Fundamentos de Ingeniería de Confiabilidad Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad Sesión 2: Distribuciones de probabilidad en Ingeniería de Confiabilidad Sesión 3: Análisis de datos en Confiabilidad Sesión 4: Aplicaciones de Ingeniería de Confiabilidad con Minitab® Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad • Función de densidad de probabilidad PDF • Función de distribución acumulada CDF • Distribución normal • Distribución t • Distribución F • Distribución Chi cuadrada Al término de esta sesión, Ud. podrá: • • • • • • Emplear las distribuciones continuas en el análisis estadístico: Distribución normal Distribución t Distribución F Distribución Chi cuadrada Usar Minitab para analizar datos Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad • Distribución normal Función de densidad de probabilidad PDF • La función de densidad de probabilidad (PDF) de una variable aleatoria, X, permite calcular la probabilidad de un evento de la siguiente manera: • Para las distribuciones continuas, la probabilidad de que X tenga valores en un intervalo (a, b) es precisamente el área por debajo de su PDF en el intervalo (a, b). • Para las distribuciones discretas, la probabilidad de que X tenga valores en un intervalo (a, b) es exactamente la suma de la PDF (también denominada función de masa de probabilidad) de los posibles valores discretos de X en (a, b). Referencia: Minitab® Software Estadístico Función de densidad de probabilidad PDF • Utilice la PDF para determinar el valor de la función de densidad de probabilidad en un valor conocido de x de la variable aleatoria X. Referencia: Minitab® Software Estadístico Función de distribución acumulada CDF • La función de distribución acumulada (CDF) calcula la probabilidad acumulada para un valor dado de x. Utilice la CDF para determinar la probabilidad de que una observación aleatoria que se tome de la población sea menor que o igual a cierto valor. También puede usar esta información para determinar la probabilidad de que una observación sea mayor que cierto valor o se encuentre entre dos valores. Referencia: Minitab® Software Estadístico Función de distribución acumulada CDF • Para distribuciones continuas, la CDF proporciona el área por debajo de la función de densidad de probabilidad, hasta el valor de x que usted especifique. • Para distribuciones discretas, la CDF proporciona la probabilidad acumulada para los valores de x que usted especifique. Referencia: Minitab® Software Estadístico La distribución normal • La distribución normal es la distribución estadística más común debido a que la normalidad aproximada ocurre naturalmente en muchas situaciones de mediciones físicas, biológicas y sociales. • Muchos análisis estadísticos presuponen que los datos provienen de poblaciones distribuidas normalmente. Referencia: Minitab® Software Estadístico La distribución normal • La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución más conocida • Tiene Media = Mediana = Moda • La Media m, es también su parámetro de localización • La PDF normal tiene forma de una campana con simetría sobre su media • La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana” y esta forma no cambia • La desviación estándar s, es el parámetro de escala de la PDF normal La distribución normal • La distribución normal es una distribución continua que se especifica por la media (μ) y la desviación estándar (σ). • La media es el centro de la curva en forma de campana. • La desviación estándar determina la dispersión de la distribución. Referencia: Minitab® Software Estadístico La distribución normal • La función de densidad de probabilidad (PDF) es: media = μ varianza = σ 2 desviación estándar = σ exp=base del logaritmo natural=2.71828 0.4 0.3 Densidad • • • • Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.2 0.1 0.0 -3 -2 -1 0 X Referencia: Minitab® Software Estadístico 1 2 3 La distribución normal Función de densidad de probabilidad normal 0.0140 0.0120 µ = 500 σ = 30 σ = 50 σ = 70 f(t) 0.0100 0.0080 0.0060 0.0040 0.0020 0.0000 200 400 600 Tiempo 800 1000 La distribución normal • La función de distribución acumulada (CDF) es: media = μ varianza = σ 2 desviación estándar = σ exp=base del logaritmo natural=2.71828 Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4 0.3 Densidad • • • • 0.2 0.1 0.0 0.4 -0.2533 0 X Referencia: Minitab® Software Estadístico La