364879303-MATRICES-Informe-de-Investigacion

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
PROGRAMACION 2
ASIGNATURA:
SEMESTRE – PARALELO:
Programación 2
2do – 3ro
Ing. José Ramiro Pilaluisa Q.
M.Sc.
Octubre 2017 – Marzo 2018
PROFESOR:
PERÍODO ACADÉMICO:
INFORME DE INVESTIGACIÓN
TÍTULO:
MATRICES
FECHA DE ENTREGA: MIÉRCOLES, 15 DE NOVIEMBRE DE 2017
MIEMBROS DEL GRUPO
-
G2
 ASIMBAYA CANDO MICHELLE ALEXANDRA
100%
 CARLOSAMA CARDENAS ALVARO YERANDI
100%
 CÓNDOR TORRES GUSTAVO MATEO
100%
 GALLEGOS CASTRO ÁLVARO FACUNDO.
100%
 PEPINÓS ALMEIDA JOSELYN CAROLINA
100%
Programación 2
Matrices
1 Resumen
Las matrices es una tabla ordenada de números, la cual consta de una cantidad n de
columnas y filas, está compuesta por diagonales, dimensión o tamaño, rango de una matriz y a su
vez se clasifica en varios tipos de matrices, las cuales se emplea usualmente en el cálculo lineal
para resolver sistemas de ecuación lineales.
Se puede realizar operaciones entre matrices, como son la suma, resta, multiplicación,
división, entre otras. Para realizar estas operaciones se debe tomar en consideración que existen
ciertos parámetros, ya que al realizar una suma o resta es importante que sean matrices
equivalentes es decir, que mantenga el mismo número de filas y columnas para poder combinar
los valores, mientras que para la multiplicación dadas dos matrices A y B, es necesario que el
número de columnas de A sea igual al número de filas B, a su vez las filas de A por las columnas
de B, determinan la dimensión de la matriz que se obtendrá del producto realizado entre las
matrices. Mientras que, para operar las matrices transpuestas, no es necesario ningún calculo, ya
que se cambia ordenadamente las filas por columnas y viceversa.
2 Introducción
Este informe de investigación está destinado a explicar el tema referente a matrices y las
operaciones entre estas, también nos hemos centrado a explicar cómo está constituida una matriz,
sus propiedades, tipos de matrices existentes y por último su nomenclatura ya que dicha
información es indispensable antes de empezar a realizar operaciones básicas entre matrices.
Se verá detalladamente como realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y
transpuesta ya que para cada una de estas las matrices deben presentar ciertos requisitos para
poder hacer factible la operación.
El presente trabajo de investigación muestra la importancia de las matrices y como estas nos
facilitan el cálculo en los diferentes campos como matemáticas, informática, estadística,
programación, etc. Claramente podemos evidenciar que las matrices son muy usadas esto se debe
a que es una forma resumida o corta de hacer operaciones que nos llevarían mucho tiempo
realizarlas.
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1
Programación 2
Matrices
3 Materiales y Métodos
Los materiales utilizados en el presente informe de investigación son: computadoras con
internet mediante las cuales se consultó toda la teoría necesaria sobre matrices y sus operaciones,
así como del programa Visual Basic el cual permite crear una aplicación en la cual se apliquen
todos los conceptos investigados.
Para este informe la metodología utilizada fue la creación de una aplicación en Visual Basic en la
cual se puedan aplicar las fórmulas para realizar las diferentes operaciones con matrices tales
como suma, resta, producto o matriz transpuesta.
4 Resultados
MATRICES
Una matriz es una estructura de datos, o más técnicamente, un espacio de memoria que
permite almacenar una colección de elementos, todos del mismo tipo. La diferencia con los
arreglos está en que, en las matrices, los elementos no están organizados linealmente, sino que su
organización es bidimensional, es decir, en filas y 0
columnas. Conviene imaginar una matriz como una 1
2
organización de celdas de memoria, o casillas, en cada 3
una de las cuales se puede guardar un elemento de la
1
2
3
4
5
colección. Además, es usual dibujarla como lo ilustra la
figura. En estas matrices se puede realizar distintas operaciones entre ellas como son:
4.1 Suma
La suma de matrices es la operación de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma
posición.
4.2 Resta
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que
sumarle a la primera la opuesta de la segunda:
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2
Programación 2
4.3
Matrices
Multiplicación
La multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre
dos matrices, al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir,
viene dada por un algoritmo, por lo que la manera de resolución diferente a la multiplicación
entre dos números. Entre sus características, se destacan que dabas una matriz A y B, el número
de columnas de A sea igual al número de filas de B, de modo que (p = p), mientras que (m x q)
determinan el número de columnas y filas de la matriz.
Como también la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad conmutativa.
4.4 Transpuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
5 Discusión
La investigación realizada es muy completa comparada con otros documentos de la web ya que
en esta se explica cómo realizar las operaciones con matrices de una manera sencilla y entendible
al lector. Debido aquello estamos de acuerdo con los resultados obtenidos ya que la investigación
de Matrices resultó ser muy didáctica para poder adquirir los conocimientos de operaciones con
