2011

Notas de clase 2011
Movimientos en el plano
Para Euclides los movimientos constituyen un concepto básico y la congruencia es un concepto
derivado de los movimientos. Es decir, dos figuras geométricas son congruentes si por un
movimiento coinciden en todas sus partes. Por lo tanto las propiedades geométricas de las figuras
congruentes, son aquellas que no cambian por un movimiento.
David Hilbert introduce la congruencia como concepto básico y define el movimiento como
concepto derivado. El movimiento es, entonces, una correspondencia que lleva una figura a otra
congruente.
Felix Klein describe la geometría como el estudio de aquellas propiedades de figuras que
permanecen invariantes por un grupo de movimientos o transformaciones. En particular la
geometría plana de Euclides es el estudio de las propiedades de figuras que permanecen
invariantes por grupos de transformaciones.
Al hablar de movimiento geométrico de un plano no se tiene en cuenta el tiempo y la sucesión de
las posiciones sino la correspondencia que resulta entre los puntos del plano en sus posiciones
inicial y final.
B
B'
C
C'
A
E
E'
A'
D
D'
Figura 1
Definición M.1: Llamaremos transformación geométrica a una aplicación que hace
corresponder a cada punto del plano otro único punto del mismo plano1.
1
La palabra transformación implica que un objeto cambia de alguna manera. Para determinar la transformación geométrica de un objeto
geométrico se debe tener en cuenta: la posición inicial, una regla u operación que describa el cambio o el movimiento y la posición final del
objeto.
Se llama transformación geométrica del plano a toda aplicación biyectiva 𝑇: ℝ2 → ℝ2 que asocia a cada punto P de ℝ2 otro punto P′ = 𝑇(𝑃) ∈
ℝ2 , llamado el homólogo de P
1
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Es decir, si a un punto M de un plano α, de coordenadas (𝑥, 𝑦), se le hace corresponder cierto
punto Μ′, de coordenadas (𝑥′, 𝑦′), del mismo plano, se dice que en el plano α se ha dado una
transformación geométrica de puntos; el punto Μ′ se llamará la imagen del punto M. Las
transformaciones geométricas se pueden aplicar a figuras geométricas, basta con aplicar dicha
transformación a cada uno de los puntos que componen dicha figura.
Todas las transformaciones que conservan la forma y el tamaño de las figuras transformadas se
denominan movimientos en el plano. Existen tres tipos de movimientos: traslaciones, rotaciones,
reflexiones (simetrías) en el plano.
Las transformaciones que no conservan el tamaño de la figura, aunque si su forma, se llaman
semejanzas y homotecias. Existen transformaciones que no conservan el tamaño, ni la forma, una
de ellas es la inversión.
Definición M.2: Un movimiento en el plano α es una biyección φ:𝛼 → 𝛼, que conserva las
distancias, las relaciones de incidencia y las relaciones de orden entre puntos del plano.
Los movimientos en el plano están regidos por los siguientes axiomas:
Axioma M.1: Si P es un punto considerado en una posición inicial (primera), entonces le
corresponde un punto, y sólo uno, en la posición final (segunda) llamado transformado u
homólogo del primero y viceversa.
Axioma M.2: Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y de orden.
Axioma M.3: Ningún movimiento puede transformar un segmento, un ángulo o cualquier objeto
geométrico en partes del mismo. Así, toda semirrecta, semiplano ángulo, etc, tiene por
homólogos en un movimiento otra semirrecta, semiplano, ángulo, etc, respectivamente.
Ejemplos:
̅̅̅̅ , su transformado mediante un movimiento, no puede ser el segmento
1. Dado el segmento𝐴𝐵
̅̅̅̅.
𝐴𝐷
D
B
A
Figura 2
2. Dado el ángulo ∡𝑀𝑂𝑃 su transformado no puede ser el ángulo ∡N𝑂𝑃.
2
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M
N
O
P
Figura 3
Axioma M.4: La transformación resultante de aplicar dos movimientos sucesivos (uno tras el
otro) es otro movimiento y se denomina Producto o composición de movimientos.
Así: en un plano 𝛼, si a una figura 𝐹1 se le aplican dos movimientos 𝑀1 y 𝑀2 , entonces:
F1
M1
F2
M2
F3
Figura 4
El homólogo o transformado de la figura 𝐹1 es 𝐹3 por aplicación de los dos movimientos 𝑀1 y
𝑀2 . Lo anterior en lenguaje de funciones se simboliza por:
(𝑀2 ∘ 𝑀1 ) (𝐹1 )= 𝐹3 ; 𝐹2 (𝐹1 (𝑀1 )) = 𝐹3
Axioma M.5: La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento. Es decir, si
existe un movimiento que transforma el plano 𝛼 en 𝛼′, existe otro movimiento recíproco que
transforma 𝛼 en 𝛼 ′ .
