Programa
MT22CUA005BAS-A20V1
PROGRAMA DE TRANSICIÓN BASE
MATEMÁTICA
Ejercitación Raíces
Cpech 1
MATEMÁTICA
Ruta de aprendizaje
aje
les
s
s
ro
me
Nú
ero
ent
na
cio
t
cen
Por
as
nci
e
Pot
s ra
ro
me
es
aíc
Nú
R
Objetivos
En esta clase trabajaremos en:
•
•
•
•
Comprender el concepto de raíz.
Calcular raíces numéricas.
Aplicar propiedades de raíces para reducir, transformar o determinar raíces
algebraicas.
Utilizar diferentes métodos de racionalización en la resolución de ejercicios
con raíces en el denominador.
Resumen de contenidos
•
•
•
2
Cpech
Definición y cálculo de raíz numérica
Propiedades de raíces
Racionalización
s
mo
arit
Log
GUÍA
Ejercicios
A continuación, se presentan 20 ejercicios, de los cuales se sugiere responder el máximo
posible. Luego, solicita a tu profesor(a) revisar y resolver detalladamente las preguntas
que te resultaron de mayor dificultad y complejidad.
1.
El resultado de la expresión
I)
II)
III)
(n – 3)
�10 – n toma un valor real, si
n=8
n = 17
n = 20
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
2.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas
3
�0,4 • �8 –1 =
A)
1
3
B)
4
3
C)
1
6
D)
1
12
Cpech
3
MATEMÁTICA
3.
Al reducir
A)
B)
4.
4
Cpech
10
�30
10
4
5
D)
�3
Se puede determinar el valor numérico de la expresión
positivos, si:
a
9b
=
3
2
(2)
a es múltiplo de b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(�20 + �80 – �45 ) : �5 =
A)
B)
C)
D)
6.
1
1
1
, resulta
+
+
25 100
4
�3
C)
(1)
5.
�
3
3�5
�11
11�5
��50 + 11�2
4
A)
4 • �2
B)
4 • �2
C)
16 • �2
D)
16 • �2
4
=
� 3b , con a y b números enteros
2a
GUÍA
7.
8.
Sea p un número real. Entonces, la expresión (�p5 · �p2 ) es siempre igual a
3
6
A)
p • �p
B)
p2 • �p
C)
p • �p
D)
p • �p2
3
9
3
Si x > 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a (�x3 • �x5 )?
8
�x2
B)
�x5
D)
4
3
A)
C)
9.
3
4
32
�x15
8
�x13
Si m es un número real positivo, entonces (�m7x – 5 • �m5(x – 1) ) es siempre igual a
4
4
3
A)
m3x – 2
B)
m3x – 2
C)
m3x – 5
D)
m3x – 10
5
Cpech
5
MATEMÁTICA
10.
Si x > 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre equivalente(s) a x
I)
II)
11.
�x4 – n
A)
B)
C)
D)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
3
x2
xn
Sea a un número real positivo y n un número entero mayor que 1. Se puede determinar el valor
2n
numérico de �a , si:
n
(2)
�a = 16
3n
3
�a2 = �256
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Si m y n son números enteros mayores que 1 y a es un número real positivo, ¿cuál de las
siguientes expresiones es siempre equivalente a ( �a : �a ) ?
m
B)
C)
D)
Cpech
6
�
A)
6
?
x2 – n
x3
III)
(1)
12.
2–n
3
m
�an
�an + m
n+m
�am : n
m•n
�an – m
m•n
n
GUÍA
13.
Karla es una coleccionista de artículos curiosos. En su colección destaca una extraña calculadora
que mediante códigos entrega la descomposición de una raíz cuadrada mediante la multiplicación
de raíces de números primos. Para descifrar el enigmático funcionamiento de esta calculadora,
Karla decide introducir dos valores de prueba.
•
•
�10 = ℵ℘
�6 = ℘�
Considerando los valores de prueba utilizados por Karla, ¿cuál podría ser la secuencia de
símbolos que entregue la calculadora tras recibir �120 ?
A)
B)
C)
D)
14.
15.
