Unidad: Números reales

DEPTO. MATEMATICA.
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS
Prof : Carlos Aguayo G.
Licenciado en Matemática.
GUIA TEORICA PRACTICA N° 2
UNIDAD : NUMEROS REALES
En esta unidad usted deberá familiarizarse con :
1.
2.
3.
4.
Identificación de Números reales.
Identificar algunas propiedades axiomáticas de los Números reales.
Conocer y operar el álgebra de Números reales.
Conocer y operar el álgebra de Polinomios con coeficientes y variables Reales.
1.
IDENTIFICACION DE LOS NUMEROS REALES:
Recuerde que :
»*
»
»
0,38
–1
–2
–3
»
1− 2
1
1/2
2
3
–2/3
.
.
1
.
.
.
.
0
1
2
» = » ∪ »*
e
2 3
log 2
3
2
π
−0, 2
0,6
0,1010010001. . .
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
En donde
» representa el conjunto de Números Racionales es decir todos aquellos que pueden ser
expresados como decimales periódicos o semiperiódicos y » representa a los números irracionales,
aquellos decimales no periódicos.
Si se quiere representar un real cualquiera se lo hace mediante una letra del abecedario, usualmente
minúscula.
*
La expresión a ∈ » indica que “ a “ representa a un Real cualquiera
(\ = _ ∪ _* ) .
2. AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NUMEROS REALES.
•
Las propiedades básicas que se aceptan sin demostración se llamarán AXIOMAS y aquellas
propiedades demostrables a partir de axiomas o definiciones previas se llamarán TEOREMAS.
2.1. AXIOMAS DE ADICION Y MULTIPLICACION.
•
A. 1 AXIOMAS DE LA ADICION.
Clausura Aditiva: Para cada a , b ∈ » ; existe c ∈ » tal que a + b = c
Asociatividad
: Para cada a , b , c ∈ » ; ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Neutro Aditivo o cero : Existe el cero en » tal que para cada a ∈ » : a + 0 = 0 + a = a
Inverso Aditivo u Opuesto de a : Para cada a ∈ » ; existe “ –a “ ∈ » tal que :
a + (–a) = –a + a = 0
A.5. - Conmutatividad : Para cada a , b ∈ » ; a + b = b + a
A.1. A.2. A.3. A.4. -
Nota : Por cumplir estos axiomas se dice que IR con la suma, (
ABELIANO
•
» , + ) es un GRUPO
A. 2 AXIOMAS DE MULTIPLICACION.
M.1. - Clausura Multiplicativa : Para cada a , b ∈ » ; existe c ∈ » tal que a ⋅ b = c
M.2. - Asociatividad : Para cada a , b , c ∈ » ; ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
M.3. - Neutro Multiplicativo o Unidad : Existe el uno en IR tal que para cada a ∈ » :
a⋅1=1⋅a=a
M.4. - Inverso Multiplicativo o Recíproco de a : Para cada a ∈ » , existe “ a–1 “ ∈ »
*
*
tal que :
a⋅ a–1 = a–1⋅ a =1 ; donde » = » – { 0 } y a–1 = 1/a , con a ≠ 0 .
M.5. - Conmutatividad : Para cada a , b ∈ » ; a ⋅ b = b ⋅ a
*
Nota : Por cumplir estas propiedades se dice que (
2
»* , • ) es un GRUPO ABELIANO.
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
•
AXIOMA COMBINADO.
A.M. Distributividad : Para cada a, b, c ∈ » : a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c y además :
(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a
NOTA : Al cumplir estos once axiomas el conjunto » con la Adición y la Multiplicación,
( » , + , • ), llega a construir una estructura algebraica de cuerpo conmutativo o campo.
DEFINICIONES :
Sustracción : Para cada a , b ∈ » : a – b = a + (– b)
opuesto de b “
División :
“ a – b “ representa la “ suma de a con el
Para cada a , b ∈ » , con b ≠ 0 : a : b = a ⋅ b–1.
“ a “ : b representa “ la multiplicación de a con el recíproco de b “.
En particular : 1 : b = 1 ⋅ b–1 = b–1 , b ≠ 0
b : b = b ⋅ b–1 = 1 , b ≠ 0.
2.2. TEOREMAS EN ( IR, + , • ).
•
De los axiomas anteriores se deducen las siguientes propiedades :
1.- Para cada
2.- Para cada
3.- Para cada
4.- Para cada
a ∈ » : a ⋅ 0 = 0 ⋅ a . Consecuencia : 0 : b = 0 ⋅ b–1 = 0 , con b ≠ 0. (a : b = a / b)
a ∈ » : - (- a ) = a ; ( a–1 ) –1 = a , a ≠ 0.
a , b ∈ » : - ( a + b ) = – a – b ; ( a⋅b ) –1 = a–1 ⋅ b–1 , o bien : 1 /ab = (1/a)⋅ (1/b)
a , b , c ∈» : a + c = b + c ⇒ a = b ;
a ⋅ c = b ⋅ c ⇒ b = c , con c ≠ 0.
5.- Para cada a , b ∈ » : a ⋅ b = 0 ⇒ ( a = 0 ó b = 0 )
a⋅b≠0 ⇒ (a≠0 ó b≠0)
6.- Para cada a , b ∈ » : (–a ) ⋅ b = a ⋅ (–b ) = – (a⋅b) = –a⋅b ;
en particular (–1 ) ⋅ b = –b
(–a ) ⋅ (–b ) = ab
en particular
(–1) ⋅ (–1) = 1
3
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
7.-
a c ac
, con b ⋅ d ≠ 0 ; en particular ;
⋅ =
b d bd
a
a c ac
⋅1 = ⋅ =
, b ⋅c ≠ 0
b
b c bc
−1
b
a
8.-   =
a
b
a c a+c
a c ad bc ad + bc
; con b ≠ 0 . En general ;
, b⋅d ≠ 0
+ =
+ =
+
=
9.b b
b
b d bd bd
bd
10.-
•
a c ad
: =
, b ⋅ c ⋅ d ≠ 0 ; note que :
b d bc
a
−1
a c b a c
a d a⋅d
: = = ⋅  = ⋅ =
b d c b d 
b c b⋅c
d
EJERCICIOS :
I.- Opere y reduzca términos semejantes :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
15 – ( 2 – 3 ) – ( 8 – 9 ) =
(10a + 4 ) – ( 6 – 9a ) – (3a – 7 ) =
(a + b + c ) – (a – b – c ) + (– a – b + c ) =
[– ( a + b ) – { (–a – b ) – ( a – b ) } ] – { (–a + b ) – ( a – b ) } =
a⋅(a+b)–b⋅(a–b)=
2 ⋅ ( x + x⋅y + y ) – 3 ⋅ ( x – x⋅y + y ) =
( 4t + 7 ) ⋅ ( 4t –5 ) =
II.- Evalúe :
1)
y 
5y 

