TesisAlvaroHernnBedoyaCalleJuanCamiloValenciaEstrada

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/262915794
Modelo matemático de la cámara anterior del ojo humano.
Thesis · January 2010
CITATIONS
READS
0
3,326
2 authors:
Alvaro Hernan Bedoya Calle
Camilo Valencia-Estrada
Universidad de Medellín
OLEDCOMM
22 PUBLICATIONS 56 CITATIONS
28 PUBLICATIONS 120 CITATIONS
SEE PROFILE
Some of the authors of this publication are also working on these related projects:
VLC based indoor positioning system design View project
Freeform geometrical optics View project
All content following this page was uploaded by Alvaro Hernan Bedoya Calle on 17 February 2015.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
SEE PROFILE
MODELO MATEMÁTICO DE LA CÁMARA ANTERIOR DEL
OJO HUMANO
ÁLVARO HERNÁN BEDOYA CALLE
JUAN CAMILO VALENCIA ESTRADA
Tesis de grado como requisito parcial para optar al título de Maestría en
Matemáticas Aplicadas.
Asesores:
JAIRO VILLEGAS GUTIERREZ
ORLANDO GARCIA JAIMES
MEDELLÍN
UNIVERSIDAD EAFIT
ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
2009
Nota de aceptación
__________________________
__________________________
Presidente del jurado
__________________________
Jurado
__________________________
Jurado
__________________________
Medellín, septiembre de 2009
ii
AGRADECIMIENTOS
A nuestros profesores por sus sabias enseñanzas:
Jairo Villegas Gutiérrez
Orlando García Jaimes
María Eugenia Puerta Yepes
Gerardo Arango Ospina
Jorge Iván Castaño Bedoya
A nuestros grandes amigos y colaboradores de quien siempre recibimos su
valioso apoyo y consejo:
Jaime Pineda Gutiérrez, ingeniero químico.
David Correa Roldan, director de la revista EIA.
Alejandro Valencia Estrada, oftalmólogo glaucomatólogo.
Y a la Escuela de Ingeniería de Antioquia por el apoyo económico.
iii
CONTENIDO
FIGURAS ....................................................................................................................................................... VI
GLOSARIO .................................................................................................................................................. VII
NOTACIÓN ..................................................................................................................................................... X
RESUMEN ................................................................................................................................................... XII
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................... 13
1 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE SUPERFICIES ÓPTICAS DE REVOLUCIÓN EN FORMA
CANÓNICA .................................................................................................................................................... 17
1.1
INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................................... 17
1.2
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN. ................ 19
1.2.1 El Método de los Mínimos Cuadrados con la Ordenada
………………….21
1.2.2 El Método de los Mínimos Cuadrados con las Curvatura de la Córnea Humana. ...... 23
1.2.3 Índice de Correlación. ........................................................................................................... 24
1.3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN. ....................... 25
1.3.1 Regresión de un Oblate Elipsoide. ..................................................................................... 26
1.3.2 Regresión de un Prolate Elipsoide. .................................................................................... 31
1.3.3 Regresión de una Esfera. .................................................................................................... 31
1.3.4 Regresión de un Oblate Elipsoide usando el Método de los Mínimos Cuadrados con
las Curvaturas de la Córnea Humana. ............................................................................................. 32
1.3.5 Índice de Correlación. ........................................................................................................... 33
1.4
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN................ 35
1.4.1 Regresión de un Hiperboloide. ............................................................................................ 36
1.4.2 Regresión de un Hiperboloide usando el Método de los Mínimos Cuadrados con las
Curvaturas de la Córnea Humana. ................................................................................................... 39
1.4.3 Índice de Correlación. ........................................................................................................... 42
1.5
CONCLUSIONES. ..................................................................................................................... 43
2 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LA SUPERFICIE ANTERIOR DE LA CORNEA HUMANA
CON UN TOROIDE REGULAR DE REVOLUCIÓN. .............................................................................. 45
2.1
INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................................... 45
2.2
EJES PRINCIPALES Y CURVATURA MEDIA. ..................................................................... 49
2.2.1 Ejes Principales. .................................................................................................................... 49
2.2.2 Curvatura Media Analítica. ................................................................................................... 53
2.3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LOS COEFICIENTES. .............................................. 54
2.3.1 Regresión. .............................................................................................................................. 54
2.3.2 Correlación. ............................................................................................................................ 59
iv
2.4
CONCLUSIONES. ..................................................................................................................... 59
3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LA SUPERFICIE POSTERIOR DE LA CORNEA
HUMANA. ...................................................................................................................................................... 61
3.1
INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................................... 61
3.2
REGRESIÓN CON EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS CON ESPESORES
TOPOGRÁFICOS AXIALES EJ. .............................................................................................................. 64
3.2.1 Con Superficie Posterior de Sección Parabólica. ............................................................. 66
3.2.2 Con Superficie Posterior de Sección Elíptica. ................................................................. 72
3.2.3 Con Superficie Posterior de Sección Hiperbólica. ............................................................ 84
4 NUEVAS FUNCIONES PARA DESCRIBIR EL ASTIGMATISMO IRREGULAR .......................... 96
4.1
INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................................... 97
4.2
REPRESENTACIONES POLARES. ....................................................................................... 99
4.3
CONSTRUCCIÓN .................................................................................................................... 101
4.4
APLICACIONES. ...................................................................................................................... 108
4.4.1 Aplicación Óptica. ................................................................................................................... 109
4.4.2 Aplicación Estadística. ........................................................................................................... 112
BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................................... 115
v
FIGURAS
Figura 1. Vista central de una topografía corneal computarizada………………………….15
Figura 2. Topografía corneal computarizada (Pentacam® )…………………………….......21
Figura 3. Topografía corneal computarizada (Keratron®)…..……………………………….27
Figura 4. Una topografía corneal computarizada (Atlas 9000® )……………………..…….36
Figura 5. Córnea perfecta.…….………………………………………………………………..46
Figura 6. Topografía del astigmatismo corneal regular………………………………….….48
Figura 7. Paquimetría topográfica computarizada…………………………………………...62
Figura 8. Sección sagital del ojo humano…………………………………………………….63
Figura 9. Combinaciones de superficies con refracción perfecta total…………………….66
Figura 10. Lente bielíptico convexo-cóncavo…………………………………………………77
Figura 11. Lente bihiperbólico convexo-cóncavo…………………………………………….91
Figura 12. Representación polar del seno circular……….………………………………...100
Figura 13. Representación polar del seno elíptico………………....................................101
Figura 14. Variación de la excentricidad…………………………………………………….106
Figura 15. Representación temporal del seno elíptico con desfase…............................106
Figura 16. Representación temporal del seno elíptico sin desfase………………………107
Figura 17. Funciones generadoras…………………………………………………………...108
Figura 18. Topografía corneal computarizada con alto astigmatismo irregular…………110
Figura 19. Representación tridimensional de la función de probabilidad acumulada…..114
vi
GLOSARIO
Aplanético:
1. adj. Fís. Lente o sistema óptico sin
aberración esférica ni cromática ni
comática.
Puede
presentar
distorsión.2
focos en una interfase óptica con
refracción perfecta central.2
Córnea:
1. f. Anat. Membrana dura y
transparente, situada en la parte
anterior del globo del ojo de los
vertebrados
y
cefalópodos
decápodos, engastada en la
abertura anterior de la esclerótica
y un poco más abombada que
esta. A través de ella se ve el
iris.1
Asférico (a):
1. adj. Mat. Dícese de las geometrías
planas de revolución que son
diferentes de la circunferencia.2
2. adj. Fís. Dícese de las superficies
ópticas de revolución que son
diferentes de la esfera.2
Astigmatismo:
1. m. Fís. Defecto de un sistema
óptico que reproduce un punto
como una pequeña área difusa.1
2. m. Med. Defecto de visión debido a
curvatura irregular de la superficie
de la córnea y el cristalino. 1
3. m. Opt. Defecto de refracción que
presenta un foco nítido en una
dirección transversal y borroso en
otra, generalmente ortogonal.2
4. m. Mat. Característica de una
superficie tórica de revolución que
presenta radios de curvatura
diferentes según la dirección de la
circunferencia osculatriz.2
Correlación:
1. f. Mat. Medida de la dependencia
existente
entre
variantes
aleatorias.1
2. f. Mat. Medida de la dependencia
de una variable aleatoria con
relación
a
una
función
característica.2
Curvatura:
1. f. Cualidad de curvo; desviación
continua respecto de la dirección
recta. En una circunferencia es la
inversa del radio; en otra curva
cualquiera es la inversa del radio
de la circunferencia osculatriz.1
2. f. Mat. Medida de una superficie
o curva que determina el inverso
de la esfera osculatriz o del
circulo osculador que mejor se
ajusta.2
Apalancamiento:
1. m. Acción y efecto de apalancar o
apalancarse.1
2. m. Opt. Relación entre la distancia
imagen y la distancia objeto de los
Elipse:
1. f. Geom. Lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de
distancias a otros dos fijos
llamados focos es constante.
Resulta de cortar un cono circular
por un plano que se encuentra a
1
Definiciones tomadas del diccionario de la online
de la Real Academia Española de Lengua
Castellana:
www.rae.org,
y
se
incluyen
modificaciones a las definiciones según el uso
matemático en el contenido de este documento.
2
Nuestras definiciones.
vii
Keratómetro:
1. m. Med. Instrumento óptico u
optoelectrónico para realizar una
keratometría.2
todas las generatrices del mismo
lado del vértice.1
Elipsoide:
1. m. Geom. Sólido cuyas secciones
planas son todas elipses o
círculos.1
Oblate:
1. adj. Geom. Latín. Dícese de los
dos ápices de la elipse con
mayor radio de curvatura.2
Elipsoide de revolución:
1 m. Geom. El engendrado por la
rotación de una elipse alrededor de
un diámetro principal.1
Paquimetría:
1. f. Med. Medición de
espesores de una córnea.2
Excentricidad:
1. f. Geom. Distancia entre el centro
de la elipse y uno de sus focos.1
2. f. Mat. Número adimensional entre
0 y 1 que caracteriza la elipse.2
los
Paquímetro:
1. m. Med. Instrumento óptico u
optoelectrónico para realizar una
paquimetría.2
Hipérbola:
1. f. Geom. Lugar geométrico de los
puntos de un plano cuya diferencia
de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Resulta de cortar un cono circular
por un plano que encuentra a todas
las generatrices a ambos lados del
vértice.1
Parábola:
1. f. Geom. Lugar geométrico de los
puntos del plano equidistantes de
una recta y de un punto fijo, que
resulta de cortar un cono circular
recto por un plano paralelo a una
generatriz.1
Paraboloide:
1. m. Geom. Superficie cuyas
secciones planas son parábolas,
elipses o círculos, y se extiende
indefinidamente en un solo
sentido.1
2. m. Geom. Sólido comprendido
entre esta superficie y cualquiera
otra que lo limita.1
Hiperboloide:
1. m.
Geom.
Superficie
cuyas
secciones planas son elipses,
círculos o hipérbolas, y se extiende
indefinidamente en dos sentidos
opuestos. U. t. c. adj.1
2. m. Geom. Sólido comprendido
entre esta superficie y cualquiera
otra que lo limita.1
Paraboloide de revolución:
1. m. Geom. El que resulta del giro
de una parábola alrededor de su
eje.1
Hiperboloide de revolución:
1. m. Geom. El formado por el giro de
una hipérbola alrededor de uno de
sus ejes.1
Paraboloide elíptico:
1. m. Geom. Aquel cuyas secciones
planas perpendiculares a su eje
son elipses.1
Keratometría:
1. f. Med. Medición de las curvaturas
de una córnea.2
viii
2. f. Mat. Método estadístico que
permite obtener la función que
mejor se ajusta a una nube
aleatoria de puntos.2
Paraboloide hiperbólico:
1. m. Geom. Superficie alabeada, que
se extiende indefinidamente en
todos sentidos, de curvaturas
contrarias como una silla de
caballo, y cuyas secciones planas
son todas parábolas e hipérbolas.1
Topografía:
1. f. Arte de describir y delinear
detalladamente la superficie de
un terreno.1
2. f. Conjunto de particularidades
que presenta un terreno en su
configuración superficial.1
3. f.
Med.
Conjunto
de
particularidades que presenta un
tejido en
su
configuración
superficial.2
Paraxial:
1. adj. Fís. Dícese de los rayos
paralelos al eje de un sistema
óptico.2
Paraxil:
1. adj. Fís. Paraxial.
Topógrafo:
1. m. Persona que profesa el arte
de la topografía o tiene en ella
especiales conocimientos.1
2. m.
Instrumento
óptico
u
optoelectrónico para realizar una
topografía.2
Prolate:
2. adj. Geom. Latín. Dícese de los
dos ápices de la elipse con menor
radio de curvatura.2
Sagita:
1. f. Geom. Distancia normal máxima
de una cuerda a su respectivo
arco.2
Toroide:
1. m.
Geom.
Superficie
de
revolución engendrada por una
curva cerrada y plana que gira
alrededor de una recta fija de su
plano, que no la corta.1
2. m. Geom. Superficie donde todas
las secciones transversales que
contienen una misma recta
normal, son de revolución
alrededor de dicha recta.2
3. m.
Geom.
Superficie
de
revolución engendrada por una
curva plana que gira alrededor de
una recta fija de su plano.2
Radio de curvatura:
1. m. Mat. Radio de la esfera
osculatriz o de la circunferencia
osculadora que mejor se ajusta en
una superficie o curva.2
Refracción:
1. f. Fís. Acción y efecto de refractar.1
Refractar:
1. tr. Fís. Hacer que cambie de
dirección un rayo de luz u otra
radiación electromagnética al pasar
oblicuamente de un medio a otro
de
diferente
velocidad
de
propagación. U. t. c. prnl.1
Toro de revolución:
1. m. Geom. Toroide.
Regresión:
1. f. Retrocesión o acción de volver
hacia atrás.1
ix
NOTACIÓN
α
Angulo.
β
Angulo del astigmatismo. Astigmatismo.
θ
Angulo de rotación de la elipse canónica.
γ
Angulo para la localización de puntos críticos.
rj
Radio de curvatura j-ésimo.
a
Semieje elíptico en la dirección del eje x.
a2i
Coeficiente par.
b
Semieje elíptico en la dirección del eje y.
A, B
Variables recurrentes.
Aa, Ba
Semiejes cónicos para la superficie corneal anterior.
Ab, Bb
Semiejes cónicos para la superficie corneal posterior.
C
Variable recurrente.
D
Variable recurrente.
cj
Variable j-ésima recurrente.
e
Excentricidad elíptica. En negrilla es el numero naperiano.
ec
Espesor corneal central.
ej
Espesor corneal j-ésimo.
ed
Espesor diametral.
fa
Distancia focal anterior óptica o geométrica.
fb
Distancia focal posterior óptica o geométrica.
f(x)
Distribución de probabilidad para la variable x.
h
Abscisa de punto crítico.
j
Punto j.
k
Ordenada del punto crítico.
kj
Keratometría j-ésima.
K
Poder keratométrico corneal.
na
Índice de refracción relativo de la interfase aire-cornea.
na*
Índice de refracción absoluto de la cornea.
nb
Índice de refracción relativo de la interfase cornea-humor
acuoso.
nb*
Índice de refracción absoluto del humor acuoso.
N
Número de puntos.
r
Radio polar.
Ra
Radio de la esfera.
rj
Radio polar j-ésimo.
x
Abscisa cartesiana. Variable estadística.
xj
Abscisa j-ésima cartesiana.
y
Ordenada cartesiana.
yj
Abscisa j-ésima cartesiana.
P(x)
Función de probabilidad acumulada para la variable x.
za
Ordenada cartesiana de la sección axial de la superficie
corneal anterior. Ordenada cartesiana anterior.
zb
Ordenada cartesiana de la sección axial de la superficie
corneal posterior. Ordenada cartesiana posterior.
zj
Ordenada j-ésima cartesiana.
Ω
Factor de contracción paraxil.
xi
RESUMEN
Se presenta a continuación un modelo matemático riguroso del ojo humano
que permite modelar de la manera más precisa el comportamiento del sistema
óptico para su uso práctico en oftalmología, optometría e ingeniería óptica.
El modelo presentado se fundamenta en análisis físicos, matemáticos y
estadísticos para obtener toda la información geométrica necesaria para el cálculo
de lentes intraoculares, lentes de contacto y cirugías refractivas con láser
Excimer® (Keratomileusis in situ).
El modelo se fundamenta en las mediciones reales del ojo humano
obtenidas mediante modernos equipos de diagnóstico, como keratómetros y
topógrafos computarizados, información que debe ser analizada y procesada con
la ayuda del modelo para realizar software automatizado con un sistema experto.
Básicamente el sistema experto permitirá calcular con absoluta precisión la
corrección refractiva personalizada del ojo, mediante el procesamiento de las
imágenes de diagnóstico y podrá simular el trazado de rayos antes y después de
la corrección, minimizando todas las aberraciones ópticas posibles, usando lentes
normalizados comerciales o diseñando lentes esférico-tóricos con superficies
refractivas especiales, para obtener un sistema óptico aplanético.
xii
INTRODUCCIÓN
Para el diseño de un sistema experto de software que sea de vital apoyo
para mejorar la calidad visual de los humanos se deben considerar todos los
detalles posibles con absoluta precisión para garantizar la máxima calidad
refractiva. Actualmente existen muchos instrumentos de medición computarizados
que miden geométricamente y refractivamente el ojo humano entre los cuales se
destacan el sistema PENTACAM® de la compañía alemana OCULOS® líder
mundial en equipos de diagnóstico para oftalmología, equipo que se encuentra en
la Clínica Oftalmológica San Diego el cual es recurso vital para el cálculo de los
lentes intraoculares de cámara posterior para ser usados en cirugías de catarata.
Este instrumento suministra información gráfica de la geometría de diferentes
estructuras anatómicas de ojo. En la Figura 1 se presenta una imagen parcial de
la información que suministra este instrumento.
Figura 1. Vista central de una topografía corneal computarizada del sistema Pentacam® de
Oculus, donde se muestra una pequeña zona central de la superficie anterior de la cornea de un
paciente en particular. Se observan claramente las zonas de isocurvatura en dioptrías con un color
diferente.
13
Con la información que suministra este instrumento y algunos otros mas,
se presenta a continuación un modelo físico-matemático fundamentado en
algunos principios ópticos, que son incluidos en éste trabajo.
El alcance de este proyecto culmina con la elaboración del modelo; el
software será desarrollado posteriormente con la vinculación de empresas
privadas y la Universidad como parte de un nuevo proyecto de investigación y
desarrollo.
La metodología que se usa en el presente estudio requiere de
conocimientos previos en las siguientes disciplinas que se asumen de hecho
como parte del previo conocimiento del lector, en: Geometría diferencial3, óptica
geométrica básica4, regresión y correlación estadística, anatomía y fisiología
ocular.
Adicionalmente, como aporte e innovación se incluyen también en este
trabajo algunos conceptos fundamentales de matemáticas y óptica refractiva que
usualmente no se encuentran en la literatura científica y que son usados en
software especializado para el diseño de sistemas ópticos como ZEMAX®. En el
capítulo 4 se desarrolla un innovador modelo matemático que permite formular el
astigmatismo con ejes principales no ortogonales, que también puede ser usado
en otras disciplinas de ingeniería5.
La estructura del trabajo es simple. Se establecen primero los fundamentos
y luego se procede a ingresar en las diferentes estructuras anatómicas del ojo
3
Gomez Perreta.,C. Mecánica básica para ingenieros y analítica vectorial: Con 154 problemas.
4
Malacara, Daniel y Zacarías; Handbook of Optical Design, Centro de Investigaciones en Óptica,
AC; León, México. Editorial Marcel Dekker. New York. 1994. ISBN 0-8247-4613-9.
5
Trigonometría elíptica para su uso en ingeniería. Jornadas de investigación EIA, octubre 2009.
14
humano que permiten caracterizar todo el sistema óptico en su orden respectivo:
Cornea, cámara anterior, cristalino, cámara posterior y retina. Como todos los
capítulos están en proceso de publicación en revistas indexadas nacionales e
internacionales, se presentara cada capítulo con un protocolo semejante al usado
en las revistas para respetar las normas de publicación para las tesis de grado de
la Universidad EAFIT, con continuidad y coherencia total. Los capítulos que serán
publicados en idioma alemán serán presentados también en castellano.
15
16
Capítulo 1
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE SUPERFICIES ÓPTICAS
DE REVOLUCIÓN EN FORMA CANÓNICA,
conocidos los radios de curvatura.
RESUMEN
Se presentan a continuación tres modelos matemáticos para la regresión y
correlación de una nube de N puntos en R3 con coordenadas cartesianas xi, yi
como abscisas, con su respectiva ordenada ri como radio de curvatura de la
sección axial o sagital pero que no corresponde a la curvatura gaussiana, con un
paraboloide, elipsoide e hiperboloide de revolución en forma canónica. Este
modelo asume que los datos están debidamente centrados, es decir, el ápice de
las superficies de revolución esta preestablecido en el origen.
1.1
INTRODUCCIÓN.
A continuación se describe el contenido a desarrollar en el presente
capítulo:
El primer modelo es particularmente útil para el control de calidad de la
geometría de una superficie especular con sección parabólica como en espejos
para telescopios o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos
de spin-casting para lentes de contacto y espejos líquidos con fluidos en rotación
libre. También este modelo puede ser usado para hacer un análisis de regresión y
17
correlación de la cornea humana con un paraboloide de revolución con la
información suministrada por los keratómetros computarizados.
El segundo modelo es particularmente útil para el control de calidad de la
geometría de una superficie especular con sección elíptica que se aplana hacia la
periferia como en espejos para instrumentos, o para verificar superficies ópticas
que resultan de los procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo
puede ser usado para hacer un análisis de regresión y correlación de la cornea
humana con un oblate elipsoide de revolución con la información suministrada por
los keratómetros computarizados. Es importante mencionar que las superficies
elípticas tienen reflexión perfecta de foco a foco, y también presentan refracción
perfecta en el foco mas lejano al ápice, si los rayos son paraxiales, por lo tanto
son ideales para modelar corneas si se asume visión lejana. Adicionalmente,
también se incluye el modelo de regresión y correlación de un prolate elipsoide de
revolución en forma canónica, modelo que es útil para verificar la superficie
corneal post-keratomileusis in situ, a pesar de que no presente refracción
perfecta6.
Y el tercer modelo es particularmente útil para el control de calidad de la
geometría de una superficie especular con sección hiperbólica como en espejos
para instrumentos, o para verificar superficies ópticas que resultan de los
procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo puede ser usado
para hacer un análisis de regresión y correlación de la cornea humana con un
hiperboloide de revolución con la información suministrada por los keratómetros
computarizados. Es importante mencionar que las superficies hiperbólicas tienen
reflexión perfecta de foco real a foco virtual, y también presentan refracción
perfecta paraxial para los rayos que provienen de un foco cercano, por lo tanto
6
Dícese de la refracción sin aberración esférica de ningún tipo, para una longitud de onda en
particular, en un medio isotrópico con índice de refracción respectivo n.
18
son aplicables para modelar corneas si se asume visión cercana, en especial en
casos de severa miopía corneal comunes a todos los keratoconos. Los métodos
de regresión y correlación de sistemas no lineales son resueltos usualmente
mediante dos técnicas:
La primera técnica usa un algoritmo (Bates y Watts, 1988) que permite
iterativamente aproximar los valores de los parámetros desconocidos, obteniendo
un estimado lineal para los cambios de los mismos.
La segunda técnica usa un algoritmo directo que permite resolver sistemas
de ecuaciones no lineales en varias variables de forma iterativa mediante el uso
de herramientas de cómputo. Esta técnica es la que se recomienda para el uso
práctico de este trabajo7, lo cual no es objeto de este estudio.
1.2
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE
REVOLUCIÓN.
Para la verificación de la calidad de una superficie óptica correspondiente a
un paraboloide de revolución, se usan modernos instrumentos como: Topógrafos
computarizados, micro y nanoscópios, keratómetros computarizados; que
permiten generar una imagen bidimensional con zonas de nivel o tridimensional
con superficies de nivel que caracterizan la superficie. Algunos de estos
instrumentos generan la elevaciones métricas en un sistema de coordenadas
cilíndricas (r, θ, z), existen muchos instrumentos que suministran la información de
la superficie con un sistema de coordenadas experto que incluye la curvatura
(r, θ, k) o en su lugar, radios de curvatura (x, y, r) en coordenadas cartesianas.
7
J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.
Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. ISBN 0-89871-461-3.
19
A continuación se muestra un sistema equivalente que permite unificar los tres
sistemas de medición usando como modelo (x, y, r). La Figura 2 muestra la
imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la cornea humana
de un paciente en particular.
Se observa en la Figura 2 la keratometría mostrando las zonas
isocurvatura8 con curvas de nivel en colores. Por norma internacional se asume
que la información presentada por estos instrumentos permite calcular los radios
de curvatura r como función de la curvatura k, en milímetros, equivalentes a
ρi =
337,5
ki
(1)
donde 1,3375 es equivalente al índice de refracción del sistema simplificado de
LeGrand’s cornea-humor acuoso. Algunos fabricantes de estos instrumentos
asumen como índice de refracción 1,3376.
Figura 2. Topografía corneal computarizada generada por sistema Pentacam® de Oculus, que
9
se usa para la keratomileusis-in situ , el cálculo de lentes intraoculares y lentes de contacto.
8
Zonas con puntos que tienen la misma curvatura.
Cirugía refractiva corneal mediante la ablación de tejido estromal esculpiendo la cornea con la
evaporación de tejido usando láseres pulsados Excimer®.
9
20
Los métodos de regresión han sido ampliamente usados como algoritmos
de análisis numérico y estadístico para determinar la geometría que mejor se
adapta a los datos correspondientes a una nube puntos en R2 o en R3 con una
función matemática preestablecida, que en nuestro caso particular corresponde a
un paraboloide de revolución en coordenadas cilíndricas
za =
r2
4 fa
(2)
para determinar la distancia focal fa que mejor se ajusta a los datos suministrados
por el instrumento de medición.
1.2.1 El Método de los Mínimos Cuadrados con la Ordenada
Para hacer la regresión de la imagen topográfica de una nube con N puntos
de la forma (xj, yj, rj) con eje centrado, se reduce el problema a R2 con
rj =
xj + yj
2
2
(3)
así, la nube de N puntos toma la forma (rj, rj), para efectuar la regresión por el
método de los mínimos cuadrados en R2 con un error total de la forma
2

