EJERCICIOS-TRIGO-2023 - copia

1er material de estudio
TRIGONOMETRÍA
PRE 2023-1
Ángulo trigonométrico
01. En la figura mostrada L1 y L2 son rectas
paralelas, determine la relación entre ,
β y .
A) 10𝛼 + 9𝜃 = 0
B) 180𝛽 − 𝛼𝜋 = 0
C) 200𝛽 + 𝜃𝜋 = 0
D) 380𝛽 = 𝜋(𝛼 − 𝜃)
E) 900𝛽 = 𝜋(9𝜃 + 5𝛼)
03. En el siguiente gráfico adjunto, calcule
la suma del máximo y mínimo valor
entero que le corresponde a la medida
del ángulo .
L1


β
L2
A)  + β –  = 540°
B)  + β –  = 360°
A) 90°
B) 91°
D) 93°
E) 34°
C) 92°
04. En el gráfico mostrado AB = OA y
OD = DC. Calcule el valor de:
C)  – β +  = 360°
3
√20𝑥 + 12𝑦
D)  + β –  = 180°
E) β –  +  = 540°
02. En la figura mostrada, si OB y OC
trisecan al ángulo AOD entonces la
expresión incorrecta es
A) 10
B) – 10
D) – 11
E) – 12
C) 11
1
Sistemas de medición angular
05. En ciertos sistemas de medidas
angulares, se tiene que una vuelta
completa mide 300 grados A y en la otra
una vuelta completa mide 550 grados B.
Determine x de modo que (3x – 2)
grados A sea equivalente a (8/3)(x – 1)
grados B.
A) 5/17
B) 6/17
D) 8/17
E) 9/17
C) 7/17
A) 16,4
B) 24,7
D) 43,6
E) 58,8
09. Un ángulo mide 𝑎′ y 𝑏 𝑚 en los sistemas
sexagesimal
y
centesimal,
respectivamente, se cumple:
𝑎𝑏 − 2𝑎2 + 𝑏 2
= 208
𝑏−𝑎
Calcule la medida del ángulo en
radianes.
A)
06. Los ángulos  y  son suplementarios y
sus medidas son (x – 10)º y (x)g
respectivamente. Calcule la medida en
radianes de uno de los ángulos.
A)

6
B)

5
D)

3
E)

2
C)

4
07. En el siguiente gráfico, calcule:
3𝑦 − 2𝑥
6
C) 37,5
C)
E)
π
100
π
360
π
540
rad
B)
rad
D)
π
180
π
200
rad
rad
rad
10. Un ángulo tiene la siguiente medida:
0,005xπrad = 3′ + 6′ + 9′ + 12′ + 15′ + ⋯
Calcule el menor valor entero de x.
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
11. Sabiendo que: 28′ 21′′ = 52𝑚 𝑥 𝑠
Calcule x.
A) 20
B) 10
D) 15
E) 40
C) 30
08. Si:
(x + 1)º − 10g (x + 1)g + 9º
=
18′
50m
entonces el valor de x + 1 es
A) 45
B) 48
D) 52
E) 54
C) 50
12. Dado dos ángulos complementarios, si
el triple del número de grados
sexagesimales del menor, es igual al
número de grados centesimales del
mayor. Calcule el número de radianes
del menor ángulo.
A) 3𝜋/37
B) 4𝜋/37
C) 5𝜋/37
D) 6𝜋/37
E) 7𝜋/37
2
13. Si se cumple: S°C’ = 33000’’ siendo S y C
los números que representan la medida
de un ángulo en los sistemas
sexagesimal
y
centesimal
respectivamente. Calcule el número de
radianes de dicho ángulo.
A)
D)
𝜋
40
𝜋
10
B)
E)
𝜋
C)
30
𝜋
𝜋
20
5
14. Si S y C representan los números de
grados sexagesimales y centesimales de
un mismo ángulo y se cumple:
C2 + S 2 = 2C3 − 5SC2 + 4S 2 C − S 3 − 2SC
Calcule el número
centesimales.
361
11
3610
C)
11
6310
E)
11
A)
de
grados
3111
11
3680
D)
11
B)
15. Un ángulo trigonométrico mide x’’ o
o (z/1000) radianes. Calcule el valor de
la siguiente expresión:
y
x + 10
π(
)
z
ym
A) 315
B) 425
D) 650
E) 725
C) 525
16. Si el número de grados centesimales de
un ángulo es al número de grados
sexagesimales de su complemento;
como 5 es a 3; calcule la medida del
ángulo en radianes.
A)
D)
𝜋
9
3𝜋
10
𝜋
B) 2
9
2𝜋
E)
5
C) 𝜋/4
17. Si P y Q son los números que representan
el número de minutos sexagesimales y
numero de minutos centesimales de un
ángulo, tal que:
Q−P
x
= 2
, x>0
23
x + 6x + 4
Calcule el máximo valor de 8𝑄𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
A) 2
B) 4
D) 40
E) 80
C) 20
18. Calcule el número de radianes del
mayor de dos ángulos si la suma de la
cuarta parte del número de grados
sexagesimales de uno de ellos y los tres
quintos del número de grados
centesimales del otro ángulo es 70. Se
sabe
también
que estos
son
suplementarios.
A)
D)
π
6
4π
3
B)
E)
5π
6
3π
C)
2π
3
2
19. Siendo S, C y R los números de grados
sexagesimales, grados centesimales y
radianes de un mismo ángulo y se
cumple:
R2 + 2SR
π
=
2
C + C(R + S) − 10C 200
Calcule el número de radianes.
A)
D)
𝜋
2
𝜋
5
B)
E)
𝜋
4
𝜋
C)
𝜋
3
6
3
20. Si S, C y R son los números de grados
sexagesimales, centesimales y radianes
que representan la medida de un ángulo
y cumplen:
C+S
1
=
S. C2 − S 3 C + S
Entonces, la medida del ángulo en el
sistema radial, es
agregando x (en u), 2x (en u) y 3x rad a
cada una de estas medidas.
Obtener x  r (en u).
2
A)
3
8
D) 3
A)
D)
𝜋
180
39𝜋
180
B)
E)
19𝜋
180
𝜋
C)
180
Relaciones en el sector circular y en el
trapecio circular
21. Dos ciudades C y U se encuentran
situadas sobre la línea ecuatorial.
Cuando en C son las 8:10 a. m. y en U son
las 9:10 a.m. Calcule la distancia (en
km) entre dichas ciudades (asumir que
el radio terrestre es de 6300km).
B) 525𝜋
D) 600𝜋
E) 650𝜋
1
8
C)
1
3
E) 8
29𝜋
20
A) 500𝜋
B)
24. Se tiene un pedazo de cartulina con
forma de un sector circular cuyo ángulo
central mide (400/9)g y que subtiende
un arco de longitud 6πcm. Se recorta
con tijera un sector circular concéntrico
cuyo radio es igual a dos tercios del
radio del sector circular inicial. Calcule
el área (en cm2) del sector circular
obtenido.
A) 9π
B) 18π
D) 45π
E) 50π
C) 36π
25. En la figura mostrada las áreas de los
sectores circulares AOB y COD son 9u2 y
25u2 respectivamente, calcule:
C) 550𝜋
OA
BD
22. El ángulo central de un sector circular
mide 16° y su radio mide 27cm. Si se
disminuye el ángulo central 7°, ¿en
cuánto se debe aumentar la longitud del
radio, en cm, para que el área del sector
circular no varíe?
A)
A) 5
B) 7
D) 10
E) 12
C) 9
D)
1
3
3
4
B)
E)
2
3
4
C)
3
2
5
23. Se tiene un sector circular en el cual r, L
y  representan las medias del radio (en
u), arco (en u) y el número de radianes
del ángulo central, respectivamente. Se
construye
otro
sector
circular
4
26. En la figura mostrada se tiene los
sectores circulares AOB y COD de tal
manera que 7(OA) = 4(OD), además el
área de la región sombreada es 11 veces
el área del sector circular QOP.
29. Si S1 es el área del sector circular COD y
S2 es el área del trapecio circular ABCD;
además se cumple que S2 = 2S1 + 8.
Calcule S1, en u2.
O
𝐿𝑄𝑃
̂
Determine la relación 𝐿 .
̂
𝐷𝐶
C
S1
L
B
D
A
S2
3L
A)
A)
D)
11
19
2
3
B)
E)
7
23
5
C)
3
28
6
27. El perímetro de un sector circular es 9m
y su área es 3m2. Si θ es el número de
radianes de su ángulo central, calcule la
suma de valores que puede tomar θ.
A)
D)
2
19
19
2
B)
7
213
C)
D)
2
B)
3
4
5
C) 1
3
E) 2
3
30. En la figura mostrada, AOE, COD y GOF
son sectores circulares, donde AC =
BD = 10cm, LAB
̂ = 3πcm, LCD
̂ = πcm y
mAOE = 60°. Calcule el área, en cm2 ,
del trapecio circular BGFE, si además
BG = EF = OD.
23
7
E) 1
28. La longitud del radio de un sector
circular es 𝑥 𝑐𝑚, y su longitud de arco
(1 − 𝑥) 𝑐𝑚 . Calcule la medida del
ángulo central en radianes, de tal
manera que el área del sector circular
sea máxima.
A) 0,5
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
A)
D)
35π
3
29π
3
B)
E)
32π
3
28π
C)
31π
3
3
31. En un sector circular AOB, se ubica C en
̅̅̅̅
̅̅̅̅ obteniéndose el sector
OA y D en OD
circular COD, donde AC = BD = 4u,
LCD
;
⏜ = (210 − 40x)u
2
LAB
⏜ = (7x − 30x)u. Cuando el área de
la región trapezoidal ABDC toma su
mínimo valor, entonces LAB
⏜ es
5
A) 5
B) 15
D) 35
E) 45
C) 25
32. En la figura mostrada, AOB, COD y EOF
son sectores circulares, donde LAB
̂ = k,
LCD
=
2k
y
L
=
4k
.
Si
S
,
S
̂
̂
1
2 y S3
EF
representan las áreas de las regiones
sombreadas y, además, OA = BC = DE,
calcule:
S3 − S1
S2
34. Si a un trapecio circular definido por
dos círculos concéntricos y dos radios,
le quintuplicamos el radio mayor, le
cuadriplicamos el radio menor y le
dividimos por la mitad el ángulo
formado por los radios, el área del
nuevo trapecio circular formado es
igual a trece veces el anterior. Calcule la
razón entre los cuadrados de los radios
mayor y menor del trapecio inicial.
A) 7
B) 10
D) 15
E) 17
C) 13
35. Si AOB y MON son sectores circulares,
calcule el perímetro de la región
sombreada, cuando x adopta su mayor
valor entero ( MA = NB = 3u )
LMN = (x + 3)u y LAB = (3x + 2)u
A)
D)
11
3
15
9
B)
E)
13
3
17
C)
11
9
9
33. En la figura AOB, DOC son sectores
circulares, calcule el área de la región
sombreada (en u2 ).
A)
20
3
D) 8
B)
E)
22
3
29
C)
23
3
A) 33
B) 46
D) 48
E) 50
C) 47
36. En la figura se muestra un sector
circular al interior de un círculo fijo,
siendo la parte sombreada un trapecio
circular de perímetro q cm. Calcule la
longitud (en cm) de un lado recto del
trapecio circular para que su área tenga
el máximo valor.
3
6
Aplicaciones de la longitud de arco: cálculo
del número de vueltas
39. ¿Cuánto avanzará la rueda de radio
12u? Si el punto A vuelve a tener
contacto con el piso otras 7 veces y al
detenerse el punto B está en contacto
con el piso, m<AOB = 120°.
A)
D)
q
B)
6
q
E)
3
q
C)
5
q
B
q
4
O
2
A
37. El perímetro de un sector circular de
radio R metros y ángulo central  rad es
20 metros. Calcule 2.R3, si se sabe que
el área de dicho sector circular es
máxima.
A) 500
B) 1000
D) 2000
E) 2500
D) 182𝜋
E) 186𝜋
C) 184𝜋
A)
D)
6
5
3
2
B)
5
3
C)
5
4
E) 2
41. En el gráfico, calcule el número de
vueltas que da la rueda de 1 m de radio
al recorrer el perímetro de la figura
sombreada. Además, se sabe que
PA = PB = 4√3 y mAPB = 60°.
G
B
C
B) 176𝜋
40. El número de vueltas que da una rueda
de radio r para recorrer exteriormente
otra rueda de radio R es cinco veces el
C) 1500
número de vueltas que da para
recorrerla por el interior. Calcule R/r.
38. En el gráfico mostrado AOE, COD y GOF
son
sectores
circulares,
donde
AC = BD = 24u, las longitudes de los
arcos AB y CD son 6 u y 2 u .
Calcule el área (en u2) de la región
GBEF, si BG = EF = OC.
A
A) 180𝜋
D
O
E
A) 120𝜋
B) 124𝜋
D) 148𝜋
E) 168𝜋
F
C) 132𝜋
7
A)
13 2√3
+
8
π
B)
13 3√3
+
7
π
C)
13 4√3
+
8
π
D)
7 4√3
+
3
π
E)
13 4√3
+
6
π
42. Calcule el número de vueltas que da una
rueda de radio 1 m; al recorrer
exteriormente una vez el perímetro de
una región triangular cuyo perímetro es
88 m.
A) 2,40
B) 2,80
D) 3,60
E) 4,05
C) 3,00
45. En el siguiente tren de poleas, los
diámetros de las ruedas 1, 2, 3 y 4 son
d1 , d2 , d3 y d4 , respectivamente. Si la
rueda 1 da n vueltas, ¿cuántas vueltas
da la rueda 4?
