Algebra (1)

Tema 1
Números Complejos
1.1
Introducción
Los números complejos son una herramienta de trabajo del álgebra ordinaria muy importante, tanto en matemáticas puras como aplicadas. Se utilizan en campos de la fı́sica tales como
la aerodinámica, el electromagnetismo o la mecánica cuántica, y en ramas de la ingenierı́a como la
electricidad y la electrónica, ya que resultan muy útiles a la hora de describir el comportamiento
de las ondas electromagnéticas o de la corriente eléctrica.
Aunque los babilonios, alrededor de 2000 años a.c., ya conocı́an el método para resolver
ecuaciones cuadráticas, la primera mención a la raı́z cuadrada de un número negativo se atribuye a
Herón de Alejandrı́a (Siglo I) y la primera manipulación aparece en los escritos de G. Cardano (1501–
1576) al resolver ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado. El autor propone el problema que
consiste en dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados
tienen la longitud de esos trozos tenga área 40. Es decir, plantea la ecuación de segundo grado
x (10 − x) = 40.
El propio Cardano admite que el problema no tiene solución, ya que el rectángulo de mayor
área que se puede construir, un cuadrado, corresponderı́a a la división del segmento en dos partes
iguales de longitud 5, y tendrı́a, por tanto, área 25.
En 1637, Descartes, en su obra ”Discourse de la méthode”, los bautiza como números imaginarios, es decir, ya se está reconociendo la existencia de unos números que no son reales.
El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números complejos en la matemática
se debe a Euler (1707–1783) que definió un nuevo número, al que llamó i. De él afirmó que no era
ni mayor, ni menor, ni igual que ningún número real, y definió las reglas de suma y multiplicación
de este número que hoy conocemos. En particular la conocida
i2 = −1.
1
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.2
2
Definición, operaciones y propiedades de los números complejos
Definición 1.2.1. Si x e y son dos números reales, el par ordenado (x, y), con las operaciones y
las propiedades que se definen a continuación, se llama número complejo. El conjunto de los
números complejos se designa por C. Los pares (x, 0) se identifican con los números reales y los
pares (0, y) se denominan números imaginarios puros.
Definición 1.2.2. Se llama unidad imaginaria, y se designa por i, al número complejo imaginario
puro (0, 1).
Definición 1.2.3. Se llama forma binómica del número complejo (x, y) a la expresión
z = x + yi,
donde x se llama parte real y se escribe x = Re (z ), e y se llama parte imaginaria y se escribe
y = Im(z ).
Representación geométrica de un número complejo. Diagrama de Argand.
El número complejo z = x + yi se puede representar en el plano R2 como el punto de coordenadas cartesianas (x, y). Dicho punto se denomina afijo del número complejo.
Operaciones y propiedades de los números complejos.
• Igualdad:
La igualdad entre números complejos z = x + yi y z ′ = a + bi se define como sigue
x + yi = a + bi ⇔ x = a e y = b,
es decir, dos números complejos son iguales cuando
Re (z ) = Re (z ′ ) y Im (z ) = Im (z ′ )
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
3
• Adición:
Si z = x + yi y z ′ = a + bi, entonces se define la suma como
z + z ′ = (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b) i,
con las siguientes propiedades:
– Asociativa. Para toda terna de números x + yi, a + bi y c + di complejos se verifica
[(x + yi) + (a + bi)] + (c + di) = (x + yi) + [(a + bi) + (c + di)]
– Conmutativa. Para todo par de números complejos z = x + yi y z ′ = a + bi se verifica
(x + yi) + (a + bi) = (a + bi) + (x + yi)
– Existencia de elemento neutro. Existe un número complejo, que escribiremos como (0, 0) ,
o como 0 + 0i, que para todo número complejo x + yi, verifica
(x + yi) + (0 + 0i) = x + yi
Hablaremos del cero complejo y lo escribiremos como z = 0.
– Existencia de elemento opuesto. Para todo número complejo x + yi existe un número
complejo, que escribiremos como −x − yi, que verifica
(x + yi) + (−x − yi) = 0 + 0i.
Diremos que (C, +) es un grupo conmutativo. Esto significa que la suma con las propiedades
anteriormente descritas dota al conjunto de los números complejos de la estructura algebraica de
grupo conmutativo.
