PAPER CICLO APLICACION

ANÁLISIS DEL CICLO ECONÓMICO COMÚN DE LOS PAÍSES DE LA
ALIANZA DEL PACÍFICO: APLICACIONES MEDIANTE EL FILTRO DE
KALMAN
Analysis of the common economic cycle of the Pacific Alliance countries: Applications
through the Kalman Filter
[Recepción: Febrero de 2017/ Conformidad: Marzo 2017]
José Muñoz Aguilar1
RESUMEN
En el presente artículo se analizan los ciclos económicos de los países miembros de la
Alianza del Pacífico. Se estima el ciclo común de este grupo de países mediante el
algoritmo del Filtro de Kalman, y luego se compara con los ciclos económicos de cada
país.
Los resultados exhiben grandes diferencias entre el ciclo común y los ciclos propios de
cada país entre los años 1961 y 1999, evidenciando las desigualdades que existían
entre sus economías. A partir del año 2000, el ciclo común y los ciclos económicos
propios de cada país siguen una misma tendencia, evidenciando las semejanzas en el
crecimiento económico de estos países. Ello nos sugiere algunas bases teóricas sobre
una posible moneda común en la Alianza del Pacífico.
Palabras Clave: Alianza del Pacífico, Filtro de Kalman, ciclo económico.
Clasificación JEL: E32, F41
ABSTRACT
This article analyzes the economic cycles of the member countries of the Pacific Alliance.
The common cycle of this group of countries is estimated through the Kalman Filter
algorithm, and then compared to each country’s economic cycle.
The results show great differences between the common cycle and the individual cycle
of each country between 1961 and 1999, evidencing the existing inequalities between
their economies. Since 2000, both the common and individual economic cycles follow
the same trend, indicating similarities in the economic growth of these countries. This
suggests a theoretical base of a possible common currency in the Pacific Alliance.
Keywords: Pacific Alliance, Kalman Filter, economic cycle.
1
Economista. Analista de riesgos en CARSA, Lima, Perú. E-mail: [email protected]
5
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
1.
Introducción
En América Latina, entre el 2000 y el 2008, las tasas de crecimiento han bordeado el
8%, siendo los mejores países con tasas de crecimiento, Perú, Chile, Colombia y México.
Perú fue considerado como el tigre sudamericano, alcanzando una tasa de crecimiento
del 8.5% en el 2007, según el Banco Mundial. Debido al gran potencial económico de
estos países, decidieron crear un bloque económico, el cual los ayude a competir dentro
del comercio internacional. En este contexto nació el Bloque de la Alianza del Pacífico.
La Alianza del Pacífico es un bloque comercial subregional, el cual fue creado el
28 de abril de 2011, mediante una iniciativa de integración regional por parte de los
estados de Chile, Colombia, México y Perú. Cuyo objetivo principal era alcanzar la libre
circulación de bienes, servicios, capitales y personas, así como convertirse en una
plataforma de integración económica y comercial, con proyección al mundo, con énfasis
en la región Asia - Pacífico. En América Latina y el Caribe, el bloque de la Alianza del
Pacífico representa el 39% del PIB, 50% del comercio total y el 45% de la inversión
extranjera directa.
Los cuatro países miembros concentran una población de 219 millones de
personas, considerado el 5to mercado más grande del mundo, y cuenta con un PIB per
cápita promedio de 10 mil dólares, en donde las economías combinadas de los cuatro
países miembros ocupan el 4to lugar en economía más dinámica a nivel mundial2. Los
miembros mantienen una red de acuerdos comerciales entre sí y con las economías más
desarrolladas y dinámicas del mundo. Promueven el intercambio comercial, de
inversiones, de innovación y tecnología con las regiones más competitivas del mundo.
Tienen el potencial para atraer nuevas inversiones.