matrices (suma, resta y multiplicación) de una forma fácil, así como también de otros temas
abarcados como la matriz transpuesta, tipos de matrices, entre otros, que son expuestas de igual
manera para un entendimiento eficaz del lector.
6 Conclusiones
 Mediante el uso de matrices se puede resolver sistemas de ecuaciones lineales, cabe
resaltar que con de gran uso en el campo de la ingeniería con la optimización de procesos
extensos de resolver manualmente.
 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices resulta interesante al
limitarse a operaciones elementales de las matemáticas y al razonamiento lógico.
 Es importante la manera de razonamiento que se lleva a cabo en la resolución del
problema hay que tomar en cuenta que la jerarquía de operaciones entre las mismas
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3
Programación 2
Matrices
7 Recomendaciones
 El emplear matrices como resolución de un problema hace que el usuario conforme una
destreza de análisis en el mismo ya que depende del análisis a realzar si la respuesta
obtenida es correcta o se deberá plantear de forma distinta.
 Las matrices hacen que el proceso de resolución sea más corto y podamos obtener
respuestas directas a través de operaciones básicas de la matemática.
 Hay que tomar en cuenta los criterios básicos de las operaciones entre matrices y los
parámetros de sus dimensiones para el correcto uso de las mismas.
8 Referencias
I.
II.
Robles, J. (2013): Álgebra de matrices: Recuperado de:
http://ekoavy.blogspot.com/p/algebra-de-matrices.html
Zambrano, B. (2012): Suma y resta de matrices. Recuperado de:
III.
https://www.sectormatematica.cl/contenidos/matsyr.htm
Núñez, S. (2011): Matrices: suma, resta y multiplicación: Recuperado de:
IV.
http://vitual.lat/matrices-suma-resta-y-multiplicacion-por-un-escalar/
García, S. (2010): Producto de matrices: Recuperado de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3
V.
/prodmatr.htm
Gómez, M. (2005): Producto de matrices: Recuperado de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/markov_mbgr/produc
VI.
VII.
VIII.
IX.
todematrices.htm
Rodríguez, L. (2010): Matriz transpuesta. Recuperado de:
http://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-traspuesta.html
Maroto, C. (2014): Matriz transpuestas. Recuperado de:
https://campusdematematicas.com/algebra-lineal/matriz-transpuesta/
Santos, E. (2010): Tipos de matrices y operaciones. Recuperado de:
http://www.vadenumeros.es/segundo/tipos-y-producto-de-matrices.htm
Rodríguez, L. (2010): Ejemplos de matrices. Recuperado de:
http://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matrices.html
9 Anexos
MATRICES
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4
Programación 2
Matrices
Se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de (n×m) elementos de X, dispuestos
en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del
conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X
puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc.
En general, para representar una matriz A de orden (n×m) se escribe
9.1
Elementos de las matrices
9.1.1
Filas de una matriz
Se denomina fila de una matriz a cada una de las líneas horizontales que tiene una matriz.
Al conjunto de valores de una fila se le llama Vector Fila o Vector Renglón y tiene dimensiones
(1 x n).
9.1.2
Columnas de una matriz
Se denomina columna de una matriz a cada una de las líneas verticales que tiene una matriz.
Al conjunto de valores de unas columnas se le llama Vector Columna y tiene dimensiones mx1.
9.1.3
Diagonal principal
La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que van desde la
esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha:
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5
Programación 2
Matrices
Sea Anxn = aij → aij pertenece a la diagonal principal si i= j, esto es: a11, a22, a33, ..., ann
9.1.4
Diagonal secundaria
La Diagonal Secundaria de una Matriz cuadrada (también llamada Antidiagonal de
una Matriz) es el conjunto de elementos que van desde la esquina superior derecha a la esquina
inferior izquierda:
Sea Anxn = aij → aij pertenece a la diagonal secundaria si i + j = n+1, esto es: a1,n a2,n-1 a3,n2
... an,1
9.1.5
Dimensión de una matriz
Se llama Dimensión de una Matriz al número de filas y columnas de la matriz. Se representa con
subíndices Amxn donde m es es el número de filas y n el número de columnas:
9.1.6
Orden de una matriz
Se llama Orden de una Matriz al menor entre el número de filas y columnas que tiene una
matriz.
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6
Programación 2
Matrices
Sea la siguiente matriz de m filas y n columnas (Amxn):
El orden de la matriz es el mínimo entre m y n = min(m, n)
9.2
9.2.1
Operaciones con matrices
Suma de matrices
La suma de matrices es la operación de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma
posición.
Si las matrices
tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
9.2.1.1 Demostración matemática
A+ B=C
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7
Programación 2
Matrices
9.2.1.2 Propiedades
I.
Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
II.
Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
III.
Elemento neutro
A+0=A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
IV.
Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
V.
Conmutativa
A+B=B+A
9.2.1.2.1 Ejemplo
A+ B=C
 1
 3

