“Informe Previo Nro1 de Laboratorio de Control 2” Título: MODELAMIENTO DE PLANTA Y ANÁLISIS DE RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO Y LAZO ABIERTO ” Grupo Nro 5 Autores: Conopuma Damián Roberto Kevin 20142690A - [email protected] Jara Torres Jordy Kevin 20141401F - [email protected] Cabello Corzo Alexander Antonio 20164162H - [email protected] Ghiggo de la Cruz Victor Benjamin 20190128H - [email protected] Matos Malpartida Alexander 20194096C - [email protected] Facultad de Ingeniería Electrica y Electronica-Universidad Nacional de Ingenieríıa Lima, Perú Resumen— El objetivo de este informe previo es obtener un modelo del comportamiento de la planta y posteriormente analizar la respuesta temporal del sistema tanto en lazo abierto como cerrado (para salida y entrada a definir). Index Terms—Palabras claves: modelamiento de planta, análisis de respuesta temporal, sistema en lazo cerrado, sistema en lazo abierto, integral. -Sistemas de control en Calderas. https://www.fenercom.com/wp-content/uploads/2019/10/2 01906-19-Sistemas-de-control-en-calderas-SPIRAXSARCO fenercom.pdf -“Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de los sistemas de control, al aumento en la complejidad del I. OBJETIVOS sistema y a un acceso fácil a las computadoras de gran ● Obtener un modelo del comportamiento de la planta escala, se ha desarrollado la teoría de control moderna, y posteriormente analizar la respuesta temporal que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de del sistema tanto en lazo abierto como cerrado sistemas de control complejos el cual se basa en el (para salida y entrada a definir). concepto de estado.”- Ingeniería de Control Moderna , Katsuhijo Ogata II. INTRODUCCIÓN En el presente laboratorio vamos a estudiar lo que viene a ser el modelamiento de planta y análisis de respuesta temporal del sistema en lazo abierto y lazo cerrado. Para ello presentaremos una breve historia acerca del tema, al igual que un poco del desarrollo teórico para así finalmente poder analizar algunos problemas planteados por el profesor. III. PREGUNTAS DEL INFORME PREVIO III-A. Estado del arte -Modelado y Control en el espacio de estados https://gdocu.upv.es/alfresco/service/api/node/content/wor kspac e/SpacesStore/edea5442-cf02-4018-95e978a7ed411af9/TOC_0503_06_01.pdf?guest=true - Control en espacio de estados para un prototipo real de péndulo invertido http://tangara.uis.edu.co/biblioweb/tesis/2013/150451.pdf III-B. Descubrimiento La historia de la simulación de procesos está fuertemente relacionada con el desarrollo de la informática y del hardware y los lenguajes de programación. Las -“Engineering design is the process of producing a implementaciones sencillas y tempranas de los aspectos set of descriptions of a system that satisfy a set of de los procesos químicos se introdujeron en la década de performance requirements and constraints.” 1970 cuando se disponía de hardware y software Modern Control Systems adecuados (aquí, principalmente, los lenguajes de Analysis and Design Using Matlab, Robert H. programación FORTRAN y C ). El modelado de las Bishop -“Los sistemas de control se pueden representar propiedades químicas comenzó mucho antes, en particular la ecuación cúbica de los estados y la ecuación de Antoine gráficamente de diversas formas, por ejemplo, mediante fueron desarrollos precursores del siglo XIX. diagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph” -Fundamentos de control automático de sistemas Inicialmente, se utilizó la simulación de procesos para continuos y muestreados, Dr. Jorgue Gil, Dr Ángel Díaz. simular procesos de estado estable. Los modelos de estado estable realizan un balance de masa y energía de un proceso estacionario (un proceso en un estado de Para lograr efectuar la técnica de control sobre la equilibrio) que no depende del tiempo. La simulación dinámica es una extensión de la simulación planta es forzoso tener un sensor y un actuador que del proceso de estado estable, en la que la dependencia dejen operar con un buen nivel de exactitud y del tiempo se integra en los modelos a través de términos derivados, es decir, acumulación de masa y energía. La precisión. Con los datos de los sensores de las llegada de la simulación dinámica significa que la mediciones del ángulo el controlador puede descripción, la predicción y el control dependientes del tiempo de los procesos reales en tiempo real se han hecho enviar una señal al motor para que éste a su vez posibles. Esto incluye la descripción de la puesta en transmita por medio de la hélice una fuerza de marcha y el cierre de una planta, los cambios de empuje, que mantenga la posición que se desee. condiciones durante una reacción, los retrasos, los cambios térmicos y más. Las