mell-tarea (1)

Números Complejos
Bernardino Flores Andrea Griseel
De La Rosa Andrade Melanye
11 de Septiembre del 2022
Denición de un número complejo
No existe un número real x que satisfaga la ecuación polinomial x2 + 1 =
0. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números
complejos.
Supóngase que se desea encontrar las raíces de los polinomios
λ2 + bλ + c = 0.
(1)
Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene
λ=
√
−b± b2 −4ac
.
2a
(2)
Si b2 − 4c > 0, existen dos raíces reales. Si b2 − 4c = 0, se obtiene una
sola raiz (de multiplicidad 2). Para manejar el caso b2 − 4c < 0 se introduce la
unidad imaginaria
√
i = −1
(3)
de manera que i2 = −1
Entonces para b2 − 4c < 0
p
√
√
√
√
b2 − 4ac = (4c − b2 )(−1) = 4c − b2 −1 = 4c − b2 i
y las dos raíces de (1) están dadas por
λ1 = − 2b +
√
4c−b2
i
2
y λ2 = − 2b −
√
4c−b2
i.
2
Ejemplo 1
Encuentre las raíces de la ecuación cuadrática λ2 + 2λ + 5 = 0.
√
2
Se√tiene
Entonces
√ b = 2, c = 5 y b − 4c = −16.−2+4i
−16 = 16 −1 = 4i y las raíces son λ1 = 2 = −1 + 2i y
λ2 = −1 − 2i.
Solución.
b2
− 4c =
√
Denición 1
Un número complejo es una expresión de la forma
1
z = α + iβ
(4)
donde α y β son números reales, α se denomina la parte real de z y se
denota Re(z); β se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im(z).
La representación (4) recibe el nombre de forma cartesiana o rectangular del
número complejo z .
Observación
Si en la Ec. (4) β = 0 , entonces z = α es un número real. En este contexto
se puede decir que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los
números complejos.
Ejemplo 2
En el primer ejemplo, Re(λ1) = −1 y Im(λ1) = 2.
Denición 2:
Si z y w son dos números complejos, entonces z = w si y sólo si Re(z) =
Re(w) y Im(z) = Im(w).
Denición 3
Sean los números complejos z1 = α1 + iβ1 y z2 = α2 + iβ2 ; El producto de
un número complejo z1 por un número real c, la suma y la multiplicación de
estos números complejos se denen como:
cz1 = cα1 + icβ1
(5)
z1 + z2 = (α1 + α2 ) + i(β1 + β2 )
(6)
z1 z2 = (α1 α2 − β1 β2 ) + (α1 β + α2 β1 )
(7)
Denición 4:
Si z1 y z2 son dos números complejos, entonces z1 − z2 = z1 + (−1)z2 .
Ejemplo 3
Sean z = 2 + 3i y w = 5 − 4i. Calcule i) z + w, ii) 3w − 5z y iii) zw.
Solución:
i) z + w = (2 + 3i) + (5 − 4i) = (2 + 5) + (3 − 4)i = 7 − i.
ii) 3w = 3(5−4i) = 15−12i; 5z = 10+15i y 3w−5z = (15−12i)−(10+15i) =
(15 − 10) + i(−12 − 15) = 5 − 27i.
iii) zw = (2 + 3i)(5 − 4i) = ((2)(5) − (3)(−4)) + i((2)(−4) + (5)(3)) = 22 + 7i.
Plano complejo
2
Es posible gracar un número complejo z en el plano representando Re z en
el eje horizontal y Im z en el eje vertical. Entonces cada número complejo es
un punto en este plano que se denomina plano complejo o de de Argand. En la
Figura 1 se muestra la gráca de algunos números complejos.
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/primis.jpg
El conjugado de un número complejo
Denición 5
Sea z = α + iβ , entonces el conjugado de z , denotado por z − , se dene como
z − = α − iβ .
(8)
La Fig. (2) muestra la gráca de z − .
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/segus.jpg
Ejemplo 4
Calcule el conjugado de i)1 + i, ii) 3 − 4i, iii)−7 + 5i, y iv)−3.
Solución:
i) 1 + i = 1 − i; ii) 3 − 4i = 3 + 4i; iii) −7 + 5i = −7 − 5i; iv) −3 = −3.
Teorema 1
Si z = α + iβ y w = γ + iδ son números complejos, entonces
3
1. z − = z
2. z + w = z − + w−
3. zw = z − w−
4. Si z ̸= 0, entonces (w/z) = w− /z −
5. z − = z si y sólo si z es real.
