EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA I Y II (Bachillerato)

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA I Y II
(Bachillerato)
EJERCICIO 1 Contesta Verdadero o Falso según corresponda. Justifica las respuestas:
3
, entonces sen α = 3 y cos α = 5 .
5
(b) cos 60º = cos(30º +30º ) = cos 30º + cos 30º .
(a) Si tg α =
(c) Si la tangente de un ángulo α es negativa, entonces α está forzosamente en el
segundo cuadrante.
(d) tg β ⋅ cotg(−β ) + 1 = 0 .
(e) El seno de un ángulo cualquiera se define como el cociente entre el cateto opuesto
y la hipotenusa.
(f) sen2α + sen2 (90º −α) = 1 .
(g) Si sen α = sen β es porque α = β .
(h) Un radián es un arco cuyo ángulo central mide lo mismo que el radio.
(i) Si sen α = −2 , entonces α está en el tercer o cuarto cuadrante.
(j) No existe ningún ángulo que tenga todas sus razones negativas.
(k) En una circunferencia de 3 metros de radio, un radián es tres veces mayor que un
radián medido sobre una circunferencia de 1 metro de radio.
(l) 1m = 60′′ .
(m) Si tg(π − α) = 3 , es porque tg α = −3 .
1
1
y cos α = .
2
3
EJERCICIO 2 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
(n) Puede haber un ángulo que cumpla senα =
(a)
sen 2a 1 + cos 2a
:
sen a
cos a
(
(b)
sen 2β
cos 2β + 1
)
α
α 2
⎛ α + β ⎞⎟
⎛ α − β ⎞⎟
− cos
⋅ (1 + sen α)
− sen2 ⎜⎜
(d) sen2 ⎜⎜
⎟
2
2
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠⎟⎟
(c)
sen 2α
EJERCICIO 3 Verifica las siguientes identidades:
sen
⎛π
⎞
⎛π
⎞
(a) 2 tg 2β = tg ⎜⎜ + β ⎟⎟ − tg ⎜⎜ − β ⎟⎟
⎝4
⎠
⎝4
⎠
(c)
cos x + senx cos x − senx
−
= 2tg2x
cos x − senx cos x + senx
⎛ tg α
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
cos2 α
α
2
2 α
2
⎜
(e) ⎜
− 2 ⋅ sen ⎟⎟ ⋅ cos
=
⎜⎜ sen α
2 ⎟⎟
2
2
⎜⎝
⎠⎟
(b)
tga
= cos 2a
tg2a − tga
1 + tg2x
(d)
= sec 2x
sec2 x − 2tg2x
(f)
sen3x + senx
2
=
sen3x − senx
1 − tg2x
EJERCICIO 4 Sin utilizar la calculadora:
(a) Si tg35º = 0, 7 halla cotg1.510º .
(b) Demuestra que tg67º 30′ = 2 + 1 .
(c) Calcula el valor de la expresión sen195º + sen75º .
(d) Calcula el valor de la expresión cos 20º + cos100º + cos140º .
EJERCICIO 5 Sin usar la calculadora y sabiendo que
1
π
3π
sen α = −
con
<α<
,
2
2
4
α
calcula: sen 2α y tg .
2
EJERCICIO 6 Sin usar la calculadora y sabiendo que
1
3π
tgα = −
y
< α < 2π ,
3
2
α
calcula: sec(360º −α) , sen , cos2α y tg(90º +α) .
2
EJERCICIO 7 Sin usar la calculadora y sabiendo que
1
3π
3
3π
cos α =
con
con π < β <
,
< α < 2π y sen β = −
2
2
2
5
β
calcula: sen(α + β ) , cos(α − β ) , sen 2α y cos .
2
EJERCICIO 8 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
(a) cos2 x + 2 sen2x = 1
(c) cos x ⋅ cotgx =
3
2
(b) tgx = 2 sen2x
(d) 2 tgx − 1 = tg2x
(e) sen2x + senx = 0
(f) cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
(g) senx = cos 2x
(h) sen2x ⋅ cos x = 6 sen 3x
(i) tg2x ⋅ tgx = 1
(j) 6 cos2
(k) cos x + tg2
(m)
2 cos
x
=1
2
x
− cos x = 1
2
x
= 5 + cos2 x
2
π⎞
π⎞
⎛
⎛
(l) cos2 ⎜⎜x + ⎟⎟ = sen x + sen2 ⎜⎜x + ⎟⎟
⎝
⎝
6⎠
6⎠
(n) cos 4x + cos 2x = cos x
x
+ 3 cos x = 0
2
(ñ) 1 + 4 senx = cos 2x
(o) −1 + tg2
(p) cos 3x + cos x = cos 2x
(q) sen(3x + 40º ) + sen(x + 20º ) = 0
EJERCICIO 9 Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica sin utilizar la calculado-
ra:
senx = cos x −
3 −1
.
2
⎡ π⎤
EJERCICIO 10 Resuelve en el intervalo ⎢0, ⎥ los siguientes sistemas:
⎣⎢ 2 ⎦⎥
3⎫
⎪
sen x ⋅ cos y = ⎪
sen x + cos y = 2 ⎫⎪⎪
4⎪
⎪⎬
⎪
(a)
(b)
⎬
π
⎪⎪
1⎪
x +y =
⎪
cos
x
sen
y
⋅
=
⎪⎭
⎪
2
4⎪
⎭
EJERCICIO 11 (Distancia entre un punto accesible y otro que no lo es) ¿Qué distancia hay entre la casa y el castillo? Utiliza dos métodos diferentes.
EJERCICIO 12 (Distancia entre dos puntos inaccesibles) Calcula a qué distancia se
hallan los dos barcos de la figura:
EJERCICIO 13 Del cuadrilátero de la figura adjunta, halla:
(a) La diagonal b.
(b) El ángulo x.
+
(c) El área del triángulo ACD .