tema
03
MATEMÁTICAS
Técnicas de recuento.
24-13795-13
Combinatoria.
Temario 1993
tema 3
matemáticas
1. Técnicas de recuento
1.1.
Enumeración
1.2.
Correspondencia biyectiva con {1, 2, ..., n}
1.3.
Principio de adición
1.4.
Principio de la multiplicación
1.5.
Principio de la división
1.6.
Principio de Dirichlet (1805, 1859) (también llamado Principio de las cajas o
Principio del palomar)
1.7.
Principio generalizado de Dirichle t
1.8.
Principio de inclusión-exclusión o Principio de la criba
1.9.
Principio del complementario
1.10.
Paridad
1.11.
Combinatoria
2. Combinatoria
2.1.
Factorial de un número
2.2.
Variaciones ordinarias
2.3.
Variaciones con repetición
2.4.
Permutaciones ordinaria
2.5.
Permutaciones con repetición
2.6.
Números combinatorios: Propiedades
2.6.1. Definición de número combinatorio
2.6.2. Propiedades de los números combinatorios
2.6.3. El triángulo de Tartaglia
2.7.
Combinaciones ordinarias
2.8.
Combinaciones con repetición
3. Combinatoria y aplicaciones
3
tema 3
matemáticas
INTRODUCCIÓN
En muchas facetas de la actividad humana surge la necesidad de organizar los elementos
de un conjunto de acuerdo con unas reglas determinadas y después hacer un recuento de las
diferentes posibilidades a que da lugar dicha organización.
Si se trata de situaciones sencillas, este recuento se puede hacer directamente, sin necesidad de recurrir a ninguna técnica especial, lo cual no es posible cuando surge un elevado
número de posibilidades de organización.
En el desarrollo de este tema, analizaremos las técnicas iniciales que dieron paso a la combinatoria actual. La parte central será el desarrollo de la combinatoria clásica, estudiando
las características de cada uno de los agrupamientos, así como los procedimientos de cálculo para determinar el número total de grupos que se pueden obtener en cada uno y, en
último término, enfocaremos las tendencias actuales de la combinatoria.
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tema 3
matemáticas
1 Técnicas de recuento
Las técnicas de recuento tratan de las ordenaciones de elementos de un conjunto
siguiendo unas determinadas reglas establecidas.
En este apartado se analizan los principios básicos de recuento y las técnicas de
recuento más utilizadas, los cuales tratan de responder principalmente a dos tipos
de problemas:
−− Problemas de existencia: que analizan la posibilidad de existencia de agrupaciones pedidas.
−− Problemas de enumeración: que nos van a permitir determinar el número de
clasificaciones posibles.
Los conjuntos que manejaremos se supondrán finitos.
Vamos a estudiar las principales técnicas de recuento:
1. Enumeración.
2. Correspondencia biyectiva con {1, 2, ..., n}.
3. Principio de adición.
4. Principio de la multiplicación.
5. Principio de la división.
6. Principio de Dirichlet (1805, 1859) (también llamado Principio de las cajas o
Principio del palomar).
7. Principio generalizado de Dirichlet.
8. Principio de inclusión-exclusión o Principio de la criba.
9. Principio del complementario
10. Paridad.
11. Combinatoria.
1.1. Enumeración
Si el conjunto es pequeño y sin regla de formación fija, el único procedimiento
viable para contar sus elementos es hacer una enumeración de todos ellos.
Ejemplo: ¿Cuántas provincias andaluzas hay? «Sevilla, Cádiz, Córdoba, Huelva, Jaén, Granada, Málaga y Almería», es decir son ocho.
Pero en muchas ocasiones los conjuntos tienen demasiados elementos para poderlos enumerar de forma exhaustiva. Entonces, si obedecen a unas reglas de formación fijas, permiten construir artificios mentales para conocer cuántos son, sin
necesidad de hacer una lista completa de todos ellos.
Así, antiguamente se llamaba combinatoria al «arte de contar», sin hacer enumeraciones, usando la cabeza en lugar de los dedos.
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matemáticas
1.2. Correspondencia biyectiva con {1, 2, ..., n}
Consiste en establecer una correspondencia biyectiva, o uno a uno, entre los elementos del conjunto del que queremos saber su cardinal, y los de un subconjunto
de la forma {1, 2, ..., n}.
Ejemplos:
a) ¿Cuántos pares son mayores que 1 y menores que 123?
2 = 2 · 1; 4 = 2 · 2; 6 = 2 · 3; ...; 122 = 2 · 61
Y así, podemos establecer la correspondencia biyectiva:
2=2·1→1
4=2·2→2
6 = 2 · 3 → 3
............................
122 = 2 · 61 → 61
Y concluir que hay 61 pares mayores que 1 y menores que 123.
b) ¿Cuántos cuadrados perfectos hay con tres cifras significativas?
100 = (9 + 1)2 → 1
121 = (9 + 2)2 → 2
144 = (9 + 3)2 → 3
.................................
