PROYECTO DE FISICA

UNACAR
FACULTAD DE QUÍMICA
Profesor:
Acosta Pérez Jorge Luis
Actividad:
Proyecto
Semestre:
Segundo semestre
Materia:
Estática
Nombre de los Alumnos(as):
Nombre
Esleyder Kindesley Carrasco Guillermo
Alan Joseph Rosaldo de la Cruz
Eunice Jazmín López Buenfil
Matrícula
180134
180742
180589
1.-ESTATICA DE PARTÍCULAS.
1.1.-Introducción.
La mecánica del cuerpo rígido se divide en dos áreas: estática y dinámica. La
estática trata con el equilibrio de los cuerpos, esto es, aquellos que están en reposo
o se mueven con velocidad constante; mientras que la dinámica trata con el
movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede ser considerada
como un caso especial de la dinámica, en el sentido de que la aceleración es cero,
merece un tratamiento especial en la enseñanza de la ingeniería ya que muchos
objetos son diseñados con la intención de que permanezcan en equilibrio.
Desarrollada muy temprano en la historia, pues los principios que involucra podían
formularse simplemente a partir de las medidas geométricas y la medición de las
fuerzas. Por ejemplo, los escritos de Arquímedes (287-212 a.C.) tratan del principio
de la palanca. Documentos antiguos registran también estudios sobre la polea, el
plano inclinado, y la llave de tuerca, en una época en que las necesidades de la
ingeniería se limitaban principalmente a la construcción. Puesto que los principios
de la dinámica dependen de la precisión en la medida del tiempo, esta materia vino
a desarrollarse mucho más tarde. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los grandes
pioneros en este campo. Su trabajo consistió en experimentos con péndulos y
cuerpos en caída libre. Las contribuciones más significativas a la dinámica, sin
embargo, se deben a Isaac Newton (1642-1727), conocido ante todo por su
formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la gravitación
universal. Poco tiempo después de postuladas estas leyes, Euler, D'Alembert,
Lagrange y otros desarrollaron importantes técnicas para sus aplicaciones.
La mecánica trabaja con cuatro conceptos básicos: espacio, tiempo, masa y
fuerza; dos de los cuales son los que utiliza la estática: espacio y fuerza.
Al espacio lo concebimos como el medio universal en el cual se localiza, o puede
localizarse, la materia. Lo percibimos a través de nuestros sentidos y desde el punto
de vista del estudio de la mecánica lo asociamos a la posición que en él ocupa un
cierto punto A, que queda determinada por las distancias del mismo a tres planos
ortogonales entre sí pasantes por un punto de referencia u origen O. Las tres
distancias indicadas se designan coordenadas del punto A.
El concepto de fuerza expresa la capacidad de un cuerpo para producir un efecto
o acción física sobre otro cuerpo. Puede ser transmitida por contacto directo o
ejercida a distancia. El empuje del agua o de la tierra, la presión del viento, el
rozamiento son ejemplo de las primeras, en cambio las fuerzas gravitacionales o
magnéticas lo son de las segundas. Son magnitudes físicas que quedan
determinadas por su intensidad, dirección, sentido y el punto de aplicación cuando
actúan sobre un cuerpo deformable; en cambio actuando sobre cuerpos rígidos, es
suficiente conocer un punto cualquiera de su recta de acción.
En el primer caso se las representa por un vector aplicado y por un vector axil
cuando al cuerpo se lo supone rígido. En determinados problemas de la mecánica
hay cuerpos “o partes de un cuerpo” de los cuales puede obtenerse una imagen
simplificada imaginando su masa reunida en un solo punto. Por ejemplo, si un
cuerpo rígido está animado de movimiento de traslación, las características de éste
quedan determinadas para todos sus puntos cuando se conocen las de uno
cualquiera de ellos el centro de gravedad, por ejemplo, ya que todos recorren
trayectorias iguales con iguales características instantáneas de velocidad y
aceleración. A este punto donde imaginamos reunida la masa total del cuerpo, o de
parte de ella, lo llamamos punto material.
Esto se puede generalizar al estudio de problemas mecánicos si imaginamos al
cuerpo formado por un número muy elevado de puntos materiales en los que se
concentran masas finitas muy pequeñas.
Se puede entonces considerar al cuerpo rígido constituido por un gran
número de puntos materiales o partículas que ocupan posiciones fijas entre
sí.
