Desalambrando la matemática elemental 2do semestre 2022 Profesores: Roberto Ben Nino Cafure Eda Cesaratto Rodrigo Moreno ARITMÉTICA Retomamos ejercicios en una nueva sección de problemas. Esta vez invesigaremos sobre propiedades de los números enteros, problemas de divisibilidad básicos, y tambien de ecuaciones en dicho conjunto numérico. Problema 1. Con los dı́gitos 1, 2, 3, 4, 5, y sin repetir, se forman los 120 números de 5 dı́gitos. Determinar cuántos de estos números son múltiplos de 4. Problema 2. Determinar cuántos números enteros entre 1 y 2022 inclusive no contienen el dı́gito 1. Problema 3. Alex, Bruno y Carlos tiene diferentes cantidad de caramelos en total suman 343. Alex tiene menos que Bruno, Bruno tiene menos que Carlos, y estas cantidades están en progresión geométrica (sugerencia: prestar particular atención a esto último). Durante la semana, Alex come 5 de sus caramelos, Bruno come 12 de los suyos y Carlos come 47 de los suyos. Resulta que las cantidades actuales de caramelos están en progresión aritmética. Determinar cuántos caramelos tenı́an inicialmente cada uno de los tres chicos. Problema 4. Determinar todos los trios (a,b,c) de números enteros positivos tales que: a = b4 + c3 Siendo a, b y c primos y a ≤ 2018 Problema 5. En sus primeros cinco exámenes, que el profesor califica con notas enteras entre 0 y 10 inclusive, Ramiro obtuvo: 3, 4, 7, 10, 9. Después de rendir el siguiente examen, el promedio de sus seis notas resulto un número entero. Al rendir el séptimo examen, el promedio de sus siete notas fue nuevamente un número entero.Calcular las notas que pudo sacarse Ramiro en el sexto y séptimo examen. Dar todas las posibilidades. Problema 6. Fausto escribe una lista de 11 números enteros positivos con el siguiente procedimiento: elige el primer número a y el segundo número b y , a partir de allı́, en cada paso escribe la resta del último número escrito multiplicado por 2 menos el penúltimo número escrito. Por ejemplo: Si a = 87 y b = 134, la sucesión comienza con: 87, 134, 181, 228, 275.... Hallar todos los números enteros positivos a y b, con a menor o igual que 30 y tales que en el lugar número 11 de la lista esté escrito 2018. Problema 7. Un número entero positivo de 10 dı́gitos se llama diverso si sus 10 dı́gitos son distintos. Hallar la cantidad de números diversos que son divisibles por 99. Problema 8. Se define una sucesión de números de la siguiente manera: • El primer término es igual a 2. • Si un término es igual a a el siguiente término es igual a a−1 a+1 Calcular el término en la posición 2018. Problema 9. En una competencia de Matemática cada participante debe elegir un conjunto de números primos distintos tales que su promedio sea 27. Ganan aquellos participantes que en su conjunto tienen el primo más grande. Determinar cual es ese primo. Dar un ejemplo y explicar por qué no puede haber un conjunto de promedio 27 con un primo más grande. Problema 10. Sea A el conjunto de todos los números enteros desde 1 hasta 300 inclusive. Consideramos todos los trı́os que se pueden formar utilizando tres números distintos de A, y para cada trı́o, calculamos su suma. Determinar para cuantos de estos trı́os la suma es múltiplo de 3.
