ejercicios de limites y continuidad

EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 1
d) lim f x 
x 1
e) lim f x 
x 5
Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 3
d) lim f x 
e) lim f x 
x 3
x 0
Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 2
d) lim f x 
x 2
e) lim f x 
x 0
1
Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 3
d) lim f x 
e) lim f x 
x 3
x 0
Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 2
d) lim f x 
x 2
e) lim f x 
x 0
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f x   
b) lim g x   
x 
x 
Ejercicio nº 7.x 1
, sabemos que :
x 3
x 1
y
lim
 
x 3  x  3
Para la función f x  
lim
x 3 
x 1
 
x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
2
Ejercicio nº 8.Representa gráficamente:
a) lim f x   1
x 
b) lim g x   0
x 1
Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:
lim f x   
lim f x   
x 2 
x 2 
Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados:
a) lim f x   2
x 
b) lim g x   
x 
Ejercicio nº 11.Calcula:
2
a) lim 3  x 
x 2

b) lim 1   2 x
x 8

c) lim sen x
x

2
Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x  x  1
b) lim 6  3 x
x 1
c) lim log x
x 1
Ejercicio nº 13.Resuelve:
 x2 x3 

a) lim  

x 2
4 
 2
b) lim 3 x 1
x 2
c) lim tg x
x

4
3
Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x   
x4 x

en x  1 y en x  3.
3
2
Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites:
4
a) lim 2
x 3 x  2 x  3
b) lim x 2  9
x 3
c) lim cos x
x 0
Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 
2:
x 1
lim
x 2
x  22
Ejercicio nº 17.x 1
, calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la
x 2  5x  6
información que obtengas.
Dada la función f x  
Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3:
1
lim 2
x 3 x
9
Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x  0:
2x  1
lim 2
x 0 x
 2x
Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
f x  
1
x 3
4
Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función
y representa la información que obtengas:
f x  
1 2x 2  4 x
3
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas:
x x3

1
2
2
 3x 2  2x 3
b) f x  
5
a) f x  
Ejercicio nº 23.Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4
x 

 x3 x2

b) lim 

 2 x 
x  
2
 3

Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
 x x2

a) lim  
 x 
x   3
4


4
x x

b) lim  
 x 
x   3
4


Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4  x 
2
b) lim 4  x 
2
x 
x 
Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2  3x  4
x  1 x 2  2 x  1
lim
5
Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim
x 1
x 2  4x  5
x 3  3x 2  3x  1
Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2  12x  18
x  3
x2  x 6
lim
Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
lim
x 0
2x 2
x 4  2x 3
Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2  4
x 2 2 x  4
lim
Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
a) lim
x  
1
1  x 3
3  x3
x  
x2
b) lim
Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a) lim
x  
3x 2  1
2  x  3
2  x3
x   x 2  1
b) lim
6
Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
 x 4  2x
x   4  3 x 4
3x 2  2x  1
b) lim 2
x   x  1  x 3
a) lim
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas:
f x  
x 2
1  x 3
Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
5  3x
3x
b) lim
x   5  3 x
a) lim
x  
Continuidad
Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
7
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
X
8
4
6
Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x  2?
a)
b)
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
8 6 4 2
2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) ¿Es continua en x  1?
8
b) ¿Y en x  2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x  0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :
2 x  1 si x  1
f x   
si x  1
k
Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de:
 2
f x    x  2 x
3 x  1
si x  1
si x  1
Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x  0
2 x 2  1 si

f x    x  2
si

 2
x 0
x 0
9
Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x  2:
2 x
f x   
x  2
si x  2
si x  2
Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función:
x 1

f x    3
2

 x  15
si
x4
si
x 4
10
SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
d) lim f x 
x 1
e) lim f x 
x 1
x 5
Solución:
a) lim f x   
x 
b) lim f x   
x 
c) lim f x   2
d) lim f x   3
x 1
e) lim f x   0
x 5
x 1
Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 3
d) lim f x 
x 3
e) lim f x 
x 0
Solución:
a) lim f x   0
x 
b) lim f x   
x 
c) lim f x   
x 3
d) lim f x   
x 3
e) limf x   1
x 0
11
Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 2
d) lim f x 
e) lim f x 
x 2
x 0
Solución:
a) lim f x   
x 
b) lim f x   
x 
c) lim f x   2
d) lim f x   4
x 2
e) limf x   0
x 2
x 0
Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 3
d) lim f x 
x 3
e) lim f x 
x 0
Solución:
a) lim f x   0
x 
b) lim f x   0
x 
c) lim f x   
x 3
d) lim f x   
x 3
e) limf x   1
x 0
12
Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) lim f x 
x 
b) lim f x 
x 
c) lim f x 
x 2
d) lim f x 
x 2
e) lim f x 
x 0
Solución:
a) lim f x   1
x 
b) lim f x   1
x 
c) lim f x   
x 2
d) lim f x   
x 2
e) limf x   1
x 0
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f x   
b) lim g x   
x 
x 
Solución:
a)
b)
Ejercicio nº 7.x 1
, sabemos que :
x 3
x 1
y
lim
 