ℵ�℘
℘�ℵ�℘
℘�℘ℵ℘
Imposible de determinar con los datos entregados.
Se define la operación (a #) = (�a • �16 ), con a un número entero positivo. ¿Cuál es el valor
numérico de (8 #)?
a
A)
4
B)
4�2
C)
8
D)
16
n
m
Tres amigos discuten frente al procedimiento para calcular �a · �a , cada uno señala:
Lucas: el resultado es
exponentes es 1 .
m+n
Omar: el resultado es
exponentes es 1 .
m·n
m+n
�a ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los
m·n
�a ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los
m·n
María: el resultado es
exponentes es m + n .
m·n
�am + n ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los
¿Quién está en lo correcto?
A)
B)
C)
D)
Omar
María
Lucas
Ninguno de ellos.
Cpech
7
MATEMÁTICA
16.
El lado de un triángulo equilátero mide a unidades y su altura mide a�3 unidades. ¿Para cuál de
2
los siguientes valores de a se cumple que el valor de la altura es un número entero?
A)
B)
C)
D)
17.
Si n es un número real positivo, entonces
A)
B)
C)
D)
18.
Cpech
(
�2n
2n
�n
n
ninguna de las expresiones anteriores.
(
)
�21 – �6
es igual a
�3 (�2 + �7 )
A)
5
9
B)
5
9 – 2�14
C)
9 – �56
5
ninguno de los valores anteriores.
)
�2
2
–
es siempre equivalente a
�2n 2�n
1
La expresión
D)
8
�2
�3
�5
�12
GUÍA
19.
Si
A)
20.
2
–
�2x
8
�8
= �2, con x > 0, entonces x es igual a
�3
3
B)
1
9
C)
1
3
D)
4
3
Tania, Vania y Elizabeth tienen una ardua discusión sobre el resultado de la raíz cuadrada de
4. Tania dice: “la raíz cuadrada de 4 es 2, ya que en las raíces numéricas si el índice es par,
entonces el resultado tiene que ser positivo a menos que la cantidad subradical sea cero”. Pero
Vania refuta: “la raíz cuadrada de 4 puede ser -2, porque el 4 se puede obtener como resultado
del cuadrado de 2 y –2, es decir, �4 = �(–2)2 = –2". Luego Elizabeth señala: “Ambas tienen la
razón, porque la raíz cuadrada de 4 puede ser 2 y –2”.
¿Quién de las tres amigas tiene la razón?
A)
B)
C)
D)
Tania
Vania
Tania, Vania y Elizabeth.
Ninguna de las tres amigas.
Cpech
9
MATEMÁTICA
Torpedo Números
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para
comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te
podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Conjuntos numéricos
Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…}
Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Racionales (ℚ): son aquellos que pueden escribirse
como fracción de enteros con denominador distinto
de cero.
Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden
escribirse como fracción de enteros con
denominador distinto de cero.
Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*.
Imaginarios (𝕀): son de la forma bi, con b un
número real e i la unidad imaginaria.
Complejos (ℂ): son de la forma a + bi, con a y b
números reales e i la unidad imaginaria.
Conceptos claves
Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m.
es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos
inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0.
corresponde al menor de los múltiplos que
tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8
Inverso multiplicativo o recíproco: el recíproco de y 12 es 24.
un número es tal que al multiplicarlos, el resultado Divisores de un entero: son aquellos números
enteros que dividen exactamente a un cierto
es 1.
entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los
b
a
Ejemplo: el inverso multiplicativo de
es
, ya divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
a
b
b
a
Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D.
que
•
= 1 , con a y b distintos de cero.
a
b
de dos o más números enteros positivos
Números pares: son de la forma 2n, con n un corresponde al mayor de los divisores que
número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}).
tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12
Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un y 18 es 6.
número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}).
Números primos: son aquellos números
Múltiplos de un entero: son aquellos que se enteros positivos que solo tienen dos divisores
obtienen al multiplicar un cierto número entero por distintos: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5,
otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 7, 11, 13, 17, 19, …}.
20, 24, 28, 32, …}.
