“UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA”
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
“Inducción Matemática”
PRESENTADO POR:
Aldana Pasache Jhon Brayan
Peña Jiménez Esthy Kobel
Razuri Vegas Jorge Andrés
Rosales Sondor Ismael Alexander
Urbina Arévalo Vitaly Paolo
ASESOR:
Mg. Ángel Vicente Morocho
PIURA – PERÚ
2022
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA............................................................................. 4
DEFINICIONES RECURSIVAS ............................................................................................... 7
SUMATORIAS ............................................................................................................................ 9
Notación de sigma mayúscula.................................................................................... 10
Suma de una serie ............................................................................................................. 11
Identidades........................................................................................................................... 11
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS ............................................................................ 12
Otras propiedades: ............................................................................................................ 13
Sumatorios dobles (o triples, cuádruples, etc.) ......................................................... 14
Propiedades de los sumatorios dobles........................................................................ 14
FÓRMULAS IMPORTANTES DE LAS SUMATORIAS .................................................... 15
NOTACIÓN DE PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN .......................................... 17
BINOMIO DE NEWTON .......................................................................................................... 19
Propiedades del Coeficiente Binomial ......................................................................... 21
El Teorema del Binomio ................................................................................................... 21
Demostración: ..................................................................................................................... 22
INTRODUCCIÓN
La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a
partir del análisis de casos particulares. La deducción, por el contrario,
permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales.
En matemática, disciplina deductiva por excelencia, el razonamiento
inductivo sólo es utilizado en la fase creativa y de construcción. Cuando un
matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manipular los
objetos matemáticos, utiliza el razonamiento inductivo al proponer una
conjetura a partir de los casos que ha analizado, pero para demostrar
dicha conjetura deberá utilizar necesariamente deducción.
Veamos un ejemplo para clarificar esta situación. Supongamos que un
estudiante ha sumado los tres primeros números impares positivos,
obteniendo 1+3+5=9, observando que 9 es el cuadrado de 3. Ahora toma
un número mayor de sumandos 6, y obtiene 1+3+5+7+9+11=36,
observando que 36 es el cuadrado de 6. Esto puede no ser casualidad, el
estudiante sospecha que debe existir algún patrón general e inicia una
verificación ordenada:
Con un sumando: 1 +1 = 2=1 elevado 𝟐
Con dos sumandos: 1 + 3 = 4 =2 elevado2
Con tres sumandos: 1 + 3 + 5 = 9 =3 elevado2
Con cuatro sumandos: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 =4 elevado2
El estudiante emplea el razonamiento inductivo para elaborar una
conjetura sobre la suma de los n primeros impares:
𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + ⋯ + (𝟐𝒏 − 𝟏) = 𝒏 𝟐
“La suma de los n primeros impares positivos es igual al cuadrado del
número de términos”.
Sin embargo, ¿es suficiente la comprobación de algunos casos particulares
para asegurar la validez de esta proposición? NO. Se ha comprobado la
proposición para 𝑛 = 1; 2; 3; 4, pero nada asegura que tal patrón se
mantenga. Tampoco se podría asegurar nada aún después de que el
estudiante se tome el tiempo de sumar el primer trillón de números
impares.
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
El método de inducción matemática conlleva una posibilidad de pruebas de
ciertas proposiciones cuyas variables recorren el conjunto N de todos los
números naturales. Las pruebas toman como base “El principio de
inducción completa”.
1.1. Definición:
Este principio sirve para demostrar propiedades que se cumplen para un
conjunto numerable de objetos. Generalmente se usa la notación A(n),
B(n), C(n), P (n), …, para denotar estas propiedades.
1.2. Pasos:
El principio de inducción completa, consiste en 2 pasos:
• Primer paso: Probar que la propiedad se satisface para un primer
número
natural (n=1).
• Segundo paso: Probar que siempre que un número natural
cualquiera satisfaga la propiedad (n = k), su sucesor también la
satisface (n = k + 1).
