OCTAVA NING PEARSON Tabla p a ra e v a lu a r J m m ' dx D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e v ig a s D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e v ig a s (c o n tin u a c ió n ) wT r =é. 8E l en x = L 0 - -¡É l — 6FJ (x 4 - 47.x3 + d t V ) 2AF.I ta z = L P t¿ ~4SFJ U2 16£ 7 c tix s O o l» /. /■o6(¿ +6 6/J-/ P a ftí/- + a ) 6 /J-/ p " 4 ^ 7 (4**" 3¿,x>’ O s i s /V2 Pbt r " ~6/.£/ Os x s o SwL 24E / 384£ / (x* - 2 Lx* + £») 24E/ r = - ¿ i r (l6r’ " 2 4 /,í + 9/,J 3 » /-’ 128£ 7 Os x s L jl 7 » /.’ 384E/ ^ D - 3 s l 7 ( 8 , , • 24/'*2 + ,7/*, x - /•,, £ /2 s x s L 0, = Hpl" 6E l Mjx HqL1 9 \/Í E Í 0 .- MoL 3£ / (iE I I. L’ -x * ) ANÁLISIS ESTRUCTURAL ANALISIS ESTRUCTURAL O CTAVA E D IC IÓ N R. C. HIBBELER T r a d u c c ió n J e s ú s E lm e r M u r r ie t a M u r r ie t a M a e s tro e n in v e s tig a c ió n d e o p e ra c io n e s T e c n o ló g ic o d e M o n t e r re y C a m p u s M o re lo s R e v is ió n t é c n ic a G e la c io J u á r e z L u n a D a v id S e p ú h /e d a G a rc ía D e p a r ta m e n t o d e E s tru c tu ra s D e p a r ta m e n to d e M e c á n ic a U n iv e rs id a d A u tó n o m a M e tro p o lita n a U n id a d A z c a p o tz a lc o E s c u e la S u p e r io r d e In g e n ie ría M e c á n ic a y E lé c tric a U n id a d P ro fe s io n a l A z c a p o t z a lc o In s titu to P o lit é c n ic o N a c io n a l PEARSON y / l ) M c a d e c a t a l o g a c i ó n b ib lio g r á fic a H 1 B B E L E R .R .C . A n á lk rt e stu c tu r a L O c ta v a e d ic ió n P E A R S O N E D U C A C I Ó N , M é x ic o .2012 IS B N : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1062-1 Á r e a : In g e n ie ría fo rm a to : 2 0 x 2 5 .5 c m P á g in a s: 7 2 0 A u th o riz e d Ir a n s la tio n ír o m th e E n g lis h la n g u a g e e d ilio n . e n t i l l e d S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , í * E d ilio n .b y R u s s e ll C H ib b d e r , p u b lis h c d b y P e a rs o n E d u c a tio n , In c .. p u b lis h in g a s P re n tic e H a ll In c ., C o p y rig h t © 2 0 1 2 . A ll r ig h ts re s e r v e d . IS B N 9 7 8 0 1 3 2 5 7 0 5 3 4 T r a d u c c ió n a u to r iz a d a d e l a e d ic ió n e n id io m a in g lé s , titu la d a S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , 8 ‘ E d ic ió n p o r R u s s e ll C H ib b d e r . p u b lic a d a p o r P e a rs o n E d u c a tio n , In c ., p u b lic a d a c o m o P r e n tic e H a ll In c ., C o p y r ig h t © 2012. T o d o s lo s d e r e c h o s re s e rv a d o s . E s ta e d ic ió n e n e s p a ñ o l e s la ú n ic a a u to r iz a d a . E d ición e n c sp a ú o l D ir e c c i ó n G e n e r a l : D ir e c c i ó n E d u c a c i ó n S u p e r io r : E d ito r S p o n so r: E d i t o r d e D e s a r r o l lo : S u p e r v i s o r d e P r o d u c c ió n : G e re n c ia E d ito ria l E d u c a c ió n S u p e r i o r L a tin o a m é r ic a : L a u r a K o e s tin g e r M a rio C o n tre ra s L u is M . C r u z C a s tillo e - m a i l : Iu is .c r u z @ p e a r s o n .c o m B c rn a rd in o G u tié rre z H e rn á n d e z R o d r i g o R o m e r o V illa lo b o s M a r is a d e A n ta O C T A V A E D IC I Ó N , 2 0 1 2 D .R .© 20 1 2 p o r P e a rs o n E d u c a c ió n d e M é x ic o .S .A .d e C .V . A tla c o m u lc o 5 0 0 -5 o . p iso C b l. In d u s tria l A to to 53 5 1 9 , N a u c a lp a n d e J u á r e z . E s ta d o d e M é x ic o C á m a r a N a c io n a l d e l a In d u s tr ia E d ito r ia l M e x ic a n a . R c g . n ú m . 1031. R e s e rv a d o s to d o s l o s d e re c h o s . N i la to ta lid a d n i p a r t e d e e s t a p u b lic a c ió n p u e d e n r e p r o d u c ir s e , r e g is tr a r s e o tra n s m itirs e , p o r u n s is te m a d e r e c u p e r a c ió n d e in fo rm a c ió n , e n n in g u n a fo r m a n i p o r n in g ú n m e d io , s e a e le c tr ó n ic o , m e c á n ic o , fo to q u lm ic o , m a g n é tic o o e le c tr o ó p tic o , p o r fo to c o p ia , g ra b a c ió n o c u a lq u ie r o t r o , s in p e rm is o p re v io p o r e s c rito d e l e d ito r . E l p r é s ta m o , a lq u ile r o c u a lq u ie r o t r a f o r m a d e c e s ió n d e u s o d e e s t e e je m p la r r e q u e r ir á t a m b ié n la a u to riz a c ió n d e l e d i t o r o d e s u s re p re s e n ta n te s . ISB N V E R S IÓ N I M P R E S A : 978-60 7 -3 2 -1 0 6 2 -1 ISB N V E R S IÓ N E -B O O K : 9 7 8 4 Í0 7 -3 2 -1063-8 ISB N E -C H A P T E R : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 0 6 4 -5 Im p re s o e n M é x ic o . P r m le d i n M éxico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 1 5 1 4 13 12 PEARSON A lo s e s tu d ia n te s C on la esperanza d e q u e este tra b a jo estim ule su interés p o r el análisis estructural y p ro p o rc io n e una gu ía a ce p ta b le hacia su com prensión. PREFACIO E l p r o p ó s ito d e e s te lib ro e s p r o p o r c io n a r a l e s t u d ia n t e u n a p r e s e n ta c ió n c la r a y c o m p le ta d e la te o r ía y la a p lic a c ió n d e l a n á lisis e s tr u c tu r a l en a rm a d u r a s , vigas y m a rc o s . E n e s t a o b r a s e h a c e é n f a s is e n e l d e s a r r o ll o d e la c a p a c id a d d e lo s e s t u d ia n t e s p a r a m o d e la r y a n a liz a r u n a e s t r u c tu ­ ra , y s e p r o p o r c io n a n a p lic a c io n e s r e a le s c o m o las q u e p u e d e n e n c o n ­ tr a rs e e n la p rá c tic a p r o f e s io n a l. D e s d e h a c e m u c h o s a ñ o s , lo s in g e n ie ro s h a n u tiliz a d o m é to d o s m a trid a l e s p a r a a n a liz a r e s t r u c tu r a s . A u n q u e e s t o s m é to d o s s o n d e p r o b a d a e fic ie n c ia p a r a r e a l iz a r u n a n á lis is e s tr u c tu r a l, e l a u to r o p in a q u e lo s e s t u d ia n te s q u e to m e n p o r p r im e r a v e z u n c u r s o s o b r e e s t e te m a ta m ­ b ié n d e b e n c o n o c e r c o n p r o f u n d id a d a lg u n o s d e lo s m é to d o s c lá s ic o s m ás im p o r ta n te s . L a p r á c tic a e n la a p lic a c ió n d e e s t o s m é to d o s c i m e n ­ ta r á u n a c o m p r e n s ió n m á s p r o f u n d a d e d o s d e las c ie n c ia s b á s ic a s d e in g e n ie ría : la e s t á tic a y l a m e c á n ic a d e m a te ria le s . In c lu s iv e , la s h a b ilid a ­ d e s p a r a re s o lv e r p r o b le m a s s e d e s a r r o ll a n a ú n m á s c u a n d o s e c o n s id e ­ ra n y a p lic a n d iv e r s a s té c n ic a s d e u n a m a n e r a c la r a y o r d e n a d a . A l r e s o l­ v e r p ro b le m a s d e e s te m o d o e s p o s ib le c a p t a r d e u n a m e jo r m a n e r a la fo r m a c o m o s e t r a n s m i te n la s c a r g a s a tr a v é s d e u n a e s t r u c t u r a y c o m ­ p r e n d e r c o n m á s e x a c titu d la m a n e r a e n q u e la e s t r u c tu r a s e d e f o r m a b a jo u n a c a r g a . P o r ú ltim o , lo s m é to d o s c lá s ic o s b rin d a n u n m e d io p a ra c o m p r o b a r lo s r e s u lta d o s o b te n i d o s a l u s a r u n a c o m p u t a d o r a , e n lu g a r d e lim ita rs e a c o n f ia r e n lo s r e s u lta d o s g e n e ra d o s . N o v e d a d e s en e s ta e d ic ió n • P ro b le m a s fu n d a m e n t a le s . E s to s c o n ju n to s d e p r o b le m a s se lo c a liz a n d e fo r m a s e le c tiv a ju s to d e s p u é s d e lo s p r o b le m a s d e e j e m ­ p lo . O f r e c e n a lo s e s t u d ia n te s a p lic a c io n e s s e n c illa s d e lo s c o n c e p to s y. p o r lo ta n t o , le s p r o p o r c io n a n la o p o r t u n id a d d e d e s a r r o l l a r su s h a b i­ lid a d e s p a r a r e s o lv e r d if ic u lta d e s a n te s d e t r a t a r d e s o l u c io n a r a lg u n o d e lo s p r o b le m a s típ ic o s q u e s e p r e s e n t a n m á s a d e la n te ; y p u e d e n c o n s id e r a r s e e je m p lo s e x te n d id o s , p u e s t o q u e to d o s c u e n ta n c o n s o l u ­ c io n e s y r e s p u e s ta s a l fin a l d e l lib ro . A d e m á s , s o n u n m e d io e x c e le n te p a r a e s t u d ia r a n te s d e lo s e x á m e n e s g e n e r a le s ; y ta m b ié n s o n m u y ú t i ­ le s c o m o p r e p a r a c ió n p a r a e l e x a m e n fin a l y a s e a d e l c u r s o o p a ra o b t e n e r s u títu lo p r o f e s io n a l e n in g e n ie ría . • R e v is ió n d e l c o n t e n id o . C a d a se c c ió n d e l te x t o s e re v is ó c u id a d o ­ s a m e n te p a r a m e j o r a r s u c la r id a d . E s to in c lu y e la in c o r p o ra c ió n , e n e l c a p ítu lo l . d e la s n u e v a s n o r m a s s o b r e c a r g a s A S C E /S E I 0 7 -1 0 . u n a e x p lic a c ió n m e jo r a d a s o b r e c ó m o tr a z a r d ia g r a m a s d e c o r t a n te , d i a ­ g ra m a s d e m o m e n to y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e u n a e s tr u c tu r a ; la c o n ­ s o lid a c ió n d e l m a t e r i a l s o b r e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n m o m e n to d e in e r c ia v a ria b le , la in c lu s ió n d e u n a n á lis is m á s p r o f u n d o d e la s e s t r u c ­ tu r a s q u e c u e n ta n c o n a r tic u la c io n e s in te r n a s a p lic a n d o a n á lis is m a trid a l ; y l a a d ic ió n d e u n n u e v o A p é n d ic e B d o n d e s e a n a liz a n a lg u n a s d e la s c a r a c te r ís tic a s c o m u n e s p a r a e je c u ta r e l s o f tw a r e c o m p u ta c io n a l m á s r e c ie n te s o b r e a n á lis is e s tr u c tu r a l. X P r e f a c io • C a m b io s e n lo s e je m p lo s . C o n e l fin d e ilu s tr a r d e m e jo r m a n e r a las a p li c a c io n e s p r á c tic a s d e la te o r ía , e n e l te x t o s e h a n c a m b ia d o a lg u n o s e je m p lo s , y c o n a y u d a d e fo to g ra fía s s e h a n a p lic a d o té c n ic a s d e m o d e la d o y a n á lisis d e c a r g a s s o b r e e s t r u c tu r a s re a le s . F o t o g r a f ía s a d ic io n a le s . La im p o r ta n c ia d e c o n o c e r e l o b j e t o d e e s tu d io s e r e f le ja e n la s a p lic a c io n e s a l m u n d o re a l q u e s e m u e s tr a n a tr a v é s d e u n a g r a n c a n ti d a d d e fo to g ra fía s n u e v a s y a c tu a liz a d a s , j u n t o c o n c o m e n t a r i o s a lo la r g o d e l lib ro . • P ro b le m a s n u e v o s . A p r o x im a d a m e n te 7 0 % d e lo s p r o b l e m a s d e e sta e d ic ió n s o n n u e v o s . C o n e s t o s e je r c ic io s s e m a n tie n e u n e q u ilib r io e n tr e la s a p lic a c io n e s fá c ile s, la s r e g u la r e s y la s d ifíc ile s. E s to s p r o b l e ­ m a s h a n s i d o re v is a d o s ta n t o p o r e l a u t o r c o m o p o r o tr o s c u a tr o p a r ­ tic ip a n te s : S c o tt H e n d ric k s , N o h r a K a rim , N o rlin K u r t y K a i B e n g Y ap. • D is p o s ic ió n d e lo s p r o b le m a s . P a r a m a y o r c o m o d id a d e n la a s ig ­ n a c ió n d e ta r e a s , lo s p r o b le m a s se h a n d is tr ib u id o a lo la r g o d e l te x to e n s e c c io n e s b ie n d e f i n id a s c o n p r o b l e m a s il u s tr a tiv o s d e e je m p lo y u n c o n ju n to d e p r o b l e m a s d e t a r e a d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c r e ­ c ie n te . • O rg a n iz a c ió n y e n fo q u e E l c o n te n i d o d e c a d a c a p ítu lo e s tá o r g a n i z a d o e n s e c c io n e s c o n te m a s e sp e c ífic o s, c la s ific a d o s p o r s u b títu lo s . L o s r a z o n a m ie n to s re le v a n te s s o b r e u n a t e o r í a p a r t ic u l a r s o n b re v e s p e r o c o m p le to s . E n la m a y o r ía d e lo s c a s o s d e s p u é s d e e s to s r a z o n a m ie n to s s e p r e s e n t a u n a g u ía d e l " p r o ­ c e d im ie n to d e a n á lis is ” , la c u a l p r o p o r c io n a u n r e s u m e n d e lo s c o n c e p ­ to s m á s im p o r t a n te s y u n e n f o q u e s is te m á tic o p a r a l a a p lic a c ió n d e la te o r ía . L os p r o b l e m a s d e e je m p lo s e re s u e lv e n u s a n d o e s t e m é to d o e s q u e m a tiz a d o c o n e l fin d e h a c e r m ás c la r a s u a p lic a c ió n n u m é r ic a . L os p r o b le m a s s e p r e s e n ta n al fin a l d e c a d a g r u p o d e s e c c io n e s y e s t á n o r g a ­ n iz a d o s p a r a c u b r ir e l m a te r ia l e n o r d e n s e c u e n c ia l. A d e m á s , p a r a c a d a te m a lo s p r o b l e m a s e s t á n d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c re c ie n te . E le m e n to s im p o r ta n te s F o t o g r a f ía s . A lo la r g o d e l lib r o s e u tiliz a u n a g r a n c a n ti d a d d e fo to g ra fía s p a r a e x p lic a r c ó m o se a p lic a n lo s p rin c ip io s d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l e n s i tu a c io n e s d e l m u n d o r e a l. • • P r o b le m a s . E n la m a y o r ía d e lo s p ro b le m a s d e l lib r o s e p r e s e n ta n s i tu a c io n e s r e a le s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e n la p r á c t ic a . E s te re a lis m o d e b e r ía e s tim u la r e l in te r é s d e lo s e s t u d ia n t e s e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l y d e s a r r o lla r s u h a b ilid a d p a r a r e d u c i r lo s p r o b l e m a s d e e s t e tip o d e s d e s u d e s c r ip c ió n físic a h a s t a u n m o d e lo o r e p r e s e n ta c i ó n s im b ó li­ c a a la c u a l p u e d a a p lic a r s e l a te o r ía c o r r e s p o n d ie n te . E n e s t e lib ro h a y u n b a la n c e d e p r o b le m a s e n lo s q u e s e u tiliz a n u n id a d e s d e l S is te m a I n te r n a c io n a l ( m e tr o - k ilo g r a m o - s e g u n d o ) y d e l S is te m a In g lé s (p ie lib ra -s e g u n d o ) c o n l a in te n c ió n d e p o n e r a p r u e b a la h a b ilid a d d e l e s tu d ia n te p a r a a p lic a r la te o r ía , te n i e n d o e n c u e n ta q u e lo s p r o b le m a s Pr e f a c io q u e r e q u ie r e n c á lc u lo s te d io s o s s e p u e d e n r e l e g a r a u n a n á lis is p o r c o m p u ta d o r a . • R e s p u e s ta s a p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . L as r e s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s s e le c c io n a d o s a p a r e c e n a l fin a l d e l lib ro . H e m o s te n i d o c u i ­ d a d o e s p e c ia l e n s u p r e s e n ta c ió n y s o lu c ió n ; to d o s h a n s i d o re v is a d o s , y s u s s o lu c io n e s c o m p r o b a d a s y v e rific a d a s u n a y o t r a v e z p a r a g a r a n ­ tiz a r s u c la r id a d y p re c is ió n n u m é ric a . • P r o b le m a s d e e je m p lo . T b d o s lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo s e p r e ­ s e n t a n d e m a n e r a c o n c is a y c o n u n e s t i l o fá c il d e e n te n d e r . I lu s tr a c io n e s . H e m o s a u m e n t a d o la c a n tid a d d e f ig u r a s ilu s tr a ti­ v a s e ilu s tr a c io n e s r e a le s q u e p r o p o r c io n a n u n a f u e r te c o n e x ió n c o n la n a tu r a le z a tr id im e n s io n a l d e la in g e n ie r ía e s tr u c tu r a l. • • T r ip le c o m p r o b a c ió n d e la e x a c t it u d . E s ta e d ic ió n h a p a s a d o p o r u n a r i g u r o s a c o m p r o b a c ió n d e s u e x a c titu d y u n a p r o f u n d a re v is ió n d e la s p r u e b a s d e im p r e n ta . A d e m á s d e la re v is ió n q u e re a liz ó e l a u to r s o b r e e l te x t o y la s ilu strac io n es, S c o tt H c n d ric k s ,d c l In s titu to I\>litécnico d e V irg in ia ; K a r im N o h r a d e la U n iv e rs id a d d e l S u r d e F lo r id a , y K u rt N o rlin , d e L a u re l T e c h n ic a l S e rv ic e s, r e v is a r o n d e n u e v o la s p r u e b a s d e im p r e n ta y e n c o n ju n to in s p e c c io n a r o n to d o e l M a n u a l d e s o lu c io ­ n e s p a r a e l p ro f e s o r. C o n te n id o E s te lib r o e s tá d iv id id o e n tr e s p a r t e s . 1.a p r i m e r a c o n s ta d e s ie te c a p í t u ­ lo s q u e a b a r c a n lo s m é to d o s c lá s ic o s d e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a ­ m e n te d e te r m in a d a s . E l c a p ítu lo 1 p r e s e n ta lo s d is tin to s tip o s d e f o r m a s e s tr u c tu r a le s y c a r g a s E l c a p ítu lo 2 a n a liz a l a d e te r m in a c ió n d e f u e r z a s e n lo s s o p o r t e s y c o n e x io n e s d e v ig a s y m a r c o s e s t á ti c a m e n t e d e t e r m i ­ n a d o s E l a n á lis is d e lo s d is tin to s ti p o s d e a r m a d u r a s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s s e p r e s e n ta e n e l c a p ítu lo 3 ; e n t a n t o q u e la s f u n c io n e s y lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n te y d e m o m e n to d e fle x ió n e n v ig a s y m a r c o s se e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 4 . E n e l c a p ítu lo 5 v e r e m o s lo s s i s te m a s s im p le s d e c a b le y a rc o , y e n e l c a p ítu lo 6 s e e s t u d i a n la s fin c a s d e in f lu e n c ia p a r a vigas, te n s o r e s y a rm a d u r a s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 7 o f r e c e v a r ia s té c n i­ ca s c o m u n e s p a r a e l a n á lis is a p r o x i m a d o d e e s t r u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s . L a s e g u n d a p a r t e d e l lib r o c u b re e n 6 c a p ítu lo s la s e s t r u c tu r a s e s tá tic a ­ m e n te in d e te r m in a d a s . E n e l c a p ítu lo 8 s e a n a liz a n lo s m é to d o s g e o m é ­ tric o s p a r a e l c á lc u lo d e d e fle x io n e s . E n e l c a p ítu lo 9 s e e s tu d ia n lo s m é to d o s d e e n e r g í a p a r a e n c o n tr a r d e fle x io n e s . E l c a p ítu lo 10 h a c e u n a n á lisis d e la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s m e d ia n te e l m é to d o d e l a f u e r z a , a d e m á s d e u n e s tu d io d e la s lín e a s d e in f lu e n c ia p a ra vigas. E n e l c a p ítu lo 11 e s tu d ia r e m o s lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to q u e s e c o m p o n e n d e l m é to d o d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , y e n e l c a p ítu lo 12 v e re m o s la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 1 3 o f r e c e u n p a n o r a m a d e la s v ig as y m a r c o s d e e le m e n to s n o p ris m á tic o s . XI x ii P r e f a c io L a t e r c e r a p a r t e d e l lib r o t r a t a e l a n á lis is m a tr ic ia l d e e s t r u c tu r a s a p l i ­ c a n d o e l m é to d o d e l a r ig id e z . L a s a r m a d u r a s s e e x a m in a n e n e l c a p í t u ­ lo 14. la s v ig a s e n e l 15 y lo s m a r c o s e n e l 16. E n e l a p é n d ic e A se h a c e u n r e p a s o d e l á lg e b r a m a tric ia l. m ie n tr a s q u e e l a p é n d ic e B p r o p o r c io n a u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l u s o d e l s o f tw a r e d is p o n ib le p a r a la re s o lu c ió n d e p r o b l e m a s d e a n á lis is e s tr u c tu r a l. R e curso s p a ra lo s p ro fe s o re s (en in g lé s ) M a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o fe s o r . E l a u to r p r e p a r ó u n m a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o f e s o r , e l c u a l ta m b ié n f u e re v is a d o c o m o p a r t e d e l p r o g r a m a d e trip le c o m p r o b a c ió n d e e x a c titu d . • P re s e n ta c io n e s e n P o w e r P o in t . T o d a s la s ilu s tr a c io n e s d e l lib ro e s tá n d is p o n ib le s e n d ia p o s itiv a s d e P o w e r P o in t y e n f o r m a to J P E G . E s to s a rc h iv o s e s tá n d is p o n ib le s e n e l c e n tr o d e r e c u r s o s p a r a e l p r o ­ fe s o r e n W N v w .p ea rso n cn c sp a flo l.c o m /h ib b c ler. C o n ta c t e a s u r e p r e ­ s e n ta n te lo c a l d e P e a r s o n p a r a o b t e n e r su s c la v e s d e ac ce so . • S o lu c io n e s e n v id e o . S o n s o lu c io n e s e n v id e o c o n d e s c r ip c io n e s p a s o a p a s o p a r a r e s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e t a r e a m á s r e p r e s e n ta tiv o s d e c a d a se c c ió n d e l lib ro . U tilic e e f ic ie n te m e n te las h o r a s d e c la s e y o fre z c a a s u s e s t u d ia n t e s lo s m é to d o s c o m p le to s y c o n c is o s p a r a r e s o l­ v e r p r o b le m a s c o n e s t o s v id e o s , a lo s c u a le s p u e d e n t e n e r a c c e s o e n c u a lq u ie r m o m e n to y e s t u d ia r a s u p r o p io r itm o . L o s v id e o s e s t á n d is e rta d o s c o m o u n r e c u r s o fle x ib le q u e p u e d e u s a r s e c a d a v e z q u e el p r o f e s o r y e l e s t u d ia n t e lo r e q u ie r a n . S o n u n a h e r r a m i e n ta m u y v a li o ­ s a y a q u e p u e d e v e rlo s u n a y o t r a v e z p a ra v e rific a r s u c o m p r e n s ió n y t r a b a j a r c o n a lg ú n p r o b le m a s ig u ie n d o lo s p a s o s d e l v id e o . E s te m a t e ­ ria l s e e n c u e n t r a e n w N v w .p e a rso n e n e s p a flo l.c o m /h ib b e lc r, s ig u ie n d o • lo s v ín c u lo s d e S ir u c íu r a l A n a ly s i s h a s ta V id eo S o lu tio n s . R e c o n o c im ie n to s M á s d e u n c e n t e n a r d e m is c o le g a s e n la p r o f e s ió n d o c e n te y m u c h o s d e m is a lu m n o s h a n h e c h o v a lio s a s s u g e r e n c ia s m u y ú tile s e n la p r e p a r a c ió n d e e s t e lib ro . P o r e s t e m e d io m e g u s ta ría h a c e rle s u n r e c o n o c im ie n to p o r to d o s s u s c o m e n ta r io s ; a s im is m o q u is ie r a a g r a d e c e r a lo s re v is o re s c o n ­ tr a ta d o s p o r m i e d i t o r p a r a e s t a n u e v a e d ic ió n : T ilo m a s H . M ille r, O r e jó n S ta te U n iv e rs ity H a y d e r A . R a s h e e d , K a n sa s S ta te U n iv e rs ity J e ffre y A . l l a m a n , P e /in S ta te U n iv e rs ity J e r r y R . B a y le ss , U n iv e rs ity o f M is s o u r i— R o lla P a o k ) G a r d o n i , T exa s A & M U n iv e rs ity T im o th y R o ss. U n iv e rs ity o f N e w M é x ic o F W a y n e K la ib e r , lo w a S ta te U n iv e rs ity H u s a m S, N a jm , R u tg e r s U n iv e rsity Pr e f a c io T a m b ié n f u e r o n m u y a p r e c ia b le s las o b s e r v a c io n e s c o n s tr u c tiv a s d e K a i B c n g Y a p y B a r iy N o la n , a m b o s in g e n ie r o s e n a c tiv o . P o r ú ltim o , m e g u s ta r ía a g r a d e c e r e l a p o y o d e m i e s p o s a C o n n y , q u e s ie m p re h a s id o d e g r a n a y u d a e n la p r e p a r a c ió n d e l m a n u s c rito . E s ta r é m u y a g r a d e c id o a l le c to r q u e m e e n v íe a lg ú n c o m e n ta r io o s u g e ­ re n c ia s o b r e e l c o n te n id o d e e s t a e d ic ió n . R tisse ll C h a rle s H ib b e le r h ib b e le r G b e lls o u th .n e t x iii CREDITOS E n tr a d a d e l c a p ítu lo 1: © C J G u n th e r /e p a /C o r b is F ig u r a 1 .6 (a ) , p á g in a 7 : M a r k H a r r is /P h o to d is c /G e tty Im a g e s F il tr a d a d e l c a p ítu lo 2: J o e G o u g h /S h u tte r s to c k E n t r a d a d e l c a p ítu lo 3: © R o b c r t S h a n tz /A la m y E n tr a d a d e l c a p ítu lo 4: R a li B r o s k v a r /I 2 3 r f E n tr a d a d e l c a p ítu lo 5: © G r e g B a lf o u r E v a n s /A la m y E n tr a d a d e l c a p ítu lo 6: © A c c e n t A ia s k a .c o m /A la m y E n tr a d a d e l c a p ítu lo 7: © D a v id R . F r a z ie r P h o to lib r a ry , In c ./A la m y E n t r a d a d e l c a p ítu lo 8 : [ F o tó g r a f o j/S to n e /G e tty Im a g e s E n tr a d a d e l c a p ítu lo 9 : A la m y Im a g e s E n t r a d a d e l c a p ítu lo 10: S h u tte r s to c k E n t r a d a d e l c a p ítu lo 11: © 2 0 1 1 P h o to s .c o m . u n a d iv is ió n d e G e tty Im a g e s. D e r e c h o s r e s e rv a d o s . E n tr a d a d e l c a p ítu lo 12: R íto s e a r c h /S u p e r S to c k E n tr a d a d e l c a p ítu lo 13: iS to c k p h o to .c o m E ji tr a d a d e l c a p ítu lo 14: © C o r b i s R F /A la m y F il tr a d a d e l c a p ítu lo 15: © P a u l A . S o u d e r s /C O R B I S E n t r a d a d e l c a p ítu lo 16: © A l a n S c h e in /C o rb is R i r t a d a 1: z im m y tw s \S h u tte is to c k l\> r ta d a 2: V la d itto \S h u tte r s to c k L a s fo t o g r a f ía s resta n tes fu e r o n p ro p o rc io n a d a s p o r e l a u tor, f t C H ib b e le r . C O N T E N ID O 3.5 3.6 3.7 3.8 1 T ip o s d e e s tru c tu ra s y c a rg a s 3 B m é t o d o d e las s e c c io n e s A r m a d u ra s c o m p u e s ta s A r m a d u ra s c o m p le ja s 116 A r m a d u ra s e s p a c ia le s 120 P ro b le m a s 127 R e p a s o d e l c a p ít u lo 1.1 In tr o d u c c ió n 1.2 C la s ific a c ió n d e e s tru c tu ra s 1.3 1.4 C a rg a s 9 D is e ñ o e s tr u c tu r a l P ro b le m a s 2 7 26 31 C argas in te rn a s d e sa rro lla d a s en e le m e n to s e stru ctu ra les 2 A n á lis is d e e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s 33 2.2 2.3 2.4 2.5 130 3 R e p a s o d e l c a p ít u lo 2.1 104 110 4.1 C a rg a s in te rn a s e n u n p u n t o 4.2 e s p e c ífic o 1 3 3 F u n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to 4.3 E c u a c io n e s d e e q u ilib r io 46 150 4.4 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te 4.5 y d e m o m e n t o p a ra u n m a r c o 1 6 3 D ia g ra m a s d e m o m e n to c o n s tr u id o s p o r e l m é t o d o d e s u p e r p o s ic ió n 47 D e te rm in a c ió n y e s t a b ilid a d P ro b le m a s 48 A p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s 173 R e p a s o d e l c a p ít u lo 178 59 R e p a s o d e l c a p ít u lo 68 P ro b le m a s fu n d a m e n ta le s P ro b le m a s 139 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n t o p a ra u n a v ig a E s tru c tu ra id e a liz a d a 3 3 P rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n d e e q u ilib r io 133 70 72 P ro b le m a d e p r o y e c t o 77 5 C a b le s y a rc o s 5.1 5.2 A n á lis is d e a rm a d u ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s 79 3.1 3.2 3.3 3.4 T ip o s c o m u n e s d e a rm a d u ra s C a b le s 181 C a b le s o m e t id o a c a rg a s c o n c e n tr a d a s 79 C la s ific a c ió n d e a rm a d u ra s c o p la n a re s El m é t o d o d e lo s n o d o s 94 B e m e n to s d e fu e rz a c e r o 98 181 85 182 5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a 5.4 5.5 A rc o s 184 194 A r c o d e t r e s a rtic u la c io n e s P ro b le m a s 201 R e p a s o d e l c a p ít u lo 203 195 168 x v iii C o n t e n id o 6 Lineas d e in flu e n c ia p a ra e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s 205 j 8 D e fle x io n e s 6.1 6.2 L in e a s d e in flu e n c ia L ín e a s d e in flu e n c ia p a ra v ig a s 213 6 .3 L in e a s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a L in e a s d e in flu e n c ia p a ra v ig a s 216 6.4 d e p is o 6.5 6.6 6.7 205 8.1 D ia g ra m a s d e d e f le x ió n y la 8.2 8.3 8.4 8.5 T e o ría d e la v ig a e lá s tic a c u rv a e lá s tic a 228 L ín e a s d e in flu e n c ia p a ra a rm a d u r a s 299 232 299 P ro b le m a s ix ia s e rie d e c a rg a s c o n c e n tra d a s 2 4 0 F u e rz a c o r ta n te y m o m e n t o m á x im o R e p a s o d e l c a p ít u lo a b s o lu to 307 T e o re m a s d e l m o m e n t o d e á r e a 3 1 6 M é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a 3 2 6 In flu e n c ia m á x im a e n u n p u n t o d e b id o a P ro b le m a s 305 0 m é t o d o d e in te g r a c ió n d o b le 335 338 250 255 R e p a s o d e l c a p ít u lo 260 9 D e fle x io n e s e m p le a n d o m é to d o s d e e n e rg ía 341 A n á lisis a p ro x im a d o d e e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s 263 l l 7.1 U s o d e m é t o d o s a p ro x im a d o s 7 .2 A rm a d u ra s 7.3 C a rg a s v e r tic a le s s o b re m a rc o s d e c o n s tru c c ió n 2 7 0 7.4 M a rc o s y a rm a d u r a s d e p o r ta l 7 .5 C a rg a s la te ra le s e n m a rc o s d e 7.6 C a rg a s la te ra le s s o b r e m a rc o s d e 263 9.1 T ra b a jo e x t e r n o y e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n 3 4 1 9.2 9.3 9.4 P rin c ip io d e l t r a b a jo y la e n e r g ía M é t o d o d e l t r a b a jo v irtu a l: 9.5 9.6 T e o re m a d e C a s tig lia n o 3 5 5 T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra 9.7 M é t o d o d e l t r a b a jo v irtu a l: 9.8 E n e rg ía d e d e fo r m a c ió n v ir tu a l c a u s a d a p o r c a r g a a x ia l, fu e rz a c o r ta n te , to r s ió n 9.9 T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra v ig a s 264 273 a rm a d u ra s 282 c o n s tru c c ió n : M é t o d o d e l v o la d iz o 288 356 y te m p e r a tu r a 296 y m a rc o s P ro b le m a s 345 346 348 V ig a s y m a rc o s 294 R e p a s o d e l c a p ít u lo P rin c ip io d e l t r a b a jo v ir tu a l A rm a d u ra s c o n s tru c c ió n : M é t o d o d e l p o r t a l P ro b le m a s i 364 375 381 388 R e p a s o d e l c a p ít u lo 392 C o n t e n id o I TTT 10 A n á lisis d e e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r el m é to d o d e la fu e rz a 395 1 0 .1 1 0 .2 in d e te r m in a d a s 3 9 5 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : 12.1 P rin c ip io s g e n e ra le s 1 2 .2 y d e fin ic io n e s 4 8 7 D is tr ib u c ió n d e m o m e n to s 12.3 M o d ific a c io n e s al f a c t o r 12.4 d e rig id e z 5 0 0 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra 12.5 m a rc o s : S in la d e o 5 0 8 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra p a ra v ig a s 398 T e o re m a d e M a x w e ll d e los d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ; L e y d e B e tti 4 0 2 10.4 M é to d o d e a nálisis del d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n d e m o m e n to s 487 E s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te P r o c e d im ie n to g e n e r a l 10.3 12 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : V ig a s 490 m a rc o s : C o n la d e o 403 10.5 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : P ro b le m a s M a rc o s 4 1 1 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : R e p a s o d e l c a p ít u lo 1 0 .6 1 0 .7 E s tru c tu ra s c o m p u e s ta s 10.8 C o m e n ta r io s a d ic io n a le s s o b re el 10.9 E s tru c tu ra s s im é tric a s 4 2 9 L ínea s d e in flu e n c ia p a r a v ig a s A rm a d u ra s 425 428 13 V ig a s y m a rc o s co n e le m e n to s n o p ris m á tic o s 523 435 e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s 1 0 .1 1 L ínea s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a s p a ra m a rc o s 4 3 9 P ro b le m a s 521 422 m é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a 1 0 .1 0 510 518 446 R e p a s o d e l c a p ít u lo 13.1 P ro p ie d a d e s d e c a rg a d e lo s e le m e n to s 13.2 no p ris m á tic o s 5 2 3 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra 448 e s tru c tu ra s c o n e le m e n to s 13.3 11 no p ris m á tic o s 5 2 8 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n p a ra e le m e n to s n o p r is m á tic o s P ro b le m a s M é to d o d e a nálisis d e l d e s p la z a m ie n to : Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n 451 R e p a s o d e l c a p ít u lo 11.1 M é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : 11.2 11.3 11.4 11.5 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n A n á lis is d e v ig a s 4 5 9 P ro c e d im ie n to s g e n e ra le s 451 A n á lis is d e m a rc o s : S in la d e o A n á lis is d e m a rc o s : C o n la d e o P ro b le m a s 482 R e p a s o d e l c a p ít u lo 485 536 469 474 453 537 534 xx C o n t e n id o 15.4 A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la rig id e z al a n á lis is d e v ig a s 14 P ro b le m a s 579 592 A n á lis is d e a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o d e la r ig id e z 539 14.1 d e la rig id e z 14.2 14.3 14.4 539 M a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to 542 M a tr ic e s d e tr a n s fo r m a c ió n d e fu e rz a y d e s p la z a m ie n to 5 4 3 M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l A n á lis is d e m a rc o s p la n o s u tiliz a n d o el m é to d o d e la rig id e z 595 16.1 M a tr iz d e r ig id e z d e l A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la rig id e z 16.2 m a r c o - e le m e n to 5 9 5 M a tr ic e s d e tra n s fo rm a c ió n d e l p a ra e l a n á lis is d e a rm a d u ra s C o o rd e n a d a s n o d a le s 560 16.3 M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l m a r c o - e le m e n to 5 9 9 16.4 A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la r ig id e z e le m e n to 14.5 14.6 16 F u n d a m e n to s d e l m é t o d o 546 M a tr iz d e r ig id e z d e la a rm a d u ra 552 14.7 14.8 A r m a d u r a s c o n c a m b io s té r m ic o s 14.9 A n á lis is d e a rm a d u ra s e s p a c ia le s y e rr o r e s d e fa b ric a c ió n R e p a s o d e l c a p ít u lo P ro b le m a s 547 564 d e s p la z a m ie n to y d e las fu e rz a s 570 p a ra e l a n á lis is d e m a rc o s 571 P ro b le m a s 597 600 609 572 A p é n d ic e s A. A lg e b ra m a tr ic ia l p a ra B. P r o c e d im ie n to g e n e r a l p a ra u s a r e l el a n á lis is e s tr u c tu r a l 15 612 s o ftw a re d e a n á lis is e s tru c tu ra l A n á lis is d e v ig a s u tiliz a n d o e l m é to d o d e la r ig id e z 575 625 S o lu c io n e s p a rc ia le s y re s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s fu n d a m e n ta le s 628 R e spu estas a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s 15.1 15.2 C o m e n ta r io s p re lim in a re s 15.3 M a tr iz d e r ig id e z d e la M a tr iz d e r ig id e z d e la v ig a - e le m e n to v ig a - e s tr u c tu r a 577 579 575 ín d ic e 685 665 ANÁLISIS ESTRUCTURAL La e stru ctu ra (el co n tra ve n te o ) con p a tró n d e dia m a n te (refue rzo cruzado) instalada en estos e d ific io s d e gran altura se u tiliza para resistir las cargas d e b id a s al vie nto. Tipos de estructuras y cargas E ste c a p ít u lo c o n tie n e u n e s tu d io d e a lg u n o s d e lo s a s p e c to s p r e lim i­ n a re s d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. P r im e r o s e p r e s e n ta n las fa s e s n e c e s a ria s p a ra c o n s tru ir u n a e s tr u c tu r a , d e s p u é s s e h a c e u n a in tr o d u c c ió n a lo s t ip o s b á s ic o s d e e s tru c tu ra s , s u s c o m p o n e n te s y s o p o rte s , y p o r úl­ t im o , s e p r o p o r d o n a u n a e x p lic a c ió n b r e v e d e lo s d is t in t o s t ip o s d e c a rg a s q u e d e b e n c o n s id e ra rs e p a ra u n a n á lis is y d is e ñ o a p ro p ia d o s . 1 .1 Introducción U n a e s tr u c tu r a s e r e f ie r e a u n s is te m a d e p a r t e s c o n e c ta d a s q u e se u tiliz a p a ra s o p o r t a r u n a c a r g a . E n t r e lo s e je m p lo s m á s im p o r ta n te s r e l a c io n a ­ d o s c o n la in g e n ie r ía c iv il e s t á n lo s e d ific io s , lo s p u e n te s y las to r r e s ; e n o t r a s ra m a s d e la in g e n ie r ía p u e d e d e c ir s e q u e s o n im p o r t a n te s las e s ­ tr u c tu r a s d e b a r c o s y a v io n e s , lo s ta n q u e s , lo s r e c ip ie n te s a p r e s ió n , lo s s is te m a s m e c á n ic o s, y la s e s t r u c tu r a s d e s o p o r te d e lín e a s e lé c tr ic a s t a m ­ b ié n s o n im p o rta n te s . C u a n d o s e d is e ñ a u n a e s t r u c t u r a p a r a q u e d e s e m p e ñ e u n a fu n c ió n e s ­ p e c ífic a p a r a e l u s o p ú b lic o , e l in g e n ie r o d e b e c o n s i d e r a r s u s e g u r id a d , e s t é t i c a y f a c i li d a d d e m a n t e n i m i e n t o , y a la v e z t e n e r p r e s e n t e s la s l i m i t a n t e s e c o n ó m i c a s y a m b i e n ta l e s . A m e n u d o e s t o r e q u i e r e v a r io s e s t u d io s in d e p e n d i e n te s s o b r e la s d if e r e n te s s o lu c io n e s p o s i b le s a n te s d e to m a r u n a d e te r m in a c ió n fin a l s o b r e c u á l e s la f o r m a e s t r u c t u r a l m á s a d e c u a d a . E s t e p r o c e s o d e d is e ñ o e s ta n t o c re a tiv o c o m o té c n ic o y r e ­ q u ie r e u n c o n o c im ie n to f u n d a m e n ta l d e la s p ro p ie d a d e s d e lo s m a te ria le s y d e la s le y e s d e la m e c á n ic a q u e r ig e n l a r e s p u e s ta d e lo s m a te ria le s . U n a v e z p r o p u e s to e l d is e ñ o p r e l im in a r d e u n a e s tr u c tu r a , é s ta d e b e a n a liz a r s e p a r a a s e g u r a r q u e ti e n e la rig id e z y la f u e r z a n e c e s a r ia s . P a ra a n a liz a r a d e c u a d a m e n te u n a e s t r u c t u r a d e b e n h a c e r s e a lg u n a s id e a liz a ­ c io n e s s o b r e c ó m o s e c o n e c t a n y a p o y a n lo s e le m e n to s e n tr e s í. L a s c a r ­ g a s s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e c ó d ig o s y e s p e c ific a c io n e s lo c a le s , m ie n tr a s q u e la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s y su s d e s p la z a m ie n to s s e e n c u e n t r a n a p lic a n d o la t e o r í a d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l, q u e e s e l o b je t o d e e s tu d io d e e s te te x to . L o s r e s u lta d o s d e e s te a n á lis is p u e d e n e m p le a r s e p a r a re d is e ñ a r la e s tr u c tu r a , lo q u e im p lic a u n a d e te r m in a c ió n m ás p r e c is a d e l p e s o 4 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s y e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s . ft>r lo ta n t o , e l d is e ñ o e s t r u c t u r a l p r o v ie n e d e u n a s e r i e d e a p r o x i m a c i o n e s s u c e s iv a s e n la s q u e c a d a c ic lo r e q u i e r e u n a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n e s t e lib r o , e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e a p lic a a e s ­ tr u c tu r a s v in c u la d a s c o n la in g e n ie r ía civil; s in e m b a r g o , e l m é t o d o d e a n á lisis d e s c r ito ta m b ié n p u e d e s e g u ir s e e n e l c a s o d e e s t r u c tu r a s r e l a ­ c io n a d a s c o n o tr o s c a m p o s d e la in g e n ie ría . 1 .2 Clasificación de estructuras P a r a u n in g e n ie r o e s tr u c tu r a l e s i m p o r t a n te r e c o n o c e r lo s d is tin to s tip o s d e e le m e n to s q u e c o m p o n e n u n a e s t r u c t u r a , y s e r c a p a z d e c la s ific a r las e s t r u c tu r a s d e a c u e r d o c o n s u f o r m a y f u n c ió n . E n e s t e p u n to s e p r e s e n ­ ta r á n a lg u n o s d e lo s a s p e c t o s m e n c io n a d o s y p o s te r io r m e n te , e n e l m o ­ m e n t o a d e c u a d o a lo la r g o d e l te x t o .s e p r o f u n d iz a r á e n e llo s . E lem entos estructurales. A lg u n o s d e lo s e le m e n to s m á s c o m u ­ n e s d e lo s c u a le s e s t á n c o m p u e s ta s las e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s . O E => v a rilla b a rra L u á n g u lo canal s e c c io n e s tra n s v e r s a le s c o m u n e s te n so r b a n a Figura 1-1 v ig a s im p le m e n te a p o y a d a v ig a fija o e m p o tr a d a v ig a c o n tin u a Figura 1 -2 Tensores. L o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s o m e tid o s a u n a fu e r z a de te n s ió n s u e le n d e n o m i n a r s e te n s o r e s o p u n ta le s. D e b id o a la n a tu r a le z a d e la c a rg a d e s c r ita ,e s to s e le m e n to s tie n d e n a s e r d e lg a d o s y s u e le n e l e ­ g irse a p a r t i r d e v a rilla s , b a r r a s , á n g u lo s o c a n a le s , fig u ra 1-1. Vigas. ft>r lo g e n e r a l, la s v ig a s s o n e le m e n to s re c to s h o r iz o n ta le s q u e s e u s a n p r in c ip a lm e n te p a r a s o p o r t a r c a r g a s v e rtic a le s . C o n fr e c u e n c ia se c la s ific a n s e g ú n la fo r m a e n q u e e s t á n a p o y a d a s , c o m o s e in d ic a e n la fi­ g u ra 1-2. E n p a r tic u la r , c u a n d o la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l a v ig a v a ría , é s ta se c o n o c e c o m o v ig a a fila d a o e s t r e c h a d a . L a s s e c c io n e s tr a n s v e r s a ­ le s d e la s v ig a s ta m b ié n p u e d e n " c o n s tr u i r s e " a ñ a d ie n d o p la c a s e n su s p a r te s s u p e r io r e in f e rio r . L a s v ig a s se d is e ñ a n e n p r i n c ip i o p a r a r e s is t ir m o m e n to s d e fle x ió n ; s in e m b a r g o , s i u n a v ig a e s c o r ta y s o p o r ta g r a n d e s c a rg a s , la f u e r z a c o r ­ ta n t e in t e r n a p u e d e lle g a r a s e r b a s t a n te g r a n d e y r e g ir e l d is e ñ o d e la v ig a . C u a n d o e l m a te r ia l u tiliz a d o p a r a u n a v ig a e s u n m e ta l c o m o el a c e r o o e l a lu m in io , la se c c ió n tr a n s v e r s a l r e s u lta m á s e f ic ie n te s i t i e n e la fo r m a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-3. A q u í, las f u e r z a s d e s a r r o lla d a s e n la s a la s ( p a tin e s ) s u p e r io r e in f e r io r d e la v ig a f o r m a n e l p a r n e c e s a r io q u e s e u s a p a r a re s is tir e l m o m e n to M a p lic a d o , m ie n tr a s q u e e l a lm a e s e fic ie n te a l re s is tir la fu e rz a c o r ta n te V a p lic a d a . E s ta se c c ió n tra n s v e rs a l se c o n o c e c o m ú n m e n te c o m o " a l a a n c h a " . I o H , y s u e le f o r m a r s e c o m o u n a s o la u n id a d e n u n a la m in a d o r a c o n lo n g itu d e s d e h a s t a 75 p ie s ( 2 3 m ) . S i s e r e q u i e r e n lo n g itu d e s m á s c o r ta s s e p u e d e s e le c c io n a r u n a se c c ió n c ó ­ n ic a c o n a la s a h u s a d a s ( o p a tin e s e s tr e c h a d o s ) . S i e s n e c e s a r io q u e la v ig a te n g a u n c la r o m u y a m p lio y la s c a r g a s a p lic a d a s s o n b a s t a n te g r a n ­ d e s , la se c c ió n tr a n s v e r s a l p u e d e t o m a r la f o r m a d e u n a tra b e a r m a d a . E s te e l e m e n t o s e fa b r ic a u tiliz a n d o u n a p la c a g r a n d e p a r a e l a lm a , a la c u a l p a r a f o r m a r la s a la s s e le s u e l d a n o f ija n c o n p e r n o s p la c a s e n lo s e x ­ tr e m o s . 1.a t r a b e s u e le tr a n s p o r t a r s e a l c a m p o e n s e g m e n to s y é s t o s s e d i ­ s e ñ a n p a r a e m p a lm a r s e o u n ir s e e n t r e s í e n lo s p u n to s d o n d e l a tr a b e 1 .2 C la s if ic a c ió n d e estructuras 5 F ig u ra 1 -3 E s ta s t r a b e s d e c o n c r e t o p r e s i o n a d o e s tá n s o p o r ta u n m o m e n to in te r n o p e q u e ñ o . (V e a la f o to g r a f ía e n la p a r t e in fe r io r d e e s ta p á g in a ) . sim plem ente apoyadas y se em plean en un P uenle c a r r e t e r o . ft» r lo g e n e r a l , la s v ig a s d e c o n c r e t o t i e n e n s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s r e c ­ ta n g u la r e s p o r q u e e s t a f o r m a e s fácil d e c o n s t r u ir d ir e c ta m e n te e n el c a m p o . C o m o e l c o n c r e t o e s b a s t a n te d é b il e n c u a n to a s u re s is te n c ia a la te n s ió n , se c o lo c a n v a rilla s d e a c e r o d e r e f u e r z o d e n t r o d e la v ig a e n la s re g io n e s d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l s o m e tid a s a te n s ió n . D e l m is m o m o d o , las v ig a s o tr a b e s d e c o n c r e to p r e f a b r ic a d a s p u e d e n c o n s tr u ir s e e n u n t a ­ lle r o fá b r ic a p a r a d e s p u é s s e r t r a n s p o r t a d a s a l lu g a r d e tr a b a jo . L as v ig a s d e m a d e r a p u e d e n o b te n e r s e d e u n a p ie z a s ó lid a d e m a d e r a o la m in a r s e . L a s v ig a s la m in a d a s se c o n s tr u y e n c o n s e c c io n e s s ó lid a s d e m a d e r a u n id a s e n tr e s í m e d ia n te a d h e s iv o s d e a lt a re s is te n c ia . E l a ce ro d e re fu e rz o q u e s e o b serv a a d e ­ E n e s t a f o t o g r a f í a s e m u e s t r a n la s j u n t a s d e p la c a s e m p a l m a d a s q u e s e u s a n c o m ú n ­ r e c h a c iz q u ie r d a s e u t i l i z a p a r a r e s i s t i r c u a l ­ q u i e r te n s i ó n q u e p u d i e r a o r i g i n a r s e e n la s m e n t e p a r a c o n e c t a r la s t r a b e s d e a c e r o e n u n p u e n te c a rre te ro . v ig a s d e c o n c r e t o q u e s e f o r m a r á n a s u a l r e ­ d e d o r. C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s Los e le m e n to s de a la u s a r s e c o m o c o lu m n a s . ancha La s u e le n f o to g r a f ía p r e s e n ta u n e je m p lo d e u n a c o lu m n a d e v ig a ( a f l c x o c o m p r c s ió n ) . C o lu m n a s . L o s e le m e n to s q u e g e n e r a l m e n t e s o n v e rtic a le s y re s is te n c a r g a s d e c o m p r e s ió n a x ia l s e c o n o c e n c o m o c o lu m n a s , fig u ra 1-4. L as s e c c io n e s tr a n s v e rs a le s tu b u l a r e s y d e a la a n c h a s e s u e le n u tiliz a r p a r a c o lu m n a s d e m e ta l, y las s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s y c u a d ra d a s , c o n v a rilla s d e re f u e rz o , s e u tiliz a n p a r a la s c o lu m n a s d e c o n c r e to . E n o c a s io n e s , la s c o lu m n a s e s t á n s u j e ta s s i m u ltá n e a m e n te a u n a c a r g a a x ia l y a u n m o m e n to d e fle x ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-4. E s to s e l e ­ m e n to s s e d e n o m i n a n c o lu m n a s d e v ig a . Tipos de estructuras. I c o lu m n a L a c o m b in a c ió n d e lo s e le m e n to s e s t r u c tu ­ ra le s y lo s m a te r ia le s d e q u e e s t á n h e c h o s s e c o n o c e c o m o s is te m a e s tr u c ­ tu ra l. C a d a s i s te m a e s t á c o n s tr u id o c o n u n o o m á s d e lo s c u a tr o tip o s b á s ic o s d e e s tru c tu r a s . Si s e c la s ific a n p o r la c o m p le jid a d d e s u a n á lis is d e fu e rz a s , lo s ti p o s b á s ic o s d e e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s . Q ia n d o s e r e q u i e r e q u e e l c la r o d e u n a e s t r u c tu r a s e a ( ü iu m n a d e v ig a A rm a d u ra s . a g r a n d e y s u p r o f u n d id a d , o p e r a l te , n o e s u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a el d iserto , s e p u e d e e le g i r u n a a r m a d u r a . L a s a r m a d u r a s c o n s is te n e n e l e ­ m e n to s d e lg a d o s , p o r lo g e n e ra l c o lo c a d o s e n fo r m a tr ia n g u la r . L a s a r ­ m a d u r a s p la n a s se c o m p o n e n d e e le m e n to s u b ic a d o s e n e l m is m o p la n o y s e u tiliz a n p a r a e l s o p o r te d e p u e n te s y te c h o s , e n ta n t o q u e la s a r m a ­ d u r a s e sp a c ia le s ti e n e n e le m e n to s q u e s e e x tie n d e n e n tr e s d im e n s io n e s y s o n a d e c u a d a s p a r a g r ú a s y to r r e s . D e b id o a l a d is p o s ic ió n g e o m é t r i c a d e s u s e le m e n to s . la s c a r g a s q u e h a c e n q u e t o d a la a r m a d u r a s e d e f o r m e s e c o n v ie r te n e n f u e r z a s d e t e n ­ s i ó n o c o m p r e s ió n e n lo s e le m e n to s . E n c o n s e c u e n c ia , u n a d e la s p r in c i­ p a le s v e n ta ja s d e u n a a r m a d u r a e n c o m p a r a c ió n c o n u n a v ig a e s q u e u tiliz a m e n o s m a te r ia l p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a d e te r m i n a d a , fig u ra 1-5. A d e m á s , u n a a r m a d u r a se c o n s tr u y e a p a r t i r d e e le m e n to s la r g o s y d elg a d o s . q u e p u e d e n c o lo c a r s e d e v a ria s m a n e r a s p a r a s o p o r ta r u n a c a r g a . L a 1 .2 C la s if ic a c ió n d e estructuras l a s c a r g a s p r o v o c a n la fle x ió n d e u n a a r m a d u r a , la c u a l d e s a r r o l l a c o m p r e s i ó n e n s u s e l e m e n t o s s u p e r i o r e s y te n s i ó n e n lo s in f e r io r e s . H g u n i 1 -5 m a y o r ía d e la s v e c e s r e s u lta e c o n ó m ic a m e n te f a c tib le u s a r u n a a r m a ­ d u r a p a r a c u b r ir c la r o s q u e v a n d e s d e 3 0 p ie s (9 m e t r o s ) h a s ta 4 0 0 p ie s (1 2 2 m ) , a u n q u e e n o c a s io n e s s e h a n e m p l e a d o a r m a d u r a s p a ra c u b r ir c la r o s d e m a y o r lo n g itu d . C a b le s y a r c o s . O t r a s d o s f o r m a s d e e s tru c tu r a q u e se u s a n p a r a c u b rir d is ta n c ia s la r g a s s o n e l c a b le y e l a rc o . I\>r lo g e n e ra l, lo s c a b les s o n fle x i­ b les. s o p o r ta n c a rg a s e n te n s ió n y s e u tiliz a n c o m o s o p o r te e n p u e n te s , fi­ g u r a l- 6 a , y e n te c h o s d e ed ificio s. C u a n d o se u s a p a ra e s to s fin es, e l cab le tie n e u n a v e n ta ja s o b r e la v ig a y la a r m a d u r a , e n p a rtic u la r p a r a c la ro s m a ­ y o re s a 150 p ie s (4 6 m e tro s ). D a d o q u e lo s c a b le s s ie m p re e s tá n e n te n s ió n , n o se v o lv e rá n in e s ta b le s n i s e c o la p s a rá n d e m a n e r a s ú b ita c o m o p u e d e s u ­ c e d e r c o n las vigas o la s a rm a d u ra s . A d e m á s , l a a r m a d u r a r e q u e r iría c o s to s a d ic io n a le s p a ra s u c o n s tru c c ió n y u n p e ra lte m a y o r c o n fo r m e a u m e n te el c la ro . P b r o t r o la d o , e l u s o d e c a b le s s ó lo e s tá lim ita d o p o r s u c o lg a m ie n to , s u p e s o y lo s m é to d o s d e a n c la je q u e s e e m p le e n . E l a r c o lo g ra s u re s is te n c ia e n c o m p r e s ió n , p u e s t o q u e ti e n e u n a c u r v a ­ tu r a in v e r s a a la d e l c a b le . S in e m b a r g o , e l a r c o d e b e s e r r íg id o a fin d e m a n t e n e r s u f o r m a , lo q u e s e tr a d u c e e n c a r g a s s e c u n d a r ia s q u e in v o lu c ­ r a n fu e iz a s c o r t a n t e s y d e m o m e n to , q u e d e b e n c o n s id e r a r s e e n s u d i­ s e ñ o . L o s a r c o s se u s a n e n e s t r u c tu r a s p a r a p u e n te s , f ig u r a 1 -6 6 , te c h o s d e c ú p u la y a b e r t u r a s e n m u r o s d e m a n ip o s te r ía 8 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s ríg id a a rtic u la d a L o s e le m e n to s d e l m a r c o e s tá n s o m e tid o s a c a r g a s i n t e r n a s a x ia le s c o r ta n te s y d e m o m e n to . rígida a rtic u la d a lig a r a 1 -7 L o s m a rc o s s e s u e le n u s a r e n e d ific io s y e s t á n c o m p u e s to s p o r v ig a s y c o lu m n a s c o n e c t a d a s r íg id a m e n te o m e d i a n te a rtic u la c io n e s , fig u ra 1-7 . A l ig u a l q u e las v ig a s, lo s m a r c o s s e e x ti e n d e n e n d o s o tr e s d i ­ m e n s io n e s . L a c a r g a e n u n m a r c o o c a s io n a fle x ió n d e s u s e le m e n to s ; y s i tie n e c o n e x io n e s d e u n ió n ríg id a s, p o r lo g e n e ra l e s t a e s t r u c tu r a e s “i n d e ­ te r m i n a d a " d e s d e e l p u n to d e v is ta a n a lític o . L a r e s is te n c ia d e u n m a rc o d e e s t e tip o s e d e r i v a d e la s in te r a c c io n e s d e m o m e n to e n t r e las v ig a s y la s c o lu m n a s e n la s u n io n e s ríg id a s. M a rc o s . U n a e stru c tu r a s u p e r fic ia l e s tá h e c h a d e u n m a te r ia l q u e ti e n e u n e s p e s o r m u y p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n su s o t r a s d im e n s io n e s . S e Ies lla m a te n s o e s tr u c tu r a s c u a n d o e l m a t e r i a l e s m u y fle x ib le y p u e d e t o m a r l a fo r m a d e u n a t i e n d a d e c a m p a ñ a o u n a e s ­ tr u c t u r a in f la d a c o n a ir e . E n a m b o s c a s o s , e l m a t e r i a l a c tú a c o m o u n a m e m b r a n a q u e s e s o m e te a te n s ió n p u r a . L as e s t r u c tu r a s s u p e r fic ia le s ta m b ié n p u e d e n e s t a r h e c h a s d e u n m a t e ­ ria l ríg id o c o m o e l c o n c r e t o re f o rz a d o . E n ta le s c a s o s p u e d e n t e n e r la fo r m a d e p la c a s p le g a d a s .c ilin d r o s o p a r a b o lo id e s h ip e rb ó lic o s , y re c ib e n el n o m b r e d e p la c a s d e lg a d a s o c a sc a ro n e s. E s ta s e s t r u c tu r a s a c tú a n c o m o c a b le s o a rc o s , p u e s t o q u e s o p o r t a n c a r g a s s o b r e t o d o e n te n s ió n o c o m p r e s ió n ,y e x p e r im e n ta n m u y p o c a fle x ió n . N o o b s t a n te , la s e s t r u c ­ tu r a s d e p la c a o c a s c a r ó n s u e le n s e r m u y d ifíc ile s d e a n a liz a r , d e b id o a la g e o m e tr ía tr id im e n s io n a l d e s u s u p e rfic ie . U n a n á lis is d e e s t e tip o s e e n ­ c u e n tr a f u e r a d e l a lc a n c e d e l p r e s e n t e te x to ; s i n e m b a r g o , e x is te n lib r o s d e d ic a d o s p o r c o m p le to a e s e te m a . E s tr u c tu r a s s u p e r fic ia le s . L a f o t o g r a f ía m u e s t r a u n e j e m p l o d e m a r c o d e a c e ro q u e s e a s a p a ra s o s te n e r el rie l d e u n a g r ú a . S e s u p o n e q u e e l m a r c o e s t á u n id o r íg i d a m e n te e n s u s j u n t a s s u p e r io r e s y a r tic u ­ la d o e n b s a p o y o s. E l t e c h o d e l " D o m o d e G e o r g i a " e n A t la n ta , G e o rg ia , p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n a m e m ­ b r a n a d e lg a d a . 1 .3 Cargas U n a v e z q u e s e h a n d e f i n id o lo s r e q u is ito s d im e n s io n a le s p a r a u n a e s ­ tr u c tu r a , e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s c a rg a s q u e d e b e s o p o r ta r la e s t r u c ­ tu r a . L a a n tic ip a c ió n d e las d if e r e n t e s c a r g a s q u e s e im p o n d r á n a u n a e s t r u c tu r a s u e le p r o p o r c io n a r e l tip o b á s ic o d e e s tr u c tu r a q u e s e e le g irá p a ra e l d is e ñ o . I\>r e je m p lo , la s e s t r u c tu r a s m u y a lta s d e b e n s o p o r ta r g r a n d e s fu e r z a s la t e r a l e s c a u s a d a s p o r e l v ie n to , y e n to n c e s s e s e le c c io ­ n a n p a r e d e s p a r a c o r t a n t e y s is te m a s d e m a r c o tu b u la r , e n ta n t o q u e lo s e d if ic io s u b ic a d o s e n z o n a s p r o p e n s a s a te r r e m o t o s d e b e n d is e ñ a r s e c o n m a r c o s y c o n e x io n e s fle x ib le s. U n a v e z d e te r m i n a d a la fo r m a e s t r u c tu r a l, e l d is e ñ o r e a l c o m ie n z a c o n lo s e le m e n to s q u e e s t á n s u je to s a la s c a r g a s p r im a r ia s q u e d e b e s o p o r ta r la e s t r u c t u r a y p r o c e d e e n o r d e n s e c u c n c ia l a lo s d is tin to s e le m e n to s d e a p o y o h a s ta a lc a n z a r e l c im ie n to o b a s e . IY>r lo ta n to , e n u n e d if ic io p r i ­ m e r o s e d is e ñ a r ía la lo s a d e c a d a p iso , d e s p u é s la s v ig a s d e s o p o r t e , la s c o lu m n a s y, p o r ú ltim o , lo s c im ie n to s . D e m o d o q u e p a r a d is e ñ a r u n a e s t r u c tu r a e s n e c e s a r io e s p e c if ic a r p r i m e r o la s c a r g a s q u e a c tú a n e n e lla . L a c a rg a d e d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a s u e l e e s t a r e s p e c if ic a d a e n c ó ­ d ig o s. E n g e n e r a l , e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta t r a b a j a c o n d o s ti p o s d e c ó d ig o s : lo s c ó d ig o s g e n e r a le s d e c o n s tru c c ió n y lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o . I .o s c ó d ig o s g e n e ra le s d e c o n s tr u c c ió n e s p e c ific a n lo s re q u is ito s d e lo s o r ­ g a n is m o s g u b e r n a m e n ta le s p a r a las c a r g a s m ín im a s d e d is e ñ o e n la s e s ­ tr u c tu r a s y la s n o rm a s m ín im a s p a r a la c o n s tru c c ió n . L o s c ó d ig o s d e d is e ñ o p r o p o r c io n a n n o r m a s té c n ic a s d e ta l la d a s y s e u tiliz a n p a r a e s ta H e c e r lo s r e q u is ito s e n e l d is e ñ o re a l d e e s t r u c tu r a s . E n la ta b l a 1-1 se e n u n c ia n a lg u n o s d e lo s c ó d ig o s m á s im p o r t a n te s q u e s e a p lic a n e n la p rá c tic a . S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e lo s c ó d ig o s p r o p o r c io ­ n a n s ó l o u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l d is e ñ o . L a r e s p o n s a b ilid a d d e fin itiv a d e l d is e ñ o reca e e n e l in g e n ie r o e stru c tu ra lista . T A B L A 1 -1 C ó d ig o s C ódigos d e construcción g e n erales (e n E stad o s U nid o s) M ínim um Design l o a d s fo r B u ild in g s and O th er Structures, A S C E /S E I 7-10 (C argas d e d ise ñ o m ínim as p a ra edificios y o tras estructuras, A SC E /SE 1 7-10). A m erican Society o f Civil E ngineers. International B uilding C o d e (C ódigo in tern acio n al d e construcción). C ódigos d e D iseño Building C ode R equirem ents fo r R ein fo rced C oncrete (C ódigos d e re q u e ri­ m ientos d e construcción p a ra c o n c re to refo rzad o ). A m . C onc. Inst. ( A CI). M an u a l o f S teel C onstruction (M anual de construcción e n a c e ro ), A m erican Institutc o f S teel C on stru ctio n (A IS C ). Standard Specifications fo r H ig h w a y B ridges (E specificaciones e s tá n d a r p ara p uentes c a rre te ro s). A m erican A ssociation o f S tate H ighw ay and 'Iran sp o rtatio n O fficials (A A S H T O ). N ational D esign Specifications fo r W o o d C onstruction (Especificación n acional de d iseñ o p a ra la co n stru cció n e n m ad e ra ). A m erican R arest a n d P aper A ssociation (A F P A ). M anual f o r Railway E ngineering (M anual d e ingeniería fe rro v iaria), A m erican R ailw ay E n gineering A sso ciatio n (A R E A ). C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s D a d o q u e p o r lo c o m ú n u n a e s t r u c tu r a e s tá s o m e tid a a v a rio s tip o s d e c a rg a s, a c o n tin u a c ió n s e p r e s e n ta r á u n b re v e a n á lisis d e e s t a s c a r g a s p a ra ilu s tr a r la m a n e r a e n q u e d e b e n c o n s id e r a r s e su s e f e c to s e n la p rá c tic a . Cargas m uertas. I-a s ca rg a s m u e r ta s s o n lo s p e s o s d e lo s d iv e r s o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s y lo s p e s o s d e t o d o s lo s o b je t o s q u e e s t á n u n i­ d o s d e m a n e r a p e r m a n e n te a l a e s t r u c tu r a . ft>r lo ta n t o , la s c a r g a s m u e r ­ ta s d e u n e d if ic io s o n e l p e s o d e la s c o lu m n a s , v ig a s y tr a b e s , la lo s a d e l p is o , e l te c h o , p a r e d e s , v e n ta n a s , f o n t a n e r í a , in s ta la c io n e s e lé c tr ic a s y o tr o s a c c e s o rio s d iv e rs o s . E n a lg u n o s c a so s, u n a c a r g a m u e r ta e s t r u c tu r a l p u e d e e s tim a r s e d e m a n e r a s a tis f a c to r ia a p a r t i r d e fó r m u la s s e n c illa s b a s a d a s e n lo s p e s o s y ta m a ñ o s d e e s t r u c tu r a s s im ila re s . A tr a v é s d e la e x p e r ie n c ia ta m b ié n e s p o s ib le o b t e n e r u n a “ a p r e c ia c ió n " d e la m a g n itu d d e e s t a s c a rg a s. P o r e je m p lo , e l p e s o m e d io d e lo s e d if ic io s d e m a d e r a e s d e 4 0 a 5 0 I b /p ie 2 ( 1 .9 a 2 .4 k N /m 2) , p a r a lo s e d ific io s c o n e s t r u c tu r a d e a c e r o e s d e 6 0 a 75 lb /p ie ? (2 .9 a 3 .6 k N /m 2) ,y p a r a lo s e d ific io s d e c o n c r e t o r e f o r z a d o e s d e 110 a 130 Ib /p ie 2 (5.3 a 6 .2 k N /m 2). S in e m b a r g o , u n a v e z q u e s e h a n d e ­ te r m in a d o lo s m a te ria le s y lo s ta m a ñ o s d e lo s c o m p o n e n t e s d e la e s t r u c ­ tu r a , se p u e d e n e n c o n tr a r su s p e s o s a p a r t i r d e ta b la s q u e m u e s tr a n su s d e n s id a d e s . E n la ta b l a 1-2 s e e n u n c ia n las d e n s id a d e s d e lo s m a t e r i a le s q u e s e s u e ­ le n u s a r e n la c o n s tru c c ió n , y e n la ta b l a 1-3 p u e d e o b s e r v a r s e u n a p a r t e TA BLA 1 -2 D e n s id a d e s m ín im a s p a r a c a rg a s d e d i s e ñ o d e d i s t in t o s m a te r ia le s * Ib /p ie 3 A lum inio C oncreto, c o n c re to simple C oncreto. p ie d ra simple C oncreto, co n creto refo rzad o C oncreto, p ie d ra refo rzad a A rcilla, seca A rcilla, húm eda A re n a y g rav a, seca, su elta A re n a y g rav a, húm eda M anipostería, co n c re to só lid o ligero M anipostería, peso n orm al M ad era co n trach ap ad a A cero, e stirad o e n frío M adera, a b e to D o u g las M adera, p in o d e l su r M adera, p in o a b eto 170 108 144 111 150 63 110 100 120 105 135 36 492 34 37 29 k N /m 3 26.7 17.0 22.6 17.4 23.6 9.9 17.3 15.7 18.9 16.5 21.2 5.7 77.3 5.3 5.8 4.5 • R e p r o d u c i d o con p e rm ito d e la A m erican S odely o í Civil F.ngmeem, M ínimum fía ig n l.oads f o r fíu ild m g t a n d O dirr S a n caíres A S C E S E I 7-10 (C argas d e d s c f t o mínim as para e d if ic io s y o tra s Estructuras A SC E /S E I 7-10). Para adquirir copias d e este estándar d e A SC E acceda a l s it» «ww.pubs.asce.org. TA B LA 1 - 3 C a rg a s m u e r t a s m ín im a s d e d is e ñ o * I M uros p sf k N /m 2 ladrillo d e arcilla. 4 p u lg (102 m m ) ladrillo d e arcilla. 8 p u lg (203 m m ) ladrillo d e arcilla. 12 p u lg (305 m m ) 39 79 115 1.87 3.78 5.51 48 8 2.30 0.38 4 0.19 12 0.57 20 0.96 9 8 12 0.017 0.015 0.023 1 5 10 0.05 0.24 0.48 0.10 0.04 P articiones y m u ro s d e m arco M uros d e e n tra m a d o e x te rio r c o n revestim iento d e ladrillo V entanas, vidrio, m arco y h o ja E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m ) sin enyesar E ntram ados de m a d e ra d e 2 X 4 p u lg (51 X 102 m m ) enyesados d e un lado E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m ) enyesados p o r lo s d o s lados R elleno d e p is o C o ncreto d e cem ento, p o r pulgada (m m ) C b n creto ligero, sim ple, p o r p u lg ad a (m m ) C b ncreto d e p ied ra, p o r p u lg ad a (m m ) Techos lá m in a d e fibra acústica Yeso so b re m osaico o c o n c re to M alla de m etal susp en d id a y y e so rev o cad o Tejas de asfalto L ám ina d e fibra, | pulg (13 m m ) 2 0.75 'R e p r o d u c i d o c o n p e r m i s o d e U A m e r i c a n S o t í e l y o t C iv il E n g in c e i* . M ín im u m D a i g n L o a d s f o t B u i i d m g t a n d O d i r r S i r u c l u r r \ A S C E / S E I 7 - 1 0 ( C a r g a » d e d b e f l o m ín im a » p a r a e d if ic io » y o tr a * a t r u c t u r a * . A S C T / S E I 7 -1 0 ). d e l lis ta d o d e l p e s o d e lo s c o m p o n e n te s d e c o n s tr u c c ió n m ás c o m u n e s . A u n q u e e l c á lc u lo d e la s c a r g a s m u e r ta s c o n b a s e e n e l u s o d e d a to s t a ­ b u la d o s e s b a s t a n te s e n c illo , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e n m u c h o s a s ­ p e c to s e s t a s c a rg a s d e b e n e s tim a r s e e n la fa s e in ic ia l d e l d ise rto . E s ta s e s tim a c io n e s in c lu y e n m a t e r i a le s n o e s tr u c tu r a le s c o m o lo s p a n e le s d e fa c h a d a p r e f a b r ic a d o s , lo s s is te m a s e lé c tr ic o s y d e f o n t a n e r í a , e tc é te r a . In c lu so s i e l m a te r ia l e s tá e s p e c ific a d o , lo s p e s o s u n ita r io s d e lo s e le m e n ­ to s r e p o r ta d o s e n lo s c ó d ig o s p u e d e n v a r ia r r e s p e c to d e lo s d a t o s d e l f a ­ b ric a n te . y e l u s o p o s t e r i o r d e l e d if ic io p u e d e in c lu ir a lg u n o s c a m b io s e n la c a r g a m u e r ta . E n c o n s e c u e n c ia , la s e s tim a c io n e s d e la s c a r g a s m u e r ta s p u e d e n te n e r u n e r r o r d e 15 a 2 0 % o m ás. N o r m a lm e n te la c a r g a m u e r ta n o e s m u y g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n la c a r g a d e d is e rto e n e s t r u c tu r a s s im p le s , c o m o u n a v ig a o u n m a r c o d e u n a s o la p l a n t a ; sin e m b a r g o , p a ra e d if ic io s c o n v a rio s p is o s, e s im p o r ­ ta n t e c o n s id e r a r t o d a s la s c a r g a s m u e r ta s a fin d e d is e r ta r c o r r e c ta m e n te las c o lu m n a s , e n e s p e c ia l p a r a lo s p is o s in fe rio re s. 12 C a p it u l o E JE M P L O 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s 1.1 12 p u lg L a v ig a d e p is o q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1-8 se u tiliz a p a r a s o p o r ta r u n a lo s a d e c o n c re to lig e r o s im p le c o n 6 p ie s d e a n c h o y u n e s p e s o r de 4 p ulg . I-a lo sa s irv e c o m o u n a p a r t e d e l t e c h o d e la p l a n t a d e a b a jo , p o r lo q u e s u p a r t e in f e r io r e s t á c u b ie r ta c o n y eso . A d e m á s , u n m u r o de ta b iq u e s d e c o n c re to lig ero s ó lid o d e 8 p ie s d e a ltu r a y 12 p u lg d e e sp e so r, s e e n c u e n tr a d ir e c ta m e n te s o b r e e l a la s u p e r io r d e la v ig a . D e te rm in e la c a r g a e n la v ig a m e d id a p o r c a d a p ie d e lo n g itu d d e la viga. S O L U C IÓ N U s a n d o lo s d a t o s d e la s ta b la s 1-2 y 1-3, s e o b ti e n e : L o sa d e c o n c r e to : Y e so d e l l e c h o : F ig u ra 1 - 8 M u ro d e ta b iq u e s : C arg a to ta l (8 l b / ( p i e ? • p u l g ) ) ( 4 p u l g ) ( 6 p i e s ) = (5 l b /p ie 2) ( 6 p i e s ) — (105 lb /p ie 3) ( 8 p i e s ) ( 1 p i e ) - 1 9 2 lb /p ie 3 0 lb /p ic 8 4 0 Ib /p ie 10 6 2 I b /p ie - 1.06 k / p i e R esp . A q u í la u n id a d k s ig n ific a " k i p ” , q u e s im b o liz a k ilo lib ra s . P b r lo ta n to . 1 k = 1000 Ib. C argas vivas. L a s ca rg a s v iv a s p u e d e n v a r ia r ta n t o e n s u m a g n itu d c o m o e n s u u b ic a c ió n . L a s p u e d e c a u s a r e l p e s o d e o b je to s c o lo c a d o s p ro v is io n a lm e n te s o b r e u n a e s t r u c tu r a , v e h íc u lo s e n m o v im ie n to o f u e r ­ z a s n a tu r a le s . L a s c a r g a s v iv a s m ín im a s e s p e c ific a d a s e n lo s c ó d ig o s se d e te r m in a n c o n b a s e e n el e s t u d io d e la h is to r ia d e su s e f e c to s s o b r e e s ­ tr u c tu r a s e x is te n te s . P o r lo g e n e ra l e s t a s c a rg a s in c lu y e n u n a p r o te c c ió n a d ic io n a l c o n t r a u n a d e f o r m a c ió n e x c e s iv a o s o b r e c a r g a r e p e n t in a . E n el c a p ítu lo 6 s e d e s a r r o ll a r á n té c n ic a s p a r a e s p e c if ic a r l a u b ic a c ió n a d e ­ c u a d a d e la s c a r g a s v iv a s s o b r e la e s t r u c tu r a , d e f o r m a q u e c a u s e n el m a y o r e s f u e rz o o d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s . A c o n tin u a c ió n s e a n a li z a ­ r á n lo s d is tin to s ti p o s d e c a r g a s vivas. L a c a r g a v iv a s o b r e e l p i s o d e e s t e s a l ó n d e c la s e s c o n s is te e n lo s e s c r it o r io s , la s s illa s y e l e q u i p o d e la b o r a t o r i o . P a r a e l d is e ñ o , la N o r m a A S C E 7 -1 0 e s p e c if ic a u n a c a r g a d e 4 0 p s f o 1 .9 2 k N /m 2. C argas en e d ific io s . S e s u p o n e q u e lo s p iso s d e lo s e d ific io s e s t á n s o m e tid o s a ca rg a s v iv a s u n ifo r m e s q u e d e p e n d e r á n d e la f in a lid a d p a r a la c u a l s e d is e ñ ó e l e d if ic io . P o r lo g e n e r a l e s t a s c a r g a s s e e n c u e n t r a n ta b u la d a s e n lo s c ó d ig o s lo c a le s , e s ta ta le s o n a c io n a le s. E n la ta b l a 1 -4 se p r e s e n ta u n a m u e s tr a r e p r e s e n ta tiv a d e ca rg a s v iv a s m ín im a s ,l a s c u a le s s e to m a r o n d e la N o r m a A S C E 7 -1 0 . L os v a lo r e s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e d a to s h is tó ric o s d e la s c a r g a s a p lic a d a s a d is ti n to s e d ific io s . L a s c a rg a s m ín im a s in c lu y e n a lg ú n tip o d e p r o te c c ió n c o n t r a la p o s ib ilid a d d e s o ­ b r e c a r g a d e b i d o a s itu a c io n e s d e e m e r g e n c ia , c a r g a s d e c o n s tr u c c ió n y lo s r e q u is ito s d e u tilid a d d e b i d o a la v ib ra c ió n . A d e m á s d e las c a r g a s u n i ­ fo rm e s . a lg u n o s c ó d ig o s e s p e c if ic a n ca rg a s v iv a s c o n c e n tr a d a s m ín im a s , o c a s io n a d a s p o r c a r r o s m a n u a le s , a u to m ó v ile s , e t c é t e r a , q u e ta m b ié n d e b e n a p lic a rs e e n c u a lq u ie r p u n t o d e l s is te m a d e l p iso . P o r e je m p lo , e n e l d is e ñ o d e u n e s ta c io n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s s e d e b e n c o n s i d e r a r ta n t o la s c a r g a s v iv a s u n if o r m e s c o m o la s c o n c e n tra d a s . 1.3 TABLA 1 -4 CA3GAS 13 C a rg a s v iv a s m ín im a s O cu p a c ió n o u so C a rg a viva k N /m 2 p sf Z o n as d e reunión y te a tro s A sientos fijos A sientos m óviles E stacionam ientos (vehículos d e p asajero s so lam en te) Edificios d e oficinas Vestíbulos O ficinas A lm acén Ligero ftisado 60 100 50 2.87 4.79 2.40 100 50 4.79 2.40 125 250 6.00 11.97 O cu p a c ió n o u so R esidencial V iviendas (d e u n a y d o s fam ilias) H o tele s y casas m ultifam iliarcs H abitaciones p riv ad as y pasillos Salas públicas y pasillos Escuelas Salones d e clase Pasillos p o r en cim a d e la p rim e ra planta p sf C a rg a viva k N /m 2 40 1.92 40 1.92 100 4.79 40 80 1.92 3.83 'R e p ro d u c id o con perm iso d e MmOnum D ettgn l.oads fo r fíuildm gs a n d O d itr S tru a u rri. A SCF/SF1 7-10 ( C a r g u d e diserto mínimas p a ra edificios y olraa e s tr u c tu r a s . A S C E ^ S E I 7-10). P a r a a lg u n o s tip o s d e e d ific io s q u e ti e n e n p iso s c o n á r e a s m u y g r a n d e s m u c h o s c ó d ig o s p e r m itir á n u n a r e d u c c ió n d e la c a r g a v iv a u n if o r m e p a ra e l p is o ,p u e s t o q u e e s p o c o p r o b a b le q u e la c a rg a v iv a p r e s c r it a o c u r r a s i­ m u ltá n e a m e n te e n to d a la e s t r u c tu r a e n a lg ú n m o m e n to . P o r e je m p lo . A S C E 7 -1 0 p e r m i t e u n a r e d u c c ió n d e la c a rg a v iv a s o b r e u n e le m e n to q u e te n g a u n área d e in flu e n c ia ( K / j . A t ) d e 4 0 0 p i e s 2 (3 7 .2 n r ) o m ás. E s ta c a r g a v iv a r e d u c id a s e c a lc u la e m p l e a n d o la s ig u ie n te e c u a c ió n : ( U n id a d e s P L S ) d-1) L - L0(o.25 + ' ( U n id a d e s S I) V k u a t ) donde L = c a rg a v iv a d e d is e ñ o r e d u c id a p o r p ie c u a d r a d o o m e tr o c u a d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to . L 0 = c a rg a v iv a d e d is e ñ o s i n r e d u c i r p o r p i e c u a d r a d o o m e t r o c u a ­ d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to ( v e a la ta b l a 1-4). K , , = f a c to r d e la c a r g a v iv a d e l e le m e n to . P a r a c o lu m n a s in te r io r e s . K l l ~ 4. A t = á r e a tr ib u t a r ia e n p ie s c u a d r a d o s o m e tro s c u a d ra d o s .* 1.a c a r g a v iv a re d u c id a d e f in id a m e d i a n te la e c u a c ió n 1-1 s e lim ita a n o m e n o s d e l 5 0 % d e L „ p a r a e le m e n to s q u e s o s tie n e n u n p is o , o n o m e n o s d e l 4 0 % d e L„ p a ra e le m e n to s q u e s o p o r ta n m á s d e u n p is o . N o s e p e r ­ m ite la re d u c c ió n p a r a c a rg a s q u e e x c e d a n 100 Ib /p ie 2 (4 .7 9 k N /m ?). o p a ra e s t r u c tu r a s q u e s e u tilic e n e n s itio s d e r e u n i ó n p ú b lic o s , e s t a c io n a ­ m ie n to s o te c h o s . E n e l e je m p lo 1 -2 s e il u s t r a u n a a p lic a c ió n d e la e c u a ­ c ió n 1-1. •En la sección 2-1 se proporcionan ejemplos específicos de la determinación de áreas tri­ butarias para vigas y columnas. 14 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s E n ia f o to g r a f ía s e m u e s tr a u n e d if ic io d e o fic in a s d e d o s p is o s q u e tie n e c o lu m n a s in te r io r e s s e p a r a d a s p o r 2 2 p ie s d e d is ta n c ia e n d o s d ir e c c io n e s p e r p e n d i c u la r e s S i la c a r g a d e l te c h o ( p la n o ) e s d e 2 0 Ib /p ie 2, d e te r m i n e la c a rg a v iv a r e d u c id a q u e s o p o r ta u n a c o lu m n a in te r io r típ ic a s i tu a d a a n iv e l d e l p iso . 2 2 p ie s X X I— 2 2 p i e s - 4 - 2 2 p ie s — | H g u n i 1-9 S O L U C IÓ N C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-9, c a d a c o lu m n a in t e r i o r tie n e u n á r e a tr ib u t a r ia o á r e a c a r g a d a e fe c tiv a d e A r - (2 2 p ie s ) ( 2 2 p ie s ) - 484 p ie s 2. P o r lo ta n t o , u n a c o lu m n a d e la p l a n t a b a ja s o p o r ta u n a c a rg a v iv a e n e l t e c h o d e F „ = (2 0 l b / p i e 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 9 6 8 0 Ib = 9 .6 8 k E s ta c a r g a n o p u e d e r e d u c ir s e p o r q u e n o e s u n a c a rg a e n e l p iso . P a r a e l s e g u n d o p is o , la c a rg a v iv a s e to m a d e l a t a b l a 1-4: L a = 50 Ib /p ie 2. C o m o K I L = 4 , e n to n c e s AA T = 4 (4 8 4 p ie s 2) = 1936 p ie s 2 y 1 9 3 6 p ie s 2 > 4 0 0 p ie s 2, l a c a r g a v iv a p u e d e re d u c irs e m e d i a n te la e c u a c ió n 1.1. ft> r lo ta n t o , A q u í, la re d u c c ió n d e la c a rg a e s (2 9 .5 5 /5 0 )1 0 0 % = 5 9 .1 % > 5 0 % . M u y b ie n ! l\> r lo ta n t o , F f = (2 9 .5 5 lb / p ie 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 1 4 3 0 0 1 b = 14.3 k E n to n c e s , la c a r g a v iv a to t a l s o p o r ta d a p o r la c o lu m n a d e la p la n ta b a ja es. F = F ff + F F = 9 .6 8 k + 14.3 k = 2 4 .0 k R esp . 1 .3 C argas Cargas en p u en tes carreteros. L a s c a r g a s v iv a s p rin c ip a le s e n lo s c la r o s d e u n p u e n te s o n la s o c a s io n a d a s p o r e l trá fic o , y la c a rg a m á s p e s a d a d e v e h íc u lo s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e s la c a u s a d a p o r u n a s e r ie d e c a m io n e s . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a la s c a rg a s d e c a m io n e s e n p u e n ­ te s c a r r e t e r o s s e r e g is tr a n e n la L R F D fir id g e D e sig n S p e c ific a tio n s (E s ­ p e c ific a c io n e s p a r a e l d is e rto d e p u e n te s ) d e la A m e r ic a n A s s o c ia tio n o f S ta te a n d H ig h w a y IV a n sp o rta tio n O ffic ia ls ( A A S H T O ) . P a r a c a m io n e s d e d o s e je s , e s t a s c a r g a s s e d e s ig n a n c o n u n a H . s e g u id a p o r e l p e s o d e l c a m ió n e n to n e la d a s y o t r o n ú m e r o q u e p ro p o r c io n a el a rto d e las e s p e c i­ fic a c io n e s e n e l c u a l se r e p o r tó la c a r g a . Ix>s p e s o s d e lo s c a m io n e s d e la s e r i e H v a r ía n d e 10 a 2 0 to n e la d a s . S in e m b a r g o , lo s p u e n te s u b ic a d o s e n la s p r in c ip a le s c a r r e t e r a s q u e lle v a n u n a g r a n c a n tid a d d e trá fic o , se d is e rta n c o m ú n m e n te p a r a c a m io n e s d e d o s e je s m á s u n s e m ir r e m o lq u e d e u n e je c o m o e l d e la fig u ra 1 -1 0 . É s ta s s e d e n o m in a n c a r g a s H S. P o r lo g e n e r a l la s e le c c ió n d e u n a c a rg a d e c a m ió n p a r a u n d is e rto d e p e n d e d e l tip o d e p u e n te , s u u b ic a c ió n y la c la s e d e tr á f ic o p re v is to . E n la s e s p e c ific a c io n e s ta m b ié n se r e p o r t a e l ta m a r to d e l “ c a m ió n e s t á n d a r " y la d is tr ib u c ió n d e s u p e so . A u n q u e s e s u p o n e q u e lo s c a m io ­ n e s e s t á n e n la a u to p i s t a , n o to d o s lo s c a r r ile s e n e l p u e n te d e b e n e s t a r c a r g a d o s c o n u n a fila d e c a m io n e s p a r a o b t e n e r l a c a r g a c rític a , p u e s to q u e u n a c a rg a s e m e ja n te s e r ía m u y im p r o b a b le . L o s d e ta l le s s e a n a liz a n e n e l c a p ítu lo 6. Cargas en puentes fe rro v ia rio s . L as c a rg a s s o b re p u e n te s fe ­ rr o v ia rio s . c o m o e l d e l a fig u ra 1-11, s e r e p o r t a n e n la s S p e c ific a tio n s f o r S te e l R a ilw a y B r id g e s (E s p e c ific a c io n e s p a r a p u e n te s f e r r o v ia r io s d e a c e r o ) p u b lic a d a s p o r la A m e r ic a n R a ilro a d E n g in e e r s A s s o c ia tio n ( A R E A ) . N o r m a lm e n te , p a r a e l d is e rto s e u tiliz a n la s c a r g a s E c o m o la s c o n c ib ió o r ig in a lm e n te T T ieo d o re C o o p e r e n 1894. D e s d e e n to n c e s . B. S te in m a n n h a a c tu a liz a d o la d is tr ib u c ió n d e c a r g a s d e C o o p e r e id e a d o u n a s e r i e d e c a r g a s M . a c tu a lm e n te a c e p ta d a s p a r a e l d iserto . D a d o q u e las c a r g a s d e u n t r e n im p lic a n u n a s e r i e c o m p lic a d a d e fu e r e a s c o n c e n ­ tr a d a s p a r a s im p lific a r lo s c á lc u lo s m a n u a le s , e n o c a s io n e s s e u tiliz a n t a ­ b las y g rá f ic a s e n c o m b in a c ió n c o n lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a o b t e n e r la c a r g a c rític a . T a m b ié n s e u s a n p r o g r a m a s d e c o m p u ta c ió n p a r a e s te p ro p ó s ito . H g u ra 1-10 1 5 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s Cargas d e im pacto. L o s v e h íc u lo s e n m o v im ie n to p u e d e n r e b o t a r o d e s p la z a r s e l a t e r a l m e n t e m ie n tr a s a v a n z a n p o r u n p u e n te , p o r lo ta n t o p u e d e n tr a n s m i ti r u n im p a c to a la c u b ie r ta . E l p o r c e n t a je d e a u m e n t o d e la s c a r g a s v iv a s d e b id o a l im p a c to s e d e n o m i n a fa c to r d e im p a c to , I. P o r lo g e n e r a l , e s te f a c t o r s e o b ti e n e d e fó r m u la s d e s a r r o lla d a s a p a r t i r d e la e v id e n c ia e x p e r im e n ta l. P o r e je m p lo , p a r a p u e n te s c a r r e te r o s la s e s p e c i­ fic a c io n e s d e l a A A S H T O r e q u i e r e n q u e / = L + 12S p e r o n o m a y o r a 0 .3 d o n d e L e s la lo n g itu d e n p ie s d e l c la r o q u e e s t á s o m e tid o a l a c a rg a viva. E n a lg u n o s c a s o s ta m b ié n e s n e c e s a r io t o m a r p re v is io n e s p a r a la c a rg a d e im p a c to s o b r e la e s t r u c tu r a d e u n e d ific io . P o r e je m p lo , la N o rm a A S C E 7 -1 0 r e q u i e r e q u e e l p e s o d e la m a q u in a r ia d e lo s a s c e n s o r e s se in c r e m e n te 1 0 0 % , y q u e la s c a r g a s s o b r e c u a le s q u ie r s o p o r te s u tiliz a d o s p a ra s o s te n e r lo s p is o s y b a lc o n e s s e in c r e m e n te n 3 3 % . Cargas del v ie n to , c u a n d o la s e s t r u c tu r a s b lo q u e a n e l f lu jo d e l v ie n to , la e n e r g ía c in é tic a d e l v ie n to s e c o n v ie r te e n e n e r g ía p o te n c i a l d e p r e s ió n , la c u a l o c a s io n a u n a c a r g a d e v ie n to . E l e f e c to d e l v ie n to s o b r e u n a e s t r u c tu r a d e p e n d e d e la d e n s id a d y l a v e lo c id a d d e l a ir e , e l á n g u lo d e in c id e n c ia d e l v ie n to , la f o r m a y la rig id e z d e la e s t r u c t u r a y la ru g o s i­ d a d d e s u s u p e r f ic ie . P a r a p r o p ó s ito s d e d is e ñ o , las c a r g a s d e l v ie n t o p u e ­ d e n a b o r d a r s e m e d ia n te u n m é to d o e s tá tic o o d in á m ic o . P a r a e l m é to d o e s tá tic o , la p r e s ió n f lu c tu a n te o c a s i o n a d a p o r u n v ie n to q u e s o p l a c o a s ta n te m e n te s e a p r o x im a m e d i a n te u n a p r e s ió n d e v e lo c i­ d a d m e d ia q u e a c tú a s o b r e la e s tr u c tu r a . E s ta p r e s ió n q e s tá d e f in id a p o r s u e n e r g ía c in é tic a , q = jp V '2. d o n d e p e s la d e n s i d a d d e l a i r e y V e s s u v e lo c id a d . D e a c u e r d o c o n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , e s t a e c u a c ió n s e m o d i­ fic a a fin d e t o m a r e n c u e n ta la im p o r ta n c ia d e la e s t r u c t u r a .s u a lt u r a , y e l t e r r e n o e n q u e s e lo c a liz a . S e r e p r e s e n ta c o m o q . = 0 . m 5 6 K . K 3 K d V 2 ( l b / p i e 2) q ; = Q.f>\2>K; K :, K d V 2 { N / m 1) ( 1- 2) donde V = la v e lo c id a d e n m illa s p o r h o r a (m /s ) d e u n a r á f a g a d e v ie n to d e 3 s e g u n d o s m e d id a a 3 3 p ie s (1 0 m ) d e l s u e lo . lx»s v a lo r e s e s p e c ífic o s d e p e n d e n d e la “ c a te g o r ía " d e la e s t r u c tu r a o b te n i d a a p a r t i r d e u n m a p a e ó lic o . P o r e je m p lo , a l in t e r i o r d e l te r r it o r i o 1 .3 L o s v ie n to s d e u n h u r a c á n c a u s a r o n e s t o s d a t o s a u n c o n d o m i ­ n io e n M ia m i. F l o r i d a . c o n tin e n ta l d e E s ta d o s U n id o s s e r e p o r ta u n a v e lo c id a d d e l v ie n to d e 105 m i/h ( 4 7 m /s ) s i l a e s t r u c t u r a e s u n e d if ic io d e u so a g ríc o la o d e a lm a c e n a m ie n to , y a q u e u n a f a lla d e la e s t r u c tu r a r e p r e s e n ta u n b a jo rie s g o p a r a la v id a h u m a n a . M a s e n e l c a s o d e la e s t r u c tu r a d e u n h o s p ita l, l a v e lo c id a d d e l v ie n t o e s d e 120 m i/h (5 4 m /s), p u e s s u f a lla p o d r í a o c a s io n a r u n a im p o r ta n te p é r d id a d e v id a s h u m a n a s . K t = e l c o e f ic ie n te d e e x p o s ic ió n a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d , la c u a l e s u n a fu n c ió n d e la a lt u r a y d e p e n d e d e l te r r e n o . E n la ta b l a 1-5 se lis ta n lo s v a lo r e s d e u n a e s t r u c tu r a q u e s e e n c u e n t r a a t e r r e n o a b ie r to , c o n o b s tr u c c io n e s b a ja s d is p e rs a s . K ;, = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta lo s a u m e n t o s d e l a v e lo c id a d d e l v ie n to d e b i d o a c o lin a s y a c a n t i l a d o s P a r a e l t e r r e n o p la n o K t l = 1 .0 . K d = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta la d ir e c c ió n d e l v ie n to . S e u s a s ó l o c u a n d o la e s t r u c t u r a e s tá s o m e ti d a a c o m b in a c io n e s d e c a r g a s (v e a la se c c ió n 1-4). C u a n d o e l v ie n t o a c t ú a p o r s í s o l o , K d ■ 1.0. T A B LA 1 -5 C o e f ic ie n t e d e e x p o s ic ió n a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d p a r a t e r r e n o s c o n o b s t r u c c io n e s b a ja s . 7 p ie s 0-15 20 25 30 40 50 m 0 -4 .6 6.1 7.6 9.1 12.2 15.2 085 090 094 098 1.04 1.09 ¡ C argas 1 7 1 8 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s P re sió n d e d is e ñ o d e l v ie n to p a r a e d ific io s c e r r a d o s . U n a v e z q u e s e h a o b te n id o e l v a lo r p a r a q t , s e p u e d e d e te r m i n a r la p r e s ió n d e d is e ñ o a p a r t i r d e u n a li s t a d e la s e c u a c io n e s p e r t in e n t e s e s t ip u la d a s e n la N o rm a A S C E 7 -1 0 . L a e le c c ió n d e p e n d e d e la fle x ib ilid a d y la a lt u r a d e la e s ­ t r u c tu r a , y s i e l d is e ñ o e s tá d ir ig id o a l s i s te m a p rin c ip a l p a r a la r e s is t e n ­ cia d e l v ie n to o p a r a lo s c o m p o n e n t e s d e la c o n s tr u c c ió n y el r e v e s tim ie n to . P o r e je m p lo , m e d ia n te u n ‘• p ro c e d im ie n to d i r e c d o n a l " la p r e s ió n d e l v ie n to s a b r é u n e d if ic io c e r r a d o d e c u a lq u ie r a lt u r a s e d e t e r ­ m in a a p a r t i r d e u n a e c u a c ió n d e d o s té r m in o s q u e r e s u lta d e la s p r e s i o ­ n e s ta n t o e x te r n a s c o m o in te r n a s , e s d e c ir . P = <lGCP ~ R h iG C p i) d -3 ) A quí E l v ie n to q u e s o p la s o b r e u n m u ro te n d e rá a q = q . p a ra e l m u r o e n b a r lo v e n to a la a l t u r a z s o b r e e l s u e lo ( e c u a c ió n 1- 2 ) , y < /= « //, p a r a e l m u ro e n s o ta v e n to , las p a r e d e s la t e r a l e s y e l t e c h o , d o n d e z = / i . l a a l t u r a m e d ia cfel te c h o . G = f e c to r d e l e f e c to d e la r á f a g a d e v ie n to , q u e d e p e n d e d e la e x p o s ic ió n . P o r e je m p lo , p a r a u n a e s t r u c tu r a ríg id a . G - 0.85. Cp = c o e fic ie n te d e p r e s ió n d e u n a p a r e d o u n te c h o d e te r m i n a d o a p a r t i r d e u n a ta b l a . E n la f ig u r a 1-12 se p r e s e n ta n e s to s v a lo r e s ta b u l a d o s p a r a la s p a r e d e s y u n p a s o d e l te c h o d e 0 = 10°. O b s e r v e e n la v is ta d e e le v a c ió n q u e la p r e s ió n v a r ía c o n la a lt u r a e n e l la d o d e b a r l o v e n to d e la c o n s tru c c ió n , m ie n tr a s q u e e n lo s la d o s r e s ta n te s y e n el t e c h o se s u p o n e q u e la p r e s ió n e s c o n s t a n te . L o s v a lo r e s n e g a tiv o s in d ic a n p r e s io n e s q u e a c tú a n f u e r a d e la su p e rfic ie . v o l t e a r u n e d if ic io o h a c e r q u e s e la d e e . P a r a e v i t a r e s t o , lo s in g e n ie r o s s u e l e n u s a r a r r i o s ­ tra m ie n te s c ru z a d o s p a ra p ro p o r c io n a r e s ­ ta b i l i d a d . V e a t a m b i é n la p á g i n a 4 6 . ( G C p l) = el c o e f ic ie n te d e la p r e s ió n in te r n a , q u e d e p e n d e d e l tip o d e a b e r t u r a s e n e l e d ific io . P a r a lo s e d if ic io s c o m p l e ta m e n te c e r r a d o s (G C p í) = ± (1 1 8 . A q u í lo s s ig n o s in d ic a n q u e e fe n tro d e l e d if ic io p u e d e o c u r r i r p r e s ió n p o s itiv a o n e g a tiv a (s u c c ió n ). A l a p li c a r l a e c u a c ió n 1 -3 im p lic a r á c á lc u lo s d e la s p r e s io n e s d e l v ie n to d e c a d a la d o d e l e d ific io , c o n la s d e b id a s c o n s id e r a c io n e s p a r a la p o s ib i­ lid a d d e p r e s io n e s p o s itiv a s o n e g a tiv a s q u e a c tú a n s o b r e e l in t e r i o r d e l ed ific io . 1 .3 «fcGC, S u p e rfic ie L /B U so con P a re d en Todos b a r lo v e n to la s v a lo re s P a re d en s o ta v e n to P a re d e s la te ra le s 0 .8 Á n g u lo fí d e b a rlo v e n to íi D ire c c ió n d e l v ie n to 0 -1 2 S4 -0 3 -0 3 -0 2 •b, Todos le s v a lo re s -0 .7 Qk N o rm a l a la c r e s ta C o e f ic ie n te s d e p re s ió n s o b re u n a p a r e d , C r A n g u lo d e s o ta v e n to h /L 10° 0 -1 0 ° *025 05 > 1 .0 -0 7 -0 9 -0 3 -0 3 -L 3 -0 .7 C o e f ic ie n te s d e p r e s ió n n e g a tiv o s m á x im o s e n e l te c h o . C r p a r a s u u so c o n <•) (b> fig u ra 1-12 P a r a e d ific io s d e g r a n a h u r a o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a f o r m a o u n a u b ic a c ió n q u e lo s h a c e s e n s ib le s a l v ie n to , s e r e c o m ie n d a e l u s o d e u n m é to d o d in á m ic o p a ra d e t e r m i n a r la s c a rg a s d e l v ie n to . L a m e to d o lo g ía p a ra h a c e r e s t o ta m b ié n s e in d ic a e n la N o rm a A S C E 7 -1 0 . É s ta im p lic a p r u e b a s e n tú n e l d e v ie n to , la s c u a le s s e re a liz a n s o b r e u n m o d e lo a e s ­ c a la d e l e d if ic io y la s c o n s tru c c io n e s q u e lo r o d e a n , c o n e l f i n d e s im u la r e l a m b i e n te n a tu r a l. L o s e f e c t o s d e la p r e s ió n d e l v ie n to s o b r e e l e d if ic io p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r tir d e tr a n s d u c to r e s d e p r e s ió n c o n e c ta d o s al m o d e lo . A d e m á s , si e l m o d e lo ti e n e c a r a c te r ís tic a s d e r ig id e z q u e s e e n ­ c u e n tr a n e n la e s c a la a d e c u a d a p a r a e l e d ific io , ta m b ié n p u e d e n d e t e r m i ­ n a rs e la s d e fle x io n e s d in á m ic a s d e l e d ific io . C argas 19 2 0 C a p it u l o E JE M P L O 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s 1 .3 E l e d if ic io c e r r a d o q u e se m u e s tr a e n la fo to g ra fía y e n l a fig u ra l- 1 3 a s e u tiliz a c o n fin e s d e a lm a c e n a m ie n to y s e e n c u e n t r a e n la s a f u e r a s d e C h ic a g o , ! l lin o is ,e n u n t e r r e n o p la n o y a b ie r to . Si e l v ie n to ti e n e la d ire c c ió n q u e se m u e s tr a , d e te r m i n e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e d is e ñ o q u e a c tú a s o b r e e l te c h o y lo s la te r a le s d e l e d if ic io e m p l e a n d o la s e s p e c ific a c io n e s A S C E 7 -1 0 . S O L U C IÓ N E n p r im e r lu g a r , la p r e s ió n d e l v ie n t o se d e t e r m i n a r á m e d i a n te la e c u a c ió n 1-2. L a v e lo c id a d b á s ic a d e l v ie n t o e s V = 105 m i/h . p u e s t o q u e e l e d if ic io se u tiliz a p a r a a lm a c e n a m ie n to . A d e m á s , p a r a u n te r r e n o p la n o , K ¡, = 1.0. C o m o s ó lo se e s t á c o n s id e r a n d o la c a r g a d e l v ie n to , K d = 1.0. P o r lo ta n t o , q z = 0 .0 0 2 5 6 K zK a K d V 2 = 0 .0 0 2 5 6 K r (1 .0 ) ( 1 .0 ) ( 1 0 5 ) 2 = 2 8 .2 2 K z A p a r t i r d e la fig u ra 1-13 a , A ' = 75 t a n 10° = 13.22 p ie s d e m o d o q u e la a ltu r a m e d ia d e l te c h o e s h “ 2 5 + 1 3 .2 2 /2 - 31.6 p i e s S i se e m p l e a n lo s v a lo r e s d e K z d e la ta b l a 1.5. lo s v a lo r e s c a lc u la d o s d e l p e rf il d e la p r e s ió n s e lis ta n e n la ta b l a d e la fig u ra 1 -1 3 6 . O b s e r v e q u e e l v a lo r d e K : se d e te r m i n ó p o r in te r p o la c ió n lin e a l p a r a z = h , e s d e c ir . (1 .0 4 0 .9 8 )/(4 0 - 3 0 ) = (1 .0 4 - K .) /( 4 0 - 3 1 .6 ), K . - 0 .9 9 0 . d e m o d o q u e qh = 2 8 .2 2 (0 .9 9 0 ) = 2 7 .9 lib ra s p o r p ie c u a d r a d o (p s f ) . P a r a a p lic a r la e c u a c i ó n 1-3 , e l f a c t o r d e r á f a g a e s G = 0 .8 5 , y ( G C pi) = ± 0 .1 8 . P o r lo ta n to , P = 9G C P - q h(G C pi) = <7(0.85)Cp - 2 7 .9 ( ± 0 .1 8 ) = 0 .8 5 ^ C P =F 5 .0 3 (1 ) L a s c a r g a s d e p r e s ió n s e o b ti e n e n a p a r tir d e e s ta e c u a c ió n c o n lo s v a ­ lo r e s c a lc u la d o s p a r a q . q u e se lis ta n e n l a ta b la d e la fig u ra 1 -1 3 6 ,d e a c u e r d o c o n e l p e rf il d e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e la fig u ra 1- 1 2 . z(p¡es) 0-15 20 25 h = 31.6 K, 0.85 0.90 0.94 0990 (b) q , (psf) 24.0 25.4 26.5 27.9 P a re d e n b a r lo v e n t o . A q u í la p r e s ió n v a r ía c o n la a l t u r a z p u e s to q u e d e b e u s a r s e q zG C p. P a ra to d o s lo s v a lo r e s d e L / f í , C p = 0 .8 . p o r b q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) , P o -is = 11.3 p s f o 2 1 .3 p s f p ío = 12.2 p s f o 22.3 p s f P25 = 13.0 p s f o 23.1 p s f A q u í l . / B = 2 ( 7 5 ) /1 5 0 = l . d e m o d o q u e Cp = -0.5. A d e m á s ,«/ = q h p o r lo q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) , P a re d e n s o ta v e n to . p= - 1 6 .9 p s f o - 6 8 4 psf P a r e d e s la te r a le s . P a r a to d o s lo s v a lo r e s d e L / B . Cp = 0.7, y c o m o d e b e u tiliz a r s e q = q h. e n la e c u a c ió n ( 1 ) , s e tie n e p = - 2 1 .6 p s f o - 1 1 .6 p sf A q u í h / L = 3 1 .6 /2 ( 7 5 ) = 0.211 < 0 .2 5 , p o r b q u e C p = - 0 . 7 y q = q h. P o r lo ta n to , T e c h o e n b a r lo v e n t o . p = - 2 1 .6 p s f o - 11.6 p s f T e c h o e n s o t a v e n t o . E n e s t e c a s o , C p = - 0 . 3 ; p o r lo ta n t o , c o n q = qh se o b ti e n e p = -1 2 .2 p sfo - 2 0 9 p sf E s to s d o s c o n ju n t o s d e c a r g a s s e m u e s tr a n e n la e le v a c ió n d e l e d ific io , b q u e r e p r e s e n ta u n a p r e s ió n in te r n a e n e l e d if ic io p o s itiv a o n e g a ­ tiv a (s u c c ió n ), fig u ra l- 1 3 c . L a e s tr u c tu r a p rin c ip a l d e la c o n s tru c c ió n d e b e r e s is t ir e s t a s c a r g a s ; lo m is m o o c u r r e c o n las c a r g a s p o r s e p a r a d o c a lc u la d a s a p a r tir d e l v ie n t o q u e s o p la e n la p a r t e d e l a n t e r a o la t r a ­ s e r a d e l e d ific io . (c) C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s P re sió n d e l v ie n to d e d is e ñ o p a r a e sp e c ta c u la r e s. Si la e s t r u c tu r a r e p r e ­ s e n t a u n e s p e c ta c u la r , e l v ie n t o p r o d u c e u n a f u e r z a r e s u lta n t e q u e a c tú a s o b r e la c a r a d e l a e s t r u c t u r a y q u e s e d e te r m i n a a p a r t i r d e F = q hG C f A , (1 -4 ) A quí q h = la p r e s ió n d e l v ie n to e v a lu a d a a l a a l t u r a h , m e d id a d e s d e e l s u e lo h a s ta la p a r t e s u p e r io r d e l e s p e c ta c u la r . G = la c to r d e l c o e f ic ie n te d e r á f a g a d e v ie n to y a d e f in id a a n te s . C f = u n c o e f ic ie n te d e f u e r z a q u e d e p e n d e d e la re la c ió n d e a s p e c to ( a n c h o B d e l e s p e c t a c u la r s o b r e s u a l t u r a s \ y la re la c ió n d e á r e a S b re ( a l t u r a s d e l e s p e c t a c u la r s o b r e la e le v a c ió n h , m e d id a d e s d e d s u e l o h a s t a la p a r t e s u p e r io r d e la e s t r u c tu r a ) . P a r a lo s c a s o s e n q u e e l v ie n t o se d ir ig e e n f o r m a n o r m a l h a c ia e l c e n t r o d e l e s p e c ­ ta c u la r. p a r a B / s ■= 4 . lo s v a lo r e s se lis ta n e n la ta b l a 1.6. A , = d á r e a d e la c a r a d e l e s p e c t a c u la r e n p ie s 2 (m 2). TABLA 1 -6 C o e f íd e n t e s d e fu e r z a p a r a e s p e c ta c u la r e s s ó lid o s p o r I e n c im a d e l s u e lo , C f s /h Cf 1 0.9 0.5 0.2 £ 0 .1 6 1.35 1.45 1.70 1.80 1.85 P a r a p e r m itir la s d ir e c c io n e s n o r m a l y o b lic u a d e l v ie n to , s e s u p o n e q u e la f u e r z a r e s u lta n te c a lc u la d a a c tú a y a s e a a tr a v é s d e l c e n tr o g e o ­ m é tr ic o d e la c a r a d e la s e ñ a l , o e n o t r o s lu g a r e s e s p e d f i c o s e n la c a r a d e la s e ñ a l, lo s c u a le s d e p e n d e n d e la s r e l a c io n e s s / h y B / s . w \ I l o s v ie n to s h u r a c a n a d o s q u e a c t ú a n s o b r e I la c a r a d e e s t e e s p e c t a c u l a r s o n l o b a s ta n te fu e rte s c o m o p a r a d o b la r n o ta b le m e n te M . f ll a • * lo s d o s b r a z o s d e s o p o r t e y o c a s i o n a r la f lu e n c ia d e l m a te r ia l. E s t o p u d o e v ita r s e c o n u n d is e ñ o a d ec u a d o . 1 .3 Cargas de nieve. E n a lg u n a s p a r t e s d e E s ta d o s U n id o s la c a rg a s o b r e e l te c h o d e b i d a a la n ie v e p u e d e s e r m u y g r a v e ; p o r lo ta n to , p r o t e ­ g e r e l te c h o c o n t r a p o s ib le s fa lla s e s u n a p re o c u p a c ió n p r im o r d ia l. R »r lo c o m ú n , la s c a r g a s d e d is e rto d e p e n d e n d e la f o r m a g e n e r a l d e la c o n s ­ tr u c c ió n y la g e o m e tr ía d e l te c h o , la e x p o s ic ió n a l v ie n to , la u b ic a c ió n , s u im p o rta n c ia , y s i s e u s a o n o c a le fa c c ió n . D e l m is m o m o d o q u e p a r a e l v ie n to , e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 se d e t e r m i n a n la s c a r g a s d e la n i e v e ,p o r lo g e n e r a l a p a r t i r d e u n m a p a d e la z o n a c o n lo s r e p o r te s d e lo s p e r io d o s d e r e c u r r e n c ia d e la p r o f u n d id a d e x tr e m a d e la n ie v e e n u n p e r i o d o d e 5 0 artos. P o r e je m p lo , e n la e x te n s ió n r e la tiv a m e n te p la n a a lo la r g o d e la se c c ió n m e d ia d e Illin o is e In d ia n a , la c a rg a d e la n ie v e d e l s u e lo e s d e 2 0 l b / p i e 2 (0 .9 6 k N / m 2). S in e m b a r g o , p a r a e l á r e a d e M o n t a n a s e r e q u ie r e n e s tu d io s s o b r e lo s c a s o s e sp e c ífic o s d e la s c a r g a s d e n ie v e d e b i d o a la e l e ­ v a c ió n v a ria b le d e l t e r r e n o e n to d o e l e s ta d o . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a las c a r g a s d e n ie v e se c u b r e n e n l a N o r m a A S C E 7 -1 0 , a u n q u e n o h a y n in g ú n c ó d ig o q u e p u e d a c u b r i r t o d a s la s im p lic a c io n e s d e e s t e tip o d e c a rg a . Si u n t e c h o e s p la n o , d e f i n id o c o m o u n te c h o c o n u n a p e n d ie n t e m e n o r a 5 % , e n to n c e s la c a r g a d e la p r e s ió n p u e d e o b te n e r s e m o d ific a n d o la c a rg a d e l a n ie v e s o b r e e l s u e l o , p g, m e d ia n te l a s i g u ie n t e f ó r m u la e m p í­ ric a P f - 0 J C t C , I sp g (1 -5 ) A quí C , = u n f a c t o r d e e x p o s ic ió n q u e d e p e n d e d e l te r r e n o . P o r e je m p lo , p a r a un te c h o c o m p l e ta m e n te e x p u e s to e n u n á r e a d e s p e ja d a . C , = 0.8, e n t a n t o q u e s i e l te c h o e s t á p r o t e g id o y s i tu a d o e n e l c e n tr o d e u n a c iu d a d g r a n d e , C , = 1.2. C , = un f a c t o r té r m ic o q u e s e r e f ie r e a la te m p e r a t u r a m e d ia d e n t r o d e l e d ific io . P a r a la s e s t r u c tu r a s s in c a le fa c c ió n q u e s e m a n tie n e n p o r d e b a jo d e c e r o g r a d o s , C , = 1.2, e n t a n t o q u e s i e l te c h o s o p o r ta u n a e s t r u c t u r a q u e se s u e l e c a le n ta r .e n t o n c e s C , = 1.0. / , = d f a c t o r d e im p o r ta n c ia e n lo q u e r e s p e c ta a la o c u p a c ió n . P o r e je m p lo , / , ■ 0 .8 0 p a r a in s ta la c io n e s d e d ic a d a s a la a g r ic u ltu r a y e l a lm a c e n a m ie n to , / , ■ 1.20 p a r a e s c u e la s y h o s p ita le s . S i p g s 2 0 lb /p ie 2 (0 .9 6 k N /m 2), u s e e l v a lo r m a y o r p a r a pf, y a s e a c a lc u ­ la d a d e s d e la e c u a d ó n a n t e r i o r o a p a r tir d e p f = /«p^. S i p g > 2 0 lb /p ie 2 (0 .9 6 k N /m 2), u tilic e pf = 7,(20 lb /p ie 2). C argas 2 3 L a s c a r g a s e x c e s iv a s d e l a n ie v e y e l h ie lo actúan sobre este techo. 2 4 C a p it u l o E JE M P L O 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s 1 .4 L a in s ta la c ió n d e a lm a c e n a m ie n to s i n c a le fa c c ió n q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-14 s e lo c a liz a e n u n t e r r e n o p la n o y a b i e r t o e n e l s u r d e Illin o is, d o n d e la c a r g a e s p e c ific a d a d e la n ie v e s o b r e e l s u e lo e s d e 15 lb /p ie ? . D e te r m in e la c a r g a d e n ie v e d e d is e ñ o s o b r e e l te c h o , e l c u a l tie n e u n a p e n d ie n t e d e 4 % . S O L U C IÓ N C ó m o la p e n d ie n t e d e l te c h o e s < 5 % . s e u s a r á la e c u a c ió n 1.5. A q u í . C f = 0 .8 d e b id o a q u e s e t r a t a d e u n á r e a a b i e r t a , C , = 1 .2 e / , - 0.8. P o r lo ta n to . p f = 0 .7 C fC , I tp g = 0 .7 ( 0 .8 ) ( l .2 ) ( 0 .8 ) ( 1 5 I b /p ie 2) = 8 .0 6 I b /p ie 2 C o m o p g = 15 Ib /p ie 2 < 20 Ib /p ie 2, e n to n c e s ta m b ié n p f = l p g = 1 .2 (1 5 lb / p ie 2) = 18 I b /p ie 2 Figura 1-14 I\>r c o m p a r a c ió n , e lija P f = 18 I b /p ie 7 R esp . Cargas de te rre m o to . m a s a c o n c e n tr a d a d e l te c h o m a s a c o n c e n tr a d a d e la s c o lu m n a s Figura 1-15 L o s te r r e m o t o s p r o d u c e n c a r g a s s o b r e u n a e s t r u c tu r a a tr a v é s d e s u in t e r a c c ió n c o n e l s u e l o y la s c a ra c te rís tic a s d e s u r e s p u e s ta . E s ta s c a r g a s r e s u lta n d e la d is to r s ió n d e la e s t r u c t u r a a c a u s a d e l m o v im ie n to d e l s u e lo y la re s is te n c ia la t e r a l d e la e s tr u c tu r a . S u m a g n itu d d e p e n d e d e la c a n tid a d y tip o d e a c e le r a c io n e s d e l s u e l o y d e la m a sa y la rig id e z d e la e s tru c tu ra . P a r a o b t e n e r a lg ú n c o n o c im ie n to de la n a tu r a le z a d e la s c a r g a s s ís m ic a s ,c o n s id e r e e l m o d e lo e s t r u c t u r a l s im ­ p le q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-15. E s te m o d e lo p u e d e r e p r e s e n t a r u n e d ific io d e u n a s o la p la n t a , d o n d e e l b lo q u e s u p e r io r e s la m a s a " c o n c e n ­ t r a d a " d e l te c h o y e l b lo q u e m e d io e s la rig id e z a g r u p a d a d e to d a s la s c o ­ lu m n a s d e l e d ific io . D u r a n te u n te r r e m o to e l s u e lo v ib r a t a n t o h o r iz o n ta l c o m o v e r tic a lm e n te . L a s a c e le r a c io n e s h o r iz o n ta le s c r e a n fu e r z a s c o r ­ ta n t e s e n la c o lu m n a q u e p o n e n a l b lo q u e e n m o v im ie n to s e c u e n c ia ! c o n e l s u e lo . Si la c o lu m n a e s ríg id a y e l b lo q u e tie n e u n a m a s a p e q u e ñ a , el p e r i o d o d e v ib r a c ió n d e l b lo q u e s e r á c o r lo y e l b lo q u e s e a c e l e r a r á c o n el m is m o m o v im ie n to q u e e l s u e l o y s u f r ir á s ó lo p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n ­ to s re la tiv o s . P a r a u n a e s t r u c tu r a re a l q u e e s t é d is e ñ a d a c o n u n a g r a n c a n tid a d d e r e f u e rz o s y c o n e x io n e s ríg id a s e s t o p u e d e s e r b e n e fic io s o , p u e s to q u e s e d e s a r r o lla m e n o s e s f u e r z o e n lo s e le m e n to s . l\> r o t r o la d o , a la c o lu m n a d e la f ig u r a 1 -15 e s m u y fle x ib le y e l b l o q u e t i e n e u n a m a s a g r a n d e , e n to n c e s e l m o v im ie n to in d u c id o p o r e l te r r e m o to c a u s a r á p e ­ q u e ñ a s a c e le r a c io n e s d e l b lo q u e y g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s re la tiv o s . E n la p r á c tic a , lo s e f e c to s d e la a c e le ra c ió n , la v e lo c id a d y e l d e s p la z a ­ m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a s e p u e d e n d e te r m i n a r y r e p r e s e n ta r c o m o u n e sp e c tro d e re s p u e sta a l te r r e m o to . U n a v e z q u e s e h a e s t a b le c i d o e s ta g rá fic a , la s c a r g a s d e l te r r e m o to p u e d e n c a lc u la r s e a p lic a n d o u n a n á lisis 1 .3 C argas 2 5 á n á m i c o b a s a d o e n la t e o r í a d e la d in á m ic a e s t r u c tu r a l. E s te tip o d e a n á lisis e s t á g a n a n d o p o p u la r id a d , a u n q u e a v e c e s e s m u y e l a b o r a d o y r e q u ie r e u tiliz a r u n a c o m p u t a d o r a . A ú n a s í , d ic h o a n á lis is r e s u lta o b li g a ­ to r io si la e s t r u c t u r a e s g r a n d e . A lg u n o s c ó d ig o s r e q u ie r e n q u e s e p r e s te a te n c ió n e s p e c ífic a a l d is e ñ o sísm ic o , e s p e c ia lm e n te e n la s z o n a s d e l p a ís ( E s t a d o s U n id o s ) d o n d e p r e d o m in a n f u e r te s te r r e m o to s . A d e m á s , e s t a s c a r g a s d e b e n c o n s id e ­ r a r s e c o n g r a n s e r ie d a d e n e l d is e ñ o d e e d if ic io s d e g r a n a l t u r a o p la n t a s d e e n e rg ía n u c le a r. A fin d e e v a lu a r la im p o r ta n c ia d e la c o n s id e ra c ió n d e l d is e ñ o p a r a s ism o s , e s p o s ib le c o r r o b o r a r lo s m a p a s sísm ic o s d e a c e ­ le r a c ió n d e l s u e lo p u b lic a d o s e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 . E s to s m a p a s p r o ­ p o r c io n a n la s a c e le r a c io n e s p ic o d e l s u e l o c a u s a d a s p o r a lg ú n te r r e m o to , j u n t o c o n lo s c o e f ic ie n te s d e rie s g o . L a s r e g io n e s d e E s ta d o s U n id o s v a ría n d e s d e u n rie s g o b a jo , c o m o e n a lg u n a s p a r t e s d e T e x a s, h a s t a u n rie sg o m u y a lto , c o m o a lo la r g o d e la c o s ta o e s t e d e C a lifo rn ia . P a r a e s t r u c tu r a s p e q u e ñ a s , u n a n á lisis e stá tic o p a r a e l d is e ñ o sísm ic o p u e d e r e s u l t a r s a tis f a c to r io . E n e s t e c a s o la s c a rg a s d in á m ic a s s e a p r o x i­ m a n m e d ia n te u n c o n ju n to d e fu e r z a s e stá tica s e x te r n a s q u e s e a p lic a n d e m a n e r a la t e r a l a la e s tr u c tu r a . U n o d e e s t o s m é to d o s e s t á r e p o r ta d o e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , y se b a s a e n e l h a lla z g o d e u n c o e fic ie n te d e re s p u e s ta s ís m ic a , C . d e te r m i n a d o a p a r t i r d e las p r o p ie d a d e s d e l s u e lo , las a c e le ra c io n e s d e é s te y la r e s p u e s ta v ib r a to r i a d e la e s tr u c tu r a . P a r a la m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s , e s t e c o e f ic ie n te s e m u ltip lic a p o r la c a rg a m u e r ta t o t a l W d e la e s t r u c tu r a , c o n lo q u e s e o b tie n e la " f u e r z a c o r ta n te b a s a l" e n l a e s t r u c tu r a . E l v a lo r d e C , s e d e te r m in a r e a l m e n t e a p a r tir d e C, R /Ie donde S DS = la a c e le r a c ió n d e r e s p u e s ta e s p e c t r a l d u r a n t e c o r t o s p e r i o d o s d e v ib ra c ió n . R = u n f a c t o r d e m o d ific a c ió n d e la r e s p u e s ta q u e d e p e n d e d e la fle x ib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . L o s e le m e n to s d e u n m a r c o d e a c e ro q u e s o n m u y fle x ib le s p u e d e n t e n e r u n v a lo r a l t o d e 8 . e n ta n to q u e la s e s t r u c tu r a s d e c o n c r e to re f o r z a d o p u e d e n t e n e r u n v a lo r b a jo d e 3. I t = e l fa c to r d e im p o rta n c ia q u e d e p e n d e d e l u s o d e l ed ific io . P o r e je m p lo , le = 1 p a r a las in s ta la c io n e s d e a g ric u ltu ra y a lm a c e n a ­ m ie n to , e I , = 1.5 p a ra lo s h o s p ita le s y o tr o s s e r v id o s esen cia les. A c a d a n u e v a p u b lic a c ió n d e la N o r m a , lo s v a lo r e s d e e s to s c o e f ic ie n te s s e a c tu a liz a n c o n lo s d a t o s m á s p r e c is o s d is p o n ib le s s o b r e la r e s p u e s ta al te r r e m o to . P resión h id ro s tá tic a y g e o s tá tic a . Q i a n d o la s e s t r u c tu r a s se u tiliz a n p a r a r e t e n e r a g u a , t i e r r a o m a te r ia le s g r a n u la r e s , la p r e s ió n d e s a ­ r r o lla d a p o r e s ta s c a r g a s se c o n v ie r te e n u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a s u d is e ñ o . A lg u n o s e je m p lo s d e e s t e tip o d e e s t r u c tu r a s s o n lo s ta n q u e s , la s p re s a s, lo s b u q u e s , la s m a m p a r a s y lo s m u r o s d e c o n te n c ió n . A q u í s e a p l i ­ c a n la s le y e s d e la h id r o s tá tic a y la m e c á n ic a d e s u e lo s p a r a d e f in ir la in ­ te n s id a d d e la s c a rg a s s o b r e la e s tr u c tu r a . E l d i s e ñ o d e e s t e m u r o d e c o n te n c ió n r e ­ q u i e r e la e s ti m a c ió n d e la p r e s i ó n g e o s t á t i c a q u e a c tú a s o b r e é l. A d e m á s , l a c o m p u e rta d e s e g u r i d a d e s t a r á s u j e t a a u n a p r e s i ó n h i­ d ro s tá tic a q u e d e b e c o n sid e ra rs e d u r a n te su d is e ñ o . C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s O tra s cargas n a tu ra le s. E n e l d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a ta m b ié n d e b e n c o n s id e r a r s e o t r o s ti p o s d e c a r g a s v iv a s e n fu n c ió n d e s u u b ic a ­ c ió n o s u u so . É s to s in c lu y e n e l e f e c t o d e l a e r o s ió n , lo s c a m b io s d e t e m ­ p e r a t u r a y lo s a s e n ta m ie n to s d if e r e n c ia le s d e lo s c im ie n to s . 1 .4 Diseño e structural C a d a v e z q u e s e d is e ñ e u n a e s t r u c t u r a , e s i m p o r t a n t e c o n s i d e r a r las in c e r tid u m b r e s d e lo s m a te ria le s y la s c a rg a s . E s ta s in c e r tid u m b r e s in c lu ­ y e n u n a p o s ib le v a r ia b ilid a d e n la s p r o p ie d a d e s d e l m a te r ia l, la te n s ió n r e s id u a l e n lo s m a te r ia le s , la s m e d id a s p r e v is ta s q u e p u e d e n s e r d i f e r e n ­ te s a lo s ta m a ñ o s p r e f a b r ic a d o s , la s c a r g a s d e b id a s a la s v ib r a c io n e s o im ­ p a c to s y la c o r r o s ió n o d e c a d e n c i a d e lo s m a te ria le s . D E P . L os m é to d o s d e d is e ñ o p o r e s f u e r z o s p e rm is ib le s ( D E P ) in c lu ­ y e n ta n to la s in c e r ti d u m b r e s d e l m a te r ia l c o m o la s d e la s c a r g a s e n u n s o l o f a c t o r d e s e g u r id a d . L os d if e r e n te s tip o s d e c a r g a s y a a n te s a n a li z a ­ d o s p u e d e n o c u r r i r s i m u l tá n e a m e n te e n u n a e s t r u c tu r a , p e r o e s m u y p o c o p r o b a b le q u e e l m á x im o d e to d a s e s ta s c a r g a s o c u r r a a l m ism o t i e m p o P o r e je m p lo , la s c a r g a s m á x im a s d e l v ie n t o y d e lo s s is m o s n o s u e l e n a c tu a r d e f o r m a s i m u ltá n e a s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a e l d is e ñ o p o r e s fu e r z o s p e r m is ib le s .^ I e s f u e r z o e lá s ti c o c a lc u la d o e n e l m a te r ia l n o d e b e e x c e d e r e l e s f u e rz o a d m is ib le p a r a c a d a u n a d e las d i f e r e n t e s c o m ­ b in a c io n e s d e c a r g a . L a s c o m b in a c io n e s d e c a r g a m á s c o m u n e s q u e s e e s ­ p e c ific a n e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 in c lu y e n • c a rg a m u e r ta • 0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0 .6 ( c a r g a d e l v ie n to ) • 0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0 .7 ( c a r g a sís m ic a ) D F C R . C ó m o la in c e r tid u m b r e p u e d e to m a rs e e n c u e n ta e m p l e a n d o la te o r ía d e p r o b a b ilid a d , h a h a b id o u n a c r e c ie n te te n d e n c ia a s e p a r a r la in c e r tid u m b r e d e l m a t e r i a l d e la in c e r tid u m b r e d e las c a rg a s . E s te m é ­ to d o se d e n o m i n a d is e ñ o p o r r e s iste n c ia o D F C R ( D is e ñ o p o r fa c to re s d e c a r g a y d e re s is te n c ia ) . P o r e je m p lo , p a r a t e n e r e n c u e n ta la in c e r ti­ d u m b r e d e la s c a rg a s , e s t e m é to d o u tiliz a lo s f a c to r e s d e c a r g a a p lic a d o s a la s c a r g a s o c o m b in a c io n e s d e é s ta s . D e a c u e r d o c o n l a N o r m a A S C E 7 -1 0 , a lg u n o s d e lo s f a c to r e s d e c a r g a y c o m b in a c io n e s d e é s t a s s o n • 1 .4 ( c a r g a m u e r ta ) • 1.2 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.6 ( c a r g a v iv a ) + 0 .5 ( c a r g a d e n ie v e ) • 0 .9 ( c a r g a m u e r t a ) + LO ( c a r g a d e v ie n t o ) • 0 .9 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.0 ( c a r g a sís m ic a ) E n to d o s e s to s c a s o s s e c o n s id e r a q u e la s c o m b in a c io n e s p r o p o r c io n a n u n a c a rg a m á x im a p e r o r e a l s o b r e la e s tr u c tu r a . 1.4 Disefco EsraucruRAi 27 PROBLEM AS 1-1. El piso de un edificio q u e se u s a p a ra e l a lm acen a­ m iento d e e q u ip o p esad o e s d e lo sa s de c o n creto con 6 pulg d e espesor. Si el piso e s u n a losa q u e tiene u n a lo n g itu d de 15 p ies y una an ch u ra d e 10 pies, d ete rm in e la fu erza resu l­ tante cau sad a p o r la c arg a m u erta y la carg a viva. •1 -4 . La b a rrera “ N ew Je rse y " se u sa co m ú n m en te d u ­ ran te la construcción de carreteras. Si e stá h ech a de c o n ­ creto de p ie d ra sim ple, d eterm in e su p e so p o r p ie de longitud. 1-2. E l p iso d el edificio de oficinas e s de c o n c re to ligero con 4 p u lg de espesor. Si el p iso d e la oficina e s una losa con una longitud d e 20 p ie s y u n a an ch u ra d e 15 pies, d ete rm in e la fuerza re su ltan te cau sad a p o r la c arg a m u erta y la carga viva. P ro h . 1-2 1-3. La viga e n T e stá h ech a d e c o n creto y tiene u n peso específico d e 150 lb/pie3. D eterm in e la c arg a m u e rta p o r pie d e longitud d e la viga. N o co n sid ere e l peso del re fu e rz o de acero. 1-5. El piso de u n a b o d e g a d e alm acen am ien to ligero está hecho de co n c re to sim ple lig ero con 150 m m d e e sp eso r. Si e l piso e s u n a losa q u e tien e u n a lo n g itu d d e 7 m y una anchura d e 3 m . d ete rm in e la fuerza resu ltan te c a u sad a por la carga m u e rta y la c arg a viva. l- ó . l a trab e d e c o n c re to prcesfo rzad o e s d e c o n c re to de piedra sim ple y tien e c u a tro varillas d e refu erzo d e ¿ pulg, hechas d e a cero form ado e n frío. D ete rm in e la carga m uerta d e la tra b e p o rc a d a pie de s u longitud. 26 pulg P un P ro h . 1-3 P u l? 4 p u lg P ro h . 1-6 28 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s 1-7. l a p a ie d tiene 2.5 m d e a ltu ra y consta d e p u n tales de 51 m m X 102 m m enyesados p o r un lado. E n e l o tr o lado hay una lám in a d e fibra d e 13 m m y ladrillos d e arcilla de 102 mm. D eterm in e la carg a p ro m c d io .c n kN /m d e la longi­ tud d e la p a re d , q u e la p are d e jerce so b re e l suelo. 1-11. U n edificio d e oficinas d e c u a tro pisos tien e co lu m ­ n as in terio res se p a rad a s a 3 0 pies de d istancia e n d o s d irec ­ ciones perp en d icu lares. S i la c arg a viva d e l te c h o p la n o se estim a e n 3 0 Ib/pie7, d e te rm in e la carga viva red u cid a que so p o rta u n a co lu m n a in te rio r n o rm a l ubicada a nivel del suelo. *1-12. U na co n stru cció n p a ra alm acen am ien to ligero de dos p lan tas tien e co lu m n as in te rio re s se p a ra d a s a 12 p ies d e d istancia e n d o s direccio n es perp en d icu lares. Si se e s­ tima q u e la carg a v iv a so b re e l tech o e s d e 2 5 lb/pie?, d e te r­ mine la carg a viva red u cid a q u e so p o rta una colum na interior n orm al (a ) al nivel d e la p la n ta baja, y (b ) al nivel d e l se g u n d o piso. 2 .5 m 1-13. E l edificio d e oficinas tiene co lu m n as interiores se ­ p arad as a 5 m en direcciones perpendiculares. D ete rm in e la carga v iv a red u cid a q u e so p o rta u n a co lu m n a in te rio r n o r­ mal u b icad a e n e l p rim e r p iso d e b a jo d e las oficinas. * 1 -8 . U n a p a re d d e u n edificio se c o m p o n e de p a red e s de en tram ad o e x te rio r con rev estim ien to d e ladrillo y 13 mm de lám ina d e fib ra e n un lado. Si la p a re d tien e 4 m d e al­ tu ra . d eterm in e la carg a en kN /m q u e ejerce so b re e l suelo. 1-9. La p ared in te rio r de u n edificio está h ech a d e p u n ta ­ les d e m ad era de 2 x 4. enyesados p o r am b o s lados. Si la p ared tie n e 12 p ies d e altu ra , d e te rm in e la c arg a e n Ib/pie de longitud de la p ared q u e e jerce so b re e l suelo. 1-10. E l seg u n d o piso de u n edificio u sa d o p a ra la m anu­ factu ra ligera e stá h ech o d e u n a losa de c o n c re to d e 5 pulg de esp eso r, con u n relleno de 4 p u lg d e c o n c re to sim ple, com o se m uestra e n la figura. Si e l te c h o su sp en d id o d e la prim era p la n ta c o n sta d e m alla m etálica y yeso, d ete rm in e el p eso m u erto d e d iseñ o e n lib ra s p o r p ie cu ad rad o del área d e l piso. Proh. 1-13 c e m e n to d e rcD cn o d e 4 p u lg — lo s a d e c o n c r e t o d e 5 p u lg T echo P rob. 1-10 1-14. U n h o te l d e d o s pisos tiene co lu m n a s interiores p a ra las h ab ita cio n e s q u e e s tá n se p a ra d a s a 6 m d e d istancia en d o s direccio n es perp en d icu lares. D ete rm in e la c arg a viva rcducida q u e so p o rta una c o lu m n a in te rio r típica e n e l pri­ m e r piso d e b a jo d e las h ab itacio n es públicas. 1.4 Disefco EsraucruRAi 29 1-15. E l viento so p la lateralm en te so b re u n hospital co m ­ pletam ente c e rra d o q u e se ubica e n u n te r re n o a b ie rto y plano en A rizona. D e te rm in e la presión e x te rn a q u e actú a so b re la p ared e n b arlo v en to , la c u a l tien e u n a altu ra d e 30 pies. E l tech o e s plano. 1-17. U n edificio c e rra d o d e alm acen am ien to se en c u en ­ tra so b re u n te rre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro d e O h io . Si la p a re d lateral d e l edificio tien e 20 p ies de a ltu ra , d e te r­ mine la p resió n e x te rn a d e l v ien to q u e actú a so b re las p a re ­ d e s en b a rlo v en to y so tav en to . C a d a p a re d tien e 6 0 p ie s de largo. S uponga q u e e l techo e s esen cialm en te plano. P ro h . 1-15 P ro h . 1-17 •1 -1 6 . E l viento sopla lateralm en te so b re u n h o sp ital com pletam ente c e rra d o q u e se u b ica e n u n te r re n o ab ierto y p la n o en A rizona. D ete rm in e la p resió n e x te rn a q u e actú a so b re la p a re d e n sotav en to , la c u a l tien e u n a longitud de 200 p ies y u n a altu ra de 3 0 pies. 1-18. E l edificio m etálico d e alm acen am ien to lig ero está e n u n terre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro de O k lah o m a. Si la p a re d la te ra l d e l edificio tien e 14 p ie s de a ltu ra , ¿cuáles so n los d o s v alo res d e la p re sió n e x te rn a d e l v ien to q u e actúa so b re e sta p ared cu an d o e l v ien to so p la so b re la p arte trasera d e l edificio? E l tech o e s esencialm ente p la n o y el edificio e stá to ta lm e n te cerrad o . P ro h . 1-16 P ro h . 1-18 30 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s 1-19. D eterm in e la f u e r a resu ltan te q u e actú a e n form a p e rp en d icu lar a la c a ra d e l e sp ectacu lar y a trav és d e su c e n tro si se e n c u e n tra e n M ichigan so b re u n te rre n o plano y ab ierto . E l esp e c ta c u la r e s rígido y tien e una a n ch u ra d e 12 m e tro s y una altu ra d e 3 m. Su p arte su p e rio r e stá a 15 m del suelo. 1-21. E l edificio d e la escu ela tien e u n tech o plano. Se e n ­ c u en tra e n u n á re a ab ierta d o n d e la c arg a d e la n iev e so b re el su e lo e s d e 0.68 kN /m 7. D ete rm in e la carga d e n iev e que se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo. P roh. 1-21 1-22. E l h o sp ital tien e u n techo p la n o y se u b ica e n una zona a b ie rta d o n d e e l p eso d e la nieve so b re el su elo e s de 30 lb/p iez. D eterm in e la c arg a de n iev e d e d iseñ o p a ra el techo. P roh. 1-19 *1-20. U n hospital u b icad o e n e l c e n tro d e Illinois tiene un tech o p lan o . D e te rm in e la c arg a de n iev e e n kN /m 7 que se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo. Proh. 1-22 R e p a s o d e l c a p it u l o 31 REPA SO D E L C A P ÍT U L O L os e lem en to s estru c tu rale s básicos son: T ensores m e m e n to s d elgados so m etid o s a ten sió n . A m en u d o se u sa n c o m o so p o rtes. Vigas E lem en to s disertados p a ra resistir m o m e n to s d e flexión. S u e le n s e r fijos o articulados, y p u e d e n te n e r la form a de una trab e d e p laca de acero, una viga d e c o n c re to re fo rz a d o o de m a d e ra lam inada. C o lum nas m e m e n to s q u e resisten u n a fu e rz a d e co m p resió n axial. Si la co lu m n a tam b ién resiste flexión, se d enom ina colum na viga. te n s o r $ c o lu m n a JE= c o lu m n a d e sig a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a v ig a e n v o la d iz o L os tipos de e stru c tu ra s c o n sid erad as e n este libro s o n las arm aduras hechas d e e le m e n to s d e lg ad o s articulados, que form an una serie d e triángulos; lo s cables y los arcos,q u e so stien en c arg as d e ten sió n y com presión, resp ectiv am en te, y los m arcos q u e se co m p o n en d e vigas y co lu m n as c o n ectad as e n fo rm a ríg id a o m ed ian te p asad o res. Las cargas se especifican e n códigos, com o el código A S C E 7-10. L as cargas m uertas so n fijas y se re fie re n a los pesos d e elem en to s y m ateriales. L as cargas vivas so n m óviles y co n sisten e n c arg as u n ifo rm e s so b re los pisos d e lo s edificios, las cargas d e l tráfico y e l tren so b re lo s puentes, las cargas de im pacto c a u sad as p o r autom óviles y m áq uin as, las cargas d e l viento, las cargas d e la nieve, las c arg as sísm icas y la presión hid ro stática y geostática. Con frecuencia los e le m e n to s estructurales, c o m o las vig a s y tra b e s q u e fo r­ m an e l so p o rte d e este e d ific io , está n con ectad os e n tre s i de ta l m o d o q u e el análisis p u e d e considerarse estáticam ente d e te rm in a d o . Análisis de estructuras estáticamente determ inadas En e l p r e s e n te c a p ít u lo s e p re s ta rá a te n c ió n a la fo r m a m á s c o m ú n d e e s tru c tu ra q u e e l in g e n ie ro t e n d r á q u e a n a liz a r, la c u a l se e n c u e n tr a e n u n p la n o y e s tá s o m e tid a a u n s is te m a d e fu e rz a s q u e ta m b ié n p e r te ­ n e c e a l m is m o p la n o . E n la p r im e ra p a r te d e l c a p ítu lo s e e s tu d ia rá la im p o rta n c ia d e e le g ir u n m o d e lo a p r o p ia d o d e a n á lis is p a ra u n a e s ­ tru c tu ra e n la q u e s u s fu e rz a s p u e d e n d e te r m in a r s e c o n u n a p re c is ió n ra z o n a b le ; d e s p u é s s e a n a liz a rá n lo s c r ite rio s n e c e s a rio s p a ra o b t e n e r la e s ta b ilid a d e s tru c tu r a l y, p o r ú ltim o , s e p r e s e n ta rá e l a n á lis is d e e s ­ tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s , p la n a s y a rtic u la d a s . 2 .1 Estructura idealizada E l a n á lis is e x a c to d e u n a e s t r u c tu r a e s im p o s ib le d e r e a liz a r , d e b i d o a q u e s i e m p r e h a y q u e r e a liz a r e s tim a c io n e s d e la s c a rg a s y la re s is te n c ia d e lo s m a te ria le s q u e c o m p o n e n l a e s t r u c tu r a . A d e m á s , ta m b ié n d e b e n e s tim a r s e lo s p u n to s d e a p lic a c ió n d e las c a r g a s P o r lo ta n t o , e n la p r á c ­ tic a e s im p o r ta n te q u e e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta d e s a r r o ll e la c a p a c i­ d a d d e m o d e la r o id e a liz a r u n a e s t r u c tu r a a fin d e p o d e r e f e c tu a r u n a n á lisis d e fu e r z a s d e lo s e le m e n to s . E n e s t a se c c ió n se d e s a r r o ll a r á n la s té c n ic a s b á s ic a s n e c e s a r ia s p a r a lle v a r a c a b o ta le s id e a liz a c io n e s . 3 4 C a p it u l o 2 A n á l is is d e O b s e r v e q u e la c u b i e r t a d e e s t e p u e n t e d e c o n c r e t o e s tá h e c h a d e f o r m a q u e p u e d e c o n ­ s id e r a r s e q u e u n a s e c c ió n e s tá u n id a i r c d i a n t e u n s o p o r t e d e r o d il lo s o b r e la o t r a s e c c ió n . e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C onexiones de s o p o rte (apoyo). L os e le m e n to s e s tr u c tu r a le s s e u n e n d e d iv e r s a s m a n e r a s d e p e n d ie n d o d e l a in te n c ió n d e l d is e ñ a d o r . L o s tr e s tip o s d e ju n t a s q u e s e e s p e c ific a n c o n m a y o r f r e c u e n c ia s o n la j u n t a a r t i c u l a d a , e l s o p o r t e d e r o d i ll o y la j u n t a fija . L a s j u n t a s a r t i c u ­ la d a s y lo s s o p o r t e s d e r o d illo p e r m it e n c ie r ta li b e r t a d d e r o t a c ió n , e n ta n t o q u e u n a ju n t a f ija n o p e r m it e l a r o ta c ió n r e la tiv a e n t r e lo s e l e m e n ­ to s c o n e c ta d o s y, e n c o n s e c u e n c i a .s u fa b r ic a c ió n e s m á s c o s to s a . E n las fig u ra s 2 -1 y 2 -2 se m u e s tr a n e je m p lo s d e e s t a s j u n t a s f o r m a d a s , r e s p e c ti­ v a m e n te , e n m e ta l y c o n c r e to . P a r a la m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s d e m a ­ d e r a . s e s u p o n e q u e lo s e le m e n to s d e b e r á n s e r a r tic u la d o s y a q u e el h e c h o d e a to r n illa r lo s o c la v a rlo s n o e s s u f ic ie n te p a r a r e s tr in g ir la r o t a ­ c ió n d e u n e le m e n to c o n r e s p e c to a lo s d e m á s . E n la s fig u ra s 2 - 3 a y 2 3 - b se m u e s tr a n m o d e lo s id e a liz a d o s q u e s e u s a n e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l y q u e r e p r e s e n t a n s o p o r te s fijo s y a rtic u la d o s , a s í c o m o ju n t a s fija s y a rtic u la d a s . S in e m b a r g o , e n r e a lid a d to d a s la s c o ­ n e x io n e s m u e s tr a n c ie r ta rig id e z a la r o t a c ió n d e la s a rtic u la c io n e s , d e ­ b id o a la fr ic c ió n y a l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l. E n e s te c a s o , u n m o d e lo m á s a p r o p i a d o p a r a u n s o p o r te o j u n t a p o d r í a s e r e l q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 r . S i la c o n s ta n te t o r s io n a l d e r e s o r t e k = 0 , la ju n t a e s a rtic u la d a , y s i k —* o o , la ju n t a e s fija . 1 0 IL iS c o n e x ió n “ f ij a " típ ic a ( d e m e ta l) c o n e x ió n “ a r tic u la d a ” típ ic a ( d e m e ta l) (a ) <ar fig u ra 2 -1 f r ) y t ------------------------------------------- c o n e x ió n “ d e r o d illo ” típ ic a ( d e c o n c r e to ) c o n e x ó n “ f ija ” típ ic a ( d e c o n c re to ) (a) (b ) fig u ra 2-2 2 .1 s o p o r te a rtic u la d o j u n t a a rtic u la d a 35 E s t r u c t u r a id e a l iz a d a s o p o r te fijo (a ) j u n t a fija (b ) s o p o r te d e r e s o rte a n g u la r j u n t a d e r e s o r te a n g u la r (c ) F ig u r a 2 - 3 A l s e le c c io n a r u n m o d e lo c o n c r e to p a r a c a d a s o p o r te o j u n t a , e l in g e ­ n ie r o d e b e e s t a r c o n s c ie n te d e c ó m o a f e c t a r á n lo s s u p u e s to s e l d e s e m ­ p e ñ o r e a l d e lo s e le m e n to s y s i lo s s u p u e s to s s o n r a z o n a b le s p a r a e l d is e rto e s tr u c tu r a l. P b r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f i ­ g u ra 2 -4 * .l a c u a l s e u s a p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a c o n c e n t r a d a P . L a c o n e ­ x ió n m e d ia n te á n g u lo s e n e l s o p o r t e A e s c o m o l a d e la f ig u r a 2 . l a y p o r lo ta n t o p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n s o p o r te a r tic u la d o típ ic o . A d e m á s , e l s o p o r te e n H p ro p o r c io n a u n p u n t o a p r o x im a d o d e c o n ta c to liso , d e m o d o q u e p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n ro d illo . E l e s p e s o r d e la v ig a p u e ­ d e ig n o r a r s e , d a d o q u e e s p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n la lo n g itu d d e la viga y, p o r lo t a n t o , e l m o d e lo id e a l iz a d o d e la v ig a e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -4 6 . E l a n á lis is d e c a r g a s e n e s t a v ig a d e b e p r o p o r c io n a r r e s u l­ ta d o s q u e s e a p r o x im e n m u c h o a la s c a r g a s r e a le s e n la viga. P a r a d e m o s ­ tr a r q u e e l m o d e lo e s a d e c u a d o , c o n s id e r e e l c a s o p a r t ic u l a r d e u n a v ig a d e a c e ro c o n P - 8 k (8 0 0 0 lib ra s ) y I . - 2 0 p ie s . U n a d e la s s im p lific a c io ­ n e s m ás im p o r t a n te s q u e se h ic ie r o n a q u í f u e s u p o n e r q u e e l s o p o r te e n A e s u n a a r tic u la c ió n . E l d is e rto d e la v ig a u s a n d o e l c ó d ig o d e p r o c e d i ­ m ie n to s e s t á n d a r * in d ic a q u e u n a s e c c ió n W 1 0 X 19 s e r ía s u f ic ie n te p a ra s o p o r ta r la c a r g a . A l u s a r u n o d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n d e l c a p ítu lo 8, la r o t a c ió n e n e l s o p o r t e " a r ti c u la d o " p u e d e c a lc u la r s e c o m o 0 = 0.0103 r a d = 0 .5 9 °. C o n b a s e e n la fig u ra 2 -4 c . ta l r o t a c ió n s ó lo m u e v e e l p a tín ( a la ) s u p e r io r o in f e r io r a u n a d is ta n c ia d e A = Or = (0 .0 1 0 3 ra d )(5 .1 2 p u lg ) = 0 .0 5 2 8 p u lg a d a s ! S in d u d a , e s t a p e q u e ñ a c a n tid a d p u e d e in ­ c lu irs e a l fa b r ic a r l a c o n e x ió n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - l a y ,p o r lo ta n to , la a rtic u la c ió n s irv e c o m o u n m o d e lo a d e c u a d o . v ig a re a l v ig a id e a liz a d a 0 .0 5 2 8 p u lg (a) (b ) (c ) Figura 2 -4 • C ó d ig o s c o m o e l M a n u a l d e C o n s im c c ió n e n a c e r o d e l A m e r ic a n In s titu to o f S te e l C o n stru c tio n . 