(Considere 𝜋 = 22/7
A) 5
B) 7
D) 15
E) 16
C) 10
43. Los radios de las ruedas de una bicicleta
están en la relación de 3 a 1. Si en hacer
un recorrido la rueda mayor dio 25
vueltas menos que la rueda menor,
calcule la suma de los números de
radianes girados por cada rueda.
A) 25
B) 50
D) 100
E) 125
C) 55
d1 d3
A) (
)n
d2 d4
d1 d2
B) (
)n
d3 d4
d1 d4
C) (
)n
d2 d3
d2 d4
D) (
)n
d1 d3
d3 d4
E) (
)n
d1 d2
46. En el mecanismo mostrado, si la polea A
gira 1 vuelta y además los radios (en u)
de las poleas cumplen la relación:
R A R C = 2R B R D .
44. Calcule el número de vueltas que da la
rueda al recorrer la superficie ABCD,
desde la posición A hasta la posición D,
tal como se muestra en la figura. Se sabe
que la longitud del radio de la rueda es
1 u, BC = π u y que las longitudes de los
arcos AB y CD son 3π u y 2π u.
Calcule la longitud (en u) que se
desplaza el bloque M (considere el
radio de la polea E igual a 1 u)
C
B
A
D
E
M
8
A) 4𝜋
B) 3𝜋
D) 𝜋
E) 𝜋/2
C) 2𝜋
47. En la figura se muestra un mecanismo
formado por dos ruedas (C3, C4) y dos
engranajes (C1, C2) de radios r3, r4, r1 y
r2, respectivamente. Están colocados de
modo que:
- C1 y C2 están en contacto por sus
dientes.
- C2 y C3 están unidos por un eje común.
- C3 y C4 están unidos por una faja.
Si C1 da una vuelta, indique cuantas
vueltas da C4.
C4
49. En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se traza la mediana AM, tal que
mAMB = α y mMCA = β.
Calcule tan(𝛼)cot(𝛽).
A)
D)
1
2
1
3
B) 1
C) 2
E) 3
50. En un pentágono no convexo ABCD, no
convexo en C, los ángulos ACB. AEC y
ECD son rectos. Si AB = 2√7 ,
CD = √5, AE = √3 y ED = 3, calcule la
cot(B).
A) 1
B) √2
D) √3
E) √5
C) 2
C3
r
r
r
1
3
2
C1
C2
4
A)
D)
r1.r2
r3 .r4
r1.r4
r3 .r2
B)
E)
r
51. En la figura mostrada AB = 3u, BC = 1u,
CD = 2u, calcular tan(𝛼)
r1.r3
r2 .r4
r3 .r2
C)
r1.r4
r4 .r2
r3 .r1
A)
Razones trigonométricas de ángulos agudos
48. En un triángulo rectángulo ABC (recto
en B), si BC = a, AC = b, AB = c, además:
b.sen(A) – a.tan(C) = 2b/3.
Calcule el valor de sec(A).sec(C)
A) 1,2
B) 1,8
D) 3,6
E) 5,4
C) 2,4
√2
2
D) 2√2
B) √2
C) 2
E) 2√2
52. Se tiene un triángulo rectángulo ABC
recto en B, si la longitud de la
hipotenusa es 7u y cos(A – C) = 0,25,
calcule la longitud de la altura relativa a
la hipotenusa.
A) 0,125
B) 0,25
D) 0,5
E) 0,65
C) 0,35
9
53. En la figura se muestra el triángulo
equilátero ABC y el cuadrado CDEF.
Calcule tan(x) + cotx
A) 2
B) 4
D) 8
E) 10
C) 6
56. A y B son las medidas de dos ángulos
agudos y complementarios, para los
cuales se verifica que:
2x − 1
x
; sen(B) =
x
2x + 1
Calcule 𝑠𝑒𝑐(𝐴) + 𝑐𝑜𝑡(𝐵)
tan(A) =
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
57. Si: sen(3x − 15°) ⋅ csc(x + 35°) = 1
54. Si ABCD un cuadrado cuya longitud de
su lado es 4u, M y N son puntos medios
̅̅̅̅ y AM
̅̅̅̅̅ respectivamente. calcule:
de CD
𝑠𝑒𝑛(𝜙)
Calcule:
√3cot(x + 5°) + 3csc(x + 12°)
Si todos los ángulos involucrados son
agudos.
A) 7
B) 8
D) 10
E) 11
C) 9
58. Dado los ángulos agudos de medidas
𝛼° 𝑦 𝛽°, los cuales verifican que:
tan(α − 25)° = cot(β − 30)°
A)
D)
3
B)
4
11
E)
13
4
5
12
C)
𝑠𝑒𝑛(𝛽°) csc (
1
13
Calcule
tan(α + β − 85)°
1 + csc(α − β + 5) °
13
55. Si las medidas de los
mencionados en la igualdad:
35 + 𝛼
)° = 1
2
ángulos
A)
𝑡𝑎𝑛(2𝑥) 𝑡𝑎𝑛(7𝑥) = 1
También:
D)
√3
3
2√2
3
B)
√3
6
E)
√2
6
C)
√2
2
𝐴 = 𝑡𝑎𝑛(4𝑥) 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) 𝑡𝑎𝑛(6𝑥)
𝐵 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑐𝑜𝑡(3𝑥) 𝑐𝑜𝑡(8𝑥),
Calcule: 𝐴2 + 𝐵 2
10
59. En un triángulo rectángulo ABC recto en
C, se tiene que:
1 + cos(α)
D) (
) r0
cos(α)
𝐴
𝐵
cot ( ) cot ( ) = 4(csc(𝐴) + 1)
2
2
Calcule: (tan(𝐴))2 + 3csc(𝐵)
1 + cos(α)
E) (
)r
1 − cos(α) 0
A) 13
B) 14
D) 16
E) 17
C) 15
60. Si  es la medida de un ángulo agudo tal
que:
𝑡𝑎𝑛( 𝜃) =
2𝑠𝑒𝑛(30º) + 𝑐𝑜𝑠 2 ( 45º)
5 𝑡𝑎𝑛( 37º)
62. En la figura mostrada QD = a, BE = b y
m<ACB = . Calcule la medida de CP, si
m<BED = m<BPC = m<ABC = 90°.
A
E
Q
D
P
Calcule el valor de:
𝜃
√29 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝜃) + 2 𝑡𝑎𝑛 ( )
2
A) 2
B) 5
D) 10
E) √29 + 10
C) √29
61. En
la
figura
mostrada,
las
circunferencias
son
tangentes,
determine el radio R en términos de r0
y α.

B
C
A) b.csc() – a.cos()
B) b.sec() – a.sen()
C) b.cos() – a.csc()
D) b.sen() – a.sec()
E) (a + b).sen()
63. En la figura mostrada ̅̅̅̅
CD es bisectriz
del ángulo ACB, AD = 7 u, DB = 3 u y E
es punto medio del lado ̅̅̅̅
CB . Calcule
3cot(ω).
1 − cos(α)
A) (
) r0
cos(α)
B) (
cos(α)
)r
1 − cos(α) 0
1 − cos(α)
C) (
)r
1 + cos(α) 0
A) 5√10
B) 4√10
D) 2√10
E) √10
C) 3√10
11
64. En la figura mostrada ABCD es un
rectángulo, calcule el valor de la
expresión:
A)
D)
a ∙ tan(α) sen(θ)
E=
b ∙ cos(β)
1
B)
3
3
E)
2
2
3
1
C)
1
5
4
Ángulos verticales
A) – 2
B) – 1
D) 2
E) 3
C) 1
65. En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se construye exteriormente el
cuadrado ACDE. Si m∠ACB es 30° y
m∠BEA = α .
Calcule 𝑐𝑜𝑡(𝛼) − cot(30°)
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
A) 28 m
B) 29 m
D) 32 m
E) 35 m
C) 30 m
C) 3
66. En la figura, las áreas de la región
sombreada y no sombreada están en
razón de 3 a 1, AE= 1 u y BE=2 u,
calcule el valor de la siguiente
expresión:
9√cot(β) − √tan(𝛽)
67. Un topógrafo observa con un teodolito
la cima de un peñasco de 78,5 m de
altura con un ángulo de elevación cuya
tangente es 4/3. Interesado en observar
mejor la cima del peñasco se aproxima
a este una cierta distancia siguiendo
una trayectoria recta en la misma
dirección en la que se encontraba
inicialmente, por lo que la tangente del
nuevo ángulo de elevación es 3. Si el
punto de visualización del teodolito
está a 1,7 m de altura del suelo,
¿cuántos metros se aproximó el
topógrafo al peñasco?
68. El extremo superior de un poste es visto
desde un punto en tierra con un ángulo
de elevación . Por efecto de un
huracán, este poste se desvía un ángulo
, con respecto a la vertical, hacia al
lado del observador, y ahora el mismo
punto se observa con un ángulo de
elevación . Exprese cot() en función
de  y .
4√cot(𝛼) − √tan(𝛼)
A) cos() + sen() cot()
B) cos() + sen() cos()
C) sen() + cos() cot()
D) cos() sen() + cot()
E) cos() sen() + tan()
12
69. Desde un punto ubicado en el suelo se
observa la parte superior de una torre
con ángulo de elevación de medida . Si
el observador se acerca 20m en línea
recta hacia la torre, el ángulo sería de
medida , además cot() – cot() =
0,25. Entonces, la altura (en m) de la
torre es
A) 10
B) 20
D) 80
E) 160
C) 40
70. Un águila vuela horizontalmente y
observa un conejo con ángulo de
depresión α, luego de recorrer una
distancia tres veces la su altura vuelve a
observar al conejo con un ángulo de
depresión complementario al anterior.
Calcule cot2 (α) + sec2 (α)
A) 8
B) 9
D) 11
E) 12
C) 10
71. Se desea construir dos torres de alturas
4 m y 9 m, tales que desde sus partes
más altas se divise en el suelo un objeto
entre ellas y en el mismo plano vertical
que las torres, con ángulos de depresión
complementarios. ¿Cuál sería la menor
distancia (en m) entre dichas torres?
A) 10
B) 12
D) 12√3
E) 30
73. Un estudiante observa la parte más alta
de un poste con un ángulo de elevación
de medida . Luego de caminar d
metros hacia el poste, nuevamente
observa la parte más alta del mismo con
un ángulo de elevación de medida 2 y
también observa la base del poste con
un ángulo de depresión de medida
(90° – ). determine la altura del poste.
A) d
B) dsen()
C) dcos()
D) dtan()
E) dcot()
74. Las partes más altas de dos árboles de
alturas h y H (h<H) que se encuentran
en la misma dirección es observada por
un ave situada en el piso con ángulos de
elevación de 37° y 45°, así mismo un
halcón ubicado en la parte alta del árbol
de altura h observa la parte alta del otro
árbol con ángulo de elevación de 53°.
Calcule h/H.
A)
D)
A) 8
B) 9
D) 11
E) 12
C) 10
72. Subiendo por un plano inclinado de 30°
respecto a la horizontal, una persona
observa la parte superior de una torre
ubicada en la cima del plano inclinado
con un ángulo de elevación de 45°,
luego de acercarse 10√3𝑚 hacia la
torre, el nuevo ángulo de elevación
hacia la parte superior de la torre es de
60°. Calcule la altura de la torre en
metros.
C) 10√3
3
8
2
5
B)
E)
5
8
3
C)
3
7
5
75. Desde el techo de un edificio de
120 m de altura, se observa a un
automóvil, que se desplaza en una pista
rectilínea que está contenida en un
mismo plano vertical que contiene al
edificio. Si en un instante determinado
el ángulo de depresión para observar al
automóvil es 53° y luego de 10
segundos el ángulo de depresión es 37°,
calcule la velocidad del automóvil,
sabiendo que se aleja del edificio con
velocidad constante. (en m/s).
13
A) 5
B) 6
D) 8
E) 9
C) 7
76. Desde los extremos A y B de un puente,
de 20m de longitud, se observa una
piedra debajo de dicho puente, con
ángulos de depresión de 45° y 30°,
respectivamente. Calcule la distancia de
la piedra al puente, en m.
A) 10(√3 − 1)
B) 10(√3 + 2)
C) 20(√3 + 2)
D) 20(√3 − 1)
79. En la figura se muestra el triángulo ABC
donde A(6; 2), OA = OB, M es el punto
̅̅̅̅ y O es el baricentro del
medio de OB
triángulo ABC. Calcule la longitud del
̅̅̅̅ (en u).
segmento CM
E) 20
77. Desde la base del sexto piso de un edificio
de 10 pisos iguales se observa un punto
en el suelo con un ángulo de depresión de
medida , desde la base del noveno piso
se observa el mismo punto con un ángulo
de depresión que es el complemento de
, calcule cot().
A)
3 15
4
2 10
D)
5
B)
3 10
4
C)
4 10
5
2 5
E)
5
Introducción a la Geometría Analítica
78. Un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
está colocado en el plano euclidiano de
tal modo que el vértice A está en el
origen, el vértice B está sobre el eje X y
a la derecha de A, y el vértice C está
arriba del eje X. Si AB = 25 u y BC = 20
u, determine las coordenadas del
vértice C.
A) (9; 12)
B) (8; 10)
C) (7; 11)
D) (10; 10)
E) (5; 12)
A) √131
B) √130
D) √127
E) √123
C) √129
80. Las coordenadas de los vértices de un
triángulo rectángulo ABC, recto en B,
son A(–5; 2), B(x; 0) y C(4; 9). Calcule la
suma de los valores que puede tomar x.
A) –1
B) 0
D) 2
E) 3
C) 1
81. Si A(–2; –3), B(1; 1) y C(1; 3) son los
vértices de un triángulo ABC. Se traza la
bisectriz
BD.
Determine
las
coordenadas del punto D.
