02 Algebra - CONAMAT

Álgebra
A r t u r o A g u il a r M á r q u e z
Fa b iá n V a la pa i B r a v o V á z q u e z
H e r m á n A u r e l io G a l l e g o s R u iz
M i g u e l C e r ó n V il l e g a s
R ic a r d o R e y e s F ig u e r o a
R E V IS IÓ N T É C N IC A
Ing. Carlos Lozano So usa (M.Sc.)
I n s titu to T e c n o ló g ic o y d e E s tu d io s S u p e rio re s d e M o n te rre y
C a m p u s E s ta d o d e M é x ic o
Prentice Hall
M éxico • A rgentina • B rasil • C o lo m b ia • C o sta R ica • C hile • E cuador
E sp añ a • G u a tem ala • P an am á • P erú • Puerto R ico • U ruguay • V enezuela
/
C o l e g io N
D a to s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g rá f ic a
a c io n a l d e
M
a t e m á t ic a s
Álgebra
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-289-4
Área: Matemáticas
form ato: 20
X
25.5 cm
Páginas: 480
Todos los d e re c h o s reservados
E ditores:
E ditor de de sa rro llo :
Supervisor de producción:
L ilia M oreno O I vera
e-m ail: lilia.m oreno@ pearsoned.com
A le ja n d ro G óm ez R uiz
Ju a n Jo sé G a rc ía G uzm án
P R IM E R A E D IC IÓ N , 2009
D .R . © 2 0 0 9 por P earso n E d u cació n de M éxico, S A . d e C.V.
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ISBN : 978-607-442-289-4
P re n tice H a ll
es una m arca de
Im preso e n M éxico. P rin te d in M éxico.
PEARSON
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 0 9
Para los que enseñan y para los que aprenden
In g . A r t u r o S a n t a n a P i n e d a
El po der d e las m atem áticas
El que dom ina las m atem áticas
piensa, ra zo n a, a n a liz a y por ende
actúa con ló g ica en la vid a co tid ia n a,
por tanto, dom ina a l mundo.
In
g
. A
rtu ro
S
an tan a
P in e d a
Prefacio
l Colegio N acional de M atem áticas e s u n a in stitu c ió n q u e , d e s d e s u fu n d a c ió n , h a im p a rtid o c u r s o s d e
E
re g u la riz a c ió n e n la s á re a s d e M a te m á tic a s , F ísic a y Q u ím ic a , c o n re s u lta d o s a lta m e n te sa tisfa c to rio s.
E s p o r e llo q u e s u fu n d a d o r y d ire c to r g e n e ra l, e l In g e n ie ro A r tu r o S a n ta n a P in e d a , d e c id ió p la s m a r
y c o m p a r tir la e x p e rie n c ia a d q u irid a e n e s te lib ro q u e re c o p ila l o a p re n d id o e n to d o s e s to s a ñ o s y c u y o
p rin c ip io fu n d a m e n ta l e s q u e la p e r s o n a q u e a p re n d e m a te m á tic a s, p ie n s a , a n a liz a , ra z o n a y p o r ta n to a c tú a
c o n lóg ica.
A tra v é s d e e s t a in stitu c ió n y s u s d o c e n te s , s e h a lo g ra d o n o s ó lo re s o lv e r e l p ro b le m a d e re p ro b a c ió n
c o n e l q u e lleg a e l e s tu d ia n te sin o , ta m b ié n , c a m b ia r s u a p re c ia c ió n s o b r e la m a te ria , d e ta l fo rm a, q u e s e va
c o n v e n c id o d e q u e e s fá c il a p r e n d e r m a te m á tic a s y q u e p u e d e in c lu s o d e d ic a rs e a ellas. D e a h í q u e jó v e n e s
q u e h a n lle g a d o c o n se r io s p r o b le m a s e n e l á re a , u n a v e z q u e d e s c u b re n s u p o te n c ia l h a n d e c id id o e s tu d ia r
a lg u n a c a r r e r a afín .
D e e s t a form a, s e d e c id e u n i r á lo s d o c e n te s c o n m a y o r e x p e rie n c ia y tra y e c to ria d e n tro d e la in stitu c ió n
p a r a q u e c o n ju n ta m e n te e s c rib a n u n lib ro q u e le jo s d e p r e s u n c io n e s fo rm ales, m u e s tre la p a r te p rá c tic a q u e
r e q u ie r e u n e s tu d ia n te a l a p r e n d e r M a te m á tic a s y q u e le s irv a d e re fu e rz o p a r a lo s c o n o c im ie n to s a d q u irid o s
e n e l a u la .
Enfoque
E l lib r o tie n e u n e n fo q u e 100% p rá c tic o , p o r lo q u e la te o ría q u e s e tr a ta e s l o m á s b á s ic a p o sib le, s ó lo s e
a b o rd a n lo s c o n c e p to s e le m e n ta le s p a r a q u e e l e s tu d ia n te c o m p r e n d a y s e e je rc ite e n la a p lic a c ió n d e la te o ría
a n a liz a d a e n e l a u la , e n s u lib r o d e te x to y c o n s u profesor.
D e e s t a m a n e ra , s e p o n e m a y o r é n fasis e n lo s e je m p lo s, e n d o n d e e l e s tu d ia n te te n d r á la re fe re n c ia
p a ra re so lv e r lo s e je rc ic io s q u e v ie n e n a l fin a l d e c a d a te m a y p o d e r a s í re a fir m a r lo a p re n d id o . E s ta m o s
c o n v e n c id o s d e q u e e s u n a m a te ria e n l a c u a l e l ra z o n a m ie n to e s f u n d a m e n ta l p a ra s u a p re n d iz a je , sin
e m b a rg o , la p rá c tic a p u e d e lo g ra r q u e e s te ra z o n a m ie n to se d é m á s rá p id o y s in ta n ta d ific u lta d .
Estructura
E l lib r o e s t á fo rm a d o p o r d ie c is ie te c a p ítu lo s, lo s c u a le s lle v a n u n o r d e n e sp e c ífic o t o m a n d o e n c u e n ta
s ie m p re q u e e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s s e v a c o n s tru y e n d o , e s d e cir, c a d a c a p ítu lo s ie m p re v a lig a d o c o n
lo s c o n o c im ie n to s a d q u irid o s e n lo s a n te rio re s.
C a d a c a p ítu lo e s tá e s tru c tu ra d o c o n b a s e e n la te o ría , e je m p lo s y e je rcic io s p ro p u e sto s. L o s e je m p lo s s o n
d e sa rro lla d o s p a so a paso , d e tal fo rm a q u e e l le c to r p u e d a e n te n d e r e l p ro c e d im ie n to y p o ste rio rm e n te re so lv e r
tos e je rcic io s c o rre sp o n d ie n te s. L a s re s p u e s ta s a lo s e je rcic io s s e e n c u e n tra n a l final d e l libro, d e ta l fo rm a q u e e l
e stu d ia n te p u e d e v e rifica r s i lo s re so lv ió c o rre c ta m e n te y c o m p ro b a r s u a p re n d iz a je . P o r o tro la d o , e n a lg u n o s
c a p ítu lo s a p a re c e u n a se c c ió n d e p ro b le m a s d e a p lic ac ió n , la c u a l tie n e c o m o o b je tiv o h a c e r u n a v in c u la c ió n
c o n ca so s d e la v id a c o tid ia n a e n d o n d e s e p u e d e n a p lic a r lo s c o n o c im ie n to s a d q u irid o s e n c a d a te m a .
C o m o re c o m e n d a c ió n s e p ro p o n e q u e s e re su e lv a n lo s e je rc ic io s p re lim in a re s d e a ritm é tic a q u e s e
e n c u e n tra n e n u n a n e x o a l final d e l lib ro , a fin q u e e l le c to r h a g a u n d ia g n ó s tic o d e su s c o n o c im ie n to s
e n A ritm é tic a , lo s c u a le s s o n fu n d a m e n ta le s p a r a p o d e r in ic ia r e l a p re n d iz a je d e l Á lg e b ra . D e te n e r a lg ú n
p ro b le m a c o n d ic h o s e je rcic io s, s e re c o m ie n d a re to m a r lo s te m a s c o r re s p o n d ie n te s y c o n s u lta rlo s e n e l lib ro
d e A ritm é tic a .
V II
Pk f a c o
E l p r im e r c a p ítu lo a b o r d a la te o ría d e c o n ju n to s y lógica, te m a s c la v e e n e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s.
S e d a n d e fin ic io n e s b á sic a s, o p e ra c io n e s c o n c o n ju n to s , d ia g ra m a s d e V en n , p ro p o s ic io n e s ló g ic a s y a lg u n o s
p ro b le m a s d e a p lic ac ió n .
E n e l s e g u n d o c a p ítu lo s e p r e s e n ta n lo s c o n c e p to s b á s ic o s d e l Á lg e b ra , sim p lific a c ió n d e té rm in o s
se m ejan te s, le n g u a je alg e b raic o , o p e ra c io n e s c o n p o lin o m io s y a lg u n a s a p lic a c io n e s d e e s to s tem a s.
E n lo s c a p ítu lo s 3 y 4 , s e a n a liz a n lo s p ro d u c to s n o ta b le s y la fa c to riz a c ió n re sp e c tiv a m e n te , te m a s q u e
s o n h e rra m ie n ta s ú tile s e n e l d e s a rro llo d e lo s sig u ie n te s a p a rta d o s , p o r lo q u e s u e s tu d io d e b e s e r c o m p le to
p a ra p o d e r fa c ilita r e l a p re n d iz a je d e o tr o s te m a s. A m b o s c a p ítu lo s n o s lig a n d ire c ta m e n te a l c a p ítu lo 5,
frac c io n e s a lg e b raic as, e n e l c u a l s e in c lu y e n te m a s c o m o e l m á x im o c o m ú n d iv is o r y e l m ín im o c o m ú n
m últiplo, p a r a p a s a r a sí, a l e s tu d io d e la s frac c io n e s d e s d e s u sim p lific a c ió n h a sta s u s o p e ra c io n e s.
E l c a p ítu lo 6 , c o m p re n d e e c u a c io n e s d e p r im e r g ra d o , e n d o n d e e l o b je tiv o e s q u e e l e s tu d ia n te re su e lv a
e c u a c io n e s c o n u n a in c ó g n ita e n s u s d ife re n te s form as, y p u e d a lle g a r a u n a d e la s g ra n d e s a p lic a c io n e s q u e
tie n e e l Á lg e b ra : e l p o d e r re p re s e n ta r u n p ro b le m a d e la v id a re a l c o n u n a e c u a c ió n , la c u a l, a l re so lv e rla , d é
a> lu ció n a d ic h o p ro b le m a . A l final h a y u n a se c c ió n p a r a d e sp e je s d e fó rm u la s.
L a fu n c ió n lin e a l y a lg u n a s a p lic a c io n e s s e e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 7, p a r a d a r p a s o a lo s s is te m a s d e
tc u a c io n e s e n e l c a p ítu lo 8, e n e l c u a l s e v e n lo s m é to d o s p a r a re so lv e r u n s is te m a d e d o s y tre s e c u a c io n e s
c o n s u s resp ectiv o s p ro b le m a s d e a p lic a c ió n ; te rm in a e l c a p ítu lo c o n s o lu c ió n d e frac c io n e s p a rc ia le s.
E n e l c a p ítu lo 9 , s e e s tu d ia la p o te n c ia c ió n , d e s d e la s d e fin ic io n e s y te o re m a s b á s ic o s c o m o e l d e s a rro llo
d e b in o m io s e le v a d o s a u n a p o te n c ia “ n ” , y a s e a p o r e l te o re m a d e N e w to n o p o r e l d e triá n g u lo d e P a sc a l.
E n e l c a p ítu lo 10, s e sim p lific a n ra d ic a le s y s e re s u e lv e n o p e ra c io n e s c o n e llo s, d a n d o p a u ta a l c a p ítu lo 11
q u e c o r re s p o n d e a lo s n ú m e ro s c o m p le jo s c o n s u s u m a , re sta , m u ltip lic a c ió n y d iv isió n .
E l c a p ítu lo 12 c o rre s p o n d e a la s e c u a c io n e s d e s e g u n d o g ra d o — c o n s u s m é to d o s p a r a re so lv e rla s— ,
a p lic a c io n e s y s is te m a s d e e c u a c io n e s q u e c o n tie n e n e x p re sio n e s c u a d rá tic a s .
E n e l c a p ítu lo 13, e s tu d ia m o s la s d e sig u a ld a d e s lineales, c u a d rá tic a s , ra c io n a le s y c o n v a lo r a b so lu to .
L o s lo g a ritm o s s e in tro d u c e n e n e l c a p ítu lo 14, d e s d e s u d e fin ic ió n , fo rm a e x p o n e n c ia l, p ro p ie d a d e s ,
a p lic a c io n e s, e c u a c io n e s c o n lo g a ritm o s y e x p o n e n c ia le s , fo rm a n p a r te d e é s te c a p ítu lo .
E n e l c a p ítu lo 15, s e e s tu d ia n la s p ro g re sio n e s, a ritm é tic a s y g e o m é tric a s . A l final, s e d a u n a a p lic a c ió n
fin a n c ie ra c o n e l te m a d e in te ré s c o m p u e sto .
E l c a p ítu lo 16, a n a liz a e l t e m a d e m atrice s, la s c u a le s s e a b o r d a n p o r m e d io d e s u d e fin ic ió n , o p e ra c io n e s
y a p lic a c io n e s. T a m b ié n s e d a u n a in tro d u c c ió n a lo s d e te rm in a n te s.
E l c o n te n id o d e l c a p ítu lo 17, e s e l d e ra íc e s d e u n p o lin o m io , e n d o n d e s e e s tu d ia c ó m o o b te n e rla s , los
te o re m a s d e re sid u o y d e l factor, a s í c o m o la o b te n c ió n d e la e c u a c ió n d a d a s s u s raíces.
V III
A g rad e cim ie n to s
S e g ú n B e n ja m ín F ra n k l in, in v e rtir e n c o n o c im ie n to s p r o d u c e s ie m p re lo s m e jo re s intereses, p o r lo q u e e s p e ro
q u e o b te n g a s, a trav é s d e e s te libro, la s m á s g ra n d e s g a n a n c ia s p a r a tu fu tu ro p ro fe s io n a l.
A
D
ir e c t o r
G
rturo
Sa n t a n a P
eneral de
in e d a
CONAM AT
A m i m a d re p o r d a r m e la v id a y e n s e ñ a r m e a v iv irla , A n d re y p o r s e r y e s ta r c o n m ig o , C h e m a e H ir a m
los a lu m n o s q u e s e v o lv ie ro n m is h e rm a n o s , a m i fa m ilia (E c h e v e rría , P in e d a y S á n c h e z ), a la U N A M , a l
in g e n ie ro S a n ta n a , R o x lle g a ste a tie m p o , a lo s c u a tr o fa n tá stico s: H e rm á n , F a b iá n , R ic a rd o y M ig u e l, fue
u n p la c e r c o m p a r tir e s te tra b a jo . A m is a lu m n o s q u e fu e ro n y se rá n .
A
rturo
A
g u il a r
M
árquez
A m is p a d re s M a ría E le n a y A lv a ro , p o r b rin d a rm e la v id a , p o r s u s e n s e ñ a n z a s y c o n se jo s ; a m i e s p o s a e h ijo s
(A n a , L ia m y D a n iel), p o r q u e s o n la ra z ó n d e m i v id a y m i in sp ira c ió n ; a m is h e r m a n o s B e le m , A d a lid y
T a n ia p o r a p o y a rm e in c o n d ic io n a lm e n te y so b re to d o a m is c o m p a ñ e ro s y am igos: R ic a rd o , M ig u e l, A r tu r o
y H e rm á n .
F a b iá n V a l a p a i B ravo V á z q u e z
A E li y J o s é F e rn a n d o q u e s o n e l m o to r d e m i v id a y q u e s e h a n sa c rific a d o co n m ig o ; a m is q u e rid o s p a d re s
H e rm á n y M a rb e lla , a m is h e rm a n o s F e r y L alo ; a la m e m o ria d e m i q u e rid o tío C é s a r (q .e .p .d .); a m i tía
B lan c a; a m is p r im o s C é s a r y B la n q u ita ; a l In g e n ie ro A r tu r o S a n ta n a y m is c o m p a ñ e ro s : F a b iá n , A rtu ro ,
M ig u el y R ic a rd o q u e s in e llo s n o h u b ie s e s id o p o s ib le re a liz a r e s te libro.
H
erm án
A . G
allegos
R u iz
A to d a m i fa m ilia m u y e n e s p e c ia l a L u p ita y A g u s tín , p o r h a b e rm e d a d o la v id a y s e r u n e je m p lo a se g u ir;
a m is h e r m a n o s E liz a b e th y H u g o p o r q u e re rm e y s o p o rta rm e . Q u ie ro a d em ás, re c o n o c e r e l e s fu e rz o d e m is
a m ig o s y c o m p a ñ e ro s A rtu ro , F a b iá n , H e rm á n y R ic a rd o c o n q u ie n tu v e la o p o r tu n id a d d e v e r c r is ta liz a d o
e ste su e ñ o .
M
ig u e l
C
erón
V
il l e g a s
A m is p a d re s R o sa y G e ra rd o , p o r d a r m e la v id a; a m is h e rm a n o s Ja v ie r, G e ra rd o y A r tu r o ; u n e sp e c ia l
a g ra d e c im ie n to a m i e s p o s a M a . M e rc e d e s; a m is h ijo s R ic a rd o y A lia n p o r s u sa c rificio , c o m p r e n s ió n y
to le ra n c ia ; u n re c o n o c im ie n to a m is a m ig o s H e rm á n , A r tu r o A ., F a b iá n , M ig u e l, R o x a n a y A r tu r o S. p o r
h a c e r re a lid a d n u e s tro s u e ñ o .
R ic a r d o R
eyes
F ig u e r o a
U n a g ra d e c im ie n to e sp e c ia l a lo s a lu m n o s q u e to m a r o n c la s e c o n a lg u n o d e n o so tro s, y a q u e g ra c ia s a e llo s
lo g ra m o s a d q u ir ir l a e x p e rie n c ia p a r a p o d e r e s c rib ir e s te libro.
L o s AUTORES
IX
A c e rc a d e los autores
A rtu ro A g u ila r M árq u ez . L le g ó c o m o e s tu d ia n te a C o le g io N a c io n a l d e M a te m á tic a s , d e s a rro lló h a b ilid a d e s
y a p titu d e s q u e le p e r m itie r o n in c o rp o ra rs e a l a p la n tilla d e d o c e n te s d e la In stitu c ió n . R e a liz ó e s tu d io s d e
A c tu a ría e n l a F a c u lta d d e C ie n c ia s d e la U n iv e rsid a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o y h a im p a rtid o c la se s
de M a te m á tic a s p o r m á s d e 11 a ñ o s e n C O N A M A T .
F a b iá n V alapai B ravo V ázq u ez. D e s d e m u y te m p r a n a e d a d , c o n la p re p a r a c ió n d e p ro fe s o re s d e C O N A M A T ,
p a rtic ip ó e n c o n c u rs o s d e m a te m á tic a s a n iv el n a c io n a l. P o ste rio rm e n te , s e in c o r p o ró a la p la n tilla d o c e n te
d e la m is m a in stitu c ió n d o n d e h a im p a rtid o la m a te ria d e M a te m á tic a s d u ra n te 12 a ñ o s . A l m is m o tie m p o ,
e s tu d ió la c a rre ra d e D is e ñ o G rá fic o e n la E s c u e la N a c io n a l d e A r te s P lásticas.
H e rm á n A u re lio G alleg o s R u iz . S e in ic ió c o m o p ro fe s o r e n C O N A M A T . R e a liz ó e s tu d io s e n la E sc u e la
S u p e rio r d e F ísic a y M a te m á tic a s d e l In s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l y A c tu a ría e n la F a c u lta d d e C ie n c ia s
d e la U n iv e rs id a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o . H a im p a rtid o c la s e s d e M a te m á tic a s y F ísic a p o r m á s d e
15 a ñ o s e n C o le g io N a c io n a l d e M a te m á tic a s.
M iguel C e ró n V illegas. E s e g re sa d o d e la U n id a d P ro fe sio n a l In te rd isc ip lin a ria d e In g e n ie ría y C ie n c ia s
S o c iale s y A d m in is tra tiv a s d e l In s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l, re a liz ó e s tu d io s d e In g e n ie ría In d u s tria l y tie n e
m á s d e 15 a ñ o s d e e x p e rie n c ia e n d o c e n c ia .
R icardo R eyes F ig u e ro a . In ic ió s u tra y e c to ria e n l a d is c ip lin a d e la s M a te m á tic a s to m a n d o c u rs o s e n
C O N A M A T . D e ja n d o v e r s u g ra n c a p a c id a d p a r a tra n s m itir e l c o n o c im ie n to , s e in c o r p o ra c o m o d o c e n te e n
la m is m a in stitu c ió n d o n d e h a im p a rtid o la m a te ria d e M a te m á tic a s y F ísic a d u r a n te 19 a ñ o s. R e a liz ó s u s
e stu d io s d e M a te m á tic a s e n la E s c u e la S u p e rio r d e F ísic a y M a te m á tic a s d e l In s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l,
y d e M a te m á tic a s P u ra s e n la U n iv e rsid a d A u tó n o m a M e tro p o lita n a .
XI
C o ntenid o
Álgebra
C a p ítu lo
1 Conjuntos y lógica
Sim bología, 4 . Conjuntos, 5 . Conjuntos d e números, 6 . Tipos d e números, 6 . Escritura y representación
d e conjuntos, 7 . C ard in alid a d , 8 . Conjuntos equivalentes, 9 . C onjuntos ¡guales, 1 0 . Conjuntos disjuntos,
1 0 . Subconjuntos, 1 1. Conjunto p o ten cia, 1 1. C onjunto universo, 1 2 . Diagram as de Venn, 1 2 . Unión de
conjuntos, 1 4 . Intersección de conjuntos, 1 5 . Conjunto complemento, 1 7 . D iferencia de conjuntos, 19.
O peraciones d e conjuntos con diagram as d e Venn, 2 1 . Á lgebra d e conjuntos, 2 8 . Lógica, 2 9 . Tipos de
pro p o sicio n es, 3 0 . Proposiciones compuestas, 3 0 . leyes de D e M organ, 3 3 . Proposiciones condicionales,
3 3 . Relación d e proposiciones abiertas con conjuntos, 3 4 . C álcu lo proposicional, 3 8 . Construcción d e las
tablas d e verd ad, 4 0 . Producto cartesiano d e conjuntos, 4 3 .
C a p ítu lo
2 Conceptos básicos de álgebra
Á lg eb ra, 4 6 . Expresiones alg eb ra ica s, 4 6 . Reducción d e términos sem ejantes, 4 6 . Valor num érico, 4 8 .
Lenguaje a lgeb raico, 5 0 . Polinomios, 5 2 . Suma, 5 2 . Resta, 5 4 . Signos d e ag rupación, 5 6 . Reglas p a ra
suprimir los sig n o s d e ag ru pació n , 5 6 . M ultiplicació n, 5 8 . División, 6 3 . Ley d e los exp onentes p a ra la
división, 6 4 .
C a p ítu lo
3 Productos notables
Definición, 7 4 . C u a d ra d o d e un binomio, 7 4 . C u a d ra d o de un trinomio, 7 5 . Binomios conjugados, 7 7 .
Productos d o n d e s e ap lica n binom ios co n ju g a d o s, 7 8 . Binomios con término común, 8 0 . C u b o d e un
binomio, 8 3 . M ultiplicaciones que se resuelven con la ap licación d e productos notables, 8 4 .
C a p ítu lo
4 Factorización
Definición, 8 8 . Factor común, 8 8 . Factor común por agrupación d e términos, 8 9 . Diferencia de cuadrados,
9 1 . Trinomio cuad rad o perfecto, 9 2 . Pasos p a ra factorízar un trinomio cu ad rad o p erfecto , 9 2 . Trinomio de
la forma x 2 + b x + c , 9 5 . Trinomio d e la forma a x 2 + b x + c, 9 8 . Por agrupación d e términos, 9 9 . C a so s
esp eciales, 1 0 0 . Sum a o diferencia de cubos, 1 0 2 . Sum a o diferencia de potencias impares iguales, 1 0 4 .
Factorización que com bina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados, 1 0 5 . Factorización
para completar el trinomio cuadrado perfecto, 1 0 6 . Expresiones alg eb raicas donde se utilizan dos o más
caso s, 1 0 7 . Descomposición en factores de un polinomio por división sintética, 1 0 8 .
C a p ítu lo
5 Fracciones alg eb raicas
M áxim o común divisor (M C D ), 1 1 2 . M ínim o común múltiplo |mcm), 1 1 2 . Sim plificación d e fracciones
alg eb raicas, 1 1 4 . Sum a y resta d e fracciones con denom inador común, 1 1 6 . Sum a y resta d e fraccio ­
nes con denominadores diferentes, 1 1 7 . M ultiplicación de fracciones alg eb raicas, 1 2 1 . División d e frac­
ciones alg eb raicas, 1 2 3 . Com binación de operaciones con fracciones, 1 2 5 . Fracciones complejas, 1 2 7 .
C a p ítu lo
6 Ecuaciones de prim er g rado
Conceptos generales, 1 3 2 . Ecuaciones de primer grado con una incógnita, 1 3 2 . C o n signos d e agrupación
y produ ctos indicados, 1 3 5 . Fraccionarias, 1 3 7 . C o n valor absoluto, 1 4 0 . C o n literales, 1 4 2 . Problemas
sobre números, 1 4 3 . Problemas sobre e d ad e s, 1 4 6 . Problemas sobre m ezclas, 1 4 7 . Problemas sobre
X III
C O J TINCO
monedas, 1 4 9 . Problemas sobre costos, 1 5 0 . Problemas sobre el tiempo requerido para realizar un trabajo,
15 2 . Problemas sobre com paración d e distancias y tiempos, 1 5 4 . Problemas d e ap licació n a la geometría
plana, 1 5 6 . Despejes de fórmulas, 1 5 8 .
C a p ítu lo
7 Función lineal
Plano cartesiano, 1 6 2 . Localización d e puntos, 1 6 2 . Función, 1 6 3 . Constante, 1 6 3 . £ cu ac/ó n x = k, 1 6 3 .
lineal, 1 6 4 . G en eralidad es, 1 6 5 .
C a p ítu lo
8 Sistem as de ecuaciones
Ecuación lin eal, 1 7 4 . Solución d e una e cu a ció n lineal, 1 7 4 . G rá fic a , 1 7 6 . Sistem a d e dos ecuaciones
lineales con dos variables, 1 7 8 . M éto d o s d e solución, 1 8 0 . Sistema de dos ecuaciones que se reducen a
lineales, 1 9 2 . M étodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables, 2 0 1 . Reducción
(suma y resta), 2 0 1 . Determinantes, 2 0 6 . Descomposición d e una fracción a lg e b ra ica en sum a d e fracciones
parciales, 2 0 9 .
C a p ítu lo
9 Potenciación
Definición, 2 1 8 . h o re m a s d e los exponentes, 2 1 8 . Potencia d e un binomio, 2 2 7 . Factorial d e un número,
2 2 7 . Binom io d e N ew to n , 2 2 7 . C á lcu lo d e l i-ésimo término, 2 3 0 . Triángulo d e Pascal, 2 3 1 .
C a p ítu lo
1 0 R ad icación
Radical, 2 3 4 . Elementos d e un ra dical, 2 3 4 . R a íz p rin cip a l d e un radical, 2 3 4 . Radical com o exponente,
2 3 4 . Teoremas, 2 3 5 . Representación de un exponente fraccio n ario com o ra d ic a l, 2 3 6 . Teoremas, 2 3 7 .
C álcu lo d e raíces, 2 3 8 . Simplificación, 2 4 0 . Introducción de factores, 2 4 2 . Sum a y resta, 2 4 4 . M ultiplicación,
2 4 6 . C o n ín dices diferentes, 2 4 8 . División, 2 4 9 . C o n ín dices ¡guales, 2 4 9 . C o n ín dices diferentes, 2 5 0 .
Racionalización, 2 5 1 . Racionalización del denominador d e una fracción, 2 5 1 . Racionalización del numerador
de una fracción, 2 5 4 .
C a p ítu lo
1 1 Números complejos
la m e ro s im aginarios, 2 5 8 . N úm ero im aginario pu ro, 2 5 8 . Sum a y resta, 2 5 9 . Potencias d e i, 2 6 0 . M ulti­
p lica ción y división, 2 6 1 . Números com plejos, 2 6 3 . Sum a y resta, 2 6 4 . M ultiplicación p o r un esca la r, 2 6 5 .
M ultiplicación, 2 6 7 . División, 2 6 9 . Representación grá fica , 2 7 0 . \6lor absoluto o m ódulo, 2 7 2 . C onju gado,
273.
C a p ítu lo
1 2 Ecuaciones de segundo g rado
Definición, 2 7 8 . Solución de una ecuación d e segundo g rad o com pleta, 2 7 8 . Fórmula gen eral, 2 8 1 . Factorización, 2 8 4 . Solución d e una ecuación de segundo grad o incompleta, 2 8 6 . M ixta s, 2 8 6 . Puras, 2 8 7 .
Función cu ad rática, 2 9 3 . A nálisis d e u na función cuadrática, 2 9 3 . Relación entre las ra íces d e u na ecu ación
de se g u n d o g ra d o , 2 9 6 . Deducción de una ecuación d e segundo g rad o dad as las raíces, 2 9 8 . Ecuaciones
con radicales, 2 9 9 . Sistema d e ecuaciones cuadráticas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a
de ecu aciones cuadráticoJineal con d o s incógnitas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a de
cbs ecu aciones cuadráticas, 3 0 2 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a cuadrático mixto, 3 0 2 .
C a p ítu lo
1 3 Desigualdades
Definición, 3 0 6 . Propiedades d e la s desigualdades, 3 0 6 . Desigualdad lineal con una variable, 3 0 7 . Desigual­
d a d cuad rática con una variable, 3 1 0 . M é to d o p o r ca sos, 3 1 0 . M é to d o p o r intervalos, 3 1 0 . M é to d o gráfico,
3 1 3 . D esigualdad racional, 3 1 5 . M é to d o p o r c a so s, 3 1 5 . M é to d o p o r intervalos, 3 1 8 . D esigualdad que
X IV
C C N TE N D O
tiene la expresión (x - a ) (x - b) ( x - c ) ..., 3 2 0 . D esigualdades con valor absoluto, 3 2 1 . C a so s esp e cia le s de
d esigualdades con valor absoluto, 3 2 2 . G rá fic a d e una desigualdad lineal con dos variables, 3 2 4 . Sistema
de desigualdades lineales con dos variables, 3 2 6 .
C a p ítu lo
1 4 Logaritmos
Definición, 3 3 0 . A p lica ció n d e la definición d e logaritmo, 3 3 1 . Propiedades, 3 3 2 . A plicación d e las propie­
d ades p a ra el desarrollo de expresiones, 3 3 3 . Ecuaciones logarítm icas, 3 3 8 . Ecuaciones exponenciales,
340.
C a p ítu lo
1 5 Progresiones
Sucesión infinita, 3 5 2 . Suma, 3 5 4 . Progresión aritmética o sucesión aritmética, 3 5 5 . Fórmula p a ra determinar
el n-ésimo término en u na progresión aritmética, 3 5 6 . Fórmulas p a ra determ inar e l prim er término, núm ero de
términos y la razón, 3 5 7 . Sum a d e los n prim eros términos en u na progresión aritmética, 3 6 0 . Interpolación
de m edios aritméticos, 3 6 3 . M e d ia aritm ética o p ro m ed io aritmético, 3 6 4 . Progresión geom étrica o sucesión
geom étrica, 3 6 5 . Fórmula p a ra obtener e l n-ésimo térm ino en una p ro g resió n geo m étrica , 3 6 6 . Fórmulas
p a ra obtener e l I a término, núm ero d e términos y la razón, 3 6 8 . Sum a d e los n prim eros términos d e una
progresión geom étrica , 3 7 1 . Progresión geo m étrica infinita, 3 7 4 . Interpolación d e m edios geom étricos, 3 7 6 .
Interés com puesto, 3 7 8 . D e p re d a ció n , 3 8 1 .
C a p ítu lo
1 6 M atrices
Definición, 3 8 4 . O rd en d e una matriz, 3 8 4 . N jm e ro d e elem entos d e una matriz, 3 8 5 . Tipos d e matrices,
3 8 5 . M ultiplicació n p o r un e sc a la r, 3 8 8 . Sum a, 3 8 9 . Resta, 3 9 1 . M ultiplicación, 3 9 3 . Propiedades de
las m atrices, 3 9 4 . Determinantes, 3 9 5 . S e a la matriz d e orden 2 , 3 9 5 . S eo la matriz d e orden 3 , 3 9 6 .
Propiedades, 3 9 6 . M atriz inversa, 3 9 8 . M é to d o d e Gauss-Jordan, 3 9 8 . Inversa d e una matriz para resolver
sistemas de ecuaciones, 4 0 0 .
C a p ítu lo
1 7 Raíces de un polinomio
Teorema del factor y del residuo, 4 0 4 . Raíces, 4 0 5 . C álcu lo d e las ralees p o r división sintética, 4 0 8 . Regla
ab los signos d e D esca rtes, 4 0 8 .
Solución a los e je rcicio s, 41 3.
A n e xo : E jercicios p re lim in a re s , 4 5 5 .
X V
Álgebra
C
C
a p ít u l o
]
o n ju n t o s y l ó g ic a
Teoría d e co n ju n to s
eorg Cantor fue un matemático alemán,
quien con Dedekind inventó la teoría
de conjuntos, base de las matemáticas
modernas. G racias a la presentación axiomáti­
ca de su teoría de los conjuntos, fue el primero
cap az de formalizar la noción de infinito, bajo
la forma de números transfinitos (cardinales y
ord i na les).
G
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no siempre tienen el mismo
tamaño, el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es
enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales,
mientras que el de los reales no lo es: existen, por tanto, varios infinitos,
más grandes los unos que los otros.
L ó g ic a m a tem á tica
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demos­
tración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que
“ nos convenciera-, en que se presentara como evidente a nuestra mente
y lo aceptáramos como válido. Ésta era, por ejemplo, la forma de entender
la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).
Se cita, como ejemplo, la frase del matemático francés Jean Marie Duhamel (1797-1 8 7 2 ): “El razonamiento se hace por el sentimiento que nos
produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma
o regla alguna-.
Giuseppe Pea no (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar
y, en esencia, defendía que “el valor de una demostración, de un proceso
argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie,
sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente
comprobable-.
Para Peano la lógica matemática era, realmente, la lógica de la matemá­
tica, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las
argumentaciones del quehacer de la matemática.
G e o rg C an to r (1845-1918)
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Sim bología
É stos so n los sím bolos q u e s e utilizarán e n e l capítulo:
{ } C onjunto.
€
E s un ele m en to d e l conju n to o pertenece a l conjunto.
e
N o es un ele m en to d e l c o n ju n to o no pertenece a l conjunto.
I
T al que.
n ( C ) C ard in alid ad d e l c o n ju n to C.
U
C onjunto universo.
<t>
C onjunto vacío,
c
S ubconjunto de.
<=
S ubconjunto propio de.
<Z
N o es su b co n ju n to p ro p io de.
>
M ayor que.
<
M enor que.
>
M ayor o igual que.
<
M e n o r o igual que.
n
In tersecció n de conjuntos,
u
U nión de conjuntos.
A'
C om plem ento d e l con ju n to A.
=
S ím bolo de igualdad.
*
N o e s igual a.
E l c o n ju n to continúa.
=>
E ntonces.
<=>
Si y só lo si.
N o (es fa ls o que).
a
y
v
o
4
_________________________________________________________________________________________________________________________ C a p í t u l o
1
Conjuntos y lógica
Conjuntos
U n con ju n to e s una c o le cc ió n de co sa s u o b je to s c o n cara cte rística s definidas. L os conjuntos se re p re se n tan c o n letras
m ayúsculas y su s elem entos se delim itan co n llaves y se p a ra n co n com as.
Ejem plos
a ) E l c o n ju n to de las vocales.
A = { a, e, i, o, u }
b) E l c o n ju n to de los dígitos.
B = { 0, 1 ,2 , 3, 4, 5 ,6 , 7 , 8 , 9 }
c ) E l c o n ju n to de los núm eros naturales.
N = { 1 ,2 , 3, 4 , 5 , 6 , . . . }
O bservació n : los puntos suspensivos indican q u e e l c o n ju n to c o n tin ú a y que los e le m en to s siguientes co n se rv a n la
m ism a característica.
d ) E l c o n ju n to de los d ías de la sem ana.
S = (lunes, m artes, m iércoles, jueves, viernes, sábado, dom ingo}
é ) E l c o n ju n to de los núm eros naturales en tre 5 y 10.
P = [ 6, 7, 8 ,9 }
Para in dicar que un ele m en to pertenece o no a un conju n to se utilizan los sím bolos e y í .
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • S e a el c o n ju n to A = { a , e , i, o , u }, e n to n c es
u pertenece a l c o n ju n to A y se representa u e A.
x no pertenece a l conju n to A y se re p re se n ta x «éA.
2 ••
Sea el c o n ju n to B =
{2 ,3 , 4, 5,
8, 9 , 10 }, entonces
2 € f í , 5 € f í , 1 e B , 11 t B
EJE ÍC IC IO 1
Dados tos conjuntos: A - {a , e, i, o , u } y 8 - {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } coloca e o e seg ún corresponda:
1. a
___ _
2. c
___ _ A
B
3. 2 ___ __ B
___ A
8. o _
___ B
9. e
4. 3 ___ __A
5. u
7.
_ ___ A
10. 8 _
___ __A
11. b
6 . 5 _______B
_ ___ B
12. 1 _
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ía n te i
5
___ B
__ A
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Conjuntos d e números
O N úm eros n a tu ra le s: N = { 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 ...}
O N úm eros e n te ro s: Z = { ...
- 3 , - 2 , - 1 , 0, 1 ,2 , 3, ...}
O N úm eros racio n ales: Q = \ x \ x = — , p , q e Z , q * 0 \
l
J
Ejem plos
O N úm eros irra c io n ale s. N úm eros q u e no pueden expresarse co m o el cociente de dos núm eros enteros.
Ejem plos
s¡2 , l [ 5 , l ¡ 6 4 ,e ,
O N úm eros reales. Es la unión de los núm eros racionales c o n los ¡n acionales.
Tipos d e números
O N úm eros d íg ito s. Form an la base d e l siste m a decim al
0, 1 ,2 , 3 ,4 , 5, 6, 7, 8 ,9
O N úm ero p ar. Son los divisibles en tre 2.
Ejem plos
ú 2 ,4 , 6, 8, 10, 12, 14, 1 6 ,...
O N úm ero im par. Son los n o divisibles en tre 2.
Ejem plos
1, 3 ,5 , 7 , 9 ,1 1 , 1 3 ,1 5 , 17, 1 9 ,...
O N úm ero p rim o . Sólo tien e dos divisores, en tre s í m ism o y la unidad.
Ejem plos
2 ,3 , 5, 7 ,1 1 , 13, 17, 1 9 ,...
O N úm ero co m p u esto . T iene dos o m ás divisores prim os.
Ejem plos
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . ..
O M últiplo d e u n n ú m ero . E l m últiplo d e un núm ero k , e s n k , donde n e s un natural.
Ejem plos
M últiplos d e 3: 3 ,6 , 9, 12, 15, 18, ...
M últiplos d e 5: 5, 10, 15, 20, 2 5 , 30, . ..
6
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
Escritura y rep resentación de conjuntos
Los conjuntos se re p re se n tan de dos form as:
<
F o rm a d esc rip tiv a o p o r c o m p ren sió n . Se hace m ención a la ca ra c te rís tic a p rin cip al de los e le m en to s del
conjunto.
EJEM PLOS
• • R ep resen ta e n form a descriptiva e l con ju n to S = { x e N I x e s d ivisor de 6 }.
S olución
Este conju n to s e lee:
x pertenece a l c o n ju n to de los núm eros naturales, ta l q u e .r e s un divisor d e se is.
x e s una variable que cum ple co n la s características d e l conju n to S.
2 • • • Si Q = [2, 3, 5 ,7 , 11} rep resen ta s u
form a descriptiva.
S olución
Q = [q € N I q e s prim o m enor que 12}
O F orm a e n u m e ra tiv a o p o r e x ten sió n . Se e n lista n los elem entos d e l conjunto, s i a lg ú n ele m en to se repite s e
co n sid era una so la vez.
Ejemplos
EJEM PLOS
• • R ep resen ta e n form a en um erativa e l c o n ju n to M = {m e. N \ m < 5 ) .
S olución
E l con ju n to se lee:
los núm eros naturales que s o n m enores que 5 y s u representación e n form a en u m erativa es:
M = { 1 ,2 , 3 ,4 }
2
• • R e p r e s e n t a e n form a en um erativa e l conjunto: A = [ x e Z l x + 8 = 1 0 } .
S olución
Este c o n ju n to lo fo rm an los núm eros en tero s que sum ados c o n 8 d a n co m o resu lta d o 10, por tanto, s u form a e n u m e ­
rativa es:
A = {2}
Ya q u e 2 + 8 = 10
7
1
C a p ít u l o
Á lgebra
EJE R C IC IO 2
Transforma a la fo rm a descriptiva o enum erativa lo s sig uientes conjuntos:
1. R = { 1 , 2 ,5 , 10 }
2. A = { at€AM 1 < at< 9 }
3.
{ jce^V lA T + 3 = 7 }
4. C = [ 1 ,2 , 4, 5, 1 0 ,2 0 }
5. V = [ y e Z \ - 2 < y < 3 }
6. Q = { x Ix es una vocal de la p alab ra núm ero }
7. T = [ x e s u n dígito de la c ifra 4 5 3 4 2 5 }
8. 5 = { Ares u n d íg ito prim o de la c ifra 7 2 9 6 3 4 }
9. U = [ 4 , 8 , 12, 1 6 , . . . }
10. M = { x € N \Ares divisor par de 5 0 }
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
C a rd in a lid a d
E s e l núm ero de elem entos que contiene un conjunto.
Ejem plo
¿C u ál e s la c ard in alid ad del c o n ju n to A = { at Ix e s co m p u e sto m enor que 10, x e N } ?
S o lu ció n
E l conju n to A, e n form a enum erativa, es:
A = { 4, 6, 8, 9 }
E ntonces s u c ard in alid ad e s 4 y s e denota: rt(A) = 4
C o n ju n to finito. Es a q u e l con ju n to co n c ard in a lid a d definida.
Ejem plo
¿ E l c o n j u n t o B = { x I A res u n d í a de l a s e m a n a } e s fin ito ?
S o lu ció n
E l conju n to B e n form a en u m erativa es:
B = ( lunes, m artes, m iércoles, ju ev es, viernes, sábado, d o m in g o }
El conju n to tien e 7 elem en to s, e s d e cir s u c ard in alid ad está definida, por tan to e s finito.
C o n ju n to infinito. Es a q u é l c u y a c ard in alid ad no está definida, por se r d e m a siad o grande p a ra cu an tificarlo .
Ejem plo
¿ E l c o n ju n to C = { x s N I Ares m últiplo de 3 } e s infinito?
S o lu ció n
E l conju n to C e n s u form a en um erativa es:
C = { 3 , 6 , 9 , 12, 1 5 ,... }
8
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
EJ con ju n to co n tin ú a indefinidam ente, no s e puede d ete rm in a r s u núm ero de elem en to s, por tanto, s u c ard in alid ad es
infinita y se escribe com o:
n ( C ) = «o
C o n ju n to vacío o nulo. E s a q u e l que carece de elem entos y se d en o ta c o n e l sím b o lo <|>o b ien { }.
EJEM PLOS
1
• • ¿ E l c o n ju n to D = { * G W I 2 r - l = 0 } e s vacío?
S olución
El único valor de x que sa tisfac e la igualdad e s -
pero no pertenece a l conju n to de los núm eros naturales, por tanto,
d c o n ju n to D e s vacío.
D = { } = <|>s u c ard in alid ad e s n (D ) = 0
2
••
¿El c o n ju n to E
= {x I.r e s u n núm ero par e im par } e s v acío ?
Solución
El c o n ju n to E e s vacío, y a que n o hay ningún núm ero que s e a par e im par a la vez.
E JE R C IC IO 3
Encuentra la cardinalidad d e b s sig uientes conjuntos:
1. A = { x e N \ x e s \ i n divisor d e 30 }
2. B - { x es v ocal de la palabra c a s a }
3. S = { x I x es una e sta c ió n d e l añ o }
4. R = [ x e N \ x + 3 = 1 |
5. Q = { x e N \ x > 6 )
6. T = {
x g
R \
x
= 6 )
7. M = { x < = N \ x < 1 }
8. L - { * € N I .* es p ar divisor de 2 0 }
9. J = { x € s n atural }
10.
O = {x I x e s un mes d e l añ o }
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Conjuntos equivalentes
Sean A y B conjuntos no vacíos, se d ice que A e s equivalente a B s i y só lo s i tie n e la m ism a c ard in alid ad ; se denota:
A = B y se lee A e s equivalente a B.
Ejem plo
Si A = [ x e N \ x e s d ivisor de 6 } y B = { a, e, i, o ) c o m p ru e b a que A e s equivalente a B.
Solución
Las cardinalidades so n : n ( A ) = 4, n (B ) = 4 , por tanto, se concluye que am bos so n equivalentes. A = B.
