UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT 101 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA MAT – 101 LIMITES Y CONTINUIDAD DOCENTE: ING CARLOS FERNANDEZ MARIÑO AUXILIAR: UNIV. RODRIGO ZAPATA RAMIREZ FECHA: 19 – OCTUBRE – 2020 LA PAZ – BOLIVIA ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT 101 ESTUDIANTES: Aruquipa Ramos Lizet Camila Aguilar Pocori Nangely Nereida Ajata Condori Jose Antonio Alvarado Ticona Edgar Clodomiro Alvarez Miranda Erick Apaza Barreto Gonzalo Apaza Choque Miguel Angel Apaza Huanca Gabriel Adhemar Apaza Quispe Nelson Vidal Arenas Flores Alvaro Aruquipa Alarcon Deyna Carmen Avila Pari Aydee Alicia Ayaviri Aguirre Franck Bryan Ayaviri Morales Juan Calderon Macusaya Cielo Dayana Calle Peralta Saul Max Callisaya Huanca Guadalupe Helen Camacho Humerez Jose Dario Casilla Condori Yessica Anahi Castañeda Arias Fabiola Iris Castillo Tarque Rodrigo Catunta Choque Eddy Bryan Chacapecho Molle Roly Alberto Chalco Titirico Delia Laura Choque Hidalgo Rodrigo Andres Chura Felipe Luis Angel Colque Saluri Yuri Rosendo Condori Garcia Alberth Rodrigo Condori Machaca Alex Jhimmy Cordova Mamani Leydi Natividad Cury Guzman Carla Andrea Estay Monasterios Michelle Natalia Figueredo Quisbert Carlos Daniel Flores Ninachoque Ivan Flores Ochoa Nayhely Ximena Gutierrez Llanco Pamela Susana Huanca Mamani Blanca Ibañez Guarachi Yesid Beethoven Laime Rivera Limberth Laura Mamani Edgar Gabriel Lazarte Vera Alejandra Camila ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 75277356 79146746 77503867 71269111 65601853 77593073 70169044 73059006 74028064 73532347 67156642 73091421 75258398 67947813 60519157 77738207 73226200 68949882 67015891 76221101 68017943 73586494 67052669 69710654 70101516 67131543 65684044 76560674 75869221 65192209 71586410 67137737 60108925 75848019 75879335 72530642 70583713 60144199 74009603 76283708 67303842 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT 101 Limachi Quispe Alan Gabriel Limachi Vasquez Mayra Kiomy Loza Rodriguez Pamela Dubeyza Luna Condori Jared Luna Saavedra Rodrigo Mamani Alegria Fabian Mamani Mamani Javier David Mamani Mamani Marco Antonio Marca Aguirre Beatriz Marca Quenta Abner Eddy Mayta Vargas Oscar Branco Medrano Flores Alexander Nestor Mejia Yañiquez Martin Fernando Merma Mamani Romario Murillo Vargas Eduardo Marcos Nao Choque Enna Danay Nina Rojas Miguel Angel Palenque Valencia Juan Carlos Pinedo Mamani Veronica Lizbeth Prieto Arias Brad Roniel Queso Calle Clara Quispe Larico Jose Emiliano Quispe Jorge Luis Quispe Tarqui Leydi Quispe Ticona Eddy Alex Ramirez Maji Jessica Rossicela Rioja Ortega Katherine Melissa Serrano Gutierrez Dennise Maleny Tapia Ato Rodrigo Israel Ticona Alcazar Jhonatan Tola Acho Elizabeth Tola Luna Sheyla Amanda Usnayo Apaza Marcos Vargas Paxi Juan Carlos Villca Quecaña Lusmilda Yujra Quispe Luz Karen Yujra Siñani Gabriela ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 67122366 68175155 74023535 75284140 75810938 60105330 65105993 75817096 68099487 77207699 75885161 69805488 69743292 67131567 69827778 67142095 