961= (9 + 22)2 → 22
Por lo tanto hay 22 cuadrados perfectos con tres cifras significativas.
c) ¿Cuántos partidos se juegan en un campeonato de tenis en el que se han inscrito 85 jugadores?
En cada ronda se forma el número máximo de partidos posibles; tras jugar el
partido, el ganador se clasifica para la ronda siguiente, y el perdedor queda eliminado. Si en alguna ronda el número de participantes es impar, uno de ellos,
elegido al azar como sea, pasa sin jugar a la fase siguiente.
Como parece un problema complicado, pongamos uno más sencillo con menos
jugadores, por ejemplo 9. Podemos representar el desarrollo del torneo que
será del estilo:
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matemáticas
1.ª ronda
2.ª ronda
3.ª ronda
4.ª ronda
Campeón
5.ª ronda
Y tras contar el número de llaves podríamos concluir que el número de partidos
jugados es 8. Esto nos da una pista para el cálculo con 85 jugadores.
1.ª
2.ª
3.ª
4.ª
5.ª
6.ª
7.ª
ronda
ronda
ronda
ronda
ronda
ronda
ronda = Final
Partidos
Eliminados
Quedan
42
21
11
5
3
1
1
84
42
21
11
5
3
1
1
84
43
22
11
6
3
2
Campeón
Se juegan 84 partidos.
Pero esto es contar con los dedos. Lo ingenioso es establecer una correspondencia biyectiva entre los partidos jugados y los jugadores eliminados: hay tantos
partidos jugados como jugadores eliminados. Y el conjunto de jugadores eliminados se cuenta inmediatamente: son eliminados todos menos el ganador.
Así, en general, si en la competición se inscriben n jugadores, se juegan n – 1
partidos.
d) En un conjunto de 10 personas se han de elegir los siguientes puestos para una
empresa: presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Suponiendo que una
misma persona puede acometer más de un cargo, ¿cuántas propuestas distintas
para estos cargos puede haber?
Asociamos a cada persona un dígito distinto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y a cada
selección de cargos un número formado por cuatro dígitos de 0 a 9:
––––
P V S T Serán 0000, 0001, 0002, ... 9999
Obviamente, a cada selección le corresponde una cuaterna, y a cada cuaterna
le corresponde una única selección. Por tanto, el número posible de elecciones
es 10.000.
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matemáticas
1.3. Principio de adición
Si tenemos A1, A2, ..., An conjuntos finitos disjuntos, es decir,
Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j, i, j = 1, 2, ... n, entonces:
|Al ∪ A2 ∪ ... ∪An| = |Al| + |A2| + ... + |An|
Ejemplo:
En el lanzamiento de dos dados, ¿de cuántas formas se puede obtener suma menor
o igual que 4?
Al = «suma 2» = {(1, 1)}
A2 = «suma 3» ={(1, 2) (2, 1)}
A3 = «suma 4» = {(2, 2) (1, 3) (3, 1)}
A 1, A 2 y A 3 son disjuntos, | A l| = 1, | A 2| = 2, | A 3| = 3, y
«suma ≤ 4» = Al ∪ A2 ∪ A3 |Al ∪ A2 ∪ A3| = |Al| + |A2| + |A3| = 1 + 2 + 3 = 6,
luego hay 6 formas de obtener suma menor o igual que 4.
1.4. Principio de la multiplicación
Si tenemos A1, A2, ..., An conjuntos finitos no vacíos, entonces:
|Al × A2 × ... × An| = |Al| · |A2| · ... · |An|
Ejemplos:
a) ¿Cuántos números de tres cifras, mayores que 500 y pares se pueden formar
con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 7?
Utilicemos un diagrama en árbol que represente gráfica y esquemáticamente la
situación del problema:
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matemáticas
Como el número de posibilidades es pequeño, utilizando la 1ª técnica de recuento (de enumeración), obtenemos que se pueden formar 20 números con las
características solicitadas.
Analizando el diagrama en árbol, podemos entender mejor el principio de mul­
tiplicación: cada rama se ramifica a su vez en el mismo número de ramas. Así
hay 2 · 5 · 2 = 20 ramas, es decir, 20 números con dichas características.
b) ¿Cuántas matrículas distintas se hicieron en la Comunidad de Madrid con el
sistema antiguo de matriculación?
1. er Tipo
2.º Tipo
M
M
4
7
1
8
2
7
3
1
V
B
T
Imaginemos que tenemos que rellenar los huecos, ¿de cuántas formas podemos?
1. er Tipo
H
H H
10 10 10 10 26
dígitos
letras
Hay 104 . 26 matrículas del tipo 1.
2.º Tipo
H
10 10 10 10 26 26
dígitos
letras
Hay 104 · 262 matrículas del tipo 2.