10 Cpech
GUÍA
Regla de los signos
Adición: al sumar dos números con igual signo,
se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto
signo, se calcula la diferencia entre los números
y se mantiene el signo del que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones.
Sustracción: la diferencia entre dos números es
igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores.
aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b).
2º Potencias.
O también, a – (– b) = a + b.
3º Multiplicación y división, de izquierda a
Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 derecha.
Multiplicación y división: se calcula el producto 4º Adición y sustracción, de izquierda a
o cuociente entre los números. El resultado será derecha.
positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado
será negativo si ambos tienen distinto signo.
Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4
Amplificación y simplificación de fracciones
Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos:
denominador por el mismo número, sin
5
5•3
15 15 15 : 5
3
=
=
;
=
=
alterar el valor de la fracción.
9
9•3
27 20 20 : 5
4
Operaciones en los racionales
Suma y resta de fracciones: si dos Ejemplos:
fracciones tienen igual denominador,
7–5
7
5
2
–
=
=
los numeradores se suman o se restan
13
13
13
13
dependiendo de la operación. En el caso
contrario, se amplifican de modo que
4•2
4
5
5•3
8
15
23
8 + 15
+
=
+
=
+
=
=
tengan igual denominador.
9•2
9
6
6•3
18
18
18
18
Multiplicación
de
fracciones:
se Ejemplo:
multiplican ambos numeradores y ambos
–3
denominadores.
8
•
– 3 • 4 – 12 – 12 : 12 – 1
4
=
=
=
=
8 • 15 120 120 : 12
15
10
División de fracciones: se obtiene Ejemplo:
invirtiendo el divisor, para así obtener un 10
10
5
:
=
producto de fracciones.
9
9
12
•
12
8
10 • 12
120 120 : 15
=
=
=
=
5
3
9•5
45
:
15
45
Cpech 11
MATEMÁTICA
CPECH NEWS
dejes de practicar clase a clase las Resuelve cada semana los ejercicios que se
operaciones básicas de números enteros y de encuentran a continuación y en cada una de tus
racionales, ya que serán de gran relevancia guías para que no pierdas la práctica del cálculo
para tu preparación a la Prueba de Transición básico.
de Matemática.
No
¡Tú puedes lograr tus metas!
A continuación, calcula el resultado de las siguientes expresiones que involucran raíces.
1. �1,7 + �0,01– �1,44 =
12 Cpech
2.
�75
�98
· �968 =
· �243
GUÍA
Tabla de corrección
Ítem
1
2
3
4
5
6
7
Alternativa
Habilidad
Resolver Problemas
Resolver Problemas
Resolver Problemas
ASE
Resolver Problemas
Resolver Problemas
Resolver Problemas
9
Resolver Problemas
Resolver Problemas
10
Representar
11
12
ASE
Argumentar
13
Representar
14
Modelar
15
Argumentar
Resolver Problemas
Resolver Problemas
8
16
17
18
19
20
Resolver Problemas
Modelar
Argumentar
Recuerda que en tu intranet se encuentra disponible el solucionario de esta guía.
Cpech 13
MATEMÁTICA
Mis apuntes
14 Cpech
GUÍA
Mis apuntes
Cpech 15
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Dirección Académica
Carolina Rojas Parraguez
Coordinación de Recursos Didácticos
y Corrección Idiomática
Karla Delgado Briones
Equipo de Curriculum y Evaluación
Jennyfer Araneda Muñoz
Cristóbal Lagos Alarcón
Coordinación de Diseño y Diagramación
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Diseño y Diagramación
Cynthia Ahumada Pérez
Fernanda Fuentes Fernández
Vania Muñoz Díaz
Tania Muñoz Romero
Agradecemos a los docentes Andrea Fernández,
Juan González, Carlos Troncoso y Sergio Zepeda
por su colaboración en esta guía
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El Equipo de Currículum y Evaluación ha puesto su
esfuerzo en obtener los permisos correspondientes
para utilizar las distintas obras con copyright que
aparecen en esta publicación.
En caso de presentarse alguna omisión o error, será
enmendado en las siguientes ediciones a través de las
inclusiones o correcciones necesarias.
Propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.