69943388 71973755 69919690 69860460 65579200 68127297 60647557 68176027 63150681 67124282 65557949 60606309 69791646 61172019 71264701 73237051 60144968 68022838 63263011 67034411 67083614 1. Demostrar por definición los siguientes limites lim (2𝑥 + 1) = 9 𝑥→4 • ESCRIBIMOS LA DEFINICION FORMAL DE UN LIMITE • REEMPLAZAMOS NUESTROS DATOS EN LA DEFINICION DE NUESTRO LIMITE • RESOLVEMOS ALGEBRAICAMENTE LA SEGUNDA DESIGUALDAD • RESOLVEMOS ALGEBRAICAMENTE LA PRIMERA DESIGUALDAD ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 2. Demostrar por definición los siguientes limites lim | 𝑥 − 1| − 1 𝑋→2 √𝑥 • +2−2 E, O SON NUMEROS MUY PEQUEÑOS DE ORDEN 0.001 DEL PROBLEMA COMO x→2 TENEMOS X-1<0 PODEMOS DECIR QUE l x-1 l = -(x-1) POR LA DEFINICION DEL VALOR ABSOLUTO NO CUMPLE EL LIMITE NO EXISTE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 3. Demostrar por definición los siguientes limites 10 + 𝑥 lim = −3 𝑥→∞ 3 − 2𝑥 • DEMOSTRACION BUSCAMOS “M” EN FUNCION DE “E” • DESPEJAMOS A “X” • CONCLUYENDO DE AHÍ QUE CON LO QUE ABRIAMO DEMOSTRADO EL LIMITE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 4. Sean las funciones 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 − 1 y 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 − 1 calcular: 3 𝑓 −1 (𝑥) lim −1 𝑥→−1 𝑔 (𝑥 ) • UTILIZAMOS LA FUNCION INVERSA Y RESOLVEMOS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 5. Limites algebraicos 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 𝐿 = lim 3 𝑥→1 3𝑥 − 2𝑥 2 − 1 • REEMPLAZAMOS X→1 AL LIMITE • PARA LEVANTAR LA INDETERMINACION FACTORIZAMOS POR ASPA SIMPLE O RUFINI • REEMPLAZAR ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 6. Limites algebraicos (4 − 2𝑥 )4 − 16 𝐿 = lim 𝑥→1 𝑥2 + 𝑥 − 2 • FACTORIZAMOS EL DENOMINADOR Y NUMERADOR SI SE HACIA EL REEMPLAZO DIRECTO SE TENIA UNA INDETERMINACION ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 7. Limites algebraicos 𝑥 4 − 3𝑥 + 2 𝐿 = lim 5 𝑥→1 𝑥 − 4𝑥 + 3 • EVALUANDO CON X=1 • VEMOS QUE AL EVALUAR EL LIMITE NOS DA INDETERMINACION, POR LO TANTO, FACTORIZAMOS PARA EVITAR LA INDETERMINACION • FACTORIZAMOS EL NUMERADOR POR RUFFINI • FACTORIZAMOS EL DENOMINADOR POR RUFINI • ENTONCES REEMPLAZANDO Y EVALUANDO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 8. Limites algebraicos (𝑥 2 − 𝑥 − 2)20 𝐿 = lim 3 𝑥→2 (𝑥 − 4𝑥 + 3)10 • DEMOSTRAMOS QUE ES INDETERMINACION • OPERANDO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 9. Limites algebraicos 2 2 𝐿 = lim ( − 2 ) 𝑥→2 3𝑥 − 6 2𝑥 − 5𝑥 + 2 • EVALUAR LOS LIMITES POR SEPARADO • FACTORIZAR 2x-1 DE LA EXPRESION • EVALUAR EL LIMITE • ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 10. Limites algebraicos √10 + 2𝑥 − 8 𝐿 = lim 3 𝑥→27 √𝑥 − 3 • VEMOS QUE ES INDETERMINACION ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 11. Limites algebraicos √10 + 2𝑥 − 8 𝐿 = lim 3 𝑥→27 √𝑥 − 3 • • PARA LEVANTAR LA INDETERMINACION F(x) PRESENTA RADICALES RACIONALIZACION • CON EL DENOMINADOR FORMANDO UNA DIFERENCIA DE CUBOS • FACTORIZAMOS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 12. Limites algebraicos 3 𝐿 = lim √10𝑥 + 7 − 3 𝑥→2 √2𝑥 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO + 4 − √5𝑥 + 6 13. Limites algebraicos 3 √10𝑥 + 7 − √𝑥 + 3 𝐿 = lim 𝑥→1 3𝑥 2 + 2𝑥 − 5 • EVALUAMOS CON X=1 • VEMOS QUE ES INDETERMINACION ENTONCES HAY QUE LEVANTARLA, PARA ESO RACIONALIZAMOS EL NUMERADOR • MULTIPLICAMOS LOS PRODUCTOS, ASI SE IRAN LAS RAICES Y FACTORIZAMOS EL DENOMINADOR • REALIZAMOS OPERACIONES Y FACTORIZAMOS EL NUMERADOR • SIMPLIFICAMOS • EVALUAMOS NUEVAMENTE • REALIZAMOS OPERACIONES ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 14. Limites algebraicos 𝐿 (𝑥 − 1)4 + (𝑥 − 2)3 + (𝑥 − 3)2 + 𝑥 − 4 = lim 8 𝑥→1 𝑥 + 𝑥 7 + 𝑥 6 − 2𝑥 5 − 2𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1 • SIMPLIFICANDO EL NUMERADOR AL MAXIMO • APLICANDO RIFFINI • APLICANDO EN EL DENOMINADOR RUFINI • REEMPLAZANDO EL VALOR DEL LIMITE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 15. Limites algebraicos 𝑥 𝑛 − 𝑎𝑛 − 𝑛𝑎𝑛−1 (𝑥 − 𝑎) 𝐿 = lim 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎 ) 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 16. Limites algebraicos 𝑥 100 − 2𝑥 + 1 𝐿 = lim 50 𝑥→1 𝑥 − 2𝑥 + 1 • TRINOMIO DE POTENCIAS n-enésimas • ENTONCES ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 17. • Limites algebraicos 𝑚 𝑛 𝐿 = lim ( − ) 𝑛 𝑥→1 1 − 𝑥 𝑚 1−𝑥 POR DEFINICION ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 18. Limites algebraicos (1 + 𝑚𝑥 )𝑛 − (1 + 𝑛𝑥 )𝑚 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑥2 • DESARROLLANDO LOS BINOMIOS Y RESTANDO • REPARTIENDO EL DENOMINADOR Y REPARTIENDO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 19. Limites algebraicos 𝑛𝑥 𝑛+1 + 1 − (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 𝐿 = lim 𝑥→1 𝑥 𝑚+1 − 𝑥 𝑚 + 1 − 𝑥 • UTILIZANDO LA REGLA DE L`HOPITAL ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 20. Limites algebraicos 𝑥+2 𝑥−4 10 )( 𝐿 = lim ( 2 + 𝑥→1 𝑥 + 5𝑥 + 4 3(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 1 − 𝑥 10 6 ) − 6 1−𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 21. Limites algebraicos 4 √𝑥 4 + 1 − √𝑥 2 + 1 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑥2 • PARA LA SOLUCION APLICAREMOS ALGUNAS PROPIEDADES • EVALUAMOS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 22. Limites algebraicos 𝐿 = lim ( 𝑥→2 4 − 𝑥2 3− √𝑥 2 𝑎 √𝑥 − 1 − 1 ) (𝑏 ) + 5 √𝑥 − 1 − 1 • • LEVANTANDO LA INDETERMINACION YA QUE EL LIMITE SE MULTIPLICA LO SEPARAMOS ES DECIR REPARTIMOS EL LIMITE, ESTO CON EL OBJETIVO DE QUE LA RESOLUCION SEA MAS SENCILLA • RECORDAR QUE LAS CONJUGADAS SE APLICAN DONDE EXISTEN RAICES • • DE ESTA MANERA ELIMINAMOS LAS INDETERMINACIONES EVALUAMOS NUEVAMENTE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 23. Limites algebraicos 𝑥2 𝐿 = lim 5 𝑥→0 √1 + 5𝑥 − 1 − 𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 24. Limites algebraicos 𝑚 𝑛 √1 + 𝛼𝑥 − √1 + 𝛽𝑥 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑥 • EVALUAMOS EL LIMITE • SE AGRUPA DE ESTA FORMA PARA OBTENER UN PRODUCTO NOTABLE COMO 𝑎2 − 𝑏 2 , 𝑎3 − 𝑏 3 , etc. EL SIGNO NEGATIVO DEBE ESTAR ENTRE AMBOS TERMINOS PARA ASEGURAR QUE SEA VALIDO SE “m” Y “n” SON NUMEROS PARES O IMPARES ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 25. Limites algebraicos 3 3 2 𝐿 = lim ( 𝑥→0 √(𝑥 + 1) − 2 √𝑥 + 1 + 1 𝑥2 5 4 √1 + 𝑥 2 − √1 − 2𝑥 ) + 𝑥 + 𝑥2 • EVALUANDO • FINALMENTE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 27. Limites algebraicos 𝑥 34 − 1 𝐿 = lim 32 𝑥→1 𝑥 − 𝑥 30 + 𝑥 28 −. . . . . . . +𝑥 4 − 𝑥 2 • POR COCIENTE NOTABLE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 28. Limites algebraicos 1 1 1 1 1 1 𝐿 = lim √ + √ + √ − √ − √ + √ 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 • ( REEMPLAZAMOS EL LIMITE RESULTA INDETERMINACION • DISTRIBUIMOS LA RAIZ, RACIONALIZAMOS Y SUMAMOS FRACCIONES. • EMPEZAMOS A RESOLVER Y NOS QUEDA UNA OPERACIÓN CONOCIDA ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ) 29. Límites al infinito 𝐿 = lim (√𝑥 √𝑥√𝑥 + 1 − √𝑥) 𝑥→∞ • PARA RESOLVER ESTE LIMITE ES NECESARIO EXPRESAR A LA FUNCION COMO UN COCIENTE Y PARA ESTO PROCEDEMOS A RACIONALIZAR • LUEGO APLICAMOS EL TEOREMA lim • FINALMENTE 1 𝑋 𝑋→∞ 𝑛 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO = 0 COMO x TOMA VALORES POSITIVOS GRANDES 30. Límites al infinito 𝐿 = lim 𝑥→∞ • 3 𝑥 2 (√ 𝑥 3 + 4 − √𝑥 3 − 4) MULTIPLICAMOS POR LA CONJUGADA DE LA FUNCION ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 31. Límites al infinito 𝐿 = lim (√16𝑥 2 + 8𝑥 + 6 𝑥→∞ − √16𝑥 2 − 8𝑥 + 6) • EVALUANDO NOS DA INDETERMINACION, DEBEMOS QUITAR “x” DEL NUMERADOR PARA ELIMINAR LA INDETERMINACION • EVALUANDO EL LIMITE ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 32. Límites al infinito 𝐿 = lim (𝑥 − √(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)) 𝑥→∞ • A SIMPLE VISTA TENEMOS INDETERMINACION • • AL RESOLVER LA PRIMERA INDETERMINACION PRESENTE, SE CREA LA SEGUNDA INDETERMINACION EL GRADO MAYOR DE X ES 1 ENTONCES: ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 33. Límites al infinito 𝐿 = lim (√𝑥 + √𝑥 + √𝑥 − √𝑥) 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 34. Límites al infinito 𝐿 = lim (√1 + 𝑥 + 𝑥 2 − √1 − 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 35. Límites al infinito 3 𝐿 = lim (√4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 2 √8𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 8 + 2𝑥) 𝑥→∞ • PRIMER PASO REEMPLAZAR EN LA FUNCION EL VALOR DEL CUAL TIENDE “x” • PARA RESOLVER INDETERMINACIOBNES DEL TIPO ∞ − ∞ SE CALCULA EL g(x) PARA SABER QUE INFINITO ES MAS GRANDE • COMO g(x) SE REPITE NO SE PUEDE DETERMINAR QUE INFINITO ES MAS GRANDE, ENTONCES SE DEBE RACIONALIZAR PARA RACIONALIZAR LA RAIZ CUBICA Y USANDO 𝑋3 − 𝑌 3 = (𝑋 − 𝑌)(𝑋2 + 𝑋𝑌 + 𝑌 2 ) TENEMOS • ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 36. Límites al infinito 𝐿 = lim (√𝑥 + √2𝑥 − √𝑥 − √2𝑥) 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 37. Límites al infinito 3 4 𝐿 = lim ( √8𝑥 6 + 3𝑥 4 + 5𝑥 2 − 8 − √𝑥 8 + 5𝑥 6 + 1 𝑥→∞ − √𝑥 4 + 6𝑥 2 − 1) ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 38. Límites al infinito 𝐿 = lim (√𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + √𝑏 + 𝑎2 𝑥 2 𝑥→∞ − 2√𝑎 2 𝑥 2 + ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 𝑥+𝑏 ) 2 39. Límites al infinito (2𝑥 − 1)(3𝑥 2 + 𝑥 + 2) 3𝑥 2 ) 𝐿 = lim ( − 𝑥→∞ 2𝑥 + 1 4𝑥 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 40. Límites al infinito 𝐿 = lim √2𝑥 2 + 6𝑥 − √2𝑥 2 + 5𝑥 𝑥→∞ • EN ESTE LIMITE OBSERVAMOS QUE NO ESTA EN UNA SOLA FRACCION O MULTIPLICACION ASI QUE PRIMERAMENTE DEBEMOS MULTIPLICAR POR SU CONJUGADA INVERSA • EL NUMERADOR ESTA COMO FACTORES • HACIENDO OPERACIONES EN EL NUMERADOR QUEDA • SUMAMOS EN EL DENOMINADOR COLOCANDO LA ELEVACIO DE ∞ CON LA RESPECTIVA DIVISION DE “x” ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 41. Límites al infinito 5 3 𝐿 = lim 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO √𝑥 4 + 3 − √𝑥 3 + 4 3 √𝑥 2 + 1 42. Límites al infinito 5 𝐿 = lim 4 √𝑥 7 + 3 + √2𝑥 3 + 1√8 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 6 √𝑥 8 + 𝑥 7 + 1 − 𝑥 43. Límites al infinito (𝑥 + 1)𝑚 𝑥 𝑛 1 𝑥 (𝑚 + 𝑛)! ) 𝐿 = lim ( 𝑛 𝑛 − √ 𝑥→∞ 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑚! ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 44. Límites al infinito 𝑛 𝑛 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + (𝑥 + √𝑥 2 − 1) 𝐿 = lim 𝑥→∞ 𝑥𝑛 • EVALUAMOS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 45. Límites al infinito 𝐿 = lim [ 𝑥→∞ 1 + 3 + 5 + 7+. . . . +(2𝑛 + 1) 2𝑛 + 1 ] − 𝑛+1 2 • DIVIDIREMOS ARRIBA Y ABAJO POR LA “n” DE MAYOR GRADO DEL NUMERADOR Y DENOMINADOR • SIMPLIFICAMOS LAS “n” ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 46. Un cirulo de radio R lleva inscrito un cuadrado; éste lleva inscrito un círculo; a su vez, éste tiene inscrito un cuadrado y así sucesivamente n veces, Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los círculos y de todos los cuadrados cuando 𝑛 → ∞ • REALIZAMOS EL GRAFICO PARA OBSERVAR LA VARIACION QUE EXISTE EN EL AREA DE LOS CIRCULOSMY DE LOS CUADRADOS • • EXTRAEMOS LOS DATOS DEL GRAFICO REALIZAMOS UN ANALISIS HASTA LA SEGUNDA CIRCUNFERENCIA INSCRITA PARA ENTENDER LA VARIACION DE SUS AREAS PARA LA PRIMERA CIRCUNFERENCIA INSCRITA • ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO • PARA LA SEFUNDA CIRCUNFERENCIA INSCRITA • • AHORA ANALIZAREMOS LAS AREAS DE LOS CUADRADOS INSCRITOS PARA EL PRIMER CUADRADO INSCRITO • PARA EL SEGUNDO CUADRADO INSCRITO • GENERALIZAR LA VARIACION DE LAS AREAS DE LOS CUADRADOS Y DE LAS CIRCUNFERENCIAS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO • PARA LOS CUADRADOS • CONSTRUIR EL LIMITE QUE ESPRESE LA SUMA DE LAS AREAS DE TODOS LOS CIRCULOS Y LOS CUADRADOS CUANDO 𝑛 → ∞ • RESOLVIENDO EL LIMITE PLANTEADO • OPERANDO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 47. Límites trigonométricos 𝐿 = lim ( 𝑥→0 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 1 − √𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) 𝑥2 48. Límites trigonométricos 𝐿 = lim ( 𝑥→4 • APLICANDO LA FORMULA TENEMOS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO sin(𝜋𝑥 ) ) ( ) sin 2𝜋𝑥 49. Límites trigonométricos tan−1 2𝑋 𝐿 = lim 𝑥→0 sin 3𝑋 • • RESOLVEMOS POR LA REGLA DE L`HOPITAL UTILIZAMOS DERIVADAS ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 50. Límites trigonométricos 𝜋 sin (𝑥 − ) 6 𝐿 = lim𝜋 𝑥→ √3 6 − cos 𝑥 