Así, se han podido formar:
104 · 26 + 104 · 262 =104 · 26 · (1 + 26) = 10000 · 26 · 27 =
= 7.020.000 matrículas distintas
1.5. Principio de la división
Si un conjunto de n elementos se parte en clases y cada clase
n
tiene r elementos, entonces el número de clases es
r
1.6. Principio de Dirichlet (1805, 1859) (también llamado
Principio de las cajas o Principio del palomar)
Si tenemos m objetos que se distribuyen en n cajas, m>n, entonces una de las cajas
recibe al menos dos objetos.
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matemáticas
El Principio de Dirichlet lo utilizamos al responder a preguntas del tipo:
¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para obtener la misma puntuación por
lo menos dos veces?
El Principio de Dirichlet también permite demostrar proposiciones como la siguiente: “Si A y B son conjuntos finitos con Card(A)>Card(B) entonces no existe
ninguna aplicación inyectiva de A a B”
1.7. Principio generalizado de Dirichlet
Si tenemos m objetos para distribuir en n cajas con m>n·q entonces al menos una
de las cajas tiene más de q objetos.
El Principio generalizado de Dirichlet lo utilizamos al responder a preguntas del
tipo: «Si se resuelven 29 ejercicios en 4 sesiones, como 29>4·7 al menos en una
de las sesiones se han resuelto 8 ejercicios».
1.8. Principio de inclusión-exclusión o Principio de la criba
Este principio nos dice que si sabemos contar los elementos que hay en las intersecciones de una serie de conjuntos, entonces podremos determinar el tamaño de
la unión de todos ellos.
Sean A y B dos conjuntos finitos no vacíos. Entonces:
|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
B
A
A∪ B
Y en general: si tenemos conjuntos finitos no vacíos se verifica que:
n
n
n
n
A =∑ A − ∑ A A + ∑
i
i =1
i
i =1
i
i< j
j
Ai A j Ak − ... + ( −1) n + 1 ⋅ Ai A j ... An
i< j<k
Ejemplo:
En una encuesta hecha a 120 personas se ha obtenido que: 55 ven la televisión;
60 escuchan la radio; 45 van al cine; 25 ven la tele y escuchan la radio; 28 ven la
tele y van al cine; 27 escuchan la radio y van al cine; 20 hacen las tres cosas:
a) ¿Cuántas personas hacen alguna de las tres cosas?
b) ¿Cuántas no hacen ninguna?
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tema 3
matemáticas
H
c) ¿Cuántas van al cine, pero no escuchan la radio ni ven la tele?
d) ¿Cuántas hacen sólo una de las tres cosas?
a) |C ∪ T ∪ R| = |C| + |T| + |R| – |C ∩ T| – |C ∩ R| – |T ∩ R| + |C ∩ T ∩ R| = •
Hemos contado los elementos de estas intersecciones dos veces en |C| + |T| + |R|, por eso
las restamos.
Y los elementos de C ∩ T ∩ R los hemos contado tres veces en |C| + |T| + |R|,
pero los hemos restado otras tres veces en – |C ∩ T| – |C ∩ R| – |T ∩ R|, por
eso tenemos que añadirlos.
• = 55 + 60 + 45 – 28 – 27 – 25 + 20 = 100 personas.
– – –
b) |C ∩ T ∩ R| = 120 – |C ∪ T ∪ R| =120 – 100 = 20 personas.
– –
c) |C ∩ R ∩ T| = 10 personas.
– –
–
–
– –
d) |C ∩ R ∩ T| + |C ∩ R ∩ T| + |C ∩ R ∩ T| = 10 + 28 + 22 = 60 personas.
1.9. Principio del complementario
Si un conjunto de n elementos está dividido en dos partes y una de ellas contiene
m elementos entonces la otra contiene n-m
Este principio es muy útil ya que contar “lo que no queremos” es una técnica muy
socorrida y utilizada.
1.10. Paridad
Esta técnica nos permite resolver problemas de existencia. Un conjunto puede
tener un número par o impar de elementos. Si probamos que tiene un número impar, estamos en condiciones de afirmar que al menos hay un elemento. Quedaría
demostrada su existencia.
1.11. Combinatoria
Es también una técnica de recuento que tiene por objeto enumerar todas las formas en que pueden agruparse los elementos de un conjunto siguiendo unas reglas
establecidas.
Por su importancia y alcance, y por la serie de algoritmos y procedimientos de
cálculo que proporciona vamos a desarrollarla en el siguiente apartado.
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matemáticas
2 Combinatoria
El análisis combinatorio, o Combinatoria, es la parte de las Matemáticas que estudia las diferentes formas en que podemos ordenar o agrupar unos elementos dados
siguiendo unas determinadas reglas establecidas. Se prescinde de la naturaleza de
los elementos pero no del orden.
Es decir, la combinatoria nos proporciona algoritmos para averiguar el número
de agrupaciones que, bajo determinadas condiciones, se pueden formar con los
elementos de un conjunto.
