REPASO ALGEBRA ELEMENTAL
OPERACIONES MATEMÁTICAS
POR: DRA. KARILUZ DÁVILA DÍAZ
Repaso Operaciones Matemáticas Algebra Elemental
Dra. Kariluz Dávila Díaz
Operaciones matemáticas comunes
Operaciones matemáticas comunes que se utilizan en el curso de Química
General son:
Operación
Suma
Resta
Multiplicación
División
Exponentes
Logaritmo (base 10)
Logaritmo natural
Antilogaritmo (base 10)
Antilogaritmo natural
Símbolo
a+b
a-b
a× b
a÷b
ab
log a
ln a
10a
ea
Ejemplo
10 + 9 = 19
10 - 9 = 1
10 × 9 = 90
10 ÷ 9 = 1.1
92 = 81
log 10 = 1
ln 10 = 2.30
101.5 = 31.6
e1.5 = 4.48
El orden de operaciones y funciones matemáticas es como sigue:
Primero: Evalua la expresión contenida entre los símbolos de agrupación
primero. Si hay simbolos de agrupación dentro de otros símbolos, evalue los más
internos primero. Los símbolos de agrupación son paréntesis ( ), corchetes [ ] y
llaves { }.
Segundo: Evalue todos los exponentes y logaritmos que aparecen en la
expresión.
Tercero: Evalue todas las operaciones de multiplicación y división en el orden
que aparecen en la expresión, empezando desde la izquierda hacia la derecha de
la ecuación.
Cuarto: Evalue todas las sumas y restas en el orden que aparecen en la
expresión, moviendose de izquierda a derecha.
Ejemplo
[(9 × 5) - 30] ÷ [52 - (2 × 5)]
[45 - 30] ÷ [25 - 10]
15 ÷ 15 = 1
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Dra. Kariluz Dávila Díaz
Cuando se suman o restan fracciones con diferentes denominadores se debe
buscar un denominador común para poder sumar o restar los numeradores. Si
se multiplican o dividen las fracciones se puede multiplicar tanto el numerador
como el denominador. Si se puede simplificar los números de la fracción, lo
podrá hacer.
Ejemplo:
1.
4 3
+
5 2
8 15 8 + 15
+
=
10 10
10
23
= 2.3
10
2.
4 27
×
6 8
1 9 9
× = = 2.25
2 2 4
Notación científica:
La notación científica permite expresar un número que ya sea muy grande o
pequeño para que sea convenientemente expresado en una forma estándar.
La notación científica tiene la siguiente forma:
a × 10b
El coeficiente a es un número real, el exponente b es un número entero que
puede ser positivo o negativo. Si b es positivo el número que se representa
será mayor de uno pero de ser negativo éste será menor de uno.
Por regla general si tiene más de un dígito antes del punto sólo se escribe
el primer dígito y el resto de los dígitos van después del punto.
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Ejemplos:
Caso en que b es positivo:
3,350 = 3.35 x 103
Caso en que b es negativo:
0.00000576 = 5.76 x 10-6
Si va a cambiar la representación de un número expresado en notación científica
a decimal dependará del signo del exponente b hacia donde ruede el punto
decimal. Si b es positivo rodará el punto hacia la derecha, si es negativo lo
rodará hacia la izquierda.
Ecuaciones lineales
Una ecuación es una expresión matemática que representa una igualdad, es
decir, que dos cantidades son iguales. En ocasiones éstas ecuaciones tienen
una variable o incognita a la que no se le conoce su valor numérico. En éste
caso se debe despejar para la variable.
Cuando se desea mover algún componente de la ecuación de un lado a otro de la
ecuación habrá que hacer la operación inversa que se muestra en ambos lados
de la igualdad. Ejemplo sería que si se está sumando en un lado y lo quiero
mover al otro se deberá restar ese mismo valor o variable en ambos lados. Para
que se vaya familiarizando con los inversos de cada operación aqui se muestra
una tabla con las operaciones y sus respectivos inversos:
Operaciones inversas
+
-
×
÷
y2
√y
y4
∜y
log10 y
10y
ln y
ey
y
1/y = y-1
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Ejemplo:
a) 𝑥 ! − 30 = 34, queremos despejar para x
•
Movemos la resta hacia el lado derecho utilizando el inverso de la resta:
𝑥 ! − 30 = 34
𝑥 ! − 30 + 30 = 34 + 30
𝑥 ! = 64
•
Calculamos la raiz cuadrada en ambos lados de la ecuación para
finalmente obtener x.
!
𝑥! =
!
64
𝑥=8
b) ln 𝑦 !! = 2, queremos despejar para y
•
Calculamos el antilogaritmo natural en ambos lados para sacar a y del
logaritmo natural
ln 𝑦 !! = 2
𝑒 !"
! !!
= 𝑒!
𝑦 !! = 7.39
1
= 7.39
𝑦
•
Multiplicamos por y en ambos lados para subir a y en la ecuacíon.
𝑦
1
= 7.39y
𝑦
7.39𝑦 = 1
•
Dividimos sobre 7.39 en ambos lados para finalmente tener y.
7.39𝑦
1
=
7.39
7.39
1
𝑦=
7.39
𝑦 = 0.135
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Recuerde que su meta es despejar para la variable por lo tanto tiene que ir
sacando de afuera para adentro las operaciones matemáticas que aparecen
hasta dejar sola la variable que deseamos despejar.
Cuando hay fracciones en uno o ambos lados de la igualdad se puede
"multiplicar cruzado" que no es otra cosa que multiplicar en ambos lados por el
denominador pero haciéndolo todo a la misma vez.