A) (1/3; 4/3)
B) (1/6; 7/6)
C) (1/3; 4/5)
D) (1/7; 9/7)
E) (1/5; 8/7)
82. Dos vértices consecutivos de un
cuadrado son (8; −5) y (4; 7). Calcule la
longitud de su diagonal (en u).
A) 8√2
B) 8√3
D) 8√10E)
8√6
C) 8√5
14
83. En la figura mostrada, los triángulos
BAO y OCD son isósceles, calcule el área
de la región triangular BOD (en u2).
A) 9
B) 10
D) 12
E) 13
C) 11
86. Sea el paralelogramo ABCD donde las
coordenadas A(–3; 1), B(2; 4) y D(7; 2).
Calcule del punto de trisección de la
diagonal AC más cercano al vértice A.
A) (2; 5/3)
B) (2; 2)
C) (2; 7/3)
D) (3; 5/3)
E) (3; 7/3)
A) 39
B) 41
D) 47
E) 51
C) 42
84. Sea el triángulo ABC, donde A y B son
(–1; – 8) y (5; 2) respectivamente; si el
vértice C se ubica en el eje de ordenadas
y el baricentro de dicho triángulo se
ubica en el eje de abscisas. Calcule la
longitud (en u) de la mediana ̅̅̅̅
CM.
87. El área de la región cuadrangular MNCB
es el cuádruplo del área de la región
triangular AMN y NC = 2(AN). Calcule la
suma de las coordenadas del punto M.
B(6;12)
M
C
A) 5√13
B) √95
D) 3√13
E) √105
C) √85
N
A(1;2)
85. En la figura mostrada ABCD es un
paralelogramo cuyos vértices son:
A(x; y), B(−5; 1), C(7; 5) y D(5; −2), el
baricentro del triángulo AED es el
origen de coordenadas. Calcule (en u2)
S1 + S2 − S3.
A) 3
B) 6
D) 12
E) 15
C) 9
88. En un paralelogramo ABCD las
coordenadas de tres de sus vértices son
A (–3; 1), B (–1; 4) y D (2; –1).
Determine las coordenadas del
baricentro del triángulo BCD.
1 2
A)  ; 
5
B)  1; 
4
C)  2; 
5 5
D)  ; 
3 3

3

3
3 3
1
E)  1; 

3
15
89. En un rectángulo se sabe que dos
vértices opuestos son A(–5; 1) y B(3; 7).
Si uno de sus lados es el doble del otro;
calcule el área (en u2 ), de la región
limitada por dicho rectángulo.
A) 30
B) 40
D) 60
E) 80
C) 50
90. En la siguiente figura, calcule el área (en
u2) de la región triangular ABC, si G es el
baricentro del triángulo ABC.
C
Y
G
(5, 3)
M
B
(4, 2)
X
A
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
91. Si el triángulo ABC es recto en B,
además I es su incentro; calcule el área
de la región sombreada.
Y
92. Calcule el área de la región triangular
ABC (en u2), si C = (4; 8) ; M = (3; 4) y
N = (6; 8), siendo M y N los puntos de
trisección del lado AB.
A) 10
B) 11
D) 14
E) 15
C) 12
93. Se tiene un segmento de extremos:
A(–5; 0) y B(7; 6); y de los puntos de
trisección de dicho segmento, tomamos
a N, el más alejado del origen. Calcule la
suma de coordenadas del baricentro del
triángulo NBQ, siendo Q(11; –1).
A) 6
B) 8
D) 10
E) 12
C) 9
94. Si los puntos A(– 2; 2) ; B(2; 4) y C son
vértices de un triángulo ABC, donde C,
está en el IV cuadrante y el lado AC pasa
por el origen de coordenadas “O”.
Calcule la longitud del segmento CM; si
el área de la región triangular ABC es
2,5 veces el área de la región triangular
AOB, M es punto medio de AB.
A) 2√5
B) 5√5
D) 6√5
E) 4√5
C) 3√5
B
95. Sean los puntos A(– 2; 1) y B(3; 3). Si se
ubica un punto C en el semieje negativo
de las abscisas, tal que el área de la
región triangular ABC sea igual a
10,5 u2 . Calcule la distancia (en u) entre
X
los puntos B y C.
C(9; 0)
I
A(–16; 0)
A) 3 u2
B) 4 u2
D) 6 u2
E) 8 u2
C) 5 u2
A) 3√37
B) 2√37C)
D) 3√39
E) 5√39
2√39
16
La recta y sus propiedades
96. Los vértices de un triángulo son
A(–5; –2), B(7; –2) y C(3; 6). Encuentra
las coordenadas del ortocentro del
triángulo ABC.
99. Una recta L forma con los ejes
coordenados un triángulo cuyo
baricentro es el punto G(−2; n). Calcule
la distancia desde G a L cuya ecuación
es y = 1,5x + b.
A)
A) (3; 2)
D) (4; 2)
B) (4; 1)
C) (2;3)
E) (3; 3)
97. A partir de figura mostrada, determine
la ecuación de la recta L.
D)
3√13
13
8√13
13
B)
E)
4√13
13
C)
6√13
13
12√13
13
100. Se tiene dos espejos representados por
las
rectas
L1 : x − 2y + 8 = 0
y
L2 : x − 2y + c = 0, c < 0 . Desde un
punto de L2 sale un rayo de luz, con
pendiente 2, hacia L1 . Si las longitudes
del rayo incidente y el primer rayo
reflejado suman 40 u, calcule c − 8.
A) −6√5
B) −9√5
D) −18√5
E) −24√5
C) −12√5
101. Sean los puntos A (–4;6) y B (3; –2)
equidistantes de una recta L cuya
pendiente es –1/7. Halle la ecuación de
la recta L.
A) 2𝑥 + 9𝑦 − 99 = 0
B) 18𝑥 − 𝑦 − 72 = 0
A) x + 7y – 27 = 0
C) 36𝑥 − 𝑦 − 72 = 0
B) x + 7y – 25 = 0
D) 18𝑥 + 𝑦 − 72 = 0
C) 2x + 14y – 27 = 0
E) 36𝑥 + 𝑦 − 144 = 0
D) x + 7y + 27 = 0
E) 2x + 14y – 25 = 0
98. Encuentre la ecuación de una recta L de
pendiente positiva que pase por (0; –3)
y que forme con la dirección positiva del
eje Y un ángulo que sea el doble del
ángulo formado por la recta
L’: 3y = 2x – 6 y el semieje positivo de X.
102. Determine la ecuación de la recta
mediatriz del segmento cuyos extremos
son A(−3; 4) y B(7; 2).
A) 5x + y − 13 = 0
B) 5x − y − 7 = 0
A) 3y = x – 9
B) 2y = x – 6
C) x + 5y − 17 = 0
C) 3x = 5y + 15
D) 4x = 3y + 9
D) 4𝑥 − y − 5 = 0
E) 5x = 12y + 36
E) x + 4y − 14 = 0
17
103. Si los vértices de un paralelogramo
son A(−5; −1), B(−1; 7), C(5; 3) y D ;
determine la relación entre la abscisa y
la ordenada del punto de intersección
de la perpendicular trazada desde D a
̅̅̅̅
AB.
𝑆1 = 4𝑆2 , determine la ecuación de la
recta 𝐿2 , si esta última pasa por el tercer
cuadrante.
A) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
B) 3𝑥 + 𝑦 + 12 = 0
A) – 3
B) – 2
D) 2
E) 3
C) – 1
C) 3𝑥 + 𝑦 + 6 = 0
D) 3𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
E) 3𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
104. Si los vértices de un triángulo son
A(1; 1), B(3; 5) y C(7; 1) ; calcule la
relación entre la abscisa y ordenada de
su circuncentro.
A)
D)
7
9
13
9
B)
8
9
C)
11
9
108. En la figura 𝐿1 ⊥ 𝐿2 y la recta 𝐿1 tiene
por ecuación 4𝑥 − 3𝑦 − 21 = 0, la
ordenada del punto P es igual a 1 y
𝑄𝑅 = 5√5 𝑢 , además 𝑚𝑄𝑅𝑃 < 45° ,
determine la ecuación de la recta 𝐿 si se
el área de la región triangular PQR e
25u2.
E) 2
105. Dos vértices A y B de un triángulo se
ubican en la recta L: 3x − 4y − 1 = 0;
tales que d(A, B) = 4u. Si el tercer
vértice es el punto C(−3; 5), calcule el
área de la región triangular ABC en u2.
A) 6
B) 9
D) 1
E) 24
C) 12
A) 2x − y − 5 = 0
106. Si la distancia del punto P(5;3) a la recta
L1 : 2x − y + n = 0 es el triple de su
distancia a la recta L2 : x − 2y − 2 = 0 ,
calcule el valor de n (n < 0).
B) x − y + 5 = 0
C) 2x − y + 6 = 0
D) x − 2y + 6 = 0
E) x − 2y + 1 = 0
A) – 12
B) – 14
D) – 18
E) – 20
C) – 16
107. La región triangular limitada por la
recta 𝐿1 : 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 y los ejes
coordenados es 𝑆1 ,
y la región
triangular limitada por la recta 𝐿2 y los
ejes coordenados es 𝑆2 , si 𝐿1 ∥ 𝐿2 y
109. Sean las rectas 𝐿1 : 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 y
𝐿2 : 6𝑥 + 9𝑦 + 1 = 0 . Determine la
ecuación de la recta 𝐿3 , paralela a 𝐿1 y
𝐿2 , de tal manera que equidista de 𝐿1 y
𝐿3 .
18
A) 6𝑥 + 9𝑦 + 4 = 0
A) 5y – 2x – 21 = 0
B) 4𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0
B) 7y – 3x – 29 = 0
C) 12𝑥 + 18𝑦 + 7 = 0
C) 9y – 4x – 37 = 0
D) 12𝑥 + 18𝑦 + 11 = 0
D) 9y – 5x – 35 = 0
E) 12𝑥 + 18𝑦 + 13 = 0
E) 8y – 3x – 34 = 0
110. Dadas las rectas paralelas L1 : 3x − 2y −
5 = 0; L2 : 2x − ky + 𝐾/2 = 0 ; calcule
la distancia entre ellas.
A)
D)
2
√13
5
√13
B)
3
C)
√13
6
E)
√13
4
114. Determine la ecuación de la recta
bisectriz del ángulo que forman las
rectas de ecuación L1 : 3x − 2y − 1 = 0;
L2 : 2x + 3y + 5 = 0 de
pendiente
positiva.
√13
A) x − 3y − 4 = 0
B) x − 5y − 5 = 0
C) x − 3y − 6 = 0
111. Dadas las rectas L1: x – 2y + 2 = 0
y L2 : x − 2y − 8 = 0; calcule el área de
la región triangular que forma una recta
L3 paralela a las dos anteriores, con los
ejes cartesianos; si sus distancias a L1 y
L2 están en la relación de 3 a 2,
respectivamente.
A) 2
B) 4
D) 8
E) 10
C) 6
112. Calcule aproximadamente la medida del
menor ángulo que forman las rectas
cuyas ecuaciones son L1:4x – y – 16 = 0;
L2 : 3x − 5y + 7 = 0.
A) 16°
B) 37°
D) 53°
E) 74°
D) x − 5y − 6 = 0
E) 5x − y + 4 = 0
115. Dadas las ecuaciones de las rectas
𝐿1 : {
𝑥 = 3 + 2𝑘
;𝑘 ∈ ℝ
𝑦 = 1 + 3𝑘
𝑦+4
2
Determine la tangente del ángulo agudo
que forman 𝐿1 𝑦 𝐿2 .
𝐿2 : 𝑥 − 2 =
A)
D)
2
3
1
4
B)
E)
1
3
3
C)
1
8
4
C) 45°
113. Halle la ecuación de la recta de
pendiente positiva que pasando por el
punto de coordenadas (2; 5) forma un
ángulo de 45° con la recta
2y – 7x + 1 = 0.
19
Razones trigonométricas de un ángulo de
cualquier magnitud
116. En la figura mostrada, ABCD es un
paralelogramo
tal
que
tan() – tan() = 5/2. Calcule el valor
de cot() + cot()
Y
B(4;a)
A(–6;0)
A)
−
D)
−
2
5
5
4
B)
−
1
C)
5
−
4
5
E) −5
118. Si  es la medida de un ángulo en
posición normal, cuyo lado final pasa
por el punto de intersección de las
diagonales del cuadrilátero ABCD, de
vértices A(–4;6), B(–2;–1), C(8;0) y
D(6;11), calcule 14(tan() + cot())
X


C(x;y)
A) 34
B) 42
D) 53
E) 51
C) 49
119. Para cierto ángulo de medida 𝜃° se
verifica que:
D(–8;–8)
𝑖) 180 < 𝜃 < 270
A) –
D)
1
3
1
2
B) –
E)
3
7
C) –
1
6
5
𝑖𝑖) |csc(𝜃°) + 3| + 2 csc(𝜃°) + 9 = 0
Calcule 2cot(θ°)sec(θ°)
3
117. En la figura mostrada ABCD es un
cuadrado, dos de sus vértices son
B(8; −2) y C(2; 10).