3 6 C a p it u l o 2 A n á l is is S o p o r te o s c ila n te c o m ú n q u e s e u s a e n u n a tr a b e d e p u e n te . L o s r o d il lo s y l o s c o j i n e t e s a s o c ia d o s s e u s a n p a r a s o s t e n e r la s t r a b e s d e c o n ­ c re to p re s fo rz a d o d e u n p u e n te c a r r e ­ te r o . d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E n l a ta b l a 2 -1 , s e m u e s tr a n o t r o s tip o s d e c o n e x io n e s c o m ú n m e n te p r e s e n te s e n las e s t r u c tu r a s c o p la n a r e s . E s im p o r ta n te te n e r la c a p a c id a d d e r e c o n o c e r lo s s ím b o lo s d e e s t a s c o n e x io n e s y lo s ti p o s d e r e a c c io n e s q u e e je r c e n s o b r e lo s e le m e n to s a lo s q u e s e e n c u e n t r a n u n id a s . E s to p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e o b s e r v a la fo r m a e n q u e la c o n e x ió n re s­ tr in g e c u a lq u ie r g r a d o d e li b e r t a d o d e s p la z a m ie n to d e lo s e le m e n to s . E n p a r tic u la r , e l s o p o r te d e s a r r o ll a r á u n a fu e r z a s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u tr a sla c ió n y d e s a r r o ll a r á u n m o m e n t o s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u r o ta ­ c ió n . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e u n e le m e n to q u e e s t á e n c o n ta c to c o n u n a s u p e r fic ie lis a (3 ) s e im p id e s u tr a s la c ió n e n u n a s o la d ir e c c ió n , la c u a l e s p e r p e n d i c u la r o n o r m a l a l a s u p e r fic ie . P o r l o ta n t o , la s u p e r fic ie e je r c e s ó l o u n a fu e r z a n o r m a l F s o b r e e l e le m e n to e n e s a d ir e c c ió n . L a m a g n itu d d e e s t a f u e r z a r e p r e s e n t a u n a in c ó g n ita . A d e m á s , o b s e r v e q u e e l e le m e n to e s lib r e d e g ir a r s o b r e la s u p e r fic ie , d e m o d o q u e é s t a n o p u e d e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to s o b r e e l e le m e n to . C o n s id e r e o t r o e je m ­ p lo e n e l q u e e l s o p o r te fijo (7 ) im p id e ta n to la tr a s la c ió n c o m o la r o t a ­ c ió n d e u n e le m e n to e n e l p u n to d e c o n e x ió n . E n c o n s e c u e n c i a ,e s t e tip o d e s o p o r te e je r c e d o s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a y u n m o m e n to s o b r e e l e l e ­ m e n to . E l “ g ir o " d e l m o m e n to s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e la p á g in a , d a d o q u e la r o t a c ió n s e e v ita e n e s e p la n o . P o r c o n s ig u ie n te , e n u n s o ­ p o r t e fijo h a y tres in c ó g n ita s . E n la p r á c tic a , to d o s lo s s o p o r te s e je r c e n r e a lm e n te ca rg a s su p e r fic ia le s d is tr ib u id a s s o b r e lo s e le m e n to s c o n q u e e s t á n e n c o n ta c to . l>as f u e r z a s y m o m e n to s c o n c e n t r a d o s q u e se m u e s tr a n e n la ta b la 2-1 r e p r e s e n ta n las re su lta n te s d e e s t a s d is tr ib u c io n e s d e c a r g a . P o r s u p u e s to , e s t a r e p r e s e n ­ ta c ió n e s u n a id e a liz a c ió n ; s in e m b a r g o , s e u s a a q u í p o r q u e e l á r e a d e la s u p e r f ic ie s o b r e la q u e a c t ú a la c a r g a d is tr ib u id a e s c o n s id e r a b le m e n te m e n o r q u e la s u p e r fic ie to ta l d e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s . E l e s la b ó n c o r to s e u s a p a r a c o n e c ­ A r t i c u l a c i ó n típ ic a e m p l e a d a p a r a t a r la s d o s t r a b e s d e l p u e n t e c a r r e ­ s o p o r ta r la tr a b e d e a c e ro d e un p u e n t e f e r r o v ia r io . t e r o y p e r m i t e la e x p a n s ió n t é r m i c a d e la c u b ie r ta . 2 .1 T A B LA 2 -1 S o p o r t e s p a r a e s t r u c t u r a s c o p la n a r e s T ip o d e c o n e x ió n W ¿ P 'Y E s t r u c t u r a id e a l iz a d a S ím b o lo id e a liza d o Reacción N ú m e ro de in có g n ita s c a b le lig e ro U n a in c ó g n ila . L a re a c c ió n e s u n a fu e rz a q u e a c t ú a e n l a d ir e c c ió n d e l c a b l e o d e l c s ta b ó n . E s la b ó n s in p e s o (2) & U n a in c ó g n ila . L a re a c c ió n e s u n a fu e rz a q u e a c t ú a p e r p c n d ic u la r m c n tc a la s u p e rfic ie e n e l p u n t o d e c o n ta c to . ro d illo s b a la n c ín (3 ) y j f f ; s u p e r fic ie d e c o n ta c to lisa U n a in c ó g n ita . L a r e a c c ió n e s u n a fu e rz a q u e a c t ú a p e r p e n d ic u la r m c n t c a la s u p e rfic ie e n e l p u n to d e c o n t a c t a F (4 ) c o lla rín a r tic u la d o liso U n a in c ó g n ita . 1.a re a c c ió n e s u n a fu e rz a q u e a c t ú a p e r p e n d ic u la r m e n t e a la s u p e rfic ie e n e l p u n t o d e c o n ta c to . F £- j D a s in c ó g n ita s. L a s r e a c c io n e s so n d o s c o m p o n e n te s d e la f u e rz a . a r tic u la c ió n o b is a g r a lisa (6) tr 9 - M D a s in c ó g n ita s. I-a»s r e a c c io n e s so n u n a f u e r z a y u n m o m e n to . d e sliz a d o r Ir= c o lla rín c o n e c ta d o f ija m e n te (7 ) T r e s in c ó g n ita s. L a s r e a c c io n e s so n e l m o m e n to y la s d o s c o m p o n e n te s d e la fu e rz a . s o p o r te fijo 37 3 8 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E structura idealizada. e s tr u c t u r a re a l (a ) m -------------| 4 m e s tr u c tu r a id e a liz a d a <b) F ig u ra 2 - 5 D e s p u é s d e e s ta b le c e r la s d if e r e n t e s f o r ­ m a s e n q u e p u e d e n id e a liz a r s e las c o n e x io n e s d e u n a e s t r u c tu r a , a h o r a e s p o s ib le a n a liz a r a lg u n a s d e la s té c n ic a s e m p le a d a s p a r a r e p r e s e n t a r lo s d is tin to s s i s te m a s e s t r u c tu r a le s m e d ia n te m o d e lo s id e a liz a d o s . C o m o p r i m e r e je m p lo , c o n s id e r e e l b ra z o d e g r ú a y e l c a r r o q u e se m u e s tr a n e n la fig u ra 2 -5 a. P a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e p u e d e ig n o r a r el e s p e s o r d e lo s (to s e le m e n to s p r in c ip a le s y s u p o n e r q u e la ju n t a e n B e s ríg id a . A d e m á s , la c o n e x ió n e n A p u e d e m o d e l a r s e c o m o u n s o p o r te fijo y e s p o s ib le e x c lu ir lo s d e ta l le s d e l c a rr o . P o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s d e la e s t r u c t u r a id e a liz a d a s e r e p r e s e n t a n m e d i a n te d o s lín e a s c o n e c t a d a s , y la c a r g a s o b r e e l g a n c h o s e r e p r e s e n ta m e d ia n te u n a s o la f u e r z a c o n c e n ­ t r a d a F .f i g u r a 2 -5 6 . E s ta e s t r u c tu r a id e a liz a d a q u e se m u e s tr a a q u í c o m o u n d ib u jo d e lin e a s p u e d e u s a r s e a h o r a p a r a a p li c a r to s p r in c ip io s d e l a n á lisis e s t r u c t u r a l . e l c u a l c o n d u c ir á f in a lm e n te a l d is e ñ o d e s u s d o s e l e ­ m e n to s p rin c ip a le s . L a s v ig a s y tr a b e s s u e l e n e m p le a r s e p a r a s o s te n e r lo s p is o s e n e d ific io s. E n p a r t ic u l a r , u n a tr a b e e s e l e le m e n to p r in c ip a l p a r a e l s o p o r te d e las c a r g a s d e l p is o , m i e n tr a s q u e lo s e le m e n to s m á s p e q u e ñ o s q u e ti e n e n u n c la r o m á s c o r t o y q u e e s t á n c o n e c t a d o s a la s tr a b e s s e ll a m a n v ig a s. A m e n u d o , la s c a r g a s a p lic a d a s s o b r e u n a v ig a o tr a b e se t r a n s m i te n h a c ia é s t a s a tr a v é s d e l p is o q u e s o s tie n e n . U n a v ez m ás, e s im p o r ta n te t e n e r la c a p a c id a d d e id e a liz a r a p r o p i a d a m e n t e e l s is te m a c o m o u n a s e r ie d e m o ­ d e lo s . lo s c u a le s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d e m a n e r a a p ro x im a d a la s f u e r / a s q u e a c tú a n s o b r e lo s e le m e n to s . C o n s id e r e , p o r e je m p lo , la e s ­ tr u c tu r a u tiliz a d a p a r a s o p o r ta r u n a lo s a d e p is o e n u n e d ific io típ ic o c o m o e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -6 a . A q u í la lo s a s e s o s tie n e m e d i a n te v i­ g u e ta s d e p is o s itu a d a s a in te r v a lo s re g u la r e s , la s c u a le s a s u v e z e s t á n s o ­ p o r t a d a s m e d ia n te la s d o s tr a b e s la t e r a l e s A B y C D . P a r a e l a n á lis is , e s r a z o n a b le s u p o n e r q u e la s j u n t a s s o n a r t ic u la d a s y /o q u e e s t á n c o n e c t a ­ d a s m e d ia n te ro d illo s a la s tr a b e s y q u e é s ta s s o n a r tic u la d a s y /o e s t á n c o n e c ta d a s m e d ia n te ro d illo s a la s c o lu m n a s. E n la fig u ra 2 -6 b se m u e s tra la v is ta s u p e r io r d e l p l a n o e s t r u c tu r a l d e e s t e s is te m a . E n e s t e e s q u e m a “ g r á f ic o " , o b s e r v e q u e la s " lín e a s " q u e r e p r e s e n t a n la s v ig u e ta s n o to c a n la s tr a b e s y q u e la s lín e a s d e la s tr a b e s n o to c a n las c o lu m n a s . L o a n t e r i o r s im b o liz a c o n e x io n e s a r t ic u la d a s y /o a p o y a d a s e n ro d illo s . P o r o t r o la d o . H p ia n o e s tr u c tu ra l id e a liz a d o (a ) <b) F ig u ra 2 -6 2 .1 si e l p l a n o e s t r u c t u r a l t r a t a d e r e p r e s e n ta r e le m e n to s c o n e c t a d o s f ija ­ m e n te , c o m o ju n t a s s o ld a d a s e n v e z d e s im p le s u n io n e s a to r n illa d a s , e n ­ to n c e s la s lín e a s p a r a la s v ig a s o tr a b e s to c a r ía n la s c o lu m n a s c o m o e n la fig u ra 2 -7 . D e m a n e r a s im ila r, u n a v ig a s a lie n te c o n e c ta d a f ija m e n te e s ­ ta r ía r e p r e s e n ta d a e n la v ista s u p e r io r c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -8 . Si s e u s a la c o n s t r u c c i ó n d e c o n c r e t o r e f o r z a d o , la s v ig a s y t r a b e s se r e p r e s e n ta n m e d ia n te lín e a s d o b le s . P o r lo g e n e r a l e s t o s s i s te m a s e s tá n c o n e c ta d o s f ija m e n te y, p o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s se d ib u ja n to c a n d o lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , e l g rá f ic o e s tr u c tu r a l p a r a e l s i s te m a d e c o n ­ c r e t o v a c ia d o e n s i ti o d e la fig u ra 2 -9 a s e m u e s tr a e n s u v is ta s u p e r io r c o m o e n la f ig u r a 2 -9 6 . L a s lín e a s d e la s v ig a s s e d ib u ja n d is c o n tin u a s d e ­ b id o a q u e e s t á n p o r d e b a jo d e la lo s a . L as g rá f ic a s e id e a liz a c io n e s e s tr u c tu r a le s p a r a e s t r u c tu r a s d e m a d e r a s o n s e m e ja n te s a la s d e m e ta l. P o r e je m p lo , e l s is te m a e s t r u c tu r a l q u e se m u e s tra e n la fig u ra 2 - 1 0 a r e p r e s e n ta la c o n s tru c c ió n d e u n a v ig a de p a r e d , d o n d e l a c u b ie r ta d e l t e c h o s e s o s tie n e m e d ia n te v ig a s d e m a d e r a , q u e tr a n s m ite n la c a r g a a u n m u r o d e m a n ip o s te r ía . P u e d e s u p o n e r s e q u e las v ig a s e s t á n s im p le m e n te a p o y a d a s e n la p a r e d , d e m o d o q u e e l p la n o e s tr u c tu r a l id e a liz a d o s e r í a c o m o e l q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 - 106. { > v ig a c o n e c ta d a fija m e n te M i v ig a id e a liz a d a F ig u ra 2 - 7 v ig a id e a liz a d a F ig u ra 2 - 8 (a) (b ) F ig u ra 2 - 9 p la n o e s tr u c t u r a l id e a liz a d o (b ) Figura 2-10 39 E s t r u c t u r a id e a l iz a d a 4 0 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C argas trib u ta ria s . O t a n d o la s s u p e r f ic ie s p la n a s c o m o p a re d e s , p is o s o le c h o s e s t á n s o p o r ta d a s p o r u n m a r c o e s tr u c tu r a l, e s n e c e s a r io d e te r m in a r la f o r m a e n q u e s e tr a n s m ite l a c a r g a s o b r e e s t a s s u p e r fic ie s h a c ia lo s d iv e r s o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s u tiliz a d o s p a r a s u s o p o r t e . E n g e n e r a l, e x is te n d o s fo rm a s e n la s q u e p u e d e h a c e r s e e s to . L a e le c c ió n d e p e n d e d e la g e o m e t r í a d e l s is te m a e s t r u c t u r a l , e l m a t e r i a l d e l q u e e s tá h e c h o y e l m é to d o e m p l e a d o p a r a s u c o n s tru c c ió n . Sistema de una dirección. E l m a r c o e s tr u c tu ra l d e e s te e d ific io c o n ­ s is te e n v ig u e ta s d e c o n c r e t o , la s c u a le s se f o r m a r o n e n e l s i t i o u s a n d o p la c a s m e t á l i ­ c a s . E s t a s v ig u e ta s e s t á n s i m p l e m e n t e a p o ­ y a d a s s o b r e la s t r a b e s , q u e a s u v e z se a p o y a n s i m p l e m e n t e e n la s c o lu m n a s . U n a lo s a o u n a c u b ie r ta q u e s e a p o y a d e ta l m a n e r a q u e tr a n s f ie r e s u c a r g a a lo s e le m e n to s d e s o p o r te m e d ia n te u n a a c c ió n e n u n s o lo s e n t id o .s e c o n o c e c o m o u n a ¡osa e n u n a d ir e c c ió n . P a r a ilu s tr a r e l m é t o d o d e tr a n s m is ió n d e c a r g a s ,c o n s id e r e e l s i s te m a e s ­ tr u c tu r a l q u e s e m u e s tr a la fig u ra 2 -1 la d o n d e la s v ig a s A t í , C D y E F d e s c a n s a n s o b r e la s tr a b e s A E y B E . Si s e c o lo c a u n a c a r g a u n if o rm e d e 1 00 Ib /p ie 2 s o b r e la lo s a , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e q u e la v ig a c e n tr a l C D s o p o r ta la c a rg a q u e a c t ú a s o b r e e l á re a tr ib u ta r ia , la c u a l s e m u e s tra c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n e l p la n o d e l m a r c o e s t r u c t u r a l d e l a fig u ra 2-11 b . P o r lo ta n t o , e l e l e m e n t o C D se s o m e te a u n d is tr ib u c ió n d e c a rg a B n e a lá e (1 0 0 lb /p ie 2X 5 p ie s ) = 5 0 0 lh / p ¡ e ,q u e s e m u e s tr a e n la v ig a id e a ­ liz a d a d e la fig u ra 2 -1 l e . I.a s r e a c c io n e s s o b r e e s t a v ig a (2 5 0 0 lib r a s ) se a p lic a r á n d e s p u é s a l c e n t r o d e la s tr a b e s A E (y B F \ q u e s e m u e s tr a n id e a liz a d a s e n la fig u ra 2-11 d . S i se u s a e s te m is m o c o n c e p to , ¿ e s p o s ib le o b s e r v a r c ó m o e l r e s t o d e la c a rg a d e la lo s a s e tr a n s m ite a lo s e x tr e m o s d e l a tr a b e c o n u n v a lo r d e 1250 lib ra s ? A ________________________B.. 1 2 .5 p ie s l úes “ f lies lies E f “ f p ia n o e s tr u c t u r a l id e a liz a d o (a ) (b ) 25 0 0 Ib | 12501b 1 I . l _ 12501b 5 p ie s - _ h ■5 p ie s « g a id e a liz a d a tr a b e id e a liz a d a (c) (d) F igura 2-11 2 .1 E str u c t u r a id e a l iz a d a E j e m p l o d e la c o n s tr u c c ió n d e u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n e n u n e d if ic io c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e t i e n e u n p is o d e c o n c re to v a c ia d o s o b re u n a c u b ie rta d e m e ta l c o rru ­ g a d o . S e c o n s i d e r a q u e la c a r g a s o b r e e l p i s o s e t r a n s m i t e a la s v ig a s y n o a la s tra b e s . P a ra a lg u n o s s i s te m a s d e p is o , la s v ig a s y tr a b e s e s t á n c o n e c t a d a s a la s c o lu m n a s a l a m is m a a ltu r a , c o m o e n la fig u ra 2 - 1 2 a. S i é s t e e s e l c a s o , e n o c a s io n e s l a lo s a ta m b ié n p u e d e c o n s id e r a r s e c o m o u n a “ lo s a e n u n a d i ­ re c c ió n ’'. P o r e je m p lo , s i l a lo s a e s d e c o n c r e t o c o n r e f u e r z o e n u n a s o la d ir e c c ió n o s i e l c o n c r e t o s e v a c ía e n u n a c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o , c o m o e n l a f o to g r a f ía s u p e r io r , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e u n a a c c ió n d e tra n s m is ió n d e c a r g a e n u n s o l o s e n tid o . P o r o t r o la d o , s i la lo s a e s p la n a e n las p a r t e s s u p e r io r e in f e r io r y s e r e f u e r z a e n d o s d ir e c c io n e s ,e n to n ­ c e s e s n e c e s a r io c o n s i d e r a r la p o s ib ilid a d d e q u e la c a r g a s e tr a n s m ita a lo s e le m e n to s d e s o p o r te e n u n o o d o s s e n tid o s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la lo sa y e l p la n o e s t r u c tu r a l d e la fig u ra 2-12¿>. D e a c u e r d o c o n e l A m e r i­ c a n C o n c r e te I n s tit u te . c ó d ig o A C I 3 1 8 , s i > / . | y s i b r e la c ió n d e l c la r o ( L J L \ ) > 2, la lo s a se c o m p o r ta r á c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n , d a d o q u e c o m o L ¡ se h a c e m á s p e q u e ñ o , la s v ig a s A S , C D y E F p r o p o r ­ c io n a n u n a m a y o r rig id e z p a r a s o p o r ta r la c a rg a . tr a b e lo s a d e c o n c r e t o re fo rz a d o e n d o s d ire c c io n e s , v a c ia d a e n fo r m a p la n a hA ' —i ¿Í 2 4— Lx ~ Y -i— M M r a q u e l a lo s a a c t ú e e n u n ic n tid o , e l p la n o e s tr u c tu ra l fclealizad o r e q u ie r e q u e L j / L \ > 2 X a ilu m n a fl>) H gura 2-12 4 2 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 500 Ib /p ie — 5 p ie s — — 5 p ie s — v ig a id e a liz a d a (a) F ig u ra 2 -1 3 Sistema en dos direcciones. Si d e a c u e r d o c o n e l c ó d ig o d e c o n ­ c r e t o A C I 3 1 8 l a re la c ió n d e s o p o r te e n la fig u ra 2 -1 2 6 e s ( L j / L x) s 2 , se s u p o n e q u e la c a rg a s e tr a n s f ie r e a la s v ig a s d e s o p o r te y a la s tr a b e s e n d o s d ir e c c io n e s . C u a n d o s e p r e s e n t a e s t a s itu a c ió n , la lo s a s e d e n o m in a lo sa e n d o s d ir e c c io n e s . P a r a m o s tr a r u n m é to d o m e d ia n te e l c u a l p u e d a e s tu d ia r s e e s te c a s o , c o n s i d e r e la lo s a c u a d r a d a d e c o n c r e to re f o r z a d o q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 1 3 a, la c u a l e s tá s o p o r ta d a p o r c u a tr o v ig a s e n e l b o r d e . d e 10 p ie s d e la rg o : A B , B D , Ü C , y C A . A q u í L j f L x = 1. E l ú re a tr ib u ta r ia s u p u e s ta p a r a la v ig a A /f ,d e b i d a a la a c c ió n d e la lo s a e n d o s d ir e c c io n e s , s e m u e s tra c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n la fig u ra 2 -1 3 6 . E sta á re a se d e te r m in a al c o n s tr u ir lín e a s d ia g o n a le s a 4 5 ° c o m o s e m u e s ­ tr a e n la fig u ra . P o r lo ta n to , s i s e a p lic a u n a c a rg a u n if o r m e d e 100 I b /p ie 2 s o b r e la lo s a .s e o b te n d r á u n a in te n s id a d m á x im a d e (1 0 0 lb /p ie 2)(5 p ie s ) = 500 Ib /p ie s o b r e e l c e n t r o d e la v ig a A / Í . l o q u e r e s u lta e n u n a d i s t r i b u ­ c ió n d e c a r g a s tr ia n g u la r c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 13c. P a r a o t r a s g e o m e t r í a s q u e o c a s io n a n a c c io n e s e n d o s d ir e c c io n e s , p u e d e e m ­ p le a r s e u n p r o c e d im ie n to s im ila r. P o r e je m p lo , s i L ^ L X = 1.5 e n to n c e s e s n e c e s a r io c o n s t r u ir lín e a s c r u z a d a s a 4 5 ° , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 1 4 a. D e e s t a f o r m a , u n a c a rg a d e 100 Ib /p ie 2 c o lo c a d a e n la lo s a p r o d u ­ c i r á c a rg a s d is tr i b u id a s tr a p e z o id a le s y tr ia n g u la re s e n lo s e le m e n to s A B y A C re s p e c tiv a m e n te , fig u ra s 2 -1 4 6 y 2 - 14c. 5 0 0 lb /p tc 5 0 0 I b /p ie .p ie s - t~ > p i e s v ig a id e a liz a d a (c) 2 .1 L a c a p a c id a d d e r e d u c i r u n a e s t r u c tu r a r e a l a u n a f o r m a id e a liz a d a , c o m o s e m u e s tr a e n e s to s e je m p lo s , s ó l o p u e d e a d q u ir ir s e a tr a v é s d e la e x p e r ie n c ia . P a r a p r o p o r c io n a r u n a p rá c tic a a e s te r e s p e c to , lo s p r o b le ­ m as d e e je m p lo y lo s p ro b le m a s a re s o lv e r q u e s e in c lu y e n e n e s t e lib ro se p r e s e n ta n e n f o r m a r e a lis ta , y e l e n u n c ia d o d e l p r o b le m a a y u d a a e x p lic a r c ó m o p u e d e n m o d e la rs e la s c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s m e d ia n te lo s e le m e n to s e n lis ta d o s e n la t a b l a 2 -1 . E n la p rá c tic a d e la in g e n ie r ía .s i s e tie n e u n a d u d a s o b r e c ó m o m o d e la r u n a e s t r u c tu r a o tr a n s f e r ir la s c a r g a s a lo s e le m e n to s , lo r e c o m e n d a b le e s c o n s id e r a r va rias e s tr u c tu r a s y c a rg a s id e a liz a d a s p a r a d e s p u é s d is e ñ a r l a e s t r u c tu r a re a l d e m o d o q u e p u e d a re s is tir la s c a r g a s in c lu id a s e n to d o s lo s m o d e lo s id e a liz a d o s . E JE M P L O 2 .1 E l p is o d e u n s a l ó n d e c la s e s d e b e e s t a r s o p o r t a d o p o r la s v ig u e ta s e n fo r m a d e b a r r a c o m o s e m u e s tr a n e n l a f ig u r a 2 -1 5 a . L a s v ig u e ta s t i e ­ n e n 15 p ie s d e la r g o c a d a u n a y e n t r e s u s c e n tr o s h a y u n e s p a c io d e 2 5 p ie s . E l p is o s e h a r á d e c o n c r e to lig e r o d e 4 p u lg a d a s d e e s p e s o r . Ig n o r e lo s p e s o s d e la s v ig u e ta s y d e la c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o , y d e te r m in e la c a r g a q u e a c tú a a lo la r g o d e c a d a v ig u e ta . S O L U C IÓ N L a c a r g a m u e r ta s o b r e e l p is o s e d e b e a l p e s o d e la lo s a d e c o n c r e to . C b n b a s e e n la t a b l a 1 -3 p a r a 4 p u lg a d a s d e c o n c r e t o lig e ro , é s t a e s (4 )(8 lh /p ie 2) = 3 2 lb /p ie . D e la ta b l a 1 -4 s e s a b e q u e la c a r g a v iv a p a r a u n s a l ó n d e c la s e s e s d e 4 0 lb /p ic ?. A s í, la c a r g a to t a l d e l p is o e s d e 3 2 lb /p ie 2 + 4 0 lb / p ic 2 = 7 2 lb /p ie 2. P a r a e l s is te m a d e l p is o , L x = 2 5 p i e s y L* = 15 p ie s . C o m o L j l L x > 2 , la lo s a d e c o n c r e to s e tr a ta c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n . E l á r e a tr ib u t a r ia d e c a d a v ig u e ta se m u e s tra e n l a fig u ra 2 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , la c a rg a u n if o r m e e n to d a s u b n g itu d e s iv = 72 lb /p ie 2 (2.5 p ie s ) = 180 lb /p ie E n la fig u ra 2 -1 5 c s e m u e s tr a n e s t a c a rg a y la s r e a c c io n e s fin a le s s o b r e c a d a v ig u e ta . F ig u ra 2 -1 5 E str u c t u r a id e a l iz a d a 4 3 2 4 4 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E J E M P L O 2 .2 E l te c h o p la n o d e l e d if ic io c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a e n la f o t o g r a f í a e s t á d e s t in a d o a s o p o r t a r u n a c a r g a t o t a l d e 2 k N /m 2 e n t o d a s u s u p e r fic ie . D e te r m in e la c a r g a d e l te c h o d e n t r o d e la re g ió n A B C D q u e se tr a n s m ite a la v ig a B C . L a s d im e n s io n e s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 2 - 16a. 4 m n (a) S O L U C IÓ N E n e s t e c a s o . L i ■ 5 m y L \ - 4 m . C o m o l s ¿ L \ ■ 1.25 < 2 . se ti e n e la a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . E n la f ig u r a 2 - 1 6 a s e m u e s tr a la c a r g a tr ib u t a r ia a lo la rg o d e c a d a v ig a e n e l b o rd e , d o n d e e l á r e a d e c a rg a tra p e z o id a l c o n u n s o m b r e a d o c la r o se tra n s m ite a l e le m e n to B C . L a in te n s id a d m á s a lt a d e e s ta c a rg a e s ( 2 k N /m 2)(2 m ) = 4 k N /m . E n c o n s e c u e n c ia , l a d is tr ib u c ió n d e c a r g a a lo la r g o d e B C e s c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -1 6 b . 4 k N /ta E s te p ro c e s o d e tr a n s m is ió n d e la c a r g a tr i b u t a r i a ta m b ié n d e b e c a lc u ­ la r s e p a r a la re g ió n a la d e r e c h a d e B C c o m o s e m u e s tra e n la f o to ­ g ra f ía ; a d e m á s , e s ta c a r g a ta m b ié n d e b e c o lo c a r s e e n B C . V ea e l s ig u ie n te e je m p lo . 2 .1 E str u c t u r a id e a l iz a d a E JE M P L O 2 .3 L a s tr a b e s d e c o n c r e to q u e se m u e s tr a n e n la fo to g ra fía d e l e s t a c i o ­ n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s d e p a s a je ro s m id e n 3 0 p ie s y e n tr e su s c e n tr o s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 15 p ie s . S i la lo s a d e l p is o ti e n e 5 p u l ­ g a d a s d e e s p e s o r , e s tá h e c h a d e c o n c r e t o d e p i e d r a r e f o r z a d o y la c a rg a v iv a e s p e c ific a d a e s d e 5 0 Ib /p ie 2 (v e a la ta b l a 1 .4 ), d e te r m i n e ki c a r g a d is tr ib u id a q u e e l s is te m a d e p is o tr a n s m ite a c a d a t r a b e in ­ te rio r. S O L U C IÓ N A q u í, L 2 = 3 0 p ie s y L x = 15 p ie s , d e m o d o q u e L j J L x = 2 S e ti e n e u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . D e l a ta b l a 1-2, p a r a e l c o n c r e to d e p i e ­ d r a re f o rz a d o , e l p e s o e s p e c ífic o d e l c o n c r e t o e s 150 Ib /p ie 3. A sí, la c a rg a d e d is e ñ o p a r a e l p is o e s p = 150 I b / p i e ' p i e ^ + 5 0 I b / p ie 2 = 112.5 I b /p ie 2 U n a c a rg a d is tr ib u id a tr a p e z o id a l se tr a n s m ite a c a d a tr a b e in te r io r A R d e s d e c a d a u n o d e s u s la d o s . L a i n t e n s i d a d m á x im a d e c a d a u n a d e e s ta s c a rg a s d is trib u id a s e s (112.5 lb 'p ie 2)(7.5 p ie s ) = 843.75 Ib/pie, d e m o d o q u e e n la t r a b e e s t a in t e n s i d a d s e c o n v ie r te e n 2 (8 4 3 .7 5 b / p i e ) = 1687.5 lb /p ie , fig u ra 2 -1 7 6 . N o ta : P a r a e f e c to s d e d is e ñ o , t a m ­ b ié n d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l p e s o d e l a tr a b e . 16873 Ib/pie Figura 2 -1 7 4 5 46 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 2 .2 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n e s la b a s e d e g r a n p a r t e d e la t e o r í a d e l a n á lisis e s t r u c tu r a l. E s p o s ib le a f ir m a r lo s ig u ie n te : F] d e s p la z a m ie n to to ta l o la s c a rg a s in te r n a s ( e s fu e r z o s ) e n u n p u n t o d e u n a e stru c tu r a s o m e ­ tid a a v a ria s c a rg a s e x te m a s p u e d e d e te r m in a r s e a l s u m a r lo s d e s p la z a ­ m ie n to s o c a r g a s in te r n a s (e s fu e r z o s ) c a u s a d o s p o r c a d a u n a d e la s ca rg a s e x te r n a s q u e a c tú a n p o r s e p a r a d o . P a r a q u e e s t e e n u n c ia d o s e a v á lid o e s n e c e s a r io q u e e x is ta u n a re la c ió n lin e a l e n t r e la s c a rg a s , lo s e s f u e r z o s y lo s d e s p la z a m ie n to s . P a r a a p li c a r e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n d e b e n im p o n e rs e d o s r e q u i­ sito s: 1. E l m a t e r i a l d e b e c o m p o r ta r s e d e u n a m a n e r a c lá s tic a li n e a l, d e m o d o q u e la le y d e H o o k e s e a v á lid a y , p o r lo ta n to , la c a r g a s e r á p r o p o r c io n a l a l d e s p la z a m ie n to . 2. l a g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a n o d e b e e x p e r i m e n t a r u n c a m b io s ig ­ n if ic a tiv o a l a p li c a r la s c a r g a s ; e s d e c i r , s e a p li c a la t e o r í a d e lo s p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s . S i s e d a n g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s , la p o sic ió n y la o r i e n ta c i ó n d e la s c a r g a s c a m b ia r á n e n f o r m a s ig n ific a ­ tiv a . U n e je m p lo p o d r í a s e r u n a b a r r a d e lg a d a e n v o la d iz o s o m e tid a a u n a f u e r z a e n s u e x tr e m o . A lo la rg o d e l p r e s e n t e te x to d e b e n c u m p lir s e e s t o s d o s r e q u i s it o s A q u í, lo s m a te r ia le s s ó lo p r e s e n ta n u n c o m p o r ta m ie n t o lin e a l e lá s tic o y lo s d e s p la z a m ie n to s p r o d u c id o s p o r las c a r g a s n o c a m b ia n s ig n ific a tiv a ­ m e n te la s d ir e c c io n e s d e la s c a r g a s a p lic a d a s n i las d im e n s io n e s u s a d a s p a ra c a lc u la r lo s m o m e n to s d e la s fu e rz a s. v e n to ti? L a s p a r e d e s la te r a le s d e e s t e e d if ic io s e u tiliz a n p a r a r e f o r ­ z a r s u e s t r u c t u r a c u a n d o la c o n s tr u c c ió n e s t á s u j e t a a g r a n ­ d e s c a r g a s d e v ie n to s h u r a c a n a d o s , la s c u a l e s s e a p lic a n e n la s p a r t e s f r o n t a l o t r a s e r a d e l e d ific io . E s t a s p a r e d e s l a t e r a ­ le s s e d e n o m i n a n " m u r o s c o r t a n t e s ” . 2 .3 2 .3 E c u a g c n e s d e EQUILIBRIO E c u a cio n e s d e e q u ilib r io D e la e s tá tic a , d e b e r e c o r d a r s e q u e u n a e s t r u c tu r a o u n o d e s u s e le m e n ­ to s e s tá e n e q u ilib r io c u a n d o s e m a n tie n e u n b a la n c e d e f u e i z a s y m o ­ m e n to s . E n g e n e r a l, e s t o r e q u i e r e q u e se s a tis f a g a n la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e la s f u e r z a s y d e lo s m o m e n to s a lo la r g o d e tr e s e je s in d e ­ p e n d ie n te s , a s a b e r , 2FX = 0 lP y = 0 S f 'r = 0 2M X = 0 2M y = 0 2M Z= 0 N o o b s t a n te , la s p a r t e s p rin c ip a le s q u e s o p o r ta n c a rg a e n l a m a y o r ía d e las e s t r u c tu r a s se e n c u e n t r a n e n u n s o l o p la n o , y c o m o la s c a r g a s ta m b ié n s o n c o p la n a r e s . lo s r e q u is ito s a n te r io r e s p a ra e l e q u il ib r io se r e d u c e n a (2 -2 ) A q u í, y S E y r e p r e s e n ta n r e s p e c tiv a m e n te la s s u m a s a lg e b r a ic a s d e las c o m p o n e n te s x y y d e to d a s la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e la e s t r u c tu r a o u n o d e su s e le m e n to s , y r e p r e s e n ta la s u m a a lg e b r a ic a d e lo s m o ­ m e n to s d e e s to s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a a l r e d e d o r d e u n e je q u e e s p e r ­ p e n d ic u la r a l p la n o x - y (e l e j e z ) y q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o O . S ie m p re q u e s e a p li q u e n e s t a s e c u a c io n e s ,p r im e r o e s n e c e sa r io d ib u ja r u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e stru c tu r a o d e s u s e le m e n to s . Si s e s e ­ le c c io n a u n e le m e n to , d e b e a isla rse tfc s u s s o p o r te s y e n t o r n o p a r a d ib u ­ ja r s ó l o s u c o n to r n o . E s n e c e s a r io m o s tr a r to d a s la s fu e r z a s y m o m e n to s d e p a r q u e a c tú a n so b r e e l e le m e n to . A e s t e re s p e c to , lo s ti p o s d e r e a c c io ­ n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m in a r s e u s a n d o la ta b l a 2 -1 . T a m b ié n , d e b e r e c o r d a r s e q u e la s f u e r z a s c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n m a g n itu d e s ig u a le s p e r o e n d ir e c c io n e s o p u e s t a s e n lo s r e s p e c tiv o s d i a ­ g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s . Si e s n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s ca rg a s in te rn a s en u n p u n to e s p e c ífic o d e u n e le m e n to , d e b e e m p le a r s e e l m é to d o d e la s se c c io n e s. E s to r e ­ q u ie r e h a c e r u n " c o r te " o se c c ió n p e r p e n d i c u la r a l e je d e l e le m e n to e n e l p u n to d o n d e s e d e te r m i n a r á n la s c a r g a s in te r n a s . D e s p u é s s e a ís la u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c u a lq u ie r s e g m e n to d e l " c o r te " d el e l e ­ m e n to y e n to n c e s se d e te r m i n a n la s c a rg a s in te r n a s a p a r t i r d e la s e c u a ­ c io n e s d e e q u il ib r io a p lic a d a s a e s t e s e g m e n to . P o r lo g e n e r a l la s c a r g a s in te r n a s q u e a c tú a n e n l a s e c c ió n c o n s is te n e n u n a f u e r z a n o r m a l N . u n a fu e rz a c o r t a n te V y u n m o m e n to f le x io n a n te M .c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -1 8 . E n la s e c c ió n 2 -5 s e e s t u d i a r á n lo s p r i n c ip i o s d e la e s t á t i c a q u e se e m p l e a n p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la s e s t r u c tu r a s . L a s c a r g a s in te r n a s e n lo s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s e a n a li z a r á n e n el c a p ítu lo 4. M M V, D * ¡.- íC v fig u ra 2 -1 8 4 7 48 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 2 .4 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te rm in a c ió n y e s ta b ilid a d A n te s d e in ic ia r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a e s l r u c t u r a .e s n e c e s a r io e s ­ ta b le c e r la d e te r m in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e la e s t r u c tu r a . D e t e r m i n a c i ó n . L a s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p ro p o r c io n a n la s c o n ­ d ic io n e s n e ce sa ria s y s u fic ie n te s p a r a e l e q u ilib r io . C u a n d o to d a s la s f u e r ­ z a s e n u n a e s t r u c tu r a p u e d e n d e te r m in a r s e e s tr ic ta m e n te a p a r tir d e e s ta s e c u a c io n e s , la e s t r u c tu r a s e d e n o m i n a e stá tic a m e n te d e te r m in a d a . L a s e s ­ tr u c tu r a s q u e ti e n e n m á s fu e r z a s d e s c o n o c id a s q u e e c u a c io n e s d e e q u il i­ b r io d is p o n ib le s se ll a m a n e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a s . C o m o reg la g e n e ra l, u n a e s tr u c tu r a p u e d e id e n tif ic a rs e c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i­ n a d a o in d e te r m in a d a a l d ib u j a r d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o s su s e le m e n to s , o p a r t e s s e le c c io n a d a s d e su s e le m e n to s , p a r a d e s p u é s c o m p a ­ r a r e l to t a l d e f u e r z a s d e r e a c c ió n y c o m p o n e n te s d e m o m e n to d e s c o n o ­ c id o s c o n e l to ta l d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s .* P a r a u n a e s t r u c tu r a c o p la n a r e x is te n a lo s u m o tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a r a c a d a p a r t e , p o r lo q u e s i h a y u n to t a l d e n p a r te s y r c o m p o n e n te s d e fu e r z a s y m o m e n to s d e r e a c c i ó n ,s e ti e n e q u e r - 3 /i. e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a (2 -3 ) r > 3 n ,e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a E n p a r tic u la r , s i u n a e s t r u c t u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a , las e c u a c i o n e s a d ic io n a le s n e c e s a r ia s p a r a r e s o lv e r la s r e a c c io n e s d e s c o ­ n o c id a s s e o b ti e n e n a l r e l a c i o n a r la s c a r g a s a p lic a d a s y la s r e a c c io n e s c o n e l d e s p l a z a m i e n t o o la p e n d i e n t e e n d i f e r e n t e s p u n t o s d e l a e s ­ t r u c t u r a . E s t a s e c u a c i o n e s , q u e s e c o n o c e n c o m o e c u a c io n e s d e c o m p a ­ tib ilid a d , d e b e n s e r ig u a le s e n n ú m e r o a l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n d e la e s t r u c t u r a . L as e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d in c lu y e n las p r o p ie d a d e s g e o m é tr ic a s y físic a s d e la e s t r u c tu r a y s e e s t u d ia r á n m á s a d e l a n t e e n el c a p ítu lo 10. A c o n tin u a c ió n s e c o n s i d e r a r á n a lg u n o s e je m p lo s p a r a m o s tr a r la f o r m a d e c la s ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a e s tr u c tu r a . E l p r im e r e j e m ­ p lo t r a t a s o b r e v ig a s , e l s e g u n d o s o b r e e s t r u c tu r a s a r t ic u la d a s y e l te r c e r o s o b r e m a rc o s . L a c la s ific a c ió n d e a r m a d u r a s s e e s t u d i a r á e n e l c a p ítu lo 3. • E l tr a z a d o d e d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e n o e s e s tr ic ta m e n te n e c e s a r io , p u e s to q u e t a m ­ b ié n p u e d e h a c e rs e u n ,,c o n tc o m e n ta l" d e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s p a r a c o m p a r a r lo c o n e l n ú m e r o d e e c u a c io n e s d e e q u ilib rio . 2 .4 D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d E JE M P L O 2 .4 G a s if iq u e c a d a u n a d e las v ig as q u e s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 2 -1 9 a a 2 -1 9 d c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m i­ n a d a . Si s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a ­ d o s d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a c a rg a s e x t e r n a s c o n o c id a s q u e p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u i e r lu g a r d e la s vigas. S O L U C IÓ N l a s viga s c o m p u e s la s .e s d e c ir la s d e las fig u ra s 2 - 19c y 2 -1 9 < ¿ .q u e se c o m p o n e n d e e le m e n to s a r tic u la d o s , d e b e n d e s e n s a m b la rs e . C o n s i­ d e re q u e e n e s to s c a s o s la s f u e r z a s d e re a c c ió n d e s c o n o c id a s q u e a c tú a n e n t r e c a d a e le m e n to d e b e n m o s tr a r s e e n p a r e ja s ig u a le s p e r o o p u e s ta s . E n la s fig u ra s s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . D e s p u é s d e a p li c a r r = 3 /i o r > 3 n .s e in d ic a n las c la á f i c a d o n e s r e s u lta n te s . * (a ) r - 3 .ii- l.3 - 3 ( l) T = F R e sp . E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a J — i (b ) r - 5 .1 1 - 1 .3 > 3 (1 ) <d) r - E s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g r a d o R e sp . E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a R e sp . H 10. n - 3 . 1 0 > 3 ( 3 ) *— f ------* t - i E s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g r a d o fig u ra 2 -1 9 R esp. 5 0 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E JE M P L O 2 .5 C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m u e s tra n e n la s fig u ra s 2 -2 0 a a 2 - 2 0 d c o m o e s t á tic a m e n te d e t e r m i n a d a o e s t á tic a ­ m e n te in d e t e r m in a d a . Si e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a , in d iq u e el n ú m e r o d e g r a d o s d e in d e te rm in a c ió n . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s y q u e p u e d e n a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n to d e la s e s t r u c tu r a s . S O L U C IÓ N L a c la s ific a c ió n d e e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s e s s e m e ja n t e a la d e la s vigas. E n la s f ig u r a s s e m u e s tra n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e lo s e le m e n to s . A l a p li c a r r = 3 n o r > 3 n , s e in d ic a n la s c la s ific a c io n e s r e ­ s u lta n te s . r - J C r-7 ./i -2.7 >6 t E s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e p r i­ Resp. m er g rad o J r - 9 , n - 3 .9 - 9 . (b ) jr t (C) E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a r - R esp . T lO .n = 2 ,1 0 > 6 , E s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e R e sp . c u a rto g ra d o T \ t r r-9.n~ 3 .9~ 9. E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a R esp. (d) j F igura 2-20 r 2 .4 D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d 51 E JE M P L O 2 .6 C la s ifiq u e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e s e m u e s tr a n e n la s fig u ra s 2 - 2 la y 2 -2 1 ¿> c o m o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o o e s t á tic a m e n te in d e t e r m i­ n a d o . S i e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a d o s d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e lo s m a r c o s e s t á n s o m e tid o s a c a r ­ g a s e x t e r n a s c o n o c id a s , la s c u a le s p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u ie r p u n to d e lo s m a rc o s. S O L U C IÓ N A d if e r e n c ia d e la s v ig a s y la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m o s tr a ­ ro n e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s m a rc o s e s t á n c o m p u e s to s p o r e l e ­ m e n to s q u e s e c o n e c t a n e n t r e s í m e d ia n te ju n t a s ríg id a s. E n o c a s io n e s , los e le m e n to s f o r m a n c ir c u ito s ( c r u jía s ) in t e r n o s c o m o e n la fig u ra 2 -2 1 a . A q u í A B C D fo rm a u n c ir c u it o c e r r a d o . P a r a c la s ific a r e s t a s e s ­ tr u c tu r a s e s n e c e s a r io e m p l e a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y " c o r ta r " el c ir c u ito e n d o s . E n la fig u ra s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e la s p a r te s s e c c io n a d a s , d e m a n e r a q u e e s p o s ib le c la s ific a r e l m a rc o . T e n g a e n c u e n ta q u e s ó l o s e n e c e s ita u n a s e c c ió n a tr a v é s d e l c ir c u ito , p u e s to q u e a l d e te r m in a r la s in c ó g n ita s e n la se c c ió n e s p o s ib le e n c o n tr a r las f u e r z a s in t e r n a s e n c u a lq u i e r p u n to d e lo s e le m e n to s , e m p le a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E n l a fig u ra 2-21 b s e m u e s tr a u n s e g u n d o e je m p lo d e e s to . S i b ie n e l m a r c o d e la fi­ g u r a 2 - 2 l e n o tie n e c ir c u ito s c e r r a d o s , e s p o s ib le e m p l e a r e l m ism o m é to d o c o n s e c c io n e s v e rtic a le s p a r a c la s ific a rlo . E n e s te c a s o , ta m ­ b ié n se p u e d e d i b u j a r s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e c o m p le to . L a c la s i­ ficació n r e s u lta n t e s e in d ic a e n c a d a fig u ra . D r = 9 , / i = 2 , 9 > 6, Estáticamente indeterminado de tercer grado R esp . (a) t .E h 4 v r - 9,n - 1 ,9 > 3 . Estáticamente indeterminado de sexto grado R e sp . (Este marco no tiene circuitos cerrados.) , 4 * ^ — t j r r= -4 = ¡- T r r 18, n = 3 ,1 8 > 9 , Estáticamente indeterminado de ruveno grado R esp . (b) (c) Figura 2-21 r = 1 8 ,n = 4 ,1 8 > 12, Estáticamente indeterminado de sexto grado Resp. C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E s ta b ilid a d . P a r a g a r a n tiz a r e l e q u ilib r io d e u n a e s tr u c tu r a o d e su s e le m e n to s , n o s ó l o e s n e c e s a r io s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , s i n o q u e lo s e le m e n to s ta m b ié n d e b e n e s t a r c o r r e c ta m e n te s u j e to s o r e s ­ tr in g id o s p o r s u s s o p o r te s . C u a n d o n o s e h a n c u m p lid o la s c o n d ic io n e s a d e c u a d a s d e re s tric c ió n p u e d e n p r e s e n t a r s e d o s s itu a c io n e s d is tin ta s . r z j M. re s tric c io n e s p a r d a le s F ig u ra 2 - 2 2 Restricciones parciales. E n a lg u n o s c a so s, u n a e s t r u c tu r a o u n o d e s u s e l e m e n t o s p u e d e n t e n e r m e n o s f u e r z a s r e a c t iv a s q u e e c u a c i o n e s d e e q u ilib r io a s a tis f a c e r. E n to n c e s la e s t r u c t u r a s e c o n v ie r te s ó lo e n p a rd a lm e n ie re strin g id a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e e l e le m e n to d e la fig u ra 2 -2 2 c o n s u c o r r e s p o n d ie n t e d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . A q u í, la e c u a c ió n 2 .F , = 0 n o s e r á s a tis f e c h a p o r la s c o n d ic io n e s d e c a r g a y, p o r lo ta n to , e l e l e ­ m e n t o s e r á in e s ta b le . Restricciones impropias. E n a lg u n o s c a s o s p u e d e h a b e r ta n ta s fu e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; s i n e m b a r g o , la in e s ta b ilid a d o e l m o v im ie n to d e u n a e s t r u c tu r a o su s e le m e n to s p u e d e n d e s a r r o lla r s e d e b id o a la re stric c ió n i m p r o p i a d e lo s s o p o r te s . E s to p u e d e o c u r r ir s i t o d a s las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s o n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to . E n la f ig u r a 2 -2 3 se m u e s tr a u n e je m p lo d e e s t a s itu a c ió n . A p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s u m a d e lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e l p u n t o O n o s e r á ig u al a c e r o ( F d * 0), p o r lo q u e se p r e s e n ta r á r o ta c ió n a l r e d e d o r d e l p u n to O . O tr a f o r m a e n la c u a l la re s tric c ió n im p r o p ia c o n d u c e a la in e s ta b ili­ d a d o c u r r e c u a n d o t o d a s la s fu e r z a s r e a c tiv a s s> n p a ra le la s. U n e je m p lo d e e s t e c a s o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 -2 4 . A q u í, c u a n d o s e a p lic a u n a fu e rz a in c lin a d a P . l a s u m a d e fu e r z a s e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l n o s e r á ig u a l a c e r o . o o r e a c c io n e s c o n c u r re n te s F ig u ra 2 - 2 3 z ,P Fa T z F„ r e a c c io n e s p a r a le la s H g u ra 2-24 2 .4 E n g en era l, u n a e s tr u c tu r a se r á g e o m é tr ic a m e n te in e s ta b le — e s decir, se m o v e r á lig e r a m e n te o c o la p s a r á — s i h a y m e n o s fu e r z a s d e re a cc ió n q u e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; o, s i h a y s u fic ie n te s re a c cio n e s, se p r o d u c ir á in e s ­ ta b ilid a d s i la s lín ea s d e a c c ió n d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n se c r u z a n e n u n p u n to c o m ú n o s o n p a r a le la s e n tr e s í. S i la e s t r u c tu r a s e c o m p o n e d e v a ­ rio s e le m e n to s o c o m p o n e n te s , la in e s ta b ilid a d lo c a l d e u n o o v a rio s d e e s t o s e le m e n to s p u e d e d e te r m in a r s e g e n e r a lm e n te m e d ia n te in s p e c c ió n . Si lo s e le m e n to s f o r m a n u n m e c a n is m o c o la p s a b le , la e s t r u c tu r a s e r á in e s ta b le . A c o n tin u a c ió n s e f o r m a liz a r á n e s to s e n u n c ia d o s p a r a u n a e s­ tr u c tu ra c o p la n a r c o n n e le m e n to s o c o m p o n e n te s y r r e a c c io n e s d e s c o ­ n o c id a s . D a d o q u e h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s p a ra c a d a e le m e n to o c o m p o n e n t e .s e t i e n e q u e r <3>n r a 3n es in e s ta b le e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s d e lo s e le m e n to s s o n c o n c u r r e n te s o p a r a le lo s o a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s f o r m a n u n m e c a n is m o c o la p s a b le (2 -4 ) Si la e s tr u c tu r a e s in e s ta b le , n o im p o r ta si e s e s t á tic a m e n te d e t e r m i ­ n a d a o in d e t e r m in a d a . E n to d o s lo s c a so s, e s e tip o d e e s t r u c tu r a s d e b e e v ita r s e e n la p rá c tic a . L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la f o r m a e n q u e la s e s t r u c tu r a s o s u s e le m e n to s p u e d e n c la s ific a rs e c o m o e s ta b le s o in e s ta b le s . E n e l c a p ítu lo 3 s e a n a liz a r á n la s e s t r u c tu r a s e n la f o r m a d e u n a a r m a d u r a . E l re fu e rz o e n K s o b re e s te m a rc o p r o p o rc io n a s o p o r le la te ra l c o n ­ tra el v ie n to y s o p o rte v e rtic a l d e la s aso tra b e s d e la del p is o . O b s e r v e e l le c h a d a d e c o n c re to , q u e s e a p lic a p a r a a is la r e l a c e r o y e v ita r q u e p ie r d a s u rig id e z e n c a s o d e p r e s e n ta r s e u n in c e n d io . D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d 53 2 5 4 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C la s if iq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e s e m u e s t r a n e n la f ig u r a 2 - 2 5 a a 2 -2 5 d c o m o e s t a b le o in e s ta b le . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s . S O L U C IÓ N L a s e s t r u c tu r a s s e c la s ific a n d e la m a n e r a in d ic a d a . (a) F igura 2 -2 5 E l e l e m e n t o e s e sta b le p u e s to q u e la s r e a c c io n e s n o s o n c o n c u r r e n te s n i p a ra le la s . T a m b ié n e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d o . R esp . tr (b) E l e le m e n to e s in e s ta b le p u e s to q u e las tr e s re a c c io n e s s o n c o n c u r r e n ­ te s e n B . R esp . r \ (C) t L a v ig a e s in e sta b le p u e s to q u e la s tr e s re a c c io n e s s o n p a ra le la s . R e s p . f— r j D C (d) r j r L a e s t r u c tu r a e s in e sta b le p u e s to q u e r = 7 , n = 3. p o r lo q u e s e g ú n la e c u a c ió n 2 -4 , r < 3 n , 7 < 9 . A d e m á s , e s t o p u e d e o b s e r v a r s e p o r in s p e c ­ c ió n . y a q u e A B p u e d e d e s p la z a r s e h o riz x )n ta lm e n te sin r e s tric c ió n . R esp . 2 .4 D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d PR O B LEM A S 2- 1. 1.a e s tru c tu ra d e a c e ro se u sa p a ra s o s te n e r una lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o q u e s e e m p le a en u n a o ficin a. L a lo s a tie n e 200 m m d e e s p e s o r. D ib u je las c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s B E y F E D . C o n s id e r e a — 2 m , b — 5 m . S u g eren cia : V ea las ta b la s 1-2 y 1-4. 2-2. R e su e lv a e l p ro b le m a 2-1 c o n a = 3 m , b = 4 m. 2 -6. E l m a rc o se u sa p a ra s o p o r ta r u n p iso d e m a d e ra d e 2 p u lg a d a s d e e sp e s o r e n u n a v iv ie n d a re sid e n c ial. D i­ b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s B G y A B C D . C o n s id e re a = 5 p ie s , b = 15 p ies. Sugerend a : V e a las ta b la s 1-2 y 1-4. 2-7. R e su e lv a e l p ro b le m a 2-6. c o n a - 8 p ies, b - 8 pies. • 2 -8 . pies. R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -6 , c o n a — 9 p ie s y b — 15 Probs. 2 -1 /2 -2 2-3. E l siste m a d e p iso e m p le a d o e n u n a u la con siste e n u n a lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o d e 4 p u lg a ­ das. D ib u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e la v ig u eta B F y la tr a b e la t e r a l A B C D E . C o n s id e r e a « 10 p ie s , b « 3 0 p i e s Sugerencia: V ea la s ta b la s 1-2 y 1-4. •2 -4 . pies. R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -3 co n a = 10 p ie s .6 = 15 2-5. R e su elv a e l p ro b le m a 2-3 c o n a - 7 .5 p ie s , b - 20 pies. Probs. 2-6Z2-7/2-8 2 -9. L a e s tru c tu ra d e a c e ro se u sa p a r a s o p o r ta r u n a lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re f o rz a d o d e 4 p u lg ad a s, la c u a l s o s tie n e u n a c a rg a v iv a u n ifo rm e d e 500 Ib /p ie 2. D i ­ b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s B E y F E D . C o n s id e re 6 - 1 0 p ie s y a - 7 .5 p ies. S u ge­ rencia: C o n su lte la ta b la 1-2. 2- 10 . R e su elv a e l p ro b le m a 2-9, c o n b — 12 p ies, a — 4 pie& P to Ik . 2 -3 /2 -4 /2 -S Probs. 2 -9 /2 -1 0 56 C a p itu lo 2 A n á lis is de e s tru c tu ra s 2- 11. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e s tá ­ tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e e l g ra d o de in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o rte s o c o n e x io n e s d e b e n s u je ­ ta r s e a lo s s u p u e s to s in d icad o s. ¿V e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s *2-12. C la sifiq u e c a d a u n o d e lo s m a rc o s c o m o e s tá ti­ c a m e n te d e te r m in a d o s o in d e te rm in a d o s. S i e s in d e te r­ m in a d o , e s p e c ifiq u e e l g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . T odas las ju n ta s in te rn a s e s tá n c o n e c ta d a s fijam en te. n i, (a) — ------------(a) 0» (C) P ro lx 2-11 (d) Proh. 2-12 2 .4 D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d 2-13. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e stá ­ tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a , e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o r te s o c o n e x io n e s d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicad o s. (¡rlc u la d ó n ro d illo I Aja 57 a rtic u la c ió n ♦ (a) articu lació n a rtic u la ció n flja 2-15. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­ tic a m e n te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e el g ra d o de in d e te rm in a c ió n . 0» jlic u la d ó n ¿rU culaclón (c) Proh. 2-13 2-14. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­ tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a , e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . I x » s o p o r te s o c o n e x io n e s d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicad o s. a rtic u la c ió n a rtic u la c ió n ro d illo (a) I ¿ ro d illo ‘S) a rtic u la c ió n r o d il lo ^ - a rtic u la c ió n (b ) fija (b) 5 8 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s *2-16. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm i­ nada o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 2 -1 7 . C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e stá ­ tica m en te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a , e s ta b le o in e sta b le . Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e el g r a d o d e in d e te rm in a c ió n . (a) (a) <b) (b) <c) (c ) A & <d) P roh. 2 -1 6 (d) Proh. 2 -1 7 2 .5 2 .5 A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io A p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io H n fo r m a o c a s io n a l, lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a s e c o n e c t a n e n t r e s í d e m o d o q u e la s ju n t a s p u e d e n a s u m ir s e c o m o a rtic u la c io n e s . L o s m a r e o s y la s a r m a d u r a s p a r a c o n s tru c c ió n s o n e je m p lo s típ ic o s q u e s u e le n fo r m a rs e d e e s t a m a n e r a . Si u n a e s t r u c t u r a c o p l a n a r a r tic u la d a e s t á b ie n r e s tr in g id a y n o c o n tie n e n in g ú n s o p o r te o e le m e n to a d ic io n a l n e c e s a r io p a ra e v ita r e l c o la p s o , la s f u e r / a s q u e a c tú a n e n las ju n t a s y s o p o r te s p u e ­ d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n a c a d a e le m e n to d e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io (2 .F , = 0 = 0 ,X A 1a = 0 ). E s c o m p r e n s ib le q u e , u n a v e / q u e s e h a y a n c a lc u la d o las f u e r / a s e n la s j u n t a s , s e r á p o s ib le d e te r m i n a r e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s , las c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s c o n b a s e e n la s e s p e c ific a c io n e s d e lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o . P a ra il u s t r a r e l m é to d o d e a n á lis is d e fu e rz a s , c o n s id e r e e l m a r c o d e tr e s e le m e n to s q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 2 6 a ,e l c u a l e s t á s o m e tid o a las c a r g a s P i y P 2. E n la fig u ra 2 -2 6 6 s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . E n to t a l h a y n u e v e in c ó g n ita s ; s i n e m ­ b a rg o , p u e d e n e s c r ib ir s e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a e le m e n to , p o r lo q u e e l p r o b l e m a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d o . P a r a la s o lu c ió n r e a l ta m b ié n e s p o s ib le , y c o n v e n ie n te a v e c e s, c o n s i d e r a r u n a p o rc ió n d e l m a r c o o s u to ta lid a d a l m o m e n to d e a p lic a r a lg u n a d e e s t a s n u e v e e c u a c io n e s . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 2 -2 6 c se m u e s tra u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o . S e p o d r ía n d e t e r m i n a r las tr e s r e a c c io ­ n e s A ,,A vy C , s o b r e e s te s is te m a a r t ic u l a d o “ r íg id o ” p a r a d e s p u é s a n a ­ liz a r d o s d e c u a lq u ie r a d e s u s e le m e n to s , f ig u r a 2 - 2 6 6 ,y o b t e n e r la s o tr a s se is in c ó g n ita s . A d e m á s , la s r e s p u e s ta s p u e d e n c o m p r o b a r s e , e n p a r t e m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e n e l “ te r c e r " e le m e n to r e s ta n te . E n r e s u m e n , e s te p r o b le m a p u e d e re s o lv e r s e a l e s c r i­ b ir u n m á x im o d e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io u s a n d o d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c u a le s q u ie r e le m e n to s y /o c o m b in a c io n e s d e e le m e n to s c o n e c ta d o s . S i s e e s c r ib e n m á s d e n u e v e e c u a c io n e s , h a b r ía r e d u n d a n c ia s o b r e la s n u e v e e c u a c io n e s o r ig in a le s y a lg u n a s d e é s ta s s ó lo s e r v ir ía n p a r a c o m p r o b a r re s u lta d o s . D, Figura 2-26 A, 2 6 0 2 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C o n s id e r e a h o r a e l m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n la fi­ g u r a 2 -2 7 a. A q u í, lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s m u e s ­ t r a n s e is in c ó g n ita s , fig u ra 2 -2 7 6 ; s in e m b a r g o , e s p o s ib le e s c r ib ir se is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a e le m e n to , p o r l o q u e d e n u e v o el p r o b le m a e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d o . A l ig u a l q u e e n e l c a s o a n te r io r , ta m b ié n p u e d e e m p le a r s e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e t o d o e l m a rc o p a ra u n a p a r t e d e l a n á lis is , fig u ra 2 -2 7 c . A u n q u e , c o m o s e m u e s tr a , el m a r c o ti e n e te n d e n c ia a l c o la p s o si n o c u e n ta c o n s u s s o p o r te s , a l g i r a r s o b r e la a r tic u la c ió n e n R . e s t o n o s u c e d e r á p u e s t o q u e e l s is te m a d e fu e r z a s q u e a c tú a n s o b r e e l m a r c o to d a v ía p u e d e n m a n t e n e r l o e n e q u il i­ b rio . P o r lo ta n t o , si a s í s e d e s e a , la s se is in c ó g n ita s p u e d e n d e te r m in a r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d o el m a r c o , fig u ra 2 -2 7 c , y ta m b ié n a l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s a u n o d e su s e le m e n to s . L o s d o s e je m p lo s a n te r io r e s m u e s tr a n q u e s i u n a e s t r u c tu r a e s t á b ie n s o p o r ta d a y n o c o n tie n e n in g ú n a p o y o o e le m e n to a d ic io n a l q u e s e a n e ­ c e s a r io p a r a e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o s e c o n v ie r te e n e s t á tic a m e n te d e ­ te r m in a d o y, p o r lo ta n t o , la s f u e r z a s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r t e s y c o n e x io n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a p lic a d a s a c a d a e le m e n to . A d e m á s , s i la e s t r u c t u r a s e m a n t ie n e rígida ( n o c o la p s a b le ) a l r e t i r a r lo s s o p o r t e s (f ig u ra 2 -2 6 c ), la s tr e s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a to d a la e s t r u c tu r a . S in e m b a r g o , s i la e s tr u c tu r a n o p a r e c e s e r ríg id a ( c o l a p s a b l e ) d e s p u é s d e r e t i r a r lo s s o p o r t e s ( f ig u ­ r a 2 - 2 7 c ) ,s e r á n e c e s a r io d e s m e m b r a r la e s t r u c t u r a y c o n s i d e r a r e l e q u il i­ b r io d e lo s e le m e n to s in d iv id u a le s a f i n d e o b t e n e r s u fic ie n te s e c u a c io n e s p a ra d e t e r m i n a r to d a s la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . H g u ra 2-27 2 .5 A p l ic a c ió n d e l a s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io P ro c e d im ie n to d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la s rea c c io n e s e n la s ju n ta s e s t r u c tu r a s c o m p u e s ta s p o r e le m e n to s a rtic u la d o s . D ia g r a m a s d e c u e r p o lib re • D e s e n s a m b le la e s t r u c tu r a y d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . A d e m á s , p u e d e s e r c o n v e n ie n te c o m p le m e n ta r e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n e l e ­ m e n to c o n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la e s tr u c tu r a . C o n e s t e d ia g r a m a e s p o ­ s ib le d e te r m i n a r t o d a s o a lg u n a s d e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . • R e c u e r d e q u e la s f u e r z a s d e r e a c c ió n c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n m a g n i tu ­ d e s ig u a le s p e r o c o n d ir e c c io n e s o p u e s ta s e n lo s r e s p e c tiv o s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e lo s e le m e n to s . • D e b e n id e n tif ic a rs e to d o s lo s e le m e n to s d e d o s fu e rz a s . S o b r e e s to s e le m e n to s , i n d e ­ p e n d ie n t e m e n t e d e s u f o r m a , n o a c tú a n c a rg a s e x t e r n a s y, p o r lo ta n to , s u s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e s e r e p r e s e n t a n c o n la s fu e r z a s c o lin e a le s ig u a le s p e r o o p u e s t a s a c ­ tu a n d o e n s u s e x tr e m o s . • E n m u c h o s c a s o s e s p o s ib le e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n e l s e n tid o c o r r e c to d e la fle c h a q u e in d ic a la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o ; s in e m b a r g o , s i e s to p a ­ r e c e d ifíc il, e l s e n t id o d e la f u e r z a p u e d e s u p o n e r s e a r b itr a r ia m e n te . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io • C u e n te e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s p a r a a s e g u r a r q u e s e p u e d a e s c r ib ir u n n ú m e r o e q u iv a le n te d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a s u s o lu c ió n . A e x c e p c ió n d e lo s e l e m e n ­ to s d e d o s fu e rz a s , r e c u e r d e q u e g e n e r a lm e n te p u e d e n e s c r ib ir s e tr e s e c u a c i o n e s d e e q u ilib r io p a r a c a d a e le m e n to . • E n m u c h a s o c a s io n e s la s o lu c ió n d e la s in c ó g n ita s s e r á s e n c illa , s i la e c u a c ió n d e m o ­ m e n to “ O se a p lic a a lr e d e d o r d e u n p u n to ( O ) q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­ c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e ta n t a s f u e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o s e a p o s ib le . • A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e f u e r z a Í F , = 0 y Z F y = 0 , o r i e n t e lo s e je s x y y a lo la rg o d e la s lín e a s q u e o f r e c e n la re d u c c ió n d e fu e r z a s m á s s im p le e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . • Si la s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p r o p o r c io n a u n a m a g n itu d n e g a tiv a p a ra u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o , e s to in d ic a q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e s t o a l q u e s e s u p u s o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . 62 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E JE M P L O 2 .8 D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-28a. 60 k 60 i A !r 60" k 5 0 k p ie 60* cos6 0 °k 5 0 k- pi e 7 ------------ 10 p ie s ------------ 1- p J 10 p ie s -------- 7 p ie s -------- -4 p ie s -t »• (a) (b) Figura 2 -2 8 S O L U C IÓ N D ia g ra m a d e c u e rp o líb r e . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -2 8 6 , la f u e r z a d e 6 0 k s e r e s u e lv e e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . ft>r o t r a p a r t e , la lín e a d im e n s io n a l d e 7 p ie s n o e s n e c e s a r ia p u e s t o q u e u n m o m e n to d e p a r e s u n v e c to r lib r e y. p o r lo ta n t o , p u e d e a c t u a r e n c u a lq u ie r p u n to d e la v ig a p a r a lo s fin e s d e c a lc u la r las r e a c c io n e s e x te rn a s . E c u a c io n e s d e e q u flib r io . A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 2 -2 e n u n a s e ­ c u e n c ia y a l e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a m e n t e .s e tie n e Í + Í s f , A x ~ 60 eos 60° = 0 2 F X = 0- A , = 3 0 .0 k o. - 6 0 se n 6 0 °(1 0 ) + 6 0 c o s 6 0 ° (1 ) + « ,( 1 4 ) - 50 = 0 0; - 6 0 s e n 6 0 ° + 3 8 .5 + A . B f = 3 8 .5 k R e sp R esp . R esp . 13.4 k E JE M P L O 2 .9 15 k N / r D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-29a. 5 k N /n ------------------------------ 1 2 m ------------------------------ 1 (a) U l0 k N /m K I2 m ) - 6 0 k N | (5 k N /m )(1 2 m ) = t e 4 - H - S O L U C IÓ N D ia g ra m a d e c u e rp o li b r e . G o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -2 9 b , la c a r g a tr a p e z o id a l d is tr ib u id a s e d iv id e e n u n a c a rg a tr ia n g u l a r y u n a c a r g a u n if o r m e . L a s á r e a s b a jo e l tr iá n g u lo y e l r e c tá n g u lo r e p r e s e n ­ t a n la s f u e iz a s r e s u lta n te s. E s ta s fu e r z a s a c tú a n a tr a v é s d e l c e n tr o id e d e s u s á r e a s c o rr e s p o n d ie n te s . “ kN E c u a c io n e s d e e q u ilib r io S F X = o; A* = o R esp . (b ) + Í 2 F , = 0; A y - 60 - 6 0 Figura 2-29 L + 2 M a = 0; - 6 0 ( 4 ) - 6 0 (6 ) + M A = 0 0 120 k N R esp . M A = 6 0 0 k N - m R esp . 2 .5 A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io E JE M P L O 2 .1 0 D e te r m in e las r e a c c io n e s s o b r e la v ig a m o s tr a d a e n la f ig u r a 2 -3 (ta. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n y e l s o p o r te e n f í e s u n r o d illo ( s u ­ p e rfic ie lis a ). F igura 2 -3 0 S O LU C IÓ N D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . C ó m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 0 6 .e l s o p o r te (“ r o d i ll o " ) e n B e je r c e u n a fu e r z a n o r m a l s o b r e la v ig a e n s u p u n to d e c o n ta c to . L a lí n e a d e a c c ió n d e e s t a f u e r a e s tá d e f i n id a p o r d tr iá n g u l o 3-4-5 . (b) E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A l d e s c o m p o n e r N # e n s u s c o m p o n e n ­ te s x y y ,y a l s u m a r lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e A se o b ti e n e u n a s o lu d ó n d ir e c ta p a r a N B. ¿ P o r q u é ? C o n e s t e r e s u lta d o e s p o s ib le o b t e n e r Ax y A y. - 3 5 0 0 ( 3 . 5 ) + ( i ) N B( 4 ) + (Í)A rA( 1 0 ) = 0 R esp . N „ = 1 3 3 1 .5 1 b = 1.33 k 0; A , _- * (11/3m3 1i . 5o ) = 0n 0; A , - 3 5 0 0 + f ( 1331.5) = 0 = 1.07 k R e sp . A y = 2 .7 0 k R esp . 63 6 4 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E JE M P L O 2 .1 1 L a v ig a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 \a e s tá fija e n A . D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n A , B y C . S u p o n g a q u e la c o n e x ió n e n B e s u n a a rtic u la c ió n y q u e C e s u n ro d illo . (a ) Figura 2-31 S O L U C IÓ N D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 2 -3 1 6 s e m u e s tr a e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib re d e c a d a s e g m e n to . ¿ P o r q u é e s t e p r o b l e m a e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o ? #000 ib 6000 Ib • pie A , — ( j! A , |— l O p i e s -— i “ ^ ^® i J1---------- 15 pies---------\ |----- lOpies— I (b) E c u a c io n e s d e e q u flib r io . H a y s e is in c ó g n ita s . A l a p li c a r la s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a ­ m e n te , s e ti e n e S e g m e n to B C \ 5,+ Z M c = O. + t Z F , = 0; 6 0 0 0 + f l ,( 1 5 ) = 0 By -4 0 0 + Cy = 0 4001b R esp . 4001b R esp . R esp . % - Z F , = 0; S e g m e n to A B : l + S M * = O. M a ~ 8 0 0 0 (1 0 ) + 4 0 0 (2 0 ) = M a = 7 2 .0 k - p ie 0 ; 0; R esp . A y - 8000 + 400 = 0 A, 7 .6 0 k R esp . At - 0 = 0 At 0 R esp . 2 .5 A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io E JE M P L O 2 .1 2 D e te r m in e las c o m p o n e n te s h o r iz o n ta l y v e r tic a l d e r e a c c ió n e n la s a rtic u la c io n e s A , B y C cfcl m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n b fig u ra 2 -3 2 a. F igura 2 -3 2 S O L U C IÓ N Diagramas da cuerpo libre. E n la fig u ra 2 -3 2 b s e m u e s tr a e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . Ecuaciones de equilibrio. 1.a a p lic a c ió n d e la s s e i s e c u a c i o n e s d e e q u ilib r io e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia p e r m it e u n a s o lu c ió n d i r e c t a p a ra c a d a u n a d e la s se is in c ó g n ita s . E le m e n to B C : L + S A fc = 0; ~ B y{ 2 ) + 6 ( 1 ) = 0 By = 3kN R esp . - 8 ( 2 ) - 3 (2 ) + B , { 1 .5 ) = 0 B , = 14.7 k N R esp . A x + ^ (8 ) - 14.7 = 0 A , = 9.87 k N R esp . = 0 A y = 9 .4 0 k N R esp . E le m e n to A B : J .+ 2 M Á = 0 . = 0; + Í Z F y = 0; A y - Í(S) - 3 E le m e n to BC : - ¿ Z F , = 0. 14.7 - C , = 0 C , = 14.7 k N R e sp . + Í 2 F , = 0; 3 - 6 + Cy = 0 Cy = 3 kN R esp . 6 6 C a p it u l o E JE M P L O 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 2 .1 3 E l la d o d e la c o n s t r u c c i ó n q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 2 - 3 3 a e s t á s o m e ti d o a u n a c a r g a d e v ie n to q u e c r e a u n a p r e s ió n u n if o r m e n o r ­ m a l d e 15 k P a s o b r e e l la d o e n b a r lo v e n to y u n a p r e s ió n d e s u c c ió n d e 5 k P a e n e l la d o e n s o ta v e n to . D e te r m in e las c o m p o n e n t e s h o r iz o n ta l y v e r tic a l d e la re a c c ió n e n la s c o n e x io n e s a r t ic u la d a s A , R y C e n e l a rc o a d o s a g u a s q u e d a s o p o r te a la c o n s tru c c ió n . (a) Figura 2 -3 3 S O L U C IÓ N C o m o la c a r g a e s t á d is tr i b u id a u n if o r m e m e n te , e l a r c o c e n tr a l a d o s a g u a s s o p o r ta u n a c a rg a q u e a c tú a s o b r e la s p a r e d e s y e l te c h o d e l á r e a tr ib u t a r ia q u e s e m u e s tr a c o n u n s o m b r e a d o o s c u ro . E s to r e p r e ­ s e n t a u n a c a r g a d is tr ib u id a u n if o r m e d e (1 5 k N /m ?)(4 m ) = 6 0 k N /m e n e l la d o d e b a r lo v e n to y ( 5 k N /m 7)(4 m ) = 2 0 k N /m e n e l la d o d e s o ­ ta v e n to , fig u ra 2 -3 3 6 . 2 .5 A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . Si se s im p lific a n la s c a r g a s d is tr i b u i­ d a s. lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o e l m a r c o y c a d a u n a d e s u s p a r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 2-33c. Br B 8 4 .9 ki N M.v 2 5 4 .6 k N 2.12 « i * B .J B. A * 45 m 6 0 kN 180 k N 15 m r A. r n - 4 - l " * 1 .5 m 15 m (c ) E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s o lu c ió n d e e c u a c io n e s s im u ltá n e a s se e v it a a l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e n la s e c u e n c ia s i­ g u ie n te y u s a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v ia m e n te .* M a r c o c o m p le to : t + I M * = O. - ( 1 8 0 + 6 0 ) ( 1 .5 ) - (2 5 4 .6 + 8 4 . 9 ) e o s 4 5 ° ( 4 .5 ) - (2 5 4 .6 s e n 4 5 ° ) ( 1.5) + (8 4 .9 s e n 4 5 ° ) ( 4 .5 ) + C , { 6 ) = 0 C y = 2 4 0 .0 k N + 1 Z F y = 0; R esp . - A y - 2 5 4 .6 s e n 4 5 ° + 8 4 .9 s e n 4 5 ° + 2 4 0 .0 = A y = 1 2 0 .0 k N 0 R esp . E le m e n to A B : \ , + Z M b = 0; - A t ( 6 ) + 1 2 0 .0 (3 ) + 1 8 0 (4 .5 ) + 2 5 4 .6 (2 .1 2 ) = 0 A , = 2 8 5 .0 k N - i 1 F , = 0; R esp . Bt = 0 - 2 8 5 . 0 + 180 -f 2 5 4 .6 e o s 4 5 ° B x = 7 5 .0 k N + ]'Z F y = 0; R esp . - 1 2 0 . 0 - 2 5 4 .6 s e n 4 5 ° + B y = 0 B y = 3 0 0 .0 k N R esp . E le m e n to C B: -4 = 0; -C , + 6 0 4- 8 4 .9 e o s 4 5 ° C x = 1 9 5 .0 k N + 7 5 .0 = 0 R esp . • E l p r o b le m a t a m b ié n p u e d e re s o lv e rs e a l a p lic a r la s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib rio s ó lo a lo s d o s e le m e n to s . S i s e h a c e c s to .c s r e c o m e n d a b le s u m a r p rim e r o lo s m o m e n to s a l ­ r e d e d o r d e l p u n t o A « o b re e l e le m e n to / l f i .d c s p u é s lo s d e l p u n t o C s o b r e e l e le m e n to C B . D e e s t a m a n e r a r e s u lta n d o s e c u a c io n e s q u e d e b e n re s o lv e rs e s im u ltá n e a m e n te p a ra o b te n e r B , y B r C, 67 68 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s REPA SO D EL C A P ÍT U L O S o p o rtes—A m enudo se su p o n e q u e lo s e lem en to s e stru ctu ra le s d e b e n e sta r c o n e c ta d o s m ed ian te a rticu lacio n es si e n tre ellos p u ed e o c u rrir u n a ro tació n relativa leve, y q u e d e b e n e sta r co n e cta d o s fijam ente si la ro tació n n o e s posible. sd d ad u ra c o stilla s s o ld a d u r a c o n e x ió n “ a r tic u la d a ” típ ic a ( d e m e ta l) c o n e x ió n “ f ija " típ ic a ( d e m e ta l) E stru ctu ras idealizadas—O ta n d o se realizan su p u esto s acerca de so p o rtes y conexiones, al considerar p o r ejem p lo q u e so n rodillos, articulaciones o fijos, los e le m e n to s p u e d e n rep re se n ta rse co m o líneas, p o r lo q u e e s posible esta b le c er u n m o d e lo idealizado q u e p u ed e usarse e n e l análisis. c E L T v ig a id e a liz a d a v ig a re a l L as cargas tributarías so b re losas p u e d e n d e term in arse al clasificar, en p rim e r lugar, la losa c o m o e n u n a d irecció n o e n d o s direcciones. C o m o reg la g e n e ra l, si L? es la d im en sió n m ás g ra n d e y L j / L t > 2, la losa se c o m p o rta rá com o u n a losa en u n a dirección. Si ¿ / Z . , < 2. la losa se c o m p o rta rá c o m o u n a losa en d o s direcciones. la a c c ió n d e u n a lo s a e n u n a d ire c c ió n r e q u ie r e q u e L 3/ L i > la a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s 2 d ir e c c io n e s r e q u ie r e q u e L 2/ L , s 2 R e p a s o d e l c a p it u l o 69 Principio d e s u p e r p o s ic ió n - L as c arg as o los despla7am ienios p u e d e n sum arse siem p re q u e e l m aterial se a elástico lineal y q u e sólo o c u rra n p e q u eñ o s d esp lazam ien to s d e la estru ctu ra. E qu itibrio L as estru c tu ra s estáticam ente d e te rm in a d as p u ed en an aliz arse al d esen sam b la rlas y a l a p lic a r las ecu acio n es de eq uilibrio a cada elem en to . E l análisis d e u n a e stru ctu ra estáticam ente d ete rm in a d a re q u iere, p rim ero , d ib u ja r e l d ia­ g ram a d e cuerp o libre de to d o s lo s elem e n to s, p a ra d e sp u é s a p lic a r las ecu acio n es d e equilibrio a c a d a ele m e n to . 2 F . - 0 2Fy = o ZMo = 0 E l núm ero d e ecuacio n es d e e q u ilib rio p a ra lo s n e le m e n to s de u n a estru ctu ra e s 3n . Si la estructura tien e r reacciones, e n ­ to n ces la estru c tu ra e s estáticamente d eterm inada si r »3n y estáticamente indeterm inada si r >3n E l núm ero adicional d e ecu acio n es n ecesarias p a ra o b te n e r la solución se conoce com o e l g ra d o d e indeterm inación. E stabilidad —Si h a y m e n o s reac c io n es q u e ecu acio n es d e equilibrio, en to n c e s la e stru c tu ra será inestable p o rq u e e stá res­ tringida parcialm ente.T am bién p u ed e p re se n ta rse una inestabilidad d e b id a a las restricciones im propias, si las lín eas de a c ­ ción d e las reacciones so n c o n c u rre n tes e n u n p u n to o p a ralelas e n tre sí. T' rea c c io n e s c o n c u r r e n te s re a c c io n e s p a ra le la s 7 0 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PR O BLEM AS FU N D A M E N TA LE S F 2 -1 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n las articu lacio n es A . B y C . ¥ 2 -4 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n el so p o rte d e ro d illo s A y e n el so p o rte fijo R. F 2 -5 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n las articu lacio n es A , B y C del m arco d e d o s elem entos. F 2 -2 . D eterm ine las com p o n en tes h o riz o n ta l y v ertical de la reacción e n las articu lacio n es A , B y C. 3 0 0 Ib 10 k N /m F2-Ó. D eterm in e las c o m p o n e n te s d e la reacción e n e l s o ­ p o rte d e ro d illo s A y e n la articu lació n C. La ju n ta B está co n ec ta d a fijam ente. F 2 -3 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n las articu lacio n es A , B y C. 6kN P roblem as r jn d a m e n t a ie s R - 7 . D eterm ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n las articu lacio n es A , B y D d e l m arco d e tres elem entos. La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fijam ente. 8 kN 6k N F 2-8 F2-9. I ^ te r m in e las com ponentes de la reacción e n el s o ­ p o rte fijo D y e n las articu lacio n es A . B y C d ¿ \ m a rc o d e tres elem entos. N o to m e e n cu en ta e l espesor d e los e le m e n to s 8 kN F2-8. D eterm ine las co m p o n en tes d e la reacción e n el s o ­ p o rte fijo D y e n las articu lacio n es A . B y C del m a rc o de tres elem entos. N o to m e en cu e n ta e l espesor d e los elem en to s. 6k N 71 2 k/pie F2-10. D eterm ine las com ponentes de la reacción e n el s o ­ porte fijo D y en las articulaciones A , li y C del m arco d e tres e lem en to s N o tom e en cu e n ta el espesor d e los elem entos 8 kN 8 kN F 2 -I0 7 2 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PR O BLEM AS 2 -1 8 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. N o to m e en cu en ta s u espesor. 2 -2 1 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la viga co m p u esta. S uponga q u e e n C hay una articulación. 18 IN 20 k N Í Hr É LJa 20 kN *-" - J« - . . P rob. 2 -1 8 2 -1 9 . D eterm ine las reaccio n es so b re la viga. 2 -2 2 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s A , B . D yf. 3k/pie 2 p ies Prob. 2 -2 2 •2 -2 0 . D eterm ine las reaccio n es so b re la viga. 2 -2 3 . La viga co m p u esta se sostien e m ed ian te u n a a rtic u ­ lación e n C y e stá ap o y ad a so b re un rod illo e n A y B . H ay una b isag ra (articulación) e n D . D eterm in e las reaccio n es en lo s soportes. N o to m e en cu e n ta el esp eso r d e la viga. 2 k /p ie I A A 4 k 6 p ies \ 12 k D 4 S 1 " ' « 2. P é C - -D 8ie s-^L'o ie8s HJ p ie s — - p ¡ e s - » - p i e a - p ie s P ro b . 2 -2 3 PfOBlEMAS •2 -2 4 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. P uede suponerse q u e e l so p o rte e n B e s un rodillo. 7 3 2 -2 7 . La viga co m pu esta e stá fija e n A y se sostien e m ed ian tc un o scilad o r e n tí y C . H ay bisag ras (articulaciones) e n D y E . D eterm in e las reacciones e n los soportes. 15 kN P ro h .2 -2 4 2 -2 5 . D eterm ine las reaccio n es e n e l s o p o rte liso C y en el so p o rte articu lad o .4. S uponga q u e la ju n ta e n fle s tá conec­ ta d a fijam ente. •2 -2 # . D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A y tí. L as cu b ie rtas C D . D E . E F y F G d e l piso tran sm iten su s c ar­ gas a la tra b e so b re so p o rte s lisos. S uponga q u e A es u n r o ­ dillo y q u e tí es u n a articulación. 10 k 3 k /p ic n 1 1 Í 3pi u1 , 1 U 1[ ir i I ar P ro b .2 -2 5 4 4 4 4 p ies p ies p ies p ie s P ro b .2 -2 # 2-26. D eterm ine las reaccio n es e n lo s so p o rte s A y B d e la arm adura. L a c a rg a d istrib u id a e s c a u sa d a p o r e l viento. 2 -2 9 . D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rte s A y tí d e la viga co m p u esta. H ay u n a articulación e n C. P ro h .2 -2 6 P ro b , 2 -29 74 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 2 -3 0 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la viga com puesta. Hay una articulación e n C e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 2 -3 3 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción q u e a c tú a e n lo s s o p o rte s A y C. 2 k N /m 2 -3 1 . La viga está so m etid a a las d o s cargas co n c en tra d a s com o se m u e s tra n e n la figura. Si se su p o n e q u e e l cim iento ejerce u n a distribución de carga q u e v aría linealm cnte e n el fondo, d eterm in e las intensidades d e c a rg a h'i y w 2 necesa­ ria s p a ra e l eq uilibrio (a ) e n térm in o s d e los p a rá m e tro s m ostrados, y (b ) co n sid eran d o P = 500 Ib, L = 1 2 pies. 2P P r o h 2-31 2 -3 4 . D eterm in e las reac c io n es e n e l so p o rte liso A y e n el so p o rte artic u la d o B . La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fija­ m ente. *2-32. La z a p a ta superficial se u sa p a ra s o s te n e r una p ared cerca d e s u b o rd e A , de m an era q u e causa u n a p r e ­ sión u niform e d el suelo d e b a jo d e la zap ata. D ete rm in e las cargas uniform em ente d istrib u id a s wA y wB m edidas en Ib/pie so b re las alm o h ad illas A y B ,necesarias p a ra so p o rta r las fuerzas d e la p ared de 8000 y 2 0 000 lib ras 200001b P r o h 2 -3 2 P r o h 2 -3 4 PfOBlEMAS 2-35. D eterm ine las reaccio n es en lo s so p o rte s A y /?. 7 5 2 -3 7 . D eterm ine las c o m p o n e n tes d e fu erza h o rizo n tal y v ertic a l e n las a rticu lacio n es A y C del m arco d e d o s e le ­ m entos. 200 N/r P ro h . 2-35 •2 -3 6 . D eterm ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y vertical d e la reacción e n los s o p o rte s A y B . S uponga q u e las ju n tas e n C y D so n con ex io n es fijas. 2-38. 1.a grúa de p a re d so p o rta una c arg a d e 700 Ib. D e­ term in e las co m p o n en tes h o riz o n ta l y v ertical d e la reac­ ció n en las articu lacio n es A y D . A dem ás, ¿cu ál e s la fu erza d el cab le e n W su jeto al m alacate? 7001b P ro h . 2-38 7 6 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 2 -3 9 . D eterm in e las fuerzas resu ltan tes e n las articu lacio ­ nes B y C sobre e l e le m e n to A B C del m arco de c u a tro e le ­ m entos. e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 2 -4 1 . D eterm in e las reaccio n es verticales y h o rizo n tales en las co n ex io n e s A y C del m a rc o a d o s aguas. S u p o n g a que A , B y C so n conexiones articuladas. L as c arg as c o n c en tra ­ das, c o m o D y E se ap lican e n fo rm a p erp en d icu lar a la linea cen tral de c a d a trab e. Prob. 2-41 *2-40. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D . S uponga q u e A e stá fijo y q u e B . C y D e stá n articuladas. 2-42. D ete rm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y vertical de la reacción e n A , C y D . S uponga q u e el m arco e stá articu ­ lado e n A , C y D , y q u e h a y u n a ju n ta co n ec ta d a fijam ente en B. * . kN j--1.5 m-^ - -2 m 40 kN -^ - 1.5 m -• 15 kN/m T 4m 6m P rob. 2 -4 0 P rob. 2 -4 2 P fO B L E M A D E PR O YEC TO 77 2-43. D eterm ine las c o m p o n e n te s h o rizo n ta l y v ertical e n A . tí y C. S uponga q u e e l m a rc o está articu lad o e n esto s puntos. L as ju n ta s e n D y E están co n ectad as fijam ente. *2-44. D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A y tí. l a s ju n ta s e n C y D e stá n c o n ectad as fijam ente, P ro h . 2-43 P ro h . 2-44 P R O B L E M A DE P R O Y E C T O 2-1P. E l p u e n te ferro v iario d e caballetes q u e se m u estra e n la fo to g rafía se sostiene m ed ian te pilas d e c o n creto re­ forzado. S u p on ga q u e las d o s trab es laterales sim plem ente apoyadas, la b ase d e la vía y los d o s carriles, tie n en u n peso d e 0.5 Ic/pie y q u e la carga im p u e sta p o r u n tre n e s d e 7.2 k/pic (vea la figura 1-11). C a d a viga tiene 2 0 p ie s d e largo. A plique la carg a so b re to d o e l p u e n te y d ete rm in e la fuerza d e com p resió n e n las co lu m n as d e c a d a pila. P ara e l análisis, suponga q u e to d a s las ju n tas e stán articu lad as y n o to m e en cu en ta el p eso d e la p ila ¿E sto s su p u esto s s o n reales? Las fuerzas en los ele m e n to s d e este p u e n te p u e d e n analizarse a p lic a n d o el m é to d o de los no do s o e l m é to d o de las secciones. 3 Análisis de armaduras estáticamente determ inadas En e s te c a p ít u lo s e d e s a rro lla rá n lo s p r o c e d im ie n to s p a ra a n a liz a r a r­ m a d u ra s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a s s ig u ie n d o e l m é t o d o d e lo s n o d o s y el d e la s s e c c io n e s . S in e m b a r g o , p r im e r o se a n a liz a rá n la d e ­ te r m in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e u n a a rm a d u ra . D e s p u é s s e c o n s id e ra rá el a n á lis is d e tr e s tip o s d e a rm a d u ra s p la n a s : s im p le s , c o m p u e s ta s y c o m p le ja s . P o r ú ltim o , a l fin a l d e l c a p ítu lo s e re a liz a rá e l a n á lis is d e u i a a rm a d u ra e s p a c ia l. . 3 .1 T ip o s c o m u n e s d e a rm a d u ra s U n a a r m a d u r a e s u n a e s t r u c tu r a c o m p u e s ta d e e le m e n to s d e lg a d o s u n i­ d o s e n su s e x tr e m o s . L o s e le m e n to s q u e se u s a n c o m ú n m e n te e n la c o n s ­ tr u c c ió n c o n s is te n e n p u n t a l e s d e m a d e r a , b a r r a s d e m e ta l, á n g u lo s o c a n a le s . I.a s c o n e x io n e s e n la s ju n t a s s u e l e n f o r m a r s e a l e m p e r n a r o s o l­ d a r lo s e x tr e m o s d e lo s e le m e n to s a u n a p la c a c o m ú n , lla m a d a p la c a d e e m p a lm e , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -1 , o s im p le m e n te p a s a n d o u n p e r n o o u n p a s a d o r d e g r a n ta m a ñ o a tr a v é s d e c a d a u n o d e lo s e le m e n ­ tos. I j i s a r m a d u r a s p la n a s s e u b ic a n e n u n s o l o p la n o y a m e n u d o s e e m ­ p le a n c o m o s o p o r te ( a p o y o ) d e te c h o s y p u e n te s . !!! t - v X / i. t flL l a p la c a d e e m p a l m e s e u s a p a r a c o n e c t a r o c h o e le m e n to s d e la a r m a d u r a q u e s o p o r ta la e s t r u c t u r a d e u n t a n q u e d e a g u a . F igura 3-1 79 8 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s c u e r d a s u p e r io r c u e r d a in fe rio r es efím ero 3 R g u ra 3 -2 A rm aduras d e te c h o . L a s a r m a d u r a s d e te c h o s e s u e l e n u tiliz a r c o m o p a r t e d e u n m a r c o d e c o n s tr u c c ió n in d u s tr ia l, c o m o e l q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 . E n e s t e c a s o , la c a r g a d e l te c h o s e tr a n s m i te a la a r m a d u r a e n la s ju n t a s a tr a v é s d e u n a s e r i e d e la r g u e r o s . I>a a r m a d u r a d e te c h o , j u n t o c o n s u s c o lu m n a s d e s o p o r te s e d e n o m i n a ca b a lle te . P o r lo g e n e r a l , la s a r m a d u r a s d e te c h o s e s o s tie n e n ta n t o p o r c o lu m n a s d e m a d e r a , a c e r o o c o n c r e t o r e f o r z a d o , o p o r m e d io d e m u ro s d e m a n ip o s ­ te r ía . P a r a m a n t e n e r e l c a b a l le te ríg id o y, p o r lo ta n t o , c a p a z d e re s is tir la s f u e r z a s h o r iz o n ta le s d e l v ie n to , e n o c a s io n e s s e u s a n e s q u in e r o s e n las c o lu m n a s d e s o p o r te . E l e s p a c io e n t r e lo s c a b a lle te s a d y a c e n te s s e c o ­ n o c e c o m o b a h ía . L a s b a h ía s e s t á n e c o n ó m ic a m e n te e s p a c ia d a s a u n o s 15 p ie s (4 .6 m ) p a r a c la r o s a l r e d e d o r d e 6 0 p ie s (1 8 m ) , y c e r c a d e 2 0 p ie s (6.1 m ) p a r a c la r o s d e 100 p ie s ( 3 0 m ). C o n fr e c u e n c ia , la s b a h ía s e s t á n u n id a s e n t r e s í m e d ia n te r e f u e r z o s d ia g o n a le s a fin d e m a n t e n e r la r i g i­ d e z d e l a e s t r u c t u r a d e l e d ific io . L a s a r m a d u r a s e m p le a d a s p a r a s o p o r ta r te c h o s se s e le c c io n a n c o n b a s e e n e l c la r o , l a p e n d ie n t e y e l m a te r ia l d e l te c h o . A lg u n o s d e lo s tip o s d e a r m a d u r a s u tiliz a d o s c o n m a y o r fre c u e n c ia se m u e s tra n e n la fig u ra 3-3. E n p a r t ic u l a r , la a r m a d u r a d e t i je r a s , fig u ra 3-3<?, p u e d e u s a r s e p a r a c la ­ ro s c o r to s q u e r e q u i e r e n u n e s p a c io s u p e r io r . L as a r m a d u r a s H o w e y P r a t t, f ig u r a s 3b y 3 -3 c , s e u s a n p a ra te c h o s d e c la r o m o d e r a d o , a p r o x i­ m a d a m e n te e n tr e 6 0 p ie s ( 1 8 m ) y 100 p ie s (3 0 m ) . S i s e r e q u ie r e n c la r o s m á s g r a n d e s p a r a s o s te n e r e l te c h o p u e d e n e m p le a r s e la s a r m a d u r a s d e a b a n ic o o F in k , fig u ra s 3 -3 d y 3 -3 e . E s ta s a r m a d u r a s p u e d e n c o n s tr u ir s e c o n u n a c u e r d a in f e r io r c o n v e x a .c o m o l a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -3f. Si s e s e le c c io n a u n te c h o p la n o o c a s i p la n o , a m e n u d o s e u s a la a r m a ­ d u r a W a rr e n , f ig u r a 3 -3 g . A d e m á s , la s a r m a d u r a s H o w e y P r a t t ta m b ié n p u e d e n m o d ific a rs e p a r a te c h o s p la n o s . L a s a r m a d u r a s d e s i e r r a , fig u ra 3 -3 /i,s u e le n e m p le a r s e d o n d e e l e s p a c io e n t r e c o lu m n a s n o e s o b je ta b le y la ilu m in a c ió n u n if o r m e e s im p o r ta n te . U n a fá b r ic a te x til s e r ía u n e je m ­ p lo . L a s a r m a d u r a s d e c u e r d a s , f ig u r a 3 -3 i , s e s e le c c io n a n e n o c a s io n e s A u n q u e s o n m á s d e c o ra tiv a s q u e e s tr u c tu r a ­ le s , e s ta s a r m a d u r a s P r a t t s im p le s s e u s a n p a r a la e n t r a d a d e u n e d ific io . p a r a ta lle r e s y h a n g a r e s d e a v io n e s p e q u e ñ o s ; y la a r m a d u r a d e a r c o , fi­ g u ra 3 -3 /, a u n q u e e s r e l a tiv a m e n te c o s to s a , p u e d e u s a r s e p a r a c o n s t r u c ­ c io n e s c o n g r a n d e s a lt u r a s y c la r o s a m p lio s c o m o e n c a s a s d e c a m p o , g im n a sio s, e tc é te r a . 3 .1 T p o s comunes de armaduras le c h o ^ 81 ¡e c h o n a ^ Y*/ \ / / \ v c n ,a n a - í ^ d e s ie r r a <h) arco de tres bisagras 0) / / \v e n ia n a 8 2 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s re fu e rz o la te ra l s u p e r io r re fu e rz o a ( n tr a la d e o c u e r d a s u p e r io r re fu e rz o d e p o r ta l la rg u e ro s c u b ie r ta p o s le fin a l d e p o r ta l A rm aduras de p u e n te . Para soportar este puente se usan arm aduras Parker. E n la fig u ra 3 -4 s e m u e s tr a n lo s p r i n c ip a ­ le s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e u n a a r m a d u r a d e p u e n t e tí p ic a . A q u í p u e d e o b s e r v a r s e q u e u n a c a r g a s o b r e la c u b ie r ta s e tr a n s m ite e n p r i m e r lu g a r a lo s la r g u e ro s, d e s p u é s a la s vig a s d e p i s o y. f in a lm e n te , a la s ju n ta s d e las d o s a rm a d u ra s la te ra le s d e s o p o r te . L a s c u e rd a s s u p e r io r e in f e r io r de la s v ig a s la te r a le s s e c o n e c t a n m e d ia n te lo s re fu e r z o s la tera le s s u p e r io r e in f e rio r , q u e s i r v e n p a r a re s is tir la s f u e r z a s la te r a le s c a u s a d a s p o r e l v ie n to y e l d e s p la z a m ie n to la t e r a l c a u s a d o p o r lo s v e h íc u lo s e n m o v i­ m i e n to s o b r e e l p u e n te . L o s so p o r te s d e p o r t a l y c o n tr a la d e o p r o p o r c io ­ n a n e s ta b ilid a d a d ic io n a l. A l ig u a l q u e e n e l c a s o d e m u c h a s a r m a d u r a s d e c la r o a m p lio , e n u n e x tr e m o d e la a r m a d u r a d e p u e n te s e e n c u e n t r a u n r o d illo p a r a p e r m it ir la e x p a n s ió n té rm ic a . E n la f ig u r a 3 -5 s e m u e s tr a n a lg u n a s d e la s f o r m a s típ ic a s d e a r m a d u ras d e p u e n te q u e s e u s a n a c tu a lm e n t e p a r a c la r o s in d iv id u a le s . E n p a r tic u la r, la s a r m a d u r a s P r a tt. H o w e y W a r r e n s e u s a n n o r m a lm e n te p a r a d a r o s d e h a s t a 2 0 0 p ie s (61 m ) d e lo n g itu d . 1.a fo r m a m á s c o m ú n e s la a r ­ m a d u ra W a r r e n c o n v e rtic a le s , f ig u r a 3 -5 c. P a r a c la r o s m a y o r e s s e u s a u n a a r m a d u r a c o n u n a c u e r d a s u p e r io r p o lig o n a l, c o m o la a r m a d u r a P a r ­ k e r, f ig u r a 3 - 5 d ,a f i n d e lo g r a r a h o r r o s e n m a te r ia l. 1.a a r m a d u r a W a r r e n c o n v e rtic a le s ta m b ié n p u e d e fa b r ic a rs e d e e s t a m a n e r a p a r a c la r o s d e h a s ta 3 0 0 p ie s (9 1 m ). L a m a y o r e c o n o m í a e n m a te r ia l s e o b ti e n e s i las d ia g o n a le s ti e n e n u n a in c lin a c ió n e n t r e 4 5 ° y 6 0 ° r e s p e c to a la h o riz o n ta l. Si e s t a r e g l a s e m a n tie n e , e n to n c e s p a r a c la r o s d e m á s d e 3 0 0 p ie s (9 1 m ), la p r o f u n d id a d d e la a r m a d u r a d e b e a u m e n ta r y. e n c o n s e c u e n c ia , e l p a n e l se a la r g a r á . E s to s e tr a d u c e e n u n s is te m a d e c u b ie r ta p e s a d a y, p a r a m a n te n e r e l p e s o d e la c u b ie r ta d e n t r o d e lo s lím ite s to le r a b le s , s e h a n d e s a r r o ll a d o a r m a d u r a s s u b d iv id id a s . E n tr e lo s e je m p lo s m á s c o m u n e s e s tá n las a r m a d u r a s B a ltim o r e y W a rre n s u b d iv id id a s , f ig u r a s 3 -5 e y 3 - 5 / R k ú ltim o , la a r m a d u r a K q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 3 -5 g ta m b ié n p u e d e u tiliz a rs e e n lu g a r d e u n a a r m a d u r a s u b d iv id id a . d a d o q u e c u m p le e l m ism o p r o p ó s ito . (a) W u rrc n (con verticales) (c) W a r rc n s u b d iv x lid a (0 annadura K (g) Figura 3 -5 8 4 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s S upuestos para e l diseño. P a r a d is e ñ a r ta n t o lo s e le m e n to s c o m o la s c o n e x io n e s d e u n a a r m a d u r a , a n te s h a y q u e d e t e r m i n a r la f u e r z a d e s a r r o lla d a e n c a d a e le m e n to c u a n d o la v ig a e s t á s o m e tid a a u n a c a r g a d a d a . A e s t e r e s p e c to s e h a r á n d o s s u p u e s to s im p o r ta n te s c o n e l fin d e id e a liz a r la a r m a d u r a . 1. L o s e le m e n to s e stá n u n id o s m e d ia n te p a s a d o r e s liso s. E n lo s c a s o s e n q u e s e u s a n c o n e x io n e s a to r n illa d a s o s o ld a d a s , e s te s u p u e s to su e le s e r s a tis f a c to r io s ie m p r e q u e las lín e a s c e n tr a le s d e lo s e l e ­ m e n to s u n id o s s e a n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to , c o m o e n la fig u ra 3-1. S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e la s c o n e x io n e s r e a le s le d a n u n p o c o d e r ig id e z a la a r tic u la c ió n y e s to a s u v e z in tr o d u c e la fle x ió n d e lo s e le m e n to s c o n e c t a d o s c u a n d o la v ig a e s t á s o m e t i d a a u n a c a r g a . E l e s f u e r z o f le x io n a n te ( o d e f le x ió n ) d e s a r r o ll a d o e n lo s e le m e n to s s e d e n o m i n a e s fu e r z o s e c u n d a r io , m ie n tr a s q u e e l e s ­ fu e rz o e n lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a id e a liz a d a , q u e ti e n e n j u n ­ ta s a r t ic u l a d a s .s e lla m a e s fu e r z o p r im a r io . U n a n á lis is d e l e s f u e r z o s e c u n d a r io d e u n a a r m a d u r a se p u e d e e fe c tu a r u tiliz a n d o u n a c o m p u ­ ta d o r a , c o m o s e e x p lic a e n e l c a p ítu lo 16. P a r a a lg u n o s tip o s d e g e o ­ m e tría s d e a r m a d u r a e s to s e s f u e r z o s p u e d e n s e r g ra n d e s . 2. T odas la s c a rg a s se a p lic a n e n la s ju n ta s . E n la m a y o r ía d e s i tu a c i o ­ n e s. c o m o e n e l c a s o d e a r m a d u r a s p a r a p u e n te s y te c h o s , e s te s u ­ p u e s to e s v e r d a d e r o . C o n f r e c u e n c ia e n e l a n á lis is d e fu e iz a s . el p e s o d e lo s e le m e n to s s e d e s p r e c ia , d a d o q u e la f u e r z a s o p o r ta d a p o r lo s e le m e n to s e s g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n s u p e s o . S i e l p e s o se v a a in c lu ir e n e l a n á lisis, p o r lo g e n e r a l r e s u lta s a tis f a c to r io a p l i ­ c a r lo c o m o u n a f u e r z a v e rtic a l, d o n d e la m ita d d e s u m a g n itu d se a p lic a e n c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to . D e b id o a e s t o s d o s s u p u e s to s , c a d a e le m e n to d e u n a a r m a d u r a a c tú a c o m o u n m ie m b r o d e f u e r z a a x ia l y, p o r k» ta n to , la s fu e r z a s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to d e b e n e s t a r d ir ig id a s a lo la r g o d e s u e je . Si la f u e r z a ti e n d e a a la r g a r d e le m e n to , s e t r a t a d e u n a fu e r z a d e te n s ió n (7 ^ , f ig u r a 3 -6 a ; m ie n tr a s q u e s i la f u e r / a ti e n d e a a c o r ta r d e le m e n to , e s u n a fu e r z a d e c o m p r e s ió n ( Q , fig u ra 3-6¿>. E n e l d is e ñ o re a l d e u n a a r ­ m a d u r a e s im p o r ta n te e s t a b le c e r si la f u e r z a e s d e te n s ió n o d e c o m p r e ­ s ió n . M u y a m e n u d o , lo s e le m e n to s s u je to s a c o m p r e s ió n d e b e n e s t a r f a b r ic a d o s m á s g r u e s o s q u e lo s s o m e tid o s a te n s ió n , d e b id o a l p a n d e o o la in e s ta b ilid a d s ú b ita q u e p u e d e o c u r r ir e n lo s e le m e n to s s u j e to s a c o m ­ p re s ió n . c C <b) F igura 3 -6 3 .2 3 .2 C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES C la s ifica ció n d e a rm a d u ra s co p la n a re s A n te s d e c o m e n / a r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a a r m a d u r a .e s im p o r ta n te c la s ific a r la a r m a d u r a c o m o s im p le , c o m p u e s ta o c o m p le ja , p a r a e n t o n ­ c e s t e n e r la c a p a c id a d d e e s p e c ific a r s u d e te r m i n a c ió n y s u e s ta b ilid a d . A rm adura sim ple. P a ra e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o d e u n a a r m a ­ d u r a d e b e s e r ríg id o . O b v ia m e n te , e l m a r c o d e c u a t r o b a r r a s / l f l C D d e la fig u ra 3 -7 s e c o la p s a r á a m e n o s q u e s e a rta d a u n a d ia g o n a l d e s o p o r te , c o m o A C . E l m a r c o m á s s im p le q u e e s ríg id o o e s t a b le ti e n e la f o r m a d e u n tr iá n g u lo . E n c o n s e c u e n c ia , u n a a r m a d u r a s i m p l e s e c o n s tr u y e a p a r ­ tir d e u n e le m e n to b á s ic o tr ia n g u la r , c o m o e l A B C d e l a fig u ra 3 -8 . c o ­ n e c ta n d o d o s e le m e n to s (A D y B D ) p a r a f o r m a r u n e le m e n to a d ic io n a l. D e e s t a m a n e r a , s e o b s e r v a q u e a l c o lo c a r c a d a e l e m e n t o a d ic io n a l d e d o s e le m e n to s e n la a r m a d u r a , e l n ú m e r o d e a r tic u la c io n e s s e in c r e ­ m e n ta e n u n o . E n la fig u ra 3 -9 se m u e s tra u n e je m p lo d e u n a a r m a d u r a s im p le , d o n d e e l e le m e n to tr ia n g u l a r “ e s t a b l e " b á s ic o e s A B C , a p a r t i r d e l c u a l s e e s t a ­ b le c e e l r e s to d e la s a r tic u la c io n e s D , E y F e n o r d e n a lf a b é tic o . S in e m ­ b a rg o . p a r a e s t e m é to d o d e c o n s tru c c ió n e s i m p o r t a n te t o m a r e n c u e n ta q u e la s a r m a d u r a s s im p le s n o ti e n e n q u e c o a s is tir e n te r a m e n t e e n tr i á n ­ gulos. E n l a f ig u r a 3 -1 0 s e m u e s tr a u n e je m p lo d e e s to , d o n d e a p a r t i r d e u n tr iá n g u lo A B C se a g r e g a n la s b a r r a s C D y A D p a r a f o r m a r la j u n t a D . P o r ú ltim o , s e a g re g a n la s b a r r a s B E y D E p a r a f o r m a r la j u n t a E . a r m a d u r a s im p le fig u ra 3 -9 a r m a d u r a s im p le f ig u r a 3 -1 0 85 86 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s A r m a d u r a c o m p u e s t a . U n a a rm a d u ra c o m p u e s ta se f o r m a a l c o ­ n e c ta r d o s o m á s a rm a d u ra s s im p le s e n t r e s í. C o n m u c h a fr e c u e n c ia e ste tip o d e a r m a d u r a s e u s a p a r a s o p o r ta r las c a rg a s q u e a c tú a n s o b r e u n cla ro a m p lio , p u e s to q u e e s m á s b a r a t o c o n s tr u ir u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta un p o c o m á s lig e ra q u e u tiliz a r s ó l o u n a a r m a d u r a s im p le m á s p e sa d a . H a y tr e s f o r m a s e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s s e u n e n p a r a f o r m a r u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta . L a s a r m a d u r a s p u e d e n e s t a r c o n e c t a d a s m e d ia n te u n a j u n t a c o m ú n y u n a b a r r a . E n la fig u ra 3 -1 l a se p r o p o r c io n a u n e je m ­ p lo , d o n d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C e s tá c o n e c ta d a a la a r m a d u r a s o m b r e a d a C D E de e s t a m a n e r a . l a s a r m a d u r a s p u e d e n u n ir s e m e ­ d ia n te tr e s b a r r a s , c o m o e n e l c a s o d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C c o ­ n e c ta d a a la a r m a d u r a D E F m á s g r a n d e , f ig u r a 3 .1 1 6 . Y . p o r ú ltim o , las a rm a d u ra s p u e d e n u n ir s e e n lo s p u n to s d o n d e la s b a r r a s d e u n a a r m a ­ d u r a s im p le d e g r a n ta m a ñ o , lla m a d a a r m a d u r a p r in c ip a l, s e h a n s u s ti­ tu id o p o r a r m a d u r a s s im p le s , lla m a d a s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s . E n la fig u ra 3 -1 l e se m u e s tr a u n e je m p lo , d o n d e lo s e le m e n to s s o m b r e a d o s d e h a r m a d u r a p r in c ip a l A B C D E h a n s i d o su s titu id o s p o r la s a r m a d u r a s s e ­ c u n d a r ia s s o m b r e a d a s . S i e s t a a r m a d u r a s o p o r ta c a r g a s d e te c h o , e l u s o d e a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p o d r í a r e s u lta r m á s e c o n ó m ic o , y a q u e lo s e l e ­ m e n to s tr a z a d o s c o n lín e a s d is c o n tin u a s p u e d e n e s ta r s o m e tid o s a f le ­ x ió n e x c e s iv a , m ie n tr a s q u e la s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p u e d e n tr a n s f e r ir m e jo r la c a rg a . A r m a d u r a c o m p l e j a . U n a a r m a d u r a c o m p le ja e s a q u e lla q u e n o p u e d e c la s ific a rs e c o m o s im p le o c o m p u e s ta . l a a r m a d u r a d e la fig u ra 3-12 e s u n e je m p lo . p rin c ip a l (c) D ife re n te s tip o s d e a r m a d u r a s c o m p u e s ta s F ig ó n 3 -1 1 3 .2 C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES D e t e r m i n a c i ó n . P a r a c u a lq u ie r p r o b le m a e n e l a n á lis is d e a r m a d u r a s d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s in c lu y e la s fu e r z a s e n e l n ú m e r o b d e b a r r a s d e la a r m a d u r a y e l n ú m e r o to t a l r de r e a c c io n e s e x te r n a s e n lo s s o p o r te s . C o m o lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a s o n t o d o s m ie m b r o s r e c to s d e f u e r z a a x ia l q u e s e u b ic a n e n e l m is m o p ia n o , e l s i s te m a d e fu e r z a s q u e a c t ú a e n c a d a j u n t a e s c o p la n a r y c o n c u ­ rren te. E n c o n s e c u e n c ia , e l e q u ilib r io r o ta c io n a l o d e m o m e n to s e s a tis ­ fa c e d e m a n e r a a u to m á tic a e n l a ju n ta ( o a rtic u la c ió n ), y s ó lo e s n e c e s a r io s a tis f a c e r 1 F , = 0 y 2 F y = 0 p a r a a s e g u r a r e l e q u ilib r io d e tr a s la c ió n o d e f u e r z a s P o r lo ta n to , s ó l o p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­ b rio p a r a c a d a j u n t a , y s i h a y u n n ú m e r o ; d e j u n t a s ,e l to ta l d e e c u a c io n e s d is p o n ib le s p a r a la s o lu c ió n e s 2;\ S i s im p le m e n te s e c o m p a r a e l to ta l d e in c ó g n ita s (/> + r ) c o n e l d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s .e s p o s i­ b le e s p e c ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a s im p le , c o m p u e s ta o c o m p le ja . S e ti e n e b + r = 2; e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a b + r > 2) e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a (3 -1 ) E n p a r tic u la r , e l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n x e s p e c ific a p o r la d if e r e n c ia e n lo s n ú m e r o s ( b + r ) - 2/'. E stabilidad. S i b + r < 2 jt u n a a r m a d u r a s e r á in e s ta b le , e s d e c ir , se c o la p s a r á p o r q u e h a b r á u n a c a n ti d a d in s u fic ie n te d e b a r r a s o r e a c c io n e s p a ra r e s tr in g ir to d a s la s ju n ta s . A d e m á s , u n a e s t r u c t u r a p u e d e s e r i n e s ta ­ b le s i e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a . E n e s te c a s o , l a e s t a b ilid a d t e n d r á q u e d e te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n o m e ­ d ia n te u n a n á lis is d e fu e iz a s. E s t a b i l i d a d e x t e r n a . C o m o se e s ta b le c ió e n la s e c c ió n 2 -4 , u n a e s­ tr u c tu ra ( o a r m a d u r a ) e s e x te r n a m e n te in e s ta b le s i to d a s s u s re a c c io n e s s o n c o n c u r r e n te s o p a ra le la s. P o r e je m p lo , la s d o s a r m a d u r a s d e la fig u ra 3 -1 3 s o n e x te r n a m e n t e in e s ta b le s p o r q u e las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s tie n e n lín e a s d e a c c ió n q u e s o n o c o n c u r r e n te s o p a ra le la s . t r e a c c io n e s c o n c u r r e n te s in e s t a b le s lig a r a 3 -1 3 \ r e a c c io n e s p a r a le la s in e s ta b le s t 8 8 C a p it u l o 3 F ig u ra 3 -1 4 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E s t a b i l i d a d i n t e r n a . C o n f r e c u e n c ia la e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r ­ m a d u r a p u e d e c o m p r o b a r s e m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a d e la d is p o s ic ió n d e s u s e le m e n to s . S i e s p o s ib le d e te r m i n a r q u e c a d a j u n t a se m a n tie n e fija d e m o d o q u e n o p u e d e m o v e r s e e n e l s e n t id o d e u n " c u e r p o ríg id o " c o n r e s p e c to a la s o t r a s j u n t a s , e n to n c e s la a r m a d u r a s e r á e s ta b le . O b s e r v e q u e u n a a r m a d u r a s im p le s ie m p r e s e r á in te r n a ­ m e n te e s ta b le , d a d o q u e p o r la n a tu r a le z a d e s u c o n s tr u c c ió n r e q u i e r e p a r t i r d e u n e l e m e n t o tr ia n g u l a r b á s ic o p a r a d e s p u é s a g r e g a r s u c e s iv o s “e le m e n to s r íg id o s ” , c a d a u n o c o n d o s e le m e n to s a d ic io n a le s y u n a ju n ta . L a a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -1 4 e s u n e je m p lo d e e s t a c o n s tru c c ió n , d o n d e , a p a r t i r d e l e le m e n to tr ia n g u la r s o m b r e a d o A B C , s e a g r e g a n s u ­ c e s iv a m e n te las j u n t a s D , E , F , G y H. Si u n a a r m a d u r a s e c o n s tr u y e d e m a n e r a q u e s u s ju n t a s n o s e m a n t ie ­ n e n e n u n a p o s ic ió n fija , s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ f o r m a c r ític a " . U n e je m p lo c la r o d e e s t o s e m u e s tra e n la f ig u r a 3 -1 5 , d o n d e p u e d e o b s e r ­ v a rse q u e n o h a y re s tric c ió n o fije z a e n tr e las ju n t a s d e C y F o R y E . p o r lo q u e la a r m a d u r a c o la p s a r á b a jo c a rg a . H g u ra 3 -1 5 P a r a d e te r m i n a r l a e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta , e s n e c e s a r io id e n tif ic a r la f o r m a e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s e s t á n c o n e c ­ ta d a s e n t r e sí. P o r e je m p lo , la a r m a d u r a c o m p u e s ta d e la fig u ra 3 -1 6 e s in e s ta b le p u e s t o q u e la a r m a d u r a s im p le i n t e r i o r A B C e s tá c o n e c t a d a a la a r m a d u r a s im p le e x t e r i o r D E F m e d ia n te tr e s b a r r a s , A D , B E y C F , q u e s o n c o n c u r r e n te s e n e l p u n t o O . ft>r lo ta n t o , p u e d e a p lic a r s e u n a c a r g a e x te r n a a la j u n t a A , B o C y o c a s i o n a r q u e la a r m a d u r a A B C g ire lig e ra m e n te . H g u ra 3 -1 6 3 .2 C lA S in C A G Ó N D E A R M A D U R A S C O P IA N A R E S Si u n a a r m a d u r a s e id e n tif ic a c o m o c o m p le ja , e s p o s ib le q u e n o se p u e d a e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n s i e s e s ta b le . ft>r e je m p lo , p u e d e d e m o s ­ tr a rs e , m e d ia n te e l a n á lis is p r e s e n ta d o e n la s e c c ió n 3.7, q u e l a a r m a d u r a c o m p le ja d e la fig u ra 3 -1 7 e s in e s ta b le o ti e n e u n a “ f o r m a c r í ti c a " s ó lo si la d im e n s ió n d = d '. S i d * d ' la a r m a d u r a e s e s ta b le . L a in e s ta b ilid a d d e c u a lq u i e r f o r m a d e a r m a d u r a , y a s e a s im p le , c o m ­ p u e s ta o c o m p le ja , ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r s e u tiliz a n d o u n a c o m p u ­ ta d o r a q u e re s u e lv a las 2j e c u a c io n e s s im u ltá n e a s e s c r ita s p a r a t o d a s la s ju n ta s d e la a r m a d u r a . S i s e o b ti e n e n r e s u lta d o s in c o n s is te n te s , la a r m a ­ d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a f o r m a c rític a . Si n o s e re a liz a u n a n á lis is c o n c o m p u t a d o r a , p u e d e n u tiliz a rs e lo s m é ­ to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a c o m p r o b a r la e s t a b ilid a d d e la a r m a ­ d u r a . A m o d o d e r e s u m e n , s i la a r m a d u r a ti e n e b b a r r a s , r re a c c io n e s e x te r n a s y j ju n ta s , e n to n c e s s i b + r = 2j b + r a 2j e s in e s ta b le e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e l a a r m a d u r a s o n c o n c u r r e n te s o p a r a l e la s o si a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s d e la a r m a d u r a f o r m a n u n m e c a n is m o c o la p s a b le . (3 -2 ) S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e s i u n a a r m a d u r a e s in e sta b le , n o im p o r ta s i e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a o in d e te r m in a d a . O b v ia m e n te , el u so d e u n a a r m a d u r a in e s ta b le d e b e e v ita r s e e n la p rá c tic a . Figura 3-17 89 9 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s a r m a d u r a s d e la fig u ra 3.18 c o m o e s ta b le , in e s ta b le , e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a , l^as a r m a d u r a s e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s , la s c u a ­ le s s e s u p o n e n c o n o c id a s y p u e d e n a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n t o d e la s vigas. S O L U C IÓ N F i g u r a 3 - 1 8 a . E sta b le e x te r n a m e n te , p u e s t o q u e la s r e a c c io n e s n o s o n c o n c u r r e n te s n i p a ra le la s . C o m o b ■ 19, r = 3 . / ° 11, e n to n c e s b + r ■ 2 j o 2 2 - 22. P o r lo ta n to , la a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m i­ n a d a . P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e sta b le in te r n a m e n te . (a) fig u ra 3-18 F i g u r a 3 - 1 8 b . E s ta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 15, r = 4 , ; ' = 9, e n to n c e s b + r > 2 j o 19 > 18. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r ­ m in a d a d e p r im e r g ra d o . P o r in s p e c c ió n , l a a r m a d u r a e s esta b le in te r n a ­ m e n te . 3 .2 C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES F ig u ra 3 - 1 8 c. E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 9 , r = 3 , / = 6 , e n t o n ­ c e s b + r = 2 j o 12 = 12. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a . R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s esta b le in te r n a m e n te . (c) F ig u ra 3 - 1 8 d . E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 1 2 , r « 3 . / = 8 , e n ­ to n c e s b + r < 7 j o í 5 < 16. L a a r m a d u r a e s in e sta b le in te r n a m e n te . 91 9 2 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PR O BLEM AS 3 -1 . G asifique c ad a u n a d e las a rm ad u ras siguientes com o estáticam ente d e te rm in a d a , estática m e n te in d eterm in ad a o inestable. Si e s in d eterm in ad a, estab lezca su grado. 3 -2 . G asifique cada una de las arm aduras siguientes com o estable, inestable, estáticam ente determ in ad a o estáticam ente indeterm inada. Si e s indeterm inada.establezca s u grado. (a) (b) (c) P ro b .3 - 2 Proh. 3 -1 3 .2 3-3. C lasifique cada una d e las sig u ien tes a rm ad u ras com o estáticam ente d e term in a d a , in d eterm in ad a o inestable. Si es indeterm inada, establezca su grado. C l a s i f i c a g ó n D E A R M A D U R A S C O PLAN A R E S *3-4. Clasifique c a d a una de las siguientes arm ad u ras com o está tic am en te d e te rm in a d a , está tic am e n te in d eterm in ad a o inestable. Si e s in d eterm in ad a, establezca s u grado. (a) (a) 9 3 94 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .3 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s El m é to d o d e lo s n o d o s Si u n a a r m a d u r a e s tá e n e q u ilib r io , e n to n c e s c a d a u n a d e s u s ju n t a s o n o d o s ta m b ié n d e b e e s t a r e n e q u ilib r io . P o r c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e lo s n o d o s c o n s is te e n s a tis f a c e r la s c o n d ic io n e s d e e q u il ib r io 2 F , = 0 y I F y — 0 p a r a la s f u e r / a s e je r c id a s s o b r e e l p a s a d o r e n c a d a j u n t a d e la a r ­ m ad u ra. C u a n d o s e u tiliz a e l m é to d o d e lo s n o d o s , e s n e c e s a r io d ib u ja r e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a j u n t a a n te s d e a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . R e c u e r d e q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a d e u n e l e ­ m e n t o q u e a c tú a s o b r e la j u n t a s e e sp e c ific a a p a r t i r d e la g e o m e tr ía d e la a r m a d u r a , p u e s t o q u e la f u e r z a e n u n e l e m e n t o p a s a a lo l a r g o d e s u e je . C o m o e je m p lo .c o n s id e r e la j u n t a B d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -1 9 a. C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -1 9 b , las ú n ic a s in c ó g n ita s s o n la s m a g n itu d e s d e las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s B A y B C . C o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a , FBA e s tá “j a l a n d o " e l p a s a d o r , k) q u e in d ic a q u e e l e le m e n to B A e s tá e n te n s ió n , m ie n tr a s q u e e s tá “ e m p u ­ j a n d o " e l p a s a d o r y. p o r c o n s ig u ie n te , e l e le m e n to B C e s tá e n c o m p r e ­ s ió n . E s to s e f e c to s s e d e m u e s tr a n c la r a m e n t e a l u s a r e l m é to d o d e las s e c c io n e s y a l a is la r la j u n t a c o n p e q u e ñ o s s e g m e n to s d e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a l p a s a d o r , fig u ra 3 -1 9 c . O b s e r v e q u e e l h e c h o d e e m p u j a r o ja l a r e s t o s p e q u e ñ o s s e g m e n to s in d ic a e l e fe c to d e lo s e le m e n to s y a s e a e n c o m p r e s ió n o e n te n s ió n . E n to d o s lo s c a s o s , e l a n á lis is d e la s ju n t a s d e b e c o m e n z a r e n u n a j u n t a c o n t a n d o c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y u n m á x im o d e d o s fu e r z a s d e s c o n o c id a s , c o m o e n la f ig u r a 3-19¿>. D e e s t a m a n e r a , la a p lic a c ió n d e 1 F , = 0 y 2 F y = 0 g e n e r a d o s e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s q u e p u e d e n r e s o l ­ v e rs e p a r a d e t e r m i n a r las d o s in c ó g n ita s . A l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s , e l s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a d e u n e l e m e n t o p u e d e d e t e r ­ m in a rs e m e d ia n te a lg u n o d e lo s d o s m é to d o s p o s ib le s . K 500 N FB(-( c o m p re s ió n ) F jm ( te n s ió n ) (b ) 500N FK ( c o m p re s ió n ) F jm ( te n s ió n ) (a ) (c) F igura 3-19 3 .3 E l M É T O D O D E LO S N O D O S S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s d e lo s e le m e n to s q u e a c tú a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e stá n e n te n s ió n , es decir, " ja la n d o " e l p a s a d o r . Si s e h a c e e s t o , e n to n c e s la s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c i o n e s d e e q u il ib r io p r o d u c i r á e sc a la re s p o s i ­ tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y e s c a la r e s n e g a tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n c o m p r e s ió n . U n a v e z q u e s e e n c u e n t r e la f u e r z a d e s ­ c o n o c id a d e u n e l e m e n t o , d e b e u tiliz a r s e s u m a g n i tu d y s e n t id o c o r r e c to s ( T o C ) e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s ju n t a s s u b ­ s e c u e n te s . E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m in a r s e "m e d ia n te in s p e c ­ c ió n ". P o r e je m p lo , F Bc e n la fig u ra 3-19¿> d e b e e m p u j a r e l p a s a d o r (c o m p r e s ió n ) y a q u e s u c o m p o n e n te h o r i z o n ta l , F b c s e n 4 5 ° , d e b e e q u ilib r a r la f u e r z a d e 5 0 0 N ( 2 F Z = 0). D e l m is m o m o d o , F ^ e s u n a f u e r z a d e te n s ió n , d a d o q u e e q u il ib r a la c o m p o n e n t e v e rtic a l, E s c e o s 4 5 ° ( 2 F y = 0 ). E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n t id o d e u n a fu e rz a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e su p o n e r s e ’, e n to n c e s , d e s p u é s d e a p li c a r Las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l s e n tid o s u p u e s to p u e d e v e rific a rs e a p a r t i r d e lo s r e s u lta d o s n u m é r ic o s . U n a r e s p u e s ta p o s i­ tiv a in d ica q u e e l s e n t id o e s c o r r e e r o ,m ie n tr a s q u e u n a r e s p u e s ta n e ­ g a tiv a in d ic a q u e e l s e n t id o m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e b e in v e rtirse . É s te e s e l m é to d o q u e s e u tiliz a r á e n lo s p r o ­ b le m a s d e e je m p lo q u e s e p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n . P ro c e d im ie n to d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a u s a n d o el m é to d o d e lo s n u d o s . • D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n a j u n t a c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y u n m á x im o d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s . (S i e s t a j u n t a s e e n c u e n t r a e n u n o d e lo s s o ­ p o rte s , p u e d e s e r n e c e s a r io c a lc u la r la s r e a c c io n e s e x t e r n a s e n lo s s o p o r te s d ib u ja n d o u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ) . • U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te s p a r a e s ta b le c e r e l s e n t id o d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a . • L o s e je s x y y d e b e n o r i e n ta r s e d e m o d o q u e la s f u e r z a s e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e p u e d a n d e s c o m p o n e r s e fá c ilm e n te e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . A p liq u e la s d o s e c u a c i o ­ n e s d e e q u ilib r io d e f u e r z a s , 2 F X = 0 y 2 F t = 0 , o b te n g a la s d o s f u e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s y v e rifiq u e s u s e n tid o d e d ir e c c ió n c o r r e c to . • C o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e c a d a u n a d e las o t r a s ju n t a s ,d o n d e d e n u e v o e s n e c e s a r io e le g ir u n a j u n t a q u e te n g a c o m o m á x im o d o s in c ó g n ita s y p o r lo m e n o s u n a f u e r z a c o ­ n o c id a . • U n a v e z q u e s e e n c u e n t r a la f u e r z a e n u n e le m e n to a p a r t i r d e l a n á lis is d e u n a j u n t a e n u n o d e s u s e x tr e m o s , e l r e s u lta d o p u e d e u s a r s e p a r a a n a li z a r la s fu e r z a s q u e a c tú a n s o b r e la j u n t a u b ic a d a e n s u o t r o e x tr e m o . R e c u e r d e q u e u n e le m e n to e n c o m p r e s ió n “ e m p u ja " a la ju n t a y u n e le m e n to e n te n s ió n “j a l a " a la a itic u l a r i ó n . 9 6 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te r m in e la f u e r a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra en la fo to g ra fía . L a s d im e n s io n e s y la s c a rg a s s e m u e s tra n e n la fig u ra 3 -2 tto. In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . S O L U C IÓ N S ó lo e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n la m ita d d e lo s e le m e n to s , p u e s to q u e la a r m a d u r a e s s im é tr ic a ta n to c o n r e s p e c to a la c a rg a c o m o a la g e o m e tr ía . J u n ta A , fig u r a 3 - 2 0 b . E l a n á lis is p u e d e in ic ia r s e e n la j u n t a A . ¿ P o r q u é ? E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 0 6 . + í 2 / > = 0; 4 - Fa c sen 30° = 0 F AC = 8 k N ( C ) R esp . :+ S F , = 0 ; F AB - 8 e o s 3 0 ° = 0 F AB = 6 .9 2 8 k N ( T ) R esp . J u n ta G , fig u r a 3 - 2 0 c . E n e s te c a s o , o b s e r v e c ó m o la o r ie n ta c ió n d e lo s e j e s x y y e v ita la s o lu c ió n s i m u l tá n e a d e e c u a c io n e s . + \" L F y = 0; F gb sen 60° F cb = + / " 2 F l = 0; 4 3(£ 6 .9 2 8 k N A y B ¥BC Fg f = 0 5 .0 0 k N ( C ) R esp . J u n t a B, f i g u r a 3 - 2 0 d. + 1 2 Fy = 0; F b f s e n 6 0 ° - 3 .0 0 s e n 3 0 ° = 0 F bf = (d) fig u ra 3 -2 0 R esp . 3 .0 0 k N ( C ) 8 - 3 s e n 3 0 ° - 3 .0 0 c o s 6 0 “ F gf = 3 .0OOIcN 0 kN - 3 eos 30° = 0 ;+ 2 F t = 0 ; 1.73 k N ( T ) R esp . F ^ + 1.73 e o s 6 0 ° + 3 .0 0 e o s 3 0 ° - 6 .9 2 8 = 0 F bc = 3 .4 6 k N ( T ) R e sp . 3 .3 E l M ÉTO D O D E IO S M O D O S D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a d e tije r a s q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 3 - 2 l a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n t e n ­ s ó n o e n c o m p r e s ió n . l.a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s s e p ro p o r c io n a n e n la fig u ra . 9 7 175 Ib S O L U C IÓ N L a a r m a d u r a s e a n a liz a r á e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia : J u n ta E, fig u r a 3 - 2 1 b . O b s e rv e q u e la s o lu c ió n s i m u ltá n e a d e e c u a ­ c io n e s n o p u e d e r e a l iz a r s e d e b i d o a la o r i e n ta c i ó n d e lo s e j e s x y y . + / - 2 F y = 0; 191.0 e o s 3 0 ° - F F n s e n 15° = 0 F e d = 639.1 Ib ( C ) + \ 2 F t = 0; 639.1 e o s 1 5 ° - R esp . F E f ~ 191.0 s e n 3 0 ° = 0 F e f = 5 2 1 .8 I b ( T ) R esp . J u n ta D , fig u r a 3 - 2 1 c. V rM> +S1Fs = 0; ~ F df se n 75o = 0 F nF = 0 R esp . + \Z F , = 0; - F o c + 6 3 9 .1 = 0 F DC = 639.1 Ib ( C ) R esp . 75J f 0fy x 3 0 ! i ____ 19 1.01b J u n ta C, fig u ra 3 -2 1 d . - 4 2 F x - 0; 0; R esp . - F c f ~ 175 + 2 (6 3 9 .1 ) e o s 4 5 ° = 0 R esp . I * '- " * J u n ta B, fig u r a 3 - 2 1 e . - 0; + S 2 F X =0 ; (c) F CB s e n 4 5 ° - 639.1 s e n 4 5 ° = 0 F c f = 7 2 8 .8 I b ( T ) + \Z F y Ü 9 .1 Ib (b) F e a = 6 3 9 .1 Ib ( C ) + 12Fy - F„f se n 75° 200 = 0 F ñF = 207.1 Ib ( C ) \ (e) R esp . J u n ta A, fig u r a 3 - 2 1 f. F a f e o s 3 0 ° - 692.7 e o s 4 5 ° F a f = 7 2 8 .9 Ib ( T ) + 1 ' LF y = 0 ; 1 2 5 .4 - 6 9 2 .7 s e n 4 5 ° + © 9 .1 1 b R esp . 6 3 9 .1 + 207.1 e o s 7 5 ° - F ñ Á = 0 F b a = 6 9 2 .7 I b ( C ) ± 2 F X = 0; r\\ / 141.4 = 0 R esp . 7 2 8 .9 s e n 3 0 ° = 0 c o m p r o b a c ió n O b s e rv e q u e c o m o y a s e h a n c a lc u la d o la s re a c c io n e s , p u e d e r e a li­ z a rs e u n a c o m p r o b a c ió n a d ic io n a l d e lo s c á lc u lo s a n a liz a n d o la ú ltim a ju n t a F. I n t é n te l o y c o m p r u e b e lo s r e s u lta d o s . 692.7 Ib 141.4 Ib 30“ 125.41b (0 Figura 3-21 9 8 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .4 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E le m e n to s d e fu e rz a c e ro E l a n á lis is d e a r m a d u r a s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n o d o s s e sim p lific a e n g r a n m e d id a si p r i m e r o s e d e te r m i n a n lo s e le m e n to s q u e n o s o p o r ta n c a rg a . E s to s e le m e n to s (le f u e r z a c e r o p u e d e n s e r n e c e s a r io s p a r a la e s t a ­ b ilid a d d e la a r m a d u r a d u r a n t e s u c o n s tr u c c ió n y p a r a p r e s ta r a p o y o s i la c a r g a a p lic a d a c a m b ia . P b r lo g e n e r a l , lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e u n a a r m a d u r a p u e d e n d e te r m in a r s e m e d ia n te la in s p e c c ió n d e la s a r t ic u ­ la c io n e s y s e p r e s e n ta n e n d o s caso s. C a s o 1 . C b n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 2 a . L o s d o s e le m e n to s e n la j u n t a C <e c o n e c t a n e n t r e s í e n á n g u lo r e c t o y n o h a y c a rg a e x te r n a s o b r e la ju n t a . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a C .f ig u r a 3 -2 2 b , in ­ d ic a q u e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e b e s e r c e r o a fin d e m a n t e n e r el e q u ilib r io . A d e m á s ,c o m o e n e l c a s o d e la j u n t a A ,f ig u r a 3 - 2 2 c ,e s to d e b e s e r c ie r to s i n im p o r t a r e l á n g u lo , d ig a m o s 0 , e n t r e lo s e le m e n to s . * 2 P * “ O, Fc „ ** 0 + ¿ 2 F ,- O .F c o - 0 0» C a s o 2 . L o s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o ta m b ié n s e p r e s e n ta n e n la s j u n ­ ta s c o n u n a g e o m e t r í a c o m o la d e la j u n t a D e n l a fig u ra 3 -2 3 a . A q u í n in ­ g u n a c a r g a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a . d e m o d o q u e u n a s u m a to r i a d e fu e r z a s e n la d ir e c c ió n y ,f i g u r a 3 - 2 3 6 ,q u e e s p e r p e n d i c u la r a lo s d o s e l e ­ m e n to s c o lin c a le s , r e q u i e r e q u e F q f = 0- S i s e u s a e s te r e s u lta d o . F C ta m b ié n e s u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e ro , c o m o lo in d ic a e l a n á lis is d e f u e r ­ z a s d e la j u n t a F , fig u ra 3 -2 3 c . + T % F , * 0; FAg s e n 0 = 0 Fab " 0 (p u e s sen 0 * 0 ) % 'Z F , - 0 ; - F a e + 0 - 0 Fjut ~ 0 (c) F ig u ra 3 - 2 2 E n r e s u m e n , s i s ó l o d o s e le m e n to s n o c o lin c a le s fo r m a n u n a j u n t a d e u n a a r m a d u r a y n o s e a p lic a n in g u n a c a rg a e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o ­ p o r te s s o b r e la ju n t a , lo s e le m e n to s d e b e n s e r e le m e n to s d e f u e r z a c e ro . C a s o I. A d e m á s , s i tr e s e le m e n to s f o r m a n u n a j u n t a d e u n a a r m a d u r a p a ra la c u a l d o s d e lo s e le m e n to s s o n c o lin e a le s .e l te r c e r e le m e n to e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o , s i e m p r e y c u a n d o n o s e a p liq u e n in g u n a f u e r z a e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o p o r t e s s o b r e la j u n t a . C a s o 2 . S e d e b e p r e s t a r a te n c ió n e s p e c ia l a e s t a s c o n d ic io n e s g e o m é tr ic a s d e la j u n t a y la c a rg a , p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e c o n s i d e r a b l e ­ m e n te s i p r im e r o s e d e te c ta n lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e ro . Fn f - 0 F F FF (c) f 1 F y - 0 ; F( ,-se n 0 + 0 - 0 + * 2 F ,= 0;F d, = 0 F ig u ra 3 -2 3 P e r = 0 (p u e s sen 0 * 0) 3 .4 El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o E JE M P L O U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n o d o s , in d iq u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 4 ti y c u y a f u e r z a e s c e ro . <b) (a) (c) H ^ u r a 3 -2 4 S O L U C IÓ N B u s c a n d o ju n ta s s e m e ja n te s a la s a n a liz a d a s e n las fig u ra s 3 .2 2 y 3 .2 3 , se ti e n e FH A X1 ~F«» J u n ta D, fig u r a 3 - 2 4 b . + 12Fy - 0; F K s e n 0 = - i 2 F x = 0; F DE + 0 = 0 0 F - 0 R e sp . F DE = 0 R esp . 