Investigación de Operaciones II Ing. Fabrizio Bohrt Cortes Docente de la Materia Programación Dinámica 1. Una empresa de alquiler de automóviles se propone planificar su política de reemplazamientos para los próximos 3 años. La adquisición de un coche nuevo le cuesta a la empresa 9.000 euros. Durante su vida útil, los coches incurren costes de mantenimiento que aumentan con su antigüedad, mientras que su valor de venta como coches usados disminuye con su edad. Un coche nuevo no incurre costes de mantenimiento. Para cada coche, la empresa toma decisiones el día 1 de enero de cada año: vender el coche por su valor como coche usado y adquirir uno nuevo, o continuar utilizándolo durante un año más, incurriendo los costes de mantenimiento correspondientes. Los gastos de mantenimiento y el valor de venta de un coche usado, en función de su antigüedad en años, se muestran en la siguiente tabla: antigüedad (años) 1 2 3 4 a) b) c) d) coste de mantenimiento (euros) 1.800 2.100 2.400 2.700 valor de venta (euros) 6.000 4.000 3.000 2.250 Formula como un programa dinámico el problema de planificación óptima para los próximos 3 años. Formula las relaciones de recurrencia y los elementos del problema de programación dinámica correspondientes. Resuelve el problema. dinámica, y describe la política óptima obtenida. ¿Debe la empresa reemplazar un coche que tiene inicialmente 4 años? ¿Y uno que tiene 3? 2. Un operador turístico organiza viajes de vacaciones, que incluyen el alquiler de coches. Durante las próximas cinco semanas, y en función de los viajes que ha vendido, esta empresa prevé que debe tener disponibles 8, 6, 10, 7 y 8 coches respectivamente. El alquiler de los coches se subcontrata a una empresa local, que cobra una cantidad fija de 50 euros por automóvil por cada nuevo alquiler de un coche, más 150 euros por cada semana de alquiler de dicho coche. El operador puede por tanto alquilar coches y asignarlos a los viajes organizados, o mantenerlos sin usar, o bien devolverlos cuando ya no quiera usarlos (aunque quizás tenga que volver a alquilarlos más tarde pagando la cantidad fija). ¿Cuál es el número óptimo de automóviles a alquilar y/o devolver en cada semana de las próximas cinco? 3. Para mejorar la atención médica en 3 países subdesarrollados se dispone de cinco brigadas médicas que son indivisibles. Con el fin de distribuir a las brigadas entre los países de la mejor forma posible, se utiliza como indicador de la eficiencia el número de años de vida adicionales por persona en función del número de brigadas enviadas a cada país, que se encuentra en la tabla adjunta (cantidades divididas por mil). ¿Cuál es la asignación que maximiza las medidas de eficiencia? Resolver utilizando la programación dinámica. Número de brigadas médicas 0 1 2 3 4 5 1 1 0 45 70 90 105 120 País 2 0 20 45 75 110 150 3 0 50 70 80 100 130 Investigación de Operaciones II Ing. Fabrizio Bohrt Cortes Docente de la Materia 4. Tres equipos de investigación tratan de resolver un mismo problema de forma independiente. Las probabilidades de fracasar son 0.4, 0.6 y 0.8. Se desea minimizar la probabilidad de fracaso y se dispone de dos científicos más para reforzar los equipos. Para determinar a qué equipo asignarlos se elabora la tabla siguiente, que da la probabilidad de fracaso de cada equipo cuando es reforzado con 0, 1 y 2 científicos. Refuerzos 0 1 2 1 0.4 0.2 0.15 Equipo 2 0.6 0.4 0.2 3 0.8 0.5 0.3 Resolver el problema mediante alguna técnica de programación dinámica. 