TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 1 Introducción De manera muy frecuente, los cálculos realizados en máquinas rotativas, transformadores, conjuntos de máquinas, líneas de transmisión y de distribución, etc. se llevan a cabo basándose en el sistema de “valores relativos”, es decir expresando todas las cantidades como “porción decimal” de un valor base que se escoge apropiadamente. Todos los cálculos se hacen empleando estos valores relativos en vez de hacerse en voltios, amperios, ohmios, etc... : ∆pu = Valor real de la cantidad ∆, en cualquier unidad Valor base seleccionado para la misma cantidad (En la misma unidad) Todas las fracciones por unidad son adimensionales porque se relacionan cantidades expresadas en la misma unidad. Los valores p.u. son generalmente fracciones menores que la unidad, aunque también pueden ser mayores de uno. 2 Ventajas del sistema Las ventajas que se obtienen con este sistema de cálculo se aprecian en muchos sistemas: Las constantes de las máquinas o transformadores, cuando se emplean de esta forma referidas a la potencia indicada, guardan una relación numérica sencilla, lo que permite una rápida comprobación de los resultados, ya que se emplean números más sencillos y están menos sujetos a errores. En los sistemas de transmisión y distribución, los diversos alternadores, líneas, transformadores, máquinas eléctricas, generalmente varían en potencia, en sus caídas de tensión y en sus pérdidas, pero con el sistema p.u. en el que se emplea una base común, todos estas cantidades son del mismo orden, y con ello se reduce un sistema entero a un circuito único simplificado. Al tratar con sistemas con varios transformadores en cascada, de potencias diversas, diversas relaciones de transformación, etc. El sistema por unidad reduce esa red a un sistema unifilar cuando se escoge una tensión base adecuada. A los sistemas trifásicos se les elimina por completo el factor 3 , con lo que se evitan equivocaciones frecuentes. A. GORDON de 2000 1 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 3 Representación por unidad Se requiere un mínimo de cuatro unidades para definir totalmente un sistema por unidad; estas cantidades son: tensión, corriente, potencia, impedancia (o admitancia). Si se suprimen dos de ellas de forma arbitraria, las otras dos quedan fijas a partir de las primeras. Las cantidades p.u. y sus bases muestran las mismas relaciones y obedecen a las mismas leyes (Ohm, Kirchhoff, ...) que las cantidades en otros sistemas de unidades: Corriente base = Voltio-amperios base (En Amperios ) Voltaje base Impedancia base = Voltaje base (En Ohmios ) Corriente base Voltaje por unidad = Voltaje real Voltaje base Impedancia por unidad = (p.u.) Impedancia real Impedancia base (p.u.) Ejemplo de aplicación Nº1: La impedancia y la tensión base para un sistema de potencia dado son 10Ω y 400V respectivamente. Calcular los KVA base y la corriente base: Solución: Corriente base = 400 40 ⋅ 400 = 40Amp ∴ KVA base = = 16KVA 10 1000 Ejemplo de aplicación Nº2: La corriente y el voltaje base de un sistema de 345KV, tienen un valor de 3000Amp y 300KV respectivamente. Hallar la tensión por unidad y la impedancia base del sistema: Solución Impedancia base = Voltaje base 300 ⋅ 103 = = 100Ω Corriente base 3000 Voltaje por unidad = A. GORDON de 2000 Voltaje real 345 = = 1,15pu Voltaje base 300 2 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ejemplo de aplicación Nº3: Si la potencia específica del ejemplo Nº2 es de 1380MVA, calcular la corriente unitaria referida a la base de este ejemplo: Solución: 1380 ⋅ 106 Corriente real en el sistema = = 4000Amp 345 ⋅ 103 Corriente por unidad = 4000 = 1,33pu 3000 Ejemplo de aplicación Nº4: Un generador monofásico de 10KVA y 200V tiene una impedancia interna de 2Ω. Empleando los datos de placa del generador como valores base, hallar la tensión por unidad generada que se requiere para producir la corriente de carga total en caso de cortocircuito: Solución: Voltaje base = 220V = 1pu ∴ (KVA )base = 10KVA = 1pu Corriente base = 10000 = 50Amp = 1pu 200 La tensión generada que se requiere para producir la corriente nominal en cortocircuito es: I ⋅ Zi = 50 ⋅ 2 = 100V Y en p.u.: V= 100 = 0, 5pu 200 A. GORDON de 2000 3 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 4 Aplicación al transformador 4.1 Definición de sus magnitudes: Tensiones base: Tensión nominal del primario = U1b Tensión nominal del secundario = U2b Potencia base: ( VA )n primario = Sb = ( VA )b = ( VA )n secundario Corriente base Corriente nominal primaria: I1b = Sb U1b Corriente nominal