'IIP <d) J u n ta E, f ig u r a 3 - 2 4 c . 2 F x = 0; F ef = 0 R esp. ( O b s e rv e q u e FEC = P y u n a n á lis is d e la j u n t a C r e s u lta r ía e n u n a fu e rz a e n e l e l e m e n t o C F .) J u n ta H, fig u r a 3 - 2 4 d . e < IA + SZFy = 0; F „ fí = 0 R esp . G, J u n ta G, f ig u r a 3 - 2 4 a . E l s o p o r te d e o s c ila d o r e n G s ó lo p u e d e e je r c e r u n c o m p o n e n t e x d e la f u e r z a s o b r e la j u n t a ; e s d e c i r , G , . P o r b ta n t o , + 12F, = O, Fc a = 0 R esp . G (e) F c,i 1 0 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PROBLEM AS FU N D AM EN TALES F 3 - L D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e lem e n to de la arm a­ d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión. B - i D eterm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to de la a rm a ­ d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión. F 3 -2 . D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e le m e n to de la arm a ­ d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión. F 3-4 F 3 -5 . D eterm in e la fu erza e n c ad a e le m en to de la arm a ­ d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o en com presión. F 3-2 F3-3. D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e le m e n to de la arm a ­ d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o en com presión. 1 3 -6 . D eterm in e la fu erza e n c ad a e le m en to de la a rm a ­ d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o e n com presión. 3 .4 El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o 1 0 1 PROBLEM AS 3-5. Un señ alam ien to e stá so m e tid o a u n a c arg a del viento q u e ejerce fuerzas h o rizo n tales d e 300 Ib e n las ju n ­ ta s B y C d e u n a d e las a rm ad u ras laterales d e so p o rte . D e­ term ine la fuerza e n cada e lem e n to de la a rm a d u ra e indique si lo s elem en to s e stán e n ten sió n o e n co m p resió n . 3 -7 . D eterm ine la fu erza e n cada elem en to d e la a rm a ­ d u ra. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stá n e n ten sió n o e n c o m ­ presión. C o n sid e re P = 8 IcN. P ro h . 3 - 5 P r o b s . 3-7Z3-8 3 -6 . D eterm ine la fu erza e n cada elem en to d e la arm a ­ d ura. In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n tensión o e n c o m ­ presión. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s están co n ectad o s m ediante articulaciones. ^ -9 . D eterm in e la fu erza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­ d u ra. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stá n e n tensión o e n c o m ­ presión. • 3 -8 . Si la fu erza m áxim a q u e cu alq u ier e lem e n to p u e d e so p o rta r e s d e 8 kN e n ten sió n y 6 k N e n co m p resió n , d e te r­ mine la fu erza P máxim a q u e p u ed e so p o rta r la ju n ta D . 1 0 2 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e 3 -1 0 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e le m en to d e la a rm a d ura. In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n ten sió n o e n com p resión. d e t e r m in a d a s *3-12. D eterm in e la fu erza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­ d u ra. In d iq u e si lo s e lem en to s e s tá n e n ten sió n o e n com ­ presión. Suponga q u e to d o s los e lem en to s e stán co n ectad o s m ediante articulaciones. A G = G F = FF. = E D . P ro b . 3 -1 0 3 -1 1 . D eterm ine la fuerza e n c ad a elem en to d e la arm a ­ d ura. In d iq u e si lo s elem en to s e s tá n e n ten sió n o e n co m ­ presión. Suponga q u e to d o s los e le m e n to s e stá n co n ectad o s m ediante articulaciones. P rob. 3 -1 2 3 -1 3 . D eterm in e la fuerza e n c a d a elem ento d e la a rm a ­ d u ra. In d iq u e si lo s e lem en to s e stá n e n ten sió n o e n co m ­ presión. 4 kN 5 kN Prob. 3-11 Prob. 3 -1 3 3 .4 3-14. D eterm ine la fu erza e n cada e le m en to d e la a rm a d u ra d e techo. Indiqu e si lo s elem en to s e s tá n e n ten sió n o e n com presión. Elementos de fuerza cero 10 3 *3-16. D eterm in e la fuerza e n c a d a e le m e n to d e la a rm a ­ d u ra. In d iq u e s i lo s e le m e n to s e stán e n tensión o e n c o m ­ presión. 8kN 6 X 4 m = 24 m P ro h . 3 -1 4 P ro h . 3 -1 6 3 -1 5 . D eterm ine la fu erza e n c ad a e le m en to d e la a rm a ­ d u ra d e techo. In d iq u e si lo s e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o e n com presión. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s e stán c o ­ nectadas m ediante articulaciones. 3 -1 7 . D eterm in e la fu erza e n c a d a e lem e n to d e la a rm a ­ d u ra d e techo. In d iq ue si lo s e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o e n com presión. S u p o n g a q u e B e s u n p a s a d o r y q u e C e s un so p o rte de rodillos. P ro h . 3 - 1 5 P ro h . 3 - 1 7 1 0 4 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .5 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s El m é to d o d e las s e c c io n e s Si s e d e b e n d e te r m i n a r la s f u e r / a s s ó l o e n u n o s c u a n to s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a , p o r lo g e n e r a l e l m é to d o d e las s e c c io n e s p r o p o r c io n a el m e d io m á s d ir e c to p a r a o b t e n e r e s t a s fu e rc a s. E l m é to d o d e la s se c c io n e s c o n s is te e n h a c e r p a s a r u n a se c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e la a r m a d u r a , d e m o d o q u e la c o r ta e n d o s p a r te s . S ie m p r e q u e t o d a la a r m a d u r a e s té e n e q u il ib r io .c a d a u n a d e la s d o s p a r t e s ta m b ié n d e b e e s ta r e n e q u ilib r io y. e n c o n s e c u e n c ia , la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p u e d e n a p lic a r s e a c u a lq u ie r a d e e s ta s d o s p a r t e s p a ra d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n ­ to s d e la " s e c c ió n c o r t a d a " . C u a n d o s e e m p le a e l m é to d o d e la s se c c io n e s p a r a d e te r m in a r la fu e rz a e n u n e le m e n to e n p a r tic u la r , d e b e to m a r s e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a . C o m o s ó l o p u e d e n a p lic a r s e tres e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s d e e q u ilib r io ( 2 F t = 0 . 1 F y = 0 , I M o = 0 ) a la p a r t e a is la d a d e la a r m a d u r a , t r a t e d e s e le c c io n a r u n a s e c c ió n q u e , e n g e ­ n e r a l, n o p a s e a tr a v é s d e m á s d e tres e le m e n to s e n lo s q u e la s fu e r z a s s e a n d e s c o n o c id a s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 So. Si s e v a a d e te r m i n a r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o G C , la s e c c ió n a a s e r ía a d e c u a d a . E n la s fig u ra s 3-25b y 3 -2 5 c se m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s d o s p a r te s . E n p a r t ic u l a r , te n g a e n c u e n ta q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a e n u n e l e m e n t o s e c c io n a d o s e e s p e c ific a a p a r ­ ti r d e la g e o m e tría d e la a r m a d u r a , p u e s to q u e la fu e rz a e n u n e le m e n to p a s a a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to . A d e m á s , la s fu e n -a s d e u n e le m e n to q u e a c tú a n s o b r e u n a p a r t e d e la a r m a d u r a s o n ig u a le s p e r o o p u e s t a s a las q u e a c tú a n s o b r e la o t r a p a r t e , lo q u e s e d e b e a la te r c e r a le y d e N e w to n . C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , lo s e le m e n to s q u e s u p u e s ta m e n t e e s tá n e n te n ­ s i ó n ( B C y C G ) e s t á n s o m e tid o s a u n “j a l ó n " , m ie n tr a s q u e e l e le m e n to e n c o m p r e s ió n ( G F ) e s t á s o m e tid o a u n “ e m p u j ó n " . 3 .5 L a s tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s F a c , F q c y $ g f p u e d e n o b ­ te n e r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a l d i a ­ g ra m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra 3 -2 5 6 . S in e m b a r g o , s i s e c o n s id e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 3 -2 5 c , d e b e r á n d e te r m in a r s e e n p r im e r lu g a r la s tr e s r e a c c io n e s d e s o p o r t e !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? ( P o r s u p u e s to , e s to s e h a c e d e la m a n e r a u s u a l, c o n s id e r a n d o u n d ia g r a m a d e c u e ip o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i­ b rio , c o n s i d e r e la m a n e r a d e e s c r ib ir las e c u a c io n e s c o n e l fin d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a c a d a u n a d e la s in c ó g n ita s , e n v e z d e t e n e r q u e re s o lv e r e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . P o r e je m p lo , s i s e s u m a n m o m e n to s r e s ­ p e c to a C e n la fig u ra 3 -2 5 6 g e n e r a r ía u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a F g f p u e s to q u e F BC y F í ; c c r e a n m o m e n to s c e r o a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o m o d o . FflC p u e d e o b te n e r s e d ir e c ta m e n te a p a rtir d e u n a s u m a to ria d e m o ­ m e n to s a lr e d e d o r d e G . P o r ú ltim o , F c c p u e d e d e te r m in a r s e d i r e c t a ­ m e n te a p a r t i r d e u n a s u m a to r i a d e f u e iz a s e n la d ir e c c ió n v e rtic a l, d a d o q u e FC f y F K n o ti e n e n c o m p o n e n t e s v e rtic a le s . C o m o e n e l m é to d o d e lo s n u d o s , h a y d o s f o r m a s d e d e t e r m i n a r e l s e n ­ tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s c o n o c id a . L S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n la s e c ­ c ió n c o rta d a e s tá n en te n s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e le m e n to . D e e s ta m a n e r a , l a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io g e n e ­ r a r á e sc a la re s p o s i ti v o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y e sca la res n e g a tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n c o m p r e s ió n . 2. E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s ­ c o n o c id a p u e d e d e te r m in a r s e “p o r i n s p e c c i ó n ”. P o r e je m p lo . FBC e s u n a f u e r z a d e te n s ió n c o m o s e r e p r e s e n ta e n la fig u ra 3 - 2 5 6 ,p u e s to q u e e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a G r e q u i e r e q u e F flC c r e e u n m o m e n to o p u e s t o a l d e la f u e r z a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e te n s ió n p o r q u e s u c o m p o n e n t e v e r tic a l d e b e e q u i l i b r a r la f u e r z a d e 1000 N . E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n tid o d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e s u p o n e r s e . S i la s o lu c ió n r e s u lta s e r u n e s c a la r n e g a tiv o , e s to in d ic a r á q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e sto a l m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . É s te e s e l m é t o d o q u e s e u tiliz a r á e n lo s s ig u ie n te s p r o b l e m a s d e e je m p lo . E n e l n o rte d e C a lifo rn ia s e c o n s ­ tru y e u n a a rm a d u ra d e p u e n te s o b re e l la g o S h a s ta . E l M É T O D O D E LA S SECCIONES C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a p lic a r e l m é to d o d e las s e c c io ­ n e s a fin d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a . D ia g ra m a d e c u e r p o lib re • T o m e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a a tr a v é s d e lo s e le m e n to s e n lo s q u e d e b e n d e te r m i n a r s e la s fu e rz a s . • A n te s d e a is la r la se c c ió n a d e c u a d a , q u iz á s e r e q u i e r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r ­ n a s d e la a r m a d u r a , d e m o d o q u e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o se u s e n p a r a e n c o n tr a r la s fu e r z a s d e e le m e n to e n la se c c ió n c o r ta d a . • D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e la a r m a d u r a s e c c io n a d a q u e t e n g a e l m e n o r n ú m e r o d e f u e r z a s e n e lla . • U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a e s t a b le c e r e l s e n t id o d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io • L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e a lr e d e d o r d e u n p u n to q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­ c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s ; d e e s t a m a n e r a , la te r c e r a fu e rz a d e s c o n o c i d a s e d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a p a r tir d e la e c u a c ió n . • Si d o s d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s s o n p a r a le la s ,l a s fu e r z a s p u e d e n s u m a r s e e n f o r m a p e r p e n d ic u la r a la d ir e c c ió n d e e s t a s in c ó g n ita s a fin d e d e te r m i n a r d ir e c ta m e n te la t e r ­ c e ra f u e r z a d e s c o n o c id a . E j e m p l o d e u n a a r m a d u r a W a r r e n ( c o n v e r tic a le s ) 3 .5 E l M É T O D O D E LA S SECCIONES D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s G J y C O d e la a r m a d u r a d e le c h o q u e s e m u e s tr a e n la fo to g r a f ía . L a s d im e n s io n e s y las c a r g a s se m u e s tra n e n la fig u ra 3 -2 6 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a s e h a n c a lc u la d o . 50 0 1 b 3 0 0 Ib 3001b 3001b 3 0 0 Ib 3001b . \ 0 1501b 1501b A , = 0 1 159.3 Ib |*3 p ie s ' 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 1 1159.3 Ib (a) Hgiira 3-26 S O L U C IÓ N E le m e n to CF. D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . 1.a f u e r z a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b ­ te n e r s e a l c o n s i d e r a r la s e c c ió n a a d e la f ig u r a 3 - 2 6 a . E n la fig u ra 3 . 2 6 b s e m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e r e c h a d e e s ta se c c ió n . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A p lic a n d o £ A // ■ 0 s e p u e d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a r a s im p lific a r, d e s lic e F<;j h a c ia e l p u n t o G (p r in c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d ). fig u ra 3 - 2 6 6 . P o r lo ta n to . t+ S M / = 0; <b) - F Cj s e n 3 0 ° ( 6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0 f c , = 3 4 6 1 b (C ) R esp . E le m e n to G C D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . La f u e r z a e n C O p u e d e o b te n e r s e u s a n d o la s e c c ió n b b d e la fig u ra 3 -2 6 a . E n la fig u ra 3 -2 6 c se m u e s tra el d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie rd a d e la se c c ió n . E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L o s m o m e n to s s e s u m a r á n r e s p e c to al p u n t o A co n e l fin d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s F OP y F c 0 . = 0; - 3 0 0 ( 3 .4 6 4 ) + F c o { 6 ) Fc o = 173 Ib ( T ) 0 R esp . (c ) 107 1 0 8 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G E y G D d e la a r m a d u r a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 7 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o . Figura 3 -2 7 S O L U C IÓ N D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . S e c o n s id e r a r á l a s e c c ió n a a d e la fi­ g u ra 3 -2 7 a . ¿ P o r q u é ? E n la f ig u r a 3 -2 7 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e a l a d e r e c h a d e e s ta s e c c ió n . L a d is ta n c i a E O p u e d e d e ­ te r m in a r s e m e d ia n te tr iá n g u lo s s e m e ja n te s o a l o b s e r v a r q u e e l e l e ­ m e n t o G E c a e v e r tic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , fig u ra 3 -2 7 a . P o r c o n s ig u ie n te , p a r a c a e r 4 .5 m d e s d e G . l a d is ta n c i a d e C a O (fc b e s e r d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e f o r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l s o n t a n - ‘ (4 .5 /3 ) = 56.3° y t a n " '( 4 . 5 / 9 ) = 2 6 .6 °, re s p e c tiv a m e n te . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . L a f u e r z a e n G F p u e d e d e te r m i n a r s e d i­ r e c t a m e n t e a p lic a n d o 1 M D = 0. ¿ I\> r q u é ? P a r a e l c á lc u lo a p liq u e e l p rin c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d y d e s lic e ¥ GF h a s ta e l p u n t o O . P o r lo ta n to . 5,+ S A /„ = O. - F g f s e n 2 6 .6 ° (6 ) + 7 ( 3 ) = 0 F g f = 7.83 k N ( C ) R esp . l a f u e r z a e n G D se d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a l a p li c a r 2íV/0 = 0 . P a ra sim p lific a r a p liq u e e l p rin c ip io d e tra n sm isib ilid a d y d e slic e ¥ G n h a d a D . A sí, l + I M o = 0; - 7 ( 3 ) + 2 ( 6 ) + E c o s e n 5 6 .3 ° ( 6 ) = 0 E g d = 1.80 k N ( C ) R esp . 3 .5 E l M É T O D O D E IA S SECC IO NES D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a r m a d u r a K q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 8 a . In d iq u e si lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o . A , —2900 Ib 12001b 15001b 18001b (a) S O L U C IÓ N D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . A u n q u e l a s e c c ió n a a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 8 a r e a l i/ a u n c o r t e a tr a v é s d e c u a t r o e le m e n to s , e s p o ­ sib le d e s c o m p o n e r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o B C u s a n d o e s ta s e c c ió n . E n la fig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r te iz q u ie rd a d e la a r m a d u r a . F.va \a m " 29001b -2 9 0 0 (1 5 ) + F bc{ 20) = 0 F b c = 2 1 7 5 Ib ( T ) | Fvl 2 0 p ie s E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s u m a d e lo s m o m e n to s r e s p e c to a l p o n t o L e lim in a tr e s d e la s in c ó g n ita s , p o r lo q u e = O, 12001b (b) R esp . D ia g ra m a s d e c u e rp o lib r e . L a f u e r z a e n M C p u e d e o b te n e r s e d e m a n e r a in d ir e c ta a l o b t e n e r p r i m e r o la f u e r z a e n M B a p a r tir d e l e q u ilib r io d e f u e iv a s v e r tic a le s e n la ju n t a B , f ig u r a 3 -2 8 c . e s d e c ir , FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s , c o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 3-28¿>. + T = 0; 2900 - F UB 1200 + 1200 - F u l = 0 F « = 2 9 0 0 Ib ( T ) E n la fig u ra 3 -2 8 d se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l a ju n t a A /.e n e l c u a l se u s a n e s t o s re s u lta d o s . 0; + Í Z F y = 0; Fbc 12001b (c ) E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . X ? .F t = i I**” F;.X L (vn)F"c (vb) 2900- 1200-(w) - F'm k = 0 F „ k = L532 Ib ( C ) F" c F m c = 1532 Ib ( T ) 0 R esp . E n o c a s io n e s , c o m o e n e s te e je m p lo , la a p lic a c ió n t a n t o d e l m é to d o d e h s s e c c io n e s c o m o d e l m é to d o d e lo s n u d o s c o n d u c e a u n a s o lu c ió n m ás d ir e c ta d e l p ro b le m a . T a m b ié n e s p o s ib le o b t e n e r la f u e r z a e n M C u s a n d o e l r e s u lta d o de FflC. E n e s te c a s o .s e p a s a u n a se c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K . M C y B C , fig u ra 3 -2 8 a . S e a ís la la s e c c ió n iz q u ie r d a y s e a p lic a 1 M K = 0 . 29001b 12001b (d ) Figura 3 -2 8 1 0 9 1 1 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .6 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s A rm a d u ra s com puestas E n la se c c ió n 3 -2 s e e s ta b le c ió q u e las a r m a d u r a s c o m p u e s ta s s e f o r m a n al c o n e c t a r e n tr e s í d o s o m á s a r m a d u r a s s im p le s , ya s e a m e d ia n te la s b a ­ r r a s o la s ju n t a s . D e m a n e r a o c a s io n a l, e s t e t i p o d e a r m a d u r a s e a n a liz a d e u n a m e j o r m a n e r a s i s e a p li c a n la n ío e l m é t o d o d e lo s n u d o s c o m o e l d e la s se c c io n e s. C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te r e c o n o c e r a n te s e l tip o d e c o n s tr u c c ió n ,s e g ú n la lis ta p r e s e n ta d a e n la s e c c ió n 3 -2 , p a ra d e s p u é s r e a liz a r e l a n á lis is a p lic a n d o e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to . E JE M P L O 3 .8 I n d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -2 9 a . L a s re a c c io n e s e n lo s a p o y o s y a se h a n c a lc u la d o . -4, = 0 £ - 5 kN 4k N na 4 s e n 60° m 5 kN 4 kN S O L U C IÓ N L a a r m a d u r a e s c o m p u e s ta p u e s to q u e la s a r m a d u r a s s i m p l e s A C H y C E G e s tá n c o n e c t a d a s m e d i a n te e l p a s a d o r e n C y la b a r r a 1IG . L a s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 2 9 a c o r ta la b a r r a H G y o tr o s d o s e l e ­ m e n to s q u e ti e n e n fu e rz a s d e s c o n o c id a s . E n la f ig u r a 3 -2 9 ¿> se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l a p a r t e iz q u ie r d a . L a f u e r z a e n H G se d e te r m in a d e la m a n e r a s ig u ie n te : t+ Z A /c - O , <b) - 5 ( 4 ) + 4 ( 2 ) + F //C ( 4 s e n 6 0 ° ) 0 F HG = 3 .4 6 k N ( C ) 3 .4 6 k N A h o r a s e p r o c e d e a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la s a r m a d u r a s s im p le s s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . POr e je m p lo , el d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e A C H se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 9 c . L a s ju n t a s d e e s t a a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia : 5 kN 4 kN (c) H g u ra 3 -2 9 2 kN J u n ta Jum a J u n ta J u n ta J u n ta A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A l . H : D e te r m in e la f u e i v a e n H l y H J. I : D e te r m in e la f u e r z a e n U e IB . B : D e te r m in e la f u e r z a e n B C y BJ. J: D e te r m in e la f u e r z a e n J C . 3 .6 A rmaduras compuestas L a s a r m a d u r a s d e te c h o c o m p u e s ta s s e u s a n e n u n v iv e ro , c o m o se m u e s tra e n la f o to g ra fía .T ie n e n las d im e n s io n e s y la c a rg a q u e s e m u e s­ tr a n e n la fig u ra 3-30a. In d iq u e la f o r m a d e a n a liz a r e s ta a rm a d u ra . (b) fig u ra 3 -3 0 S O L U C IÓ N L a f u e r z a e n E F p u e d e o b t e n e r s e u s a n d o la s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 -3 0 a . E n la f ig u r a 3 -3 0 b se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l s g m e n t o d e la d e r e c h a . i+ I M 0 = 0; -1 (1 ) - 1 (2 ) - 1 (3 ) - 1 (4 ) - 1 (5 ) - 0 .5 ( 6 ) + 6 ( 6 ) F e f = 5 .2 0 k N ( T ) R esp . I b r in s p e c c ió n , o h s e r v e q u e R T , E O y H J s o n e le m e n to s d e fu e rz a c e r o p u e s to q u e + 1 2 F y = 0 e n la s ju n t a s R . E y H . re s p e c tiv a m e n te . T a m b ié n , p o r a p lic a c ió n + \ Z F y = 0 ( p e r p e n d ic u la r a A O ) e n la s ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te la f u e r z a e n b s e le m e n to s P U , Q U , S C y T C , re s p e c tiv a m e n te . F e f { 6 ta n 3 0 ° ) = 0 111 1 1 2 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o . 12 A D_ , •45° y» ' -** 45° 45° \ j B E \ 6w DÍCS l/,V J — J L— 6 d í c s —- - oics — 6 d í c s — 1-— 6 o 3k 3k F, = 3 k |— 6pies—| S O L U C IÓ N 12 pies 6 sen 45° pies L a a r m a d u r a p u e d e c l a s i f i c a r e c o m o c o m p u e s ta d e l tip o 2 , p u e s t o q u e la s a r m a d u r a s s im p le s A B C D y F E H G e s tá n c o n e c ta d a s p o r tr e s b a r r a s q u e n o s o n p a r a le la s n i c o n c u r r e n te s , a s a b e r , C E , B U y D G . Si s e u s a la s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 3 l a , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la f u e r z a e n c a d a b a r r a d e c o n e x ió n . E n la fig u ra 3 -3 1 b se m u e s tr a e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie r d a d e e s t a se c c ió n . P o r lo ta n to , = O, -3 (6 ) - F p c i é s e n 4 5 ° ) + F C E e o s 4 5 ° (1 2 ) + f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0 + T 2 F , = 0; Z F , = 0; 3 - 3 - (1 ) F rh s e n 4 5 ° + FC £ s e n 4 5 ° = 0 —F b u e o s 4 5 ° + F ^ - FCEco s 45° = 0 (2 ) (3 ) A p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá ­ n e a m e n te la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (3 ) s e o b tie n e F Bh = F cf. = 2 .6 8 k ( C ) 3k Fnc = 3 .7 8 k ( T ) 3k (c) A h o r a p u e d e r e a liz a r s e e l a n á lis is d e c a d a a r m a d u r a s im p le c o n e c ­ ta d a s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s P o r e je m p lo , c o n b a s e e n la fi­ g u ra 3 - 3 le , e s to p u e d e h a c e r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia . J u n ta A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A D . J u n ta D : D e te r m in e l a f u e r z a e n D C y D B . J u n ta C: D e te r m in e la f u e r z a e n C B . 3 .6 113 A rmaduras compuestas PROBLEM AS FU N D A M E N TA LE S F 3 - 7 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , I t G y B C c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . 1 3 -1 0 . D e t e r m in e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , C F y C D c in d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . 4001b 1 3 - 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , H C y B C e i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . 1 3 - 1 1 - D e te r m in e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s F E , F C y B C e i n d iq u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . 4 kN 6001b 6 0 0 Ib 6001b 6001b 6001b 2 kN 2 kN 3m - 3 m B — 4 p ie s — — 4 p ies - 1-3-8 1 3 -1 1 1 3 - 9 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s E D . B D y B C c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . D 1 3 - 1 2 . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G F , C F y C D e in d i q u e s i e s t á e n t e n s i ó n o e n c o m p r e s i ó n . 6 kN .3¡>U y — A1 l > * j -----J 1.— > r , l p \ — J ’l p 1V.> 13-12 1r p ita 1 1 4 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PROBLEM AS 3 - 1 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G F , F C y C D d e la a r m a d u r a d e p u e n t e . I n d iq u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n e n 3 - 2 1 . L a a r m a d u r a H o w e e s t á s u j e t a a la c a r g a q u e se m u e s tr a . D e t e r m i n e la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s G F , C D y te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n t o s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a sa d o re s. G C . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s tá n e n t e n s ió n o e n c o m p r e ­ s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n t o s e s t á n c o n e c t a d o s m e d ia n te p a sa d o re s. IS k 10 k P ro h . 3 -1 8 3 - 1 9 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s J K . J N y C D . I n d iq u e s i l o s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . I d e n tif iq u e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o . P ro h . 3 -2 1 P ro h . 3 -1 9 3 - 2 2 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s R G , H G y R C d e la a r m a d u r a e in d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s ió n o e n c o m p r e s ió n . * 3 - 2 0 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , F C y C D d e la a r m a d u r a e n v o la d iz o . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s tá n e n t e n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n ­ to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s . G 6kN 7 kN 4kN --------------- 12 m .4 X 3 m ----------P roh. 3 -2 0 P roh. 3 -2 2 3 .6 3 -2 3 . D eterm ine la fuerza e n lo s e le m e n to s G F . C F y CD d e la a rm a d u ra d e tech o e indique si lo s e lem en to s e s tá n en tensión o e n com presión. A rmaduras compuestas 115 3-25. D eterm in e la fu erza e n los e le m e n to s / / / . ID y CD d e la a rm a d u ra . In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n te n sió n o e n co m p resió n . S uponga q u e to d o s los elem en to s e stá n c o ­ nectados m ed ian te pasadores. 3-26. D eterm in e la fuerza e n lo s e le m e n to s .//, IC y C D de la a rm a d u ra . In d iq u e si los elem en to s están e n ten sió n o en com presión. S u p o n g a q u e to d o s los e le m e n to s e s tá n conec­ tad o s m ed ian te pasadores. 1 5 kN P robs. 3 -25/3-26 •3 -2 4 . D eterm ine la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F B y B C de la a rm a d u ra F in k e in d iq u e si lo s elem en to s e stá n e n te n ­ sión o e n com presión. 3-27. D eterm in e las fu erzas en los e lem en to s K J , C D y C l d e la a rm a d u ra . In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n te n sió n o e n com presión. P ro h . 3-24 P ro h . 3 - 2 7 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .7 e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s A rm a d u ra s c o m p le ja s L a s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e t e r ­ m in a rs e s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s ; s in e m b a r g o , la s o lu c ió n r e ­ q u e r i r á e s c r ib ir la s d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e la s j ju n t a s d e la a r m a d u r a y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j e c u a c io n e s e n f o r m a s im u ltá n e a * E s te e n f o q u e p u e d e s e r p o c o p rá c tic o s i lo s c á lc u lo s s e r e a liz a n m a n u a lm e n te , e n e s p e c ia l c u a n d o la s a r m a d u ­ ra s s o n m u y g ra n d e s . P o r e llo , a c o n tin u a c ió n se p r e s e n t a u n m é t o d o m á s d ir e c to p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a c o m p le ja .c o n o c id o c o m o e l m é to d o d e lo s e le m e n to s s u b s titu to s . P ro c e d im ie n to de a n á lis is C b n r e f e r e n c ia a la a r m a d u r a d e la f ig u r a 3 - 3 2 a .s e r e q u ie r e n lo s s ig u ie n te s p a s o s p a r a d e te r m in a r las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s s u s titu to s . Fuerzas 5 / Fuerzas s, <b> (c ) fig u ra 3 -3 2 • F s t o p u e d e re a liz a r s e f á c ilm e n te e m p le a n d o u n a c o m p u ta d o r a , c o m o se m u e s tra e n e l c a p itu lo 14 3 .7 A rm aduras com plejas R e d u c c ió n a u n a a r m a d u r a s im p le e s t a b l e D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y c o m ie n c e p o r im a g in a r c ó m o a n a liz a r ía la a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s d e c ir , p a s a n d o d e u n a j u n t a a o t r a y re s o lv ie n d o p a r a e n c o n t r a r c a d a f u e r z a d e e le m e n to . S i se lle g a a u n a j u n t a d o n d e h a y tres in c ó g n ita s , e lim in e u n o d e lo s e le m e n to s e n la a r tic u la c ió n y r e e m p lá c e lo p o r u n e le m e n to im a g in a r io e n c u a lq u ie r o t r a p a r t e d e la a r m a d u r a . D e e s t a m a n e r a , s e r e c o n s tr u y e la a r m a d u r a c o m o u n a a r m a d u r a s im p le e s ta b le . ft>r e je m p lo , e n la fig u ra 3 -3 2 a s e o b s e r v a q u e c a d a ju n t a te n d r á tr e s fu e r z a s d e e l e ­ m e n t o d e s c o n o c id a s a c tu a n d o s o b r e e lla . ft>r lo t a n t o . s e e lim in a r á e l e le m e n to / I D y se r e e m p la z a r á c o n e l e le m e n to im a g in a r io C E , fig u ra 3 -3 2 b . E s ta a r m a d u r a p u e d e a n a l i ­ z a rs e a h o r a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a lo s d o s tip o s d e c a r g a q u e s ig u e n . C a r g a e x t e r n a s o b r e u n a a r m a d u r a s im p le C a r g u e la a r m a d u r a s im p le c o n la c a rg a r e a l P y d e s p u é s d e te r m i n e la f u e r z a 5 / e n c a d a e le m e n to i. C u a n d o la s r e a c c io n e s y a h a n s i d o d e te r m i n a d a s ,e n la fig u ra 3 - 3 2 6 * p u e d e c o m e n z a r e n la j u n t a A p a ra d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n A R y A F , d e s p u é s e n la j u n t a F p a r a d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n F E y F O , lu e g o e n la j u n t a D p a r a d e te r m i n a r las f u e r z a s e n D E y D C (la s c u a le s s o n ig u a le s a c e r o ) ; p o s t e r io r m e n t e , e n la j u n t a E p a ra e n c o n tr a r E R y E C , y f in a lm e n te la j u n t a B p a ra d e t e r m i n a r la f u e r z a e n B C , R e tiro d e la c a r g a e x t e m a d e la a r m a d u r a s i m p l e C o n s id e r e la a r m a d u r a s im p le s i n la c a rg a e x te r n a P . C o lo q u e ca rg a s u n ita r ia s g u a l e s p e r o o p u e s ta s a lin e a d a s s o b r e l a a r m a d u r a e n la s d o s ju n ta s d e la s c u a le s s e r e t i r ó e l e le m e n to . S i e s t a s fu e r z a s d e s a r r o ll a n u n a f u e r z a s, e n e l i- é s im o e le m e n to d e u n a a r m a d u r a , e n to n c e s p o r p r o p o r c ió n u n a f u e r z a x d e s c o n o c id a e n e l e le m e n to r e t i r a d o e je r c e r ía u n a f u e r z a d e x s , e n e l í- é s im o e le m e n to . C b n b a s e e n la f ig u r a 3 - 3 2 c ,la s c a r g a s u n ita r ia s ig u a le s p e r o o p u e s t a s n o c re a rá n r e a c ­ c io n e s e n A y C c u a n d o s e a p lic a n las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d a la a r m a d u r a . L a s fu e r z a s s , p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te u n a n á lis is d e la s j u n t a s e n l a m ism a s e c u e n c ia a n te r io r , e s d e c ir , p r i m e r o la j u n t a A , lu e g o la s ju n t a s F . D . E y p o r ú ltim o la j u n t a B . S u p e r p o s ic ió n Si lo s e f e c to s d e las d o s c a r g a s a n te r io r e s s e c o m b in a n , la f u e r z a e n e l i-é s im o e l e m e n t o d e la a r m a d u r a s e r á S , = s ; + *5, (1 ) E n p a r tic u la r , p a r a e l e le m e n to s u s tit u id o E C e n la f ig u r a 3 -3 2 b la f u e r z a S EC ■ S 'c c + x s FC. C ó m o e l e l e m e n t o E C e n r e a lid a d n o e x is te e n la a r m a d u r a o r ig in a l, se e le g i r á x c o n u n a m a g n itu d ta l q u e p r o d u z c a u n a fu e r z a c e r o e n E C .P o r c o n s ig u ie n te , S'EC + x s EC = O (2 ) o x = - S 'E c fs E c v e z q u e se h a d e te r m i n a d o e l v a lo r d e x , las f u e r z a s e n lo s o t r o s e le m e n to s i d e la a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (1 ). 117 1 1 8 C a p it u l o E JE M P L O 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 3 .1 1 D e te r m in e la f u e iz a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a c o m p le ja q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 3 a . S u p o n g a q u e la s j u n t a s B , F y D x e n ­ c u e n tr a n e n la m ism a lín e a h o r iz o n ta l. I n d i q u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . 8 p ie s (a) F ig u ra 3 - 3 3 S O L U C IÓ N Reducción a una armadura simple estable. ft>r in s p e c c ió n , c a d a ju n t a tie n e tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s. E l a n á lisis d e la s j u n ­ ta s p u e d e r e a liz a r s e e n f o r m a m a n u a l s i. p o r e je m p lo , s e e lim in a e l e le ­ m e n t o C E y s e s u s titu y e p o r e l e le m e n to D E . f ig u r a 3 -3 3 b . L a a r m a d u r a r e s u lta n te e s e s t a b le y n o c o la p s a rá . Carga externa sobre la armadura simple. C o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3-33¿>,se h a n d e te r m in a d o la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la a r ­ m a d u r a . A p lic a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s , p r i m e r o p u e d e a n a liz a rs e la ju n t a C p a r a e n c o n tr a r las fu e rz a s e n lo s e le m e n to s C B y C D \lu e g o la ju n ta F , d o n d e s e o b s e r v a q u e F A y F E s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e ro ; d e s p u é s la j u n t a E p a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s E B y E D \ p o s te r io r m e n te , l a ju n t a D p a ra d e te r m in a r las fu e r z a s e n D A y D B ,y p o r ú ltim o la ju n t a B p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n B A . E sta s fu e r­ z a s 5¡ se r e g is tr a n e n la c o lu m n a 2 d e la t a b l a 1, d o n d e s e c o n s id e r a a la te n s ió n c o m o p o s itiv a y a la c o m p r e s ió n c o m o n e g a tiv a . í 4375 k (b) 3 .7 (c) R e tir o d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra s im p le . E n la fig u ra 3 -3 3 c s e m u e s tr a l a c a rg a u n it a r i a q u e a c tú a s o b r e la a r m a d u r a . E s ta s tu e r z a s ig u a le s p e r o o p u e s ta s n o c r e a n r e a c c io n e s e x te m a s s o b r e la a r m a d u r a . E l a n á lis is d e ju n ta s s ig u e la m is m a s e c u e n c ia in d ic a d a a n ­ te r io r m e n te ; e s d e c i r , s e a n a liz a n la s j u n t a s C , F , E , D y B . L o s r e s u lta ­ d o s d e l a n á lis is d e f u e r z a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la t a b l a 1. S u p e rp o s ic ió n . Se re q u ie re S db = S' d b + xsd b = 0 A l s u s titu ir lo s d a t o s e n S ' DB y sDB, d o n d e S ’DB e s n e g a tiv a p u e s to q u e h f u e r z a e s d e c o m p r e s ió n ,s e tie n e - 2 . 5 0 + x ( 1 .1 6 7 ) = 0 x = 2.143 L o s v a lo r e s d e xs¡ s e r e g is tr a n e n l a c o lu m n a 4 d e la t a b l a 1. y la s f u e r ­ za s d e e l e m e n t o r e a le s S ,= S ¡ + xs¡ se e n lis ta n e n la c o lu m n a 5. j TABLA 1 S e m e n tó CB CD FA FE EB F.D DA DB BA CB s¡ * ** s. 3.54 -3 .5 4 0 0 0 -4 .3 8 534 -2 .5 0 2.50 -0 .7 0 7 -0 .7 0 7 0.833 0.833 -0 .7 1 2 -0 2 5 0 -0 .7 1 2 1.167 -0 .2 5 0 -1 .5 2 -L 5 2 1.79 1.79 -1 .5 3 -0 5 3 6 -1 .5 3 250 -0 5 3 6 2.02 (T) 5.05 (C) 1.79 (T) 1.79 (T) 1.53 (C) 4.91 (C ) 3.81 (T ) 0 1.96 (T) 2 1 4 (T) A rm aduras com plejas 119 1 2 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s 3 .8 p e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s A rm a d u ra s e s p a c ia le s U n a a rm a d u ra e sp a c ia l c o n siste e n e le m e n to s q u e e s t á n u n id o s e n tr e s i p o r s u s e x tr e m o s p a r a fo rm a r u n a e s tru c tu r a trid im e n s io n a l e s ta b le . E n la se c ­ c ió n 3 -2 s e d e m o s tr ó q u e la fo r m a m á s sim p le d e u n a a r m a d u r a b id im e n s io n a l e s ta b le s e c o m p o n e d e e le m e n to s d is p u e s to s e n fo r m a d e u n triá n g u lo . D e s p u é s s e c o n s tru y ó u n a a r m a d u r a p la n a sim p le c o n b a s e en e s te e le m e n to tria n g u la r, a ñ a d ie n d o d o s e le m e n to s a la v e z p a r a f o r m a r n u e v o s m ie m b r o s D e m a n e r a s im ila r, e l m ie m b r o m á s sim p le d e u n a a r m a ­ d u r a e sp a c ia l e s ta b le e s u n te tra e d ro , f o r m a d o p o r l a c o n e x ió n d e se is e le ­ m e n to s m e d ia n te c u a tr o ju n ta s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 3-34. T o d o s los e le m e n to s a d ic io n a le s a ñ a d id o s a e s t e e le m e n to b á sic o s e r ía n re d u n d a n te s p a r a s o p o r ta r la fu e rz a P. U n a a r m a d u r a e sp a c ia l s im p le p u e d e c o n stru irse a p a r t i r d e e s te m ie m b r o te tr a é d r ic o b á sic o , a g re g a n d o tr e s n u e v o s e le m e n ­ to s y o t r a j u n t a p a ra a s í f o r m a r te tr a e d r o s m u ltic o n e c ta d o s. D eterm inación y estabilidad. A l o b s e r v a r q u e e n tr e s d i m e n ­ s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a j u n t a ( 2 / r, = 0 , 2 F V= 0 . 2 F . = 0 ) . e n to n c e s p a r a u n a a r m a d u r a e s p a c ia l c o n u n n ú m e r o j d e ju n ta s , h a y 3j e c u a c io n e s d is p o n ib le s . Si la a r m a d u r a ti e n e u n n ú m e r o b d e b a r r a s y u n n ú m e r o r d e r e a c c io n e s , c o m o e s e l c a s o d e u n a a r m a d u r a p la n a ( e c u a c io n e s 3 -1 y 3 -2 ). e s p o s ib le e s c r ib ir b + r < 3j b + r = 3j b + r > 3/ a r m a d u r a in e s ta b le e s tá tic a m e n te d e t e r m i n a d a - c o m p r o b a r e s ta b ilid a d e s tá tic a m e n te in d e t e r m in a d a - c o m p r o b a r e s ta b ilid a d (3 -3 ) L a esta b ilid a d exte rn a d e la a r m a d u r a e s p a c ia l r e q u ie r e q u e las re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s m a n te n g a n la a r m a d u r a e n e q u ilib r io d e fu e r z a s y m o ­ m e n to s r e s p e c to d e c u a le s q u ie r e je s. E n o c a s io n e s e s to p u e d e c o m p r o ­ b a rs e p o r in s p e c c ió n , p e r o s i la a r m a d u r a e s in e s ta b le u n a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d a r á r e s u lta d o s in c o n s is te n te s . L a e sta b ilid a d i n ­ te rn a p u e d e c o m p r o b a r s e a v e c e s m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a de h d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s . S ie m p re q u e c a d a ju n ta s e m a n te n g a fija p o r s u s s o p o r te s o e le m e n to s c o n e c ta d o s , d e m o d o q u e n o p u e d a m o v e rs e c o n r e s p e c to a la s d e m á s ju n ta s , l a e s tr u c tu r a p u e d e c la s ific a rs e c o m o e s ­ ta b le in te r n a m e n te . A d e m á s .s i s e h a c e u n a n á lisis d e fu e r z a s d e la a r m a ­ d u r a y s e o b tie n e n re s u lta d o s in c o n s is te n te s , e n to n c e s la c o n fig u ra c ió n de la a r m a d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ fo r m a c r ític a ” . Supuestos para el diseño. E l l e c h o d e e s l e p a b e l ló n s e s o s t i e n e m e ­ d i a n t e u n s i s t e m a d e a r m a d u r a s e s p a c ia le s . L o s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a ­ c ia l p u e d e n tr a ta r s e c o m o e le m e n to s d e f u e r z a a x ia l, s ie m p re q u e la c a rg a e x t e m a se a p liq u e e n la s ju n t a s y é s t a s s e f o r m e n m e d ia n te c o n e x io n e s de ró tu la . E s te s u p u e s to se ju s tific a s u p o n ie n d o q u e lo s e le m e n to s u n id o s p o r u n a c o n e x ió n se c ru c e n e n u n p u n to c o m ú n y e l p e s o d e lo s e le m e n to s p u e d a ig n o ra rse . E n lo s c a so s e n q u e e l p e s o d e u n e le m e n to s e in c lu y a en e l an álisis, p o r lo g e n e ra l re s u lta s a tisfa c to rio a p lic a rlo c o m o u n a fu e rz a v e rtic a l, co n la m ita d d e s u m a g n itu d a p lic a d a a c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to . P a r a e l a n á lis is d e fu e rz a s, lo s s o p o r t e s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l s u e ­ le n m o d e la rs e c o m o u n e s la b ó n c o rto , u n a j u n t a d e ro d illo s p la n a , u n a ju n t a d e ro d illo s r a n u r a d a o u n a j u n t a d e r ó tu la . E n la ta b la 3 -1 s e m u e s ­ tr a c a d a u n o d e e s t o s s o p o r te s y s u s c o m p o n e n te s d e f u e r z a re a c tiv a . 3 .8 TA B LA 3 - 1 S o p o r te s y s u s c o m p o n e n te s d e f u e r z a re a c tiv a (2) ro d illo (3 ) V - F, / ro d illo r a n u n id o re s trin g id o e n u n c ilin d r o r. (4 ) — y ró tu la A r m a d u r a s espaciales 1 2 2 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C o m p o n e n te s de fuerza X, y , z. C ó m o e l a n á lis is d e u n a a r m a ­ d u r a e s p a c ia l e s tr id im e n s io n a l, a m e n u d o s e r á n e c e s a r io d e s c o m p o n e r la f u e r z a F d e u n e le m e n to e n lo s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n a lo la r g o d e lo s e je s x , y , z . P o r e je m p lo , e n la f ig u r a 3 -3 5 e l e le m e n to A B tie n e u n a lo n g i­ tu d / y p r o y e c c io n e s c o n o c id a s x , y , z a lo la r g o d e lo s e je s c o o rd e n a d o s . E s ta s p r o y e c c io n e s p u e d e n r e la c io n a r s e c o n la lo n g itu d d e l e le m e n to v m e d ia n te la e c u a c ió n i = V ? T 7 T ? (3 -4 ) C o m o la f u e r z a F a c tú a a lo l a r g o d e l e je d e l e le m e n to , la s c o m p o n e n ­ te s d e F p u e d e n d e te r m in a r s e p o r p r o p o r c ió n d e la s ig u ie n te m a n e r a : F ig u ra 3 - 3 5 * - < f ) - Í l ) (3-5) T e n g a e n c u e n ta q u e e s to r e q u i e r e f = V fT T Fi + (3 -6 ) E l u s o d e e s t a s e c u a c i o n e s s e il u s t r a r á e n e l e je m p lo 3 -1 2 . E le m e n to s d e fu e rz a c e ro . E n a lg u n o s c a s o s , e l a n á lis is d e las ju n t a s d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e s i e s p o s ib le d e t e c t a r lo s e l e ­ m e n to s d e f u e r z a c e r o a l r e c o n o c e r d o s c a s o s c o m u n e s e n la g e o m e tr ía d e las ju n ta s . C a s o 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a r m a d u r a m e n o s u n o e s t á n e n e l m is m o p la n o y s ie m p r e q u e n in g u n a c a r g a e x te r n a a c tú e s o b r e la ju n t a , e l e le m e n to q u e n o s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e lo s d e m á s e le m e n to s d e b e e s t a r s o m e tid o a u n a f u e r z a c e r o . I-a p r u e b a d e e s ta a f i r ­ m a c ió n s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -3 6 ,d o n d e lo s e le m e n to s A , f í y C e s tá n e n e l p la n o x - y . C o m o la c o m p o n e n t e z d e F „ d e b e s e r c e r o p a r a s a t is f a ­ cer - 0 , e l e l e m e n t o D d e b e s e r u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . P o r el m is m o ra z o n a m ie n to , e l e le m e n to D s o p o r ta r á u n a c a rg a q u e p u e d e d e ­ te r m in a r s e a p a r t i r d e 1 F . = O si u n a f u e r z a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a y ti e n e u n a c o m p o n e n t e q u e a c t ú a a k» l a r g o d e l e je z. D e b id o a s u e f ic ie n c ia d e c o s to s , la s t o r r e s d e e s t e t i p o s e u s a n p a r a s o s t e n e r v a r ia s li­ n e a s d e tr a n s m i s i ó n e lé c tr ic a . H g u ra 3-36 3 .8 A r m a d u r a s espaciales C a s o 2 . S i s e h a d e te r m i n a d o q u e to d o s m e n o s d o s d e v a rio s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a ju n t a s o p o r ta n f u e r z a c e r o , lo s d o s e le m e n to s r e s ta n te s ta m b ié n d e b e n s o p o r t a r f u e r z a c e r o , s ie m p r e q u e n o s e e n c u e n t r a n a lo la rg o d e la m ism a lín e a . E s ta s itu a c ió n s e ilu s tr a e n la f ig u r a 3 -3 7 , d o n d e s e s a b e q u e A y C s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e r o . C o m o F D e s c o lin e a l c o n e l e je y , e n to n c e s la a p lic a c ió n d e I F , = 0 o 1 F . = 0 r e q u i e r e q u e la s c o m p o n e n te s x o z d e F fl s e a n c e r o . E n c o n s e c u e n c ia , F fí = 0. Si é s t e e s el c a s o , F „ = 0 p u e s t o q u e Z F y = 0. F ig u ra 3 - 3 7 D e b e p r e s ta r s e a te n c ió n e s p e c ia l a lo s d o s c a s o s a n t e r i o r e s d e c a rg a y g e o m e tr ía d e la s ju n t a s , p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l p u e d e s im p lific a rs e c o n s id e r a b le m e n te s i se d e t e c t a n p r i m e r o lo s e l e ­ m e n to s d e f u e r z a c e ro . P ro c e d im ie n to d e a n á lis is P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e s a r r o ll a d a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s . M é t o d o d e la s s e c c i o n e s Si s ó l o d e b e n d e te r m i n a r s e a lg u n a s f u e iz a s d e e le m e n to , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las s e c c io n e s C u a n d o s e p a s a u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e u n a a r m a d u r a y é s t a se d iv id e e n d o s p a r te s , e l s is te m a d e f u e r z a q u e a c tú a e n c a d a u n a d e las p a r te s d e b e s a tis f a c e r la s s e is e c u a c io n e s e s c a la r e s d e e q u ilib r io : Z F , = 0 , Z F r = 0 , Z f . = 0 , Z A f , = 0 , Z A /y = 0 , Z A f . = 0 . M e d ia n te la e le c c ió n a d e c u a d a d e la s e c c ió n y lo s e je s p a r a s u m a r f u e r z a s y m o m e n to s .e s p o s ib le c a lc u la r d ir e c ta m e n te m u c h a s d e la s fu e r z a s d e e l e m e n t o d e s c o n o c id a s e n u n a a r m a d u r a e s p a c ia l, e m p l e a n d o u n a s o la e c u a c ió n d e e q u ilib r io . A e s te re s p e c to , r e c u e r d e q u e e l m o m e n t o d e u n a f u e r z a r e s p e c to a u n e je e s c e r o s ie m p r e q u e la f u e r z a s e a p a r a le la a l eje o s u lín e a d e a c c ió n p a s e a tr a v é s d e u n p u n to e n e l eje. M é t o d o d e lo s n u d o s E n g e n e r a l , s i d e b e n d e t e r m i n a r s e la s f u e r z a s e n l o d o s lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a , e l m é to d o d e lo s n u d o s e s e l m á s a d e c u a d o p a r a r e a l iz a r e l a n á lis is . C u a n d o s e u tiliz a e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s n e c e s a r io re s o lv e r las tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e s c a la r e s Z Fx = 0 , Z Fy = 0 , Z F . = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s r e l a tiv a m e n te fá c il d ib u j a r lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e y a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l m é to d o d e lo s n u d o s es m u y c o n s is te n te e n s u a p lic a c ió n . 1 2 3 1 2 4 C a p it u l o E JE M P L O 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 3 .1 2 D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e la a r m a d u r a e s p a c ia l q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 3 -3 8 a . L a a r m a d u r a e s t á s o p o r ta d a p o r u n a j u n t a d e r ó tu la e n A , u n a ju n t a d e r o d illo r a n u r a d o e n B y u n c a b le e n C. Figura 3 -3 8 S O L U C IÓ N L a a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a p u e s to q u e b + r = 3 ; o b ie n 9 + 6 = 3 (5 ), fig u ra 3 -3 8 6 . R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . E s p o s ib le o b t e n e r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s a p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a ­ d u r a . fig u ra 3 - 3 8 6 ,d e l a s ig u ie n te m a n e r a : + ZM y = 0; SA Z. = 0; 2M , = 0; lF t = 0; 300 - A , = 0 A , = 3 0 0 Ib ZFy = 0; < 4 ,- 6 0 0 - 0 <4, = 6 0 0 Ib ZF. = 0; <4. - 6 0 0 = 0 <4. = 6 0 0 Ib -6 0 0 (4 ) B ,( S ) = 0 ñ , = 3 0 0 Ib Cy = 0 B y {8 ) - 6 0 0 (8 ) = 0 B , = 6 0 0 Ib 3 .8 A r m a d u r a s e spaciales 1 2 5 6001b J u n ta B. E l m é to d o d e lo s n u d o s p u e d e e m p e z a r e n B , p u e s t o q u e h a y tr e s f u e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n e s ta ju n t a , f ig u r a 3 -3 8 c . L a s c o m p o n e n t e s d e F fl£ p u e d e n d e t e r m i n a r e p o r p r o p o r c ió n a la b n g i t u d d e l e le m e n to S E , c o m o se in d ic a e n la s e c u a c io n e s 3 -5 . S e tie n e q u e l F y = O. - 6 0 0 + E fl£(& ) = 0 S E , = 0; 300 - S E , = 0; F ba - 9 0 0 (g ) = 0 F b e = 9 0 0 Ib (T ) F bc - 9 0 0 (£ ) = 0 F BC = 0 F RA = 6 0 0 I b ( C ) R esp . R esp . R esp . J u n ta A . U s a n d o e l r e s u lta d o p a r a F ^ ■ 6 0 0 Ib ( C ) .e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la j u n t a A s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 8 d . S e tie n e S E , = 0; 6 0 0 - 6 0 0 + E ^ c s e n 45 F S E V = 0; ac 0 = 0 - E r f í f o ) + 600 - 0 F a e = 6 7 0 .8 Ib (C ) S E , = 0; AK R esp . R esp . - 3 0 0 + Fad + 6 7 0 .8 ( ^ ) = 0 Fad = 0 R esp . J u n ta D. P b r in s p e c c ió n , lo s e le m e n to s e n la j u n t a D , f ig u r a 3 -3 8 a , s o p o r ta n f u e iz a c e r o , y a q u e l a d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s e s s im ila r a c u a lq u ie ra d e lo s d o s c a so s a n a liz a d o s e n r e f e r e n c ia a la s fig u ra s 3 -3 6 y 3 -3 7 . A d e m á s , a p a r t i r d e l a f ig u r a 3 -3 8 e . SE, 0; F DE R esp . SE, 0; F nc R esp . J u n ta C . l\> r o b s e r v a c ió n d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 8 f F'c e = 0 R esp . 0 0 (f) Ft* 1 2 6 C a p it u l o E JE M P L O 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 3 .1 3 D e te r m in e lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s ­ tr a e n la f ig u r a 3 -3 9 a . L o s s o p o r te s e je r c e n la s c o m p o n e n t e s d e r e a c ­ c ió n e n la a r m a d u r a c o m o s e in d ic a e n la fig u ra . <«) fig u ra 3 -3 9 S O L U C IÓ N E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 9 a , in d ic a q u e h a y o c h o r e a c ­ c io n e s d e s c o n o c id a s p a r a c u y a s o lu c ió n s ó lo h a y d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A u n q u e é s t e s e a e l c a s o , la s r e a c c io n e s p u e ­ d e n d e te r m in a r s e , p u e s t o q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3 (8 ). P a r a d e t e c t a r lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o , e s n e c e s a r io c o m p a r a r la s c o n d ic io n e s d e la g e o m e tr ía d e las ju n t a s y la c a rg a c o n la s in c lu i­ d a s e n la s fig u ra s 3 -3 6 y 3 -3 7 . C o n s id e r e la j u n t a F , fig u ra 3 -3 9 b . C o m o lo s e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n t r a n e n e l p la n o x ' y ' y F G no e s tá e n e s t e p la n o , F G e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r a ( D e b e s a tis f a ­ c e r s e "LF.• = 0 .) D e l a m is m a m a n e r a , a p a r t i r d e la j u n t a E , f ig u r a 3 -3 9 c . E F e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o , p u e s t o q u e n o se e n c u e n t r a e n e l p l a n o y '- z '. ( D e b e s a tis f a c e r s e E / y = 0 .) V o lv ie n d o a l a j u n t a F , fi­ g u r a 3 -3 9 b , p u e d e o b s e r v a r s e q u e F fd = F p c = 0 p u e s t o q u e F f f = F f c = 0 ,y n o h a y f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú e n s o b r e la ju n ta . U s e e s te p r o c e d im ie n to p a r a d e m o s tr a r q u e A B e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o . E l a n á lis is n u m é r ic o d e fu e r z a s e n la s ju n t a s p u e d e p r o c e d e r a h o r a a a n a liz a r la ju n t a G (F g f = 0 ) p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n G H , G B , G C , D e s p u é s s e a n a liz a la ju n t a H p a r a d e te r m in a r la s f u e r z a s e n H E , H B y H A -,la ju n t a E p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n E A , E D \ la j u n t a zl p a ra d e te r m in a r la s f u e r z a s e n A B . A D y / l r ;la ju n t a B p a ra d e te r m i­ n a r la f u e r z a e n B C y B „ B ¡\ la ju n t a D p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la j u n t a C p a ra d e te r m i n a r C „ C y , C z. 3 -8 PR O B LE M A S 1 2 7 PROBLEM AS •3 -2 8 . D eterm ine las fu erzas e n to d o s los elem en to s d e la arm ad u ra c o m p le ja In d iq u e s i lo s elem en to s e stá n en te n ­ sión o e n com presión . Sugerencia: S ustituya A l ) p o r u n ele­ m ento ubicado e n tre E y C. 3-30. D eterm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to e indique si los e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o e n com presión. P ro h . 3 -3 0 P ro h . 3-28 >-29. D eterm ine las fuerzas e n to d o s lo s e le m e n to s d e la arm ad u ra (com pleja) e n fo rm a d e red. In d iq u e si los ele­ m entos están e n tensió n o e n co m p resió n . Sugerencia: S u sti­ tuya J E por u n e lem en to u b icad o e n tre K y F. 3-31. D eterm in e la fuerza e n to d o s lo s e le m e n to s d e la ar­ m adura c o m p le ja In d iq u e si lo s elem en to s e stá n e n ten sión o e n com presión. P ro h . 3 -3 1 1 2 8 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e *3-32. D eterm ine la fu erza d esarrollada e n c a d a e le ­ m ento de la a rm a d u ra esp acial e indique si lo s e le m e n to s e stán e n te n sió n o e n co m p re sió n . L a c aja tien e u n p e so de 150 Ib. d e t e r m in a d a s 3 -3 4 . D eterm in e la fuerza e n c a d a elem en to d e la a rm a ­ d u ra esp acial e indique si lo s elem en to s e stá n e n te n sió n o en com presión. La a rm a d u ra se so stien e m ed ian te artic u la ­ ciones de ró tu la e n C . D . E y G . Ñola: A p esar d e q u e esta arm ad u ra e s in d eterm in ad a de p rim e r grado, e s posible una solución d eb id o a la sim etría de la c arg a y la geom etría. P ro b .3 -3 2 3 -3 3 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e le m en to d e la arm a ­ d u ra espacial e indique s i lo s elem en to s e stá n e n te n sió n o en com presión. Sugerencia: La reacción d e l so p o rte e n E actúa a lo largo del e le m e n to £ /? .¿ F o r q u é ? 3 -3 5 . D eterm in e la fu erza e n lo s e le m e n to s F E y F.D de la a rm a d u ra esp acial e indique si los e le m e n to s e stá n e n te n ­ sión o e n co m p resió n . La arm ad u ra se sostien e m ed ian te una articulación d e ró tu la e n C y eslabones cortos c n A y B . * 3 -3 6 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en to s G D , G E y F D de la arm ad u ra esp acial e indique si los e le m e n to s están en ten sió n o en com presión. 5 001b 2 001b P roh. 3 -3 3 Probs. 3 -3 5 /3 -3 6 P f O B l EM A S D E P R O V E C TO 3-37. D eterm ine la fu erza e n cada e le m en to d e la arm a ­ d u ra espacial. In d iq u e s i los e lem en to s e stán e n te n sió n o en com presión. 1 29 3-38. D eterm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s B E . B E y B C d e la a rm ad u ra esp acial c in d iq u e si los e le m e n to s e stá n en tensión o e n com presión. 3-39. D eterm in e la fuerza en lo s e le m e n to s C D , F D y C F d e la a rm ad u ra esp acial e in d iq u e si los elem en to s e stá n en tensión o e n com presión. P ro b . 3 -3 7 P robs. 3 -3 8 /3 -3 9 P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O 3-1P. Las arm ad u ras P ratt d e tech o e s tá n esp aciad as uniform em ente a cada 15 pies. l a cu bierta, e l m a te ria l del techo y los larg u ero s tie n e n un peso p ro m e d io d e 5.6 Ib/pie7. E l edificio está situ ad o e n N ueva Y ork, d o n d e la carga d e nieve prevista e s d e 2 0 lb/pic2 y la c arg a d e hielo pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. E stas carg as se p ro d u cen e n el área h o rizo n tal p ro y ectad a d e l tech o . D e te rm in e la fu erza e n cada e lem en to d eb id a a la c arg a m u e rta y a las carg as de la n iev e y el hielo. D esp recie e l p e so d e lo s e le m e n to s d e la arm ad u ra y su p o n g a q u e A e s u n a articulación y q u e F e s u n rodillo. P ro b lem a d e proyecto 3 - 1 P 1 3 0 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s r e p a s o d e l c a p ít u l o L as arm a d u ra s se co m p o n en de e le m e n to s d elgados un id o s e n sus e x tre m a s p a ra fo rm a r una se rie d e triángulos. P ara e l análisis se su p o n e q u e lo s e lem en to s e stá n co n ec­ ta d o s m ediante p asa d o re s y q u e las c arg as se ap lican en las juntas. P o r lo ta n to , lo s e le m e n to s e sta rá n e n te n sió n o en com presión. L as arm a d u ra s p u e d e n clasificarse e n tre s form as: l a s arm aduras sim ples se fo rm an com enzando con u n e le m e n to tria n g u la r in icial.d esp u és se co n ecta a d o s e le m e n to s m ás y u n a ju n ta para a s í fo rm ar u n seg u n d o triángulo, etcétera. L as arm aduras com puestas se fo rm an al c o n e c ta r e n tre s í d o s o m ás a rm a d u ra s sim p les u sa n d o u n a ju n ta c o m ú n y/o u n e le ­ m ento adicional. L as arm aduras com plejas son aquellas q u e n o p u e d e n clasificarse com o sim ples o c o m p u e sta s a rm a d u ra s a r m a d u r a s im p le a r m a d u r a c o m p u e s ta a r m a d u r a c o m p le ja Si e l núm ero d e b a rra s o e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra es b ,se tien en r reacciones y h a y j juntas, e n to n ce s si b + r= 2/. la arm ad u ra e s estáticam en te d eterm in ad a b + r > 2/ la a rm a d u ra e s está tic a m en te in d eterm in ad a R epaso d e l c a p it u l o 1 31 La arm ad u ra será inestable e x te rn a m e n te si las reaccio n es s o n co n cu rren tes o paralelas. I a estabilidad in tern a p u ed e verificarse al c o n ta r e l n ú m ero de b a rra s b . las reaccio n es r y las ju n ta s j. Si b + r < 2j, la a rm a d u ra e s inestable. Si b + r a 2 / b a rm a d u ra a ú n p u ed e s e r inestable, p o r lo q u e e s necesario inspeccionarla y b u sc ar arre g lo s d e b a rra s q u e form en un m ecanism o p aralelo , sin fo rm ar u n e le m en to trian g u lar. in c s ia b le - r e a c c io n e s p a ra le la s in e s ta b le in te r n a m e n te l a s arm ad u ras p lan as p u e d e n an alizarse p o r el m étodo d t lo s nu d o s. E sto se hace seleccionando c a d a ju n ta e n secu cn cia.d e m odo q u e ten g a com o m áx im o u n a fuerza c o ­ nocida y a l m enos d o s incógnitas. S e co n stru y e el diagram a d e c u e rp o libre de c a d a ju n ta y se escrib en y re­ suelven d o s ecuacio n es d e e q u ilib rio d e fuerzas, E F , = 0 y E F , = 0, a fin d e d e te rm in a r las fu erzas d e elem en to desconocidas. E n e l m éto d o d e las seccio n es e s necesario p a sa r una sección a trav és d e la a rm ad u ra y después d ibujar u n d ia ­ gram a de c u e rp o libre d e u n a de sus p a rte s seccionadas. D espués se d e te rm in a n las fu erzas d e elem en to c o rta d a s p o r la sección a p a rtir d e las tre s ecu acio n es d e equilibrio. N orm alm ente p u ed e en co n tra rse u n a so la incógnita si se sum an los m o m en to s resp ecto a u n p u n to q u e elim ine las otras d o s fuerzas. l a s arm a d u ra s co m p u estas y co m p lejas ta m b ié n p u ccfcn analizarse p o r e l m é to d o de lo s n o d o s y el m éto d o de las secciones. P ara o b te n e r u n a solución d ire c ta d e la fuerza en un e lem e n to p a rtic u la r d e u n a a rm a d u ra c o m ­ pleja p u ed e em plearse e l "m é to d o d e los e le m e n to s su sti­ tutos” . Las vigas y tr a b e s sim p le m e n te a p o y a d a s q u e fo rm an la e stru c tu ra d e e s te edificio fu ero n d is e ñ a d a s p a ra resistir la fu erza c o rta n te y el m o m e n to in tern o s q u e actú a n e n to d a s u lo n g itu d Cargas internas desarrolladas en elementos estructurales A n te s d e d e t e r m in a r la s p r o p o r c io n e s d e u n e le m e n to e s tr u c tu r a l, es n e c e s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n t o q u e a c tú a n e n s u in te r io r . En e s te c a p ít u lo s e d e s a rro lla rá n lo s m é to d o s p a ra h a lla r e s ta s c a rg a s en p u n to s e s p e c ífic o s a lo la rg o d e l e je d e u n e le m e n to , y p a ra m o s tr a r g r á fic a m e n te la v a ria c ió n u tiliz a n d o lo s d ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to . Se p re s e n ta rá n a p lic a c io n e s t a n to p a ra v ig a s c o m o p a ra m a rc o s . 4 .1 C a rg a s in te rn a s en u n p u n to e s p e c ífic o C ó m o s e e s t u d ió e n la se c c ió n 2 -3 , la c a rg a in t e r n a e n u n p u n t o e s p e c í­ fico d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m i n a r s e a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c ­ c io n e s . E n g e n e r a l , e s t a c a r g a p a r a u n a e s t r u c tu r a c o p l a n a r c o n s is tir á e n u n a f u e r z a n o r m a l N . u n a f u e r z a c o r t a n te V y u n m o m e n to fle x io n a n te M * S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e s ta s c a r g a s r e p r e s e n ta n e n r e a l id a d la s re s u lta n te s efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a s o b r e e l á r e a tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to e n la s e c c ió n c o r t a d a . U n a v e z q u e s e c o ­ n o c e n la s c a rg a s in te r n a s r e s u lta n te s , la m a g n itu d d e l e s f u e r z o p u e d e d e ­ te r m in a r s e s ie m p r e q u e se s u p o n g a u n a d is tr ib u c ió n d e e s f u e r z o s s o b r e e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l e s p e c ífic a . • L o s m a r c o s trid im e n s io n a le s t a m b ié n p u e d e e s t a r s o m e tid o s a u n m o m e n to d e t o n i ó n , q u e t ie n d e a d o b la r e l e le m e n to r e s p e c to d e s u eje . 134 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s C o n v e n c ió n d e s ig n o s . A n te s d e p r e s e n t a r u n m é to d o p a r a e n ­ c o n tr a r la f u e r z a in t e r n a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to fle x io n a n te . e s n e c e s a r io e s ta b le c e r u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a d e f in ir su s v a lo r e s “ p o s itiv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n l a e le c c ió n e s a r b i tr a r ia , la c o n ­ v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e a d o p t a r á a q u í h a s id o a m p lia m e n te a c e p ta d a e n la p r á c tic a d e l a in g e n ie r ía e s t r u c tu r a l y s e ilu s tr a e n la fig u ra 4 - l a . E n la c a ra iz q u ie r d a d e l e le m e n to c o r ta d o , la f u e r z a n o r m a l N a c tú a h a c ia la d e r e c h a , la f u e r z a c o r t a n t e in t e r n a V a c tú a h a c ia a b a jo y e l m o m e n to M a c tú a e n s e n tid o in v e r s o a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j ( a n t ih o r a r io ) . D e a c u e r d o c o n la te r c e r a le y d e N e w to n . u n a f u e r z a n o rm a l, u n a f u e r z a c o r ­ ta n t e y u n m o m e n to f le x io n a n te ig u a le s p e r o o p u e s t o s , d e b e n a c t u a r e n la c a r a d e r e c h a d e l e l e m e n t o e n la s e c c ió n . Q u iz á s u n a m a n e r a fá c il d e r e c o r d a r e s ta c o n v e n c ió n d e s ig n o s s e a a is la r u n p e q u e ñ o s e g m e n to d e l e le m e n to y r e c o r d a r q u e u n a fu e r z a n o r m a l p o s itiv a tie n d e a a la r g a r e l s e g m e n to , f ig u r a 4-l¿>; q u e u n a fu e r z a c o r ta n te p o s itiv a tie n d e a h a c e r g ir a r e l s e g m e n to e n e l s e n tid o d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j (h o r a r io ) , fig u ra 4 - l e , y q u e u n m o m e n t o fl e x io n a n t e p o s itiv o tie n d e a d o b la r e l s e g m e n to e n f o r m a c ó n c a v a h a c ia a r r ib a ,a m a n e r a d e u n “ r e c ip ie n te p a r a a g u a ," fi­ g u r a 4 -1 d. I <c> M M ( ) (d ) fig u ra 4 -1 •Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una conven­ ción de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x). 4.1 C a r g a s in ter n a s e n u n p u n t o e s p e c Ie i c o P ro c e d im ie n to d e a n á lisis E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m e d io d e a p li c a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a d e te r m i n a r la f u e r z a n o r m a l in te r n a , la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to f le x io n a n te e n u n a u b ic a c ió n e s p e c íf ic a d e u n e l e m e n t o e s tr u c tu r a l. R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s • A n te s d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r e l e le m e n to , p u e d e s e r n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s r e a c c i o ­ n e s e n s u s s o p o r te s d e m o d o q u e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o s e u tilic e n p a r a r e ­ s o lv e r la s c a rg a s in te rn a s c u a n d o s e s e c c io n e e l e le m e n to . • Si e l e l e m e n t o e s p a r t e d e u n a e s t r u c tu r a a r tic u la d a , la s r e a c c io n e s e n la s a r tic u la c io ­ n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 2.5. D ia g r a m a d e c u e r p o lib re • M a n te n g a to d a s la s c a r g a s d is tr ib u id a s . lo s m o m e n to s d e p a r , y la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e e l e le m e n to e n s u u b ic a c ió n exacta', d e s p u é s p a s e u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e l e le m e n to , q u e s e a p e r p e n d i c u la r a s u e je e n e l p u n t o d o n d e s e d e s e a d e t e r ­ m in a r l a c a r g a in te rn a . • D e s p u é s d e h a c e r la s e c c ió n , d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l s e g m e n to s o b r e el q u e a c tú e e l m e n o r n ú m e r o d e c a rg a s . E n la s e c c ió n , in d iq u e la s in c ó g n ita s r e s u lta n te s Ñ , V y M d e m o d o q u e a c tú e n e n s u s e n t i d o p o s itiv o (f ig u ra 4 - l a ) . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io • L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e e n la se c c ió n r e s p e c to a lo s e je s q u e p a s a n a tr a v é s d e l c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to , c o n e l f i n d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s N y V .p a r a a s í o b t e n e r u n a s o lu c ió n d i r e c t a d e M . • Si la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e s u n a c a n ti d a d c o n m a g n itu d n e g a tiv a , e l s e n t id o d ir e c c io n a l s u p u e s to d e la c a n tid a d e s o p u e s to a l q u e s e m u e s tr a e n e l d i a ­ g ra m a d e c u e r p o lib re . 1 3 6 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .1 E l te c h o d e l e d if ic io q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía ti e n e u n p e s o d e 1.8 k N /m 2 y s e s o s t i e n e s o b r e v ig a s s i m p l e m e n t e a p o y a d a s d e 8 m d e l a r g o .e n tr e las c u a le s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 1 m .C a d a v ig a , q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -2 b , tr a n s m i te s u c a r g a a d o s tr a b e s , u b ic a d a s e n la p a r t e d e l a n t e r a y tr a s e r a d e l e d ific io . D e te r m in e la f u e r / a c o r ta n te y e l m o m e n to in t e r n o s d e la v ig a f r o n ta l e n e l p u n t o C .f ig u r a 4 -2 a . N o to m e e n c u e n ta e l p e s o d e lo s e le m e n to s . 3 .6 k N 1 2 kN ^ 1 2 k N -^ ^ = ■12 k N 3 . 6 kN S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . L a c a rg a d e l te c h o s e tr a n s m ite a c a d a v ig a c o m o u n a lo s a d e u n s o l o s e n tid o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2 ). I\> r lo ta n t o , la c a r g a tr i b u t a r i a e n c a d a v ig a in t e r i o r e s (1 .8 k N / m 2) (1 m ) - 1.8 k N / m . ( L a s d o s v ig a s d e l b o r d e s o p o r ta n 0 .9 k N / m .) D e la f ig u r a 4-2¿>. la r e a c c ió n d e c a d a v ig a in t e r i o r s o b r e la t r a b e e s (1 .8 k N / m ) ( 8 m ) / 2 = 7 .2 kN . 1.8 k N /m v ig a - I I I I I I 1I I I 0.5 m 3 .6 k N 1 2 kN ^1 2 )M 0 .5 m 7 m tra b e t T 7 .2 kN 7 .2 k N (b ) D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 4 - 2 a s e m u e s tra e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a . T e n g a e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e c a d a c o lu m n a e s [{ 2 (3 .6 k N ) + 1 1 (7 .2 k N ) [ / 2 = 4 3 .2 k N E l d ia g r a m a d e c u e ip o lib r e d e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la tr a b e se m u e s tr a e n la fig u ra 4 -2 c . A q u í s e s u p o n e q u e la s c a rg a s in te r n a s a c tú a n e n s u s e n tid o p o s itiv o . (c) Figura 4 -2 E c u a c io n e s d e e q u ilib r io + Í2 F , 0; 4 3 .2 - 3 .6 - 2 (7 .2 ) - V c = 0 M c + 7 .2 (0 .4 ) + 7 .2 (1 .4 ) + 3 .6 (2 .4 ) - 4 3 .2 (1 .2 ) = 0 V c = 2 5 .2 k N R e sp . M c = 30.2 k N • m R esp . 4.1 C a r g a s in ter n a s e n u n p u n t o espec ífic o 137 D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to in te r n o s q u e a c tú a n e n u n a se c c ió n q u e p a s a p o r e l p u n t o C de la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fi­ g u r a 4 -3 a . 27 k i L 4 Figura 4 -3 S O L U C IÓ N R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . A l s u s tit u ir la c a r g a d is tr ib u id a p o r s u f u e r z a r e s u lta n t e y c a lc u la r la s re a c c io n e s , s e o b t i e n e n lo s r e s u lta ­ d o s q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 4 -3 6 . D i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e . S e c o n s id e r a r á e l s e g m e n to A C p u e s to q u e p r o d u c e la s o lu c ió n m á s s e n c ifla , f ig u r a 4 -3 c . L a in t e n s i d a d d e la c a rg a d is tr ib u id a e n C se c a lc u la p o r p r o p o r c ió n , e s d e c ir . w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) ( 3 k / p i e ) = 1 k /p i e E c u a c io n e s d e e q u i l i b r i o . + f2 F y = 0 . 5 ,+ S M c = 0 . 9 - 3 - Vc = 0 - 9 ( 6 ) + 3 (2 ) + M c = 0 Vc - 6 k R esp . M c = 4 8 k - p ie R esp . L s te p r o b le m a ilu s tr a la im p o r ta n c ia d e m a n te n e r la c a r g a d is tr ib u id a s o b r e la v ig a h a s t a d e s p u é s d e s e c c io n a ría . S i la v ig a d e la fig u ra 4 -3 6 se s e c c io n a r a e n C .e l e f e c t o d e la c a r g a d is tr ib u id a s o b r e e l s e g ­ m e n to A C n o se r e c o n o c e r ía .y e l r e s u lta d o V c = 9 k y M c = 54 k • p ie s e r ta e r r ó n e o . 3 |k 1 3 8 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .3 E l p a n e l d e p is o D E s o p o r ta la f u e r z a d e 9 k q u e s e m u e s tr a e n la fi­ g u r a 4 - 4 u ,e l c u a l a s u v ez e s t á s im p le m e n te a p o y a d o e n s u s e x tr e m o s p o r v ig a s d e p is o . E s ta s v ig a s tr a n s m ite n s u s c a r g a s a la t r a b e s im p le ­ m e n te a p o y a d a A B . D e te r m in e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to i n t e r ­ n o s q u e a c tú a n e n e l p u n t o C d e la tr a b e . F ig u ra 4 -4 9k 6 k 6k 3 k J_c, -i| 12 p ie s - | • p ie s — j 2 4 p ie s - 5.25 k 3.75 k 3 12 P * ' 'p i e s ", - Ve 3.75 k (c) (b) S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o rte s , fin la fig u ra 4-4¿> se m u e s tr a n e l e q u iS b rio d e l p a n e l d e p is o , la s v ig a s d e p is o y la tr a b e . S e r e c o m ie n d a v e ­ rific a r e s t o s r e s u lta d o s . D ia g ra m a d e c u e r p o lib re . S e u tiliz a e l d ia g r a m a d e c u e rp o lib r e d e l s e g m e n to -4 C p o r q u e c o n d u c e a la s o lu c ió n m á s s e n c illa , fig u ra 4 -4 c . T e n g a e n c u e n ta q u e A C n o s o p o r ta c a r g a s s o b r e la s v ig a s d e p iso . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . + f 2 F y = 0; S,+ £ M C = 0 ; 3 .7 5 - 6 - V c = 0 -3 .7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0 V c = - 2 .2 5 k M c = 3 8 .2 5 k - p ie R esp . Resp. 4 .2 4 .2 1 3 9 Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o F u n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to E l d is e ñ o d e u n a v ig a r e q u i e r e u n c o n o c im ie n to d e ta l la d o d e la s va ria ­ c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te V y e l m o m e n to M in te rn o s q u e a c tú a n e n c a d a p u n t o a lo la rg o d e l e j e d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l, la f u e r z a n o rm a l in t e r n a n o s e c o n s i d e r a p o r d o s ra z o n e s : (1 ) e n la m a y o r ía d e lo s c a s o s la s c a rg a s a p lic a d a s a u n a v ig a a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je y, p o r lo ta n t o ,s ó l o p r o d u c e n u n a f u e r z a in t e r n a c o r t a n te y u n m o m e n to fle x io n a n te ;( 2 ) y p a r a fin e s d e d is e ñ o , la re s is te n c ia a la f u e r z a c o r t a n te d e la viga y, e n p a r tic u la r , a la fle x ió n , e s m á s im p o r ta n te q u e s u c a p a c id a d p a ra r e s is t ir la f u e r z a n o rm a l. S in e m b a r g o , h a y u n a e x c e p c ió n im p o r ­ ta n t e a e s t o c u a n d o la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a f u e r z a s a x ia le s d e c o m ­ p re s ió n , p u e s t o q u e d e b e n in v e s tig a rs e e l p a n d e o o la in e s ta b ilid a d q u e p u d ie r a n o c u r r ir . L a s v a r ia c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x d e u n p u n to a r b i ­ tr a rio a lo la r g o d e l e je d e la v ig a p u e d e n o b te n e r s e m e d ia n te e l m é to d o d e la s s e c c io n e s a n a li z a d o e n la se c c ió n 4 -1 . S in e m b a r g o , a q u í e s n e c e s a ­ rio lo c a liz a r la s e c c ió n im a g in a r ia o c o r t a r a u n a d is ta n c ia a r b i t r a r i a x d e s d e u n e x tr e m o d e la v ig a e n v e z d e e n u n p u n t o e sp e c ífic o . E n g e n e r a l , la s f u n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n t e y d e l m o m e n to in te r n o s s e r á n d is c o n tin u a s , o s u p e n d ie n t e s e r á d is c o n tin u a , e n lo s p u n to s d o n d e d tip o o l a m a g n itu d d e la c a r g a d is tr ib u id a c a m b i a , o b ie n d o n d e s e a p li­ q u e n la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s o lo s m o m e n to s d e p a r. D e b id o a e s to , la s fu n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te y d e l m o m e n to d e b e n d e te r m i n a r s e p a ra c a d a re g ió n d e la v ig a lo c a liz a d a e n tr e c u a lq u ie ra d e la s d o s d is c o n tin u i­ d a d e s d e c a rg a . P b r e je m p lo , la s c o o r d e n a d a s .ti, * 2 y xy d e b e r á n u s a rs e p a ra d e s c r ib ir la v a ria c ió n d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e l a v ig a e n la fi­ g u r a 4-5a . E s ta s c o o r d e n a d a s s e r á n v á lid a s s ó l o d e n t r o d e la s r e g io n e s d e s d e A h a s ta B p a r a x , . d e B a C p a r a x 2. y d e C a D p a r a x 3. A u n q u e c a d a u n a d e e s t a s c o o r d e n a d a s ti e n e e l m ism o o r ig e n , c o m o s e h a s e ñ a ­ la d o a q u í, é s t e n o ti e n e p o r q u é s e r e l c a so . D e h e c h o , p u e d e s e r m á s fá c il d e s a r r o ll a r las f u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to , e m p l e a n d o las c o o r d e n a d a s X |,x 2,x 3 q u e ti e n e n o ríg e n e s e n A , B y D c o m o s e m u e s ­ tr a e n la fig u ra 4-5/>. A q u í x i y x 2 s o n p o s itiv a s h a d a la d e r e c h a y x ¡ e s p o ­ s itiv a h a d a la iz q u ie rd a . i w D E l r e f u e r z o a d i c i o n a l q u e p r o p o r c i o n a n la s p l a c a s v e r tic a le s lla m a d a s c o s ti lla s s e u tiliz a e n l o s s o p o r t e s a r tic u la d » » y d e o s c il a d o r e n e s ta s t r a b e s d e p u e n t e . A q u í , la s r e a c c io n e s c a u s a r á n g r a n d e s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s t r a b e s y lo s r e f u e r z o s e v i t a r á n p a n d e o s lo c a ­ liz a d o s e n la s a la s o e l a l m a d e la t r a b e . A d e m á s , t e n g a e n c u e n t a l a in c lin a c i ó n d e l s o p o r t e d e o s c i l a d o r c a u s a d a p o r la e x p a n ­ s ió n t é r m i c a d e la c u b i e r t a d e l p u e n te . n i %»_ D C _ — x, (b ) (a) F ig u ra 4 - 5 1 4 0 C 4 a p i t u l o C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s P ro c e d im ie n to de a n á lis is E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é t o d o p a r a d e te r m i n a r la v a ria c ió n d e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to e n u n a v ig a e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x. R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s • D e te rm in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a y d e s c o m p o n g a to d a s la s fu e r z a s e x te r n a s e n s u s c o m p o n e n t e s q u e a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r y p a r a l e la a l e je d e la v ig a . F u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o • E s p e c if iq u e p o r s e p a r a d o la s c o o r d e n a d a s x y s u s o ríg e n e s a s o c ia d o s , e x te n d ié n d o s e a las re g io n e s d e la v ig a e n t r e la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y / o m o m e n to s d e p a r . o d o n d e h a y a u n a d is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a . • S e c c io n e la v ig a e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je a c a d a d is ta n c i a x , y c o n b a s e e n el d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n o d e lo s s e g m e n to s d e te r m i n e las in c ó g n ita s V y M en la s e c c ió n c o r t a d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g r a m a d e c u e r p o li b r e , V y M d e b e n m o s ­ tr a rs e a c tu a n d o e n s u s d ir e c c io n e s p o s itiv a s , d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e sig n o s d a d a e n la f ig u r a 4-1. • V se o b ti e n e d e l.F y = 0 y M se o b ti e n e a l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n t o 5 u b ic a d o e n la s e c c ió n c o r t a d a , 'L M s = 0 . • L o s r e s u lta d o s p u e d e n c o m p r o b a r s e o b s e r v a n d o q u e d M / d x - V y q u e d V I d x = w , d o n d e w e s p o s itiv a c u a n d o a c t ú a h a c ia a r r ib a , a le já n d o s e d e l a v ig a . E s ta s re la c io n e s se d e s a r r o ll a n e n la s e c c ió n 4-3. I^as v ig u e ta s , v ig a s y t r a b e s q u e s e u s a n p a r a s o s t e n e r e s t e p is o p u e d e n d i s e ñ a r s e u n a v e z q u e s e c o n o c e n la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e n t o d a s u lo n g itu d . 4 .2 F u n c io n e s d e 141 fu erza c o r t a n t e y d e m o m e n t o EJEM PLO P a ra la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 - 6 a .d e t e r m in e l a f u e r z a c o r ­ ta n te y e l m o m e n to c o m o u n a fu n c ió n d e *. 2 k /p * c ^ ttttttTí TTT[] l F igura 4 -6 S O L U C IÓ N R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . C o n e l fin d e c a lc u la r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . la c a rg a d is tr ib u id a s e s u s titu y e p o r s u f u e r z a r e s u l­ ta n te d e 3 0 k . fig u ra 4-6¿>. S in e m b a r g o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e e s ta r e s u lta n t e n o e s la c a r g a r e a l e n la viga. 30 k 30 k íte: 6 0 0 k • p ie 2 0 p ies (b ) F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a fig u ra 4 -6 c se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to d e v ig a c o n l o n ­ g itu d x . T e n g a e n c u e n ta q u e la in t e n s i d a d d e la c a r g a tr ia n g u l a r e n la se c c ió n s e e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; e s d e c i r , w / x = 2 /3 0 o w = * / 1 5 . C o n la in te n s id a d d e c a r g a c o n o c id a , la r e s u lta n t e d e la c a r g a d is tr i­ b u id a se e n c u e n t r a d e la m a n e r a u s u a l c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra . R>r lo ta n to . + TSFV= 0 ; 30 -K s> - 0 h ?5 > ‘ V = 3 0 — 0 .0 3 3 3 * 2 {,+ l M s = 0 ; 600 - 30* + M - — K é>] - 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3 O b s e rv e q u e d M / d x = V y q u e d V / d x = - * /1 5 c o m o u n a v e rific a c ió n d e lo s r e s u lta d o s . R e sp . o 30k t HH 600 k -p ie R esp . w , lo c u a l s irv e (c) f 1 4 2 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s E JE M P L O P a r a la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 -7 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­ ta n t e y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e x . 60 k 4| t| . , 1 4k/pie1 . , l l l i l l i l i l ! 108 k 1 ti ■Jf 1 — *3-11 M H — — M ' i 1588 k pá« — -« .— I -T (a) (c) 48 k 60 k 108 k r t— ¡“ 14 p ie s 1588 k - p i e |— 6 p i e s ■ tb) Figura 4 -7 S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . l a s r e a c c io n e s e n e l s o p o r te fijo s o n V = 108 K y M - 1588 k . p e . fig u ra 4 -7 b . F u n c io n e s d e fu e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to . D a d o q u e h a y u n a d is c o n tin u id a d d e la c a r g a d is tr ib u id a e n x ■ 12 p ie s , d e b e n c o n s id e ­ r a r s e d o s re g io n e s d e x c o n e l f i n d e d e s c r ib ir la s f u n c io n e s d e c o r ta n te y d e m o m e n to p a r a to d a la v ig a . A q u í x \ e s a p r o p i a d o p a r a lo s 12 p ie s d e la iz q u ie r d a y x 2 p u e d e u s a r s e p a r a e l s e g m e n to re s ta n te . 0 s x 12 p ie s . O b s e r v e q u e V y M s e m u e s tr a n e n la d ir e c c ió n p o s i­ tiv a . fig u ra 4 -7 c . + 12F y - 0; 5 ,+ 2 A /* = 0 ; 108 - 4 x , 1588 - V = 0. V = 108 - 4 x , 108*, + 4 x , ( y ) R esp . + M = 0 M = - 1 5 8 8 + 108*, - 2 x \ R esp . 12 p ie s s x 2 s 2 0 p ie s , f ig u r a 4 -7d . + t Y .F y = 0 ; 108 - 4 8 - í + Z M s = 0; 1588 - V = 0, V = 60 R esp . 108*2 + 4 8 ( * 2 - 6 ) + M = 0 M = 6Q *2 - 1300 R esp . E s to s re s u lta d o s p u e d e n v e rific a rs e e n f o r m a p a rc ia l s i s e ti e n e e n c u e n ta q u e c u a n d o x 2 = 2 0 p ies, e n to n c e s l ' = 6 0 k y A Í = - 1 0 0 k . p ie. A d e m á s .o b s e r v e q u e d M / d x = V y d V / d x = w . 4 .2 Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 3 P a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -8 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­ ta n te y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e * . 30 k N /m 9 0 kN 9 0 I N F ig u ra 4 -8 ft> ) S O L U C IÓ N R e a ccio n e s e n lo s s o p o r t e s . P a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s , la c a r g a d is tr i b u id a se d iv i d e e n u n a c a r g a tr ia n g u l a r y u n a r e c ta n g u la r , a la s c u a le s lu e g o r e e m p la z a n s u s fu e r z a s r e s u lta n te s . E s ta s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -8 6 . F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a f ig u r a 4 -8 c se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la s e c c ió n c o r t a d a . C o m o e n e l c a s o a n te r io r , la c a rg a tr a p e z o id a l se s u s titu y e p o r u n a d is tr i b u ­ c ió n r e c ta n g u la r y u n a tr ia n g u la r. O b s e r v e q u e la in te n s id a d d e la c arg a tr ia n g u la r e n e l c o r t e se e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; a d e m á s , la fu e rz a r e s u lta n te d e c a d a c a r g a d is tr ib u id a y s u u b ic a c ió n e s tá n in d ic a d a s . A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se t i e n e 10* |( 2 0 K - J ) r N/« ~ \{ r J ir i 1 = 0; 7 5 — 10* — X i> ] V = 75 5 ,+ 2 M 5 = 0 ; -7 5 * + - V = o 75 kN (c) R esp . 10* - 1 .1 1 * 2 5 ( 2 0 ) l ? |* M = 7 5 * - 5 * 2 - 0 .3 7 0 * 3 - + M = 0 R esp . 10 k N /m 1 4 4 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s PROBLEM AS FU N D AM EN TALES F 4 - L D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el m om ento flexionante in te rn o s q u e actú a n en el p u n to C de la viga. 1 4 -4 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en el p u n to C de la viga. 10 kN 300 Ib/pie 20kN m T T T T T m T m T ^ ( 2m [—1.5 pies—|—1.5 pies- 3 pies F 4-1 F 4-4 1 4 -2 . D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de la viga. F 4 -5 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de la viga. 8 kN/m F4-3. D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y e l m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C d e la viga. F 4-6. D eterm in e la fu erza n orm al, la fu erza c o rta n te y el m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de la viga. 4 .2 F 4 -7 . P ara la viga m o strad a, d ete rm in e la fu erza c o rta n te y el m om ento in tern o s e n función d e x. 145 Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o 14 -10 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m om ento in ternos e n fu n ció n d e x a lo largo de la viga. 2 0 kN F 4-10 F 4 -8 . Para la viga m o stra d a , d ete rm in e la fu e rz a c o rta n te y e l m o m en to in tern o s e n función d e x . F 4 -1 1. D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m om ento internos e n función de x a lo largo de la viga. 12 k N /m 15 k N 5 k N /m ^ rr r n T n T * £ . - 1 ------------f i m ---------------------------F 4-8 F4-11 F 4 -9 . D eterm ine la fu erza c o rta n te y el m o m en to in ternos e n función d e x a lo largo de la viga. 14 -1 2 . D eterm in e la fuerza c o rta n te y e l m om ento in ter­ nos e n fu n ció n d e x a lo largo d e la viga. F 4-9 14-12 1 4 6 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s PROBLEM AS 4 -1 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la viga. S uponga q u e el so p o rte e n A es una articu lació n y en B e s un rodillo. 4 -3 . E l ag u iló n Í ) F y la colu m n a D E de la g rú a tie n e n un peso u n ifo rm e d e 5 0 lb /p ie. S i e l g an ch o y la c a rg a p e sa n 300 libras, d ete rm in e la fuerza n o rm al, la fu e rz a c o rta n te y el m o m en to flex io n an te in te rn o s e n lo s p u n to s A , B y C de la grúa. 6kN 20kN m A - h T T J C I m - -1 m 2m 2m P ro b .4 -1 P r o b .4 - 3 4 -2 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la viga. S u ponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. E l p u n to D está u b icad o ju s to a la d erech a d e la c arg a d e 10 k. *4-4. E x te rm in e la fu erza n orm al, la fu erza co rta n te y el m om ento flexionante intern o s e n e l p u n to O . C o n sid ere q u e h = 150 N /m . 10 k 25 k -p ie 25 k -p ie (A n 10 p i e s — — ■10 p ie s — - -* — 10 p i e s — -j P ro h .4 -2 4 -5 . La viga A B fallará si e l m o m en to in tern o m áx im o en D alcanza 800 N • m o si la fu erza n o rm a l e n e l e le m e n to B C llega a 1500 N . D eterm in e la c arg a h- m ás g ra n d e q u e p u ed e soportar. 4 .2 4 - 6 . D e t e r m i n e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n l o s p u n t o s C y D d e la vig a. S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y q u e t í e s Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o 147 4 -9 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C <fc la v ig a . F.l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y B e s u n a a r tic u la c ió n . u n a a r tic u la c ió n . 5kN 4 -7 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el m o m e n t o f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e 4 - 1 0 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el m o m e n to f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s . la s r e a c c io n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s . 1.5kN A n P ro b .4 - 7 • 4 - 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to fle x io n a n te in te rn o s e n e l p u n to C . S u p o n g a q u e la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s . 1.5 k N /m 4 - 1 1 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el m o m e n to f l e x i o n a n te i n te r n o s e n lo s p u n t o s C y D . S u p o n g a q u e la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s . 1 4 8 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s *4-12. D eterm ine la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo largo d e la viga e n función d e x . en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s I ^ te r m in e la f u e r a c o rta n te y e l m om ento a lo largo d e la v ig a e n función d e x. 4 -1 5 . P 12 k N *m ---------------------------------- L ------4 P ro b . 4 -1 2 P ro b . 4 -1 5 4 -1 3 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to e n la viga d e piso e n fu nción d e ¿ .S u p o n g a q u e e l so p o rte e n A e s una articulación y q u e B es u n rodillo. D eterm in e la f u e r a c o rta n te y e l m o m en to a lo largo d e la v ig a e n función d e x. * 4 -1 6 . 6kN i íin 11iH P ro b . 4 -1 6 D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo largo d e la viga e n función d e x. 4 -1 4 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m om ento a lo largo d e la v ig a e n función d e x. 4 -1 7 . 8 kN b — M o P rob. 4 -1 4 1 8 kN 4 .2 4 -1 8 . D eterm ine la fu erza c o rta n te y e l m o m en to a lo largo d e la viga e n función d e x. 10 k 4 -2 1 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la viga e n fu n ció n d e x. 8k I 1 1 4 9 Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 r 2 0 0 I b / p ie 4 0 k p ie 12001b •]--------- 4 p i e s ----------- - — 6 p ie s P roh. 4 -1 8 8001b P roh. 4 -2 1 4 -1 9 . D eterm ine la fu e rz a c o rta n te y e l m o m en to a lo largo d e la viga e n función d e x. 2501b 2501b 1 5 0 1 b / p ie ______________ : 1 I. t1 . fe i - -— 4 pie: i ------ ----------- 6 p ie s ----------- — 4 -2 2 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m o m en to a lo largo d e la viga ahu sad a e n función d e x. ------------------ 4 p .e s — P roh. 4 -1 9 *4-20. D eterm ine la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la viga e n función d e x P roh. 4 -2 0 P roh. 4 -2 2 1 5 0 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s 4 .3 L a s v a r ia s c a r g a s c o n c e n t r a d a s q u e a c t ú a n 4 s o b r e e s t a v ig a d e c o n c r e t o r e f o r z a d o c r e a n u n a v a r ia c ió n d e l a c a r g a i n t e r n a e n la v ig a . rt>r e s t a r a z ó n , e s n e c e s a r io e l a b o r a r d i a g r a ­ m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o flc x i o n a n t c c o n e l f in d e d i s e ñ a r c o r r e c t a m e n t e l a v ig a . d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s D ia g ra m a s d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to p a ra u n a v ig a A l r e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te las v a ria c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e x q u e s e o b tu v i e r o n e n la s e c c ió n 4 .2 , la s g rá fic a s r e s u lta n t e s s e d e n o m i n a n d ia g r a m a d e f u e r z a c o r la n te y d ia g r a m a d e m o m e n t o , re s p e c tiv a m e n te . E n lo s c a s o s d o n d e u n a v ig a e s tá s o m e ti d a a va ria s fu e r z a s c o n c e n tra d a s , p a r e s y c a rg a s d is tr ib u id a s , la g r a f ic a c ió n d e V y M e n c o m p a r a c ió n c o n x p u e d e s e r b a s t a n te te d i o s a p u e s t o q u e d e b e n r e p r e s e n ta r s e v a ria s fu n c io ­ n e s. E n e s t a se c c ió n s e a n a liz a u n m é to d o m á s s im p le p a r a la c o n s tru c c ió n d e e s to s d ia g r a m a s ; u n m é to d o b a s a d o e n las re la c io n e s d if e re n c ia le s q u e e x is te n e n t r e la c a r g a , la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to . P a ra o b t e n e r e s ta s r e la c io n e s ,c o n s id e r e la v ig a A D d e la fig u ra 4 - 9 a ,la c u a l e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a a r b i tr a r ia d is tr i b u id a w = w ( x ) y a u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y p a re s . E n e l s ig u ie n te a n á lis is , la ca rg a d is tr ib u id a s e c o n sid e ra rá p o s itiv a c u a n d o a c tú e h a c ia a r r ib a c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra . S e c o n s id e r a r á e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re p a r a u n p e q u e ñ o s e g m e n to d e la v ig a c o n lo n g itu d A * , fig u ra 4-9¿>. C o m o e s te s e g m e n to s e e lig ió e n u n p u n t o x a lo la r g o d e la v ig a q u e n o e s tá s o m e ­ tid o a u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a o a u n p a r , lo s re s u lta d o s o b te n i d o s n o s o n a p lic a b le s e n lo s p u n to s c o n c a r g a c o n c e n t r a d a . S e s u p o n e q u e la f u e r z a c o r ta n te y e l m o m e n to f le x io n a n te in t e r n o s q u e s e m u e s tr a n e n e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s i ti v a (te a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e s ig n o s e s ta b le c id a , fig u ra 4 -1 . T e n g a e n c u e n ta q u e ta n t o la f u e r z a c o r t a n te c o m o e l m o m e n to q u e a c tú a n s o b r e la c a r a d e r e c h a d e b e n a u m e n t a r e n u n a c a n ti d a d p e q u e ñ a y f in ita c o n e l fin d e m a n t e n e r al s e g m e n to e n e q u ilib r io . L a c a r g a d is tr ib u id a s e r e e m p la z ó p o r u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a w-(.r)Ax; q u e a c t ú a a u n a d is ta n c i a fr a c c io n a ! e (A r) d e s d e e l e x tr e m o d e r e c h o , d o n d e 0 < c < 1. ( P o r e je m p lo , s i \v (x ) e s u n i ­ fo r m e o c o n s t a n te , e n to n c e s w ( x )A r a c tu a rá e n j A t . a s í q u e e = j . ) A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se ti e n e + 1 = 0; V + w(x) Ax - {V + AV) = 0 AV = w (x )A r 5,+ Z M o = 0 ; -V C x x - M - w { x ) A * « (A * ) + ( M + A M ) = 0 AAf = V t s x + w { x ) e ( A x f » '(x )A x — «(ÓX) M AM t U LJ F ig u ra 4 - 9 (b) M+ V + AV 4 .3 D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a Si s e d iv id e e n t r e A * y s e to m a e l lím ite c u a n d o At - * 0 , e s t a s e c u a c io n e s s e c o n v ie r te n e n dV — = w(x) (4 - 1 ) P e n d ie n te d e l d ia g r a m a 1 í I n t e a s id a d d e la d e fu e rz a c o rta n te / \ c a rg a d is tr ib u id a dM dx (4 - 2 ) P e n d ie n te d e l d i a g r a m a ] > = { F u e rz a c o r ta n te d e m o m e n to J C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c i ó n 4-1 e s ta b le c e q u e la p e n d ie n te d e l d ia ­ g ra m a d e f u e r z a c o rta n te en u n p u n to ( d V /d x ) e s ig u a l a la in te n s id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a w ( x ) e n e se p u n t o . D e l m is m o m o d o , la e c u a c ió n . 2 .4 e s ta b le c e q u e ¡a p e n d ie n te d e ! d ia g r a m a d e m o m e n t o ( d M /d x ) es ig u a l a la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n ese p u n to . L a s e c u a c io n e s 4-1 y 4 -2 p u e d e n " i n te g r a r s e " d e s d e u n p u n t o h a s t a e l o t r o e n t r e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s o p a r e s ( p o r e je m p lo , d e B a C e n la f i ­ g u ra 4 -9 a ) . e n c u y o c a s o A V = I w {x)dx [ Á r e a b a j o el C a m b io e n l a l Í fu e rz a c o r t a n t e / (4 - 3 ) d ia g r a m a d e c a rg a d is tr ib u id a y AM = / V(x)dx (4 - 4 ) C a m b io e n 1 _ el m o m e n to / f Á r e a b a jo e l d ia g r a m a \ d e f u e r z a c o r ta n te C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c ió n 4 -3 e s t a b le c e q u e e l c a m b io en la fu e r z a c o r ta n te e n tr e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a d e u n a v ig a e s ig u a l a l á rea b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a e n tr e e s o s p u n to s . D e l m is m o m o d o , la e c u a c i ó n 4 -4 e s ta b le c e q u e e l c a m b io en e l m o m e n t o e n tr e d o s p u n to s d e u n a v ig a e s ig u a l a l á re a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tre e s o s p u n to s . Si la s á r e a s b a jo lo s d ia g r a m a s d e c a r g a y d e fu e rz a c o r t a n t e s o n fáciles d e c a lc u la r, la s e c u a c io n e s 4 -3 y 4 -4 p r o p o r c io n a n u n m é to d o p a ra d e te r m i n a r n u m é r ic a m e n te lo s v a lo r e s d e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o ­ m e n to e n v a rio s p u n to s a lo l a r g o d e u n a v ig a . 1 5 1 1 5 2 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s i O. V | ^ i V + AV V ^ ^ V + AV (a ) (b ) Figura 4 -1 0 C o n b a s e e n la d e r iv a c ió n a n t e r i o r d e b e o b s e r v a r s e q u e la s e c u a c io n e s 4 -1 y 4 -3 n o p u e d e n u s a r s e e n lo s p u n to s d o n d e a c tú a u n a f u e r z a c o n c e n ­ tr a d a . p u e s t o q u e e s ta s e c u a c io n e s n o to m a n e n c u e n ta e l c a m b io r e p e n ­ tin o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e s t o s p u n to s . D e l m is m o m o d o , d e b i d o a u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to , la s e c u a c io n e s 4 -2 y 4 -4 n o p u e d e n e m ­ p le a r s e e n lo s p u n to s d o n d e s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r . A fin d e c o n s i­ d e r a r e s t o s d o s c a s o s , e s n e c e s a r io t o m a r lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e lo s e l e m e n t o s d i f e r e n c i a le s d e la v ig a q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra 4 - 9 a .l o s c u a le s e s t á n e n p u n to s c o n f u e r z a c o n c e n t r a d a y m o m e n to s d e p a r. E n las f ig u r a s 4 - 10a y 4 -1 0 6 , re s p e c tiv a m e n te , s e m u e s tra n e je m p lo s d e e s to s e le m e n to s . A p a r t i r d e la f ig u r a 4 -1 0 a . s e o b s e r v a q u e e l e q u il i­ b r io d e fu e r z a s r e q u i e r e q u e e l c a m b io e n la fu e rz a c o r t a n te s e a + ]'2 F y = 0; AV = - F (4 -5 ) A sí. c u a n d o F a c t ú a h a c ia a b a jo » b r e l a v i g a . A V e s n e g a tiv a p o r lo q u e e l d ia g r a m a d e c o r t e m u e s tra u n “ s a l t o " h a c ia a b a jo . D e l m is m o m o d o , s i F a c tú a h a c ia a r r ib a , e l s a l t o (A V') e s h a c ia a rr ib a . C o n b a s e e n la fig u ra 4 - 1 0 6 ,c u a n d o A r —* 0 ,e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e q u i e r e q u e e l c a m b io e n e l m o m e n to s e a S,+ 2 A / o = 0 ; AM = M ' (4 -6 ) E n e s t e c a s o , s i s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r e x te r n o M ' e n s e n tid o h o r a ­ rio . A M es p o s itiv o , p o r lo q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to s a l t a h a c ia a rr ib a , y c u a n d o M a c tú a e n s e n t i d o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d el re lo j, e l s a l t o ( A M ) d e b e s e r h a c ia a b a jo . 4 .3 D ia g r a m a s d e fu erza c o r t a n t e y de m o m e n t o pa r a P ro c e d im ie n to d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to a p o r t a u n m é to d o p a r a c o n s t r u ir lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­ ta n t e y d e m o m e n to p a r a u n a v ig a e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s 4-1 a 4-6. R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s • D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y d e s c o m p o n g a la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e la v ig a e n s u s c o m p o n e n te s p e r p e n d i c u la r e s y p a r a le la s a l e je d e la v ig a . D ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e • E s ta b le z c a lo s e je s V y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te e n lo s d o s e x tr e ­ m o s d e la v ig a . • D a d o q u e d V / d x = w , la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e fu e r z a c o r la n te e n c u a lq u i e r p u n to e s ig u a l a la in te n s id a d d e la ca rg a d is tr ib u id a e n e s e p u n to . ( l e n g a e n c u e n ta q u e w e s p o s itiv a c u a n d o a c tú a h a c ia a r r ib a ) . • Si d e b e d e te r m in a r s e u n v a lo r n u m é r ic o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n to , e s te v a lo r se p u e d e e n c o n t r a r e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4 -1 . o b ie n p u e d e u s a r s e la e c u a c ió n 4 -3 , la c u a l e s ta b le c e q u e e l c a m b io e n la f u e r z a c o r ­ ta n te es ig u a l a l á rea b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a d is tr ib u id a . • C o m o w (x ) s e in te g r a p a r a o b t e n e r V .c u a n d o w (x ) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n , V ( x ) s e r á u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i rv (x ) e s u n if o r m e , V'(x) s e r á lin e a l. D ia g ra m a d e m o m e n to • E s ta b le z c a lo s e j e s M y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to e n lo s e x tr e m o s d e la viga. • D a d o q u e d M / d x = V , la p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o e n c u a lq u ie r p u n to e s ig u a l a la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n e s e p u n to . • E n e l p u n to d o n d e la f u e r z a c o r t a n te e s c e r o . d M / d x = « . p o r lo q u e é s t e p u e d e s e r u n p u n to d o n d e e l m o m e n to p u e d e s e r m á x im o o m ín im o . • Si d e b e d e te r m i n a r s e e l v a lo r n u m é r ic o d e l m o m e n to e n u n p u n to , e s t e v a lo r s e p u e d e e n c o n tr a r e m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4 -1 o m e ­ d ia n te la e c u a c i ó n 4 -4 , la c u a l e s t a b le c e q u e d c a m b io en e l m o m e n t o es ig u a l a l área b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te . • C o m o V ( x ) s e in te g r a p a ra o b t e n e r M , c u a n d o V ( x ) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n , M ( x ) s e r á u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i V 'íx ) e s li n e a l, M ( x ) s e r á p a r a b ó lic a . u n a v ig a 1 5 4 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .7 L o s d o s e le m e n to s h o r iz o n ta le s d e la e s t r u c tu r a q u e s o s tie n e lín e a s d e a lt a te n s ió n e s t á n s o m e tid o s a la s c a r g a s d e c a b le q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 4 - U n . D ib u je lo s d ia g r a m a s d e h i e r c a c o r t a n te y d e m o m e n to p a ra c a d a e le m e n to S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . C a d a p o s te e je r c e u n a f u e r z a d e 6 k N s o b r e c a d a e le m e n to .c o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro s e g r a f ic a n lo s p u n to s e x ­ tr e m o s . t - 0 . V = - 4 k N y x = 6 m . V = 4 k N , fig u ra 4 -1 1 6 . C o m o se h a in d ic a d o , la f u e r z a c o r ta n te e n t r e c a d a f u e r z a c o n c e n tr a d a e s c o n s ­ ta n te p u e s to q u e w = d V / d x - 0. L a f u e r z a c o r t a n te j u s t o a la d e r e c h a d e l p u n t o B (o C y D ) p u e d e d e te r m in a r s e p o r e l m é to d o d e la s s e c ­ c io n e s, f ig u r a 4 -1 I d . E l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te ta m b ié n p u e d e e s ta b le c e r s e “ s ig u ie n d o la c a r g a " e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . C o ­ m e n z a n d o e n /1 ,1 a c a r g a d e 4 k N a c tú a h a c ia a b a j o d e m o d o q u e V A = - 4 k N . N in g u n a c a rg a a c tú a e n t r e A y B . p o r lo q u e l a f u e iz a c o r ta n te e s c o n s t a n te . E n B , la f u e r z a d e 6 k N a c tú a h a c ia a r r i b a , p o r lo q u e la f u e r z a c o r t a n te s a lta h a c ia a r r ib a 6 k N , d e s d e - 4 k N h a s t a + 2 k N , e tc é te r a . D ia g ra m a d e m o m e n to . E n p r i m e r lu g a r se g r á f ic a e l m o m e n to e n lo s p u n to s e x tr e m o s x = 0 , W = 0 y r = 6 m , M = 0 , fig u ra 4 - 1 1c. La p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n to d e n t r o d e c a d a re g ió n d e 1.5 m d e lo n g itu d e s c o n s ta n te p u e s to q u e V ta m b ié n e s c o n s ta n te . Ix>s v a lo ­ re s e s p e c ífic o s d e l m o m e n to , c o m o e n C , p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r e l m é to d o d e la s se c c io n e s, f ig u r a 4 -1 I d o b u s c a n d o e l c a m b io e n e l m o ­ m e n t o m e d i a n te e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . P o r e je m p lo ,c o m o M A = O e n A ,e n to n c e s e n C , M c = M A + A M ¿ c = 0 + ( - 4 )( 1 .5 ) + (2 )( 1.5) = —3 k N • m. F ig u ra 4 -1 1 4 .3 D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 12a. .- ^ T m T T T T H 1 pr — 9 m --------- t í . (a ) F igura 4 -1 2 w n e g a tiv a c re c ie n ie p e n d ie n te V n e g a tiv a c re c ie n te *<m) S O L U C IÓ N 1 -5 2 0 m R e accion es e n lo s s o p o rte s . L a s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -1 2 b. (c ) V p o s itiv a d e c r e c ie n te p e n d ie n te A i p o sitiv a D ia g ra m a d e fu e r z a c o r t a n te . P rim e ro s e g ra f te a n lo s p u n to s e x ­ tr e m o s x = 0 , V = + 3 0 k N y x = 9 m . V = - 6 0 k N . O b s e r v e q u e e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te e m p ie z a c o n u n a p e n d ie n t e c e r o p u e s t o M(lcN-m) q u e H' = 0 e n x = ü ,y t e r m i n a c o n u n a p e n d ie n t e d e tv = - 2 0 k N /m . E l p u n t o d e f u e r z a c o r t a n te c e r o p u e d e e n c o n tr a r s e m e d ia n te el m é to d o d e las s e c c io n e s a p lic a d o a u n s e g m e n to d e v ig a d e lo n g itu d x , fig u ra 4 -1 2 e .S e r e q u i e r e q u e V = O .p o r lo q u e V n e g a tiv a c re c ie n te p e n d ie n te A i n e g a tiv a c re c ie n te *| m) <d) U F = 0; (!)} 30 - - 1 2 0 1 - 5 .2 0 m D ia g ra m a d e m o m e n to . P a r a 0 < x < 5 .2 0 m e l v a lo r d e la f u e r z a c o r ta n te e s p o s itiv a p e r o d e c r e c ie n te y. p o r lo ta n to , la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e m o m e n to ta m b ié n e s p o s itiv a y d e c r e c ie n te ( d M / d x = V) . E n x = 5 .2 0 m . d M / d x = 0 . L o m is m o s u c e d e p a r a 5 .2 0 m < x < 9 m . b f u e r z a c o r t a n t e y p o r e n d e la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e m o m e n to s o n n e g a tiv a s y c r e c ie n te s , ta l c o m o s e in d ic a e n la fig u ra . E l v a lo r m á x im o d e l m o m e n to e s t á e n x = 5 .2 0 m p u e s t o q u e e n e s te p u n t o d M / d x = V = 0, fig u ra 4 -1 2 d . A p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 4 -1 2 e s e ti e n e t+ 2 M s = 0; - 3 0 ( 5 . 2 0 ) + | [ 2 0 ( 5| e ) ] ( 5 ^ 0 ) ( 5 | 2 ) + « M = 104 k N • m “ 0 j |2 0 ( f ) |* ir »(f) 3 0 kN (e ) 1 5 6 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s E JE M P L O 600 Ib | 4000 Ib-pie |c n „ * r- u D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 13a. t í* 10 pies- X 5 - L . 5 'p i e s < 'pies • S O L U C IÓ N Rseaabcbciio n un ne as » «e n n ilou s» s> uo pp uo ir te s . L a s rhe a c c io n e s y a s e c a lc u la r o n y s e in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e (a) 6001b 4 0 0 0 Ib • p ie 100 Ib . „ (b) »=0 V(lb) P ^ i c n t c V lool M Ib-pie) D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . Se g ra f ic a n lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te e n lo s p u n to s e x tr e m o s A (V A = + 100 Ib ) y B ( V B - * 500 Ib ). E n C la f u e r z a c o r t a n te e s d is c o n tin u a p u e s to q u e a h í h a y u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a d e 6 0 0 Ib. E l v a lo r d e la f u e r z a c o r t a n te ju s to a la d e r e c h a d e C p u e d e e n c o n tr a r s e a l s e c c io n a r la v ig a e n e s t e p u n to . E s to p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re q u e s e m u e s tr a e n e q u il i­ b rio e n la fig u ra 4 -1 3 e . E s te p u n t o ( V = - 5 0 0 Ib ) s e g r á f ic a s o b r e el d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . O b s e r v e q u e e n D n o s e p r e s e n t a n in g ú n s a lto o d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n t e . e n e s te p u n t o e s d o n d e se a p lic a u n m o m e n to d e p a r d e 4 0 0 0 Ib • p ie , fig u ra 4 -1 3 6 . LD ia g ra m a d e m o m e n to . E l m o m e n to e n c a d a e x tr e m o d e la v ig a e s c e r o , fig u ra 4 -1 3 d . E l v a lo r d e l m o m e n to e n C p u e d e d e te r m in a r s e (c) m e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 4 - 1 3 e ,o b i e n e n c o n tr a n d o V constante negativa pendiente M constante negativa el á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tr e A y C. C o m o M A * 0 , 2500 1000 M a + A M ÁC M, \ 1500 0 + (1 0 0 Ib )(1 0 p ie s ) 1000 Ib • p ie A d e m á s , d a d o q u e M e = 1 0 0 0 Ib • p ie , e l m o m e n to e n D e s (d) M, M r + A M CD - 1000 I b - p i e + ( - 5 0 0 l b ) ( 5 p i e s ) M D = ~ 1 5 0 0 Ib • p ie E n e l p u n to D x p r o d u c e u n s a lto d e b id o a l m o m e n to d e p a r d e 4 0 0 0 Ib • p ie . E l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 4 - 1 3 / ,d a u n v a lo r d e + 2 5 0 0 Ib • p ie ju s to a la d e r e c h a d e D . 6001b 6001b | 1000 Ib pie 10 pies- i) -5 0 0 1 b |— 10 pies 100 Ib (0 fig u ra 4 -1 3 1) 5 pies 1001b (e) 2“ ° lb -5001b 4 .3 157 D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to p a r a c a d a u n a d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 4 -1 4 . 8 k N /r p c n d ic n tc M n e g a tiv a M (líN -m ) " 4 *(m ) (a) 15 k 2 0 k p ie (b) F ig u ra 4 - 1 4 V '(k ) H' n e g a tiv a c o n s ta n te p o d i e n t e V n e g a tiv a c o n s ta n te i(p ic s ) -1 5 S O L U C IÓ N E n to d o s lo s c a s o s se h a n c a lc u la d o la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y se in d ic a n e n la p a r t e s u p e r io r d e la s fig u ra s . S ig u ie n d o la s té c n ic a s d e s ­ c rita s e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to s e m u e s tr a n d e b a jo d e c a d a v ig a . O b s e r v e c o n c u id a d o la fo rm a e n q u e s e e s ta b le c ie r o n , c o n b a s e e n la p e n d i e n t e y e l m o ­ m e n to , d o n d e d V / d x = w y d M / d x = V. L o s v a lo r e s c a lc u la d o s s e h a ­ l a n e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o b ie n e n c o n tr a n d o la s á re a s d e b a jo d e lo s d ia g r a m a s d e c a r g a o d e f u e r z a c o r ta n te . A í( k - p ie ) V p o s itiv a d e c r e c ie n te p e n d ie n te M p o s itiv a d e c r e c ie n te x (p ie s ) -2 0 (c ) 1 5 8 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .1 1 L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f o to g r a f ía s e u s a p a r a s o s te n e r u n a p a r te d e la s a l ie n t e d e la p u e r t a d e e n t r a d a a u n e d if ic io . E n la fig u ra 4 - 15a s e m u e s tra e l m o d e lo id e a liz a d o d e la v ig a y d e la c a r g a q u e a c tú a s o b r e e lla . S u p o n g a q u e H e s u n r o d illo y q u e C e s u n a a r tic u la c ió n . D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a . S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s , l a s r e a c c io n e s s e c a lc u la n d e la fo r m a h a b itu a l. L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4-15/>. IO k N /m D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro se g r á f ic a la f u e r z a c o r ­ ta n t e e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a ; e s d e c i r , V A - 0 y V c - - 2 . 1 9 k N , fi­ g u r a 4 - 15c. P a r a e n c o n tr a r la f u e r z a c o r t a n t e a la iz q u ie rd a d e B u s e e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a e l s e g m e n to A B , o b ie n , c a lc u le e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a , e s d e c i r , AV' = V B —0 = - 1 0 ( 0 . 7 5 ) , V'fl. = - 7 . 5 0 k N . L a r e a c c ió n e n e l s o p o r te h a c e q u e la f u e r z a c o r t a n t e s a l t e - 7 . 5 0 + 15.31 = 7.81 k N . E l p u n to d e fu e rv a c o r ­ ta n t e c e r o p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la p e n d ie n t e - 1 0 k N / m , o p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n te s , 7 .8 \ / x ■ 2 . 1 9 / ( 1 - * ) , x - 0.781 m . O b s e r v e c ó m o e l d ia g r a m a V a g ü e la p e n d ie n t e n e g a tiv a , q u e s e d e f i n e p o r la c a rg a d is tr ib u id a n e g a tiv a y c o n s ta n te . gn m u i 0.75 •1 m - (a) D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g rá fic a e l m o m e n to e n lo s p u n to s e x tr e m o s , M A = M c = 0 , f ig u r a 4 -1 5 d . L o s v a lo r e s d e - 2 . 8 1 y 0 .2 3 9 e n e l d ia g r a m a d e m o m e n to p u e d e n c a lc u la r s e p o r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o b ie n b u s c a n d o la s á r e a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a I O k N /m IA m m ui m r .. ------ 0.75 m— c o r t a n te . P o r e je m p lo . AAf » M B - 0 =* K ~ 7 .5 0 )(0 .7 5 ) = - 2 . 8 1 . M B = - 2 .8 1 k N « m . A s im is m o ,d e m u e s tr e q u e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o e s d e 0 .2 3 9 k N * m . O b s e r v e c ó m o s e fo r m a e l d ia g r a m a d e M , s i­ g u ie n d o la p e n d ie n t e d e f in id a p o r e l d ia g r a m a d e V. * 2 .1 9 k N I 5 J 1 kN (b) M flcN-m) P (k N ) 7.81 -*(m ) 0.781 m -2 .1 9 - 7 JO (d) (c) fig u ra 4 -1 5 4 .3 1 5 9 D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 - 16o. S u p o n g a q u e lo s s o p o r ­ te s e n A y C s a n ro d illo s y q u e f í y E s o n c o n e x io n e s a rtic u la d a s . 3k/P 'c 5k 2¿ K/pt k /p ie g d id lííf c h i ( ü k • p ie ^ ^ 10 1 \D 4 j _ 6 p ie s _ |_ 6 p i e s 5 k 20k (») ■; 16 k ^ k /p ie J— — - r— k) 24 .2 10 16 \ r T 16 k 4k 6k 45 k (b ) 20 i32 -« (p ie s ) M (c ) 60 10 H g u ra 4 -1 6 16 20 32 2 -9 6 -1 8 0 (d ) S O L U C IÓ N R e accion es e n lo s s o p o r te s . U n a v e z q u e lo s s e g m e n to s d e v ig a se d e s c o n e c ta n d e l p a s a d o r e n B , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s p u e d e n c a lc u la rs e c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 6 6 . D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . C ó m o s ie m p r e , s e c o m ie n z a p o r g y a ficar la f u e r z a c o r t a n te e n lo s e x tr e m o s A y E , fig u ra 4 - 16c. E l p e r ­ fil d e l d ia g r a m a d e V se f o r m a s ig u ie n d o s u p e n d ie n te , d e f i n id a p o r la c a rg a . T rate d e e s t a b le c e r lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te u s a n d o la s á re a s a p ro p ia d a s b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a (c u rv a w ) a fin d e e n c o n tr a r d c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e . E l v a lo r c e r o p a r a la f u e r z a c o r ta n te e n x = 2 p ie s , p u e d e e n c o n tr a r s e e m p l e a n d o tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s o u f a n d o la e s t á ti c a ,c o m o se h iz o e n la fig u ra 4 -1 2 e d e l E je m p lo 4 -8 . D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g ra f ic a n lo s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s M A = 6 0 k • p ie y M e = 0, fig u ra 4 -1 6 d . E s tu d ie e l d ia g r a m a y o b s e r v e c ó m o s e e s t a b le c e n las d if e r e n t e s c u rv a s m e d i a n te d M / d x = V . V e rifiq u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e lo s p ic o s u s a n d o la e s t á tic a o c a lc u la n d o la s á r e a s a p r o p i a d a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e a fin d e e n c o n t r a r e l c a m b io e n e l m o m e n to . x (p ie s ) 160 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s PROBLEMAS FUNDAM ENTALES F 4 -1 3 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rla n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en los punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga. 8 kN I 2 kN/m 3 kN -2 m F 4 -1 7 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­ m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga. 2 k N /m F 4 -1 3 F 4 -1 4 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en tos punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga. K4-17 F 4 -1 8 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res e n los s o p o rte s y en tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga. 4 k N /m .^rrrrrrnTnT^^ | 1 .5 m - F 4 -1 8 F 4-14 F 4 -1 5 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­ m ento p a ra la viga. In diqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en tos punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga. 15 m - 2 m - F 4 -1 9 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res en los s o p o rte s y en tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga. 6 k N /m m u iu IIJIUI _ 2 m ------- 1-------2 » - ----- 1------ 2 m F 4 - I5 F 4 -1 6 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en tos puntos d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga. F 4-19 F 4 -2 0 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­ m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v a lo re s e n los s o p o rte s y en tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga. 18 k 6 k/pie £ 6 p ie s . - I — 12 p i e s 12 p ie s - F4-16 6 p ie s F 4-20 4 .3 161 D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a PR O B LEM A S 4 -2 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza c o rla n te y de m o­ m ento p a ra la viga. 4 -2 6 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rta n te y d e m o ­ m ento p ara la viga. 10 k 8k n * !_ C - 6 p ie s -I* 12 p ie s • • z l c c n A P ro h . 4 -2 3 12 p i e s [ - 6 p ie s — P ro h . 4-26 4 -2 7 . D ib u je lo s d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­ m ento p ara la viga. •4 -2 4 . D ibuje los d iag ram as de fu erza c o rta n te y de m o ­ m ento p a ra la viga. 2k 2k 2k 2k . . 1 . 4 0 0 Ib /p ie n -------------------------------15 p i e s ----------------------------------- P ro h . 4 -2 7 . j f ! 1 j x |— 4 p ie s —| - 4 p ie s *1— 4 p ie s —|— 4 p ie s - | — 4 p ie s —| • 4 -2 8 . D ibuje lo s d iag ram as de fu erza co rtan te y d e m o ­ m en to p a ra la viga (a ) e n térm in o s d e lo s p a rá m e tro s m o s­ trados; (b ) co n sid ere q u e M 0 = 500 N . m . I. = 8 m. P ro h . 4-24 L/3 L /3 L/3 - I P ro h . 4 -2 8 4 -2 5 . D ib u je lo s d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­ m ento p a ra la viga. 6kN M0 M, 4 -2 9 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o­ m e n to p a ra la viga. I S k N /m □un 2 m 3 m P ro h . 4 -2 5 P ro h . 4 -2 9 1 6 2 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s 4 -3 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­ m ento flexionante p a ra la viga. en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 -3 4 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. 2 0 0 Ib /p ic 2 0 0 Ib -p ie P ro h . 4 -3 0 4 4 -3 1 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. 4 -3 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rtan te y de m o­ m ento p a ra la viga. 2 0 0 I b /p ic n / P ro b . 4 -3 1 P ro h .4 - 3 5 * 4 -3 2 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra la viga. *4 -3 6 . D ibuje lo s d iagram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­ m ento p a ra la viga. S u p o n g a q u e e l so p o rte e n B e s una a r ­ ticulación y q u e A es u n rodillo. P ro b . 4 -3 6 4 -3 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o­ m ento p a ra la viga. 4 -3 7 . D ibuje lo s d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento p ara la viga. Suponga que e l so p o rte e n tí es una articu ­ lación. 8 k N /m 20kN 4 0 k N /ta l 1 5 0 k N -m 8m P rob. 4 -3 3 P rob. 4 -3 7 4 .4 4 .4 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y d e m o m e n t o para u n m a r c o D ia g ra m a s d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to p a ra u n m a rc o R e c u e r d e q u e u n m a r c o s e c o m p o n e d e v a rio s e le m e n to s q u e e s tá n c o ­ n e c ta d o s f ija m e n te o a r t ic u l a d o s e n su s e x tr e m o s . C o n fr e c u e n c ia , e l d i­ s e ñ o d e e s ta s e s t r u c tu r a s r e q u i e r e e l a b o r a r d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to p a r a c a d a u n o d e s u s e le m e n to s . P a r a a n a liz a r c u a lq u ie r p r o b le m a , s e p u e d e u tiliz a r e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la s e c c ió n 4 -3 . P a ra e l l o e s n e c e s a r io p r im e r o d e t e r m i n a r la r e a c c ió n e n lo s s o p o r te s d e l m a rc o . D e s p u é s , a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , s e e n ­ c u e n tr a n la f u e r z a a x ia l, la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . L o s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to p u e d e n d ib u ja r s e d e la m a n e r a d e s c r ita a n te r io r m e n te , s ie m p r e y c u a n d o t o d a s la s c a r g a s s e d e s c o m p o n g a n e n c o m p o n e n te s q u e a c tú a n e n f o r m a p a r a le la y p e r p e n d ic u la r a l e je d e l e le m e n to . E n la p r á c tic a , a l d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e u s a u n a d e la s d o s c o n v e n c io n e s d e s ig n o s e x is te n te s . E n p a r tic u la r , s i e l m a r c o e s d e c o n ­ c r e to r e fo r z a d o , lo s d is e ñ a d o r e s s u e le n d i b u j a r e l d ia g r a m a d e m o m e n to p o s itiv o e n e l la d o d o n d e e l m a r c o e s t á s o m e tid o a te n s ió n . E n o t r a s p a ­ la b ra s , s i e l m o m e n to p ro d u c e te n s ió n e n la s u p e r fic ie e x t e r n a d e l m a rc o , e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e d ib u j a p o s itiv o e n e s te la d o . C o m o e l c o n ­ c r e t o ti e n e u n a b a ja re s is te n c ia a la te n s ió n , e n to n c e s s e p o d r á d e c ir d e u n v is ta z o e n q u é la d o d e l m a r c o d e b e c o lo c a r s e e l a c e r o d e re f u e rz o . S in e m b a r g o , e n e s t e te x t o s e u s a r á la c o n v e n c ió n d e s ig n o s c o n tr a r i a e n la q u e s ie m p r e s e d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n t o p o s itiv o e n e l la d o d o n d e lo s e le m e n to s e stá n s o m e tid o s a c o m p r e s ió n . É s ta e s la m ism a c o n v e n c ió n q u e s e u s ó p a r a la s v ig as y s e a n a liz ó e n la se c c ió n 4 -1 . L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e s te p r o c e d i m i e n to e n f o r m a n u m é ­ rica. P a ra e l d is e ñ o d e e s ta t r a b e s im p le m e n te a p o y a d a , q u e fo r m a p a rte d e u n m a r c o d e c o n c r e t o p a r a c o n s tr u c c ió n , p r i m e r o s e t r a z a r o n s u s d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to . 163 1 6 4 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .1 3 D ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a r c o a h u s a d o d e l a f ig u r a 4 -1 7 a . S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y q u e B e s u n a a r ­ tic u la c ió n . H g e ra 4 -1 7 S O L U C IÓ N elemento CR elemento AC <d) Reacciones en los soportes. L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s se m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o , fig u ra 4 -1 I b . C o n e s t o s r e s u lta d o s , e l m a r c o s e s e c c io n a e n d o s e le m e n to s , y s e d e ­ te r m i n a n la s r e a c c io n e s in te r n a s e n la s ju n t a s e x tr e m a s d e lo s e le m e n ­ to s . fig u ra 4 - 17c. O b s e r v e q u e l a c a r g a e x te r n a d e 5 k s ó l o s e m u e s tra e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e n C . Diagrama de momento. D e a c u e r d o c o n n u e s t r a c o n v e n c ió n d e sig n o s p o s itiv o s , y e l u s o d e la s té c n ic a s d e s c r ita s e n la s e c c ió n 4 -3 , lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a lo s e le m e n to s d e l m a r c o s o n c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 7 d . 