1.2.-Fuerzas en un plano, condiciones de equilibrio.
Es posible que la resultante sea cero. En tal caso, el efecto neto de las fuerzas
dadas es cero, y se dice que la partícula está en equilibrio. Entonces
se tiene la siguiente definición: si la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en
equilibrio. Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará
en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma
línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas
es cero. En la figura 2.26 se ilustra este caso.
Pero cuando la acción de dos fuerzas se encuentra separada por una distancia una
segunda condición debe ser satisfecha.
Si nos fijamos en este objeto veremos que la pareja de fuerzas que actúan sobre el
poseen igual dirección y magnitud, y sentido contrario, por lo tanto, la sumatoria de
fuerzas efectivamente es cero. En el objeto, se cumplirá la famosa condición
principal de equilibrio, pero ¿Está realmente en equilibrio?, NO.
El equilibrio existirá bajo la acción de fuerzas, siempre y cuando el objeto puntual al
que afectan no se esté acelerando. En este caso el objeto (por la primera ley de
Newton) se encontrará en una constante rotación (se está acelerando), aun cuando
las fuerzas que lo afectan son iguales y contrarias.
Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura 2.27, donde
aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A. En la
figura 2.28, la resultante de las fuerzas dadas se
determina por la regla del polígono. Empezando en el
punto O con F1 y acomodando las fuerzas punta a cola,
se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto
de partida O, así que la resultante R del sistema de
fuerzas dado es cero y la partícula está en equilibrio.
La partícula mostrada, se comprueba que las condiciones de equilibrio se
satisfacen. Se escribe
El polígono cerrado de la figura 2.28 proporciona una
expresión gráfica del equilibrio de A. Para expresar en
forma algebraica las condiciones del equilibrio de una
partícula se escribe:
Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se tiene:
Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una
partícula son:
1.4.-Fuerzas en el espacio, condiciones de equilibrio.
De acuerdo con el subtema 1.2, una partícula A está en equilibrio si la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre A es cero. Las componentes
de
la resultante están dadas por las relaciones; al expresar que las componentes de la
resultante son cero, se escribe:
(1)
Las ecuaciones anteriores representan las condiciones necesarias y suficientes
para lograr el equilibrio de una partícula en el espacio. Estas ecuaciones pueden
usarse para resolver problemas que tratan con el equilibrio de una partícula y en los
que intervienen no más de tres incógnitas. Para resolver tales problemas, se traza
un diagrama de cuerpo libre donde se muestre a la partícula en equilibrio y todas
las fuerzas que actúan sobre ella. Deben escribirse las ecuaciones de equilibrio
antes mencionadas y despejar las tres incógnitas. En los tipos de problemas más
comunes, esas incógnitas representan:
1) Las tres componentes de una sola fuerza.
2) La magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección conocida.
Como la tensión presente en los cuatro cables que
sostienen al automóvil de carga no se puede
encontrar mediante las tres ecuaciones (1), es
posible obtener una relación entre las tensiones
considerando el equilibrio del gancho.
2.-SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS.
2.1.-Fuerzas internas y externas.
Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en dos grupos:
1) Fuerzas externas.
Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en
consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo
rígido. Causan que el cuerpo se mueva o aseguran que éste permanezca en reposo.
2) Fuerzas internas.
Son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido.
Si éste está constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que
mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.
Como ejemplo de fuerzas externas, considérense las fuerzas que actúan sobre un
camión
descompuesto
que
es
arrastrado hacia delante por varios
hombres mediante cuerdas unidas a
la defensa delantera (figura 3.1). Las
fuerzas externas que actúan sobre el
camión se muestran en un diagrama
de cuerpo libre (figura 3.2). En primer
lugar, se debe considerar el peso del
camión. A pesar de que el peso
representa el efecto de la atracción de la Tierra sobre cada una de las partículas
que constituyen al camión, éste se puede representar por medio de una sola fuerza
W. El punto de aplicación de esta fuerza, esto es, el punto en el que actúa la fuerza
se define como el centro de gravedad del camión.