x 3  x  3
Para la función f x  
lim
x 3 
x 1
 
x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
13
Solución:
3
Ejercicio nº 8.Representa gráficamente:
a) lim f x   1
x 
b) lim g x   0
x 1
Solución:
a)
1
1
o bien
b) Por ejemplo:
1
Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:
lim f x   
lim f x   
x 2 
x 2 
Solución:
2
Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados:
a) lim f x   2
x 
b) lim g x   
x 
14
Solución:
a)
2
2
o bien
b)
Ejercicio nº 11.Calcula:
2
a) lim 3  x 
x 2

b) lim 1   2 x
x 8

c) lim sen x
x

2
Solución:
a) lim 3  x   52  25
2
x 2


b) lim 1   2x  1  16  1  4  5
x 8
c ) lim sen x  sen
x

2

2
1
Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x  x  1
b) lim 6  3 x
x 1
c) lim log x
x 1
Solución:
a) lim
x 2
x 3
x  x 1
2

1
1

4  2 1 7
b) lim 6  3 x  6  3  9  3
x 1
c) lim log x  log 1  0
x 1
15
Ejercicio nº 13.Resuelve:
 x2 x3 

a) lim  

x 2
4 
 2
b) lim 3 x 1
x 2
c) lim tg x
x

4
Solución:
 x2 x3 
  2  2  0
a) lim  

x 2 
4 
 2
1
b) lim 3 x 1  3 1 
x 2
3

c) lim tg x  tg
1

4
x
4
Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x   
x4 x

en x  1 y en x  3.
3
2
Solución:
 x4 x  1 1 1
lim  
 
 
x 1 
2 
3
2 6
 3
 x4 x 
3
51
lim  
   27   


x 3
2
2
2
 3
Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites:
4
a) lim 2
x 3 x  2 x  3
b) lim x 2  9
x 3
c) lim cos x
x 0
Solución:
a) lim
x 3
4
4
4 2



x 2  2x  3 9  6  3 18 9
b) lim x 2  9  9  9  0  0
x 3
c) limcos x  cos 0  1
x 0
16
Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 
2:
x 1
lim
x 2
x  22
Solución:
lim
x 2
x 1
x  2
2
 lim
x 2
x 1
x  2
2
 lim
x 2
x 1
x  2 2
 
2
Ejercicio nº 17.x 1
, calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la
x  5x  6
información que obtengas.
Dada la función f x  
2
Solución:
x 1
x 1

x  5 x  6 x  2x  3
2
Calculamos los límites laterales:
lim
x 2
x 1
x  2x  3
 
lim
x 2
x 1
x  5x  6
2
 
2
Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3:
1
lim 2
x 3 x
9
Solución:
lim
x 3
1
x 9
2
 lim
x 3
1
x  3x  3
Calculamos los límites laterales:
17
lim
x 3
1
x 9
2
 
lim
x 3
1
x 9
2
 
3
Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x  0:
2x  1
lim 2
x 0 x
 2x
Solución:
lim
x 0
2x  1
x  2x
2
2x  1
x 0 x x  2
 lim
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2x  1
x  2x
2
 
lim
x 0
2x  1
x 2  2x
 
Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
f x  
1
x 3
Solución:
x 3  0  x  3
Calculamos los límites laterales:
1
lim
 
x 3 x  3
lim
x 3
1
 
x 3
3
18
Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función
y representa la información que obtengas:
f x  
1 2x 2  4 x
3
Solución:
1  2x 2  4 x
 
x 
3
lim
1  2x 2  4 x
 
x 
3
lim
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas:
x x3

1
2
2
 3x 2  2x 3
b) f x  
5
a) f x  
Solución:
 x x3

a) lim  
 1  
x  2
2


 3 x 2  2x 3
 
x 
5
b) lim
Ejercicio nº 23.-
19
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4
x 

 x3 x2

b) lim 

 2 x 
x  
2
 3

Solución:


a) lim 2  x  x 4  
x 
 x3 x2

b) lim 

 2x   

x   3
2


Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
 x x2

a) lim  
 x 
x   3
4


4
x x

b) lim  
 x 
x   3
4


Solución:
 x x2

a) lim  
 x   

x   3
4


 x x4

b) lim  
 x   


x  3
4


20
Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4  x 
2
b) lim 4  x 
2
x 
x 
Solución:
a) lim 4  x   
2
x 
b) lim 4  x   
2
x 
Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2  3x  4
x  1 x 2  2 x  1
lim
Solución:
lim
x 2  3x  4
x 1
x  2x  1
2
x  1x  4  lim x  4
x 1
x 1 x  1
x  12
 lim
Calculamos los límites laterales:
lim
x 1
x4
 
x 1
lim
x 1
x4
 
x 1
1
21
Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim
x 1
x 2  4x  5
x  3x 2  3x  1
3
Solución:
x 2  4x  5
lim
x 1 x 3
 3x  3x  1
2
 lim
x 1
x  1x  5  lim x  5
x 1 x  12
x  13
 