9
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Conjuntos iguales
S on aquellos que tie n e n la m ism a c ard in alid ad y los m ism os elem en to s.
Ejem plo
¿S o n iguales los c o n ju n to s A = { x € N I * e s divisor d e 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 )?
S o lu ció n
L o s conjuntos e n s u form a en u m erativa son:
A = { l , 2 , 3 , 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
Sus cardinalidades so n : n (A ) = n (B ) = 4
A m bos tienen la m ism a cardinalidad y los m ism os elem entos, por tanto, los conjuntos so n iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
S on aquellos que no tie n e n elem entos com unes.
Ejem plo
¿S o n disjuntos los c o n ju n to s R = { x e N \ x e s d ivisor de 5 } y S = { x e N \ 2 < x < 5 }?
S o lu ció n
L o s conjuntos e n s u form a en u m erativa son:
R = { 1 ,5 , } y 5 = { 3, 4, }
L os conjuntos no tie n e n elem entos e n com ún, por tanto, los c o n ju n to s R y S so n disjuntos.
EJE R C IC IO 4
Sean tos conjuntos:
A ={x<=N\x<5 }
D = { 1, 2, 4, 8 }
B = { x € N I x es divisor de 8 }
E = [a, e, i, o )
C = { 1, 2, 3, 4 }
F = { x I x es una vocal de la p alab ra m urciélago }
Verifica si son eq uivalentes, iguales o disjuntos lo s siguientes p ares d e conjuntos:
1. A y C
2. D y E
3. B y F
4. F y D
5. A y D
6. E y B
7. C y E
8. F y C
9. A y F
10. B y D
V# rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
10
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
Subcon ¡untos
D ado un c o n ju n to S s e dice q u e >4 e s su b co n ju n to de S, s i todos los ele m en to s de A están contenidos e n e l con ju n to S
y s e d en o ta por A c S. E l conju n to vacío e s subconjunto d e cualquier conjunto.
Ejem plo
D ados los c o n ju n to s S = {x IA res d íg ito } y A = { 2, 4 ,6 , 8 }, v erifica que A c 5.
S o lu ció n
El c o n ju n to S e n form a en u m erativa e s: S = { 0, 1 ,2 , 3, 4, 5 ,6 , 7, 8, 9 }
L os elem entos de A están co n te n id o s e n 5, por tan to , A c S .
S ubco n ju n to p ro p io . D ad o s d o s c o n ju n to s A y B, s e d ice q u e B e s su b co n ju n to propio de A s i todos los ele m en to s de
B e s tá n e n A y no so n equivalentes.
Ejem plo
Sean los co n ju n to s L = { 2 ,4 , 5, 6, 8 } y M = { 2, 4 , 6 }, verifica que M <zL.
Solución
Los elem entos de M e stá n contenidos e n L , y M no e s equivalente a L, por co n sig u ien te, A/ <= L.
N úm ero d e su b co n ju n to s d e u n co n ju n to . E l núm ero de subconjuntos e s tá dad o por la fórm ula:
N( s ) = 2" c o n ti = cardinalidad
Ejem plo
D eterm ina e l núm ero de subconjuntos d e l conjunto:
R = { a , b, c , d }
Solución
L a c ard in alid ad d e l conju n to e s 4, en to n ces n = 4 y a l a p lic ar la fórm ula se obtiene:
N úm ero de su b c o n ju n to s = 2 4 = 16
Conjunto potencia
Se le llam a a s í a l con ju n to que form an todos los subconjuntos de un conjunto.
Ejem plo
E ncuentra e l conju n to p otencia de:
T = { 2, 4, 6 }
Solución
El núm ero de subconjuntos de T es:
N( s) = 23 = 8
El c o n ju n to p otencia e stá form ado por 8 subconjuntos de ce ro , uno, dos y tres elem en to s, los cuales son:
{{ } ’{ ^ }* { 4 } , { 6 } , { 2 ,4 } , { 2,6 } , { 4,6 } , { 2,4,6 } }
11
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Conjunto universo
S ean A, B, C , . .., subconjuntos de un con ju n to U, a este últim o s e le llam a conju n to universo de los co n ju n to s dados.
Ejem plo
S e a U = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 ,5 , 6, 7 ,8 , 9 } y los c o n ju n to s A, B y C ta le s que:
A = [ 2 , 4 , 6 , 8 ) , B = [ 1 , 2 , 3 , 4 } y C = { 1, 2, 6 , 7 )
C o m o A ( z U, B c z U , C c U , sien d o í / e l con ju n to universo.
EJE R C IC IO 5
Resuelve b q u e se indica e n b s sig uientes ejercidos:
1. Si W = { x , y, z }, halla e l núm ero de subconjuntos de W.
2.
Si T = { x g N I1 < x < l }, d ete rm in a e l núm ero de su b c o n ju n to s de T.
3.
Si A = { x e N I x es p ar m enor que 10 }, halla e l núm ero de subconjuntos de A.
4. Sea el c o n ju n to L = { a ,fi, 6 }, d ete rm in a e l c o n ju n to potencia.
5. Sea el c o n ju n to M = [ a , c, e , f ) , d ete rm in a e l c o n ju n to potencia.
6. Sea el c o n ju n to N = { 1 ,2 ,3 ,6 }, h alla e l c o n ju n to potencia.
7.
Sea el c o n ju n to P = [ x e N I * e s un divisor de 9}, d ete rm in a e l conju n to potencia.
8. Sea el c o n ju n to Q = [ x e N \ 4 < x < 1 }, de te rm in a el c o n ju n to potencia.
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
D ia g ra m a s de Venn
E s la re p re se n tac ió n de u n c o n ju n to o c o n ju n to s y s u s o p e rac io n e s, q u e d e lim ita n figuras p lan as c o m o c írc u lo s o
rectán g u lo s; p o r lo g e n e ra l los c írc u lo s d e lim ita n a los e le m en to s d e l c o n ju n to o co n ju n to s d a d o s y los rectángulos
d elim itan a l con ju n to universo.
EJEM PLOS
• • R ep resen ta e n un d iag ra m a de Venn e l conju n to A = { 1, 2, 3, 4 }.
S o lu c ió n
2
• • R ep resen ta e n un d iag ra m a de Venn e l conjunto:
B = { x € N I Ares m últiplo d e 3 m en o r que 17
12
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
S olución
EJ c o n ju n to f i e n form a en um erativa e s: f i = { 3, 6, 9, 12, 15 } y e l c o n ju n to universo so n los núm eros naturales.
P o r tanto, e l d iag ra m a es:
N
3
B
• • 'R e p r e s e n t a e n un d iag ra m a de Venn los conjuntos Q =
{ 1, 3, 5 }y P
= { 1, 2 ,3 , 4, 5 }.
S olución
E l con ju n to Q e s un su b co n ju n to propio de P, y a que todos los elem entos de Q so n elem entos de P, por consiguiente,
la representación de am bos conjuntos e n un d iag ra m a de Venn es:
P
4
• • ■ R e p r e s e n ta e n u n d ia g r a m a d e V enn lo s c o n ju n to s U = { 2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 2 ,1 4 ,1 6 ,1 7 ,1 8 ,1 9 } , A = { 2 ,6 ,1 0 ,1 2 } y
f i = { 4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 7 }
S olución
Los elem entos que s e repiten s e colocan e n la región co m ú n de los c o n ju n to s A y B. L os elem entos faltantes de c a d a
conjunto s e co lo can , respectivam ente, e n la región sob ran te. Los ele m en to s d e l universo que no ap arecen e n los co n ­
juntos se c olocan fuera de ellos.
5
• • * Sean los conjuntos U = { 3 , 4 , 6 , 9 ,1 0 ,1 2 ,1 3 , 17 }, P = { 3 ,6 , 9 ,10 } y Q = { 4 , 12 }, represéntalos en u n diagram a d e Venn.
S olución
N o hay ele m en to s e n co m ú n ; e n e l d iag ra m a los conjuntos e stán se p a ra d o s c o n su s respectivos ele m en to s y los e le ­
m entos que no pertenecen a los conjuntos se c o lo c an fuera de ello s.
13
1
C a p ít u l o
Á lgebra
6
• • • D ibuja en un diagram a d e Venn los conjuntos U = { 2 ,4 ,5 ,6 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 3 ,1 6 ,2 1 ,2 3 } , M = { 2 ,5 ,9 ,1 0 J, N = { 2 ,4 ,6 ,9 }
y L = { 2 ,4 ,5 ,1 6 ,2 1 }
S o lu ció n
L os e le m en to s que s e repiten se c o lo c an e n la región co m ú n de los 3 conjuntos y los d em ás elem entos se c o lo c an en
sus co n ju n to s correspondientes, d e la m ism a form a que e n los ejem plos anteriores.
Unión de conjuntos
S ean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, s e define:
A \ j B = { x \ x e A ox< = B }
Su diagram a de Venn se re p re se n ta so m b rean d o am bos conjuntos.
La unión de dos conjuntos e s e l c o n ju n to form ado por los elem entos de am bos conjuntos.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
“o .
.SL
1
• • Sean los co n ju n to s A = { 3, 5, 6, 8, 10 } y B = { 2 ,6 , 8, 10, 12 }, h alla A
k j B.
S o lu ció n
iu
E l c o n ju n to so lu c ió n de la unión de los c o n ju n to s A y B s o n todos los ele m en to s de am bos conjuntos, los elem entos
que s e repiten só lo s e e sc rib e n una vez.
P or tanto, e l conju n to es:
A u B = { 2 , 3 , 5, 6 , 8 , 10, 1 2 }
14
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
2
• • ■ S i 5 = { x € N I Ares d iv iso r d e 2 0 } y 7 ’= [ x e N I ^ e s d iv iso r d e 6 }, h alla y re p re se n ta e n un d iag ra m a de Venn
S
k j T.
S olución
L a representación e n form a en u m erativa de los conjuntos es:
S = { 1 , 2 , 4 , 5 , 1 0 ,2 0 }
T = { 1 ,2 , 3 , 6 }
E l c o n ju n to solución de la unión de los c o n ju n to s S y T e s:
S u T = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 0 ,2 0 }
D iagram a de Venn
N
3
S
T
• • - P a r a los conjuntos U = { *1 Ares un d íg ito } ,/* = { x s U \ x e s p ar } y Q = { x e U \ x e s im par }.
D eterm ina y representa e n un d iag ra m a de Venn P u Q .
S olución
L a representación e n form a en u m erativa de los conjuntos es:
U = { 0, 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } , P = { 0, 2 ,4 , 6, 8 } y Q = { 1 ,3 , 5, 7, 9 }
El c o n ju n to solución de la unión de P y Q es:
P u < ? = { 0, 1 ,2 , 3 ,4 , 5, 6, 7 , 8 , 9 }
D iagram a de Venn
Intersección de conjuntos
S ean A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B s e define:
A n B = {x \ x e A y x e B }
15
1
C a p it u l o
ÁLGEBRA
Su diagram a de Venn se representa so m b rean d o la región co m ú n de a m b o s conjuntos.
En esta o p e rac ió n s e to m a n únicam ente los elem entos que se repiten e n los dos conjuntos.
Ejemplos
EJEM PLOS
1
• • - S e a n los c o n ju n to s U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 2, 5, 6 } y B = { 1, 4, 5, 6, 7 }, p re c isa y rep resen ta e n un
d iag ra m a de V enn A r B .
S o lu ció n
fó r a e n co n trar e l c o n ju n to solución de la intersección de los c o n ju n to s A y B, se tom an únicam ente los ele m en to s que
se repiten e n los conjuntos.
P or tanto, e l conju n to e s
A n fl = { 1 , 5 , 6 }
D iagram a de Venn
E n cu e n tra la intersección de los c o n ju n to s C = { x Ix e s un d íg ito } , D = { . r e W l . r > 6 } y s u d iag ra m a de Venn.
S o lu ció n
L a tran sfo rm ació n e n s u form a en u m erativa de los conjuntos es:
C = { 0, 1, 2 ,3 , 4, 5, 6 ,7 , 8 , 9 } , D = { 6 , 7, 8, 9, 10, 11... }
Para hallar e l conju n to so lu c ió n de la intersección de los c o n ju n to s C y D , s e to m a n únicam ente los elem entos que se
repiten e n los 2 conjuntos.
P or consiguiente, e l conju n to solución es:
C n D = { 6, 7, 8 , 9 }
D iagram a de Venn
16
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
3
• • ■ P a r a : U = [ 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , S = { x e U \ Ares par } y T = { x e U I x e s im par ). D eterm ina y representa en
un d iag ra m a de Venn S n T .
S olución
L a form a en u m erativa de los conjuntos es:
S = [ 0 , 2 ,4 , 6 , 8 }
T = { 1,3,5,7,9}
L os co n ju n to s no tienen elem entos e n com ún.
P o r tanto, e l con ju n to so lu c ió n e s vacío:
A n B = { } = ( J>
D iagram a d e Venn
E l d iag ra m a de Venn no se so m b re a
Conjunto complem ento
S ea U e l conju n to universo y A un su b co n ju n to de U, e l co m p lem en to de A s e define:
A'={x\x<= U y x e A )
E l con ju n to so lu c ió n contiene a los e le m e n to s que pertenecen a U y no pertenecen a l c o n ju n to A y s e rep resen ta
c o m o A ' o A c.
Su d iag ra m a d e Venn se rep resen ta som breando la región fu e ra d e l c o n ju n to A.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
"o_
.SL
1
••
D e te rm in a d com plem ento y s u d iag ra m a d e Venn del conjunto A = { 2 , 3 , 5 , 7 }, s i el universoes U = [ x e N \ x < 10 }.
Solución
UJ
E l c o n ju n to U e n s u form a en u m erativa es:
U = { 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6 ,7 , 8 , 9 , 1 0 }
{continúa)
17
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
P or consiguiente, e l co m p lem en to de A es:
A ' = { 1,4,6, 8,9, 10}
D iagram a de Venn
2
• • - S e a í / = { ^ € V I ^ : e s u n núm ero com puesto m enor q u e 16 }. D eterm in a e l com plem ento del conjunto
M = { x e U I .re s im par }.
S o lu ció n
L os conjuntos e n s u form a en u m erativa son:
U = { 4 , 6 , 8 , 9, 10, 12, 14, 15 }
M = { 9 , 15 }
P or tanto, e l conju n to co m p lem en to de M e s: M ' = { 4, 6, 8, 10, 12, 14 }
D iagram a de Venn
3
• • ■ S e a n los conjuntos
U = { 2 , 3 , 5 ,6 , 8, 9, 1 0 ,1 2 ,1 3 , 14 }
A = { 2 , 5 , 6, 9, 12 }
f i = { 3 , 5 , 6, 8 , 9 }
D eterm ina A ' n B.
S o lu ció n
Se obtiene e l co m p lem en to de A:
A ' = { 3, 8, 10, 13, 1 4 }
Se obtiene la in tersecció n de A ' c o n e l conju n to B :
A ' n B = ( 3, 8, 10, 13, 14 } n { 3 ,5 , 6, 8, 9 } = { 3, 8 }
P or tanto, e l conju n to solución es:
A ' n B = { 3,8}
4 ••
Sean los conjuntos:
A = { ^ € V U e s p a r m enor que 10 }
fi={A T€VI6<JC<10 }
C = { x e N \ x e s im par }
H alla ( A u B ) n C
18
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
S olución
Los conjuntos e n form a en u m erativa son:
A = { 2 , 4 , 6 , 8 } , » = { 6 , 7, 8 , 9 } y C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1 5 , . . . }
Se h alla A u f l :
A u B = { 2 , 4 , 6 ,7 , 8 , 9 }
C o n e l c o n ju n to C y e l conju n to a n te rio r se h alla la intersección:
( A u f i ) n C = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 } n { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13, 1 5 , .. . } = { 7, 9 }
Finalm ente, e l conju n to solución es:
(A u f l ) n C = { 7, 9 }
D iferencia de conjuntos
Sean A y B conjuntos no vacíos, se define la d ifere n cia c o m o e l c o n ju n to que contiene a los e le m e n to s que pertenecen
a A y que no pertenecen a l c o n ju n to B. L a d ifere n cia s e representa c o m o A - B.
A -B =Ac\Ef=[x\xzA y x í B )
Su d iag ra m a de Venn se rep resen ta de la m an era siguiente:
Ejem plo
Si A = { a , b, c, d, e ) y B = { a, e, /, o, u }, h allar A - B y s u d iag ra m a de Venn.
Solución
El con ju n to so lu c ió n contiene a los elem entos que pertenecen a A y que no pertenecen a l conju n to B, entonces:
A - B = { a, b, c, d, e } - { a, e, i, o, u ]
Por tanto, e l con ju n to es:
A-B= [b,c,d }
D iagram a de Venn
U
19
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
EJE LC IC IO 6
Sean b s conjuntos:
U = {xeZ l-4<x<7)
A ={xel/lx<3i
B = {* g U I Ares un núm ero p ar m ayor que 1}
Representa e n diagram a d e Venn y determ ina:
1. A u f i
3.
A'
5. A - B
2. A n B
4.
B'
6. B - A
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c d ó n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
E n los siguientes ejem plos, se c o m b in an las operaciones de conjuntos.
EJEM PLOS
1
• • - D a d o s los c o n ju n to s i / = { A r e 7 Vl j c < 9 }, A = {jceTVI 3 < * < 8 } y B = { 1, 4 ,7 , 9 }, en cu e n tra e l c o n ju n to solución
de: A ' c \ B '
S o lu ció n
Se esc rib e n los c o n ju n to s U y A e n s u form a enum erativa:
U = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 4, 5, 6, 7 }
Se buscan los co m plem entos de am b o s conjuntos:
B' = { 2 ,3,5,6,8)
A' = { 1,2,3,8,9}
Se e fe c tú a la operación y e l con ju n to solución es:
A ' n B ' = { 1 , 2 , 3 , 8, 9 } n { 2, 3, 5, 6, 8 }
= {2,3,8}
2
• • 'P a r a los conjuntos:
P= [ x e N \- 3 < x < 6 }
R = { x e N Ix e s p ar m enor que 16 }
Q = { x e N \ x e s d ivisor de 2 0 }
S = { 0 , 1 , 2, 3, 4 ,6 , 7, 8, 9 }
D eterm ina (P - Q ) u ( R r S)
S o lu ció n
L os conjuntos e n form a en u m erativa son:
P = { “ 2, - 1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )
P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1 4 }
Q = { 1,2,4,5, 10,20}
S = { 0 , 1, 2, 3 ,4 , 6, 7, 8, 9 }
Se obtiene la d ifere n cia en tre los c o n ju n to s P y Q:
P - Q = { - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 ,3 , 4, 5, 6 } - { 1 , 2 , 4 , 5, 1 0 , 2 0 }
P - 6 = { - 2, - 1 , 0, 3, 6 }
Se d ete rm in a la intersección de R y S:
R n S = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1 4 } n { 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 6, 7, 8 , 9 }
R n S = { 2, 4, 6 , 8 }
Se d ete rm in a la unión:
( P - f i ) u (P n S ) = [ - 2 , - 1 , 0 , 3, 6 } v j {2, 4, 6, 8 }
( P - Q) u ( P n S ) = { - 2 , - 1 , 0 , 2, 3, 4, 6, 8 }
20
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
EJE IC IC IO 7
Sean los conjuntos:
U = [ 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
A = [ x e U I Ares par m enor que 10}
B = { x € U I Ares d ivisor de 12 }
C = {xeU \x< 6}
D = [xeU \2<x<6)
E = { a: € £ / 1* e s u n d íg ito }
F = {jr e í/ ljc > 1 3 }
G = {x € U 1Ares par m ayor que 10 }
Determina:
1. A u f l
12. D '
23. ( A K j F ) n C
2. B u C
13. A - B
24. B
3. C
kjD
14. C - D
25. ( F - G ) n E '
4. D
kjB
15. E - B
26. ( F n G ) u D
5. A n f l
16. B - A
27. £ ' n ( A u G )
6. A n D
17. A ' C \ B
28. ( E \ j F ) n ( A \ j G )
7. C n E
18. A
29. ( C u £ ) n ( F u G )
8. B n C
19. B ' n E '
30. ( S u D ) u ( F n G )
9. A'
20. A ' - G
31. ( B u D ) ' - ( E
10. B'
21. ( A u f l ) '
3 2. ( A ' n B ' ) - ( E ' n F ' )
11. C
22. ( A n f l ) '
k j B'
kj(
F -G )
kjG
Y
M irifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
O p e ra cio n e s de conjuntos con d ia g ra m a s de Venn
EJEM PLOS
• • R ep resen ta e n un d iag ra m a de Venn la siguiente o p e rac ió n ( A u B ) ' :
S o lu c ió n
Se d ete rm in a el d iag ra m a de la unión del
E l com plem ento e s to d o lo que no pertenece a la unión,
con ju n to A co n B.
por tanto, s u d iag ra m a de \fenn es:
( A kjBY
21
1
C a p í t u l o ______________________________________________________________________________________________________________
Á lG EB R A
2
• •■ R e p re s e n ta e n un d iag ra m a de Venn la siguiente o p e rac ió n ( i í u f l ) n C.
S o lu ció n
D iagram a de Venn de ( A u B )
D iag ram a de \fenn d e l c o n ju n to C
Ü
A
B
L a intersección de la unión de A co n B y el conju n to C, es la región c o m ú n entre las áreas som breadas.
3
• • R ep resen ta e n un d iag ra m a de Venn la siguiente o p e rac ió n ( A n B ) u ( A - C ) .
S o lu ció n
D iagram a de Venn (A n B )
D iag ram a de \fenn ( A - C )
Finalm ente, e l c o n ju n to solución es la unión de las á rea s som breadas.
U
A
B
(A nB )u(A -C )
22
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
E JE R C IC IO
8
Realiza e l diagram a d e Venn d e cad a una d e las siguientes operaciones:
1. A '
^
4. A n B n C
7. ( A u C ) n ( B - C )
10. ( A n B ) u ( B n C )
2.
(A n B Y
5. ( A u S ) n C
8. ( A - f i ) u ( A n C )
11. ( ( A - B ) u ( B n C ) ) '
3.
A 'nB'
6. B ' n ( A - C )
9. ( A n f i n C ) '
12. ( A ' u f l ,) - ( A , u C ' )
M irifica tu * re s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu cio n a* c o rre s p o n d ia n ta
Ejem plo
Sean los conjuntos:
U = {a,b,c,dfg,h,i)
B=(b,d,g,h }
A=[a,b,c,d)
C=(b,fg,h)
R epresenta e n d iag ra m a de Venn y halla e l conju n to so lu c ió n (A ' - B ) n C .
S olución
Para determ inar e l c o n ju n tó se procede de la siguiente m anera:
Se h alla p rim ero A ', s e realiza la d ifere n cia c o n e l c o n ju n to B y, finalm ente, c o n e s ta últim a o p e rac ió n s e realiza
la intersección co n e l con ju n to C.
B
i
_
«
A'
(A ' - B ) n C = ( f )
EJE ÍC IC IO 9
Sean b s conjuntos:
U = {x l * e s u n d íg ito }
A = {x e U \ x <5 }
B = { x g U I Arsea prim o }
C = { 2, 4, 5 , 8 }
Representa en diagram a d e Venn y determ ina e l conjunto solución.
1.
AuB
4. A ' n B '
7. ( A ' - B ' ) n C
10. ( A n B ) ' n ( A ' n B ' )
2.
A n B
5. ( A u B ) n C
8. ( A - B ) ' n ( f l n C ) '
11. ( A - B ) ' n ( B - C ) '
3.
A ' kjB'
6. ( A u f i u C ) '
9. ( A - f l ) ' u C *
12. ( A' \ j B ' ) - ( A '
M irifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre sp o n d ia n ta
23
kjC
)
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Se realizó u n a encuesta a 82 alum nos sobre el tipo de m ú sica q u e más les agrada; los resultados fueron los siguientes:
a 3 2 d e ellos les g u sta e l pop, a 33 les ag rad a e l rock, a 36, e l reggae, a 10 les g u sta e l pop y e l rock, a 11 e l pop y
e l reggae, a 9 les a g ra d a e l rock y e l reggae, a 4 les g u stan los 3 estilo s y únicam ente a 7 otro s tip o s de m úsica.
¿ C uántos estu d ian tes só lo prefieren rock?
¿A cuántos alum nos só lo les a g ra d a e l reggae?
¿ C uántos estudiantes prefieren únicam ente pop y reggae?
¿C uántos alum nos prefieren solam ente rock y reggae?
S o lu ció n
S e co n stru y e e l diagram a de Venn, de la siguiente m anera:
Se inicia c o n la z o n a e n la que s e intersecan los 3 conjuntos.
4
Se obtienen los alum nos d e la z o n a donde s e interseca e l pop y e l rock únicam ente.
10-4 = 6
Se obtienen los estu d ian tes de la z o n a d o n d e s e in terseca e l pop y e l reggae, solam ente.
11-4 = 7
Se obtienen los alum nos de la z o n a donde s e interseca e l rock y e l reggae únicam ente.
9 -4 =5
Se obtienen los estu d ian tes de la z o n a que únicam ente e sc u c h a n pop.
3 2 - ( 6 + 4 + 7 ) = 15
Se obtienen los alum nos d e la z o n a que únicam ente e sc u c h a n rock.
3 3 - ( 6 + 4 + 5 ) = 18
Se obtienen los estudiantes de la z o n a que únicam ente escu ch a n reggae.
3 6 - ( 7 + 4 + 5 ) = 20
L os alum nos a quienes les gusten otros estilos, s e colocan en la z o n a que no corresponde a los conjuntos anteriores.
H d iag ra m a de Venn que se o b tien e es:
Finalm ente:
Los alum nos q u e só lo prefieren rock, so n 18
Los a lu m n o s q u e só lo les ag rad a reggae, so n 20
Los alum nos que prefieren únicam ente pop y reggae, so n 7
Los alum nos que prefieren únicam ente rock y reggae, so n 5
24
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
2
E n una preparatoria s e o b tu v ie ro n los siguientes datos d e 350 estudiantes:
200 alum nos a p robaron la m ateria de cá lc u lo diferencial;
160 estu d ian tes a p robaron física;
187 ap ro b aro n historia;
112 ap ro b aro n c á lc u lo difere n cia l e historia;
120 ap ro b aro n c á lc u lo difere n cia l y física ;
9 5 ap robaron física e historia;
80 alu m n o s ap robaron cálcu lo diferencial, fís ic a e historia.
Indica cuántos de esto s 350 alu m n o s aprobaron:
1.
S ólo una m ateria
2
E x actam en te 2 m aterias
3.
A l m enos una m ateria
4.
C u a n d o m ucho 2 m aterias
Solución
O r a form a d e resolver e ste tip o de problem as e s la siguiente:
Se d e notan los co n ju n to s de los estu d ian tes
U: C o n ju n to universo
C = { alum nos que ap ro b aro n c á lc u lo d ifere n cia l }
F = { alum nos q u e ap robaron físic a }
H = ( alum nos que a p ro b aro n h isto ria }
C ardinalidad d e los conjuntos:
n ( U ) = 350
n (C ) = 200
n ( F ) = 160
n ( H ) = 187
n ( C r H ) = 112
n ( C n F ) = 120
n ( F n H ) = 95
n ( C n F n H ) = 80
P a ra co n stru ir e l diagram a de Venn se obtienen los siguientes datos:
Se c o lo ca e l núm ero d e e stu d ia n tes que a p robaron la s tre s m aterias; e s decir, la intersección d e los tre s c o n ­
ju n to s: n ( C r F r H ) = 80
Se co m p le ta e l núm ero de estu d ian tes que ap ro b aro n d o s m aterias ún icam ente; e s decir, la in tersecció n de dos
conjuntos:
n ( C n H ) - n ( C n F n H ) = 112 - 80 = 32
n ( C n F ) - n ( C n F n H ) = 120 - 80 = 4 0
n ( F r H ) - n{C r F n H ) = 9 5 - 80 = 15
Se c o m p le ta e l núm ero de e stu d ia n tes de c a d a co n ju n to , e l c u a l e s e l núm ero d e estu d ia n tes que a p ro b aro n
una so la m ateria.
Para e l conju n to C:
n(C) - [n(C n F ) - n ( C n F n / / ) ] - [ n ( C n f í ] - n ( C n f n f f ) ] - n ( C n F n H ) =
= 2 0 0 - 4 0 - 32 - 80 = 4 8 alu m n o s só lo ap robaron cá lc u lo diferencial.
25
1
C a p ít u l o
Á lgebra
De una fo rm a an álo g a s e obtiene para los co n ju n to s F y H.
n(F) - [ n ( C n F ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( F n H ) - n ( C r F n H ) ] - n ( C r \ F n H ) =
- 160 - 4 0 - 15 - 80 = 2 5 alum nos só lo ap robaron física.
n(H) - [ n ( F n H ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( C n H ) - n { C n F n H ) ] - n ( C n F n H ) =
= 187 - 15 - 3 2 - 80 = 6 0 só lo ap ro b aro n historia.
ftira co m p le ta r e l d iag ra m a se d ete rm in a e l núm ero de alum nos que no ap ro b aro n ninguna m ateria.
E s la d ife re n c ia d e l to ta l d e e stu d ia n tes, d e los c u a le s s e o b tu v ie ro n lo s d a to s y e l to ta l de a lu m n o s d e los
conjuntos.
3 5 0 - [« (C )+ n(F |+ /i(//)-n( C n F |- n ( C n H ) - n ( F n / / ) + n ( C n F n / / ) ]
3 5 0 - ( 2 0 0 + 160 + 1 8 7 - 1 2 0 - 1 1 2 - 9 5 + 8 0 ) = 3 5 0 - 300 = 50
D iagram a d e Venn
F inalm ente:
Sólo una m ateria:
S um a de los alum nos que a p robaron una so la m ateria de c a d a conjunto:
n {C ) + n (F ) + n ( H) - 2 n( C r F ) - 2 n ( C n H ) - 2 n ( F r H ) +3 n ( C n F n H )
2 0 0 + 1 6 0 + 187 - 2 (1 2 0 ) - 2 ( 1 1 2 ) - 2 ( 9 5 ) + 3 ( 8 0 ) = 133
E xactam ente 2 m aterias:
S um a de los e stu d ia n tes que ap ro b aro n 2 m aterias únicam ente:
n ( C n H ) + n ( C n F ) + n { F n H ) - 3 n ( C r F n H ) = 112 + 120 + 9 5 - 3 (8 0 )= 87
A l m enos una m ateria:
Son los estu d ian tes que a p robaron 1, 2 o 3 m aterias:
n ( C ) + n ( F ) + n ( H ) - n ( C n F ) - n ( C n H ) - n ( F n H ) + n ( C n F n H ) =300
C uando m ucho 2 m aterias:
Son los estudiantes que a p robaron 0, 1 o 2 m aterias:
3 5 0 - « ( C n F n H ) = 270
26
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
E JE R C IC IO 1 0
Resuelve los sig uientes problem as:
1. U n a em p re sa re aliz ó una en cu e sta a 250 personas para sa b e r q u é program a de telev isió n prefieren v er e n dom ingo.
Se les d ie ro n 3 opcio n es: d e p o rte s, películas o m u sica les. E l resu lta d o de la e n c u e sta fue: 130 personas prefieren
deportes; 80 prefieren v er películas; 40, m usicales; 2 5 prefieren deportes y películas; 20, películas y m usicales; 10, d e ­
portes y m usicales; y só lo a 6 personas les g u stan los tre s tipos de program as.
á) ¿ C u án tas prefieren ver s ó lo deportes?
b) ¿ C u án tas prefieren ver s ó lo un program a d e televisión?
c ) ¿ C u án tas prefieren ver películas o m usicales?
2. A los niños de una o rg a n iz ac ió n civ il s e le s a p o y a p a ra q u e hagan d eporte. U n a e n c u e sta reveló q u e los deportes
que m ás les ag rad a n so n : natación, fútbol, b é isb o l, en tre otros. L os resultados de la e n cu e sta fueron: 7 s ó lo prefieren
natación; 28 s ó lo q u iere n ju g a r fútbol; uno s ó lo quiere p racticar b é isb o l; 30, n atación y fútbol; 18, natación y béisb o l;
20, fútbol y béisb o l; 12, los 3 deportes de m ayor p referen cia y 20, otros deportes.
á)
¿C uántos niños q u iere n béisb o l o natación?
b)
¿C uántos niños prefieren fútbol o béisbol?
c)
¿ C u án to s niños fueron encuestados?
d ) ¿C uántos niños prefieren únicam ente 2 deportes?
3. U n a e m p re sa co n ced e c o m o prestació n a su s e m p le a d o s la a siste n c ia a s u c lu b d e portivo; e n é ste hay can c h a s de
squash, un gim nasio, un boliche y una cafetería, donde se pueden d iv ertir c o n ju eg o s de m esa o sim plem ente platicar.
A 7 0 personas s e les ap lic ó u n a e n cu e sta para sa b e r la actividad de esparcim iento de s u preferencia y s e enco n tró que:
20 prefieren boliche, 2 7 e l gim nasio, 24 squash, 8 boliche y gim nasio, 10 sq u a sh y boliche, 15 sq u a sh y g im n a sio y,
por últim o, 6 prefieren squash, g im nasio y boliche.
á) ¿ C u án tas únicam ente prefieren ju g a r boliche?
b) ¿ C u án tas únicam ente q u iere n ju g ar squash?
c ) ¿ C u án tas personas só lo d e se an e sta r e n e l gim nasio?
d ) ¿ C u án tas personas prefieren o tras actividades?
é)
¿ C u án tas prefieren e l sq u a sh o e l boliche?
/)
¿ C u án tas no q u iere n b o lich e o squash?
4. E n un su perm ercado s e h izo una e n cu e sta a 6 0 personas, p a ra sa b e r q u é tipo de b eb id a alcohólica que e s té e n o fe rta
prefieren. L o s resultados fueron: 12 c o m p rarían w hisky y teq u ila; 16 vodka y teq u ila; 14 w hisky y vodka; 2 9 whisky;
30 teq u ila; 29 vodka y só lo 9 personas las 3 bebidas.
á) ¿ C u án tas personas c o n te staro n que o tras bebidas?
b) ¿ C u án tas prefieren 2 tipos de b eb id a únicam ente?
c)
¿ C u án tas quieren a l m enos una de las tre s bebidas?
d ) ¿ C u án tas q u iere n só lo u n tipo de bebida?
5. E n una fiesta infantil a los niños s e les pidió s u o p in ió n a c e rc a d e l sa b o r d e l h ela d o q u e preferirían com er. L o s resu l­
tados fueron los siguientes: 9 q u iere n d e chocolate, vainilla y fre s a ; 12 de fre s a y vainilla; 13 de ch o co late y fresa;
15 de cho co late y vainilla; 18 de fresa; 2 6 de vainilla; 2 9 de cho co late y 8 niños prefieren de otros sabores.
á)
¿C uántos niños h abía e n la fiesta?
b ) ¿C uántos quieren só lo de 2 sabores?
c)
¿ C uántos só lo de un sab o r?
d ) ¿C uántos no qu iere n de ch o co late o fresa?
Vferifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
2 7
1
C a p í t u l o __________________________________________________________________________________________________________________________
Á lG EB R A
Á lg e b ra d e conjuntos
E n e l sig u ien te c u ad ro se m u estra n d ifere n te s operaciones c o n c o n ju n to s. S ean los c o n ju n to s U , A , B y C ta le s q u e
A c í / , B c í / y C c í / , d o n d e U e s e l c o n ju n to universo.
______________________________________ O p eracio n es co n c o n ju n to s_______________________________________
1. ( A ') ' = A
8. A u A = A
2. <$>' = U
9. A
kjA '
=U
3. A - A = ó
10. £/' = <|>
4. A -«J> = A
11. A r U = A
5. A - B = A r B r
12. -4 n <J) = <J)
6. A u <J>= A
13. A n A = A
7. A \ j U = U
14. A r A ' = (J)
A so c ia tiva s
C o n m u ta tiv a s
15. ( A u f l ) u C = A u ( f i u C )
19. A u f l = f l u A
16. ( A n B ) n C = A n ( f í n C )
20. A n B = B n A
D istributivas
L e y es de D e M o rg a n
17. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C )
21. ( A u f i ) ' = A ' n B ’
18. A n ( £ u C ) = ( A n f l ) u ( A n C )
22. ( A n B ) ' = A ' k j B'
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
1
• • A plica las definiciones de las operaciones c o n conjuntos y dem uestra que:
( A k j B) ' = A ' r B '
S o lu ció n
Si*€(A ufl)'
E ntonces x e U y x e ( A u f í )
D efinición de com plem ento
Si * g (A u B), e n to n c es x g A o x e B
D efinición de unión de conjuntos
S i x g A o x g B, en to n ces x s A ' y x e B'
D efinición de com plem ento
D efinición de intersección de co n ju n to s
E n to n c es x e (A ' n B ' )
P o r tanto, (A u B ) ' = A ' n f í'
2
• • A p lica las definiciones de las operaciones c o n conjuntos y dem uestra que:
(A r B ) ' = A'
kjB'
S o lu ció n
S i* e (Anfi)'
E n to n c e sx e U y x e ( A n B )
D efinición de com plem ento
S i x e (A n f í ) , e n to n c e s x £ A y x € B
D efinición de intersección de co n ju n to s
S x x e A y x i B en to n ces x e A ' o x e B ’
D efinición de com plem ento
D efinición de unión de conjuntos
E ntonces a: € ( A ' u B ' )
Por tanto, (A n f i ) ' = A ’ x j B '
Es más práctico realizar las dem ostraciones utilizando las leyes y operaciones de conjuntos.
28
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
3
• • A p lica las leyes y d e m u e stra que ( A n B ) u ( A n B ' ) = A.
Solución
(A n B ) u (A n B ' ) = A n ( B u B ' )
4
L e y distributiva (18)
=A r U
O peraciones c o n co n ju n to s (9)
=A
O peraciones c o n co n ju n to s (11)
• • A plica las leyes y d e m u e stra q u e (A n B ) u C = (A u C ) n ( B u C ).
Solución
(A nB )uC = C u(A nB )
5
L e y co n m utativa (19)
= (C uA )n(C ufi)
L e y distributiva (17)
= (A uC )n(fluC )
L e y co n m utativa (19)
• • A plica las leyes y d e m u e stra que A n (fi n C ) ' = (A - fi) u (A - C ).
S olución
A n (B n C Y =A n (B 'u C )
L e y de D e M o rg an (22)
= (A n f í ') u ( A n C ')
L e y distributiva (1 8 )
= (A - B ) u (A - C )
O peraciones c o n co n ju n to s (5)
EJE IC IC IO 11
A p lica las leyes y dem uestra las siguientes identidades:
1. A - ( f l n C ) = ( A - f l ) u ( A - C )
2. A - ( B u C ) = ( A - B ) n ( A - C )
3. A ' n ( B u C ) ' = ( A u f l u C ) '
4 . ( A n B n C ) ' = A' k j B ' k j C'
5. ( A u f l ) n A ' = A ' n B
6. A ' - ( A u C ) ' = C - A
7. A u ( B n A ' ) = A u f l
8. A - ( A - B ) ' = A - B
V» rifle a t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Lógica
L a lógica s e o c u p a d e l razo n am ien to a p artir de las prem isas, las c u a le s so n proposiciones que d a n la pauta para el
proceso deductivo e inductivo. A nalicem o s algunos conceptos:
In ferir. Proceso de unir ideas para llegar a conclusiones verdaderas a partir de proposiciones verdaderas.
Proposición lógica. Es un en u n ciad o que s e c alifica co m o falso o verdadero, pero no am bos a la vez.
29
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Ejem plos
a = “C u b a está e n A m érica”
V erdadero ( v )
b = “ 4 e s núm ero im par"
Falso ( / )
c = “ E1 elefan te e s un ave”
(/)
p = “ L os perros ladran"
( v)
q = “ H erm osa tarde”
N o e s una proposición lógica
N egación. Se obtiene negando o afirm an d o e l enun ciad o y s e de n o ta por e l sím b o lo (~).
Ejem plo
S ea la proposición:
a = “ 5 e s núm ero prim o”
L a negación de la proposición es:
~ a = “ 5 no e s núm ero prim o"
Tipos d e proposiciones
Proposición lógica sim p le. Es a q u e lla que está form ada por u n so lo enunciado.
Ejem plos
l = “ E l d e lfín e s u n m am ífero"
r = “4 e s núm ero par"
Proposición lógica c o m p u esta. Es aq u ella que form an 2 o más proposiciones sim ples unidas por uno o más conectivos
lógicos.
Ejem plos
a = “ 8 e s núm ero par y 5 e s núm ero prim o"
b = “C h in a e stá e n A sia o C olom bia e stá e n A m é ric a"
c = “ Si un volcán e stá e n P erú , en to n ces e stá e n A m é ric a ”
p = “ 8 e s núm ero par s i y só lo s i e s divisible p o r 2"
Proposiciones com puestas
E n e l sig u ien te c u a d ro s e m u e stra n la s d istin ta s p ro p o sic io n e s c o m p u e sta s c o n s u resp ectiv o c o n e c tiv o ló g ic o y
sím bolo.
N om bre
C onectivo lógico
N egación
No
D isyunción
0
Sím bolo
V
C onj unción
y
A
Im plicación
entonces
=>
Doble im plicación
Si y só lo si
30
C a p ít u l o
Conjuntos y lógica
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • Sean las proposiciones:
a = “E1 lu c á n e s u n ave"
b = “ E1 león e s un m am ífero"
L a disyunción en tre las proposiciones es:
a v
2
= “E l tu c á n e s un av e o el león e s un m am ífero"
• • Sean las proposiciones:
p = “ 4 e s núm ero par"
q = “ 4 e s núm ero natural".
L a conju n ció n en tre las proposiciones es:
p
3
a
q = “ 4 e s núm ero p ar y e s núm ero n atural’
• • ' Sean las proposiciones:
p = “ x<&, x<=Z"
p
a
q = “ 2 es divisor d e 6 y e s prim o”
p v q = “ 8 e s núm ero im par o e s com puesto’
La negación e n tre las proposiciones es:
~ p = “x *
~(p
a
8 ,* g
Z ” o “* > 8 , a:€ Z ”
q) = “N o e s verdad q u e
2
e s divisor de 6 y e s prim o”
“ ( P v «?) = “ N o e s verdad que 8 e s núm ero im par o e s co m p u e sto ’
4
• • Sean las proposiciones:
p = “ 3 0 e s m ú ltiplo d e 10”
q = “3 0 e s m ú ltiplo de 5”
L a im plicación en tre las proposiciones es:
p ^ q = “ S i 3 0 e s m últiplo de 10, entonces e s m ú ltiplo de 5”
5
• • Sean las proposiciones:
p - “C h in a e stá e n A sia”
q = “C u b a e stá e n A m é ric a ’
L a d oble im plicación en tre las proposiciones es:
p o q = “C h in a e stá e n A sia s i y só lo s i C u b a e stá en A m érica’
31
1
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 1 2
Sean las sig uientes proposiciones:
p = “ E sp a ñ a e stá e n E u ro p a"
q = “ Jap ó n e stá e n A sia”
Escribe las siguientes proposiciones:
1. p A q
6. p <=>q
2. p v q
7. - p A q
3.
-p
8. p v ~ q
4.
-q
9.
5. p = > q
~(pvq)
10. ~ { p
a
q)
ta rifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
L a re p re se n tac ió n de u n a p ro posición sim p le o co m p u e sta s e ilustra co n los siguientes ejem p lo s:
Ejem plos
Sean los siguientes enunciados:
p = “ 9 e s m últiplo de 3"
q = “ 5 e s divisor de 10”
E scribe e n form a sim b ó lic a los siguientes enunciados:
1.
9 e s m últiplo d e 3 y 5 e s divisor de 10
E JE R C IC IO 1 3
Sean las sig uientes proposiciones:
a = “ L a gu acam ay a e s un ave"
b = “A Luis le g u sta e sc u ch a r a los R o llin g Stones”
Escribe e n form a sim bólica los sig uientes enunciados:
1. L a g u acam ay a e s un ave y a L uis le g u sta e sc u ch a r a los R olling Stones
2. L a g u acam ay a e s un ave y a Luis no le g u sta e sc u ch a r a los R olling Stones
3. L a g u acam ay a no e s un ave o a Luis no le g u sta e sc u ch a r a los R olling Stones
4. A L uis le g u sta e sc u ch a r a los R olling Stones o la g u acam ay a e s u n ave
5. L a g u acam ay a no e s un ave y a Luis le g u sta e sc u ch a r a los R olling Stones
6. N o e s verdad que la gu acam ay a e s un ave y que a L uis le g u sta e sc u ch a r a los R o llin g Stones
tarifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
32
C a p ít u l o
Conjuntos y lógica
Leyes de D e M o rg an
L a negación de una d isyunción e s la conju n ció n de las negaciones de su s proposiciones.
~(pvq) =~p
q
La negación de una conju n ció n es la disy u n ció n d e las negaciones de su s proposiciones.
~(pvq) =~pv~q
so|d uia ¡3
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • N ie g a la sig u ien te proposición:
a = “ 4 e s núm ero p ar o Jap ó n e s tá e n A sia”
S olución
- a = “ 4 no e s núm ero par y Jap ó n no e stá en A sia "
2
• • N iega la proposición:
b = “ L a g u acam ay a e s un ave y e l d e lfín e s un m am ífero"
S olución
~ b = “ L a gu acam ay a no e s un av e o e l de lfín no e s u n m am ífero"
3 ••
N iega la proposición:
c = “ E l león e s un m am ífero y e l tiburón no e s un pez"
S olución
~ c = “ E1 león no e s un m am ífero o e l tiburón e s un pez”
E JE R C IC IO 1 4
N iega las siguientes proposiciones com puestas:
1. a = “E sp añ a e s tá e n E uropa o 6 e s núm ero par"
2. b = “ L os perros ladran y 12 e s m ú ltiplo d e 3"
3. c = “ 5 e s u n núm ero p ar y no e s m ú ltiplo de 15"
4. d = “ 7 no e s prim o o e s divisor de 2 1 ”
5. e = “ 6 no e s núm ero im par y el tu c á n no e s un ave”
V itrifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ■
Proposiciones co nd icio nales
C onversa d e la im plicación. Si p =* q, la c o n v ersa se define c o m o q =* p.