6. z − = −z si sólo si z es imaginario.
El campo de los complejos
Si z1 , z2 , z3 ∈ C, donde C es el conjunto de los números complejos, las
operaciones de adición y multiplicación satisfacen las siguientes propiedades:
1. z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C (Ley de cerradura)
2. z1 + z2 = z2 + z1 (Ley conmutativa de la suma)
3. z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 (Ley asociativa de la suma)
4. z1 z2 = z2 z1 (Ley conmutativa de la multiplicación)
5. z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 (Ley asociativa de la multiplicación)
6. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 (Ley distributiva)
7. z1 + 0 = 0 + z1 = z1 , 0 se denomina elemento neutro de la suma; z1 · 1 =
1 · z1 = z1 , 0 se denomina elemento neutro para el producto.
8. Si z1 ∈ C, existe un número único z∈ C tal que z1 + z = z + z1 = 0; z se
llama el opuesto de z1 y se denota por −z1 .
9. Para cualquier z1 ̸= 0, existe un número único z ∈ C tal que z1 z = zz1 = 1;
z se denomina el inverso de z1 respecto al producto y es denotado por z1−1
o 1/z1 .
Propiedad 1:
Sea pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn un polinomio con coecientes
reales. Entonces las raíces complejas de la ecuación pn (x) = 0 ocurren en pares
conjugados complejos. Esto es, si z es una raíz compleja de pn (x) = 0, entonces
también lo es z .
Denición 6:
Si z = α + iβ la magnitud (o módulo) de z , denotada por |z|, se dene como
p
|z| = α2 + β 2
(9)
4
y el argumento de z , denotado por argz , se dene como el ángulo θ entre la
recta Oz y el lado positivo del eje horizontal.
Convencionalmente se toma
−π < argz ≤ π .
En la Fig(3) se puede ver que r = |z| es la distancia de z al origen.
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/tercis.jpg
-Si α
> 0, entonces por converción arctan β/α toma valores en el intervalo
− π2 , π2 .
-Si α=0 y β > 0, enronces θ = arg z = π2
-Si α=0 y β < 0, enronces θ = arg z = − π2
-Si α < 0 y β > 0, enronces θ se encuentra en el segundo cuadrante y está
dado por
θ = arg z = π − arctan
β
.
α
-Si α < 0 y β < 0, enronces θ se encuentra en el tercer cuadrante y está
dado por
θ = arg z = −π + arctan
β
.
α
-arg 0 no est denido.
De la gura (4) se ve que
|z̄| = |z|
(10)
argz̄ = −argz.
(11)
y
5
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/cuartis.jpg
Observe que i z = a + bi, entonces
z z̄ = (a + bi) (a − bi) = a2 − abi + abi − b2 i2 = a2 + b2
Por tanto,
2
z z̄ = |z|
El conjugado de un número complejo nos permite denir la operacón de
división de complejos.Si w y z ̸= 0 son dos números complejos, entonces
w
w z̄
wz̄
wz̄
= . =
= 2
z
z z̄
z z̄
|z|
Resumen de propiedades del módulo de un número complejo z :
1. |z| = 0 si y sólo si z = 0
2. |z| = |z|
3. |zw| = |z||w|
4. Si z6 ̸= 0, entonces |z −1 | = |z|−1
5.|z + w| ≤ |z| + |w|
De la Fig. (3) es evidente que si z = α + iβ, r = |z|yθ = argz , entonces
α = rcosθyβ = rsenθ
A continuación probaremos la propiedad
eiθ = cos θ + i sin θ
Demostración.
Del cálculo integral obtenemos las series de potencia
eiθ = 1 + x +
sin x = x
x2
x3
+
+ ...
2!
3!
x3
x5
+
− ...
3!
5!
cos x = 1 −
x2
x4
+
− ...
2!
4!
6
Entonces
eiθ = 1 + (iθ) +
(iθ)2
(iθ)3
(iθ)4
(iθ)5
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
ahora, como i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 = i etc, la Ec. (17) puede escribirse
como
eiθ = 1 + iθ −
=
θ2
iθ3
θ4
iθ5
−
+
+
− ...
2!
3!
4!
5!
θ2
θ4
θ3
θ5
1=
+
− ... + i θ −
+
− ... = cos θ + i sin θ
2!
4!
3!
5!
como cos (−θ) = cos θ y sin (−θ) = − sin θ también se tiene
e−iθ = cos (−θ) + i sin (−θ) = cos θ − i sin θ
La Fórmula (13) se denomina identidad de Euler.
