Distribuciones discretas de probabilidad

Probabilidad y Estadística
Distribuciones
Discretas de Probabilidad
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Multinomial
Se usa cuando el tipo de experimento produce observaciones de una variable con
más de dos posibles resultados.
Sus propiedades son:
1. El experimento consiste en n pruebas idénticas
2. Hay k posibles resultados en cada prueba
3. Las probabilidades de los k resultados, denotados por 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘 se
mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas, donde: 𝑝1 + 𝑝2 +
⋯ + 𝑝𝑘 = 1
4. Las pruebas son independientes
5. Las variables aleatorias de interés son las cuentas 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘 en cada
una de las k categorías
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Multinomial
Su función, media y varianza son:
𝑛!
𝑃 𝑦1, 𝑦2, … 𝑦𝑘 =
(𝑝1)𝑦1 (𝑝2)𝑦2 ∙∙∙ (𝑝𝑘)𝑦𝑘
𝑦1! 𝑦2! ∙∙∙ 𝑦𝑘!
Donde
𝑝𝑖 =probabilidad del resultado i en una sola prueba
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ + 𝑝𝑘 = 1,
𝑛 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑘 = n pruebas
𝑦𝑖 =número de ocurrencias del resultado i en n pruebas
Su media y varianza:
𝜇𝑖 = 𝑛𝑝𝑖 𝑦 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)
Probabilidad y Estadística
Ejercicios:
1. Para la distribución multinomial con n=5; k=3; p1=0.2; p2=0.5 y p3=0.3 calcular:
𝑎. 𝑃 3,1,1 ; 𝑏. 𝑃 0,5,0 𝑐. 𝑃(1,3,1)
2. Una corriente eléctrica que viaja a través de un resistor puede tomar uno de
tres caminos diferentes de probabilidades de p1=0.25; p2=0.30; p3=0.45
respectivamente. Suponer que se determina el camino tomado en n=10 ensayos
consecutivos.
a. Calcular la probabilidad de que la corriente eléctrica viajará por la primera
trayectoria y1=2 veces; por la segunda y2=4 veces y por la tercera y3=4
veces.
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Binomial Negativa
Se usa cuando nos interesa medir el tiempo transcurrido antes de que ocurra un
evento, por ejemplo, el tiempo que tarda en fallar un equipo.
La probabilidad está dada por:
𝑥−1 𝑟 𝑥−𝑟
𝑝 𝑥 = 𝐶𝑟−1
𝑝 𝑞
𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2, …
Donde
𝑝 =probabilidad de éxito
𝑞 = 1 − 𝑝,
𝑥 = número de pruebas hasta que se observa el r-ésimo éxito
𝜇=
𝑟
𝑝
y
𝜎2
=
𝑟𝑞
𝑝2
Probabilidad y Estadística
Ejercicio:
Para instalar el alojamiento de un motor, un ensamblador de línea de producción
debe utilizar una herramienta manual eléctrica para colocar y apretar cuatro
pernos. Suponga que la probabilidad de colocar y apretar un perno en cualquier
intervalo de tiempo de 1 segundo es p=0.8; si el ensamblador falla en el primer
segundo, la probabilidad de éxito que durante el segundo intervalo sea 1 segundo
es 0.8, y así sucesivamente.
a. Calcular la probabilidad de x, el tiempo que transcurre antes de instalarse
un alojamiento completo.
b. Calcule la probabilidad de que la operación de ensamblado completa
requiera 6 segundos
c. Calcular media y varianza
Probabilidad y Estadística
respuesta:
a. Como el alojamiento contiene 4 pernos, se aplica una probabilidad binomial
negativa. Así p=0.8 y r=4 y su distribución será:
𝑥−1 𝑟 𝑥−𝑟
𝑥−1
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑟−1
𝑝 𝑞
= 𝐶4−1
(0.8)4 (.2)𝑥−4
6−1
b. Calcular: 𝑃 6 = 𝐶4−1
(0.8)4 (0.2)6−4
c. Calcular media y varianza
𝑟
4
𝜇= =
𝑝 0.8
𝑟𝑞 4(0.2)
2
𝜎 = 2=
= 1.25
2
𝑝
(0.8)
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Distribución de Probabilidad Geométrica
Es el caso donde r=1.