Calcule cot(β) ∙ tan(θ)
A) −16
B) −12
D) −6
E) −4
C) −8
120. Si α°, β°, θ°, corresponden a las medidas
de tres ángulos cuadrantales, positivos,
diferentes y menores a una vuelta, para
los cuales se verifica que:
2𝑠𝑒𝑛(𝜃°) + √3 ∙ tan(𝛼°) = |cot(𝛽°)| + 2
Calcule
3𝑠𝑒𝑛(𝛼°) + 4𝑠𝑒𝑛(𝛽°)
2 cos(𝜃°) + 1
A) −7
1
D) −
3
B) −4
7
E) −
3
C) −1
20
121. Sea  la medida de un ángulo positivo
del tercer cuadrante, mayor que una
vuelta pero menor que dos vueltas,
halle el signo, en ese orden, de las
siguientes razones trigonométricas:
α
α
α
cot ( ) ; sen ( ) ; sec ( )
4
2
3
A) –;+;–
B) +;–;–
D) –:–;–
E) –;–;+
A) 0
D)
B)
3𝜋
𝜋
C) 𝜋
2
E) 2𝜋
2
125. En la figura ABC es un triángulo
rectángulo recto en B, AC = 265 u y
AB = 23u. Calcule 𝑡𝑎𝑛(𝛽) + 𝑐𝑠𝑐(𝜔)
C) +;–;+
122. Se tiene un ángulo en posición normal
de medida 𝜃, que verifica las siguientes
condiciones:
𝑖) |𝑐𝑜𝑠(𝜃)| = −𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑖𝑖) |𝑡𝑎𝑛(𝜃)| = 𝑡𝑎𝑛(𝜃)
𝑖𝑖𝑖) 3|𝑠𝑒𝑛(𝜃)| = √5
Calcule el valor de la expresión
√5𝑐𝑠𝑐 (𝜃) + 9𝑐𝑜𝑠(𝜃)
A) −11
B) −10
D) −8
E) −6
C) −9
A) 11
B) 23
D) 41
E) 46
C) 35
126. En el gráfico mostrado si AB // CD,
entonces el valor de tan() es
Y
X
123. Halle los signos (positivo o negativo)
que tiene la expresión
sen(θ) + cos(θ) + tan(θ) + cot(θ)
en cada cuadrante.
A(0; –4)
A) +, +, −, −
B) +, −, −, −
C) +, −, −, +
D) +, +, +, −

B(–6; –8)
E) +, −, +, −
124. Sean α y β las medidas de dos ángulos
positivos y menores que una vuelta
para los cuales se verifica que: 2cos(α)
y sen(β) son el mayor valor de la
expresión x + x −1 ; x < 0 y el menor
valor de la expresión y 2 + 2y + 2; y ∈ ℝ
respectivamente.
C
D
A) –
D)
1
2
3
2
B) –
E)
1
2
C) –
1
3
3
2
Calcule α − β (en radianes)
21
127. Calcule el valor de G, si:
G=√𝑠𝑒𝑛(𝜃)|𝑐𝑠𝑐(𝜃)| + √|𝑠𝑒𝑛(𝜃)|𝑐𝑠𝑐(𝜃)
y 90° < 𝜃 < 180°.
A) 2
B) 3
D) 4
E) √5
C) 2,1
128. Si  y  son las medidas de dos ángulos
coterminales, tales que:
cos() = –15/17 y csc() > cot().
131. Se tiene dos ángulos coterminales tales
que el mayor mide trece veces lo que
mide el menor. Si la diferencia del
mayor con el triple del menor es mayor
que 560° pero menor que 620°, calcule
la suma de los cosenos de dichos
ángulos.
A) −√3
B) −√2
D) 1
E) √3
C) −1
Circunferencia trigonométrica
Calcule 17sen() + 15tan().
A) –8
B) 5
D)
E) 0
8
C) – 5
I. sen(100°) > sen(140°)
II. sen(190°) < sen(220°)
III. |sen(320°)| > |sen(340°)|
129. Si se define:
Ak = ksen (
kπ
)
2
Calcule: 2A1 + A3 − 4A2
A) −5
B) −3
D) −1
E) 0
C) −2
130. Siendo α y β las medidas de dos ángulos
cuadrantales, positivos y menores que
una vuelta, tales que:
πsen(α)
tan (
) + sen(β) = −1
2
calcule:
B) 1
D) 3
E) 4
A) VVV
B) VFF
D) FFF
E) VFV
C) FVF
133. Indique verdadero (V) o falso (F) en
cada proposición:
I. sen(1) < sen(2)
II. sen(4) < sen(5)
III. sen(7) < sen(9)
A) VVV
B) VFF
D) FFF
E) VFV
C) FVF
134. Si θ ∈ ℝ, determine la variación de la
expresión:
α
2β
tan ( ) + sec ( )
4
9
A) 0
132. Señale verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en cada caso:
C) 2
3 − |sen(θ) − 2|
|sen(θ) + 3| + 1
A) [1/5; 2/5]
B) [0; 2/5]
C) [−1; 1]
D) [0; 1]
E) [0; 3/5]
22
135. Si se cumple que:
5π 7π
; ⟩
12 6
Determine la variación de la expresión:
θ∈⟨
W = 2sen2 (θ) − 2sen(θ) + 1
B) [1/2; 1]
C) [2/3; 1]
D)[1/3; 1]
E) [1; 4/3]
140. La expresión.
A) [0; 5/2⟩
B) [1/2; 5/2⟩
C) ⟨3/4; 9/4⟩
D) [1/4; 7/4⟩
E) [1; 5/2⟩
136. Determine
A) [0: 1]
𝜋
𝐸(𝑥) = 3 tan2 (3𝑥 − ) + 1
5
31𝜋 23𝜋
Está definida para 𝑥 ∈ [
; ]
90
45
Calcule la suma del máximo y mínimo
valor de 𝐸(𝑥).
la
variación
π 5π
3 − 2sen(θ); θ ∈ ⟨ ; ]
4 6
A) ⟨1; 2⟩
B) ⟨1;2]
D) [1; 2]
E) [1;√2⟩
de:
A) 10
B) 11
D) 13
E) 14
C) 12
C) [1;2⟩
141. Si: −1 ≤ cos(α) < −1/2 y α ∈ ⟨0; 2π⟩
Determine los valores de 𝛼.
137. Determine
la
variación
4cos(2θ) + 3 θ ∈ ⌈−π/6; π/6⌉
de:
Calcule la suma de valores enteros que
puede tomar.
A) 15
B) 16
D) 18
E) 19
C) 17
138. Indique verdadero (V) o falso (F) en
cada proposición:
I. cos(1) < cos(5)
II. cos(4) < cos(2)
III. cos(7) < cos(12)
⟨
C)
⟨3 ;
3
;
3
2𝜋 4𝜋
E) [𝜋;
4𝜋
3
3
2𝜋 5𝜋
⟩
B) ⟨
]
D) [
3
;
3
⟩
2𝜋 4𝜋
3
;
3
]
]
142. Sea la expresión:
61π
π
W = √3 tan (
+ x) ; < x < π
6
2
Al determinar la variación numérica de
W se obtiene ⟨a; b⟩, calcule 3b − 2a.
A) FVV
B) VFV
D) FFF
E) VFF
C) FVV
139. Si 𝛽 ∈ [𝜋/3; 4𝜋/3] , determine los
valores de la expresión.
1
2𝑠𝑒𝑛2 (𝛽)
2𝜋 4𝜋
A)
A) 5
B) 7
D) 11
E) 13
C) 9
143. Ordene los siguientes números en
orden creciente.
tan(sen(3)) , tan(sen(5)) , tan(sen(7))
+1
23
A)
B)
C)
D)
E)
tan(sen(3)) , tan(sen(5)) , tan(sen(7))
tan(sen(3)) , tan(sen(7)) , tan(sen(5))
tan(sen(5)) , tan(sen(7)) , tan(sen(3))
tan(sen(5)) , tan(sen(3)) , tan(sen(7))
tan(sen(7)) , tan(sen(5)) , tan(sen(3))
144. Se define:
𝜋
𝑓(𝜃) = |4𝑠𝑒𝑛 (𝜃 + ) + 1| + 3 , ∀𝜃 ∈ ℝ
3
Calcule la suma de valores enteros que
adopta f(θ), si π < θ < 3π/2.
A) 1
B) 3
D) 11
E) 15
A) sec(α)
B) −csc(α)
C) −cot(α)
D) 1 + sec(α)
E) −1 − csc(α)
147. En la figura mostrada el área de la
π
región sombreada es (3 − 4 ) u2 , calcule
el
valor
de
la
expresión
(sec(θ) csc(θ) − 4)
C) 4
145. Si 𝛼 ∈ ⟨0; 𝜋⟩, halle la variación de la
expresión:
𝜋
tan ( cos(𝛼)) + √3
3
A) [0; +∞⟩
B) ⟨0; 2√3⟩
C) [√3/3; +∞⟩
D) ⟨0; √3⟩
E) ⟨−√3; √3⟩
146. En la figura se muestra una
circunferencia trigonométrica. Si la
medida del arco AP es α, determine el
doble del área de la región
cuadrangular OQRH.
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
148. En la figura se muestra una
circunferencia trigonométrica y una
circunferencia tangente al eje de
abscisas en el punto (−1; 0) . Si la
medida del arco AP es θ, determine la
longitud del radio de la circunferencia
de centro O’ (en u).
24
A)
B)
C)
D)
E)
1−cos(θ)
sen(θ)
1+cos(θ)
150. En la circunferencia trigonométrica
mostrada, calcule la ordenada del punto
P.
sen(θ)
1−cos(θ)
1+sen(θ)
1−cos(θ)
1−sen(θ)
1+cos(θ)
1+sen(θ)
149. A partir de la figura mostrada,
determine el área de la región
triangular sombreada en términos de
“θ” (en u2 ).
A)
−
D)
−
1
6
√7
7
B)
−
E)
−
1
5
C)
−
1
7
√5
5
151. En la figura las ecuaciones de las rectas
son:
𝐿1 : 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
𝐿2 : 3𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
Exprese el área de la región triangular
ABP en términos de 𝜃 (𝑒𝑛 𝑢2 ).
𝐴) 0,5(1 + 𝑐𝑜𝑡(𝜃))
𝐵) 0,5(1 − 𝑐𝑜𝑡(𝜃))
𝐶) 0,5(𝑐𝑜𝑡(𝜃) − 1)
𝐷) 0,5(1 + 𝑠𝑒𝑐(𝜃))
𝐸) 0,5(1 + 𝑐𝑠𝑐(𝜃))
A) (2/9)(3 cos(𝜃) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1)
B) (2/9)(5 cos(𝜃) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1)
C) (2/9)(3 cos(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1)
D) (2/9)(cos(𝜃) + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1)
E) (2/9)(cos(𝜃) − 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1)
25
152. En la circunferencia trigonométrica
mostrada, determine la longitud de ̅̅̅̅
BT,
siendo T y C son puntos de tangencia.
A) sec(β) + csc(β)
155. En la figura mostrada L1 ⊥ L2 , calcule
(2S + ) ∙ cot(). Siendo Su2 el área de
la región sombreada.
A)
B) csc(β) + cot(β)
1
B)
3
D) 3
C) − sec(β) + tan(β)
1
2
C) 1
E) 2
D) − csc(β) − cot(β)
Reducción al primer cuadrante
E) − sec(β) + cot(β)
153. Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
I. csc(1) – csc(4) > 0
II. tan(3) – tan(4) < 0
III. cos(1) – cos(6) > 0
A) VVV
B) VFV
D) VVF
E) FVF
1
2
D) 2
B) 1
E)
sen(𝜃) + 3𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 0
calcule:
cot(270° + 𝜃) sec(180° − 𝜃)𝑡𝑎𝑛(90° + 𝜃)
csc(180° − 𝜃) cos(180° + 𝜃)𝑠𝑒𝑛(360° − 𝜃)
C) FVV
154. Sea la expresión:
π
π π
M = sec ( . cot 2 ( θ)) ; θ ∈ ⟨ ; ⟩
4
6 4
Si la variación de M está dada por
ℝ − [a; b], calcule el valor de 4b2 − 3a2 .
A)
156. Sabiendo que:
C)
A) – 10
B) – 8
D) – 4
E) – 2
157. Siendo 𝜃 = 300°.
Calcule:
37𝜋
tan(99𝜋 + 𝜃) cos ( 2 + 𝜃) 𝑠𝑒𝑐(90𝜋 + 𝜃)
91𝜋
cot ( 2 + 𝜃) 𝑠𝑒𝑛(40𝜋 + 𝜃)
3
2
A)
5
2
C) – 6
D)
1
2
3
2
B)
√3
2
C) 1
E) 2
26
158. Calcule:
161. Dado el triángulo ABC, tal que:
245𝜋
163𝜋
77𝜋
sen (
) cos (
) tan (
)
6
4
3
A)
√6
2
B)
√6
4
D)
√6
8
E)
√6
10
C)
√6
6
cos(A + B) + cos(C) + cos(A + C)
sen(A + B) + sen(C) − sen(A + C)
= tan(A + C)
calcule: csc(B)csc(C).
A) 2
D)
4
3
B) 3
E)
C) 4
8
3
159. Simplifique la siguiente expresión:
162. Siendo: x − y = 180°;
π
3π
tan (2 + x) sec(π + x) cos ( 2 + x)
Calcule el valor de:
3π
sen ( 2 − x) cot(π − x)
3tan(3x + y) cot(x + 3y) +
A) sec(x) tan(x)
B) csc(x)cot(x)
C) sen(x) cos(x)
D) cos(x)
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
sen(5x + y)
sen(x + 5y)
C) 4
163. En la figura se muestra al cuadrado
ABCD, donde BE = 3(EC). Calcule:
E) sec(x) csc(x)
cos(β + 90°) sec(α) + sen(α) sec(θ) + sen(β)
160. A partir de la figura adjunta, calcule:
2 sen(α) + sen(β)
2 cos(α) + cos(β)
A) 2
D)
2
3
B)
4
3
C)
9
2
A) 1,6
B) 1,8
D) 2,6
E) 2,8
C) 2,2
E) 3
27
164. Si α = −π/3 , calcule el valor de la
siguiente expresión
167. De la figura mostrada, calcule:
sen(α) + 2sen(β)
2cos(α) + cos(β)
√3sen(−15π − α) cos(92π + α)
927π
1683π
4sen ( 2 + α) csc ( 2 + α)
A)
D)
−
1
8
3
B)
E)
16
−
3
16
C)
1
8
1
4
165. Si x + y = π . Simplifique la siguiente
expresión:
π
x
π
cos (2 − x) 2tan (2) 3sen(2x + )
7
+
+
π
y
sen(y)
sen(2y − 7)
cot (2)
A) – 0,5
B) 0
D) 1
E) 1,5
C) 0,5
166. En el gráfico mostrado OABC es un
cuadrado, tal que las coordenadas de B
son (2; 6), calcule el valor de cot(θ) −
tan(α)
A) 0,6
B) 0,8
D) 1.4
E) 1,2
C) 1,0
168. Siendo:
𝑘𝜋
97𝜋
tan ( ) = cot (
)
14
7
Calcule el menor valor entero positivo
que adopta k.