simulaciones dinámicas requieren un mayor tiempo de cálculo y son matemáticamente más complejas que una En la Fig. 3 se muestra la forma gráfica más elemental de simulación de estado estable. Puede verse como una representar un sistema. En dicha figura aparecen tres simulación de estado estable repetida multiplicada (basada elementos: 1) la variable f´ısica de la entrada, que se en un paso de tiempo fijo) con parámetros que cambian representa con una flecha apuntando al sistema, 2) la constantemente. variable f´ısica de la salida, que es la flecha dirigida del La simulación dinámica se puede utilizar tanto en línea sistema al exterior, y 3) el propio sistema, representado como fuera de línea. El caso en línea es el modelo de aquí como una nube o “caja negra” del que se desconoce control predictivo, donde los resultados de la simulación en a priori su funcionamiento interno. tiempo real se utilizan para predecir los cambios que se producirían para un cambio en la entrada de control, y los parámetros de control se optimizan en función de los resultados. La simulación de procesos fuera de línea se puede utilizar en el diseño, solución de problemas y optimización de la planta de procesos, así como en la Fig 3. Diagrama de un sistema cualquiera conducción de estudios de casos para evaluar los impactos de las modificaciones de procesos. La simulación dinámica también se utiliza para la formación del operador. Esta forma tan elemental de representar un sistema permite al ingeniero establecer una primera descripción del mismo, sus posibles partes, as´ı como las diferentes l´ıneas de causalidad que se dan. Por ejemplo, en la Fig. 4 III-C. Partes del circuito de la simulación a realizar se muestra esquemáticamente el sistema “central hidroeléctrica”, que tiene como entrada el caudal de agua y como salida la tensión eléctrica. Este sistema se puede dividir en dos subsistemas: 1) la turbina que transforma el caudal de agua entrante en una velocidad de giro en su eje, y 2) la dinamo o alternador que convierte el giro mecánico en tensión eléctrica. Fig 1. Circuito 1. Fig 4. Diagramas equivalentes de una central hidroeléctrica Fig 2. Sistema de péndulo invertido III-D. Describir cómo opera el sistema SISTEMA DE CONTROL Evidentemente se podría haber dividido el sistema completo en muchas otras partes, conservando todas las representaciones de igual validez. También se podrıan haber encontrado otras variables intermedias entre la entrada y la salida, que unieran los distintos subsistemas, y que har´ıan referencia a otras realidades f´ısicas o incluso sin sentido f´ısico, pero coherentes desde el punto de vista matem´atico. El ingeniero evitará por todos los medios cambiar el orden natural de la causalidad. En el ejemplo anterior, no se debe definir la tensión como entrada y el caudal de agua como salida. Y esto aunque se pueda encontrar la relación matemática inversa que deduce la segunda variable a partir de la primera. Por otro lado, existen infinitas formas de representar gráficamente un sistema cualquiera. Sin embargo, hay formas más adecuadas que otras (por ejemplo, porque muestran las variables físicas más importantes que intervienen en el su modelo matemático. Por ejemplo, según la segunda ley sistema). de Newton, un cuerpo con masa m experimenta en él Encontrar el esquema o modelo más adecuado para un vacıo una aceleración a(t) proporcional a la fuerza f(t) que sistema físico es uno de los principales retos a los que se se le aplique, de acuerdo con la ecuación: enfrenta el ingeniero, pero no es el cometido de esta La entrada o causa en el sistema es la fuerza, mientras que asignatura. Además, cada ejemplo 21 mecánico, eléctrico, salida o consecuencia es la aceleración hidráulico, térmico, etc. podría requerir mucho tiempo de la análisis y simplificación. Sin embargo, en el apartado 3.3 del cuerpo. La función de transferencia se puede obtener se estudian algunos sistemas físicos cuyas ecuaciones muy fácilmente aplicando la transformada de Laplace a la diferenciales se pueden obtener fácilmente aplicando las ecuación (3.3) suponiendo condiciones iniciales nulas: leyes fundamentales de cada disciplina. Lo habitual es que En este ejemplo, la función de transferencia es una las leyes matemáticas aparezcan directamente en el enunciado del ejercicio. En esta asignatura se supondrán correctas y se tomarán como punto de partida para la resolución del problema. Sin embargo, en el ejercicio de su profesión, el ingeniero no suele aceptar de forma acrítica cualquier ley matemática que se le sugiera. Muchas veces deben obtenerlas a partir de ensayos o incluso deducirlas constante. Sin embargo, si el teóricamente. Uno de los principales inconvenientes de ingeniero quisiera estudiar otros efectos de este