rj 


Et = ∑ z j −


4
f
j =1 
a 
N
2
(4)
Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al
paraboloide de revolución puede ser expresada con
21
r = ± 4 f a za
(5)
Así, también los radios de curvatura principales del paraboloide de
revolución son calculados con
  dr  2 
 
ρ ( z a ) = 1 + 
  dz a  


3/ 2
d 2r
dz a
−1
=2
( f a + za )3
fa
(6)
Para cada punto de la topografía (rj, rj), se determina la ordenada
correspondiente zj mediante la soluciones reales de
2
( f a + z j )3
fa
= ρj
(7)
la cual es
2

fa ρ j

3
z j = Sgn( f a ) − f a +

4





(8)
donde Sgn(fa) corresponde al signo de la distancia focal para indicar el sentido del
paraboloide con relación al eje z. Si se asume el signo positivo por simplicidad los
valores obtenidos para zj serán siempre positivos, ya que el mínimo radio de
curvatura en el ápice es el doble de la distancia focal.
Sustituyendo (8) con el signo positivo en (4) se obtiene
2
2

fa ρ j
rj 

3
Et = ∑ − f a +
−

4
4 fa 
j =1


2
N
22
(9)
Para minimizar el error total Et se deriva (9) con relación a la variable
desconocida fa :
1
dEt
f3 N
(12 f a2 − 2 2 3 f a
=
∑
df a 24 j =1
3
f a ρ j − 3rj )(4 f a2 − 2 2
2
2
1
3
f
3
f a ρ j + rj ) = 0
2
2
(10)
Simplificando y expandiendo (10) se obtiene
10
8
4
48 N f a4 − f a 3 A + f a 3 B + f a 3 C − D = 0
16
con A = 2
N
3
∑ρj
j =1
2
3
, B=2
8
N
3
∑ρj 3 , C = 2
4
j =1
7
N
3
∑ρj
j =1
2
3
rj
2
(11)
N
y D = 3∑ rj ; donde la
4
j =1
solución real y mas positiva para la ecuación (11) puede ser obtenida por métodos
numéricos.
1.2.2 El Método de los Mínimos Cuadrados con las Curvatura de la Córnea
Humana.
Este método alterno permite minimizar el error total como función de las
curvaturas,
N
(
Et = ∑ k j − k (r )
j =1
donde k (r j ) =
337,5
1350 f a2
.
=
ρ(r j )
(4 f 2 + rj2 )3
Minimizando el error total
23
)
2
(12)
N
dEt
= 0 ⇒ 1350 f a2 ∑
df a
j =1
 r j2 − 2 f a2  N
 2

 (r + 4 f 2 ) 4  − ∑
a
 j
 j =1

k
 j


=0
(rj2 + 4 f a2 ) 5 
r j2 − 2 f a2
(13)
Así, la solución para fa puede ser obtenida con métodos numéricos.
Es importante considerar que este método tiene énfasis en la zona central
de la cornea, ya que es mas curva en el centro y se aplana hacia la periferia, por
lo tanto, puede dar mejores resultados prácticos y clínicos para f que los
obtenidos con (11).
Es mas conveniente usar el método de los mínimos cuadrados con las
curvaturas que con los radios de curvatura para la regresión y correlación corneal,
ya que en la periferia los radios de curvatura son muy grandes y el modelo haría
énfasis en la zona periférica, que generalmente no tiene mucho interés óptico,
debido a que la mayoría de la luz que ingresa al ojo es central.
1.2.3 Índice de Correlación.
Como es usual para las regresiones con líneas curvas, se define el índice
de correlación cc como un numero adimensional entre cero y uno, para indicar la
bondad del ajuste. Así,
N
∑ (z
cc = 1 −
j =1
N
j
− z a (rj )) 2
1
z −
∑
N
j =1
2
j
 N 
∑ zj 


 j =1 
2
reemplazando (8) definida positiva en (14) y la función del paraboloide
24
(14)
2
2
2 

 − f + 3 f a ρ j − rj 
∑
 a
4
4 fa 
j =1


1−
2
2 
2
 N 
N 
 − f + 3 fa ρ j  − 1   − f + 3 fa ρ j
∑
∑
 a
4 
N  j =1  a
4
j =1


 
N
cc =




2
(15)
con la distancia focal fa obtenida en la regresión.
1.3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN.
En este caso la geometría de la regresión corresponde a un elipsoide de
revolución en coordenadas cilíndricas con ápice en el origen definido con

r2 
z a = ±  Aa − Aa 1 − 2  con semiejes Aa y Ba positivos.

Ba 

(16)
o
za = ±
na 
fa −
na + 1 
f a2 −
na + 1 2 
r
con
na − 1 
fa > 0
(17)
donde na es el índice de refracción de un lente o de la cornea humana con un
valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda
superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado na = 1,3375; y así,
determinar los semiejes o la distancia focal fa que mejor se ajusta a los datos
suministrados por el instrumento de medición. Para facilitar la compresión del
lector se asumirá el signo positivo en las ordenadas del elipsoide de ahora en
adelante.
25
La Figura 3 muestra otra imagen que resulta de la medición de la superficie
anterior de la cornea humana de un paciente en particular usando otro
instrumento.
Figura 3. Topografía corneal computarizada generada por sistema Keratron® de
Opticon.
1.3.1 Regresión de un Oblate Elipsoide.
La nube de N puntos toma la forma (rj, rj), para efectuar la regresión por el
método de los mínimos cuadrados en R2 con un error total de la forma
2

r j 

Et = ∑ z j − Aa + Aa 1 − 2

Ba 
j =1


N
2
con Aa > Ba .
(18)
o

n 
Et = ∑  z j − a  f a −

na + 1 
j =1 
N
26
n + 1 2  
f − a
rj
na − 1  
2
a
2
(19)
para las funciones (16) y (17) respectivamente. Se observa claramente que la
regresión debe calcular los dos semiejes usando (18), o si se desea, se asume la
superficie con refracción perfecta para calcular únicamente la distancia focal fa
usando (19).
Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al elipsoide
de revolución puede ser expresada con
r=±
Ba
Aa
(2 Aa − z a ) z a
(20)
o respectivamente
r=±
1
na
(na − 1) z a (2 na f a − z a (na + 1))
(21)
Así, también los radios de curvatura principales del elipsoide de revolución
son calculados con
  dr  2 
 
ρ( z a ) =  1 + 
  dz a  


3/ 2
d 2r
dz a
−1
1
=
Aa Ba
 Ba2 ( Aa − z a ) 2


+ (2 Aa − z a ) z 
Aa


3
2
con 0 < z a < 2 Aa
(22)
o respectivamente
((na − 1)( f a na − z a )( z a + na ( f a (na − 1) + z a )))
ρ( z a ) =
f a2 (na − 1) 2 na4
para calcular Aa =
3
2
con 0 < z a <
2 f a na
na + 1
f a na
n −1
B 2 (n − 1)
y Ba = f a a
, y si za=0, ρ(0) = a = a
fa .
na + 1
Aa
na
na + 1
27
(23)
Para cada punto de la topografía (rj, rj), se determina la ordenada
correspondiente zj mediante la solución real de
1
Aa Ba
 Ba2 ( Aa − z j ) 2


+ (2 Aa − z j ) z j 
2

Aa


3
2
= ρj
(24)
con la solución
z j = Aa − Aa
2 13
Aa2 − ( Aa2 Ba2ρ j )
Aa2 − Ba2
(25)
o respectivamente si se asume refracción perfecta
((na − 1)( f a na − z j )( z j + na ( f a (na − 1) + z j )))
f a2 (na − 1) 2 na4
3
2
= ρj
(26)
que corresponde a
zj =
f a na −
2 1
f a na2 ( f a na − (na + 1)( f a (na − 1)na2ρ j ) 3 )
2
na + 1
(27)
Substituyendo (25) o (27) en (18) o (19) respectivamente y simplificando
para calcular el error total como función de los radios de curvatura se tiene

2
r

Et = Aa2 ∑  1 − j 2 −
Ba
j =1 

N
y expandiendo
28
2 13
Aa2 − ( Aa2 Ba2ρ j )
Aa2 − Ba2





2
(28)
( )
3 ( A2 B 2 ) N
 2 A2 − B 2
2
1
a
Et = Aa2  2a
N − 2 a a2 ∑ ρ j 3 − 2
2
 Aa − Ba
Aa − Ba j =1
Ba

∑( r ) − B
N
j =1
N
2
2
j
a
Aa2 − Ba2
∑ 
j =1

2
2
( Aa2 − 3 Aa2 Ba2ρ j )( Ba2 − rj )  
 
(29)
o si se asume refracción perfecta
na2
Et =
(na + 1) 2

 f a2 − na + 1 r j 2 −
∑

na − 1
j =1 

f a ( f a n − (na + 1)( f a (na − 1)n ρ j ) ) 

N
2
a
2
a
2
2 13
(30)
y expandiendo
Et =
 2 2
na2
 ( f a (na + 1)(na − 1) N − f a (na2 − 1)
(n + 1)(na + 1) 
N
3
2
a
N
( ) −2
(na + 1)∑ rj
j =1
2

na − 1 ∑ 
j =1 
N
( )−
f a (na − 1) na2 ∑ ρ j
j =1
2
3
(31)
2 
f a ( f a na2 − (na + 1)( f a (na − 1)na2ρ j ) )( f a2 (na − 1) − (na + 1)rj  

2 13
Para minimizar el error total Et se derivan (28) y (30) con relación a las
variables desconocidas A, B o f, según el criterio de diseño sin o con refracción
perfecta central. Como los sumandos no son funciones lineales de las variables
desconocidas, se hace necesario el uso de un método numérico con o sin la
linealización de los kernels usando series de Taylor alrededor del origen, pero
recordando que las expansiones generan errores considerables cuando se alejan
del origen, por eso es importante considerar el mayor número de términos que
sea posible.

