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I.
INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1
II.
DESCRIPCIÒN Y ANÁLISIS DEL FENÒMENO ESTUDIADO ...................... 6
Ecuaciones Lineales y cuadráticas ................................................................... 6
ECUACION LINEAL: ......................................................................................... 6
ECUACIONES CUADRATICAS: ....................................................................... 7
EJERCICIOS DE APLICACIÓN .................................................................... 7
III. CONCLUSIONES........................................................................................ 10
IV. REFERENCIAS ........................................................................................... 11
I. INTRODUCCIÓN
En este estudio de caso este grupo de estudiantes busca profundizar el
conocimiento y hacer una investigación mas profunda sobre las inecuaciones,
logrando así la comprensión de este tema y la posibilidad de que este documento
sirva a muchas personas mas para entender esta pequeña parte de las
matemáticas, se ha visto necesario de igual manera la compresión de la
inecuaciones por la posibilidad y la necesidad de poder aplicar en el desempeño
ante la administración de una empresa, por lo tanto, nosotros siendo estudiantes
de administración, creemos que el conocimiento de este nos ayudara bastante en
nuestro futuro, en nuestra vida profesional, cuando trabajemos para una
organización o cuando tengamos nuestra propia organización.
Las inecuaciones le pueden causar confusión a mas de uno, y esto se puede deber
a muchos motivos, tal vez, la manera en que se enseña es muy antigua y bueno
no quiere decir que lo viejo sea malo solo que siempre se debe estar en constante
innovación y tal vez exista maneras de llagar a los estudiantes de una manera
más comprensible; la manera en la que se introduce al tema puede ser muy
acelerada, esto tal vez no sea un problema para mucho, pero para otro si, ya que
todos tenemos diferentes ritmos de aprendizaje, y si se enseña un tema muy
aceleradamente puede servir de obstáculo para que talvez el estudiante sienta
fatiga por no comprender el tema; pueden existir mas motivos que tal vez ya no
dependan del que proporciona la enseñanza, pero hemos hecho un esfuerzo por
tratar de presentar las investigaciones hechas por nosotros en este estudio, sean
de fácil comprensión para que cualquier persona que se proponga a leer este
documento termine entendiendo este tema.
A pesar de que nosotros somos estudiantes de la carrera de administración, este
estudio no se enfoca a las inecuaciones aplicadas a los negocios, si no que se
enfoca a poder explicar las bases de este tema, para luego ya poder entender su
uso en las organizaciones y otros escenarios.
Seguro que ya habrán notado que la palabra “inecuación” proviene o se forma a
partir de la palabra “ecuación”, y pues esto no es mera coincidencia, tienes un
porque, si nos fijamos a “ecuación” solo se le agrega el sufijo “in”, lo cual nos
quieres decir que es una especie de opuesto a las ecuaciones. Para poder
entenderlo mejor recordemos qué es una ecuación, resumiendo: una ecuación es
una igualdad entre dos expresiones matemáticas:
EXPRESIÓN1 = EXPRESIÓN2
En primera instancia simple, ¿No?; pues si una ecuación es una igualdad,
sabiendo que una inecuación es un opuesto, podríamos decir que una inecuación
es una desigualdad entre *insertar la cantidad de expresiones con las que se
puedes realizar inecuaciones* expresiones matemáticas, y bueno a pesar de
haber mencionado que son alguna clase de opuestos, los pasos para llegar a
solucionar ya sea una ecuación o una inecuación tienden a ser las mismas:
Erradicar todos los signos de agrupación, comenzando por los más internos.
Simplificar la expresión con el m.c.m. sí es una fracción.
Reducir los términos semejantes en cada miembro si hubiese.
Agrupar los términos lineales a un lado de la inecuación y los términos
independientes al otro.
Despejar la incógnita.
Comprobar
Es una igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación de primer grado
en una variable es una ecuación en la que aparece una variable elevada al
exponente uno. A estas ecuaciones también se le conocen como ecuaciones
lineales en una variable. La variable puede aparecer por más de una ocasión, por
ejemplo, en la ecuación 5n – 3 = 3n + 1 es una ecuación de primer grado en una
variable. Observa que la variable n aparece dos veces, pero ambas elevadas al
exponente uno. Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x +
1 = 16; 2(x + 1) – 3 = x + 5.
Resolver una ecuación de primer grado en una variable consiste en hallar el valor
de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como la
solución o la raíz de la ecuación. Por ejemplo, ¿es 2 una solución de la ecuación
5n – 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuación observamos
que es cierta la igualdad:
5(2) – 3 = 3(2) + 1
10 – 3 = 6 + 1
7 = 7 Cierto
Lo que hacemos para resolver una ecuación de primer grado en una variable es
despejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuación y escribir las
constantes (los números) al otro lado de la ecuación usando las propiedades
correspondientes:
1.
Si a = b, entonces a + c = b + c y a – c = b – c.
