UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN
MARCOS
(UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ASIGNATURA
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
DOCUMENTO
RECOPILACIÓN DEL CURSO DE TEORÍA DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS CON TEORÍA, EJERCICIOS Y PROBLEMAS
RESUELTOS IMPARTIDAS POR EL DOCENTE
DOCENTE
REGULO ANGEL SABRERA ALVARADO
ALUMNA
Romero Avila, Joselyn
LIMA-PERÚ
2022
22
b) Vector unitario
Robotica y Cibernética
a
z
4u
3u
b
A
ua
B
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
6u
y
10u
x
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
a
a
ua
a
a
A (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por
el vector unitario que le corresponde, así:
a a uˆ a
-
Propiedad:
Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejemplo: 13
En la Figura, hallar A B si: A =5 u y
B =3 u.
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B , así
û b
(3; 6;6)
[(3) (6)2 62 ]1/2
2
1 2 2
û b ( ; ; )
3 3 3
B B uˆ b (3)(
1 2 2
; ; )
3 3 3
z
B (1; 2; 2)
4u
3u
A
Luego, la resultante de la suma de A y B ,
y su módulo, son:
B
6u
y
R (3; 4;0) (1; 2;2)
x
10u
a) 6,0 u
b) 6,2 u
c) 6,4 u
d) 6,6 u
e) 6,8 u
Solución:
Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B .
R (2; 6;2)
R [(2)2 (6)2 (2)2 ]1/2
R 6,6u
D
23
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
A B B A
A (B C) A B A C
m(A B) (mA) B A (mB)
ˆi ˆi ˆj j kˆ kˆ 1
Análisis Vectorial
03
PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m" , "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A
(conmutativa)
ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ 0
2) A (B C) (A B) C (asociativa)
3) m A A m
(conmutativa)
Dados: A A1ˆi A2ˆj A3kˆ
B B1ˆi B2ˆj B3kˆ
4) m (n A) (mn) A m A n (distributiva)
5) (m n) A m A n A
(distributiva)
6) m (A B) m A m B
b) Producto escalar
(distributiva)
1) Definición
A
RASA
0
Se verifican las siguientes relaciones:
A B A1B1 A2B2 A3B3
A A A12 A22 A32 A2
B B B12 B22 B32 B2
Si A B 0 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejemplo: 14
¿Para qué valor de " " los vectores ( a +
b ) y ( a b ) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
B
Dado dos vectores A y B , su producto es
calar o interno se representa por A B , y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo "" que for
man, esto es,
A B A B cos
0
a) 2/3
b) 3/2
d) 5/3
e) 3/4
Solución:
Por propiedad, si dos vectores son per
pendiculares entre sí, su producto escalar
es igual a cero así:
(a b) (a b) 0
el resultado de A B es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
c) 3/5
a 2 a b b a 2 b2 0
a 2 2 b2 0
24
Robotica y Cibernética
a2
a
2
2
b
b
3
5
C
ˆixiˆ ˆjxjˆ kxk
ˆ ˆ 0ˆ
ˆixjˆ kˆ ; ˆjxkˆ ˆi ; kxi
ˆ ˆ ˆj
Dados: A A1ˆi A2ˆj A3kˆ
B B1ˆi B2ˆj B3kˆ
c) Producto vectorial
ˆj
ˆi
A x B A1 A 2
B B
2
1
1) Definición
C
kˆ
A3
B3
B
u
paralelogramo de lados A y B .
RASA
El módulo de AxB representa el área del
A
Ejemplo: 16
Hallar el modulo (en N.m) del momento
de la fuerza F =(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
Dado dos vectores A y B , su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo "" que for
man, esto es:
a) 5,8
A x B ABsen uˆ
0
siendo û un vector unitario que indica la
dirección del producto AxB .
Si, A B , o bien si A tiene la misma di
rección que B , sen 0 , con lo que que
da probado AxB 0 .
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
A x B Bx A
A x (B C) A x B A x C
m(A x B) (mA) x B A x (mB)
Si AxB 0 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
b) 6,0
c) 6,2
d) 6,4
e) 6,8
Solución:
Calculemos el vector de posición r , así:
r A B (4; 2; 3) (3; 2; 1)
r (1; 4 ; 4)
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
ˆi ˆj kˆ
M B r x F 1 4 4
2 4 5
25
Análisis Vectorial
M B [(4)(5) (4)(4)] ˆi
[(1)(5) (2)(4)] ˆj
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0 ; 0 ;1)
[(1)(4) (2)(4)] kˆ
a x b (0 ; 0 ; 9)
MB (20 16) ˆi (5 8) ˆj (4 8) kˆ
(a x b) c (0 ; 0 ;9) (0 ; 0 ; 3)
MB 4 ˆi 3 ˆj 4 kˆ
MB 6,4 N m
(a x b) c 27u 3
D
Ejemplo: 18
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
Ejemplo: 17
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 300. Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a x b) c .
a) 21 u3
b) 23 u3
c) 25 u3
d) 27 u3
e) 29 u3
Solución:
En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a x b , así:
a x b a b sen
1
a x b (6)(3)( ) 9
2
Representación de los vectores a , b y c ,
con a , b contenidos en el plano XY.
D
a) (2/3; 2/3; 1/3)
b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3)
d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Solución:
Primero calculemos el producto a x b :
ˆi ˆj kˆ
axb 2 2 1
1 0 1
a x b (2 ; 1; 2)
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a x b y a c . De esto, se deduce
que debe ser colineal al vector (a x b) x c .
c
j
k
300
b
ˆi ˆj kˆ
(a x b) x c 2 1 2
1 1 4
(a x b) x c (6 ; 6 ; 3)
a
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
u
(a x b) x c
(a x b) x c
(6 ; 6 ; 3)
9
26
Robotica y Cibernética
2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3
A
(A x B) (C x D) (A C)( B D)
(A D)(B C)
c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A x B) x(C x D) (A ( BxD))C
(A (Bx C))D
Ax(Bx(C x D)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
(A B)C ; A (Bx C) y A x (Bx C)
A x (Bx C) (A x(B)x C
Ejemplo: 19
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k R.
A (Bx C) B (Cx A) C (AxB)
a) 60 u3
Se cumplen las siguientes relaciones:
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
A1 A 2
A (Bx C) B1 B2
C1 C2
Siendo:
b) 62 u3
c) 64 u3
d) 66 u3
e) 68 u3
Solución:
Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a , b y c .
Z
A3
B3
C3
A A1 ˆi A2 ˆj A3 kˆ
B B1 ˆi B2 ˆj B3 kˆ
C C1 ˆi C2 ˆj C3 kˆ
c
b
Y
a
X
El producto mixto (a x b) c es igual al vo
lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
4 0 0
El producto A (Bx C) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
A x (Bx C) se llama triple vectorial.
A x (Bx C) (A x B) x C
A x (Bx C) (A x C)B (A B)C
(A xB) x C (A x C)B (B C)A
V (a x b) c 0 4 0
0 k 4
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
V 64u 3
C
27
Análisis Vectorial
d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r" , "" y "" , siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, "" el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y ""
el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
cos(1 2 ) cos 1 cos 2
sen 1 sen 2
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
04
PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Z
A
Z
P
0
Y
X
0
X
Y
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
cos2 cos2 cos2 1
RASA
x rsen cos ; y rsen sen
z r cos
Por ejemplo, sean r1 (r1; 1; 1) , r2
(r2 ; 2 ; 2 ) las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12 al ángulo
que forman r1 y r2 , entonces expresando el
producto escalar r1 r2 r1 r2 cos12 , en fun
ción de î , ˆj , k̂ se demuestra que se cum
ple que:
cos 12 sen 1 sen 2 cos(1 2 )
cos 1 cos 2
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
donde, , y son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.
Ejemplo: 20
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =1200 y =450.¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 300
b) 370
c) 450
d) 530
e) 600
Solución:
Sustituyendo =1200, =450, en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo , así:
cos2 cos2 cos2 1
cos2 120o cos2 cos2 45o 1
28
Robotica y Cibernética
1
1
1
cos2 1 cos
4
2
2
1 60o ó 2 120o E
Ejemplo: 21
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u
b) 5,2 u
c) 5,4 u
d) 5,6 u
e) 5,8 u
Solución:
Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
cos2 cos2 cos2 1
3cos 2 1 cos
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
Pr oyba (
ab
b
2
)b , b 0
Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejemplo: 22
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4)
b) (4 ; 3)
c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6)
e) (2 ; 6)
Solución:
Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .
3
3
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
Mx M y Mz M cos
b
Pr oy b a
a
RASA
M x M y Mz 3
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)
ó M ( 3 ; 3 ; 3) B
b) Proyección de un vector
La proyección del vector a sobre el vector
b , es un vector que tiene la misma direc
ción del vector b , y viene dado por:
Pr oyba Comp ba
Pr oyba
a
Pr oyba
b
Pr oyba
b
b
ab b
b b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
5
5
Pr oyba (10)
(3; 4)
(6; 8)
5
29
Análisis Vectorial
Pr oyba 6 ˆi 8 ˆj C
Compba a cos a cos
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
Compba
ab
b
Compba
, b0
Compba
a b cos
b
b
ab
b
(5)(2) (2)(1) (5)(2)
3
Compba 6
a
b
B
d) Distancia de un punto a una recta
b
Compba
P
Y
n̂
La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
Pr oy ba Comp ba
b
b) 6
d) 10
c) 8
e) 12
Solución:
En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ( "m" ), el cual, viene dado por:
b
m
Q
X
En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el vec
tor a , viene dada por:
d
(P Q) n
a
Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejemplo: 24
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector c 4 ˆi ˆj 3 kˆ .
a
L
a
0
b
Ejemplo: 23
Hallar la componente del vector a =(5; 2;
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
a) 4
d
a) 19,1 u
b) 19,3 u
c) 19,5
u
d) 19,7 u
e) 19,9 u
30
Robotica y Cibernética
Solución:
Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
c
k
j
d
B
L1
1
22 ˆi 97 ˆj 3 kˆ
26
d
[(22)2 (97)2 (3)2 ] 1/2
26
Z
d
d
i
Y
0
A
e
9902 99,51
5,11
26
d 18,5 u
C
e) Distancia entre dos rectas
X
n axb
El vector que va de B hacia A es igual a:
L2
e A B 7 ˆi ˆj 19 kˆ
Q
La ecuación de la recta (L1) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4
1
3
De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, c 4iˆ ˆj 3kˆ es:
d
La distancia del punto A a la recta L1,
viene dado por:
exc
c
d
ˆi
d
ˆj
kˆ
1
7 1 19
26
4 1 3
RASA
L1
P
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
c [(4)2 (1)2 (3)2 ] 1/2
c 26
d
(Q P) (a x b)
axb
siendo, n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P" , "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L1 y L2,
respectivamente.
Ejemplo: 25
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L1: (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L2: (x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/4.
a) 8,17 u
b) 8,37 u
c) 8,57 u
d) 8,77 u
e) 8,97 u
31
Análisis Vectorial
Solución:
De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
tg
P (8;10;6) ; Q (1;1;1)
m2 m1
1 m1 m 2
Y
L2
L1
a (2; 3;1) y b (1; 2 : 4)
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a x b , así:
0
X
Ejemplo: 26
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
ˆi ˆj kˆ
a x b 2 3 1
1 2 4
a x b (10; 9; 7)
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
d
2
1
(Q P) (9; 9; 5)
d
RASA
(Q P) (a x b)
a) 30,870
b) 32,870
c) 34,870
d) 36,870
e) 38,870
Solución:
En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2, así:
tg 1 tg(180o 1)
axb
tg 1
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
[(10)2 (9)2 (7)2 ]1/2
tg180o tg 1
1 tg180o tg 1
2
tg 2 tg(180o 2 )
d
136
tg 1
230
d 8,97u
tg180o tg 2
1 tg180o tg 2
1
2
E
06
f) Angulo entre dos rectas
El ángulo "" formado por las rectas L1,
L2 de pendientes m1=tg 1 y m2=tg 2,
viene dado por;
OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
32
Robotica y Cibernética
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente . Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V= E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
(f+g)= f+g
(Distributiva)
(f)= f, (linealidad del operador )
El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
x (V)= 0
4) Expresión matemática general
La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
V
1 V
1 V
1 V
eˆ1
eˆ 2
eˆ 3
h1 q1
h 2 q 2
h 3 q3
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q1=, q2=, q3=z, y
h=1, h=, hz=1, con lo que:
V
V
1 V
V
ˆ
ˆ
zˆ
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:
33
todo v y es una función continua de dicho
vector.
Análisis Vectorial
gij
x i
eˆ j
donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni
ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.
E V
dF
F(r v) F(r)
(v) im
v 0
dr
v
dF
(v) (F) v
dr
Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k T
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.
34
Robotica y Cibernética
Ejemplo: 28
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x2+2x+y2+y3+xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Solución:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
F ˆ F ˆ
F
i
j
x
y
2
F
(x 2x y 2 y3 xy)iˆ
x
2
(x 2x y 2 y3 xy)ˆj
y
x 2 2x y 2 y3 xy ˆ
F (
)i
x
x
x
x
x
x 2 2x y 2 y3 xy ˆ
(
)j
y
y
y
y
y
F (2x 2 0 0 y) ˆi
(0 0 2y 3y 2 x) ˆj
F (2x y 2)iˆ (2y 3y2 x) ˆj
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
F1,1 5iˆ 6 ˆj F1,1 7,8
b) Divergencia
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.
Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
La integral de volumen de la divergencia
= q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales, menos el consumo de los sumide
ros, esto es, la producción neta de calor en
el volumen.
Si se produce más calor del que se consu
me, ese calor extra debe escapar al exterior
del volumen. Esa emisión al exterior es lo
que representa el flujo.
3) Representación
La divergencia de un campo vectorial E ,
se denota como E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado de la operación divergencia
del campo vectorial E es un campo escalar
V, esto es, E =V.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
( E + G )= E + G (Distributiva)
(c E )=c E , donde c es una cte.
( E )=() E + E , donde es un
campo escalar.
(ExG) G xE E xG
( E)G (E )G G( E)
xE 0
3
2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0
2
r 3 , donde r es el vector de posición
35
sor métrico aparece como una matriz, deno
tada convencionalmente como "g". La nota
ción gij se utiliza convencionalmente para
las componentes del tensor. Así, el tensor
métrico "g" se expresa fijada una base coor
denada como:
Análisis Vectorial
E() (E / )
5) Expresión matemática general
La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
E
g11 g12
g
21 g 22
g
g n1 g n2
(h 2h 3E) (h1h 3E)
1
[
h1h 2h 3
q1
q 2
(h1h 2E)
]
q 3
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala en dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas esféricas, q1=r, q2=, q3= y hr=1,
h=r, h=1, con lo que:
E
1 2
1
(r
E
)
(sen E )
r
rsen r
r 2 r
1 E
(
)
r sen r
La expresión general de la divergencia del
campo vectorial " E " en cualquier sistema
curvilíneo, no necesariamente ortogonal,
viene dada por:
E
1
g x
k
( g Ek )
donde, IgI es el determinante del tensor mé
trico.
Tensor métrico
En geometría de Riemann, el tensor de mé
trico es un tensor de rango 2 que se utiliza
para definir conceptos métricos como dis
tancia, ángulo y volumen en un espacio lo
calmente euclídeo.
Una vez que se elige una base local, el ten
g1n
g 2n
g nn
En física es muy común escribir la métrica
como el cuadrado del elemento de longitud
dado que el tensor es simétrico la notación
física, viene dada por:
ds2 gijdx idx j
6) Fuentes escalares de un campo
vectorial
La divergencia es una cantidad escalar con
signo, este signo posee significado geomé
trico y físico, así:
Si la divergencia de un campo vectorial en
un punto es positiva, quiere decir que en di
cho punto el campo radia hacia el exterior.
Se dice que en esa posición el campo vecto
rial posee un manantial.
Si por el contrario la divergencia es negati
va, el campo converge hacia dicho punto;
se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constitu
yen las fuentes escalares de un campo vec
torial.
Si la divergencia es nula en un punto el
campo carece de fuentes escalares en dicho
punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
Campo escalar
36
Robotica y Cibernética
Un campo escalar representa la distribu
ción de una magnitud escalar, asociando
un valor a cada punto del espacio.
En mecánica de fluidos la presión puede
ser tratada como un campo escalar, la distri
bución de temperatura sobre un cuerpo es
otro campo escalar.
Una construcción que caracteriza los cam
pos escalares son las superficie equipoten
ciales que son los conjuntos de puntos so
bre las cuales la función toma el mismo va
lor.
En física relativista, un campo escalar es
aquel para el cual la ley de transformación
entre los valores medidos por dos observa
dores diferentes satisfacen una relación
tensorial de invariancia. En ese sentido el
potencial eléctrico que en electromagnetis
mo clásico se trata como un campo escalar,
en mecánica clásica no es un escalar sino
la componente temporal de un cuadrivec
tor potencial que generaliza el potencial
vectorial clásico.
En física cuántica, se usa el término "cam
po escalar" de una forma más restringida,
se aplica para describir el campo asociado
a partículas de espín nulo, por ejemplo, los
piones.
Campo vectorial
Un campo vectorial representa la distribu
ción espacial de una magnitud vectorial.
Es una expresión de cálculo vectorial que a
socia un vector a cada punto en el espacio
euclidiano.
Los campos vectoriales se utilizan en la fí
sica, por ejemplo, para representar la velo
cidad y la dirección de un fluido en el es
pacio, o la intensidad y la dirección de fuer
zas como la gravitatoria o la fuerza electro
magnética.
En el estudio del magnetismo, las líneas
del campo magnético de inducción se pue
den revelar usando pequeñas limaduras de
hierro sobre un papel, en presencia de un i
mán natural.
Campo tensorial
Un campo tensorial es aquel en que cada
punto del espacio lleva asociado un tensor.
Es una asignación de una aplicación multi
lateral a cada punto de un dominio del espa
cio.
En física, también se llama campo tenso
rial a cualquier magnitud física que puede
ser representada por una asignación del ti
po anterior sobre una región del espacio fí
sico, ejemplos de campos tensoriales son:
1) Campo electromagnético en la electrodi
námica clásica, 2) Campo gravitatorio, en
la teoría de la relatividad general.
Campo espinorial
Un campo espinorial es un tipo de campo
físico que generaliza los conceptos de cam
pos vectoriales y tensoriales. Si un campo
tensorial es un tipo de representación lineal
del grupo de Lorentz L, un campo espino
rial es una representación de su recubridor
universal, el grupos especial SL(2, ).
Muchas magnitudes físicas representables
mediante campos tensoriales pueden repre
sentarse también matemáticamente por
campos espinoriales de manera equivalen
te. Sin embargo algunos campos espinoria
les no admiten análogos tensoriales. En es
te sentido los campos espinoriales generali
zan los campos vectoriales y tensoriales,
que pueden ser vistos como casos particu
lares de magnitudes espinoriales.
La mecánica cuántica hace un uso extensi
vo de los campos espinoriales.
8) Campo solenoidal
Se llama así al campo cuyas fuentes escala
res son nulas en todos los puntos del espa
cio, esto es, E =0, r.
37
tán estrechamente relacionados por la ecua
ción:
Análisis Vectorial
El ejemplo más importante en el electro
magnétismo de campo solenoidal, es el
campo magnético, en el que se verifica,
B =0, r, tanto en situaciones estáticas
como dinámicas.
Un campo solenoidal se caracteriza porque
sus líneas de campo no pueden converger
ni divergir de ningún punto; no pueden te
ner extremos localizados, esto hace que las
líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in
finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis
mas, sin llegar a cerrarse.
Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E =-y î +x ˆj , las líneas de campo de este
campo vectorial describen circunferencias
en torno al eje-z, en concordancia con la
idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones
La divergencia de un campo vectorial es
proporcional a la densidad de las fuentes
puntuales del campo, así, en la ley de
Gauss, tenemos:
E
o
donde, " E " es el campo eléctrico, "" la
densidad de carga volumétrica, y "o" la
permitividad eléctrica del vació.
Asimismo, en la ley de Gauss para el cam
po de inducción magnético, que es una de
las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
B0
el valor cero de la divergencia nos indica
que no hay fuentes puntuales de campo
magnético, y que las líneas de campo mag
nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una
superficie cerrada "S" y la divergencia es
S E dS V EdV
donde, "V es el volumen encerrado por la
superficie "S".
Este teorema establece, que la cantidad de
campo que escapa hacia el exterior de una
superficie cerrada "S", es igual, a la suma
neta de las fuentes escalares contenidas al
interior de dicha superficie cerrada.
Ejemplo: 29
Calcular la divergencia del campo vecto
rial, dado por: E(x, y) x cos yiˆ sen y ˆj
Solución:
En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
E
E
E x E y
x
y
(x cos y) (sen y)
x
y
E cos y cos y
E0
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto
es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejemplo: 30
Hallar la divergencia del campo vectorial,
2
y
dado por: E(x, y) e (x/4) ˆi [0,5 ( )2 ] ˆj
4
y evaluar en el punto P(1; 1).
Solución:
En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
38
Robotica y Cibernética
E y
E
E x
x
y
E e (x
2
/16)
(
2x 2y
)
16 16
2
1
E [x e x /16 y]
8
( E)1;1 0,24
Como, ( E)1;1 es negativo, el campo vec
torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición
El rotacional o rotor es un operador vecto
rial que actúa sobre campos vectoriales de
finidos en un abierto de 3 que muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación (giro) al rededor de un punto.
Aunque el rotacional de un campo alrede
dor de un punto sea distinto de cero, no im
plica que las líneas de campo giren alrede
dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación
Por ejemplo, el campo de velocidades de
un fluido que circula por una tubería (cono
cido como el perfil de Poiseulli) posee un
rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye
en línea recta.
La idea es que si colocamos una rueda de
paletas infinitamente pequeña en el interior
del campo vectorial, esta rueda girará, aun
que el campo tenga siempre la misma direc
ción, debido a la diferente magnitud del
campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
El rotacional de un campo vectorial E , se
denota como x E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado de la operación rotacional del
campo vectorial E es otro campo vectorial
F , esto es, x E = F .
4) Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial G , resultado de calcu
lar el rotacional sobre un campo vectorial
E en cada punto del espacio, G xE , se
conoce como las fuentes de E (siendo las
fuentes escalares la que se obtienen medi
ante la operación de divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos
los puntos del espacio se denomina irrota
cional o se dice que carece de fuentes vec
toriales.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
x ( E + G )= x E +x G (Distributiva)
x (c E )=c x E , donde c es una cte.
Todo campo potencial (expresable como el
gradiente de un potencial escalar) es irrota
cional y viciversa, esto es: E V , si y
sólo si x E =0.
Todo campo central (radial y dependiente
sólo de la distancia al centro de fuerza) es
irrotacional, esto es: E f (r)rˆ , entonces,
x E =0. En particular, el campo electros
tático de una carga eléctrica puntual "q" es
irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es
siempre un campo solenoidal, esto es su di
vergencia siempre es nula, (x E )=0
4) Expresión matemática general
La expresión general del rotacional del
campo vectorial "E" en cualquier sistema
de coordenadas ortogonales, viene dada
por:
39
Análisis Vectorial
xE
h1eˆ1
h 2eˆ 2
h 3eˆ 3
q1
q 2
q 3
h1E1 h 2E 2
h 3E 3
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
E z E y
E
E
) xˆ ( x z ) yˆ
y
z
z
x
E y E x
(
) zˆ
x
y
xE (
donde, E = E (x, y, z) es el campo vectorial
En la notación de los índices repetidos, con
el símbolo de Levi-Civita, el rotacional del
campo vectorial E , se escribe como:
(xE) k
m
Em
5) Identidades
Algunas de las identidades más importan
tes de la operación rotacional, son:
x(VxF) [( F) F ]V
[( V) V ]F
Vx(xF) F (V F) (V )F
x(xF) ( F) F
x() 0 , donde un campo escalar.
x(F) xF (xF)
2
6) Aplicaciones
En un tornado los vientos están rotando so
bre el ojo, y un campo vectorial que mues
tra las velocidades del viento tendría un ro
tacional diferente de cero en el ojo y posi
blemente en otras partes (vorticidad).
En un campo vectorial que describa las ve
locidades lineales de cada parte individual
de un disco que rota, el rotacional tendrá
un valor constante en todas las partes del
disco.
Si una autopista fuera descrita con un cam
po vectorial, y los carriles tuvieran diver
sos límites de velocidad, el rotacional en
las fronteras entre los carriles sería diferen
te de cero.
La ley de Faraday de la inducción y la ley
de Ampere, dos de las ecuaciones de Max
weel, se pueden expresar muy simplemen
te usando el rotacional.
La primera indica que el rotacional de un
campo eléctrico E , es igual, a la tasa de va
riación de la densidad del flujo magnético
B , con signo opuesto debido a la ley de
Lenz, esto es:
B
xE
t
La segunda indica que el rotacional de un
campo magnético B , es igual, a la suma de
la densidad de corrientes J y la derivada
temporal de la densidad de flujo eléctrico,
esto es:
xB
E
1
J o
o
o
Ejemplo: 31
Calcular el rotacional del campo vectorial,
dado por: E(x; y) yiˆ x ˆj .
Solución:
En la expresión del rotacional en coordena
das rectangulares, reemplazando las compo
nentes del campo E , tenemos:
40
Robotica y Cibernética
E y
E
E
E
xE ( z
) xˆ ( x z ) yˆ
y
z
z
x
E y E x
(
) zˆ
x
y
0 x
( y) 0
) xˆ (
) yˆ
y z
z
x
x ( y)
(
) zˆ
x
y
xE (
x E 2kˆ
El rotacional de E es un campo constante
en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición
El laplaciano es un operador diferencial e
líptico de segundo orden, denotado por o
2, relacionado con ciertos problemas de
minimización de ciertas magnitudes físicas
sobre un cierto dominio de validez.
El operador tiene este nombre en reconoci
miento de Pierre-Simon Laplace que estu
dio soluciones de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales en las que aparecía
dicho operador.
2) Fuente
El laplaciano de un campo escalar V, es el
resultado de la operación divergencia gra
diente del campo V, es decir esta opera
ción es la fuente del laplaciano:
(V) 2V V
3) Interpretación física
El laplaciano de un campo escalar V, mi
de la segunda variación en las coordenadas
espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones
En física, el laplaciano aparece en múlti
ples contextos como la teoría del potencial,
la propagación de ondas, la conducción de
calor, la distribución de tensiones en un
cuerpo deformable, etc... Pero de todos es
tos casos ocupa un lugar destacado en la e
lectrostática y en la mecánica cuántica.
En la electrostática, el operador laplaciano
aparece en la ecuación de Laplace y en la e
cuación de Poisson.
En tanto, en la mecánica cuántica el lapla
ciano de la función de onda de una partícu
la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades
Algunas de las propiedades que presenta el
laplaciano, son:
2(F+G)= 2F+2G, linealidad.
2(FG)=(2F)G+2(F)(G)+F(2G)
6) Expresión matemática general
La expresión general del laplaciano del
campo escalar "V" en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2V
1
h 2 h 3 V
[
(
)
h1h 2h 3 q1 h1 q1
h1h 3 V
h1h 2 V
(
)
(
)]
q 2 h 2 q 2
q3 h 3 q3
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
V
2
2V
x 2
2V
y2
2V
z 2
41
Análisis Vectorial
El laplaciano de un campo escalar V, en un
sistema de coordenadas no necesariamente
ortogonal, viene dado por:
2V
1
g x
k
( g gik
V
x i
)
donde, gij es el tensor contravariante de or
den 2 asociado al tensor métrico, g es la
raíz cuadrada del valor absoluto del deter
minante del tensor métrico.
Ejemplo: 32
En una región R del espacio libre, hay un
potencial, dado por: V(, )=(Vo/d)cos .
Probar que V(, ) satisface la ecuación de
Laplace.
Solución:
En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el
potencial dado en la ecuación de Laplace,
tenemos:
2V 0
1 V
1 2V
V
( ) 2 2 0
2
7) El laplaciano vectorial
El laplaciano vectorial, es un operador dife
rencial definido sobre un campo vectorial
E , el laplaciano vectorial es similar al la
placiano escalar, a diferencia que se aplica
sobre campos vectoriales dando como re
sultado otro campo vectorial.
Un ejemplo del uso del laplaciano vecto
rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes
para un flujo incompresible newtoniano,
esto es:
v
(v )v) f P ( 2v)
t
donde el término con el laplaciano vecto
rial del campo de velocidad (2 v ) repre
senta las tensiones viscosas en el fluido.
Otro ejemplo muy utilizado en la física es
la ecuación de ondas para el campo eléctri
co E , que puede ser derivada a partir de
las ecuaciones de Maxwell, en particular
en ausencia de cargas y corrientes (fuentes
de campos), se tiene:
2V
1
V
( ( o cos ))
d
1 2 Vo
( cos ) 0
2 2 d
2V
(
2V
1 Vo
(
cos )
d
1 Vo
(
sen ) 0
2 d
Vo
V
cos o cos 0
d
d
<<
V satisface la ecuación de Laplace>>
07
TENSORES
a) Definición de tensor
2 E oo
E
2
t 2
E0
donde, es el operador llamado el D'Alem
bertiano, que se utiliza en la ecuación de
Klein-Gordon.
Un tensor es cierta clase de entidad alge
braica de varios componentes, que genera
liza los conceptos de escalar, vector y ma
triz de una manera que sea independiente
de cualquier sistema de coordenadas elegi
do
42
b) Origen y evolución
c)
Robotica y Cibernética
La palabra "tensor" se utiliza a menudo co
mo abreviatura de campo tensorial, que es
un valor tensorial definido en cada punto
en una variedad.
El primero en utilizar esta palabra fue Wi
lliam Rowan Hamilton en 1846, empleán
dola para lo que actualmente se conoce co
mo módulo y fue Woldemar Voigt en 1899
quien la empleo en su acepción actual.
La palabra tensor proviene del latín "ten
sus", participio pasado de tenderé "estirar,
extender". El nombre se extendió porque la
teoría de la elasticidad fue una de las prime
ras aplicaciones físicas donde se usaron ten
sores.
Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarro
lló la notación actual con el nombre de
geometría diferencial absoluta, y se popula
rizó con la publicación de Cálculo Diferen
cial Absoluto de Tulio Levi-Civita en 1900
Con la introducción de la teoría de la relati
vidad general por parte de Albert Einstein
alrededor de 1915 se encontró su aplica
ción más apropiada, la relatividad General
es netamente tensorial.
Características
Las cantidades geométricas y físicas pue
den ser clasificadas considerando los gra
dos de libertad inherentes a su descripción.
Las cantidades escalares son las que se pue
den representar por un sólo número, por
ejemplo la masa.
Hay también cantidades tipo vector, como
por ejemplo la fuerzas, que requieren una
lista de números para describir su módulo
y su dirección.
Finalmente, las cantidades tales como for
mas cuadráticas requieren naturalmente u
na matriz con índices múltiples para su re
presentación. Estas últimas cantidades se
pueden concebir únicamente como tenso
res.
Realmente, la noción tensorial es absoluta
mente general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
La propiedad que distingue un escalar de
un vector, y distingue ambos de una canti
dad tensorial más general es el número de
índices en la matriz de la representación.
Este número se llama rango de un tensor.
Así, los escalares son los tensores de rango
cero (sin índices), y los vectores son los
tensores de rango uno.
d) Utilización
No todas las relaciones en la naturaleza
son lineales, pero la mayoría es diferencia
ble y así se pueden aproximar localmente
con sumas de funciones multilaterales, de
modo que, la mayoría de las magnitudes fí
sicas pueden expresarse como tensores.
Un ejemplo simple es la descripción de u
na fuerza aplicada al movimiento de una
nave en el agua. La fuerza es un vector, y
la nave responderá con una aceleración
que es también un vector. La aceleración
en general no estará en la misma dirección
que la fuerza, debido a la forma particular
del cuerpo de la nave.
Si embargo resulta que la relación entre la
fuerza y la aceleración es lineal (F=ma).
Tal relación es descrita por tensor del tipo
(1, 1), es decir, que transforma un vector
en otro vector.
El tensor se puede representar como una
matriz que cuando es multiplicada por un
vector, dé lugar a otro vector. Así, como
los números que representan un vector cam
biarán si uno cambia el conjunto de coorde
nadas, los números en la matriz que repre
senta el tensor también cambiarán cuando
se cambie el conjunto de coordenadas.
En la ingeniería, as tensiones en el interior
de un sólido rígido o líquido también son
descritas por un tensor. Si selecciona un e
43
cada partícula en un sistema dinámico. El
concepto se utiliza en mecánica clásica y
termodinámica.
Análisis Vectorial
lemento superficial particular en el mate
rial, el material en un lado de la superficie
aplicará una fuerza en el otro lado. En ge
neral esta fuerza no será ortogonal a la su
perficie, sino que dependerá de la orienta
ción de la superficie de una manera lineal.
Algunos ejemplos muy conocidos de tenso
res en geometría son las formas cuadráti
cas, y el tensor de curvatura.
Algunos ejemplos de tensores físicos son
el tensor de energía-momento, el tensor de
polarización y el tensor dieléctrico.
i) Densidad tensorial
Una densidad tensorial es una generaliza
ción del concepto de campo tensorial ordi
nario. Ciertas magnitudes pueden ser mode
lizadas como campos tensoriales, con leyes
de transformación tensorial convenciona
les. Pero también es útil definir magnitu
des llamadas "densidades tensoriales" con
transformaciones un poco más generales
que las de los tensores ordinarios.
e) Teoría de la elasticidad
Se llama elasticidad a la propiedad mecá
nica de ciertos materiales de experimentar
deformaciones reversible cuando se encu
entran sometidos a la acción de fuerzas ex
ternas y de recuperar la forma original (i
nicial), si estas fuerzas externas dejan de
actuar.
f) Deformación
La deformación es el cambio en el tamaño
o forma de un cuerpo (sólido), debido a la
acción de esfuerzos externos producidos
por una ó más fuerzas que actúan sobre el
cuerpo, o la ocurrencia de dilatación térmi
ca.
g) Viscoelasticidad
La viscoelasticidad es un tipo de comporta
miento reológico anelástico que presentan
ciertos materiales que exhiben tanto propie
dades viscosas como propiedades elásticas
cuando se deforman.
h) Grados de libertad
Se llama así, al número de coordenadas in
dependientes (escalares) necesarias para de
terminar simultáneamente la posición de
08
VECTORES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES
a) Concepto de covarianza y
contravarianza
Son conceptos empleados frecuentemente
en la áreas de la matemática y la física teó
rica.
Por regla general se refieren a que ciertos
objetos matemáticos, que pueden represen
tar alguna magnitud física, tiene alguna for
ma de invariancia de forma, es decir, la pro
piedad de permanecer sin cambio bajo un
conjunto dado de transformaciones experi
mentadas.
En la física, son importantes en el tratami
ento de vectores y otras cantidades, como
los tensores.
Por ejemplo,las teorías de relatividad espe
cial (covariancia de Lorentz) y relatividad
general (covariancia general) usan vectores
base covariantes bajo cambios de coordena
das.
b) Invariancia
Invariante es algo que no cambia al apli
carle un conjunto de transformaciones.
44
Robotica y Cibernética
En matemática, un objeto (función, conjun
to, punto, etc...) se dice invariante respec
to o bajo una transformación si permanece
inalterado tras la acción de tal transforma
ción.
Más formalmente una entidad se conside
ra invariante bajo un conjunto de transfor
maciones si la imagen transformada de la
entidad es indistinguible de la original. La
propiedad de ser invariante se conoce co
mo invarianza o invariante.
Dos ejemplos de invarianza son:
1) La distancia entre dos puntos en una recta,
no cambia al sumar una misma cantidad a
ambos puntos; es decir es invariante.
2) La simetría también puede ser considerada
una forma de invarianza.
c) Observador
En física, un observador es cualquier ente
capaz de realizar mediciones de magnitu
des físicas de un sistema físico para obte
ner información sobre el estado físico de
dicho sistema.
f) Teoría de la relatividad general
d) Transformación
En matemática, se dice que una magnitud
es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda.
Por ejemplo el área "A" de un círculo es
función de su radio "R". A la primera mag
nitud el área "A" se le llama variable de
pendiente, y la segunda magnitud el radio
"R es la variable independiente.
e) Teoría especial de la relatividad
Es una teoría de la física, que resulta de la
observación de que la velocidad de la luz
en el vació es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales, y de obtener todas
las consecuencias del principio de relativi
dad de Galileo, según el cual, cualquier ex
perimento realizado, en un sistema de refe
rencia inercial, se desarrollará de manera
idéntica en cualquier otro sistema inercial.
La teoría es "especial", ya que sólo se apli
ca en el caso especial/particular donde la
curvatura del espacio-tiempo producida
por acción de la gravedad es irrelevante.
La teoría especial de la relatividad estable
ció nuevas ecuaciones que facilitan pasar
de un sistema de referencia inercial a otro
sistema de referencia inercial.
Las ecuaciones correspondientes condu
cen a fenómenos que chocan con el senti
do común, como son la contracción espa
cial, la dilatación del tiempo, un límite uni
versal a la velocidad, la equivalencia entre
la masa y la energía la relatividad de la si
multaneidad.
La relatividad especial tuvo también un im
pacto en la filosofía, eliminando toda posi
bilidad de existencia de un tiempo y de un
espacio absoluto en el conjunto del univer
so.
Es una teoría del campo gravitatorio y de
los sistemas de referencia generales.
El nombre de la teoría se debe a que gene
raliza la llamada teoría especial de la relati
vidad.
Los principio fundamentales introducidos
en esta generalización son el principio de
equivalencia, que describe la aceleración y
la gravedad como aspectos distintos de la
misma realidad, la noción de la curvatura
del espacio-tiempo y el principio de cova
riancia generalizado.
g) Vectores covariantes
Si "N" cantidades físicas A1, A2,..,AN da
das en el sistema de coordenadas (x1,
x2,…,xN) están relacionadas con otras "N"
45
ninguna partícula material, ni siquiera la
luz, puede escapar de ella.
Sin embargo los agujeros pueden ser capa
ces de emitir un tipo de radiación, la radia
ción de Hawking.
Se conjetura o especula que en el centro
de la mayoría de las galaxias, entre ellas la
vía Láctea, hay agujeros supermasivos.
El 11 de Febrero de 2016,las colaboracio
nes LIGO, Interferómetro Virgo y GEO
600 anunciaron la primera detección de on
das gravitacionales, producidas por la
fusión de dos agujeros negros a unos 410
millones de parsec, es decir, unos 1337 mi
llones de años luz de la Tierra.
Un agujero negro supermasivo es una agu
jero negro con una masa del orden de mi
llones o decenas de miles de millones de
masas solares.
Análisis Vectorial
cantidades A1 , A 2 ,…, A N dadas en el sis
tema de coordenadas ( x1 , x 2 ,…, x N ) me
diante las relaciones de transformación,
x q
A p p Aq (p=1,…,N)
q 1 x
N
A las cantidades A p se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor co
variante de primer orden.
h) Vectores contravariantes
Si "N" cantidades físicas A1, A2,...,AN da
das en el sistema de coordenadas (x1,
x2,…,xN) están relacionadas con otras "N"
cantidades A1 , A 2 ,…, A N dadas en el sis
tema de coordenadas ( x1 , x 2 ,…, x N ) me
diante las relaciones de transformación,
x p q
A (p=1,…,N)
q
x
q 1
N
Ap
A las cantidades A p se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor
contravariante de primer orden.
i) Agujeros negros
Es una región finita del espacio en cuyo in
terior existe una concentración de masa lo
suficientemente elevada y densa como pa
ra generar un campo gravitatorio tal que
j) Gigante roja
Una gigante roja es una estrella gigante de
masa baja o intermedia (menos de 8-9
masas solares) que, tras haber consumido
el hidrógeno en su núcleo durante la etapa
de secuencia principal, convirtiéndolo en
helio por fusión nuclear, comienza a que
mar hidrógeno en una cáscara alrededor
del núcleo de helio inerte. Esto tiene como
primer efecto el aumento del volumen de
la estrella y un enfriamiento de su superfi
cie, por lo que su color se torna rojizo. En
esta fase previa a la del gigante rojo, la es
trella recibe el nombre de subgigante.
1
Teoría de Campos
definen el sistema de coordenadas cilíndri
cas, vienen dadas por:
ANALISIS
VECTORIAL
P-01
ˆ cos ˆi sen ˆj cos30o ˆi sen30o ˆj
3ˆ 1ˆ 1
i j ( 3 ˆi ˆj)
2
2
2
ˆ
P: 07
En el espacio tridimensional, las coordenadas
cartesianas rectangulares de un punto son:
x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas
cilíndricas de este punto.
Sol: 07
Las coordenadas cilíndricas (; ; z) en
términos de las coordenadas cartesianas (x;
y; z), vienen dadas por:
z
ˆ cos( )iˆ sen( ) ˆj
2
2
ˆ sen ˆi cos ˆj sen30o ˆi cos30o ˆj
1
3ˆ
1
ˆ ˆi
j (iˆ 3 ˆj)
2
2
2
y
P
r
j
P
z
0
y
x
x
y
RASA
(x 2 y2 )1/2 (12 22 )1/2 2,24 u
y
2
tg 1( ) tg 1( ) 63,43o
x
1
z 3u
(; ; z) (2,24 u; 63,43; 3 u)
P: 09
Las coordenadas cilíndricas de un punto P
son: =2 u, =30o, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
Sol: 09
Los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que
RASA
0
i
x
Ahora, verifiquemos que estos vectores uni
tarios son perpendiculares entre si, así:
1
1
ˆ ˆ ( 3 ˆi ˆj) ( ˆi 3 ˆj)
2
2
1
ˆ ˆ ( 3 ˆi ˆi 3iˆ ˆj ˆj ˆi 3 ˆj ˆj)
4
1
ˆ ˆ ( 3 ˆi ˆi 3iˆ ˆj ˆj ˆi 3 ˆj ˆj)
4
Como, ˆi ˆi ˆj ˆj 1, ˆi ˆj ˆj ˆi 0 , entonces:
1
ˆ ˆ ( 3 3) 0
4
Luego, los vectores unitarios ̂ y ̂ son per
Ing. Electrónica y Eléctrica
2
pendiculares entre si:
R 312,55 m
P: 27
Un explorador se mueve 75,0 m al Norte,
250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o al
noreste y 150 m al Sur.
I) Hallar la magnitud de su desplazamiento
resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m
c) 316,55 m
d) 318,55 m
e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplaza
miento resultante.
a) 6,07o
b) 6,27o
c) 6,47o
d) 6,67o
e) 6,87o
Sol: 27
Representemos los cuatro desplazami
entos realizados por el explorador.