( Aa2 − Ba2 )( Ba2 − r j2 ) 

=0
 Ba −
Aa2 − 3 Aa2 Ba2ρ 2j 


N
2
dEt
= 0 ⇒ ∑  ( 2 Aa2 + Ba2 )ρ j 3 − 3 3 Aa4 Ba4 

dAa
j =1 
N 
dEt
A2 + 2 Ba2

= 0 ⇒ ∑  3 Aa4 Ba4 − a
dBa
3
j =1 

3
ρ 2j
B −r
2
a
2
j
−
( Aa2 − Ba2 ) 2
3
2
a
5
a
AB
rj2


( A − B )( B − r ) 

29
Aa2 − 3 Aa2 Ba2ρ 2j
2
a
2
a
2
a
2
j

( A2 − B 2 )( B 2 − r j2 ) 

=0
 B −
A2 − 3 A2 B 2ρ 2j 


(32)
(33)
para construir un sistema de 2 ecuaciones con incógnitas A y B.
Y si se asume refracción perfecta
N 

dEt
1 
= 0 ⇒ ∑  2na2 (na2 − 1)3 ρ 2j − 3 3 na4 ( na − 1) 2 f a2  na2 −   1 − c j = 0


df a
c j  
j =1 

(
 n + 1 r j2   2
 na − (na + 1)
con c j =  1 − a
2 
n
f
−
1
a
a

 
1/ 2
3
ρ 2j 
(na − 1)n 2 
fa 

2
a
)
(34)
−1 / 2
cuya expansión se reduce
a
N
 N
 N

1
2(na2 − 1)
 ∑ 3 ρ 2j − ∑ c j 3 ρ 2j   = 0
− na2  ∑ c j +

 j =1
3 3 na4 (na − 1) 2 f a2  j =1
j =1 c j
j =1


N
(na2 + 1) N − ∑
(35)
para determinar con métodos numéricos la distancia focal fa.
Asumiendo que la cornea humana se ajusta al modelo para visión lejana
con el modelo simplificado cornea-humor acuoso na = 1,3375 la expresión anterior
se reduce a
 N

1
0,7363  N 3 2 N
3 ρ2   = 0
− 1,7889 ∑ c j +
ρ
−
c
∑ j ∑
j
j 
 j =1
3 f 2 
j =1 c j
j =1
 j =1
 
a

N
2,7889 N − ∑
1/2

r j2 
con c j =  1 − 6,9259 2 
fa 


 1,7889 − 1,9756


3
ρ 2j 
f a2 

(36)
−1 / 2
Y se asume posteriormente refracción en la interfase cornea-humor acuoso
na = 1,376
30
 N

1
0,7470  N 3 2 N
3 ρ2   = 0
− 1,8934 ∑ c j +
ρ
−
c
∑
∑
j
j
j

 j =1
3 f 2 
j =1 c j
j =1
 j =1

a

N
2,8934 N − ∑
1/2

r j2 
con c j =  1 − 6,3191 2 
fa 


 1,8934 − 2,1216


ρ 2j 
f a2 

3
(37)
−1 / 2
.
1.3.2 Regresión de un Prolate Elipsoide.
En este caso no aplica refracción perfecta central. Usando el mismo
procedimiento utilizado para la regresión de un oblate elipsoide de revolución con
coordenadas cilíndricas, en forma canónica z = ± ( B − B 1 − r 2 / A2 ) con A > B, la
solución final es equivalente a (32) y (33) pero con el intercambio de semiejes Aa y
Ba, así:
N 
dEt
B 2 + 2 Aa2

= 0 ⇒ ∑  3 Aa4 Ba4 − a
dAa
3
j =1 

3
ρ 2j
A −r
2
a
2
j
−
( Ba2 − Aa2 ) 2
3
2
a
5
a
B A
rj2


( B − A )( A − r ) 

Ba2 − 3 Aa2 Ba2ρ 2j
2
a
2
a
2
a
2
j
2
2
2
2 

 A − ( Ba − Aa )( Aa − rj )  = 0
a

Ba2 − 3 Aa2 Ba2ρ 2j 



N
2
( Ba2 − Aa2 )( Aa2 − rj2 ) 
dEt

= 0 ⇒ ∑  (2 Ba2 + Aa2 )ρ j 3 − 3 3 Aa4 Ba4   Aa −
=0
 
dBa
Ba2 − 3 Aa2 Ba2ρ 2j 
j =1 


(38)
(39)
para construir un sistema de 2 ecuaciones con incógnitas Aa y Ba.
1.3.3 Regresión de una Esfera.
Como caso especial, si los semiejes de la elipse son iguales es sistema
degenera en el caso esférico donde el radio Aa de la esfera que mejor se ajusta a
la nube de puntos satisface
N
( )
2 Aa N − ∑ ρ j
j =1
 Aa − ρ j + ρ 2j − rj2
− Aa ∑ 

Aa2 − r j2
j =1

N
 N
−
 ∑
 j =1
31
(
)
N
Aa2 − r j2 + ∑
j =1
(
)
ρ 2j − r j2 = 0
(40)
donde la solución real no negativa para Aa puede ser obtenida con métodos
numéricos.
1.3.4 Regresión de un Oblate Elipsoide usando el Método de los Mínimos
Cuadrados con las Curvaturas de la Córnea Humana.
Este método alterno permite minimizar el error total como función de las
curvaturas,
N
(
Et = ∑ k j − k (r )
j =1
)
2


337,5
A2
donde k (r j ) =
= 337.5 Aa Ba  Ba2 + ( a2 − 1)r j2 
ρ(rj )
Ba


−3 / 2
(41)
Minimizando el error total
N
N
(2 Aa2 + Ba2 )rj2 − Ba4
((2 Aa2 + Ba2 )rj2 − Ba4 )k j
dEt
4
= 0 ⇒ 337.5 Aa Ba ∑
−∑
=0
5
2
2
2
4 4
dAa
j =1 (( Aa − Ba ) r j + Ba )
j =1
(( Aa2 − Ba2 )rj2 + Ba4 ) 2
(42)
N
(4 Aa2 − Ba2 )r j2 − 2 Ba4 N ((4 Aa2 − Ba2 )rj2 − 2 Ba4 )k j
dEt
4
= 0 ⇒ 337.5 Aa Ba ∑
−∑
= 0 (43)
5
2
2
2
4 4
dBa
j =1 (( Aa − Ba ) r j + Ba )
j =1
(( Aa2 − Ba2 )rj2 + Ba4 ) 2
Que pueden ser sumadas para obtener una expresión más simple
N
4
a
337,5 Aa B
∑
j =1
2 Aa2 r j2 − Ba4
(( Aa2 − Ba2 )rj2 + Ba4 ) 4
N
+∑
j =1
(2 Aa2 rj2 − Ba4 )k j
(( Aa2 − Ba2 )rj2 + Ba4 )
5
=0
(44)
2
Así, las soluciones para Aa y Ba pueden ser obtenidas con métodos
numéricos.
Si se asume refracción perfecta
32
337,5 na (na − 1) f
2
2r j2 − (na − 1) 2 f a2
N
2
a
∑
(rj2 + (na − 1) 2 f a2 ) 4
j =1
N
−∑
j =1
(2r j2 − (na − 1) 2 f a2 )k j
(r j2 + (na − 1) 2 f a2 )
5
=0
(45)
2
y si na =1,3375
N
51,4180 f
2
a
∑
j =1
2rj2 − 0,1139 f a2
(rj2 + 0,1139 f a2 ) 4
N
−∑
(2rj2 − 0,1139 f a2 )k j
(r j2 + 0,1139 f a2 )
j =1
5
=0
(46)
=0
(47)
2
y si na =1,376
N
65,6550 f
2
a
∑
j =1
2rj2 − 0,1413 f a2
(r j2 + 0,1413 f a2 ) 4
N
−∑
(2r j2 − 0,1413 f a2 )k j
j =1
(r j2 + 0,1413 f a2 )
5
2
con fa y rj en milímetros.
Es importante considerar que este método tiene énfasis en la zona central
de la cornea, ya que es mas curva en el centro y se aplana hacia la periferia, por
lo tanto, puede dar mejores resultados prácticos y clínicos para Aa y Ba, o fa que
los obtenidos con (32) y (33), o (34), a pesar de que el índice de correlación sea
mas bajo.
1.3.5 Índice de Correlación.
Reemplazando (25) definida positiva en (14) y la función del elipsoide
2
1


2
2 2 2
rj2 
 Aa − ( Aa Ba ρ j ) 3
− 1− 2 
∑

Aa2 − Ba2
Ba 
j =1 


2
1 
1


Aa2 − ( Aa2 Ba2 ρ 2j ) 3 
Aa2 − ( Aa2 Ba2 ρ 2j ) 3
1 N 
 − N  ∑ 1 −
Aa2 − Ba2
Aa2 − Ba2

 j =1 

 
N
cc =
1−


∑
1 −
j =1 

N
con las constantes Aa y Ba obtenidas en la regresión.
33
(48)





2
Si se asume refracción perfecta, el índice de correlación cc se obtiene al
reemplazar (27) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:
2


1
 f a ( na2 f a − (na + 1)(na2 ( na − 1) f a ρ 2j ) 3 ) − f a2 − na + 1 rj2 
∑


n
−
1
j =1 
a

2
2
N
1
1

1



f a ( na2 f a − ( na + 1)(na2 ( na − 1) f a ρ 2j ) 3 )  −  ∑  f a − f a ( na2 f a − ( na + 1)(na2 ( na − 1) f a ρ 2j ) 3 )  
 N  j =1 

N
cc =
1−

∑  f
N
j =1
a
−
(49)
con la distancia focal fa obtenida en la regresión.
El índice de correlación para el sistema simplificado cornea-humor acuoso
de LeGrand’s con na =1,3375 es:
1

2
 f a (1,7889 f a − 1,9756 ( f a ρ j ) 3 ) −
∑
j =1 
N
cc =
1−

 fa −
∑
j =1 
N
1 N 

f a (1,7889 f a − 1,9756 ( f a ρ ) )  −  ∑  f a −
 N  j =1 
2
j
1
3
2

f a2 − 6,9259rj2 

2

f a (1,7889 f a − 1,9756 ( f a ρ ) )  

2
j
2
1
3
(50)
El índice de correlación para la interfase aire-cornea para ser usado en un
modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con na =1,376 es:
1

2
 f a (1,8934 f a − 2,1216 ( f a ρ j ) 3 ) −
∑
j =1 
N
cc =
1−

 fa −
∑
j =1 
N
1 N 

f a (1,8934 f a − 2,1216 ( f a ρ ) )  −  ∑  f a −
 N  j =1 
2
j
1
3
2

f a2 − 6,3191r j2 

2

f a (1,8934 f a − 2,1216 ( f a ρ ) )  

2
j
2
1
3
(51)
con la distancia focal fa obtenida en la regresión.
La Figura 4 muestra la imagen que resulta de la medición de la superficie
anterior de la cornea humana de un paciente en particular.
34
Figura 4. Topografía corneal computarizada del ojo derecho de un paciente con keratocono
moderado, generada por sistema Atlas 9000® de Carl Zeiss Meditec, Inc, probablemente con
mejor ajuste hiperbólico.
1.4
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN HIPERBOLOIDE DE
REVOLUCIÓN.
En este caso corresponde a un hiperboloide de revolución en coordenadas
cilíndricas con ápice en el origen definido con

r2 
z a = ±  − Aa + Aa 1 + 2  con semiejes Aa y Ba positivos.

Ba 

(52)
o
za = ±
1 
− fa +
na + 1 
f a2 +
35
na + 1 2 
r
con f a > 0
na − 1 
(53)
donde na es el índice de refracción de un lente o de la cornea humana con un
valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda
superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado na = 1,3375; y así,
determinar los semiejes o la distancia focal fa que mejor se ajusta a los datos
suministrados por el instrumento de medición. Para facilitar la compresión del
lector se asumirá el signo positivo en las ordenadas de ahora en adelante.
1.4.1 Regresión de un Hiperboloide.
En este caso el error total es
2

r j 

Et = ∑ z j + Aa − Aa 1 + 2

Ba 
j =1


2
N
(54)
o

1 
− fa +
Et = ∑  z j −

na + 1 
j =1 
N
n + 1 2  
f + a
rj
na − 1  
2
a
2
(55)
para las funciones (52) y (53) respectivamente. Se observa claramente que la
regresión debe calcular los dos semiejes usando (54), o si se desea, se asume la
superficie con refracción perfecta para calcular únicamente la distancia focal fa
usando (55).
Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al
hiperboloide de revolución puede ser expresada con
r=±
Ba
Aa
o respectivamente
36
(2 Aa + z a ) z a
(56)
r=±
(na − 1) za (2 f a + (na + 1) z a )
(57)
Así, también los radios de curvatura principales del hiperboloide de
revolución son calculados con
  dr  2 
 
ρ( z a ) =  1 + 
  dz a  


3/ 2
d 2r
dz a
−1
1
=
Aa Ba
 Ba2 ( Aa + z a ) 2


+ (2 Aa + z a ) z a 
2
Aa


3
2
(58)
o respectivamente
((na − 1)( f a + na z a )( f a (na − 1) + na (na + 1) z a ))
ρ( z a ) =
f a2 (na − 1) 2
para calcular Aa =
3
2
(59)
n −1
fa
B2
y Ba = f a a
, y si za = 0, ρ(0) = a = (na − 1) f a .
na + 1
na + 1
Aa
Para cada punto de la topografía (rj, rj), se determina la ordenada
correspondiente zj mediante la solucione real de
1
Aa Ba
 Ba2 ( Aa + z j ) 2



+
(
2
A
+
z
)
z
a
j
j
2


Aa


3
2
= ρj
(60)
que corresponde a
z j = − Aa + Aa
2 13
Aa2 + ( Aa2 Ba2ρ j )
Aa2 + Ba2
o respectivamente si se asume refracción perfecta
37
(61)
((na − 1)( f a + n a z j )( f a (na − 1) + na (na + 1) z j ))
f a2 (na − 1) 2
3
2
= ρj
(62)
que corresponde a
zj =
− f a na +
2 1
f a ( f a + (na + 1)( f a (na − 1)ρ j ) 3 )
(63)
na (na + 1)
Substituyendo (61) o (63) en (54) o (55) respectivamente y simplificando para
calcular el error total como función de los radios de curvatura se tiene

2
rj

2
Et = Aa ∑  1 + 2 −
Ba
j =1 

N
2 13
A + (A B ρ j )
Aa2 + Ba2
2
a
2
a
2
a





2
(64)
y expandiendo
3 A2 B 2
 2 A2 + B 2
a
Et = Aa2  2a
N + 2 a a2
2
 Aa + Ba
Aa + Ba

∑(ρ
N
j =1
2
j
) + B1 ∑ ( r ) − B
N
3
j
a
N
2
2
2
a j =1
A +B
2
a
2
a
∑ 
j =1

2
2
( Aa2 + 3 Aa2 Ba2ρ j )( Ba2 + rj )  
 
(65)
si se asume refracción perfecta
1
Et =
(na + 1) 2

 f a2 + na + 1 rj 2 − 1
∑

na − 1
na
j =1 

f a ( f a + (na + 1)( f a (na − 1)ρ j ) ) 

N
2
2 13
(66)
y expandiendo
Et =
na − 1  2 2
 ( f a ( na + 1)(na − 1) N + f a ( na2 − 1)
na2 
N
( ) − 2n
na2 (na + 1)∑ rj
j =1
2
a

na − 1∑ 
j =1 
N
3
f a (na − 1)
∑(ρ
N
j =1
2
j
3
)+
2 
f a ( f a + (na + 1)( f a ( na − 1)ρ j ) )( f a2 ( na − 1) + ( na + 1)r j  

2 13
38
(67)
Para minimizar el error total Et se derivan (64) y (66) con relación a las
variables desconocidas Aa, Ba o fa, según el criterio de diseño sin o con refracción
perfecta central.
N
2
dEt
= 0 ⇒ ∑  (2 Aa2 − Ba2 )ρ j 3 − 3 3 A4 Ba4 

dAa
j =1 
N 
dEt
A2 − 2 Ba2

= 0 ⇒ ∑  3 Aa4 Ba4 − a
dBa
3
j =1 

3
ρ 2j
Ba2 + rj2
−
( Aa2 + Ba2 ) 2
3
Aa2 Ba5
r j2
2
2
2
2 

 B − ( Aa + Ba )( Ba + rj )  = 0

Aa2 + 3 Aa2 Ba2ρ 2j 




( A + B )( B + r ) 

Aa2 + 3 Aa2 Ba2ρ 2j
2
a
2
a
2
a
2
j
(68)

( Aa2 + Ba2 )( Ba2 + rj2 ) 

B
−
=0
a

Aa2 + 3 Aa2 Ba2ρ 2j 


(69)
para construir un sistema de 2 ecuaciones con incógnitas Aa y Ba.
Y si se asume refracción perfecta
N 
 n 
dEt
= 0 ⇒ ∑  2(na2 − 1) 3 ρ 2j + 3 3 (na − 1) 2 f a2  1 + a   (1 − na c j ) = 0


df a
c j  
j =1 

con c j =
 na + 1 r j2  
1 +

 n − 1 f 2   1 + (na + 1)
a
a 

(70)
−1
3
ρ 2j 
; cuya expansión se reduce a
(na − 1) 2
fa 

 N 1

2na (na2 − 1)
(na2 − 1) N − na  ∑  − c j   −
2 2
 j =1  c j

3
  3 (na − 1) f a
 
 1

n
 a
N
∑
j =1
3
N

ρ 2j − ∑ c j 3 ρ 2j  = 0
j =1

(71)
para determinar con métodos numéricos la distancia focal fa.
1.4.2 Regresión de un Hiperboloide usando el Método de los Mínimos
Cuadrados con las Curvaturas de la Córnea Humana.
39
Este método alterno permite minimizar el error total como función de las
curvaturas,
N
(
Et = ∑ k j − k (r )
j =1


337,5
A2
donde k (r j ) =
= 337.5 Aa Ba  Ba2 + ( a2 + 1) r j2 
ρ(rj )
Ba


)
2
(72)
−3 / 2
Minimizando el error total
N
N
( Ba2 − 2 Aa2 )rj2 + Ba4
(( Ba2 − 2 Aa2 )rj2 + Ba4 )k j
dEt
= 0 ⇒ 337.5 Aa Ba4 ∑
−
=0
∑
5
2
2
2
4 4
dAa
j =1 (( Aa + Ba ) r j + Ba )
j =1
(( Aa2 + Ba2 )r j2 + Ba4 ) 2
(73)
N
(4 Aa2 + Ba2 )r j2 − 2 Ba4 N ((4 Aa2 + Ba2 )rj2 − 2 Ba4 )k j
dEt
= 0 ⇒ 337.5 Aa Ba4 ∑
−∑
= 0 (74)
5
2
2
2
4 4
dBa
j =1 (( Aa + Ba ) r j + Ba )
j =1
(( Aa2 + Ba2 )r j2 + Ba4 ) 2
Que pueden ser sumadas para obtener una expresión más simple
N
337,5 Aa Ba4 ∑
j =1
2( Aa2 + Ba2 )r j2 − Ba4
(( Aa2 + Ba2 )rj2 + Ba4 ) 4
N
+∑
j =1
(2( Aa2 + Ba2 )rj2 − Ba4 )k j
(( Aa2 + Ba2 )rj2 + Ba4 )
5
=0
(75)
2
Así, las soluciones para Aa y Ba pueden ser obtenidas con métodos
numéricos.
Si se asume refracción perfecta
N
337,5 (na − 1) 2 f a2 ∑
j =1
2na2 r j2 − (na − 1) 2 f a2
(na2 rj2 + (na − 1) 2 f a2 ) 4
N
−∑
j =1
(2na2 r j2 − (na − 1) 2 f a2 )k j
(na2 r j2 + (na − 1) 2 f a2 )
5
=0
(76)
2
y si na =1,3375 para el sistema simplificado cornea-humor acuoso de LeGrand’s
40
N
38,4434 f
2
a
∑
j =1
3,5778rj2 − 0,1139 f a2
(1,7889r j2 + 0,1139 f a2 ) 4
N
(3,5778rj2 − 0,1139 f a2 )k j
j =1
(1,7889r j2 + 0,1139 f a2 )
−∑
5
=0
(77)
2
y si na =1,376 para la interfase aire-cornea para ser usado en un modelo con
refracción perfecta en la superficie posterior
N
47,7144 f
2
a
∑
j =1
3,7868r j2 − 0,1414 f a2
(1,8934r j2 + 0,1414 f a2 ) 4
N
(3,7868r j2 − 0,1414 f a2 )k j
j =1
(1,8934rj2 + 0,1414 f a2 )
−∑
5
=0
(78)
2
con fa y rj en milímetros.
Se debe aclarar que aunque histológicamente la cornea humana tiene
diferentes tipos de células con diferentes índices de refracción: El estroma corneal
es el tejido más abundante, que prácticamente configura el índice de refracción
promedio nc = 1,376, sin embargo se debe recordar que las células epiteliales de la
primera y delgada superficie tienen un índice de refracción de 1,401. Los modelos
matemáticos que serán desarrollados en el futuro posiblemente consideren estos
detalles. Algunos sistemas láser con pulsos de femtosegundos (10‒12 s) usados
para la keratomileusis-in situ aprovechan las diferencias ópticas que existen entre
las diferentes capas de células cornéales para iniciar la cirugía desepitelizando la
cornea creando un alerón de células epiteliales con la membrana de Bowman y
así exponer el estroma a la ablación,10 sin los riesgos comunes que implica el uso
del microkeratomo11 con anillo de fijación.
10
Remoción de tejido por evaporación.
11
Herramienta de cirugía semejante a un cepillo de carpintero con cuchilla de zafiro y
posicionamiento micrométrico. Los accidentes quirúrgicos son comunes con esta herramienta,
generalmente por fallas del anillo de sujeción, por lo tanto, cada vez más esta en desuso. US
Patent 6,302,896 octubre 16 de 2001, Carriazo-Barraquer.
41
1.4.3 Índice de Correlación.
Reemplazando (61) definida positiva en (14) y la función del hiperboloide
2
1