Ejem plo
B illa r la c o n v ersa de la proposición:
p = * q = “ S i un volcán e s tá e n P erú , en to n ces e s tá e n A m érica”
S olución
L a c o n v ersa de la proposición es:
q=> p = “ Si un volcán e stá e n A m érica, entonces e stá e n Perú*
33
1
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
C ontrapositiva d e u n a im plicación. Si p =ó q, la co ntrapositiva s e define c o m o - q ^ - p .
Ejem plo
D eterm ina la con trap o sitiv a de la proposición:
p = > q = “ Si un volcán e stá e n Perú, en to n ces e stá en A m é ric a ”
S o lu ció n
L a co ntrapositiva de la proposición es:
~ q = > ~ p = “ Si un volcán no e s tá e n A m érica, en to n ces no e stá e n Perú*
Inversa d e u n a im plicación. Si p = * q , la inversa se define c o m o ~ p = * ~ q .
Ejem plo
D eterm ina la inversa de la proposición:
p = > q = “ Si 8 e s m últiplo de 4, entonces e s m últiplo de 2 "
S o lu ció n
L a inversa de la proposición es:
- p ^ - q = “ S i 8 no e s m últiplo de 4, entonces no e s m últiplo de 2 ”
E JE R C IC IO 1 5
Determ ina la co nversa, contrapositiva e inversa d e las siguientes im plicaciones:
1. p = * q = “ S i 3 e s divisor d e 6, e n to n c es no e s par”
2. p = * q = “ Si Ares m últiplo de 5, entonces e s divisor d e 2 5 ”
3. p ^ q = “ Si un trián g u lo es u n polígono, en to n ces no e s un cuadrilátero*’
4. p= > q = “ Si M arte no e s un planeta, en to n ces la L u n a e s un satélite"
5. p = * q = “ S i 17 e s un núm ero prim o, entonces no e s m últiplo de 5 0 ”
Vb rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
R elació n de proposiciones a b iertas con conjuntos
Proposición a b ie rta . Es aq u é lla e n la que e l su je to e s una variable. T oda proposición a b ie rta representa un conjunto,
que re cib e e l nom bre de c o n ju n to solución de la proposición.
Ejem plo
E n cu e n tra y rep resen ta e n un diagram a de Venn e l c o n ju n to solución de la proposición:
p = “a:es un núm ero p ar m enor q u e 10"; x e N
S o lu ció n
C o n ju n to solución:
P = [ 2, 4, 6 , 8 }
D iagram a de Venn
34
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
C onjunción . L a conju n ció n se relaciona co n la intersección de conjuntos.
Ejem plo
D eterm ina y representa e n un d iag ra m a de Venn e l con ju n to so lu c ió n de la proposición:
p = “x e s prim o y x < 7 ’; x e N
S olución
L a proposición se representa de la siguiente form a:
P = { 2, 3 ,5 , 7, 11, 13, 17 . . . } n { 1, 2, 3 , 4 , 5, 6 , 7 }
P o r tanto, e l con ju n to so lu c ió n es:
P = { 2, 3, 5 , 7 }
D iagram a de Venn
D isyunción. L a disyunción se relaciona co n la unión de conjuntos.
Ejem plo
E ncuentra y rep resen ta e n un d iag ra m a de Venn e l conju n to solución de la proposición:
q = “x e s p ar m enor que 10 o x < 6” ; x e N
S olución
L a proposición se representa de la siguiente form a:
0 = { 2 , 4 , 6 , 8 } u { 1 , 2, 3, 4, 5 }
E l c o n ju n to solución es:
Q = { 1,2,3,4,5,6,8}
D iagram a de Venn
N egación. L a negación s e relaciona co n el co m p lem en to de un conjunto.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
- q_
1
• • ¿C u ál es e l c o n ju n to solución y e l d iag ra m a de Venn de c a d a una de las siguientes proposiciones?
a = “* e s u n dígito par”
- a = “x no e s un d íg ito par"
UJ
Solución
E l con ju n to so lu c ió n de la proposición a , e s: A = { 0, 2 , 4 , 6, 8 }
(icon tin ú a )
35
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
D iagram a de Venn
EJ c o n ju n to solución d e la proposición ~ a, e s: A ' = { 1, 3 , 5 , 1 , 9 }
D iagram a de Venn
2
• • - ¿ C u á l e s e l c o n ju n to solución de la negación de la siguiente proposición?
a = “Ares prim o m enor que 15 o Ares d ivisor d e 15” ; x e N
S o lu ció n
A = { 2, 3 , 5, 7 , 11, 13 } u { 1 , 3 , 5 , 1 5 }
P o r consiguiente, e l c o n ju n to solución es:
A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 13, 1 5 }
L a negación de la proposición es:
- a = “x no e s prim o m enor que 15 y * no e s divisor de 15"
E l c o n ju n to solución es:
A '= { 4 , 6, 8 , 9 , 10, 12, 1 4 , . . . }
D iagram a de Venn
3 ••
¿ C u á l es e l c o n ju n to s o lu c ió n de la n e g a c ió n de la siguiente p ro p o sic ió n ?
b = “Ares d iv is o r d e 6 y Ares p a r m e n o r que 10” ; x e N
S o lu ció n
B = { 1, 2, 3, 6 } n { 2, 4, 6, 8 }
P or consiguiente, e l conju n to solución es:
B = ( 2,6}
36
C a p ít u l o
Conjuntos y lógica
L a negación de la proposición es:
~¿> = “x n o e s d ivisor de 6 o .r no e s p ar m enor que 10" \ x s N
E l c o n ju n to solución es:
A ' = { 1 , 3, 4, 5 ,7 , 8 , 9 , . . . }
D iagram a d e Venn
N
Ék 4
3
m
i
'V
8
Im plicación. L a im plicación se relaciona co n e l subconjunto de un conjunto.
Ejem plo
R epresenta e n un d iag ra m a de Venn la siguiente proposición:
« = “ s i un anim al e s un delfín, entonces e s u n m am ífero"
Solución
E JE R C IC IO 1 6
•
Determ ina e l conjunto so lu ció n y diagram a d e Venn d e las sig uientes proposiciones:
I
1.
a = “xes p a r y * < \ 0 " \ x e N
•
2.
b = ‘tr e s p ar m enor que 12 y x < 5” ;x e N
I
3.
c = “x e s m últiplo de 3 o x < 8 " ; a: € N
[
4.
d = “Ares prim o m en o r q u e 11 o * e s p ar m enor q u e 10”; x e N
Representa e n un diagram a d e Venn las siguientes im plicaciones:
•
5. e = “ Si un ciu d ad an o e s duranguense, en to n ces e s m exicano"
1
6. / = “ Si un núm ero real e s prim o, entonces es e ntero"
3 7
f
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
En las sig uientes proposiciones determ ina la negación y represéntala e n un diagram a d e Venn.
7. g = “x < T '-,x < = N
8. h = “x e s p a r o x < V ' - , x e N
9. i = “* > 4 y x e s par" ; x e N
10. j = “x < 5 y x e s prim o” ; x e N
Vitrifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d e so lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ^
C á lc u lo p rop osicional
C u a n d o una proposición s e construye a partir de o tras proposiciones, m ediante c o n ec tiv o s lógicos, e l valor de verdad
lo determ in an los valores de verdad de la s proposiciones originales.
Dadas las proposiciones p y q, los v alo res de verdad de las proposiciones p v q, p
a
q, p => q, p <=> q y ~ p , \ o s
determ in an los valores de verdad de p y q.
E l núm ero de valores de verdad e s tá dad o p o r 2" donde n rep resen ta e l núm ero de proposiciones,
fó ra verificar e l valor de verdad de una proposición co m p u e sta s e utilizan las siguientes tablas.
Tabla de v erd a d p a ra la d isy u n c ió n
Tabla de v erd a d p a ra la c o n ju n c ió n
L a disyunción e s verdadera, s i una
L a conju n ció n e s verdadera, s i las dos proposiciones
o las d o s proposiciones z so n verdaderas.
so n verdaderas.
p v q
p
V
V
V
p
<1
V
V
/
V
V
/
V
V
/
/
/
Tabla de v erd a d p a r a la im plicación
/
V
/
f
V
/
p ^ q
V
f
f
f
Tabla de v erd a d p a ra la d oble im p lic a c ió n
L a im plicación e s falsa, s i la prim era proposición
L a d oble im plicación e s verdadera, s i las dos
es v e rd ad era y la se g u n d a e s falsa.
proposiciones so n verdaderas o las dos so n falsas.
V
V
/
/
P
p = > q
p
V
V
V
V
/
V
/
V
V
/
/
i
/
V
/
<1 p ^ q
V
v
f
f
V
Tabla de v erd a d p a ra la n e g a c ió n
E n la negación de una proposición, s u valor
de verdad e s e l co n tra rio d e l original.
p
V
/
v = V erdadero
/
v
/ = F also
38
C a p ít u l o
Conjuntos y lógico
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
s o jd u ia jg
• • C onstruye una ta b la de verdad y de te rm in a e l valor de verdad de la sig u ien te proposición:
a = “ 3 es divisor de 15 o 3 e s m últiplo d e 2 ”
S olución
Se hallan los valores de verdad de las proposiciones:
p = “ 3 e s divisor d e 15”
v
q = “ 3 e s m últiplo de 2”
/
Se construye la ta b la d e verdad para la disyunción y a que e l co n ectiv o lógico es “ o".
p
9
V
/
p v q
V
Finalm ente, e l valor de verdad p a ra la p ro posición “a” es v erdadero ( v ).
2
••■ D e te rm in a e l valor d e verdad de la siguiente proposición:
b = “ 15 no e s m últiplo de 3 y 3 e s prim o"
S olución
Se determ in an los valores de verdad de las proposiciones:
p = “ 15 no e s m últiplo de 3 "
/
= “ 3 e s prim o"
v
Se construye la ta b la de verdad para la conjunción:
P Aq
Finalm ente, e l valor de verdad p a ra la proposición es falso ( / ) .
3
• • E n cu e n tra e l valor de verdad de la siguiente proposición:
c = “ Si 2 e s núm ero par, entonces 4 e s divisor de 10"
S olución
Se determ in an los valores de verdad de las proposiciones:
v
p = “ 2 e s núm ero par"
q = “ 4 e s divisor de 10”
Se construye la ta b la de verdad para la im plicación:
P
<1
V
f
p=*q
f
P o r consiguiente, e l valor de verdad para la proposición es falso ( / ) .
39
/
1
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 1 7
Indica el va lo r d e verd ad d e las siguientes proposiciones:
1. a = “ 4 e s núm ero p ar y 5 e s m últiplo d e 2 ”
2. b = “L a víbora no e s un reptil o e l c a n a rio e s un pez”
3. c = “ Si 21 es m últiplo de 7, entonces 21 e s m últiplo de 2”
4. d = “ L a g u acam ay a e s un pez s i y só lo s i e l tib u ró n e s u n ave”
5. e = “ Si e l o ro e s un m etal, en to n ces e s un buen co n d u cto r de la ele ctricid a d ”
6. b = “ 3 e s divisor de 18 o 18 e s m últiplo de 24"
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Construcción de las tablas de verdad
U na ta b la de verdad s e construye paso a paso, a l estab lec e r los valores co rrespondientes de c a d a suboperación invo­
lucrada, h a sta llegar a la expresión dada.
Después de c o n stru ir una ta b la de verdad, e l resultado puede s e r una tautología, una con trad icció n o una c o n tin ­
gencia. A n alicem o s esto s conceptos:
T autología. P roposición co m p u e sta e n la que todas las com b in acio n es de valores so n verdaderas.
C o n trad icció n . Proposición co m p u e sta e n la c u a l todas las com binaciones de valores so n falsas.
C o ntin gencia. P roposición co m p u e sta e n donde las com binaciones de valores so n verdaderas y falsas.
EJEM PLOS
• • C on stru y e la ta b la de verdad p a ra p
.1 .
iu
a
~ q y re aliz a una conclusión.
S o lu ció n
E l núm ero de proposiciones e s 2, por tanto, el núm ero de valores d e verdad es 2" = 2? = 4 , e l resultado indica e l núm ero
de renglones d e la tabla.
P rim ero se d e te rm in a la negación de la proposición q. Finalm ente la conju n ció n s e re a liz a to m an d o la proposición
p y la negación de q a n te s obtenida.
P
A ~ q
p
q
~q
V
V
f
V
/
V
/
V
/
/
/
V
/
/
Se concluye que la ta b la de valores de verdad es una contingencia.
4 0
f
v
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
2
• • 'C o n stru y e y d a una conclusión de la ta b la de verdad para ( p a q ) => ( p v q ).
Solución
Prim ero se en cu en tra la conju n ció n de p y q, desp u és se de te rm in a la disyunción d e p y q.
P o r u ltim ó se re aliz a la im plicación de la conju n ció n y la d isyunción antes obtenida.
pw q
( / > A ? ) = 5 ( p v q)
V
V
/
V
V
/
V
V
/
/
V
PA i
p
4
V
V
V
V
/
/
V
/
/
Se concluye que la ta b la de verdad co n stru id a e s una tautología.
3
• • ■ R e a liz a una ta b la de verdad y verifica si la siguiente p ro posición ( p a q ) a ~ p e s una co ntradicción.
S olución
P rim ero se realiza la conju n ció n de las proposiciones p y q, sim ultáneam ente se niega la proposición q, finalm ente se
d eterm ina la conju n ció n d e los valores de la prim era conju n ció n co n la negación de p .
pAq
p
~p
( p a q) a —p
V
V
V
f
f
V
/
/
f
f
/
V
/
V
f
/
/
/
V
f
L a proposición resultó fa ls a p a ra todos los valores, por consiguiente, e s una co ntradicción.
4
• • C onstruye la ta b la de verdad p a ra p v ( q a r).
S olución
E l núm ero d e proposiciones es 3, p o r tanto, e l núm ero de valores d e verdad es 2" = 2 3 = 8, e l resultado indica e l núm ero
efe renglones de la tabla.
P rim ero s e en cu e n tra n los valores de verdad de la conju n ció n de las proposiciones q y r, finalm ente se d ete rm in a
la d isyunción de la proposición p c o n la conju n ció n an te s determ in ad a.
p
4
r
qAr
V
V
V
V
v
V
V
/
/
V
V
/
V
/
V
V
/
/
/
V
/
V
V
V
V
/
V
/
/
/
/
/
V
/
/
/
/
/
/
/
Finalm ente, la ta b la indica q u e s e tra ta de una co ntingencia.
41
p w {qA r)
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
5
••■ C o n stru y e la ta b la de verdad p a ra ~ p v ~ q .
S o lu ció n
p
V
V
~pw - q
-p
~q
f
f
f
v
V
/
f
V
/
V
V
/
V
/
/
V
V
V
Los valores de verdad de la ta b la indican que e s una contingencia.
6
• • ‘C on stru y e la ta b la de verdad p a ra ~ p v ~ - ( ~ p v q ) .
S o lu ció n
p
V
V
~(~pvq)
~~p v*~(~-p v q)
V
f
f
v
~pvq
-p
f
V
/
f
/
V
/
V
V
V
/
V
/
V
V
/
V
/
L a ta b la es una contingencia.
7
• • V erifica s i la sig u ien te proposición e s tautología
S o lu ció n
p
«?
V
V
pvq)
~p
f
pv (-p v^)
V
V
V
/
f
/
V
/
V
V
V
V
/
V
V
V
/
L a proposición resultó v e rd ad era p a ra todos los valores, por tanto, e s tautología.
8
• • V erifica s i la sig u ien te proposición e s tautología ( p
a
q) =* ( p <=>q).
S o lu ció n
pAq
p
p**q
( p A q ) =* ( p «=> q)
V
V
V
V
V
V
/
/
/
V
/
V
f
....... ¿ ........
V
/
/
f
V
V
L a proposición resultó v e rd ad era p a ra todos los valores, por consiguiente, e s tautología.
42
C a p ít u l o
1
Conjuntos y lógica
9
• • -C onstruye la ta b la de verdad p a ra - ( p
a
q ) v ~ (q <=>p).
Solución
p
4
Pa q
q< * p
“ (P a q)
~ (< ?« p )
~ (p A $ )V ~ (4 « = > p )
V
V
V
V
f
/
/
V
V
V
/
/
/
V
/
V
/
/
V
V
V
/
/
/
V
V
/
V
L a ta b la es una contingencia.
E JE R C IC IO 1 8
C o nstruye la tabla d e verdad para cad a una d e las siguientes proposiciones:
1.
p v -q
2. P A - q
3. ~ p = > ~ q
4. ~ ( p v q ) = > ~ q
5. ( p * q ) < * ( p v q )
6.
(pvq)A~(p=>q)
7. ( p = * q ) v ( q = > p )
8. ( P A ( p = * q ) ) = > p
9. ( ~ p A ~ q ) = * ~ ( p v q )
10. ( p v q ) A ( p v r )
11.
~ p v ( ~ q <=> r)
Vitrifica t u s re s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Producto cartesiano de conjuntos
D ados 2 c o n ju n to s A y B no vacíos, e l p ro d u cto c a rte sia n o e s e l c o n ju n to (A x B ) que co n tie n e a todas la s parejas
ordenadas, c u y o prim er ele m en to pertenece a l conju n to A y s u segundo ele m en to pertenece a l c o n ju n to B.
A x B = {(a , b ) \ a e A y b e B )
E JE M P L O S
1
aL
u
••
Si A = {1, 2} y f l = {jc,y}, d ete rm in a A x B .
Solución
Se aso c ia a c a d a uno de los elem entos d e l prim er conjunto, c o n todos los elem entos d e l seg u n d o conjunto:
A x B = { (1 ,x \ ( 1 , y l ( 2 , x \ ( 2 ,y)}
(icon tin ú a )
4 3
1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
( continuación )
R epresentación gráfica:
a:
-------
1
— '----------------- ►
2
A
La representación gráfica tam b ién se conoce co m o d iag ra m a sa g ita l.
2
• • ■ S i A = { 1, 2
}y fl = {2, 3, 4 }y C = {3, 4, 6 }, halla ( A
u B )x (B n C )
S o lu ció n
Se h alla e l con ju n to so lu c ió n d e las operaciones indicadas y posteriorm ente s e realiza e l producto cartesiano:
A u f í = { 1 ,2 ,3 ,4 }
B n C = { 3 ,4 }
( A u B ) x ( B n C ) = { ( 1 ,3 ) ,( 1 ,4 ) ,( 2 ,3 ) ,( 2 ,4 ) ,( 3 ,3 ) , ( 3 ,4 ) ,( 4 ,3 ) ,( 4 ,4 ) }
3
• • ■ S i A/ = [ a , b , c ) , N = [ 1 , 2 , 3 } y Q = { x , y }, e n cu e n tra M x N x Q
S o lu ció n
E l producto c a rte sia n o M x N x Q s e define com o:
M x N x Q = { (m , n , q ) I m s M , n e N y q e Q }
Entonces:
( a 1, x ) , ( a , l y ) , ( a, Z x ), ( a ,
2 , y ), ( a ,
3 * ) , (a,
y )
M x W x e H ( A U ) , ( * . i , y ) , { b , 2, x ) , ( b , 2, y ) , ( b , 2 x ) , ( b , 3» y )
( g 1,x ) , ( c , l , y ) , ( G % x ) , ( c , 2 y ) , ( c , 3 , x ) , (c , i y )
EJE R C IC IO 1 9
Cfedos b s sig uientes conjuntos:
A = { 1 , 2 , 3 } , f l = {2 , 4 } y C = { 3 , 5 , 6 }
Realiza b s siguientes productos cartesianos y verifica q u e e l resultado d e l inciso 6 e s igual a l ob ten id o en e l inciso 7:
1.
AxB
6. A x ( B x C )
2.
AxC
7. ( A x B ) xC
3.
BxC
8. ( A u B ) x ( A n C )
4.
BxA
9. ( A - B ) x C
5.
CxB
10. ( A - C ) x ( A n C )
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
44
_____________ C
C o n cepto s
a p ít u l o
2
b á s ic o s d e á l g e b r a
H STÓ RICA
0
»C
1
<2
a l-K h w a rizm i
M
atemático árabe, conocido como el
padre del álgebra.
Sus obras incursionan en las ramas de las ma­
temáticas, astrología, astronomía, geografía e
^aJltrXOPW M U
historia. Una de sus obras importantes por su
contenido algebraico es la que lleva por título
H isab al-gabr w a'lm uqqabala, considerada uno de los primeros libros de
álgebra.
Es el autor de uno de los métodos geométricos más antiguos para resolver
ecuaciones de segundo grado, el cual se conoce como completar cuadrado.
En las ecuaciones llamaba "cosa" (xay en castellano) a la incógnita, a él
se debe que se utilice la letra "x" para representarla.
Se I b ruso de d icad o a al-Khwarizm i
(780-850 d.C.)
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Á lg e b ra
R am a de las m atem áticas que tra ta a las cantidades de m anera general.
Expresiones a lg e b ra ica s
Se conoce a s í a la com binación de núm eros reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades,
m ediante operaciones de sum a, resta, m ultiplicación, división, potenciación, etcétera.
Ejem plos
3 a + 2b - 5, en e s ta expresión so n constantes 3, 2, - 5 y las variables s o n a y b.
(z2 + 8)(5z4 - 7 ) , e n e s ta expresión so n constantes 8, 5 y - 7, v ariab le “z” y 2, 4 exponentes.
T érm in o algebraico. E s un su m an d o de u n a expresión alg eb raica y representa una cantidad. A todo térm ino algebraico
se le d e n o m in a m o n o m io y c o n sta de: coeficiente, b a se (s) y exponente(s).
Ejem plos
T érm ino
Coeficiente
B ase(s)
Exponente(s)
-8 /
-8
y
3
m,n
1 ,*
2x+ 1
-2
1
5 IB "'
3
3
| ( 2 , + ir
4
T érm inos sem ejan tes. D os o más térm inos so n sem ejantes cuando los m ism os exponentes afectan a las m ism as bases.
Ejem plos
L o s sig u ie n te s térm in o s tie n e n las m ism a s b a se s c o n s u s re sp ec tiv o s e x p o n en tes ig u ales, p o r lo c o n sig u ie n te so n
sem ejantes.
- I b co n 4 b
- 8¿ y 1 c o n l x 2y l
\ a b e 2c o n a b e 2
6
Reducción d e términos semejantes
Para sim plificar expresiones que involucren térm inos sem ejan tes, s e su m an o restan los coeficientes.
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
■§.
1
.1 .
§ • Sim plifica la ex p resió n - l a + 3a.
S o lu ció n
UJ
S e ag ru p an los coeficientes y se re a liz a la o p e rac ió n que d a co m o resultado:
- l a + 3 a = ( - 7 + 3 )a = - 4 a
2
• • - ¿ C u á l e s e l resultado de sim plificar la ex p resió n - 6 x y 2 + 9xy* - x y 22
S o lu ció n
S e ag ru p an los coeficientes y se re aliz a la o p e rac ió n para ob ten e r e l resultado:
- 6 x y 2 + 9 x y 2 - x y 2 = ( - 6 + 9 - \)x y 2 = 2xy2
P or consiguiente, e l resultado de la sim plificación e s: 2 x y 2
46
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
3 ••
Reduce la ex p resió n - l Q r 20 y b + 5 * 20/
- 6**“/ + 1 Lr20y".
Solución
Se efe c tú a e l m ism o procedim iento que e n los eje m p lo s anteriores y s e obtiene:
- \ 0 x 2ay b + 5 x 2ay b - 6 x 2ay b + 1 1x2ay b = ( - 1 0 + 5 - 6 + 1 1 ) x 2ay b = 0x 2ay b = 0
El resultado es igual a 0
4 ••
Sim plifica la ex p resió n I x - 3 y
+ 4 z - 12 x + 5 y + 2 z -
8y - 3z.
Solución
Se ag ru p an los térm inos sem ejantes:
7 j c - 3 y + 4 z - 1 2 r + 5 y + 2 z - 8 y - 3 z = 7 j c - \ 2 x - 3 y + 5 y - 8 y + 4 z + 2 z - 3z
Se realiza la reducción:
= (7 - \2 ) x + ( - 3 + 5 - 8)y + (4 + 2 - 3)z
= - 5 * - 6 y + 3z
P o r tanto, e l resultado e s: - 5 x - 6 y + 3z
5 ••
Sim plifica O S a ' b - l a b * - S a ' b + OJSab* - ^ a ' b .
Solución
Se expresan los d ecim ales e n fracciones, se ag ru p a n y sim plifican los térm in o s sem ejan tes.
0 5 a 3b - 3 a b s - S a ’fc+ 0 .7 5 a b 3 ~ ^ - a 3b = ] - a 3b - 3 a b 3 - 5a*¿>+ ^ ab 3 ~ ^ a 3b
D
A
4
3
= ^ a 3b - 5 a ib - ^ a i b - 3 a b 3 + ^ a b i
31
9
i
E ntonces, e l resultado e s: — —a b - —a b '
6
4
EJE R C IC IO 2 0
•
!
Sim plifica:
1. 3 r - 8*
2.
6a 2b + l a 2b
3. - 6xy2 - x y 2 - 3 xy2
I
4. 4 x f i - 4 x f i
:
5. - U b + l ' t f b
6. - 3ú + 5a - 10a
I
7. 4 x - 3 * - 2 *
1
8. 7 a b + 4 a b - 3 a b
4 7
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
9. S o 1- 7 a 2 + 3 o 1- 2 a 2
10 . - m + n + m + n
11. \ a 3b - j a 3b + ^ a 3b
4
5
6
12. - 3a**1 + 2<f+l - a * x + 2a*+l
13. 0.25¿>-0.4¿> + 0.2¿>
14. ^ a b 3c ~ ^ ° b 3c - a b 3c
15. 4/n’"2 - lOm*-2 + 3n f~ 2
16. 8 * - 3 y - 9 * + 5 y - 2 r + y
17. 1 0 a - 7 ¿ > + 4 a + 5 ¿ - 1 4 a + 3 ¿ >
18. - 12tfi + 3 n - 4 m - \0 n + 5 m - n
19. \ l a 2b + 3ab2 - & a 2b - \ 0 a b 2 - 3 a 2b + 6ab2
20. 9¿ \ ? c - S J b c * - 1 2 o V c + 3a 2bc2 + 4 o V c
21. - 3 j t 2 + 2y2 - 7 + 1 0 ^ - 1 2 / + 1 5
22. - 8 1 m 2 - \7 m n + 15«2 + 20m 2 + 3m « - 17/i2+ 5 3 m 2 +18mw + 7/i2
23. j?**1 - ' S x 3a~2
- 4¿°~2 + 8 / ° ” + l l x 3^ 2
24. - 3 c T 5 + l f o T 2 + 2 ^ 5 - 3 ^ 2 - 8c T 5
25. - .^ - a 2 - \ a b + ) - a 2 + 5 a b -? > a 2 - ) - a b
4
2
2
2
26.
3
- — b m~2 + - j í " - 1 - - b m~2 - 4 x m~l
10
2
4
27. 0 .5 * - 2 . 5 y + 0.4 a:
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Valor numérico
E l v a lo r num érico de una e x p resió n a lg e b raic a s e obtiene a l su stitu ir a las literales o letras co n su s respectivos valores
num éricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
• • D eterm ina e l valor num érico de la ex p resió n : x 4y V \ s i x = 4, y = 3, z =
S o lu ció n
Se sustituyen los respectivos valores de x , y , z y se efec tú a n las op eracio n es indicadas para obtener e l valor num érico
de la expresión:
A V
= ( 4 )W
( 0 = (2 5 6 )(9 )(¿ ) = ^ ±
E ntonces, e l resultado e s: 288
48
= 288
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
2
• • ¿C uál es e l v a lo r num érico de ^
x = ^ y = ~¡'í
+
S olución
A l seguir los pasos d e l ejem p lo anterior, s e obtiene:
5^
3
2«
5
2(2)U J
y 5 (2 )¡
3x 3
5
4 = 5W _ 4 . 4
3 (2 )
3
5
6
= 25 _ i + ±
3 5 24
_ 800 - 24 + 5
120
P o r tanto, e l valor num érico de la expresión e s igual a:
3
• • ■E ncuentra e l valor num érico de 3rtt2 - 2 m n
+ n 2p \ s i m = -
781
120
781
120
3, n = 4, p = - 5.
Solución
Se sustituyen los respectivos valores en la ex p resió n y s e realizan las operaciones:
3m2 - 2m n + n2p = 3 ( - 3)2 - 2( - 3)(4) + (4)2( - 5)
= 3 (9) - 2 ( - 3)(4) + ( 1 6 )(- 5 )
= 27 + 2 4 - 8 0
= -2 9
P o r consiguiente, e l valor num érico e s: -2 9
EJE ÍC IC IO 2 1
Encuentra e l v a lo r num érico d e cad a una d e las siguientes expresiones si:
m = - 2 , n = 3, p = I , x = I , y = 10,z = ^
4
3
2
1.
lS . Ü Z L . H l l
ti
m
2m + «
\2 m + n )
l
3.
m ~ n* y
Sp + 3 x
. 2z +6x
4.
. i
v
w
. 9.
20. — - p " + z "
32
13.
21. ( m - n ) ( p - x )
x
6■ X * Z ~ P
3x + 4 z - 9
14.
7-
15.
8.
ñ
+m+
9. J ? ! _ £ ± í
z
12. m 2 - 3 m n + rí2
n
5. 5 m - 2 « + 3 y
2 n
—- - + 3
z
x
22. ( ó x - l p X l m 2 - ^
2
3
z
X
4
23.
z
m
, 6 2 |l _ 8 |l + 3
17. 2 r P -
f
-
24. 3 ( p - * ) '
^
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ■
49
p
25. ^
+&
3 ^
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Lenguaje a lg eb raico
E xpresa oraciones de lenguaje co m ú n e n térm inos algebraicos.
Ejem plos
E x p resa las siguientes oraciones d e l lenguaje c o m ú n a l lenguaje alg eb raico .
L e n g u a je c o m ú n
m
1. U n núm ero cualquiera.
z
U n núm ero cu alq u iera aum entado e n siete.
7+7
3.
L a diferencia de dos núm eros cualesq u iera.
f-q
4. E l doble de un núm ero excedido e n cinco.
5.
2x+ 5
L a división de u n núm ero entero en tre s u antecesor.
6.
L a m itad d e un núm ero.
7.
E l cu ad ra d o de un núm ero.
2
y*
¿>+c
a
L a sem isu m a de dos núm eros.
9.
Las d o s terceras partes de un núm ero dism inuido e n c in c o e s igual a 12.
2
1200 - tv
12. E l cu ad ra d o de un núm ero aum entado e n siete.
13.
Las tre s quintas partes de un núm ero m ás la m itad de s u con secu tiv o equivalen a 3.
14.
L a raíz cu a d ra d a de la difere n cia de dos cantidades.
\¡ a -b
16. E l c u b o de un núm ero m ás e l triple del cu ad ra d o de d ic h o núm ero.
x 3 + 3x2
Expresa e n lenguaje algebraico las sig uientes oraciones:
2. E l triple de un núm ero excedido e n ocho.
3. E l co cien te de dos núm eros cualesq u iera.
4. L a parte m ayor de 100 si la parte m enor e s x.
5. D os núm eros en tero s consecutivos.
6. T res núm eros en tero s pares consecutivos.
7. E l cu ad ra d o de la sum a de d o s núm eros cualesq u iera.
•
•
8. L a su m a de los cuadrados d e dos núm eros cualesquiera.
!
9. E l re cíp ro co de u n núm ero.
•
10. L a raíz c ú b ica de la d ifere n cia de dos núm eros cualesq u iera.
11.
| p + ^ ( p + i) = 3
x ( x - \ ) = ?>0
1.U n núm ero dism inuido e n tres.
*
b2 + 7
15. E l producto de u n núm ero positivo co n s u an teceso r equivale a 30.
EJE R C IC IO 2 2
I
|(* -5 )= 1 2
* jr+ l,x + 2
11. L a parte m ayor de 1200, s i la m enor e s w.
l
x
x- 1
d
10. T res núm eros naturales consecutivos.
•
L e n g u a je a lg e b ra ic o
L a sum a de las raíces cuadradas de d o s núm eros cualesq u iera.
50
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
12. D iez unidades m enos que c in c o veces u n núm ero.
13. L a se x ta parte de la sum a de dos núm eros.
14. L a su m a d e tre s núm eros pares
consecutivos e s igual a l triple d e l menor, más las tres cu artas partes d e l mayor.
15. U n núm ero de dos cifra s, cu y o díg ito de las decen as e s e l doble del de las unidades.
16. L a c u arta parte d e l producto d e tre s núm eros cu alesq u ie ra m enos 4.
17. E l cu ad ra d o de la sum a de dos
núm eros e s igual a 49.
18. E l á re a de un cu ad ra d o de lado x unidades.
19. E l perím etro de un rectángulo, s i se sabe que e l largo e s tre s veces s u ancho.
2 0 . E l perím etro de un triángulo rectángulo, s i s e sabe que e l c a te to m ay o r m ide tre s unidades más que e l c a te to m enor
y que la hipotenusa e s dos unidades m ayor que e l c a te to mayor.
21. E l precio de un artíc u lo dism inuido e n s u 15%.
2 2 . E l ex ce so de 50 sobre e l doble de un núm ero.
23. D os núm eros c u y a su m a s e a 80.
24. T res núm eros impares consecutivos.
25. E l á re a de un rectángulo, s i s e sabe que s u largo m ide tre s unidades m enos que e l triple de s u ancho.
26. L a e d a d de una p ersona hace 10 añ o s.
27. E l exceso d e l c u b o de un núm ero sobre la m itad d e l m ism o.
28.
L os á ngulos de un triángulo, s i e l prim ero e s e l doble d e l segundo.
29.
L a can tid ad de a lc o h o l e n un re cip ien te de x litros de una m ezcla s i la c oncentración de a lco h o l e s 30% .
30. L a e d a d de A lb e rto s i tien e cu a tro años más que e l doble de la e d a d de Patricia.
31. L as dos terceras partes de un núm ero, m ás e l triple de s u consecutivo, m enos s u recíproco equivale a 10.
3 2 . E l doble de un núm ero equivale a l triple de s u an te ce so r excedido e n siete.
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ie n te
E bda una expresión alg eb raica, se representa e n lenguaje c o m ú n de la siguiente m anera:
E JE M P L O S
••
R epresenta e n lenguaje com ún la expresión: 3x - 8.
Solución
Prim ero se expresa la m ultiplicación y posteriorm ente la diferencia.
3 x - 8 = e l trip le de un núm ero dism in u id o e n ocho
2
• • • E x p resa 2 x + x 2 e n lenguaje com ún.
S olución
L a expresión qu e d a de la siguiente m anera:
2 x + X2 = la su m a d e l doble de un núm ero y s u cu ad ra d o
O tra form a de rep resen tar e n lenguaje co m ú n la m ism a expresión es:
2 x + x 2 = doble de u n núm ero aum en tad o e n s u cuadrado.
51
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
4
3 ••'Expresa en lenguaje común - * - l = —.
S o lu ció n
U na m anera de la expresión e n lenguaje c o m ú n es:
Dos novenos de u n núm ero dism in u id o e n la unidad e q u iv alen a cuatro tercios.
EJE IC IC IO 2 3
Cam bia las siguientes expresiones algebraicas a lenguaje com ún:
1.
x+ 3
10.
3 y - 2 = 25
2. 2 a - 11
11. -z+2=z
3 . 3 a2
12. - j ( . r - y ) + 3 = A :+ y
4
6
4. - a
13. í = -!■ (* -y)
y
6
5 .X
5
'
1 4 .x 2- y 2
6.
(a +by
7.
* 3+ y 3
15.
x 2- 2 x
8. - 7 7
c+ 1
17.
9 . 5 * = 30
18. x 2 + (¿ + l ) 2
\a -b
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
P o lin o m io s
E xpresión a lg e b raic a que co n sta de varios térm inos algebraicos.
Sum a
E n la s u m a los polinom ios s e escriben uno seguido d e l otro y se reducen los térm inos sem ejantes.
E JE M P L O S
1
• • Sum a los siguientes polinom ios: 5 a 3 - 3 a 2 - 6 x - 4 ; - 8 a3 + 2 a2 - 3 ; 7 a 2 - 9 x +1.
S o lu ció n
L os polinom ios se esc rib e n de la siguiente form a y se realiza la reducción de térm inos sem ejantes:
(5a:3 - 3 a 2 - 6a: - 4 ) + ( - 8 a 3 + 2a2 - 3 ) + (J x 2 - 9 a + l ) = - 3 t 3 + 6 x 2 - 15 a - 6
P or tanto, e l resultado e s: - 3 r 3 + 6 a 2 - 15* - 6
52
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
2 • • ■E fectúa la siguiente operación:
(2 x - l y - 3z
+ 6) + (- 9 x + 4 z) + (- x
+ 4 y + z - 8).
S olución
C o n un fin más práctico, s e o rd en an los polinom ios haciendo co in cid ir los térm inos sem ejantes e n c olum nas; asim ism o,
s reducen los co eficien tes térm ino a térm in o .
2 r - 7y - 3 z + 6
+ -9 c
+4z
- x + 4y + z - 8
- 8c - 3y + 2 z - 2
E l resultado de la su m a e s: - 8 r - 3y + 2 z - 2
3
••
R ealiza la sig u ie n te o p eració n :
+í ) ‘
S olución
Se aco m o d an e n form a vertical los térm inos sem ejantes y se re aliz a la o p e rac ió n colum na por co lum na:
W
’ -s
P o r consiguiente, e l resultado e s: Z c fl+I - ^ y *
E JE R C IC IO 2 4
•
Realiza b siguiente:
!
1. Sum a los polinom ios 3 x - 8 y - 2 z ; 7 x + 3 y + z
•
2. ¿C u ál es la su m a de - 5 m - 3w + 6 co n 7m + 2 n - 8?
3.
R e aliza (1 l a - b + c ) + ( - 8a - c)
\
4. E fec tú a (3p - 5 q - 6 r ) + (2p + 3q - 2 r) + ( - 12p + 4 q + r)
•
5. Sum a 6*2 + 3 * - 2 c o n - . ^ + 7 * + 4
6.
(8 a2 - 6 a 3 + 4 a ) + (4 a + O1 - 4 a - 5 )
I
7. (5*4 - 3 / + 6 c - 3 ) + ( - 3 x 4 + jr3 + 5.r2 - 7 j c + 3)
•
8. R e aliza (5.C2 - 5 a: + 6 ) + (Zc2 - 7 * + 4 ) + ( - 6c2 + 10c - 10)
I
9. S u m a y 3 - y ; 2 y 2- 5 y + 7 ;4 y J - 5 y 2 + 3 y - 8
•
!
10. ¿C u ál es e l resultado de su m a r 8Z3 - 9 ; - 4z3 + 2z2 + 6 ; 5z2 - 2z3 - 7 z + 2?
•
11. E fec tú a la su m a de 4 ¿ - 10^y - 12y2; 3 / - 10*2 + 5x y \ % x y - 3 ¿ - 2y 2
I
12. R e aliza Ce5 - 3 x ) + (x* + 6 / ) + ( - / - 2)
*
13. ¿C u ál es e l resultado de la su m a de - 15x?y - 3x*y* - ó ty 5; - 8 / y + 2 x f - 4 c / ?
\
14. Sum a / - y 4; - / y + / y 2 - Ay3; 3x4 + 5 / y - 4c2/ ; - 4 c 3y + 3 / y 2 - 3y4
15.
R e aliza (3a6 - 4 a 7) + (7 a + 6 a 2) + ( - 3 a 2 + 7 a ) + ( - a 4- 4a2)
53
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
16.
5
2
1 3
1
1 3
Sum a los polinom ios - x 2 - 5 x y + - y 2; - ~ x 2 + - x y - - y 2; - 2 x 2 + - x y - —y 2
2
3
3
2
4
2
4
a
—
ly f w f ? - !» )* £ |
18.
Sum a los polinom ios
19. B f c c tía ( , * - ! , ) +
20. S u m a i5 - / ;
6
7
5
/
í
4 * H
+ ^ -* y 2 ;
8
*
( 4 - 4 * 4 ? )
x i - ^ x 2y - y 3\ \ x * - \ x y 2 - | y 3
2
3
4
5
(V -2 y )+
- E * y - | v - i y 5; | * V | * V -
22. ¿C u ál e s el resultado de su m a r (5 a31 - 2 a 21 + 7< f) + ( - 2 a 31+ 4 a * - 6 ( f ) l
23. S u m a 3 x 2fl- 5 x 2o- , + 4 ^ - 2; ^ + 4*2fl-, + ^ a- 2; - 3 x 2fl- 7 ^ - 2; ^ a- , + 3 r 2fl- 2
24. ¿C u ál es e l resultado de sum ar ^-b2' - ~ b x + b , - \ b 2' + b l - \ b
8
6
4
3
y - b 2x + 2 b l
Vferifka t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Resto
E n e s ta operación e s im portante identificar e l m inuendo y el sustraendo, para posteriorm ente realizar la re d u cc ió n de
térm inos sem ejantes.
E je m p lo s
E JE M P L O S
1
• • R e a líz a la sig u ien te o p e r a c ió n : ( 4 o - 2 ¿ > - 5 c ) - ( 3 a - 5 b - 7 c ).
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo 4 a - 2 ¿ » - 5 c re p re se n ta a l m in u e n d o y 3 a - 5 b - 1 c a l su stra e n d o . Se su p rim e n los p aréntesis y se
procede a efectu ar la reducción de térm in o s sem ejan tes.
(4 a -2 ¿ > - 5 c ) - ( 3 a - 5 ¿ > - 7 c ) = 4 t f - 3 tf - 2 ¿ > + 5 ¿ > -5 c + 7c
= a + 3 b + 2c
P or consiguiente, e l resultado de la resta e s: a + 3¿> + 2c
2
• • ■ D e 1 6 r2- 7 x - 8 r e s t a r 6 r - 3 ^ : + 6.
S o lu ció n
E l m inuendo es 16*2- I x - 8 y el sustraendo es 6X2 + 3 x - 6, entonces al sustraendo se le cam b ia e l signo - (ó*2 - 3 x + 6 ) =
- 6 x * + 3* - 6 y s e a co m o d an los polinom ios e n fo rm a vertical para realizar las operaciones e n tre los térm inos se m e ­
jan tes:
16r -7 * - 6 r +3x-
8
6
\0 x 2 - 4 x - 14
P or tanto, e l resultado e s: 10.*2 - 4 x - 14
54
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
3
• • • R e s t a - ^ a 2b - 6 b * + 2a* - ^ a b 2 de ^ a 3 - 2 b * + ^ a 2b - a b 2.
- í - ^ a 2b - 6 b 2 + 2 a 3 - ^ a b 2
(
j
) = - 2 a 3 + ^ a 2b + ^ a b 2 + 6 b 2
Se a co m o d an los polinom ios y se re d u ce n los térm in o s sem ejantes:
- a 3 + - a 2¿ > - a b 2 - 2 b 2
3
3
- 2 a 3 + ~^a2b + ^ a b 2 + 6 b
- ^ a 2 + ^ a 2b - ^ a b 2 + 4 b
Finalm ente, e l resultado e s: - ^ a 2 + ^ a 2b - ^ a b 2 + 4 b 2
E JE R C IC IO 2 5
Realiza las sig uientes operaciones:
1. D e 5a2 - 3 a + 2 re s ta 8a2 - 5 a + 7
2. ¿C u ál es e l resultado de ( 3 ^ - 5*2 - 6 x + 3 ) - (2*3 + 4 x - 8)?
3. D e 4 a - 10a3 + 2 a 2 - 3 a - 4 resta 5a5 - 3a3 + 6 a - 3
4. E fec tú a ( 4
-
5 * V + 6 / y - 8xy*) - ( 1 2 r V - 3.xy4 + 4 * V - 9x*y)
5. D e 7 - 8ú% + 3 o V - 6 a V + 2 abs resta 5a 2b2 - 3abs + 8 - l a sb - 2a*b2
6. R e aliza (3 * a*2 - l x '* 1 - 8 * a + 3**"1) - (4*°*2 + 6 x a" - l x ° - 9 x a~i )
7. D e 5a2m~ l + 6a2" - 8 a " * 1 - 3a" ~3 resta 12a*" - 5 a 2" ' 1 - 3 a " * 1 - 4 o " ‘ 3
11. R esta
8 a: -
3y - 6 d e 5a: + 4 y - 1
12. R e aliza (<t? + a - l ) - ( a 2 - a + 1)
13. R e s t a - 8 * 3 + 6*2- 3 * - 2 de 1 0 r3 - 1 2 * 2 + 2 j r - 1
14. ¿C u ál es e l resultado de re sta r 12a4 - 3a2 + a - 8 de 14a4 - 5 a 2 - 3?
