DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICAELECTRÓNICA ASIGNATURA:TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA TEMA INTRODUCTORIO SISTEMAS DE COORDENADAS MC/ME Jorge A. Gallegos de la Cruz Agosto 2019 Introducción Un punto o vector puede ser representado en cualquier sistema de coordenadas curvilíneo, el cual puede ser ortogonal o no ortogonal. Un sistema ortogonal es aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares, tal es el caso de los sistemas cartesiano (o rectangular), cilíndrico circular y esférico. La elección del sistema de coordenadas adecuado en la solución de un problema permite ahorrar una gran cantidad de tiempo y trabajo. Sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) Un punto P se puede representar con (x, y, z) Los intervalos de las variables x, y, z están dados por: −∞ < 𝑥 < ∞ −∞ < 𝑦 < ∞ −∞ < 𝑧 < ∞ En coordenadas cartesianas un vector 𝐀 puede expresarse como: 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 o 𝐴𝑥 𝒂𝒙 + 𝐴𝑦 𝒂𝒚 + 𝐴𝑧 𝒂𝒛 Donde: 𝒂𝒙 , 𝒂𝒚 , 𝒂𝒛 son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones x, y, e z. Sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z) Un punto P en coordenadas cilíndricas se puede representar como (r, , z). Los intervalos de las variables r, , z están dados por: 0≤𝑟<∞ 0 ≤ < 2𝜋 −∞ < 𝑧 < ∞ En coordenadas cilíndricas un vector 𝐀 puede expresarse como: 𝐴𝑟 , 𝐴 , 𝐴𝑧 o 𝐴𝑟 𝒂𝒓 + 𝐴 𝒂 + 𝐴𝑧 𝒂𝒛 Donde: 𝒂𝒓 , 𝒂 , 𝒂𝒛 son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones r, , e z. La magnitud del vector 𝐀 en coordenadas cilíndricas estada dado por: A= Ar 2 + A 2 + Az 2 Al igual que en coordenadas cartesianas, los vectores unitarios 𝒂𝒓 , 𝒂 , 𝒂𝒛 son mutuamente perpendiculares. Las relaciones de las variables (x, y, z) del sistema de coordenadas cartesianas y las variables (r, , z) del sistema cilíndrico se obtienen de la siguiente figura y están dadas por: Cartesianas a Cilíndricas 𝑟= 𝑥2 + 𝑦2, = tan−1 𝑦 , 𝑥 𝑧=𝑧 Cilíndricas a Cartesianas 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛, 𝑧=𝑧 Las relaciones anteriores se aplican para convertir un punto de coordenadas cartesianas a cilíndricas y viceversa. Sin embargo, si lo que se requiere es la transformación de un vector 𝐀 de 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 a 𝐴𝑟 , 𝐴 , 𝐴𝑧 se utiliza la matriz de transformación: La inversa que es la transformación de 𝐴𝑟 , 𝐴 , 𝐴𝑧 a 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 se obtiene mediante: Sistema de coordenadas esféricas (r, , ) Un punto P esféricas se puede representar con (r, , ) Los intervalos de las variables r, , están dados por: −∞ < r < ∞ 0≤θ≤π 0 ≤ < 2π En coordenadas esféricas un vector 𝐀 expresarse como: 𝐴𝑟 , 𝐴𝜃 , 𝐴 puede o 𝐴𝑟 𝒂𝒓 + 𝐴𝜃 𝒂𝜽 + 𝐴 𝒂 Donde: 𝒂𝒓 , 𝒂𝜽 , 𝒂 son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones r, y . La magnitud del vector 𝐀 en coordenadas esféricas estada dado por: A= Ar 2 + Aθ 2 + A 2 Al igual que en coordenadas cartesianas, los vectores unitarios 𝒂𝒓 , 𝒂𝜽 , 𝒂 son mutuamente perpendiculares. Las relaciones de las variables (x, y, z) del sistema cartesiano y las variables (r, , ) del sistema esférico se obtienen de la siguiente figura y están dadas por: Cartesianas a Esféricas 𝑟= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 2, 𝜃 = tan−1 𝑥2 + 𝑦2 𝑦 , = tan−1 𝑧 𝑥 Esféricas a Cartesianas 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠, 