sistema, trabajar con las leyes matemáticas como el desplazamiento del cuerpo, la ecuaci´on que describen un sistema es que el ingeniero puede perder diferencial que debería plantear es: fácilmente el sentido físico de los problemas de control. Y al aplicar la transformada de Laplace, suponiendo Conviene aquí recordar que detrás de una ley matemática se esconde un sistema físico real, del que se trabaja solo con un modelo. condiciones Función de transferencia de un sistema En los esquemas propuestos en el apartado anterior el iniciales nulas, obtendría: funcionamiento interno del sistema o subsistemas era Ahora la función de transferencia no es una constante, sino desconocido. Una forma de ofrecer esa información es escribir la ecuación diferencial que relaciona la entrada con la salida. Sin embargo, lo habitual es trabajar en el dominio de Laplace (Fig. 5) Definiendo la función de transferencia del sistema. Fig 5. Diagramas generales de un sistema una función de la variable de Laplace. Hay que remarcar que el mismo sistema físico puede tener distintas funciones de transferencia dependiendo de las variables que se tomen como entradas La función de transferencia, en general G(s), de un y salidas. A partir de este momento, una expresión como determinado proceso o sistema es la relación en el H(s) puede corresponder tanto a la transformada de dominio de Laplace entre la función de salida c(t) y su Laplace de una función temporal, H(s) = L [h(t)], como a la correspondiente entrada r(t), con condiciones iniciales función de transferencia de un sistema. Normalmente por nulas para ambas funciones. La función de transferencia el contexto es posible deducir a que se refiere en cada es un invariante del sistema, es decir, para cualquier caso. Conviene resaltar que: - La función de transferencia entrada que se introduzca en el sistema, la salida que se es una propiedad intrínseca del sistema. Conocida la obtiene siempre está relacionada con la entrada a través función de transferencia de un sistema, se puede conocer de la función de transferencia. el comportamiento del mismo ante cualquier entrada. - La Como la función de transferencia es un invariante del función de transferencia responde a la ecuación diferencial que gobierna un sistema pero no ofrece información acerca de su configuración interna. Dos sistemas físicos sistema, se puede obtener diferentes pueden poseer idénticas funciones de experimentalmente introduciendo una función temporal transferencia. conocida y midiendo la salida. Aplicando la transformada de Laplace a las dos señales y calculando su cociente, se Modelos matemáticos consigue la función de transferencia. Si es posible introducir en el sistema una función impulso en la entrada, Para diseñar el modelo de un sistema se debe δ(t), la función de transferencia es directamente la empezar a partir de una predicción de su transformada de Laplace de la funci´on temporal de salida funcionamiento antes que el sistema pueda del sistema También es posible obtener de forma teórica la función de diseñarse en detalle. La predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se la llama modelo matemático. transferencia Normalmente el modelo matemático se trata de una de un sistema, mediante las ecuaciones diferenciales de serie de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema (modelo teórico). Sistemas lineales y no lineales: -Sistema Lineal: En este caso las ecuaciones que describen el modelo son lineales, se les aplica el principio de superposición (ante dos entradas la salida es la suma de las respuestas individuales). -Sistema No lineal: No se aplica el principio de superposición. Existe dificultad matemática, normalmente se los aproxima a modelos matemáticos lineales. Sistemas dinámicos y estáticos: Es un ejemplo típico de sistema mecánico. Se rige por la ecuación diferencial, donde la entrada es la fuerza f(t) y la salida el desplazamiento x(t). Aplicando la transformada de Laplace se puede obtener la función de transferencia del sistema. El diagrama de la Fig. 7 representa el sistema -Sistema Dinámico: Si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. -Sistema Estático: Su salida en curso depende de la entrada en curso. En este caso la salida no cambia si la entrada no cambia. En el dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no está en equilibrio. Modelos de sistemas fısicos Los modelos de los sistemas suelen ser ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. De hecho, cuando aparecen ecuaciones diferenciales no lineales, lo habitual es linealizarlas en un punto de operación. En los siguientes apartados se estudian los modelos más elementales de cuatro tipos de sistemas: mecánicos, eléctricos, hidráulicos y térmicos. Se plantean