INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT 7 “CUAUHTÉMOC” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO PROBLEMARIO DE CÁLCULO INTEGRAL PRIMER DEPARTAMENTAL INTEGRANTES: Beltrán Ramírez Tomás Adolfo Flores Huerta Mario Luis Miranda Morales José Arnulfo Romero Flores Alicia Capítulo I. Diferenciales ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .1.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad de enseñanza que se presentan. Incremento de una función Recuerda que uno de los objetivos fundamentales del cálculo infinitesimal es estudiar cómo varía una función cuando el valor de su variable independiente cambia. Si “X” es la variable independiente de la función y=f(x) y su valor cambia desde X1 hasta X2, el aumento o disminución que experimenta dicha variable se llama incremento de X y se denota por ∆x. Así tenemos: ∆x=X2-X1 Cuando la variable independiente de y=f(x) experimenta un incremento ∆x, generalmente la función también experimenta un aumento o disminución de su valor, el cual se denomina incremento de la función y se denota por ∆y, es decir: ∆y=f(x2)-f(x1) Como ∆x=X2 –X1, por lo tanto, X2=∆x+X1, Así tenemos que: ∆y=f(X1 +∆x)-f(X1) La palabra incremento la usamos para referirnos tanto a un aumento como a una disminución. Consideremos que la función y=f(x) es derivable sobre el intervalo a≤ x≤ b. En un punto X de dicho intervalo, la derivada de Y con respecto a X se define por la expresión: 𝑓´(𝑥) = 𝑑𝑦 ∆𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑥 ∆𝑥=>0 ∆𝑥 𝑑𝑦 Hasta ahora hemos utilizado la expresión 𝑑𝑥 como un símbolo para denotar la derivada de yy con respecto a X. Ahora definiremos el concepto de diferencial de manera que dx y 𝑑𝑦 dy tenga significados por separado. Esto no permitirá considerar la expresión 𝑑𝑥 como la razón de dy y dx, donde dx es la diferencial de la variable dependiente y. Definición de la diferencial dx. Si y=f(x) es una función derivable en X y la diferencial de la variable independiente coincide con su incremento de X; o sea: dx=∆x Definición de la diferencial dy. Si y=f(x) es una función derivable en X y dx es el diferencial de X, del diferencial dy que corresponde a la variable dependiente y se define como: dy =f´(x)dx De acuerdo con la expresión anterior, el valor de la diferencial dy depende del valor de X y del de dx; o sea que dx es otra variable independiente de dy. Si en la expresión dy=f´(x) dx, dx es diferente de cero y dividimos ambos miembros de la igualdad por dx obtenemos: 𝑑𝑦 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 De acuerdo con la expresión anterior, la derivada f´(x) puede considerarse como el cociente de la diferencial de la función (dy) entre la diferencial de X. o sea, entre dx. Actividad de Aprendizaje 1.1. Resuelve las siguientes diferenciales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1. 𝑓(𝑥) = 3 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2 4𝑥 4 3. 𝑓(𝑥) = 3 4. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 + 5𝑥 + 6 𝑥+1 2⁄ 3 5. 𝑓(𝑥) = (𝑥 8 − 2) 6. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 8 7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 8. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 8 + 3𝑥) 9. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 10. 𝑓(𝑥) = 92𝑥 + 𝑒 2𝑥 3 11. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos 6𝑥 5 12. 𝑓(𝑥) = √6𝑥 5 13. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ln 𝑥 14. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 8 + 3𝑥 + 2) 9. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 10. 𝑓(𝑥) = 92𝑥 + 𝑒 2𝑥 11. 𝑓(𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos 6𝑥 5 12. 𝑓(𝑥) = √6𝑥 5 13. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥 14. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 2 15.𝑓(𝑥) = − 16. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 3 3 3(𝑥 5 +5𝑥)+6𝑥 2𝑥+1 17. 𝑓(𝑥) = (𝑥 8 − 2) − 3⁄ 2 18. 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛𝑥 19. . 𝑓(𝑥) = −3/22𝑥 + 𝑒 −2𝑥 20. 𝑓(𝑥) = 4 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 cot 3𝑥 Capitulo II. Integración Competencia General: Resuelve problemas con integrales de una variable real, mediante el teorema fundamental del cálculo y los métodos de integración, en su entorno académico, social y global. ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .2.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente). Sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos. Conocemos varias operaciones inversas, como adición y sustracción; multiplicación y división; elevación a potencias y extracción de raíces y ahora agregamos diferenciación e integración. El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama Integral Definida de la función 𝑓(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje 𝑥 y las rectas paralelas 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏 Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función. Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función. Función primitiva de una función Dada una función cualquiera 𝑓(𝑥) definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], se llama función primitiva de 𝑓(𝑥) a otra función 𝐹(𝑥) cuya derivada sea 𝑓(𝑥) en dicho intervalo. Es decir 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) para toda “x” de [𝑎, 𝑏]. Así: La función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es una primitiva de cos 𝑥 puesto que (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ = cos 𝑥 1 1 La función 𝑙𝑛|𝑥| es una primitiva de 𝑥 , ya que (𝑙𝑛|𝑥|)′ = 𝑥 La derivada de 𝑥3 3 𝑥3 es ( 3 ) = 1 3 ∙ 3𝑥 2 = 𝑥 2 ; así 𝑥3 3 es una primitiva de la función 𝑥 2 Propiedades de las primitivas de una función Primera propiedad Si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥) y 𝐶 una constante cualquiera (un número), la función 𝐹(𝑥) + 𝐶 es otra primitiva de 𝑓(𝑥) Demostración Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre es cero. (F(𝑥) + 𝐶)′ = F ′ (𝑥) + 𝐶 ′ = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥) Por ejemplo: Hallar tres primitivas de la función de cos 𝑥; Se sabe que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es una primitiva de cos 𝑥 𝜋 Tres primitivas de cos 𝑥 son, por ejemplo; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛2; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 Segunda propiedad Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Demostración Si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), para cualquier constante C, 𝐹(𝑥) + 𝐶 es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera Propiedad Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, sí 𝐹(𝑥 ) 𝑦 𝐺(𝑥) son primitivas de la función 𝑓(𝑥), entonces 𝐹(𝑥) − 𝐺 (𝑥) = 𝐶 Demostración Hay que recordar que si una función 𝑓(𝑥)definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función 𝑓(𝑥) es constante. Es decir, si 𝑓′(𝑥) = 0, entonces 𝑓(𝑥) = 𝐶. Pues bien, si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), 𝐹 ′ (𝑥)𝑓(𝑥); si 𝐺(𝑥) es otra primitiva de 𝑓(𝑥), 𝐺 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). Restando miembro a miembro, 𝐹 ′ (𝑥) − 𝐺 ′ (𝑥) = [𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)]′ = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0, donde se deduce que 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 pítulo III. Integral indefinida de una función Competencia particular: Resuelve integrales indefinidas, mediante el concepto de antiderivada y transformaciones algebraicas. ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .3.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. Se llama integral indefinida de una función 𝑓(𝑥), al conjunto de todas las primitivas de la función 𝑓(𝑥), y se simboliza: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Está expresión se lee “integral de efe de equis diferencial de equis” Por las propiedades de la función primitiva, si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Donde C, representa una constante llamada constante de integración. Por ejemplo: Calcular ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥; Puesto que una primitiva de cos 𝑥 es 𝑠𝑒𝑛 𝑥, entonces: ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 Hallar: 1 ∫ dx, x 1 Una primitiva de 𝑥 es 𝑙𝑛|𝑥|, por consiguiente. 1 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 Hallar: ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 Por ser 𝑥3 3 una primitiva de 𝑥 2 , por consiguiente ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 +𝐶 La diferenciación y la integración son operaciones inversas. 𝑑 Por tanto, si 𝑒 ∫ … 𝑑𝑥 e se consideran como símbolos de operación, son inversos uno del otro. 𝑑𝑥 O si empleamos diferenciales 𝑑 y ∫ es inverso el uno del otro. Cuando 𝑑 antecede a ∫ ambos signos se anulan mutuamente; pero cuando ∫ antecede a 𝑑 eso en general, no será cierto. Constante de integración e integral indefinida. Por ser 𝑑 (𝑥 4 ) = 4𝑥 3 𝑑𝑥 , tenemos que ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 Por ser 𝑑(𝑥 4 + 𝑎) = 4𝑥 3 𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝑎 Por ser𝑑(𝑥 4 − 5) = 4𝑥 3 𝑑𝑥 , tenemos que ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 − 5 En general, como (𝑥 4 + 𝑐) = 4𝑥 3 𝑑𝑥, tenemos que∫ 4 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝐶 ; siendo c una constante La constante arbitraria c se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podamos dar a c cuántos valores queramos, se sigue que sí en una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren solo en constantes. Por tanto: ∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 , puesto que 𝐶 es desconocida e indefinida, la expresión 𝑓(𝑥) + 𝐶, se llama integral indefinida de 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 Capítulo IV. Integrales Inmediatas. Objetivo: Obtiene la antiderivada de funciones con una variable real, mediante el empleo del formulario en su entorno académico. ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .4.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad de enseñanza que se presentan. En cálculo diferencial se obtuvieron fórmulas para obtener la derivada y la diferencial de una función, en cálculo integral se trabaja también con fórmulas que se obtienen de manera sencilla de las formulas diferenciales ya conocidas. Estas fórmulas reciben el nombre de integrales inmediatas, sí: 𝐹(𝑥)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑓´(𝑥), 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎, ó 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) Para denotar la integral indefinida de𝑓´(𝑥), se realiza de la siguiente manera∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 (no se entiende) Para poder demostrar las formulas es conveniente tomar en cuenta Si U, V y W son funciones de la misma variable, entonces tenemos: La integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de sus diferenciales. 