2
2 2 2
r j2 
 Aa + ( Aa Ba ρ j ) 3
− 1+ 2 
∑

Aa2 + Ba2
Ba 
j =1 


2
1 
1
 
Aa2 + ( Aa2 Ba2 ρ 2j ) 3 
Aa2 + ( Aa2 Ba2 ρ 2j ) 3
1 N 
 − N  ∑ 1 −
Aa2 + Ba2
Aa2 + Ba2

 j =1 

 
N
cc =
1−
N 

∑
1 −
j =1 






(79)
2
con las constantes Aa y Ba obtenidas en la regresión.
Si se asume refracción perfecta, el índice de correlación cc se obtiene al
reemplazar (63) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:
 1
n ∑ 
j =1  na
N
2
a
cc =
1−
1
3
f a ( f a − (na + 1)((na − 1) f a ρ ) ) −
2
j
n + 1 2 
f + a
rj
na − 1 
2
2
a
2
1
1
1 N 


2 3 
2
f
(
f
(
n
1
)((
n
1
)
f
ρ
)
)
−
+
−
 a a
 −  ∑  f a ( f a − (na + 1)((na − 1) f a ρ j ) 3 )  
∑
a
a
a
j
 N  j =1 

j =1 
N
2
(80)
con la distancia focal fa obtenida en la regresión.
El índice de correlación para el sistema simplificado cornea-humor acuoso
de LeGrand’s con na =1,3375 es:
1

1,7889∑  0,7476 f a ( f a − 1,6274( f a ρ 2j ) 3 ) −
j =1 
N
cc =
1−

∑ 
N
j =1

f a2 + 6,9259rj2 

2
1
1
1 


f a ( f a − 1,6274( f a ρ 2j ) 3 )  −  ∑  f a ( f a − 1,6274( f a ρ 2j ) 3 )  
 N  j =1 

2
42
N
(81)
2
El índice de correlación para la interfase aire-cornea para ser usado en un
modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con nc =1,376 es:
1

1,8934∑  0,7267 f a ( f a − 1,7149( f a ρ 2j ) 3 ) −
j =1 
N
cc =
1−

∑ 
N
j =1
1.5

f a2 + 6,3191rj2 

2
1
1
1 


f a ( f a − 1,7149( f a ρ 2j ) 3 )  −  ∑  f a ( f a − 1,7149( f a ρ 2j ) 3 )  
N


 j =1 
2
N
(82)
2
CONCLUSIONES.
El modelo estadístico-matemático presentado permite modelar con
precisión y exactitud, de forma automática, lentes para instrumentos, espejos,
lentes de contacto, lentes intraoculares y cirugías refractivas, utilizando la
información
pixelada
a
color
medida
computarizados.
43
por
los
modernos
keratómetros
44
Capítulo 2
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LA SUPERFICIE ANTERIOR
DE LA CORNEA HUMANA CON UN TOROIDE REGULAR DE
REVOLUCIÓN.
RESUMEN.
Se presenta a continuación un modelo de regresión y correlación para una
nube de N puntos con un sistema de coordenadas especializado (x, y, K) con x y y
como abscisas y la curvatura K como ordenada, obtenida con topógrafos
cornéales computarizados. Como la cornea humana no corresponde a una
geometría de revolución perfecta, el modelo determina la superficie tórica regular
de revolución que describe el astigmatismo corneal, información vital para el
calculo de lentes tóricos intraoculares, cirugías refractivas y para la adaptación de
lentes de contacto tóricos, así, la superficie corneal se ajusta a un modelo en
forma canónica correspondiente a un toroide de revolución cuyos ejes principales
son ortogonales.
2.1
INTRODUCCIÓN.
El ojo emétrope ideal le corresponde generalmente una cornea perfecta de
revolución, que en forma canónica tiene como sección cortada:
∞
z a = a2 r 2 + a4 r 4 + a6 r 6 + a8 r 8 + ... = ∑ a2i r 2i
i =1
45
(1)
donde normalmente los coeficientes {a2i} que caracterizan la geometría de la
sección son reales y en su mayoría positivos; y los exponentes del polinomio
característico son pares; y si hay refracción perfecta central, los coeficientes
deben corresponder a los coeficientes de la expansión de un ovalo cartesiano
como se muestra en la interfase óptica de la
Figura 5 y se especifica
matemáticamente con las siguientes fórmulas:
Figura 5. Córnea perfecta. La geometría de la interfase óptica corneal que mejor se ajusta a una
cornea perfecta ideal, corresponde a un ovalo cartesiano. Como ejemplo se presenta el trazado de
rayos para una interfase oval con n = 1,5 y f = 50. Se observa la refracción con una distancia objeto
z0 = – α f, con apalancamiento α = 1, 0,75 y 0,6 respectivamente, utilizando los cuatro primeros
términos {a2i} de la serie. Cuando a < 1 se deben usar más términos para obtener una solución
más precisa, o justificar el uso del iris como diafragma para evitar que los rayos periféricos
anómalos ingresen a la cámara anterior, de la misma manera que se usan los stops circulares
creados por Abbe.
a2 =
1 (α n + 1)
2 α (n −1) f
3 2
a4 =
a
6
=
1α n
8
3
2
+ (α + 2α − 2α − 1)
3
2
α (n − 1) f
n −1
3
2 α5n3 + (2α5 + 3α4 − 3α3 + α2 + 3α + 1) n2 + (α5 + 3α4 + α3 − 3α2 + 3α + 2) n + 1
32
α5(n −1)3 f 5
 α7n4 + (3α7 + 4α6 − 4α5 + 2α4 + 2α3 − 4α2 − 4α −1) n3 + (3α7 + 8α6 − 8α4 + 8α3 − 8α − 3) n2 

+
7 (n − 1)4


α
5
a =


8
128f 7  (α7 + 4α6 + 4α5 − 2α4 − 2α3 + 4α2 − 4α − 3) n −1

+

α7(n −1)4


a = ...
2i
con distancia focal f > 0 y apalancamiento α > 0.
46
La realidad biológica presenta una geometría corneal que se caracteriza
por tener una forma tórica de revolución con ejes principales casi siempre
ortogonales (astigmatismo regular), donde la geometría de las secciones tóricas
son funciones de un sistema polar:
∞
z a (θ) = a2 (θ)r 2 + a4 (θ)r 4 + a6 (θ)r 6 + a8 (θ)r 8 + ... = ∑ a2i (θ)r 2i
(2)
i =1
donde θ varia entre 0 y 2π radianes12, ya que za(θ) = za(θ + 2π) si se asumen toros
de revolución.
Para determinar los ejes principales se usa una técnica de optimización
considerando los radios de curvatura, como se mostrará mas adelante.
De todas las secciones tóricas de revolución habrán dos y solo dos que
corresponden a las secciones de mayor y menor curvatura media que determinan
la dirección de los ejes principales del astigmatismo corneal regular y que
generalmente están alineados con los ejes principales13 del sistema cartesiano
(x, y), donde para todo punto con coordenadas pixeladas (j, k) de una topografía
corneal computarizada con centro en el eje óptico, la distancia rj,k al origen polar
se puede determinar fácilmente mediante:
rj ,k ≈ x + y ≈
2
j
2
k
( j∆x ) + (k∆y )
2
2
2

1   
1 
≈   j −  ∆x  +   k −  ∆y 
2  
2 

2
(3)
12
La unidad fundamental para medir ángulos en la industria oftálmica es el grado sexagesimal en
resolución de 0,1. Para este estudio se usarán los radianes para minimizar el tiempo de cómputo
en las expresiones matemáticas.
13
Si los ejes del astigmatismo regular son cercanos a los ejes principales del plano canónico, se
denomina astigmatismo regular axial; pero si los ejes principales se alejan más de 10o de los ejes
principales se denomina astigmatismo regular oblicuo.
47
y es conveniente usar la última expresión por la precisión obtenida al posicionar
los radios en el centro de cada píxel; para un total de Np pixeles en toda la
imagen14.
La información suministrada por lo modernos topógrafos computarizados
describen la superficie de la cornea humana mediante zonas de isocurvatura con
el mismo color como se observa en Figura 6. El astigmatismo corneal se indica
con la dirección de los ejes principales del toroide de revolución que mejor se
ajusta a la superficie corneal.
Figura 6. Topografía del astigmatismo corneal regular, el más común en la práctica clínica.
Para la regresión estadística se usa principalmente la curvatura sagital.
14
Los pixeles con el color de fondo deben ser descartados; y los pixeles con texto o líneas de
referencia internas pueden ser interpolados con los colores de los pixeles vecinos.
48
2.2
EJES PRINCIPALES Y CURVATURA MEDIA.
2.2.1 Ejes Principales.
Para caracterizar el astigmatismo corneal se determina la dirección de los
ejes principales que corresponde a las secciones tóricas con máxima y mínima
curvatura media que pueden ser fácilmente obtenidas mediante una técnica
numérica.
El método mas simple usado para determinar la dirección de los ejes
principales obtiene la información
directamente de la imagen topográfica,
mediante la construcción de semirrectas radiales que parten del origen de
coordenadas para todos los ángulos posibles, según la resolución de la imagen
para todos los pixeles de la frontera que generalmente están acotados por un
diámetro15 de 11,1 mm para la mayoría de las personas, con coordenadas ( xp, yq),
con
θ p,q
con


1
  q −  ∆y 
2

= tan −1  

1 
  p −  ∆x 
2 

p y q enteros positivos y negativos tal que: p 2 ∆x 2 + q 2 ∆y 2 ≈ 30,8025
(4)
16
si ∆x = ∆y como sucede comúnmente.
15
La anatomía ocular establece que la mayoría de las corneas humanas tienen un diámetro
promedio de 11,77 con una desviación típica muy baja σ = ± 0,37 mm para los hombres,
comparada con 11,64 y σ = ± 0,47 mm para las mujeres y además es casi invariante durante el
transcurso de la vida después del primer año de vida. Generalmente el diámetro horizontal es
ligeramente mayor que el vertical. Si el diámetro corneal es menor de 10 mm se denomina
microcórnea; y si el diámetro corneal es superior a 13 mm se denomina macrocórnea o
megalocórnea.
16
También se puede especificar el valor límite para el radio de cada semirrecta dinámicamente.
49
Si la semirrecta radial cruza o limita con un píxel interno, su valor de
curvatura será considerado para el cálculo de la curvatura media. Para determinar
si la semirrecta pasa a través de un píxel arbitrario (j, k), se debe satisfacer:
r j , k sin θ j ,k − θ p , q ≤ Max ( ∆x, ∆y ) ,
que también puede ser calculada con notación vectorial
para simplificar los cálculos, con la expresión θ j, k análoga a la expresión (4):
2
2
1
1 
1
1  Max(∆x, ∆y )  
1   
1 

  p −  ∆x  +   q −  ∆y  (5)
k −  p − − j − q −  ≤
2
2 
2
2
∆x ∆y
2   
2 


Así, la curvatura media puede ser fácilmente calculada para los Mp,q pixeles
que se intersecan con cada semirrecta.
1
K (θ p ,q ) =
M p,q
M p ,q
∑K
m =1
j ,k
(6)
para todo punto (j, k) que satisface (5).
Para acelerar el algoritmo se puede usar un método que varíe j y k en las
vecindades de un punto válido que es objeto para el desarrollo del software. Al
final del procedimiento se determina la dirección de los ejes principales con el eje
Axis que indica la dirección de la sección más plana con curvatura media K 1 más
baja, expresando el astigmatismo corneal Astig con la diferencia entre la
curvaturas medias máxima y mínima: Astig = K 2 − K 1 en dioptrías; la cual
generalmente es positiva (astigmatismo con la regla) o pudiendo ser negativa
(astigmatismo contra la regla) si se asume como eje principal el eje más cercano
al eje x y no es el eje para la sección más plana.
50
Como los ejes principales son ortogonales en el astigmatismo regular, es
de esperarse que θ max− θ min = β ≈ π / 2 . A veces la cornea ha sido intervenida
quirúrgicamente con técnicas ya en desuso como en las keratotomias radiales
(Fedorov, 1990)17, presentado complicaciones como
superficies cornéales
distorsionadas con ejes astigmáticos oblicuos o irregularidades abruptas. Algunos
láseres para la ablación corneal corrigen el astigmatismo refractivo con ejes no
ortogonales, usando modernas técnicas de computo (Korablinova, 2004)
con
base en los polinomios de Zernike para minimizar la aberración total.
Como el propósito de este estudio esta dirigido principalmente para diseño
de lentes intraoculares y lentes de contacto, las tecnologías disponibles por la
mayoría de fabricantes solo permiten la manufactura de lentes tóricos de
revolución con ejes principales ortogonales, pero algunos laboratorios disponen
de tecnologías CNC de punta que permiten mediante técnicas de electroerosión la
fabricación de moldes para lentes tóricos con ejes no ortogonales.
Si la regresión se efectúa usando semirrectas radiales, los valores de los
coeficientes {a2i} de semirrectas opuestas pueden diferir indicando que la
geometría de la superficie corneal no es de revolución, como normalmente
sucede en la mayoría de los keratoconos; por lo tanto, es conveniente trabajar
con el promedio de los coeficientes opuestos:
a2i (θ) =
a2i (θ) + a2i (θ + π)
2
(7)
Si se asume el astigmatismo corneal con la regla, es de esperarse que los
valores de curvatura mas planos están en la dirección del eje horizontal, y los
cilindros para indicar el astigmatismo se deben expresar negativamente (Cilindro
17
US Patent 4907587.
51
negativo), para indicar que si a la curvatura media más alta se la adiciona el
astigmatismo se obtiene la curvatura media mas plana. Algunos oftalmólogos
poseen equipos diseñados con base en cilindros positivos, pero son bastante
escasos y útiles gracias a las normas y a los estándares.
Considerando las limitaciones de este trabajo, la geometría de la superficie
tórica de revolución que mejor se ajusta a la regresión de la superficie corneal
puede ser especificada relativamente con relación al ángulo del eje principal
θ0 = θAxis para un astigmatismo regular con
∞
z a (α) = a2 (θ0 + α)r 2 + a4 (θ0 + α)r 4 + a6 (θ0 + α) r 6 + a8 (θ0 + α)r 8 + ... = ∑ a2i (θ0 + α) r 2 i
(8)
i =1
y 0 ≤ α ≤ π / 2 radianes, para caracterizar con un cuadrante toda la superficie, ya
que el resto es simétrico.
Considerando una variación armónica de la superficie toroidal de
revolución, todos los coeficientes {a2i} pueden ser referenciados con una única
expresión armónica:
a2i (θ) = a2i (θ0 + α) = a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α
si 0 ≤ α ≤ π/2 (9)
Reemplazando (9) en (8) se obtiene la expresión más representativa de
este documento
∞
z a (α) = ∑ (a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α)r 2i
(10)
i =1
así, la geometría de la sección del toro de revolución se reduce a la variación
armónica de la geometría de la sección que contiene el meridiano mas plano.
Como normalmente las corneas se aplanan hacia la periferia, los coeficientes
52
disminuyen cuando i aumenta; también cuando varían armónicamente, aumentan
cuando α aumenta.
Si el astigmatismo es irregular con ejes no ortogonales, pero con secciones
con geometrías de revolución, la geometría de la superficie tórica que mejor se
ajusta puede ser especificada con una variación elíptica de la armonía, para un
ángulo β entre ejes principales, lo cual no es objeto de este capitulo, ya que se
requiere de la solución de complejas ecuaciones elípticas.
2.2.2 Curvatura Media Analítica.
Para determinar la curvatura media que caracteriza la superficie corneal
obtenida en la regresión se procede a calcular:
rmax
K (θ) = 1000(n − 1) ∫
0
max
k ( r , θ)
dr = 1000(n − 1) ∫
r
0
r
d 2z
dr 2
  dz  2 
r 1 +   
  dr  


3
dr
(11)
con K (θ) en dioptrías, r y z en milímetros, n índice de refracción corneal, y
rmax ≈ 5,55 milímetros.
Reemplazando las derivadas de (8) en (11)
∞
rmax
K (θ0 , α, r ) = 675 ∫
0
∑ i(2i − 1) (a
i =1
2i
(θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α ) r 2i − 2
2


 ∞
2i −1  

r 1 + 4 ∑ i ( a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α ) r 

 i =1
 

3
dr , ∀α, α ∈ [0, π / 2]
(12)
53
con índice de refracción corneal n, asumido por la mayoría de los topógrafos en
n = 1,3375 según el sistema simplificado cornea-humor acuoso.
Como la integral en (12) no tiene solución analítica, la curvatura media se
aproxima mediante:
∞
M
K (θ0 , α, ∆r ) = 675∑
m=0
2.3
∑ i(2i − 1) (a
i =1
2i
(θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α ) ( m∆r ) 2i − 2
2

 ∞
 
m  1 + 4  ∑ i (a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α ) ( m∆r ) 2i −1  

 i =1
 

(13)
3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LOS COEFICIENTES.
2.3.1 Regresión.
Para determinar los coeficientes {a2i(θ)} para cada sección con un ángulo θ
se usa la expresión (2) con el método de los mínimos cuadrados.
Donde el radio de curvatura asociado a cada sección corresponde a
  dz  2 
1 +   
  dr  

ρ(r ) = 
2
d z
dr 2
3
2
=
2
N


 1 + 4  i r 2i −1a (θ)  
∑
2
i

 

 i =1
 

32
2∑ i =1 i (2i − 1) r 2i − 2 a2i (θ)
N
54
(14)
Si se usa el índice refracción del sistema simplificado de LeGrand’s o
Jabal18, la curvatura en dioptrías corresponde a:
2∑i =1 i (2i − 1) r 2i − 2 a2i (θ)
N
K (θ) = 337,5
2
N


 1 + 4  i r 2i −1a (θ)  
2i
∑
 

 i =1
 

32
(15)
con r en milímetros.
Así, para determinar los coeficientes {a2i} para cada θ, se puede realizar el
siguiente procedimiento:
Consideremos un conjunto de M ecuaciones para los N puntos que
componen un semieje para un ángulo particular θ:
k1 = 675
k 2 = 675
∑
N
i =1
i (2i − 1) r12i − 2 a2i
2
N