5. Un comerciante desea hacer un viaje de negocios a Tokio. Puede elegir entre coger el avión en Alicante, Murcia o Valencia. Despendiendo de la ruta elegida, el avión hace una serie de escalas en unas ciudades u otra. Así pues, después del aeropuerto de salida elegido, la primera escala se sitúa en Barcelona o Madrid, la segunda lo hace en Viena, Milán o Praga, y la última en Moscú o Bombay. En las siguientes tablas se muestra la duración del viaje (en horas, incluyendo tiempo de transbordos) entre cada par de aeropuertos. Decidir qué aeropuerto de salida escoger y qué ruta seguir para llegar lo antes posible a Tokio. Alicante Murcia Valencia Barcelona 1 4 5 Madrid 4 2 6 Barcelona Madrid Viena 4 3 Milán 8 5 Praga 6 1 Viena Milán Praga Moscú 4 6 5 Moscú Bombay Tokio 4 6 Bombay 3 2 6 6. Considere una empresa que tiene la posibilidad de comprar 3 lotes de productos distintos (solo se pueden comprar lotes enteros y también varios lotes de un mismo producto), pero tiene limitación de espacio en almacén. Cada producto tiene asociado un determinado rendimiento y un espacio en miles de pies cúbicos. La empresa dispone de 6 mil pies cúbicos en almacén. Se requiere determinar la cantidad de productos que más reditúa sin que se exceda la capacidad disponible de almacén. Usando los valores de la siguiente tabla: Producto 1 2 3 Espacio (miles de pies cúbicos) 2 1 4 Rendimiento (miles de dólares) 40 20 70 7. Un excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 libras que considera puede cargar. Para ayudarse en la selección ha asignado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia. Articulo Peso Valor 1 42 100 2 23 60 3 21 70 2 4 15 15 5 7 15 Investigación de Operaciones II Ing. Fabrizio Bohrt Cortes Docente de la Materia 8. Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o más de tres artículos. La siguiente tabla da el peso unitario wi (en toneladas) y el ingreso unitario ri (en miles de dólares), para cada artículo. El objetivo es determinar la cantidad de unidades de cada artículo que debe cargarse, que maximizará el rendimiento total Artículo i 1 2 3 wi 2 3 1 ri 31 47 14 9. Un excursionista debe empacar tres artículos: alimento, botiquín de primeros auxilios y ropa. La mochila tiene una capacidad de 3 pies3. Cada unidad de alimento ocupa 1 pie3, el botiquín de primeros auxilios ocupa 1/4 pie3, y cada pieza de ropa ocupa aproximadamente 1/2 pie3. El excursionista asigna pesos de prioridad de 3, 4 y 5 al alimento, el botiquín, y la ropa, respectivamente, lo que significa que la ropa es el más valioso de los tres artículos. Por experiencia, el excursionista debe llevar al menos una unidad de cada artículo y no más de dos botiquines. ¿Cuántas unidades de cada artículo debe llevar el excursionista? 10. Un estudiante debe elegir 10 cursos optativos de cuatro departamentos diferentes, con por lo menos un curso de cada departamento. Los 10 cursos se asignan a los cuatro departamentos de una manera que maximice el “conocimiento”. El estudiante mide su conocimiento en una escala de 100 puntos y aparece con la siguiente tabla: Departamento I II III IV Cantidad de cursos 1 2 3 4 25 50 60 80 20 70 90 100 40 60 80 100 10 20 30 40 5 100 100 100 50 6 100 100 100 60 7 100 100 100 70 11. Tengo un pequeño jardín de 10 3 20 pies. Esta primavera pienso plantar tres tipos de hortalizas: tomates, chícharos y maíz. El jardín está organizado en filas de 10 pies. Las filas del maíz y de los tomates son de 2 pies de ancho, y las de los chícharos son de 3 pies de ancho. Me gustan más los tomates y menos los chícharos, y en una escala del 1 al 10 asignaría un 7 a los tomates, un 7 al maíz y un 3 a los chícharos. A pesar de mis preferencias, mi esposa insiste en que plante al menos una fila de chícharos y no más de dos filas de tomates. ¿Cuántas filas de cada legumbre debo plantar? 