A) 5
B) 6
D) 19
E) 23
C) 9
Identidades trigonométricas para el arco
simple
169. Siendo: sen(x) + cos(x) = sec(θ) ;
exprese: tan(x) + cot(x) ; en términos
de θ.
A)
−
D) 2
1
2
B)
E)
1
2
3
2
C) – 2
A) tan2 (θ)
B) cot 2 (θ)
D) 2tan2 (θ)
E) 2cot 2 (θ)
C) 1
170. Elimine x a partir de las siguientes
relaciones: sec 2 (x) + tan2 (x) = a − 1 ;
csc 2 (x) + cot 2 (x) = b − 1.
28
A) a + b = 1
A)
B) a + b = 2
C) a−1 + b−1 = 2−1
1
B) 1
2
D) 2
E)
D) a−1 + b−1 = 1
E) a−1 + b−1 = 2
3
2
5
2
175. Reduzca la expresión:
sec 4 (x)(1 − sen4 (x)) − 2 tan2(x)
2 cot 2 (x) − csc 4 (x)(1 − cos 4 (x))
171. Reduzca la expresión:
1 + 2sen(x)cos(x)
[
− cos(x)] csc(x)
sen(x) + cos(x)
A) sen(x)
B) cos(x)
C) tan(x)
D) sec(x)
E)
C)
A) −2
B) −1
D) 1
E) 2
C) 0
176. Dadas las condiciones:
a ∙ cos(x) + sen(x) = 1 … (1)
b ∙ sen(x) – cos(x) = 1 … (2)
1
Calcule:
172. Siendo:
1
1
( − a) ( − b)
a
b
sen(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑘𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Simplifique:
(k + sen2 (x))(k + cos 2 (x)) − k
A) sen2 (x)
B) cos 2 (x)
C) tan2 (x)
D) sec 2 (x)
A) −4
B) −2
D) 2
E) 4
177. Si se cumple que:
2
E) csc (x)
a. cos 4 (x) + b. sen4 (x) =
173. Calcule el valor de k en la siguiente
expresión:
cos(𝑥)(3 + tan(𝑥) − 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥))
1+𝑘
=
2 tan(𝑥) + 1
sec(𝑥)
A) sen(x)
B) tan(x)
C) −sen(x)
D) −tan(x)
E) −cos(x)
C) 0
a. b
a+b
Calcule el valor de tan2 (x)
A)
D)
a.b+1
a.b
a+1
b
B)
E)
a
b
a+b
C)
b
a
b
178. Si: 1 + tan2 (α) − cot(α) = 0 , entonces
calcule el valor de
3
174. Simplifique:
sec 4 (x)(1 − sec 4 (x)) − 2tan2 (x)
csc 4 (x)(1 − cos 4 (x)) − 2cot 2 (x)
√9 + cos4 (α) − tan2 (α)csc 2 (α)
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
29
179. De la expresión:
C) −tan(x)
sen2 (α) + 2cos(θ)sen(α) + 1 = 0
α ∈ ℝ, θ ∈ ℝ
Calcule el valor de: sec 2 (θ) + csc 2 (α)
,
D) − cot(x)
E) sec(x)
183. Sabiendo que:
(sec(x) csc(x) + 2tan(x)) tan(x) = 7;
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
C) 4
calcule:
(sec(x) csc(x) + 3cot(x))cot(x)
180. Si:
A) 1
B) 2
M = tan4(x) + cot 4 (x) + tan2 (x) + cot 2 (x)
D) 4
E) 5
C) 3
N = 3 sec 2 (x) + 3 csc 2 (x)
184. Elimine x de las siguientes igualdades:
tan(x) + cot(x) = a; sec(x) + csc(x) = b
reduzca:
M+N
tan(x) + cot(x)
A) (a + 1)2 = b2 + 1
A) sec(x) csc(x)
B) a2 = b2 + 1
B) sec 2 (x) csc 2 (x)
C) (a + 2)2 = b2 + 2
C) sec 3 (x) csc 3 (x)
D) a2 = b2 + 2
D) sen2(x) cos 2 (x)
E) (a − 1)2 = b2 − 1
E) sen(x) cos(x)
185. Simplifique:
181. Al simplificar:
sec 6(x) + sec 4 (x) csc 4 (x) + csc 6 (x)
tan2 (x) + cot 2 (x)
[sec 2 (20°) + csc 2 (20°)]
[cot(20°) + tan(20°)]2
se obtiene: senn (x) cosn (x) , n ∈ ℤ.
A) 0,5
B) 1
Calcule: |n + 2|.
D) 2
E) 4
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
C) 1,5
186. Elimine x de las siguientes igualdades:
sen6 (x) + cos 6 (x) = a;
sen8 (x) + cos 8 (x) = b
182. Simplifique:
1
−
sen(x)
A) 2(a + 1)2 = 9b
1
1
−
sen(x)
1
cos(x)
1
−
1
−
sen(x)
cos(x)
B) (a + 1)2 = 9b
C) 2(a + 2)2 = 9b
D) (a + 2)2 = 9b
A) tan(x)
B) cot(x)
E) 2(a + 2)2 = 9(b + 1)
30
187. A partir de las siguientes condiciones
csc(θ)tan(θ) = x
Identidades trigonométricas para arcos
compuestos
tan(θ)cos(θ) = y
Encuentre una relación entre x e y
independiente de 𝜃
A) 𝑥 2 (1 − 𝑦 2 ) = 1
190. Si: sen() = 2sen() y
3cos(), calcule cos( – ).
A) –
B) 𝑥 2 (1 + 𝑦 2 ) = 1
C) 𝑦 2 (1 − 𝑥 2 ) = 1
D)
D) 𝑦 2 (1 + 𝑥 2 ) = 1
E) 𝑥(1 − 𝑦) = 1
5
7
5
7
B) –
E)
3
cos() =
C)
7
3
7
6
7
191. Si:
188. En la figura ABCD es un cuadrado y el
triángulo CFE es isósceles, calcule:
cos(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(60°)sec(2𝜃 − 10°)
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
determine el valor de f(40°).
𝑓(𝜃) =
2 tan2 (𝛼) − cos(𝛼)
A) –tan(10°)
B) –tan(50°)
C) –tan(70°)
D) tan(70°)
E) –tan(20°)
192. Si:
sen(x)
=
2(sen(x)cos(y)
+
cos(x)sen(y)) , exprese cot(x + y) en
términos de y.
A) – 1
B) 0
C) 1
D) √2 − 1
E) √2
189. Si csc(α) − cot(α) = 3, calcule el valor
de sec(α) − tan(α).
A) –
D)
1
2
4
3
B) –
E)
1
3
1
2
C) –
1
3
A)
cos(y) − 2
sen(y)
C)
cos(y) − 1
sen(y)
E)
cos(y) + 2
cos(y) − 1
B)
sen(y) − 2
cos(y)
D)
sen(y) − 1
cos(y)
193. Calcule el valor de la expresión:
5𝑠𝑒𝑛(49°) + 3𝑠𝑒𝑛(4°)
cos(3°) [cos(7°) + 𝑠𝑒𝑛(7°) tan(3°)]
A) 1
B) 2
D) 5
E) 7
C) 4
31
194. Del gráfico mostrado, si AB = 5u,
BE = 12u y EC = 2u.
Calcule: 77 ∙ tan()
198. Si se define:
Ak = sen(k° + 3°)sen(k° − 3°);
calcule: A15 − A30
A) −0,24
B) −0,20
D) −0,16
E) −0,12
C) −0,18
199. Calcule k en la igualdad:
A) 18
B) 23
D) 22
E) 25
C) 15
tan(70°) − tan(60°)
= kcot(20°)
tan(30°) − tan(10°)
A)
195. Si tan(x + y) = 4 , tan(x − y) = 𝑎 y
tan(2x) = −5/3, calcule 𝑎.
A) 3
1
D)
2
B) 2
1
E)
3
1
B)
3
D) √3
√3
3
C) 1
E) 3
200. Reduzca la expresión:
C) 1
√3 𝑐𝑜𝑠( 10°) + 3𝑠𝑒𝑛(10°) + 2 𝑐𝑜𝑠( 40°)
196. Se sabe que
0 < a + b < /2, 0 < a – b < /2.
A) 2cos(20°)
D) sen(40°)
B) 4cos(20°)
E) cos(40°)
C) 2sen(40°)
Además: cos(a + b) = 1/4
cos(a – b) = 1/3
201. Determine
la
variación
π
π
sen ( 2
) + cos ( 2
)
x +1
x +1
Calcule el valor de tan(2a) tan(2b).
A) –
D)
7
119
1
20
B)
7
118
1
E) –
19
C) –
5
117
csc(a + b) csc(a – b)
B) 9
D) 11
E) 12
A) [−√2; 1]
B) [1; √2]
C) [−√2; √2]
D) [−1; √2]
E) ⟨−√2; √2]
197. Si a + b = /4, a > b, además,
cot(a) + cot(b) = 6(tan(a) + tan(b)),
determine el valor de
A) 8
de:
C) 10
202. En un triángulo ABC, se cumple que:
sen(𝐴)
= √2 sen(𝐶) 𝑦
sen(𝐵)
cos(𝐴)
= √2 cos(𝐶)
cos(𝐵)
Calcule el valor de tan(A).
32
A) √2 + 1B) √2 − 1
C) 1
√2
E)
2
D) √2
D)
203. Simplifique la expresión:
sen(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) sen(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − cos2 (𝑧)
cos 2 (𝑥 + 𝑦)
A) sen(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
B) sen(𝑥 + 𝑦)
C) −1
D) 1
E) sen2(𝑥 + 𝑦)
√3(𝑐𝑜𝑡( 60°) + 𝑡𝑎𝑛( 27°))(𝑐𝑜𝑡( 60°) + 𝑡𝑎𝑛( 33°))
B) 2
D) 5
E) 6
B) 1
1
C)
1
3
E) 2
2
207. Reduzca la expresión
cos(2°) cot(4°) − cos(6°)csc(4°)
sen(2°)tan(3°) + cos(5°)csc(87°)
A) cot(3°)
B) cot(2°)
C) tan(3°)
D) tan(2°)
E) tan(4°)
204. Simplifique la expresión:
A) 1
A) – 1
C) 4
208. En la figura mostrada se tienen discos
tangentes exteriormente de radios
r1 = 1 u, r2 = 9 u y r3 = 4 u.
Calcule sen(θ).
205. Si:
m+n
m
n
=
+
cot( 5θ) cot( 7θ) cot( 3θ)
Exprese
cos(7 )
en términos de m y n.
cos(3 )
A)
m
n
m+n
D)
m−n
A)
n
m
m−n
E)
2m
B)
C)
m−n
m+n
206. Si se conoce que:
A + B + C + D = 180°
sen(A).sen(B) = sen(C).sen(D)
D)
25
B)
24
49
E)
65
7
C)
65
63
61
65
65
209. Si
tan(x) + tan(y) = msen(x + y)
… (I)
tan(y) + tan(𝑧) = nsen(y + z)
… (II)
tan(𝑧) + tan(𝑥) = psen(𝑧 + 𝑥)
… (III)
Calcule cos(𝑥)cos(𝑦)cos(𝑧)
Calcule:
cot( A) − cot( C)
cot( D) − cot( B)
1
1
A) (mnp)−2
B)
C)
D) (mnp)1/2
mnp
mnp
E) mn + np + pm
33
210. Si se cumple que: tan(7x) = √2 cot(3x)
Calcule: cos(10𝑥)sec(4𝑥)
A) 3 − 2√2
B) 1 + √2
C) 1 − √2
E) 2√2 − 3
D) √2 − 1
211. Calcule el mayor valor de x (𝑥 < 630°),
correspondiente al máximo valor de la
expresión:
𝐾 = √2𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 45°) + 4𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 60°)
+ 2√3 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
A) 225°
B) 315°
D) 495°
E) 585°
C) 405°
Propiedades para tres arcos
212. Si α, β y θ son las medidas de los
ángulos internos de un triángulo, tal
que:
cot(2α) cot(2β) cot(2θ) = −√3/9
calcule
tan(2α) + tan(2β) + tan(2θ)
cot(α) cot(β) + cot(α) cot(θ) + cot(β) cot(θ)
A) −3√3
B) 3√3
D) 6√3
E) −9√3
C) −6√3
213. Si A, B y C son las medidas de los
ángulos internos de un triángulo y
cumplen:
214. En un triángulo ABC, se cumple que:
A−B
C
C
cos (
) = cos ( ) − sen( )
2
2
2
calcule el valor de:
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
cot ( ) − tan ( ) tan ( ) cot( )
2
2
2
2
A)
5
4
D) 3
B) –2
E)
C) 2
2
3
215. Calcule el valor de:
sen(89°)
sen(47°)
+
sen(74°) sen(75°) sen(31°) sen(74°)
sen(46°)
+
sen(31°) sen(75°)
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
216. Dado el triángulo acutángulo ABC,
calcule el mínimo valor de:
tan3 (A) + tan3 (B) + tan3 (C)
tan(A) + tan(B) + tan(C)
A) 1
B) 3
D) 3√3
E) 9
C) √3
217. En un triángulo ABC, halle
equivalente de la expresión:
[
sen2 (A) − sen2 (C)
sen(A − C) cos( A) cos( C)
cot(A) + cot(B) = 3tan(C).cot(A).cot(B)
+ tan( B)] cot( B) cot( C)
Exprese tan(A) en función de B.