El peso W hace que el camión se mueva hacia abajo. De hecho, si no fuera por la
presencia del piso, el peso podría ocasionar que el camión se moviera hacia abajo,
esto es, que cayera. El piso se opone a la caída del camión por medio de las
reacciones R1 y R2. Estas fuerzas se ejercen por el piso sobre el camión y, por
tanto, deben ser incluidas entre las fuerzas externas que actúan sobre el camión.
Los hombres ejercen la fuerza F al tirar de la cuerda. El punto de aplicación de F
está en la defensa delantera. La fuerza F tiende a hacer que el camión se mueva
hacia delante en línea recta y, en realidad, logra moverlo puesto que no existe una
fuerza externa que se oponga a dicho movimiento. (Para simplificar, en este caso
se ha despreciado la resistencia a la rodadura.) Este movimiento del camión hacia
delante, donde cada línea recta mantiene su orientación original (el piso del camión
permanece horizontal y sus lados se mantienen verticales), se conoce como
traslación. Otras fuerzas podrían ocasionar que el camión se moviera en forma
diferente. Por ejemplo, la fuerza ejercida por un gato colocado debajo del eje
delantero podría ocasionar que el camión rotara alrededor de su eje trasero. Este
movimiento es una rotación. Por tanto, se pue de concluir que cada una de las
fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido puede ocasionar un movimiento
de traslación, rotación o ambos, siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren
alguna oposición.
2.2.-Principio de transmisibilidad.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de
movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa
en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F´ que tiene la misma
magnitud y dirección, pero que actúa en un punto
distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan
la misma línea de acción (figura 3.3). Las dos
fuerzas, F y F´, tienen el mismo efecto sobre el
cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este
principio establece que la acción de una fuerza pue
de ser transmitida a lo largo de su línea de acción,
lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de
las propiedades establecidas hasta ahora y, por tanto, debe ser aceptado como una
ley experimental.
El principio de transmisibilidad puede ser derivado a partir del estudio de la dinámica
de los cuerpos rígidos, pero dicho estudio requiere la introducción de la segunda y
tercera leyes de Newton y también algunos otros conceptos. Por consiguiente, el
estudio de la estática de los cuerpos rígidos estará basado en los tres principios que
se han presentado hasta ahora, que son la ley del paralelogramo para la adición de
vectores, la primera ley de Newton y el principio de transmisibilidad.
Las fuerzas que actúan en una partícula pueden ser representadas por vectores,
los cuales tienen un punto de aplicación bien definido, la partícula misma y, por
consiguiente, serán vectores fijos o adheridos. Sin embargo, en el caso de fuerzas
que actúan sobre un cuerpo rígido el punto de aplicación de una fuerza no es
importante, siempre y cuando su línea de acción permanezca inalterada. Por tanto,
las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido deben ser representadas por una
clase de vector diferente, el vector deslizante, puesto que permite que las fuerzas
se deslicen a lo largo de su línea de acción. Es importante señalar que todas las
propiedades que serán derivadas en las siguientes secciones para las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo rígido serán, en general, válidas para cualquier sistema de
vectores deslizantes. Sin embargo, para mantener la presentación más intuitiva,
ésta se llevará a cabo en términos de fuerzas físicas en lugar de las entidades
matemáticas conocidas como vectores deslizantes.
En el ejemplo del camión, en primer lugar, se observa que la línea de acción de la
fuerza F es una línea horizontal que pasa a través de las defensas delantera y
trasera del camión (figura 3.4). Por tanto, empleando el principio de transmisibilidad
se puede reemplazar F por una fuerza equivalente F´ que actúa sobre la defensa
trasera. En otras palabras, las condiciones de movimiento y todas las demás fuerzas
externas que actúan sobre el camión (W, R1 y R2) permanecen inalteradas si los
hombres empujan la defensa trasera en lugar de tirar de la defensa delantera.
El principio de transmisibilidad y el concepto de fuerzas equivalentes tienen
limitaciones. Por ejemplo, considere una barra corta AB sobre la cual actúan dos
fuerzas axiales iguales y
opuestas P1 y P2 como se
muestra en la figura 3.5a. De
acuerdo con el principio de
transmisibilidad, la fuerza P2
se puede reemplazar por
una fuerza P2 que tiene la
misma magnitud, misma dirección y línea de acción pero que actúa en A en lugar
de en B (figura 3.5b). Las fuerzas P1 y P2 que actúan sobre la misma partícula
pueden sumarse de acuerdo con las reglas de la parte 1 de este proyecto y, como
dichas fuerzas son iguales y opuestas, su suma es igual a cero. Por tanto, en
términos del comportamiento externo de la barra el sistema de fuerzas original
mostrado en la figura 3.5a es equivalente a que no existiera fuerza alguna que actúe
sobre la barra (figura 3.5c). Considere ahora las dos fuerzas iguales y opuestas P1
y P2 que actúan sobre la barra AB, como se muestra en la figura 3.5d.