 2 x +  ⋅  2 x −  si x = 5 e y = 6
3 
3 

2) a⋅b +1/4 (a+ b)⋅(a + b) – 1/4(a – b)⋅(a – b)
si
a = 8 y b = 2.
1 1 1
 + +  ⋅ (a + b + c) si a = 1/4 ; b = 1/3 y c = 1/4
a b c
 x y  x y
4)  +  ⋅  −  si x = 1/2 e y = 1/3
 y x  y x
3)
5)

1 
1
 p +  ⋅  q +  ⋅ ( p + q) si p = –2 y q = –3
p 
q

4
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
2.3. TEOREMAS EN ( » , + , • ).
•
+
Definición de Potencia n-ésima : Consideremos a ∈ » , n ∈ » 0 se define la n-ésima potencia de
a como :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
a0 = 1
a1 = a
a n +1 = a n ⋅ a ( luego a 2 = a1 ⋅ a , a 3 = a 2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a , etc.)
1
a −1 =
con a ≠ 0
a
1
a − n = (a n ) −1 = n , con a ≠ 0
a
NOTA : Observe :
•
•
•
•
•
•
(−1) n = 1 , si n es par en »
(−1) n = −1 , si n es impar en »
0n = 0 , si n ∈ » +
0 n no existe si n es entero no positivo.
1n = 1 , para cada n ∈ » .
PROPIEDADES : Para cada a , b ∈ » , m , n ∈ » :
a m ⋅ a n = a m + n , con a ≠ 0
am
= a m − n , con a ≠ 0
2)
n
a
n n
m ⋅n
3) (a ) = a
, con a ≠ 0
1)
n
an  a 
4)
=  , b≠0 y a≠0
bn  b 
n
n
n
5) a ⋅ b = ( a ⋅ b) , con a⋅b ≠ 0.
5
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
•
EJERCICIOS :
I.- Calcula :
( 2⋅a )0 =
2⋅a0 =
( 0,5 ) –1 =
( 30 + 50 ) –1 =
5–2 ⋅ 50 =
( (– 2 )3 )0 =
(–2 ) –2 =
3–2 ⋅ 2–3 =
( 0,5 ) –4 + ( 0,4 ) –2 =
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
II.- Completa la siguiente tabla :
a
b
n
2
–2
1
1
1
1
–1
1
–1
2
1
2
–a n
(–a) n
(–a⋅⋅b)– n
6
an – bn
(a–b)n
(a – b ) – n
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.
ALGEBRA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES Y VARIABLES REALES.
3.1. CONCEPTOS BASICOS :
1.- EXPRESION ALGEBRAICA : Es toda forma algebraica en que se operan números reales o letras
que representan reales indeterminados o incógnitas mediante las operaciones básicas ( Note que las
potencias son multiplicaciones ).
Ejemplo :
2⋅x2 – 7⋅x + 4
;
3⋅a2 – b + 3/c
a3 ; etc.
;
2.- TERMINOS : Son expresiones algebraicas que sólo poseen FACTORES y no SUMANDOS. Se
componen de COEFICIENTE NUMERICO Y FACTOR LITERAL.
Ejemplo :
2⋅x3 ; – 3⋅a ; – 7 ; 5⋅x⋅y2 ;
En el último, + 5 es el coeficiente numérico y , x⋅y2 su factor literal.
OBSERVACIÓN : Si dos términos poseen idéntico factor literal se dicen SEMEJANTES.
3.- POLINOMIO : Es en realidad, un sinónimo de expresión algebraica en su acepción genérica y se les
puede clasificar en MONOMIOS (un término ) y MULTINOMIOS ( suma de términos).
Ejemplo : – 3⋅a2⋅b es un monomio.
NOTA : Se conviene el siguiente orden de ejecución de las operaciones : primero los paréntesis,
luego las potencias, a continuación multiplicaciones y divisiones y finalmente sumas y
restas.
4.- POLINOMIO FORMAL : Se llama así a todo polinomio de la forma
p ( x) = an ⋅ x + an −1 ⋅ x
n
n −1
:
+ .......... + a2 ⋅ x + a1 ⋅ x + a0
2
a1 , a2 ,....., an ∈ » son los coeficientes numéricos reales, y n ∈ » 0 .
x es llamada indeterminada o VARIABLE REAL.
Ejemplo :
p ( x) = 5 ⋅ x 4 − 2 ⋅ x 2 + 7 ⋅ x − 4 es un polinomio formal
note que : a4 = 5 , a3 = 0 , a2 = −2 , a1 = 7 y a0 = −4
NOTA: Se llamará GRADO DE P(x) al mayor exponente de x en los términos con coeficiente
numérico no nulo del polinomio ORDENADO P(x).
7
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
•
•
En el ejemplo , grado de p(x) = 4
En la definición general, n sería el grado de p(x).
3.2. ADICION DE POLINOMIOS.
Para sumar polinomios bastará usar las propiedades de asociatividad y conmutatividad para reordenar los
términos, agrupar los semejantes y luego usar la distributividad para sumar estos últimos entre sí.
Ejemplo : Sumemos 5a2b3 – 7ab2 + 3a –1 , con
3b3a2 + 4ab2 –2a + 6
5a2b3 – 7ab2 + 3a –1 + ( 3b3a2 + 4ab2 –2a + 6 ) =
Usando asociatividad y conmutatividad para agrupar términos semejantes :
= 5⋅a2⋅b3 + 3⋅a2⋅b3 – 7⋅a⋅b2 + 4⋅a⋅b2 + 3⋅a –2⋅a –1+ 6
= 8a2b3 –3ab2 + a + 5 .
Para la resta sólo se agrega el uso del opuesto de una suma ( TEOREMA 3) :
Si restamos los anteriores polinomios :
5a2b3 – 7ab2 + 3a –1– ( 3b3a2 + 4⋅ab2 –2a + 6 )
= 5a2b3 – 7⋅ab2 + 3a –1+ (– 3b3a2 – 4ab2 + 2a – 6 )
y es suma :