Un siguiente nivel de integración para este bloque económico, es el nacimiento
de una moneda única, la cual según la teoría de zonas monetarias óptimas de Mundell
(1961), maximizaría la eficiencia del bloque económico si este compartiera una única
divisa, siempre y cuando se logre el objetivo principal del bloque de tener una libre
circulación de bienes, servicios, capitales y personas. Para ello, un criterio fundamental es
que los países participantes del bloque, tengan ciclos económicos semejantes o
converjan a una tendencia común.
2.
Revisión de la literatura
Massad (2000) analiza teóricamente la viabilidad de una moneda común para Chile y el
Mercosur dentro del nuevo ambiente financiero internacional, al cual considera menos
regulado, pero a la vez más volátil, y por ello los países deberían aprovechar los
beneficios de una integración. Sugiere que los beneficios que puede atribuir la
2
6
Estadísticas tomadas de la página web de la Alianza del Pacifico.
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
implementación de una unión monetaria son semejantes a que si se implementara un
tipo de cambio fijo. La eliminación del riesgo cambiario dentro de la unión monetaria
sería el más importante beneficio, adicional a que adopten el dólar o euro, lo cual
disminuiría los costos de transacción de la unión monetaria y facilitaría aún más el
comercio. Otros méritos de una posible implementación de una moneda común serían la
disminución de la inflación en los países miembros, incentivos para la flexibilización del
mercado laboral y del nivel de precios domésticos.
Pineda y Pineda (2003) evalúan la posibilidad de un área monetaria entre los
países miembros de la Comunidad Andina de Naciones (CAN). Se enfocan
particularmente en el tema de las asimetrías de las perturbaciones económicas, ya que en
la teoría de áreas monetarias óptimas desarrollada por Mundell (1961), esta área
monetaria es una unidad económica compuesta de regiones afectadas simétricamente
por perturbaciones. El estudio se realiza midiendo las correlaciones de los ciclos del
producto, obtenidos a través del Filtro de Hodrick y Prescott. Se analiza el co-movimiento
de estos ciclos, tanto en el corto como en el largo plazo. Posteriormente, implementan
una metodología de Vectores Auto Regresivos Estructurales, (SVAR), para identificar las
causas del grado de co-movimiento identificados, tratando de verificar el grado en que la
ausencia del co-movimiento perfecto puede atribuirse a choques de oferta o de demanda.
Concluyen que los co-movimientos entre los países miembros del CAN son similares, y
revela un grado de alrededor del 0.50 en promedio.
Medira (2004) analiza la adopción de una Unión Monetaria entre las economías
integrantes del bloque de MERCOSUR, como medida para eliminar la elevada volatilidad
cambiaria, lo cual podría contribuir en el éxito del proceso de Integración del bloque.
Evalúan si los ciclos económicos de los socios tienen el grado de sincronía suficiente
como para que los beneficios de la adopción de una moneda única superen a los costes
derivados de la pérdida de soberanía en materia de política monetaria. Calcula las
correlaciones bivariadas entre las tasas de crecimiento del PIB real de los países
miembros y los compara con un análisis similar realizado para las principales economías
de la Unión Europea. Concluye que existe más dispersión y menor sincronía en la
evolución del PIB de los países integrantes del MERCOSUR, observando en este último
bloque correlaciones muy bajas sólo entre Argentina y Uruguay.
Lasema, Castro y Cajamarca (2007) analizan los costos y beneficios de la
alternativa de una Unión Monetaria y la creación de un peso andino único para los
países de Venezuela, Perú, Ecuador y Colombia. Evalúa las correlaciones de los ciclos
económicos de los países mencionados. El estudio concluye que existen condiciones
para adoptar una moneda común, implementando una política monetaria común. El
Estudio analiza más a fondo el caso de la integración entre Ecuador y Colombia. Los
componentes cíclicos del producto de Colombia y Ecuador los obtuvieron usando el
Filtro Hodrick-Prescott, y concluyeron que los ciclos entre Ecuador y Colombia están
bastante correlacionados, siendo 0,66 la correlación para todo el período de análisis, lo
cual favorece a la alternativa de integración monetaria inicial entre estos dos países.
