PREUNIVERSITARIO 2022-1 TEMA LOGICA 1.1 INTRODUCCIÓN Definición: La Lógica estudia la validez de los razonamientos Cuando un individuo afirma algo, tiene que argumentar como llegó a esa conclusión. Todo argumento civilizado (lo que escuchamos o leemos) esta hecho sobre un razonamiento (una estructura de pensamiento que en base a premisas aceptadas como ciertas obtenga una conclusión), la lógica valida estos razonamientos. En la clase de hoy haremos estudio de la Lógica Proposicional o lógica de orden cero, la cual trabaja sobre unas unidades de pensamiento llamadas proposiciónes, relacionándolas a través de los llamados conectivos lógicos y analizando esas relaciones. Resaltamos que en esta parte no nos interesa mucho lo que digan las proposiciones en sí, sino como se relacionan para establecer razonamientos válidos. 2 PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS Definición: Una proposición lógica es un enunciado que: 1) Afirma algo acerca de un sujeto 2) Tiene o puede asignársele un valor de verdad esto es, puede ser verdadero (V) o falso (F), uno y solo uno de ellos. Ejemplos de proposiciones: p: Juan estudia en CepreUni q: Laura nunca te hizo caso No son proposiciones: El estudia en la UNI ¡ que calor ! r: Juan ingresará a la UNI Raúl me parece guapo s: 2+4=6 x+5=6 t: 4 + 12 < 16 x + 12 > 16 Las proposiciones pueden nombrarse a través de una letra minúscula 3 PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS Definición: Un conector lógico al afectar a una proposición, o al relacionar a dos proposiciones, forma una nueva proposición lógica. Nueva proposición Representación No es cierto que Laura estudie ………………….. Juan No trabaja ……………………………............ Juan estudia y Laura trabaja …………................. Juan estudia pero trabaja ………………………... Laura va al parque o va al mercado………..…….. Si Juan estudia entonces Juan ingresa .……….. ∼p ∼p p∧q p∧q p∨q p→q 4 PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS Nueva proposición Representación Juan Ingresa solo si estudia en CepreUni …... q→p Solo si Laura te ama, te será fiel…... p→q Raul ingresa si y solo si estudia…... p↔q Julia saldrá contigo siempre y cuando te bañes.. p↔q O Raul ingresa o raul va al Ejército…... p△q O Pedro come o pedro va al baño…... p△q 5 PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS Definición: Al acto de generar una nueva proposición mediante un conector o conectivo lógico se le llama Operación Lógica Operación Lógica Conectivo usado ∼ Negación ∧ Conjunción ……………… ……………. ∨ Disyunción ……………. → Condicional …………… ↔ Bicondicional …………. △ Disyunción excluyente Definición: 1) Una proposición simple es aquella que no tiene presencia de conectores lógicos, excepto en la descripción del sujeto. 2) Una proposición compuesta es aquella que no es simple Son proposiciones simples El Perú tiene grandes ciudades Juan sabe leer Raúl es ingeniero civil Juan y Sonia son esposos 6 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD Definición: Una Fórmula Lógica es la representación simbólica de una Proposición, indicándose en el caso de una proposición compuesta los conectivos lógicos que la generan. Algunas Fórmulas Lógicas 𝐩 ∼𝐩→𝐪 ∼𝐩∨𝐪 (∼ 𝐩 ↔ 𝐪) → 𝐫 ((∼ 𝐩 ∨∼ 𝐪) → 𝐪) → 𝐩 7 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD Definición: Una Tabla de verdad nos señala el valor de verdad de una fórmula lógica, para cada estado de verdad que generan las proposiciones simples que la conforman. Estados de verdad p V V F F q V F V F f(p;q) F V V V 𝑵° 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅 = 𝟐𝑵°𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 8 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN: p V V F F q V F V F p∧q V F F F La conjunción es Verdadera solo si ambas proposiciones son Verdaderas Ejemplo Juana estudia y Pedro trabaja (V) Se concluye: Juana Estudia (V) Pedro trabaja (V) 9 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN p V V q V F p∨q V V F F