sumatorias

P r o f . : M e l i s s a A r a n c i b i a R e y es .
CONTENIDO
Introducción
❑ Definición
❑ Propiedades
Sumatorias Notables
Ejercicios Resueltos
❑ Ejercicios Propuestos
Conclusiones
Bibliografía
❑
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.
Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la
escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban
mal, le puso un problema matemático al pequeño
Carl y a sus compañeros.
Los niños debían sumar todos los números del
1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100
El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,
confiaba en que tendría horas hasta que los niños
sumaran todos los números. Sin embargo, el
pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir
hacia el profesor y darle el resultado: 5050.
¿ Cómo lo había hecho?
Gauss tenía que sumar lo siguiente:
1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 ... +95 +96 +97 +98 +99 +100
Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando
siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir:
1 +100 =101
2 +99 =101
3 +98 =101
4 +97 =101
5 +96 =101
...
46 +55 =101
47 +54 =101
48 +53 =101
49 +52 =101
50 +51 =101
50 veces 101, es decir 50x101=5050
De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros
números.
Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a
Gauss, que fue de sumar los 100primero números.
❑
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de
números, el resultado es la suma total.
NOTACIÓN
Índice superior
Término general
sigma
Índice inferior
❑
PROPIEDADES
P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria
es igual al índice superior menos el índice inferior mas la
unidad.
Ejemplo:
Hallar el número de términos de la siguiente expresión:
P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del
número de sumandos por la constante.
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
P3. La sumatoria en el que el término general es una suma
algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias
independientes.
Donde: k y k´ son constantes.
Ejemplo:
P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede
descomponerse de ésta manera:
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
❑
SUMATORIAS
NOTABLES
❑
Los n primeros números naturales
❑
Los n primeros números pares naturales
Demostración:
Factorización
SN primeros
lqqd
❑
Los n primeros números impares naturales.
Demostración:
P3:
SN #pares y P2:
simplificación
lqqd
❑
Los n primeros números cuadrados perfectos
❑
Los n primeros números cubos perfectos.
❑
Los n primeros números cuartos perfectos.
❑
Los n primeras potencias.
❑
EJ ERCICIOS
RESUELTOS
1. Escriba con notación
a) 3+9+27+81+… (10 términos )
Resolución:
3+9+27+81+… (10 términos )
3+9+27+81+…(10 términos) =
b) 2+6+10+14+18… (10 términos )
Resolución:
2+6+10+14+18… (10 términos )
2+6+10+14+18… (10 términos ) =
2. Hallar
Resolución:
:propiedad 3
:propiedad 2
:S.N y :propiedad 2
3. Calcular P , si P =3+24+81+192 +
… +
8232
Resolución:
:factorizando
:S.N. cubos
4. Hallar n:
Resolución:
:S.N. números pares
:Ec. De 2grado
5. Hallar S: Si S =4 +7 +12+19 +. ..
15términos
Resolución:
S =4 +7 +12 +19 +. ..
15términos
:Propiedad 3
:S.N. y Propiedad 2
6. Calcular E:
Resolución:
:Decimal a fracción
:Factorizando
7. Se tiene:
Encontrar el valor de:
Resolución:
B: Hallando
2n-1= 69
n=35
Aplicando S.N Números impares
Por Tanto:
M =9
A=4
R=6
8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7
pasajeros, y en cada estación suben 2pasajeros
más de lo que subieron en la estación anterior.
Si al llegar a su paradero final se contaron con 520
pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el
ómnibus a recoger pasajeros?
Resolución:
Inicio:
7
1°
9
2°
11
3°
13
…
n°
Final
520
Total de pasajeros: 7 + 9 + 1 1 + 1 3 + … + n = 5 2 0
9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410
en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/12
más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes?
Resolución:
1°
Mes
actual
178
2°
Mes
pasado
+
166
3°
Mes
antepasado
+
154
+ …
…
n°
1° Mes
de ahorro
+ (190-12n)
= 1410
10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles
prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que
encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para
Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12fósiles y recibe
S/.12285¿ Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado?
Resolución:
❑
EJERCICIOS
PROPUESTOS
1. Escriba con notación
a) 11+13+15+17+… (7 términos )
b) 4+9+16+25+36… (10 términos )
2. Hallar
Resolución:
3. Calcular P , si P =7 +10 +14+19 + …
Resolución:
+
78
4. Hallar n:
Resolución:
5. Hallar S: Si S =4 +7 +12+19 +. ..
30términos
Resolución:
6. Calcular G:
Resolución:
7. Se tiene:
Encontrar el valor de:
Resolución:
❑
CONCLUSIONES
➢
La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento
base en problemas de sumatorias.
➢
Las propiedades de las sumatorias
facilitan en la resolución de problemas.
➢
Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas
que nos permiten resolver problemas.
❑
BIBLIOGRAFÍA
➢
➢
➢
Ministerio de educación.(2007).Matemática primer grado de
educación secundaria. Editorial Bruño. Lima-Perú.
Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático.
Editorial Lumbrras. Lima – Perú
Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1
de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/