Precálculo
Matemáticas para el cálculo
Séptima edición
Stewart • Redlin • Watson
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
19.02.2019
SÉPTIMA EDICIÓN
PRECÁLCULO
MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
19.02.2019
ACERCA DE LOS AUTORESS
J AMES S TEWART obtuvo la maes-
L OTHAR R EDLIN creció en la isla
S ALEEM W ATSON recibió su licen-
tría de la Universidad de Stanford y el
doctorado de la Universidad de Toronto. Realizó una investigación en la
Universidad de Londres y fue influenciado por el famoso matemático
George Polya en la Universidad de
Stanford. Stewart es profesor emérito
de la Universidad McMaster y actualmente es profesor de matemáticas en
la Universidad de Toronto. Su campo
de investigación es el análisis armónico y las conexiones entre las matemáticas y la música. James Stewart es
el autor de una exitosa serie de libros
de texto para cálculo publicada por
Cengage Learning, incluyendo
Cálculo, Cálculo: trascendentes tempranas y Cálculo: conceptos y contextos;
una serie de textos de precálculo;
y una serie de libros de texto de
matemáticas para secundaria.
de Vancouver, obtuvo una licenciatura en Ciencias de la Universidad de
Victoria, y recibió un doctorado de la
Universidad de McMaster en 1978.
Posteriormente se dedicó a la investigación y la docencia en la Universidad de Washington, en la Universidad
de Waterloo y en la Universidad
Estatal de California en Long Beach.
En la actualidad es profesor de matemáticas en la Universidad Estatal
de Pennsylvania, en el Campus de
Abington. Su campo de investigación
es la topología.
ciatura en Ciencias por la Universidad
Andrews, en Michigan. Realizó estudios de posgrado en la Universidad
de Dalhousie y en la Universidad de
McMaster, donde obtuvo su doctorado, en 1978. Posteriormente se
dedicó a la investigación en el Instituto de Matemáticas de la Universidad
de Varsovia, en Polonia. También enseñó en la Universidad Estatal de
Pennsylvania. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad
Estatal de California, Long Beach. Su
campo de investigación es el análisis
funcional.
Stewart, Redlin y Watson también han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry
y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and Contexts.
La obra cuenta con material adicional en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.
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19.02.2019
SÉPTIMA EDICIÓN
PRECÁLCULO
MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO
JAMES STEWART
M C MASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO
LOTHAR REDLIN
THE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY
SALEEM WATSON
CALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH
Con la ayuda de Phyllis Panman
Traducción
Mtro. Javier León Cárdenas
Formación básica ESIQIE • IPN
Revisión técnica
Dra. Ana Elizabeth García Hernández
Instituto Politécnico Nacional
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
19.02.2019
Precálculo. Matemáticas
para el cálculo, 7a. ed.
James Stewart, Lothar Redlin
y Saleem Watson
Director Editorial para
Latinoamérica:
Ricardo H. Rodríguez
Editora de Adquisiones
para Latinoamérica:
Claudia C. Garay Castro
Gerente de Manufactura para
Latinoamérica:
Antonio Mateos Martínez
Gerente Editorial de Contenidos
en Español:
Pilar Hernández Santamarina
Gerente de Proyectos Especiales:
Luciana Rabuffetti
Coordinador de Manufactura:
Rafael Pérez González
Editora:
Abril Vega Orozco
Diseño de portada:
Anneli Daniela Torres Arroyo
Imagen de portada:
© zhu difeng/Shutterstock
Composición tipográfica:
Heriberto Gachuz Chavez
Humberto Nuñez Ramos
© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
una Compañía de Cengage Learning, Inc.
Corporativo Santa Fe
Av. Santa Fe núm. 505, piso 12
Col. Cruz Manca, Santa Fe
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distribución en redes de información o
almacenamiento y recopilación en sistemas
de información a excepción de lo permitido
en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Traducido del libro Precalculus: Mathematics
for Calculus, Seventh Edition.
James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson.
Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016.
ISBN: 978-1-305-07175-9
Datos para catalogación bibliográfica:
Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson.
Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7a. ed.
ISBN: 978-607-526-279-6
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http://latinoamerica.cengage.com
Impreso en México
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19.02.2019
CONTENIDO
PREFACIO ix
AL ESTUDIANTE xvi
PRÓLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS xvii
CAPÍTULO 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
■
CAPÍTULO 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
■
CAPÍTULO 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
FUNDAMENTOS
1
Resumen del capítulo 1
Números reales 2
Exponentes y radicales 13
Expresiones algebraicas 25
Expresiones racionales 36
Ecuaciones 45
Números complejos 59
Modelado con ecuaciones 65
Desigualdades 81
El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 92
Rectas 106
Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 117
Modelos usando variaciones 122
Capítulo 1 Repaso 130
Capítulo 1 Examen 137
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos 139
FUNCIONES
147
Resumen del capítulo 147
Funciones 148
Gráficas de funciones 159
Obtener información a partir de la gráfica de una función 170
Razón de cambio promedio de una función 183
Funciones lineales y modelos 190
Transformaciones de funciones 198
Combinación de funciones 210
Funciones uno a uno y sus inversas 219
Capítulo 2 Repaso 229
Capítulo 2 Examen 235
ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con funciones 237
FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
245
Resumen del capítulo 245
Funciones y modelos cuadráticos 246
Funciones polinomiales y sus gráficas 254
División de polinomios 269
Ceros reales de polinomios 275
Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 287
Funciones racionales 295
v
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vi Contenido
3.7
■
CAPÍTULO 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
■
Desigualdades polinomiales y racionales 311
Capítulo 3 Repaso 317
Capítulo 3 Examen 323
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas con funciones
polinomiales 325
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
329
Resumen del capítulo 329
Funciones exponenciales 330
La función exponencial natural 338
Funciones logarítmicas 344
Leyes de logaritmos 354
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 360
Modelado con funciones exponenciales 370
Escalas logarítmicas 381
Capítulo 4 Repaso 386
Capítulo 4 Examen 391
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas exponenciales
y de potencia 392
Examen acumulativo de repaso: capítulos 2, 3 y 4 se encuentran disponibles en línea.
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CAPÍTULO 5
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
401
MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
■
CAPÍTULO 6
Resumen del capítulo 401
La circunferencia unitaria 402
Funciones trigonométricas de números reales 409
Gráficas trigonométricas 419
Más gráficas trigonométricas 432
Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 439
Modelado de movimiento armónico 445
Capítulo 5 Repaso 460
Capítulo 5 Examen 465
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas senoidales 466
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
471
MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
■
Resumen del capítulo 471
Medida de un ángulo 472
Trigonometría de triángulos rectángulos 482
Funciones trigonométricas de ángulos 491
Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos 501
La ley de senos 508
La ley de cosenos 516
Capítulo 6 Repaso 524
Capítulo 6 Examen 531
ENFOQUE SOBRE MODELADO Topografía 533
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Contenido
CAPÍTULO 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
■
TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
vii
537
Resumen del capítulo 537
Identidades trigonométricas 538
Fórmulas de adición y sustracción 545
Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 553
Ecuaciones trigonométricas básicas 564
Más ecuaciones trigonométricas 570
Capítulo 7 Repaso 576
Capítulo 7 Examen 580
ENFOQUE SOBRE MODELADO Ondas viajeras y estacionarias 581
Examen acumulativo de repaso: capítulos 5, 6 y 7 se encuentran disponibles en línea.
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CAPÍTULO 8
8.1
8.2
8.3
8.4
■
CAPÍTULO 9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
■
COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 587
Resumen del capítulo 587
Coordenadas polares 588
Gráficas de ecuaciones polares 594
Forma polar de números complejos: teorema de De Moivre 602
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 611
Capítulo 8 Repaso 620
Capítulo 8 Examen 624
ENFOQUE SOBRE MODELADO La trayectoria de un proyectil 625
VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES
629
Resumen del capítulo 629
Vectores en dos dimensiones 630
El producto punto 639
Geometría de coordenadas en tres dimensiones 647
Vectores en tres dimensiones 653
El producto cruz 659
Ecuaciones de rectas y planos 666
Capítulo 9 Repaso 670
Capítulo 9 Examen 675
ENFOQUE SOBRE MODELADO Campos vectoriales 676
Examen acumulativo de repaso: capítulos 8 y 9 se encuentran disponibles en línea.
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CAPÍTULO 10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
■
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
679
Resumen del capítulo 679
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 680
Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 690
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 699
El álgebra de matrices 712
Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 724
Determinantes y regla de Cramer 734
Fracciones parciales 745
Sistemas de ecuaciones no lineales 751
Sistemas de desigualdades 756
Capítulo 10 Repaso 766
Capítulo 10 Examen 773
ENFOQUE SOBRE MODELADO Programación lineal 775
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19.02.2019
viii Contenido
CAPÍTULO 11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
■
SECCIONES CÓNICAS
781
Resumen del capítulo 781
Parábolas 782
Elipses 790
Hipérbolas 799
Cónicas desplazadas 807
Rotación de ejes 816
Ecuaciones polares de las cónicas 824
Capítulo 11 Repaso 831
Capítulo 11 Examen 835
ENFOQUE SOBRE MODELADO Cónicas en arquitectura 836
Examen acumulativo de repaso: capítulos 10 y 11 se encuentran disponibles en línea.
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CAPÍTULO 12
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
■
CAPÍTULO 13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
■
SUCESIONES Y SERIES
841
Resumen del capítulo 841
Sucesiones y notación de sumatoria 842
Sucesiones aritméticas 853
Sucesiones geométricas 858
Matemáticas de finanzas 867
Inducción matemática 873
El teorema del binomio 879
Capítulo 12 Repaso 887
Capítulo 12 Examen 892
ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con sucesiones recursivas 893
LÍMITES: UNA MIRADA PREVIA AL CÁLCULO
897
Resumen del capítulo 897
Hallar límites numérica y gráficamente 898
Encontrar límites algebraicamente 906
Rectas tangentes y derivadas 914
Límites en el infinito; límites de sucesiones 924
Áreas 931
Capítulo 13 Repaso 940
Capítulo 13 Examen 943
ENFOQUE SOBRE MODELADO Interpretaciones del área 944
Examen acumulativo de repaso: capítulos 12 y 13 se encuentran disponibles en línea.
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El siguiente material se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.
APÉNDICE A Repaso de geometría
APÉNDICE B Cálculos y cifras significativas
APÉNDICE C Gráficas con una calculadora graficadora
APÉNDICE D Uso de la calculadora graficadora TI-83/84
RESPUESTAS
ÍNDICE
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19.02.2019
PREFACIO
¿Qué necesitan saber realmente los estudiantes para estar preparados para el cálculo? ¿Qué herramientas necesitan verdaderamente los profesores para ayudar a sus alumnos a prepararse para el cálculo? Estas dos preguntas han motivado la escritura de este
libro.
Para estar preparado para el cálculo un estudiante necesita no sólo conocimientos
técnicos, sino también una clara comprensión de conceptos. De hecho, la comprensión
conceptual y los conocimientos técnicos van de la mano y se refuerzan entre sí. Un
estudiante también necesita valorar el poder y la utilidad de las matemáticas para modelar el mundo real. Todos los temas de este libro de texto están destinados a promover
dichos objetivos.
Al escribir esta séptima edición, nuestro propósito es mejorar aún más la utilidad del
libro como herramienta de enseñanza para profesores y como herramienta de aprendizaje para estudiantes. Hay varios cambios importantes en esta edición, que son resultado de las sugerencias que hemos recibido de profesores y estudiantes que han usado
este texto; otros son resultado de las ideas que hemos adquirido a través de nuestra
propia enseñanza. Algunos capítulos se han reorganizado y se han vuelto a escribir, se
han agregado nuevas secciones (como se describe a continuación), el material de repaso
al final de cada capítulo se ha ampliado sustancialmente, y los conjuntos de ejercicios
se han mejorado para centrarse más en los conceptos principales del precálculo. En
todos estos cambios y muchos otros (pequeños y grandes) hemos mantenido las principales características que han contribuido al éxito de este libro.
Lo nuevo en la séptima edición
■
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■
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■
■
Más de 20% de los ejercicios son nuevos y ahora los grupos de estos
tienen títulos que identifican el tipo de cada uno. Nuevos ejercicios de Habilidades plus en la mayoría de las secciones contienen actividades más desafiantes
que requieren que los estudiantes amplíen y sinteticen conceptos.
Material de repaso El material de repaso al final de cada capítulo incluye un
resumen de Propiedades y fórmulas y una nueva Verificación de conceptos. Cada
Verificación de conceptos proporciona un repaso paso a paso de los principales
conceptos y aplicaciones del capítulo. Las respuestas a las preguntas de la Verificación de conceptos se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com
y busque el libro por el ISBN.
Proyectos de descubrimiento Las referencias de los Proyectos de descubrimiento, incluyendo breves descripciones del contenido de cada proyecto, se presentan en recuadros, en su caso, en cada capítulo. Estos recuadros resaltan las
aplicaciones del precálculo en muchos contextos del mundo real. (Los proyectos
se encuentran en el sitio web que acompaña el libro: www.stewartmath.com).*
Repaso de geometría Un nuevo apéndice A contiene un repaso de los principales conceptos de la geometría utilizados en este libro, incluyendo la semejanza y
el teorema de Pitágoras.
CAPÍTULO 1 Fundamentos Este capítulo contiene ahora dos nuevas secciones.
La sección 1.6, “Números complejos” (que antes estaba en el capítulo 3), y que
ahora se ha movido aquí. Y la sección 1.12, “Modelos usando variaciones”
está ahora también en este capítulo.
CAPÍTULO 2 Funciones Este capítulo incluye la nueva sección 2.5, “Funciones
lineales y modelos”. Esta sección resalta la conexión entre la pendiente de una
recta y la rapidez de cambio de una función lineal. Estas dos interpretaciones
de pendiente ayudan a preparar a los estudiantes para el concepto de derivada
en cálculo.
Ejercicios
* Este material se encuentra disponible en inglés.
ix
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x Prefacio
■
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■
■
CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales Este capítulo ahora incluye la
nueva sección 3.7, “Desigualdades polinomiales y racionales”. La sección 3.6,
“Funciones racionales”, tiene una nueva subdivisión de funciones racionales con
“agujeros”. Las secciones sobre números complejos y variación se han movido al
capítulo 1.
CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas El capítulo ahora incluye dos
secciones sobre las aplicaciones de estas funciones. La sección 4.6, “Modelado
con funciones exponenciales” se enfoca en modelizar el crecimiento y el decaimiento, la ley de enfriamiento de Newton y otras aplicaciones. La sección 4.7,
“Escalas logarítmicas”, cubre el concepto de una escala logarítmica con aplicaciones de las escalas de pH, Richter y decibelios.
CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria Este
capítulo incluye una nueva subsección que trata el concepto de corrimiento de
fase que se usa al modelar el movimiento armónico.
CAPÍTULO 10 Sistemas de ecuaciones y desigualdades El material en los sistemas
de las desigualdades se ha vuelto a escribir para enfatizar los pasos utilizados en
el trazo de la solución gráfica de un sistema de desigualdades.
Enseñanza con la ayuda de este libro
Estamos profundamente conscientes de que la buena enseñanza se presenta en muchas
formas, y que hay numerosos métodos diferentes para enseñar los conceptos y conocimientos de precálculo. La organización de los temas de este libro está diseñada para
contener diferentes estilos de enseñanza. En particular, cada tema se presenta algebraicamente, gráficamente, numéricamente y verbalmente con énfasis en las relaciones entre
estas representaciones diferentes. Las siguientes son algunas características especiales
que se pueden utilizar para complementar los diferentes estilos de enseñanza y aprendizaje:
Conjuntos de ejercicios La forma más importante de fomentar la comprensión conceptual y perfeccionar los conocimientos técnicos es a través de los problemas que el
profesor asigna. Con este fin hemos incluido una amplia selección de ejercicios.
■
■
■
■
■
■
■
Estos ejercicios le piden al estudiante que use lenguaje
matemático para expresar datos fundamentales acerca de temas de cada sección.
Ejercicios de habilidades Estos ejercicios refuerzan y proporcionan práctica con
todos los objetivos de aprendizaje de cada sección. Comprenden el núcleo de
cada conjunto de ejercicios.
Ejercicios de habilidades plus Los ejercicios de Habilidades plus tienen problemas desafiantes que requieren a menudo de la síntesis de material previamente
aprendido con los nuevos conceptos.
Ejercicios de aplicación Hemos incluido problemas aplicados sustanciales de
muchos contextos diferentes del mundo real. Creemos que estos ejercicios captarán el interés de los estudiantes.
Aprendizaje por descubrimiento, redacción y grupo de aprendizaje Cada conjunto
de ejercicios termina con un bloque de ejercicios llamado Descubrimiento ■ Discusión ■ Demostración ■ Redacción. Estos ejercicios están diseñados para estimular al estudiante a experimentar, de preferencia en grupos, con los conceptos
desarrollados en la sección y luego redactar acerca de lo que ha aprendido, más
que tan sólo ver la respuesta. Los nuevos ejercicios de Demostración destacan la
importancia de deducir una fórmula.