= 5⋅a2b3 – 3a2b3 – 7ab2 – 4ab2 + 3a + 2a –1 – 6
=
•
2a2b3
–11ab2
5a
–7
EJERCICIOS :
Opere :
1) ( 2x2 + y2 – x + 4 ) + ( 3y2 + x – x2 ) + ( x - 2y + x2 – 4y2 ) =
2) ( a2 – ab + 2bc + 3c2 ) + ( 2ab + b2 – 3bc – 4c2 ) + ( ab – 4bc + c2 – a2 ) + ( a2 + 2c2 + 5bc –
2ab) =
3) ( 3xy – 2yz + 4zx ) – ( 3zx + yz – 2xy ) =
4) ( r3 – 3r2s + 4rs2 – s 3 ) – ( 2s3 + 3s2r – 2sr2 – 3r3 ) =
5) 2⋅[ ( 3xy – 4yz + 2xz ) + ( 3yz – 4zx – 2xy ) ] – ( xy – 3yz + 4xz ) =
8
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS.
Veremos, por separado, tres casos de multiplicación : MONOMIO POR MONOMIO, MONOMIO
POR MULTINOMIO Y MULTINOMIO POR MULTINOMIO. Todos ellos se basan en la
asociatividad, conmutatividad y distributividad.
1.- MONOMIO POR MONOMIO : Se asocian y conmutan los factores agrupando los numéricos y
los literales para usar el álgebra de potencias.
Ejemplo :
(–3x2y3 )⋅( 4xy2 ) = (–3⋅4 )⋅( x2x )⋅( y3y2 )
= –12x3y5
2.- MONOMIO POR MULTINOMIO : Se distribuye el Monomio con respecto a cada término del
MULTINOMIO, obteniendo una suma de Monomios por Monomios.
Ejemplo:
3xy2⋅( x – 3y + 7x2y ) = ( 3xy2 )⋅x + ( 3xy2 )⋅( –3y ) + ( 3xy2 )⋅( 7x2y )
=
3⋅x2y2 – 9xy3 + 21x3y3
3.- MULTINOMIO POR MULTINOMIO : Se distribuye con respecto a cada término del
multinomio, obteniendo una suma de Monomios por Monomios
Ejemplo: (3x –2 )⋅( 2x2 – 3xy + 4 ) = ( 3x – 2 )⋅2x2 + ( 3x – 2 )⋅(–3xy ) + ( 3x – 2 )⋅4 =
= 3x⋅2x2 + (–2 )⋅2x2 + 3x⋅(–3xy ) + (–2 )⋅( –3xy ) + 3x⋅4 + (–2 )⋅4
= 6x3 – 4x2 – 9x2y + 6xy + 12x – 8
OBSERVACION : Es posible que al polinomio final haya que reducirlo sumando términos
semejantes.
9
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
EJERCICIOS.
1.
(–3x) (–2 x) (–x2 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
–2 ⋅ (b – a ) =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
b15 + b –15
b8 + b2
b2 + b–2
b5
0
Si m = a – (b – c) , entonces 3m =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
–2( b – a )
–2b – a
–2b + a
2a –2b
–2a + 2b
b5 (b3 + b –3 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
– 6x4
6x4
– 6x3
– 6x2
– 5x4
3a – b – c
3a – 3b – 3c
3a – 3b + 3c
3a – b + c
3a – 3b + c
(– 1/3)x (–3x + 9) =
A) –x 2 – 3x
B) x 2 + 3x
C) –x 2 + 3x
D) x 2 + 9x
E) x 2 – 3x
6.
(x – 3 ) (3x – 4 ) (x – 3 ) 2x =
A)
B)
C)
D)
E)
x2
x2
x2
x2
x2
–
–
–
+
–
7x + 12
19x + 12
19x – 12
7x + 12
6x + 12
10
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
7.
(p –q)2 – (p – q ) (p + q ) =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
0
– 2q2
– 2pq
2q (q – p)
2q (p + q)
1) A
2) D
3) B
4) C
5) E
6) A
7) D
3.4. PRODUCTOS NOTABLES.
•
Si consideramos a, b, c ∈ » como términos polinomiales cualesquiera ( con cualquier signo ) ,
entonces se destacan los siguientes productos :
A) CUADRADO DE BINOMIO :
i) ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2
ii) ( a – b ) 2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplo: ( 2m2 – 3 )2 = ( 2m2 )2 + 2⋅2m2 (– 3 ) + (–3 )2 = 4m4 – 12m2 + 9
EJERCICIOS.
1.
(q – 1)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
q2 – 1
q2 + 1
q2 – q + 1
q2 + 2q + 1
q2 – 2q + 1
(2 – 5h)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4 – 10h + 25h2
4 + 20h + 25h2
4 – 20h + 25h2
4 + 25h2
4 – 25h2
11
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
2
3.
 3

 − y + 1 =
 5

A)
B)
C)
D)
E)
9 2 6
y + y +1
25
5
9 2 6
−
y + y +1
25
5
9 2 6
−
y − y +1
25
5
9 2 6
y − y +1
25
5
9 2 3
y − y +1
25
5
2
1 

4.  2 −
 =
2w 

A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
1) E
2
1
+ 2
w 4w
4
1
4− + 2
w 4w
4
1
4+ + 2
w 4w
2
1
4+ + 2
w 4w
1
4− 2
4w
4−
2) C
3) D
4) A
12
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
B)
SUMA POR DIFERENCIA :
( a + b )⋅⋅( a – b ) = a2 – b2
( 3x – 2y )⋅( 3x + 2y ) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2
Ejemplo:
EJERCICIOS.
1.
( x – 6 )⋅( x + 6 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2x
x2 – 6
x2 – 36
x2 – 12
x2 – 12 + 36
( 3 + 1) ⋅ ( 3 − 1) =
A) 2
B) 3
C) 2
3
3
E) 2 – 2 3
D) 2 + 2
3.
(4a2 – b2 ) (4a2 + b2 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
16a2 – b2
16a4 – b4
4a2 – b2
16a2 – b4
16a4 – 8a2b2 + b4