La fuerza P2 puede ser reemplazada por una fuerza P´2 que tiene la misma
magnitud, misma dirección y línea de acción pero que actúa en B en lugar de en A
(figura 3.5e). Entonces, las fuerzas P1 y P´2 pueden sumarse y, nuevamente, su
suma es igual a cero (figura 3.5f). De esta manera, desde el punto de vista de la
mecánica de los cuerpos rígidos, los sistemas mostrados en la figura 3.5a y d son
equivalentes. Sin embargo, resulta obvio que las fuerzas internas y las de
formaciones producidas por los dos sistemas son diferentes. La barra de la figura
3.5a está en tensión y, si no es en su totalidad rígida, se incrementará ligeramente
su longitud; la barra de la figura 3.5d está en compresión y, si no es rígida, disminuirá
en poco su longitud. De esta forma, aunque el principio de transmisibilidad se puede
usar en forma libre para determinar las condiciones de movimiento o de equilibrio
de los cuerpos rígidos y para calcular las fuerzas externas que actúan sobre los
mismos, debe evitarse, o por lo menos, emplearse con cuidado, al momento de
determinar fuerzas internas y deformaciones.
2.3.-Producto vectorial de los vectores.
Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido, a continuación
se introducirá un nuevo concepto: el momento de una fuerza con respecto a un
punto. Este concepto se podrá entender más fácilmente y podrá aplicarse en una
forma más efectiva si primero se agrega a las herramientas matemáticas que se
tienen disponibles, el producto vectorial de dos vectores.
El producto vectorial de los vectores P y Q se
define como el vector V que satisface las
siguientes condiciones:
1.-La línea de acción de V es perpendicular al
plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).
2. La magnitud de V es el producto de las
magnitudes de P y Q por el seno del ángulo
formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°); por
tanto, se tiene:
(2)
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Cierre su
mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén dobla dos en el primer
sentido que la rotación a través del ángulo que haría al vector P colineal con el
vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V (figura 3.6b).
Obsérvese que, si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primeros se
deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se dice que los tres vectores P, Q
y V “toma dos en ese orden” forman una tríada a mano derecha.
*Se debe señalar que los ejes x, y, y z utilizados en 1 del proyecto, forman un
sistema de ejes ortogonales a mano derecha y que los vectores unitarios i, j y k
definidos formando una tríada ortogonal a mano derecha.
Como se mencionó anteriormente, el vector V que satisface estas tres condiciones
(las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y
Q y se representa por la expresión matemática:
En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q también
se conoce como el producto cruz de P y Q. A partir de la ecuación (2) se concluye
que cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas,
su producto vectorial es igual a cero.
En el caso general, cuando el ángulo formado por los dos vectores no es 0° ni 180°,
a la ecuación (2) se le puede dar una
interpretación geométrica simple: la magnitud V
del producto vectorial de P y Q es igual al área del
paralelogramo que tiene como lados a P y Q
(figura 3.7). Por tanto, el producto vectorial P X Q
permanece inalterado si Q se reemplaza por un
vector Q´ que sea coplanar a P y Q y tal que la
línea que une a las partes terminales de Q y Q´ sea paralelo a P. Así, se escribe:
(3)
A partir de la tercera condición empleada para definir al producto vectorial V de P y
Q, esto es, la condición que establece que P, Q y V deben formar una tríada a mano
derecha, se concluye que los productos vectoriales no son comunitarios, es decir,
Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar fácilmente que Q X P está
representado por el vector -V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe:
Ejemplo. Calcúlese el producto vectorial V=P X Q
cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se
encuentra en el plano zx que forma un ángulo de 30°
con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se
encuentra a lo largo del eje x (figura 3.8). A partir de la
definición del producto vectorial se concluye que el
vector V debe estar a lo largo del eje y, tener la
magnitud y que debe estar dirigido hacia arriba.