N
O
125m
E
30o
S
250m
150m
75m
R
En la Figura, expresando cada uno de los des
plazamientos en sus componentes en x e y,
calculemos el vector desplazamiento total R ,
y su magnitud, así:
R d1 d 2 d3 d 4
R 75 ˆj 250iˆ 125sen 30o ˆi
125cos30o ˆj 150 ˆj
R 312,50iˆ 33,25 ˆj (m)
R [(312,50)2 (33,25)2 ]1/2
A
A su vez, la dirección del vector R , respec
to de la horizontal, viene dada por:
tg 1(
33,25
) 6,07o
312,50
A
P: 36
Las componentes x, y, z del vector B son:
4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u
b) 7,61 u
c) 7,71 u
d) 7,81 u
e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con
ejes x, y, z.
a) 55,19o; 36,80o, 65,41o
b) 58,19o; 38,80o, 69,41o
c) 56,19o; 35,80o, 66,41o
d) 57,19o; 37,80o, 68,41o
e) 59,19o; 39,80o, 67,41o
Sol: 36
I) La expresión del vector B en notación
de vectores unitarios î , ˆj , k̂ es:
ˆ
B (4iˆ 6 ˆj 3k)(u)
B [(4)2 (6)2 (3)2 ]1/2
B 7,81 u
D
II) Sean , y los ángulos que forma el
vector B con los ejes x, y y z, entonces, de la
definición, A B ABcos tenemos:
ˆ ˆi 7,81cos
(4iˆ 6 ˆj 3k)
cos1(
4
) 59,19o
7,81
Teoría de Campos
ˆ
GA AG (ˆi ˆj k)a
ˆ ˆj 7,81cos
(4iˆ 6 ˆj 3k)
cos1(
FD DF (a,0,a) (0,a,0)
6
) 39,80o
7,81
ˆ
FD DF (iˆ ˆj k)a
ˆ kˆ 7,81cos
(4iˆ 6 ˆj 3k)
cos1(
3
) 67,41o
7,81
3
EC CE (a,a,a) (0,0,0)
E
ˆ
EC CE (iˆ ˆj k)a
P: 80
I) Usando vectores unitarios a lo largo de
tres aristas de un cubo, expresé las diagona
les (las líneas de una esquina a otra a través
del centro del cubo) de un cubo en términos
de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las
diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
Sol: 80
I) Representemos el cubo de arista "a" y
los ejes de coordenadas pasando por las aris
tas.
HB BH (0,a,a) (a,0,0)
ˆ
HB BH (ˆi ˆj k)a
II) Sean, , y los ángulos que forma la
diagonal GA con los ejes x, y y z, así:
ˆ (ˆi) 3 a cos
(ˆi ˆj k)a
cos1(
1
) 54,74o
3
ˆ (ˆj) 3 a cos
(ˆi ˆj k)a
z
A(0,0,a)
cos1(
B(0,a,a)
ˆ (k)
ˆ 3 a cos
(ˆi ˆj k)a
k
D(a,0,a)
C(a,a,a)
j
i
E(0,0,0)
H(a,0,0)
x
F(0,a,0)
y
G(a,a,0)
En la Figura, las ocho diagonales principales
inscritas en el cubo, en términos de los vecto
res unitarios î , ˆj , k̂ , son:
GA AG (0,0,a) (a,a,0)
1
) 54,74o
3
cos1(
1
) 54,74o
3
Así, los ángulos que forman estas diagona
les con los ejes x, y y z son iguales entre si,
esto es:
54,74o
III) La longitud de las diagonales princi
pales del cubo de arista "a" es:
D [a 2 a 2 a 2 ]1/2 3a
4
Ing. Electrónica y Eléctrica
P: 114
Hallar el ángulo agudo entre las diagonales
82o 52'30"
C
de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
P: 135
Hallar el área del triángulo de vértices A=(1,
a) 82o 41' 30" b) 82o 45' 30" c) 82o 49' 30"
1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
d) 82o 53' 30" e) 82o 57' 30"
a) 4,04 u2
b) 4,24 u2
c) 4,44 u2
Sol: 114
d) 4,64 u2
e) 4,84 u2
Representemos el ángulo "" que for
Sol: 135
man las diagonales del cuadrilátero.
Representemos el triángulo de vértices
B(4,6)
A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
y
z
C(1,3)
B
S
A(3,2)
x
0
En la Figura, los vectores correspondientes a
las diagonales del cuadrilátero, y sus magnitu
des, son:
CA (3, 2) (1, 3) 2iˆ ˆj
CA [(2)2 (1)2 ]1/2 5
OB (4, 6) (0, 0) 4iˆ 6 ˆj
OB [(4)2 (6)2 ]1/2 55
A
En la Figura, calculemos los vectores que
van de los vértices A a B y de A a C, así:
AB (2, 1,5) (1,1,3) (1, 2,2)u
AC (3,3,1) (1,1,3) (4,2, 2)u
Ahora, según teoría, el área del triángulo es
la mitad del área del paralelogramo, esto es:
Con esto, de la definición del producto esca
lar de dos vectores, tenemos:
1
ABx AC
2
ˆi
CA OB CA OB cos
S
(2iˆ ˆj) (4iˆ 6 ˆj) ( 5)( 52)cos
2
cos [
]
( 5)( 52)
y
0
x
S
1
C
S
ˆj
kˆ
1
1 2 2
2
4 2 2
1
[(2)(2) (2)(2)]iˆ
2
Teoría de Campos
[(2)(4) (1)(2)] ˆj
[(1)(2) (2)(4)] kˆ
S
1 ˆ
6 j 6 kˆ
2
1
S ( )[(6)2 (6)2 ]1/2
2
S 4,24u 2
B
5
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
EAP. INGENIERÍA BIOMÉDICA
TRABAJO N°1: ANÁLISIS VECTORIAL
ALUMNA: ROMERO AVILA, JOSELYN (20190382)
CURSO: TEORÍA DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
SEMESTRE 2022-I
LISTADO DE PROBLEMAS ASIGNADOS
NO
NO
01
¡GRACIAS!
“Nuestras virtudes y nuestros defectos son inseparables, como la fuerza y la
materia. Cuando se separan, el hombre no existe”-Nikola Tesla
Fuerza y carga eléctrica
FUERZA Y
CARGA
ELECTRICA
CAP. 1
1. CARGA ELECTRICA
vamente cuando ha perdido electrones, y
en caso que gane electrones se dice que es
ta cargado negativamente, así, podemos de
cir que un cuerpo puede poseer dos tipos
de carga eléctrica, una llamada positiva
(+) y otra llamada negativa (-).
Se dice que un cuerpo, es eléctricamente
neutro, cuando tiene el mismo número de
cargas positivas y negativas.
a) Conceptos
Es una propiedad fundamental de la ma
teria, del mismo modo que la masa.
Es una magnitud física escalar, que carac
teriza el estado de electrización de un
cuerpo.
Se llama electrización a la transferencia de
cargas de un cuerpo hacia otro, en general
las cargas que se transfieren son los llama
dos electrones libres.
Q=0
RASA
Dos cuerpos con carga eléctrica del mis
mo signo se repelen y dos cuerpos con car
ga eléctrica de signos contrarios se atraen.
Unidad: La carga eléctrica se mide en
coulomb (C)
Ejem: 01
Un grano de polvo metálico esta constitui
do de 200 protones y 100 electrones. Ha
llar la carga eléctrica neta del grano de pol
vo. (e=-1,610-19 C)
La carga total de un cuerpo es la suma al
gebraica de sus cargas positivas y negati
vas.
Q=+2e
+
+
+
-
+
+
a) 1,610-17 C
b) 2,610-17 C
c) 3,610-17 C
d) 4,610-17C
e) 5,610-17 C
Sol: 01
La carga neta del cuerpo, es la suma de
sus cargas, considerando el signo de ellas,
así:
Q 200e 100e
Se dice que un cuerpo esta cargado positi
Q (100)(1,6 1019 C)
Robótica y Cibernética
Q 1,6 10
17
C A
Ejem: 02
Se tiene una moneda de cobre de 4 g, nú
mero atómico Z=29 y masa atómica es M
=63,5 g/mol. Hallar el valor de la carga to
tal negativa de la mone da. (NA=6,021023
átomos/mol, e=-1,610-19 C, k=103)
a) 175 kC
b) 200 kC
c) 225 kC
d) 250 kC
e) 275 kC
Sol: 02
Como el número de átomos contenido en
un mol de cobre es NA=6,021023, el número
de átomos de cobre por mol es:
n
N A 6,02átomos / mol
M
63,5g / mol
n 0,948 1022
átomos
mol
Ahora, como en cada mol existen 0,9481022
átomos, el número de átomos contenidos en
4 g de cobre es:
N mn (4g)(0,948
átomos
)
mol
un cuerpo, a la forma como esta se encuen
tra repartida en el cuerpo, la cual, depende
rá de sus dimensiones (tamaño), forma,
geometría, etc…así, tenemos:
1) Distribución de carga lineal
Este caso se presenta, cuando la carga eléc
trica se distribuye en un cuerpo que tiene
dimensiones de longitud, por ejemplo, un
filamento, cuerda, alambre, etc… Para me
dir cuantitativamente la distribución de la
carga en dicho cuerpo, se utiliza el concep
to de densidad lineal de carga, que se re
presenta con "" , así, tenemos:
Densidad lineal uniforme de carga
La carga eléctrica "q" se distribuye por i
gual, en todo el filamento de longitud ""
y la densidad de carga se define así:
q
Densidad lineal no uniforme de carga
La carga eléctrica "q" no se distribuye por
igual, en todo el filamento de longitud ""
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto, así:
N 3,79 1022 átomos
Luego, como cada átomo tiene Z=20 es , la
carga negativa total de la moneda es:
Q Z Ne
Q (29)(3,7922 )(1,6 1019 )
Q 175 10 C A
3
b) Distribuciones de carga eléctrica
Se llama distribución de carga eléctrica en
dq
d
siendo, "dq" un diferencial de carga, con
tenido en un trocito de filamento de longi
tud "d" .
Ejem: 03
Se tiene una varilla delgada de longitud
l=60 cm, y densidad de carga lineal no uni
forme, dada por: =o(x/l)2, donde "o "
es una constante, y "x" se mide a partir
Fuerza y carga eléctrica
del extremo izquierdo de la varilla. Hallar
la carga total de la varilla.
a) 0,1o
b) 0,2o
d) 0,4o
c) 0,3o
Densidad superficial uniforme de carga
La carga eléctrica "q" se distribuye por i
gual, en toda la superficie "S" del cuerpo,
y la densidad de carga se define, así:
e) 0,5o
l
dq
q
q
S
dl
q
Sol: 03
Representemos un diferencial de varilla
de longitud "dx" , y carga dq=.dx.
dq
dS
RASA
S
dq=dx
Densidad superficial no uniforme de
0
x
dx
x
l
En la Figura, la carga total de la varilla, se
gún teoría, viene dado por:
Q .d
Q o
0
x2
2
o x 3
dx 2 ( )
3
0
1
1
Q o ( )(o )(0,6)
3
3
Q 0,2o
carga
La carga eléctrica "q" no se distribuye por
igual, en toda la superficie "S" del cuerpo,
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto de la superficie, así:
B
2) Distribución superficial de carga
Este caso se presenta, cuando la carga e
léctrica se distribuye en la superficie de un
cuerpo, por ejemplo un disco delgado, pla
ca metálica o plancha de espesor despre
ciable, etc,…Para medir cuantitativamente
la distribución de la carga en la superficie
del cuerpo, se utiliza el concepto de densi
dad superficial de carga, que se representa
con "" , así, tenemos:
dq
dS
siendo, "dq" un diferencial de carga, con
tenido en un diferencial de superficie de á
rea "dS" .
Ejem: 04
Se tiene un disco muy delgado de radio R
=20 cm con densidad de carga superficial
no uniforme, dada por: =o(r/R)2 sen4,
siendo "o " una constante y "" el ángu
lo polar. Hallar la carga total del disco.
a) 0,013o
b) 0,023o
c) 0,033o
d) 0,043o
e) 0,053o
Sol: 04
En la Figura, según teoría, la carga total
del disco de radio "R" , viene dado por:
Q .dA
A
Robótica y Cibernética
Q
Q
2
0
R
0
r2
o 2 sen 4 r dr d
R
R 3
o 2 4
sen
d
0 r dr
R2 0
Densidad volumétrica no uniforme de
carga
La carga eléctrica "q" no se distribuye por
igual, en todo el volumen " V" del cuerpo,
en este caso la densidad de carga se define
en cada punto, así:
y
dl=rd
dr
q
V
r
0
x
RASA
3 sen 2 sen 4
Q o2 (
)
4
32
R 8
2
0
r4
( )
4
siendo, "dq" el diferencial de carga, con
tenido en el diferencial de volumen "dV" .
R
0
o 3 R 2
3
Q 2 ( )( ) oR 2
16
R 4 4
3
Q ( )(0,2)2 o
16
Q 0,023o
dq
dV
B
3) Distribución volumétrica de carga
Densidad volumétrica uniforme de
carga
La carga eléctrica "q" se distribuye por i
gual, en todo el volumen "V" del cuerpo,
la densidad de carga se define, así:
Ejem: 05
La densidad de carga volumétrica no uni
forme de una esfera compacta de radio R=
10 cm, viene dado por: =o(r/R)3, siendo
"o " una constante. Hallar la carga total
de la esfera.
a) 1,0910-3o
b) 2,0910-3o
c) 3,0910-3o
d) 4,0910-3o
e) 5,0910-3o
Sol: 05
Dividamos la esfera en cascarones, y re
presentemos uno de ellos de radio "r" y espe
sor "dr" .
R
q
dq
0
r
dr
dV
V
La carga total de la esfera, obtenemos suman
do la carga de todos los cascarones de volu
Fuerza y carga eléctrica
2
una planta presenta simetría, las mitades
de la cara de una persona presenta sime
tría, etc..
men dV=4 r dr, esto es:
Q dV
V
Q
R
0
r3
o 3 4 r 2dr
R
4
r6
Q 3 o ( )
6
R
Q
R
0
2 3
2
R o ( )(0,1)3 o
3
3
3
Q 2,09 10 o
3) Principio de conservación
B
c) Principios fundamentales de la
Física
Todo proceso, fenómeno, interacción que
se da en la naturaleza se explican median
te la utilización de los llamados cuatro
principios fundamentales, estos son:
1) Principio de equilibrio
Por ejemplo equilibrio eléctrico de un siste
ma de cargas eléctricas puntuales, equili
brio estático y dinámico de un cuerpo rígi
do, equilibrio térmico de un sistema termo
dinámico (gas)
RASA
Por ejemplo la energía de una carga pun
tual en movimiento, en presencia de un
campo eléctrico conservativo, se mantiene
constante, el movimiento de un proyectil
bajo la acción de la gravedad es un siste
ma mecánico conservativo, etc..
4) Principio de interacción
Por ejemplo la fuerza de interacción eléc
trica entre dos cargas puntuales, son igua
les en magnitud y de sentidos opuestos.
2) Principio de simetría
Por ejemplo un anillo cargado, presenta si
metría respecto de su eje que pasa por su
centro y es perpendicular al plano que lo
contiene, las mitades de una flor u hoja de
Robótica y Cibernética
d) Principios de la carga eléctrica
1) Conservación de la carga
La conservación de la carga, que es uno de
los incipios fundamentales de la física, es
tablece que la carga no se crea ni destru
ye, sólo se transfiere de un cuerpo hacía o
tro, esto es, en todo proceso electromagné
tico la carga total de un sistema aislado se
conserva.
El principio de conservación de la carga,
implica que la carga eléctrica total que e
xiste en el universo, es un invariante.
Ejem: 06
Dos esferas del mismo tamaño de cargas
Q1=+110-7 C y Q2=-310-7 C, se ponen en
contacto y se separan. ¿Cuál es la carga
que adquiere cada una de las esferas? (n=
10-9)
a) +100 nC
b) -100 nC
c) +200 nC
d) -200 nC
e) +300 nC
Sol: 06
Como las esferas son del mismo tamaño
la carga que adquieren después de ponerse en
contacto es la misma, luego, del principio de
conservación de la carga, tenemos que:
(Q)antes (Q)después
Q ne
siendo, " n" un número entero positivo, y
e=1,60210-19 C.
Ejem: 07
Se tiene una moneda de cobre de 4 g. El
número atómico del cobre es Z=29 y su
masa atómica es M=63,5 g/mol. Hallar el
va\lor de la carga total negativa de la mo
neda. (NA=6,021023 átomos/mol, e=-1,6
10-19 C, k=103)
a)
175 kC
b) 200 kC c) 225 kC
d) 250 kC
e) 275 kC
Sol: 07
Como el número de átomos contenido en
un mol de cobre es NA=6,021023, el número
de átomos de cobre por mol es:
n
100 nC 300 nC 2Q
Q 100 nC
La experiencia nos demuestra que la car
ga eléctrica no es continua, es decir, no es
posible que la carga de un cuerpo tome va
lores arbitrarios, esto es, la magnitud de la
carga eléctrica "Q" de todo cuerpo o siste
ma de cuerpos, solo puede ser, igual a un
número entero de veces la carga fundamen
tal de la materia "e" (carga del electrón).
N A 6,02átomos / mol
M
63,5g / mol
B
n 0,948 1022
Así, la carga de cada esfera después del
contacto es de -100 nC.
2) Cuantización de la carga
e
2e
3e
átomos
g
Ahora, como en cada gramo existen 0,948
1022 átomos, el número de átomos conténi
dos en 4 g de cobre es:
N mn (4g)(0,948
átomos
)
mol
N 3,79 1022 átomos
Fuerza y carga eléctrica
Luego, como cada átomo tiene Z=20 es , la
carga negativa total de la moneda es:
4) Finalmente, escogiendo arbitrariamente q'
=1 C (carga unitaria), obtenemos la mag
nitud de la carga "q" , así:
Q Z Ne
q
Q (29)(3,7922 )(1,6 1019 )
2. FUERZA ELECTRICA
Q 175 103 C A
3) De invariancia relativista
La carga eléctrica de un cuerpo es indepen
diente de la velocidad con la que se despla
za, esto es, a mayor velocidad no aumenta
su carga, como ocurre con la masa. Esta in
varianza de la carga eléctrica esta relacio
nada con el segundo postulado de la teoría
de la relatividad de Einstein.
e) Medida de la carga eléctrica
El procedimiento para medir la magnitud
de una carga "q" es la siguiente:
Q
q
F
F
d
F´
q´
Q
F´
1) A la distancia "d" del cuerpo fijo con car
ga arbitraria "Q" ubicamos la carga "q" , y
medimos la fuerza de interacción " F" entre
ellas.
2) A continuación ubicamos una carga q ' a
la misma distancia "d" de "Q" , y medi
mos la fuerza de interacción F´ entre ellas.
3) Ahora, como las magnitudes de las cargas
q y q´ son proporcionales a las fuerzas F y
F' , se cumple que:
a) Análisis
La ecuación matemática correcta que des
cribe la fuerza de interacción entre dos
cuerpos cargados eléctricamente, fue esta
blecida por Henry Cavendish.
En tanto, la comprobación y validez expe
rimental de la ecuación postulada por Ca
vendish fue realizada por Augustin Cou
lomb, mediante la balanza de torsión que
consiste en una barra suspendida de un hi
lo metálico, capaz de experimentar torsión
Midiendo la fuerza de torsión que ejerce el
hilo sobre la barra se obtiene la fuerza. En
la barra de la balanza, Coulomb ubico una
pequeña esfera cargada, y otra esfera de i
gual carga ubico a diferentes distancias.
Luego, midió la fuerza entre ellas obser
vando el ángulo que gira la barra. Dichas
mediciones experimentales permitieron de
terminar que:
1) Si se duplica el valor de la carga "q1 " , la
magnitud de la fuerza "F" se duplica. Si
se duplica "q1 " y triplica "q 2 " la magnitud
de la fuerza "F" se sextuplica, por lo que,
la magnitud de la fuerza es directamente
proporcional al producto de las cargas
"q1 " y "q 2 " , esto es:
F q1 q 2
F
q
F
q´ F´
F
F´
q1
q2
d
F
Robótica y Cibernética
2) Si se duplica la distancia "d" entre las car
gas "q1 " y "q 2 " la magnitud de la fuerza
"F" disminuye en un factor de 4=22, si se
triplica, disminuye en un factor de 9=32 y
así sucesivamente, por lo que, la magni
tud de la fuerza "F" es inversamente pro
porcional al cuadrado de la distancia, esto
es:
1
F 2
d
"m" y cargas del mismo signo "q" , sus
pendidas de dos hilos de longitud " " , y
separados una distancia "d1 " .
1) Representemos las fuerzas que actúan so
bre cada una de las esferitas; su peso
"mg" , la fuerza eléctrica "F" , la tensión
en el hilo "T" , y como las esferitas están
en equilibrio, formemos el triángulo de
fuerza.
T 1 mg
Reuniendo 1) y 2), podemos decir que:
F
q1q 2
d2
F
q2
q1
d1
mg
En el triángulo de fuerzas tenemos:
q1q 2
d2
tg 1
F
mg
mg tg 1 k
F1/d2
l
T
F
0
1
l
F
Introduciendo la constante de proporciona
lidad " k" , transformamos la ecuación ante
rior en una igualdad:
Fk
RASA
d
La fuerza de interacción eléctrica es de
importancia fundamental en el mundo mi
croscópico (partículas elementales), pues
para pequeñas distancias esta fuerza es
muy intensa, decayendo rápidamente se
gún la inversa del cuadrado de la distan
cia, como se aprecia en la Figura.
b) Comprobación de la validez de la ecuación de fuerza eléctrica
Consideremos dos esferitas de masas
q2
(1)
d12
T´ 2 mg
l
T´
F´
F´
2
l
q2
q1
d1
mg
2) Al descargar una de las esferitas, y poner
lo en contacto con la otra, cada una de
ellas adquiere una carga q/2, siendo d2<d1
la nueva distancia de separación entre las
esferitas, como se aprecia en la Figura.
Fuerza y carga eléctrica
bución de carga de densidad "" , viene da
do por:
En el triángulo de fuerzas tenemos:
tg 2
F´
mg
mg tg 2 k
(r ')dV'
V
r'
V(r) k
q2
(2)
d 22
Dividiendo la ec.(1) entre la ec.(2):
tg 1
d
4( 2 )2
tg 2
d1
(3)
Como los ángulos 1 y 2 son difíciles de
medir, considerando las longitudes " " de
los hilos suficientemente largos, pode
mos hacer la siguiente aproximación:
tg sen
d/2
d
2
Con esto, la ec.(3) se reduce a la siguien
te expresión:
4(
d1 2 d1 / 2
d
)
1
d2
d2 / 2
d2
d1 / d 2 41/ 3
Así, midiendo "d1 " y "d 2 " , comprobamos
que la ecuación para la fuerza F de interac
cción entre dos partículas cargadas se cum
ple.
siendo, r , r ' los vectores de posición del
punto donde se calcula el potencial, y la
posición del diferencial de volumen, res
pectivamente.
2)Si las cargas eléctricas se mueven se debe
reemplazar el potencial de Coulomb por el
potencial vectorial de Liénard-Wiechert,
especialmente si las velocidades de las par
tículas son cercanas a la velocidad de la
luz (c=3108 m/s)
3) Si la distancia de separación de las cargas
es pequeñas (del orden del tamaño de los á
tomos), la fuerza electrostática efectiva de
be ser corregida por factores cuánticos.
4) Para campos eléctricos muy intensos pue
de ocurrir el fenómeno de la creación es
pontánea de pares de partícula-antipartícu
la que requieren corregir el campo para dis
tancias muy cortas.
d) Fuerza entre dos cargas puntuales
Para hallar las fuerzas de interacción eléc
trica en el vació entre dos cargas puntua
les "q1 " y "q 2 " separados por una distan
cia "d" , se procede, así:
* Fuerza de la carga q1 sobre q2.
c) Restricciones de la fórmula de fuerza
eléctrica
1) La expresión matemática solo es aplicable
a cargas puntuales estacionarias, y para ca
sos estáticos más complicados de carga ne
cesita ser generalizada mediante el poten
cial eléctrico "V" , el cual, para una distri
q2
d
r12
z
q1
0
y
x
RASA
Robótica y Cibernética
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis
tema de coordenadas, en general se elige
en la posición de la carga q1, y se traza el
vector desde la carga q1 hacia la carga q2,
que denotamos como r12 .
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc
trica que ejerce q1 sobre q2.
q1q 2
r
3 12
r12
F12 k
()
En esta fórmula se consideran los signos
de las cargas q1 y q2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri
ca que ejerce la carga q1 sobre la q2 es:
F12 k
q1q 2
d2
r12 r12 d
* Fuerza de la carga q2 sobre q1.
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis
tema de coordenadas, en general se elige
en la posición de la carga q2, y se traza el
vector desde la carga q1 hacia la carga q2,
que denotamos como r21 .
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc
trica que ejerce q2 sobre q1.
q2
d
r12
z
q1
0
x
()
En esta fórmula se consideran los signos
de las cargas q1 y q2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri
ca que ejerce la carga q2 sobre la q1 es:
F21 k
q 2q1
r21
3
r21
F21 k
q1q 2
d2
r21 r21 d
En esta fórmula no se consideran los sig
nos de las cargas q1 y q2, y además:
y
q 2q1
r21
3
r21
En esta fórmula no se consideran los sig
nos de las cargas q1 y q2, y además:
q 2q1
r12
3
r12
F12 k
F21 k
RASA
De () y (), podemos decir que las fuer
zas de interacción eléctrica F12 y F21 , son
fuerzas de acción y reacción, pues son de
sentidos opuestos y de igual magnitud, es
to es
F12 F21 y
F12 F21
Recordemos que las fuerzas de acción y
reacción actúan sobre cuerpos diferentes,
así, las fuerzas F12 y F21 actúan sobre las
cargas "q 2 " y "q1" , respectivamente.
También, debemos mencionar que la re
sultante de la suma de estas fuerza de ac
ción y reacción, siempre es nula
Ejem: 08
Dos cargas puntuales Q1=+2 C, Q2=-2
C se ubican sobre el eje Y, en y1=0,3 m,
y2=-0,3 m. Una tercera carga puntual Q3=
+4 C se ubica en el eje X en x=0,4 m.
(k=9109 Nm2/C2)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la
Fuerza y carga eléctrica
carga puntual "Q3 " .
a) 0,146 N
b) 0,346 N
c) 0,546 N
d) 0,746 N
e) 0, 946 N
II) Hallar la dirección de la fuerza que actúa
sobre "Q3 " .
a) 90º
b) 180º
d) 106º
c) 270º
e) 233
o
Sol: 08
Representemos las fuerzas F1 , F2 que e
jercen las cargas "Q1 " , "Q2 " sobre "Q3 " .
II) En la Figura, la dirección de la fuerza re
sultante F es vertical hacia abajo.
Ejem: 09
En la Figura, las cargas puntuales de valor
Q=4 C que se encuentran sobre los arcos
de circunferencia de radio R=20 cm, equi
distan de los ejes x e y. Hallar el vector
fuerza eléctrica que ejerce la carga –Q so
bre la carga +Q. (k=9109 Nm2/C2)
Sol: 09
Representación del vector trazado de la
carga negativa " Q" hacia la positiva " Q"
Q1
y
R
0,5m
0,3m
Q3
37o
0,4m
0,3m
Q
x
53o
Q2
u
F1
F2
x
d
Q
x
F
0
I) En la Figura, las magnitudes de las fuer
zas F1 , F2 son:
F1 F2 k
Q1Q3
d2
R x
En la Figura, el vector unitario û en la di
rección de -Q hacia +Q, y la distancia "d"
entre las cargas, son:
û
2ˆ
2ˆ
i
j
2
2
(2 106 )(4 106 )
F1 F2 (9 10 )
(0,5)2
d 2R 2x 2R 2( 2R R)
F1 F2 0,288N
d (2 2)R
Ahora, como las componentes de F1 y F2 en
la dirección del eje X se anulan, entonces, la
magnitud de la fuerza resultante sobre la car
ga "Q3 " es:
Luego, el vector de la fuerza eléctrica que e
jerce la carga negativa sobre la positiva es:
9
F 2F1 sen37o (2)(0,288)sen37o
F 0,346 N
B
Fk
( Q)(Q)
uˆ
d2
( 2)(9 109 )(4 106 )2 ˆ ˆ
F
(i j)
(2)(2 2)2 (20 102 ) 2
Robótica y Cibernética
F 7,4(iˆ ˆj)(N)
e) Fuerza eléctrica en un sistema de N
cargas puntuales
Consideremos un sistema de N cargas pun
tuales q1, q2,…,qN, distribuidas en diferen
tes posiciones en el vació, como el mos
trado en la Figura.
qi
q1
rji
qj
q2
z
qN
0
RASA
y
El principio de superposición para fuer
zas, establece que cada una de las fuer
zas actúa sobre la carga "qi " , indepen
dientemente de la acción que ejercen las
otras cargas.
En general la fuerza eléctrica entre las
cargas, depende de la magnitud y signos
de estas, del medio donde se encuentran
y de la distribución de las mismas.
D
Ejem: 10
Una carga puntual de Q1=5 C está ubi
cada en x1=1 m, y1=3 m y otra carga de
Q2=-4 C está ubicada en x2=2 m, y2=-2
m. (k=9109 N.m2/C2, e=1,610-19 C, =
10-6, f=10-15)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un
protón situado en x=-3 m, y=1 m
x
Utilizando la expresión de la fuerza entre
dos cargas puntuales q1, q2 dada en c), y
basado en el principio de superposición pa
ra fuerzas, podemos expresar la fuerza so
bre la carga i-ésima, "qi " , debido a las o
tras (N-1) carga puntuales q1, q2, …,qN, a
sí:
N
qiq j
j1
rji3
Fi k
rji
a) 0,305 fN b) 0,325 fN c) 0,345 fN
d) 0,365 fN e) 0,385 fN
II) Hallar la dirección de la fuerza resultante
que actúa sobre el protón.
a) 230,5º
b) 232,5º
c) 234,5º
d) 236,5º
e) 238,5º
Sol: 10
Representemos en el sistema de coorde
nadas rectangulares las posiciones de las car
gas Q1, Q2 y la del electrón e.
donde "q j " (ji) es la j-ésima carga, rji
y(m)
3
es el vector trazado de la carga "q j " ha
cia la carga "qi " , y rji es su módulo.
Conocido el vector fuerza Fi sobre la i-é
sima carga "qi " , la magnitud de esta fuer
za, viene dado por:
Fi Fi
N
qiq j
j1
rji3
k
Q3
1
F1
F2
2
-3
RASA
rji
Q1
-2
Q2
x(m)
Fuerza y carga eléctrica
En la Figura, los vectores r1 , r2 trazados des
de las cargas Q1, Q2 hacia la posición del pro
tón Q3, y sus módulos son:
II) La dirección de la fuerza resultante que
actúa sobre el protón, viene dado por:
r1 (3 ,1) (1; 3) (4 ; 2)m
2,48 1016
180 tg (
)
1,77 1016
r2 (3 ;1) (2 ; 2) (5 ; 3)m
234,5o
r1 [(4)2 (2)2 ]1/2 20 m
f) Fuerza eléctrica entre dos cuerpos con
distribuciones de carga continua
Consideremos dos cuerpos cargados, con
cargas "q1 " y "q 2 " distribuidas uniforme
mente ya sea en su longitud, superficie o
volumen, como el mostrado en la Figura.
r2 [(5)2 32 ] 34 m
Con esto, calculemos las fuerzas que ejercen
las cargas Q1 y Q2 sobre el protón Q3, así:
F1 k
Q1Q3
r1
r13
F2 k
C
dq1
2
r12
1
(9 109 )(5 106 )(1,6 1019 )
F1
(4 ; 2)
203/2
F1 (3,22 ; 1,61) 10
1
o
16
dq2
z
0
y
N
x
Q2Q3
r2
r23
Consideremos dos diferenciales de carga
"dq1 " y "dq 2 " en cada uno de los cuer
pos, y apliquemos la expresión dada en
c), así:
(9 109 )(4 106 )(1,6 1019 )
F2
(5 ; 3)
343/2
dF12 k
F2 (1,45 ; 0,87) 1016 N
Integrando esta expresión sobre los dos
cuerpos, obtenemos la fuerza que ejerce
el cuerpo "1" sobre el cuerpo "2" :
De modo que, la fuerza resultante sobre el
protón Q3, y su módulo son:
F F1 F2
q1
F12
F (1,77 ; 2,48) 1016 N
F [(1,77)2 (2,48)2 ]1/2
F 0,305 1015 N A
dq1dq 2
r12
3
r12
0
q2
dq1 k
0
dq 2
r
3 12
r12
Por ejemplo, si los cuerpos son dos alam
bres de longitudes " 1 " , " 2 " , y densida
des de carga lineal "1 " , " 2 " , respecti
Robótica y Cibernética
vamente, la expresión anterior escribire
mos, así:
1
F12
d
k 23
r12
2
1d 1
0
0
"dq" de longitud "dy" en el filamento verti
cal cargado negativamente.
-
2
r12
dq
2a
Del mismo modo, si los cuerpos son dos
y
superficies de áreas "A1 " , "A2 " , y densi
dades de carga superficiales "1 " , "2 " ,
respectivamente, la fuerza eléctrica del
cuerpo "1" sobre el cuerpo "2" es:
A1
F12
A2
1dA1
0
0
dA
k 2 3 2 r12
r12
Asimismo, si los cuerpos son sólidos de
volúmenes "V1 " , "V2 " , y densidades de
carga volumétrica "1 " y "2 " , la expre
sión inicial, se reduce a:
V1
V2
F12 k 1 dV1
0
0
2
3
r12
a
En la Figura, la magnitud de la fuerza
eléctrica sobre el diferencial de carga "dq" ,
debido al campo eléctrico creado por el fila
mento horizontal cargado es:
dF Edq
dF (
F12 F21
Ejem: 11
En la Figura, hallar la magnitud de la fuer
za de interacción eléctrica entre los fila
mentos metálicos muy finos de longitudes
a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de car
ga lineal uniformes de =210-5 C/m. (k=
9109 Nm2/C2 , usar log(x))
a) 1,20 N
b) 1,25 N
c) 1,30 N
d) 1,35 N
e) 1,40 N
Sol: 11
Representación de un diferencial de carga
a
2o y y a
2
2a
F
2o
En todos los casos, las fuerzas de interac
F12 F21 y
RASA
r12 dV2
ción entre los cuerpos, son de sentidos o
puestos y de igual magnitud, esto es:
dy
2a
a
2
)( dy)
dy
y y2 a 2
a y2 a 2 2a
2 a 1
F
[ og(
)] a
2o a
y
F (2)(9 109 )(2 105 ) 2 og(
F 1,25 N
1 5
)
2(1 2)
B
Nota
La fuerza "F" sale positivo, porque lo
que se ha calculado es su módulo.
g) Características
Las fuerzas que actúan sobre las partícu
las, están dirigidas a lo largo de la recta
1
Teoría de Campos
En los triángulos rectángulos calculemos las
alturas "h" , "H" , así:
FUERZA
ELECTRICA
P-02
a
3
h 2 a 2 ( )2 h
a
2
2
H2 a 2 (
P: 149
Cuatro cargas puntuales de q=+210-7 C es
tán en los vértices del tetraedro regular de la
dos a=2 cm Hallar la fuerza que ejercen tres
cargas sobre la cuarta carga.
z
Con esto, las coordenadas de posición de ca
da una de las cargas puntuales, y los vecto
res trazados de las cargas situadas en la base
a la cuarta carga, son:
P1 (0 ; 0 ; 0) , P2 (0,5a ; 0,87a ; 0)
+q
4
a
2h 2
6
) H
a
3
3
P3 (a ; 0 ; 0) , P4 (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
a
y
r14 P4 P1 (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
a a
+q
r24 P4 P2 0 ; 0,58a ; 0,82a)
+q
a
a
r34 P4 P3 (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
+q
x
r14 r24 r34 a
a) 2,0 N k̂
b) 2,2 N k̂
c) 2,4 N k̂
d) 2,6 N k̂
e) 2,8 N k̂
Sol: 149
Representemos las fuerzas ejercidas por
las tres cargas situadas en la base (plano x-y)
del tetraedro, sobre la cuarta carga.
q
z
Ahora, calculemos las fuerzas que ejercen ca
da una de las tres cargas sobre la cuarta, así:
F14 k
q2
q2
r
k
(0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
3 14
r14
a3
q2
F14 k 2 (0,5 ; 0,29 ; 0,82)
a
4
a
q
2
q2
q2
F24 k 3 r24 k 3 (0 ; 0,58a ; 0,82a)
r24
a
H
a
a
q2
F24 k 2 (0 ; 0,58 ; 0,82)
a
a/2
60o
1
q
y
h
3
a
q
x
q2
q2
F34 k 3 r34 k 3 (0,5a ; 0,29a ; 0,82a)
r34
a
Robótica y Cibernética
2
q2
F34 k 2 (0,5 ; 0,29 ; 0,82)
a
dq
0
Luego, del principio de superposición, la
fuerza resultante sobre la cuarta carga es:
F F14 F24 F34
x
dF' k
0
B
ˆ
F 2,2 N (k)
dq 'dq
(x ' x) 2
0
dF' k aq '(
dF' k dq '(
l
I) Hallar la expresión para la magnitud de
la fuerza de repulsión entre las barras.
II) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4
nC/m, l=20 cm, d=4 cm.
1
)
x ' x
0
1
1
)
x '
x'
En esta expresión, sustituyendo dq' dx ' ,
e integrando sobre toda la barra derecha, ob
tEnemos la magnitud de la fuerza de repul
sión entre las barras, así:
2 d
F
dF' k
2
a) 130,7 nN b) 140,7 nN c) 150,7 nN
d) 160,7 nN e) 170,7 nN
dx
(x ' x) 2
dF' k dq '
P: 150
Las barras delgadas de longitudes " " tienen
densidades de carga lineal uniformes " " .
La distancia entre los extremos de las barras
es "d" . (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, usar ln(x)
d
dx
x'-x
(2,46)(9 109 )(2 107 )2 ˆ
F
k
(2 102 )2
l
dq'
d
La magnitud de la fuerza eléctrica que ejer
ce la barra izquierda sobre el diferencial de
carga "dq´" tomado en la barra derecha a u
na distancia x ' del origen común 0 es:
q2 ˆ
F 2,46k 2 (k)
a
dx'
x'
d
0
(
1
1
)dx '
x '
x'
III) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4
nC/m, y l=d.
F k 2[ n(x ' ) n(x ')]
a) 41,4 nN
b) 43,4 nN
c) 45,4 nN
d) 47,4 nN
e) 49,4 nN
Sol: 150
I) Representemos dos diferenciales de ba
rra de cargas "dq" , en cada una de las barras
F k 2[ n(
2 d
d
d
2 d
) n(
)]
d
d
( d)2
F k n
(2 d)d
2
3
Teoría de Campos
II) Evaluando esta expresión para: =410 ejerce sobre éste elemento de carga, una fuer
9
za igual a:
C/m, l=20 cm, d=4 cm, obtenemos:
(20 4)2
F (9 10 )(4 10 ) n
[(2)(20) 4](4)
9 2
9
E
F 170,7 109 N
III) Evaluando esta expresión para: =4109
C/m, l=d, obtenemos:
(d d)2
F (9 10 )(4 10 ) n
(2d d)(d)
9 2
9
A
F 41,4 109 N
P: 159
En el centro de un anillo de alambre delgado
de carga q=+210-8 C distribuida uniforme
mente en su longitud, se encuentra una carga
puntual de Q=+810-5 C. Si la magnitud de la
fuerza con la que se ensancha el anillo es
T=(8/) N, hallar el radio del anillo.
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
Sol: 159
Consideremos un elemento del anillo de
longitud l=2R., que contiene una car ga
q, como muestra la Figura.
E
l
1 Q.q
4o R 2
(1)
A su vez, la magnitud del elemento de carga
" q" , viene dado por:
q q
(2)
Ahora, de la primera condición de equilibrio
la suma de las componentes verticales de la
tensión en los extremos del elemento de car
ga, debe ser igual a " F" , es decir:
F 2T sen
F 2T ()
(3)
pues, sen x x para x 0
Reemplazando (1), (2) en (3), obtenemos el
radio "R" del anillo, así:
1 Q
q
2T
4o R 2
T
q.Q
82o R 2
8 (9 109 )(2 108 )(8 105 )
2 R 2
q
F
R 3 102 m
C
T
T
R
Q
R
q
Dado que Q>>q, entonces se puede obviar
en el anillo la interacción coulombiana so bre
si misma debida a su carga. La carga "Q"
P: 160
Demostrar que la fuerza de interacción eléc
trica por unidad de área entre dos planos para
lelos muy grandes con densidades de carga
superficiales uniformes "1 " y "2 " , separa
dos una distancia "d" , viene dado por:
F/A=12/2o, sien
Robótica y Cibernética
do "o " una constante.
P: 172
En el eje de un anillo de alambre muy fino de
Sol: 160
-10
Tomemos en los planos paralelos un di radio R=30 cm y carga Q=+310 C dis
ferencial de carga "dq" , y un anillo de radio tribuida uniformemente, se ubica un electrón
a una distancia "x" de su centro (x<<R). Ha
"r" , espesor "dr" y densidad de carga " " .
llar el período de las pequeñas oscilaciones
del electrón. (e=-1,610-19 C, me= 9,110-31
dF
kg k=9109 Nm2/C2 y = 10-6)
4
dq
1
a) 1,3 s
d
2
b) 1,5 s
c) 1,7 s
d) 1,9 s
e) 2,1 s
Sol: 172
Representación de la fuerza eléctrica e
jercida por el anillo sobre electrón de carga e, y masa "me " :
- e, me
La fuerza que ejerce el plano (2) de densidad
de carga superficial "2 " sobre el diferencial
de carga "dq" situado en el plano (1) es:
dF
F
A
0
0
dF
Q
R
2dq
2o
En esta expresión sustituyendo dq=1dA, e
integrando sobre toda la superficie del primer
plano, obtenemos la fuerza de interacción en
tre los planos por unidad de área, así:
12
dA
2o
F 12
A 2o
Notas
1) Como se aprecia, esta fuerza es indepen
diente de la distancia de separación "d"
entre los planos cargados paralelos muy
grandes.