7
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
3.
Marco Teórico
Los ciclos económicos son fluctuaciones recurrentes en las actividades económicas. Un
ciclo consiste en un período de expansión y otro de recesión o contracción. Esta
sucesión de cambios es recurrente, pero no periódica3.
Se supone que 𝑌" es una variable analizada, la cual se modeliza de la siguiente
manera: Yt =Ct +Tt + It donde los componentes variables no observables Ct , Tt y It son
Componente Ciclo, Componente Tendencia y Componente Irregular respectivamente.
Para poder extraer el componente ciclo, se tiene que primero identificar cada uno de sus
componentes. Debido a que estos componentes son no observables, se evalúan
mediante el Filtro de Kalman, lo cual permite, entre otras cosas, la modelización de
componentes no observables (Welch y Bishop, 2002). Mediante este Filtro de Kalman
también representaremos a los ciclos económicos en su representación estado-espacio
asumiendo que las variables observables dependen dinámicamente de dos componentes
no observados: Un componente idiosincrático4, y un componente común que representa
el Ciclo Común de los países que conforman el bloque de la Alianza del Pacifico.
3.1. El Algoritmo del Filtro de Kalman
Prado (2005) analiza al Filtro de Kalman como un conjunto de ecuaciones matemáticas
que proveen una solución recursiva eficiente del método de mínimos cuadrado. Esta
solución permite calcular un estimador lineal, insesgado y óptimo del estado de un
proceso en cada momento del tiempo con base en la información disponible en el
momento t - 1, y actualizar, con la información adicional disponible en el momento t,
dichas estimaciones. Este filtro es el principal algoritmo para estimar sistemas dinámicos
especificados en la forma estado - espacio.
Según Solera (2003), este es un procedimiento matemático que opera por
medio de un mecanismo de predicción y corrección. En esencia, este algoritmo
pronostica el nuevo estado a partir de su estimación previa añadiendo un término de
corrección proporcional al error de predicción, de tal forma que este último es
minimizado estadísticamente.
Según la solución del Filtro de Kalman en datos discretos, el sistema lineal se determina
por las siguientes ecuaciones:
X t = AX t - 1 + BU t - 1 + W t - 1
[1]
Y t = CX t +V t
[2]
3
Se consideran como parte del ciclo económico sólo aquellas fluctuaciones de duración entre 6 y 32 trimestres,
las fluctuaciones de duración mayor a 32 trimestres forman parte del componente tendencial de la serie,
mientras que aquellas de duración menor a 6 trimestres corresponden al componente irregular.
4
Es representado por el ciclo específico de cada país miembro del AP.
8
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
La derivación de este filtro descansa en el supuesto de normalidad en el vector
de estados iniciales y las perturbaciones. Asumimos que A y C son constantes. La
ecuación [1] se denomina ecuación de predicción y la ecuación [2], ecuación de
actualización. Los procesos de Wt y Vt son procesos de Ruido Blanco. Tal que E (Wt ) =
E (Vt ) = 0; y E (Wt Wt ’) = Q, E (Vt Vt ’) = R.
El objetivo de esta solución consiste en calcular un estimador lineal, insesgado
y óptimo de estado, mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas que prevén una
solución recursiva optima por el método de Mínimos Cuadrados.
3.2. Representación Estado – Espacio de un sistema dinámico
Denotamos a Yt como una matriz (n x 1) de variables observables en el tiempo 𝑡, el
cual está en función de variables no observables. El modelo dinámico de Yt se puede
modelar mediante el vector (r x 1), ξt , conocido como el vector estado (Variables no
observables). La representación Estado-Espacio de la dinámica de Yt , está dada mediante
el siguiente sistema de ecuaciones:
Yt = A ´ Xt + Z ξ t + εt
[3]
ξ t + 1 =F ξ t + v t + 1
[4]
Donde las matrices F, A’ y Z son matrices de parámetros de dimensión (r x r),
(n x k) y (n x r) respectivamente; F es la matriz de transición del vector de estado; Xt , es
un vector (K x 1) de variables exógenas; y Z es la matriz que relaciona los vectores de
estado del sistema con las medidas. Yt es la medida del proceso. La ecuación [3] es
denominada Ecuación de Medida (Observación); y la ecuación [4], Ecuación de Estado
(Transición). Se considera un proceso AR(1), que postula la existencia de una variable
no observable Ct , el cual representa el estado de los ciclos económicos:
Ct
X
La Matriz ξ t = , 1t ⋮
Xnt
es la matriz de Estado.