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
𝑎∙𝑑 =𝑏∙𝑐
Ejemplo:
𝑥
25
=
10
5
25(10)
𝑥=
= 50
5
Note que no necesariamente hay que multiplicar en ambos lados, se puede hacer
sólo en un lado de la ecuación dependiendo hacia donde se quiera despejar.
En ocasiones hay ecuaciones polinomiales que la misma variable tiene diferentes
exponentes. Cuando la variable tiene como exponente mayor un dos se puede
resolver para el valor de ésta utilizando la fórmula cuadrática. Antes de aplicar la
ecuación en la fórmula cuadrática, esta se debe rearreglar tal que todos los
componentes estén en un solo lado de la ecuación y al otro un cero:
ax2 + bx + c = 0
Los coeficientes a, b y c mantienen los signos, ejemplo si es una suma el signo
del coeficiente es positivo, si es una resta el signo será negativo.
La fórmula cuadrática es:
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x=
−b ± b ! − 4ac
2a
Para obtener x, se sustituye en la fórmula cuadrática y resuelve para x.
Ejemplo 3x2 - 8x = 35
3𝑥 ! − 8𝑥 = 35
3𝑥 ! − 8𝑥 − 35 = 0
𝑥=
− −8 ±
𝑥=
𝑥=
−8 ! − 4 3 −35
2 3
8 ± 64 + 420
6
8 ± 22
𝑥=
6
8 − 22
= −2.3
6
𝑥=
8 + 22
=5
6
Ecuaciones Simultáneas
En muchas ocasiones hay dos o más variables en una ecuación. Cuando esto
sucede debe haber igual cantidad de ecuaciones diferentes e independientes que
de variables. De esta forma se puede encontrar el valor de cada incognita.
Utilicemos el ejemplo de dos variables con dos ecuaciones lineales (de forma y =
mx + b) y simples. Para poder conseguir los valores de cada variable hay que
empezar resolviendo una de las ecuaciones para una de las variables en término
de la otra variable. Esta ecuación se sustituirá en la otra ecuación.
Ejemplo:
3𝑥 + 2𝑦 = 19
𝑦
4𝑥
− 𝑦 = −3
6
Comenzamos despejando para una de las variables en una de las ecuaciones y
la utilizamos para sustituir en la otra ecuación.
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En el siguiente ejemplo comenzamos despejando para la variable y en la
segunda ecuación y sustituimos el valor de y en la primera ecuación:
4𝑥
+3
6
4𝑥
3𝑥 + 2
+ 3 = 19
6
4𝑥
3𝑥 +
+ 6 = 19
3
4𝑥
3𝑥 +
= 19 − 6
3
9𝑥 + 4𝑥
= 13
3
13𝑥
= 13
3
𝑦=
13𝑥 = 13 3
𝑥=
13 3
=3
13
Una vez se consigue el valor de la primera variable se utiliza ese número para
sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conseguir la otra
variable.
En este ejemplo ya conseguimos el valor de x = 3 y lo sustituimos en la primera
ecuación.
3 3 + 2𝑦 = 19
9 + 2𝑦 = 19
2𝑦 = 19 − 9
2𝑦 = 10
𝑦=
10
=5
2
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Razones, Proporciones y Porcentajes
Una razón compara dos números. Una razón puede representarse como 1:2 o
1/2. Si se visualiza la razón como 1/2 (fracción) también se puede representar
como 0.50, en su forma decimal. Dos razones iguales expresan la misma
comparación.
Ejemplo 1/2 y 2/4.
1
2
𝑦
2
4
Si dividimos 1/2 = 0.50 y si dividimos 2/4 = 0.50. Como ambas resultan en la
misma fracción y comparación son equivalentes y se pueden igualar.
1 2
=
2 4
Una proporción es el nombre que se le da a la aseveración que dos razones son
iguales. Por lo tanto la expresión que escribimos antes era un ejemplo de
proporciones.
Un porcentaje o porciento (%) es una forma de expresar una razón como una
fracción de 100. Se compara el número a base de cien. La razón 1/2 que
equivale a 0.50 también se puede representar como 50 %, que significa 50 de
100.
El porcentaje de cualquier cosa se calcula:
%=
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
×100
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
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Ejemplo si en la clase hay 26 chicas y 18 chicos, ¿Cuál es el porciento de chicas
en el salón de clases?
26
× 100 = 59 % 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠
44
Pero si le dicen que el grupo de 44 personas el 59 % son chicas, ¿Cómo saber
cuántas chicas hay?
59
𝑥
=
100 44
44(59)
𝑥=
= 26 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠
100
Ejercicios
I. Resuelve
1. [(9-3) × (5+8)] ÷ 3
3. [2+ 4(6)] × 4
2. (5/9 + 1/3) × 18
4. [72 + (5×2) - 4] ÷ 5
II. Exprese en notación científica o en decimal según sea el caso
1. 3.97 × 10-4
3. 0.000219
2. 9.05 × 106
4. 4598
III. Encuentre el valor de la variable.
1. x - 12 = -4
2. 2x + 3 = 0
3. x - (3-2x) = 4
4. 2(x + 3) - 3(1 - x) = -11
5. x +
!
!
!
=!
6.
x
5
= -10
7. 3x + 5 = 14
8. 3 - 2x = 5x + 9
9. 2(3x + 1) - 3(4 - 2x) = -34
10. 2x2 - 5x = 4
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Resultados
I.
II.
III.
1. 26
3. 104
2. 16
4. 11
1. 0.000397
3. 2.19 × 10-4
2. 9050000
4. 4.598 × 103
1. x = 8
2. x = -1.5
3. x = 2.3
4. x = -4.7
5. x = -0.17
6. x = -50
7. x = 3
8. x = -0.86
9. x = -2
10. x = 3.14 , x = -0.64