Propuesta de Evaluación por Competencias para Estudiantes de Cálculo

PROPUESTA DE EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS PARA
ESTUDIANTES DEL CURSO DE CÁLCULO EN UNA
VARIABLE DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y
FÍSICA DE LA FACULTAD DE EDUCACIÓN MODALIDAD
PRESENCIALIDAD CONCENTRADA
EDWIN FERNEY MONTOYA VELASQUEZ
Licenciado en Matemáticas y Física
Monografía realizada como requisito parcial para optar el
título de Especialista en Didáctica Universitaria
Presidente
HENRY LANIADO RODAS
Magíster en Matemáticas Aplicadas
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
2006
A mi Madre, a mi Hermana y a mi sobrina Manuela.
iii
Mil gracias a mi amigo y asesor Henry Laniado Rodas por su excelente dirección y
acompañamiento en el arduo pero fructífero proceso de estructuración de esta
propuesta.
A los maestros Elvia María González, Ruth Elena Quiroz, Claudia Vélez, Beatriz
Castañeda, Lourdes Valverde, Álvaro Zapata y Gonzalo Restrepo y a mis
compañeros de la especialización, gracias por sus enseñanzas y
acompañamiento.
A todos los estudiantes del curso de cálculo en una variable con los que se ha
compartido y en especial a aquellos que participaron de la implementación de la
propuesta, gracias por su dedicación y por el valor que le procuraron a este
proceso.
Mil gracias a mi madre Luz Aurora Velásquez, a mi hermana Luz Janet Montoya y
a mi sobrina Angie Manuela Montoya, quienes me proporcionan el entusiasmo
para buscar las metas.
Gracias a la Universidad de Antioquia, mi Alma Mater.
iv
Índice general
Página
Prólogo
1
Introducción
9
1 Terminología y Generalidades
1.1
La Competencia
11
1.2
Niveles de Competencia
14
1.3
La Evaluación
16
1.4
Evaluación en la Modalidad Semipresencial
18
1.5
Innovación en la Evaluación
20
2 Evaluación y Competencias en Matemáticas
2.1
La Competencia en Matemáticas
2.2
La Evaluación en Matemáticas
25
2.2.1 Períodos Históricos
27
2.2.2 Modelos
29
2.3
33
Resolución de Problemas en Matemáticas
v
3 Evaluación por Competencias
41
4 Propuesta de Evaluación por Competencias
4.1
Conceptualizaciones
4.2
Estructura
47
4.2.1 Objetos de Estudio y Desempeños
49
4.2.2 Diseño de Instrumentos
51
4.3
54
Aplicación
Instrumentos de Evaluación
56
Conclusiones y Recomendaciones
67
Referencias Bibliográficas
69
Bibliografía
73
Anexos
75
vi
Prólogo
“Un análisis serio del concepto de competencias introduce preguntas
esenciales en el campo educativo, preguntas éticas que nos remiten al por qué y
para qué educar” (Torrado, 2000:52) El término se encuentra inmerso en las
actuales discusiones pedagógicas, didácticas, políticas, económicas, sociales…
sobre el tipo de sociedad y de ser humano que se pretenden para el futuro. Es
deseable un individuo competente, en el sentido en que pueda utilizar su
conocimiento para contribuir con los ideales de una mejor sociedad. En cierto
sentido, se trata de la articulación del ser del sujeto con su entorno sociocultural, lo
cual resulta significativo si la educación contribuye en la formación de personas
con un gran despliegue de sus capacidades cognitivas. Para ello, es necesario
que se superen las prácticas educativas basadas en la imposición y transmisión
unilateral del conocimiento y aquellas en las que se privilegian los aprendizajes
memorísticos que repiten, sin ninguna modificación, la información recibida de lo
que otros han dicho o hecho. Se necesita de un aprendizaje constructivo,
comprensivo y reflexivo que propicie la aplicación flexible y pertinente de los
saberes en la resolución de los problemas de la vida.
La utilización del término competencia no es arbitraria, sino que refleja en
parte la dinámica que se presenta en este contexto. El vocablo competencia es
polisémico y ha transitado por diferentes campos del conocimiento que han
contribuido en su formación. En el tema de la competencia tienen encuentro dos
maneras de concebirse el saber humano relacionadas con las dos formas de
entender la mente provenientes de la tradición griega (Gómez, 2001) De una
parte, está la concepción parmenídea relacionada con la capacidad de organizar
1
el mundo de una forma abstracta, formal, estática, impersonal, en la que se
establecen universales a través de la búsqueda de invariantes. De otra parte, está
la
concepción
heraclítea
relacionada
mucho
más
con
los
contextos
interpersonales, más dinámica, más situacional, donde las capacidades se
desencadenan de acuerdo a las exigencias de las tareas y los problemas que los
contextos particulares disponen.
En la posición de los universales está Chomsky, quien dentro de la
lingüística utiliza el término competencia en su teoría sobre el carácter creativo del
lenguaje. Para él la competencia es el conocimiento de un conjunto finito de
signos y de reglas abstractas, a través del cual el sujeto puede generar un
conjunto infinito de opciones lingüísticas para comunicarse; es la competencia
lingüística. En la perspectiva de los particulares, y desde la sociolingüística,
Hymes postula la competencia comunicativa en referencia a que quien utiliza el
conocimiento lingüístico lo hace en un contexto sociocultural que le exige utilizarlo
adecuadamente; de manera que para este autor la competencia es un
conocimiento situado, concreto y cambiante (Torrado, 2000)
En la psicología también pueden interpretarse posiciones desde estas dos
tendencias. De una parte está Piaget, quien no utiliza el término competencia en
su teoría sobre el desarrollo cognitivo, pero si habla de un conocimiento abstracto
que posee el sujeto y el cual utiliza en la resolución de tareas prácticas o
intelectuales. Las estructuras lógicas, como informaciones de carácter abstracto:
reglas y formas de pensamiento, se entienden como modelos de competencia. De
otra parte está Vigotsky, para quien el desarrollo cognitivo no se explica través de
mecanismos internos de funcionamiento, sino de acuerdo al impacto del mundo
social y cultural en la vida psicológica del individuo (Torrado, 2000)
2
Pueden pensarse también dos formas de entender la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas, una proveniente del pensamiento platónico y otra
del aristotélico (Dossey, 1992; citado por Pozo y otros, 1994) Desde la concepción
idealista y formalista de Platón sobre la naturaleza de las matemáticas, en la cual
el conocimiento matemático es una construcción abstracta, se postula que su
aprendizaje debe promover fundamentalmente el desarrollo de las capacidades
generales del razonamiento, el cual favorece el desenvolvimiento del sujeto en las
diferentes situaciones que se le presenten. Proveniente del pensamiento de
Aristóteles, se hace referencia al cómo los diferentes contextos han propiciado las
condiciones para el desarrollo de los diferentes campos de la matemática, la cual
se constituye en una herramienta práctica para la solución de problemas
contextuales; además, esta ciencia se instituye como lenguaje de las ciencias y la
tecnología y por medio de ella se contribuye en gran medida en su desarrollo.
Pueden interpretarse estas dos tendencias con respecto a la competencia
en la educación. De una parte, está la competencia como un saber que, un hacer
sabiendo, que enfatiza en el desarrollo cognitivo de los sujetos a través del
aprendizaje significativo de los objetos de conocimiento, propiciando su utilización
en la resolución de las diferentes situaciones de la vida. De otra parte, está la
competencia como un saber hacer, que enfatiza en las capacidades de realización
en los diferentes contextos mediante la utilización de las informaciones que se
poseen.
(Torrado, 2000) propone que esta dos tendencias con relación al concepto
de competencia, antes que ser antagónicas, deben complementarse de manera
que lo interno cognitivo sea un eje de desarrollo de las dimensiones sociales y
culturales, y que estas se constituyan en un medio significativo para el desarrollo
del pensamiento. El concepto de competencia se presenta en un contexto en el
que tienen acercamiento dos paradigmas fundamentados en distintas fuentes con
3
respecto a la enseñanza y el aprendizaje y en ello radica gran parte de la
importancia de la utilización de este concepto en el proceso docente educativo. De
una parte, debe tenerse cuidado, como tradicionalmente se ha hecho, de lograr
que los estudiantes desarrollen sus capacidades cognitivas y aprendan de manera
significativa los objetos matemáticos. Pero ahora, también se requiere que esos
conocimientos le sirvan al sujeto para mejorar su calidad de vida y para que pueda
contribuir con el desarrollo de la sociedad y la cultura que le rodean.
En Colombia el tema de la competencia llegó a los sistemas educativos en
una dinámica conocida con el nombre de “evaluación de la calidad” (Bustamante,
2003) y se propusieron varios tipos de evaluación en los que el objeto a evaluar
era la competencia (Torrado, 1998), los cuales se aplicaron sin haber tenido en
cuenta todavía el concepto en el proceso de enseñanza y aprendizaje; por
ejemplo, los exámenes de la calidad de la educación superior ECAES cuyos
objetivos son “comprobar el grado de desarrollo de las competencias de los
estudiantes que cursan el último año de los programas académicos de pregrado
que ofrecen las instituciones de educación superior y servir de fuente de
información para la construcción de indicadores de evaluación del servicio público
educativo, que fomenten la cualificación de los procesos institucionales, la
formulación de políticas y faciliten el proceso de toma de decisiones en todas las
órdenes y componentes del sistema educativo” (Decreto Número 1781 de 2003)
De manera que una evaluación por competencias podría ser aplicada aún antes
de que se tuviera una planeación educativa en relación con el concepto. Aún así,
este tipo de evaluación posee características como el exigir al evaluador la toma
de distancia desde posiciones de contemplación pasiva de las cosas que van a ser
apreciadas y asumir un papel activo de acompañamiento a los procesos mediante
el establecimiento de diálogos que contribuyan con el mejoramiento continuo de la
educación (Bogoya, 2000)
4
Al entender la competencia como una actuación idónea que emerge en una
tarea concreta en un contexto con sentido en el que un conocimiento asimilado
con propiedad actúa para ser aplicado en una situación determinada, de manera
suficientemente flexible para proporcionar soluciones variadas y pertinentes
(Bogoya, 2000); es fundamental desarrollar procesos didácticos que orienten
significativamente el proceso de enseñanza y aprendizaje. A este respecto, la
metodología del aprendizaje significativo es propuesta por (Tobón, 2004:203), todo
lo relacionado con la resolución de problemas es sugerida por infinidad de autores,
entre ellos (Ouellet, 1998) y (Gómez, 2001); para el caso particular de las
matemáticas, (Mesa, 2004) presenta su propuesta de red conceptual. En todo
caso, el proceso docente educativo desarrollado debe favorecer la apropiación
adecuada de los conocimientos y su aplicación pertinente en determinados
contextos.
En el caso particular del curso de cálculo en una variable de la Facultad de
Educación modalidad presencialidad concentrada, se desarrollan actividades
orientadas según las disposiciones establecidas en la autoevaluación del
programa de Licenciatura en Matemáticas y Física para el desarrollo del proceso
docente educativo (ver CD-ROOM en el centro de documentación de la Facultad
de Educación) Según este documento, no existe el método más eficaz para
enseñar mejor o el método único. Más sin embargo, cualquiera de ellos debe
incentivar el ejercicio de las habilidades del pensamiento como la deducción, la
inducción, la analogía, la simulación, el análisis, la abstracción, la síntesis, la
generalización… a través de los contenidos. Se impulsan técnicas y procedimiento
propios de las pedagogías activas y constructivistas como la resolución de
problemas, a fin de que los estudiantes construyan y reconstruyan aprendizajes y
aprendan a aprender de manera significativa.
5
Dentro de la tendencia sociocultural del concepto de competencia se
cuestiona sobre la utilidad que tienen los conocimientos para ser aplicados en la
cotidianidad y en la vida laboral del individuo. Esta reflexión en toda su dimensión
es propuesta para un curso de didáctica de las matemáticas. En todo caso, esta
monografía se realiza en el contexto de un curso de cálculo integral de acuerdo a
los objetivos establecidos para éste y con relación a la evaluación del aprendizaje
de los objetos matemáticos y su aplicación para resolver situaciones en contextos
propios de la matemática y de otras ciencias como la física.
Con respecto a la evaluación del aprendizaje en el curso, se plantea el
diseño de una propuesta alternativa a la empleada tradicionalmente para valorar la
competencia de los estudiantes. En el Anexo No. 3 se presenta una prueba
conformada por varios tipos de items que son frecuentemente utilizados. El
primero contiene dos partes; en una de ellas se solicita la realización de un
procedimiento, lo cual resulta bastante significativo para determinar si hay
identificación de los elementos constituyentes de un objeto matemático y, demás,
se visualiza si el sujeto sabe como conformarlo; este tipo de situación evaluativa
es conveniente. En la otra parte del ítem, y como ocurre con muchos tipos de
preguntas de selección múltiple y de falso o verdadero, se solicita la escogencia
de una respuesta en forma lacónica, selección que no incluye ningún tipo de
argumentación y, que por lo tanto, a través del resultado no es posible determinar
apropiadamente el reconocimiento o no de los objetos matemáticos, la capacidad
de su utilización y el grado de comprensión que sobre ellos posee el sujeto; todo
ello dada la posibilidad de la fortuna en la escogencia. Para rescatar este tipo de
situaciones pueden incluirse preguntas argumentativas y situaciones que exijan al
evaluado hacer explícitos los procesos que en cierta medida puedan develar el
funcionamiento de sus capacidades cognitivas.
6
El segundo ítem es, en efecto, de escogencia múltiple y la selección
realizada por el evaluado, como se dijo, puede o no constatar su conocimiento. En
la situación particular presentada, el estudiante debe realizar un procedimiento
para encontrar la solución, tal vez pueda hacerlo en forma mental sin importar la
cantidad de acciones requeridas o mejor podría hacerlo por escrito para que el
evaluador o el mismo evaluado pueda encontrar las posibles confusiones o
equivocaciones. En todo caso, al no solicitarse un argumento que sustente la
selección no es posible determinarse el conocimiento y la capacidad del sujeto en
el manejo de los objetos matemáticos.
En el tercer ítem se solicita la “demostración” de un teorema, entrando con
ello en un campo matemático bastante complejo. En esta situación, simplemente
se presenta una proposición y el estudiante podrá tomar cualquier infinidad de
caminos para lograr el cometido. En general, lo que puede esperarse es que el
sujeto siga un camino claro y riguroso que evidencie el correcto manejo de la
situación demostrativa, en el que pueda apreciarse la adecuada utilización de los
conocimientos conceptuales y procedimentales, pero en muchas ocasiones las
realizaciones del evaluado no son fácilmente descifrables por el evaluador. Surge
la inquietud sobre la posibilidad de “acompañar” y valorar en gran parte lo que el
evaluado debe y puede hacer, incluyendo las tentativas y las falsas pistas
abandonadas; tomándose con ello conciencia sobre el modo en cómo se
desenvuelve el sujeto, su manera de proceder, su estilo, su “caminado” y así
favorecer el sentido de la evaluación.
Correspondiente con lo que en algunos textos se denomina “ejercicio” y en
relación con lo que (Polya, 1984) denomina “problemas de rutina”, en el cuarto
ítem se presenta una situación en la que el evaluado debe utilizar elementos
matemáticos para transformar el objeto propuesto o encontrar otros objetos
relacionados con él a través de procedimientos en cierta medida bien
7
establecidos. Es deseable poder evidenciar claramente el conocimiento que posee
el evaluado de esos elementos matemáticos necesarios y lograr develar con
propiedad su actuar.
Del quinto al octavo ítem proponen situaciones comúnmente denominadas
“problemas” en los textos académicos y que se relacionan con lo que (Polya,
1984) denomina “problemas por resolver”. El propósito en cada una de ellas es
descubrir cierto objeto a partir de la información suministrada pero, a diferencia de
los “problemas de rutina”, las posibilidades para proceder a la solución son más
abiertas, en el sentido de que el evaluado debe recurrir en mayor medida a su
creatividad y experiencia para abordar las situaciones. En estos contextos, se
plantea el deseo de una evaluación a través de la cual se pueda evidenciar
claramente el conocimiento que posee el evaluado de los diferentes objetos
matemáticos y lograr develar con propiedad su actuar al aplicarlos; en efecto, una
evaluación que evidencie claramente la forma en cómo el evaluado identifica los
objetos presentes directamente en la situación, identifica las posibles relaciones
que se dan entre ellos, conjetura a cerca de las posibles herramientas que podría
utilizar para resolverla y desarrolla los procedimientos para encontrar las
soluciones. Todo ello con el fin de evidenciar con claridad la asimilación apropiada
de los conocimientos y la manera flexible y pertinente con que el sujeto los aplica
para la búsqueda de las soluciones.
En conclusión, la forma de evaluación de los aprendizajes utilizada
tradicionalmente puede ser replanteada para que contribuya con evidenciar en
forma más conciente y sistemática la competencia de los estudiantes. En este
trabajo se pretende diseñar una propuesta de evaluación de los aprendizajes
mediante un seguimiento en el proceso evaluativo conforme a las características
propias del contenido matemático y de la flexibilidad y la generalidad
procedimental con que el sujeto puede abordar las diferentes situaciones.
8
Introducción
En este trabajo se presenta una propuesta de evaluación por competencias
para estudiantes de cálculo en el programa de Licenciatura en Matemáticas y
Física de la modalidad presencialidad concentrada. La estructura general del
escrito consta de cuatro capítulos. En el primero, denominado terminología y
generalidades, se abordan los conceptos sobre competencia y evaluación. Para el
primero se realiza un estudio de las concepciones que algunos autores tienen
sobre le término y se describen dos esquemas para caracterizar la competencia
en niveles. Para la evaluación se determinan ciertas etapas por las cuales ha
transitado este concepto y se destacan algunas pautas para tratar de realizar una
evaluación innovadora. También se revisan algunos elementos que pueden
contribuir con la realización de un proceso evaluativo adecuado en la modalidad
semipresencial (semejante a la modalidad de presencialidad concentrada)
El
segundo
capítulo,
denominado
evaluación
y
competencias
en
matemáticas, trata sobre la forma en cómo puede ser vista la competencia desde
el contexto matemático y sus implicaciones en los procesos evaluativos que
incluyen modelos y técnicas relacionadas para realizar la evaluación. Finalmente,
en este capítulo, se describen características de las estrategias para abordar la
resolución de problemas propuesta por George Polya.
“Evaluación por competencias” es el título del tercer capítulo en el que se