Con una ecuación de estado:
Ct+1
Ct
Vct+1
∅c 0 … 0
X1t+1 = 0 ∅1 … 0
X1t + V1t+1
,
- ,
-,
- ,
⋮
⋮
⋮
⋮ …
⋮ ⋮
⋮
∅n Xnt
Xnt+1
Vnt+1
0 0
[5]
Y una ecuación de observación:
Y1t
Ct
u1
δ1 1 0 … 0
u2
δ2 0 1 … 0 X1t
Y2t
=
,
- . / ,
-,
⋮
⋮ ⋮ ⋮ …
⋮
⋮
⋮ ⋮
un
δn 0 0
Ynt
1 Xnt
[6]
9
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
El parámetro δt , describe la sensibilidad de la i-esima serie del ciclo económico.
Remplaza Ct y Xit con el vector ξ t ; y el escalar ∅i es reemplazado por la Matriz F de la
ecuación [4]; y el vector de δi y de ceros y unos, representa la matriz Z de la ecuación [3],
que relaciona los vectores de estado del sistema con las medidas.
Ahora las estimaciones desarrolladas en este algoritmo para representar
modelos estado - espacio en sistemas dinámicos, se pueden desarrollar tanto por el
método OLS, como con el método Máxima Verisimilitud.
4.
Metodología
En esta sección se presenta la metodología desarrollada para modelar los ciclos
económicos de los países miembros de la Alianza del Pacífico, y se determina el ciclo
común de estos países. Esta investigación sigue el trabajo práctico que Moral (2001)
desarrolló, modelando los ciclos económicos de las principales economías europeas a
través de las tasas de crecimiento del PBI.
La data utilizada corresponde a las tasas de crecimiento de PBI de Perú, Chile,
Colombia, México, obtenidas de la base de datos del Banco Mundial y Los Bancos
Centrales de los países mencionados, correspondiente al periodo comprendido entre
1961 y 2015. Se evaluó la estacionariedad de las series, desarrollando los siguientes
test: Augmented Dickey - Fuller, Dickey - Fuller GLS, Phillips - Perron, KPSS, Ng - Perron.
Posteriormente se efectuó el algoritmo del Filtro de Kalman, para poder
representar estos modelos lineales dinámicos en su forma estado-espacio. Esta
representación estado - espacio es conveniente para poder modelar componentes no
observables a través de su mecanismo de predicción, actualización y suavización.
𝐶1" = 𝐶𝐸1" + 𝐶𝐶"
Dónde:
[7]
𝐶1" = Ciclo observado, crecimiento anual del PBI del país “𝑡” en el momento
“𝑡”.
𝐶𝐸1" = Ciclo especifico del país “𝑖” en el momento “𝑡” (lo que resulta de restar al
ciclo el componente común).
𝐶𝐶" = Ciclo común a todos los países en el momento “𝑡”.
Para el desarrollo del algoritmo se representa al ciclo específico de los países de la
siguiente manera: Perú (𝐶𝐸6" ), Chile (𝐶𝐸7" ), Colombia (𝐶𝐸8" ), México (𝐶𝐸9" ).
10
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
Ecuación de Medida:
𝑃𝑒𝑟𝑢
1 1
𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒
.