Según las características de los grupos nos podemos encontrar con varios tipos de
agrupaciones: variaciones ordinarias o con repetición, permutaciones ordinarias o
con repetición y combinaciones ordinarias o con repetición.
Empezaremos definiendo el factorial de un número para luego analizar las distintas
agrupaciones que hemos nombrado, introduciendo los números combinatorios.
2.1. Factorial de un número
Sea n ∈ , se llama factorial de n y se escribe n! a:
0!=1
1!=1
n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1 ∀n ≥ 2;
es decir, n! es el producto de los n primeros números naturales no nulos.
Directamente de la definición se deducen las siguiente propiedades:
a) n! · (n+1) = (n+1)!
b) k! · (k+1) · (k+2) · ... · n = n! ∀k < n
Para n grande, n! resulta muy tedioso de calcular y es útil en esto casos la fórmula
de Stirling:
n n ⋅ 2π n
n ! ≈ e ⋅ n ⋅ 2π n =
en
−n
n
que tiene un error del orden de
aproxima a n! para valores de n
1
−n
n
, es decir: n ! ≈ e ⋅ n ⋅ 2πn
n
“grandes”
1
1 ± n y que
La fórmula de Stirling se basa en que:
Lim
n →∞
n!
=1
e ⋅ n ⋅ 2π n
−n
n
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matemáticas
2.2. Variaciones ordinarias
Llamaremos variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n ≤ m) a
las agrupaciones de n elementos que se pueden formar obedeciendo a las siguientes reglas:
−− No se pueden repetir elementos dentro de la agrupación.
−− Dos agrupaciones se consideran distintas cuando están formadas por diferentes elementos o también, cuando están formadas por los mismos elementos
pero en distintos orden.
XX Proposición
El número de variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n ≤ m)
se denota:
n
Vm,n ó Vm y vale: Vm,n =
m!
(m-n)!
Observamos que:
Vm,n =
m!
m ⋅ (m-1) ⋅ ... ⋅ (m-n+1) ⋅ (m-n)!
=
= m ⋅ (m-1) ⋅ ... ⋅ (m-n+1)
(m-n)!
(m-n)!
Demostración:
En primer lugar podemos situar cualquiera de los m elementos del conjunto; fijado
este, el segundo lo puede ocupar cualquiera de los m-1 restantes y, por tanto, para
los dos primeros lugares tenemos m·(m-1) posibilidades. Razonando de la misma
forma llegaríamos a que para el lugar n-ésimo (el último) tenemos (m-(n-1)) posibilidades y, por tanto, n elementos se pueden agrupar de m·(m-1) · ... · (m-n+1)
formas, luego:
Vm,n =
m!
m!
= m ⋅ (m-1) ⋅ ... ⋅ (m-n+1)=
(m-n)!
(m-n)!
Ejemplo:
En un grupo de 40 alumnos se tiene que elegir un delegado, un subdelegado y un
suplente. ¿De cuántas formas puede resultar la elección?
V40,3 = 40 ⋅ 39 ⋅ 38 =
40!
= 59280
(40-3)!
2.3. Variaciones con repetición
Si quitamos la restricción de que los elementos que forman cada una de las agrupaciones anteriores (variaciones ordinarias) sean todos distintos, se obtienen grupos análogos, pero que se denominan con repetición.
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matemáticas
Llamaremos variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a las
agrupaciones de n elementos que se pueden formar obedeciendo las siguientes
reglas:
−− Se pueden repetir los elementos dentro de cada agrupación.
−− Dos agrupaciones se consideran distintas cuando están formadas por diferentes elementos o también cuando están formadas por los mismos elementos
pero colocados en orden diferente.
XX Proposición
El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se
denota VRm,n y su valor es VRm,n =mn
Demostración:
Se razona de forma análoga al caso anterior de variaciones ordinarias pero teniendo en cuenta que cada lugar puede ser ocupado por cualquiera de los m elementos
ya que se pueden repetir.
n)
n
Por tanto, las posibilidades de ocupar los m lugares son: m ⋅ ... ... ⋅ m=m , así
pues:
VR m,n = m n
Ejemplo:
El número de jugadas simples que pueden realizarse en la quiniela de fútbol es
314 que corresponde a las variaciones con repetición de tres elementos {1, x, 2}
tomados de 14 en 14.
2.4. Permutaciones ordinaria
Llamaremos permutaciones ordinarias de n elementos a las variaciones ordinarias de n elementos tomadas de n en n.
Al número de permutaciones ordinarias de n elementos se le denota Pn y vale:
Pn = Vn,n =
n!
n!
= = n!
(n-n)! 0!
Dos permutaciones de un conjunto A serán diferentes si es distinto el orden de los
elementos.
Dados n elementos distintos a1, a2, ..., an adoptaremos una de sus permutaciones,
por ejemplo, al a2 ... an como principal.
En otra permutación cualquiera formada con los mismos elementos se dirá que
dos de ellos presentan una inversión cuando, prescindiendo de los restantes, se
suceden en orden contrario que en la principal.