• Multiplicación:
Si z = x + yi y z ′ = a + bi, entonces se define el producto como
z ż ′ = (x + yi) · (a + bi) = (xa − yb) + (xb + ay)i
Se deduce inmediatamente que:
i2
=
i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
3
i
=
i2 · i = −1 · i = −i
i4
=
i3 · i = −i · i = −i2 = 1
Para calcular in con n ∈ N, basta elevar i al resto de dividir n entre 4.
El producto de números complejos tiene las siguientes propiedades:
– Asociativa. Para toda terna de números complejos x + yi, a + bi y c + di se verifica
[(x + yi) · (a + bi)] · (c + di) = (x + yi) · [(a + bi) · (c + di)].
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
4
– Conmutativa. Para todo par de números complejos x + yi y a + bi se verifica
(x + yi) · (a + bi) = (a + bi) · (x + yi)
– Existencia de elemento neutro. Existe un número complejo, que escribiremos como (1, 0)
o como 1 + 0i, que verifica
(x + yi) · (1 + 0i) = (x + yi)
para todo número complejo x + yi.
– Existencia de elemento inverso. Para todo número complejo a+bi ̸= 0, existe un número
complejo que escribiremos como x + yi que verifica.
(x + yi) · (a + bi) = (xa − yb) + (xb + ay) i = (1, 0)
Es fácil deducir que
x=
a
a2 + b2
y=
−b
a2 + b2
Diremos que (C− {0} , ·) grupo conmutativo. El producto con las propiedades ya descritas,
dota al conjunto de los números complejos de la estructura algebraica de grupo conmutativo.
Por último estudiamos una propiedad que involucra a la suma y al producto.
- Distributividad. Para toda terna x + yi, a + bi y c + di de números complejos se verifica
(x + yi) · [(a + bi) + (c + di)] = (x + yi) · (a + bi) + (x + yi) · (c + di)
(C, +, .) es un cuerpo conmutativo que, a diferencia del cuerpo R de los números reales, no es
un cuerpo ordenado. Al identificar el número real x con el complejo (x, 0), el cuerpo de los números
reales R aparece como un subcuerpo de C.
Definición 1.2.4. El conjugado de un complejo z = x + yi es el nuevo número complejo
z̄ = x − yi
Para todo z, z ′ ∈ C se verifican las siguientes propiedades:
•
z=z
•
z=z ⇐⇒ z ∈ R
•
z + z′ = z + z′
•
−
z.z ′ = z .z ′
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
5
•
z
z′
•
−
=
z
si z ′ ̸= 0
z′
−
z − z = 2 Im (z ) i
z + z = 2Re (z )
Teorema 1.2.5 (Teorema fundamental del álgebra). Los polinomios de grado n, con coeficientes complejos, tienen exactamente n raı́ces en el cuerpo de los números complejos contadas cada
una de ellas tantas veces como indiquen sus respectivas multiplicidades.
Una raı́z del polinomio p con coeficientes complejos es un número complejo z = a + bi tal que
p(z) = 0. Si un polinomio p tiene todos sus coeficientes reales, y el número complejo z = a + bi es
una raı́z de p, entonces el número complejo conjugado a − bi también es una raı́z del polinomio p.
1.3
Otras formas de expresar un número complejo.
Definición 1.3.1. El módulo o valor absoluto de un número complejo z viene dado por la
siguiente expresión:
q
√
2
2
r = |z| = z · z̄ = Re (z ) + Im (z )
Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el
plano podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo
coincide con la distancia euclı́dea desde el origen del plano a dicho punto.
Proposición 1.3.2 (Propiedades del módulo). Para todo z, z ′ ∈ C, se verifica
1.
|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
2. La desigualdad triangular:
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
3.
|z.z ′ | = |z| |z ′ |
4.
||z| − |z ′ || ≤ |z − z ′ |
2
Observación 1. Es claro que |z| = z · z̄, y por lo tanto, si z ̸= 0, entonces
1
z̄
= 2
z
|z|
Ejemplo 1.3.3. Dados los números complejos z1 = −2 + 3i y z2 = 1 + 4i, es claro que
√
√
|−2 + 3i| = 13 y |1 + 4i| = 17
y marca la distancia de cada número al origen. La distancia entre los dos números es
√
|z1 − z2 | = |−3 − i| = 10
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
6
Ejemplo 1.3.4. El conjunto {z ∈ C : |z − 1 + 3i| = 2} representa los números complejos cuyos
afijos están sobre una circunferencia centrada en (1, −3) de radio 2.