secundaria: I2b = Sb U2b Impedancia base: Impedancia base del primario: Z1b = U1b I1b Impedancia base del secundario: Z2b = U2b I2b Impedancias en p.u.: 12 U I N Z rT = 1b = 2b = 1 = 1b U2b I1b N2 Z2b A la carga nominal, las impedancias base son: U 2 Z1b = 1b = rT ⋅ Z 2b I1b Las impedancias base se relacionan: U 2 Zib = 1b = rT ⋅ Z 2b I1b La impedancia equivalente reflejada al primario es: 2 Z1eq = rT ⋅ Z 2eq La impedancia primaria por unidad se puede escribir: Z Z Z I ⋅Z I ⋅Z Z1eq pu = 1eq = 2 1eq = 2eq = 2b 2eq = 1b 1eq = Z2eq pu Z1b rT ⋅ Z2b Z2b U2b U1b A. GORDON de 2000 4 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ejemplo de aplicación Nº5 Sea un transformador de 5KVA, 400/200V que puede representarse aproximadamente por una reactancia de 2Ω referida al lado de B.T. tomando los valores nominales como cantidades base, hallar la reactancia del transformador como una cantidad por unidad. Solución: ( VA )base = 5000 ∴ Tensión base = 200V Corriente base = 5000 200 = 25A ∴ Impedancia base = = 8Ω 200 25 Reactancia p.u. = 2 = 0,25pu 8 Si expresamos todas las cantidades del lado de A.T.: ( VA )base = 5000 ∴ Tensión base = 400V Corriente base = 5000 400 = 12,5A ∴ Impedancia base = = 32Ω 400 12,5 2 400 Reactancia l A.T. = 2 ⋅ = 8Ω 200 Reactancia p.u. l A.T. = 8 = 0,25pu 32 Se ve que ambos valores coinciden. De la ecuación anterior, conviene resaltar: 1. Zeq pu es una cantidad compleja con magnitud y dirección 2. Los valores p.u. de Z1eq pu y Z2eq pu son los mismos 3. No se necesita rT cuando se trabaja en valores p.u. 4. La tensión de cortocircuito aplicada en este ensayo es I2b·Z2eq ó I1b·Z1eq 5. En general, los transformadores de A.T. presentan mayores valores de Zeq pu puesto que se precisa una mayor caída de tensión para producir una corriente de cortocircuito. A. GORDON de 2000 5 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 4.2 Pérdidas en el cobre en p.u. y Req en p.u. Las perdidas en el cobre del transformador pueden determinarse en el sistema por unidad de formas diversas: 2 PCu = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I2 2 I 2 2R 2 = 2 ⋅ R1 + I2 ⋅ R2 = I2 21 + R2 = I2 ⋅ Re q rT rT (A cualquier carga, es decir, a cualquier valor de I2) 2 R1 I22 I 2 2 2 PCu = I2 2 + R2 = 2 ⋅ R1 + rT ⋅ R2 = 2 ⋅ R1e q = I1 ⋅ R1e q = I2 ⋅ R2 e q rT rT rT Así que: 2 I2b ⋅ R2 e q I2b R = ⋅ R2 e q = 2 e q = R2eq pu Pcu p.u. nominal ⇒ U2 ⋅ I2b U2 Z 2b ( 2 ) 2 Pcu p.u. para cualquier carga ⇒ 2 Pcu p.u. nominal ⇒ rT ⋅ R2 e q 2 rT ⋅ Z2b I2b ⋅ R2 e q Sb R1e q = Z1b Nominal ⇒ Pcu pu = R1eq pu = R2eq pu = 2 = I1b ⋅ R1e q Sb = R1eq pu PCC Sb 4.3 Reactancia equivalente p.u. Las relaciones para la reactancia de dispersión parten directamente de la ecuación: Z1eq pu = Z1eq Z1b = Z1eq 2 rT ⋅ Z2b = Z2eq Z2b = I2b ⋅ Z2eq U2b = I1b ⋅ Z1eq U1b = Z2eq pu Pero debe recordarse que todos los valores óhmicos (impedancia, reactancia y resistencia) se dividen entre la impedancia base, es decir: Xeq pu = X1eq Z1b 2 = rT ⋅ X2eq 2 rT ⋅ Z2b = X2eq Z 2b = I2b ⋅ X2eq U2b 2 2 = Z eq pu − Req pu 12 En general, en los transformadores de pequeña potencia se especifica tanto Xeq pu como Req pu, pero en los de gran potencia, la relación de reactancia a resistencia es tan grande que se puede considerar a la resistencia despreciable y se suele admitir la aproximación Xeq pu = Zeq pu A. GORDON de 2000 6 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 4.4 Perdidas en el núcleo en p.u. Ya sabemos que las PFe=Ph+Pf y que para hallar el rendimiento de un transformador no es preciso separarlas. A tensión y frecuencias nominales y constantes, estas pérdidas son constantes e independientes de la carga. 2 PFe pu = 2 PFe U1 U1 = = Sb RFe ⋅ Sb RFe ⋅ U1b ⋅ I1b Si el transformador trabaja a U1 = U1b: PFe pu = U1b Z 1 = 1b = RFe ⋅ I1b RFe RFe pu 4.5 Regulación de tensión en p.u. En la expresión general: U1 = U2 + I2 ⋅ Z2eq si dividimos por U2b: rT I ⋅Z U1 U = 2 + 2 2eq rT ⋅ U2b U2b U2b Y como U2b ⋅ rT = U1b y también U2b = I2b ⋅ Z2b , se tiene: I ⋅Z U1 U = 2 + 2 2eq U1b U2b I2b ⋅ Z 2b Que nos da la relación por unidad: U1pu = U2pu + I2pu ⋅ Zeq pu β Para cualquier carga. Si se define a la carga nominal a cualquier f.d.p., para este como especifico se obtiene: U2 = U2b y U2pu = 1 I2 = I2b e I2pu = 1 Sustituyendo: +φ̂ en adelanto U1pu = 10º + 1 ±φ2 − Zeq pu β 2 −φ̂2 en retraso A. GORDON de 2000 7 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 4.6 Rendimiento en p.u. Sabemos que a cualquier carga: µ= P0 pu P0 = P0 + PFe + PCu P0 pu + PFe pu + PCu pu Siendo: P0 Sb P PCu pu = CC (A la carga nominal Pcu pu = Req pu del ensayo de cortocircuito) Sb