las ecuaciones diferenciales elementales que gobiernan dichos sistemas y, teniendo en cuenta cual es la entrada y cual es la salida, se hallarán sus funciones de transferencia. ● Sistemas mecánicos Los sistemas mecánicos describen el movimiento en el espacio de cuerpos sometidos a fuerzas o pares. Aunque dichos cuerpos poseen dimensiones y propiedades físicas distribuidas en el espacio, la forma más sencilla de analizarlos es obtener un modelo de parámetros concentrados. Los elementos básicos para construir un modelo con parámetros concentrados son la masa, el muelle y el amortiguador, La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton: Si el cuerpo gira en lugar de desplazarse, la ecuación que gobierna su movimiento es: Fig 6. : Sistema mecánico masa-resorte-amortiguador masa resorte - amortiguador. Se puede comprobar como la función de transferencia posee las unidades de m/N, es decir, precisamente las que relacionan la salida con la entrada. Asimismo, los sumandos del denominador son dimensionalmente coherentes. Fig 7. Diagrama del sistema masa- resorte - amortiguado ● Sistemas eléctricos Los sistemas eléctricos, como los mecánicos, también se suelen describir por medio de parámetros concentrados donde los tres elementos fundamentales son las resistencias, los condensadores y las bobinas. La tensión que aparece sobre los extremos de una resistencia es proporcional a la intensidad de corriente que circula a través de ella. La constante proporcional se llama igualmente resistencia y su unidad en el Sistema Internacional es el ohmio, Ω La tensión que aparece sobre los extremos de una bobina es proporcional a la derivada de la intensidad que circula a través de ella respecto del tiempo. La constante proporcional se llama inductancia y su unidad es el henrio, H La tensión que aparece sobre los extremos de un condensador es proporcional a la integral de la intensidad que circula a través de ella a lo largo del tiempo. Desde otro punto de vista, también se puede decir que la intensidad que circula a través de un condensador es proporcional a la variación de la tensión entre sus bornes. Esta última constante proporcional es la que se llama capacidad y su unidad es el faradio, F. masa y el caudal de salida, donde qi y qo son los caudales de entrada y salida, mientras que A y Ao son las superficies de la sección del depósito y del conducto de salida. Eliminando la variable del caudal de salida qo resulta: Fig 8. Sistema eléctrico resistencia-bobina-condensador ● Sistemas electromecánicos Los sistemas electromecánicos o mecatrónicos, combinan elementos Elaboración de modelos mecánicos y eléctricos. Un ejemplo es el Al aplicar las leyes físicas a un modelo, es posible motor de corriente continua que hace girar un desarrollar un modelo matemático que describa al sistema objeto con inercia y viscosidad, Fig. 9. La (modelo teórico). A veces es imposible desarrollar un entrada es la tensión v(t) y la salida es el giro modelo teórico, entonces se somete al sistema a un θ(t) conjunto entradas conocidas y se miden sus salidas, obteniéndose así un modelo experimental. O sea, se calcula el modelo a partir de las relaciones entrada-salida. Ningún modelo matemático puede representar al sistema con precisión. Siempre involucra suposiciones y aproximaciones. Procedimientos para la obtención del modelo: Fig 9.Modelo de un motor de corriente 1. Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir continua arrastrando un objeto La primera ecuación del sistema responde a la las variables. 2. Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolas de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener el modelo. 3. Para verificar la validez del modelo, la predicción del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con los resultados experimentales (la validez del modelo se verifica mediante un experimento). Si el experimento se aleja de la predicción se debe modificar el modelo y se repite el proceso. única malla del circuito. La tensión e(t) que aparece en el motor Validación del Modelo es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par τ (t) que ejerce el motor es proporcional a la Tanto en el análisis teórico como el análisis experimental, intensidad que circula por ´el. Las constantes de una vez obtenido el modelo es importante su coincidencia velocidad y de par son la misma K, donde es con el modelo teórico real. En esto consiste la validación. posible demostrar que tienen las mismas Los métodos pueden ser: unidades. La última ecuación del sistema es la del modelo mecánico de inercia J y viscosidad B. -Analizar la respuesta del modelo (al escalón, al impulso, etc.). -Análisis de polos y ceros del sistema. ● Sistemas hidráulicos - Calcular determinadas relaciones