Ahora intente hacer el ejercicio Al final de cada ejemplo en el texto, el estudiante
es dirigido a un ejercicio similar en la sección que ayuda a reforzar los conceptos
y conocimientos desarrollados en ese ejemplo.
Verifique su respuesta Los estudiantes son animados a comprobar si la respuesta
obtenida es razonable. Esto se enfatiza en todo el texto en numerosas secciones
de notas al margen llamadas Verifique su respuesta, que acompañan a los ejemplos. (Vea, por ejemplo, las páginas 54 y 71).
Ejercicios de concepto
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Prefacio xi
Un capítulo completo de repaso Hemos incluido un extenso capítulo de repaso
principalmente como referencia práctica para los conceptos básicos que son preliminares a este curso.
■
■
CAPÍTULO 1 Fundamentos Este es el capítulo de repaso; contiene los conceptos
fundamentales de álgebra y geometría analítica que un estudiante necesita para
iniciar un curso de precálculo. Es necesario que se estudie en clase todo lo que se
pueda, dependiendo de la experiencia de los estudiantes.
EXAMEN DEL CAPÍTULO 1 El examen del capítulo 1 está diseñado como examen
de diagnóstico para determinar qué partes de este capítulo de repaso tienen que
enseñarse. También sirve para ayudar a los estudiantes a medir exactamente
qué temas necesitan repasar.
Método flexible a la trigonometría Los capítulos de trigonometría de este texto se
han escrito de modo que sirvan para enseñar en primer término ya sea el método del
triángulo rectángulo o el de la circunferencia unitaria. Mencionar estos dos métodos en
capítulos diferentes, cada uno con sus aplicaciones importantes, ayuda a aclarar el propósito de cada uno de estos métodos. Los capítulos que incluyen la trigonometría son
los siguientes.
■
■
Este
capítulo introduce la trigonometría por el método de la circunferencia unitaria.
Resalta el hecho de que las funciones trigonométricas son de números reales,
igual que las funciones polinomiales y exponenciales con las que los estudiantes
están más familiarizados.
CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo Este
capítulo introduce la trigonometría a través del método del triángulo rectángulo,
que tiene como base un curso convencional en trigonometría de preparatoria.
CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria
Otra forma de enseñar trigonometría es entrelazar los dos métodos. Algunos profesores imparten este material en el siguiente orden: secciones 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3, 5.3,
5.4, 5.5, 5.6, 6.4, 6.5 y 6.6. Nuestra organización facilita lo anterior sin ocultar el hecho
de que ambos métodos contienen distintas representaciones de las mismas funciones.
Computadoras y calculadoras graficadoras Hacemos uso de computadoras y
calculadoras graficadoras en ejemplos y ejercicios a lo largo de todo el libro. Nuestros
ejemplos orientados a calculadoras siempre están precedidos a su vez por ejemplos donde los estudiantes deben graficar o calcular manualmente, por lo que se entiende con
precisión lo que hará la calculadora cuando más adelante la usen para simplificar la
rutina, parte mecánica de su trabajo. Las secciones, subsecciones, ejemplos y ejercicios
referentes a calculadoras graficadoras, todos están indicados con el símbolo especial ,
son opcionales y se pueden omitir sin perder de continuidad.
■
■
■
Uso de una calculadora graficadora En el sitio web que acompaña al libro,
www.stewartmath.com* se encuentran las directrices generales sobre el uso de
calculadoras gráficas y una guía de referencia rápida para el uso de la TI-83/84.
Gráficas, regresión, álgebra de matrices Las funciones de la calculadora graficadora
se usan en todo el texto para graficar y analizar funciones, familias de funciones
y sucesiones; para calcular y graficar curvas de regresión; para realizar álgebra
de matrices; para graficar desigualdades lineales y para otros poderosos usos.
Programas sencillos Explotamos las funciones de programación de una calculadora graficadora para simular situaciones reales, para sumar series o para calcular
los términos de una sucesión periódica (vea, por ejemplo, las páginas 628, 896 y
939).
Enfoque sobre modelado El tema de modelado se ha utilizado en todo el libro para
unificar y aclarar las numerosas aplicaciones de precálculo. Hemos hecho un gran esfuerzo para aclarar los procesos esenciales de traducir problemas del español al lenguaje de matemáticas (vea las páginas 238 y 686).
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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19.02.2019
xii Prefacio
■
■
Hay numerosos problemas aplicados en todo el libro
en donde al estudiante se le da un modelo a analizar (vea, por ejemplo, la página
250). Pero el material sobre modelos, en el que al estudiante se le pide construir
modelos matemáticos, ha sido organizado en secciones y subsecciones claramente definidas (vea, por ejemplo, las páginas 370, 445 y 685).
Enfoque sobre modelado Cada capítulo concluye con una sección de Enfoque
sobre modelado. La primera de estas secciones, después del capítulo 1, introduce la idea básica del modelado de una situación real al ajustar rectas a los
datos (regresión lineal). Otras secciones presentan formas en las que se usan los
sistemas de desigualdades y funciones con polinomios, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas para modelar fenómenos conocidos de ciencias y de la
vida real (vea, por ejemplo, las páginas 325, 392 y 466).
Construcción de modelos
Secciones de repaso y exámenes de capítulo Cada capítulo termina con una extensa sección de repaso que incluye lo siguiente.
■
■
■
■
■
■
Propiedades y fórmulas Las Propiedades y fórmulas al final de cada capítulo
contienen un resumen de las principales fórmulas y procedimientos del capítulo
(vea, por ejemplo, las páginas 386 y 460).
Verificación de conceptos y respuestas de la verificación de conceptos La Verificación de conceptos al final de cada capítulo está diseñada para que los estudiantes
piensen y expliquen con sus propias palabras las ideas presentadas en el capítulo
y para que después apliquen el concepto en un problema dado. Esto proporciona
una revisión paso a paso de todos los conceptos principales de un capítulo (vea,
por ejemplo, las páginas 230, 319 y 769). Las respuestas a las preguntas de Verificación de conceptos están en hojas desprendibles en la parte posterior del libro.
Ejercicios de repaso Los Ejercicios de repaso, al final de cada capítulo, recapitulan los conceptos y conocimientos básicos e incluyen ejercicios que combinan las
diferentes ideas aprendidas en el capítulo.
Examen de capítulo Las secciones de repaso concluyen con un Examen de capítulo diseñado para ayudar a los estudiantes a medir su avance.
Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que
siguen a los capítulos seleccionados, están disponibles en el sitio web del libro.
Estos exámenes contienen problemas que combinan conocimientos y conceptos
de los capítulos precedentes. Los problemas están diseñados para destacar las
conexiones entre los temas de estos capítulos relacionados.
Respuestas Al final de este libro se dan breves respuestas a los ejercicios de
número impar en cada sección (incluyendo los ejercicios de repaso), y a todas las
preguntas de los Ejercicios de conceptos y Exámenes de capítulo.
Viñetas matemáticas En todo el libro hacemos uso de los márgenes para presentar
notas históricas, ideas importantes o aplicaciones de las matemáticas en el mundo moderno. Estas sirven para dinamizar el material y demostrar que las matemáticas son una
actividad importante y vital, y que incluso a este nivel elemental son fundamentales
para la vida diaria.
■
■
Estas viñetas incluyen biografías de interesantes matemáticos y con frecuencia incluyen alguna clave importante que hayan descubierto
(vea, por ejemplo, las viñetas de Viète, página 50; Salt Lake City, página 93; y
datación con radiocarbono, página 367).
Las matemáticas en el mundo moderno Esta es una serie de viñetas que destaca
el papel central de las matemáticas en los actuales avances en tecnología y en las
ciencias (vea, por ejemplo, las páginas 302, 753 y 784).
Viñetas matemáticas
Sitio web del libro El sitio web del libro se puede ver en www.stewartmath.com.*
El sitio incluye numerosas fuentes útiles para enseñar precálculo, incluyendo lo siguiente.
* Este material se encuentra disponible en inglés.
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
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Prefacio xiii
■
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Proyectos de descubrimiento Los Proyectos de descubrimiento para cada capítulo
se encuentran en el sitio web.* Cada proyecto contiene un conjunto de actividades
desafiantes pero accesibles que hace posible que los estudiantes (quizá trabajando
en grupos) exploren con mayor profundidad un interesante aspecto del tema que
acaban de aprender. (Vea, por ejemplo, los proyectos de descubrimiento Visualización de una fórmula, Relaciones y funciones, ¿Sobrevivirá la especie? y Gráficas
por computadora I y II, referenciadas en las páginas 29, 163, 719, 738 y 820).
Enfoque en la solución de problemas En el sitio web* se encuentran varias secciones de Enfoque en la solución de problemas, cada una de las cuales destaca uno
de los principios para resolver problemas que se introduce en el prólogo e incluye
varios problemas con grado de dificultad. (Vea, por ejemplo, Reconocer patrones,
Uso de analogías, Introducir algo extra, Tomar casos y Trabajar a la inversa).
Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que
siguen a los capítulos 4, 7, 9, 11 y 13 están disponibles en el sitio web.*
Apéndice B: Cálculos y cifras significativas Este apéndice, disponible en el
sitio web* del libro, contiene directrices de redondeo cuando se trabaja con
valores aproximados.
Apéndice C: Gráficas con una calculadora graficadora Este apéndice, disponible
en el sitio web* del libro, incluye las directrices generales para graficar con una
calculadora graficadora, así como las pautas sobre cómo evitar errores comunes
en las gráficas.
Apéndice D: Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 En este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, ofrecemos instrucciones simples, fáciles de seguir
paso a paso para usar las calculadoras graficadoras TI-83/84.
Reconocimientos
Nos sentimos afortunados de que todos los involucrados en la producción de este libro
hayan trabajado con excepcional energía, intensa dedicación y entusiasmo. Es sorprendente cuántas personas son esenciales en la producción de un libro de texto de matemáticas incluyendo editores de contenidos, revisores, colegas de la facultad, editores de
producción, editores de texto, editores de permisos, revisores de soluciones y de precisión, artistas, investigadores de imágenes, diseñadores de texto, tipógrafos, cajistas,
correctores, impresores y muchos más. Agradecemos a todos ellos. Mencionamos especialmente a las siguientes personas.
Revisores para la sexta edición Raji Baradwaj, UMBC; Chris Herman, Lorain
County Community College; Irina Kloumova, Sacramento City College; Jim McCleery,
Skagit Valley College, Whidbey Island Campus; Sally S. Shao, Cleveland State University; David Slutzky, Gainesville State College; Edward Stumpf, Central Carolina Community College; Ricardo Teixeira, University of Texas en Austin; Taixi Xu, Southern
Polytechnic State University; y Anna Wlodarczyk, Florida International University.
Revisores para la séptima edición Mary Ann Teel, University of North Texas;
Natalia Kravtsova, The Ohio State University; Belle Sigal, Wake Technical Community College; Charity S. Turner, The Ohio State University; Yu-ing Hargett, Jefferson State
Community College–Alabama; Alicia Serfaty de Markus, Miami Dade College; Cathleen
Zucco-Teveloff, Rider University; Minal Vora, East Georgia State College; Sutandra
Sarkar, Georgia State University; Jennifer Denson, Hillsborough Community College;
Candice L. Ridlon, University of Maryland Eastern Shore; Alin Stancu, Columbus State
University; Frances Tishkevich, Massachusetts Maritime Academy; Phil Veer, Johnson
County Community College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Phillip Miller,
Indiana University–Southeast; Mildred Vernia, Indiana University–Southeast; Thurai
Kugan, John Jay College-CUNY.
Agradecemos a nuestros colegas que continuamente comparten con nosotros sus
ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas. Agradecemos especialmente a Robert
Mena de la California State University, Long Beach; nos hemos beneficiado de su gran
conocimiento sobre las matemáticas y su historia. Damos las gracias a Cecilia McVoy
de la Penn State Abington por sus sugerencias. Agradecemos a Andrew Bulman-Fleming por escribir el Manual de soluciones y a Doug Shaw de la University of Northern
* El sitio web del libro es www.stewartmath.com. (Este material se encuentra disponible en inglés.)
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
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xiv Prefacio
Iowa por escribir la Guía del profesor y la Guía de estudio. Estamos muy agradecidos
con Frances Gulick de la University of Maryland por comprobar la precisión del manuscrito entero y realizar cada ejercicio; sus muchas sugerencias y correcciones han
contribuido grandemente a la exactitud y consistencia de los contenidos de este libro.
Agradecemos a Martha Emry, nuestra editora de arte y servicio de producción; su
energía, dedicación y experiencia han sido componentes esenciales en la creación de
este libro. Estamos muy agradecidos por su notable capacidad para recordar al instante,
cuando se requirió, cualquier detalle de todo el manuscrito, así como su extraordinaria
capacidad para manejar simultáneamente varias líneas de edición interdependientes.
Agradecemos a Barbara Willette, nuestra editora de texto, por su atención a cada detalle en el manuscrito y para garantizar un estilo coherente y apropiado a través del libro.
Agradecemos a nuestra diseñadora, Diane Beasley, por el diseño elegante y adecuado
de las páginas interiores del libro. Agradecemos a Graphic World por sus gráficos atractivos y precisos y a Precision Graphics por hacer realidad muchas de nuestras ilustraciones. Agradecemos a nuestros diagramadores de Graphic World por garantizar un
aspecto equilibrado y coherente de cada página del libro.
En Cengage Learning agradecemos a Jennifer Risden, gerente de contenido del proyecto, por su gestión profesional de la producción del libro. Damos las gracias a Lynh
Pham, editora de medios, por su manejo experto de muchos problemas técnicos, incluyendo la creación del sitio web del libro. Agradecemos a Vernon Boes, director de arte,
por su atinada administración en el diseño del libro. Damos las gracias a Mark Linton,
gerente de mercadotecnia por apoyo en dar a conocer el libro a aquellos que podrán
utilizarlo en sus clases.
Agradecemos especialmente a nuestra editora de desarrollo, Stacy Green, por guiar
hábilmente y facilitar todos los aspectos de la creación de este texto. Su interés en la
obra, su familiaridad con el manuscrito entero y sus casi inmediatas respuestas a nuestras muchas consultas han hecho de su escritura una experiencia aún más agradable para
nosotros.
Sobre todo, agradecemos a nuestro editor de adquisiciones, Gary Whalen. Su vasta
experiencia editorial, su amplio conocimiento de temas actuales en la enseñanza de las
matemáticas, su habilidad en el manejo de los recursos, necesaria para mejorar este libro, y su profundo interés en los libros de texto de matemáticas han sido invaluables en
la creación de esta obra.
Material didáctico auxiliar
Recursos para el profesor*
Sitio web del profesor*
¡Todo lo que necesita para su curso en un solo lugar! Esta colección de libros de lectura
y herramientas específicas para la clase está disponible en línea en www.cengage.com/
login. Ingrese y descargue presentaciones en PowerPoint, imágenes, el manual del profesor y más.
Manual de soluciones completo*
El manual de soluciones completo ofrece soluciones desarrolladas a todos los problemas que aparecen en el texto. Situado en el sitio web.
Banco de exámenes*
El banco de exámenes proporciona exámenes de capítulo final junto con las claves de
las respuestas. Se encuentra en el sitio web.
Guía del profesor*
La Guía del profesor contiene puntos importantes, sugiere el tiempo de dedicación,
temas de análisis del texto, materiales importantes de clase, sugerencias para taller y
análisis, ejercicios de trabajo en grupo, en un formato adecuado para su impresión,
y sugerencias de problemas de tarea. Se encuentra en el sitio web.
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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Prefacio xv
Planes de clase*
Los planes de clase ofrecen sugerencias de actividades y clases con notas de asignación
de tiempo para garantizar la eficiencia y la puntualidad en la clase. Se encuentra en el
sitio web.
Cengage Learning Testing Powered by Cognero*
(ISBN-10: 1-305-25853-3; ISBN-13: 978-1-305-25853-2)
CLT es un sistema en línea flexible que le permite a usted escribir, editar y manejar el
contenido del banco de exámenes; crear distintas versiones de examen en un instante y
ofrecer exámenes en su LMS, su salón de clases o donde lo desee. Está disponible en línea
a través de www.cengage.com/login.
Enhanced WebAssign* (Tarea web mejorada)
Printed Access Card: 978-1-285-85833-3
Instant Access Code: 978-1-285-85831-9
La Enhanced WebAssign (Tarea web mejorada) combina la excepcional matemática
contenida con la solución de tareas de más de grande alcance en línea, WebAssign®.
Enhanced WebAssign involucra a los estudiantes con realimentación inmediata, contenido tutorial y un eBook interactivo, totalmente personalizable, Cengage YouBook, para
ayudar a los estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de su
materia.
Recursos para el estudiante*
Student Solutions Manual* (Manual de soluciones para el estudiante)
(ISBN-10: 1-305-25361-2; ISBN-13: 978-1-305-25361-2)
Contiene soluciones completamente resueltas para todos los ejercicios de número impar
del texto, lo que da a los estudiantes una forma de verificar sus respuestas y cerciorarse de
que siguieron los pasos correctos para llegar a la respuesta.