revisan propuestas teóricas presentadas por André Ouellet y Rómulo Gallego en
compañía con Roymán Pérez, en dos artículos en los que se describen
características generales que debe presentar una evaluación de este tipo.
También se describen las características de la propuesta de modelo de evaluación
9
por competencias escrita por la Magíster en Educación María Helena Quijano
Hernández para estudiantes de los diferentes cursos de la Escuela de
Administración de Negocios en Santa Fe de Bogotá. Además, se presentan
algunas particularidades de la propuesta de “Modelo para la Evaluación de
Competencias en el Área de Ciencias Básicas de Ingeniería”, expuesta por los
ingenieros Carlos Arturo Castro Castro y Libardo Antonio Londoño Ciro en el
marco
del
“Primer
Encuentro
de
Educación
Superior:
Formación
por
Competencias” realizado en junio de 2005 en Medellín.
En el capítulo cuarto se presenta la propuesta de evaluación por
competencias que atañe a este trabajo. Ella constituye un aporte a la literatura en
los aspectos relacionados con la búsqueda del hacer del proceso evaluativo de los
aprendizajes en la universidad un acto más consciente y reflexivo; en especial,
contribuye con una estructura evaluativa, sustenta en conceptualizaciones
alrededor del concepto de competencia en matemáticas, la cual evidencia los
desempeños de los estudiantes enfrentados a procesos de resolución de
problemas. Para el desarrollo de la propuesta, se inicia por determinar esas
conceptualizaciones necesarias tales como la concepción de competencia y su
caracterización en niveles, para luego evidenciar la estructura evaluativa mediante
la utilización de las características propias de los objetos de conocimiento del tema
de la integral definida y sus aplicaciones y el diseño de los instrumento necesarios
para realizar concretamente la evaluación por competencias. Finalmente, en el
Anexo No. 4 se muestran algunas medidas descriptivas de los datos recogidos en
una evaluación realizada a la propuesta por los estudiantes de cálculo con los
cuales ella se implementó.
10
Capítulo 1
1 Terminología y Generalidades
En este capítulo se estudian los dos conceptos fundamentales que
conciernen a este trabajo. Por un lado, es apropiado conocer el significado
etimológico del término competencia y delimitar su campo semántico; para luego,
observar acepciones que algunos autores le han atribuido en la educación.
También es importante revisar al menos dos caracterizaciones del concepto en
niveles para determinar posibilidades en su operacionalización.
De otra parte, la evaluación ha transitado por diferentes etapas que han
contribuido en su constante resignificación, dotándola de grandes posibilidades
para su utilización en el proceso formativo; además, es preciso establecer
elementos que pueden contribuir con la innovación en su aplicación y poder
realizarla de una manera más consciente y reflexiva.
1.1 La Competencia
El término competencia hace parte del discurso actual en materia de
educación en todo nivel de formación. Su utilización debe hacerse de una manera
conciente para que pueda contribuir significativamente con los procesos
formativos y académicos en los que se tenga en cuenta su participación. En este
sentido es importante tener claro el significado que se le atribuye al vocablo.
11
La palabra competencia procede de dos verbos castellanos, por un lado, de
competir ‘contender aspirando por una misma cosa’, y por otro, de competer
‘pertenecer, incumbir’. Estos dos verbos provienen ambos del verbo latino
competĕre ‘ir al encuentro una cosa de otra’, ‘ser adecuado, pertenecer’
(Corominas, 1967:163) En este trabajo la utilización del término competencia se
refiere más al sentido de que alguien es competente para algo, de que posee
determinadas cualidades que le permiten realizar ciertas acciones.
El concepto de competencia no ha sido establecido con un criterio único. En
campos como la lingüística, los autores han diferido en la forma como conciben el
término. El lingüista americano Noam Chomsky define la competencia como la
“capacidad y disposición para la actuación y la interpretación” (Gallego, 1999:13),
en un intento por construir una teoría cognoscitiva que explique el carácter
creativo en la adquisición del lenguaje. Chomsky se refiere aun conjunto de reglas
universales que adquiere el sujeto y a través de las cuales actúa en situaciones
particulares. Por otra parte, Dell Hymes realiza, desde la sociolingüística, una
crítica al concepto chomskiano de competencia y sustenta que la competencia
lingüística no se limita sólo a reglas universales, sino que es también un
conocimiento determinado por un contexto específico (Torrado, 2000:31). En
educación, el término competencia ha sido definido de diferentes maneras, entre
ellas:
REFERENTE
Gardner
Gonczi y
Athanasou
1996
ACEPCION*
Espacios pedagógicos y didácticos para la producción, percepción y
reflexión.
Las competencias son una compleja estructura de atributos necesarios
para el desempeño en situaciones específicas, que combinan aspectos
tales como actitudes, valores, conocimientos y habilidades con las
actividades a desempeñar.
12
Levy y
Las competencias son “repertorios de comportamientos que algunas
Leboyer
personas dominan mejor que otras, lo que las hace eficaces en una
2000
situación determinada”.
“Como principio de organización de la formación, la competencia puede
Ouellet
apreciarse en el conjunto de actitudes, conocimientos y de habilidades
2000
específicas que hacen a una persona capaz de llevar a cabo un trabajo
o de resolver un problema particular”
“Una actuación idónea que emerge en una tarea concreta, en un
Bogoya y
otros 2000
contexto con sentido. Se trata entonces de un conocimiento asimilado
con propiedad y el cual actúa para ser aplicado en una situación
determinada, de manera suficientemente flexible como para proponer
soluciones variada y pertinentes”
Gallego
2002
Son construcciones de cada cual, de conformidad con los retos que se
plantea y en relación con un colectivo determinado.
“Una competencia es una capacidad para el desempeño en tareas
Vasco
relativamente nuevas, en el sentido en que son distintas a las tareas de
2003
rutina que se hicieron en clase o que se plantean en contextos distintos
de aquellos en los que se enseñaron”
Delors
(UNESCO)
1996
Las competencias están en relación con el aprender a hacer: de la
noción de calificación al de la competencia.
La competencia es un “saber hacer” o conocimiento implícito en el
M.E.N
campo del actuar humano, acción situada que se define en relación con
determinados instrumentos mediadores.
“Saber Hacer en Contexto”
Fuentes: (Tobón, 2004:45) y (Quijano, 2003:57)
13
Ante las diversas formas de establecer el concepto de competencia, puede
decirse que es un término polisémico y que se hace necesario delimitarlo
estableciendo su definición de acuerdo al proceso educativo que se pretenda
desarrollar.
1.2 Niveles de Competencia
Pueden encontrarse al menos dos esquemas para establecer niveles de
competencia, uno de ellos es descrito en (Pedraza y Garzón, 2000), quienes ante
la pregunta ¿cuándo un estudiante es competente en matemáticas?, afirman que
es competente aquel que a través de ciertas acciones muestra las significaciones
que ha logrado construir sobre los objetos matemáticos. El sujeto a través de
acciones de tipo interpretativo, argumentativo y propositivo evidencia, a partir de
situaciones problemas y mediante el uso que hace de esos objetos para
resolverlas, el nivel de significación que ha logrado alcanzar. Estos niveles de
competencia se caracterizan de la siguiente manera:
“Interpretar. Se refiere a las posibilidades del estudiante para dar sentido, a partir
de la matemática, a los diferentes problemas que surgen de una situación.
Interpretar consiste en identificar lo matematizable que se infiere de la situaciónproblema, a partir de lo que ha construido como conocimiento matemático, y
poderlo expresar como un modelo matemático.
Argumentar. Se refiere a las razones o los porqués que el estudiante pone de
manifiesto ante un problema; la expresión de dichos porqués busca poner en
juego las razones o justificaciones expresadas como parte de un razonamiento
lógico, esto es, las relaciones de necesidad y suficiencia, las conexiones o
encadenamientos que desde su discurso matemático son válidas. Estas
razones, justificaciones o porqués no deben corresponder a una argumentación
desde lo puramente cotidiano, sino que deben ser razones que permitan
14
justificar el planteamiento de una solución o una estrategia particular desde las
relaciones o conexiones validadas dentro de la matemática.
Proponer. Se refiere a la manifestación del estudiante en cuanto a los hechos
que le permiten generar hipótesis, establecer conjeturas, encontrar deducciones
posibles ante las situaciones propuestas. La proposición no se infiere
directamente de la situación-problema dada, sino que es un consenso que el
estudiante hace frente a la puesta en escena de distintas estrategias, en esta
acción se pretende tener en cuenta las diferentes decisiones que como
pertinentes se presentan frente a la resolución de un problema.” (Pedraza y
Garzón, 2000:21)
Otro esquema es propuesto por Bogoya, quien gradúa el atributo de la
competencia en tres niveles. “El primer nivel hace referencia al reconocimiento y
distinción de los elementos, objetos o códigos propios de cada área o sistema de
significación, en tanto campo disciplinar del saber. (…) El segundo nivel tiene que
ver con el uso comprensivo de los objetos o elementos de un sistema de
significación. (…) El tercer nivel comprende el control y la explicación del uso”
(Bogoya, 2000:12)
El primer nivel se constituye como la posibilidad para acceder a los estadios
superiores de desarrollo. Aquí se establece la gramática elemental de un área en
particular del conocimiento a través de la conceptualización, la abstracción y la
simbolización. El segundo nivel requiere de una mayor elaboración conceptual que
propicie la acción, ya que se estipula el uso de los conocimientos ya apropiados
en contextos hipotéticos o cotidianos para la solución de problemas. El tercer nivel
requiere de procesos cognitivos mucho más profundos que los anteriores, pues es
necesario un diálogo fluido entre los procesos que dan cuenta del reconocimiento
de los objetos o códigos, de su uso con sentido en determinado contexto y de la
comprensión sobre el porqué se utilizan de determinada manera, dando como
15
resultado la compresión del comportamiento interno de una disciplina. Para llegar
a este último nivel se implica un desenvolvimiento en el ejercicio de la intuición y
de la creatividad que permita ir más allá del conocimiento aprendido para imaginar
otras posibilidades de realización o explicación.
1.3 La Evaluación
Este término es usado en diversos contextos y, generalmente, se ha
referido a la acción de medición o a la emisión de juicios de valor sobre
determinados aspectos de un objeto mediante la investigación de sus
características, atributos y propiedades con relación a un marco de referencia
previamente establecido.
En el campo de la educación, la evaluación ha hecho parte esencial de los
procesos formativos en los que los objetos sobre los que se realizan las
mediciones o se emiten los juicios de valor son diversos, el desempeño de los
docentes, los métodos de enseñanza, el aprendizaje de los estudiantes y su
desempeño, las instituciones educativas, los currículos, etcétera. Estos objetos
son evaluados dependiendo de la forma de pensar la evaluación y su consiguiente
puesta en práctica. En particular, para la evaluación del desempeño y el
aprendizaje, Gimeno Sacristán destaca algunos hitos en su proceso evolutivo.
La evaluación se utilizó para seleccionar y jerarquizar a los estudiantes a
través de la asignación de calificaciones con el fin de permitir su graduación, su
paso de un curso a otro, las titulaciones, etcétera. Esta práctica la ejerce un sujeto
quien es considerado un experto en el campo a evaluar y por lo tanto se le
atribuye la capacidad de asignar la nota. Esta función generalmente la realiza sin
16
grandes complicaciones de planteamiento, de elaboración de pruebas o de
sofisticadas formas de puntuar.
La evaluación trata de realizarse como una tecnología precisa en la
búsqueda de la objetividad para la medición de los resultados. Para ello, se
integran parte del positivismo de la ciencia, la psicometría de la investigación y las
prácticas de medición psicológica. De aquí surge una proliferación de tests de
rendimiento que concretizan las preguntas con el conocimiento objetivo, evitando
así las fluctuaciones en las calificaciones asignadas por los profesores. Estos tests
se han utilizado para evaluar conocimientos generales y técnicas básicas como la
lectoescritura y la matemática en grandes cantidades de población.
Teorías curriculares que organizan la práctica educativa a partir de la
clarificación precisa de los objetivos junto con una visión conductista del
aprendizaje, procuraron para la evaluación una función constatadora en la que se
utilizan técnicas objetivas para determinar la consecución o no de esos objetivos,
mediante el hallazgo de evidencias de los cambios en la conducta del individuo
evaluado. Esta función se hizo más rígida con los aportes de la psicología
educativa cognitiva de orientación conductista, la cual planteaba la necesidad de
diseñar secuencias educativas muy estructuradas que especificaran cada paso del
acto de enseñanza. De esta manera, la evaluación podía ir constatando el
progreso y los fallos en cada parte de la cadena instructiva. En esta tradición
surgieron los tests denominados criteriales que expresaban un objetivo de
aprendizaje y con la evaluación se proponía medir las capacidades y los
aprendizajes en relación con él, pero en realidad se medía más el grado de
dominio de un contenido que la capacidad del sujeto.
Ya que la objetividad positivista es una ilusión imposible, lo que no equivale
a establecerse en el terreno de la arbitrariedad, se ha recurrido a utilizar métodos
17
cualitativos de evaluación apoyados en otras formas de comprender lo que es
conocimiento válido. En estos métodos se pretende tener presente en la
evaluación que el individuo posee una idiosincrasia y que las situaciones de
aprendizaje presentan muchos factores que no pueden ser concretizados en
objetivos muy delimitados (Sacristán, 1995)
1.4 Evaluación en la Modalidad Semipresencial
Para
realizar
un
proceso
educativo
adecuado
en
la
modalidad
semipresencial que contribuya con la formación de un docente que logre un
desempeño profesional deseable, Olga Pérez y otros proponen algunos criterios
que permiten “describir en una forma medible o al menos observable lo que un
profesor-estudiante debe saber y ser capaz de hacer y a la vez constituyan una
guía para el diseño de las actividades evaluativas.” (Pérez y otros, ¿?) Entre
algunos de esos criterios está la determinación de la profundidad disciplinar,
considerar la adquisición de los conocimientos fundamentados sobre el
aprendizaje, saber dirigir las actividades de los estudiantes en clases desde una
perspectiva innovadora y adoptar una perspectiva formativa de evaluación.
Al determinar la profundidad disciplinar, la evaluación debe comprobar que
el aprendizaje en la disciplina que ha obtenido el evaluado es suficientemente
profundo en el sentido del conocimiento riguroso de los conceptos, del manejo
adecuado de los procedimientos y en general de la construcción del pensamiento
característico del campo del saber.
La evaluación debe considerar que la adquisición de los conocimientos en
la modalidad semipresencial se fundamenta en el aprendizaje. Es diferente
realizar una evaluación cuando el docente ha acompañado la mayor parte del
18
proceso de aprendizaje, como ocurre en la modalidad presencial en la que el
seguimiento continuo de los procesos puede determinar un conocimiento cercano
de la forma como los estudiantes abordan las diferentes situaciones, que realizar
un proceso evaluativo cuando el estudiante se ha encargado de desarrollar por si
mismo su proceso de aprendizaje, como generalmente ocurre en la modalidad
semipresencial. Los estudiantes pueden utilizar diversas formas para resolver
problemas dependiendo de sus estrategias de estudio y de las fuentes de
consulta, por lo tanto, para realizar una evaluación por la vía de la resolución de
problemas, se debe considerar la necesidad de utilizar métodos que tenga en
cuenta la posibilidad de la utilización de diferentes recursos por parte de los
estudiantes para abordar las situaciones.
Las clases en la modalidad semipresencial deben ser óptimas, en el sentido
de que deben contribuir realmente con una orientación que permita al estudiante
abordar en forma autónoma su proceso de aprendizaje. Dentro de este proceso,
el estudiante debe reconocer las estrategias de evaluación que se utilizarán y en
el grado en que éstas sean diferentes a las que comúnmente esté habituado
deben ser especificadas y deben acordarse pautas para su aplicación.
La evaluación sumativa es importante pues cumple con una función social
mediante la cual se informa a la sociedad sobre el profesional que se está
formado. Más sin embargo, durante el proceso de formación la evaluación debe
contribuir a alcanzar los ideales de la formación integral del estudiante, por ello,
debe ser orientada a realizarse de una forma comprensiva y cualificadora y a
contribuir con el logro de los objetivos formativos. En la modalidad semipresencial
la evaluación cumple sus funciones si siempre se le informa al discente lo que ha
aprendido, lo que le falta por aprender y la mejor manera de aprenderlo si hay
dificultades. Además, la evaluación tiene un carácter positivo para el discente si él
19
tiene una idea clara del por qué se hace la evaluación, del qué es lo que se está
evaluando y de cuál es la mejor forma de hacerlo.
Para la realización del proceso evaluativo en la modalidad semipresencial,
(Pérez y otros, ¿?) proponen la combinación de diferentes técnicas como las
evaluaciones individuales, las autoevaluaciones, las evaluaciones grupales y las
coevaluciones, las cuales pueden combinarse durante el proceso. La evaluación
individual es importante porque aumenta el compromiso, la motivación por el curso
y la autenticidad en las actividades. Ella se realiza a través de cada una de las
lecciones que intervienen en las unidades temáticas que, además, incluyen los
criterios de evaluación y la escala de calificación de cada tarea y de cada criterio.
La autoevaluación debe estar presente durante todo el curso, contribuye con la
responsabilidad y la implicación del discente en la evaluación. La idea de la
autoevaluación es que los discentes reflexionen sobre su aprendizaje y que
articulen las consecuencias de cada reflexión. La evaluación grupal busca
promover la comunicación discente-discente y la formación de habilidades para el
trabajo grupal. La coevaluación incide en la actitud crítica del estudiante, al
permitirle juzgar su desempeño y el de otros creando una sensación de propiedad
con respecto a los propósitos y prácticas de la evaluación.
1.5 Innovación en la Evaluación
Acerca de los tipos de evaluación tradicionalmente utilizados en la
universidad, un grupo interdisciplinar de investigadores de la Universidad de
Antioquia, trabajando en relación a modelos de evaluación (García y otros, 2002),
describe ciertas características.
20

