Programa MT22CUA005BAS-A20V1 PROGRAMA DE TRANSICIÓN BASE MATEMÁTICA Ejercitación Raíces Cpech 1 MATEMÁTICA Ruta de aprendizaje aje les s s ro me Nú ero ent na cio t cen Por as nci e Pot s ra ro me es aíc Nú R Objetivos En esta clase trabajaremos en: • • • • Comprender el concepto de raíz. Calcular raíces numéricas. Aplicar propiedades de raíces para reducir, transformar o determinar raíces algebraicas. Utilizar diferentes métodos de racionalización en la resolución de ejercicios con raíces en el denominador. Resumen de contenidos • • • 2 Cpech Definición y cálculo de raíz numérica Propiedades de raíces Racionalización s mo arit Log GUÍA Ejercicios A continuación, se presentan 20 ejercicios, de los cuales se sugiere responder el máximo posible. Luego, solicita a tu profesor(a) revisar y resolver detalladamente las preguntas que te resultaron de mayor dificultad y complejidad. 1. El resultado de la expresión I) II) III) (n – 3) �10 – n toma un valor real, si n=8 n = 17 n = 20 Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) 2. Solo I y II Solo I y III Solo II y III Ninguna de ellas 3 �0,4 • �8 –1 = A) 1 3 B) 4 3 C) 1 6 D) 1 12 Cpech 3 MATEMÁTICA 3. Al reducir A) B) 4. 4 Cpech 10 �30 10 4 5 D) �3 Se puede determinar el valor numérico de la expresión positivos, si: a 9b = 3 2 (2) a es múltiplo de b. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional (�20 + �80 – �45 ) : �5 = A) B) C) D) 6. 1 1 1 , resulta + + 25 100 4 �3 C) (1) 5. � 3 3�5 �11 11�5 ��50 + 11�2 4 A) 4 • �2 B) 4 • �2 C) 16 • �2 D) 16 • �2 4 = � 3b , con a y b números enteros 2a GUÍA 7. 8. Sea p un número real. Entonces, la expresión (�p5 · �p2 ) es siempre igual a 3 6 A) p • �p B) p2 • �p C) p • �p D) p • �p2 3 9 3 Si x > 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a (�x3 • �x5 )? 8 �x2 B) �x5 D) 4 3 A) C) 9. 3 4 32 �x15 8 �x13 Si m es un número real positivo, entonces (�m7x – 5 • �m5(x – 1) ) es siempre igual a 4 4 3 A) m3x – 2 B) m3x – 2 C) m3x – 5 D) m3x – 10 5 Cpech 5 MATEMÁTICA 10. Si x > 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre equivalente(s) a x I) II) 11. �x4 – n A) B) C) D) Solo I Solo II Solo III Solo II y III 3 x2 xn Sea a un número real positivo y n un número entero mayor que 1. Se puede determinar el valor 2n numérico de �a , si: n (2) �a = 16 3n 3 �a2 = �256 A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional Si m y n son números enteros mayores que 1 y a es un número real positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre equivalente a ( �a : �a ) ? m B) C) D) Cpech 6 � A) 6 ? x2 – n x3 III) (1) 12. 2–n 3 m �an �an + m n+m �am : n m•n �an – m m•n n GUÍA 13. Karla es una coleccionista de artículos curiosos. En su colección destaca una extraña calculadora que mediante códigos entrega la descomposición de una raíz cuadrada mediante la multiplicación de raíces de números primos. Para descifrar el enigmático funcionamiento de esta calculadora, Karla decide introducir dos valores de prueba. • • �10 = ℵ℘ �6 = ℘� Considerando los valores de prueba utilizados por Karla, ¿cuál podría ser la secuencia de símbolos que entregue la calculadora tras recibir �120 ? A) B) C) D) 14. 15. ℵ�℘ ℘�ℵ�℘ ℘�℘ℵ℘ Imposible de determinar con los datos entregados. Se define la operación (a #) = (�a • �16 ), con a un número entero positivo. ¿Cuál es el valor numérico de (8 #)? a A) 4 B) 4�2 C) 8 D) 16 n m Tres amigos discuten frente al procedimiento para calcular �a · �a , cada uno señala: Lucas: el resultado es exponentes es 1 . m+n Omar: el resultado es exponentes es 1 . m·n m+n �a ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los m·n �a ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los m·n María: el resultado es exponentes es m + n . m·n �am + n ya que luego de transformar las raíces a potencias, la suma de los ¿Quién está en lo correcto? A) B) C) D) Omar María Lucas Ninguno de ellos. Cpech 7 MATEMÁTICA 16. El lado de un triángulo equilátero mide a unidades y su altura mide a�3 unidades. ¿Para cuál de 2 los siguientes valores de a se cumple que el valor de la altura es un número entero? A) B) C) D) 17. Si n es un número real positivo, entonces A) B) C) D) 18. Cpech ( �2n 2n �n n ninguna de las expresiones anteriores. ( ) �21 – �6 es igual a �3 (�2 + �7 ) A) 5 9 B) 5 9 – 2�14 C) 9 – �56 5 ninguno de los valores anteriores. ) �2 2 – es siempre equivalente a �2n 2�n 1 La expresión D) 8 �2 �3 �5 �12 GUÍA 19. Si A) 20. 2 – �2x 8 �8 = �2, con x > 0, entonces x es igual a �3 3 B) 1 9 C) 1 3 D) 4 3 Tania, Vania y Elizabeth tienen una ardua discusión sobre el resultado de la raíz cuadrada de 4. Tania dice: “la raíz cuadrada de 4 es 2, ya que en las raíces numéricas si el índice es par, entonces el resultado tiene que ser positivo a menos que la cantidad subradical sea cero”. Pero Vania refuta: “la raíz cuadrada de 4 puede ser -2, porque el 4 se puede obtener como resultado del cuadrado de 2 y –2, es decir, �4 = �(–2)2 = –2". Luego Elizabeth señala: “Ambas tienen la razón, porque la raíz cuadrada de 4 puede ser 2 y –2”. ¿Quién de las tres amigas tiene la razón? A) B) C) D) Tania Vania Tania, Vania y Elizabeth. Ninguna de las tres amigas. Cpech 9 MATEMÁTICA Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Conjuntos numéricos Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…} Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} Racionales (ℚ): son aquellos que pueden escribirse como fracción de enteros con denominador distinto de cero. Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción de enteros con denominador distinto de cero. Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*. Imaginarios (𝕀): son de la forma bi, con b un número real e i la unidad imaginaria. Complejos (ℂ): son de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m. es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0. corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 Inverso multiplicativo o recíproco: el recíproco de y 12 es 24. un número es tal que al multiplicarlos, el resultado Divisores de un entero: son aquellos números enteros que dividen exactamente a un cierto es 1. entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los b a Ejemplo: el inverso multiplicativo de es , ya divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}. a b b a Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D. que • = 1 , con a y b distintos de cero. a b de dos o más números enteros positivos Números pares: son de la forma 2n, con n un corresponde al mayor de los divisores que número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}). tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un y 18 es 6. número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}). Números primos: son aquellos números Múltiplos de un entero: son aquellos que se enteros positivos que solo tienen dos divisores obtienen al multiplicar un cierto número entero por distintos: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 7, 11, 13, 17, 19, …}. 20, 24, 28, 32, …}. 10 Cpech GUÍA Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones. Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b). 2º Potencias. O también, a – (– b) = a + b. 3º Multiplicación y división, de izquierda a Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 derecha. Multiplicación y división: se calcula el producto 4º Adición y sustracción, de izquierda a o cuociente entre los números. El resultado será derecha. positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4 Amplificación y simplificación de fracciones Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos: denominador por el mismo número, sin 5 5•3 15 15 15 : 5 3 = = ; = = alterar el valor de la fracción. 9 9•3 27 20 20 : 5 4 Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones: si dos Ejemplos: fracciones tienen igual denominador, 7–5 7 5 2 – = = los numeradores se suman o se restan 13 13 13 13 dependiendo de la operación. En el caso contrario, se amplifican de modo que 4•2 4 5 5•3 8 15 23 8 + 15 + = + = + = = tengan igual denominador. 9•2 9 6 6•3 18 18 18 18 Multiplicación de fracciones: se Ejemplo: multiplican ambos numeradores y ambos –3 denominadores. 8 • – 3 • 4 – 12 – 12 : 12 – 1 4 = = = = 8 • 15 120 120 : 12 15 10 División de fracciones: se obtiene Ejemplo: invirtiendo el divisor, para así obtener un 10 10 5 : = producto de fracciones. 9 9 12 • 12 8 10 • 12 120 120 : 15 = = = = 5 3 9•5 45 : 15 45 Cpech 11 MATEMÁTICA CPECH NEWS dejes de practicar clase a clase las Resuelve cada semana los ejercicios que se operaciones básicas de números enteros y de encuentran a continuación y en cada una de tus racionales, ya que serán de gran relevancia guías para que no pierdas la práctica del cálculo para tu preparación a la Prueba de Transición básico. de Matemática. No ¡Tú puedes lograr tus metas! A continuación, calcula el resultado de las siguientes expresiones que involucran raíces. 1. �1,7 + �0,01– �1,44 = 12 Cpech 2. �75 �98 · �968 = · �243 GUÍA Tabla de corrección Ítem 1 2 3 4 5 6 7 Alternativa Habilidad Resolver Problemas Resolver Problemas Resolver Problemas ASE Resolver Problemas Resolver Problemas Resolver Problemas 9 Resolver Problemas Resolver Problemas 10 Representar 11 12 ASE Argumentar 13 Representar 14 Modelar 15 Argumentar Resolver Problemas Resolver Problemas 8 16 17 18 19 20 Resolver Problemas Modelar Argumentar Recuerda que en tu intranet se encuentra disponible el solucionario de esta guía. Cpech 13 MATEMÁTICA Mis apuntes 14 Cpech GUÍA Mis apuntes Cpech 15 _____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Dirección Académica Carolina Rojas Parraguez Coordinación de Recursos Didácticos y Corrección Idiomática Karla Delgado Briones Equipo de Curriculum y Evaluación Jennyfer Araneda Muñoz Cristóbal Lagos Alarcón Coordinación de Diseño y Diagramación Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Diseño y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Fernanda Fuentes Fernández Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Agradecemos a los docentes Andrea Fernández, Juan González, Carlos Troncoso y Sergio Zepeda por su colaboración en esta guía Imágenes Banco Archivo Cpech El Equipo de Currículum y Evaluación ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.