1.3. Ejemplos:
a. Demostrar que:
𝒏
𝒏𝟐 (𝒏 + 𝟏)𝟐
∑𝒊 =
𝟒
𝟑
𝒊=𝟏
Paso 1:
n=1 →
∑1𝑖=1 𝑖 3 =
13 =
13 =
12 (1+1)2
4
12 (1+1)2
4
12 (2)2
4
1=1
Paso 2:
Se acepta: n=k →
∑𝑘𝑖=1 𝑖 3 =
Probar: n=k+1 →
3
∑𝑘+1
𝑖=1 𝑖 =
𝑘 2 (𝑘+1)2
4
(𝑘+1)2 (𝑘+1+1)2
4
3
3
∑𝑘+1
𝑖=1 𝑖 + (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)2 (𝑘+2)2
𝑘 2 (𝑘+1)2
(𝑘+1)2 (𝑘+2)2
4
+ (𝑘 + 1)3 =
𝑘 2 (𝑘+1)2 +4(𝑘+1)3
4
(𝑘+1)2 [𝑘 2 +4𝑘+4]
4
=
=
∑ 𝒊𝟐 =
𝒊=𝟏
4
(𝑘+1)2 (𝑘 2 +4𝑘+4)
4
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
Paso 1:
n=1 →
∑𝑛𝑖=1 𝑖 2 =
1=
1(2)(3)
6
6
1=6
1=1
Paso 2:
1(1+1)(2(1)+1)
6
4
(𝑘+1)2 (𝑘+2)2
b. Demostrar que:
𝒏
4
∴ 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜
Se acepta: n=k →
∑𝑘𝑖=1 𝑖 2 =
𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)
Probar: n=k+1 →
∑𝑘𝑖=1 𝑖 2 =
(𝑘+1)(𝑘+1+1)(2(𝑘+1)+1)
6
6
∑𝑘𝑖=1 𝑖 2 + (𝑘 + 1)2 =
𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)
6
(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+2+1)
6
+ (𝑘 + 1)2 =
𝑘 (𝑘+1)(2𝑘+1)+6(𝑘+1)2
(𝑘+1)[𝑘 (2𝑘+1)+6(𝑘+1)]
6
(𝑘+1)[2𝑘 2 +𝑘+6𝑘+6]
6
(𝑘+1)[2𝑘 2 +7𝑘+6]
6
=
=
6
(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)
=
6
(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)
6
=
(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)
6
(𝑘+1)(2𝑘 2 +3𝑘+4𝑘+6)
6
(𝑘+1)(2𝑘 2 +7𝑘+6)
6
∴ 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜
8 + 11 + 14 + ⋯ + (3𝑛 + 5) =
c. Demostrar que:
Paso 1:
n=1 →
(3𝑛 + 5) =
8=
8=
𝑛(3𝑛+13)
2
(3+13)
2
16
2
8=8
Paso 2:
Se acepta: n=k →
8 + 11 + 14 + ⋯ + (3𝑘 + 5) =
𝑘(3𝑘+13)
2
𝑛(3𝑛+13)
2
Probar:
n=k+1
→
8 + 11 + 14 + ⋯ + (3𝑘 + 5) + (3(𝑘 + 1) + 5) =
(𝑘+1)(3(𝑘+1)+13)
2
𝑘(3𝑘+13)
2
+ (3𝑘 + 3 + 5) =
𝑘(3𝑘+13)+2(3𝑘+8)
2
3𝑘 2 +13𝑘+6𝑘+16
=
2
3𝑘 2 +19𝑘+16
2
=
2
(𝑘+1)(3𝑘+3+13)
2
(𝑘+1)(3𝑘+16)
2
(3𝑘 2 +16𝑘+3𝑘+16)
3𝑘 2 +19𝑘+16
2
=
(𝑘+1)(3(𝑘+1)+13)
2
=
3𝑘 2 +19𝑘+16
2
∴ 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜
DEFINICIONES RECURSIVAS
La definición recursiva es aquella que define los valores de las funciones
para algunas entradas en términos de los valores de la misma función para
otras entradas. ¡Por ejemplo, la función factorial n! está definida por las
reglas:
• 0! = 1.
• (n+1)! = (n+1) ·n!
Esta definición es válida para todos los n, porque la recursividad finalmente
alcanza el caso base de 0. ¡También se puede pensar en la definición como
un procedimiento que describe cómo construir la función “n!”,
comenzando desde n = 0 y continuando con n = 1, n = 2, n = 3, etc...