1 
1
 z − ⋅ z +  =
y 
y

2z 1
+
y y2
1
2
B) z −
y
2
2
C) z −
y
1
2
D) z − 2
y
A)
z2 −
E) 2z
13
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
Respuestas :
C)
1) C
2) A
3) B
4) D
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN :
(x + a )⋅⋅(x + b ) = x2 + ( a + b )⋅⋅x + ab
, donde a y b normalmente numéricos.
Ejemplo:
a)
( x – 3 )⋅( x + 5 ) = x2 + (–3 + 5 )⋅x + (–3 )⋅5 = x2 + 2x – 15
b)
( 2x – 1 )⋅(2x – 3) = (2x)2 + (–1 –3 )⋅2x + (–1)⋅( –3) = 4x2 – 8 x + 3.
EJERCICIOS.
1.
(x – 4 ) (x + 1) =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(y – 3a) (y – a) =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2x – 3
x2 – 4
x2 – 3x – 4
x2 + 3x – 4
x2 – 3x + 1
y2 + 3a2
2y – 4a
y2 + 4ay + 3a2
y2 – 4ay – 3a2
y2 – 4ay + 3a2
1

(2 z + 1) ⋅  2 z −  =
2

A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
2z 2 + z −
2
1
1
4z 2 + z −
2
2
1
4z 2 + z +
2
1
4z2 −
2
4z 2 + z −
14
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
(x2 – 4 ) (x2 – 9 ) =
4.
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
D)
x4 + 36
x4 – 13x2 + 36
x4 – 13x2 – 36
x4 + 13x2 – 36
x4 – 13x2 + 36
1) C
2) E
3) A
4) B
CUADRADO DE TRINOMIO :
Ejemplo:
( a + b + c ) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
( x –2 y + 3 )2 = x2 + (–2y)2 + 32 + 2x⋅(–2y) + 2x⋅3 + 2⋅(–2y)⋅3
= x2 + 4y2 + 9 – 4xy + 6x – 12y
EJERCICIOS.
1.
(2x – y + z )2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
4x2
4x2
2x2
4x2
4x2
+
+
+
–
+
y2
y2
y2
y2
y2
+
+
+
+
+
z2
z2 – 2xy + 2xz – yz
z2 – 4xy + 4xz – 2yz
z2 + 4xy + 4xz – 2yz
z2 – 4xy + 4xz – 2yz
( 3a – b – 4 )2 =
A)
B)
C)
D)
E)
9a2 + b2 + 16 – 6ab – 24a + 8b
9a2 + b2 + 16 – 6ab – 12a + 8b
9a2 – b2 – 16 – 6ab – 12a + 8b
9a2 + b2 + 16 – 3ab – 12a + 4b
9a2 + b2 + 16
15
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
2
1 1 1
3.  − +  =
x y z
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
1) E
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
+
+
+
+
+
1
y2
1
y2
1
y2
1
y2
1
y2
2) A
+
+
+
+
+
1
z2
1
z2
1
z2
1
z2
1
z2
2
2
+ −
xy xz
2 2
− − −
xy xz
2
2
− + −
xy xz
1 1
− + −
xy xz
−
2
yz
2
yz
2
yz
1
yz
3) D
E ) CUBO DE BINOMIO :
i)
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
ii) (a – b) 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplo:
(m – 2n )3 = m3 + 3m2⋅(–2n) + 3m⋅(–2n)2 + (–2n)3
= m3 – 6m2n + 12mn2 – 8n3 .
EJERCICIOS.
1.
( b + 1 )3 =
A)
B)
C)
D)
E)
b3 + 1
b3 + b2 + b + 1
b3 + 3b + b2 + 1
b3 + 3b2 + 3b + 1
b3 + b2 + 3b + 1
16
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
2.
( x2 – y2 )3 =
A)
B)
C)
D)
E)
x6 – y6
x6 – x4y2 + x2y4 – y6
x6 – 3x4y2 + 3x2y4 – y6
x5 – 3x4y2 + 3x2y4 – y5
x6 – 3x2y + 3xy2 – y6
3
3.
1 
 − 1 =
a 
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
1) D
1
a3
1
a3
1
a3
1
a3
1
a3
3 3
+ −1
a2 a
3 3
− 2 − +1
a a
1 1
− 2 + −1
a
a
3 3
− + 2 −1
a a
−
−1
2) C
3) A
3.5. FACTORIZACIÓN.
Consiste en expresar un polinomio como el producto de dos o más factores polinomiales. A continuación
se indican los casos más frecuentes.
I)
FACTOR COMÚN. :
MONOMIO : ac + ad = a ( c + d )
BINOMIO
Ejemplo:
6x2y – 2x3 = 2x2⋅( 3y – x ).
17
: ( a + b ) c + ( a + d) d = ( a + b) ( c + d)
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
EJERCICIOS.
1.
54 – 81x =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
a2 – ab2 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2 ( x – y + xy)
xy ( x – xy + y)
x (x2 – xy + y2 )
x2 ( x + x2y + xy2 )
xy (x2 + xy + 4x )
7a - 7a3 + 14a4 =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
a2 ( a – b)
a (a – b2 )
a (a2 – b2 )
a (a2 – b )
ab ( a – b)
x3 – x2y + xy2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
27 (2 – 3x)
18 (3 – 4x)
9 ( 6 – 6x)
9 ( 6 + 9x)
27 ( 2x – 3)
7 (a – a3 – 2a4 )
a ( 7 + 7a2 – 14a3 )
7a ( 1 – a3 + 2a4 )
7a ( 1 – a2 – 2a3 )
7a ( – a2 + 2a3 )
t (x + y) + u (x + y ) =
A)
B)
C)
D)
E)
tu (x + y )
xy (t + u )
2tu (x + y)
(t + x) (u + y)
(x + y) (t + u)
18
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
6.
a–2–x(a–2)=
A)
B)
C)
D)
E)
7.
c ( 1 – x ) + c2x ( 1 – x ) =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
–x
–x ( a – 2)
–2x ( a – 2 )
( 1 –x ) (a – 2 )
(1+x)(a–2)
c (c + x) ( 1 – x )
c ( 1 – x ) ( 1 + cx)
2c3x ( 1 – x )
c3x ( 1 – x )
c2x ( 1 – x )
1) A
2) B
3) C
4) D
5) E
6) D
7) B
II ) DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
a2 – b2 = (a + b)⋅⋅(a – b)
Ejemplo :
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = ( 2x + 3y )⋅( 2x – 3y )
EJERCICIOS.
1.
a2 – 400 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(20 – a) ( 20 – a)
(a – 20) ( 20 – a)
(a + 20) ( a + 20)
(a + 20) (a – 20)
(a – 20)2
p2q2 – 64a4 =
A)
B)
C)
D)
E)
(pq – 8a2 )2
(pq – 2a2 )2
(pq + 8a2 ) (pq – 8a2 )
(pa + 8a )2
(pq + 8a2 ) (pq + 8a2 )
19
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.
x2 −
1
=
w2
2
A)
B)
C)
D)
E)
4.
x4–y4=
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
III)
1