2) Se ha considerado que los planos tienen
densidades de carga positiva.
x
F
F
En la Figura, la fuerza resultante sobre la
carga puntual, está dirigida en todo instan te
hacia el centro del anillo, y su magnitud es:
F
1
e.Q x
4o (x 2 R 2 )3/ 2
Ahora, como x<<R, entonces despreciando
"x" frente a "R" , tenemos:
F
e.Q
4o R 3
x
k
Como esta fuerza es del tipo de Hooke, F=
k.x, la carga se mueve alrededor del centro
del anillo con movimiento armónico simple,
de periodo igual a:
Teoría de Campos
T 2 m e / k
T 2 [
F
me
e.Q / 4o R
3
] 1/ 2
T 2 [
(9,1 10
q 1
(
4o R
1
2
)
1 3
)(3 10 )
(9 109 )(1,6 1019 )(3 1010 )
dF
]1/2
dq
dy
l
B
T 1,5 s
R
2
Representación de la fuerza eléctrica ejerci
da por el campo "E", sobre un diferencial de
carga "dq" del filamento.
T 2[4ome R 3 / e.Q]1/ 2
31
5
P: 191
Hallar la magnitud de la fuerza de interac
ción eléctrica entre el anillo de alambre fino
de radio R=10 cm y carga eléctrica q=410-6
C y el hilo metálico muy largo de densidad
lineal de carga uniforme 210-10 C/m,
que pasa por el centro del anillo.
y
R
Tomando el límite para
F
, obtenemos:
q
4o R
F
q
(9 109 )(2 1010 )(4 106 )
101
F 72 106 N
E
R
a) 12 N
b) 24 N
c) 36 N
d) 48 N
e) 72 N
Sol: 191
Integrando sobre todo el filamento obte
nemos la fuerza total de interacción:
F
dF
0
F
q
y dy
4o 0 (y2 R 2 )3/ 2
q
1
[
]
2
2 0
4o
y R
P: 192.
¿Qué carga puede suministrarse a la go ta de
radio R=0,5 cm, si el coeficiente de tensión
superficial es igual a =0,5 N/m? (k = 9109
Nm2/C2)
¿Q?
R
a) 14,7 nC b) 16,7 nC
c) 18,7 nC
d) 20,7 nC
e) 22,7 nC
Robótica y Cibernética
6
Sol: 192
Representación de las fuerzas de ten
sión superficial F y eléctrica F' en la gota.
Q[
(16)(5 103 )3 (5 101)
9
9 10
] 1/2
Q 18,7 109 C
F
Nota
F’
"A" es el área de la base de la mitad de la
gota (hemisferio).
R
De la expresión de la presión eléctrica,
P=2/2o, obtenemos la magnitud de la fuer
za de extensión sobre la gota, debida a su
carga eléctrica "Q" , así:
P
F
F PA
A
2
1
Q 2
F
A
(
) ( R 2 )
2
2 o
2o 4 R
F
P: 166
Las mitades del anillo muy delgado de radio
R=20 cm, tienen densidades de carga lineal
de =2 nC/m. Hallar la fuerza que ejerce el
anillo sobre la carga de prueba qo=8 pC, u
bicada en su centro. (k=9109 Nm2/C2, n=
10-9, p=10-12)
z
+
qo
y
-
Q2
x
32o R 2
De otra parte, la magnitud de la fuerza de
tensión superficial, que actúa en la superfi
cie de la gota, viene dado por:
F'
F' (2 R)
a) 1,04 ˆj nN
c) 1,44 ˆj nN
b) 1,24 î nN
d) 1,64 î nN
e) 1,84 k̂ nN
Sol: 166
Teniendo en cuenta la simetría que pre
senta el anillo, representemos las fuerzas "F"
que ejercen cada una de las mitades del
anillo, sobre la carga de prueba "q o " .
Y
Luego, por condición del problema, se cum
ple que, F = F', luego
F
Q2
32o R
2
2 R
R
Q (64 oR )
2
C
3
1/ 2
F
qo
R
+
-
X
Teoría de Campos
La magnitud de la fuerza que ejerce cada u
na de las mitades del anillo es:
7
Y
F
k q o
R
FE
X
TX
TX
T
T
TY
Por lo que, la magnitud de la fuerza resultan
te sobre la carga de prueba "q o " es:
FR 2F
FR
TY
2k q o
R
2l
(2)(9 109 )(8 1012 )(2 109 )
0,2
FR 1,44 109 N
L
d/2
C
FE = 2 TY
FE 2k x sen
(1)
La magnitud de la fuerza eléctrica, y la de
formación que experimentan los hilos son:
Nota
De la Figura, la fuerza resultante está en
dirección del eje Y positivo.
P: 169.
Las cargas iguales a q=+210-10 C están uni
das por ligas de longitud normal L=10 cm,
constante de elasticidad k=900 N/m y sabien
do que d<<L. Hallar la distancia de separa
ción "d" . (k=9109 Nm2/C2)
q
d
q
2l
a) 0,1 cm
b) 0,2 cm
c) 0,3 cm
d) 0,4 cm
e) 0,5 cm
Sol: 169
En la Figura, por condición de equili
brio, la fuerza de interacción eléctrica "FE "
entre las cargas "q", debe ser igual, a la com
ponente vertical de la fuerza de recuperación
de Hooke, es decir:
1 q2
FE
4o d 2
x [
2
(2)
(d / 2)2 ] 1/ 2
(3)
siendo, " " la longitud normal de los hilos y
"d" la distancia de separación de las esferi
tas cargadas.
De otro lado, de la Figura, se tiene que:
sen
(d / 2)
2
(d / 2)
2
(4)
Luego, reemplazando (2), (3), (4) en (1), y
operando se tiene:
1 q2
1
k d {1
}
2
4o d
[1 (d / 2 )2 ] 1/ 2
Como d<<l, entonces (d / 2 )2 0 , así, u
sando la aproximación, (1 z)n 1 nz en
la ecuación anterior, obtenemos la distancia
Robótica y Cibernética
8
"d" :
q2
4o d
d [
2
k d3
8
F1
2
8q 2 2 1/5
]
k 4o
F1
d [(8)(9 109 )(2 1010 )2 (101)2 / 9 102 ] 1/5
d [25 1015 ] 1/5
d 0,2 cm
qo a
1
(
2
2
2o
a a
B
P: 219
Se tiene un disco de radio R=20 cm, y densi
dad de carga superficial no uniforme dada
por - para 0<r<a, y + para a<r<b. ¿Para
qué valor de "a" , la fuerza sobre una carga
de prueba "q o " , situada en el eje del disco a
la distancia "a" de su centro, es nulo? (k=
9109 Nm2/C2, b=20 cm)
a) 0,83 cm
b) 1,23 cm
c) 1,63 cm
d) 2,03 cm
e) 2,43 cm
Sol: 219
Representación de las fuerzas que ac
túan sobre la carga de prueba "q o " .
qo 2
(
2o 2
1
b a
2
a
b a
2
2
2
)
)
Del mismo modo, la fuerza sobre la carga
de prueba "q o " , ejercida por el disco de ra
dio "a" es:
F2
qo
a
(1
)
2
2
2o
a a
F2
qo
2
(1
)
2o
2
Luego, como la fuerza resultante sobre "q o "
es nulo, se cumple que:
F1 F2
qo 2
(
2o 2
a
b2 a 2
2 1
)
qo
2
(1
)
2o
2
a
a 2 202
F1
Resolviendo esta ecuación para "a" , obtene
mos:
qo
F2
+
a 0,83cm
a
-
a
b
En la Figura, del principio de superposición
la fuerza ejercida sobre la carga de prueba
"q o " , por el anillo de radios interior "a" y
exterior "b" , es:
A
P: 274
En el espacio libre, una densidad de carga li
neal =2 C/m está sobre ele eje z. Hallar la
fuerza (en kN) ejercida sobre una carga uni
taria "q" ubicada en P(1, 2, 3) m.
I) Si la densidad de carga lineal está entre <z<.
9
Teoría de Campos
a) 7,0 î +14,8 ˆj
b) 7,8 î +14,2 ˆj
4 ˆ
i 2 ˆj (3 z) kˆ
ˆ
ˆ
9
6
c) 7,4 î +14,0 j
d) 7,6 î +14,6 j
FP (9 10 )(1)(2 10 )
dz
2 3/2
[5
(3
z)
]
4
e) 7,2 î +14,4 ˆj
II) Si la densidad de carga lineal está entre ˆ 3) 5kˆ 4
(iˆ 2j)(z
4 m<z<4 m.
E P (3597)[
] 4
(z 2 6z 14)
a) 4,3 î +9,0 ˆj +4,3 k̂ b)4,7 î +9,6 ˆj +4,5 k̂
ˆ kN E
c) 4,5 î +9,4 ˆj +4,1 k̂ d)4,1 î +9,2 ˆj +4,7 k̂
FP (4,9iˆ 9,8 ˆj 4,9k)
e) 4,9 î +9,8 ˆj +4,9 k̂
P: 480
Sol: 274
I) El vector trazado desde el filamento car Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejer
D2, si
gado hasta la carga puntual "q" ubicada en el cida por el dipolo D1 sobre9 el dipolo
2 2
Q=8 nC, d=2 mm. (k=910 Nm /C )
punto P(1, 2, 3) m es:
R zP (1, 2, 3) (0, 0, 3) (1, 2, 0) m
+Q
-Q
d
D1
R zP 5 m
Con esto, calculemos la fuerza ejercida sobre
la carga unitaria "q", así:
FP
q R zP
2o R 2
zP
6
FzP (2)(1)(9 10 )(2 10 )
9
2d
5d
d
2d
D2
d
-Q
(iˆ 2 ˆj)
( 5)2
FzP (7,2iˆ 14,4 ˆj) kN
E
II) En este caso, el vector trazado desde el
filamento cargado hacia la carga unitaria u
bica da en P es:
+Q
a) 40,24 mN b) 42,24 mN c) 44,24 mN
d) 46,24 mN e) 48,24 mN
Sol: 480
La resultante de las fuerzas entre cargas de
signos opuestos de los dipolos D1, D2 es:
F1 2k
Q2
4d 2
( ) k
Q2
2d 2
()
r r ' (1, 2, 3) (0, 0, z) (1, 2, 3 z)
La resultante de las fuerzas entre cargas del
mismo signo de los dipolos D1, D2 es:
De modo que, la fuerza ejercida por el fila
mento cargado ubicado entre -4 mz 4 m,
sobre la carga unitaria en P(1, 2, 3) m, es:
Q2
FP
4 dz(r r ')
q
4o 4 r r ' 3
F2 2k
F2
5d 2
2
5 5
k
d
()
5d
Q2
d2
()
10
Robótica y Cibernética
Luego, la fuerza que ejerce el dipolo D1 so total contenida en el volumen 0,1IxI, IyI,
bre el dipolo D2 separados por una distancia IzI0,2, está dada por:
"2d" es:
Q VdV
1 Q2
2 Q2
V
F( k 2
k 2 )()
2 d
5 5 d
0,2 0,2 0,2
1
Q
dx dydz
2
0,1 0,1 0,1 x 3 y3z3
1
2
Q
F(
)k
()
2 5 5 d2
0,1 0,1 0,1
1
0,2 0,2 0,2 x3y3z3 dx dydz
1
2 (9 109 )(8 109 )2
F(
)[
2 5 5
0,2 dx 0,2 dy 0,2 dz
(2 103 )2
Q
0,1 x 3 0,1 y3 0,1 z3
B
F 46,24 mN ( )
0,1 dx 0,1 dy 0,1 dz
La fuerza que ejerce el dipolo D2 sobre el
dipolo D1 es de igual magnitud, pero de sen
tido opuesto.
P:256
I) En el espacio libre, la densidad de carga
volumétrica es, V=1/(x3y3z3) C/m3, hallar la
carga contenida en el volumen, 0,1 mIxI, IyI
, IzI 0,2 m.
a) 3,32 MC b) 3,34 MC
d) 3,38 MC e) 0
0,2 x3 0,2 y3 0,2 z3
1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
Q ( 2 ) 0,2 ( 2 ) 0,2 ( 2 ) 0,2
8 x
y
z
1 1 0,2 1 0,2 1 0,2
( )
( )
( )
8 x 2 0,1 y 2 0,1 z 2 0,1
1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
Q ( 2 ) 0,2 ( 2 ) 0,2 ( 2 ) 0,2
8 x
y
z
c) 3,36 MC
II) En el espacio libre, la densidad de carga
volumétrica es, V=2z2sen 0,6 C/m3, ha
llar la carga contenida en el volumen, 0
0,1 m, 0 , 2 m z 4 m.
1 1 0,2 1 0,2 1 0,2
( )
( )
( )
8 x 2 0,1 y 2 0,1 z 2 0,1
Q (8)(753 753 ) 0
II) En coordenadas cilíndricas, la carga to
tal contenida en el volumen, viene dado por:
a) 1,018 mC b) 1,028 mC c) 1,038 mC
d) 1,048 mC e) 1,058 mC
III) En el espacio libre, la densidad de carga
volumétrica es, V=e-2r/r2 C/m3, hallar la car
ga contenida en el universo.
a) 6,08 C
b) 6,28 C
c) 6,48 C
d) 6,68 C
e) 6,88 C
I)
Sol: 256
En coordenadas rectangulares la carga
E
Q VdV
V
4 0,1 2 2
z sen 0,6 d d dz
2 0 0
Q
4
2
0
0,1 3
d
0
Q z 2dz sen 0,6 d
Q 1,018 mC
A
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
EAP. INGENIERÍA BIOMÉDICA
TRABAJO N°2: FUERZA ELÉCTRICA
ALUMNA: ROMERO AVILA, JOSELYN (20190382)
CURSO: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
FECHA DE ENTREGA: 13 de junio del 2022 a las 23:56 hrs
SEMESTRE 2022-I
LISTADO DE PROBLEMAS ASIGNADOS
01
¡GRACIAS!
“Nuestras virtudes y nuestros defectos son inseparables, como la fuerza y la
materia. Cuando se separan, el hombre no existe”-Nikola Tesla
1
son un caso particular de los campos elec
tromagnéticos.
Robótica y Cibernética
CAMPO
ELECTRIC0
Campo electrodinámico
Son los campos eléctricos generados por
partículas o cuerpo cargados en movimien
to uniforme o acelerado.
CAP. 3
Campo uniforme
1. CAMPO ELECTRICO
Un campo electrostático se dice que es u
niforme, si su intensidad E permanece
constante en todos los puntos donde exis
te el campo electrostático.
a) Concepto
Toda partícula o cuerpo cargado, crea en
el espacio que lo circunda, un campo eléc
trico de alcance ilimitado, que decae rápi
damente, esto es, en el infinito este campo
se considera nulo.
b) Evidencia
Decimos que en cualquier región del espa
cio, existe un campo eléctrico, cuando, en
cualquier punto de está región ubicamos
una carga eléctrica "q o " (carga de prueba)
y esta experimenta una fuerza de origen e
léctrico.
+
En la Figura, en la región R se muestra un
campo eléctrico uniforme.
E
Campo estacionario
Se llama así al campo eléctrico que es in
dependiente del tiempo, por ejemplo, la in
tensidad de un campo electrostático es in
dependiente del tiempo.
q
F=qE
Campo eléctrico alterno
Se llama así a los campos eléctricos que
cambian de dirección cada cierto interva
lo de tiempo, llamado periodo.
Campo microscópico
Se llaman así a los campos que se origi
nan al interior de los cristales o sustancias
debidas a las interacciones de sus compo
nentes (moléculas, átomos, electrones, etc
c)Clasificación de campos
Campo electrostático
Es aquel campo generado o producido por
partículas cargadas en reposo, respecto de
un sistema de referencia inercial (S.I.R),
2
Campo Eléctrico
d) Intensidad de campo eléctrico
Es una cantidad física vectorial que se uti
liza para caracterizar la fuerza que ejerce
un campo eléctrico sobre una partícula de
prueba de carga eléctrica "q o " muy peque
ña, en un punto del espacio, donde existe
dicho campo eléctrico, viene dado por:
f) Líneas fuerza del campo eléctrico
1) Definición
Son líneas imaginarias, que se utilizan pa
ra representar gráficamente un campo e
léctrico, estas líneas llenan por completo
la región R del espacio donde existe el
campo eléctrico.
2) Características
Las características que presentan las lí
neas de fuerza del campo eléctrico, son:
F
E
qo
E
E
E
TANGENTE
q0
F
F
P
q0
LINEA
FUERZA
Si "q o " es positiva, F y E están en la mis
ma dirección.
Si "q o " es negativa, F y E están en direc
ciones opuestas.
La partícula de prueba de carga "q o " , de
be ser muy pequeña, para que no altere o
distorsione la intensidad del campo eléctri
co (externo), en el punto donde se encuen
tra dicha partícula.
Unidad:
La intensidad del campo electrostático, en
un punto P cualesquiera del espacio, coin
cide con la tangente a la línea de fuerza
que pasa por el mismo punto P.
Las líneas de fuerza de un campo electros
tatico, creado por una carga positiva, di
vergen de el, y las líneas de fuerza de un
campo electrostático creado por una carga
negativa convergen a el.
E se mide en N/C.
e) Valores de intensidad de campo
eléctrico
Algunas intensidades de campo eléctrico
generados por diversas fuentes de campo
eléctrico, son:
- Cables domésticos
10-2
N/C
-1
- Ondas de radio
10
N/C
- Tubo de fluorescente
10
N/C
2
- Atmósfera
10
N/C
2
- Láser pequeño
10
N/C
3
- Luz solar
10
N/C
+q1
-q2
Las líneas de fuerza del campo electrostá
tico, creados por dos cargas una positiva
"q1 " y otra negativa "q 2 " , salen de la car
ga positiva (fuente) e ingresan en la carga
negativa (sumidero).
3
gión, es proporcional a la magnitud del
campo eléctrico en dicha región.
Robótica y Cibernética
E
q2
q1
En el caso que las cargas sean diferentes
en valor, por ejemplo q1>q2, el número de
líneas que salen de q2 será mayor al núme
ro de líneas que ingresan a q2, lo cual im
plica, que habrá líneas de fuerza que salen
de la carga q1 y se dirigen al infinito, co
mo se muestra en la Figura.
Las líneas de fuerza del campo eléctrico
salen o ingresan perpendicularmente de la
superficie de un conductor cargado, sien
do su magnitud en la superficie constante
e igual a /o.
h) Principio de superposición
q2
q1
La intensidad del campo eléctrico resul
tante de un sistema de N cargas q1, q2,
..., qN, en un punto del espacio donde no
se encuentran ninguna de estas cargas,
es igual, a la suma vectorial de los cam
pos eléctricos creados por cada una de
las cargas, esto es:
El número de líneas de fuerza del campo
electrostático que salen o ingresan de una
carga eléctrica, es proporcional al valor
de dicha carga eléctrica, esto es, se cum
ple que:
q1
d1
E3
E1
P
E2
q2
EN
dN
d3
N1 q1
N2 q2
d2
qN
q3
E E1 E2 ... E N
E i 1 Ei
N
q1
q2
siendo N1, N2 el número de líneas que sa
len de las cargas puntuales q1, q2, respecti
vamente.
La densidad de líneas de fuerza en una re
Cada carga eléctrica genera su campo e
léctrico, independientemente de la pre
sencia del resto de cargas eléctricas, es
decir, no es afectada por los campos eléc
tricos generados por las otras cargas.
4
Campo Eléctrico
i) Aplicaciones
Los campos eléctricos tienen diversas a
plicaciones en las actividades diarias que
realiza el hombre, así, tenemos:
Se utilizan en las señales de radio difu
sión de la TV o radio que viaja en el es
pacio como ondas, permitiendo la trans
micón de información a grandes distan
cias en intervalos de tiempo muy cortos.
Se utilizan en los tubos de rayos catódi
cos de los televisores y monitores de
computadoras, para acelerar, orientar y
direccionar los electrones que impactan
en la pantalla fosforescente, formando
las imágenes.
Se utilizan en los radares, para detectar
los aviones en vuelo, mediante el fenó
meno de reflexión de las ondas electro
magnéticas, localizando la distancia y po
sición del avión.
Se utilizan en los microondas, como se
ñal electromagnética que funciona a la
frecuencia de resonancia del agua, haci
endo que sólo las moléculas del agua vi
bren aumentando su energía (temperatu
ra) y evaporándose. Esto explica porque
solo se calienta la leche y no la taza.
Se utilizan en los inyectores de tinta de
las impresoras, en donde se aplica un
campo eléctrico que orienta y direcciona
a las gotas de tinta (muy pequeñas, me
nor a las de un diámetro de un cabello),
permitiendo la formación de las letras en
las posiciones preestablecidas en el pa
pel. El número de gotas que una impre
sora puede situar a lo largo de una pulga
da, es lo que, se conoce como ppp (pun
tos por pulgada), y suele ser del orden de
1200 o mayor en la dirección horizon
5
cia cardiaca lenta o rápida, dificultad pa
ra respirar.
Robótica y Cibernética
tal, los técnicos lo denominan resolución
de la impresora.
2. CALCULO DE CAMPOS ELECTRO
ESTATICOS
a) Distribución de cargas puntuales
P
r - ri
r
Se utilizan en los dispositivos eléctricos
que permiten pintar homogéneamente
las superficies metálicas de los autos,
puertas, etc..en las que se utiliza un cam
po electrostático y gotas de pintura eléc
tricamente cargadas.
qi
z
ri
0
y
x
La intensidad del campo eléctrico en un
punto P, creado por un sistema de "N"
cargas discretas q1, q2,...,qN cuyos vecto
res de posición son: r1 ,..., rN , viene
dado por:
E i 1 k
N
j) Efectos en la salud
En las investigaciones desarrolladas al
presente, se ha comprobados que los e
fectos de la radiación electromagnética
sobre la salud del hombre son diversas,
así:
* Neurológicos
Dolores de cabeza, perdida de memoria,
irritabilidad, depresión, ansiedad, insom
nio, fatiga, debilidad, temblores, espas
mos musculares, reflejos alterados, dolor
muscular y articular.
*
Cardiacas
Palpitaciones, arritmias, dolor o presión
en el pecho, presión alta o baja, frecuen
qi (r ri )
r ri
3
la posición del punto P, viene dado por
el vector de posición r ri (i =1, 2,..,
N), y "k" es la constante de proporciona
lidad.
A su vez la magnitud de la intensidad del
campo eléctrico en el punto P, viene dado
por:
E
i 1 k
N
qi (r ri )
r ri
3
Ejem: 01
La carga puntual Q1=-5 nC se encuentra
en el origen y la carga puntual Q2=+3 nC
está sobre el eje X en x=3 cm. Un punto P
6
Campo Eléctrico
se encuentra sobre el eje Y en y=-4 cm. (k
=9109 Nm2/C2, k=103)
I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en
el punto P, mediante el método gráfico.
a) 10,5 kN/C
c) 30,5 kN/C
b) 20,5 kN/C
d) 40,5 kN/C
e) 50,5 kN/C
II) Hallar la razón (Ey/Ex=?) entre las magni
tudes de las componentes del campo eléc
trico resultante, en las direcciones de los e
jes Y y X.
a) 3,0
b) 3,2
c) 3,4
d) 3,6
Las magnitudes de las componentes de los
campos eléctricos E1 y E 2 en las direccio
nes de los ejes X e Y son:
N
N
, E1y 2,81 104
C
C
E1x 0
E 2x E 2 sen 37o 0,65 104
N
,
C
e) 3,8
III) Hallar la dirección del campo eléctrico
resultante en el punto P.
a) 100o 26´ 5,8"
b) 104o 26´ 5,8"
c) 106o 26´ 5,8"
d)108o 26´ 5,8"
e)102o 26´ 5,8"
Sol: 01
Representemos los campos eléctricos de
las cargas "Q1 " y "Q 2 " en el punto P.
Q1
(9 109 )(3 109 )
N
E2
1,08 104
2 2
C
(5 10 )
Y
3cm
Q2
X
E 2y E 2 cos37o 0,86 104
N
C
I) El vector campo eléctrico resultante de la
suma de E1 y E 2 es:
E 2,81 104 ˆj 0,65 104 ˆi 0,86 104 ˆj ¨
N
E 0,65 104 ˆi 1,95 104 ˆj( )
C
La magnitud del campo eléctrico resultante
en el punto P es:
E [(0,65 104 )2 (1,95 104 )2 ]1/2
4cm
E1
E
5cm
E 2,05 104
N
C
B
37o
P
E2
II) La razón entre las magnitudes de las com
ponentes del campo eléctrico resultante, en
las direcciones de los ejes Y y X es:
En la Figura, las magnitudes de los campos
eléctricos E1 y E 2 son:
1,95 104
3,0
E x 0,65 104
(9 109 )(5 109 )
N
E1
2,81 104
2 2
C
(4 10 )
III) La dirección del campo eléctrico resul
tante en el punto P, viene dado por:
Ey
A
7
Robótica y Cibernética
180 tg 1 (
1, 95
)
0, 65
108o 26 ' 5,8"
E1 (0; 2,81 104 )
D
2) Método vectorial
Representemos los vectores que van de
las cargas "Q1 " y "Q 2 " al punto P.
y
Q1
Q2
(0, 0)
Q2
(9 109 )(3 109 ) 3 4
E 2 k 2 uˆ 2
( ; )
5 5
r2
(5 102 ) 2
E 2 (0,65; 0,86) 104
(0,-4)
E E1 E 2
E (0,65; 1,95) 104
r2
En la Figura, los vectores r1 , r2 y sus magni
tudes son:
r1 (0; 4) (0; 0) (0; 4) cm
r2 (0; 4) (3; 0) (3; 4) cm
r2 5cm
Con esto, los vectores unitarios en las direc
ciones de los vectores r1 y r2 son:
û1
N
C
De modo que, la magnitud del campo eléc
trico resultante es:
P
r1 4cm y
N
C
El vector campo eléctrico resultante en el
punto P es:
(3, 0) x
r1
N
C
E 2,05 104
Nota
En el método vectorial, en la fórmula del
campo eléctrico, se utilizan los signos de la
cargas.
b) Distribución de carga continúa
r1 (0; 4)
(0; 1)
r1
4
dq
r-r´
r
z
r
(3; 4)
3
4
û 2 2
( ; )
r2
5
5
5
Q1
(9 109 )(5 109 )
ˆ
E1 k 2 u1
(0; 1)
r1
(4 102 )2
P
r´
0
A su vez, los vectores campos eléctricos E1 ,
E 2 en el punto P son:
N
C
y
x
La intensidad del campo eléctrico en un
punto P, cuyo vector de posición es r , de
bido a un cuerpo de forma arbitraria, que
posee una distribución de carga continua,
viene dado por:
8
Campo Eléctrico
E k
(r r ')dq
r r'
D
3
siendo D, el dominio o región donde se
encuentra distribuida la carga eléctrica, es
te dominio puede ser lineal "L" , superfi
cial "S" o volumétrico "V" , así, la expre
sión anterior para estos tres casos, se escri
be, así:
1) Distribución lineal (L)
En un dominio lineal, la carga eléctrica se
distribuye en la longitud de un alambre, fi
lamento, hilo, varilla, etc….Para calcular
el campo eléctrico en el punto P, represen
temos los vectores de posición.
Y
r-r´
r
dq
X
r´
dl
En este caso, sustituyendo en la fórmula
general el diferencial de carga, dq=dl, te
nemos:
E k
L
(r r ')d
r r'
3
siendo, "d " un diferencial de longitud y
" " la densidad de carga lineal.
Ejem: 02
Una línea de carga continua se encuentra
a lo largo del eje-x, extendiéndose desde
x=+xo hasta el infinito positivo. La línea
tiene una densidad de carga lineal unifor
me "o " . Hallar la magnitud y dirección
del campo eléctrico en el origen de coorde
nadas.
dq=dx
0
x
xo
x
dx
En la Figura, el campo eléctrico en el origen
creado por el diferencial de carga "dq" es:
dE k
P
0
a) ko/2xo ( î )
b) ko/2xo (- î )
c) ko/xo ( î )
d) ko/xo (- î )
e) ko/4xo ( î )
Sol: 02
Tomemos en el filamento un diferencial
de longitud "dx" , de carga dq=dx, situada
a una distancia "x" .
dq ˆ
( i¨)
x2
En esta expresión sustituyendo dq=odx, e
integrando sobre todo el filamento, obtene
mos el campo total, así:
1
E k o ( ˆi) 2 dx
x
x
0
1
E k o ( ˆi)( )
x
E
k o ˆ
( i)
xo
x0
D
Ejem: 03
Demostrar que la intensidad de campo e
léctrico máxima Emáx a lo largo del eje de
un anillo de radio "R" , carga "Q" distri
buida uniformemente ocurre en x=a/ 2 y
tiene el valor de Q/(6 3 oR2).
Sol: 03
Recordar que el campo eléctrico creado
por un anillo delgado de radio "R" , carga
9
Robótica y Cibernética
"Q" en un punto P de su eje, viene dado
por:
Qx
E
4o (x 2 R 2 )3/2
P
Q
x
E max
Q
6 3o R 2
2) Distribución superficial (S)
En un dominio superficial, la carga eléctri
ca se distribuye en la superficie de una
placa muy delgada, que puede ser un dis
co, esfera hueca, elipsoide hueco, etc…
z
0
R
r-r´
r
Derivando esta expresión respecto de "x" , e
igualando a cero, obtenemos el valor de
"x" , para el cual, E es máximo, así:
y
dq
0
r´
S
x
dE d Q
[x (x 2 R 2 )3/2 ] 0
dx dx 4o
Q
[(x 2 R 2 ) 3/2
4o
3
x ( )(x 2 R 2 ) 5/2 (2x)] 0
2
Q x 2 R 2 3x 2
[
] 0
4o (x 2 R 2 )5/2
2x R
2
2
2
x
R
2
Evaluando la ecuación inicial para x= 2
R/2 obtenemos el campo máximo, así:
E max
Q( 2R / 2)
4o [(R 2 / 2) R 2 ]3/2
E max
Q( 2R / 2)
4o 3 3R 3 / 2 2
En este caso, sustituyendo en la fórmula
general el diferencial de carga, dq=dS,
tenemos:
E k
S
(r r ')dS
r r'
3
siendo, "dS" un diferencial de superficie,
y "" la densidad de carga superficial.
Ejem: 04
al cascarón esférico de radio R=10 cm y
densidad superficial de carga =210-9
C/m2 se le ha quitado un trozo circular de
radio a=0,01 cm (a<<R). Hallar la magni
tud del campo eléctrico en el centro de la
abertura. (k=9109 Nm2/C2)
a
R
10
Campo Eléctrico
a) 36 N/C
b) 24 N/C c) 12 N/C
d) 72 N/C e) 18 N/C
Sol: 04
Representemos los campos eléctricos en
un punto del eje, generados por la esfera
completa de radio "R", y por el disco (abertu
ra) de radio "a".
EE
P
ED
z
E
a
R
E (2)(9 109 )(2 109 )
E 36
N
C
A
Ejem: 05
Se tiene un disco delgado de radio "R" ,
carga "Q" distribuida uniformemente en
su superficie. Probar que el campo eléctri
co a lo largo del eje de simetría del disco,
para grandes distancias "x" de su centro,
es el de una carga puntual Q= R2.
Sol: 05
Recordar que el campo eléctrico creado
por un disco delgado de radio "R" , carga
"Q" en un punto P de su eje, viene dado
por:
P
Recordemos que las magnitudes del campo
eléctrico en el punto P, creados por la esfera
y el disco de radio "a" son:
Q
R2
EE
o (R z) 2
ED
0
z
[1
]
2 o
z2 a 2
Luego, del principio de superposición de
campos, y evaluando en z=0, obtenemos la
magnitud del campo eléctrico resultante en
el centro de la abertura, así:
E EE ED
x
E
R
x
(1
)
2o
x2 R 2
(Q / R 2 )
x
E
(1
)
2
2
2o
x R
E
Q
[1 x (x 2 R 2 )1/2 ]
2
2o R
R2
z
E
[1
]
o (R z)2 2o
z2 a 2
Aquí, como, x>>R, podemos utilizar la apro
ximación (1+x)n1+nx, obteniendo el cam
po de una carga puntual "Q" , así:
E
o 2o 2o
Q
R 2 1/2
E
[1 (1 2 ) ]
2o R 2
x
11
centros de la esfera y la cavidad es a=10
cm. Hallar la magnitud del campo eléctri
co al interior de la cavidad.
Robótica y Cibernética
E
Q
1 R2
(1
1
)
2 x2
2o R 2
E
Q
4o x 2
0’
a
3) Distribución volumétrica (V)
0
z
P
r-r´
r
dq
r´
0
y
V
x
En un dominio volumétrico, la carga eléc
trica se distribuye en el volumen de un
cuerpo, que puede ser una esfera compac
ta, cubo, cilindro compacto, etc…
En este caso, sustituyendo en la fórmula
general el diferencial de carga, dq=dV,
tenemos:
E k
EE
EC
r
RA
r r'
0
3
siendo, "dV" un diferencial de volumen,
y "" la densidad de carga volumétrica.
A su vez, la magnitud del campo eléctrico
en el punto P, viene dado por:
D
k
dq
r r´
0’
a
(r r ')dV
V
E
a) 12 N/C
b) 18 N/C c) 24 N/C
d) 36 N/C
e) 48 N/C
Sol: 06
Representemos en un punto P al interior
de la cavidad, los campos de la esfera E E , y
de la cavidad E C , considerada como una es
fera cargada negativamente.
2
Ejem: 06
Al interior de la esfera con densidad volu
métrica constante =310-8 C/m3, hay una
cavidad esférica. La distancia entre los
En la Figura, el campo eléctrico en el punto
A, es igual, al campo E A creado por la esfe
ra con centro en 0, de radio RA y densidad
de carga " ", más el campo E C creado por
la cavidad con centro 0', de radio "r" y den
sidad de carga "- " , esto es:
EA (
) RA (
)r
3 o
3 o
12
EA (
EA (
) (R A r)
3 o
)a
3 o
E
Campo Eléctrico
N
C
P
4 a
3(4 o )
(4)(9 109 ) (3 108 )(101)
E
3
E 36
y
dE
r
d
dq
x
0
x
dx
Calculemos el vector r , su módulo y la car
ga "dq" del diferencial de filamento, así:
D
<<
La dirección de E , viene dado por el
vector que va de 0 hacia 0' >>
3. CAMPOS ELECTRICOS CREADOS
POR CUERPOS CARGADOS
Utilizando las fórmulas establecidas ante
riormente, se encuentran los campos eléc
tricos generados en el vació por diferentes
cuerpos cargados.
1) Filamento infinito
P
La magnitud del campo eléctrico, creado
por el filamento de longitud infinita, den
sidad de carga lineal uniforme " " , en el
punto P situado en el vació a una distan
cia "d" , viene dado por:
E
2od
Demo:
1) Método vectorial
A una distancia (x) del origen, tomemos
un diferencial de filamento de longitud (dx),
carga (dq), como se aprecia en la Figura.
dq dx
Sustituyendo estas cantidades en la expre
sión para calcular el campo eléctrico, tene
mos:
dq r
E k 3
r
( dx)( x ˆi d ˆj)
(x 2 d 2 )3/2
r (x 2 d 2 )1/2 , y
E k
d
r (0 ; d) (x ; 0) x ˆi d ˆj
E k[ ˆi
x dx
(x 2 d 2 )3/2
dx
]
2 3/2
(x
d
)
d ˆj
2
a
x dx
a (x 2 d 2 )3/2
a
E k[ ˆi im
a
dx
]
a (x 2 d 2 )3/2
2d ˆj im
0
E k[iˆ im (x 2 d 2 ) 1/2
a
2d 1 ˆj im x (x 2 d 2 ) 1/2
a
a
a
a
0
]
13
contenida en el diferencial de longitud de
filamento "dx", y el cos , son:
Robótica y Cibernética
E k[iˆ im (0)
a
2d 1 ˆj im (
a
a
a 1 (d / a) 2
E
dq dx
0)]
d
cos
ˆ
j
2od
2) Método de simetría
Tomemos dos elementos de carga "dq" simé
tricos respecto del centro del filamento y re
presentemos los campos eléctricos genera
dos por estas cargas en el punto P.
x d
2
E R 2k d
0
E R 2k d (
dEX
dE
P
dEX
ER
2
(3)
(4)
Sustituyendo (3) y (4) en (2), e integrando
sobre toda la mitad del filamento, obtenemos
el campo debido a todo el filamento, así:
dx
(x d 2 ) 3/ 2
2
dER
dE
x
d2 x 2 d2
)0
2k
x
im
d x x 1 (d / x)2
d
dq
dq
X
ER
dx
x
0
x
dx
Ahora, las magnitudes de estos campos eléc
tricos en el punto P son:
dE k
dq1
x 2 d2
3) Ley de Gauss
Superficie
Gaussiana
E
(1)
En la Figura, la suma de las componentes ho
rizontales (dEx) se cancelan entre sí, de mo
do que la resultante del campo, es igual, a la
suma de las componentes verticales (dEY=
dE cos ), esto es:
dER 2dEcos
dE R 2k
2od
dq
cos (2)
(x 2 d 2 )
De otra parte, el diferencial de carga "dq",
d
q
l
Tomemos como superficie gaussiana, un ci
lindro de longitud " " , radio "d" , cuyo eje
coincide con el filamento infinito, como se a
precia en la Figura.
Ahora, como sólo existe flujo a través de la
superficie lateral del cilindro, éste flujo debe
ser proporcional a la carga neta encerrada en
dicha superficie gaussiana, esto es:
14
Campo Eléctrico
q
n
o
E (2 d )
E
o
2od
4. CAMPO ELECTRICO Y CARGA DE
UN CONDUCTOR
Dos son las conclusiones más importan
tes, sobre el comportamiento del campo e
léctrico en un conductor.
1) El campo eléctrico al interior de un con
ductor cargado que se encuentra en un
campo eléctrico externo E es nulo, debi
do a que las cargas libres del conductor se
redistribuyen, bajo la acción del campo e
léctrico externo, creando a su vez, un cam
po eléctrico interno que anula al externo,
como consecuencia las cargas libres se u
bican totalmente en la superficie del con
ductor.
Eext
Eind
E Eext Eind 0
donde, E ext , Eind los campos externo e in
ducido, respectivamente.
Todo cuerpo posee dos tipos de cargas e
léctricas, las llamadas cargas libres, que
son los electrones que no pertenecen a nin
gún átomo o molécula, y las llamadas car
gas aparentes (o ligadas) formadas por los
electrones y protones que pertenecen a los
átomos o moléculas, los electrones que se
encuentran en las capas electrónicas mas
externas de un átomo, son los que interac
cionan con menor intensidad con los nú
cleos de los átomos, por lo que, mas fácil
mente pueden abandonar los átomos y pa
sar a formar los electrones libres. De otro
lado, los electrones que están en las capas
mas próximas al núcleo atómico, interac
cionan mas fuertemente con los núcleos
del átomo, y producen el efecto de apanta
llamiento, el cual, consiste en disminuir
los efectos del campo eléctrico del núcleo
atómico.
2) El campo eléctrico en la superficie de un
conductor es perpendicular a su superficie
y su magnitud es /o. Si el campo eléctri
co en la superficie del conductor fuera o
blicuo a ella, tendría una componente pa
ralela, que ejercería fuerza eléctrica sobre
las cargas libres, produciéndoles movimi
ento, y las cargas dejarían de estar en repo
so. En los conductores de corriente eléctri
ca, el campo eléctrico es tangente a la su
perficie del conductor.
E
+
Ejemplo: 05
Hallar la magnitud del campo eléctrico en
la superficie metálica con densidad de car
ga superficial de =8 nC/m2, a una distan
cia d=10 cm.
Sol: 05
Según teoría, la magnitud del campo eléc
trico en la superficie es:
E 4 / 4o 4k o
15
Robótica y Cibernética
5. FLUJO DE LINEAS DEL CAMPO
ELECTRICO
E
S
a) Flujo de campo eléctrico (E)
dS
dS
E
E
S E dS 0
S
El flujo de campo eléctrico E que pasa a
través de una superficie de área "S" , se
define, así:
E E dS :
S
E Ecos dS
Ejem: 09
Una superficie hemisférica de radio r=20
cm está en una región de campo eléctrico
uniforme de magnitud E=150 N/C con su
eje alineado en forma paralela con la direc
ción del campo. Hallar el valor del flujo
de campo eléctrico (en Nm2/C) a través
de la superficie. (k=9109 Nm2/C2)
a) 18,05
S
donde, "" es el ángulo formado por el
campo eléctrico "E" , con la perpendicu
lar a la superficie "dS" , llamado normal.
Flujo de un campo eléctrico uniforme.
b) 18,25
c) 18,45
d) 18,65
e) 18,85
Sol: 09
Representemos las líneas de fuerza del
campo eléctrico y el hemisferio de radio
"R" .
E
E EScos
S
Flujo positivo y negativo
E
x
E
S
S
-
+
Flujo a traves de una superficie cerrada.
R
En la Figura, por conservación del flujo, el
número de líneas de campo que pasa por la
superficie del hemisferio, es la misma que
pasa por el área de su base, luego, de la defi
nición de flujo, tenemos:
16
Campo Eléctrico
por el filamento infinito, y el diferencial de á
rea de las franja, tenemos:
E E S ( E i ) (S i )
E
E ES (150)()(0,2)2
E 18,85
N m2
C
E
Ejem: 10
Se tiene un cilindro imaginario de radio r
=25 cm y longitud l=40 cm, en cuyo eje
se encuentra un filamento delgado muy
largo de densidad de carga lineal unifor
me =6 C/m.
I) Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a tra
vés del cilindro, debido al campo creado
por el filamento.
E
S
S (E r)ˆ (dSr)ˆ
E E dS
0
E (
S E dS
2
0
(
)( R d)
2o R
)(2 ) 4 k
2o
E (4)(9 109 )(6 106 )(0,4)
N m2
E 2,71 10
C
5
a) 2,11105 b) 2,31105
c) 2,51105
d) 2,71105
e) 2,91105
2
II) Hallar el flujo eléctrico (en Nm /C) cuan
do el radio aumenta a R=0,5 m.
a) 2,11105 b) 2,31105
c) 2,51105
d) 2,71105
e) 2,91105
Sol: 10
Representemos un diferencial de superfi
cie de área dS=l.R.d, en forma de franjas
como se muestra en la Figura.
b) Densidad de líneas del campo eléc
trico
Se llama así al número de líneas de fuer
za del campo eléctrico, que pasan por ca
da unidad de superficie, y viene dado por:
D o E
La densidad de líneas del campo eléctrico
d
l
II) Cuando el radio aumenta a R=0,5 m, el
flujo eléctrico a través de la superficie late
ral del cilindro no cambia.
E
dS
R
I) En la expresión del flujo eléctrico, reem
plazando el campo eléctrico radial, creado
es una cantidad física vectorial.