Ejemplo 1.3.5. Comprobar que la expresión en forma binómica de los siguientes números complejos
es la que se indica.
1.
63 16
(2 − 3i) (3 + 2i)
=
+ i
4 − 3i
25 25
2.
2 + 3i
2
23
=
− i
(4 + 5i) i
41 41
3.
2
(2 + 5i) +
5 (7 + 2i)
122 114
− (4 − 6i) i = −
+
i
3 − 4i
5
5
Ejercicio 1.3.6. Encontrar los valores reales de x y de y que satisfacen las siguientes relaciones:
1.
x + iy = |x − yi|
2.
x + iy =
100
X
ik
k=0
3.
3x + 4i
xi
=
1 + yi
x + 3y
Solución. 1. {(x, y) ∈ C : x ∈ R+ , y = 0} . 2. x = 1,y = 0. 3. x = 2, y =
3
3
o x = −2, y = − .
2
2
Ejercicio 1.3.7. Comprobar que:
1. |z| = 1 describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la
circunferencia centrada en el origen de radio 1.
2. z + z̄ = 1 describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la
recta de ecuación x = 1/2.
2
3. z + z̄ = |z| describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre
la circunferencia centrada en el (1, 0) de radio 1.
Definición 1.3.8. Se llama argumento de z = x + iy, si z ̸= 0, al ángulo en radianes θ que
verifica
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
7
Geométricamente, tal y como se observa en la siguiente imagen,
El argumento denota el ángulo que forma el vector de posición de z con el eje de abscisas
positivo. Toma cualquier valor de los infinitos posibles debido a la periodicidad de las funciones
trigonométricas. Dos de estos valores difieren en un múltiplo entero de 2π. Se denomina argumento
principal de un número complejo no nulo, y lo designaremos como Arg(z), al único θ ∈ [−π, π)
que se determina mediante la ecuación
tan θ =
Imz
,
Rez
teniendo siempre en cuenta el cuadrante en el que se encuentra z.
En la siguiente tabla se muestran los argumentos principales de distintos números complejos:
Arg(1 + i) = arctan(1) = π/4
Arg(−1 + i) = arctan(−1) = 3π/4
Arg(−1 − i) = arctan(1) = −3π/4
Arg(1 − i) = arctan(−1) = −π/4
El módulo y el argumento permiten escribir el número complejo z = x + iy de la forma
siguiente
z = |z| (cos θ + i sin θ) .
Esta forma se denomina forma trigonométrica o forma polar del número complejo z. Es
una de las más utilizadas junto con la forma exponencial que veremos más adelante.
Se llama forma módulo-argumental de un número complejo z al par (r, θ) donde r = |z|
y θ es un argumento de z. Es frecuente escribir rθ .
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
8
A la hora de operar con números complejos hay que tener en cuenta que la forma en la que
los expresemos nos puede facilitar mucho la tarea. Por esta razón, vamos a ver como se multiplican
y dividen complejos en forma polar.
Dados los números complejos z = |z| (cos θ + i sin θ) y z ′ = |z ′ | (cos ω + i sin ω) , se tiene:
1. Con respecto a la igualdad entre dos complejos expresados en forma trigonométrica.
|z| (cos θ + i sin θ) = |z ′ | (cos ω + i sin ω) ⇐⇒ |z| = |z ′ | y ω = θ + 2kπ, k ∈ Z
2. Con respecto al producto, tenemos:
z · z′
=
|z| |z ′ | (cos θ + i sin θ) (cos ω + i sin ω)
=
|z| |z ′ | ((cos θ cos ω − sin θ sin ω) + (cos θ sin ω + sin θ cos ω) i)
=
|z| |z ′ | (cos (θ + ω) + sin (θ + ω) i)
3. Para hacer un cociente basta tener en cuenta que
z̄ = |z| (cos θ − i sin θ) y
1
z̄
1
= 2 =
(cos θ − i sin θ)
z
|z|
|z|
Luego
z′
z
= |z ′ | (cos ω + i sin ω)
1
|z ′ |
(cos θ − i sin θ) =
(cos (ω − θ) + sin (ω − θ) i)
|z|
|z|
Las operaciones anteriores justifican el siguiente resultado.