x− 
w

1 1


 x +  ⋅ − x 
w  w


1 
1

 x + ⋅ x + 
w 
w

1 1


 x −  ⋅ − x
w  w


1 
1

 x −  ⋅ x + 
w 
w

(x2 – y2 )2
(x2 + y2 ) (x + y) (x – y)
(x2 + y2 ) (x + y) (x + y)
(x2 + y2 ) (x – y) (x – y)
(x + y) ( x + y) (x – y ) (x + y )
1) D
2) C
3) E
4) B
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO .
a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2
Ejemplos :
i) x2 + 6x + 9 = ( x + 3 )2
ii) 9x2 – 12xy + 4y2 = ( 3x – 2y )2
20
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
EJERCICIOS.
1.
a2 – 2a + 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
h2 + x2 – 2hx =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(3 – 2x) (3 + 2x)
(2x – 3) (2x + 3)
(3 – 2x) (2x – 3)
(3 – x) (3 – 4x)
(3 – 2x) (3 – 2x)
1 1
− +1 =
4b 2 b
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
(x – h) (x + h)
(h – x) (h + x)
(h – x) (h – x)
(h – x) (x – h)
(h – x) (h – 2x)
9 + 4x2 – 12x =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
( a + 1 ) (a – 1 )
(a+1)(a+1)
(a+1)(1–a)
(1–a)(1–a)
(1–a)(a–1)
 1
  1