Study Guide* (Guía de estudio)
(ISBN-10: 1-305-25363-9; ISBN-13: 978-1-305-25363-6)
La Guía de estudio refuerza el entendimiento del estudiante con explicaciones detalladas,
ejemplos desarrollados y problemas de la práctica. También enumera ideas clave para el
dominio y la construcción de habilidades para la solución de problemas. Hay una sección
en la Guía de estudio, correspondiente a cada sección en el texto.
Note-Taking Guide* (Guía para tomar notas)
(ISBN-10: 1-305-25383-3; ISBN-13: 978-1-305-25383-4)
La guía para tomar notas es una ayuda de estudio innovador que apoya a los estudiantes
para desarrollar un resumen de conceptos clave sección por sección.
Text-Specific DVDs* (ISBN-10: 1-305-25400-7; ISBN-13: 978-1-305-25400-8)
Los Text-Specific DVDs incluyen nuevos videos de exposición en clase basados en objetivos de aprendizaje. Estos DVD dan una cobertura completa del curso, junto con
explicaciones adicionales de conceptos, problemas de muestra y aplicaciones que ayudan a los estudiantes a repasar temas esenciales.
CengageBrain.com*
Por favor visite www.cengagebrain.com para tener acceso a materiales adicionales para
el curso. En la página inicial de CengageBrain.com, ingrese el ISBN de su título mediante la caja de búsqueda en el área superior de la página (el ISBN lo puede consultar
en la tapa posterior de su libro o en la página legal) mediante la caja de búsqueda en el
área superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto en donde puede encontrar estos recursos.
Enhanced WebAssign*
Printed Access Card: 978-1-285-85833-3
Instant Access Code: 978-1-285-85831-9
La Enhanced WebAssign combina el contenido matemático excepcional con el más
poderoso solucionador de tareas en línea, WebAssign. Enhanced WebAssign atrae a los
estudiantes con realimentación inmediata, contenido tutorial y un eBook interactivo,
totalmente personalizable, Cengage YouBook, que ayuda a los estudiantes a desarrollar
una comprensión conceptual más profunda de la materia.
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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AL ESTUDIANTE
Este libro de texto ha sido escrito como una guía para que domine las matemáticas del
precálculo. Veamos a continuación algunas sugerencias para ayudarle a sacar el máximo provecho de su curso.
Antes que nada, debe leer la sección de texto correspondiente antes de intentar resolver sus problemas de tarea. Leer un texto de matemáticas es muy diferente de leer
una novela, un periódico o cualquier libro. Quizá tenga que leer un pasaje varias veces
antes de comprenderlo. Dedique especial atención a los ejemplos y resuélvalos a mano
a medida que los vaya leyendo; a continuación, haga los ejercicios relacionados que se
mencionan en “Ahora intente realizar el ejercicio…” al final de cada ejemplo. Con esta
clase de preparación usted podrá hacer su tarea con mucha más rapidez y mayor entendimiento.
No cometa el error de tratar de memorizar cada una de las reglas o dato que encuentre.
Las matemáticas no son simplemente memorización: son el arte de resolver problemas,
no sólo un conjunto de datos. Para dominar el tema, usted debe resolver problemas, muchos problemas. Asegúrese de escribir sus soluciones en una forma lógica, paso a paso.
No se rinda ante un problema si no puede resolverlo de inmediato. Trate de entenderlo
con claridad, vuelva a leerlo por completo y relaciónelo con lo que ya haya aprendido de
su profesor y de los ejemplos del libro. Luche con el problema hasta resolverlo; una vez
que haya hecho esto unas cuantas veces, empezará a entender de lo que se tratan en realidad las matemáticas.
Las respuestas a los ejercicios con numeración impar, así como todas las respuestas
al examen de cada capítulo, aparecen al final del libro. Si su respuesta difiere de la dada,
no suponga de inmediato que usted está en error. Puede tratarse de un cálculo que conecta las dos respuestas y ambas serán correctas. Por ejemplo, si usted obtiene
1/(2 2 1) pero la respuesta dada es 1 1 2, la respuesta de usted es correcta porque
puede multiplicar el numerador y el denominador de su respuesta por 2 1 1 para
cambiarla a la respuesta dada. Al redondear respuestas aproximadas siga las guías del
apéndice: Cálculos y cifras significativas.
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margen para indicar situaciones donde hemos encontrado que muchos de nuestros estudiantes cometen el mismo error.
Abreviaturas
En el libro se usan las siguientes abreviaturas.
cm
dB
F
ft
g
gal
h
H
Hz
in.
J
kcal
kg
km
centímetro
decibel
farad
pie
gramo
galón
hora
henry
hertz
pulgada
joule
kilocaloría
kilogramo
kilómetro
kPa
L
lb
lm
M
m
mg
MHz
mi
min
mL
mm
kilopascal
litro
libra
lumen
mol de soluto
por litro de
solución
metro
miligramo
megahertz
milla
minuto
mililitro
milímetro
N
qt
oz
s
V
V
W
yd
yr
°C
°F
K
¡
Newton
cuarto
onza
segundo
ohm
volt
watt
yarda
año
grados Celsius
grados Fahrenheit
Kelvin
implica
es equivalente a
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PRÓLOGO
Contenido
xvii
PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La capacidad para resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspectos de la vida; sin duda es una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No
existen reglas duras y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin
embargo, en este prólogo delineamos algunos pasos generales en el proceso de resolución
de problemas y se dan principios útiles para resolver ciertos tipos de problemas. Estos
pasos y principios son únicamente sentido común explicitado, y se han adaptado del interesante libro de George Polya, How To Solve It.
© AP Images
1. Entender el problema
GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso
entre los matemáticos por sus ideas sobre
resolución de problemas. Sus conferencias
sobre este tema en la Universidad de
Stanford atraían a multitudes a las cuales
llevaba al borde de sus asientos, conduciéndolos a descubrir las soluciones por sí
mismos. Era capaz de hacer esto debido a
su profundo conocimiento de la psicología
de la resolución de problemas. Su conocido libro How To Solve It ha sido traducido
a 15 idiomas. Polya afirmaba que Euler
(vea la página 63) fue el único grande
entre los matemáticos debido a que
explicó cómo encontraba sus resultados.
A menudo, Polya les decía a sus alumnos
y colegas: “Sí, veo que la demostración es
correcta, pero ¿cómo lo descubrió?”. En el
prefacio de How To Solve It señala: “Un
gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero es un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema puede ser modesto,
pero si desafía su curiosidad y pone en
juego sus facultades inventivas, y si lo
resuelve por sus propios medios, puede
experimentar la tensión y disfrutar el
triunfo del descubrimiento”.
El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo entiende. Hágase las siguientes preguntas:
¿Qué es lo que se desconoce?
¿Cuáles son las cantidades que se señalan?
¿Cuáles son las condiciones dadas?
En muchos problemas es útil
dibujar un diagrama
e identificar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario
introducir notación adecuada
En la elección de los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos
letras como a, b, c, m, n, x y y, aunque en algunos casos ayuda utilizar las iniciales como
símbolos sugerentes, por ejemplo, V para el volumen o t para el tiempo.
2. Pensar en un plan
Encuentre una conexión entre la información dada y aquella que se desconoce que le
permita calcular la incógnita. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de forma explícita: “¿Cómo puedo relacionar lo conocido con lo desconocido?”. Si no puede ver una
conexión inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles en la elaboración de un plan.
■ Tratar de reconocer algo familiar
Relacione la situación dada con sus conocimientos previos. Observe la incógnita y trate
de recordar un problema que le sea más familiar y tenga una incógnita similar.
■ Tratar de reconocer patrones
Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que
está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede
ver la regularidad o la repetición en un problema, entonces será capaz de adivinar cuál
es el patrón y luego probarlo.
■ Usar analogías
Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado,
pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar, más simple, esto entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, más
difícil. Por ejemplo, si un problema implica un número muy grande, usted puede primero intentar resolver un problema similar con un número menor. O, si el problema está
en la geometría tridimensional, podría buscar algo similar en la geometría de dos dimensiones. O, si el problema inicial es de carácter general, podría tratar primero un
caso especial.
xvii
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xviii Prólogo
■ Introducir algo adicional
A veces podría ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda extra, para hacer la conexión entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual es
útil un diagrama la ayuda podría ser dibujar una línea nueva en el diagrama. En un
problema más algebraico la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relacione con
la incógnita original.
■ Tomar casos
A veces puede dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para
cada uno. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente
a un valor absoluto.
■ Trabajar hacia atrás
A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a
paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podría ser capaz de revertir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se
utiliza comúnmente en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la solución de la
ecuación 3x 2 5 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 2 5 5 7 y trabaje
hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para
obtener x 5 4. Puesto que cada uno de estos pasos se puede revertir, hemos resuelto el
problema.
■ Establecer metas secundarias
En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la
situación deseada se cumple sólo en parte). Si usted puede lograr o alcanzar estos objetivos parciales, entonces usted podría ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar
su meta final.
■ Razonamiento indirecto
A veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba
por contradicción para probar que P implica Q se supone que P es cierta y Q es falsa,
y se trata de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera debemos utilizar esta
información y llegar a una contradicción a aquello que sabemos que es verdad absoluta.
■ Inducción matemática
Para probar los enunciados que implican un entero positivo n, a menudo es útil utilizar
el principio de inducción matemática, que se analiza en la sección 12.5.
3. Ejecutar el plan
En el paso 2 se ideó un plan. Para ejecutarlo se debe comprobar cada etapa del plan y
escribir los detalles que demuestran que cada una es la correcta.
4. Ver hacia atrás
Después de haber completado la solución, es conveniente mirar hacia atrás sobre la
misma, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede
descubrir una manera más fácil de resolver el problema. Mirar hacia atrás también le
ayudará a familiarizarse con el método de solución, que puede ser útil para resolver un
problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una
regla que sirvió después para resolver otros problemas”.
Ilustraremos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo.
PROBLEMA
■
Rapidez promedio
Una automovilista se embarca en un viaje. Durante la primera mitad del recorrido,
ella conduce al ritmo pausado de 30 mi/h, durante la segunda mitad conduce a
60 mi/h. ¿Cuál es su rapidez promedio en este viaje
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Prólogo xix
PENSAR EN EL PROBLEMA
Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio
de todo el viaje es
30 1 60
5 45 mi/h
2
Intente un caso especial. ▶
Sin embargo, ¿este método simple es realmente correcto?
Veamos un caso especial fácil de calcular. Supongamos que la distancia total
recorrida es de 120 millas. Las primeras 60 se recorren a 30 mi/h, lo que tarda
2 horas. Durante las siguientes 60 millas se viaja a 60 mi/h, lo que dura una
hora. Por tanto, el tiempo total es 2 1 1 5 3 horas y la rapidez promedio es
120
5 40 mi/h
3
Por tanto, nuestra estimación de 45 mi/h estaba equivocada.
SOLUCIÓN
Entender el problema. ▶
Introducir una notación. ▶
Identificar la información dada. ▶
Tenemos que ver con más cuidado en el significado de la rapidez promedio. Se define
como
distancia recorrida
rapidez promedio 5
tiempo transcurrido
Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 los tiempos para la
primera y la segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la información que se
nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos
30 5
d
t1
60 5
d
t2
y para la segunda mitad tenemos
Identificar la incógnita. ▶
Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pide encontrar:
rapidez promedio del viaje completo 5
Relacionar la información
proporcionada con la incógnita. ▶
distancia total
2d
5
tiempo total
t1 1 t2
Para calcular esta cantidad necesitamos conocer t1 y t2, así que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos:
t1 5
d
30
t2 5
d
60
Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada:
rapidez promedio 5
5
5
2d
2d
5
d
d
t1 1 t2
1
30 60
60(2d)
d
d
1
b
60 a
30 60
Multiplique el numerador
y el denominador por 60
120d
120d
5
5 40
2d 1 d
3d
■
Por tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h.
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xx Prólogo
PROBLEMAS
1. Distancia, tiempo y velocidad Un automóvil viejo tiene que recorrer un camino
de 2 millas cuesta arriba y cuesta abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede
subir la primera milla no más rápido que la rapidez media de 15 km/h. ¿Qué tan rápido
tiene que viajar el automóvil la segunda milla —en el descenso puede ir más rápido, por
supuesto— para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje?
© Bettmann/Corbis
2. Comparando descuentos ¿Qué precio es mejor para el comprador, un descuento de
40% o dos descuentos sucesivos de 20%?
3. Cortar un alambre Se dobla un alambre, como se muestra en la figura. Se puede ver
No se sienta mal si usted no puede resolver estos problemas de inmediato. Los
problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert
Einstein por su amigo Wertheimer. Einstein
(y su amigo Bucky) disfrutaba de los problemas y le escribió a Wertheimer. Esta es
parte de su respuesta:
Su carta nos dio un montón de pruebas divertidas. La primera prueba de
inteligencia nos ha engañado a ambos (a Bucky y a mí). ¡Sólo viéndolo
desde fuera me di cuenta de que no
se dispone de tiempo para la trayectoria descendente! Bucky también fue
engañado en el segundo ejemplo,
pero yo no. ¡Curiosidades como esta
nos muestran lo tontos que somos!
(Vea Mathematical Intelligencer, primavera,
1990, página 41.)
que un corte a través del mismo resulta en cuatro piezas y dos cortes paralelos producen
siete piezas. ¿Cuántas piezas se produjeron luego de 142 cortes paralelos? Escriba una
fórmula para el número de piezas producidas por n cortes paralelos.
4. Propagación de amibas Una amiba se propaga por división simple y cada división
toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio
con un fluido nutriente en una hora el recipiente ya está lleno de amibas. ¿Cuánto tiempo
haría falta para que el contenedor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba
comenzáramos con dos?
5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador
B para la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B
para toda la temporada?
6. Café y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se vierte en una
taza de café. El café se agita. Luego se sirve en la jarra de crema una cucharada de esta
mezcla. Ahora ¿hay más crema en la taza de café o más café en la jarra de crema?
7. Envolviendo el mundo Se ata fuertemente una cinta sobre el ecuador de la Tierra.
¿Cuánta más cinta necesitará si se coloca la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas
partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.)
8. Para terminar donde empezó Una mujer parte de un punto P sobre la superficie de
la Tierra y camina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se
encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales
esto es posible. [Sugerencia: hay un número infinito de esos puntos, de los cuales todos
menos uno se encuentran en la Antártida.]
Muchos más problemas y ejemplos que ponen de manifiesto diferentes principios de resolución de problemas están disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com.*
Usted puede intentarlos conforme avanza en el libro.
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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SECCIÓN 1.1
■
Números reales 1
© Blend Images/Alamy
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Números reales
Exponentes y radicales
Expresiones algebraicas
Expresiones racionales
Ecuaciones
Números complejos
Modelado con ecuaciones
Desigualdades
El plano coordenado;
gráficas de ecuaciones;
circunferencias
1.10 Rectas
1.11 Solución gráfica de
ecuaciones y
desigualdades
1.12 Modelos usando
variaciones
Fundamentos
En este primer capítulo repasaremos los números reales, las ecuaciones
y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado
con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para
resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas.
En el Enfoque sobre modelado, al final del capítulo, aprenderemos cómo
hallar tendencias lineales en los datos y cómo utilizarlas para hacer
predicciones sobre el futuro.
ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste lineal de datos
1
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19.02.2019
2
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
1.1 NÚMEROS REALES
■ Números reales ■ Propiedades de los números reales ■ Adición y sustracción ■ Multiplicación
y división ■ La recta de números reales ■ Conjuntos e intervalos ■ Valor absoluto y distancia
Contar
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En el mundo real usamos números para medir y comparar diferentes cantidades. Por
ejemplo, medimos temperatura, longitud, altura, peso, presión, distancia, velocidad,
aceleración, energía, fuerza, ángulos, edad, costos, etcétera. La figura 1 ilustra algunas
situaciones en las que se utilizan números. Los números también nos permiten expresar
relaciones entre cantidades diferentes, por ejemplo, las relaciones entre el radio y el
volumen de una pelota, entre las millas conducidas y la gasolina utilizada, o entre
el nivel educativo y el salario inicial.
Longitud
Peso
Rapidez
FIGURA 1 Medidas con números reales
■ Números reales
Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos con los números naturales:
1, 2, 3, 4, . . .
Los diferentes tipos de números reales
se inventaron para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales son necesarios para contar,
los números negativos para describir
deudas o temperaturas bajo cero, los
números racionales para expresar conceptos como “medio galón de leche”
y los números irracionales se usan para
medir ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado.
Números racionales
–21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317
Enteros
Números
naturales
. . . , <3, <2, <1, 0, 1, 2, 3, . . .
Números irracionales
3
3
œ3 , œ5 , œ2 , π , —
2
π
FIGURA 2 El sistema de números
reales
Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y el 0:
. . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Construimos los números racionales al tomar cocientes de enteros. Entonces, cualquier número racional r se puede expresar como
m
r
n
donde m y n son enteros y n ? 0. Como ejemplos tenemos
1
2
237
46 5 461
17
0.17 5 100
(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como
3 0
0 y 0 no están definidas.) También hay números reales, tales como 2, que no se pueden
expresar como un cociente de enteros y, por tanto, se denominan números irracionales. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también
son irracionales:
3
3
2
p
3
5
p2
Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo R.
Cuando se usa la palabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La
figura 2 es un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este
libro.
Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondiente decimal es periódico. Por ejemplo,
1
2
157
495
0.5000. . . 5 0.50
2
3
5 0.66666. . . 5 0.6
0.3171717. . . 5 0.317
9
7
5 1.285714285714. . . 5 1.285714
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SECCIÓN 1.1
Un número decimal periódico como
x 5 3.5474747. . .
es un número racional. Para convertirlo
a un cociente de dos enteros, escribimos
1000x 5 3547.47474747. . .
10x 5 35.47474747. . .
990x 5 3512.0
Por tanto, x 5 3512
990 . (La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de 10
y luego restar para eliminar la parte
periódica.)
■
Números reales 3
(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre.) Si el número es irracional la representación decimal no es periódica:
2 5 1.414213562373095. . . p 5 3.141592653589793. . .
Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar obtenemos una
aproximación al número. Por ejemplo, podemos escribir
p < 3.14159265
donde el símbolo < se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.
■ Propiedades de los números reales
Todos sabemos que 2 1 3 5 3 1 2, y 5 1 7 5 7 1 5, y 513 1 87 5 87 1 513, etc. En
álgebra expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos
a1b5b1a
donde a y b son dos números cualesquiera. En otras palabras, “a 1 b 5 b 1 a” es una
forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no
importa”. Este hecho se conoce como Propiedad conmutativa de la adición. De nuestra
experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedades
Ejemplo
Descripción
Propiedades conmutativas
a1b5b1a
7135317
Cuando sumamos dos números, el orden no importa.
ab 5 ba
3 ? 5 5 5#3
Cuando multiplicamos dos números, el orden no
importa.
Propiedades asociativas
(a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c)
(2 1 4) 1 7 5 2 1 (4 1 7)
Cuando sumamos tres números, no importa cuáles
dos de estos sumamos primero.
(ab)c 5 a(bc)
(3 ? 7) ? 5 5 3 ? (7 ? 5)
Cuando multiplicamos tres números, no importa
cuáles dos de estos multiplicamos primero.
2 ? (3 1 5) 5 2 ? 3 1 2 ? 5
(3 1 5) ? 2 5 2 ? 3 1 2 ? 5
Cuando multiplicamos un número por una suma
de dos números obtenemos el mismo resultado que
si multiplicáramos ese número por cada uno de los
términos y luego sumáramos los resultados.
Propiedad distributiva
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
(b 1 c)a 5 ab 1 ac
La propiedad distributiva aplica siempre que multiplicamos un número por una
suma. La figura 2 explica por qué funciona esta propiedad para el caso en el que todos
los números sean enteros positivos, pero la propiedad es verdadera para cualquier número real a, b y c.
2(3+5)
La propiedad distributiva es de importancia crítica porque describe la forma
en que la adición y la multiplicación
interaccionan una con otra.
2#3
2#5
FIGURA 3 La propiedad distributiva
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4
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
EJEMPLO 1
■
Uso de la propiedad distributiva
a) 2(x 1 3) 5 2 ? x 1 2 ? 3
Propiedad distributiva
5 2x 1 6
Simplifique
b) (a 1 b)(x 1 y) 5 (a 1 b)x 1 (a 1 b)y
Propiedad distributiva
5 (ax 1 bx) 1 (ay 1 by)
Propiedad distributiva
5 ax 1 bx 1 ay 1 by
Propiedad asociativa de la adición
En el último paso eliminamos el paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad
asociativa, no importa el orden de la adición.
■
Ahora intente realizar el ejercicio 15
■ Adición y sustracción
No suponga que 2a es un número
negativo. Que 2a sea negativo o positivo depende del valor de a. Por ejemplo, si a 5 5, entonces 2a 5 25,
un número negativo, pero si a 5 25,
entonces 2a 5 2(25) 5 5 (propiedad 2), un número positivo.
El número 0 es especial para la adición; recibe el nombre de identidad aditiva porque
a 1 0 5 a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, 2a,
que satisface a 1 (2a) 5 0. La sustracción es la operación que deshace a la adición;
para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por
definición
a 2 b 5 a 1 (2b)
Para combinar números reales con números negativos usamos las siguientes propiedades.
PROPIEDADES DE NEGATIVOS
Propiedad
Ejemplo
1. (21)a 5 2a
(21)5 5 25
2. 2(2a) 5 a
2(25) 5 5
3. (2a)b 5 a(2b) 5 2(ab)
(25)7 5 5(27) 5 2(5 ? 7)
4. (2a)(2b) 5 ab
(24)(23) 5 4 ? 3
5. 2(a 1 b) 5 2a 2 b
2(3 1 5) 5 23 2 5
6. 2(a 2 b) 5 b 2 a
2(5 2 8) 5 8 2 5
La propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a 2 b y b 2 a son negativos entre sí. La propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos:
2(a 1 b 1 c) 5 2a 2 b 2 c
EJEMPLO 2
■
Uso de las propiedades de los negativos
Sean x, y y z números reales.
a) 2(x 1 2) 5 2x 2 2
Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b
b) 2(x 1 y 2 z) 5 2x 2 y 2 (2z)
Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b
5 2x 2 y 1 z
Propiedad 2: 2(2a) 5 a
■
Ahora intente realizar el ejercicio 23
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SECCIÓN 1.1
■
Números reales 5
■ Multiplicación y división
El número 1 es especial para la multiplicación; recibe el nombre de identidad multiplicativa porque a ? 1 5 a para cualquier número real a. Todo número real a diferente de
cero tiene un recíproco, 1/a, que satisface a ? (1/a) 5 1. La división es la operación que
deshace la multiplicación; para dividir entre un número multiplicamos por el recíproco
de ese número. Si b ? 0, entonces, por definición,
1
a4b5a?
b
Escribimos a ? (1/b) simplemente como a/b. Nos referimos a a/b como el cociente
entre a y b o como la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador
(o divisor). Para combinar números reales mediante la operación de división usamos
las siguientes propiedades.
PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES
Propiedad
Ejemplo
Descripción
1.
ac
a c
? 5
b d bd
2 5 2 ? 5 10
5
? 5
3 7 3 ? 7 21
Para multiplicar fracciones multiplique numeradores
y denominadores.
2.
c
a
a d
4 5 ?
b d b c
2 5 2 7 14
4 5 ? 5
3 7 3 5 15
Para dividir fracciones multiplique por el recíproco
del divisor.
3.
a1b
a b
1 5
c
c
c
2 7
9
217
5
1 5
5 5
5
5
Para sumar fracciones con el mismo denominador
sume los numeradores.
4.
c
ad 1 bc
a
1 5
bd
b d
2 3 2 ? 7 1 3 ? 5 29
1 5
5
5 7
35
35
Para sumar fracciones con denominadores diferentes encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores.
5.
ac
a
5
bc
b
2?5 2
5
3?5 3
Elimine números que sean factores comunes en
numerador y denominador.
6. Si
2 6
a
c
5 , por tanto 2 ? 9 5 3 ? 6
5 , entonces ad 5 bc
3 9
b d
Multiplicación cruzada.
Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la
propiedad 4. En cambio reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo
denominador común que sea posible (a veces menor que el producto de los denominadores) y luego usamos la propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 3
Evalúe:
SOLUCIÓN
■
Uso del MCD para sumar fracciones
5
7
1
36 120
Al factorizar cada denominador en factores primos se obtiene
36 5 22 ? 32
y
120 5 23 ? 3 ? 5
Encontramos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos
los factores presentes en estas factorizaciones usando la máxima potencia de cada
factor. Entonces el MCD es 23 ? 32 ? 5 5 360. Entonces,
5
7
5 ? 10
7?3
1
5
1
36 120 36 ? 10 120 ? 3
50
21
7
5
1
5
360 360 360
Use el común denominador
Propiedad 3: Suma de fracciones con
el mismo denominador
■
Ahora intente realizar el ejercicio 29
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6
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
■ La recta de números reales
Los números reales se pueden representar por puntos sobre una recta, como se muestra
en la figura 4. La dirección positiva (hacia la derecha) está indicada por una flecha.
Escogemos un punto de referencia arbitrario O, llamado origen, que corresponde al
número real 0. Dada cualquier unidad de medida conveniente, cada número positivo x
está representado por el punto sobre la recta a una distancia de x unidades a la derecha
del origen, y cada número negativo 2x está representado por el punto a x unidades a la
izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y
la recta se llama recta coordenada, o recta de los números reales, o simplemente
recta real. A veces identificamos el punto con su coordenada y consideramos que un
número es un punto sobre la recta real.
_3.1725
_2.63
_4.9 _4.7
_5
_4
_4.85
_3
_ Ϸ2
_2
1
_ 16
_1
1 1
8 4 1
2
0
Ϸ2
1
Ϸ3
Ϸ5
4.2 4.4 4.9999
π
2
3
4
5
4.3 4.5
0.3
∑
FIGURA 4 La recta real
Los números reales son ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos
a , b si b 2 a es un número positivo. Geométricamente esto significa que a está a la
izquierda de b en la recta numérica, o bien, lo que es lo mismo, podemos decir que b
es mayor que a y escribimos b . a. El símbolo a # b (o b $ a) quiere decir que
a , b o que a 5 b y se lee “a es menor o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son
desigualdades verdaderas (véase la figura 5):
7 , 7.4 , 7.5
_π
_4
_3
2 , 2
2p , 23
2#2
7.4 7.5
Ϸ2
_2
_1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
FIGURA 5
■ Conjuntos e intervalos
Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del
conjunto. Si S es un conjunto, la notación a [ S significa que a es un elemento de S, y
b o S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de enteros, entonces 23 [ Z pero p o Z.
Algunos conjuntos se pueden describir si sus elementos se colocan dentro de llaves.
Por ejemplo, el conjunto A, que está formado por todos los enteros positivos menores
que 7 se puede escribir como
A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
También podríamos escribir A en notación constructiva de conjuntos como
A 5 {x 0 x es un entero y 0 , x , 7}
que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 , x , 7”.
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PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
Números reales en el mundo real
Las medidas reales siempre implican unidades. Por ejemplo, generalmente medimos la distancia en pies, millas, centímetros o kilómetros. Algunas medidas
implican diferentes tipos de unidades. Por ejemplo, la rapidez se mide en millas
por hora o en metros por segundo. A menudo tenemos que convertir una medición de un tipo de unidad a otro. En este proyecto exploramos diferentes tipos de
unidades utilizadas para diferentes propósitos y cómo convertir un tipo de unidad
a otro. Se puede encontrar el proyecto en www.stewartmath.com.*
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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SECCIÓN 1.1
■
Números reales 7
Si S y T son conjuntos, entonces su unión S < T es el conjunto formado por todos
los elementos que están en S o en T (o en ambos). La intersección de S y T es el conjunto S > T formado por todos los elementos que están en S y T. En otras palabras,
S > T es la parte común de S y T. El conjunto vacío, denotado por [, es el conjunto
que no contiene elementos.
EJEMPLO 4
■
Unión e intersección de conjuntos
Si S 5 {1, 2, 3, 4, 5}, T 5 {4, 5, 6, 7} y V 5 {6, 7, 8} encuentre los conjuntos S < T,
S > T y S > V.
SOLUCIÓN
T
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
S
V
S < T 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Todos los elementos en S o T
S > T 5 {4, 5}
Elementos comunes a S y T
S>V5[
S y V no tienen elementos en común
■
Ahora intente realizar el ejercicio 41
a
b
Con frecuencia se presentan en cálculo ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Si a , b, entonces el intervalo abierto de a a b está formado por todos los números entre a a b y
se denota con (a, b). El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se
denota con 3a, b4. Usando la notación constructiva de conjuntos, podemos escribir
a
b
FIGURA 7 El intervalo cerrado 3a, b4
Observe que los paréntesis ( ) en la notación de intervalo y círculos abiertos en la gráfica de la figura 6 indican que los puntos extremos están excluidos del intervalo, mientras que los corchetes o paréntesis rectangulares 3 4 y los círculos sólidos de la figura 7
indican que los puntos extremos están incluidos. Los intervalos también pueden incluir
un punto extremo, pero no el otro; o pueden extenderse hasta el infinito en una dirección
o en ambas. La tabla siguiente es una lista de posibles tipos de intervalos.
Notación
Descripción de conjunto
(a, b)
{x 0 a , x , b}
3a, b)
3a, b4
Gráfica
{x 0 a # x # b}
a
b
{x 0 a # x , b}
a
b
{ x 0 a , x # b}
a
b
(a, `)
{x 0 a , x}
a
b
{x 0 a # x}
a
(2`, b)
{x 0 x , b}
a
(2`, `)
R (conjunto de todos los números)
(a, b4
El símbolo q (infinito) no representa
un número. La notación (a, `), por
ejemplo, simplemente indica que el
intervalo no tiene punto extremo a la
derecha, pero se prolonga hasta el
infinito en la dirección positiva.
3a, b4 5 {x 0 a # x # b}
(a, b) 5 {x 0 a , x , b}
FIGURA 6 El intervalo abierto (a, b)
3a, `)
(2`, b4
EJEMPLO 5
b
{x 0 x # b}
■
b
Trazo de la gráfica de intervalos
Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, después, trace la gráfica del
intervalo.
a) 321, 2) 5 {x 0 21 # x , 2}
_1
b) 31.5, 44 5 {x 0 1.5 # x # 4}
c) (23, `) 5 {x 0 23 , x}
0
0
_3
2
1.5
4
0
■
Ahora intente realizar el ejercicio 47
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8
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
No hay número mínimo ni número
máximo en un intervalo abierto
Cualquier intervalo contiene un número
infinito de números; cualquier punto en la
gráfica de un intervalo corresponde a un
número real. En el intervalo cerrado 30, 14,
el número mínimo es 0 y el máximo es 1,
pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene
número mínimo ni máximo. Para ver esto
observe que 0.01 es cercano a cero, pero
0.001 es más cercano, 0.0001 es todavía
más cercano y así, sucesivamente. Siempre
podemos encontrar un número en el intervalo (0, 1) más cercano a cero que cualquier número dado. Como 0 no está en el
intervalo, el intervalo no contiene un
número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es
cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y
0.9999 está aún más cercano y así, sucesivamente. Dado que 1 no está en el intervalo, el intervalo no tiene número máximo.
EJEMPLO 6
■
Encontrar uniones e intersecciones de intervalos
Trace la gráfica de cada conjunto.
a) (1, 3) > 32, 74
b) (1, 3) < 32, 74
SOLUCIÓN
a) La intersección de dos intervalos consta de los números que están en ambos intervalos. Por tanto
(1, 3) > 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 y 2 # x # 7}
5 {x 0 2 # x , 3} 5 32, 3)
Este conjunto se muestra en la figura 8.
b) La unión de dos intervalos consta de los números que están en un intervalo o en el
otro (o en ambos). Por tanto,
(1, 3) < 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 o 2 # x # 7}
5 {x 0 1 , x # 7} 5 (1, 74
Este conjunto se muestra en la figura 9.
0
0.01
(1, 3)
(1, 3)
0.1
0
1
0
3
1
3
[2, 7]
[2, 7]
0
0.001
0
0.01
2
0
7
2
(1, 7]
[2, 3)
0
0 0.0001
0.001
2
7
0
3
1
7
FIGURA 9 (1, 3) < 32, 74 5 (1, 74
FIGURA 8 (1, 3) > 32, 74 5 32, 3)
■
Ahora intente realizar el ejercicio 61
| _3 |=3
_3
FIGURA 10
■ Valor absoluto y distancia
| 5 |=5
0
5
El valor absoluto de un número a, denotado por | a |, es la distancia de a a 0 en la recta
de números reales (véase la figura 10). La distancia es siempre positiva o cero, de modo
que tenemos | a | $ 0 para todo número a. Recordando que 2a es positivo cuando a es
negativo, tenemos la siguiente definición.
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es
|a|5
EJEMPLO 7
a)
b)
c)
d)
■
a
2a
si a $ 0
si a , 0
Evaluación de valores absolutos de números
|3|53
| 23 | 5 2(23) 5 3
|0|50
| 3 2 p | 5 2(3 2 p) 5 p 2 3
(como 3 , p ¡
3 2 p , 0)
■
Ahora intente realizar el ejercicio 67
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SECCIÓN 1.1
■
Números reales 9
Cuando trabajamos con valores absolutos utilizamos las propiedades siguientes:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Propiedad
Ejemplo
Descripción
1. | a | $ 0
| 23 | 5 3 $ 0
El valor absoluto de un número siempre es positivo o
cero.
2. | a | 5 | 2a |
| 5 | 5 | 25 |
Un número y su negativo tienen el mismo valor
absoluto.
3. | ab | 5 | a | | b |
| 22 ? 5 | 5 | 22 | | 5 |
El valor absoluto de un producto es el producto de
los valores absolutos.
4. `
|a|
a
`5
b
|b|
`
5. | a 1 b | # | a | 1 | b |
| 12 |
12
`5
23
| 23 |
El valor absoluto de un cociente es el cociente de los
valores absolutos.
| 23 1 5 | # | 23 | 1 | 5 |
Desigualdad del triángulo.
¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números 22 y 11? De la figura 11
vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea | 11 2 (22) | 5
13 o | (22) 2 11 | 5 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (véase
la figura 12).
13
_2
0
| b-a |
11
FIGURA 11
a
b
FIGURA 12 La longitud de un
segmento de recta es | b 2 a |
DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL
Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre
la recta real es
d(a, b) 5 | b 2 a |
De la propiedad 6 de los números negativos se deduce que
|b2a|5|a2b|
Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de
b a a.
EJEMPLO 8
10
_8
0
FIGURA 13
2
■
Distancia entre puntos en la recta real
La distancia entre los números 28 y 2 es
d(a, b) 5 | 2 2 (28) | 5 | 210 | 5 10
Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se muestra en la figura 13.
■
Ahora intente realizar el ejercicio 75
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10
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
1.1 EJERCICIOS
CONCEPTOS
14. 2(A 1 B) 5 2A 1 2B
15. (5x 1 1)3 5 15x 1 3
1. Dé un ejemplo para cada uno de los siguientes enunciados:
a) Un número natural
b) Un entero que no sea número natural
c) Un número racional que no sea entero
d) Un número irracional
16. (x 1 a)(x 1 b) 5 (x 1 a)x 1 (x 1 a)b
17. 2x(3 1 y) 5 (3 1 y)2x
18. 7(a 1 b 1 c) 5 7(a 1 b) 1 7c
2. Complete cada enunciado y mencione la propiedad de los
números reales que haya empleado.
a) ab 5
19–22 ■ Propiedades de los números reales Vuelva a escribir la
expresión usando la propiedad dada de los números reales.
; propiedad
b) a 1 1b 1 c2 5
c) a 1b 1 c2 5
19. Propiedad conmutativa de adición, x 1 3 5
; propiedad
20. Propiedad asociativa de la multiplicación,
; propiedad
21. Propiedad distributiva, 4(A 1 B) 5
3. Exprese el conjunto de números como sigue, pero no incluya
el 2 ni el 7:
22. Propiedad distributiva, 5x 1 5y 5
23–28 ■ Propiedades de los números reales Utilice las propiedades de los números reales al escribir la expresión sin paréntesis.
a) En notación constructiva de conjuntos:
b) En notación de intervalos:
4. El símbolo | x | representa el
del número x. Si x
no es 0, entonces el signo de | x | siempre es
.
5. La distancia entre a y b en la recta real es d(a, b) 5
Entonces la distancia entre 25 y 2 es
.
6–8 ■ ¿Sí o no? Si es no, explique. Suponga que a y b son
números reales diferentes de cero.
6. a) ¿La suma de dos números racionales siempre es un
número racional?
b) ¿La suma de dos números irracionales siempre es un
número irracional?
7. a) ¿Es a 2 b igual a b 2 a?
b) Es 22(a 2 5) igual a 22a 2 10?
HABILIDADES
9–10 Números reales Mencione los elementos del conjunto
dado que sean
a) números naturales
b) números enteros
c) números racionales
d) números irracionales
■
9. {21.5, 0,
7, 2.71, 2p, 3.14, 100, 28}
10. {1.3, 1.3333. . . , 5, 5.34, 2500, 123, 16,
246
579 ,
2205}
11–18 ■ Propiedades de los números reales Exprese la propiedad de los números reales que se esté usando.
11. 3 1 7 5 7 1 3
12. 4(2 1 3) 5 (2 1 3)4
13. (x 1 2y) 1 3z 5 x 1 (2y 1 3z)
.
23. 3(x 1 y)
24. (a 2 b)8
25. 4(2m)
26.
27. 252(2x 2 4y)
28. (3a)(b 1 c 2 2d)
4
3(26y)
29–32 ■ Operaciones aritméticas Realice las operaciones
indicadas.
29. a)
3
10
30. a)
2
3
31. a)
2
3
32. a)
4
15
1
b)
1
4
1 15
2 35
b) 1 1 58 2 16
(6 2 32)
b) (3 1 14)(1 2 45)
2
2
3
2
2
3
b)
2
2
5
1
10
1 12
1 153
33–34 ■ Desigualdades Coloque el símbolo correcto (,, .,
o 5) en el espacio.
8. a) ¿La distancia entre cualesquier dos números reales diferentes siempre es positiva?
b) ¿La distancia entre a y b es igual a la distancia entre
b y a?
5
2,
7(3x) 5
7
2
33. a) 3
34. a)
2
3
b)
0.67
c) | 0.67 |
272
b) 23
2
3
c) 3.5
7
2
20.67
| 20.67 |
35–38 ■ Desigualdades Diga si cada desigualdad es verdadera
o falsa.
35. a) 23 , 24
b) 3 , 4
36. a) 3 . 1.7325
b) 1.732 $ 3
37. a)
10
2
$5
38. a)
7
11
$
8
13
b)
6
10
$ 56
b) 235 . 234
39–40 ■ Desigualdades Escriba cada enunciado en términos de
desigualdades.
39. a)
b)
c)
d)
e)
x es positivo.
t es menor a 4.
a es mayor o igual a p.
x es menor a 13 y mayor que 25.
La distancia de p a 3 es, como máximo, 5.
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SECCIÓN 1.1
40. a)
b)
c)
d)
e)
41–44
y es negativa.
z es mayor que 1.
b es a lo más 8.
„ es positiva y menor o igual a 17.
y está al menos a 2 unidades de p.
■
Conjuntos Encuentre el conjunto indicado si
A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
41. a) A < B
b) A > B
42. a) B < C
b) B > C
43. a) A < C
b) A > C
44. a) A < B < C
b) A > B > C
69. a) @ 0 26 | 2 | 24 | @
b)
70. a) @ 2 2 | 212 | @
b) 21 2 @ 1 2 | 21 | @
71. a) 0 (22 ) ? 6 |
b) 0 (213)(215) |
72. a) `
26
`
24
73–76
dados.
Distancia
b)
73.
74.
■
Conjuntos Encuentre el conjunto indicado si
A 5 {x | x $ 22}
21
| 21 |
7 2 12
`
12 2 7
Encuentre la distancia entre los números
_3 _2 _1
0
1
2
3
_3 _2 _1
0
1
2
3
75. a) 2 y 17
■
Números reales 11
B 5 {2, 4, 6, 8}
C 5 {7, 8, 9, 10}
45–46
■
B 5 {x | x , 4}
76. a)
7
15
y 2211
11
8
y 2103
b) 23 y 21
c)
b) 238 y 257
c) 22.6 y 21.8
C 5 {x | 21 , x # 5}
45. a) B < C
b) B > C
HABILIDADES Plus
46. a) A > C
b) A > B
77–78 ■ Repetición de decimales Exprese cada decimal periódico como una fracción. (Véase la nota al margen en la página 3.)
47–52 ■ Intervalos Exprese el intervalo en términos de
desigualdades y luego trace la gráfica del intervalo.
47. (23, 0)
48. (2, 84
50. 326, 2124
49. 32, 8)
51. 32, `)
52. (2`, 1)
53–58 ■ Intervalos Exprese la desigualdad en notación de intervalos y después trace la gráfica del intervalo correspondiente.
53. x # 1
54. 1 # x # 2
55. 22 , x # 1
56. x $ 25
57. x . 21
58. 25 , x , 2
59–60 ■ Intervalos
intervalos.
59. a)
b)
_3
0
5
3
0
5
60. a)
0
b)
61–66
Exprese cada conjunto en notación de
2
■
65. (2`, 24) < (4, `)
67–72
■
2
Intervalos Trace la gráfica del conjunto.
63. 324, 64 > 30, 8)
Valor absoluto
b) 0.28
c) 0.57
78. a) 5.23
b) 1.37
c) 2.135
79–82 ■ Simplificación del valor absoluto Escriba la cantidad
sin usar valor absoluto.
79. | p 2 3 |
80. | 1 2 2 |
81. | a 2 b |, donde a , b
82. a 1 b 1 | a 2 b |, donde a , b
83–84 ■ Signos de números Sean a, b y c números reales tales
que a . 0, b , 0 y c , 0. Determine el signo de cada expresión.
83. a) 2a
b) bc
c) a 2 b
d) ab 1 ac
84. a) 2b
b) a 1 bc
c) c 2 a
d) ab 2
APLICACIONES
0
61. (22, 0) < (21, 1)
77. a) 0.7
85. Área de un jardín El jardín de legumbres de Mary mide 20
por 30 pies, de modo que su área es de 20 3 30 5 600 pies2.
Ella ha decidido agrandarlo como se muestra en la figura para
que el área aumente a A 5 20(30 1 x). ¿Qué propiedad de
los números reales nos dice que la nueva área también se
puede escribir como A 5 600 1 20x?
62. (22, 0) > (21, 1)
64. 324, 6) < 30, 8)
x
30 pies
66. (2`, 64 > (2, 10)
Evalúe cada expresión.
67. a) | 100 |
b) | 273 |
68. a) | 5 2 5 |
b) | 10 2 p |
20 pies
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12
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
Temperatura
alta diaria (*F)
86. Variación de temperatura La gráfica de barras muestra las
altas temperaturas diarias para Omak, Washington y Geneseo,
Nueva York, durante cierta semana en junio. Represente con
TO la temperatura en Omak y TG la temperatura en Geneseo.
Calcule TO 2 TG y | TO 2 TG | para cada día que se muestra.
¿Cuál de estos dos valores da más información?
Omak, WA
Geneseo, NY
80
75
70
65
Dom Lun
Mar Miér
Día
Jue
Vier
Sáb
87. Envío de un paquete por correo La oficina de correos sólo
aceptará paquetes para los cuales la longitud más la circunferencia no sea mayor de 108 pulgadas. Así, para el paquete de
la figura debemos tener
1/x
x
1/x
x
1
2
10
100
1 000
1.0
0.5
0.1
0.01
0.001
91. DESCUBRIMIENTO: Ubicación de números irracionales en la
recta real Usando las siguientes figuras explique cómo localizar el punto 2 en una recta numérica. ¿Puede localizar
5 por medio de un método similar? ¿Cómo puede ayudarnos el círculo que se muestra en la figura para ubicar p en
una recta numérica? Haga una lista de otros números irracionales que pueda ubicar en una recta numérica.
Ϸ2
0
1
1
1
2
0
π
L 1 2(x 1 y) # 108
a) ¿Aceptará la oficina de correos un paquete de 6 pulgadas
de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pies de largo?
¿Y un paquete que mida 2 pies por 2 pies por 4 pies?
b) ¿Cuál es la máxima longitud aceptable para un paquete
que tiene una base cuadrada que mide 9 por 9 pulgadas?
L
5 pies=60 pulg
x
y
6 pulg
8 pulg
DISCUSIÓN ■ DESCUBRIMIENTO ■
DEMOSTRACIÓN ■ REDACCIÓN
88. DISCUSIÓN: Sumas y productos de números racionales
e irracionales Explique por qué la suma, la diferencia y el
producto de dos números irracionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales necesariamente
es irracional? ¿Qué se puede decir de la suma?
89. DESCUBRIMIENTO ■ DEMOSTRACIÓN: Combinación de
números racionales con números irracionales ¿12 1 2 es
racional o irracional? ¿12 ? 2 es racional o irracional? Experimente con sumas y productos de otros números racionales e
irracionales. Demuestre lo siguiente.
a) La suma de un número racional r y un número irracional
t es irracional.
b) El producto de un número racional r y un número irracional t es irracional.
[Sugerencia: Para el inciso a), suponga que r 1 t es un
número racional q, es decir, r 1 t 5 q. Demuestre que esto
conduce a una contradicción. Utilice un razonamiento similar
para el inciso b).]
90. DESCUBRIMIENTO: Limitación del comportamiento de recíprocos Complete las tablas siguientes. ¿Qué le ocurre al
tamaño de la fracción 1/x cuando x aumenta? ¿Y cuando x
disminuye?
92. DEMOSTRACIÓN: Fórmulas de máximos y mínimos Sea
que máx(a, b) denote el máximo y que mín(a, b) denote
el mínimo de los números reales a y b. Por ejemplo,
máx(2, 5) 5 5 y mín(21, 22) 5 22.
a1b1|a2b|
a) Demuestre que máx(a, b) 5
.
2
b) Demuestre que mín(a, b) 5
a1b1|a2b|
2
.
[Sugerencia: Considere casos y escriba estas expresiones sin
el valor absoluto. Vea los ejercicios 81 y 82.]
93. REDACCIÓN: Números reales en el mundo real Escriba un
párrafo que describa diferentes situaciones del mundo real en
las que se podrían usar números naturales, enteros, números
racionales y números irracionales. Dé ejemplos para cada tipo
de situación.
94. DISCUSIÓN: Operaciones conmutativa y no conmutativa
Hemos visto que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas.
a) ¿La sustracción es conmutativa?
b) ¿La división de números reales diferentes de cero es
conmutativa?
c) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse calcetines y
zapatos?
d) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse el sombrero
y la chamarra?
e) ¿Son conmutativas las acciones de lavar y secar la ropa?
95. DEMOSTRACIÓN: Desigualdad del triángulo Demostraremos la propiedad 5 de los valores absolutos, la desigualdad
del triángulo:
|x1y|#|x|1|y|
a) Verifique que la desigualdad de triángulo vale para x 5 2
y y 5 3, para x 5 22 y y 5 23 y para x 5 22 y y 5 3.
b) Demuestre que la desigualdad del triángulo es verdadera
para todos los números reales x y y. [Sugerencia: Considere casos.]
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SECCIÓN 1.2
■
Exponentes y radicales 13
1.2 EXPONENTES Y RADICALES
■ Exponentes enteros ■ Reglas para trabajar con exponentes ■ Notación científica
■ Radicales ■ Exponentes racionales ■ Racionalización del denominador; forma estándar
En esta sección damos significado a expresiones como a m/n en las que el exponente
m/n es un número racional. Para hacer esto necesitamos recordar algunos datos acerca
de exponentes enteros, radicales y raíces n-ésimas.
■ Exponentes enteros
Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial.
Por ejemplo, 5 ? 5 ? 5 se escribe como 53. En general tenemos la siguiente definición.
NOTACIÓN EXPONENCIAL
Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima
potencia de a es
an 5 a ? a ? . . . ? a
n factores
El número a se denomina base, y n se denomina exponente.
EJEMPLO 1
Observe la diferencia entre (23)4
y 234. En (23)4 el exponente se aplica
al 23, pero en 234 el exponente se
aplica sólo al 3.
■
Notación exponencial
a) (12)5 5 (12)(12)(12)(12)(12) 5 321
b) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 81
c) 234 5 2(3 ? 3 ? 3 ? 3) 5 281
■
Ahora intente realizar el ejercicio 17
Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para
descubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 54 por 52:
54 ? 52 5 15 ? 5 ? 5 ? 5215 ? 52 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 56 5 5412
4 factores 2 factores
6 factores
Es evidente que para multiplicar dos potencias de la misma base sumamos sus exponentes. En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n,
tenemos
aman 5 1a ? a ? . . . ? a2 1a ? a ? . . . ? a2 5 a ? a ? a ? . . . ? a 5 am1n
m factores
n factores
m 1 n factores
Por tanto, aman 5 am1n.
Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros
negativos. Por ejemplo, debemos tener
20 ? 23 5 2013 5 23
Pero esto puede ocurrir sólo si 20 5 1. Igualmente, deseamos tener
54 ? 524 5 541124) 5 5424 5 50 5 1
y esto será cierto si 524 5 1/54. Estas observaciones conducen a la siguiente definición.
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14
CAPÍTULO 1
Fundamentos
■
EXPONENTES CERO Y NEGATIVO
Si a ? 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces
a0 5 1
EJEMPLO 2
(47)0
a)
■
y
a2n 5
1
an
Exponentes cero y negativos
51
1
1
1 5
x
x
1
1
1
5
52
c) (22)23 5
8
28
(22)3
b) x21 5
■
Ahora intente realizar el ejercicio 19
■ Reglas para trabajar con exponentes
La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son
enteros.
LEYES DE EXPONENTES
Ley
Ejemplo
m n
1. a a 5 a
Descripción
3 ?3 5 3
m1n
2
m
5
215
53
7
Para multiplicar dos potencias del mismo número sume los exponentes.
5
a
5 am2n
an
3
5 3522 5 33
32
Para dividir dos potencias del mismo número reste los exponentes.
3. (am)n 5 amn
(32)5 5 32?5 5 310
Para elevar una potencia a una nueva potencia multiplique los exponentes.
4. (ab)n 5 a nb n
(3 ? 4)2 5 32 ? 42
Para elevar un producto a una potencia eleve cada uno de los factores a
la potencia.
2.
a
b
n
5.
a
b
2n
6.
7.
5
an
bn
5
a2n
bm
2m 5 n
b
a
b
a
n
3
4
2
3
4
22
5
32
42
5
322
45
25 5 2
4
3
Para elevar un cociente a una potencia eleve el numerador y el denominador a la potencia.
4
3
2
Para elevar una fracción a una potencia negativa invierta la fracción y
cambie el signo del exponente.
Para mover un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador cambie el signo del exponente.
Demostración de la ley 3 Si m y n son enteros positivos tenemos
1a m2 n 5 1a ? a ? . . . ? a2 n
m factores
5 1a ? a ? . . . ? a2 1a ? a ? . . . ? a2 . . . 1a ? a ? . . . ? a2
m factores
m factores
m factores
n grupo de factores
5 a ? a ? . . . ? a 5 amn
mn factores
Los casos para los que m # 0 o n # 0 se pueden demostrar usando para ello la definición de exponentes negativos.
■
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SECCIÓN 1.2
■
Exponentes y radicales 15
Demostración de la ley 4 Si n es un entero positivo tenemos
1ab2 n 5 1ab2 1ab2 . . . 1ab2 5 1a ? a ? . . . ? a2 ? 1b ? b ? . . . ? b2 5 a n b n
n factores
n factores
n factores
Aquí hemos empleado repetidamente las propiedades conmutativa y asociativa. Si n # 0,
la ley 4 se puede demostrar usando la definición de exponentes negativos.
■
En los ejercicios 108 y 109 se le pide al lector demostrar las leyes 2, 5, 6 y 7.
EJEMPLO 3
4 7
a) x x 5 x
■
417
Uso de las leyes de exponentes
5 x11
b) y4y27 5 y427 5 y23 5
Ley 1: aman 5 am1n
1
y3
Ley 1: aman 5 am1n
c9
5 c925 5 c4
c5
d) (b4)5 5 b4?5 5 b20
e) (3x)3 5 33x3 5 27x3
c)
f)
x
2
5
5
Ley 2:
am
5 am2n
an
Ley 3: (am)n 5 amn
Ley 4: (ab)n 5 anbn
x5
x5
5
25
32
Ley 5:
a
b
n
5
an
bn
■
Ahora intente realizar los ejercicios 29, 31 y 33
EJEMPLO 4
■
Simplificación de expresiones con exponentes
Simplifique:
a) (2a3b2)(3ab4)3
b)
x
y
3
y2x
z
4
SOLUCIÓN
a) (2a3b2)(3ab4)3 5 (2a3b2)333a3(b4)34
5 (2a3b2)(27a3b12)
5 (2)(27)a3a3b2b12
5 54a6b14
b)
x
y
3
y2x
z
Ley 4: (ab)n 5 anbn
Ley 3: (am)n 5 amn
Se agrupan factores con la misma base
Ley 1: aman 5 am1n
5
x3 (y 2)4x 4
y3
z4
Leyes 5 y 4
5
x3 y 8x 4
y3 z4
Ley 3
4
5 (x3x4)
5
y8
y3
1
z4
x7y5
z4
Se agrupan factores con la misma base
Leyes 1 y 2
■
Ahora intente realizar los ejercicios 35 y 39
Cuando simplifique una expresión encontrará que muchos métodos diferentes conducirán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes
para llegar a su propio método. En el ejemplo siguiente veremos cómo simplificar expresiones con exponentes negativos.
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19.02.2019
16
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
Las matemáticas en el mundo moderno
Aun cuando no notemos su presencia, las
matemáticas permean casi todos los
aspectos de la vida en el mundo moderno.
Con el advenimiento de la tecnología
moderna las matemáticas desempeñan
una función cada vez mayor en nuestras
vidas. Hoy en día es probable que usted
haya despertado con la alarma de un reloj
digital, enviado un mensaje de e-mail a
través de internet, visto algún programa
en TV de alta definición o la transmisión
de un video, escuchado música en su teléfono celular, manejado un auto con inyección controlada digitalmente y quizás
luego durmió en una habitación cuya
temperatura estaba controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades las matemáticas intervienen en
forma decisiva. En general una propiedad,
por ejemplo, la intensidad o la frecuencia
del sonido, el nivel de oxígeno en la emisión del escape de un auto, los colores en
una imagen o la temperatura de su habitación son transformados en sucesiones
de números por refinados algoritmos
matemáticos. Estos datos numéricos, que
suelen estar formados por muchos millones de bits (los dígitos 0 y 1), son transmitidos y reinterpretados. Trabajar con estas
cantidades enormes de datos no fue posible sino hasta la invención de las computadoras, máquinas cuyos procesos lógicos
fueron inventados por matemáticos.
Las aportaciones de las matemáticas
en el mundo moderno no están limitadas a avances tecnológicos. Los procesos
lógicos de las matemáticas se emplean
ahora para analizar complejos problemas
en ciencias sociales, políticas y biológicas en formas nuevas y sorprendentes. Los
avances en matemáticas continúan y algunos de los más emocionantes se dieron
tan sólo en la década pasada.
En otro libro, llamado Mathematics
in the Modern World, se describe con
más detalle el modo en que las matemáticas
influyen en nuestras actividades diarias.
EJEMPLO 5
■
Simplificación de expresiones con exponentes negativos
Elimine exponentes negativos y simplifique cada expresión.
a) 5
6st24
2s22t 2
b)
y
3z 3
22
SOLUCIÓN
a) Usamos la ley 7, que nos permite pasar un número elevado a una potencia del
numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo del exponente.
t24 pasa al denominador y
se convierte en t4
6st24
6ss 2
5
2s22t 2
2t 2t 4
s22 pasa al numerador y
se convierte en s2
5
3s3
t6
Ley 7
Ley 1
b) Usamos la ley 6, que nos permite cambiar el signo del exponente de una fracción
al invertir la fracción.
y
3z 3
3z3
y
22
5
5
9z6
y2
2
Ley 6
Leyes 5 y 4
■
Ahora intente realizar el ejercicio 41
■ Notación científica
Los científicos usan notación exponencial como una forma compacta de escribir números
muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana, además del
Sol, Proxima Centauri, está aproximadamente a 40 000 000 000 000 de km de distancia.
La masa del átomo de hidrógeno es alrededor de 0.00000000000000000000000166 g.
Estos números son difíciles de leer y escribir, de modo que los científicos por lo general
los expresan en notación científica.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si se expresa
como sigue:
x 5 a 3 10n
donde
1 # a , 10 y n es un entero
Por ejemplo, cuando decimos que la distancia a la estrella Proxima Centauri es
4 3 1013 km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal se debe recorrer 13
lugares a la derecha:
4 3 1013 5 40 000 000 000 000
Mueva el punto decimal 13 lugares a la derecha
Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 3 10224 g el exponente
224 indica que el punto decimal debe moverse 24 lugares a la izquierda:
1.66 3 10224 5 0.00000000000000000000000166
Mueva el punto decimal 24 lugares a la izquierda
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SECCIÓN 1.2
EJEMPLO 6
■
■
Exponentes y radicales 17
Cambio de notación decimal a científica
Escriba en notación científica cada uno de los números siguientes.
a) 56 920
b) 0.000093
SOLUCIÓN
a) 56 920 5 5.692 3 104
b) 0.000093 5 9.3 3 1025
4 lugares
5 lugares
■
Ahora intente realizar el ejercicio 83
EJEMPLO 7
■
Cambio de notación científica a notación decimal
Escriba cada número en notación decimal.
a) 6.97 3 109
b) 4.6271 3 1026
SOLUCIÓN
a) 6.97 3 109 5 6 970 000 000
Se mueve 9 lugares decimales hacia la derecha
9 lugares
b) 4.6271 3 1026 5 0.0000046271
Se mueve 6 lugares decimales hacia la derecha
6 lugares
■
Ahora intente realizar el ejercicio 85
Para usar notación científica en una
calculadora presione la tecla marcada
EE o EXP o EEX para ingresar el
exponente. Por ejemplo, para ingresar
el número 3.629 3 1015 en una calculadora TI-83 o TI-84 ingresamos
3.629
2ND
EE
15
Con frecuencia se usa notación científica en una calculadora para ver un número
muy grande o uno muy pequeño. Por ejemplo, si usamos calculadora para elevar al
cuadrado el número 1 111 111, la pantalla puede mostrar (dependiendo del modelo de
calculadora) la aproximación
1.234568 12
o
1.234568 E12
Aquí los dígitos finales indican la potencia de 10 e interpretamos el resultado como
y en la pantalla se lee
1.234568 3 1012
3.629E15
EJEMPLO 8
■
Cálculo con notación científica
Si a < 0.00046, b < 1.697 3 1022 y c < 2.91 3 10218, use la calculadora para
aproximar el cociente ab/c.
SOLUCIÓN Podríamos ingresar los datos usando notación científica, o bien, podríamos usar leyes de exponentes como sigue:
ab
(4.6 3 1024)(1.697 3 1022)
<
c
2.91 3 10218
5
(4.6)(1.697)
3 1024122118
2.91
< 2.7 3 1036
En el apéndice B,* Cálculo de cifras
significativas véanse las guías para
trabajar con cifras significativas. Visite
www.stewartmath.com.**
Expresamos la respuesta redondeada a dos cifras significativas porque el menos preciso de los números dados se expresa a dos cifras significativas.
* Este material se encuentra disponible
en línea. Ingrese a www.cengage.com
y busque el libro por el ISBN.
■ Radicales
** Este material se encuentra disponible
en inglés.
■
Ahora intente realizar los ejercicios 89 y 91
Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una
potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un número racional necesitamos estudiar
radicales.
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18
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
El símbolo significa “la raíz positiva de”. Entonces
Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y 23, pero la notación
9 está reservada para la raíz cuadrada
positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si deseamos
tener la raíz negativa debemos escribir
29, que es 23.
a 5 b
b2 5 a
significa que
y
b$0
Dado que a 5 b2 $ 0, el símbolo a tiene sentido sólo cuando a $ 0. Por ejemplo,
9 5 3
32 5 9
ya que
y
3$0
Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de
x es el número que, cuando se eleva a la n-ésima potencia, da x.
DEFINICIÓN DE UNA RAÍZ n-ésima
Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-ésima raíz principal de a se
define como sigue:
n
a 5 b
bn 5 a
significa
Si n es par, debemos tener a $ 0 y b $ 0.
Por ejemplo,
4
81 5 3
3
28 5 22
4
34 5 81
ya que
y
3$0
(22) 5 28
3
ya que
6
Pero 28, 28 y 28 no están definidas. (Por ejemplo, 28 no está definida
porque el cuadrado de todo número real es no negativo.)
Observe que
42 5 16 5 4
(24)2 5 16 5 4 5 | 24 |
pero
Entonces la ecuación a2 5 a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a $ 0. No
obstante, siempre podemos escribir a2 5 | a |. Esta última ecuación es verdadera
no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. En el recuadro siguiente se
citan esta y otras reglas empleadas para trabajar con las raíces n-ésimas. En cada propiedad suponemos que existen todas las raíces dadas.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES n-ésimas
Propiedad
Ejemplo
n
n
n
3
1. ab 5 a b
3
n
2.
n
m
4
a
a
5 n
b
b
16 16
2
5 4
5
81 81
3
4
mn
n
si n es impar
n
si n es par
EJEMPLO 9
3
729 5 729 5 3
n
5. an 5 | a |
■
3
(25)3 5 25,
4
Simplificación de expresiones que tienen raíces n-ésimas
3
Factorice el cubo más grande
3
3 3
Propiedad 1: ab 5 a b
5 x x
3
5 x x
5
25 5 2
(23)4 5 | 23 | 5 3
3
a) x 5 x x
4
6
3
3. 3a 5 a
4. an 5 a
3
28 ? 27 5 28 27 5 (22)(3) 5 26
3
3
3
3
Propiedad 4: a3 5 a
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SECCIÓN 1.2
4
4
4
4
b) 81x8y4 5 81 x8 y4
4
■
4
Exponentes y radicales 19
4
4
Propiedad 1: abc 5 a b c
4
5 3(x2)4 | y |
5 3x2 | y |
4
Propiedad 5: a4 5 | a |
4
Propiedad 5: a4 5 | a |, | x2 | 5 x2
■
Ahora intente realizar los ejercicios 45 y 47
Con frecuencia es útil combinar radicales semejantes en una expresión, tal como
23 1 53. Esto se puede hacer usando la propiedad distributiva. Por ejemplo,
23 1 53 5 (2 1 5)3 5 73
El siguiente ejemplo ilustra más aún este proceso.
EJEMPLO 10
Evite el siguiente error:
a 1 b 5 a 1 b
Por ejemplo, si hacemos que a 5 9 y
b 5 16, entonces vemos el error:
9 1 16 0 9 1 16
25 0 3 1 4
507
¡Error!
■
Combinación de radicales
a) 32 1 200 5 16 ? 2 1 100 ? 2
5 162 1 100 2
5 42 1 10 2 5 142
b) Si b . 0, entonces
Propiedad 1: !ab 5 !a!b
Propiedad distributiva
Propiedad 1: !ab 5 !a!b
25b 2 b3 5 25 b 2 b2b
5 5b 2 bb
5 (5 2 b)b
Propiedad 5, b . 0
Propiedad distributiva
c) 49x 1 49 5 49(x 1 1)
2
Factorice los cuadrados más grandes
2
Factorice el 49
Propiedad 1: !ab 5 !a !b
2
5 7x 1 1
■
Ahora intente realizar los ejercicios 49, 51 y 53
■ Exponentes racionales
Para definir lo que significa exponente racional, o bien, de manera equivalente, un
exponente fraccionario, por ejemplo a1/3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1/n de forma que sea consistente con las leyes de exponentes deberíamos tener
(a1/n)n 5 a(1/n)n 5 a1 5 a
Entonces, por la definición de la raíz n-ésima,
n
a1/n 5 a
En general, definimos exponentes racionales como sigue:
DEFINICIÓN DE EXPONENTES RACIONALES
Para cualquier exponente racional m/n en sus términos más elementales, donde
m y n son enteros y n . 0 definimos
n
am/n 5 (a)m
o en forma equivalente
n
am/n 5 am
Si n es par, entonces requerimos que a $ 0.
Con esta definición se puede demostrar que las leyes de exponentes también se cumplen para exponentes racionales.
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20
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
DIOFANTO Vivió en Alejandría hacia el
año 250 d.C. Su libro Arithmetica es considerado el primer libro de álgebra. En este
se presentan métodos para encontrar
soluciones enteras de ecuaciones algebraicas. Arithmetica fue leído y estudiado
durante más de mil años. Fermat (véase
página 117) hizo algunos de sus más
importantes descubrimientos cuando
estudiaba este libro. La mayor aportación
de Diofanto es el uso de símbolos para
representar las incógnitas en un problema.
Aun cuando su simbolismo no es tan sencillo como el que usamos ahora fue un
avance considerable para escribir todo en
palabras. En la notación de Diofanto, la
ecuación
x 5 2 7x 2 1 8x 2 5 5 24
EJEMPLO 11
■
Uso de la definición de exponentes racionales
1/ 2
5 4 5 2
2/ 3
5 (8)2 5 22 5 4
a) 4
b) 8
3
1
c) 12521/3 5
125
1/3
3
1
5
3
125
5
1
5
■
Ahora intente realizar los ejercicios 55 y 57
EJEMPLO 12
■
Uso de las leyes de los exponentes con exponentes racionales
a) a1/3a7/3 5 a8/3
Ley 1: ama n 5 a m1n
2/5 7/5
b)
a a
a
5 a2/517/523/5 5 a6/5
3/5
Ley 1, Ley 2:
c) (2a3b4)3/2 5 23/2(a3)3/2(b4)3/2
DKga%h DgzM° eiskd
am
5 am2n
an
Ley 4: (abc)n 5 anbncn
5 (2)3a 3(3/2)b4(3/2)
se escribe
Ley 3: (am)n 5 amn
5 22a9/2b6
c
Nuestra moderna notación algebraica no
entró en uso común sino hasta el siglo XVII.
3
Solución alternativa: 82/3 5 82 5 64 5 4
d)
2x3/4
3
y4
y1/3
x21/2
5
5
23(x3/4)3
(y1/3)3
? (y4x1/2)
8x9/4 4 1/2
?y x
y
Leyes 5, 4 y 7
Ley 3
5 8x11/4y3
Leyes 1 y 2
■
Ahora intente realizar los ejercicios 61, 63, 67 y 69
EJEMPLO 13
1
■
Uso de las leyes de los exponentes con exponentes racionales
1
5 x24/3
x4/3
x
3
b) (2x)(3x ) 5 (2x1/2)(3x1/3)
5 6x 1/211/3 5 6x 5/6
xx 5 (xx1/2)1/2
c)
5 (x3/2)1/2
a)
3
4
5
5x
Definición de exponentes racionales y negativos
Definición de exponentes racionales
Ley 1
Definición de exponentes racionales
Ley 1
3/4
Ley 3
■
Ahora intente realizar los ejercicios 73 y 77
■ Racionalización del denominador; forma estándar
A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el
denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma a, multiplicamos numerador y denominador por a. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de
modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo,
1
1
1 a a
5
?1 5
?
5
a
a a
a a
Observe que el denominador de la última fracción no contiene radical. En general, si el
n
denominador es de la forma con am con m , n, entonces multiplicar el numerador
n n2m
y denominador por a
racionalizará el denominador, porque (para a . 0)
n
n
n
n
a m a n2m 5 am1n2m 5 a n 5 a
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SECCIÓN 1.2
■
Exponentes y radicales 21
Se dice que una expresión fraccionaria está en su forma estándar si su denominador
no contiene radicales.
■
EJEMPLO 14
Racionalizar denominadores
Escriba cada expresión fraccionaria en su forma estándar al racionalizar el denominador.
a)
2
3
b)
1
3
5
SOLUCIÓN
a)
b)
1
3
5
5
5
c)
7
7
1
a2
Esto es igual a 1
2
2 3
5
?
3 3 3
5
c)
23
3
3 ? 3 5 3
3
1
3
5
?
3
25
"
5
52
3
52
1
7
a2
3
52
Multiplique por
3
3
3
52
3
5 ? 52 5 53 5 5
1
1
2 5 7 2
a
a
5
3
3
Multiplique por
Propiedad 2:
n
7
a5
?
7
a5
n
a
a
5 n
b
b
7
Multiplique por
a5
7
a5
7
5
a5
a
7
7
a2 ? a5 5 a
■
Ahora intente realizar los ejercicios 79 y 81
1.2 EJERCICIOS
CONCEPTOS
1. a) Usando notación exponencial podemos escribir el
producto 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 como
5. Explique cómo racionalizar un denominador y luego com1
:
plete los siguientes pasos para racionalizar
3
.
b) En la expresión 34 el número 3 se denomina
y
3
2. a) Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base
los exponentes. Por tanto 34 ? 35 5
b) Cuando dividimos dos potencias con la misma base
35
los exponentes. Por tanto 2 5
.
3
3
3. a) Usando notación exponencial, podemos escribir 5
como
.
c) ¿Hay diferencia entre 52 y (5 )2? Explique.
4. Explique qué significa 43/2 y, a continuación, calcule 43/2 en
dos formas diferentes:
5
o
(43)
5
1
3
?
5
6. Encuentre la potencia faltante en el siguiente cálculo:
51/3 ? 5 5 5.
7–8
■
¿Sí o no? Si es no, explique.
7. a) ¿La expresión (23)22 es igual a 34?
b) ¿Hay alguna diferencia entre (25)4 y 25 4?
.
b) Usando radicales podemos escribir 51/2 como
(41/2)
1
.
el número 4 se llama
.
8. a) ¿La expresión (x 2)3 es igual a x5?
b) ¿La expresión (2x4)3 es igual a 2x12?
c) ¿La expresión 4a 2 es igual a 2a?
d) ¿La expresión a 2 1 4 es igual a a 1 2?
5
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22
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
HABILIDADES
33. a)
9–16 ■ Radicales y exponentes Escriba cada expresión radical
usando exponentes y cada expresión exponencial usando radicales.
34. a)
Expresión radical
7
10.
z2z4
z3 z21
2
11.
4
b) (3a4b22)3(a2b21)
x2y21
x
y22z23
y
2
a2/5
15.
■
Radicales y exponentes
Evalúe cada expresión.
17. a) 226
b) (22)6
c) (15)2 ? (23)3
18. a) (25)3
b) 253
c) (25)2 ? (25)2
19. a) (53)0 ? 221
b)
20. a) 223 ? (22)0
223
30
c) (23)22
b) 2223 ? (22)0
b) 54 ? 522
c) (22)3
22. a) 38 ? 35
b)
107
104
c) (35)4
3
23. a) 316
3
24. a) 281
40. a)
x 4z 2
4y5
18
b)
81
c)
27
4
18
25
c)
12
49
b)
54
6
c) 15 75
3
c)
6 1 6
2 128
c)
st
2 24
(rs2)3
(r23s2)2
2a21b
23
2 23
ab
q21r21s22
25
21
28
r sq
xy22z23
22
b)
5s t
23
y
5x22
b)
21
23
xyz
2 3 24
4
b) 16x8
5
b) x3y6
3
b) a 2b 64a4b
4
b)
3
49–54
4
3
3
■
3
3
64x 6
Expresiones con radicales Simplifique la expresión.
49. a) 32 1 18
b) 75 1 48
50. a) 125 1 45
b) 54 2 16
4
51. a) 9a3 1 a
b) 16x 1 x5
3
52. a) x4 1 8x
b) 418rt3 1 532r3t 5
53. a) 81x2 1 81
b) 36x2 1 36y2
54. a) 27a2 1 63a
b) 75t 1 100t 2
4 1
4
4 1
64
108
b) (2y )
c) y y
30. a) y ? y
2
b) (8x)
c) x 4x23
31. a) x25 ? x3
b) „22„24„5
c)
x16
x10
32. a) y2 ? y25
b) z5z23z24
c)
y7y0
y10
2
(u3√ 22)3
21
3
29. a) x ? x
5
x y
3a
b3
(u21√ 2)2
b)
21 23
48. a) x4y2z2
4
2 3
5xy22
3
29–34 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine
cualquier exponente negativo.
3
2a b
42. a)
x y
b)
25 5
3
3
b)
b)
47. a) 64a6b7
b)
5 1
4
2
46. a) x10
26. a) 10 32
5 1
8
2x3y2
z3
b)
45. a) x4
c) 24 18
3
ab
c3
3
22
23 2
45–48 ■ Radicales Simplifique cada expresión. Suponga que
las literales representan números reales positivos.
48
3
b) 2 32
3 2
8a3b24
44. a)
b)
132
3
41. a)
43. a)
25. a) 3 15
28. a)
a
b
23
c) ( 23
5 )
21. a) 53 ? 5
27. a)
39. a)
1
2
5
3
x3y22
b)
21
221.5
a3
2b2
b)
25
38. a)
14.
17–28
c) (23z 2)3(2z 3)
36. a) (8m22n4)(12n22)
5
x
b) (2a3a2)4
b) (5„2z22)2(z3)
37. a)
53
16.
(5x6)
35. a) (3x3y2)(2y3)
2/3
1023/2
12.
13.
c)
35–44 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine
cualquier exponente negativo.
3
3
a
3
x
2
b) (a2a4)3
Expresión exponencial
1
9.
a9a22
3
3
3
3
22 7
55–60
■
Exponentes racionales Evalúe cada expresión.
55. a) 161/4
b) 281/3
c) 921/2
56. a) 271/3
b) (28)1/3
c) 2(18)1/3
57. a) 322/5
b) (49)21/2
3/4
c) (16
81 )
3/2
58. a) 1252/3
b) (25
c)
64 )
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2724/3
19.02.2019
SECCIÓN 1.2
59. a) 52/3 ? 51/3
b)
60. a) 32/7 ? 312/7
b)
33/5
83–84 ■ Notación científica
científica.
3
c) (4 )3
2/5
3
72/3
5
c) (6 )210
5/3
7
61–70 ■ Exponentes racionales Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las literales denotan números positivos.
61. a) x3/4x5/4
b) y 2/3y4/3
62. a) (4b)1/2(8b1/4)
b) (3a3/4)2(5a1/2)
63. a)
„4/3„2/3
„
a (2a )
5/4
b)
1/3
3/4 3
a1/4
64. a) (8y3)22/3
b) (u4√ 6)21/3
65. a) (8a6b3/2)2/3
b) (4a6b8)3/2
66. a) (x y )
b) (4r s
25 1/3 23/5
(8s t )
3 3 2/3
67. a)
x8y24
4s3t 4
b)
16y
4
x
y21/2
a1/6b23
x21y
)
(x5/3y2/3)3/5
21/4
3/2
70. a)
b)
4/3
69. a)
(32x y
)
25/4 21/5
5 23/2 2/5
(s4t28)1/4
68. a)
) (32s
8 21/2 1/2
3
st
4y3z2/3
22
x
y3
b)
x22b21
b)
a 3/2y1/3
21/2
2 9/2
x23y6
2
1/3
8z4
x1/2
(9st)3/2
3s22
(27s t )
4t1/3
3 24 2/3
21
71–78 ■ Radicales Simplifique la expresión y elimine cualquier
exponente negativo. Suponga que todas las literales denotan
números positivos.
5
71. a) x3
b) x6
72. a) x5
b) x6
6
4
3
3
73. a) y5 y2
4
b) (5x )(2x )
4
3
74. a) b3 b
b) (2a)(a 2 )
4
6
75. a) 4st3 s3t2
b)
x7
4
x3
10
77. a)
78. a)
3
x4y16
b)
84. a) 129 540 000
c) 0.0000000014
b) 7 259 000 000
d) 0.0007029
85–86 ■ Notación decimal Escriba cada número en notación
decimal.
85. a) 3.19 3 105
c) 2.670 3 1028
b) 2.721 3 108
d) 9.999 3 1029
86. a) 7.1 3 1014
c) 8.55 3 1023
b) 6 3 1012
d) 6.257 3 10210
87–88 ■ Notación científica Escriba en notación científica el
número indicado en cada enunciado.
87. a) Un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es
alrededor de 5 900 000 000 000 millas.
b) El diámetro de un electrón es alrededor de
0.0000000000004 cm.
c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de
moléculas.
88. a) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 93 millones de
millas.
b) La masa de una molécula de oxígeno es de unos
0.000000000000000000000053 g.
c) La masa de la Tierra es de unos
5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.
89–94 ■ Notación científica Use notación científica, las leyes
de exponentes y una calculadora para ejecutar las operaciones
indicadas. Exprese su respuesta, redondeada al número de cifras
significativas indicadas por la información dada.
89. (7.2 3 1029)(1.806 3 10212)
90. (1.062 3 1024)(8.61 3 1019)
yy
ss
b)
3
b)
92.
16u 3√
u√5
3
93.
54x2y4
82. a)
1
5x
s
3t
x
5
b)
b)
a
6
b
2
1.295643 3 109
(3.610 3 10217)(2.511 3 106)
(73.1)(1.6341 3 1028)
0.0000000019
(0.0000162)(0.01582)
(594 621 000)(0.0058)
94.
(3.542 3 1026)9
(5.05 3 104)12
2x5y
79–82 ■ Racionalización Escriba cada expresión fraccionaria
en forma estándar racionalizando el denominador.
9
1
3
b)
79. a)
c) 4
2
6
2
8
12
12
c) 3
b)
80. a)
5
3
52
81. a)
Escriba cada número en notación
b) 7 200 000 000 000
d) 0.0001213
91.
8x2
x
Exponentes y radicales 23
83. a) 69 300 000
c) 0.000028536
3
5
76. a) x3y2
■
c)
c)
5
1
x3
1
c3/5
HABILIDADES Plus
95. Sean a, b y c números reales con a . 0, b , 0 y c , 0.
Determine el signo de cada expresión.
a) b5
b) b10
c) ab2c3
d) (b 2 a)3
e) (b 2 a)4
f)
a3c3
b6c6
96. Comparación de raíces Sin usar la calculadora determine
cuál número es mayor en cada par.
a) 21/2 o 21/3
b) (12)1/2 o (12)1/3
c) 71/4 o 41/3
3
d) 5 o 3
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19.02.2019
24
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
APLICACIONES
97. Distancia a la estrella más cercana Proxima Centauri, la
estrella más cercana a nuestro sistema solar, está a 4.3 años
luz de distancia. Use la información del ejercicio 87a) para
expresar esta distancia en millas.
98. Velocidad de la luz La velocidad de la luz es de unas
186 000 mi/s. Use la información del ejercicio 88a) para
encontrar cuánto tarda un rayo de luz del Sol en llegar a la
Tierra.
103. Rapidez de un auto que patina La policía usa la fórmula s 5 30fd para calcular la rapidez s (en mi/h) a la que
un auto se desplaza si patina d pies después de aplicar
repentinamente los frenos. El número f es el coeficiente de
fricción del pavimento, que es una medida de lo “resbaloso”
de la carretera. La tabla siguiente da algunos cálculos
comunes para f.
Seco
Mojado
99. Volumen de los océanos El promedio de profundidad de
los océanos es 3.7 3 103 m y el área de los océanos es
3.6 3 1014 m2. Cuál es el volumen total del océano en
litros? (Un metro cúbico contiene 1 000 litros.)
Asfalto
Concreto
Grava
1.0
0.5
0.8
0.4
0.2
0.1
a) Si un auto patina 65 pies en concreto mojado, ¿cuál era
su velocidad cuando se le aplicaron los frenos?
b) Si un auto corre a 50 mi/h, ¿cuánto patinará en asfalto
mojado?
100. Deuda nacional Al mes de julio de 2013 la población de
Estados Unidos era de 3.164 3 108 y la deuda nacional era
de 1.674 3 1013 dólares. ¿Cuánto era la parte de deuda que
le correspondía a cada persona?
[Fuente: Oficina del Censo y Departamento del Tesoro de
Estados Unidos]
101. Número de moléculas Una sala sellada de un hospital, con
medidas de 5 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto, está
llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1 000 L; y
22.4 L de cualquier gas contienen 6.02 3 1023 moléculas
(número de Avogadro). ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay
en la sala?
102. ¿A qué distancia puede usted ver? Debido a la curvatura
de la Tierra, la distancia máxima D a la que se puede
ver desde lo alto de un edificio de altura h se calcula con la
fórmula
D 5 2rh 1 h2
donde r 5 3 960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿A qué distancia se puede ver
desde la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto,
que está a 1 135 pies sobre el suelo?
Torre CN
r
104. Distancia de la Tierra al Sol Se deduce de la Tercera ley
de Kepler del movimiento planetario, que el promedio de
distancia de un planeta al Sol (en metros) es
d5
GM
4p3
1/3
T 2/3
donde M 5 1.99 3 1030 kg es la masa del Sol,
G 5 6.67 3 10211 N ? m2/kg2 es la constante gravitacional
y T es el periodo de la órbita del planeta (en segundos). Use
el dato de que el periodo de la órbita de la Tierra es alrededor de 365.25 días para determinar la distancia de la Tierra
al Sol.
DESCUBRIMIENTO ■ DISCUSIÓN ■
DEMOSTRACIÓN ■ REDACCIÓN
105. DISCUSIÓN: ¿Cuánto es mil millones? Si usted tuviera un
millón (106) de dólares en una maleta y gastara mil dólares
(10 3) al día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el
dinero? Gastando al mismo ritmo, ¿cuántos años tardaría en
vaciar la maleta llena con mil millones (10 9 ) de dólares?
106. DISCUSIÓN: Potencias fáciles que se ven difíciles Calcule
mentalmente estas expresiones. Use la ley de exponentes
como ayuda.
a)
185
95
b) 206 ? (0.5)6
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SECCIÓN 1.3
107. DISCUSIÓN: Límite del comportamiento de potencias
Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre con la raíz
n-ésima de 2 cuando n se hace grande? ¿Qué se puede decir
acerca de la raíz n-ésima de 12?
n
1
2
5
10
100
21/n
n
( 12 )1/n
■
Expresiones algebraicas 25
108. DEMOSTRACIÓN: Leyes de exponentes Demuestre las
siguientes leyes de exponentes para el caso en que m y n
son enteros positivos y m . n.
am
a n
an
a) Ley 2: n 5 am2n
b) Ley 5:
5 n
b
a
b
109. DEMOSTRACIÓN: Leyes de exponentes Demuestre las
siguientes leyes de exponentes.
a2n
a 2n
bn
bm
a) Ley 6:
5 n
b) Ley 7: 2m 5 n
b
b
a
a
1
2
5
10
100
Construya una tabla similar para n1/n. ¿Qué ocurre con la
raíz n-ésima de n cuando n se hace grande?
1.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
■ Suma y resta de polinomios ■ Multiplicación de expresiones algebraicas ■ Fórmulas de
productos notables ■ Factorización de factores comunes ■ Factorización de trinomios
■ Fórmulas especiales de factorización ■ Factorización por agrupación de términos
Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un conjunto de números dado. Si empezamos con variables, por ejemplo x, y y z, y algunos
números reales, y las combinamos usando suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, obtenemos una expresión algebraica. Veamos a continuación algunos
ejemplos:
y 2 2z
x 1 10
2x2 2 3x 1 4
y2 1 4
Un monomio es una expresión de la forma ax k, donde a es un número real y k es un
entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una
suma de tres monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio. Por
ejemplo, la primera expresión citada líneas arriba es un polinomio, pero las otras dos
no lo son.
POLINOMIOS
Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma
anx n 1 an21xn21 1 . . . 1 a1x 1 a0
donde a0, a1, . . . , an son números reales, y n es un entero no negativo. Si an ? 0,
entonces el polinomio tiene grado n. Los monomios a k x k que conforman el polinomio reciben el nombre de términos del polinomio.
Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que
aparece en el polinomio.