P PFe pu = Fe (Del ensayo de vacío, P0 = PFe ) Sb P0 pu = Definiendo factor o índice de carga a: S/Sb, el µ del transformador a cualquier f.d.p. puede escribirse: µ= C ⋅ f.d.p. C ⋅ f.d.p. + PFe pu + PCu pu 4.7 Rendimiento máximo: Si ha de cumplirse que las Perd. fijas = Perd. variables, PFe pu = C2 ⋅ REq pu , de donde: Cµ max S PFe pu = = Sb REq pu 12 Que es el índice de carga para el cual el µ es máximo. A. GORDON de 2000 8 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 5 Sistemas trifásicos. Análisis p.u. Eligiendo: Sb (Trifásica) = 3 ⋅ Sb Vb (Línea) = 3 ⋅Ub Donde Sb representa la potencia base del sistema monofásico equivalente y Ub, la tensión simple del sistema trifásico (monofásico equivalente). Sb (trifásica) representa la potencia trifásica y Ub (línea), representa la tensión compuesta en la red trifásica. Partimos de unos valores: S(trifásica) y una tensión compuesta V(línea), y veamos como obtener valores p.u. POTENCIA: Spu (trifásica) = S(trifásica) = Sb (trifásica) 3⋅S = Spu (monofásica) 3 ⋅ Sb S representa la potencia por fase. Véase como la potencia trifásica p.u. coincide con la monofásica en p.u. TENSIÓN: Vpu (trifásica) = V(línea) Vb (línea) = 3 ⋅U 3 ⋅ Ub = Upu (monofásica) Donde U representa la tensión simple. Estas dos conclusiones nos indican que al resolver un problema trifásico en valores p.u. es indiferente utilizar valores por fase o valores trifásicos. Veamos lo que ocurre con las impedancias: IMPEDANCIA: Zb (trifásica) = Ub2(línea) Sb (trifásica) ( = 3 ⋅ Ub 3 ⋅ Sb ) 2 2 U = b = Zb (Monofásica) Sb ¿Qué ocurre con las conexiones λ-∆ en las impedancias?. Sea por ejemplo: Z λ [Ω] = 1 ⋅ Z ∆ [Ω] 3 Z λ base = Uλ base V∆ base 3 1 = = Z ∆ base Iλ base 3 3 ⋅ I∆ base A. GORDON de 2000 9 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Por tanto: Z λ pu = Z λ [Ω] 1 3 ⋅ Z ∆ [Ω] Z ∆ [Ω] = = = Z ∆ pu Z λ base 1 3 ⋅ Z ∆ base Z ∆ base Se puede decir que el valor en p.u. de la impedancia de una fase en triangulo es también el valor en tanto por uno de la impedancia de una estrella equivalente. Ejemplo de aplicación Nº6 Un sistema trifásico conectado en estrella de 50MVA, 120KV. Expresar 40.000KVA de potencia aparente trifásica como valor p.u. referido a: a. Los KVA del sistema trifásico como base b. Los KVA por fase del sistema como base Solución: a. Caso de base trifásica: (KVA)base = 50.000KVA = 1pu (KV)base = 120KV = 1pu Así que: (KVA)pu = 40.000 = 0,8pu 50.000 b. Para la base por fase: 1 ⋅ 50.000 = 16.667KVA = 1pu 3 120 = = 69,28KV = 1pu 3 (KVA)base = (KV)base A. GORDON de 2000 10 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 6 Cambio de base Se emplea esta argucia matemática si se han de hacer cálculos en un sistema eléctrico con varias máquinas de diferentes valores nominales e incluso situadas en redes (líneas de transmisión) a diferentes tensiones y se debe hacer una relación arbitraria (o necesaria) de base, pero que en todo el sistema se emplea la misma. Para comprender esta metodología de calculo, supongamos dos sistemas base definidos por: Potencia : Sb1 Sistema 1 Tensión : Ub1 Potencia : Sb2 Sistema 2 Tensión : Ub2 Las corrientes e impedancias base para cada sistema son: Ib1 = Sb1 Ub1 Ib2 = 2 Sb2 Ub2 2 U Zb1 = b1 Sb1 Zb2 U = b2 Sb2 Si se parte de unos valores: S, I, V, Z, se tendrán unos valores p.u. Spu 1 = S U I Z[Ω] ∴ Upu 1 = ∴ Ipu 1 = ∴ Zpu 1 = Sb1 Ub1 Ib1 Zb1 S U I Z[Ω] ∴ Upu 2 = ∴ Ipu 2 = ∴ Zpu 2 = Sb2 Ub2 Ib2 Zb2 Dividiendo unas expresiones por otras tenemos: Spu 2 = Spu 2 = Spu 1 ⋅ Ipu 2 = Ipu 1 ⋅ Sb1 U ∴ Upu 2 = Upu 1 ⋅ b1 Sb2 Ub2 Ib1 S U = Ipu 1 ⋅ b1 ⋅ b2 Ib2 Sb2 Ub1 2 Zpu 2 Z U S = Zpu 1 ⋅ b1 = Zpu 1 ⋅ b12 ⋅ b2 Zb2 Ub2 Sb1 Que son las magnitudes p.u. en base 2, con respecto a esas mismas magnitudes, pero en base 1. A. GORDON de 2000 11 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ejemplo de aplicación Nº7 Un generador síncrono de 6,25KVA, 220V, conexión estrella, tiene una reactancia de 8,4Ω / fase. Utilizando como base los valores nominales, hallar la reactancia p.u. Después cambiar este valor p.u. de 230V a una base de 7,5KVA. Solución: ( VA )Base = 6250 = 1pu VBase = 220 = 1pu 6250 Corriente base = 3 ⋅ 220 Reactancia base = Reactancia p.u. = = 16,4 = 1pu 220 = 13,4 = 1pu 16,4 8,4 = 0,627pu 13,4 Para la base de 230V y 7,5KVA, obtenemos: ( VA )Base nueva ⋅ (KV )Base vieja Z = ⋅ ( Zpu )Base vieja ( pu )Base nueva 2 ( VA )Base vieja ⋅ (KV )Base nueva 2 2 220 7500 Reactancia p.u. = 0,627 ⋅ = 0,688pu ⋅ 230 6250 A. GORDON de 2000 12 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 7 Representación de los sistemas de potencia Los componentes básicos de