Si se utiliza la identidad de Euler y la Ec.(12)
z = α + β = r cos θ + ir sin θ = r (cos θ + i sin θ)
o
z = reie
La representación (19) se denomina forma polar del número complejo z.
Ejemplo 5:
Determine las formas polares de los siguientes números complejos:
i)1, ii) − 1, iii)i, iv)1 + i, v) − 1 −
√
3i3iyvi) − 2 + 7i
Solución:
Los seis puntos están gracados en la Figura (5).
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/quinto.jpg
7
Figura 5:
Seis puntos en el plano complejo.
i) De la Fig. (5a) es evidente que arg 1 = 0. Como Re(1) = 1, se ve que, en la
forma polar, 1 = 1eiθ = 1.
ii) De la Fig(5b) arg(−1) = y| − 1| = 1, se tiene√−1 = 1eπi .
π
iii) De la Fig(5c)arg(i) = π2 y puesto que |i| = 02 + 12 = 1se tienei = ei 2 .
√
√
iv) De la Fig(5d) arg(1 + i) = arctan( 11 ) = π4 y |1+i | = 12 + 12 = 2se
√ π
tiene 1 + i = 2e1 4
√
β
) = 3 = π3 . Sin embargo, arg(z) se encuentra
v) De la Fig. (5e) arctan( α
√
en el tercer cuadrante, de manera que arg(−1− 3i = θ = π3 − π = −2π/3.
Además
q
√
√ 2 √
√
π
| − 1 − 3i| = 12 +
3 = 1 + 3 = 2,por lo que −1 − 3 = 2e−2 3
vi) De la Fig. (5f)arctan(−7 = 2) = arctan(−3 : 5) = −1 : 2925: Pero como
θ está en el segundo cuadrante, arg(−2 + 7i) = π − arctan(3.5) = 1 : 8491 y
como
q
√
2
| − 2 + 7i| = (−2) + 72 = 53e1.84491i
Ejemplo 6:
Convierta los siguientes números complejos de la forma polar a la forma cartesiana: i)2eiπ/3 ; ii)4e3πi/2
Solución:
q √
iπ
3
3 = 1 +
+ i sin π3 = 21 +
3i
2 i ,entonces 2e
πi
π
π
3 πi
ii)e 2 = cos 3 2 + i sin 3 2 = 0 + i (−1) = −i entonces 4e3 2 = 4i
Si θ = argz , entonces por la Ec. (11), arg z = -θ. Así, puesto que por la Ec.
(10) |z|-|z|
si z = reiθ ,entonces z = re−iθ
i)eiπ = cos
π
3
Teorema 2 (Teorema de De Moivre)
Suponga que se
número
complejo en su forma polar z = re−iθ . Entonces
tienenun iθ
n
n
iθ n
z = re
=r e
= rn einθ = rn (cos nθ + sin nθ)
La Ec.(21) es muy útil. En particular, sir = |z| = 1 se obtiene la
Fórmula de De Moivre:
n
(cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ
Ejemplo 7:
Calcule (1 + i)5
8
Solución:
En el Ejemplo 5 se mostró que 1 + i =
√
2eiπ/4 . entonces
5 √ 5
p
√
5π
5π
5
5π/4
π/4
(1 + i) =
2e
=
2 e
+ i sin
= 4 2 cos
4
4
√
1
= 4 2 − √ i = −4 − 4i
2
También podemos utilizar el Teorema de De Moivre para extraer raíces nésimas de números complejos. Una raíz n-ésima de un número complejo z es un
número complejo w tal que
wn = z.
En la forma trigonométrica, se tiene
w = s (cos p + i sin p) y z = r (cosθ + i sin θ)
y de acuerdo con el Teorema de De Moivre,
sn (cos np + i sin np) = r (cos θ + i sin θ)
Por igualdad vemos que
√
sn = r o s = r1/n = n x
También debemos tener
cos np = cos θ y sin np = sin θ
Puesto que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo2π , estas
dos últimas ecuaciones implican que np y dieren en un múltiplo entero de 2π ;
es decir,
np = θ + 2kπ o p = θ+2kπ
n
donde kes un entero.
Por consiguiente,
1
w = r n cos θ+2kπ
+ i sin θ+2kπ
n
n
describe las posibles raíces n-ésimas cuando k toma consecutivamente los
enteros. No es difícil demostrar quek = 0; 1; 2; . . . . . . n − 1 produce distintos
valores de w, de modo que hay exactamente n diferentes raíces n-ésimas dez =
r(cos + isen). Esto demuestra el siguiente Teorema.