 1 + 4  i r 2i −1a  
∑
1
2i 


 i =1
 

∑
N
i =1
32
i (2i − 1) r22i − 2 a2i
2
N


 1 + 4  i r 2i −1a  
2i 
∑ 2

 i =1
 

32
Para todo píxel 1, 2, …, M
M
k M = 675
18
∑
N
i =1
i (2i − 1) rM2i − 2 a2i
2
N


 1 + 4  i r 2i −1a  
2
∑
M
i

 

 i =1
 

32
También conocido Índice Keratometrico Estándar KSI
55
(16)
Como debemos obtener los valores a2, a4,…, a2N que mejor se adaptan al
anterior sistema de ecuaciones, se selecciona un valor inicial para cada a2i que
puede ser el coeficiente equivalente de la expansión de series que corresponde a
la esfera de menor curvatura posible y que generalmente esta en el origen de
coordenadas. Con
a2i inicial =
Γ(i − 1 / 2)
2 π Γ(i + 1)(337,5 / k 0) 2i −1
(17)
con k0 la curvatura mas alta de la topografía. Para propósitos prácticos no se
necesitan mas de diez coeficientes para obtener errores inferiores a 1 nm, es
decir, N = 10.
Los valores esperados finales para los coeficientes deben ser superiores a
los coeficientes iniciales y muy cercanos a cero como puede observarse con el
siguiente ejemplo, con k0 = 43,00 dioptrías
a2
0.06370370370370369
a4
0.0002585199410658944
a6
2.0982315326456573E-6
a8
2.1287407977293934E-8
a 10
2.4188569235675426E-10
a12
2.944833877647004E-12
a14
3.755906799135405E-14
a16
4.953675266437188E-16
a18
6.700938686889701E-18
a 20
9.245787906502235E-20
Para luego definir el error funcional ∆f:
56
675∑i =1 i (2i − 1) rm2i − 2 a2i
10
∆f m = k m −
10

 1 + 4  i r 2i −1a 
∑
m
2i 


 i =1


2




(18)
32
Como los errores funcionales pueden ser expresados como la suma de las
derivadas parciales evaluadas con los valores iniciales y multiplicados por los
incrementos en los coeficientes ∆a2i, se puede establecer un algoritmo (Bates y
Watts, 1988) que permite iterativamente aproximar los valores de los parámetros,
obteniendo un estimado lineal para los cambios en los coeficientes,
10
∆f m = ∑
i =1
∂z
∆a 2 i
∂ a2i
r= r
(19)
m
con este concepto se procede a establecer un modelo de algebra lineal que
permite optimizar los valores de los coeficientes para minimizar el error total: Sea
a el vector de los errores funcionales que corresponden a todos los puntos del
radio, así, el error mínimo al cuadrado corresponde a a.a. Para explicar el
algoritmo del modelo, se crea una matriz A que contiene todos los vectores fila de
las derivadas parciales que componen (19) para cada píxel m de cada radio
donde se efectúa la regresión:
 ∂z

 ∂ a2 r = r1
∂z

A =  ∂ a2
r = r2

M

∂z
 ∂ a2 r = r
m



r = r1 

∂z

L
∂ a20 r = r 
2

O
M

∂z

K
∂ a20 r = r 
m 
L
∂z
∂ a20
Creando la ecuación del sistema lineal
57
(20)
m x 10
a = A [∆a2i ]10
(21)
Premultiplicando a ambos lados por [AT A]-1AT para generar el
entrecruzamiento de todos los coeficientes
[ A T A]−1 A T a = [ A T A]−1 A T A [∆a2i ]10
(22)
Como [AT A]-1ATA = I, entonces la ecuación anterior permite calcular
fácilmente todos los incrementos en los coeficientes:
[∆a2i ]10 = [ A T A]−1 A T a
(23)
Para nuevamente determinar iterativamente los coeficientes con
a2i = a2i + ∆a2i
(24)
Para recalcular los errores funcionales según (18) para conformar el nuevo
vector a y determinar el error total al cuadrado. Si el error total es inferior a
0,015625 dioptrías se interrumpe el proceso iterativo para determinar los valores
finales de los coeficientes.
Todo el procedimiento anterior debe ser efectuado para cada radio trazado
en la imagen pixelada y al final calcular los coeficientes promedio según (7) y así,
especificar todos los coeficientes que componen la imagen para todo 0 ≤ θ < π
radianes, ejecutando los algoritmos del primero y segundo numeral para
determinar los ejes principales.
58
2.3.2 Correlación.
Como es usual para las regresiones con líneas curvas, se define el índice
de correlación cc como un numero adimensional entre cero y uno, para indicar la
bondad del ajuste. Así,
Np
cc = 1 −
∑ (k
h =1
h
− k a (rh )) 2
1  Np 
2
 ∑ kh 
k
−
∑
h
Np  h =1 
h =1
Np
(25)
2
reemplazando (15) en (25) para todos los pixeles con coordenadas ( j, k)
∑ (k
h =1
cc =
1−
675∑i =1 i (2i − 1) r 2i − 2 a2i ( j , k )
10
Np
h
−
10

 1 + 4  i r 2i −1a ( j , k ) 
∑
2i



 i =1


1  Np 
 ∑ kh 
k −
∑
Np  h =1 
h =1
Np
2




32
2
)2
(26)
2
h
Evitando discrepancias en los valores de los coeficientes a2i (j, k)
promediando para líneas radiales de trazo vecinas.
2.4
CONCLUSIONES.
Este trabajo permite crear software experto para el trazado de rayos en la
cámara anterior del ojo, calcular lentes intraoculares y lentes de contacto. Los
coeficientes obtenidos por la regresión
se pueden correlacionar con diversas
geometrías que tienen refracción perfecta central como elipsoides, hiperboloides y
óvalos cartesianos, lo cual será objeto de un futuro estudio.
59
Los mismos principios expuestos en este trabajo pueden ser usados para
modelar las interfases refractivas internas del globo ocular y para modelar
también la geometría del fondo del ojo que equivale a la retina cuando haya
instrumentos de medición de alta definición y resolución.
Para modelar matemáticamente córneas regulares descentradas se puede
ajustar el modelo, sin embargo, estas son bastantes escasas; son mas comunes
la corneas irregulares descentradas como normalmente sucede en los
keratoconos asociados a altas miopías. Este modelo no considera el astigmatismo
irregular con armonía, lo cual también será objeto de un próximo estudio.
En la keratomileusis-in situ las ablaciones del láser pueden ser
programadas para evaporar tejido estromal de la cornea con la ayuda de este
modelo.
60
Capítulo 3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE LA SUPERFICIE POSTERIOR
DE LA CORNEA HUMANA.
RESUMEN.
Para modelar matemáticamente el sistema ocular humano se presenta a
continuación un procedimiento para la regresión y correlación de una nube de N
puntos en R3 con coordenadas cartesianas xi, yi como abscisas, con su respectiva
ordenada que es función del espesor axial ej con relación a la superficie corneal
anterior conocida y obtenida también mediante técnicas de regresión, con
diversas superficies ópticas de revolución con sección axial parabólica, elíptica,
circular e hiperbólica. No se incluyen en este modelo los óvalos cartesianos con
refracción perfecta central. Las formulaciones presentadas en este documento se
usan para hacer un análisis de regresión y correlación de la superficie posterior de
la cornea humana combinando todas las geometrías ópticas de revolución
mencionadas con o sin refracción perfecta total, con la información suministrada
por algunos keratómetros y paquímetros computarizados. Se asume que los datos
están debidamente centrados, y el ápice esta preestablecido en el eje z.
Los resultados de este trabajo son de vital importancia para el trazado de
rayos en la cámara anterior del ojo humano, permitiendo calcular analíticamente
la geometría y la posición de lentes intraoculares para afaquia, corrigiendo las
cáusticas, para maximizar la agudeza visual, sin corregir el astigmatismo.
3.1
INTRODUCCIÓN.
Para la verificación de la calidad de una superficie posterior de la cornea
humana se usan modernos instrumentos como: Topógrafos y parquímetros
61
computarizados, micro y nanoscopios; que permiten generar una imagen
bidimensional con zonas de nivel o tridimensional con superficies de nivel que
caracterizan los espesores cornéales con relación a la superficie anterior. Algunos
de estos instrumentos generan los espesores en un sistema de coordenadas
cilíndricas (r, θ, e). A continuación se muestra un sistema equivalente que permite
calcular los parámetros de las geometrías que mejor se ajustan a la sección de la
superficie posterior de la cornea, para todas las posibles geometrías de revolución
de la superficie anterior. La Figura 7 muestra la imagen que resulta de la
medición de los espesores axiales cornéales con un sistema de coordenadas
(r, θ, e). Se observa la paquimetría mostrando las zonas con isoespesor19 corneal
axial indicadas con el mismo color.
Figura 7. Paquimetría topográfica computarizada que caracteriza la superficie posterior de la
corneal humana, con relación a la superficie anterior, para el ojo derecho de un paciente en
particular, generada por sistema Orbscan® comercializado por Bausch&lomb, que se usa para la
20
keratomileusis-in situ , el calculo de lentes intraoculares y lentes de contacto.
19
Zonas con puntos que tienen el mismo espesor.
20
Cirugía refractiva corneal mediante la ablación de tejido estromal esculpiendo la cornea con la
evaporación de tejido usando láseres pulsados Excimer ®.
62
Es importante considerar que si no se asume el modelo del ojo simplificado
de LeGrand’s, el índice de refracción21 relativo de la interfase óptica cornea-humor
acuoso es
nb =
nb* 1,3373
≈ 0,9716
≈
na* 1,3764
(1)
y aunque es cercano a la unidad es importante considerarlo en el trazado de
rayos perfecto en la cámara anterior de globo ocular. En la Figura 8 se detallan
esquemáticamente las diferentes estructuras anatómicas del ojo humano,
indicando
el
índice
de
refracción
para
las
interfases
consideradas.
Adicionalmente, este estudio permite comparar la validez y confiabilidad del
sistema simplificado.
Figura 8. Sección sagital del ojo humano mostrando varias estructura anatómicas del órgano.
Se muestra el sistema de coordenadas (r, Z) empleado en este trabajo.
21
Se debe recordar que el índice de refracción del aire es 1,000293 a 589 nm.
63
3.2
REGRESIÓN
CON
EL
MÉTODO
DE
LOS
MÍNIMOS
CUADRADOS CON ESPESORES TOPOGRÁFICOS AXIALES
ej.
Para hacer la regresión de la imagen topográfica de una nube con N
puntos22 de la forma (xj, yj, za(xj,yj) + ej) con respecto a la superficie conocida
za(xj,yj), se reduce el problema a R2 con
rj = x j − y j
2
2
(2)
así, la nube de N puntos toma la forma (rj, za(r) + ej) si los espesores topográficos
son axiales23, para efectuar la regresión por el método de los mínimos cuadrados
en R2 con un error total de la forma
N
(
Et = ∑ z a (rj ) + e j − zb (r j )
j =1
)
2
(3)
con espesor axial ej, donde la superficie de referencia za(rj) que corresponde a la
superficie anterior corneal, puede ser de sección:
•
Parabólica:
za =
•
r2
4 fa
(4)
Elíptica:
22
Algunos instrumentos tienen resolución de 10 µm en la medición del espesor en 25000 puntos.
Pentacam®.
23
También puede usarse el espesor mínimo para cada punto, en cuyo caso todos los sistemas de
ecuaciones presentados no son aplicables.
64
z a = Aa − Aa 1 −
r2
con semiejes Aa y Ba positivos.
Ba2
(5)
o si se asume refracción perfecta para visión lejana
za =
•
nc 
fa −
nc + 1 
f a2 −
nc + 1 2 
r
con
nc − 1 
f > 0 y nc = 1,376.
Esférica:
z a = Ra − Ra2 − r 2
•
(6)
(7)
Hiperbólica:
r2
z a = − Aa + Aa 1 + 2 con semiejes Aa y Ba positivos.
Ba
(8)
o si se asume refracción perfecta para visión cercana con rayos internos
paraxiales
za =
1 
− fa +
nc + 1 
f a2 +
nc + 1 2 
r
con f a > 0
nc − 1 
(9)
La geometría de la sección axial que puede caracterizar la superficie
posterior
de la cornea humana puede ser parabólica, elíptica, esférica,
hiperbólica u oval. A continuación se presentan los modelos de regresión y
correlación para cada una de ellas.
65
INTERFASE POSTERIOR
Refracción
INTERFASE ANTERIOR
corneal
Parabólica
Elíptica
Esférica
Hiperbólica
Oval
Parabólica
Elíptica
Perfecta
Perfecta
Esférica
Hiperbólica
Perfecta
Oval
Perfecta
Perfecta
Figura 9. Tabla: Combinaciones de superficies con refracción perfecta total. La casilla
indicada en verde luminoso puede ser perfecta como caso excepcional. Las combinaciones ovales
24
no se incluyen en este documento. Los casos imperfectos también serán estudiados.
3.2.1 Con Superficie Posterior de Sección Parabólica.
Para determinar la distancia focal fb de la parábola
zb = ec +
r2
4 fb
(10)
con espesor central ec = e(0), que mejor se ajusta a la nube de puntos.
Así, reemplazando (10) en (3)
N 
r j2 

Et = ∑  z a (rj ) + e j − ec −
4 f b 
j =1 
24
2
(11)
Para corregir la aberración “esférica clásica” equivalente a la aberración geométrica se deben
usar lentes intraoculares con geometría correctoras especiales, que serán objeto de estudios
posteriores.
66
Minimizando el error total con respecto al parámetro desconocido fb y
resolviendo para el mismo se obtiene la distancia focal fb que define la geometría
de la superficie posterior con sección axial parabólica en (10):
N
∑r
fb =
j =1
4
j
N
 N
4  ∑ (e j − ec )rj2 + ∑ z a (rj ) r j2
j =1
 j =1
(
)
(
(12)




)
3.2.1.1 Regresión.
A continuación se desarrolla el algoritmo de regresión parabólica para
todas las posibles geometrías de la sección de la superficie corneal anterior za.
•
Parabólica
Reemplazando (4) en (12) y simplificando
N
f a ∑ rj4
fb =
∑r
j =1
•
j =1
N
N
4
j
(13)
+ 4 f a ∑ (e j − ec ) r
j =1
2
j
Elíptica
Sin refracción perfecta
Reemplazando (5) en (12) y simplificando
N
Ba ∑ rj4
fb =
j =1
N

4  Ba ∑ ( Aa + e j − ec ) rj2
 j =1
(
67
)
N
(
− Aa ∑ rj2
j =1
)

Ba2 − r j2 

(14)
Con refracción perfecta
Reemplazando (6) en (12) y simplificando
N
∑r
j =1
fb =
N
(
4∑ (0,5791 f a + e j − ec ) r j2
j =1
•
)
4
j


f a2
− 0,9215∑  rj2
− r j2 


6,3191
j =1 

(15)
N
Esférica
Reemplazando (7) en (12) y simplificando
N
∑r
fb =
•
j =1
4
j
(
N
 N
4  ∑ ( Ra + e j − ec ) rj2 − ∑ r j2 Ra2 − rj2
j =1
 j =1
(
)
(16)
)




Hiperbólica
Sin refracción perfecta
Reemplazando (8) en (12) y simplificando
N
Ba ∑ r j4
fb =
j =1
(
N

4  Ba ∑ (e j − ec − Aa ) r j2 + Aa ∑ rj2 Ba2 + rj2
j =1
 j =1
N
(
)
Con refracción perfecta
Reemplazando (9) en (12) y simplificando
68
)




(17)
N
∑r
j =1
fb =
N
(
4∑ (e j − ec − 1,6835 f a ) r j2
j =1
)
4
j


f a2
+ 0,6697∑  r j2
+ rj2 


6,3191
j =1 

(18)
N
3.2.1.2 Correlación.
Para las regresiones con líneas curvas, se define el índice de correlación cc
como un numero adimensional entre cero y uno, para indicar la bondad del ajuste.
Así,
N
∑ (z
cc =
1−
j =1
j
− z ( rj )) 2
1 N 
z 2j −  ∑ z j 
∑
N  j =1 
j =1
N
(19)
2
con zj = ej + za como ordenada experimental y z(rj) = zb como ordenada de la
regresión:
2


 e j + z a ( rj ) zb (r j ) 
∑
j =1 

N
1
e j + z a ( rj ) 2 −  ∑ e j + z a (rj )
N  j =1
N
cc =
1−
∑(
N
j =1
)
(
(20)
)
2

A continuación se presenta el índice de correlación para todos los tipos de
sección de las superficies anteriores de la cornea:
•
Parabólica
Reemplazando (4) y (10) en (20) y simplificando
69
N
∑ (4 f
cc =
•
1−
j =1
f (e j − ec ) + ( f b − f a ) r 2j ) 2
a b
 N
f b2  ∑ 4 f a e j + r 2j
 j =1

(
)
2
−
1 
∑ 4 f a2 e j + rj2
N  j =1
N
(
)
2

(21)




Elíptica
Sin refracción perfecta
Reemplazando (5) y (10) en (20) y simplificando
2
2
 


 Ba  e j − ec + Aa − r j  − Aa Ba2 − r j2 
∑




4 fb 
j =1 


N
2
1
(e j + Aa ) Ba − Aa Ba2 − r j2 −  ∑ (e j + Aa ) Ba − Aa Ba2 − r j2
N  j =1
N
cc =
1−
∑(
N
j =1
)
(
)
2
(22)

Con refracción perfecta
Reemplazando (6) y (10) en (20) y simplificando
2



r2 
 1 − 1  e − e − j  + nc − 1 f − nc − 1 f 2 − r 2 
∑
j
c
a
a
j
2 



nc 
4 fb 
nc + 1
nc + 1
j =1 

2
2
N 



nc − 1
nc − 1 2
n
−
1
n
−
1
1
1
1
2
2
2 
c
c

1− 2 e j +
fa −
f a − rj  −
∑  1 − n 2 e j + n + 1 f a − n + 1 f a − rj  
nc
nc + 1
nc + 1
N  j =1 
c
c
c


N
cc =
1−
N

j =1

∑ 
(23)
con nc = 1,376
cc =
1−
2


r2
 0,6869  e j − ec − j
∑


4 fb
j =1 

N
∑ ( 0,6869 e
N
j =1
j
+ 0,3978 f a − 0,1583 f a2 − r j2


 + 0,3978 f a − 0,1583 f a2 − r j2 




2
1  N
−  ∑ 0,6869 e j + 0,3978 f a − 0,1583 f a2 − r j2
N  j =1
)
(
)
2

(24)
70
Se debe recordar, que aunque la primera superficie corneal tiene refracción
perfecta, la segunda superficie no presenta refracción perfecta.
•
Esférica
Reemplazando (7) y (10) en (20)
N
r j2
j =1
4 fb
∑ (e j + Ra − Ra2 − rj2 − ec −
cc =
1−
∑(e
N
j =1
•
j
+ Ra − Ra2 − r j2
)
)2
(
1 N
2
−  ∑ e j + Ra − Ra2 − r j2
N  j =1
)




(25)
2
Hiperbólica
Sin refracción perfecta
Reemplazando (8) y (10) en (20) y simplificando
2
 

r j2 


 + Aa Ba2 + rj2 
−
−
−
B
e
e
A
∑
a  j
c
a


4 f b 
j =1 


N
2

1
(e j − Aa ) Ba + Aa Ba2 + rj2 −  ∑ (e j − Aa ) Ba + Aa Ba2 + r j2
N  j =1
N
cc =
1−
∑(
N
j =1
)
(
Con refracción perfecta
Reemplazando (9) y (10) en (20) y simplificando
71
)