A) 2tan(B)
B) 3cos(B)
A) tan(A)
B) tan(B)
C) 4cot(B)
D) 3tan(B)
C) tan(C)
D) cot(A)
E) 4sen(B)
el
E) cot(B)
34
218. En un triángulo ABC, se verifica que:
𝐴
𝐵
𝐶
cot ( ) + cot ( ) = 3 cot ( )
2
2
2
Calcule
D)
1
4
B) 4
E)
B) 0,25
D) 0,75
E) 1,00
C) 3
1
A) a2b2
B) 2a2b2
D) a4 + b4
E) a4 – b4
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
223. Dada la función f definida por:
f(x) = sen(x) cos 5 (x) − cos(x) sen5(x),
determine el valor de f(π/48).
A
B
C
sec 2 ( ) + sec 2 ( ) + sec 2 ( )
2
2
2
C) 3
Identidades trigonométricas para el arco
doble
A)
√2
4
B)
√3
4
D)
√6−√2
8
E)
√6−√2
16
220. Si se cumple que:
Calcule el valor de:
x
x
sen4 ( ) + cos 4 ( )
3
3
D)
25
4
5
E)
3
5
9
√3
8
sen(2x)
cos( x)
1
)(
)=
1 + cos( 2x) 1 + cos( x)
2
Calcule el valor de tan(x).
2x
√3
sen ( ) =
3
√5
B)
C)
224. Si se cumple:
(
9
C) a4b4
3
219. En un triángulo ABC calcule el mínimo
valor de la expresión:
A)
C) 0,50
222. Sabiendo que la expresión: (asen(x) +
b cos( x))(a cos( x) + bsen(x)) equivale
a: m + nsen(2x); calcule: 4n2 − 2abm.
csc(𝐴) + cot(𝐴)
csc(𝐵) − cot(𝐵)
A) 5
A) 0,125
A)
D)
C)
10
B)
2
4
E)
3
2
3
3
C)
3
4
2
7
10
225. Sabiendo que:
(sec 2(α) − csc 2 (α))sen(2α) = 2
calcule tan(4𝛼)
221. Siendo:
π
π
A = sen ( ) + cos ( ) + 1
24
24
π
π
B = sen ( ) + cos ( ) − 1
24
24
Calcule: 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝜋/12)
1
A)
D)
3
B)
4
−
4
3
4
3
C)
−
3
4
E) −1
35
226. En la figura mostrada se tiene que
AD = 5(DB),
230. Si: (sec(2θ) + 1)(sec(4θ) + 1) = 4.
Calcule el valor de:
calcule 5 cos(4θ) − 2cos(2θ)
sen(5θ)
sen(3θ)
A) 3/4
B) 4/3
D) 5/3
E) 5/2
C) 3/5
231. Sabiendo que:
A) −1
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
sec(α) = csc(β) − cot(β)
tan(α) = csc(θ) + cot(θ)
determine el equivalente de
227. Simplifique:
cos3 (x) csc(x) − sen3 (x)sec(x)
θ
1 + csc 2 ( )
2
A) tan(2x)
B) 2tan(2x)
C) cot(2x)
D) 2cot(2x)
E) cot(4x)
228. Simplifique:
(cot(y) − cot(x))(tan(x) + tan(y))
sen2 (x) − sen2 (y)
β
A) sec 2 ( )
2
β
C) tan2 ( )
2
β
E) 2 csc 2 ( )
2
β
B) csc 2 ( )
2
β
D) cot 2 ( )
2
232. Reduzca la siguiente expresión:
2sen(20°) + sen(40°)
3 + 4 cos(20°) + cos(40°)
A) sen(2x)sen(2y)
B) cos(2x) cos(2y)
C) csc(2x) csc(2y)
D) sec(2x) sec(2y)
E) 4 csc(2x) csc(2y)
A) cot (10°)
B) sen (10°)
C) cos (10°)
D) tan (10°)
E) sec (10°)
229. Siendo α y β las medidas de dos ángulos
agudos, tales que:
tan(x) sec(2x) − csc(2x) + cot(2x)
tan(2x) − tan(x)
sen(x) = tan(y) ; 0 < y < π/4;
simplifique:
sen(2x)cos2 (y)
√cos(2y)
A) 0,5
B) 1
D) 2
E) 2,5
233. Simplifique
C) 1,5
A) 2 sen2 (x)
B) 2 sen (x)
C) 2 cos2 (x)
D) tan2 (x)
E) tan (x) sen (x)
36
234. En un triángulo ABC se tiene que:
tan(A) + tan(B) 3
=
tan(B) + tan(C) 5
Calcule:
A) – 2
B) – 1
D) 1
E) 2
239. Si: cot(2x) = 2
tan(A) + cot(A)
tan(C) + cot(C)
A) 0,2
B) 0,3
D) 0,8
E) 1,2
Calcule:
cot 3 (x) − tan3 (x)
C) 0,6
235. Si la siguiente expresión
4sen(
β) − 4 cos(𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(2β) =
(sen(β) − cos(𝛽) + 𝑁)2 + 𝑀,
A) 72
B) 76
D) 80
E) 82
sen(x)cos 3 (x) − cos(x)sen3 (x)
cot(2x) + tan(2x)
A) sen(2x)
A) 1
B) 3
D) 7
E) 9
C) 5
C) sen
E)
236. Calcule el valor de la expresión
π
π
sen6 (8) + cos6 (8)
π
π
sen4 (8) + cos2 (8)
D)
7
6
11
9
B)
E)
11
7
5
C) 78
240. Simplifique:
es una identidad y β ∈ [0; 2π], calcule
N – M.
A)
C) 0
2 (4x)
B) sen(4x)
sen2 (4x)
D)
4
sen2 (4x)
8
241. Si tan(2β) = 4−1 , calcule:
8 csc(4β) + 15 sec(4β)
C)
5
6
A) 22
B) 28
D) 34
E) 46
C) 32
7
Identidades trigonométricas para el arco
mitad
237. Si: 2cot(x) – tan(2x) = 1+ sec(2x).
Calcule el valor de tan(2x)
242. Si se cumple:
A)
3
4
D) 2
B)
4
3
C)
1
2
E) 3
238. Siendo:
5
, 270° < θ < 360°
12
Calcule el valor de:
tan(θ) = −
θ
sen ( )
2
3 – 8 sen4(x) + cos (4x) = A cos (Bx)
Calcule: A – B
37
A) √13
B) √26
D) −√13
E) −√26
√26
C)
26
𝜋
246. Para un arco 𝛼 ∈ < 0; 2 > se verifica
que:
α
π
1 + 2cot ( ) = cot ( − α)
2
4
calcule el valor de sec(α)
243. Si se cumple:
sec(θ) + tan(θ) = 1/4
A)
θ
tan (45° + )
2
−
1
B)
4
D) 4
E)
1
C) −4
4
1
2
A) 1
B) 2
π
π
( )
E) tan (
D) cos (
7
π
7
A)
D)
8
1
3
C) 2
3
E) 4
247. Si se cumple:
π x
tan ( − ) = sen(θ) … (1)
4 2
π y
tan ( − ) = cos(θ) … (2)
4 2
Calcule el valor de:
7
1
A) −1
B)
D) 1
E) 2
3
C)
1
2
248. Simplifique la expresión:
)
csc(20°) + csc(40°) + csc(80°)
tan(70°)
)
245. Si se cumple:
x
x
tan ( ) + tan ( ) = 2csc(x)
2
4
Calcule el valor de:
x
cos ( )
2
1
4
5
sen(θ) ∙ cos(x) + sen(x)
cos(θ) ∙ cos(y) + sen(y)
244. Simplifique la expresión:
π
π
cot 2 (14) + tan2 (14)
π
π
csc 2 (7 ) + cot 2 (7)
C) sen
B)
D) 3
Calcule el valor de:
A)
5
B)
E)
1
5
1
2
C)
A) −2
B) −1
D) 2
E) 4
C) 1
Identidades trigonométricas para el arco
triple
249. Si:
1
4
3
sen(x) = − ,
4
x ∈ IIIC
Calcule 5√7 tan(3𝑥)
A) – 11
B) – 9
D) – 5
E) – 3
C) – 7
38
250. Si:
254. En la identidad trigonométrica
sen3 (x) cos3 (x) 1
+
=
sec(3x) csc(3x) 4
sen2 (6x) cos 2 (6x)
+
= k(t + 2cos(8x))
sen2 (2x) cos 2 (2x)
calcule la suma de las constantes k y t.
Calcule:
𝑊 = 9cos(8𝑥)
A) 1
B) 3
D) 7
E) 9
C) 5
A) 3
B) 4
C) 5
D) 3√3
E) 4√3
255. Si sen2 (30°) − sen2 (20°) = a y
sen2 (50°) − sen2 (20°) = b
251. Si se cumple:
𝜋 𝑥
tan ( − ) = 1
6 3
entonces el valor de tan(𝑥) es
A) – 3
D)
B) –
1
1
calcule a ∙ b
A)
C) – 1
3
E) 3
3
D)
1
B)
2
1
E)
16
1
C)
4
1
1
8
32
256. Si se cumple que:
3 tan3 (𝜃) − 3 tan2 (𝜃) − 9 tan(𝜃) = −1
252. Simplifique:
𝑊=
calcule tan(3𝜃).
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) csc(𝑥) − sec(𝑥) cos(3𝑥)
tan(𝑥) + cot(𝑥)
𝜋
𝑥 ≠ 𝑘 ,𝑘 ∈ 𝑍
2
A) sen(x)
B) sen(2x)
C) csc(2x)
D) sec(2x)
1
A) 2
B)
D) 3
E) 1
C)
3
1
2
257. Determine el equivalente de:
3
√6𝑐𝑜𝑠(20°) + 1
2
E) sen (x)
253. Si: √3(sen(x) + cos(x)) = 1,
calcule
A) 2cos(20°)
B) 4cos(20°)
C) 6cos(20°)
D) 2cos(40°)
E) 4cos(40°)
sen(6x)
258. Calcule el valor de:
A)
D)
11
B)
27
−
22
27
E)
−
11
27
C)
22
27
sen3 (36°) − sen3 (24°)
sen(6°) cot( 30°)
23
27
A) 0,25
B) 0,50
D) 1,00
E) 1,25
C) 0,75
39
259. Si se cumple:
263. Simplifique
csc( 10°) + 1
=m
csc( 50°) + 1
𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
(
−
) (𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2 cos(2𝑥) − 1 2 cos(2𝑥) + 1
+ cos(𝑥))
Calcule:
6 cos( 40°) − 1
cos( 80°) cos2 ( 20°)
A) m
B) 2m
C) 4m
D) 8m
E) 16m
A) sen(2x)
B) cos(2x)
C) tan(2x)
D) sec(2x)
E) csc (2x)
264. Calcule el mínimo valor de
260. Simplifique la siguiente expresión
sen(3θ)
sen2 (θ) sen(3θ)
(
+
)(
− 2)
sen(θ) cos( θ) cos( θ)
sen(θ)
A) 3sen(3θ)
B) 3 cos( 3θ)
C) 3sen(2θ)
D) 3 cos( 2θ)
E) 3sen(θ)
csc 3 (x) sen(3x) − sec 3 (x) cos(3x)
A) 2
B) 4
D) 8
E) 10
C) 6
265. Si se cumple que:
sen(6𝜃)
𝜋
2𝜋
4𝜋
= 3 cot ( ) cot ( ) cot ( )
sen(2𝜃)
9
9
9
261. Calcule el valor de:
Calcule: tan(4𝜃) cot(2𝜃)
𝑡𝑎𝑛( 57°30′) 𝑐𝑜𝑡( 27°30′)
𝑐𝑜𝑡( 2°30′)
A) sen(18°)
B) cos(36°)
C) tan(15°)
D) cot(15°)
E) cos(75°)
A) √6 − 2 − √3 + √2
B) √6 + 2 − √3 + √2
Transformaciones trigonométricas
C) √6 + 2 − √3 − √2
D) √6 + 2 + √3 − √2
266. Simplifique e indique una expresión
equivalente de:
E) √6 − 2 + √3 + √2
262. En
la
siguiente
trigonométrica:
𝑠𝑒𝑛3 (𝑥) +
identidad
𝑠𝑒𝑛3 (3𝑥) 𝑠𝑒𝑛3 (9𝑥)
+
3
9
= 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(27𝑥)
Calcule A/B
A) −27
B) −18
D) −9
E) −3
C) −12
cos(θ) − sen(2α − θ)
sen(θ) + cos(2α − θ)
π
A) tan ( + α)
4
π
C) tan ( − α)
4
π
E) tan ( + θ)
4
π
B) cot ( − α − θ)
4
π
D) cot ( + θ)
4
40
267. En un triángulo rectángulo las
longitudes de sus catetos están dados
por:
(2sen(50°) − 1)u
y
(2 cos( 50°) + √3)u. Calcule la medida
del menor los ángulos de dicho
triángulo rectángulo.