/ =.0 1
𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎
0 1
𝑀𝑒𝑥𝑖𝑐𝑜
0 1
Ecuación de estado:
𝐶𝐸6"
⎡ 𝐶𝐶 ⎤
"
⎢
⎥
⎢ 𝐶𝐸7" ⎥ =
⎢ 𝐶𝐸8" ⎥
⎣ 𝐶𝐸9" ⎦
0
1
0
0
00
0 0/
10
0 1
𝐶𝐸6"
⎡ 𝐶𝐶 ⎤
⎢ " ⎥
⎢ 𝐶𝐸7" ⎥
⎢ 𝐶𝐸8" ⎥
⎣ 𝐶𝐸9" ⎦
0
0
0
𝐶(5) 0
⎡
0
0 ⎤
𝐶(6)
0
0
⎢
⎥
0 ⎥
0 𝐶(7) 0
⎢ 0
0
0 𝐶(8) 0 ⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0 𝐶(9)⎥
0
𝐶𝐸6"S6
⎡ 𝐶𝐶
⎤
⎢ "S6 ⎥
⎢ 𝐶𝐸7"S6 ⎥ +
⎢ 𝐶𝐸8"S6 ⎥
⎣ 𝐶𝐸9"S6 ⎦
[8]
𝑉6"
⎡𝑉 ⎤
⎢ 7" ⎥
⎢ 𝑉8" ⎥
⎢ 𝑉9" ⎥
⎣ 𝑉U" ⎦
[9]
Asimismo, se efectuó pruebas de correlación entre los ciclos económicos, para
poder determinar si existe alguna relación estadística entre los ciclos económicos de los
países estudiados y el ciclo común. Para ello se dividió la serie de base de datos en dos
grupos: 1961-1999 y 2000-2015.
5.
Resultados
Las pruebas de estacionariedad muestran que todas las series en estudio son
estacionarias. Dichas pruebas concluyeron que no poseen raíz unitaria, al grado de
significancia del 5% y 10%. En el cuadro 1 se aprecia los valores estadísticos calculados
y sus respectivos valores críticos para un nivel de error de 5% (ver anexo).
La representación de Estado - Espacio del modelo en estudio, revelan el ciclo
común de los países miembros de la Alianza del Pacífico, con la cual se pueda
desarrollar algunos análisis gráficos. En la figura1, se observa que los países miembros
de la Alianza del Pacífico muestran grandes diferencias en sus ciclos económicos a lo
largo de su historia, pero desde inicios del año 2000, estas tasas de crecimiento se
vuelven más moderadas y siguen una tendencia común, con solo pequeñas diferencias.
Se observa que los países con mayor volatilidad en sus tasas de crecimiento observados
son Perú y Chile.
En el caso de Perú, en la figura 2, se puede apreciar que en la década de los
ochenta la tasa de crecimiento fue muy volátil, llegando a tener tasas de crecimiento de 12%, esto debido a la crisis económica que se vivió en ese período. El ciclo económico
peruano fue muy irregular y volátil a lo largo del período en estudio (1961-2015). Desde
1961 hasta 1993 la mayor parte del ciclo económico observado del Perú estuvo por
debajo del ciclo común de los países miembros de la Alianza del Pacífico, pero a partir
de 1993 esta característica se revirtió, y Perú pasó a ser uno de los países líderes entre
los cuatro países en estudios, con tasa de crecimiento de 5.2% en promedio entre 1993
hasta 2015. En 1994 tuvo una sorprendente tasa de crecimiento de 12.8.
11
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Las pruebas de correlación efectuadas a los ciclos económicos de los países
miembros de la Alianza del Pacífico se ejecutaron en dos partes. Primero, entre 1961 y
1999, segundo, entre 2000 y 2015. Los resultados evidencian que entre 1961 y 1999
el grado de correlación entre los ciclos económicos de los países con el ciclo común fue
muy bajo. En promedio su grado de correlación fue menor al 0.50. A excepción de
Colombia, los demás países tuvieron un menor grado de correlación que el promedio
(véase el cuadro 2 y Figura 3). Esta característica cambio drásticamente en el segundo
período comprendido entre el año 2000 y 2015. En este periodo los ciclos económicos
de los países de la Alianza del Pacífico aumentaron su correlación con respecto al ciclo
común. El cuadro 2 se exhibe como aumentaron significativamente los grados de
correlación entre los ciclos económicos de los países de la alianza del pacifico y el ciclo
común.