Así, por ejemplo, en la permutación a3 al a4 a2, el elemento a3 forma inversión con
al y con a2, así como a4 con a2.
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tema 3
matemáticas
Cuando dichos elementos se presentan en el mismo orden se dice que presentan
una permanencia.
Se dice que una permutación es de clase par o impar según sea par o impar el
número total de inversiones que presenta; dicho número se llama índice de permutación.
Para hallar todas las inversiones de una permutación habrá que comparar cada
elemento con todos los que le siguen. Así, por ejemplo, a3 a, a4 a2 presenta 3
inversiones.
Si en una permutación se cambian entre sí dos elementos cualesquiera se dice que
se ha efectuado una trasposición.
Dado un conjunto, existe el mismo número de permutaciones de clase par que
permutaciones de clase impar.
2.5. Permutaciones con repetición
Llamaremos permutaciones con repetición de m elementos entre los que hay α
iguales entre sí, otros β iguales entre sí, ..., siendo α + β + ... λ = m a los distintos
grupos que se pueden formar con los m objetos, entre los que aparecen repetidos
α, β, ... λ elementos, considerando distintas dos permutaciones cuando difieren en
el orden de colocación.
Obsérvese que en las variaciones con repetición, un elemento puede repetirse un
número variable de veces, que llega hasta el orden de dicha variación. Esto no sucede, en cambio, en las permutaciones con repetición, donde el número de veces
que aparece repetido cada elemento es siempre el mismo.
Indiquemos, pues, con Pm(α, β, ..., λ) el número de las permutaciones en cuestión y supongamos formado el cuadro de todas ellas. Si sustituimos los α elementos iguales por
otros distintos y luego los permutamos de todos los modos posibles conservando en
sus puestos a los otros (m – α) elementos, de cada grupo de este cuadro se deduci­
rán α! distintos y obtendremos así un nuevo cuadro compuesto por α! Pm(α, β, ..., λ). En
este nuevo cuadro, sustituyendo los β elementos iguales por otros distintos y procediendo como antes obtenemos otro cuadro de α! β! Pm(α, β, ..., λ) grupos.
Continuando este proceso hasta calcular el último grupo de elementos iguales resultará un total de α! β! ... λ! Pm(α, β, ..., λ) grupos que constituyen las permutaciones
de m elementos distintos.
Luego:
α! β! ... λ! Pm(α, β, ..., λ) = Pm = m!
Por tanto:
Pm( α, β ..., λ) =
16
m!
α ! β ! ... λ !
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Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras con o sin sentido pueden formarse con las
5 letras de la palabra ABABA?
P52,3 =
5!
= 10
2 !⋅ 3!
2.6. Números combinatorios: Propiedades
Antes de concluir el estudio de las distintas agrupaciones que analiza la combinatoria vamos a introducir los números combinatorios ya que simplifican la expresión de las combinaciones ordinarias y con repetición y presentan propiedades
muy interesantes.
2.6.1. Definición de número combinatorio
Dados dos números naturales m, n; m ≥ n, se llama número combinatorio m sobre
m
al cociente:
n
n, y se designa
m
m!
=
n n!(m-n)!
m recibe el nombre de base y n el orden del número combinatorio.
2.6.2. Propiedades de los números combinatorios
a)
m m
m m
0 = m = 1; 1 = m − 1 = m
En efecto:
m
0
m!
= 1;
=
m 0 ! m !
m
m
1
m!
=m
=
m 1 ! ( m − 1) !
m − 1
b) Los números combinatorios de igual base y órdenes complementarios son
iguales.
m m
n = m − n
17
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matemáticas
En efec to:
m
m!
n = n !( m − n) !
m
m!
m − n = ( m − n) ! n !
c) Fórmula de Stiegel
m m − 1 m − 1
n = n − 1 + n
En efecto:
m − 1 m − 1
( m − 1) !
( m − 1) !
n − 1 + n = ( n − 1) ! ( m − 1) ! + n ! ( m − n − 1) !
m
m!
( m − 1) ! n ( m − 1) ! ( m − n) ( m − 1) ! ( n + m − n)
=
+
=
=
n !( m − n) ! n
n !( m − n) !
n !( m − n) !
n !( m − n) !
d) Siendo m ≥ n ≥ 1, se verifica:
m m − 1 m − 2 m − 3
n n − 1
n = n − 1 + n − 1 + n − 1 + ... + n − 1 + n − 1
En efecto:
m m − 1 m − 1
n = n − 1 + n
m − 1 m − 2 m − 2
n = n − 1 + n
m − 2 m − 3 m − 3
n = n − 1 + n
.............................................
n + 1 n n
n = n − 1 + n
n n − 1
n = n − 1
Sumando miembro a miembro y reduciendo semejantes, se obtiene:
m m − 1 m − 2
n n − 1
n = n − 1 + n − 1 + + n − 1 + n − 1
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matemáticas
2.6.3. El triángulo de Tartaglia
La propiedad c) llamada Fórmula de Stiegel permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m a partir de los números combinatorios de base
m-1. Podemos disponer los números combinatorios formando un triángulo, distribución que recibe el nombre de Triángulo de Tartaglia.
0
0
1
1
1
0
3
3
3
2
3
1
3
0
4
0
2
2
2
1
2
0
4
3
4
2
4
1
4
4
Sustituyendo los números combinatorios por sus valores quedaría:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Se observa que los extremos de cada fila valen 1 (por la propiedad a) y cada
elemento restante se obtiene sumando los dos elementos que tienen encima (propiedad c), como además, la suma de enteros positivos es un entero positivo, se
demuestra también que todo número combinatorio es un entero positivo.
La simetría del triángulo es debida a la propiedad b.
La propiedad d se refleja también en el triángulo de Tartaglia, partiendo desde el
lado derecho y avanzando en diagonal hacia abajo, la suma de los elementos de
dicha diagonal es igual al elemento situado inmediatamente a la derecha de la fila
siguiente a la que hemos llegado con la diagonal
19
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matemáticas
0
0
1
+
1
1
0
4
0
3
3
3
2
3
1 +
3
0
2
2
2
+
1
2
0
4
4
4
3
4
=
2
4
1
En particular si partimos de la segunda fila, como en el ejemplo, obtenemos la
suma de los n primeros números naturales y si partimos de la tercera fila la suma
de los primeros números triangulares, denominados así por su representación en
forma de triángulos rectángulos:
Θ = 1;
Θ
Θ Θ
= 10
Θ Θ Θ
Θ Θ Θ Θ
Θ
Θ Θ
= 6;
Θ Θ Θ
Θ
= 3;
Θ Θ
A partir del Triángulo de Tartaglia obtenemos los coeficientes del desarrollo de la
potencia del binomio (a+b)n, llamado Binomio de Newton:
( a + b) = a + b → 1
1
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 → 1
2
1
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 → 1
3
n
n n −i i
n
(
a
+
b
)
=
Por lo tanto:
∑
a b
i =0 i
Resultado que Leibniz extendió a:
(a1 + ... + a p ) n =
20
∑
r1 +...+ rp = n
r ...rp
PRn1
a1r1 ⋅ ... ⋅ a pp
r
3
1
tema 3
matemáticas
Otra interesante propiedad es que la suma de los elementos de una fila del Triángulo de Tartaglia es potencia de 2:
n
n n
n
+ + ... + = 2
n
0 1
Para demostrarlo basta tomar en la fórmula de Newton x = y = 1
La suma, alternando los signos, de los elementos de una fila del Triángulo de
Tartaglia es 0:
n n
n n
− + ... + (−1) = 0
n
0 1
Para demostrarlo basta tomar en la fórmula de Newton x = 1, y = – 1
2.7. Combinaciones ordinarias
Llamaremos combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n≤m)
a las agrupaciones de n elementos que se pueden formar obedeciendo las siguientes reglas:
−− No se puede repetir un elemento dentro de la agrupación
−− Dos agrupaciones se consideran distintas cuando están formadas por diferentes elementos. Es decir, dos combinaciones son distintas por algún elemento,
pero no por el orden.
XX Proposición
El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se denota Cm,n
y su valor es:
Cm,n =
Vm,n
Pn
=
m
m!
=
(m-n)!n! n
Demostración:
Cada combinación de orden n origina n! variaciones ordinarias al cambiar el orden
de colocación de sus n elementos. Si esto lo hacemos para cada combinación de
orden n obtenemos todas las variaciones ordinarias de m elementos tomados de n
en n.
21
tema 3
matemáticas
Por tanto:
Cm,n ⋅ n!=Vm,n
Cm,n =
Vm,n
Pn
=
luego
m
m!
=
(m-n)!n! n
Ejemplo:
Con 8 candidatos queremos formar un grupo de 3 personas distintas, ¿de cuántas
formas se puede obtener este grupo?
8
8!
= 56
C8,3 = =
3 (8-3)!3!
Dado un conjunto de n objetos, A, y otro de m objetos, B, las combinaciones de
orden k formadas por p elementos de B y (k-p) elementos de A serán:
æn ö÷ æmö÷
çç ÷× çç ÷
çèk-p÷÷ø çèp ÷÷ø
Ejemplo:
En una empresa hay 5 vacantes de las que 3 corresponden a mujeres y 2 a hombres. Se han presentado 10 mujeres y 8 hombres. ¿De cuántas formas distintas se
pueden cubrir las vacantes?
10 8
10!
8!
C10,3C8,2 = =
3 2 (10-3)!3! (8-2)!2!
2.8. Combinaciones con repetición
Llamaremos combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a
las agrupaciones n elementos que se pueden formar obedeciendo a las siguientes
reglas:
−− Se pueden repetir los elementos dentro de cada agrupación
−− Dos agrupaciones se consideran distintas cuando difieren en algún elemento,
es decir, dos agrupaciones formadas por los mismos elementos repetido el
mismo número de veces, aunque tengan distinto orden, son iguales.
Simbolizaremos el número de dichas combinaciones por C Rm, n, CRm, n.
El orden n de una combinación con repetición puede ser mayor que el número de
elementos con los cuales se forma. Cuando n ≤ m entre las combinaciones con
repetición figuran también las combinaciones simples del mismo orden.
22
tema 3
matemáticas
Calculemos el valor de C Rm, n. Para ello disponemos de los elementos que forman
cada una de las C Rm, n (combinaciones con repetición de m elementos a1, a2, ..., am
tomados de n en n) de manera que los índices respectivos sigan el orden natural.
Entonces una combinación genérica se puede expresar mediante una sucesión de
símbolos de dos clases, por ejemplo, α y — en la forma siguiente: para representar el elemento al se escribe una α seguida de tantos — como veces entra dicho
elemento en la combinación considerada; a continuación se escribe otra α, que
representará el elemento a2 y se le hace seguir de tantos — como veces figure
dicho elemento en la citada combinación y así, sucesivamente, conviniendo que
si faltase algún elemento se expresará esta circunstancia escribiendo por cada uno
solamente una α sin ir seguida de ningún —.
Así, por ejemplo, si tenemos los elementos a1, a2, a3, a4, la combinación a1 a1 a3
se escribirá:
α——αα—α
De este modo cada combinación que estamos considerando viene representada
por una expresión que comienza por α y contiene en forma ordenada m veces α
y n veces —. De manera recíproca, toda expresión de este tipo representa una de
tales combinaciones. Para determinar el número de tales combinaciones, observamos que escrita la inicial, quedan para disponer en orden cualquiera los (m – 1)
restantes α y los — en número igual a n; esto se puede hacer de tantas maneras
como número de permutaciones de (m – 1 + n) elementos, de los cuales son iguales entre sí (m – 1) por un lado y n por otro.
Por tanto:
CRm , n = Pm( m− 1−+1,nn ) =
m − 1 + n
( m − 1 + n) !
= C m − 1 + n, n =
n
( m − 1) ! n !
Esto es:
m + n − 1
CRm , n = C m + n − 1, n =
n
23
tema 3
matemáticas
3 Combinatoria y aplicaciones
XX Proposición
Sean los conjuntos A= {a1 , a 2 ,..., a n } y B= {b1 , b 2 ,..., b m } tal que Card(A)=n y
Card(B)=m. El número de aplicaciones entre A y B coincide con el número de
VRm,n
Demostración:
Vamos a contar el número de aplicaciones distintas.
Sea f: {a1 , a 2 ,..., a n } → {b1 , b 2 ,..., b m } .
Para a1∈ Α, el número de posibilidades de f(a1) son m ya que f(a1)=bi, i=1,...m
Para a2∈ Α, el número de posibilidades de f(a2) son también m ya que como no se
requiere que f sea inyectiva y a1,a2∈ Α entonces puede tener la misma imagen que
f(a1), luego f(a2)=bi, i=1,...m
Razonando análogamente, f(a j )=bi , j=1,...n i=1,...m
Luego, como cada elemento de A tiene m posibilidades resulta mn, y por lo tanto,
el número total de aplicaciones entre A y B es VRm,n
XX Proposición
Sean los conjuntos A= {a1 , a 2 ,..., a n } y B= {b1 , b 2 ,..., b m } tal que Card(A)=n y
Card(B)=m, con 1 ≤ n ≤ m. El número de aplicaciones inyectivas entre A y B coincide con el número de Vm,n
Demostración:
La demostración es análoga a la anterior teniendo en cuanta que si para a1∈ Α,
el número de posibilidades de f(a1) son m ya que f(a1)=bi, i=1,...m entonces para
a2∈ Α, el número de posibilidades de f(a2) son m-1 ya que f es inyectiva y como
a1, a2∈ Α entonces no pueden tener la misma imagen.
Razonando análogamente para el resto de elemento de A, el número total de aplicaciones inyectivas entre A y B es Vm,n
XX Proposición
Sean los conjuntos A y B dos conjuntos finitos con el mismo cardinal n. El número
de aplicaciones biyectivas entre A y B es Pn
Demostración:
Sabemos que dados dos conjuntos finitos con el mismo cardinal, dada f: A → B,
f es biyectiva si y solo si f es inyectiva. Por tanto el número de aplicaciones biyectivas coincide con el número de aplicaciones inyectivas. Por tanto, el número de
aplicaciones biyectivas entre A y B es Vm,n=Pn
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tema 3
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA
BIGGS: Matemática discreta. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1994.
KAUFMANN: Introducción a la combinatoria y sus aplicaciones. Compañía Editorial Continental. Barcelona, 1993.
MARTÍNEZ SALAS: Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova. Valladolid, 1992.
MONTES PLAZA, PÉREZ PALAZÓN: Números, álgebra, funciones, combinatoria y probabilidad.
Ed. Octaedro. Barcelona, 1995.
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tema 3
matemáticas
RESUMEN
Técnicas de recuento.
Combinatoria.
1.
1 Técnicas de recuento
Las técnicas de recuento tratan de las ordenaciones de elementos de un conjunto siguiendo
unas determinadas reglas establecidas.
1.1. Enumeración
Si el conjunto es pequeño y sin regla de formación fija, el único procedimiento viable para
contar sus elementos es hacer una enumeración de todos ellos.
1.2. Correspondencia biyectiva con {1, 2, ..., n}
Consiste en establecer una correspondencia biyectiva entre los elementos del conjunto del
que queremos saber su cardinal, y los del subconjunto {1, 2, ..., n}.
1.3. Principio de adición
Si tenemos A1, A2, ..., An conjuntos finitos disjuntos, entonces:
|Al ∪2 A∪ ... ∪An| = |Al| + |A2| + ... + |An|
1.4. Principio de la multiplicación
Si tenemos A1, A2, ..., An conjuntos finitos no vacíos, entonces:
|Al × A2 × ... × An| = |Al| · |A2| · ... · |An|
1.5. Principio de la división
Si un conjunto de n elementos se parte en clases y cada clase tiene r elementos, entonces
el número de clases es:
n
r
1.6. Principio de Dirichlet
Si tenemos m objetos que se distribuyen en n cajas, m > n, entonces una de las cajas recibe
al menos dos objetos.
1.7. Principio generalizado de Dirichlet
Si tenemos m objetos para distribuir en n cajas con m > n · q entonces al menos una de las
cajas tiene más de q objetos.
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tema 3
matemáticas
1.8. Principio de inclusión-exclusión o Principio de la criba
Sean A y B dos conjuntos finitos no vacíos, |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
1.9. Principio del complementario
Si un conjunto de n elementos está dividido en dos partes y una de ellas contiene m elementos entonces la otra contiene n-m
1.10. Paridad
Si un conjunto tiene un número impar, entonces al menos tiene un elemento.
1.11. Combinatoria
Técnica de recuento que tiene por objeto enumerar todas las formas en que pueden agruparse los elementos de un conjunto siguiendo unas reglas establecidas.
2.
2 Combinatoria
2.1. Factorial de un número
n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1 ∀n ≥ 2;
2.2. Variaciones ordinarias
No se pueden repetir los elementos e importa el orden.
XX Proposición
Vm,n =
m!
= m ⋅ (m-1) ⋅ ... ⋅ (m-n+1)
(m-n)!
2.3. Variaciones con repetición
Se pueden repetir los elementos e importa el orden.
XX Proposición
VR m,n = m n
2.4. Permutaciones ordinaria
Pn = Vn,n =
n!
n!
= = n!
(n-n)! 0!
2.5. Permutaciones con repetición
Pnα , β =
28
n!
α !β !
tema 3
matemáticas
2.6. Números combinatorios: Propiedades
Simplifican la expresión de las combinaciones ordinarias y con repetición y presentan
propiedades muy interesantes.
2.6.1. Definición de número combinatorio
Dados dos números naturales m, n; m ≥ n, se llama número combinatorio m sobre n, y se
designa:
m
m recibe el nombre de base y n el orden del número combinatorio.
n
2.6.2. Propiedades de los número combinatorios
a)
m m
m m
0 = m = 1; 1 = m − 1 = m
b) Los números combinatorios de igual base y órdenes complementarios son iguales:
m m
n = m − n
c) Fórmula de Stiegel:
m m − 1 m − 1
n = n − 1 + n
d) Siendo m ≥ n
≥ 1, se verifica:
m m − 1 m − 2 m − 3
n n − 1
n = n − 1 + n − 1 + n − 1 + ... + n − 1 + n − 1
2.6.3. El triángulo de Tartaglia
Podemos disponer los números combinatorios formando un triángulo, distribución que
recibe el nombre de Triángulo de Tartaglia.
2.7. Combinaciones ordinarias
No se pueden repetir los elementos y no importa el orden.
XX Proposición
Cm,n =
Vm,n
Pn
=
m
m!
=
(m-n)!n! n
2.8. Combinaciones con repetición
Se pueden repetir los elementos y no importa el orden.
m + n − 1
CRm , n = C m + n − 1, n =
n
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tema 3
matemáticas
3.
3 Combinatoria y aplicaciones
Sean los conjuntos A y B tal que Card(A) = n y Card(B) = m.
−− El número de aplicaciones entre A y B coincide con el número de VRm,n
−− El número de aplicaciones inyectivas entre A y B es el número de Vm,n
−− Si n = m, entonces el número de aplicaciones biyectivas entre A y B es Pn
30