A) 10°
B) 20°
D) 30°
E) 40°
C) 25°
271. Calcule el valor de
csc( 70°) + csc( 50°) + csc( 10°)
1 + 4 cos( 40°)
A) 4
1
D)
2
B) 2
1
E)
4
C) 1
272. En un triángulo ABC, transformar a
producto la siguiente expresión:
268. Simplifique:
sen(2A) − sen(2B) + sen(2C)
3 + 4sen2 (60° + x) − 4sen2 (x)
1 + 4sen2 (60° + x) − 4cos2 (x)
A) 4sen(A)sen(B)sen(C)
B) 4sen(A) cos( B)sen(C)
A) tan(x)
B) cot(x)
C) √3 tan(x)
D) √3 cot(x)
C) 4 cos( A)sen(B) cos( C)
E) √3
E) 4 cos( A) cos( B) cos( C)
269. Si sen(𝑥) = 1⁄√6, calcule el valor de:
cos 4 (𝑥) − sen4 (𝑥) − cos(4𝑥)
sen(5𝑥) + sen(𝑥)
A)
√6
5
D) √6
D) 4sen(A)sen(B)sen(C)
B)
√6
4
C)
√6
2
E) 2√6
270. Elimine α de las siguientes igualdades:
sen(α) sen(3α) sen(5α)
=
=
a
b
c
A) b (a + b) = c
B) b ( b − a) = ( a + c)c
C) c(a + b) = ab
D) ab = a + b + c
273. En un triángulo ABC la siguiente
expresión:
π
π
π
cos ( + A) + cos ( + B) − cos ( + C)
2
2
2
Es igual a:
A
B
C
M ∙ sen( )sen( )cos( )
2
2
2
Calcule M
A) 4
B) 2
D) −2
E) −4
C) −1
274. Si A, B y C son las medidas de los
ángulos internos de un triángulo,
reduzca:
1 + cos(2A) + cos(2B) + cos(2C)
sen(2A) + sen(2B) − sen(2C)
E) c (b + c ) = ( a + c )( a + b)
A) tan(C)
B) −tan(C)
C) cot(C)
D) −cot(C)
E) −sec(C)
41
275. El equivalente de:
2sen(20°) + √3sen(10°) es
A) sen (10°)
B) sen (20°)
C) sen (50°)
D) sen (70°)
E) sen (80°)
276. Calcule el valor de:
4𝑠𝑒𝑛(50°) − csc(70°)
−
A) −1
B)
D) 1
E) 2
1
2
C)
A) 16
B) 19
D) 27
E) 31
280. Calcule el máximo valor de la expresión:
cos(5x)
− cos(4x) + cos(2x) − cos(x)
2 cos(x)
A) 0,75
B) 1,00
D) 1,50
E) 0,50
277. Si  es la medida de un ángulo agudo y
cumple:
√3 cos( 20°) + √2sen(5°)
2sen(θ) =
cos( 25°)
281. Al reducir la sumatoria:
sen (2°) + sen (4°) + sen (6°) + … + sen
(88°) se obtiene:
M cos (46°) . csc (1°)
Calcule el valor de: 2M2 + 1
A) 1
Calcule .
D)
A) 15°
B) 20°
D) 55°
E) 75°
C) 25°
4
D) 1
B)
5
3
2
C) 2
E) 3
2
sen(18°) + sen(36°) + sen(54°) + ⋯
(6 + 2√5). 𝑐𝑜𝑠( 84°). 𝑠𝑒𝑛(54°)𝑠𝑒𝑛(66°)
2 𝑐𝑜𝑠( 24°). 𝑐𝑜𝑠( 12°) − 𝑠𝑒𝑛(78°)
1
B)
282. Reduzca la siguiente suma de 89
términos:
278. Calcule el valor de:
A)
C) 1,25
Series trigonométricas
1
2
C) 23
1
2
C)
3
A) tan(9°)
B) cot(9°)
C) cot(18°)
D) tan(4°30′ )
E) cot(4°30′ )
2
E) 2
279. Si:
16cos5(x) = A.cos(x) + B.cos(3x) +
C.cos(5x).
283. Calcule:
π
3π
5π
) + cos4 ( ) + cos 4 ( )
14
14
14
cos4 (
A)
Determine el valor de A + 2B + 3C.
D)
21
13
21
16
B)
E)
21
14
21
C)
21
15
17
42
284. Calcule el
sumatoria:
valor
de
la
siguiente
288. Simplificar la siguiente sumatoria:
sen2 (3°) + sen2 (4°) + sen2 (5°) + ⋯
+ sen2 (87°)
π
2π
3π
sen ( ) + sen ( ) + sen ( ) + ⋯
n
n
n
(n − 1)π
+ sen (
)
n
A) cot(𝜋/4𝑛)
B) tan(𝜋/4𝑛)
C) cot(𝜋/2𝑛)
D) tan(𝜋/2𝑛)
A) 41
B) 42
D) 43
E) 43,5
C) 42,5
289. Simplifique:
E) cot(𝜋/𝑛)
π
2π
3π
) + 2sen ( ) + 3sen ( ) + ⋯
13
13
13
12π
+ 12sen (
)
13
sen (
285. Calcule el
expresión.
valor
de
la
siguiente
cos2 (2°) + cos 2 (6°) + cos2 (10°) +
… … … + cos2 (82°) + cos2 86°
A) 11,75
B) 11,50
D) 10,75
E) 10,25
C) 11,25
286. Dadas las expresiones:
4π
10π
12π
R = sen ( ) + sen (
) + sen (
)
13
13
13
2π
6π
18π
L = sen ( ) + sen ( ) + sen (
)
13
13
13
Calcule R ∙ L
11
π
cot ( )
2
26
15
3π
C)
cot ( )
2
26
13
π
E)
tan ( )
2
26
A) √13
D)
√13
8
E)
√13
C)
4
sen(12°)sen(24°)sen(36°) … sen(84°)
A)
D) √7
E) 2√7
E)
√13
256
1
C)
1
128
64
Calcule 𝐴 ∙ 𝐵.
Evalúe E(π/7)
A) −√7
256
B)
2𝜋
5𝜋
7𝜋
𝐴 = tan ( ) + tan ( ) − tan ( )
13
13
13
𝜋
3𝜋
4𝜋
𝐵 = tan ( ) + tan ( ) − tan ( )
13
13
13
1 − sec(4x)
csc(2x) + cot(2x)
√7
B) −
2
√15
128
1
291. Dadas las expresiones:
√13
16
287. Si:
E(x) =
B)
290. Calcule:
D)
√13
B)
2
13
π
cot ( )
2
26
17
π
D)
cot ( )
2
26
A)
√7
C)
2
A) √13
B) −√13
D) 13
E) – 13
C) 1
43
Funciones trigonométricas
292. Obtenga el valor de 𝐴 ⋅ 𝐵, si:
π
2π
π
) (cos ( ) + cos ( ))
13
13
13
2π
6π
π
B = 4sen ( ) (cos ( ) + cos ( ))
13
13
13
A = 4sen (
A) −√13
B) √13
D) −√11
E) 26 √13
C) √11
293. Calcule el valor de la expresión:
π
3π
cot(11)cot(11)
D)
B) √11
√11
4
E)
C)
A) ℝ − {kπ}
B) ℝ − {kπ/5}
C) ℝ
D) ℝ − {5kπ}
E) ℝ − {2kπ/5}
5π
4π
2π
tan (11 ) + tan (11 ) + tan(11 )
A) 2√11
296. Determine el dominio de la función f,
definida
por:
sen(2x) + sen(x)
f(x) =
; ∀k ∈ ℤ
sen(5x)
√11
11
√11
8
297. Determine el rango de la función f
definida por: f(x) = sen(√x − π)
A) [−1; 1]
B) [−1; 0]
D) {1}
E) {0}
C) [0; 1]
298. Calcule el dominio de la función f,
definida por la siguiente regla de
correspondencia
294. Calcule el valor de 𝑎 ∙ 𝑏
Siendo:
f(x) =
a = tan(72°) + tan(12) − tan(84°)
cos( 3x)
sen4 (πx) − 1
sen6 (x) + cos6 ( x)
πx
πx 2
(sen( 2 ) + cos( 2 )) − 1
− 2; (n ∈ Ζ)
+
b = tan(36°) + tan(24°) − tan(60°)
A) √15 ∙ tan(42°)
B)√3 ∙ tan(42°)
C) √5 ∙ tan(48°)
D)√15 ∙ tan(48°)
E) √5 ∙ tan(42°)
A) ℝ − {n/4}
B) ℝ − {n/2}
C) ℝ − {2n + 1}
D) ℝ − {n}
E) ℝ − {2n}
295. Calcule:
299. Calcule la diferencia entre los valores
máximo y mínimo de la función definida
por:
2π
4π
8π
cos ( ) + cos ( ) + cos ( )
17
17
17
16π
+ cos (
)
17
√17 − 1
4
√17 + 1
D)
8
A)
√17 + 1
4
√17 + 3
E)
4
B)
C)
√17 − 1
8
f(x) = 2cos(x)(cos(x)– sen(x))– 1;
π
5π
≤x≤
2
8
A) √3
D) 1
B) 2√2
1
E)
2
C) √2
44
300. Determine el dominio de la función
definida por:
1
2
𝑓(𝑥) =
+
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
3
−
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1
Considere: 𝑘 ∈ ℤ
A) ℝ − {2kπ}
kπ
}
2
kπ
E) ℝ − { }
4
C) ℝ − {
B) ℝ − {kπ}
D) ℝ − {
kπ
}
3
301. Determine el dominio de la función f,
definida por:
f(x) =
cos(x) + 1
; k ∈ ℤ.
cos(2x) − 1
A) ℝ − {kπ/2}
B) ℝ − {kπ/5}
C) ℝ − {kπ}
D) ℝ − {2kπ}
E) ℝ − {(2k + 1)π/4}
304. Dada la función f, definida por
sen(4x)
,n ∈ ℤ
1 − sen(4x) + cos(4x)
f(x) =
determine el complemento del dominio
de f.
π
A) {(4n + 1) }
4
π
B) {(2n + 1) }
4
π
π
C) {(2n + 1) } ∪ {(4n + 1) }
4
8
π
π
D) {(2n + 1) } ∪ {(2n + 1) }
2
4
π
E) {(4n + 1) }
8
305. Determine el dominio de la función f,
definida por:
f(x) =
A) ℝ − {
302. Determine el rango de la función f,
definida por:
f(x) = (cos(x) + 1)2 + (cos(x) − 1)2
Indicando como respuesta la suma de
los valores enteros que contiene.
sen(x) + cos(x)
;k ∈ ℤ
1 − sen(x) + cos(x)
(4k + 1)π
}
2
B) ℝ − {(2k + 1)π} ∪ {kπ}
C) ℝ − {
(4k + 1)π
} ∪ {(2k + 1)π}
2
D) ℝ − {2kπ}
E) ℝ − {kπ}
A) 6
B) 7
D) 9
E) 10
C) 8
306. Determine el rango de la función f,
definida por:
303. La función f está definida por:
𝒇(𝒙) =
πx 3
f(x) = sen ( 6
)
2x + 2
|𝟐 − 𝐬𝐞𝐧(𝒙) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)| + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
.
|𝐬𝐞𝐧(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝟑| + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
A) [3⁄4 ; 1]
Su rango es: [m, M]. Calcule 2M – 4m
B) [1⁄2 ; 3⁄4]
C) [1⁄4 ; 1⁄2]
A) −2√2
B) √2
D) √2
E) 3√2
C) 0
D) [0; 1⁄4]
E) [0; 1⁄2]
45
307. La gráfica mostrada corresponde a la
función con regla de correspondencia
f(x) = sen(x), ABCD es un cuadrado, tal
que A y B pertenecen a la gráfica de f y
Q es un punto en f de máxima ordenada.
π
C) ℝ − {(2k + 1) } , k ∈ ℤ
4
kπ
D) ℝ − { } , k ∈ ℤ
8
π
E) ℝ − {(2k + 1) } , k ∈ ℤ
8
310. Sea la función f definida por
𝑓(𝑥) =
2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − cos(3𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥
cos(𝑥)
Calcule el mínimo valor de f.