En el período comprendido entre el año 2000 y 2015 el grado de correlación
en promedio fue de 0.74, muy superior los grados de correlación encontrados en los
trabajos de Pineda y Pineda (2003) y Lasema, Castro y Cajamarca (2007), quienes
hallaron grados de correlación de 0.50 en promedio para los países miembros del CAN
y de 0.66 para Ecuador y Colombia, respectivamente.
6.
Conclusiones
Los resultados obtenidos en la investigación muestran que a lo largo de la historia los
países que actualmente forman la Alianza del Pacífico tuvieron tasas de crecimiento muy
desiguales, unos más moderados y otros con alta volatilidad. A partir del año 2000, las
tasas de crecimiento del PBI de los cuatro países miembros de la Alianza del Pacífico,
siguen una misma tendencia, teniendo tasas de crecimiento parecidos, siendo el Perú
con la mejor cifra.
En la última crisis financiera del 2009, los cuatro países vieron afectadas sus
económicas, siendo la más perjudicada la economía mexicana, debido a su gran
dependencia económica con EEUU. A pesar de ello, los países miembros de la Alianza
del Pacífico siguen teniendo fundamentos macroeconómicos solidos que revertir este
ciclo, lo cual hace pensar que este aun novel bloque económico tenga un futuro próspero
y se pueda posicionar dentro de la economía mundial.
Las altas correlaciones evidenciadas entre los ciclos económicos de los países
miembros de la Alianza del Pacífico y el ciclo común, a partir del año 2000, brinda
algunas bases teóricas sobre una posible moneda común en la Alianza del Pacifico.
Asimismo, el análisis en dos períodos de tiempo exhibió que el grado de correlación
entre los países de la Alianza del Pacífico cambió en el tiempo, para ello es importante
orientar el análisis sobre las causas de estas variaciones, como lo menciona Pineda y
Pineda (2003), la cual podría ayudar en el diseño de las estrategias de integración entre
los países. Ello podría ser una posible extensión a esta investigación.
12
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
7.
Referencias bibliográficas
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www.bcv.org.ve/Upload/Publicaciones/docu39.pdf.
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Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Colombia.
www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/Trabajo_
Grado_Guillermo_Prado_613003.pdf.
SOLERA, A. (2003). El Filtro de Kalman. Documento de Trabajo 2.
www.bccr.fi.cr/investigacioneseconomicas/metodoscuantitativos/Filtro_de_Kal
man.pdf.
WELCH G., Y BISHOP, G. (2002). An Introduction to the Kalman Filter, TR 95041, Carolina del Norte: Department of Computer Science, University of North
Carolina at Chapel Hill.
www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf.
13
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ANEXO
Cuadro 1. Pruebas de Estacionariedad de los las tasas de crecimiento de los países de la Alianza del
Pacifico (1961-2015)5.
Augmented
Dickey-Fuller
Dickey-Fuller
GLS
PHILLIPSPERRON
KPSS6
NG-PERRON
PERÚ
-4.9
-4.5
-4.8
0.2
-3.3
CHILE
-5.3
-5.4
-5.3
0.1
-3.5
COLOMBIA
-5.2
-5.1
-5.2
0.3
-3.4
MÉXICO
-4.9
-4.9
-4.9
0.7
-3.4
COMÚN
-3.4
-2.8
-3.1
0.3
-2.5
Valores Críticos
(Significancia 5%)
-2.9
-1.9
-2.9
0.5
-2.0
Fuente: Elaboración Propia.
Cuadro 2. Coeficiente de Correlación de los países miembros de la AP con respecto al ciclo común.