un sistema de potencia son los generadores, transformadores, líneas de distribución y cargas. Las interconexiones entre estos componentes de un sistema de potencia, se pueden representar por medio de un diagrama unifilar. Para su análisis matemático, los circuitos equivalentes de estos componentes se muestran en un diagrama de reactancias o de impedancias. Los cálculos para un sistema de potencia que tenga dos o más niveles de tensión se vuelven muy difíciles cuando es necesario convertir corriente en un nivel de tensión diferente cuando está intercalado un transformador. El método más apropiado es el sistema por unidad, y si se sigue la siguiente metodología, los resultados son aceptables en cuanto a los desarrollos analíticos: 1. Se elige una potencia aparente para todo el grupo no conjunto, como base. 2. Se toma una tensión base arbitraria. 3. Se relacionan todas las tensiones base a través de las relaciones de transformación de cada transformador. 4. Se relacionan las impedancias base en las diferentes secciones o tramos. 5. Se dibuja el diagrama de impedancias o reactancias del conjunto y se resuelve analíticamente en valores p.u. 6. Reconvertir los valores p.u. en valores absolutos. NOTA: Hay que tener especial cuidado cuando se aplica este sistema para un régimen de trabajo determinado cuando hay dos transformadores en cascada, pues los valores deben reducirse al de menor potencia. A. GORDON de 2000 13 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ejemplo de aplicación Nº8 1. Método tradicional: Un sistema de potencia consta de un generador síncrono monofásico de 480V 60Hz. que alimenta a una carga de impedancia ZC = ( 4 + j3 ) Ω a través de una línea de transmisión con una ZL = ( 0,18 + j0,04 ) Ω . a. ¿Qué tensión hay en bornes de la carga?¿Qué potencia se pierde en la línea? ILinea 0,18Ω 0,24Ω IG ZLínea ICarga ZCarga 4+j3 Ω G b. Si se coloca al extremo final de la línea un transformador reductor de 10:1 a los bornes de la carga, y otro elevador 1:10, a los bornes del generador. ¿Cuál será la nueva tensión en bornes de la carga? IG ILinea ICarga 0,18Ω 0,24Ω 1:10 ZLínea 10:1 ZCarga 4+j3 Ω G Solución: a. ILínea = V V 480 0º = = = 90,8 −37,8 A ZT ZL + ZC ( 0,18 + j0,24 ) + ( 4 + j3 ) UCarga = ILínea ⋅ ZC = 90,8 −37,8º ⋅ ( 4 + j3 ) = 454 −0,9º V 2 Potencia perdida: RLínea ⋅ IL = 0,18 ⋅ 90,82 ≅ 1484W A. GORDON de 2000 14 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD b. En la figura se muestra el esquema de potencia y se soluciona: • Se trasladan los valores de la carga al nivel de tensión de la línea. Eliminamos T2. • Se elimina T1 se convierten los valores a la tensión del lado de la fuente de alimentación del conjunto. Analíticamente: c ILínea IG V = 480 0º V 0,18Ω 0,24Ω 10:1 ZLínea Z’Carga 400+j300 Ω G Circuito equivalente d 0,0018Ω 0,0024Ω IG V = 480 0º V Z’Línea Z’’Carga 4+j3 Ω G Circuito equivalente 2 Figura c ⇒ Z 'Carga = ZCarga ⋅ rT 2 10 = ( 4 + j3 ) = ( 400 + j300 ) Ω 1 ZTotal = ZL + Z 'C = ( 400 + j300 ) + ( 0,18 + 0,24 ) = ( 400,18 + j300,24 ) Ω Z Total = 500,3 36,88º Ω Figura d ⇒ Traslademos esta ZTotal, al nivel de tensión del primario de T1: 2 Z 'Total Z 'Total La IG vale ⇒ IG = A. GORDON de 2000 1 = rT ⋅ Z Total = ⋅ ( 0,18 + j0,24 ) ⋅ ( 400 + j300 ) 10 = 5,003 36,88º Ω 2 480 0º ≅ 95,94 −36,88º A 5,003 36,88º 15 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD “Trasvasemos” de tramo a tramo los valores de la corriente: ILínea = 1 ⋅ 95,94 −36,88º = 9,594 −36,88º A 10 ICarga = 10 ⋅ 9,594 −36,88º = 95,94 −36,88º A 1 La tensión en bornes de la carga: VCarga = ICarga ⋅ ZCarga = 95,94 −36,88º ⋅ 5 36,87º = 479,7 −0,01º V Si quisiéramos hallar las pérdidas Joule en la línea como antes, se procede: PJoule Línea = 0,18 ⋅ 9,5942 = 16,7W Es evidente que este cálculo se complicaría mucho sí: • • • No se hubiese admitido que los transformadores son iguales Que el sistema fuese trifásico Que las conexiones primarias y secundarias de cada transformador y de la carga fuesen distintas. Esta es la consecuencia por la que se emplea el método p.u. 2. Sistema p.u. Se trata de determinar el circuito eléctrico p.u. del sistema de potencia que se muestra en la figura tomando como base los 480V del generador y la SnG = 10KVA. Además se desea conocer la potencia que se suministra a la carga y la pérdida de potencia en la línea. IG ILinea 1:10 V = 480 0º V SG = 10KVA 20Ω ICarga j60Ω ZLínea 20:1 ZCarga 10 30º G Región 1 A. GORDON de 2000 Región 2 Región 3 16 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Solución: Zona del generador síncrono: Ubase = 480V y Sbase = 10KVA Por tanto: Ibase Sbase 