A   4

 8
 7
2
3
9
9
2
8
2
8
4
6
2
9
4
5
5
 1  ( 9 )
 3 1

A  B   4  (3)

 88
 7  (2)
27
3 4
97
93
8 1
93
24
8 6
48
62
45
57
28
24
5  (8)
 8
 4

C   7

 16
 5
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 9
 1

B   3

 8
 2
6 
 7 
3 

 5
6 
9
1
2
12
6
2
10
9
12
4
6
12
9
12
3
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7
4
3
4
6
8
1
8
2
4
 1
3
5 
5
2 

7  1
 8  6
7
6  (1) 
 7  5 
3 2   C

 5  (1) 
6  (6) 
5 
 2
5 

 6
0 
8
Programación 2
Matrices
9.2.1.3 Programación en Excel
Para sumar matrices no podemos usar la función SUMA, lo que tendremos que hacer, será
seleccionar la dimensión de la matriz resultante de la suma e introducir una fórmula de este tipo:
=Matriz1 + Matriz2
Y pulsar el INTRO de las operaciones matriciales CTRL+SHIFT+INTRO.
9.2.2
Resta de matrices
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que
sumarle a la primera la opuesta de la segunda:
Dadas dos matrices
matriz
y
de dimensión
, la matriz
de la misma dimensión, de modo que cada elemento
obtiene como:
es otra
de la matriz , se
.
9.2.2.1 Demostración matemática
A–B= C
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9
Programación 2
Matrices
9.2.2.2 Propiedades
I.
Matrices equivalentes
Para poder restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de
columnas. Caso contrario no se puede efectuar la resta entre las matrices.
Si m = m y n = n
II.
No es Conmutativa
A- B ≠ B –A
III.
No es Asociativa:
(A - B) - C ≠ A - (B - C)
IV.
Elemento simétrico:
A-A= 0
9.2.2.2.1 Ejemplo
A- B= C




A




6
4
3
2
9
8
5
2
5
4
7
5
6
4
9
6
5
3
4
2
1
5
8
6
2
9
3
3
5
8
 69
 8  15

 5  13
AB  
 6  ( 7 )
 58

 3  1
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6 
3 
8 

6 
6 

4 
 9
 15

 13
B
 7
 8

 1
8
10
8
9
8
9
8
6
5
2
12
9
8
7
8
2
3
3
12
7
8
11
7
2
48
3  10
28
9  (9)
28
48
55
4  12
5  (9)
76
62
9  (9)
48
52
2  12
 3  11
27
83
97
5  (7)
 1  (8)
63
38
8 2
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6 
5 
 5