 − 1  ⋅  − 1
 2b   2b 
1  
1 

1 −  ⋅ 1 + 
 2b   2b 
 1
  1

 − 1  ⋅  + 1
 2b   2b 
1 1 1 1
 −  ⋅ − 
b 2 b 2
1 
 1
 
 − 1 ⋅ 1 − 
 2b   2b 
1) D
2) C
3) E
4) A
21
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + px + q .
IV)
x2 + ( a + b )⋅⋅x + ab = ( x + a )⋅⋅( x + b ) , con p = a + b y q = ab
Ejemplo : x2 – 5x + 4 = ( x – 4 )⋅ ( x – 1 )
EJERCICIOS.
1.
x2 – 21x + 80 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
110 – x – x2 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(15a + ax) (8 – ax)
(12 + ax) (10 – ax)
(15 – ax) (8 + ax)
(8 + ax) (ax – 15)
(10a + x ) ( 12a + x)
z4 – 29z2 + 100 =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
(x + 11) (x + 10)
(11 + x) (10 – x)
(x – 11) (10 – x)
(x + 11) (x + 11)
(x – 10) (10 – x)
120 – 7ax – a2x2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
(x + 5) ( x + 16)
(x + 5) ( x – 16)
(x – 5) ( x – 16)
(x – 5) ( x + 16)
(x – 5) (16 – x)
1) C
(z – 2) (z – 2) (z – 5) (z – 5)
(z – 2) (z – 2) (z + 5) (z – 5)
(z – 2) (z + 2) (z – 5) (z – 5)
(z – 2) (z + 2) (z + 5) ( z + 5)
(z – 2) (z + 2) (z – 5) (z + 5)
2) B
3) A
4) E
22
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
V)
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c .
ax 2 + bx + c =
1
(ax + p ) ⋅ (ax + q )
a
EJERCICIOS.
1.
2x2 + 5x + 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2x2 – x – 6 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(6x – 3) (x – 4)
(6x – 8) (x – 9)
(x – 8) (6x – 9)
(3x – 8) (2x – 9)
(3x – 4) (2x – 3)
12a2 – 12a + 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
(x – 3) (x + 2)
(x + 3) (x – 2)
(2x + 3) (x – 2)
(x + 2) (2x – 3)
(2x – 4) (2x + 3)
6x2 – 17x + 12 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
(2x + 1) (2x + 4)
(2x + 1) (x + 4)
(x + 1) (2x + 4)
(2x + 1) (x + 2)
(x + 1) (2x + 2)
1) D
(12a – 1) (a – 3)
(6a – 3) (2a – 1)
(12a – 3) (a – 1)
(6a – 1) (2a – 3)
6 (2a – 1) (2a – 1)
2) C
3) E
4) B
23
( a ≠ 1 , a ≠ 0)
con p + q = b y p ⋅ q = ac
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
VI)
SUMA Y DIFERENCIA DE DOS CUBOS
a3 + b3 = ( a + b )⋅⋅( a2 – ab + b2 )
a3 – b3 = ( a – b )⋅⋅( a2 + ab + b2 )
Ejemplos :
i) 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = ( 2x + 3y )⋅(4x2 – 6xy + 9y2 )
ii) 8x3y3 – 1 = (2xy)3 – 13 = ( 2xy – 1)⋅( 4x2y2 + 2xy + 1 )
EJERCICIOS.
1.
a3 + 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1000y3 – 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(1 – a) (1 – a + a2 )
(1 + a) (1 + a + a2 )
(1 + a) (a2 – a + 1 )
(1 – a) (1 + a + a2 )
(1 – a)2 (1 – a)
(10y + 1) (100y2 – 10y + 1 )
(10y – 1) (100y2 + 10y + 1 )
(10y – 1) (100y2 + 1 )
(10y – 1) ( y + 10 )
(10 – y) (10 + y)2
b3 + 8c3 =
A)
B)
C)
D)
E)
(b + 2c) (b2 – 2bc + 4c2 )
(b – 2c) (b2 + 2bc + 4c2 )
(b + 2c) (b – 2bc + 2c )
(b + 2c) (b2 – 2bc + 2c2 )
(b + 2c)2 (b + 2c )
24
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
4.
x5y – 125x2y4 =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
VII)
x2y (x – 5y)3
x2y (x – 5y)2 (x – 5y)
x2y (x2 – 25y2 ) (x + 5y)
x2y (x – 5y) (x2 + 5xy + 25y2 )
x2y (x + 5y) (x2 – 5xy + 25y2 )
1) C
2) B
3) A
4) D
AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
ac + bc + ad + bd = ( a + b )⋅⋅( c + d )
Ejemplo :
2ax – 4bx + ay – 2by = 2x⋅( a – 2b )+ y⋅( a – 2b )
= ( 2x + y )⋅( a – 2b )
EJERCICIOS.
1.
ax + ay + bx + by =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
ab (x + y)
xy (a + b)
(2a + 2b) (x + y)
(2x + 2y) (a + b)
(a + b) (x + y)
pr + qr – ps – qs =
A)
B)
C)
D)
E)
(p + q) (r + s)
(p + q) (r – s)
(p – q) (r + s)
(p – q) (r – s)
(p – r) (q – s)
25
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.
ax – bx – az + bz =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
a2 + 3a + ac + 3c =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
x (m – 4)
(x – 1) (m + 4)
(x – 1) (m – 4)
(x + 1) (m – 4)
(x + 4) (m – 1)
ax – bx + by + cy – cx – ay =
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
(y – 1) (y2 – 1)
(y2 – 1) (x + 1)
(y – 1) (y2 + 1)
(y + 1) (y2 + 1)
(y – 1) (y2 + 2y + 1)
mx – 4 + m – 4x =
A)
B)
C)
D)
E)
7.
(3 + a) (c + a)
(a – 3) (a – c)
(a + 3) (a – c)
(c – a) (c – 3)
(c – 3) (c + 3)
y3 – y2 + y – 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
(a – x) (b – z)
(a – z) (b – x)
(a + x) (b + z)
(a + z) (b + x)
(a – b) (x – z)
1) E
(a – b) (c – x) (x – y)
(a – b – c) (x + y)
(a – b + c) (x – y)
(a – b – c) (x – y)
(a + b + c) (x + y)
2) B
3) E
4) A
5) C
26
6) D
7) D
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
•