10 ⋅ 103 = = = 20,83A Ub1 480 Zbase1 = Ub1 480 = = 23,04Ω Ib1 20,83 La rTe del T1 es: rTe = 1 = 0,1 10 Zona línea de transmisión: Ubase2 = Ubase1 480 = = 4800V rTe 0,1 Sbase2 = 10KVA ∴ Ib2 = Zbase2 = 10 ⋅ 103 = 2,083 A 4800 4800 ≅ 2304Ω 2,083 En el T2 ⇒ rTe = 20 = 20 1 Zona carga: Ubase3 = Ubase2 4800 = = 240V rTe 20 Sbase3 = 10KVA ∴ Ib3 = Zbase3 = 10 ⋅ 103 = 41,67A 240 240 ≅ 5,76Ω 41,67 A. GORDON de 2000 17 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Convirtamos el sistema en p.u. UG pu = 480 0º = 10º pu 480 ZLínea pu = ZC pu = (Base ) 20 + j60 = ( 0,0087 + j0,026 ) pu 2304 10 30º = 1,736 30º pu 5,76 El circuito equivalente en valores p.u. es el siguiente: 0,0087+j0,026 Línea UG = 10º Ipu = ZC pu = 1,736 30º G 10º = 0,569 −30,6º ( 0,0087 + j0,026 ) + 1,736 30º La potencia activa que absorbe la carga vale: 2 Ppu = R ⋅ cosδCarga pu ⋅ Ipu = 1,503 ⋅ 0,5692 = 0,487 que en valor real: P = 0,487 ⋅ Sbase = 0,487 ⋅ 10 ⋅ 103 = 4870W Las pérdidas en la línea: 2 Ppu = RLínea pu ⋅ Ipu = 0,0087 ⋅ 0,5692 = 0,00282pu Y en valor real: P = 0,00282 ⋅ Sbase = 0,00282 ⋅ 10 ⋅ 103 = 28,2W A. GORDON de 2000 18 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ejemplo de aplicación Nº9 Los estudios sobre estos sistemas anteriores pueden considerarse como relativamente fáciles en su forma de cálculo. Veamos de que manera se complica empleando bancos trifásicos con conexiones distintas. Tomemos por ejemplo el circuito de la figura c y sus respectivas simplificaciones que irán apareciendo en el desarrollo del problema. Además estableceremos una comparación entre el método tradicional y el método por unidad. Consideremos el sistema equilibrado indicado en la figura c que esta formado por un banco estrella-triángulo formado por tres transformadores monofásicos de Sn=1000KVA, 63500/33000V conectado por la parte de sus primarios a un generador síncrono trifásico equilibrado (las barras de 110000V de una subestación). Los secundarios de este banco están conectados a otro banco de conexión triángulo-triángulo de tres transformadores monofásicos de características: 1000KVA, 33000/13200V a través de una línea de transmisión. c 110KV Línea de 33KV λ−∆ 13,2KV ∆−∆ d 63500 19080 ZYS ZLínea Carga Carga 1000+j0KVA 5,6-j51KVA 1006-j51KVA 19080 7620 ZYR YYS G n n YYR n n n Transformadores extremo emisor 3,6+j28,8 Ω 7,3+j18,2 Ω n n Transformadores extremo receptor 3,6+j19,4 Ω 1006-j51A I = 52,7-j2,7A G 19080V e A. GORDON de 2000 19 n TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD f 0,0098 +j0,0794pu 0,021 +j0,0501pu 0,0098 +j0,0535pu 1006-j51A I = 1,006-j0,051pu G 1pu El problema que se nos presenta es determinar la tensión que ha de haber en las barras de la subestación si quieren mantener constantes los 13,2KV en los secundarios del segundo banco triángulo-triángulo cuando esté alimentando a una carga trifásica equilibrada de SC=3000KVA con un f.d.p. unidad. Los datos que se conocen son: • La impedancia de línea: ZL = ( 7,3 + j18,2 ) Ω fase • La impedancia equivalente de cada uno de los transformadores en ∆ − ∆ , referida al lado de B.T.: ZR = (1,71 + j9,33 ) Ω ; su PFe = 5,6KW por cada transformador; su potencia magnetizante por transformador es QMag = 51KVAR . • Los resultados medios de los ensayos monofásicos en vació y en cortocircuito realizados sobre los transformadores acoplados al generador síncrono, o extremo emisor como dice la figura c, que se tabulan en: Ensayo de vacío Tensión: 33KV Corriente: 1,24A Potencia: 5,3KW Ensayo en cortocircuito Tensión: 2640V Corriente: 30,3A Potencia: 9,81KW Estos ensayos han sido realizados a la frecuencia nominal de 60HZ. y la medidas se toman en el lado de B.T. A. GORDON de 2000 20 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Solución: 1. Método Tradicional: Cuando las conexiones trifásicas son distintas como en este caso, resulta de suma facilidad analítica el buscar la “estrella-estrella” equivalente, tal como se muestra en la figura d, uniendo todos los neutros de la estrella reales o ficticias equivalentes. En este caso aún se complica más, pues están los circuitos o ramas paralelo de las excitaciones de los transformadores. La excitación viene dada en este caso en potencias: PFe − jQM = ( 5,6 − j51) KVA Fase Conviene conectar las admitancias de excitación de los transformadores del l/carga en paralelo con los terminales de los secundarios, es decir, pueden combinarse en paralelo con la carga, que según el enunciado está dada p.u.: 3000KVA con f.d.p. unidad que por fase debería ser (1000 + j0 ) KVA fase . Así pues, la carga y los transformadores de la carga nos dan una potencia