1.4. Ejemplos de definiciones recursivas.
a. La suma se define recursivamente basándose en el recuento:
❖ 0+a=a
❖ (1+n) +a=1+(n+a)
b. La multiplicación se define recursivamente:
❖ 0(a)=0
❖ (1+n) +a=1+(n+a)
c. La exponenciación se define recursivamente:
❖ 𝑎0 = 1
❖ 𝑎1+𝑛 = 𝑎𝑎𝑛
d. Los
coeficientes
binomiales
se
definen
recursivamente:
𝑎
( )=1
0
❖
𝑎
(1 + 𝑎)(𝑛)
1+𝑎
(
)=
1+𝑛
1+𝑛
e. Encontrar los 4 primeros términos:
𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛 − 1 + 6
𝑛>1
𝑎1 = 2
Solución:
𝑎1 = 2
𝑎2 = 3(2) + 6 = 12
𝑎3 = 3(12) + 6 = 42
𝑎4 = 3(42) + 6 = 132
Respuesta: 2, 12, 42 y 132.
f. Encontrar los 5 primeros términos:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 − 1 + 5
𝑛>1
Solución:
𝑎1 = −4
𝑎2 = (−4) + 5 = 1
𝑎3 = (1) + 5 = 6
𝑎4 = (6) + 5 = 11
𝑎1 = −4
𝑎5 = (11) + 5 = 16
Respuesta: -4,1, 6, 11 y 16.
SUMATORIAS
• Primero debemos saber que la sumatoria se escribe de manera
abreviada de esta manera con el símbolo ∑ para la suma de los
términos de una sucesión, por ejemplo:
-Te piden hallar la suma de los primeros 500 números:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
1 + 2 + 3 + 4 + ….
𝑎𝑖
500
-Esto quiere decir, la suma de los primeros 500
términos de la sucesión 𝑎𝑖.
∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
• Pero ¿qué pasaría?, si te dicen que halles la suma de solo 3
términos, a continuación, veremos un ejemplo:
-Te piden sumar los términos número 3, numero 4 y
numero 5
4,6,8,10,12,14,16, … 𝑥𝑖
Se escribiría de la siguiente forma:
5
∑ 𝑥𝑖
𝑖=3
- Esto se lee, la suma desde el tercer
término hasta el quinto término de la
sucesión 𝑥𝑖
Ahora realizaremos un ejercicio de prueba, te dan esta simbología:
5
∑ 𝑥𝑘 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
𝑘=1
Esto
ha
servido para que aprendiéramos la simbología de la sumatoria, más
adelante veremos la formula, las propiedades y ejercicios para
practicar.
Notación de sigma mayúscula
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = 𝑎𝑚 + 𝑎(𝑚 + 1) + 𝑎(𝑚 + 2) + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑖=𝑚
am
Am
2
✓ Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de a sub-i».
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor
inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los
valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente debe cumplirse que:
𝑚≤𝑛
✓ Pudiendo ver además que si m = n entonces:
𝑛
𝑚
𝑚 = 𝑛, ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 = 𝑎𝑚
𝑖=𝑚
𝑖=𝑚
✓ Si m es mayor que n, el resultado es cero, el elemento neutro
de la suma:
𝑛
𝑚 > 𝑛, ∑ 𝑎𝑖 = 0
𝑖=𝑚
✓ Como el conjunto de índices es un intervalo de enteros, es
corriente indicar el primer índice debajo del símbolo de
sumatoria, y el último por encima del mismo. Las siguientes
notaciones son equivalentes
𝑖=𝑛
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖
𝑖∈[𝑚.𝑛]
𝑖=𝑚
𝑖=𝑚
✓ El número de términos a sumar es entonces , ya que el primer
sumando es am y el último sumando es an.
✓ La suma de los cuadrados de los seis primeros enteros
estrictamente positivos se escribe, por ejemplo
6
∑ 𝑖 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91
𝑖=1
La notación de Einstein simplemente omite la escritura del símbolo
de suma, ya que, si un índice aparece sin definición, se
sobreentiende que lo que se representa es la suma de los elementos
al variar el índice.
Nótese que, aunque el término sumatorio se refiere a un operador
matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este
término a la palabra suma, por lo que con esta intención es
un fantónimo. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el
sumatorio de dos y tres es cinco».
Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma
analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en
forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar
la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la
siguiente expresión:
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥̅ =
𝑛
Suma de una serie
-Si (an) es un elemento de una serie, la suma total de los elementos
de esta, es el límite de las sumas parciales (si es que este límite
existe)
∞
𝑵
∑ 𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 ∑ 𝒂𝒏
𝒏=𝟎
𝑵→+∞
𝒏=𝟎
Identidades
-Hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo,
para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho
sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula
como esta:
𝒏
∑𝒊 =
𝒊=𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
∑𝒊=
𝒊=𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟏)
= 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎
𝟐
De igual forma, para sumar una serie de números naturales
consecutivos cualesquiera, desde m hasta n , podemos recurrir
a esta fórmula:
𝒏
𝟏
∑ 𝒊 = (𝒏𝟐 − 𝒎𝟐 + 𝒎 + 𝒎)
𝟐
𝒊=𝒎
𝟐𝟎𝟎
∑ 𝒊=
𝒊=𝟏𝟎𝟎
𝟏
(𝟐𝟎𝟎𝟐− 𝟏𝟎𝟎𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟓 𝟏𝟓𝟎
𝟐
(𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝟐𝟎𝟎𝟎)
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
▪ Propiedad conmutativa:
𝒏
∑(𝒙𝒊 + 𝒚𝒊) = 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 + 𝒚𝒏
𝒊=𝟏
= 𝒚𝟏 + 𝒙𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒚𝒏 + 𝒙𝒏
𝒏
= ∑(𝒚𝒊 + 𝒙𝒊)
𝒊=𝟏
▪ Propiedad asociativa:
𝒏
𝒏
∑(𝒙𝒊 + 𝒚𝒊) + ∑ 𝒛𝒊 = 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 + 𝒚𝒏
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
+ 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + ⋯ + 𝒛𝒏
= 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 + 𝒚𝟏 + 𝒛𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + ⋯
+ 𝒚𝒏 + 𝒛𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
= ∑ 𝒙𝒊 + ∑(𝒚𝒊 + 𝒛𝒊) = ∑(𝒙𝒊 + 𝒚𝒊 + 𝒛𝒊)
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
▪ Propiedad distributiva:
𝒏
𝒂. ∑ 𝒙𝒊 = 𝒂. (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏) = 𝒂𝒙𝟏 + 𝒂𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒙𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
= ∑(𝒂𝒙𝒊)
𝒂∈𝑹
𝒊=𝟏
Otras propiedades:
1. El sumatorio de una constante (no depende de ningún
índice) es igual a la constante multiplicada por el número
de sumandos:
𝒏
∑ 𝒃 = 𝒃 + 𝒃𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 + ⋯ + 𝒃 = 𝒏𝒃,
𝒃∈𝑹
𝒊=𝟏
2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
∑(𝒂𝒙𝒊 + 𝒃) = ∑ 𝒂𝒙𝒊 + ∑ 𝒃 = 𝒂 ∑ 𝒙𝒊 + 𝒏𝒃,
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒂, 𝒃
𝒊=𝟏
∈𝑹
3. Los valores recorridos por el índice se pueden separar
en varios sumatorios:
𝒏
𝒏𝟎
𝒏
∑ 𝒙𝒊 = ∑ 𝒙𝒊 + ∑ 𝒙𝒊 ,
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒏𝟎 ≤ 𝒏
𝒊=𝒏𝟎+𝟏
En efecto:
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛0) + (𝑥𝑛0 + 1 + ⋯ 𝑥𝑛)
Por ejemplo:
4
∑ log (𝑖) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4)
𝑖=1
= (log(1) + log(2) + log(3) + log(4))
2
4
= ∑ log (𝑖) + ∑ log (i)
𝑖=1
𝑖=3
(𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑛 = 4 𝑦 𝑛0 = 2)
Nota:
Todas
las
propiedades
descritas
son
válidas
independientemente del conjunto de valores que tome el índice del
sumatorio. Es decir, sin en vez de ∑𝑛𝑖=1, tenemos∑𝑛𝑖=𝑘, para cualquier
valor de k ≤ n, las propiedades anteriores se aplican exactamente
igual.
Sumatorios dobles (o triples, cuádruples, etc.)
Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres,
cuatro, etc.) índices utilizaremos un sumatorio doble (o triple,
cuádruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n × n
en cada fila i tengo que considerar solo los elementos 𝑎𝑖𝑗 con j > i (ó
j ≥ i + 1). Por lo tanto, escribiré:
𝒏
𝒏
𝒏
∑, ∑ 𝒂𝒊𝒋 = ∑(𝒂𝒊,𝒊+𝟏 + 𝒂𝒊,𝒊+𝟐 + ⋯ 𝒂𝒊,𝒏 ) = 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝒊𝟑 + ⋯ 𝒂𝟏𝒏)
𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏
𝒊=𝟏
+ (𝒂𝟐𝟑 + 𝒂𝟐𝟒 + ⋯ 𝒂𝟐𝒏) + ⋯ + +(𝒂(𝒏−𝟐)(𝒏−𝟏) + 𝒂(𝒏−𝟐),𝒏 )
+ 𝒂(𝒏−𝟏),𝒏.
Propiedades de los sumatorios dobles
▪ Propiedad conmutativa:
𝒏
𝒏
∑, ∑(𝒙𝒊𝒋+ 𝒚𝒊𝒋 )
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
= ∑, ∑(𝒚𝒊𝒋+ 𝒙𝒊𝒋 ) = ∑, ∑(𝒚𝒊𝒋+ 𝒙𝒊𝒋 )
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
𝒏
𝒏
= ∑, ∑(𝒙𝒊𝒋+ 𝒚𝒊𝒋 )
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
▪ Propiedad asociativa:
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
∑, (∑ 𝒙𝒊𝒋 + ∑ 𝒚𝒊𝒋 ) = ∑, ∑(𝒙𝒊𝒋 + 𝒚𝒊𝒋 )
𝒊=𝟏
𝒋=𝟏
𝒋=𝟏
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
▪ Propiedad distributiva:
𝒏
𝒏
𝒂. ∑, ∑ 𝒙𝒊𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
𝒏
= 𝒂. ∑(𝒙𝒊𝟏 + 𝒙𝒊𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒊𝒏 )
𝒊=𝟏
= 𝒂. [(𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟏𝒏 ) + ⋯
+ (𝒙𝒏𝟏 + 𝒙𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏𝒏 )]
= (𝒂𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒙𝟏𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒙𝟏𝒏 ) + ⋯ + (𝒂𝒙𝒏𝟏 + 𝒂𝒙𝒏𝟐
𝒏
𝒏
+ ⋯ + 𝒂𝒙𝒏𝒏 =. ∑, ∑ 𝒂𝒙𝒊𝒋,
𝒂∈𝑹
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
FÓRMULAS IMPORTANTES DE LAS SUMATORIAS
La sumatoria es un operador matemático muy importante dentro de
ámbito matemático, este permite representar sumas de muchos
sumandos, sucesiones, secuencias de n cantidades o sumandos de
sumas infinitas.
Gauss se dio cuenta que si sumaba 1 + 100 daba como resultado
101, si sumaba 2 + 99 entonces también daba 101, este
procedimiento podía hacerse 50 veces y se obtendría el resultado de
la sumatoria, de esta manera:
100
∑𝑘 =
𝑘=1
100(100 + 1)
2
Y esto daba como resultado 5050, de esta manera Gauss resolvió un
problema sencillo en corto tiempo.
Dentro de esta parte de la matemática se denotan fórmulas de mayor
importancia debido a su aplicación.
Fórmula 1:
𝒏
∑𝒙 =
𝒙=𝟏
𝒏
(𝒏 + 𝟏)
𝟐
Suma de los n números naturales consecutivos, esta fórmula ayuda
a sumar todos los números sin la necesidad de hacerlo uno por uno.
Esta notación se lee de la siguiente manera: Sumatoria de x, en
donde x toma los valores desde 1 hasta n.
Demostración:
𝒏
∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 = (𝒏 + 𝟏) → ∑𝒏𝒙=𝟏(𝒙𝟐 − (𝒙 − 𝟏)𝟐 ) = 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝟎)
𝟐
∑𝒏𝒙=𝟏 (𝒙𝟐 − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏)) = 𝒏𝟐 − 𝟎 → ∑𝒏𝒙=𝟏(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝒏𝟐
∑𝒏𝒙 𝟐𝒙 − ∑𝒏𝒙 𝟏 = 𝒙𝟐 → 𝟐 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 − 𝒏 = 𝒏𝟐 → ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 =
𝒙𝟐 +𝒙
𝟐
Fórmula 2:
𝒏
∑ 𝒙𝟐 =
𝒙=𝟏
𝒏
(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
La suma de los primeros n números cuadrados. Esta notación se lee
de la siguiente manera: Sumatoria de x2, en donde x toma los valores
desde 1 hasta n.