Calcule 𝜋𝑥𝑜 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑜 )
A) π2 − 𝜋
B) 2π2 − 𝜋
C) π2 + 2𝜋
D) π2 − 2𝜋
A) – 1
B) – 2
D) 3
E) 1
C) – 3
311. Determine el dominio de la función f,
definida por
𝑓(𝑥) =
1
,𝑛 ∈ ℤ
𝑐𝑜𝑡( 𝑥) − 𝑡𝑎𝑛( 𝑥)
E) 2π2 + 𝜋
𝜋
A) ℝ − {(2𝑛 + 1) 4 }
308. Dada la función f definida por:
f(x) = √2 ∙ sen3 (x) − cos(x),
Donde para x ∈ ⟨7π/6; 3π/2⟩ se tiene
que f ∈ ⟨a; b⟩, calcule 8b − a
B) ℝ − {𝑛𝜋}
𝜋
C) ℝ − {(2𝑛 + 1) 2 }
𝑛𝜋
D) ℝ − { 4 }
𝑛𝜋
A) 5√3
B) 4√3
D) 2√3
E) √3
C) 3√3
309. Dada la función f definida por:
𝑓(𝑥) =
5 (𝑥)
5
𝑠𝑒𝑛
+ cos (𝑥)
+ 𝑡𝑎𝑛(4𝑥)
3
cot (𝑥) − tan3 (𝑥)
Determine el dominio de f.
kπ
A) ℝ − { } , k ∈ ℤ
2
kπ
B) ℝ − { } , k ∈ ℤ
4
E) ℝ − { 2 }
312. Determine el dominio de la función f,
definida por:
π
3x π
f(x) = 2sen (x − ) + 3 tan ( + )
3
4 3
A) ℝ − {(8n + 3)
4π
};n ∈ ℤ
9
nπ
B) ℝ − { } ; n ∈ ℤ
12
2π
C) ℝ − {(4n + 1) } ; n ∈ ℤ
9
46
316. Determine el rango de la función f,
definida por
5π
};n ∈ ℤ
18
2π
E) ℝ − {(6n + 1) } ; n ∈ ℤ
9
D) ℝ − {(4n + 1)
f(x) = 3sen(x) − cos( x) + tan( x);
π
x ∈ ⟨0, ⟩
4
313. Determine el rango de la función f
definida por:
2
𝑓(x) = 4 +
(1 + tan(x))
3π
⟨π;
⟩
;
x
∈
1 + tan2 (𝑥)
2
A) ⟨5; 6]
B) [5; 6]
D) ⟨4; 6]
E) ⟨5; 6⟩
C) [5; 6⟩
√3sen(x) + √5 cos(x)
; n∈ℤ
x
sen [sen {π cos (2)}]
𝜋
D) ⟨−1; √2 − 1⟩
B) ⟨−1; √2 − 1]
E) ⟨−1; √2 + 1⟩
C) ⟨√2 − 1; √2 + 1⟩
314. Determine
los
puntos
de
discontinuidad de la función f definida
por:
f(x) =
A) [−1; √2⟩
317. Determine el rango de la función f,
definida por:
x
f(x) = cot 2 ( x) + 2 cot( x) tan ( )
2
x
π π
2
+ sec ( ) − 1; x ∈ ⟨ , ⟩
2
6 4
A) ⟨0; 4⟩
B) ⟨1; 4⟩
D) ⟨3; 4⟩
E) ⟨3; +∞⟩
318. Determine el rango de la siguiente
función f, definida por:
A) {(2𝑛 + 1) 2 }
B) {𝑛𝜋}
C) {2𝑛𝜋}
D) {(4𝑛 + 1) 2 }
𝜋
𝜋
E) {(4𝑛 + 3) 2 }
C) ⟨2; 4⟩
f(x) =
cos(x) tan(x) + 2sen(x)
+1
tan(x)
A) ⟨−2; 1⟩  ⟨1; 4⟩
315. Dada la función f, definida por:
4
6
𝑓(𝑥) = √1 − tan(𝜋𝑥) + √1 + tan(𝜋𝑥)
B) ⟨−2; −1⟩  ⟨−1; 4⟩
C) ⟨−1; 0⟩  ⟨0; 4⟩
Determine el dominio de la función, si
D) ⟨−2; −1⟩  ⟨−1; 2⟩
1 1
𝑥 𝜖 ⟨− ; ⟩
2 2
E) ⟨−2; 2⟩  ⟨2; 4⟩
1 1
A) ⟨− ; ⟩
2 2
1 1
C) ⟨− ; ⟩
3 2
1 1
E) [− ; ]
3 3
1 1
B) ⟨− ; ⟩
4 4
1 1
D) [− ; ]
4 4
319. Determine el rango de la función f,
definida por
3 − sec 2 ( x) ⋅ csc 2 ( x)
f(x) = 1 +
cot 2 ( x) + tan4( x)
A) ⟨0; 1⟩
B) [−1; 0]
C) [0; 1]
D) ⟨0; 2⟩
1
E) ⟨−1; 0⟩
47
320. Determine el dominio de la función f,
definida por:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐( 𝑥) + 2 𝑐𝑠𝑐( 2𝑥)
+ 4 𝑐𝑠𝑐( 4𝑥); 𝑘 ∈ ℤ
A) [1; +∞⟩
B) ⟨1; +∞⟩
C) [0; +∞⟩
D) [1; 2⟩
E) ⟨0; 1⟩
324. Dada la función f, definida por:
𝑘𝜋
A)
{ }
B)
{ }
4
𝑘𝜋
f(x) =
Determine
los
discontinuidad.
2
C) ℝ − {
𝑘𝜋
4
𝜋
E) ℝ − {
2
puntos
de
}
D) ℝ − {(2𝑘 + 1) 4 }
𝑘𝜋
sen(6x)tan(2x)
, ∀k ∈ ℤ
sec 2 (x) − 1
}
𝑘𝜋
𝑘𝜋
A)
{ }
B)
C)
{ }
D) {2𝑘𝜋}
5
𝑘𝜋
2
{ }
4
E) {(2𝑘 + 1)𝜋⁄4}
321. Sea f la función definida por:
f(x) =
cos( x) − sen(x)
,k ∈ ℤ
| csc( x)| − | sec( x)|
325. Determine el rango de la función f,
definida por:
determine los valores de x donde la
función es discontinua.
f(x) =
csc(2x) + csc(2x) sec(2x)
tan(2x) cot(x)
A) ℝ − ⟨−1; 1⟩
A)
D)
𝑘𝜋
{ }
8
𝑘𝜋
{ }
2
B)
𝑘𝜋
{ }
6
C)
𝑘𝜋
{ }
4
B) ℝ − [−1; 1]
C) ℝ − {⟨−1; 1⟩ ∪ {±√2}}
E) {𝑘𝜋}
D) ℝ − {[−1; 1] ∪ {±√2}}
322. Determine el valor mínimo de la
función f, definida por:
f(x) = | csc( x)|(| csc( x)| + 2)
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
E) ℝ − [−√2; √2]
326. Calcule el dominio de la función f,
definida por
f(x) = 2 csc(πsen2 (x)) + 1, k ∈ ℤ
A) ℝ − {𝑘𝜋}
𝑘𝜋
323. Determine el rango de la función f,
definida por
f(x) = tan4( x) + sec 4 ( x)
B) ℝ − { 2 }
𝑘𝜋
C) ℝ − { 4 }
D) ℝ − {(2𝑘 + 1)𝜋}
𝜋
E) ℝ − {(2𝑘 + 1) 2 }
48
327. Calcule el rango de la función f, definida
por
330. Dada la función f, definida por:
f(x) = sec(x) + csc(x) + 2; x ∈ [
f(x) = 4|sen(x)| csc( 2x)
2π 3π
; ]
3 4
Determine el Ran(f)
A) ℝ − ⟨−2; 2⟩
D) ℝ − [−2; 2]
B) ℝ − ⟨−1; 1⟩
E) ℝ − [−1; 1]
C) [−2; 2]
A) [2; +∞⟩
B) [√2; 2]
C) [2√3/3; 2]
D) [√3/2; 3]
E) [2√2; +∞⟩
328. La gráfica mostrada corresponde a la
función f, definida por 𝑓(𝑥) = 3 csc(2𝑥)
331. Determine el dominio de la función f,
definida por:
f(x) =
sen(3x)
2 csc(2π cos( 2x)) + 1
cos( 2x)
+
2|sen(2x)| − 1
π
} ; ∀n ∈ ℤ
12
π
B) ℝ − {(2n − 1) } ; ∀n ∈ ℤ
6
nπ
C) ℝ − { } ; ∀n ∈ ℤ
12
nπ
D) ℝ − { } ; ∀n ∈ ℤ
6
nπ
E) ℝ − { } ; ∀n ∈ ℤ
4
A) ℝ − {(2n + 1)
Calcule tan(2cot(𝜃))
A) √2
B) √2 + 2
D) 1
E) √3 − 1
C)
√3
3
329. Determine el rango de la función f
definida por:
𝑓(𝑥) =
4 + 𝑠𝑒𝑐 2( 𝑥)
1 + 𝑠𝑒𝑐 2( 𝑥)
332. Sea la función f definida por:
x
x
f(x) = |sen ( )| + |cos ( )|
2
2
Donde a es el mínimo valor de f, b el
máximo valor de f y T el periodo
mínimo de f.
Calcule:
A) [1; 5/2⟩
B) [1; 4⟩
C) [√2; +∞⟩
D) [−3; +∞⟩
2𝑇
(2𝑏 2 + 3𝑎)
𝜋
E) ⟨1; 5/2]
A) 8
B) 10
D) 14
E) 16
C) 12
49
333. Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por:
x
π
f(x) = 3 |sen ( + )| − 1
2n n
nx nπ
g(x) = 4 cos 3 ( − ) + 3
9
6
+
Si 𝑛 ∈ ℤ y ambas funciones tienen el
mismo periodo, calcule el valor de n.
A) 1
B) 3
D) 9
E) 12
336. Las gráficas mostradas corresponden a
las funciones f y g cuyas reglas de
correspondencia son:
f(x) = k ∙ sen(ax) y g(x) = k ∙ cos(bx)
C) 6
334. Dada la función f definida por:
1
x
1
x
f(x) = cos( x) + cos ( ) + cos ( )
2
2
3
3
Calcule el periodo mínimo de f.
A) 4𝜋
B) 6𝜋
D) 12𝜋
E) 18𝜋
C) 10𝜋
335. Dada la gráfica de la función f definida
por:
Calcule el área de la región triangular
ABC (en u2 ).
D)
𝜋
12
2𝜋
3
B)
E)
𝜋
3
5𝜋
6
C)
A)
D)
𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − √3 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
A)
Determine la diferencia de las abscisas
de los puntos B y A (en ese orden) .
3𝜋
8
7𝜋
8
B)
𝜋
2
C)
5𝜋
8
E) 𝜋
337. La gráfica mostrada corresponde a la
función f, de regla de correspondencia
igual a: 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝜋
2
Calcule su amplitud.
50
A) sen (
π
10
π
2π
B) cos ( )
5
π
D) csc ( )
5
)
C) csc ( )
10
2π
E) sec ( )
5
338. Dada la gráfica de la función f definida
por: 𝑓(𝑥) = 4 ∙ cos(𝑥) − 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Calcule el área de la región triangular
ABC (en u2 ).
A) √3
D)
3
2
B)
E)
√3
2
3
C)
1
2
4
340. La distribución diaria (en horas) de luz
solar durante el año en Lima está dada
por la función:
2π
(t − 54)) + 11;
𝑓(t) = sen (
365
0 ≤ t < 365
A) 2𝜋
D)
7𝜋
2
B)
5𝜋
2
C) 3𝜋
E) 4𝜋
339. En la figura se muestra las gráficas de
las funciones f y g definidas por:
Donde t es el número de días
transcurridos desde el inicio del año.
Determine en que fecha del año se tiene
la menor cantidad de luz.
A) 29 de noviembre
B) 24 de noviembre
f(x) = sen(2x) y g(x) = k ∙ cot(x)
C) 27 de noviembre
Calcule el valor de k, si ABCD es un
cuadrado cuya área es 3u2 .
D) 20 de noviembre
E) 15 de noviembre
51
341. El crecimiento poblacional de un tipo de
ave amazónica se modela por la función
N, definida por:
N(t) = 103 (2 cos( Bt) + 5)aves , t en
años, con fluctuaciones periódicas de 7
años. Determine el menor tiempo en
que la población será de 6000 aves.
344. Dada la función f definida por:
f(x) = vers(2x) − cov(x)
Determine el rango de f.
A) [−9/8; 2 ]
B) [−9/8; 1 ]
C) [−9/16; 2 ]
D) [−2; 9/8 ]
E) [−1; 9/16 ]
A) 3 años y 4 meses
B) 3 años y 6 meses
345. Dada la función f definida por:
C) 2 años y 5 meses
2
f(x) = (vers(8x)) + (cov(8x))
D) 1 año y 2 meses
2
De amplitud igual a A y periodo
principal igual a T, calcule: Asen(T).
E) 4 años y 3 meses
342. Dada la función f definida por
3
4
f(x) =
+
exsec(2x) 1 − vers(x)
A) 4
B) 2
D) −2
E) −4
C) 2√2
Determine su dominio.
346. Dada la función f definida por:
A) ℝ − {kπ}, k ∈ ℤ
f(x) =
B) ℝ − {(2k + 1)π/4}, k ∈ ℤ
cov(2x)
vers(x) − cov(x)
Determine el rango de f.
C) ℝ − {(2k + 1)π/2}, k ∈ ℤ
D) ℝ − {kπ/4}, k ∈ ℤ
A) [−1; 1 ]
E) ℝ − {kπ/2}, k ∈ ℤ
B) [−√2; √2 ]
C) ⟨−√2; √2 ⟩
343. Dada la función f definida por:
f(x) =
cov(2x)
π 3π
, x∈⟨ ; ⟩
vers(2x)
4 4
D) [−√2; √2 ] − {0}
E) [−1; 1 ] − {√2}
Determine su rango.
347. Dada la función f definida por:
A) ⟨0; 1⟩
B) ⟨0; 2⟩
D) ⟨0; 4⟩
E) ⟨1; 4⟩
C) ⟨1; 3⟩
f(x) = (vers(3x) − cov(4x))(cov(3x)
− vers(4x))
Determine los valores de x no
cuadrantales para los cuales f
intercepta al eje de abscisas.
52
π
;k ∈ ℤ
7
π
(4k + 1)
;k ∈ ℤ
14
π
(2k + 1) ; k ∈ ℤ
7
π
(2k + 1)
;k ∈ ℤ
14
2πk
;k ∈ ℤ
7
349. En la figura se tiene la gráfica de la
función f, definida por: f(x) = vers(x).
Si AB = BC, calcule el área (en u2 ) de la
región rectangular sombreada.
A) (4k + 1)
B)
C)
D)
E)
348. Dada la función f definida por:
f(x) =
vers(x) cov(4x)
+
cov(2x) vers(8x)
Determine
los
puntos
discontinuidad que presenta f.
A) kπ/2, k ∈ ℤ
B) kπ/4, k ∈ ℤ
C) (2k + 1)π/2, k ∈ ℤ
A) 𝜋
de
D)
3𝜋
2
B)
2𝜋
C)
3
4𝜋
3
E) 2𝜋
350. Dada la función f definida por:
4
f(x) = (vers(x) − cov(x)) − 2cov(2x)
Determine su rango.
D) (4k + 1)π/2, k ∈ ℤ
E) (4k − 1)π/2, k ∈ ℤ
A) [−√2; √2]
B) [−1; 0]
C) [0; 1]
D) [−√2; 0]
E) [0; √2]
53