combinada de: ≅ (1006 − j51) KVA Fase En cambio, si se conectaran antes los terminales primarios del lado del generador como en la figura d, las corrientes de excitación no afectan al calculo de la tensión del generador para mantener constante la tensión de la carga, es decir, no interviene ya que no se precisa conocer la corriente del generador. Las RT de los transformadores en estrella-estrella equivalente son: RT eq λ − λ 33000 3 = 19080 Extremo carga = ( ) 13200 7620 3 Las RT de los transformadores λ − ∆ del lado del generador con respecto al neutro de la estrella RT eq λ − ∆ 110000 3 = 19080 Que son las que se muestran en la figura d. A. GORDON de 2000 21 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD La Zeq de los ∆ − ∆ del extremo del receptor referida a B.T. es: Z ∆R = (1,71 + j9,33 ) Ω Trafo La Zeq en estrella es: Z λR = 1 ⋅ (1,71 + j9,33 ) = ( 0,57 + j3,11) Ω 3 Que referida al lado de A.T. primario, extremo receptor: 2 2 RT ⋅ Z YR 19080 = ⋅ ( 0,57 + j3,11) = ( 3,6 + j19,4 ) Ω 7620 Con los datos de los ensayos de cortocircuito la impedancia de C.C. de cada transformador del lado del generador referida al lado de los secundarios en triángulo resulta: V 2640 = = 87,1Ω 1 I 30,3 2 2 2 X∆S = Z ∆S − R ∆S = 86,4Ω PCC 9810 = 2 = = 10,7Ω I 30,32 Z ∆S = R ∆S Y su Zeq en estrella es: Z λS = 1 ⋅ (10,7 + j86,4 ) = ( 3,6 + j22,8 ) Ω 3 Aplicamos ahora la figura f, se ve que suministra una carga de (1006 − j51) KVA por fase a una tensión de 19080V por fase a través de una Z en serie que consta de tres componentes: ZT = Z λS + ZLínea + RT ⋅ Z λR = (14,5 + j66,4 ) Ω 2 E = V + ZT ⋅ I = (19080 + j0 ) + ( 52,7 − j27 ) ⋅ (14,5 + j66,4 ) E = 20020 + j3460 = 20300 9,8º V En la estrella. (O sea, fase) Referido a los secundarios de los transformadores del lado del generador. Que en valor no referido, o sea real, seria Vfase: 63500 ⋅ 20300 = 675001V 19080 A. GORDON de 2000 22 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Que en VLínea es: 3 ⋅ 67500 ≅ 117000V . Son los precisos para mantener la tensión nominal de los extremos de la carga. 2. Sistema p.u.: Comenzaremos por escoger los valores base, para lo cual haremos algún razonamiento: La carga tiene una SC = 3000KVA , los bancos también son de 3000KVA ya que cada transformador con 1000KVA en monofásico, es pues razonable que : Potencia base: SBase = 3000KVA Trifásicos ≡ 1000KVA Monofásico(O por fase ) Como tensión base escogemos las nominales: Para el extremo de carga: 13,2KV [ ∆ ] Línea de transmisión: 33 KV [ ∆ ] o 19,08 KV [ λ ] Para el generador síncrono: 110KV [ ∆ ] o 63,5KV [ λ ] (KVA )Base Como intensidades de corriente base, escogemos: UBase 1000 = 15,8 Amp fase [ ∆ ] Transformador extremo carga, secundario: 13,2 1000 Transformador extremo generador secundario: = 30,3 Amp fase [ ∆ ] 33 1000 Línea de transmisión de 33KV: = 52,5 Amp fase [ λ ] 19,08 Como impedancias base escogemos: 13200 = 174Ω fase [ ∆ ] 75,8 33000 Transformadores extremo transformador secundario = 1090Ω fase [ ∆ ] 30,3 19080 Línea de transmisión de 33KV: = 363Ω fase [ λ ] 52,5 En cuanto a las potencias tenemos que la potencia absorbida por la carga es: Transformadores extremo de carga secundario: Carga = (1 + j0 )pu La de excitación por transformador del extremo de carga a tensión nominal es: En conjunto, carga y excitación de los transformadores, lado carga, absorben: A. GORDON de 2000 23 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD (1,006-j0,051) pu Según el enunciado, 13,2KV es la tensión de línea, o sea 1p.u., el vector corriente es: I= Pot. compleja = (1,006 + j0,051) pu Tensión La Zeq de los transformadores del lado receptor o carga referida a su secundario viene dada por: ZR = (1,71 + j9,33 ) Ω Que en valor p.u. de las fases en triángulo es: ZR pu = 1,71 + j9,33 = ( 0,0098 + j0,0535 ) pu 174 Convirtamos las Zeq de los transformadores del extremo emisor en valores p.u. a través de los ensayos siguiendo la siguiente secuencia = UCC = 2640 = 0,08pu U CC P CC = Ub∆ 33000 I = ICC = 30,3 = 1pu CC Ib∆ 30,3 PCC 9,81 = = 0,0098pu Sb Fase 1000 Ahora podemos hallar Zeq de los trafos 1 Zeq = U P 2 2 = 0,08pu ∴ Req = = 0,0098pu ∴ Xeq = Zeq − Req 2 = 0,0794pu I pu I2 pu Es decir: Z Eq = ( 0,0098 + j0,0794 )pu Que aunque su conexión sea triángulo coincida con la estrella equivalente. Recuerda : Z λpu = Z ∆pu Busquemos el valor p.u. de la ZLínea: 7,3 + j18,2 Z Línea = = 0,0201 + j0,0501pu 363 A. GORDON de 2000 24 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD La figura f es la que vamos a emplear: Z Eq + Z Línea + Z R = 0,04 + j0,183pu G G G Apliquemos: E = U + Z ⋅ I , tomando U