La evaluación se apoya sobre todo en tests estandarizados o en pruebas
objetivas hechas por el maestro.

Se centran en lo que es fácil evaluar, dejando de lado lo que es difícil evaluar:
habilidades y actitudes.

Los estudiantes se concentran en lo que saben que será evaluado, no dando
relevancia a lo que podría ser importante en el desarrollo intelectual.

El énfasis de la evaluación se ha hecho en los contenidos descuidando los
procesos de la resolución de problemas y las habilidades relacionadas, por
tanto, los estudiantes aprenden para la reproducción y la memoria.

Se centra en lo que ha pasado en el proceso, pero mirándolo desde el final.
Se plantea entonces la cuestión sobre el ¿qué hace innovadora a la
evaluación? Tal vez no se trate de cambiar los métodos o los instrumentos de
evaluación, sino las formas de reflexionar a través de ellos, la forma de
concebirlos, su filosofía; es decir, es necesario generar la suficiente conciencia
sobre la forma de pensar la evaluación y realizar la práctica evaluativa para que
pueda contribuir efectivamente con los procesos.
Como ayuda para realizar
procesos evaluativos más concientes, Sally Brown propone que la evaluación
debe ser claramente adecuada a los propósitos formativos y para que ello ocurra
es útil que quien realice la evaluación responda a las siguientes preguntas de una
manera significativa: ¿Qué evaluar? ¿Por qué evaluar? ¿Cómo evaluar? (Brown,
2003) Para indagar sobre estas cuestiones, se interpretan los análisis sobre
evaluación de los aprendizajes en la universidad realizados por la profesora Marta
Lorena Salinas (Salinas, 2002)

¿Qué evaluar?
21
La evaluación tradicional recoge la información repetida de lo que se ha
enseñado y los estudiantes que acogen este modelo se seguirán comportando de
esta forma. Pero, si lo que se quiere es promover habilidades de alto nivel, como
la aplicación de las teorías en diferentes contextos y el análisis y la síntesis en
situaciones que aporten cosas nuevas y desarrollar una evaluación sensible al
cómo los estudiantes han actuado, entonces se requieren de formas nuevas de
mirar la evaluación.
“Una buena evaluación trata de describir lo que está bajo discusión para
valorar y remediar los errores y deficiencias. La evaluación tradicional es
normalmente buena sólo en la segunda, y con frecuencia se olvida del tipo de
consejo y de apoyo que necesitan lo estudiantes para triunfar en sus estudios.”
(Brown, 2003:28)
Salinas afirma que “los objetos de evaluación responden a la pregunta acerca
de qué se va a evaluar. (…) Los estudiantes aprenden mucho más que
conocimientos, destrezas, procedimientos. Aprenden a resolver problemas, a
tomar decisiones en situaciones prácticas, a desarrollar actitudes, intereses,
hábitos intelectuales, comportamientos sociales. Por ello, es necesario que los
objetivos educativos sean totalmente claros.” (Salinas, 2002:18)

¿Por qué evaluar?
Esta pregunta apunta directamente a las funciones que se le atribuyen a la
evaluación. Salinas afirma que estas funciones son básicamente dos, una social y
otra pedagógica. La sociedad reclama del proceso educativo unos resultados para
poder suplir ciertas necesidades, la evaluación debe informar sobre el estado de
esos resultados para tomar decisiones que afectan el proceso educativo desde el
22
exterior; es su función social. Además, la evaluación debe también ejercer un
papel regulador dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje mediante el cual
se tratan de mejorar los procesos y poder contribuir en forma eficiente y eficaz con
la formación integral de los estudiantes; es su función pedagógica.

