𝑥
Ejercicio 3)∫(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + √1−𝑥2 )𝑑𝑥
𝑥
=∫(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 + √1−𝑥2 dx
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑢 =
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑥′
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
𝑣=𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
∫(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + √1−𝑥2 )𝑑𝑥= 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥= 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶.
Simplificamos
𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 06) ∫
𝑑𝑥
3
3
2
=∫
√𝑥 ∗ √𝑥 (1 + √𝑥 )
5
1 −2
= ∫ 𝑥 −6 (1 + 𝑥 3 )
𝑑𝑥
1
𝑥2
∗
1
𝑥 3 (1 +
5
1
𝑥 3 )2
= ∫
𝑑𝑥
5
𝑥 6 (1 +
1
𝑥 3 )2
1
𝑑𝑥 = ∫(𝑡 6 )−6 ∗ (1 + (𝑡 6 )3 )−2 ∗ 6𝑡 5 𝑑𝑡
1
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
= 6 ∫ 𝑡 ∗ (1 + 𝑡
∗ 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫
𝑑𝑡 = 6 ∫
𝑑𝜃
(1 + 𝑡 2 )2
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃
𝑑𝜃
3
= 6∫
= 6 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = 3 ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 = 3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) + 𝐶
2
𝑠𝑒𝑐 𝜃
2
3
6
6
= 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( √𝑥 ) + ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( √𝑥 )) + 𝐶
2
−5
2 )−2
5
6𝑒 4𝑥
𝑒 3𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
=
6
∫
𝑑𝑥
1 − 𝑒𝑥
1 − 𝑒𝑥
(1 − 𝑢)3 𝑑𝑢
1 − 3𝑢 + 3𝑢2− 𝑢3 𝑑𝑢
= −6 ∫
= −6 ∫
𝑢
𝑢
𝑢3
𝑢2
= 6 ∫ [3𝑢 +
− 3 − Ln(𝑢)] + 𝐶
3
2
𝑥 )2(1
𝑥 )3
= 6(1 − 𝑒
−𝑒
− 9(1 − 𝑒 𝑥 )2 − 6 𝐿𝑛(𝑒 𝑥 − 1) + 𝐶
𝑥
𝑥
= 6 − 6𝑒 + 2(1 − 3𝑒 + 3𝑒 2𝑥 − 𝑒 3𝑥 ) − 9(1 − 2𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 ) − 6 𝐿𝑛(𝑒 𝑥 − 1)
+ 𝐶 = 6 − 6𝑒 𝑥 + 2 − 6𝑒 𝑥 + 6𝑒 2𝑥 − 2𝑒 3𝑥 − 9 + 18𝑒 𝑥 − 9𝑒 2𝑥
− 6 𝐿𝑛(𝑒 𝑥 − 1) + 𝐶 = −2𝑒 3𝑥 − 3𝑒 2𝑥 − 6𝑒 𝑥 − 6𝐿𝑛(𝑒 𝑥 − 1) + 𝐶
= 6(1 − 𝑒 𝑥 ) + 2(1 − 𝑒 𝑥 )3 − 9(1 − 3𝑥 )2 − 6 𝐿𝑛(𝑒 𝑥 − 1) + 𝐶
𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 09) ∫
Ejercicio 12) ∫
3𝑥 2 +4
2√𝑥(4−3𝑥 2 )√3𝑥 2 +𝑥−4
√𝑥
−4
𝑡𝑔𝜃 = √3𝑥 2
Sug. Hacer
Solución:
Por teorema de Pitágoras
𝑏 = √𝑥
𝑐 2 = (√3𝑥 2 − 4)2 + (√𝑥)2
𝑐 = √3𝑥2 + 𝑥 − 4
𝑐 2 = 3𝑥 2 − 4 + 𝑥
𝑎 = √3𝑥2 − 4
√𝑥
−4
𝑡𝑔𝜃 = √3𝑥 2
𝑐 = √3𝑥 2 + 𝑥 − 4
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 → 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 =
−(3𝑥 2 −4)𝑑𝑥
2√𝑥 (3𝑥 2 −4)√3𝑥 2 −4
(3𝑥 2 −4)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 =
∫2
(3𝑥 2 +4)(√3𝑥2 −4)
3𝑥 2 +4
√
=∫
𝑥(4−3𝑥 2 )√3𝑥 2 +𝑥−4
2
√𝑥(4−3𝑥 2 )(√3𝑥2 −4 )√3𝑥 2 +𝑥−4
=ln|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝑐 = ln |
Ejercicio 18) ∫
1
2𝑥
1−4 𝑥
2√𝑥 (4−3𝑥 2 )√3𝑥 2 −4
𝑑𝑥 = ∫
√3𝑥2 +𝑥−4
√3𝑥2 −4
2𝑥
+
√𝑥
| + 𝑐 = ln |
√3𝑥2 −4
𝑢
1−(2𝑥 )2
=∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 =
𝑑𝑥 = ∫
1−𝑢2
𝑑𝑢
2𝑥 ln(2)
√3𝑥2 +𝑥−4 +√𝑥
|+
√3𝑥2 −4
=∫
𝑢
𝑑𝑢
1−𝑢2
u ln(2)
𝑑𝑢
=
∫
ln(2) 1−𝑢2
=
1
1
ln(2) 2
ln |
𝑢+1
𝑢−1
|+𝑐 =
1
2ln(2)
ln |
𝑢+1
𝑢−1
|+𝑐 =
1
𝑙𝑛4
ln |
𝑐.