Teorema 3 (Raíces de un complejo)
Sea z = r(cosθ+isenθ) y sea n un entero positivo. Entonces, z tiene exactamente
n raíces distintas dadas
por
θ+2kπ
r1/n cos θ+2kπ
+
sin
n
n
para k = 0; 1; 2; . . . , n − 1 :
Ejemplo 8
Encuentre las tres raíces cúbicas de −27
9
Solución:
En Forma polar, −27 = 27(cosπ + i sin π).De aquí que las raíces cúbicas de −27
están dadas por
π + 2kπ
π + 2kπ
1/3
1/3
(−27)
= 27
cos
+ i sin
3
3
para k = 0; 1; 2 :
Solución (continuación)
Utilizando la fórmula (23) con n = 3, tenemos
27
h
πi
π
=3
cos + i sin
3
3
√ !
√
1
3
3 3 3
+
i = +
i
2
2
2
2
1/3
π + 2π
π + 2π
+ i sin
= 3 (cos π + i sin π) = −3
cos
3
3
1/3
π + 4π
π + 4ππ
5π
5π
cos
+ i sin
+ i sin
= 3 cos
3
3
3
3
27
27
1/3
=3
√ !
√
3 3 3
1 3
i = −
i
2 2
2
2
Como la Fig. (6) lo muestra, las tres raíces cúbicas de −27 se encuentran
igualmente espaciadas por 2 = 3 radianes(120) entre sí, en torno de un círculo
de radio3 centrado en el origen.
C:/Users/berna/OneDrive/Desktop/Algebra/seis.jpg
Figura 6:
Las raíces cúbicas de 27.
1 Polinomios
*Un polinomio es una función p de una variable x que puede escribirse en la forma
10
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
dondea0 , a1 , . . . , an son constantes (an ̸= 0), denominadas los
coecientes del polinomio p.
*Utilizando la convención de que x0 = 1, podemos usar la notación
de sumatoria para expresar p como p(x)
p(x) =
n
X
a k xk .
k=0
El entero n se denomina el grado de p, el cual se denota escribiendo
gradp = n.
Un polinomio de grado cero se llama polinomio constante.
Ejemplo 9
¾Cuál de las siguientes funciones son polinomios?
√
(a) 2 − 13x + 2x2
(b) 2 − 3x1 2
√
(c) 2x2
5x3 (d) ln 2ee3x
(e)
(f )
x2 −5x+6
x−2
√
x
(g) cos(2arccosx)
(h) ex
Solución:
(a) Esta función es un polinomio. Tiene la forma expresada en la
Ec. (24).
(b) Un polinomio de la forma dada por la Ec. (24) no puede llegar a ser innito cuando x tiene a un
número a (limx→a p(x) =
±∞),mientras que limx→0 2 − 3x1 2 = −∞. Por tanto no es un
polinomio
(c) Tenemos que
√
√ √
√
2x2 = 2 x2 = 2|x|
√
√
lo que es igual a 2x cuando x ≥ 0 y a − 2x cuando x < 0.
Por tanto, esta expresión forma una función denida en partes, así
que no es un polinomio.
11
(d) Según las propiedades de los exponentes y logaritmos, tenemos
que
3
5x3 3
ln 2ee3x =ln 2e5x −3x =ln 2 + ln e5x −3x
= ln 2 + 5x3 − 3x = ln 2 − 3x + 5x3 de manera que esta expresión es
un polinomio.
(e) El dominio de esta función está formado por todos los números
reales x ̸= 2. Para estos valores de x, la función se simplica a
x2 −5x+6
x−2
= (x−2)(x−3)
= x − 3 de modo que podemos decir que es
x−2
un polinomio en su dominio.
(f) Vemos que esta función no puede ser un polinomio (incluso en
su dominio x ≥ 0), debido a que la diferenciación repetida de un
polinomio de la forma que aparece en la Ec. (24) nalmente resulta
en cero y » x no tiene
esta propiedad.
(g) El dominio de esta expresión es −1 ≤ x ≤ 1. Seaθ = arccosx tal
que x = cosθ. Utilizando una identidad trigonométrica, observamos que
cos(2arccosx) = cos2 θ = 2cos2 θ − 1 = 2x2 − 1
de manera que esta expresión es un polinomio en su dominio.
(h) Si analizamos esta expresión como lo hicimos en (f), concluimos
que no es un polinomio.
Denición
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coecientes
de las potencias correspondientes de x son todos iguales.
Denición
La suma de dos polinomios se obtiene al sumar entre sí los coecientes de las correspondientes potencias de x. La diferencia de
dos polinomios se obtiene al restar entre sí los coecientes de
las correspondientes potencias de x. El producto de dos polinomios se obtiene al utilizar repetidamente la ley distributiva y
posteriormente agrupando las correspondientes potencias de x
Ejemplo 10
Encuentre la suma de 2 − 4x + x2 y1 + 2x − x2 + 3x3 . Calculamos
(2 − 4x + x2 ) + (1 + 2x − x2 + 3x3 ) = (2 + 1) + (−4 + 2)
+(1 + (−1))x2 + (0 + 3)x3 = 3 − 2x + 3x3
12
donde hemos supuesto que el primer polinomio tiene su primer término igual a 0x3
Ejemplo 11
Encuentre el producto de 2 − 4x + x2 y1 + 2x − x2 + 3x3 . Calculamos
(2 − 4x + x2 )(1 + 2x − x2 + 3x3 ) = 2(1 + 2x − x2 + 3x3 ) − 4x(1 +
2x − x2 + 3x3 )
3+x2 (1+2x−x2 +3x3 ) =)(2+4x−2x2 +6x3 )+(−4x−8x2 +4x3 −12x3 )
x4 +x2 +2x3 −x4 +3x5 = 2+(4x−4x)+−2x2 −8x2 +x2 +6x3 +4x3 +2x
+3x5 = 2 − 9x2 + 12x3 − 13x
Observe
Que para dos polinomios p y q, grad (pq) = grad p + grad q. Si p
y g son polinomios
con grad g ≤ grad p, podemos dividir p entre g, utilizando la división
larga para obtener el cociente p/g.
Si p y g son polinomios con grad g ≤ grad p, podemos dividir p entre
g, utilizando la división larga para obtener el cociente p/g.
Ejemplo 12
2
3
+3x
Calcule 1+2x−x
2−4x+x2
Realizaremos la división larga. Para ello, es útil escribir cada polinomio de manera que se tengan las potencias de x en orden decreciente:
2
x − 4x + 2 3x3 − x2 + 2x + 1
Comenzamos por dividir 3x3 entre x2 para obtener el cociente parcial
3x. Luego multiplicamos 3x por el divisor x2 − 4x + 2 y restamos
el resultado del dividendo y acarreamos el siguiente término:
l 3x
x − 4x + 2 3x3 − x2 + 2x + 1
2
−3x3 + 12x2 − 6x
11x2 − 4x + 1
A continuación repetimos el proceso con 11x2 , es decir, dividimos
11x2entre x2 , para obtener el cociente parcial 11. Luego multiplicamos 11 por el divisor x2 − 4x + 2y
restamos el lresultado del dividendo:
x2 − 4x + 2 3x3 − x2 + 2x + 1
13
−3x3 + 12x2 − 6x
11x2 − 4x + 1
−11x2 + 44x − 22
40x − 21
Ahora tenemos un residuo 40x = 21. Su grado es menor que el
divisor x2 − 4x + 2, de modo que el proceso se detiene, por lo que
hemos encontrado que
3x3 − x2 + 2x + 1 = x2 − 4x + 2(3x + 11) + (40x − 21)
1+2x−x2 +3x
2−4x+x
= 3x + 11 x240x−2
−4x+2
Teorema 4
Algoritmo de la división Si f y g son polinomios con grad g ≤ grad
f, entonces existen polinomios q y r tales que
f (x) = g(x)q(x) + r(x)
donde r = 0 o grad r < grad g
En el Ejemplo 12
f (x) = 3x3 − x2 + 2x + 1, g(x) = x2 − 4x + 2,
q(x) = 3x + 11
y r(x) = 40x − 21.
En el algoritmo de la división, si tenemos que el residuo es cero,
entonces
f (x) = g(x)q(x)
y decimos que g es un factor de f. Nótese que q también es un factor
de f.
Un cero (o raíz) de un polinomio f es un número a tal que f(a) = 0
El siguiente Teorema, conocido como el Teorema del factor, establece
la conexión entre los factores de un polinomio y sus ceros.
Teorema 5
(Teorema del factor) Sea f un polinomio y a una constante. Entonces
a es un cero de f si y sólo si x = a es un factor de f(x).
Demostración. Según el algoritmo de la división,
f (x) = (x − a)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o grad r < grad (x = a) = 1. De este modo, en
cualquier caso, r(x) = r es una constante. Ahora,
f (a) = (a − a)q(a) + r = r
de manera que f(a) = 0 si y sólo si r = 0, lo que es equivalente a
14
f (x) = (x − a)q(x)
que es lo que necesitábamos demostrar. Del Teorema 4 se deduce
también el siguiente teorema.
Teorema 6 (Teorema del residuo)
Cuando un polinomio f(x) se divide entre x = a, donde a ∈ C, el
residuo es f(a). I No hay un método garantizado para hallar los
ceros de un polinomio I El caso de un polinomio con coecientes
enteros es interesante, ya que se puede utilizar el teorema siguiente, que proporciona los criterios para la existencia de un cero
racional.
Teorema 7 (Teorema de las raíces racionales)
Sea f (x) = a0 + a1x + · · ·+ anx n un polinomio con coecientes
a0, a1, . . . , an enteros y sea a/b un número racional escrito
en términos mínimos (esto es, a y b no tienen factores enteros
comunes diferentes de uno). Si a/b es un cero de f, entonces a0
es un múltiplo de a y an es un múltiplo de b.
Demostración
Si a/b es un cero de f, entonces a0 +a1 ( ab )+···+an−1 ( ab )+an ( ab )n = 0.
Multiplicando por bn , tenemos
a0 bn + a1 abn−1 + · · · + an−1 an−1 b + an an = 0
lo cual implica que
a0 bn + a1 abn−1 + · · · + an−1 an−1 b = −an an
El lado izquierdo de la Ec.(26) es un múltiplo de b, de manera que
ana también debe ser un múltiplo de b. Debido a que a/b se
encuentra en términos mínimos, a y b no
tienen factores en común mayores que 1.
Por tanto, an debe ser un múltiplo de b. También podemos escribir
la Ec.(25) como
−an an = a0 bn + a1 abn−1 + · · · + an−1 an−1 b + an an
y un argumento similar muestra que a0 debe ser un múltiplo de a
Ejemplo 13
Encuentre todas la raíces racionales de la ecuación
6x3 + 13x2 − 4 = 0.
15
Si a/b es una raíz de la ecuación, entonces según el Teorema de las
raíces racionales, 6 debe ser un múltiplo de b y =4 un múltiplo
de a; por consiguiente
a ∈ ±1, ±2, ±4yb ∈ ±1, ±2, ±3, ±6
Si formamos todos los números racionales a/b, observamos que las
únicas raíces racionales posibles de la ecuación dada son:
±1, ±2, ±4, ±, 12 ± 16 , ± 31 , ± 23 , ± 43
Utilizando división sintética, probamos cada uno de estos valores comenzando
desde el más pequeño hasta el más grande. Así, probamos con el más pequeño:
6 13
0
-4
-4
-24 44 -176
6 -11 44 -180
Como el residuo no es cero, según el Teorema del factor =4 no es una raíz
de la ecuación.
En seguida probamos el número =2:
6 13
0 -4
-12 -2 4
-2
6
1
-2 0
De aquí que utilizando el Teorema del residuo, f (−2) = 0. Por denición de
raíz de una ecuación,−2 es una raíz de la ecuación. Utilizando el Teorema del
factor y el algoritmo de la división, tenemos
6x3 + 13x2 − 4 = (x + 2)(6x2 + x − 2) = 0.
Procedemos a factorizar 6x2 + x − 2 , utilizando la división sintética. Si
a/b es una raíz de la ecuación, entonces según el Teorema de las raíces racionales,
6 debe ser un múltiplo de b y −2 un múltiplo de a; por consiguiente
a ∈ ±1, ±2 y b ∈ ±1, ±2, ±3, ±6 .
Si formamos todos los números racionales a/b, observamos que las únicas
raíces racionales posibles de la ecuación dada son:
±1, ±2, ± 12 , ± 16 , ± 13 , ± 23
Utilizando división sintética, probamos cada uno de estos valores comenzando desde el más pequeño hasta el más grande. Así, probamos con el más
pequeño:
6
1
-2
-2
-12 22
6 -11 20
Como el residuo no es cero, según el Teorema del factor =2 no es una raíz
de la ecuación. En seguida probamos el número −1:
6 1 -2
-6 5
-1
6 -5 3
Como el residuo no es cero, según el Teorema del factor =1 no es una raíz
de la ecuación.
En seguida probamos el número − 32 :
16
1 -2
-4 2
6 -3 0
De aquí que utilizando el Teorema del residuo, f (− 23 ) = 0. Por denición de
raíz de una ecuación, − 32 una raíz de la ecuación.
Utilizando el Teorema
del factor y el algoritmo de la división, tenemos
6x2 + x − 2 = x + 23 (6x − 3) = 0.