EJERCICIOS ADICIONALES (Los * requieren especial cuidado).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
x2y2 – 8xy + 16 =
12⋅( x – y )2 + 7⋅( x – y ) – 12 =
( x – 2 )3 + ( y + 1 )3 =
2pr – ps + 6qr –3qs =
u8 – v8 = ( * )
ax2 + bx – ax – b =
49 – ( 3a – b )2 =
a4 + a2b2 + b4 = ( * )
m2 – 4p2 + 4mn + 4n2 =
x3 – xy2 – x2y + y3 =
rx – sx + tx + yr + yt – ys =
64x4 + y4 =
(*)
9x2 – x2y2 + 4y2 + 12xy =
abc + b2c – 3ac – 3bc =
m3 – mn2 + m2n – n3 + m2 – n2 =
m4 – n4 + m3 – mn3 – n3 + m3n =
(*)
x3 + x2 – y3 – y2 =
x2 + y2 – 4z2 + 2xy + 3xz + 3yz =
m2 – m – n2 – n =
x2 + 7x + y2 – 7y – 2xy – 8 =
(*)
3.6. OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS :
1.
FRACCIÓN ALGEBRAICA .
Es el cuociente de dos expresiones algebraicas.
2.
SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA.
a) Si el numerador y denominador son monomios se cancelan los factores comunes.
b) Si el numerador / o denominador no son monomios se factoriza el numerador y/o denominador
y se cancelan los factores comunes.
27
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
EJERCICIOS
1.
2 p − 2q
=
4q − 4 p
A)
B)
−
1
2
0
1
2
p+q
D)
q+ p
q− p
E)
2q + 2 p
C)
2.
ax − bx
=
a+b
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2x
x
x2
2x2
(a + b) x
6a + 35a 2
=
6a
A)
B)
C)
D)
E)
36a2
36a2 + 1
6a2 + 1
6a + 1
6a
28
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
4.
24a + 48
=
36(a + 2) 2
A)
B)
C)
D)
E)
5.
1
3a + 3
4
3a + 3
2
3a + 6
2
3a + 2
3
3a + 2
Si p4 ≠ q4 , entonces
A)
B)
C)
D)
E)
p2 + q2
=
p4 − q4
1
p + q2
1
2
p − q2
1
( p − q)2
1
( p + q)2
1
2
q − p2
2
29
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
6.
x2 − 9
=
x 2 − 7 x + 12
A) 1
−9
−7 x + 12
x −3
C)
x+4
x+3
D)
x−4
x−9
E)
x+5
B)
7.
( x2 + x – 20 ) : ( x2 – x – 12 ) =
A)
B)
C)
D)
E)
8.
(x + 5 ) : (x + 3)
(x – 5) : ( x – 3)
(x + 5) : (x – 3)
5:3
3:2
Si x2 ≠ 9y2 , entonces
A)
x 2 − 6 xy + 9 y 2
x2 − 9 y 2
B)
x2 + 9 y 2
x2 − 9 y2
( x − 3 y) ⋅
x + 3y
=
x2 − 9 y 2
C) 1
D) 0
E)
2x
x − 9 y2
2
30
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
m3 + 2m 2 n + mn 2
=
m3 − mn 2
9.
A)
B)
C)
D)
E)
0
2m2 n
– 2m2 n
(m + n) : (m – n )
(m – n) : (m + n)
m3 + 1
=
m +1
10.
A)
B)
C)
D)
E)
m2 + m + 1
m2 – m + 1
m2 – 2m + 1
m2 + 1
m2
11. (3x2 – 4x – 4) : (x – 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
3x + 2
3x – 2
x–2
x+2
( – x – 4 ) : ( –2)
ax − bx + ay − by
=
x+ y
12.
A)
B)
C)
D)
E)
Respuestas :
2a - bx – by
2a - 2b
b–a
a+b
a–b
1) A
11) A
2) B
3) D
4) C
5) B
12) E
31
6) D
7) A
8) C
9) D
10) B
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.
OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS.
•
Para multiplicar , dividir y sumar fracciones algebraicas se aplican proipiedades de los números
reales estudiada en la unidad de sistemas numéricos.
Ejemplo :
1.-
3x 2 − x x(3x − 1) x
=
=
6 x − 2 2(3x − 1) 2
2.-
2 x 2 + 4 x + 2 2( x 2 + 2 x + 1)
2( x + 1)2
2( x + 1) ⋅ ( x + 1) 2 x + 2
=
=
=
=
2
2
x −1
x −1
( x + 1) ⋅ ( x − 1) ( x + 1) ⋅ ( x − 1)
x −1
EJERCICIOS
1.
a
1
⋅
=
a+3 a−7
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x 2 + y 2 + 2 xy x + y
=
:
x2 − y 2
x− y
A)
B)
C)
D)
E)
3.
1 : (a2 – 21 )
1 : (3a – 21)
1 : (7a – 21)
1 : (a2 – 4a – 21)
a : (a2 – 4a – 21)
( ( x + y) : ( x – y) ) 2
(x+y):(x–y)
1
(–2xy ): (x – y)
(2xy) : (x – y)2
El máximo común divisor entre x2 – 5x + 4 y x2 – 6x + 8 es
A)
B)
C)
D)
E)
x–4
x–1
(x – 4) (x – 2)
(x – 1) (x – 4)
(x – 1) (x – 2) (x – 4)
32
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
4.
a
b
−
=
a −b a −b
0
1
a −b
1 1
D) − +
b a
1 1
E) − −
b a
A)
B)
C)
5.
La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
6.
(a – c) : bt
(a – c) : (b – t)
(at – bc) : bt
(bc – at) : bt
Ninguna de las anteriores
1
1
+
=
m−n n−m
A)
B)
C)
D)
E)
7.
a c
− , con b ⋅ t ≠ 0 , es igual a
b t
0
2:(m–n)
2:(n–m)
–2n: ( n – m )
–2m : ( n – m )
x −1 x + 1
−
=
x
2x
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
1
−
x
1− x
2x
x+3
−2 x
x 3
− −
2 2
−
33
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
8.
z
y
x
− −
=
xy xz yz
z−x− y
xy − xz − yz
z 2 − x2 − y 2
B)
x2 y2 z 2
A)
z 2 − x2 − y 2
xyz
z−x− y
D)
xyz
−1
E)
z−x− y
C)
9.
El mínimo común múltiplo entre x2 – 3x + 2 y x2 – 1 es
A)
B)
C)
D)
E)
x–1
(x – 1) (x – 2)
(x + 1) (x – 1)
(x – 2) (x + 1)
(x – 2) (x – 1) (x + 1)
10. Si m ⋅ n ≠ 0 y m ≠ n , entonces
A)
B)
C)
D)
E)
11.
 1 1
 −  : ( n − m) =
m n
1
1 : mn
1 : (n – m)
m–n
(m – n)2 : mn
a
b
( − 1) : (1 − ) =
b
a
A)
B)
C)
D)
E)
2a
b
a2
− 2
b
b
a
a
b
a(a − 1)
b(1 − b)
34
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
12.
1 
 2 1 
 a −  :  a + + 1 =
a 
a 

