Leyes de elementos 𝑇𝐽𝑚 = 𝐽𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 … (𝑎) 𝑑𝑡 2 𝑇𝐽𝑎 = 𝐽𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 … (𝑏) 𝑑𝑡 2 𝑇𝐵𝛩𝑚 = 𝐵𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 … (𝑐) 𝑑𝑡 𝑇𝐵𝛩𝑎 = 𝐵𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 … (𝑑) 𝑑𝑡 𝑇𝑘𝛩 = 𝑘𝛩 (𝛩𝑚 − 𝛩𝑎) … (𝑒) Leyes de conjunto 2 grados de libertad, 𝛩𝑚 y 𝛩𝑎, debido a la presencia del resorte, así: Inercia Jm) 𝑇𝑒 (𝑡) − 𝑇𝐽𝑚 − 𝑇𝐵𝛩𝑚 − 𝑇𝑘𝛩 = 0 … (𝛼) Inercia Ja) 𝑇𝑘𝛩 − 𝑇𝐽𝑎 − 𝑇𝐵𝛩𝑎1 − 𝑇𝐵𝛩𝑎2 = 0 … (𝛽) Con (a), (b), (c), (d) y (e) en α y β y arreglando: 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝐽𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 + 𝐵𝛩𝑚 + 𝑘𝛩 (𝛩𝑚 − 𝛩𝑎) … (𝛼1) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑘𝛩 (𝛩𝑚 − 𝛩𝑎) = 𝐽𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 + (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) … (𝛽1) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 De (𝛽1) despejar 𝛩𝑚 𝛩𝑚 = Derivar 𝛩𝑚 𝐽𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑𝛩𝑎 + + 𝛩𝑎 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 𝑑𝛩𝑚 𝐽𝑎 𝑑3 𝛩𝑎 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑2 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 = + + 𝑑𝑡 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Derivar 𝑑𝛩𝑚 𝑑𝑡 𝑑2 𝛩𝑚 𝐽𝑎 𝑑4 𝛩𝑎 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑3 𝛩𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 = + + 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 4 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 De 𝛽1 sustituir en 𝛼1 𝐽𝑎 𝑑4 𝛩𝑎 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑3 𝛩𝑎 𝑑 2 𝛩𝑎 𝐽𝑎 𝑑3 𝛩𝑎 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝐽𝑚 ( + + ) + 𝐵𝛩𝑚 ( 𝑘𝛩 𝑑𝑡 4 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑2 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 𝐽𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑𝛩𝑎 + + ) + 𝑘 ( + + 𝛩𝑎 𝛩 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 − 𝛩𝑎) 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝐽𝑚𝐽𝑎 𝑑4 𝛩𝑎 𝐽𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑3 𝛩𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 𝐵𝛩𝑚𝐽𝑎 𝑑3 𝛩𝑎 + + 𝐽𝑚 + 𝑘𝛩 𝑑𝑡 4 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝐵𝛩𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑2 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 + + 𝐵𝛩𝑚 + 𝐽𝑎 + (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 2 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐽𝑚𝐽𝑎 𝑑4 𝛩𝑎 𝐽𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑3 𝛩𝑎 𝑑2 𝛩𝑎 𝐵𝛩𝑚𝐽𝑎 𝑑3 𝛩𝑎 + + 𝐽𝑚 + 𝑘𝛩 𝑑𝑡 4 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 2 2 𝐵𝛩𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 𝑑 𝛩𝑎 𝑑𝛩𝑎 + + 𝐵𝛩𝑚 + 𝐽𝑎 + (𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 2 2 𝑘𝛩 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Para 𝑊𝑎(𝑡) 𝑊𝑎(𝑡) = 𝑑𝛩𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑇𝑒 (𝑡) 𝐽𝑚𝐽𝑎 𝑑 3 𝑊𝑎 𝐽𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑2 𝑊𝑎 𝑑𝑊𝑎 𝐵𝛩𝑚𝐽𝑎 𝑑2 𝑊𝑎 = + + 𝐽𝑚 + 𝑑𝑡 𝑘𝛩 𝑑𝑡 3 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑘𝛩 𝑑𝑡 2 𝐵𝛩𝑚(𝐵𝛩𝑎1 + 𝐵𝛩𝑎2 ) 𝑑𝑊𝑎 𝑑𝑊𝑎 + + 𝐵𝛩𝑚(𝑊𝑎) + 𝐽𝑎 𝑘𝛩 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (𝐵𝛩𝑎 ) + 1 + 𝐵𝛩𝑎2 (𝑊𝑎) Desarrollando las ecuaciones del sistema de transmisión de la figura 𝐽𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 + 𝐵𝛩𝑚 + 𝐽𝑒 + 𝐵𝛩𝑒 + 𝑇1 = 𝑇𝑒 (𝑡) … (𝐴) 1 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑇2 = 𝐽𝑒2 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 + 𝐽𝑐 + 𝐵𝛩𝑐 … (𝐵) 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 De acuerdo con la ecuación 𝛩1 𝑁2 𝛩𝑚 𝑇2 = = = 𝛩2 𝑁1 𝛩𝑐 𝑇1 𝑇2 = 𝑇1 𝛩𝑚 𝛩𝑐 𝑇1 = 𝑁1 𝑇2 𝑁2 De A sustituir 𝐽𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑁1 𝑇2 + 𝐵𝛩𝑚 + 𝐽𝑒 + 𝐵𝛩𝑒 + = 𝑇𝑒 (𝑡) 1 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑁2 Despejar 𝑇2 𝑁1 𝑇2 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 (𝑡) = 𝑇𝑒 − 𝐽𝑚 − 𝐵𝛩𝑚 − 𝐽𝑒 − 𝐵𝛩𝑒 1 𝑁2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑇2 = 𝑁2 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 (𝑇𝑒 (𝑡) − 𝐽𝑚 − 𝐵𝛩𝑚 − 𝐽𝑒 − 𝐵𝛩𝑒 ) 1 2 2 𝑁1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑇2 𝑒𝑛 𝐵 𝑁2 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 𝑑2 𝛩𝑚 𝑑𝛩𝑚 (𝑇𝑒 (𝑡) − 𝐽𝑚 − 𝐵𝛩𝑚 − 𝐽𝑒 − 𝐵𝛩𝑒 ) 1 2 2 𝑁1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 = 𝐽𝑒2 + 𝐽𝑐 + 𝐵𝛩𝑐 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑁2 𝛩𝑐 = 𝛩𝑚 𝑁1 𝑁2 2 𝑁1 (𝑡) − 𝐽𝑚 2 (𝑇𝑒 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 − 𝐵𝛩𝑚 − 𝐽𝑒 − 𝐵𝛩𝑒 ) = 𝐽𝑒 + 𝐽𝑐 + 𝐵𝛩𝑐 1 2 2 2 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑁2 2 𝑁1 2 𝑅 2 (𝑇𝑒 (𝑡) − 𝐽𝑚 = 𝑅2 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 − 𝐵𝛩𝑚 − 𝐽𝑒 − 𝐵𝛩𝑒 ) = 𝐽𝑒 + 𝐽𝑐 + 𝐵𝛩𝑐 1 2 2 2 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅 2 𝑇𝑒 (𝑡) = (𝐽𝑒2 + 𝐽𝑐) 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 𝑑2 𝛩𝑐 𝑑𝛩𝑐 2 + 𝐵𝛩𝑐 +𝑅 (𝐽𝑒 + 𝐽𝑚) +𝑅2 (𝐵𝛩𝑒 + 𝐵𝛩𝑚) 1 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