2𝑥 +1
2𝑥 −1
| + 𝑐.
=
4
4
Ejercicio 21)∫ 𝑒 √𝑥 𝑑𝑥 = √𝑥 = 𝑡 → 𝑥 = 𝑡 4 → 𝑑𝑥 = 4𝑡 3 𝑑𝑡 | 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = 𝑒 𝑡
4 ∫ 𝑒 𝑡 𝑡 3 𝑑𝑡 = 4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 3𝑡 2 𝑑𝑡] =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3(𝑡 2 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 2𝑡 𝑑𝑡)] =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3(𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2 ∫ 𝑒 𝑡 𝑡 𝑑𝑡)] =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3(𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2{𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡})] =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3(𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2{𝑡 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 })] + 𝐶 =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3(𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2𝑡 𝑒 𝑡 − 2𝑒 𝑡 )] + 𝐶 =
4[𝑡 3 𝑒 𝑡 − 3𝑡 2 𝑒 𝑡 + 6𝑡 𝑒 𝑡 + 24𝑒 𝑡 ] + 𝐶 =
4𝑡 3 𝑒 𝑡 − 12𝑡 2 𝑒 𝑡 + 24𝑡 𝑒 𝑡 + 24𝑒 𝑡 + 𝐶 =
𝑒 𝑡 ( 4𝑡 3 − 12𝑡 2 + 24𝑡) + 24 + 𝐶 =
𝑒 𝑡 (4𝑡 3 − 12𝑡 2 + 24𝑡) + 𝐶 =
4
4
4
4
𝑒 √𝑥 (4 √𝑥 3 − 12 √𝑥 2 + 24 √𝑥) + 𝐶
𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 27) ∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√2𝑥)
√1 − 2𝑥
𝑢 = √2𝑥 → 𝑢2 = 2𝑥 𝑑𝑢 =
∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑢𝑑𝑢
√1−𝑢2
𝑑𝑥 =
1 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
→ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 =
2 √2𝑥
√2𝑥
√1−𝑢2
= −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢)√1 − 𝑢2 + ∫ √1−𝑢2 𝑑𝑢 = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢)√1 − 𝑢2 + 𝑢 +
𝐶=
= −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√2𝑥 )√1 − 𝑢2 + √2𝑥 + 𝐶
Ejercicio 33) ∫
𝑥 2 −𝑥
√𝑥+1−√𝑥 2 +1
𝑑𝑥
𝐼=∫
𝐼= ∫
𝑥2 − 𝑥
√𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 1
√𝑥 + 1 − √𝑥 2 + 1 √𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 1
(𝑋 2 −𝑋)(√𝑋+1+√𝑋 2 +1
𝑑𝑥
𝑋+1−(𝑋 2 +1)
= −∫
𝑑𝑥
(𝑥 2 −𝑥)(√𝑥+1+√𝑥 2 +1)
𝑑𝑥
𝑥 2 −𝑥
𝐼 = − ∫ (√𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥
3
(𝑥 + 1)2 1
1
= − {2
+ [𝑥√𝑥 2 + 1 + ln |x + √𝑥 2 + 1|]} + 𝐶
3
2
2