V F V F La disyunción es Falsa solo si ambas proposiciones son Falsas Ejemplo Juana es Física o Juana es Pintora (F) Se concluye: Juana es Física Juana es pintora (F) (F) 1 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p V ∼p F F V La negación tiene un valor de verdad distinto al de la proposición original. TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL p q V V V F p→q V F F V F F V V La condicional es Falsa solo si el antecedente es Verdadero y el consecuente es Falso Ejempl SioRaúl estudia entonces Raúl Ingresa (F) Se concluye: Raúl Estudia (V) Raúl ingresa (F) FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD Observaciones de la condicional p q V V V F F F V F p→q V F V V 1) Si el antecedente es Falso entonces la condicional es verdadera 2) Si el consecuente es Verdadero entonces la condicional es verdadera 3) En la condicional p→q se dice que: p es suficiente para q q es necesario para p q→p es su recíproco ∼ q→∼p es su contrarrecíproco 12 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL p V V F F q V F V F p↔q V F F V La Bicondicional es Verdadera solo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad Observacion En la bicondicional p ↔ q se dice que: q es suficiente y necesario para p 13 FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD TABLA DE LA DISYUNCIÓN EXCLUYENTE p q p∆q V V F V F F V F F V V F La disyunción excluyente es Verdadera solo si ambas proposiciones tienen distinto valor de verdad Observacion Si son verdaderas ambas a la vez la Disyunción excluyente es FALSA 14 EQUIVALENCIAS LÓGICAS. TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN Definición: Dos fórmulas lógicas son equivalentes ( p ≡ q ) si tienen el mismo valor de Verdad en cada Estado de Verdad. Ejemplos p V V F q V F V F F p→q V F V V ~p F F V ∨ V F V q V F V V V F p→ q es equivalente a ~p ∨ q p→ q ≡ ~p ∨ q p ∨ (p ∧ p q) V V V V V V V F V V F V F V F F F F F F F F F F p ∨ (p ∧ q) es equivalente a p p q p ∨ (p ∧ q) ≡ p 15 EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN Definición: Una Fórmula Lógica es Tautología si es Verdadera en cualquier estado de Verdad generado por las proposiciones que la conforman. Ejemplo (p → q) ∨ p p q V V V V V V F F V V F V V V F F F V V F (p → q) ∨ p es Tautología (p → q) ∨ p ≡ V 16 EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN Definición: Una Fórmula Lógica es Contradicción si es Falsa en cualquier estado de Verdad generado por las proposiciones que la conforman. Ejemplo p q ~ (p → q) ∧ q V V F V F V V F V F F F F V F V F V F F F V F F ~ (p → q) ∧ q es Contradicción ~ (p → q) ∧ q ≡ F 17 EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN Definición: Una Fórmula Lógica es Contingencia si no es Tautología ni es Contradicción Ejemplo p q ~ (p → q) ∧ p V V F V F V V F V F V V F V F V F F F F F V F F ~ (p → q) ∧ P es Contingencia 18 ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 𝟏𝐚. 𝐩∨𝐩≡𝐩 𝟏𝐛. 𝐩∧𝐩≡𝐩 𝟐𝐚. 𝐩∨𝐪≡𝐪∨𝐩 𝟐𝐛. 𝐩∧𝐪≡𝐪∧𝐩 𝟑𝐚. 𝐩 ∨ (𝐪 ∨ 𝐫) ≡ (𝐩 ∨ 𝐪) ∨ 𝐫 𝟑𝐛. 𝐩 ∧ (𝐪 ∧ 𝐫) ≡ (𝐩 ∧ 𝐪) ∧ 𝐫 𝟒𝐚. 𝐩 ∨ (𝐪 ∧ 𝐫) ≡ (𝐩 ∨ 𝐪) ∧ (𝐩 ∨ 𝐫) 𝟒𝐛. 𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫) ≡ (𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫) 𝟓𝐚. 𝐩 ∨ ~𝐩 ≡ 𝐕 𝟓𝐚. 𝐩 ∧ ~𝐩 ≡ 𝐅 𝟔𝐚. 𝐩∨ 𝐕≡𝐕 𝟔𝐚. 𝐩∧𝐕≡𝐩 𝟕𝐚. 𝐩∨ 𝐅≡𝐩 𝟕𝐚. 𝐩∧𝐅≡𝑭 19 ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Leyes de Morgan 𝟖𝐚. ~(𝐩 ∨ 𝐪) ≡ ~𝐩 ∧ ~𝐪 𝟖𝐛. ~(𝐩 ∧ 𝐪) ≡ ~𝐩 ∨ ~q Leyes de Absorción 𝟗𝐚. 𝐩 ∨ (𝐩 ∧ 𝐪) ≡ 𝐩 𝟗𝐛. 𝐩 ∧ (𝐩 ∨ 𝐪) ≡ 𝐩 Falsa Absorción 𝟏𝟎𝐚. 𝐩 ∨ (~𝐩 ∧ 𝐪) ≡ 𝐩 ∨ 𝐪 Condicional 𝟏𝟏. 𝐩 → 𝐪 ≡ ~𝐩 ∨ 𝐪 Bicondicional 𝟏𝟑. 𝟏𝟎𝐛. 𝟏𝟐. 𝐩 ∧ (~𝐩 ∨ 𝐪) ≡ 𝐩 ∧ 𝐪 𝐩 → 𝐪 ≡ ~𝐪 → ~𝐩 𝐩 ↔ 𝐪 ≡ (𝐩 → 𝐪) ∧ (𝐪 → 𝐩) 20 ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Negación 𝟏𝟒. ~(~𝐩) ≡ 𝐩 Disyunción excluyente Bicondicional 𝟏𝟓. ~(𝐕) ≡ 𝐅 𝟏𝟕. 𝟏𝟔. ~(𝐅) ≡ 𝐕 𝐩 △ 𝐪 ≡ ~(𝐩 ↔ 𝐪) Disyunción excluyente 𝟏𝟖𝐚. 𝒑 ↔ 𝐩 ≡ 𝐕 𝟏𝟖𝐛. 𝒑 △ 𝐩 ≡ 𝐅 𝟏𝟗𝐚. 𝒑 ↔ 𝐪 ≡ 𝐪 ↔ 𝐩 𝟏𝟗𝐛. 𝒑 △ 𝐪 ≡ 𝐪 △ 𝐩 𝟐𝟎𝐚. ~ 𝐩 ↔ 𝐪 ≡ ~𝒑 ↔ 𝐪 ≡ (𝒑 ↔ ~𝐪) 𝟐𝟎𝐛. ~ 𝐩 △ 𝐪 ≡ ~𝒑 △ 𝐪 ≡ (𝒑 △ ~𝐪) 𝟐𝟏𝐚. ~𝐩 ↔ ~𝐪 ≡ 𝒑 ↔ 𝐪 𝟐𝟏𝐛. ~𝐩 △ ~𝐪 ≡ 𝒑 △ 𝐪 21