LEYES DE KEPLER. Johannes Kepler (1571-1630) Es recordado principalmente por descubrir las tres leyes del movimiento planetario que llevan su nombre (publicadas en 1609 y 1619). Hizo también un importante trabajo en óptica (1604, 1611), aportó la primera prueba de cómo funcionaban los logaritmos (1624), y diseñó un método para hallar los volúmenes de sólidos de revolución que puede verse como una contribución al desarrollo del cálculo infinitesimal (1615, 1616). Además, calculó las tablas astronómicas más exactas conocidas hasta el momento, cuya continuada precisión hizo mucho para establecer la verdad de la astronomía heliocéntrica. PRIMERA LEY DE KEPLER Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. La distancia de cada foco al centro de la elipse es ea, donde e es un número adimensional entre 0 y 1 llamado excentricidad. Si e = 0, la elipse es un círculo. Si e = 1, la elipse es un Parábola. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 Las órbitas reales de los planetas son casi circulares; sus excentricidades varían entre 0.007 para Venus y 0.206 para Mercurio. La órbita de la Tierra tiene e = 0.017. El punto de la órbita más cercano al Sol es el perihelio; y el más lejano, el afelio. 𝑒= Ejemplo: En el planeta tierra, el Semieje mayor es 152,1 millones de kilómetros y Distancia del foco al centro es de 2,59 millones de kilómetros. ¿Cuál es su excentricidad? ¿Qué representa? Excentricidad: 0,017 SEGUNDA LEY DE KEPLER Las áreas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlos Podemos decir entonces que la velocidad del planeta en su órbita no es constante y cuando está en el afelio su recorrido es más lento que cuando está en el perihelio. La Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y “rebaja” a 28,76 en el afelio. TERCERA LEY DE KEPLER Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas en torno al Sol son directamente proporcionales al cubo de los semiejes mayores de las elipses correspondientes 𝑇 2 = 𝑘 𝑎3 k = Constante de proporcionalidad, igual para todos los planetas y cuerpos que orbitan alrededor del Sol El periodo de un cuerpo que gira alrededor del sol, formando una órbita elíptica es: 3 2 𝜋 𝑎 ⁄2 𝑇= √𝐺 𝑚𝑠𝑜𝑙 Ejemplo: El asteroide Palas tiene un periodo orbital de 4.62 años y una excentricidad orbital de 0.233. Calcule el eje semimayor de su órbita. 𝑚𝑠 = 1,99 𝑥 1030 𝐾𝑔 Ejercicios Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas 1.- Suponga que se descubre un planeta entre el Sol y Mercurio, con una órbita circular de radio igual a 2/3 del radio orbital medio de Mercurio. ¿Qué periodo orbital tendría ese planeta? 𝑟𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 5,79 𝑥 1010 𝑚𝑡𝑠 2.- La estrella Rho1 Cancri está a 57 años luz de la Tierra y su masa es 0.85 veces la del Sol. Se ha detectado un planeta en órbita circular en torno a Rho1 Cancri, con un radio orbital igual a 0.11 veces el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Calcule a) la rapidez orbital y b) el periodo orbital del planeta de Rho1 Cancri. 𝑟𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 1,50 𝑥 1011 𝑚𝑡𝑠 3.- En marzo de 2006, se descubrieron dos satélites pequeños en órbita alrededor de Plutón: uno a una distancia de 48.000 km y el otro a 64.000 km. Ya se sabe que Plutón tiene un satélite grande, Caronte, el cual orbita a 19.600 km con un periodo orbital de 6,39 días. Suponiendo que los satélites no se afectan mutuamente, encuentre los periodos orbitales de los dos satélites pequeños sin utilizar la masa de Plutón. 4.- a) Use la figura para demostrar que la distancia Sol-planeta en el perihelio es (1 – e)a, que en el afelio es (1 + e)a y que, por lo tanto, la suma de estas dos distancias es 2ª. b) Cuando el planeta enano Plutón estaba en su perihelio en 1989, estaba casi 100 millones de km más cerca del Sol que Neptuno. Los ejes semimayores de las órbitas de Plutón y Neptuno son 5.92 x 1012 m y 4.50 x 1012 m, respectivamente, y sus excentricidades son 0.248 y 0.010. Calcule la distancia más corta de Plutón al Sol y la más grande de Neptuno al Sol. C) ¿Cuántos años, después de su perihelio en 1989, Plutón volverá a estar en su perihelio? 5.- En 2004 los astrónomos informaron el descubrimiento de un planeta del tamaño de Júpiter con una órbita muy cercana a la estrella HD 179949. La órbita estaba sólo a de la distancia de Mercurio al Sol, y al planeta le tomó sólo 3.09 días efectuar una órbita (que se supone circular). A) ¿Cuál es la masa de la estrella? B) ¿Qué tan rápido (en km/s) se mueve este planeta? Fórmulas que necesita: La velocidad orbital : 𝑣 = √ Periodo : 𝑇 = 2𝜋𝑟 𝑣 𝐺𝑚 𝑟