4 .4 E JE M P L O D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y d e m o m e n t o para u n m a r c o 1 6 5 4 .1 4 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 18a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n , C e s u n r o d illo y f í e s u n a j u n t a fija . I g n o r e e l e s p e s o r d e lo s e le m e n to s . S O L U C IÓ N T e n g a e n c u e n ta q u e la c a r g a d is tr ib u id a a c tú a s o b r e u n a lo n g itu d d e 10 p i e s V 2 = 14.14 p ie s . L a s r e a c c io n e s e n to d o e l m a r c o s e c a lc u la n y s e m u e s tr a n e n s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 4 -1 8 6 . A p a r tir d e e s te d ia g r a m a s e d ib u ja n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c a d a e l e ­ m e n to , fig u ra 4 -1 8 c. L a c a rg a d is tr ib u id a e n B C tie n e c o m p o n e n t e s a b la r g o d e B C y p e r p e n d ic u la r e s a s u e je d e (0 .1 4 1 4 k / p i e ) e o s 4 5 ° = (0 .1 4 1 4 k / p i e ) s e n 4 5 ° = 0 .1 k /p ie , c o m o s e m u e s tr a . C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to t a m ­ b ié n s e p r e s e n ta n e n la f ig u r a 4 - 18c. 4 U f a r a 4 -1 8 ( 0 .1 4 1 4 k / p i e ) ( 1 4 . 1 4 p i e s ) = 2 k 1 6 6 C a p it u l o E JE M P L O 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 .1 5 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 19a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n , C e s u n r o d illo y R e s u n a ju n t a fija. 80 kN (a) 80kN fig u ra 4 -1 9 S O L U C IÓ N R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . H1 d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a r c o s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 -1 9 6 . A q u í la c a rg a d is tr ib u id a , q u e r e p r e s e n ta l a c a r g a d e l v ie n to , h a s i d o r e e m p la z a d a p o r s u r e s u lta n te p a ra d e s p u é s c a lc u la r las r e a c c i o n e s L u e g o s e s e c c io n a e l m a r c o e n R y s e d e te r m i n a n la s c a r g a s in te r n a s e n e s e p u n to , fig u ra 4 - 19c. C o m o u n a c o m p r o b a c ió n , e l e q u il ib r io s e s a tis f a c e e n la j u n t a R , lo c u a l t a m ­ b ié n s e m u e s tr a e n la fig u ra . D ia g ra m a s d e c o r ta n te y d e m o m e n to . I-as c o m p o n e n te s d e la c a r g a d is tr ib u id a (7 2 k N ) / ( 5 m ) * 14.4 k N / m y ( 9 6 k N ) / ( 5 m ) - 19.2 k N / m , se m u e s tr a n e n e l e le m e n to A R , fig u ra 4 -1 9 d . L o s d ia g r a m a s a s o c ia d o s d e f u e i z a c o r t a n te y d e m o m e n to s e d ib u ja n p a r a c a d a e le ­ m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s 4 -1 9 d y 4-19e. 4 .4 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to p a ra u n m a rc o 167 1 6 8 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s 4 .5 en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s Diagram as de m o m e n to construidos p o r el m é to d o de superposición D a d o q u e las v ig a s s e u tiliz a n p r in c ip a lm e n te p a r a re s is tir e s f u e r z o s flex io n a n te s .e s i m p o r t a n te q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to a c o m p a ñ e a la s o ­ lu c ió n p a r a s u d is e ñ o . E n la se c c ió n 4 -3 e l d ia g r a m a d e m o m e n to se c o n s tr u y ó d ib u j a n d o p r im e r o e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . S in e m ­ b a rg o , s i s e a p lic a e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n .c a d a u n a d e las c a r g a s e n la v ig a p u e d e t r a ta r s e p o r s e p a r a d o y e n to n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to p u e d e c o n s t r u ir s e e n u n a s e r ie d e p a r t e s e n v e z d e h a c e r lo e n u n a s o la fo r m a q u e e n o c a s io n e s r e s u lta c o m p lic a d a . M ás a d e l a n t e e n e l te x t o se v e rá q u e e s t o p u e d e s e r e s p e c ia lm e n te v e n ta j o s o c u a n d o s e a p lic a n m é ­ to d o s d e d e f le x ió n g e o m é tric a p a r a d e te r m i n a r ta n t o la d e fle x ió n d e u n a v ig a c o m o la s r e a c c io n e s e n v ig a s e s t á tic a m e n te in d e te rm in a d a s . E n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l, la m a y o r ía d e la s c a rg a s a p lic a d a s s o b r e v ig a s e s u n a c o m b in a c ió n d e las c a r g a s d e la fig u ra 4 -2 0 . L a c o n s tr u c c ió n d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s s e a n a liz ó e n e l E je m p lo 4 .8 . A f i n d e 4 .5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN 4 k /p ie ÍTTTTn 10 p ie s — —— I 15 IS k 10 p ie s 25 LSlc* 4 k /p ie M (k p ie ) TTTlTn V 40 p ie s — k>»p“ 250 « p ie s ) -5 0 d ia g ra m a d e m o m e n to re s u lta n te * 4 -— 10 p ies 25 k M (k - p ie ) Yünfm 200 k - p ie " « p ie s ) -200 10 p ie s — | + A l { k -p ie ) 300 k ;! I « p ie s ) - 3001 -1 0 p i e s - 3 0 0 k • p ie 500 k p i e M k -p ie ) 500 « p ie s ) 2 0 p ie s 25 k 25 k s u p e r p o s k ió n d e la s v ig a s e n v d a d i z o s u p e r p o s ic ió n d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to a so c ia d o s (a ) (b ) H g u ra 4 -2 1 e n t e n d e r c ó m o s e u s a e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n p a r a c o n s t r u ir e l d i a ­ g r a m a d e m o m e n to , c o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a q u e se m u e s tra e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4-21a. A q u í la s re a c c io n e s ya s e han c a lc u la d o , p o r lo q u e e l s i s te m a d e fu e r z a s s o b r e la v ig a p r o d u c e u n a fu e rz a c e r o y u n m o m e n to r e s u lta n te . E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e s te c a s o s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r i o r d e la f ig u r a 4 -2 1 6 . O b s e r v e q u e e s t e m is m o d ia g r a m a d e m o m e n to s e p r o d u c e p a r a la vig a e n v o la d iz o c u a n d o e s t á s o m e ti d a a l m is m o s is te m a d e c a r g a s e s tá tic a m e n te e q u iv a ­ le n te s q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . E n v e z d e c o n s i d e r a r to d a s las c a rg a s s o b r e e s t a v ig a d e m a n e r a s im u ltá n e a a l tr a z a r e l d ia g r a m a d e m o ­ m e n to , se p u e d e n s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s d e la s c a rg a s q u e a c tú a n p o r s e p a r a d o e n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o d e la fig u ra 4 . 2 1 a . I \ ) r l o t a n t o .s i se d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a c a d a v ig a e n v o la d iz o , fig u ra 4 -2 1 6 , al s u p e r p o n e r e s to s d ia g r a m a s s e o b tie n e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u l­ ta n t e d e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . l\ » r e je m p lo , c o n b a s e e n c a d a u n o d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s , e l m o m e n to e n e l e x tr e m o A e s M a - - 2 0 0 - 300 4- 5 0 0 ■ O .c o m o se c o m p r u e b a e n e l d ia g r a m a d e m o ­ m e n to s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 1 6 . E n a lg u n o s c a s o s e s m á s f á c i l c o n s tr u ir y u tiliz a r o t r a s e r i e d e d ia g r a m a s d e m o m e n to e s t á tic a m e n te e q u iv a le n ­ te s p a r a u n a v ig a , en lu g a r d e c o n s tr u ir e l d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l ­ ta n t e " d e la v ig a q u e s u e le s e r m á s c o m p lic a d o . 1 6 9 1 7 0 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s D e m a n e r a s im ila r, ta m b ié n p u e d e s im p lific a rs e la c o n s tr u c c ió n d e l d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l t a n t e " p a r a u n a v ig a c o n u n a s u p e r p o s ic ió n d e v ig a s “s im p le m e n te a p o y a d a s ” . P o r e je m p lo , la c a rg a s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 2 a e s e q u iv a le n te a la s c a r ­ g a s d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la p a r t e in f e rio r . E n c o n s e c u e n c ia , se p u e d e n u s a r lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s p a r a c a d a u n a d e e s t a s tr e s v ig a s a i v e z d e d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4-22¿>. M (k N m ) 5 k N /m 2 0 k N ■m lili lili 11 T )4 0 k N m x(m ) -12 m II 5 k N /i M * (m ) -1 2 m - M (k N -m ) + 20kN * *(m ) -2 0 12m 4 0 k N -m M (k N m ) x(m> - 1 2 : -4 0 s u p e r p o s ic ió n d e l o s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s s u p e r p o s ic ió n d e v ig as s im p le m e n te a p o y a d a s (a) (b ) F ig u ra 4 - 2 2 4 .5 E JE M P L O 1 7 1 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN 4 .1 6 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 - 2 3 a u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n . C b n s id e r e q u e la v ig a e s tá e n v o la d iz o d e s d e e l s o p o r te e n ñ . S O L U C IÓ N Si la viga e s t u v ie r a a p o y a d a e n v o la d iz o d e s d e f í , e s t a r ía s o m e tid a a las c a r g a s e s t á t i c a m e n t e e q u i v a l e n t e s q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra 4 -2 3 a . A c o n tin u a c ió n s e m u e s tr a n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r ­ p u e s ta s j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4-23¿>. ( C o m o u n a a y u d a p a r a s u c o n s tru c c ió n , re v is e la fig u ra 4 -2 0 .) A u n q u e n o e s n e c e s a r io a q u í , la s u m a d e e s to s d ia g r a m a s p r o d u c ir á e l d i a ­ g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e p a r a la v ig a . C o m o u n a p r á c tic a , in ­ te n te d ib u j a r e s te d ia g r a m a y c o m p r u e b e lo s re s u lta d o s . 5 k /p ie 5 k /p ic w rrlT n T I 150 k _ 15 p ie s 15 k 150 k • p ie x ( p ie s ) 15 pie 225 k 5 k /p ie ■x (p ie s ) ^ m - íT Í I------------------ 15 p i e s ----------'- 1 8 7 5 s u p e r p o s ic ió n d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s s u p e r p o s ic ió n d e la s s ig a s e n v o la d iz o (b ) (a) Figura 4 -2 3 1 7 2 C a p itu lo E JE M P L O 4 C a rg a s in te rn a s d e s a rro lla d a s en e le m e n to s e s tru c tu ra le s 4 .1 7 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n io p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 u , u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n . C o n s id e r e q u e la v ig a e s t á e n v o la d iz o d e s d e e l p a s a d o r e n A . S O L U C IÓ N L a s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r p u e s ta s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4 -2 4 a , j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4 -2 4 b . T e n g a e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n e n e l p a s a d o r (2 2 .5 k ) n o s e c o n s id e r a y a q u e n o p r o d u c e n in g ú n d ia g r a m a d e m o m e n to . C o m o u n e je r c ic io , c o m p r u e b e q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e e s e l q u e s e p r e ­ s e n t a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 6 . M (k p ie ) 5 k /p ic * ( pies) A f(k p ie) 150 k •pie í(p ie s ) -1 5 0 5 k /p ie x ( pies) tí M (k p ie ) 225 k-pie 15 pies 15 k superposición de las vigas en vdadizo desde A (a) (b) H g ura 4 -2 4 4 .5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN 1 7 3 PROBLEMAS 4 -3 8 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­ m ento p a ra c a d a u n o d e los tre s e le m e n to s d e l m arco. S u ­ ponga q u e e l m arco e stá articu lad o e n A . C y D , y q u e hay una ju n ta fija e n B. 50 kN * 4 -4 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­ m ento p a ra cada u n o d e lo s e le m e n to s d e l m arco. S uponga q u e A es u n o scilad o r y q u e D está articulado. 40 kN 15 kN/m ,V " P ro b . 4 -4 0 P ro b . 4 -3 8 4 -3 9 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­ m ento p a ra cada u n o d e lo s e lem en to s d e l m arco. S uponga q u e e l so p o rte e n A e s una articulación y e n D es u n rodillo. 4 -4 1 . D ibuje lo s d iagram as de fu e rz a c o rta n te y d e m o ­ m ento p a ra cada u n o d e los e le m en to s d e l m arco. S uponga q u e e l m arco está artic u la d o e n B , C y D ,y q u e A está fijo. 0.8 k/pie 6k 3k a s k/pie t pies 6k 3k pies 15 p ie s P rob. 4 -4 1 1 7 4 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s 4 -4 2 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rla n te y d e m o ­ m ento p a ra c ad a u n o d e lo s e le m e n to s d e l m arco. S uponga q u e A está fija, q u e la ju n ta e n B e s una articu lació n , y que C e s un so p o rte d e rodillo. 20 k en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s * 4 - 4 4 D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­ m en to para c a d a e lem en to d e l m arco. S uponga q u e el m arco tien e u n so p o rte d e rod illo e n A y un so p o rte a rtic u ­ lado e n C. 1.5 k /pie O ik/p ie R 2k P rob. 4 -4 2 4 -4 3 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m ento para cada e lem en to d el m arco. Suponga q u e el marco e stá articulado e n A y q u e C e s u n rodillo. 4 -4 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ m en to p a ra c ad a e le m en to d e l m arco. Ix k e le m e n to s están articulad o s e n A , B y C. P rob. 4 4 5 4 .5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN 1 7 5 4 -4 6 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e mo m entó p a ra cada e lem e n to d el m arco. * 4 -4 8 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­ m ento p a ra c a d a elem en to d e l m arco. I.a s ju n ta s e n A , f í y C están articuladas. P ro h . 4 -4 6 P roh. 4 -4 8 4 -4 7 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­ m ento p a ra cada e lem e n to del m arco. S uponga q u e la ju n ta e n A está articu lad a y q u e e l s o p o rte e n C e s u n rodillo. La articulación e n U está fija. L a carg a d el v ie n to se tran sfiere a los elem entos e n las c o rre a s y larg u ero s d e sd e lo s seg m en ­ tos sim plem ente apoyados d e la p ared y e l techo. 4 -4 9 . m e n to ponga fijo e n D ibuje los d iag ram as de fuerza co rta n te y d e m o ­ p a ra cada u n o de lo s tr e s e le m e n to s d e l m arco. S u ­ q u e e stá articu lad o e n tí, C y D y q u e se en cu en tra A. 3 0 0 lb /p ic 5 0 0 Ib /p ie P roh. 4 -4 7 P roh. 4 -4 9 1 7 6 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s 4 -5 0 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga usando e l m éto d o de superposición. La viga e stá e n v o la­ dizo d e s d e A . 6 0 0 Ib 6 0 0 Ib 6 0 0 Ib en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s 4 -5 4 . D ibuje los diagram as de m om ento p ara la viga usando el m éto d o de superposición. C o n sid ere q u e la viga e stá en voladizo d e sd e e l so p o rte articu lad o e n A . 4 -5 5 . D ibuje lo s d iagram as d e m o m en to p a ra la viga usando el m étodo de superposición. C onsidere q u e la viga está en voladizo d e sd e el o scilad o r e n B. 30 kN 4 k N /m ITTi ~fm 80 k N •m | — 8m 4 -5 1 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga usando e l m éto d o d e superposición. -I 4m P r o b s . 4 - 5 4 /4 - 5 5 * 4 -5 6 . D ibuje lo s d iag ram as de m om ento p a ra la vi; usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga es en voladizo d e sd e el e x tre m o C. 3 0 kN 4 kN / P ro b . 4 -5 1 P ro b . 4 -5 6 *4-52. D ibuje lo s diagram as d e m om ento p a ra la viga usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está en voladizo d e sd e e l e x trem o A . 4 -5 3 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está sim plem ente ap o y ad a e n A y e n fl.co m o se m u e stra e n la fi­ gura. 4 -5 7 . D ibuje lo s d iagram as d e m o m en to p a ra la viga usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga está sim plem ente ap o y ad a e n A y B , com o se m u estra e n la fi­ gura. 2 5 0 lb /p ie 2 0 0 lb /p ie 7— i 100 111I 1111111111* 2 0 p ies P robs. 4 -5 2 /4 -5 3 P rob. 4 -5 7 ar Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o 1 7 7 PR O BLEM AS DE PROYECTO 4 -1 P . E n la fo to g rafía se m uestra u n balcó n u b icad o e n el tercer piso d e u n m otel. E stá co n stru id o con u n a lo sa de concreto d e 4 p ulgadas d e esp e so r (p ied ra lisa) la c u a l se apoya so b re las c u a tro vigas de piso sim plem ente apoyadas, d o s tra b e s laterales e n voladizo A B y H G ,y las trab es fr o n ­ tal y p o sterio r. E n la figura ady acen te se m u estra e l p la n o idealizado d e la estru c tu ra con d im en sio n es p ro m ed io . D e acuerdo co n lo s cód ig o s locales, la carga viva d el b alc ó n es d e 45 psf. D ib u je los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o­ m ento p a ra la tra b e fro n ta l B G y u n a tra b e lateral A B . S u ­ ponga q u e la tra b e fro n ta l e s u n can al con u n p e so d e 25 Ib /p ie y q u e las tra b e s laterales tie n en secciones d e ala ancha co n u n p eso d e 4 5 Ib /p ie. Ignore el peso de las vigas d e piso y d e la b aran d a frontal. P ara e sta solución co n sid ere cada una de las cinco lo sa s com o losas d e d o s vías. P // 6ft “ J C 4 X 4 !£ 4 « e s^ 1 pies~*~pies pies P r o b .4 - lP 4 - 2 P . E l pabellón q u e se m u e stra e n la fo tografía p ro p o r­ ciona resguardo a la e n tra d a de un edificio. C o n sid ere q u e todos lo s elem entos e stá n sim plem ente apoyados. L as b arras d e a p o y o e n C, I). F., F tienen un p e so d e 135 Ib y u n a longi­ tud d e 2 0 pies c a d a u n a. E l te c h o tien e 4 p u lg a d a s d e e s­ p eso r y d e b e s e r de c o n c re to ligero c o n u n a d en sid ad de 102 lb/picJ. Se supone q u e la carga viva causada p o r la acumu­ lación d e nieve e s trap ezo id al, c o n 6 0 p sf a la d erech a (c o n ­ tra la p a re d ) y 20 psf a la izquierda (e n la saliente). S u p o n g a q u e la losa de co n creto está sim plem ente ap o y ad a e n tre las vigas. D ibuje lo s diagram as de fuerza c o rta n te y efe m o ­ m ento p a ra la viga lateral A B . N o to m e e n cu e n ta s u peso. P rob. 4 -2 P 4 pies" 1 7 8 C a p it u l o 4 C arg as in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s H 4 -3 P . E n la figura se m uestra el p lan o estru c tu ral ideali­ zado d e u n sistem a d e piso localizado e n el v estíb u lo d e un edificio d e oficinas. Hl piso e s d e c o n c re to re fo rz a d o co n piedra de 4 pulgadas d e e sp eso r. Si las p a red e s del hueco d el elev a d o r e stán hech as con m an ip o stería d e c o n c re to li­ gero sólido d e 4 p u lg ad as d e espesor, y tie n e n una a ltu ra de 10 pies, d eterm in e e l m o m en to m áx im o e n la viga A R . Ig­ nore el peso de los elem en to s. H 8 pies H Hueco del pies e le v a d o r 8 pies D M L _ « Pi „ _ L 6 pies—I—6 pies— P roh. 4 - 3 P REPA SO D EL C A P IT U L O Los elem entos estructurales som etidos a carg as planas soportan una fuerza norm al interna N . una fu erza c o r­ lante V y un m om ento flexionante M. Para encontrar estos v alores e n un punto específico de u n elem ento, debe usarse el m éto d o d e las secciones. P ara ello e s ne­ cesario dibujar u n diagram a d e cu erp o libre de un seg ­ m ento del elem ento, y después aplicar las tres ecuaciones de equilibrio. Siem pre m uestre las tre s cargas internas sobre la sección e n sus direcciones positivas. La fuerza c o rta n te y d e m o m en to p u e d e ex p resarse en función d e x a lo largo d el e le m en to a l esta b le c er el origen en u n p u n to fijo (n o rm alm e n te e n el ex trem o izquierdo d el elem en to , p a ra d e sp u és u sa r el m éto d o de las secciones, d o n d e se realiza la sección a u n a d is­ tan cia x desde e l o rig en ). P ara los e le m e n to s so m e ti­ d o s a cargas diversas d e b en e x te n d e rse d iferen tes co ordenadas * en tre las cargas. convención de signos posáivos — x ,— -x2■Xy / R e p a s o d e l c a p it u l o 1 7 9 l-o s d i a g r a m a s d e f u e r / a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s p u e d e n d i b u j a r s e g r a f i c a n d o l a s f u n c i o ­ n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o . T a m b ié n p u e d e n d i b u j a r s e u s a n d o la s d o s r e l a c i o n e s g rá fic a s . Jd L - v dx v f x “ W {I) t e n d i e n t e d e l d ia g r a m a 1 _ / I n t e n s id a d d e la de fu e rz a c o rta n te / te n d ie n te d e l d ia g r a m a / \ c a rg a d is tr ib u id a = { F u e r/a c o rta n te de m o m e n to / T e n g a e n c u e n t a q u e u n p u n t o d e f u e r z a c o r t a n t e c e r o lo c a liz a a l p u n t o d e m o m e n to m á x im o p u e s t o q u e V = d M / d x = 0. 4 A V = J w { x ) dx C a m b io e n la 1 _ fu e r z a c o r t a n t e / A M = J V ( x ) dx Á r e a b a jo e l C a m b io e n 1 _ d ia g r a m a d e el m o m e n to / c a rg a d is tr ib u id a í Á r e a b a jo e l d ia g r a m a \ d e f u e r z a c o r t a n te U n a f u e r z a q u e a c t ú a h a c i a a b a j o s o b r e la v ig a l i a r á q u e e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e s a l te h a c ia a b a jo , y u n m o m e n t o d e p a r e n s e n t id o c o n t r a r i o a l d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j h a r á q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n t o s a l t e h a c i a a b a jo . P Ml . I I Ml 1 1) M ! - = ñ = ■ VV u \r IP J M, V'* M, E m p l e a n d o e l m é t o d o d e s u p e r p o s i c i ó n , lo s d i a g r a m a s d e m o m e n t o p a r a u n e l e m e n t o p u e d e n r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e u n a s e rie d e f o r m a s m á s s im p le s . I j i s f o r m a s r e p r e s e n t a n e l d ia g r a m a d e m o m e n t o p a r a c a d a u n a d e la s c a r g a s p o r s e p a r a d o . E n to n c e s , e l d i a g r a m a d e m o m e n t o r e s u l t a n t e e s la s u m a a l g e b r a i c a d e l o s d i a g r a m a s s e p a r a d o s . E s te p u e n t e d e a r c o p a r a b ó l i c o s o s t i e n e la c u b i e r t a q u e c o m u n i c a a m b o s e x t r e m o s . Cables y arcos A m e n u d o , lo s c a b le s y a rc o s c o n s titu y e n e l e le m e n t o p r in c ip a l p a ra s o p o r ta r c a rg a s e n m u c h o s tip o s d e e s tru c tu ra s , y e n e s te c a p ít u lo se a n a liz a rá n a lg u n o s d e lo s a s p e c to s m á s im p o r t a n t e s r e la c io n a d o s c o n su a n á lis is e s tr u c tu r a l. El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n e s tu d io g e n e r a l d e lo s c a b le s , s e g u id o d e u n a n á lis is d e lo s c a b le s s o m e tid o s a u n a c a rg a c o n c e n tra d a y a u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a . C o m o la m a ­ y o ría d e lo s a rc o s s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s , s ó lo s e c o n s id e ­ rará e l c a s o e s p e c ia l d e u n a rc o c o n tr e s a rtic u la c io n e s . El a n á lis is d e e s ta e s tru c tu ra a y u d a a u n a m e jo r c o m p re n s ió n d e l c o m p o r t a m ie n t o fu n d a m e n ta l d e t o d a s las e s tru c tu ra s a rq u e a d a s . 5 .1 C a b le s E n la s o b r a s d e in g e n ie r ía c o n f r e c u e n c ia s e u s a n lo s c a b le s p a r a s o p o r ­ ta r y tr a n s m itir c a rg a s d e u n e le m e n to a o t r o . C u a n d o se u tiliz a n p a ra s o s te n e r te c h o s c o lg a n te s , p u e n te s c o lg a n te s y la s r u e d a s d e u n c a r r e tó n , lo s c a b le s r e p r e s e n ta n e l e le m e n to p rin c ip a l p a r a s o p o r ta r la s c a r g a s s o b r e la e s tr u c tu r a . E n e l a n á lis is d e fu e r z a s d e e s to s s i s te m a s .s e p u e d e p a s a r p o r a l t o e l p e s o d e l c a b le e n s í; s in e m b a r g o , c u a n d o lo s c a b le s se u s a n c o m o te n s o r e s p a r a a n t e n a s d e r a d io , lín e a s d e tr a n s m is ió n e lé c tric a o to r r e s d e p e r f o r a c ió n , e l p e s o d e l c a b le p u e d e lle g a r a s e r i m p o r t a n te y d e b e in c lu irs e e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s se te n d r á n e n c u e n ta d o s c a so s : u n c a b le s o m e ti d o a c a r g a s c o n c e n t r a d a s y u n c a b le s u j e to a u n a c a rg a d is trib u id a . S ie m p r e q u e e s t a s c a r g a s s e a n c o p la n a r e s c o n e l c a b le , lo s r e q u is ito s p a r a e l e q u il ib r io s e f o r m u la n d e m a ­ n e ra id é n tic a . 1 8 2 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s O t a n d o s e o b t e n g a n la s re la c io n e s n e c e s a r ia s e n t r e la f u e r z a e n el c a b le y s u p e n d ie n te , s e s u p o n d r á q u e e l c a b l e e s p e r fe c ta m e n te fl e x ib l e e in e x te n s ib le . D e b id o a s u fle x ib ilid a d , e l c a b le n o o f r e c e r e s is t e n c ia a la f u e r z a c o r t a n te o a la fle x ió n y, p o r lo ta n to , la f u e r z a q u e a c tú a e n el c a b le s ie m p re e s ta n g e n te a é s te e n lo s p u n to s u b ic a d o s e n to d a s u lo n g i­ tu d . Si e s in e x te n s ib le , e l c a b le ti e n e u n a lo n g itu d c o n s ta n te , ta n t o a n te s c o m o d e s p u é s d e a p lic a r la c a r g a . E n c o n s e c u e n c ia , u n a v e z q u e s e a p lic a la c a r g a , la g e o m e tr ía d e l c a b le p e r m a n e c e fija y e l c a b le , o u n s e g m e n to d e é s t e , p u e d e t r a ta r s e c o m o u n c u e r p o ríg id o . 5 .2 L a c u b ie rta d e u n p u e n te a tira n ta d o s e s o s ­ tie n e m e d ia n te u n a s e r ie d e c a b le s c o n e c ta ­ d o s e n v a r io s p u n t o s a lo la r g o d e l a c u b ie r ta y lo s p ilo n e s . C a b le s o m e tid o a ca rg a s c o n c e n tra d a s C u a n d o u n c a b le c u y o p e s o s e p u e d e p a s a r p o r a l t o s o p o r ta v a ria s c a rg a s c o n c e n tra d a s , t i e n e la f o r m a d e v a rio s s e g m e n to s d e lí n e a r e c t a , c a d a u n o d e lo s c u a le s e s t á s o m e ti d o a u n a f u e r z a d e te n s ió n c o n s ta n te . C o n s id e r e , p o r e je m p lo , e l c a b l e q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5-1. A q u í 0 e s p e c ific a e l á n g u lo d e l a c u e r d a d e l c a b le A B y L e s e l c la r o d e l c a b le . S i las d is ta n ­ c ia s L \ , L i y L 3 y la s c a r g a s P ( y P 2 s o n c o n o c id a s , e n to n c e s e l p r o b le m a c o n s is te e n d e te r m i n a r la s n u e v e in c ó g n ita s d e q u e c o n sta b te n s ió n en c a d a u n o d e lo s tr e s s e g m e n to s , la s c u a tr o c o m p o n e n t e s d e la r e a c c ió n e n A y B , y la s fle c h a s y e y y o e n lo s d o s p u n to s C y D . P a ra la s o lu c ió n se p u e d e n e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s e n c a d a u n o d e lo s p u n to s A , B , C y D . E s to se tr a d u c e e n u n to ta l d e o c h o e c u a c io n e s. P a ra c o m p l e ta r la s o l u c ió n .s e r á n e c e s a r io c o n o c e r a lg o a c e r c a d e la g e o ­ m e tr ía d e l c a b le a fin d e o b te n e r la n o v e n a e c u a c ió n n e c e sa ria. P o r e je m p lo , s i s e e s p e c ific a la lo n g itu d to ta l d e l c a b l e ££,e n to n c e s s e u s a e l te o r e m a d e P itá g o ra s p a r a r e la c io n a r c o n c a d a u n a d e la s tr e s lo n g itu d e s d e lo s s e g m e n to s , e s c r ito e n té r m in o s d e 0, y ^ y n * ^ 2 y ¿ 3 - P o r d e s g r a c ia , e s t e tip o d e p ro b le m a s n o p u e d e re s o lv e rs e c o n fa c ilid a d m a n u a lm e n te . Sin e m b a r g o , o t r a p o s ib ilid a d c o n s is te e n e s p e c if ic a r u n a d e la s fle c h a s , y c o y D , e n v e z d e l a lo n g itu d d e l c a b le . D e e s t a m a n e r a , la s e c u a c i o n e s d e e q u ilib r io s o n s u f ic ie n te s p a r a la o b te n c ió n d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s y la fle c h a r e s ta n te . U n a v ez q u e se o b ti e n e la fle c h a e n c a d a p u n to , f £ p u e d e d e te r m i n a r s e p o r tr ig o n o m e tr ía . A l r e a l iz a r u n a n á lis is d e e q u ilib r io p a r a u n p r o b le m a d e e s t e ti p o , las fu e r z a s e n e l c a b le ta m b ié n p u e d e n o b te n e r s e e s c r ib ie n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a to d o e l c a b le o c u a lq u ie r p o r c i ó n d e l m ism o . E l s i­ g u ie n te e je m p lo ilu s tra e s t o s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a . 5 .2 C a b le s o m e tid o a c a rg a s c o n c e n tr a d a s D e te r m in e la te n s ió n e n c a d a s e g m e n to d e l c a b le q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 5-2<j. A d e m á s , ¿ c u á l e s e l v a lo r d e la d im e n s ió n h 'í S O L U C IÓ N R>r in s p e c c ió n , h a y c u a t r o r e a c c io n e s e x te r n a s d e s c o n o c id a s ( A x , A y , D x y D y ) y tr e s te n s io n e s d e s c o n o c id a s , u n a e n c a d a s e g m e n to d e l c a b le . E s ta s s i e t e in c ó g n ita s , j u n t o c o n la fle c h a h p u e d e n d e t e r m i ­ n a rs e a p a r t i r d e la s o c h o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s ( I . F , = 0 , 'ZFy = 0 ) a p lic a d a s a lo s p u n to s d e s d e A h a s ta D . U n m é to d o m á s d ir e c to p a r a e n c o n tr a r la s o lu c ió n e s r e c o n o c e r q u e la p e n d i e n t e d e l c a b l e C D e stá e s p e c i f i c a d a ; p o r e n d e , e n la fig u ra 5 -2 b se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e to d o e l c a b le . L a t e n ­ s ió n e n e l s e g m e n to C D p u e d e o b te n e r s e d e la s i g u ie n t e m a n e r a : i + Z M Á = O. T c d Í 3 / 5 ) ( 2 m ) + 7 c#)( 4 / 5 ) ( 5 .5 m ) - 3 k N ( 2 m ) - 8 k N ( 4 m ) = 0 T c d = 6 .7 9 k N R esp . A h o r a e s p o s ib le a n a li z a r d e m a n e r a s e c u e n d a l e l e q u ilib r io d e lo s p u n to s C y D . P u n to C ( f i g u r a 5 -2 c); <b) y X l F x = 0; 6 .7 9 + 1 6 .7 9 k N ( 4 / 5 ) - 8 k N + 7 * - s e n 0 BC = 0 B fíc = 3 2 .3 ° T b c = 4 .8 2 k N = 0; kN ( 3 / 5 ) - TBCe o s 0BC = 0 R esp . (c) y P u n to B (fig u ra 5 -2 d): X l F , 0; - T ñÁ e o s 0 BA + 4 .8 2 k N e o s 3 2 .3 ° = 0 + TZFy 0; T b a s e n 0 RA - 4.82 k N s e n 3 2 3 ° - 3 k N 0 BA = 5 3 .8 ° T b a = 6 .9 0 k N R esp . (d ) f ig u r a 5 - 2 ft> r l o t a n t o , c o n b a s e e n l a f i g u r a 5-2<i, h = ( 2 m ) t a n 5 3 .8 ° = 2 .7 4 m Resp. 1 8 3 1 8 4 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s 5 .3 C a b le s o m e tid o a u n a ca rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a L o s c a b le s p r o p o r c io n a n u n m e d io m u y e fic a z p a r a s o p o r ta r e l p e s o m u e r to d e las tr a b e s o lo s a s d e p u e n te s c o n c la r o s m u y a m p lio s . U n p u e n te c o lg a n te e s u n e je m p lo tf p i c o .e n e l q u e la c u b ie r ta e s t á s u s p e n ­ d id a d e l c a b le p o r m e d io d e u n a s e r ie d e s u je ta d o r e s c e r r a d o s e s p a c ia d o s d e m a n e r a u n ifo rm e . P a r a a n a li z a r e s te p r o b l e m a , p r i m e r o se d e te r m i n a r á la f o r m a d e u n c a b le s o m e tid o a u n a c a rg a v e r tic a l iv 0 u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a d e m a n e r a h o r iz o n ta l, fig u ra 5 -3 a . A q u í, lo s e j e s x y y ti e n e n s u o r i g e n e n el p u n to m á s b a jo d e l c a b le , d e m o d o q u e e n e s t e p u n t o la p e n d ie n t e e s c e ro . E n la f ig u r a 5 -3 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n s e g ­ m e n t o p e q u e ñ o d e l c a b le c o n u n a lo n g itu d A s .C o m o la f u e r z a d e te n s ió n e n e l c a b le c a m b ia c o n tin u a m e n te , t a n t o e n m a g n itu d c o m o e n d ir e c c ió n a to d o lo la r g o d e l c a b le , e s te c a m b io s e in d ic a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re c o n A T . L a c a r g a d is tr ib u id a se r e p r e s e n ta p o r m e d io d e s u f u e r z a r e s u lta n t e u '0A z ,l a c u a l a c t ú a e n A x /2 d e s d e e l p u n t o O . A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s e o b ti e n e X + Z F , = 0; T'Z F y = 0; { ,+ Z A /o = 0 ; - T e o s 9 + ( 7 + A r ) c o s ( 0 + A 0) = 0 - T s e n 9 - w0( A x ) + { T + A 'F ) s e n ( 0 + A 0 ) = 0 »v0( A x ) ( A x / 2 ) - T e o s 9 A y + 7 s e n 0 A * = 0 Si s e d iv i d e c a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s e n t r e A x y s e to m a e l lím ite c u a n d o A x - * 0 y. p o r e n d e , c u a n d o A y - * 0 , A 0 - * 0 y A T — 0 . r e s u lta d ( T e o s 9) <b) (5 -1 ) dx fig u ra 5 -3 d ( T s e n 9) wo dx (5 -2 ) (5 -3 ) dx A l in t e g r a r la e c u a c ió n 5 -1 .d o n d e T = F „ e n x = 0, s e tie n e : T eos 9 = F „ (5 -4 ) k> q u e in d ic a q u e l a c o m p o n e n t e h o r iz o n ta l d e la f u e r z a e n c u a lq u ie r p u n t o a lo la r g o d e l c a b le s e m a n tie n e c o n sta n te. Si s e i n t e g r a la e c u a c i ó n 5 -2 , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e T s e n 0 = 0 e n x = 0, r e s u lta T s e n 9 = wqX (5 -5 ) A l d iv id ir la e c u a c ió n 5 -5 e n tr e la e c u a c ió n 5 - 4 s e e lim in a T . L u e g o , u s a n d o la e c u a c ió n 5 -3 , e s p o s ib le o b t e n e r la p e n d ie n t e e n c u a lq u ie r p u n to . "o* ta n 9 dx Fu (5 -6 ) 5 .3 C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a 185 Si se in te g r a p o r s e g u n d a v e z c o n y = O e n x = O se o b tie n e JVo_ (5 - 7 ) 2F„ É s ta e s l a e c u a c ió n d e u n a p a r á b o la . L a c o n s t a n te p u e d e o b te n e r s e m e d ia n te e l u s o d e la c o n d ic ió n d e f r o n te r a y = h e n . t = ¿ . P o r lo ta n to . w 0L~ H (5 - 8 ) 2h F in a lm e n te , a l s u s titu ir e n la e c u a c ió n 5 -7 r e s u lta y - 7 h ^ 2 E l p u e n t e V c r r a / a n o - N a r r o w s e n la e n tr a d a a l p u e rto d e N u e v a Y o rk c u e n ta c o n un c l a r o p r in c ip a l d e 4 2 6 0 p ie s ( 1 . 3 0 k m ). (5 - 9 ) D e la e c u a c ió n 5-4, la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le o c u r r e c u a n d o 0 c s m á ­ x im a ; e s d e d r , e n x = L . P o r lo ta n to , a p a r tir d e la s e c u a c io n e s 5 -4 y 5-5, T . * = V F 2h + ( w 0L ) 2 (5 - 1 0 ) O b ie n , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5.8 e s p o s ib le e x p r e s a r Tm íx e n té r m i ­ n o s d e w o .es d e c ir . m ix »V0 / V i + ( L /2 J iY (5 -U ) O b s e r v e q u e s e h a ig n o r a d o e l p e s o d e l c a b le , e l c u a l e s u n if o r m e e n to d a la lo n g itu d d el c a b l e y n o a lo l a r g o d e s u p r o y e c c ió n h o r iz o n ta l. E n re a lid a d , u n c a b le s o m e tid o a s u p r o p i o p e s o y lib re d e c u a le s q u ie r o tr a s c a rg a s to m a r á la f o r m a d e u n a c u r v a c a te n a ria . S in e m b a r g o , s i la r e la ­ c ió n d e fle c h a s o b r e c la r o e s p e q u e ñ a , c o m o e n e l c a s o d e la m a y o r ía d e las a p lic a c io n e s e s tr u c tu r a le s , e s t a c u rv a se a p r o x im a a u n a fo r m a p a ­ ra b ó lic a . c o m o s e d e te r m i n ó a q u í. C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s d e e s t e a n á lis is , s e d e d u c e q u e u n c a b le m a n te n d r á u n a f o r m a p a r a b ó lic a s ie m p re q u e la c a r g a m u e r ta d e l a c u ­ b ie r ta p a r a u n p u e n te c o lg a n te o u n a tr a b e d e s u s p e n s ió n s e d is tr ib u y a u n ifo r m e m e n te e n to d a la lo n g i tu d p r o y e c t a d a h o r iz o n ta l d e l c a b le . P o r lo ta n t o , s i la tr a b e d e l a fig u ra 5 -4 a se s o s tie n e m e d ia n te u n a s e r ie d e g a n c h o s , q u e e s tá n c e r r a d o s y u n if o r m e m e n te e s p a c ia d o s , l a c a rg a e n c a d a g a n c h o d e b e s e r la m is m a p a r a q u e p u e d a a s e g u r a r s e q u e e l c a b le tie n e u n a f o r m a p a ra b ó lic a . S i s e u s a e s t e s u p u e s to , e s p o s ib le r e a l iz a r e l a n á lis is e s tr u c tu r a l d e la tr a b e o d e c u a lq u ie r o t r a e s t r u c t u r a q u e e s té s u s p e n d id a lib r e m e n te d e l c a b le . E n p a r tic u la r , si la t r a b e e s tá s im p le m e n te a p o y a d a , a s í c o m o s o s ­ te n id a p o r e l c a b le , e l a n á lisis s e r á e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e p r i ­ m e r g r a d o , f ig u r a 5 - 4 6 .S in e m b a r g o , s i la t r a b e t i e n e u n p a s a d o r in te r n o e n a lg ú n p u n t o in te r m e d io d e t o d a s u lo n g itu d , fig u ra 5 -4 c ,é s ta s e r ía u n a c o n d ic ió n d e m o m e n to c e r o y. p o r lo t a n t o . s e r í a p o s ib le r e a l iz a r u n a n á ­ lisis e s t r u c tu r a l d e te r m i n a d o d e la tr a b e . (c) fig u ra 5 -4 1 8 6 C a p it u l o E JE M P L O 5 C ables y a r c o s 5 .2 E l c a b le d e la fig u ra 5 - 5 a s o s tie n e u n a tr a b e q u e p e s a 8 5 0 I b /p ie . D e ­ te r m in e la te n s ió n e n e l c a b le e n lo s p u n to s A . B y C. A T r \ 20 100 pies x (a) (b) F ig u ra 5 -5 S O L U C IÓ N E l o r i g e n d e lo s e je s c o o r d e n a d o s s e e s ta b le c e e n e l p u n t o i* .e l p u n to m á s b a jo d e l c a b le , d o n d e la p e n d ie n t e e s c e r o , fig u ra 5 -5 d . A p a r tir d e la e c u a c i ó n 5 -7 , la e c u a c ió n p a r a b ó l ic a d e l c a b le es: = _W q_ ^ 2i rF „ , _ 8 5 0 I b / p ie ^ , = 425 i2 rF „ r„ F (!) S u p o n ie n d o q u e e l p u n to C se e n c u e n t r a a . t ' d e B , s e ti e n e 2 0 - f , * Fu F „ = 212 5 x '2 A d e m á s ,p a r a e l p u n t o A , •40 - ^ [ - ( t ° 0 - x ') ! 2 425 x a + 200x ’ - 10000 = 0 a:' = 4 1 .4 2 p ie s (2 ) 5 .3 C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a I\>r lo ta n t o , c o n b a s e e n las e c u a c io n e s 2 y 1 ( o la e c u a c i ó n 5 -6 ) se tie n e F u = 2 1 .2 5 (4 1 ,4 2 )2 = 36 4 5 9 .2 1 b dy 850 dx 36 4 5 9 .2 x = 0 .0 2 3 3 l x (3 ) E n e l p u n to A , x = - ( 1 0 0 - 4 1 .4 2 ) = - 5 8 .5 8 p ie s dy ta n 9 ^ r x 0 .0 2 3 3 1 ( - 5 8 . 5 8 ) = - 1 .3 6 6 j — 5838 9 Á = - 5 3 .7 9 c U s a n d o la e c u a c ió n 5 -4 , 3 6 4 5 9 .2 c o s f l^ ? fc c o s ( - 5 3 .7 9 ° ) E n e l p u n t o B , x = 0, d vy = 0, eB = o° * -o . 3 6 .5 k e o s 6b eos 0 E n e l p u n to C , x = 4 1 .4 2 p ie s dy t a n 0C = — dx 0 .0 2 3 3 1 (4 1 .4 2 ) = 0 .9657 * = 4 1 .4 2 flc = 4 4 .0 : T e m .r ! L .m * % l m S 0 .l k e o s 6C eo s 4 4 .0 ° R esp. 187 1 8 8 C a p it u l o E JE M P L O 5 C ables y a r c o s 5 .3 E l p u e n te c o lg a n te d e la fig u ra 5 -6 a x c o n s tr u y ó u s a n d o d o s a r m a d u ­ ra s d e rig id e z q u e e s t á n c o n e c ta d a s e n su s e x tr e m o s m e d ia n te u n p a ­ s a d o r e n C , y s e s o s tie n e n m e d ia n te u n p a s a d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B . D e te r m in e la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le I H . E l c a b le ti e n e u n a fo r m a p a ra b ó lic a y e l p u e n te e s t á s o m e ti d o a u n a s o la c a rg a d e 5 0 kN . H / (a) fig u ra 5 -6 S O L U C IÓ N E n la f ig u r a 5 -6 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l s is te m a c a b le - a r m a d u r a . D e a c u e r d o c o n l a e c u a c ió n 5 - 4 (7* e o s 9 = F „ ), la c o m p o n e n te h o r iz o n ta l d e la te n s ió n d e l c a b le e n / y H d e b e s e r c o n s ­ ta n t e , F u . S i se to m a n lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a B , s e ti e n e 1 + 2 M b = 0; —/ y(2 4 m ) - A y{2 4 m ) + 5 0 k N ( 9 m ) = 0 l y + A y = 18.75 5 .3 C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d is t r ib u id a (c) Si s e c o n s id e r a s ó lo la m ita d d e la e s t r u c tu r a s u s p e n d id a , fig u ra 5 -6 c , e n to n c e s a l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p a s a d o r e n C . s e o b ­ tie n e i + 2 M c = 0. F h { 14 m ) - F „ {6 m ) - / y( 1 2 m ) - ¿ ,(1 2 m ) = 0 l y + A y = 0 .6 6 7 F h A p a r t i r d e e s t a s d o s e c u a c io n e s . 18 .7 5 = 0 .6 6 7 F „ F h = 2 8 .125 k N P a r a o b t e n e r la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le s e u tiliz a rá la e c u a c ió n 5-11. p e ro p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5 -8 , e l v a lo r d e u n a c a r g a vv,, q u e s e s u p o n e u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a : 2 F „ h = 2 (2 8 .1 2 5 k N ) ( 8 m ) IV0 = — r r = sT 1 = 3 .1 2 5 k N /m L2 ~ (1 2 m)^ R>r lo ta n to , u s a n d o la e c u a c ió n 5 -1 1 . se ti e n e T mix = w , L \ / 1 + ( L /2 H ) 2 = 3 .1 2 5 (1 2 m ) \ / l + (1 2 m / 2 ( 8 m ) ) 2 = 4 6 .9 k N R esp . 189 1 9 0 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s PROBLEMAS 5 -1 . D e t e r m i n e la t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n t o d e l c a b l e y la l o n g i t u d t o t a l d e é s te . D e te r m in e la t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n to d e c a b l e y la d i s t a n c ia y D . P ro b . 5 - 1 5 -2 . 5 -3 . E l c a b l e A B C D s o p o r t a la c a r g a m o s tr a d a . D e t e r ­ m in e la t e n s ió n m á x i m a e n e l c a b l e y la f le c h a d e l p u n t o R . P ro b . 5 -3 * 5 - 4 . E l c a b l e s o p o r t a la c a r g a m o s t r a d a . D e t e r m i n e la d is ta n c ia x B.m e d i d a d e s d e A , a la a i a l a c t ú a la f u e r z a e n e l p u n t o B . C o n s i d e r e q u e P = 4 0 Ib. 5 - 5 . E J c a b l e s o p o r t a la c a r g a m o s tr a d a . D e t e r m i n e la m a g n itu d d e la f u e r z a h o r i z o n t a l P d e m a n e r a q u e x B = 6 p ie s . P rob. 5 -2 P robs. 5-4Z5-5 5 .3 C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a 5-6. D eterm ine las fu e rz a s /*, y P , necesarias p a ra m a n te ­ n e r a l cable e n la posición in d ic a d a .e sd e c ir.d e m o d o q u e el segm ento C D se m an teng a ho rizo n tal. T am bién e n c u e n tre la carga m áxim a e n el cable. 5-7. El c a b le está so m etid o a la carga uniform e. Si la p en d ie n te d el c a b le e n el p u n to O e s igual a c e ro , d e te rm in e la ecu ació n d e la curva y la fu e rz a e n e l c a b le e n lo s p u n to s O y B. 191 •5 -8 . H cab le soporta la carg a uniform e de w’0 “ 600 Ib/pie. D ete rm in e la ten sió n e n e l cab le e n cada so p o rte (ap o y o ) AyB. 5 -9 . D eterm ine la te n sió n m áxim a y m ín im a e n el cable, 10 lO i 8 p ie s o J— , TTTTTT I 15 p ie s t 5 0 0 I b /p ie 15 p ie s P rob. 5 -7 '1 n 1 6 k N /m n P ro b . 5 -9 1 9 2 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s 5 -1 0 . D eterm in e la carg a u n ifo rm e w m áxim a, m e d id a en Ib/pie, q u e p u ed e so p o rta r e l c a b le si e s cap az d e so ste n e r una tensión m áxim a d e 3000 Ib antes d e rom perse. 5 -1 3 . I-as a rm a d u ra s e s tá n articu lad as y cuelgan d e l cable parabólico. D eterm in e la fuerza m áxim a e n e l c a b le cu an d o la e stru c tu ra se s o m e te a la carga q u e se m uestra. 5 -1 1 . E l cable e stá so m e tid o a u n a carga u n ifo rm e h1 = 250 Ib/pic. D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ín im a e n el cable. Proh. 5 -1 3 5 -1 4 . D eterm in e la ten sió n m áxim a y m ínim a e n e l cable parab ó lico y la fu erza e n c ad a uno d e los ganchos. La tra b e está so m e tid a a una carga u n ifo rm e y se co n ecta m ed ian te un p a sa d o r e n B. 5 -1 5 . D ib u je lo s d iagram as d e fu erza c o rta n te y d e m o­ m ento p a ra las tra b e s articu lad as A B y B C. E l cab le tiene una fo rm a p arabólica. *5-12. E l cable q u e se m u estra e n la fig u ra e stá som etido a la carg a u niform e »v0. D eterm in e la relació n en tre la e le ­ vación h y e l claro / . q u e se trad u cirá e n el u so d e la can ti­ dad m ínim a d e m aterial p a ra el cable. P roh. 5 -1 2 P r o b s . 5 — 14 /5 — 15 5 .3 C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a *5-16. 1*1 c a b le se ro m p e rá cu an d o la ten sió n m áxim a al* canee = 5000 kN. D ete rm in e la c arg a u n ifo rm em en te distribuida tv máxim a n ecesaria p a ra d e sarro lla r esta te n ­ sión m áxim a. 1 9 3 5-19. L as vigas A B y B C so so stien en m e d ian te el cable q u e tiene una fo rm a p arabólica. D ete rm in e la ten sió n e n el cable e n lo s p u n to s D , F y E, a s í com o la fu e rz a e n c a d a uno d e lo s su jeta d o re s ig u alm en te espaciados. 5-17. E l cable e stá so m etid o a u n a c arg a u n ifo rm e d e w = 60 k N /m . D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ínim a e n el cable. P robs. 5 -1 6 /5 -1 7 5-18. E l c a b le A B está so m etid o a una carga u n ifo rm e d e 200 N /m . Si se pasa p o r a lto el peso d e l cab le y los án g u lo s d e la p e n d ien te e n lo s p u n to s A y B so n 3 0 y 60“. resp ectiv a­ m ente, d eterm in e la cu rv a q u e d e fin e la fo rm a d e l cab le y la tensión m áxim a desarro llad a e n e l cable. P rob. 5 -1 9 *5-20. D ibuje los d iagram as de co rta n te y d e m o m en to pura las v ig as A B y B C. E l cab le tien e u n a fo rm a p arabólica, 1 9 4 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s 5 .4 A rc o s A l ig u a l q u e lo s c a b le s, lo s a rc o s p u e d e n u s a r s e p a r a r e d u c ir lo s m o m e n ­ to s d e fle x ió n e n la s e s t r u c tu r a s c o n c la r o s a m p lio s . E n e s e n c ia , u n a rc o fu n c io n a c o m o u n c a b le in v e r tid o , p o r lo q u e g e n e r a l m e n t e re c ib e c a rg a e n c o m p r e s ió n ; a u n q u e , d e b id o a s u r ig id e z . ta m b ié n d e b e re s is tir a lg u ­ n a s f u e r z a s d e fle x ió n y d e c o r t a n t e d e p e n d ie n d o d e c ó m o e s té c a r g a d o y c u á l s e a s u f o r m a . E n p a r t i c u l a r , s i e l a r c o t i e n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a y se s o m e te a u n a c a r g a v e r t ic a l u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a d e m a n e r a h o r iz o n ta l, e n to n c e s a p a r t i r d e l a n á lis is d e lo s c a b le s se d e d u c e q u e e l a r c o s ó lo re sistirá fu e r z a s d e c o m p r e s ió n . E n e s ta s c o n d ic io n e s , la fo r m a tra s d ó s (o ) H cu ra 5 -7 ^ a r c o s e c lc n o m in a a r c o fu n i c u la r , p o r q u e d e n t r o d e é l n o s e p r o d u c e n fu e r z a s d e fle x ió n n i f u e r z a s c o r ta n te s . E n la f ig u r a 5 -7 s e m u e s tr a u n a r c o típ ic o , q u e e s p e c if ic a a lg u n a d e la n o m e n c l a tu r a q u e s e u s a p a r a d e f i n ir s u g e o m e t r í a . D e p e n d i e n d o d e la a p lic a c ió n , p u e d e n s e le c c io n a r s e v a rio s tip o s d e a rc o s p a r a s o p o r t a r u n a c a rg a . U n a rc o f i j o , fig u r a 5 - 8 a ,s u e le h a c e r s e d e c o n c r e t o re f o rz a d o . A u n q u e s u c o n s tr u c c ió n p u e d e r e q u e r ir m e n o s m a t e r i a l q u e la d e o tr o s tip o s d e a rc o s , d e b e te n e r p ila s d e c im e n ta c ió n só lid a s , p u e s t o q u e e s in ­ d e te r m i n a d o d e t e r c e r g r a d o y, e n c o n s e c u e n c ia , p u e d e n in tr o d u c ir s e te n s io n e s a d ic io n a le s a l a r c o , d e b i d o a l a s e n t a m i e n to r e l a ti v o d e su s s o ­ p o rte s . U n a r c o d e d o s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - S b ,s e h a c e c o m ú n m e n te d e m e ta l o d e m a d e r a . E s in d e te r m in a d o d e p r i m e r g r a d o y. a u n q u e n o e s t a n r íg id o c o m o u n a rc o fijo , e s a lg o in s e n s ib le a l a s e n ta m ie n to . E s ta e s ­ tr u c tu r a p o d r í a h a c e r s e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a a l s u s tit u ir u n a d e las a rtic u la c io n e s p o r u n ro d illo . S in e m b a r g o , a l h a c e r t e d e e s t a m a n e r a se e lim in a la c a p a c id a d d e la e s t r u c t u r a p a r a r e s is t ir la fle x ió n a lo la r g o d e s u c la r o y, p o r e n d e , s e r v ir ía c o m o u n a v ig a c u r v a y n o c o m o u n a rc o . U n a r c o d e tr e s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - 8 c ,q u e ta m b ié n s e h a c e d e m e t a l o d e m a d e r a , e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d o . A d if e r e n c ia d e lo s a r c o s e s t á t i ­ c a m e n te in d e te r m in a d o s , n o le a f e c ta n lo s c a m b io s e n e l a s e n t a m i e n to o la te m p e r a t u r a . Ite r ú ltim o , s i se v a n a c o n s t r u ir a r c o s d e d o s y tr e s a r t ic u ­ la c io n e s s in r e q u e r ir g r a n d e s p ila s d e c im e n ta c ió n y s i e l e s p a c ia m ie n to n o e s u n p r o b l e m a , e n to n c e s lo s s o p o r te s p u e d e n c o n e c ta r s e m e d ia n te u n ti r a n t e , fig u ra 5 -8 d . U n a rc o a tir a n ta d o p e r m ite q u e la e s t r u c t u r a se c o m p o r te c o m o u n a u n id a d ríg id a , p u e s t o q u e e l ti r a n t e s o p o r ta la c o m ­ p o n e n te h o r iz o n ta l d e l e m p u je e n lo s s o p o r t e s A d e m á s , ta m p o c o le a fe c ta e l a s e n t a m i e n to re la tiv o d e lo s s o p o r te s . 5 .5 5 .5 A m o D E TRES AR TIC U LAC IO N ES 195 A rc o d e tr e s a rtic u la c io n e s C b n el fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la f o r m a e n q u e lo s a r c o s tr a n s m ite n las c a rg a s , a c o n tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á e l a n á lis is d e u n a r c o d e tr e s a r ­ ticu lacio n es, c o m o e l q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 5 -9 a . E n e s te c a so , la te rc e ­ ra a rtic u la c ió n s e e n c u e n t r a e n la c o r o n a y lo s s o p o r te s ( o a p o y o s ) e s tá n a d if e r e n te s a ltu ra s . Si se d e s e a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s , e l a r c o d e b e d e s m o n ta r s e p a r a d e s p u é s h a c e r e l d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e c a d a e le m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5 -9 b . A q u í h a y s e is in c ó g n ita s p a r a las c u a le s h a y d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . U n m é t o d o p a r a la s o lu c ió n d e e s te p r o b le m a c o n s is te e n a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a lo s p u n to s A y B . L a s o lu c ió n s i m u ltá n e a p r o d u c i r á la s r e a c c io n e s C , y Cy L u e g o , la s r e a c c i o ­ n e s e n lo s s o p o r te s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e rz a s. U n a v ez o b te n i d a s e s t a s r e a c c io n e s , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la s fu e r z a s n o r m a l y c o r t a n t e in te r n a s , a s í c o m o la s c a rg a s d e m o m e n to e n c u a lq u ie r p u n t o d e l a r c o s ig u ie n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s . A q u í, p o r s u p u e s to , la s e c c ió n s e d e b e t o m a r p e r p e n d i c u la r a l e je d e l a r c o e n el p u n to c o n s id e ra d o . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 5 - 9 c s e m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e p a r a e l s e g m e n to A D . l-os a r c o s d e tr e s a r tic u la c io n e s ta m b ié n p u e d e n t o m a r la f o r m a d e d o s a r m a d u r a s a r t ic u l a d a s ,c a d a u n a d e la s c u a le s r e e m p la z a r ía a la s c o s tilla s d e l a r c o A C y C R en la f ig u r a 5 -9 a . E l a n á lis is d e e s t a f o r m a s ig u e e l m ism o p r o c e d i m i e n to d e s c r ito a n te r io r m e n te . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e s to s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a . (a) (b) El arco de arm aduras de Ircs articulaciones x utiliza p ara soportar una parte de la carga del lecho de este edificio (a). E l acerca­ miento muestra que el arco está articulado en su parte superior (b). (a) *i i Nn Md V„ A, <b) F ig u r a 5 - 9 r B. (O 1 9 6 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s E l p u e n t e d e a rc o c o n e n ju ta a b i e r t a y tr e s a rtic u la c io n e s , c o m o e l q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía tie n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a . S i e s t e a r c o d e b e s o p o r t a r u n a c a rg a u n if o r m e y ti e n e la s d im e n s io n e s in d ic a d a s e n la fig u ra 5 -10 a ,d e m u e s t r e q u e el a rc o e s t á s o m e ti d o s ó lo a c o m p r e ­ s ió n a x ia l e n u n p u n t o in te r m e d io c o m o e l p u n to D . S u p o n g a q u e la c a rg a s e tr a n s m ite u n if o r m e m e n te a la s c o stilla s d e l a rc o . (a ) n g n r a 5 -1 0 S O L U C IÓ N A q u í lo s a p o y o s ( s o p o r te s ) e s tá n a la m is m a a ltu r a . L o s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e to d o e l a r c o y d e la p a r t e R C se m u e s tr a n e n las fig u ­ ra s 5 -1 0 6 y 5 -1 0 c . A l a p li c a r las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se tie n e : A r c o c o m p le to : t+ S A f x = 0; C ,(1 0 0 p ie s ) - 5 0 k (5 0 p ie s ) = 0 C , = 25 k 5 .5 A l K O D E TRES A R TIC U LA C IO N E S 1 9 7 S e g m e n to B C cfcl arc o : t+ Z A ff l = 0; - 2 5 k (2 5 p ie s ) + 25 k (5 ü p i e s ) - C , ( 2 5 p ie s ) = 0 C x = 25 k X 2 F t = 0; Bx = 2 5 k + T 2 F y = 0; B y - 2 5 k + 25 k = 0 (c) By = 0 U n a se c c ió n d e l a rc o to m a d a a tr a v é s d e l p u n t o D ,.x = 2 5 p ie s , y = - 2 5 ( 2 5 ) 2/ ( 5 0 ) 2 = - 6 . 2 5 p i e s . s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 0 d . L a p e n ­ d ie n te d e l s e g m e n to e n D e s dy -5 0 = - 0 .5 x = 25 pira e = - 2 6 .6 ° A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ,f ig u r a 5 - l ü d , s e ti e n e X 2 F , = 0; + ] 2 F y = 0; t + S M o = 0; 25 k - N „ e o s 2 6 .6 o - V ^ s e n 2 6 .6 ° = 0 - 1 2 . 5 k + N D s e n 2 6 .6 ° - V¡¡ e o s 2 6 .6 ° = 0 M d + 12.5 k (1 2 .5 p ie s ) - 2 5 k { 6 .2 5 p ie s ) = 0 N d = 2 8 .0 k R esp . Vn = 0 R esp . M d = 0 R esp . Nota: Si el arco tuviera una forma diferente o á la carga no fuera uniforme, entonces la fu e ra cortante y el momento internos « ría n nulos. Además, si « usara una viga sim­ plemente apoyada para soportar la carga distribuida, tendría que resistir un momento flcxionante máximo de M = 625 k • pie. Por comparación, es más eficiente resistir estmcturalmente la carga en compresión directa (aunque debe considerar» la posibili­ dad de pandeo) que resistir la carga debida a un momento flexionante. 5 1 9 8 C a p it u l o E JE M P L O 5 C ables y a r c o s 5 .5 E l a rc o a ti r a n t a d o d e tr e s a r tic u la c io n e s e s tá s o m e ti d o a la c a rg a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 la . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s C H y C B . E l e l e m e n t o G F , tr a z a d o c o n lín e a s d is c o n tin u a s e n la a r ­ m a d u r a , e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r ta r f u e r z a a lg u n a . (a) <b) Figura 5-11 S O L U C IÓ N I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n o b te n e r s e d e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e to d o e l a r c o , fig u ra 5 -1 1 b: Í + 2 M a = 0; E y {1 2 m ) - 1 5 k N (3 m ) - 2 0 k N (6 m ) - 1 5 k N (9 m ) = 0 E y = 25 kN ^ Z F x = 0; + T 2 F y = 0; >4, = 0 Ay - 15 k N - 2 0 k N - 15 k N + 2 5 k N = 0 A y = 25 kN L a s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a q u e a c tú a n e n la j u n t a C p u e d e n d e t e r ­ m in a rs e c o n s id e r a n d o e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz ­ q u ie r d a d e l a r c o , fig u ra 5 -1 le . P r i m e r o .d e t e r m in e la fu e rz a : 25 k N t+ Z M c = 0; (c) F a e ( 5 m ) - 2 5 k N ( 6 m ) + 15 k N ( 3 m ) = 0 F jip = 2 1 .0 k N 5 .5 A l C O D E TRES A R TIC U LA C IO N E S 1 9 9 E n to n c e s . X ZFX = 0; + T 2 F V= 0; -c, + 2 1 .0 k N = 0 , C , = 2 1 .0 k N 2 5 k N - 15 k N - 2 0 k N + C , = 0 . C y = 10 k N 2 0 kN P a r a o b t e n e r la s f u e r z a s e n C U y C B , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las ju n ta s d e l a s ig u ie n te m a n e r a : G Fot J u n t a G ; fig u ra 5-1 I d , (d ) + T 2 F ,- 0 ; Fq c - 2 0 k N = 0 20 kN Fc c = 2 0 k N ( C ) '" a t a r F í - 2 1 .0 k N f 10 k N J u n t a C ;f i g u r a 5-1 l e . (c) - i X F , = 0; + 1 S F y = 0; Fcb( ^ ) - 2 1 .0 k N - F c « (^ ) = 0 + r c H ( ^ u ) - 2 0 k N + 10 k N = 0 ft>r lo ta n to . F c b = 2 6 .9 k N (C ) R esp . F c n = 4 .7 4 k N ( T ) R esp . N o ra : E n o c a s io n e s , lo s a rc o s a tir a n ta d o s se e m p le a n e n p u e n te s . A q u í la c u b ie r ta e s tá « s i e n i d a p o r b a r r a s d e s u s p e n s ió n q u e tr a n s m ite n s u c a r g a a l a rc o . L a c u b ie r ta e s tá e n te n s ió n , d e m o d o q u e s o p o r ta e l e m p u je re a l o la fu e rz a h o riz o n ta l e n lo s e x tr e m o s d e l a rc o . 2 0 0 C a p it u l o E JE M P L O 5 C ables y a r c o s 5 .6 E l a rc o d e a r m a d u r a d e tr e s a r tic u la c io n e s q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 5 - 1 2 a s o p o r ta la c a r g a s im é tr ic a . D e te r m in e la a l t u r a h ¡ r e q u e r id a p a ra la s ju n t a s R y D . d e m o d o q u e e l a rc o te n g a u n a f o r m a fu n ic u la r. E l e l e m e n t o H G e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r t a r f u e r / a a lg u n a . S O L U C IÓ N P a r a u n a c a rg a s i m é tr ic a , la fo r m a f u n ic u la r d e l a r c o d e b e s e r p a r a b ó ­ lic a c o m o lo in d ic a la lín e a d is c o n tin u a (f ig u ra 5 -1 2 6 ). A q u í d e b e m o s e n c o n tr a r la e c u a c ió n q u e s e a ju s ta a e s t a f o r m a . Si lo s e j e s x y y tie ­ n e n s u o r ig e n e n C . la e c u a c i ó n e s d e la f o r m a y « e x 2. P a r a o b t e n e r la c o n s t a n te c . s e r e q u i e r e - ( 1 5 p ie s ) = - c ( 2 0 p i e s ) 7 c = 0 .0 3 7 5 /p ie P b r lo ta n t o . (b) y D = - ( Q 0 3 7 5 / p i e ) ( 1 0 p ie s ) 2 = - 3 . 7 5 p ie s fig u ra 5 -1 2 A s í q u e a p a r t i r d e la f ig u r a 5 - 1 2 a, h \ = 15 p ie s - 3.75 p ie s = 11.25 p ie s R esp . A p r o v e c h a n d o e s t e v a lo r , s i a h o r a s e a p lic a e l m é to d o d e lo s n u d o s a la a r m a d u r a , lo s r e s u lta d o s m u e s tra n q u e l a c u e r d a d e la p a r t e s u p e ­ r i o r y t o d o s lo s e le m e n to s d e la d ia g o n a l s e r á n e le m e n to s d e fu e re a c e ro , y la c a r g a s im é tr ic a s e r á s o p o r t a d a s ó l o p o r lo s e le m e n to s A B , B C , C D y D E d e la c u e r d a in fe r io r d e l a a r m a d u r a . 5 .5 A I C O D E TRES A R TIC U L A C IO N ES 2 0 1 PROBLEMAS 5-21. E l arco a tira n ta d o d e tre s articu lacio n es e stá so m e ­ tido a las cargas indicadas. D ete rm in e las c o m p o n e n te s de la reacción e n A y C .a s í c o m o la ten sió n e n e l cable. 5-23. E l arco de e n ju ta c o n tre s articulaciones e stá so m e ­ tido a las cargas indicadas. D ete rm in e e l m o m en to in te rn o e n el a rc o e n e l p u n to D. P ro h . 5-21 P roh. 5 -2 3 5-22. D eterm ine las fu erzas re su ltan tes e n lo s p asad o res A , B y C d c la a rm a d u ra de tech o a rq u e a d a y de tre s articu ­ laciones. •5 -2 4 . E l a rc o a tira n ta d o d e tre s articu lacio n es e stá so m e ­ tido a las cargas indicadas. D ete rm in e las c o m p o n e n te s de la reacción e n A y C .así co m o la ten sió n e n la barra. P ro h . 5 -22 P roh. 5 -2 4 2 0 2 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s 5 -2 5 . E l p u e n te e stá co n stru id o com o u n arco atirantado de tres articulaciones. D eterm in e las com ponentes horizontal y vertical d e la reacció n e n las articulaciones (p asad o res) A , R y C. E l e lem en to D E trazad o co n líneas d isco n tin u as está d e stin a d o a n o so p o rta r fu e rz a alguna. •5 -2 8 . E l a rc o d e e n ju ta d e tre s articu lacio n es e stá so m e­ tid o a la c arg a uniform e d e 2 0 k N /m . D ete rm in e e l m o­ m ento in te rn o e n e l a rc o e n e l p u n to D . 5 -2 6 . D eterm in e las a ltu ra s de d iserto h x, h j y h j d e la cuerda inferior d e la arm ad u ra, d e m o d o q u e e l a rc o d e tres articulaciones resp o n d a com o un arco funicular. 20 kN /m Probs. 5 -2 5 /5 -2 6 P roh. 5-28 5 -2 7 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de la reacción e n lo s p u n to s A , B y C del a rc o d e tre s articu la­ ciones. S uponga q u e A . R y C e stá n co n e c ta d o s m e d ia n te un pasador. 5 -2 9 . La e stru ctu ra a rq u e a d a está som etid a a la c arg a que se m u estra e n la figura. D ete rm in e las co m p o n en tes h o ri­ zontal y v ertical d e la reacción e n A y D , así co m o la tensión en la b a rra A D . P roh. 5 -2 7 Proh. 5 -2 9 R e p a s o d e l c a p it u l o 2 0 3 REPA SO D E L C A P ÍT U L O Los cables so p o rta n su s c arg as e n ten sió n s i se les co n sid era p erfectam en te flexibles. Si e l cable e stá so m e tid o a c arg as concentradas, e n to n c e s la tu erza q u e a c tú a en c ad a seg m e n to de cab le se d ete rm in a m ediante la aplicación d e las ecu acio n es de e q u ilib rio al diagram a d e c u e rp o libre d e los g ru p o s de seg m en to s d e l cable o a las ju n ta s d o n d e se aplican las fuerzas. 5 Si e l c a b le so p o rta una c arg a uniform e a lo largo d e una d is ­ tancia h o rizontal proyectada, e n to n c e s e l c a b le to m a la form a de una parábola. Los arcos e s tá n d ise ñ a d o s prim o rd ialm en te p ara so p o rta r una fuerza d e com presión. P ara so p o rta r una carga u n ifo r­ m em en te d istribuida so b re s u proyección h o rizo n ta l se r e ­ q uiere u n a fo rm a parabólica. I-os a rc o s d e tr e s articu lacio n es so n estática m e n te d e te rm i­ nad o s y p ueden an alizarse sep a ra n d o los d o s e le m e n to s p a ra después aplicar las ecu acio n es d e eq u ilib rio a c ad a e le ­ m ento. a rc o d e t r e s a rtic u la c io n e s AJ d iseña r lo s e le m e n to s de e s te p u e n te d e b e n tenerse e n cuenta las cargas m óviles causadas p o r los trenes. Las lineas de in fluen cia para los elem entos fo rm a n p a rte im p o rta n te d e l análisis estructural. Líneas de influencia para estructuras estáticamente determ inadas Las lín e a s d e in flu e n c ia tie n e n u n a a p lic a c ió n im p o r ta n te e n e l d is e ñ o d e las e s tru c tu ra s q u e re s is te n g r a n d e s c a rg a s viv a s . E n e s te c a p ítu lo se e s tu d ia rá c ó m o d i b u j a r la lín e a d e in flu e n c ia p a ra u n a e s tru c tu ra e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a . La t e o r ía s e a p lic a a e s tru c tu ra s q u e e s tá n s o m e tid a s a u n a c a rg a d is tr ib u id a o a u n a s e rie d e fu e rz a s c o n c e n tra ­ d a s ; a s im is m o , s e p re s e n ta n a p lic a c io n e s e s p e c ífic a s p a ra v ig a s d e p is o y v ig a s d e p u e n te . A l f in a l d e l c a p ítu lo s e a n a liz a n la d e te r m in a ­ c ió n d e la fu e rz a c o r ta n te v iv a y e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s e n un e le m e n to . 6 .1 Lín e a s d e in flu e n c ia E n lo s c a p ítu lo s a n te r io r e s s e h a n d e s a r r o lla d o té c n ic a s p a r a e l a n á lis is d e fu e r z a s e n lo s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e b id a s a ca rg a s m u e r ta s o fija s . S e h a d e m o s tr a d o q u e lo s é a g r a m a s d e f u e r z a c o r la n te y d e m o ­ m e n to r e p r e s e n ta n lo s m é to d o s m á s d e s c r ip tiv o s p a r a m o s t r a r l a v a r ia ­ c ió n d e e s t a s c a r g a s e n u n e le m e n to . S in e m b a r g o , s i u n a e s t r u c tu r a e s t á s o m e tid a a u n a carg a v iv a o m ó v il,[ a v a ria c ió n d e la fu e rz a c o r t a n te y d e l m o m e n to d e fle x ió n e n e l e le m e n to s e d e s c r ib e m e jo r u s a n d o l a lín e a d e in flu e n c ia . U n a lín e a d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta la v a ria c ió n y a s e a d e la re a c c ió n , d e la f u e r z a c o r t a n t e , d e l m o m e n to o d e la d e f le x ió n e n u n p u n to e s p e c ific o d e u n e le m e n to , a m e d id a q u e u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a s e m u e v e a k) la r g o d e l e l e m e n t a D e s p u é s d e c o n s t r u ir e s ta l í n e a , e s p o ­ s ib le d e c ir d e u n v is ta z o d ó n d e d e b e c o lo c a r s e la c a r g a m ó v il s o b r e la e s ­ tr u c tu r a d e m o d o q u e c r e e la m a y o r in f lu e n c ia e n e l p u n to e s p e c ífic o . A d e m á s , e n to n c e s p u e d e c a lc u la r s e la m a g n itu d d e la r e a c c ió n , la f u e r z a c o r ta n te , e l m o m e n to o la d e f le x ió n a s o c ia d o s e n e l p u n t o a p a r t i r d e la s o r d e n a d a s d e l d ia g r a m a d e l a lín e a d e in flu e n c ia . P o r e s t o la s lín e a s d e in f lu e n c ia ju e g a n u n p a p e l i m p o r t a n te e n e l d is e rto d e p u e n te s , c a rr ile s d e g r ú a s in d u s tria le s , t r a n s p o r t a d o r e s y o tr a s e s t r u c tu r a s d o n d e la s c a r ­ g a s s e m u e v e n a lo la r g o d e u n c la r o . 206 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s A u n q u e e l p r o c e d im ie n to p a r a c o n s t r u ir u n a lí n e a d e in f lu e n c ia e s b a s ­ ta n te b á s ic o , d e b e t e n e r s e c la r a la d fe r e n c ia e n tr e c o n s t r u ir u n a lí n e a d e in f lu e n c ia y u n d ia g r a m a d e f u e r z a d e c o i t e o d e m o m e n to . L a s lín e a s d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta n e l e f e c t o d e u n a ca rg a m ó v i l s ó lo e n u n p u m o e s p e c ífic o d e u n e le m e n to , m ie n tr a s q u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r a c o r t a n te y d e m o m e n to r e p r e s e n ta n e l e f e c to d e la s ca rg a s f i j a s e n lo d o s lo s p u n ­ to s a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to . P ro c e d im ie n to de a n á lis is Si se d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia e n u n p u n t o P e s p e c ífic o d e u n e l e m e n t o p a r a c u a lq u ie r fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to ) p u e d e u s a r s e c u a lq u ie r a d e lo s d o s p r o c e d im ie n to s s ig u ie n te s . E n a m b o s c a so s s e e le g irá la f u e r z a m ó v il q u e te n g a u n a m a g n itu d s i n d im e n s io n e s d e u n id a d * T a b u la c ió n d e v a lo r e s • C o lo q u e u n a c a r g a u n it a r i a e n v a r ia s u b ic a c io n e s , x , a lo la r g o d e l e le m e n to y e n c a d a u b ic a c ió n u s e la e s t á tic a p a r a d e te r m i n a r e l v a lo r d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r ­ ta n te o m o m e n to ) e n e l p u n to e sp e c ífic o . • Si s e d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n a f u e r z a d e r e a c c ió n v e rtic a l e n u n p u n to s o b r e u n a v ig a , c o n s i d e r e q u e la r e a c c ió n s e r á p o s itiv a e n e l p u n t o d o n d e a c tú e h a c ia a rrib a . • Si s e v a a d i b u j a r u n a lín e a d e in f lu e n c ia d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o m e n to e n u n p u n to , to m e la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n e l p u n to c o m o p o s itiv o s d e a c u e rd o c o n la m ism a c o n v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e e m p le a e n la e la b o r a c ió n d e lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . (V e a la fig u ra 4 -1 ). • Io d a s la s v ig a s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s te n d r á n lín e a s d e in f lu e n c ia q u e c o n s is te n e n s e g m e n to s d e lín e a r e c t a . D e s p u é s d e a lg o d e p r á c tic a s e a d q u ie r e l a c a p a c i d a d d e m in im iz a r lo s c á lc u lo s y u b ic a r la c a r g a u n it a r i a s ó l o e n lo s p u n to s q u e r e p r e s e n ta n lo s p u n to s e x tr e m o s d e c a d a s e g m e n to d e lín e a . • P a r a e v it a r e r r o r e s , s e r e c o m ie n d a p r i m e r o c o n s t r u ir u n a ta b l a q u e c o n te n g a la s “c a r ­ g a s u n ita r ia s e n x " c o n t r a e l v a lo r c o r r e s p o n d ie n t e d e la fu n c ió n c a lc u la d o e n e l p u n to e s p e c ífic o ; e s d e c ir , “ la r e a c c i ó n R ' \ “ l a f u e r z a c o r t a n t e V " o “ e l m o m e n to Af.” U n a v ez q u e se h a c o lo c a d o la c a r g a e n v a rio s p u n to s a lo la r g o d e l c la r o d e l e l e m e n t o .e s p o s i­ b le g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u la d o s y c o n s t r u ir lo s s e g m e n to s d e la lí n e a d e in flu e n c ia . E c u a c io n e s d e las lín e a s d e in flu e n c ia • L a lín e a d e in flu e n c ia ta m b ié n se p u e d e c o n s tr u ir a l c o lo c a r la c a rg a u n ita r ia e n u n a p o s ic ió n va ria b le x s o b r e e l e le m e n to p a r a d e s p u é s c a lc u la r e l v a lo r d e R . V o M e n el p u n to e n fu n c ió n d e x . D e e s ta m a n e r a s e p u e d e n d e te r m in a r y r e p r e s e n ta r g r á f ic a ­ m e n te la s e c u a c io n e s d e lo s d if e r e n te s s e g m e n to s q u e c o m p o n e n la lín e a d e in flu e n c ia . • L a r a t ó n d e e s t a e le c c ió n s e e x p lic a e n l a s e c c ió n 6 -2 . 6 .1 LIN E A S O E IN FLU E N C IA 2 0 7 6.1 EJEM PLO C o n s t r u y a l a l í n e a d e i n f lu e n c i a p a r a l a r e a c c i ó n v e r ti c a l e n e l p u n t o A d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - l a . • j? 10 p i e s — I— S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo r e s . S e c o lo c a u n a c a r g a u n ita r ia s o b r e la v ig a e n c a d a p u n t o x s e le c c io n a d o , y e l v a lo r d e A y s e c a lc u la s u m a n d o lo s m o m e n to s r e s p e c to a R . P o r e je m p lo , c u a n d o x = 2 .5 p ie s y x = 5 p ie s , r e a la s fig u ra s 6-1 b y 6 - le , r e s p e c tiv a m e n te . I-os re s u lta d o s d e A y se in tr o d u c e n e n la ta b l a .f i g u r a 6 - l d . A l g ra f íc a r e s t o s v a lo re s s e o b tie n e bi lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n e n A ,f i g u r a 6 - le . x - (a) Figura 6-1 2 5 p ie s í C + IM a - \*> - lO p ie s 0 ; - .4 ,( 1 0 ) + I ( 7 .5 ) - 0 -10 p i e s C + A ,~ 0 S 0 .7 5 (c) (b ) I 0 25 5 15 10 -t"' = 0 ; - A . (1 0 ) + 1 (5 ) -4 , 1 0 .7 5 0 .5 0 .2 5 0 (d) (e) E cu ació n d e la lín e a d e in flu e n c ia . C u a n d o la c a r g a u n ita r ia s e c o b e a a u n a d is ta n c i a v a r i a b le x d e s d e A , f i g u r a 6 - 1 / , la r e a c c ió n A v en fu n c ió n d e x p u e d e d e te r m in a r s e a p a r t i r d e = O, -y ty(10) + (10 - x ) ( l) = 0 ¿y " 1 “ ii * E s ta l í n e a s e t r a z a e n l a f i g u r a 6- le . Jzüzü r= lO p ie s - (0 2 0 8 C a p it u l o E JE M P L O 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .2 C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n e l p u n to B d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 a . S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo r e s . C o n b a s e e n la e s t á t i c a ,c o m p r u e b e q u e lo s v a lo r e s p a r a la r e a c c ió n B y q u e a p a r e c e n e n la ta b l a , fig u ra 6 -2 6 , e s tá n c a lc u la d o s c o r r e c ta m e n te p a r a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a u n ita r ia . Al g ra f ic a r lo s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 c. X 0 2S 5 0 0 .5 1 15 10 1.5 2 (b) (c) E c u a c ió n d e la lín e a d e in flu e n c ia . Si se a p lic a la e c u a c ió n d e m o ­ m e n to s r e s p e c to a A , e n l a fig u ra 6 -2 d , i+ S A /^ -O ; « , ( 5 ) - l( x ) = 0 By = \x L o a n te r io r s e g rá fic a e n l a f ig u r a 6 -2 c. j~ f ^ . 5 m 5 m- <d) 6 .1 LIN E A S 0 E IN FLU E N C IA 2 0 9 E JE M P L O C o n s t r u y a la l í n e a d e i n f lu e n c i a p a r a l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 -3 a. tt ■ í- C pics-1 T a b u la c ió n d a v a lo r a s . E n c a d a p o s ic ió n x s e le c c io n a d a p a r a la c a rg a u n it a r i a , s e a p lic a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a c a lc u la r el v a lo r d e V c . O b s e r v e e n e s p e c ia l q u e la c a r g a u n ita r ia d e b e c o lo c a rs e ju s to a la iz q u ie rd a (x - 1 5 " ) y a la d e r e c h a ( * - 2 .5 * ) d e l p u n t o C p u e s to q u e la fu e rz a c o r t a n t e e s d is c o n tin u a e n C . f ig u r a s 6-3¿* y 6 -3 c . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6 -3 d se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n C . fig u ra 6 -3 e. 25' , 2 .5 * n , [O n 1 • C 1 0 p ie s 1 025 0.75 0.25 + T X F r -(* V 'c - - < X 2 5 j v tc (a) Figura 6 -3 V'c 0 0 2 5 ' -0 .2 5 0.75 25* 5 0.5 75 0.25 10 0 <d) + t X f ,- 0 ; V c - 0 .7 5 | 0 .2 5 0.25 (b) (c ) E cu a cio n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . A q u í d e b e n d e te r m in a r s e d o s e c u a c io n e s p u e s t o q u e h a y d o s s e g m e n to s e n la lí n e a d e in flu e n d a . d e b i d o a la d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n te e n C . f ig u r a 6 -3f E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la f ig u r a 6 -3 e. i 10 p ie s - X 1 1 1 P' CS 0.75 Mc R 25 S O L U C IÓ N M ~* M ‘ *d : , i) ( í 2 5 pies Vc { £ - \ V 0 S I< í4*= I (0 K nca d e in f lu e n c ia p a r a V c (e) J 2 5 p i c s < x s 1 0 pies 2 1 0 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s EJEM PLO C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -4 a . S O L U C IÓ N 8 -— 4 m — . - 4 l 44 m m— (a) T a b u la c ió n d e v a lo re s . C o n b a s e e n la e s tá tic a y e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s , c o m p r u e b e q u e lo s v a lo r e s d e la f u e r e a c o r t a n t e V c e n el p u n to C d e la fig u ra 6 - 4 6 c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a u n ita r ia s o b r e la v ig a . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6 -4 6 se o b ­ tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia e n la fig u ra 6 -4 c. Figura 6 -4 r vc - \ - ± x 0.5 . 12 X 0 4” 4* 8 12 -0 .5 0 -0 5 05 0 -0 5 - 0 .5 linca de influencia para Vc <c) (b) E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . co m p ru eb e q u e V c = ~ \x A p a r t i r d e la fig u ra 6 -4 d , ü s i < 4 m Vc = 1 ~ kx 4 m < r E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la fig u ra 6 -4 c . X~ \ U F * A ,- 1 - i , Mc- ) — E h l t M ,- 1 - i- x (d) s l 2 m 6 .1 211 LIN E A S 0 £ INFLU EN C IA C o n s t r u y a la l ín e a d e i n f lu e n c i a p a r a e l m o m e n t o e n e l p u n t o C 'd e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - 5 a . S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo r e s . F,n c a d a p o s ic ió n s e le c c io n a d a p a r a la c a rg a u n ita r ia , e l v a lo r d e M c se c a lc u la m e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s. P o r e je m p lo , v e a la fig u ra 6 - 5 b p a r a x = 2 .5 p ie s . A l g ra f ic a r b s v a lo r e s d e la fig u ra 6 - 5 c s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n C , fig u ra 6 -5 d. 2 .5 p ie s f i Mc X 0 .7 5 & 7 .5 10 0 5 p ie s (ft ^ 5 - l x 0 0 2 . 5 1 .2 5 025 Mc M c -\x M c J t* ZM C - 0; - M c + 0 2 5 (5 ) Wc - 5 0 (d ) (c ) 1 .2 5 10 I n c a d e in flu e n c ia p a ra M (- 025 fl>) E cu a cio n e s d e la lin e a d e in flu e n c ia . L o s d o s s e g m e n to s q u e f o r ­ m a n la lín e a d e in f lu e n c ia p u e d e n d e te r m in a r s e e m p l e a n d o 2 M c = 0 ju n to c o n e l m é to d o d e las s e c c io n e s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -5 e . A l g r a f ic a r e s t a s e c u a c i o n e s se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e se m u e s tra e n la f ig u r a 6 -5 d. M c + 1(5 - x ) - ( l - ^ * > 5 = 0 { ,+ 2 M c = 0 ; Mc = \x j,+ 2 A f c = 0 ; M c = 5 - \x 0 s r < 5 p ie s ■ i 5 p ie s X Mc -I ¿ M r F= i I) Vc [— (e) 5 p ie s — M c - ( l - i¡ x )5 = 0 Ve V t 5 p i e s < x £ 10 p ie s 2 1 2 C a p itu lo 6 L In e a s de in flu e n c ia p a ra e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s E JE M P L O C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -6 a. S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo re s . U se la e s t á tic a y e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a ra v e rific a r q u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to M c e n e l p u n t o C d e l a fi­ g u r a 6 -6 b c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n .t d e la c a rg a u n ita r ia . A l g r a fic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6-6¿> s e o b tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 6-6c. Mc 0 2 0 -2 <b) E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . C o n b a s e e n la fig u ra 6 -6 d co m p ru eb e q u e M c = \x M C " 4 - \x 0 s j < 4 m 4m < r s I2 m E s ta s e c u a c io n e s s e g ra f ic a n e n la fig u ra 6 -6 c. I h ~ l , "c h '- '1 \ ------ - ' 1 ' f ----------\-* — \ I— 1” — |V t Ar - l - ± x 0 £ * <4m Mc ) | 4m < i s 12 m □ I) (í A,= 1 - - J x (d) 6 .2 6 .2 Lí n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a v i g a s 2 1 3 Lín e a s d e ¡n flu e n d a p a ra v ig a s D a d o q u e la s vigas ( o tr a b e s ) c o n s titu y e n lo s e le m e n to s p r in c ip a le s p a ra s o p o r ta r c a r g a s e n u n s is te m a d e p is o o e n la c u b ie r ta d e u n p u e n te , p o r e llo e s im p o r ta n te t e n e r la c a p a c id a d d e c o n s t r u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia p a ra la s r e a c c io n e s , la f u e r z a c o r ta n te o e l m o m e n to e n c u a lq u ie r p u n to e s p e c ífic o d e u n a v ig a . C a r g a s . U n a v e z q u e s e h a c o n s t r u id o la lín e a d e in f lu e n c ia p a ra u n a f u n d ó n ( r e a c d ó n , f u e iz a c o r t a n te o m o m e n to ) , s e p o d r á n c o lo c a r la s c a r g a s v iv a s s o b r e la v ig a p a r a p r o d u c i r e l v a lo r m á x im o d e la f u n c ió n . A c o n tin u a c ió n se c o n s id e r a r á n d o s tip o s d e carg as. F u e r z a c o n c e n t r a d a . D a d o q u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e u n a f u n ­ c ió n p a r a u n a lín e a d e in f lu e n c ia se d e t e r m i n a n m e d ia n te u n a c a rg a u n i ­ ta r ia s in d im e n s io n e s , e n to n c e s p a r a c u a lq u i e r f u e r / a c o n c e n t r a d a F q u e a c tú a s o b r e la v ig a e n c u a lq u ie r p o s ic ió n x , e l v a lo r d e la fu n c i ó n p u e d e e n c o n tr a r s e a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia e n la p o s i­ c ió n x p o r b m a g n itu d d e F. P b r e je m p lo , c o n s i d e r e la lín e a d e in f lu e n c ia p a ra la r e a c c ió n e n e l p u n t o A d e la v ig a A B q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6-7. S i la carg a u n ita r ia e s tá e n x = $ L .la r e a c c ió n e n A e s A y = j c o m o lo in d ic a la lín e a d e in f lu e n d a . P o r lo ta n to , s i la f u e r z a F h s e e n c u e n t r a e n e s te m is m o p u n to , la r e a c c ió n e s A y = ( J ) ( F ) Ib. P o r s u p u e s to , e s t e m ism o v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r e e p o r la e s tá tic a . O b v ia m e n te , la i n ­ flu e n c ia m á x i m a c a u s a d a p o r F s e p r o d u c e a l c o lo c a r la s o b r e l a v ig a e n la m ism a u b ic a d ó n q u e e l p ic o d e la lín e a d e in f lu e n d a ; e n e s te c a s o e n x = 0 , d o n d e la r e a c c ió n s e r í a A y = ( 1 ) ( /- ) Ib. C a r g a u n i f o r m e . C o n s id e r e u n a p a r t e d e u n a v ig a s o m e ti d a a u n a c a rg a u n if o r m e w0, fig u ra 6-8. C o m o se m u e s tr a e n la G g u ra , c a d a s e g ­ m e n t o d x d e e s t a c a rg a c r e a u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a d e d F = w 0 d x s o b r e la v ig a . S i d V se e n c u e n t r a e n x , d o n d e la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n ­ cia d e la v ig a p a r a a lg u n a fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to ) e s y , e n to n c e s e l v a lo r d e la fu n c ió n e s (d F ) ( y ) = ( w 0 d x ) y . E l e f e c to d e to d a s la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s d F s e d e te r m i n a a l in te g r a r s e p o r to d a la lo n g itu d d e la v ig a , e s d e c i r . f w 0y d x = w0f y d x . A d e m á s , c o m o f y d x e q u iv a le n a l á r e a b a jo la lín e a d e in f lu e n c ia ;e n to n c e s , e n g e n e r a l , t i v a lo r d e u n a fu n c i ó n c a u s a d a p o r u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a e s s ó lo e l á r e a b a jo la lín e a d e in flu e n c ia p a r a la fu n c i ó n m u ltip lic a d a p o r la in ­ te n s id a d d e b ca rg a u n ifo r m e . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e la v ig a c a rg a d a u n if o r m e m e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -9 . la r e a c c ió n A ,, p u e d e d e ­ te r m in a r s e a p a r t i r d e la lín e a d e in f lu e n c ia c o m o A y = ( á r e a ) ( w 0) = Q ( l ) ( L ) J w 0 = \ wqL . ? ov s u p u e s to ,e s t e v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e c o n b a s e e n la e s tá tic a . "o lin e a d e in f l u e n c i a p a r a A, - 1 1 - * lín e a d e i n f l u e n d a p a r a la f u n d ó n F ig u ra 6 - 8 2 1 4 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a m á x im a q u e s e p u e d e d e s a r r o ­ lla r e n e l p u n to C d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 - 1 0 a d e b id o a u n a c a r g a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib y u n a c a r g a m ó v il u n if o rm e d e 2 0 0 0 lb /p ie. (a) fig u ra 6 -1 0 Inca de influencia para Vc <b) S O L U C IÓ N E n e l e je m p lo 6 -3 s e e s ta b le c ió la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu e rz a c o r ta n te e n C , la c u a l s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 0 6 . F u e rz a c o n c e n tr a d a . L a f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a e n C se p ro d u c e c u a n d o la f u e r z a d e 4 0 0 0 Ib s e u b ic a e n ,t = 2 .5 * p ies, p u e s t o q u e e s e l p ic o p o s itiv o d e la lín e a d e in f lu e n c ia . L a o r d e n a d a d e e s te p ic o e s + 0 .7 5 ; d e m o d o q u e V c = 0 .7 5 (4 0 0 0 Ib ) = 3 0 0 0 Ib C a rg a u n ifo r m e . L a c a rg a m ó v il u n ifo rm e c r e a la in f lu e n c ia p o s itiv a m á x im a p a r a V c c u a n d o la c a rg a a c tú a s o b r e la v ig a e n t r e x = 2 .5 * p ies y x = 10 p ie s , p u e s to q u e d e n tr o d e e s ta re g ió n la lín e a d e in flu e n c ia tie n e u n á r e a p o s itiv a . 1.a m a g n itu d d e V c d e b id a a e s t a c a rg a e s V c = [ K 10 P ie s ~ 2 .5 p i e s ) ( 0 .7 5 ) ¡2 0 0 0 I b / p ie s = 5 6 2 5 Ib F u e rz a c o r t a n te m á x im a t o t a l e n C. (V’c)m íx = 3 0 0 0 Ib + 5 6 2 5 Ib = 8 6 2 5 Ib Resp. T e n g a e n c u e n ta q u e u n a v e z q u e s e h a n e s ta b le c id o la s p o s ic io n e s d e la s c a r g a s e m p l e a n d o la lín e a d e in f lu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 0 c ,e s te v a lo r ( V c)máx ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e u s a n d o l a e s t á tic a y e l m é to d o d e las se c c io n e s. D e m u e s tr e q u e a s í es. 6.2 E JE M P L O LINEAS DE IN F L U E N C IA PARA V.GAS 6 .8 L a e s t r u c tu r a d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - l i a se u tiliz a p a ra s o s te n e r u n a g r ú a q u e tr a n s f ie r e c a r g a s d e s tin a d a s a a lm a c e n a ­ m ie n to e n p u n to s q u e s e e n c u e n t r a n p o r d e b a jo d e e lla . S e p re v é q u e ta c a rg a e n la p la ta f o r m a r o d a n te s e a d e 3 k N y q u e la v ig a C B te n g a u n a m a s a d e 2 4 k g /m . S u p o n g a q u e e l ta m a ñ o d e la p la ta f o r m a r o ­ d a n te p u e d e p a s a r s e p o r a lto y q u e p u e d e v ia ja r a to d o lo la r g o d e la viga. A d e m á s , s u p o n g a q u e A e s tá a r tic u la d o y q u e R e s u n ro d illo . D e te r m in e la s r e a c c io n e s v e rtic a le s m á x im a s e n lo s s o p o r te s (a p o y o s ) e n A y B y e l m o m e n to m á x im o e n l a v ig a e n D . S O L U C IÓ N R e a cció n m á x im a e n A . E n p r im e r lu g a r se t r a z a la lín e a d e in ­ flu e n c ia p a r a A y, f ig u r a 6 -1 1 6 . E n e s p e c ífic o , c u a n d o u n a c a rg a u n it a ­ ria e s t á e n A la r e a c c ió n e n A e s 1 c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a . La o r d e n a d a e n C e s 1 .3 3 . A q u í e l v a lo r m á x i m o d e A v o c u r r e c u a n d o la p la ta f o r m a r o d a n t e s e e n c u e n t r a e n C .C o m o l a c a r g a m u e r ta ( p e s o d e l a v ig a ) d e b e c o lo c a rs e e n to d a la lo n g itu d d e la v ig a , s e tie n e . H nca d e in flu e n c ia p a r a A y (b) ( A y U , = 3 0 0 0 (1 .3 3 ) + 2 4 ( 9 .8 1 ) [ J ( 4 ) ( 1 J 3 ) ] = 4 .6 3 k N R esp . R e a cció n m á x im a e n B . L a lín e a d e in f lu e n c ia ( o v ig a ) to m a la fo rm a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 l e . I x s v a lo r e s e n C y R se d e t e r ­ m in a n c o n b a s e e n la e s tá tic a . A q u í, la p la ta f o r m a r o d a n te d e b e e s t a r e n R . P o r lo ta n t o . ( f l,u lin e a d e in flu e n c ia p a r a B , (c) = 3 0 0 0 (1 ) + 2 4 (9 .8 1 ) [ 1 ( 3 ) ( 1 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [ } ( !)(■ -0 .3 3 3 ) ] = 3.31 k N R esp . M o m e n to m á x im o e n D . L a lí n e a d e in f lu e n c ia ti e n e l a fo r m a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 I d . L o s v a lo r e s e n C y D se d e t e r m i n a n a p a r t i r d e la e s tá tic a . E n e s t e c a s o . lin c a d e in f lu e n c ia p a r a M p (M » U = 3 0 0 0 (0 .7 5 ) + 2 4 ( 9 . 8 1 ) [ ! ( l ) ( - 0 . 5 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [j( 3 )(0 .7 5 )] = 2 .4 6 k N • m R esp . <d) Figura 6-11 2 15 2 1 6 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia 6 .3 («> p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s Líneas d e in flu e n c ia c u a lita tiv a E n 1886, H e in r ic h M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló u n a té c n ic a p a r a c o n s t r u ir c o n r a p id e z la f o r m a d e u n a lí n e a d e in f lu e n c ia . E s te m é t o d o c o n o c id o c o m o e l p r in c ip io d e M U ller-fíresIa u , e sta b le c e q u e la lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o m o m e n t o ) e s tá a la m is m a e sc a la q u e la fo r m a a lte r a d a d e la v ig a c u a n d o s o b r e ésta a c tú a la f u n c i ó n . P a r a d ib u j a r a p r o p i a d a m e n t e la f o r m a a lt e r a d a , d e b e r e m o v e r s e la c a p a ­ c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la fu n c ió n d e m o d o q u e l a v ig a p u e d a d e f o r ­ m a r s e a l a p lic a r la fu n c ió n . P o r e je m p lo , c o n s i d e r e la v ig a d e la fig u ra 6 - 1 2 a. Si d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la re a c ció n v e r tic a l e n A .p r i m e r o s e s u s titu y e e l p a s a d o r p o r u n a g u ía d e r o ­ d illo s c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 2 6 . S e r e q u i e r e u n a g u ía d e r o d i ­ llo s p u e s to q u e la v ig a to d a v ía d e b e r á re s is tir u n a f u e r z a h o r iz o n ta l e n A , p e r o n in g u n a f u e r z a vertical. C u a n d o la f u e r z a p o s itiv a ( h a c ia a r r ib a ) A s e a p lic a e n A , l a v ig a s e d e f o r m a h a s t a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s ,* lo q u e r e p r e s e n ta la f o r m a g e n e ra l d e la lí n e a d e in f lu e n ­ c ia p a r a A y, fig u ra 6 -1 2 c . ( L o s v a lo r e s n u m é r ic o s p a r a e s t e c a s o e s p e c í­ fic o y a se c a lc u la r o n e n e l e je m p lo 6 -1 .) S i d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f i e n a c o r ta n te e n C , fig u ra 6 -1 3 a , la c o n e ­ x ió n e n C p u e d e s im b o liz a rs e m e d ia n te u n a g u ía d e r o d illo s c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 3 6 . E s te d is p o s itiv o re s is tirá u n m o m e n to y u n a f u e r z a a x ia l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r ta n te . ' A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r ­ ta n t e p o s itiv a V c a la v ig a e n C y a l p e r m it ir q u e la v ig a s e d e f o r m e h a s ta la p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s , s e e n c u e n t r a la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 13c. P o r ú ltim o , s i d e b e d e te r m in a rs e la fo r m a d e la lín e a d e in flu e n c ia p a ra e l m o m e n to e n C, fig u ra 6 - 1 4 a, se c o lo c a u n a b is a g ra o p a s a d o r in t e r n o e n C . p u e s t o q u e e s t a c o n e x ió n r e s is tir á fu e r z a s a x ia le s y c o r ta n te s , p e r o n o p u e d e re sistir u n m o m e n t o , f ig u r a 6 -1 4 6 . A l a p li c a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M c a la v ig a , é s t a s e d e f o r m a h a s t a l a p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s , q u e e s la f o r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -1 4 c. 1.a c o m p r o b a c ió n d e l p r in c ip io d e M ü lle r- B r e s la u p u e d e e s ta b le c e r s e m e d ia n te e l p r in c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. R e c u e r d e q u e e l tr a b a jo e s el 3 3 • A lo la r g o d e l a n á lis is to d a s la s p o s ic io n e s a lte r a d a s s e d ib u ja n a u n a e s c a la e x a g e r a d a d i s e c o d e la i r a b e d e e s t e p u e n t e s e b a s a la s lin c a s d e in f l u e n c ia q u e d e b i e r o n 8 n s tru irs c p a r a la c a rg a d e l tre n . p a r a ilu s tr a r e l c o n c e p t a t A q u i l o s r o d illo s s im b o liz a n los a p o y o s q u e s o p o r ta n c arg as, t a n t o e n te n s ió n c o m o e n c o m p re s ió n , v e a la t a b l a 2- 1 , s o p o r te (2 ). 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA C (a) <■> f o r m a a lte r a d a (b) <b> Vc A1C lín e a d e in f lu e n c ia p a r a V c lin c a d e in flu e n c ia p a r a M c (c) (c ) F ig u ra 6 -1 4 H g u ra 6 -1 3 p r o d u c to d e u n d e s p la z a m ie n to lin e a l p o r u n a f u e r z a e n la d ir e c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to o b ie n d e un d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n p o r e l m o m e n t o e n la d ire c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . Si u n c u e r p o ríg id o (v ig a ) e s t á e n e q u ilib r io , la s u m a d e t o d a s la s f u e r z a s y to d o s lo s m o m e n to s d e b e s e r ig u a l a c e ro . E n c o n s e c u e n c ia , s i a l c u e r p o s e le d a u n d e s p la z a m ie n to im a g in a r io o v ir tu a l, e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s e s ta s fu e r z a s y m o ­ m e n to s d e p a r ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e r o . I\> r e je m p lo , c o n s i d e r e la viga s im p le m e n te a p o y a d a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6 - 15a. la c u a l e s tá s o m e tid a a u n a c a r g a u n it a r i a c o lo c a d a e n u n p u n to a r b i tr a r io d e t o d a s u lo n g itu d . Si a la v ig a se le d a u n d e s p la z a m ie n to v ir tu a l ( o im a g in a r io ) S y e n e l s o p o r t e A , f ig u r a 6 - 15¿>, e n to n c e s s ó lo la r e a c c ió n d e l s o p o r te A v y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n t r a b a j o v ir tu a l. E n e s p e c ífic o , A v re a liz a e l t r a ­ b a jo p o s itiv o A y S y y la c a r g a u n i t a r i a re a liz a e l tr a b a jo n e g a tiv o - I 5 y ' . (E l s o p o r te e n B n o s e m u e v e y, p o r lo ta n to , la f u e r z a e n t í n o h ac e n in g ú n tr a b a jo .) D a d o q u e la v ig a e s t á e n e q u ilib r io y p o r e n d e n o se m u e v e , e l tr a b a jo v ir tu a l s u m a c e r o . e s d e c ir , I c A y 8y - 18 / = ü (a ) Si se e s ta b le c e q u e 8 y e s ig u a l a 1 ,e n to n c e s Ay = Sy' E n o tr a s p a la b r a s , e l v a lo r d c A y r e p r e s e n ta l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in ­ flu e n c ia e n l a p o s ic ió n d e la c a rg a u n ita r ia . C o m o e s te v a lo r e s e q u iv a ­ le n te a l d e s p la z a m ie n to 8 y ' e n l a p o s ic ió n d e la c a r g a u n ita r ia , m u e s tra q u e s e h a e s ta b le c id o la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n e n A . L o a n t e r i o r c o m p r u e b a e l p rin c ip io d e M ü llc r- B r e s la u p a r a la s re a c c io n e s. (b ) F ig u ra 6 -1 5 2 1 7 2 1 8 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s H g u ra 6 -1 5 D e la m is m a m a n e r a , s i la v ig a s e s e c c io n a e n C y e x p e r i m e n t a u n d e s ­ p la z a m ie n to v ir tu a l S y e n e s te p u n to , f ig u r a 6 - 1 5 c ,e n to n c e s s ó lo la fu e rz a c o r ta n te e n C y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n tr a b a jo . I\>r lo ta n t o , la e c u a ­ c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l e s Vc S y - 1 6 / = 0 D e n u e v o , s i S y = I, e n to n c e s vc= «y' y s e e s t a b le c e la f o r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n C. <d) l\>r ú ltim o , s u p o n g a la in tr o d u c c ió n d e u n a b is a g ra o p a s a d o r e n el p u n to C d e la v ig a , f ig u r a 6 -1 5 d . S i s e p r e s e n ta u n a r o t a c ió n v ir tu a l S<f>e n e l p a s a d o r , s ó l o e l m o m e n to i n t e r n o y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a r á n tr a b a jo v irtu a l. A s í q u e Mc &<t> - i «y' = o Si s e e s t a b le c e S<t> = l . s e o b s e r v a q u e M C = Sy' lo c u a l in d ic a q u e la v ig a d e f o r m a d a ti e n e la m is m a f o r m a q u e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n e l p u n t o C (v e a la fig u ra 6 -1 4 ). í\>r s u p u e s to , e l p r in c ip io d e M tllle r-B re s la u p r o p o r c io n a u n m é to d o r á p i d o p a r a e s t a b le c e r la f o r m a efe la lín e a d e in f lu e n c ia . U n a v ez q u e se s a b e e s t o , la s o r d e n a d a s e n lo s p ic o s p u e d e n d e te r m in a r s e a p lic a n d o el m é to d o b á s ic o a n a liz a d o e n la s e c c ió n 6-1. A d e m á s , c o n s ó l o c o n o c e r la fo r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e s p o s i b le u b ic a r la c a r g a v iv a s o b r e la v ig a y lu e g o d e te r m i n a r e l v a lo r m á x im o d e la fu n c ió n p o r e l u so d e la e stá tic a . E n e l e je m p lo 6 -1 2 s e ilu s tr a e s t a té c n ic a . 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA EJEMPLO P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 6 a a 6 - 1 6 c, tr a c e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n A . S O L U C IÓ N E l s o p o r te e n A se s u s titu y e p o r u n a g u ía d e ro d illo s , p u e s t o q u e r e s is ­ tirá A , , p e r o n o A v. D e s p u é s s e a p lic a la f u e r z a A r f o r m a a lte r a d a I n c a d e in flu e n c ia p a r a A , (a) F ig u ra 6 -1 6 D e n u e v o , se c o lo c a u n a g u ía d e ro d illo s e n A y s e a p lic a la f u e r z a A ... JEnir fo r m a a lte r a d a <b) E n e s te c a s o d e b e u s a r s e u n a g u ía d e d o b le r o d illo , p u e s t o q u e e s te tip o d e s o p o r te r e s is tir á ta n t o u n m o m e n to e n e l s o p o r t e fijo c o m o u n a c a r g a a x ia l A r p e r o n o r e s is t ir á A v. b= línea d e influencia p a ra A y (c) 2 1 9 2 2 0 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .1 0 P a r a c a d a v ig a d e la s q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 7 a a 6 - 1 7 c ,ir a c e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n B . S O L U C IÓ N L a g u ía d e ro d illo s s e in tr o d u c e e n B y s e a p lic a la f u e r a c o r t a n t e p o ­ s itiv a \ R. O b s e r v e q u e e l s e g m e n to d e r e c h o d e la v ig a n o s e d e fo r m a r á p o r q u e e l r o d illo e n r e a lid a d lim ita e l m o v im ie n to v e r tic a l d e la v ig a , y a s e a h a d a a r r ib a o h a d a a b a jo . [V e a e l s o p o r te (2 ) d e la ta b la 2-1]. B lin e a d e in flu e n c ia p a r a V„ fo r m a a lte r a d a (a ) F ig u ra 6 - 1 7 A l c o lo c a r la g u ía d e ro d illo s e n f í y a p li c a r la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a e n B se o b ti e n e la fo r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n ­ d ie n te . v» fo rm a a lte ra d a v„ P* B nca d e in flu e n c ia p a r a VB (b ) U n a v e z m á s , la g u ía d e ro d illo s s e c o lo c a e n B , s e a p lic a la f u e r z a c o r ­ ta n t e p o s itiv a , y s e m u e s tr a n la f o r m a a l t e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n d ie n te . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la v ig a n o se d e f o r m a d e b id o a l s o p o r te fijo . Va (c) fo r m a a lte r a d a linea de influencia p ara VB 6 .3 EJEMPLO LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 6 .1 1 P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 8 a a 6 - 1 8 c, tr a c e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B . S O L U C IÓ N Se in tr o d u c e u n a b is a g r a e n B y s e a p lic a n lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl a la v ig a . E n la fig u ra s e m u e s tr a n la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e i n ­ flu e n c ia c o r r e s p o n d ie n te . fo r m a a lte r a d a (a ) F igura 6-18 A l c o lo c a r u n a b is a g ra e n B y a l a p lic a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl a la v ig a s e o b ti e n e la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in flu e n c ia . C o n la b is a g ra y e l m o m e n to p o s itiv o e n B , se m u e s tr a n la f o r m a a lt e ­ ra d a y la lí n e a d e in f lu e n c ia . E l m o v im ie n to d e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la v ig a e s t á re s tr in g id o d e b id o a l a p a r e d f ija e n A . 2 2 2 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o q u e p u e d e d e s a r r o lla r s e e n e l p u n t o D d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 1 9 a ,d e b i d o a u n a c a rg a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib. u n a c a rg a m ó v il u n if o r m e d e 3 0 0 Ib /p ie . y e l p e s o d e la v ig a q u e e s d e 2 0 0 Ib /p ie . (») F ig u ra 6 - 1 9 S O L U C IÓ N S e c o lo c a u n a b is a g ra e n D y s e a p lic a n a la v ig a lo s m o m e n to s p o s i ti­ v o s M D. L a f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n d ie n t e se m u e s tr a n e n la fig u ra 6 -1 9 6 . D e in m e d ia to s e r e c o n o c e q u e la c a rg a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 li b r a s c r e a u n m o m e n to p o s i ti v o m á x im o e n D c u a n d o s e c o lo c a a h í. e s d e c ir , e l p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia . A d e m á s , la c a r g a m ó v il u n if o rm e d e 3 0 0 Ib /p ie d e b e e x te n d e r s e d e s d e C h a s ta E p a ra c u b r i r la re g ió n d o n d e e l á r e a d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s p o s itiv a . P o r ú ltim o , e l p e s o u n if o r m e d e 2 0 0 lb 'p ie a c tú a a to d o lo la r g o d e l a v ig a . E n la f ig u r a 6 - 19c s e m u e s tr a n la s c a r g a s s o b r e la v ig a . C u a n d o s e c o n o c e la p o s ic ió n d e la s c a rg a s , e s p o s ib le d e te r m i n a r e l m o m e n to m á x im o e n D e m p le a n d o la e s t á ti c a . E n la fig u ra 6 -1 9 d se c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n B E . A l s e c c io n a r la v ig a e n D y u s a r e l s e g ­ m e n t o D E , fig u ra 6 -1 9 e .s e tie n e t + 2 A / 0 = 0; - M „ - 5 0 0 0 (5 ) + 4 7 5 0 (1 0 ) = 0 M n = 2 2 5 0 0 I b - p i e = 2 2 .5 k - p i e R esp . fo r m a a lte r a d a Md 5 10 x linea d e influencia para MD (b) 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 40001b 5 0 0 I b /p ie 2 0 0 l b /p ie p ie s 10 p ie s - 5 p i e s -------f— 5 p ie s- (c) 4 0 0 0 1 b 75001b 1 0 0 0 Ib 1000 1 b ,_ _ _ _ r |- 2 A Jr <4,= 0 _ t p ie ! ■■■■♦ . : • B .-O •5 p ie s ------ -7 .5 p i e s - I p ie s ! !, T •5 p ie s A , - '5 0 0 1 b » ,* - 5001b B , - 500 Ib C , ~ 82501b (d ) 40001b 50001b Md V o ^ - 5 p ie s — |— 5 p ie s — | E , -4 7 5 0 1 b (e ) E s te p r o b le m a ta m b ié n p u e d e s o lu c io n a r s e u s a n d o v a lo re s n u m é r i­ c o s p a ra l a lín e a d e in f lu e n c ia c o m o e n la se c c ió n 6 -1 . E n r e a l i d a d , a l in s p e c c io n a r la fig u ra 6 -1 9 6 , s ó lo d e b e d e te r m in a rs e e l v a lo r p ic o h e n D . E s to r e q u ie r e c o lo c a r u n a c a rg a u n ita ria s o b r e la v ig a e n e l p u n to D de b fig u ra 6 - 19a y lu e g o d e te r m in a r e l m o m e n to in t e r n o e n la v ig a e n D . D e m u e s tr e q u e e l v a lo r o b t e n i d o e s h = 3.33. P o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­ te s, 67(10—5) = 3 .3 3 /( 1 5 - 1 0 ) o b ie n h' = 3.33. P o r lo ta n t o , c o n la s c a rg a s s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a n e n la fig u ra 6 - 19c y e m p l e a n d o las á r e a s y v a lo r e s p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 9 6 ,s e tie n e Md = 500[!(25 - 10)(3.33)] + 4000(3.33) - 200[J(10)(333)] = 22 5 0 0 Ib • p i e = 2 2 .5 k • p i e R esp . 2 2 3 2 2 4 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PROBLEMAS FUNDAM ENTALES F 6 -1 . U tilice el principio d e M üller-B reslau y trace las li­ neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza co rtan te e n C y e l m om ento e n C. FÓ-1 F 6 -5 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza co rtan te e n C y e l m o m en to e n C. FÓ-5 FÓ -2. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza co rtan te e n D y el m o m en to e n B. F 5 -6 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza co rtan te ju s to a la izq u ierd a d el so p o rte de rodillo e n F. y el m om ento e n A . F 6 -2 PS-6 F 6 -3 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza co rtan te e n D y el m o m en to e n D . Hü-7. La viga so p o rta una c a rg a viva distribuida d e 1.5 kN /m y u n a sola c arg a co n c en tra d a d e 8 kN . La carga m uerta e s de 2 kN /m . D eterm in e (a ) e l m om ento positivo m áxim o e n C, y (b ) la fuerza co rta n te positiva m áx im a e n C. F 6 -3 F6-7 F 6-4. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza co rtan te e n B y e l m om ento e n B. ffc-8. l a viga so p o rta una c arg a viva distribuida de 2 kN /m , y una sola c arg a co n cen trad a d e 6 kN. La c arg a m uerta e s de 4 kN/m. D eterm in e (a) la reacción v ertical positiva m áxim a en C .y (b ) el m o m en to negativo m áxim o e n A . F& -4 K -8 6 .3 LIN E A S D E IN R U E N C IA C U A U TA TV A 2 2 5 PROBLEMAS 6 -1 . D ibuje las lín eas d e influencia p a ra (a) el m o m en to e n C ;(b ) la reacción e n f t y (c) la fu e rz a c o rta n te e n C. S u ­ ponga q u e A está artic u la d o y q u e R es u n rodillo. R esuelva este p ro b lem a u san d o e l m éto d o básico de la sección 6-1. 6 -2 . R esuelva e l p ro b le m a 6 1 u sando e l prin cip io d e MUllcr-Breslau. 6 -7 . D ib u je la lín ea d e influencia p a ra (a ) el m o m en to en B\ (b ) la fu erza c o rta n te e n C, y (c) la re acció n v ertical e n R. R esuelva e ste problem a u sando e l m éto d o básico d e la sec­ ció n 6-1. Sugerencia: E l so p o rte e n A sólo resiste una fu erza horizontal y u n m o m en to flexionante. • 6 -8 . R esuelva e l p ro b lem a 6-7 e m p lean d o e l prin cip io de M üller-Breslau. n A * ^ 3 D i ------ 10 pies------- ------ 10 pies— ■ ------- 10 pies— Probs. 6 -1 /6 -2 6 -3 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción vertical e n -4; (b ) e l m o m en to e n A , y (c) la fu erza c o rta n te e n R . S uponga q u e el so p o rte e n A e s fijo. R esu elv a este problem a u san d o el m éto d o básico d e la sección 6-1. 6 -9 . D ibuje la línea de influ en cia p a ra (a ) la reacción ver­ tical e n i4 ;(b ) la fu erza co rta n te e n B ,y (c ) e l m om ento e n B. Suponga q u e A e stá fijo. R esuelva e ste p ro b lem a u sa n d o el m étodo básico d e la sección 6-1. •6 -4 . R esuelva e l p ro b lem a 6 -3 em p lean d o e l prin cip io de M üller-Breslau. 6 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a 6-9 e m p lean d o e l prin cip io de M üller-Breslau. s = ----------- 7 = --------------- a B --------------5 p ies----------------- •------------- 5 p ie s---------------1 P robs. 6-346-4 6 -5 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción vertical e n B\ (b ) la fuerza c o rta n te ju s to a la d e re c h a d el o s ­ cilad o r e n A , y (c) e l m o m e n to e n C. R esuelva e ste p ro ­ blem a u san d o el m éto d o básico de la sección 6-1. 6 -1 1 . D ib u je las lín eas d e influencia p a ra (a) la reacción vertical e n A \ (b ) la fu erza c o rta n te e n C , y (c) el m o m en to e n C. R esuelva e ste p ro b lem a u sando e l m éto d o básico de la sección 6-1. 6 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 6-5 e m p lean d o e l prin cip io de M üller-Breslau. •6 -1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 6 1 1 e m p le a n d o e l principio d e M üller-B reslau. 6 p ie s 6 pies P ro h s .6 -5 /6 -6 6 p ie s 6 p ie s *1* 6 p ie s P robs. 6 -1 1 /6 -1 2 -r 3 p ie s 3 p ie s — 2 2 6 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a 6 -1 3 . D ib u je las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción vertical e n A ;(b ) la reacción v ertical e n B ;(c ) la fu e rz a c o r­ ta n te justo a la d e re c h a d el so p o rte e n A , y (d ) e l m om ento en C. S uponga q u e el so p o rte e n A está articu la d o y q u e B e s u n rodillo. R esuelva e ste p ro b lem a u sando e l m éto d o b á ­ sico de la sección 6-1. e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 -1 7 . E n la b a rra se co lo ca rán una carga viva u n ifo rm e de 300 Ib/pie y una so la fu erza viva co n c e n tra d a de 1500 Ib. La viga tiene u n p eso d e 150 Ib/pie. D ete rm in e (a) la reacción vertical máxim a e n e l so p o rte B, y (b ) e l m om ento negativo m áxim o e n e l p u n to /L S u p o n g a q u e e ls o p o rte e n -4 está a r ­ ticu lad o y q u e B es u n rodillo. 6 -1 4 . R esuelva e l p ro b lem a 6-13 e m p le a n d o e l principio de M üller-B reslau. v H \------ 2m — L - m . M P robs. 6 -13/6-14 6 6 -1 5 . L a viga e stá som etid a a u n a carga m u e rta uniform e de 1.2 IcN/m y u n a so la carga viva d e 4 0 kN . D eterm in e (a) el m om ento m áxim o cread o p o r e sta s cargas e n C, y (b ) la tuerza co rtan te positiva m áx im a e n C. S u p o n g a q u e A está articulado y q u e B es u n rodillo. |- 1 6m -|- | J 6m 6 -1 8 . La viga s o p o rta una c arg a m u erta uniform e d e 0.4 k/pie; u n a c arg a viva d e 1.5 k/pic. y una so la fu e m i viva c o n ­ c e n trad a d e 8 k. D ete rm in e (a ) e l m o m en to p ositivo m á­ xim o e n C, y (b ) la reacción v ertical positiva m áx im a e n B. S uponga q u e A es u n rod illo y q u e B está articulado. -| I’ 4 0 kN P ro b . 6 -1 5 *6-16. La viga so p o rta una carga m u erta uniform e d e 500 N/m y u n a so la fuerza viva co n ce n trad a d e 3000 N. D e te r­ m ine (a ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n C, y (b ) la fu erza co rtan te positiva m áxim a e n C. S u p o n g a q u e e l so p o rte en A e s u n rodillo y q u e B está articulado. P roh. 6-16 6-19. l a viga se utiliza p ara so p o rta r u n a c arg a m u e rta de 0.6 k/pie, u n a carga viva de 2 k/pie y una carga viva c o n ce n ­ tra d a de 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a (hacia a rrib a ) e n A \ (b ) e l m om ento positivo m áxim o e n C, y (c) la fu erza co rta n te positiva máxim a a la d erech a d e l s o ­ p o rte e n A . S u p o n g a q u e e l so p o rte e n A está artic u la d o y q u e B e s u n rodillo. P rob. 6 -1 9 6 .3 •6 -2 0 . l a viga com p u esta e stá so m e tid a a u n a carga m uerta u niform e d e 1.5 kN /m y a una so la carg a viva d e 10 k N D eterm in e (a ) e l m o m en to neg ativ o m áxim o c re a d o por estas cargas e n A , y (b ) la fuerza c o rta n te positiva m á­ xim a e n B . S u ponga q u e A e s u n so p o rte fijo. B está a rtic u ­ lado y C es u n rodillo. LIN E A S D E IN R U E N C IA C U A U TA TV A 2 2 7 6 -2 3 . 1.a viga se em p lea p ara so p o rta r una c arg a m u erta d e 800 N/m, una c arg a viva d e 4 kN /m y u n a carga viva c o n ­ c e n trad a d e 20 kN . D eterm in e (a ) la reacción positiva m á­ xim a (h a c ia a rrib a ) e n B \( b ) e l m o m en to p ositivo m áxim o e n C, y (c) la fu erza c o rta n te negativa m áx im a e n C. S u ­ ponga q u e B y D están articulados. P roh. 6 -2 3 6 -2 1 . ¿D ónde d e b e colocarse una so la carg a viva d e 500 Ib so b re la viga q u e se m u e s tra .d e m o d o q u e cause el m ayor m om ento e n D ? ¿Q uó v a lo r tien e ese m o m en to ? S uponga q u e el so p o rte e n A es fijo, q u e B está articu lad o y q u e C es un rodillo. p1 S ~ -N 1 C p = 1 •6 -2 4 . La viga se u sa p ara so p o rta r u n a c arg a m u erta de 400 Ib/pie, u n a carga viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva co n ­ c e n trad a d e 8 k. D ete rm in e (a ) la reacción v ertical positiva m áxim a e n <4;(b) la fu erza c o rta n te positiva m áxim a ju s to a la d erech a d e l so p o rte e n A , y (c ) e l m om ento neg ativ o m á­ xim o e n C. S uponga q u e A e s u n rodillo, C e stá fijo y B e stá ¿ articulado. o — — oo pies— — 8 pies— 1 20 pies Proh. 6-21 P roh. 6 -2 4 6 -2 2 . ¿D ónde d e b e cargarse la viga A B C c o n una carga viva uniform em ente distribuida d e 300 Ib/pie d e m o d o q u e ocasione (a ) e l m ayor m o m en to e n e l p u n to A y (b ) la m ayor fuerza co rtan te e n D ? C alcule lo s valores d e l m o­ m ento y la fu e rz a cortante. S uponga q u e el so p o rte e n A es fijo, q u e B está articu la d o y q u e C es u n rodillo. t L 6 -2 5 . La viga se u sa p ara so p o rta r una carga m u e rta de 500 Ib/pie, u n a carg a viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva c o n ­ c e n trad a d e 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a (hacia arrib a) e n -4 ;(b ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n £, y (c ) la fuerza co rta n te positiva m áxim a a la d e re c h a d e l s o ­ porte e n C. S uponga q u e A y C so n ro d illos y q u e D está a r ­ ticulado. C 1 n D U — 8 p ie s -— 8 p i e s —- ------------ 20 pies--------------I ¿J P roh. 6 -2 2 P roh. 6 -2 5 2 2 8 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a p a 6 .4 e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s Líneas d e in flu e n c ia p a ra v ig a s d e p iso O c a s io n a lm e n te , lo s s is te m a s d e p is o s e c o n s tr u y e n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 0 a , d o n d e p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s c a r g a s d e l p is o se t r a n s ­ m ite n d e la s lo s a s a la s vig a s d e p i s o , lu e g o a la s ira b e s la te ra le s y, f in a l­ m e n te , a la s c o lu m n a s d e s o p o r te . E n la v is ta d e p l a n t a d e la f ig u r a 6-20¿> s e m u e s tr a u n m o d e lo id e a liz a d o d e e s t e s is te m a . A q u í se s u p o n e q u e la lo s a e s d e u n a s o la v ía y s e d iv id e e n c la r o s s im p le m e n te a p o y a d o s q u e d e s c a n s a n s o b r e la s v ig a s d e p is o . A d e m á s , la t r a b e e s t á s im p le m e n te a p o y a d a e n la s c o lu m n a s . D a d o q u e la s tr a b e s s o n lo s p r in c ip a le s e l e ­ m e n to s d e c a r g a e n e s t e s is te m a , a v e c e s e s n e c e s a r io c o n s t r u ir s u s lín e a s d e in f lu e n c ia d e f u e r e a c o r t a n te y d e m o m e n to . E s to e s e s p e c ia lm e n te c ie r to p a r a lo s e d ific io s in d u s tria le s q u e s e s o m e t e n a f u e r te s c a r g a s c o n ­ c e n tr a d a s . E n e s te s e n t id o , te n g a e n c u e n ta q u e u n a c a rg a u n ita r ia s o b r e la lo s a d e l p is o s e tr a n s f ie r e a la t r a b e s ó lo e n lo s p u n to s d o n d e h a y c o n ­ ta c t o c o n la s v ig a s d e p is o , e s d e c ir , e n lo s p u n to s A , B , C y D . E s to s p u n ­ to s s e d e n o m i n a n p u n to s d e p a n e l y la re g ió n q u e e x is te e n t r e e s to s p u n to s s e lla m a p a n e l ,c o m o B C e n la f ig u r a 6-20¿>. 6 _______ i 1 1 Ffl F* R i— Fe ___C P i- t f (c) d<d> Figura 6 -2 0 V " ' -V p 6 .4 L IN F A S D E IN FLU E N C IA PARA V IG A S D E P ISO L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n p u n t o e s p e c íf ic o s o b r e l a v ig a p u e d e d e te r m i n a r s e m e d i a n te e l m is m o p r o c e d i m i e n to e s t á ti c o q u e se u s ó e n la se c c ió n 6-1, e s d e c ir , c o lo c a r la c a rg a u n it a r i a e n d iv e r s o s p u n to s x d e la lo sa d e l p is o y c a lc u la r s ie m p r e la fu n c ió n ( d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o ­ m e n to ) e n e l p u n to e s p e c ífic o P d e la v ig a , fig u ra 6 -2 0 6 . A l g r a f ic a r e s to s v a lo r e s e n fu n c ió n d e x se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu n c ió n e n P . E n p a r tic u la r , e l v a lo r p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n u n p a n e l d e la tr a b e d e p e n d e r á d e d ó n d e se e lija e l p u n t o P p a r a la lín e a d e in f lu e n c ia , p u e s to q u e la m a g n itu d d e M p d e p e n d e d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o d e s d e e l e x tr e m o d e la tr a b e . P o r e je m p lo , si la c a rg a u n ita r ia a c tú a s o b r e la lo sa d e l p is o c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 0 c , p r i m e r o s e e n c u e n t r a n las re a c c io n e s F fl y F (; s o b r e la lo s a y lu e g o s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s F ! y F¿ s o b r e la tr a b e . D e s p u é s s e d e te r m i n a e l m o m e n to i n ­ t e r n o e n P m e d ia n te e l m é t o d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 6 -2 0 d . E s to r e ­ s u lta e n M p = F \d - F g f d - s). ft>r m e d io d e u n a n á lisis s im ila r , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la f u e iz a c o r t a n te in t e r n a \ P. S in e m b a r g o , e n e s te c a s o V P s e r á c o n s ta n te a lo la r g o d e l p a n e l B C ( V P = F y — F B) y, p o r lo ta n to , n o d e p e n d e d e la u b ic a c ió n e x a c t a d d e /* e n e l p a n e l. P o r e s t a ra z ó n , la s lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n v ig a s d e p is o se e s p e c ific a n p a r a lo s p a n e le s d e la t r a b e y n o e n p u n to s e s p e c ífic o s a lo la rg o d e é s t a . I-a f u e r z a c o r ta n te s e c o n o c e e n to n c e s c o m o fu e r z a c o r ­ ta n te d e p a n e l.T a m b ié n d e b e h a c e r s e n o t a r q u e c o m o la tr a b e s ó l o s e ve a fe c ta d a p o r la s c a r g a s tr a n s m itid a s p o r la s v ig a s d e p is o , g e n e r a lm e n te la c a rg a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a c ió n d e la s v ig a s d e p is o p a r a e s ­ ta b le c e r lo s d a t o s n e c e s a r io s p a r a d ib u j a r la lí n e a d e in flu e n c ia . L os s ig u ie n te s e je m p lo s n u m é ric o s d e b e n c la r if ic a r e l an álisis d e fu e rz a s. E l d is e ñ o d e l s i s t e m a d e l p i s o e n c a l e a l m a c é n d e b e t e n e r e n c u e n t a la s u b ic a c io n e s c r ític a s d e lo s m a te r ia le s d e a l m a c e n a ­ m ie n to s o b r e e l p i s o . P a r a e s t e p r o p ó s i t o d e b e n u tiliz a r s e l í ­ n e a s d e in f lu e n c ia . { F o to g r a fía c o r te s ía d e P o r tla n d C e m e n t A s s o c ia t io n ) . 2 2 9 6 2 3 0 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .1 3 D ib u je l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r la n te e n e l p a n e l C D de la v ig a d e p i s o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 la . B H M C P F. £ ■10pies -G 10 pies 10 pies—(—10 pies —) fig u r a 6 -2 1 <«) S O L U C IÓ N X VCD 0 0333 10 0 20 -0 3 3 3 30 0333 40 0 T a b u la c ió n d e v a lo re s . La c a r g a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a d ó n d e la s v ig a s d e p is o y se c a lc u la la f u e r z a c o r ta n te e n e l p a n e l C D . E n l a f ig u r a 6 -2 I b s e m u e s tr a u n a ta b l a c o n lo s r e s u lta d o s . L o s d e ta lle s cb lo s c á lc u lo s , c u a n d o x = ü y x = 20 p ie s , s e d a n e n la s fig u ra s 6-21 c y 6 - 2 1</, r e s p e c tiv a m e n te . O b s e r v e c ó m o , e n c a d a c a s o , p r i m e r o s e c a lc u la n la s re a c c io n e s d e las v ig a s d e p is o s o b r e la tr a b e , lu e g o se d e ­ te r m in a la r e a c c ió n d e l s o p o r te e n e l p u n t o F d e la t r a b e ( G , n o e s n e ­ c e s a r io ), y f in a lm e n te s e c o n s id e r a u n s e g m e n to d e la tr a b e y s e c a lc u la la f u e r z a c o r t a n t e d e p a n e l i n t e r n a V Cf>. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s v a lo r e s d e V c d c u a n d o x 10 p ie s . 3 0 p ie s y 4 0 p ie s . (b) le n x = 0 en x í f T c 1-10 pies- t G, M 2A/G - 0 ; F , - 0 3 3 3 1 l T -30p ■20 pies IM (;= 0 ^ = 0 3 3 3 *^-10 pies- t V£D M Fy - 0333 J -20 p in | 1 F .- 0 - .V c d - -0 3 3 3 t VCD 0; V 'o = 0.333 (c) Fy - 0333 «0 L ín e a d e in flu e n c ia . S i s e g r a f ic a n lo s v a lo r e s ta b u l a r e s y s e c o n e c ­ t a n lo s p u n to s c o n s e g m e n to s d e lí n e a r e c ta , la lín e a d e in f lu e n c ia r e ­ s u l ta n t e p a r a V CD e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 .2 le . CD 0333 0333 10 * -0 3 3 3 Nnca de influencia para Vcn (e) 40 6 .4 EJEMPLO L IN F A S O E IN FLU E N C IA PASA V IG A S D E P ISO 6 .1 4 D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o F d e la tr a b e d e p is o q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 2 a . X 0 2 4 8 10 12 16 Mr 0 0.429 0.857 2.571 2.429 2286 0 (b) Figura 6 -2 2 S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo re s . L a c a rg a u n ita r ia se c o lo c a e n r = 0 y e n c a d a p u n to p o s t e r io r e n e l p a n e l. L o s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s p a r a M F se c a lc u la n y s e m u e s tr a n e n la ta b la , fig u ra 6 -2 2 b . L o s d e ta l le s d e b s c á lc u lo s p a r a i = 2 m s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 6 -2 2 c . A l ig u a l q u e e n e l e je m p lo a n te r io r , p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s d e las v ig a s d e p is o s o b r e l a tr a b e , s e g u id a s p o r la d e te r m in a c ió n d e la re a c c ió n d e la t r a b e d e a p o y o G y ( H v n o e s n e c e s a r ia ) y, f i n a lm e n te .s e c o n s id e r a e l s e g m e n to G F d e la v ig a y s e c a lc u la e l m o m e n to in t e r n o M f. C o m o e je r c ic io , d e te r m i n e lo s o t r o s v a lo r e s d e M f lis ta d o s e n la fig u ra 6 -2 2 b . L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la ta b la s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a M F,f i g u r a 6 -2 2 d. I en* - 2 m U i A - 0 ; R , - 0 .5 L ' - J A | - 05 Mr 8m [£ 6m í n * 2 M „ - 0 ; G , - 0 .0 7 1 4 M, S A Í , - 0; M , - 0 .4 2 9 |* 'V d 1“ ----- 6 m — f G r ~ 0^)714 (C> (d> 2 3 1 2 3 2 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia 6 .5 L o s e le m e n to s d e e s t e p u e n t e d e a r m a d u r a s se d i s e ñ a r o n u s a n d o la s lin c a s d c i n f l u c n c i a . d c a c u e r d o c o n la s e sp e c ific a c io n e s d e A A S I I T O . p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s Lineas d e influencia para arm aduras L a s a r m a d u r a s s e u tiliz a n c o m o e le m e n to s p r in c ip a le s p a r a e l s o p o r te d e c a r g a s e n p u e n te s . P o r lo ta n t o , p a r a e l d is e ñ o e s im p o r ta n te p o d e r c o n s ­ tr u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia d e c a d a u n o d e su s e le m e n to s . C o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 3 , la c a r g a s o b r e la c u b ie r ta d e l p u e n te s e t r a n s ­ m ite a lo s la r g u e ro s , q u e a s u v e z tr a n s m ite n la c a rg a a la s v ig a s d e p is o y lu e g o a la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a in f e r io r d e la a r m a d u r a . D a d o q u e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a s ó l o s e v e n a f e c ta d o s p o r la c a r g a e n la s ju n ta s , e s p o s ib le o b t e n e r lo s v a lo r e s d e la s o r d e n a d a s d e l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n e le m e n to a l c a r g a r c a d a j u n t a a lo la r g o d e l a c u b ie r ta c o n u n a c a r g a u n ita r ia , p a r a d e s p u é s u s a r e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s a f i n d e c a lc u la r l a f u e r z a e n e l e le m e n to . L os d a to s p u e d e n d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r , lis ta n d o la “ c a r g a u n it a r i a e n la j u n t a ” c o n tr a la “f u e r z a e n e l e l e m e n t o ” C o m o u n a c o n v e n c ió n , s i la f u e r z a e n e l e le m e n to e s d e te n s ió n s e c o n s id e r a u n v a lo r p o s i t i v o ,y s i e s d e c o m p r e s ió n e l v a lo r s e r á n e g a tiv o . L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e ­ m e n t o s e c o n s tr u y e a l g ra f íc a r lo s d a t o s y d ib u j a r lín e a s r e c t a s e n t r e lo s p u n to s . L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l m é to d o d e c o n s tru c c ió n . re fu e rz o c o n tr a la d e o c u erd a s u p e r io r re fu e rz o la te r a l re f u e r z o d e l p o rta l" c u b ie rta c u e r d a in fe rio r la rg u e ro s v ig a d e p iso H g u ra 6 -2 3 6 .5 EJEMPLO LIN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 2 3 3 6 .1 5 D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o G B d e la a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -2 4a. S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a l o r e s . A q u í, a c a d a j u n t a s u c e s iv a e n la c u e r d a in ­ fe r io r s e le a g re g a u n a c a r g a u n it a r i a y se c a lc u la la f u e r z a e n e l e l e ­ m e n to G B a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 6 -2 4 6 . P o r e je m p lo , a l c o lo c a r la c a r g a u n it a r i a e n x = 6 m ( j u n ta B ) , p r i m e r o se c a lc u la la r e a c c ió n e n e l s o p o r t e E , fig u ra 6 -2 4 a , y lu e g o se p a s a u n a se c c ió n a tr a v é s d e H G , G B , B C y a is la n d o e l s e g m e n to d e la d e r e c h a , se d e t e r m i n a la f u e r z a e n G B , fig u ra 6 -2 4 c . D e la m is m a m a n e r a , se d e te r m in a n lo s o t r o s v a lo r e s e n lis ta d o s e n la ta b la . L ín e a d e in f lu e n c i a . A l g ra f ic a r lo s d a t o s t a b u l a r e s y c o n e c t a r lo s p u n to s s e o b t i e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o G B , fig u ra 6 -2 4 d . C o m o la lín e a d e in f lu e n c ia s e e x ti e n d e p o r to d o e l c la r o d e la a r m a d u r a , e l e l e m e n t o G B s e c o n o c e c o m o u n e le m e n to p r im a r io . E s to s ig n ific a q u e G B e s tá s o m e ti d o a u n a f u e r z a , i n d e p e n d i e n te ­ m e n te d e d ó n d e e s té c a r g a d a la c u b ie r ta d e l p u e n te ( c a r r e te r a ) , e x ­ c e p to . p o r s u p u e s to , e n x ■ 8 m . E l p u n t o d e f u e r z a c e r o , x ■ 8 m . se d e te r m in a p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s e n t r e x = 6 m y x ■ 12 m , e s d e c ir , (0 .3 5 4 + 0 .7 0 7 )/(1 2 - 6 ) - 0 . 3 5 4 / x \ x ' - 2 m .d e m o d o q u e x - 6 + 2 = 8 m. X 0 6 12 18 24 Fg b 0 0354 -0 .7 0 7 -0 3 5 4 0 (b ) S F , - 0 ; 0.25 F UB s e n 4 5 ° - 0 Fg b = 0 3 5 4 035 (c ) Fon f z l± -0 3 5 4 0.707 lin c a d e in f lu e n c ia p a i a FOB (d) 2 3 4 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .1 6 D ib u je l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r a e n e l e le m e n to C G d e la a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -2 5 a . Fea X Fac 0 6 12 0 0 18 24 I-* (a) Fea 1 0 0 Feo I (b ) (c) H g u ra 6 -2 5 S O L U C IÓ N T a b u la c ió n d e v a lo r e s . E n la fig u ra 6-25¿> se m u e s tr a u n a ta b la c o n la p o s ic ió n d e la c a r g a u n it a r i a e n las ju n t a s d e la c u e r d a in f e r io r c o n ­ tr a la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G . E s to s v a lo r e s s e o b t i e n e n fá c ilm e n te al a is la r la j u n t a C .f ig u r a 6 -2 5 c . A q u í se v e q u e C G e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o a m e n o s q u e la c a r g a u n ita r ia s e a p liq u e e n la j u n t a C .e n c u y o c a s o F ^ - 1 (T ). L ín e a d e in flu e n c ia . A l g ra f ic a r lo s d a t o s ta b u l a r e s y c o n e c t a r lo s p u n to s se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o C G c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 5 d .E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e c u a n d o la c a rg a u n ita r ia e s t á e n x = 9 m . la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G e s FCG = 0.5. E s ta s itu a c ió n r e q u i e r e q u e la c a r g a u n it a r i a s e u b iq u e s o b r e la c u ­ b ie r ta d e l p u e n te e n tr e las ju n t a s . L a tr a n s f e r e n c ia d e e s t a c a rg a d e s d e la c u b ie r ta h a s ta la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 5 e . A p a r tir d e e s t o p u e d e v e rs e q u e , e f e c tiv a m e n te . F Cg = 0 .5 a l a n a li z a r e l e q u il i­ b r io d e l a j u n t a C , fig u ra 6 -2 5 /. D a d o q u e l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a C G n o se e x tie n d e a to d o e l c la r o d e l a a r m a d u r a , f ig u r a 6 - 2 5 d .e l e l e ­ m e n t o C G x c o n o c e c o m o u n e le m e n to s e c u n d a r io . rco lin c a ü c in flu e n c ia p a r a FCa F eo- 0 5 (d) le f CD 05 c a r g a d e la a rm a d u ra (e ) (0 6 .5 EJEMPLO LIN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 2 3 5 6 .1 7 P a r a d e te r m i n a r l a fu e rz a m á x im a e n c a d a e le m e n to d e l a a r m a d u r a W arre n q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra fía , p rim e ro d e b e n d ib u ja rs e la s lín e a s d e influencia d e lo s e le m e n to s. S i se c o n sid e ra u n a a rm a d u ra sim ilar a la de la fig u ra 6.26a, d e te r m in e la f u e r z a m á s g ra n d e q u e p u e d e d e s a rro lla rs e e n e l e le m e n to B C d e b id a a u n a fuei7.a m ó v il d e 2 5 k y u n a c a rg a m óvil d is trib u id a d e 0.6 le/pie. 1.a c a rg a se a p lic a e n la c u e rd a s u p e rio r. X Fb c 0 20 40 60 80 -2 0 p i e s - j - 2 0 p i c s - j - 2 0 p i e s j - 2 0 p i e s - | 0 1 0 .6 6 7 0333 0 (b ) (a) fig u ra 6 -2 6 S O L U C IÓ N T a bu la ció n d e v a lo re s . E n la fig u ra 6-26b s e m u e s tr a u n a ta b la d e la p o s ic ió n . t d e la c a rg a u n ita r ia e n la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a s u p e ­ rio r c o n tr a la f u e r z a e n e l e le m e n to B C . P a r a lo s c á lc u lo s p u e d e u s a rs e el m é to d o d e la s sec cio n es. P o r e je m p lo , c u a n d o la c a rg a u n ita r ia e s t á en la j u n t a / ( x = 2 0 p ie s ) , fig u ra 6 -2 6 a , p r im e r o s e d e te r m in a la re a c c ió n E y ( E y = 0.2 5 ). D e sp u é s, la a r m a d u r a s e s e c c io n a a tra v é s d e B C , I C y / / / y s e a ís la e l s e g m e n to d e la d e re c h a , f ig u r a 6-2 6 c. F /k- se o b tie n e al s u m a r lo s m o m e n to s r e s p e c to a l p u n t o / , p a r a e lim in a r F /// y F /c . L os d e m á s v a lo re s d e la f ig u r a 6 -2 6 b se d e te r m in a n d e ig u a l m a n e ra . L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u l a r e s se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -2 6 d . P o r in s p e c c ió n . B C e s u n e le m e n to p rim a rio . ¿ P o r q u é ? Fa t - F u e rz a v iv a c o n c e n tr a d a . 