Demostración:
∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 → ∑𝒏𝒙=𝟏(𝒙𝟑 − (𝒙 − 𝟏)𝟑 ) → ∑𝒏𝒙=𝟏(𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏)
𝟑
𝟑 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 − 𝟑 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 + ∑𝒏𝒙=𝟏 𝟏 → 𝟑 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 − 𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝒏
𝟐
𝒏
∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 = (𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
Fórmula 3:
𝒙
𝒏𝟐
(𝒏 + 𝟏)𝟐
∑𝒙 =
𝟒
𝟑
𝒙=𝟏
La suma de los primeros n números cubos. Esta notación se lee de
la siguiente manera: Sumatoria de x3, en donde x toma los valores
desde 1 hasta n.
Demostración:
∑𝒏𝒙=𝟏 (𝒙𝟒 − (𝒙 − 𝟏)𝟒 ) → ∑𝒏𝒙=𝟏(𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏) = 𝒏𝟒
𝟒 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟑 − 𝟔 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 + 𝟒 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 − 𝟏 = 𝒏𝟒
𝟒 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟑 − 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) + 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏) − 𝒏 = 𝒏𝟒
∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟑 =
𝒏𝟐
𝟒
(𝒏 + 𝟏)𝟐
Fórmula 4:
𝒏
∑ 𝒙𝟒 =
𝒙=𝟏
𝒏
(𝒏 + 𝟏)(𝟔𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟏)
𝟑𝟎
La suma de los primeros n números a la cuarta. Esta notación se lee
de la siguiente manera: Sumatoria de x4, en donde x toma los valores
desde 1 hasta n.
Demostración:
∑𝒏𝒙=𝟏(𝒙𝟓 − (𝒙 − 𝟏)𝟓 ) = 𝒙𝟓 − 𝟎𝟓 →
∑𝒏𝒙=𝟏 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝒏𝟓
𝟓 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟑 + 𝟏𝟎 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟐 − 𝟓 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙 + ∑𝒏𝒙=𝟏 𝟏 = 𝒏𝟓
𝟓 ∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟒 −
𝟓𝒏𝟐
𝟐
(𝒏 + 𝟏)𝟐 +
𝟓𝒏
𝟑
∑𝒏𝒙=𝟏 𝒙𝟒 =
(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) −
𝟓𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
+ 𝒏 = 𝒏𝟓
𝒏(𝒏+𝟏)(𝟔𝒏𝟑 +𝟗𝒏𝟐 +𝒏−𝟏)
𝟑𝟎
NOTACIÓN DE PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN
En el análisis matemático, una sucesión, una secuencia de números
relacionados entre sí, en la que se toma en cuenta la posición en que
su encuentra el número u objeto matemático. Las sucesiones se
definen como una aplicación matemática cuyo dominio está en el
conjunto de números naturales y su rango, cualquier otro
conjunto.
En esta ocasión hablaremos del producto de una sucesión de
números reales, y este se denota por:
𝑛
∏ 𝐹(1) = 𝐹(1) ∗ 𝐹(2) ∗ … ∗ 𝐹(𝑛)
𝑥=1
Y esto se lee: producto de los números F(x), desde x=1 hasta
x=n.
Sea el ejemplo:
𝒏
∏ 𝒙 = 𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟒 … ∗ 𝒏 = 𝒏!
𝒙=𝟏
𝒏
∏ 𝒙 = 𝒕𝟏 ∗ 𝒕𝟐 ∗ 𝒕𝟑 ∗ 𝒕𝟒 ∗ … ∗ 𝒕𝒏 = 𝒏!
𝒙=𝟏
En esta sucesión los términos tienen una razón de 1, el t2 – t1 = 1, el
cual reemplazando con el ejemplo dado sería, 2 – 1 = 1, y
sucesivamente podemos verificar con cada uno de los términos la
razón. En este caso presentado el producto de la sucesión presenta
una ecuación factorial.
