Ejercicios. Itzel Hernández Huerta. Aarón Ernesto Escobar Duran. Diana Laura Corona Rodríguez. José Alejandro Jiménez Cuca. Juan Manuel Ortiz Ortiz. 15 de Agosto del 2022. ACTIVIDAD IV: EJERCICIOS Fecha: 15 / 08 / 2022 Nombre de los estudiantes: Aarón Ernesto Escobar Duran. Diana Laura Corona Rodríguez. José Alejandro Jiménez Cuca. Juan Manuel Ortiz Ortiz. Nombre del docente: Itzel Hernández Huerta. 1. Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre: Diferenciación Derivadas parciales y de orden superior Derivación parcial implícita Diferenciales Regla de la cadena para varias variables Derivadas direccionales y gradientes, divergencia y rotacional, interpretación geométrica y física Extremos de funciones de dos variables Multiplicadores de Lagrange Ejercicios 1. Diferenciales Revisa la Página 141 y resuelve los ejercicios 1, 2, 5, 6 y 9 1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 + 𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝐷𝑓 = [𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑥] Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) + 𝒚𝟑 𝐷𝑔 = [𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦, 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 3 𝑦 2 ] 𝐷(𝑓 + 𝑔) = [𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒚 , 𝒙 + 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 ] 2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒆𝒙+𝒚 , 𝒙𝒆𝒚 ), 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 𝐷𝑓 = [𝑒 𝑦 𝑒 𝑒𝑦 ] 𝑒 𝑥 𝒈(𝒙, 𝒚) = (𝑰𝒏(𝒙𝒚, 𝒚𝒆𝒙 ) 𝑦 𝐷𝑔 = [ 𝑥𝑦 𝑦𝑒 𝑥 𝒚 𝒆𝒙+𝒚 + 𝒙𝒚 𝐷(𝑓 + 𝑔) = [ 𝒆𝒚 + 𝒚𝒆𝒚 5. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟑 , 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 , 𝑒 𝒙 𝒙𝒚] 𝒙𝒆𝒚 + 𝒆𝒙 𝒆𝒙+𝒚 + 𝒙 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒚 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦 2 + 𝐷𝑔 = [𝑦 1 −𝑥 ] 𝑦2 1 𝑥 𝐷(𝑓𝑔) = ( ) [2𝑥𝑦, 𝑥 2 + 3𝑦 2 ] + (𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 ) [ 𝑦 𝑦 −𝑥 ] 𝑦2 𝐷𝑓 = [2𝑥𝑦, 𝑥 2 + 3𝑦 2 ], 𝑥 𝑥𝑦 ] 𝑥 𝑦4 𝑥 𝐷(𝑓𝑔) = [3𝑥 2 + 𝑦 2 , 2𝑥𝑦] 𝟏 −𝒙 𝒙 ( ) [𝟐𝒙𝒚, 𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 ] + (𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟑 ) [𝒚 ] 𝒚 𝒚𝟐 𝐷(𝑓/𝑔) = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 6. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙𝒚 , 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑦 𝐷𝑔 = [𝑠𝑒𝑛 2𝑦, 2𝑥 cos 2𝑦], 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑥 𝑒𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 𝐷(𝑓𝑔) = [𝑠𝑒𝑛 2𝑦(𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 ), 𝑥(𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 + 2𝑒 𝑥𝑦 cos 2𝑦] 𝐷(𝑓𝑔) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑦[𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ] + 𝑒 𝑥𝑦 [𝑠𝑒𝑛 2𝑦, 2𝑥 cos 2𝑦] 𝐷(𝑓/𝑔) = [ 𝐷𝑓 = [𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ], 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒚[𝒚𝒆𝒙𝒚 , 𝒙𝒆𝒙𝒚 ] − 𝒆𝒙𝒚 [𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒚, 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒚] ] 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒚 9. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 𝒚𝟕 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟕𝒙𝒚 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 7 + 3𝑦 2 − 7𝑦, 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 7𝑥 3 𝑦 6 + 6𝑥𝑦 − 7𝑥 𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 7 , 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 21𝑥 2 𝑦 6 + 6𝑦 − 7 𝒇𝒚𝒙 = 𝟐𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟔 + 𝟔𝒚 − 𝟕 𝒇𝒚𝒚 (𝒙, 𝒚) = 𝟒𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟓 + 𝟔𝒙 12. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚𝒛 𝝏𝑭 𝝏𝒙 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = 𝒚𝒛 𝝏𝑭 𝝏𝒛 = 𝒙𝒛 = 𝒙𝒚 𝒙+𝒚+𝒛 15. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑 (𝟏+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )𝟐 𝝏𝑭 𝝏𝒙 = 𝟏−𝟐𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 −𝟑𝒙𝒚−𝟑𝒙𝒛 𝟑 (𝟏+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )𝟐 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = 𝟏−𝒙𝟐 −𝟐𝒚𝟐 +𝒛𝟐 −𝟑𝒙𝒚−𝟑𝒚𝒛 𝟑 (𝟏+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )𝟐 𝝏𝑭 𝝏𝒛 = 𝟏−𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝟐𝒛𝟐 −𝟑𝒙𝒛−𝟑𝒚𝒛 𝟑 (𝟏+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )𝟐 Ejercicios 2. Derivadas parciales y de orden superior Revisa las Página 131 y 132 y resuelve los ejercicios 1-17 (sólo los múltiplos de 3) Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM 1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 3. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒚 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒚 + 𝒔𝒆𝒏 𝒚 6. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝟐𝒙 = 𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝝏𝒇 𝝏𝒚 𝟐𝒚 = 𝒙𝟐+𝒚𝟐 9. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒆𝒚 + 𝒚 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚) 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝒆𝒚 + 𝟐 𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 + 𝒚) 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝒙𝒆𝒚 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚) + 𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 + 𝒚) Ejercicios 3. Derivadas implícitas Revisa la Página 913 y resuelve los ejercicios 47 y 49 Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf Ejercicios 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables Revisa la Página 930 y resuelve los ejercicios del apartado 7-12: 7, 9 y 11 Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf Mediante la regla de la cadena encuentre Ejercicios 5. Derivadas direccionales y gradientes Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Páginas 983 y 984): Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf Ejercicios 6. Rotacionales y divergencias Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Página 1089): Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf Ejercicios 7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos) Revisa la Página 954 apartado 5-18 y resuelve los ejercicios: 5, 7, 9 y 13 Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf 5-18 Calcule los valores máximo y mínimo locales, y punto o puntos sillas de la función. Si dispone de programas para traficación tridimensional, grafique la función con un dominio y desde otra perspectiva que revele todos los aspectos importantes de la función. 5. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝒚 𝑓𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 𝑓𝑥 = 0 𝑓𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 − 1 𝑓𝑥𝑥 = 2 y= −2𝑥 𝑓𝑦 = 𝑥 + 2(−2𝑥) + 1 = −3𝑥 + 1 = 0 3𝑥 = 1 𝑥= 1 3 𝑦 = −2𝑥 = − 2 3 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 = (2)(2) − (1)2 = 3 1 3 2 3 1 3 𝐷( ,− ) = 3 > 0 2 3 𝑓𝑥𝑥 ( , − ) = 2 > 0 𝟏 𝟐 𝟏 Mínimo relativo 𝒇 (𝟑 , − 𝟑) − 𝟑 1 2 Punto Crítico 𝑃 (3 − 3) 7. 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙 − 𝒚)(𝟏 − 𝒙𝒚) 𝑓𝑥 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 𝑓𝑥 = 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑓𝑥𝑥 = −2𝑦 𝑓𝑦 = −1 − 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 𝑓𝑥𝑦 = −2𝑥 + 2𝑦 𝑓𝑥 = 0 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 0 𝑓𝑦 = 0 − 1 − 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑓𝑦𝑦 = 2𝑥 𝑦2 = 𝑥2 Si 𝑦 = −𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑁ú𝑚𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 = 𝑥 = 𝑥 2 = 1 = 𝑥 = ±1 Puntos Críticos P1=(1,1) P2=(-1,-1) 𝐷(1,1) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 = (−2)(2) − 02 = 𝟒 𝐷(−1,1) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 = (2)(−2) − 02 = −𝟒 𝐷(𝑥, 𝑦) < 0 P1= (1,1) P2= (-1,-1) son puntos silla 𝑓𝑥𝑦 = 1 𝑓𝑦𝑦 = 2 9. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟐 𝑓𝑦 = 3𝑦 2 + 3𝑥 3 − 12𝑦 𝑓𝑥 = 6𝑥𝑦 − 12𝑥 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑦 − 12 𝑓𝑥 = 0 𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥 0 = 6𝑥(𝑦 − 2) 𝑓𝑦𝑦 = 6𝑦 − 12 𝑥=0 𝑦=2 Sí x= 0 se tiene que; 𝑓𝑦 = 0 0 = 3𝑦(𝑦 − 4) Puntos críticos = (0,0) (0,4) Sí y= 2 se tiene que; 𝑓𝑦 = 0 0 = 3(2)2 + 3𝑥 3 − 12(2) 𝑥 = ±2 (±2,2) 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 (0,0) 2 (6𝑦 − 12)(6𝑦 − 12) − (6(0)) 𝐷(𝑥, 𝑦) = (−12)(−12) − 0 = 144 > 0 𝑓𝑥𝑥(0,0) = −12 > 0 𝑓(0,0) = 𝟐 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 (0,4) 2 (6(4) − 12)(6(4) − 12) − (6(0)) 𝐷(𝑥. 𝑦) = (12)(12) − 0 = 144 > 0 𝑓𝑥𝑥(0,4) = 12 > 0 𝑓(0,4) = −𝟑𝟎 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 (±2,2) 2 (6(2) − 12)(6(2) − 12) − (6(2)) 2 𝐷(𝑥. 𝑦) = (0)(0) − (6(±2)) = −144 < 0 𝑓𝑥𝑥(±2,2) = 12 > 0 (2,2) (−2,2) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑙𝑙𝑎 12 + 3𝑥 3 − 24 = 0 𝑥2 = 4 13. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝑓𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 𝑓𝑥 = 0 𝑓𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 𝑦 cos 𝑦 = 0 𝑜 𝑦= 𝜋 + 𝑛𝜋 2 𝑜 𝑛∈𝑍 𝝅 𝐬𝐢𝐧 ( ) + 𝒏𝝅 ≠ 𝟎∃𝑨 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑪𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔 𝟐 Ejercicios 8. Multiplicadores de Lagrange Revisa la Página 963 apartado 3-14 y resuelve los ejercicios: 3, 5, 6 y 11 3. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf 𝒙𝒚 = 𝟏 ∇𝑓 = λ∇g g(x, y) = 1 (2𝑥, 2𝑦) = (λy. λx) ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = λ∇g(x, y) Entonces 𝑓𝑥 = λgx → 2x = λy 𝑓𝑦 = λgy → 2y = λx 𝑔=1 → 𝑥𝑦 = 1 𝑥≠0 𝑦≠0 Por lo que; 𝑥2 = 𝑦2 = 1 𝑥 = 𝑦 = ±1 𝒇(𝟏, 𝟏) 𝒚 (−𝟏, 𝟏) 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 𝒅𝒆 𝒇 𝒇(𝟏, 𝟏) = 𝒇(−𝟏, −𝟏) = 𝟐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝟏 𝟓. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 , 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟒 1 (−2𝑥, 2𝑦) = ( λx, 2λy) 2 ∇𝑓 = λ∇𝑔 𝑥(4 + λ) = 0 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 x=0 o λ = −4 𝑥=0 → 𝑦 = ±1 λ = −4 → 2y = 8y 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 − 2𝑥 = λx 2 2y = 2λy 𝑦=0 → 𝑥 = ±2 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 𝒅𝒆 𝒇 (𝟎, ±𝟏) , (±𝟐, 𝟎) 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒇(𝟎, ±𝟏) = 𝟏 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒇(±𝟐, 𝟎) = −𝟒 𝟔. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙𝒚 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟏𝟔 ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = λ∇𝑔(x, y) → (𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) = (&3λ𝑥 2 , 3λ𝑦 2 ) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑥 = λ𝑔x → 𝑦𝑒 𝑥𝑦 = 3λ𝑥 2 𝑓𝑦 = λ𝑔y → 𝑥𝑒 𝑥𝑦 = 3λ𝑦 2 𝑔 = 16 → 𝑥 3 + 𝑦 3 = 16 λ= 𝑦𝑒 𝑥𝑦 3𝑥 2 𝑥3 = 𝑦3 2𝑥 3 = 16 𝑥=𝑦=2 (2,2) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑓 = (𝟐, 𝟐) ≈ 𝟓𝟒. 𝟔 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 𝟏𝟏. 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝟐) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ; 𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 + 𝒛𝟒 = 𝟏 Conclusión Como ya lo sabemos, uno de los objetivos principales del cálculo vectorial es estudiar los significados ya sea geométrico o fisico de los métodos que se emplean en las soluciones y ejercicios de cálculo diferencial e integral. Hablando de la utilidad de las funciones vectoriales de variable real, nos permite resolver problemas donde lo que se tiene son números y con base a los conocimientos que nos brinda la resolución de estos problemas, nos permite transformalo en un vector, los cuales son de gran utilidad en la ingeniería, especialmente en la ingeniería mecánica. En resumen, nos permite obtener la posición de una particula u objeto y la facilidad de poder representarlo por medio de vectores en donde a base de derivadas nos representan su velocidad asi como su aceleración.