como origen de fases. E = 1 + (1,006 − j0,051) ⋅ ( 0,040 + j0,183 ) = (1049 + j0,182 ) pu Epu = 1065 V Que en valor real es: 1065 ⋅ 11000 ≅ 117000VLínea ( Aprox.) Más o menos como antes. Las diferencias que puede haber son consecuencia de las aproximaciones en las operaciones por uno u otro método. CONSECUENCIA: Por muy complicado que parezca el sistema p.u., aun mas lo es el sistema tradicional. Tiene una ventaja fundamental sobre las 3 y las RT si se parte de un esquema equivalente λ − λ y se trabaja por fase. A. GORDON de 2000 25 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD 8 Problemas resueltos y comentados: Sistema p.u. Problema Nº1 Un sistema tiene por condiciones nominales: 300KVA y 11KV. Empleando estos valores como base hallar la corriente y la impedancia base. Solución: 300 = 27,27A 11 11000 = 403,33Ω Impedancia base: 27,27 Corriente base: Problema Nº2 Empleando como valores base 10MVA y 345KVA, expresar 138KV, 6MVA, 250A y 50 Ω en: a. Por unidad b. Valores porcentuales Solución: a. 138 6 = 0,4pu ∴ = 0,6pu 345 10 10 ⋅ 106 Corriente base: = 28,98A 345 ⋅ 103 Corriente p.u.: 250 = 8,63 28,98 Impedancia base: Impedancia p.u.: 345 ⋅ 103 = 11,9 ⋅ 103 Ω 28,98 50 = 4,2 ⋅ 103 3 11,9 ⋅ 10 b. 4%, 6%, 863% y 0,42% A. GORDON de 2000 26 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Problema Nº3 La impedancia p.u. de un sistema es 0,7. Como base: 300KVA, 11KV. ¿Cuál es el valor óhmico de la impedancia?. ¿Cambiará el valor óhmico si se toman como base, 400KVA y 38KV?. ¿Cuál es la impedancia p.u. para 400KVA y 38KV como valores base? Solución: Corriente base: 300 = 27,27A 11 Impedancia base: 11000 = 403,37Ω 27,27 Impedancia actual: 403,27 ⋅ 0,7 = 282,36Ω (p.u. impedancia )Base nueva 2 400 11 = ⋅ ⋅ 0,7 = 0,0782pu 300 38 Problema Nº4 Una línea de transmisión monofásica alimenta a una carga reactiva con f.d.p inductivo. La carga absorbe 1,2pu de corriente con 0,6pu de tensión y un f.d.p.=0,5pu. Si la tensión base es 20KV y la corriente base es 160A, calcular el f.d.p. y el valor óhmico de la resistencia de la carga. Solución: f.d.p. = 0,5 = 0,694 0,6 ⋅ 1,2 Resistencia p.u.: Zbase = 0,5 = 0,347 1,22 20 ⋅ 103 = 125Ω 160 En ohmios: 0,34 ⋅ 125 = 43,4Ω A. GORDON de 2000 27 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Problema Nº5 Para un sistema se emplea como impedancia base 50 Ω y 250ª como corriente de base, ¿Cuáles son la KVA y d.d.p. base? Solución: d.d.p.base = 50 ⋅ 250 = 12,5KV KVA base = 12,5 ⋅ 250 = 3125KVA Problema Nº6: Los valores p.u. de la impedancia, corriente, tensión y potencia aparente de un sistema son respectivamente: 0,9; 0,3; 0,8 y 12. La impedancia base es 35 Ω y la corriente base es 80A. Determinar los valores actuales de la impedancia, corriente, tensión y VA. Solución: Impedancia actual: 0,9 ⋅ 35 = 31,5Ω Corriente actual: 0,3 ⋅ 80 = 24A Tensión actual: 0,8 ⋅ 80 ⋅ 35 = 2240V ( VA )Actual = 12 ⋅ 2240 ⋅ 24 = 645,12KVA Problema Nº7 El diagrama unifilar de la figura, se precisa redibujar con las bases apropiadas en p.u. para 7000KVA de base. El diagrama unifilar es: 1MVA 11KV Z = j0,1pu 0,5MVA 11KV Z = j0,15pu G 1 G A. GORDON de 2000 2 Z = (10 + j20 ) Ω 2MVA 11KV/33KV Z = j0,15pu 3MVA 33KV/11KV Z = j0,1pu G 3 2MVA 11KV Z = j0,05pu 28 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Solución: La tensión base de G1, G2 y G3 es 11KV y la tensión base para los transformadores y la línea de transmisión es 33KV. G 1 ( 0,064 + j0,129 ) pu j0,7pu G G 3 j0,175pu j0,058pu j0,026pu 2 j2,1pu Problema Nº8 Redibujar el diagrama anterior con todos los valores en ohmios. Solución: G 1 (10 + j20 ) Ω 2 j36,3 Ω 3 j3,025 Ω j12,1 Ω G G j36,3 Ω j9,075 Ω Ref. a 11KV Ref. a 33KV ó ó j4,03 Ω j81,675 Ω Ref. a 33KV Ref. a 11KV Problema Nº9 Un transformador de 100KVA, 20/5KV tiene una impedancia equivalente del 10%. Calcular la impedancia del transformador referida a: a. Al lado de 20KV b. Al lado de 5KV A. GORDON de 2000 29 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Solución: a. ( VA )base = 100000VA Vbase = 20000V 100 = 5A 20 20000 Impedancia base: = 4000Ω 5 Corriente base: Impedancia óhmica: 0,1⋅ 4000 = 400Ω b. ( VA )base = 100000VA Vbase = 5000 V 100 = 20A 5 5000 Impedancia base: = 250Ω 20 Corriente base: 2 5 Impedancia óhmica: 0,1⋅ 250 = 25Ω ; es también: ⋅ 400 = 25Ω 20 Problema Nº10 La figura: 1:2 G 480V 20KVA 10:1 (1 + j3 ) Ω ( 2 + j5 ) Ω Representa el esquema unifilar de una línea de transmisión con los datos que en ella figuran. Tomando la tensión y la potencia del generador como base, expresar la impedancias de línea y de la carga en p.u. Calcular también la corriente en p.u. Admítase