1
Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2  12x  18
x  3
x2  x 6
lim
Solución:
lim
2x 2  12x  18
x2  x  6
x 3
2x  3
2x  3
 lim
0
x 3 x  3x  2
x 3 x  2
2
 lim
3
Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
lim
x 0
2x 2
x 4  2x 3
Solución:
lim
x 0
2x 2
x  2x
4
3
 lim
x 0
2x 2
x
3
x  2
 lim
x 0
2
x x  2 
22
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2
 
x x  2
lim
x 0
2
 
x x  2
Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2  4
x 2 2 x  4
lim
Solución:
x  2x  2  lim x  2   4  2
x2  4
 lim
x 2 2 x  4
x 2
x 2
2x  2
2
2
lim
2
2
Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
a) lim
x  
1
1  x 3
3  x3
x  
x2
b) lim
Solución:
a) lim
x 
b) lim
x 
1
1  x 3
3  x3
x2
0
 
23
Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a) lim
x  
3x 2  1
2  x  3
2  x3
x   x 2  1
b) lim
Solución:
a) lim
x 
b) lim
x 
3x 2  1
2  x  3
2  x3
x2 1
0
 
Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
 x 4  2x
x   4  3 x 4
3x 2  2x  1
b) lim 2
x   x  1  x 3
a) lim
Solución:
a) lim
x 
 x 4  2x
4  3x
4

1 1

3 3
24
1/3
b) lim
x 
3 x 2  2x  1
x 2  1 x 3
0
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas:
f x  
x 2
1  x 3
Solución:
lim
x 
x2
1  x 
3
0
lim
x 
x2
1  x 3
0
Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
5  3x
3x
b) lim
x   5  3 x
a) lim
x  
Solución:
a) lim
x 
3x
3
 1
5  3x 3
1
25
b) lim
x 
3x
1
5  3x
1
Continuidad
Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una
asíntota vertical).
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
26
Solución:
En x  1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
lim f x   lim f x 
x 1
x 1
.
En x  2 sí es continua.
Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x  2?
a)
b)
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
8 6 4 2
2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x  2; aunque esté definida en x  2, tiene el punto desplazado. Es una
discontinuidad evitable porque existe limf x 
x 2
.
b) Sí es continua en x  2.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) ¿Es continua en x  1?
b) ¿Y en x  2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
27
Solución:
a) Sí es continua en x  1.
b) No, en x  2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una
discontinuidad evitable.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
X
8
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x  0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x  2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en
ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x  0.
Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :
2 x  1 si x  1
f x   
si x  1
k
Solución:
lim f x   lim 2 x  1  3
x 1

lim f x   k

x 1

f  1  3

x 1
Para que sea continua en x  1, lim f x   lim f x   f  1
x 1
x 1
.
Ha de ser k  3.
28
Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de:
 2
f x    x  2 x
3 x  1
si x  1
si x  1
Solución:
Si x 1, la función es continua.
Si x  1:


lim f x   lim x 2  2 x  1

x 1

lim f x   lim 3 x  1  2 
x 1
x 1

x 1
No es continua en x  1 porque lim f x   lim f x . Es decir, no tienelímiteen ese punto.
x 1
x 1
Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x  0
2 x 2  1 si

f x    x  2
si

 2
x 0
x 0
Solución:


lim f x   lim 2 x 2  1  1
x 0


 x  2
lim f x   lim 
  1  Es continuaen x  0 porque limf x   f 0 .
x 0
x 0 
x 0 
2 

f 0   1


x 0 
Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x  2:
2 x
f x   
x  2
si x  2
si x  2
Solución:
lim f  x   lim  2x   4 
x 2

lim f  x   lim x  2  4 Es continuaen x  2 porque limf x   f  2.
x 2
x 2
x 2

f 2  4

x 2 
29
Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función:
x 1

f x    3
2

 x  15
si
x4
si
x 4
Solución:
Si x  4, la función es continua.
Si x  4:
x 1

1 
x 4
x 4
3

lim f x   lim x 2  15  1 Tambiénes continuaen x  4 porque lim f x   f 4 .
x 4
x 4
x 4

f 4   1


lim f x   lim


30