¿Cómo evaluar?
Para responder al cómo evaluar, es importante pensar sobre los tipos de
evaluación y los procedimientos para realizarla. Los tipos de evaluación pueden
pensarse de acuerdo a las funciones que se le otorgan al proceso evaluativo. Con
la función social se relaciona directamente un tipo de evaluación denominado
sumativa. La evaluación sumativa recoge de manera ordenada los resultados de
los procesos durante un tiempo determinado y permite la asignación de conceptos
y juicios para la promoción y certificación de los estudiantes. Con la función
pedagógica se relaciona otro tipo de evaluación denominada evaluación formativa,
la cual debe ser un proceso continuo y permanente propio naturalmente de los
procesos de enseñanza y aprendizaje. A través de ella los resultados son mejores
porque lo procesos son mejores, así, su principal objetivo es el mejoramiento
permanente.
En relación con los procedimientos para realizar la evaluación, esta puede
desarrollarse como un proceso en dos etapas, recoger la información y analizar la
información para tomar decisiones (Salinas, 2002). La recolección de la
información conlleva a pensar sobre los instrumentos necesarios para este
procedimiento, los cuales pueden tener infinidad de características; deben ser
variados y polifacéticos, deben poseer finalidades diversas, deben estar al servicio
de los estudiantes y no ser medios de coacción, deben ser diseñados partiendo de
la comprensión del enfoque que sustenta la evaluación. El problema no está en el
23
tipo de instrumento que se emplee, sino en la forma como se mire, se interprete,
se aplique y se analice a través de él. Un instrumento debe medir lo que realmente
se quiere medir, debe ser lo suficientemente claro y bien organizado como para
que refleje la estructura de la disciplina. Debe ser un instrumento confiable, en
términos de exactitud y precisión, ya que en cierto modo es una medida. Si el
instrumento responde a una fundamentación conceptual en la que se promueve la
enseñanza en el diálogo, en la crítica, en la pregunta, en la incertidumbre y en la
duda, entonces contribuirá con el logro de esos objetivos de formación. Si por el
contrario, en un examen no se evidencia el desarrollo del pensamiento reflexivo,
creativo y crítico, entonces tal vez en el proceso de enseñanza y aprendizaje no se
encuentren presentes estos elementos. Un examen puede estar fundamentado en
la formulación de hipótesis, en la interpretación de textos, en la construcción de
argumentos, en la resolución de problemas, en la enunciación de preguntas,
etcétera; para que el estudiante pueda navegar por esos rumbos y pueda utilizar lo
aprendido.
El análisis de la información, para la posterior toma de decisiones se convierte
por excelencia en la fuente de la evaluación formativa. Este procedimiento debe
conducir a superar la simple calificación mediante la asignación de notas, debe
posibilitar un diálogo entre el evaluador y el evaluado para proponer estrategias y
resolver las dificultades.
24
Capítulo 2
Tanto la utilización del concepto de competencia como el de evaluación en
diferentes campos del saber tienen sus implicaciones en y desde cada uno de
ellos. Se procede en este capítulo a visualizar elementos que se han determinado
dado su uso en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y que
pueden contribuir en la planeación, aplicación y constatación de un proceso
evaluativo por competencias significativo.
Aquí también se consideran características de la teoría de George Polya
sobre la resolución de problemas, ya que esta cuestión es de gran importancia con
respecto al tema de las competencias y de los procesos formativos en
matemáticas.
2 Evaluación y Competencias en Matemáticas
2.1 La Competencia en Matemáticas
La competencia interpretada desde el campo de la matemática puede
considerarse desde dos posiciones: como la capacidad cognitiva del sujeto para
apropiarse del conocimiento matemático y como la capacidad de utilizar ese
conocimiento (Mesa, 2004). Este autor propone como competencias matemáticas
fundamentales de orden cognitivo la capacidad para establecer relaciones entre
conjuntos de objetos, la capacidad para abstraer y generalizar relaciones y
operaciones, la capacidad para construir aseveraciones, la capacidad para
construir teorías y la capacidad para construir modelos. En esta posición, se
25
asume la comprensión de los conceptos matemáticos como la competencia
fundamental que se busca con la enseñanza en el área de las matemáticas. Estas
competencias académicas no agotan la innumerable cantidad de competencias
que se pueden adquirir a través del estudio de esta ciencia.
La competencia relacionada con la utilización del conocimiento matemático
se establece con base en el estudio de las tendencias actuales en educación
matemática. En diversos países se tiene como un principio, concebir la
matemática como una materia “amplia y profunda, que permite abordar diversidad
de situaciones problemáticas, que potencie para un desarrollo permanente, que
sea abierta a todos los estudiantes, que coloque el acento en el proceso de hacer
matemáticas más que en considerar el conocimiento matemático como un
producto.” (García y Acevedo, 2000:140) Correspondiente con esta manera de
pensar se ha definido la competencia, en forma general, como “un saber-hacer en
contexto”. Definición que en el ámbito de la matemática establece una estrecha
relación entre la naturaleza del conocimiento matemático, el papel del lenguaje en
su construcción y la íntima relación de los significados con el contexto del cual
emergen determinados conceptos. “En estas discusiones aparece como punto
central la actividad cognitiva y las diversas maneras de reconocerla a través de
distintos instrumentos mediadores; en este sentido se propone que esa actividad
cognitiva sea vista a partir de las competencias que demuestren los estudiantes al
ser enfrentados a situaciones problema que deban resolver.” (García y Acevedo,
2000:140)
La resolución de problemas se constituye en una importante vía pedagógica
para el desarrollo y la valoración de los procesos cognitivos que se activan y
promocionan ante el planteamiento de una situación problemática, ya que para
ello el sujeto debe actuar según sus representaciones, estrategias y habilidades
(Gómez, 2001) De manera, que se puede pretender la valoración de la
26
competencia del individuo al requerirle la resolución de un problema, concebido
este proceso como “una actividad compleja , frente a la cual el sujeto debe
orientarse, elaborar una estrategia, optar por una táctica y confrontar las
respuestas obtenidas con los datos iniciales para aceptarlas o no como solución
del problema en el sentido que se le asigna” (Mesa, 2004: 223)
Al considerar la capacidad cognitiva para la adquisición de los
conocimientos matemáticos y la capacidad del uso de esos conocimientos para la
resolución de problemas, puede determinarse la competencia matemática como
una actuación idónea que emerge en una tarea concreta, en un contexto con
sentido, mediante la utilización del conocimiento asimilado con propiedad y el cual
actúa para ser aplicado en la situación determinada, de manera suficientemente
flexible para proporcionar soluciones variadas y pertinentes (Bogoya, 2000)
2.2 La Evaluación en Matemáticas
2.2.1 Períodos Históricos
Según Giménez, citando a Kilpatrick, la evaluación en matemáticas ha
transitado por varios períodos o visiones que reflejan lo que se concibe sobre
quien recibe la instrucción y el tipo de instrucción que recibe (Giménez, 1997)
Hacia inicios del siglo XX, la evaluación se concebía en torno a la idea de
que la matemática era una materia de aplicación, reguladora social y de
naturaleza básicamente deductiva. El profesor evaluaba las habilidades cognitivas
del alumno a través de pruebas parecidas a las psicométricas con el fin de ejercer
un control social y fomentar la competitividad. El error era considerado falta de
capacidad cognitiva.
27
Entre 1940 y 1970, esta materia se enfoca primero desde la teoría para
pasar luego a las aplicaciones, es de naturaleza deductiva. Se evalúan las
habilidades mentales por medio tests y las valoraciones sobre el alumno se
establecían de acuerdo a objetivos de carácter afectivo-cognitivo. El error es
considerado como falta de adquisición de conocimiento y se avalúa para que el
individuo mejore personalmente. Tanto el profesor como el alumno eran
evaluados.
En la década de los ochenta, la materia de matemáticas tiene un carácter
positivista con alto potencial inductivo. El profesor y el alumno realizan la
evaluación de los procesos con el fin del reconocimiento de las distintas
habilidades del los sujetos y determinar los obstáculos y errores a través de
análisis diagnósticos.
Hacia finales de la década de los noventa, la matemática se constituye en la
base para la modelación. Es de naturaza deductiva e inductiva y posee un gran
potencial heurístico. La materia de matemáticas es concebida abierta hacia el
descubrimiento. Se evalúa el propio proceso de enseñanza y aprendizaje con el fin
de diagnosticar y regular el proceso. Se evalúan el profesor, el alumno y el
proceso global a través de prácticas de análisis en el aula gracias a los procesos
de planificación. El error es de diversos tipos los cuales reflejan un tipo de profesor
y de estudiante.
En la actualidad, la filosofía de la matemática ha dejado de preocuparse tan
insistentemente en la fundamentación rigurosa de la matemática, como en la
primera mitad del siglo XX, para dedicarse al carácter cuasiempírico de la
actividad matemática así como también a los procesos históricos de los que hace
parte y su inmersión en la cultura de la sociedad en la que se desarrollan,
28
trayendo con ello importantes cambios acerca de lo que la enseñanza de la
matemática debe ser. (De Guzmán y Gil, 1993)
Una de las principales características presentes en la educación
matemática hoy es el concepto de competencia, en el que se establece una
matemática concebida como resolución de problemas, como razonamiento, como
comunicación y con la necesidad de su conexión con otras disciplinas. En este
proceso “las competencias se evidencian en una serie de actuaciones o
desempeños, los cuales permiten establecer hasta que grado un alumno ha
integrado los conocimientos y procedimientos matemáticos y les ha dado sentido,
si puede o no usarlos, si puede aplicarlos y si puede comunicar sus ideas en
situaciones que exigen desempeños propios de la actividad matemática.” (García
y Acevedo, 2000:151)
2.2.2 Modelos de Evaluación
Cuando se establecen el qué y el cómo evaluar, se está frente a un modelo
de evaluación (Giménez, 1997) Este autor describe algunos modelos-tipo que se
han utilizado en la evaluación en matemáticas.

Evaluación conductual
En este tipo se pretende analizar comportamientos observables de los
estudiantes para determinar si determinados objetivos han sido alcanzados
después de un proceso de enseñanza aprendizaje. Los procedimientos
evaluativos se caracterizan porque parten de la determinación de una conducta
problema y de una conducta objetivo, luego se eligen condiciones a través de las
cuales se constatarán los posibles cambios y se seleccionan los instrumentos de
29
medida y, finalmente, se verifican los logros individuales respecto de los objetivos.
Las técnicas utilizadas generalmente son los tests estandarizados de cuestiones
cerradas, de análisis de logros y los análisis mediante coeficientes estadísticos
que marcan diferencias significativas entre los sujetos. En este tipo de evaluación
se busca la objetividad en la medición del nivel alcanzado, despreciando
generalmente los procesos. Se utilizan calificaciones numéricas y juicios
descriptivos para tomar decisiones rutinarias. La conductual es un tipo de
evaluación de proceso terminal, limitada en su análisis, que empobrece el valor de
la matemática y promueve un docente portador y transmisor de conocimientos.

Diseños reformistas
Parten de la pretensión de analizar los objetivos alcanzados por los estudiantes
no sólo a través de la utilización de tests cerrados, sino también a través de la
observación de la conducta frente a ciertas actividades realizadas en el aula. En
estos modelos es importante la reflexión epistemológica sobre la construcción del
conocimiento para diseñar ambientes de aprendizaje y por medio de la evaluación
se debe observar cosas que van más allá de la simple realización de
generalizaciones abstractas o de responder a ciertas cuestiones, pues éstas no
son la única forma de comunicar conocimiento.

Modelo crítico procedimental
Evaluar es un proceso de análisis y reflexión sobre la acción para potenciar las
capacidades y lo creativo del estudiante a través del fomento de la actitud de
diálogo con una posición abierta y flexible. El aprendizaje se da como la suma de
un proceso en revisión constante. Este proceso se caracteriza por
la
determinación de las características iniciales de los sujetos en matemáticas, por la
30
motivación para alcanzar determinados objetivos, el desarrollo de caminos
eficientes para lograrlos, la valoración continua de los progresos y el
asesoramiento y el control continuo del proceso.

Integración criterial en matemáticas
Se debe hacer explícitas las intensiones y los objetivos de evaluación mediante
criterios. En este modelo se pretende evaluar las capacidades matemáticas de los
estudiantes frente a un conjunto de contenidos, por ello, es necesario no
determinar solamente los objetivos sino también las capacidades que se
pretenden evaluar, los contenidos que se tienen en cuenta y los criterios que se
deben considerar para mejorar el aprendizaje.
Los modelos de evaluación, como los anteriores, comparten diferentes
técnicas para recoger la información que va ha ser analizada; entre las más
utilizadas, según (Giménez, 1997), se tienen:

Pruebas locales de contenido
Valoran bloques generales de contenido, sin detallar tareas a alcanzar,
mediante la medición de categorías de información para determinar lo que el
estudiante aprende, memoriza y recuerda.

Tests de competencia operativa
Analiza objetivos de conducta, para lo cual se requiere precisar las tareas a
realizar facilitando el detalle en la revisión.
31

Técnicas de observación
Se basan en la medición del nivel de habilidad mediante la observación directa
y sistemática de las acciones de los estudiantes.

Pruebas específicas para consecución de destrezas
Se basan en pruebas prácticas, algorítmicas y rutinarias; generalmente
mediante exámenes orales o escritos en los que son fundamentales criterios de
imparcialidad, justicia, prevención ante la interferencia del profesor, no favoritismo,
extrapolación y disponibilidad generalizada de los datos.

Test de tipo psicométrico
Generalmente se han utilizado métodos de selección de ítems en los que la
comprensión matemática se pone de manifiesto. Los ítems se diseñan en
conjuntos que determinan características específicas del nivel de aprendizaje.

Tests basados en taxonomías de objetivos
Estos tests de diseñan mediante la clarificación de los objetivos y del
contenido, determinando niveles de conducta para cada categoría de los temas
evaluados.

Tests estandarizados
Son utilizados para comparar el rendimiento de los evaluados. Se realizan
siempre en forma individual al final del proceso de instrucción. Evalúan la
32
consecución de objetivos utilizando, generalmente, preguntas cerradas para
facilitar la corrección. Estos tests determinan los conocimientos que ha adquirido
el estudiante, pero no revisan los procedimientos y fraccionan el conocimiento
matemático. No reflejan ni el razonamiento, ni la interpretación y tampoco la
construcción de argumentos.