8 
6 

10 
66 
3  5 
8  (5) 
C
68 
66 

4  10 
10
Programación 2
Matrices
 3
7

 8
C
 13
 3

 2
4
 10
14
4
7
 12
 13
3
6
0
4
 10
18
8
18
 14
5
7
5
3
 16
5
12
 10
0 
 2 
13 

2
0 

 6 
9.2.2.3 Programación en Excel
Para restar matrices no podemos usar la función RESTA, lo que tendremos que hacer, será
seleccionar la dimensión de la matriz resultante de la suma e introducir una fórmula de este tipo:
=Matriz1 - Matriz2
Y pulsar el INTRO de las operaciones matriciales CTRL+SHIFT+INTRO.
9.2.3
Multiplicación entre matrices
La multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre
dos matrices. Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir,
viene dada por un algoritmo. La multiplicación matricial es diferente del que resuelve la
multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no
cumple con la propiedad de conmutatividad.
9.2.3.1 Demostración matemática
A*B= C
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Programación 2
Matrices
9.2.3.2 Propiedades
I.
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
II.
Elemento neutro:
A·I=A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
III.
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
IV.
No es Conmutativa:
A·B≠B·A
9.2.3.2.1 Ejemplo
A*B = C
2
1
3
5

A1
4

5
3
 1 10
3
3
1
2
4
1
3
5
10
5
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7
1 
6

1
5 
2
7

B0

6
 2
3
1
2
10
1
9
3
6
4
2
9
1
2
3
4
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5
11
6

2
0 
12
Programación 2
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Matrices
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13
Programación 2
Matrices
74
94
 48
 61 90
52

C   72 108 97

103 156 78
108 158 118
47
26
49
53
45
51 
82 
71 

114 
121
9.2.3.3 Programación en Excel
Solo podremos multiplicar dos matrices A*B, cuando el número de columnas de A sean iguales
al número de filas de B, el cálculo del producto de dos matrices en Excel se efectúa a través de
la función MMULT.
9.2.4
Matriz transpuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
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Programación 2
Matrices
9.2.4.1 Demostración matemática
9.2.4.2 Propiedades
I.
Transpuesta de la transpuesta
II.
Transpuesta de una Suma
III.
Un número por una transpuesta
IV.
Producto usual
9.2.4.2.1 Ejemplo
 4
 8

 9
A
 4
 7

  3
1
9
8
9
7
2
7
0
9
0
11
8
7
2
10
8
4
9
3
7
9
4
2
7
1 
3 
 2

4 
3 

 5
 4
 1

 9

 8
 9

 1
8
9
4
7
7
0
10
7
3
2
11
8
9
2
7
8
4
4
4
0
7
9
2
3
 3
 9 
2 

3 
7 

 5
9.2.4.3 Programacion en Excel
La traspuesta de una matriz se obtiene al intercambiar filas por columnas. En Excel podemos
transponer de manera sencilla una matriz a través de la función TRANSPONER.
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Programación 2
9.3
9.3.1
Matrices
Tipos de matrices
Matriz Fila
Una Matriz Fila es aquella matriz que está formada únicamente por una fila, conocida como
vector fila:
A = (a1, a2, ... an-1, an)
9.3.1.1 Ejemplos
A = ( -1 8 10)
A = (2 5 3 1)
9.3.2
Matriz Columna
Una Matriz Columna es aquella matriz que está formada únicamente por una columna, también
conocida como vector columna:
9.3.2.1 Ejemplos
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16
Programación 2
9.3.3
Matrices
Matriz Diagonal
Una Matriz Diagonal es aquella matriz cuadrada es aquella en la que todos los elementos que no
estén en la diagonal principal son iguales a 0:
9.3.3.1 Propiedades
A = (aij) es diagonal ⇔ aij = 0 cuando i ≠ j
Las matrices diagonales presentan las siguientes propiedades:

Son matrices cuadradas

Son matrices simétricas
9.3.3.2
9.3.4
Ejemplos
Matriz Nula
Una Matriz Nula o matriz cero es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0.
9.3.4.1 Propiedades

Son simétricas

Son antisimétricas

Son nilpotentes
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Programación 2

Matrices
Son singulares
9.3.4.2 Ejemplos
9.3.5
Matriz Identidad
Una Matriz Identidad (o Unidad) es aquella matriz cuadrada que en la diagonal principal tiene
todos sus valores iguales a 1 y el resto son iguales a 0, se denomina In , donde n es el rango de la
matriz:
9.3.5.1 Propiedades

Son elemento neutro para la multiplicación, es decir, cualquier matriz cuadrada multiplicada
por la matriz identidad (del mismo rango) da como lugar la misma matriz
9.3.5.2 Ejemplos
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18
Programación 2
9.3.6
Matrices
Matriz Escalar
Una Matriz Escalar es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
principal tienen el mismo valor. Considerar que una matriz diagonal es aquella matriz cuadrada
que tiene todos sus valores iguales a cero excepto los de su diagonal principal.
9.3.6.1 Ejemplos
9.3.7
Matriz Cuadrada
Una Matriz Cuadrada es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas:
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19
Programación 2
9.3.8
Matrices
Matriz rectangular
Una Matriz Rectangular es aquella matriz que tiene distinto número de filas que de
columnas. Por otro lado, se denominan matrices cuadradas a aquellas matrices que sí tienen el
mismo número de filas que de columnas.
9.3.8.1 Ejemplos
9.3.9
Matriz triangular
Una Matriz Triangular es aquella matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de la
diagonal principal son iguales a cero.
9.3.9.1 Clasificación
9.3.9.1.1 Matriz Triangular Superior
Aquella matriz cuadrada cuyos valores por debajo de la diagonal principal son todos iguales a 0
9.3.9.1.2 Matriz Triangular Inferior
Aquella matriz cuadrada cuyos valores por encima de la diagonal principal son todos iguales a 0
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Programación 2
9.4
Matrices
Matrices en Visual Basic
MATRICES
Una matriz es un conjunto de valores relacionados lógicamente entre sí, como el número de
estudiantes de cada curso en una escuela primaria.
Una matriz permite hacer referencia a estos valores relacionados mediante un mismo nombre y
utilizar un número, denominado índice o subíndice, para distinguirlos. Los valores individuales
se llaman elementos de la matriz. Son contiguos desde el índice 0 hasta el valor del índice
superior.
A diferencia de una matriz, una variable que contiene un único valor se llama variable escalar.
9.4.1.1 Declarar una matriz
Una variable de matriz se declara de la misma manera que cualquier otra variable mediante la
instrucción Dim. Se agregan uno o más pares de paréntesis a continuación del nombre de la
variable para indicar que es para contener una matriz en vez de una variable escalar (una variable
que contiene un solo valor).
Se deben tener presentes varias cosas cuando se trata con el tamaño de una matriz.
K
El índice de cada dimensión está basado en 0, lo que significa que va desde 0
Longitud de la
hasta su límite superior. Por consiguiente, la longitud de una dimensión
dimensión
determinada supera en 1 al límite superior declarado para esa dimensión.
La longitud de cada dimensión de una matriz está limitada al valor máximo
del tipo de datos Integer que es (2 ^ 31) - 1. No obstante, la memoria
Límites de
disponible en el sistema limita también el tamaño total de una matriz. Si
longitud
intenta inicializar una matriz que supera la cantidad de memoria RAM
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Programación 2
Matrices
disponible, Common Language Runtime produce una
excepción OutOfMemoryException.
Tamaño y
El tamaño de una matriz es independiente del tipo de datos de sus
tamaño de
elementos. El tamaño siempre representa el número total de elementos, no el
elementos
número de bytes que utilizan en el almacenamiento.
No es seguro dar nada por supuesto en lo que respecta al modo de almacenar
una matriz en la memoria. El almacenamiento varía en función de las
plataformas de diferentes anchos de datos, por lo que la misma matriz puede
utilizar más memoria en un sistema de 64 bits que en un sistema de 32
Consumo de
bits. Según la configuración del sistema cuando inicializa una matriz,
memoria
Common Language Runtime (CLR) puede asignar el almacenamiento para
empaquetar los elementos tan juntos como sea posible o para alinearlos todos
en los límites naturales del hardware. Asimismo, una matriz requiere una
sobrecarga de almacenamiento para obtener su información de control y esta
sobrecarga aumenta con cada dimensión agregada.
Tabla de contenido
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Resumen..................................................................................................................................1
Introducción.............................................................................................................................1
Materiales y Métodos..............................................................................................................2
Resultados................................................................................................................................2
4.1
Suma................................................................................................................................2
4.2
Resta................................................................................................................................2
4.3
Multiplicación..................................................................................................................3
4.4
Transpuesta......................................................................................................................3
Discusión.................................................................................................................................3
Conclusiones............................................................................................................................3
Recomendaciones....................................................................................................................4
Referencias..............................................................................................................................4
Anexos.....................................................................................................................................5
9.1