La densidad de líneas de fuerza del cam
po eléctrico en una región, es proporcio
nal a la intensidad de campo eléctrico en
dicha región.
Ejem: 12
En el espacio libre la densidad de carga
volumétrica es v=2e-1000r nC/m3 para
0<r<1 mm y v=0 en cualquier otra parte.
(a=10-18, p=10-12)
17
Robótica y Cibernética
I) Halarr la carga eléctrica total encerrada
por la superficie esférica r=1 mm.
a) 2 aC
b) 3 aC
c) 4 aC
d) 5 aC
e) 6 aC
II) Aplicando la ley de Gauss, hallar Dr (en
pC/m2) sobre la superficie r=1 mm.
a) 0,12
b) 0,22
d) 0,42
e) 0,52
Q vdV
V
Q
0 0
E
S
Si el campo eléctrico es uniforme y per
pendicular en todos los puntos de la super
ficie "S" (finita), el número total de líneas
del campo eléctrico que pasan a través de
la superficie "S" es:
N ES
2e1000r r 2sen dr d d
0
0,001
Q2
c) Número de líneas de campo electri
co
c) 0,32
Sol: 12
I) Integrando la densidad de carga volumé
trica "v " ,con el elemento de volumen "dV"
en coordenadas esféricas, obtenemos la car
ga "Q" , así:
2 0,001
n̂
2
0
0
E
e1000r r 2dr sen d d
0
Q (2)[(
2e
C C
m2
Dr 0,32 1012
S
2 1000r
r e
1000
1000r
10003
( cos )
)
0,001
0
(1000r 1)
0
()
0,001
0
2
0
Q 4 1018 C
C
II) La magnitud de la densidad de flujo eléc
trico en la superficie de la esfera de radio r
=1 mm es:
Q
D r o E r
4 r 2
Dr
4 1018
(4)(0,001)3
los límites de integración se toman sobre
toda la superficie "S" , y "" es el ángulo
que forma el campo eléctrico E con la
normal n̂ a la superficie, en un punto cua
lesquiera de ella.
Ejem: 13
Una carga puntual de q=9,6 nC está en el
centro de un cubo de lados de longitud
l=0,5 m (k=9109 Nm2/C2, n=109)
Hallar el numero de lineas de campo eléc
trico (en Nm2/C) a través de una cara del
cubo. (k=9109 Nm2/C2)
a) 181
b) 183
d) 187
c) 185
e) 189
18
Campo Eléctrico
Sol: 13
I) Como el cubo tiene seis caras idénticas,
el flujo eléctrico que pasa por una cara, es la
sexta parte del flujo total generada por la car
ga puntual, esto es:
c
q
2 k q
6 6 o
3
S oE dS q
(2)(9 109 )(9,6 109 )
N c
3
c 181
Nm
C
2
A
dS
S
d
S o E dS V dV
Transformando la integral de superficie
en integral de volumen, tenemos:
V EdV V dV
6. LA LEY DE GAUSS
La ecuación matemática que expresa la
ley de gauss, puede representarse en su
forma integral o diferencial.
a) Forma integral
qk
b) Forma diferencial
La expresión de la ley de Gauss, para una
carga eléctrica "q" distribuida en el volu
men "V" , limitada por la superficie cerra
da "S" , viene dada por:
E
V (o E )dV 0
De aquí, como el diferencial de volumen
"dV" es diferente de cero, obtenemos la
expresión diferencial de la ley de Gauss:
0,
E
/ o
siendo, "" la densidad de carga volumé
trica, en la región donde se estudia el cam
po eléctrico.
<<
Para un campo eléctrico en el vacío, el
flujo " E " del vector campo eléctrico, a
través de cualquier superficie cerrada
"S" , es proporcional a la suma algebrai
ca de las cargas eléctricas encerradas por
esta superficie>>
E
S oE dS k ()qk
siendo, "S" el área de la superficie cerra
da, "q k " las cargas libres al interior de
dicha superficie y "E" la intensidad del
campo eléctrico.
d) ¿Como se aplica la ley de Gauss ?
La ley de Gauss, permite determinar de
manera sencilla, los campos eléctricos
creados por cuerpos cargados que presen
tan alta simetría, por ejemplo, filamentos,
planos, esferas, etc...
Así, para hallar el campo eléctrico creado
por un filamento de longitud infinita y
densidad de carga longitudinal uniforme
" " , procedemos así:
1) A partir de la simetría de la distribución
de carga positiva, representemos las lí
neas de fuerza del campo eléctrico.
19
memente, hallar la densidad de carga de
la esfera (en nC/m3) (k=9109 Nm2/C2,
n=10-9)
Robótica y Cibernética
E
dS
S2
S3
a) 160
r
P
S1
l
2) Elegimos como superficie cerrada (super
ficie gaussiana) un cilindro de radio "r" y
longitud " " que pase por el punto P, don
de hallaremos el campo, y que tenga co
mo eje el filamento cargado.
3) Aplicamos la ley de Gauss a la superficie
del cilindro formada por sus dos bases (S1
y S3) y su superficie lateral (S2), así:
b) 260
e) 560
c) 360
d) 460
Sol: 14
La magnitud del campo eléctrico es cons
tante para a una distancia dada del centro de
bido a que la densidad de carga es uniforme
al interior de la esfera. Aplicando la ley de
Gauss, a la superficie esférica de radio r=0,5
m, obtenemos el campo eléctrico, así:
1
S E dS o q
E(4 r 2 ) 4 k q
S oE dS d
(1750)(0,5)2 (9 109 )q
S oE dS S oE dS S oE dS d
q 4,86 108 C
1
2
3
4) Ahora, como el flujo es radial, no existe
flujo por las bases del cilindro, y además
como en cada punto de la superficie late
ral el campo eléctrico E está en la direc
ción del vector diferencial de superficie
dS , la ecuación anterior se reduce a:
oES
d
r
R
S.G.
E(2 r )
E
2o r
siendo, "S" el área lateral del cilindro.
Ejem: 14
La magnitud del campo eléctrico a una
distancia de d=0,145 m de la superficie de
una esfera sólida aislante de radio R=
0,355 m, es E=1750 N/C. Asumiendo que
la carga de la esfera se distribuye unifor
Con esto, calculemos la densidad de carga
volumétrica al interior de la esfera:
q
q
V (4 / 3) R 3
260 10 9
C
m3
7. DIPOLO ELECTRICO
B
20
Campo Eléctrico
a) Definición
Un dipolo eléctrico es un conjunto de dos
cargas eléctricas de igual magnitud y de
signos opuestos +q y -q, separados por u
na pequeña distancia " d".
-q
+q
d
b) Momento dipolar (p)
El momento dipolar es una cantidad físi
ca vectorial, que se define como el pro
ducto de la magnitud de una de las car
gas, por la distancia que las separa, esto
es:
anterior, también, podemos escribir así:
V(r, )
pr
4o r 3
Ejem: 16
Hallar el trabajo realizado al trasladar la
carga qo=810-8 C, desde A hasta B en el
campo eléctrico del dipolo de cargas eléc
tricas q=410-6 C separadas una distan
cia d=1 mm, a siguiendo la trayectoria del
arco de circunferencia de radio R=1 cm.
A
qo
R
p qd
-q
siendo, d el vector que empieza en " q"
y termina en " q" .
c) Potencial eléctrico
En coordenadas polares el potencial eléc
trico en el punto P(r, ), creado por el di
polo en el vació, viene dado por:
d
B
+q
a) 28,0 mJ
b) 28,2 mJ
c) 28,4 mJ
d) 28,6 mJ
e) 28,8 mJ
Sol: 16
Aplicando el teorema del trabajo y la e
nergía tenemos:
WAB qo (VB VA )
E
Er
E
P
r
-q
qop
)(cos 00 cos 900 )
2
4o R
WA B
qo p
4o R 2
+q
(9 109 )(8 108 )(4 106 )(103 )
WAB
(102 )2
0
d
V(r, )
WA B (
pcos
4o r 2
O dado que: p r pr cos , la ecuación
WAB 28,8 mJ E
c) Campo eléctrico
21
En estas condiciones cada carga del dipo
lo eléctrico experimenta una fuerza de i
gual magnitud, pero de sentido opuesto,
de modo que la fuerza resultante sobre el
dipolo es nula, pero existe un par, la mag
nitud del momento de este par, respecto al
centro de giro O del dipolo eléctrico es:
Robótica y Cibernética
Las componentes del vector campo eléctri
co del dipolo, en coordenadas polares pla
nas (r; ), para puntos que cumplan la con
dición (r >> d), son:
Componente radial, en la dirección del ra
dio "r" .
Er
1 2pcos
4o
r3
Componente tangencial, en la dirección
en la que aumenta el ángulo "" ,
E
La magnitud del campo eléctrico en el va
cío, debido a la presencia de un dipolo e
léctrico, calculado en un punto arbitrario
0, suficientemente alejado del dipolo (r
>> d), viene dado por:
E
p
[3cos 2 1] 1/ 2
3
4o r
Las componentes radial E r y tangencial
E , son perpendiculares entre sí.
d) Momento de un dipolo
Consideremos un dipolo eléctrico de mo
mento dipolar p , que está dentro de un
campo eléctrico externo uniforme E , co
mo se muestra en la Figura.
a/2
0
a/2
-q
M pxE
f) Trabajo para alinear un dipolo
El efecto del momento sobre el dipolo, es
el de hacerlo girar, y alinearlo en la direc
ción del campo eléctrico, así, el trabajo
realizado por el momento ejercido por el
campo eléctrico externo, para alinear al di
polo eléctrico es:
+q
E
d/2
0
d/2
+q
E
F
Luego, la forma vectorial del momento
que experimenta el dipolo eléctrico es:
siendo M perpendicular al plano forma
do por p y E .
E2 ] 1/ 2
M asen F asen (q E)
M a q Esen pEsen
1 psen
4o r 3
E [E 2r
a
a
M sen F sen F
2
2
F
FT
qE
-q
W 2 FT ds
0
FT
qE
22
Campo Eléctrico
5. CUADRUPOLO
d
W 2 (q Esen )( d)
2
a) Definición
Se llama así, al sistema formado por tres
cargas +2q, -q, -q, situándose la carga
+2q en el punto medio del segmento de
recta que une las cargas –q.
0
W qd E( cos )
0
W pE(cos cos o )
Eligiendo el ángulo inicial, o 900, pués
solo tiene interés físico la diferencia de e
nergía potencial, obtenemos
b) Momento del cuádruplo
Es una cantidad física escalar, que se de
fine como el valor de la carga central
"2q" multiplicado por el cuadrado de la
distancia "d" , esto es:
W p E
Q 2qd 2
f) Energía de interacción eléctrica de
un dipolo
1) La energía de interacción de un dipolo e
léctrico de momento dipolar p , con un
campo eléctrico externo E , viene dado
por:
W p E
siendo la distancia entre 2q y q .
b) Potencial eléctrico
E
Er
E
P
2) La energía de interacción de un dipolo
"1" de momento dipolar p1 , con un dipolo
"2" de momento dipolar p 2 , viene dado
por:
p1
r1
p2
r2
X
W
0
r
-q
r2
-q
+2q
d
En coordenadas polares, el potencial eléc
trico en el punto P(r, ) creado por el cuá
druplo, viene dado por:
r1-r2
Z
r1
Y
1
p p
3p (r r )p (r r )
[ 1 2 3 1 1 2 25 1 2 ]
4o r2 r1
r2 r1
siendo, r1 , r2 los vectores de posición de
los dipolos eléctricos.
2 1 1
V kq( )
r r2 r1
V
kq
r r
(2 )
r
r2 r1
(1)
En la Figura, de la ley de coseno, las dis
tancias "r1 " y "r2 " son:
r1 [r 2 d 2 2r dcos ] 1/ 2
23
De modo que, la magnitud del campo eléc
trico en el punto P es:
Robótica y Cibernética
r2 [r 2 d 2 2r dcos ] 1/ 2
E (E 2r E2 ) 1/ 2
Con esto, las expresiones r/r1 y r/r2, que
dan así:
r
d 2 2d cos 1/ 2
[1 ( 2
)]
r1
r
r
r
d 2 2d cos 1/ 2
[1 ( 2
)]
r2
r
r
Como, r d desarrollamos las expresio
nes anteriores en Binomio de Newton, has
ta el O(2) en (d/r), obteniendo:
r
d
d2
1 cos 2 (3cos 2 1)
r1
r
2r
r
d
d2
1 cos 2 (3cos 2 1)
r2
r
2r
Sustituyendo en la ec.(1), obtenemos:
kq
d
1 d2
V
{2 [1 cos
(3cos 2 1)
2
r
r
2r
d
1 d2
1 cos
(3cos 2 1)]}
2
r
2r
V
q d2
(3cos 2 1)
3
4o r
c) Campo eléctrico
Las componentes radial "E r " y tangencial
"E " del campo eléctrico son:
Er
3q d
(3cos 2 1)
4
4o r
E
3q d
(sen 2)
4o r 4
E
3q d
(5cos4 2cos2 1)1/ 2
4
4o r
Casos particulares:
1) Para, =0o, obtenemos el campo eléctrico
en puntos de la bisectriz del eje del cuá
druplo.
E
6q d
4o r 4
2) Para, =90o, obtenemos el campo eléctri
co en puntos del eje.
E
3q d
4o r 4
Conclusión
El potencial eléctrico de un cuádruplo dis
minuye inversamente con el cubo de la
distancia, en tanto, de un dipolo disminu
ye inversamente con el cuadrado de la dis
tancia, y el de una carga puntual disminu
ye con el inverso de la distancia.
Teoría de Campos Electromagnéticos
CAMPO
ELECTRICO
P-02
1
r3 (0; 0; 0) (0; 1; 1) (0; 1; 1)
r4 (0; 0; 0) (1; 1; 1) (1; 1; 1)
Los vectores unitarios en las direcciones de
los vectores r1 , r2 , r3 y r4 son:
44. En cuatro vértices del cubo de lados a=1
m se encuentran cargas puntuales de va
lor Q=4 nC. Hallar la magnitud del cam
po eléctrico en el origen de coordenadas.
Z
û1
r1
1
(1; 0; 1)
r1
2
û 2
r2
1
(1; 1; 0)
r2
2
û 3
r3
1
(0; 1; 1)
r3
2
û 4
r4
1
(1; 1; 1)
r4
3
Q
Q
Q
a
0
Y
a
Q
a
X
a) 10,33 N/C b) 12,33 N/C c)14,33 N/C
d) 16,33 N/C e) 18,33 N/C
Solución: 44
Representemos los vectores trazados des
de cada una de las cargas al centro del cubo.
Z
Así, los vectores campos eléctricos, creados
por cada una de las cargas en el origen son:
E1 k
Q1
N
ˆ
u
9
2
(
1;
0;
1)
1
C
r12
E2 k
Q2
N
ˆ
u
9
2
(
1;
1;
0)
2
C
r22
E3 k
Q3
N
ˆ
u
9
2
(0;
1;
1)
3
C
r32
E4 k
Q4
N
ˆ
u
4
3
(1;
1;
1)
4
C
r42
Q3
Q4
Q1
r4
r1
0
X
1m
1m
r3
Y
r2
1m
Q2
El vector campo eléctrico resultante en el o
rigen 0, y su magnitud son:
En la Figura, los vectores trazados desde las
cargas al origen de coordenadas, son:
E E1 E2 E3 E4
r1 (0; 0; 0) (1; 0; 1) (1; 0; 1)
E 9 2 (2; 2; 2) 4 3 (1; 1; 1)
r2 (0; 0; 0) (1; 1; 1) (1; 1; 0)
E (18,53; 18,53; 18,53)
Ing. de Telecomunicaciones
2
E 32
N
C
d (49)1/2 7cm
B
46. En los tres vértices del paralelogramo re
gular de lados a=15 cm, b=20 cm, se en
cuentran cargas puntuales iguales a Q1=
+20 pC, Q2=+7 pC, Q3=+30 pC. (k=
9109 Nm2/ C2, p=10-12)
También en el triángulo, de la ley de senos,
obtenemos el sen y el cos , así:
sen sen16o
15
7
sen 0,5906 y cos 0,8069
Q1
P
De otro lado, las magnitudes de los campos
eléctricos generados por cada una de las car
gas en el punto P, son:
15cm
16o
20cm
Q2
Q3
I) Hallar la magnitud del campo eléctrico
en el vértice P del paralelogramo.
a) 10,4 N/C b) 11,4 N/C c) 12,4 N/C
d) 13,4 N/C e) 14,4 N/C
II) Hallar la dirección del campo eléctrico
en el vértice P del paralelogramo.
a) 72o 17´49"
b) 72o 27´49"
c) 72o 37´49"
d) 72o 47´49"
e) 72o 57´49"
Solución: 46
Representación de los campos eléctri
cos en el vértice P del paralelogramo.
E3
Y
E2
Q1 (9 109 )(2 1011)
N
E1 k 2
4,5
2
C
r1
(0,20)
Q2 (9 109 )(7 1012 )
N
E2 k 2
12,86
C
r2
(0,07) 2
Q3 (9 109 )(3 1011)
N
E3 k 2
12
C
r3
(0,15)2
A su vez, las expresiones vectoriales de ca
da uno de estos campos eléctricos, son:
E1 (4,50; 0)
N
C
E 2 (10,38; 7,59)
N
C
E3 (11,54; 3,31)
N
C
X
P
Q1
E1
d
15
164o
16o
En triángulo, de la ley de coseno, obtenemos
la longitud de la diagonal, así:
Luego, del principio de superposición de
campos, obtenemos el vector campo eléctri
co resultante en el punto P, y su magnitud,
así:
d 2 202 152 (2)(20)(15)cos16o
E E1 E2 E3
Q2
20
Q3
Teoría de Campos Electromagnéticos
sobre el electrón es:
E (3, 34; 10, 9) N / C
E 11,4
FR 2Fcos 2k eQ
N
C
B
II) La dirección del vector campo eléctrico
resultante en el punto P, viene dado por:
72o 57´ 49"
E
21. Un electrón de carga e=-1,610-19 C, ma
sa m=9,110-31 kg se libera en la posi
ción x=0 m, y=b, en presencia de dos car
gas puntuales fijas iguales a Q=+8 nC
situadas en el eje X en x=-a, x=+a, res
pectivamente. Hallar la rapidez con la
que el electrón pasa por el origen de
coordenadas. (k=9109 Nm2/C2, a=30
cm, b=40 cm, n=10-9)
a) 104 km/s b) 124 km/s c) 144 km/s
d) 164 km/s e) 184 km/s
Solución: 21
Representación de las fuerzas eléctricas
que ejercen las cargas "Q" sobre el electrón.
A su vez, la aceleración que adquiere el elec
trón debida a esta fuerza es:
FR
2k eQ
y
m
m (y2 a 2 )3/2
Ahora, sustituyendo a=vdv/dy e integrando
para y entre b y 0, obtenemos la rapidez con
la que pasa el electrón por el origen, así:
v
v
0
dv
2k eQ
y
dy
m (y2 a 2 )3/2
vdv
2k eQ 0
ydy
m b (y2 a 2 )3/2
1
2k eQ
1
v
( v2 ) 0
(
)
2
2
2
m
y a
v [
Evaluando para: e=1,610-19 C, m=9,110-31
kg, Q=8 nC, a=30 cm, b=40 cm, obtenemos:
v 184 103
e, m
F
y2+a2
y
Q
0
b
4k eQ 1
1
(
)]1/2
m a
a 2 b2
Y
y
(y2 a 2 )3/2
a
10,90
tg 1(
)
3,34
F
3
m
s
E
El signo (-) en la expresión de la fuerza FR,
nos indica que esta es atractiva.
Q
-a
0
a
X
De la Figura, la magnitud de la fuerza eléc
trica "F" sobre el electrón es:
eQ
y2 a 2
De modo que, la fuerza eléctrica resultante
Fk
38. Se tiene un disco muy delgado de radio
R=6 cm, densidad de carga superficial u
niforme de =810-9 C/m2. ¿A qué dis
tancia del centro del disco en un punto
del eje, el campo eléctrico es la mitad
del campo eléctrico en un punto situado
a la distancia d=8 cm? (k=9109 Nm2/
C2)
Ing. de Telecomunicaciones
cos en el punto P, creados por cada una de
a) 12,19 cm b) 12,39 cm c) 12,59 cm las cuatro cargas.
d) 12,79 cm e) 12,99 cm
Solución: 38
Q
Q
Sea "x" la distancia en la cual la magni
tud del campo eléctrico, disminuye a la mi
a
E'
E'
tad esto es:
P
4
d+a
1
E Eo
2
x
1
d
(1
)
(1
)
2o
2 2o
x2 R 2
R 2 d2
2
2x
x2 R 2
1
2a
Q
E
E
Q
En los triángulos rectángulos, obtenemos las
relaciones aproximadas:
d
d2 R 2
1
0,08
(1
)
x2 R 2 2
0,082 0,062
a
sen
(d a) 2 a 2
a
da
x
x
x R
2
2
0,9
a
sen
(d a)2 a 2
a
da
Ahora, como las componentes verticales de
los campos se anulan entre si, el campo eléc
trico resultante en el punto P es:
(0,81)(6) 2
x
0,19
2
x 12,5cm
ER 2 E´sen 2 E sen
B
39. Demostrar que la magnitud del campo e
léctrico en el punto P, debido a las cua
tro cargas "Q" situadas en los vértices
del cuadrado de lados "2a " , para a<<d,
viene dado por: 12Qa2/4od4.
Q
Q
2a
P
0
ER 2
kQ
a
kQ
a
2
(d a)2 (d a)
(d a)2 (d a)
E R 2k Qa[
ER
2k Qa
a 3
a 3
[(1
)
(1
) ]
d
d
d3
Como, a<<d, utilizamos la aproximación de
primer orden (1+x)n 1+nx, obteniendo:
d
ER
Q
1
1
]
(d a)3 (d a)3
2a
Q
Solución: 39
Representación de los campos eléctri
2k Qa
d
d
[1 3 1 3 ]
3
a
a
d
12Qa 2
ER
4od 4
Teoría de Campos Electromagnéticos
El signo (-) nos indica que el campo eléctri
ER 2 EV E
co esta en la vertical hacia abajo.
5
ER 2Ecos45o E
40. En la semiesfera de radio R=20 cm, es
tán inscritas tres mitades de anillos, de
densidades de carga lineal uniformes de
=50 pC/m, siendo el ángulo entre los
planos que los contienen de =45º. Ha
llar la magnitud del campo eléctrico en
el centro 0 de la base de la semiesfera.
(k=9109 Nm2/C2, p=10-12)
a) 21,72 N/C
b) 23,72 N/C
c) 25,72 N/C
d) 27,72 N/C
e) 29,72 N/C
Solución: 40
La magnitud del campo eléctrico gene
rado por la mitad de un anillo de radio "R" ,
densidad de carga lineal uniforme " " , y te
niendo en cuenta la relación entre F y "E" ,
es:
E
F 2k
qo
R
E'
2k
(2 cos 45o 1)
R
(2)(9 109 )(5 1011)
ER
(2cos 45o 1)
0,20
E R 10,86
N
C
D
Este campo eléctrico resultante, esta en la
vertical, hacia abajo.
51. El disco muy delgado agujereado de ra
dios interno a=10 cm, externo b=20 cm,
tiene una densidad de carga superficial
dado por: =o(r2/a2+b2)sen2, donde o
=+8 nC/m2, es una constante, "r" la dis
tancia radial, y "" el ángulo polar. (k=
9109 Nm2/C2)
Ahora, representemos los campos eléctricos
generados por cada una de las mitades de a
nillo en el centro de la base de la semiesfera.
P
R
r
+
0
R
R
45o
45o
R
I) Hallar la carga total del disco agujerea
do.
0
E
E
E
En la Figura, las componentes horizontales
(EH) del campo eléctrico se anulan entre si,
por lo que, el campo eléctrico resultante en
el centro del anillo es:
a) -166 pC b) +166 pC c) -188 pC
d) +188 pC e) -204 pC
II) Hallar la magnitud del campo eléctrico
en el centro del disco agujereado.
a) 0 N/C
b) 5 N/C
c) 10 N/C
d) 15 N/C
e) 20 N/C
Ing. de Telecomunicaciones
6
Solución: 51
I) En coordenadas polares planas, la car
ga total del disco agujereado, viene dado por
r r cos ˆi r sen ˆj y
Q dS
û
S
Q
Q
Q
o
a b
2
2
2
0
b
sen 2 d r 3 dr
2
0
o
(b2 a 2 )(b2 a 2 )()
2
2
(a b )
dE k
1
Q ( )(8 109 )(0,22 0,12 )
4
Q 188 1012 C
C
E
y
b
o k
a b
2
cos sen
2
r dr d
0 a
2 b
o k
a b
2
sen
3
r dr d]
2
[iˆ
2
cos sen
0
2
2
d
b
ĵ sen d] r dr
3
dq
0
x
E
En la Figura, la expresión del vector r , y su
vector unitario û son:
2 b
0 a
dl
a
2
[iˆ
ĵ
E
0
dq
uˆ
r2
Sustituyendo el diferencial de carga "dq" , el
vector unitario û , e integrando sobre todo el
disco agujereado, obtenemos:
II) Ahora, en coordenadas polares represen
temos un elemento de carga "dq" contenida
en un diferencial de superficie de área dS=
rdrd y el vector r que va del elemento de
carga al origen 0.
r
a 2 b2
sen 2 r dr d
Ahora, según teoría el campo eléctrico en el
origen 0, creado por el diferencial de carga
"dq" , viene dado por:
1
Q o (b2 a 2 )
4
dr
r2
dq dS o
a
o
1 3 b 1
1
(
r
)
(
sen 2 )
a
2
4
a 2 b2 4
Q
r
cos ˆi sen ˆj
r
De otro lado, el diferencial de carga "dq"
con tenida en el diferencial de superficie
"dS" es:
r2
2
a o a 2 b2 sen r dr d
2 b
0
r r
o k
a
1 2 b ˆ 1
2
3
(
r
)
[i
(
sen
)
a
0
3
a 2 b2 2
1
2
ĵ( cos (sen 2 2 )) 0 ]
3
7
Teoría de Campos Electromagnéticos
dz, e integrando sobre todas las láminas,
N
obtenemos el campo de la placa en P, así:
A
E0
C
E
h dz
dE
0
0 2 o
53. La placa muy grande de espesor h=2 cm,
y densidad de carga volumétrica =6
h
C/m3, presenta una cavidad cilíndrica
E
de radio R=40 cm y altura h=2 cm. Ha
2o
llar la magnitud del campo eléctrico en
el punto P, situado a la distancia d=2 m Para calcular el campo del cilindro dividi
mos este en muchos discos, y representamos
de la placa. (k= 9109 Nm2/C2, =10-6)
el campo eléctrico de uno de estos discos, en
P
el punto P, como muestra la Figura.
d
P
Z
D
h
z
a) 60,66 kN/C
b) 62,66 kN/C
c) 64,66 kN/C
d) 66,66 kN/C
e) 68,66 kN/C
Solución: 53
Dividiendo la placa de espesor "h" en
muchas láminas muy delgadas de espesor
"dz" , y recordando que la magnitud del cam
po eléctrico, creado por una de estas láminas
en un punto P es:
dE
2o
P
d
h
z’
0
dz
z
Y
Recordemos que la magnitud del campo e
léctrico creado por un disco de radio "R" ,
densidad de carga superficial uniforme ""
en un punto de su eje a una distancia "D"
de su centro, viene dado por:
[1
2o
D
D R
2
2
]
Así, sustituyendo en esta expresión "D" por
"z z'" y "" por ".dz" , la magnitud del
campo eléctrico generado por el disco, de es
pesor "dz" , y carga eléctrica "dq" en el pun
to P, que esta ubicado a una distancia "z"
del origen 0 es:
0
Sustituyendo la relación entre las densida
des de carga superficial y volumétrica, =
R
X
E
Z
dz’
dE
z z'
[1
] dz'
2
2
2o
(z z') R
8
Ing. de Telecomunicaciones
Luego, el campo creado por el cilindro, se mos el campo en el punto 0 creado por uno
obtendrá integrando y evaluando sobre to de ellos.
dos los discos que forman el cilindro, así:
E
2o
h
0
[1
z z'
(z z ') R
2
2
+
] dz '
r
z
E
[h (z h)2 R 2 z 2 R 2 ]
2o
Luego, del principio de superposición de
campos, al campo creado por la placa infini
ta "E P " le quitamos el campo de la cavidad
cilíndrica "EC " , esto es:
0
r R cos ; z R sen
ER 2 k [ z 2 R 2 (z h)2 R 2 ]
[ 2,22 0,42 22 0,42 ]
E R 66,66 103
N
C
D
164.Las mitades de una esfera compacta de
radio R=20 cm poseen densidades de car
ga volu métrica uniformes 810-10
C/m3. Hallar la magnitud del campo eléc
trico en el centro de la esfera compacta.
(k=9109 Nm2/C2)
a) 5 N/C
b) 6 N/C
c) 7 N/C
d) 8 N/C
e) 9 N/C
Solución: 164
Dividamos el hemisferio compacto car
gado positivamente en discos, y represente
z
[1
]
2
2
2 o
z r
Pero, el radio "r" del anillo, su distancia al
punto P, y su espesor "dz" son:
(z h)2 R 2 ]
E R (2)(9 109 )(6 106 )
En la Figura, la magnitud del campo eléctri
co en el origen 0, creado por el anillo de ra
dio "r" , espesor "dz" y densidad de carga
superficial "" es:
dE
h h
[ z2 R 2
2o 2o 2o
R
dE
E R E P EC
ER
dz
dz R cos d
Con lo que, la densidad de carga superficial
del anillo es:
dz R cos d
Sustituyendo en la ecuación inicial "" ,
"r" , "z" , e integrando sobre todos los discos
que forman el hemisferio compacto, tene
mos:
E
0
E
R
dE
2 o
/2
(1 sen )cos d
0
/ 2
R
1
/ 2
[(sen ) 0 (sen 2)
]
0
2 o
2
ER 9
N
C
E
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
EAP. INGENIERÍA BIOMÉDICA
TRABAJO N°3: "Campo Eléctrico"
ALUMNA: ROMERO AVILA, JOSELYN (20190382)
CURSO: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
FECHA DE ENTREGA: 5 de julio del 2022 a las 17:55 hrs
SEMESTRE 2022-I
LISTADO DE PROBLEMAS ASIGNADOS
01
¡GRACIAS!
“Los científicos de hoy piensan en profundizar y no en esclarecer. Uno debe ser
sensato para pensar con claridad, pero uno puede pensar con profundidad aún
siendo un demente”-Nikola Tesla
93
fuerza eléctrica sobre Q2? (k=910 Nm2/
C2, = 10-6)
Física III
9
CAP. 4
POTENCIAL
ELECTRIC0
1. TRABAJO PARA TRASLADAR
UNA CARGA PUNTUAL EN UN
CAMPO ELECTRICO
a) +0,356 J b) -0,356 J
c) +0,376 J
d) -0,376 J
e) +0,412 J
Sol: 01
Representemos a la carga "Q 2 " en sus po
siciones inicial A y final B.
y
Q
Q2
0,25m
a) Trabajo del campo eléctrico
B
0,25m
q0
rA
A
E
Q2
B
0
d
Q1 0,15m A
rB
B
B
A
A
W F d qo E d
rB
W qo (
rA
Según teoría, el trabajo realizado por el cam
po eléctrico E , creado por la carga "Q1 " es:
W k Q1Q2 (
Q
)dr
4o r 2
W k q oQ(
1 1
)
rA rB
Ejem: 01
Una carga puntual Q1=+2,40 C se mantie
ne estacionaria en el origen. Una segunda
carga puntual Q2=-4,30 C se mueve del
punto A(0,15; 0) m, al punto B(0,25;
0,25) m. Hallar el trabajo realizado por la
1 1
)
rA rB
W (9 109 )(2,4 106 )( 4,3 106 )
(
1
1
)
0,15 0,25 2
El trabajo realizado será positivo, si las
cargas tienen el mismo signo y se alejan u
na de otra, o signos diferentes y se acercan
una a otra.
El trabajo realizado será negativo, si las
cargas tienen el mismo signo y se acercan
una a otra, o signos diferentes y se alejan
una de otra.
x
W 0, 356 J
B
Ejem: 02
Hallar el trabajo del campo eléctrico crea
do por una esfera hueca de radio R=20 cm
carga Q=8 nC, al acercar radialmente una
carga q=2 nC, desde la distancia de r1= 4R
hasta r2=2R.
a) 160 nJ
b) 165 nJ
c) 170 nJ
d) 175 nJ
e) 180 nJ
Sol: 02
Según teoría, el trabajo realizado por el
campo eléctrico creado por "Q" es:
94
Potencial eléctrico
r2
W qE d
N
q o Qk 1
1
(
)
rkB
k 1 4o rkA
W
r1
W
A
q
Q
B
0
R
r2
W q (k
r1
r2
W k q Q
r1
Q
ˆ (dr r)
ˆ
r)
r2
dr
1
k
q
Q(
)
r
r2
W k q Q(
r2
r1
a) 0 J
1 1
)
r2 r1
W (9 109 )(2 109 )(8 109 )
(
siendo, rkA , rkB las distancias desde la car
ga k-ésima hasta las posiciones inicial A y
final B de la carga "q o " , los trabajos reali
zados por cada una de las fuerzas Fk son in
dependientes unos de otros (independen
cia de los trabajos)
Ejem: 03
Se colocan cargas puntuales idénticas q=+
5 C en los vértices opuestos de un cua
drado de lados a=0,2 m. Una carga pun
tual qo=-2 C se sitúa en uno de los vérti
ces vacíos. Hallar el trabajo que hace la
fuerza eléctrica cuando la carga "q o " se
traslada al otro vértice vació.
1
1
)
0,4 0,8
b) 1 J
d) 3 J
e) 4 J
Sol: 03
Representemos a las cargas "q" situados
en dos vértices opuestos del cuadrado.
A
q
qo
W 180 109 J E
W
a
Si la carga "q o " se traslada en presencia
de un campo eléctrico creado por un siste
ma de "N" cargas Q1, Q2,…, QN, la
fuerza resultante que actúa sobre la carga
"q o " es:
F F1 ... FN
de modo que, el trabajo realizado por esta
fuerza resultante F , es igual, a la suma de
los trabajos realizados por cada una de las
fuerzas Fk (k=1,2,…, N), esto es:
W W1 ... WN
c) 2 J
q
a
B
En la Figura, según teoría, el trabajo del cam
po eléctrico al trasladar la carga "q o " desde
A hasta B es:
W W1 W2
1 1
1 1
W k q oq ( ) k q oq ( )
a a
a a
W 0J
A
95
Esta es la relación, que se utiliza para sa
ber si un campo eléctrico es conservativo.
Se debe mencionar, que en general los
campos eléctricos dependientes del tiempo
no son conservativos.
Física III
b) Circulación del campo eléctrico
Se llama circulación de la intensidad de
un campo eléctrico E sobre una curva ce
rrada C, a la integral curvilínea:
Nota
E
dl
b
C
a
CE Ecos d
CE E d
siendo, "" el ángulo entre la intensidad
del campo eléctrico "E" y el desplazamien
to "d " .
La circulación de la intensidad del campo
electrostático sobre una curva cerrada, es
igual a cero, porque el campo electrostáti
co es conservativo.
c) Condición de campo conservativo
Un campo eléctrico se dice que es conser
vativo, cuando el trabajo que hace este
campo para trasladar una carga de prueba
"q o " de un punto "a" hacia otro "b" , es
independiente de la forma de la trayectoria
de la curva C. En este caso, el campo eléc
trico, tiene una función generadora, llama
da potencial eléctrico.
La forma diferencial de la condición de po
tencialidad de un campo electrostático, es
una de las ecuaciones de Maxwell para el
campo electrostático, la cual, viene dada
por:
rot E 0
No confundir campo eléctrico con cam
po electrostático, este último es un caso
particular de campo eléctrico.
Ejem: 04
En cierta región R del espacio existe un
campo eléctrico, dado por: E =y î +x ˆj .
I) Probar que E es conservativo.
II)Hallar la circulación de E a lo largo de la
parábola de ecuación: x=2y2, desde el pun
to A(2; 1;-1) hasta el punto B(8; 2;-1)
Sol: 04
I) Calculo del rotacional de E
rot E (
rot E
i
j) x (y ˆi x ˆj)
x
y
y ˆ ˆ x ˆ ˆ y ˆ ˆ x ˆ ˆ
ixi
ix j
jx i
jx j
x
x
y
y
rot E kˆ kˆ 0
<<
El campo eléctrico E es conservativo>>
II) Cálculo de la circulación de E
B
CE d
A
B
W (y ˆi x ˆj) (dx ˆi dy ˆj)
A
8
2
W ydx x dy
2
1
(1)
96
Para una trayectoria parabólica.
Potencial eléctrico
x 2y2 dx 4ydy
Demo:
De la definición de energía potencial eléc
trica y de la expresión del trabajo, tenemos:
W U U A U B
Sustituyendo "dx" y "x" en la ec.(1):
2
2
C 4y 2dy 2y 2dy
1
1
k Q1Q2 (
1 1
) UA UB
rA rB
2
C 6y 2dy
1
2
C (2y3 ) 1
Tomando rA=r y rB=,es decir el punto B en
el infinito (UB=0), tenemos:
Uk
C 14 106 V
2. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
a) Definición
El trabajo realizado por las fuerzas del
campo al trasladar la carga eléctrica "q o "
a través del campo electrostático creado
por la carga "Q" , es igual, a la perdida de
su energía potencial, esto es:
W U U A U B
siendo, UA, UB los valores de las energías
potenciales de la carga "q o " en las po
siciones inicial A y final B de la trayecto
ria.
b) Energía potencial para dos cargas
La energía potencial de interacción eléctri
ca entre dos cargas eléctricas puntuales
"Q1 " , "Q 2 " separadas por una distancia
"r" entre ellas, viene dado por:
Uk
Q1Q 2
r
en esta ecuación se consideran los signos
de las cargas, así, "U" puede ser positivo
o negativo.
Q1Q 2
r
Ejem: 05
Dos cargas puntuales Q1= +2,5 C y Q2=
+1,5 C se encuentran en el punto A(4; 3)
cm y el origen de coordenadas, respectiva
mente. Hallar el trabajo que se debe hacer
para trasladar a la carga "Q 2 " desde el ori
gen hasta el punto B(1;3) cm, pasando por
el punto C(6; 5) cm. (k=9109 Nm2/C2)
a) 0,15 J
b) 0,20 J
c) 0,30 J
d) 0,35 J
e) 0,45 J
Sol: 05
Representemos las posiciones de las car
gas puntuales "Q1 " y "Q 2 " .
y(cm)
C(6;5)
B(1;3) dB
A(4;3)
Q1
d0
Q2
0
x(cm)
Calculemos las energías potenciales de la car
ga que se traslada "Q 2 " en el origen 0 y en
B(1; 3), así:
U0
(9 109 )(2,5 106 )(1,5 106 )
0,05
97
Física III
U 0 0,675J
(9 109 )(2,5 106 )(1,5 106 )
UB
0,03
(9 109 )(1,6 1019 )(3 109 )
UC
0,25
(9 109 )(1,6 1019 )(2 109 )
0,25
U B 1,125J
Luego, el trabajo que se de hacer para tras
ladar la carga "Q 2 " en presencia del campo
creado por la carga "Q1 " es:
W U B U 0 1,125 0,675
Ejem: 06
. Dos cargas puntuales fijas Q1=+310-9 C,
Q2=+210-9 C están separadas por una dis
tancia de d=50 cm. Se libera un electrón
de cargae=-1,610-19, masa m=9,110-31 kg
en el punto medio entre "Q1 " y "Q 2 " , mo
viéndose a lo largo de la línea que los une
¿Cuál es la rapidez (en 106 m/s) del elec
trón cuando está a 10 cm de la carga Q1?
b) 6,29
d) 6,69
UC
(9 109 )(1,6 1019 )(3 109 )
0,10
(9 109 )(1,6 1019 )(2 109 )
0,40
W 0, 45J E
a) 6,09
UC 288 1019 J
UC 504 1019 J
Ahora, aplicando el principio de conserva
ción de la energía al electrón en los puntos C
y D, obtenemos su rapidez en D, así:
UC
vD [
c) 6,49
e) 6,89
Sol: 06
Representemos las cargas fijas "Q1 " ,
"Q 2 " , y el electrón "e" que se traslada, entre
los puntos C y D.
1
2
m vD
UD
2
2(U C U D ) 1/2
]
m
(2)(288 (504)) 1019 1/2
vD [
]
9,1 1031
v D 6,89 106
m
s
E
c) Gráfica de la energía potencial
v
Q1
v=0
e
25cm
A
U
e
C
Q2
25cm
B
D
10cm
(1)
0
(2)
Primero, calculemos las energías potenciales
eléctricas del electrón "e" en las posiciones
C y D, así:
r
98
Potencial eléctrico
La energía potencial de repulsión de car
Ejem: 07
Se colocan tres cargas puntuales idénticas
gas eléctricas de un mismo signo es posi
tiva y aumenta al acercarse las cargas
de Q=+1,2 C en los vértices de un trián
entre si, curva (1).
gulo equilátero de lados a=0,5 m. Hallar la
La energía potencial de atracción de car
energía potencial eléctrica del sistema de
gas eléctricas de diferentes signos es nega
cargas. (k=9109 N.m2/C2, m=10-3, =106
tiva y disminuye al alejarse una de las car
)
gas al infinito, curva (2).
a) 77,16 mJ b) 77,36 mJ c) 77,56 mJ
d) 77,76 mJ e) 77,96 mJ
d) Energía potencial en un sistema de
Sol: 07
muchas cargas
Representemos a las cargas puntuales
idénticas, situados en los vértices del triángu
q
2
q1
lo equilátero de lados "a" .
ri2
ri1
Q1
rij
qi
qj
riN
ri1
U12
q3
a
a
U13
qN
Q2
Para un sistema de "N" cargas puntuales
"q i " (i=1, 2,...N), la energía potencial eléc
trica de la i-ésima carga es:
Ui
1
4.o
N
qi .q j
j i
rij
La energía potencial eléctrica interna de
un sistema de N cargas puntuales qi (i=
1,2,...N) es,
US
1
8o
N N
qi .q j
i j j1
rij
donde, rij es la distancia entre la i-ésima y
j-ésima carga. La expresión anterior se ha
multiplicado por 1/2, debido a que en la su
ma se duplican los términos, por ejemplo,
se suman dos veces la energía potencial de
interacción eléctrica entre las cargas "q1 "
y "q 2 " .
Unidad: "U" se mide en
joules (J)
a
Q3
U23
La energía potencial eléctrica del sistema, es
la suma de las energías potenciales de todos
los pares de cargas que forman el sistema:
US U12 U13 U 23
Ahora, como: U12=U13=U23, entonces:
Q2
US 3U12 3k
a
(3)(9 109 )(1,2 106 ) 2
US
0,5
US 77,76 103 J D
3. POTENCIAL DE UN CAMPO
ELECTROSTATICO
a) Definición
El potencial eléctrico en un punto P de un
99
Física III
campo externo, se define como la razón de
la energía potencial "U" de una carga de
prueba "q0" en dicho punto, al valor de su
carga, esto es:
U
VP P
qo
P
VP E d
El potencial en un punto P de un campo e
lectrostático es numéricamente igual al tra
bajo por unidad de carga que efectúan las
fuerzas electrostáticas, al trasladar una car
ga positiva "q o " desde el punto P hasta el
infinito.
También, se puede decir que el potencial
en un punto P de un campo electrostático
es igual a la circulación del campo elec
trostático cambiada de signo, desde el infi
nito hasta el punto en mención.
te de la carga de prueba "q o " .
El potencial eléctrico es una cantidad físi
ca escalar positiva o negativa.
Unidad: "V" se mide en voltios
(V)
Ejem: 08
En dos vértices contiguos de un cuadrado
de lados a=1 m, se ubican cargas eléctri
cas de Q=+6,67210-10 C, y en los otros
vértices cargas de q=16,6810-10 C. Hallar
el potencial eléctrico en el centro del cua
drado. (k=9109 Nm2/C2)
a) 51,4 V
b) 53,4 V
c) 55,4 V
d) 57,4 V
e) 59,4 V
Sol: 08
Representemos las cuatro cargas positi
vas, situadas en los vértices del cuadrado de
lados "a" .
Q
Q
D/2
b) Potencial eléctrico de una carga
a
0
D/2
P
q
Q
a
r
q
En la Figura, la longitud de la diagonal "D"
del cuadrado es:
El potencial eléctrico creado por la carga
puntual "Q" en el punto P, situado a la
distancia "r" de el, viene dado por:
VP
qo .Q / 4or
qo
VP
Q
4o r
Así, el potencial eléctrico es independien
D2 a 2 a 2 D 2 a
De modo que, el potencial eléctrico en el cen
tro 0 del cuadrado es:
V 2k
V
Q
q
2k
2a / 2
2a / 2
2 2k
(Q q)
a
100
Potencial eléctrico
(2 2)(9 109 )
V
(6,672 16,68) 1010
1
c) Potencial eléctrico creado por cargas puntuales
El potencial eléctrico creado por un siste
ma de N cargas puntuales, qi (i=1,2,. ..,N)
en un punto P, donde no se encuentre nin
guna de estas cargas es:
1 N qi
VP
4o i 1 ri
N
VP Vi
i 1
es decir, el potencial en el punto P, es la
suma de los potenciales eléctricos crea
dos independientemente por cada una de
las cargas. (Principio de superposición)
D
El potencial eléctrico en un punto P del
vació, creado por una carga eléctrica, dis
tribuida continuamente en la longitud, su
perficie o volumen de un cuerpo, viene da
do:
siendo D, el dominio o región donde se en
cuentra distribuida la carga eléctrica, este
dominio puede ser lineal (L), superficial
(S) o volumétrico (V), así, la expresión an
terior para estos tres casos, se escribe, así:
1) Dominio lineal (L)
VP
1
d
4o L r
L
r2
r1
1
dq
4o D r
VP
q2
q1
r
dq
V 59, 4 voltios E
P
P
P
r3
r
q3
dq
Al calcular el potencial eléctrico de un
sistema de cargas, se debe considerar el
signo de cada una de las cargas.
Recordemos que una carga eléctrica se
considera puntual, si las dimensiones del
cuerpo donde se encuentra distribuida la
carga, son muchísimas menores que cual
quier distancia considerada en el problema
dado.
d) Potencial eléctrico de una distribu
ción de carga continua
dl
siendo, "d " un diferencial de longitud y
" " la densidad de carga lineal.
Ejem: 09
Demostrar que el potencial eléctrico crea
do por un filamento rectilíneo muy largo
con densidad de carga lineal uniforme de
" " , a una distancia "d" de el, es: V=2k
ln(C/d), siendo "C" la distancia, en la cual
el potencial se define nulo, y "k" la cons
tante de proporcionalidad eléctrica.
101
un punto situado sobre su eje de simetría
a una distancia "d" de su centro es:
Física III
Sol: 09
Representemos un diferencial de filamen
to, de longitud "dx" , de carga eléctrica "dq"
P
D
d
dq
x
0
x
V=2kR/ d 2 R 2 , siendo "k" la cons
tante de proporcionalidad eléctrica.
Sol: 10
1) Primera Forma (Integración Directa)
Representemos un diferencial de anillo de
longitud "d " , que contiene un diferencial de
carga "dq" .
z
dx
P
En la Figura, el potencial en el punto P,
creado por el diferencial de carga "dq" es:
dV k
VP
dV k
dx
R
dl
x
En la Figura, el potencial eléctrico en P, crea
do por el diferencial de carga "dq" es:
x 2 d2
dq
D
dV k
dx
x2 d2
VP 2k im n(x x 2 d 2 )
a
a
0
Sustituyendo el diferencial de carga dq=dl=
Rd, y la distancia D=(d2+R2)1/2, e integran
do sobre todo el anillo, tenemos:
VP
a a 2 d2
VP 2k im n
a
d
im(a a 2 d 2 )
VP 2k n a
y
a
a 0
D
0
VP 2k im
d
dq
D
Sustituyendo el diferencial de carga dq=dx,
y la distancia D= (x2+d2)1/2, e integrando so
bre todo el filamento, tenemos:
0
d
0
2
R d
0
d2 R 2
dV k
VP
2 k R
d2 R 2
2) Dominio superficial (S)
C
VP 2k n( )
d
Ejem: 10
Demostrar que el potencial eléctrico crea
do por un anillo muy delgado de radio "R"
densidad de carga lineal uniforme " " , en
P
r
dq
dS
S
102
Potencial eléctrico
VP
1
dS
4o S r
VP 2 k ( r 2 d 2 )
siendo, "dS" un diferencial de superficie
y "" la densidad de carga superficial.
Ejem: 11
Demostrar que el potencial eléctrico de un
disco muy delgado de radio "R" , densi
dad de carga superficial uniforme " " , en
un punto situado sobre su eje de simetría
perpendicular al plano del disco, a una dis
tancia "d" de su centro es: V=2k
[ d 2 R 2 -d], siendo "k" la constante de
proporcionalidad eléctrica.
Sol: 11
1) Primera Forma (Integración Directa)
Representemos un anillo de radio "r" , es
pesor "dr" , y densidad de carga lineal uni
forme " " .
z
VP 2 k ( d 2 R 2 d)
Ejem: 12
Demostrar que el potencial eléctrico, crea
do por una esfera hueca de paredes delga
das de radio "R" , y densidad de carga
superficial uniforme "" es: V=4kR, pa
ra rR, y V= 4kR2/r, para rR, siendo
"k" la constante de proporcionalidad eléc
trica.
Sol: 12
1) Primera Forma (Integración anillos)
Dividamos la esfera hueca en muchos
anillos, y representemos uno de ellos.
P
d-z
P
d
r
dl d
r
z
0
R
0
R
0
y
dr
x
En la Figura, el potencial eléctrico en P, crea
do por el anillo de radio "r" , espesor "dr" , y
densidad de carga lineal uniforme " " es:
dV
r R sen
2 k r
0
dV 2 k
R
0
,
z R cos
d z d R cos
r 2 d2
Sustituyendo en la expresión inicial, la densi
dad de carga lineal =dr, e integrando so
bre todos los anillos que forman el disco, ob
tenemos:
VP
En la Figura, en el triángulo rectángulo, el ra
dio "r " del anillo, la distancia "z" de su cen
tro al origen 0, son:
r dr
r 2 d2
A su vez, la relación entre las densidades de
carga lineal y superficial, viene dado por:
d R d
Sustituyendo "r" , "d z" , y " " en la expre
sión del potencial eléctrico de un anillo dada
103
Física III
por el prob.(40), e integrando sobre todos los
anillos, obtenemos:
dVP
VP
0
0
2 k r
[(d z)2 r 2 ]1/2
VP k
Q
,
R
para d R
3) Dominio volumétrico (V)
2 k R 2 sen d
dVP [d2 R 2 2R d cos ]1/2
1
VP 2 k R [
d 2 R 2 2R d cos ] 0
Rd
P
r
2
dq
V
dV
VP
2 k R
[ (d R) 2 (d R) 2 ]
d
2 k R
VP
[d R d R]
d
4 k R 2
, para d R
VP
d
Como, 4R2=Q es la carga total distribuida
en la superficie de la esfera, la ecuación ante
rior, también, podemos escribir, así:
VP k
Q
,
d
para d R
Para obtener el potencial eléctrico en puntos
interiores a la esfera (d<R), evaluamos la ex
presión anterior, así:
VP
2 k R
[ (d R)2 (R d)2 ]
d
VP
2 k R
[d R R d]
d
VP 4 k R , para d R
Sustituyendo la densidad =Q/4R2, obtene
mos el potencial en función de la carga total
de la esfera, así:
VP
1
dV
4o V r
siendo, "dV" un diferencial de volumen, y
" " la densidad de carga superficial.
Ejem: 13
Demostrar que el potencial eléctrico, crea
do por una esfera compacta de radio "R" ,
y densidad de carga volumétrica uniforme
" " está dado por: V=2k(3R2-r2)/3, pa
ra rR, y V= 4kR3/3r, para rR, siendo
"k" la constante de proporcionalidad eléc
trica.
e) Potencial de Tierra
El potencial de la Tierra considerada co
mo una esfera cargada negativamente es
cero, pues su radio es numéricamente mu
cho mayor que su carga eléctrica. Por lo
que, frecuentemente en la práctica en lu
gar de tomar el potencial en el infinito, se
toma el potencial respecto de la Tierra. A
demás, lo que se mide y tiene importancia
es la diferencia de potencial entre dos pun
tos del campo electrostático, y no los valo
res absolutos de los potenciales de estos
puntos.
104
Potencial
f) Rigidez dieléctrica
Se llama rigidez dieléctrica de una sustan
cia a la intensidad máxima del campo eléc
trico que puede soportar dicha sustancia
sin perder sus propiedades aislantes (rotu
ra). Por ejemplo, la rigidez dieléctrica del
aire a la presión atmosférica es de ER=
3106 N/C, por lo que, la carga máxima
por unidad de superficie que puede tener
un conductor situado en el aire es:
o ER 27 106
C
m2
Un dieléctrico es una sustancia que no tie
ne o tiene pocos electrones libres capaces
de moverse bajo la acción de un campo e
léctrico externo. Los dieléctricos son im
portantes por que refuerzan la intensidad
del campo electrostático, por lo que, se uti
lizan en los condensadores.
Todo conductor tiene un valor de poten
cial máximo, al cual puede ponerse, si se
sobrepasa este potencial, el aire que rodea
al conductor se ioniza, y toda la carga ex
cedente que se le suministra es expulsada,
mediante chispas o fogonazos, convirtién
dose el aire en conductor.
g) Efecto corona
Es un fenómeno eléctrico que se produce
en los conductores de las líneas de alta ten
sión, y se manifiesta en forma de halo lu
minoso. Como la mayoría de los conducto
res tienen sección transversal circular el
halo adopta la forma de corona.
Este efecto es causado por la ionización
del aire que rodea al conductor debido a
los altos niveles de tensión en la línea. En
el instante que las moléculas de aire se io
nizan, estas, son capaces de conducir la co
rriente eléctrica y parte de los electrones
que circulan por la línea pasan a circular
por el aire.
eléctrico
- Aislantes eléctricos dañados de cerámica.
- En cualquier equipo donde el campo eléc
trico excede el valor de 3106 N/C.
h) Definición de 1 voltio
El potencial en un punto P del campo será
1 voltio si para traer una carga de prueba
de q0=1 C desde el infinito al punto ven
ciendo las fuerzas del campo, es necesario
realizar un trabajo de 1 J, es decir:
1V
1J
1C
i) Electrón voltio
Es una unidad de energía que se utiliza en
los cálculos que se realizan en los siste
mas atómicos y nucleares. Así, cuando u
na partícula de carga "q" se desplaza de
un punto de potencial " Vb " a otro de po
tencial " Va " , el cambio en la energía po
tencial "U" es:
U U a U b q (Va Vb )
Si la carga "q" es igual a la magnitud de
la carga del electrón e=1,602.10-19 C, y la
diferencia de potencial es "Vab " , el cam
bio en la energía es:
U (1,602 1019 C)(1V) 1,602 1019 J
Esta cantidad de energía se define como 1
electrón voltio, es decir:
1eV 1,602 1019 J
4. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
a) Superficies equipotenciales
Es aquella superficie imaginaria formada
por puntos de igual potencial, que presen
tan las siguientes características:
105
4) Existen dos procedimientos para represen
tar gráficamente un campo electrostático:
* Mediante las líneas de fuerza.
* Mediante las superficies equipotenciales.
Es decir, mediante las relaciones geométri
cas entre líneas de fuerza y superficies e
quipotenciales, obtenemos una idea cuali
tativa de la distribución de carga eléctrica
y de la intensidad del campo eléctrico en
un conjunto de conductores, por ejemplo,
las superficies equipotenciales de una pla
ca cargada son planos paralelos a ella, pa
ra puntos cercanos a la placa.
Física III
1) Las líneas de fuerza son perpendiculares a
las superficies equipotenciales, en todos
sus puntos.
SUPERFICIE
EQUIPOTENCIAL
2) El trabajo realizado, al trasladar una carga
eléctrica "q o " entre dos puntos A y B per
tenecientes a una misma superficie equipo
tencial, es nulo.
3) Alrededor de un sistema de cargas eléctri
cas se pueden trazar un conjunto infinito
de superficies equipotenciales, es decir, las
superficies equipotenciales llenan com
pletamente el espacio que rodea a la carga
eléctrica que crea el potencial.
4) Todos los puntos que se encuentran en el
volumen de un conductor que está en un
campo electrostático, tienen el mismo po
tencial.
5) La superficie de un conductor es una su
perficie equipotencial, dado que, la inten
sidad del campo electrostático es perpendi
cular a ella, y va dirigido en el sentido de
disminución del potencial.
6) El desplazamiento D y la intensidad del
campo electrostático E , creados por un
conductor cargado en el vació, son perpen
diculares a la superficie del conductor, y
sus magnitudes para puntos cercanos a la
superficie, vienen dados por:
Dn ,
En
o
siendo, n̂ la normal externa a la superfi
cie, y "" la densidad superficial de las
cargas libres en el conductor.
b) Ecuación de las líneas equipotenciales
Representemos la línea de fuerza del cam
po eléctrico perpendicular a la línea equi
potencial, resultante de la intersección de
la superficie equipotencial con el plano
XY.
Y
E
E
Ey
dy
dx
Ex
X
De la Figura, deducimos la relación, cuya
solución nos dará la forma de las líneas e
quipotenciales:
tg
dx E y
dy E x
c) Diferencia de potencial entre dos
puntos del campo
La diferencia de potencial entre dos pun
tos A y B del campo electrostático, se de
fine como la razón del trabajo realizado
por un agente externo para trasladar una
carga "qo" desde A hasta B, al valor de su
carga, venciendo la presencia de un cam
106
Potencial eléctrico
po electrostático externo E , es decir:
VAB
WA B
q0
E
B
A
qo
F
Pero, se vio anteriormente, que el trabajo
para llevar una carga "qo" desde A hacia
B, es igual, a la diferencia de sus energías
potenciales entre estos puntos, es decir:
te proceso de transferencia de carga se da
en intervalos de tiempo muy pequeños y fi
naliza cuando ambos cuerpos alcanzan el
mismo potencial. Debe mencionarse, que
no es posible precisar exactamente que car
ga ha pasado de un cuerpo hacia otro.
Por ejemplo, consideremos dos esferas
conductoras de radios "R A " y "R B " , la
primera con carga eléctrica "Q A " y la se
gunda descargada.
QA
QB
RB
RA
WA B U A U B
WA B q o (VA VB )
Luego, concluimos que la diferencia de po
tencial entre los puntos A y B, es:
VAB VA VB
Para una carga puntual "qo" positiva, se
cumple:
1) Si, VA>VB, el trabajo realizado es positivo
pues, la carga eléctrica "q o " se desplaza
en la dirección del campo electrostático ex
terno.
2) Si, VA<VB, el trabajo realizado es negati
vo pues, la carga eléctrica "q o " se despla
za en dirección contraria al campo electros
tático externo.
d) Reparto de carga entre conductores
Cuando un conductor cargado (A) se po
ne en contacto con otro descargado (B), la
carga eléctrica inicial del conductor carga
do (A) se reparte entre ambos cuerpos, es
Cuando las esferas conductoras se ponen
en contacto, alcanzan el mismo potencial,
por lo que, la razón de sus cargas finales,
es:
VA VB
Q'A
Q'B
k
k
RA
RB
Q'B
RB '
Q
RA A
Sustituyendo Q 'B en la ecuación del princi
pio de conservación de la carga eléctrica,
obtenemos las cargas finales de las esfe
ras, así:
Q'A Q'B QA
Q'A
Q'A
RB '
Q QA
RA A
RA
Q y
RA RB A
107
Física III
Q'B
RB
Q
RA RB A
xA
kA
A
Es decir, las cargas que adquieren las esfe
ras, luego de ponerse en contacto, son pro
porcionales a sus dimensiones (tamaño).
Ejem: 14
Las esferas idénticas A y B inicialmente
descargadas y conectadas a las paredes me
diante resortes de constantes elásticas kA=
5 dina/cm, kB=2 dina/cm, están separadas
por una distancia de d=5 cm. Si una esfera
C de igual tamaño de carga Q=+6,672 nC
se pone en contacto primero con la esfera
A y luego con B, hallar la nueva distancia
de separación entre las esferas A y B. (k=
9109 Nm2/C2, n=10-9, 1 dina=10-5 N)
d
kA
B
A
Sol: 14
Las cargas eléctricas que adquieren las es
feras al ponerse en contacto primero A y lue
go B con la esfera cargada C, son:
0 6,672 nC
QA
3,336 nC
2
QB
0 3,336 nC
1,668nC
2
A
kB
De la ley de Hooke, obtenemos las compre
siones que experimentan las longitudes de los
resortes, así:
xA
F
F
200F
k A 5 103
xB
F
F
500F
k B 2 103
Sustituyendo xA, xB en la expresión de la
fuerza eléctrica, obtenemos una ecuación cú
bica para F, y su solución válida, así:
Fk
F
QA QB
(d x A x B ) 2
(9 109 )(3,336 109 )(1,668 109 )
(0,05 200F 500F)2
49 104 F3 70F2 2,5 103 F 50 109
F 1,4 105 N
Sustituyendo en las expresiones de xA y xB:
x A (200)(1,4 105 ) 0,28 102 m
x B (500)(1,4 104 ) 0,7 102 m
Luego, la nueva distancia de separación entre
las esferas A y B es:
5cm
kA
B
Después
kB
a) 5,38 cm
b) 5,68 cm
c) 5,98 cm
d) 6,28 cm
e) 6,58 cm
5cm xB
B
Antes
kB
D 5 0,28 0,7
D 5,98cm C
108
Potencial eléctrico
cial eléctrico "V" es constante, entonces,
5. GRADIENTE DE POTENCIAL
el campo eléctrico es nulo en dicha región,
ELECTRICO
Se sabe que la diferencia de potencial en
pues, E V .
tre dos puntos "a" y "b" es,
a) Campo eléctrico uniforme
b
Vb Va E ds
B
a
Fext
b
ó Vb Va
E cos ds
d
E
a
qE
si la distancia entre "a" y "b" es peque
ña, esto es (b - a 0) entonces la dife
rencia de potencial entre los puntos "a" y
"b" será un diferencial de potencial "dV" ,
y la ecuación anterior adopta la forma,
dV E cos ds
Esta ecuación a su vez se puede escribir
como,
E E cos
A
Cuando la intensidad del campo electrostá
tico es uniforme E , la ecuación V E
es decir, la relación entre la intensidad del
campo electrostático y la diferencia de po
tencial "VAB " entre dos puntos A y B de
este campo, separados por una distancia
"d", viene dado por:
dV
ds
La interpretación de esta ecuación es la si
guiente: La componente del campo eléctri
co en la dirección de la trayectoria "S" es
igual al gradiente del potencial (dV/ds)
cambiada de signo.
Si la dirección de ds es la misma que la
del campo eléctrico, se tiene, =0o, y el
campo eléctrico es igual al gradiente del
potencial eléctrico en la dirección del cam
po, cambiada de signo.
En el Sistema Internacional (S.I.), los gra
dientes de potencial se expresan en voltio
por metro.
En general, entonces expresaremos el cam
po eléctrico, como menos el gradiente del
potencial eléctrico, esto es:
E
VA VB
d
siendo, "E" la magnitud de la intensidad
del campo electrostático.
Las líneas de fuerza de la intensidad del
campo electrostático, se dirigen de puntos
de mayor potencial a menor potencial.
Demo:
Consideremos el campo eléctrico constan
te de un condensador
E
VA
VB
ds
0
x
E grad V V
A
Si en cierta región R del espacio, el poten
d
B
109
Física III
De la expresión para la diferencia de poten
cial entre la placas A y B, tenemos:
VP
0
d
dV E dz
B
VB VA E ds
VP
A
(E ˆi) (dx ˆi)
(z 2 R 2 )3/2
VP 2 k R [
VA VB E (x B x A ) E d
V VB
E A
d
V=2kR/ d 2 R 2 , siendo "k" la cons
tante de proporcionalidad eléctrica.
Sol: 15
En la expresión del gradiente de poten
cial, E=-dV/dz sustituyendo el campo eléctri
co E=2kRz/(z2+R2)3/2, e integrando desde el
infinito, donde el potencial es nulo, hasta el
punto P, tenemos:
z
P
d
R
0
R
y
x
dV
dz
d2 R 2
1
]
d2 R 2
b) Gradiente de potencial en diferentes sistemas de coordenadas
1) Sistema de coordenadas cartesianas
En un punto cualquiera P(x, y, z) donde
existe el campo eléctrico, las tres compo
nentes de este, son:
Ex
V
V
V
; Ey
y Ez
x
z
y
donde, V=V(x; y; z) en general depende
de las coordenadas de posición.
2) Sistema de coordenadas polares planas
En un punto cualquiera P(r, ) del campo
eléctrico las componentes radial "E r " y
tangencial "E " de este, son:
Er
1
2 k R
VP
Ejem: 15
Demostrar que el potencial eléctrico crea
do por un anillo muy delgado de radio
"R" , densidad de carga lineal uniforme
" " , en un punto situado sobre su eje de
simetría perpendicular al plano del anillo,
a una distancia "d" de su centro es:
E
d
xA
2 k R z dz
VP 2 k R[(z2 R 2 )1/2 ]
xB
VA VB
d
V
r
;
E
1 V
r
donde, V=V(r; ) en general depende de
las coordenadas polares "r" y "" .
3) Sistema de coordenadas cilíndricas
En un punto cualquiera P(, , z) del cam
po eléctrico, las tres componentes de este,
son:
E
V
V
1 V
; E
y Ez
z
110
Potencial eléctrico
donde, V=V(; ; z) en general depende
E (2x 2y) i 2x j
de las tres coordenadas cilíndricas " " ,
"" y "z" .
Evaluando este campo eléctrico en x=2 m,
4) Sistema de coordenadas esféricas
y=2 m, obtenemos:
En un punto cualquiera P(r, , ) del cam
po eléctrico, las tres componentes de este
V
E
8
i
4
j
A
son:
m
V
1 V
Er
; E
r
r
6. EL METODO DE IMAGENES
a) Carga eléctrica puntual frente a un plano
1 V
conductor infinito a potencial cero.
E
r sen
donde, V=V(r; ; ) depende de las tres
coordenadas esféricas "r" , "" y " " .
Ejem: 16
En cierta región R del espacio, el poten
cial eléctrico en función de las coordena
das espaciales, x, y viene dado por: V(x;
y)=x2+2xy, donde "x" , " y" está en me
tros, y "V" en voltios. Hallar el vector
campo eléctrico en el punto P(2; 2) m.
(k=9109 Nm2/C2)
a) -8 i -4 j V/m
b) -8 i +4 j V/m
c) +8 i -4 j V/m
d) 8 i +4 j V/m
e) -4 i +8 j V/m
Sol: 16
Según teoría, el campo eléctrico es el gra
diente del potencial eléctrico, cambiado de
signo, así, en coordenadas rectangulares el
campo eléctrico es:
E gradV V
E
V
V
V
i
j
k
x
y
z
(x 2 2xy)
(x 2 2xy)
E
i
j
x
y
(x 2 2xy)
k
z
d
Q
El método consiste en reemplazar el plano
conductor a potencial cero, por una carga
eléctrica puntual " Q" situada a una distan
cia "d" detrás del plano, de modo que to
do punto del plano sea equidistante de am
bas cargas, por lo que el plano estará a po
tencial cero.
P
r
r’
Q
d
d
-Q
Así, para un punto P situado a la izquierda
del plano conductor el potencial eléctrico
creado por la carga real "Q" y su imagen
" Q" es:
VP k (
Q Q
)
r r'
111
y área dA= 2 r dr , obtenemos la carga e
léctrica total inducida en el plano conduc
tor infinito, así:
Física III
siendo, la distancia de la carga imagen
" Q" al punto P, igual a:
r ' (r 2 4d2 4r dcos ) 1/ 2
Sustituyendo r´ en la ecuación del poten
cial "VP " , y tomando el gradiente a este
potencial, obtenemos las componentes ra
dial "E r " y tangencial "E " del campo e
léctrico en el punto P, así:
Er
Q ' 2 r dr
'
0
Qd
2r dr
Q
2 0 (r 2 d 2 )1/ 2
'
V
Q Q(r 2dcos )
k[ 2
]
r
r
r '3
E
1 V
2Qdsen
k (
)
r
r '3
De otro lado, la componente normal al pla
no conductor infinito del campo eléctrico
y la densidad de carga superficial inducida
en el plano son:
Q' Q
Finalmente, la fuerza de interacción entre
la carga real "Q" y el plano conductor a po
tencial cero, es igual, a la fuerza de interac
ción entre las cargas real "Q" y su imagen
" Q" , separadas por una distancia "2d" ,
la magnitud de esta fuerza es:
1 Q2
F
16 o d 2
Er
r
Q
En
E
r´
d
d
-Q
E n E r cos E sen
En k
Ejem: 17
Dos planos conductores infinitos, al cor
tarse bajo un ángulo recto, dividen el es
pacio en cuatro zonas. En la zona I se en
cuentra la carga q=410-7 C a una misma
distancia a=30 cm de los dos planos. Ha
llar la magnitud de la fuerza (en mN) so
bre la carga.
Q
Qr
2Qd
cos
k
cos
k
r2
r3
r3
IV
2Qd
'
En
o
4o r 3
'
Qd
2 r 3
De modo que, integrando en el plano infi
nito sobre anillos de radio "r" , ancho "dr"
a
III
a) 3,66
I
q
a
II
b) 3,60
d) 3,64
c) 3,68
e) 3,62
112
Potencial eléctrico
Sol: 17
(2 2 1)(9 109 )(4 107 ) 2
Representación de la carga real y las tres
F
cargas imagen.
(8)(3 101)2
F 3,66 mN
y
-q
P
a
a
II
2a
I
III
A
q
a
x
b) Carga eléctrica frente a una esfera con
ductora a potencial cero.
a
IV
q
a
-q
d
Q
En la Figura, las cargas ubicadas en las zo
nas II, III y IV son cargas imágenes, de la
carga real ubicada en la zona I. La componen
te de la resultante de la fuerza sobre "q" en
la dirección X es:
Fx k
q2
k
4a 2
q2
En la Figura el potencial eléctrico en los
puntos P1 y P2 son nulos, esto es:
2
2
8a 2
Q
Q'
0
da ab
La componente de la resultante de la fuerza
sobre "q" en la dirección Y es:
Fy k
q2
4a
2
k
q2
8a
Q
Q'
0
da ab
2
2
2
Luego, dado que Fx=Fy, la magnitud de la
fuerza resultante sobre "q" es:
P3
r1
F 2 (k
4a 2
F 2 k
F
k
q2
4a
2
r2
P1
Q
F 2 Fx
q2
0
r
Q’ b
P2
d
q2
8a 2
(1
(2 2 1) q 2
32o a 2
2
)
2
2
)
4
Resolviendo este par de ecuaciones, para
Q' y "d" , obtenemos:
a
a2
Q Q y b
d
d
'
También, el potencial eléctrico en el punto
P3 es nulo, así:
113
De otro lado, la carga eléctrica total induci
da en la superficie de la esfera conductora
es:
Física III
Q Q'
V k( )
r1 r2
Q ' 2 a 2 sen d
'
Q
(d a 2a d cos )1/ 2
aQ/d
]
(a 4 / d 2 a 2 2a 3 cos / d)1/ 2
V k[
2
0
2
a
Q' Q
d
Ejem: 18
Una carga puntual de Q=810-11 C se colo
ca en el interior de un cascarón esférico
Así, el potencial eléctrico en cualquier
conductor de radio interno a=10 cm, a una
punto P, exterior a la esfera es:
distancia d=2,5 cm de su centro (k=9109
Nm2/C2)
Q aQ/d
V k(
)
I) Hallar el potencial eléctrico en el punto de
r3
r4
coordenadas r=5 cm y =900, siendo ""
siendo,
el ángulo medido con respecto a la línea
2
2
1/ 2
que une las cargas Q y su imagen.
r3 (d r 2d r cos )
V0
a2
r4 [(a / d) r 2 r cos ] 1/ 2
d
2
2
La componente normal a la superficie de
la esfera conductora es:
E n E r V
Q aQ/d
En k (
)
r r3
r4
E n k[
Q(r dcos
r33
a2
cos )
d
d r43
a Q(r
Evaluando en r=a, obtenemos la densidad
de carga superficial inducida en la superfi
cie de la esfera conductora:
' o En
Q(d 2 a 2 )
4 a (d 2 a 2 2da cos ) 1/ 2
'
a) 10, 7 V
2
b) 11,7 V
c) 12,7 V
d) 13,7 V
e) 14,7 V
II) Hallar la expresión de la densidad de car
ga inducida (en nC/m2) sobre la superfi
cie interior del cascarón, y evaluar dicha
densidad para =600.
a) 0,16
b) 0,26
d) 0,66
c) 0,46
e) 0,86
Sol: 18
Según el método de imágenes, podemos
reemplazar el cascarón conductor esférico
de radio "a" , por una carga puntual Q' =Qa/d imagen de la carga puntual "Q" , situa
da a una distancia b=a2/d (d<a) del origen
0. Así, el potencial eléctrico en un punto P,
al interior del cascarón es:
V k(
Q Q´
)
r1 r2
Pero, de la Figura, las distancia de las cargas
puntuales Q y Q' al punto P, en función de
114
Potencial eléctrico
la distancia (r) y el ángulo (), son:
Q
a d cos
i [ 2
4 (a d 2 2a d cos )3/2
a2
(a a 2 / d cos )
]
d (a 2 a 4 / d 2 2a 3 / d cos )3/2
P
r
0
a
d
r2
r1
Q
Q´
C
i 86,2 1011
b
c) Carga eléctrica puntual frente a una esfera
conductora cargada.
r1 (r 2 d 2 2r dcos )1/2 ,
QS
a
r1 (r 2 b2 2br cos )1/2
I) Sustituyendo "r1 " y "r2 " en la expresión
del potencial eléctrico, operando y evaluando
obtenemos:
V k[
Q
(r d 2r d cos )1/2
2
2
a2 Q
d (r 2 a 4 / d 2 2a 2r cos / d)1/2
E
m2
]
V k Q[(r 2 d 2 2 r d cos ) 1/2
a2 2 a4
a2 r
(r 2 2
cos ) 1/2 ]
d
d
d
0
d
Q
El método consiste en sustituir la esfera
conductora por una carga imagen Q' =(a/d)Q, ubicada a una distancia b=a2/d del
centro de la esfera lográndose que la super
ficie de la esfera sea equipotencial. A con
tinuación ubicamos en el centro de la esfe
ra una segunda carga imagen Q" =QS-Q´
para poner la superficie esférica al poten
cial deseado.
V 12,7 voltios C
QS
II) De otro lado, la densidad de carga induci
da en la superficie interna del cascarón es:
i o E r
ra
V
o (
)
r
ra
1
r d cos
i
Q[ 2
4 (r d 2 2r d cos )3/2
a2
r a 2 / d cos
]
d (r 2 a 4 / d 2 2a 2r / d cos )3/2 r a
r1
Q
r2
P1
b
Q”
Q’
P3
r
P2
d
La densidad de carga superficial es, enton
ces ´ " , siendo ´ la densidad no uni
forme calculada a partir de Q y Q' , y ""
115
Física III
la densidad uniforme calculada a partir de
(QS - Q' ).
Ejem: 19
Se tiene una carga puntual Q=8 nC situada
a una distancia d=15 cm del centro de una
esfera conductora descargada de radio a=
10 cm. Hallar: (k=9109 Nm2/C2)
I) La magnitud de la fuerza de interacción e
léctrica entre la carga puntual "Q" y la es
fera de radio "a".
V(r) k (
Q aQ aQ
)
r1 r2 d r d
I) De otro lado, la magnitud de la fuerza de
interacción eléctrica entre la carga "Q" y la
esfera descargada de radio "a" es:
Fk
QQ"
d2
k
QQ´
(d b) 2
a) 30,2 N
b) 32,2 N
c) 34,2 N
d) 36,2 N
e) 38,2 N
a Q2 1
1
Fk
[ 2
]
d d
(d b)2 )
II) La energía de interacción electrostática en
tre la carga puntual "Q" y la esfera.
a Q2 d 2 2bd b2 d 2
Fk
[
]
d
d 2 (d b)2
a) 1 J
b) 2 J
d) 4 J
c) 3 J
e) 5 J
Sol: 19
Según el método de imágenes, podemos
reemplazar la esfera conductora de carga QS
por dos cargas imágenes, la primera Q´=aQ/d situada a una distancia b=a2/d, la cual,
hace posible que la superficie de la esfera
sea equipotencial, y una segunda carga Q”=
QS-Q´ situada en el centro de la esfera, la
cual, nos permite poner la esfera al potencial
deseado. En nuestro caso, la esfera está des
cargada, esto es QS Q´ Q" 0 , por lo que
Q" =aQ/d. Así el potencial eléctrico en cual
quier punto P, viene dado por:
QS
P
r
r2
Q”
b
Q´
d
r1
Q
a Q2 2(a 2 / d)d (a 4 / d 2 )
Fk
[
]
d
d 2 (d a 2 / d)2
F k
F
a 3 Q2 (2d 2 a 2 )
d3 (d 2 a 2 )2
(9 109 )(8 109 )2 (103 )((2)(0,152 ) 0,12 )
(153 )(0,152 0,12 )2
F 38,2 106 N
E
II) La energía de interacción electrostática
entre la esfera y la carga puntual "Q" , es i
gual, a la energía de interacción entre la car
ga "Q" y sus cargas imágenes Q' , Q" , esto
es:
QQ"
QQ´
Uk
k
d
db
U k Q[
aQ / d aQ / d
]
d
db
a Q2 1
1
Uk
(
)
d d db
116
Potencial eléctrico
o E dV
a Q2 d b d
Uk
(
)
d d (d b)
U k
U
V
( E o )dV 0
a 3Q2
V
d 2 (d 2 a 2 )
9
9 2
3
(9 10 )(8 10 ) (0,1 )
(0,152 )(0,152 0,12 )
U 2,0 106 J B
7. LA ECUACION DE POISSON Y
LAPLACE
Una de las formas de estudiar el comporta
miento de los campos y potenciales eléctri
cos, en el vacío, es mediante la solución
de las ecuaciones de Laplace y Poisson,
las cuales, vienen dado por:
0
2 V
/ o
Laplace
Poisson
siendo, " " la densidad volumétrica de car
ga, presente en la región en la que se estu
dia el potencial eléctrico. A continuación
vamos a deducir la ecuación de Laplace y
Poisson.
Dem:
Las ecuaciones de Laplace y Poisson, se
pueden deducir, a partir del teorema de
Gauss, así:
o E ds q n dV
S
V
Como "dV" es un diferencial de volumen
arbitrario diferente de cero, entonces la ex
presión entre corchetes deberá ser nula, es
to es:
E
o
De esta manera hemos obtenido nueva
mente la forma diferencial del teorema de
Gauss.
Sustituyendo, E V ,obtenemos la ecua
ción de Poisson:
2V
o
2 es un operador diferencial de segundo
orden, llamado Laplaciano.
b) La ecuación de Poisson y Laplace
en diferentes sistemas de coordenadas
1) Cartesianas rectangulares
2V 2V 2V 0
x 2 y2 z2 / o
V
siendo, "S" el área de la superficie que en
cierra el volumen "V" que a su vez tiene
una carga neta "q n " y una distribución de
carga volumétrica " " .
De otra parte, usando el teorema de Gauss,
la integral de superficie se transforma en
integral de volumen, así:
en general, el potencial V=V(x; y; z) y la
densidad de carga (x; y; z) dependen
de las coordenadas espaciales, x, y y z.
Ejem: 20
En una región R del espacio libre, la densi
dad de flujo es: D =2y2 i +4xy j - k mC/m2
117
Física III
En la región definida por: 1 m<x<2 m, 1m
<y<2 m, -1 m<z<4 m. Hallar la carga eléc
trica almacenada. (k=9109 Nm2/C2, m=
10-3, M=106)
a) 6,5 C
b) 6,0 C
c) 6,5 C
d) 7,0 C
e) 7,5 C
Sol: 20
Según teoría, la densidad de carga volu
métrica " v " , en la región donde existe la
densidad de flujo es:
v D
(2y 2 ) (4xy) ( 1)
v
x
y
z
Ejem: 21
En cierta región R del espacio libre, existe
un campo de potencial, dado por: V(, )=
(cos 2)/. Hallar la densidad de carga vo
lumétrica (en pC/m3) en el punto A(0,5 m;
60º). (k= 9109 Nm2/C2)
a) -106
Sol: 21
En coordenadas cilíndricas, aplicando la e
cuación de Poisson al potencial V=V(; ),
obtenemos la densidad de carga volumétrica
en el punto A(0,5 m; 60º), así:
2V
v 4x
Con esto, calculemos la carga eléctrica conte
nida en la región definida por: 1 m< x <2 m,
1m <y<2 m, -1 m<z<4 m, así:
Q vdV
b) -206
c) -306
d) -406
e) -506
v
1
V
1 2V
(
) 2
o
2
1
cos 2
( (
))
v
1 2 cos 2
(
)
o
2 2
V
2
2
4
1
1
1
Q x dx dy dz
1
2
2
4
Q ( x 2 ) 1 (y) 1 (z) 1
2
3
Q ( )(1)(5) 7,5C E
2
2) Polares planas
1 V
1 2V 0
(r ) 2 2
r r r
r
/ o
donde, el potencial V=V(r; ) y la densi
dad de carga (r; ) dependen en gene
ral de las coordenadas "r" y "" .
v
o
v 1
cos 2
4 cos 2
(
) 2
o
v
3o cos 2 3cos 2
3
4 k 3
(3)(cos120o )
v
(4)(9 109 )(0,5)3
v 106 1012
C
m3
A
3)Cilíndricas
1 V
1 2V 2V 0
(r ) 2 2 2
r r r
r
z
/ o
118
Potencial eléctrico
donde, el potencial V=V(r; ; z) y la densi
1
2V 0
2
dad de carga (r; ; z) dependen en ge
r sen 2 2 / o
neral de las coordenadas "r" "" y "z" .
Ejem: 22
En cierta región R del espacio libre, el
campo eléctrico es: E =2(z+1)cos ̂ (z+1) sen ̂ + 2cos k̂ C/m2. Hallar la
densidad de carga volumétrica " " (en
C/m3) en el punto P(1 m; /3; 2 m).
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
Sol: 22
En coordenadas cilíndricas (ver Apéndi
ce), la densidad de carga volumétrica " v " ,
viene dado por:
v D
v
v
1 (D ) 1 D Dz
z
1 ( 2 (z 1)cos )
1 ((z 1)sen ) ( cos )
z
2
v 3(z 1)cos (z 1)cos 0
v 3(z 1)cos
V (3)(2 1)cos60o
v 4,5
C
m3
C
m3
D
donde, el potencial V=V(r; ; ) y la den
sidad de carga (r; ; ) dependen en
general de las coordenadas "r" "" y " " .
Ejem: 23
En cierta región R del espacio libre, existe
un campo de potencial esféricamente simé
trico, dado por: V=Voe-r/a, siendo "Vo " , y
"a" constantes. Hallar la densidad de car
ga volumétrica " v " en r=a.
a) oVo/a2e
b) oVoe/a2 c) oVo/2a2e
d) oVoe/2a2 e) oVoe/a3
Sol: 23
Aplicando la ecuación de Poisson en coor
denadas esféricas, obtenemos la densidad de
carga volumétrica, así:
2V
v
o
v 1 d 2 d
2 (r
Voe r/a )
o r dr
dr
v
V d
2o (r 2e r /a )
o
r a dr
v
o Vo
r
(2 )e r/a
ra
a
Evaluando esta expresión en r=a, tenemos:
v (a)
oVo C
A
a 2e m3
4)Esféricas
1 2 V
1
V
(r
) 2
(sen )
2
r
r r
r sen
8. SOLUCIONES DE LA ECUACION
DE LAPLACE
a) Método de separación de variables
119
Sustituyendo A y B en la solución general,
obtenemos el potencial para puntos situa
dos entre las placas:
Física III
Consideremos los conductores paralelos
mostrados en la Figura con V=V1 en z=0 y
V=V2 en z=d.
z
d
V=V2
V(z) (
0
y
x
V=V1
El potencial en ausencia de cargas se obtie
ne a partir de ecuación de Laplace:
2V 2V 2V
V 2 2 2 0
x
y
z
2
Ahora, como los planos están dispuestos a
los largo del eje Z, el potencial dependerá
únicamente de la variable z, por lo que, la
ecuación inicial de Laplace se reduce a:
d 2V
0
dz 2
La solución general de esta ecuación dife
rencial de segundo orden lineal homogé
nea es:
V2 V1
) z V1
d
De otro lado, tomando el gradiente a esta
expresión, obtenemos la intensidad del
campo eléctrico, así:
E
dV ˆ
V V1 ˆ
k ( 2
)k
dz
d
Ejem: 24
Un capacitor de placas paralelas tiene sus
placas localizadas en z=0 y z=4 mm. La re
gión entre las placas está llena con un ma
terial de densidad de carga volumétrica u
niforme o=8 nC/m3 y una permitividad
=3o. Ambas placas se encuentran conecta
das a tierra. Hallar el potencial eléctrico
(en mV) en puntos situados en z=3 mm.