2
(26)
 2

r j2 



n
−
1
e
−
e
−
∑
 j c 4f −
 c
j =1 
b 

2

n −1
n −1 2
1
nc2 − 1 e j − c
fa + c
f a + r j2  −
nc + 1
nc + 1
N

N
cc =
1−


∑

j =1 
N

nc − 1
n −1 2
fa + c
f a + rj2 

nc + 1
nc + 1

2
 N  2

 ∑  nc − 1 e j − nc − 1 f a + nc − 1 f a2 + r j2  

 j =1 
nc + 1
nc + 1

 
2
(27)
con nc = 1,376
2



r2 
 0,9452  e j − ec − j  − 0,3978 f a + 0,1583 f a2 + rj2 
∑



4 f b 
j =1 


N
2
1
0,9452 e j − 0,3978 f a + 0,1583 f a2 + rj2 −  ∑ 0,9452 e j − 0,3978 f a + 0,1583 f a2 + rj2
N  j =1
N
cc =
1−
∑(
N
j =1
)
(
)




2
(28)
Igualmente se debe recordar, que aunque la primera superficie corneal
tiene refracción perfecta, la segunda superficie no presenta refracción perfecta.
3.2.2 Con Superficie Posterior de Sección Elíptica.
Donde la superficie posterior zb(r) tiene sección elíptica:
zb = ec + Ab − Ab 1 −
r2
con semiejes Ab y Bb positivos.
Bb2
(29)
para determinar las constantes Ab y Bb.
O si se asume refracción perfecta con rayos paraxiales en la cámara
anterior del ojo, se determina la distancia focal fb de la elipse con relación a su
ápice:
zb = ec +
1 
f −
nb + 1  b
f b2 −
nb + 1 2 
r
con
1 − nb 
72
f b > 0 y nb = 0,9716
(30)
con espesor central ec = e(0), que mejor se ajusta a la nube de puntos. El punto
focal absoluto será ec + fb.
Así, reemplazando (29) y (30) en (3) respectivamente

rj2 

Et = ∑ za (rj ) + e j − ec − Ab + Ab 1 − 2

Bb 
j =1


2
N
(31)
o si se asume refracción perfecta

1 
Et = ∑  z a (r j ) + e j − ec −
fb −

nb + 1 
j =1 
N
n + 1 2  
f − b
rj 

1 − nb

2
2
b
(32)
Y minimizando el error total con respecto a los parámetros Ab y Bb en (31) y
el parámetro desconocido fb en (32) y resolviendo para dichos parámetros se
define la geometría de la superficie posterior con sección axial elíptica sin o con
refracción perfecta.
N
dEt
=0⇒ ∑
dAb
j =1
(
Bb2 − rj2 − Bb
2
N
rj
dEt
= 0⇒ ∑
dBb
Bb2 − r j2
j =1
) ( ( z (r ) − A − e + e ) B + A
a
j
b
c
j
b
( ( z (r ) − A − e + e ) B + A
a
j
b
c
j
b
b
b
)
Bb2 − rj2 = 0
)
Bb2 − r j2 = 0
para construir un sistema de 2 ecuaciones con incógnitas Ab y Bb.
Y si se asume refracción perfecta
73
(33)
(34)
N 
1 − nb f b
dEt
= 0 ⇒ ∑ 1 −

df b
(1 − nb ) f b2 − ( nb + 1)r j2
j =1






 z (r ) − e + e −
c
j
 a j

1 − nb f b − (1 − nb ) f b2 − ( nb + 1) rj2 
=0

1 − nb (nb + 1)

(35)
3.2.2.1 Regresión.
A continuación se presentan las funciones de regresión elíptica para todas
las posibles geometrías de la superficie corneal anterior za:
•
Parabólica
Reemplazando (4) en (33) y (34)
∑(
N
j =1
N
∑
j =1
)
  r2


Bb2 − rj2 − Bb   j − Ab − ec + e j  Bb + Ab Bb2 − r j2  = 0
  4 fa




rj2
Bb2 − rj2





 rj2

2
2 


A
−
e
+
e
B
+
A
B
−
r
=0
−
b
c
j b
b
b
j
 4f

a



(36)
(37)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
•
Elíptica
Para las cuatro combinaciones posibles de refracción en las interfases
elípticas: Imperfecta-imperfecta, imperfecta-perfecta, perfecta-imperfecta y
perfecta-perfecta25.
25
Con superficies anterior y posterior con refracción perfecta central. Este caso es el de mayor
interés, ya que se adapta idealmente al modelo del ojo emétrope ideal para visión lejana y rayos
paraxiales en el humor acuoso.
74
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (5) en (33) y (34) y simplificando
∑(
N
j =1
Bb2 − r j2 − Bb
rj2
N
∑
Bb2 − r j2
j =1
) ( ( B (A − A − e + e ) − A
a
a
b
c
j
( ( B (A − A − e + e ) − A
a
a
b
c
j
a
a
)
)
Ba2 − rj2 Bb + Ab Ba Bb2 − rj2 = 0
(38)
)
(39)
)
Ba2 − rj2 Bb + Ab Ba Bb2 − r j2 = 0
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos. Si
Ab ≈ Bb la regresión es esférica, por lo tanto no se incluye como análisis
independiente.
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (5) en (35) y simplificando
N

∑  1 −
j =1

(

 B ( A − e + e − 0,5072( f −
a
a
c
j
b
f − 69,4225 r 
fb
2
b
2
j
)
f b2 − 69,4225r j2 )) − Aa Ba2 − rj2 = 0
(40)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (6) en (33) y (34) y simplificando
∑(
N
j =1
Bb2 − rj2 − Bb
) ( ( 0,5791 ( f
a
−
)
)
f a2 − 6,3191 rj2 ) − Ab − ec + e j Bb + Ab Bb2 − r j2 = 0
75
(41)
N
rj2
j =1
B −r
∑
2
b
2
j
( ( 0,5791 ( f
a
−
)
)
f a2 − 6,3191 rj2 ) − Ab − ec + e j Bb + Ab Bb2 − rj2 = 0
(42)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (6) en (35)
N

j =1

∑ 1 −


f b2 − 69,4225 r j2 
fb

 0,5791 ( f a −

f a2 − 6,3191 r j2 ) − ec + e j
0,5072( f b −

f b2 − 69,4225 rj2 )  = 0

(43)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos. Sin embargo
una solución inicial aproximada puede ser obtenida con la suposición de que
ambos focos deben coincidir absolutamente
f b = f a − ec
(44)
y si la solución inicial satisface (24) se asegura que el sistema óptico de la cámara
anterior es emétrope para visión lejana con refracción total perfecta con rayos
paraxiales en el humor acuoso, así, el sistema óptico aire-cornea-humor acuoso
es telescópico con un factor de contracción Ω = 1 ‒ ec / fa. En la Figura 10 se observa
un lente bielíptico para facilitar la compresión de este caso.
76
Figura 10. Lente bielíptico convexo cóncavo. Con n = 1,5, fa = 60, fb = 55, ed = 6,7906, ec = 5, Ω =
11/12 y d = 40.
Es importante recordar que si no se satisface (43) y (44) el sistema óptico
de la cámara anterior no posee refacción perfecta central.
•
Esférica
Sin refracción perfecta posterior
Reemplazando (7) en (34) y (35)
∑(
N
j =1
Bb2 − rj2 − Bb
N
rj2
j =1
B −r
∑
2
b
2
j
) ( (R −
( (R −
a
a
)
Ra2 − r j2 − Ab − ec + e j ) Bb + Ab Bb2 − rj2 = 0
)
Ra2 − r j2 − Ab − ec + e j ) Bb + Ab Bb2 − rj2 = 0
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Con refracción perfecta posterior
Reemplazando (7) en (35) y simplificando
77
(45)
(46)

1 −
∑

j =1

N


f b2 − 69,4225 rj2 
fb

 Ra − Ra2 − r j2 − ec + e j

0,5072( f b −

f b2 − 69,4225rj2 )  = 0

(47)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
•
Hiperbólica
Para las cuatro combinaciones posibles de refracción en las interfases
hiperbólico-elípticas,
sin
refracción
perfecta
total26:
Imperfecta-imperfecta,
imperfecta-perfecta, perfecta-imperfecta y perfecta-perfecta.
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (8) en (33) y (34) y simplificando
∑(
N
j =1
N
∑
j =1
Bb2 − rj2 − Bb
r j2
Bb2 − rj2
) ( ( B (− A − A − e + e ) + A
a
a
b
c
j
( ( B (− A − A − e + e ) + A
a
a
b
c
j
a
a
)
)
Ba2 + rj2 Bb + Ab Ba Bb2 − rj2 = 0
)
)
Ba2 + rj2 Bb + Ab Ba Bb2 − r j2 = 0
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (8) en (35) y simplificando
26
Es imposible obtener refracción perfecta central con un lente hiperbólico-elíptico.
78
(48)
(49)

1 −
∑

j =1

N


f b2 − 69,4225 r j2 
fb

 Ba ( − Aa − ec + e j

0,5072( f b −

f b2 − 69,4225r j2 )) + Aa Ba2 + rj2  = 0

(50)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (9) en (33) y (34) y simplificando
∑(
N
Bb2 − r j2 − Bb
j =1
N
rj2
j =1
B −r
∑
2
b
2
j
) ( ( 0,4209(− f
( ( 0,4209(− f
a
+
a
+
)
)
f a2 + 6,3191 rj2 ) − Ab − ec + e j Bb + Ab Bb2 − rj2 = 0
)
)
f a2 + 6,3191 rj2 ) − Ab − ec + e j Bb + Ab Bb2 − rj2 = 0
(51)
(52)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (6) en (35)
N

j =1

∑ 1 −


f b2 − 69,4225 r j2 
fb

 0,5791( f a −

f a2 − 6,3191 r j2 ) ec + e j − 0,5072( f b −

f b2 − 69,4225 rj2 )  = 0

(53)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
3.2.2.2 Correlación.
A continuación se presenta el índice de correlación para todos los tipos de
superficies anteriores de la cornea, para la interfase posterior elíptica:
79
•
Parabólica
Sin refracción perfecta posterior
Reemplazando (4) y (29) en (20) y simplificando




 4 f a  Bb (e j − ec Ab ) + Ab Bb2 − rj2  + Bb r j2 
∑


j =1



1− 
2
N
 N



1
Bb2  ∑ (4 f a e j + rj2 ) 2 −  ∑ 4 f a e j + r j2  
 j =1

N  j =1
 

N
cc =
(
2
(54)
)
Con refracción perfecta posterior
Reemplazando (4) y (30) en (20) y simplificando


 4 f a (e j − ec ) − 2,0288 f a ( f b
f b2 − 69,4225 rj2 ) + r j2 
∑
j =1

1− 
2
N
N

1
( 4 f a e j + rj2 ) 2 −  ∑ 4 f a e j + r j2 
∑
N  j =1
j =1

N
cc =
•
(
2
)
Elíptica
Para las cuatro combinaciones de superficies se presenta el índice de
correlación:
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (5) y (29) en (20) y simplificando
80
(55)
2
 


 Ba  Bb (e j + Aa ec − Ab ) + Ab Bb2 − rj2  − Aa Bb Ba2 − rj2 
∑


j =1 



1−
2
 N 
N

1
Bb2  ∑  Ba (e j + Aa ) Aa Ba2 − rj2  −  ∑ Ba (e j + Aa ) − Aa Ba2 − rj2
 j =1 
N

 j =1

N
cc =
(56)
(
)
2





Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (5) y (30) en (20) y simplificando
 
 Ba  Aa + e j ec − 0,5072 ( f b −
∑

j =1 

N
cc =
1−
N

j =1

∑  B (e

a
j
+ Aa ) Aa

f b2 − 69,4225 rj2 )  − Aa Ba2 − rj2

2
N

1
Ba2 − rj2  −  ∑ Ba (e j + Aa ) − Aa Ba2 − rj2
 N  j =1
(
2




2




(57)
)
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (6) y (29) en (20) y simplificando

 Bb ( Ab − ec + e j + 0,5791 ( f a −
∑
j =1 
N
cc =
1−
 N 
B  ∑  e j + 0,5791 ( f a
 j =1 

2
b
f − 6,3191 r ) ) + Ab
2
a
2
2
j

1 N 
f − 6,3191 r )  −  ∑  e j + 0,5791 ( f a
N  j =1 

2
a
2
j

B − r 

2
b
2
2
j

f − 6,3191 r )  

2
a
2
2
j




(58)
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (6) y (30) en (20) y simplificando
2


 0,5791 ( f a − f a2 − 6,3191 r j2 ) ec + e j − 0,5072 ( f b − f b2 − 69,4225 r j2 ) 
∑
j =1 

1−
2
2
N
N





1
2
2
2
2 






e
+
0
,
5791
(
f
f
−
6
,
3191
r
)
−
e
+
0
,
5791
(
f
f
−
6
,
3191
r
)
∑
a
a
j
a
a
j 
 j
 N ∑ j
j =1 


 j =1 
N
81
(59)
•
Esférica
Sin refracción perfecta posterior
Reemplazando (7) y (29) en (20)
2


 Bb ( Ra − Ra2 − rj2 − ec + e j Ab ) + Ab Bb2 − r j2 
∑
j =1 

1−
2
2
N
 N 
 
1  
2
2
2 
2
2 
Bb ∑  e j + Ra
Ra − r j  −  ∑  e j + Ra
Ra − rj  
 j =1 
N  j =1 

  

N
cc =
(60)
Con refracción perfecta posterior
Reemplazando (7) y (30) en (20)

 Ra
Ra2 − r j2 − ec + e j − 0,5072 ( f b + f b2 − 69,4225 r j2 )
∑
j =1
1− 
2
2
N


1  N 
2
2 
2
2 





Ra − r j  −  ∑  e j + Ra
Ra − r j  
∑
 e j + Ra
j =1 
 N  j =1 

N
cc =
•



2
Hiperbólica
Para las cuatro combinaciones de superficies se presenta el índice de
correlación:
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (8) y (29) en (20) y simplificando
82
(61)
 
 Bb  Ba (e j − ec
∑

j =1 

N
cc =
1−
 N 
Bb2  ∑  Ba (e j
 j =1 



Aa − Ab ) + Aa Ba2 + rj2  + Ab Ba Bb2 − r j2 


2

1 
Aa ) + Aa Ba2 + rj2  −  ∑  Ba (e j
 N  j =1 
N
2

Aa ) + Aa Ba2 + r j2  

2




(62)
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (8) y (30) en (20) y simplificando
 
 Ba  e j − ec
∑
 
j =1 

N
cc =
1−
N

j =1

∑  B (e

a
j
Aa ) + Aa
2


f − 69,4225 r   + Aa Ba2 + rj2 



2
2
N




1
Ba2 + rj2  −  ∑  Ba (e j Aa ) + Aa Ba2 + r j2  
N  j =1 



Aa − 0,5072  f b

2
b
2
j
(63)
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (9) y (29) en (20) y simplificando
 
 Bb  0,4209 
∑

 
j =1 


N
cc =
1−
 N 

Bb2  ∑  e j + 0,4209 
 j =1

 
fa +


f a2 + 6,3191 r j2  − ec + e j − Ab  + Ab Bb2 − r j2


2
fa +


1 N
f a2 + 6,3191 r j2   −  ∑ e j + 0,4209 
N


 j =1
fa +




2

f a2 + 6,3191 rj2  

(64)
2




Perfecta-Perfecta
Reemplazando (9) y (30) en (20) y simplificando
2




 
 0,4209  f a + f a2 + 6,3191 rj2  − ec + e j − 0,5072  f b
f b2 − 69,4225 rj2  
∑

j =1 



 
1−
2
2
N 
N




1 
2
2 
2
2 







e
+
0
,
4209
f
+
f
+
6
,
3191
r
−
e
+
0
,
4209
f
f
+
6
,
3191
r
+
∑
∑ j
a
j 
a
j 
 a
 a
 j
N  j =1
j =1 




N
cc =
83
(65)
3.2.3
Con Superficie Posterior de Sección Hiperbólica.
Donde la superficie posterior zb(r) tiene sección hiperbólica:
zb = ec − Ab + Ab 1 +
r2
, con semiejes Ab y Bb positivos.
Bb2
(66)
para determinar las constantes Ab y Bb.
O si se asume refracción perfecta con rayos paraxiales intracornéales, se
determina la distancia focal fb de la hipérbola con relación a su ápice:
zb = ec +
nb 
−f +
nb + 1  b
f b2 −
nb + 1 2 
r
con f b < 0 y nb = 0,9716
nb − 1 
(67)
con espesor central ec = e(0) y foco fb virtual, que mejor se ajusta a la nube de
puntos. El punto focal absoluto será ec + fb.
Así, reemplazando (66) y (67) en (3) respectivamente

rj2 

Et = ∑ z a ( rj ) + e j − ec + Ab − Ab 1 + 2

Bb 
j =1


2
N
(68)
o si se asume refracción perfecta

n 
Et = ∑  z a (rj ) + e j − ec − b  − f b +

nb + 1 
j =1 
N
84
n + 1 2 
f − b
r
nb − 1 j 
2
b




2
(69)
Y minimizando el error total con respecto a los parámetros Ab y Bb en (68) y
el parámetro desconocido fb en (69) y resolviendo para dichos parámetros se
define la geometría de la superficie posterior con sección axial elíptica sin o con
refracción perfecta.
N
dEt
=0⇒ ∑
dAb
j =1
(
Bb2 + rj2 − Bb
2
N
rj
dEt
= 0⇒ ∑
dBb
Bb2 + rj2
j =1
) ( ( z (r ) + A − e + e ) B − A
a
j
b
c
j
b
( ( z (r ) + A − e + e ) B − A
a
j
b
c
j
b
b
b
)
Bb2 + rj2 = 0
)
Bb2 + rj2 = 0
(70)
(71)
para construir un sistema de 2 ecuaciones con incógnitas Ab y Bb.
Y si se asume refracción perfecta
N 
nb − 1 f b
dEt
= 0 ⇒ ∑ 1 −

df b
( nb − 1) f b2 − (nb + 1) r j2
j =1





2
2 

 z ( r ) − e + e − nb ( nb − 1 f b − ( nb − 1) f b − ( nb + 1)r j )  = 0
c
j
 a j

nb − 1 ( nb + 1)


(72)
3.2.3.1 Regresión.
A continuación se presentan las funciones de regresión hiperbólica para
todas las posibles geometrías de la superficie corneal anterior za:
•
Parabólica
Reemplazando (4) en (70) y (71)
∑(
N
j =1
)
  r j2