(a − 1)(a 2 − a + 1)
A)
a2 + a + 1
B)
C)
D)
E)
13.
1 1
(a 2 − b 2 ) : ( + ) =
a b
A)
B)
C)
D)
E)
14.
a+1
–(a–1)
( a – 1) : ( a + 1)
a–1
a–b
ab : (a – b)
ab ( a – b )
(a–b)
( a2 – b2 ) : ab
1   1

1 − 2  : 1 −  =
 x   x
A)
B)
C)
D)
E)
1
x
1
1+
x
1
1
x
1
−
x
1−
15. Si m ⋅ n ≠ 0 y m2 ≠ n2 , el valor de la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
mn : (n – m)
nm : (m2 – n2 )
nm : ( n2 – m2 )
nm : ( m + n )
Ninguna de las anteriores
35
1
n m
−
m n
es
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
16.
3x − 5 +
A)
B)
C)
D)
E)
2
=
x
3x 2 − 5 x + 2
x
2
3x − 3x
x
2
3x − 3
x
3x + 2
x
−2 x + 2
x
−1
c c
− 
d d 
17.
=
d −1 − c −1
A)
B)
C)
D)
E)
d −c
dc
c+d
cd
−c − d
c+d
c−d
CLAVES :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
E
C
A
B
C
A
D
C
E
B
11) D
12) E
13) C
14) B
15) C
16) A
17) D
36
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
3.8. ALGORITMO DE DIVISION.
Este tipo de división se usa preferentemente con polinomios formales ordenados.
Si se tiene un polinomio formal p(x) de grado mayor o igual que otro d(x), entonces al dividir p(x) por
d(x) se obtendrá un cuociente q(x) y un resto r(x) de modo que :
p(x) = d(x)⋅ q(x) + r(x) , con grado de r(x) menor que grado de d(x) , o bien r(x) = 0.
Si r(x) = 0 se dice que p(x) es dividido por d(x) exactamente y luego p(x) = d(x)⋅ q(x) .
Por ejemplo :
6x3 + 3x2 – 2x + 2 = ( 3x2 – 1 ) ⋅ ( 2x + 1 ) + 3
DIVIDENDO = DIVISOR ⋅ CUOCIENTE + RESTO
Para obtener el cuociente y el resto adecuamos a p(x) = 6x3 + 3x2 – 2x + 2 , y d(x) =3x2 – 1 se
efectuó el siguiente METODO DE DIVISION :
6x3 + 3x2 – 2x + 2 : 3x2 – 1 = 2x + 1
–
( 6x3 – 2x )
3x2 + 2
- (3x2 – 1 )
3 //
r(x) = 3 tiene grado cero, menor que d(x) que tiene grado dos.
Se efectúan los siguientes pasos :
1° ) Se ordenan los polinomios p(x) y d(x) con exponente decreciente para x en sus términos.
2°) Se divide el primer término de p(x) por el primero en d(x) y el resultado es primer término del
cuociente después del signo igual.
3°) Se multiplica el primer término del cuociente por el divisor d(x) y se escribe bajo el dividendo
p(x), al cual se le resta, obteniendo un segundo dividendo.
4°) Se repiten los pasos 2°) y 3°) para el 2° término del cuociente y un siguiente dividendo hasta
que éste tenga grado menor que el divisor.
37
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
EJERCICIO : Repita el proceso anterior para los polinomios :
a) p(x) = 10x3 – 2x + 15x2 – 3 ; d(x) = 2x + 3
b) p(x) = 9x3 – 5
; d(x) = 3x – 1
3.9. TEOREMA DEL RESTO.
Al dividir un polinomio formal p(x) por otro de la forma ( x – a ) , con a numérico, se obtiene
siempre un resto cero , ó de grado cero ( CONSTANTE ) . Lo que dice este teorema es que el resto de la
división corresponde al número obtenido al evaluar el polinomio p(x) cuando x = a es decir , p(a).
Ejemplo : Sea p(x) = 3x3 – 2x + 1
Si lo evaluamos en x =3 , p(x) = 3⋅33 – 2⋅3 + 1 = 81 – 6 + 1 = 76.
Ahora , si dividimos p(x) por x – 3 :
3x3 – 2x + 1 : x – 3 = 3x2 + 9x + 25
– (3x3 – 9x2 )
9x2 – 2x + 1
– ( 9x2 – 27x )
25x + 1
– ( 25x – 75 )
76 //
p (3) = 76 resto de la división.
38
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
4.0 . DIVISIONES DE LA FORMA ( X n ± Y n ) : ( X ± Y ) .
a)
Siendo el exponente n cualquier natural ( n∈ » ).
( x n – y n ) : ( x – y ) = x n – 1 + x n – 2⋅ y + x n – 3⋅ y 2 + . . . + y n – 1
Ejemplo :
(x7–y7):(x–y)= ?
Respuesta : ( x 7 – y 7 ) : ( x – y ) = ( x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6 )
Se deja al criterio del alumno comprobar esta división multiplicando el cuociente obtenido por el
divisor obteniéndose el dividendo x7 – y7 ( cuociente por divisor = dividendo ).
b) Siendo el exponente n número natural par n = 2p con p∈ » .
( x n – y n ) : ( x + y ) = x n – 1 – x n – 2⋅ y + x n – 3⋅ y 2 – . . . – y n – 1
Ejemplo :
(x6–y6):(x+y)= ?
Respuesta : ( x 6 – y 6 ) : ( x + y ) = x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 – y5
¡ Compruebe la división multiplicando !
c) Siendo n número natural impar n = 2p –1 con p ∈ » .
( x n + y n ) : ( x + y ) = x n – 1 – x n – 2⋅ y + x n – 3⋅ y – . . . + y n – 1
Ejemplo :
( 32a5 + 1 ) : ( 2a + 1 ) = ?
Desarrollo :
32a5 + 1 = (2a)5 + 15 entonces :
[(2a)5 + 15 ] : ( 2a + 1 ) = (2a)4 – (2a)3 ⋅ 1 + (2a)2 ⋅ 12 – (2a) ⋅ 1 + 13
= 16a4 – 8a3 + 4a2 – 2a + 1
Respuesta : ( 32a5 + 1 ) = ( 2a + 1 )⋅( 16a4 – 8a3 + 4a2 – 2a + 1 )
Observe que cuando el divisor es suma se alteran los signos en el cuociente.
39
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
• EJERCICIOS :
I)
Efectúe :
1) 16y4 – 1 : 2y –1 =
2) x4 – x2 + 1 : 1 – x =
3) 2x4 – 3x3 + x2 + x – 2 : x2 – 3x + 2 =
II)
Determine :
1) ¿ Qué valor debe tener m para que x3 – 6x2 + 2mx – 1 sea divisible por x – 3 ?
2) ¿ Qué valor debe tener m para que 32pq – 56p – 12q + 4m + 1 sea divisible por 8p – 3 ?
3) ¿ Qué valor debe tener m para que 2x3 – 5x2 + mx + 8m sea divisible por x + 2 ?
III)
Determine el resto de cada una de las siguientes divisiones. Resuma sus resultados en un teorema.
Recuerde que (– a)n = an si n es par.
a)
i)
ii)
iii)
iv)
Si n es par
xn+an:x+a =
xn+an:x–a =
xn–an:x–a =
xn–an:x–a
b) Si n es impar :
i)
ii)
iii)
iv)
IV)
xn+an:x+a
xn+an:x–a
xn–an:x–a
xn–an:x–a
=
=
=
=
Dados los polinomios : p = 2x – 1 ; q = 2x + 1 ; r = x – 2 .
Calcule :
a) p ⋅ q – r2
b) p2 – q2 + 3r
c) p ⋅ ( q2 – 2r – 4 )
V)
Factorice las siguientes expresiones algebraicas :
a)
b)
c)
d)
e)
x2 + 17x + 72 =
81x2 – 16y2 =
ax – by – ay + bx =
ab + a – b – 1 =
( m + n )2 – 4mn =
40
MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS.
VI)
Factorizando adecuadamente, encuentre la expresión más simple para :
abx + bx 2
=
acx + cx 2
x 2 − 5x
=
b)
x 2 − 4x − 5
16 x 2 − 9a 2 x − 2
⋅
=
c)
4 x − 3a
x2 − 4
a)
VII)
Obtenga la expresión más sencilla para :
x −1 + y −1
=
x −1 − y −1
1
=
B)
1+ x
1−
1
x−
x
A)
VIII)
Efectúe las divisiones :
A) ( x2 – 32 ) : ( x – 2 ) =
B) (x6 – 2x5 + 6x3 – 7x2 – 4x + 6 ) : ( x4 – 3x2 + 2 ) =
IX)
En ambos casos, determine k , para que el primer polinomio sea divisible por el segundo.
A) a4 – a2 – 2a + k ; a2 + a + 1
B) x5 – x4 + 2k – 27x + 7x2 ; x2 + 5 – x
X)
Realice las operaciones que se indican y reduzca a la mínima expresión :
a)
b)
a 2 b 2 + 3ab ab + 3
:
2a + 1
4a 2 − 1
3
2
x − 6 x + 36 x x 4 + 216 x
: 2
x 2 − 49
x − x − 42
41
42