15. R esta \6 x 6y - 3*3y 2 + 8 * y d e 4 r 7y5 + 9 ^ y 2 + H k 6y4
16. R esta 3m*-6 - 7 m** + 8m '* - 1 2 m ^ ' d e
- 6/w*"5 + 2m'~2 - 8n T x
17. R esta 15o"*'0 - 3 a - 1 - 8a"'3 + 10a" de 4a"*9- 5a"*2 - 3a"‘3 + 2a"
55
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
18. R
^
e
3
s
t a
5
3 2
p de
* 3
19. Resta 4 * ? _ 2
5
6
2
2
_ 6
2
6
3,
+ 3 ^
13
12
1
2
3 * 2
1 3
4*
20. R esta ^ a sb - ^ - a 3b * - 6 a * b 2 d e 3 a V - 8 < j 5ó - i < i V + ¿ a V
2
4
4
2
V » rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
Signos d e agrupación
L o s signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar co m o una sola. Los
signos son:
a ) C o rc h etes [ J
b ) P aréntesis ( )
c ) Llaves { }
d ) V ínculo
R eg b s p ara suprimir b s signos d e agrupación
S i e l sig n o d e a g ru p ac ió n e s tá p re ce d id o p o r e l sig n o
é s te se su p rim e y las c an tid ad e s q u e e s tá n den tro de é l
conservan s u signo.
+(-a + b -c ) = -a + b -c
Si e l sig n o d e agru p ació n e s tá precedido por e l sig n o
éste se su p rim e y ca m b ia e l sig n o de c a d a una de las
cantidades q u e s e en cu e n tre n den tro de él.
- ( x - 2 y + 3z) = - x + 2 y - 3 z
- 2 7 = 3 ^ = - ( 2 x - 3y ) = - 2 x + 3 y
Si e n u n a expresión existen varios sig n o s de agrupación s e suprim en aquellos q u e n o conten g an otros. E ste proceso
se repite hasta llegar a una expresión que c a re z c a de signos de agrupación.
E je m p lo s
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
1
• • S i m p l i f i c a 2 x + { - [ 5 y + ( 3 x - z ) + 2 - ( - x + y - z + 4 )] - ( - x + y )} .
S o lu ció n
Se suprim e e l vínculo:
2 x + { - [5y + f r - z ) + 2 - ( - x + y - Í Í 4 ) ] - ( - x + y ) }
=2 x + { - [ 5 y + ( 3 x - z ) +2
- ( - x + y - z - 4 ) j - ( - * + y )}
Se suprim en los paréntesis:
= 2x+ { -[5 y + 3 x - z + 2 + . t - y + z + 4 ] + .r - y )
Se suprim en los corchetes:
= 2 * + { -5 y -3 x + z - 2 - * + y - z - 4 + x -y )
Se suprim en las llaves:
= 2 x -5 y -3 x +z - 2 - x + y - z - 4 + x - y
Se ag ru p an y reducen los térm in o s sem ejantes:
= 2 x -3 x -x +x - 5 y + y - y + z - Z - 2 - 4
=- x - 5 y -6
Por tanto, e l resultado e s: - x - 5 y - 6
56
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
2
• • *Sim plifica: - x -
~ v + jy -x -y
)!
S olución
Se sig u e e l m ism o procedim iento que e n e l ejem p lo an terior:
P o r tanto, e l resultado e s: — 7 X + — y
4
12
EJE R C IC IO 2 6
Sim plifica:
1. 3 x - [ 2 y - ( 5 x + 3 y ))
2. - ( 6 a - 3 b ) - { 5 a - 9 b - ( 2 c - 9 b ))
3. - K k - ( 8 * - 4 y + 2 z ) + ( 5 . r - 4 y - 2 z ) - ( l Q * - 3 y - 4 z )
4. 4m + {(6m - 3n ) - (9n - 5m ) + (8m - 2 n )}
5. 2 a - { 7 a - ( 3 a - 7 6 ) + ( 1 0 a - 9 ¿ > ) }
6. - ( r + y ) + [3 * - 2 y + { - 8* - 5 y - (6* - 8y - l y ) ) - <w]
7. 8xr2 - { 3 ^ - 6 y - 2 x - ? > y - [9x2- 6 y - 4 x ] - ( 2 x 2 - 9 y + ó x ) - ^ 2)
8. - ( - 6 * + 3 y - (8 x - [2 y - 4 x - 2 x - 6 y + l ( k j - 9 y ) + 12r}
9. - 9 y + 3 z - { 5 j c - \ 0 y - 8 z - ( 2 x - 6 y + 7 z - [ 2 x - 3 y ])|
10.
- 6 x + {8y - (2 * - [ 4 r - 9 y - 6zJ - I x ) - 6 y ) - (8 * - [3y - 2z] - 9 y )
5 7
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
M ultiplicación
Para realizar e sta o p e rac ió n e s conveniente reco rd a r las reglas de los signos.
Reglo d e los signos
(+X+) = +
(+X-) = -
(-)(+ )= -
(- X - ) = +
L ey d e los expo n en te s p a ra la m ultiplicación. En la m u ltiplicación de térm inos c o n la m ism a b a se los exponentes
se sum an.
am oT = a"t"
M onom io p o r monomio
A l m ultiplicar m onom ios, prim ero s e m ultiplican los co eficien tes y desp u és las bases.
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
# • ¿C u ál e s e l resultado d e ( - 5 x Y zK 3 x * y 6z)1
S o lu ció n
Se m ultiplican los coeficientes y las bases:
( - S x Y z X l x Y z ) = ( - 5X 3) x ‘ x 2 / y ‘ z z
Se a p lic a n las leyes de los signos y de los exponentes:
= - 15r*f2y5*V +l
— is*yv
Por tanto, e l resultado e s: - 1 5 * y 'z 2
2
• • R e a líz a la sig u ien te o p eració n :
j.
S o lu ció n
Se e fe c tú a e l producto de las fracciones y s e a p lic a la ley de los exponentes para las bases.
Por consiguiente, e l resultado es:
3
• • R ealiza ( - abc)(3ac).
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo , la base b no se rep ite e n am bos factores, por tanto, se pasa igual en e l resultado.
( - a b c \3 a c ) = - 3¿ " b e " 1= - 3 d b d
E l resultado de la m ultiplicación e s: - 3a 2bc2
4
• • R e a liz a (3 í!“-'y J“ ) ( - Z t <“- y “ )-
S o lu ció n
Se a p lic a e l m ism o procedim iento que e n los eje m p lo s an te rio re s, no im p o rta q u e los e x p o n en tes de las bases se a n
expresiones alg eb raicas.
(3
) ( - 2 x 4^ Y 0) =
Por tanto, e l resultado e s: - 6 : x*a~*ySa
58
= - 6 * 6‘- y ‘
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
5
• • E fec tú a ( - 3 a 4¿ c ) ( 2 f l V ) ( - 5 a ó V ) .
S olución
( - 3 a V ) ( 2 a V ) ( - 5 a b V ) = ( - 3 ) ( 2 ) ( - 5 ) a 4+2+V +V +5+2 = 3 0 fl7* V
EJ resultado d e l producto e s: 3 0 a V e 1
EJE IC IC IO 2 7
Resuelve las sig uientes operaciones:
1. (5 x X -3 * )
16. (6m 2w*n4*X - 7m x~6n5)
2. ( 4 x y 2) ( 6 ^ / z )
17. ( - 9 ^ "y 2"“ ')(4 r5y6)
3. ( - 7 ú 5c2X2a4¿>c6)
18. ( - 3 * toy
4-
(H (- H
5. ( - 1 0 m 6p ) ( - 5 m 2p 3)
2°.
6. ( 9 c 5m 9p 2
21. ( 5ab)(-?>a2b )Q a 3bc )
Í ~ r ‘ m)
7. (-x y z)(x y z )
2 2 . ( - 7 ¿ / z X r 2x6y 2) ( - 4xyz)
8. ( a c ) ( —4<a3¿>)
23. ( - 5 x ) ( 3 y X - 2 z )
(- H (- Imv)
9
,0 . ( ^ v ) ( f a V
11-
c )
(- f^ )(f* v )
12. ^ |m /> 2j( - 1 5 m 6p )
13. (0 .5 m 6p 5) ( 0 .2 m 2n)
^
f,X - 2 * * y a>
24. ( 4 A X - V X 3 A X - 2 / )
25. ( i a V c ) ( ¡ flV ! ) ( 6 ac ) ( ^ a ‘ ¿.! )
26. f - | ^ ) g
<P 6 c ) ( - I a c ) ( - 2 A>cI )
27. (4ú5/>3cX“ S a ^ b 'c X - 2a4* - W )
28- ( r ^ y4“ ) ( k v Í ( - ^
14. (0.4ü¿»cX 0.12^z)
29. ( 3 ^ ly X - 4 ^ 4úX - 2 ^ - y a)
15. (5 a mb 'c X - 2 a 2b3c)
30. (2úf'ft6)(-2 fflV X - 5 f l 2m3n 5')
‘)
V srifica tu * re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu cio n e* c o r r e s p o n d ie n te ■
P o lin o m io p o r m o n o m io
Se m u ltip lic a c a d a uno de los térm in o s d e l polin o m io por e l m o n o m io o viceversa, c o m o lo ilustran los siguientes
ejem plos:
E JE M P L O S
V»
I
1
• • R esuelve ( 5 * V - 3 * V z + 4xz4X - 3x 4y ).
S olución
Se m ultiplica c a d a uno de los térm inos d e l polinom io por e l m onom io:
( 5 * y - 3 * V z + 4 x z \ - 3x*y) = (5x 5y \ - 3x*y) + ( - 3*4/ z X - 3x*y) + (4xz4X - 3*4y)
= - \ 5 x 9/ + 9 ^ y iz - \ 2 x sy z i
P o r tanto, e l resultado e s: - 1 5 * y + 9/ y * z - 1 2 r5yz4
59
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
_2*X4d3*" ‘b 21 - 5 a 3*~ 2¿>2” 1 + 3 a 3*" V * * 2).
*R ealiza e l siguiente producto: ( -
S o lu ció n
Se re aliz a e l producto d e l m onom io por c a d a uno de los elem entos d e l polinom io:
(_ 7 a * * V -2‘)(4 a3” ,¿ 2* - 5 a 3” V ” 1 + 3a 3” 3*2**2)
= ( - 7a ” V " 2* ) ^ 3” V *) + ( - 7 r f +V
= - 28a4” 2¿>+ 35a4” V - 21a V
2* - 5 a3” 2*2” 1) + ( - 7 a*’ V " ^X S a3” 3*2” 2)
Luego, e l resultado e s: - 2 8 a 4” 2¿> + 3 5 a 4” V - 2 l a V
3
~2
••■ R e s u e lv e e l siguiente producto:
3) ( ” f ^
S o lu ció n
Se m ultiplica e l m onom io p o rc a d a uno de los elem entos d e l polinom io:
( k - k * H
( - H
= - — J ? " + - x 2m~l - - x 2m~2
15
9
2
Por consiguiente, e l resultado e s: - y ^ * 2" + ^ x2"~' “ ^ * 2"~2
EJE
IC IC IO 2 8
Realiza b s siguientes productos:
1. (4 a 2 - la b ) ( 2 a b )
2. ( - 3m )(5m 4 - 3m 3 + 6m - 3)
3. (3x*
- 2t)(.ry)
4. ( - 3 a b )(2 a 1 - l a b + 86?)
5. ( 6 a V - 7 a 2£3 + 4a¿>5)(4 a5¿ 2)
6 . ( - 5xy2z ) (7x6y 2z - 3 xsy - 4xz)
7. (5m3/i - 3 tn p + 6m 2)(Smp^)
8. (4 a 3c - l a b - 2 c \ - 3 a c )
9. (5m6/i - 3m n4 + 2m n)(3m x*1n2")
10. ( - 2 x fl"2X 7 r i - & r 2 + 6 r 3 - 9 - r + 2)
11. ( 3 á * + 'b * - 7 t t xbM - 4 a V “ , ) ( - 3 a '* V - x)
12. ( - 5 ^ - / í,x 5 / - / ’ 13. (3<f*2t?cm - 3 a * W
- 4***2 y 21” 2)
+ 2 a ‘"3¿ r ’c X - 4 a 3¿>2c5)
60
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
,s -
i6- ( r 4
‘v+ r v - ¿ * ) ( H
17.
- | a * * 5c - j ( - 5 a V )
18'
19. ( 4 a f c ) ^ a V c + í a " - 'í > 3" " j
20. Í - —m 'n 4 l í —m 2” V “ - - m ^ n 3"-1
V 5
JU
4
2
)
V arifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e ,
P o lin o m io p o r p o lin o m io
Para m ultiplicar polinom ios por polinom ios, se sig u en los pasos indicados e n los sig u ien te s ejem plos:
E JE M P L O S
1
• • E fectúa la siguiente operación: (S x2 - 3 * - 2 )(4 * - i r 2 - 6).
S olución
Se e sc rib e n los fa c to re s de la m u ltip lic ac ió n e n fo rm a e sc a lo n a d a (c o m o e n las m ultip licacio n es a ritm étic a s), y se
o rd en an los polinom ios c o n resp ec to a los exponentes e n form a ascendente o descendente, seg ú n s e quiera.
5a2 - 3 * - 2
x
- 3*2 + 4 r - 6
Se m ultiplica e l prim er térm in o d e l polinom io de a b a jo por c a d a uno de los térm inos d e l polinom io de arriba.
5 a2 - 3* - 2
x
( - 3x2)(5x2) = - 1 5 * 4
- 3 a2 + 4* - 6
( - 3 x 2) ( - 3 * ) = + 9*3
- \ 5 x * + 9 x i + 6¿1
( - 3 x 2X - 2 ) = + 6^2
A continuación s e m u ltip lic a d segundo térm ino del polinom io de abajo por c a d a uno de los térm inos d e l polinom io
d e a rrib a y los resultados se c olocan d eb ajo de s u s respectivos térm inos sem ejantes d e l prim er resultado.
5 a 2x
3x - 2
(4*)(5*2) = 2Qxi
- 3 ^ + 4x - 6
(4 * )(- 3x) = - \ 2 x 1
- 1 5 * + 9 j? + ó*2
+ 20*3 - 1 2 * 2 - & *
( 4 * ) ( - 2 ) = - 8*
Se repite e l paso an te rio r para c a d a uno de los térm inos siguientes (s i e s que existe).
5*2 - 3 * - 2
x
-3 x l + 4 x -6
-1 5 * +
( - 6 ) ( 5 r ) = - 3 0 r2
( - 6 ) ( - 3 * ) = 18*
9 j? + ó*2
+ 20*’ - 1 2 * 2 -
8*
( - 6 ) ( - 2 ) = 12
( con tin ú a )
- 30*2 + 18* + 12
61
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
P or últim o, s e re aliz a la sum a.
5 / - 3* - 2
x
- 3 / + 4 * -6
-1 5 /+
9 /+
6x2
+ 2 0 /-1 2 /-
8a:
- 3 0 / + 18* + 12
- 1 5 / + 2 9 / - 3 6 / + lQ r + 12
Por consiguiente, e l resultado e s: - 1 5 / + 2 9 / - 3 6 / + 1 0 * + 12
2
• • ‘E fec tú a la sig u ien te operación: (5/ y - 3/ y 3 - 6xy)@ x*y - 4/ y 3 + 3*y).
S o lu ció n
Se aco m o d an los polinom ios de m anera vertical y s e re aliz a e l procedim iento descrito e n e l ejem p lo anterior.
x
5 /y -
3 /y 3 -
3*y -
4 //+
1 5 / y 2+
6 Ay
3*y
9 /y 4 - i s * y
-2 0 * y
+ 12 / y 6 + 2 4 / y4
________________ + 15 / y 2__________1 5 /y 2 - 2 9 / y
-
9 /y -1 8 /y 2
3 / y 2 + 1 2 / y 6 + 1 5 / y - 18/ y 2
P or tanto, e l resultado e s: 1 5 / y 2 - 2 9 / y 4 - 3 / y 2 + 1 2 / y 6 + 15 / y 4 - 18 / y 2
3
• • ¿C u ál e s e l resultado de ^ m 2 - 3 m n + ^ / r
S o lu ció n
E ste e s un producto de un polinom io p o r un binom io, los resultados d e los productos s e acom odan de m an era horizontal
y s e realizan las reducciones de térm inos sem ejantes.
2
5 2
3
? 1 3
^ m 2 - 3 m n + ^ n 2 j ^ | m - ^ « j = | m 3 - 2 r o 2n + | tn n — - m n + — tnn ~~—n
4
2
6
5 ,
= _ m
13
2
31
2
1 3
n
El resultado de la operación e s: ^ m 3 - ^ j-m 2n + ^ r m i 2 - \ n 3
3
4
18
6
4
• • O btén el re su lta d o de
+ 5 x “ ! - x ‘"
+ 2x“
S o lu ció n
Se aco m o d an los polinom ios verticalm ente y e n ord en d ecreciente y s e obtiene co m o resultado:
2 / +3 + 5 * fl+2 - x a« + x a~2
x
/ +l + 2 / - / " '
2 / fl+4 + 5 / fl+i -
+
/ ‘+2
- t 4 / a+3 + \ 0 x 2‘* 2 -
+ /- 1
2* 2a+l
+
2/
a"2
____________________ - 2 / 0+2 - S x ^ ' + x 2"______________ - * 2" 3
2 / a44 + 9 / fl+3+ 7 / fl+2 - 7 * 2a+l + / - + / - 1 + 2 / ° " 2 - / fl~3
62
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
EJE IC IC IO 2 9
Efectúa b s siguientes productos:
1. ( x - T X x + 2)
2. (m + 9)(m - 8)
2 4 . (m x~l - rf~l)(m - n)
3. ( - * + 2 X 3 - * )
2 5 . ( ¿ > " - ¿ r , + ¿ r * 2x¿> + 1)
4. (3 * + 7 ) ( r + 4)
2 6 . (2 *"fI + * ^ 2 - * " X - ^ 3 - ^
5. (2 x - 5 )(3 * + 2)
2 7 . ( r 0*2- 2*“ + 3*e^l Xxfl+ * ° “ )
6. (5 * - 4y)(5* + Ay)
2 8 . (3*2 - 5 * - 2 ) ( 2 * 2 - 7 * + 4 )
7. ( 3 * + 2 y X 3 * - y )
2 9 . ( 4 * - 6 ^ - 9 X 3 * 2 + 2 x + 1)
8. (n2 + 4 )(n 2 - 7)
3 0 . Í4 * 3 - 2 r 2y + 6 x t f ) t f y - x y 2 - 2 / )
1)
3 1 . (m + n - p X m - p - n )
»
(H X H
3 2 . (2m - 3 n + 5 p X n + 2 p - m )
3 3 . ( a + b - c ) ( a - b + c)
*
12. t f - 2 x y + y 2X x - y )
13. í*2 + 2 x y + y*)(x + y)
3 4 . (*2 - 2 * + IX *4- 2** + 2)
35‘ ( ^ 2“ í ' r + ^ )(6'*2’ 4 x“ 2)
14. (m 2 - m n + n2)(m + n )
3 6 . ( * " + * ^ , - * ^ V ' - * wt, + 0
15. (m 2 + mw + rt2) ( m - « )
3 7 . (2*2- +, + 3*2" - * a- lX r2 + 2 r + l )
16. (Sx2 - i f - 4 x y X 3 x - 2y)
3 8 . ( a 2¿>2 - o*¿» + a 4 - 3 ab 3 +
17. (4 b 2 - 9 a 2 - 4 a b ) ( 3 a - 7 b )
3 9 . (3 n T 2 - 2 / /T ' + m °X m 2 + 2ro - 1)
18. (2 a 2 - 3 a + 4)(2tí - 1)
4 0 . (3*20 + * ^ - 5 * ? - V ^ - a r 3- 2- 6 * 3- 1)
19. (5*4 - 3 * 2 - 6 ) ( 3 * - 4 )
4 1. (m 3- m + m 2 +1 )(m 2+ m - 2 m - 1)
- 2b1 + ab)
2 0 . (** - 3 * + IX*2 - 1)
4 3 . ( a * 1- 2a*+2- ¿T3 + a " i )(a'-i - d ~ x + O
*
4 4 . (a " 2 + 4tí**‘ - 5 f lT ''X ^ ' + ^
(J
t
+ «**)
Verifica tu s resultados en la sección da solucionas correspondíante i
División
A co n tin u ació n s e m uestra la regla de los sig n o s de e sta operación:
R e g la d e lo s sig n o s
(+ ) + (+ ) = +
(+ )* (-) = -
(-)* (+ )= -
63
(_> + ( _ ) = +
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Ley d e los exponentes pora la división
E n la división los exponentes de las bases iguales s e restan.
a"
M onom io entre monomio
C u a n d o s e div id e n m onom ios, prim ero s e re a liz a la div isió n de los co eficien tes y desp u és s e a p lic a la ley de los e x p o ­
nentes para las bases. Si la división de los co eficien tes no e s exacta, entonces se d e ja especificada; s i las bases no son
iguales, entonces se d e ja expresado e l cociente.
E je m p lo s
E JE M P L O S
1
• • R ealiza la siguiente o p eració n :
h c
8a V c
Solución
Se dividen los coeficientes y las bases para obtener:
d
^
8a V c
= =“
8
5-v
-v . = _ 2 a V 5
Finalm ente, e l resultado e s: - 2 c?bcs
2
' ¿C u ál e s e l resultado de
?
-ó x ry c
S o lu ció n
L a div isió n de los c o eficie n te s no e s e x ac ta , p o r tan to , s e d e ja e x p re sa d a c o m o fracción, la c u a l se sim p lifica y se
efectú a la división de las bases.
- 10* V c _ W
-6 * y c
-,
5
5
3*ye
S**
6
P or tanto, e l resultado e s: ^ .k 5y 4
3
• • ■ R e a l i z a - ^ 1.
-Ayz
S o lu ció n
Se ap lic a la ley d e los signos para la división y se dividen las b ases.
= 3 * = V -y V -, = A Y = (i)(i)(i)= i
-xyz
El resultado e s: 1
4 ••
¿C u ál e s e l resultado de 8
+ 2 * 2fl+3y 3fl_l ?
S o lu ció n
Se dividen los co eficien tes y se re stan los exponentes p a ra obtener c o m o resultado:
_
4 _ r (3 a -lH 2 a + 3 y S « - « ) - ( 3 e - l ) _
64
4
^
0- l - 2 o - 3 y a-4 -3 o * l _
o -3
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
EJE IC IC IO 3 0
Realiza las sig uientes divisiones d e m onom ios:
9 a 6b '°
^ 7 T
3 a 2b :
i2 * y z 4
9.
2 x *y sz
2.
- 7 x 5y 2
2
5 3
3 *
2
1 3
+ ~*6 2
-1 0 a *~ *b M
^ n mh ” +
^ ah2
8a 6
4 ^
20.
2 r 4v5 + 2
r
- 2 a * " * lb 2"~ 5
-8 P W
5
13
' - 1 2 a 2b 7
4 8 a 2x* b
-1 6
2x~2c x
21. 3 m i n sp 6 + - ^ m i n p s
a~ ' b 2" s c 2
—2 0 x Sm~2 y 9*
"
19.
- ó x ^ y 21* '
4.
'
- ^ a b + - ^ a b
\ 2 x '0o- i y Sb- 2
-13¿>
7
18.
8*Y
3.
6.
17.
18 x y 1?
z2m
22.
-6 x Y z2
- 5 a 6* 3
x
15
is * y
8. ^
23.
- ;A V
8
66a b
- a m- 2b ñ~5 * - a m~sb " '
2
24. - a " +,^
4
— fo » V
2
4
2 + - a 2- 3V
3
Verifica tu s resultados en la sección da soluciones correspondiente
P o lin o m io e n tre m o n o m io
Se divide c a d a térm in o d e l polinom io e n tre e l m onom io, co m o se m uestra e n los siguientes eje m p lo s.
E J E M P L O S --------------------------------
o
-q _
,
1
.
• •E fe c tú a
2 at4—5 at3+ jc2
— 2-------
S olución
Se divide c a d a térm in o d e l polinom io e n tre e l m onom io.
2 * 4- 5 * 3+ * 2
2*4
= ±±
5 * 3 . *2
±L_ +
= _ 2 r 4~2 + 5 r3 2 _ X.2 - 2
= -2 x 2+ 5 x - x ° = -2 x 2 + 5 x -\
r\
2
_
, \ 6 x t y sz - \ 2 x * y t z 2 + 6 x i y )
■D eterm ina e l c o c ie n te d e :
f -------------— .
-4 x y
S olución
Al a p lic ar los pasos d e l ejem p lo a n te rio r s e obtiene:
16^
_
-4 x y
l 2^ ¿ £ + 6^ ¿
- 4 x 2y
H resultado e s: - 4 x i y * z + I x 2/ ?
- A x 2y
3
-~ x y f
65
=
3 , 4- y - . ^ _ V
2
y -
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
3
• • '¿ C u á l e s e l cociente
de
4 r 2"*1 + R r3" -2 —12 r " +3
----------- ?
S o lu ció n
E l m onom io divide a c a d a uno de los térm in o s q u e co n fo rm a n e l polinom io.
4 * 2- 1
6x
.
Rx3- 2
L. m*-2
6x"~
12x"+3
¿ --2
6x"~¿
4 r (r?.44W„-?i
8 r ( 3 - - 2 H « - 2 ) _ i12
_ Z
2 * + lH -- 2 ) . Z
f J —3 H £A
6
6
A
¿ *
_ 2 2m*i-m+2 + £^3».-2-«t+2 _ 2 * " *}~"*2
3
3
= | y * 3 + ^ x J- - Z c s
2
4
Por consiguiente, e l resultado e s: “ •*'"+3 + ^ Ar2"'
EJE IC IC IO 3 1
Realiza las siguientes divisiones:
1.
2.
x 2 + 2x
11. í i a 56 7 - I a V
x
j +6 aV
4x3+ 2x2
12. f l a V - l a V + i a ' f t ’ V — a * 1
\ 4
2
6
/ 4
2x2
3.
- av
8x 2y - 2 0 x 3
4x2
4.
2x3- x 2 + x
x
5.
2x4 + 6 x 3- 8 x 2
15.
2x2
6.
7.
8.
8x 6 - 1 0 x 4 - 1 2 x 3
16.
g L'b yyc*z + 6 a i , b*yc Si - 8 a 4,¿>5yc 6z
~4x2
2 7 m 4w6 - 15m 3n 6 + 3 m n 2
3mn2
3 2 a V + 4 8 flV -flV
¿<22W
17.
18.
8o¿3
2 8 x Y - 4 9 x 7y3 - 7 x 2y
19.
x 2fl-.y 3a+5- 1 2 x a46y
*
2o -6
6x - 2y3^ 7
1 6 a 5" ”3¿»7" +l - 1 2 o 4" +V " - 5 + 8 a 3" “4¿>5"
_ 4 a 2- 5¿)4-,^
2 0 q 6"~4¿>3"<10 - S O q 7" - 2^ - ' + 8 q 5V
- 1 0 a 2"H'2¿>2"
7 x 2y
l ^ - y v - r + l v - y - y - l ^ - y
20.
L x ™ y™ ¿ -
Yfarlfka tu s resultados en la sacdón da solucionas correspondíante
66
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
P o lin o m io e n tre o tro p o lin o m io
A co n tin u ació n se e n lista n los pasos a se g u ir para re aliz a r e s ta operación:
E JE M P L O S
1
c
,SL
•
# • E fectúa la siguiente o p eració n : f e - - f e * ? ..
3 x —2
Solución
1.
Se c o lo c an los polinom ios c o m o e n la división c o n núm eros reales, y se o rd en an seg ú n co n v en g a c o n resp ec to a
los exponentes:
3 x -2
13 x * - 5 x + 2
2
Se to m a e l prim er térm in o d e l dividendo, s e divide en tre e l prim er térm ino d e l divisor y el resultado s e c o lo c a en
3x2
la parte de arrib a: —— = x .
3X
X
3 x -2 \3 x i - 5 x +2
3.
Se m ultiplica e l resultado de la división por c a d a uno de los térm inos del divisor; a c a d a resultado s e le ca m b ia el
signo y se aco m o d a deb ajo d e l dividendo co n s u térm ino se m ejan te : (*)(3x) = 3.x2; (xX ~ 2 ) = - 2x.
3 x -2
4.
I 3.x2 - 5 a: + 2
- 3x2 + 2 x
S e reducen los térm inos sem ejantes y s e b a ja e l siguiente térm ino del dividendo, a la expresión resultante s e le llam a
prim er residuo.
3 r-2
5.
\3 x 2 - 5 x + 2
- 3 x 2 +2x
-3 x + 2
Se repite el prim er paso, es decir, se d iv id e e l prim er térm ino d e l prim er residuo q u e resultó de la reducción anterior
entre e l prim er térm ino d e l divisor y s e escrib e e l resultado arrib a:
3 x -2
3X
= -1 .
\3 x i - 5 x + 2
- 3 a? + 2 x
-3 x +2
6.
Se m ultiplica e l resultado de la división anterior por c a d a uno de los térm inos d e l divisor y se escribe e l resultado deba­
j o de cada térm ino sem ejante d e l residuo anterior (no olvides cam biar e l signo): (—1)(3 at) = - 3.x; ( - l ) ( - 2 ) - 2.
at- 1
3 a : - 2 \ 3 x ¿- 5 x + 2
- 3 * 2+ 2x
= 3 J+ 2
3a: - 2
7.
Se re a liz a la su m a y s i e l resid u o e s c e ro c o m o e n e l e je m p lo , la div isió n te rm in ó ; e n c a s o contrario, se sig u e n los
pasos anteriores hasta o b ten e r c e ro co m o residuo o a lg ú n polinom io d e g rad o m enor a l d e l divisor.
3 a: - 2 1 3 / - 5 * + 2
- 3 ^ + 2.x
=~ 3 F + 2
3a: - 2
Ó
P o r tanto, e l resultado del cociente e s: a: - 1
6 7
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
• • •E fec tú a la siguiente operación:
5 a 2 - 2 \ b 2 + 8ab
a + 3b
S o lu ció n
Al em p lear los pasos del eje m p lo anterior:
5 ú -7 ¿ >
a + 3 b 15 a z + 8 a b - 2 l b 2
- 5 a 2 - 15 ab
-
—j - = 5 a —>( 5 a ) ( a + 3 b ) = 5 a 2 + 1 5 ab
la b - 2 \b 2
la b + 2 \b 2
0
= - lb
(_ 7 ¿,)(a + y , ) = - 7 a b _ 2 \b 2
Por consiguiente, e l co cien te e s: 5a - I b
E n una división d e polinom ios, s i a l d ividendo le falta uno de su s térm inos, s e d e ja indicado el esp a cio q u e o c u p a dicho
térm ino o se escribe c o n c o eficie n te 0 .
Ejem plo
¿C u ál e s e l resultado de
^a+ a
a— ! ?
a + a 2 +1
S o lu ció n
Se o rd e n a tan to e l div id e n d o c o m o e l d iv iso r e n o rd en d e crecien te c o n resp ec to a los ex p o n en tes y, e n e l c a s o d e l
dividendo, se d e ja el esp a cio correspondiente a l térm in o de exponente 3:
a 2+ a + 1 I a4 + 0a 3 - a 2- 2 a - 1
Se re aliz a la división co m o e n los ejem plos anteriores:
a 2 - a - 1___________
a2 + a + 1 I a4 + 0o s- a 2- 2 a - l
-a 4-
^ T = a 2 “ >( fl2) ( íj2 + a + l ) = tf4 + a 3 + a 2
a 3- a 2
ai - 2 * 2- 2 a
a3+ a 2+ a
-
a2 -
- ^ r = - a - + ( - a ) ( a 2 + a + \) = - a 3 - a 2 - a
a - 1
- ^ - = - 1 —» ( - l ) ( a 2 + a + \ ) = - a 2 - a - 1
a2+ a + 1
0
El resultado de la división e s: a 2 - a - 1
EJE R C IC IO 3 2
•
D eterm ina e l co cien te d e las sig u ien te s divisiones
x 2 + 3 x +2
I
4
x 2+ lx + 1 2
I
x+1
x+ 4
:
.r2 + 4 * + 3
x 2- 4 x - 1 2
!
:
1
x +2
*+3
x 2+ 5xy+ 6y2
3
‘
x 2+ 3 x -1 8
x- 3
x+ 2y
68
_________________ C a p í t u l o
Conceptos básicos d e álgebra
7
m 2 - \ \ m n + 2%n2
^
l Z ^ + B x 2 -5 9 a :+ 3 0
m -ln
g
4 x -5
x2-9 x y -\0 y 2
^
8 g 3 - 4 4 a 2 + 4 4 g + 42
A r+y
'
«4 + 2 n 2 - 4 8
4a2 - 8 a - 6
27. ( , 3- / ) + ( , - y )
n2+ 8
10.
m6- m 3- 2 0
2 8 . ( 8 * 3 + 2 7 y 3) + ( 3 y + 2 x )
m —5
jr8 + 11 jt4 + 1 8
2 9 . (jc6 - 8 / ) + ( ^ 2 - 2 y 2)
-r4 + 9
J2
x , 2 - 9 x 6 + 14
30. ( a 4 - a ) + ( a - 1)
a:6 - 2
13
9 a:2 - 6 a: - 3 5
^
* 3 + 4 8 * - 6 4 - 12*2
3 a: + 5
'
4m +2
‘
15a2 - a - 2 8
'
8a2 - 6 a b - 2 7 b 2
'
15a2 -a¿> -28¿>2
36.
5a-7b
7 m 2 - 3 1 r n n + 12n2
3? 4 g 4 + 2 6 a 3 - 7 9 a 2 - 2 0 a + 42
a2+ 8 a -6
12a:2 - 5Ay- 2 y 2
3g 12*4 - 3 6 * 3- 2 9 * 2 + 3 8 * + 2 4
2 a:2 - 5 a: - 6
18m 4 - 2 1 m V - 1 5 w 4
2 8 a:4 - 1 7 a:3 + 18a:+ 23 a:2 - 2 4
6m 2 + 3«2
4 a:2 - 3 r + 6
9m4-9 m 2-4 0
5a:4 - 9 a : 3 -2 3 a :2 + 36a: + 12
a:2 —4
20m 6 - 9 m 3 - 1 8
4 J 12 a:4 + 9 a:3 - 1 1 a:2 - 6 a: + 2
4m 3+ 3
24
; ----------------------------------
m -4 n
3m 2 - 8
23
a
3 x - 5a: - 6
4 a: + y
0
2 a2 - 4 +
6 a:4 - 1 9 a:3 - 1 2 a:2 + 43 a: + 30
1o.
2Q
at- 1
35 4 a:4 - 4 a:3 - 1 3 a:2 + 11a: + 4
7 m -5
I9
2 at2 -
_ 3*4 + 2 * 3 + 3 * - 6 * 2 - 2
34.
t--------------a: + at—2
4 a-9 ¿>
4 9 m 2 - 5 6 m + 15
|C
2a2 -A y -2 y 2
33 6 x 4 - 8 x 2 - x * + x + 2
3a + 4
16.
+ 1 6 - 8a:
32 4a:4 + A^y2 - 5 a ? 3 - 6 y 4
16m2 - 4 m - 6
15
a^
3 a:2 - 2
15m 3 - 3 4 m 2 + 9 m + 10
42
3 m -5
1 0 a 4 - 4 1 a 3¿ > + 9 a V + 38a¿>3 + 14¿>4
'
69
2 a -7 b
2
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
8a:6 - 3 2 * 5 + \ 6 x i + 1 9 * 3 + 3 4 a ? + 1 9 * - 1 0
43
a m- a b }~ ' - a m~ 'b + b y
^
a -b
2 * -5
m a+2 - 2 m a + m a~2
44
-r
m 2 + 2m + l
(4
-
203
2
2W
l
2
m 2x*3 + 4 m 2'*2 + m 2x+l - 2 m 2x
^
45- U ^ - 75^ +l 5^ J +U " - r )
5L
46.
52.
m ' + m "'
m 2»S + 2 m 2»4 _ 3m 2^3 _ 4 m 2»2 + 2 m 2 ,„
+
5
47
8
3
3 2
2
5 2
2
17
4
18
3
ro,+3- 2 r o ,+1
- 3 0 w 5x+i + 4 6 m 5x + 5 m 5x~l - 2 3 m 5* '2 + 3 m 5,~3
•
.
2 ° - 3 f l- 2
48.
(J)
( í " 3+ *“ ) + ( * + ! )
4- 2 ^ " ; + Z t ; - ' - 4 ^ ' ^.«-3 _ yn-1 + x m-2
*>4
4-
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
U n a em p re sa co n stru y e estru ctu ras prediseñadas p a ra casas y edificios. Si x rep resen ta e l núm ero de estru ctu ras y
los co sto s d e producción so n : x 2 + 12* - 1200 para las ca sa s y 3 a:2 + x + 2 0 0 0 para los edificios, ¿ cu á l es e l c o sto
to ta l de producción de la com pañía?
S o lu ció n
E l c o sto total se obtiene a l sum ar e l precio de las ca sa s y e l de los edificios.
x2+
12a :- 1200
3a:2 +
.* + 2 0 0 0
4a2+ 13*+
800
Por tanto, la em p re sa g a sta: 4 * 2 + 1 3 * + 8 0 0
2
E l larg o de un terre n o e n m etros lo d e te rm in a la e x p resió n 2 a 2 + 3a + 2 y s u a n ch o lo re p re se n ta 2*2 — 1, ¿ c u á l e s la
superficie del terre n o e n m etros cu ad rad o s?
S o lu ció n
Para obtener la superficie del terre n o se m ultiplica s u largo por s u ancho.
2a2 +3a + 2
x
2q - 1
4 a 3 + 6 a 2+ 4 a
+
- 2 a 2- 3 a - 2
4 a 3 + 4 a 2+ a - 2
E ntonces, la superficie d e l terre n o e s de: 4 a 3 + 4 a 2 + a - 2 m etros cuadrados.
70
_________________ C a p í t u l o
2
Conceptos básicos d e álgebra
A l adquirir 2 * + 3 artículos s e p aga un im porte de 1Q*2 + 29* + 21 pesos, ¿cuál es e l precio unitario d e los artículos?
S olución
Para o b ten e r e l precio unitario, se divide e l im porte total en tre e l núm ero de artícu lo s.
5* + 7 ________
2 x + 3 | 10*2 + 2 9 * + 21
- 1Q*2 - 1 5 *
14* + 21
-1 4 * -2 1
0
E l co sto d e c a d a a rtícu lo e s: 5 * + 7 pesos.
O b serv a e l siguiente plano de distribución de una casa, la cu al s e proyecta e n un terre n o rectangular.
D e acu e rd o co n é l, c a lc u la la superficie que a b a rc a la construcción, e xcepto e l corredor.
Solución
Se c alcu la e l largo y an ch o del rectán g u lo que a b a rc a la construcción:
L arg o = (6 * + l ) + ( 2 * - 1 ) + ( 5 * + 3 ) = 1 3 * + 3
A n c h o = (3 * + 2 ) + * + ( 5 * - 3 ) + ( 2 * - 1 ) = 1 1 * - 2
Se obtiene el á re a del re ctán g u lo que o c u p a la c a s a y la del corredor:
Á rea d e l rectán g u lo
Á re a =
=
=
=
Á rea del co rre d o r
Á rea = (L a rg o )( A ncho)
= ((6 * + l) + ( 2 * - l) ) ( 2 * - l)
(L argo)(A ncho)
(1 3 * + 3)< 11* —2)
143*2 - 26* + 3 3 * - 6
143*2 + 7 * - 6
= (8 * )(2 * -l)
= 16*2 - 8*
71
2
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Para sa b e r c u á l e s la superficie, s e resta a l á re a d e l rectángulo e l á re a d e l corredor:
A = (143*2 + 7* - 6 ) - (1 6 r2 - 8 r)
= 143 at2 + 7jc - 6 - 16*2 + 8*
= 1 2 7 ^ + 15a: - 6
P or tanto, la superficie e s: 127*2 + 15* - 6
EJE ÍC IC IO 3 3
Resuelve b s sig uientes problem as.
1. U n a partícu la recorre 5 t 2 + 4 / + 7 m etros, desp u és re c o rre t 2 - 4 y, finalm ente, - 5 / + 3 m etros. ¿ C u á l e s la d istan cia
total de s u recorrido?
2. U n a em p re sa obtiene c o n la v enta de un a rtíc u lo u n ingreso d e 3*2 - I x + 6 4 0 0 y su s costos de producción so n de
2JC2 - 9 * + 2 0 0 0 . ¿C u ál es la u tilidad que obtiene d ic h a com pañía?
3. U n ob re ro pinta una barda, c u y a superficie e s de Z x 2 + 6 x y + 9 y 2 m etros cu ad rad o s, si le fa ltan p o r pintar 3 * 2 + 8 y 2
m etros cu ad rad o s, ¿qué superficie lleva pintada?
4. U n producto tien e un precio e n e l m ercad o de 5 y + 3 pesos, si s e venden 3y + 1 productos. ¿C u ál e s e l ingreso q u e
se obtuvo?
5. Si un terre n o rectan g u lar m ide 4 r - 3y m etros de larg o y 5* + 2y m etros de ancho, ¿ cu á l e s s u superficie?
6. L as dim ensiones de una c a ja e n decím etros so n : 2 w - 3 de largo, 3tv + 1 de a n c h o y 2 w + 1 de a ltu ra. ¿C u ál e s su
volum en?
7. S e tie n e n 12* 2 - 5 x y - 2 y 2 litro s de a c e ite y se van a e n v a s a r e n b o tellas d e 3 * - 2 y litros de capacidad, ¿ c u á n ta s
botellas se van a em plear?
8. U n m óvil s e mueve a razó n de 3f3 - 12 + 4 / - 2 m etros por segundo, calc u la la distan cia que recorre e n un tie m p o de
2 1 + 1 segundos (d istan cia = (velocidad)(tiem po)).
Utiliza e l plano d e l e je m p b 4 d e la página anterior, para calcu lar b siguiente:
9. L a superficie de las recám aras.
10. E l á re a d e l baño.
11. L a superficie de la cocina.
12. E l á re a d e l com edor.
V# rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ^
72
C
a p ít u l o
Pr o d u c t o s
3
n o ta bles
E l trin o m io c u a d ra d o p e rfe c to
sí se denomina al resultado de (a + b)2, que se obtiene mediante
un cuadrado d e lado (a + b); a l que conforman dos cuadrados
de área “ a2* y "b2", a sí como dos rectángulos de área "ab ", por
tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)2 es:
A
(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2
E l c u b o p e rfe c to
Es la denominación del resultado de (a + b)3; para su desarrollo se propone
un cubo de arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b)3. A este
cubo perfecto lo conforman dos cubos d e volumen " a 3" y " b 3" respectiva­
mente, tres paralelepípedos con volumen uc ? b u y otros tres con volumen
" a b 2", lo que da el desarrollo de la expresión:
(a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3
a
a+ b
b
a
a+b
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Definición
L os productos notables se o btienen co n un sim ple desarrollo, sin necesidad de efe c tu a r e l producto.
C u a d ra d o de un binom io
E l d e sa rro llo de la su m a de dos can tid ad es a l cu ad ra d o e s igual a l cu ad ra d o d e l prim er térm in o , m ás e l d oble producto
d e l prim er térm ino por e l segundo, m ás e l cu ad ra d o d e l seg u n d o ; e s ta regla g en eral se expresa co n la fórm ula:
(a + b f = a2 + l a b + b2
A la expresión resultante s e le conoce co m o trinom io cu ad ra d o perfecto.
D em ostración
L a expresión (a + b f e s equivalente a (a + b \ a + b \ e n to n c es a l re aliz a r e l producto de los binom ios, se obtiene:
(a + b f = (a + b )(a + b ) = a 2 + a b + a b + b2 = a2 + 2 a b + b 2
S O jd lU S lj
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
• * D esarrolla (* + 7 )2.
S o lu ció n
A l a p lic ar la regla general:
- E l cu ad ra d o d e l prim er térm ino: (*)2 = x2
- E l doble producto d e l prim er térm in o por e l segundo: 2(x)(7) = 14*
- E l cu ad ra d o d e l segundo térm ino: (7)2 = 49
Se su m an los térm inos resultantes y se obtiene:
(x + 7)2 =
2
14* + 49
• • - ¿ C u á l e s e l resultado de d e sa rro lla r (3m + 5n )2?
S o lu ció n
Se ap lic a la fórm ula co n 3/w co m o prim er térm in o y 5n c o m o segundo térm ino
(3m + 5 r i f = (3 m f + 2(3m )(5«) + (5«)2
= 9m 2 + 30 m n + 2 5 n2
P or tanto, e l resultado e s: 9m 2 + 3Qmn + 2 5 n 2
3
• • D esarro lla ^ a + 3 j .
S o lu ció n
Se sustituyen los térm inos e n la fórm ula y se e fec tú a n la s operaciones, p a ra obtener:
( í fl + 3 ) = ( r )
4
+ 2 ( i a ) 3) + (3 )1 =
+ | 0 + 9 = ¿ a2 +3a+9
• • D esarrolla (5m2' "3 + n * f .
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo los exponentes de las bases so n expresiones alg eb raicas, entonces, a l a p lic ar la fórm ula, se obtiene:
(5m 2*-3 + nixf = ( 5
m
+ 2(5m 2,- 3)(/i4‘) H ^ f = 2
74
5
lOm2*"3 « * +
C a p ítu lo
3
Productos notables
5
• •■ D e s a rro lla ( - 2 * - 3 y)2.
S olución
E l bin o m io s e expresa de la siguiente m anera: ( - 2 x - 3y)2 = ( ( - 2 * ) + ( - 3 y ) ) \ s e a p lic a la fórm ula:
( - 2 * - 3 y f = ( ( - 2 * ) + ( - 3 y ) ) 2 = ( - 2*)2 + 2 ( - 2 r X - 3y ) + ( - 3y)2
= 4x2 + 12x y + 9y2
P o r tan to : ( - 2 * - 3y)2 = 4 r + 12x y +
E l desarrollo d e l cu ad ra d o de una d ifere n cia de dos c an tid ad e s, e s igual a:
(a - b)2 = a2 - la b + b1
E n e ste de sa rro llo los térm inos se su stitu y en co n signo positivo, c o m o lo ilustran los siguientes ejem p lo s:
E JE M P L O S
1
I.
• • ¿C uál es e l resultado de d e sa rro llar (4x4 - 9 y 3)2?
Solución
AJ
Se a p lic a la fórm ula anterior y s e obtiene:
(4y - 9y3)2 = (4x*)2 - 2(4*4)(9y3) + (9 y 3)2
= 16*8 - 7 2 * 4y3 + 81y6
2
• •■ D e s a rr o lla ( 3 x * y - 2x5z f .
S olución
Se a p lic a la fórm ula de la m ism a m anera que e n e l ejem p lo an te rio r y se obtiene:
( 3 * y - 2*r*z)2 = (3x ’y f - 2(3¿ y ) ( 2 +
(2*5z)2 = 9x 6y 2 - \2x*yz + 4 * 'V
Finalm ente, e l resultado de la operación e s: 9 * y - 12x8yz + 4 r ‘°z2
C u a d ra d o de un trinom io
E l de sa rro llo de la expresión: (a + b + c f e s igual a la s u m a de los c uadrados de c a d a uno de los térm in o s, m ás los
d o b les productos de las com binaciones en tre ellos:
(a + b + c )2 = a2 + b 2 + c2 + l a b + 2 a c + 2be
D em ostración
L a ex p resió n (a + b + c f es equivalente a l producto (a + b + c ) ( a + b + c), entonces:
(a + b + c)2 = (a + b + c )(a + b + c ) = a 2 + a b + ac + a b + b 2 + b c + ac + be + c 2
Al sim plificar los térm inos sem ejantes:
(a + b + c f = á 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2 a c + Tbc
75
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
•%_
1
• • D esarrolla ( x + 2 y + 3z)2.
.1 .
S o lu ció n
UJ
Se ap lic a la fórm ula y s e obtiene co m o resultado:
( x + 2 y + 3z f = ( x f + (2y f + (3Z)2 + 2 (x ) (2y ) + 2 (x ) (3z ) + 2(2y) (3Z)
= x 2 + 4y2 + 9z2 + 4 x y + 6 x z + 12y z
2 ••
O btén e l resultado de (4rn - I n - 5)2.
S o lu ció n
E l trin o m io s e e x p re sa de la sig u ien te m anera: (4m - I n - 5)2 = (4m + ( - 7 n ) + ( - 5))2 y se a p lic a la fó rm u la para
o b ten e r co m o resultado:
(4m - l n - 5 )2 = (4 m f + ( - I n f + ( - 5 ) 2 + 2 (4 m )(- 7n ) + 2 (4 m )(- 5 ) + 2 ( - 7w)<- 5)
= 16m2 + 49w2 + 2 5 - 5 6 m n - 4 0 m + 7 0 n
3
• • D esarro lla I
+ 2 * "+ * "-'
S o lu ció n
Al a p lic ar la fórm ula s e obtiene:
= ^ y * 1 ) + ( 2 i ' ) 2 + ( y l ) , + 2 ^ y * ' ^ 2 y ) + 2 ^ * * ' j ( ^ l) + 2 ( 2 x - ) ( y 1)
= i x !-* ! + 4 x 'm + x 2- 2 + 2 x 2mtl+ x 2' + 4 x 2- ‘
4
Se reducen los térm inos se m ejan te s y s e a co m o d an de form a d ecreciente, resp ec to a los exponentes:
= - X 2- ' 2 + 2 x ? ~ " + S x 2’ + 4 X 24
+ x 2^ 2
EJE R C IC IO 3 4
Desarrolla las siguientes expresiones:
1. ( r + 8)2
10. (4 - m )2
19. (2 x + 3y)2
2.
(m -1 0 )2
11. ( y + 9)2
20. (jc + 0.2)2
3.
( a - 3 )2
12. ( x - 1 2 ) 2
21. (4x3 + 5y)2
4.
( y + 1 )2
13. ( p + 15)2
22. (9 a 3 - a 2*»)2
5.
(y + 5 )2
14. (2 a - \ f
23. ( 6 /r n 4 + 3 n t p f
6. ( p - 6J2
15.
24-
7.
16. (3 a * - l)2
25. ^ l - | * y
8. ( r - 5 ) 2
17. (m n + 8 a)2
26. ^ - 2 y
9. (2 + n ) 2
18. ( 7 a - 3 b f
27. |
(l-¿ > )2
76
3 jc
—
4y
C a p ítu lo
3
Productos notables
2 8 . (Sx2 + 4x y 7)2
38. (ó*3" " 2 + 5y4V ) 2
48. (x 2 - 2 x + l) 2
29. <5ab - 3 x y Y
39. ( ( U t * - 0 . 8 / " 1) 2
49. ( x + y - 2 f
30. (m9 + 12 y4)2
40. í | * 3*-2 + | > ' - J“ j
50. ( 2 a - 3 6 + l ) 2
31. ( 3 r - 9 y ) 2
41. ^
32. ( ¿ - I ? ) 2
42.
+ 3 /- j
( Y*0 /í4*V°+l V
± - +^ -2 _
51. (4 m + 5n + p)!
5 2 . ( 3 ^ + 2y2 - l ) 2
33. (3*4“ - 5 + 2y * " ?
43. ( x + 2 y + 3 j ) 2
53. ^ i a + i f c + c
34. (m2” *6 - 4 n “ )2
44. ( 3 í - 2 y + l) 2
54.
35. ^ 3 a , + i f l 3V ’ j
45. ( a + 6 f c - 5 c ) 2
55. | 2 +
36. ^ < ¡ 2- ' - | f c )
46. (a 2 + 5 a + 4 )2
56. ( a '- f r '+ c ') 2
37.
<0,6m2' - 0.5n4)2
47. (a 2 + 3 a - 2)2
~
57. (a 4* ' - 2 a 1- a 4- ' ) 2
V erifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rra s p o n d ia n ta
Binom ios co njug ad o s
Son de la form a (a + b )(a - b ) y s u resultado e s la difere n cia de los c uadrados de am bas c an tid ad e s, co m o se ilustra
e n la fórm ula:
(a + b )( a - b ) = á * - b 2
D em ostración
Se re aliz a e l producto y se obtiene:
(a + b )(a - b ) = a 2 - a b + a b - b 2 = a2 - b 2
E JE M P L O S
1
• • D esarrolla ( x + 6 ) (x - 6).
S olución
A m bos térm in o s s e e le v an a l cuadrado:
- E l cu ad ra d o d e l térm ino que no ca m b ia de signo: ( x f = X1
- E l cu ad ra d o d e l térm ino que c a m b ia de signo: (6)2 = 3 6
Finalm ente, se re aliz a la d iferencia y el resultado e s: X1 - 36
7 7
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2 • • • D esarrolla (m
- 4 ) (m
+ 4).
S o lu ció n
Al a p lic ar la fó rm ula se obtiene:
(m - 4 )(m + 4 ) = (m )2 - (4)2 = m2 - 16
3
• • - R e s u e lv e ( - 2 x * + 7 ) ( - 2 ^ - 7 ) .
S o lu ció n
L os binom ios s e expresan de la siguiente m anera para ap lic ar la fórm ula:
( - 2** + 7 X - 2x> - 7 ) = [ ( - 2x>) + 7] [ ( - 2x>) - 7 J = ( - V ) 2 - (7)2 = 4x6 - 49
^
4
^
^
..
...^ a r r o lla
f 10
3m 4 V 3 w 4
10^
S o lu ció n
Se o rd en an los térm in o s y s e a p lic a la fórm ula p a ra obtener:
pO
5
3m4 j p m 4 | 1 0 j = ^1 0
3w 4 j p O | 3w 4 j = ^1 0 J
^ 3 m 4J
= 100
9 m*
• • • R esuelve (5.*20“ 3 + y4" ) ( 5 x ^ " 3 - y*").
S o lu ció n
Al a p lic ar la fórm ula s e obtiene:
(5*20-3 + f X S / - 3 - y " ) = (5a:20-3)2 - (y 4")2 = 25*40"6 - y 8"
E je m p lo s
Productos dond e se a p lica n binomios co njugados
1
• • H resultado de (m + ti - p ) (m + n + p ) es:
S o lu ció n
L os elem entos de am bos factores se ag ru p an de la siguiente m anera:
(m + n - p ) ( m + n + p ) = [(m + n ) - p ] [(m + r i ) + p ]
Se a p lic a la fó rm ula p a ra los binom ios conjugados:
= (m + n f - p 2
Se d esarro lla e l bin o m io y, finalm ente, e l resultado es:
= m 2 + 2m n + n 2 - p 2
2
• • 'D e s a r r o l l a ( x + y - 3 ) ( j t - y + 3).
S o lu ció n
E l producto se expresa de la siguiente m an era y s e procede a a p lic ar e l producto de binom ios conjugados:
( * + y - 3 X * - y + 3 )= [* + ( y - 3 ) ] [ * - ( y - 3 ) ]
= (* )2 - ( y - 3 )2
= x 2 - y 2+ 6 y - 9
P or tanto, e l resultado e s: x 2 - y 2 + 6y - 9
78
C a p ítu lo
Productos notables
3
• • ■ ¿ C u á l es e l resultado de ( Z r - 3 y - z + 5 ) ( 2 x - 3 y + z - 5 ) ?
Solución
Se ag ru p an los térm inos y se a p lic a la fó rm u la p a ra binom ios conjugados:
C2 x - 3 y - z + 5 ) ( 2 x - 3 y + z - 5 ) = [ ( 2 r - 3 y ) - ( z - 5 ) ] [ ( 2 r - 3y) + <z- 5 ) ]
= (2 t- 3 y )I - ( Z - 5 )J
Se d e sa rro llan los binom ios, s e e lim in a n los paréntesis y se ord en an los térm inos:
= (4xr2 - \2 x y + 9y 2) - (z2 - 10z + 2 5 )
= 4T2 - \2 x y + 9 y 2 - z2 + 10z - 2 5
= 4*2 + 9 y 2- z 2 - 1 2 * y + 1 0 z - 2 5
Finalm ente, e l resultado e s: 4 r 2 + 9y2 - z2 - 12xry + 10z - 2 5
EJE IC IC IO 3 5
Desarrolla tos sig uientes productos:
1. (* + 3 X * - 3 )
"• ( f - * M
2 . ( f l - l X f l + 1)
18
( J ' - M
3. (b + 2 X b - 2 )
,9- ( W
4 . ( k - S)(k + 8)
20. ( ^ - 1 ) ( 3 ^ + í L )
5. (5 -y X 5 + y )
2 1 . ( 3 a ^ + bix)(3a'-4 - b ix)
6. (9 -0 X 9 + a)
2 2 . ( S y ^ - ^ í ^ + Sy20-3)
7 . (m - n)(m + «)
2 3 . (a + b - c ) ( a + b + c)
8. ( * y - z X * y + z)
2 4 . (0 -
9 . (3 * + 5y)(3xr - 5y)
2 5 . (m + t i + p ) { m - n - p )
X iH
+ cX¿» +
- c)
10. ( 4 m - 9 « X 4 m + 9 n )
2 6 . (A: + y - 3 X * : + y + 3 )
1 1 . {2b - 3cX 3c + 2 b )
2 7 . (4 x + 3 y - z X 4 * - 3 y + z)
12. ( 6 ^ + 1 X 6 ^ - 1 )
2 8 . ( ^ - A y + y V + / + -*?)
13. (3m 3 - 8 X 3 m 3 + 8)
2 9 . (m 4 - m 2 - m){mA+ m 2 + m )
14. (5*4y + 4zX - 4z + 5x*y)
3 0 . ( 2 r + 5 y - 3 z ) ( 2 * + 5 y + 3z)
15. {9abi - c 1){9abi + c1)
31.
16. ( 7 a V - c d ^ i l a b3 + c d 5)
32.
79
( a: +
2y - 1) ( a : + 2 y + 1)
3
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
37. ( m - 2 n + 3 p - 5 ) ( m + 2n - 3 p - 5 )
33.
34.
+
38- ( * - y + * - 4 ) ( * - y - í + 4 )
35. ( a + ¿> + c + ¿ ) ( a + ¿ - c - ¿ )
3 9 . (2 x + 3 y + 4Z - 7 ) ( 2 * + 3 y - 4 Z + 7)
36. ( * + y + z - l ) ( x - y + z + 1)
4 0 . ( x - y - 3 z - 5 ) ( x - y + 3z + 5 )
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Binom ios con término común
S on de la form a (x + a ) ( x + b), su resu lta d o e s un trinom io c u y o d esa rro llo e s e l cu ad ra d o d e l térm in o com ún, m ás la
sum a de los térm in o s no com unes por e l térm ino com ún, más e l producto de los no com unes.
(x + a ) (x + b ) = x 2+ (a + b ) x + ab
D em ostración
Se re aliz a e l producto de los binom ios:
( x + a ) ( x + b ) = X 1+ a x + b x + ab
Se ag ru p an los térm inos sem ejantes y se obtiene la fórm ula:
( x + á ) ( x + b ) = ¿ + a x + b x + a b = ¿ + (a + b )x + a b
E JE M P L O S
1
# • D esarrolla ( x - 6 ) (x + 4).
.1 .
S o lu ció n
IAJ
Se d esarro lla e l procedim iento descrito:
- E l cu ad ra d o del térm in o com ún: ( r ) 2 = x 2
- L a sum a de los térm inos no co m u n e s, m ultiplicada por e l térm in o com ún: ( - 6 + 4 ) (* ) = - 2 x
- E l producto de los térm inos no co m u n es: ( - 6 )(4 ) = - 24
Se su m an los térm inos anteriores y se obtiene co m o resultado:
( x - 6 ) ( x + 4 )= X i - 2 x - 2 4
2 ••
E fec tú a ( m - 3 ) (m - 5 ) .
S o lu ció n
Al a p lic ar la fórm ula, s e obtiene:
( r o - 3 ) ( m - 5 ) = m 2 + ( - 3 - 5 ) m + ( - 3 ) ( - 5 ) = m2 - 8 m + 15
3 ••
R esuelve (5 x - 4 ) ( 5 x -2 ) .
S o lu ció n
(5 * - 4X 5» - 2 ) = (5*)2 + ( - 4 - 2 ) (5 x ) + ( - 4 ) ( - 2 )
= 25.x2 + ( - 6 ) (5 x ) + 8
= 25*2 - 3 < k + 8
80
C a p ítu lo
Productos notables
4
• • - E f e c t ú a la siguiente o p eració n : ( 7 —at) ( 7 + 3 at).
Solución
E l térm ino co m ú n es 7, c o n la aplicació n de la fórm ula s e obtiene:
( 7 - at) ( 7 + 3jt) = ( 7 ) 2 + ( - j r + 3 j r ) ( 7 ) + ( - J c ) ( a r ) = 4 9 + 1 4 * - 3 * *
5
• • * ¿C uál es e l resultado de (n 4 + 10) (n4 - 8)?
Solución
Al a p lic ar la fórm ula se obtiene:
( n + 10)(n4 - 8) = ( « 4)2 + ( 1 0 - 8 ) n 4 + ( 10) ( - 8) = n8 + 2n 4 - 8 0
6
•-E fe c tú a
Solución
Se a p lic a la fórm ula y s e obtiene:
7
• • - D e s a r r o ll a
(* + y - 3 ) ( * + y + 7).
Solución
Se ag ru p an los térm inos e n com ún:
(* + y - 3 ) ( * + y + 7 ) = [ ( * + y ) - 3 ] [ ( * + y ) + 7]
Se a p lic a e l de sa rro llo para e l producto de binom ios c o n térm ino com ún:
(* + y - 3 ) ( * + y + 7 ) = [ ( * + y ) - 3 ] [ ( * + y ) + 7J
= ( x + y )2 + ( - 3 + 7 ) ( x + y ) + ( - 3 ) (7 )
= (* + y )2 + (4 ) (* + y ) + ( - 21)
= * 2 + 2 x y + y 2 + 4 * + 4y - 21
8
• • ' D esarrolla (2/n + 3 n - 4 ) (2m - 5n + 2).
Solución
Se expresa e l producto de la siguiente m anera:
(2/n + 3 / I - 4 ) (2m - 5 n + 2 ) = [(2m ) + (3 « - 4)] [(2m ) + ( - 5 n + 2)J
A l d e sa rro llar e l producto de binom ios c o n térm in o com ún, se obtiene:
= { 2 m f + (3 « - 4 - 5n + 2 ) (2 /n ) + ( 3 « - 4 ) ( - 5 n + 2)
= 4 m 2 + ( - 2n - 2 ) (2m ) + ( - 15/I2 + 6 n + 2 0 n - 8)
= 4 m 2 + ( - 4m n - 4 m ) + ( - ló n 2 + 2 6 n - 8)
= 4 m 2 - 4 m n - 4 m - 15n 2 + 2 6 n - 8
= 4 m 2 - 15n2 - 4 m n - 4 rn + 2 6 n - 8
81
3
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 3 6
Resuelve los sig u ien te s productos:
1. ( x - 8 X * + 5 )
2 1 . (x4 + 6 ) ( j f - 12)
2. (m + 7 ) ( m - 4 )
2 2 . (*5 - IX*5 + 2 )
3. (x - 10X* - 2 )
2 3 . ( a 3 - 5 X a - 2)
24. ( x ^ ' + l X ^ ' - S )
4. ( x - 6 X * - 5 )
5. (x + 4)(x + 6 )
2 5 . ( ü V + b*){í?xi + 2b4)
6. (n - 3X « + 4 )
2 6 . (3 x " + 4 /X 3 * '" - 7yf)
7. ( x - l X x - 8 )
- H X **0
8. ( a + 3 X a - 9 )
» H
9. (x - 5 )(x + 2)
* ( W |H
M
10. (m - 3)(m + 8)
30. f - x y + | Y | - x y j
11. ( 2 x - 6 X 2 x + 4 )
31. ^ I x + | ^ | y - ¿ x j
12. (3m + 6 X 3 m - 4 )
32. g x » - I / j g x » + | / )
13. (6 x - 4X6x + 3)
33. (a + b + 3)(a + b + 4 )
14. ( 4 x - 5 X 4 x - 2 )
34. ( a - 2 b + l ) ( a - 2 b + 5)
15. ( l - 3 x X 2 - 3 x )
35. ( * - y + 3 z) ( x - y - l z )
16. (4 + 5xX6 + 5x)
36. (2x + y + 2X2* + y - 1 )
17. (2 - 7xX2 + 6 x)
37. (m 2 + /t2 - 5X/H2 + n2 + 9)
18. (5 + 2 * X 5 - 9 x )
38. (a + b - c X * - b - 3c)
19. (x2 - 10X*2 + 6)
39. ( r + 3 y - 4 z X * - 2 y + z)
2 0 . (m 3 - 4X m 3 - 8)
4 0 . (a + 5¿> + cX * - 5 b + c)
Vitrifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d© so lu c io n a s c o r r e s p o n d ia n ta
82
=
C a p itu lo
3
Productos notables
C u b o d e un b in o m io
Es de la form a (a + b f , s u d e sa rro llo e s u n polinom io de cu a tro térm in o s a l que se llam a cu b o perfecto y s u d esa rro llo
es e l c u b o d e l prim er térm in o , más e l triple producto d e l cu ad ra d o d e l prim ero por e l segundo, m ás e l triple producto
tfcl prim ero por e l cu ad ra d o d e l segundo, m ás e l cu b o d e l segundo.
(a + b)3 = a3+ 3 a2b + 3ab2 + b3
D em ostración
L a ex p resió n (a + b )3 es equivalente a l producto (a + b ) \ a + b), entonces:
(a + b )3 = (a + b ) \ a + b ) = (a2 + 2 a b + b2)(a + b)
= a 3 + a 2b + 2 <fb + 2a b 2 + ab2 + b3
= a 3 + 3 a 2b + l a b 2 + b3
E je m p lo s
E JE M P L O S
1
• • D esarrolla (m + S f .
S olución
Se obtiene c a d a uno de los térm inos que conform an a l cu b o perfecto:
- E l c u b o d e l prim er térm ino: ( m f = m 3
- E l triple del c u a d ra d o d e l prim ero por e l segundo: 3(m )2( 5 ) = 15m2
- E l triple d e l prim ero por el cu ad ra d o d e l segundo: 3(m )(5)2 = 3{mX25) = 7 5 m
- E l cu b o d e l segundo: (5 )3 = 125
E stos resultados s e su m an y s e obtiene:
(m + 5)3 = m 3 + 15 m 2 + 75m + 125
2 • • •D esarrolla e l siguiente
b in o m io (x - 4 f :
S olución
E l b in o m io s e e x p resa de la sig u ien te m anera: (* - 4 )3 = (* + ( - 4))3, s e obtiene c a d a uno de los térm in o s d e l cu b o
perfecto:
- E l c u b o d e l prim er térm ino: (x )3 = x 3
- E l triple del c u a d ra d o d e l prim ero por e l segundo: 3 (r) 2( - 4 ) - - 12r
- E l triple d e l prim ero por el cu ad ra d o d e l segundo: 3 (* )( -4 )2 = 3(*X 16) = 48*
- E l cu b o d e l seg u n d o térm ino: ( - 4 )3 = - 64
Finalm ente, e l d esarrollo es:
(JC- 4 )3 = *3 - 1 2 *2 + 4 8 .v - 6 4
3 ••
D esarrolla
(- 2 m -
3 n f.
Solución
El bin o m io s e rep resen ta com o: ( - 2m - 371)3 = [ ( - 2/n ) + ( - 3/¡)]3, s e a p lic a la regla general:
( - 2 m - 3 n f = ( - 2m f + 3 ( - 2m )2( - 3 « ) + 3 ( - 2m \ - 3n f + ( - 3« )3
= ( - 8m 3) + 3(4m 2) ( - 3 n ) + 3 ( - 2m )(9n2) + ( - 27n3)
= - 8m 3 - 36m2n - 5 4 m n2 - 27«3
( con tim ta )
83
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
E l d esarrollo d e l cu b o de la d ifere n cia de dos can tid ad es s e obtiene co n la fórm ula:
( * - b ? = ¿ - 3 a 2b + 3ab2- P
A l utilizar la fórm ula los térm inos se su stitu y en c o n sig n o positivo.
4 • • -¿C u ál e s e l
resultado de (3x4 - 2y 3)3?
S o lu ció n
Se ap lic a la fórm ula y s e d ete rm in a que:
(3 x4 - 2 / ) 3 = C k 4)3 - 3 < 3 /) 2(2y3) +3< V X 2 y 3)2 - (2y3)3
= 27*“ - 3 ( 9 ^ 2 / ) + 3(3x4)(4y6) - 8y9
= 27*“ - 5 4 * V + 3 6 x Y - 8 /
¡C IC IO
37
Desarrolla tos siguientes binom ios al cubo:
1. ( r - 1 ) 3
9. ( 2 x + l) 3
2. ( r o + 6 ) 3
10. (3 a - 4 )3
3. ( r - 2 ) 3
11. ( 2 x + 3)3
4. (a + 10)3
12. (1 - 4m )3
17. (3w 4 - 4m 3n )3
,
( , - i j
5. (n - 7)3
13. ( 3 x - 4y)3
6. (x + 3 )3
14. ( 5 n f + 2 n 5)3
(H J
a
21
(H * J
- * )3
15. ( 3 x > y - 2 z y
a
8. ( \ 0 - m f
16. ( 4 ^ + 2 x y f
24. (2 jc2o_3 - 3 y 4fl+l)
7. (1
^
h j
Va r ¡fie a t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d o s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
M u lt ip lic a c io n e s q u e s e re s u e lv e n co n la a p lic a c ió n d e p ro d u c to s n o ta b le s
Se utiliza p a ra re so lv e r u n a m ultip licació n de polinom ios, sie m p re que las c ara c te rístic a s de los facto res perm itan
a p lic ar las reglas de los productos notables. Se ag ru p an las exp resio n es y s e d esarro lla e l producto notable que c o rre s­
ponda a la s características de los m ism os; c o n los facto res resultantes se a p lic a e l m ism o p rocedim iento h a sta o b ten e r
e l resultado.
84
C a p ítu lo
3
Productos notables
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
■5 .
1
• • D esarrolla e l siguiente producto: ( x + 2 )(x - 2)<a^ + 3).
.1 .
Solución
UJ
Se e lig e n los facto res (x + 2 )(x - 2 ), los que se resu elv en c o m o un producto de binom ios conjugados:
(* + 2)(x - 2 ) = x 2 - 4
E ntonces e l producto inicial se representa com o:
(x + 2 X x - 2 ) ( x 2 + 3 ) = (x2 - 4 X x 2 + 3)
Por últim o, s e a p lic a e l producto de binom ios c o n térm in o com ún:
(x2 - 4Xx2 + 3 ) = (x2)2 + ( - 4 + 3Xx2) + ( - 4X 3)
= x 4 - x 2 - 12
P o r tan to : (x + 2 )(x - 2XX2 + 3 ) = x 4 - x2 - 12
2 ••
D esarrolla e l siguiente producto: (x + 1) (x + 2 ) (x - 1) (x - 2 ).
S olución
De acu erd o c o n la elección de los factores e s co m o s e procede a a p lic ar e l producto notable, en este c a so re agruparem os
los factores de la siguiente m anera:
(x + 1) (x - 1) (x + 2 ) (x - 2)
Al d e sa rro llar m ediante binom ios conjugados, s e obtiene:
(x + 1) ( x - 1) = x 2 - 1
(x + 2) ( x - 2) = x 2 - 4
L a expresión s e tran sfo rm a en:
( x * 1) ( * - 1) ( x + 2 ) ( x - 2 ) = ( x 1 - 1) C t' - 4)
P o r últim o s e a p lic a n binom ios co n térm ino com ún:
= (x2)2 + ( - l - 4 ) x 2 + ( - l X - 4 )
= x4-5 x 2+ 4
Por tan to : (x + 1 ) (x + 2 ) ( x - 1) ( x - 2 ) = x 4 - 5x2 + 4
3 ••
R esuelve e l siguiente producto: (x
+ 3)2(x -
3)2.
S olución
Se d e sa rro llan los c uadrados de los binom ios:
(x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 ; ( x - 3 )2 = x 2 - 6x + 9
L uego:
(x + 3)2(x - 3)2 = (x2 + 6x + 9)(x2 - 6 x + 9 ) = (x2 + 9 + 6x ) (x2 + 9 - 6 x)
Al a p lic ar binom ios conjugados se d ete rm in a que:
(x2 + 9 + 6x)(x2 + 9 - 6x ) = [(x2 + 9)2 - (6x)2J = (x2)2 + 2(x2) (9 ) + (9 )2 - 36x2
= x4 + l&x2 + 81 - 36x2
= / - 1&T + 81
P o r tanto, e l resultado e s: x 4 - 18X2 + 81
85
3
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 3 8
Realiza las siguientes m ultiplicaciones aplicando productos notables:
1. ( * - l X * + 1 X ^ + 2)
2. ( m + 8 X w - 8 X w + l ) ( m - l )
3. (3 * - 5X 3* + 2X9*2 - 9 * - 10)
4. (5 * - 6)2 (5 * + 6)2
5. ( r o + 2 ) 3 ( m - 2 ) 3
6. ( - * - 6 )2 (x2 - Y lx + 3 6 )
7. (n2 - l ) ( / i 2 + 7)(/i4- 6 w 2 + 7 )
8. (*2 + y)2 (x 2 - y f (x* + y 2)2
9. (2 m + 6)(2m - 8X4m 2 + 3 m + 1)
10. (9 - 6 * 3X6*3 + 9 X 8 1 + 36*6)
11. ( r - 4X * + 5X * + 4X * “ 5)
*
13. [ ( Z t - y X Z t + y K V + y ') ) 2
14. (m 2 - m - 1)(m 2 + m + 1)
15. ( x - y ) ( * í + y 2) ( * + y )
16. ( w - 2 ) ( m 2 - 4 ) 2 (m + 2)
17. ( r + y X ^ - y X ^ + y V - y 4)
18. (x + 1)(* - 3 )(* - 1)(* + 3)
19. (m4 + 5)(m - 2)(m 2 + 4)(m + 2)
20.
^
[(« + 2 )(n - 2X«2 + 4)]3
Verifica tu * resultados en la sección de solucione* correspondiente i
86
C
a p ít u l o
4
Fa c t o r iz a c ió n
f íe r r e d e F e rm a t
afem ático francés quien n ació en
Beaum ont d e Lomagne y fa lle ció
en Toulouse. Fermat participó con
Pascal en la creación d e la teoría matemática
de la probabilidad; Descartes y Fermat inven­
taron la geometría analítica, cad a uno por su
bdo. Si todas estas aportaciones de primera ca ­
tegoría no son suficientes para ponerlo a la cabeza de sus contemporáneos
en la matemática pura, podemos preguntarnos: ¿quién hizo más? Fermat
era creador innato. Eratambién, en el estricto sentido de la palabra, en lo
que se refierea suciencia de la matemática, un aficionado. Sin duda es
uno de los más grandes aficionados en la historia de la ciencia, y quizá
"sea el primero". La vida de Fermat fue tranquila y laboriosa, pues tuvo una
extraordinaria suerte.
Pierre d e Ferm at
(1601-1665 d.C.)
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
D e fin ic ió n
F actorizar e s ex p resa r una su m a o d ifere n cia de térm in o s c o m o e l producto indicado de su s factores; é sto s se presentan
en la form a más sim ple.
F a c t o r co m ú n
Es la expresión co m ú n que tie n e n todos los térm in o s de una expresión alg eb raica.
E JE M P L O S
1
# • F actoriza: x 6 - x ? + X2.
.1 .
S o lu ció n
Para en co n trar e l fa cto r c o m ú n se to m a la le tra que s e rep ite y de m e n o r expo n en te ( * 2) , desp u és c a d a uno de los
térm inos de la expresión a lg e b raic a se divide en tre el fa cto r com ún:
— = *4
*2 *
*2
= -x 3
*
— = 1
*2
Los resultados s e expresan de la sig u ien te m anera:
x 6 - x s + x 2 = x 2( x 4 - x 3 + \)
2 ••
F actoriza: 1 6 a V c - 12a V e 3
+
20 a V ° .
S o lu ció n
Se b u sca e l fa cto r co m ú n de los coeficientes, q u e e s e l m áxim o co m ú n divisor de ello s y tam b ién s e b u sca e l factor
c o m ú n de las literales:
M C D (16, 12, 2 0 ) = 4
Factor co m ú n lite ral = a V
Se realizan las divisiones térm in o a térm in o y e l resultado de la factorización es:
16a V e - 12a V e 3 + 2 0 a V ° = 4 a V ( 4 a V c - 3 a V + 5¿>8)
3 ••
O btén la factorización de la expresión: 1 8 x 2 -
12*
+ 54.
S o lu ció n
E l m áxim o c o m ú n divisor de los coeficientes e s 6 y n o ex iste un fa cto r c o m ú n literal, por tan to , la e x p resió n tie n e sólo
un factor co m ú n num érico y se expresa com o:
18*2 -
4
12* + 5 4 = 6 (3 * 2 - 2 * + 9)
• • F a c t o r i z a : (2 a -3 ¿ > )2( 5 a - 7 ¿ > ) 3 - ( 2 a - 3 ¿ > ) 3( 5 a -7 ¿ > ) 2.
S o lu ció n
E n e s ta expresión el factor co m ú n e s tá co m p u e sto p o r binom ios, por consiguiente, s e to m a de c a d a uno de e llo s e l de
m en o r exponente y s e realiza la factorización de la siguiente m anera:
( 2 a - 3¿>)2 ( 5 a - 7 b f - ( 2 a - 3b f ( 5 a - 7¿>)2 = ( 2 a - 3¿>)2 ( 5 a - I b ) 2 [ ( 5 a - I b ) - ( 2 a - 3 b )]
88
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Se reducen los térm in o s sem ejantes d e l últim o factor:
= ( 2 a - 3 b f (5 a - 7 b )2 [5 a - I b - 2 a + 3b]
= ( 2 a - 3 b f ( 5 a - I b ) 2[3 a -4 b ]
Finalm ente, e l resultado de la factorización e s: ( l a - 3¿>)2 ( 5 a - lb )~ [ 3 a - 4 b ]
EJE IC IC IO 3 9
Fa cto rizarla s sig uientes exp resiones:
1. ¿F +
14. 5 5 m V * + 110 m 2n3 x 2- 220m 2y3
íz
2. c?b2 - 2 a * b
15. 25 jc7 - 1 0 r5 + 15jc3 - 5AÍ2
3. a*+ á * - a 2
16. 9 a 2 - \2 a b + 1 5 a V -2 A a b l
4. 1 8 ^ + 3 0 *
17. 12m 2n + 2 4 m2n2- 36 m*n + 48m sn*
5. 48*3 - 12*3 - 2 4 * ‘
18. 3 d b + 6 o V - 5 a V + 8 a V + 4a V
6. 25b2 + 3 5 b * - 4 5 b s
19. 16 r 3y 2 - 8*4y - 24*2y - 40*2y3
7.
20.
l l a r - 12 l a 2* + 3 3 a 3
lO O a V c - 15QoZ>2c2 + 50a b V - 2 00abe
21. 9 3 a V y - 62a V y 2 - 1 2 4 a2x
9. 9*2 + 6 r + 3
22.
+
—
1
H
10. 4*4 - 8 r3 + 1 2 r2
23.
—
+
£
CO
1
<***«
—
+
£
o\
11. 6 r 2 - 6 r y - 6x
24. * 2(* + 2 ) - * ( * + 2 )
12. 14*2/ - 28** + 56*
25. 4X2 (2 * - 5)2 + 8x?(2* - 5)
13. 34o*2 + 5 1 a2y - 6&ay2
26. ( 2 * - l ) ( * + 4 ) - ( 2 r - l ) ( 3 * + l )
3
1
—
8. 9 a 5b - \ 2 a 2b2 + 15o¿>2 - 1 8 a V
Vitrifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ía n t e ,
Factor común por ag ru p a ció n de términos
Se ag ru p an los térm in o s que ten g a n alg ú n fa cto r e n com ún, de ta l m o d o que la expresión restante pueda factorizarse
com o se m uestra e n los siguientes ejem plos:
E je m p lo s
E JE M P L O S
1
• • Factoriza: am + b m + a 1+ ab.
Solución
Se ag ru p an los térm inos y de los prim eros s e facto riza “m " y de los segundos
.
a m + bm + a 2+ a b = (am + b m ) + (a 2+ a b ) = m (a + b ) + a (a + b)
L a últim a expresión se vuelve a facto rizar to m a n d o co m o fa cto r co m ú n e l b in o m io a + b y se obtiene c o m o r e ­
sultado:
= (a + b )(m + a)
89
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
-¿ C u ál e s e l resultado de facto rizar 6 a x + 3 a 2-
4bx - 2abl
S o lu ció n
Se ag ru p a n los térm inos y s e b uscan los resp ectiv o s facto res com unes de c a d a uno p a ra poder factorizarlos y obtener
co m o resultado:
6 a x + 3 a 1 - 4 b x - l a b = (6a x + 3a2) + ( - 4b x - l a b ) = 3 a (2 x + á ) - 2b (2 x + a )
= (2 x + a )(3 a -2 b )
3
• • - F a c to r iz a : 6 a 2x + 4 a b + 2 a - 3 a b x - 2b 2 - b.
S o lu ció n
Se repiten los m ism os pasos que e n los ejem plos anteriores y se obtiene:
6 á * x+ 4 a b + 2a - 3 a b x - 2 b 2- b = (6a 2x + 4 a b + 2 a ) + ( - 3 a b x - 2 b2 - b)
= 2 a (3 a x + 2 b + \ ) - b ( 3 a x + 2 b + \)
= (3 a x + 2 b + \ X 2 a - b )
E JE R C IC IO 4 0
Factoriza las siguientes expresiones:
1. m2 + m tt + m x + n x
2. 3 ^ - 1 - jr2 + 3 at
3. a x - b x + a y - b y
4. 2 / - 6ay2 - y + 3 a
5. aun - 2 b m - 3 a n + 6bn
6.
4 a 1x - 5 a 2y + \ 5 b y - \ 2 b x
7. m2p 2 - 3 n p 2+ m 2z2- 3 n z 2
8. 5m2n + 5m p2 + n2p 2 + m ni
9. 3 a - 2 b - 2 b y + 3 a y
10. 2mx* + 3nx*+10m + 15«
11. bm 2 + b y 1 - cm 2 - cy2
12. y - 1 5 - 5 ^ + 3^2
13. 3 b z - b y - 9 m z + 3 m y
14. a3 + a2 + a + 1
15. 1 + 2¿r - 3<j2 - 6 o 3
16. a ^ - ^ + a * - ?
17. 4 a - l - 4 a b + b
18. 18m3 + \2 m 2 - 15m - 10
19. y^yz - x ¿ m + x y 2m - y zm 2
20. p V + m n 'p 2t + m ^ p f 2 + m V
V# rifle a t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
90
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
D iferencia de cu ad rad o s
L a d ifere n cia de cuadrados e s de la fo rm a i 2-
b2y s u factorización es:
a2-b2 =(a+b)(a-b)
L o que d a co m o resultado e l producto de binom ios conjugados.
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • F actoriza la expresión: x 2 - 9 .
S olución
Se extrae la raíz c u ad rad a d e l prim er y segundo térm in o s; los resultados se aco m o d an co m o s e indica e n la fórm ula.
Jx2 = x
;
>/9 = 3
Finalm ente, la factorización e s: x 2 - 9 = ( a :+ 3 ) ( a : - 3 )
2
••-O lo riz a : ^ - - L
.
S olución
Se a p lic a la fórm ula y s e obtiene co m o resultado:
16 ,
1
(4
1V 4
1^
T ^ - s - U ^ s J U '- s J
3
*¿C uál es e l resultado de fa cto riz a r x2a~4 - y 6"?
S olución
Se e x p resan los exponentes de la siguiente m anera:
¿ a -* _ y tb = x 2{o-2) _ y 1lb)
Se e x tra en las raíces cuadradas de am bos térm inos:
Finalm ente, se obtiene:
4 ••
F actoriza la expresión:
( 2x + 3)2 - (x - 1)2.
S olución
Se extrae la raíz c u ad rad a de c a d a uno de los térm inos:
\¡(2 x + 3)? = Z t + 3
y j(x -Íf= x -l
Se sustituyen la s raíces obtenidas e n la fórm ula:
(2 x + 3)J - ( x - l ) J = [ ( 2 r + 3 ) + ( x - l ) ] [ ( i r f 3 ) - ( * - l ) ]
Se reducen los térm in o s sem ejantes de c a d a uno de los factores y s e obtiene co m o resultado:
= [2 x + 3 + * - l ] [ 2 * + 3 - a t + 1]
= [3 * + 2 ] [ * + 4]
91
4
C a p ít u l o
Á lgebra
EJE LC IC IO
41
Factoriza las sig u ien te s expresiones:
1. x 2 - \
11. x 6 - 3 6
21.
l - * 2‘
2. x 2 - 49
12.
22.
- n ^ 2y+ m 6x~4y
3.
81 - * 2
13. x 2 - !
4
23.
\ 6 x 6a - 4 9 y 2"
4.
16 a:2 - 9
14. x 2 - 81
24.
(x -l)2-(y -3 )2
5.
a4 - b 4
15.
25.
(2 x + l)2 - ( y + 5 )2
16a V - c 6
16.
26.
1 0 0 - 16at
17.
27.
4 (3 a t—2 ) 2 —9 ( jc —l ) 2
8.
3 6 a:2 - 1
18.
28.
-(x + 2 y )2 + \6 (x + y f
9.
4 - 2 5 a:2
19. a 2x+6 - 9 b 6?
29. 2 5 ( 4 * - 3 ) 2 - 9 ( 2 * + l) 2
4 a 4 - 9 b 2c 2
20.
10.
m io¥* - 2 5
3 0.
-1
7.
4
l
a:4 - 6
'ÍT
i
—
6.
M
* - 5
4 9 x 4 - 4 ( x 2 - 3 a:)2
Vfarificii t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s <
Trinom io cu a d ra d o perfecto
Se conoce a s í a to d a expresión de la form a:
a2 ± 2ab+ b2
Posos paro fa cto rizar un trinom io cu a d ra d o perfecto
1. Para factorizar e s ta expresión, se debe v erificar que los térm inos s e en cu e n tre n ordenados c o n resp ec to a los e x ­
ponentes de m ayor a m enor o viceversa.
2. Se e x tra en las raíces cuadradas de los térm in o s extrem os (prim er y últim o térm inos):
-V ? = a
\b 2 =b
3. Para co m p ro b a r que la expresión e s u n trinom io cu ad ra d o perfecto, se re aliz a e l doble producto de las raíces:
C o m probación = 2 ab
4. Si e l resu lta d o d e l producto e s ig u al a l seg u n d o té rm in o d e l trin o m io , en to n ces é s te e s cu ad ra d o pe rfe c to y su
factorización e s igual al cu ad ra d o de una su m a o d ifere n cia de las raíces cu ad ra d as de los térm in o s extrem os.
a2 ± 2ab+ b2 = ( a ± b f
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
# • F actoriza la expresión: a:2 + 6 a: + 9.
S o lu ció n
S e obtienen las ra íc es cu ad ra d as y se co m p ru eb a que e l trinom io es cu ad ra d o perfecto:
'f x 2 - x
\ 9 - 3
Al to m a r e l sig n o d e l segundo térm in o , la factorización es:
a:2 +
6 a: + 9 = ( a: + 3)2
92
C o m probación = 2 (r)(3 ) = 6x
C a p ítu lo
Foctorizoción
2 ••
Factoriza: 4 * 2 + 9 y 2 - l Z t y .
S olución
Se o rd en an los térm inos de la siguiente m anera:
4 X 2 + 9 y 2 - \ 2 x y = 4x> - \ 2 x y + 9 y 2
Se e x tra en las raíces de los térm inos extrem os y s e verifica q u e e l trinom io e s cu ad ra d o perfecto:
v 4 a:2 = 2 x
s¡9y* = 3 y
C o m probación = 2 (2 r)(3 y ) = \2 x y
Finalm ente, e l resultado de la factorización es:
4*2 + 9 y 2 - \ 2 x y = 4 x 2 - \2 x y + 9 y 2 = ( 2 x - 3 y )2
3
• • F actoriza la sig u ien te expresión: (m + / 1)2 + ( / « + « ) + ^ .
S olución
Se obtienen las raíces de los extrem os y se com p ru eb a e l doble producto:
\j(m + n f = m + n
= 5
C o m probación = 2 ( m + w ) ^ j = /n + w
P o r tanto, la factorización de la ex p resió n propuesta es:
(m + w)2 + (m +
4
«) + ^ = ^ ( m + «) + ^ j =( m +w + ^ j
F actoriza la expresión: 3 a - 2 \ / 1 5 a h + 5 b .
S olución
Las raíces de los extrem os y la com probación de que la expresión e s un trinom io cu ad ra d o perfecto es:
y¡3a
y
v5b
C o m p ro b ac ió n = 2 ^ y j3 a j^ y ¡ 5 b ) = 2 sj(3 a )(5 b ) = 2 \¡ \5 a b
P o r tanto:
3 a - 2 7 Í 5 Í * + 5b = ( S a - -J s b ) !
5 ••
^
1
F actoriza a:4 + 4a:8 + 4 .
S olución
Se obtienen las raíces de los extrem os y se com prueba:
l~T
\¡x* = a:
_L_
1
= *8
f l\
v4 = 2
P o r consiguiente, e l trinom io es cu ad ra d o perfecto y s u factorización es:
x * + 4 a :8 + 4 = ( a:8 + 2
93
i
C o m probación = 2 a:8 1(2) = 4a:8
4
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 4 2
Factoriza las sig u ien te s expresiones:
1. o2 + 8a + 16
19. ^ - * + z 2
2 . m2 - 10m + 25
20.
1+ - p + ¿ -
3
9
3 . n2 - & n + 16
2 i.
* 4- * y + ¿
4
4 . X1 - 6 x + 9
22.
5 . X*+ \ 2 x + 36
2 3 . l6m 6- 2 m V + ^ 16
6 . 9 a 2- 3 0 a + 25
2 4 . 9{a + x f - 12 (a + at) + 4
7 . 3 6 + 121c2 - 1 3 2 c
2 5 . 4(1 + m )2 - 4 ( l + m ) ( n - l ) + ( / i - \ f
8. 16a2 + 2 4 a b + 9¿>2
2 6 . 9 (a - b)2 + 12(a - b )(a + b ) + 4 ( a + ¿>)2
9 . 4a2 - 20 a b + 25¿>2
2 7 . (m + «)2 - 2(m + w)(m - n ) + (m - « )2
25
36
3
10. 9a2 + 6 a b + ¿>2
2 8 . 4 a 2- 4 a (¿> - a ) + (¿> - a )2
11. 4a2- 12a¿> +9¿>2
2 9 . (m + a )2 - 2(m + a ) ( a + ¿>) + ( a + ¿>)2
12. a 2 - 2 4 r 2a 3 + ! 4 4 r V
30. x + l f i x y + 2y
13. 100a4 - 6 0 a 2¿> + 9 b 2
31. a* + 4 v S + 4
14. a 8 + 36¿>2c 2+ 12a b e
32. a 3 - 1 0 a * + 2 5
15. 121 + 198a6 + 8 l a 12
1
i
33. x * + 6 x * + 9
16. 4 9 r6 - 7 0 a * y + 2 5 a y
i
^
34. 16 a: 2 - 8 a:4 + 1
17. 4 0 0 a '° + 4 0 a s + l
2
1
35. m* + 4 m ^ + 4
18.
36. ^
3
a:8 +
18a:4 + 81
V tr lf k a t u s r e s u lta d o s a n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
94
- 6
^
+ 9
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Trinom io de la form a x2 + b x + c
E sta expresión re su lta d e l producto de binom ios c o n térm in o com ún. P a ra facto rizarla s e realizan los pasos aplicad o s
e n los siguientes ejem plos:
E JE M P L O S
• • F actoriza la expresión: x 2 + 1 í x + 24.
I.
Solución
jj
Se extrae la raíz c u ad rad a d e l térm ino cu ad rático y se c o lo c a e l resultado e n am bos tactores:
x 2 + \\x + 2 4 = (x
)(jc )
Se co lo c a e l sig n o d e l seg u n d o térm in o (+1 b r) e n e l prim er fa cto r y s e m ultiplica e l sig n o d e l seg u n d o térm in o por
d d e l terc er térm in o ( + )(+ ) = + p a ra obtener e l signo d e l segundo factor:
x 2+ ll.r+ 2 4 = ( * +
)(x+ )
A l se r los sig n o s de los factores iguales, s e buscan d o s can tid ad es cu y o producto se a igual a l te rc e r térm in o (2 4 )
y c u y a su m a s e a igual a 11; esto s núm eros s o n 8 y 3, q u e se c o lo c an e n e l prim er factor, e l m ayor, y e n e l segundo
factor, e l m enor:
x2+
\ \ x + 2 4 = ( x +&)( x + 3 )
Finalm ente, la factorización e s: ( x + 8 ) ( * + 3 )
2 ••
Factoriza la expresión: m 2 - 1 3 m + 3 0 .
Solución
L a raíz c u ad rad a d e l térm ino cuadrático es “m "; e l prim er fa cto r va acom p añ ad o d e l sig n o d e l segundo térm ino (-1 3 m )
y e l segundo factor va co n e l signo q u e resulta d e l producto de los signos d e l segundo y terc er térm in o s ( - ) ( + ) = m 2 -1 3 m + 3 0 = ( m - ) ( m - )
Se b u sc a n d o s can tid ad es que m ultiplicadas d e n 30 y sum adas 13, e stas can tid ad e s s o n 10 y 3, se a co m o d an de la
siguiente form a y e l resultado de la factorización es:
m 2 - 13m + 30 = ( m - 1 0 ) ( m - 3)
C uando los sig n o s de los facto res s o n iguales (positivos o negativos), los núm eros buscados s e su m an (ejem plos 1 y 2),
pero s i los signos de los factores so n diferentes, en to n ces los núm eros buscados se re stan (e je m p lo s siguientes).
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
••
F actoriza: x 2 - 1 8 - 7 * .
Solución
Se o rd en an los térm inos e n form a d escendente c o n respecto a los exponentes y s e extrae la raíz cu a d ra d a d e l térm ino
cuadrático:
x 2 - 7 x - 1 8 = (*
95
)(x
)
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E n e l prim er fa cto r s e c o lo c a e l signo d e l térm in o lineal ( - I x ) y e n e l segundo s e co lo ca e l sig n o que re su lta de
m ultiplicar los sig n o s d e l térm in o lineal ( - 7 * ) y e l independiente ( - 18)
x 2 - l x - \ % = ( x - )(* + )
Se buscan dos núm eros cu y o producto s e a igual a 18 y c u y a re sta s e a 7. E n e ste c aso los n úm eros q u e cum plen esta
c o n d ició n so n 9 y 2 ; e s im portante se ñ a la r que e l núm ero m ayor va e n e l prim er factor y e l m enor e n e l segundo.
x 2 - 7 * - 1 8 = ( a :-9 )(* + 2 )
2 ••
F actoriza la expresión: x* - x 2 - 6 .
S o lu ció n
S e extrae la raíz cu a d ra d a d e l prim er térm ino, s e esc rib e n los sig n o s y s e b u sc a n d o s núm eros que a l m ultiplicarse den
6 y a l restarse 1 para que la expresión factorizada sea:
x * - x 2- 6 = (x 2 - 3 ) ( x 2+ 2)
3
F actoriza la expresión: x 2 + x y - 2 0 y 2.
S o lu ció n
D espués de extraer la raíz cuadrada, a co m o d ar los sig n o s y b u scar los núm eros, la factorización es:
x 2 + x y - '2 d y 2 = ( x + 5 y ) ( x - 4 y )
4 ••
F actoriza la expresión: 2 1 - 4 x - x 2.
S o lu ció n
Se o rd e n a e l trinom io y s e facto riza e l signo d e l térm ino cuadrático:
2 1 - 4 * - = - . r 2 - 4 * + 2 1 = - ( * ’ + 4 * - 2 1)
Al facto rizar la últim a expresión:
- ( x 2 + 4 x - 2 l ) = - ( x + 7 )(at - 3)
Se m ultiplica e l segundo factor por e l sig n o negativo y s e o rd e n a para que e l resultado sea:
-( * + 7 )(* - 3 )-(* + 7 )(-* + 3 )-(jr+ 7 X 3 -x )
5
• • F actoriza la expresión: 5 + 4 a 3" - a 6" .
S o lu ció n
Se o rd en an los térm in o s y s e facto riza e l sig n o negativo:
5 + 4 a 3" - a 6* = -< ?n + 4 a 3" + 5 = - ( a 6- - 4 a 3" - 5)
La expresión en ce rra d a e n e l paréntesis s e fa cto riz a a l igual que las anteriores:
- ( a 6" - 4 a * - 5 ) = - ( a * - 5 ) ( a * + l )
96
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Se m ultiplica e l sig n o por los térm inos d e l prim er factor y e l resultado de la factorización es:
- ( a 3" - 5 ) ( a 3" + 1 ) = ( - a 2" + 5 ) ( a 3" + 1) = ( 5 - a 3" ) ( a 3" + 1)
6
• • 'F a c t o r i z a : ( 2 a: + 3 ) 2 - 3 ( 2 a: + 3 ) - 2 8 .
S olución
Se extrae la raíz cu a d ra d a d e l térm in o c u ad rá tic o y s e realizan los procedim ientos d e scrito s e n los eje m p lo s anteriores
para o b ten e r co m o resultado:
( 2 x + 3)2 - 3 ( 2 * + 3 ) - 2 8 = ( ( 2 a t + 3 ) - 7 ) ( ( 2 a t + 3) + 4)
= (2 * + 3 -7 )(2 * + 3 + 4) = (2 * -4 )(2 * + 7 )
= 2 ( * - 2 ) ( 2 * + 7)
EJE
IC IC IO
4 3
Factoriza las sig u ien te s expresiones:
21. y 4 - 6 / + 8
41. 2 4 - S x - X 1
2. ro2 - l l m + 3 0
22. n* - 20w2 + 64
42. 12 + x - X 1
3. n2 - 7 n + 1 2
23. a* - 37a2 +36
43. 4 0 - 3 r - x2
4. y 2 - 15y + 56
24. * 4 - * 2 - 9 0
44. 4 2 - x2 + a:
5. x 2 + 7 x + 6
25. a 2b2 + a b - 12
45. 16 + 6 ( 3 r ) - ( 3 x ) 2
6. x 2 + 7 x + 12
26. (5y)2 + 13(5y) + 42
46. 9 - 8(2x) - ( 2 x f
27. y 6 - 5 / - 14
47. 7 7 - 4<8r) - (8 a:)2
8. ¿>2 - 7¿> + 10
28. m 2 - 4 m n - 2 \ n 2
48. 143 + 2(5 jt) - (5 jc)2
9. m - 9 m + 20
29. 5 + 4¿> - ¿>2
49.
10. y 2 + 4 y + 3
30. z ‘° + z5 - 2 0
50. ¿ 4, + ¿»2,- 7 2
11. * 2 - 5 * + 4
31. y i + 7 x y 2 - 6 Q x 2
51. y &, + 65yi , + 6 4
12. tí2 + 6w + 8
32. ( a - b ) 2 + 5 ( a - b ) - 2 4
52. 2 - ^ - x 80
13. ¿ - 1 6 a - 3 6
33. x y - 2 ¿ y 2 - 9 9
53. 4 5 + 4x0'*2 - x * 0*2*
14. y 2 + y - 3 0
34. w V + w V - 1 3 2
54. ( x + \ f - 12(at + 1) + 32
15. x:2 - 18 - 7a:
35. /i2 - 34w + 288
55. (2a: - 7)2 - 3 ( 2 r - 7 ) - 88
36. y 2 + 3 y - 550
56. (5 a: + y)2 + (5 a: + y ) - 42
17. a2 - 5 a b - 5 0 b 2
37. c 2 - 2 2 c - 9 6 8
57. ( 6 a + 5 )2 - 1 5 ( 6 t f + 5 ) + 50
18. m 2 - I t t u i - 3 0 /r
38. a 2 + 3 3 ^ + 252
58. 2 2 - 9(a: + 3 y ) - (a: + 3y)2
39. x 2 + 4 4 r + 363
59. 2 4 + 5(1 - 4a:) - (1 - 4 x f
40. / 2 - 9 9 / + 2 430
60. 10 y2 - 3 y (x - 2y ) - ( x - 2y)2
7.
£
+
£
8
1
£
+
%
19.
l
16.
a
+
a
0—*
■
+
1. a:2 + 3a: + 2
20. m l + 3 m2 - 4
V e rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ía n te <
9 7
jc20-
1 3 ^ + 36
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Trinom io d e la form a a x 2 + fax + c
E n e ste trinom io e l coeficiente d e l térm ino cu ad rático es diferente de uno.
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
• • fa c to riz a la expresión: 6 * 2 - 7 x - 3.
S o lu ció n
S e o rd en an los térm inos seg ú n la fo rm a a x 1 + b x + c, s e m ultiplica y s e divide por e l coeficiente del térm in o cuadrático,
en e l c a s o d e l segundo térm in o só lo se d e ja indicada la m ultiplicación.
6 (6 x 2 - 7 * - 3 )
36*2 - 7 ( 6 .r ) - 1 8
(6 x )2 - 7 ( 6 x ) - 1 8
6
6
6
L a ex p resió n d e l num erador s e facto riza c o m o un trinom io de la fo rm a x 2 + b x + c .
(6 at)2 - 7 ( 6 jt) - 1 8
(6 x - 9 ) ( 6 jc + 2)
6
6
Se obtiene e l factor co m ú n de c a d a binom io y se sim plifica la fracción:
3 ( 2 , - 3 ) 2 ( 3 , + 1) , 6 ( 2 , —3 ) ( 3 , + I) , ( ^ _ 3 )(3 j + |)
6
6
Finalm ente, la factorización d e 6*2 - I x - 3 e s (2 x - 3 )(3 x + 1)
2 ••
F actoriza: 3 * 2 - 5 x - 2.
S o lu ció n
S e m u ltip lic a y d iv id e la e x p re sió n p o r 3 , p a ra q u e s e tra n sfo rm e e l n u m e ra d o r e n u n a e x p re sió n d e la form a:
x 2 + bx+ c
5.1
2
f o * ’ - 5* - 2 )
3
9 « » -5 (3 « )-6
3
(3 * )’ - 5 ( 3 » ) - 6
3
Se facto riza la expresión y se sim plifica para ob ten e r co m o resultado de la factorización:
= ( 3 » - 6 ) ( 3 * + l ) = 3 ( * - 2 ) ( 3 * + l ) = { x _ 2 ){3 x +
Por consiguiente: 3 x 2 - 5 x - 2 = ( x - 2 ) ( 3 * + 1)
3 ••
F actoriza la siguiente expresión: 6 ¿ r x 2 + 5 a x - 2 \ .
S o lu ció n
S e a p lic a n los pasos descritos e n los ejem plos anteriores y se obtiene:
* 2 2 c
6 (6 a V + 5 a r-2 l)
3 6 a V + 5 (6 a x )-1 2 6
6 a x + 5 a x - 2 \ = ------------= ------------------------6
(6 a x )2 + 5 ( 6 a x ) - 126
= ------ ----------------
6
6
(6 o r+ 1 4 )(6 q t-9 )
2 (3 q t + 7 ) 3 ( 2 aJ: - 3 )
6 (3 QJr + 7 ) ( 2 a t - 3)
6
6
6
(3 j. , ^
Finalm ente, e l resultado de la factorización e s: 6tf2* 2 + 5 a r - 2 1 = ( 3 a r + 7 ) ( 2 a x - 3 )
4
• • •F actoriza la siguiente expresión: 5 + 1 \ x - \ 2 x 2.
S o lu ció n
Se o rd en an los térm in o s y s e facto riza e l sig n o negativo:
5 + 1 U -1 2 * 2 = -1 2 r2+ 1 U + 5 = - ( l2 r 2 - 1 h :-5 )
98
;)
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Se realiza la factorización y s e obtiene:
1 2 (1 2 ^ - lL r - S ) _
144*2 - l l ( 1 2 * ) - 6 0 _
12
_
(1 2 x -\5 )(1 2 x + 4 )_
(\2 x )2 - ll( lZ y ) - 6 0
12
3 ( 4 * —5 ) 4 ( 3 * + 1 )
12
1 2 ( 4 * - 5 ) ( 3 a: + 1 ) _ { u
^
, t)
Se m ultiplica e l sig n o por e l prim er tacto r y se o rd en an los térm inos:
- ( 4 a: - 5 ) ( 3 a: + 1 ) = ( ^ a: + 5 ) ( 3 a: + 1 ) = ( 5 - 4 a:) ( 3 a: + 1)
Finalm ente, e l resultado de la factorización e s: (5 - 4 * ) ( 3 * + l)
Por ag ru p ació n d e térm inos
E JE M P L O S
• • F actoriza e l trinom io: 6a:2 + 1 3a: + 5.
Í_
Solución
ií
Se m ultiplica e l coeficiente d e l prim er térm ino por e l térm in o independiente: ( 6 ) ( 5 ) = 30
Se buscan d o s núm eros que m ultiplicados d e n 30 y su m ad o s 13, e n este c a s o los núm eros so n 10 y 3 , por tan to , el
segundo térm ino d e l trinom io s e expresa com o: 13a: = 10a: + 3at y s e procede a factorizar ag ru p an d o térm inos:
ó * 2 + 1 3 * + 5 = 6a:2 + 1 0 * + 3 * + 5 = 2 x ( 3 x + 5 ) + 1 ( 2 r + 5 ) = (3a: + 5 ) ( 2 * + 1)
Finalm ente, la factorización e s: 6 jc2 + 13^r + 5 = ( 3 at+ 5 ) ( 2 jt + 1)
2
• • Factoriza: 8a:4 - 1 9 x 2 + 6.
S olución
Se m ultiplican los coeficientes de los extrem os de la expresión: ( 8 ) ( 6 ) = 4 8
L os n ú m ero s q u e m u ltip lic ad o s d a n 4 8 y su m a d o s - 1 9 s o n - 1 6 y - 3 , p o r c o n sig u ie n te , s e e x p re s a c o m o :
—19a:2 - - 16a:2 - 3a:2 y se procede a factorizar:
8a:4 - 19 a:2 + 6 = 8 a:4 - 1 6 a:2 - 3 a:2 + 6 = ( 8 a:4 - 1 6 a:2) + ( - 3 a:2 + ó )
= 8 a 2 (x 2 - 2 ) - 3 ( * 2 - 2 ) = ( x 2 - 2 ) ( 8 a 2 - 3)
Finalm ente: 8a:4 - 19a:2 + 6 = ( x 2 - 2 ) ( 8 a : 2 - 3 )
3
• • F actoriza la expresión: 15a2 - 2 xy - 8y 2.
S olución
Se m ultiplican los coeficientes de los extrem os d e l trinom io: ( 1 5 ) ( - 8 ) = - 120
Se d esco m p o n e - 1 2 0 e n dos facto res, de ta l m an era que re stad o s d e n c o m o resultado e l co eficie n te d e l térm ino
c en tral - 2 , esto s núm eros son: - 12 y 10
L a expresión s e descom pone de la siguiente m anera:
15a:2- 2 x y - 8y2 = 15a:2 - \2 x y + \ 0 x y - 8 y = 3 x ( 5 x - 4 y ) + 2 y (5a: - 4y)
= (5a: - 4y)(3x + 2y)
Se concluye q u e : 15a2 - 2 x y - 8y2 = (5a: - 4y)(3A: + 2y)
99
4
C a p ít u l o
Á lgebra
EJE IC IC IO 4 4
Factoriza las sig u ien te s expresiones:
1. 5m 2 + 1 3 m - 6
11. 44 z + 20 z2 - 1 5
21.
2. 3a2 - 5 a - 2
12. 2b2 + 29¿> + 90
22. 6a2 - 4 3 a b - \ 5 b 2
3. 6y2 + 7 y + 2
13. 6y4 +5y2 - 6
23. 6 - 5 / - 6 r 4
4. 2x¡ + 3 x - 2
14. 14m4 - 4 5 n f - 14
24. 3Qx“ - 9 1 x 5 - 3 0
5. 4 rr + 15n + 9
15. (x r b 2 + 5ab - 2 5
25. 6m 2- 1 \ m n + 4 n 2
6. 20«r2 +
16. 15y2 - b y - 2b 2
26. 6a 2/ - 11 a x y - 3 5 y 2
7. 7a2 - 4 4 a - 35
17. 6n2 - \ 3 m n - \ 5 m 2
21. 2Aa2 + 5 ab - \4 b 2
8. 2 / + 5 y + 2
18. 3 0 + 1 3 x - 3 x 2
28. 4xiy2 + 3 x y - 10
9. 2Ü*2 + 13x + 2
19. 15 + 2¿>2 - 8 b*
29. 5a*b2 - \3 a 2bc - 6 c 2
20. 3 0 ^ + 1 7 * 7 - 2 1 /
30. 2m 2+ 9 m n - 110w2
jc -
1
10. 15m2 - 8wi - 12
10o8 + 2 9 a 4 + 10
V brifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d a so lu c io n a s c o rre s p o n d ie n te
C a so s e sp e cia le s
E stos trinom ios ta m b ié n s o n de la form a a:? + b x + c\ sin em b arg o , a lgunos co eficie n te s so n frac c io n a rio s o tienen
raíz cuadrada.
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
o
l l l
T L 1 • • F actoriza la expresión: 2 p 2 + — p + — .
c
.SL
12
12
S o lu ció n
UJ
E n este c a so s e incluyen fracciones, entonces los extrem os d e b en expresarse co m o una fracción que co n ten g a e l m ism o
denom inador, por tanto:
11
1
2 (1 2 )
12
12
,1 1
1
24
2 p- + — p + — = — — -p~ + — p + — = — p
12^
K
12
12
,
11
1
12
12
+ — p +—
\2y
Se m ultiplican los coeficientes num eradores de los extrem os d e l trinom io: (2 4 )(1 ) = 24
Se b u sc a n dos núm eros que m ultiplicados d e n 2 4 y sum ados 11, e n e ste c a s o los núm eros s o n 3 y 8, por ta n to el
trinom io se expresa com o:
,1 1
1 2 4
2 p~ + — p + — = — p
y
12
12
, 3
8
1
12
12
„
2
1
2
4
3y
1
+ — p + — p + — = 2p~ + - p + - p + —
12
12
F
12
Se procede a realizar la factorización d e l polinom io resultante:
2p!+ i p+¡ p+^
E ntonces, se concluye que:
2 • • ‘F actoriza la expresión: 6x2 -
29
+
— x
4 2p+ 3 +K 2p+^ H 2p+i í p+S
P + ■££ =
+ ^
p +^j
3
- —.
S o lu ció n
Se co n v ierten los coeficientes d e l trinom io e n una fracción c o n denom inador com ún:
6x* _ 2 9
20
3
10
_29
20
20
100
_ J ( 2 ) _ = !2 0
10(2 )
20
29
6
20
20
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Se m ultiplican los num eradores de los extrem os: (1 2 0 )(6 )= 7 20, entonces s e buscan d o s núm eros q u e m ultiplicados
cfcn 720 y restados 29, los cu a le s son: 4 5 y 16, por tanto, la expresión se rep resen ta com o:
120
,
20
29
6
120 ,
2 0 * 2 0 ~~ 20 *
45
16
6
20 * + 2 0 *
^ , 9
20 “
*
4
4*+ 5*
6
20 ”
A l fectorizar se obtiene co m o resultado:
*6 , 2
3 ••
9
4
v,
Factoriza la ex p resió n 3* + 2 yfx - 8 .
Solución
Se m ultiplican los coeficientes de los extrem os: (3)(8) = 24
Se b u sc a n dos núm eros q u e a l m ultiplicarse d e n 24 y restados 2, en este c a s o los núm eros so n 6 y 4, entonces:
3 * + 2 v * - 8 = 3 x + 6 > /x -4 n /J -8
Se expresa x = (%/*) y s e re aliz a la factorización:
3 x + 6 v / . * : - 4 \ / * - 8 = 3 (V * ) + 6 s j x - 4 s f x - 8 = 3 \ f x ( J x + 2 } - 4 ( J x + 2 )
= (> C + 2 )(3 > Z c-4 )
Por consiguiente, e l resultado de la factorización e s: ( \ / j r + 2 ) ( 3 > í r - 4 )
EJE ÍC IC IO 4 5
Factoriza las sig uientes expresiones:
10. 2 x + \ l J x + \5
11. \ 2 x - 5 \ f x - 2
12. \ 5 x - 2 3 y j x - 2 S
,2 3
1 1
13. 2 x - 5 x 1y * - 3 y
1
+ _6~m + 3
, 2
17
2
1
14. 6 x * - x * - 4 0
1
4m + Í I m - ü
1
2
. 17
6°
12a
2 ,
3
3
1
12
1 -
16. 5 ( x + y ) - 6 sj x + y - 8
- 12*^- 8 ^
, 3
2
4
2 1
17. 12x5 - 1 7 * V - 4 ° y
1
25* " 2 0 *
1
2
1
15. 3 x * + 5 x * - 2
1
13
12
4
1 2
18.
^ *
M irifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
101
1
2
2
4
+ 2 x 3y * - 1 5 y *
4
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Sum a o d ifere n cia de cubos
Dadas las expresiones de la forma: a 3 + b 3 y a 3 -¿>3, para factorizarlas e s necesario extraer la raíz cúbica d el primer
y segundo términos, para después sustituir los resultados e n las respectivas fórmulas.
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2)
a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2)
EJEMPLOS
1
I.
• • F actoriza: 27x 3 + 8.
S o lu ció n
jj
Se extrae la raíz c ú b ica de am bos térm inos:
^ 2 T ? = 3x
^8 = 2
Se sustituye e n s u fórm ula respectiva, se d e sa rro llan los exponentes y s e obtiene:
2 7 jc3 + 8 = ( 3 jc + 2 ) ( ( 3 at) 2 - ( 3 at) ( 2 ) + ( 2 ) 2 )
= (3 * + 2 )(9 * 2- 6 * + 4 )
2
• • lá c to riz a : m 6 - 2 1 6 .
S o lu ció n
Se extraen las raíces cúbicas de los térm inos y s e sustituyen e n la fórm ula p a ra obtener:
m 6 - 2 1 6 = ( m 2 - 6 ) ( ( m 2) 2 + ( m 2 )( 6 ) + (6 )2
= (m 2 - ó j j m 4 + 6 /n 2 + 3ó)
3
# • -F actoriza: V 5 + 64y3.
S o lu ció n
Se re aliz a e l m ism o procedim iento que e n los eje m p lo s anteriores p a ra obtener:
* » + 6 4 / - ( ¿ » + 4 y ) ( ( * s)J - ( ^ ) ( 4 y ) + ( 4 y ) 2
= ( * 5 + 4 y ) ( t “ - 4 x 5y+ 1 6 y2)
4
• • F actoriza la siguiente expresión: (x + y)3 + (x - y)3.
S o lu ció n
Se obtienen las ra íc es cúbicas de los elem entos y s e sustituyen e n la respectiva fórm ula:
l] { x + y y = x + y
tf(*-y)s = * - y
A l a p lic a r la factorización de la sum a de cubos, d e sa rro llar y sim plificar s e obtiene:
( x * ,T ^ X - j Y ) +
= (jc + y
( x - , ) ) { ( ? * ,Y - ( x * y X x - , ) * { x - , r )
—y)(jc2 + 2 x y + f - x 2 + y 2 + x 2 - 2 x y + y 2)
= 2 x [ x 2 + 3y2)
102
C a p ítu lo
Foctorizoción
5 • • *F actoriza la siguiente
expresión: x - y
S olución
Se obtienen las raíces cúbicas de los elem entos:
líiy } ¡ y
Se a p lic a la factorización para una d ifere n cia de cubos y el resultado es:
3
6
6
• • - F actoriza la expresión: 8 a 2 + 2 7 b s .
Solución
Las raíces cúbicas son:
\ '8 a 5 = 2 a m
í m
= 2 fl5
Se sustituyen las raíces e n la fórm ula y la factorización es:
E JE IC IC IO 4 6
Factoriza las sig u ien te s expresiones:
i. & - 1
13. ( f + \ 2 5 b '2
2. y + 27
14. &*r6 + 729
3. S*3 + y 3
15. 27m 6 + 343w9
i
i
16. .r 3 + y 3
4. 2 7 a 3- ó 3
6. 6 4 o 3 - 729
17. a ‘ - 8 b ‘
3
9
18. je2 + 1 2 5 y 2
7. 5 1 2 - 2 7 a 9
19. x 30*3 - y 6a
8. * * - 8 y 12
20. ( x + 2y y - ( 2 x - y y
9. 1 - 216/n3
21. ( x - y y + z y *
5. 8a3+27¿>6
10. a 3 - 125
22.
2 7 m 3 - ( 3 m + 2 « )3
11. 27m 3 + 64n9
23. ( a + b y - ( 2 a + 3 b y
12. 3 4 3 ^ - 5 1 2 /
24.
103
5 = 3b m
= 3b l
4
4
C a p i t u l o __________________________________________________________________________________________________________________________
Á lG EB R A
Sum a o d ifere n cia de potencias im pares iguales
D adas la s expresiones de la fo rm a a " + b " o a" - b " sie n d o n u n núm ero impar, s u facto rizació n e s de la siguiente
form a:
a" + b - = ( a + b ) ( a " - 1 -a * * b + a r í b2
a•
ab ""2 + b "*)
= (a-¿> )(a- + a**b+ ar í b2 + ...+ a¿-2 +£"-')
E je m p lo s
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
1
• • F actoriza la expresión: * 7 + y 7.
S o lu ció n
Se extrae la raíz sé p tim a de am bos térm inos:
Se sustituye e n s u fórm ula y se obtiene co m o resultado:
* 7 + y 7 =(Ar+y)(Ar7-* - x ^ y + x ^ y 1 - j r 7“Y
+ * 7-5y 4 - x 1^
+ y 6)
= ( x + y ) ( * 6 - x 5y + x*y2 - * 3y 3 + x 2y* - x y 5 + y 6)
2
••- F a c to r iz a :* 5 - 3 2 .
S o lu ció n
Se d esco m p o n e 3 2 en su s factores prim os y se a p lic a la fórm ula:
j 5 - 32 = j 5 - 2 5 = ( jc- 2 ) ( jc5-1 + Í 5- 2 ( 2 ) + Í 5-3 ( 2 ) : + i 5"4 ( 2 ) J + (2 )4 )
= ( i - 2 ) ( i 4 + 2 i 5 + 4 i 2 + 8 j + 16)
Finalm ente, se tien e que: i 5 - 32 = ( * - 2 )(* 4 + 2 jP + 4 j P + & x + 16)
EJE * C IC IO 4 7
Factoriza las sig uientes exp resiones:
1. *3+ 6 4 y3
2.
a 7-1 2 8
3.
243 - 32X5
4. * 7 + l
5.
ms - n 5
6. * 7 - é» V
7.
1 -tf5
8. * 5y 5 + 3 1 2 5
9. * 9 - l
10. * 9 + 5 1 2
V» rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
104
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
F acto rizació n que co m bina un trinom io cu a d ra d o perfecto
y una d ifere n cia d e cu ad rad os
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
-5.
1
# • Factoriza: x * - 2 x y + y 2 - a 2.
1
Solución
IAJ
L a ex p resió n ¿ - 2 x y + y* e s u n trinom io cu ad ra d o perfecto y s u factorización es:
x 2 - 2 x y + y* = ( x - y f
P o r tanto:
X * - 2 x y + y ! - a 2 = (x 2 - 2 x y + y 2) - a 2 = ( x - y ) 2 - a2
Al factorizar la d ifere n cia de cuadrados se o b tien e finalm ente:
= (x - y f - a = ( x - y + a)(x - y - a )
2
• • - F a c to r i z a la siguiente expresión: 16a 2 - n i 2- 8m n - lów2.
Solución
Se ag ru p an los térm inos de la siguiente m anera y s e facto riza e l sig n o negativo:
16a2 - n i 2- 8m n - \ 6 n 2 = 16a 2 + ( - m 2 - S m n - 16o2)
= 16a 2 - (m2 + 8m n + 16a 2)
Se factoriza e l trinom io cu ad ra d o perfecto:
= 16a2 - (m + 4«)2
Se factoriza la d ifere n cia de cuadrados y se obtiene finalm ente:
= [4a + ( m + 4w )][4a - (m + 4n)]
= (4a + m + 4« X 4 a - m - 4ri)
Factoriza: a 2 - 2a b + b2 - 25m '° + 40 m V - 16n6.
3
Solución
Se a g ru p a n los térm in o s q u e fo rm an trin o m io s c u a d ra d o s p erfectos y p o ste rio rm en te se fa cto riz a la d ife re n c ia d e
cuadrados p a ra que finalm ente e l resultado sea:
a2 - l a b + b 2 - 2 5 m 10 + 4OmV - 1 6 n = ( a 2 - l a b + b2) - (25m 10 - 4 0 w V + 16/t6)
= (a -
b )2 -
(5m 5 - 4a3)2
= [(a - b ) + (5 m s - 4n3)][(a - b ) - (5 m 5 - 4w3)]
= ( a - b + 5m 5- 4w3) ( a - b - 5m s+ 4«3)
EJE R C IC IO 4 8
Factoriza las siguientes expresiones:
1. m2 + 2m + 1 - 4w2
6. m2 - 6 r - 9 - . r 2 + 2 a m + a 2
11. m 2- 1 6 - / i 2 + 3 6 + 12/w - 8/2
2. y 2 - 6 y + 9 - z 2
7. l - a 2 - 9 n 2 - 6 a n
12. J + l x y + y 2 - \ 6 a 2 - 2 4 a b s - 9 b 10
3. jr2 - y 2+ 1 0 y - 2 5
8. ni2- r i 2 + 4 + 4 m - 1 - 2 w
13. 1 0 0 - 6 0 y + 9 y 2- m 2 + 2 a m p - a 2/>2
4. m * - n 6 - 6 n 3 - 9
9. 2¿>y - y 2 + 1 - ti2
14. 25¿>2 + 10a¿> - 9 t i + a 2- 6 m n - m 2
5.
49m 4 - 25m 2 - 9n2 + 3 0 m n
10. 25p 2 - 2 m - m 2 - 1
Verifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
105
15. 4m 2 - 9a2 + 49n2 - 30a¿> - 25¿>2 - 2 Smn
4
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Facto riza ció n p a ra com pletar el trinom io cu a d ra d o perfecto
O Caso I trin o m io d e la fo rm a x 2 + b x + c
Ejem plo
F actoriza la expresión: x 2 - 3 x - 10.
S o lu ció n
Se to m a e l c o eficie n te d e l térm in o lineal y se divide e n tre 2 y e l resultado se e le v a a l cuadrado.
Se su m a y s e resta - al trinom io, s e agrupan los térm inos y s e facto riza e l trinom io cuadrado perfecto q u e resulta:
j 2 - 3 x - \ 0 = x 2 - 3 a t + —- —- 1 0 = fjc 2 - 3 j c + —
4 4
4J
4
49
-1 0 = f;r--l \
2)
4
Se facto riza la d ifere n cia de cuadrados y s e reducen térm in o s sem ejantes:
Finalm ente, la factorización q u e d a com o: x 2 - 3 x - 1 0 = ( * + 2 ) ( . r - 5 )
O Caso II trin o m io d e la fo rm a a x 2 + b x + c
Ejem plo
F actoriza: 2 r 2 + 5 * + 2 .
S o lu ció n
Se factoriza e l coeficiente del térm ino cuadrático y se com pleta e l trinom io para la expresión encerrada en el paréntesis:
2
' 5N
2 5
Z t! + 5 í + 2 = 2 ^ t ! + | i + l j = 2 x + 2 X +
2
2
2
'5 N
-
2
2
"
+ 1
Se m ultiplican por 2 los térm inos d e l prim er fa cto r y se obtiene co m o resultado:
-2 Íx + ij(* + 2 )-(2 * + l)(* + 2 )
O Caso II I p o r adición y su strac c ió n
Ejem plo
F actoriza la expresión: 4m* + 3m2n2 + 9n 4.
S o lu ció n
E l trinom io no es c u a d ra d o perfecto, debido a que e l d oble producto de las raíces cu ad ra d as d e l p rim e r y te rc e r té r ­
m inos, es:
2(2/w2)(3n2) = 1 2 m V
106
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
Ya q u e e l seg u n d o térm in o e s 3 m V , s e le su m a 9 / n V y se o b tien e e l térm in o que se necesita p a ra q u e e l trinom io
9¿a cu ad ra d o perfecto, por consiguiente, s e resta tam b ién 9 m V p a ra no a lte ra r la expresión.
4 tn + 3m 2n~ + 9 n = 4m 4 + 3m2n2 + 9 m 2n 2 + 9 « 4 - 9m~ n2
= (4 m4 + 12m V + 9/14) - 9 m V
= (2m 2 + 3 n 2)2 - 9 / n V
- (2m2 + 3ra2 + 3m n )(2m 2 + 3H2 - 3mn)
F inalm ente: 4m 4 + 3 m V + 9w4 = (2m2 + 3 n2 + 3mn)(2m2 + 3« 2 - 3m «)
EJE IC IC IO 4 9
Factoriza las sig uientes expresiones:
1. x2 - 3 x + 2
6 . n2 + 3 n - 54
11. ni + n2+ 1
16. 121 + 21¿r2¿>2 + tf 464
2. x2 - * - 20
7. a ^ + io x + s
12. a 4 - ótf2 + 1
17. 36m 4 - 109/n2/?2 + 49n
3. m2 - 7 m + 10
8. 6 m 2 + 7 m + 2
13. m 8 + 4 m V + 16w8
18. x 4 + x2y2 + y4
4. X2 - 2 x - 4 8
9. 3a2 - a - 4
14. x 4 - 45x2 + 100
19. a 4 - 7 a 2b 2 + 9b*
10. 6x 2- x - \ 2
15. 6 4 ú 4 +76a2 + 4 9
20. 4/w8 - 5 3 m V + 49w8
5. a2 -
- 40
V e rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e ,
Expresiones a lg e b ra ic a s d o nd e se utilizan dos o m ás casos
E xisten polinom ios q u e s e d e b en fa c to riz a r d o s o más v eces c o n d ifere n te s m étodos; a co n tin u ació n se ejem plifican
algunos de e sto s polinom ios:
s o |d u i 9 l 3
E JE M P L O S
1
• • F actoriza la expresión: 2xi + 6x2 - 8x.
Solución
Se obtiene e l fa cto r com ún:
2x3 + 6 r 2 - 8 x = 2*(x2 + 3 x - 4 )
Se factoriza e l trinom io de la fo rm a x 2 + b x + c y se obtiene:
= 2 * (* + 4 X * -l)
2
• •■ F a c to riz a : 3m 4 - 243.
Solución
Se facto riza 3 que e s e l fa cto r com ún:
3/n4 - 2 4 3 = 3 (m4 - 81)
E l binom io se facto riza c o n una d ifere n cia de cuadrados:
= 3 (m2 - 9 ) (m 2 + 9 )
L a ex p resió n m 2 - 9 se factoriza em p le an d o nuevam ente la d ifere n cia de c uadrados y se obtiene finalm ente:
= 3 (m - 3 ) (m + 3 ) {m + 9)
1 0 7
4
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 5 0
Factoriza las sig uientes exp resiones:
1. ¿ - 3X2 - 2 8 *
11.
jc4 -
2 1 . &x*+6xl - 2
25JT2 + 144
2. 3a2 - 3 a - 6
12. a 5 - a 3b2 + a2b3 - b s
2 2 . 5m x y 3 + lQmy2 - 5 m x y - lOm
3. 3m 3 - 3 m
13. a * - a b *
23. a6 - 7 2 9
4. y* - 3y2 - 4
14. aCx3 + l ) + 3 a t r ( A : + l )
24. ¿ - x y 6
5. m 3- m 2 - m + 1
15. a 6 - 2 5 a 3 - 5 4
2 5 . a 2(-a2 - b 2) - ( 2 a - l ) ( ¿ - b 2)
6. 6 o r2 - a x - 2 a
16. a 4 - a 3 + a - 1
2 6. 4 a s + 4 a 3 + 4a
7 . x* - ¿ + X * - x
17. 4 m Y - 4 m 2
2 7 . m3 - 4 m - m 2 + 4
8. üax2 - 2a
18. 3mnpr + 3mnp - 18m/j
2 8 . y5- 4 0 / + 144y
9. a5 + a3 - 2 a
19. 2 5 6 - a
2 9 . rn - m
20. a 8 - & 8
3 0 . 6 m 2y - 9 m 3 - m y 2
10. 6 4 - m6
V s rifk a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
D escom posición en factores de un polinom io por división sintética
D ado e l p o linom io a j f +
+...+an_tx + a H, s u factorización e s de la form a
(x - * , ) ( * - X i ) \ . . ( x - x j , donde x „ x * ..
s e obtienen d e l cociente:
P osibles factores d e l polinom io = ^ ct01cs ^
factores de
9b.
E JE M P L O S
1
• • D escom pón por ev aluación: / - 3x2 - 4 x + 12.
S o lu ció n
Se b u sc a n los divisores d e l térm in o independiente y los divisores d e l coeficiente d c x 3
D ivisores de 12 = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}
D ivisores de 1 = { ± 1}
Se dividen los divisores d e l térm ino independiente en tre los divisores del co eficie n te de x 3
{ ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , + 12}
É stos so n los posibles valores para los cuales el valor del residuo de la división sintética puede se r cero.
Se o rd en an los co eficie n te s d e l polinom io y, c o n los valores anteriores, s e efec tú a n las operaciones indicadas, si
la últim a o p e rac ió n e s c e ro , entonces, s e resta a la lite ral p a ra o b te n e r un factor, este procedim iento se repite las v eces
que s e a necesario co m o se ilustra a continuación:
__ X '—'"
”
-3
* (2X 1) = 2
n
(2 X -l)= -2
M ------ -- ------
1**------ x _____
(2)(—6 ) - 1 2
■A - 2 —► Segundo fa cto r ( x - ( -
-6 -—
'^ ( - 2 ) ( l ) = - 2
2 —► Prim er fa cto r ( x - 2)
(- 2)(” 3 ) = 6
-3 _ _
-A
0
3 —► T erc er fa c to r ( x - 3)
^ ^ (3 )(1 )= 3
1
0
L os x v x 2, x y .. so n los valores p a ra los que e l resid u o de la div isió n sin té tic a e s c e ro , y e l núm ero de facto res e s
e l núm ero de valo res que la cum plen.
Finalm ente, la desco m p o sició n e n factores d e l polinom io propuesto es:
x * - 3 x ! - 4 x + \2 = ( x - 2 X x + 2 ) ( x - 3 )
108
C a p ítu lo
4
Foctorizoción
2
• • - F a c t o r i z a e l polinom io: 6r* + x * - 3 l x + 10.
S olución
Se b u sc a n los divisores d e l térm in o independiente y los divisores d e l coeficiente d e £
D ivisores de 10 = { ± 1, ± 2, ± 5, ± 10}
D ivisores d e 6 = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6}
P o sib le s factores d e l polinom io: {± 1, ± 2 , ± 5 , ± 10,±
±
±
2
i
± \,± ^ ± ^ , ± ± ^ }
o
5¿
3
o5 ]
J
Éstos s o n los posibles valores p a ra los que e l valor d e l resid u o de la división sin té tic a puede se r cero.
Se ord en an los coeficientes d e l polinom io y, c o n los valores anteriores, s e efec tú a n las operaciones siguientes:
6
6
1
-3 1
10
12
26
-1 0
13
-5
0
____________ 2
6
15
P rim er fa cto r (x - 2)
Segundo fa c to r ( x - ^ j
5 ________
T erc er fa c to r ^ x -
0
j = {x +
___________ - 1 5 ___________________
6
0
Finalm ente, la descom posición e n factores d e l polinom io es:
6x3+ * J - 3 U + l O = 6 ( * - 2 ) ( x + 0 ; r - ± j = (x - 2)(2x + 5 X 3 * - 1)
3 • • *Factoriza e l p o linom io : tn
- 18m2 + 81.
S olución
Se b u sc a n los divisores d e l térm in o independiente y los divisores d e l coeficiente de m4
D ivisores d e 81 = { ± 1, ± 3, ± 9, ± 2 7 , ± 81}
D ivisores de 1 = { ± 1}
Posibles factores d e l polinom io: { ± 1, ± 3 , ± 9 , ± 2 7 , ± 81}
É stos so n los posibles valores p a ra los que e l valor d e l resid u o de la división sin té tic a puede se r cero.
Se o rd en an los co eficie n te s d e l polinom io, se co n sid era n los c e r o s de los térm inos c ú b ic o y lineal y s e efectúan
las operaciones siguientes:
1
1
1
1
0
-1 8
0
81
3
9
-2 7
-8 1
3
-9
-2 7
0
3
18
27
0
6
9
-3
0
3
0
3 —► Prim er fa cto r ( m - 3)
3 —
Segundo fa cto r (m - 3 )
- 3 — ► T ercer fa cto r (m - ( - 3 ) ) = ( m + 3)
- 3 —► C u a rto fa cto r (m - ( - 3 ) ) = (m + 3)
-3
1
0
Finalm ente, la descom posición e n factores d e l polinom io es:
m4 - 1 8 ^ + 81 = ( m - 3 ) ( m - 3)(m + 3 )(m + 3 ) = (m - 3 ) \ m + 3 )2
109
4
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
4
• • • F a c t o r iz a e l polinom io: 4 / - 9y2 - 6 y - 1.
S o lu ció n
Se b u sc a n los divisores d e l térm in o independiente y los divisores d e l coeficiente de y*.
D ivisores de 1 = { ± 1}
D ivisores de 4 = { ± 1, ± 2, ± 4 }
Posibles factores d e l polinom io: j ± l , ± ^ , ± - j
É stos s o n los posibles valores para los que e l valor del residuo de la división sin tética puede s e r c e ro .
Se o rd en an los co eficien tes d e l polinom io, s e co n sid era al c e ro d e l térm in o cú b ic o y se efec tú a n las operaciones
siguientes:
4
0
4
-9
-6
-1
-4
4
5
1
-4
-5
-1
0
____________ - 2
4
-
6
3
-
2
|
- 1 —► P rim er fa cto r ( y + 1)
j
—► Segundo fa cto r ^ V + ~ j
1__________
0
—► T erc er fa c to r (4y2 - 6 y - 2)
L a ex p resió n 4y2 - 6 y - 2 únicam ente se puede facto rizar de la siguiente m anera:
4y2 - 6y - 2 = 2 ( 2 / - 3 y - 1)
F inalm ente, la desco m p o sició n e n factores d e l polinom io es:
4 / - 9vJ - 6 y - 1 = ( y + l ) ( y + j ) 2 (2 / - 3 y - l ) = ( y + W y + W
f - 3y - 1)
EJE LC IC IO 51
Factoriza las siguientes expresiones:
1. b * - b 2 - b + 1
11. n* - 2 n 3 - 3« 2 + 4 n + 4
2. \\? + 2w 2 - w - 2
12. * 4 - 4 * * + 3 / + 4 * : - 4
3. j ? - 4 x 2 + x + 6
13. * 4 - 3 * , - 3 / + l l * - 6
4. ¿ + ¿ - l A x - 2 A
14. x s - 4 / + l
5. 4 x * - l x + 3
15. a 5 - 30o3 - 25<r - 3 6 a - 180
6. m 3 + 2 m 2 + m + 2
16. 2*5 - 5 * 4 - 12*3 + 2 3 r + 1 6 * - 12
7. 6 / + y 2 - l l y - 6
17. x , - 4 r >+ 3 / - f e ’ + 3 2 * - 2 4
8.
18. 6 ^ + 7*4 - 4 7 * 3 - 13*2 + 7 7 * - 3 0
¿»4 - 1 0 a 2 + 9
9. 3 / + 4 * * - 5 9 * - 2 0
Q
r
6
19. n 6 - 14n4 + 49«2 - 36
20. 2 / - 3 r 5 - 35at4 - 2X2 + 3 * + 35
10. tn + 6m 3 + 3m + 140
V e rific a t u s re s u lta d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n te
110
C a p ítu lo
F r a c c io n e s
5
a l g e b r a ic a s
Nicolás d e C usa (14 0 1 -1 4 6 4 )
ardenal alemán nacido en Cusa y fa ­
llecido en Lodi (Italia). M ás filósofo que
matemático, a é l se debe la crítica a
b s conceptos de la noción de infinito: "...p ara
alcanzar el máximum y el mínimum hay que
trascender la serie indefinida de lo grande y
lo pequeño, y entonces se descubre que el
máximum y el mínimum coinciden en la idea de infinito...".