12. Un navegante solitario dispone en su barco de 5 metros cúbicos para almacenar cuatro objetos. El objeto A tiene un volumen de 2 m3 y reporta al navegante 3 unidades de beneficio (ub). Los objetos B, C, y D ocupan respectivamente 4, 3 y 2 m3 y el beneficio respectivo es de 5, 1 y 1 (ub). a) Determinar mediante un algoritmo de programación dinámica cuales son los objetos que debe llevar el navegante. 13. Un camión puede transportar un total de 10 toneladas de productos. Hay tres clases de productos para transportar, cuyo peso y valor se muestran en la siguiente tabla. Suponiendo que por lo menos se debe transportar un artículo de cada clase, determinar el cargamento que maximiza el valor total. Clase A B C Valor (miles de euros) 2 5 6 3 Peso (Ton) 1 2 2 Investigación de Operaciones II Ing. Fabrizio Bohrt Cortes Docente de la Materia 14. Una empresa de alquiler de automóviles se propone planificar su política de reemplazamientos para los próximos 3 años. La adquisición de un coche nuevo le cuesta a la empresa 9.000 euros. Durante su vida útil, los coches incurren costes de mantenimiento que aumentan con su antigüedad, mientras que su valor de venta como coches usados disminuye con su edad. Un coche nuevo no incurre costes de mantenimiento. Para cada coche, la empresa toma decisiones el día 1 de enero de cada año: vender el coche por su valor como coche usado y adquirir uno nuevo, o continuar utilizándolo durante un año más, incurriendo los costes de mantenimiento correspondientes. Los gastos de mantenimiento y el valor de venta de un coche usado, en función de su antigüedad en años, se muestran en la siguiente tabla: coste de mantenimiento (euros) 1.800 2.100 2.400 2.700 antigüedad (años) 1 2 3 4 valor de venta (euros) 6.000 4.000 3.000 2.250 a) Formula como un programa dinámico el problema de planificación óptima para los próximos 3 años. b) Formula las relaciones de recurrencia y los elementos del problema de programación dinámica correspondientes. c) Resuelve el problema. dinámica, y describe la política óptima obtenida. d) ¿Debe la empresa reemplazar un coche que tiene inicialmente 4 años? ¿Y uno que tiene 3? 15. Un operador turístico organiza viajes de vacaciones, que incluyen el alquiler de coches. Durante las próximas cinco semanas, y en función de los viajes que ha vendido, esta empresa prevé que debe tener disponibles 8, 6, 10, 7 y 8 coches respectivamente. El alquiler de los coches se subcontrata a una empresa local, que cobra una cantidad fija de 50 euros por automóvil por cada nuevo alquiler de un coche, más 150 euros por cada semana de alquiler de dicho coche. El operador puede por tanto alquilar coches y asignarlos a los viajes organizados, o mantenerlos sin usar, o bien devolverlos cuando ya no quiera usarlos (aunque quizás tenga que volver a alquilarlos más tarde pagando la cantidad fija). ¿Cuál es el número óptimo de automóviles a alquilar y/o devolver en cada semana de las próximas cinco? 16. Considere una empresa que tiene la posibilidad de comprar 3 lotes de productos distintos (solo se pueden comprar lotes enteros y también varios lotes de un mismo producto), pero tiene limitación de espacio en almacén. Cada producto tiene asociado un determinado rendimiento y un espacio en miles de pies cúbicos. La empresa dispone de 6 mil pies cúbicos en almacén. Se requiere determinar la cantidad de productos que más reditúa sin que se exceda la capacidad disponible de almacén. Usando los valores de la siguiente tabla: Producto 1 2 3 Espacio (miles de pies cúbicos) 2 1 4 Rendimiento (miles de dólares) 40 20 70 17. Un excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 libras que considera puede cargar. Para ayudarse en la selección ha asignado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia. 18. Articulo 19. 1 20. 2 21. 3 22. 4 23. 5 Peso Valor 42 100 23 60 21 70 4 15 15 7 15