Polinomio
2
2x 2 3x 1 4
x 8 1 5x
8 2 x 1 x 2 2 12 x 3
5x 1 1
9x 5
6
Tipo
trinomio
binomio
cuatro términos
binomio
monomio
monomio
Términos
Grado
2
2x , 23x, 4
x 8, 5x
212 x 3, x 2, 2x, 3
5x, 1
9x 5
6
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19.02.2019
2
8
3
1
5
0
26
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
■ Suma y resta de polinomios
Propiedad distributiva
Sumamos y restamos polinomios usando las propiedades de los números reales que
vimos en la sección 1.1. La idea es combinar términos semejantes (esto es, términos
con las mismas variables elevadas a las mismas potencias) usando la propiedad distributiva. Por ejemplo,
ac 1 bc 5 (a 1 b)c
5x 7 1 3x7 5 (5 1 3)x7 5 8x 7
Para restar polinomios, tenemos que recordar que, si un signo menos precede a una
expresión entre paréntesis, entonces cuando quitemos el paréntesis se debe cambiar el
signo de cada término dentro del paréntesis:
2(b 1 c) 5 2b 2 c
[Este es simplemente el caso de la propiedad distributiva, a(b 1 c) 5 ab 1 ac, con
a 5 21.]
EJEMPL0 1
■
Suma y resta de polinomios
a) Encuentre la suma (x3 2 6x2 1 2x 1 4) 1 (x 3 1 5x2 2 7x).
b) Encuentre la diferencia (x3 2 6x 2 1 2x 1 4) 2 (x3 1 5x2 2 7x).
SOLUCIÓN
a) (x3 2 6x2 1 2x 1 4) 1 (x3 1 5x2 2 7x)
5 (x 3 1 x3) 1 (26x2 1 5x 2) 1 (2x 2 7x) 1 4
5 2x 3 2 x2 2 5x 1 4
3
b) (x 2 6x2 1 2x 1 4) 2 (x3 1 5x2 2 7x)
5 x 3 2 6x 2 1 2x 1 4 2 x 3 2 5x 2 1 7x
5 (x3 2 x3) 1 (26x2 2 5x 2) 1 (2x 1 7x) 1 4
5 211x2 1 9x 1 4
Agrupe términos semejantes
Combine términos semejantes
Propiedad distributiva
Agrupe términos semejantes
Combine términos semejantes
■
Ahora intente realizar los ejercicios 17 y 19
■ Multiplicación de expresiones algebraicas
El acrónimo FOIL nos ayuda a
recordar que el producto de dos
binomios es la suma de los productos de los primeros (First) términos, los términos externos (Outer),
los términos internos (Inner) y los
últimos (Last).
Para encontrar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas es necesario usar repetidamente la propiedad distributiva. En particular, usándola tres veces en
el producto de dos binomios, obtenemos
(a 1 b)(c 1 d) 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd
Esto señala que multiplicamos los dos factores al multiplicar cada término de un factor
por cada término del otro factor y sumamos estos productos. Esquemáticamente, tenemos
(a 1 b2)(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd
↑
F
↑
O
↑
I
↑
L
En general, podemos multiplicar dos expresiones algebraicas usando para ello la
propiedad distributiva y las leyes de exponentes.
EJEMPLO 2
■
Multiplicación de binomios usando FOIL
(2x 1 1)(3x 2 5) 5 6x 2 2 10x 1 3x 2 5
↑
F
↑
O
5 6x 2 2 7x 2 5
↑
I
Propiedad distributiva
↑
L
Combine términos semejantes
■
Ahora intente realizar el ejercicio 25
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
19.02.2019
SECCIÓN 1.3
■
Expresiones algebraicas 27
Cuando multiplicamos trinomios u otros polinomios con más términos usamos la
propiedad distributiva. También es útil ordenar nuestro trabajo en forma de tabla. El
siguiente ejemplo ilustra ambos métodos.
EJEMPLO 3
■
Multiplicación de polinomios
Encuentre el producto: (2x 1 3)(x2 2 5x 1 4)
SOLUCIÓN 1: Usando la propiedad distributiva
(2x 1 3)(x 2 5x 1 4) 5 2x(x2 2 5x 1 4) 1 3(x2 2 5x 1 4)
2
Propiedad distributiva
5 (2x ? x 2 2x ? 5x 1 2x ? 4) 1 (3 ? x 2 3 ? 5x 1 3 ? 4)
Propiedad distributiva
5 (2x3 2 10x2 1 8x) 1 (3x2 2 15x 1 12)
Leyes de exponentes
2
3
2
2
5 2x 2 7x 2 7x 1 12
Combine términos semejantes
SOLUCIÓN 2: En forma de tabla
x2 2 5x 1 4
2x 1 3
2
3x 2 15x 1 12
2x 3 2 10x2 1 8x
2x 3 2 7x2 2 7x 1 12
Multiplique x 2 2 5x 1 4 por 3
Multiplique x 2 2 5x 1 4 por 2x
Sume términos semejantes
■
Ahora intente realizar el ejercicio 47
■ Fórmulas de productos notables
Ciertos tipos de productos se presentan con tanta frecuencia que es necesario aprendérselos. Se pueden verificar las siguientes fórmulas al ejecutar las multiplicaciones.
FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES
Si A y B son cualesquier números reales o expresiones algebraicas, entonces
1. (A 1 B)(A 2 B) 5 A2 2 B2
Suma y producto de términos iguales
2. (A 1 B)2 5 A2 1 2AB 1 B2
Cuadrado de una suma
3. (A 2 B) 5 A 2 2AB 1 B
Cuadrado de una diferencia
2
2
2
4. (A 1 B)3 5 A3 1 3A2B 1 3AB2 1 B3
Cubo de una suma
5. (A 2 B) 5 A 2 3A B 1 3AB 2 B
Cubo de una diferencia
3
3
2
2
3
La idea clave en el uso de estas fórmulas (o cualquier otra fórmula en álgebra) es el
principio de sustitución: podemos sustituir cualquier expresión algebraica por cualquier letra en una fórmula. Por ejemplo, para encontrar (x 2 1 y3)2 usamos la fórmula 2
de productos, sustituyendo x 2 por A y y 3 por B, para obtener
(x2 1 y3)2 5 (x2)2 1 2(x2)(y3) 1 (y3)2
(A 1 B)2 5 A2
1
2AB
1
B2
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19.02.2019
28
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
Las matemáticas en el mundo moderno
Cambio de palabras, sonido
e imágenes en números
Imágenes, sonido y texto se transmiten
rutinariamente de un lugar a otro a través
de internet, fax o módems. ¿Cómo pueden
estas cosas transmitirse mediante cables
telefónicos? La clave para hacer esto es
cambiarlas a números o bits (los dígitos
0 o 1). Es fácil ver cómo cambiar texto a
números. Por ejemplo, podríamos usar la
correspondencia A 5 00000001,
B 5 00000010, C 5 00000011,
D 5 00000100, E 5 00000101 y así, sucesivamente. La palabra “BED” (CAMA) se
convierte entonces en
000000100000010100000100. Al leer los
dígitos en grupos de ocho, es posible
transformar este número de nuevo a la
palabra “BED”.
Cambiar sonidos a bits es más complicado. Una onda de sonido puede ser
graficada en un osciloscopio o en computadora. La gráfica se descompone a
continuación matemáticamente en componentes más sencillos correspondientes a
las diferentes frecuencias del sonido original. (Aquí se usa una rama de las matemáticas de nombre Análisis de Fourier.) La
intensidad de cada componente es un
número, y el sonido original se puede
reconstruir a partir de estos números.
Por ejemplo, se almacena música en un
CD como una sucesión de bits; puede
verse como 101010001010010100101010
1000001011110101000101011. . . (Un
segundo de música requiere 1.5 millones
de bits.) El reproductor de CD reconstruye
la música a partir de los números presentes en el CD.
Cambiar imágenes a números comprende expresar el color y brillantez de
cada punto (o pixel) en un número. Esto se
hace en forma muy eficiente usando una
rama de las matemáticas llamada teoría
ondulatoria. El FBI emplea trenes de ondas
como una forma de compactar y almacenar en archivos millones de huellas dactilares que necesitan.
EJEMPLO 4
■
Uso de las fórmulas de productos notables
Use las fórmulas de productos notables para encontrar cada producto.
a) (3x 1 5)2
b) (x 2 2 2)3
SOLUCIÓN
a) Sustituyendo A 5 3x y B 5 5 en la fórmula 2 de productos obtenemos:
(3x 1 5)2 5 (3x)2 1 2(3x)(5) 1 52 5 9x 2 1 30x 1 25
b) Sustituyendo A 5 x2 y B 5 2 en la fórmula 5 de productos obtenemos:
(x 2 2 2)3 5 (x2)3 2 3(x2)2(2) 1 3(x2)(2)2 2 23
5 x 6 2 6x4 1 12x 2 2 8
■
Ahora intente realizar los ejercicios 31 y 43
EJEMPLO 5
■
Uso de las fórmulas de productos notales
Encuentre cada producto.
a) (2x 2 y )(2x 1 y )
b) (x 1 y 2 1)(x 1 y 1 1)
SOLUCIÓN
a) Sustituyendo A 5 2x y B 5 y en la fórmula 1 de productos obtenemos:
(2x 2 y )(2x 1 y ) 5 (2x)2 2 (y )2 5 4x 2 2 y
b) Si agrupamos x 1 y y la vemos como una expresión algebraica, podemos usar la
fórmula 1 de productos con A 5 x 1 y y B 5 1.
(x 1 y 2 1)(x 1 y 1 1) 5 3(x 1 y) 2 143(x 1 y) 1 14
5 (x 1 y)2 2 12
2
Fórmula de producto 1
2
5 x 1 2xy 1 y 2 1
Fórmula de producto 2
■
Ahora intente realizar los ejercicios 57 y 61
■ Factorización de factores comunes
Usamos la propiedad distributiva para desarrollar expresiones algebraicas. A veces necesitamos invertir este proceso (de nuevo usando la propiedad distributiva) al factorizar
una expresión como el producto de otras más sencillas. Por ejemplo, podemos escribir
x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2)
Decimos que x 2 2 y x 1 2 son factores de x2 2 4.
El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos tienen un factor
común.
EJEMPLO 6
■
Factorización de factores comunes
Factorice cada una de las siguientes expresiones.
a) 3x2 2 6x
b) 8x4y2 1 6x 3y 3 2 2xy4
VERIFIQUE SU RESPUESTA
La multiplicación da
3x(x 2 2) 5 3x2 2 6x ✓
c) (2x 1 4)(x 2 3) 2 5(x 2 3)
SOLUCIÓN
a) El máximo factor común en los términos 3x 2 y 26x es 3x, de modo que tenemos
3x 2 2 6x 5 3x(x 2 2)
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
19.02.2019
SECCIÓN 1.3
■
Expresiones algebraicas 29
b) Observamos que
8, 6 y 22 tienen el máximo factor común 2
x 4, x 3 y x tienen el máximo factor común x
y 2, y 3 y y 4 tienen el máximo factor común y 2
Por tanto, el máximo factor común de los tres términos del polinomio es 2xy 2, y
tenemos
VERIFIQUE SU RESPUESTA
La multiplicación da
8x4y2 1 6x3y3 2 2xy4 5 (2xy2)(4x3) 1 (2xy2)(3x2y) 1 (2xy2)(2y2)
2xy2(4x3 1 3x2y 2 y2)
5 8x 4y2 1 6x3y3 2 2xy4
5 2xy2(4x3 1 3x2y 2 y2)
✓
c) Los dos términos tienen el factor común x 2 3.
(2x 1 4)(x 2 3) 2 5(x 2 3) 5 3(2x 1 4) 2 54(x 2 3)
5 (2x 2 1)(x 2 3)
Propiedad distributiva
Simplifique
■
Ahora intente realizar los ejercicios 63, 65 y 67
■ Factorización de trinomios
Para factorizar un trinomio de la forma x 2 1 bx 1 c observamos que
(x 1 r)(x 1 s) 5 x2 1 (r 1 s)x 1 rs
por lo que necesitamos escoger números r y s tales que r 1 s 5 b y rs 5 c.
EJEMPLO 7
Factorice:
VERIFIQUE SU RESPUESTA
La multiplicación da
(x 1 3)(x 1 4) 5 x2 1 7x 1 12
✓
■
Factorizar x 2 1 bx 1 c por ensayo y error
x 2 1 7x 1 12
SOLUCIÓN Necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea 12 y cuya suma
sea 7. Por ensayo y error encontramos que los dos enteros son 3 y 4. Entonces, la factorización es
x2 1 7x 1 12 5 (x 1 3)(x 1 4)
factores de 12
■
Ahora intente realizar el ejercicio 69
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c con a ? 1, buscamos factores
de la forma px 1 r y qx 1 s:
factores de a
↓
↓
ax2 1 bx 1 c 5 (px 1 r)(qx 1 s) 5 pqx2 1 (ps 1 qr)x 1 rs
a x 2 1 bx 1 c 5 Ó px 1 rÔÓqx 1 sÔ
↑
↑
factores de c
Por tanto, tratamos de encontrar números p, q, r y s tales que pq 5 a, rs 5 c, ps 1
qr 5 b. Si todos estos números son enteros, entonces tendremos un limitado número
de posibilidades de intentar encontrar p, q, r y s.
PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO
b
a
ab
b™
a™
ab
a
b
Visualización de una fórmula
Muchas de las fórmulas de productos especiales en esta sección pueden ser “vistas” como hechos geométricos acerca de la longitud, el área y el volumen. Por
ejemplo, la fórmula del cuadrado de una suma puede interpretarse en referencia a
áreas de cuadrados y rectángulos. Los antiguos griegos siempre interpretaban las
fórmulas algebraicas en términos de figuras geométricas. Esas figuras nos dan una
vista especial de cómo funcionan estas fórmulas. Puede encontrar el proyecto en
www.stewartmath.com.*
* Este material se encuentra disponible en inglés.
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19.02.2019
30
CAPÍTULO 1
■
Fundamentos
■
EJEMPLO 8
Factorice:
Factorización de ax 2 + bx + c por ensayo y error
6x 2 1 7x 2 5
SOLUCIÓN Podemos factorizar 6 como 6 ? 1 o 3 ? 2 y 25 como 25 ? 1 o (21). Al tratar estas posibilidades llegamos a la factorización
factores de 6
VERIFIQUE SU RESPUESTA
6x2 1 7x 2 5 5 (3x 1 5)(2x 2 1)
La multiplicación da
(3x 1 5)(2x 2 1) 5 6x2 1 7x 2 5
✓
factores de 25
■
Ahora intente realizar el ejercicio 71
■
EJEMPLO 9
Reconocer la forma de una expresión
Factorice lo siguiente.
a) x2 2 2x 2 3
b) (5a 1 1)2 2 2(5a 1 1) 2 3
SOLUCIÓN
a) x2 2 2x 2 3 5 (x 2 3)(x 1 1)
b) Esta expresión es de la forma
Ensayo y error
2
22
23
donde
representa 5a 1 1. Esta es la misma forma que la expresión del
inciso a), de modo que se factoriza como 1
2 321
1 12.
1 5a 1 1 2 2 2 21 5a 1 1 2 2 3 5 31 5a 1 1 2 2 34 31 5a 1 1 2 1 14
5 15a 2 22 15a 1 22
■
Ahora intente realizar el ejercicio 75
■ Fórmulas especiales de factorización
Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar usando las fórmulas siguientes. Las tres primeras son simplemente fórmulas de productos notables escritas a
la inversa.
FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN
Fórmula
Nombre
1. A 2 B 5 (A 2 B)(A 1 B)
Diferencia de cuadrados
2. A 1 2AB 1 B 5 (A 1 B)
Cuadrado perfecto
2
2
2
2
2
3. A2 2 2AB 1 B 2 5 (A 2 B)2
Cuadrado perfecto
4. A 2 B 5 (A 2 B)(A 1 AB 1 B )
Diferencia de cubos
5. A3 1 B 3 5 (A 1 B)(A2 2 AB 1 B 2)
Suma de cubos
3
3
EJEMPLO 10
2
■
2
Factorizar diferencias de cuadrados
Factorice cada expresión.
a) 4x2 2 25
b) (x 1 y)2 2 z2
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19.02.2019
Precálculo. Matemáticas para el cálculo, séptima edición
proporciona a los estudiantes las herramientas necesarias para prepararlos en esta materia. El estudiante de
cálculo requiere no sólo conocimientos técnicos, sino
también una clara comprensión de los conceptos y es
por ello que esta obra promueve que la comprensión
conceptual y los conocimientos técnicos vayan de la
mano y se refuercen entre sí.
Sus alumnos aprenderán a valorar el poder y la utilidad
de las matemáticas para modelar el mundo real, ya
que todos los temas que conforman este texto están
encaminados a alcanzar dicho objetivo, además de estar
organizados de tal forma que abarcan diferentes estilos
de enseñanza. En particular, cada tema se presenta
algebraicamente, gráficamente, numéricamente y verbalmente enfatizando las relaciones entre cada tipo de
representación.
El propósito de esta séptima edición de Precálculo.
Matemáticas para el cálculo es reafirmar la utilidad
del libro como herramienta de enseñanza para los
profesores y, para los estudiantes, como herramienta
de aprendizaje.
ISBN-13: 978-607-526-279-6
ISBN-10: 607-526-279-2
9 786075 262796
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19.02.2019