Se vio que la propiedad conmutativa no es aplicable en el caso de productos
vectoriales. Ahora se puede preguntar si la propiedad distributiva se cumple, esto
es, si la relación es válida. La respuesta es sí. Probablemente muchos lectores
están dispuestos a aceptar sin demostración formal una respuesta que de manera
intuitiva puede parecer correcta. Sin embargo, dado que la estructura del álgebra
vectorial y de la estática depende de la relación (4), se debe tomar el tiempo
necesario para su deducción.
(4)
Sin perder la generalidad se puede suponer que P está dirigida a lo largo del eje y
(figura3.9a). Representando con Q la suma de Q1 y Q2, se trazan perpendiculares
a partir de los extremos terminales de Q, Q1 y Q2 hacia el plano zx, que dando
definidos de esta forma los vectores Q´, Q1´, Q2´. Se hará referencia a estos
vectores, respectivamente, como las proyecciones de la ecuación (3), se observa
que el término del lado izquierdo de la ecuación (4) puede ser reemplazado por P X
Q´ y que, en forma similar, los productos vectoriales P X Q1 y P X Q2 del lado
derecho pueden ser reemplazados, respectivamente, por P X Q´1 y P X Q´2.
De esta forma, la relación que debe ser demostrada puede escribirse de la siguiente
manera:
(4´)
Ahora se observa que P x Q´ se puede obtener a partir de Q´ multiplicando a este
vector por el escalar P y rotándolo 90° en el plano zx en el sentido contrario al del
movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.9b); los otros dos productos
vectoriales en (4´) se pueden obtener en forma similar a partir de Q´1 y Q´2,
respectivamente.
Ahora, en virtud de que la proyección de un paralelogramo sobre cualquier plano
arbitrario es otro paralelogramo, la proyección Q´ de la suma Q de Q1 y Q2 debe
ser la suma de las proyecciones y Q´1 y Q´2 de Q1 y Q2 sobre el mismo plano
(figura 3.9a). Esta relación entre los tres vectores Q´, Q´1 y Q´2 seguirá siendo
válida después de que los tres vectores hayan sido multiplicados por el escalar P y
hayan sido rotados a través de un ángulo de 90° (figura 3.9b). Por tanto, se ha de
mostrado la relación (4´) y se puede tener la certeza de que la propiedad distributiva
es válida para los productos vectoriales. Una tercera propiedad es la asociativa, la
cual no es válida para los productos vectoriales; en general, se tiene que:
2.4. Producto Vectorial Expresado en Términos de Componentes
Rectangulares
Considérese el producto de I x J (Figura A). Como ambos vectores tienen una
magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto
vectorial también será un vector unitario. Dicho vector debe ser K, puesto que los
vectores I, J, K son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano
derecha. Cabe mencionar que, por regla de la mano derecha, se concluye que el
producto de J x I = -K (Figura B):
Por último, se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo,
como I x I, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección.
Por lo tanto, los productos para los diversos pares posibles de vectores unitarios
son:
IxI=0
J x I = -K
KxI=J
IxJ=K
JxJ=0
K x J = -I
IxK=-J
JxK=I
KxK=0
2.5. Producto Escalar de Dos Vectores
Se llama producto escalar porque el resultado de la multiplicación siempre será un
escalar. El resultado de esta multiplicación será un número que expresa una
magnitud y no tiene dirección.
⃗ = (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ) Vectores
Formula: 𝒂
El producto escalar se puede calcular de la siguiente manera:
𝑎 ∗ 𝑏⃗ = (𝒂𝟏 ∗ 𝒃𝟏+ 𝒂𝟐 ∗ 𝒃𝟐 +𝒂𝟑∗ 𝒃𝟑 )
El producto escalar de dos vectores se obtiene a través de multiplicar las
coordenadas de los vectores siempre conservando las dimensiones. En otras
palabras, solo se pueden multiplicar las coordenadas de la misma dimensión.
2.6. Triple Producto Escalar de Tres Vectores
El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar)
es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar
con el producto vectorial para obtener un resultado escalar. Se puede
calcular también como el determinante de la matriz que se forma con
las componentes de los vectores.
Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del producto
mixto a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a
realizar una sustitución de productos en cruz:

Sean u, v, w ∈ R3. El triple producto escalar se defino por:

U * (V x W) = U * V x W =

U1 (V2W3 – W2V3) – U2 (V1W3 – W1V3) + U3 (V1W2 – W1V2)
2.7. Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto
2.8. Teorema de Varignon
2.9. Componentes Rectangulares del Momento de una Fuerza
2.10. Momento de una Fuerza con Respecto a un Eje Dado
2.11. Momento de un Par
Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud, líneas de acción
paralelas y sentidos opuestos forman un par. Obviamente la suma de las
componentes e las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo,
la suma de los momentos de las dos fuerzas no originará una traslación del cuerpo
sobre el que están actuando, estás si tendrá a hacerlo rotar.
A partir de la definición del momento de un par también se concluye que dos pares,
uno constituido por las fuerzas F1 Y -F, el otro constituido por las fuerzas F2 y -F2
tendrán momentos iguales sí:
𝐹1𝑑1 = 𝐹2𝑑2
Y si los dos pares se encuentran en planos paralelos y tiene el mismo sentido.
2.12. Pares Equivalentes
Cualquier fuerza F que actúa en punto A de un cuerpo rígido puede reemplazarse
por un sistema fuerza-par en un punto arbitrario O el cual consta de la fuerza F
aplicada en O y un par de momento Mo, igual el momento de la fuerza F en su
posición original con respecto a O; se debe señalar que la fuerza F y el Vector de
par M0 son perpendiculares entre sí.
Para que un par sea equivalente debe cumplir lo siguiente:

Magnitud del momento resultante igual

Sentido de giro del momento el mismo

Estar en planos paralelos
La evidencia la constituyen, la ley del paralelogramo y el principio de
transmisibilidad. Por lo tanto, establecemos que: dos sistemas de fuerzas son
equivalentes (mismo efecto sobre el cuerpo rígido) si se puede transformar a uno
de ellos en el otro por medio de una o varias de las siguientes operaciones:
1. Reemplazar dos fuerzas por su resultante.
2. Descomponer una fuerza en sus componentes
3. Cancelar dos fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma
partícula.
4. Unir a la misma partícula dos fuerzas iguales y opuestas
5. Mover una fuerza a lo largo de su línea de acción.
La propiedad que se acaba de establecer es muy importante para entender de
manera correcta la mecánica de los cuerpos rígidos. Esta propiedad indica que
cuando un par actúa sobre un cuerpo rígido, es irrelevante donde actúan las dos
fuerzas que forman al par o cuales son la magnitud y dirección que esas fuerzas
tengan. La única cosa que importa es el momento del par (su magnitud y dirección).
Los pares con el mismo momento tendrán el mismo efecto sobre el cuerpo rígido.
2.13. Equilibrio de un Cuerpo Rígido
En el caso de un sólido rígido, éste se encontrará en equilibrio cuando lo están todos
y cada uno de sus puntos, es decir, cuando la aceleración de todos y cada uno de
ellos sea nula, ai = 0. El equilibrio será estático si todos los puntos del sistema
están en reposo y, por tanto, vi = 0. En el caso de un sólido rígido el sistema de
fuerzas más general posible se puede expresar mediante una fuerza resultante R y
un momento resultante M. Por tanto, para que un sólido rígido esté en equilibrio
deben anularse la fuerza resultante R y el momento resultante M. Luego las
ecuaciones de equilibrio para un sólido rígido quedan:
𝑅⃗ = ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 0
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑖
⃗⃗ = ∑ 𝑀
⃗⃗ 𝑖 (𝐹
⃗⃗𝑖 ) = 0 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹, 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑀
𝑖
“Un sólido rígido está en equilibrio cuando la resultante y el momento resultante del
sistema de fuerzas exteriores son nulos”
Condiciones de equilibrio en un sólido rígido:
Las dos condiciones de equilibrio de un sólido rígido pueden expresarse mediante
las ecuaciones vectoriales
⃗ =0
𝑅⃗ = ∑𝐹𝑥 𝑖 + ∑𝐹𝑦 𝑗 + ∑𝐹2 𝑘
⃗ =0
⃗⃗ = ∑𝑀𝑥 𝐼 + 𝛴𝑀𝑦 𝐽 + ∑𝑀2 𝑘
𝑀
De modo que proporcionan seis ecuaciones de equilibrio:
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝐹𝑧 = 0
∑𝑀𝑥 = 0
∑𝑀𝑦 = 0
∑𝑀𝑧 = 0
Estas ecuaciones son condiciones necesarias para el equilibrio de un sólido rígido.