Proyectos amplios de trabajo
Se realiza una integración amplia de los conocimientos matemáticos a través
del planteamiento de proyectos y durante el proceso se valoran actitudes,
motivaciones y características individuales y de trabajo en equipo.
Algunas técnicas utilizadas con bastante frecuencia en el campo de la
evaluación son las denominadas pruebas objetivas, entre las cuales se encuentran
los test que se diseñan mediante ítems (Tibaduiza, 2003) Para realizar estas
pruebas se deben establecer los objetivos en forma concreta y específica, la forma
y los criterios bajo los cuales la prueba se administra, la duración, el grado de
dificultad y el contenido. Algunos ejemplos de este tipo de técnicas son las
pruebas de respuesta simple o corta, prueba de complemento, prueba de
selección múltiple, prueba de respuesta alternativa, prueba de asociación o
combinación, prueba extinción, prueba de identificación, prueba de ordenación,
prueba de sinónimo-antónimo, prueba de apreciación, prueba de afirmaciones,
prueba de la mejor razón, prueba de eliminación, prueba de analogía.
2.3 Resolución de Problemas en Matemáticas
George Polya, quien ha sido denominado como “el padre de las estrategias
para la resolución de problemas”, indagó sobre los procesos de la enseñanza para
33
el descubrimiento e introdujo un método de cuatro pasos útiles en la solución de
problemas. Este autor caracteriza dos tipos de situaciones en las que el sujeto
debe recurrir a sus conocimientos y a procesos de razonamiento y análisis para la
búsqueda de soluciones, problemas por resolver y problemas por demostrar
(Polya, 1984:161)
Problemas por Resolver
Propósito
Descubrir cierto objeto, la
incógnita
Problemas por Demostrar
Mostrar de modo concluyente la
exactitud o falsedad de una
afirmación claramente enunciada
En la forma más usual
La hipótesis y la conclusión (tesis)
Elementos
La incógnita, los datos y la
No todos los teoremas se presentan
principales
condición
de esta forma, por ejemplo
“Existe una infinidad de números
primos”
De igual manera, conocer con
Conocer de modo preciso
los elementos principales
de la situación, para lo cual
¿Cómo
ayudan preguntas y
solucionarlo? sugerencias tales como
¿Cuál es la incógnita?
precisión los elementos principales,
para lo cual se formulan preguntas
similares a las citadas
anteriormente: ¿Cuál es la
hipótesis? ¿Cuál es la tesis?
Distinga las diversas partes de la
hipótesis. Encuentre las relaciones
¿Cuáles son los datos?
entre la hipótesis y a tesis. Trate de
¿Cuál es la condición?
encontrar algún teorema similar que
ya haya demostrado.
34
Se plantea una estructura organizada para afrontar los diferentes problemas
que se trabajan en matemática, especialmente en los diferentes niveles de la
formación, incluida la universitaria (Polya, 1984:8) Esta estructura se determina de
acuerdo a ciertos criterios tales como el de ayudar al estudiante, lo cual, según
Polya, no es tarea fácil, requiere de dedicación, práctica y buenos principios. El
aprendiz debe adquirir la mayor experiencia posible a través de su propia
actividad, pero si se le deja demasiado solo, talvez no progrese lo suficiente. El
maestro debe ser equilibrado en este proceso, no ayudarle demasiado a su
seguidor como para que éste no realice una parte razonable del trabajo, ni
ayudarle tan poco que él pueda extraviarse por mucho. El maestro debe tratar de
colocarse en el lugar del que aprende, para interpretar lo que pasa por su mente,
para plantear una pregunta o sugerir un camino que tal vez pudiera ser muy
natural para el aprendiz.
En ese ayudar del maestro a sus estudiantes, las preguntas y las
sugerencias juegan un papel fundamental, deben tener una intencionalidad,
promover “las operaciones mentales particularmente útiles para la resolución de
problemas” (Polya, 1984:26) Para contribuir efectivamente con ello, las preguntas
y sugerencias deben poseer altos grados de generalidad. No importa el tipo de
problema ante el que se encuentre, ya sea de tipo algebraico o geométrico,
matemático o no, teórico o práctico, la pregunta ¿cuál es la incógnita? tendría el
mismo sentido. Las preguntas y las sugerencias deben ayudar sin imponer,
indicando una dirección general, pero dejando al estudiante el transito autónomo
por los senderos. Deben responder al sentido común, sin importar su generalidad,
las preguntas y las sugerencias deben ser naturales, sencillas, obvias y proceder
del más simple sentido común. Deben promover unas acciones, que de otra
manera devendrían de forma natural en un intento común y motivado por el deseo
de resolver un problema. “La persona que procede así, en general no se preocupa
por hacer explícito claramente su comportamiento o no es capaz de hacerlo”
35
(Polya, 1984:26) La intención de las preguntas y las sugerencias es develar ese
proceso.
Las preguntas y las sugerencias obedecen a dos finalidades, ayudar al
estudiante a resolver el problema y contribuir al desarrollo de las habilidades, de
manera que pueda resolver por si solo problemas ulteriores. Para contribuir con
esos propósitos, el trabajo de Polya se estructura de acuerdo a cuatro fases que
pueden ser aplicables a cualquier tipo de problema, la comprensión del problema,
la concepción de un plan para resolverlo, la ejecución de ese plan y la verificación
de los procesos.
La primera es la fase de la comprensión del problema, si hay falta de
comprensión o de interés por resolver un problema el trabajo no será significativo,
por el contrario, será tortuoso y tal vez no conduzca a los fines propuestos. Para
comprender un problema en matemáticas se debe tener en cuenta la forma como
éste se presenta, si se da un enunciado, se debe leer comprensivamente el texto,
debe reconocerse el significado de cada término y expresión, al punto que se debe
estar en posibilidad de reproducirse en las propias palabras el problema. Si el
problema se presenta mediante un gráfico, debe recurrirse a la interpretación de
los diferentes elementos que lo componen y de las relaciones que se establecen
entre ellos. Si la situación se presenta en forma simbólica, también mediante la
interpretación y el establecimiento de relaciones entre los diferentes símbolos se
debe contribuir con la comprensión, la cual se da básicamente cuando se ha
determinado lo que se da (los datos), las relaciones entre ellos y lo que se pide (la
incógnita)
La segunda fase es la concepción de un plan. “Tenemos un plan cuando
sabemos, al menos a ‘grosso modo’, qué cálculos, qué razonamiento o
construcciones habremos de efectuar para determinar la incógnita.” (Polya,
36
1984:30) Concebir un plan depende en gran medida de la buena comprensión que
se tenga del problema. Aún así, la comprensión de este no garantiza que se
pueda hallar fácilmente un camino para resolver la situación. Por ello, es necesario
el acompañamiento del maestro, su ayuda, de manera que se contribuya a que el
estudiante construya por si mismo diferentes posibilidades para la resolución.
Puede ocurrir que el maestro sólo conozca algunas formas de abordar tal tipo de
situaciones y que el estudiante pueda encontrar otras, lo cual resultaría muy
fructífero. Por eso, es muy importante saber preguntar y sugerir sin imponer nada,
de lo que se trata es de provocar ideas. Concebir un plan sin la experiencia
suficiente y sin los conocimientos previos necesarios resulta muy complicado. Las
buenas ideas no nacen de la nada, tienen una cuna y en matemáticas esa cuna la
constituyen los conocimientos adquiridos con anterioridad tales como el
reconocimiento de definiciones, propiedades y teoremas y la experiencia adquirida
durante la exploración comprensiva y motivada de los senderos del pensamiento
matemático como la resolución de problemas y la demostración de proposiciones.
La fase de la ejecución del plan debe realizarse verificando cada paso del
procedimiento para estar seguros de no ir a cometer errores en el desarrollo. No
importaría, dado el caso, de que no se llegue a la solución deseada al desarrollar
un plan pues queda mucho en el proceso, la experiencia y el conocimiento de un
camino que hoy no condujo a donde se deseaba pero que en otro momento, en
otra situación tal vez lo haga. Un plan debe ejecutarse como una línea suave y
sólida. Debe estarse seguro de la veracidad y la exactitud de cada proceder a
través de la verificación de cada acción. Es muy importante distinguir entre el ver y
el demostrar cada paso. El primero se refiere a la intuición que visiona el orden
lógico del proceso y el segundo a la demostración formal que se requiere para
asegurar efectivamente que un paso es verdadero. Un elemento adicional muy
importante es la actitud, ya que desarrollar el plan requiere de paciencia y
dedicación.
37
Finalmente, se tienen la verificación del proceso. Una vez hallada la
solución al problema debe verificarse la respuesta, lo cual se debe hacer siempre
para determinar que no hubo errores al desarrollar el plan o al concebirlo o aún al
comprender el problema. Es el momento de mejorar la comprensión sobre el
proceso de resolver problemas. Es la evaluación que lo abarca todo, porque todo
se desea mejorar, porque lo que ahora se hizo será la materia prima para futuras
realizaciones y entre mejor se haga ahora más útil será después.
Una característica fundamental en el proceso de contribuir con el desarrollo
de las fases para que el estudiante resuelva problemas y adquiera habilidades
para hacerlo por si mismo, es la flexibilidad. A continuación se esquematiza la
estructura planteada por Polya para la resolución de problemas, “este método de
interrogación no tiene nada de rígido y es lo que determina su interés (…) Nuestro
método comporta una cierta elasticidad, cierta variedad; admite diversos modo de
abordar el problema; puede y debe ser aplicado de tal modo que las preguntas
planteadas por el profesor se le hubiesen podido ocurrir espontáneamente al
propio alumno.” (Polya, 1984: 40)
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible cumplir las
condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para
1. Comprender el
Problema
hallar la incógnita? ¿O son insuficientes? ¿O son
redundantes? ¿O son contradictorias? Dibuje una
figura. Adopte una notación adecuada. Separe las
diferentes
partes
ponerlas por escrito?
38
de
las
condiciones.
¿Puede
¿Se ha encontrado antes con el problema? ¿O lo ha
visto antes de manera diferente? ¿Conoce algún
problema relacionado? ¿Conoce algún teorema que
pueda ser útil? Mire la incógnita. Intente recordar
algún problema familiar que tenga una incógnita igual
o parecida.
He aquí un problema relacionado con el suyo, y que
se ha resuelto antes. ¿Podría utilizarlo? ¿Podría
utilizar su resultado? ¿Podría utilizar su método?
¿Podría replantear el problema? ¿Podría replantear el
problema de otra manera diferente? Vuelva al
planteamiento original.
2. Concepción de un
plan
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Ensayo y error (conjeturar y probar).
Usar una variable.
Buscar un Patrón
Hacer una lista.
Resolver un problema similar más simple.
Hacer una figura.
Hacer un diagrama
Usar razonamiento directo.
Usar razonamiento indirecto.
Usar las propiedades de los Números.
Resolver un problema equivalente.
Trabajar hacia atrás.
Usar casos
Resolver una ecuación
Buscar una fórmula.
Usar un modelo.
Usar análisis dimensional.
Identificar submetas.
Usar coordenadas.
Usar simetría.
39
Cuando lleve a cabo su plan de ejecución, compruebe
3. Ejecución del Plan
cada paso. ¿Puede ver claramente que cada paso es
correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?
¿Puede comprobar el resultado? ¿Puede comprobar
el razonamiento? ¿Puede extraer el resultado de otra
4. Verificación
manera? ¿Puede percibirlo a primera vista? ¿Puede
utilizar el resultado obtenido o el método para algún
otro problema?
40
Capítulo 3
Es fundamental la revisión de diferentes propuestas teóricas y de
experiencias que han realizado diferentes autores con respecto a la evaluación por
competencias. Con ello se intenta rescatar elementos que puedan contribuir con la
estructuración de la propuesta que corresponde a este trabajo. Es de anotar que la
cantidad de fuentes disponibles para este fin no es muy amplia aún, pero las que
aquí se exponen reflejan coherencia con los desarrollos teóricos de los capítulos
anteriores.
3 Evaluación por Competencias
Ante la pregunta sobre el cómo debe ser una evaluación por competencias,
(Ouellet, 1998) propone tres dimensiones para conceptualizar y operacionalizar
este tipo de evaluación. Ella debe ser formativa, en el sentido de que contribuya a
la toma de conciencia de los procesos de pensamiento y aprendizaje. Debe
explicar con claridad el grado de operacionalización de los objetos de aprendizaje,
con la intención de posibilitar la evaluación efectiva de la capacidad de alguien
para hacer algo y la evaluación efectiva de lo que se pretende evaluar. Además, la
evaluación por competencias debe guiar al estudiante en un proceso en el que el
conocimiento obtenga sentido en la medida en que permita resolver problemas.
Para la realización de una evaluación por competencias Ouellet plantea la
necesidad de desarrollar una evaluación que permita “simular” un proceso de
aprendizaje por resolución de problemas. El autor propone un proceso operacional
caracterizado por cuatro etapas. La etapa de la comprensión del problema, en la
que se establecen relaciones entre los conocimientos adquiridos y el problema
41
propuesto para la contextualización de la situación. La etapa de la concepción de
planes para la resolución conforme a la naturaleza de la actividad propuesta; se
incluye la búsqueda de métodos apropiados que pueden visualizarse a través de
de un mapa de posibles soluciones, el cual también puede permitir la
determinación de los obstáculos que se deben vencer. Otra etapa corresponde
con la puesta en ejecución del plan en un contexto de realización, en el que se
colocan a prueba los procedimientos y las habilidades para saber hacer. La etapa
final es la revisión de la solución para analizar e interpretar los resultados
obtenidos y la validez de los procedimientos.
Es necesario tener presente que la propuesta anterior es planteada como
un proceso pedagógico general de evaluación que podría aplicarse en diversas
situaciones en las que se requiera de una estructura clara que permita manipular,
ajustar y modificar los elementos importantes a ser evaluados (Ouellet, 1998:8889)
Debe decirse entonces, que la evaluación por competencias no puede
seguir insistiendo en que los sujetos sigan repitiendo al pie de la letra las
informaciones especializadas de los contenidos, sino que a partir de ellas se
puedan realizar acciones cognitivas para la resolución de problemas (Gallego y
Pérez, 2000).
Un trabajo sobre evaluación por competencias es expuesto en el artículo
“Propuesta Modelo de Evaluación por Competencias” escrito por la Magíster en
Educación María Helena Quijano Hernández (Quijano, 2003). De este trabajo se
consideran dos elementos, algunos preceptos para la realización del modelo y su
estructura. Se considera la evaluación por competencias como un proceso
mediante el cual se manifiestan los desempeños y la manera de actuar del
estudiante en determinado contexto, por lo cual adquiere un carácter diagnóstico y
42
cualitativo que debe comprender las finalidades de enseñanza, un bloque
temático, los objetos de estudio de las temáticas y el proceso de recolección y
seguimiento de las evidencias.
En este trabajo analizado se acoge el concepto de competencia definido por
el MEN como “un saber hacer en contexto” en el que las competencias
comprenden acciones de tipo interpretativo, argumentativo y propositivo
generadas desde un saber disciplinar. En este modelo las competencias se
operacionalizan a través de la determinación de logros, indicadores de logros y
niveles de competencia. Los logros determinan lo que se espera obtener durante
el desarrollo de los procesos formativos, los indicadores son indicios del estado o
nivel que en determinado momento presenta el desarrollo humano y los niveles
representan diferentes grados de complejidad en que se puede desarrollar la
competencia; son asumidos
los tres niveles propuestos por Bogoya, el
reconocimiento y distinción de objetos, el uso comprensivo de ellos y la
explicación del uso que se hace de esos objetos.
Esta propuesta de modelo de evaluación por competencias se estructura
determinando lo que se va a enseñar, los objetos de estudio y los problemas de
orden epistemológico y práctico a desarrollar, y las pautas para la práctica
evaluativa, entre las que se encuentran la realización de pruebas escritas con el
planteamiento riguroso de preguntas para la evaluación de los objetos de
conocimiento y el planteamiento de situaciones problema para la evaluación de las
relaciones entre los objetos, la comprensión de los conceptos y la formulación de
ejemplos. También se hace referencia a la necesidad de combinar los procesos
de autoevaluación y coevaluación y el uso de portafolios para el archivo de las
evidencias, todo ello con la intención de contribuir con la evaluación en el ámbito
de las actitudes y comportamientos.
43
En el marco del “Primer Encuentro de Educación Superior: Formación por
Competencias” realizado en junio de 2005 en Medellín, se presentó la propuesta
denominada “Modelo para la Evaluación de Competencias en el Área de Ciencias
Básicas de Ingeniería” presentada por (Castro y Londoño, 2005). Este trabajo
aborda el problema de la evaluación de competencias cognoscitivas por medio del
diseño de un modelo que conjuga la dinámica de sistemas y la lógica difusa en el
contexto del pensamiento sistémico y complejo. Se presentó la forma como se han
realizado diseños de asignaturas orientadas hacia el desarrollo de competencias
cognoscitivas y su valoración mediante pruebas de representacionismo.
En la estructura teórica del trabajo se relacionan las definiciones sobre
competencia de Rómulo Gallego, “actuaciones públicas (colectivas) que se poden
de manifiesto en realizaciones específicas determinadas”; y de María Cristina
Torrado, “las competencias asociadas a un objeto de conocimiento se definen en
términos de la capacidad para saber interpretar, argumentar y proponer en el
contexto de lo disciplinar y lo cotidiano”. Además, se le atribuye a la competencia
determinadas dimensiones, una dimensión cognitiva que implica un dominio
conceptual y procedimental del conocimiento, una dimensión social relacionada
con la validación pública y que se ponen de manifiesto en realizaciones
específicas y determinadas y una dimensión subjetiva que implica una actitud
positiva al cambio, para lo cual es necesario un conjunto de cualidades que se
hacen evidentes en el individuo cuando se enfrenta a situaciones problémicas
como son la autonomía, la adaptabilidad y la autorregulación.
La evaluación de las competencias se realiza a través de un test
denominado “prueba de representacionismo”, el cual consta de un determinado
número de significantes e igual número de significados, los cuales deben
aparearse mediante la interpretación por medio de la comprensión lectora y
simbólica y el reconocimiento de patrones. Estos enunciados son denominados
44
situaciones problema y se utilizan como modelos para representar la cotidianidad,
la especificidad de un saber y el contexto de las competencias profesionales.
Según la información contenida en los enunciados, debe identificarse si se da la
información acerca de las condiciones iniciales de un modelo y el modelo con el
propósito de encontrar las condiciones finales o resultado del modelo, si se da la
información acerca de las condiciones finales de un modelo y el modelo con el
propósito de encontrar las condiciones iniciales que arrojan esos resultados, o si
se conocen las condiciones iniciales y las condiciones finales, pero se desconoce
el modelo. Para determinar el nivel de competencia de la persona, se interpretan
los resultados cuantitativos de la prueba de representacionismo y se entrega una
descripción cualitativa del resultado, ofreciendo un panorama más amplio del
grado de desarrollo.
45
Capítulo 4
A continuación se desarrolla la propuesta de evaluación de los aprendizajes
por competencias para el caso particular del curso de cálculo en una variable. Los
artículos revisados en el capítulo 3 ofrecen una visión general de las
conceptualizaciónes y las estructuras desarrolladas en ámbitos universitarios para
la implementación de procesos evaluativos realizados en torno al concepto de
competencia. De acuerdo a la reflexión sobre estas pautas, con los elementos
teóricos estudiados en los capítulos 1 y 2, y con las intenciones que promueven la
realización de esta propuesta se procede a desarrollarla.
Se inicia con las conceptualizaciones necesarias sobre la competencia, las
cuales determinan el campo semántico sobre el cual se trabaja; para ello, se
establece la acepción proporcionada al término competencia en relación con la
intencionalidad de la línea de cálculo de la Facultad de Educación y se determinan
los
niveles
de
competencia
que
le
caracterizan
y
que
permiten
su
operacionalización, en este caso para la evaluación.
Posteriormente se establece la estructura de la propuesta, comenzando por
determinar los objetos de estudio y los desempeños que se espera el estudiante
realice durante la recopilación de las evidencias evaluativas; luego, se diseñan los
instrumentos de evaluación de acuerdo a los criterios establecidos por Ouellet
para una evaluación por competencias (ver capítulo 3) y siguiendo elementos de la
teoría de Polya sobre la resolución de problemas en matemáticas (ver capítulo 2)
Finalmente se describe la forma en cómo se aplicó esta propuesta a un
grupo específico de estudiantes. En el anexo No. 5 se presenta información
46
estadística sobre la evaluación que los estudiantes realizaron a esta propuesta de
evaluación por competencia en relación con el tipo de prueba generalmente
utilizado en el curso.
4 Propuesta de Evaluación por Competencias
4.1 Conceptualizaciones
Para determinar un concepto de competencia adecuado para los
estudiantes del curso en cuestión se identifican las intenciones de la línea de
cálculo de la Facultad de Educación. En esta línea de formación se pretende
contribuir con que el estudiante desarrolle la construcción de modelos de relación
entre variables cuantitativas y se determine cómo entre ellas se generan formas
de aproximación. Se busca también analizar el cambio entre variables y el
movimiento, aplicar métodos para medir con variables discretas y continuas e
interpretar la elaboración conceptual de los contenidos de los sistemas. Con estos
propósitos, se quiere formar a un maestro con habilidades y destrezas en la
resolución de problemas, con un buen nivel en las elaboraciones conceptuales
alrededor de la génesis de los números reales y sus posibles relaciones
funcionales (ver CD-ROOM sobre la autoevaluación del programa de Licenciatura
en Matemáticas y Física en el centro de documentación de la Facultad de
Educación)
De acuerdo a lo anterior, se acoge la concepción de competencia como una
actuación idónea que emerge en una tarea concreta, en un contexto con sentido
en el que un conocimiento asimilado con propiedad actúa para ser aplicado en una
situación determinada, de manera suficientemente flexible para proporcionar
47
soluciones variadas y pertinentes (Bogoya, 2000) El conocimiento corresponde a
los objetos de estudio propuestos para el curso de cálculo y el desarrollo de la
competencia matemática trata consecuentemente con la capacidad de adquirir y
aplicar tales conocimientos en la resolución de problemas en contextos propios de
la matemática y de otras disciplinas.
La competencia así conceptuada se presenta en distintos niveles de
complejidad, los cuales generan distintos niveles de competencia. Estos niveles
permiten caracterizar y operacionalizar el concepto de competencia, no sólo para
el proceso de enseñanza y aprendizaje, sino también para el proceso evaluativo.
Asumiendo los niveles de competencia propuestos por Bogoya e interpretándolos
desde el contexto matemático, puede decirse que, el primero de los niveles está
básicamente relacionado con la identificación y descripción de los objetos
matemáticos, tales como los términos primitivos, las definiciones, las propiedades,
las relaciones, las representaciones y las operaciones. El segundo se relaciona
con
la
interpretación
y
el
uso
de
los
conocimientos
conceptuales
y
procedimentales para la resolución de problemas en contextos específicos, “este
nivel está asociado con la competencia para relacionar, clasificar, comparar,
conjeturar, estimar, organizar información, verificar resultados matemáticos y dar
soluciones y traducir entre diversas representaciones.” (García y Acevedo,
2000:153) El tercer nivel, se refiere a la argumentación en el uso de los conceptos
y los procedimientos; este nivel incluye los procesos de demostración matemática.
Este nivel implica la utilización y construcción de modelos y representaciones, las
transformaciones algebraicas y analíticas, la formulación de hipótesis, la
deducción, la inducción, la intuición, la abstracción, la generalización.
La evaluación de la competencia, determinada ésta como una acción
idónea en la práctica, se realiza mediante la interpretación de la evidencia
presentada por una serie de actuaciones o desempeños que permiten establecer
48
hasta que grado un estudiante ha integrado los conocimientos y procedimientos
matemáticos y les ha dado sentido, si puede o no usarlos, si puede aplicarlos para
resolver problemas y si puede comunicar sus ideas en situaciones que exigen
desempeños propios de la actividad matemática (García y Acevedo, 2000:151)
4.2 Estructura
4.2.1 Objetos de Estudio y Desempeños
Para iniciar, se debe tener claro lo que se va a estudiar y por lo tanto se
realiza una selección y organización de los objetos de estudio; además, se
establecen los desempeños necesarios que el estudiante deberá estar en
capacidad de realizar durante la recolección de evidencias evaluativas. Para estos
efectos se revisaron los contenidos y los desempeños requeridos en cursos de
cálculo de algunos contextos universitarios (Ver Anexo No.1). De esta consulta se
determinan los contenidos para el tema de la integral definida y aplicaciones (Ver
Anexo No. 2) que es la situación concreta en la cual se realiza una aplicación de
esta propuesta evaluativa a los estudiantes.
A continuación se proponen algunos desempeños de acuerdo a los niveles
de competencia establecidos que permitan establecer hasta que grado un
estudiante identifica y describe conocimientos y procedimientos matemáticos, si
puede aplicarlos para resolver problemas y si puede utilizarlos para comunicar sus
ideas en situaciones propias de la argumentación en matemáticas.
Identificación y Descripción de los Objetos y los Conceptos Matemáticos
49