1.a m a y o r f u e r z a e n e l e le m e n to B C o c u r r e c u a n d o la f u e r e a m ó v il d e 2 5 k s e c o lo c a e n x = 2 0 p i e s P o r lo ta n to , F r c = ( L 0 0 ) ( 2 5 ) = 2 5 .0 k F* C a rg a v iv a d is tr ib u id a . L a c a rg a v iv a u n if o r m e d e b e c o lo c a rs e s o b r e t o d a la c u b ie r ta d e la a r m a d u r a p a r a c r e a r la m a y o r f u e r z a d e te n s ió n B C * E n to n c e s , F u e rz a m á x im a t o t a l. 2 5 .0 k + 2 4 .0 k = 4 9 .0 k R esp . • L a m a y o r f u e r z a d e te n s ió n e n e l e l e m e n t o G B d e l e je m p lo 6 1 5 s e c r e a c u a n d o la c a rg a d is tr ib u id a a c t ú a s o b r e la c u b ie r ta d e la a r m a d u ra d e s d e x = 0 h a s t a x e 8 m , f i­ g u ra 6 2 4 i . 20 80 lin c a d e in f lu e n c ia p a r a F b c <d) F b c = [J ( 8 0 ) ( 1 .0 0 ) ] 0 .6 = 2 4 .0 k ( F B c)m ix 1.00 (T ) (c) 2 3 6 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s PROBLEM AS 6 -2 6 . U n a carg a viva uniform e de 1.8 kN/m y u n a sola tuerza viva co n cen trad a d e 4 kN se co lo can so b re las vigas de piso. D eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te positiva máxim a en e l p an el B C de la trab e, y (b ) el m om ento m áxim o e n el p u n to G de la trabe. A L H IG C - t\U cj 025 m 0 2 ! m i 6 -2 9 . D ibuje la linea de influencia p ara (a ) la fu erza c o r­ tan te e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to e n D . i£ D Cmin —_——li\OC— m n y_itU.3 P ro h . 6 -2 6 6 -2 7 . U n a carg a viva uniform e de 2 8 kN/m y u n a sola tuerza viva co n cen trad a de 2 0 kN se colocan so b re las vigas de piso. Si las vigas tam bién so p o rta n u n a c arg a m u e rta uni­ form e d e 700 N /m , d eterm in e (a) la fuerza c o rta n te positiva m áxim a e n el p a n e l B C de la tra b e y (b ) el m o m en to posi­ tivo m áxim o en el p u n to G de la trab e. 6 d G -1 5 m 1—15 m---0.75 m 0.75 m -1 5 m- 6 -3 0 . U n c arg a viva u n ifo rm e de 250 Ib/pie y u n a sola fuerza viva co n c e n tra d a de 1.5 k d e b e n colocarse so b re las « g a s de piso. D eterm in e (a ) la fuerza co rtan te positiva m á ­ xim a en e l p a n e l A B , y (b ) e l m om ento m áxim o e n D . S u ­ ponga q u e e n los so p o rtes sólo se p ro d u cen reaccio n es verticales. 2X F -1.5 m- P ro b .6 -2 7 *6-28. U na carga viva uniform e d e 2 k /p ic y u n a sola fuerza viva co n cen trad a de 6 k se colocan so b re las vigas de piso. Si las vigas tam bién so p o rta n una carga m u erta uni­ form e d e 350 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fu erza co rtan te posi­ tiva m áxim a d e l p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento negativo m áxim o en el p u n to D de la trab e. S u p o n g a q u e el so p o rte e n C es u n rodillo y q u e E e stá articulado. P ro h . 6 -28 6 -3 1 . U n a carg a viva u n ifo rm e d e 0 .6 k/pic y u n a sola tu erza viva co n c en tra d a d e 5 k d eb en colocarse so b re las « g a s superiores. D e te rm in e (a ) la fu erza c o rta n te positiva máxim a e n e l p a n e l B C de la tra b e , y (b ) e l m o m en to posi­ tivo m áx im o e n C. S u p o n g a q u e e l so p o rte e n B es u n ro d i­ llo y q u e D está articulado. P roh. 6 -3 1 6 .5 2 3 7 LhJE A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S •6 -3 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra e l m o m en to e n el p u n to F de la tra b e . D ete rm in e el m o m en to vivo p ositivo m áxim o e n e l p u n to F de la trab e, si una so la fu erza viva co n centrada d e 8 k N se m u ev e a trav és d e las vigas d e piso su p e rio re s S u ponga q u e los so p o rte s d e to d o s los e le m e n ­ tos só lo p u e d e n e je rc e r fu erzas h acia a rrib a o h acia a b ajo so b re lo s elem entos. 6 -3 5 . D ib u je la línea d e influencia p ara la fu e rz a co rta n te e n el p a n e l C D de la trab e. D e te rm in e la fu e rz a co rta n te ne­ gativa m áx im a e n e l p an el C D .d e b id a a una c arg a viva u n i­ form e d e 500 lb/pic q u e a c tú a so b re las vigas superiores. P ro h . 6 -3 2 P ro h . 6 -3 5 6 -3 3 . U na carg a viva uniform e d e 4 k/pie y u n a so la fuerza viva co n cen trad a d e 2 0 k se co lo ca n so b re las vigas d e piso. Si las vigas tam bién so p o rtan u n a c arg a m u e rta u n ifo rm e de 700 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fu erza c o rta n te n egativa m á­ xim a en el p an el D E <fc la trab e, y (b ) el m om ento negativo m áxim o e n e l p u n to C <fe la trabe. •6 -3 6 . U na carg a viva uniform e d e 6 kN /m y u n a sola fuerza viva co n c e n tra d a d e 15 k N se co lo ca n so b re las vigas d e piso. Si las vigas ta m b ié n so p o rta n una c arg a m u erta uni- 6 form e d e 600 N /m ,d e term in e (a ) la fu erza c o rta n te positiva m áxim a e n el p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento p o si­ tivo m áxim o en e l p u n to D de la trabe. — ^ - . _ - £ b .....f f c — — v --------4 m --------- 1-------- 4 m --------- -------- 4 m ------- - 3? = -------4 m ---------1 P ro h . 6 -3 3 P ro h . 6 -3 6 6 -3 4 . U na carga viva uniform e d e 0.2 k/pie y una sola fuerza viva co n centrada de 4 k se colocan sobre las vigas d e piso. D e­ term ine (a) la fuerza co rta n te positiva máxim a e n el p an el DF. tfe la tra b e ,y (b ) el m om ento positivo m áxim o e n H. 6 -3 7 . U na c arg a viva u n ifo rm e d e 1.75 kN /m y u n a sola fiierza viva co n c e n tra d a d e 8 kN se colocan so b re las vigas d e piso. Si las vigas ta m b ié n so p o rta n una c arg a m u erta u n i­ form e de 250 N /m ,d e te rm in e (a ) la fu erza c o rta n te n egativa m áxim a e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to p o si­ tivo m áxim o e n B. j----------------- 3 m 1 % “ •{• - - t 1.5 m —- -—1-5 m —| r c i P roh. 6 -3 4 P roh. 6 -3 7 0 2 3 8 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 -3 8 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el e lem en to K J y (b ) e l e lem en to CJ. 6 -4 5 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n (a ) el e le m en to F .tl y (b ) e l e le m en to JF . 6 -3 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el e lem en to y /;(b ) e l e le m e n to IF , y (c ) e l e le m e n to EF. 6 -4 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­ m ento JI. 6 -4 7 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­ m e n to A L . L K J |*6 pies—1—6P*es—) 6 pies—|—6 p i e s - ^ 6 p ie s -|-6 pies-] Probs. 6 -3 8 /6 -3 9 Prob*. 6 -4 5 /6-46/6-47 *6-40. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el e lem en to KJ. *6-48. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el e lem e n to B C de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e los v alo res num éricos d e los pico s.T o d o s los e le m e n to s tie n en la mism a longitud. 6 -4 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­ m e n to JE. [-8 pies—|—8 pies—J—Hpies— 8 pies- {-8 pies—[-8 p i c s - | Probs. 6 -40/6-41 P rob. 6-48 6 -4 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l e le ­ m e n to CD . 6 -4 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­ m ento B F de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e lo s valores num éricos d e los pico s.T o d o s lo s e le m e n to s tie n en la misma longitud. 6 -4 3 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­ m e n to JK . *6-44. D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el e lem en to D K . Probs. 6 -4 2 /6-43/6-44 6 -5 0 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­ m ento F E de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e lo s valores num éricos d e los pico s.T o d o s los e le m e n to s tie n en la m ism a longitud. P robs. 6 -4 9 /6 -5 0 6 .5 6 -5 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el ele­ m en to C L . *6-52. D ibuje la línea de influencia p a ra la fu e rz a e n el e lem en to D L . 6 -5 3 . D ibuje la línea d e influencia p ara la fu erza e n e l e le ­ m en to CD . LhJE A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 239 •6 -5 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el e lem en to G D . luego d e te rm in e la fuerza m áx im a (e n te n ­ sión o co m p resió n ) q u e p u ed e d esarro llarse en e ste ele­ m ento d eb id o a una c arg a viva uniform e d e 3 kN /m q u e actúa so b re la cu b ie rta del p u e n te a lo largo de la c u e rd a in ­ ferior d e la arm adura. 6 ® 9 pies - 54 pies------Probs. 6 -5 1 /6-52/6-53 6 -5 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el ele m en tó CD . P ro b . 6 -5 4 6 -5 5 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­ m en to KJ. P ro h . 6 -5 6 6 -5 7 . D ibuje la linca d e influencia p a ra la fu e rz a e n el ele­ m en to C D y después d e term in e la fuerza m áxim a (e n tensión o co m p resió n ) q u e p u e d e d esarro llarse en este e le m en to d eb id o a la carga v iv a uniform e d e 800 Ib/pie, la c u a l a c tú a a lo largo d e la c u e rd a in ferior d e la a rm a d u ra . 6 P ro b . 6 -5 7 6 -5 8 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n e l e le ­ m en to C F y después efetermine la fuerza m áxim a ( e n tensión o co m p resió n ) q u e p u e d e d esarro llarse en este e le m en to d eb id o a la c arg a viva uniform e d e 800 Ib/pie, q u e se tra n s­ mite a la a rm a d u ra lo largo de s u c u e rd a inferior. P ro b . 6-58 2 4 0 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia 6 .6 p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s In flu e n d a m á x im a e n u n p u n to d e b id o a u n a s e rie d e ca rg a s c o n c e n tra d a s U n a v e z q u e s e h a e s ta b le c id o la lín e a d e in f lu e n c ia d e u n a fu n c ió n p a r a u n p u n to d e u n a e s tr u c tu r a , e l e f e c t o m á x im o c a u s a d o p o r u n a f u e r z a v iv a c o n c e n t r a d a se d e te r m i n a a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a m á x im a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p o r la m a g n itu d d e la fu e r z a . S in e m b a r g o , e n a lg u n o s c a s o s s e d e b e n c o lo c a r va ria s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s s o b r e la e s tr u c tu r a ; p o r e je m p lo , la s c a rg a s d e la s r u e d a s d e u n c a m ió n o u n tr e n . P a r a d e t e r ­ m in a r e l e f e c to m á x im o e n e s t e c a s o p u e d e u s a r s e u n p r o c e d i m i e n to d e p r u e b a y e r r o r , o b ie n u n m é to d o b a s a d o e n e l c a m b io e n la fu n c ió n q u e s e p r e s e n t e c o n e l m o v im ie n to d e la c a r g a . A c o n tin u a c ió n s e d a r á u n a e x p lic a c ió n d e c a d a u n o d e e s t o s m é to d o s , e s p e c ífic a m e n te a p lic a d o s a la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to . Cuando el Iren pasa so b ic esle puente de vigas, la locom otora y sus vagones ejercen reacciones verticales sobre la trabe. Para el diseño del puente, deben considerarse estas reacciones junto con la carga m uerta del puente. 6 Fuerza c o rta n te . C o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a c o n la lín e a d e in f lu e n c ia a s o c ia d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C d e la fi­ g u ra 6 -2 7 a . I ja fu e r z a c o rla n te p o s itiv a m á x im a e n e l p u n t o C e s tá d e t e r ­ m in a d a p o r la s e r ie d e c a rg a s c o n c e n tr a d a ( r u e d a s ) q u e s e m u e v e n d e d e r e c h a a iz q u ie rd a s o b r e l a v ig a . 1.a c a r g a c r ític a s e p r o d u c ir á c u a n d o u n a d e la s c a rg a s s e c o lo q u e ju s to a la d e r e c h a cfel p u n t o C , e l c u a l e s c o in c id c n te c o n e l p ic o p o s itiv o d e l a lí n e a d e in f lu e n c ia . E n to n c e s , c a d a u n o d e lo s tr e s c a s o s p o s ib le s p u e d e in v e s tig a rs e m e d ia n te p r u e b a y e r r o r , f ig u r a 6 -2 7 b . S e ti e n e C a so 1: (V V ), = 1 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) + 4 ( 0 .5 ) = 5.25 k C aso 2: ( V c ) 2 = 1 ( - 0 . 1 2 5 ) -t 4 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) = 5 .3 7 5 k C a so 3: ( V c ) s = * (0 ) + 4 ( - 0 . 1 2 5 ) + 4 (0 .7 5 ) = 2 .5 k E n e l c a s o 2 , c o n la f u e r z a d e 1 k lo c a liz a d a a 5* p ie s d e l s o p o r te iz ­ q u ie r d o , s e o b ti e n e e l v a lo r m á s g r a n d e d e V c y, p o r lo ta n to , r e p r e s e n ta la c a r g a c rític a . E n r e a lid a d , la in v e s tig a c ió n d e l c a s o 3 n o e s n e c e s a r ia , p u e s to q u e p o r in s p e c c ió n p u e d e v e r s e q u e u n a r r e g lo d e c a rg a s c o m o é s t e g e n e r a r ía u n v a lo r d e ( V c h , q u e s e r í a m e n o r q u e ( Vc ) 2. lk 4k n e E = ? 10 pies- 1--------------- 30 pies0.75 10 025 línea de influencia para Vc (a) H g u ra 6 -2 7 h + H 4k 6 .6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s lk 4k 4 k i ¿i |— 10 p ie s —|--------------------3 0 pi< lk 4 k I 5 I 5 I p ie s p ie s 4k i — Í t— Í l M O p ie s - 4 ^ C aso I Vc 0.75 10 & 15 20 -0 2 5 lk 4k 4 k C aso 2 -0 2 5 lk 4 k 4k Í> — Í) C aso 3 0.75 ’c 5 -0 .1 2 5 10 . -0 2 5 (b ) F ig u ra 6 - 2 7 2 4 1 2 4 2 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s C u a n d o m u c h a s c a r g a s c o n c e n tr a d a s a c tú a n s o b r e e l c la r o , c o m o e n el c a s o d e la c a r g a d e E -7 2 d e la fig u ra 1- 11, lo s c á lc u lo s p o r p r u e b a y e r r o r u tiliz a d o s a n te r io r m e n te p u e d e n r e s u l t a r te d io s o s . E n v ez d e e s t o , la p o ­ s ic ió n c r ític a d e la s c a r g a s p u e d e d e te r m in a r s e d e u n a m a n e r a m á s d i ­ r e c ta s i s e e n c u e n t r a e l c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e , A V , q u e s e p r o d u c e c u a n d o las c a rg a s s e m u e v e n d e l c a s o 1 a l c a s o 2 ; lu e g o d e l c a s o 2 a l c a s o 3 y a s í s u c e s iv a m e n te . S ie m p re q u e c a d a A V c a lc u la d o s e a p o s itiv o , la n u e v a p o s ic ió n p r o d u c i r á u n a f u e r z a c o r t a n t e m á s g r a n d e e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e la p o s ic ió n a n te r io r . S e in v e s tig a c a d a m o v im ie n to h a s ta q u e s e p r e s e n te u n c a m b io n e g a tiv o e n l a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o e s to o c u r r e , la p o s ic ió n a n t e r i o r d e las c a r g a s p r o p o r c io n a r á e l v a lo r c rític o . E l c a m b io AV' e n la f u e r z a c o r t a n te p a r a u n a c a r g a P q u e s e m u e v e d e s d e la p o s ic ió n x i h a s ta x i s o b r e u n a v ig a p u e d e d e te r m in a r s e a l m u ltip lic a r P p o r e l c a m b io e n la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia , e s d e c ir (><2 y , ) . S i la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s .e n t o n c e s O 2 —>'») = s ( x 2 - x }) y. p o r lo ta n t o AV' = P s ( x 2 ~ x , ) ( 6 - 1) L ín e a in c lin a d a Si la c a r g a s e m u e v e m á s a llá d e u n p u n t o e n e l q u e h a y u n a d is c o n ti­ n u id a d o “ s a l t o " e n la lí n e a d e in f lu e n c ia , c o m o e l p u n t o C d e la fig u ra 6 - 2 7 a ,e n t o n c e s el c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n te n o e s m á s q u e ( 6- 2 ) E l u s o d e la s e c u a c io n e s a n te r io r e s s e il u s t r a r á c o n r e f e r e n c ia a la viga, la c a r g a y la lín e a d e in flu e n c ia p a r a V 'c .q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -28 a . O b s e r v e q u e la m a g n itu d d e la p e n d ie n te d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s = 0 .7 5 /(4 0 - 10) = 0 .2 5 /1 0 = 0 .0 2 5 , y e l s a lto e n C tie n e u n a m a g n itu d de 0 .7 5 + 0.25 = 1. C o n s id e r e q u e la s c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 5 p ie s h a sta e l c a s o 2 , f ig u r a 6 -2 8 6 . C u a n d o e s to o c u rr e , la c a rg a d e 1 k s a lta h a c ia a b a jo ( 1) y to d a s la s c a rg a s s e m u e v e n h a c ia a rr ib a p o r la p e n d ie n t e d e la lí n e a d e in flu e n c ia . E s to c a u s a u n c a m b io d e la f u e r z a c o rta n te , A V 'j_2 = 1 ( - 1 ) + [1 + 4 + 4 J ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = + 0 1 2 5 k C o m o AV'i_ 2 es p o s i ti v o ,e l c a s o 2 g e n e r a r á u n v a lo r m ás g r a n d e p a r a V c q u e e l c a s o 1. ( C o m p a r e las r e s p u e s ta s p a r a ( V ¿ )\ y ( V ¿ h c a lc u la d a s p r e ­ v ia m e n te , d o n d e d e h e c h o ( V c h = ( ^ c ) i + 0 1 2 5 .) A l in v e s tig a r AV' 2_ 3 q u e s e p r o d u c e c u a n d o e l c a s o 2 s e m u e v e h a s ta e l c a s o 3 , fig u ra 6 -2 8 6 , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l s a lto h a c ia a b a j o ( n e g a t iv o ) d e la c a r g a d e 4 k y e l m o v im ie n to h o r iz o n ta l d e 5 p ie s d e to d a s la s c a r g a s h a c ia a r r ib a p o r la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia . S e ti e n e A V '2-3 = 4 ( - l ) + ( 1 + 4 + 4 ) ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = - 2 .8 7 5 k C o m o AV'2 -3 e s n e g a tiv o ,e l c a s o 2 e s la p o s ic ió n c r ític a d e la c a r g a ,c o m o s e d e te r m i n ó p r e v ia m e n te . 6 .6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 3 lk 4 k Á rr 4 k -4—j l hr+rH p ie s p ie s lín e a d e in f lu e n c ia p a r a Vc (a) lk 4k 4 k C aso 1 -0 .2 5 lk 4 k 4 k i 5 5 15 p .e s p í o p*es vc u C aso 2 J 0.625 5 40 10 -0 .1 2 5 lk 4k . 4 k C aso 3 - 0 .2 5 (b) fig u ra 6-28 2 4 4 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s M o m e n to . L o s m é to d o s a n te r io r e s ta m b ié n p u e d e n u tiliz a rse p a r a d e ­ te r m in a r la p o s ic ió n c r ític a d e u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s p a r a q u e c r e e n e l m a y o r m o m e n to i n t e r n o e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a e s ­ tr u c tu r a . P o r s u p u e s to , p r i m e r o e s n e c e s a r io d ib u j a r la lí n e a d e in f lu e n c ia p a ra e l m o m e n to e n e l p u n t o y d e t e r m i n a r la s p e n d ie n t e s s d e s u s s e g ­ m e n to s d e lín e a . P a r a u n m o v im ie n to h o r iz o n ta l ( x 2 - ^ i ) d e u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a P , e 1 c a m b io e n e l m o m e n to A W .e s e q u iv a le n te a la m a g n i­ tu d d e la f u e r z a p o r e l c a m b io e n l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia b a jo la c a r g a , e s d e c ir . A M = P s { x 2 ~ x x) L a s t r a b e s d e e s te p u e n t e d e b e n r e s is ti r e l m o ­ m e n to m á x im o c a u s a d o p o r e l p e s o d e e ste l i n e a in c lin a d a a v ió n a p r o p u ls ió n m ie n tr a s p a s a s o b r e él. 6 C ó m o e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a , la c a r g a y la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la fig u ra 6 -2 9 a . S i c a d a u n a d e la s tr e s f u e r ­ z a s c o n c e n t r a d a s s e c o lo c a s o b r e l a v ig a , e n f o r m a c o in c id e n te c o n el p ic o d e la lín e a d e in f lu e n c ia , s e o b t e n d r á la m a y o r in f lu e n c ia d e c a d a fu e r z a . E n la fig u ra 6 -2 9 b s e m u e s tr a n lo s t r e s c a s o s d e c a r g a . C u a n d o las c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 4 p ie s a l a iz q u ie rd a h a s t a e l c a s o 2 . s e o b ­ s e r v a q u e la c a r g a d e 2 k á s m i n u y e A W ,_ 2, y a q u e la p e n d ie n te (7 .5 /1 0 ) e s d e sc e n d e n te J ig u r a 6 -2 9 a . A s im is m o , la s f u e r z a s d e 4 k y 3 k o c a s io n a n u n a u m e n to d e A W |_ 2. p u e s t o q u e l a p e n d ie n te f7.5 /(4 0 - 10)J e s a s c e n ­ d e n te .S e ti e n e A * .-» - - * ( l £ ) w + (4 + 3) ( ió Zn o ) (4) = , 0k pie C o m o A W |_ 2 e s p o s i ti v o .e s n e c e s a r io in v e s tig a r a ú n m á s e l m o v im ie n to d e las c a r g a s d e 6 p ie s d e l c a s o 2 a l c a s o 3. “ » = - ( 2 + 4> © < 6> + i w h ¡ )w = - 2 2 -5 k - p ie A q u í e l c a m b io e s n e g a tiv o , p o r lo q u e e l m a y o r m o m e n to e n C o c u r r ir á c u a n d o la v ig a e s t é c a r g a d a c o m o s e m u e s tr a e n el c a s o 2 . fig u ra 6 -2 9 c . P or lo ta n t o , e l m o m e n to m á x im o e n C e s ( M c L i * = 2 ( 4 .5 ) + 4 ( 7 .5 ) + 3 ( 6 .0 ) = 5 7 .0 k - p ie L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n a ú n m á s e s t e m é to d o . 6 .6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2k 4k 3 k jk “ ' V i o p ie s- «I 3 0 p ie s I n e a d e in flu e n c ia p a r a M c (a ) 2 k 4k 3k C aso 2 (c ) Figura 6 -2 9 * f 4 > p ie s Á H p ies 2 4 5 2 4 6 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .1 8 D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a c r e a d a e n e l p u n t o B d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3 0 a ,d e b id o a la s c a rg a s d e la s r u e d a s d e l c a m ió n e n m o v im ie n to . 15 k 10 k B -1 0 p ie s - -10 p ie s -| |-, (a) fig u ra 6 -3 0 S O L U C IÓ N L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r e a c o r t a n te e n B se m u e s tra e n la fi­ g u ra 6 -3 0 6 . 0.5 10 20 -0 3 I n e a d e in flu e n c ia p a r a V „ (b ) M o v im ie n to d e 3 p ie s d e la c a rg a d e 4 k . Im a g in e q u e la c a r g a de 4 k a c t ú a j u s t o a la d e r e c h a d e l p u n t o f l . d e m a n e r a q u e s e o b ti e n e s u in flu e n c ia p o s itiv a m á x im a . D a d o q u e e l s e g m e n to d e v ig a B C tie n e 10 p ie s d e la rg o , la c a r g a d e 10 k n o e s tá to d a v ía s o b r e la v ig a . C u a n d o e l c a m i ó n s e m u e v e 3 p ie s a la iz q u ie rd a , la c a r g a d e 4 k s a lta 1 u n id a d h a c ia a h a jo s o b r e la lín e a d e in f lu e n c ia y la s c a r g a s d e 4 k , 9 k y 1 5 k c r e a n u n in c r e m e n to p o s itiv o e n AVfl. p u e s to q u e la p e n d ie n te e s a s ­ c e n d e n t e h a c ia la iz q u ie r d a . A u n q u e la c a r g a d e 10 k ta m b ié n s e m u e v e h a c ia a d e la n te 3 p ie s , a ú n n o e s tá s o b r e l a v ig a . P o r lo ta n to . AV'fl = 4 ( — 1) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ j ) 3 = + 0 .2 k M o v im ie n to d e 6 p ie s d e la c a rg a d e 9 k . C u a n d o la c a r g a d e 9 k a c tú a ju s to a la d e r e c h a d e B ,y d e s p u é s e l c a m ió n s e m u e v e 6 p ie s a la iz q u ie rd a , s e tie n e = 9( 1 ) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ ) ( 6 ) + i o ( 5 0 4 ) = + 1 .4 k O b s e r v e e n e l c á lc u lo q u e la c a r g a d e 1 0 k s ó l o s e m u e v e 4 p ie s s o b r e la v ig a . 6 .6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s M o v i m i e n t o d e 6 p i e s d e l a c a r g a d e 1 5 k . Si la c a rg a d e 15 k se c o lo c a j u s t o a la d e r e c h a d e R y d e s p u é s e l c a m ió n se m u e v e 6 p ie s a la iz q u ie r d a , la c a rg a d e 4 k s ó l o s e m u e v e u n p ie h a s ta q u e e s tá fu e ra d e la v ig a , y ta m b ié n la c a r g a d e 9 k s e m u e v e s ó l o 4 p ie s h a s t a q u e q u e d a f u e r a d e la v ig a . P o r lo ta n to . AV„ = 1 5 (-1 ) + + 9 g ) ( 4 ) + (1 5 + 1 0 ) ( ^ ) ( 6 ) = - 5 .5 k C o m o A V B a h o ra e s n e g a tiv o , la p o s ic ió n c o r r e c ta d e la s c a r g a s se p ro d u c e c u a n d o la c a rg a d e 15 k e s t á ju s to a la d e r e c h a d e l p u n t o R , fi­ g u ra 6 -3 0 c . E n c o n s e c u e n c ia , ( V 'f l W = 4 ( - 0 . 0 5 ) + 9 ( - 0 . 2 ) + 1 5 (0 .5 ) + 1 0 (0 .2 ) R e sp . = 7 .5 k E n l a p r á c tic a , ta m b ié n d e b e c o n s id e r a r s e e l m o v im ie n to d e l c a m ió n d e iz q u ie r d a a d e r e c h a y lu e g o e le g ir e l v a lo r m á x im o e n t r e e s t a s d o s s itu a c io n e s ().? 1 4 ^ ---- J -°°5 . 0 2 - 10 - c L5 (c) 16 20 2 4 7 2 4 8 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .1 9 D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o c r e a d o e n e l p u n t o B d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3 la , d e b id o a la s c a rg a s d e la s r u e ­ d a s d e la g rú a . 8 kN 4 kN I 3 kN Á 3m u * u 'A ( - 2 m - ----- 3 m — | t 20 4 kN ¿ 8 lj N 3 kN 4 , ' m - ¿ ■ '" i r l t , ínea de influencia para M H 1 - 2 m -|— 3 m — + - 2 m - j (a) (b) Figura 6 -3 1 S O L U C IÓ N L a lín ea d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B s e m u e s tra e n la fig u ra 6-31 b. M o v im ie n to d e 2 m d e la c a rg a d e 3 k N . Si s e s u p o n e q u e la c a r g a d e 3 k N a c t ú a e n B y lu e g o s e m u e v e 2 m a la d e r e c h a , fig u ra 6 -3 1 /> ,el c a m b io e n e l m o m e n to e s A M „ = - 3 ( i f S ) ( 2 ) + s ( ^ ) ( 2 ) - 7 .2 0 k N m ¿ P o r q u é n o s e in c lu y e la c a r g a d e 4 k N e n lo s c á lc u lo s ? M o v im ie n to d e 3 m d e la c a rg a d e 8 k N . Si s e s u p o n e q u e la c a rg a d e 8 k N a c tú a e n B y lu e g o s e m u e v e 3 m h a d a la d e r e c h a , e l c a m b io e n e l m o m e n to e s AMs = _ 3 ( l | 0 ) ( 3 ) _ 8( l f 0 ) o ) + 4 ( l | 0 ) ( 2 , = - 8 .4 0 k N - m O b s e r v e a q u í q u e la c a r g a d e 4 k N e s t a b a in ic ia lm e n te 1 m f u e r a d e la v ig a , p o r lo q u e s e m u e v e s ó l o 2 m s o b r e la viga. C o m o n o h a y u n c a m b io d e s ig n o e n D A S g.la p o s i d ó n c o n -e c ta d e la s c a rg a s p a r a e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o e n B se p r o d u c e c u a n d o la f u e r z a d e 8 k N e s t á e n B ,f i g u r a 6 -3 1 b . ft» r lo ta n to . { M b ) mi* = 8 ( 1.20) + 3 ( 0 .4 ) = 10.8 k N • m R esp . 6 .6 I n f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s D e te r m in e la f u e r z a m á x im a d e c o m p r e s ió n d e s a r r o ll a d a e n e l e l e ­ m e n to B G d e la a r m a d u r a la te r a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -3 2 a , d e b id o a la s c a r g a s d e la s r u e d a s d e l la d o d e r e c h o d e l a u to m ó v il y el re m o lq u e . S u p o n g a q u e la s c a r g a s s e a p lic a n d ir e c ta m e n te a la a r m a ­ d u r a y q u e s e m u e v e n s ó l o a la d e r e c h a . (■) F ig u ra 6 - 3 2 S O L U C IÓ N L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a e n e l e le m e n to B G s e m u e s tr a e n b fig u ra 6 -3 2 b . A q u í s e u s a r á u n e n f o q u e d e p r u e b a y e r r o r p a r a o b t e ­ n e r la s o lu c ió n . C o m o s e b u s c a la m á x im a f u e r z a n e g a tiv a ( c o m p r e ­ sió n ) e n B G , s e c o m ie n z a d e la s ig u ie n te m a n e r a : C a rg a d e 1 .5 k N e n e l p u n to C . E n e s te c a s o , = - 0 .7 2 9 k N C a rg a d e 4 k N e n e l p u n to C. m ás r a z o n a b le q u e e l a n te r io r . I\>r in s p e c c ió n , é s t e p a r e c e u n c a s o F b g = 4 k N ( - 0 . 6 2 5 ) + 1.5 k N ( - | ^ P ) ( 4 m ) + 2 k N ( 0 3 1 2 5 ) = - 2 .5 0 k N C a rg a d e 2 k N e n e l p u n t o C E n e s t e c a s o to d a s las c a r g a s c r e a r á n u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n e n B C . F bg = 2 k N ( - 0 .6 2 5 ) + 4 k N = - 2 .6 6 kN R esp . C o m o e s t e ú ltim o c a s o r e s u lta e n la r e s p u e s ta m á s g r a n d e , la c a r g a c r í­ tic a se p r o d u c e c u a n d o la c a r g a d e 2 k N e s t á e n C. 2 4 9 2 5 0 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia 6 .7 p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s F u e rza c o r ta n te y m o m e n to m á x im o a b s o lu to E n la se c c ió n 6-6 s e d e s a r r o ll a r o n lo s m é to d o s p a r a c a lc u la r la fu e rz a c o r t a n te y e l m o m e n to m á x im o s e n u n p u m o e s p e c ífic o cfc u n a v ig a d e ­ b id o a u n a s e r ie d e c a rg a s m ó v ile s c o n c e n tr a d a s . U n p r o b l e m a m á s g e n e ­ r a l in v o lu c ra la d e te r m in a c ió n ta n t o d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la v ig a c o m o d e la p o s ic ió n d e la ca rg a e n la v ig a d e m o d o q u e s e o b te n g a la f u e r z a c o r ta n te y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to s r e s u lta n te s d e la s c a r ­ gas. S i la v ig a e s tá e n v o la d iz o o s im p le m e n te a p o y a d a , e s t e p r o b le m a p u e d e re s o lv e r s e c o n fa c ilid a d . Fuerza c o rta n te . P a r a u n a vig a e n v o la d i z o la f u e r z a c o r t a n t e m á ­ x im a a b s o l u ta s e p r o d u c i r á e n u n p u n to s i tu a d o j u s t o e n s e g u id a d e l s o ­ p o r t e fijo . L a f u e r z a c o r t a n te m á x im a se e n c u e n t r a p o r e l m é to d o d e las s e c c io n e s , c o n la s c a r g a s u b ic a d a s e n c u a l q u i e r l u g a r d e l c l a r o , fig u ra i 6 -3 3 . P a r a la s v ig as s im p le m e n te a p o y a d a s la f u e r z a c o r ta n te m á x im a a b s o ­ lu t a s e p r o d u c e j u s t o e n s e g u id a d e u n o d e lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , s i las c a r g a s s o n e q u iv a le n te s ,s e c o lo c a n d e f o r m a q u e l a p r i m e r a e n la s e c u e n c ia s e u b iq u e c e r c a d e l s o p o r t e , c o m o e n la f ig u r a 6 -3 4 . vg ¿ „ rig u ra 6 -3 4 M o m e n to . E l m o m e n to m á x im o a b s o l u to d e u n a v ig a en v o la d iz o se p ro d u c e e n e l m is m o p u n t o d o n d e o c u r r e la f u e r z a c o r t a n te m á x im a a b ­ s o lu ta . a u n q u e e n e s t e c a s o la s c a r g a s c o n c e n t r a d a s d e b e n u b ic a r s e e n el o tr o e x tr e m o d e la v ig a , c o m o e n la fig u ra 6 -3 5 . P a r a u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a , e n g e n e r a l , la p o s ic ió n c r ític a d e la s c a r g a s y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to a s o c ia d o n o p u e d e n d e te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n . S in e m b a r g o . e s p o s ib le d e t e r m i n a r la p o s ic ió n d e m a n e r a a n a lític a . P a r a fin e s d e e s te a n á lis is , c o n s i d e r e u n a v ig a s o m e tid a a la s f u e r z a s F ,. F 2. F , q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 6 a . D a d o q u e e l d i a ­ g r a m a d e m o m e n to p a r a u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s c o n s t a d e s e g m e n to s d e r e c t a q u e t i e n e n p ic o s e n c a d a f u e r z a , e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to o c u r r ir á b a jo u n a d e la s f u e i z a s S u p o n g a q u e e s t e m o m e n to m á x im o s e p r o d u c e b a jo F 2. L a p o s ic ió n d e la s c a r g a s F ,, F 2. F 3 s o b r e la i ( i — J> J) i A». « g u ra 6 -3 5 v ig a e s t a r á e s p e c ific a d a p o r la d is ta n c i a x , m e d id a d e s d e F 2 h a s ta la lín e a c e n tr a l d e la v ig a , ta l c o m o s e m u e s tr a . P a r a d e te r m i n a r u n v a lo r e s p e c í­ fic o d e x ,p r i m e r o s e o b ti e n e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s i s te m a . F * ,y s u d is - F* F, F2 M, U = 1 ' L 2 A, (a ) »* Figura 6-36 rm : (b) 6 .7 F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O 2 5 1 ta n c ia x ' m e d id a d e s d e F 2. U n a v ez h e c h o e s lo , lo s m o m e n to s s e s u m a n re s p e c to a B , d e d o n d e s e o b ti e n e la r e a c c ió n a l a iz q u ie rd a d e l a v ig a , A v, e s d e c ir , S M fí = 0 ; A y ° T ( F *) | - (T - S i la v ig a se s e c c io n a ju s to a la iz q u ie rd a d e F 2, e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re r e s u lta n t e e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6-36¿>. P o r lo ta n to , e l m o m e n to M 2 b a jo F 2 e s El SM = 0; Mi A{ \ ~ x) m o m e n to m á x im o a b s o lu to en e s te p u e n t e d e t r a b e s e s e l r e s u l t a d o d e la s c a r ­ g a s m ó v ile s c o n c e n t r a d a s c a u s a d a s p o r la s F td • ■ - m e d a s d e lo s v a g o n e s d e l tre n . L o s v a g o n e s d e b e n e s ta r e n la p o s ic ió n c rític a y d e b e FrL F & “1 -----ñ F„x 2 . F „ x x ' + — i / .. , M i P a r a q u e Af2 s e a m á x im o s e r e q u i e r e d M i dx = -2 F r x x L F r x ' _ Q L o b ie n . x' X ~ 2 ft>r l o ta n t o , s e p u e d e c o n c lu i r q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to en u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a s e p r o d u c e b a jo u n a d e Lis fu e r z a s c o n c e n ­ tradas, p o r lo q u e e s ta f u e r z a se c o lo c a s o b r e la v ig a d e m o d o q u e e lla y la f u e r z a re s u lta n te d e l s is te m a s e a n e q u id is ta n te s d e s d e la lín e a c e n tr a l d e la v ig a . P u e s to q u e h a y u n a s e r i e d e c a rg a s s o b r e e l c la r o ( p o r e je m p lo , F |, F 2, F , e n la fig u ra 6 -3 6 a ), e s t e p r in c ip io te n d r á q u e a p lic a r s e a c a d a c a rg a d e la s e r ie y d e b e r á c a lc u la rs e e n c a d a m o m e n to m á x im o c o r r e s ­ p o n d ie n te . P o r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m á s g r a n d e s e r á e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to . S in e m b a r g o , c o m o r e g la g e n e r a l e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to s u e le o c u r r i r b a jo la f u e r z a m á s g r a n d e q u e s e u b ic a m á s c e rc a d e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s is te m a . E nvolvente de los valores m áxim os de la línea de in ­ flu e n cia . L a s re g la s o fó r m u la s p a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s s o n d ifíc ile s d e e s t a b le c e r p a r a las v ig a s q u e s e a p o y a n d e u n a m a n e r a d is tin ta a l v o la d iz o o a l a p o y o s i m p l e .q u e ya s e a n a liz a r o n a q u í. N o o b s t a n t e , u n a f o r m a e le m e n ta l d e p r o c e d e r p a ra la s o lu c ió n d e e s t e p r o b le m a r e q u i e r e l a c o n s tr u c c ió n d e lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n lo s p u n to s s e le c c io n a ­ d o s a lo l a r g o d e to d a la v ig a y e l c á lc u lo p o s t e r io r d e l a f u e r z a c o r t a n t e o e l m o m e n to m á x im o s e n la v ig a p a r a c a d a p u n to , e m p l e a n d o p a r a e llo lo s m é to d o s d e la se c c ió n 6 -6 . A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e u n a “e n v o lv e n te d e m á x im o s " , a p a r t i r d e la c u a l p u e d e d e te r m in a r s e ta n t o e l v a lo r m á x im o a b s o lu to d e la f u e r z a c o r ta n te o d e l m o m e n to c o m o s u u b ic a c ió n . P o r s u p u e s to , s e r e c o m ie n d a u n a s o lu c ió n e n c o m p u ta d o r a p a ra la s s i tu a c io n e s c o m p lic a d a s d e e s t e p r o b l e m a , y a q u e e l t r a b a j o p u e d e s e r te d i o s o s i s e re a liz a m a n u a lm e n te . id e n tif ic a r s e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la v ig a d o n d e s e p r o d u c e e l m o m e n t o m á x im o a b s o lu t o . 2 5 2 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e te r m in e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e n la c u b ie r ta d e l p u e n te s im p le m e n te a p o y a d o d e la fig u ra 6 -3 7 a. “ 4-5 k |.____________ 3 0 p ie s - S O L U C IÓ N F „ - 4 .5 k P r im e r o se d e te r m i n a n la m a g n itu d y la p o s ic ió n d e la f u e r z a r e s u l ­ ta n t e d e l s i s te m a , f ig u r a 6 -3 7 a . S e ti e n e + 1Fr = ZF; * . — ¡i — *>, F * = 2 + 1.5 + 1 = 4 .5 k '• — u “ y ~ * A h o r a , u s a n d o la se c c ió n iz q u ie rd a d e la viga, f ig u r a 6-37c. s e o b tie n e i + Z A /s = 0 ; - 2 .5 0 ( 1 6 .6 7 ) + 2 ( 1 0 ) + M s = 0 M s = 21.7 k - p i e A , = 2S k (c) H g u ra 6 -3 7 6 .7 F l f R 7 A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O H a y u n a p o s ib ilid a d d e q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to p u e d a o c u r r ir b a jo la c a r g a d e 2 k , p u e s to q u e 2 k > 1 .5 k y F/* e s tá e n t r e 2 k y 1.5 k. P a r a in v e s tig a r e s t e c a s o , la c a r g a d e 2 k y F * se c o lo c a n e q u i­ d is ta n te s d e la lí n e a c e n tr a l d e la v ig a , fig u ra 6 -3 7 d . D e m u e s tr e q u e A y = 1.75 k c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 6 - 3 7 e y q u e M s = 2 0 .4 k • p ie ft>r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e s M s = 2 1 .7 k - p i e e l c u a l s e p r o d u c e b a jo la c a r g a d e 1.5 k . c u a n d o la s c a rg a s s e u b ic a n s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -3 7 b . F , - 43 k 2k 13 k 2 k A , - 1.75 k lk 253 2 5 4 C a p it u l o EJEMPLO 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s 6 .2 2 E l c a m ió n tie n e u n a m a s a d e 2 M g y u n c e n tr o d e g r a v e d a d e n G .c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 & I. D e te rm in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to q u e se d e s a r ro lla e n la c u b ie r ta d e l p u e n te s im p le m e n te a p o y a d o , d e ­ b id o a l p e s o d e l c a m ió n . E l p u e n te tie n e u n a lo n g itu d d e 1 0 m . S O L U C IÓ N C o m o s e o b s e r v a e n la f ig u r a 6 - 3 8 a ,e l p e s o d e l c a m i ó n , 2 ( 103) k g (9 .8 1 m /s2) = 19.62 k N .y la s r e a c c io n e s d e la s r u e d a s s e c a lc u la ro n c o n b a s e e n la e s tá tic a . D a d o q u e l a m a y o r r e a c c ió n s e p r o d u c e e n la r u e d a d e ­ l a n t e r a , s e s e le c c io n a r á e s ta r u e d a j u n t o c o n la f u e r z a r e s u lta n t e y se c o lo c a r á n e q u id is ta n te s d e la lín e a c e n t r a l d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 6 . S e u s a r á la f u e r z a r e s u lta n t e e n lu g a r d e la s c a r g a s d e la s ru e d a s , e n t o n ­ c e s la r e a c c ió n v e r tic a l e n B e s Í + S M a = O, # , ( 1 0 ) - 1 9 .6 2 (4 .5 ) = 0 B y = 8 .8 2 9 k N E l m o m e n to m á x im o o c u r r e b a jo la c a r g a d e la n i e d a d e la n te r a . U tili­ z a n d o la s e c c ió n d e r e c h a d e la c u b ie r ta d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 c , se tie n e ¡ ,+ 2 M s = 0 ; 8 .8 2 9 (4 .5 ) - M, = 0 M s = 39.7 k N • m Figura 6 -3 8 R esp . 6 .7 F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O 2 5 5 PROBLEMAS 6 -5 9 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to C d e la trab e sim ple, cau sad o p o r e l m o v im ien to de la p latafo rm a móvil q u e tiene u n a m a sa de 2 M g y u n c e n tro d e m a sa e n G . Suponga q u e A e s u n rodillo. TF « c R2 * U j w t 6 -6 2 . D eterm in e el m o m en to p ositivo m áxim o e n e l e m ­ palm e C sobre la tra b e lateral, cau sad o p o r la c arg a móvil q u e se d esp laza a lo largo del c e n tro d e l p u en te. j ni Dm P ro b . 6 -5 9 *6-60. D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to B del carril susp en d id o s i é ste so p o rta la carg a d e 2.5 k so b re el carro. P ro b . 6 -6 2 6 -6 3 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o e n C d eb id o a la carga móvil. P r o b . 6 -6 3 P r o b . 6 -6 0 6 -6 1 . D eterm ine la fu erza c o rta n te positiva m áxim a e n el p u n to B s i e l carril s o p o rta la carga d e 2.5 k so b re e l carro. P rob. 6 -6 1 •6 -6 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el e le m en to I H de la a rm a d u ra p ara puente. D e te rm in e la fuerza máxim a (e n ten sió n o co m p resió n ) q u e p u e d e d esa­ rrollarse e n e ste e lem e n to d e b id o a u n cam ió n d e 72 k q u e tiene las cargas de las ru e d as q u e se m u estran e n la figura. Suponga q u e el cam ión p u e d e viajar *7? cu a lq u ier dirección a lo largo d el centro d e la cu b ierta, d e m o d o q u e la m itad de su c arg a se tran sfiere a c a d a una d e las d o s a rm a d u ra s late­ rales. S uponga tam b ió n q u e los e le m e n to s e stá n articu lados e n las placas d e refuerzo. P rob. 6 -6 4 2 5 6 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a 6 -6 5 . D eterm in e e l m o m en to positivo m áx im o e n el p u n to C so b re la tra b e sim ple, d e b id o a la carga móvil. e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s *6-68. D ib u je la linea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el e lem e n to I C de la arm ad u ra p a ra p u en te. D ete rm in e la tu erza m áxim a (e n ten sió n o com presión) q u e p u ed e d e s a ­ b o lla rse e n e l e le m en to d e b id o a u n cam ión de 5 k con las cargas de las ru ed a s q u e se m u estran e n la fig u ra S uponga que e l cam ión p u ed e viajar en cualquier dirección a lo largo d e l centro de la c u b ic rta .d e m o d o q u e la m itad d e la carga se tran sfiere a c ad a una d e las d o s a rm a d u ra s laterales. S u ­ p onga tam b ién q u e los elem en to s e stán a rticu lad o s e n las placas d e refuerzo. 5m P ro b . 6 -6 5 6 -6 6 . E l c a rro tiene u n peso de 2500 libras y un c e n tro de gravedad e n G . D eterm in e e l m o m en to m áxim o positivo creado e n e l p u n to C d e la tra b e la te ra l m ie n tra s pasa p o r el puente. S u ponga q u e e l c a rro puede viajar e n c u a lq u ie r d i­ rección a lo largo d e l centro d e la cu b ierta, d e m o d o q u e la m itad de su carg a se tran sfiere a c a d a u n a d e las d o s trab es laterales. P robs. 6 -67/6-68 6 -6 9 . E l cam ión tien e u n a m asa de 4 M g y c e n tro d e m asa en G ,.p o r s u p arte e l re m o lq u e tien e u n a m asa d e 1 M g y cen tro de m a sa e n G?. D ete rm in e e l m o m en to vivo m áxim o absoluto d e sa rro lla d o e n e l puente. P ro b . 6 -6 9 6 -7 0 . D eterm in e el m o m en to vivo m áxim o a b so lu to e n el p u e n te d e l p ro b lem a 6-69 si se retira e l rem olque. 6 -6 7 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l e le ­ m e n to B C de la a rm a d u ra p a ra puente. D e te rm in e la fu erza m áxim a (e n te n sió n o com presión) q u e p u ed e desarrollarse en e l e lem en to d e b id o a u n cam ión d e 5 k q u e tiene las c a r­ gas d e las ru ed as q u e se m u estran e n la figura. S u p o n g a que el cam ió n p u e d e viajar en cualquier dirección a lo largo del centro de la cu b ierta, d e m o d o q u e la m ita d de la c arg a se transfiere a c a d a u n a d e las d o s arm ad u ras laterales. S u ­ ponga tam bién q u e lo s elem en to s e stá n articu lad o s e n las placas d e refuerzo. P roh. 6 -7 0 6 .7 6 -7 1 . D eterm ine la fu erza c o rta n te viva y e l m o m en to vivo m áxim os ab so lu to s e n el b ra zo A l t cíe la g rú a, d eb id o s a la carg a d e 10 kN. L as restricciones e n los e x tre m o s re­ q u ieren q u e 0.1 m < i < 3 . 9 m . F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O 2 5 7 6 -7 3 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o a b so lu to e n el puen te d e trabes, d e b id o a las cargas del cam ió n q u e se m uestra. L as c arg as se ap lican d irectam en te so b re la trabe. 15 k PTOb. 6 -7 3 6 -7 4 . D eterm in e la fuerza c o rta n te m áx im a ab so lu ta e n la viga d e b id o a las carg as m ostradas. 2 0 kN Prob. 6-71 •6 -7 2 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n C cau sad o p o r las carg as móviles. 6 -7 5 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o a b so lu to e n la viga d eb id o a las c arg as m ostradas. 20 kN P rob. 6 -7 2 P rob. 6 -7 5 2 5 8 C a p it u l o * 6 -7 6 . 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a D e te r m in e la f u e r / a c o r ta n te m á x im a a b s o lu ta e n la t r a b e d e l p u e n t e , d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s e s t r u c t u r a s 6 -7 9 . e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s D e t e r m i n e la f u e r z a c o r t a n t e m á x i m a a b s o l u t a e n la s i g a d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s 6 k 5 3 3 p ies p ies pies -3 0 p ie s - Proh. 6 - 7 9 P ro h . 6 -7 6 * 6 -8 0 . D e te rm in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to e n e l p u e n t e d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s 6 -7 7 . D e te rm in e el m o m e n to m á x im o a b s o lu to en la tra b e d e l p u e n te , d e b id o a la s c a r g a s m o s tr a d a s 6k 6 -8 1 . E l c a r r o r u e d a e n C y D a lo l a r g o d e l a s a l a s i n f e r i o r y s u p e r i o r d e la v ig a A R . D e te r m in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to d e s a r r o lla d o e n la v ig a s i la c a r g a s o p o r ta d a p o r e l P ro h . 6 -7 7 c a r ro e s d e 2 K . S u p o n g a q u e e l s o p o r te e n A e s tá a rtic u la d o y q u e B e s u n ro d illo . 6 -7 8 . D e te rm in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to en tr a b e d e b id o a la s c a r g a s m o s tr a d a s 10 k 8k 3 2 2 pies p ies pies -25 p ie s- P ro h .6 -7 8 Proh. 6-81 P R O B .E M A S D E P R O Y E C TO 2 5 9 P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O 6 -1 P. E l polipasto d e c ad en a p u e d e colocarse e n c u a l­ q u ie r p u n to a lo largo d e l aguilón de u n a g rú a de p a re d (0.1 m < x < 3.4 m ) y tien e una capacidad n o m in a l d e 2 8 kN. U se u n facto r d e im p acto d e 0 .3 p a ra d e te rm in a r el m o­ m ento flexionante m áxim o ab so lu to e n e l aguilón y la fuerza máxim a d e sarro lla d a e n la varilla d e re fu e rz o B C . El aguilón está articu lad o a la co lu m n a d e p a re d e n s u ex trem o izquierdo A . Pase p o r a lto el ta m a ñ o d e l c a rro e n D . 6-2P . Se va a c o n stru ir un p u e n te p e a to n a l sim plem ente ap oyado e n u n p arq u e de la ciudad, p o r lo q u e se lian p r o ­ puesto d o s m o d elo s q u e se m u estran co m o c aso a y c aso b . Los e lem en to s d e la a rm a d u ra d e b e n e sta r h e ch o s d e m a­ d e ra . La cu b ie rta se co m p o n e d e planchas d e 1.5 m etro s de largo q u e tien e n u n a m asa de 2 0 kg/m ?. U n có d ig o local e s­ tablece q u e la c arg a viva so b re la c u b ie rta d e b e s e r de 5 kP a con u n factor de im pacto de 0.2. C o n sid ere q u e la cu b ie rta e sta rá sim plem ente a p o y a d a e n los largueros. E n to n ces, las vigas d e piso tran sm iten la c a rg a a las ju n ta s inferiores de la arm ad u ra (v e a la figura 6-23). E n cada caso, e n c u e n tre cuál e s e l e le m e n to so m etid o a la m ay o r carga e n ten sió n y en co m p resió n , y sugiera p o r q u é d e b e elegirse u n diseño so b re e l o tro . N o to m e e n cu e n ta el peso de lo s elem en tos d e la a rm ad u ra. caso a 125 m- 125 1 2 5 m —|— 1 2 5 m —| caso b P ro h . 6 - 1 P P ro b . 6 -2 P 2 6 0 C a p it u l o 6 L In e a s d e in f l u e n c ia p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s REPASO DEL C A P ÍT U L O U n a línea d e influencia indica el v alor d e u n a reacción, u n a fu erza c o rta n te o u n m o m en to e n u n p u n to específico d e un elem ento, cu a n d o u n a carg a u n itaria se m u ev e so b re éste. D espués d e co n stru ir la lín ea de influencia p a ra u n a reacción, u n a fu erza co rta n te o u n m o m en to (fu n ció n ), se p o d rá lo ­ calizar la carga viva so b re e l elem en to q u e p ro d u zca e l m áxim o v alor p ositivo o neg ativ o d e la función. U na fuerza viva co n ce n trad a se aplica en lo s picos positiv o s (negativos) de la lín ea de influencia. E l v alor d e la función es igual a l p ro d u c to de la o rd e n a d a d e la línea d e influencia p o r la m agnitud d e la fuerza. f ±d U n a carga uniform em en te d istrib u id a se e x tien d e so b re u n a región positiva (n eg ativ a) d e la línea d e influencia. E l v alor de la función e s igual al p ro d u c to d e la z o n a b ajo la línea d e influencia p a ra la reg ió n y la m agnitud d e la carga uniform e. "o M 3, La fo rm a g en eral de la lín ea d e influencia p u e d e d eterm in arse m e d ia n te e l prin cip io d e M U U er-B reslau.el c u a l estab lece que la línea d e influencia p a ra u n a reacción, u n a fu erza co rta n te o un m o m en to , e stá a la m ism a escala q u e la form a alte ­ ra d a d e l e lem en to cuand o a c tú a n so b re é l la reacción, la fuerza c o rta n te o e l m om ento. R e p a s o d e l c a p it u l o 2 61 L as lin eas d e influencia p a ra trab es d e piso y a rm ad u ras p u e d e n establecerse a l c o lo c a r la c arg a un itaria en c a d a p u n to o ju n ta del panel, y calcular e l v alor d e la reacción, la fuerza co rta n te o e l m o m en to necesarios. Si so b re el e lem en to p asa una serie de c arg as co n cen trad as, en to n ces d e b e n co n sid erarse las d iferen tes posiciones d e la carga so b re e l e lem e n to a fin d e d ete rm in a r la m ayor fu erza c o rta n te o el m ay o r m om ento e n e l elem en to . H n general, c o ­ lo q u e la carg a de m a n e ra q u e c a d a u n a ap o rte s u m áxim a influencia, la cual se d e te rm in a m ultiplicando c a d a carg a p o r la o rd en ad a de la línea d e influencia. E ste p ro ceso d e e n c o n tra r la p osición re a l puede h acerse m ed ian te una técnica de p ru e b a y e rro r, o buscando e l cam b io e n la fu e rz a c o rta n te o e l m o m en to c u a n d o las c arg as se m u ev en de una p osición a otra. C ada m om ento se investiga h a sta q u e se p resen ta u n v a lo r neg ativ o d e la fu erza c o rta n te o e l m om ento. U na v ez que ocurre esto , la posición a n te rio r d efin irá la c a rg a crítica. I j i fu e rza córlam e máxim a ab so lu ta e n u n a viga e n vo­ ladizo o sim plem ente ap o y ad a se p ro d u cirá en u n s o ­ p o rte, cu a n d o u n a de las carg as se c o lo q u e al la d o d e ese soporte. E l m o m en to m áxim o absoluto e n una v ig a e n voladizo se produce cu a n d o la serie d e carg as co n cen trad as se c o lo ­ can e n e l p u n to m ás alejad o d e l s o p o rte fijo. < F, -J|«N A. F} ^! u Para d ete rm in a r el m om ento m áxim o a b so lu to e n una viga sim plem ente a p o y a d a , p rim ero se d e te rm in a la fuerza re su ltan te d el sistem a. D espués, ju n to c o n u n a de las fuerzas co n cen tra d as e n e l sistem a, se coloca de m o d o que las d o s fuerzas se e n c u e n tre n eq u id istan te s d e la línea c e n tra l d e la viga. E l m o m en to m áxim o se p ro d u ce b ajo la fuerza seleccionada. C ad a fu erza en e l sistem a se selecciona de esta m a n e ra y, p o r c o m p aració n . la m ás g ran d e d e to d o s esto s casos e s el m om ento m áxim o a b s o ­ luto. H t F=i — ^ L 2 El po rta l d e este p u e n te d e b e resistir cargas la te rale s d e b id a s al v ie n to y al trá­ fico. Para hacer un dise ñ o pre lim in ar d e los e le m e n to s pu e d e realizarse un análisis a p ro xim a d o de las fuerzas producidas, an tes de llevar a ca b o u n a n á li­ sis estructu ral más preciso. Análisis aproximado de estructuras estáticamente indeterminadas En e s te c a p ít u lo s e p re s e n ta rá n a lg u n o s d e lo s m é t o d o s a p r o x im a d o s p a ra a n a liz a r a r m a d u ra s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s . Estas té c n ic a s s e d e s a rro lla ro n c o n b a s e e n e l c o m p o r ta m ie n to e s tr u c tu ra l y, e n la m a y o ría d e lo s ca s o s , su p r e c is ió n s e c o m p a r a fa v o ra b le m e n te c o n m é t o d o s a n a lític o s m á s e x a c to s . A u n q u e a q u í n o se e s tu d ia rá n t o d o s lo s tip o s d e fo r m a s e s tru c tu ra le s , m e d ia n te e l e s t u d io d e e s to s m é t o d o s se p r e te n d e p r o p o r c io n a r u n e n t e n d im ie n t o s u fic ie n te p a ra q u e e l e s tu d ia n te p u e d a d e t e r m in a r c u á le s s e ría n lo s m e jo re s a c e rc a ­ m ie n to s p a ra re a liz a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e fu e rz a s d e u n a e s tru c ­ tu ra e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a . 7 .1 U so d e m é to d o s a p ro x im a d o s Q i a n d o s e u tiliz a u n m o d e lo p a ra r e p r e s e n ta r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a , e l a n á lisis d e la m ism a d e b e s a tis f a c e r ta n to la s c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io c o m o la s d e c o m p a tib ilid a d d e d e s p l a z a m i e n to e n la s ju n ta s . C o m o se m o s tr a r á e n c a p ítu lo s p o s te r io r e s d e e s t e te x to , la s c o n d ic io n e s d e c o m ­ p a tib ilid a d p a r a u n a e s t r u c tu r a e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a p u e d e n r e la ­ c io n a r s e c o n la s c a r g a s s ie m p r e q u e s e c o n o z c a e l m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l, a s í c o m o e l ta m a ñ o y la f o r m a d e lo s e le m e n to s . S in e m ­ b a rg o . p a r a u n d is e ñ o in ic ia l n o se c o n o c e r á e l ta m a ñ o d e l e l e m e n t o y. p o r e n d e , n o s e p o d r á c o n s id e r a r u n a n á lis is e s tá tic a m e n te in d e te r m i­ n a d o . P a r a lle v a r a c a b o e l a n á lis is se r e q u e r i r á d e s a r r o ll a r u n m o d e lo m ás s im p le d e la e s t r u c tu r a q u e s e a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o . U n a v e z e s p e c ific a d o e s te m o d e lo , e l e s tu d io s e d e n o m i n a a n á lisis a p r o x im a d o . M e d ia n te u n a n á lis is d e e s t e t i p o p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e lim in a r d e lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a , y a l c o m p l e ta r é s te e s p o s ib le r e a liz a r u n a n á lis is in d e t e r m in a d o m á s e x a c to y p e r f e c c io n a r e l d is e ñ o . U n a n á l i ­ sis a p r o x im a d o ta m b ié n p r o p o r c io n a in f o r m a c ió n s o b r e e l c o m p o r ta ­ m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a b a jo c a r g a y r e s u lta ú til a l v e r if ic a r la v a lid e z d e u n a n á lis is m á s e x a c to o c u a n d o e l tie m p o , e l d in e r o o l a c a p a c id a d n o s o n s u f ic ie n te s p a r a e f e c t u a r e l a n á lis is c o n m a y o r p re c is ió n . 2 6 4 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s E s n e c e s a r io t e n e r e n c u e n ta q u e , p o r lo g e n e r a l , to d o s lo s m é t o d o s d e a n á lisis e s tr u c tu r a l s o n a p r o x im a d o s , s im p le m e n te p o r q u e la s c o n d ic io ­ n e s r e a l e s d e c a r g a , la g e o m e t r í a ,e l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l y la r e ­ s is te n c ia d e la s ju n t a s e n lo s s o p o r te s n u n c a s e c o n o c e n e n u n s e n tid o e stric to . S in e m b a r g o , e n e s t e te x t o e l a n á lisis e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o d e u n a e s t r u c t u r a se lla m a r á a n á lisis e x a c to y e l a n á lis is e s t á tic a m e n te d e te r m in a d o , q u e e s m á s s e n c illo , s e d e n o m i n a r á a n á lisis a p r o x im a d o . 7 .2 A rm a d u ra s E n la f ig u r a 7 - l a s e m u e s tr a u n t i p o c o m ú n d e a r m a d u r a q u e s e u s a c o n fr e c u e n c ia c o m o s o p o r t e la t e r a l p a r a e d if ic io s o e n la s c u e r d a s s u p e r io r e in f e r io r d e lo s p u e n te s (v e a ta m b ié n la fig u ra 3 -4 ). C u a n d o s e u s a p a r a ta l p r o p ó s ito , e s t a a r m a d u r a n o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o p r i m a r i o p a r a s o p o r ta r la e s tr u c tu r a y, e n c o n s e c u e n c ia , s u e le a n a liz a rs e p o r m é to d o s a p ro x im a d o s . E n e l c a s o q u e s e m u e s tr a se p o d r á o b s e r v a r q u e a l e lim i­ n a r u n a d ia g o n a l d e c a d a u n o d e lo s tr e s p a n e le s , la a r m a d u r a s e v u e lv e e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a . E n to n c e s , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in ­ d e te r m i n a d a d e t e r c e r g r a d o ( a p a r t i r d e la e c u a c ió n 3 - 1 , 6 + r > 2/', o b ie n 1 6 + 3 > 8 ( 2 ) ) y, p o r lo ta n to , d e b e n h a c e r s e tr e s s u p u e s to s r e s p e c to d e la s fu e r z a s e n la s b a r r a s a fin d e c o n v e r t ir l a a r m a d u r a e n e s t á t i c a ­ m e n te d e te r m in a d a . E s to s s u p u e s to s p u e d e n h a c e r s e c o n r e s p e c to a las d ia g o n a le s tr a n s v e r s a le s , s i s e o b s e r v a q u e c u a n d o u n a d ia g o n a l e n u n p a n e l e s t á e n te n s ió n , la c o r r e s p o n d ie n t e d ia g o n a l tr a n s v e r s a l e s t á e n c o m p r e s ió n . E s to e s e v id e n te e n l a G g u ra 7 - 1 6 ,d o n d e la “ f u e r z a c o r t a n te d e l p a n e l ” V e s s o p o r ta d a p o r la c o m p o n e n te v e rtic a l d e f u e r z a d e t e n ­ s i ó n e n e l e l e m e n t o a , y l a c o m p o n e n te v e rtic a l efe la f u e r z a d e c o m p re s ió n e n e l e le m e n to 6 . E n g e n e r a l s e a c e p ta n d o s m é to d o s d e an á lisis. F ig u ra 7 - 1 M é to d o 1: M é to d o 2 : Si la s d ia g o n a le s s e d is e ñ a n in te n c io n a lm e n te la rg a s y d e lg a d a s .e s r a z o n a b le s u p o n e r q u e n o p u e d e n s o p o r ta r u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n ; d e lo c o n tr a rio , s e p a n d e a r ía n c o n fa c ilid a d . P b r c o n s ig u ie n te , la f u e r z a c o r t a n t e d e l p a n e l e s r e s is t id a e n s u t o t a li d a d p o r l a á a g o n a l d e t e n ­ s ió n . m ie n tr a s q u e la d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n se a s u m e c o m o u n e le m e n to d e f u e r z a cero. Si lo s e le m e n to s d ia g o n a le s s e c o n s t r u y e n a p a r t i r d e g r a n d e s s e c c io n e s la m in a d a s , c o m o á n g u lo s o c a n a le s, p u e d e n s e r ig u a lm e n te c a p a c e s d e s o p o r ta r u n a fu e rz a d e te n s ió n q u e u n a d e c o m p r e s ió n . A q u í s e s u p o n d r á q u e c a d a d ia g o n a l d e te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r ta la m ita d d e la f u e r z a c o r t a n te d e l p a n e l. fta k rs E s to s d o s m é to d o s d e a n á lis is a p r o x i m a d o s e ilu s tra n n u m é r ic a m e n te e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s . P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e l r e f u e r z o t r a n s v e r s a l e n c a d a p a n e l d e e s t e p u e n t e f e r r o v i a r i o le v a d iz o , p u e d e u s a r s e u n m é t o d o a p r o x i m a d o . A q u í , l o s e le m e n to s tr a n s v e r s a l e s s o n d e lg a d o s y. p o r l o t a n t o , p u e d e s u p o ­ n e rs e q u e n o s o p o r ta n n in g u n a fu e rz a d e c o m p re sió n . 7 2 D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 1 - l a . L as d ia g o n a le s d e b e n d i­ s e ñ a r s e p a r a s o p o r ta r ta n t o f u e r z a s d e te n s ió n c o m o d e c o m p r e s ió n y, p o r e n d e , se s u p o n e q u e c a d a u n a s o p o r ta la m ita d d e la f u e r z a c o r ­ ta n te d e l p a n e l. I-as r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o . A rm a d u ra s 20 kN 20 kN (b) 10 k N 20 kN 10 kN (a) F ig u r a 7 - 2 (c) S O L U C IÓ N R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e s e ­ g u n d o g r a d o . L o s d o s s u p u e s t o s r e q u i e r e n q u e la s d ia g o n a l e s d e te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r te n fu e r z a s ig u a le s , e s d e c ir , F f b = F AE = F . P a r a u n a se c c ió n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie r d o , fig u ra 7 -2b , se ti e n e + 1 2 F y = 0; 20 - 10 - 2 (j)F = 0 F = 8 .3 3 k N F ÍO -----------► V - 10 kN I ¿d sf- * D t,y R esp . de m odo que 10kN F f b = 8 .3 3 k N ( T ) R esp . F u = 8 .3 3 k N ( C ) R esp . t+ Z M a = 0; - 8 .3 3 ( f ) ( 3 ) + Ffe(3 ) = 0 F f e = 6 .6 7 k N ( C )R e sp . l+ X W f = 0; - 8 .3 3 ( |) ( 3 ) + ^ ( 3 ) = 0 FAfí = 6 .6 7 k N ( T ) R esp . (d) 6 .6 7 A p a r t i r d e la j u n t a A ,f ig u r a 7 -2 c, 833 kN F AF = 15 k N ( T ) R esp . E n la f ig u r a 7 -2 d s e m u e s tr a u n a s e c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e l d e re c h o . D e m u e s tr e q u e panel + 1 2 F , = 0; kN - F a f - 8 .3 3 ( í ) - 1 0 = 0 F DB = 8 .3 3 k N ( T ) , F ED = 6 .6 7 k N ( C ) F e c = 8.33 k N ( C ) , F BC = 6 .6 7 k N ( T ) R esp . R esp . P b r o t r a p a r te , e m p le a n d o lo s d ia g r a m a s d e c u e rp o lib r e d e las a r t ic u ­ la c io n e s D y £ , f ig u r a s l - 2 e y 7 -2 /, d e m u e s tr e q u e F iyc = 5 k N ( C ) R esp . F e b = 10 k N ( T ) R esp . X/ Foc- (e) 6 .6 7 kN — 8 .3 3 k N ‘ — 6 ,6 7 k N F f/ (0 8 3 3 kN 2 6 5 2 6 6 C a p it u l o EJEMPLO 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 .2 P a r a p r o p o r c io n a r s o p o r t e la t e r a l a e s t e p u e n te c o n tr a e l v ie n to y la s c a r g a s d e s b a la n c e a d a s d e l trá fic o , s e e m p l e a u n r e f u e r z o tr a n s v e r s a l. D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e e s t a a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s d ia g o n a le s s o n d e lg a d a s y p o r lo ta n t o n o s o p o r ta n n in g u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n , l^as c a r g a s y la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 7 -3 a. (a) Figura 7 -3 P = 6k S O L U C IÓ N P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e c u a r t o g ra d o . A sí, lo s c u a t r o s u p u e s to s q u e s e u tiliz a rá n r e q u ie r e n q u e c a d a d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n s o s te n g a u n a f u e r z a n u l a . P o r lo ta n t o , a p a r t i r d e u n a s e c d ó n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie rd o , fig u ra 7 -3 6 , s e ti e n e F ai = 0 + TZFv = 0; 8 - 2 - F j b eos 45° = 0 F j n = 8.49 k ( T ) - 8 . 4 9 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F ; / (1 5 ) = 0 6k<C ) 1 + 2 A/y = 0; F ab = 0 A p a r t i r d e l a j u n t a A , f i g u r a 7 - 3 c. F j a = S k (C ) 7 2 A rm a d u ra s 2 6 7 E n la f ig u r a 7 3 d se m u e s tr a u n a se c c ió n v e r tic a l d e la a r m a d u r a a tr a v é s d e lo s e le m e n to s I I I , I C , B H y B C . L a f u e r z a c o r ta n te d e l p a n e l e s V = 'LFy = 8 - 2 - 4 = 2 k . S e r e q u i e r e q u e F bh = 0 + 1 '¿ F y - 0 ; 8 - 2 - 4 - R esp . F IC e o s 4 5 ° = 0 F IC = 2 .8 3 k ( T ) t+ S A / ,, = 0; - 8 ( 1 5 ) + 2 ( 1 5 ) - 2 .8 3 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F /H = 8 k ( C ) J.+ 2 A / , = 0 ; R esp . F /w(15) = 0 R esp . - 8 ( 1 5 ) + 2 (1 5 ) + F ^ 15) = 0 F bc = 6 k (T ) R esp . A p a r t i r d e la j u n t a B , fig u ra 7 -3 e, + 1 2 F y = 0; 8.49 s e n 4 5 ° - F B, = 0 8 49^ Fs, | 45 > ° 457 F fl/ = 6 k ( C ) . 6k R esp . (e) I-as f u e iz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s s e p u e d e n d e te r m i n a r p o r s i­ m e tría , e x c e p to F c / /;s in e m b a r g o , a p a r t i r d e la j u n t a C , fig u ra 7 -3 /, se tie n e 283 k 1 2 F , = 0; 2 (2 .8 3 s e n 4 5 ° ) - F CH = 0 Fc h = 4 k (C ) f( „ I 283 k 6k R esp. 6k (f) 2 6 8 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s PROBLEMAS 7 -1 . D eterm ine (e n fo rm a a p ro x im a d a ) la fu erza e n cada elem ento d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­ den so p o rta r u n a fu e rz a d e ten sió n o d e com presión. 7 -5 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im a d a ) la fu e rz a e n cada elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­ den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión. 7 -2 . R esuelva e l p ro b lem a 7-1 su p o n ie n d o q u e las d ia g o ­ nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión. 7 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 7-5 su p o n ie n d o q u e las d ia g o ­ nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión. 50 kN 40 kN 20 kN 7k 14k 14 k 7 k fO pies P ro b s. 7 -1 /7 -2 pies pies P ro b s. 7 -5 7 7 -6 7 -3 . D eterm ine (e n fo rm a a p ro x im a d a ) la fu e rz a e n cada elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las d iag o n ales p u e ­ den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión. 7 -7 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en cada elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­ den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión. * 7 -4 . R esuelva el p ro b le m a 7-3 su p o n ien d o q u e las d ia g o ­ nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión. *7-8. R esuelva e l p ro b le m a 7-7 su p o n ien d o q u e las d iag o ­ nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión. P robs. 7 -3 7 7 -4 P robs. 7 -7 7 7 -8 72 7 -9 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en c ad a elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las diagonales p u e ­ d e n so p o rta r tan to fuerzas de ten sió n c o m o d e co m p resió n . A rm aduras 2 6 9 7-11. D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza e n c a d a elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las diagonales p u e ­ d e n so p o rtar u n a fuerza d e ten sió n o una d e co m p resión. pies P ro b . 7 -9 P ro b . 7-11 7 -1 0 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n c a d a elem en to d e la arm ad u ra. S u p o n g a q u e las d iag o n ales D G y A C no p u e d e n so p o rta r u n a fu e rz a d e com presión. •7 -1 2 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en cada e le m e n to d e la arm ad u ra. S uponga q u e las diagonales no p u ed en so p o rta r una fu erza d e com presión. pies P ro h .7 -1 0 P ro b . 7 -1 2 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o 7 .3 d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s C a rga s v e rtic a le s s o b re m a rco s d e c o n s tru c c ió n l\> r lo c o m ú n , lo s m a r c o s d e c o n s tr u c c ió n c o n s is te n e n tr a b e s q u e e s t á n c o n e c ta d a s r íg id a m e n te a c o l u m n a s . d e m o d o q u e t o d a la e s t r u c t u r a ti e n e u n a m a y o r c a p a c id a d p a r a re s is tir lo s e f e c to s d e la s fu e r z a s la te r a le s d e ­ b id a s a l v ie n t o y a lo s te r r e m o to s . E n la fig u ra 7 -4 s e m u e s tr a u n e je m p lo d e u n m a r c o ríg id o , d e n o m i n a d o c a b a l le te d e e d ific io . E n la p r á c t ic a , u n in g e n ie r o e s t r u c tu r a l p u e d e e m p l e a r d iv e r s a s té c n i­ c a s p a r a r e a l i z a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e u n c a b a l le te d e e d ific io . C a d a u n o s e b a s a e n e l c o n o c im ie n to d e la fo r m a e n q u e la e s t r u c tu r a se d e fo r ­ m a r á b a jo c a r g a . U n a té c n ic a s e r ía la d e c o n s id e r a r s o la m e n te lo s e l e ­ m e n to s d e n t r o d e u n a re g ió n lo c a liz a d a d e la e s tr u c tu r a . E s to e s p o s ib le s ie m p r e q u e la s d e fle x io n e s d e lo s e le m e n to s d e n t r o d e la re g ió n a lt e r e n p o c o a lo s q u e e s t á n f u e r a d e e lla . S in e m b a r g o , c o n m u c h a fr e c u e n c ia se to m a e n c u e n ta la c u rv a d e d e fle x ió n d e to d a la e s t r u c tu r a . A p a r t i r d e e s to p u e d e c sp e c ific a re c la u b ic a c ió n a p r o x im a d a d e lo s p u n to s d e in f le ­ x ió n ; e s d e c ir , d e lo s p u n to s d o n d e e l e le m e n to c a m b ia s u c u r v a tu r a . E s to s p u n to s p u e d e n c o n s id e r a r s e c o m o a r tic u la c io n e s , y a q u e e n lo s p u n to s d e in fle x ió n d e l e l e m e n t o s e p r e s e n ta n m o m e n to s n u lo s. E n e s ta s e c c ió n se u tiliz a r á e s t a id e a p a r a a n a liz a r las fu e r z a s e n lo s m a r c o s d e c o n s tr u c c ió n d e b id a s a las c a r g a s v e rtic a le s , y e n la s s e c c io n e s 7 -5 y 7 -6 se p r e s e n ta r á u n a n á lis is a p r o x im a d o d e lo s m a r c o s s o m e tid o s a c a r g a s l a t e ­ rale s. D a d o q u e e l m a r c o p u e d e s o m e te r s e a e s t a s d o s c a r g a s a l m ism o tie m p o , e n to n c e s , s i e m p r e q u e e l m a t e r i a l p e r m a n e z c a e lá s tic o , la c a rg a r e s u lta n te p o d r á d e te r m i n a r s e p o r s u p e r p o s ic ió n . S upuestos para el análisis a p ro xim a d o . C o n s id e r e u n a tr a b e tí p ic a lo c a liz a d a d e n t r o d e u n c a b a l le te d e e d ific io q u e e s t á s o m e ­ tid a a u n a c a r g a v e r tic a l u n if o r m e , c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 7 -5 a . L os s o p o r te s d e c o lu m n a e n A y H e je r c e r á n , c a d a u n o , tr e s r e a c c io n e s s o b r e la v ig a , p o r lo q u e é s ta e s e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a d e te r c e r g r a d o (6 r e a c c io n e s - 3 e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ) . E n to n c e s , u n a n á lis is a p ro x i- M a rc o d e c o n s tr u c c ió n típ ic a H gura 7 -4 7 .3 c o lu m n a •y . . C a r g a s v e r t ic a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n c o lu m n a ■ ■ viga 1 1 fija m c n ic a p o y a d a (b ) (a) s im p le m e n te a p o y a d a (d ) (C) F igura 7 -5 m a d o r e q u e r i r á I r e s s u p u e s to s p a r a h a c e r q u e la v ig a s e a e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a . S i la s c o lu m n a s s o n e x tr e m a d a m e n te ríg id a s n o se p r o d u ­ c ir á r o t a c ió n e n A y B ,y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e la tr a b e s e p a r e c e r á a la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7-5¿>.Si se e m p l e a u n o d e lo s m é to d o s q u e s e p r e s e n ta n e n lo s c a p ítu lo s 9 a 11, u n a n á lis is e x a c to r e v e la q u e e n e s te c a s o lo s p u n to s d e in fle x ió n , o p u n to s d e m o m e n to n u lo , s e p r o d u c e n a 0.21 L d e c a d a s o p o r te . S in e m b a r g o , s i la s c o n e x io n e s d e la s c o lu m n a s e n A y f í so n m u y fle x ib le s, e n to n c e s , c o m o s i s e t r a t a r a d e u n a v ig a s im p le ­ m e n te a p o y a d a .s e p ro d u c irá n m o m e n to s n u lo s e n lo s s o p o r te s , fig u ra 7-5c. N o o b s ta n te , e n r e a lid a d la s c o lu m n a s p r o p o r c io n a n c ie r ta fle x ib ilid a d e n lo s s o p o r te s y. p o r c o n s ig u ie n te , s e s u p o n d r á q u e o c u r r e u n m o m e n to n u lo e n e l p u n to m e d i o e n tr e lo s d o s e x tr e m o s , e s d e c ir , a ( 0 .2 1Z. + 0 )/2 =* 0 .1 L d e c a d a s o p o r te , fig u ra . 7 -5 d . P o r o t r a p a r t e , u n a n á lis is e x a c to d e lo s m a r c o s q u e s o p o r ta n c a rg a s v e r tic a le s in d ic a q u e la s f u e r z a s a x ia le s e n la tr a b e s e p u e d e n p a s a r p o r a lto . E n r e s u m e n , c a d a t r a b e d e lo n g i tu d / . p u e d e m o d e la r s e m e d ia n te u n c la r o s im p le m e n te a p o y a d o d e 0 .8 /. d e la r g o q u e d e s c a n s a s o b r e d o s e x ­ tr e m o s e n v o la d iz o , c a d a u n o c o n u n a lo n g itu d d e 0 .1 L , fig u ra 7 -5 e. E n e s te m o d e lo s e h a n in c o r p o r a d o lo s s ig u ie n te s tr e s s u p u e s to s : L H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 .1 L d e l s o p o r te iz q u ie rd o . 2. H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 . \ L d e l s o p o r te d e r e c h o . X 1.a t r a b e n o s o p o r ta u n a f u e r z a a x ia l. A h o r a e s p o s ib le o b t e n e r , m e d ia n te e l u s o d e la e s t á ti c a , las c a r g a s in ­ te r n a s e n la s tr a b e s y p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e l im in a r d e su s s e c c io ­ n e s tr a n s v e rs a le s . E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e s t o e n fo r m a n u m é r ic a . F 0.1/. o .i/. 0 XI. m íd e lo (e ) 2 7 2 C a p it u l o EJEMPLO 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 .3 D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) e l m o m e n to e n la s ju n t a s E y C c a u s a d o p o r lo s e le m e n to s E F y C D d e l c a b a l le te d e e d if ic io q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 7 -6 a. 8 » I b /p ie (b ) Figura 7 -6 S O L U C IÓ N P a ra u n a n á lis is a p r o x im a d o , e l m a r c o s e m o d e la d e la m a n e r a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 7 -6 6 . T e n g a e n c u e n ta q u e lo s c la r o s e n v o la d iz o q u e s o p o r ta n la p a r t e c e n tr a l d e la t r a b e t i e n e n u n a lo n g itu d d e 0.1 / . = 0.1 ( 2 0 ) = 2 p ie s . E l e q u ilib r io r e q u i e r e q u e las r e a c c io n e s e n lo s e x ­ tr e m o s d e la p a r t e c e n tr a l d e la tr a b e s e a n d e 6 4 0 0 Ib. f ig u r a 7 -6 c. E n ­ to n c e s , lo s c la r o s e n v o la d iz o e s t á n s o m e tid o s a u n m o m e n to d e r e a c c ió n d e M = 1 6 0 0 (1 ) + 6 4 0 0 (2 ) = 14 4 0 0 I b - p i e = 14.4 k - p ie R e sp . E s te m o m e n to a p r o x im a d o , c o n d ir e c c ió n o p u e s t a , a c tú a s o b r e la s j u n t a s e n E y C ,f ig u r a 7 -6 a. C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s ,e l d ia g r a m a d e m o m e n to a p r o x im a d o p a r a u n a d e la s tr a b e s e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 7 -6 d. 12 8 0 0 1 b i t 6 4 0 0 Ib 1 6 p i a --------1 <400 Ib 1600 Ib 6 4 0 0 I b 6 4 0 0 1Ib b U 1600 Ib A (k-pic) 256 1 4 4 0 0 1b p ie :4 U n 2 p ies 1 4 4 0 0 Ib - p ie 20 14.4 ' 2 80001b 18 4 80001b (c) <d) x (p ie s ) 7 .4 7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal. 2 7 3 M a rc o s y a rm a d u ra s d e p o r ta l M arcos. L os m a rc o s d e p o r t a l s e s u e le n u s a r a la e n t r a d a d e u n p u e n te * y c o m o u n e le m e n to d e r e f u e r7 o p r i n c ip a l e n e l d is e rto d e e d if i­ c io s c o n e l fin d e tr a n s f e r ir f u e r z a s h o r i z o n ta le s a p lic a d a s e n la p a r t e s u ­ p e r io r d e l m a r c o h a d a lo s c im ie n to s . E n lo s p u e n te s , e s t o s m a rc o s re s is te n la s fu e r z a s p r o d u c i d a s p o r e l v ie n to , lo s te r r e m o to s y la s c a r g a s d e s b a la n c e a d a s d e l tr á f ic o s o b r e l a c u b ie r ta d e l p u e n te . L o s p o r ta le s p u e d e n t e n e r s o p o r te s a r tic u la d o s o fijo s, o b ie n s e p u e d e n s o s te n e r m e ­ d ia n te u n a fija c ió n p a r c ia l. A c o n tin u a c ió n se e s t u d ia r á e l a n á lis is a p r o x i­ m a d o d e c a d a c a s o m e d i a n te u n p o r t a l s e n c illo d e tr e s e le m e n to s . A r t i c u l a d o s . E n la fig u ra 1 - l a s e m u e s tr a u n m a r c o d e p o r t a l a r ­ tic u la d o . D a d o q u e e x is te n c u a t r o in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s , p e r o s ó l o tr e s e c u a d o n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r la s o l u d ó n . e s ta e s t r u c tu r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . E n c o n s e c u e n c ia , s ó l o d e b e a d o p ta r s e u n s u p u e s to p a r a c o n v e r t ir e l m a r c o e n e s tá tic a m e n te d e te r m in a d o . E n la f ig u r a 1 - l b se m u e s tra la d e f le x ió n e lá s tic a d e l p o r ta l. E s te d i a ­ g ra m a in d ic a q u e u n p u n t o d e in fle x ió n , e s d e c ir , a q u e l d o n d e e l m o ­ m e n to c a m b ia d e fle x ió n p o s itiv a a fle x ió n n e g a tiv a , s e e n c u e n t r a a p r o x im a d a m e n te e n e l p u n t o m e d io d e la tr a b e . C o m o e l m o m e n to e s c e r o e n e s t e p u n t o d e la tr a b e , s e p u e d e s u p o n e r q u e a llí e x is te u n a b is a ­ g r a , p a r a d e s p u é s p r o c e d e r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s u tiliz a n d o la e s tá tic a . Si s e h a c e e s t o , p u e d e c o n s t a ta r s e q u e las r e a c c io ­ n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r / a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a c o lu m n a s o n ig u a ­ le s y q u e la s o tr a s r e a c c io n e s s o n la s in d ic a d a s e n la fig u ra 7 -7 c . A d e m á s , lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a e s te m a r c o s o n c o m o lo in d ic a la fig u ra 1 -ld . (b ) ? r — (d) Pb V e a la fig u ra 3 -4 . í<c) r Pb 2 7 4 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s Figura 7-8 T 1 Ph f r f «I n HH i L 1 Ph 1 f* * (b ) in d e t e r m in a d a s F i j a m e n t e a p o y a d o s . Ix>s p o r t a l e s c o n d o s s o p o r t e s fijo s , fig u ra 7 - 8 u ,s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s d e t e r c e r g r a d o , p u e s to q u e h a y u n to t a l d e se is in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s . S i lo s e le m e n to s v e r tic a le s t i e ­ n e n lo n g itu d e s y á r e a s tr a n s v e r s a le s ig u a le s , e l m a r c o s e d e f o r m a r á c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -8 b . E n e s t e c a s o s e s u p o n d r á q u e lo s p u n to s d e in fle x ió n o c u r r e n e n lo s p u n to s m e d io s d e lo s tr e s e le m e n to s y, p o r lo ta n to , la s b is a g ra s s e c o lo c a n e n e s to s p u n to s . P o r c o n s ig u ie n te , la s r e a c ­ c io n e s y lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a ra c a d a e le m e n to p u e d e n d e t e r m i ­ n a r s e a l d e s m e m b r a r e l m a r c o e n las b is a g ra s y a l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e las c u a t r o p a r te s . L o s r e s u lta d o s s e m u e s ­ tr a n e n l a fig u ra 7 -8 c .T e n g a e n c u e n ta q u e ,c o m o e n e l c a s o d e l p o r t a l a r ­ tic u la d o , las r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r z a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a c o lu m n a s o n ig u a les. E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a ra e s t e m a r c o s e in d ic a e n la fig u ra 7 -8 d. (a) h H e s t á t ic a m e n t e 9 r (c) 9 ■i i \ - 9 d ia g r a m a d e m o m e n to <d) F i j a c i ó n p a r c i a l . D a d o q u e e s d ifíc il y c o s to s o c o n s t r u ir u n s o p o r te o c im ie n to p e r f e c ta m e n te fijo p a r a u n m a r c o d e p o r ta l, e s c o n s e r v a d o r y a lg o r e a l is t a s u p o n e r q u e s e p r o d u c e u n a lig e ra r o t a c ió n e n lo s s o p o r te s , fig u ra 7 -9 o . C o m o r e s u lta d o , lo s p u n to s d e in fle x ió n e n la s c o lu m n a s se e n c u e n t r a n e n a lg ú n lu g a r e n t r e e l c a s o d e te n e r u n p o r t a l a r tic u la d o , fi­ g u r a 7 - 7 í i , d o n d e lo s " p u n to s d e in f le x ió n " e s tá n e n lo s s o p o r te s ( b a s e d e la s c o lu m n a s ) ,y u n p o r t a l f ija m e n te a p o y a d o , fig u ra 7 - 8 u ,d o n d e lo s p u n ­ to s d e in f le x ió n e s t á n e n e l c e n t r o d e la s c o lu m n a s . M u c h o s in g e n ie ro s d e f in e n a r b i tr a r ia m e n te la u b ic a c ió n e n h H , f ig u r a 7 -9 6 , y p o r e n d e u b i ­ c a n b is a g ra s e n e s to s p u n to s , a s í c o m o e n e l c e n t r o d e la tr a b e . 7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal. Figura 7 -9 A rm aduras. C u a n d o u n p o r t a l s e u tiliz a p a r a a b a r c a r g r a n d e s d is ­ ta n d a s , p u e d e u s a r s e u n a a r m a d u r a e n v e z d e la tr a b e h o riz o n ta l. D ic h a e s t r u c tu r a s e e m p le a e n g r a n d e s p u e n te s e in c lin a c io n e s tr a n s v e r s a le s p a ra g r a n d e s a u d ito r io s e in s ta la c io n e s fa b rile s . U n e je m p lo típ ic o se m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 0 a . E n to d o s lo s c a s o s , s e s u p o n e q u e la a r m a d u r a s u s p e n d id a e s t á a r tic u la d a e n s u s p u n to s d e fija c ió n a la s c o lu m n a s . A d e m á s , la a r m a d u r a m a n tie n e r e c t a s las c o lu m n a s d e n t r o d e la re g ió n d e u n ió n c u a n d o e l p o r t a l s e s o m e te a l d e s p la z a m ie n to la t e r a l A . fig u ra 7-1 Ob. E n c o n s e c u e n c ia , lo s p o r ta le s d e a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e c o n lo s m ism o s s u p u e s to s q u e s e u s a r o n p a r a lo s p ó r tic o s s im p le s . P a r a la s c o lu m n a s a rtic u la d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r i z o n ta le s ( f u e r z a c o r t a n te ) s o n ig u a le s , c o m o e n la fig u ra 7 -7 c. P a r a las c o lu m n a s f ija m e n te a p o y a d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r iz o n ta le s s o n ig u a le s y q u e e n c a d a c o lu m n a s e p r o d u c e u n p u n to d e in f le x ió n ( o b is a g r a ) a m e d ia d is ­ ta n c ia e n t r e la b a s e d e la c o lu m n a y e l p u n to m á s b a jo d e la c o n e x ió n d e l e le m e n to d e la a r m a d u r a c o n l a c o lu m n a , v e a la s f ig u r a s 7 -8 c y 7-106. E l s i g u ie n t e e je m p lo ilu s tr a la f o r m a e n q u e s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n p o r t a l d e a r m a d u r a s s ig u ie n d o e l m é to d o d e a n á ­ lisis a p r o x im a d o q u e s e d e s c r ib ió a n te r io r m e n te . Figura 7 -1 0 275 2 7 6 C a p it u l o EJEMPLO 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 .4 D e te r m in e m e d i a n te m é to d o s a p r o x im a d o s la s f u e r z a s q u e a c tú a n e n lo s e le m e n to s d e l p o r t a l W a r r e n m o s tr a d o e n la fig u ra 7 -1 lo. 40 kN V - 20 kN (a) Fl«ura 7-11 S O L U C IÓ N L a p o r c ió n B , C , F , G d e la a r m a d u r a a c t ú a c o m o u n a u n id a d ríg id a . D a d o q u e lo s s o p o r te s e s t á n fijo s, s e s u p o n e q u e e x is te u n p u n t o d e in ­ fle x ió n 7 m /2 = 3 .5 m p o r e n c im a d e A e / . y q u e e n la b a s e d e la s c o ­ lu m n a s a c tú a n r e a c c io n e s h o riz o n ta le s o tr a n s v e rs a le s ig u a le s, e s d e c ir . 2 F , = O, V = 4 0 k N /2 = 20 k N . C o n e s t o s s u p u e s to s e s p o s ib le s e p a r a r la e s t r u c t u r a e n la s b is a g r a s J y K , fig u ra 7 - 1 1 6 .y d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n la s c o lu m n a s d e la s ig u ie n te m a n e ra : M i t a d i n f e r i o r d e l a c o lu m n a 5,+ S M a = 0 ; M - 3 .5 ( 2 0 ) = 0 M = 70 k N • m P o r c i ó n s u p e r i o r d e l a c o lu m n a 1 + 2 A#, = 0 ; -4 0 ( 5 .5 ) + N ( 8) = 0 N = 27.5 k N 7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal. 2 7 7 C o n b a s e e n e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 7 -1 l e , a h o r a e s p o s i­ b le o b t e n e r la s f u e iz a s e n lo s e le m e n to s C D , B D y B U . + 1 2 F y = 0; - 2 7 . 5 + F BDs e n 4 5 ° = 0 F BD = 3 8 .9 k N ( T )R e sp . 5,+ S M f l = O, - 2 0 ( 3 . 5 ) - 4 0 ( 2 ) + F CD( 2 ) = 0 F CD = 7 5 k N ( C ) {,+ 1 M d = 0 ; F b h {2 ) - 2 0 ( 5 .5 ) + 2 7 .5 ( 2 ) = 0 F „ „ = 2 7 .5 k N ( T )R e sp . Resp. D e m a n e r a p a r e c id a , d e m u e s tr e q u e lo s r e s u lta d o s p u e d e n o b te n e r s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la c o lu m n a F G I de la fig u ra 7 -1 Id . C ó n e s t o s r e s u lta d o s , a h o r a p u e d e e n c o n tr a r s e la f u e r z a e n c a d a u n o d e lo s o tr o s e le m e n to s d e la a r m a d u r a d e l p o r t a l e m p l e a n d o e l m é ­ to d o d e lo s n u d o s. (C ) J u n ta D , fig u ra 7 - 1 1 * + 1 2 F y = 0 ; F d h s e n 4 5 ° - 38.9 s e n 4 5 ° = 0 F DH = 3 8 .9 k N ( C ) R esp . • i 2 F X = 0 ; 7 5 - 2 (3 8 .9 e o s 4 5 ° ) - F DE = 0 F DE = 2 0 k N ( C ) Resp. k -2 m -| 2m 38.9 k N _ 4 5 °/ J u n ta H , fig u ra 7 - 1 1 f 2 7 5 kÑ + ] 2 F y = 0 ; F h e s e n 4 5 ° - 3 8 .9 s e n 4 5 ° = 0 F „ E = 3 8 .9 k N ( T ) R e sp . 35 m E s to s r e s u lta d o s s e r e s u m e n e n la fig u ra 7 -1 lg. 20 kN t 27.5 k N <d) 4 0 kN C 2 7 5 k N CT) H a 27.5 k N (C ) 3 8 .9 k N 75kN_IJ^>* 3 8 .9 k N Fdh (e) , 20kN, ?0kN ! 70kNm 2 7 5 kN 70 k N - m | '2 7 5 kN (8) _ 275 kN H (0 2 7 5 kN 2 7 8 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s PROBLEMAS 7 -1 3 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) los m o m e n to s internos e n las ju n ta s A y B d e l m arco. T 7 -1 5 . D eterm in e (en fo rm a ap ro x im ad a) los m o m en to s in te rn o s e n A causados p o r las c arg as verticales. lili rn x f lili ■ i H F 6m A B 6m 1 C 8m D 6m P ro b . 7 -1 3 Prob. 7 -1 5 7 -1 4 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) lo s m o m en to s internos e n las ju n ta s F y D d e l marco. •7 -1 6 . D eterm in e (e n form a ap ro x im ad a) los m o m en to s in tern o s e n A y B causados p o r las cargas verticales. P rob. 7 -1 4 Prob. 7 -1 6 7 .4 7 -1 7 . D eterm ine (en form a ap ro x im ad a) lo s m om entos internos e n las ju n ta s / y L. Por o tr a p arte, ¿cuál e s e l m o ­ m en to in tern o e n la ju n ta / / cau sad o p o r e l e lem e n to H G 1 M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal. 2 7 9 7-19. D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) las reac c io n es en los so p o rte s A y B d e l m arco d e p o rta l. S uponga q u e lo s so­ p ortes e s tá n (a ) articulados, y (b ) fijos. P ro b .7 -1 7 7 -1 8 . D eterm in e (e n fo rm a a p ro x im ad a ) las rea cc io n e s e n b s so p o rte s A , B y C d c l m arco. *7-20. D eterm in e (e n fo rm a ap roxim ada) e l m om ento inte m o y la fuerza c o rta n te e n lo s ex trem o s d e c ad a e lem e n to d el m arco de p o rta l. S uponga q u e los so p o rte s e n A y ü e stá n parcialm en te fijos, d e m o d o q u e hay un p u n to d e in­ flexión ubicado e n h f t d e la p arte in ferior d e c a d a colum na. P ro h . 7 -1 8 P ro h . 7 -2 0 2 8 0 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e 7 -2 1 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­ m ento p a ra e l e lem en to A C E del p o rta l, e l cual se c o n s­ truyó co n u n e le m e n to rígido E G y so p o rte s a c o d a d o s C F y D H . S u ponga q u e to d o s lo s p u n to s d e c o n e x ió n e stá n a r ­ ticulados. T am bién d eterm in e la fu erza e n e l re fu e rz o a co ­ d a d o CF. e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 -2 5 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o­ m en to p a ra la c o lu m n a A G F cfcl p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m n a s e s tá n a rtic u ­ lados e n su s extrem os. T am bién d ete rm in e las fu e rz a s en to d o s los elem en tos d e la arm ad u ra. 7 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7 -2 1 si lo s so p o rte s e n A y B so n fijos e n vez de articulados. P roh. 7 -2 5 7 -2 3 . D eterm in e ( e n form a a p ro x im a d a) la fu e rz a e n cada elem ento d e la a rm a d u ra d e l m arco d e p o rta l. T am bién e n ­ cu en tre las reacciones e n los so p o rte s fijo s A y B de la c o ­ lum na. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s d e la arm ad u ra e stán articulados e n su s extrem os. 7 -2 6 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o­ m ento p a ra la c o lu m n a A G F tk \ p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s los e lem en to s d e la a rm ad u ra e stá n a rticu lad o s e n su s e x tre ­ mos. L as co lu m n as e s tá n fijas e n A y t f .T am bién d ete rm in e la fuerza d e to d o s lo s e le m en to s d e la a rm ad u ra. *7-24. R esuelva el p ro b lem a 7-23 si lo s so p o rte s c n A y B e stán articulados e n vez d e fijos. Probs. 7 -23/7-24 P ro b .7 -2 6 7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal. 2 8 1 7 -2 7 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n c ad a elem ento d e la a rm a d u ra d el m arco d e p o rta l. T am bién e n ­ c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y t í de la co lu m n a fija S uponga q u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra e stá n articulados e n su s extrem os. 7-31. D ibuje (e n fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­ m ento p a ra la co lu m n a A C D del portal. S uponga q u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m nas e stán a rtic u ­ lad o s e n sus ex trem o s. T am bién d ete rm in e la fu erza e n los e lem en to s F G , F U y EH. •7 -2 8 . R esuelva e l p ro b lem a 7-27 s i lo s so p o rte s e n A y tí están fijos e n vez de articulados. •7 -3 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7-31 s i lo s so p o rte s e n A y tí e stá n fijos e n vez de articulados. P robs. 7 -27/7-28 P robs. 7 -31/7-32 7 -2 9 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n los elem en to s GF, G K y J K del m arco d e po rtal. T am bién e n ­ c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B de la co lu m n a fija S uponga q u e to d o s los e le m e n to s d e la a rm a d u ra e stá n co nectados e n su s extrem o s. 7 -3 3 . D ibuje (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­ m entos p a ra la c o lu m n a A J I d el po rtal. S u p o n g a q u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m n as e stá n articu­ lad o s en su s ex trem o s. T am bién d e te rm in e la fuerza e n los e lem en to s H G , I I L y K L . 7 -3 0 . R esuelva el p ro b lem a 7-29 s i lo s so p o rte s e n A y tí están articu lad o s e n v ez d e fijos. 7 -3 4 . R esuelva el p ro b lem a 7-33 s i lo s so p o rte s e n A y tí e stá n fijos e n vez de articulados. 6<S> l í m = 9 m 2 kN 4k N Probs. 7 -29/7-30 / ] K L M N P ro b s. 7 - 3 3 / 7 - 3 4 O 2 8 2 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o 7 .5 d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s C a rg a s la te ra le s e n m a rc o s de c o n s tru c c ió n : M é to d o d e l p o r ta l E n la se c c ió n 7-4 s e a n a liz ó la a c c ió n d e las c a rg a s la t e r a l e s s o b r e lo s m a r c o s d e p o r t a l y s e e n c o n tr ó q u e p a r a u n m a r c o fijo a p o y a d o e n s u b a se , lo s p u n to s d e in fle x ió n o c u r r e n a p r o x i m a d a m e n te e n e l c e n t r o d e c a d a v ig a y c o lu m n a y q u e las c o lu m n a s s o p o r ta n las m ism a s c a r g a s c o r ­ ta n te s , f ig u r a 7-8. U n c a b a l le te d e e d if ic io s e d e f o r m a d e la m is m a m a ­ n e ra q u e u n m a r c o d e p o r ta l, fig u ra 7 - 1 2a y, p o r lo ta n t o , s e r ía c o n v e n ie n te s u p o n e r q u e lo s p u n to s d e in f le x ió n s e p r o d u c e n e n e l c e n ­ tr o d e la s c o lu m n a s y tr a b e s . Si s e c o n s id e r a q u e c a d a c a b a l le te d e la e s ­ tr u c tu r a s e c o m p o n e d e u n a s e r ie d e p o r t a le s , f ig u r a 7 -1 2 6 , e n to n c e s , c o m o s u p u e s to a d ic io n a l, la s c o lu m n a s in te r io r e s r e p r e s e n ta r ía n e l e fe c to d e d o s c o lu m n a s d e l p o r t a l y, p o r e n d e , s o p o r t a r í a n e l d o b le d e fu e rz a c o r l a n te V q u e las d o s c o lu m n a s e x te r io r e s . o - punto de inflexión (a) V V V (b) H g u ra 7-12 V 7 .5 C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal E n r e s u m e n , e l m é to d o d e l p o r t a l p a r a a n a liz a r lo s m a r c o s d e c o n s ­ tr u c c ió n f ija m e n te a p o y a d o s r e q u i e r e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s : L E n e l c e n tr o d e c a d a t r a b e s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s to q u e s e s u ­ p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro . 2. E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro . 3. fin u n n iv e l d e p is o d a d o , la f u e r z a c o r t a n te e n la s b is a g ra s d e la c o ­ lu m n a in te r io r e s e l d o b le q u e e n la s b is a g ra s d e la c o lu m n a e x te r io r , p u e s to q u e e l m a r c o s e c o n s id e r a u n a s u p e r p o s ic ió n d e p o r ta le s . E s to s s u p u e s to s p r o p o r c io n a n u n a re d u c c ió n a d e c u a d a d e l m a r c o a u n a e s t r u c tu r a e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a p e r o e s t a b le b a jo c a rg a . E n c o m p a r a c ió n c o n e l a n á lis is e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d o q u e e s m ás e x a c to , e l m é to d o d e l p o r ta l e s e l m á s a d e c u a d o p a r a la s c o n s tr u c c io ­ n e s c o n p o c a a ltu ra y e stru c tu r a u n ifo r m e . 1.a ra z ó n d e e s t o tie n e re la c ió n c o n la a c c ió n d e l a e s t r u c tu r a b a jo c a r g a . A e s t e r e s p e c to , c o n sid e re q u e el m a r c o a ctú a c o m o u n a v ig a e n v o la d i z o q u e e s t á fija al s u e lo . R e c u e r d e d e l e s tu d io d e la m e c á n ic a d e m a te r ia le s q u e la resisten cia a la f u e r z a c o r ta n te se v u e lv e m á s im p o r ta n te e n e l d is e rto d e v ig a s c o rta s, e n ta n t o q u e la re siste n c ia a la f l e x i ó n e s m á s i m p o r t a n te s i la v ig a e s la r g a (v e a la s e c c ió n 7 -6 ). E l m é t o d o d e l p o r t a l s e b a s a e n e l s u p u e s to r e l a c io n a d o c o n la f u e r z a c o r ta n te c o m o s e in d ic a e n e l p u n to 3 a n te r io r . L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a fo r m a d e a p li c a r e l m é to d o d e l p o r ­ tal p a r a a n a liz a r u n c a b a l le te d e e d ific io . EJ m é t o d o d e l p o r t a l p u e d e u s a r s e p a r a r e a l i z a r u n a n á l is is ( a p r o x i m a d o ) d e la s c a r ­ g a s l a t e r a l e s e n e s t e m a r c o d e u n a s o l a p la n ta . 283 2 8 4 C a p it u l o EJEMPLO 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 .5 D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­ lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3 a . U se e l m é to d o d e a n á lisis d e l p o rta l. B M n N F O G <b) Figura 7 -1 3 S O L U C IÓ N A I a p li c a r lo s d o s p r i m e r o s s u p u e s to s d e l m é to d o d e l p o r t a l , s e c o lo ­ c a n b is a g ra s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y la s c o lu m n a s d e l a e s t r u c ­ tu r a , fig u ra 7 - 13a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s d e c o lu m n a e n I , J , K , L p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e s e m u e s tr a e n l a fi­ g u r a 7 -1 3 6 . A q u í s e a p lic a e l te r c e r s u p u e s to e n re la c ió n c o n la s f u e r ­ z a s c o r t a n te s e n la s c o lu m n a s . S e r e q u i e r e i* S F x= 0; 1200 - 6^ = 0 V = 200 Ib C o n b a s e e n e s t e r e s u lta d o , a h o r a se p u e d e d e s m e m b r a r e l m a r c o e n la s b is a g ra s y d e t e r m i n a r s u s r e a c c io n e s , C o m o re g la g e n e ra l, s ie m ­ p r e in ic ie e ste a n á lisis e n la e s q u in a o j u n t a d o n d e s e a p lic a la carg a h o ­ r iz o n ta l. P o r lo ta n to , e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to I B M s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 13c. L a s tr e s c o m p o n e n te s d e la r e a c c ió n e n la s b is a g r a s l y, M x y M y x d e te r m in a n al a p li c a r d e 1 M ^ = 0 , 2 f ' , = 0, 'I F y = 0 , r e s p e c ti v a m e n te . A c o n t i n u a c i ó n s e a n a liz a e l s e g m e n to a d y a c e n t e M J N , f ig u r a 7 -1 3 d , s e g u i d o p o r e l s e g m e n to N K O , fig u ra 7 -1 3 e ,y p o r ú lt im o e l s e g m e n to O G I . , fig u ra 7 - 1 3 / U s a n d o e s t o s r e ­ s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s c o lu m n a s c o n la s r e a c ­ c io n e s e n s u s s o p o r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 7 - 13g. 7 .5 C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal 2 8 5 Si s e c o n s id e r a n lo s s e g m e n to s h o r iz o n ta le s d e tr a b e s d e la s fig u ra s 7 - 1 3 c ,d ,e y / .e n t o n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la tr a b e e s c o m o d q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3 h . 15 0 1 b » * Ny - 1501b S p te t" ’ 12001b M 8 pies 10 0 0 I b ^ ------------- N * = 6 0 0 Ib N - 6pÍC4 M 8 pies M , ~ 1 0 0 0 Ib 1501b* 2001b 6 p ie * Jj If - 1501b 4001b J ,- 0 (d) (c) A O ,- 1 5 0 1 b N 8 p ie s 8 p ie s 1 O O . = 2 0 0 Ib -U 6001b 2001b O ■ n 8 p ie s 115501 01b* 6 p ,e s 4001b * ,K 150 150 IIbb*t 6 p ie s L 2 0 0 1 b -* — o “ 0 I L y = 1 5 0 Ib <0 (e ) 1501b ■50lbu 2001b ► 4001b 6 p ie s 6 p ie s A , - 2 0 0 Ib M a = 1 2 0 0 Ib * p i e ^ L w------- ► 4 0 0 I b 6 p ie s C , - 4 0 0 1 b _________ ^ _____ E , - H , -2 0 0 1 b 4 0 0 Ib | | M c - 2 4 0 0 Ib * p ie M „ - 12 0 0 Ib - p ie A f t = 2 4 0 0 I b • pie A y - 1501b H y - 1501b (g ) M (k -p ie ) 12 1 .2 12 \ / / \ 8 x 16 32 24 40 48 \ -1 2 -1 2 (h ) 2001b 6 p ie s -1 2 (pies) 2 8 6 C a p i t u l o EJEMPLO 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s 7 .6 D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­ lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 4 a . U se e l m é to d o d e a n á lisis d e l p o r ta l. H r s i 20 kN' 25 m Ar i v *O r i j v *P, Q* (b) Figura 7 -1 4 S O L U C IÓ N E n p r i m e r lu g a r .s e c o lo c a n la s b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y la s c o lu m n a s d e l m a r c o , fig u ra 7 - 1 4 a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a ­ g ra s e n O , P , Q y J, K , L g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e se m u e s t r a e n la f ig u r a 7 -1 4 6 . L a s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s c o lu m n a s s e c a lc u la n d e l a s ig u ie n te m a n e ra : X l , F x = 0; Í 2 F , = 0; 20 - 4 F = 0 20 + 30 - 4 V ' = 0 V = 5 kN V ' = 12.5 kN 7 .5 2 8 7 C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal U tiliz a n d o e s t o s re s u lta d o s s e p u e d e c o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e c a d a p a r t e d e l m a r c o . E l a n á lis is c o m ie n z a c o n e l s e g m e n to e n e sq u in a O G R , fig u ra 7 - 14c. L a s t r e s in c ó g n ita s O y , R x y R y s e h a n c a lc u la d o e m p le a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o n e s t o s re s u lta d o s , s e a n a i z a a c o n tin u a c ió n e l s e g m e n to O J M , fig u ra 7 -1 4 < f;lu e g o e l s e g m e n to J A , fig u ra 7 -1 4 c; K /> S ,fig u ra 7 -1 4 /; P M K N , fig u ra 7 -1 4 * . y K R , fig u ra 7-146. C o m p le te e s te e je m p lo y a n a lic e lo s s e g m e n to s S I Q , d e s p u é s Q N L y p o r ú lt im o L C \ ta m b ié n d e m u e s tr e q u e C , » 12.5 k N . Cy 15.625 k N , y M c - 3 7 .5 k N . m . A d e m á s , u s e lo s r e s u lta d o s p a r a d e ­ m o s tr a r q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a D M E N F e s c o m o se m u e s tra e n la f ig u r a 7.1 4 i. 3.1 2 5 * l í , ^ 3 .1 2 5 k N O J ÍM ~ ■ “ - ¡ 2S o mI | « f 15 -- L— = *. kN 15kN «- | t - » k — N kN I t S’ ‘ 3 ' “ « - 10kN ^ (C) 3 .1 2 5 '!_jL-2k'ikN J * i , , m 20 m * | (O kN p 10 k N í_ 5 k N |M r -l2 J k N ° 2 .5 m 3 0 k N ---------- * 4 4 m _ — ► 20 m U , = 725 kN 1 2 S -k N --------- ^ 4 m 125 k N * 3 m -a ■■J1----------------------------------------------------------------------------------1K Iz Jk Ñ ] 75 kN I Jf “ 15.625 k N * K ,- O (d) (g) M (k N -m ) » 15.625 k N - 12.5 kN K * 3 m 3 m /i T A , = 1 2 J kN M a - 3 7 .5 k N - m B ----- B , • Mb A , = 1 5 .6 2 5 k N (e) <h) 25 k N A v - 1 12 2. 5.51k N L ,--------- N ¡ _ 4 m J l kN |V 7 .5 k N 2 8 8 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o 7 .6 d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s Cargas la te ra le s sobre m arcos de construcción: M é to d o del vo la d izo E l m é to d o d e l v o la d iz o se b a s a e n la m ism a a c c ió n q u e u n a v ig a e n v o la ­ d iz o la r g a s o m e tid a a u n a c a r g a tr a n s v e r s a l. C o m o s e v io e n e l e s t u d io d e la m e c á n ic a d e m a te ria le s , ta l c a r g a p ro v o c a u n e s f u e r z o f le x io n a n te e n la v ig a q u e v a r ía li n e a lm e n te d e s d e e l e je n e u t r o d e la v ig a , fig u ra 7 - 1 5 a. D e m a n e r a s im ila r, la s c a rg a s la te r a le s s o b r e u n m a r c o tie n d e n a v o lc a r lo o a c a u s a r le u n a r o t a c ió n r e s p e c to a u n “ e je n e u t r o " . e l c u a l s e e n c u e n t r a e n u n p la n o h o r iz o n ta l q u e p a s a a tr a v é s d e la s c o lu m n a s e n t r e c a d a p is o . P a r a c o n tr a r r e s ta r e s te v o lc a m ie n to , la s fu e r z a s (o e s f u e r z o s ) a x ia le s e n la s c o lu m n a s s e r á n d e te n s ió n e n u n la d o d e l e je n e u tr o y d e c o m p r e s ió n e n e l o t r o la d o , fig u ra 7 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , a l ig u a l q u e c o n la v ig a e n v o la ­ d iz o . p a r e c e r a z o n a b le s u p o n e r q u e e s t e e s f u e rz o a x ia l tie n e u n a v a ria c ió n lin e a l d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a o e l e je n e u tr o . P o r c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e l v o la d iz o e s a d e c u a d o s i e l m a r c o e s a lto y d e l ­ g a d o , o tie n e c o lu m n a s c o n á r e a s tr a n sv e rs a le s d ife r e n te s . marco de construcción <b) H g u ra 7 -1 5 7 .6 C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o E n r e s u m e n , c u a n d o s e e m p le e e l m é t o d o d e l v o la d iz o , d e b e n a p li­ c a r s e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s a u n m a r c o f ija m e n te a p o y a d o . L E n e l c e n t r o d e c a d a v ig a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e s e s u ­ p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro . 2. E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro . 3. E l e s fu e r z o a x ia l e n u n a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s tr a n s v e r s a le s d e la s c o lu m n a s e n u n n iv e l d e p is o d a d o . C o m o e l e s f u e r z o e s ig u a l a f u e r z a p o r á r e a , e n ­ to n c e s e n e l c a s o e s p e c ia l d e la s c o lu m n a s q u e tie n e n á re a s tr a n s v e r ­ sa les ig u a le s, la fu e r z a e n u n a c o lu m n a ta m b ié n e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a . E s to s tr e s s u p u e s to s h a c e n q u e e l m a r c o s e a e s t a b le y e s t á tic a m e n te d e ­ te r m in a d o . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la fo r m a e n q u e s e a p lic a e l m é to d o d e l v o la d iz o p a ra a n a li z a r u n c a b a l le te d e e d ific io . L a e s t r u c t u r a d e l e d if ic io t i e n e c o n e x i o n e s r íg i d a s . E l m é t o d o d e l v o l a d i / o p u e d e i& a rs c p a r a r e a l i z a r u n a n á l is is ( a p r o x i m a d o ) d e c a r g a s la te r a le s . 2 8 9 2 9 0 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­ lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 1 6 a. S e s u p o n e q u e la s c o lu m n a s ti e n e n á r e a s d e se c c ió n tr a n s v e r s a l ig u a le s. U s e e l m é to d o d e a n á lis is d e l v o la d iz o . 3 0 kN 15 k N - 6 m (b) S O L U C IÓ N E n p r i m e r lu g a r s e c o lo c a n b is a g r a s e n lo s p u n to s m e d io s d e la s c o ­ lu m n a s y tra b e s . L a s u b ic a c io n e s d e e s to s p u n to s s e in d ic a n m e d ia n te la s le tr a s G a L e n la f ig u r a 7 - 1 6 a. L o s c e n tr o id e s d e la s á r e a s tr a n s ­ v e rs a le s d e la s c o lu m n a s p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r in s p e c c ió n , fig u ra 7 -1 6 6 ,0 a n a lític a m e n te d e la s ig u ie n te m a n e r a : x (c) Y .x A 0 (i4 ) + 6 (A ) 2/1 A + A 3 m E l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e s te p u n to . A q u í la s c o lu m n a s ti e n e n la m ism a á r e a e n s u s e c ­ c ió n tr a n s v e r s a l y. p o r lo ta n t o , la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r ­ c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e . E n to n c e s , u n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s H y K e n e l p is o s u p e r io r g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 16c. T e n g a e n c u e n ta q u e la c o ­ lu m n a a la iz q u ie r d a d e l c e n tr o id e d e b e e s t a r s o m e ti d a a te n s ió n , e n ta n t o q u e l a c o lu m n a d e la d e r e c h a e s t a r á s o m e ti d a a c o m p r e s ió n . E s to e s n e c e s a r io p a r a c o n t r a r r e s t a r e l v o lc a m ie n to c a u s a d o p o r la f u e r z a d e 3 0 k N . A l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u tr o .s e tie n e i + S M = ü; - 3 0 ( 2 ) + 3 Hy + 3 K y = 0 I-a s in c ó g n ita s p u e d e n re la c io n a r s e p o r m e d io d e tr iá n g u lo s p r o p o r ­ c io n a le s , fig u ra 7 - 1 6 c .e s d e c ir . Hy Ky — = — o b ie n Hy = K y A sí que. H y = K y = 10 k N 7 .6 2 9 1 C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o D e u n a m a n e r a p a r e c id a , u tiliz a n d o u n a se c c ió n d e l m a r c o a tr a v é s d e la s b is a g ra s e n G y L , f ig u r a 7 - \ 6 d , s c ti e n e t+ Z M = 0; -3 0 (6 ) - 1 5 (2 ) + 3 G , + 3 L , = 0 G o m o G y /3 = L y/3 o b ie n G y = L y , e n to n c e s G y = L y = 3 5 kN A h o r a p u e d e a n a liz a r s e c a d a p a r t e d e l m a r c o u s a n d o lo s r e s u lta d o s a n te rio re s . C o m o e n lo s e je m p lo s 7 -5 y 7 -6 , s e c o m ie n z a e n la e s q u in a s u p e r io r, d o n d e se p r o d u c e l a c a r g a a p lic a d a , e s d e c ir , e n e l s e g m e n to W C /,fig u ra 7 -1 6 o .A I a p lic a r la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , SAZ/ = 0 . S f, = 0 y = 0 , se o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s p a r a H „ I, e ^ ..r e s p e c ­ tiv a m e n te , q u e s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra 7 -1 6 e. C o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s , e n s e g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to /D A T ,fig u ra 7 - 1 6 /;s e g u id o d e H J G ,f i g u r a 7 - 16g; d e s p u é s K J L ,f ig u r a 7 -1 6 /j,y p o r ú ltim o la s p a r te s in f e r io r e s d e la s c o lu m n a s , fig u ra s 7-16# y 7 -1 6 /. L o s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a tr a b e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 7 -1 6 * . 3 0 1N 10 kN 10 k N M ( k N -m ) 30 7 .5 kN x (m ) G , - 2 2 .5 s r i 35 kN <h) -3 0 A i ( k N -m ) 35 kN »35 k N Gl — + 7 2 S kN 2 2 .5 k N 2 m 2m A A , = 2 2 .5 k N M a - 45 k N -m A , = 35 kN (0 F, - 223 kN 4 5 k N -m N- ¡ F , = 35 kN Ü) (k) 2 9 2 C a p it u l o EJEMPLO 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 7 .8 M u e s tr e c ó m o s e d e te r m i n a n ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e la s c o lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 7 -1 7 a. I^as c o lu m n a s ti e n e n la s á r e a s d e s e c c ió n tr a n s v e r s a l q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 7 -1 7 6 . U se e l m é to d o d e a n á lis is d e l v o la d iz o . P t O R *\10pulg2 — T i---------O nLO p u lg 7 M 8 pulg2 N !6pulg2 12pies 4 4 16 pies E ' 10 pulg7 I T - .. / F r ,* — 8 pulg7 G |6 p u lg 7 10 pulg2 8 pulg2 í 6 pulg2 I ; — 2 0 p ie s — |— 15 p ic s A O le R -20 pies — |—15 pies-j------25 pies I 10 pulg7 H -| T -25 pies i (a) (b) Figura 7 -1 7 S O L U C IÓ N P r im e r o , s e s u p o n e q u e e x is te n b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y c o lu m n a s d e l m a r c o , f ig u r a s 7 - 1 7 d y 7 -1 l e . E l c e n tr o id e d e la s á r e a s tr a n s v e r s a le s d e las c o lu m n a s s e d e te r m in a a p a r t i r d e l a fig u ra 7 .1 I b d e l a s ig u ie n te m a n e ra : •ro 853 pies 6.47 pies x = 2853 pies-----(c) 31.47 pies 2xA 0 ( 1 0 ) + 2 0 (8 ) + 3 5 ( 6 ) -f 6 0 (1 0 ) „ = ---------------n ------l. '.' " -j 1. = 2 8 .5 3 p ie s 2A 10 + 8 + 6 + 1 0 E n p r im e r lu g a r s e c o n s id e r a r á la s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s e n L , M .N y O . <e> 7 .6 C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o E n e s te p r o b l e m a las c o lu m n a s ti e n e n d ife re n te s á r e a s tr a n s v e rs a le s , p o r lo q u e d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o ­ lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l e je n e u tr o , u b ic a d o e n x = 28 .5 3 p ie s . L os e s f u e r z o s e n la s c o lu m n a s p u e d e n re la c io n a r s e m e d ia n te tr i á n ­ g u lo s s e m e ja n te s , f ig u r a 7 -1 7 c . S i s e e x p r e s a n la s re la c io n e s e n té r m i ­ n o s d e la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a , p u e s t o q u e o = F / A , s e ti e n e 6.47 p ie s 8 p u lg 2 2 8 .5 3 ' «10 p u lg 2 / Ny 6 .4 7 (/ L , \ ' L’ \ 2 8 .5 3 ' ,1 0 p u lg 2/ 6 p u lg 2 P , - 0.725 k „ , 0 .1 3 6 /., ___ />, = 6.791 k 8k ^10 p i« 6 pies L ,= 1209 k j 7 31.47 p ie s Ly 31.47 I Z 7~y = tíT c T l 7^ T il 28 .5 3 \ 10 p u lg 2 10 p u lg 2 O, U y = l.W 5 L y 0.725k (0 A h o r a q u e c a d a f u e r z a e s t á re la c io n a d a c o n Z .,,e l d ia g r a m a d e c u e r p o S b re e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 7 d . O b s e r v e c ó m o la s c o lu m n a s a la iz q u ie rd a d e l c e n tr o id e e s t á n s o ­ m e tid a s a te n s ió n y las d e la d e r e c h a e s t á n s o m e tid a s a c o m p r e s ió n . ¿ P o r q u é ? A l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u t r o s e tie n e 0.725 k Ti.209 i I , - 2.902 k 6 p i« {,+ 1 M = 0 ; - 8 k ( 6 p ie s ) + ¿ ,(2 8 .5 3 p ie s ) + ( 0 .2 3 9 /.,)(8 .5 3 A /_ l0J ~ ^ l O p i e s H r 8.489 k p ie s ) „ . 2.720 k + ( 0 .1 3 6 ¿ ,) ( 6 .4 7 p i e s ) + (1 .1 0 3 /.,) ( 3 1 .4 7 p ie s ) = 0 3.627 k ( 8) R e s o lv ie n d o , L y = 0725 k M y = 0 .1 7 4 k N y = 0 .0987 k O , = 0 .8 0 0 k 3-627k kt F .'------► 2 .7 2 0 k 8 p ie s U s a n d o e s t e m is m o m é to d o , d e m u e s tr e q u e s e o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s d e la fig u ra 7 -1 7 e p a ta la s c o lu m n a s E , F , G y / / . A h o r a s e p u e d e p r o c e d e r a a n a liz a r c a d a p a r t e d e l m a r c o . C o m o e n b s e je m p lo s a n te r io r e s , s e c o m ie n z a c o n el s e g m e n to d e la e s q u in a s u p e r io r L P , fig u ra 7 -1 7 /. U tiliz a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s , e n s e g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to L E I , fig u ra 7 -1 7 g , s e g u id o p o r e l s e g ­ m e n to E A , fig u ra 7 -1 7 /j. L u e g o p u e d e n s e g u irs e a n a liz a n d o lo s o tr o s s e g m e n to s e n s e c u e n c ia .e s d e c i r , P Q M ,d e s p u é s M I F l , e n s e g u i d a , F B y a s í s u c e s iv a m e n te . a , = 1720 k 4 » A#*-2 1 .7 6 4 k pie (h) 2 9 3 294 C a p itu lo 7 A n á lis is a p r o x im a d o de e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s PR O B LEM A S 7 -3 5 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia ­ gram a d e m o m en to p a ra la tra b e FED . 15 kN 7 -3 9 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia ­ gram a d e m o m en to p a ra la co lu m n a A F E . *7-40. R esuelva el p ro b lem a 7-39 m ed ian te e l m é to d o de análisis d el voladizo. T odas las co lu m n as tien e n la mism a á re a e n s u sección transversal. F |------ 8 m ------ 1------8 m ------ 1 P roh. 7 -3 5 *7-36. U se e l m éto d o d e an álisis d e l p o rta l y d ib u je e l d ia ­ gram a d e m o m en to p a ra la tra b e J1UGF. P robs. 7 -39/7-40 Proh. 7 -3 6 7 -3 7 . U se e l m éto d o d e l p o rtal y d e te rm in e (e n form a aproxim ada) las reacciones e n los so p o rte s A . B , C y D . 7 -4 1 . U se e l m éto d o d el po rtal y d e te rm in e (e n form a ap roxim ada) las reaccio n es e n A . 7 -3 8 . U se e l m éto d o del vo lad izo y d ete rm in e ( e n form a aproxim ada) las reacciones e n los s o p o rte s A , B , C y D. Todas las colum nas tien en la m ism a á re a e n s u sección transversal. 7 -4 2 . U se e l m éto d o del vo lad izo y d e te rm in e (e n form a ap roxim ada) las reaccio n es e n A .T odas las co lu m n as tienen la m ism a á re a e n s u sección transversal. 5 m • [- 5 m P ro b s . 7 -3 7 /7 -3 8 ------------5 m [■— 18 pies — |"-------- 20p ie s ---------*| P ro b s . 7 -4 1 /7 -4 2 Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o 2 9 5 7 -4 3 . D ibuje (e n fo rm a ap ro x im ad a) los d iag ram as de m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del m arco d e c o n stru c c ió a U se e l m éto d o d e l po rtal. 7-45. D ibuje el d iag ram a d e m o m en to p a ra la tra b e ¡JK L d el m arco de c o n stru c c ió a U se el m éto d o de análisis del portal. *7-44. D ibuje (e n form a ap ro x im ad a) lo s d iag ram as de m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del marco d e construcción. U se e l m éto d o d e l voladizo. 7-46. R esuelva el p ro b lem a 7-45 m e d ia n te e l m é to d o de análisis d el voladizo. C a d a c o lu m n a tien e el á re a transversal q u e se indica. 9k aJL M 0 |>ies H lOpies *JL dL elL 20 dlS?* 20 - I 4 m -— -j------- 5 m --------t——- 4 m ---- -j Probs. 7 -43/7-44 S I I Area 24 (lO-3) m* 16 (10-3) m* I 16 (10"*) m* 24(10", )m ? Probs. 7 -45/7-46 P R O BLEM AS DE PROYECTO 7 -1 P . Los caballetes d e l edificio de alm acenam iento q u e se m uestra e n la fotografía e stán separados p o r 10 pies y se puede su p o n er que e stá n articulados e n todos los pu n to s d e apovo. Utilice el m odelo id ealizado q u e se m uestra y d etermine la carga d el v ie n to prevista sobre el caballete.T enga e n cuenta q u e la carga del viento se tran sm ite desd e la p ared hasta los c u a tro largueros y efespués a las colum nas e n el lado d e re c h a H a g a u n análisis aproxim ado y determ in e la carga axial máxim a y el m om ento m áxim o e n la colum na A B . Suponga que las colum nas y los puntales acodados están articulados e n sus extrem os. E l edificio está situ ad o e n u n terre n o plano de N ueva O rlean s.L o u isian a, d onde V — 125 mi/h. 2 9 6 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s R EP AS O D E L C A P ÍT U L O U n análisis e stru c tu ra l a p ro x im ad o se utiliza p a ra co n v er­ tir u n a e stru c tu ra estáticam en te in d eterm in ad a e n estáti­ cam ente d e term in ad a. D e e sta m an era p u ed e h ace rse u n diserto p relim in ar de lo s e le m e n to s y, u n a vez c o m p leto , efectuar e l análisis indeterm in ad o , q u e e s m ás exacto, p a ra perfeccionar e l diserto. Las arm ad u ras q u e tienen refu erzo s d iag o n ales tran s­ versales d e n tro d e su s p an e le s p u ed en an alizarse su p o ­ niendo q u e la diagonal e n ten sió n so p o rta la fu erza cortante del p an el y q u e la d iag o n al e n co m p resió n e s u n elem ento d e fuerza cero. E sto es razo n ab le s i los ele m e n ­ tos so n largos y delgados. Para seccio n es m á s gran d es, lo razonable e s su p o n er q u e cada d iag o n al so p o rte la m itad de la fuerza co rtan te d el p an el. V F'fw . t i— ti E l análisis aproxim ado de una carg a v ertical uniform e q u e actúa so b re una trab e d e lo n g itu d /- .e n un m arco d e c o n s­ trucción co nectado fijam ente, p u ed e a p ro x im arse m e­ d iante e l supuesto de q u e la viga no so p o rta n in g u n a carga axial y q u e hay p u n to s de inflexión (bisagras), u b icad o s a 0.1 ¿ d e los soportes. L \v I R e p a s o d e l c a p it u l o 2 9 7 Los m arcos d e p o rta l q u e cu en ta n c o n s o p o rte s fijos se analizan e n fo rm a a p ro x im a d a su p o n ien d o q u e hay b isag ras e n el p u n to m edio d e c a d a a ltu ra d e colum na, m ed id a h a sta la p arte in fe rio r d e l re fu e rz o de a rm ad u ra. A dem ás, e n esto s m arcos y e n lo s articulados, se su p o n e q u e c a d a co lu m n a so p o rta la m itad d e la c a rg a c o rta n te so b re e l m arco. Para lo s m arcos de construcción fijos q u e e stá n so m etid o s a carg as laterales, se puede su p o n e r q u e hay bisagras e n los c e n ­ tro s de las colum nas y trabes. S i e l m arco tien e una elevación b a ja, la resisten cia a la fu erza c o rta n te es im p o rtan te y e s p o ­ sible e m p le a r e l m éto d o d e l po rtal, d o n d e las co lu m n as in terio res e n cu alq u ier nivel d e piso d a d o so p o rta n e l d o b le de fuerza cortante q u e las colum nas exteriores. Para los m arco s d e lg ad o s y a lto s p u ed e usarse e l m éto d o d e l voladizo, d onde el esfuerzo ax ial e n u n a co lu m n a e s p ro p o rcio n al a s u d istan cia d e sd e el cen tro id e d e l á re a de la sección transversal d e to d as las co lum nas e n u n n iv e l de piso dad o . N M é to d o d e l v o la d iz o l a deflexión d e e s te p u e n te a rq u e a d o d e b e su p erv isarse c u id a d o sa ­ m en te m ientras e s tá e n co nstrucción. D eflexiones En e s te c a p ít u lo se m o s tra r á c ó m o d e t e r m in a r las d e fle x io n e s e lá s tic a s d e u n a v ig a s ig u ie n d o e l m é t o d o d e la d o b le in te g r a c ió n y d o s im p o r ­ ta n te s m é t o d o s g e o m é tr ic o s , a s a b e r, lo s te o r e m a s d e l m o m e n t o d e á re a y e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . La d o b le in te g r a c ió n s e e m ­ p le a p a ra o b t e n e r las e c u a c io n e s q u e d e fin e n la p e n d ie n te y la c u rv a e lá s tic a . L o s m é to d o s g e o m é tr ic o s p r o p o r c io n a n u n a fo r m a d e o b t e ­ n e r la p e n d ie n te y la d e f le x ió n e n p u n t o s e s p e c ífic o s d e la v ig a . C a d a m o d e e s to s m é t o d o s t ie n e s u s v e n ta ja s o d e s v e n ta ja s , q u e se a n a li­ z a rá n a l m o m e n t o d e p r e s e n ta r c a d a m é t o d o . 8 .1 D ia g ra m a s d e d e fle x ió n y la c u rva e lá s tic a L a s d e f le x io n e s d e la s e s t r u c tu r a s p u e d e n t e n e r v a ria s f u e n t e s , c o m o la s c a rg a s , la t e m p e r a t u r a , lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o e l a s e n t a m i e n to . D u r a n te e l d is e ñ o d e b e n lim ita r s e la s d e f le x io n e s a fin d e g a r a n tiz a r la in te g r id a d y la e s ta b ilid a d d e lo s te c h o s y e v it a r e l a g r i e ta m ie n t o d e lo s m a te r ia le s ríg id o s a d ju n to s c o m o e l c o n c r e to , e l y e s o o e l v id rio . A d e m á s , u n a e s t r u c tu r a n o d e b e v ib r a r o d e f o r m a r s e s e v e r a m e n te s i s e d e s e a q u e “p a r e z c a " s e g u r a a la v is ta d e s u s o c u p a n te s . A ú n m ás i m p o r t a n te e s e l h e c h o d e q u e , p a r a a n a liz a r la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e i n d e t e r m in a ­ d a s , s e d e b e n d e t e r m i n a r las d e f le x io n e s e n p u n to s e s p e c ífic o s d e la e s ­ tr u c tu ra . I-as d e fle x io n e s q u e se c o n s id e r a r á n e n e s te te x to s ó lo se a p lic a n a e s ­ tr u c tu r a s q u e ti e n e n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá stica . E n e s t a s c o n d i­ c io n e s . u n a e s t r u c t u r a s o m e ti d a a u n a c a r g a v o lv e r á a s u p o s ic ió n o r ig i­ n al n o d e f o r m a d a a l r e t i r a r l a c a r g a . L a d e fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a la c a u s a n s u s c a r g a s in te r n a s , c o m o la f u e r z a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e . o e l 3 0 0 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s T A B L A 8 -1 0) A = o r o d illo u o s c fla d o r (2) A - 0 p asad o r ( 3) A = 0 0 -0 s o p o r te fijo m o m e n to f le x io n a n te . S in e m b a r g o , e n e l c a s o d e la s v ig a s y lo s m a rc o s, la s m a y o r e s d e s v ia c io n e s s u e l e n s e r c a u s a d a s p o r l a fl e x ió n in te r n a , e n ta n t o q u e e n u n a a r m a d u r a las d e f le x io n e s la s o c a s io n a n la s fu e r z a s a x ia ­ les in te rn a s. A n te s d e d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to s o b r e u n a v ig a o u n m a r c o , a m e n u d o r e s u lta ú til b o s q u e j a r e l p e rf il d e ­ f o r m a d o d e la e s t r u c tu r a c u a n d o e s t á c a r g a d a p a r a v e r if ic a r p a r c i a l­ m e n te lo s r e s u lta d o s . E s te d ia g r a m a d e d e fle x ió n r e p r e s e n ta la c u rv a e lá stic a o e l lu g a r g e o m é tr ic o d e lo s p u n to s q u e d e f i n e la p o s ic ió n d e s p l a ­ z a d a d e l c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l a lo l a r g o d e lo s e le m e n to s . P a r a l a m a y o r ía d e lo s p r o b le m a s , la c u rv a e lá s tic a p u e d e b o s q u e ja r s e sin m u c h a d if ic u lta d . S in e m b a r g o , a l h a c e r lo e s n e c e s a r io c o n o c e r la s r e s ­ tr ic c io n e s e n c u a n to a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to q u e o c u r r e n a m e n u d o e n u n s o p o r te o u n a c o n e x ió n . C o n r e f e r e n c ia a l a ta b l a 8 -1 , lo s s o p o r te s q u e resisten u n a f u e r z a , c o m o u n p a s a d o r , re s trin g e n e l d e s p la z a m ie n to '.y lo s q u e resisten u n m o m e n t o ,c o m o u n a p a r e d fija , re s trin g e n h r o ta c ió n . O b s e r v e ta m b ié n q u e la d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s d e u n m a r c o q u e e s t á n f ija m e n te c o n e c ta d o s (4 ) h a c e q u e la ju n t a g ir e lo s e l e ­ m e n to s c o n e c ta d o s e n la m ism a c a n ti d a d 0. P o r o t r o la d o , si e n l a j u n t a se u s a u n a a r t ic u l a c ió n ,c a d a e le m e n to te n d r á u n a p e n d ie n te d ife r e n te o u n a r o ta c ió n d is tin ta e n e l p a s a d o r , d e b i d o a q u e é s t e n o p u e d e s o p o r t a r u n m o m e n to ( 5 ) . (4 ) j u n t a f ija m e n te c o n e c ta d a (5 ) II j u n t a a r tic u la d a L o s m a r c o s d e d o s e l e m e n t o s s o p o r t a n t a n t o la c a r g a m u e r t a d e l t e c h o c o m o la c a r g a v iv a d e la n ie v e . P u e d e c o n s i d e r a r s e q u e e l m a r c o e s t á a r t i c u l a d o e n la p a r e d , f ijo e n e l s u e l o y q u e t i e n e u n a j u n t a f ij a m e n te c o n e c ­ ta d a . 8 .1 D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a S i la c u r v a e lá s tic a p a r e c e d ifíc il d e e s ta b le c e r , s e s u g ie r e d ib u j a r p r i ­ m e r o e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a o e l m a rc o . P o r la c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a lo s m o m e n to s e s t a b le c id a e n e l c a p ítu lo 4 , u n m o m e n to p o s itiv o ti e n d e a d o b l a r u n a v ig a o e le m e n to h o r iz o n ta l c ó n c a v o h a c ia a rr ib a , fig u ra 8 -1 . D e l m is m o m o d o , u n m o m e n t o n e g a tiv o tie n d e a d o ­ b la r la v ig a o e l e le m e n to c ó n c a v o h a c ia a b a jo , fig u ra 8-2. P o r lo t a n t o , si se c o n o c e la fo r m a d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o , la c o n s tr u c c ió n d e la cu rv a e lá stic a se r á f á c i l y v ic e v e r s a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 8 -3 c o n s u d ia g r a m a d e m o m e n to a s o c ia d o . D e b id o a l s o p o r te d e p a s a ­ d o r y r o d illo , e l d e s p la z a m ie n to e n A y D d e b e s e r c e ro . D e n t r o d e la r e ­ g ió n d e m o m e n to n e g a tiv o , la c u r v a e lá s tic a e s c ó n c a v a h a c ia a b a jo ; y d e n tr o d e la re g ió n d e m o m e n to p o s itiv o , la c u rv a e lá s tic a e s c ó n c a v a h a c ia a r r ib a . E n p a r tic u la r , d e b e h a b e r u n p u n to d e in fle x ió n e n e l s i ti o d o n d e la c u r v a c a m b ia d e c ó n c a v a h a d a a b a jo a c ó n c a v a h a d a a r r ib a , p u e s to q u e é s t e e s u n p u n to d e m o m e n to n u lo . U s a n d o e s to s m ism o s p rin c ip io s, o b s e r v e c ó m o la c u r v a e lá s tic a p a r a la v ig a e n la fig u ra 8 -4 se e l a b o r ó c o n b a s e e n s u d ia g r a m a d e m o m e n to . E s p c d f ic a m e n tc , te n g a e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e m o m e n to p o s itiv o d e s d e la p a r e d m a n tie n e la p e n d ie n te in ic ia l d e la v ig a h o r iz o n ta l. P, L o i v ig a m o m e n to p o s itiv o , c ó n c a v o h a c ia a r r ib a HRura 8 -1 - ir » ) m e n tó n e g a tiv o , c ó n c a v o h a c ia a b a jo fig u ra 8-2 r v ig a M d ia g r a m a d e m o m e n to p u n to d e in f le x ió n c u rv a d o d e fle x ió n f ig u r a 8 - 3 301 , ,v* f ig u r a 8 - 4 M 3 0 2 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s D ib u je l a f o r m a a lt e r a d a d e c a d a u n a d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 8 -5 . S O L U C IÓ N E n la fig u ra 8 - 5 a ,e l r o d illo u b ic a d o e n A p e r m ite la r o t a c ió n lib r e s in d e fle x ió n , m ie n tr a s q u e la p a r e d fija e n B im p id e ta n t o la r o ta c ió n c o m o l a d e f le x ió n . L a f o r m a a lt e r a d a se m u e s tr a m e d ia n te la lín e a g ru e s a . E n l a f ig u r a 8-5£>, n o p u e d e o c u r r ir r o ta c ió n n i d e f le x ió n e n A y B . E n l a fig u ra 8 - 5 c ,e l m o m e n to d e p a r g ir a r á a l e x tr e m o A . E s to o r i g in a r á d e f le x io n e s e n a m b o s e x tr e m o s d e la v ig a , p u e s t o q u e la d e ­ fle x ió n n o e s p o s ib le e n B n i e n C . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to C D p e r ­ m a n e c e sin d e f o r m a c ió n ( u n a lín e a r e c t a ) , d a d o q u e e n é l n o a c tú a n in g u n a c a r g a in te r n a . E n la f ig u r a 8 -5 ¿ /,e l p a s a d o r ( b is a g ra in t e r n a ) e n B p e r m ite la r o t a c ió n lib r e y, p o r lo ta n t o , la p e n d ie n t e d e la c u rv a d e d e f le x ió n c a m b i a r á s ú b i ta m e n te e n e s t e p u n to , m ie n tr a s q u e la vig a e s t á r e s tr in g id a p o r s u s o p o r t e . E n la fig u ra 8 -5 e , la v ig a c o m ­ p u e s ta s e d e f o r m a d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . I a p e n d ie n t e c a m b ia a b r u p ta m e n te a c a d a la d o d e la a rtic u la c ió n e n B . P o r ú ltim o , e n la fi­ g u r a 8 -5 f e l c la r o B C se v o lv e r á c ó n c a v o h a d a a r r ib a d e b id o a la c a r g a . D a d o q u e la v ig a e s c o n ti n u a , lo s d a r o s fin a le s se v o lv e r á n c ó n ­ c a v o s h a c ia a b a jo . p H' A 8 - 2 T C A P w I B F ig u r a 8 - 5 C D 8 .1 D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a 3 0 3 D ib u je la s f o r m a s a lt e r a d a s d e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e se m u e s ­ tr a n e n la fig u ra 8 -6 . B c B c D ' " I T m \ |j/> (a) S O L U C IÓ N E n la fig u ra 8 - 6 a , c u a n d o l a c a r g a P e m p u ja las j u n t a s B y C h a d a la d e r e c h a .s e p r o d u c e u n a r o t a d ó n d e c a d a c o lu m n a e n s e n tid o h o r a r io , d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . C o m o r e s u lta d o , la s ju n t a s B y C d e b e n g ir a r e n e l s e n tid o h o r a r io . D a d o q u e e n e s t a s a r tic u la c io n e s d e b e m a n te n e r s e e l á n g u lo d e 9 0 ° e n t r e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s , la v ig a B C se d e f o r m a r á d e m o d o q u e l a c u r v a tu r a s e in v ie r ta d e c ó n c a v a h a c ia la iz q u ie r d a a c ó n c a v a h a d a la d e r e c h a . O b s e r v e q u e e s t o p r o ­ d u c e u n p u n to d e in f le x ió n d e n t r o d e la v ig a . E n la fig u ra 8 - 6 b , P d e s p la z a la s ju n t a s B . C y D h a c ia la d e r e c h a , h a c ie n d o q u e c a d a c o lu m n a s e d o b le e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I-as ju n ta s fija s d e b e n m a n te n e r s u s á n g u lo s d e 9 0 ° y. p o r lo t a n t o . B C y C D d e b e n t e n e r u n a c u r v a tu r a in v e r tid a c o n u n p u n to d e in fle x ió n c e rc a d e s u p u n to m e d io . E n la fig u ra 8 - 6 c ,la c a r g a v e r tic a l e n e s t e m a r c o s im é tric o d o b la r á la viga C D c ó n c a v a h a c ia a r r ib a , c a u s a n d o u n a r o t a c ió n e n s e n t id o h o r a ­ rio d e la j u n t a C y e n s e n tid o a n ti h o r a r io d e la j u n t a D . C o m o e l á n ­ g u lo d e 9 0 ° e n la s ju n t a s d e b e m a n te n e r s e , las c o lu m n a s s e d o b la r á n e n la f o r m a q u e se m u e s tr a . E s to h a c e q u e lo s c la r o s B C y D E x v u e l­ v a n c ó n c a v o s h a c ia a b a jo , lo q u e r e s u lta e n u n a r o t a c ió n e n s e n tid o a n tih o r a r io e n B y e n s e n t id o h o r a r io e n E . P o r c o n s ig u ie n te , la s c o ­ lu m n a s s e d o b la n e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I\>r ú ltim o , e n la fig u ra 8 -6d , las c a r g a s e m p u ja n la s j u n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a , lo q u e d o b la las c o lu m n a s e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . L a j u n t a fija B m a n ­ tie n e s u á n g u lo d e 9 0 ° , sin e m b a r g o , n o h a y re s tric c ió n a la r o ta c ió n re la tiv a e n t r e lo s e le m e n to s e n C p o r q u e la j u n t a e s t á a rtic u la d a . E n c o n s e c u e n c ia , s ó l o la v ig a C D n o tie n e u n a c u r v a tu r a in v e r s a . (c) *í <d) f ig u r a 8 - 6 3 0 4 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s PROBLEM AS FU N D AM EN TALES (b) R*-3. D ibuje la form a alterad a d e c a d a m arco. In d iq u e los p u n to s d e inflexión. (c) ro -i 1 8 -2 . D ibuje la form a alterad a d e c a d a m arco. In d iq u e los p u n to s d e inflexión. » 8 -3 8 -2 8 .2 T E O ftlA D E L A V IG A ELASTICA 3 0 5 T e o ría d e la v ig a e lá s tic a E n e s t a se c c ió n s e d e s a r r o ll a r á n d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s im p o r t a n ­ te s q u e r e l a c io n a n e l m o m e n to in t e r n o e n u n a v ig a c o n e l d e s p la z a ­ m ie n to y la p e n d ie n t e d e s u c u rv a e lá s tic a . E s ta s e c u a c io n e s f o r m a n la b a s e d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n q u e se p r e s e n ta n e n e s te c a p ít u lo , y p o r e s a r a z ó n h a y q u e c o m p r e n d e r p le n a m e n te lo s s u p u e s to s y la s lim ita c io ­ n e s q u e s e a p liq u e n e n s u d e s a r r o llo . P a ra o b t e n e r e s ta s re la c io n e s , e l a n á lis is s e lim ita r á a l c a s o m á s c o m ú n d e u n a v ig a q u e e n p r in c ip io e s r e c ta y q u e s e d e f o r m a e lá s tic a m e n te d e ­ b id o a las c a r g a s a p lic a d a s d e m a n e r a p e r p e n d i c u la r a l e je x d e la v ig a , y q u e s e s itú a n e n e l p la n o d e s i m e t r ía x - v d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e la v ig a , f ig u r a 8 -7 a . D e b id o a la s c a rg a s , la d e f o r m a c ió n d e la v ig a e s c a u ­ s a d a ta n t o p o r la f u e r z a c o r ta n te i n t e r n a c o m o p o r e l m o m e n to d e f le ­ x ión. S i la v ig a ti e n e u n a lo n g itu d m u c h o m a y o r q u e s u p r o f u n d id a d , la m a y o r d e f o r m a c ió n s e r á c a u s a d a p o r la fle x ió n y, p o r e n d e , la a te n c ió n se d ir ig i r á a s u s e f e c to s . L a s d e f l e x io n e s c a u s a d a s p o r la f u e r z a c o r t a n t e s e a n a li z a r á n m á s a d e la n te e n e s te c a p ítu lo . C u a n d o e l m o m e n to i n t e r n o M d e f o r m a e l e l e m e n t o d e la v ig a , c a d a se c c ió n tr a n s v e r s a l s e m a n tie n e p la n a y e l á n g u lo e n t r e e lla s s e c o n v ie r te e n dO , fig u ra 8 - 7 b . E l a r c o d x q u e r e p r e s e n ta u n a p o r c ió n d e la c u rv a e lá s tic a in t e r s e c a e l e je n e u tr o d e c a d a se c c ió n tr a n s v e r s a l. E l ra d io d e c u r v a tu r a efe e s te a r c o se d e f in e c o m o la d is ta n c i a p. q u e s e m id e d e s d e el c e n tr o d e la c u r v a tu r a O ' h a s ta d x . C u a lq u i e r a r c o e n e l e le m e n to d is tin to a d x e stá s o m e tid o a u n a d e f o r m a c ió n n o rm a l. P o r e je m p lo . l a d e f o r m a ­ c ió n e n e l a r c o d s . q u e s e u b ic a e n u n a p o s ic ió n y r e s p e c to a l e je n e u tr o , e s € = (</s’ - d s ) /d s . S in e m b a r g o , d s = d x = p d O y d s ' = ( p - y )d O ,y a s í M “ ( I a n te s d e la d e fo rm a c ió n ( p - y ) dO - p dO o b ie n pdO 1 e - = — P y d e s p u é s d e la d e fo rm a c ió n (b ) F ig u ra 8 - 7 Si e l m a t e r i a l e s h o m o g é n e o y se c o m p o r ta d e m a n e r a lin e a l e l á s t i c a ,e n ­ to n c e s p u e d e a p lic a rs e la le y d e H o o k e . f - tríE . A d e m á s , d a d o q u e t a m ­ b ié n e s a p lic a b le la f ó r m u la d e la fle x ió n , a = - M y l l. A l c o m b in a r e s ta s e c u a c io n e s y s u s tit u ir e n la e c u a c i ó n a n te r io r , s e ti e n e M El (8- 1) A quí p = e l r a d i o d e c u r v a t u r a e n u n p u n to e s p e c ífic o d e la c u r v a e lá s tic a ( 1/p s e c o n o c e c o m o la c u r v a tu r a ) M = e l m o m e n to in t e r n o e n l a v ig a e n e l p u n t o d o n d e d e b e d e t e r m i ­ n arse p E = e l m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l / e l m o m e n to d e in e rc ia d e la v ig a c a lc u la d o r e s p e c to d e l e je n e u t r o 3 0 6 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s E n e s t a e c u a c ió n e l p r o d u c t o E l se c o n o c e c o m o la rig id e z a la fle x ió n , y s i e m p r e e s u n a c a n tid a d p o s itiv a . P u e s to q u e d x = p d O , e n to n c e s a p a r ­ ti r d e l a e c u a c i ó n 8 -1 , rf» = f j d x (8 -2 ) Si s e e lig e e l e je v c o m o p o s itiv o h a c ia a r r ib a , fig u ra 8 -7 a ,y s i e s p o s ib le e x p r e s a r l a c u r v a t u r a ( 1 /p ) e n té r m in o s d e x y ^ .e n t o n c e s s e p u e d e d e t e r ­ m in a r la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . E n la m a y o r ía d e lo s lib r o s d e c á lc u lo s e d e m u e s tr a q u e e s ta re la c ió n d e c u r v a tu r a e s 1 d ’v /d x 2 p [1 + ( d v / d x ) 2? ' 2 I\>r l o ta n t o . M _ d 2v / d x 2 (8 -3 ) £ / " [ ! + ( d v / d x ) 2p E s ta e c u a c ió n r e p r e s e n ta u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l n o lin e a l d e s e ­ g u n d o o r d e n . S u s o lu c ió n , v = f ( x ) , p r o p o r c io n a la f o r m a e x a c ta d e la c u r v a e lá s tic a ; s u p o n i e n d o , p o r s u p u e s to , q u e las d e fle x io n e s d e la v ig a se p r o d u c e n s ó l o p o r fle x ió n . C o n e l f i n d e f a c ilita r la s o lu c ió n d e u n m a y o r n ú m e r o d e p ro b le m a s , la e c u a c ió n 8 -3 s e m o d ific a rá a l h a c e r u n a im p o r ­ ta n t e s im p lific a c ió n . C o m o la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a p a r a la m a ­ y o ría d e la s e s t r u c t u r a s e s m u y p e q u e r t a .s e e m p l e a r á la te o r ía d e la p e ­ q u e ñ a d e f le x ió n y s e s u p o n d r á q u e d v l d x « 0 . E n c o n s e c u e n c ia , s u c u a d r a d o s e r á in s ig n ific a n te e n c o m p a r a c ió n c o n la u n i d a d y p o r lo ta n t o la e c u a c i ó n 8 -3 s e r e d u c e a d h dx2 = M El (8 -4 ) T a m b ié n d e b e s e ñ a l a r s e q u e a l s u p o n e r q u e d v / d x =» 0 , la lo n g itu d o r ig in a l d e l e je x d e la v ig a y e l a r c o d e s u c u r v a e lá s tic a s e r á n a p r o x im a ­ d a m e n t e lo s m is m o s . E n o t r a s p a la b r a s , d s e n la f i g u r a 8 - 7 6 e s a p r o x i ­ m a d a m e n te ig u a l a d x , p u e s t o q u e d s = V d x 2 + d v 2 = V i + { d v /d x )2 d x * d x E s te r e s u lta d o im p lic a q u e lo s p u n to s d e la c u r v a e lá s tic a s ó l o s e d e s p l a ­ z a rá n d e m a n e r a v e r tic a l m a s n o h o riz o n ta l. R e sultad os ta b u la d o s . E n la s ig u ie n te se c c ió n s e m o s tr a r á c ó m o a p lic a r la e c u a c i ó n 8 - 4 p a r a e n c o n tr a r la p e n d ie n t e d e u n a v ig a y la e c u a ­ c ió n d e s u c u rv a e lá s tic a . E n la c o n t r a p o r t a d a d e l lib r o s e u b ic a u n a ta b l a q u e p r e s e n ta lo s r e s u lta d o s d e ta l a n á lis is p a r a a lg u n a s c a r g a s c o m u n e s e n v ig a s q u e s e e n c u e n t r a n a m e n u d o e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. T a m b ié n s e e n u m e r a n la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s c rític o s d e la viga. P o r s u p u e s to , u n a s o la ta b l a n o p u e d e in c lu ir lo s m u c h o s d if e r e n te s c a s o s d e c a rg a y g e o m e tr ía q u e s e p r e s e n ta n e n la p r á c tic a . C u a n d o n o se d is p o n e d e u n a ta b l a o s e ti e n e u n a in c o m p le ta , e l d e s p la z a m ie n to o la p e n d ie n te e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a v ig a o u n m a r c o p u e d e n d e t e r ­ m in a rs e e m p l e a n d o e l m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le o a lg ú n o t r o m é to d o a n a liz a d o e n e s t e c a p ítu lo o e n e l s ig u ie n te . 8 .3 8 .3 3 0 7 E l m í t o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e El m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le U n a v e z q u e M s e e x p r e s a c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x , e n to n c e s la s in te g r a c io n e s s u c e s iv a s d e la e c u a c i ó n 8 .4 d a r á n la p e n d ie n t e d e la v ig a . 0 ^ t a n 0 = d v /d x = J ( M / E I ) d x ( e c u a c ió n 8 -2 ), y la e c u a c ió n d e la c u rv a e lá s tic a , t* = f { x ) ■ / f ( M / E Í ) d x , re s p e c tiv a m e n te . P a r a c a d a in te g ra r i ó n , e s n e c e s a r io in tr o d u c ir u n a " c o n s ta n te d e in te g r a c ió n " y d e s p u é s r e ­ s o lv e r las c o n s ta n te s a f i n d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n ú n ic a p a ra u n p r o ­ b le m a p a rtic u la r. R e c u e r d e d e la se c c ió n 4 -2 q u e s i la c a rg a e n u n a v ig a e s d is c o n tin u a , e s d e c ir , c o n siste e n u n a s e r ie d e v a ria s c a r g a s c o n c e n tr a d a s y d is trib u id a s , e n to n c e s d e b e n e s c r ib ir s e v a ria s fu n c io n e s p a r a e l m o m e n to in te rn o , c a d a u n a v á lid a d e n t r o d e la r e g i ó n e n t r e la s d is c o n tin u id a d e s . P or e je m p lo , c o n s id e re l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 84*. E l m o ­ m e n to i n t e r n o e n la s r e g io n e s A B , B C y C D d e b e e s c r ib ir s e e n té r m in o s d e las c o o r d e n a d a s x \ , x i y x y U n a v e z q u e e s ta s fu n c io n e s se in t e g r e n a tr a v é s d e la a p lic a c ió n d e l a e c u a c i ó n 8 -4 , y q u e s e h a y a n d e te r m in a d o la s c o n s ta n te s d e in te g ra c ió n , la s fu n c io n e s d a r á n la p e n d ie n t e y la d e fle x ió n (c u rv a e lá s ti c a ) p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n la q u e s o n v á lid a s. C h « -l * --------------------- XJ- fig u ra 8 -8 □ (a) C o n v e n c ió n d e signos. A l a p lic a r l a e c u a c ió n 8 -4 e s im p o r ta n te u s a r el s ig n o a d e c u a d o p a r a M s e g ú n lo e s ta b le c e la c o n v e n c ió n d e s ig ­ n o s q u e s e u s ó e n la o b te n c i ó n d e e s t a e c u a c ió n , fig u ra 8 -9 a. A d e m á s , r e ­ c u e r d e q u e l a d e f le x ió n v p o s itiv a e s h a c ia a r r ib a y, e n c o n s e c u e n c ia , e l á n g u lo d e la p e n d ie n t e p o s itiv a d x m e d i r á e n s e n t id o a n ti h o r a r io d e s d e e l e je x . 1.a ra z ó n d e e s to s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 - 9 b . A q u í, lo s in c r e ­ m e n to s p o s itiv o s d x y d v e n x y r c re a n u n in c r e m e n to d e d O q u e e s e n s e n tid o a n ti h o r a r io . A d e m á s , c o m o e l á n g u lo d e la p e n d ie n t e tf s e r á m u y p e q u e ñ o , s u v a lo r e n r a d i a n e s p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te d e 0 * ta n 0 » d v ld x . C o n d icio n e s d e fro n te ra y d e c o n tin u id a d . L a s c o n s ta n te s d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n e v a lu a n d o la s f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e o d e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to p a r t ic u l a r d e la v ig a d o n d e s e c o n o c e el v a lo r d e la f u n c ió n . E s to s v a lo r e s se lla m a n c o n d ic io n e s d e fr o n te r a . P o r e je m p lo ,s i la v ig a s e s o s tie n e m e d ia n te u n r o d illo o u n p a s a d o r , e n to n c e s s e r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to s e a c e r o e n e s to s p u n to s . In c lu s iv e , e n u n s o p o r te fijo , la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to s o n ig u a le s a c e ro . S i n o p u e d e u s a r s e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra e x p r e s a r la e c u a c ió n d e la p e n d ie n t e o la c u r v a e lá s tic a d e la v i g a ,e n t o n c e s d e b e n u s a r s e la s c o n ­ d ic io n e s d e c o n tin u id a d p a r a e v a lu a r a lg u n a s d e la s c o n s ta n te s d e in t e ­ g ra c ió n . C o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 8 -1 0 . A q u í la s c o o r d e n a d a s x , y x 2 s ó lo s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g i o n e s A t í y B C , re s p e c tiv a m e n te . U n a v ez q u e s e o b t i e n e n las f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e fle x ió n , é s t a s t i e ­ n e n q u e d a r lo s m ism o s v a lo r e s d e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n to B , x i = *2 = a . d e m a n e r a q u e la c u rv a e lá s tic a e s f ís ic a m e n te c o n tin u a . E x p r e s a d o d e m a n e r a m a te m á tic a , e s t o r e q u i e r e q u e 0 \( a ) = ^ ( a ) y u ,( a ) = v 2(a ). E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d o s c o n s ­ ta n te s d e in te g ra c ió n . c u r v a c lá s tic a C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e y la d e fle x ió n d e u n a v ig a ( o e j e ) u s a n d o e l m é to d o d e la in te g r a c ió n d o b le . D e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e s t e m é to d o s ó l o e s a d e c u a d o e n d e fle x io n e s e lá stic a s p a ra la s c u a le s la p e n ­ d ie n te d e la v ig a e s m u y p e q u e ñ a . A d e m á s , e l m é t o d o c o n s i d e r a s ó lo la s d e fle x io n e s d e b i­ d a s a la fl e x i ó n . E n g e n e r a l , la d e fle x ió n a d ic io n a l p o r la f u e r z a c o r t a n te r e p r e s e n ta s ó lo u n p e q u e ñ o p o r c e n t a je d e la d e f le x ió n d e b id a a la fle x ió n ; p o r e llo , e n la p rá c tic a d e la in ­ g e n ie r ía s u e le ig n o r a rs e . C u rv a e lá s tic a • D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e p e n d ie n t e c e r o y d e s p la z a m ie n to c e r o s e p r o d u c e n e n u n s o p o r te fijo , y e l d e s p la z a ­ m ie n to c e r o s e p r o d u c e e n lo s s o p o r te s d e r o d illo y a rtic u la d o s . • E s ta b le z c a lo s e je s d e la s c o o r d e n a d a s x y y . E l e j e x d e b e s e r p a r a le lo a la v ig a s i n d e ­ f o r m a rs e y s u o r ig e n d e b e e s t a r e n e l la d o iz q u ie r d o d e l a v ig a , c o n s e n tid o p o s itiv o h a c ia l a d e r e c h a . • Si h a y v a ria s c a r g a s d is c o n tin u a s p r e s e n te s , e s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x q u e s e a n v á ­ lid a s p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n t r e las d is c o n tin u id a d e s . • E n t o d o s lo s c a so s, e l e je a s o c ia d o p o s itiv o v d e b e d ir ig ir s e h a c ia a r r ib a . F u n c ió n d e la c a r g a o d e l m o m e n t o • P a r a c a d a re g ió n e n la q u e h a y u n a c o o r d e n a d a x , e x p r e s e e l m o m e n to i n t e r n o M e n fu n c ió n d e x. • S ie m p r e s u p o n g a q u e M a c tú a e n la d ir e c c ió n p o s itiv a a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e e q u il i­ b rio d e m o m e n to s p a r a d e t e r m i n a r M = f x ) . P e n d i e n t e y c u rv a e lá s tic a • S ie m p re q u e E l s e a c o n s t a n te , a p liq u e la e c u a c ió n d e m o m e n to E l <P v /d x * = M ( x ) , q u e r e q u i e r e d o s in te g ra c io n e s . P a r a c a d a in te g ra c ió n e s im p o r ta n te in c lu ir u n a c o n s ­ ta n t e d e in te g r a c ió n . L a s c o n s t a n te s s e d e te r m i n a n u s a n d o la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a p a ra lo s s o p o r te s y la s c o n d ic io n e s d e c o n tin u id a d q u e s e a p lic a n a la p e n d ie n t e y al d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s d o n d e s e e n c u e n t r a n d o s fu n c io n e s . • U n a v ez q u e s e d e t e r m i n a n la s c o n s t a n te s d e in te g r a c ió n y s e s u s titu y e n d e n u e v o e n las e c u a c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e f le x ió n , e s p o s ib le d e te r m i n a r la p e n d ie n t e y el d e s p la z a m ie n to e n p u n to s e s p e c ífic o s d e l a c u rv a e lá s tic a . L o s v a lo r e s n u m é r ic o s o b t e ­ n id o s p u e d e n c o m p r o b a r s e g r á f ic a m e n te a l c o m p a r a r l o s c o n e l b o s q u e jo d e la c u rv a d á s t ic a . • L o s v a lo r e s p o s i ti v o s d e la p e n d ie n te s o n e n s e n tid o a n ti h o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to p o s itiv o e s h a c ia a r r ib a . 8 .3 E l m é t o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e C a d a v ig u e ta d e p i s o s im p le m e n te a p o y a d a q u e se m u e s tr a e n l a f o to ­ g ra fía e s t á s o m e tid a a u n a c a r g a d e d is e ñ o u n if o rm e d e 4 k N /m , fig u ra 8-1 \a . D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a d e la v ig u e ta . E l e s c o n s ta n te . C u rv a e lá s tic a , l i b i d o a la s i m e t r ía , la d e f le x ió n m á x im a d e la v i­ g u e ta s e p r o d u c i r á e n s u c e n tr o . .Sólo se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to in te rn o . F u n c ió n d e m o m e n to . g u ra 8 -1 1 s e tie n e C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fi­ “(!) M = 20x - P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . d o s v eces re s u lta 2 0 a: - 2x2 A l a p lic a r la e c u a c ió n 8 -4 e in te g r a r 4 k N /m d 2v ■% E l — z = 20* - 2x dx E ¡ ^ ~ = lO x2 - 0 .6 6 6 7 * 3 + C , dx E l v = 3 3 3 3 a : 3 - 0 . 1 6 6 7 a : 4 + C xx + C 2 (a ) A q u í v = O e n x = 0 , d e m o d o q u e C 2 = 0 y v = 0 e n . t = 10; p o r lo q u e C , - - 1 6 6 .7 . l\> r lo ta n to , la e c u a c ió n d e l a c u rv a e lá s tic a e s E l v = 3 . 3 3 3 a 3 - 0 . 1 6 6 7 a :4 - (4 x )N 1 6 6 .7 a : E n a = 5 m , o b s e r v e q u e d v / d x = 0. P o r c o n s ig u ie n te , l a d e fle x ió n m á x im a e s 521 t» m á x = “ El R esp . 3 0 9 C a p it u l o D e f l e x io n e s 8.4 L a v ig a e n v o la d iz o q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 - Í2 a e stá s o m e ti d a a u n m o m e n to d e p a r M ,, e n s u e x tr e m o . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la c u rv a e lá s tic a . F.I e s c o n s ta n te . "■ * L ---------- ------___| . | (a) . " x (b) Figura 8 -1 2 S O L U C IÓ N C u r v a e l á s t i c a . La c a r g a ti e n d e a d e f o r m a r la v ig a c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 8 -9 a. f t ) r in s p e c c ió n , e l m o m e n to in t e r n o p u e d e r e p r e s e n ­ ta r s e a lo la r g o d e la v ig a e m p le a n d o u n s is te m a d e u n a s o la c o o r d e ­ n a d a X. F u n c ió n d a m o m e n t o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , c o n M q u e a c t ú a e n la á r e c c ió n p o s i ti v a ,f ig u r a 8-12¿> ,se tie n e P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . d o s v e c e s s e o b ti e n e O* EJEM PLO 8 5 ii 3 1 0 A l a p li c a r la e c u a c ió n 8 -4 e in t e g r a r la d 2v E l— ¡ = M„ (1 ) E 'T x = M oX + C | <2) E lv = ^ * C ,x + C , (3 ) Si s e u s a n la s c o n d ic io n e s d e f r o n t e r a d v l d x = ü e n x = ü y t > = ü e n x = (X e n to n c e s C \ = = 0. A l s u s tit u ir e s t o s r e s u lta d o s e n la s e c u a ­ c io n e s ( 2 ) y (3 ) c o n 0 = d v l d x , s e o b ti e n e v m 2E l R eSp 8 .3 E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E L a p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to m á x im o s o c u r r e n e n A ( x = L ) , p a r a lo c u a l E l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a 0A in d ic a u n a r o t a c ió n e n s e n t id o a n tih o ra r io y e l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a v A in d ic a q u e v A a c tú a h a d a a rr ib a . E s to c o n c u e r d a c o n lo s re s u lta d o s b o s q u e ja d o s e n la fig u ra 8 -1 2a. C o n e l fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la m a g n itu d re a l d e la p e n d ie n t e y d d e s p la z a m ie n to e n e l e x tr e m o A , c o n s i d e r e q u e la v ig a d e la fig u ra 8 -1 2 a tie n e u n a lo n g itu d d e 12 p ie s , q u e s o p o r ta u n m o m e n to d e p a r d e 15 k . p ie , y e s tá h e c h a d e a c e r o c o n E K - 2 9 (1 0 3) ksi. Si e s ta v ig a se d is e ñ a r a s i n u n f a c to r d e s e g u r id a d s u p o n i e n d o q u e e l e s f u e rz o n o rm a l p e r m is ib le e s ig u a l a l e s f u e r z o d e c e d e n c ia = 3 6 k si, e n ­ to n c e s s e e n c o n t r a r í a q u e u n p e r f il W 6 X 9 s e r í a a d e c u a d o ( / = 16.4 p u lg 4). A p a r t i r d e la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) se o b ti e n e e = 15 k ' p i e ( l 2 P u l&/ P 'e ) ( 12 P »es) (1 2 p u l g / p i e ) = M ^ 2 9 (1 0 3) k / p u l g 2( 16.4 p u lg 4) 15 k • p ie (1 2 p u l g / p i e )( 1 2 p ie s ) 2(1 2 p u lg /1 p i e ) 2 _ 2 ( 2 9 ( 1 0 ’ ) k /p u l g 2) ! 1 6 .4 p u lg 4) D a d o q u e fl2, = 0 .0 0 2 9 7 r a d 2 « 1, s e ju s tif ic a e l u s o d e la e c u a c ió n 8 -4 e n v e z d e a p lic a r la e c u a c ió n m á s e x a c ta 8 -3 , p a r a e l c á lc u lo d e la d e fle x ió n d e la s v ig a s. A d e m á s , c o m o e s ta a p lic a c ió n n u m é r ic a e s p a ra u n a viga en v o l a d i z o ,s e h a n o b te n i d o v a lo re s m á s g r a n d e s p a r a 9 y v m á x im o s q u e lo s q u e s e h a b r ía n o b t e n i d o s i la v ig a e s tu v ie r a a p o y a d a m e d ia n te p a s a d o r e s , ro d illo s u o tr o s s o p o r te s . 3 1 1 3 1 2 C a p it u l o EJEM PLO 8 D e f l e x io n e s 8 .5 L a v ig a d e l a f i g u r a 8 - 1 3 a e s t á s o m e t i d a a u n a c a r g a P e n s u e x t r e m o . D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to e n C . E l e s c o n s ta n te . r F ,,i . | i) m2 «. i f Vl 4' 3P T (b) Figura 8 -1 3 S O L U C IÓ N C u r v a e l á s t i c a . L a v ig a s e d e f o r m a c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 - 1 3 a. D e b id o a l a c a r g a , d e b e n c o n s id e r a r s e d o s c o o r d e n a d a s x. F u n c i o n e s d e m o m e n t o . Si s e u s a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 8 - 1 3 6 .s e ti e n e P Xi M \ = 0 s i , s 2o 3P P M i = - - ^ * 2 + -= -(* 2 - 2a) 2 2 2a P x 2 ~ 3 Pa P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . p a ra x¡. « a dx, E l vt 3a A p lic a n d o la e c u a c ió n . 8 -4 , +c, + C xx %+ C 2 (» (2 ) 8 .3 E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E d 2v 2 E I ~ T ~2 = P x i ~ ^ P a dx2 P a r a * 2, . dv° l _ P 2 E l dt2 = 2Xl ~ 3PaX2 + C3 E l»l = (3) - \ P a x * + CyX2 + C 4 (4 ) L a s c u a tr o c o n s ta n te s d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n m e d ia n te tres c o n d ic io n e s d e f r o n te r a , a s a b e r , v , = 0 e n x x = 0 , t>j = 0 e n x x = 2 a y v 2 = O e n x 2 = 2 a ,y u n a e c u a c ió n d e c o n tin u id a d . A q u í la c o n tin u id a d d e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo r e q u i e r e q u e d v \ ! d x \ = d v 2l d x 2 e n = x2 = 2a. ( T e n g a e n c u e n ta q u e la c o n ti n u id a d d e l d e s p la z a m ie n to e n tí ha s id o c o n s i d e r a d o d e m a n e r a in d ir e c ta e n la s c o n d ic io n e s d e f r o n ­ te ra , p u e s to q u e v ¡ = v 2 = 0 e n = x 2 = 2a.) A l a p li c a r e s t a s c u a t r o c o n d ic io n e s re s u lta «>i = = vz = O en x \ oen 0 + 0 + C2 0 ;0 = = 2a\ O en x 2 d v t( 2 a ) = + C t {2 a ) + C 2 0 = 2 a \ 0 => o = d v iila ) p ¿ r ; - 7 £ ( 2 a )3 - \ P a i l a ) 1 + C 3(2 n ) + C 4 Z p , + c - - 1 <2")2 - 3P° ™ +c> R c s o lv ie n d o .s e o b ti e n e C, - C2 = 0 C3 = j P a 2 C 4 = - 2 Pai A l s u s tit u ir C 3 y C4 e n la e c u a c ió n (4 ) re s u lta P , 3Pa 2 10P a 2 01 “ 6 é ¡ ^ ~ 2 ¡ n x * 2Pa3 ~ ~e F E l d e s p la z a m ie n to e n C s e d e t e r m i n a a l e s t a b l e c e r x 2 = 3 a . S e tie n e que Pa3 vc = R esp . 3 1 3 3 1 4 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s PROBLEMAS FUNDAM ENTALES r a - 4 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la viga em p lean do la coorden ad a x que e s válida p ara 0 < x < L. E l es constante. FR-7. D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la viga em p lean d o la co o rd en ad a * que e s válida p ara 0 < x < /.. E l e s constante. t ra -4 F8-5. D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la viga em pleando la coorden ad a x que e s válida p ara 0 < x < L . E l es constante. r a - 8 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la viga em p lean d o la coordenada x que es válida p ara 0 < x < L. F.I es constante. ra -8 F 8 -6 . D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la viga em pleando la coorden ad a .r que e s válida p ara 0 < x < L. E l es constante. F 8 -9 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la viga em p lean d o la coordenada x que es válida p ara 0 < x < L. F.I es constante. 8 .3 E l m é to o o d e in t e g r a c ió n d o b le 3 1 5 PROBLEM AS 8 - 1 . D e te r m in e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e lá s t ic a p a r a la 8 - 6 . D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a e n t r e lo s s o p o r t e s v ig a e m p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x 7. E s p e c if iq u e la p e n ­ d i e n t e e n A y la d e f le x ió n m á x im a . E l e s c o n s ta n t e . E la m A y B. c o n s ta n te . U tilic e e l m é to d o d e in te g ra c ió n . .1 P ro h . 8 -1 8 - 2 . l a b a r r a e s t á s o p o r t a d a p o r u n a r e s tr ic c ió n d e r o d i ll o e n & , q u e p e r m i t e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l p e r o r e s i s t e la c a r g a a x ia l y e l m o m e n t o . S i la b a r r a s e s o m e te a la c a r g a q u e s e m u e s tr a , d e t e r m i n e la p e n d i e n t e e n A y la d e f le x ió n 8 - 7 . I > íte r m in e la c u r v a e l á s tic a p a r a la v ig a s i m p l e m e n t e a p o y a d a u s a n d o la c o o r d e n a d a i , 0 < í < I . ) 2 . A d e m á s .d e ­ t e r m in e la p e n d i e n t e e n A y la d e f l e x i ó n m á x i m a d e la v ig a . E l e s c o n s ta n te . e n C E l es c o n s ta n te . 8 - 3 . D e t e r m i n e la d e f l e x i ó n e n e l p u n t o B d e la b a r r a d e l p r o b l e m a 8 -2 . L___ k 2 u 2 P ro h . 8 -7 P ro b s . 8 -2 7 8 -3 • 8 - 4 . D e te r m in e la s e c u a c io n e s d e la c u r v a e lá s t ic a u s a n d o la s c o o r d e n a d a s x , y x 7, e s p e c i f iq u e la p e n d i e n t e y la d e f l e ­ x ió n e n B . E l e s c o n s t a n t e . 8 - 5 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e la c u r v a e l á s t i c a u s a n d o la s c o o r d e n a d a s X | y x3 y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e y la d e f l e ­ x ió n e n e l p u n t o B . F .I e s c o n s ta n te . • 8 - 8 . D e te r m in e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e l á s tic a e m ­ p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x*. y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e e n C y e l d e s p la z a m ie n to e n B . E l es c o n s ta n te . 8 - 9 . D e t e r m i n e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e l á s t ic a e m ­ p l e a n d o la s c o o r d e n a d a s x i y x * y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e e n B y la d e f le x i ó n e n C . E l e s c o n s ta n te . u n i te h x> - P ro b s .8 -4 /8 -5 P ro h s . 8 -8 Z 8 -9 8 .4 T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a L a s id e a s in ic ia le s p a r a lo s d o s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a f u e r o n d e s a r r o lla d a s p o r O t t o M o h r y m á s t a r d e e s ta b le c id a s f o r m a lm e n te p o r C h a r le s E . G r e e n e e n 1873. E s to s te o r e m a s p r o p o r c io n a n u n a té c n ic a sem ig rá fic a p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e d e la c u r v a e lá s tic a y s u a l t e r a ­ c ió n d e b id o a la fle x ió n . R e s u lta n p a r t ic u l a r m e n t e v e n ta jo s o s c u a n d o se u tiliz a n p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s d e v ig as, e n e s p e c ia l la s s u j e ta s a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s o q u e ti e n e n s e g m e n to s c o n d if e r e n t e s m o ­ m e n to s d e in e rc ia . P a r a d e s a r r o l l a r lo s te o r e m a s , s e h a c e r e f e r e n c ia a l a v ig a d e la fig u ra 8 - 1 4 a. S i s e d ib u j a e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a y d e s p u é s s e d i ­ v id e e n tr e la rig id e z a la fle x ió n , £ 7 ,r e s u lta e l " d ia g r a m a d e M I E F q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 8 -1 4 6 . C o n b a s e e n la e c u a c i ó n 8 -2 , A s í p u e d e v e rs e q u e e l c a m b io d O a i la p e n d ie n t e d e la s ta n g e n te s a c a d a la d o d e l e le m e n to d x e s ig u a l a l á r e a c o n s o m b r e a d o c la r o b a jo e l d i a ­ g r a m a M I E L A l in te g r a r d e s d e e l p u n t o A h a s ta e l p u n t o B d e la c u rv a e lá s tic a , fig u ra 8 - 1 4 c ,s e ti e n e E s ta e c u a c i ó n e s la b a s e p a r a e l p r i m e r te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a . T e o r e m a 1: E l c a m b io e n la p e n d ie n t e e n t r e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a d e la c u rv a e lá s tic a e s ig u a l a l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e n t r e e s o s d o s p u n to s . La n o ta c ió n 0B,A se c o n o c e c o m o e l á n g u lo d e la t a n g e n t e e n B m e d id o c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e n / L A p a r t i r d e la c o m p r o b a c ió n d e b e r í a s e r e v id e n te q u e e s te á n g u lo s e m id e en s e n tid o a n tih o ra rio d e s d e la t a n ­ g e n te A h a s ta la t a n g e n t e B . s i e l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e s p o s itiv a , fi­ g u ra 8 -1 4 c . D e m a n e r a in v e r s a ,s i e s t a á r e a e s n eg a tiva . o e s tá p o r d e b a jo d e l e je x . e l á n g u lo 0Bia se m id e e n s e n t id o h o ra rio d e s d e la t a n g e n t e A h a s ta l a t a n g e n t e B . A d e m á s , c o n b a s e e n la s d im e n s io n e s d e la e c u a c ió n 8 - 5 , 0K A s e m i d e e n ra d ia n e s . F ig u r a 8 - 1 4 8 .4 T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a E l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a s e b a s a e n la d e s v ia c ió n r e ­ la tiv a d e la s ta n g e n te s a la c u r v a e lá s tic a . E n la f ig u r a 8 - 15c s e m u e s tra u n a v ista m u y e x a g e r a d a d e l a d e s v ia c ió n v e rtic a l d t cfc las ta n g e n te s a c a d a la d o d e l e le m e n to d if e r e n c ia l d x . E s ta d e s v ia c ió n s e m i d e a lo la rg o d e u n a lín e a v e rtic a l q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o A . C o m o s e s u p o n e q u e la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a y s u d e f le x ió n s o n m u y p e q u e ñ a s , re s u lta s a tis f a c to r io a p r o x im a r la lo n g itu d d e c a d a lín e a d e la t a n g e n t e m e d ia n te * y e l a r c o d s ' p o r m e d io d e d t. S i s e u s a la f ó r m u la d e l a r c o c ir c u la r s = 0 r, d o n d e r tie n e u n a lo n g itu d * , s e p u e d e e s c r ib ir d t - x dO. E m p le a n d o la e c u a c ió n 8 -2 . d O - ( M I E l ) d x , la d e f le x ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n A c o n r e s p e c to a la ta n g e n te e n B p u e d e e n c o n tr a r s e p o r in te g ra c ió n , e n cuyo caso U ,B M — dx Ja T i ( 8- --------------x ------------------------ d x (*> 6) R e c u e r d e q u e a l e s t u d i a r la e s t á tic a s e e s ta b le c ió q u e e l c e n tr o id e d e u n á r e a s e d e te r m i n a a p a r t i r d c x f d A = f x d A . P u e s to q u e / M / E ! d x r e p r e s e n ta u n á r e a d e l d ia g r a m a M /E I , ta m b ié n e s p o s ib le e s c r ib ir r *A ,B = X m_ — dx Ja El (b ) (8 - 7 ) A q u í a : e s la d is ta n c ia d e s d e e l e je v e r tic a l q u e p a s a p o r A h a s ta e l c e n ­ tr o id e d e l á r e a c o m p r e n d id a e n t r e A y f ig u r a 8 -1 5 6 . A h o r a p u e d e e n u n c ia r s e e l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a d e la m a n e r a s ig u ie n te : T e o r e m a 2 : L a d e s v ia c ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o ( A ) d e la c u r v a e lá s tic a c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e x te n d id a d e s d e o t r o p u n to ( B ) e s ig u a l a l “ m o m e n to ” d e l á r e a b a j o e l d ia g r a m a M I E l e n tr e lo s d o s p u n to s (A y B \ E s te m o m e n to s e c a lc u la r e s p e c to d e l p u n to A (e l p u n to s o b r e la c u rv a e lá s tic a ), d o n d e d e b e d e te r m in a r s e la d e s v ia c ió n t A¡R. C u a n d o se c a lc u la e l m o m e n to d e u n á re a p o s itiv a M I E l d e s d e A h a s ta B , c o m o e n la fig u ra 8 -1 5 6 ,é s t e in d ic a q u e la t a n g e n t e e n e l p u n t o A e stá p o r e n c im a d e la t a n g e n t e a la c u rv a e x te n d i d a d e s d e e l p u n t o B , fig u ra 8 -1 5 c. D e l m is m o m o d o , la s á r e a s n e g a tiv a s M I E I in d ic a n q u e la ta n g e n te e n A e s tá p o r d e b a jo cfc l a t a n g e n t e e x te n d i d a d e s d e B . O b s e r v e q u e , e n g e n e r a l . ia /b n o e s ig u a l a t BiA , q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 -1 5 d . E n e s p e c ífic o , e l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e A y B se c a lc u la r e s p e c to d e l p u n to A p a r a d e te r m in a r t^ , f i g u r a 8 -1 5 6 ,y s e ca lc u la re s p e c to a l p u n t o B p a ra d e t e r m i n a r tBIA. E s im p o r ta n te te n e r e n c u e n ta q u e lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á re a s ó lo p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r lo s á n g u lo s o la s d e s v ia c io n e s e n tr e las d o s t a n g e n t e s d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l n o p r o p o r ­ c io n a n u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to d e la v ig a . E s ta s in c ó g n ita s d e b e n r e la c io n a r s e p r i m e r o c o n lo s á n ­ g u lo s o la s d e s v ia c io n e s v e rtic a le s d e la s ta n g e n te s s o b r e lo s p u n to s d e la c u rv a e lá s tic a . H a b itu a lm e n te , las ta n g e n te s e n lo s s o p o r te s s e d ib u ja n c o n e s t a in te n c ió n , p u e s t o q u e e s to s p u n to s n o e s t á n s o m e tid o s a d e s p l a ­ z a m ie n to s y /o ti e n e n p e n d ie n t e c e ro . E n lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo se p r o p o r c io n a n c a s o s e s p e c ífic o s p a r a e l e s ta b le c im ie n to d e e s t a s re la c io ­ n e s g e o m é tric a s . c u rv a c lá stic a (c) c u rv a e lá stic a (d) F igura 8-15 31 7 3 1 8 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r el d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n to d e la c u rv a e lá s tic a d e u n a v ig a m e d ia n te lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a . D ia g r a m a M /E I • D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y d ib u je e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a . • Si la v ig a e s t á c a r g a d a c o n f u e r / a s c o n c e n tr a d a s , e l d ia g r a m a M I E l c o n s is tirá e n u n a s e r ie d e s e g m e n to s d e lin e a r e c ta , p o r lo q u e la s á r e a s y m o m e n to s r e q u e r id o s p a r a a p lic a r lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a p o d r á n c a lc u la rs e c o n r e la tiv a fa c ilid a d . • Si l a c a r g a c o n s is te e n u n a se r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s y c a rg a s d is tr ib u id a s , p u e d e r e s u lta r m á s s e n c illo c a lc u la r la s á r e a s y s u s m o m e n to s r e q u e r id o s a l d ib u j a r e l d i a ­ g r a m a M I E l p o r p a r t e s , e m p l e a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n c o m o s e e s tu d ió e n la se c c ió n 4 -5 . E n c u a lq u ie r c a s o , e l d ia g r a m a M I E l c o n s ta r á d e c u r v a s p a r a b ó lic a s , o q u iz á d e o r d e n s u p e r io r , p o r lo q u e p a r a lo c a liz a r e l á r e a y e l c e n tr o id e b a jo c a d a c u rv a s e s u g ie r e c o n s u lta r la ta b l a q u e a p a r e c e e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e e s te lib ro . C u rv a e lá s tic a • D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e p e n d ie n te c e r o o c u r r e n e n lo s s o p o r te s fijo s y q u e lo s p u n to s d e d e s p la z a m ie n to c e r o se p r o d u c e n e n lo s s o p o r t e s fijo s, a r tic u la d o s y d e ro d illo . • Si e s d ifíc il d ib u j a r la fo r m a g e n e r a l d e l a c u r v a e lá s tic a , u tilic e e l d ia g r a m a d e m o ­ m e n to ( o M / E I ) . O b s e r v e q u e c u a n d o la v ig a e s t á s o m e ti d a a u n m á m e n lo p o s itiv o é s ta s e d o b la c ó n c a v a h a d a a rr ib a , e n t a n t o q u e u n m o m e n to n e g a tiv o c u rv a la v ig a c ó n c a v a h a c ia a b a jo . P o r o t r a p a r t e , u n p u n t o d e in fle x ió n o c a m b io e n la c u r v a tu r a o c u r r e c u a n d o e l m o m e n to e n la v ig a ( o M I E l ) e s ig u al a c e ro . • E l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e a d e t e r m i n a r d e b e n in d ic a rs e e n la c u rv a . C o m o lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a s ó l o se a p lic a n e n t r e d o s ta n g e n te s , d e b e p r e s ta r s e a te n c ió n a q u e la s ta n g e n te s e s t é n c o n s tr u id a s d e m o d o q u e lo s á n g u lo s o la s d e s v ia d o n e s e n t r e e lla s c o n d u z c a n a la s o lu c ió n d e l p r o b le m a . E n e s te s e n t id o , d e b e n c o n s i­ d e ra r se la s ta n g e n te s e n lo s p u n to s c o n p e n d ie n te y d e s p la z a m ie n to d e s c o n o d d o s , a s í c o m o e n lo s s o p o r te s , y a q u e g e n e r a lm e n te la v ig a ti e n e d e s p la z a m ie n to c e r o y /o p e n ­ d ie n te c e r o e n lo s s o p o r te s . T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a • A p liq u e e l te o r e m a i p a r a d e t e r m i n a r e l á n g u lo e n t r e d o s ta n g e n te s , y e l te o r e m a 2 p a r a e n c o n t r a r la s d e s v i a d o n e s v e r tic a le s e n t r e la s ta n g e n te s . • lé n g a e n c u e n t a q u e , p o r lo g e n e r a l , e l te o r e m a 2 n o r e s u lta r á e n e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n t o s o b r e la c u rv a e lá s tic a . C u a n d o s e a p lic a c o r r e c ta m e n te , s ó l o d a r á la d is ta n ­ d a v e rtic a l o la d e s v ia c ió n d e u n a t a n g e n t e e n e l p u n t o A s o b r e la c u rv a e lá s tic a c o n re s p e c to a la t a n g e n t e e n 8 . • D e s p u é s d e a p lic a r e l te o r e m a 1 o e l te o r e m a 2 , e l s ig n o a lg e b ra ic o d e la re s p u e s ta p u e d e v e rific a rse a p a r tir d e l á n g u lo o la d e s v ia d ó n s e g ú n se in d iq u e e n la c u rv a elástica. 8 .4 EJEMPLO T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 1 9 8 .6 D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n lo s p u n t o s B y C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a 2k e n l a f i g u r a 8 - I 60 . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( l ü 3) k s i y q u e / = 6 0 0 p u l g 4. I S O L U C IÓ N l 5 p i e s -------- \ B D ia g ra m a M /E I. E s te d ia g r a m a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8-16¿>. R e ­ s u lta m ás s e n c illo r e s o lv e r e l p r o b le m a e n té r m in o s d e E l y s u s titu ir b s d a t o s n u m é r ic o s c o m o ú ltim o p a so . C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a d e 2 k h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 8 -1 6c. (1 .a v ig a s e v u e lv e c ó n c a v a h a c ia a b a jo , p u e s to q u e M / E I e s n e g a tiv o .) A q u í la t a n g e n t e e n A (e l s o p o r te ) s ie m p r e e s h o r i z o n ta l.T a m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n B y C . S e d e b e e n c o n t r a r 0 R y 0 C. P b r la c o n s tru c c ió n , e l á n g u lo e n tr e t a n A y tan f l .e s d e c i r 0 n A , e s e q u iv a le n te a 0R. t ---------- K) 3 ) pni» i (a) Í7 Ofí = A d em ás. = ec e c /A T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . A p lic a n d o e l te o r e m a 1. 0K A e s ig u al a l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e lo s p u n to s A y f l . e s d e c ir . (3 0 k * p i e V - QB/ A - - ( . x J ( 1 5 p ie s ) - 1 / 60 k • pie -y 3ük-pie\ — -----------------— j 675 k -p ie 2 (15 p ie s ) tan.-t El A l s u s titu ir lo s d a t o s n u m é r ic o s d e E e I , y c o n v e r tir d e p ie s a p u lg a ­ d a s, s e ti e n e - 6 7 5 k • p i e 2( 144 p u lg 2/ ! p i e 2) = a 2 9 (1 0 3) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4) R esp . = - 0 .0 0 5 5 9 r a d E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l á n g u lo s e m id e e n s e n t id o h o ra r io d e s d e A . fig u ra 8 - 16c. D e m a n e r a s im ila r, e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n to s A y C e s ig u a l a 0 QA. E n to n c e s . \( 60 k-p ie\_ »c = *c/ a = 2 [ — . 4 900 k -p ie 2 E ¡ ~ J {30pies) Ti S u s titu y e n d o lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e E l , se o b ti e n e - 9 0 0 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 7) "C “ 2 9 ( lU ') k / p u lg ¡ (6 ü 0 p u lg ‘ ) = - 0 .0 0 7 4 5 r a d R e sp . 3 2 0 C a p it u l o EJEM PLO 8 D e f l e x io n e s 8 .7 D e te r m in e la d e f le x ió n e n lo s p u n to s B y C de la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 - 17a. L o s v a lo r e s p a r a e l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a s e g m e n t ó s e in d ic a n e n la fig u ra . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a . 5 0 0 N-m S O L U C IÓ N ¡a b - 8 ( IíA) m m * \,BC. 4(10*)m m 4 4 m J . __ - 3 m D i a g r a m a M /E I . ft>r in s p e c c ió n , e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a e s u n r e c tá n g u lo . A q u í s e c o n s tr u ir á e l d ia g r a m a M I E I re la tiv o a fflc . te n i e n d o e n c u e n ta q u e I AB m 2 I BC, fig u ra 8 -1 7 6 . C o m o ú ltim o p a so , s e s u s titu ir á n lo s d a t o s n u m é r ic o s p a r a E I BC. i (a) C u r v a e l á s t i c a . E l m o m e n to d e p a r e n C h a c e q u e la v ig a s e d e ­ fo rm e , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 7 c . S e in d ic a n la s ta n g e n te s e n A (e l s o p o r t e ) . B y C . S e d e b e e n c o n tr a r A fl y A c . E s to s d e s p la z a m ie n ­ to s p u e d e n re la c io n a r s e d ir e c ta m e n te c o n la s d e s v ia c io n e s e n tr e la s ta n g e n te s , d e m a n e r a q u e p o r c o n s tr u c c ió n A fl e s ig u a l a la d e s v ia c ió n d e t a n B e n r e la c ió n c o n t a n A ; e s d e c ir . M F Jñ I b ¡a m FImc 250 ÉÍ7r A dem ás. 'C t A B |- 2 — T e o r e m a d e l m o m e n t o d e á r e a . A p lic a n d o e l te o r e m a 2 . tB/A e s ig u a l a l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I B í e n t r e A y B c a lc u ­ la d o c o n r e s p e c to a l p u n t o B , y a q u e é s t e e s e l p u n t o d o n d e d e b e d e ­ te r m in a r s e la d e s v ia c ió n ta n g e n c ia l. ft> r lo ta n t o , a p a r t i r d e la fig u ra 8 -1 7 6 , (b) A» = 2000 N • m ? 250 N -m ( 4 m ) (2 m ) t B/ A El E IK c BC A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s r e s u lta 2000 N -m AB = (2 0 0 ( 109) N / m 2l(4 (1 0 6) m m 4( l m 4/ ( 1 0 3) 4 m m 4) | R esp . 0.0025 m = Z 5 m m D e l m is m o m o d o , p a r a ¡c ía se d e b e c a lc u la r e l m o m e n to d e to d o e l d ia g r a m a M I E l g e d e s d e A h a s ta C re s p e c to d e l p u n to C. S e ti e n e 250 N -m Ac = Ic / 500 N - m (4 m) ( 5 m ) + a E l BC El (3 m) 7250 N •m 3 7250 N • m3 E I bc [200{109) N / n f l K l O ^ J Í l O " 12) m 4j = 0 .0 0 9 0 6 m 9 .0 6 m m (1 .5 m ) BC R esp . D a d o q u e a m b a s r e s p u e s ta s s o n p o s itiv a s , in d ic a n q u e lo s p u n to s B y C se e n c u e n t r a n p o r e n c im a d e la t a n g e n t e e n A . 8 .4 EJEMPLO T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 8 .8 D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e la v ig a q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 - 1 8 a . £ = 200 G P a . l = 6 ( 1 0 )6 m m '. F ig u ra 8 - 1 8 S O L U C IÓ N D ia g ra m a M /E f. F ig u r a 8-18¿>. C u r v a e l á s t i c a . C o m o la c a rg a s e a p lic a a la v ig a e n f o r m a s im é ­ tric a . la c u rv a e lá s tic a e s s i m é tr ic a , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 8 c . Se d e b e e n c o n t r a r 0C. E s to p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e t i e n e e n c u e n ta q u e la t a n g e n t e e n D e s h o r iz o n ta l y e n to n c e s , p o r c o n s tr u c ­ c ió n . e l á n g u lo 0D¡C e n tr e t a n C y t a n D es ig u a l a 0 C\ e s d e c ir , 6c = Od / c T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . C o n b a s e e n e l te o r e m a 1 , 0¡¡ic e s ig u al a l á r e a s o m b r e a d a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e lo s p u n to s C y D . Se ti e n e /30kN -m \ c= = 3 m\ Ti , 1 /60kN •m 30kN-m\ ) + 5<3 Ii~ ) 135 k N • m 2 El R>r lo ta n to . 135 k N - m 2 ° C ~ (2 0 0 ( 106) k N / m 2| [ 6 ( 106) ( 1 0 " 12) m 4) ” 0,112 r a d R e s p 3 2 1 3 2 2 C a p it u l o EJEMPLO 8 D e f l e x io n e s 8 .9 8k D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 -1 9 a. E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 6 0 0 p u l g 4. S O L U C IÓ N D ia g ra m a M / E I . M El F ig u ra 8 -1 9 6 . C u rv a e lá s tic a . L a c u rv a e lá s tic a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 9 c . S e d e b e e n c o n t r a r 0C\ p a r a e l l o , s e e s t a b le c e n la s t a n g e n t e s e n A , B (lo s s o p o r t e s ) y C ,ta m b ié n o b s e r v e q u e Ocia e s e l á n g u lo e n t r e la s ta n g e n t e s e n A y C .A d e m á s .e l á n g u lo «¿de la fig u ra 8 -1 9 c p u e d e e n c o n tr a r s e u s a n d o <t>= tB/AI L Afí. E s ta e c u a c i ó n e s v á lid a p o r q u e lB/A e s r e a lm e n te m u y p e q u e ñ o , y p u e d e a p r o x im a r s e m e d ia n te la lo n g itu d d e u n a r c o c ir c u la r d e f in id o p o r u n r a d io d e L AB - 2 4 p i e s y e l a lc a n c e d e <t>. ( R e ­ c u e rd e q u e s ■ Or.) C o n b a s e e n la g e o m e tr ía d e la fig u ra 8 -1 9 c . se tie n e e c = <b - o,C IA 'va 24 d) ’ C /A T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a . U s a n d o e l te o r e m a 1, 0OA e s e q u iv a l e n te a l á r e a b a j o e l d i a g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n t o s A y C ; e s d e c ir , Qc / a 1 /1 2 k /p ie \ - (6 p ie s ) E l ) 36 k - p i e 2 El A l a p lic a r e l te o r e m a 2 , i BIA e s e q u iv a l e n te a l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e B y A r e s p e c to a l p u n t o B , p u e s t o q u e é s t e e s e l p u n t o d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e la d e s r í a d ó n ta n g e n c ia l. Se tie n e 6 p ie s + | ( 1 8 p ie s ) J [ | ( 1 8 p i e s ) ( - tB /A )] + - ( 6 p ie s ) 4 3 2 0 k - pie-3 El S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n 1. re s u lta dc = 4320 k •p ie 3 3 6 k • p ie 2 144 k • p ie 2 (2 4 p ie s ) E l El El de m odo que 144 k • p ie ' " 2 9 (1 0 ’ ) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg 2/ p i e 2) 6 0 0 p u lg 4( l p i e 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4) = 0 .0 0 1 1 9 r a d R esp . 8 .4 EJEMPLO T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 8 .1 0 D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 - 20 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 3) k s i, / = 21 p u l g 4. u Tí S O L U C IÓ N D ia g ra m a M /E I. F ig u ra 8 -2 0 6 . C u rv a e lá s tic a . A q u í d e b e m o s e n c o n t r a r A c , fig u ra 8 -2 0 c . É s ta n o e s n e c e s a r ia m e n te la d e f le x ió n m á x im a d e l a v ig a , p u e s to q u e la c a r g a , y p o r lo t a n t o la c u rv a e lá s tic a , n o s o n sim é tric a s . E n la fig u ra 8 -2 0 c ta m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r te s ) y C . S i s e d e ­ te r m in a /x ís , e n to n c e s A ' p u e d e e n c o n tr a r s e p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­ te s, e s d e c ir , A '/1 2 = tAIBQ A o b i e n A ' = p a r t i r d e la c o n s t r u c ­ c ió n e n la f ig u r a 8 -2 0 c se tie n e q u e 'A J f í ~ ( 1) ¡C /R T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a rá e l te o r e m a 2 p a r a d e ­ t e r m i n a r tAiB y Io b - A q u í ¡ajb e s e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M / E I e n tr e A y B r e s p e c to a l p u n t o A , I y Icib a /b -B f)] ^ ( 2 4 p ie s ) 4 8 0 k • p ie 3 2 (2 4 p ie s ) es e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M/EI e n tr e El C y B r e s p e c to d e C. 60 k - p i e 3 l C /B i ( 12p ie s ) ] [ i( 12 p i e s ) ( ^ ! ^ ) ] El S u s titu y e n d o e s t o s re s u lta d o s e n la e c u a c ió n (1 ) s e o b ti e n e 1 ( 4 8 0 k • p i e 3\ K: El 6 0 k • p ie 3 180 k • p ie 3 El El Si se tr a b a ja e n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta 180 k - p i e 3( 1728 p u lg 3/ p i e 3) AC = » ( 1 0 5) k / p u l g ^ l p u l g 4) 0.511 p u lg R esp . 3 2 3 3 2 4 C a p it u l o EJEM PLO 8 D e f l e x io n e s 8 .1 1 6 k N /m D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 - 2 1 o . E = 2 0 0 G P a . I = 2 5 0 ( 1 0 6) m m 4. S O L U C IÓ N D ia g ra m a M /E I. C o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 8-21 ¿>,este d ia g r a m a s e c o m p o n e d e u n tr iá n g u lo y u n s e g m e n to p a ra b ó lic o . 24 kN C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 8 2 1 c. S e d e b e e n c o n t r a r Ac - M e d ia n te la c o n s ­ tr u c c ió n d e Lis ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r t e s ) y C . s e v e q u e A c = t CIA - A '. S in e m b a r g o . A ' p u e d e r e la c io n a r s e c o n lBiÁ p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s .e s d e c ir . A '/1 6 = tm A!8 o b ie n A ' = 21¡,/A. P o r lo ta n to . R. El - (b) ¡ C /A ~ ( 1) 2 * B /A T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a r á e l te o r e m a 2 p a r a d e ­ t e r m i n a r /c ía y Ir ía • S i s e u s a l a ta b la d e la c o n t r a p o r t a d a in t e r i o r d e l lib ro p a r a e l s e g m e n to p a r a b ó lic o y s e c o n s i d e r a e l m o m e n to d e l d i a ­ g r a m a M I E l e n tr e A y C re s p e c to d e l p u n t o C . s e tie n e ÍCM. g , s m) ] [ i ( 8m )p kN - ) } [1<8 + | - ( 8 m ) + 8 m li­ li 2 6 4 k N •m 3 El E l m o m e n to d e l d ia g r a m a M I E l e n tr e A y B r e s p e c to d e l p u n t o B e s I b/ a - 192kN-m\l J 1,« 5(8m)j[-(8m\--- 17“ 2048 k N - m 3 )\ El ¿ P o r q u é e s t o s té r m in o s s o n n e g a tiv o s ? A l s u s titu ir lo s re s u lta d o s e n la e c u a c ió n ( 1 ) s e o b ti e n e 11 2 6 4 k N • m 3 ¿ c ----------------- Y , J( 21 \ N •- m 3‘ 2 004488 kk N 3\ - El ) 7168 k N - m 3 El ft>r lo ta n t o . -7 1 6 8 k N - m 3 Ac |2 0 0 ( 106) k N / m 2I 2 5 0 ( 106) ( 1 0 " '2) m 4] = - 0 .1 4 3 m R esp . 8 .4 T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 2 5 D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo B d e l a v ig a c o n d o b l e s a lie n te q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 2 a . C o n s id e r e q u e E = 200 G P a , / = 18 (106) m m \ S O L U C IÓ N D ia g ra m a M / E f . La e la b o r a c ió n d e l d ia g r a m a M I E I p u e d e s im p lifi­ c a rs e a l d ib u ja r lo p o r p a r te s y c o n s i d e r a r lo s d ia g r a m a s M I E I d e la s tr e s c a rg a s , d o n d e c a d a u n a a c tú a s o b r e u n a v ig a e n v o la d i /o fija e n D , fig u ra 8 .2 2 b . ( L a c a rg a d e 1 0 k N n o s e to m a e n c u e n ta d a d o q u e n o p ro d u c e n in g ú n m o m e n to e n t o r n o a D ). C u rv a e lá s tic a . Si s e d ib u ja n ta n g e n te s e n R y C , fig u ra 8 -2 2 c . la p e n d ie n t e e n B p u e d e d e te r m i n a r s e a l e n c o n t r a r t OB,y p a r a lo s á n g u ­ los p e q u e ñ o s . (a ) El *c íb 0) 2 m T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . P a r a d e t e r m i n a r í C i b se a p lic a e l te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a , a fin d e e n c o n t r a r e l m o m e n to d e l d i a ­ g r a m a M I E I e n t r e B y C r e s p e c t o d e l p u n t o C . E s to s ó l o in v o lu c r a al á r e a s o m b r e a d a b a jo d o s d e lo s d ia g r a m a s d e la fig u ra 8 -2 2 b . E n ­ to n c e s. /- 3 0 kN-mY| . ^ 2 m \fl -3 0 M El 20 10 F.l É l V lO kN-nA l ' c/ b = (1 m ) 5 3 .3 3 k N - m 3 U El Él 10 Él S u s titu y e n d o e n l a e c u a c ió n ( 1 ) , I 5333 kN • m3 ( 2 m )|2 0 0 { l(/* ) k N /m 3J[1 8 (1 0 6)( 1 0 “ 12) m4J Resp. 0.00741 r a d tan B (c) F ig u r a 8 - 2 2 <b) ■ C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s 8 .5 M é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a H . M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a e n 1865. E n e s e n c ia , r e q u i e r e la m ism a c a n ti d a d d e c á lc u lo s q u e lo s te o r e m a s d e m o ­ m e n t o d e á r e a p a r a d e te r m i n a r la p e n d ie n t e o la d e f le x ió n d e u n a viga; s in e m b a r g o , e s t e m é to d o s e b a s a s ó l o e n lo s p rin c ip io s d e la e s t á tic a y. p o r lo t a n t o . s u a p lic a c ió n r e s u lta r á m ás fa m ilia r. I-a b a s e p a r a e l m é to d o p r o v i e n e d e la s im ilitu d d e las e c u a c io n e s 4 -1 y 4 -2 c o n la s e c u a c io n e s 8 -2 y 8 -4 . P a r a d e m o s t r a r e s t a s e m e ja n z a , la s e c u a ­ c io n e s p u e d e n e s c r ib ir s e d e la s ig u ie n te m a n e r a : dv d 7M dx W de _ A/ d 2v _ dx ~ El M ~d¿ ~ T i O al in t e g r a r / a. viga real w dx m M = / [ / w dx Idx I t dx /[/(!> -TT 1 d x I d x A q u í la f u e r z a c o r ta n te V s e c o m p a r a c o n la p e n d ie n te e l m o m e n to M s e c o m p a r a c o n e l d e s p la z a m ie n to v , y la carga e x te r n a w se c o m p a r a c o n e l d ia g r a m a M I E I . P a r a a p lic a r e s ta c o m p a r a c ió n a h o r a s e c o n s id e r a r á , fig u ra 8 -2 3 , u n a v ig a c o n la m ism a lo n g itu d q u e l a v ig a r e a l , p e r o a q u í se d e n o m i n a r á c o m o la “ v ig a c o n ju g a d a " , la c u a l s e “ c a r g a " c o n e l d ia g r a m a M I E I o b te n i d o d e la c a r g a w s o b r e la v ig a r e a l. A p a r t i r d e la s c o m p a r a ­ c io n e s a n te r io r e s s e p u e d e n e n u n c ia r d o s t e o r e m a s r e la c io n a d o s c o n la v ig a c o n ju g a d a , a s a b e r . T e o r e m a 1 : I-a p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e la v ig a re a l e s n u m é r ic a ­ m e n t e ig u a l a la fiie rz a c o r l a n te e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la v ig a c o n ju g a d a . viga conjugada fig u ra 8 -2 3 T e o r e m a 2 : E l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to e n la v ig a re a l e s n u m é r i­ c a m e n te ig u al a l m o m e n to e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la v ig a c o n ju g a d a . Soportes de la viga conjugada. A l d i b u j a r la v ig a c o n ju g a d a e s im p o r ta n te q u e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to d e s a r r o lla d o s e n su s s o p o r te s t o m e n e n c u e n ta la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to c o r r e s p o n ­ d ie n te s d e la v ig a r e a l e n s u s s o p o r te s , lo c u a l e s u n a c o n s e c u e n c ia d e lo s te o r e m a s 1 y 2 . P o r e je m p lo , c o m o s e m u e s tr a e n la ta b l a 8.2, u n s o p o r te 8 .5 M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A d e p a s a d o r o r o d illo e n e l e x tr e m o d e la v ig a r e a l p r o p o r c io n a u n d e s p la ­ z a m ie n to c e r o , p e r o la v ig a ti e n e u n a p e n d ie n t e d is ti n ta d e c e r o . P o r c o n s ig u ie n te , a p a r t i r d e lo s te o r e m a s I y 2 , la v ig a c o n ju g a d a d e b e e s t a r s o p o r ta d a p o r u n p a s a d o r o u n ro d illo , d a d o q u e e s t e s o p o r te ti e n e u n m o m e n t o c e r o p e r o ti e n e u n a f u e r / a c o r t a n te o u n a r e a c c ió n e n e l e x ­ tr e m o . C u a n d o la v ig a re a l e s t á f i j a m e n t e a p o y a d a ( 3 ) , t a n t o la p e n ­ d ie n te c o m o e l d e s p la z a m ie n to e n e l s o p o r te s o n ig u a le s a c e r o . A q u í la viga c o n ju g a d a ti e n e u n e x tr e m o lib re , y a q u e e n e s t e e x tr e m o h a y u n a fu e rz a c o r t a n te c e r o y u n m o m e n to c e r o . E n la t a b l a s e e n u m e r a n lo s s o ­ p o r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e las v ig a s re a l y c o n ju g a d a e n o tr o s c a s o s , y e n la fig u ra 8 -2 4 se m u e s tr a n e je m p lo s d e v ig a s r e a l e s y c o n ju g a d a s . O b ­ s e r v e q u e . c o m o r e g la , a l p a s a r p o r a l t o la f u e r z a a x ia l, la s v ig a s r e a le s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s ti e n e n v ig a s c o n ju g a d a s e s t á tic a m e n te d e ­ te r m in a d a s ; y la s v ig a s r e a l e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s , c o m o e n e l ú ltim o c a s o d e la f ig u r a 8 -2 4 , se c o n v ie r te n e n v ig a s c o n ju g a d a s i n e s ta ­ b les. A u n q u e e s t o o c u r r a , la c a r g a M I E l p r o p o r c io n a r á e l " e q u i li b r io " n e ­ c e s a r io p a r a m a n t e n e r la e s t a b ilid a d d e l a v ig a c o n ju g a d a . T A B LA 8 - 2 V ig a r e a l 1) V ig a c o n j u g a d a « - f i = A -0 pasad o r 2) p asad o r V e M=0 A -0 ro d illa ro d illo V -0 3) M =0 libre fijo V 4) lib re Ai fijo V 5) A -0 p a s a d o r i n le m o Af = 0 b is a g ra V 6) 4 = 0 ro d illo inlemo b is a g ra Ai - 0 b isag ra V M ro d illo in te r n o 3 2 7 3 2 8 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s v iga c o n ju g a d a v ig a re a l Figura 8-24 P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­ n a r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n t o s o b r e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a s¡g u ie n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a . C u rv a e lá s t i c a • D ib u je la v ig a c o n ju g a d a p a r a la v ig a re a l. E s t a v ig a ti e n e la m is m a lo n g itu d q u e la v ig a r e a l y lo s s o p o r te s c o r r e s p o n d ie n t e s s e g ú n s e p r e s e n ta n e n la t a b l a 8 -2 . • E n g e n e ra l, s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n a p e n d i e n t e s I s o p o r te c o n ju g a d o d e b e d e s a ­ rr o lla r u n a fu e r z a c o r ta n te ',y s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n d e s p la z a m ie n to ,e l s o p o r te c o n ju g a d o d e b e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to . • L a v ig a c o n ju g a d a s e c a r g a c o n e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a r e a l. S e s u p o n e q u e e s ta c a rg a e s t á d is tr ib u id a en la v ig a c o n ju g a d a y q u e s e d ir ig e h a c ia a r r ib a c u a n d o M I E l es p o s itiv a , y h a c ia a b a jo c u a n d o M I E l e s n e g a tiv a . E n o tr a s p a la b r a s , la c a r g a a c t ú a s ie m ­ p r e a le já n d o s e d e la viga. 8 E q u ilib rio • U s a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , d e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a c o n ju g a d a . • L a s e c c ió n la v ig a c o n ju g a d a e n e l p u n t o d o n d e d e b e n d e te r m i n a r s e l a p e n d ie n t e d y d d e s p l a z a m i e n to A d e la v ig a r e a l. E n la se c c ió n m u e s tr e la f u e r z a c o r t a n te V d e s c o ­ n o c id a y e l m o m e n to M ' q u e a c tú a e n s u s e n t id o p o s itiv o . • D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . V y M ' s o n ig u a le s a 9 y A , re s p e c tiv a m e n te , p a r a la v ig a r e a l . E n p a r tic u la r , s i e s to s v a lo r e s s o n p o s itiv o s , la p e n d ie n te tie n e u n s e n tid o a n tih o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to es h a c ia a rrib a . 8 .5 3 2 9 M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A D e te r m in e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n t o & d e la v ig a d e a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la f i g u r a 8 -2 5 a . L a s r e a c c i o n e s y a s e h a n c a lc u la d o . E = 2 9 (1 0 3) k s i , / = 8 0 0 p u lg 4. Slc I ( ! ■ 75 k -p ie 1 5 p ie s . 15 v ig a re a l <■) Figura 8-25 S O L U C IÓ N V ig a c o n ju g a d a . L a f ig u r a 8 -2 5 b m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a . L o s s o ­ p o r te s e n A ' y B ' c o r r e s p o n d e n a lo s s o p o r t e s A y B ck: la v ig a r e a l, ta b la 8-2. E s m u y i m p o r t a n te e n t e n d e r p o r q u é s u c e d e e s t a E l d i a - 75 g r a m a M I E l e s n e g a tiv o , p o r lo q u e la c a rg a d is tr ib u id a a c tú a h a c ia " a b a jo .e s d e c ir , se a le ja d e la v ig a . viga c o n ju g a d a (b ) E q u ilib rio . D a d o q u e h a y q u e d e te r m in a r 0 B y A fl. e s n e c e s a r io c a lc u ­ la r V B‘ y Affl<e n la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 8-25c. 5 6 2 .5 k - p i e 2 + T2F, = 0 ; -2 5 pie M, El 1 5 6 2 .5 k • p ie 2 0 b - V tr - - V, El 5 6 2 .5 El - 5 6 2 .5 k - p i e 2 2 9 (1 0 5) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg V p ie 2) 8 0 0 p u I g 4( I p ie 4/ ( 1 2 )4 p u lg 4) R esp . - 0 .0 0 3 4 9 r a d = 0 ;— re a c c io n e s (c ) 5 6 2 5 k • o ie 2 -------------- (2 5 p ie s ) + M K = 0 — r~ a. — J- 1 4 0 6 2 .5 k - p i e 3 A fl = M t t = - El - 1 4 0 6 2 .5 k - p i e 3 (d> 2 9 (1 0 3)( 1 4 4 ) k / p i e 2|8 0 0 /( 1 2 ) 4l p ie 4 -0 .0 8 7 3 p ie s = - 1 . 0 5 p u lg R esp . Ix>s s ig n o s n e g a tiv o s in d ic a n q u e la p e n d ie n t e d e la v ig a se m id e e n s e n tid o h o r a r io y q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a c ia a b a jo , f ig u r a 8 -2 5 d . 3 3 0 C a p it u l o EJEM PLO 8 D e f l e x io n e s 8 .1 4 D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n m á x i m a d e l a v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s t r a e n la f i g u r a 8 - 2 6 a . L a s r e a c c i o n e s y a h a n s i d o c a l c u l a d a s . E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 ( 1 0 6) m m 4. 18 8 kN Fl J \- m—j -9 m - 2kN 6kN v ig a ic a l (a) fig u ra 8 -2 6 (b ) S O L U C IÓ N ^ 4 A 27 •i rk 1— I- ~ — K2 " 4 63 El 45 0 r e a c c io n e s e x te rn a s (c ) g < í> - A' V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 6 b se m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a c a rg a d a c o n e l d ia g r a m a M /E I . C o m o ó s te e s p o s itiv o , la c a rg a d is tr i­ b u id a a c t ú a h a c ia a r r ib a ( a le já n d o s e d e la v ig a). r<rfrTff f !»! L a s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a se d e ­ te r m i n a r o n e n p r i m e r lu g a r y se in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o E q u H íb r ío . lib re d e la fig u ra 8 -2 6 c . L a d e fle x ió n m á x im a d e la v ig a r e a l s e p ro d u c e e n e l p u n to d o n d e la p e n d ie n te d e la v ig a e s c e ro . E s to c o r r e s p o n d e a l m is m o p u n t o e n la v ig a c o n ju g a d a d o n d e la fu e r z a c o r ta n te e s c e ro . S i s e s u p o n e q u e e s te p u n to a c t ú a d e n t r o d e la re g ió n ü s r s 9 m d e s d e A \ s e p u e d e a is la r la s e c c ió n q u e se m u e s tra e n la fig u ra 8 -2 6 d . O b ­ s e r v e q u e e l p ic o d e la c a r g a d is tr ib u id a s e d e te r m i n ó p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n te s , e s d e c i r , w / x = ( \ S /E I ) / 9 . S e r e q u ie r e q u e V ' = ü d e m o d o que =0 + Í 2 f \ . = 0; El 2 \ EI/ x - 6.71 m v -o (0 s x 9m lOK U s a n d o e s te v a lo r d e x , la d e fle x ió n m á x im a e n la v ig a r e a l c o r r e s ­ p o n d e a l m o m e n to M '. P o r c o n s ig u ie n te . 45 El re a c c io n e s in te r n a s <d) § (6 7 .) - [ f ( ® ' m lx = M' = - H -( 6 .7 1 ) + M ' 201.2 k N - m El - 2 0 1 .2 I c N - m 3 [2 0 0 ( 106) k N / m 2][60( 106) m m 4( l m 4/ ( 103)4 m m 4)j = - 0 .0 1 6 8 m = - 1 6 . 8 m m F.1 s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo . R esp . 8 .5 M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A L a tr a b e d e la f ig u r a 8 - 2 7 a e s tá h e c h a d e u n a v ig a c o n tin u a y r e f o r ­ z a d a e n s u c e n tr o , c o n p la c a s d e c o b e r t u r a e n e l s i ti o d o n d e s u m o ­ m e n to d e in e r c ia e s m a y o r. L o s s e g m e n to s e x tr e m o s d e 12 p ie s ti e n e n u n m o m e n to d e in e r c ia d e / = 4 5 0 p u lg 4 y la p a r t e c e n t r a l ti e n e u n m o m e n to d e in e r c ia d e / ' = 9 0 0 p u lg 4. D e te r m in e la d e f le x ió n e n e l c e n tr o C. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. L a s r e a c c io n e s y a h a n s id o c a lc u la d a s. 8 k 6 k 6k 1 i 3 3 1 i ah .o * /= 4 5 0 p u lg * / = 9 0 0 pulg* /= 4 5 0 p u lg 4A 10 k 10 k v ig a re a l S O L U C IÓ N (a ) V i g a c o n j u g a d a . E n p r i m e r lu g a r s e d e t e r m i n a e l d i a g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a , f i g u r a 8-27¿>. C o m o / ' = 2 / , p o r s im p lic id a d , la c a r g a s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e la c o n s ta n te d e £ 7 , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 7 c. F igura 8 -2 7 E q u ilib r io . L as r e a c c io n e s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e n c a lc u ­ la rse p o r la s i m e t r ía d e la c a rg a o m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u il i­ b rio . L o s r e s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la f i g u r a 8-27</. C o m o d e b e d e t e r ­ m in a rs e l a d e fle x ió n e n C , s e d e b e c a lc u la r e l m o m e n to i n t e r n o e n C \ E m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s .e l s e g m e n to A ' C ' s e a ís la y se d e te r m in a n la s r e s u lta n te s d e la s c a r g a s d is trib u id a s , a s í c o m o s u u b i ­ c a c ió n . fig u ra 8 -2 7 e . P o r lo ta n t o , 1+2 M c = O, ^ ( 1 8 ) - f > Mc = ~ ) - ~ *(3) - j- ^ 2 ) + MC = 0 A /(k p ie ) II 736 k -p ie 3 El 120 144 120 12 18 24 A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s p a r a E l y a l c o n v e r t ir la s u n id a d e s , se tie n e * (p ie s ) 11 7 3 6 k - p i e 3( 1728 p u l g '/ p i e 3) A c = M c' = - 2 9 ( lÓ ') k / p u l g ?(4 5 0 p u lg 4) = d ia g ra m a d e m o m e n to PU' 8 (b) E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e l a d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo . 720 y 720 - t í ? ,-í R d X m a c a o n e s e x te rn a s re a c c io n e s in te r n a s «b (e ) 36 3 3 2 C a p it u l o EJEM PLO 8 D e f l e x io n e s 8 .1 6 D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p a s a d o r e n B y la p e n d i e n t e d e c a d a s e g m e n t o d e v ig a c o n e c t a d o a l p a s a d o r p a r a l a v ig a c o m p u e s t a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 - 2 8 a . E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 3 0 p u l g 4. 8k 8k T ^ O k - P*e — 12 pies — 12 pies -j- 15 pies — I viga conjugada curva elástica (a) (b) F ig u ra 8 - 2 8 S O L U C IÓ N V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 8 b s e m u e s tr a la c u rv a e lá s tic a p a ra la v ig a c o n e l fin d e id e n tif ic a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o Afl y la s p e n d ie n t e s ( 0 fí)L y ( 0 fí) R a la iz q u ie r d a y a la d e r e c h a d e l p a s a ­ d o r. U s a n d o la ta b l a 8 .2 . la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tra e n la fig u ra 8 .2 8 c . R j r s im p lic id a d e n e l c á lc u lo , e l d ia g r a m a M / E I se h a e l a b o r a d o e n p a r le s e m p le a n d o e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n c o m o se d e s c r ib e e n l a se c c ió n 4 -5 . A e s te re s p e c to , la v ig a re a l s e c o n s i d e r a e n v o la d iz o d e s d e e l s o p o r te iz q u ie r d o , A . S e p r o p o r c io n a n lo s d ia g r a m a s d e m o ­ m e n t o p a r a la c a r g a d e 8 k , la f u e r z a r e a c t iv a Cy = 2 k , y la c a r g a d e 3 0 k • pie. O b s e r v e q u e la s r e g io n e s n e g a tiv a s d e e s te d ia g r a m a d e s a r r o ­ lla n u n a c a r g a d is tr ib u id a h a c ia a b a jo y la s re g io n e s p o s itiv a s tie n e n u n a c a r g a d is tr ib u id a q u e a c tú a h a c ia a rr ib a . reacciones externas (c) <d) 8 .5 M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e x te r n a s e n B ' y C ' y lo s r e s u lta d o s s e in d ic a n e n la fig u ra 8 -2 8 d . P a r a d e te r m i n a r (0 fí)R se s e c c io n a la v ig a c o n ju g a d a j u s t o a la d e r e c h a d e B ' y se c a lc u la h f u e r z a c o r t a n t e (V'/J-)#í. fig u ra 8 -2 8 e . E n to n c e s . 225 E q u ilib r io . E l. 3.6 El 5P ^ -: + Í 2 F y = 0; b p ie i 2 2 8 .6 (0 b ) r = { V B' ) r 3 3 3 450 El (e) k • p ie 7 El 2 2 8 .6 k • p ie 2 (2 9 (1 0 3) ( 1 4 4 ) k / p i c 2] [ 3 0 /( 1 2 ) 4j p ie 4 0 .0378 r a d R esp . El E l m o m e n to in t e r n o e n B ’ p ro d u c e e l d e s p la z a m ie n to d e l p a s a d o r . A sí q u e. (,+ S W b - = O, -M e + 2304 k • p ie 3 I - .. (29( 10 3) (1 4 4 ) k / p i e 2|( 3 0 / ( 12 ) 4| p i e 4 R esp . - 0 3 8 1 p i e s = - 4 . 5 8 p u lg L a p e n d ie n t e ( 6 a )¡. p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r t i r d e u n a se c c ió n d e la viga j u s t o a l a iz q u ie r d a d e B ’. fig u ra 8-28f P o r lo ta n t o . , 2 2 8 .6 E l 225 450 + E l E l (B b ) l = [ V i t ) l = 0 3 .6 _ El R esp . I b r s u p u e s t o , Afl = M ñ >p a r a e s t e s e g m e n to e s e l m is m o q u e s e c a lc u ló c o n a n t e r i o r i d a d , y a q u e e n la s f ig u r a s 8 -2 8 e y 8 - 2 8 / l o s b r a z o s d e l m o ­ m e n to s ó lo s o n a lg o d if e re n te s . M . *— l S p i c S - ^ l (0 El -2 3 0 4 k - p i e 3 \ M» | í ( 5 ) - |5 (7 .5 ) - |y (1 5 ) = 0 As = M g = - (V 5 p ta -¡ 3 3 4 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s PROBLEM AS FU N D AM EN TALES 13-10. U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­ mine la p e n d ien te e n A y la d e flex ió n e n A , E l e s constante. 1 3-1L R esuelva e l p ro b lem a F 8 -10 e m p le a n d o e l m étodo de la viga conjugada. 13-16. U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r ­ mine la p e n d ie n te e n A y e l desplazam iento e n C. F.I es constante. 13-17. R esuelva el p ro b lem a F8-16 em p lean d o e l m étodo de la viga conjugada. 6kN 8kN 2 t= r | 3 m — A - 3 m ------------------1--------------- 3 m -----------------1 13-16/8-17 R I-10/8-11 13-18. 13-12. U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r­ mine la p e n d ie n te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es constante. 13-13. 13-19. R esuelva el p ro b lem a F8-18 em p lean d o e l m étodo d e la viga conjugada. U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­ mine la p endiente e n B y la d eflexión e n B . E l e s constante. R esuelva e l p ro b lem a F8-12 e m p le a n d o e l m étodo de la viga conjugada. 4 kN 4 kN 8 k N -m ■) |‘ 4 m 'I 13-12/8-13 13-14. U se los te o re m a s d e l m om ento d e á re a y d e te r ­ m ine la p e n d ien te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es constante. 13-15. R esuelva el p ro b lem a F8-14 e m p le a n d o e l m étodo <fc la viga conjugada. 13 -2 0 . U se lo s teo rem a s d e l m o m en to d e á re a y d e te r ­ mine la p e n d ie n te e n B y e l d esplazam ien to e n B . E l es constante. 13-21. R esuelva e l p ro b lem a F 8-20 em p lean d o e l m étodo <fc la viga conjugada. I 5 k N -m ^ = I 7 1 .5 m ----------1 3 -1 4 /8 -1 5 15 2 m 2m 1 3 -2 0 /8 -2 1 8 .5 M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A 3 3 5 PROBLEM AS 8 -1 0 . D eterm ine la p en d ien te e n f í y el desplazam iento m áxim o d e la viga. U se lo s teo re m a s d e l m o m en to d e á re a . C onsidere q u e F. = 29(10’) ksi. / = 500 p u lg 4. 8 -1 1 . R esuelva e l problem a 8-10 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. 8 -1 8 . D eterm in e la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C. E l e s constante. Use los teo re m a s d e l m o m en to d e área. 8 -1 9 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 8 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. 15 k fc1. r J JE R --------- 6 pies--------------- ---------- 6 pies-------------- Probs. 8-10/8-11 P ro b s. 8 -1 8 /8 -1 9 *8-12. D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n C. E l e s constante. U se los teo re m a s d e l m o m en to d e área. •8 -2 0 . D eterm in e la p e n d ien te y e l d esp lazam ien to e n el e x tre m o C tfc la viga. E = 2 0 0 G P a . / = 7 0 ( 1 0 6) mm* U se los te o re m a s d e l m o m en to de á re a . 8 -1 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8-12 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. 8 -2 1 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 0 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. 15 k 8 kN =i - 30 p ie s — 1 5 p ie s — | Probs. 8 -12/8-13 8 -1 4 . D eterm ine e l v a lo r d e a tfc m o d o q u e la p e n d ie n te e n A sea igual a ce ro . £ / e s constante. U se lo s teo re m a s d e l m om ento d e área. 8 -1 5 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 4 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. •8 -1 6 . D eterm ine e l v a lo r d e a d e m o d o q u e e l d esp laza­ m iento e n C sea igual a cero. E l o co n stan te. U se los te o re ­ m as d e l m om ento d e á re a . 8 -2 2 . ¿A q u é d istancia a d e b en colocarse lo s so p o rte s de c o jin ete e n A y tf.d e m o d o q u e el d esp lazam ien to e n el c e n ­ tro del eje se a igual a la d eflexión e n sus ex trem o s? L os c o ­ jin e tes sólo e je rc e n reaccio n es v erticales so b re e l eje. E l es constante. U se los teo re m a s d e l m om ento d e á re a. 8 -2 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 2 e m p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. 8 -1 7 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 6 em p lean d o e l m éto d o de la viga conjugada. P A P --2 — D _ a H ---------L ----------1 L 2 P ro b s . 8 -1 4 /8 -1 5 /8 -1 6 /8 -1 7 P ro b s . 8 -2 2 /8 -2 3 3 3 6 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s *8-24. D eterm ine el desplazam ien to e n C y la p e n d ie n te en B . E l es co n stan te. U se los te o re m a s d e l m o m en to de área. *8-28. D eterm in e la fu erza F e n e l ex trem o d e la viga C d e m o d o q u e el d esp lazam ien to e n C sea igual a cero. E l es constante. U se los teo re m a s d el m om ento d e área. 8 -2 5 . R esuelva el p ro b lem a 8.24 e m p le a n d o e l m éto d o de la viga conjugada. 4 kN 4 kN L £ 4, 3 m 151 ■1.5 m 3 m Prob*. 8 -24/8-25 P r o b . 8 -2 8 8 -2 9 . D ete rm in e la fu e rz a F en e l e x tre m o de la viga C de m odo q u e el d esp laz a m ie n to e n C sea igual a cero. E l es constante. U se e l m éto d o de la v ig a conjugada. L 8 -2 6 . D eterm in e e l desplazam iento e n C y la p e n d ie n te en B . E l es co n stan te. U se lo s teo re m a s d e l m o m en to de área. 1 i— a -------- P r o b . 8 -2 9 8 -3 0 . D ete rm in e la p e n d ie n te e n B y el desplazam iento en C. E l es co n stan te. U se los teo re m a s d e l m o m en to de L a -------P r o h . 8 -3 0 8 -2 7 . D eterm ine e l desplazam iento e n C y la p e n d ie n te en B. E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada. 8 -3 1 . D ete rm in e la p e n d ie n te e n B y el desplazam iento en C. E l e s constante. U se e l m éto d o d e la v ig a conjugada. 1 i 1- P ro b . 8 -2 7 2 “ * * * a 1 a P ro b . 8 -3 1 : 8 .5 •8-3 2. D eterm in e e l desplazam iento má x i mo y la p e n ­ d ien te e n A . E l es co n stan te. U se los teo re m as d el m o m en to d e área. M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A 3 3 7 • 8 -3 6 . D eterm in e e l desplazam iento e n C .S uponga q u e A e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articulación y D e s un rodillo. E l e s co n stan te. U se los teo rem a s d e l m o m en to d e área. 25 kN Mo P ro h . 8 -3 2 P ro h . 8-36 8 -3 3 . D eterm ine e l d esp la z am ie n to m áxim o e n B y la pendiente e n A . E l es constante. U se e l m étodo d e la viga conjugada. 8 -3 7 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n C. S uponga q u e A e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articu lació n y D es un rodillo. E l e s co n stan te. U se e l m éto d o de la viga conjugada. Mo P ro h . 8 -3 3 8 -3 4 . D eterm ine la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C. E l e s constante. U se los teo re m a s d e l m o m en to d e área. P M0 ~ P a i 8 -3 8 . D eterm in e e l d esp la z am ie n to e n D y la p e n d ien te e n D . Suponga que A e s un so p o rte fijo, B e s una articulación y C e s u n rodillo. U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a . 6k P ro h . 8-34 8 -3 5 . D eterm ine la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C. E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada. P M0 - Pa i P ro h . 8 -3 5 8 -3 9 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n D y la p e n d ien te e n D . S uponga q u e A es u n s o p o rte fijo. B e s una articu la­ ció n y C e s u n rodillo. U se e l m éto d o d e la viga conjugada. 6k 3 3 8 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s R EP AS O D E L C A P ÍT U L O La deflexión d e un elem en to (o e stru c tu ra ) siem pre p u ed e establecerse cuan d o se conoce e l d iag ram a de m om ento, p o rq u e los m om entos positivos te n d e rá n a d o b lar e l elem ento cóncavo hacia a rrib a , y lo s m o­ m entos negativos ten d erá n a d o b la r e l elem en to c ó n ­ cavo hacia abajo. D el m ism o m odo, la fo rm a general del d iag ram a d e m om ento p u ed e d e te rm in a rse si se conoce la cu rv a d e deflexión. P, v iga d e in fle x ió n c u r v a d o d e f le x ió n M La alteració n de u n a viga d eb id o a la d e flex ió n p u e d e determ inarse m e d ian te la doble in teg ració n d e la ecuación (fv M dx2 El A q u í, e l m o m en to in tern o M d e b e ex p re sa rse e n fun­ ción d e las c o o rd e n a d a s x q u e se e x tie n d e n a través de la viga. L as co n stan tes d e integración se o b tie n e n de las co n d icio n es de fro n te ra , com o la d eflexión c e ro en u n so p o rte d e p a sa d o r o rodillo, y la d eflexión y la p endiente cero e n u n so p o rte fijo. Si se re q u ie re n alg u ­ nas c o o rd e n a d a s ^ .e n to n c e s d e b e co n sid erarse la c o n ­ tinuidad d e la p e n d ien te y la d eflexión, d o n d e 0 \(a ) = 0?(a) y ü i(a ) - ^ ( a ) e n x , - x 2 - a. R e p a s o d e l c a p it u l o 3 3 9 Si el d iag ram a d e m o m en to tien e u n a fo rm a sim ple, se p u e d e n u sa r los teo re m a s d e l m o m en to d e á re a o e l m é to d o d e la viga co n ju g ad a p a ra d e te rm in a r la desviación y la p en d ien te e n u n p u n to d e la viga. Ix>s teo rem as d el m o m en to d e á re a co n sid e ra n los án g u lo s y las desviaciones verticales e n tr e las ta n g e n te s e n d o s p u n ­ to s A y fí so b re la curva elástica. E l cam b io e n la p e n d ie n te se e n c u e n tra a p a rtir d e l á re a b ajo e l d ia g ra m a M /E I e n tre los d o s puntos, y la desviación se d eterm in a con base e n e l m o m en to d e á re a del d iag ram a M IE I c o n resp ecto al p u n to d o n d e ocurre la desviación. jnrnrfTnTm^ ° k / a ” A r e a d e l d ia g ra m a M / E I M U / b ~ í ( Á r e a d e l d ia g r a m a M / E f ) E l m éto d o d e la viga co n ju g ad a e s muy d e ta lla d o y re q u ie re la aplicación d e lo s principios d e la estática. D e m an era m uy sim ple.se e stab lece la viga conjugada u sa n d o la ta b la 8-2, d esp u és se co n sid era la c arg a c o m o e l d iag ram a M IE I. La p e n ­ d ien te (deflexión) e n u n p u n to so b re la v ig a re a l e s e n to n c e s igual a la fuerza co rtan te (m o m e n to ) e n el m ism o p u n to sobre la viga conjugada. M M \v ig a re a l v ig a c o n ju g a d a El d e spla zam ie nto en los extrem os d e la cub ierta d e este p u e n te pu e d e d e te r­ minarse d u ran te su con stru cció n e m p le a n d o m é to d o s de energía. Deflexiones em pleando m étodos de energía En e s te c a p ít u lo s e m o s tra r á c ó m o a p lic a r lo s m é t o d o s d e e n e r g ía p a ra re s o lv e r p ro b le m a s q u e in v o lu c ra n a la p e n d ie n te y a la d e fle x ió n . El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n a n á lis is d e l t r a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r ­ m a c ió n , s e g u id o p o r u n d e s a r r o llo d e l p r in c ip io d e l t r a b a jo y la e n e rg ía . D e s p u é s se e s tu d ia n e l m é t o d o d e l t r a b a jo v ir tu a l y e l t e o ­ re m a d e C a s tig lia n o , y e s ta s té c n ic a s s e e m p le a n p a ra d e t e r m in a r lo s d e s p la z a m ie n to s e n p u n to s e s p e c ífic o s d e a rm a d u ra s , v ig a s y m a rc o s . 9 .1 T ra b a jo e x te r n o y e n e rg ía d e d e fo rm a c ió n L o s m é to d o s s e m ig rá f íc o s p r e s e n ta d o s e n lo s c a p ítu lo s a n t e r i o r e s s o n m u y e fe c tiv o s p a r a e n c o n t r a r lo s d e s p la z a m ie n to s y p e n d ie n t e s e n p u n ­ to s d e vigas s o m e tid a s a c a r g a s b a s t a n te s i m p l e s P a r a c a r g a s m á s c o m p li­ c a d a s o e n e s t r u c tu r a s c o m o a r m a d u r a s y m a rc o s , s e s u g ie r e r e a l iz a r lo s c á lc u lo s s ig u ie n d o lo s m é to d o s d e e n e r g í a . 1.a m a y o r ía d e lo s m é to d o s d e e n e r g ía s e b a s a n e n e l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía , q u e e s t a ­ b le c e q u e e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s la s f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú a n s o b r e u n a e s t r u c tu r a . U r, s e tr a n s f o r m a e n tr a b a jo in t e r n o o e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n , U¡, la c u a l s e d e s a r r o ll a a l d e f o r m a r s e l a e s tr u c tu r a . Si n o se e x c e d e e l lím ite e lá s tic o d e l m a t e r i a l, la e n e rg ía d e d e fo r m a c ió n elá stica r e g r e s a r á a la e s t r u c tu r a a s u e s t a d o s i n d e f o r m a r , c u a n d o las c a r g a s s e a n re tir a d a s . E l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g í a p u e d e e s ta b le c e r s e m a te m á tic a m e n te c o m o Ur = U t (9 -1 ) S in e m b a r g o , a n te s d e d e s a r r o ll a r c u a lq u ie r a d e lo s m é to d o s d e e n e r g ía b a s a d o s e n e s t e p rin c ip io , p r i m e r o s e d e te r m i n a r á n e l tr a b a jo e x ­ t e r n o y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n c a u s a d o s p o r u n a f u e r z a y u n m o ­ m e n to . L a s fo r m u la c io n e s q u e se p r e s e n ta r á n s e r v ir á n d e b a s e p a r a c o m ­ p r e n d e r lo s m é to d o s d e tr a b a jo y e n e rg ía q u e le s ig u e n . 3 4 2 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía T ra b a jo e x te rn o , fu e rz a . O ia n d o u n a f u e r z a F e x p e r i m e n t a u n d e s p la z a m ie n to d x e n la m is m a d ir e c c ió n q u e la f u e r z a , e l tr a b a jo r e a l i­ z a d o e s d U e = F d x . S i e l d e s p la z a m ie n to t o t a l e s x , e l tr a b a jo se c o n ­ v ie r te e n U .= ¡ F d x (9 -2 ) C o n s id e r e a h o r a e l e f e c to c a u s a d o p o r u n a f u e r z a a x ia l a p li c a d a a l e x ­ tr e m o d e u n a b a r r a c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - l a . A m e d id a q u e la m a g n itu d d e F se in c r e m e n t a g r a d u a lm e n te d e s d e c e r o h a s ta u n v a lo r lím ite F = P , la e lo n g a c ió n f in a l d e la b a r r a se c o n v ie r te e n A . S i e l m a t e r i a l ti e n e u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l, e n to n c e s F = ( P / A )x . S i se s u s titu y e e n l a e c u a c ió n 9 -2 y s e in t e g r a d e s d e 0 h a s t a A , r e s u lta 1 , = iPA (9-3) lo q u e r e p r e s e n ta e l área tr ia n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra 9 - la . D e e s t o ta m b ié n p u e d e c o n c lu irs e q u e c u a n d o u n a f u e iz a s e a p lic a g r a d u a lm e n te s o b r e la b a r r a , y s u m a g n itu d s e c o n s tr u y e lin e a lm e n te d e s d e c e r o h a s ta a lg ú n v a lo r P te \ tr a b a jo r e a liz a d o e s ig u a l a la m a g n itu d d e la fu e r z a m e d ia (/* /2 ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A ). (a) fig u r a 9 -1 9 .1 T r a b a j o e x t e r n o y e n e r g ía d e d e e o r m a o ó n 3 4 3 S u p o n g a a h o r a q u e F y a e s t á a p lic a d a s o b r e la b a r r a y q u e a h o r a se a p lic a o tra f u e r z a F , p o r lo q u e la b a r r a s e d e f o r m a a ú n m á s e n u n a c a n ­ tid a d A ', fig u ra 9-1 b . E n to n c e s , e l tr a b a jo re a liz a d o p o r P ( n o p o r F ') c u a n d o la b a r r a e x p e r i m e n t a la d e f o r m a c ió n a d ic io n a l A ' e s U; = P A ' (9 - 4 ) A q u í el t r a b a j o r e p r e s e n t a e l á rea r e c ta n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra 9-l¿>. E n e s te c a s o . P n o c a m b ia s u m a g n itu d p o r q u e A ' e s c a u s a d o s ó l o p o r F '. P o r lo ta n to , e l tr a b a jo e s s im p le m e n te l a m a g n itu d d e la fu e rz a ( P ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A '). E n to n c e s , p u e d e a f ir m a r s e d e m a n e r a r e s u m id a q u e a l a p li c a r u n a f u e r z a P a la b a r r a , s e g u id a p o r la a p lic a c ió n d e u n a f u e r z a F . e l tr a b a jo to ta l r e a liz a d o p o r la s d o s fu e r z a s e s t á r e p r e s e n ta d o p o r e l á r e a tr ia n g u ­ la r A C E ife la fig u ra 9-l¿>. E l á r e a tr ia n g u l a r A B G r e p r e s e n ta e l tr a b a jo d e P q u e e s c a u s a d o p o r s u d e s p la z a m ie n to A , e l á r e a tr ia n g u l a r B C D r e ­ p r e s e n ta e l tr a b a jo d e F ' t b b i d o a q u e e s t a f u e r z a p r o v o c a u n d e s p la z a ­ m i e n to A ' y, p o r ú ltim o , e l á r e a r e c ta n g u la r s o m b r e a d a B D E G r e p r e ­ s e n t a e l tr a b a jo a d ic io n a l re a liz a d o p o r P c u a n d o s e d e s p la z a A ' a c a u s a d e F '. c F’ + P Trabajo e x te rn o , m o m e n to . E l t r a b a j o d e u n m o m e n to s e d e ­ fin e p o r e l p r o d u c t o d e la m a g n itu d d e l m o m e n to M y e l á n g u lo d O a tr a v é s d e l c u a l g ir a , e s d e c i r , d U e = M dO\ f ig u r a 9 -2 . Si e l á n g u lo to t a l d e r o ta c ió n e s 0 ra d ia n e s , e l t r a b a j o s e c o n v ie r te e n Ue = J M dd (9 - 5 ) R r\ D G E l ------A ------- - 1— A' C o m o e n e l c a s o d e la f u e r z a , s i e l m o m e n to s e a p lic a g r a d u a lm e n te a u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l e n t r e c e r o y Ai, e n t o n ­ c e s e l tr a b a jo e s U f = \M 6 (9 -fi) S in e m b a r g o , s i e l m o m e n to y a e s tá a p lic a d o a la e s t r u c tu r a y o t r a s c a r g a s d e f o r m a n a ú n m á s la e s t r u c tu r a e n u n a c a n ti d a d F , e n t o n c e s M g ir a 0 ' y e l tr a b a jo e s U; = M 6‘ M fig u ra 9 -2 (9 - 7 ) (b) fig u ra 9 -1 C a p it u l o 9 . D e f l e x io n e s , 1 ! I* e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía Ener gí a d e d e fo rm a c ió n , fu e rz a a x ia l. C u a n d o s e a p lic a u n a f u e r z a a x ia l N d e m a n e r a g r a d u a l a la b a r r a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 -3 , d e f o r m a r á e l m a t e r i a l d e m a n e r a q u e e l tra b a jo e x te r n o re a liz a d o p o r N se c o n v ie r te e n e n e rg ía d e d e f o r m a c i ó n M c u a l s e a lm a c e n a e n la b a r r a ( e c u a c ió n 9 -1 ). S ie m p re q u e e l m a te r ia l s e a e lá stic o lin e a l, la le y d e H o o k e s e r á v á lid a , o- = E e , y s i l a b a r r a ti e n e u n á r e a c o n s t a n te A e n s u se c c ió n tr a n s v e r s a l y u n a lo n g itu d L , e l e s f u e r z o n o r m a l e s cr= N / A y la d e f o r m a c ió n f in a l e s t = A / L . E n c o n s e c u e n c ia , N / A = E ( A / L ) , y la d e s ­ v ia c ió n f in a l e s AE A H gun. 9 -3 I b r lo ta n to , a l s u s tit u ir c o n P «= N en la e c u a c ió n 9 -3 . la e n e r g ía d e d e ­ fo rm a c ió n e n la b a r r a e s N 2I U‘ = 2A E <’ - 9 > E n e rg ía d e d e fo rm a c ió n , fle x ió n . C o n s id e r e la v ig a d e la fi­ g u ra 9 - 4 u ,q u e s e d is to r s io n a p o r la a p lic a c ió n g r a d u a l d e la s c a r g a s P y w . E s ta s c a r g a s c r e a n u n m o m e n to i n t e r n o M e n l a v ig a e n u n a s e c c ió n s i ­ tu a d a a u n a d is ta n c ia x d e l s o p o r te iz q u ie rd o . L a r o t a c ió n r e s u lta n t e d e l e le m e n to d if e r e n c i a l d x , f ig u r a 9 -4 6 . p u e d e d e te r m i n a r s e c o n b a s e e n la e c u a c ió n 8 -2 , e s d e c ir , d O = ( M / E I ) d x . E n c o n s e c u e n c ia , la e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n , o e l t r a b a j o a l m a c e n a d o e n e l e le m e n to , s e d e te r m i n a a p a r t i r d e l a e c u a c ió n 9 -6 p u e s t o q u e e l m o m e n to i n t e r n o se d e s a r r o lla g r a d u a lm e n te . E n to n c e s . d U l = p . 10) L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a ra la v ig a s e d e te r m i n a a l in t e g r a r e s t e r e ­ s u lta d o p o r to d a la lo n g itu d / . d e la v ig a . E l r e s u lta d o e s M t i* | (a) _ ra m s dx (b) H g u ra 9 -4 M 9 .2 9 .2 P r i n c i p i o d e l t r a b a j o y l a e n e r g Ia P rincipio del tra b a jo y la e nergía A h o r a q u e y a s e h a n f o r m u la d o e l tr a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a ra u n a f u e r z a y u n m o m e n to , s e il u s t r a r á c ó m o p u e d e n a p lic a r s e la c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía o e l p rin c ip io d e l t r a b a j o y la e n e r g í a p a r a d e ­ te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a h a ­ c e rlo . c o n s id e r e la d e te r m in a c ió n d e l d e s p la z a m ie n to D e n e l p u n to d o n d e s e a p lic a la f u e r z a P a la v ig a e n v o la d iz o d e la f ig u r a 9-5. A p a r t i r d e la e c u a c ió n 9 -3 , e l tr a b a jo e x t e r n o e s U f = J /* A . P a r a o b t e n e r la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n r e s u lta n te , p r i m e r o d e b e d e te r m in a r s e e l m o ­ m e n to in t e r n o c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x e n la v ig a y d e s p u é s a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 1 . E n e s t e c a s o M = - P x . d c m o d o q u e f L M } 1~ L dx 2E l r L(-P x )2dx Jn 2E l 1 p*Q 6 El A l ig u a la r e l tr a b a jo e x t e m o c o n la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a y al d e s p e j a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o A ,s e ti e n e Ue = U, ip A = 2 6 El a = ------P ,? A 3EI A u n q u e l a s o lu c ió n a q u í e s b a s t a n te d ir e c ta , la a p lic a c ió n d e e s t e m é ­ to d o s e lim ita a u n o s c u a n to s p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . C a b e s e ñ a l a r q u e s ó lo p u e d e a p lic a r s e u n a c a rg a a la e s t r u c tu r a , p u e s t o q u e s i s e a p lic a s e m á s d e u n a c a r g a h a b r í a u n d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o b a jo c a d a c a r g a c in c lu s iv e p o d r ía e s c r ib ir s e s ó l o u n a e c u a c ió n d e “ t r a b a j o " p a r a la v ig a . A d e m á s , só lo p u e d e o b te n e r s e e l d e s p la z a m ie n to b a jo la f u e r z a , p o r q u e el tr a b a jo e x te r n o d e p e n d e ta n t o d e la f u e r z a c o m o d e s u d e s p la z a m ie n to c o r r e s p o n d ie n te . U n a m a n e r a d e s o r t e a r e s t a s lim ita c io n e s c o n s is te e n e m p le a r e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . lo s c u a le s s e e x p lic a n e n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s . p p 3 4 5 346 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o 9 .3 A p lic a c ió n d e la c a rg a v i r t u a l / * ' - I m é t o d o s d e e n e r g ía P r in á p io del tra b a jo virtu a l E s te p r in c ip io f u e d e s a r r o ll a d o p o r J o h n B e r n o u lli e n 1717, y e n o c a s i o ­ n e s s e le c o n o c e ta m b ié n c o m o e l m é to d o d e la c a r g a u n ita ria . P r o p o r ­ c io n a u n m e d io g e n e r a l p a r a o b t e n e r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n to e s p e c ífic o d e u n a e s t r u c tu r a , y a s e a u n a v ig a , u n m a r c o o u n a a rm a d u ra . A n te s d e d e s a r r o lla r e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l s e r e q u i e r e h a c e r a lg u n o s e n u n c ia d o s g e n e r a le s s o b r e e l p rin c ip io d e l tr a b a jo y la e n e r g ía , lo c u a l s e a n a liz ó e n l a s e c c ió n a n te r io r . S i s e to m a u n a e s t r u c t u r a d e f o r m a b le d e c u a lq u ie r f o r m a o ta m a ñ o y s e le a p lic a u n a s e r i e d e cargas e x te r n a s P . s c p r o d u c i r á n c a r g a s in te rn a s u e n p u n to s a tr a v é s d e to d a la e s tr u c tu r a . E s n e c e sa r io r e la c io n a r la s ca rg a s in te r n a s y e x te rn a s m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s t a s c a rg a s , o c u ­ r r ir á n d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s A e n la s c a r g a s P y s e p r e s e n ta r á n d e s ­ p la z a m ie n to s in t e r n o s 5 en c a d a p u n t o d e c a r g a i n t e r n a u . E n g e n e r a l, e sto s d e s p la z a m ie n to s n o tie n e n q u e s e r e lá s tic o s ,y q u iz á n o s e r e l a c io n e n c o n las c a r g a s ; s in e m b a r g o , lo s d e s p la z a m ie n to s in te rn o s y e x te r n o s d e b e n esta r r e la c io n a d o s p o r la c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s . E n o tr a s p a la b r a s , s i s e c o n o c e n lo s d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s , lo s d e s p la z a m ie n ­ to s in te r n o s c o r r e s p o n d ie n te s e s t a r á n d e f in id o s d e m a n e r a ú n ic a . E n t o n ­ ces. e l p r in c ip io d e l t r a b a j o y lo s e s ta d o s d e e n e r g ía p u e d e e n u n c ia r s e d e m a n e r a g e n e r a l c o m o sig u e : (a ) SPA A p l i c a c i ó n d e l a s c a r g a s r e a le s (b ) Figura 9 -6 r> P ,. P2. P; = lu S T r a b a j o d e la s T r a b a j o d e la s c a rg a s e x te r n a s c a r g a s in te r n a s (9 - 1 2 ) C o n b a s e e n e s t e c o n c e p to , a h o r a s e d e s a r r o ll a r á e l p r in c ip io d e l t r a ­ b a jo v irtu a l. P a r a e l l o s e c o n s id e r a r á q u e la e s t r u c tu r a ( o c u e r p o ) ti e n e u n a f o r m a a r b i t r a r i a c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 .6 b * S u p o n g a q u e e s n e c e s a r io d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d e l p u n to A e n e l c u e r p o c a u ­ s a d o p o r la s “ c a r g a s r e a l e s ” P i. P 2 y P 3 . D e b e e n t e n d e r s e q u e e s ta s c a rg a s n o c a u s a n m o v im ie n to d e lo s s o p o r te s ; s in e m b a r g o , e n g e n e r a l , p u e d e n d e f o r m a r e l m a t e r i a l m á s a llá d e l lim ite e lá s tic o .C o m o n in g u n a c a r g a e x ­ te r n a a c tú a s o b r e e l c u e r p o e n A n i e n la d ir e c c ió n d e A , e l d e s p la z a ­ m ie n to A p u e d e d e te r m i n a r s e s i s e c o lo c a p r im e r o u n a c a rg a " v ir tu a l" s o b r e e l c u e r p o d e m o d o q u e e s ta f u e r z a P ' a c tú e e n la m is m a d ir e c c ió n q u e A . fig u ra 9 -6 a . P o r c o n v e n ie n c ia , q u e s e r á e v id e n t e m á s a d e l a n t e .s e e le g irá P ' co n u n a m a g n itu d “ u n it a r i a " , e s d e c i r , P ' = 1. P a r a d e s c r ib ir la c a rg a s e u s a e l t é r m i n o “v ir tu a l” d e b i d o a q u e es im a g in a r ia y e n r e a lid a d n o e x is te c o m o p a r le d e la ca rg a rea l. S in e m b a r g o , la c a rg a u n it a r i a ( P ’) c re a u n a c a rg a v ir tu a l i n t e r n a u e n u n e le m e n to o f ib r a r e p r e s e n ta tiv a d e l c u e r p o , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -6 a . A q u í s e r e q u i e r e q u e P ' y u se r e l a c io n e n m e d i a n te la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io .’ • E s t a f o r m a a r b it r a r í a r e p r e s e n ta r á p o s t e r io r m e n t e u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n m a r c o es­ pecífico*. 'A u n q u e e s ta s c a r g a s p r o v o c a r á n d e s p la z a m ie n to s v ir t u a le s , n o se t o m a r á n e n c u e n t a sus m a g n itu d e s . 9 .3 U n a v e z a p lic a d a s las c a rg a s v ir tu a le s , e l c u e r p o e s t á s o m e ti d o a la s cargas reales P , t P 2 y P 3, fig u ra 9 -6 b . E l p u n to A se d e s p la z a r á u n a c a n ti d a d A, la c u a l c a u s a r á q u e e l e le m e n to s e d e f o r m e u n a c a n ti d a d d L . C o m o r e s u l­ ta d o , la f u e r z a v ir tu a l e x te r n a P ’ y la c a rg a v ir tu a l in t e r n a u s e “ p a s e a r á n a lo la r g o ’’ d e A y d L , re s p e c tiv a m e n te , y p o r lo ta n t o r e a liz a r á n u n tra b a jo virtu a l e x te r n o d e I • A s o b r e e l c u e r p o y u n tra b a jo v irtu a l in te r n o d e u - d L s o b r e e l e le m e n to . S i s e to m a e n c u e n ta q u e e l t r a b a j o v ir tu a l e x t e r n o e s ig u al a l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o r e a liz a d o e n to d o s lo s e le m e n to s d e l c u e r p o .e s p o s ib le e s c r ib ir la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l c o m o p-------------j --------------c a rg a s v ir tu a le s 1•A = lu - d L donde P ' = l = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A. u - carg a v irtu al in te rn a q u e a c tú a s o b r e e l e le m e n to e n la d ire c c ió n d e d L A = d e s p la z a m ie n to e x t e m o c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s . d L = d e f o r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s . A l e l e g i r P = 1, p u e d e v e r s e q u e la s o lu c ió n p a r a A re s u lta d i r e c t a ­ m e n te , p u e s to q u e A - l u d L . D e m a n e r a p a r e c id a , si d e b e n d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to r o t a c io ­ n al o l a p e n d ie n t e d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o s o b r e u n a e s t r u c tu r a , se a p lic a u n m o m e n t o d e p a r v ir tu a l M ’ c o n m a g n itu d u n it a r i a e n e l p u n to . C ó m o c o n s e c u e n c ia , e s t e m o m e n to d e p a r c a u s a u n a c a rg a v ir tu a l u # en u n o d e lo s e le m e n to s d e l c u e r p o . Si s e s u p o n e q u e la s c a r g a s r e a l e s d e f o r ­ m a n e l e le m e n to u n a c a n ti d a d d L , la r o t a c ió n 0 p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r ­ tir d e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l l l 1 -0 = 2 u e ‘ d L t 1_ c a rg a s v ir tu a le s (9 -1 4 ) d e s p la z a m ie n to s re a le s donde M '= 1 = m o m e n to d e p a r u n it a r i o v ir tu a l e x t e r n o q u e a c tú a e n la d ire c c ió n d e 6. u e - c a r g a v ir tu a l i n t e r n a q u e a c tú a s o b r e u n e le m e n to e n la d ir e c c ió n dc d L . 0 = d e s p la z a m ie n to r o ta c io n a l e x t e r n o o p e n d ie n t e e n ra d ia n e s c a u s a d o s p o r la s c a r g a s re a le s . d L = d e fo r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s . E s te m é to d o p a r a a p li c a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l s e c o n o c e c o m ú n m e n te c o m o e l m é to d o d e la s fu e r z a s v ir tu a le s ,d a d o q u e s e a p lic a u n a f u e r z a v ir tu a l d e lo q u e r e s u lta e l c á lc u lo d e u n d e s p la z a m ie n to rea l. E n e s te c a s o , la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l r e p r e s e n ta u n re q u isito d e c o m p a tib ilid a d p a ra la e s tr u c tu r a . A u n q u e a q u í n o e s im p o r t a n te , o b ­ s e r v e q u e ta m b ié n e s p o s ib le a p lic a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l c o m o P a .N G P IO D E L T R A B A J O VIRTUAL 3 4 8 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía u n m é to d o d e d e s p la z a m ie n to s v ir tu a le s . E n e s t e c a s o .s e im p o n e n d e s p l a ­ z a m ie n to s v ir tu a le s s o b r e la e s t r u c tu r a c u a n d o é s t a s e e n c u e n t r a s o m e ­ ti d a a ca rg a s r e a le s . E s te m é to d o p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r u n a f u e r z a s o b r e o d e n t r o u n a e s tr u c tu r a ,* d e m o d o q u e la e c u a c ió n d e l t r a ­ b a jo v ir tu a l s e e x p r e s a e n to n c e s c o m o u n r e q u isito d e e q u ilib r io . 9 .4 M é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l: A rm a d u ra s E l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a ­ m i e n to d e u n a j u n t a d e a r m a d u r a c u a n d o la a r m a d u r a e s tá s o m e ti d a a u n a c a r g a e x t e r n a , a u n c a m b io d e t e m p e r a t u r a , o p o r e r r o r e s d e fa b r ic a d ó n . A c o n t i n u a d ó n s e a n a liz a r á c a d a u n a d e e s t a s s itu a c io n e s . I Aplicación de la carga unitaria virtual en R (a) Carga e xte rn a . P a ra f a c ilita r la e x p li c a d ó n . c o n s id e r e e l d e s p la z a ­ m i e n to v e r t ic a l A d e u n a j u n t a H d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n la f¡g u ra 9 -7 a. A q u í, u n m ie m b r o típ ic o d e la a r m a d u r a s e r í a u n o d e s u s elem e n to s c o n lo n g itu d L , fig u ra 9 -7 b . Si la s c a r g a s a p lic a d a s P | y P } o c a s io n a n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a .e s t e m ie m b r o s e d e f o r m a e n u n a c a n t i d a d A /. - N L / A E . d o n d e N e s la f u e r z a n o r m a l o a x ia l e n e l e le m e n to , c a u s a d a p o r la s c a rg a s . S i s e a p lic a la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e n to n c e s la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l p a r a la a r m a d u r a e s (9 - 1 5 ) Aplicación de las cargas reales P |, Pj (b) donde 1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a d e la a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A n = f u e r e a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a . d e s p la z a m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s s o b r e la a r m a d u r a . f i g ó n 9 -7 A = N = fu e rz a n o r m a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e la a r m a d u r a c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s . L = lo n g itu d d e u n e le m e n to . A * E - á r e a tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to . m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to . La f o r m u la c ió n d e e s t a e c u a c ió n se s ig u e e n fo r m a n a tu r a l d e l d e s a r r o ­ llo e n la se c c ió n 9 -3 . A q u í la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x t e m a c r e a fu e r z a s v ir tu a le s in t e r n a s n e n c a d a u n o d e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . E n t o n ­ c e s la s c a rg a s re a le s h a c e n q u e la ju n t a d e la a r m a d u r a s e d e s p la c e A e n la m ism a d ir e c c ió n q u e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l, y q u e c a d a e le m e n to se d e s p la c e N L / A E e n la m is m a d ir e c c ió n q u e s u re s p e c tiv a f u e r z a n . E n c o a s e c u e n c i a .e l tr a b a jo v ir tu a l e x t e r n o 1 - A e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l in ­ t e r n o o la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n in t e r n a ( v ir tu a l) a lm a c e n a d a e n to d o s lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a . e s d e c i r , Y n N L / A E . •Así se usó en la sección 6-3 en relación con el principio de MUller-Brcslau. 9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l Tem peratura. E n a lg u n o s c a s o s , lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a p o d r ía n c a m b ia r s u lo n g i tu d d e b id o a la te m p e r a t u r a . S i o es e l c o e f i­ c ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e u n e l e m e n t o y A T e s e l c a m b io e n s u t e m ­ p e r a t u r a , e l c a m b io e n la lo n g i tu d d e u n e le m e n to e s A L - a A 7* L .P o r lo ta n to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a s e le c c io n a d a e n u n a a r m a d u r a d e ­ b id o a e s t e c a m b io d e te m p e r a t u r a p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la e c u a c ió n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o 1 • A = 2 /io A T L (9 - 1 6 ) donde 1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a d e la a r m a d u r a e n e l s e n t id o in d ic a d o d e A . n ■ fu e rz a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a . A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r e l c a m b io d e te m p e r a tu r a . a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e l e le m e n to . A T = c a m b io e n la t e m p e r a t u r a d e l e le m e n to . L = lo n g itu d d e l e le m e n to . Errores de fabricación y com ba. E n o c a s io n e s p u e d e n p r e s e n ­ ta r s e e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n la s lo n g itu d e s d e lo s e le m e n to s d e u n a a r ­ m a d u r a . A d e m á s , e n a lg u n o s c a s o s e s n e c e s a r io h a c e r lo s e le m e n to s u n p o c o m ás la r g o s o m á s c o r t o s p a ra o b t e n e r u n a c o m b a e n la a r m a d u r a . L a c o m b a s u e le c o n s tr u ir s e e n u n a a r m a d u r a d e p u e n te p a r a q u e la c u e r d a in f e r io r s e c u rv e h a c ia a r r ib a e n u n a c a n tid a d e q u iv a l e n te a la d e ­ fle x ió n h a c ia a b a jo d e la c u e r d a c u a n d o e s t á s o m e tid a a to d o e l p e s o m u e r to d e l p u e n te . S i u n e le m e n to d e l a a r m a d u r a e s m á s o m e n o s la r g o d e lo p r e v is to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a d e la a r m a d u r a r e s p e c to a s u p o s ic ió n e s p e r a d a p u e d e d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d i r e c t a d e la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o 1 • A = 2 /i A L (9 - 1 7 ) donde 1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a d e la a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A. n = f u e r z a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a d e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a c a u s a d a p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a . A = cfcsplaza m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a o c a s io n a d o p o r lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n . AL = d if e r e n c ia e n lo n g itu d d e l e le m e n to r e s p e c to a s u ta m a ñ o e s p e r a d o a c a u s a d e u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n . S i s o b r e la a r m a d u r a a c tú a n c a rg a s e x te r n a s y a lg u n o s d e lo s e le m e n to s e s t á n s o m e tid o s a u n c a m b io té r m ic o o s e h a n f a b r ic a d o c o n d im e n s io ­ n e s in c o r re c ta s , s e r á n e c e s a r ia u n a c o m b in a c ió n d e lo s la d o s d e r e c h o s d e las e c u a c io n e s 9 -1 5 a 9-17. : A rm a d u ra s 3 4 9 3 5 0 C 9 a p i t u l o D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía P ro c e d im ie n to d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r u n d e s p la z a m ie n to e s p e c ífic o d e c u a lq u ie r j u n t a e n u n a a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é t o d o d e l tr a b a jo v ir tu a l. F u e r z a s v ir tu a l e s n • C o lo q u e la c a r g a u n it a r i a s o b r e l a a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e el d e s p la z a m ie n to . L a c a rg a d e b e e s t a r e n la m ism a d ir e c c ió n q u e e l d e s p la z a m ie n to e s ­ p e c ific a d o , p o r e je m p lo , h o r iz o n ta l o v e rtic a l. • C o n la c a r g a u n ita r ia c o lo c a d a d e e s t a m a n e r a y c o n t o d a s la s c a r g a s r e a l e s retira d a s d e la v ig a , u tilic e e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y c a lc u le la f u e r z a i n t e r n a n e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s itiv a s y q u e las fu e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s . F u e rz a s r e a le s N • U s e e l m é to d o d e las s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r m i n a r l a f u e r z a N e n c a d a e le m e n to . E s ta s f u e r z a s s o n c a u s a d a s ú n ic a m e n te p o r la s c a rg a s r e a le s q u e a c tú a n s o b r e la a r m a d u r a . U n a v e z m ás, s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s i ti­ v a s y q u e la s f u e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s . E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l • A p liq u e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v irtu a l, p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o . E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a u n a d e las f u e r z a s n y N c o r r e s ­ p o n d ie n te s a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n . • Si la s u m a to r i a r e s u lta n t e 'L n N L / A E es p o s itiv a , e l d e s p la z a m ie n to A tie n e la m ism a d ir e c c ió n q u e l a c a rg a u n ita r ia . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o . A es o p u e s t o a la c a r g a u n ita ria . A l a p li c a r 1 • A = I n a A T L , te n g a e n c u e n ta d e q u e s i a lg u n o d e lo s e le m e n to s e x p e r i ­ m e n ta u n a u m e n to d e te m p e r a tu r a , A T s e r á p o s i ti v o ,e n ta n t o q u e u n a á s m in u c i ó n de la te m p e r a tu r a r e s u lta r á e n u n v a l o r n e g a tiv o p a r a A T. P a ra q u e 1 • A = Z /i A /..c u a n d o u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n a u m e n ta la lo n g i tu d d e u n e l e ­ m e n to , A L e s p o s i ti v a .e n ta n t o q u e u n a d is m in u c ió n d e la lo n g i tu d e s n e g a tiva . A l a p lic a r c u a lq u ie r fó rm u la d e b e p r e s ta r s e a te n c ió n a la s u n id a d e s d e c a d a c a n tid a d n u ­ m é ric a . E n p a r tic u la r , a l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l p u e d e a s ig n á rs e le c u a lq u i e r u n id a d a r b i tr a r ia (Ib, k ip , N , e t c ) , p u e s to q u e la s f u e r z a s n te n d r á n e s t a s m is m a s u n id a d e s ,y e n c o n s e c u e n c ia las u n id a d e s , ta n t o d e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l c o m o d e la s fu e r z a s n se c a n c e la r á n a a m b o s la d o s d e la e c u a c ió n . 9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l : A rm a d u ra s D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a d e a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -8 a . E l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r ­ s a l d e c a d a e le m e n to e s A = 0 .5 p u lg 2 y E = 2 9 (1 0 ’ ) ksi. S O L U C IÓ N F u e rza s v ir tu a le s n . S ó lo s e c o lo c a u n a c a rg a v e rtic a l d e 1 k e n la ju n t a C y la f u e r z a e n c a d a e le m e n to s e c a lc u la a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -8¿>. I-o s n ú m e ­ ro s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s n e g a tiv o s i n d i ­ c a n fu e r z a s d e c o m p r e s ió n . -0 3 3 3 k F u e rza s re a le s N . L a s fu e r z a s r e a le s e n lo s e le m e n to s s e c a lc u la n u s a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fi­ g u r a 9 -8c. E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. tar, s e ti e n e A l d is p o n e r lo s d a t o s e n f o r m a ta b ú - 0 3 3 3 k 1k fuerzas virtuales n E lem en to n (k) N ( k) L (p ies) AB BC CD DE FE EB BF AF CE 0.333 0.667 0.667 4 4 4 -5 .6 6 -4 0 4 -5 .6 6 4 10 10 10 14.14 10 14.14 10 14.14 10 -0 .9 4 3 -0 .3 3 3 -Ü 4 7 1 0.333 -0 .4 7 1 1 n N L (le2 • pie) (b ) 13.33 26.67 26.67 75.42 13.33 0 13.33 37.71 40 2246.47 fu e rz a s re a le s N ~ n N L E n to n c e s . lk -A c.= ¿ 2 4 6 .4 7 k 2 - p ie AE (c) AE .Si s e c o n v ie r te n la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e l e m e n t o a p u lg a d a s y se s u s titu y e n lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e A y £ , re s u lta (2 4 6 .4 7 k 2 • p i e ) (1 2 p u l g / p i e ) 1 k • Ac , = (0 .5 p u lg 2)( 2 9 ( 1 0 3) k /p w lg 2) 0 .2 0 4 p u lg R esp . fig u ra 9 -8 3 5 1 3 5 2 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C s i s e a p lic a u n a fu e rz a d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a e n C . ( b ) S i n in g u n a c a r g a a c tú a s o b r e la v ig a , ¿ c u á l s e r ía e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C á e l e le m e n to A R f u e r a 5 m m m á s c o r to d e lo e s p e r a d o ? c (a) Figura 9 -9 S O L U C IÓ N In c is o (a) F u e rz a s v ir tu a le s n . D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e e l desplaza­ miento v e r tic a l d e la j u n t a C ,s e a p lic a u n a f u e r z a v ir tu a l d e 1 k N e n C c o n d ir e c c ió n v e r tic a l. L a s u n id a d e s d e e s t a f u e iz a s o n la s m is m a s q u e la s d e l a c a r g a re a l. S e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A y B y d e s p u é s s e d e te r m i n a la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to p o r e l m é to d o d e lo s n u d o s , c o m o s e m u e s tr a e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s j u n t a s A y B ,f i g u r a 9 -9 b. F u e rz a s re a le s N . E n la fig u ra 9 -9 c se m u e s tr a e l a n á lis is d e la s j u n ­ ta s A y B c u a n d o s e a p lic a la c a rg a re a l d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a . 9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l : A r m a d u r a s 2 .5 k N 1.5 kN 1.5 kN E cuación d e l tr a b a jo v ir t u a l. C o m o A E e s c o n s t a n te , c a d a u n o d e b s té r m in o s n N L p u e d e c a lc u la r s e y d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r . A q u í lo s n ú m e r o s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s n e g a tiv o s in d ic a n f u e r z a s d e c o m p r e s ió n . AB AC CB n (kN) N (kN) Mm) n N L (kN2 • m) Q667 -0 .8 3 3 -0 .8 3 3 2 2.5 - 2 .5 8 5 5 10.67 -1 0 .4 1 10.41 210.67 rt>r lo ta n to . 1 k N • A c> = 2 nN L 10.67 k N 2 - m AE AE A l s u s titu ir lo s v a lo r e s A = 400 m m ? = 4 0 0 ( 1 0 6) m 2, E = 200 G P a 200 (1 0 6) k N / m 2, s e ti e n e 10.67 Cr k N 2 -m 4 0 0 (1 0 ~ 6) m 2(2 0 0 (1 0 6) k N /m 2) A c . = 0 .0 0 0 1 3 3 m = 0 .1 3 3 m m R esp . Inciso (b ). A q u í d e b e a p lic a r s e l a e c u a c ió n 9-17. C o m o se d e s e a d e ­ te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e C , p u e d e n u s a r s e lo s r e s u lta ­ d o s d e la fig u ra 9 -7 6 . S ó lo e l e le m e n to A B e x p e r im e n ta u n c a m b io e n su lo n g itu d , e s t o es. d e A L = - 0 .0 0 5 m . E n to n c e s . 1 • A = 2 /i A L 1 k N • Ac , = (0 .6 6 7 k N ) ( - Q 0 0 5 m ) Ac E l s ig n o o p u e s ta b c a rg a ta n t e e s 2 kN h ie rv a s r e a le s N 1 5 kN (C) S e m e n tó 2 5 kN ► 2 kN 4 kN = - 0 .0 0 3 3 3 m = - 3 . 3 3 m m R esp . n e g a tiv o in d ic a q u e la j u n t a C s e d e s p la z a h a c ia a rr ib a , e n fo rm a a la c a rg a v e r t ic a l d e 1 k N . O b s e r v e q u e s i s e to m a n e n c u e n ta d e 4 k N y e l e r r o r d e fa b r ic a c ió n , e l d e s p la z a m ie n to r e s u l­ A Ct = 0 .1 3 3 - 3 .3 3 = - 3 . 2 0 m m (h a c ia a r r ib a ) . 3 5 3 ^ B 1.5 kN 3 5 4 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .3 D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 - l ü u . D e b id o a l c a lo r r a d ia n te d e la p a r e d , e l e l e m e n t o A D e s tá s o m e tid o a u n a u m e n to e n la te m p e r a t u r a d e A T = + 120°F. C o n s id e r e q u e a = 0 .6 ( 1 0 - 5) / " F y q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i. E l á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a e l e m e n t o s e in d ic a e n la fig u ra . i k p a re d , I i k |C D 2 p u lf? o f u e r z a s v irtu a le s n f u e r z a s r e a le s N <b) (c) S O L U C IÓ N F u e rz a s v ir tu a le s n . Se a p lic a u n a c a r g a v e rtic a l d e I k s o b r e la a r ­ m a d u r a e n la j u n t a C y s e c a lc u la n la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s , fig u ra 9-1 0 6 . F u e rz a s re a le s N . C o m o la s fu e r z a s n e n lo s e le m e n to s A B y B C s o n ig u a le s a c e r o , n o e s n e c e s a r io c a lc u la r la s f u e r z a s N e n e s o s e l e ­ m e n to s . ¿ P o r q u é ? S in e m b a r g o , c o n e l p r o p ó s ito d e c o m p le ta r e l m é ­ to d o , e n la fig u ra 9 - 10c * m u e s tr a e l a n á lis is d e to d a s la s fu e r z a s re a le s . E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. T a n to la s c a r g a s c o m o la te m p e r a ­ tu r a a f e c ta n la d e f o r m a c i ó n ; p o r lo ta n t o , la s e c u a c io n e s 9 -1 5 y 9 -1 6 se c o m b in a n . Si s e e m p l e a n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta 1 -A c . (0 .7 5 ) ( 1 2 0 ) ( 6 ) ( 12) ( 1 )(8 0 )(8 )(1 2 ) 2 [2 9 (1 0 3)] 2 (2 9 (1 0 3)] ( 1 -2 5 )( —100) (1 0 ) (1 2 ) + ( 1 ) (0 .6 ( 10-5 ) J (1 2 0 ) ( 8 ) (1 2 ) 1 .5 I2 9 ( 103) ] A Cw = 0 .6 5 8 p u l g R esp . 9 .5 9 .5 T e o re m a d e C a s tig lia n o E n 1 8 7 9 , A lb e r t o C a s tig lia n o , in g e n ie r o ita lia n o d e f e r r o c a r r ile s , p u b lic ó u n lib ro e n e l q u e e x p o n ía u n m é to d o p a r a d e te r m i n a r la d e fle x ió n o la p e n ­ d ie n te e n u n p u n t o e n u n a e s t r u c tu r a , e n u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n m a rc o . E s te m é to d o , c o n o c id o c o m o e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o , o el m é to d o d e l tr a b a jo m í n i m o , s ó l o a p lic a a la s e s t r u c tu r a s q u e t i e n e n u n a t e m ­ p e r a t u r a c o n s t a n te , s o p o r te s q u e n o c e d e n y r e s p u e s ta m a t e r i a l e lá stic a li­ n e a l. S i d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to , e l te o r e m a e s t a ­ b le c e q u e é s t e e s ig u a l a la p r i m e r a d e r i v a d a p a rc ia l d e la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c t u r a c o n r e s p e c to a u n a f u e r z a q u e a c t ú a e n el p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . O e u n a m a n e r a p a r e c i d a , la p e n d ie n te e n u n p u n t o d e u n a e s t r u c tu r a e s ig u a l a l a p r im e r a d e r iv a d a p a r ­ c ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c tu r a c o n r e s p e c to a u n m o ­ m e n to d e p a r q u e a c tú a e n e l p u n t o y c o n la d ir e c c ió n d e la ro ta c ió n . P a r a o b t e n e r e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o . c o n s id e r e u n c u e r p o ( e s tr u c tu r a ) d e c u a lq u ie r f o r m a a r b i tr a r ia q u e e s t á s o m e tid o a u n a s e r ie d e n fu e r z a s /* ,, P 2........P„. C o m o e l t r a b a j o e x t e r n o r e a liz a d o p o r e s t a s c a rg a s e s ig u a l a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n i n t e r n a a lm a c e n a d a e n e l c u e r p o , p u e d e e s c r ib ir s e A h o r a b ie n , s i c u a lq u i e r a d e la s fu e rz a s , p o r e je m p lo P t, s e in c r e m e n ta e n u n a c a n tid a d d if e r e n c ia l d P t, e l tr a b a jo in t e r n o ta m b ié n a u m e n t a d e m o d o q u e la m u e v a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n s e c o n v ie r te e n (9 - 1 8 ) S in e m b a r g o , e s t e v a lo r n o d e b e d e p e n d e r d e la s e c u e n c ia e n la q u e e s t a s n fu e r z a s s e a p lic a n a l c u e r p o . P o r e je m p lo , s i p r im e r o se a p lic a d P , al c u e r p o , e s to h a rá q u e e l c u e rp o s e d e s p la c e u n a c a n tid a d d ife re n c ia l d& t en la dirección d e d P r P o r la ecu ació n 9 - 3 ( u f = } P A ), e l in c re m e n to d e la e n e rg ía d e d e f o r ­ m a c ió n s e r í a \ d P , d ¡ s t. S in e m b a r g o , e s t a c a n t i d a d e s u n d if e r e n c i a l d e s e g u n d o o r d e n y p u e d e p a s a r s e p o r a l t a U n a a p lic a c ió n p o s t e r io r d e las c a r g a s /* ,. P ^ ,..., Pn q u e d e s p la z a r ía a l c u e r p o A ,. A2, . . . , A ,,,p ro d u c ir ía la s i­ g u ie n te e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n . U , + d U , = U ¡ + d P ,A , (9 - 1 9 ) A q u í, c o m o a n te s , U ¡ e s la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a e n e l c u e r p o , c a u ­ s a d a p o r la s c a r g a s P \ , P-¡_ P„ y d U t = d P ,A , e s la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n a d ic io n a l c a u s a d a p o r d P , ( e c u a c ió n 9 -4 , U , = /'A ') , E n r e s u m e n , la e c u a c ió n 9 -1 8 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n el c u e r p o .d e t e r m in a d a a l a p lic a r p r i m e r o la s c a r g a s P \. P i P„, d e s p u é s d P ,. y la e c u a c ió n 9 -1 9 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e te r m i n a d a al T eorem a d e C a s tg u a n o 3 5 6 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía a p lic a r p r i m e r o dP ¡ y lu e g o las c a r g a s P \ , P i,-- -. P n• C o m o e s t a s d o s e c u a ­ c io n e s d e b e n s e r ig u a le s , se r e q u i e r e q u e k> q u e d e m u e s tr a e l te o r e m a : e s d e c ir , e l d e s p la z a m ie n to A, e n la d ir e c ­ c ió n d e P¡ es ig u a l a la p r i m e r a d e r iv a d a p a rc ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r ­ m a c ió n c o n r e s p e c to a P ¡* D e b e s e ñ a la r s e q u e la e c u a c ió n 9 -2 0 e s u n e n u n c ia d o a c e r c a d e la c o m ­ p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . A d e m á s , la d e d u c c ió n a n t e r i o r e x ig e q u e e n e l a n á lis is s ó l o se c o n s id e r e n la s fu e r z a s c o n s e r v a d o r a s . E s ta s fu e r z a s re a liz a n tr a b a jo q u e e s i n d e p e n d i e n te d e la tr a y e c to r ia y p o r lo t a n t o n o c r e a n p é r d id a s d e e n e r g í a . C o m o la s f u e r z a s q u e c a u s a n u n a r e s p u e s ta li­ n e a l e lá s tic a s o n c o n s e r v a d o r a s , e l te o r e m a s e lim ita a u n c o m p o r ta ­ m ie n to lin e a l e lá s tic o tfcl m a te r ia l. E s to c o n s titu y e u n a d if e r e n c ia c o n e l m é to d o d e la f u e r z a v ir tu a l a n a liz a d o e n l a se c c ió n a n te r io r , q u e se a p lic a ta n to a l c o m p o r ta m ie n to e lá s ti c o c o m o al n o e lá s tic o . 