Elementos de las matrices................................................................................................5
9.1.1
Filas de una matriz.....................................................................................................5
9.1.2
Columnas de una matriz............................................................................................5
9.1.3
Diagonal principal.....................................................................................................6
9.1.4
Diagonal secundaria..................................................................................................6
9.1.5
Dimensión de una matriz...........................................................................................6
9.1.6
Orden de una matriz..................................................................................................7
9.2
Operaciones con matrices................................................................................................7
9.2.1
Suma de matrices.......................................................................................................7
9.2.1.1
Demostración matemática..................................................................................7
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Programación 2
Matrices
9.2.1.2
Propiedades........................................................................................................8
9.2.1.2.1 Ejemplo..........................................................................................................8
9.2.1.3
Programación en Excel.......................................................................................9
9.2.2
Resta de matrices.......................................................................................................9
9.2.2.1
Demostración matemática..................................................................................9
9.2.2.2
Propiedades......................................................................................................10
9.2.2.2.1 Ejemplo........................................................................................................10
9.2.2.3
Programación en Excel.....................................................................................11
9.2.3
Multiplicación entre matrices..................................................................................11
9.2.3.1
Demostración matemática................................................................................11
9.2.3.2
Propiedades......................................................................................................12
9.2.3.2.1 Ejemplo........................................................................................................12
9.2.3.3
Programación en Excel.....................................................................................14
9.2.4
Matriz transpuesta....................................................................................................14
9.2.4.1
Demostración matemática................................................................................14
9.2.4.2
Propiedades......................................................................................................15
9.2.4.2.1 Ejemplo........................................................................................................15
9.2.4.3
Programacion en Excel.....................................................................................15
9.3
Tipos de matrices...........................................................................................................16
9.3.1
Matriz Fila...............................................................................................................16
9.3.1.1
Ejemplos...........................................................................................................16
9.3.2
Matriz Columna.......................................................................................................16
9.3.2.1
Ejemplos...........................................................................................................16
9.3.3
Matriz Diagonal.......................................................................................................16
9.3.3.1
Propiedades......................................................................................................17
9.3.3.2
Ejemplos...........................................................................................................17
9.3.4
Matriz Nula..............................................................................................................17
9.3.4.1
Propiedades......................................................................................................17
9.3.4.2
Ejemplos...........................................................................................................17
9.3.5
Matriz Identidad......................................................................................................18
9.3.5.1
Propiedades......................................................................................................18
9.3.5.2
Ejemplos...........................................................................................................18
9.3.6
Matriz Escalar..........................................................................................................18
9.3.6.1
Ejemplos...........................................................................................................19
9.3.7
Matriz Cuadrada......................................................................................................19
9.3.8
Matriz rectangular....................................................................................................19
9.3.8.1
Ejemplos...........................................................................................................19
9.3.9
Matriz triangular......................................................................................................20
9.3.9.1
Clasificación.....................................................................................................20
9.3.9.1.1 Matriz Triangular Superior..........................................................................20
9.3.9.1.2 Matriz Triangular Inferior............................................................................20
9.4
Matrices en Visual Basic...............................................................................................20
9.4.1.1
Declarar una matriz..........................................................................................21
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