PROPIEDADES DEL PRODUCTORIO
Dada las sucesiones {𝑎𝑛 } 𝑛𝜖ℕ 𝑦 {𝑏𝑛 } 𝑛𝜖ℕ de Números Reales y 𝐶𝜖ℝ:
➢ ∏𝑺𝒌=𝒓(𝒂𝒌 ⋅ 𝒃𝒌 ) = ∏𝑺𝒌=𝒓 𝒂𝒌 . ∏𝑺𝒌=𝒓 𝒃𝒌
➢ ∏𝑺𝒌=𝒓 𝑪. 𝒂𝒌 = 𝑪𝑺−𝒓+𝟏 . ∏𝑺𝒌=𝒓 𝒂𝒌
➢ ∏𝑺𝒌=𝒓 𝑪 = 𝑪𝑺−𝒓+𝟏
𝑻
➢ ∏𝑺𝒌=𝒓 𝒂𝒌 = ∏𝒌=𝒓 𝒂𝒌 + ∏𝑺𝒌=𝑻+𝟏 𝒂𝒌 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 ≤ 𝑇 < 𝑆
➢ Propiedad telescópica si (∀𝑘𝜖ℕ)((𝑎𝑘 ≠ 0), entonces:
𝑺
∏
𝒂𝒌+𝟏 𝒂𝒔+𝟏
=
𝒂𝒌
𝒂𝒓
𝒌=𝒓
BINOMIO DE NEWTON
El binomio de Newton expresa la enésima potencia de un de un
binomio (suma o resta de dos monomios) en la forma desarrollada de
un polinomio. Tiene una gran importancia para el desarrollo de las
matemáticas, así como el de las actividades humanas en el campo
gerencial, de probabilidad e incluso en la programación de softwares.
El binomio de Newton se expresa de dos maneras en su forma
general y la forma a través de combinaciones.
En su forma general lo podemos ver expresado mediante los
siguientes ejemplos:
(𝑎 + 𝑏)0 = 1
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4
⋮
A partir de estos ejemplos podemos destacar los siguientes puntos:
❖ El número de términos que presenta de forma general (𝑎 + 𝑏)𝑛
es igual a 𝑛 + 1 (donde 𝑛 es el exponente del binomio en
cuestión).
❖ Tanto el primer como el último término se encuentran elevado
a la potencia más alta, la cual está dada por 𝑛.
❖ El primer y último término se encuentran multiplicados por la
variable opuesta pero elevada a la cero.
❖ Mientras el exponente de la variable 𝑎 disminuye el de la
variable 𝑏 aumenta, pero ambos exponentes siempre suman el
valor de 𝑛.
❖ Los coeficientes de los términos equidistantes son iguales.
❖ Los coeficientes de los términos respetan un orden conocido
como el triángulo de Pascal.
El triángulo de pascal también conocido como triángulo de
Tartaglia es una representación de los coeficientes binomiales
llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise
Pascal, quien introdujo esta notación en 1654.
1
n=0
1
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
1
n=5
⋮
2
3
4
5
1
10
1
3
6
1
4
10
1
5
1
⋮
En esta forma de representar los coeficientes binomiales podemos
ver que los números se van obteniendo a través de la suma los
dos números del reglón inmediato superior y que tanto el primer
como el último coeficiente siempre será la unidad.
Por otra parte, tenemos la forma de representar el binomio de
Newton a través de combinaciones:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 ⟹ ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏1 + ( ) 𝑎𝑛−2 𝑏 2
𝑘
0
1
2
𝑘=0
𝑛
𝑛
+ ……+ (
) 𝑎1 𝑏 𝑛−1 + ( ) 𝑏 𝑛
𝑛−1
𝑛
Como podemos apreciar la notación no da un panorama general
del desarrollo del binomio de Newton el cual lo podríamos
demostrar a través de dos formas: una de ellas sería su forma
expandida y otra por la sumatoria de todas las combinaciones. Sin
embargo, por cuestiones de precisión trabajaremos en esta
oportunidad con la forma de sumatoria para lo cual aplicaremos
las propiedades que hemos visto anteriormente y algunas
propiedades de los coeficientes binomiales que presentamos a
continuación.