Así el producto de dos movimientos recíprocos es el movimiento idéntico.
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M1
F1
M -1
F2
F1
(𝑀−1 ∘ 𝑀)𝐹1 = 𝐹1
Figura 5
⃗⃗⃗⃗⃗ en otra
Axioma M.6: Existe un movimiento y sólo uno que transforma una semirrecta 𝑂𝐴
semirrecta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴′, y un semiplano 𝛼 limitado por la recta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 en un semiplano 𝛼′ determinado por
la segunda. Si los dos semiplanos que definen el movimiento caen a un mismo lado de las
semirrectas respectivas, el movimiento se llama movimiento directo en caso contrario se llama
movimiento inverso.
S
S
A'
A'
O
A
S'
O
A
S'
Movimiento directo
Movimiento inverso
Figura 6
Definición M.3: Dos figuras 𝐹1 y 𝐹2 del mismo plano son congruentes si existe un movimiento
𝑀 del plano tal que 𝑀(𝐹1 ) = 𝐹2 . Si 𝐹1 y 𝐹2 son congruentes escribimos 𝐹1 ≅ 𝐹2 .
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Simetría central
⃗⃗⃗⃗⃗ una semirrecta contenida en 𝛼, 𝑆1 y 𝑆2 los
Definición M.4: Sean 𝑂 un punto del plano 𝛼, 𝑂𝐴
⃡⃗⃗⃗⃗ . La simetría central, con respecto a O, denotada por 𝑆𝑖𝑚𝜊 es el
semiplanos limitados por 𝑂𝐴
movimiento directo del plano 𝛼 que envía la semirrecta ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 en su opuesta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴′ y al semiplano 𝑆1
en el semiplano 𝑆2 .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es el simétrico de 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ respecto al centro O, escribimos:
Si 𝑂𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝑖𝑚𝜊 (𝑂𝐴
𝑂𝐴′
Definición M.5: Sea O un punto fijo y A un punto cualquiera; decimos que el punto A' es el
simétrico de A con respecto a O si O es el punto medio del segmento ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′.
Ejemplo:
̅̅̅̅ mediante una simetría de centro 𝑂.
Determinemos la imagen del segmento 𝐴𝐵
Figura 7
Para hallar el simétrico de 𝐴 con respecto a 𝑂 se traza la recta 𝑚 determinada por estos puntos.
⃗⃗⃗⃗⃗ , se traza el punto 𝐴′ de manera que 𝑂𝐴
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅
Sobre la semirrecta opuesta a 𝑂𝐴
𝑂𝐴′
Análogamente se procede para obtener el punto 𝐵′, simétrico de 𝐵 con respecto a 𝑂.
Luego:
̅̅̅̅) ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝑆𝑖𝑚𝜊 (𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
Ejemplo: El simétrico respecto al punto 𝑂 del triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 es el triángulo ∆𝐴′𝐵′𝐶′.
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Figura 8
Simetría axial
Definición M.6: Sean α un plano, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 una semirrecta contenida en 𝛼, 𝛼1 y 𝛼2 los semiplanos
⃡⃗⃗⃗⃗
limitados por la recta 𝑂𝐴. La simetría axial con eje en la recta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 denotada por 𝑆𝑖𝑚⃡⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 es el
⃗⃗⃗⃗⃗ y transforma el semiplano 𝛼1 en su
movimiento inverso, del plano α que conserva 𝑂𝐴
opuesto𝛼2 .
Si 𝐴′ es el simétrico de 𝐴 con respecto a la recta ℓ, escribimos 𝑆𝑖𝑚ℓ (𝐴) = 𝐴′.
Definición M.7: Dos puntos 𝐴 y 𝐴′ son simétricos respecto a una recta ℓ cuando ésta es
perpendicular al segmento ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ en su punto medio. Si M es el punto medio de ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ , entonces
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑀𝐴 ≅ 𝑀𝐴′, A' es el simétrico del punto A respecto a la recta ℓ. La recta ℓ se llama eje de
simetría.
Figura 9
Ejemplo: El simétrico respecto a la recta ℓ del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 es el cuadrilátero 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′ .
Figura 10
Definición M.8: Toda perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento se llama
mediatriz del mismo.
DefiniciónM.9: Si una figura geométrica contiene todos los puntos que cumplen determinada
propiedad y recíprocamente, sólo contiene los puntos que la cumplen, se dice que es el lugar
geométrico de dichos puntos.
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Así pues, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus
extremos.
Nota: El lugar geométrico, de todos los puntos interiores de un ángulo que equidistan de sus
lados, es la bisectriz del ángulo.