C
N icolás de Cusa vio que uno de los puntos débiles del pensamiento escolásti­
co de la época, en lo que se refiere a la ciencia, había sido su incapacidad
para medir, mientras que él pensaba que el conocimiento debería sustentarse
en la medida. Sus teorías filosóficas neoplatónicas sobre la concordancia
de los contrarios, le condujo a pensar que los máximos y los mínimos están
siempre en relación.
Nicolás d e Cusa (1401-1464)
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
M á x im o común d iviso r (M CD )
E l m áxim o co m ú n d iv iso r de dos o m ás expresiones a lg eb raicas e s e l térm in o o polinom io que divide exactam ente a
todas y c a d a una de las expresiones dadas.
R egla para o b ten e r e l M CD :
O Se obtiene e l m áxim o co m ú n divisor de los coeficientes.
O Se tom an los facto res (m o n o m io o polinom io) de m enor exponente que ten g a n e n co m ú n y se m ultiplican por
e l m áxim o co m ú n divisor de los coeficientes.
E JE M P L O S
1
i
• • E n cu e n tra e l m áxim o co m ú n divisor de: \ 5 ¿ y h , 2 4 xy*z, 36y Y .
S o lu ció n
i
S e obtiene e l M C D de 15, 2 4 y 36
15
24
36
5
8
12
3
M CD = 3
Se tom an los factores que ten g a n e n co m ú n y s e esc o g e n los de m enor exponente, e n este c aso : y 2, z
Finalm ente, e l m áxim o c o m ú n divisor: 3y2z
2
• • O b t é n e l M C D d e los siguientes polinom ios:
4m : + 8 m - 12, 2ro2 - 6 m + 4, 6m 2 + 1 8 / n - 2 4 ;
S o lu ció n
S e factorizan los polinom ios:
4(m 2 + 2 m - 3 ) = 4( m + 3)(m - 1 )
2(m 2 - 3 m + 2 ) = 2 (m - 2 )(m - 1)
6(m 2 + 3 m - 4 ) = 6( m + 4 )(m - 1 )
Se obtiene e l M C D de 4, 2 y 6
4
2
6
2
1
3
2
E l M C D de los co eficien tes 2, 4 y 6 e s 2.
El M C D de los facto res e s m - 1
Por tanto, e l M C D de los polinom ios e s: 2 (m - 1)
M ín im o común múltiplo (mcm)
E l m ínim o co m ú n m últiplo de d o s o m ás expresiones a lg eb raicas e s e l térm ino alg e b raic o q u e s e divide p o r todas y
c a d a una de las expresiones dadas.
R egla para o b ten e r e l m ínim o co m ú n m últiplo:
© Se obtiene e l m cm de los coeficientes.
© Se tom an los facto res q u e n o s e repiten y, de los que s e repiten, e l de m ay o r exponente, y se m ultiplican p o r e l
m ínim o co m ú n m últiplo de los coeficientes.
112
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
E JE M P L O S
i
1
D eterm ina e l m em de las sig u ien te s expresiones 15 x2y2z, 24*y2z, 3 6 y V .
Solución
1
Se en cu e n tra e l m em de 15, 24, 36
15
15
24
12
36
18
2
2
15
6
9
2
15
3
9
3
5
1
3
3
5
5
1
1
1
1
1
m em = 23 x 32 x 5 = 360
El m em de los coeficiente 15, 2 4 y 3 6 e s 360
Se tom an todos los factores y se esc o g e n los de m ayor exponente e n e l c a s o de aquellos que se a n co m u n es y, los
que no, se esc rib e n igual.
Finalm ente, e l m em e s 3 6 0 x 2y Z2
E ncuentra e l m em de 4m 2 + 8m - 1 2 ; 2 m 2 - 6 m + 4 ; 6 m2 + 18m - 24.
S olución
Se factorizan los polinom ios y s e esc o g e n los factores:
4 m 2 + 8m - 12 = 4(m 2 + 2/w - 3 ) = 4(m + 3)(m - 1)
2rn - 6 m + 4 = 2 (m2 - 3m + 2 ) = 2(m - 2 ) ( m - 1)
6ro2 + 18wj - 2 4 = 6(m 2 + 3 m - 4 ) = 6(m + 4 )(/n - 1)
Se obtiene e l m em de los coeficientes de 4, 2 y 6
4
2
2
1
6
3
2
2
1
1
3
3
1
1
1
m em = 22 x 3 = 12
E l m em de 4, 2 y 6 e s 12
E l m em de los factores e s: (m + 3 )(m - 2 )(m + 4 )(m - 1)
P o r consiguiente, e l m em e s: 12(m + 3 )(m - l)(m - 2)(m + 4 )
E JE R C IC IO 5 2
Determ ina e l m áxim o com ú n d iviso r y e l m ínimo com ún m últiplo d e las siguientes expresiones:
I
1. 3 5 ^ y V ; 4 2 ^ y V ; 7 0 ^ 2
;
2. 72m 3y4; 9 6 m2y \ 120m y5
•
3. 4x2y ; 8x"y2, l ^ y z ' , lO xyV
1
4. ? .9í^ bc\52ab2c\19,abc2
113
5
C a p itu lo
ÁLGEBRA
5. 6 0 m V ; 7 5 m V +2; 105m«**‘
6. 72xay h' , 3 ^ 2^
l - 4 4 x a^ y b^
7. \ S a \ x - l ) 3; 2 4 a (¿ - l ) 2; 3 0 a \ x - l ) 4
8. 2 7 (a - b ) ( x + y)2; 45(a - b f ( x + y)
9. 2 4 (2 * + \ ) \ x - 7 ); 3 0 (* + 8)0* - 7 ); 36 (2 * + l)(j* + 8 f
10. 38(a* + a 3¿>); 5 7 ^( 1 + b ? \ 1 6 a \ \ + ¿>)3
11. x y + y ^ + x
12. m? - 1; m 2 - 1
13. m2 +mw; m n + «2; m 3 + m 2n
14. ^ - y ^ - ^
+ y2
15. 3 » ? - 6 r , .** - 4 r , . ^ y - 2 * y ,X * - x - 2
16. 3fl2 - a ; 2 7 a 3 - l ; 9 a 2 - 6 a + l
17. m2 - 2 m - 8 ; m 2 - m - 1 2 ; m 3 - 9 m 2 + 20m
18. 2a3 - 2 a 2; 3 a 2 - 3 a ; 4 a 3 - 4 a 2
19. 12¿>2 + 8¿> + 1; 2¿>2 — 5¿> —3
20. y J - 2 y 2 - 5 y + 6 ; 2y3 - 5y2 - 6 y + 9 ; 2y2 - 5 y - 3
V» rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Sim p lificació n d e fraccio n es a lg e b ra ica s
U n a frac c ió n a lg e b ra ic a co n tie n e literales y s e sim p lifica a l fa c to riz a r a l n u m era d o r y a l d e n o m in a d o r y a l d iv id ir
aquellos factores que s e en cu e n tre n e n am b as posiciones, co m o a co n tin u ació n se ejem plifica.
E je m p lo s:
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
,
8 a 2 + 12a¿>
| • • Sim plifica la siguiente e x p re s ió n :
— =
.
8 a~
S o lu ció n
Se factorizan tan to e l num erador co m o e l denom inador.
8 a 2 + 12a¿> _ ( 4 a ) ( 2 a + 3b)
8a 2
(2a)(4a)
U na vez facto rizad o s los ele m en to s de la fracción, se o b se rv a que e n am bos se en cu e n tra la expresión (4a ) la cu al
se procede a l sim plificar
( 4 a ) ( 2 a + 3b) _ 2 a + 3b
(2a)(4a)
2
2a
• • ■Sim plifica la siguiente e x p re s ió n :-------— — - .
15m - 12m ‘
S o lu ció n
S e factorizan e l num erador y e l denom inador, sim plificando e l térm in o que s e repite e n am b o s (3m )
3m
l(3 m )
1
15m - 12m 2 ~ ( 3 m ) ( 5 - 4 m ) ~ 5 - 4 m
1 14
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
3
••
Sim plifica la siguiente expresión:
.
x -4 y
Solución
Se factorizan tan to e l num erador co m o e l denom inador.
6x y j x - 2y )
6 x 2y - \ 2 x y 2
-(x+ 2 y)(x-2 y)
U na vez factorizados los elem entos de la fracción, se observa q u e e n am bos se en cu e n tra la ex p resió n ( x - 2y ) la
cual se procede a sim plificar
6xy(x-2y)
_
6xy
(x+ 2 y)(x-2 y)~ x+ 2y
4
• • Sim plifica
x 2+ a x - 3 x - 3 a '
Solución
Se factorizan ta n to num erador co m o denom inador
x2- 6 x + 9
(* - 3 )2
(* - 3 )2
x2+ a x -3 x -3 a
^t(a: + íz) —3 ( a: + « )
( * - 3 ) ( * + a)
E n e s ta fra c c ió n e l e le m e n to que se repite e n e l num erador y d enom inador e s ( * - 3 ) , entonces se re aliz a la sim ­
plificación
5
(* -3 )2
* -3
(* -3 )(* + tf)
x+a
9x-x3
■Sim plifica la siguiente expresión: —
x - x -6x
S olución
Se factorizan ta n to num erador co m o denom inador
9x-x*
-y(9-AT2)
x* - x * - ó * 2
x 2( x 2 - x - 6 )
^ x(3+ x){3 -x)
x 2( x - 3 )(* + 2 )
L o s factores que se repiten s o n ( r ) y ( x - 3)
* (3 + * )(3 -* )
(3 + * )(-l)
x 2( x - 3 ) ( * + 2 )
* (* + 2 )
x +3
“ * (* + 2 )
. . . . . .
„
12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 * 3
Sim plifica la siguiente expresión:
+ 51----- 2 6 t 2~+ 3 3 "
Solución
Se factorizan ta n to num erador co m o denom inador
12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 x 3
( - l ) (3 jy -I-1)( jc + 3 )(jr - 4 )
2 0 + 5 1 * - 26.x2 + 3 * 3
(* -5 )(3 * + l)(* -4 )
L o s facto res que se repiten e n e l n u m era d o r y d enom inador (3* + 1) y (* - 4), s e dividen, obteniéndose la sim p li­
ficación de la fracción
12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 * 3 _ ( - ! ) ( * + 3 )
20 + 51* - 26x2 + 3*3
115
(* -5 )
*+3
* -5
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 5 3
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1.
2a2 + la b
2.
y3 - 2 7 * 3
16.
y2 - A y -
3a 2b
6a V
6 a :2
* 3- l
17.
3 a 2b - 6 a b 2
4a2 + \2a
3.
18.
.r3 -3 A ^ y + 3 A y 2 - y 3
8a2
a :3
6 m 3 - 18/n2 -2 4 /w
4.
by2 - b x 2 - 3ay2 + 3 a x 2
m i n - m 2n 2
5.
20.
a2 + a b - a d - b d
n2 - m 2
6.
l a 2b + 2 a b 2
4x2 - \2 x
21.
2 x 3- 2 x 2- l 2 x
x 2- 3xy - \ 0 y 2
7.
22.
5y2+ 4 x y - x 2
8.
x 2+ 7 x - 7 S
24.
P* ~ P ~ 2 p 2 +2
25.
la b 2+b2 - 2 a * - a 2
- a : 4 + 3 r 3y - 2A:2y 2
26.
x
28.
abm2 - a b n 2
8 -
™
at*
2 a: - 8
*+ x 2- \ 4 x -2 4
y 3 - 9 y 2 + 2 6 y - 24
y 3 - 5 y 2 - 2 y + 24
( y - i) (y 2- 8 y + i6 )
( /- 4 ,) ( ! - ,* )
(a -2 )* (a 2+ a -1 2 )
15. * + y
*2 - y 2
^
x* + 4 x 2 + x - 6
27.
a¿>2m2 - 2 ab2m n + a b 2n 2
a:2 +
x 2+ Zx2- x - 2
x*+4x2+ x -6
a:2 - A y - 6 y 2
14.
p +\-p *-p2
2 a 3 -2 a ¿ > 2 + a 2 - ¿ r
3 r 2 +10A y + 8y2
13.
ni2+w-2
2at -x y -6 y 2
5 a:3 - 4 a: 2y - A y 2
I2
a :»v
«2 - 2 n - 3
3*2 - 5 * y - 2 y 2
11.
3* 2 - 3 * y
y z - x z - y»v +
x - w x - y + wy
/i2 - 5 w + 6
10 .
y3+y2- 6y
3¿iy2 + 9 a y + 2 y 2 + 6 y
23.
x2-3 6
9.
3Ay2 + 2 y 3
3ax-bx-3ay+ by
19.
1 5 m -9 m 2
-
30.
(2 -a )(3 -a )¡
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Sum a y resta d e fraccio n es con denom inador común
E je m p lo s
E JE M P L O S
i
*
i*
i
i .i j 2 a - a 2b
3 a + 4 a 2b
# • D eterm ina e l resultado d e
i
+
a 2b
a 2b
S o lu ció n
Se sim plifica c a d a fracción, s i e s posible.
2 a - a 2b _ a ( 2 - a b ) _ 2 - a b
a 2b
a 2b
ab
116
3 a + 4 a 2¿> _ a ( 3 + 4 a b ) _ 3 + 4 a b
*
a 2b
a 2b
ab
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
Se sum an las nuevas expresiones.
2 - a b ( 3 + 4 ab
ab
ab
C o m o los denom inadores s o n com unes, e n la fracción resultante s ó lo s e reducen los num eradores y el denom inador
perm anece igual.
2 -ab
3 + 4 ab
+
ab
=
2 - a b +3+4ab
ab
ab
5 + 3ab
= ----------ab
c
.
11. a a 2 m + n t 5 m - 5 n
n -m
E ncuentra e l resultado de
+ —----------+
2m - n
2m - n
2m - n
o
Z
S olución
En este c a so ningún sum ando s e puede sim plificar, entonces e l co m ú n d enom inador e s 2 m - n, y só lo se re d u ce n los
num eradores.
2m +n | 5 m -5 n
2m -n
2m - n
| n -m
2m + n + 5 m - 5 n + n - m
2m - n
2 m -n
6m -3n
3(2m -n)
2m - n
^
2m - n
EJE ÍC IC IO 5 4
Simplifica las sig u ien te s fracciones algebraicas:
,
2x2 - l x | 6x2 + x
3
1 - 2 a2
l7w
n ~- *\
8%nn--44
lly 2 -1 4 y
2y2 + y
lOn
6y2
6y2
5
35w _7
5n2 - n
a
?
4 mn
1‘ ~- au 2
a
10n +
^
4mn
15w" 3
5n2 - n
V erifica tu * re s u lta d o s « n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
9.
\2 x2 - x + 5 . 6 + x - x 2
— + -------------22x
22x
1 3 * -y
PT
1
H
«n
2
l m 2 - 6 m t 12m 2 - 3 m
4
8x 2
8x 2
3 x 4 ■6y
3 x -2 y
3 x -2 y
3 x - ’2 y
6 a + 5b
a + 6b
3 a- - b
& a-2b
& a-2b
8 a - ■2 b
1
Suma y resta de fraccio n es con denom inadores diferentes
E je m p lo s
E JE M P L O S
1
• • E fectúa la siguiente o p eració n :
+
•
S olución
Se obtiene e l m ínim o c o m ú n m últiplo de los denom inadores y se realizan las operaciones correspondientes.
3*
5 y _ 3 * ( 2 * 2) + 5 y ( y 2) _ 6* 3 + 5 y 3
2y2
2
4*2
4 x 2y 2
4 * 2y2
R ealiza la siguiente o p e rac ió n y sim plificar a l m áxim o:
S olución
Se obtiene e l co m ú n d enom inador de los denom inadores “x + h " y V , posteriorm ente se procede a re aliz a r la difec n c i a de fracciones
1
1
x-{x+ h)
x -x -h
-h
x+h
x
x(x+ h)
x(x+ h)
x (x+ h)
1 1 7
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
3
• • 'E f e c t ú a —— ^
x 2- 6 x + 9
x-3
.
S o lu ció n
Se obtiene e l m ínim o co m ú n m últiplo de los denom inadores y s e efec tú a n las operaciones:
3x
+
( , _ 3y
4 ••
4
_ 3 jc( 1 ) + 4 ( jc - 3 ) _ 3 jt+ 4 at- 1 2 _ 7 at- 1 2
x-3
(x-3 Y
(x -
3)2
(* -3 )2
R ealiza la siguiente o p eració n : ------ ^ ----------------- .
(a t+ /* ) - I
x 2- \
S o lu ció n
Se d ete rm in a e l co m ú n denom inador, é ste s e divide por c a d a uno de los d en o m in ad o res y e l resu lta d o se m ultiplica
por s u num erador, los productos s e reducen a l m áxim o.
1_________ 1____________ 1____________ 1____ l(x * - i j - ^ x 2 + 2 x h + h 2 - \ )
(x + h )2- \
5
x2 - \ ~ x 2+ 2 x h + h 2 - \
x2- \ ~
(x2 + 2xh+ h2 - \ ) ( x 2- \ )
x 2- \ - x 2 - 2 x h - h 2 +1
- 2x h - h 2
(x> + 2 x h + h 2 - \ ) ( x 2- \ )
(x 2 + 2xh+ h2 - \ ) ( x 2- \ )
• • Sim plifica la siguiente operación: — - —
¡-+Í*2+l)2.
S o lu ció n
A los enteros se les c o lo c a la unidad co m o denom inador:
*2
, ,
a
(* 2 + i)3
x2
( * 2 + i)
Luego, e l co m ú n denom inador e s ( x 2 + 1)2, por tan to
(x:2 + l)2
(x 2 + lf
(•r2 + 1 ) 5
s e a p lic a la propiedad a m• a " = a m*" y se sim plifica a l m áxim o e l num erador, entonces:
* > (!)+ (* * + l p
(* 2 + l)*
6
• • Sim plifica la siguiente operación: — ——
, » ♦ ( * ■ + !)
2 x 2 +1
(-t2 + l) ^
(•t ! + 1)^
( * 3—l ) 5 .
(^ -1 )3
S o lu ció n
2
E l co m ú n d enom inador de e sta d ifere n cia d e fraccio n es e s (-r3 —l ) 3, entonces:
x3
(* > -!)*
(^ -1 )3
118
(x ! - l ) 3
(a P - l ) 3
(^ -1 )5
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
Por tanto, la sim plificación es:
x3
_
/
í / +
• • • Efectúa y sim plifica la siguiente expresión: —
l 2
¡
Xfjr2 —1J2
—.
S olución
E l co m ú n denom inador e s e l producto de los denom inadores:
(s - W + 'f
Se realiza la operación:
jr(^ + l)2
(* 2 - l ) *
at(at2 - 1)2 _ * ( * 2 + l ) ^
( * 2 + l) *
- 1) 2*2 _ j r ( ^ + l ) - j c ( j r a - l )
( * 2 - l ) * ( * 2 + l)5
( * 2 - l ) 1 ( * 2 + l)1
* 3+ * - * 3+ *
(jt2 - 1)2 (cr2 + 1)2
2x
(s - W + if
E n e l d e n o m in a d o r los facto res están e le v ad o s a l m ism o exponente, s e pueden m ultiplicar las b ases, las c u a le s dan
com o resultado una d ifere n cia de cu ad rad o s, por tanto:
* ( x 2 + i)1
( , ! + l)5
8
2
l
3 ( jc + 1)3
3 ( jc -2)"3
^ x+ ^
••■ S im p lific a la siguiente operación: — —
2x
*(■ **-1)1 _
( i * -1 )1
.
S olución
Se obtiene e l co m ú n d enom inador y se procede a re aliz a r la diferencia:
(* -2 )1
2 ( * + l)1 _ ( * - 2 ) M - 2 ( * + l ) H _ ( * - 2 ) - 2 ( * + l) _
3 ( * + 1)1
3 (* -2 )1
3 (* + l)l(* -2 )1
3 (* + l)1 (* -2 )1
* -2 -2 * -2
3 (jr + 1)1 ( jc - 2)3
Por últim o s e sim plifica e l num erador, entonces:
(* -2 )1
2 ( * + l)1 _
3 (* + l)1
3 (* -2 )5
-x - 4
3 ( * + 1)1 ( * - 2 ) 1
119
_
*+4
3 (* + l)1 (* -2 )1
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
• ,c
,
•,
• • R ealiza y sim plifica la operación
<*+b
a + 4b
a2- a b - 2 0 b 2
a2 - 4 a b - 5 b 2
a + 5b
a2+ 5ab+ 4b2'
S o lu ció n
Se factorizan los denom inadores:
a ! - a b - 2 0 b 2 = ( a - 5 b){a + 4 b)
0 2- 4 a b - 5 b 2 = ( a - 5 b ) ( a + b)
a2 + 5ab + 4 b 2 = ( a + 4b)(a + b)
L a expresión c o n los denom inadores factorizados es:
a+b
a + 4b
a + 5b
(a -5b)(a+ 4b)
(a-5b)(a+ b)
(a + 4b)(a+ b)
Se obtiene e l m ínim o co m ú n m últiplo de los denom inadores: (a - 5b \ a + 4 b )(a + b)
Se resuelve la fracción:
( a + b ) ( a + b) - (a + 4 b ) ( a + 4 b ) + ( a - 5 b ) ( a + 5 b )
(a-5b)(a+ 4b)(a+ b)
_ a 2 + 2ab + b2 - a 2 - & a b - \ 6 b 2 + a 2 - 2 5 b2
{a-5b)(a+ 4b)(a+ b)
a2 - 6 a b -4 0 b 2
(a - 5b)(a + 4b ) ( a + b )
E l num erador s e facto riza, s i e s posible, para sim plificar a l m áxim o, entonces
( a - \ 0 b ) ( a + 4b)
( a - 5 b ) ( a + 4b)(a+ b)
a -\O b
(a-5b)(a+ b)
E JE R C IC IO 5 5
Efectúa y simplifica las siguientes o p e ra c io n e s algebraicas:
1.
2
4-x:
7.
10*
x+ \ | 2x+3
2x
— !— — L x+ h +2 x+ 2
6.
£ ± A ± i_ £ ± !
x2
*2 + l
, 0> _ 2 _ + * + 2
4x2
5.
(x+ h)2
9. _ ^ _ + . x
x2- 9
*+3
2 ^ + 5 - ^
6*
x2-3
{x+ h )2+ 1
g
3*
3. * = « + £ = 2
9x2
6x
4.
( * + /i)2 - 3
x+ \
n.
-Í2 L + . *
x2- 4
x+2
12.--_
120
x2-1
J ------ +
2
C a p ítu lo
5
Fracciones olgebraicas
13
7*
a:2
,
+ 6 a:+ 9
1
20
2*2 + 8
2 x ( x - 2 ) ¡ ----------------------------------------------------------------------- 2 1 .
14.
15.
{ jf+ ij
'
3 x(x2- 4 ) i
2*
x (3 x 2 + 2 Y
(3 a 2 +
2)2
[ x 2
-2 » (^ t2 )i
4 « (5 -^ )i
3 ^5 _ x 2 j !
3( ^ + 2 )í
3 (4 ,’ - 3 ,) 1
^
6 a :2 + 1 1 a : - 1 0
3m2
3*+2y
^
3 ( 4 ^ + 3 * )f
5 j+ y
a - b
|
4 * -y
x 2+ 4 x y - 5 y 2 x 2- 3 x y + 2 y 2
a -2 b
a2 + 2 a b -6 b 2
' 3 a + 3 ¿ " 6 a - 6'’ +
9 “ J - 962
26. £ ± * _
1 9 .
X 2
O
3a: + 7a: - 6
i
a:2 + 3 A y - 1 0 y 2
( 8 a :+ 3 )(4 a :2 - 3 a :) *
"
+ 10.V + 2 4
2 * --“ 1--------- T -------! + TT"
m 1 - m n + t i 1 m + n wj3 + / i 3
-4 )2
( 8 a : - 3 ) ( 4 a : 2 + 3 a :)^
+ 1 1 a : + 15
m+n
, 6 - ---------------i------------------- i“
X2
+ ^ Í ± Z --------- ¡ J * ------
22.
v
ig
x 2+ 2x-8
,4 x " 5
+
9
A2 + A—1 2
18-3A T -A T 2
3 (* -2 )
^
5 a: - 6 - a:2
' 2x2+ 2 x - 1 2
* 2- 9
+ x -\2
x 2+5x-2A
s+
s2- r 2
r
s-r
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
M ultip licación d e fracciones a lg e b ra ica s
Regla para m ultiplicar fracciones:
© D escom poner e n factores los elem entos de las fracciones que s e v a n a m ultiplicar.
© Se sim p lifican aquellos térm in o s que s e a n com unes e n e l num erador y d enom inador de las fraccio n es q u e se
van a m ultiplicar.
© M ultiplicar todos los térm inos restantes.
so|diua¡3
E JE M P L O S
1
••
M u ltip lic a ^ - ^
3y
4 a:
2y
S olución
Se re aliz a la m ultiplicación de fracciones y s e sim plifica e l resultado
2 a:2
6y2
5 ^ _ 6 0 aV
3 y ‘ 4 a: ‘ 2 y “
2
2 4 a>-2
_ 5 a^>>
“
2
• -S im p lific a : " 1 ± ® Ü ± « . * £ »
m - 5
5 m + \5
S olución
Se facto riza c a d a uno de los elem entos
m 2 + 9 m + 18 5 m - 2 5 _ ( m + 6 ) ( m + 3 ) 5 ( m - 5 )
m -5
5m + \5
m -5
5(m + 3)
(contim ía)
121
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continuación)
s e procede a realizar la m ultiplicación y la sim plificación
(m + 6 )(m + 3) 5 ( m - 5 ) _ 5 ( m + 6 ) ( m + 3 ) ( m - 5 ) _
m -5
o
ó
5 (m + 3)
™
a2- 5 a + 6
6a
• • E fec tú a y sim plifica: — ----- —------- =--------3a-1 5
a - a -3 0
5 (/n -5 )(m + 3 )
W
a 2 - 25
2 a-4
S o lu ció n
(a-3 )(a -2 )
2 -3 a
{a+ 5)(a-5)
3 (a -5 )
(a -6 )(a + 5 )'
2 (a -2 )
( a - 3 ) ( a - 2 )2 -3 a { a + 5 ) { a - 5)
3 (a -5 )(a -6 )(a + 5 )2 (a -2 )
6 a ( a - 3 ) ( g - 2 ) ( f l + 5 )(fl-5 )
a ( a - 3)
6 ( < z - 5 ) (fl- 6 ) (< z + 5 ) ( t f - 2 )
a -6
F inalm ente, e l resultado de la m ultiplicación e s a ^°
a -6
^
a- 6
EJE ÍC IC IO 5 6
Efectúa la multiplicación d e las fracciones algebraicas y simplifica:
1.
2
4a2
14*
5b2
lx*
5b*
la 2
5 2 .3 y
‘
.2
* >
3.
3*
12 .
10
16ab2
15.
ltn + 1
14
10m + 50
8.
2m3+2m n2
2b-4
x
16.
10 .
\4 ^j-2 A x
n x -i_
2 4 a: - 1 6
4 2 a: - 6 3
____________
6b
17.
b 2 - b - 30
x 3- x
18.
19.
a:2
- 2 a: - 4 8
* 2 - 1 2 * + 32
6 a 2 + a: - 1
4 a:2 + 4 a: + 1
9 a:2 + 9 a: - 4
x 2+ 5 x + 6
x 2 - 3 a: - 4
12
x2 -3 a
20.
6 0 a: - 3 6
V# rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
122
: - 18
x 2 + 9 a: + 18 2 a^ + 7 a: + 6
4 x2+ 9x+ 2
x3 + 2x2-3 x
2 x 2 + 3x
4 x 2+ & x+3
X2 - X
x3-2 7
a 2 -i- a + 1
a3- l
x 2+ 3 a :+ 9
x2+ 5 a + 6
4x 2+ 4x
3 0 a:3 - 1 8 a:2 4 2 * + 3 5
6 a:3 + 5 a:2
- 2 a: - 3
A:2 - 4 a: - 5
2X2 + 9 x + 9
2 m x 2 - 2 m x a t+ 1 m 2x + n 2x
9.
a:2
8 at + 1 0 a: + 3
x2- lx +
5 m + 25
3¿>— 1 5
+ a: - 6
- 5a + 6
14.
b¿_ 2y_
3 ^
a:2
3 0 + a: - a:2
10*3 2 a 2
b2 - 5 b + 6 b 2- 2 5
7.
1 4 a:2 + 8 4 a:
13.
4 b ' 2y 2 ‘ 3 * 3
6.
3 a:2 - 6 a:
x 2 - 1 0 a :+ 2 4
la
14a¿> 6 a:2
5 a 2x ' 4 b 3 ' 3bx
5.
1 5 a :- 3 0
a2
5 /
10y2
4.
1x2 +42x
11.
8 a :+ 8
x
2- 9
x
2-5 x
x
+2
2n2 + 5 n -3
n 2+ 4 n + 4
3n 2 + \ \ n - 4
n2 - 2 n - S
6n2 - 5 n + \
n2 + 5 n + 6
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
D ivisión de fraccio n es a lg e b ra ica s
R egla para d iv id ir fracciones:
© R im e ro se m u ltip lic a e l n u m era d o r de la p rim era frac c ió n p o r e l d e n o m in a d o r de la se g u n d a , de lo q u e re ­
su lta e l num erador de la frac c ió n so lu c ió n ; e l d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n so lu c ió n s e o b tien e a l m ultiplicar
e l d enom inador de la p rim era frac c ió n por e l num erador de la segunda. De preferencia los productos se dejan
indicados.
© S e sim plifican los térm in o s o factores que s e a n co m u n e s, e n e l num erador y denom inador, de las fracciones
q u e se van a m ultiplicar.
© Se m ultiplican todos los térm inos restantes.
E JE M P L O S
1
•
# • R ealiza la siguiente división:
n
3n
Solución
Se efec tú a n los productos cru zad o s y se sim plifica la expresión
m2
2m
3/i2
n3
( m 2) ( n 3)
mV
mn
3n2(2 m ) 6 m n 2
6
3* 2
Sim plifica la siguiente división:
( 2
l) 2
.
ÍT ÍiJ
Solución
Se re aliz a e l p ro d u cto d e m ed io s por m ed io s y extrem os p o r extrem os, p a ra desp u és sim plificar a l m áxim o.
3x 2
( j 2 + l) ? _ 3 * * (* i + l ) _
(7 7 ¡J
3 ••
R ealiza e l siguiente cociente
y sim plifica*
x (x ! + l f
{
1
3x
*’ + *
a 3- a
5a2- 5 a
7 , • .
2a2 +6a
2a + 6
Solución
Se facto riz a n todos los elem entos
a3- a
2a2+ 6 a
4 ••
ys e
5a 2 - 5 a
2o + 6
procede a e fe c tu a r la sim plificación.
a ( a - l ) ( a + l)
S a (a -l)
a ( a - l ) ( a + l ) ( 2 ) ( a + 3)
2 a ( a + 3>)
2 ( a + 3)
( 2 a ) ( 5 a ) ( a - l ) ( f l + 3)
a+ 1
5a
Sim plifica la siguiente operación:
(**+ 0 5
( ^ + i)
(continúa)
123
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continuación)
S o lu ció n
E n e s te c a s o s e tie n e una frac c ió n sobre un en tero , a l que s e le a g re g a la u n id ad c o m o deno m in ad o r, p a ra después
realizar e l producto de m edios y extrem os, entonces:
1
1
(aP + l)*
(x* + l)*
_
£ + 5
= ( ^ + , ) r ' = ( ^ + i)í
(7 7 IJ
c
O
-
1
1
• • .
• -X
2
6 x 2+ l x y +
R esuelve
la siguiente
división:
— 4 a :2 - y —
T + ———
—- —
^
I»
2A:2 + A y - y 2
1
____i _
2y2
3 a: + 5 A y + 2 y
S o lu ció n
Se facto riza c a d a uno de los facto res y se procede a realizar la división
4 a :2 - y 2
t 6x2 + 7xy+ 2y2 _ (2 x + y )(2 x -y ) <(3x+ 2y)(2x+ y)
2 x 2 + x y - y 2 + 3a^ + 5 x y + 2 y 2
( 2 A : - y ) ( A : + y ) + ( 3 A :+ 2 y ) ( A :+ y )
(2 x + y )(2 .» :-y )( 3 A :+ 2 y )( j:+ y )
( 2 Jr - y ) (
6
j >)(3 at+
• • E fectúa y sim p lifíc a la siguiente operación: ^ i + 4 + —? - y j + ^ . t - l — ^
2 y ) ( 2 x + >■)
j.
S o lu ció n
Se resuelven las operaciones den tro de los paréntesis:
( x 2 + 5 x + 4 + 2 ) | / V - 2 X + 1 - 9 ']
l* + 4+ * + i j T
x - i J “ li
J1 l
f x 2 + 5 a :+ 6 ^
(V
- 1
-
J
2a : - 8
Se facto riz a n los polinom ios resultantes y se resu elv e la división:
(* + 3 ) ( * + 2 )
i + l
| (jr - 4 )( .r
+
x -\
+ 2 ) _ (* jj)(* jj)(* --l) _ (-t + 3 ) ( ^ - l )
(a r+ l) ( a :- 4 ) ( i+ 2 )
E JE R C IC IO 5 7
Realiza las siguientes o p e racio n es y sim plifica a l m áxim o:
6x2
,
(2 x + 3)!
2 * l + 8*5
/ V
( 2 x + 3)
12* !
„
1 2 aV
4 a 2b
(2 x s + l) i
\ 5 x 6y ¡ * 5 x 2 /
2x*
(2x' + \f
124
(* + l)(y :-4 )
_ ¿ +2 x - 3
x2 - 3 x - 4
C a p ítu lo
5
Fracciones olgebraicas
4*3
a3-
a2
14. - 4 = 4 2 i
x2- llx
x2- y 2
a
5.
121a
+ 7
-y3 + 125
6
,5
^-6 4
^ - 2 a + 1
a2 -
‘
a2
9
a:3
[
a2+
6a-2 7
+2a- 3 +
a2 -
10 a + 9
- 5 a:2 + 2 5 a:
a 2 + 9<z
_ x ’ - T r + lO
o .
a2+
a 2 - 6a + 5
9.
.n
6a:2 - 5 a : + 1
4a 2 + 2 5 a + 6
a
25a 3 - x
2 5 a2+ 10a+1
x2+ x -3 0
a:3
2
'\
W
3
A+ 3 J H *
(
4a2 - 8 a - 5
x 3 - 3a:2 + 9a:
16a3- 9
6 a2 + 1 3 a + 6
IQ (
. 2.
8 a2- 2 a - 3
15a 2 + 7 a - 2
, 8 í I + _ « W 1+ 2 £ )
\ a+b) l
b )
4 r i £ ± 3 + 4 ± i2 £ ± 3 2
a: - 6a: + 9
a 2+ 3 a -4 0
3a:2 - 1 4 a + 8 +
„
1 /.
—
a 2+ 8 a + 7
4 a:2 - 2 3 a: - 6
'
5 at- 14
----------— + — - —
—
2 n -l\
)
A+ 4 J
( 2. .
« -H
21. f a + é + J L ] ^ , _ _ £ _ )
' l,
a -b
+27
(
4 a 2- 1
+ 4 a2+ 3 a
W
\
\
A3 + 2 / ( , * +
a- 1
J
1
' 1
V tr if k a t u s re s u lta d o s e n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ia n t a ,
C o m b in ació n de o p eracio nes con fracciones
L a sim plificación de este tipo de operaciones, e n las que s e c o m b in an operaciones básicas, s e b a sa e n la jerarq u izació n
d e operaciones de izquierda a derecha, c o m o sigue:
C
D ivisiones y productos
O Sum as y restas
s o |d iu 3 lg
E JE M P L O S
1
• • E fectúa y sim plifica la siguiente frac c ió n a lg e b raic a
a2 + 2 a
a2+
a2 +
2a-3
4a + 3 2 a2 -
a2-
a —1
2
a-
8
2 a 2 —7 a - 4
S olución
Se facto riza c a d a uno de los polinom ios de la expresión
a2+
2a
a2 +
2a - 3 f
a2 -
2a - 8
x 2 + 4 a + 3 2a2 - a - 1 + 2a2- 7 a - 4
a (a
+ 2)
( a + 3 ) ( a - 1) t ( a - 4 ) ( a + 2 )
( a + 3 ) ( a + 1 ) '( 2 a + 1 ) ( a - 1 ) + ( 2 a + 1 ) ( a - 4 )
1
( continúa)
125
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continuación)
Se re aliz a e l producto
* (* + 2)
(* + 3 )( .r - l) _
* ( * + 2 ) ( .* : + 3 ) ( .r - l )
_
* ( * + 2)
( x + 3 ) ( * + 1) ‘ ( 2 * + 1 ) ( * - 1) " ( at+ 3 )(a:+ 1 ) ( 2 a t+ l ) ( j r - 1) ~ ( j c + 1 ) ( 2 a t + 1)
P or últim o, se re aliz a la división y se sim plifica a l m áxim o:
x(x+ 2)
t ( x - 4 ) ( x + 2) _
( * + l) ( 2 * + l ) + ( 2 * + l ) ( * - 4 )
2
x (x + 2 ) ( 2 .r - H ) U - 4 )
_
(* + l)(2 * + l ) ( * - 4 ) ( x + 2 )
*
x +\
• • - R e a l i z a y sim plifica la siguiente fracción:
x
x 2 + 6 x + 5 x 2 - 3x - 1 0
x
2 +5x + 6
x+ \
jt2 —4jc—5
S o lu ció n
Se factorizan las expresiones y se a p lic a la jera rq u ía de las operaciones
( x + 5 ) ( x r + l ) ( * - 5 ) ( . r + 2 ) ____ x
( x + 3 ) ( * + 2 ) ( * - 5 ) ( * + l)
x
+\
= { x + 5 ) ( x + \ ) { x - 5 ) ( x + 2 ) __ x _
(x + 3 )(a t+ 2 )(x -5 )(a :+ 1 )
_ x+ 5
x +3
x
_ ( x + 5 ) ( x + \ ) - x { x + 3)
x +\
x2+6x +5 - x 2- 3 x
(jc + 3 )(x + 1 )
3j+5
( * + 3 )(* + l)
E JE R C IC IO 5 8
•
:
Efectúa y simplifica las siguientes expresiones:
{
x 2- x - \ 2
!
'
!
2
I
x2 - 4 9
x 2- x - 5 6
a 2 - 8a + 7
' a 2 - l l ü + 30
•
. 6a2 - l a - ? ,
l
'
a2 - l
| x 2 - 5 x - 24
x 2+x - 2 0 +
x +5
a2 -3 6 [ a2 - a - 4 2
a3- 1 + a2 - 4 a - 5
4a~ - 1 2 a + 9
2a2- a - 3
a2 - 1
3a2 - 2 a - l
2 /2+ 5 f + 2
t+2
2/3 + 9t2+ 4/
—------------- + -—------- + -------------------/ - 4 / +16 / + 64
/+ 1
.
4.
I
,
2
3*+3
x 2+ x-2
J .-------- + -—:------------- + ------------- =------------jc+ 3
x 2- 2 x - &
x 2- \
Í
6
:
!
1
3x2 + 3 x
x 2+ 2 x -%
' 3x2 - 8 x + 4 * 2 + 5 x + 4
7
2x
2 * -l
6x 2 - 1 2 r _| 2 x 2 - 5 x + 2 ___ 3 _
' Z r 2 + 3 x - 9 + 2x 2 + 5 j c - 3
x+ \
12 6
x+ \
(jc + 3)(a: + l)
C a p ítu lo
5
Fracciones algebraicas
8
-r4 - 2 7 *
at2 +
2 0 at+ 1 0 0 ^ - 1 0 0
‘ x 2 + 7 x - 3 0 ‘ *s + 3*2 + 9 * +
S x 2 —10-T —3
4 .r - 9
^
x-3
+ 14^+3
6 * 2 + 1 3 * + 6 ‘3 * 2 + 2 * + 9 * 2 + 1 2 * + 4
10
** - 6 a : + 8 | * 2 - 3 x + 2
x 2 + x - 2 * x 1-? > x -\Q * x 2- 2 x - \ 5
11
x 2 + -r ~ 2
‘
12
jc2 + 5 at+
6
-c2 + 3.r | 2.T2 - 4 . t
* 2- l
+ .r2 + . r - 6
•y3~ ^ A:2 , * 2 + 3.r ^ x 2 + 3 x - 4 jt2 —j t —6
* 3 - 2 5 a : * x 2 + 5 * + 6 V2 + 6a: + 8 ^ - 6 ^ + 5
. M irifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Fraccio n es com plejas
En una frac c ió n co m p le ja e l num erador y e l denom inador se co n fo rm a n p o r operaciones algebraicas.
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
••
Sim plifica la expresión
Solución
Se realizan las operaciones den tro d e los paréntesis.
(
.
mn+m
n2 -1
7"
( m ^ ) i n - n j =- n
se resuelve la división y se sim plifica a l m áxim o:
n(m n+ m ) _
n(n2 - l )
n m ( n + 1)
_
n (n + l ) ( n - l )
m
n-\
y -1 — ^
2 • • • R ealiza y
2L_.
sim plifica la fra c c ió n
y + 5 -------- y+3
S olución
Se resuelve tan to e l num erador co m o e l d enom inador y se factorizan los polinom ios resultantes, si e s posible
_5_
(y -l)(y + 3 )-5
y+3 _
.«
35
y+3
y+3
y » + 2 y -3 -S
_
y+3
y* + 2 y - 8
_
y+3
~ (y + S ) ( y + 3 ) - 3 5 ~ y2 + 8 y + 1 5 —35 ~ y2 + 8 y —2 0
y+ 3
y+3
y+3
(y+4)(y—2 )
=
y+3
(y + 1 0 )(y -2 )
y+3
(ic ontinúa)
1 2 7
5
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(contin uación )
Se dividen las fracciones y se sim plifica a l m áxim o
3
( y + 3 ) ( y + 4 ) ( y —2 )
y+4
(y + 3 )(y + 1 0 )(y -2 )
y+10
• • E fec tú a y sim p lific a :-------- — X — —
¿+2- ^ T 2
bb+ 1
S o lu ció n
Se e lig e n las operaciones secundarias y s e re d u ce n hasta sim plificar la frac c ió n a l m áxim o:
b -\
.
.
b -\
b2 +2
b- 1
b2+ 2
* +2
!)-(& -2 )
6+1
b -\
b 2+ 2
*
¿>+1
b2+ 2
b2 + b - b + 2
*1+2
6+1
6+1
=
—
(fc + íjfP T iy
fc+ 2 -
4
* + 2 -< * +1)
1
fe> + 2
• • Sim plifica la siguiente expresión:
(* -2 )5
_
2 (* + 2 )í
(,+ 2 )^
2 (* -2 )5
x-2
S o lu ció n
Se resuelve la parte su p erio r de la frac c ió n principal
(* -2 )5
2 (
x
+ 2)2
(* + 2 )5
2 (
x
- 2 )
(* -2 )5 * 5 -(* + 2 )1 4
2 (
i
x
+ 2 ) 2 (
x
(* -2 )-(* + 2 )
2 ( a : + 2 ) 5 (a : - 2 ) 3
-2)-2
2 ( a t+ 2 ) 3 ( a t - 2 )3
-2
(í+ 2 )í(x -2 ):
L uego, la frac c ió n o riginal se escrib e com o:
(* -2 )5
2 ( a + 2 )?
( * + 2 )2
-2
2 (* -2 )5
(* + 2 )5 (* -2 )5
x-2
x-2
Se re aliz a la división de fracciones y la sim plificación es:
-2
( x + 2 )5 ( x - 2)1
128
-2
(* + 2 )5 (* -2 )Í
x-2
C a p ítu lo
Fracciones algebraicas
EJE ÍC IC IO 5 9
Simplifica las siguientes fracciones com plejas:
9
1.
i+ i
a -y> -— h
-----------4b2
a -2 b a+b
- + -+ 4
y
y
y2 x2
10 . x
1+
.- i
n
a -2 b +
3. 1 -
4b 2
a +2 b -
a + 3b
1+ b
,
3
m +4 + —
ÜL
4.
7 ,2
12.
1
2°
1+
1+
„ - 4 -*
m
3t
4
a +b /
1
c i
13.
12
( 2 * + 3)5
( , + 1)
2 ( * + l )2
2 ( 2 * + 3)2
2x+ 3
.- i
y
x2-5
b
*2
x2 - y2
_y_*+ y_
15.
£ZZ + Z
8.
( ^ - 5)
14.
6 t i
7.
*3
2 * (* 2 - 5 ) 2 -
1^ I
a
a + 2b
11.
2 +y -i
5.
b¿
(3 * -l)í
(3 * + 1 )5
(3 * + 1 )7
(3 * -1 )7
(3 * -1 )1
(S * 2 + l)3
2
3r*
12
1, —7 + —
0 ti—
16
n -----rt
16.
IQ J
3 ( 5 í 2 + l)
(5 ^ + 1 )
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n te
129
1
4
2 a + 3*
5
C
E c u a c io n e s
a p ít u lo
£
de primer g r a d o
H STÓRICA
principios del siglo XIX tres matemáticos,
Rjffini, Abel y G alois, encararon el pro­
blema de resolver una ecuación desde
un punto de vista radicalmente diferente.