Propiedades del Coeficiente Binomial
Sean 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ entonces:
➢ Si 𝑛 ≥ 𝑘 ⇒ (𝑛𝑘) =
➢ Si 𝑛 < 𝑘 ⇒
➢ (𝑛0) = 1
➢ (𝑛1) = 𝑛
(𝑛𝑘)
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
=0
➢ (𝑛𝑛) = 1
𝑛
➢ (𝑛−1
)=𝑛
𝑛
➢ (𝑛𝑘) = (𝑛−𝑘
)
𝑛
➢ (𝑛𝑘) + (𝑘+1
) = (𝑛+1
)
𝑘+1
𝑛−𝑘
𝑛
➢ (𝑘+1
) = 𝑘+1 (𝑛𝑘)
➢ 𝑘. (𝑛𝑘) = 𝑛. (𝑛−1
)
𝑘−1
El Teorema del Binomio
Como mencionamos anteriormente, para la demostración del
Binomio de Newton por el método de inducción matemática
utilizaremos su forma de la sumatoria de las combinaciones que se
muestra:
𝑛
𝑛
(𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑ ( ) 𝑥 𝑘 𝑎𝑛−𝑘
𝑘
𝑘=0
Para ello empecemos por la demostración de la base de inducción,
ósea para el primer término
Remplazando el 𝑛 = 1 tenemos
1
1
(𝑥 + 𝑎)1 = ∑ ( ) 𝑥 𝑘 𝑎1−𝑘
𝑘
𝑘=0
1
1
(𝑥 + 𝑎) = ( ) 𝑥 0 𝑎1−0 + ( ) 𝑥 1 𝑎1−1
0
1
(𝑥 + 𝑎) = (𝑎 + 𝑥)
(𝑥 + 𝑎) = (𝑥 + 𝑎)
Con ello nuestra base de inducción se demuestra y ahora
procedemos al siguiente paso que es la Hipótesis de Inducción.
Para ello vamos a suponer que la formula se cumple para un número
𝑚𝜖ℕ
𝑚
𝑚
(𝑥 + 𝑎)𝑚 = ∑ ( ) 𝑥 𝑘 𝑎𝑚−𝑘
𝑘
𝑘=0
A partir de ello se debería demostrar que la fórmula también se
cumple para 𝑚 + 1:
𝑚+1
(𝑥 + 𝑎)𝑚+1 = ∑ (
𝑚 + 1 𝑘 𝑚+1−𝑘
)𝑥 𝑎
𝑘
𝑘=0
Demostración:
𝑚
𝑚
(𝑥 + 𝑎)𝑚+1 = (𝑥 + 𝑎)𝑚 . (𝑥 + 𝑎)1 = (𝑥 + 𝑎). ∑ ( ) 𝑥 𝑘 𝑎𝑚−𝑘
𝑘
𝑘=0
𝑚
𝑚
𝑘=0
𝑘=0
𝑚
𝑚
𝑥. ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘 + 𝑎. ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘
𝑘
𝑘
𝑚
𝑚
𝑘=0
𝑘=0
𝑚
𝑚
∑ ( ) 𝑥 𝑘+1 . 𝑎𝑚−𝑘 + ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1
𝑘
𝑘
𝑚
𝑚
𝑘=1
𝑘=0
𝑚
𝑚
𝑘=1
𝑘=0
𝑚
𝑚
∑(
) 𝑥 𝑘−1+1 . 𝑎𝑚−(𝑘−1) + ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1
𝑘−1
𝑘
𝑚
𝑚
∑(
) 𝑥 𝑘−1+1 . 𝑎𝑚−(𝑘−1) + ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1
𝑘−1
𝑘
𝑚
𝑚
𝑘=1
𝑘=1
𝑚
𝑚
𝑚
∑(
) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1) + ∑ ( ) 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1 + ( ) 𝑥 0 . 𝑎𝑚−0+1
𝑘−1
𝑘
0
𝑚
𝑚
𝑚
∑ [(
) + ( )] 𝑥 𝑘 . 𝑎𝑚−𝑘+1 + 𝑎𝑚+1
𝑘−1
𝑘
𝑘=1
𝑚
(𝑥 + 𝑎)𝑚+1 = ∑ (
𝑚 + 1 𝑘 𝑚−𝑘+1)
+ 𝑎𝑚+1
)𝑥 .𝑎
𝑘
𝑘=1
𝑚
(𝑥 + 𝑎)𝑚+1 = ∑ (
𝑚 + 1 𝑘 𝑚−𝑘+1)
𝑚 + 1 0 𝑚−0+1)
+(
)𝑥 .𝑎
)𝑥 .𝑎
𝑘
0
𝑘=1
𝑚+1
(𝑥 + 𝑎)𝑚+1 = ∑ (
𝑚 + 1 𝑘 𝑚+1−𝑘
)𝑥 𝑎
𝑘
𝑘=0
De esta manera hemos demostrado que el binomio de Newton
cumple tanto para el primer número, para un número 𝑚 y para el
siguiente que es un 𝑚 + 1 a través del principio de inducción
matemática.