑑) cumple con el primer y segundo
1 + 2|𝑥−𝑦|
axioma de métricas.
Se analizará el primer axioma, con sus dos partes, en términos de 𝑥 e 𝑦:
𝑖1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [( 𝑥 ≠ 𝑦 ) ⟺ (𝑑(𝑥, 𝑦) > 0)]
𝑥 ≠ 𝑦 ⟺ |𝑥 − 𝑦| > 0
⟺ ( 3|𝑥 − 𝑦| > 0 ) ∧ (1 + 2|𝑥 − 𝑦| > 0)
⟺
3|𝑥 − 𝑦|
>0
1 + 2|𝑥 − 𝑦|
𝑥 ≠ 𝑦 ⟺ 𝑑(𝑥, 𝑦) > 0
𝑖2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [( 𝑥 = 𝑦 ) ⟺ (𝑑(𝑥, 𝑦) = 0)]
𝑥=𝑦 ⟺
|𝑥 − 𝑦| = 0 ⟺ 3|𝑥 − 𝑦| = 0 ⟺
3|𝑥 − 𝑦|
=0
1 + 2|𝑥 − 𝑦|
Dado que ambas partes del axioma se cumplen, se establece que el primer axioma se CUMPLE.
Luego, se analiza el segundo axioma, en términos de 𝑥 e 𝑦:
𝑖𝑖) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 [ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) ]
𝑑(𝑥, 𝑦) =
3|𝑥 − 𝑦|
3|−(𝑦 − 𝑥)|
3|𝑦 − 𝑥 |
=
=
= 𝑑(𝑦, 𝑥)
1 + 2|𝑥 − 𝑦|
1 + 2|−(𝑦 − 𝑥)|
1 + 2|𝑦 − 𝑥 |
Así, se establece que el segundo axioma se CUMPLE.
Rúbrica:
Enuncia en forma correcta el primer axioma con sus dos partes.
Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se
cumple la primera parte del axioma.
Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se
cumple la segunda parte del axioma.
Enuncia en forma correcta el segundo axioma.
Sigue una secuencia lógica y realiza operaciones adecuadas para demostrar que se
cumple el segundo axioma.
1 Punto
2 Puntos
1 Punto
1 Punto
2 Puntos
TEMA 3 (4 puntos, 15 min)
Considerando el espacio métrico euclidiano en ℝ, grafique en la recta real los siguientes entornos:
𝐴 = N1 (1)
o
𝐵 = N3 (−2)
𝐶 = N4 (2)
y luego obtenga el conjunto 𝑀, dado por:
𝑀 = 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵)
Solución:
Se identifican los elementos de cada entorno y se procede a graficar:
𝐴 = N1 (1), entorno incluido, centrado en 1 y de radio 1.
o
𝐵 = N3 (−2), entorno no incluido, centrado en −2 y de radio 3.
𝐶 = N4 (2), entorno incluido, centrado en 2 y de radio 4.
Con base en estas representaciones, el conjunto intersección 𝐴 ∩ 𝐵 sería el intervalo abierto (0, 1). Por lo
tanto, el conjunto 𝑀, quedaría definido como:
𝑀 = (−2,0] ∪ [1, 6)
Rúbrica:
Grafica en forma correcta cada uno de los entornos (1 punto cada uno).
Determina correctamente el conjunto 𝑀.
3 Puntos
1 Punto