1)∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤 La integral de una constante por la diferencial de una función, Si “a” es una constante, entonces tenemos: 2) ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑢 La integral de una constante por la diferencial de una función es igual a la constante por la integral de la diferencial de una función. Demostración de la formula. 3) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene ∫ 𝑑(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas, se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑥 + 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 Finalmente ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 Demostración de la formula 𝑢𝑛+1 4) ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑛+1 Sea 𝑑(𝑢𝑛+1 ) = (𝑛 + 1)𝑢𝑛 𝑑𝑢 Transponiendo términos se tiene. 1 𝑑(𝑢𝑛+1 ) = 𝑢𝑛 𝑑𝑢 (𝑛 + 1) Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene 1 ∫ 𝑑(𝑢𝑛+1 ) = ∫ 𝑢𝑢 𝑑𝑢 (𝑛 + 1) En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑢𝑛+1 + 𝐶 = ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 𝑛+1 Finalmente 𝑢𝑛+1 𝑛 ≠ −1 ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑛+1 + 𝐶 Siendo la variable una función de la variable. Cuando u=x , entonces, la integral se reduce a 5)∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 +C 𝑛 ≠ −1 Demostración de la formula 𝑑𝑢 6) ∫ 𝑢 = ln 𝑢 + 𝐶 𝑑𝑢 Sea 𝑑(ln 𝑢) = 𝑢 Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene ∫ 𝑑(ln 𝑢) = ∫ 𝑑𝑢 𝑢 En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto: ln(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 Finalmente ∫ 𝑑𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶 𝑢 Demostración de la formula 𝑎𝑢 7) ∫ 𝑎𝑛 𝑑𝑢 = ln 𝑎 + 𝐶 Sea 𝑑(𝑎𝑢 ) = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑢 Transponiendo términos se tiene. 1 𝑑(𝑎𝑢 ) = 𝑎𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑎 Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene 1 ∫ 𝑑(𝑎𝑢 ) = ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑎 En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑎𝑢 + 𝐶 = ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑎 Finalmente ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 +𝐶 ln 𝑎 Si a=e entonces, ln e=1, por lo tanto 8) ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 Demostración 9)∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 Sea u una función de la variable x. Sabemos que 𝑑(cos 𝑢) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene ∫ 𝑑(cos 𝑢) = ∫ −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto: cos 𝑢 + 𝐶 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 Transponiendo términos: ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 Demostración 10) ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 Sea “u” una función de la variable”. Sabemos que 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = cos 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene ∫ 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto: 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 Por lo tanto: ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 Demostración 11)∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 Sea “U” una función de la variable “X”. Sabemos que 𝑑(tan 𝑢) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene ∫ 𝑑(tan 𝑢) = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto: tan 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 Se tiene ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 Demostración 12) ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶 Sea “U” una función de la variable “X”. Sabemos que 𝑑(cot 𝑢) = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene: ∫ 𝑑(cot 𝑢) = − ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto: cot 𝑢 + 𝐶 = − ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 Transponiendo términos: ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶 Demostración 13) ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 Sea “U” una función de la variable”. Sabemos que 𝑑(sec 𝑢) = sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene ∫ 𝑑(sec 𝑢) = ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14) ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝐶 𝑆𝑒𝑎 “𝑈” 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 “𝑋”. 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑(𝑐𝑠𝑐 𝑢) = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: ∫ 𝑑(csc 𝑢) = − ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto: csc 𝑢 + 𝐶 = − ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 Transponiendo términos: ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶 Demostración 15. − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 cos 𝑢 Pero Haciendo 𝑣 = cos 𝑢 , entonces 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢, también −𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ − 𝑣 = − ∫ 𝑣 = −𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 = −𝑙𝑛|cos 𝑢| = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶 Por lo tanto: ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶 Demostración 16. − ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 Pero ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢 Haciendo 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢, entonces𝑑𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑢 cos 𝑢 𝑑𝑣 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑣 = 𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 Por lo tanto: ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑖𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 Demostración 17) ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶 Multiplicando y dividiendo la integral por sec 𝑢 + tan 𝑢 se tiene: sec 𝑢 (sec 𝑢 + tan 𝑢) ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 (sec 𝑢 + tan 𝑢) Haciendo 𝑣 = sec 𝑢 + tan 𝑢, entonces 𝑑𝑣 = (sec 𝑢 tan 𝑢 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢) sec u (sec 𝑢 + tan 𝑢) 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑢 = ∫ = ln 𝑣 + 𝐶 = ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶 (sec 𝑢 + tan 𝑢) 𝑣 ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶 Demostración 18) ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶 Multiplicando y dividiendo la integral por csc 𝑢 − cot 𝑢se tiene: ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ csc 𝑢 (csc 𝑢 − cot 𝑢) 𝑑𝑢 (csc 𝑢 − cot 𝑢) Haciendo 𝑣 = csc 𝑢 − 𝑐𝑜 𝑢, entonces 𝑑𝑣 = (− csc 𝑢 𝑐𝑜 𝑢 + 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢) 𝑑𝑣 = csc 𝑢(csc 𝑢 − cot 𝑢) csc 𝑢 (csc 𝑢 − cot 𝑢) 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑣 = ln 𝑣 + 𝐶 = 𝑙𝑛(csc 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶 (csc 𝑢 − cot 𝑢) 𝑣 ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶 Demostración 𝑑𝑢 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan + 𝐶 2 +𝑎 𝑎 𝑎 𝑢 De la diferencial de 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑎 tenemos: 19) ∫ 𝑢2 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑 (𝑎 ) 𝑢 𝑎 𝑑𝑢 𝑎 𝑑(𝑎𝑟𝑐 tan ) = = = 2𝑎 2 = 2 2 2 𝑢 𝑢 𝑎 + 𝑢 𝑎 𝑎 + 𝑢2 1+( ) 1+ 2 2 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑 (𝑎𝑟𝑐 tan ) = 2 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑢2 Integrando 1 𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑑(𝑎𝑟𝑐 tan ) = ∫ 2 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑢2 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑎𝑟𝑐 tan + 𝐶 = ∫ 2 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑢2 Por lo tanto ∫ 𝑎2 𝑑𝑢 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan + 𝐶 2 +𝑢 𝑎 𝑎 Demostración 𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 2 −𝑎 2𝑎 𝑢+𝑎 Utilizando 20) ∫ 𝑢2 1 1 1 1 = − [ ] 𝑢2 − 𝑎2 2𝑎 𝑢 − 𝑎 𝑢 + 𝑎 Integrando ambos miembros: 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑑𝑢 = ∫ [ − ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 ] 𝑑𝑢 = 2 −𝑎 2𝑎 𝑢 − 𝑎 𝑢 + 𝑎 2𝑎 𝑢 − 𝑎 2𝑎 𝑢 + 𝑎 1 1 = 𝑙𝑛⌈𝑢 − 𝑎⌉ − 𝑙𝑛⌈𝑢 + 𝑎⌉ + 𝐶 2𝑎 2𝑎 ∫ 𝑢2 Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene: 𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 ∫ 3 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 3 𝑢 −𝑎 2𝑎 𝑢+𝑎 Demostración 𝑑𝑢 1 𝑎+𝑢 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 2 −𝑢 2𝑎 𝑎−𝑢 Utilizando 1 1 1 1 = − [ ] 2 2 𝑎 −𝑢 2𝑎 𝑎 + 𝑢 𝑎 − 𝑢 21) ∫ 𝑎2 Integrando ambos miembros: 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ − 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 [ ] 𝑎2 − 𝑢2 2𝑎 𝑎 + 𝑢 𝑎 − 𝑢 2𝑎 𝑎 + 𝑢 2𝑎 𝑎 − 𝑢 1 1 𝑎+𝑢 = 𝑙𝑛|𝑎 + 𝑢| − 𝑙𝑛 | |+𝐶 2𝑎 2𝑎 𝑎−𝑢 ∫ Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene: 𝑑𝑢 1 𝑎+𝑢 ∫ 2 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 2 𝑎 −𝑢 2𝑎 𝑎−𝑢 Demostración 𝑑𝑢 𝑢 22) ∫ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 𝑎 √𝑎2 − 𝑢2 De la diferencial de 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ) = 𝑎 𝑢 𝑎 𝑢 𝑑 (𝑎 ) , se tiene 𝑑𝑢 𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑎 = = = 2 2 2 2 √𝑎2 − 𝑢2 √1 − (𝑢) √1 − 𝑢2 √𝑎 −2 𝑢 𝑎 𝑎 𝑎 Integrando ambos miembros de la igualdad se tiene: 𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑑 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ) = ∫ 2 𝑎 √𝑎 − 𝑢2 𝑢 𝑑𝑢 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 = ∫ 𝑎 √𝑎2 − 𝑢2 Por lo tanto 𝑑𝑢 𝑢 ∫ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 𝑎 √𝑎2 − 𝑢2 Demostración 23) ∫ 𝑑𝑢 √𝑢2 ± 𝑎2 = 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 | + 𝐶 Sea 𝑣 2 = 𝑢2 ± 𝑎2 , entonces 2𝑣 𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢 , también 𝑣𝑑𝑣 = 𝑢 𝑑𝑢 Sumando 𝑣 𝑑𝑢 a ambos miembros de la igualdad 𝑣 𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢 = 𝑢𝑑𝑢 + 𝑣𝑑𝑢 Factorizando ambos miembros 𝑣(𝑑𝑣 + 𝑑𝑢) = (𝑣 + 𝑢)𝑑𝑢 Despejando 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + 𝑑𝑢 = 𝑣 𝑣+𝑢 También 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = + 𝑣 𝑣 𝑢 De donde ∫ 𝑑𝑢 √𝑢2 ± 𝑎2 =∫ 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + 𝑑𝑢 𝑑(𝑣 + 𝑢) =∫ =∫ = 𝑙𝑛|𝑢 + 𝑣| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 | + 𝐶 𝑣 𝑣+𝑢 𝑣+𝑢 Por lo tanto: 𝑑𝑢 ∫ ln |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 | + 𝐶 √𝑢2 ± 𝑎2 FORMULAS DE INTEGRALES INMEDIATAS 1.-∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑤 14.∫ csc 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶 2.- ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑢 15.∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶 = − ln cos 𝑢 + 𝐶 3.-∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 16.- ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 4.- ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 𝑛 ≠ −1 17.-∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶 5.- ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 +𝐶 18.- ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln(csc 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶 6.-∫ 𝑑𝑢 𝑢 𝑛 ≠ −1 = ln 𝑢 + 𝐶 𝑎𝑢 𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 𝑑𝑢 1 𝑎+𝑢 19.-∫ 𝑢2 +𝑎2 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑎 + 𝐶 7.-∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = +𝐶 ln 𝑎 20.-∫ 2 2 = 𝑙𝑛 +𝐶 𝑢 −𝑎 2𝑎 𝑢+𝑎 8.∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 21.-∫ 𝑎2 −𝑢2 = 2𝑎 ln 𝑎−𝑢 + 𝐶 9.-∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 22.-∫ 2 2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 √𝑎 −𝑢 10.- ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 23.-∫ 𝑢2 ±𝑎2 = 𝑙𝑛 (𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 ) + 𝐶 11.-∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 24.- ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 2 √𝑎2 − 𝑢2 + 12.-∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶 25.∫ √𝑢2 ± 𝑎2 𝑑𝑢 = 2 √𝑢2 ± 𝑎2 + 13.-∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 𝑑𝑢 𝑢 𝑎 (𝑢 > 𝑎) (𝑢 > 𝑎) +𝐶 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 𝑎2 2 𝑎2 2 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑎 +𝐶 𝑖𝑛(𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 + 𝐶 Actividad de Aprendizaje 4.1. Tema: Reglas básicas de integración La derivación de una función elemental es directa, sólo requiere de un uso sistemático de las reglas aprendidas en el curso de cálculo diferencial, el resultado de dichas reglas de derivación siempre será una función elemental. La integración (anti derivación) es un proceso algo complejo, ya que implica diversas técnicas acompañadas en la mayoría de los casos de un gran manejo de algebra y trigonometría, y aun así no siempre se obtiene una función elemental, un claro ejemplo es 2 la función 𝑒 −𝑥 la cual no es elemental. Dos de las principales técnicas de integración son el cambio de variable y la integración por partes, el uso eficaz del método de cambio de variable depende en gran medida del conocimiento que se tenga de algebra y de la pronta familiarización que se tenga con las fórmulas de integración en su forma estándar, de momento nos limitaremos a trabajar con fórmulas elementales de integración conocidas como integrales inmediatas que son la base para deducir fórmulas más complejas. Resuelve las siguientes Integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1. ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 2. ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 3. ∫ 𝑥 4. ∫ 2⁄ 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √𝑥 𝑑𝑥 5. ∫ 3 √𝑥 6. ∫ 3 𝑎𝑦 2 𝑑𝑦 7. ∫ 2 𝑑𝑡 𝑡2 8. ∫ √ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 9. ∫ 𝑑𝑥 √2 𝑥 3 10. ∫ √3 𝑡 𝑑𝑡 11. ∫(𝑥 3⁄ 2 −2𝑥 2⁄ 3 + 5√𝑥 − 3) 𝑑𝑥 4 𝑥 2 − 2√𝑥 12. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 13. ∫ ( 𝑥2 2 − ) 𝑑𝑥 2 𝑥2 14. ∫ √𝑥 (3 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 𝑥3 − 6 𝑥 + 5 𝑑𝑥 𝑥 15. ∫ 16. ∫ √𝑥 17. 3 − 5√𝑥 2 𝑑𝑥 ∫(𝑦 3 − 10𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 18. ∫( 3 1 𝑥 𝑥 − )𝑑𝑥 2 1 19. ∫(− 3 √𝑥 20. ∫ 2 5 𝑥 5 −3𝑥 3 +𝑥 2 𝑥2 −4 + 𝑥 3 )𝑑𝑥 𝑑𝑥 Actividad de Auto Aprendizaje 4.1. Tema: Integrales de funciones algebraicas Se entiende por integración de funciones algebraicas aquellas funciones que necesitan un proceso algebraico elemental para que pueda ser integrada, en este tema, solo se trataran integrales en cuya función se requiere emplear el método algebraico de completar el trinomio cuadrado perfecto, para poder utilizar algunas de las fórmulas de integración básica y obtener el resultado. Resuelve las siguientes Integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten 1. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +4𝑥+3 𝑥+1 2. ∫ 𝑑𝑥 2𝑥−𝑥 2 −10 = − 3 arctg ( 3. ∫ 3 𝑑𝑥 𝑥 2 −8𝑥+25 = arctg ( 4. ∫ 5. ∫ 𝑑𝑣 𝑣 2 −6𝑣+5 6. ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 2 −2𝑥+1 7. ∫ 8. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +2𝑥 = 2 ln (𝑥+2) + 𝐶 9. ∫ 𝑑𝑥 4𝑥−𝑥 2 = 1⁄4 ln (𝑥−4) + 𝐶 10. ∫ 11. ∫ 12. ∫ 𝑑𝑦 𝑦 2 +3𝑦+1 13. ∫ 𝑑𝑥 1+𝑥+𝑥 2 14. ∫ 15. ∫ 𝑑𝑥 4𝑥 2 +4𝑥+5 16. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +6𝑥+5 17. ∫ 18. ∫ = 1⁄2 𝑙𝑛 (𝜋+3) + 𝑐 𝑑𝑥 √3𝑥−𝑥 2 −2 1 𝑥−4 )+ 3 𝑐 𝑣−5 = 1⁄4 𝑙𝑛 (𝑣−1) + 𝑐 = arctg(2𝑥 − 1) + 𝑐 𝑑𝑥 𝑥−1 )+ 4 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 1 𝑐 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) + 𝑐 √2𝑥−𝑥 2 𝑑𝑠 = ln(𝑠 + 𝑎 + √2𝑎𝑠 + 𝑠2) + 𝑐 √2𝑎𝑠+𝑠2 = = 𝑑𝑥 1 √5 2𝑦+3−√5 ln (2𝑦+3+√5) + 𝐶 2 2𝑥+1 arctg ( )+ √3 √3 𝑐 1 √1+𝑥+𝑥 2 √𝑥 2 −25 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) + 𝑐 √15+2𝑥−𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥−1 )+ 3 = ln (𝑥 + 2 + √1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) + 𝑐 1 2𝑥+1 )+ 2 = 4 arctg ( 1 𝑐 𝑥+1 = 4 𝑙𝑛 |𝑥+5| + 𝑐 1 = (𝑥 2 − 25)2 +c 𝑥+2 𝑑𝑥 (𝑥+1)√𝑥+3 = 2√𝑥 + 3 + 𝑥+5−2√2(𝑥+3) 1 𝑙𝑛 | |+ 𝑥+1 √2 𝑐 19. ∫ 20. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +25 1 5 𝑥 5 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 + 𝑐 𝑑𝑥 √4−49𝑥 2 1 = 7 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 7𝑥 2 +𝑐 Capítulo V. Integración por cambio de variable Objetivo: Resuelve integrales reducibles a inmediatas, a través de transformaciones algebraicas, empleando el método de cambio de variable en su entorno académico. ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .5.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad de enseñanza que se presentan. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente. Muchas integrales de apariencia complicada se pueden reducir a integrales inmediatas de la forma ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶, para esto es necesario distinguir, dentro de la integral dada, el factor que puede ser considerado como 𝑢, que es generalmente el que está afectado por algún exponente, y en base a esto, hallar y completar, si es necesario, la diferencial 𝑑𝑢. Ejemplo: 1. ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 Ordenando y expresando la raíz en forma de potencia fraccionaria 1 ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 2 + 5)2 𝑥 𝑑𝑥 Haciendo 𝑢 = 𝑥 2 + 5 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ∴ Sustituyendo ambas expresiones = 1 1 ∫(𝑢) ⁄2 𝑑𝑢 2 Integrando se tiene 𝑑𝑢 2 = 𝑥 𝑑𝑥 1 3 1 1 𝑢 2+1 𝑢2 1 = ∫(𝑢) ⁄2 𝑑𝑢 = +𝐶 = +𝐶 2 2 1+1 3 2 Finalmente ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 = 2. ∫ √(𝑥 2 + 5)3 +𝐶 3 𝑥 𝑑𝑥 √4𝑥 2 − 7 Ordenando y expresando la raíz en forma de potencia fraccionaria ∫ 𝑥 𝑑𝑥 √4𝑥 2 − 7 = ∫(4𝑥 2 − 7)− 1 2 𝑥 𝑑𝑥 Haciendo 𝑢 = 4𝑥 2 − 7 entonces 𝑑𝑢 = 8𝑥 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 8 = 𝑥 𝑑𝑥 Sustituyendo ambas expresiones 1 1 ∫(𝑢)− 2 8 𝑑𝑢 8 Integrando 1 1 1 1 𝑢2 ∫(𝑢)− 2 8 𝑑𝑢 = +𝐶 8 8 1 2 Finalmente ∫ 𝑥 𝑑𝑥 √4𝑥 2 − 7 3. ∫ ∫ = 𝑥2 + 1 √𝑥 3 + 3𝑥 𝑥2 + 1 √𝑥 3 + 3𝑥 √4𝑥 2 − 7 +𝐶 4 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 3 + 3𝑥)−2 (𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑥 3 + 3𝑥 entonces 𝑑𝑢 = (3𝑥 2 + 3) 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 3 = 3(𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 Sustituyendo ambas expresiones 1 1 1 1 𝑢2 ∫ 𝑢− 2 𝑑𝑢 = +𝐶 3 3 1 2 Actividad de Aprendizaje 5.1. Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1.∫ √𝑎 + 𝑏𝑥 𝑑𝑥 2. ∫ 𝑑𝑦 √𝑎 − 𝑏𝑦 3.∫(𝑎 + 𝑏𝑡)2 𝑑𝑡 4.∫ 𝑥 (2 + 𝑥 2 )2 𝑑𝑥 5. ∫ 𝑦 (𝑎 − 𝑏𝑦 2 ) 𝑑𝑦 6. ∫ 𝑡 √2 𝑡 2 + 3 𝑑𝑡 7. ∫ 𝑥 (2 𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 8. ∫ 9. ∫ 4 𝑥 2 𝑑𝑥 √𝑥 3 + 8 6 𝑧 𝑑𝑧 (5 − 3 𝑧 2 )2 10. ∫ (√𝑎 – √𝑥 )2 𝑑𝑥 √𝑥 11. ∫ √𝑥 (√𝑎 − √𝑥)2 𝑑𝑥 12. ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡 √𝑎4 + 𝑡 4 𝑑𝑦 13. ∫ (𝑎 + 𝑏𝑦 2 )3 14. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 (𝑎 + 𝑏𝑥 2 )3 𝑡 2 𝑑𝑡 15.∫ (𝑎+𝑏𝑡 3 )2 16.∫ 2𝑥−3 (𝑥 2 −3𝑥+6)2 𝑑𝑥 17.∫(𝑥 2 + 2) √𝑥 3 + 6𝑥 − 3𝑑𝑥 18. ∫ 3 2𝑥 √6−5𝑥 2 19. 𝑑𝑥 𝑒𝑥 ∫ √𝑒 𝑥−5 𝑑𝑥 𝑒 𝛳 𝑑𝛳 21. ∫ 𝑎+𝑏𝑒 𝛳 𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑡𝑒𝑠. Actividad de Enseñanza 6.1. Integrales que Contienen Funciones Trigonométricas Se trata de integrales en las que aparecen las funciones trigonométricas: sen 𝑥 , cos 𝑥, tan 𝑥 , cot 𝑥 , sec 𝑥 𝑦 csc 𝑥. Para resolver este tipo de integrales es necesario aplicar el método de integración de cambio de variable, en ocasiones estas funciones pueden aparecer dentro 𝑃(𝑥) de una expresión racional 𝑄(𝑥), el tal caso la mayoría de las veces el problema se resuelve haciendo un cambio de variable en el denominador, de no poder hacer el cambio de variable se tiene que aplicar alguna identidad trigonométrica que me exprese la función en términos de alguna de las fórmulas de integración establecidas. Ejemplo: ∫ 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = Haciendo 𝑢 = 2𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 2 = 𝑑𝑥 Sustituyendo ambas expresiones 1𝑑𝑢 = 2 Sacamos la constante 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 Aplicando la formula ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 1 = − cos 𝑢 + 𝐶 2 Finalmente se sustituye el valor de la variable “u” 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 Actividad de Aprendizaje 6.1. Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 2𝑥 1. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 3 2. ∫ cos(𝑏 + 𝑎𝑥) 𝑑𝑥 3. ∫ csc 2 (𝑎 − 𝑏𝑥) 𝑑𝑥 𝜃 𝜃 4. ∫ sec tg 𝑑𝜃 2 2 5. ∫ csc 𝑎𝛷 𝑎𝛷 ctg 𝑑𝛷 𝑏 𝑏 6. ∫ 𝑒 𝑥 ctg 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 7. ∫ sec 2 2𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑥 8. ∫ tg 𝑑𝑥 3 9. ∫ 𝑑𝑡 tg 5𝑡 10. ∫ 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2 4𝜃 11. ∫ 𝑑𝑦 ctg 7𝑦 12. ∫ 𝑠𝑒𝑛√𝑥 𝑑𝑥 √𝑥 13. ∫ 𝑑𝑡 sin2 3𝑡 14. ∫ 𝑑𝜙 cos 4 𝜙 15. ∫ 𝑎𝑑𝑥 cos 2 𝑏𝑥 𝜃 16. ∫ (sec 2𝜃 − csc ) 𝑑𝜃 2 17.∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 18. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝛿 3 − 4)(𝛿 2 ) 𝑑𝛿 𝑦 19. ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑑𝑦 20. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 √𝑧 √𝑧 𝑑𝑧 Actividad de Enseñanza 7.1. Integrales que Contienen Funciones Exponenciales La función exponencial es quizás la función más eficiente en términos de las operaciones de cálculo. La función exponencial, 𝑦 = 𝑒 𝑥 es su propia derivada y su propia integral. Las funciones exponenciales se pueden integrar utilizando las siguientes fórmulas: ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 +𝐶 ln 𝑎 Ejemplo: ∫ 𝑎4𝑥 𝑑𝑥 = Haciendo 𝑢 = 4𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑥 𝑦 𝑎 = 𝑎 ∴ Sustituyendo ambas expresiones 1𝑑𝑢 = 4 Sacamos la constante 1 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 4 ∫ 𝑎𝑢 𝑢 1 𝑎𝑢 Aplicando la formula ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 4 ln 𝑎 + 𝐶 1 𝑎𝑢 𝐶 4 ln 𝑎 Finalmente se sustituye el valor de la variable “u” 𝟏 𝒂𝟒𝒙 +𝑪 𝟒 𝒍𝒏 𝒂 Ejemplo 2: = 𝑑𝑢 4 = 𝑑𝑥 3 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = Haciendo 𝑢 = 𝑥 3 entonces 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 3 = 𝑥 2 𝑑𝑥 Sustituyendo ambas expresiones 1𝑑𝑢 = 3 Sacamos la constante 1 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 3 ∫ 𝑒𝑢 Aplicando la formula 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 1 1 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 3 3 = Finalmente se sustituye el valor de la variable “u” 3 1𝑒 𝑥 +𝐶 3 Actividad de Aprendizaje 7.1. Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1. ∫ 5 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 2. ∫ 3. ∫ 3 𝑑𝑥 𝑒𝑥 4 𝑑𝑡 √𝑒 𝑡 4. ∫ 𝑐 𝑎𝑥 𝑑𝑥 5. ∫ 𝑑𝑥 42𝑥 6. ∫ 𝑥 2 𝑥 3 𝑑𝑥 7. ∫ ( 𝑒𝑥 + 4 ) 𝑑𝑥 𝑒𝑥 8. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 − 2 2 9. ∫ 𝑥 ( 𝑒 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 10. ∫ 𝑒 √𝑥 − 3 √𝑥 𝑑𝑥 11. ∫ 𝑡 2𝑡2 𝑑𝑡 12. ∫ 𝑎 𝑑𝜃 𝑏 3𝜃 2 13. ∫ 6 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 14. ∫(𝑒 2𝑥 )2 𝑑𝑥 15. ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒𝑥 3 16.∫ 9 𝑥+1 𝑑𝑦 17. ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧 2 18. ∫ 𝑥(2−3𝑥 )𝑑𝑥 19. ∫(72𝑡 − 𝑒 −𝑡 )𝑑𝑡 20. ∫ 3 √𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Actividad de Enseñanza 8.1. Integrales que Contienen Funciones Propias La integración de funciones racionales, son aquellas integrales cuyo integrando son cocientes de polinomios en donde el numerador es siempre menor que el denominador. Algunas de las integrales que se resuelven no son de este tipo hasta aplicarles un cambio de variable. Algunas integrales tienen como resultado un logaritmo. Esto es, las integrales en las que el numerador del integrando puede escribirse como la derivada del denominador y, por tanto, su resolución es inmediata. Por ejemplo 𝑥 1 ∫ 𝑑𝑥 = ln|1 + 𝑥 2 | + 𝐶 2 1+𝑥 2 Existen básicamente tres tipos de integrales de funciones racionales según el tipo del integrando. Cada uno de estos tipos tiene su propio método de resolución. Suponga que se tiene la integral 𝑃(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 𝑄(𝑥) Donde, 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios, como ya se habia mencionado hay tres tios de fracciones de funciones racionales en esta sección solo se tratara el siguiente caso: Si el grado de 𝑃(𝑥) es mayor o igual al grado de 𝑄(𝑥), se realiza la división de polinomios y posteriormente se integra termino a termino Ejemplo: ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥−1 Haciendo 𝑢 = 𝑥 − 1 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Sustituyendo ambas expresiones ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 Aplicando la formula∫ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| = +𝐶 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 Finalmente se sustituye el valor de la variable “u” 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 Ejemplo 2: ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = +2 𝑥2 Sacamos la constante fuera del símbolo de integración 3∫ 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 = +2 Haciendo 𝑢 = 𝑥 2 + 2 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ∴ Sustituyendo ambas expresiones 𝑑𝑢 2 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3∫ 2 = 𝑢 Sacamos la constante fuera del símbolo de Integral 3 𝑑𝑢 ∫ = 2 𝑢 Aplicando la formula∫ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| = +𝐶 3 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 2 Finalmente se sustituye el valor de la variable “u” 3 𝑙𝑛|𝑥 2 + 2| + 𝐶 2 Actividad de Aprendizaje 8.1. Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1. ∫ (2 𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝑥2 + 2 2. ∫ (𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 𝑥3 + 1 3. ∫ 4 𝑑𝑥 2𝑥+3 4. ∫ 𝑒 2𝑠 𝑑𝑠 𝑒 3𝑠 + 1 5. ∫ 𝑎𝑒 𝜃 + 𝑏 𝑑𝜃 𝑎𝑒 2𝜃 − 𝑏 6. ∫ (2 𝑥 + 7) 𝑑𝑥 𝑥2 + 3 7. ∫ (𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 𝑥3 + 2 8. ∫ (𝑥 3 + 3) 𝑑𝑥 𝑥 4 + 3𝑥 9. ∫ 3 𝑑𝑥 2 + 3𝑥 10. ∫ (𝑥 2 − 4) 𝑑𝑥 𝑥4 11. ∫ (𝑒 𝑡 + 2)𝑑𝑡 𝑒 2𝑡 + 2𝑡 𝑒𝑥 12.∫ (𝑒 𝑥+4 ) 𝑑𝑥 13.∫ 2 √9𝑦 2 +8 14. ∫ 𝑑𝑦 𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 +3 𝑑𝑡 15. ∫ 3𝑥𝑡𝑎𝑛(1 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 16. ∫ 17. ∫ 18. ∫ 19. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑦+3𝑐𝑜𝑠𝑦 2+𝑐𝑜𝑠𝑦−3𝑠𝑒𝑛𝑦 3𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 5𝑐𝑜𝑠 2 𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧 1+𝑐𝑜𝑠 2 𝑧 𝑠𝑒𝑐𝜋 3𝑡𝑎𝑛𝜋 𝑑𝜋 𝑑𝑧 𝑑𝑦 20. ∫ 𝑑𝑥 √4𝑥2 +4𝑥+10 Capítulo VII.INTEGRAL POR PARTES Objetivo: Resuelve Integrales por el método de integración por partes, en su entorno ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .9.1 Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad de enseñanza que se presentan. Ahora vamos a ver uno de los métodos de integración más importantes del cálculo integral, llamado integración por partes. Este método se aplica, principalmente, a integrales que contienen productos, y en ciertas ocasiones a integrales que contienen cocientes de funciones. Sean u y v funciones de la misma variable, entonces, según la diferencial de un producto, se tiene: 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑢 𝑑𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 Despejando el término 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) − 𝑣 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros, se obtiene ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Esta es la fórmula de integral por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Para aplicar en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a 𝑢 y la otra junto con 𝑑𝑥 a 𝑑𝑣. Por esta razón este método se denomina integración por partes. Es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: 1.- La parte que se iguale a 𝑑𝑣 debe de ser fácilmente integrable. 2.- L a integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 no debe de ser más complicada que ∫ 𝑢 𝑑𝑣 A continuación se tiene un cuadro que puede ser útil de cómo y cuándo hay que seleccionar las partes 𝑢 y 𝑑𝑣 del integrando. Cuando se tenga: Función Algebraica y Función Trigonométrica o Exponencial Función Algebraica y Función Trigonométrica Inversa Función Exponencial y Función Trigonométrica Función Algebraica Función Logarítmica Ejemplos: 1. ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene: x cos x dx x sen x sen x dx u v v du Integrando = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − (− cos 𝑥) + 𝑐 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 2. ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑣= 𝑥2 2 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes: x2 x 2 dx x ln x dx ln x 2 2 x u v v du Ordenando se tiene: x2 1 ln x x dx 2 2 Integrando = 𝑥 2 ln 𝑥 𝑥 2 − +𝐶 2 4 3. ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = cos 3𝑥 𝑑𝑥 1 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene: x cos 3x dx x u 1 1 sen 3 x sen 3 x dx 3 3 du v v Ordenando = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 1 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 3 3 Integrando 1 = 𝑥 ∙ 3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − = 1 𝑥 3 1 (− cos 3𝑥) + 9 1 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 9 cos 3𝑥 + 𝐶 Finalmente = 4. 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3 + cos 3𝑥 9 *C ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene: e sen x dx x ex cos x cos x u v v e x dx du Ordenando = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 La integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 , es muy similar con la que empezamos a integrar, la cual la resolvemos también por partes Sea 𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene: e sen x dx x e x cos x e x sen x sen x e x dx Ordenando = 𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Observamos que, otra vez aparece la integral original. Por lo tanto, pasamos esta última integral al primer miembro de la igualdad, para obtener. 2 e x sen x dx e x cos x e x sen x C Despejando x e sen x dx e x cos x e x sen x C 2 Finalmente e sen x dx x 5. ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 e x sen x cos x 2 C Sea 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes x e 2 x dx x 2 e x e x 2 x dx u v v du = − 𝑥 2 𝑒 −𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Podemos notar que la integral que resulto es muy similar con la que empezamos a integrar, el grado de la variable se disminuyó en un grado la cual también la resolvemos por partes Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑒 −𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes tenemos x e 2 x 2 x dx x e x x 2 x e e dx u v du v = − 𝑥 2 𝑒 −𝑥 − 2 𝑥𝑒 −𝑥 + 2 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Integrando = −𝑥 2 𝑒 −𝑥 − 2 𝑥𝑒 −𝑥 − 2𝑒 −𝑥 + 𝐶 Factorizando finalmente se tiene: ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶 6. ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes tenemos x sen x dx 2 x 2 cos x cos x 2 x dx u v du v = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Podemos notar que la integral que resulto es muy similar con la que empezamos a integrar, el grado de la variable se disminuyó en un grado la cual también la resolvemos por partes Sea 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes x sen x dx x 2 2 cos x 2 x sen x sen x dx u v v du x2 cos x 2 x sen x 2 sen x dx Integrando finalmente se tiene: ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶 7. ∫ 3𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣 = 3 𝑥 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 1 + 9𝑥 2 𝑣= 3 2 𝑥 2 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes 3x arc tan 3x dx arc tan 3x u 3 2 3 2 3 dx x x 2 2 2 1 9x v v Ordenando 3 = 2 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 − 9 2 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 1+9𝑥2 du Efectuando la división en el integrando se tiene: 3 2 = 2 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 − 9 2 1 1 ∫ (9 − 1+99 𝑥2 ) 𝑑𝑥 Separando las integrales y reduciendo términos semejantes se tiene: 3 = 2 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 − Integrando finalmente se tiene: ∫ 3𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ 𝑑𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ 2 1+ 9𝑥 2 3 2 1 1 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 − 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 + 𝐶 2 2 6 Actividad de Aprendizaje 9.1. Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor las dudas que se te presenten. 1. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2. ∫ 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 3. ∫ 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑚𝑥 𝑑𝑥 = 4. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥 = 5. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥 𝑑𝑥 = 6. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 1 𝑦 𝑑𝑦 = 7. ∫ 𝑎𝑟𝑐 csc 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 8. ∫ 𝑎𝑟𝑐 sen √2 𝑑𝑥 = 9. ∫ 𝑥 3 arc sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 10. ∫ 𝑒 3𝑥 cos 3 𝑑ɵ. = 11. ∫ 12. ∫ arc sen 𝑥 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 = arc tg √𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ɵ 13. ∫ 𝑒 −ɵ cos 2 𝑑ɵ = 1 14. ∫ 𝑒 5 sen 𝜋𝑡 𝑑𝑡 = 15. ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 2 16. ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 17. ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑡 = 18. ∫ 𝑒 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧 = 𝑦 19. ∫ 𝑦𝑠𝑒𝑛 2 𝑑𝑦 = 20. ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 √𝑥 =