Proposición 1.3.9 (Propiedades del argumento). Si θ1 es el argumento de z1 y θ2 es el argumento
de z2 , entonces:
1. θ1 + θ2 es el argumento de z1 · z2 .
2. θ1 − θ2 es el argumento de
z1
cuando z2 ̸= 0.
z2
Ejercicio 1.3.10. Calcular el módulo y el argumento principal de cada uno de los números complejos siguientes y expresarlos en forma módulo argumental.
√
a) 1
b) −3i
c) −3 + 3i
d) (−1 − i)3
e) 1/(1 + i)
√
√
√
Solución. (1, 0) , (3, −π/2) , 2 3, 5π/6 , 2 2, −π/4 , 2/2, −π/4 respectivamente.
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.4
9
Exponencial compleja
Dado θ ∈ R, se denomina fórmula de Euler a la siguiente expresión
eiθ = cos θ + i sin θ
Observamos que define la exponencial del número complejo iθ a partir de las funciones
trigonométricas cos θ y sin θ. De ella se deduce la fórmula
eiπ + 1 = 0
que relaciona los cinco números más famosos de las matemáticas. Pero su interés reside en que
proporciona otra forma de expresar un número complejo que se denominada forma exponencial.
z = x + iy = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ
También permite definir la exponencial de un número complejo z = x + iy del modo siguiente:
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
Esta función exponencial compleja cumple las siguientes propiedades:
1. e0 = 1
2. ez ̸= 0, ∀z ∈ C
3. ez1 ez2 = ez1 +z2 , ∀z1 , z2 ∈ C
n
4. (ez ) = enz
5. ez = 1 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z.
6. ez1 = ez2 ⇔ z1 − z2 = 2kπi. Esto significa que a diferencia de la exponencial real, la exponencial compleja no es inyectiva ya que es periódica de periodo 2πi.
1.5
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
A partir de
e
eiθ
=
cos θ + i sin θ
−iθ
=
cos θ − i sin θ,
se deducen las siguientes expresiones
eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
, sin θ =
.
2
2i
Ambas son las versiones complejas de las funciones trigonométricas reales, y dan pie a definir
el seno y el coseno de un número complejo como sigue:
cos θ =
eiz + e−iz
eiz − e−iz
, sin z =
.
2
2i
Es inmediato probar que son funciones perı́ódicas de periodo 2π y que se cumplen las propiedades
conocidas. A saber:
cos z =
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
10
1. sin2 z + cos2 z = 1
2. sin (−z) = − sin z, cos (−z) = cos (z)
3. sin (z ± w) = sin z cos w ± cos z sin w
4. cos (z ± w) = cos z cos w + sin z sin w
A partir de aquı́ se define la tangente de forma análoga al caso real, es decir
tan z =
sin z
cos z
y el resto de las funciones trigonométricas.
Se definen las funciones hiperbólicas por medio de las siguientes igualdades
sinh z =
ez − e−z
ez + e−z
, cosh z =
2
2
y son también funciones periódicas de periodo 2πi. Tienen las siguientes propiedades.
1. cosh2 z − sinh2 z = 1
2. sinh (−z) = − sinh z, cosh (−z) = cosh (z)
3. sinh (z ± w) = sinh z cosh w ± cosh z sinh w
4. cosh (z ± w) = cosh z cosh w ± sinh z sinh w
Proposición 1.5.1. Se verifican las siguientes relaciones entre las funciones trigonométricas e
hiperbólicas:
1. sin (iz) = i sinh z
2. sinh (iz) = i sin z
3. cos (iz) = cosh z
4. cosh (iz) = cos z
1.6
Potencias y raı́ces n-ésimas de un número complejo
Para calcular la potencia de un número complejo podrı́a utilizarse la fórmula del binomio
de Newton cuando el complejo está expresado en forma binómica, pero si n es grande el proceso
resultará muy laborioso.
Si se tiene el módulo r y el argumento θ, se puede definir fácilmente la potencia como sigue:
n
z n = reiθ = rn einθ = rn (cos nθ + i sin nθ)
Esta última expresión se denomina fórmula de De Moivre.
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
11
Ejercicio 1.6.1. Hallar el módulo y el argumento de (1 + i)8 .
Solución. Módulo 16 y argumento 0.
Ejercicio 1.6.2. Calcular i211
Solución. −i
Definición 1.6.3. Dado un número complejo z, se dice que el número complejo w es una raı́z
n-ésima de z cuando
wn = z
Proposición 1.6.4. Todo número complejo z, admite n raı́ces n-ésimas distintas dadas por
wk =
p
n
|z|eiωk , con ωk =
Arg (z) + 2kπ
n
donde k ∈ {0, 1, 2, ...n − 1} .
Prueba. Si z = |z| eiθ , buscamos números w = |w| eiω que verifiquen
n
z = wn = |w| einω = |z| eiθ
Desde aquı́ es fácil concluir que
n
=
ω
=
|w|
|z|
θ + 2kπ
n
lo que significa que para cada valor de k ∈ Z se obtiene una raı́z n-ésima de z, que llamaremos wk .
Es claro que
p
|wk | = n |z|
y con respecto al argumento ocurre que
Arg (wk ) = ωk =
√
n
θ + 2kπ
.
n
θ
2π
radianes, pero
y el resto se van obteniendo al incrementar el argumento en
n
n
si k = n se tiene que
θ + 2nπ
θ
Arg (wn ) =
= + 2π = Arg (w0 )
n
n
y análogamente
con w0 =
r,
Arg (wn+k ) =
θ + 2 (n + k) π
θ + 2kπ
=
+ 2π = Arg (wk )
n
n
Luego k ∈ {0, 1, 2, ...n − 1} .
π
π
En el gráfico se representan los afijos de las 5 raı́ces quintas de z = cos + i sin que forman
3
3
un pentágono regular. En general los afijos de las n raı́ces enésimas de un número complejo forman
un polı́gono regular de n lados centrado en el origen.
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
√
3
12
π o
1, π3 , (1, π), (1, − )
3
p
√
√
7
15
9
π
4
Ejemplo 1.6.6.
8 2 − 8 2i = (2, π), (2, π), (2, − π), (2, − )
16
16
16
16
Ejemplo 1.6.5.
−1 =
n
Ejercicio 1.6.7. Resolver en C la ecuación z 5 = z̄.
π 2π
2π
Solución. Además del cero, son solución los complejos de módulo 1 y argumentos 0, ,
, π, −
3 3
3
π
y− .
3
Ejercicio 1.6.8. Sabiendo que z = −i es solución de la ecuación, resolver en C la ecuación
z 3 + (5i − 6)z 2 + (9 − 24i)z + (18 + 13i) = 0
y encontrar las dos soluciones que faltan.
Solución. Las dos soluciones que faltan son 2 − 5i y 4 + i.
1.7
La función logarı́tmica
Definición 1.7.1. Se define el logaritmo de un número complejo como el siguiente conjunto de
números complejos:
log z = {w ∈ C : ew = z}
Observamos que si z = reiθ y w = x + iy, entonces
ew = ex (cos y + i sin y) = reiθ
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
13
y por lo tanto
r = ex , θ = y + 2kπ, k ∈ Z
de donde deducimos que
log z = w = x + iy = log r + i (θ + 2kπ)
Si tomamos el argumento en el intervalo (−π, π] aparece una función univaluada que se llama
logaritmo principal.
La función logaritmo en el campo complejo tiene también propiedades análogas al logaritmo
real. Ası́, si z1 = r1 eiθ1 y z2 = r2 eiθ2 se tiene que
log (z1 .z2 )
=
log (r1 r2 ) + i (θ1 + θ2 + 2kπ)
=
log r1 + log r2 + i (θ1 + 2k1 π) + i (θ2 + 2k2 π)
=
log z1 + log z2
Ejemplo 1.7.2. Calcular
√ el logaritmo y el logaritmo principal para los siguientes números complejos:
2
−1
i
z1 = −i y z2 = √ +
2
2
π
π
log (−i) = i − + 2kπ = i − + 2kπ
2
2
√ !