2.
Si a = b y c ≠0
Ecuaciones lineales Una ecuación es lineal, si las expresiones a ambos lados del
signo de igualdad son polinomios de grado 1 o 0, donde por lo menos uno de ellos
es de grado 1. Ejemplos: grado 1 grado 0 grado 0 grado 1 grado 1 grado 1 2x + 3
= 8 -4 = 6(2x – 5) + 3.
Solución de una ecuación lineal La solución de una ecuación, es el valor que se
le asigna a la variable para que ambos lados de la ecuación sean equivalentes.
Decimos que este valor satisface la ecuación. La solución de ecuación lineal es
única.
Ejemplo 1: Determine si x = 2 es solución de: 4x – 1 = 6x + 2 Sustituimos 2 en la
x y tenemos: 4(2) – 1 = 6(2) + 2 8 -1 = 12 + 2 7 = 14 falso. Concluimos que x=2
NO es solución de la ecuación 4x – 1 = 6x + 2.
¿Cómo resolvemos una ecuación lineal?
El signo de igualdad nos indica que existe un balance entre dos expresiones; o
sea que son equivalentes. Para mantener ese balance, si aplicamos alguna
operación matemática a un lado de la ecuación, hay que aplicar la misma
operación al otro lado de la ecuación.
¿Cómo resolvemos una ecuación lineal?
Para resolver una ecuación, tenemos que transformar la ecuación original en una
equivalente, pero más sencilla.
• Lo más sencillo que puede estar una ecuación es con la variable sola en un lado
y un valor en el otro.
• Para crear una ecuación equivalente pero más sencilla, podemos sumar, restar,
multiplicar o dividir por cualquier número distinto de cero, en ambos lados de la
ecuación.
Solución de una ecuación lineal
Ejemplo 2: Determine si x = -1 es solución de: 3x – 1 = 6x + 2 Sustituimos -1 en
la x y tenemos: 3(-1) – 1 = 6(-1) + 2 -3 -1 = -6 + 2 -4 = -4 cierto
Por lo tanto, concluimos que x = -1 SÍ es solución de la ecuación 3x – 1 = 6x + 2.
Resolver: 2x – 3 = 7, Sumar 3 entre ambos lados y dividir 2 en ambos lados.
2x – 3 + 3 = 7 + 3
2x + 0 = 10
2x = 10
2/ 2 = 10 /2 x=5
Esta es equivalente a la primera, pero más sencilla. Ahora sabemos cuál es la
solución. Verificando: 2x – 3 = 7
2(5) – 3 = 7
10 – 3 = 7
7 = 7 cierto
ECUACIÓN CUADRATICA Y APLICACIÓN
Ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma
general de tales ecuaciones en la variable x es
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son constantes.
Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:
En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 +
bx + c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde la
gráfica cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales
distintas. Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la
gráfica no cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante
es negativo y las raíces son dos números complejos conjugados.
II. DESCRIPCIÒN Y ANÁLISIS DEL FENÒMENO
ESTUDIADO
Ecuaciones Lineales y cuadráticas
En Matemáticas, cuando hablamos de analizar una ecuación nos referimos a
estudiarla usando herramientas algebraicas que nos permitan determinar
fundamentalmente cuatro aspectos: Sus intersecciones con los ejes coordenados.
Sus simetrías con respecto a los ejes coordenados teniendo en cuenta que
cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo
igual (=).
Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de
los monomios. Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de
diferente tenor.
ECUACION LINEAL:
En particular, cuando se enseñan los sistemas de ecuaciones lineales (SEL), no
se enfatiza adecuadamente la resolución de problemas relacionados con este
objeto matemático y por consiguiente no se está contribuyendo a que los
estudiantes exploren y consoliden sus conocimientos, lo cual ayudaría al
desarrollo del pensamiento matemático Esta investigación, refuerza nuestra
preocupación sobre la manera como se está enseñando a resolver problemas con
sistemas de ecuaciones lineales y sobre las dificultades que tienen los alumnos
en el cambio de registros, y nos induce a orientar nuestro trabajo en la búsqueda
de mejorar esta situación que nos sirven para resolver diversos problemas, desde
los que se presentan en nuestra vida diaria hasta problemas que se presentan en
ingeniería, física, matemáticas, economía y otras ciencias.
ECUACIONES CUADRATICAS:
Su uso está en toda nuestra vida diaria; Las ecuaciones cuadráticas ofrecen
herramientas poderosas, y tienen una variedad de aplicaciones en la física, la
ingeniería y el diseño. Las ecuaciones cuadráticas se utilizan para calcular el área
de figuras geométricas como rectángulos, círculos y triángulos que permiten la
interpretación de modelos matemáticos para la resolución de una finalidad de
situaciones que contenga el mismo caso, es decir resolver a partir de encontrar
una variable, una de sus aplicaciones de mayor complejidad en la economía sobre
ingresos e ingresos de productibilidad.