Cuando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que
se ejercen sobre el sólido, serán también condiciones suficientes para el equilibrio.
Estas seis ecuaciones nos permiten calcular, conocidas las fuerzas que actúan
sobre un sistema indeformable, las posiciones de equilibrio. Si la posición de
equilibrio se conoce, estas ecuaciones nos permiten determinar hasta seis
incógnitas de las fuerzas y momentos que sobre él actúan.
3.1. Fricción Estática
La fricción estática, es la energía de resistencia que contrarresta el inicio del
desplazamiento y que surge, por tanto, cuando los cuerpos están en reposo, es la
oposición que se debe superar para poner en movimiento un elemento en relación
con otro. Esta se produce por la interacción entre las irregularidades de las dos
superficies, que se incrementará para evitar cualquier movimiento relativo hasta un
límite donde ya empieza el movimiento. Ese umbral del movimiento está
caracterizado por el coeficiente de fricción estática.
De manera general, la fuerza de fricción estática se calcula multiplicando la fuerza
normal a la superficie por un coeficiente conocido como coeficiente de fricción
estática:
𝐹𝑟 = 𝜇𝑁
Si un cuerpo se encuentra sobre una superficie horizontal, la fuerza normal que se
aplica sobre la superficie es igual al peso del cuerpo (P). A su vez, el peso es igual
a la masa del cuerpo (m) multiplicada por la fuerza de la gravedad (g). En este
caso podemos calcular la fuerza de fricción como:
𝐹𝑟 = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑃 = 𝜇𝑚𝑔
3.2. Fricción Máxima y Cinética
Este tipo de fricción es generada cuando dos superficies se mueven una respecto
de la otra, la resistencia de fricción es casi constante, par aun amplio rango de
velocidades bajas, y en el modelo estándar de ficción, la fuerza de fricción está
descrita por la relación de abajo. El coeficiente típicamente es menor que el
coeficiente de fricción estática, reflejando la experiencia común, de que es más
fácil mantener algo en movimiento a lo largo de una superficie horizontal que iniciar
el movimiento desde el reposo.
Un cuerpo puede someterse a la fricción cinética tanto en una superficie nivelada
como en una superficie inclinada. La fuerza de fricción cinética FK viaja en la
dirección opuesta al cuerpo que se desliza y paralela a la superficie de
deslizamiento. La fuerza normal FN es perpendicular a la fuerza de fricción cinética.
𝐹𝑓 = 𝜇𝑘 ⋅ 𝐹𝑁
3.3. Fricción Seca y Fricción Viscosa
La fricción seca puede ser definida como una fuerza resistente que actúa sobre un
cuerpo e impide o retarda el deslizamiento del cuerpo con relación a un segundo
cuerpo o superficies en las cuales este en contacto. Este tipo de fricción puede
explicarse de manera más conveniente considerando que efectos provoca el tirar
horizontalmente de un bloque de peso uniforme, que descansa sobre una superficie
horizontal rugosa.
Características de la fricción seca:
La fuerza de fricción actúa tangencialmente a las superficies de contacto en una
dirección opuesta al movimiento o a la tendencia al movimiento de una superficie
con respecto a otra.

La fuerza de fricción estática máxima que puede desarrollarse es
independiente del área de contacto, siempre que la presión normal no sea ni
muy baja ni muy grande para deformar o para aplastar severamente las
superficies de contacto de los cuerpos.

Cuando en la superficie de contacto el deslizamiento está a punto de ocurrir,
la fuerza de fricción estática máxima es proporcional a la fuerza normal.

Cuando está ocurriendo el deslizamiento en la superficie de contacto, la
fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal.
𝐹𝑚 = 𝜇𝑠 ⋅ 𝑁
La fricción viscosa, surge cuando un objeto sólido se mueve en medio de un fluido
-un gas o líquido-. Puede modelarse como una fuerza proporcional al negativo de la
velocidad del objeto o al cuadro de esta. El uso de uno u otro modelo depende de
ciertas condiciones, como el tipo de fluido en que se mueva el objeto y si es o no
muy rápido.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
1.-Estatica de partículas: