MATEMÁTICA I
ESTUDIOS GENERALES
SEMANA N° 01
• PAR ORDENADO – PRODUCTO CARTESIANO – RELACIONES BINARIAS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Y AFINES
CASO
Un Banco dispone de 18 millones de soles que
serán ofrecidos para préstamos de riesgo alto
y medio, con un beneficio del 14% y 7%
respectivamente. Sabiendo que se debe
ofrecer al menos 4 millones de soles para
préstamos de riesgo medio, además que el
dinero ofrecido para alto y medio riesgo debe
estar a lo sumo a razón de 4 a 5. Entonces
determinar cuánto debe de ofrecerse a cada
uno de los tipos de préstamos para maximizar
el beneficio del banco y calcular éste.
Responda las siguientes preguntas:
¿Cómo puedo formar un par ordenado?
¿Por qué se le llama par ordenado?
¿Qué define a una relación?
LOGRO
Al finalizar la sesión el estudiante
resuelve ejercicios sobre
relaciones
binarias en situaciones relacionadas a
la CIENCIAS SOCIALES E INGENIERÍA;
considerando la regla que genera la
relación su dominio y rango, de forma
correcta.
CONTENIDO :
DEFINICIONES Y EJEMPLOS
PRODUCTO CARTESIANO
RELACIONES BINARIAS
EJERCICIOS Y APLICACIONES
BIBLIOGRAFIA
Par ordenado
Son dos números o figuras
encerradas en un paréntesis. Su
representación general es: ( a , b )
Producto cartesiano
Si tenemos dos conjuntos A y B,
y tratamos de armar todos los
pares posibles formados por un
elemento del conjunto A y un
elemento del conjunto B,
obtendremos
el producto
cartesiano
de
los
dos
conjuntos.
Relación binaria
Una relación binaria es una
correspondencia entre los
elementos de dos conjuntos.
11
2
3
5
7
PAR ORDENADO
Son dos números o figuras encerradas en un paréntesis. Su representación general es:
(a,b)
SEGUNDA
COMPONENTE
PRIMERA
COMPONENTE
(x , y)
(abscisa, ordenada)
* Cada par ordenado representa un punto en el plano
cartesiano y viceversa.
PRODUCTO CARTESIANO
Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por
un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto
cartesiano de A en B.
A B x, y / x A y B
Debemos tener en cuenta que:
* A B B A, amenos que A B, A o B .
* Si A y B son conjuntos finitos, entonces n( A B) n( A) n( B)
EJEMPLO: Sean los conjuntos
A 2, 5, 7 , B 3, 4, 5, 6
Hallar el producto cartesiano A x B.
Solución:
2;3 , 2; 4 , 2;5 , 2;6
A B 5;3 , 5; 4 , 5;5 , 5, 6
7;3 , 7; 4 , 7;5 , 7;6
REPRESENTACIÓN DEL PRODUCTO
CARTESIANO
Podemos utilizar Diagramas Sagitales (de flechas) y Diagramas Cartesianos; así por
ejemplo:
Diagrama Sagital del Producto Cartesiano A x B
A
B
2
3
5
7
4
5
6
2;3 , 2; 4 , 2;5 , 2;6
A B 5;3 , 5; 4 , 5;5 , 5,6
7;3
,
7;
4
,
7;5
,
7;6
Diagrama Cartesiano A x B
B
6
5
4
3
(2;6) (5;6) (7;6)
2;3 , 2; 4 , 2;5 , 2;6
A B 5;3 , 5; 4 , 5;5 , 5,6
7;3
,
7;
4
,
7;5
,
7;6
(2;5) (5;5) (7;5)
(2;4) (5;4) (7;4)
(2;3) (5;3) (7;3)
2
5
7
A
EJERCICIO
Solución:
EJERCICIO
3. Calcular los valores de x e y si se cumple:
( x2 y 2 ; x 1) (12; y 3)
Solución:
RELACIONES BINARIAS
Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto
de AxB : R ⊆ A × B
Notación: Si a∈ A y b∈ B, para decir que a está relacionado con b por R escribimos: (a,b)∈ R
o aRb
* Si a no está relacionado con b, entonces (a,b)∉ R
* Si B=A, se dice que R es una relación binaria definida en A .
Entonces:
R⊆A×A
EJERCICIO
5. Consideremos A = 1; 2; 3; 4, B = 1; 2; 5; 6.
Encontrar R1 = (x, y) A x A/ x2 – y 0
Solución:
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
BINARIA
Dominio de una Relación Binaria
Es el conjunto de todas las primeras coordenadas de los pares
ordenados en una relación. Contiene las coordenadas x.
Rango de una Relación Binaria
Es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares
ordenados en una relación. Contiene las coordenadas y.
Por ejemplo: Dada la relación Binaria
R = { (3,3), (-1,2), (-4,2) }
• Dominio= {
• Rango= {
EJERCICIO
7. Si A = 0; 2;-3 y N = -2; -1; 3. Indique el dominio y
rango de las siguientes relaciones:
a) R1 = (x;y) MxN / x y
b) R2 = (x;y) NxM / x + y 6
c) R3 = (x;y) NxN / x + y 8
Solución:
TRABAJO EN EQUIPO
9. La siguiente tabla muestra el precio y la cantidad demandada de cierto producto si la cantidad q se
relaciona con el precio p, aproximadamente a través de la siguiente regla q=mp+b.
a) Tome algunos datos para determinar la relación dada por comprensión
b) por extensión forme la relación para los siguientes precios:
$1.50, $2.7, $4.2.
Solución:
Precio (p)
Cantidad demandada (q)
$2
10
$4
8
$6
6
$8
4
$10
2
TRABAJO EN EQUIPO
10. En un pueblo del interior del país se han tomado distintas mediciones de la temperatura a lo largo de un día de
marzo. Estas vienen reflejadas en la siguiente tabla:
Hora
del día
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Temperatura
(C)
14
14
14
17
20
23
26
26
26
22
18
14
14
Halle el conjunto de datos que cumplen con la siguiente condición:
horas del día en que la temperatura se encuentra entro los 17 ºC y 28ºC.
Indique el dominio y rango de la relación establecida. Y Establezca una relación adicional con los datos presentados
Solución:
CASO
,
,
Un Banco dispone de 18 millones de soles que
serán ofrecidos para préstamos de riesgo alto
y medio, con un beneficio del 14% y 7%
respectivamente. Sabiendo que se debe
ofrecer al menos 4 millones de soles para
préstamos de riesgo medio, además que el
dinero ofrecido para alto y medio riesgo debe
estar a lo sumo a razón de 4 a 5. Entonces
determinar cuánto debe de ofrecerse a cada
uno de los tipos de préstamos para maximizar
el beneficio del banco y calcular éste.
METACOGNICIÓN
¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de
ejercicios?, ¿Cómo lo superaste?
¿Cuál fue tu actitud en la sesión?
¿Te servirá en el futuro el conocimiento de la temática
de la sesión de hoy? ¿Cómo?
BIBLIOGRAFÍA
N°
AUTOR
TITULO
1
HAEUSSLER, ERNEST;
RICHARD PAUL.
Matemáticas para administración y
economía.
Pearson
Prentice Hall
2007
2
HARSHBARGER/
REYNOLDS
Matemáticas Aplicadas a la
administración, economía y ciencias
sociales
Pearson
Educación
2004
3
ARYA JAGDISH
Pearson
Educación
2007
Matemáticas Aplicadas para la
administración y a la economía.
EDITORIAL
AÑO