Bb2 + rj2 − Bb  
+ Ab − ec + e j  Bb − Ab Bb2 + rj2  = 0
 4 fa




85
(73)




r j2
N
∑
Bb2 + rj2
j =1

 r j2


 Bb − Ab Bb2 + r j2  = 0
A
−
e
+
e
+
b
c
j
 4f


a



(74)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
•
Elíptica
Para las cuatro combinaciones posibles de refracción en las interfases
elípticas:
Imperfecta-imperfecta,
perfecta-perfecta.
imperfecta-perfecta,
perfecta-imperfecta
y
27
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (5) en (70) y (71) y simplificando
∑(
N
j =1
Bb2 + rj2 − Bb
N
rj2
j =1
B −r
∑
2
b
2
j
) ( ( B (A + A − e + e ) − A
a
a
b
c
j
( ( B (A + A − e + e ) − A
a
a
b
c
j
a
a
)
)
Ba2 − rj2 Bb − Ab Ba Bb2 + rj2 = 0
(75)
)
(76)
)
Ba2 − rj2 Bb − Ab Ba Bb2 + rj2 = 0
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (5) en (72) y simplificando
27
Con superficies anterior y posterior con refracción perfecta central. Este caso no es de mucho
interés, ya que aunque ambas superficies tienen refracción perfecta, la combinación no genera
refracción total perfecta, ya que los rayos intracorneales no son paraxiles.
86
N

j =1

( (

 B A − e + e − 0,4928( f −
a
a
c
j
b
f b2 + 69,4225 rj2 
∑ 1 −
fb
)
)
f b2 + 69,4225 rj2 ) − Aa Ba2 − rj2 = 0
(77)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (6) en (70) y (71) y simplificando
∑(
N
Bb2 + r j2 − Bb
j =1
rj2
N
∑
Bb2 + rj2
j =1
) ( ( 0,5791 ( f
( ( 0,5791 ( f
a
−
a
−
)
)
f a2 − 6,3191 r j2 ) + Ab − ec + e j Bb − Ab Bb2 + rj2 = 0
)
)
f a2 − 6,3191 rj2 ) + Ab − ec + e j Bb − Ab Bb2 + rj2 = 0
(78)
(79)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (6) en (72)
N

j =1

∑ 1 −


2
2 
f b + 69,4225 r j 
fb

 0,5791 ( f a −

f a2 − 6,3191 r j2 ) − ec + e j
0,4928( f b −

f b2 + 69,4225 r j2 )  = 0

(80)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
•
Esférica
Sin refracción perfecta
87
Reemplazando (7) en (70) y (71)
∑(
N
j =1
Bb2 + rj2 − Bb
rj2
N
∑
Bb2 + rj2
j =1
) ( (R −
( (R −
a
a
)
Ra2 − rj2 + Ab − ec + e j ) Bb − Ab Bb2 + r j2 = 0
)
Ra2 − rj2 + Ab − ec + e j ) Bb − Ab Bb2 + r j2 = 0
(81)
(82)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Con refracción perfecta
Reemplazando (7) en (72) y simplificando
N

j =1

∑ 1 −


2
2 
f b + 69,4225 rj 
fb

 Ra − Ra2 − r j2 − ec + e j

0,4928( f b −

f b2 + 69,4225r j2 )  = 0

(83)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
•
Hiperbólica
Para las cuatro combinaciones posibles de refracción en las interfases
hiperbólico-hiperbólicas: Imperfecta-imperfecta, imperfecta-perfecta, perfectaimperfecta, perfecta-perfecta28.
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (8) en (70) y (71) y simplificando
28
Caso de mayor interés, cuyos rayos viajan paraxialmente en el interior de la cornea. Se ajusta a
un modelo ideal para visión cercana.
88
∑(
N
Bb2 + r j2 − Bb
j =1
N
rj2
j =1
B +r
∑
2
b
2
j
) ( ( B (− A + A − e + e ) + A
a
a
b
c
j
( ( B (− A + A − e + e ) + A
a
a
b
c
j
a
a
)
)
Ba2 + r j2 Bb − Ab Ba Bb2 + r j2 = 0
)
)
Ba2 + rj2 Bb − Ab Ba Bb2 + rj2 = 0
(84)
(85)
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (8) en (72) y simplificando
N

j =1

∑ 1 −


2
2 
f b + 69,4225 rj 
fb

 Ba (− Aa − ec + e j

0,4928( f b −

f b2 + 69,4225r j2 )) + Aa Ba2 + r j2  = 0

(86)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (9) en (70) y (71) y simplificando
∑(
N
j =1
Bb2 + r j2 − Bb
N
rj2
j =1
B +r
∑
2
b
2
j
) ( ( 0,4209(− f
( ( 0,4209(− f
a
+
a
+
)
)
f a2 + 6,3191 r j2 ) + Ab − ec + e j Bb − Ab Bb2 + rj2 = 0
)
)
f a2 + 6,3191 r j2 ) + Ab − ec + e j Bb − Ab Bb2 + r j2 = 0
donde la solución para Ab y Bb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Perfecta-Perfecta
89
(87)
(88)
Reemplazando (6) en (72)
N

j =1

∑ 1 −


f b2 + 69,4225 rj2 
fb

 0,5791( f a −

f a2 + 6,3191 rj2 ) ec + e j − 0,4928( f b −

f b2 + 69,4225 r j2 )  = 0

(89)
donde la solución para fb debe ser obtenida por métodos numéricos.
Como la cornea humana equivale generalmente a un lente con diseño
geométrico negativo29, es decir, el espesor central es generalmente el mínimo
espesor, se efectúa un desplazamiento focal l hacia el ojo con l = f a + ec − f b .
Es importante resaltar que con este modelo bastante común en los ojos
con miopía corneal el efecto de stop generado por la pupila bloqueando todos los
rayos periféricos de la cáustica emergente con la consecuente reducción de luz, lo
cual genera una dilatación pupilar mayor, como mecanismo de compensación.
Como nota curiosa la miopía corneal de alto valor negativo, con origen genético,
se presenta en muchas poblaciones, como en Japón, donde el promedio
refractivo se desplazo como consecuencia de la segunda guerra mundial, ya que
la mayoría de soldados muertos en batalla eran emétropes. Esto generó la
necesidad de efectuar trabajos para la visión cercana muy comunes en el
ensamble de componentes miniatura en la industria electrónica y de relojería.
Para facilitar la regresión por métodos numéricos es conveniente usar
como valor inicial para fb como solución aproximada:
f b = f a + ec
29
(90)
Algunas keratomileusis producen corneas con diseño geométrico positivo, bastante comunes en
la corrección de hipermetropía de alto valor refractivo.
90
para ir disminuyendo el valor de fb hasta obtener el mínimo error total. En la
Figura 11 se observa un lente bihiperbólico para facilitar la compresión de este
caso.
Figura 11. Lente bihiperbólico convexo-cóncavo. Con n = 1,5, l = 23, fa = 40, fb = 20, ec = 3, ed =
5,9 y d = 32.
Realmente en la cámara anterior del ojo la cáustica emergente no es tan
abierta como la que se muestra en el lente de la Figura 11, ya que el índice de
refracción relativo de la segunda interfase es muy cercano a la unidad.
3.2.3.2 Correlación.
A continuación se presenta el índice de correlación cc para todos los tipos
de superficies anteriores de la cornea, para la interfase posterior hiperbólica:
•
Parabólica
91
Sin refracción perfecta
Reemplazando (4) y (10) en (20) y simplificando




 4 f a  Bb ( Ab + e j ec ) − Ab Bb2 + rj2  + Bb r j2 
∑


j =1



1− 
2
 N
 
1 N
Bb2  ∑ (4 f a e j + r j2 ) 2 −  ∑ 4 f a e j + rj2  
 j =1

N  j =1
 

N
cc =
(
2
(91)
)
Con refracción perfecta
Reemplazando (4) y (11) en (20) y simplificando


 4 f a (e j − ec ) − 1,9712 f a ( f b
f b2 + 69,4225 rj2 ) + r j2 
∑
j =1

1− 
2
N
N


1
(4 f a e j + r j2 ) 2 −  ∑ 4 f a e j + rj2 
∑
N
j =1
 j =1

N
cc =
•
(
2
(92)
)
Elíptica
Para las cuatro combinaciones de superficies se presenta el índice de
correlación:
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (5) y (10) en (20) y simplificando
 
 Ba  Bb ( Aa − Ab + e j
∑

j =1 

N
cc =
1−


ec ) + Ab Bb2 + rj2  − Aa Bb Ba2 − r j2 


(
2
2
 N 

1 N
Bb2  ∑  Ba ( Aa + e j ) Aa Ba2 − r j2  −  ∑ Ba ( Aa + e j ) − Aa Ba2 − rj2
 j =1 
N  j =1


92
)

2




(93)
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (5) y (11) en (20) y simplificando
cc =
1−
2
 
 Ba  Aa + e j ec − 0,4928( fb −
∑

j =1 

N

 Ba ( Aa + e j ) Aa
∑
j =1 
N


fb2 + 69,4225 rj2 )  − Aa Ba2 − rj2 


2
2
N

1
2
2 
2
2
Ba − rj  −  ∑ Ba ( Aa + e j ) − Aa Ba − rj 
N  j =1


(
)
(94)
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (6) y (10) en (20) y simplificando

 Bb ( Ab
∑
j =1 
N
cc =
1−
 N 
Bb2  ∑  e j + 0,5791 ( f a
 j =1 

2

f a2 − 6,3191 r j2 )) − Ab Bb2 + r j2 

2
2

 
1 N 
f a2 − 6,3191 rj2 )  −  ∑  e j + 0,5791 ( f a
f a2 − 6,3191 r j2 )   
N  j =1 

  
ec + e j + 0,5791 ( f a −
(95)
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (6) y (11) en (20) y simplificando
2


 0,5791 ( f a − f a2 − 6,3191 rj2 ) ec + e j − 0,4928 ( f b − f b2 + 69,4225 rj2 ) 
∑
j =1 

1−
2
2
N
N


1 
2
2 
2
2 


 e j + 0,5791 ( f a
f a − 6,3191 rj )  −  ∑  e j + 0,5791 ( f a
f a − 6,3191 rj )  
∑
j =1 
 N  j =1 

N
cc =
•
Esférica
Sin refracción perfecta
93
(96)
Reemplazando (7) y (10) en (20)
cc =
1−
2

 Bb ( Ra − Ra2 − rj2
∑
j =1 
N
 N 
Bb2  ∑  e j + Ra
 j =1 


ec + e j + Ab ) − Ab Bb2 + rj2 

2
2
N
 
1  
2
2 
2
2 

Ra − r j  −  ∑  e j + Ra
Ra − r j  
N  j =1 

  
(97)
Con refracción perfecta
Reemplazando (7) y (11) en (20)

 Ra
Ra2 − rj2 − ec + e j − 0,4928 (− f b + f b2 + 69,4225 rj2 )
∑
j =1
1− 
2
2
N


1 N 
2
2 
2
2 
 e j + Ra
Ra − rj  −  ∑  e j + Ra
Ra − r j  
∑
N  j =1 
j =1 


N
cc =
•



2
(98)
Hiperbólica
Para las cuatro combinaciones de superficies se presenta el índice de
correlación:
Imperfecta-Imperfecta
Reemplazando (8) y (10) en (20) y simplificando
 
 Bb  Ba (e j − ec
∑

j =1 

N
cc =
1−
 N 
Bb2  ∑  Ba (e j
 j =1 

Aa + Ab ) + Aa
2


B + r  − Ab Ba Bb2 + r j2 


2
a

1 
Aa ) + Aa Ba2 + rj2  −  ∑  Ba (e j
 N  j =1 
94
N
2
2
j

Aa ) + Aa Ba2 + rj2  

2




(99)
Imperfecta-Perfecta
Reemplazando (8) y (11) en (20) y simplificando
 
 Ba  e j − ec
∑

j =1 

N
cc =
1−

 Ba (e j
∑
j =1 
N
(
Aa ) + Aa
)
2


f b2 + 69,4225 rj2  + Aa Ba2 + rj2 


2
2
N

1  
2
2 
2
2 
Ba + rj  −  ∑  Ba (e j Aa ) + Aa Ba + r j  

 N  j =1 
Aa − 0,4928 − f b +
(100)
Perfecta-Imperfecta
Reemplazando (9) y (10) en (20) y simplificando
 
 Bb  0,4209 
∑

 
j =1 


N
cc =
1−
 N 

Bb2  ∑  e j + 0,4209 
 j =1

 
fa +


f a2 + 6,3191 rj2  − ec + e j + Ab  − Ab Bb2 + rj2


2
fa +


1 N
f a2 + 6,3191 rj2   −  ∑ e j + 0,4209 
N  j =1


fa +




2

f a2 + 6,3191 r j2  

2




(101)
Perfecta-Perfecta
Reemplazando (9) y (11) en (20) y simplificando
cc =
1−
N


j =1


∑  0,4209 

N

∑  e
j =1

j

+ 0,4209 

2

 

f a2 + 6,3191 rj2  − ec + e j − 0,4928  f b + f b2 + 69,4225 rj2  


 
2
2
N



1
2
2 
2
2 






f a + f a + 6,3191 rj   −  ∑ e j + 0,4209  f a + f a + 6,3191 rj  
N  j =1



fa +
95
(102)
3.3
CONCLUSIÓN.
El modelo matemático presentado permite caracterizar la geometría de la
superficie cónica de revolución que mejor se ajusta a la geometría de la superficie
posterior de la cornea humana, permitiendo diseñar con mas precisión y exactitud
la geometría de lentes intraoculares que serán objeto de un próximo estudio. El
modelo también permite establecer la precisión y exactitud del modelo
simplificado, comparando el trazado de rayos en la cámara anterior del ojo
humano. La regresión usando los óvalos cartesianos será también objeto de un
próximo capitulo.
96
Capítulo 4
TRIGONOMETRÍA ELÍPTICA PARA SU USO EN INGENIERÍA
RESUMEN.
Se presenta a continuación la creación de funciones trigonométricas
especiales, con base en la geometría elíptica en coordenadas cartesianas y
polares, que permiten describir una torsión del plano polar, para caracterizar el
astigmatismo oblicuo, bastante común en óptica para modelar matemáticamente
la cornea humana, también para caracterizar señales físicas con muchas
aplicaciones en la industria electrónica y para modelar distribuciones de
probabilidad finitas.
4.1
INTRODUCCIÓN.
Considerando una torsión del plano polar se necesitan crear unas
funciones especiales que sean equivalentes a las funciones trigonométricas
circulares e hiperbólicas que surgen de los triángulos rectángulos formados por el
origen de coordenadas, los diferentes puntos de un círculo e hipérbola unitaria y
los puntos de las respectivas proyecciones normales a los ejes principales, que en
forma canónica corresponden al eje x y y. De este concepto se aclara que las
funciones trigonométricas circulares surgen de
x2 + y2 = 1
97
(1)
para crear las funciones trigonométricas de la misma manera que Thomas Fincke
en 158330 creo la trigonometría con la notación moderna que se usa
canónicamente, que fue refinada por William Oughtred en 1632 con:
y
, sec α =
x
x
cos α = x, cot α = , csc α =
y
sin α = y, tan α =
1
,
x
1
.
y
(2)
Las anteriores funciones trigonométricas circulares31 permiten describir
fácilmente la naturaleza cíclica de orden 4 que surge de la rotación del radio
unitario cuando se conmuta de cuadrante. Estas funciones describen la
naturaleza del tiempo real si el ángulo es t, de la misma manera en que funciona
un reloj.
La trigonometría hiperbólica fue creada por Vincenzo Riccati (1707-1775),
pero la notación moderna fue impulsada por Johann Heinrich Lambert en 176832
para describir el comportamiento equivalente de las funciones trigonométricas
circulares cuando los ángulos o el tiempo son imaginarios.
La geometría de las hipérbolas canónicas unitarias corresponden a:
m x2 ± y 2 = 1
con las respectivas funciones trigonométricas hiperbólicas:
30
Book 14: Geometria rotundi. El uso de las abreviaturas para las funciones trigonometricas
proviene de Fincke.
31
Muy diferentes de las funciones trigonométricas esféricas que surgen de los triángulos
rectángulos sobre la superficie de una esfera.
32
Histoire de l´académie Royele des sciences et des belles-letres de Berlin, vol. XXIV, pag 327.
98
(3)
tan iα y
1
= ,
sech α = sec iα = ,
i
x
x
cot iα x
csc iα 1
cosh α = cos iα = x, coth α = −
= , csch α = −
= .
i
y
i
y
sinh α =
sin iα
= y,
i
tanh α =
(4)
Posteriormente, Leonhard Euler (1707-1783) descubrió la representación
exponencial para ángulos reales e imaginarios, gracias a las representaciones en
series de potencias descubiertas por James Gregory en 1664:
e ± iα = cos α ± i sin α
(5)
e ± α = cosh α ± sinh α
En
el
plano
cartesiano
canónico,
considerando
las
funciones
trigonométricas esféricas, la función seno adquiere sus valores extremos unitarios
en α = ± π/2 con ±1 respectivamente.
Si se efectúa una torsión del plano cartesiano canónico conservando el eje
x en la posición canónica y posicionando el eje y con un ángulo de astigmatismo
β ≠ π/2, la función seno correspondiente a la torsión debe adquirir sus valores
extremos unitarios en β y β + π.
Estas funciones trigonométricas que se desean crear permiten describir
fácilmente muchos problemas matemáticos de ingeniería que actualmente pueden
ser modelados con expresiones demasiado complejas.
4.2
REPRESENTACIONES POLARES.
En las representaciones polares de las funciones trigonométricas los radios
negativos no existen, ya que los radios negativos son conceptualmente
“imaginarios” y matemáticamente reales. Para clarificar este concepto se
99
considera la función r = sin 2 α , como se observa en la Figura 12, esta curva
llamada rhodonea
33
. Si la función fuese
r = sin α, para 0 ≤ α ≤ 2π, se obtiene
solamente la grafica en el primer semiplano (Cuadrantes I y II), ya que los radios
negativos no existen, así, por convención de signos se establece que los radios
son positivos si están en el primer semiplano y negativos si están en el segundo
semiplano (Cuadrantes III y IV).
Figura 12. Representación polar del seno circular con la función r = sin 2 α , para 0 ≤ α < 2π.
Considerando una torsión del plano polar que permita establecer una
nueva
familia
de
funciones
trigonométricas
con
las
mismas
razones
fundamentales usadas en (2) y (4), se obtiene una distorsión del círculo que
degenera en una elipse rotada como se muestra en la Figura 13, con rmax = ± 1
para el ángulo de torsión β y el parámetro de excentricidad e, según la función
seno equivalente34.
33
Denominación dada por el matemático italiano Guido Grandi entre 1723 y 1728, ya que se
parece a los pétalos de las rosas.
34
Función creada como βsine α, con astigmatismo oblicuo β y excentricidad e.
100
Figura 13. Representación polar del seno elíptico con la función r =
β sin e2 α , para 0 ≤ α < 2π;
con la convención de signos para los radios, con β = π/4 y e = ½.
A continuación se presenta todo el método matemático que permite
caracterizar la elipse rotada con semieje mayor a y excentricidad e.
4.3
CONSTRUCCIÓN
Se construye una elipse canónica en coordenadas cartesianas (x, y) con
semiejes mayor 1 y menor b, con 0 < b ≤ 1 y centro en el origen, con la
representación explicita
y=±b
1− x2
(6)
que también puede ser expresada en coordenadas polares con notación explicita
para el primer semiplano
r=
b
b cos α + sin 2 α
2
2
101
(7)
Para rotarla un ángulo θ:
r=
b
(8)
b cos (α − θ) + sin 2 (α − θ)
2
2
Para luego determinar el punto mínimo, donde la recta cartesiana tangente
tiene pendiente cero:
dy
r ' sin α + r cos α
=0 ⇒ '
dx xmin
r cos α − r sin α α
= 0
(9)
min = γ
Evaluando únicamente el numerador y simplificando:
(b 2 + 1) cos γ + (b 2 − 1) cos( γ − 2θ) = 0
(10)
Cuyas soluciones validas para los puntos críticos máximo y mínimo, que
determinan el eje que contiene el punto mínimo, con un ángulo γ, son:


(b 2 − 1) sin(2θ)

γ = − cos −1 
 2 b 4 + 1 + (b 4 − 1) cos(2θ) 


(11)
y si la excentricidad e es conocida, b = 1 − e 2 , el valor del ángulo γ también
puede ser calculado con:


e 2 sin(2θ)

γ = − cos −1  −
2
4
2
2

2 2 − 2e + e + e (e − 2) cos(2θ) 

(12)
Cuando se necesita determinar el ángulo de rotación θ, si se prescribe el
eje principal que contiene el punto mínimo (γ, r(γ)) para una elipse con semieje
102
mayor unitario y semieje menor b o en su defecto con excentricidad e, se obtiene
de la solución para θ en (10):
θ=
2
 1 + b2

 1 
1
−1  2 − e
 γ + cos −1 




cos
γ
γ
cos
cos γ  
=
+
2
2





2
 1− b
 2 
 e

(13)
Para definir la nueva función βsin,e (α) se debe escalar la elipse rotada de
manera que la cuerda elíptica máxima sea unitaria. Como el astigmatismo es
invariante con el escalado las expresiones en términos de la excentricidad son
invariantes.
Las coordenadas polares del punto mínimo son:


2(e 2 − 1)
2 − e2 −


2
2
− 2 + e + e cos(2θ)


r
(
γ
)




=
 γ 




2


e sin( 2θ)

−1 

 − cos  −
2
4
2
2

2
2
−
2
e
+
e
+
e
(
e
−
2
)
cos(
2
θ
)



(14)
y las coordenadas cartesianas, como función de la excentricidad, son:


e 2 sin( 2θ)
−


2
2
2 2 − e − e cos(2θ) 

h

k  = 


 
2
2
2 − e − e cos(2θ) 

 −

2
(15)
Trasladando la función elíptica rotada con origen en el punto mínimo, de
acuerdo a la construcción propuesta, se obtiene la función en coordenadas
polares, reemplazando los valores de h y k respectivos:
103
r=
4 2 b 2 sin(α)
(1 + b 2 − (1 − b 2 ) cos(2(α − θ))) 1 + b 2 − (1 − b 2 ) cos(2θ)
(16)
que como función de la excentricidad se puede expresar con:
r=
4 2 (1 − e 2 ) sin α
(2 − e 2 (1 + cos(2(α − θ)))) 2 − e 2 (1 + cos(2(α − θ)))
(17)
Diferenciando la expresión (16) para determinar el radio máximo para un
ángulo de astigmatismo β se obtiene:
dr
= 0 ⇒ 2 2 b 2 (2(b 2 + 1) cos β + (b 2 − 1)(3 cos(β − 2θ) − cos(3β − 2θ))) = 0
dα β
(18)
de la cual se puede obtener fácilmente el ángulo de rotación de la elipse, para un
ángulo oblicuo β predeterminado, considerando únicamente la raíz válida, que
caracteriza el astigmatismo:
 1 13 − 7b 2 − ( 4 − 8b 2 ) cos( 2β) − (b 2 + 1) cos( 4β) − 8 2 1 − 3b 2 + b 4 − (b 4 − b 2 + 1) cos( 2β) sin 3 β 

θ = m cos −1 
2

(1 − b 2 )(5 − 3 cos( 2β))


(19)
donde el signo depende del cuadrante del astigmatismo y es equivalente a
sgn(π/2 ‒ β).
El ángulo de rotación expresado como función de la excentricidad es
invariante con el escalado:
104
 1
θ = cos −1 
 2e

− 6 − 7e 2 + 4(−1 + 2e 2 ) cos(2β) − (−2 + e 2 ) cos(4β) + 8 2 − 1 + e 2 + e 4 + (−1 + e 2 − e 4 ) cos(2β) sin 3 β 

3 cos(2β) − 5

(20)
con un discriminante que garantiza una solución válida y real si
5 + 2 cos(2β) − 3 cos 2 (2β) − 1 − cos(2β)
2 sin β
< e <1
(21)
Definiendo el seno astigmático con parámetros predeterminados e y β
verificados según (21), usando el ángulo de rotación θ según (20):
 e 2 cos(2(β − θ)) + e 2 − 2  sin α

β sin e α = ±  2
2
 e cos(2(α − θ)) + e − 2  sin β
(22)
para todo α en el primer semiplano usando el signo positivo, la cual es válida en
ciertos dominios.
A continuación se muestra la Figura 14 usando las funciones anteriores
con diferentes valores de excentricidad.
105
Figura 14. Variación de la excentricidad. Representación polar de la función r =
β sin e2 α , para
0 ≤ α < 2π, con la convención de signos para los radios, con β = π/3 y e = 0,7, 0,75, 0,8, 0,85, 0,9,
0,95 y 0,98.
También se muestra en la Figura 15 la representación temporal con los
mismos parámetros de la Figura 14 comparados con la función canónica seno.
Figura 15. Representación temporal del seno elíptico con la función βsine α, para 0 ≤ α < 4π;
con la convención de signos para los radios, con β = π/3 y e = 0,8, 0,9 y 0,999. Cuando e = 1, la
función converge en una función impulso de amplitud nula, bastante útil para modelar problemas
de ingeniería electrónica y espintrónica incluyendo la resonancia magnética.
106
Como caso particular es importante resaltar que si β = nπ/2 la solución
tiende al límite:
β→ π / 2 sin e α = ±
2(1 − e 2 ) sin α
2 − e 2 + e 2 cos(2α)
(23)
Se observa en la Figura 16 la descripción de la función βsine sin
astigmatismo para diferentes excentricidades, función que puede ser útil para
modelar funciones estadísticas y físicas.
Figura 16. Representación temporal del seno elíptico sin desfase con la función βsine α, para
0 ≤ α < 2π; con la convención de signos para los radios, con β = π/2 y e = 0,45, 0,55, 0,65, 0,75,
0,85, 0,92 y 0,98.
Usando el mismo argumento utilizado para construir la función βsine se
establece todas las demás funciones trigonométricas, como:
 e 2 cos(2(β − θ)) + e 2 − 2  sin(α − β)

β cos e α = m  2
2
 e cos(2(α − β + θ)) + e − 2  sin β
(24)
y si β = π/2
β→ π / 2 cos e α = ±
2(1 − e 2 ) cos α
2 − e 2 − e 2 cos(2α)
107
(25)
Conocidas las funciones fundamentales βsine α y βcose α se puede calcular la
función generadora con
r = β sin e2 α + β cose2 α
(26)
Se ilustra esta función en la Figura 17 para un astigmatismo particular.
Figura 17. Funciones generadoras. Representación tridimensional de la función de la función
r = β sin e2 α + β cos e2 α en coordenadas paramétricas, con β = π/3, 0 ≤ α < 2π y la excentricidad e en
el intervalo real menor que la unidad.
4.4
APLICACIONES.
Estas funciones tienes numerosas aplicaciones en ingeniería.
108
4.4.1 Aplicación Óptica.
El ojo emétrope ideal le corresponde generalmente una cornea perfecta de
revolución, que en forma canónica tiene como sección cortada:
∞
z a = a2 r + a4 r + a6 r + a8 r + ... = ∑ a2i r 2i
2
4
6
8
(27)
i =1
donde normalmente los coeficientes {a2i} que caracterizan la geometría de la
sección son reales y en su mayoría positivos; y los exponentes del polinomio
característico son pares.
La realidad biológica presenta una geometría corneal que se caracteriza
por tener una forma tórica de revolución con ejes principales casi siempre
ortogonales (astigmatismo regular), donde la geometría de las secciones tóricas
son funciones de un sistema polar:
∞
z a (α) = a2 (α)r 2 + a4 (α)r 4 + a6 (α)r 6 + a8 (α)r 8 + ... = ∑ a2i (α)r 2i
(28)
i =1
donde α varia entre 0 y 2π radianes, ya que za(α) = za(α + 2π) si se asumen toroides
de revolución.
La información suministrada por lo modernos topógrafos computarizados
describen la superficie de la cornea humana mediante zonas de isocurvatura con
el mismo color como se observa en Figura 18. El astigmatismo corneal se indica
con la dirección de los ejes principales del toroide de revolución que mejor se
ajusta a la superficie corneal.
109
Figura 18. Topografía corneal computarizada con alto astigmatismo irregular, con un notorio
desplazamiento del ápice corneal.
Donde por técnicas de regresión y correlación se puede formular la
superficie corneal con la geometría de la superficie tórica de revolución que mejor
se ajusta a la regresión de la superficie corneal puede ser especificada
relativamente con relación al ángulo del eje principal θ0 = θAxis para un
astigmatismo regular con
∞
z a (α) = a2 (θ0 + α)r 2 + a4 (θ0 + α)r 4 + a6 (θ0 + α)r 6 + a8 (θ0 + α)r 8 + ... = ∑ a2i (θ0 + α)r 2i
i =1
(29)
y 0 ≤ α ≤ π / 2 radianes, para caracterizar con un cuadrante toda la superficie, ya
que el resto es simétrico.
110
Considerando una variación armónica de la superficie toroidal de
revolución, todos los coeficientes {a2i} pueden ser referenciados con una única
expresión armónica:
a2i (θ) = a2i (θ0 + α) = a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α
si 0 ≤ α ≤ π/2 (30)
Reemplazando (29) en (28) se obtiene la expresión:
∞
z a (α) = ∑ (a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) sin α )r 2i
(31)
i =1
así, la geometría de la sección del toroide de revolución se reduce a la variación
armónica de la geometría de la sección que contiene el meridiano mas plano.
Como normalmente las corneas se aplanan hacia la periferia, los coeficientes
disminuyen cuando i aumenta; también cuando varían armónicamente, aumentan
cuando α aumenta.
Si el astigmatismo es irregular con ejes no ortogonales, pero con secciones
con geometrías de revolución, la geometría de la superficie tórica que mejor se
ajusta puede ser especificada con una variación elíptica de la armonía, para un
ángulo β entre ejes principales, usando la función βsine α:
∞
z a (α) = ∑ (a2i (θ0 ) + (a2i (θ0 + π / 2) − a2i (θ0 ) ) βsin e α)r 2i
(32)
i =1
Este tipo particular de astigmatismo no es muy común en la práctica
clínica, sin embargo se hallan casos asociados a keratoconos. Actualmente no se
fabrican lentes tóricos para solucionar el error refractivo que genera el
astigmatismo irregular simétrico y centrado con ejes no ortogonales. Estos lentes
111
podrían fabricarse usando las modernas técnicas de fresado y erosionado de
penetración CNC.
4.4.2 Aplicación Estadística.
La función estandarizada βcose α tiene practicas aplicaciones estadísticas con la
gran ventaja de ser una función continua de probabilidad finita que se ajusta mejor a los
valores reales de la naturaleza que las funciones de distribución infinitas como la curva
normal y las distribuciones t-Student, ya que son unimodales y pueden estar sesgadas a la
derecha o a la izquierda con el parámetro β. A continuación se presenta la formulación
para la distribución de probabilidad estandarizada con algunas de sus propiedades:
Sea βcose x, con ‒π/2 ≤ x ≤ π/2 una distribución de probabilidad para cierto valor de
e, así,
π/2
∫ β cos
e
x dx = 1
(33)
−π/ 2
Reemplazando (24) en (33)
π/2
 e 2 cos(2(β − θ)) + e 2 − 2  sin( x − β)
∫  e 2 cos(2( x − β + θ)) + e 2 − 2  sin β dx = 1
−π/ 2 
(34)
la cual es válida para un único valor de e si se predetermina β que corresponde al
ángulo modal.
Siendo de mayor utilidad práctica la distribución de probabilidad simétrica
con β = π/2, la excentricidad converge en el número trascendental
e = 0,9190097215604317…
112
para obtener la función de probabilidad estandarizada que satisface:
π/2
2(1 − e 2 ) cos x
2 1 − e 2 sin −1 e
dx
=
=1
∫ 2 − e 2 − e 2 cos(2 x)
e
−π/ 2
(35)
Como la función (35) no tiene solución analítica, razón por la cual la
solución para la excentricidad e es trascendental, se obtuvo el valor mediante
aproximación por series
2 1 − e 2 sin −1 e 2 1 − e 2
=
e
e
Γ(n − 1 / 2) e 2 n −1
=1
∑
π Γ ( n)
n =1 ( 2n − 1)
∞
(36)
Para obtener la función de distribución de probabilidad estandarizada
f ( x) =
2(1 − e 2 ) cos x
0,3108422634 cos x
=
2
2
2 − e − e cos(2 x) 1,155421132 − 0,8445788683 cos(2 x)
(37)
Donde la función generadora de momentos para la distribución simétrica
corresponde a:
M
(t )
=
π/2
∫x
t
f ( x) dx
(38)
−π/ 2
Para evaluar y verificar que la media M
M
(2)
(1)
= x = 0 y la varianza
= σ 2 ≈ 0,2387513794 . Si la excentricidad no está estandarizada, la varianza
tiene como dominio 0 ≤ σ2 ≤ π2/2‒4.
En la Figura 19 se presenta la función de probabilidad acumulada sin la
excentricidad estandarizada.
113
 e sin x
sin −1 e + tan −1 
2
 1− e
P ( x) =
 e
sin −1 e + tan −1 
2
 1− e






(39)
Figura 19. Representación tridimensional de la función de probabilidad acumulada para
todas las excentricidades calculada con la expresión (39). Vista posterior.
114
BIBLIOGRAFÍA
[1]
Bates, D. M. and Watts, D. G. Nonlinear Regression and Its Applications.
New York: Wiley, 1988.
[2]
David Huang, Raj Shekhar y Maolong Tang: Method and apparatus for
controlling ablation in refractive surgery PATENTE WO/2003/075778,
Aplicacion
Aplicate:
Internacional
THE
No.:
CLEVELAND
PCT/US2003/006343
CLINIC
FOUNDATION.
18.09.2003
9500
Euclid
Avenue, Cleveland, OH 44195 (US).
[3]
J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in
Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000.
ISBN 0-89871-461-3
[4]
Kincaid, D., Cheney, W. Análisis Numérico: Las Matemáticas del cálculo
científico, Addison-Wesley Iberoamericana, 1994.
[5]
Korablinova,
TOPOGRAFHY
Nina.,
DISSERTATION.
USING
WAVEFRONT
MEASURING
ANALYSIS
CORNEAL
TECHNIQUE.
Submitted to the Combined Faculties for the Natural Sciences and
Mathematics of the Ruperto-Carola
University of Heidelberg, Germany
for the degree of Doctor of Natural Sciences. 2004.
[6]
Rüfer F, Schröder A y Erb C., White-to-white corneal diameter: Normal in
values in healthy humans obtained with the Orbscan II topography system.
Medical University of Hanover, Germany. 2005. PMD: 15778595 [PubMed
– indexed for MEDLINE].
115
[7]
William R. Davis, Thomas W. Raasch, G Lynn Mitchell, Donald O. Mutti, y
Karla Zadnik. Corneal Asphericity and Apical Curvature in Children: A
Cross- sectional and Longitudinal Evaluation. College of Optometry, The
Ohio State University, Columbus, Ohio. Investigative Ophthalmology and
Visual Science. 2005; 46:1899-1906.DOI: 10.1167/iovs.04-0558.
116
ÍNDICE
Estructuras anatómicas, vii, xiii, 15,
44, 58, 60, 61, 71, 75, 90, 94
Excentricidad, vi, 99, 100, 101, 102,
103, 104, 105, 107, 111, 112
A
Aberración
Esférica, vii, 17, 49, 65
Afaquia, 60
Algoritmo
Bates. Sistema de ecuaciones no
lineales, 18, 49, 55, 66
Anatomía Ocular, 48
Astigmatismo, vi, x, 15, 43, 45, 46,
47, 49, 50, 51, 58, 60, 95, 98, 99,
102, 103, 106, 107, 108, 109, 110
F
Función Elíptica, 102
Funciones trigonométricas, 95, 96,
97, 98, 99, 106
G
Generadora
Función, 107, 112
C
I
Cáustica, 88, 90
Coeficientes, 44, 50, 51, 53, 54, 55,
56, 57, 58, 108, 110
Coordenadas Cartesianas, 16, 19,
59, 95, 100, 102
Correlación Corneal, 23
Curva Normal;, 111
Índice de Correlación, iv, 23, 32, 41
Instrumentos de medición oftálmica,
17, 18, 42
K
Kernel, 28
Keratoconos, 18, 50, 58, 110
keratometría, viii, 19
D
Distancia Focal, 20, 22, 24, 25, 26,
29, 33, 34, 35, 38, 41, 45, 65, 71,
82
Distribución de Probabilidad, 111,
112
Distribuciones
t-Student y unimodales, 111
L
Lente
Bielíptico, 75
Hiperbólico, vi, 89
Lentes
Contacto.
Intraoculares, 42
Lentes Tóricos, 43, 49, 110
E
Ejes principales, 15, 43, 45, 46, 47,
49, 50, 51, 57, 96, 108, 110
Emétrope, 44, 73, 75, 89, 108
Escalado, 102, 103
Espejos, 17, 42
Espesor Central, 65, 71, 83, 88
M
Método
Minimos cuadrados con la
ordenada, iv, 20
117
Mínimos cuadrados con la
ordenada. Mínimos cuadrados
con las curvaturas de la córnea
humana, iv, 20
Mínimos cuadrados con las
curvaturas de la córnea humana,
iv, 22
Miopía, 18, 88
Modelo simplificado de LeGrand’s,
19, 33, 40, 42, 52, 53, 61
Regresión, 14, 16, 17, 20, 21, 23, 24,
25, 26, 30, 33, 34, 35, 41, 43, 47,
50, 52, 56, 58, 59, 62, 63, 64, 66,
68, 72, 73, 84, 89, 94, 109
Representaciones Polares, 98
rhodonea, 98
Rotación
Ángulo de, 101, 103, 104
S
Semiejes, 25, 26, 30, 31, 35, 100
Series de Taylor, 28
spin-casting, 17
Superficies de revolución
paraboloide, elipsoide e
hiperboloide., 16, 17, 18, 20, 21,
22, 24, 25, 26, 30, 32, 33, 34, 36,
41
O
Oblate
Hiperboide. Elipsoide, 17, 30
Oblicuo
Ángulo, 103
Ovalos Cartesianos, 44, 64
Óvalos Cartesianos, 58, 59, 94
P
T
Post-Keratomileusis, 17
Probabilidad Aculumada, vi, xi, 112,
113
Técnicas de análisis numérico, 20
Técnicas de optimización, 45
Tejido Estromal, 20, 58, 61
Topografía, vi, ix, 14, 21, 27, 36, 46,
54
Torneado de lentes, 17, 50, 111
Toroide de Revolución, 43, 46, 108,
110
Torsión
Ángulo de, 99
R
Radios de curvatura, vii, 16, 19, 21,
23, 26, 27, 36, 37, 45
Rayos Paraxiales, 71, 73, 75, 82
Refracción Perfecta, vi, vii, 17, 18,
25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 35,
37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 58, 59,
63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71,
72, 73, 75, 76, 78, 80, 82, 83, 84,
86, 90, 92
Z
Zonas de nivel, 18, 60
118
View publication stats