Ahora, si 6x − 3 = 0, entoncesx = 12 es la tercera raíz de la ecuación. Como
veremos en breve, una ecuación polinomial de tercer grado debe tener tres raíces
que pueden ser reales o complejas. Así, esta ecuación polinomial tiene todas sus
raíces reales y racionales.
− 23
ˆ
6
Observamos en este ejemplo, que una vez que encontramos una raíz a de
una ecuación polinomial dada f (x) = 0, sabemos que x − aes un factor
de f (x), digamosf (x ) = (x − a)(x ). Por tanto, como grad g < grad f ,
las raíces de g(x) = 0 (las cuales también son raíces de f(x) = 0 ) pueden
determinarse más fácilmente.
ˆ
En particular, si g(x) es un polinomio cuadrático, podemos utilizar la
fórmula cuadrática. Por tanto, del ejemplo anterior, después de encontrar
la primera raiz y factorizar obteniendo6x3 +13x2 −4 = (x+2)6x2 +x−2 =
0, podemos utilizar la fórmula cuadrática en 6x2 + x − 2 = 0 para hayar
sus raíces:
√
−1 12 −4(6)(−2)
1
2
x=
= −1±7
2(6)
12 ⇒ x1 = 2 y x2 = − 3 .
ˆ
ˆ
ˆ
El Teorema del factor establece la relación que existe entre los ceros de un
polinomio y sus factores lineales.
Sin embargo, un polinomio puede tener factores de grado superior.
Cuando se pide factorizar un polinomio se necesita saber el conjunto
numérico al cual pertenecen los coecientes de los factores.
Ejemplo 14
Considere el polinomio
p(x ) = x4 + 1.
En los números racionales Q, los únicos ceros posibles de p son −1 y 1,
según el Teorema de las raíces racionales. Una rápida vericación muestra que
ninguno de ellos es un cero del polinomio, de manera que p(x ) no tiene factores
lineales con coecientes racionales, según el Teorema del factor.
Sin embargo, podemos intentar factorizar p(x ) en un producto de dos cuadráticas. Para ello utilizaremos el método de los coecientes indeterminados.
Supongamos que
x 4 + 1 = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d )
Si desarrollamos el lado derecho obtenemos
x 4 + 1 = x 4 + (a + c)x 3 + (b + ac + d )x 2 + (ad + bc)x + bd
17
y por igualdad,obtenemos las ecuaciones
a + c = 0 (27 )
b + ac + d = 0 (28 )
ad + bc = 0 (29 )
bd = 1 .(30 )
Si a = 0 , de la Ec.(27) c = 0 y de la Ec.(28) d = −b . Esto da (Ec.(30))
−b 2 = 1 , que no tiene soluciones en Q. Ahora, si suponemos que a ̸= 0 , de
la Ec.(28) c = −a y de la Ec.(29) obtenemos d = b . De la Ec.(30) obtenemos
b 2 = 1 , de manera que b = 1 o b = −1 . Esto implica de acuerdo a la Ec.(28)
que a 2 = 2 o a 2 = −2 , y ninguna de estas ecuaciones tiene soluciones en Q.
Ello indica que x 4 + 1 no puede ser factorizada en Q.
Sin embargo, x 4 + 1 si puede ser factorizada en R. Los cálculos que acabamos
de hacer muestran
√ que
√
x 4 + 1 = (x 2 + 2x √
+ 1 )(x 2 − 2x + 1 ) .
Para factorizar
x 2 + 2x + 1√, aplicamos la fórmula cuadrática
√
√
− 2±
R.
los
√
( 2 )2 −4
√
√
= − 2± 2 −2 2 = − √12 ± √12 i
x=
2
√
2
por lo que x√
+ 2x + 1 tiene dos ceros que están en C pero no en R. Por
2
tanto, x + 2x + 1√ no puede ser factorizada en factores lineales en R. Del
mismo modo, x 2 − 2x + 1 , no puede ser factorizada en factores lineales en
Los cálculos muestran que la factorización completa de x4 + 1 es posible en
números complejos C. Los cuatro ceros de x 4 + 1 son
a = − √12 + √12 i . a = − √12 − √12 i , −a = √12 + √12 i,−a = √12 − √12 i
De este modo, la factorización de x 4 + 1 es
x 4 + 1 = (x − a)(x − a )(x + a )(x + α).
Observe que como el grado de x4 + 1es 4 , el polinomio tiene exactamente
4 ceros en C. Además, estos ceros se presentan en pares conjugados. Estos
hechos son verdaderos en general. El primero de ellos, es un caso del Teorema
Fundamental del Algebra.