(1961-1999)
PERÚ
0.36
CHILE
0.28
COLOMBIA
0.93
MÉXICO
0.39
(2000-2015)
PERÚ
0.76
CHILE
0.67
COLOMBIA
0.88
MÉXICO
0.62
Fuente: Elaboración propia.
Todas las pruebas se efectuaron con intercepto, con 10 rezagos, sin tendencia y al nivel de significancia del 5%.
La prueba KPSS presenta: Ho: Serie es estacionaria y Ha: Serie no es estacionaria, por el contrario las demás
pruebas tienen como Ho: Serie con Raíz Unitaria (No estacionaria) y Ha: Serie sin Raíz Unitaria (Estacionaria).
5
6
14
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
Chile
Peru
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
70
75
80
85
90
95
00
05
10
-15
15
70
75
80
85
90
Colombia
95
00
05
10
15
00
05
10
15
Mexico
10.0
12
7.5
8
5.0
4
2.5
0
0.0
-4
-2.5
-5.0
-8
70
75
80
85
90
95
00
05
10
15
70
75
80
85
90
95
CICLO_COMUN
8
6
4
2
0
-2
70
75
80
85
90
95
00
05
10
15
Figura 1. Ciclos Económicos de países miembros de la Alianza del Pacifico.
Fuente: Elaboración propia con información Banco Mundial.
15
REVISTA DE LA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
15
Crisis
economica
peruana
10
5
0
-5
-10
-15
65
70
75
80
85
90
95
CICLO_COMUN
00
05
10
15
Peru
Figura 2. Comparación entre ciclo peruano y ciclo común.
Fuente: Elaboración propia con información del Banco Mundial.
15
Los ciclos economicos
empiezan a ser mas
correlacionados
10
5
0
-5
-10
-15
1980
1985
1990
Peru
Mexico
1995
2000
Chile
CICLO_COMUN
2005
2010
2015
Colombia
Figura 3. Comparación entre los ciclos económicos de los países de la AP y ciclo común.
Fuente: Elaboración propia con información del Banco Mundial.
16
HORIZONTE ECONÓMICO Nº5
Filtro de Kalman
Este proceso se da mediante estimaciones a priori y posterior a la corrección de la matriz
de varianzas y covarianzas, y utilizando estas últimas estimaciones como condiciones
iniciales de la estimaciones a priori en el tiempo 𝑡 + 1, y así seguir el ciclo de la solución
recursiva.
X"∗ = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
Se supone:
𝑋
X
𝑋" = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 , 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧
𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠
Además:
X"∗ =
𝑒b∗ = 𝑋" − 𝑋
X" =
𝑒d = 𝑋" − 𝑋
𝑃"∗ = Ef𝑒 ∗ 𝑒 ∗ g h =
𝑃" = E(e eg ) =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
c𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
Figura 4. Proceso de Filtro de Kalman.
Fuente: Tomado de Welch y Bishop (2002)
El proceso del Filtro de Kalman se inicia con la ecuación [1] denominado
pronóstico del estado, estimando el estado del proceso a priori en el tiempo 𝑡, dada la
información del proceso del tiempo 𝑡 − 1. En la ecuación [2] se estima la matriz de
varianzas y covarianzas, dada las condiciones iniciales del tiempo 𝑡 − 1. Luego en la
ecuación [3] se estima la matriz de ganancias de Kalman, la cual servirá posteriormente
para minimizar la matriz del error. Inmediatamente en la ecuación [4] se estima el estado
del proceso, la cual es calculada como una combinación lineal del estado en el tiempo 𝑡
y en una porción ponderada de la diferencia entre la medición y el valor estimado de la
medición. Finalmente en la ecuación [5] se estima una nueva matriz de varianza y
covarianzas, dado la matriz de ganancias de Kalman calculado anteriormente. Los datos
obtenidos en la ecuación [4] y [5] son utilizados como condiciones iniciales para la
estimación y corrección del estado en el tiempo 𝑡 + 1, y seguir con el ciclo
recursivamente.
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