estadísticas. Los sistemas hidráulicos pueden incluir muy - Investigar las variaciones de aquellas magnitudes que diferentes elementos (depósitos, válvulas, etc.). sean especialmente sensibles a cambios en los En este apartado se muestra un ejemplo de parámetros del modelo. ecuación ́on diferencial que gobierna la altura h de fluido contenido en un depósito Análisis de la Respuesta Temporal Fig 10. Depósito con conducto de desagüe Las ecuaciones que se pueden plantar en el depósito de la Fig. 10 son la conservación de la A partir de la representación matemática de un sistema se puede realizar un análisis teórico de la respuesta temporal del mismo ante diferentes tipos de perturbaciones. El estudio de dicha respuesta temporal es de vital importancia para el posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. En este capítulo se realizará el estudio detallado de la respuesta temporal de un sistema, el cual se fundamenta en el conocimiento previo que se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelo del sistema. En principio, se define la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo que tiene el mismo ante alguna variación en sus entradas. En la Fig. 11 se puede apreciar la respuesta temporal de un sistema, ante una entrada particular, la cual está compuesta por una respuesta transitoria y una permanente. Así mismo, se puede expresar dicha respuesta según la Ec. 1, donde yt(t) y yss(t) son la respuesta transitoria y la permanente, respectivamente. la variable que se desea controlar, el lazo abierto nunca sabe como la variable se comporta, mientras que el lazo cerrado conoce en todo momento la evolución de la variable. Ejemplo de un sistema de control en bucle abierto es una lavadora, dado que es un sistema que trabaja en base al tiempo y a un programa preestablecido, sin embargo no mide la limpieza actual de la ropa. Un ejemplo de un sistema en bucle cerrado sería una tostadora automática que mide la temperatura, humedad y el nivel de sequedad de las tostadas, ajustando la temperatura por medio de un termostato ● Sistema de Control de Lazo Abierto En un sistema de lazo abierto el controlador es colocado en serie con el proceso, con el objetivo de poder manipularlo y sobre todo, intentar llevar a la zona de operación deseada, pero SIN medir o SENSAR el estado actual de las variables del proceso (temperatura, velocidad, humedad, concentración, etc) Es decir, que el sistema de control de lazo abierto interviene sobre el proceso únicamente por medio del conocimiento previo que se tiene del sistema. Fig 11. Respuesta Temporal y (t) = yt (t) +yss (t)......(1) El análisis de la respuesta temporal se realizará, para diferentes tipos de sistemas y diferentes tipos de entrada, separando la respuesta en transitoria y permanente. ● Señales de Entradas En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tipos de entradas o perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección, una serie de señales que comúnmente ocurren en la vida real, tales como el impulso, el escalón, la rampa y la parábola. El impulso es una entrada cuya duración en el tiempo es instantánea, en tanto que el escalón es una entrada cuya magnitud es aplicada en forma constante a lo largo del tiempo. La rampa es una entrada cuya amplitud varía 1 1 Análisis de la Respuesta Temporal linealmente a lo largo del tiempo y la parábola es aquella cuya amplitud varía cuadráticamente a lo largo del tiempo Fig 12. Diferentes tipos de Entradas SISTEMA DE LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO Un sistema en lazo abierto es aquél que la salida sensada del proceso no es comparada con la señal de referencia. Un sistema en lazo cerrado toma la salida del proceso y la compara con la señal de referencia para conocer en todo momento la evolución de la variable. Por lo tanto la diferencia entre un sistema de lazo abierto y lazo cerrado radica en el mantenimiento constante de Los sistemas de control en lazo abierto son simples y muy baratos de implementar pero tienen la desventaja que no compensan las posibles variaciones que puede tener la planta, ni las posibles perturbaciones externas. Fig 11. sistema de lazo abierto La desventaja del control en lazo abierto es la sobrecarga de trabajos repetitivos y sin interés para el operador. ● Sistemas de Control de Lazo Cerrado Las formas de solucionar los problemas del lazo abierto, será empleando una estructura de control en lazo cerrado. En un sistema en lazo cerrado se puede colocar un medidor y transmisor de temperatura que realimenta el sistema hacia el controlador y mantiene de esa forma la temperatura en su lugar deseado. Este valor deseado se conocerá como el Setpoint y será el único valor que será modificado por el operario. Estos sistemas de