distribución normal • En la siguiente gráfica de una distribución normal, aproximadamente: • el 68.3% de las observaciones está dentro de +/- 1 desviación estándar de la media • el 95.4% está dentro de +/- 2 desviaciones estándar de la media (como muestra el área sombreada) • y el 99.73% está dentro de +/- 3 desviaciones estándar de la media. Referencia: Minitab® Software Estadístico La distribución normal 68.3% 95.4% 99.73% Desviaciones estándar - 4σ - 3σ - 2σ -1σ 0 1σ 2σ 3σ 4σ Distribución normal estándar • La conversión de una observación a un valor Z se denomina estandarización. • Para estandarizar una observación de una población, reste la media de población a la observación de interés y divida el resultado entre la desviación estándar de la población. • El resultado de estos cálculos es el valor Z asociado con la observación de interés. 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 𝑧𝑧 ̶ = 𝜎𝜎 Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución Normal Estándar La Distribución Normal Estándar, se conoce como distribución z y tiene: 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 𝜇𝜇 = 0 𝑧𝑧 ̶ = 𝜎𝜎 𝜎𝜎 = 1 Donde z es el número de desviaciones estándar de la media. -3σ -2σ -1σ µ 1σ 2σ 3σ Tabla de distribución normal estándar Conversión de las mediciones en unidades z Ejemplo: Diámetro de barreno 𝜇𝜇 = 10 cm 𝜎𝜎 = 2.5 cm y = 10.0 days σ = 2.5 days 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 Centímetros Escala z -3σ -2σ -1σ µ 1σ 2σ 3σ Determinación de los valores z correspondientes • ¿Que porcentaje de los diámetros tienen 12 ó más centímetros? 𝜇𝜇 = 10 Cm 𝜎𝜎 = 2.5 Cm ? 12.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 Centímetros Escala -3σ -2σ -1σ µ 1σ 2σ 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 12.0 − 10.0 2.0 𝑧𝑧 ̶ = = = 𝜎𝜎 2.5 2.5 = 0.80 3σ z Tabla de distribución normal estándar Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Uso de la tabla z 𝜇𝜇 = 10 Cm 𝜎𝜎 = 2.5 Cm 21% 12.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 -3σ -2σ -1σ 𝑧𝑧 ̶ = z = 0.80 µ 0.8 1σ 2σ 3σ 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 12.0 − 10.0 2.0 = = = 0.80 𝜎𝜎 2.5 2.5 P = 0.2119 de la Tabla z Días Escala Z Uso de la tabla z Gráfica de distribución Normal, Media=10, Desv.Est.=2.5 0.18 0.16 0.14 Densidad 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.2119 0.02 0.00 10 X 12 Referencia: Minitab® Software Estadístico Uso de la tabla z • Utilizando el ejemplo anterior, determinar qué porcentaje de diámetros tienen 15 cm. o mas. 𝜇𝜇 = 10 Cm = 10.0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜎𝜎 = 𝑦𝑦2.5 Cm ? 𝜎𝜎 = 2.5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 Días 15.0 Escala z -3σ -2σ -1σ 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 = 𝜎𝜎 𝑍𝑍 = 15 − 10 =2 2.5 µ 1σ 2σ P= 3σ 2.28% Tabla de distribución normal estándar Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Uso de la tabla z Gráfica de distribución Normal, Media=10, Desv.Est.=2.5 0.18 0.16 0.14 Densidad 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02275 10 X Referencia: Minitab® Software Estadístico 15 Uso de la tabla z • Utilizando el ejemplo anterior, determinar qué porcentaje de diámetros tienen 5 cm. o menos. ? 𝜇𝜇 = 10 Cm 𝜎𝜎 = 2.5 Cm 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 Días 5.0 Escala z -3σ -2σ -1σ 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 = 𝜎𝜎 𝑍𝑍 = 5 − 10 = −2 2.5 µ 1σ 2σ P= 3σ 2.28% Tabla de distribución normal estándar Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Uso de la tabla z Gráfica de distribución Normal, Media=10, Desv.Est.=2.5 0.18 0.16 0.14 Densidad 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02275 5 10 X Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución normal – Tienden a seguir una distribución normal los ciclos de falla en componentes mecánicos sometidos a niveles altos de estrés – Las fallas a la tensión de muchos materiales estructurales siguen una distribución normal – Puede representar el tiempo de falla cuando un efecto aditivo es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad • Distribución t Distribución t • La distribución t es una distribución continua que se especifica por el número de grados de libertad n-1. • Es una distribución simétrica, con forma de campana similar a la distribución normal, pero con colas más gruesas. • Utilice la distribución t para analizar la media de una población aproximadamente normal cuando se desconoce la desviación estándar de la población. • Las pruebas de significancia para los coeficientes de regresión utilizan la distribución t. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución t • Por ejemplo, la siguiente gráfica ilustra distribuciones t con diferentes grados de libertad. La distribución t de la línea continua tiene 1 grado de libertad. La distribución t de la línea discontinua tiene 100 grados de libertad. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución t • La distribución t converge hacia la distribución normal a medida que aumentan los grados de libertad. • La distribución t es útil para hacer lo siguiente: – Crear intervalos de confianza de la media de la población de una distribución normal cuando se desconoce la varianza. – Determinar si las medias de dos muestras de poblaciones normales con varianzas desconocidas, aunque iguales, son significativamente diferentes. – Probar la significancia de los coeficientes de regresión. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución t • La función de densidad de probabilidad (PDF) es: • Notación Gráfica de distribución T, df=24 Description Γ función gamma v π grados de libertad Pi (~3.142) 0.4 0.3 Densidad Término 0.2 0.1 0.0 -4 -3 -2 -1 0 X Referencia: Minitab® Software Estadístico 1 2 3 4 Distribución t • Intervalos de confianza para la Media: Datos Continuos – Muestras Pequeñas • Si se utiliza una muestra relativamente pequeña (<30) se debe utilizar la distribución t: • • • • Donde: X = el promedio de la muestra S = la desviación estándar de la muestra n = el tamaño de la muestra Tα/2 = el valor de la distribución t para el nivel de confianza deseado y (n - 1) Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución t • Ejemplo 4.52: El promedio de 25 muestras es 18 con una desviación estándar de 6. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional. Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución t Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana 39 Distribución t Gráfica de distribución T, df=24 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 0 X Referencia: Minitab® Software Estadístico 2.064 Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad • Distribución F Distribución F • La distribución F es una distribución continua de muestreo de la relación de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrada, cada una dividida entre sus grados de libertad. • La distribución F es asimétrica hacia la derecha y es descrita por los grados de libertad de su numerador (ν1) y denominador (ν2). Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución F • Utilice la distribución F cuando un estadístico de prueba sea la relación de dos variables que tienen una distribución de chicuadrada cada una. Por ejemplo, utilice la distribución F en el análisis de varianza y en pruebas de hipótesis para determinar si dos varianzas de población son iguales. • Las siguientes gráficas muestran el efecto de los diferentes valores de grados de libertad en la forma de la distribución. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución F ν1 = 1 y ν 2 = 1 ν1 = 1 y ν2 = 9 ν1 = 9 y ν2 = 1 ν1 = 9 y ν2 = 9 Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución F • La distribución F también es conocida como la distribución de relación de varianzas y tiene dos tipos de grados de libertad: grados de libertad del numerador y grados de libertad del denominador. • Es la distribución de la relación de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrada, cada una de las cuales se divide entre sus grados de libertad. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución F • La función de densidad de probabilidad (PDF) es: Gráfica de distribución F, df1=6, df2=96 • Notación Description Γ función gamma u grados de libertad del numerador v grados de libertad del denominador 0.7 0.6 Densidad Término 0.8 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Referencia: Minitab® Software Estadístico 0 1 2 3 4 X 4 6 Distribución F • El intervalo de confianza para la media de la distribución binomial • El límite inferior de confianza de 1 – α es: • Fα,ν1,ν2 es un valor de la tabla de la distribución F con un riesgo de α y ν1 grados de libertad para el numerador y v2 grados de libertad para el denominador • ν1 = 2(r + 1) • ν2 = 2(n – r) Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución F • Cincuenta circuitos integrados se ciclan en una cámara de prueba ambiental para una prueba equivalente a 1000 horas de operación. Al final de esta prueba, se encuentra que dos de las unidades fallaron durante la prueba. Se utiliza la distribución binomial para el estimado de confiabilidad y la distribución F para calcular el límite de confianza. El estimado de confiabilidad del circuito integrado para 1000 horas de operación es: Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución F • ν1 = 2(r + 1) =2(2+1)=6 • ν2 = 2(n – r)=2(50-2)=96 • De la distribución F: F(0.10)6,96 = 1.82. El límite inferior de confianza del 90% del circuito integrado para t = 1000 horas es: Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución F Gráfica de distribución F, df1=6, df2=96 0.8 0.7 Densidad 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0 1.836 Referencia: Minitab® Software Estadístico X Capítulo 1: Fundamentos de Confiabilidad Sesión 1: Distribuciones de probabilidad • Distribución chi-cuadrada Distribución Chi cuadrada • La distribución de chi-cuadrada es una distribución continua que se especifica por los grados de libertad y el parámetro de no centralidad. La distribución es positivamente asimétrica, pero la asimetría disminuye al aumentar los grados de libertad. Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución Chi cuadrada • La distribución de chi-cuadrada (χ2) se usa en pruebas de significancia estadística para: • Comprobar qué tan bien se ajusta una muestra a una distribución teórica. Por ejemplo, puede utilizar una prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrada para determinar si los datos de la muestra se ajustan a una distribución de Poisson. • Comprobar la independencia de las variables categóricas. Por ejemplo, un fabricante desea saber si la ocurrencia de cuatro tipos de defectos (espárrago faltante, abrazadera rota, sujetador flojo y sello con fugas) está relacionada con los turnos (diurno, vespertino, nocturno). Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución Chi cuadrada • Cuando los grados de libertad son 30 o más, la distribución de chi-cuadrada puede aproximarse razonablemente con una distribución normal, como se ilustra en las siguientes gráficas: Distribución de chicuadrada con 20 grados de libertad Distribución de chi-cuadrada con 40 grados de libertad Referencia: Minitab® Software Estadístico Distribución Chi cuadrada • Si X tiene una distribución normal estándar, X2 tiene una distribución de chi-cuadrada con un grado de libertad, lo que le permite ser una distribución de muestreo de uso común. • La suma de n variables X2 independientes (donde X tiene una distribución normal estándar) tiene una distribución de chicuadrada con n-1 grados de libertad. • La forma de la distribución de chi-cuadrada depende del número de grados de libertad. Referencia: Minitab® Software Estadístico 55 Distribución Chi cuadrada • Fórmula • La función de densidad de probabilidad (PDF) es: Gráfica de distribución • media = v • varianza = 2v Descripción ν grados de libertad Γ función gamma e base del logaritmo natural Referencia: Minitab® Software Estadístico 0.06 0.05 Densidad Notación Chi-cuadrada, df=24 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 10 20 30 X 40 50 Distribución Chi cuadrada Intervalos de confianza para variación • Los intervalos de confianza para la media son simétricos respecto al promedio. Este no es el caso para la varianza, ya que se basa en la distribución chi cuadrada. La fórmula es: • n= tamaño de muestra • s2=estimado estadístico de varianza • y = valores de la tabla para (n-1) grados de libertad Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución Chi cuadrada • Ejemplo 4.54: La varianza de muestra para una serie de 25 muestras es de 36. Calcule el intervalo de confianza del 90% para la varianza de población. Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución Chi cuadrada Ref: The Reliability Engineer Primer © by Quality Council of Indiana Distribución Chi cuadrada Gráfica de distribución Chi-cuadrada, df=24 0.06 Densidad 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.05 0.00 X Referencia: Minitab® Software Estadístico 36.42 Distribución Chi cuadrada Gráfica de distribución Chi-cuadrada, df=24 0.06 Densidad 0.05 0.04 0.03 0.95 0.02 0.01 0.00 13.85 X Referencia: Minitab® Software Estadístico • Fin de sesión