Medidas de Tendencia Central y de Dispersión

Medidas de Tendencia
Central y de Dispersión
Dr. Luis Rey Díaz Barrón
Medidas de Tendencia Central
• Media
 Datos No Agrupados
 Para una Muestra: 𝑥𝑥̅ = (∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 )/n
 Para una Población: 𝜇𝜇 = (∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 )/N
donde 𝑥𝑥𝑖𝑖 es el dato i-ésimo, 𝑛𝑛 es el número de datos de la muestra y 𝑁𝑁 es el número de
datos de la población
Medidas de Tendencia Central
• Media
 Datos Agrupados
 Para una Muestra: 𝑥𝑥̅ = (∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 )/n
 Para una Población: 𝜇𝜇 = (∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 )/N
donde 𝑥𝑥𝑖𝑖 es la marca de clase i-ésima, 𝑛𝑛 es el número de datos de la muestra y 𝑁𝑁 es el
número de datos de la población
Medidas de Tendencia Central
• Mediana 𝑥𝑥�
 Datos No Agrupados
 Se ordenan los datos de manera creciente o decreciente
 Se calcula la posición de la mediana con 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑥𝑥� =
 Dada la posición se encuentra la mediana
𝑛𝑛+1
2
Medidas de Tendencia Central
• Mediana
 Datos Agrupados
 𝑥𝑥� = 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 +
Donde:
𝑛𝑛
−𝐹𝐹𝑖𝑖−1
2
𝑓𝑓𝑖𝑖
∗ 𝑎𝑎
• 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 es el límite inferior de la clase de la mediana
• 𝑓𝑓𝑖𝑖 es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana
• 𝐹𝐹𝑖𝑖−1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase de la mediana
• 𝑎𝑎 es el ancho del intervalo
Medidas de Tendencia Central
• Moda 𝑥𝑥�
 Datos No Agrupados
• Es el dato que tenga mayor veces se repita o que tenga la mayor frecuencia.
• Si dos datos tienen la misma frecuencia y está es la mayor frecuencia, se dice que los datos tienen
frecuencia bimodal.
• Si tres datos tienen la misma frecuencia y está es la mayor frecuencia, se dice que los datos tienen
frecuencia trimodal
Medidas de Tendencia Central
• Moda 𝑥𝑥�
 Datos Agrupados
𝑑𝑑1
1 +𝑑𝑑2
 𝑥𝑥� = 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑑𝑑
Donde
∗ 𝑎𝑎
• 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 es límite inferior de la clase modal
• 𝑑𝑑1 es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia anterior a la clase modal
• 𝑑𝑑2 es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia posterior a la clase modal
Medidas de Dispersión
• Rango: Dato mayor – Dato menor
• Varianza
 Datos No Agrupados
 Muestra:
𝑠𝑠 2
 Población: :
=
𝜎𝜎 2
2
∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝑥𝑥̅
=
𝑛𝑛−1
2
∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝜇𝜇
𝑛𝑛−1
Medidas de Dispersión
• Varianza
 Datos Agrupados
 Muestra: s =
2
∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝑥𝑥̅
 Población: : σ =
𝑛𝑛−1
2
∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝜇𝜇
 Coeficiente de Variación
𝑛𝑛−1
|𝑥𝑥|̅
𝑠𝑠
|𝜇𝜇|
𝜎𝜎
 𝐶𝐶𝑉𝑉 =
𝐶𝐶𝑉𝑉 =
Ejemplo:
Transductores de temperatura de cierto tipo se envían en lotes de 50. Se seleccionó una muestra de 60
lotes y se determinó el número de transductores en cada lote que no cumplen con las especificaciones de
diseño y se obtuvieron los datos siguientes
2
1
2
4
0
1
3
2
0
5
3
3
1
3
2
4
7
0
2
3
0
4
2
1
3
1
1
3
4
1
2
3
2
2
8
4
5
1
3
1
5
0
2
3
2
1
0
6
4
2
1
6
0
3
3
3
6
1
2
3