9 .6 T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra a rm a d u ra s 1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a r a u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a e s tá d a d a p o r la e c u a c i ó n 9 -9 , U¡ -* N 2L / 2 A E . A l s u s titu ir e s t a e c u a c i ó n e n la e c u a ­ c ió n 9 -2 0 y s i s e o m ite e l s u b ín d ic e /.r e s u l t a A = — y ] —— dP 2AE P b r l o g e n e r a l e s m á s f á c il r e a l iz a r la d if e r e n c ia c ió n a n te s d e l a s u m a to ria . E n e l c a s o g e n e r a l L , A y E s o n c o n s ta n te s p a r a u n e le m e n to d a d o , y p o r k) t a n t o p u e d e e s c r ib ir s e a s í * ■ M m (9 - 2 1 ) donde A = d e s p la z a m ie n to d e la j u n t a e x te r n a d e la a r m a d u r a . P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la ju n t a d e la a r m a d u r a e n la d ire c c ió n d e A. N ■ fu e rz a in t e r n a e n u n e le m e n to c a u s a d a ta n to p o r la f u e r z a P c o m o p o r la s c a r g a s s o b r e la a r m a d u r a . L » lo n g itu d d e u n e le m e n to . A = á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to . E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to . * E I p rim e r le o r e m a d e C a s tig lia n o e s p a r e c i d o a s u s e g u n d o te o r e m a ; sin e m b a r g o , r e l a ­ c io n a la c a r g a P t c o n l a d e r iv a d a p a r d a l d e la e n e r g ía d e d e f o r m a d ó n r e s p e c to a l d e s ­ p la z a m ie n to c o r r e s p o n d ie n t e , e s d e d r P , = d U / d 1-a c o m p r o b a d ó n e s p a r e c id a a la d a d a a n te r io r m e n te y , c o m o e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to v ir tu a l, e l p rim e r t e o r e m a d e C a s tig lia n o s e a p lic a t a n t o a l c o m p o r ta m ie n to m a te ria l c lá s tic o c o m o a l n o c lá s tic o . E s te te o r e m a e s o t r a m a n e r a d e e x p r e s a r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io p a ra u n a e s tr u c t u r a y, p u e s to q u e tie n e u n u so m u y lim ita d o e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l, n o s e a n a liz a e n e s te l i b r a 9 .6 TP O R E M A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s E s ta e c u a c ió n e s s e m e ja n t e a la q u e s e u tiliz a e n e l m é to d o d e l t r a b a j o v irtu a l, e c u a c ió n 9 -1 5 (1 • A = 'Z n N L / A E ) , e x c e p t o q u e n se s u s titu y e p o r d N /d P . O b s e r v e q u e c o n e l fin d e t e r m i n a r e s t a d e r i v a d a p a rc ia l s e r á n e c e s a r io t r a t a r P c o m o u n a v a r ia b le ( n o u n a c a n ti d a d n u m é r ic a e s p e c í­ fica) y, a d e m á s , c a d a e le m e n to d e la f u e r z a N d e b e e x p r e s a r s e e n fu n c ió n d e P . E n c o n s e c u e n c ia , e l c á lc u lo d e d N /d P g e n e r a lm e n te r e q u i e r e u n p o c o m ás d e o p e r a c i o n e s q u e la s n e c e s a r ia s p a r a c a lc u la r c a d a f u e r z a n d e m a n e r a d ir e c ta . ft» r s u p u e s to ,e s t o s té r m in o s s e r á n ig u a le s p o r q u e n o d N /d P e s s im p le m e n te e l c a m b io d e la f u e r z a i n t e r n a d e l e le m e n to c o n re s p e c to a la c a r g a P . o e l c a m b io e n la f u e r z a d e l e l e m e n t o p o r c a rg a u n ita ria . P ro c e d im ie n to d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u tiliz a rs e p a r a d e t e r m i ­ n a r e l d e s p la z a m ie n to d e c u a lq u i e r j u n t a d e u n a a r m a d u r a u s a n d o e l te o r e m a d e C a s ti­ g lia n o . F u e rz a e x t e r n a P • C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e la a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e s e d e s e a d e te r m i n a r e l d e s ­ p la z a m ie n to . S e s u p o n e q u e e s t a f u e r z a ti e n e u n a m a g n itu d v a r ia b le c o n e l fin d e o b ­ t e n e r e l c a m b io S N /d P . A s e g ú re s e d e q u e P e s té d ir ig id a a lo la r g o d e la lí n e a d e a c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . F u e rz a s in te r n a s N • D e te r m in e la f u e r z a .V e n c a d a e le m e n to c a u s a d a ta n t o p o r la s c a r g a s r e a le s ( n u m é r i ­ c a s ) c o m o p o r la f u e r z a v a r i a b le P . S u p o n g a q u e las fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s itiv a s y q u e la s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s . • C a lc u le la s d e r iv a d a s p a r c i a le s r e s p e c tiv a s d N /B P p a r a c a d a e le m e n to . • D e s p u é s d e d e te r m i n a r N y d N /d P , a s ig n e a P s u v a lo r n u m é r ic o s i h a re e m p la z a d o u n a f u e r z a re a l s o b r e la a r m a d u r a . D e lo c o n tr a r i o .c o n s id e r e q u e P e s ig u a l a c e ro . T e o re m a d e C a s tig lia n o • A p liq u e e l te o r e m a d e C a s tig lia n o p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d e s e a d o . E s i m p o r ta n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s p a ra lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s d e N y d N /d P a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n . • Si la s u m a to r ia r e s u lta n t e 1 N ( d N / d P ) L / A E e s p o s itiv a , A tie n e la m is m a d ir e c c ió n q u e P . S i s e o b tie n e u n v a lo r n e g a ti v o , A e s o p u e s t o a P . 3 5 8 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía EJEM PLO ---------- * - 4 k N D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 1 a . E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a e l e m e n t o e s A = 4 0 0 m m 2 y E - 200 G P a . 3 m - U S O L U C IÓ N ——— ^ - 4 m ---------- 1 (3) F u e rz a e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la a r m a ­ d u r a e n la j u n t a C , p u e s t o q u e e s d o n d e d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p l a ­ z a m ie n to v e rtic a l, fig u ra 9 -1 1 6 . F u e rz a s in te rn a s N . S e d e t e r m i n a n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s A y H d e la a r m a d u r a y lo s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 1 6 . U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s N en c a d a e le m e n to , fig u ra 9 -1 l e * P o r c o n v e n ie n c ia , e s t o s re s u lta d o s j u n t o c o n la s d e r iv a d a s p a r c i a le s A V /d P s e e n u n c ia n e n fo r m a t a b u l a r d e la s ig u ie n te m a n e ra : ¿>N E le m e n to N N (P = 0) L 2 8 1 0 .6 7 dP A B 4 kN 0 .6 6 7 P + 2 0 .6 6 7 “ ( S > AC - ( 0 .8 3 3 /' - 2 .5 ) -0 .8 3 3 2 .5 5 -1 0 .4 2 BC - ( 0 . 8 3 3 / * + 2 .5 ) -0 .8 3 3 -2 .5 5 1 0 .4 2 0 -5 P + 1 .5 k N 0 5 P - 1.5 kN 1 = 1 0 .6 7 k N • m (b ) E n v is ta d e q u e P e n r e a l id a d n o e x is te c o m o u n a c a rg a r e a l s o b r e la a r m a d u r a , s e r e q u i e r e q u e P = O e n la ta b l a a n te r io r . T e o re m a d e C a * tig lia n o . A l a p li c a r la e c u a c ió n 9 -2 1 . s e ti e n e N a c - 0 .8 3 3 P - 2 -5 k N 10.67 4kN - A Á - 0 6 6 7 P * 2 kN 0 -5 P - 1 .5 k N N „ c - 0 * 3 3 P + 2 .5 k N * \d P J AE kN • m AE Si se s u s tit u y e A = 400 m m 2 = 4 0 0 (1 0 “ 6) m 2. E = 200 G P a = 2 0 0 (1 09) P a ,y la s u n id a d e s d e s e c o n v ie r te n d e k N a N .s e ti e n e 1 0 .6 7 (1 0 3) N * m 0 .0 0 0 1 3 3 m = 0 .1 3 3 m m 4 0 0 ( 10”6 ) m 2( 2 0 0 (1 0 * ) N /m 2) N a» “ 0.667/* + 2 k N ♦ 0.5 /* + 1-5 k N (c ) R esp . E s ta s o lu c ió n d e b e c o m p a r a r s e c o n e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l d e l e je m p lo 9-2. R g H M 9 -1 1 'Q u i z á s e a m á s c o n v e n ie n te a n a liz a r la a r m a d u ra s ó lo c o n la c a r g a d e 4 k N s o b re e lla , y lu e g o a n a l iz a r la a r m a d u r a c o n la c a rg a P , D e e s te m o d o p u e d e n s u m a rse l o s re s u l­ ta d o s p a r a o b t e n e r la s f u e r z a s N . 9 .6 TE O R É M A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s E J E M P L O 9 .5 D e te r m in e el d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e la j u n t a I ) efe la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 - 17a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. E l á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to s e in d ic a e n la fig u ra . (b) Figura 9-12 S O L U C IÓ N F u e rz a e x te r n a P . C o m o d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to h o ­ riz o n ta l d e D , s e a p lic a u n a f u e r z a v a r ia b le h o r i z o n ta l P a la j u n t a D , fig u ra 9 -1 2 b . F u e rza s in te rn a s N. A p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e c a lc u la la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to .* U n a v e z m á s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9-21. se e s t a b le c e P = 0 p o r q u e e s t a f u e r z a n o e x is te r e a l m e n t e s o b r e la a r ­ m a d u r a . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 2 6 . A l d is p o n e r lo s d a to s e n f o r m a ta b u l a r , se ti e n e Elem ento dN N dP -13.33 -13.33 16.67 16.67 + 1.25/' -(20 + 0.75P) AB BC CD DA BD T e o re m a d e C a s tig lia n o . A _ y ¿ N ( M \ 0 0 0 1.25 -0.75 0) -13.33 -13.33 16.67 16.67 -20 L 12 12 15 15 9 0 0 0 312.50 135.00 A l a p lic a r la e c u a c ió n 9 - 2 1 , s e ti e n e L_ = 0 + Q + o + \d P )A E ~ = 0.3 3 3 p u lg N (P = 3 1 2 .5 0 k - p i e ( 12 p u l g / p i e ) (0 .5 p u lg 2)[2 9 (1 0 J ) k /p u lg 2! R esp . •Como en el ejempkj anterior, quizá lo recomendable sea realizar un análisis p o r sepa­ rado de la armadura cargada con 10 k y cargada con P, para después superponer los resultados. + 1 3 5.00 k - p i e ( 1 2 p u lg / p ie ) (0 .7 5 p u lg 2) [2 9 (1 0 3) k /p u l g 2] 3 6 0 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .6 D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l a j u n t a C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 13a. S u p o n g a q u e A = 0 .5 p u lg * y q u e E = 2 9 (1 0 3) ksi. S O L U C IÓ N F u e rz a e x te r n a P . L a f u e r e a d e 4 k e n C s e s u s tit u y e p o r u n a fu e r z a v a r ia b le P e n la j u n t a C . fig u ra 9 -1 3 6 . F u e rz a s in te r n a s N. S e u s a e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r ­ m in a r l a f u e r z a N e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . L o s r e s u lta d o s s e r e s u m e n e n l a fig u ra 9 -1 3 6 . A q u í . P = 4 k c u a n d o s e a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 1 . L o s d a t o s r e q u e r id o s p u e d e n d is p o n e r s e e n fo r m a ta b u l a r d e l a s i g u ie n t e m a n e r a : (a) E le m e n to (P = 4 k) N T r AB BC CD DE EF FA RF BE CE 0.333P + 0.667P + 0.667 P + -(0 .9 4 3 /* + - ( 0 .3 3 3 P + -(0 .4 7 1 /* + 0.333 P + -0 4 7 1 P + P 2667 1.333 1.333 1.886) 2667) 3.771) 2.667 1.886 L » 4 4 4 -5 .6 6 -4 -5 .6 6 4 0 4 0333 0.667 0.667 -0 .9 4 3 -0 .3 3 3 -0.471 0333 -0.471 1 10 10 10 14.14 10 14.14 10 14.14 10 13.33 26.67 26.67 75.42 13.33 37.71 13.33 0 40 2 = 246.47 k - p ie T e o re m a d e C a s tig lia n o . 9 -2 1 . r e s u lta Si s e s u s titu y e n lo s d a t o s e n la e c u a c ió n L 0.333/*+2.667k P 4k (b) Figura 9 -1 3 _ 2 4 6.47 k • p ie AE 0.667/*+1333k AE A l c o n v e r t ir la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e le m e n to e n p u lg a d a s y a l s u s titu ir e l v a lo r n u m é r ic o d e A E , s e ti e n e (2 4 6 .4 7 k - p i e ) (1 2 p u l g / p i e ) ¿ ^ ( 0 , p ^ ) ( M (ltf) W ) - a204pu'8 D e b e o b s e r v a r s e la s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la d e l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-1. PR O B LEM A S F U N D A M E N T A L E S 1 9 -1 . D eterm in e e l d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta B. A E e s co n stan te. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual. 1 9 -7 . D eterm in e el d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta D . A E e s constante. U tilice e l principio d e l trab ajo virtual. F 9 -2 . R esuelva el p ro b le m a F9-2 u sa n d o e l te o re m a de Castigliano. F 9 -8 . R esuelva el p ro b le m a F9-7 u sando e l te o re m a de Castigliano. P 9 -1 9 -2 1 9 -3 . D eterm ine e l desplazam iento horizontal de la ju n ta A . A F e s constante. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual. 1-9-4. R esuelva el p ro b le m a F9-3 u sa n d o e l te o re m a de Castigliano. 1 9 -7 9 - 8 1-9-9. D eterm in e e l desplazam iento v ertical d e la ju n ta B. A F e s constante. U tilice e l prin cip io d e l trab ajo virtual. 1 9 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a F9-9 u sa n d o e l te o re m a de Castigliano. 1 9 -3 /9 -4 F 9 -5 . D eterm ine el desplazam iento horizontal d e la ju n ta D . A E c s constante. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual. 1 9 -6 . R esuelva e l p ro b le m a F9-5 u sando e l te o re m a de C astigliano. 1 9 -9 9 - 1 0 I 9 - 1 L D eterm in e e l desplazam iento v ertic a l de la ju n ta C. A E es constante. U se e l prin cip io d e l trab ajo virtual. 19-12 . R esuelva el p ro b lem a F 9-11 u sando el te o re m a de Castigliano. 1 9 -1 1 9 -1 2 3 6 2 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía PR O BLEM AS 9 - 1 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r tic a l d e la j u n t a A . C a d a b a r r a e s t á h e c h a d e a c e r o y tie n e u n á r e a e n s u s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e 6 0 0 m m ?.C o n s i d e r e q u e £ = 2 0 0 G P a U s e e l 9 - 7 . D e te r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r ti c a l d e la j u n t a D . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r tu a l. A E e s c o n s t a n t e . S u ­ p o n g a q u e lo s e l e m e n t o s e s t á n a r t ic u l a d o s e n s u s e x tr e m o s . m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l. 9 - 2 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-1 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s t i ­ g lia n o . * 9 - 8 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-7 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s ­ tig lia n o . 5 kN P ro b s . 9 - 1 /9 -2 9 - 3 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l d e la j u n t a B . P ara c a d a e le m e n to A = 40 0 m m \ £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­ t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l. * 9 - 4 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -3 a s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­ tig lia n o . P r o b s . 9 -7 Z 9 -8 9 - 9 . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l. 9 - 1 0 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-9 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­ tig lia n o . 9 - 5 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l d e la j u n t a £ . P a r a c a d a e l e m e n t o A = 4íX) m m 2, £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­ t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l. 9 - 6 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -5 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s t i­ g lia n o . P ro b s . 9 -V 9 -4 /9 -5 E > -6 P ro b s . 9 - 9 /9 -1 0 9 .6 9 - 1 1 . D eterm ine el d esp lazam ien to vertical d e la ju n ta A . EJ á re a d e la sección transversal d e c a d a e le m en to se indica e n la figura. S u ponga q u e lo s e le m e n to s e s tá n a rticu lad o s en sus ex trem o s. £ = 29(10)3 ksi. U se el m éto d o d e l trab ajo virtual. • 9 - 1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 9-11 u sando el te o re m a de TPORPM A o e C a s tig h a n o p a r a a r m a d u r a s 3 6 3 9 -1 5 . D eterm ine el d esp laz a m ie n to v ertic a l d e la ju n ta C d e la a rm a d u ra . C ada e le m e n to tiene u n á re a e n s u sección transversal d e A ~ 3H) m m '. E ^ 200 G P a U se e l m éto d o d el trab ajo virtual. • 9 - 1 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-15 u sando el te o re m a de Castigliano. Castigliano. H G F 9 - 1 7 . D eterm ine e l desplazam iento v ertical d e la ju n ta A . S uponga q u e lo s elem en to s e stá n articu lad o s e n su s e x tre ­ mos. C o n sid ere q u e A = 2 p u lg 2 y E = 29Í103) p a ra c a d a elem en to . U se e l m é to d o d e l trab ajo virtual. P r o b s . 9 - 1 1 /9 - 1 2 9 - 1 8 . R esuelva e l p ro b lem a 9-17 u sa n d o e l teo rem a de Castigliano. 9 - 1 3 . D eterm ine el desplazam iento h o rizo n tal de la ju n ta D . Suponga q u e los elem en to s e stá n articu lad o s e n sus ex tre­ mos. AF. es co n stan te. U se e l m ó to d o d e l trab ajo virtual. 9 - 1 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-13 u sa n d o e l te o re m a de Castigliano. 9 - 1 9 . D eterm ine e l d esp la za m ien to v ertical d e la ju n ta A si b s e le m e n to s A B y B C ex p erim entan u n a u m e n to d e la tem p eratu ra d e A T = 200 "F. C o n sid ere q u e A = 2 p u lg 2 y £ = 29(103)k si. A d e m á s .« = 6 .6 0 ( 10~ V F • 9 - 2 0 . D eterm in e e l d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta A s i e l e le m e n to A E se fabrica 0.5 p u lg ad as m ás c o rto d e lo e s­ perado. 3 6 4 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o 9 .7 A p lic a c ió n d e l a c a rg a u n ita r ia v irtu a l a l p u n to A (») A p licació n d e la c a rg a re a l * (b ) R g ttra 9-14 m é t o d o s d e e n e r g ía M é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l: V ig a s y m a rc o s E l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l ta m b ié n p u e d e a p lic a rs e a lo s p ro b le m a s de d e fle x ió n e n v ig as y m a rc o s. C o m o la s d e fo r m a c io n e s d e b id a s a l a fle x ió n s o n la c a u sa p r in c ip a l d e las d e fle x io n e s e n v ig as o m a rco s, p r im e r o s e a n a ­ liz a rá n s u s e fe c to s . L as d e fle x io n e s d e b id a s a la s c a rg a s c o rta n te s , a x ia le s y d e to r s ió n , a s í c o m o a la te m p e r a tu r a , s e c o n s id e r a r á n e n la se c c ió n 9-8. E l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l o , m á s e x a c ta m e n te , e l m é to d o d e la fu e rz a v ir tu a l, p u e d e fo r m u la r s e p a r a d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s al c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 -1 4 6 . A q u í d e b e d e te r m i­ n a r s e e l d e s p la z a m ie n to A d e u n p u n to A . P a r a c a lc u la r A se c o lo c a u n a c a rg a v ir tu a l u n ita r ia q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A s o b r e la v ig a e n A , y e l m o m e n t o v ir tu a l in te r n o n i se d e te r m in a m e d ia n te e l m é to d o d e las s e c ­ c io n e s e n u n a u b ic a c ió n a r b i t r a r i a x m e d id a d e s d e e l s o p o r te d e la iz ­ q u ie r d a , fig u ra 9 - 1 4 a. C u a n d o la s c a rg a s r e a le s a c tú a n s o b r e la v ig a , fig u ra 9 -1 4 6 , e l p u n to A s e d e s p la z a A . S ie m p re q u e e s t a s c a rg a s c a u s e n u n a re s­ p u e sta m a te r ia l e lá stic a lin e a l,e n to n c e s c o n b a s e e n la e c u a c ió n 8 -2 , e l e l e ­ m e n t o d x se d e f o r m a o g i r a d O - ( M / E l ) d x .* A q u í M e s e l m o m e n to in ­ te r n o e n x c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s . E n c o n s e c u e n c ia , e l tra b a jo v irtu a l e x te r n o re a liz a d o p o r la c a r g a u n ita ria e s 1 • A, y e l tr a b a jo v ir tu a l in te r n o r e a liz a d o p o r e l m o m e n to m e s m d d = m ( M / E l ) d x . L a s u m a to ria d e lo s e fe c to s s o b r e to d o s lo s e le m e n to s d x a lo la r g o d e la v ig a r e q u ie r e u n a in te g r a c ió n y. p o r lo ta n t o , la e c u a c i ó n 9 -1 3 s e c o n v ie r te e n 1•A I * A p lic a c ió n d e l m o m e n to d e p a r u n ita r io v irtu a l e n e l p u n to A <•) Ü S * El dx (9 -2 2 ) donde 1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la v ig a o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n d e A. m = m o m e n to v ir tu a l in te r n o e n l a v ig a o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r la c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a . A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e l p u n to c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s q u e a c tú a n s o b r e la v ig a o e l m a rc o . M = m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s . E ■ m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l. I ■ m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a tr a n s v e rs a l, c a lc u la d o c o n r e s p e c to a l e je n e u tr o . D e u n a m a n e r a s e m e ja n t e , s i d e b e d e te r m i n a r s e la r o ta c ió n d e la t a n ­ g e n te o e l á n g u lo 0 d e la p e n d ie n t e e n u n p u n t o A d e la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a , fig u ra 9 -1 5 , s e a p lic a p r im e r o u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n el p u n to , y s e d e t e r m i n a n lo s m o m e n to s in te rn o s c o r r e s p o n d ie n t e s m e. C o m o e l t r a b a j o d e l p a r u n it a r i o e s 1 • 0 . e n to n c e s 1 A p l i c a c i ó n d e la c a r g a r e a l w J. mM r m dM El dx (9 - 2 3 ) • R e c u e r d e q u e si e l m a te ria l s e d e f o r m a m á s a llá d e s u lim ite e lá s tic o , to d a v ía p u e d e a p l i ­ c a r s e e l p r in c ip io d e l tr a b a jo v irtu a l, a u n c u a n d o e n e s te c a s o d e b e e m p l e a r e u n a n á lisis fig u ra 9 -1 5 n o lin e a l o p lá stico . 9 .7 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S 1 F ig ó n 9-16 A l a p lic a r la s e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e s im p o r ta n te t e n e r e n c u e n ta q u e la s in t e g r a l e s d e f i n it iv a s a l la d o d e r e c h o r e p r e s e n t a n e n r e a lid a d la c a n ti d a d d e e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l q u e e s t á a lm a c e n a d a e n la viga. Si s o b r e la v ig a a c tú a n f u e r z a s c o n c e n t r a d a s o m o m e n to s d e p a r o s i la c a r g a d is tr ib u id a e s d is c o n tin u a , n o s e p u e d e r e a l iz a r s ó l o u n a i n t e g r a ­ c ió n a tr a v é s d e to d a la lo n g itu d d e la v ig a . E n v e z d e e s t o d e b e r á n e le ­ g ir s e c o o r d e n a d a s x s e p a r a d a s d e n t r o d e la s re g io n e s q u e n o ti e n e n d is ­ c o n tin u id a d d e c a r g a . A d e m á s , n o e s n e c e s a r io q u e c a d a x te n g a e l m ism o o r ig e n ; s in e m b a r g o , l a x s e le c c io n a d a p a r a d e te r m i n a r e l m o ­ m e n t o M re a l e n u n a re g ió n p a r t ic u l a r d e b e s e r la m is m a x q u e la s e le c ­ c io n a d a p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to v ir tu a l m o m 0 d e n tr o d e la m ism a re g ió n . P o r e je m p lo , c o n s id e r e l a v ig a d e l a fig u ra 9 -1 6 . P a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e D cfcb en c o n s id e r a r s e c u a t r o re g io n e s d e la v ig a , y p o r lo ta n to , d e b e n e v a lu a r s e c u a tr o in te g ra le s q u e c o n te n g a n la fo r m a f ( m M / E I ) d x . E s p o s ib le u s a r x , p a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a ­ c ió n e n la re g ió n A B . x2 p a ra la re g ió n B C . x j p a r a la r e g i ó n D E y x 4 p a ra la re g ió n D C . E n c u a lq u i e r c a so , c a d a c o o r d e n a d a x d e b e s e le c c io n a r s e d e m o d o q u e W y m ( o m e) s e p u e d a n f o r m u la r c o n fa c ilid a d . In te g ra ción u tiliz a n d o tablas. C u a n d o la e s t r u c tu r a e s t á s o m e ­ tid a a u n a c a rg a r e l a tiv a m e n te s im p le y q u e a ú n a s í la s o lu c ió n p a r a u n d e s p la z a m ie n to r e q u i e r e v a r ia s in te g ra c io n e s , p u e d e u s a r s e u n m é to d o ta b u la r p a ra r e a l iz a r e s t a s in te g ra c io n e s . E n e s t e m é to d o , p r im e r o s e d i­ b u ja n lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to , t a n t o p a r a la s c a r ­ g a s r e a l e s c o m o v irtu a le s . A l r e la c io n a r e s t o s d ia g r a m a s p a r a m y M c o n lo s in d ic a d o s e n la ta b l a d e la p o r t a d a i n t e r i o r , s e p u e d e d e t e r m i n a r la in t e g r a l J m M d x co n b a s e e n la f ó r m u la a p r o p i a d a . l o s e je m p lo s 9 -8 y 9 -1 0 ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o . 3 6 6 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía P r o c e d i m i e n t o d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to y / o la p e n ­ d ie n te e n u n p u n to d e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a o u n m a r c o m e d ia n te e l m é to d o d e l t r a b a jo v irtu a l. M o m e n to s v ir tu a l e s m o m0 • C o lo q u e u n a ca rg a u n ita r ia s o b r e la v ig a o m a r c o e n e l p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s ­ p la z a m ie n to d e s e a d o . • Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n t o d e p a r u n ita r io e n e l p u n to . • E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e las r e g io n e s d e la v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y a d is c o n tin u id a d d e l a c a r g a r e a l o v ir tu a l. • C o n la c a r g a v ir tu a l e n s u s i ti o y to d a s la s c a r g a s r e a l e s r e m o v id a s cte la v ig a o el m a rc o , c a lc u le e l m o m e n to i n t e r n o m o m 0 c o m o u n a fu n c ió n d e c a d a c o o r d e n a d a x , • S u p o n g a q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, s e g ú n s e in d ic a e n la fig u ra 4 -1 . M o m e n to s r e a l e s • U s a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e la s e s ta b le c id a s p a r a m o m 0, d e te r m i n e lo s m o ­ m e n to s in te r n o s M c a u s a d o s s ó l o p o r la s c a r g a s re a le s. • D e b id o a q u e s e s u p o n e q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, es im p o r ta n te q u e M p o s i ti v o a c tú e e n la m is m a d ire c c ió n . E s t o e s n e c e s a r io p o r q u e el t r a b a jo in t e r n o p o s itiv o o n e g a tiv o d e p e n d e d e l s e n tid o d ir e c c io n a l d e la c a rg a ( d e f i­ n id o p o r ± m o ± m 0) y e l d e s p la z a m ie n to ( d e f in id o p o r ± M d x / E ¡ ). E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l • A p liq u e la e c u a c i ó n d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o A o l a r o t a c ió n Q. E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a in te g r a l c a lc u la d a d e n tr o d e s u re g ió n e s p e c ífic a . • Si la s u m a a lg e b r a ic a d e t o d a s la s in te g r a le s p a r a to d a l a v ig a o m a r c o e s p o s itiv a . A o A tie n e n l a m is m a d ir e c c ió n q u e l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l o e l m o m e n to d e p a r u n ita r io , re s p e c tiv a m e n te . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o , la d ir e c c ió n d e A o # c s o p u e s t a a la d e la c a rg a u n i t a r i a o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio . 9 .7 3 6 7 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S EJEMPLO D e t e r m in e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p u n t o B d e l a v ig a d e a c e r o q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 .1 7 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 0 ü (l(/* ) m m 4. 12 k N /m TTTTTTTTTTTTTTH 10 m - (a) i kN S O L U C IÓ N M o m e n to v ir t u a l m . E l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l p u n to B x o b ­ tie n e al c o lo c a r u n a c a rg a v ir tu a l u n it a r i a d e 1 k N e n B . fig u ra 9 -1 7 6 . ft» r in s p e c c ió n s e o b s e r v a q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a e n la v ig a , la n ío p a r a la s c a r g a s r e a l e s c o m o p a r a la s v ir tu a le s . A s í, p u e d e u s a rs e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a r a d e te r m i n a r la e n e r g ía d e d e f o r m a ­ c ió n v ir tu a l. E s ta c o o r d e n a d a se s e le c c io n a r á c o n o r ig e n e n B ,p o r q u e d e e s e m o d o n o h a b r á n e c e s id a d d e d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n A c o n e l fin d e e n c o n tr a r lo s m o m e n to s in t e r n o s m y M . U s a n d o e l m é ­ to d o d e la s s e c c io n e s , e l m o m e n to i n t e r n o m se f o r m u la d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 7 6 . ‘— (b ) E n to n c e s ,e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l i T í mJ Ti---- ,rf-1 1 5 (1 0 * ) k N 2 - m 3 1 k N -A , |--------- * - fu e rz a u n ita r ia M o m e n to r e a l M . C o n b a s e e n l a m is m a c o o r d e n a d a j . e l m o m e n to n t e r n o M se f o r m u la c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 17c. E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. de « es | " • -h i i * - - # i f ífc El c a r g a re a l (c ) o r b ie n . H g a ra 9 -1 7 15(103) k N • nv 2 0 0 ( l ü 6) k N / m 2(5 0 0 (1 0 6) m m 4) ( l < r 12 m 4/ m m 4) 0 .1 5 0 m = 150 m m R esp . 3 6 8 C a p it u l o E JE M P L O 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .8 D e te r m in e la p e n d ie n te 0 e n e l p u n to R d e la v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s­ tr a e n la fig u ra 9 1 8 a . C o a s id e r e q u e F. - 2 0 0 G P a . / = 60(10*) m m 4. 3 kN <»> H g u ra 9 -1 8 S O L U C IÓ N M o m e n t o v i r t u a l m „. 1.a p e n d ie n t e e n R se d e te r m i n a a l c o lo c a r u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l d e 1 k N • m e n R , fig u ra 9 -1 8 6 . A q u í d e b e n s e le c c io n a r s e d o s c o o r d e n a d a s x co n e l fin d e d e te r m i n a r la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l to t a l e n la v ig a . 1.a c o o r d e n a d a x x to m a e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e n t r o d e l s e g m e n to A R y la c o o r d e n a d a x 2 in c lu y e la d e l s e g m e n to R C . L o s m o m e n to s in te r n o s m 0 d e n tr o d e c a d a u n o d e e s to s s e g m e n to s s e c a lc u la n u s a n d o e l m é ­ to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 -1 8 6 . I m „-0 p a r u n i ta r io v irtu a l (b ) 3 kN 3 6 9 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S 9 .7 3 kN cr* é f x, |V, c a r g a re a l 3 kN f c — 3 (5 + x j 8.1 ) V2 (C) M o m e n t o s r e a l e s M . Si s e u s a n la s m is m a s c o o r d e n a d a s x x y *2.1os m o m e n to s in t e r n o s M se c a lc u la n c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -1 8 c . E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l . ta d o d e m„M / 1 '0 , E n to n c e s , la p e n d ie n t e e n R e s r e s u l­ El dx 5 ( l ) I - 3 ( 5 + x 7) \ d x 2 / * (0 ) (-3 * ,)< /a :, Jo I. El El m » flc N -m ) -1 1 2 .5 k N - m ? O) El T a m b ié n s e p u e d e n e v a lu a r la s in t e g r a l e s J m 0M d x efe f o r m a g r á ­ f ic a . e m p l e a n d o la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a a l r e v e r s o d e la p o r ta d a d e e s te lib r o . P a r a e llo , p r im e r o e s n e c e s a r io e s t a b l e c e r lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a la s v ig a s e n la s fig u ra s 9 - 1 8 6 y 9 - 18c. É s to s s e m u e s ­ t r a n e n la s f i g u r a s 9 - 1 8 d y 9 -1 8 e . r e s p e c ti v a m e n te . C o m o n o h a y m o m e n to m p a ra 0 S r < 5 m , s ó l o s e u tiliz a n la s á r e a s s o m b r e a d a s r e c ta n g u la r e s y tr a p e z o id a le s p a r a e v a lu a r la in te g r a l. D e s p u é s d e e n ­ c o n tr a r e s t a s f o r m a s e n la fila y la c o lu m n a c o r r e s p o n d ie n t e s d e la ta b l a .s e ti e n e / c dx = 10 <d> + M 2) L = $ ( 1 ) ( - 1 5 - 3 0 )5 J5 M (k N • m ) = - 1 1 2 .5 k N 2 - m 3 É ste e s e l m is m o v a lo r q u e s e d e te r m i n ó e n la e c u a c ió n 1. P o r lo ta n to . (lk N -m l-0 ‘ - ________________ - 1 1 2 .5 k N 2 - m 3________________ ~ 20<)(106) k N / m 2|6 0 (1 0 6) m m 4|(1 0 ~ 1 2 m 4/ m m 4) e B = - 0 .0 0 9 3 8 r a d 30 R esp . E l s ig n o n e g a tiv o in d ica q u e 0B e s o p u e s to a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to d e p a r v ir tu a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9-1 8 6 . (e) -x(m> 3 7 0 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .9 D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to e n D d e la v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 19a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 ( 103) k s i, / = 8 0 0 p u lg 4. 6 k 8 0 k p ie D G * 10 p ie s lO p ii 15 p ie s - (a) fig u ra 9 -1 9 S O L U C IÓ N M o m e n t o s v i r t u a l e s m . L a v ig a e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a v ir tu a l u n ita r ia e n D , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 9 6 . P o r in s p e c c ió n , d e b e n u s a r s e tres c o o r d e n a d a s , c o m o X j, x 2 y x3 p a ra c u b r i r t o d a s la s re g io n e s d e la v ig a . O b s e r v e q u e e s t a s c o o r d e n a d a s c u b r e n la s r e g io ­ n e s d o n d e n o o c u r r e n d is c o n tin u id a d e s e n la s c a r g a s y a s e a n r e a le s o v irtu a le s . L o s m o m e n to s in t e r n o s m se c a lc u la r o n e n la fig u ra 9 -1 9 6 p o r e l m é to d o d e la s se c c io n e s. i k 1 P .,- 1 0.75 k 1.75 k Ik m ,— lx, I— ,-i 1k 1 * 'S ■n-awfr-nlf fi = . 1 ^ 1“ ” " - \ 1.75 k 0 .7 5 k c a r g a s v irtu a le s (b) m ,— 0.75*, - |V 9 .7 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S 80 I pie 1 ______________________________________________________________ & E5 Ik T=T - I 7k [* E 3 Cí j ™ I-— * i— I 8 0 k p ie * 3 ------ 1 V , 7k lk cargas reales (c) M o m e n t o s r e a l e s M . E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s s o b r e l a v ig a; d e s p u é s , e m p l e a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e se u s a r o n p a ra rn .s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s in te r n o s M c o m o se m u e s ­ tra e n la fig u ra 9 - 19c. E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l . A l a p lic a r la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir ­ tu a l a l a v ig a ,c o n lo s d a to s d e las fig u ra s 9 -1 9 6 y 9 - 1 9 c ,s e tie n e 1 ‘A" ‘ c 1 T T dx f ' 5( - 1 x ^ ( 0 ) dXl " Jo E l y 10( 0 .7 5 * 2 - 1 5 )( 7 * 2) d x 2 Jo El , 0 ( - 0 . 7 5 * 3) ( 8 0 - 1*3) d x j El 0 * n= 3500 E l~ El 2750 ~ El 6250 k -p ie 3 ~ ~ El o b ie n - 6 2 5 0 k • p ie 3( 12) 3 p u lg 3/ p i e 3 A„ = 2 9 (1 0 3) k /p u l g 2( 8D« p u lg 1) = - 0 .4 6 6 p u lg R esp . EJ s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a d a a r r ib a , o p u e s to a la c a r g a u n ita r ia h a c ia a b a jo .f ig u r a 9 -1 9 6 .T a m b ié n te n g a e n c u e n ta q u e e n r e a lid a d n o h a y n e c e s id a d d e c a lc u la r m i p u e s to q u e A i, - 0. 3 7 1 3 7 2 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 tto . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i e / = 600 p u lg 4 p a r a a m b o s e le m e n to s . R g u ra 9 -2 0 S O L U C IÓ N M o m e n t o s v i r t u a l e s m . R>r c o n v e n ie n c ia , s e u s a r á n las c o o r d e n a ­ d a s x \ y x 2 e n la fig u ra 9 -2 0 6 . S e a p lic a u n a c a rg a u n it a r i a h o r iz o n ta l e n C , fig u ra 9 -2 0 6 . ¿ P o r q u é ? L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y lo s m o ­ m e n to s in te r n o s v ir tu a le s s e c a lc u la n c o m o s e m u e s tra . m : - 1.2 5 1 . v. 125 k Ik c a r g a s v irtu a le s (b ) 9 .7 373 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S W? - 25xj N, Vj|— 25 k -8 pies- Mi ~ 40.t, - I 25 k W N, 40 k 4 .v , )ics 4« 2 i 40 k 4 0 k - ----- 25 k caigas reales 25 k (c) M o m e n to s re a le s M . D e ig u a l m a n e r a , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­ te s y lo s m o m e n to s r e a l e s s e c a l c u l a n c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra 9-20c. E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. 9 -2 0 6 y 9 - 2 0 c .s e ti e n e [ Lm M , ' • Ac- = i — ü — 8 3 3 3 .3 + S333.3 4c, El 10 k p i c C b n b a s e e n lo s d a t o s d e la s f ig u r a s / • 10( l i i ) ( 4 0 * 1 - 2 x ¡ ) d x , = i 10 kpic El 8 p ies + y. — t ,— Eí (1 ) (d) 200 k- pie 2 0 0 k p ie 1 m M d x = é (1 0 )(2 0 0 )(1 0 ) + J(1 0 )(2 0 0 )(8 ) 8 p ie s \\ \ = 8 3 3 3 .3 + 5 3 3 3 .3 = 13 6 6 6 .7 k 2 • p ie 3 Q u e e s ig u a l a lo q u e s e c a lc u ló e n la e c u a c ió n 1. A sí, ____________________________13 6 6 6 .7 k - p i e 3_________________________ C* 1 0 p ie s \ 13 6 6 6 .7 k • p ie- Si s e d e s e a , la s in te g ra le s J m M / d x ta m b ié n p u e d e n e v a lu a r s e g r á f i­ c a m e n te e m p le a n d o l a ta b la q u e e s t á d e tr á s d e la p o r ta d a . L o s d ia g r a ­ m as d e m o m e n to p a r a e l m a r c o d e las fig u ra s 9 -2 0 6 y 9 -2 0 c se m u e s tra n e n la s fig u ra s 9 -2 0 d y 9 -2 0 e , re s p e c tiv a m e n te . P o r lo ta n to , u tiliz a n d o las fó rm u la s p a ra la s fo rm a s s e m e ja n te s d e l a t a b l a . s e o b tie n e f \ \ f» (\.2 5 x 2)( 2 5 x , ) d x ¡ (2 9 (1 0 3) t f p u t f ( ( 1 2 J 2 p u lg 2/ p i e 2) ] |60() p u lg 4( p ie 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)] = 0 .1 1 3 p i e s = 1.36 p u l g R esp . 10 p ies \ (e ) 3 7 4 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .1 1 D e te r m in e la r o ta c ió n ta n g e n c ia l e n e l p u n to C d e l m a r c o q u e s e m u e s­ t r a e n la f ig u r a 9 - 2 l a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 15( 106) m m 4. 5 kN I k N -m lk N -m SkN 5 kN (a) Figura 9-21 c a r g a s v irtu a le s c a r g a s r e a le s S O L U C IÓ N M o m e n to s v ir tu a le s m 0. S e u s a r á n las c o o r d e n a d a s xt y x j q u e se m u e s tr a n e n l a f ig u r a 9 - 2 l a . S e a p lic a u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n C y s e c a lc u la n lo s m o m e n to s i n t e r n o s m g, fig u ra 9 -2 1 b. M o m e n to s re a le s M . D e u n a m a n e r a s i m i la r .s e c a lc u la n lo s m o ­ m e n to s r e a le s M c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 - 2 le . E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. 9 -2 \ b y 9 - 2 1 c .s e tie n e f Lm ,M , C o n b a s e e n lo s d a t o s d e la s fig u ra s [H -l){-2 .S x ,)d x , l -*“ y„ ~irix- i — Ti 11.25 E l c . /*2 (1 )(7 .5 ) d x j +i — ¡n— 15 _ 2 6 .2 5 k N • m 2 + E l El o b ie n 0 _ _________________ 2 6 .2 5 k N - m 2_________________ C “ 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2|1 5 ( l( J 6) m m 4|( 1 0 " 12 m4/ m m 4) = 0.00875 r a d R esp . 9 .8 9 .8 E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a E n e rg ía d e d e fo rm a c ió n v ir tu a l ca u sa d a p o r c a rg a a x ia l, fu e rz a c o r ta n te , to r s ió n y te m p e r a tu r a A u n q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s s e p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te d e b id o a l a e n e rg ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n , e n a lg u n a s e s t r u c tu r a s la e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n a d ic i o n a l d e la c a r g a a x ia l , la f u e r z a c o r t a n t e , la to r s ió n y q u iz á la t e m p e r a t u r a p u e d e n lle g a r a s e r im p o rta n te s . A c o n ­ tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á c a d a u n o d e e s t o s e fe c to s. Carga axial. L os e le m e n to s d e u n m a r c o p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a c a rg a s a x ia le s y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l c a u s a d a p o r e s t a s c a r ­ g a s s e h a e s ta b le c id o e n l a s e c c ió n 9 -4 . P a r a lo s e le m e n to s q u e c u e n ta n c o n u n á r e a c o n s ta n te e n s u s e c c ió n t r a n s v e r s a l s e tie n e c r .- = g donde n = c a rg a a x ia l v ir tu a l in t e r n a c a u s a d a p o r la c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te m a . N = fu e rz a a x ia l i n t e r n a e n e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a rg a s re a le s . E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l. A = á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to . L = lo n g itu d d e l e le m e n to . Fuerza c o rta n te . P a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir ­ tu a l d e b id a a la f u e r z a c o r t a n te e n u n a v ig a .s e c o n s id e r a r á e l e le m e n to d x d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -2 2 . L a d is to r s ió n c o r t a n te d y d e l e le m e n to c u a n d o e s c a u s a d a p o r la s ca rg a s rea les e s d y ■ y d x . S i la d e f o r m a c ió n c o r t a n t e y e s c a u s a d a p o r l a re s p u e sta d e u n m a te r ia l elá s­ tic o lin e a l, e n to n c e s p u e d e a p lic a re c la le y d e H o o k e , y = t / G . P o r lo ta n to , d y = ( t / G ) d x . E l e s f u e r z o c o r t a n te p u e d e e x p r e s a r s e c o m o t = K ( V / A ) , d o n d e K e s u n fa c to r d e f o r m a q u e d e p e n d e d e l p e rf il d e l á r e a tra n sv e rs a l A d e la viga. ft>r lo ta n t o .s e p u e d e e s c rib ir d y = K ( V / G A ) d x . E l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o h e c h o p o r u n a f u e r z a c o r t a n te v ir tu a l v . q u e a c tú a s o b r e e l e l e m e n t o d y m ie n tr a s s e d e f o r m a , e s e n to n c e s d U , = v d y = v ( K V / G A ) d x . P a r a to d a la v ig a , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l se d e te r m i n a p o r in te g ra c ió n . U, (9 -2 5 ) donde v = fu e rz a c o r t a n te v ir tu a l in t e r n a e n e l e le m e n to , e x p r e s a d a e n fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la c a r g a v ir tu a l u n it a r i a e x te r n a . V = fu e rz a c o r t a n te in t e r n a e n e l e le m e n to ,e x p r e s a d a c o m o u n a fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s . A - á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to . K ■ f a c to r d e f o r m a p a r a e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l: K - 1.2 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s . K = 1 0 /9 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c irc u la re s . K as 1 p a r a v ig a s d e a la a n c h a o d o b le T , d o n d e A e s e l á r e a d e l alm a . G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r te p a r a e l m a te ria l. 3 7 5 3 7 6 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía T o r s i ó n . C o n fr e c u e n c ia , lo s m a r c o s tr id im e n s io n a le s s e s o m e te n a c a rg a s d e to r s ió n . Si e l e le m e n to ti e n e u n a se c c ió n tr a n s v e r s a l circu la r, n o o c u r r ir á n in g ú n p a n d e o e n s u á r e a tr a n s v e r s a l a l c a r g a r lo . C o m o r e ­ s u l ta d o . p u e d e o b te n e r s e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e ­ m e n to . P a r a e l l o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o d x d e l e l e m e n t o q u e e s tá s o m e ti d o a u n p a r d e to r s ió n T a p lic a d o , fig u ra 9 -2 3 . E s te p a r d e to r s ió n p ro d u c e u n a d e f o r m a c ió n c o r t a n t e d e y = (c d d ) / d x . D a d o q u e s e p r o ­ d u c e u n a re sp u esta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a , e n to n c e s , y ■ t / G , d o n d e r T c / J . P o r lo ta n t o , e l á n g u lo d e g i r o d 0 = ( y d x ) / c = ( t / G c ) d x = ( T / G J ) d x . S i s e a p lic a u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l a la e s t r u c tu r a q u e o c a s io n e u n p a r d e to r e ió n v ir tu a l in t e r n o t e n e l e le m e n to , d e s p u é s d e a p li c a r la s c a r ­ g a s r e a le s , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e m e n t o d e lo n g itu d d x s e r á d U , = t d Ü = t T d x / G J . I n t e g r a r a t o d a la lo n g itu d L d e l e le m e n to d a p o r r e s u lta d o (9 - 2 6 ) donde r = p a r d e to r s ió n v ir tu a l in t e r n o c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a . T - p a r d e to r s ió n in t e r n o e n e l e le m e n to c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s . G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r t e d e l m a te ria l. J = m o m e n to p o la r d e in e r c ia p a r a la s e c c ió n tr a n s v e r s a l. J = d o n d e c e s e l r a d i o d e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l. ttc * / 2 , L = lo n g itu d d e l e le m e n to . 1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b id a a la to r s ió n d e e le m e n to s q u e n o ti e n e n á r e a s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s s e d e te r m i n a m e d i a n te u n a n á lis is m á s r i g u r o s o q u e el q u e s e h a p r e s e n ta d o a q u í. T e m p e r a t u r a . E n la s e c c ió n 9 -4 s e c o n s i d e r ó el e f e c to d e u n c a m b io d e te m p e r a tu r a u n if o r m e A 7*s o b r e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a y s e in ­ d ic ó q u e e l e le m e n to s e a la r g a r ía o a c o r t a r í a u n a c a n ti d a d A L = a A T L . S in e m b a r g o , e n a lg u n o s c a s o s u n e le m e n to e s t r u c t u r a l p u e d e e s t a r s o ­ m e t id o a u n a d ife r e n c ia d e te m p e r a tu r a e n to d a s u p r o f u n d id a d , c o m o e n e l c a s o d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 4 a . S i e s to o c u r r e , e s p o ­ s ib le d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e lo s p u n to s a lo l a r g o d e la c u rv a e lá s tic a d e l a v ig a u s a n d o e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. P a r a e llo , p r i ­ m e r o d e b e c a lc u la r s e la c a n ti d a d d e ro ta c ió n d e u n e le m e n to d if e r e n c ia l d x d e la v i g a .c a u s a d o p o r e l g r a d i e n te té r m i c o q u e a c t ú a s o b r e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e la v ig a . P a r a h a c e r m á s c la r o e l a n á lis is , s e e le g irá e l c a s o m á s c o m ú n d e u n a v ig a q u e ti e n e u n e je n e u t r o s itu a d o a la m ita d d e la p r o f u n d id a d (c ) d e la v ig a . A l g ra f ic a r e l p e r f il d e la t e m p e r a t u r a , fig u ra 9-24¿> .se o b s e r v a r á q u e l a te m p e r a t u r a m e d ia e s T m = ( 7 , + T? ) / 2 . S i 7 , > 7*2, la d if e r e n c ia d e t e m p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r d e l e le m e n to c a u s a u n a d e f o r m a c ió n d e a la r g a m ie n to , m ie n tr a s q u e e n la p a r t e b a ja p ro v o c a u n a d e f o r m a c ió n p o r c o n tr a c c ió n . E n a m b o s c a s o s la d if e r e n c ia d e t e m p e r a t u r a e s A T m = 7 ’, — T m = T m — T 2. C o m o e l c a m b io té r m ic o 9 .8 E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a p e rfil d e la t e m p e r a t u r a d e lo n g i tu d e n la p a r t e s u p e r io r e in f e r io r e s d e 8 x = a &Tm d x , f ig u r a 9 -2 4 c , e n to n c e s la r o t a c ió n d e l m i e m b r o e s <b) d e m aA T s dx c Si s e a p lic a u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e n u n p u n to d e la v ig a d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to , o s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l e n u n p u n t o d o n d e d e s e a c o n o c e r s e e l d e s p la z a m ie n to r o ta c io n a l d e la t a n g e n t e , e n to n c e s e s ta c a rg a c r e a u n m o m e n to v ir tu a l m e n la v ig a e n e l p u n t o d o n d e se e n c u e n t r a e l e le m e n to d x . C u a n d o s e im ­ p o n e e l g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n la v ig a e s donde m = m o m e n to v ir tu a l i n t e r n o e n l a v ig a e x p r e s a d o e n fu n c ió n d e x , y c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a o e l m o m e n to d e p a r u n it a r i o v ir tu a l e x te r n o . a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a . & T m = d if e r e n c ia d e te m p e r a t u r a e n t r e la te m p e r a t u r a m e d ia y la t e m ­ p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r o in f e r io r d e la v ig a . c = p r o f u n d id a d m e d ia d e la viga. A m e n o s q u e s e in d iq u e lo c o n tr a r io , e n este te x to se c o n s id e r a r á n s ó l o la s d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s d e b id a s a la fl e x i ó n . N o o b s t a n te , p o r lo g e n e r a l lo s e le m e n to s d e v ig a s y m a r c o s p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a v a ria s d e las o tr a s c a r g a s a n a liz a d a s e n e s ta s e c c ió n . S in e m b a r g o .c o m o se m e n ­ c io n ó a n te r io r m e n te , la s d e fle x io n e s a d ic io n a le s c a u s a d a s p o r la s f u e r z a s c o r t a n te s y a x ia le s a lt e r a n l a d e f le x ió n d e la s v ig a s e n s ó l o u n p e q u e ñ o p o r c e n ta je p o r lo q u e g e n e r a lm e n te s e ig n o r a n , in c lu s o e n e l a n á lis is d e “p e q u e ñ o s ” m a rc o s d e d o s o tr e s e le m e n to s c o n u n n iv e l d e a ltu r a . S i é s t o s y o tr o s e f e c to s d e la to r s ió n y la te m p e r a t u r a d e b e n c o n s id e r a r s e e n u n an á lisis, e n to n c e s s im p le m e n te se a g re g a s u e n e r g í a d e d e f o r m a ­ c ió n v ir tu a l d e f i n id a p o r la s e c u a c i o n e s 9 -2 4 a 9 -2 7 a la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l d e f in id o p o r la e c u a c ió n 9 -2 2 o la e c u a c ió n 9 -2 3 . L o s s i­ g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e e s t a s e c u a c io n e s . ro ta c ió n p o sitiv a '&r —d x — (C ) fig u ra 9 -2 4 3 7 8 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .1 2 D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o d e la f ig u r a 9 -2 5 a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, G = 1 2 (1 0 3) k s i, / = 6 0 0 p u lg 4 y A = 80 p u lg 2 p a ra a m b o s e le m e n to s . E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l e s re c ta n g u la r . In c lu y a la e n e rg ía d e d e f o r m a c i ó n in t e r n a d e b id a a la c a rg a a x ia l y la f u e r e a c o r ta n te . -S p ie s - 4 k /p ic 10 T (a) fig u ra 9 -2 5 S O L U C IÓ N A q u í d e b e a p lic a rs e u n a c a r g a u n it a r i a h o r iz o n ta l e n C . L o s d ia g r a ­ m a s d e c u e r p o lib r e n e c e s a r io s p a r a la s c a r g a s r e a le s y v ir tu a le s se m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 9 -2 5 b y 9 -2 5 c. M 2 -2 S x} g i -1 2 5 V 2 - 0 ♦ —f 25 k 125 k 25 k n , = 125 1 0 p ie s Ti lk -U -| 125 k i - i IkJ-j 1.25 k c a r g a s v irtu a le s (b ) (c ) 9 .8 E n e r g í a d e d e e o r m a c i ó n v ir t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , r j e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a F le x i ó n . L a e n e r g ia d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b i d a a la fle x ió n se d e te r m in ó e n e l e je m p lo 9 -1 0 . S e d e m o s tr ó q u e , ' m M dx Ub 13 6 6 6 .7 k 3 - p i e 3 1 3 6 6 6 .7 k J - p i e 3 (12-’ p u lg 3/ l p ie 3) El [2 9 (1 0 * ) k / p u l g ?[( 6 0 0 p u lg 4) El A p a r tir d e lo s d a t o s d e la s fig u ra s 9 -2 5 b y 9 -2 5 c .s e C a rg a a x ia l. tie n e 1.25 k (2 5 k ){ 1 2 0 p u l g ) 8 0 P u lg 2p 9 ( 1 0 3) k /p u lg 7] + 1 k ( 0 ) ( 9 6 p u lg ) 8 0 p u lg ?[2 9 ( 10*) k /p u l g 2] = 0.001 6 1 6 p u lg • k F u e rz a c o rta n te . A l a p lic a r l a e c u a c i ó n 9 -2 5 c o n K = 1.2 p a r a s e c ­ c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s y a l u tiliz a r la s f u n c io n e s d e f u e r z a c o r ta n te q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 9 -2 5 6 y 9 - 2 5 c .r e s u lta f lo 1 . 2 ( l ) ( 4 0 - A x \ ) d x \ “ J'o o GA r 8 1 . 2 ( - 1 . 2 5 ) ( - 2 5 ) c/x2 J0 " GA 540 k? - p i e ( 1 2 p u l g / p i e ) = 0 .0 0 6 7 5 p u l g - k [ 1 2 ( 1 0 3) k /p u l g 2]( 8 0 p u lg 2) Si se a p lic a la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l .s e tie n e 1k• = 1.357 p u lg • k + 0 .0 0 1 6 1 6 p u lg • k + 0 .0 0 6 7 5 p u lg • k A Ct = 1.37 p u lg R esp . L a in c lu s ió n d e lo s e f e c to s d e la f u e r z a c o r t a n te y la c a r g a a x ia l c o n tr i­ b u y ó s ó l o c o n u n a u m e n to d e l 0 .6 % s o b r e la r e s p u e s ta q u e s e d e t e r ­ m in ó u s a n d o ú n ic a m e n te la fle x ió n . 1.357 p u lg - k 3 7 9 3 8 0 C a p it u l o EJEMPLO 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía 9 .1 3 L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 9 - 2 6 a se u tiliz a e n u n e d if ic io s o ­ m e tid o a d o s a m b ie n te s té r m ic o s d if e r e n te s . S i la t e m p e r a t u r a e n la s u p e r fic ie s u p e r io r d e la v ig a e s d e 8 0 ° F y e n la in f e r io r e s d e 160°F , d e te r m in e la d e fle x ió n v e rtic a l d e la v ig a e n s u p u n to m e d i o ,d e b id o al g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a . C o n s id e r e q u e a = 6 .5 (1 0 -6 )/° F . 80° F )EEE (b) Figura 9 -2 6 S O L U C IÓ N D a d o q u e la d e f le x ió n e n e l c e n tr o d e l a v ig a d e b e d e te r m in a r s e , se c o lo c a u n a c a r g a v ir tu a l u n it a r i a a llí y s e c a lc u la e l m o m e n to v ir tu a l in te r n o e n la v ig a , fig u ra 9 -2 6 6 . La te m p e r a t u r a m e d ia e n e l c e n t r o d e la v ig a e s (1 6 0 ° + 8 0 ° ) / 2 = 120°F, p o r lo q u e p a r a la a p lic a c ió n d e la e c u a c i ó n 9 - 2 7 , A T m = 120°F - 8 0 ° F = 40°F . A d e m á s , c = 1 0 p u l g / 2 = 5 p u lg . A l a p li c a r e l p r in c i­ p io d e l t r a b a j o v ir tu a l .s e ti e n e . . . . 1 Ib * A r C* = f L m a M m dx / ------------------- Jo c P -* ( í * ) 6 . 5 ( l < r 6) / oF (4 0 ° F ) -------------- c--------------------- d x 5 p u lg A c , = 0.0936 p u lg F.I r e s u lta d o in d ic a u n a d e f le x ió n m u y in s ig n ific a n te . R esp . 9 .9 9 .9 T e o r e m a d e C a s t o l ia n o p a r a v c a s y m a r c o s T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra v ig a s y m a rc o s L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n in t e r n a p a r a u n a v ig a o u n m a r c o re s u lta d e la e c u a c i ó n 9 -1 1 (U , = J M 2 d x / 2 E l ) . A l s u s titu ir e s t a e c u a c ió n e n la e c u a c ió n 9 -2 0 (A , = d U ,/d P ¡) y o m itir e l s u b ín d ic e / . s e ti e n e d [ ‘ M 2 dx A = J p ja I e T E n lu g a r d e e le v a r a l c u a d r a d o la e x p r e s ió n d e l m o m e n to in t e r n o M . in ­ te g r a r y lu e g o o b t e n e r la d e r iv a d a p a rc ia l, g e n e r a lm e n te r e s u lta m á s fá c il d if e r e n c ia r a n te s d e la in te g ra c ió n . D a d o q u e E e I s o n c o n s ta n te s , se tie n e (9 - 2 8 ) donde A = d e s p la z a m ie n to e x t e m o d e l p u n t o c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s q u e a c tú a n s o b r e la v ig a o m a rc o . P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la v ig a o m a r c o e n la d ir e c c ió n d e A. A i ■ m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a fu n c ió n d e x y c a u s a d o t a n t o p o r la f u e r z a P c o m o p o r la s c a rg a s r e a l e s s o b r e la v ig a . E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l d e l a viga. / = m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l c a lc u la d o re s p e c to a l e je n e u tr o . S i d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n t e 0 c n u n p u n t o . e s n e c e s a r io e n c o n ­ tr a r la d e r iv a d a p a rc ia l d e l m o m e n to i n t e r n o M c o n r e s p e c to a u n m o ­ m e n to d e p a r e x te r n o M ' q u e a c t ú a e n e l p u n to , e s d e c ir . dM í ‘\ A 6 = l U \ dx ) El (9 -2 9 ) L a s e c u a c io n e s a n te r io r e s s o n s im ila re s a la s u s a d a s p a r a e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l, e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e x c e p to q u e H M / d P y d M /B M ' re m p la z a n a m y m » , re s p e c tiv a m e n te . C o m o e n e l c a s o d e la s a r m a d u r a s , g e n e r a lm e n te se r e q u i e r e u n p o c o m á s d e c á lc u lo p a ra d e t e r m i n a r la s d e r iv a d a s p a r c ia le s y a p li c a r e l te o r e m a d e C a s tig lia n o e n v ez d e e m ­ p le a r e l m é t o d o d e l t r a b a j o v irtu a l. T a m b ié n , r e c u e r d e q u e e s t e te o r e m a s ó lo s e a p lic a a m a te r ia le s q u e te n g a n u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. S i se d e s e a u n a d e te r m i n a c ió n m á s c o m p le ta d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c tu r a , d e b e in c lu irs e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e b id a a la s f u e r ­ z a s c o r t a n te s , a x ia le s y d e to r s ió n . L as d e d u c c io n e s p a r a la f u e r z a c o r ­ ta n t e y la to r s i ó n s ig u e n e l m is m o d e s a r r o ll o q u e la s e c u a c i o n e s 9 -2 5 y 9 -2 6 . L a s e n e r g í a s d e d e f o r m a c ió n y s u s d e r iv a d a s s o n . re s p e c tiv a m e n te . C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía V 2d x • - r 2AG dP dx 9U , dx dP S in e m b a r g o , e s t o s e fe c to s n o s e in c lu y e r o n e n e l a n á lis is d e lo s p r o b l e ­ m a s p a r a e s t e te x to , d e b id o a q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s se p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te d e b id o a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r f le ­ x ió n . L o s m a r c o s m á s g ra n d e s , o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a g e o m e tr ía i n u ­ s u a l . p u e d e n a n a liz a r s e p o r c o m p u t a d o r a , d o n d e e s t o s e f e c t o s p u e d e n in c o r p o r a r s e fá c ilm e n te a l an á lisis. P r o c e d i m i e n t o d e a n á lis is E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­ n a r la d e f le x ió n y / o la p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e u n a v ig a o u n m a r c o u s a n d o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . F u e rz a e x t e r n a P o m o m e n t o d e p a r M • C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e l a v ig a o e l m a r c o e n e l p u n t o y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p l a ­ z a m ie n to d e s e a d o . • Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n to d e p a r M ' e n e l p u n to . • Se s u p o n e q u e t a n t o P c o m o M ' ti e n e n u n a m a g n itu d v a r ia b le p a r a o b t e n e r lo s c a m ­ b io s d M / d P o d M / d M ' . M o m e n to s in te r n o s M • E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g io n e s d e la v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y d is c o n tin u id a d e n la f u e r z a , la c a rg a d is tr ib u id a o e l m o ­ m e n to . • C a lc u le e l m o m e n to in t e r n o M en fu n c ió n d e P y M ' y c a d a c o o r d e n a d a x . A d e m á s , c a lc u le la d e r iv a d a p a rc ia l d M / d P o d M / d M ' p a ra c a d a c o o r d e n a d a x . • D e s p u é s d e d e t e r m i n a r M y d M / d P o d M / d M ' , a s ig n e a P o M ' s u v a lo r n u m é r ic o si h a n s u s titu id o a u n a f u e r z a o m o m e n to re a le s . D e lo c o n tr a r i o .e s ta b l e z c a P o M ' g u a ­ les a c e r o . T e o r e m a d e C a s tig lia n o • A p liq u e la e c u a c ió n 9 -2 8 o 9 -2 9 p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A o la p e n d ie n t e 6 d e s e a d o s . E s i m p o r t a n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s d e lo s v a lo r e s c o r r e s p o n ­ d ie n t e s d e M y d M /d P o d M / d M ' . • Si la s u m a r e s u lta n t e d e to d a s la s in te g r a le s d e f in id a s e s p o s itiv a , A o A tie n e n la m ism a d ir e c c ió n q u e P o M ' . 9 .9 T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 3 8 3 D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to d e l p u n t o B d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 2 1 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a e / = 5 0 0 (1 0 6) m m 4. 12 k N /m 1 2 k N ,t a 11 11 111 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 I I 11 I— I -------- 1 1A _ IW III - — 10 m (b) (a ) S O L U C IÓ N F u e rza e x t e r n a P. Se c o lo c a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la v ig a e n B c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 7 6 . M o m e n to s in te r n o s M . Se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra o b t e n e r la s o lu c ió n , p u e s t o q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a e n t r e A y B . Si s e u s a e l m é to d o d e las s e c c io n e s , fig u ra 9 - 2 7 c .s e tie n e ~M - Px = 0 (c) dM M = ~6x! - Px fig u ra 9 -2 7 -x dP A l e s t a b le c e r P = 0 , s u v a lo r re a l, r e s u lta M = -6 x : T e o re m a d e C a s tig lia n o . A r l J - " i dJ ± dP -x Si s e a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 . se tie n e d M \ d x - U P J E l i El 1 5 (1 0 * ) k N - m * El o b ie n 15(103) kN • m3 A/í 200( 106) k N /m ?(500( 106) m m ^ l O '12 m '/m m 1; = 0.150 m = 150 m m R esp . D e b e o b s e r v a r s e l a s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la o b te n i d a m e ­ d ia n te e l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-7. 3 8 4 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o f í d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 8 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 (1 0 6) m m 4. S O L U C IÓ N M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e la p e n d ie n te e n e l p u n t o f í . s e c o lo c a u n p a r e x t e r n o M ' a > b re la v ig a e n e s e p u n to , fig u ra 9 -2 8 6 . ta) M o m e n to s in t e r n o s M . P a r a d e te r m i n a r lo s m o m e n to s in te r n o e n la v ig a d e b e n u s a r s e d o s c o o r d e n a d a s . x\ y a p u e s t o q u e h a y u n a d is ­ c o n tin u id a d . M ' , e n f l . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 .2 8 6 .a :, va d e A a f í y x2 v a d e f í a C . U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c i o n e s , fig u ra 9 -2 8 c . lo s m o m e n to s in te r n o s y la s d e r iv a d a s p a r c ia le s s e c a lc u la n d e la s ig u ie n te m a n e r a : 3 ItN P a ra * ,: — Ti­ L + S W = 0; M i + 3 a:i = (b) M \ = - 3 a:, d M x = 0 dM' P a ra a2 : t + 3kN = 0; - M 2 = M ' 3 kN f= 3 i r r.— Iv , M . ( ---- L l (c) Figura 9 -2 8 M ’ + dM 2 M, l 5 m 3 ( 5 + a:2 ) = 0 - 3 (5 + a ,) = I d M ' e— |Va T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 9 . r e s u lta B i M' O .su v a lo r r e a l, y se K d M' / E I 5( “ 3 a i)(0 ) d x x ■f. f - - 3 ( 5 + a:2) ( 1 ) d x 2 l El 1 1 2 .5 k N - m 2 F .I o b ie n -1 1 2 .5 k N - m 2 n 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2[60{ 106) m m 4]( 1 0 "12 m 4/ m m 4; = - 0 .0 0 9 3 8 r a d Resp. E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e 0fí e s o p u e s t o a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to d e p a r M '. O b s e r v e la s im ilitu d e n tr e e s ta s o lu c ió n y la d e l e je m p lo 9-8. 9 .9 T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l d e l p u n t o C d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 9 a . C o n s id e r e q u e E = 21X3 G P a , 1 = 150 (1 06) m m 4. 8 k N /m 3 8 5 2 0 kN S O L U C IÓ N (a ) F u erza e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e rtic a l P e n e l p u n to C, fig u ra 9 -2 9 b . D e s p u é s , e s t a f u e r z a s e r á ig u a l a u n v a lo r fijo d e 20 kN . M o m e n to s in t e r n o s M . E n e s te c a s o s e r e q u i e r e n d o s c o o r d e n a d a s x p a r a l a in te g r a c ió n , fig u ra 9-29¿>, p u e s to q u e la c a rg a e s d is c o n tin u a e n C . E m p le a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -2 9 c ,s e ti e n e P a ra j j : 8 k N /m i,+ 2 W = 0 ; - ( 2 4 + 0 .5 P )x , + 8 * , ( y ) a ra n + M, = 0 M \ = (2 4 + 0 . 5 P ) * , - A x\ 8 + 05P 2 4 + 0.5 P 1 F = “ *» (b ) P ara x 2: - M 2 + ( 8 + 0 .5 P ) x 2 = 0 = 0; M 2 = ( 8 + 0 .5 P ) x 2 bm dp 2 8 + 0 .5 P 2 4 + 0 .5 P 0 .5 x 2 (c) T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e P = 2 0 k N , s u v a lo r r e a l, y se a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 , r e s u lta - ■ ■ jx m / - ( 3 4 » ,- 4 x j) ( 0 .5 x , ) d x , Jo E l ,í 4 ( I 8 * 2)(0 .5 x 1) d x , El Jo 2 3 4 .7 k N • m 3 + 192 k N • m 3 El | El 4 2 6 .7 k N - m 3 El o b ie n = _________________ 4 2 6 .7 k N • m 3__________________ kC’ ” 2 0 0 ( 106) k N /m 7[1 5 0 (1 0 6) m m 4j ( 1 0 - '2 m 4/ m m 4) = 0 .0 1 4 2 m = 14.2 m m R esp . F igura 9 -2 9 3 8 6 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s m é t o d o s d e e n e r g ía D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o C d e l m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 9-30a . E l s o p o r te e n A es fijo . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 * ) k s i , / = 600 p u lg 4. 2 k /p ie nTTTTT 12 p ie s e m p l e a n d o £J S O L U C IÓ N M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. S e a p lic a u n m o m e n to v a r ia b le M ' s o b r e e l m a r c o e n e l p u n to C , p u e s t o q u e d e b e d e te r m i n a r s e la p e n ­ d ie n te e n e s te p u n to , fig u ra 9 -3 0 6 . D e s p u é s , e s t e m o m e n to s e ig u a la rá a ce ro . (a) M o m e n to s in t e r n o s M . D e b id o a la d is c o n tin u id a d d e la c a rg a in ­ te r n a e n B , s e e lig e n d o s c o o r d e n a d a s .r, y * 2.c o m o s e m u e s tr a e n l a fi­ g u r a 9 -3 0 6 . U s a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -3 0 c , s e tie n e P a r a x x\ = O. -M , -2 * , ( § ) - vi dM i " ' - o = -1 dM 7 P a r a x 2: - M 2 - 2 4 { ^2 e o s 6 0 ° + 6 ) - t + Z A # = 0; M' = 0 M 2 = -2 4 { a :2 c o s 6 0 o + 6 ) - dM 2 dM ' T e o re m a d e C a s tig lia n o . c ió n 9 -2 9 s e o b ti e n e 24 k /I M; > A f' = -1 A l e s t a b le c e r M ' = O y a p li c a r la e c u a ­ t; " Vj ‘ ■/ “( S i •« (-* } ){ -!) dx, N X j e o s 60* + 6 p ie s ( C) “i s a - = í El c -2 4 ( x 2cos 60° + 6 ) ( - l ) d x 7 El F ig u r a 9 - 3 0 5 7 6 k -p ie 2 El 2040 k - p i e 2 _ 2 616 k - p i e 2 + El “ El 2 6 1 6 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 2) R esp . °C ~ 2 9 (1 0 * ) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4) 0 0 2 1 6 ra d 9 .9 T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 387 PR O BLEM AS F U N D A M E N TA LE S 19-13. D eterm ine la p en d ien te y e l desplazam iento e n el punto A . E l e s constante. U se el prin cip io del trab ajo virtual. 19-14. R esuelva el p ro b lem a F9-13 u sando e l te o re m a de Castigliano. 19 -1 9 . D eterm in e la p e n d ie n te e n A y e l desplazam iento e n e l p u n to C . E l e s co n stan te. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual. 1 9 -2 0 . R esuelva el p ro b lem a F9-19 u sando el te o re m a de Castigliano. i k N /m 30 kN in n u m . 4m —4 m 3 m 19-19/9-20 19-13/9-14 19-15. D eterm ine la p en d ien te y e l desplazam iento e n el punto A . E l e s constante. U se e l prin cip io del trab ajo virtual. 19-16. R esuelva e l p ro b lem a F9-15 u sando el te o re m a de Castigliano. 1 9 -2 1 . D eterm in e la p en d ien te y e l desplazam iento e n el p un to C. E l e s constante. U se e l principio d e l trab ajo virtual. 1 9 -2 2 . R esuelva el p ro b lem a F9-21 u sando el te o re m a de Castigliano. 12 k N 4 k N -m ( 2m -2 m 1 9 -1 5 /9 -1 6 1 9 -2 1 9 -2 2 19-17. D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el punto tí. E l e s constante. U se e l p rin c ip o d e l trab ajo virtual. 1 9 -2 3 . D ete rm in e el desplazam iento e n el p u n to C. E l es constante. U se el prin cip io d el trab ajo virtual. 19-18. R esuelva el p ro b lem a F9-17 u sando el te o re m a de Castigliano. 19-24 . R esuelva el p ro b lem a F9-23 u sando el te o re m a de Castigliano. 1 8 k N /r TTTirnrm^ 3 m --------- 1 9 -1 7 /9 -1 8 3 8 8 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía PR O BLEM AS 9 -2 1 . D eterm ine el desplazam ien to d e l p u n to C y la p e n ­ diente e n e l p u n to B . F.I es co n stan te. U se el principio del trab ajo virtual. 9 - 2 9 . D eterm in e la p e n d ie n te y e l d esp la z am ie n to e n el p u n to C .U s e el m éto d o d e l trab ajo virtual. F. = 29(10*) ksi. / - m p u lg 4. 9 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 9-21 usando e l te o re m a de Castigliano. 9 - 3 0 . R esuelva el p ro b lem a 9-29 u sando e l te o re m a de C astigliano. P r o b s . 9 - 2 9 /9 - 3 0 P r o b s . 9 - 2 1 /9 - 2 2 D eterm ine e l d esp la za m ien to e n el p u n to C. E l es constante. U se e l m éto d o d e l trab ajo virtual. 9 -2 3 . * 9 - 2 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-23 u sando el te o rem a de Castigliano. 9 -3 1 . D eterm in e e l d esp lazam ien to y la p en d ien te e n el p u n to C de la viga en voladizo. E l m o m en to d e in ercia de cada seg m en to se indica e n la figura. C o n sid ere q u e E = 29(10*) ksi. U se e l principio del tra b a jo virtual. *9-32. R esuelva e l p ro b lem a 9-31 u sando e l te o re m a de C astigliano. P r o b s . 9 - 2 3 /9 - 2 4 D eterm in e la p end ien te e n e l pun to C. E l es c o n s­ tante. U se el m éto d o d el trab ajo virtual. 9 -2 5 . P ro h s . 9 -3 1 )9 -3 2 9 -2 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-25 usando e l te o re m a de Castigliano. 9 -3 3 . D eterm in e la p e n d ie n te y el d esp laz a m ie n to e n el p u n to B . E l es constante. U se el m éto d o d e l trab ajo virtual. 9 - 2 7 . D eterm in e la p end ien te e n e l p u n to A . E l es c o n s­ tante. U se e l m éto d o d el trab ajo virtual. 9 - 3 4 . R esuelva e l p ro b lem a 9-33 usando e l te o rem a de C astigliano. *9-28. R esuelva e l p ro b lem a 9-27 u sando e l te o rem a de Castigliano. P r o h * . 9 -2 5 /9 -2 6 /9 -2 7 /9 -2 8 P ro b s . 9 -3 3 /9 -3 4 9 .9 9 -3 5 . D eterm ine la p e n d ie n te y e l d c sp laza m ien to e n el p u n to B .S uponga q u e e l so p o rte e n A es un p asad o r y e n C e s u n rodillo. C onsidere E - 29( 103) k si e / - 300 pulg4. U se el m éto d o d el trab ajo virtual. •9 -3 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-35 u sando e l te o re m a de Castigliano. -1 0 p ie s - T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 3 8 9 *9-40. D eterm in e la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n el p u n to A . S uponga q u e C está articulado. U se el principio d el trab ajo virtual. E l e s constante. 9 -4 1 . R esuelva e l p ro b lem a 9-40 u sando el te o rem a de Castigliano. 5 p ie s P ro b s. 9-35)9-36 9 -3 7 . D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n el p u n to B .S uponga q u e e l so p o rte e n A es u n p asad o r y e n C es u n rodillo. T o m e e n cu e n ta la e n e rg ía d e d efo rm ació n adicional d eb id a a la fu erza c o rtan te. C o n sid ere q u e E = 29(IO }) ksi. / «■ 300 p u lg 4. G - 12(10*) ksi y su p o n g a q u e A B tiene u n á re a en s u sección transversal d e A = 7.50 pulg2.U se el m étodo d e l tra b a jo virtual. 4 k /p ie 9 -4 2 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n e l p u n to D . U se el principio d e l trab ajo v irtu al. E l es constante. 8k 9 -3 8 . D eterm ine el d esp lazam ien to d e l p u n to C. U se el m étodo d el tra b a jo virtual. E l e s constante. 9 -3 9 . R esuelva e l p ro b lem a 9-38 u sando el te o re m a de Castigliano. 9 -4 3 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n e l p u n to D . U se el teo rem a d e C astigliano. E l e s co n stan te. *0 8k rrffm i> 4 p ie s - 4 pies P ro b .9 -4 3 _ ¡1 •4 p i« - 3 9 0 * 9 -4 4 . C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l p a r a d e t e r m i n a r la d e f l e x i ó n v e r tic a l e n e l s o p o r t e d e o s c i l a d o r 9 -4 5 . e m p l e a n d o D . E l e s c o n s ta n te . R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 4 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . m é t o d o s d e 9 -4 9 . e n e r g ía D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n to C . F .¡ e s c o n s t a n t e . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l. 9 -5 0 . R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 9 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . >ies P ro b s . 9 -4 4 /9 -4 5 P ro b s . 9 -4 9 /9 -5 0 9 -4 6 . E l m a rc o e n fo rm a d e L se c o m p o n e d e d o s seg m e n ­ to s , c a d a u n o d e lo n g itu d I . y rig id e z a la fle x ió n E l . S i s e s o ­ m e te a la c a r g a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a , d e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o riz o n ta l d e l e x tre m o C . U s e e l m é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l. 9 -4 7 . E l m a rc o e n fo rm a d e L se c o m p o n e d e d o s seg m e n ­ to s , c a d a u n o d e l o n g i t u d L y r i g i d e z a l a f l e x i ó n E / . S i s e s o ­ 9 -5 1 . D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n v e r t i c a l e n C . E l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l y e l m o m e n to d e in e rc ia d e c a d a s e g ­ m e te a la c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a , d e te r m in e e l m e n to s e m u e s tr a n e n la f ig u r a C o n s id e r e q u e E d e s p la z a m ie n to v e rtic a l d e l p u n to B . U s e e l m é to d o d e l tr a ­ G Pa. S uponga q u e b a jo v irtu a l. t r a b a j o v ir t u a l. *9-48. *9-52. R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 7 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . = 200 A e s u n s o p o r t e fijo . U s e e l m é t o d o d e l R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -5 1 . in c lu y e n d o e l e f e c t o d e la e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n c o r t a n t e y a x ia l. 9 -5 3 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -5 1 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s tig lia n o . A h c “ 6 .5 (1 0 * ) m m ? h e = 100(10“) mm* A a b - 1 8 (1 0 ’) m m 1 . 9 t> Ia h 40CH106) m m * P r o b a 9 - 4 6 ^ - 4 7 / 9 — 48 P ro b s . 9 -5 1 /9 -5 2 /9 -5 3 c 5 0 kN 9 .9 9 - 5 4 . D eterm ine la p en d ien te e n A . C o n sid ere q u e E = 29(103) ksi. E l m o m en to de inercia d e c a d a seg m en to del marco se indica e n la figura. S uponga q u e D e s u n so p o rte articulado. U se e l m éto d o d e l trab ajo virtual. R esuelva e l p ro b lem a 9-54 u sando e l te o re m a de Castigliano. 9 -5 5 . T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s U se el m éto d o d e l trab ajo virtual y d ete rm in e la d e ­ flexión horizontal e n C. E l es co n stan te H a y u n pasad o r e n A . S uponga q u e C e s un rod illo y q u e B e s una ju n ta fija. 9 -5 8 . Resuelva e l p ro b lem a 9-58 u sando el te o re m a de Castigliano. 9 -5 9 . 12 k 400 Ib/pie *9-56. U se e l m éto d o d e l tra b a jo v irtual y d eterm in e la d e ­ flexión h o rizontal e n C. E l á re a d e la sección transversal de cada e lem en to se indica e n la figura. S uponga q u e lo s ele­ m entos e stán articulados e n su s ex trem o s. E = 29(105) ksi. R esuelva e l p ro b lem a 9-56 u sando el te o re m a de C astigliano. 9 -5 7 . 2k Sk Probs. 9 - 5 6 9 - 5 7 3 9 1 •9 -6 0 . E l m arco e stá so m e tid o a la c arg a d e 5 k. D eter­ mine el d esp la z a m ie n to v ertical e n C. S u p o n g a q u e los elem en to s e stá n articu lad o s e n z i . C y E ,y q u e e stá n conec­ tad o s fijam ente e n las ju n ta s a c o d a d as B y D . E l e s cons­ tante. U se e l m éto d o d e l tra b a jo virtual. R esuelva e l p ro b lem a 9-60 u sando e l te o re m a de Castigliano. 9 -6 1 . 3 9 2 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía r e p a s o d e l c a p ít u l o Todos los m éto d o s d e e n e rg ía se b a sa n e n e l principio d e la conservación de la en erg ía, e l cual estab lece q u e e l trab ajo rea ­ lizado p o r to d a s las fuerzas ex tern as q u e actú a n so b re la e stru c tu ra . l/,.s c tran sfo rm an e n trab ajo in te rn o o en erg ía de d e ­ form ación. U¡, desarro llad a e n lo s e lem en to s c u a n d o la e stru ctu ra se d efo rm a. U r = U, U n a fuerza (m om ento) realiza tra b a jo U cuando e x p erim en ta u n desplazam iento (ro tació n ) e n la dirección d e la fuerza (m om ento). U = Md E l principio d e l trab ajo v irtu a l se b asa e n el tra b a jo realizad o p o r una fu erza u n ita ria “ virtual" o im aginaria. Si d e b e o b te ­ nerse la deflexión (ro tació n ) e n u n p u n to d e la e s tru c tu ra .s e aplica una fu e rz a (m o m en to d e p a r) u n ita ria v irtual a la es­ tru c tu ra e n e sc punto. E s to ocasiona cargas virtuales in tern as e n la e stru c tu ra. E l tra b a jo v irtual se d esarro lla c u a n d o las cargas reales se colocan so b re la estru ctu ra p ro v o can d o s u deform ación. l o s desplazam ientos e n las a rm ad u ras se e n c u e n tra n utilizando nN L 1 -A = 2 AE Si el desplazam iento e s cau sad o p o r la tem p eratu ra o e rro re s de fabricación, en to n ce s 1 -A = I n a tfL 1 -A = ZnAL R e p a s o d e l c a p it u l o 3 9 3 Para las vigas y los m arcos, e l d esp lazam ien to (ro tació n ) se d efin e a p a rtir de E l seg u n d o teo rem a d e C astigliano, tam b ién llam ad o el m é to d o d el tra b a jo m ínim o, p u ed e usarse p a ra d e te rm in a r las d e ­ flexiones e n las estru ctu ras q u e resp o n d an clásticam ente. S e afirm a q u e e l d esp lazam ien to (ro ta c ió n ) en u n p u n to de una e stru ctu ra e s igual a la p rim era d e riv a d a parcial d e la e n e rg ía d e d efo rm ació n en la e stru ctu ra con respecto a u n a fu erza /’ (m o m en to de p a r M ') q u e actú a e n e l p u n to y e n la dirección d el d esp lazam ien to (ro ta c ió n ). P ara u n a a rm a d u ra = Para vigas y m arcos Las ju n ta s d e este m a rco d e c o n c re to con ectad as fija m e nte ha cen q u e la e s ­ tructura sea estáticam ente in d e te rm in a d a . Análisis de estructuras estáticam ente indeterm inadas por el m étodo de la fuerza En e s te c a p ít u lo s e a p lic a rá e l m é t o d o d e la fu e rza o d e la fle x ib ilid a d p a ra a n a liz a r a rm a d u ra s , v ig a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a ­ d o s . A l f in a l d e l c a p ít u lo s e p re s e n ta rá u n m é t o d o p a ra d ib u ja r la lín e a d e in flu e n c ia p a ra u n a v ig a o u n m a rc o e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o . 1 0 .1 E s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s E n la s e c c ió n 2 - 4 s e e s ta b le c ió q u e u n a e s t r u c tu r a d e c u a lq u ie r tip o se c la s ific a c o m o e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a c u a n d o la c a n ti d a d d e r e a c ­ c io n e s o fu e r z a s in t e r n a s d e s c o n o c id a s e x c e d e a l a d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s p a r a s u a n á lis is . E n e s t a s e c c ió n s e a n a liz a r á n lo s b e n e fic io s d e u tiliz a r la s e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s y d o s f o r m a s f u n d a ­ m e n ta le s e n la s q u e p u e d e n a n a liz a rs e . T e n g a e n c u e n ta q u e la m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s d is e rta d a s e n la a c tu a lid a d s o n e s t á tic a m e n te in d e t e r ­ m in a d a s. E s ta in d e te r m in a c ió n p u e d e s u r g ir c o m o r e s u lta d o d e la a rta d id u r a d e s o p o r te s o e le m e n to s , o d e b i d o a la fo r m a g e n e r a l d e la e s t r u c ­ tu r a . P o r e je m p lo , la s c o n s tr u c c io n e s d e c o n c r e to r e f o r e a d o s o n c a s i s ie m p r e e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r q u e la s c o lu m n a s y las v ig a s s e v a c ía n c o m o e le m e n to s c o n ti n u o s a tr a v é s d e la s j u n t a s y s o b r e lo s so p o rte s . 3 9 6 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... Ventajas y desventajas. A u n q u e e l a n á lis is d e u n a e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a e s m á s c o m p lic a d o q u e e l d e u n a e s t á t i c a ­ m e n te d e te r m i n a d a , p o r lo g e n e r a l h a y v a r ia s ra z o n e s m u y im p o r ta n te s p a ra la e le c c ió n d e e s te tip o d e e s t r u c tu r a d u r a n t e e l d ise rto . P e r o a ú n m á s i m p o r t a n te e s q u e , p a r a u n a c a r g a d a d a , e l e s f u e r z o m á x im o y l a d e ­ fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a in d e te r m in a d a s o n g e n e r a l m e n t e m á s p e ­ q u e ñ o s q u e lo s d e s u c o n t r a p a r t e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . ft>r e je m ­ p lo . l a v ig a f ija m e n te a p o y a d a y e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e la fig u ra 1 0 - l a e s t a r á s o m e ti d a a u n m o m e n to m á x im o d e M mix m P I . / 8 , m ie n tr a s q u e la m is m a v ig a , c u a n d o e s t á s im p le m e n te a p o y a d a , fig u ra 1 0 - 1 6 .s e s o m e t e r á a d o s v e c e s e l m o m e n t o . e s d e c i r , = P L /4. E n c o n s e c u e n c ia , la v ig a f ija m e n te a p o y a d a ti e n e u n c u a r t o d e la d e f le x ió n y la m ita d d e l e s f u e r z o e n e l c e n t r o q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . O tr a r a z ó n im p o r ta n te p a r a s e le c c io n a r u n a e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a e s q u e ti e n e u n a te n d e n c ia a r e d i s tr ib u i r s u c a rg a e n su s s o p o r te s r e d u n d a n t e s e n la s s i tu a c io n e s d o n d e o c u r r e u n d is e rto d e f e c ­ tu o s o o s e p r e s e n ta u n a s o b r e c a r g a . E n e s t o s c a s o s , l a e s t r u c tu r a m a n ­ tie n e s u e s ta b ilid a d y s e e v it a e l c o la p s o . L o a n t e r i o r e s p a r t ic u l a r m e n t e im p o r ta n te c u a n d o s e im p o n e n s o b r e la e s t r u c tu r a c a rg a s la t e r a l e s re ­ p e n ti n a s ,c o m o la s p r o v o c a d a s p o r e l v ie n to o lo s sism o s. P a r a il u s t r a r e s to , c o n s i d e r e d e n u e v o la v ig a c o n u n e x tr e m o fijo d e la f ig u r a 1 0 -la . A m e d id a q u e P a u m e n ta , e l m a te r ia l d e la v ig a e m p ie z a a c e d e r e n su s p a r e d e s y e n s u c e n tr o f o r m a n d o “ a r tic u la c io n e s p lá s tic a s " lo c a liz a d a s , la s c u a le s h a c e n q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o si e s tu v ie r a c o n e c t a d a m e ­ d ia n te b is a g ra s o p a s a d o r e s e n e s t o s p u n to s . A u n q u e la d e f le x ió n s e h a g a g r a n d e , la s p a r e d e s d e s a r r o ll a r á n f u e r z a s h o r iz o n ta le s y r e a c c io n e s d e m o m e n to q u e p o d r á n s o s te n e r la v ig a y a s í e v it a r q u e s e c o la p s e p o r c o m p le to . E n e l c a s o d e l a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a d e la fig u ra 10 -1 6 , u n a c a r g a P e x c e siv a h a r á q u e la “ a rtic u la c ió n p lá s tic a " s e f o r m e s ó l o e n e l c e n t r o d e la v ig a y, d e b i d o a la g r a n d e f o r m a c ió n v e rtic a l, lo s s o p o r te s n o d e s a r r o ll a r á n n in g u n a f u e r z a h o r iz o n ta l n i r e a c c io n e s d e m o m e n to q u e p u d ie r a n s e r n e c e s a r ia s p a r a e v it a r u n c o la p s o to ta l. A u n q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s p u e d e n s o p o r ­ t a r u n a c a rg a c o n e le m e n to s m á s d e lg a d o s y ti e n e n m a y o r e s t a b ilid a d e n c o m p a r a c ió n c o n s u s c o n tr a p a r t e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s , h a y c a so s e n lo s q u e , p o r e l c o n tr a r io , e s t a s v e n ta ja s p u e d e n c o n v e r tir s e e n d e s v e n ta ja s . E l a h o r r o d e c o s to s e n m a t e r i a l d e b e c o m p a r a r s e c o n el c o s to a d ic io n a l n e c e s a r io p a r a f a b r ic a r la e s tr u c tu r a , p u e s to q u e e n m u c h a s o c a s io n e s la c o n s tr u c c ió n d e lo s s o p o r te s y la s ju n t a s d e u n a e s ­ tr u c tu r a in d e te r m in a d a e s m á s c o s to s a q u e la d e u n a d e te r m i n a d a . S in e m b a r g o , m á s im p o r ta n te a ú n e s q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e ­ te r m in a d a s t i e n e n r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s e n lo s s o p o r te s , e s n e c e s a r io te n e r m u c h o c u id a d o p a r a e v i t a r e l d e s p la z a m ie n to d if e r e n c ia l d e lo s s o ­ p o rte s . y a q u e e s t e e f e c to in tr o d u c e e s f u e r z o s in t e r n o s e n la e s tr u c tu r a . I \ ) r e je m p lo , s e a ju s ta r a s i la p a r e d u b ic a d a e n u n e x tr e m o d e la v ig a fija q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 - l a , s e d e s a r r o ll a r í a u n e s f u e r z o e n la v ig a d e b id o a e s t a d e f o r m a c ió n “ o b lig a d a " . P o r o t r a p a r t e , s i la v ig a e s tu v ie r a s im p le m e n te a p o y a d a o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a , fig u ra 1 0 - 1 6 , e n t o n ­ c e s c u a lq u ie r a ju s te d e s u e x tr e m o n o o c a s io n a r ía u n a d e f o r m a c ió n d e la v ig a y, p o r lo ta n t o , n o s e d e s a r r o ll a r á e s f u e r z o e n la v ig a . E n to n c e s , e n g e n e r a l , c u a lq u ie r d e f o r m a c ió n c o m o la c a u s a d a p o r e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o d e u n s o p o r te o lo s c a m b io s e n la lo n g itu d d e lo s e le m e n to s p o r e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o c a m b io s d e te m p e r a t u r a , in tr o d u c e e s f u e rz o s a d ic io n a le s e n la e s t r u c tu r a , lo s c u a le s d e b e n s e r c o n s id e r a d o s e n e l d i ­ s e rto d e e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s . 1 0 .1 E s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s P p (a) (b) Figura 10-1 M é to d o s d e análisis. A l a n a liz a r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a in d e t e r m i­ n a d a e s n e c e s a r io s a tis f a c e r lo s r e q u i s it o s d e e q u ilib r io ,c o m p a tib ilid a d y fu e r z a -d e s p la z a m ie n to p a r a la e s tr u c tu r a . E l e q u ilib r io s e s a tis fa c e c u a n d o las f u e r z a s d e re a c c ió n m a n t ie n e n la e s t r u c tu r a e n r e p o s o y la c o m p a tib i­ li d a d s e c u m p le c u a n d o lo s d if e r e n t e s s e g m e n to s d e la e s t r u c tu r a s e a ju s ­ ta n s in in t e r r u p c io n e s o tr a s la p e s in te n c io n a le s . L o s r e q u is ito s d e fu e r z a d e s p la z a m ie n to d e p e n d e r á n d e la f o r m a e n q u e r e s p o n d a e l m a te r ia l; e n e s te te x t o s e h a s u p u e s to u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. E n g e n e r a l, h a y d o s m a n e r a s d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u is ito s c u a n d o s e a n a liz a u n a e s t r u c tu r a e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a : e l m é to d o d e la f u e r z a o de la fle x ib ilid a d y e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to o de la rig id e z . M é to d o de la fuerza. O r ig in a lm e n te , J a m e s C le r k M a x w e ll d e s a ­ rr o lló e n 1864 e l m é to d o d e la f u e r z a y p o s t e r io r m e n t e f u e r e f in a d o p o r O tto M o h r y H e in r ic h M ü lle r-B re s la u . E s te m é to d o f u e u n o d e lo s p r i ­ m e r o s q u e e x is tió p a r a e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e t e r ­ m in a d a s . C o m o la c o m p a tib ilid a d f o r m a la b a s e d e e s t e m é to d o , e n o c a ­ s io n e s s e le h a lla m a d o e l m é to d o d e la c o m p a tib ilid a d o e l m é to d o d e lo s d e s p la z a m ie n to s c o n s is te n te s . E s te m é t o d o c o n s is te e n e s c r ib ir la s e c u a ­ c io n e s q u e s a tis f a c e n lo s re q u isito s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la ­ z a m ie n to p a ra la e s t r u c tu r a c o n e l f i n d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s r e d u n ­ d a n te s . U n a v e z q u e se h a n d e te r m i n a d o e s t a s f u e r z a s .s e c a lc u la e l r e s to d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n s o b r e l a e s tr u c tu r a m e d ia n te e l c u m p lim ie n to de lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io . L o s p rin c ip io s f u n d a m e n ta l e s in v o lu c ra d o s e n la a p lic a c ió n d e e s t e m é t o d o s o n fá c ile s d e e n t e n d e r y d e s a r r o ll a r , y se e s t u d ia r á n e n e s te c a p ítu lo . M é to d o del desplazam iento. E s te m é to d o s e b a s a e n e s c r ib ir p r im e r o la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to p a r a lo s e le m e n to s , p a ra lu e g o s a tis f a c e r lo s re q u isito s d e e q u ilib r io efe la e s t r u c tu r a . E n e s te c a s o la s in c ó g n ita s e n la s e c u a c io n e s s o n d e s p la z a m ie n to s . U n a v e z q u e s e h a n o b te n i d o lo s d e s p la z a m ie n to s , la s fu e r z a s se d e t e r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la z a m ie n to . E n lo s c a p ítu lo s 11 y 1 2 s e e s t u d ia r á n a lg u n a s d e la s té c n ic a s c lá s ic a s q u e se u ti­ liz a n p a r a a p lic a r e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to . D e b id o a q u e e n la a c ­ tu a lid a d c a s i to d o e l s o f tw a r e p a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e d e s a r r o lla iB a n d o e s t e m é to d o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,1 5 y 16 s e p r e s e n ta r á u n a f o r m u ­ la c ió n d e l a m a tr iz d e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to . C a d a u n o d e e s t o s d o s m é to d o s d e a n á lis is , q u e s e d e lin e a n e n la fig u ra 10-2 , ti e n e s u s v e n ta j a s y d e s v e n ta ja s p a r tic u la r e s , d e p e n d ie n d o d e la g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a y d e s u g r a d o d e in d e te r m in a c ió n . A l t e r m i n a r la p r e s e n ta c ió n d e lo s m é to d o s , s e d a r á u n a e x p lic a c ió n s o b r e la u tilid a d d e c a d a u n o d e e llo s. 3 9 7 3 9 8 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s Incógnitas p o r ... E c u a c io n es usad as p a r a la solución C oeficientes d e la s incógnitas M éto d o d e la fuerza F u e rz a s C o m p a tib ilid a d y fu e r/a -d c sp la /ít m íenlo C o efic ien te s d e flexibilidad M é to d o del d c sp L u am ien to desplaza m íen los E q u ilib rio y fu erza-desplazam iento C o e f ic ie n te d e rigidez H g u ra i0 -2 1 0 .2 M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : P ro c e d im ie n to g e n e ra l T a l v e z la m e j o r m a n e r a d e il u s t r a r lo s p rin c ip io s in v o lu c r a d o s e n e l m é ­ to d o d e a n á lis is d e la f u e r z a s e a c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-3a. S i s e d ib u ja r a s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , h a b r í a c u a tr o r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r te s ; y c o m o s e p u e d e d is p o n e r d e tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r u n a s o lu c ió n , la v ig a e s i n d e ­ te r m in a d a d e p rim e r g ra d o . ft>r lo ta n to .s e r e q u ie r e u n a e c u a c ió n a d ic io n al p a ra la s o lu c ió n . C o n e l fin d e o b t e n e r e s t a e c u a c ió n s e u s a r á e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n y s e c o n s i d e r a r á la c o m p a tib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to e n u n o d e lo s s o p o r t e s E s to s e h a c e a l e le g ir u n a d e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s c o m o “ r e d u n d a n t e " y a l e li m i n a r te m p o r a lm e n te s u e fe c to s o b r e la v ig a d e m a n e r a q u e é s t a s e v u e lv a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a y e s ta b le . E s ta v ig a s e c o n o c e c o m o la e stru c tu ra p r im a r ia . A q u í s e e lim i­ n a rá la a c c ió n d e re s tric c ió n d e l o s c ila d o r e n B . C o m o r e s u lta d o , la c a rg a F h a rá q u e B q u e s e d e s p la c e h a c ia a b a jo e n u n a c a n ti d a d A ,,, c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 10-3¿>. S in e m b a r g o , p o r s u p e r p o s ic ió n , la r e a c c ió n d e s c o n o c id a e n B . e s d e c i r , Br h a c e q u e la v ig a e n B se d e s p la c e & ' BR h a c ia a r r i b a , fig u ra 1 0 -3 c . A q u í, la p r i m e r a lite r a l d e e s ta n o ta c ió n d e d o b le s u b í n d ic e s e r e f ie r e a l p u n t o ( B ) d o n d e s e e s p e c ific a la d e f le x ió n , y la s e g u n d a lite r a l s e r e f ie r e al p u n t o ( B ) d o n d e a c t ú a la r e a c c ió n d e s c o ­ n o c id a . Si s e s u p o n e q u e lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s a c tú a n h a c ia a r r ib a , e n to n c e s , a p a r t i r d e las f ig u r a s 10-3<r a 1 0 -3 c .e s p o s ib le e s c r ib ir la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d n e c e s a r ia e n e l o s c ila d o r c o m o v ig a r e a l (a ) e s tr u c t u r a p r im a r ia (+t) <b) 10 a a ~ B yf BB | r e d u n d a n te B , a p lic a d a H guni 10-3 A h o r a s e in d ic a rá el d e s p la z a m ie n to e n B c a u s a d o p o r u n a c a rg a u n i ­ ta ria q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e c o m o e l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d li­ n e a l f RR. fig u ra 10 -3 d . S i s e e m p le a e l m is m o e s q u e m a a n t e r i o r p a r a e s ta n o ta c ió n d e d o b le s u b ín d ic e , f RR e s la d e f le x ió n e n B c a u s a d a p o r u n a c a r g a u n it a r i a e n B . C o m o e l m a t e r i a l s e c o m p o r ta d e u n a m a n e r a lin e a le lá s tic a , u n a f u e r z a B ^ q u e a c t ú a e n B . e n v e z d e la c a r g a u n ita r ia , c a u ­ s a r á u n i n c r e m e n t o p r o p o r c io n a l e n f RR. P o r lo ta n to , e s p o s ib le e s c r ib ir A* (c) (d) o = -Afl + ágg t r u . B C u a n d o s e e s c r ib e e n e s te f o r m a to , p u e d e v e rs e x ib ilid a d lin e a l f RR e s u n a m e d id a d e la d e fle x ió n lo q u e s u s u n id a d e s s o n m /N . p i e / b . e tc é te r a . d e c o m p a tib ilid a d a n t e r i o r p u e d e e s c r ib ir s e e n B y com o 0 = - A f l + fly/ i q u e e l c o e f ic ie n te d e f le ­ p o r u n id a d d e fu e r z a , p o r Ptor lo ta n t o , la e c u a c ió n té r m in o s d e l a in c ó g n ita 10 2 M f r o o o DE ANÁLISIS DE LA FUERZA: P R O C E D IM IE N T O G ENERAL 3 9 9 Si s e e m p l e a n lo s m é to d o s d e lo s c a p ít u lo s 8 o 9 , o la ta b l a d e d e fle x io n e s q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la p o r t a d a d e l lib ro , e s p o s ib le o b t e n e r la s r e ­ la c io n e s a d e c u a d a s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to p a r a l a d e f le x ió n A fl, fig u ra 10-3¿>,y e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d / b b . fig u ra 10-3*/; a s im is m o p u e d e d e te r m in a r s e la s o lu c ió n p a r a # y, e s d e c i r , B y = A b / Í b b - U n a v e z h e c h o e s t o .s e p u e d e n e n c o n t r a r las tr e s r e a c c io n e s e n la p a r e d A a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , la e le c c ió n d e la r e d u n d a n t e e s a rb itra ­ ria. P o r e je m p lo , e l m o m e n to e n A , fig u ra l0 - 4 a , p u e d e d e te r m i n a r s e d i­ re c ta m e n te a l e lim in a r la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to e n A , e s d e c ir , a l s u s tit u ir e l s o p o r te fijo p o r u n p a s a d o r . C o m o s e m u e s ­ tr a e n la fig u ra 10-4¿>, la r o ta c ió n e n A o c a s io n a d a p o r l a c a rg a P e s 6A, y la r o ta c ió n e n A c a u s a d a p o r l a r e d u n d a n t e M,* e n A e s Q 'a a , fig u ra IO-4c. Si se d e n o t a u n c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u la r a ^ c o m o e l d e s p l a z a ­ m ie n to a n g u la r e n A c a u s a d o p o r u n m o m e n to d e p a r u n ita r io a p lic a d o s o b r e A ,f i g u r a 1 0 - 4 J ,e n to n c e s , 9'a a = M Aa AA R>r lo ta n t o , e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u l a r m id e e l d e s p la z a ­ m ie n to a n g u la r p o r u n id a d d e m o m e n to p a r . y p o r lo ta n t o ti e n e u n id a ­ d e s d e r a d /N . m o d e r a d / lb • p ie, e tc é te r a . P or lo ta n to , la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a l a r o ta c ió n e n A r e q u ie r e q u e , 0 = 9 A + M Aa AA (r+ ) E n e s t e c a so . M A 0 /J a M . u n v a lo r n e g a tiv o ; q u e s im p le m e n te sig n ific a q u e M 4 a c tú a e n u n a d ir e c c ió n o p u e s ta a la d e l m o m e n to d e p a r u n ita rio . 10 ' ------- - - " I M ^ ° A e s tr u c t u r a p r im a r ia , MaQaa r e d u n d a n te (b) (c ) ----a AA <d) fig u ra 10-4 - ja i a p lic a d a 4 0 0 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s P. e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... Pj a .1 X 1i. x viga real (a) P. c. P? ^ — C JM U -■ As V estructura primaria <b> redundante B , aplicada (c) A'c c ^ / cc redundante C , aplicada (d) F ig u ra 1 0 -5 E n la f ig u r a 10 -5 a se d a u n te r c e r e je m p lo q u e il u s t r a la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e la fu e r z a . A q u í la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g r a d o , y p o r lo ta n t o s e r e q u i e r e n d o s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n . S e e le g ir á n la s f u e r e a s v e rtic a le s e n lo s s o p o r te s d e r o d illo B y C c o m o r e d u n d a n te s . L a v ig a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a r e s u lta n t e se d e f o r m a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -5 6 c u a n d o s e r e t i r a n la s f u e r ­ z a s r e d u n d a n te s . C a d a u n a d e e s t a s f u e r z a s , q u e s e s u p o n e a c tú a n h a c ia a b a jo , d e f o r m a la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n las f ig u r a s 10 -5 c y 1 0 -5 d , r e s ­ p e c tiv a m e n te . A q u í, lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d f BB y f CB se e n c u e n ­ AJ E t r a n a p a r t i r d e u n a c a r g a u n ita r ia q u e a c tú a e n /¡ .f ig u r a 1 0 - 5 e ; y / c c y / s c s e h a lla n a p a r t i r d e u n a c a rg a u n ita r ia q u e a c t ú a e n C , f ig u r a 1 0 - 5 / P o r s u p e r p o s ic ió n , la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a l a d e f le x ió n e n R y C s o n . r e s p e c tiv a m e n te =5= “ T (C) fCB (+1) . 1 B _ £ i --------- - * Y " Í bc fÍC ' f) " ( + 1) 0 = A„ + B J m + C , f BC 0 = A C + V e a + C /cc (1 0 -1 ) U n a v ez e s ta b le c id a s la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to u tiliz a n d o lo s m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9 . s e p u e d e n r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te e s ta s e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r las d o s fu e r z a s d e s c o n o c id a s . B y y C v. D e s p u é s d e h a b e r ilu s tr a d o la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la f u e r z a m e d ia n te u n e je m p lo , a h o r a s e a n a liz a r á s u a p lic a c ió n e n té r m i ­ n o s g e n e r a le s y lu e g o s e e m p l e a r á c o m o b a s e p a r a la s o lu c ió n d e p r o b l e ­ m a s r e la c io n a d o s c o n a rm a d u r a s , v ig a s y m a rc o s . S in e m b a r g o , p a r a to d o s e s t o s c a s o s te n g a e n c u e n ta q u e c o m o e l m é to d o d e p e n d e d e la s u ­ p e rp o s ic ió n d e d e s p la z a m ie n to s , e s n e c e s a r io q u e e l m a te ria l p e r m a n e z c a e lá stic o lin e a l c u a n d o se s o m e te a u n a c a rg a . A d e m á s , c o n s id e r e q u e c u a l­ q u i e r c a rg a d e r e a c c ió n e x te r n a o in t e r n a e n u n p u n t o d e la e s t r u c tu r a p u e d e d e te r m i n a r s e d ir e c ta m e n te a l l i b e r a r e n p r i m e r lu g a r la c a p a c id a d d e la e s t r u c tu r a p a r a s o p o r ta r la c a r g a , y d e s p u é s e s c r ib ir u n a e c u a c i ó n d e c o m p a tib ilid a d e n e l p u n to . V e a e l e je m p lo 10-4. *1BBes la deflexión en B causada p o r una carga unitaria en B;flH es la deflexión en C cau­ sada por una carga unitaria en R. 1 0 .2 M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: P fO C E D IM lE N T O G ENERAL P ro c e d im ie n to d e a n á lisis E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é to d o g e n e r a l p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s o c a rg a s in te r n a s d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e a n á lis is d e la f u e r z a o la fle x ib ilid a d . P r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n D e te r m in e e l n ú m e r o d e g r a d o s n e n q u e la e s t r u c tu r a e s in d e t e r m in a d a . D esp u és» e s p e ­ c ifiq u e la s n fu e r z a s o lo s n m o m e n to s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id o s q u e d e b e n r e t ir a r s e d e la e s t r u c t u r a p a r a q u e s e a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a y e s ta b le . U tiliz a n d o e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n , d ib u j e la e s t r u c t u r a e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a y m u e s tr e q u e e s ig u a l a u n a s e r ie d e e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d a s c o r r e s p o n d ie n te s . L a e s t r u c ­ tu r a p r im a r ia s o p o r ta la s m is m a s c a r g a s e x t e r n a s q u e la e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e ­ te r m i n a d a , y c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e se a ñ a d e n a la e s t r u c tu r a p r i m a r i a m u e s tr a la e s t r u c tu r a c a r g a d a c o n u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e s e p a r a d o . T a m b ié n , t r a c e la c u rv a e lá s tic a e n c a d a e s t r u c t u r a e in d iq u e s im b ó lic a m e n te e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a ­ c ió n e n e l p u n to d e c a d a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n te . E c u a c io n e s d e c o m p a t ib ilid a d E s c rib a u n a e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a c ió n e n c a d a p u n to d o n d e h a y a u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e . E s ta s e c u a c io n e s d e b e n e x p r e ­ s a r s e e n té r m in o s d e las r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s y s u s c o r r e s p o n d ie n t e s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d o b te n i d o s d e la s c a r g a s o m o m e n to s d e p a r u n ita r io s q u e s o n c o lin e a le s c o n las fu e r z a s o m o m e n to s r e d u n d a n te s . D e te r m in e t o d a s la s d e f le x io n e s y to d o s lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d e m p l e a n d o la ta b l a q u e a p a r e c e d e tr á s d e la p o r t a d a , o lo s m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9 .* S u s titu y a e s ta s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to e n las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y r e s u e lv a la s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c i d a s E n p a r t ic u l a r , s i e l v a lo r n u m é r ic o d e u n a r e d u n d a n t e e s n e g a tiv o , in d ic a q u e la r e d u n d a n t e a c tú a o p u e s t a a s u f u e iz a u n it a r i a o m o m e n to u n ita r io c o r r e s p o n d ie n te . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io D ib u je u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e s t r u c tu r a . C o m o la s f u e r z a s y / o m o m e n to s r e ­ d u n d a n te s y a h a n s id o c a lc u la d o s , la s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s r e s ta n te s p u e d e n d e t e r m i ­ n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E s n e c e s a r io te n e r e n c u e n ta q u e u n a v ez q u e se h a y a n o b te n id o to d a s las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s , e s p o s ib le d ib u ja r lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to , a s í c o m o d e t e r m i n a r la d e f o r m a c ió n e n c u a lq u ie r p u n to d e la e s t r u c tu r a m e d ia n te lo s m ism o s m é to d o s d e s c r ito s a n t e r i o r m e n t e p a r a e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s . • S e s u g ie re q u e s i e l d ia g r a m a d e M I E I p a r a u n a v ig a c o n s is te e n s e g m e n to s sim p le s, s e u s e n lo s te o r e m a s d e l m o ir e n t o d e á r e a o e l m é to d o d e l a v ig a c o n ju g a d a . I j i « g a s c o n d ia g r a m a s M I E I c o m p lic a d o s , e s d e c ir , a q u e l la s q u e p r e s e n ta n m u c h o s s e g m e n to s c u r v o s (p a ra b ó lic o s , c ú b ic o s, e t c é t e r a ) p u e d e n a n a liz a rs e fá c ilm e n te u tiliz a n d o e l m é ­ to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l, o e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o . 401 402 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 1 0 .3 e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... T e o re m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ; L e y d e B e tti C u a n d o M a x w e ll d e s a r r o lló e l m é to d o d e a n á lis is d e la fu e r z a , ta m b ié n p u b lic ó e l te o r e m a q u e re la c io n a lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d d e c u a l ­ q u ie r a d e lo s d o s p u n to s e n u n a e s t r u c t u r a e lá s tic a , y a s e a u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n m a rc o . E s te te o r e m a s e c o n o c e c o m o e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s y p u e d e e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : E l d e s p la z a ­ m ie n to d e u n p u n to f l e n u n a e stru c tu r a d e b id o a u n a c a rg a u n ita r ia q u e a c tú a e n e l p u n to A e s ig u a l a l d e s p la z a m ie n to d e l p u n to A c u a n d o la c a rg a u n ita r ia a c tú a e n e l p u n t o B, e s d ec ir, /& * = f AR. L a c o m p r o b a c ió n d e e s t e te o r e m a p u e d e r e a liz a r s e fá c ilm e n te m e ­ d ia n te e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l. P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 10-6. C u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a re a l a c tú a e n A ,s u p o n g a q u e lo s m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a e s t á n r e p r e s e n ta d o s p o r m A . P a r a d e t e r m i ­ n a r e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d e n f l . e s d e c ir . f fíA, s e c o lo c a u n a c a rg a v ir tu a l u n it a r i a e n f l.f ig u r a 10-7, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s in t e r n o s m fí. E n to n c e s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 8 s e o b tie n e / m Rm A ÍB Á - ) ~ ¿ F dx D e l m is m o m o d o , si d e b e d e te r m in a r s e e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d f AR c u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a r e a l a c tú a e n fl. fig u ra 10-7. e n to n c e s m R r e ­ p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a d e b id o a u n a c a r g a u n ita r ia re a l. P o r o t r a p a r t e , m A r e p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s d e b id o s a u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A ,f i g u r a 10-6. P b r lo ta n to . ( m Am R - J ~ e T íx 1 1 10 -ü - - '- ', ; _________ ÍBA H g u ra 10-6 1 H g u ra 10-7 1 0 -4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S P or s u p u e s to , a m b a s in te g r a le s d a n e l m is m o r e s u lta d o , lo q u e d e m u e s tr a e l te o r e m a , e l c u a l ta m b ié n se a p lic a e n la s r o t a c io n e s re c íp ro c a s , y p u e d e e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : L a r o ta c ió n en e l p u n t o B d e u n a e s tr u c tu r a d e ­ b id a a l m o m e n to d e p a r u n ita r io q u e a c tú a en el p u n to A e s ig u a l a la r o ­ ta c ió n en e l p u n to A , c u a n d o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio a c tú a e n e l p u n to B. ft>r o t r a p a r t e , s i s e u s a u n a fu e iz .a u n it a r i a y u n m o m e n to c o n c e n t r a d o u n ita rio , a p lic a d o s e n p u n to s s e p a r a d o s d e la e s t r u c tu r a , ta m b ié n se p u e d e e s t a b le c e r q u e : h r o ta c ió n e n ra d ia n e s e n e l p u n to B d e u n a e stru c ­ tu ra d e b id a a u n a c a rg a u n ita ria q u e a c tú a en la ju n ta A e s ig u a l a l d e s p la ­ z a m ie n to en e l p u n t o A , c u a n d o u n m o m e n t o c o n c e n tr a d o u n ita rio a c tú a en e l p u n to B. C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s te te o r e m a , e s p o s ib le a h o r r a r s e a lg u n o s t r a ­ b a jo s a l a p lic a r e l m é to d o d e la f u e r z a a lo s p r o b l e m a s q u e s o n e s t á tic a ­ m e n te in d e te r m in a d o s d e s e g u n d o g r a d o o d e u n g r a d o s u p e r io r . P o r e je m p lo , e n la s e c u a c io n e s 10-1 s ó l o d e b e c a lc u la r s e u n o d e lo s d o s c o e f i­ c ie n te s d e fle x ib ilid a d f BC o f CB, p u e s t o q u e f BC = f CB. P o r o t r a p a r t e , e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ti e n e a p lic a c io n e s e n e l a n á ­ lisis d e m o d e lo s e s t r u c tu r a le s y e n la c o n s tru c c ió n d e lín e a s d e in f lu e n c ia c o n e l p rin c ip io d e M ü lle r- B r e s la u ( v e a l a s e c c ió n 10-10). C u a n d o e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s s e f o r m a liz a e n u n s e n t id o m ás g e n e r a l , se c o n o c e c o m o la ley d e B e tti. D ic h o b r e v e ­ m e n te : E l t r a b a j o v ir tu a l 8 U AB re a liz a d o p o r u n s i s te m a d e fu e r z a s S P „ q u e e x p e r im e n ta n u n d e s p la z a m ie n to c a u s a d o p o r u n s is te m a d e fu e r z a s 2 P ,< e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l b U n * c a u s a d o p o r la s fu e r z a s Z P A c u a n d o la e s tr u c tu r a s e d e f o r m a d e b i d o a l s is te m a d e fu e r z a s d e S P fl. E n o tr a s p a la b ra s , 8 UAB = 8 U ¡ h . L a c o m p r o b a c ió n d e e s te e n u n c ia d o e s s im ila r a la d a d a a n te r io r m e n te p a r a e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s . 1 0 .4 M é to d o d e análisis d e la fuerza: Vigas E l m é to d o d e la f u e r z a a p lic a d o a las v ig a s s e d e s c r ib ió d e m a n e r a g e n e ­ ra l e n la se c c ió n 10-2. U til iz a n d o e l “ p r o c e d i m i e n to d e a n á lis is " q u e t a m ­ b ié n s e v io e n e s a m ism a s e c c ió n , s e p r e s e n ta n a h o r a v a rio s e je m p lo s q u e ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t a té c n ic a . Estas trabes de puente son estáticam ente indeterminadas puesto que son continuas sobre sus pilares. 4 0 3 4 0 4 C a p i t u l o E JE M P L O 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ... 1 0 .1 D e te r m in e la r e a c c ió n e n e l s o p o r te d e r o d illo B d e l a v ig a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -8 a . E l e s c o n s ta n te . 50 kN + Oc 7 estructura primaría redundante B, aplicada (b) Figura 10-8 S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P b r in s p e c c ió n , la v ig a e s e s tá tic a ­ m e n te in d e t e r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a r e d u n d a n t e s e to m a r á c o m o B v d e m o d o q u e e s ta f u e r z a p u e d a d e t e r m i n a r s e d ir e c ta m e n te . E n la fig u ra 1 0 -8 6 s e m u e s tr a la a p lic a c ió n d e l p rin c ip io d e s u p e r p o s i­ c ió n . O b s e r v e q u e la r e m o c ió n d e l a r e d u n d a n t e r e q u i e r e q u e se r e tir e e l s o p o r te d e r o d illo o la a c c ió n r e s tr ic tiv a d e la v ig a e n la d ir e c c ió n d e B v. A q u í s e h a s u p u e s to q u e B,. a c tú a h a c ia a r r ib a s o b r e l a viga. E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . Si s e to m a e l d e s p la z a m ie n to p o sit i v o c o m o d ir ig id o h a d a a r r ib a , fig u ra 1 0 -8 6 , se ti e n e 0 = - A f l + B yf BR :+t> ( 1) L o s t é r m i n o s An y f fíR s e o b ti e n e n f á c ilm e n te u s a n d o la ta b la d e la p o r ta d a in te r io r . E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e A fl ■ Ac + 9 ({ 6 m ) P o r lo ta n to , P ( L /2 )3 A» = P { L f2 ? + 3E l 2EI (!) (5 0 k N )(6 m )3 . (5 0 k N )(6 m )J „ 34.4 kN (t 112 kN-m | + -------------- 50 kN 6m 1. 2E l 3E7 _ í_ . 6m i -| 15.6 kN f “ ~ 3E l (6m, 1 (1 2 m ) 3 576 m3 3E l El . 9000 k N - m 1 El i t A l s u s titu ir e s to s r e s u lta d o s e n la e c u a c i ó n ( 1 ) r e s u lta (c) T) M (kN m ) 93.8 327 -112 (d) 0= + ^ '( e / ) By = 15,6 kN Resp' S i e s ta r e a c c ió n s e c o lo c a s o b r e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a , la s r e a e d o n e s e n A p u e d e n o b t e n e r s e a p a r t i r d e la s t r e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , fig u ra 1 0 -8c. D e s p u é s d e h a b e r d e t e r m i n a d o t o d a s la s r e a c c io n e s , p u e d e c o n s ­ tr u ir s e e l d ia g r a m a d e m o m e n to c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 10 -8 d . 1 0 -4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S H ld fllJM IM U D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -9 a . E l s o p o r te e n B se a s i e n ta 1.5 p u lg . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 7 5 0 p u lg 4. 20 k = A Í R - - “ Ev ' - ' A'a* - V * A» c s l r u d u r a p rim a rla r e d u n d a n te ; B , a p lic a d a (a ) (b ) F igura 10-9 S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P b r in s p e c c ió n . la v ig a e s in d e t e r m i­ n a d a d e p r i m e r g r a d o . S e e le g i r á e l s o p o r te c e n t r a l B c o m o r e d u n ­ d a n te , d e m a n e r a q u e s e e lim in a e l r o d i ll o e n B , fig u ra 10-9/>. A q u í se s u p o n e q u e B. a c tú a h a c ia a b a jo s o b r e l a viga. E c u a c ió n d e c o m p a t ib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l p u n t o B d e la fi­ g u r a 1 0 -9 6 , u s a n d o u n id a d e s e n p u lg a d a s , se r e q u i e r e + 1) 1.5 ( 1) p u lg = A fl + B y f bb S e u tiliz a rá la ta b l a d e la p o r ta d a in te r io r . O b s e r v e q u e p a r a A „ la e c u a d ó n d e la c u r v a d e d e f le x ió n r e q u i e r e q u e 0 < x < a . C o m o x = 24 pies, e n to n c e s a - 3 6 p ies. P b r lo ta n to . A fl 2 0 (1 2 ) (2 4 ) Pbx [( 4 8 ) 2 - ( 1 2 ) 2 - (L 2 - b 2 - / ' 6L E r ' (2 4 )2] 6 (4 8 )£ 7 3 1 ,6 8 0 k - p i e 3 El f BB PL? 1 (4 8 )3 2 3 0 4 k - p ie 3 4S E 1 AS E l El A l s u s titu ir e s to s v a lo r e s e n la e c u a c ió n ( l ) , s e o b ti e n e 1.5 p u lg ( 2 9 ( 1 0 3) k/pulg^JCTSO p u lg 4) = 3 1 .6 8 0 k • p ie 3( 12 p u lg /p ie ) 3 + f l ,( 2 3 0 4 k - p ie 3) (1 2 p u lg / p ie ) 3 By = - 5 .5 6 k E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e B v a c tú a h a d a a r r ib a s o b r e la v ig a . 4 0 6 C a p it u l o EJEM PLO 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 1 0 .2 (C o n tin u a c ió n ) E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10 -9 c * ti e n e i+ 2 M a = 0; -2 0 (1 2 ) + 5 .5 6 (2 4 ) + C y(4 8 ) = 0 C y = Z22 k A y - 2 0 + 5 .5 6 + 2 .2 2 = 0 + f 2 F y - 0; A y = 12.22 k C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , v e rifiq u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­ ta n t e y d e m o m e n to q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a I0 -9 d . 20 k A C 2 4 p iC 5 A , = 1222 k 5 .5 6 k í C, = 222 k (c ) V k) 1222 * (p ie s ) -2 2 2 •7.7 8 A f(k p ic ) 146.7 53J x ( p ie s ) 12 24 (d) 1 0 -4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra l ü - l ü a . E l e s c o n s ta n te . I g n o r e lo s e f e c to s d e la c a rg a a x ia l. S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . C o m o la c a rg a a x ia l e s in s ig n ific a n te , la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g ra d o . L o s d o s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s A y B se c o n s i d e r a r á n c o m o lo s r e d u n d a n t e s . L a c a p a c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir e s to s m o m e n to s s e e lim in a a l c o lo c a r u n p a s a ­ d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B . E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la v ig a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10- 10/». E c u a c io n e s d a c o m p a tib ilid a d . fig u ra 1 0 -1 0 6 ,r e q u i e r e q u e La r e f e r e n c ia a lo s p u n to s A y B . (r+) 0 = BA + M M „ a AB O) tt+) 0 = eB + MAaBA + M bobb (2 ) a0 a a + v ig a re a l II e s tr u c tu r a p r im a r ia + Oa a - M a« a a 0 ha ~ M a " ha m o m e n to re d u n d a n te M * a p lic a d o 4 ¡B C -----o’AH “ -W H»A« 0’BH - M b°HB m o m e n to r e d u n d a n t e M 0 a p lic a d o (b) fig u ra 10-10 4 0 7 4 0 8 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r... L a s p e n d ie n te s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r n e c e s a r io s p u e d e n d e te r m i n a r s e u s a n d o la ta b la q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la p o r ta d a . S e ti e n e 3 wL? A 128E l ~ lw Q 3 (2 X 2 0 )* 375 128É7 E l 7 (2 )(2 0 )J B ~ 384E l ~ 384£7 2 9 1 .7 " El M L = 1 (2 0 ) = ^ 6 7 0,4,4 3E l M L a/fB ° AB 3E l El 1 (2 0 ) = 6 ^ 7 3EI 3E l El ,ML a = 252 ° 6E l " 6EI " El O b s e r v e q u e Qra = a An, e s c o n s e c u e n c ia d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s . Si se s u s titu y e n lo s d a t o s e n la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) r e s u lta A l c a n c e l a r E ! y r e s o lv e r e s t a s e c u a c io n e s s im u ltá n e a m e n te , s e o b ­ tie n e M A = - 4 5 . 8 k • p ie M B = - 2 0 . 8 k • p ie C o n e s to s r e s u lta d o s p u e d e n c a lc u la r s e la s f u e r z a s c o r t a n te s e n lo s e x ­ tr e m o s , fig u ra 10-10 c , y g ra f ic a rs e lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n t e y d e m o ­ m e n to . / 1 0 -4 EJEMPLO M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S 1 0 .4 D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-1 la . E l e s c o n s ta n te . S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P o r in s p e c c ió n , la v ig a e s in d e t e r m i­ n a d a d e p r i m e r g ra d o . A q u í, c o n fin e s ilu s tra tiv o s , s e e le g irá e l m o ­ m e n to in t e r n o e n e l s o p o r te B c o m o l a r e d u n d a n t e . E n c o n s e c u e n c ia , b v ig a s e c o r ta y se c o lo c a n p a s a d o r e s e x tr e m o s o u n a b is a g ra e n B a fin d e l i b e r a r s ó lo la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir m o m e n to s e n e s te p u n to , fig u ra 10-1 I b . E l m o m e n to in t e r n o e n B se a p lic a a la v ig a e n la fig u ra 1 0 - 11c. E cu a cio n e s d e c o m p a tib ilid a d . A p a r t i r d e la fig u ra 10-1 l a se r e ­ q u ie r e q u e l a r o t a c ió n r e la tiv a d e u n e x tr e m o d e u n a v ig a c o n r e s ­ p e c to a l e x tr e m o d e la o t r a v ig a s e a ig u a l a c e r o .e s d e c ir . <r+) e B + = 0 M B °B B donde eB = e'B + o"B ° BB = °B B + ° BB 5001b 120 Ib /p ie 12 p ie s - | - 5 p ie s | 5 p ie s —| v ig a re a l (a) II 120 Ib /p ie . 8 'b s » lb estructura primaria (b ) + Ma Ma m o m e n to r e d u n d a n te M B a p lic a d o (c) Figura 10-11 4 0 9 4 1 0 C a p it u l o EJEM PLO 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 1 0.4 (C ontinuación) L a s p e n d ie n t e s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r e s p u e d e n d e te r m in a r s e a p a r t i r d e la ta b l a q u e s e p r e s e n ta d e tr á s d e la p o r t a d a , e s d e c ir . < *BB = 120( 1 2 )3 8 6 4 0 Ib - p ie 3 24E l 24EI El PL2 5 0 0 (1 0 )2 3125 I b - p i e 2 16E l 16 E l El ML 1 (1 2 ) 4 p ie s 3EI 3El El ML 1( 10) 3.33 p ie s 3E l 3E l El A sí 8 6 4 0 I b - p i e 2 , 3 1 2 5 I b - p ie 2 • + ------------ 77Z----------El El + / 4 p ie s M , ° \ El 3 3 3 p ie s \ V El ) M B = - 1 6 0 4 Ib - p ie E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e M B a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s t a a la q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1 0 -11c. U tiliz a n d o e s t e r e s u lta d o .s e c a lc u ­ la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 10- l i d . A d e m á s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to s o n c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 10-1 le . 5001b 1 6 0 4 Ib -p ie 16 0 4 Ib-pie c|T 8541b 5 8 6 Ib P 854 <54 Ib 1 4 1 0 1 b : M 4101b = ¡ 12641b 1 8 9 .6 Ib D C (d) M (I b -p ie ) - x (p ie s ) <e> 1 0 .5 1 0 .5 M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : M a rc o s E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y ú til p a r a r e s o lv e r p r o b l e m a s r e la c io n a d o s c o n m a r c o s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s q u e ti e n e n u n s o lo n iv e l y u n a g e o m e tr ía in u s u a l, c o m o lo s b a s tid o r e s d e d o s a g u a s. L o s p r o b l e m a s q u e in v o lu c ra n m a r c o s c o n v a rio s n iv e le s, o a q u e llo s q u e p r e s e n ta n u n a lto g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , s e re s u e lv e n d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te lo s m é to d o s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n ,d e la d is tr ib u c ió n d e l m o m e n to .o d e la rig id e z q u e s e a n a liz a rá n e n c a p ítu lo s p o s te rio r e s . I-os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la s a p lic a c io n e s d e l m é to d o d e la fu e rz a u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la s e c c ió n 10-2. E JE M P L O 1 0 .5 E l m a r c o , o c a b a lle te , q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía s e u s a p a r a s o ­ p o r t a r la c u b ie r ta d e l p u e n te . S i s e s u p o n e q u e E l e s c o n s ta n te , se p u e d e p r e s e n t a r u n d ib u jo d e l m a r c o j u n t o c o n s u s d im e n s io n e s y la c a rg a a p lic a d a , fig u ra 1 0 -1 2 a. D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . 4 0 k N /m (a) Figura 10-12 S O L U C IÓ N P r i n c ip i o d e s u p e r p o s i c i ó n . ft>r in s p e c c ió n , e l m a r c o e s e s t á tic a ­ m e n te in d e t e r m in a d o d e p r i m e r g ra d o . S e e le g i r á la r e a c c ió n h o r iz o n ­ tal e n A c o m o r e d u n d a n te . E n c o n s e c u e n c ia ,e l p a s a d o r A se re m p la z a p o r u n o s c ila d o r , p u e s to q u e u n s o p o r te d e e s t e tip o n o r e s tr i n g ir á A e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l. E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o al m o d e lo id e a liz a d o d e la e s t r u c t u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-12 b . O b ­ s e rv e c ó m o s e d e f o r m a e l m a r c o e n c a d a c a so . 4 1 2 C a p it u l o EJEM PLO 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 10.5 (C o n tin u ació n ) 40 kN/m e s tr u c t u r a p rim a r ia <b> E c u a c ió n d a c o m p a tib ilid a d . 10- I 2¿ r e q u i e r e q u e L a r e f e r e n c ia a l p u n t o A d e l a fig u ra 0 = A¿ + A J aa (*) ( 1) L os té r m in o s A ¿ y f AA s e d e te r m i n a r á n u s a n d o e l m é to d o d e l t r a ­ b a jo v ir tu a l. D e b id o a la s im e tría d e la g e o m e t r í a y la c a r g a s ó l o s e n e ­ c e s ita n tr e s c o o r d e n a d a s x. E s ta s y lo s m o m e n to s in te rn o s s e m u e s tra n e n la s fig u ra s 1 0 -12c y 10-12d. E s i m p o r t a n te q u e c a d a c o o r d e n a d a x s e a l a m is m a ta n to p a r a la s c a r g a s r e a le s c o m o p a r a la s v ir tu a le s . A d e m á s , la s d ir e c c io n e s p o s itiv a s d e M y m d e b e n s e r la s m is m a s . P a r a A ^ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a r g a s re a le s , f ig u r a 1 0 -12c. y u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d . A sí, ( 0 ) ( lx , ) d x , El lo 5 (1 0 0 0 + 200 (2 0 0 x 2) ( - 5 ) < / x 2 El x 3 + 2 jjof El - 2 0 x ^ )(-5 )d x 3 El = 0 - 25000 6 6 666.7 9 1 6 6 6 .7 El El El 4 0 k N /m f_X2- J = -S ¡ m , = -5 P L - 1000 + ZOO», - 2 0 * ,2 (c ) 1 kN 1 kN = 2 0 0 (5 + Jr3) - 4 Q r 3( S ) 300 k N 5m 200 kN (d> 1 0 .5 M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S P a r a f AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a re a l y u n a c a rg a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú e e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d .P o r lo ta n t o , =l f r * " 2j[ ^ r 1 * 2l {5?dX2 + 2[ {5fdx> _ 583.33 El S u s titu y e n d o lo s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n ( 1 ) y r e s o lv ie n d o s e o b ­ tie n e A x = 157 k N R esp . C o n e s t e r e s u I ta d o .c n la f ig u r a 10-12e se m u e s tra n la s r e a c c io n e s s o b r e e l m o d e lo id e a liz a d o d e l a e s t r u c tu r a . E c u a c io n e s d e e q u il ib r io . 4 0 k N /m (c) 4 1 3 4 1 4 C a p it u l o E JE M P L O 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 1 0 .6 D e te r m in e e l m o m e n to e n e l s o p o r te fijo A p a r a e l m a r c o q u e se m u e s tr a e n la fig u ra I0 -1 3 o . E l e s c o n s ta n te . S O L U C IÓ N Principio de superposición. E l m a r c o e s in d e t e r m in a d o d e p r i m e r g ra d o . S e p u e d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n d ir e c ta d e al e le g ir lo c o m o r e d u n d a n t e . A s í. la c a p a c id a d d e l m a r c o p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to e n A se e lim in a y p o r lo t a n t o s e u s a u n p a s a d o r e n e l s o p o r t e . E l p r in ­ c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a l a e s t r u c tu r a s e m u e s tra e n la fig u ra 10-136. Ecuación de compatibilidad. 1.a r e f e r e n c ia a l p u n t o A e n la fig u ra 1 0 -1 3 6 r e q u ie r e q u e tt+ ) 0 = BÁ + M (1 ) a <*a a C ó m o e n e l e je m p lo a n t e r i o r . 0 A y a AA s e c a lc u la u tiliz a n d o e l m é ­ to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l. L a s c o o r d e n a d a s x cfcl m a r c o y lo s m o m e n to s in te r n o s s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 10-13c y 1 0 -1 3 J. m a rc o re a l e s tr u c t u r a p r im a r ia (b) m o m e n to r e d u n d a n te a p lic a d o 1 0 .5 415 M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S P a r a 6 a se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a rg a s re a le s , fig u ra 1 0 -1 3 c ,y u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l, fig u ra 1 0 -1 3 d .P o r lo ta n t o . 222.5 Ib 5001b 1 570.8 Ib [ ‘ M m 0dx *Á * J , = £ El {79l7X' í ) ( 1 - 0 .0 8 3 3 * ,) d x \ " , - El r (2 9 6 .7 x ? - 5 0 ^ ) ( 0 .0 6 6 7 x ? ) d x . 2 9 .1 7 Ib 3001b Ti (c) 51 8 .5 + 3 0 3 .2 8 2 1 .8 El £ / El 0 .0 5 Ib P a r a a AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n m o m e n to d e p a r u n ita rio re a l y u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l q u e a c tú e e n A ,f ig u r a 10-13d. R>r ta n to , < *AA \ / x f% / V Sjf: m, - 1 < X 0 8 3 3 t, I * (1 - 0 .0 8 3 3 x ,)2 </x1 El - 1 E l 0 .0 6 6 7 Ib « j = 006671, m </n 6 dx El 3 .8 5 /0 .0 8 3 3 1 b l (ü .0 6 6 7 x 2) d x j 0 .0 8 3 3 Ib — ► . — | El 0185 = 404 E l l l b - p ic (d) E l S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) y re s o lv ie n d o s e o b ­ tie n e ° = ^ T T + M a\ Í T ) M a = _ 2 0 4 , b ' P ic R e sP ‘ E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a M ,, a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s ta a la q u e se m u e s tra e n la f ig u r a 10-13¿>. 10 4 1 6 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... PR O BLEM AS FU N D A M E N TA LE S 1 1 0 -1 . D eterm ine las reaccio n es e n e l s o p o rte fijo e n A y en e l rodillo e n B. E l e s co n sta n te . F10-4. D eterm in e las reacciones en la articulación A y en los ro d illo s e n B y C. 4 0 kN |A —^ B -----------------2 m ------------------ --------------- 2 m ----------------* F10-1 flO -2 . D eterm ine las reacciones e n el s o p o rte fijo e n A y en e l rodillo e n B . E l es co n sta n te . R 0 - 5 . D eterm in e las reaccio n es en la articulación A y en los ro d illos e n B y C so b re la viga. E l e s constante. H-o 5 0 kN 1r— 2m ¿m 'A 71 m 11 •p- *1U nil F10-5 10 F10-3. D eterm ine las reacciones e n e l so p o rte fijo e n A y en e l rodillo e n B. E l so p o rte B se a sie n ta 5 m m . C o n sid ere q u e E - 2M) G P a e / - 300 (10*) m m 4. f 1 ---1--- ■ 1 1 10 kN/m uJ ü - 1 1 . 