Teorema M.1 (Propiedades de la perpendicularidad):




Dos rectas que se cortan son perpendiculares, si los cuatro ángulos que forman en el punto de
corte son congruentes.
Por un punto de una recta no pasa más que una perpendicular a ella. En consecuencia, la
mediatriz es única.
Toda perpendicular, a una recta, por un punto A exterior a ella pasa por su simétrico A' , que
es único.
Todos los ángulos congruentes con un ángulo recto son rectos, y recíprocamente todos los
ángulos rectos son congruentes entre sí.
Traslación
Antes de abordar el movimiento de traslación es conveniente precisar el concepto de vector que
se hace necesario en este tema.
El concepto de vector tiene amplia aplicación en diferentes áreas, por ejemplo, en física es
utilizado para representar fenómenos como la aceleración, velocidad, fuerza, tensión, entre otros;
en programación es útil para organizar información; en Matemáticas es objeto de estudio de una
estructura algebraica denominada Espacio vectorial. Podemos seguir enumerando situaciones
donde se evidencie el uso del vector. Para efectos de este curso es necesario entender el concepto
de vector geométrico.
Definición M.10: Un vector geométrico es un segmento dirigido, es decir, un segmento con
dirección, sentido y longitud o magnitud. La dirección del vector es la de la recta que lo contiene,
el sentido está relacionado con la relación de precedencia que se establece del origen al extremo
y la magnitud es la longitud del segmento.
El segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵 con la orientación de la semirrecta cuyo origen es el punto A y pasa por B, es el
vector de origen A y extremo B, denotado por ̅̅̅̅
𝐴𝐵 .
B
A
Figura 11
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Definición M.11: Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, sentido y magnitud.
D
B
A
C
Figura 12
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ tienen la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto.
Los vectores 𝐴𝐵
Definición M.12: Si A, B y C son tres puntos colineales del plano 𝛼, tales que 𝐴 − 𝐵 − 𝐶, la
traslación AB es el movimiento directo del plano que envía la semirrecta ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 en la semirrecta
⃗⃗⃗⃗⃗
⃡⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 , dejando invariantes los semiplanos que determinan la recta 𝐴𝐵 . La traslación AB la
⃡⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
simbolizamos por 𝑇𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . La recta 𝐴𝐵 se llama directriz de la traslación𝑇𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐴𝐵 es el vector
traslación.


Cada punto de la recta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 es desplazado por la traslación a un punto sobre ella misma.
Cada punto del plano en uno delos dos semiplanos que determina la recta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 es desplazado
por la traslación del mismo semiplano.
⃡⃗⃗⃗⃗ es una recta en el plano y 𝑑 es un número positivo, una traslación del plano en la dirección
Si 𝐴𝐵
⃡⃗⃗⃗⃗ , una distancia 𝑑, envia un punto A en un único punto 𝐴′ . La longitud del
de la recta 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅
segmento 𝐴𝐴′ es 𝑑.
Ejemplo:
La traslación del polígono MNPQR, mediante el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 es el polígono M′N′P′Q′R′
Figura 13
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Rotaciones o giros en el plano
En fenómenos como: el movimiento de las manecillas de un reloj (unas más rápido que otras)
alrededor de un punto fijo, se observa que ellas conservan su forma y su medida; al abrir o cerrar
una puerta también se puede ver que ésta gira “alrededor” de unas bisagras, sin que sufra
ninguna deformación.
Las dos situaciones anteriores nos dan idea del concepto de rotación o giro.
Definición: Sea O un punto fijo de un plano 𝛼. Una rotación, con centro de giro un punto O y
un ángulo𝜽, denotada por 𝑅(𝑂,𝜃) , es el movimiento directo del plano 𝛼 que envía un punto A de
𝛼 en otro punto A ' que deja a O invariante y donde,
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴
𝑂𝐴′ y ∡𝐴𝑂𝐴′ ≅ 𝜃
Al ángulo 𝜃 se le llama ángulo de giro o ángulo de rotación, el cual tiene una orientación
positiva si el giro se hace en sentido antihorario y negativa si se hace en sentido horario.
Ejemplo:
̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ y M su punto medio, la rotación 𝑅(𝑀,45°) (𝐴𝐵)
 Dado un segmento 𝐴𝐵
𝐴′𝐵 ′
Figura 14
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LAS TESELACIONES FRISOS Y MOSAICOS
Para ampliar un poco más los conocimientos sobre el tema:
http://books.google.com.co/books?id=WEPdt_7ekYC&pg=PA384&dq=isometrias&hl=es&ei=aoOGTb2NFIKTtwe28PG6BA&sa=X&oi=boo
k_result&ct=result&resnum=8&ved=0CEsQ6AEwBw#v=onepage&q=isometrias&f=false
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