ESTADÍSTICA PARA ECONOMISTAS – MA175 Taller 2 Ciclo 2022-1 SOLUCIÓN TEMAS: -INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y PROPORCION -PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA, PROPORCION Y VARIANZA Caso: SMART FIT SMART FIT PERU S.A. es la mayor cadena de gimnasios de Latinoamérica y tienen el propósito de ofrecer fitness de alta calidad para todos sus afiliados, en un ambiente cómodo, seguro y con la mejor tecnología para potenciar su entrenamiento. El área de mantenimiento ha presentado alto número de incidencia en fallas de máquinas trotadoras. Por tal se desea evaluar si las maquinas cumplen con los estándares indicados por el proveedor o si es que deben solicitar el cambio del lote entregado a la sucursal. El gerente de mantenimiento quien tiene como principal responsabilidad mantener los equipos en buen estado, decide seleccionar al azar una muestra de 50 máquinas provenientes de 3 sedes y encontró que el tiempo promedio de uso de las maquinas antes de reportarla como falla es de 1500 horas y con una desviación estándar de 100 horas. Así mismo se decide complementar el estudio con una encuesta realizada a 100 clientes pertenecientes a las tres sedes, obteniéndose que el 12% del total de clientes reportaron una avería en los últimos 3 meses. Objetivo: Analizar si se deberá devolver el lote de máquinas trotadoras al proveedor por presencia de fallas. El lote será devuelto si presenta al menos alguna de las siguientes condiciones se cumple. Si el promedio de tiempo de uso de las maquinas es inferior a 1800 horas. Si el porcentaje de clientes que usaron y reportaron avería en las maquinas en los últimos 3 meses es mayor a 14%. Determinar qué decisión debe de tomar el gerente. Use un nivel de confianza de 95% Interpretación: Determinar si el gerente debe devolver el lote de máquinas trotadoras al proveedor por presencia de fallas. Representación: Variables: V1: Tiempo de uso de las maquinas antes de un mantenimiento (horas) V2: Presencia de avería en la maquina trotadora Herramientas: Intervalo de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción Cálculo: Condición 1: Intervalo de confianza para la media 𝑠 𝑠 𝑥̅ − 𝑡(𝛼,𝑛−1) ≤ µ ≤ 𝑥̅ + 𝑡(𝛼,𝑛−1) ⏟2 ⏟2 √𝑛 √𝑛 𝐸 𝑥̅ = 1500 𝑠 = 100 𝑛 = 50 𝛼 = 0.05 ⇒ 𝐸 𝛼 = 0.025 2 1500 − 𝑡(0.025, 100 49) 1500 − 2.0096 √50 100 ≤ µ ≤ 1500 + 𝑡(0.025, 100 49) √50 100 ≤ µ ≤ 1500 + 2.0096 √50 √50 1500 − 28.4200 ≤ µ ≤ 1500 + 28.4200 1471.58 ≤ µ ≤ 1528.42 ⇒ 𝐼𝐶95% (µ) = [1471.58 ; 1528.42] Condición 2: Intervalo de confianza para la proporción 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑝̂ − 𝑍(1−𝛼) √ ≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍(1−𝛼) √ 𝑛 𝑛 2 2 𝑝̂ = 0.12 𝛼 = 0.05 ⇒ 1 − 𝑛 = 100 𝛼 = 1 − 0.025 = 0.975 2 0.12(1 − 0.12) 0.12(1 − 0.12) 0.12 − 𝑍(0.975) √ ≤ 𝑝 ≤ 0.12 + 𝑍(0.975) √ 100 100 0.12 − 1.96 × √ 0.12(1 − 0.12) 0.12(1 − 0.12) ≤ 𝑝 ≤ 0.12 + 1.96 × √ 100 100 0.12 − 0.0637 ≤ 𝑝 ≤ 0.12 + 0.0637 0.0563 ≤ 𝑝 ≤ 0.1837 ⇒ 𝐼𝐶95% (𝑝) = [0.0563 ; 0.1837] Análisis: Condición 1: Existe un 95% de confianza que el valor promedio del tiempo de duración de las maquinas antes de un mantenimiento se encuentra entre 1471.58 y 1528.42 horas. Se determina que el promedio de tiempo del uso de las maquinas es inferior a 1800 horas. Condición 2: Existe un 95% de confianza que la proporción de clientes que ha reportado insatisfechas con las maquinas corredoras que se encuentran entre 0.0825 y 0.1525 ( 8.25% y 15.25%). No se puede determinar que el porcentaje de clientes que usaron y reportaron avería en las maquinas en los últimos 3 meses es mayor a 14%. Argumentación: Por lo tanto, se recomienda que el gerente debe solicitar el cambio del lote de máquinas trotadoras al proveedor. Debido al cumplimiento de la primera condición enunciada “Si el promedio de tiempo de uso de las maquinas es inferior a 1800 horas”. Caso 2: WISH Wish es el App que se ha convertido actualmente en el fenómeno de compras por internet; es una de las más grandes plataformas de comercio electrónico que pone en contacto a compradores de todo el mundo con cientos de vendedores y proveedores de China. Tiene millones de productos a disposición, a precios inmejorables y a tan sólo “un clic” de distancia. Con la finalidad de obtener información relevante de sus clientes, la empresa de investigación de mercados Datamax S.A. realizó un estudio denominado “Comportamiento del comprador peruano online 2019”. Para ello, seleccionó aleatoriamente a 248 clientes de Wish que realizaron compras online en el último mes desde las ciudades de Lima y Arequipa. Algunas de las variables que se usaron para el estudio son: Monto de compra: monto de consumo de la última compra, en soles. Tipo de producto: categoría a la que pertenece el producto que solicitó en su última compra (deporte, hogar, moda y tecnología) Lugar de procedencia: procedencia del cliente (Lima, Arequipa e Iquitos). Objetivo: Analizar si será relevante ejecutar el proyecto “Cyber imperdibles hasta 72% de descuentos” Con la finalidad de promocionar algunos de los productos menos solicitados los ejecutivos de Wish, se encuentran en la incertidumbre de ejecutar el proyecto “Cyber imperdibles hasta el 72% de descuentos”, para sus clientes de las ciudades de Lima y Arequipa; por ello luego de reunirse llegaron a la conclusión de que ejecutaran dicho proyecto, de cumplirse las dos condiciones siguientes: Si el porcentaje de clientes que compran productos de hogar de las ciudades mencionadas es menor al 38%. Si el monto promedio realizado en la última compra de los clientes de las ciudades de Lima y Arequipa es mayor a 2100 soles. A un nivel de significación del 2% ¿Cuál sería su recomendación a los ejecutivos de Wish con respecto a la ejecución de proyecto? Distribución de clientes de Lima y Arequipa según tipo de Producto Tipo de Producto Deporte Hogar Moda Tecnología Total general Cantidad de Clientes 19 50 137 42 248 Frecuencia(%) 7.66% 20.16% 55.24% 16.94% 100.00% Promedio y desviación estándar de compra según tipo de Producto Interpretación: Determinar si los ejecutivos de Wish ejecutaran el proyecto “Cyber imperdibles hasta 72% de descuentos”. Representación: Variables: V1: Tipo de producto V2: Monto de compra (en soles) Herramientas: Prueba de hipótesis para la proporción Prueba hipótesis de un parámetro para la media Condición 1: Condición 2: Ho: P ≥ 0.38 Ho: µ ≤ 2100 H1: P < 0.38 H1: µ > 2100 α = 0.02 α = 0.02 Cálculo: 𝑝̂ = 50 = 0.2016 248 𝑥̅ = 2295.656 𝜇0 = 2100 𝑆 = 1259.307 𝑛 = 248 𝑝0 = 0.38 𝑛 = 248 Estadístico de prueba: 𝑝̂ −𝑝𝑜 Zcal = 𝑝 ×(1−𝑝0) √ 0 Estadístico de prueba: 𝑥̅ −µ Tcal = 𝑆 0 √𝑛 𝑛 0.202−0.38 Zcal = 0.38×(1−0.38) 248 = −5.788 √ Tcal = 2295.656 − 2100 = 2.447 1259.307 √248 Análisis: Valor crítico: Z(𝛼) = Z (0.02) = -2.05 Valor crítico: T(𝛼; 𝑛 − 1)=T (0.02; 248-1) = 2.054 Como Zcal < Z (0.02) Como Tcal > T (0.02,247) Decisión: Se Rechaza Ho = Se Afirmar H1 Conclusión: A un nivel de significación del 2%, hay evidencia estadística suficiente para afirmar que menos del 38% de los clientes de las ciudades de Lima y Arequipa compran productos de hogar. Decisión: Se Rechaza Ho = Se Afirmar H1 Conclusión: A un nivel de significación del 2%, hay evidencia estadística suficiente para afirmar que el monto promedio de la compra de los clientes de Lima y Arequipa es mayor que 2100 soles. Argumentación: Por lo tanto, se recomienda a los ejecutivos de Wish que ejecuten el proyecto “Cyber imperdibles hasta el 72% de descuentos”, porque se cumplieron las dos condiciones. Repaso para la prueba de hipótesis para la varianza: Se desea verificar la siguiente hipótesis respecto a la varianza: Ho: 𝜎 2 ≤ 120 H1: 𝜎 2 > 120 Se ha seleccionan una muestra en forma aleatoria, obteniendo los siguientes resultados: 𝑋̅ 187 n 51 S 12 Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede afirmar que la varianza es mayor a 120? Solución: 𝛼 = 0.05 𝑛 = 51 𝑆 2 = 144 𝜎02 = 120 Estadístico de prueba 2 𝜒𝑐𝑎𝑙 = (𝑛 − 1)𝑆 2 𝜎02 = 50 × 144 = 60 120 Calculemos el valor critico 2 2 𝜒𝐶𝑟𝑖𝑡 = 𝜒(𝛼, 𝑛−1) 2 = 𝜒(0.05, 50) = 67.505 Decisión estadística: No se rechaza H0 = No se afirmar H1 Conclusión: Con un nivel de significancia del 5%, no se tiene evidencia estadística suficiente para afirmar que la varianza es mayor que 120.