(k=9109 Nm2/C2)
a) 0,252
b) 0,352
c) 0,452
d) 0,552
e) 0,652
Sol: 24
Representemos las placas paralelas del
capacitor, perpendiculares al eje-z.
V(z) A z B
siendo, A y B las constantes de integra
ción, que hallamos de las condiciones de
frontera, así:
z=d
z=0
En: z=0,
V A (0) B V1
En: z=d,
V A (d) B V2
Resolviendo estas dos ecuaciones, para A
y B obtenemos:
A
V2 V1
y B V1
d
Como el potencial solo depende de la varia
ble "z" , debemos resolver la ecuación de
Poisson, esto es:
2V
o
d 2V
dz 2
(1)
120
Potencial eléctrico
Integrando dos veces esta expresión, obtene
les Va y Vb respectivamente, no existe den
mos la solución general para el potencial e
sidad de carga entre los cilindros.
léctrico, así:
Dado que el potencial eléctrico solo depen
de de la distancia radial, y no del ángulo
o 2
axial , ni de la longitud z, la ecuación
V(z) z C1z C 2 (2)
2
de Laplace, se reduce a:
Evaluando esta expresión en z=0 y z=d,
obtenemos las constantes de integración C1
y C2, así:
V(0)
o 2
(0) C(0) C 2 0
2
1 d dV
(r
)0
r dr dr
Integrando dos veces esta ecuación obtene
mos, la solución general para el potencial
eléctrico:
2V
V(r) A n(r) B
C2 0
V(d) o (d) 2 C1 (d) 0
2
C1
o
d
2
Sustituyendo C1 y C2 en la ec.(2), y evaluan
do, obtenemos:
V(z)
2 k o
(z d z 2 )
3
(2)(9 109 )(8 109 )(12 9) 106
V(3)
3
V(3) 0,452 mV C
b) Armónicos cilíndricos
Vb
b
siendo, A y B las constantes de integra
ción que hallamos de las condiciones de
contorno, así:
Va
a
Se tiene un sistema de dos cilindros hue
cos conductores concéntricos de radios
"a" y "b" (b>a) que están a los potencia
V(a) A n(a) B Va
V(b) A n(b) B Vb
Resolviendo este par de ecuaciones para A
y B, obtenemos:
A
n(a)
Vab
Vab
y B Va
n(b / a)
n(b / a)
Sustituyendo en la solución general, obte
nemos el potencial para a r b:
V(r)
Vab
r
n( ) Va
n(b / a)
a
Ejem: 25
Dos cilindros huecos conductores coaxia
les de radios a=10 cm, b=20 cm están a
los potenciales de Va=20 V y Vb=0 V. En
tre los cilindros el espacio es libre. (k=
9109 Nm2/C2, n=10-9)
I) Hallar el potencial eléctrico a la distancia
r=15 cm del eje común.
a) 8,1 V
b) 8,3 V
c) 8,5 V
d) 8,7 V
e) 8,9 V
121
Física III
2
II) Hallar las densidad de carga (en nC/m )
en la superficie del cilindro interno.
a) 2,15
b) 2,35
d) 2,75
c) 2,55
e) 2,95
III) Hallar la densidad de carga (en nC/m2)
en la superficie del cilindro externo.
a) 1,08
b) 1,28
d) 1,68
c) 1,48
III) La densidad de carga superficial induci
da en la superficie del cilindro externo es:
b o E r
Vab
r
n( ) Va
n(b / a)
a
V(r)
(Vb Va )( n (r) n(a))
n(b / a)
Va ( n (b) n(a))
n(b / a)
b
b
c) Armónicos esféricos
Vb
a
B
II) La densidad de carga superficial inducida
en la superficie del cilindro interno es:
a o E r
ra
o (
dV
)
dr
ra
Vo
4 k a n(b / a)
20
(4)(9 10 )(0,10) n(20 / 10)
9
C
B
m2
Va
20
20
n( )
n(20 / 10)
15
V15 8,3 voltios
a
rb
Vo
4 k b n(b / a)
b 1,28 109
Evaluando esta ecuación para r=15 cm:
a
dV
)
dr
20
(4)(9 109 )(0,20) n(20 / 10)
Vo
b
V(r)
n( )
n(b / a)
r
V15
rb
o (
e) 1,88
Sol: 25
I) Según teoría el potencial eléctrico en el es
pacio entre los cilindros coaxiales (arb),
viene dado por:
V(r)
C
m2 C
a 2,55 109
b
Se tiene un sistema de dos esferas concén
tricas de radios "a" y "b" (b>a), las super
ficies de dichas esferas se encuentran a los
potenciales "Va " y "Vb " , respectivamente,
además se sabe que entre las esferas no e
xiste densidad de carga.
Dado que el potencial eléctrico solo depen
de de la distancia radial, y no del ángulo
axial " " , ni azimutal " " , la ecuación de
Laplace, se reduce a:
2V
1 d 2 dV
(r
)0
dr
r 2 dr
Integrando esta ecuación dos veces, obte
122
Potencial eléctrico
nemos la solución general para el poten
cial eléctrico:
V(r)
A
B
r
Va
a
P
siendo, A y B las constantes de integra
ción, que se determinan aplicando las con
diciones de contorno, así:
V(a)
A
B Va
a
V(b)
A
B Vb
b
Resolviendo este par de ecuaciones para A
y B, obtenemos:
a.b
A Vba
(b a)
y
Sustituyendo en la solución general obte
nemos el potencial para a r b:
b.Vab a
( 1) Va
(b a) r
Evaluando esta expresión en r=a, verifica
mos que la expresión es correcta, así:
V(a)
b.Vab a
( 1) Va
(b a) a
V(a) Va
Ejem: 26
Se tienen dos esferas huecas concéntricas
de radios a=10 cm y b=30 cm, cuyas super
ficies se encuentran a los potenciales Va=
100 V y Vb= 60 V. Hallar el potencial eléc
trico en el punto P ubicado a la distancia
de r=20 cm del centro común 0.
r
0
b
a) 60 V
b) 70 V
c) 50 V
d) 80 V
e) 90 V
Sol: 26
Como el potencial eléctrico sólo depende
de la variable "r" , la ecuación de Laplace en
coordenadas esféricas, se reduce a:
2V
b
B Va Vba
(b a)
V(r)
Vb
1 d 1 dV
(
)0
r 2 dr r 2 dr
La solución general de esta ecuación diferen
cial ordinaria, para puntos ubicados entre las
esferas (a< r <b) es:
V(r)
A
B
r
siendo A y B constantes de integración que
hallamos evaluando el potencial en puntos de
las esferas de radios "a" y "b" , así:
V(a)
A
B 100
101
V(b)
A
B 60
2.101
Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos los
valores de A y B:
A 6 V.m y B 40 V
Luego, reemplazando A y B en la expresión
del potencial eléctrico, y evaluando en r=20
cm, obtenemos:
123
Física III
Dado que la cantidad Q j / 4o ri rj es
6
V(r) 40
r
V(r)
el potencial eléctrico Vij producido por la
j-ésima carga Qj en el punto ri en la cual
está ubicada la i-ésima carga Qi, la energía
potencial de un sistema de cargas puntua
les discretas también puede expresarse en
la forma:
6
40
2 101
V(r) 70 voltios B
9. ENERGÍA ELÉCTRICA
U
a) Concepto
Como se sabe uno de los conceptos más
importantes de la Física es el de la energía
Recordemos que la energía potencial eléc
trica de un sistema de partículas, es una
cantidad escalar cuyo valor absoluto, para
cualquier distribución dada de las partícu
las, es dependiente de la distribución espe
cífica de las cargas.
El valor absoluto de la energía potencial
por si misma no es una cantidad fisicamen
te importante, lo que es importante es el
cambio en el valor de la energía potencial
que resulta de un cambio en la configura
ción de las partículas que interactúan.
b) Energía potencial de un sistema de
cargas puntuales.
Así, basándonos en la definición anterior
podemos decir, que la energía potencial de
un sistema de cargas puntuales discretas
distribuidas en una región finita R, es:
1
1
Qi ij Qi i
2 i
2 i
j i
siendo, Vi
j, j i
Vij el potencial eléctrico
total producido por las cargas Qj, j i , en
el punto ri , en la cual la i-ésima carga está
ubicada.
Ejem: 27
Hallar la energía potencial eléctrica de in
teracción de una distribución de cuatro car
gas puntuales idénticas q=+2 C , situadas
en los vértices y baricentro de un triángulo
equilátero de lados l=3 3 cm. (k = 9109
Nm2/C2)
a) 5,60 J
b) 5,62 J
c) 5,64 J
d) 5,66 J
e 5,68 J
Sol: 27
Para mayor facilidad seleccionamos las e
nergías potenciales que resultan semejantes
Observemos que en total debemos hacer 6
combinaciones de dos en dos.
Qi
q
ri –rj
ri
z
rj
0
Qj
y
x
QiQ j
1
U
8o i j ri rj
3a
a
a
q
a
q
q
(1)
3a
3a
124
Potencial eléctrico
También, se observa que existen 3 pares de
1
carga cuya separación entre ellas es "a" y 3
U o ( E) V dv
2
pares de cargas cuya separación es " 3a" .
Luego, la energía potencial del sistema de
1
1
cuatro cargas puntuales es:
U o (EV)dv o (V) E dv
2
2
U 3k
q2
q2
3k
a
a 3
1
1
U o (VE) dS o (V) E dv
2
2
k q2
U
(3 3)
a
Como para puntos lejanos de la distribu
ción el campo eléctrico esta dado en una
primera aproximación por el campo de un
monopolo, esto es:
(9 109 )(2 106 ) 2
U
(3 3)
0,05
E E(0)
U 5, 68 J D
c) Energía potencial de un cuerpo car
gado
La energía potencial eléctrica almacenada
en un cuerpo cargado de volumen V, viene
dado por:
U
U
1
V(r)dq
2 V
1
(r) V(r)dv
2 V
Q
a
y V Vo (0)
(2)
1
r
Entonces, integrando sobre una esfera de
radio a , encontramos que la primera
integral es prácticamente nula, esto es:
(EV)dv
1 1 2
a sen d d
a a2
(EV)dv 0 , pues
Observemos como la distribución de carga
que es finita en todos los puntos, la ener
gía potencial dada por esta ecuación, tam
bién es finita.
Sustituyendo o E en la expresión
an terior, obtengamos otra forma para la
ener gía potencial, así:
S
1
r2
a
Luego, dado que V E , entonces la e
nergía potencial eléctrica, también pode
mos expresar así:
1
U o ( V) E dv
2
U
1
o E 2 dv
2
(3)
Ejem: 28
Demostrar que la energía potencial eléctri
ca de una distribución de carga esférica de
radio "R" y carga total "Q" , viene dado
por: 3Q2/20oR.
Sol: 28
Dividimos la esfera en muchas capas, y re
125
Física III
presentemos una de ellas de radio "r" , es
pesor "dr" , y volumen igual a dV=
4 r 2 dr .
dr
r
0
R
De otro lado, recordemos que el potencial
eléctrico a la distancia "r" del centro 0 de
la distribución de carga esférica es:
V
3Q
Qr 2
8oR 8oR 3
Sustituyendo el diferencial de volumen
"dv" y este potencial "V" en la expresión
de la energía potencial, e integrando sobre
todas las capas, obtenemos:
3Q 2
U
20o R
Como se observa este resultado esta de a
cuerdo con el obtenido a partir de la ec.(2)
por lo que, ambas expresiones son equiva
lentes. Observemos que la energía poten
cial de la distribución que presenta sime
tría esférica es infinito cuando R 0 .
d) Energía eléctrica de un conductor
La ec.(1) para un sistema de carga en repo
so distribuidas en la superficie y volumen
de un conductor, se escribe así:
U
1
1
V dS V dv
2 S
2 V
siendo, "V" el potencial del campo eléc
trico resultante de todas las cargas libres,
"" y " " las densidades de cargas libres
superficial y volumétrica, S y V la superfi
cie que encierra el volumen del conductor.
R
1
3Q
Qr 2
U (
) 4 r 2 dr
3
2 0 8o R 8o R
1 QR 2
1
Q
QR 2
U (
) (
)(
)
5
o
5 4 R 3 / 3 o
3Q 2
U
20o R
De otro lado, según la ec.(3), la energía po
tencial de la distribución de carga esférica
uniforme en todo el espacio es:
R
o
Q r2 2
U { [
] 4 r 2dr
3
2 0 4o R
(
R
Q
) 2 4 r 2dr}
2
4o r
e) Densidad de energía eléctrica
La densidad de energía eléctrica (energía
por unidad de volumen) en el vació se defi
ne en un punto del espacio donde existe el
campo eléctrico, y viene dado por:
u
U 1
o E 2
V 2
siendo, "W" y "V" la energía del campo
eléctrico y el volumen que encierra dicha
energía.
Ejem: 29
La magnitud del campo eléctrico atmosféri
co cerca de la superficie del suelo es apro
ximadamente E=100 V/m. (k=9109 Nm2/
C2, n=10-9, G=109)
126
Potencial eléctrico
I) Hallar la densidad de energía (en nJ/m3) 10.FORMAS DE PRODUCIR ENERGIA
de este campo eléctrico atmosférico.
ELECTRICA
Según el proceso ó fenómeno físico invo
a) 40
b) 42
c) 44
lucrado existen seis formas de producir e
d) 46
e) 48
nergía eléctrica, ellas son:
II) Asumiendo que el campo eléctrico es uni
forme hasta 10 km por encima del suelo,
hallar la energía potencial eléctrica total
(en GJ) correspondiente.
a) 205
b) 225
c) 245
d) 265
e) 285
Sol: 29
I) Según teoría, la densidad de energía del
campo eléctrico atmosférico, viene dado por:
1
E2
2
u o E
2
8 k
(100) 2
u
(8)(9 109 )
u 44 109
J
m3
C
II) El volumen de la atmósfera en forma de
capa esférica de radio "R" , y espesor "R"
es:
V 4 R 2R
V (4)(6,38 106 )2 (104 )
V 5,12 1018 m3
Con esto, la energía eléctrica contenida en la
capa atmosférica es:
U u V (44 109 )(5,12 1018 )
U 225 109 J
B
a) Por frotamiento
Se produce al frotar dos cuerpos entre sí.
Dependiendo del tipo de materiales de que
se trate, uno de los cuerpos se carga positi
vamente y el otro negativamente, formán
dose así una carga eléctrica estática entre
ambos. Tiene poca utilidad práctica.
b) Por presión
Se produce por un efecto denominado pie
zoelectricidad, al presionar las caras de de
terminados cristales que poseen esa natura
leza. El fenómeno Piezoeléctrico es am
pliamente utilizado en múltiples equipos e
lectrónicos: relojes de cuarzo, aparatos de
radio, etc., normalmente para obtener una
señal de referencia muy fiable
c) Por calor
Se produce por un efecto denominado ter
moelectricidad, al calentar las uniones de
dos metales diferentes. Se utiliza en algu
nos componentes electrónicos como refe
rencia de temperatura.
d) Por luz
Se produce por un efecto denominado fo
toelectricidad, al aplicar luz sobre determi
nados materiales capaces de desarrollar
cargas eléctricas. Es muy utilizada en las
células fotoeléctricas, como método para
generar energía eléctrica para almacenar o
transformar en corrientes alternas. Tiene u
tilidad en elementos electrónicos de medi
ción y detección.
e) Por acción química
Se produce mediante una reacción quími
127
gía eléctrica a partir de la energía liberada
en forma de calor, normalmente mediante
la combustión de algún combustible fósil
como petróleo, gas natural o carbón. Este
calor es empleado por un ciclo termodiná
mico convencional para mover un alterna
dor y producir energía eléctrica.
Física III
ca en un elemento de batería. Fue la prime
ra energía utilizable y actualmente la más
importante después de la electromagnética
Prácticamente, la gran mayoría de vehicu
los motorizados utilizan esta energía como
fuente de reserva (batería).
f) Por electromagnetismo
Se produce por el movimiento de un con
ductor dentro de un campo magnético, lla
mado fenómeno de inducción electromag
nética. Se trata de la primera fuente de e
nergía por su volumen y facilidad degene
ración. Está mundialmente extendida, tan
to para su uso en el hogar, en la industria,
en el transporte, en la investigación, etc...
11GENERADORES DE ENERGIA
ELECTRICA
La generación de energía eléctrica, en ge
neral consiste en transformar alguna clase
de energía, tales como: química, mecánica
térmica, luminosa, etc., en energía eléctri
ca.
Para la generación industrial de energía e
léctrica se recurre a instalaciones denomi
nadas centrales eléctricas, que ejecutan al
guna de las transformaciones menciona
das. Algunos de estas centrales generado
ras de energía eléctrica, son:
a) Central termoeléctrica
Una central termoeléctrica es una instala
ción empleada para la generación de ener
Ventajas
1) Son las centrales más baratas de construir
(teniendo en cuenta el precio por megava
tio instalado), especialmente las de carbón
debido a la simplicidad (comparativamen
te hablando) de construcción y la energía
generada de forma masiva.
2) Las centrales de ciclo combinado de gas
natural son mucho más eficientes (alcan
zan el 50%) que una termoeléctrica con
vencional, aumentado la electricidad gene
rada (y por tanto, las ganancias) con la mis
ma cantidad de combustible, y rebajando
las emisiones citadas más arriba en un
20%, 0,35 kg de CO2, por kWh producido
Desventajas
1) El uso de combustibles fósiles genera emi
siones de gases de efecto invernadero y de
lluvia ácida a la atmósfera, junto a partí
culas volantes (en el caso del carbón) que
pueden contener metales pesados.
2) Al ser los combustibles fósiles una fuente
de energía finita, su uso está limitado a la
duración de las reservas y/o su rentabili
dad económica.
3) Sus emisiones térmicas y de vapor pueden
alterar el microclima local.
4) Afectan negativamente a los ecosistemas
fluviales debido a los vertidos de agua ca
liente en estos.
5) Su rendimiento (en muchos casos) es bajo
(comparado con el rendimiento ideal), a pe
sar de haberse realizado grandes mejoras
en la eficiencia (un 30-40% de la energía
liberada en la combustión se convierte en
electricidad utilizada)
128
Potencial eléctrico
siones atmosféricas, ceniza y desechos ra
b) Central hidroeléctrica
Una central hidroeléctrica es aquella que
dioactivos.
se utiliza para la generación de energía e 5) Las represas de la central hidroeléctrica
léctrica mediante el aprovechamiento de la
pueden crear pesca en el reservorio y posi
energía potencial del agua embalsada en
bilidades para producción agrícola propor
una presa situada a más alto nivel que la
cionando agua para el regadío de las plan
central.
tas.
El agua es conducida mediante una tube
Desventajas
ría de descarga a la sala de máquinas de la 1) Los potenciales impactos ambientales de
central, donde mediante enormes turbinas
los proyectos hidroeléctricos son siempre
hidráulicas se produce la generación de e
significativos.Sin embargo existen muchos
nergía eléctrica en alternadores (dispositi
factores que influencian la necesidad de
vos eléctricos).
aplicar medidas de mitigación.
2) Los costos sociales, ambientales y econó
micos de estas represas pesan más que sus
beneficios y que, por lo tanto, no se justi
fica la construcción de las represas gran
des.
3) Las represas de las centrales hidroeléctri
cas pueden ocasionar inundaciones, dañan
do tierras de producción de alimentos.
c) Central geotérmica
Ventajas
1) El beneficio obvio del proyecto hidroeléc
trico es la energía eléctrica, la misma que
puede apoyar el desarrollo económico y
mejorar la calidad de la vida en el área ser
vida.
2) Los proyectos hidroeléctricos requieren
mucha mano de obra y ofrecen nuevas o
portunidades de empleo.
3) Los caminos y otras infraestructuras rela
cionadas con la central hidroeléctrica pue
den dar a los pobladores mayor acceso a
los mercados para sus productos, escuelas
para sus hijos, cuidado de salud y otros ser
vicios sociales.
4) La generación de la energía hidroeléctrica
proporciona una alternativa para la quema
de los combustibles fósiles, o la energía
nuclear, que permite satisfacer la demanda
de energía sin producir agua caliente, emi
La energía geotérmica es la energía que se
obtiene del calor que existe al interior de la
Tierra. Este calor se debe a varios factores,
entre ellos podemos mencionar el gradien
te geotérmico, el calor radiogénico, etc...
Geotérmico viene del griego geo, "Tierra",
y thermos, "calor"; literalmente "calor de
la Tierra".
Ventajas
1) Es una fuente que evitaría la dependencia
129
varios reactores, que son contenedores (lla
mados habitualmente vasijas) en cuyo inte
rior se albergan varillas u otras configura
ciones geométricas de minerales con algún
elemento fisil (es decir, que puede físionar
se) o fértil (que puede convertirse en fisil
por reacciones nucleares), usualmente ura
nio, y en algunos combustibles también
plutonio, generado a partir de la activación
del uranio. En el proceso de fisión radiacti
va, se establece una reacción que es soste
nida y moderada mediante el empleo de e
lementos auxiliares dependientes del tipo
de tecnología utilizado.
Física III
energética del exterior.
2) Los residuos que produce son mínimos y
ocasionan menor impacto ambiental que
los originados por el petróleo, carbón...
Desventajas
1) En ciertos casos emisión de ácido sulfhí
drico que se detecta por su olor a huevo po
drido, pero que en grandes cantidades no
se percibe y es letal.
2) En ciertos casos, emisión de CO2, con au
mento de efecto invernadero; es inferior al
que se emitiría para obtener la misma ener
gía por combustión.
3) Contaminación de aguas próximas con sus
tancias como arsénico, amoníaco, etc...
4) Contaminación térmica.
5) Deterioro del paisaje.
6) No se puede transportar (como energía pri
maria).
7) No está disponible más que en determina
dos lugares.
e) Central de gas
d) Central nuclear
Una central nuclear es una instalación in
dustrial empleada para la generación de e
nergía eléctrica a partir de energía nuclear
que se caracteriza por el empleo de mate
riales fisionables que mediante reacciones
nucleares proporcionan calor. Este calor es
empleado por un ciclo termodinámico con
vencional para mover un alternador y pro
ducir energía eléctrica.
Las centrales nucleares constan de uno o
Una Turbina a Gas, es una turbomáquina
motora de reacción, cuyo fluido de trabajo
es un gas. Como la comprensibilidad de
los gases no puede ser despreciada, las tur
binas a gas son turbo-máquinas térmicas.
Comúnmente se habla de las turbinas a
gas por separado de las turbinas ya que,
aunque funcionan con sustancias en esta
do gaseoso, sus características de diseño
son diferentes, y, cuando en estos térmi
nos se habla de gases, no se espera un posi
ble cambio de fase, en cambio cuando se
habla de vapores sí.
Las turbinas a gas son usadas en los ciclos
de potencia como el ciclo Brayton y en al
gunos ciclos de refrigeración
Es común en el lenguaje cotidiano referir
se a los motores de los aviones como tur
130
Potencial eléctrico
binas, pero esto es un error conceptual, ya
tir de la radiación solar mediante un dispo
que éstos son turboreactores los cuales son
sitivo semiconductor denominado celula
máquinas que, entre otras cosas, contienen
fotovoltaica, o bien mediante una deposi
una turbina a gas.
ción de metales sobre un sustrato denomi
nada célula solar de película fina.
Este tipo de energía se usa para alimentar
f) Centrales eólicas
innumerables aplicaciones y aparatos autó
nomos, para abastecer refugios o vivien
das aisladas de la red eléctrica y para pro
ducir electricidad a gran escala a través de
redes de distribución. Debido a la crecien
te demanda de energía renovables, la fabri
cación de células solares e instalaciones fo
tovoltaicas ha avanzado considerablemen
te en los últimos años. Entre los años 2001
y 2015 se ha producido un crecimiento ex
ponencial de la producción de energía foto
voltaica, doblándose aproximadamente ca
La energía eólica es la energía obtenida
da dos años. La potencia total fotovoltaica
del viento, es decir, aquella que se obtiene
instalada en el mundo (conectada a red) as
de la energía cinética generada por efecto
cendía a 16 GW en 2008, 40 GW en 2010,
de las corrientes de aire y por las vibracio
100 GW en 2012 y 140 GW en 2013. A fi
nes que el aire produce.
nales de 2014, se habían instalado en todo
La energía eólica se utiliza para mover los
el mundo cerca de 180 GW de potencia fo
barcos impulsados por velas o hacer fun
tovoltaica.
cionar la maquinaria de molinos al mover
sus aspas. Es un tipo de energía verde (no
¿Qué es la energía de fisión?
contamina).
Es la energía que se obtiene, mediante la
La energía del viento está relacionada con
fisión nuclear. La fisión es una reacción
el movimiento de las masas de aire que
nuclear que se da en el núcleo de un áto
desplazan de áreas de alta presión atmosfé
mo. Se produce cuando se divide un nú
rica hacia áreas adyacentes de baja presión
cleo pesado en dos o más núcleos peque
con velocidades proporcionales al gradien
ños, además de algunos subproductos co
te de presión.
mo neutrones libres, fotones (generalmen
Los vientos son generados a causa del ca
te rayos gamma) y otros fragmentos del nú
lentamiento no uniforme de la superficie te
cleo como partículas alfa (núcleos de he
rrestre por parte de la radiación solar, en
lio) y beta (electrones y positrones de alta
tre el 1 y 2% de la energía proveniente del
energía).
sol se convierte en viento.
Los productos de la fisión son generalmen
te altamente radiactivos, no son isótopos
g) Central de energía fotovoltaica
estables, estos isótopos decaen, mediante
La energía solar fotovoltaica es una fuente
las cadenas de desintegración.
de energía que produce electricidad de ori
gen renovable obtenida directamente a par
131
Física III
12. DISPERSION DE RUTHERFORD
a) Sección eficaz de colisión
Se llama sección eficaz de colisión a la superfi
cie que ocupa cada partícula de radio "r" , que im
pide el paso libre de otra partícula. Así, en la Fi
gura, la partícula esférica de radio "r" , movién
0
dose con una rapidez "v" colisiona con las partí 2r
culas blanco cuyos centros están en el interior de
un cilindro de radio "2r" , que tiene como eje de
simetría el eje X. En este caso, la sección eficaz
de dicho cilindro es:
(2r)2 4 r 2
molécula blanco
4r
v
X
b) Densidad de flujo (jn)
La densidad de flujo de partículas de un haz, es el número de partículas que, por unidad de
tiempo, atraviesan una sección recta unidad del haz. Si el sistema presenta simetría de
revolución alrededor del eje de incidencia del haz (simetría axial), el número de partículas
dispersadas por segundo, en el ángulo sólido d 2 sen d comprendido entre las dos
superficies cónicas de vértice en 0 y semiangulos en el vértice y d , tiene la forma:
dN jn d
siendo, " jn " la densidad de flujo de partículas, y "d" la sección eficaz elemental de dis
persión, la cual, tiene dimensiones de superficie. A su vez, la sección eficaz total de disper
sión, obtenemos integrando la sección eficaz diferencial, así:
d (
d
d
)d 2 ( )sen d
0 d
d
c) Sección eficaz diferencial y parámetro de impacto
Las partículas dispersadas entre los ángulos y d son las que llegan al blanco dis
persor con un parámetro de impacto comprendido entre b y b+db. Por lo que, todas las par
tículas que se dispersan por el ángulo sólido d d[2 (1 cos ] 2 sen d correspon
diente al intervalo ( , d ) serán las del haz incidente que han atravesado la sección (e
ficaz) comprendida entre los dos círculos de radios b y b+db:
d d( b2 ) 2 bdb
La razón (positiva) d / d , llamada sección eficaz diferencial, viene dado por:
d
b db
d sen d
1
Los dieléctricos no conducen la corriente
eléctrica, debido a que no poseen suficien
te cantidad de electrones libres.
Todos los materiales (o sustancias) dieléc
tricos son aislantes pero no todos los mate
riales aislantes son dieléctricos
Robótica y Cibernética
DIELECTRICOS
CAP-
7
d) Ejemplos de dieléctricos
1. DIELECTRICOS
Algunos ejemplos de este tipo de materia
les son el vidrio, la cerámica, la goma, la
mica, la cera, el papel, la madera seca, la
porcelana, algunas grasas para uso indus
trial y electrónico y la baquelita.
a) Concepto
Son aquellas sustancias que no conducen
la corriente eléctrica. A temperatura no
muy altas y en condiciones en que el die
léctrico no este sometido a la acción de
campos eléctricos muy intensos, en estas
sustancias a diferencia de los conductores
no existen portadores libres de corriente e
léctrica.
e) Tipos
1) Dieléctrico neutro
b) Momento dipolar molecular
Las moléculas del dieléctrico son eléctri
camente neutras y contienen igual núme
ro de cargas positivas y negativas.
Estas moléculas tienen propiedades eléctri
cas.
En primera aproximación las moléculas
del dieléctrico se pueden considerar como
dipolos de momento dipolar pe q. .
2) Dieléctrico polar
c) Características
Algunas de las características más noto
rias de un dieléctrico, son:
Los momentos dipolares moleculares del
dieléctrico se polarizan (direccionan) en
presencia de un campo eléctrico externo.
En los dieléctricos en presencia de un
campo eléctrico externo, surge un campo
eléctrico propio (interno), debido a la pola
rización de sus cargas.
Se dice que el dieléctrico es neutro, si los
electrones de los átomos se encuentran en
su molécula situados simétricamente res
pecto de los núcleos (H2, O2, CCl4 y o
tros).
En estas moléculas los centros de grave
dad de las cargas positivas y negativas
coinciden en ausencia de un campo eléc
trico externo y el momento dipolar pe de
la molécula es nulo.
Se llama dieléctrico polar aquel cuyas mo
léculas (átomos) tiene electrones situados
asimétricamente respecto a sus núcleos
(H2O, HCl, NH3,CH3Cl y otros).
En estas moléculas los centros de grave
dad de las cargas positivas y negativas no
coinciden y se encuentran prácticamente a
una distancia constante " " unos de o
tros.
Las moléculas de los dieléctricos polares
se asemejan por sus propiedades eléctri
cas a los dipolos permanentes o rígidos,
2
Dieléctricos
los cuales tienen momento dipolar cons
tante.
nes del cuerpo es lo que se llama fenóme
no de inducción
E
f) Aplicaciones
La introducción de un dieléctrico en un
condensador aislado de una batería, tiene
las siguientes consecuencias:
Disminuye el campo eléctrico entre las
placas de un condensador.
Disminuye la diferencia de potencial en
tre las placas del condensador, en una rela
ción Vi/k.
Aumenta la diferencia de potencial máxi
ma que el condensador es capaz de resis
tir sin que salte una chispa entre las pla
cas (ruptura dieléctrica).
g) Saturación de un dieléctrico
Se llama así al estado de un dieléctrico en
el que la polarización de sus moléculas es
máxima, esto es, cualquier aumento adi
cional del campo eléctrico externo, no mo
difica esta polarización.
- + - +
- + - +
- + - +
+ - +
- +
i) Carga inducida
Si introducimos un cuerpo ya sea conduc
tor ó dieléctrico dentro de un campo eléc
trico externo, las cargas de este cuerpo ex
perimentan una redistribución al interior
de ella, al agrupamiento de las cargas de
un mismo signo en ciertas zonas ó regio
+
+ + - +
+ - +
- -
+
- ++
+
+
+
+
j) Cargas libres y ligadas
En las sustancias o materiales dieléctri
cas, existen dos tipos de cargas eléctricas
las llamadas libres y ligadas.
1) Cargas ligadas
Se llaman cargas ligadas a las que forman
parte de las moléculas y de los iones en los
sólidos cristalinos con red iónica.
2) Cargas libres
h) Factores de disipación y pérdida
dieléctrica
Cuando se aplica una corriente alterna a
un dieléctrico perfecto, la corriente adelan
ta al voltaje en 90°, sin embargo debido a
las pérdidas, la corriente adelanta el volta
je en solo 90°-δ, siendo " " el ángulo de
pérdida dieléctrica.
-
Se llaman así a las cargas eléctricas, que
no forman parte de las moléculas de las
sustancias y de los iones de la red cristali
na iónica. Por ejemplo son cargas libres:
Las cargas de los portadores de corriente e
léctrica en los medios conductores (los e
lectrones de conducción en los metales y
semiconductores, los huecos de los semi
conductores, los iones de los electrólitos y
los gases, etc...).
¿Cuáles son los dieléctricos más
utilizados?
Los dieléctricos más utilizados son el aire,
el papel y la goma.
3
En los conductores este campo eléctrico,
es de igual magnitud que el campo eléctri
co externo, pero de sentido opuesto, tal
que el campo eléctrico resultante al inte
rior de la placa conductora se anula, esto
es:
Robótica y Cibernética
2. CAMPO ELECTRICO INDUCIDO
a) Campo eléctrico inducido en un
conductor
Ee
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
E Ee Ein 0
Conclusión
Consideremos dos placa planas paralelas
cargadas con la misma cantidad de carga
pero de signos opuestos, separados una pe
queña distancia, tal como se muestra en la
Figura, en el espacio entre las placas se es
tablece un campo eléctrico homogéneo E e
(llamado campo eléctrico externo) genera
do por las cargas libres o ligadas que po
seen las placas.
Ee
-
+
+
+
+
-
+
Ei
+
-
+
-
+
-
El campo eléctrico al interior de un con
ductor, en presencia de un campo eléctrico
externo, es nulo.
b) Campo eléctrico inducido en un
dieléctrico
Consideremos dos placa planas paralelas
cargadas con la misma cantidad de carga
pero de signos opuestos, separados una pe
queña distancia "d" , tal como se muestra
en la Figura, en el espacio entre las placas
se establece un campo eléctrico homogé
neo E e (llamado campo eléctrico externo)
generado por las cargas libres o ligadas
que poseen las placas.
Ee
-
+
-
+i -
+
-
Ahora, si introducimos una placa conduc
+
-
tora muy delgada entre las placas iniciales
se produce una redistribución de las car
gas, debido a la presencia de E e , así en la
Figura, las cargas negativas se agrupan en
el lado izquierdo de la placa mientras que
las positivas lo hacen en el lado derecho.
A su vez este reagrupamiento de cargas
(cargas inducidas), generan su propio cam
po eléctrico Ein (llamado campo eléctrico
inducido).
+
-
+
-
+
-
+
+ -i
Ahora, si introducimos una placa conduc
tora muy delgada entre las placas iniciales
se produce una redistribución de las car
gas, debido a la presencia de E e , así en la
Figura, las cargas negativas se agrupan en
el lado izquierdo de la placa, en tanto, las
4
Dieléctricos
positivas lo hacen en el lado derecho. A su
vez este reagrupamiento de cargas (cargas
inducidas), generan su propio campo eléc
trico Ein (llamado campo eléctrico induci
do).
Ee
-
+
+
+
+
+
-
+
Ei
+
-
+
-
+
+ -i
-
E
-
En los dieléctricos este campo eléctrico, es
de menor magnitud que el campo eléc
trico externo, pero de sentido opuesto, tal
que el campo eléctrico resultante al inte
rior de la placa dieléctrica es de menor
magnitud que el campo externo, esto es:
E Ee Ein 0
Conclusión
El campo eléctrico al interior de un die
léctrico, en presencia de un campo eléctri
co externo, no es nulo.
3. SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA,
CONSTANTE DIELECTRICA, CAPACIDAD ESPECIFICA DE INDUCCION
a) Susceptibilidad eléctrica
Es una cantidad física escalar, se represen
ta simbólicamente por "" y se define co
mo la razón de la densidad superficial de
carga inducida "i " a la magnitud del cam
po eléctrico resultante E , esto es:
(1)
La susceptibildad mide la capacidad de un
medio o sustancia dieléctrica a polarizarse.
Ahora, recordemos que la expresión del
campo eléctrico resultante en el dieléctrico
es:
-
+i -
i
E
1
( i )
o
siendo, "" y "i " las densidades superfi
ciales de carga libre e inducida, respectiva
mente.
Sustituyendo "i " en la expresión ante
rior, obtenemos:
E
Unidad:
(1 / o ) o
(2)
"" se mide C2 / Nm2
b) Constante dieléctrica
Es una cantidad física escalar adimensio
nal, llamada también permitividad relati
va de un medio continuo es una propiedad
macroscópica de un medio dieléctrico rela
cionado con la permitividad eléctrica del
medio (), se define así:
k
o
(3)
O en función de la susceptibilidad, la cons
tante dieléctrica, viene dado por:
k 1
o
(4)
5
tidades físicas: susceptibilidad eléctrica
"" , constante dieléctrica "k" , capacidad
específica de inducción " " .
2) Las relaciones que existen entre estas tres
cantidades físicas, son:
Robótica y Cibernética
Luego, sustituyendo la ec.(4) en la ec.(2),
el campo eléctrico resultante en el dieléctri
co, resulta ser:
E
o k
(5)
o o
k 1
La constante dieléctrica depende de la es
tructura interna del material, es decir, de la
distribución de átomos, electrones y otras
partículas constituyentes al interior del ma
terial.
k o o
o (k 1) o
c) Capacidad específica de inducción
También, llamada permitividad de la sus
tancia dieléctrica, es una cantidad física
escalar, se representa simbólicamente por
" " , y se define, así:
k o
(6)
para el vació, k = 1, de modo que:
o
La permitividad depende de la capacidad
del material (o sustancia) a polarizarse en
presencia de un campo eléctrico externo, a
nulando parcialmente el campo eléctrico
interno que surge en el material. La permi
tividad está directamente relacionada con
la susceptibilidad eléctrica.
En un medio no lineal, la permitividad " "
puede depender de la magnitud del campo
eléctrico externo, esto es =(E).
Conclusiones
1) Resumiendo podemos decir que las propie
dades dieléctricas de un material ó medio,
quedan completamente determinadas si se
conoce cualesquiera de las siguientes can
Ejem: 01
La constante dieléctrica de cierta sustancia
es k=3,5, o=8,8510-12 C2/N2m2. Hallar:
I) La capacidad especifica de inducción " "
(en pC2/Nm2, p=10-12).
a) 31
b) 33
d) 37
c)
35
e) 39
II)La susceptibilidad de dicha sustancia ""
(en pC2/Nm2, p=10-12).
a) 20
b) 22
d) 26
c)
24
e) 28
Sol: 01
I) La capacidad específica de inducción, vie
ne dado por:
k o (3,5)(8,85 1012 )
31 10
12
C2
N m2
II) La susceptibilidad eléctrica de la sustan
cia, viene dado por:
(k 1) o (3,5 1)(8,85 1012 )
22 10
12
C2
N m2
6
Dieléctricos
Ejem: 02
Un campo eléctrico uniforme de intensi
dad E=2106 V/m es creado dentro de un
gran bloque de una sustancia de constante
dieléctrica k=3. Se practica en el bloque
una cavidad cuya forma es la de un cilin
dro de bases perpendiculares al campo.
Hallar:
I) La intensidad del campo eléctrico dentro
de la cavidad.
a) 3 MV/m
b) 4 MV/m
c) 5 MV/m
d) 6 MV/m
e) 7 MV/m
II)La densidad superficial de carga inducida
(en C/m2) sobre las superficies de sus ba
ses.
a) 31,4
b) 33,4
d) 37,4
c) 35,4
e) 39,4
Sol: 02
I) Representemos los campos eléctricos al
interior "E 2 " y exterior "E1 " de la cavidad ci
líndrica.
E2
(k 1) o E
(3 1)(8,85 1912 )(2 106 )
35,4 106
C
m2
4. TEOREMA DE GAUSS PARA
DIELECTRICOS
a) Desplazamiento dieléctrico
Es una cantidad física vectorial, que se re
presenta por D , y se utiliza para caracteri
zar las propiedades eléctricas de un medio
al igual que el campo eléctrico E .
Para un medio isótropo homogéneo la mag
nitud del campo eléctrico E es inversa
mente proporcional a " " , la relación en
tre E y D , viene dado por:
D k o E
En general, la constante dieléctrica "k "
E1
tiene una dependencia respecto del campo
eléctrico resultante, esto es:
k k(E)
Las fuentes escalares del vector desplaza
La magnitud del campo eléctrico en la cavi
dad cilíndrica, obtenemos de la condición de
continuidad del desplazamiento, así:
k1oE1 k 2 oE2
E 2 (3)(2 106 ) 6 106
V
m
II) De otro lado, la densidad superficial de
carga inducida en las bases de la cavidad ci
líndrica es:
miento son las densidades de carga libre,
en tanto, las Fuentes vectoriales son el vec
tor polarización, que experimentan las mo
léculas del dieléctrico en presencia de un
campo eléctrico externo.
Ejem: 03
Dos láminas conductoras con cargas opues
tas tienen la misma densidad superficial de
carga y están separadas por un dieléctrico
de d=5 mm de espesor y constante dieléc
7
tud de signos opuestos, luego coloquemos
una placa dieléctrica entre las placas y ob
servemos que el campo eléctrico resultan
te al interior del dieléctrico es:
Robótica y Cibernética
trica k=3. La intensidad del campo eléctri
co resultante en el dieléctrico es E=106
V/m.
I) Hallar el módulo del vector desplazamien
to D en el dieléctrico. (en C/m2, =10-6,
o= 8,8510-12)
a) 20,5
b) 22,5
d) 26,5
+q -qi
Ee +qi -q
c) 24,5
e) 28,5
S
S
II)Hallar el valor de la densidad superficial
de carga (en C/m2) sobre las láminas con
ductoras.
a) 20,5
b) 22,5
d) 26,5
e) 28,5
Sol: 03
I) La magnitud del vector desplazamiento,
viene dado por:
E
+i -
i
q
q
i
o o oS oS
oS.E q qi
-
+
+
+ -i
c) 24,5
-
siendo, "q" las cargas libres en la superfi
cie de las placas, "qi " las cargas induci
das en la superficie de la placa dieléctrica,
y "S" el área de la superficie de las pla
cas.