−1
2
3π
log √ +
i
= i
+ 2kπ
2
4
2
El logaritmo principal se calcula haciendo k = 0.
1.8
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.8.1. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica y en forma polar.
a)
e)
−i
1+i
1
1
+
i(2 + 3i) 1 − 2i
1
2+i
π
f) z + , z =
g) 1, −
z
1−i
4
8
b) (1 + i) −
cos 3x + i sin 3x
cos x + i sin x
1
i
c)
−2
16
Solución. a) − 12 − 12 i
b)16 + i
c) 65 √+ 65
i
√
√
3
7
9
1
1
1
f ) 10 + 10 i
g) 2 2 − 2 i
h) 2 2 + 2 i
d)1 + i
d) i5 + i16
h)
√
2,
π
3
e) cos 2x + i sin 2x
Ejercicio 1.8.2. Determina los números complejos z = x + yi y para los que x e y satisfacen las
relaciones siguientes:
a) x + iy = (x − iy)2
√
c) 1 + i = x + iy
b) x + y + i(x − y) = (2 + 5i)2 + i(2 − 3i)
d) (x + iy) (1 + i) = i
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Solución. a)
n
0, 1, − 12 +
√
3
1
2 i, − 2
√
14
o
3
2 i
−
b) 2 − 20i
d)x = y =
1
2
Ejercicio 1.8.3. Describe geométricamente el conjunto de los números complejos que satisfacen
cada una de las condiciones siguientes:
c) z ∈ C− {0} : |z|−1 ≥ 1
a) {z ∈ C : |z| < 1}
b) {z ∈ C : z − z = i}
d) z ∈ C : Re z 2 > 1
e) {z ∈ C : |z + 3i| > 4}
f ) {z ∈ C : |z − 2| = |1 − 2z|}
Solución. a)Los números complejos cuyos afijos están en el interior del cı́rculo centrado en el
origen y de radio 1. b) Los números complejos cuyos afijos están sobre la recta y = 1/2. d) Los
números complejos cuyos afijos están a la izquierda y a la derecha de cada una de las ramas de la
hipérbola x2 − y 2 = 1. e) Los números complejos cuyos afijos están fuera de la circunferencia de
centro (0, −3) y de radio 4.
Ejercicio 1.8.4. Calcula el módulo y el argumento de:
a)
√
7−
√
b) − 2 + 2 3i
7i
√
Solución. a)( 14, − π4 )
√
3 3 3
c)
+ i
2
2
d) 2, − π2
√
b) 4, 2π
3
c) 3, π6
d) − 2i
Ejercicio 1.8.5. Calcula
a)
√
8
−1
b)
√
5
r
2 − 2i
c)
3
1+i
−i
s√
d)
4
√
2+1+i
2+1−i
Solución. a) Son los ocho números complejos de módulo 1 y argumentos respectivosπ/8 + 2kπ/8
con k = 1, ..., 7
c)
√
6
√
√
6
2, π4 , 6 2, 11
2, −5
12 π ,
12 π
d) Son números complejos de módulo 1 y argumentos π/16, 9π/16, −15π/16, −7π/16.
Ejercicio 1.8.6. Demuestra que si x es un número real, z = (2 + i)e(1+3i)x + (2 − i)e(1−3i)x es
también un número real.
Ejercicio 1.8.7. Resuelve las ecuaciones siguientes:
−
−
a) 3z z + 2(z − z ) = 39 + 12i
b) Re
z +1
=1
z +i
c) z 5 = 1 +
√
3i
Solución. a) 2 + 3i y −2 + 3i, b) La solución son todos los números complejos x + yi cuyos afijos
están en la recta x − y − 1 = 0, es decir {z ∈ C : z = x + (x − 1)i, x ∈ R}.
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Ejercicio 1.8.8. Se considera el número complejo z =
15
a − 2i
√ , con a ∈ C. Determina el número
1 − 3i
complejo a para que:
1. z sea un número imaginario puro.
2. z sea un número real.
3. z sea un número cuyo afijo se encuentre en la bisectriz del primer cuadrante del plano complejo.