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Las relaciones anteriores se aplican para convertir un punto de coordenadas cartesianas a esféricas y viceversa. Si lo que se requiere es la transformación de un vector 𝐀 de 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 a 𝐴𝑟 , 𝐴𝜃 , 𝐴 se utiliza la matriz de transformación: La inversa que es la transformación de 𝐴𝑟 , 𝐴𝜃 , 𝐴 a 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 se obtiene mediante: Ejemplo Dados el punto P(-2,6,3) y el vector 𝐀 = 𝑦𝒂𝒙 + 𝑥 + 𝑧 𝒂𝒚 , Exprese P y 𝐀 en coordenadas cilíndricas y esféricas. SOLUCIÓN: En P: x = -2, y = 6, z = 3. En coordenadas cilíndricas: x 2 + y 2 = 4 + 36 = 𝟒𝟎 y 6 −1 −1 = tan = tan = 𝟏𝟎𝟖. 𝟒𝟑° x −2 z=z=𝟑 r= En coordenadas esféricas: x 2 + y 2 + 𝑧 2 = 4 + 36 + 9 = 49 = 𝟕 2 + 𝑦2 𝑥 40 −1 −1 θ = tan = tan = 𝟔𝟒. 𝟔𝟐° z 3 r= = tan−1 y 6 −1 = tan = 𝟏𝟎𝟖. 𝟒𝟑° x −2 Por tanto: 𝐏 −𝟐, 𝟔, 𝟑 = 𝐏 𝟒𝟎, 𝟏𝟎𝟖. 𝟒𝟑°, 𝟑 = 𝐏 𝟕, 𝟔𝟒. 𝟔𝟐°, 𝟏𝟎𝟖. 𝟒𝟑° El vector 𝐀 = 𝑦𝒂𝒙 + 𝑥 + 𝑧 𝒂𝒚 . Evaluado en el punto se obtiene: 𝐀 = 6𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 y sabiendo que =108.43. Utilizando matrices de transformación tenemos: Ar cos 108.43 sin 108.43 0 6 A∅ = − sin 108.43 cos 108.43 0 1 Az 0 0 1 0 Ar = 6 cos 108.43 + sin 108.43 = −0.948 A∅ = −6 sin 108.43 + cos 108.43 = −6.008 , Az = 0 Por tanto: 𝐀 = −0.948𝐚𝐫 − 6.008𝐚∅ Como: 𝐀 = 6𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 , =108.43 y =64.62. Utilizando matrices de transformación tenemos: Ar sin64.62cos 108.43 Aθ = cos64.62cos108.43 A∅ −sin108.43 sin64.62sin 108.43 cos64.62sin 108.43 cos108.43 cos64.62 6 −sin64.62 1 0 0 Ar = 6 sin64.62cos 108.43 + sin64.62 sin 108.43 = − 0.8567 Aθ = 6cos64.62cos108.43 + cos64.62sin108.43 = −0.4064 A∅ = −6sin108.43 + cos108.43 = −6.008 Por tanto: 𝐀 = −0.8567𝐚𝐫 − 0.4064𝐚𝛉 − 6.008𝐚∅ Se puede comprobar que para los tres sistemas la magnitud del vector 𝐀 es A=6.082 unidades Actividad (Tarea 1) 1. Dados el punto P(1,3,5) y el vector 𝐐 = 𝑥 2 +𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 𝒂𝒙 − 𝑦𝑧 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 𝒂𝒛 , Exprese P y 𝐐 en coordenadas cilíndricas y esféricas. 2. 10 Exprese el vector 𝐁 = r 𝐚𝐫 + rcosθ𝐚𝛉 + 𝐚∅ en coordenadas cartesianas y cilíndricas. Halle 𝐁 −3,4,0 Diferenciales de longitud, área y volumen Los elementos diferenciales de longitud área y volumen son útiles en el cálculo aplicado a vectores. Se definirán en los tres sistemas de coordenadas: Coordenadas cartesianas: 1. El desplazamiento diferencial está dado por: d𝐥 = 𝑑𝑥𝒂𝒙 + 𝑑𝑦𝒂𝒚 + 𝑑𝑧𝒂𝒛 2. El área normal diferencial está dada por: d𝐒 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝒂𝒙 = 𝑑𝑥𝑑𝑧𝒂𝒚 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝒂𝒛 3. El volumen diferencial está dado por: dv = dxdydz Coordenadas cilíndricas: 1. Desplazamiento diferencial d𝐥 = 𝑑𝑟𝒂𝒓 + 𝑟𝑑∅𝒂∅ + 𝑑𝑧𝒂𝒛 2. Área normal diferencial d𝐒 = 𝑟𝑑∅𝑑𝑧𝒂𝒓 = 𝑑𝑟𝑑𝑧𝒂∅ = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝒂𝒛 3. Volumen diferencial dv = rdrd∅dz Coordenadas esféricas: 1. Desplazamiento diferencial d𝐥 = 𝑑𝑟𝒂𝒓 + 𝑟𝑑𝜃𝒂𝜽 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑∅𝒂∅ 2. Área normal diferencial d𝐒 = 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅𝒂𝒓 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑∅𝒂𝜽 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝒂∅ 3. Volumen diferencial dv = 𝑟 2 senθdrdθd∅