De otro lado, se sabe que el campo eléctri
co en función de la constante dieléctrica
"k" del medio es:
E
+
-
+
-
+
-
+
d
D k oE (3)(8,85 1012 )(106 )
D 26,5 106
C
m2
II) La densidad superficial de carga libre en
las láminas conductoras es:
D 26,5 106
C
m2
E
k o
A su vez, esta ecuación utilizando el con
cepto de desplazamiento eléctrico, pode
mos escribir, así:
o k E
q
D.S q .S
S
b) Teorema de gauss para dieléctricos
Así, el número de líneas del desplazamien
Consideremos dos placas conductoras pla
to eléctrico D , a través de la superficie
"S" , es igual, a la carga libre contenida en
dicha superficie.
nas paralelas con cargas de igual magni
8
Dieléctricos
D
n
S
q
a) 32 N/C
b) 64 N/C
c) 24 N/C
d) 48 N/C
e) 36 N/C
Sol: 04
Para hallar E utilizamos el teorema gene
ralizado de Gauss-Ostrogradsski, para la su
perficie cerrada S (punteada), así:
-q
D1
S.G.
Enunciado
q
<<
Las líneas de desplazamiento total que
pasan a través de una superficie cerrada,
es igual, a la carga libre neta que encierra
dicha superficie>>
En lenguaje matemático, este enunciado
de la generalización del teorema de Gauss,
se escribe así:
D dS q
r
D2
S D ds q
S/2 D1 ds S/2 D2 ds q
S/2 k1oE1ds S/2 k 2oE2ds q
S
siendo, "q" la carga libre y D es el núme
ro de líneas de desplazamiento por unidad
de área.
Ejem: 04
Dos esferas concéntricas conductoras de
radios a=10 cm y b=20 cm, respectivamen
te tienen cargas q=410-10 C C. Las mita
des del espacio entre las esferas se llenan
con dieléctricos de constantes k1 =2, k2 =3.
Hallar la magnitud del campo eléctrico a
una distancia c=15 cm del origen común,
en el dieléctrico "1" .
-q
S
o (k1 E1 k 2 E 2 )( ) q
2
k1 E1 k 2 E 2
q
2o r 2
En la superficie de unión de los dos dieléctri
cos, se cumple que, E1=E2, (continuidad de
la componente tangencial de E ), de modo
que:
E1 E 2
q
2o (k1 k 2 ) r 2
(2)(9 109 )(4 1010 )
E1 E 2
(2 3)(15 102 )2
k1
a
+q
k2
b
E1 E 2 64
N
C
B
9
Consideremos ahora el contorno cerrado
de perímetro "abcd" . Se puede escoger los
lados "bc" y "ad' , tan pequeños, que la
integral tomada a lo largo de estos lados se
puede considerar despreciable. A lo largo
de los lados "ab" y "cd" de longitudes
" " , las integrales son,
Robótica y Cibernética
5. CONDICIONES DE CONTORNO
E2
k1
E2 sen 2
k2
2
E2 cos 2
X
E1
E1 sen 1
.E1 sen 1 y .E2 sen 2
1
E1 cos 1
S
b
Por tanto, la integral a lo largo de todo el
perímetro es:
c
a
Ed
d
Consideremos un cilindro pequeño de ba
ses "S" y altura despreciable, cuya super
ficie lateral es perpendicular a la superfi
cie de interfase. Ahora como no hay carga
libre dentro de este cilindro, la integral de
superficie de las líneas de desplazamiento
a través de toda esta superficie debe ser nu
la. La integral de superficie de la compo
nente tangencial de D calculada sobre la
superficie lateral del cilindro es nula, pues
el área lateral del cilindro es prácticamen
te cero, ya que su altura es muy pequeña.
De otro lado el cálculo de la integral de su
perficie de la componente normal de D re
sulta ser:
D1 dS D2 dS SD1 cos 1
S
pues se demuestra que la integral curvilí
nea del campo eléctrico a lo largo de un
contorno cerrado " " es nulo. Por consi
guiente:
E1 sen 1 E2 sen 2
SD2 cos 2
(1)
La componente normal, D cos , del
desplazamiento, es continua a través de
la superficie límite
(2)
La componente tangencial, E sen ,
del campo eléctrico es continua a tra
vés de la superficie límite
De otro lado, dividiendo las ecs.(2) y (1),
y considerando que: D1 = k1.0 E1 y D2 =
k2.0 E2, obtenemos:
tg 1 k1
tg 2 k 2
S
D1 cos 1 D2 cos 2
E1sen 1 E 2sen 2 0
(3)
Esta relación es análoga a la ley de Snell
que es válida para la refracción de un ra
yo luminoso que pasa a través de una su
perficie límite, por lo mismo a éste resul
tado se denomina a veces la ley de refrac
ción de las líneas de fuerza del campo e
léctrico.
10
Dieléctricos
Sumando los cuadrados de las ecs.(1) y (2),
Ejem: 05
La placa de dieléctrico de constante k=2 obtenemos el campo eléctrico en el dieléctri
se ubica en un campo eléctrico homogé co, así:
neo de magnitud E=50 N/C de modo que
cos2
2
2
su normal forma un ángulo =600 con la
E (sen
) E'2 (sen 2 cos2 )
k
dirección del campo eléctrico. Hallar la
magnitud del campo eléctrico dentro de la
E' E [sen 2 (cos / k)2 ] 1/ 2
placa
a) 44,95 N/C b) 45,99 N/C c) 45,03 N/C
d) 45,07 N/C e) 46,11 N/C
Sol: 05
Representemos el campo eléctrico en el
aire (E) y en el dieléctrico (E´)
E' (50)[(sen 600 )2 (cos 600 / 2)2 ] 1/ 2
E´ 45,07
N
C
D
6. CAMPO Y FUERZA ELECTRICA EN
DIELECTRICOS
Et
AIRE
En
PLACA
E’n
P
E’t
E
k
k
E’
r
qi
q
AIRE
E
Aplicando las condiciones de frontera en las
superficies de interfase, tenemos:
1) La componente tangencial del campo e
léctrico, en la superficie de interfase aire-pla
ca es continua, esto es:
E t E't
E sen E'sen
(1)
2) La componente normal del vector despla
zamiento, en la superficie de interfase aireplaca es continua, esto es:
Dn D'n
oEn k o E'n
E cos k E' cos
S.G.
(2)
Para estudiar el campo y fuerza en un die
léctrico consideremos una esfera conducto
ra de radio "R" con carga "q" positiva su
mergida en un fluido infinito e isótropo de
constante dieléctrica "k" , como muestra la
Figura.
Como se observa en la Figura, aparecen
cargas inducidas "qi " negativas, ubicadas
muy próximas a la superficie de la esfera
conductora.
Ahora, construyamos una superficie de
Gauss de forma esférica y radio "r" con
céntrica con la esfera cargada, y aplicando
el teorema de Gauss en su forma general a
esta superficie, se tiene:
S Dcos dS q
11
el campo eléctrico en el vacío "Eo " es ma
yor que en el dieléctrico "E D " por un fac
tor de "1/ k" veces.
Ahora si colocamos una carga de prueba
"q '" muy pequeña sobre la superficie gaus
siana a la distancia "r" del centro de la es
fera conductora, entonces la fuerza sobre
la carga "q '" son debidas a la cargas "q"
y a la carga inducida "qi " alrededor de
"q" , y a la carga inducida "q 'i" alrededor
de "q '" , si la carga "q '" está distribuida si
métricamente, no produce fuerza neta so
bre la carga q ' , de modo que el único e
fecto que queda es del campo creado por
las cargas "q" y "q i " , cuyo valor hemos de
ducido. Por lo tanto, usando la ley de Cou
lomb la fuerza neta sobre la carga de prue
ba q ' , en el dieléctrico es:
Robótica y Cibernética
Por simetría, el valor del desplazamiento
es constante en todos los puntos de esta su
perficie, y su dirección es radial y dirigida
hacia fuera.
La integral de superficie se reduce enton
ces a:
S D cos dS D (4 r
2
)q
Y por tanto, el campo eléctrico "E" es:
D
q
K e E k o E
4r 2
E
1
q
4o k.r 2
(1)
De otro lado, aplicando el teorema de
Gauss al campo eléctrico, se obtiene:
o E cos dS (q qi )
F
S
4or 2E (q qi )
1 q qi
E
4o r 2
(2)
Fo
1 q.q '
4o r 2
(5)
Conclusión
(3)
Conclusión
La carga efectiva, q-qi, de la esfera es i
gual a la fracción 1/k de su carga libre "q"
y en consecuencia, el campo eléctrico en
el punto P es 1/k del que existiría en tal
punto si no hubiera dieléctrico, es decir:
E0 E D
(4)
de prueba en el vacío es:
ga inducida "qi " en la esfera:
k 1
)q
k
Y la magnitud de la fuerza sobre la carga
Igualando (1) con (2), encontramos la car
qi (
1 qq '
4o k.r 2
Comparando las ecs. (4) y (5), conclui
mos que la fuerza eléctrica en el vacío es
"1/ k" veces mayor que la fuerza en el die
léctrico, es decir:
F0 FD
siendo, F0 y FD las fuerzas entre las cargas
"q" y "q'" en el vacío y en el dieléctrico
respectivamente.
1
Robótica y Cibernética
CIRCUITOS
ELECTRICOS
CAP. 6
2) Malla
Es una trayectoria cerrada, por ejemplo, en
el circuito, tenemos dos mallas indepen
dientes I y II. La malla que resulta de la su
perposición de las mallas I y II no es inde
pendiente.
R1
1. CIRCUITOS ELECTRICOS
A
MALLA I
B
a) Definición
Se llama circuito eléctrico a la conexión
entre si, de varios dispositivos eléctricos,
tales como baterías, resistencias, condensa
dores, bobinas mediante conductores (a
lambres).
b) Clasificación
Los circuitos eléctricos se clasifican, en di
ferentes formas, así:
1) Por el tipo de señal
Se clasifican en circuitos de corriente con
tinua (DC) y corriente alterna (CA).
2) Por el tipo de régimen
Se clasifican en periódicos, transitorios o
permanentes.
3) Por el tipo de componentes
Se clasifican en circuitos eléctricos, (resis
tencias, condensadores, bobinas y mixtos)
o circuitos electrónicos (digitales, analógi
cos y mixtos)
4) Por su configuración
Se clasifican en serie, paralelo o mixtos, u
otro tipo de conexiones como estrella o
delta.
c) Elementos de un circuito
1) Nudo
Es un punto de un circuito eléctrico, en el
cual, se unen dos o más conductores, por
ejemplo, en el circuito eléctrico A y B son
nudos.
R2
R3
R4
MALLA II
F
S
+ -
r
3) Dispositivos
Son aparatos eléctrico o mecánicos que se
utilizan en un circuito eléctrico, como por
ejemplo: generadores de fuerza electromo
triz (fem), resistencias, interruptores, fo
cos, bobinas inductoras, condensadores,
etc...
4) Conectores
Son los alambres utilizados en el circuito,
para unir los diferentes dispositivos, tales
como: baterías, resistencias, bobinas induc
toras, condensadores.
5) Rama
Conjunto de todos los elementos de un cir
cuito comprendidos entre dos nudos conse
cutivos. Por ejemplo, en el circuito eléctri
co tenemos las ramas A(R1)B y A(R2)B.
d) Dispositivos eléctricos
Los dispositivos que generalmente están
presentes en un circuito eléctrico de co
rriente continua, como el mostrado en la
Figura, son:
1) Generadores de fem
Pueden ser pilas, baterías, dinamos, etc…
2
Circuitos eléctricos
que se utilizan para suministrar o sustraer
energía del circuito eléctrico, presentan po
laridad, el signo (+) nos indica que el ex
tremo izquierdo del dispositivo esta a ma
yor potencial que el derecho, tienen resis
tencia interna "r" , y se representan con el
símbolo " " .
lambre.
Ejem: 01
En el circuito eléctrico, el valor de cada
una de las resistencias es de R=8 . Ha
llar la resistencia equivalente entre "a" y
"b" .
a
2) Resistencias
Se utiliza para controlar o modular la ten
sión y corriente en ciertas ramas de un cir
cuito eléctrico, se representan simbólica
mente con una "R" las resistencias exter
nas y con una "r" las resistencias internas,
es decir, las que pertenecen a las fuentes
de energía.
3) Interruptor
Se utilizan para permitir (interruptor cerra
do) o evitar (interruptor abierto) que la co
rriente eléctrica circula por una malla de
un circuito eléctrico, se representan simbó
licamente con una "S" .
RASA
b
a) 10
R
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
CORTO
1
a
R
R
R
R
b
R
a
R
R
P
R
b
a
R2
Se dice que un dispositivo, por ejemplo,
en el circuito la resistencia "R 2 " , está en
cortocircuito cuando la tensión en la mis
ma es cero y la corriente a través de el es
desconocida. Esto se obtiene uniendo los
extremos de la resistencia mediante un a
R
I
CORTO
R
Sol: 01
En el circuito inicial, teniendo en cuenta
que las dos resistencias de la derecha están
en cortocircuito, y reduciendo el circuito.
2
I
R
R
r
R1
R
4) Foco
Es un dispositivo eléctrico que se utiliza
para generar luz, simbólicamente se repre
senta con una "F" .
e) Cortocircuito
R
R
R
S
3
R/2
b
R
De modo que, la resistencia equivalente del
circuito eléctrico es:
3
Robótica y Cibernética
Sol: 02
Como la resistencia del voltímetro es muy
grande RV, podemos considerar que la
corriente por el es nula, iV0, por lo que en la
malla (II) no hay corriente.
R
Re R R
2
Re
5R (5)(8)
2
2
R 20
a
C
Nota
En todos los problemas P significa para
lelo, y S serie.
f) Circuito abierto
ABIERTO
MALLA I
I
R4
MALLA II
F
2
V
b
RASA
De modo que, la corriente que pasa por la
fuente, y el valor de la fuente son:
B
R2
R3
I
4
R1
A
S
+ -
r
V 50
25A
R 2
R eI (2 4)(25)
150voltios C
Se dice que un dispositivo, como por ejem
plo, en el circuito, la resistencia "R1 " esta
abierto cuando la corriente eléctrica a tra
vés de el es nulo, y la tensión es desco
nocida.
g) Ecuación de un circuito
a
, r
b
I
I
Ejem: 02
I
a
2
4
a
V
b
En el circuito eléctrico mostrado, hallar la
fuerza electromotriz " " , sabiendo que el
voltímetro indica V=50 voltios.
a) 50 V
b) 100 V
d) 75 V
e) 25 V
c) 150 V
R
b
Aplicando el principio de conservación de
la energía al circuito de la Figura, que pre
senta un generador de f.e.m " " de resis
tencia interna "r" , una resistencia externa
"R" , conectados en serie, tenemos:
IVab I2r I2R
el termino de la izquierda es la energía por
unidad de tiempo entregado por el genera
4
Circuitos eléctricos
dor, los dos términos de la derecha son las
energías consumidas por las resistencias
interna y externa.
Despejando la intensidad de corriente en
la ecuación anterior, obtenemos la ecua
ción del circuito,
I
I
R
Vab
rR
2 1
r1 r2
I
R
Ejem: 03
En el circuito eléctrico mostrado, 1=2 vol
tios, 2=3 voltios, r1=r2=3 ohmios.
1
2
r1
r2
2 1
R r1 r2
3 2
3 3
0,001
R 994
C
II) De otro lado, la rapidez con la que se pro
duce el calor en el resistor "R" , por efecto
Joule es:
P I2R (0,001)2 (994)
P 994 106 W
C
R
I) ¿Para qué valor de "R" la corriente en el
circuito es de I=0,001 A?
a) 990
b) 992
c) 994
d) 996
e) 998
II) ¿Con qué rapidez se genera calor en el re
sistor externo "R" , por efecto Joule?
a) 990 W
b) 992 W
c) 994 W
d) 996 W
e) 998 W
Sol: 03
1
r1
I
2
r2
R
I) En el circuito eléctrico, como 2>1, la co
rriente circula en sentido antihorario.
De la ley de Ohm, obtenemos el valor del re
sistor "R" , así:
2. DIFERENCIA DE POTENCIAL
ELECTRICA
a) Diferencia de potencial entre dos
puntos de un circuito eléctrico
Consideremos una parte de un circuito tal
como el mostrado en la Figura.
a
o
+
R1
1, r1 2, r2
- +
R2
b
o
-
+ -
i
RASA
asumimos arbitrariamente que la corriente
va de "a" hacia "b" , por tanto, el poten
cial en el punto "a" es mayor que en el
punto "b" (Va > Vb), pues la corriente e
léctrica va de mayor a menor potencial,
luego, aplicando el principio de conserva
ción de la energía, se tiene:
I Va I2 (R1 R 2 r1 r2 )
I 1 I 2 I Vb 0
5
II)Hallar la diferencia de potencial "Vbc " en
tre los puntos "b" y "c" .
Robótica y Cibernética
Así, la diferencia de potencial entre los
puntos "a" y "b" es:
Vab I(R1 R 2 r1 r2 ) 2 1
La generalización del resultado, se escribe
así,
N1
N2
k 1
k 1
Vab I R k ( ) k
a) +2,4 V
b) -2,4 V
c) +3,6 V
d) -3,6 V
e) +4,8 V
Sol: 04
Representemos el sentido de circulación
de la corriente eléctrica.
c
r1 1
siendo, "N1 " el número total de resisten
cias internas y externas entre "a" y "b" , y
"N 2 " el número total de generadores de
f.e.m entre "a" y "b" .
Convención de signos
Para escoger el signo en la suma de las
f.e.m de los generadores, se adopta la si
guiente convención.
a
, r
b
o
- +
R
De la ley de Ohm, obtenemos la intensidad
de corriente eléctrica, así:
(+)
I
i
a
o
, r
b
o
- +
(-)
I
Ejem: 04
En el circuito eléctrico mostrado, 1=8 vol
tios, 2=4 voltios, r1= r2=1 ohmios, y R=18
ohmios.
c
r1 1
r
a 2 2
b
b
I
I
o
r
a 2 2
1 2
r1 r2 R
8 4
4
1 1 18 20
I 0,2A
I) Recorriendo de "c" hacia "a" , pasando
por la fuente "1 " , tenemos:
Vc Ir1 1 Va 0
Vc (1)(0,2) 8 Va 0
Va Vc Vac 7,8voltios
Recorriendo de "a" hacia "c" , pasando por
la fuente "2 " , y el resistor "R" , tenemos:
R
I) Hallar la diferencia de potencial "Vac " en
tre los "a" y "c" .
a) 7,0 V
b) 7,2 V
c) 7,4 V
d) 7,6 V
e) 7,8 V
Va Ir2 2 IR Vc 0
Va Vc Vac (0,2)(1 18) 4
Vac 7,8voltios
E
6
Circuitos eléctricos
II) La diferencia de potencial entre los pun
na, esto es r<<R, de modo que, r/R0
tos "b" y "c" es:
por tanto, la diferencia de potencial entre
los bornes del generador es:
Vbc IR (0,2)(18)
Vab
Vbc 3,6voltios
C
Esto es la pérdida de energía en la resisten
cia interna del generador fuerza electromo
b) Diferencia de potencial entre los
triz es muy pequeña.
bornes de un generador
Consideremos el circuito eléctrico mostra
do en la Figura, que presenta un generador
de f.e.m " " de resistencia interna "r" y
una resistencia externa "R" .
a
, r
b
- +
I
I
I
RASA
R
Si despreciamos la resistencia de los con
ductores, entonces la intensidad de corrien
te en el circuito es:
I
Nota
Se llaman bornes a los puntos de dife
rente polaridad de un generador (pila, bate
ría, etc..) donde se conectan los conducto
res (alambres)
Ejem: 05
Por la pila de fuerza electromotriz =2 V y
resistencia interna r=0,5 pasa una corri
ente eléctrica de intensidad I=0,25 A. Ha
llar la caída de potencial en el interior de
la pila y el valor de la resistencia exterior
"R" .
+ -
r
Rr
Y la diferencia de potencial entre los bor
nes "a" y "b" del generador es:
Vab Ir
Reemplazando la intensidad de corriente
tenemos:
Vab (
r
)
rR
1
Vab (
)
1 r / R
En general la resistencia interna es muy pe
queña comparada con la resistencia exter
R
RASA
a) 0,125 V; 7,5
b) 0,112 V; 2,5
c) 0,145 V; 4,5
d) 0,132 V; 3,5
e) 0,165 V; 6,5
Sol: 05
La caída de potencial al interior de la pila
es:
V i.r (0,25)(0,5) 0,125 voltios
Luego, el valor de la resistencia externa es:
i.(R r) 2 (0,25)(R 0,5)
R 8 0,5 7,5
A
7
resistencias es R1/R2=2. Hallar la potencia
eléctrica disipada por la resistencia "R1 " .
Robótica y Cibernética
c) Divisor de corriente
R1
R1
I1
A
B
I2
I
R2
R2
RASA
Dos o más resistencias conectadas en pa
ralelo forman un divisor de intensidad de
corriente, es decir, dividen la corriente to
tal que ingresa, en corrientes parciales que
circulan por cada una de las resistencias.
Por ejemplo, para el circuito eléctrico de la
Figura la corriente "I" que ingresa al nu
do A, es igual, a la suma de las corrientes
"I1 " y "I2 " que salen de el, esto es:
I1 I2 I
(1)
2
V
44V
a) 60 W
b) 62 W
c) 64 W
d) 66 W
e) 68 W
Sol: 06
Identificando el tipo de conexión de las re
sistencias, y representando la intensidad de
corriente total "I" .
R1
P
De otro lado, como las resistencias "R1 " y
"R 2 " están en paralelo, sus extremos es
tán al mismo voltaje, esto es:
I1 R1 I2 R 2
I2
I1
(2)
Resolviendo (1) y (2), obtenemos las co
rrientes "I1 " e "I2 " , que circulan por las
resistencias "R1 " y "R 2 " en función de la
corriente total "I" , así:
I1
I
I
I1
2
IV0
44V
R2
1
I(
)(6)
R1 R 2
2 1
I1 2A
El divisor de corriente, se utiliza para au
Ejem: 06
En el circuito eléctrico mostrado, el voltí
metro indica V=12 voltios, y la relación de
V
La intensidad de corriente total es, i=12/2=6
A, de modo que las intensidades de corriente
por la resistencia "R1 " , teniendo en cuenta
que, R1/R2=2 es:
R2
R1
I y I2
I
R1 R 2
R1 R 2
mentar la escala de un amperímetro, sien
do "R1 " la resistencia de la bobina ampe
rimétrica y "R 2 " la resistencia shunt (en
paralelo).
R2
I
2R2/3
V
I
44V
IV0
2
8
Circuitos eléctricos
En la Figura, de la ley de Ohm, obtenemos
los valores de las resistencias, así:
V1 I R1
2
( R 2 2)(6) 44
3
V2 I R 2
R 2 8 y R1 16
Luego, la potencia disipada por la resistencia
"R1 " es:
P1 i12 R1 (2)2 (16)
P1 64 W
C
d) Divisor de tensión
Dos o más resistencias conectadas en se
rie forman un divisor de tensión, esto es,
una tensión total "V" entre dos puntos A
y B puede ser divida en tensiones más pe
queñas, conectando "N" resistencias en se
rie entre los puntos A y B, siendo la ten
sión en la i-ésima resistencia, igual a:
V
A
R1
R2
B
C
I
Vi I R i
R1
V
R1 R 2
Ri
V
R1 ... R n
Por ejemplo, sea "V" la tensión en la ra
ma AC del circuito, entonces la intensi
dad de corriente "I" es:
V
I
R1 R 2
Por lo que, las tensiones en las resisten
cias "R1 " y "R 2 " situadas entre A-B y BC, respectivamente, son:
R2
V
R1 R 2
El divisor de tensiones, se utiliza para au
mentar la escala de un voltímetro, siendo
"R1 " la resistencia de la bobina voltimé
trica y "R 2 " la resistencia de ampliación
de escala.
Ejem: 07
Dos alambres A y B, de 40 m de longitud
y 0,10 m2 de sección transversal cada uno,
se conectan en serie. Entre los extremos
del alambre compuesto se aplica un poten
cial de 60 V. Las resistencias de los alam
bres son de 40 y 20 respectivamente.
Hallar la magnitud de los campos eléctri
cos (en V/m) en los alambres A y B.
a) 1/2; 1
b) 1; 2
c) 1; 1/2
d) 2; 1
e) 2; 2
Sol: 07
La intensidad de corriente eléctrica, que
circulan por los alambres es:
I
V 60 V
1A
R 60
Así, los voltajes en cada uno de los alambres
son:
VA IR A (1)(40) 40 V
VB IR B (1)(20) 20 V
Luego, la magnitud de los campos eléctricos,
en los alambres A y B, son:
EA
VA
A
40 V
V
1
40 m
m
9
Robótica y Cibernética
EB
VB
B
20 V 1 V
40 m 2 m
b
C
R1
3. CONEXION DE RESISTENCIAS
ELECTRICAS
Existen dos formas de conectar las resis
tencias en un circuito, ellas son:
a
a
R1
o
I
R2
R3
V2
V1
a
Re
o
b
a) 2,0 A
b) 2,5 A
c) 3,0 A
d) 3,5 A
e) 4,0 A
II) Hallar la corriente que pasaría por una ba
tería colocada a los puntos "bc" .
o
o
o
c
R3
I) Hallar la corriente que pasaría por una ba
tería colocada a los puntos "ab" .
a) Conexión en serie
Las resistencias se conectan una a conti
nuación de otra, tal que:
I
R2
a) 2,5 A
b) 3,0 A
c) 3,5 A
d) 4,0 A
e) 4,5 A
V3
I
b
o
III) Hallar la corriente que pasaría por una
ba tería colocada a los puntos "ac" .
a) 2,75 A
b) 2,95 A
c) 3,15 A
d) 3,35 A
e) 3,55 A
V
1) La corriente que pasa por cada una de e
llas es la misma.
2) La suma de los voltajes de los extremos de
cada una de ellas, es igual, al voltaje total,
al que esta conectado la resistencia equiva
lente.
IV) Hallar el valor de las relaciones de corri
entes k=I1.I3/I2, siendo "I1 " , "I2 " y "I 3 "
las intensidades de corrientes correspondi
entes a las conexiones en I), II) y III).
a) 1 A
V V1 V2 V3
3) Estas resistencias, se pueden reemplazar
por una única resistencia, llamada resisten
cia equivalente "R e " , cuyo valor, viene da
do por:
R e R1 R 2 R 3
b) 2 A
d) 4 A
e) 5 A
Sol: 08
I) Cuando la batería se conecta a "ab" .
1
b
35V
Ejem: 08
Se muestra un arreglo triangular de resis
tencias, cuyos valores son: R1=15 , R2=
10 y R3=20 .
c) 3 A
10
15
S
a
c
20
10
Circuitos eléctricos
2
3
b
35V
35V
15
P
I2
30
a
70/9
3
De la ley de Ohm, obtenemos la intensidad
de corriente "I2 " , así:
35V
I1
I2
10
I2 4,5A
De la ley de Ohm, obtenemos la intensidad
de corriente "I1 " , así:
I1
E
III) Cuando la batería se conecta a "ac" .
b
1
V 35
R e 10
10
15
S
I1 3,5A
D
a
c
20
II) Cuando la batería se conecta a los bornes
"bc" .
35V
2
1
V
35
R e 70 / 9
25
P
b
35V
20
10
15
a
c
S
a
c
20
35V
3
b
2
100/9
35V
10
I3
P
35
c
35V
11
3) Estas resistencias se pueden reemplazar
por una única resistencia llamada resisten
cia equivalente "R e " , cuyo valor es:
Robótica y Cibernética
De la ley de Ohm, obtenemos la intensidad
de corriente "I3 " , así:
I3
V
35
R e 100 / 9
I3 3,15A
1
1
1
1
R e R1 R 2 R 3
C
IV) El valor de la relación de las resistencias
equivalentes, para los tres casos considerados
es:
Para un sistema de "N" (N=2, 3, 4,…) re
sistencias, sus resistencias equivalentes pa
ra una conexión en paralelo "R P " son:
R P1 k 1 R k 1
N
I I
(3,5)(4,5)
k 1 3
I2
3,15
k 5A
E
b) Conexión en paralelo
Ejem: 09
En el circuito eléctrico mostrado, =81 vol
tios, y R=26 . Hallar la intensidad de co
rriente eléctrica, que pasa por la fuente.
Los extremos de cada una de las resisten
cias, se conectan a dos puntos comunes
(nudos), tal que:
1) La diferencia de potencial en cada una de
ellas es la misma.
R
R
R
P
R
V1 V2 V3 V
R
R
R
R1
a
I
R2
o
I3
b
o
a) 1 A
b) 2 A
d) 4 A
I2
Re
o
c) 3 A
e) 5 A
Sol: 09
Identificando los puntos del mismo poten
cial, y reduciendo el circuito.
R3
a
RASA
R
I1
I
b
o
1
P
a
V
2) Las corrientes que pasan por cada de una e
llas en general son diferentes, salvo, que el
valor de las resistencias sean iguales.
R
b
R
R
P
R
c
b
R
R
I1 I2 I3 I
R
R
S
12
Circuitos eléctricos
2
I 3A
C
R/2
c) Transformación delta-estrella
R/2
b
R
2R
R
P
Las relaciones de transformación de una
conexión de tres resistencias R1, R2 R3 en
delta, en una conexión de tres resistencias
R1' , R '2 , R 3' , en estrella, viene dado por:
3
Conexión delta ()
R/2
S
R/2
ob
b
R1
R
ao
R3
2R/3
R2
4
R/2
oc
P
b
Conexión estrella (Y)
R
7R/6
R '2
ob
ao
5
R1'
R/2
R '3
I
7R/13
Así, la resistencia equivalente "R e " del circui
to, y la intensidad de corriente "I" , son:
Re
I
I
RASA
R1'
R1.R 2
R1 R 2 R 3
R '2
R1.R 3
R1 R 2 R 3
R 3'
R 2 .R 3
R1 R 2 R 3
7R R 27R
13 2
26
R e 27R / 26
26 (26)(81)
27R (27)(26)
oc
d) Transformación estrella-delta
Las relaciones de transformación de una
13
ma conexión en puente, debido a que las
resistencias R1 y R4 están unidas con las re
sistencias R2 y R5 mediante la resistencia
R3, que hace la función de puente.
Para hallar la resistencia equivalente de es
ta conexión puente, se sustituyen las resis
tencias R1, R2 y R3 que forman una confi
guración delta por su configuración equi
valente estrella, o las resistencias R1, R3 y
R4 que forman una configuración estrella
por su configuración equivalente delta.
Otro método consiste en aplicar una fem
" " a la asociación y obtener su resisten
cia equivalente.
Robótica y Cibernética
conexión de tres resistencias R1, R2 R3 en
estrella, en una conexión de tres resisten
cias R1' , R '2 , R 3' , en delta, viene dado por:
Conexión estrella (Y)
ob
R2
ao
R1
R3
oc
RASA
Conexión delta ()
Ejem: 10
En el sistema de resistencias, hallar la dife
rencia de potencial entre "a" y "b" , todas
las resistencias son iguales a R=150 , y
la intensidad de corriente I=50 mA.
ob
R1'
R 3'
ao
R
R '2
oc
R .R R1.R 3 R 2 .R 3
R1' 1 2
R3
R .R R1.R 3 R 2 .R 3
R '2 1 2
R2
R 3'
R .R R1.R 3 R 2 .R 3
1 2
R1
R
R
R
a
R
R
R
I
I
R
a) 1 V
b
b) 2 V
d) 4 V
c) 3 V
e) 5 V
Sol: 10
Identifiquemos los puntos (nudos) de i
gual potencial, así:
e) Conexión puente
R
m
n
¡ OBSERVE !
R1
A
o
R4
R
I
R3
R2
R5
R
B
R
o
RASA
La conexión mostrada en la Figura, se lla
a
p
R
R
R
R
b
Se ha desconectado el circuito inicial, en el
14
Circuitos eléctricos
punto "p" , gracias a la simetría que presenta
con una G.
este, luego reduciendo tenemos:
RASA
2R/3
BORNE +
R
R
a
2R/3
I
PILA
b
BORNE -
G
8R/3
a
2R/3
Conexión:
Se conecta abriendo el circuito, es decir,
debe estar en serie con los otros dispositi
vos eléctricos. El galvanómetro no presen
ta bornes positivo y negativo.
b
Luego, en la Figura, como las resistencias de
2R/3 y 8R/3, están en paralelo, la resistencia
equivalente entre los puntos "a" y "b" es:
Elementos
-
(2R / 3)(8R / 3)
Re
2R / 3 8R / 3
Re
R
8
8
R ( )(150) 80
15
15
(I)
(B)
(C)
(R)
(E)
(A)
Imán natural
Bobina rectangular de N vueltas
Cilindro compacto de hierro.
Resorte en espiral.
Escala de medición.
Aguja que indica el valor de I.
Luego, la diferencia de potencial entre los
puntos "a" y "b" es:
2
E
0
A
Vab IR e (0,05)(80)
Vab 4 voltios
1
1
2
F
N
B
S
D
I
C
4. INSTRUMENTOS DE MEDICION
a) Galvanómetro
Es un dispositivo que permite medir o de
tectar intensidades de corriente y diferen
cias de potenciales de corrientes continuas
posee una resistencia interna muy peque
ña.
Representación:
En los circuitos eléctricos se representa
F
RASA
R
Funcionamiento
Al pasar la corriente eléctrica a través de
la bobina rectangular, los lados verticales
de este experimentan un par de fuerzas F,
ejercido por el campo magnético creado
por el imán natural, haciendo que la bobi
na gire.
15
Robótica y Cibernética
La bobina llegará a la posición de equili
brio, en el instante en que el momento
M=iNSB del par de fuerzas F, sea igual, al
momento de la fuerza de recuperación del
resorte k , de está condición, obtene
mos la expresión para la intensidad de co
rriente eléctrica:
Funcionamiento
Ahora, deduzcamos la relación existente
entre la carga eléctrica (q), y el ángulo
(m) correspondiente a la máxima desvia
ción, así, el impulso del momento M=
INSB sobre la bobina, es igual, a la varia
ción de su momento cinético, esto es:
I k / NSB
siendo "k" la constante de torsión del re
sorte, " " el ángulo correspondiente a la
posición de equilibrio, "N" número de
vueltas de la bobina, "S" área de la bobi
na rectangular, y "B" campo magnético
creado por el imán.
El cilindro de hierro (C), sirve para refor
zar el flujo del campo magnético (B) del
imán, y permite que las líneas del campo
magnético sean radiales.
Sensibilidad
Se llama sensibilidad de un galvanómetro
al valor mínimo de intensidad de corriente
eléctrica que puede medir dicho dispositi
vo. De la fórmula obtenida para la intensi
dad de corriente, se deduce que la sensibi
lidad de un galvanómetro depende de la
constante de torsión del resorte (k), del á
rea de la bobina (S), del número de vuel
tas (N), y del campo magnético (B).
b) Galvanómetro balístico
Son dispositivos eléctricos que se utilizan
para medir la cantidad de electricidad
transportada por una corriente de corta du
ción, tal como el proceso de carga o des
carga de un condensador.
Características
A diferencia de los galvanómetros comu
nes, este dispositivo presenta una bobina
de un momento de inercia un tanto mayor,
y resortes con pares recuperadores al go
menores.
t
0 Mdt I
t
N BS Idt Io
0
I o NBSq
De otro lado, la energía cinética de rota
ción inicial de las oscilaciones de la bo
bina, se transforma en energía potencial
elástica del resorte, esto es:
1 2 1 2
I o k m
2
2
De aquí, obtenemos la relación entre la car
ga eléctrica (q) y el ángulo (m) corres
pondiente a la desviación máxima de la a
guja del galvanómetro balístico, así:
q(
Ik
) m
N BS
siendo, "I" momento de inercia de la bobi
na rectangular, "N" número de vueltas,
"S" área de la bobina, "k" constante de
torsión del resorte, y "B" campo magnéti
co del imán.
c) Voltímetro
Es un dispositivo que permite medir la di
ferencia de potencial entre dos puntos
cualesquiera de un circuito eléctrico, po
see una resistencia interna muy grande.
16
Circuitos eléctricos
nes positivo y negativo, por lo que su co
Representación:
En los circuitos eléctricos se representa
nexión depende de la disposición de los
con una V.
bornes de los generadores de f.e.m, como
se observa en la Figura.
RASA
e) Puente Weatstone
BORNE +
+
I
PILA
V
R
BORNE -
Conexión:
Se conecta en paralelo con los otros dispo
sitivos eléctricos del circuito. Presenta bor
nes positivo y negativo, su conexión de
pende de la disposición de los bornes de
los generadores de f.e.m, como se observa
en la Figura.
Este dispositivo eléctrico (circuito) se utili
za para determinar el valor de una resis
tencia desconocida "R x " .
Elementos
El circuito eléctrico (puente Weatstone)
está constituido por una fuente de energía
" " , tres resistencias R1, R2, R3 y un gal
vanómetro, como se muestra en la Figura.
RASA
a
R1
R2
G
R4
Rx
d) Amperímetro
Es un dispositivo que permite medir co
rrientes eléctricas (en la escala de Ampe
rios), posee una resistencia interna muy
pequeña.
Representación:
En un circuito eléctrico se representa con
una A.
RASA
b
R
+ -
Funcionamiento
Las resistencias R1 y R2 se ajustan hasta
que la corriente por el galvanómetro sea
cero, se dice entonces que el puente está
en equilibrio, y el potencial en "a" , es i
gual al de "b" , así, las caídas de potencial
en Rx y R1 deben ser iguales, esto es:
I2 R x I1 R1
BORNE +
I
PILA
R
Asimismo, las caídas de potencial en R2 y
R4 deben ser iguales, es decir:
BORNE -
-
A
+
Conexión:
Se conecta en serie con los otros disposti
vos eléctricos del circuito. Presenta bor
I2 R 4 I1 R 2
Dividiendo estas ecs., eliminamos las co
rrientes I1 , I 2 , obteniendo la expresión pa
ra la resistencia incógnita:
17
Robótica y Cibernética
Rx (
R1
) R4
R2
Nota
En el circuito eléctrico, "R" es la resis
tencia de la fuente.
5. LAS LEYES DE KIRCHOFF
a) Primera ley de Kirchoff
R1
Ejem: 11
E el circuito eléctrico mostrado, 1=2 V,
2=3=4 V, R1=1 , R2=2 . Halar el va
or de la expresión: k=Iab/Ibc.Ibd, siendo
"Iab " , "Ibc " y "Ibd " las corrientes por las
ramas, a-b, b-c y b-d, respectivamente.
a) 2 A-1
b) 4 A-1
c) 6 A-1
d) 8 A-1
e) 10 A-1
Sol: 11
Asignando arbitrariamente los sentidos de
circulación de las corrientes en las mallas I y
II.
I1
a
0
o
a
R2
d
b
o
1
I3
R3
RASA
Por convención, se consideran positivas
las intensidades de corrientes que ingre
san al nudo, y negativas, las que salen del
mismo, por ejemplo, para las corrientes
que convergen al nudo O, tenemos:
I I1 I2 I3 0
b) Segunda ley de Kirchoff
En cualquier malla cerrada elegida arbitra
riamente de un circuito eléctrico bifurcado
la suma "a lgebraíca" de los productos de
las intensidades de las corrientes "i k " por
las resistencias "R k " de las partes corres
pondientes de esta malla, es igual, a la su
ma algebraica de las f.e.m (k) aplicadas a
la misma.
2
I1
1
I2
4V
4V
2V
c
Aplicando la segunda ley de Kirchoff a las
mallas I y I, tenemos:
2I1 2(I1 I2 ) 2 4
4I1 2I2 2
(1)
2I2 2(I2 I1) 4 4
I2
1
I1
2
(2)
Sustituyendo (2) en (1), obtenemos las inten
sidades de corrientes "I1 " y "I 2 " :
2
1
I1 A y I2 A
3
3
M
( ) Ik R k ( )k
k 1
1
b
I2
I
N
1
k 1
siendo, "N" el número de partes en que la
malla se divide en los nudos.
Con esto, las intensidades de corriente por
las ramas a-b, b-c y b-d, son:
2
1
Iab I1 A , Ibd I 2 A
3
3
18
Circuitos eléctricos
1
Ibc I1 I2 A
3
Luego, el valor de la expresión "k" es:
RASA
I
2/3
k 1
I2 I3 (1/ 3)(1/ 3)
k 6A
1
prendida por la corriente en la resistencia
"R" es proporcional a la intensidad de la
corriente "I" , a la tensión "V" y al tiempo
"t" de paso de la corriente, esto es:
V
a
R
r
I
C
+ -
6. EFECTO DE JOULE-LENZ
1) Concepto
Este efecto consiste en la elevación de la
temperatura (calentamiento) de un conduc
tor por el cual circula corriente eléctrica, el
calor que produce el calentamiento, pro
viene de parte de la energía cinética pér
dida por los electrones en los choques que
experimentan con las moléculas de la red
cristalina del material.
2) Causas del efecto
Los sólidos tienen generalmente una estruc
tura cristalina, ocupando los átomos o mo
léculas los vértices de las celdas unitarias,
y a veces también el centro de la celda o
de sus caras. Cuando el cristal es sometido
a una diferencia de potencial, los electro
nes son impulsados por el campo eléctrico
a través del sólido debiendo en su recorri
do atravesar la intrincada red de átomos
que lo forma. En su camino, los electrones
chocan con estos átomos perdiendo parte
de su energía cinética, que es cedida en for
ma de calor, a la red cristalina, aumentan
do este su temperatura.
3) Calor disipado en una resistencia
La cantidad de calor "Q" en calorías des
b
V2
Q 0,24I R t 0,24
t
R
2
4) Calculó microscópico del efecto
Joule-Lenz
Para un medio continuo, donde se ha esta
blecido una densidad de corriente J , y un
campo eléctrico E , la potencia generada
por el efecto por el efecto Joule-Lenz, vie
ne dado por la siguiente integral de volu
men:
P J EdV
V
siendo, "V" el volumen donde existen J
y E.
5) Aplicaciones
En este efecto se basa el funcionamiento
de diferentes electrodomésticos como los
hornos, las tostadoras y las calefacciones
eléctricas, y algunos aparatos empleados
industrialmente como soldadoras, etc., en
los que el efecto útil buscado es, precisa
mente, el calor que desprende el conduc
tor por el paso de la corriente.
Sin embargo, en la mayoría de las aplica
ciones es un efecto indeseado y la razón
19
Este método consiste en asignar arbitraria
mente el sentido de circulación de la inten
sidad de corriente eléctrica en cada una de
las mallas, que forman el circuito en estu
dio.
Robótica y Cibernética
por la que los aparatos eléctricos y elec
trónicos necesitan un ventilador que disi
pe el calor generado y evite el calentamien
to excesivo de los diferentes dispositivos.