que los transformadores son ideales. A. GORDON de 2000 30 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Solución: • Para el generador: ( Vbase )Gen = 480V = 1pu (KVA base )Gen = 20KVA = 1pu (Ibase )Gen = 20 ⋅ 103 = 41,67A = 1pu 480 480 = 11,52Ω = 1pu 41,67 ( Zbase )Gen = • Para la línea de transmisión: 480 = 960V = 1pu 0,5 ( Vbase )Línea = (KVA )Base línea = 20KVA = 1pu (Ibase )Línea = 20000 = 20,83 = 1pu 960 ( Zbase )Línea = ZLínea = • 960 = 46,08Ω = 1pu 20,83 1 + j3 = ( 0,022 + j0,065 ) pu 46,08 Para la carga: ( Vbase )Carga = 960 = 96 V = 1pu 10 (KVA base )Carga = 20KVA = 1pu (Ibase )Carga = 20000 = 208,3 = 1pu 96 ( Zbase )Carga = 96 = 0,4608Ω = 1pu 208,3 A. GORDON de 2000 31 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD ZCarga = • 2 + j5 = ( 4,34 + j10,85 ) pu 0,4608 La corriente p.u. es: ZTotal = ZLínea + ZCarga = ( 0,022 + j0,065 ) + ( 4,34 + j10,85 ) ZTotal = 4,362 + j10,915 = 11,75 68º pu I= 10º 10º = = 0,085 −68º pu ZTotal 11,75 68º Problema Nº11 En la figura se representa un esquema unifilar en el que se tomó como potencia base la aparente de 5000VA, y se pide determinar el esquema equivalente eléctrico en valores por unidad, 250V 1000VA Z=j0,2pu G 250V 2000VA Z=j0,3pu G A 4000VA 800VA 250/800V 1000/500V Zl = 50 + j200 Z=j0,1pu Z=j0,08pu B 2500VA 400V Solución: Tomemos como base: Sb2 = 5000VA y Vb2 = 250 V Para la máquina GA se tiene respecto a su propia base 1, Z Apu1 = j0,2 ∴ Sb1 = 1000VA ∴ Vb1 = 250V Al cambiar la impedancia respecto a la base 2: VApu2 = j0,2 ⋅ 2502 5000 ⋅ = j1 2502 1000 A. GORDON de 2000 32 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Para la máquina GB con respecto a su propia base (Base1) ZBpu1 = j0,3 ∴ Sb1 = 2000VA ∴ Vb1 = 250V Que corresponde a la nueva base 2: ZBpu2 = j0,3 ⋅ 2502 5000 ⋅ = j0,75 2502 2000 Para el TA con respecto a su propia base se tiene: Z Apu1 = j0,1∴ Sb1 = 4000VA;Vb1 = 250V (Pr imario ) Por lo que respecto a la nueva base 2, tendrá una impedancia: Z Apu2 = j0,1⋅ 2502 5000 ⋅ = j0,125 2502 4000 Para la línea de transporte la impedancia está referida al lado de 800V, su valor p.u. es: Zb2 = 8002 50 + j200 ∴ ZLpu2 = ⋅ 5000 = 0,39 + j1,56 5000 8002 Para el transformador TB: ZBpu1 = j0,08 ∴ Sb1 = 8000VA ∴ Vb1 = 1000V (Pr imario ) Y resulta que: ZBpu2 = j0,08 ⋅ 10002 5000 ⋅ = j0,078 8002 8000 Téngase en cuenta que para este transformador la tensión base Vb2 = 250 V se ′ = 800 V transforma en el lado de alta tensión en Vb2 La potencia de la carga, en p.u. es: S2pu = 2500 = 0,5 5000 A. GORDON de 2000 33 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD j1pu 1 j0,125pu (0,39+j1,56)pu j0,078pu j0,75pu 2 S = 0,5pu Problema Nº12 Consideran el esquema unifilar de la figura adjunta en el que se pide calcular: c =( + e d ZL = 300Ω G 13,2KV 5MVA 13,2/132KV X1 = 0,1pu a. b. c. d. )Ω 10MVA 138/69KV X2 = 0,08pu La corriente suministrada por el generador La corriente en la red de alta tensión La corriente en la carga La potencia aparente de la carga Solución: Tomamos Sb = 10MVA . Elegimos una tensión base en d, Vb2 = 138KV que de acuerdo con las relaciones de transformación de los transformadores del principio y final de línea, corresponden a los valores base en las partes c y e siguientes: Vb1 = 13,2KV y Vb3 = 69KV . Las impedancias base para las tres secciones son: Zb3 ( 69 ⋅ 10 ) = Zb2 (138 ⋅ 10 ) = 3 10 ⋅ 10 6 3 10 ⋅ 10 A. GORDON de 2000 2 6 = 476Ω ∴ ZLCarga = 300 = 0,63pu 476 2 = 1904Ω ∴ ZLinea = 10 + j100 = 0,05278 84º Ω 1904 34 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD La reactancias de los transformadores referidos a estos valores base son: 13,2 X1nuevo = 0,1⋅ 13,8 X2nuevo 2 10 ⋅ = 0,183pu 5 138 = 0,08 ⋅ 138 2 10 ⋅ = 0,08pu 10 La tensión de línea del generador vale: VG = 13,2 = 0, 96pu 13,8 El esquema equivalente al del enunciado en valor p.u.: j0,183 G 0,05278 84º j0,08 0,96 0º 0,63pu ZT = 0,63 + j ( 0,183 + 0,08 ) + 0,05278 84º ZT = 0,635517 + j0,031549 = 0,7095126,401º Ipu = 0,96 = 1,35 −26,4º A 0,709 26,4º V3pu = 0,63 ⋅ Ipu = 0,8505 −26,4º V La potencia de la carga es : * SLpu = Vpu ⋅ Ipu = 0,8505 −26,4º ⋅ 1,35 26,4º = 1,148 La corrientes base en cada ramo se hallan: 10 ⋅ 106 S 3 Ib1 = b = = 418,4A Ub1 13,8 ⋅ 103 3 A. GORDON de 2000 35 TRANSFORMADORES: SISTEMA POR UNIDAD Ib2 = 13,2 ⋅ 418,4 = 41,84A 132 Ib3 = 138 ⋅ 41,84 = 83,67A 69 La corriente del generador es: I1 = 1,35 ⋅ 418,4 = 584,8A La corriente en la red de alta tensión es: I2 = 1,35 ⋅ 41,84 = 58,48A La corriente en la carga es: I3 = 1,35 ⋅ 83,67 = 112,95A La tensión y la potencia de carga son: V3 = 0,850855 ⋅ 69 = 58,68KV SL = 1,148 ⋅ 10 = 11,48MVA A. GORDON de 2000 36