Una de las reglas para resolver las ecuaciones cuadráticas ósea de segundo
grado completas se utiliza la siguiente fórmula. Cuando >0, es decir, si b 2– 4ac
es positivo, hay dos soluciones reales y distintas. Si = 0, es decir, si b 2– 4ac es
cero, tiene una solución. Si <0, es decir, si b 2– 4ac es negativo, no tiene solución.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
1.
x2 – x 0
{X ≤ 0
X-1≥0
{X≥0
X-1≤0
{X≤0
X≥1
{X≥0
X≤1
C.S .{ 0 ≤ x ≤ 1}
2.
x2 – 1 0
X² - 1 ≤ 0
{x-1≤0
x+ 1 ≥ 0
{ x -1≥ 0
x+ 1 ≤ 0
{x ≤ 1
x ≥ -1
{x≥1
x ≤-1
C.S.{ -1≤ x ≤ 1}
3.
x2 – x – 6 0
x
-3
x
+2
(x-3)(x+2)≤0
4.
2x2 + 13x + 15 0
(x+5) (2x+3) 0
x+5 0
2x + 3 0
X+50
2x+3 0
x -5
x -3/2
x-5
x - 3/2
x-5
x-5o
x - 3/2
5.
7.
9.
x2 + 3x + 15 < 0
x2 + 3x + 15 < 0
x€ø
6.
8.
(x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2
2
𝑥 + 25
≤ 𝑥2
+ 16
+ 𝑥2
−9
−𝑥 2
+ 8𝑥
≤0
−𝑥(𝑥
− 8)
≤0
(−𝑥(𝑥 − 8))(−1) ≥ 0 ⋅ (−1)
𝑥(𝑥
− 8)
≥0
𝑥 ≤ 0; 𝑥
≥8
2x2 + 25 x ( x + 10 )
〖2x〗^2+25≤x^2+10x
10.
m2 + m – 2 > 0
m
+2
m
-1
[m+2] [m-1] > 0
m+2=0
m–1=0
m=-2
m=1
C.S = <-∞;-2> ∩ <1;+∞>
x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)
𝑥 2 − 2𝑥
< 2𝑥 + 12
𝑥 2 − 4𝑥
− 12 < 0
(𝑥 + 2)(𝑥
− 6) < 0
−2 < 𝑥
<6
𝑥 > −2; 𝑥
<6
1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1)
1 – 2x (x + 5)2 – 2x – 2
𝑥 2 -10x+25≤0
x - 5
x - 5
(x-5)(x-5)≤0
1 x2 + 10x + 25 – 2
1 x2 + 10x + 23
1 - x2 - 10x – 23 0
- 22 - x2 - 10x 0
- x2 - 10x – 22 0
- x2 - 10x – 22 0
X1 = - 5 +
√3
X2 = - 5 √3
C.S = <-∞, 5 + √3] U [5 - √3, + ∞>
1
III. CONCLUSIONES
Al igual que con las ecuaciones lineales y sus axiomas, las inecuaciones
lineales tienen sus propiedades las cuales son suficientes para la
resolución de ellas.
Tener cierto cuidado al intentar solucionar alguna, pues los signos de
desigualdad pueden variar.
Un tema relativamente sencillo, como es el de inecuaciones, genera
dificultades que son difíciles de superar para la adquisición de otros
conceptos asociados al mismo, como es el caso, justamente del concepto
de límite funcional, razón que justifica el presente trabajo.
A partir de la utilización de la teoría APOE, se pone énfasis en la necesidad
de proponer actividades basadas en el esquema de inecuación, que
involucren la interpretación y las resoluciones tanto algebraicas como
gráficas. Así mismo se concluye que el esquema de función es
imprescindible para el entendimiento de inecuación dada las conexiones
entre ambos conceptos.
Se debería revisar la metodología de enseñanza de inecuaciones, tratando
de entender las construcciones mentales de los estudiantes para realizar
una descomposición genética lo más acabada posible del concepto.
Las actividades a ser desarrolladas deben ser diseñadas en distintos
contextos y con el control de variables didácticas que permitan la aparición
de obstáculos para su tratamiento.
Los estudiantes se motivan con actividades que les resultan desafiantes y
se comprometen con las que requieren cambios de registros de
representación semiótica.
Es importante concientizar a la comunidad docente universitaria, sobre la
necesidad del tratamiento del que debe ser objeto el tema en cuestión.
IV. REFERENCIAS
diear23 • 27 de Noviembre de 2016 • Documentos de Investigación
ECUACIÓN DE UNA VARIABLE. - Documentos de Investigación - diear23
(clubensayos.com)
Juan Bravo Quispe
https://sites.google.com/site/desarrollomate1g4/temas
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 02/18/2020
http://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/mate3171/Unidad_2/Lecci%F3n%202.2%20I
necuaciones%20con%201%20variable.pdf