Ejem: 12
La resistencia de la tetera eléctrica de ren
dimiento 85 % es de 20 . ¿En qué tiem
po hervirá 2,2 litros de agua cuya tempera
tura inicial es de 16 0C, después de haber
se conectado la tetera a un voltaje de 110
V?
- +
o
R
RASA
a) 30 min
b) 15 min
c) 25 min
d) 45 min
e) 20 min
Sol: 12
El 85 % de la energía entregada por la te
tera eléctrica, se utiliza para hacer hervir el a
gua, de modo que:
r1
(I)
R2 I2
(II)
b
+
- 2
r2
R3
(103 )(2,2 103 )(4,186 103 )(100 16)
(10 )(2,2)(4,186)(84)(20)
(0,85)(110)2
7. SOLUCION DE CIRCUITOS
ELECTRICOS DE CD
I1 (r1 R1) (I1 I2 )R 2 1
I1 (r1 R1 R 2 ) I2 R 2 1
(1)
(I2 I1)R 2 I2 (r2 R 3 ) 2
I1 R 2 I2 (r2 R 2 R 3 ) 2 (2)
3
t 1500 s 25 min
arbitrariamente el sentido horario para las
corriente i1, i2 que circulan por las mallas I
y II, luego aplicando la segunda ley de Kir
choff a las malla I y II, tenemos:
En la malla I, la corriente "I1 " pasa por las
resistencias R1 y r1, mientras que por la re
sistencia R2 pasa la corriente neta (I1 - I2),
de modo que:
las resistencias r2 y R3, mientras que por la
resistencia R2, pasa la corriente neta (I2 I1), de modo que:
1102
(0,85)(
)t
20
a) Método de Maxwell
I1
En la malla II, la corriente "I 2 " pasa por
V2
0,85
t Vce (T T0 )
R
t
1 +-
a
Así, para el circuito mostrado, asignamos
A
o
R1
C
La solución de las ecs. (1) y (2), nos con
duce a la obtención de los valores de las
corrientes eléctricas.
Si en la solución de las ecuaciones la co
rriente obtenida sale negativo, significa
que el sentido verdadero de la circulación
de dicha corriente en la malla, es opuesta
al considerado inicialmente.
20
Circuitos eléctricos
Ejem: 13
Consideremos el circuito eléctrico de dos
10 3
mallas mostrado en la Figura, el cual, pre
senta 7 resistencias y 3 fuentes de energía.
1
19
190 3
I1
0,85
12 3
228 9
2
4
3 19
1
I1
4V +
6
+
- 5V
3
+
-
12 10
I2
5
6V
7
I2
RASA
3
1
12 30
0,08
12 3
228 9
3 19
Paso # 1
Asignemos arbitrariamente el sentido hora
rio, para las corrientes I1, I2 circulan por
las mallas 1 y 2.
Como las corrientes obtenidas son negati
Paso # 2
Aplicando las reglas dadas anteriormente
hallemos las componentes de las matrices
de 2 filas por 2 columnas, así:
Las matrices de resistencias son simétri
cas respecto de la diagonal, esto es Rij =
Rji, por lo que, es suficiente hallar las com
ponentes que están por encima de la diago
nal.
R11 1 2 3 6 12
R12 R 21 3
R 22 3 4 5 7 19
1 4 6 10 V
2 6 5 1 V
Obsérvese que R12 y R21 son negativos,
pues I1 y I2 circulan en sentidos opuestos
por la rama común a las mallas 1 y 2.
Paso # 3
Con estas componentes llenemos las ma
trices, y calculemos sus determinantes pa
ra hallar las intensidades de corriente I1 y
I2, así:
vas, el verdadero sentido de las corrientes
es antihoraria.
Nota
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
EAP. INGENIERÍA BIOMÉDICA
TRABAJO N°6: "Circuitos Eléctricos"
ALUMNA: ROMERO AVILA, JOSELYN (20190382)
CURSO: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
FECHA DE ENTREGA: 21 de agosto del 2022 a las 21:39pm
SEMESTRE 2022-I
LISTADO DE PROBLEMAS ASIGNADOS
01
¡GRACIAS!
“Los científicos de hoy piensan en profundizar y no en esclarecer. Uno debe ser
sensato para pensar con claridad, pero uno puede pensar con profundidad aún
siendo un demente”-Nikola Tesla
1
cuitos de corriente se establecen al interior
del imán (corrientes atómicas).
Robótica y Cibernética
MAGNETISMO
d) Representación
CAP. 8
Para representar simbólicamente un cam
po magnético, se utilizan las llamadas lí
neas de fuerza magnética, (líneas imagina
rias) cuyas características, son semejantes
a las líneas de fuerza que se utilizó para re
presentar el campo eléctrico.
1. CAMPO MAGNETICO
a) Concepto
Es una entidad física, que se utiliza para
explicar las formas como se manifiestan
las corrientes eléctricas en la región R en
la que se encuentran, y las interacciones
mutuas que se establecen entre las corrien
tes eléctricas, y las partículas y cuerpos
cargados en movimiento.
L
N
S
RASA
e) Características
b) Detección
Para determinar que en cierta región R
del espacio existe un campo magnético, se
considera en dicha región una carga de
prueba "q o " que se desplaza con veloci
dad "v" ; si dicha carga experimenta una
fuerza F de origen magnético, decimos
que existe un campo magnético.
R
v
q0
La magnitud del campo magnético, es di
rectamente proporcional a la intensidad de
corriente que lo crea.
Las características de las direcciones y sen
tidos de los vectores B y E , son completa
mente diferentes, pues:
1) E siempre está en la dirección radial r.
2) B es perpendicular al plano formado
por r y "I ".
*
Dirección y sentido para B .
I
F
B
r
RASA
r
c) Fuente
En general, un campo magnético es creao
por un imán o una corriente eléctrica (par
tículas cargadas en movimiento). Se debe
mencionar que en el caso del imán los cir
I
B
Convención para representar la dirección
de los campos magnéticos;
2
Magnetismo
Ingresa al papel
Sale del papel
siendo, "d " un diferencial de longitud del
conductor, y "" el ángulo que forman r
y d , respectivamente, como se observa
en la Figura.
Unidad: "B" se mide en teslas (T)
C
f) Cálculo del campo magnético
C
P
I
r
P
I
r
MEDIO
dl
RASA
dl
La ley de Biot-Savart, nos permite estable
cer la magnitud y dirección del vector de
inducción magnética B en un punto P del
vació, por un conductor C que conduce u
na corriente eléctrica de intensidad "I" .
Así, el vector inducción magnética en el
punto P es:
B
o I
4
C
d xr
r3
siendo, Id un diferencial de circuito de
corriente, r el vector trazado del diferen
cial de conductor al punto P, y o =410-7
A/m una constante de proporcionalidad,
llamada permeabilidad magnética del va
cío (aire), la cual, nos proporciona las ca
racterísticas o propiedades magnéticas del
vació.
A su vez, la magnitud del campo magnéti
co, creado por la corriente eléctrica en el
punto P es:
B
o I sen
d
4 C r 2
Si los conductores con corriente o los cuer
pos cargados en movimiento (corrientes de
convección) no se hallan en el vació, sino
en una sustancia o medio cualquiera
(cuerpo magnético), esta sustancia se mag
netiza y la inducción magnética del campo
resultante, viene dado por:
B Bo Bm
siendo, Bo la inducción magnética del
campo externo (magnetizante o magnetiza
dor), creado por la corrientes de conduc
ción "I" o de convección (corrientes ma
croscópicas), y Bm la inducción del cam
po creado por el cuerpo magnetizado es de
cir por las corrientes moleculares de la sus
tancia o medio.
En los casos en que el cuerpo magnético
homogéneo e isótropo llena totalmente el
espacio del campo magnético, o parte del
mismo, de modo que las líneas de induc
ción del campo magnetizador no pasan a
través de la superficie del cuerpo magné
tico, el campo magnético resultante en el
punto P, viene dado por:
B Bo
3
Robótica y Cibernética
siendo, " " la permeabilidad magnética re
lativa del cuerpo magnético, la cual, es u
na cantidad adimensional, y se define co
mo la razón de las magnitudes de las in
ducciones magnéticas medidas en el cuer
po magnético y en el vació, respectivamen
te.
Ejem: 01
Probar que la magnitud del campo magnéti
co, creado por un filamento de corriente
rectlínea "I" infinita a una distancia "d"
es: B=oI/2d.
Sol: 01
I) Mediante el método vectorial
Tomemos un diferencial de alambre de
longitud "d " , y carga eléctrica "dq" .
ley de Biot-Savart, tenemos:
d xr
B o I
4 r 3
dy
B o I R kˆ
4
(y2 R 2 )3/2
dy
B o I R kˆ
2
(y2 R 2 )3/2
0
a
dy
B o I R kˆ im 2
a (y R 2 )3/2
2
0
B
y
Idy
giro
mano
-
dy
y
o
y
I R kˆ im(
)
a R 2 y 2 R 2
2
B
r
B
R
P
x
RASA
En la Figura, las expresiones del elemento de
circuito de corriente Id , del vector r , su
módulo r , y el producto vectorial Id x r son
Id Idy ˆj , r R ˆi y ˆj
r (y2 R 2 )1/2
Id x r (Idy ˆj) x (R ˆi y ˆj)
Id x r IR dykˆ
Sustituyendo Id x r y r en la expresión de la
a
0
o
a
I R kˆ im(
)
a R 2 a 2 R 2
2
B
o I ˆ
k
2 R
II) Mediante la expresión del módulo de
la ley de Biot-Savart.
En la Figura, el ángulo entre el elemento
de circuito de corriente Id y el vector de po
sición r es -, por lo que, en la expresión
de la ley de Biot-Savart, sustituyendo dl=dy,
y "r" , tenemos:
d sen
B o I
4 r 2
sen dy
B o I
4 (y2 R 2 )
Ahora, en el triángulo rectángulo, tenemos
las siguientes relaciones:
4
Magnetismo
y
ctg
y R ctg
R
nalidad llamada permeabilidad magnética
en el vacío, cuyo valor numérico es:
o 4 107
dy R csc d
2
Sustituyendo estas expresiones en la integral
anterior, con el ángulo "" variando desde
hasta 0, tenemos:
0
o
sen ( R csc2 )d
B
I
4 (R 2ctg 2 R 2 )
0
I
B o sen d
4 R
B
o I
( cos )
4 R
B
Las cargas magnéticas ubicadas en los po
los de un imán son iguales en magnitud pe
ro de signos contrarios.
Ejem: 02
El imán barra de peso W=20 N está en e
quilibrio dentro de un campo magnético u
niforme de magnitud B=5 T, el imán está
suspendido exactamente de uno de sus po
los magnéticos. Hallar la carga magnética
"q" de cada polo magnético.
0
B
o I
2 R
2. CAMPOS MAGNETICOS CREADOS
POR CUERPOS QUE CONDUCEN
CORRIENTE ELECTRICA
a) Imán
N
P
q
IMAN
a) 1 Am
b) 2 Am
c) 3 Am
d) 4 Am
e) 5 Am
Sol: 01
Representemos las fuerzas que actúan en
la barra de imán.
B=?
d
F
RASA
La magnitud del campo magnético creado
por la carga magnética "q" , ubicada en un
polo del imán, a una distancia "d" , viene
dado por:
B
A
m
o q
4 d 2
siendo, "o " una constante de proporcio
T
RASA
a
a
A
y
x
W
F
Aplicando a la barra la segunda condición de
equilibrio, respecto de A, tenemos:
W
MFA MA
5
II)La intensidad del campo magnético terres
tre sobre la línea de alta tensión es de B=
60 T ¿Cuántas veces mayor es la magni
tud del campo magnético terrestre que la
de la línea de transmisión?
Robótica y Cibernética
F (2a) W (a)
F
W
10 N
2
(2)
Luego, la carga magnética de cada uno de los
polos de la barra es:
F q.B 10 (q)(5)
q2A m
B
a) 4,17 veces b) 4,37 veces c) 4,57 veces
d) 4,77 veces
e) 4,97 veces
Sol: 03
I) Representemos la línea de transmisión de
alta tensión, y el campo magnético B .
I
b) Alambre rectilíneo infinito
B
RASA
r
I
La magnitud del campo magnético en un
punto P, ubicado a una distancia "r" de un
conductor muy largo, que conduce una co
rriente eléctrica "I" viene dado por:
B
B
RASA
d
o I
2 d
Las líneas de fuerza forman circunferen
cias concéntricas, con centro en el conduc
tor.
El sentido de B , se halla utilizando la re
gla de la mano derecha.
Ejem: 03
El cable de una línea de alta tensión está a
d=25 m sobre el suelo, y conduce una co
rriente de intensidad I=1,8 kA. (k=103,
=10-6)
I) Hallar la magnitud del campo magnético a
nivel del suelo, creado por la corriente.
En la Figura, la magnitud del campo magnéti
co en el suelo, creado por la corriente eléctri
ca es:
o I (4 107 )(1,8 103 )
B
2 r
(2)(25)
B 14,4 106 T
C
II) Comparando el campo magnético BT
respecto de este campo B, tenemos:
BT
60 106
B 14,4 106
4,17 veces
c) Alambre rectilíneo finito
RASA
B
d
a) 12,4 T
b) 13,4 T
c) 14,4 T
d) 15,4 T
e) 16,4 T
I
A
6
Magnetismo
B
o I
(sen sen )
4 d
Sustituyendo estas expresiones en la integral
anterior, con el ángulo "" variando desde
hasta 0, tenemos:
Demo:
Tomemos un diferencial de alambre de lon
gitud "d " , y carga eléctrica "dq" .
y
Idy
giro
mano
-
dy
sen ( R csc2 )d
B o I
4 (R 2ctg 2 R 2 )
I
B o sen d
4 R
B
o I
( cos )
4 R
r
y
B
R
P
x
RASA
En la Figura, el ángulo entre el elemento de
circuito de corriente Id y el vector de posi
ción r es -, por lo que, en la expresión de
la ley de Biot-Savart, sustituyendo dl=dy, y
"r" , tenemos:
B
o I
(cos cos )
2 R
Ejem: 04
El filamento conductor en forma de "L"
de lados a=4 cm, conduce una corriente e
léctrica de intensidad I=2 A. Hallar la mag
nitud del campo magnético en el punto P.
(o=410-7 A/m ; =10-6)
a
P
I
d sen
B o I
4 r 2
a
sen dy
B o I
4 (y2 R 2 )
Ahora, en el triángulo rectángulo, tenemos
las siguientes relaciones:
ctg
y
y R ctg
R
dy R csc d
2
a
a
a) 7,01 T
b) 7,03 T c) 7,05 T
d) 7,07 T e) 7,09 T
Sol: 04
Recordemos que la magnitud del campo
magnético, creado por un filamento finito
que conduce corriente, viene dado por
B
o I
(sen sen )
4 d
7
Robótica y Cibernética
RASA
P B
d
Demo:
Sean, B1 y B2 los campos magnéticos crea
dos por los lados "a" y "b" , entonces, la
magnitud del campo magnético resultante en
el centro 0 de la espira rectangular es:
I
I
Así, el campo magnético creado por el lado
horizontal del filamento en forma de "L" , en
el punto P es:
B 2B1
2 o I
4 a
B 7,07 106 T
D
I
B
0
b
I
I
a
RASA
La magnitud del campo magnético en el
centro 0, de una espira rectangular de la
dos "a" , "b" , generada por la corriente e
léctrica "I" que circula por el, viene dado
por:
o 8I(a 2 b 2 )1/2
B
4
ab
B 2
o I
o I
(2sen ) 2
(2sen )
4 (b / 2)
4 (a / 2)
8o I
a
b
[
]
4 b(a 2 b2 )1/2 a (a 2 b2 )1/2
o 8I(a 2 b2 )1/ 2
B
4
ab
d) Espira rectangular
I
b
B 2B1 2B2
B
2 (4 107 )(2)
B
(4)(4 102 )
a
I a
2 o I
B1 o (
0)
4 a 2a
8 a
Como el otro lado del filamento, crea un cam
po magnético de igual magnitud y dirección,
el campo magnético resultante en P es
0
I
e) Espira circular de radio R
La magnitud del campo magnético en un
punto P, ubicado en el eje que pasa por el
centro de la espira que conduce una co
rriente eléctrica "I" , a una distancia "d"
del mismo, viene dado por:
B
RASA
d I
R
0
I
o
I R2
B
2 (d 2 R 2 )3/2
8
Magnetismo
En ambos casos, las líneas de fuerza del
campo magnético forman elipses, que ro
dean al conductor.
De la regla de la mano derecha, deduci
mos que B , en el punto P, está en la direc
ción del eje de simetría.
La magnitud del campo magnético en el
centro "0" de la espira, obtenemos toman
do d = 0, así:
I
B o
2 R
Demo:
I) Mediante la expresión vectorial de la
ley de Ampere
Tomemos un diferencial de anillo de lon
gitud "d " , carga eléctrica "dq" , y represen
temos el vector r .
En la expresión vectorial de la ley de Ampe
re, sustituyendo "Id x r " , y "r" , e integran
do para "" variando desde 0 hasta 2, obte
nemos:
B
IR
B o
4
2
z ˆj sen d R kˆ
0
r
I
0
x
2
d)
0
o I R 2
B
kˆ
2
2 3/2
2(z R )
RASA
R
0
2
P
ˆ
(zcos ˆi zsen ˆj R k)d
(z 2 R 2 )3/2
o I R
B
(z ˆi cos d
2
2 3/2
4(z R )
0
z
z
2
o
d xr
I
4 C r 3
y
Idl
dl=Rd
En la Figura, hallemos el elemento de circui
to de corriente Id , el vector de posición r ,
su módulo r, y el producto vectorial Id x r :
II) Mediante la expresión escalar de la
ley de Ampere
Consideremos dos elementos de circui
tos de corriente, situado simétricamente res
pecto del centro del anillo, y representemos
las componentes paralelo(dBII) y perpendicu
lar (dB) del campo magnético dB, al eje del
anillo.
P
Idl
Id I[d cos( 90 )iˆ d sen( 90 )ˆj]
o
o
Id IRd [sen ˆi cos ˆj]
r R cos ˆi R sen ˆj z kˆ
r (z 2 R 2 )1/2
ˆ
Id x r IR(zcos ˆi zsen ˆj R k)d
R
z
0
I
dB
dB
r
d
P
dBII
RASA
En la Figura, las expresiones del elemento de
circuito de corriente Idl, y el módulo del vec
tor de posición r , son:
9
Robótica y Cibernética
Id IR d
r (d 2 R 2 )1/2
Con esto, de la ley de Biot-Savart en su for
ma escarlar, la magnitud del campo magnéti
co en el punto P, creado por el elemento de
corriente Idl es:
Ejem: 05
Las espiras idénticas de radios R= 3 /2 m
conducen corrientes de intensidad I=2 A,
y se encuentran en planos que forman 600
entre sí. Hallar la magnitud del campo
magnético en el centro común 0.
o I d sen 90o
dB
4
r2
0
R
i
RASA
Id
dB o 2
4 (d R 2 )
Ahora, de la Figura las componentes perpen
diculares (dB) de los campos magnéticos
creados por los elementos de corriente situa
dos simétricamente, se cancelan mutuamen
te, por lo que, el campo magnético resultante
es la suma de las componentes paralelas
(dBII), esto es:
dBR 2dB 2dBcos
I
d
d
dBR 2 o
4 (d 2 R 2 ) (d 2 R 2 )1/2
dBR
o Id
d
2 (d 2 R 2 )3/2
Luego, integrando sobre todo la mitad del ani
llo, para "d " variando entre 0 y R, obtene
mos el campo magnético resultante en el pun
to P, así:
BR
0
o Id
dBR
2 (d 2 R 2 )3/2
BR
600
0
o
I Rd
2 (d 2 R 2 )3/ 2
B
B
B
600
0
R
I
1200
BR
B
600
En la Figura, la magnitud de los campos mag
néticos, creados por cada una de las espiras
es:
I
B o
2 R
Luego, de la ley de cosenos, la magnitud del
campo magnético resultante en el punto 0 es:
BR [B2 B2 2B2 cos1200 ]1/2
R
a) 1 o T
b) 2 o T
c) 3 o T
d) 4 o T
e) 5 o T
Sol: 05
Representemos los campos magnéticos,
creados por cada una de las espiras, así:
d
BR [2B2 2B2sen30o ]1/2
BR 3 B
3 o I
2 R
10
Magnetismo
3 o 2
2
3/2
BR
I
1
I
4
BR 2 o T
B
b
I
f) Arco de espira circular de radio R
La magnitud del campo magnético en el
centro de curvatura de un conductor en for
ma de arco de circunferencia, que conduce
una corriente de intensidad "I" , viene da
do por:
RASA
B
R
R
2
0
Los campos magnéticos en 0 de las corrien
tes rectilíneas (1) y (3) son nulos, pues, las
prolongaciones de estas corrientes pasan por
el punto 0.
A su vez, los campos magnéticos en 0 de las
corrientes en forma de arcos de circunferen
cias (2) y (4), son:
B2
o I
4 R
I
B B2 B4
B
b
I
RASA
a) 5,1 T
b) 5,3 T
c) 5,5 T
d) 5,7 T
e) 5,9 T
Sol: 06
Representación de cada una de las partes
del circuito de corriente.
o I(3 / 2) oI( / 2)
4 a
4 b
B
a
I
o I o I( / 2)
4 b
4 a
Luego, como B2 y B4 están en la misma di
rección, el campo magnético resultante en 0
es:
I
0
o I o I(3 / 2)
4 a
4 a
B4
Ejem: 06
En el circuito a=10 cm, b=20 cm y I=1 A.
Hallar la magnitud del campo magnético
en el punto "O" . (o=410-7 H/m)
3
RASA
I
B
a
I
o I 3 1
( )
8 a b
(4 107 )(1) 3
1
B
(
)
8
0,1 0,2
B 5,5 106 T
<<
C
B ingresa perpendicularmente al papel>>
1
Teoría de Campos
|
|
CAMPO
MAGNETICO
P-05 ELECTRICO
P: 03
Un electrón se acelera desde el reposo medi
ante una diferencia de potencial de V=2
400 voltios, y luego ingresa a una región de
un campo magnético uniforme de magnitud
B= 1,7 T. (e=-1,610-19 C, m=9,1110-31 kg,
p=10-12)
I) Hallar la magnitud del valor máximo de
la fuerza magnética sobre el electrón.
a) 7,1 pN
b) 7,3 pN
c) 7,5 pN
d) 7,7 pN
e) 7,9 pN
II) Hallar la magnitud del valor máximo de
la fuerza magnética sobre el electrón.
a) 0 pN
b) 1 pN
c) 2 pN
d) 3 pN
e) 4 pN
Sol: 03
I) Aplicando el principio de conservación
hallemos la velocidad inicial del electrón, a
sí:
1
q V m v 2
2
1
(1,6 1019 )(2400) ( )(9,11 1031) v 2
2
Fmax (1,6 1019 )(2,9 107 )(1,7)(1)
Fmax 7,9 1012 N
II) A su vez, la magnitud de la fuerza mág
nética mínima, que actúa sobre el electrón
es:
Fmin q vBsen 0o
Fmin (1,6 1019 )(2,9 107 )(1,7)(0)
Fmin 0
P: 09
En un campo magnético de magnitud B=
1,25 T dirigido verticalmente hacia arriba u
na partícula de carga de valor q=8,5 C, se
mueve inicialmente hacia el norte con rapi
dez de v=4,75 km/s se desvía hacia el este.
(=10-6)
I) Hallar el signo de la carga "q" de la par
tícula.
II) Hallar la fuerza magnética que actúa so
bre la partícula.
a) 50,5 mN b) 51,5 mN c) 52,5 mN
d) 53,5 mN e) 54,5 mN
Sol: 09
I) Representemos las cantidades vectoria
les campo magnético B , velocidad v y fuer
za F .
z
B
y
v
m
v 2,9 107
s
Con esto, la magnitud de la fuerza magné
tica máxima, que actúa sobre el electrón es:
Fmax q vBsen90o
q
x
F
Como, F, v y B son positivos, la carga "q"
es de signo positivo.
2
Campo Magnético
II) La magnitud de la fuerza magnética
que actúa sobre la partícula es:
E
F q vBsen90o
F (8,5 106 )(4,75 103 )(1,25)(1)
1
r
2o r
2oE
o v
2 B 2o E
P: 24
Un filamento rectilíneo delgado con densi
dad de carga lineal " " , se mueve en direc
ción paralela a sí misma, a la velocidad v .
I) Hallar la intensidad de corriente eléctri
ca generada en el filamento.
II) Hallar la magnitud del campo magnético
creado por la corriente del filamento.
III)Demostrar que la magnitud del campo
magnético producido por la corriente del
filamento es proporcional a la magnitud
del campo eléctrico.
Sol: 24
I) Sea, " " la longitud del filamento de
densidad de carga " " , entonces, la intensi
dad de corriente es:
B oo vE
donde, "o " , "o " son la permitividad eléctri
ca y permeabilidad magnética en el vació,
respectivamente.
P: 35
El alambre rectilíneo largo presenta una re
gión semicircular de radio R=0,95 m, y se
encuentra en un campo magnético uniforme
de magnitud B=2,2 T. Hallar la magnitud de
la fuerza magnética neta que actúa sobre el a
lambre que conduce una corriente de inten
sidad I=3,4 A. (a=3 m)
I
dq d( )
dt
dt
x
x
a
I
d
v
dt
II) Sustituyendo "I" , en la expresión del
campo magnético, creado por una corriente
rectilínea, tenemos:
B
o I
v
r o
2 r
2 B
(2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtene
mos la relación entre las magnitudes de los
campos magnético B y eléctrico E , así:
F 50,5 103 N
I
(1)
De otro lado, la magnitud del campo eléctri
co, creado por el filamento de densidad de
carga lineal " a la distancia "r" es:
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
a) 20,44 ()
c) 22,44 ()
b) 20,44 ()
d) 22,44 ()
e) 20,44 ()
Sol: 35
Cálculo de la fuerza magnética resultan
te, sobre los dos trozos rectos de alambre de
longitud total l=1,1 m.
3
Teoría de Campos
Integrando sobre la mitad de la semicircufe
rencia, obtenemos la fuerza magnética resul
tante, así:
B
l=1,1m
F2
/2
0
0
dF2 2I BR cos d
F1
I
F
(dF2 ) 02 2BIR (sen )
F2 2BIR (2)(2,2)(3,4)(0,95)
F1 I Bsen90
o
F2 14,21N
F1 (3,4)(1,1)(2,2)(1)
La fuerza F2 es horizontal dirigida hacia la
derecha. Luego, la fuerza magnética resultan
te sobre el circuito de corriente es:
F1 8,23N
Calculo de la fuerza magnética sobre el a
lambre en forma de semicircunferencia.
F F1 F2
F 22,44 N ()
y
dFy
dFx
R
C
dF
B
0
/2
0
I
x
dFx
dFy
P: 37
Un campo magnético ejerce un par de tor
sión " " sobre una espira de alambre circu
lar que lleva una corriente.¿Cuál será el par
de torsión sobre esta espira (en términos de
" " ) si su diámetro se triplica?
dF
a) 5
En la Figura se observa que las componen
tes de los diferenciales de fuerza en la direc
ción del eje-y se anulan entre si, de modo
que, la resultante de la fuerza magnética, de
bido a los dos diferenciales de circuito de co
rriente es:
dF2 2dFx 2dFcos
dF2 2(Id Bsen90o cos )
dF2 2IBR cos d
b) 6
d) 8
c) 7
e) 9
Sol: 37
El momento magnético de la espira de
diámetro "D" , que conduce una corriente
"I" es:
A
I
B
D
I
4
Campo Magnético
Sol: 43
IABsen
La barra se desliza debido a la acción
de la fuerza magnética Fm , que se representa
2
en la Figura.
ID Bsen (1)
4
2R
El momento magnético de la espira de diá
metro "3D" , que conduce una corriente "I"
es:
' I (3D)2 Bsen
4
' 9( ID 2Bsen )
4
E
B
I
(2)
De las ecs.(1) y (2) obtenemos la expresión
de M' en función de M, así:
' 9
d
Fm
l
De teorema del trabajo y la energía, el traba
jo realizado por la fuerza magnética Fm , de
be ser igual, al cambio de la energía mecáni
ca EM, esto es:
W F E M
P: 43
La barra de masa m=0,72 kg y radio de sec
ción R=6 cm descansa sobre dos rieles para
lelos de longitudes l=45 cm, separados por
la distancia d=12 cm. La barra conduce una
corriente de intensidad I=48 A en la direc
ción indicada, partiendo del reposo rueda a
lo largo de los rieles sin deslizarse; en pre
sencia del campo magnético uniforme de
magnitud B=0,24 T, perpendicular a la ba
rra.¿Con qué rapidez abandona la barra los
rieles?
Fm (EM )F (EM )I
1
1
Id Bsen 90o ( m v2 Io 2 ) (0)
2
2
1
1 1
v
Id B m v2 ( mR 2 )( )2
2
2 2
R
3
Id B m v2
4
3
(48)(0,12)(0,24)(0,45) ( )(0,72) v 2
4
d
v 1,07
B
I
Notas
I)
l
a) 1,07 m/s
b) 1,17 m/s
c) 1,27 m/s
d) 1,37 m/s
e) 1,47 m/s
m
s
B
La energía mecánica final (EM)F esta for
mada por las energías cinética de trasla
ción y rotación.
II) La energía mecánica inicial es cero
pues, la barra está en reposo.
5
Teoría de Campos
III) El momento de inercia de un cilindro
W 0,31o 106 J B
compacto de masa "m" , radio de sec
ción "R" , respecto de su eje de sime
P: 59
tría es, Io= (1/2mR2.
Un protón con rapidez de v=107 m/s ingresa
en la región de campo magnético uniforme
P: 50
Hallar la energía magnética de interacción de magnitud B=0,8 T, que ingresa perpendi
de dos circuitos circulares de radios a=0,1 cularmente al papel. El ángulo de ingreso es
cm y b=10 cm, por las que circulan corrien =60º. (q=1,610-19 C, mp=1,6710-27 kg)
tes de intensidades I1=0,1 A y I2=0,4 A. Los I) Hallar el ángulo "" con la que sale el
centros de estos circuitos están en un mismo
protón del campo magnético.
punto y sus planos forman entre sí un ángu
a) 30º
b) 37º
c) 45º
lo de =60º. (o=410-7 H/m, =10-6)
d) 53º
e) 60º
a) 0,11o J
b) 0,31o J
c) 0,51o J
II) Hallar la distancia entre los puntos de
d) 0,71o J e) 0,91o J
entrada y salida del campo magnético.
Sol: 50
Representemos los circuitos circulares
a) 10 cm
b) 11 cm
c) 12 cm
de radios "a" y "b" , formando los planos
d) 13 cm e) 14 cm
que los contienen un ángulo "" .
Sol: 59
I) Según teoría el protón recorre una tra
yectoria circular de radio "R" con rapidez
B
constante "v" , por lo que, de consideracio
nes de simetría M es punto medio de dicha
m
I2
trayecto ria, como muestra la Figura.
b
I1
a
I2
La energía magnética entre los circuitos cir
culares, que conducen corrientes eléctricas
de intensidades "I1 " e "I2 " , viene dado por:
o (0,1 102 )2
W
(0,1)(0,4)cos60o
2
0,1
d/2
0
M
d/2
R
o I 2
) cos
2 b
o a 2
W
I I cos
2 b 12
R
W m B mBcos
W ( a 2 I1 )(
v
v
Así, en los triángulos rectángulos, tenemos:
cos
d/2
d/2
y cos
R
r
6
Campo Magnético
dades de carga lineal " " y superficial "" ,
viene dado por:
E
60o
dz
II) Según teoría, el radio de la trayectoria
circular que describe el protón, viene dado
por:
mv
R
qB
R
z
R
(1,67 1027 )(107 )
0,13 m
(1,6 1019 )(0,8)
dz
z
0
Luego, del triángulo rectángulo, obtenemos
la distancia "d" , así:
y
x
d/2
1
cos
d (2)( )(0,13)
R
2
d 0,13 m
D
P: 70
El cilindro hueco de radio R=10 cm, altura
h=10 cm y densidad de carga superficial u
niforme de =8 nC/m2, gira alrededor de su
eje de simetría con una velocidad angular
constante de =30 rad/s. ¿En qué porcentaje
disminuye la intensidad del campo magnéti
co, en el centro de la base del cilindro, res
pecto de H en su centro geométrico?
a) 21 %
b) 23 %
c) 25 %
d) 27 %
e) 29 %
Sol: 70
Según teoría, la intensidad del campo
magnético en el origen 0, creado por el ani
llo de radio "R" , densidad de carga lineal
uniforme " " , que gira alrededor de su eje
de simetría es:
R3
dH
2 (R 2 z 2 )3/2
De otro lado, la relación entre las densi
Sustituyendo " " en la expresión inicial, e
integrando sobre todos los anillos que for
man el disco, obtenemos:
H
0
(H)
R 3 h
dz
dH
2
0 (z R)3/2
2
H
0
R 3
z
(
)
2
R 2 z2 R 2
H
R
h
2
R 2 h2
h
0
(1)
Utilizando este resultado, la intensidad del
campo magnético en el centro geométrico 0'
del cilindro es:
H' 2
R
h/2
2
R 2 (h / 2) 2
H' R
h
4R 2 h 2
(2)
Luego, de (1) y (2), el porcentaje en que dis
minuye la intensidad del campo magnético
7
Teoría de Campos
en el centro de la base 0, respecto del centro I) La corriente media correspondiente a la
geométrico 0' es:
carga "q" que pasando por un punto de la
circunferencia, da una vuelta completa en un
H' H
tiempo "T" (periodo) es:
(
)(100)
H'
q
q
I qf
1 4R 2 h 2 1/2
T
2
[1 ( 2
) ](100)
2 R h2
Con esto, el momento magnético del circui
1 5 1/2
to de corriente en forma de circunferencia
[1 ( ) ](100)
2 2
es:
m IA IR 2
A
21%
P: 82
Una partícula de carga q=8 nC y masa m=
400 g se mueve en una circunferencia de ra
dio R=20 cm con una velocidad angular
constante de =20 rad/s. (n=10-9)
I) Hallar la magnitud del momento magné
tico m (en nAm2) de la partícula.
a) 3,0
b) 3,2
d) 3,6
c) 3,4
e) 3,8
II) Hallar la magnitud del momento angular
L (en kgm2/s) de la partícula.
a) 0,30
b) 0,32
d) 0,36
1
m ( )(20)(8 109 )(0,2)2
2
m 3,2 109 A m2
III)Demostrar que los vectores de momento
magnético m y momento angular L , es
tán relacionados por: m = (q/2m) L .
Sol: 82
Representemos a la partícula de masa
"m" y carga "q" , girando en una orbita cir
cu lar de radio "R" .
II) A su vez, el momento angular de la par
tícula en movimiento, viene dado por:
L R x p R x (m v)
L mR vsen90o mR ( R)
L mR 2 (0,4)(0,2)2 (20)
L 0,32
û
v
u
R
m
kg m2
s
B
III) Como los vectores momento magnético
m y momento angular L tienen el mismo
vector unitario û , como se aprecia en la Fi
gura, se tiene:
L
0
B
c) 0,34
e) 0,38
m
1
m q R 2
2
m L
m L
m
q R 2 / 2
m L(
)L
L
m R 2
8
Campo Magnético
m
q
L
2m
dI f dq
P: 113
La varilla no conductora de masa m=0,5 kg,
longitud l=40 cm, y densidad de carga lineal
uniforme de =8 nC/m, se hace girar con u
na velocidad angular constante de =60 rad/
s alrededor del eje que pasa por uno de sus
extremos, y es perpendicular a la varilla. Ha
llar el momento magnético (en nAm2) de la
varilla. (n=10-9)
dI
dm dI A (
Luego, integrando esta expresión sobre toda
la varilla, obtenemos el momento magnético
del circuito de corriente, generado por la ro
tación de la varilla, así:
0
m
b) 6,12
c) 7,12
d) 8,12
e) 9,12
Sol: 113
Representación de un diferencial de va
rilla de longitud "dx" , situada a una distan
cia "x" del eje de giro.
dI
dq
x
0
1
dm r 2dr
2
0
1
m
6
3
1
m ( )(8 109 )(60)(0,4)3
6
m 5,12 109 A m2
C
eje
0
dx
)( x 2 )
2
1
dm x 2dx
2
l
a) 5,12
dx
2
Con esto, el momento de inercia del circuito
de corriente circular de radio "x" , que con
duce corriente "dI" es:
m
dx
T
dx
l
En la Figura, la rotación circular del diferen
cial de carga "dq" alrededor del eje, genera
un diferencial de corriente, dado por:
A
P: 122
Demostrar que la componente paralela B
del campo de inducción magnética en un
punto P, creado por la densidad de corriente
lineal J , que fluye por la superficie plana,
viene dado por: B =(oJ/4), siendo el
ángulo sólido limitado por la superficie.
Sol: 122
Representemos en el punto P, la compo
nente perpendicular (E) del campo eléctri
9
Teoría de Campos
co y la componente paralela (BII) del campo
de inducción magnética.
Fm ma c
v2
q vB m
R
E
P
BII
R
Como el campo eléctrico es variable, pues,
es creado por una corriente eléctrica, la com
ponente paralela del campo de inducción
magnética es:
R
mv / qB
m
R o mo v / q B m o
m(
B c2 (v x E) oo vE
) v o ( v)
4o
4
R
) mo
Ro
21,0
)(76) 70 uma
22,8
m2 (
21,6
)(76) 72 uma
22,8
v es la velocidad media de los portado
res libres de la corriente eléctrica.
m3 (
21,9
)(76) 73 uma
22,8
P: 123
En un espectrómetro de masas, distintos áto
mos de germanio tienen un radio de curvatu
ra de 21,0 cm; 21,6 cm; 21,9 cm; 22,2 cm; y
22,8 cm. El radio mayor corresponde a una
masa atómica de 76 uma,¿Cuáles son las ma
sas de los otros isótopos?
Sol: 123
De la ecuación fundamental del movimi
ento de rotación aplicado a los iones, obtene
mos el radio de su trayectoria circular, así:
m4 (
22,2
)(76) 74 uma
22,8
Nota
o J
4
(2)
Evaluando esta ecuación, obtenemos las ma
sas desconocidas de los isótopos, así:
m1 (
Como, J .v es la densidad de corriente li
neal, entonces, queda demostrado que:
B
(1)
Como, cada uno de los isótopos se despla
zan con la misma rapidez, y "q" , "B" se
mantienen constantes, obtenemos la relación
para la masa desconocida del isótopo, así:
J
B oo (
mv
qB
P: 130
La placa ilimitada de grosor h=20 cm presen
ta una cavidad cilíndrica de ra dio R=10 cm,
cuyo eje es paralelo a las superficies de las
placas . Por todo el volumen de la placa, sal
vo por la cavidad circula una densidad de co
rriente J=40 A/m2. Hallar:
10
Campo Magnético
Para calcular el campo de inducción
magnética creado por la cavidad, escogemos
como trayectorias C circunferencias.
Aplicando la ley de Ampere, sobre una tra
yectoria circular C, calculemos el campo
h
magnético de inducción creado por la cavi
dad cilíndrica.
* Fuera del cilindro (x>h/2)
x
J
0
I) El campo de inducción magnética en un
punto situado a la distancia de 22 cm de
0.
a) 3,1o T
b) 3,3o T
c) 3,5o T
d) 3,7o T
e) 3,9o T
II) El campo de inducción magnética en un
punto situado a la distancia de 5 cm de 0
a) 1o T
b) 2o T
c) 3o T
d) 4o T
e) 5o T
III)El campo de inducción magnética en un
punto situado a la distancia de 10 cm de
0.
a) 1o T
b) 2o T
c) 4o T
d) 6o T
e) 8o T
IV) ¿A qué distancia de 0, el campo de in
ducción magnética se reduce a la mitad
de la que tiene en la superficie de la pla
ca?
a) 6,0 cm
b) 6,2 cm
c) 6,4 cm
d) 6,6 cm
e) 6,8 cm
Sol: 130
BC
C1
C2
h/2
x
BC
0
x
C B d
o I
1
h2
BC (2 x) oJ
4
o J h 2
, para x>h/2
BC
8 x
* Dentro del cilindro (x<h/2)
C B d
o I'
2
BC (2 x) o J x 2
BC
o J
x , para x<h/2
2
Ahora, de teoría y teniendo en cuenta que
las densidades de corriente lineal (j) y super
ficial (J) están relacionadas así, j=J.dx, calcu
lemos el campo de inducción magnética de
la placa.
Fuera de la placa, el campo de inducción en
el punto C es:
1
1
dBP o j o J dx
2
2
BP
0
1 h /2
dBP J
dx
2 h /2
I'
1
BP o J h
2
11
Teoría de Campos
II) El campo de inducción magnética a la
distancia de x=5 cm del origen 0 es:
C
BP
D
BP
I
1
B ( o )(20)(0,05) o T A
2
x
0
h/2
x
h/2
III) El campo de inducción magnética a la
distancia de x=10 cm del origen 0 es:
1
B ( o )(40)(0,10) 2o T B
2
Dentro del cilindro, el campo de inducción
magnética en el punto D es:
x
h/2
1
1
BP o J
dx o J dx
h/2
x
2
2
IV) La distancia a la que el campo de induc
ción se reduce a la mitad del campo en la su
perficie es:
o
h
1
J h (1
) ( o J h)
2
4x
2 4
BP oJ x
Luego, del principio de superposición de
campos, el campo de inducción magnética
fuera y dentro de la cavidad son:
* Fuera de la placa, para x>h/2.
o J
o J h 2
B BP BC
h
2
8 x
B
o
h
J h (1
)
2
4x
* Dentro de la placa, para x<h/2.
B BP BC oJ x
B
o
Jx
2
x
h 20
6,6cm
3 3
D
P: 139
Sea, B 2,5sen( x / 2)e2y kˆ (T) hallar el
flujo magnético total " " que atraviesa la
franja z = 0, y y 0, 0 x 2 m.
a) 1,51 Wb
b) 1,53 Wb
c) 1,55 Wb
d) 1,57 Wb e) 1,59 Wb
Sol: 139
En el sistema de coordenadas rectangu
lar, representemos la franja.
z
o
Jx
2
B
y
0
I) El campo de inducción a la distancia de
x=22 cm del origen 0 es:
2
x
1
0,2
B ( o )(40)(0,2)[1
]
2
(4)(0,22)
B 3,1o T
A
El flujo magnético que pasa a través del área
de la franja, viene dado por:
B dS
S