Describe la construcción teórica de la integral definida como un límite de una
suma de Riemann.

Identifica el concepto de integrabilidad como la existencia de un límite bajo
determinas condiciones.
Interpretación y Uso de los Conocimientos Conceptúales y Procedimentales
para la Resolución de Problemas en Contextos Específicos

Evalúa integrales definidas utilizando las proposiciones estudiadas.

Determina el área de una región acotada por una o más funciones.

Determina el volumen de un sólido por los métodos de rebanado, discos,
anillos, capas cilíndricas o mediante la utilización del teorema de Pappus.

Determina la longitud de un arco.

Determina el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto.
Argumentación en el Uso de los Conceptos y los Procedimientos; Procesos
de Demostración Matemática

Demuestra la obtención de expresiones que determinan el área de una región
acotada en un plano por una o más funciones.
50

Demuestra teoremas con base en el análisis de hipótesis y tesis y la
consecuente aplicación conceptual y procedimental de demostraciones
análogas estudiadas.
En
la
modalidad
semipresencial
(semejante
a
la
presencialidad
concentrada) el estudiante debe contar con una orientación que le permita abordar
en forma autónoma su proceso de aprendizaje (Pérez y otros, ¿?) Para realizar
una evaluación por competencias adecuada, la orientación debe tener elementos
tales como la presentación oportuna de los objetos de estudio y los desempeños
necesarios, y el establecimiento de estrategias generales para abordar su
aprendizaje. En las clases, se debe apoyar la adquisición y la profundización en
los conocimientos matemáticos mediante técnicas y procedimiento como los
propuestos en las pedagogías activas y constructivistas, a fin de que los
estudiantes construyan y reconstruyan aprendizajes y aprendan a aprender de
manera significativa (ver Prólogo). Además, se deben desarrollar actividades
encaminadas a apropiar al estudiante de herramientas para abordar la resolución
de problemas.
4.2.2 Diseño de Instrumentos
Para el diseño de los instrumentos se opta por las características que
propone Ouellet para una evaluación por competencias. Según el autor, este tipo
de evaluación debe ser formativa, en el sentido de que contribuya con la toma de
conciencia de los procesos de pensamiento y aprendizaje; debe explicar con
claridad el grado de operacionalización de los objetos de aprendizaje con la
intención de posibilitar una evaluación asertiva de la capacidad de alguien para
hacer algo y una evaluación real de lo que se pretende evaluar (ver Instrumento
de Evaluación No.1); y debe guiar al estudiante hacia un proceso en el que el
51
conocimiento obtenga sentido en la medida en que permita resolver problemas
(Ouellet, 2003)
En el prólogo de este trabajo se expresa la intención de realizar una
evaluación que incluya preguntas argumentativas y situaciones que exijan al
evaluado hacer explícitos los procesos que realiza y que en cierta forma permitan
observar el funcionamiento de sus capacidades cognitivas. Se quiere una
evaluación que brinde la posibilidad de “acompañar” y valorar en gran parte lo que
el evaluado debe y puede hacer frente a las situaciones, incluyendo las tentativas
y las falsas pistas abandonadas, tomándose con ello conciencia sobre el modo en
cómo se desenvuelve el sujeto, su manera de proceder, su estilo, su “caminado” y
así favorecer el sentido de la evaluación. Se plantea el deseo de una evaluación a
través de la cual se pueda evidenciar claramente el conocimiento que posee el
evaluado de los diferentes objetos matemáticos y lograr develar con propiedad su
actuar al aplicarlos; en efecto, una evaluación que evidencie claramente la forma
en cómo el evaluado identifica los objetos presentes directamente en la situación,
identifica las posibles relaciones que se dan entre ellos, conjetura a cerca de las
posibles herramientas que podría utilizar para resolver la situación y desarrolla los
procedimientos para encontrar las soluciones.
(Ouellet, 2003) propone como un elemento fundamental para la realización
de una evaluación por competencias, la resolución de problemas. Para ello
plantea, en general, un proceso caracterizado por cuatro fases, a saber, la
comprensión del problema, la concepción de un plan para resolverlo de acuerdo a
la naturaleza de la situación, la ejecución del plan conforme al contexto de
realización y la verificación de la solución para evaluar la eficacia y la eficiencia de
las acciones (ver capítulo 3) Por otra parte, (Polya, 1984) propone para la
resolución de problemas una estructura compuesta por las cuatro etapas de la
comprensión, la concepción del plan, su ejecución y la visión retrospectiva.
52
Aunque el autor se basó en las observaciones sobre la forma en cómo los
expertos matemáticos (incluido el mismo) y los no expertos resolvían las
situaciones, “las fases de solución y los métodos heurísticos para buscar esta
solución descritos por Polya han sido considerados como métodos generales de
resolución de tareas independiente de su contenido” (Pozo y otros, 1994:25) Entre
la características de esta propuesta está la de ayudar al estudiante a través de
preguntas y sugerencias cuya intencionalidad es la de promover el funcionamiento
de las operaciones mentales particularmente útiles para la resolución de
problemas (ver capítulo 2); esto está de acuerdo con la intención de Ouellet de
guiar al estudiante en el proceso de resolución de problemas y con la intención de
”acompañar” al evaluado durante el proceso evaluativo, lo cual puede realizarse
de una manera flexible dado que “este método de interrogación no tiene nada de
rígido y es lo que determina su interés” (Polya, 1984: 40)
Frente a las anteriores consideraciones, se procede a replantear la forma
de evaluación de los aprendizajes utilizada tradicionalmente en el curso de cálculo
en cuestión. Con la intención de evidenciar en forma más conciente y sistemática
la competencia de los estudiantes, se diseña una evaluación escrita que realice un
seguimiento en el proceso evaluativo conforme a las características propias del
contenido matemático y de la flexibilidad y la generalidad procedimental con que el
sujeto puede abordar las diferentes situaciones.
Se presenta una evaluación escrita diseñada bajo los elementos teóricos y
procedimentales
estudiados,
incluidos
los
desempeños
establecidos
con
anterioridad (ver Instrumento de Evaluación No. 2) En relación con la evaluación
tradicionalmente utilizada (ver Anexo No. 3), puede observarse cómo este diseño
recoge la primera parte del ítem inicial, dado que se solicita un proceso de
elaboración e introduce la pregunta argumentativa que puede hacer explícito el
conocimiento real del evaluado en la segunda parte del ítem. En este sentido, se
53
introduce también para el segundo ítem la solicitud de la justificación en la
selección de la respuesta, lo que exige al evaluado hacer explícitos los procesos
que en cierta medida puedan develar la utilización de sus conocimientos
conceptuales y procedimentales en la resolución de la situación.
Los ítems del tercero al octavo presentan situaciones similares a las que en
el prólogo y en el capítulo 2 se han denominado “problemas de rutina”, “problemas
por demostrar” y “problemas por resolver”. Se procede a utilizar la estructura de
cuatro pasos planteada por Polya para guiar y “acompañar” al evaluado, con la
intención de realizar una evaluación que pueda evidenciar claramente el
conocimiento que posee el sujeto de los diferentes objetos matemáticos y logre
develar con propiedad su actuar al aplicarlos; en efecto, una evaluación que
evidencie claramente la forma en cómo el evaluado identifica los objetos presentes
directamente en la situación, identifica las posibles relaciones que se dan entre
ellos, conjetura a cerca de las posibles herramientas que podría utilizar para
resolver la situación y desarrolla los procedimientos para encontrar las soluciones.
Las preguntas y las sugerencias realizadas con un alto grado de generalidad, los
procedimientos solicitados al estudiante y demás acciones que realice deben
permitir evidenciar con claridad la asimilación apropiada de los conocimientos y la
manera flexible y pertinente con que los aplica para la búsqueda de las soluciones.
4.3 Aplicación
Esta propuesta de evaluación por competencias se utilizó con los
estudiantes del curso de cálculo en una variable del programa de Licenciatura en
Matemáticas y Física de la modalidad presencialidad concentrada en el primer
semestre de 2005. El procedimiento realizado inició con la presentación oportuna
de la propuesta y la entrega del Instrumento de Evaluación No. 1 con el fin de
54
especificar a los estudiantes los objetos de estudio y los desempeños requeridos
para el tema de la integral definida y aplicaciones.
Es importante decir que el autor de esta propuesta ha retomado los aportes
de Polya concernientes con la resolución de problemas durante largo tiempo como
parte del proceso de enseñanza y aprendizaje. El trabajo con esos elementos ha
resultado bastante significativo y ello motivó su utilización para la evaluación,
cuestión que se concibió pertinente bajo la teoría de la competencia. Los
estudiantes del curso de cálculo conocieron elementos sobre esta teoría durante
las actividades de clase en donde se promovió su utilización, a lo cual
respondieron en forma significativa favoreciendo el desarrollo de la evaluación de
los aprendizajes propuesta. Para futuras investigaciones se propone el
seguimiento sistemático del proceso docente educativo en general bajo el estudio
de las elaboraciones teóricas con relación a la competencia y la resolución de
problemas.
En el momento de la realización de la prueba escrita, los estudiantes
recibieron dos tipos de evaluación. Una era la prueba escrita que tradicionalmente
se utilizaba en la asignatura (ver Anexo No. 3) y la otra era la prueba propuesta en
este trabajo (ver Instrumento de Evaluación No. 2) Luego de un análisis
comparativo de las dos opciones, cada estudiante pudo elegir el tipo que deseaba
desarrollar, resultando que todos los estudiantes decidieron por la evaluación por
competencias propuesta. Después de la elección se asignaron dos horas y media
para su realización.
Al finalizar la prueba escrita, cada estudiante realizó una evaluación de la
propuesta evaluativa por competencias que acababa de presentar en relación con
la prueba tradicionalmente utilizada y de acuerdo a determinadas características
55
(ver Anexo No. 4) Los resultados de esta evaluación se presentan en el Anexo No.
5
Después de la experiencia en la aplicación de esta propuesta de
evaluación, puede concluirse que ella contribuye con la toma de conciencia sobre
los procesos de aprendizaje del estudiante, en la medida en que permite
comprobar la apropiación de los objetos matemáticos, permite hacer un
seguimiento del uso de los conocimientos conceptuales y procedimentales para la
resolución de problemas en contextos específicos y permite también hacer un
seguimiento de las estrategias que utiliza el estudiante para la argumentación en
el uso de los conceptos y los procedimientos, en particular, en los procesos de
demostración matemática.
56
Instrumentos de Evaluación
No.1
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACION
DEPARTAMENTO DE EXTENSION Y EDUCACION A DISTANCIA
LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
CURSO: Cálculo en una Variable
SEMESTRE: 01-05
CODIGO: EMS 251
DOCENTE: Edwin Ferney Montoya Velásquez
DESEMPEÑOS ESPERADOS EN EL TEMA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
Identificación y Descripción
de los Objetos y los
Conceptos Matemáticos
Interpretación y Uso de los
Conocimientos Conceptuales
y Procedimentales para la
Resolución de Problemas en
Contextos Específicos
Argumentación en el Uso de
los Conceptos y los
Procedimientos; Procesos de
Demostración Matemática
Describe la construcción
teórica de la integral definida
como un límite de una suma
de Riemann.
Evalúa integrales definidas
utilizando las proposiciones
estudiadas.
Demuestra la obtención de
expresiones que determinan el
área de una región acotada en un
plano por una o más funciones.
Identifica el concepto de
integrabilidad como la
existencia un límite bajo
determinas condiciones
Determina el área de una
región acotada por una o más
funciones.
Determina el volumen de un
sólido por los métodos de
rebanado, discos, anillos,
capas cilíndricas o mediante la
utilización del teorema de
Pappus.
Determina la longitud de un
arco de la gráfica de una
función.
Determina el trabajo realizado
por una fuerza variable sobre
un objeto.
57
Demuestra teoremas con base en
el análisis de hipótesis y tesis y la
consecuente aplicación
conceptual y procedimental de
demostraciones análogas
estudiadas.
Instrumentos de evaluación
No. 2
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACION
DEPARTAMENTO DE EXTENSION Y EDUCACION A DISTANCIA
LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
CURSO: Cálculo en una Variable
SEMESTRE: 01-05
CODIGO: EMS 251
DOCENTE: Edwin Ferney Montoya Velásquez
EVALUACION DE DESEMPEÑOS
Si es verdaderamente sabio, no
os convidará a entrar en la
mansión de su saber, sino antes
os conducirá al umbral de
vuestra propia mente.
Gibrán
TEMA: La Integral Definida y Aplicaciones
Nombre: _______________________________________________________________________
No. Carné: __________________________
1.
A. Sea f una función definida en el intervalo
 a, b . Describa
un procedimiento para
n
obtener la expresión
lim  f (i )i x
 0
i 1
Represente, en lo posible, los elementos del procedimiento en la siguiente recta:
a
b
58
B. Una función f es integrable en un intervalo
 a, b si
f está definida en el intervalo y
(Elija una de las siguientes dos opciones marcando con una X)
___ si existe un número L que satisfaga la condición de que para todo
 0
   entonces
tal que si
  0 , exista
n
 f ( ) x  L  
i 1
i
i
  0 , exista
   , y para cualquier  i en el
___ si existe un número L que satisfaga la condición de que para todo
 0
tal que para toda partición
 para la cual
n
intervalo
 xi1 , xi  , i  1, 2,..., n entonces  f (i )i x  L  
i 1
¿Por qué su elección?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2.
A. ¿Cuál de las siguientes expresiones determina el valor del área sombreada?
y
g ( x)
M
m
f ( x)
a
b
a.