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 51. Límites trigonométricos 1 − cos(sin 𝑥 − 1) 𝐿 = lim𝜋 4 𝜋 𝑥→ ( − 𝑥) 2 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 52. Límites trigonométricos 1 − cos 𝑥 cos 2𝑥 cos 3𝑥 lim 𝑋→0 1 − cos 𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 53. Límites trigonométricos 3 1 − cos 𝑥 √cos 2𝑥 √cos 3𝑥 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑥2 • CONCEPTUALIZANDO • • • IDEALIZANDO PARA RESOLVER EL LIMITE APLICAREMOS LA REGLA DE L`HOPITAL Y LUEGO REDUCIR TERMINOS POR METODOS DE FACROTIZACION HASTA LLEGAR AL RESULTADO GEOMETRIZACION • OPERATIVIZACION Y ALGORITMIZACION ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 54. Límites trigonométricos 𝜋 𝑥 ) 𝐿 = lim ( − sin−1 2 𝑥→∞ 2 √1 + 𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 55. Límites trigonométricos tan−1 (𝑥 + ℎ) − tan−1 𝑥 𝐿 = lim ℎ→0 ℎ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 56. Límites trigonométricos 𝑥 − sin(tan(2𝑥 )) 𝑥→0 𝑥 + sin(3𝑥 ) 𝐿 = lim ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 57) 𝐭𝐚𝐧(𝒂 + 𝟐𝒉) − 𝐭𝐚𝐧(𝒂 + 𝒉) +𝐭𝐚𝐧 𝒂 𝒉→𝟎 𝒉𝟐 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 58) 𝐜𝐨𝐬(𝒎𝒙) − 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙) 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 59) 𝐧𝐜𝐨𝐬(𝒏) − 𝐬𝐢𝐧(𝒏) 𝒏→𝟎 𝒏𝟑 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 60) 𝟐𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒙) − 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 61) 𝟑 𝟑 √𝟏 + 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒙) − √𝟏 − 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝟐𝒙) 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑 𝒙→𝟎 √𝟏 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝟑𝒙) − 𝟑√𝟏 − 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 62) 𝟐 𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝒆−𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦( 𝒙→𝟎 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO (𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 )x UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 63) 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ((𝐭𝐚𝐧 𝒙)𝟐 √𝟐(𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟒 + 𝝅 𝒙→ 𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO (𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟑 − (𝐭𝐚𝐧 𝒙)𝟐 √(𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝟔 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟐) (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙)𝟑 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 64) 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝟑𝒙) − 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝟐𝒙) + 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝒙) − 𝐬𝐢𝐧(𝒂) 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 65) 𝒙+𝟏 𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙 [𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧( ) − 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧( )] 𝒙→∞ 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 66) 𝐬𝐢𝐧(𝒙𝟐 ) 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦( 𝒙→𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟒 − 𝟏)( ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 𝟏 𝟑 √𝒙+𝟐− √𝟐𝒙+𝟒 ) UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 67) 𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 (√𝟐𝒙 + 𝟏 − √𝒙 + 𝟏)(√𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 − √𝒙𝟐 + 𝟏)√(𝐬𝐢𝐧( ))𝟑 𝒙→∞ 𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 68) 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 √𝟐𝒙𝟔 + 𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 𝝅𝒙 𝟑𝝅𝒙 𝟓𝝅𝒙 ) ∗ 𝐬𝐢𝐧 ( ) ∗ 𝐬𝐢𝐧( ) 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 LIMITES EXPONENCIALES 69) 𝒆𝒂𝒙 − 𝒆𝒃𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 70) 𝟓𝒙 − 𝟑−𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐 𝒙→𝟎 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 71) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 72) 𝒆𝒙 − 𝒙𝒆 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒆 𝒙 − 𝒆 𝐥𝐧 𝒙 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 73) 𝒂−𝟔𝒙 − 𝒆𝐬𝐢𝐧 𝒃𝒙 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝒃𝒙 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 74) 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 ( 𝟐 ) 𝒙→∞ 𝒙 − 𝟐 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 𝑎 𝑥+1 + 𝑏 𝑥+1 + 𝐶 𝑥+1 75) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 √ 𝑥→0 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 76) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 (5𝑆ⅇ𝑛2 𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 )3𝑥 𝑡𝑔 𝑥−𝑠𝑒𝑐 𝑥→ 𝛱 2 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 2𝑥 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 ⅇ 77) 𝐿 = ⅇ √1+𝑥 ⅇ − √⊥−𝑥 ⅇ 𝑙𝑖𝑚 𝑥ⅇ 𝑥→0 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 78) 𝑙 = 𝑙𝑖𝑚 [(𝑥 + 2) 𝑙𝑛(𝑥 + 2) − 2(𝑥 + 1) + 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 ] 𝑥→∞ ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 79) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑛(4𝑥+𝑒 −3𝑥 ) 𝑥→0 𝑙𝑛(3𝑥+𝑒 −4𝑥 ) ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 80) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑛(1 𝑥→0 𝑙𝑛 𝑎 ) 𝑙𝑛 ( ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO 𝑙𝑛 𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎 𝑥 ) UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 81) 𝐿 −3𝑥 ) −3𝑥 ) 𝑙𝑛(4𝑥+𝑒𝑙𝑛(4𝑥+𝑒 =81) 𝑙𝑖𝑚 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 −4𝑥 ) −4𝑥 ) 𝑥→0 𝑙𝑛(3𝑥+𝑒 𝑥→0 𝑙𝑛(3𝑥+𝑒 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 1 2 82) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚(1 + 𝑡𝑔 (√𝑥)) 𝑥→0 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO −2𝑥 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 83) 𝐿 = 𝑥 𝑥 −1 𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝑥→1 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 84) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥 −𝑎𝑎 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 ING. CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAT_101 CARLOS FERNANDEZ MARIÑO