control son clasificados como sistemas con retroalimentación o feedback. En este caso todo el diagrama de bloques anterior corresponde a un lazo cerrado, donde la relación de la salida C(s) con la entrada R(s) viene dado por: Fig 12. sistema de lazo cerrado La función de transferencia de lazo abierto es la relación entre la señal del sensor B(s) y la señal de error actuante E(s). La función de transferencia feedforward es la relación entre la salida del proceso C(s) y el error actuante. ESPACIO DE ESTADOS También llamado modelamiento en el dominio del tiempo. Al momento de modelar un sistema tienes 2 maneras, una es mediante la función de transferencia entre la relación de la salida y la entrada en términos de Laplace y otra manera es modelar en el dominio del tiempo el cual es llamado espacios de estados. Esto se halla mediante 2 ecuaciones las cuales son: -Ecuación de Estados: = A. x(t) + B. u(t) -Ecuación de Salida: y(t) = C. x(t) + D. u(t) donde: Cuando la realimentación del lazo es unitaria, o sea H(s) = 1, entonces la función de transferencia de lazo abierto y la de feedforward son las mismas. u: Excitación o entrada x(t) : Vector de estados y: Salida A: Matriz del sistema B: Matriz o vector de excitación C:Matriz de salida D:Matriz de excitación de salida. Otra manera de expresar la ecuacion es mediante matrices: Un modelamiento se podría pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa también obteniéndose las mismas conclusiones. Para pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es mediante la ecuación: F.T.(s) = C . (���� − ��)ିଵ.B + D Una de las ventajas de modelar en el espacio del tiempo es en la rapidez de análisis al momento de analizar un sistema con múltiples entradas. III-E. Aplicaciones ● Un péndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura 2. Este es un modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posición es conservar el propulsor primario espacial en una posición vertical.) El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí se considera sólo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo sólo se mueve en el plano de la página. ● En el circuito de la imagen uno podemos apreciar que este es un sistema al cual no es afectado por el exterior con lo cual podemos entender que es un sistema diseñado para poder alterar nuestra señal de entrada de la forma que nos plazca sin necesidad de tener que compararla con esta misma por lo cual las aplicaciones más comunes de dicho circuito sería para la implementación de filtros. ● Otro ejemplo de aplicación con respecto al péndulo invertido montado en un carro manejado por un motor que aparece en la Figura 2. vendría ser los patines eléctricos los cuales al igual que en el ejemplo del propulsor primario espacial para despegues lo que se busca es que la persona que esté utilizando el patín pueda obtener una estabilidad vertical de tal forma que no se caiga al usar este. TREN MAGNÉTICO Y CARROS ELÉCTRICOS Para comprender el funcionamiento de un sistema de control para un tren magnético usaremos como ejemplo el levitador magnético. Los puntos de equilibrio del sistema serían: Por lo tanto el voltaje para el equilibrio del sistema Definimos las variables sería: Finalmente el sistema quedaría de la siguiente manera: Hallamos B Tren electrico Reemplazando : Es un medio de transporte alimentada por una fuente externa de energía eléctrica. La fuente externa puede ser catenaria, tercer riel, o por medio de un dispositivo de almacenamiento a bordo, como baterías, baterías inerciales o pilas de combustible. Idea que fue moldeada Cornelis Drebbel lo cual se usaba para la incubacion. Para su traslado se usa transistores bipolares, tanto en los trenes con catenaria o con tercer riel, con esto se ha de notar que tambien son necesarias las resistencias. Descubrimiento A finales del año 1500, Galileo observo que los calendabros no se mantenian en movimiento constante, perdian velocidad, esto desperto su curiosidad pero usando el pulso corporal. Quien termina de moldear esta idea es Christiaan Huygens, quien hizo el diseño del pendulo que conocemos al dia de hoy, cuales sus mediciones son consideradas estandar internacionalmente. Para el pendulo invertido Katsuhisa Furuta propuso la teoria del pendulo invertido usando un prototipo de automovil con el pendulo encima de el. El mejor antecedente previo a un sistema de control de niveles de liquidos, fue antes de Cristo, siendo un reloj de agua hecho por Ctesibio. VI. Referencias ● Fundamentos de control automático de sistemas continuos y muestreados, Dr. Jorgue Gil, Dr Ángel Díaz., https://core.ac.uk/download/pdf/83559623.pdf ● Lazo abierto y Lazo cerrado, https://controlautomaticoeducacion.com/contr ol realimentado/lazo-abierto-y-lazo-cerrado/