a
b
c
d
d
e
c
d
e
f ( x)dx    f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx
b
e
b.
c
 M (a  b)  m(b  a)    f ( x)  g ( x)dx
b
59
x
e

c.
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
e
  f ( x)  g ( x)dx
d.
a
B.
Justifique la respuesta seleccionada escribiendo el procedimiento desarrollado para
hallarla o describiendo el razonamiento realizado
3. Se desea demostrar el siguiente teorema: Si f y g son dos funciones continuas en
 a, b 
en
y
g ( x)  0 para toda x en el intervalo  a, b  , entonces existe un número 
b
b
a
a
 a, b tal que  f ( x) g ( x)dx  f (  ) g ( x)dx
Comprensión
Analice la hipótesis del teorema. Sepárelo en dos componentes fundamentales:
Primera ____________________________________________________________________
Segunda ____________________________________________________________________
Analice la tesis, subráyela en el enunciado
Concepción de un Plan
¿Reconoce alguna demostración que haya estudiado y pueda ser de ayuda?
¿Cuál? _____________________________________________________________________
Ejecución del Plan
Utilice el hecho de que f y g son continuas en
 a, b 
En el proceso puede utilizar la siguiente propiedad:
Si a, b, c, d  ; d  0 y a  b  c , entonces ad  bd  cd
Recuerde el teorema del valor intermedio: Si la función
f es continua en  a, b , y si
f (a)  f (b) , entonces para cualquier número k entre f (a) y f (b) existe un número c
entre a y b tal que f (c)  k
Verificación
Observe como los caminos recorridos con anterioridad pueden contribuir a explorar los nuevos
senderos.
¿Puede comprobar el razonamiento realizado y el proceso escrito?
60
3
4. Se desea evaluar la integral definida
 ( x  2)
x  1dx
0
Comprensión
¿Recuerda el segundo teorema fundamental del cálculo? Enúncielo en sus palabras:
Hipótesis _________________________________________________________________
Tesis ____________________________________________________________________
Concepción de un Plan
Con apoyo en el teorema, ¿qué es lo que se desea hacer para evaluar la integral?
Ejecución del Plan
¿Habrá alguna proposición acerca de la antidiferenciación que permita realizar rápidamente el
proceso? Si no se encuentra, ¿será oportuno realizar alguna sustitución? Si lo es, escriba a
continuación las sustituciones que realice y describa si fue útil o no y porqué.
u
u
u
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Escriba el procedimiento
Verificación
¿Pudo evaluar la integral? ¿Puede explicar cuál método fue más adecuado?
5. Se desea calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región
acotada por la parábola
x
y 2  4 x (   0) y la recta x   alrededor de la recta
Comprensión
Determine el vértice ( V ) y el foco ( F )
V( , )
F( , )
Trace la parábola junto con la recta x   y sombree suavemente la región a girar.
61
Dibuje a continuación el sólido de revolución generado con claridad
Concepción de un Plan
Ubique en la primera figura un elemento rectangular de área. ¿En qué posición será más
adecuado? ¿Cuál será el método más adecuado para hallar el volumen? ¿Por qué?
Responda
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Dibuje en la segunda figura el elemento de volumen correspondiente
62
Ejecución del Plan
Determine el volumen del elemento representativo
iV 
Escriba a continuación el procedimiento para hallarlo
Escriba la integral que determina el volumen del sólido de revolución
V 
Evalúe la integral
Verificación
¿Puede comprobar el resultado? ¿Está bien cada parte del procedimiento? ¿Puede utilizar el
resultado o el método para resolver algún otro problema?
6. Se desea utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen de una esfera de
radio r
Comprensión
Escriba en sus palabras la hipótesis del teorema de Pappus
____________________________________________________________________________
Escriba también en sus palabras la tesis
____________________________________________________________________________
Concepción de un Plan
Según la hipótesis, trace la región plana y la recta. ¿En cuántas formas puede pensar sobre el
cómo trazar la región plana? ¿Cuál sería la más conveniente?
63
Ejecución del Plan
Trace la esfera y dibuje los elementos necesarios para determinar su volumen a través del
teorema
Escriba las ecuaciones necesarias a utilizar
V
¿Identifica el significado de cada símbolo? ¿Puede determinar cómo hallar los valores de las
expresiones? Hágalo
Verificación
¿Puede comprobar el resultado? ¿Está bien cada parte del procedimiento? ¿Puede utilizar el
resultado o el método para resolver algún otro problema?
2
7. Se desea hallar la longitud del arco de la curva
hasta el punto donde
x 1
2
x 3  y 3  1 del punto donde x 
1
8
Comprensión
Escriba en sus palabras el teorema que contribuye a la solución de esta situación:
Hipótesis ____________________________________________________________________
Tesis _______________________________________________________________________
64
¿Se cumple la hipótesis? Justifique
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Concepción de un Plan
Si es posible, escriba la expresión a resolver:
L
Ejecución del Plan
Evalúe la expresión anterior
Verificación
¿Puede comprobar el resultado? ¿Está bien cada parte del procedimiento? ¿Puede utilizar el
resultado o el método para resolver algún otro problema?
8. Un cable de 200 pies de largo y con una relación entre peso y longitud de 4 lb/pie
cuelga verticalmente dentro de un pozo. Un peso de 100 lb se suspende del extremo
inferior del cable. Se desea calcular el trabajo realizado al subir el cable y el peso
que sostiene hasta el borde del pozo.
Comprensión
Realice un dibujo claro y apropiado de la situación, ubicando los datos en él.
Concepción de un Plan
Responda las siguientes preguntas
¿Cómo hallar el trabajo realizado al alzar el peso?
____________________________________________________________________________
¿Cómo hallar el trabajo realizado al alzar el cable?
____________________________________________________________________________
¿Cuál es el trabajo realizado al alzar el sistema cable – peso?
____________________________________________________________________________
65
Ejecución del Plan
En el caso en que sea necesaria la utilización de la integral definida, realice las siguientes
acciones:
Ubique adecuadamente un eje de coordenadas en el dibujo
Determine el intervalo de integración

,

Realice, también en el dibujo, la partición del intervalo de integración y calcule el trabajo
realizado para alzar el elemento escogido
iV 
Escriba a continuación el procedimiento para hallarlo
Escriba la integral a evaluar y determine su valor
W 
Verificación
¿Puede comprobar el resultado? ¿Está bien cada parte del procedimiento? ¿Puede utilizar el
resultado o el método para resolver algún otro problema?
66
Conclusiones y Recomendaciones
En la presente monografía se ha realizado una propuesta evaluativa que
contribuye con un proceso más consciente y reflexivo del acto evaluativo, ya que
se ha establecido una evaluación de los aprendizajes con la suficiente claridad en
torno a los aspectos sobre el qué evaluar, por qué evaluar y el cómo evaluar.
Son resultados importantes de esta propuesta de evaluación por
competencias, una exploración reflexiva de las fuentes documentales en torno al
actual tema de las competencias, para realizar una estructura conceptual y
procedimental acordes entre ellas y al contexto para el cual fue diseñada, con
buena aceptación de los estudiantes participantes de su implementación. Es
importante resaltar el valor del instrumento para la evaluación escrita, diseñado
con el fin de evidenciar los desempeños de los estudiantes. Esto dado su sustento
teórico, el cual abarca elementos tales como la correspondencia entre las
acciones del sujeto y el saber disciplinar, la matemática; otras características
como la flexibilidad para abordar las situaciones y la generalidad procedimental,
dada la amplia gama de posibilidades para abordarlas, hacen de esta herramienta
una importante opción para realizar una evaluación que contrasta con aquellas
que, por ejemplo, se limitan a recoger respuestas precisas en situaciones
concretas, descuidando en cierta medida los procesos.
Para futuras investigaciones se propone el diseño y la implementación de
estructuras evaluativas, con rigurosos sustentos teóricos e instrumentos acordes
con ellas que puedan ser aplicados en diferentes contextos para verificar su
pertinencia y que difieran de las tradicionales pruebas objetivas que poco
contribuyen con la formación integral de los estudiantes, ya que descuidan los
67
procesos en los que se colocan en acción los conocimientos adquiridos para la
construcción de nuevos aprendizajes y la resolución de problemas.
68
Referencias Bibliográficas
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Competencias en el Área de Ciencias Básicas de Ingeniería. En: Primer Encuentro
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69
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Competencias
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Problemas-ABP-Experimentación
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Antioquia.
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POZO, Juan Ignacio y otros. La Solución de Problemas. Aula XXI – Santillana.
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http://www.campus-oei.org/revista/deloslectores/Perez.PDF Consultado en Agosto
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para
el
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Centrada en el Proceso. En: Revista Española de Pedagogía. No. 218. 2001 p 2545
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Editorial Reí Argentina. Buenos Aires. 1992
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MALDONADO, Miguel Angel. Las Competencias: una opción de vida. ECOE
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Cultura Educativa: enseñar y aprender para la autonomía. Editorial Síntesis.
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Revista ACEM. Vol. 1. No. 3. Asociación Colombiana de estudiantes de
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73
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Enseñanza para la Comprensión, vinculación entre la investigación y la práctica.
Editorial Paidós. Buenos Aires. 1999.
74
Anexos
No. 1
CONTENIDOS Y DESEMPEÑOS REQUERIDOS EN CURSOS DE CÁLCULO DE ALGUNOS
CONTEXTOS UNIVERSITARIOS
En la Universidad de Wisconsin, U.S., se proponen para los cursos de cálculo, entre otras, los
siguientes objetivos:


Find and apply antiderivatives, indefinite integrals and definite integrals.
Set up and evaluate a Riemann sum describing an application and leading to a definite
integral.
 Use the Fundamental Theorem of Calculus and substitution to evaluate definite integrals.
 Calculate mass and center-of-mass for a 2-dimensional region with a prescribed density
function.
Fuentes:
http://outreach.math.wisc.edu/local/courses/math221.html
http://outreach.math.wisc.edu/local/courses/math222.html
En el programa de matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad
de Antioquia, se proponen el siguiente objetivo en un curso de cálculo:
Utilizar la integración en la solución de problemas en campos como la física y la geometría.
Los contenidos desarrollados para lograr este propósito son:





Cálculo de áreas y volúmenes mediante paralelas.
Cálculo del volumen de un sólido de revolución.
Centroide de una región plana.
El concepto físico de trabajo.
El valor medio de una función sobre un intervalo.
Fuente:
Página Web de la Universidad de Antioquia
En el programa de matemáticas y físicas de la facultad de educación en la modalidad presencial,
se espera desarrollar también este objetivo, para lo cual se desarrollan los siguientes contenidos:



Area entre dos curvas
Volúmenes de revolución
Longitud de arco
75




Centro de masa
Momento de inercia
Trabajo
Presión
Anexos
No. 2
CONTENIDOS PARA EL TEMA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y
APLICACIONES
1. CONCEPTO



Suma de Riemann
Función integrable en un intervalo
Integral definida
2. PROPOSICIONES



Propiedades
Teorema del valor medio para integrales
Teoremas fundamentales
3. APLICACIONES






Área de una región en un plano
Volumen de un Sólido por los métodos de rebanadas, discos, anillos y
capas cilíndricas
Longitud de arco de la gráfica de una función
Centro de masa de una barra y Momento de masa
Centroide de una región plana y Momento de masa
Trabajo mecánico
PROPOSICIONES DEL TEMA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES*
Si una función
f es continua en un intervalo cerrado  a, b , entonces f es integrable  a, b
76
b
Si
k es cualquier constante, entonces  kdx  k (b  a)
a
Si la función
b
b
a
a
f
es integrable en
 a, b 
k es cualquier constante, entonces
y si
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
Si las funciones f y
integrable en
g son integrables en  a, b , entonces f + g es
b
b
b
a
a
a
 a, b y  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Si la función f es integrable en un intervalo cerrado que contenga los tres números
entonces
b
c
b
a
a
c
a, b, y c,
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx independiente del orden de a , b , y c
Si las funciones f y g son integrables en el intervalo
b
b
a
a
 a, b y si
f ( x)  g ( x) para toda x en
 a, b , entonces  f ( x)dx   g ( x)dx
 a, b . Si m y M son,
en  a, b  de tal forma que
Supongamos que la función f es continua en el intervalo cerrado
respectivamente, los valores mínimo y máximo absolutos de f
b
m  f ( x)  M
para a  x  b entonces m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
77
 a, b , entonces existe un número  en  a, b tal que
Si la función f es continua en el intervalo
b
 f ( x)dx  f (  )(b  a)
a
Sea f continua en el intervalo
 a, b 
y sea
x cualquier número en  a, b . Si F es la función
x
definida por
F ( x)   f (t )dt entonces F '( x)  f ( x)
a
(Si x = a , tal derivada puede ser una derivada por la derecha, y si
una derivada por la izquierda.)
Si la función
para toda
x = b entonces puede ser
f es continua en el intervalo  a, b y siendo g una función tal que g '( x)  f ( x)
x en  a, b , entonces
b
 f (t )dt  g (b)  g (a)
a
(Si x = a , tal derivada puede ser una derivada por la derecha, y si
una derivada por la izquierda.)
x = b entonces puede ser
Sea S un sólido tal que S se encuentre entre los planos trazados perpendicularmente a eje
en a y b . Si la medida del área de la sección plana de S , trazada perpendicularmente al eje
en
x
x
x , está dada por A ( x ), donde A es continua en  a, b , entonces la medida del volumen de
b
S está dada por
 A( x)dx
a
Sea la función
f continua en el intervalo  a, b , y supongamos que f(x)  0 para toda x en
 a, b . Si
S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por
la curva y  f ( x) , el eje x , y las rectas x = a y x = b ; y si V es el volumen de S en
unidades cúbicas, entonces V = 
b
  f ( x) dx
2
a
78
Sean las funciones f y g continuas en el intervalo
 a, b y supongamos que
f ( x)  g ( x )  0
x en  a, b . Entonces, si V unidades cúbicas es el volumen del sólido de revolución
generado al girar, alrededor del eje x , la región limitada por las curvas y  f ( x) y y  g ( x) y
para toda
b
las recta
x = a y x= b , V 
 f ( x)   g ( x) dx
2
2
a
Sea la función f continua en el intervalo
 a, b , donde a
 0 . Supóngase que f ( x)  0 para
x en  a, b . Si R es la región limitada por la curva y  f ( x) , el eje x y las rectas x = a
y x = b , si S es el sólido de revolución obtenido al girar la región R alrededor del eje y , y si V
toda
b
unidades cúbicas el volumen de
S , entonces V  2  xf ( x)dx
a
*Fuentes
LEITHOLD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. 6ª Edición. México.
1992.
STEWARD, James. Cálculo Diferencial e Integral. Thomson Editores. Buenos Aires. 1999.
Anexos
No. 3
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACION
DEPARTAMENTO DE EXTENSION Y EDUCACION A DISTANCIA
LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
CURSO: Cálculo en una Variable
SEMESTRE: 01-05
CODIGO: EMS 251
DOCENTE: Edwin Ferney Montoya Velásquez
TIPO DE EVALUACION TRADICIONALMENTE UTILIZADA
TEMA: La Integral Definida y Aplicaciones
OBJETIVOS

Identificar elementos del concepto de integral definida y algunas propiedades.
79



Demostrar proposiciones relacionadas con la integral definida
Realizar aplicaciones de la integral definida.
Evaluar integrales definidas.
Nombre: _______________________________________________________________________
No. Carné: __________________________
1.
A.
Sea
f
una función definida en el intervalo
 a, b 
n
Describa un procedimiento para obtener la expresión
lim  f (i )i x
 0
i 1
Represente, en lo posible, los elementos del procedimiento en una recta
B.
Una función es integrable en un intervalo
 a, b 
si
f
está definida en el intervalo y … (Elija
marcando con una X)
___ si existe un número
tal que si
 
L
que satisfaga la condición de que para todo
  0 , exista   0
n
entonces
 f ( ) x  L  
i 1
___ si existe un número
L
tal que para toda partición
i
i
  0 , exista   0
cualquier  i en el intervalo
que satisfaga la condición de que para todo

para la cual
 
y para
n
 xi1 , xi  , i  1, 2,..., n entonces  f (i )i x  L  
i 1
2.
¿Cuál de las siguientes expresiones determina el valor del área sombreada?
y
g ( x)
M
m
f ( x)
a
b
80
c
d
e
x
b
a.

c
d
e
c
d
f ( x)dx    f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx
a
b
e
b.
 M (a  b)  m(b  a)    f ( x)  g ( x)dx
b
c.
d.
e
b
a
b
e
 f ( x)dx   g ( x)dx
  f ( x)  g ( x)dx
a
3.
Demostrar que si
f
y
g
son dos funciones continuas en
intervalo, entonces existe un número

en
 a, b  y
g ( x)  0
para toda
b
b
a
a
x
en el
 a, b tal que  f ( x) g ( x)dx  f (  ) g ( x)dx
3
4.
Evaluar la integral definida
 ( x  2)
x  1dx
0
5.
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región acotada por la parábola
y 2  4 x (   0)
y la recta
x
alrededor de la recta
x
6.
Utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen de una esfera de radio
7.
Hallar la longitud del arco de la curva
2
3
2
3
x  y 1
x 1
8.
del punto donde
x
1
8
r
hasta el punto donde
Un cable de 200 pies de largo y con una relación entre peso y longitud de 4 lb/pie cuelga
verticalmente dentro de un pozo. Un peso de 100 lb se suspende del extremo inferior del cable.
Calcular el trabajo realizado al subir el cable y el peso que sostiene hasta el borde del pozo.
81
Anexos
No. 4
EVALUACION DE LA PROPUESTA POR COMPETENCIA EN RELACION CON
LA EVALUACION TRADICIONAL
CARÁCTERISTICA DE LA EVALUACION
Por lo general está de acuerdo a los objetivos
especificados
Se corresponde con las estrategias de enseñanza y
aprendizaje implementadas por los docentes y los
estudiantes
Recoge una parte significativa de los temas trabajados
Evalúa conocimientos
Evalúa procedimientos
82
TRADICIONAL
(Entre 0.0 y 5.0)
POR
COMPETENCIAS
(Entre 0.0 y 5.0)
Se centra en los resultados
Se centra en lo procesos
Tienen en cuenta tanto procesos como resultados
Evidencia donde se encuentran las dificultades del
estudiante
Establece un diálogo entre el evaluado y el instrumento de
evaluación a través de la orientación
Promueve el razonamiento analítico por encima de la
simple aplicación de fórmulas y métodos memorísticos
Promueve actitudes y acciones significativas, como la
autonomía, para afrontar la evaluación
Evalúa las competencias del estudiante
Anexos
No. 5
Presentación estadística de la información sobre la evaluación realizada por
estudiantes a la propuesta de evaluación por competencias en relación con
la evaluación tradicionalmente utilizada en el curso de cálculo en una
variable
83
Por lo general está de acuerdo con los objetivos
especificados
Valoración
6
4
Tradicional
2
Competencias
0
-2 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Competencias
2,98461538
0,31149889
3
3
1,12312522
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
1,26141026
3,43851073
1,70587618
4
0
4
13
4,25384615
0,15509112
4
4
0,55918897
0,31269231
0,91480593
0,44674611
2
3
5
13
Se corresponde con las estrategias de
enseñanza y aprendizaje implementadas por los
docentes y los estudiantes
Valoración
5
4
3
Tradicional
2
Competencias
1
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
84
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Competencias
2,96923077
0,24609374
3
3
0,88730361
0,78730769
0,89743924
0,33433411
2,5
1,5
4
13
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
3,76923077
0,19394178
4
4
0,69926702
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
2,48401439
1,59050765
2,5
2
4,5
13
0,48897436
Valoración
Recoge una parte significativa de los temas
tratados
6
5
4
3
2
1
0
Tradicional
Competencias
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Competencias
2,93076923
0,23242992
3
2
0,838038
0,70230769
1,45422861
0,21691538
2,4
1,6
4
85
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
4,43076923
0,16885156
4,5
4,5
0,60880294
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
1,48901115
1,34032402
2
3
5
0,37064103
Cuenta
13
Cuenta
13
Valoración
Evalúa conocimientos
6
5
4
3
2
1
0
Tradicional
Competencias
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Competencias
3,36923077
0,25150435
3,5
3
0,90681183
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
0,82230769
0,06455442
0,73601731
3
1,5
4,5
13
4,31538462
0,15642076
4,5
4
0,56398309
0,31807692
1,13181897
0,78408684
2
3
5
13
Valoración
Evalúa procedimientos
6
5
4
3
2
1
0
Tradicional
Competencias
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Competencias
3,16153846
Media
86
4,35384615
Valoración
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
0,23846154
3
4
0,8597853
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
0,73923077
-0,8810251
0,61558246
2,4
1,6
4
13
0,15467724
4,5
4
0,55769673
0,31102564
1,70361548
1,03444975
2
3
5
13
Se centra en los resultados
6
5
4
3
2
Tradicional
Competencias
1
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Competencias
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
4,12307692
0,26533816
4
4
0,95669034
0,91525641
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
3,36869153
1,66839803
3,4
1,6
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
87
3,73846154
0,16928903
4
3
0,61038029
0,3725641
1,50522813
0,01888125
1,6
3
Máximo
Cuenta
5
13
Máximo
Cuenta
4,6
13
Valoración
Se centra en los procesos
6
5
4
3
2
1
0
Tradicional
Competencias
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Competencias
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
2,87692308
0,22018461
3
3
0,7938869
0,63025641
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
1,50053523
1,14343907
3
1
4
13
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
4,41538462
0,0966398
4,5
4,5
0,34843975
0,12141026
0,61321358
0,28101521
1
4
5
13
Tiene en cuenta tanto procesos como
resultados
Valoración
6
4
Tradicional
2
Competencias
0
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Competencias
88
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
2,73076923
0,32824018
3
3
1,18348681
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
1,40064103
0,79988784
0,96818063
4
0
4
13
4,36153846
0,08588787
4,5
4,5
0,30967311
0,09589744
0,0515814
0,12774774
1,1
3,9
5
13
Evidencia donde se encuentran la dificultades
de los estudiantes
Valoración
6
4
Tradicional
2
Competencias
0
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Competencias
2,22307692
0,2981038
2,5
3
1,07482855
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
1,15525641
-0,3899878
0,80876152
3,5
0
3,5
13
89
4,55
0,12997669
4,5
4,5
0,45025245
0,20272727
1,60693626
1,14733839
1,5
3,5
5
12
Establece un díalogo entre el evaluado y el
instrumento de evaluación a través de la
orientación
Valoración
6
4
Tradicional
2
Competencias
0
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
1,85384615
0,3081407
1,6
1
1,11101709
Valoración
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
1,23435897
0,75653088
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
6
5
4
3
2
1
0
Competencias
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
0,28051954
3,8
0
3,8
13
4,6
0,11766968
4,5
5
0,42426407
0,18
1,58333333
0,37914732
1
4
5
13
Promueve el razonamietno analítico por encima
de la simple aplicación de fórmulas y métodos
memorísticos
Tradicional
Competencias
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Competencias
90
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
2,2
0,36409354
2
1
1,31275791
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
1,72333333
1,26962168
0,00522392
4
0
4
13
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
4,43846154
0,1263585
4,5
4,5
0,45559204
0,2075641
0,12027294
0,55107212
1,5
3,5
5
13
Promueve actitudes y acciones significativas,
como a autonomía, para afrontar la evaluación
Valoración
6
4
Tradicional
2
Competencias
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
Competencias
2,5
0,31622777
2,5
2
1,14017543
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
1,3
0,37278322
0,59400748
4
1
5
13
91
4,44615385
0,15342892
4,5
4,5
0,55319584
0,30602564
3,14092095
1,58103847
2
3
5
13
Valoración
Evalúa la competencia del estudiante
6
5
4
3
2
1
0
-1 1
Tradicional
Competencias
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Estudiantes
Tradicional
Competencias
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
2,3
0,28465003
2,5
2
1,02632029
1,05333333
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la
muestra
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
0,58034297
0,93359775
3,5
0
3,5
13
Curtosis
Coeficiente de
asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Cuenta
92
4,67692308
0,10386989
4,8
5
0,37450822
0,14025641
0,49669234
0,82181897
1
4
5
13