La probabilidad está dada por:
𝑝 𝑥 = 𝑝1 𝑞 𝑥−1
𝑥 = 1,2, …
Donde
𝑝 =probabilidad de éxito
𝑞 = 1 − 𝑝,
𝑥 = número de pruebas hasta que se observa el primer éxito
𝜇=
𝑟
𝑝
y
𝜎2
=
𝑟𝑞
𝑝2
Probabilidad y Estadística
Ejercicio:
Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se
compran en lotes grandes y se prueban secuencialmente hasta que se observa
un fusible defectuoso. El lote se estima con 10% de defecto.
a. Calcular la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los
primeros cinco fusibles probados.
b. Calcular la media, la varianza y la desviación de la variable
Probabilidad y Estadística
respuesta:
a. El número x de fusibles probados hasta observarse el primer fusible defectuoso
es una variable aleatoria geométrica con p=0.1 y q=0.9 :
𝑃 𝑥 = 𝑝 𝑞 𝑥−1
La probabilidad de encontrar un defectuoso dentro de los primeros cinco probados,
será:
𝑃 𝑥 ≤ 5 = 𝑃 1 + 𝑃 2 + ⋯ + 𝑃(5)
𝑃 𝑥 ≤ 5 = 0.1 0.9 0 + 0.1 0.9 1 + ⋯ + 0.1 0.9 4 = 0.41
b. Calcular media y varianza
1
1
𝜇= =
= 10
𝑝 0.1
𝑞
(0.9)
2
𝜎 = 2=
= 90
2
𝑝
(0.1)
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Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
Características:
1.
El experimento consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de
un conjunto de N elementos, r de los cuales son S (éxitos) y (N-r) de los
cuales son F (fracasos)
2. El tamaño de muestra n es grande en comparación con el número N de
𝑛
elementos de la población, es decir, > 0.05
𝑁
3. La variable aleatoria hipergeométrica x es el número de resultados S de la
muestra de n elementos
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
Su función, media y varianza son:
𝑁−𝑟
(𝐶𝑥𝑟 )(𝐶𝑛−𝑥
)
𝑃 𝑥 =
,
𝑁
𝐶𝑛
𝑥=
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 [0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑟 , … ]
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝑟, 𝑛)
Donde
𝑁 =total de elementos
𝑟 = número de resultados S en los N elementos
𝑛 =número de elementos extraídos
𝑥 =número de resultados S en los n elementos
Su media y varianza:
𝑛𝑟
𝑟 𝑁 − 𝑛 𝑛(𝑁 − 𝑛)
2
𝜇=
𝑦 𝜎 =
𝑁
𝑁 2 (𝑁 − 1)
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Ejercicio:
Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador apropiado para la
producción comercial de etilendiamina (EDA), que se utiliza en la producción de
jabones, Un ingeniero selecciona al azar tres catalizadores para probar de entre
un grupo de 10, 6 de los cuales tienen baja acidez y 4 de los cuales son muy
ácidos.
a. Calcular la probabilidad de que no se escogerá un catalizador muy ácido.
b. Calcular probabilidad de que se escoja exactamente un catalizador muy
ácido
Probabilidad y Estadística
respuesta:
a. Sea x el número de catalizadores de alta acidez seleccionados. Entonces, x es la
variable aleatoria hipergeométrica con N=10, n=3, r=4 :
6
(𝐶𝑥4 )(𝐶3−𝑥
)
𝑃 𝑥 =
𝐶310
a. Las probabilidades P(0) y P(1):
6
(𝐶04 )(𝐶3−0
) 1
𝑃 𝑥=0 =
=
10
6
𝐶3
6
(𝐶14 )(𝐶3−1
) 1
𝑃 𝑥=1 =
=
10
2
𝐶3
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Distribución de Probabilidad de Poisson
Proporciona un modelo para la frecuencia relativa del número de eventos poco
comunes que ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc.
1.
El experimento consiste en tomar el número x de veces que ocurre un evento en particular
durante una unidad de tiempo dada, o en un área o volumen, o en cualquier otra unidad de
medida dada.
2.
La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada es la misma para todas las
unidades.
3.
El número de eventos que ocurren es independiente de lo ocurre en otras unidades
4.
El número medio o esperado de eventos en cada unidad se denota por lambda 𝜆
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Poisson
Su función está dada por:
𝜆𝑥 𝑒 −𝜆
𝑃 𝑥 =
,
𝑥!
𝑥 = 0,1,2,3, …
Donde:
𝜆 = número medio de eventos en una unidad dada de tiempo, área o volumen
𝑒 = número de Euler = 2.718281 …
La media y varianza de la variable es:
𝜇=𝜆
𝑦 𝜎2 = 𝜆
Probabilidad y Estadística
Ejercicio:
Suponga que el número x de grietas por espécimen de concreto con cierto tipo
de mezcla de cemento tiene una distribución de probabilidad de Poisson, en el
que el número medio de grietas por espécimen es de 2.5
a. Calcular la probabilidad de que un espécimen de concreto escogido al azar
tenga exactamente 5 grietas.
b. Calcular la probabilidad de que un espécimen de concreto escogido al azar
tenga dos o más grietas.
c. Calcular la media y la desviación estándar del número de grietas por
espécimen de concreto.