6m 1 1 0 -3 "T--- --- - i . FIO -6. D eterm in e las reaccio n es en la articulación A y en los ro d illo s e n B y C so b re la viga. E l s o p o rte B x a sie n ta 5 mm. C o n sidere q u e £ = 200 G P a . / = 300(10*) m m 4. 10kN/m ■ ■ L il. l i l i l í l i l i l i l i , 11111 - 6m ■ -6 m F 1 0 -6 1 0 .5 M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 41 7 PR O BLEM AS 10-1. D eterm ine las reacciones e n lo s so p o rte s A y B . E I es co n stan te. * 1 0 - 4 . D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A , B y C; después d ib u je el d iag ram a d e fu erza c o rta n te y de m o ­ m ento. £ / e s constante. P r o b . 1 0 -1 1 0 -2 . D eterm ine las reaccio n es e n lo s so p o rte s A . B y C. d esp u és d ib u je los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o­ m ento. E l e s constante. 1 0 -5 . D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rtes, d e sp u és d ib u je e l d iag ram a d e fuerza co rtan te y d e m om ento. E l es constante. P ro b . 1 0 -2 P r o b . 1 0 -5 1 0 -3 . D eterm ine las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B . E I e s constante. 1 0 -6 . D ete rm in e las reaccio n es e n lo s so p o rtes, d e sp u és d ib u je e l diagram a d e m om entos. S uponga q u e B y C so n rodillos y q u e A está articulado. E l so p o rte e n B se asienta hacia a b a jo 0.25 pies. C o n sid ere q u e F. = í^ lO ^ Ic s i c / = 500 p u lg 4. P ro h . 10-3 P ro h . 10-6 418 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tru c tu ra s 10-7. D eterm in e la deflexión en el e x tre m o B de la tira aseg urada de a c e ro A -36. E l re so rte tien e u n a rigidez k = 2 N /m m . La tira tiene 5 m m de a n c h o y 10 m m d e alto. A dem ás, dibuje lo s d iag ram as de fu erza c o rta n te y de m o­ m ento p a ra la tira. *10-8. D eterm ine las reacciones en lo s soportes. E n la fi­ gura se m u estra e l m o m en to d e inercia p a ra cada segm ento. S uponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. C o n sid ere q u e E = 29(103) ksi. e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r... 10-10. D eterm in e las rea cc io n e s e n los so p o rtes, d e sp u és dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S uponga q u e e l so p o rte en t í e s u n rodillo. E l e s constante. 10-11. D ete rm in e las rea c cio n e s e n los so p o rtes, d e sp u és dibuje e l diagram a de m om entos. S uponga q u e A está articu ­ lado y q u e fí y C son rodillos. E l es constante. 6 0 0 Ib /p ic 10 k ¡ A H - 6 0 0 p u lg 4 — 18 p i e s ---------- = 3 0 0 p u lg 4 ! C 12 p i e s J P rob. 10-8 10 10-9. La sig a sim plem ente ap o y ad a se so m e te a la carga que se m u estra. D eterm in e la d eflexión e n su c e n tro C . E l e s constante. *10-12. D eterm in e las reaccio n es e n lo s soportes, d e sp u és dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S u p o n g a q u e e l so p o rte en A está articu lad o y q u e B y C so n rodillos. E l es c o n s­ tan te. 6 k ip /p ie S k ip - p ie íp ie s “ Í T r m -8 pies- P rob. 10-9 ^ _ f P rob. 10-12 1 0 .5 10-13. D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S uponga q u e A y C e stán articu lad o s y q u e la ju n ta e n B está conec­ ta d a fijam ente. E l es constante. M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 4 1 9 10-15. D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rtes, d e sp u és dibuje e l d iag ram a d e m om entos p ara c a d a elem en to . E l es constante. 10 k P ro h . 10-13 P ro h . 10-15 10-14. D eterm ine las reaccio n es e n los so p o rtes. E l es constante. 3k •1 0 -1 6 . D eterm in e las reacciones e n los soportes. S u ­ p onga q u e A está c o n e c tad o fijam ente. E e s constante. 4 2 0 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tru c tu ra s 10-17. D eterm ine las reac c io n es e n lo s so p o rtes. E l es constante. e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r... 10-19. E l m arco d e a cero s o p o rta las carg as indicadas. D e­ term ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical d e la re a c ­ ción e n lo s so p o rte s A y D . D ib u je e l d iag ram a d e m om en­ to s p ara lo s elem en to s d el m arco. E es constante. 8 k N /m 3 k /p ic U.L.U.LÜ..I-I.I. h - 2/, 12 pies P ro b . 10-17 15 pies- P ro h . 10-19 10-18. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D . El m o m en to d e inercia de c a d a seg m en to d e l m arco se m u es­ tra en la figura. C onsidere q u e E = 29( 103) ksi. *10-20. D eterm ine las reaccio n es en lo s s o p o rte s S u ­ p onga q u e A y B están a rticu lad o s y q u e las ju n ta s e n C y D so n con ex io n e s fijas. E l es constante. 3 k /p ie 2k 1 0 p ie s ----------P ro b . 10-18 1 0 .5 1 0 -2 1 . D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S u p o n g a q u e A y D e stán articulados. E l e s co n stan te. 8k 15 íes r M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 4 2 1 1 0 - 2 3 . D eterm in e las reacciones e n lo s soportes. S uponga q u e A y B están articulados. E l es co n stan te. 2 0 p ie s - Z Z E S T 7 10 p ie s 1 P r o h . 1 0 -2 1 P ro h . 1 0 -2 3 1 0 -2 2 . D eterm ine las reacciones e n los soportes. S uponga q u e A y B e stán articulados. E l e s constante. D os tablas, c a d a u n a co n e l m ism o E l y la mism a longitud L se cru zan e n tre s i de m an era p erp en d icu lar, com o se m u estra e n la figura. D eterm in e las reacciones ver­ ticales e n lo s soportes. S uponga q u e las tab las ap en as se tocan en tre s í a n te s d e aplicar la c arg a P . •1 0 -2 4 . 4 2 2 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 1 0 .6 e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a : A rm a d u ra s E l g r a d o d e in d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a , p o r lo g e n e r a l p u e d e d e ­ te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n ; s i n e m b a r g o , s i e s t o se h a c e d ifíc il, u s e la e c u a c ió n 3 -1 , 6 + r > 2 j. A q u í la s in c ó g n ita s e s t á n r e p r e s e n ta d a s p o r el n ú m e r o d e fu e r z a s e n la s b a r r a s ( fr), m á s la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s ( r ) , y e l n ú m e r o d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s e s d e 2 j p u e s to q u e p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s p a r a c a d a u n a d e la s j u n t a s (/). E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y a d e c u a d o p a r a a n a liz a r a r m a d u r a s q u e s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s d e p r i m e r o o s e g u n d o g ra d o . L o s s i ­ g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o u s a n d o e l p r o c e ­ d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la se c c ió n 10-2. E JE M P L O 1 0 .7 D e te r m in e la f u e r z a e n e l e l e m e n t o A C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s ­ tr a e n la fig u ra 1 0 -1 4 a . A E e s ig u a l p a r a to d o s lo s e le m e n to s . S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . l\ » r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s in d e ­ te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o .* C o m o d e b e d e te r m in a r s e la f u e r z a e n el e l e m e n t o C A .é s te s e e le g i r á c o m o r e d u n d a n te . P a r a e llo e s n e c e s a r io “c o r t a r " e l e le m e n to p a r a q u e n o p u e d a s o s te n e r u n a f u e i z a , c o n lo q u e la v ig a s e v u e lv e e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a y e s ta b le . E l p r in c i­ p io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10 -1 4 fr. E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l e l e m e n t o A C e n la fig u ra 1 0 -1 4 fr.se r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o A ^ c .e l c u a l o c u r r e e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to c o r t a d o A C d e b id o a la c a r g a d e 4 0 0 Ib . m á s e l d e s p la z a m ie n to r e l a ti v o F M f ACAC c a u s a d o p o r la fu e rz a r e d u n d a n t e q u e a c tú a s o la , s e a ig u a l a c e r o , e s d e c ir , 0 = * ac + Fa c / a c a c 4001b 4 0 0 Ib (b ) • A l a p lic a r la e c u a c ió n 3 - 1 , 6 + r > 2 j o 6 + 3 > 2 ( 4 ) . 9 > 8 , 9 - 8 = l c r g ra d o . (1 ) 1 0 .6 M é t o d o d e a n á l is is d e l a f u e r z a : A r m a d u r a s A q u í e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d ¿ c r e p r e s e n ta e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e le m e n to A C c a u s a d o p o r u n a c a rg a u n it a r i a “ r e a l " q u e a c t ú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­ m e n t o A C . E s te té r m in o , f AcAC y ^ a c x c a lc u la r á n e m p l e a n d o e l m é ­ to d o d e a n á lis is d e l t r a b a j o v ir tu a l. E l a n á lis is d e la f u e r z a , u tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s .s e r e s u m e e n la s fig u ra s 10-14c y 1 0 -1 4 d . P a r a A ^ - s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la c a rg a re a l d e 4 0 0 Ib , fig u ra 10-14 c , y u n a f u e r z a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a ­ d o s d e l e l e m e n t o A C .f ig u r a 10-14d. P o r lo ta n to . s? n N L * AC ~ ^ ~AE ( ” 0 .8 ) ( 4 0 0 ) ( 8 ) - 0 .6 ) ( 0 ) ( 6 ) . ( - 0 .6 ) ( 3 0 0 ) ( 6 ) AE AE AE t (1 ) (-5 0 0 )(1 0 ) + (1 )(0 )(1 0 ) AE AE 11 2 0 0 AE P a ra f # : r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s f u e r z a s u n ita r ia s r e a l e s y las f u e r z a s u n ita r ia s v ir tu a le s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l e le m e n to A C .f ig u r a 1 0 -1 4 d . A sí, Í ac ac AE ’( - ■ ( - 0 .8 ) 2(8 ) = 2 AE + 2 0 .6 )2( 6 ) AE + 2 (i£ io AE 34 .5 6 AE A l s u s tit u ir lo s d a to s e n la e c u a c ió n (1 ) y r e s o lv e r , s e o b tie n e FÁC = 3 2 4 Ib ( T ) R e sp . D a d o q u e e l r e s u lta d o n u m é r ic o e s p o s itiv o . A C e s tá s o m e tid o a te n s ió n ta l c o m o s e s u p u s o , f ig u r a 10-14/». U s a n d o e s t e r e s u lta d o , la s fu e rz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s p u e d e n e n c o n tr a r s e m e d ia n te e l e q u i l i ­ b rio . u s a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s . 4 2 3 4 2 4 C a p itu lo E JE M P L O 10 A n á lis is de e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r... 1 0 .8 D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 10-15 a s i e l to r n iq u e t e s o b r e el e le m e n to A C se u tiliz a p a ra a c o r t a r e l e le m e n to e n 0 .5 p u lg a d a s . C a d a b a r r a ti e n e u n á r e a e n su s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e 0 .2 p u lg 2, y E = 2 9 (JO 6) psi. U b i c a c i ó n d e F AC r e d u n d a n t e c s tr u c lu r a p r im a ria (b) F igura 10-15 S O L U C IÓ N P r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n . E s ta a r m a d u r a tie n e la m ism a g e o ­ m e t r í a q u e la d e l e je m p lo 10-7. C o m o A C se h a a c o r ta d o , s e e le g i r á c o m o r e d u n d a n te , fig u ra 10-156. E c u a c ió n d e c o m p a t i b i l i d a d . D e b id o a q u e n o h a y c a rg a s e x te r n a s q u e a c tú e n s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a ( a r m a d u r a ) , n o h a b r á d e s p l a ­ z a m ie n to r e l a ti v o e n t r e lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to s e c c io n a d o c a u ­ s a d o p o r l a c a rg a ; e s d e c i r A a c = 0 . E l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d / a c a c s e d e te r m i n ó e n e l e je m p lo 10-7, p o r lo q u e Si s e s u p o n e q u e la c a n ti d a d e n la q u e s e a c o r ta la b a r r a e s p o s itiv a , e n to n c e s la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a la b a r r a e s 34 56 0 .5 p u lg = 0 + - ^ t F ac A I r e c o n o c e r q u e e l / a c a c e s u n a m e d id a d e l d e s p la z a m ie n to p o r u n i­ d a d d e f u e r z a .s e tie n e 3 4 .5 6 p ie s ( 12 p u l g / p i e ) ° P “ * " ° + ( 0 .2 p u lg 2) |2 9 ( l ü 6) I b /p tilg 2] ^ AC R > r lo ta n t o , Fa c = «#93 Ib = 6 .9 9 k ( T ) Resp. D a d o q u e s o b r e la a r m a d u r a n o a c tú a n in g u n a f u e iz a e x t e r n a , la s re a c c io n e s e x te r n a s s o n ig u a le s a c e ro . P b r lo ta n t o , si s e u s a FAC y s e a n a liz a la v ig a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s s e o b ti e n e n lo s r e s u l­ ta d o s q u e s e m u e s tr a s e n l a fig u ra 1 0 - 15c. 10 . 7 1 0 .7 E s t r u c t u r a s c o m pu e s t a s E s tru c tu ra s c o m p u e s ta s L a s estru ctu ra s c o m p u e s ta s e s t á n f o r m a d a s p o r a lg u n o s e le m e n to s s o m e ­ tid o s s ó lo a f u e r / a a x ia l, m ie n tr a s q u e o tr o s e le m e n to s e s tá n s u j e to s a f le ­ x ión. S i la e s t r u c t u r a e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a , e l m é t o d o d e la fu e rz a p u e d e s e r c o n v e n ie n te m e n te e m p l e a d o p a r a s u a n á lis is . E l s i­ g u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l p ro c e d im ie n to . l a v ig a d e p é n d o la a r m a d a q u e s e m u e s tr a e n la f o t o ­ g ra fía e s t á s im p le m e n te a p o y a d a y d e b e d is e rta rs e p a r a s o p o r ta r u n a c a r g a u n if o rm e d e 2 k N /m . l a s d im e n s i o ­ n e s d e la e s t r u c tu r a s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 10-16 a . D e ­ te r m in e la f u e r z a d e s a r r o ll a d a e n e l e l e m e n t o C E . N o to m e e n c u e n ta e l e s p e s o r d e la v ig a y s u p o n g a q u e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o r e s a la v ig a . A d e m á s , ig n o r e e l e f e c to d e la c o m ­ p r e s ió n a x ia l y la f u e r z a c o r t a n t e e n la v ig a . E l á r e a d e ti se c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a p u n ta l e s d e 4 0 0 m m ', y p a r a la v ig a I 2 0 (1 0 6) m m 1. C o n s id e r e q u e E = 200 G Pa. e s tr u c t u r a re a l (a ) F ig u ra 1 0 -1 6 2 kN / m illlllllllíT T T l S O L U C IÓ N P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . S i s e c o n o c e l a f u e r z a e n u n o d e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a , e n to n c e s e s p o s ib le d e te r m i n a r la f u e r z a e n t o d o s lo s d e m á s e le m e n to s , a s í c o m o e n l a v ig a , m e ­ d ia n te l a e s tá tic a . P o r lo ta n to , la e s t r u c tu r a e s in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . P a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n , s e e lig e la f u e r z a e n e l e le m e n to C E c o m o la r e d u n d a n t e . E n to n c e s , e s t e e le m e n to se s e c c io n a p a r a e li m i n a r s u c a p a c id a d d e s o s te n e r u n a f u e r / a . E l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la e s t r u c t u r a s e m u e s ­ t r a e n la fig u ra 1 0 - 166. E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C ó n r e f e r e n c ia a l d e s p la z a ­ m ie n to re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e m e n t o C E , fi­ g u r a 1 0 - 1 6 6 .s e r e q u i e r e 0 = Ace + FceÍ c e c e (1 ) 10 r e d u n d a n te d e F c e a p lic a d a (b ) 4 2 6 C a p it u l o EJEM PLO 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 10.9 (C o n tin u ació n ) S e u s a r á e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a e n c o n t r a r A c e y Í c e c e - E l a n á lisis d e f u e r z a s n e c e s a r io se m u e s tr a e n las fig u ra s 1 0 - 16c y 1 0 - 16</. nirrrrmTnjj 2 k N /m rv sL JL -W 6kN 6 kN 6 kN is - 0 5 kN - 0 5 kN + 1.118 kN .118 kN 1 kN m, = -0 5 i( 1.118 kN 2 n -| ~ 1 « , - - 0 5 * , + 0 5 (* ,- 2 ) Io 5 k N 1 .1 1 8 kN (d) 1 0 .7 Es tr u c t u r a s c o m p u e s t a s 4 2 7 P a ra A c £ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e las c a r g a s r e a le s ,f ig u r a IO -16c, y u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l a p li c a d a a lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­ m e n to C E , fig u ra 1 0 -1 6 d . A q u í s e u s a r á la s im e tr ía la n ío d e la c a rg a c o m o d e la g e o m e t r í a , y s ó l o s e t e n d r á e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r ­ m a c ió n e n la v ig a y. p o r s u p u e s to , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n a x ia l e n b s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . P o r lo ta n t o , , ^nNL [ l Mm , A“ = J ~ÍT + ¿‘ ~ÁE _ f 1 (6x, - j¡)(-0 J * ,)d x , = J0 eT + Zj \ 6 x i - Á ) { ~ 1**2 + ^ (l.llg)(0)(V5)^ = - i - ^ + „ + o + o - 2 9 . 3 3 ( 1 0 ') 200 ( 109) ( 2 0 )(1 0 - - 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m 6\ P a r a / c e c b s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a r e a l y u n a c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l e le m e n to C E , fi­ g u ra 10-16rf. P ó r lo ta n to . Ln td x L . [ H -O S x tfd x , . r ' ( - i ) 2d x , El 1.3333 2_ 5390 05 2 El E l AE AE AE 3 3 3 3 ( 1 0 ') 8 .0 9 0 Í1 0 3) 2 0 0 ( 109) (2 0 ) ( lü ~ 6) 4 0 0 ( 1 0 “ 6) (2 0 0 ( 109)) 10 = 0 .9 3 4 5 ( 1 0 '') m /k N S u s titu y e n d o lo s d a t o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) se ti e n e 0 = - 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m + F Cf ( 0 . 9 3 4 5 ( 1 0 '') m / k N ) F c e = 7.85 k N R esp . 4 2 8 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 1 0 .8 e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... C o m e n ta rio s a d ic io n a le s s o b re el m é to d o d e a n á lisis d e la fu e rz a A h o r a q u e y a s e h a n d e s a r r o ll a d o la s id e a s b á s ic a s s o b r e e l m é to d o d e la fu e r z a , s e p r o c e d e r á a g e n e r a liz a r s u a p lic a c ió n y a n a liz a r s u u tilid a d . C u a n d o se c a lc u la n lo s c o e f ic ie n te s d e f l e x i b i l i d a d , / ^ o a „ ) , p a r a la e s ­ t r u c tu r a , p u e d e o b s e r v a r s e q u e s ó l o d e p e n d e n d e lo s m a te r ia le s y d e las p r o p ie d a d e s g e o m é tr ic a s d e lo s e le m e n to s y n o d e la c a rg a d e la e s t r u c ­ tu r a p r im a r ia . P o r lo ta n t o , u n a v e z d e te r m in a d o s , e s to s v a lo r e s p u e d e n u s a r s e p a r a c a lc u la r la s r e a c c io n e s p a r a c u a lq u ie r c a r g a . P a r a u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e n re a c c io n e s r e d u n d a n t e s , R „ .s e p u e d e n e s c r ib ir n e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d , a s a b e r : A | + /1 1 ^ 1 + / l 2 ^ 2 + ••• + f i n ^ n = 0 A2 + f 2\R\ + f 22^2 +••• + fh ,R ñ = o A„ + f„ \R \ + f n i R i + ••• + f m R n = o A q u í lo s d e s p la z a m ie n to s . A i ,..., A „. s o n c a u s a d a s la n ío p o r la s cargas re a le s s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a c o m o p o r e l a s e n ta m ie n to d e lo s s o ­ p o r te s o lo s c a m b io s d im e n s io n a le s d e b id o s a la s d if e r e n c ia s d e te m p e r a ­ tu r a o a lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n lo s e le m e n to s . P a r a s im p lific a r el c á lc u lo d e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n a l t o g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , las e c u a c io n e s a n te r io r e s p u e d e n r e p la n te a r s e e n f o r m a m a tric ia l, /21 /«2 Í 22 U fn2 7u - fu fu fnn. R2 " A i“ a2 (10-2) _A„_ o sim p le m e n te fR = - A 10 E n p a r tic u la r , o b s e r v e q u e f ¡ = = / 21, e t c é t e r a ) , u n a c o n s e c u e n c ia d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ( o le y d e B e tti). P o r l o ta n to , la m a tr iz d e fl e x ib i li d a d s e r á s im é tric a , y e s t a c a r a c ­ te r ís tic a e s b e n e fic io s a e n la s o lu c ió n d e g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io n e s lin e a le s , c o m o e n e l c a s o d e u n a e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a . A lo la r g o d e e s t e c a p ítu lo s e h a n d e te r m i n a d o lo s c o e f ic ie n te s d e f le ­ x ib ilid a d u s a n d o e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l q u e s e a p li c a a to d a la e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o , e s p o s ib le o b t e n e r e s to s c o e f ic ie n te s p a r a c a d a e le m e n to d e la e s t r u c tu r a , p a r a d e s p u é s , u s a n d o la s e c u a c io n e s d e tr a n s ­ fo r m a c ió n , o b t e n e r s u s v a lo r e s d e to d a la e s t r u c tu r a . E s te e n f o q u e se a n a liz a e n lo s lib r o s d e d ic a d o s a l a n á lis is m a t r i c ia l d e e s t r u c t u r a s y n o s e in c lu y e e n e s t e te x to .* • V e a . p o r e je m p lo , H . C M a r tin , b u r o d u c tio n l o M a tr ix M e lh o d s o fS ir u c lu r a lA n a l y á s . M cG ra w -H ill. N u e v a Y ork. 1 0 .9 A u n q u e lo s d e ta l le s p a r a la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a m e d ia n te m é to d o s in f o rm á tic o s ta m b ié n s e o m i te a q u í, e s p o s ib le h a c e r a lg u n o s c o m e n ta r io s y o b s e r v a c io n e s g e n e r a le s q u e s e a p lic a n al u tiliz a r e s te m é to d o p a r a re s o lv e r p r o b l e m a s q u e s o n a lt a m e n t e in d e t e r ­ m in a d o s y q u e , p o r c o n s ig u ie n te , im p lic a n g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io ­ n e s. A e s te re s p e c to , la p re c is ió n n u m é r ic a d e la s o lu c ió n m e jo r a si lo s c o e fic ie n te s d e fle x ib ilid a d s i tu a d o s c e rc a d e la d ia g o n a l p r in c ip a l d e la m a tr iz f s o n m a y o r e s q u e lo s s itu a d o s f u e r a d e la d ia g o n a l. P a r a lo g r a r e s te o b je tiv o , d e b e d e d ic a r s e a lg u n a re f le x ió n a la s e le c c ió n d e la e s t r u c ­ tu r a p r im a r ia . P a r a f a c ilita r e l c á lc u lo d e fj;, ta m b ié n e s c o n v e n ie n te e l e ­ g ir la e s t r u c tu r a p r im a r ia d e m o d o q u e s e a a lg o s im é tr ic a . E s to te n d e r á a p ro d u c ir a lg u n o s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d s im ila r e s o ig u a le s a c e r o . f t ) r ú ltim o , la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c t u r a p r i m a r i a d e b e s e r s im ila r a la d e l a e s t r u c tu r a r e a l. S i e s t o o c u r r e , e n to n c e s la s r e d u n d a n t e s in d u ­ c ir á n s ó l o p e q u e ñ a s c o r r e c c io n e s a l a e s t r u c t u r a p r im a r ia , lo q u e r e s u lta e n u n a s o lu c ió n m á s p r e c is a d e l a e c u a c ió n 10-2. 1 0 .9 E s tru c tu ra s s im é tric a s U n a n á lis is e s t r u c t u r a l d e c u a lq u ie r e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a o . p a r a e s e c a s o , in c lu s o u n a e s t r u c t u r a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a , se p u e d e s im p lif ic a r s ie m p r e q u e e l d is e ñ a d o r o e l a n a lis ta p u e d a n r e c o n o ­ c e r a q u e ll a s e s t r u c tu r a s q u e s o n s im é tr ic a s y q u e s o p o r t a n c a r g a s s i m é ­ tric a s o a n tis im é tric a s . E n u n s e n t id o g e n e r a l, u n a e s t r u c tu r a p u e d e s e r c la s ific a d a c o m o sim é tr ic a s ie m p re q u e la m ita d d e é s t a d e s a r r o ll e la m ism a c a r g a in t e r n a y d e f le x io n e s q u e la s d e s u im a g e n r e f le ja d a e n e l e s p e jo r e s p e c to a s u e je c e n tr a l. N o r m a lm e n te l a s im e tr ía r e q u i e r e q u e la c o m p o s ic ió n d e l m a te r ia l, la g e o m e t r í a , lo s s o p o r te s y la c a rg a s e a n ig u a ­ les e n c a d a la d o d e la e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o ,e s t o n o s i e m p r e tie n e q u e s e r así. T e n g a e n c u e n ta q u e p a r a la e s t a b ilid a d h o r iz o n ta l s e r e q u i e r e u n p a s a d o r p a r a s o p o r ta r la v ig a y la a r m a d u r a e n la s fig u ra s 10-1 l a y 10-1 I b . A q u í, la r e a c c ió n h o r iz o n ta l e n e l p a s a d o r e s ig u a l a c e r o y. p o r lo ta n to , a m b a s e s t r u c tu r a s s e d e f o r m a n y p r o d u c e n la m ism a c a r g a in t e r n a q u e s u c o n t r a p a r t e r e f le ja d a . C o m o r e s u lta d o , p u e d e n c la s ific a rs e c o m o sim é tric a s . O b s e r v e q u e e s t o n o s e r ía a s í p a r a e l m a r c o d e la fig u ra 1 0 -17c, s i e l s o p o r t e f i jo e n A se s u s titu y e r a p o r u n p a s a d o r , p u e s t o q u e e n to n c e s la f o r m a a lt e r a d a y la s c a rg a s in t e r n a s n o s e r ía n ig u a le s e n s u s la d o s iz ­ q u ie r d o y d e r e c h o . e je d e s im e tría («) Figura 10-17 E s t r u c t u r a s s im é t r i c a s 4 2 9 4 3 0 C a p it u l o 10 A n á l is is e j e d e s im e tría (c) Figura 10-17 d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... E n o c a s io n e s , u n a e s t r u c tu r a s im é tr ic a s o p o r ta u n a c a r g a a n tis im é ­ tr ic a , e s d e c ir , la c a r g a d e s u la d o r e f le j a d o ti e n e la d ir e c c ió n o p u e s ta , c o m o lo m u e s tr a n lo s d o s e je m p lo s d e la fig u ra 10-18. S ie m p r e q u e la e s ­ tr u c tu r a s e a s im é tric a y s u c a rg a s e a s im é tr ic a o a n tis im é tr ic a , u n a n á lis is e s t r u c tu r a l s ó lo te n d r á q u e ll e v a r s e a c a b o e n la m ita d d e lo s e le m e n to s d e l a e s tr u c tu r a , p u e s t o q u e e n la o t r a m ita d s e p r o d u c ir á n re s u lta d o s ig u a le s ( s im é tr ic a ) u o p u e s to s ( a n tis im é tr ic a ) . Si u n a e s t r u c tu r a e s s im é ­ tric a y s u c a rg a a p lic a d a e s a n tis i m é t r ic a ,e n t o n c e s e s p o s ib le tr a n s f o r m a r e s a c a r g a e n c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tric o s . P a r a e l l o .p r im e r o la c a rg a s e d iv id e e n d o s, lu e g o se re fle ja h a c ia e l o tr o la d o d e la e stru c tu r a y s e p r o d u c e n lo s c o m p o n e n te s ta n to s im é tr ic o s c o m o a n tis im é tr ic o s . P o r e je m p lo , la c a r g a s o b r e la v ig a d e l a f ig u r a 10- 19a se d iv id e e n d o s y s e r e ­ fle ja s o b r e e l e je d e s im e tr ía d e l a v ig a . A p a r t i r d e e s to , s e p r o d u c e n lo s c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tr ic o s d e l a c a r g a c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 10-19¿>. C u a n d o e s t o s c o m p o n e n t e s s e s u m a n s e p r o d u c e la c a rg a o rig in a l. A h o r a p u e d e r e a liz a r s e u n a n á lis is e s t r u c tu r a l p o r s e p a ­ ra d o e m p l e a n d o lo s c o m p o n e n te s d e c a r g a s im é tr ic a y a n tis im é tric a , p a r a d e s p u é s s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s y a s í o b t e n e r e l c o m p o r ta m ie n to re a l d e la e s tr u c tu r a . 2 k N /r 8 kN t JJTTTTTT[_ (a) 41N 4kN 1 k N /m c a rg a s im é tric a + 1 k N /m 4 kN i Je carga antisimétrica Figura 10-18 r í íj u t 11 ,-^r, 1 k N /m A 4kN carga antisimétrica (b) F igura 10-19 1 0 .9 E s t r u c t u r a s s im é t r i c a s 4 3 1 PR O BLEM AS 10-25. D eterm ine la tu erza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­ d u ra . A E e s constante. 10-27 . D eterm in e la fu erza e n el e le m e n to A C de la a rm a ­ d u ra . A E e s co n stan te. P ro h . 10-25 P ro h . 10-27 10-26. D eterm ine la fuerza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­ d u ra . E l á re a d e la sección transversal d e c a d a elem en to se indica e n la figura. E = 29 (105) ksi. S uponga q u e lo s ele­ m entos e stán articu lad o s e n su s extrem os. P ro h . 10-26 •1 0 -2 8 . D eterm ine la fuerza e n el e le m en to A D de la a r ­ m adura. E l á re a d e la sección tran sv ersal d e c a d a e lem en to se m u estra e n la figura. S uponga q u e los e le m e n to s e stá n a r ­ ticulados e n su s extrem os. C o n sid ere q u e E = 29(10*) ksi. P ro h . 10-28 4 3 2 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 10-29. D eterm ine la fuerza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­ d ura. Suponga q u e lo s e le m e n to s e stá n a rticu lad o s e n sus extrem os. A E e s co n stan te. e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 10-31. D eterm ine la fu erza e n e l e le m e n to C D de la a r ­ m ad u r a . A E e s co nsta n te. 10-30. D eterm ine la fuerza e n c a d a e le m e n to s de la a rm a ­ d u ra articu lad a. A E e s co n stan te. *10-32. D eterm ine la fu e rz a e n e l e le m e n to G B de la a r ­ m adura. A E e s constante. H lOk Prob. 10-30 G F 151 5k P rob. 10-32 1 0 .9 10-33. l a viga e n v o la d iz o A l t recibe so p o rte adicional m ediante d o s tira n te s D ete rm in e la fu erza en c ad a una de estas b a rr a s Pase p o r a lto la co m p resió n ax ial y la fuerza co rtan te e n la viga. P ara la viga. Ib = 2 0 0 (l(^ ) m m 4 y p a ra c ad a tira n te ,/! - 100 m m . C onsidere q u e E - 200 G P a. E s t r u c t u r a s s im é t r ic a s 4 3 3 10-35. l a viga a rm a d a so p o rta la carga u n ifo rm em en te d is trib u id a Si to d o s los e lem en to s d e la a rm ad u ra tie n en un área e n s u sección tran sv ersal de 1.25 pulg2 d ete rm in e la fuerza e n e l e le m e n to BC . P a se p o r a lto la p ro fu n d id a d y la com presión axial e n la viga. C onsidere q u e E = 29(10*) ksi p ara to d o s los elem en to s. A dem ás, p a ra la viga, IAn = 750 pulg4. Suponga q u e A es u n p a sa d o r y D e s un oscilador. 1 80 kN P ro h . 10-33 10-34. D eterm ine la fu erza e n lo s e le m e n to s A B , B C y B ü que se utilizan ju n to c o n la viga p ara so p o rta r la carga d e 3 0 k . La viga tie n e u n m o m en to d e in ercia d e / = 600 pulg4, los e le m e n to s A B y B C tienen una sección tran sv er­ sal de 2 pulg2 y B D tiene una sección transversal d e 4 pulg2. C bnsidcrc q u e E = 29(10*) ksi. Ignore e l e sp e s o r de la viga y su com presión axial, asim ism o suponga q u e to d o s lo s e le ­ m entos están articulados. A su m a ta m b ié n q u e e l so p o rte en A e s u n p a sa d o r y e n E e s u n rodillo. •1 0 -3 6 . La viga arm ad a so p o rta u n a fu erza co n c e n tra d a d e 80k e n s u c e n tro . D eterm in e la fu erza e n c ad a u n o d e los tres p u n tales y d ib u je e l d iag ram a d e m o m en to flexionante para la viga. lx>s p u n ta le s tienen u n á re a e n s u sección transversal d e 2 p u lg 2. S upongam os q u e e s tá n articu lad os e n su s extrem os. N o to m e e n cu e n ta la p ro fu n d id ad d e la viga n i e l efecto d e la co m p resió n axial en é sta . C o n sid ere q u e E = 29 (10*) k si p a ra la viga y los p u n ta le s A dem ás, para la viga. / = 400 pulg4. 80k P ro h . 1 0 -3 4 P ro h . 10-36 4 3 4 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s 10-37. D eterm ine las reaccio n es e n el so p o rte C. F.I es constante p a ra a m b a s vigas. e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... 10-39. l a viga e n vo lad izo se sostien e e n u n ex trem o m e ­ d iante una b a rra de su sp en sió n A C (fe $ p ulgadas d e d iá m e ­ tro y e stá fija e n el o tro e x tre m o B . D eterm in e la fuerza e n la b a rra d e b id o a u n a carga u n ifo rm e d e 4 k /p ie . F. = 29(10*) ksi. tan to p ara la v ig a c o m o p a ra la b arra . P P rob. 10-39 10-38. 1.a viga A B tiene u n m o m en to d e in ercia / = 475 pulg4 y yace so b re lo s so p o rte s lisos e n su s e x tre m o s U na varilla CD de 0.75 pulgadas d e d iám etro e stá so ld ad a al centro de la viga y al so p o rte fijo e n D . Si la te m p e ra tu ra de la varilla se red u c e e n 150 °F, d eterm in e la fu erza d e sa rro ­ llada en la b arra. T an to la viga com o la b a rra están h ech as de u n a c e ro para el cual E = 200 G P a y o = 6.5(10~6)/°F. *10-10. El e n sam b le estru c tu ral so p o rta las cargas indica­ das. D ib u je los d iag ram as d e m o m en to p a ra cada una d e las s ig a s C o n sid ere q u e / » 100(10®) m m 4 p ara las vigas y A 200 m m ' p ara el tiran te. T o d o s los e le m e n to s e stán h e ch o s d e a cero p ara el c u a l F = 200 G P a. 15 k N 10 6m |--------------5 p ie s - 2 m — 5 p ie s - * 4 m 8 k N /m í i i i i í i i 6 m P ro h . 10-38 P rob. 10-40 3 . 1 0 .1 0 1 0 .1 0 LIN E A S D E IN E IU E N C IA P A R A VIG A S E S TÁ TIC A M E N TE IN D E T E R M IN A D A S Lineas d e in flu e n c ia p a ra v ig a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s E n la se c c ió n 6 -3 se a n a liz ó e l u s o d e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u c o n e l fin d e d ib u j a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n , la c o r t a n te y e l m o ­ m e n to e n u n p u n t o d e u n a v ig a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . E n e s t a s e c ­ c ió n se e x te n d e r á e s t e m é to d o y s e a p lic a r á a v ig a s e s t á tic a m e n te in d e ­ te rm in a d a s . R e c u e r d e q u e , p a r a u n a v ig a , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u e s ta b le c e q u e ¡a lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o m o m e n t o ) está a la m is m a e sc a la q u e la fo r m a a lte ra d a d e la v ig a c u a n d o la v ig a s e v e a fe c ta d a p o r ¡a f u n c i ó n . P a r a d ib u j a r la f o r m a a lt e r a d a c o ­ rr e c ta m e n te , d e b e e lim in a r s e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la f u n ­ c ió n a p lic a d a a fin d e q u e l a v ig a p u e d a d e f o r m a r s e c u a n d o s e a p lic a la fu n c ió n . P a r a la s vigas e stá tic a m e n te d e te r m in a d a s , la s f o r m a s a lt e r a d a s ( o las lín e a s d e in f lu e n c ia ) s e r á n u n a s e r ie d e s e g m e n to s d e lín e a recta. P a r a la s v ig a s está tic a m e n te in d e te r m in a d a s , r e s u l t a r á n c u rv a s . S e a n a li­ z a rá la c o n s tr u c c ió n d e c a d a u n o d e lo s tr e s ti p o s d e lín e a s d e in f lu e n c ia (d e r e a c c ió n , d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to ) p a r a u n a v ig a e s t á tic a ­ m e n te in d e te r m in a d a . E n c a d a c a s o . s e ilu s tr a r á la v a lid e z d e l p r in c ip io d e M lllle r- B r e s la u u s a n d o e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n ­ to s re c íp ro c o s . Reacción en A . P a ra d e t e r m i n a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c ­ c ió n e n A e n la fig u ra 1 0 -2 ü a ,s e c o lo c a u n a c a rg a u n it a r i a s o b r e la v ig a e n p u n to s su c e s iv o s, y e n c a d a p u n to d e b e d e te r m i n a r s e la r e a c c ió n e n A . U n a g r á f ic a d e e s t o s r e s u lta d o s g e n e r a l a lín e a d e in flu e n c ia . I\> r e je m ­ p lo , c u a n d o la c a rg a e s t á e n e l p u n t o D , f i g u r a 1 0 - 2 0 a ,la r e a c c ió n e n A , q u e r e p r e s e n ta la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D , p u e d e d e t e r ­ m in a rs e m e d i a n te e l m é to d o d e la fu e iz a . P a r a e llo , se a p lic a e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s IO -20a a 1 0 -2 0 c. P o r lo ta n to , la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l p u n t o A e s 0 » f AD + A J a a o b i e n A y = —/ « © / / x a i s ¡ n e m b a r g o , p o r e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s f AD = ~ / m . fig u ra 10-2 lk /, p o r lo q u e ta m ­ b ié n e s p o s ib le c a lc u la r A y (o la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D ) u s a n d o la e c u a c ió n D v ig a re a l (a) R A n e s tr u c t u r a p r im a r ia (b ) * ,f* A r -X-A r a p lic a c ió n d e A , re d u n d a n te (c ) P b r c o m p a r a c ió n , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u r e q u i e r e e lim in a r e l s o p o r te e n A y a p lic a r u n a c a rg a u n it a r i a v e rtic a l. L a c u rv a d e d e f le x ió n r e s u lta n te ,f ig u r a 10-2 0 </,es a c i e r t a e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n ­ c ia p a r a A ,. S in e m b a r g o , e n la e c u a c ió n a n t e r i o r s e o b s e r v a q u e e l f a c to r d e e s c a la e s I / f AA. J a a D (d) F ig u ra 1 0 -2 0 4 3 6 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... C o r t a n t e e n E . S i d e b e d e t e r m i n a r s e la lí n e a d e in f lu e n c i a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o E d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -2 l a . e n to n c e s , p o r e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , l a v ig a s e im a g in a c o r ta d a e n e s te p u n t o y s e in s e r ta u n d is p o s itiv o d e d e s liz a m ie n to e n E , fig u ra 1 0 -2 1 6 . E s te d is p o s itiv o tr a n s m itir á u n m o m e n to y u n a f u e r z a n o r ­ m a l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o la v ig a s e f le x io n a d e b id o a la s c a r g a s c o r t a n te s u n ita r ia s p o s itiv a s q u e a c tú a n e n E , la p e n d ie n t e d e c a d a la d o d e la g u ía s ig u e s i e n d o la m is m a , y la c u rv a d e d e f le x ió n r e p r e ­ s e n t a a c i e r t a e s c a la la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n ¿ « f i­ g u ra 1 0 -2 le . S i s e a p lic a e l m é to d o b á s ic o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in ­ flu e n c ia d e la f u e r z a c o r t a n t e e n E ,e n t o n c e s s e r ía n e c e s a r io a p li c a r u n a c a rg a u n it a r i a e n c a d a p u n t o D y c a lc u la r la f u e r z a c o r t a n te e n E , fig u ra 1 0 -2 l a . E s te v a lo r , V F , r e p r e s e n ta r ía la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n c ia e n D . C o m o e n e l c a s o a n te r io r , u s a n d o e l m é t o d o d e la f u e r z a y e l t e o ­ r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p l a z a m i e n to s re c íp r o c o s , p u e d e d e m o s ­ tra rs e q u e D e n u e v o , e s t o e s ta b le c e la v a lid e z d e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , e s d e c ir , u n a c a rg a u n it a r i a c o r t a n t e p o s itiv a a p li c a d a a la v ig a e n E , fig u ra 10-21c, h a r á q u e la v ig a s e a l t e r e c o n la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a ra la f u e r z a c o r t a n t e e n E . A q u í e l f a c to r d e e s c a la e s (1 / f FF). l t 10 1 <b) I 1 (c) Figura 10-21 1 0 .1 0 M o m e n to en E. LIN E A S D E IN E IU E N C IA PARA V IG A S E S TÁ TIC A M E N TE IN D E T E R M IN A D A S L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n E d e la fig u ra 1 0 -2 2 a p u e d e d e te r m in a r s e a l c o lo c a r u n p a s a d o r o b is a g ra e n E , p u e s to q u e e s ta c o n e x ió n tr a n s m ite f u e r / a s n o r m a le s y c o r t a n te s , p e r o n o p u e d e re s is tir u n m o m e n to , f ig u r a 10*226. A l a p lic a r u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o p o s itiv o , l a v ig a s e d e f o r m a a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n tr a z o s d is c o n tin u o s e n l a f ig u r a 10-2 2 c,k> q u e g e n e r a a c ie r ta e s c a la la lín e a d e i n f lu e n c i a .d e n u e v o u n a c o n s e c u e n c ia d e l p r in c ip io d e M ü lle r-B re s la u . Si se e m p l e a e l m é to d o d e la f u e r z a y e l te o r e m a d e la r e c ip r o c id a d d e M a x w e ll, se p u e d e d e m o s tr a r q u e E l f a c t o r d e e s c a la a q u í e s ( \ / a KF) . 1 1 4 3 7 4 3 8 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in f lu e n c ia d e la r e a c c ió n , la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n u n p u n to d e u n a v ig a , m e d ia n te la t é c ­ n ic a d e M U lle r-B re sla u . L ín e a d e in f lu e n c ia c u a lita tiv a E n e l p u n t o d e la v ig a p a r a e l c u a l d e b e d e te r m i n a r s e l a lí n e a d e in f lu e n c ia , c o lo q u e u n a c o n e x ió n q u e e lim in e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r la fu n c ió n d e la lín e a d e in ­ flu e n c ia . S i la fu n c ió n e s u n a re a cc ió n v e rtic a l, u s e u n a g u ía d e r o d illo s v e rtic a l; s i la f u n ­ c ió n e s c o r í a m e ,u tilic e u n d is p o s itiv o d e d e s l i z a m i e n t o s s \ la fu n c ió n e s u n m o m e n t o .u s e u n p a s a d o r o u n a b is a g ra . C o lo q u e u n a c a r g a u n ita r ia e n la c o n e x ió n q u e a c tú e s o b r e la v ig a e n la " d ir e c c ió n p o s itiv a " d e la f u n c ió n . D ib u je la c u rv a d e d e f le x ió n d e la v ig a . E s ta c u rv a r e p r e s e n ta a c ie r ta e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la v ig a . L ín e a d e in f lu e n c ia c u a n ti ta t iv a Si d e b e n d e te r m i n a r s e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , c a lc u le e l d e s p la ­ z a m ie n to d e p u n to s s u c e s iv o s a lo la r g o d e la v ig a c u a n d o la v ig a e s tá s o m e ti d a a la c a rg a u n ita r ia c o lo c a d a e n la c o n e x ió n m e n c io n a d a a n te r io r m e n te . D iv id a c a d a v a lo r d e d e s ­ p la z a m ie n to e n t r e e l d e s p la z a m ie n to d e te r m i n a d o e n e l p u n t o d o n d e a c t ú a la c a rg a u n i ­ ta ria . A l a p li c a r e s t e f a c t o r d e e s c a la , lo s v a lo r e s r e s u lta n te s s o n las o r d e n a d a s d e la lín e a d e in flu e n c ia . 10 * P a r a e s t e v ia d u c to s e c o n s t r u y e r o n la s lín e a s d e in flu e n c ia d e la tr a b e c o n tin u a p a r a d i­ s e ñ a rla a d e c u a d a m e n te . 1 0 .1 1 1 0 .1 1 LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S Líneas d e in flu e n d a c u a lita tiv a s p a ra m a rco s H1 p rin c ip io d e M U IIer-B re sIa u p r o p o r c io n a u n m é to d o r á p i d o y tie n e u n g r a n v a lo r p a r a e s t a b le c e r la f o r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n la c o n s tru c c ió n d e m a r c o s U n a v e z q u e se c o n o c e la f o r m a d e la lín e a d e in flu e n c ia , e s p o s ib le e s p e c if ic a r d e in m e d ia to la u b ic a c ió n d e la s c a r g a s vivas d e m o d o q u e c r e e n la m a y o r in f lu e n c ia d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n , fu e rz a c o r t a n te o m o m e n to ) e n e l m a rc o . P o r e je m p lo , la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to p o s itiv o e n e l c e n tr o / de la tr a b e F G cfel m a rc o d e la fig u ra 1 0 -2 3 a se m u e s tr a m e d ia n te lín e a s d is c o n ti­ n u as. E n to n c e s , la s c a r g a s u n if o r m e s s e c o lo c a r ía n s ó l o s o b r e la s v ig a s A B . C D y F G c o n e l f i n d e c r e a r e l m a y o r m o m e n to p o s itiv o e n / . C o n el m a rc o c a r g a d o d e e s ta m a n e r a , fig u ra 10-23/», e n to n c e s p o d r ía r e a liz a r s e un a n á lisis in d e te r m in a d o d e l m a r c o p a ra e n c o n tr a r e l m o m e n to c r ític o e n / . (b) « g u ra 1 0 -2 3 4 3 9 4 4 0 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la r e a c c ió n v e rtic a l e n A p a ra la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra lü - 2 4 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s c a d a 6 p ie s . S O L U C IÓ N Se r e t i r a la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir la r e a c c ió n A r E s to s e h a ce u s a n d o u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a le s e l c u a l s e m u e s tr a e n la fi­ g u r a 1 0 -2 4 6 . A l a p li c a r u n a c a rg a u n it a r i a v e r tic a l e n A se o b tie n e la fo r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-24c. C o n e l f i n d e d e te r m i n a r la s o r d e n a d a s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , se u s a r á e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . L a s r e a c c i o n e s e n A y H s o b r e la “v ig a re a l” , c u a n d o s e s o m e te a la c a r g a u n ita r ia e n A , s e m u e s tr a n e n la fig u ra 1 0 -2 4 6 . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e se m u e s tr a e n la fig u ra 10-24d. O b s e r v e q u e e l s o p o r t e e n A ' sig u e s i e n d o e l m is m o q u e e l d e A e n la fig u ra 1 0 -2 4 6 . E s to s e d e b e a q u e u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a ­ les e n la v ig a c o n ju g a d a s o p o r ta u n m o m e n to , p e r o n o u n a f u e r / a c o r ­ ta n te . k> q u e c o r r e s p o n d e a u n d e s p la z a m ie n to p e r o n o a u n a p e n d ie n t e e n e l p u n t o A d e la v ig a r e a l, fig u ra 10-24c. I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­ te s d e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s t r a n e n la f ig u r a 1 0 -2 4 d . A h o r a s e c a lc u la r á n lo s d e s p la z a m ie n to s d e lo s p u n to s e n la v ig a r e a l, f ig u r a 10-246. 1k i k v ig a c o n ju g a d a (d) F ig u ra 1 0 -2 4 1 0 .1 1 LINEAS D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S 4 4 1 P a r a B ', p u e s t o q u e n o e x is te u n m o m e n to s o b r e la v ig a c o n ju g a d a e n B ’, fig u ra 10-24</, e n to n c e s ------6 p i e s --------1 AB = M 0 = b v ilix S H 162 . P a r a D ',f i g u r a 10-24e: El 2 M „ . = 0; AD = - E l (6 ) 936 U ± 2 \E I (e ) E l P a r a C \ f ig u r a 1 0 - 2 4 / 1656 El El P a r a A ',f i g u r a 10 -2 4 d: 1944 A Á = M ,. = El Mr P u e s to q u e u n a c a r g a v e r tic a l d e 1 k q u e a c tú a e n A » b r e l a v ig a d e fa fig u ra 1 0 -2 4 a c a u s a r á u n a r e a c c ió n v e r tic a l e n A de 1 k , e l d e s p la z a ­ m ie n to e n A , &A = 1 9 4 4 /£ Y , d e b e c o r r e s p o n d e r a u n v a lo r n u m é r ic o d e 1 p a r a la o r d e n a d a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia e n A . P o r lo ta n t o , a l d i­ vidir lo s o tr o s d e s p la z a m ie n to s c a lc u la d o s e n t r e e s t e f a c t o r .s e o b tie n e X A 1 C 0 .8 5 2 D 0 .4 8 1 tí 0 U n a g r á f ic a d e e s t o s v a lo r e s g e n e r a la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se m u e s tra e n la f ig u r a 10-24g. A, ° " 2 E 12 U n c a d e in flu e n c ia c u a n tita tiv a p a r a l a re a c c ió n e n A (g ) 18 -1 2 p ie s - t Vr (0 4 4 2 C a p it u l o E JE M P L O 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s ... p o r 1 0 .1 1 D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia d e la f u e r z a c o r ta n te e n D p a ra l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -2 5 a. E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo ­ re s n u m é r ic o s c a d a 9 p ies. p i e s - 4 - 9 p i e s - |--------- 18 p i e s (a ) F igura 10-25 S O L U C IÓ N S e e lim in a la c a p a c id a d d e l a v ig a p a ra re s is tir u n a f u e r z a c o r la n te e n D . E s to se h a c e m e d ia n te e l d is p o s itiv o d e r o d illo q u e s e m u e s tra e n la fi­ g u ra 1 0 -2 5 6 . A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r t a n t e u n it a r i a p o s itiv a e n f í se o b ti e n e la fo r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-25c. E n la fig u ra 1 0 -2 5 6 se m u e s tr a n las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s A , R y C s o b r e la " v ig a r e a l " , c u a n d o é s t a s e s o m e te a la f u e r z a c o r ta n te u n ita r ia e n D . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e s e m u e s tr a e n la f i ­ g u ra 10-25d. A q u í d e b e a p lic a r s e u n m o m e n to d e p a r e x t e r n o M 0 . en D ' a fin d e p r o v o c a r u n m o m e n to in te r n o d if e r e n t e ju s to a l a iz q u ie r d a y ju s to a la d e r e c h a d e D \ E s to s m o m e n to s in t e r n o s c o r r e s p o n d e n a to s d e s p la z a m ie n to s j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a e n d e s o b r e la v ig a re a l, fig u ra 1 0 -2 5 c. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A ’, B ' , C y e l m o m e n to e x t e r n o M/>- s o b r e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u ­ la d o y s e m u e s tr a n e n la fig u ra 10-25e. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s cálc u lo s. 1 k Ik 9 k -p ie | 9 k pic i. -P=1M =— í f | — 9 p ie s —^ Ik 9p ie s 18 p ie s 2k Ik 1 Ik viga real lin e a d e in flu e n c ia c u a lita tiv a p a r a la c o r t a n t e e n D (c ) (b) 162 162 El r El i" i - - 108 ¡ fiT í '•f W T 7 -T^° o ^ - jc 12 pies — 1-6 pie*—) F l |~6 270 (d) Pic»-|--- 12 P*es~ J 54 El EÍ (e ) 1 0 .1 1 LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S D a d o q u e e x is te u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to e n D \ s e c a lc u la rá e l m o m e n to in t e r n o j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a d e D '. J u s to a la iz q u ie rd a d e D \ f i g u r a 1 0 -2 5 /,s e ti e n e l M n . = 0; A , 405 h‘ n h ;i 4 0 -5 2 7 0 ... 2 3 0 8 .5 = - z r r ( 3 ) - — -(9 ) = E l El El = 4 4 3 . i M«r, I 3 I pies J u s to a l a d e r e c h a d e D ’, fig u ra 1 0 -2 5 g , r e s u lta (0 ÍM ff' = 0; ' ~ 4 0-5 270 = ~ E I~ ~ ~e T . 3888 ~ E I~ = 1579.5 E/ D e l a fig u ra 1 0 -2 5 e , = M * = 0 405 El ± ¿a = = 0 A c = Afc . = 0 P a ra e l p u n t o E , f i g u r a 10-25í>.si s e u s a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s e n d p u n to E ' c o r r e s p o n d ie n te s o b r e la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 1 0 -2 5 /i,s e tie n e XMr = 0; a £ = Mf = ^ ( 3 ) - ^ ( 9 ) = - ^ . J - 6 pies-i-. -j | ¿ <*> L a s o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c ia s e o b ti e n e n a l d iv i d ir c a d a u n o d e lo s v a lo r e s a n te r io r e s e n t r e e l f a c to r d e e s c a la W D- = 3 8 8 8 / f /. E n to n c e s , X Vo A 0 o,. D* AQ5 4 v * -:' -0 .5 9 4 I I 3 pies 0 .4 0 6 B m, 6 _J pies 1 54 0 E - 0 .0 9 3 8 C (h) 0 A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s ­ tr a e n l a fig u ra 10-25/. V'n U 4( 16 27 9 18 - 0 .0 9 3 8 -0 3 9 4 lín e a d e in f lu e n c ia c u a n tita tiv a p a r a la c o r ta n te e n D (0 36 10 4 4 4 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e l m o m e n to e n D p a r a la v ig a q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -2 6 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s c a d a 9 p ie s . (a) F igura 10-26 S O L U C IÓ N S e in s e rta u n a b is a g r a e n D co n e l fin d e e li m i n a r la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir u n m o m e n to e n e s e p u n to , fig u ra 10-266. A l a p li c a r m o m e n to s p a r u n ita r io s p o s itiv o s e n D . s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n ­ c ia d e la fig u ra 10-26c. E n la fig u ra 1 0 -2 6 b se m u e s tr a n la s r e a c c io n e s e n A . B y C s o b r e la “ v ig a re a l" , c u a n d o é s ta se s o m e te a lo s m o m e n to s d e p a r u n ita r io s e n D . L a v ig a c o n ju g a d a c o rr e s p o n d ie n te y s u s re a c c io n e s s e m u e s tra n e n la fi­ g u r a 10-26d. S e s u g ie re v e rific a r la s r e a c c io n e s e n a m b o s caso s. A p a r tir d e la fig u ra W - 2 6 d , o b s e r v e q u e A¿ = M a = 0 lk -p ic Afl = M f l = 0 A¿- = = 0 lk -p ic B 0.111 k 0222 k 0.111 k v iga re a l <b) 1 El a 1 k -p ie , , 1 k -p ie h n c a d e in flu e n c ia c u a lita tiv a p a r a e l m o m e n to e n D (c) I8 48 El FJ <d) .6 n 1 0 .1 1 LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S P a ra e l p u n t o D ' , fig u ra 10-26e: S M „ . - 0; A„ - P a ra e l p u n t o £ M c = 0; - |5 ( 3 ) + J |( 9 ) - fig u ra 1 0 -2 6 / A £ - M £. - ^ ( 3 ) - - | 7 ( 9 ) . - ^ E l d e s p la z a m ie n to a n g u la r a n o e n D d e la “v ig a r e a l " q u e s e m u e s ­ tra e n la fig u ra 10-26c s e d e f i n e p o r la r e a c c i ó n e n D ' s o b r e la v ig a c o n ju g a d a . E s te f a c to r , D ’y = 4 8 /E l , s e d iv id e e n t r e lo s v a lo r e s a n t e ­ rio re s p a r a o b t e n e r la s c o o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c i a .e s d e c ir . X m d A 0 D 3 .6 5 6 B 0 E -0 .8 4 4 0 C A l g r a f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se m u e s tra e n la f ig u r a 10-26g. Mn 3.656 —0 .8 4 4 I n c a d e in f lu e n c ia c u a n tita tiv a p a r a e l m o m e n to e n D (8) 4 4 6 C a p it u l o 10 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r ... PR O BLEM AS 10—41. D ibuje la linea d e influencia p a ra la reacción e n C. G rafique los v alores num éricos e n los picos. S uponga q u e A e s u n pasad o r y q u e B y C » n ro d illo s E l e s constante. 10-45. D ibuje la línea d e influencia p ara la reacción e n C. G ra fique los v a lo re s n um éricos c a d a 5 pies. E / e s constante. 15 pies * • 15 pies _jf -i P roh. 10-45 10-42. D ibuje la linca d e influencia p a ra e l m om ento e n A . G rafique los v alores num éricos e n los picos. S u p o n g a q u e A está fijo y q u e e l so p o rte e n B e s u n rodillo. E l e s constante. 10-43. D ibuje la linca de influencia p ara la reacción verti­ cal e n B . G ra fiq u e lo s v alo res n um éricos en los p ic o s S u ­ ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l e s constante. 10-46. B osqueje la linea d e influencia p a ra (a ) e l m o ­ m ento e n E\ (b ) la reacción e n C y (c) la fu erza co rtan te e n E. E n c a d a caso, indique en u n d ib u jo d e la viga, d ó n d e d e b e colocarse una carga v iv a uniform em ente distribuida de m odo que p ro d u zc a u n v a lo r p ositivo m áxim o d e e sta s funciones. S uponga q u e la viga e stá fija e n D. P ro h . 10-46 10 *10-44. D ibuje la linea de influencia p a ra la fu erza c o r­ ta n te e n C. G rafiq u e los v alo res n um éricos cada 1.5 m . S u ­ ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l e s constante. P ro h . 10-44 10-47. B osqueje la lín ea d e influencia p a ra (a ) la reacción v ertical e n C ;(b ) el m o m en to e n f l y (c) la fu erza co rta n te en E. E n c a d a caso, indique en un d ib u jo d e la viga, d ó n d e d ebe colocarse u n a c arg a viva u n ifo rm em en te distribuida d e m o d o q u e p ro d u zca u n v a lo r p ositivo m áxim o d e estas (u n c io n e s S uponga q u e la viga e stá fija e n F. P r o h . 10-47 10.11 •1 0 -4 8 . U se e l p rin c ip io d e M üller-B rcslau p ara b o sq u e ­ ja r la form a g en eral d e la línea d e influencia p ara (a ) e l m o ­ m ento e n A y (b ) la fuerza co rta n te e n B, 447 LIN E A S D E IN F L U E N C IA CUALITATIVAS P A R A M A R C O S 10-50. U se el prin cip io d e M llller-B reslau p a ra b o sq u ejar la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­ m ento e n A y (b ) la fu erza co rta n te e n B . C P ro b . 10-50 P ro b . 10-48 10-49. U se el princip io d e M llller-B reslau p a ra b osq u ejar la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­ m ento e n A y (b ) la fuerza co rta n te e n B. 10-51. U se el prin cip io d e M llller-B reslau p ara b o sq u ejar la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) e l m o ­ m ento e n A y (b ) la fuerza c o rta n te e n B. 10 A P ro h . 10-51 ñ 4 4 8 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r... R E P A S O D E L C A P ÍT U L O E l análisis d e una estru ctu ra estáticam en te in d eterm in ad a re q u ie re q u e se satisfag an e l eq u ilib rio , la co m p atib ilid ad y las relaciones d e fuerza-desplazam iento p a ra la e stru c tu ra . U n m éto d o d e análisis d e la fu erza con siste e n esc rib ir las ecuaciones q u e satisfacen los req u isito s d e co m patibilidad y d e fu erza-desplazam iento, lo q u e p ro p o rcio n a u n a solución directa p a ra las reaccio n es re d u n d an tes. U n a v ez o b te n id o esto , las rea cc io n e s re s ta n te s se e n c u e n tra n con b ase e n las ecuaciones de equilibrio. h----- * — v ig a re a l fl? í r r n r : ------------- ^- - - - - ■£- ’u b ” B . Í b b | + r e d u n d a n te d e B , a p lic a d a e s tr u c t u r a p rim a r ia i 0 = E l m éto d o d e la fuerza p u e d e sim plificarse m e d ia n te el teo rem a d e M axw ell d e lo s d esp la za m ien to s recíprocos, el cual e stab lece q u e e l d esp lazam ien to d e u n p u n to B sobre una estru ctu ra d e b id o a una c arg a un itaria q u e actúa e n e l p u n to A . f m , e s igual al d esp la z a m ie n to del punto A cuando la carga actú a e n B , f AH. - B f f RH 1 i -I— I ba Repaso d e l c a p itu lo El análisis de u n a e stru c tu ra está tic a m en te ind eterm in ad a p u ed e sim plificarse si la e stru c tu ra tiene una sim etría del m aterial, la g eo m e tría y la c arg a resp ecto a s u e je central. E n p articu lar, las e stru c tu ra s q u e tie n e n u n a c arg a asim é­ trica p u e d e n sustituirse p o r la su p erp o sició n d e una carga sim étrica y antisim étrica. 8 kN ^ 4 4 9 2 k N /m < JJTTTTTTL II 4kN , 1 k N /m 4kN | II.1I1IU I11L c a r g a s im é tric a + 4 kN IkN/m i.iiimIU f í i i i r< _ 1kN/m 4kN c a rg a a n tis im é tric a L as líneas de influencia p a ra estru ctu ras está tic am e n te in ­ d e te rm in ad as consistirán e n Uneos curvas. Se p u e d e n b o s­ q u e ja r usando e l prin cip io d e M Uller-BresIau. el c u a l e sta ­ blece q u e la fo rm a de la lín ea d e influencia, ya sea p ara u n a reacción, u n a fu erza c o rta n te o u n m o m en to esté a la mism a escala q u e la form a alterad a de la estructura cuando se vea afectad a p o r la reacción, la fu erza co rta n te o el m o­ m ento. respectivam en te. Si se e m p le a el te o rem a d e M ax­ well de las d eflexio n es recíprocas, e s posible o b te n e r los valores específicos d e las o rd e n a d a s de cu a lq u ie r lín ea de influencia. - fc : ; ^ =1- J L. fo rm a d e la lín e a d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n A Los e le m e n to s d e e s te m arco e s tá n c o n e c ta d o s fijam en te, p o r lo q u e e l m arco e s e s tá tic a m e n te in d eterm in a d o . M étodo de análisis del desplazam iento: Ecuaciones de pendiente-deflexión En e s te c a p ítu lo s e d e s c r ib e n b r e v e m e n te las id e a s b á s ic a s p a ra a n a li­ z a r e s tr u c tu r a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to . U n a v e z q u e s e h a y a n p r e s e n ta d o e s to s c o n c e p to s , s e d e s a rr o lla rá n las e c u a c io n e s g e n e r a le s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n , y d e s p u é s s e u sa rá n p a ra a n a liz a r v ig a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d o s . 1 1 .1 M é to d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : P ro c e d im ie n to s g e n e ra le s T o d a s la s e s t r u c tu r a s d e b e n s a tis f a c e r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io , d e s p l a ­ z a m ie n to d e c a r g a y c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s a fin d e g a ­ r a n t iz a r s u s e g u r id a d . E n la s e c c ió n 10-1 s e e s ta b le c ió q u e h a y d o s f o r ­ m as d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u i s it o s c u a n d o se a n a liz a u n a e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e t e r m in a d a . E l m é to d o d e a n á lis is d e la f u e r z a ,q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo a n t e r i o r . s e b a s a e n l a id e n tific a c ió n d e las fu e r z a s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s , p a r a d e s p u é s s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . E s to se h a c e a l e x p r e s a r lo s d e s p la z a m ie n to s e n té r m in o s d e las c a r g a s u s a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to . A l re s o lv e r la s e c u a c io n e s r e s u lta n t e s s e o b tie n e n las r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s , y d e s p u é s s e u tiliz a n la s e c u a c io n e s d e e q u i­ lib rio p a r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s r e s ta n te s d e la e s t r u c tu r a . E l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to fu n c io n a d e m a n e r a in v e rs a . R e q u ie re e n p r i m e r lu g a r s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a la e s t r u c tu r a . P a r a e l l o s e e s c r ib e n lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n té r m in o s d e la c a rg a u s a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , lu e g o s e re s u e lv e n e s t a s e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r lo s d e s p la z a m ie n to s . U n a v ez q u e s e c o n o ­ c e n lo s d e s p la z a m ie n to s , s e d e te r m i n a n la s c a rg a s d e s c o n o c id a s a p a r t i r d e las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d e m p l e a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a d e s p la z a m ie n to . T odos lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to s ig u e n e s t e p ro - 4 5 2 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n c e d im ie n to g e n e r a l. E n e s t e c a p ít u lo s e g e n e r a liz a r á e l p r o c e d im ie n to p a r a p r o d u c ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . E n e l c a p ítu lo 12 se d e s a r r o ll a r á e l m é to d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s ,e l c u a l d e ja d e la d o e l c á lc u lo d e lo s d e s p la z a m ie n to s y e n s u lu g a r h a c e p o s ib le a p lic a r u n a s e r ie d e c o r r e c c io n e s d e c o n v e r g e n c ia q u e p e r m it e n c a lc u la r d i r e c t a ­ m e n te lo s m o m e n to s e x tr e m o s . F\>r ú ltim o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,15 y 1 6 se ilu s tr a r á la m a n e r a d e a p li c a r e s t e m é to d o m e d ia n te u n a n á lis is m a trid a l . lo q u e lo h a c e a d e c u a d o p a r a s u u s o e n c o m p u ta d o ra s . E n e l a n á lis is s ig u ie n te s e m o s tr a r á la f o r m a d e id e n tif ic a r lo s d e s p l a ­ z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s t r u c tu r a y s e d e s a r r o ll a r á n a lg u n a s d e la s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to m á s im p o r t a n te s p a ra lo s e l e ­ m e n to s d e v ig a s y m a rc o s . L o s r e s u lta d o s s e u s a r á n e n la p r ó x i m a se c c ió n y e n lo s c a p ítu lo s p o s t e r io r e s c o m o b a s e p a r a a p lic a r e l m é to d o d e a n á li­ sis d e l d e s p la z a m ie n to . G rados d e lib e rta d . (a) fig u ra 11-1 C u a n d o u n a e s t r u c tu r a e s t á c a r g a d a , lo s p u n ­ to s e s p e c ific a d o s s o b r e e l l a , lla m a d o s n o d o s , e x p e r i m e n t a r á n d e s p la z a ­ m ie n to s d e sc o n o c id o s. A e s to s d e s p la z a m ie n to s s e le s c o n o c e c o m o g ra d o s d e lib e r ta d p a ra la e s tr u c tu r a , y e n e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a ­ m i e n to r e s u lta i m p o r t a n te e s p e c ific a r e s t o s g r a d o s d e lib e r ta d p u e s to q u e s e c o n v ie r te n e n la s in c ó g n ita s a l a p lic a r e l m é to d o . E l n ú m e r o d e e s t a s in c ó g n ita s se c o n o c e c o m o e l g r a d o e n q u e l a e s t r u c tu r a e s c in e m á ­ tic a m e n te in d e te r m in a d a . f t ir a c o n o c e r la in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a se p u e d e c o n s i d e r a r q u e la e s t r u c tu r a c o n s is te e n u n a s e r ie d e e le m e n to s c o n e c ta d o s a lo s n o d o s , lo s c u a le s s e e n c u e n t r a n u s u a lm e n te e n la s ju n ta s , s o p o r te s o e x tr e m o s d e u n e le m e n to , o c u a n d o é s t e e x p e r im e n ta u n c a m b io r e p e n tin o e n s u se c ­ c ió n tr a n sv e rs a l. E n tr e s d im e n s io n e s , c a d a n o d o e n u n m a rc o o u n a v ig a p u e d e t e n e r u n m á x im o d e tr e s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y tr e s d e s p la z a ­ m ie n to s d e ro ta c ió n ; y e n d o s d im e n s io n e s , c a d a n o d o p u e d e t e n e r a lo s u m o d o s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y u n d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n . A d e m á s , lo s d e s p la z a m ie n to s n o d a le s p u e d e n r e s tr in g ir s e m e d ia n te lo s s o p o r te s , o d e b i d o a lo s s u p u e s to s b a s a d o s e n e l c o m p o r ta m ie n to d e la e s t r u c tu r a . P o r e je m p lo , s i l a e s t r u c t u r a e s u n a v ig a y s ó l o s e c o n s i d e r a la d e f o r m a c ió n d e b id a a la fle x ió n , e n to n c e s n o p u e d e h a b e r u n d e s p la z a ­ m i e n to lin e a l a lo la rg o d e l e je d e la v ig a p u e s to q u e e s te d e s p la z a m ie n to lo c a u s a la d e f o r m a c ió n p r o v e n i e n te d e u n a f u e r z a a x ia l. E s to s c o n c e p to s s e a c la r a n s i s e c o n s id e r a n a lg u n o s e je m p lo s , c o m e n ­ z a n d o c o n la v ig a d e la fig u ra 11- l a . A q u í c u a lq u i e r c a r g a P a p lic a d a a la v ig a h a r á q u e e l n o d o A s ó lo g ir e (s i se ig n o r a la d e f o r m a c ió n a x ia l) , e n ta n t o q u e e l m o v im ie n to d e l n o d o B e stá t o t a lm e n te r e s tr in g id o . E n c o n ­ s e c u e n c ia , la v ig a tie n e s ó l o u n g r a d o d e l i b e r t a d d e s c o n o c id o . 0A, y p o r lo ta n t o e s c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a v ig a d e la fig u ra 1 1 -lfi ti e n e n o d o s e n A , B , y C y, p o r lo ta n t o , ti e n e c u a t r o g r a ­ d o s d e lib e rta d , d e s ig n a d o s p o r lo s d e s p la z a m ie n to s d e r o t a c ió n 0 A, 0 B, Oc y e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l A ¿-;es c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e c u a r t o g ra d o . C o n s id e r e a h o r a e l m a rc o d e la fig u ra 1 1 -lc . U n a v ez m ás, s i s e p a s a p o r a l t o la d e fo r m a c ió n a x ia l d e lo s e le m e n to s , u n a c a r g a P a r b i tr a r ia a p lic a d a a l m a r c o p u e d e h a c e r q u e lo s n o d o s B y C g ire n y se p u e d a n d e s p l a z a r h o r iz o n ta lm e n te u n a c a n ti d a d ig u a l. E n c o n s e c u e n c ia , e l m a r c o tie n e tr e s g ra d o s d e li b e r t a d . 0„. 0 C, A fl, y p o r lo t a n t o e s c i­ n e m á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e t e r c e r g ra d o . 11 2 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n E n r e s u m e n , la e s p e c ific a c ió n d e l a in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a o la c a n tid a d d e g r a d o s d e li b e r t a d n o re s trin g id o s p a ra la e s tr u c tu r a , e s u n p r im e r p a s o n e c e s a r io c u a n d o s e a p lic a e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p l a ­ z a m ie n to . C o n e s t o s e id e n tif ic a e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s e n e l p r o b l e m a , c o n b a s e e n lo s s u p u e s to s s o b r e e l c o m p o r ta m ie n t o d e la d e f o r m a c ió n d e la e s t r u c tu r a . A d e m á s , u n a v e z q u e s e c o n o c e n e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o ­ d a le s , e s p o s ib le e s p e c ific a r c o m p le ta m e n te la d e f o r m a c ió n d e lo s e l e ­ m e n to s e s tr u c tu r a le s , y o b t e n e r la s c a rg a s d e n t r o d e lo s e le m e n to s . 1 1 .2 E c u a cio n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , e l m é t o d o d e lo s d e s p la z a m ie n to s c o n s is ­ te n te s q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo 10 e s u n m é to d o d e an álisis d e l a fu e rz a , p u e s to q u e r e q u i e r e e s c r ib ir la s e c u a c io n e s q u e r e l a c io n a n la s fu e rz a s o m o m e n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s tr u c tu r a . P o r d e s g r a c ia , s u u s o e s t á li­ m ita d o a e s t r u c tu r a s q u e n o s o n m u y in d e te rm in a d a s . E s t o s e d e b e a q u e s e r e q u i e r e m u c h o t r a b a j o p a ra e s ta b le c e r las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ili­ d a d y, a d e m á s , c a d a e c u a c ió n e s c r ita in v o lu c ra a to d a s la s in c ó g n ita s , lo q u e h a c e difícil r e s o lv e r e l s is te m a d e e c u a c io n e s r e s u lta n te a m e n o s q u e s e c u e n te c o n u n a c o m p u ta d o r a . E n c o m p a r a c ió n , e l m é to d o d e la p e n ­ d e n te - d e f l e x ió n n o e s t a n c o m p lic a d o . C o m o s e v e rá m á s a d e la n te .s e r e ­ q u ie r e m e n o s t r a b a j o t a n t o a l e s c r ib ir la s e c u a c io n e s n e c e s a r ia s p a r a o b ­ te n e r la s o lu c ió n d e l p ro b le m a c o m o al re s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s y e n c o n tr a r lo s d e s p la z a m ie n to s y c a r g a s in te r n a s d e s c o n o c id a s . A d e m á s , e l m é to d o p u e d e p r o g r a m a r s e fá c ilm e n te e n u n a c o m p u ta d o r a y e m p le a r s e p a ra a n a liz a r u n a a m p lia g a m a d e e s t r u c tu r a s in d e te rm in a d a s . E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n fu e d e s a r r o ll a d o o r ig in a lm e n te p o r H e in r ic h M a n d e r la y O t t o M o h r c o n e l p r o p ó s ito d e e s tu d ia r lo s e s ­ fu e rz o s s e c u n d a r io s e n las a rm a d u r a s . D e s p u é s , e n 1 9 1 5 .G .A . M a n e y d e ­ s a r r o ll ó u n a v e rs ió n m e jo r a d a d e e s t a té c n ic a y la a p lic ó a l a n á lis is d e vigas in d e te r m in a d a s y e s t r u c tu r a s a rm a d a s . Caso general. E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n s e lla m a a s í p o r q u e r e l a c io n a las p e n d ie n te s y las d e fle x io n e s d e s c o n o c id a s c o n la c a rg a a p lic a d a s o b r e u n a e s t r u c tu r a . C o n e l fin d e d e s a r r o lla r la fo r m a g e n e r a l d e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , s e c o n s id e r a r á u n c la r o típ ic o A B de u n a v ig a c o n ti n u a , c o m o e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-2, e l c u a l s e s o m e te a u n a c a r g a a r b i tr a r ia y t i e n e u n a E l c o n s ta n te . S e d e s e a r e la c io n a r lo s m o m e n to s in t e r n o s e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a M AB y M b a e n té r m in o s d e s u s tr e s g r a d o s d e lib e r ta d , e s d e c ir , su s d e s p la z a ­ m ie n to s a n g u la r e s 0 A y Bb y e l d e s p la z a m ie n to l i n e a l A , q u e p u e d e s e r c a u s a d o p o r u n a s e n t a m i e n to re la tiv o e n tr e lo s s o p o r te s . C o m o se d e s a ­ r r o lla r á u n a f ó r m u la , lo s m o m e n t o s y d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s s e c o n ­ s i d e r a r á n p o s itiv o s c u a n d o a c tú e n e n s e n tid o h o r a r io s o b r e e l c la r o ,c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -2 . A d e m á s , e l d e s p la z a m ie n to lin e a l A se c o n s i­ d e r a p o s itiv o , d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a , p u e s t o q u e e s te d e s p la z a ­ m ie n to h a c e q u e la c u e r d a d e l c la r o y e l á n g u lo d e la c u e r d a d e l c la r o «/» g ir e n e n s e n tid o h o ra r io . L a s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p u e d e n o b te n e r s e e m p l e a n d o e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a l c o n s i d e r a r e n f o r m a se p a r a d a lo s m o ­ m e n to s d e s a r r o ll a d o s e n c a d a s o p o r te d e b i d o a c a d a u n o d e lo s d e s p la z a ­ m ie n to s 0A. Bn y A , y d e s p u é s la s c a rg a s . Figura 11-2 4 5 3 4 5 4 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n ) M/m v ig a re a l v ig a c o n ju g a d a Va -» a (b) (a) F ig u ra 1 1 -3 D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n A , 0 A. C b n s id e r e q u e e l n o d o A d e l e le m e n to q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a I l - 3 a g ir a f l^ .e n ta n t o q u e e l n o d o B e n s u e x tr e m o le ja n o s e m a n tie n e f i j o . P a r a d e te r m i n a r e l m o m e n to M AB n e c e s a r io p a r a c a u s a r e s te d e s p la z a m ie n to s e u s a r á e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a . P a r a e s te c a so , la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -3 b . O b s e r v e q u e la f u e r z a c o r t a n te e n e l e x tr e m o A ' a c tú a h a d a a b a jo s o b r e l a v ig a , p u e s t o q u e 0 A tie n e s e n t id o h o r a r io . L a d e f le x ió n d e la “ v ig a r e a l " en la fig u ra 1 l- 3 a d e b e s e r c e r o e n A y B , y p o r lo ta n t o la su m a to r ia c o r r e s p o n d ie n t e d e lo s m o m e n t o s en c a d a e x tr e m o A ' y B ’ d e la v ig a c o n ju g a d a ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e ro . D e e s t o r e s u lta L |y + 0a L d e lo c u a l se o b t i e n e n la s s ig u ie n te s r e l a d o n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to . M 4E l (1 1 - 1 ) AB U sa = I ? Sa ( 11 - 2 ) D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n B , 0 b - D e m a n e r a s im ila r, si e l e x ­ tr e m o B d e la v ig a g ira h a s ta s u p o s ic ió n fin a l 0„, m ie n tr a s e l e x tr e m o A s e m a n tie n e f i j o , fig u ra 4 .1 1 . e s p o s ib le r e l a a o n a r e l m o m e n to a p lic a d o Af i h c o n e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r Bfí y e l m o m e n to d e r e a c c ió n M AB e n la p a r e d L o s r e s u lta d o s s o n (H -3 ) 2El M ab (1 1 -4 ) 11 M AB 2 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n M ha ( — — ----------- L -------F ig u ra 1 1 -4 D e s p l a z a m i e n t o l i n e a l r e l a t i v o , A . S i e l n o d o le ja n o B d e l e l e ­ m e n to s e d e s p la z a c o n r e s p e c to a A ,d e m o d o q u e l a c u e r d a d e l e le m e n to g ira e n s e n tid o h o r a r io ( d e s p la z a m ie n to p o s itiv o ) p e r o lo s d o s e x tr e m o s n o g ir a n ,e n to n c e s e n e l e le m e n to s e d e s a r r o ll a n m o m e n to s y r e a c c io n e s c o r t a n te s ig u a le s p e r o o p u e s to s , f ig u r a 1 1-5a. C o m o a n te s ,e l m o m e n to M p u e d e re la c io n a r s e c o n e l d e s p la z a m ie n to A u s a n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a . E n e s t e c a s o , la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 11 -5 b , e s t á lib re e n a m b o s e x tr e m o s , p u e s t o q u e la v ig a re a l ( e l e m e n t o ) e s tá f ija m e n te so p o r t a d a . S in e m b a r g o , d e b i d o a l d e s p la z a m ie n to d e la v ig a re a l e n B , e \ m o m e n t o e n e l e x tr e m o B ' d e la v ig a c o n ju g a d a d e b e t e n e r u n a m a g n i­ tu d d e A ,c o m o s e in d ic a .* A l s u m a r m o m e n to s r e s p e c to a f f . s e ti e n e i-íí. 2 El KIO] - [BWW] - *-° -6 El M a b = M b a = (H -5 ) M f\>r la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p ta d a , e s te m o m e n to in d u c id o e s n e g a ­ tiv o d e b id o a q u e . p a r a lo g r a r e l e q u ilib r io , d e b e a c tu a r e n s e n t id o a n ­ tih o r a r io s o b r e e l e le m e n to . v ig a re a l v iga c o n ju g a d o (a) <»» F ig u ra 1 1 -5 • L o s d ia g r a m a s d e m o m e n to q u e s e m u e s tr a n s o b re l a v ig a c o n ju g a d a s e d e te r m in a r o n m e d ia n te e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n p a r a u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a , s e g ú n se e x ­ p lic ó e n l a s e c c ió n 4-5. 4 5 5 4 5 6 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n pi . íñ ----------------1— L "i \ i M 1 1 2 L 2 1 t ^ < T T íT T T fT r > ^ M U 1¡ v ig a r e a l v ig a c o n ju g a d a (a ) (b ) Figura 11-6 M o m e n to s en e xtre m o s fijos. E n lo s c a so s a n te r io r e s s e h a n c o n s id e r a d o la s re la c io n e s e n tr e lo s d e s p la z a m ie n to s y lo s m o m e n to s n e ­ c e s a r io s M AB y M / u q u e a c tú a n e n lo s n o d o s A y B , re s p e c tiv a m e n te . S in e m b a r g o , p o r lo g e n e r a l lo s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s o a n g u la r e s d e lo s n o d o s s o n c a u s a d o s p o r la s ca rg a s q u e a c tú a n s o b r e e l c la r o d e lo s e l e ­ m e n to s . n o p o r lo s m o m e n to s q u e a c tú a n e n su s n o d o s . P a r a d e s a r r o ll a r la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e s n e c e s a r io t r a n s f o r m a r e s ta s c a rg a s s o b r e e l c la r o e n m o m e n to s e q u iv a le n te s q u e a c tú e n e n lo s n o d o s , y d e s p u é s u s a r la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to q u e s e a c a b a n d e o b ­ te n e r . E s to s e lo g r a s im p le m e n te a l e n c o n t r a r e l m o m e n to d e r e a c c ió n q u e c a d a c a rg a d e s a r r o lla e n lo s n o d o s . ft> r e je m p lo , c o n s i d e r e e l e l e ­ m e n t o f ija m e n te a p o y a d o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -6 a, e l c u a l e s tá s o m e ti d o a u n a c a r g a c o n c e n tr a d a P e n s u c e n tr o . L a v ig a c o n ju g a d a p a ra e s t e c a s o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-6¿>. C o m o s e r e q u i e r e q u e la p e n d ie n te e n c a d a e x tr e m o s e a ig u a l a c e ro . E s te m o m e n to s e d e n o m i n a m o m e n to d e e x tr e m o f i j o ( F E M ) . O b s e r v e q u e d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p t a d a . e s n e g a tiv o e n el n o d o A (s e n tid o a n ti h o r a r io ) y p o s itiv o e n el n o d o B (s e n tid o h o r a r io ) . I\> r c o m o d i d a d e n la re s o lu c ió n d e p r o b le m a s , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo s e h a n c a lc u la d o p a r a o tr a s c a r g a s y s e m u e s tr a n ta b u l a d o s e n e l in ­ t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e l lib ro . Si s e s u p o n e q u e e s to s F E M s e h a n d e te r m i n a d o p a r a u n p r o b le m a e s p e c ífic o (f ig u ra 11 -7 ). s e ti e n e q u e M a b = ( F E M ) ^ fl M b a = ( F E M )BA (1 1 - 6 ) 11 2 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n 4 5 7 Ecuación de pendiente-deflexión. Si lo s m o m e n to s e n lo s e x t r e ­ m o s d e b id o s a c a d a d e s p la z a m ie n to ( e c u a c io n e s 1 1-1 a 1 1 -5 ) y la c a rg a ( e c u a c ió n 1 1 -6 ) s e s u m a n , lo s m o m e n to s r e s u lta n t e s e n lo s e x tr e m o s p u e d e n e s c r ib ir s e c o m o M a b = 2 e (j ^ 2 6 a + 9„ - 3 ( | ) ] + (F E M )x fl (1 1 -7 ) M b a = 2 £ ( 0 2 0 fl + d A - + ( F E M ) Bíl D e b id o a q u e e s ta s d o s e c u a c io n e s s o n sim ila re s , e l r e s u lta d o p u e d e e x ­ p re s a rs e c o m o u n a s o la e c u a c ió n . Si se r e f ie r e a u n o d e lo s e x tr e m o s d e l c la r o c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o ( N ) y a l o t r o e x tr e m o c o m o e l e x tr e m o le ja n o (F), y s e r e p r e s e n ta la rig id e z d e l e le m e n to c o m o k = I I L , y la m ia c ió n d e la c u e r d a d e l c la ro c o m o (p s i) = A I L .s e p u e d e e s c r ib ir A ív = 2 E k ( 2 0 N + 9 f - 3 * ) + (F E M )jy P a ra e l c la r o in t e r n o o e l c la r o final (H -8 ) c o n e l e x tr e m o le ja n o fijo donde M n = m o m e n to in t e r n o e n e l e x tr e m o c e r c a n o d e l c la r o ; e s t e m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o a c t ú a s o b r e e l c la r o . E . k = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a t e r i a l y rig id e z d e l c la r o k = l/L. 9h , 9 f = p e n d ie n te s d e lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o o d e s p la z a ­ m ie n to s a n g u la r e s d e l c la r o e n lo s s o p o r te s ; lo s á n g u lo s s e m id e n e n ra d ia n e s y s o n p o s itiv o s e n s e n tid o h o r a r io . ™ r o ta c ió n d e la c u e r d a d e l c la r o d e b id a a u n d e s p la z a m ie n to lin e a l, e s d e c i r . «/» = A / / . ; e s t e á n g u lo se m id e e n ra d ia n e s y e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io . ( F E M ) |V « m o m e n to d e l e x tr e m o fijo e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o c e r ­ c a n o ; e l m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o a c tú a s o b r e e l c la r o ; c o n s u l te l a ta b la e n e l in t e r i o r d e la c o n tr a p o r t a d a p a r a v e r d is tin ta s c o n d ic io n e s d e c a rg a . A p a r t i r d e la d e d u c c ió n a n te r io r , la e c u a c i ó n 11-6 e s a la v e z u n a r e l a ­ c ió n d e c o m p a tib ilid a d y d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , q u e s e e n c o n tr ó c o n ­ s i d e r a n d o s ó l o lo s e f e c t o s d e l a fle x ió n e ig n o r a n d o la s d e f o r m a c io n e s a x ia le s y c o rta n te s . S e c o n o c e c o m o la e c u a c ió n g e n e ra l d e p e n d ie n te -d e ­ fl e x ió n .C u a n d o s e u tiliz a p a r a la s o lu c ió n d e p r o b le m a s , e s t a e c u a c ió n se a p lic a d o s v e c e s p a r a c a d a e le m e n to d e l c la r o (A B ) \ e s d e c i r , s e a p lic a d e s d e A h a s t a B y d e s d e B h a s ta A p a r a e l c l a r o A B q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 1 -2 . Este pu en te p eato n a l tiene una cubierta de concreto reforzado. C om o se extiende sobre todos sus soportes, es indeterminada de segundo grado. Las ecuaciones de pen­ diente-deflexión proporcionan un método conveniente para encontrar los mom entos internos e n cada claro. 4 5 8 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n C laro fin a l a rticu la d o . E n o c a s io n e s , u n c la r o f in a l d e u n a v ig a o u n m a r c o e s tá s o p o r t a d o m e d i a n te u n p a s a d o r o u n r o d illo e n s u e x tr e m o le ja n o , fig u ra 11 -8 a . C u a n d o e s t o o c u r r e , e l m o m e n to e n e l r o d illo o p a s a ­ d o r d e b e s e r c e r o ; y s ie m p r e q u e e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r 0 B e n e s t e s o ­ p o r t e n o d e b a d e t e r m i n a r s e .e s p o s ib le m o d ific a r la s c o n d ic io n e s g e n e r a ­ le s d e l a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n a fin d e a p lic a r la s ó lo u n a v e z al c la r o , e n v ez d e d o s v e c e s. P a r a e s t o se a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8 o las e c u a c io n e s 11-7 a c a d a e x tr e m o d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11-8. E s to r e s u lta e n las d o s e c u a c io n e s s ig u ie n te s : 4á (a) M N = 2 E k (2 0 N + 0F - t y ) + (F E M )jv 0 = 2 E k { 2 B F + 0N - 3 * ) + 0 (b) (1 1 - 9 ) A q u í e l ( F E M ) f e s ig u a l a c e r o , p u e s t o q u e e l o t r o e x tr e m o e s t á fijo , fi­ g u ra 11 -8 6 . P b r o t r o la d o , e l ( F E M ) lV p u e d e o b te n e r s e , p o r e je m p lo , m e ­ d ia n te la t a b l a e n la c o lu m n a d e r e c h a d e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e e s te lib r o . A l m u ltip lic a r la p r i m e r a e c u a c ió n p o r 2 y r e s t a r la s e g u n d a e c u a c ió n d e é s t a , s e e lim in a la in c ó g n ita 0F y s e o b tie n e R giira 11-8 M n = 3 E k ( 8 „ - * ) + (F E M )jv ( 11 - 10 ) S ó lo p a r a u n c la r o f in a l c o n e l e x tr e m o le ja n o a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r u n r o d illo C ó m o el m o m e n to e n e l e x tr e m o le ja n o e s ig u a l a c e r o ,s ó lo s e n e c e s ita u n a a p lic a c ió n d e e s ta e c u a c ió n p a r a e l c la r o fin a l. E s to s im p lific a e l a n á ­ lisis p o r q u e la e c u a c ió n g e n e r a l 11-8, r e q u e r ir í a d o s a p lic a c io n e s p a r a e s t e c la r o y p o r lo t a n t o in v o lu c r a a l d e s p la z a m ie n to a n g u la r (a d ic io n a l) d e s c o n o c id o 0R ( o d F) e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o . P a r a r e s u m i r l a a p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ,s e c o n s i d e r a la v ig a c o n ti n u a d e la f ig u r a 11-9, la c u a l ti e n e c u a t r o g r a d o s d e lib e rta d . A q u í l a e c u a c ió n 11-8 p u e d e a p lic a rs e d o s v e c e s p a r a c a d a u n o d e lo s tr e s c la ro s , e s d e c ir , d e A a f l . d e f l a A , d e t í a C , d c C a f l . d e C a D y d e D a C . E s ta s e c u a c io n e s in v o lu c ra n a las c u a t r o r o ta c io n e s d e s c o ­ n o c i d a s , ^ , 0 b .O c ,0 D ‘ S in e m b a r g o ,c o m o lo s m o m e n to s e x tr e m o s e n A y D s o n ig u a le s a c e ro , n o e s n e c e s a r io 0 A y 0D . S e p r o d u c e u n a s o lu c ió n m á s c o r t a a l a p lic a r la e c u a c ió n 1 1 -1 0 d e f l a A y d e C a D , p a r a d e s p u é s a p li c a r la e c u a c ió n 11 -8 d e f l a C y d e C a f l . E s ta s c u a t r o e c u a c i o n e s in ­ v o lu c r a n s ó l o a la s r o t a c io n e s d e s c o n o c id a s 0 H y 0 C. 1 1 .3 1 1 .3 A N Á L IS S D E V IG A S A n á lis is d e v ig a s P ro c e d im ie n to d e a n á lisis G ra d o s d e lib e rta d M a r q u e lo d o s lo s s o p o r te s y a r tic u la c io n e s ( n o d o s ) c o n e l fin d e id e n tif ic a r lo s c la r o s d e la v ig a o d e l m a r c o e n t r e lo s n o d o s A l d i b u j a r la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c tu r a s e r á p o ­ sib le id e n tif ic a r e l n ú m e r o d e g r a d o s d e lib e r ta d . E s p o s ib le q u e c a d a n o d o t e n g a u n d e s ­ p la z a m ie n to a n g u la r y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l. L a c o m p a tib ilid a d e n lo s n o d o s se m a n t ie n e s i e m p r e q u e lo s e le m e n to s q u e e s tá n c o n e c ta d o s f ija m e n te a u n n o d o e x p e r i ­ m e n te n lo s m ism o s d e s p la z a m ie n to s q u e e l n o d o . S i e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o se c o n o ­ c e n , y e n g e n e r a l a s í s e r á , e n to n c e s p o r c o m o d id a d s u p o n g a q u e a c tú a n e n d ir e c c ió n p o s itiv a d e m o d o q u e c a u s a n u n a r o ta c ió n e n s e n tid o h o r a r io d e u n e l e m e n t o o j u n t a , fi­ g u r a 1 1 -2 . E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n E s ta s e c u a c io n e s r e l a c io n a n lo s m o m e n to s d e s c o n o c id o s q u e s e a p lic a n a lo s n o d o s a fin d e c a u s a r s u d e s p la z a m ie n to e n c u a lq u ie r c la r o d e la e s tr u c tu r a . S i e x is te u n a c a r g a e n el c la r o , c a lc u le lo s F E M u s a n d o la ta b l a q u e se e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­ t a d a . A d e m á s , s i u n n o d o ti e n e u n d e s p la z a m ie n to li n e a l. A , c a lc u le i\¡ = A / / , p a r a lo s c la ­ ro s a d y a c e n te s . A p liq u e la e c u a c i ó n 11-8 a c a d a e x tr e m o d e l c la r o , g e n e r a n d o a s í d o s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a c a d a c la r o . S in e m b a r g o , s i u n c la r o e n e l e x ­ tr e m o d e u n a v ig a o u n m a r c o c o n ti n u o e s tá a r tic u la d o , a p liq u e la e c u a c ió n 1 1 -1 0 s ó l o al e x tr e m o re s trin g id o , lo q u e g e n e r a u n a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a e l c la r o . E c u a c io n e s d e e q u ilib r io E s c r ib a u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io p a ra c a d a g r a d o d e li b e r t a d d e s c o n o c id o d e la e s t r u c ­ tu r a . C a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s d e b e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e lo s m o m e n to s i n t e r ­ n o s d e s c o n o c id o s s e g ú n s e e s p e c ific a e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . P a r a las v ig a s y lo s m a r c o s e s c r ib a la e c u a c ió n d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a s o p o r te , y p a r a lo s m a r c o s ta m b ié n e s c r ib a la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a ju n t a . S i el m a r c o s e l a d e a o s e d e f o r m a e n s e n t id o h o r iz o n ta l, d e b e n re la c io n a r s e la s f u e r z a s c o r t a n ­ te s d e la c o lu m n a c o n lo s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s d e é s t a . L o a n t e r i o r s e a n a liz a e n la se c c ió n 1 1 .5 . S u s titu y a las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io y re s u e lv a lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s d e las ju n t a s . E s to s r e s u lta d o s s e s u s titu y e n e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e f le x ió n a fin d e d e te r m in a r lo s m o m e n to s in te rn o s e n lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . S i a lg u n o s d e lo s r e s u lta d o s s o n n e g a tiv o s . in d ic a n g ir o en s e n tid o a n tih o r a r io ,e n t a n t o q u e lo s m o m e n to s y lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s se a p lic a n e n s e n tid o h o ra r io . 4 5 9 4 6 0 C a p itu lo EJEMPLO 11 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : E c u a c io n e s de p e n d ie n te -d e fle x ió n 1 1 .1 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a l l - 1 0 a . E l e s c o n s ta n te . 6 k N /m M BC L -r-rfíT fi Mc* 6m (b ) (a) Figura 11-10 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n c o n s id e r a r s e d o s c la ro s. P u e s to q u e n o h a y u n c la r o q u e te n g a e l e x ­ tr e m o le ja n o a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r ro d illo s, se a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n . S i s e e m p l e a n la s fó r m u la s d e lo s F E M ta b u la d a s p a r a la c a r g a tr ia n g u l a r q u e s e m u e s tr a n e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a . s e ti e n e 6 (6 )J wL (F E M )bc = ( F E M ) Cfl 30 -7 .2 kN • m 30 6 (6 )- wL 20 10.8 k N • m 20 O b s e r v e q u e ( F E M ) flC e s n e g a tiv o p o r q u e a c tú a e n s e n t id o a n ti h o r a ­ r i o s o b r e la v ig a e n B . A d e m á s . ( F E M ) ^ - (F E M ) * * = O p u e s to q u e n o h a y c a r g a e n e l c la r o A B . A f i n d e id e n tif ic a r las in c ó g n ita s , e n l a fig u ra 1 1 -1 0 6 se m u e s tr a la c u rv a e lá s tic a d e l a v ig a . C o m o s e in d ic a , h a y c u a t r o m o m e n to s i n t e r ­ n o s d e s c o n o c id o s . S ó lo la p e n d ie n t e e n f l , 0 fl, e s d e s c o n o c id a . C o m o A y C s o n s o p o r te s fijo s, 0 A = Oc = 0. A d e m á s , d a d o q u e lo s s o p o r te s n o s e a s i e n ta n , n i s e d e s p la z a n h a c ia a r r i b a o h a c ia a b a jo , i¡i A b = •I'b c = 0 . P a r a e l c l a r o A B , si s e c o n s i d e r a q u e A e s e l e x tr e m o c e r c a n o y B e s e l e x tr e m o le j a n o .s e ti e n e M n = 2 e ( { ) ( 2 * * + « f - 3 * ) + (F E M )* = 2 /r( 0 [2 ( O ) + 0B - 3 (0 )1 + 0 = ^ 9 „ (1 ) A h o r a , t o m a n d o a B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y a A c o m o e l e x tr e m o le ja n o , r e s u lta M ,Á = 2 e ( ^ [ 2 9 8 + 0 - 3 (0 )1 + 0 - (2 ) Y " D e m a n e r a s im ila r, p a r a e l c la r o B C se t i e n e M bc = M cb 2 / - ( ^ ) | 20b + 0 - 2 E [ - )[2(0) + 0* 3 (0 )| - = ™ > 0 .8 = 7 .2 - 7 .2 (3 ) El 3 (0 )] + — e R + 1 0 .8 (4 ) 1 1 .3 M Ba + M b c = 0 4 6 1 M, E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L as c u a t r o e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­ n e n c in c o in c ó g n ita s . L a q u in t a e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la c o n ­ d ic ió n d e l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n e l s o p o r te / / . E n la fig u ra I I - 1 0 c * m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e u n s e g m e n to d e la v ig a e n fí. A q u í se s u p o n e q u e M u * y M flC a c tú a n e n d ir e c c ió n p o s itiv a p a r a s e r c o n s is te n te s co n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n .* l.a s c o r ta n te s e n la v ig a c o n tr ib u y e n c o n u n m o m e n to in s ig n ific a n te a l r e d e d o r d e fí p u e s to q u e e l s e g m e n to ti e n e u n a lo n g itu d d ife re n c ia l. P or l o ta n t o . = O, A n Á L IS S D E V IG A S C ty l I V ., (C> (5 ) P a r a r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n (5 ), d e d o n d e s e o b tie n e El Si s e s u s titu y e d e n u e v o e s t e v a lo r e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) r e s u lta M a b = 1.54 k N - m M ñÁ = 3 .0 9 k N • m M bc = - 3 .0 9 k N • m M c b = 12.86 k N • m H v a lo r n e g a tiv o p a r a M B ( in d ic a q u e e s t e m o m e n to a c tú a e n s e n tid o a n tih o r a r io s o b r e la v ig a , n o e n s e n t id o h o r a r io c o m o s e m o s tr ó e n la fig u ra 11-106. C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , la s f u e r z a s c o r t a n t e s e n lo s c la r o s e x ­ tr e m o s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , fig u ra 11-10d . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la v ig a y lo s d ia g r a m a s d e fu e rz a c o r t a n te y d e m o m e n to s e m u e s tra n e n la fig u ra l l - 1 0 e . 6 k N /r B f [ = 0 .5 7 9 k N L54 k N -m (1 1.54 k N - m 1 3.09 k N - m A , - 0 .5 7 9 kN •8 m - 0 .5 7 9 k N P (k N ) 1 2 .8 6 k N - m t 4 .9 5 k N 4 .3 7 . sf - t t 579 .10.% ,(m) 6 k N /m ' ?' . ~ 4 J7 k N 3 .0 9 k N I ^ rfT íl 6» c / - ,3 6 3 k N 1 12.86 k N • A# ( k N - m ) 154 (d) • E n s e n ti d a h o r a r io s o b r e e l s e g m e n to d e l a v ig a , p e r o ( p o r e l p r in c ip io d e a c c ió n , r e a c ­ c ió n ig u a l p e r o o p u e s ta ) e n s e n ti d o a n tih o r a r io s o b r e e l s o p o r t e 2.67 547 II -,M 3 - -3 .0 9 -1 2 .8 6 (e) 4 6 2 C a p it u l o E JE M P L O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .2 D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -la . E l e s c o n s ta n te . 12 k n fí; cr rm < 4 pK — -g p ie s - 2 4 p i e s --------- (a) f i g u r a 11-11 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n c o n s id e r a r s e d o s d a r o s . L a e c u a c ió n 11-8 s e a p lic a a l d a r o A B . S e p u e d e u s a r la e c u a c ió n 1 1 -1 0 p a r a e l c la r o B C p o r q u e e l e x tr e m o C e s tá s o b r e u n ro d illo . S i s e u s a n la s fó r m u la s p a r a lo s F E M ta b u la d a s q u e se e n c u e n t r a n e n e l in t e r i o r d e l a c o n tr a p o r t a d a , s e ti e n e w l*21 \_ ( F E M ) * , ---------— = - — ( 2 ) ( 2 4 ) 2 = - 9 6 k - p i e 12 wL£ (F E M )* * ^ - ^ (2 )(2 4 )2 12 « - S g S % k • p ie = - 1 8 k -p ie O b s e r v e q u e ( F E M ) ^ fl y ( F E M ) flí s o n n e g a tiv o s , p u e s to q u e a c tú a n e n s e n tid o a n ti h o r a r io s o b r e l a v ig a e n A y B , re s p e c tiv a m e n te . A d e m á s , c o m o lo s a p o y o s n o se a s i e n ta n . f AB - if/BC = 0. A l a p lic a r la e c u a c ió n 11-8 p a r a e l d a r o A B y t o m a r e n c u e n ta q u e 0A = 0 , s e tie n e MN = 2 e (0 2 0 v + e F - 3 * ) + (F E M )* M a b = 2 f ( ^ ) [ 2 ( 0 ) + 9 B - 3 (0 )J - % M a b = O .O 8 3 3 3 £ /0 fl - 9 6 ( 1) M b a = 2 e ( J ^ ) \ 2 0 b + 0 - 3 (0 )] + % M BA (2 ) O .1 6 6 7 £ /0 fl + 96 Si s e a p lic a la e c u a c ió n 1 1 -1 0 c o n B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y C c o m o e l e x tr e m o le ja n o , r e s u lta M.v - 3 e (j -)(« * - * ) + (FEM)„ Mk = 3 Eh| y , - o ) - «8 M bc = 0 3 7 5 E le b - 18 (3 ) R e c u e r d e q u e la e c u a c ió n 11-10 n o se a p lic a d e C ( e x tr e m o c e r c a n o ) a B ( e x tr e m o le ja n o ) . 1 1 .3 A n Á L IS S D E V IG A S E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L a s tr e s e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­ n e n c u a t r o in c ó g n ita s . 1.a c u a r ta e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la s c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io e n e l s o p o r te H. E n la fig u ra 11 -11 b se m u e s ­ tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . S e ti e n e t + 2 W fl = O. M ba + Mbc=0 t ♦J ♦" * t (4 ) (b) P a ra r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n ( 4 ) , d e d o n d e re s u lta 144.0 • ' - - i r C o m o 0 b e s n e g a tiv o ( s e n tid o a n ti h o r a r io ) , la c u r v a e lá s tic a p a r a la v ig a se d ib u j ó c o r r e c ta m e n te e n la f ig u r a 11-1 l a . A l s u s tit u ir 0„ e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 3 ) , s e o b tie n e m a b 1 0 8 .0 k - p ie - = Mba = 7 2 .0 k -p ie M a c = - 7 2 .0 k - p i e C o n b a s e e n e s to s d a t o s p a r a lo s m o m e n to s , s e h a n d e te r m i n a d o las re a c c io n e s c o r t a n t e s e n lo s e x tr e m o s d e lo s c la r o s d e l a v ig a , s e g ú n se m u e s tra e n l a fig u ra 11-1 le . L o s d ia g r a m a s d e f u e r e a c o r t a n te y d e m o m e n to se g r a f ic a n e n la fig u ra 11-1 Id . 48 k ± V . - 253 k t VBf - 22.5 k P ..- 1 5 k Ct ít 108 k ’pic |— 12pie«— |— 12 pies— | 72 k-p 72 k-pie 12 k ' 4 ' 4 1 p ie s pies (c) / / / 255 k) / / V 12.75 15P — 32 3 124 28 -22.5 M (k-pie) 54A x (pies) t C , = 31) k \ K V .. 4 6 3 4 6 4 C a p it u l o E JE M P L O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .3 D e te r m in e e l m o m e n to e n A y B p a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fi­ g u ra 1 1 -1 2 a. E l s o p o r te e n B x d e s p la z a ( a s ie n ta ) 8 0 m m . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 (1 0 * ) m m 4. 8 kN (a ) F ig u ra 11-12 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b l e m a s ó l o d e b e c o n s id e r a r s e u n c la r o ( A B ) p u e s t o q u e e l m o m e n to e n M Bc d e b i d o a la s a lie n te p u e d e c a lc u la rs e a p a r t i r d e la e s tá tic a . C o m o n o h a y c a r g a e n e l c la r o A B , lo s F E M s o n ig u a le s a c e r o . C o m o s e m u e s tr a e n la fi­ g u r a 1 1 -1 2 a . e l d e s p la z a m ie n to h a c ia a b a jo ( a s e n ta m ie n to ) d e B h a c e q u e la c u e r d a d e l c la r o A B g ire e n s e n tid o h o r a r io . P o r lo ta n t o , J>ab = ¡>ba 0 .0 8 m ,w „ = — i— = 0.02 r a d L a rig id e z p a r a A B e s (b) 5 (1 0 6) m m 4(1 0 ~ 12) m 4/ m m 4 I ^ I O " 6) m 3 4 m A l a p li c a r la e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 1 1 -8 ) al c la r o A B c o n 0A = 0 ,s e tie n e M n = 2 fc Q -)(2 0 * + e F - + (F E M )* = 2 (2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) [ l . 2 5 ( 1 0 ^ ) m ‘] [ 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 .0 2 ) ] + 0 M BA = 2 ( 2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) | 1 .2 5 (1 0 -6) m 3] |2 0 fl + 0 - 3 ( 0 . 0 2 ) ] + 0 8)00 N V -£ l M|m l E 8000 N(3m) (C) (2 ) E c u a c io n e s d e e q u flib r io . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a e n e l s o p o r te B s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -12 c. E l e q u il ib r io d e m o m e n to s r e q u i e r e q u e t + 2 M fl = O, Br (1 ) M r a - 8 000 N (3 m ) = 0 Si s e s u s titu y e la e c u a c ió n (2 ) e n e s t a e c u a c ió n r e s u lta l( lO 6)0 fl - 3 0 ( 1 0 ') = 2 4 (1 0 3) dB = 0 .0 5 4 r a d P o r lo ta n t o , a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (2 ) M a b = - 3 .0 0 k N • m M b a = 2 4 .0 k N - m 1 1 .3 A n Á L IS S D E V IG A S MUSIJMKPE1 D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a q u e se m u e s tra e n la fig u ra 11-1 3 a . E l s o p o r te d e r o d illo e n C es e m p u j a d o h a c ia a b a j o 0.1 p ie s p o r la f u e r z a P. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 ’ ) k s i e / = 1500 p u lg 4. -1 5 p ie r­ da» B J + * .< (b) Ugura 11-13 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n c o n s id e r a r s e tr e s c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p o r q u e lo s s o p o r te s e n lo s e x tr e m o s A y D e s t á n fijo s. A d e m á s , s ó lo e l c la r o A B tie n e FEM . w [2 ( F E M ) .,» = l = - - ( 1 . 5 ) ( 2 4 ) J = - 7 2 .0 k - p ie WI ^ 1 ( F E M )BA = — = ~ (1 .5 )( 2 4 ) = 7 2 .0 k - p i e C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -1 3 6 , e l d e s p la z a m ie n to (o a s e n t a ­ m ie n to ) d e l s o p o r t e C o c a s io n a q u e ip s c se a p o s itiv o , p u e s t o q u e la c u e r d a d e l c l a r o B C g ira e n s e n t id o h o r a r io , y t¡/cD * a n e g a tiv o , p o r ­ q u e la c u e r d a d e l c l a r o C D g ira e n s e n t id o a n tih o r a r io . P o r lo ta n to . 0.1 p ie *BC 2 0 p ie s 0.1 p ie 0.0 0 5 r a d ..........~ * cd = - 1 5 p ie s -0 .0 0 6 6 7 r a d A s im is m o , a l e x p r e s a r la s u n id a d e s d e la rig id e z e n p ie s .s e tie n e ■AB 1500 4 = 0 .0 0 3 0 1 4 p i e s 3 2 4 (1 2 ) *cd = ^ ^ k Bc = 2 0 (1 2 ) = 0 .0 0 3 6 1 7 p ie s 3 = 0 .0 0 4 82 3 p i e s 3 Si se o b s e r v a q u e 0A = 6 n = 0 p u e s t o q u e A y f í s o n s o p o r te s fijo s, y se a p lic a la e c u a c i ó n p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 11-8 ) d o s v e c e s a c a d a c la r o , re s u lta (' ~ * ID 4 6 6 C a p it u l o EJE M PL O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .4 (C o n tin u a c ió n ) P a r a e l c la r o A B : 1 3 k /p ic M a b = 2 [2 9 (1 0 3)( 1 2 )2] ( 0 .0 0 3 0 1 4 )(2 (0 ) + d„ - 3 (0 )1 - 72 M AB = 2 5 1 7 3 .6 0 * - 72 (1 ) M b a = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 2](O.OO3O14)|20* + 0 - 3 ( 0 ) J + 7 2 M BA = 5 0 3 4 7 .2 0 * + 7 2 (a) (2 ) P a r a e l c la r o B C : M b c = 2[29{103) ( 1 2 ) 2l(0 .0 0 3 6 1 7 )I2 « fl H M b c = 6 0 4 1 6 .7 0 * + 3 0 2O 8.30C - c - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0 4 5 3 .1 (3 ) M c b = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 21(O.OO3617)(20C + 0 * - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0 M Cb = 6 0 4 1 6 .7 0 c + 3 0 2 0 8 .3 0 * - 4 5 3 .1 (4 ) P a r a e l c la r o CD : Mcd = 2 |2 9 ( 1 0 3) ( 12 )2J(0 .0 0 4 8 2 3 ) [20c + 0 - 3 ( - 0 .0 0 6 6 7 )| -f 0 M c d = 8 0 5 5 5 .6 0 c + 0 + 8 0 5 .6 (5 ) M o c = 2 (2 9 ( 10 3) ( 1 2 )21(0 .0 0 4 8 2 3 )(2 (0 ) + 0C - 3 ( - 0 .0 < ) 6 6 7 ) | + 0 M o c = 4O 2 7 7 .8 0 C + 8 0 5 .6 P Meo M í U ícn M c. v- » r (C ) Ve. (6 ) E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c io n e s c o n ti e n e n o c h o in c ó g n ita s . Si s e e s c r ib e n las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s p a r a lo s s o p o r te s e n B y C . fig u ra 1 0 -1 3 c ,s e ti e n e (,+ 2 M * = 0 ; M b a + M bc = 0 (7 ) (,+ S M c = 0 . Mcs + (8 ) M eo = 0 P a r a e n c o n tr a r la so lu c ió n s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 ) y ( 3 ) e n la e c u a c ió n (7 ). y la s e c u a c io n e s (4 ) y (5 ) e n la e c u a c ió n (8). D e e s to re s u lta , 0 c + 3 .6 6 7 0 8 = 0 .0 1 2 6 2 - 0 C - O.2140fl = 0 .0 0 2 5 0 ft>r lo ta n to . 0ñ = 0 .0 0 4 3 8 r a d 0C = - 0 .0 0 3 4 4 r a d E l v a lo r n e g a tiv o d e 0 C in d ic a u n g ir o e n s e n t id o in v e r s o d e la t a n ­ g e n te e n C , fig u ra 1 1 -13a. A l s u s tit u ir e s to s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 ) s e o b ti e n e M a b = 3 8 .2 k • p ie R esp . M ba = 292 k - p i e R esp . M bc = -2 9 2 k -p ie R esp . M Cfl = - 5 2 9 k - p i e R esp . M e o = 5 2 9 k • p ie R esp . M qc = 667 k - p i e R esp . A p liq u e e s t o s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s a lo s c la r o s B C y C D y d e ­ m u e s tre q u e V c . “ 4 1 .0 5 k , V c - - 7 9 .7 3 k y q u e la fu e rz a s o b r e e l r o ­ d illo e s P = 121 k . 1 1 .3 A n Á L IS S D E V IG A S 4 6 7 PROBLEMAS D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­ buje e l d iag ram a d e m o m en to . E l e s co n stan te. S uponga q u e e l so p o rte e n R es u n rod illo y q u e A y C e stá n fijos. 1 1 -1 . 3k 3 k D eterm in e lo s m om entos e n lo s so p o rtes, y d e s ­ pués d ib u je el d iag ram a d e m om ento. S uponga q u e & e s un rodillo y q u e A y C e stán fijos. E l es constante. •1 1 -4 . 4 k P r o b . 1 1 -4 P r o h . 11—1 11—2 . D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­ buje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la viga. E l m o m e n to de inercia d e c ad a claro se indica e n la figura. S uponga q u e el s o p o rte e n B e s u n rod illo y q u e A y C e s tá n fijos. E — 2 9 (!0 5) ksi. 1 1 -5 . D eterm in e e l m o m e n to c n A . B . C y / ) , y d e sp u é s d i­ buje el diagram a d e m o m en to p ara la viga. S uponga q u e los so p o rtes e n A y D están fijos y q u e B y C son rodillos. E l es constante. P r o h . 1 1 -2 11-3. D eterm ine lo s m om entos e n lo s so p o rte s A y C , y después d ib u je e l diagram a de m om ento. S uponga q u e la ju n ta B e s u n rodillo. E l e s constante. 1 1 -6 . D eterm in e los m o m en to s e n A , B, C y D. y d e sp u és dibuje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la v ig a S u p o n g a q u e b s so p o rte s e n A y D e stán fijos y q u e B y C so n rodillos. El e s co n stan te. 9 k P ro h . 11-3 P ro h . 11-6 9k 468 C a p i t u l o 11 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l 1 1 - 7 . D eterm in e e l m o m e n to e n ti, y d e sp u é s d ib u je e l diagram a de m o m en to p a ra la viga. S u p o n g a q u e lo s so p o rtes e n A y C están articu lad o s y q u e t i es u n rodillo. El es constante. d e s p l a z a m i e n t o : E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n 1 1 - 1 0 . D eterm in e lo s m o m en to s e n A y II. y d e sp u é s d i­ buje e l d ia g ra m a d e m o m en to p ara la viga. £ / e s constante, *11-8. D eterm ine lo s m o m en to s e n A. t i y C .y d e sp u és dibuje el d iag ram a d e m o m en to . El e s constante. S uponga que e l so p o rte e n t i es u n rodillo y q u e A y C e stá n fijos. 11-11. D eterm in e los m o m en to s e n A, B y C .y d esp u és d i­ buje e l d iag ram a de m o m en to p a ra la viga. S uponga q u e el so p o rte e n A está fijo, q u e ti y C so n rodillos, y q u e D está articulado. El es co n stan te. 1 1 - 9 . D eterm in e los m o m en to s e n c a d a so p o rte, y d e s ­ pués dibuje e l diagram a de m om ento. S uponga q u e A está fijo. F.I es constante. D eterm ine lo s m o m en to s q u e actú a n e n A y ti. Suponga q u e A e stá fijam ente apoyado, q u e t i e s u n rodillo y q u e C está articu lad o . E l e s co n stan te. P roh. 11-9 P roh. 11-12 •1 1 -1 2 . 1 1 .4 1 1 .4 A n á l is is d e m a u c o s : S i n l a d e o A n á lis is d e m a rc o s : S in la d e o U n m a r c o n o s e la d e a r á , o n o s e d e s p l a z a r á a la iz q u ie r d a o a la d e r e c h a , s ie m p r e y c u a n d o e s t é d e b id a m e n te re s trin g id o . E n la fig u ra 11-14 se m u e s tra n a lg u n o s e je m p lo s . A d e m á s , n o se p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to la te r a l e n u n m a r c o n o re s trin g id o , s ie m p r e q u e s e a s im é tr ic o c o n r e s ­ p e c to a la c a rg a y a la g e o m e tr ía , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 11 -1 5 . f t i r a a m b o s c a s o s , e l t é r m i n o y e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e s ig u a l a c e r o , p u e s to q u e la fle x ió n n o h a c e q u e la s j u n t a s te n g a n u n d e s p la z a m ie n to lin e a l. L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s d e p e n ­ d ie n te - d e f le x ió n u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is q u e s e d e s c r ib ió e n la s e c c ió n 11-3 p a r a e s te tip o d e m a rc o s. W W W F ig u ra 1 1 -1 5 4 6 9 4 7 0 C a p it u l o E JE M P L O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .5 D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11-16 a , E l e s c o n s ta n te . 2 4 k N /m S O L U C IÓ N /X - . 121 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s te p r o b le m a d e b e n c o n s id e r a r s e tr e s c la r o s : A B , B C y C D . C o m o lo s c la r o s e s t á n f ija ­ m e n te a p o y a d o s e n A y D, se a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p a r a e n c o n tr a r la s o lu c ió n . A p a r t i r d e la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­ ta d a . lo s F E M p a r a B C s o n (F E M ) 5 \v l. 5 (2 4 )(8 )2 96 96 BC 5w L2 (F E M )c fl = (a) Figura 11-16 96 -8 0 k N -m 5 (2 4 ) ( 8 )2 - = 80 k N - m 96 O b se rv e q u e 0 A = = 0 y q u e i¡,AB = 4>b c = •I'c d = 0 . p u e s to q u e n o s e p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to la te r a l. A l a p lic a r la e c u a c ió n 11 -8 . se ti e n e M n = 2 E k ( 2 0 N + BF - 3 4 ,) + ( F E M )N M ab = 2 £ ( ^ ) [ 2 ( ° ) + ~ 3 (°)1 + 0 M á b = 0 .1 6 6 7 £ /* fl M ba = 2e (J ^ [ 2 0 b (1) + 0 - 3 (0 )] + 0 M b a = 0 .3 3 3 E I d „ (2) M b c = 2 ^ ( g ) | 2 0 B + e c - 3 (0 ) 1 - 8 0 M /u : = 0 .5 E i e „ + 0 .2 5 E I 6 C - 8 0 (3 ) M c b = 2 * ( j ) p * c + 0B ~ 3 (0 ) 1 + « 0 M c b = 0 .5 E 1 6 c + 0 .2 5 E I 0 B + 8 0 (4 ) M cd = 2 E ( j ^ [ 2 d c + 0 - 3 (0 )J + 0 M c d = O .3 3 3 £ 7 0 c M dc = 2e (J ^ [2 {0 ) M o c = O .1 6 6 7 E /0 C (5 ) + 9 c - 3 (0 )1 + 0 (6) 1 1 .4 E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L as s e is e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­ n e n o c h o in c ó g n ita s . L a s d o s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io r e s ta n te s p r o ­ v ie n e n d e l e q u il ib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s H y C , f ig u r a 1 1 -1 6 6 . Se t i e n e M b a + M Bc ~ 0 (7 ) M Cb + M C d - 0 (8 ) P a r a re s o lv e r e s t a s o c h o e c u a c io n e s s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n l a e c u a c ió n ( 7 ) . y se r e m p la z a n la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) e n la e c u a c ió n (8 ). R e s u lta 0 .8 3 3 E 1 0 b + Q 2 5 E I0 C = 8 0 0 .8 3 3 E ! 0 C + O .2 5 E /0 fl = - 8 0 A l r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e • • - - « c - T r la c u a l c o n c u e r d a c o n la m a n e r a e n q u e s e d e f o r m a e l m a r c o .c o m o se m u e s tra e n la fig u ra I I - 1 6 a . S i se s u s tit u y e e n la s e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) . se ti e n e M a r = 22.9 k N - m R esp . M b a = 4 5 .7 k N • m R esp . M Bc = - 4 5 . 7 k N - m R esp . M Cñ = 4 5 .7 k N • m R esp . M Cd = - 4 5 . 7 k N • m R e sp . M o c = - 2 2 .9 k N - m R esp . C 6 n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s p u e d e n d e te r m i n a r s e las r e a c c io n e s e n lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r tir d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y es p o s ib le d ib u ja r el d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a rc o , fig u ra 1 l - 16c. 8 23 kN-m 4 7 1 A n á l is is d e m a r c o s : S i n l a d e o m. Mo -fr* C ^ T (b) M eo 4 7 2 C a p it u l o E JE M P L O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .6 D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n c a d a j u n t a d e la e s t r u c tu r a q u e se m u e s tra e n la f ig u r a 11-17 a . E l m o m e n to d e in e rc ia p a r a c a d a e l e ­ m e n to s e d a e n la f ig u r a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. 6k Figura 11-17 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n c o n s id e r a r s e c u a tr o c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 a lo s c la r o s A B y B C , y la e c u a c ió n 1 1-10 a C D y C E , p o r q u e lo s e x tr e m o s e n D y E e s t á n a rtic u la d o s . Si s e c a lc u la n la s rig id e c e s d e lo s e le m e n to s , s e ti e n e * AB kñc 4 00 4 = 0001286 p ie s ' 1 5 (1 2 )4 ” r " 1 6 (1 2 )4 0.002411 p ie s 3 *'*’ ‘ k CD 200 4 = (1000643 p ie s 3 1 5 (1 2 )' k CE = = 0 .0 0 2 6 1 2 p i e s 3 1 2 (1 2 )' L o s F E M d e b id o s a la s c a r g a s s o n (F E M ) s c PL 6 (1 6 ) - = - - ^ = - 1 2 k -p ie PL 6 (1 6 ) ( F E M ) Cfi = — = - Y 2 = 12 k • p ie wL2 (F E M ) c e g 3(12)2 - j - = - 5 4 k - p ie A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 11-8 y 11-10 a la e s t r u c tu r a y to m a r e n c u e n ta q u e 0 A = 0 , i/>AB = i¡ib c = •k c n = I c e = O d a d o q u e n o s e p r o ­ d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l .s e ti e n e M n = 2 E k (2 B N + 0 F - t y ) + (F E M )* M a b = 2 (2 9 (1 0 3)( 12 ) 2|( 0 .0 0 1 2 8 6 ) ( 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 )1 + 0 M A ñ = 1 0 7 4 0 .7 0 « (1 ) 11A A n á lis is d e m a u c o s : S in la d e o 4 7 3 M BA = 2 [2 9 ( 103) ( 1 2 )2] (0 .0 0 1 2 8 6 )[20B + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0 A # * , « 2 1 4 8 1 .5 » * M Mk (2 ) « 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 ) 2|( 0 .0 0 2 4 1 1 )[20„ + 0C - 3 ( 0 ) ] - 12 = 4 0 2 7 7 .8 6 B + 20 1 3 8.90c - 12 (3 ) M c b = 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 )2](0 .0 0 2 4 11 )[26c + 0 B - 3 ( 0 ) ] + 12 M c b = 2 0 1 3 8.90fi + 40 2 7 7 .8 6C + 12 M s = 3E k ( 6 N ~ *) + (4 ) (FEM)*, M c n = 3 [2 9 ( 103) (1 2 )2] (0 .0 0 0 6 4 3 ) [dc - 0 ] + 0 (5 ) M Cn = 8 0 5 5 .6 0 c M Ce = 3 [2 9 ( 103) (1 2 ) 2| (0 .0 0 2 6 1 2 )|0 c - 0 ] - 5 4 (6 ) M Ce = 32 7 2 5 .7 6C - 54 E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c i o n e s c o n tie n e n o c h o in có g n itas. E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­ m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 11 - 17 b . S e o b tie n e T M ba + M k = 0 (7 ) Mcb + M cd + M c e - 0 (8 ) A fin d e e n c o n tr a r la s o l u c ió n ,s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n ki e c u a c i ó n ( 7 ) , y la s e c u a c io n e s ( 4 ) - ( 6 ) e n la e c u a c ió n (8 ). D e e s t o r e ­ s u lta 6 1 7 5 9 3 6 B + 2 0 1 3 8.90c = 12 2 0 1 3 8.90fl + 81 0 5 9 .0 0 c = 42 A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e 0fl = 2 .7 5 8 ( 10-5 ) r a d 0C = 5 .1 1 3 (1 0 -4 ) r a d A l t e n e r u n s e n t id o h o r a r io ,e s t o s v a lo r e s tie n d e n a d is to r s io n a r la e s ­ tr u c tu r a c o m o se m u e s tra e n la f ig u r a 1 1 -1 7 a . S i s e s u s titu y e n e s t o s v a ­ lo re s e n las e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) y s e re s u e lv e , r e s u lta M a b = 0 .2 9 6 k - p i e R esp . M ,m = 0 .5 9 2 k - p i e R esp . M BC = - 0 .5 9 2 k - p i e R esp . Mcb = k • p ie R esp . M c n = 4 .1 2 k - p ie R esp . M ce = 3 3 .1 “ 3 7 .3 k - p ie R esp . « „ Í <b) Mc» 4 7 4 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l 1 1 .5 : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n A n á lis is d e m a rc o s : C o n la d e o U n m a r c o s e la d e a , o s e d e s p la z a l a t e r a l m e n t e .c u a n d o la c a r g a q u e a c tú a s o b r e é l n o e s s im é tric a . P a r a il u s t r a r e s t e e f e c to , c o n s i d e r e e l m a r c o d e la fig u ra 11-18. A q u í, la c a r g a P p ro v o c a m o m e n to s d e s ig u a le s M flC y M Cfl e n la s j u n t a s t í y C , r e s p e c tiv a m e n te . M flC ti e n d e a d e s p l a z a r la ju n t a t í h a d a la d e r e c h a , m ie n tr a s q u e M e a ti e n d e a d e s p la z a r la j u n t a C h a c ia l a iz q u ie rd a . P u e s to q u e M n c e s m a y o r q u e M< * , e l r e s u lta d o n e to e s u n d e s p la z a m ie n to la t e r a l A d e la s d o s ju n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a , c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a .* P o r lo ta n t o , a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n a c a d a c o lu m n a d e e s t e m a r c o d e b e c o n s i d e r a r s e la r o t a d ó n d e la c o lu m n a ( p u e s to q u e ip = A / £ ) c o m o in c ó g n ita e n la e c u a c ió n . E n c o n s e c u e n c ia , d e b e in c lu ir s e u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io a d ic io n a l p a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n . E n la s s e c c io n e s a n te r io r e s s e d e ­ m o s tr ó q u e lo s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s d e s c o n o c id o s 0 se r e l a d o n a n m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n ta s . D e u n a m a n e r a s im i la r .c u a n d o s e p r o d u c e n d e s p la z a m ie n to s lin e a le s d e s c o n o c i­ d o s A e n la s ju n ta s ( o r o t a c io n e s i¡i d e l c la r o ) , s e r e q u i e r e e s c r ib ir las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n c o m p le ta . S in e m b a r g o , la s in c ó g n ita s e n e s t a s e c u a c io n e s s ó l o d e b e n in c lu ir lo s m o m e n t o s in te r n o s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s d e la s c o lu m n a s , p u e s to q u e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n in v o lu c r a n a e s t o s m o m e n to s . L a té c n ic a p a r a re s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e m a rc o s c o n d e s p la z a m ie n to la ­ te r a l s e ilu s tra d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te e je m p lo s . l i g a r a 1 1 -1 8 E JE M P L O d e s p l a z a m ie n t o 1 1 .7 D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 l- 1 9 a . E l e s c o n s ta n te . 401c S O L U C IÓ N 12 pies E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n . C ó m o lo s e x tr e m o s e n A y D e s tá n fijo s, s e a p lic a l a e c u a c ió n 11-8 a lo s t r e s c la r o s d e l a e s t r u c ­ tu r a . A q u í s e p r o d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l p o r q u e n i la c a r g a a p l i ­ c a d a n i la g e o m e t r í a d e la e s t r u c tu r a s o n s im é tric a s . E n e s te c a s o , la c a rg a s e a p lic a d ir e c ta m e n te a la j u n t a t í y, p o r lo ta n t o , n in g ú n F E M a c tú a e n la s ju n t a s . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-1 9 a . s e s u p o n e q u e a m b a s j u n t a s t í y C se d e s p la z a n u n a c a n tid a d ig u a l A. E n c o n s e ­ c u e n c ia . j»AB = A /1 2 y i[id c = A /1 8 , A m b o s té r m in o s s o n p o s itiv o s p o r q u e la c u e r d a d e lo s e le m e n to A t í y C D " g ir a n ” e n s e n t id o h o r a ­ rio . S i s e r e l a c io n a il/AB c o n i|»o c , s c t i e n e jiAB = (1 8 /1 2 )i/rDO A l a p lic a r la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o , r e s u lta (a) F ig u ra 11-19 M AB “ (n) 2 (0 ) M BA 2£[ — 20, + 0 - 3 ( | | * « ; ) ] + 0 = E l { 0 3 3 3 0 B - O J S t o c ) M i 2 E [ j^ j[ 2 B B © + + 9fí ~ 0C - ) ] + 0 = E l (O .16670fl - 0 .7 5 * n c ) l f * DC 3 (0 )] + 0 = £ 7 (0 .2 6 7 0 * + O .1 3 3 0 c ) ( 1) (2 ) (3 ) •Recuerde que la deformación de los tres elementos debida a la tuerca cortante axial es in­ significante. 1 1 .5 A n Al i s i s d e m a r c o s : C o n l a d e o M c b = 2 E ( j ^ j [ 2 B c + 0„ ~ 3 ( 0 ) | + 0 = E l (0 .2 6 1 0C + O.1330fl) (4 ) M e o = 2 e ( J ^ [ 2 B c + 0 - 3 * K \ + 0 = E /(O .2 2 2 0 C - 0 .3 3 3 4>oc) (5 ) M o c = 2 E ^ ) [ 2 ( 0 ) + dc - 3 M (6 ) + 0 = £ 7 ( 0 .1 1 1 0 c - 0 .3 3 3 * d c ) 40 k ■ E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s s e is e c u a c io n e s c o n ti e n e n n u e v e in c ó g n ita s . E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­ m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 1 1 -1 9 6 ,a s a b e r , = 0 (7 ) A fe a + M c n = 0 ( ) M + M ba bc 4 7 5 Msc & ^ T~„ T (b) 8 C o m o se p r e s e n ta u n d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l A . s e c o n s id e r a r á la s u m a to r i a d e la s fu e rz a s s o b r e io d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n x . D e e s to r e s u lta ■ ± Z F , = 0 ; — V A 40 — V p = p 0 L a s r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s o f u e r z a s c o r t a n te s d e c o lu m n a V A y V D p u e d e n r e la c io n a r s e c o n lo s m o m e n to s in te r n o s a l c o n s i d e r a r e l d i a ­ g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a p o r s e p a r a d o , f ig u r a 1 l-1 9 c . 12 p ie s Se t i e n e M a b + M ba 12 SAZ*, = 0; V'amT • M M pc + M eo 2 A /C = O, Vd - - (c) 18 R>r lo ta n to , 40 + M a b + M b a 12 + M oc + M cn 18 0 (9 ) A fin d e re s o lv e r, s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n la e c u a d ó n ( 7 ) , la s e c u a c io n e s ( 4 ) y ( 5 ) e n la e c u a c ió n (8 ), y la s e c u a c io n e s (1 ), ( 2 ) , ( 5 ) y (6 ) e n la e c u a c ió n ( 9 ) . D e a q u í s e o b ti e n e O .60fl + 0 .1 3 3 0 c - 0 .7 5 * d c = 0 0 .1 3 3 0 b + O.4890c - 0 .3 3 3 ^ o c = 0 480 0 .5 0 b + O.2220c. - 1.944V/OC = - £/ A l r e s o lv e r s im u ltá n e a m e n te , s e ti e n e £ / 0 fl = 438.81 £ / 0 c = 136.18 E l ^ p c = 3 7 5 .2 6 ft>r ú ltim o , c o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s y re s o lv ie n d o la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 ) s ; o b ti e n e M Ab = - 2 0 8 k -p ie R esp . M Ba ° - 1 3 5 k •p ie R esp . M bc ~ M cb = 135 k •p i e R esp . 9 4 .8 k • p i e R esp . M Co = ^ 9 4 .8 k ■p ie R esp . A /b c = - 1 1 0 k - p i e R esp . v „ -f- - MCD 4 7 6 C a p it u l o 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 l- 2 0 a . L o s s o p o r te s e n A y D e s tá n fijo s y s e s u p o n e q u e la j u n t a C e s tá a rtic u la d a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to . S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . S e a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8 al e l e m e n t o A f í p u e s to q u e e s tá c o n e c ta d o f ija m e n te e n a m b o s e x t r e ­ m o s. L a e c u a c ió n 11-10 p u e d e a p lic a r s e d e / í a C y d e / ) a C p o r q u e e l p a s a d o r e n C s o p o r ta u n m o m e n to c e ro . C o m o s e m u e s tra e n e l d i a ­ g r a m a d e d e f le x ió n , f ig u r a 1 1 -2 0 6 . h a y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l d e s ­ c o n o c id o d e la e s t r u c tu r a y u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e s c o n o c id o 6„ e n la j u n t a B * D e b id o a A . lo s e le m e n to s d e la c u e r d a A B y C D g ira n e n s e n t id o h o r a r io , i = i¡iAfí = iftp c = A /4 . S i s e to m a e n c u e n ta q u e dA = 0 D = O .y q u e n o h a y F E M p a r a lo s e le m e n to s , s e ti e n e + 0F - 3 * ) + (F E M )* + 0B - 3*] + 0 + 0 - 3*) + 0 ~ t ) + (F E M )* E c u a c io n e s d e e q u H ib rio . fig u ra 11- 2 0 c .r e q u ie r e q u e E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la j u n t a B . M ba + M ac = 0 (5 ) Si la s f u e r z a s s e s u m a n p a r a to d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ­ ta l , re s u lta X S F , = O. 1 0 - VA - V D - 0 (6) C o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a , fi­ g u r a l l - 2 0 d .s e ti e n e M ab + M ba V 'x V D • L o s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s 0 CB y Bc n e n la j u n t a C ( a r ti c u la d a ) n o e s t á n in c lu i­ d o s e n e l a n á lis is d e b id o a q u e s e d e b e u s a r la e c u a c ió n 1 1 - 10 . 1 1 .5 A n á l is is d e m a r c o s : C o n l a d e o 4 7 7 E n to n c e s , a p a r t i r d e la e c u a c ió n (6 ), (7 ) t - é r v* - ^ Vc A l s u s tit u ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s (5 ) y ( 7 ) y a l s im p lific a r s e o b tie n e » * ¥ (!-■- ¥ * ) v- t " R »r lo ta n to . (d) e* 240 320 21 E l 2 \E l Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) , s e tie n e M a r = - 1 7 .1 k N - m . M BA = - 1 1 . 4 k N • m R e sp . M b c = 11.4 k N - m , M ^ = - 1 1 .4 kN • m R esp . C b n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , e s p o s ib le d e te r m i n a r la s re a c c io n e s e n b s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­ b rio , f ig u r a 1 l- 2 0 e . E l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a e l m a r c o s e m u e s ­ tr a e n l a fig u ra 1 1 -2 0 / 3 .81 k N 3.81 k N 3.81 k N 2 8 6 kN 10 kN I H * “ 1 1.4kkKN-i» lM -m t 2 8 6 kN « « H i 2 .8 6 k N 1 1 .4 k N * *1" 11.4 k N - m 3 .8 1 k N 3.81 k N ir 3.81 k N 2 .8 6 k N 1 1 .4 k N - r 7 .1 4 k N 2 * 6 kN 11.4 kN * T" 3 8 1 kN 7.14 k N ♦ + - .1 k N • i 3.81 k N (e) (0 4 7 8 C a p it u l o E JE M P L O 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .9 E x p liq u e c ó m o s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e la e s ­ tr u c tu r a d e d o s n iv e le s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -2 1 a . E l e s c o n s ­ ta n te . A, + A , 4)kN S O L U C IÓ N 7 m ------ Ecuación de pendiente-deflexión. C o m o lo s s o p o r te s e n A y F e s t á n fijo s, la e c u a c ió n 11 -8 se a p lic a p a r a lo s s e is c la r o s d e la e s t r u c ­ tu r a . N o e s n e c e s a r io c a lc u la r n in g ú n F E M p o r q u e la c a r g a a p lic a d a a c tú a e n las ju n t a s . A q u í, la c a rg a d e s p la z a a la s j u n t a s R y E u n a c a n ­ ti d a d A i. y a C y D u n a c a n ti d a d A | + A?. E l r e s u lta d o e s q u e lo s e l e ­ m e n to s A B y F E e x p e r im e n ta n r o ta c io n e s d e = A , / 5 . y B C y E D se s o m e te n a r o t a c io n e s d e “ A ^S. A l a p li c a r la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o s e o b ti e n e <■) Figura 11-21 M ab = 2 f ( j y [2 ( 0 ) +e B - M ba = 2 E ^ [ 7 B b + 3 * ,] + ec = M cb = 2 £ ^ 0 [ 2 0 c + 0B - 3 ^ 2] M cd = 2 E Í ^ p 0 c + 0D - 3 (0 )1 M a c = 2e (^)[2 B d 0 0 - 3*J + 0 M bc 2 ¿ (0 [2 0 s + - 3<tel + (1) (2) o (3 ) + 0 (4) + 0 (5) + 0 C - 3 (0 )1 + 0 (6) M be = 2 £ ^ ) [ 2 0 a + e E - 3 (0 ) 1 + 0 (7) M fb = 2 e ( Í ) [ 2 0 * + B ñ - 3 (0 ) 1 + 0 (8 ) 2 e [ ^ \2 B e + 0 n - 3 * 21 + 0 (9) M nE = 2 e Q ) [ 2 9 0 + B E - 3 * 2) + 0 (1 0 ) M Ef> = M f e = 2 £ G ) ,2 (o ) + ° F ~ 3 ^ ' 1 + Me f = 2 e ( -‘ W + 0 - 3 ^ ,1 + 0 E s ta s 12 e c u a c io n e s c o n ti e n e n 18 in c ó g n ita s . 0 (1 1 ) (1 2 ) 1 1 .5 A nálisis d e m a r c o s : C o n l a d e o E c u a c io n e s d e e q u li b r i o . E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s R , C , D y E , fig u r a 11 -2 1 6 . r e q u i e r e q u e M ba + M ef + M be + M bc = ü (1 3 ) M Cb + M c d = ü (1 4 ) M pc + M de = 0 (1 5 ) M eb + M ed = 0 (1 6 ) C o m o e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s . la f u e r z a c o r t a n te e n la b a s e d e to d a s la s c o lu m n a s d e c u a lq u ie r n iv e l d e b e e q u il ib r a r la s c a r g a s h o r i­ z o n ta le s a p lic a d a s , fig u ra 1 1 -2 le . D e a q u í r e s u lta X 1 F , = 0; 4o + M K 40 - V K - V ED + M cb + M ed + M de = Q (1 7 ) X Z FX = 0; 120 + 40 + 8 0 - V AB - V FE = 0 + M e f ± M FE = q ( 18) L a s o lu c ió n r e q u i e r e s u s titu ir la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 1 2 ) e n la s e c u a c io ­ nes (1 3 ) - ( 1 8 ), d e d o n d e r e s u lta n se is e c u a c io n e s c o n s e is in c ó g n ita s . E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n re s o lv e rs e d e m a n e r a s i m u ltá n e a . L o s re s u lta d o s s e s u s titu y e n d e n u e v o e n las e c u a c io n e s (1 )-(1 2 ). d e d o n d e s e o b ti e n e n lo s m o m e n to s e n las ju n ta s . (c) 4 7 9 4 8 0 C a p it u l o EJEMPLO 11 M é to d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n 1 1 .1 0 D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 l- 2 2 a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to . , ¿y «r (c ) F igura 11-22 S O L U C IÓ N E c u a c io n e s d e p e n d ie n te * d e fle x ió n . La e c u a c i ó n 11-8 s e a p lic a a c a d a u n o d e lo s tr e s c la ro s . L o s F E M s o n (F E M )* ; = - wL¿ 2 (1 2 )' 12 12 w1} 2 ( 12 )2 ( F E M ) Cfl = - j z r = ~ “ 12 12 - 2 4 k - p ie = 2 4 k • p ie E l e l e m e n t o in c lin a d o A ñ o c a s io n a q u e e l m a rc o s e la d e e h a c ia l