Teorema 8 (Teorema Fundamental del Algebra)
Todo polinomio de grado n con coecientes reales o complejos tiene exactamente
n ceros (contando las multiplicidades) en C.
Supóngase que
p(x ) = a0 + a1 x + · · · + an x n
es un polinomio con coecientes reales. Sea a un cero complejo de p de
manera que
a0 + a1 α + · · · + an αx = p(α) = 0 .
Entonces, utilizando las propiedades de los conjugados, tenemos
18
p(a) = a0 + a1 a + ... + an a −n = a0 + a1 α + ... + an αn
= a0 + a1 a + ... + an a n
= p(a) = 0 = 0
.
De este modo, α también es un cero de p , lo cual demuestra el resultado
siguiente:
1. Los ceros complejos de un polinomio con coecientes reales se presentan
en pares conjugados.
ˆ
ˆ
En algunas situaciones sólo necesitamos conocer dónde se localizan los
ceros de un polinomio.
Por ejemplo, podemos necesitar sólo saber si los ceros son positivos o
negativos.
Un teorema que es útil en este caso es la Regla de los signos de Descartes que
nos permite hacer ciertas predicciones acerca del número de ceros positivos de
un polinomio de coecientes reales basándonos en los signos de éstos. Dado
un polinomio a0 + a1 x + · · · + an x n , escriba sus coecientes distintos de cero
en orden creciente. Reemplace cada coeciente positivo por un signo + y cada
coeciente negativo por un signo −. Armamos que el polinomio tiene k cambios
de signo si hay k lugares donde los coecientes cambian de signo.
Ejemplo 15
El polinomio 2 − 3x + 4x 3 + x 4 − 7x 5 tiene el patrón de signos
+−++−
de manera que tiene tres cambios de signo.
Teorema 9 (Regla de los signos de Descartes)
Sea p un polinomio con coecientes reales que tiene k cambios de signo. Entonces, el número de ceros positivos de p (contando las multiplicidades) es a lo
más k .
19
Ejemplo 16
Demuestre que el polinomio p(x ) = 4 + 2x 2 − 7x 4 tiene exactamente una raíz
positiva (un cero positivo).
Los coecientes de p tienen el patrón de signos + + −, el cual muestra solamente un cambio de signo. Por tanto, de acuerdo con la regla de los signos de
Descartes, p tiene como máximo un cero positivo. Pero p(0 ) = 4 y p(1 ) = −1 ,
de manera que hay un cero en algún lugar dentro del intervalo (0 , 1 ). Por tanto,
el único cero positivo de p está dentro del intervalo (0 , 1 ).
ˆ
Tambíen podemos utilizar la regla de los signos de Descartes para dar
un límite al número de ceros negativos de un polinomio con coecientes
reales.
Sea
p(x ) = ao + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
y sea b un cero negativo de p . Entonces, b = −c para c > 0 , y tenemos que
0 = p(b) = a0 + a1 b + a2 b 2 + · · · + an b n
= a0 − a1 c + a2c 2 − · · · + (−1 )n an c n .
Pero
p(−x ) = a0 − a1 x + a2 x 2 − · · · + (−1 )n an x n
de manera que c es un cero positivo de p(−x ). Por tanto, p(x ) tiene exactamente tantos ceros negativos como p(−x ) tiene ceros positivos. Combinando
esta observación con la regla de los signos de Descartes tenemos lo siguiente:
Sea p un polinomio con coecientes reales. Entonces, el número de ceros
negativos de p es a lo más, el número de cambios de signo dep(−x ).
Ejemplo 17
Demuestre que los ceros de p(x ) = 1 + 3x + 2x 2 + x 5 no pueden
ser todos reales. Los coecientes de p(x ) no tienen cambios de signo, de manera que p no tiene ceros positivos. Debido a que p(−x ) = 1 − 3x + 2x 2 − x5
tiene tres cambios de signo entre sus coecientes, p tiene un máximo de tres
ceros negativos. Observamos que 0 no es un cero de p , de modo que p tiene
como máximo tres ceros reales. Por tanto, p tiene al menos dos ceros complejos.
División Sintetica
La división sintética es una técnica útil para dividir un polinomio de cualquier
grado f (x ) entre un polinomio de grado uno del tipo g(x ) = x − a . La división
sintética es, básicamente, la división de polinomios realizada de una manera
simplicada en la que se trabaja exclusivamente con los coecientes, eliminando
además el término x del divisor.
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