A
M ás aue a Ruffini y Abel, es Evariste G alois a
quien le cabe el título de fundador del álgebra
moderna.
G alois nació el 2 5 de octubre de 181 1 en Bourg-la Reine, hasta los 12 años
de edad lo educó su madre, mujer culta y esclarecida. En 1823 viaja a
París para internarse en el Uceo Louis le G rand, institución famosa por el
rigor de su disciplina.
A principios de 1 8 2 7 despierta su interés por la matemática, disciplina a
la que de inmediato se dedica por completo, descuidando los estudios de
griego, latín, francés, retórica, considerados más importantes.
G alois publicó, en abril de 1 8 29 , su primer artículo científico: un teore­
ma sobre las fracciones continuas periódicas. Al mes siguiente presentó a
la Academ ia de C iencias sus primeras investigaciones sobre las ecuacio­
nes algebraicas de primer grado, trabajo que fue recibido con frialdad y
desinterés por Cauchy, el mayor matemático de la época y presidente de
la Academ ia. En ese mismo año e l ¡oven matemático entró en la Ecole
Préparatoire, institución destinada a formar profesores. Dos meses después
era bachiller en letras y en ciencias.
Evariste G a b i s (1811-1832)
6
C a p ít u l o
Á lg e b r a
C onceptos generales
I g u a ld a d . D os cantidades s o n iguales o equivalentes cu an d o tie n e n e l m ism o valor.
Ejem plos
(2 + 3)2 = 25
(4)2 + (3 )2 = 2 5
> /ó 2 5 = 2 5
E ntonces (2 + 3 )2, (4 f + (3)2, yj625 s o n expresiones equivalentes y a que todas v alen 25
¿P odríam os d e cir q u e * + 3 = 8 e s una igualdad?
E c u a c ió n . U na ecu a c ió n e s una igualdad c o n u n a o varias incógnitas que se re p re se n tan co n letras. L a s ecuaciones
pueden se r fórm ulas que se utilizan para en co n trar una m agnitud.
Ejem plos
L a fó rm u la v = — se utiliza para e n co n trar la velocidad constante de un m óvil d e l q u e se conoce la d istan c ia recorrida
y e l tie m p o que em p leó e n recorrerla.
L a fó rm u la A = n r 2 se utiliza para e n co n trar el á re a de un c írc u lo d a d a la longitud d e s u radio.
T am bién e xisten ecu a cio n e s c o n expresiones a lg eb raicas, e n las que s e b u sc a e l valor de una variable o representan
m odelos m atem áticos que resuelvan a lg ú n problem a de la vida real.
Ejem plos
* +2= 8
* +y =6
*2- 4 = 0
* -2
*2-4
*+2
L as ecuaciones e stán form adas de la siguiente m anera:
le r m iem bro = 2 d o m iem bro
S o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . L a so lu c ió n o soluciones de una ecu a c ió n s o n los valores que h ace n que la igualdad se
cum pla.
Ejem plos
1. P a ra la e cu a c ió n * + 2 = 10, la solución e s * = 8, y a que a l su stitu ir co n 8 a la literal *, s e obtiene: 8 + 2 = 10
2. P a ra la e cu a c ió n * + y = 8, una so lu c ió n e s * = 3, y = 5 ; porque: 3 + 5 = 8
3. Para la e cu a c ió n * 2 - 4 = 0, las soluciones son: * = - 2, * = 2 porque:
( - 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0 , (2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0
G r a d o de u n a e c u a c ió n . E l g ra d o d e u n a e cu a c ió n s e o b tie n e d e l té rm in o de m a y o r g ra d o q u e c o n te n g a a la(s)
incógnita(s).
Ejem plos
1. L a e cu a c ió n 2 * + 3 = 5, e s de prim er grado, porque la incógnita tien e exponente 1
2. L a e cu a c ió n * - 5 * + 6 = 0, e s de segundo g ra d o , porque la in cógnita tien e exponente 2
3. L a e cu a c ió n * + y = 6, e s de prim er grado, porque las variables tie n e n exponente 1
A l a s ecuaciones de prim er g ra d ó s e les llam a lineales.
E cu acio n es de prim er g ra d o con una incógnita
E cuaciones que se resu elv en m ediante la a p lic ac ió n de ecuaciones equivalentes c o n operaciones ele m en tale s (sum a,
resta, m ultiplicación o div isió n ) a am b o s m iem bros de la e cu a ció n , h a sta obtener el valor de la incógnita.
132
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
• • E ncuentra e l valor d e * e n la siguiente ecu ació n : 2 x + 3 = 7.
S olución
Se ag ru p an los térm in o s que co n tien en a la incógnita e n e l prim er m iem bro y las co n stan tes e n e l segundo, se ap lican
sum as, restas, m ultiplicaciones o divisiones, seg ú n corresponda.
2x + 3 = 7
—»
(2 * + 3 ) - 3 = 7 - 3
S e resta 3 e n am b o s m iem bros
2x = 4
A l sim plificar
^ (2 * ) = ^ (4 )
2
S e m ultiplica p o r ^
4
2*=2
* =2
Se c o m p ru e b a la solución a l su stitu ir e n la e cu ació n e l valor d e a:, y se verifica la igualdad.
2 (2 ) + 3 = 7
4 + 3= 7
7= 7
P o r tanto, la solución e s x = 2
2 ••
E ncuentra e l valor d e la incógnita e n la e cu a c ió n m - 2 5 = 3m - 5.
S olución
m -2 5 = 3 m -5
—»
m - 3 m = - 5 + 25
-T in = 2 0
S e sum a 2 5 y se resta 3m
A l sim plificar
w =~^
S e divide e n tre - 2
m = -1 0
Por tanto, m = - 10
3
• • •¿C uál es e l c o n ju n to solución de la e cu a c ió n 2 0 * - 14 - 11* = 8 - 6 * + 2?
S olución
2 0 * -1 4 - ll* = 8 - 6 * + 2
->
2 0 * -1 1 * + 6 * = 8 + 2 + 1 4
15* = 2 4
24
8
* = I5 = 5
P o r consiguiente, e l con ju n to so lu c ió n e s \ j
Teorem a: s e a la ecu ació n lineal a x = b
á)
Si a * 0, * = - e s so lu c ió n ú nica
a
D em ostración:
ax = b
“a (**) = “a (*)
[\
\ a l 'a )]X = ^
al
133
,
b
1* = a
-»
b
*= a
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
S upongam os a h o ra que x 0 e s solución, entonces, a l su stitu ir e n a x = b obtenem os:
ax0 = b
->
- ( a r 0) = - ( ¿ > )
a
a
->
Í--< A * 0 = \a
)
a
-»
*0 = a
P or tanto, x = — es so lu c ió n única.
a
b)
Si a = 0 pero b * 0, entonces, a x = b no tien e solución
D em ostración:
Sea a = 0, entonces, para to d o k e R , a k = 0 s i b * 0, entonces, a x * 0, por tanto, k no e s solución de a x = b
c)
S itf = 0 y ¿ » = 0, to d o A: € / f e s so lu c ió n de a * =¿>
D em ostración:
Si a = 0, para to d o k s R , a k = 0, s i b = 0, entonces, cualquier núm ero real k e s solución de a x = b
E JE M P L O S
1
# • • D eterm ina e l c o n ju n to solución de la e cu a c ió n 2 * - 7 - 5 x = l l * - 6 - \ 4 x .
S o lu ció n
Al resolver la e cu ació n s e obtiene:
2 x - 7 - 5 x = \lx - 6 - \4 x
2 x -5 x -\\x + \4 x = -6 + 7
->
Qx = \
H c o n ju n to solución e s vacío, y a que to d o núm ero m ultiplicado por c e ro e s c e ro (v e r inciso b del teorem a).
2
• • - D e t e r m in a e l c o n ju n to solución de la e cu a c ió n 3 y - 8 + 5y + 6 = lOy - 2 - 2 y .
S o lu ció n
3 y - 8 + 5y + 6 = 1 0 y - 2 - 2 y
—»
3 y + 5y - 10y + 2 y = - 2 + 8 - 6
Oy = 0
E l c o n ju n to so lu c ió n s o n todos los núm eros reales, y a que c u alq u ier núm ero m ultiplicado por c e ro e s c e ro (ver
inciso c d e l teorem a).
EJE R C IC IO 6 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. * + 2 = 5
10. 2 - 7 z = 1 3
2. y - 4 = 6
11. S x - 6 = 6 x + 4
3.
8 -z = 9
12. 12 + 7 * = 2 * + 2 2
4.
1 0 - * = 12
13. 9 - 8y = 2 7 - 2y
5.
2 * -3 = 5
14. 2 z + 9 = z + 1
6.
3 y + 2 = 11
15. 3 w - 3 = 4w +11
7 . 9 * - 6 = 18
16. 1Qc + 21 = 1 5 - 2 *
8. 5 r + 7 = 3
17. 2 1 * - 3 = 3 * + 6
9. 1- 4w = 9
18. 1 ly - 5y + 6 = - 24 - 9 y
134
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
19. 8 * - 4 + 3* = 7 * + * + 14
3 0 . 1 0 z - 5 + 7 z - 10 + 8z = 2 z - 6 + 4 z - 8
20.
- 9* + 9 - 12* = 4 * - 13 - 5*
3 1 . 3 * + 101 - 4 * - 3 3 = 108 - 1 6 x - 100
21.
5 y + 6 y - 81 = 7 y + 102 + 65y
3 2 . 14 - 12* + 3 9 * - 1&* = 2 3 9 - 6 0 * - 6 *
2 2 . 16 + 7 * - 5 + * = l l * - 3 - 2 *
3 3 . - 8 * + 4 8 - 3 0 * - 5 1 * = 3 * - 3L* + 170
23.
- 1 2 * - 8 - 3 * + 10 = 2 * - 9 + 6 *
34. 7 * + 5 - 2 * + 9* = 1 4 * - 9 + 2* - 1 1 * + 8
24.
3 z - 8 + 6 z - 1 2 = z - 1 0 + 9 z - 13
3 5 . 3w> + 5 - I w + 9 w - 1 \ w + 13 = 1 6 - 8iv
25.
7 y - 10 + 2 y - 8 = 14y- 9 + 8y
36. 6 z + 1 2 z - 1 8 - 5 z = - 12z + 4 z - 11 + z
26.
a :- 6 - 5 a: + 10 a: = 9 * - 8 + 3 *
37. 1 0 * - 8 + 3 * - 7 +
27.
2 z -4 -8 z + 9 = 1 0 z -6 + z -1 2
3 8 . 5 * - 8 - 8 * + 1 0 - 3 * = 9 - * + 6 - 5 * - 13
28.
9 y - 1 - 14y + 8 = y - 9 + 1 5 y - 1
39. 2 y + 7 - 8y + 5 - 3 y = 1 4 - 6 y - 2 - 3y
29. * - 7 - 1 2 * -9 + 3a = 1 4 * - 1 0 - a : + 7
(J;
= 2 0 * - 10 - 6*
a
4 0 . 1 2 z - 9 - 10z + 3 - 8 z = z - 9 + 3 z + 1 0 - 1 0 z
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Con signos de agrupación y productos indicados
Para reso lv er e ste tipo d e ecu a cio n e s s e su p rim en los signos de agru p ació n o s e re aliz a n los productos indicados y se
e s u e lv e la e cu a c ió n equivalente que se obtuvo.
E JE M P L O S
1
••
R esuelve la e c u a ció n : 8* - (6 * - 9 ) + (3 * - 2 ) = 4 - (7 * - 8).
S olución
Se elim in an los signos de agru p ació n y s e re su e lv e la e cu a c ió n equivalente que s e obtiene:
8* - (6 * - 9 ) + ( 3 a - 2 ) = 4 - (7a: - 8)
->
8 a - 6 * + 9 + 3 a: - 2 = 4 - 7 a : + 8
8 * - 6 * + 3 a: + 7* = 4 + 8 - 9 + 2
12* = 5
5
Por tanto, la solución e s: x = ^
2 ••
E ncuentra e l valor de la incógnita e n la siguiente ecu ació n :
7 (1 8 - a:) - 6 ( 3 - 5 a:) = - (7 a: + 9 ) - 3 (2 * + 5 ) - 12
S olución
Se resu elv en los productos indicados y s e d eterm ina el valor de a: de resolver la e cu ació n equivalente:
7 (1 8 - x ) - 6 (3 - 5a:) = - (7a:+ 9 ) - 3(2* + 5 ) - 12
1 2 6 - 7 a : - 18 + 3 0 * = - 7 a : - 9 - 6 * - 1 5 - 12
- 7 * + 30* + 7 * + 6* = - 9 - 1 5 - 1 2 - 1 2 6 + 18
3 6 * = - 144
-1 4 4
*= i
P o r consiguiente, * = - 4
135
r
= - 4
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
3 • • • D eterm ina e l valor de a : e n
la siguiente ecuación:
2 a: - { 3 a: - ( 9 a: + 1 ) - 8 } = 1 2 a: - { 9 - [ 3 a: - ( 5 - 2 a: ) - 1 0 ] + 1 8 a: }
S o lu ció n
S e suprim en los sig n o s de agru p ació n y s e resuelve la ecu ació n :
2 x — { 3 a :—( 9 a: + 1 ) - 8 } = 1 2 a t - { 9 - [ 3 x - ( 5 - 2 * ) - 1 0 ] + 18a: }
2 a t - { 3 j c - 9 a t - 1 - 8 } = 1 2 j c - { 9 - [ 3 j c - 5 + 2 j c - 1 0 ] + 18^t }
2 j r - { 3 j r - 9 j c - l - 8 } = 1 2 j c - { 9 - 3 j c + 5 - 2 j c + 10 + 1 8a: }
2 * - 3 * + 9 x + 1 + 8 = 1 2 * - 9 + 3 * - 5 + 2 a :- 1 0 - 1 8 *
2 x -3 x+ 9 x -\2 x-3 x -2 x+ \S x = - 9 - 5 - 1 0 - 1 - 8
P or consiguiente, e l valor de x es:
4
• • - D e t e r m in a e l valor de y e n la sig u ien te ecuación:
- 1 3 y - ( y - 4 ) 2+ 8 ( 2 y - 3 ) = 8 - ( y + 5 ) ( y - 5 ) - 1 0 ( y + l)
S o lu ció n
S e realizan los productos notables, los productos indicados y se resuelve la ecuación:
-1 3 y -(y -4 )2+ 8 (2 y -3 ) = 8 -(y + 5 )(y -5 )-1 0 (y + l)
-1 3 y -(y 2- 8 y + 1 6 )+ 8 ( 2 y - 3 ) = 8 - ( y 2- 2 5 ) - 1 0 ( y + l)
- 1 3 y —y 2 + 8 y —16 + 1 6 y —24 = 8 - y 2 + 2 5 —1 0 y - 1 0
—13y—y 2 + 8 y + 1 6 y + y 2 + 10y = 8 + 2 5 - 1 0 + 16 + 2 4
2 1 y = 63
P or tanto, la solución e s: y = 3
E JE R C IC IO 6 1
•
Determ ina e l v a lo r d e la incógnita d e las sig uientes ecuaciones:
:
1. x - (2a: + 1) = 8 - (3a: + 3 )
I
2 . 15a: - 2 0 = 6 * - ( a: + 2 ) + ( -
:
3 . ( 5 - 3 a:) - ( - 4 x + 6 ) = (& r + 1 1 ) - (3 a: - 6 )
¡
4 . M x - 2 ) - 5<2r - 6 ) = 8(a: + 1 ) - 3(2x + 3 )
!
5 . 7 ( 3 r + l) + 8 (2 * - 3 ) = 4(3x - 1) - 7 (a: - 4 )
6.
a
+ 3)
30w - ( - » v + 6 ) + ( - 5»v + 4 ) = - (5 iv + 6 ) + ( - 8 + 3»v)
;
7. - { 3 y + 8 - [ - 1 5 + 6 y - ( - 3 y + 2 ) - ( 5 y + 4 ) ] - 2 9 } = - 5
1
8. - 2 y - 3 - { - 4 y + 5 + [ - y + 2 - ( 3 y - l ) + 2 y - 5 ] } = - ( y - 4 )
136
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
9.
- 2 ( y - 1) + { - 4 { y - 1) - 5 [ y - 2 (4 - y ) + 3 y ]
- ( y +
1 )} = 2 y - ( - 5
- y )
10. w - 2 [ w + 5(1 - 2»v) + 4»v J - (tv + 3 ) = - w + 3 (w + 2 ) + I w
11. * - 3 [ 2 r - ( * + 1) + 5(1 - * ) ] = x + ( 3 * - 7 ) - ( * + 3)
12. 7 (* - 4)2 - 3 ( * + 5)2 = 4 ( x + IX * - 1) - 2
13. 5(1 -
a) 2 -
6(*2 - 3 * - 7 ) = * (* - 3 ) - 2 r ( r + 5 ) - 2
14. (* + 1)} - U - l) 3 = 6 r ( * - 3 )
15. 3( at- 2)2 (jr + 5 ) = 3(at+ l) 2 ( * - l ) + 3
16. (* + 1)(at + 2)(at- 3 ) = ( x - 2 ) ( x + l) 2
17. 2 x ( x - 4 ) - ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 4 x ( 2 * - 3 ) - 8 ( l - * ) 2
18. ( 3 * - 2)3 - (3 * - 4 ) ( 6 t - 5 ) - 45* = 9 * '(3 * - 5 ) - 10 (* + 3 ) - 2 (6 * - l ) ( 6 r + 1)
19. 3* — 1 0 * - [ ( 3 - 5 * ) 2 - 8 ] + ( 5 * - 3 ) ( 5 * + 4 ) } = 3 ( 6 * 2 - 4 ) - 9 { 3 * + ( 2 * - l ) ( * - 3 ) }
2 0 . 12 - 6 x + [3*+ (* - 7 )(*+ 7 )] - ( 2 * + 3)2J = - 2 .x2+ 5 [(a: + 1)2 - 3 (* + 6)J
( J > V erifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
F ra cc io n a ria s
C uando a p a re c e n fra c c io n e s e n la ec u a c ió n , s e e lim in a n los d e n o m in a d o re s a l m u ltip lic a r lo s d o s térm in o s d e la
igualdad por s u m ínim o co m ú n m últiplo.
E je m p lo s!
E JE M P L O S
1
• • E ncuentra e l valor de Aren la siguiente ecu ació n : j + 5 = ^ - * .
6
3
Solución
Se m ultiplica por e l m ínim o co m ú n m últiplo de los denom inadores, e n este c a s o 6:
- + 5 = - —*
6
3
->
6 í —+ 5 | = 6 Í —- * |
U
)
U
)
->
^ + 30 = - - 6 *
6
3
x + 30 = 2 - 6 *
S e sim plifica
* + 6 * = 2 -3 0
7 * = -2 8
28
* ~ T
P o r consiguiente, e l resultado e s: * = - 4
2
■Resuelve la siguiente ecu ació n :
3z
Solución
Se elim in an los signos de agrupación,
_2___z__2
10 5¿
5 _z_
2 _ _ |_ 2
_5___5__ 5
^
3z
4 z 12z
z
3z
2z
4
6z
3
4z
6
3
12
z
{continúa)
13 7
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Se m ultiplican am bos m iem bros por I2z, y s e resuelve la e cu a c ió n que resulta.
(
1
2
6
3 + 2z
2
\3 z
5
5
5
12
\ \
z+ 4
J
8 - 2 z - 8 z + 3 0 - 5 z = 6 0 + 3z
-2 z -8 z -5 z -3 z = 6 0 -8 -3 0
- 1 8 z = 22
22
Z
-1 8
11
9
F inalm ente: z = ~ ~ ^
3
■D eterm ina e l valor de y e n la ecuación:
1+ 2 y
l-2 y
3 y -1 4
l + 3y
l-3 y ”
l-9 y 2
S o lu ció n
S e factorizan los denom inadores:
l + 2y
l-2 y _
3 y -1 4
l+ 3 y
l-3 y ~
(l + 3 y )(l-3 y )
Se m ultiplica por e l m ínim o co m ú n m últiplo q u e e s: (1 + 3 y )( l - 3 y ) y se sim plifica:
l+ 2 y
l-2 y _
.l + 3y
l-3 y "
(l + 3 y )(l-3 y )
3 y -1 4
(l+ 3 y )(l-3 y )J
( l-3 y )(l+ 2 y )-(l+ 3 y )(l-2 y )= -(3 y -1 4 )
Se re aliz a n los productos indicados y se resuelve la ecu ació n :
l + 2 y - 3 y —6 y 2 —( l - 2 y + 3 y - 6 y 2) = —3 y + 14
1 + 2 y —3 y - 6 y 2 — 1+ 2 y - 3 y + 6 y 2 = - 3 y + 1 4
- 2 y = - 3 y + 14
—2 y + 3 y = 14
y = 14
. . . E ncuentra e l valor de / e n la siguiente ecuación:
1
5
3
/2 + 5/ + 6
/ 2 + 3f + 2
/2+4/ +3
S o lu ció n
Se factorizan los denom inadores:
(/+ 3 )(f+ 2 )
( / + 2 ) ( / + l)
138
( / + 3 )(/ + l)
C a p ít u l o
Ecuaciones d e primer grado
Se m ultiplica p o r (f + l ) ( / + 2 ) ( / + 3 ) , s e sim plifica y resuelve la ecuación:
( ' + ' X ' + 2 )(' + 3 )[ ( r + 3)(< + 2 ) - ( r + 2 ) ( r + 1 ) = ( r + 3 )(r + 1 ) ]
l(/ + l) - 5 < f + 3 ) = 3 (/ + 2 )
t + 1 - 5 / - 15 = 3 / + 6
/ - 5/ - 3 / = 6 + 1 5 -1
- 7 / = 20
_ _20
7
EJE
IC IC IO 6 2
Resuelve las sig uientes ecu acio n es fraccionarias d e prim er grad o:
17.
í x + r =
33
5
4
5
—x —
18.
x = —
2
6
3
5
2
3
6 X
3 X ~
8
5
5
IH H H H - t )
2 _ 4 _
3
x
x
19.
3
5
1
20.
9 * ~ 3 _ 4*
4-
2
7 VM___
1
V_ _2 “ —
3
5
5
7
22.
5
- ? + T
8. ^
a:
12 .
3
2y
4 y -3
26.
6
3 a: - 2
3
a:
7
~
4
1+4y2
“
15 a:
3y
3 a:2
4
-5
a: +
5
4
6
3a- 2
2 a: + 1
27.
4
*
2
2a + 1
a
—3
6
2*
4 a —1
3
a:-
3
6
28.
2
2 a: + 1
6 a: - 3
5
10
2
,
Ti­
3 a: - 2
---------^ = 0
z- 4 z+4
ro
5
29.
i
13.
x
3a:2
H
V)
11.
4 a:
24.
1 + a: - 3 _ 5
9 a: + 1 2
x
5 -2 y
25.
3
4x
5 a:2
7 y -l
3
6
5 a:
1
a: +
2x~ 5
± _ _ 2 _ _ 5 ___ 6
x2
+ i
1 0 + a: + 7
9
10.
= 2 í” ñ
+ f = .o
a: +
4
ro
9.
5x
2
_ 3 _____ 1_ = _ 4 _____ 7_
2 a:2
2a
23.
T
5 ~ 5x
21.
10
5
1
1
-a :— = x + —
3
6
4
5a
lx
4 ^ -1
30.
|( x + 9 ) + f ( x + l ) - I - 8
4
2 a: + 1
2
a: —1
a: +
1
2
i ( z _ l ) _ ( z _ 3 ) = I [ z + 3 ]+ I
4
7
2 a: - 1
5
a:2
- -1
1
4
31.
5
32.
3 a: + 4
2 a:
2y2 + 7 y + 3
V tr lf k a tu * re s u lta d o s e n la se c c ió n d e so lu cio n e* c o rre s p o n d ie n te i
139
2y2 + lly + 5
y 2 + 8 y + 15
6
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
C o n v a lo r absoluto
E n estas ecuaciones se a p lic a la definición d e l valor absoluto.
■ ,
j-a
[ a
si a <0
si a > 0
fó ra resolver una e cu a c ió n c o n valor absoluto, se tien e que s i I x I = a , s u solución e stá d a d a por:
o
-x =a
S O |d u i8 l3
E JE M P L O S
• • R esuelve la siguiente ecu ació n : |6 — 3atI = 9.
S o lu ció n
S e a p lic a la definición y se o btienen dos ecu acio n es, las cuales s e resuelven por separado:
-(6 -3 x ) =9
- 6 + 3x = 9
3 r= 9 + 6
3a- = 15
6 -3 x = 9
-3 x = 9 -6
- 3* = 3
*= - 1
x =5
Por consiguiente, las soluciones p a ra e sta ecu ació n so n : x = - 1 o x = 5
2
• • - E n c u e n tr a e l con ju n to so lu c ió n de: |3 * - 1| = 2 x + 5.
S o lu ció n
S e a p lic a la definición y se resuelven las ecuaciones:
3*- 1= 2r + 5
- (3 x - 1 ) = 2 r + 5
- 3* + 1 = 2* + 5
3 * -2 r = 5+ 1
x =6
- 3 r-
= 5 -1
- 5 a- = 4
3
••■ D e te rm in a e l c o n ju n to solución de:
= 2.
S o lu ció n
Se ap lic a la definición y se resuelven las ecuaciones:
x + 3 =-2 x
x + 2x= -3
3x= - 3
A= - 1
x =3
Por consiguiente, e l conju n to so lu c ió n e s { -1 ,3 }
140
->
a
= —
4
C a p ít u l o
Ecuaciones d e primer grado
4
• • D eterm ina e l c o n ju n to so lu c ió n de
*2- 5 .r + 6
= 2.
x2- 9
S olución
Se factorizan la s erpresiones, se sim plifica y s e ap lic a la definición:
* 2- 5 * + 6
?
x-2
—*
x 2- 9
x-2
x+3
=2
= 2
x+3
(x + 3 )(x -3 )|
\x+ 3 )
x+3
x - 2 = 2 ( x + 3)
x - 2 = 2x + 6
x - 2 x = 6 +2
x -2
x -2
x + 2x
3x
-x= ü
= - 2 ( x + 3)
=-2 x-6
=-6 +2
=-4
4
x = -&
* = _ 3
P o r tanto, e l con ju n to so lu c ió n es
EJE IC IC IO 6 3
Encuentra e l valor d e la incógnita e n las siguientes ecuaciones:
1. \ x + 1 1= 8
12.
2 . 13 - 2 y | = 5
13.
3 * -2
I_ A
2
3. | 3wi + 4 | = 8
10
_ 3
14.
2
4 . | 5 jc - 1 1 = 14
15.
5. 14 - 2 y | = 4
16.
6. \ - 2 m - 5 \ = \
17.
1
2
=
18.
1 2
.r 4
=
1
=
x-3
* +6
x-2
2
=5
3 x-l
=
1
* + 2
m - 1
=
0
19.
2 /n + l
9. I &r + 2 I = 2
20.
x 2 +3x + 2
x23x
x2-7 x
10. \ 2 x - 5 \ = x + 2
21.
x 3 + 21
x 2-3x+ 9
11.
£ }
x+2
\_
15
M irifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e ,
141
= 4
6
6
C a p it u l o
ÁLGEBRA
C o n literales
E n e s ta s e c u a c io n e s las incó g n itas s e re p re se n ta n c o n las le tra s x y , z, m ientras que la s letras a, b, c, d m y n, s e
utilizan co m o constantes.
E je m p lo s
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
# • E n cu e n tra e l valor de x en la e c u a ció n : Sabcx - a b = 8a b x + 1.
S o lu ció n
S a b c x - cib = 8a b x + 1
8a b c x - 8a b x = 1 + a b
Se ag ru p an térm inos e n x
x (Sabe - 8a b ) = 1 + a b
Se fa cto riz a y s e despeja
1+ ab
_
Sabc-Sab
2
• • D eterm ina e l valor d e y e n la ecu ació n : a -
m+n
=b -
m -n
S o lu ció n
m+n
, m -n
a -------------= b ----------
y
a-
y
m +n
=b -
m -
y
y
Se elim in a n los denom inadores
£]
a y-(m + n ) =b y -(m -n )
ay - m - n = by - m +n
a y-by =-m +n +m +n
Se ag ru p a n térm inos
y { a - b ) = 2n
y=
0
J
Se factoriza
Tn
a -b
b
b
• • R esuelve la e cu a c ió n 1+ - =
z
a
a
p a ra z.
z
S o lu ció n
Se m ultiplica la ecu a c ió n por az, para elim in a r los denom inadores:
* +‘ l
az [ l + * =
l
z
a
z]
az+ ab = b z+ a 2
a z-b z = a -a b
Se ag ru p an los térm in o s c o n z
z (a - b ) = a ( a - b )
Se fa cto riz a e n am b o s m iem bros y s e d e sp e ja z
_ a (a-b)
Z “
Se sim plifica
(a-b)
z=a
142
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
EJE R C IC IO 6 4
Resuelve las siguientes ecuaciones para las incógnitas x, y o z, según sea e l caso :
1. 2 b ( 2 a - x ) = x ( b - a ) + a ( x + b )
2. y + <P = ( a + y)! - o ( a +
6.
1)
7. —
a
3. a ( x + b ) - ( x + a)2 = - x 2
4.
5
=
m
-
ab
2
b
8. ( y - m ) 2+ ( m - w ) 2 - ( y - « ) 2 = 0
l)= a (a y -¿ > )
*~m -
n
9. ( z + m ) 3 + ( z - m ) 3 = 2 ( z 3 + 6 m 3)
1Q z + a | z - a _ z+¿>
í V
\lx - n )
a -b
a+b
a+b
z-¿>
a -b
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
R ira resolver los siguientes problem as debes to m a r en cu en ta la relación entre objetos, personas, etc., para establecer
una in cógnita y un m odelo m atem ático e n lenguaje a lg e b raic o que a l resolverlo d é e l v a lo r de d ic h a in cógnita y,
por tanto, la solución d e l problem a.
Problem as sobre números
L a su m a de d o s núm eros e s 106 y e l m ayor excede a l m enor e n ocho. E n cu e n tra los núm eros.
Solución
D atos: núm ero m ayor: x + 8
N úm ero m enor: .r
Planteam iento:
x + ( x + 8) = 106
2 r + 8 = 106
la su m a de d o s núm eros e s 106
2 r = 106 - 8
2 r =98
98
X=Y
x =49
Por consiguiente, e l núm ero m ayor e s 4 9 + 8 = 5 7 y e l m enor e s 49
L a su m a de tre s núm eros e s 200. E l m ayor excede a l d e l m edio e n 32 y a l m enor e n 65. D eterm ina los núm eros.
Solución
Datos:
M ayor: x
M edio: jc —32
M enor: x - 65
Planteam iento:
x + (x - 32) + (x - 65) = 200
la su m a de los tre s núm eros e s 200
3* = 2 0 0 + 32 + 65
3x = 297
297
x =99
P o r tanto, los núm eros buscados son: M a y o r = 99
143
M e d io = 6 7
M enor = 34
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Para los sig u ien te s problem as s e u tiliz a la notación d e sa rro lla d a d e un n úm ero. P o r e je m p lo , e n e l núm ero
372 = 3 ( 100) + 7 ( 10) + 2, 3 es e l dígito de las centenas, 7 el de las decenas y 2 el de las unidades.
E n un núm ero d e d o s dígitos, e l d íg ito de las decenas e s 3 unidades m en o r que e l de la s unidades. Si e l núm ero
ex cede e n 6 a l cu ád ru p lo d e la su m a de su s dígitos, h alla e l núm ero.
S o lu ció n
Datos:
Planteam iento:
D ígito de las unidades: *
N ú m e ro = 4 (s u m a de los d íg ito s) + 6
1 0 (* -3 ) + * = 4 ( * + * -3 ) + 6
D ígito de las decenas: x - 3
N úm ero: 1 0 ( x - 3 ) + *
S e resuelve la ecuación:
1 0 * - 3 0 + * = 4 x + 4 * - 12 + 6
lQ r + * - 4 * - 4 * = - 1 2 + 6 + 30
3 * = 24
* = 8
E l dígito de las unidades es 8 y el de las decenas es 5, por tanto, e l núm ero e s 58.
L a su m a de los d íg ito s de u n núm ero de d o s dígitos e s 9. Si e l núm ero s e divide p o r e l d íg ito de las d ecen as, e l
co cien te e s 12. E ncuentra e l núm ero.
S o lu ció n
Datos:
D ígito d e las unidades: x
Planteam iento:
Núm ero
=
12
=
12
D ígito d e la s decenas
1 0 (9 -* )+ *
D ígito de las decenas: 9 - x
9-x
N úm ero: 1 0 ( 9 - * ) + a:
R esolviendo la ecu ació n :
1 0 (9 -* )+ * = 1 2 (9 -* )
9 0 - 1 0 * + * = 1 0 8 - 12*
-1 0 * + * + 1 2 * = 1 0 8 -9 0
3 * = 18
* = 6
E l dígito d e la s unidades e s 6 y el d e las decenas es 3, por tanto, e l núm ero e s 36
EJE R C IC IO 6 5
\
\
Resuelve b s sig u ien te s problem as:
1. L a su m a de tre s núm eros en tero s co n secu tiv o s e s 312. E ncuentra dichos núm eros.
•
•
2. L a d ifere n cia de d o s núm eros es 17 y la su m a de am bos e s 451. D eterm in a los núm eros.
3.
"
L a sum a de tre s núm eros enteros pares consecutivos e s 276. D eterm in a los núm eros.
4. L a su m a de tre s núm eros en tero s im pares consecutivos e s 45. E n cu e n tra los núm eros.
•
•
5. L a d ifere n cia de dos núm eros e s 36 y un m edio d e l m ayor ex cede e n dos a l menor. D eterm ina los núm eros.
!
6. L a d ifere n cia de d o s núm eros e s 4 2 y los dos q u in to s d e l m ayor e q u iv alen a l menor. ¿C u áles so n los núm eros?
1
7. U n núm ero excede e n seis a otro y e l doble d e l m ayor equivale a l triple d e l m enor. E ncuentra los núm eros.
•
144
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
8. U n núm ero excede e n 4 a otro y la te rc e ra parte d e l m ayor equivale a la m itad d e l menor. D eterm in a los núm eros.
9. E l ex ce so de un núm ero sobre 2 0 e s igual a las tre s cu artas partes d e l m ism o núm ero. ¿ C u á l es e l núm ero?
10. E l exceso de 30 sobre un núm ero es igual a las dos terceras partes del núm ero, más 10 unidades. ¿C uál es e l núm ero?
11. L a su m a de d o s núm eros e s 10 y la d ifere n cia de su s cuadrados e s 40. ¿C u áles so n los núm eros?
12. L a su m a de d o s núm eros y la difere n cia de s u s c uadrados es 11. ¿C u áles so n los núm eros?
13. E l cu ad ra d o d e l e x ce so d e 12 sobre u n núm ero, m enos la m itad d e l núm ero, e s ig u al a l cu ad ra d o d e l núm ero, m enos
los tre c e m edios d e l núm ero. ¿ C u á l e s e l núm ero?
14. U n núm ero e s e l doble de otro, s i am bos se au m en tan e n 6, e l trip le d e l m ayor equivale a c in c o veces e l m enor. En­
c u en tra los núm eros.
15. U n núm ero e s la te rc e ra parte de otro, s i am bos se a u m en tan e n 10, e l m ayor s e r á e l doble d e l menor. D eterm in a los
núm eros.
16. L a su m a de tre s núm eros es 45, e l m ay o r excede e n 5 a l m ediano y e n 10 a l menor. E ncuentra los núm eros.
17. L a su m a de dos núm eros es 6 0 y el m ayor equivale cinco veces el m enor aum entado en 30. D eterm ina los núm eros.
18. L a sum a de d o s núm eros e s 2 3 y e l doble d e l m ayor excede e n 6 a l triple d e l menor. ¿C u áles s o n los núm eros?
19. L a d ifere n cia de dos núm eros e s 8 y s i s e divide e l d oble d e l m ay o r m ás d o s e n tre e l menor, se obtiene c o m o cociente
5. E n cu e n tra los núm eros.
20. D os núm eros e stán e n la relació n 3:4 y e l m ayor equivale a l m enor aum entado e n 8. D eterm in a los núm eros.
2 1 . L a su m a de los d íg ito s de un núm ero de d o s c ifras e s igual a 8. Si los dígitos s e invierten, e l núm ero resultante excede
e n 11 a la s se is quintas partes d e l núm ero original. ¿C u ál es e l núm ero?
2 2 . E n un núm ero de d o s cifras, el d íg ito d e las decenas ex cede en 2 al de las unidades. Si al núm ero se re sta 4, el resultado
es el sé x tu p lo de la sum a de s u s dígitos. D eterm in a e l núm ero.
2 3 . E n un núm ero d e d o s c ifra s e l d íg ito d e las decenas es 4 m enos q u e e l d íg ito de las unidades. Si los dígitos se invierten,
e l núm ero resultante es e l triple m ás 6 d e l núm ero original. E ncuentra e l núm ero.
2 4 . L a s u m a de los dígitos de una c a n tid a d de dos cifras e s 9. Si los d íg ito s s e invierten, e l núm ero que re su lta excede en
9 a l núm ero original, ¿cu á l es e l núm ero?
2 5 . L a c ifra de las d ecen as de un núm ero de d o s c ifra s excede a l de las unidades e n 5 y las dos terceras partes de la su m a
de su s c ifra s e s 6. ¿C u ál e s e l núm ero?
2 6 . L a s u m a de los dígitos de un núm ero de dos cifras e s 11. Si e l núm ero su p e ra e n 5 a l triple de la su m a de su s dígitos,
¿cuál es e l núm ero?
2 7 . L a su m a de los dígitos de un núm ero de dos c ifra s es 9. Si se resta 18 a l núm ero form ado a l invertir e l o rd e n de los
dígitos d e l núm ero original, e l resultado e s la m itad d e l núm ero original, d ete rm in a e l núm ero.
2 8 . E n una c a n tid a d de dos dígitos, e l núm ero que o c u p a e l lugar de las d ecen as e s la m itad d e l díg ito que o c u p a e l lugar
tfc las unidades. E l m ism o núm ero e s igual a la sum a de o ch o veces e l díg ito de las decenas, más c u a tro veces e l de
las unidades reducido e n dos. ¿C u ál es la can tid ad ?
2 9 . L a su m a de los d íg ito s de u n núm ero de dos cifras e s 16 y e l c o c ie n te d e l núm ero o rig in a l c o n e l núm ero que resulta
al invertir los dígitos e s uno, c o n un residuo de 18. ¿C u ál e s e l núm ero?
3 0 . E n un núm ero d e dos cifras, e l d íg ito de las unidades equivale a las - partes d e l d íg ito de las decenas. Si e l núm ero
se divide en tre la su m a de su s dígitos, e l c o c ie n te es 6 y e l resid u o 6, h alla los núm eros.
31. E n un núm ero d e tre s cifras, e l dígito d e las unidades excede en tre s a l de las centenas y la su m a de los tres dígitos es 7. Si
se invierten los dígitos de las decenas y la s centenas el núm ero resultante excede e n 9 0 a l original. E ncuentra e l número.
3 2 . E n u n núm ero de tr e s cifra s, e l dígito de las d ecen as excede e n 2 a l de las unidades y e n 4 a l de las cen ten as. Si se
invierten e l dígito de las unidades y e l de las cen ten as, e l núm ero que re su lta e s 6 6 unidades m enor que e l d o b le del
núm ero original. ¿C u ál e s e l núm ero?
145
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
33.
E n un núm ero de tres c ifra s e l d íg ito de las d e ce n as e s la m itad d e l d íg ito de las unidades, m ien tras q u e e l de las
centenas e s e l su c e so r d e l d íg ito de las d ecen as. Si se intercam bia e l d íg ito de las decen as por e l de las c en ten a s e l
núm ero obten id o es 4 4 unidades m enor que tre in ta veces la sum a d e los dígitos. D eterm in a e l núm ero.
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre e d ad es
L a e d a d de C a rla excede e n 3 años a la de D a n iel y e l doble de la e d a d de C a rla m ás 12 años equivale a l trip le de
la de D aniel. D eterm in a am b as edades.
S o lu ció n
Datos:
Planteam iento:
E d ad de C a rla : *
2 (E d a d de C a rla ) + 12 años = 3<Edad de D aniel)
2 x + 12 = 3(* - 3)
E d ad de D a n ie l:* - 3
S e resu elv e la ecuación:
2 x + 12 = 3(* - 3 )
->
2 x + 12 = 3 x - 9
2 * - 3 * = - 9 - 12
-* = -2 1
* =
21
P or tanto, C a rla tie n e 21 años y D a n iel 18.
L a e d a d d e A ntonio es e l doble de la edad de R am iro y den tro de 6 años s e r á de ^ . ¿C u áles so n su s edades?
S o lu ció n
D atos:
E d ad es a ctu ale s:
A n to n io
2x
R am iro
*
D entro de 6 años:
2x+6
Planteam iento:
2 x + 6 = - ( x + 6)
*+ 6
R esolvem os la ecu ació n :
3 (2 * + 6 ) = 5 (* + 6)
6 x + 18 = 5 * + 30
6 * - 5 * = 3 0 - 18
*=12
Finalm ente, la e d a d d e R am iro e s 12 a ñ o s y la d e A ntonio e s 2 4
E JE R C IC IO 6 6
*
Resuelve los sig u ien te s problem as:
1.
I
;
•
!
L a su m a de las edades de A ndrés, C a rlo s y R odolfo e s de 9 0 añ o s. L a e d a d de A ndrés excede e n 4 años a la e d a d de
C árlos y e n 11 a la de R odolfo. D eterm ina las edades de los tres.
2. L a e d a d de F abiana e s la terc era parte de la e d a d de H ilda y la e d a d d e C e c ilia e s e l doble de la e d a d de Fabiana. Si
la su m a de su s edades es d e 7 2 añ o s, de te rm in a la e d a d de C ecilia.
3. L a e d a d de T an ia excede e n 6 a la de L u z, y la e d a d de M a ría e s la sem isu m a de las ed ad e s d e T an ia y L u z. Si la sum a
(fc su s edades e s 42, d ete rm in a las ed ad e s de T ania, L uz y M aría.
•
;
4. C arlos tien e 18 años y Ju a n 42, ¿ en cuántos años la e d a d de Ju a n se rá e l doble de la de C a rlo s en ese entonces?
146
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
5. L a e d a d de C a rlo s e s e l triple de la de M a u ricio y den tro de 10 años se rá e l doble. D eterm in a las ed ad e s actu ales de
C a rlo s y M auricio.
6. L a e d a d actu al de B árb ara es la m itad de la de fó tric ia . Si den tro d e veinte años la e d a d de P a tric ia su p e rará e n 8 la
tfc B árbara, d ete rm in a las edades actuales.
7. Ignacio tie n e 7 0 a ñ o s y A lv a ro 28. ¿H ace c u á n to tiem po la e d a d de Ignacio e ra el triple de la de A lv aro ?
8. H ace 6 años la ed ad de A lejan d ra e ra e l triple de la de O rn a r y den tro de 4 años s e rá e l doble. D eterm in a su s edades
actuales.
9. G a b riela le d ice a Sam anta: “ Si a m i ed ad le restas 4 años y a la d e A n g élica 12 nuestras edades serían iguales, ¿cuántos
años ten g o s i m i ed ad e s la m itad d e la de A ngélica?"
10. H é cto r le dice a M aría: “M i ab u elo e s 4 0 años m ás gra n d e que y o y un c u a rto de la su m a de nuestras ed ad e s equivale
a m i e d ad . ¿ C u án to s años ten g o ? "
11. L a e d a d de G uillerm o excede e n 12 a la de P atricia y hace 7 años la e d a d de P atricia e r a — de la edad de G uillerm o.
H rila las e d a d e s de G u illerm o y P a tric ia hace 7 años.
3
12. L a e d a d de C am ilo su p e ra e n 2 0 años a la d e Joaquín y equivale a - de la e d a d de Julián. Si la sum a de las ed ad e s de
C am ilo, Joaquín y Ju lián e s d e 6 0 añ o s, ¿cu áles so n su s edades?
3
13. L a e d a d de Iván e s - de la de A n to n io y hace 5 años e r a la m itad, de te rm in a am b as edades.
14. L a e d a d de L u cian a so n los tr e s q u in to s de la e d a d de M ariana, s i den tro de 10 a ñ o s L u c ia n a ten d rá s ie te d é c im o s de
la e d a d que te n g a M a rian a e n ese entonces, ¿cu án to s años tien e L uciana?
15. H ace 5 años la e d a d de Ju a n C arlos e ra dos te rc io s de la de D a n ie l y den tro de 5 años s e rá cu atro quintos. H alla las
edades actuales.
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ^
■
• P R O B L E M A S Y E JE R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre m ezclas
Un tanque contiene 80 litros de a g u a a l 5 % de sal. ¿ C u á n ta a g u a d e b e rá ag reg arse p a ra ten e r a g u a a l 2 % d e sal?
S olución
D atos:
^ I
1 v
, [
I v
+
SOliirosdeagua
al 5* de sal
.riilrosdeagua
, I
1 v
(80+x) Hitos
deaguaal 2*
de sal
Planteam iento:
Éste se obtiene c o n la c an tid ad de s a l de c a d a recipiente:
5 % de 80 = 2% de (80 + * )
R esolvem os la ecuación:
n ¡ 5 (8 0 ) = í 5 5 ( 8 0 + J :)
-*
5 (80) = 2 (8 0 + x )
4 0 0 = 160 + 2 *
400 - 160 = 2 x
240 = 2x
120
= *
E sto significa que se deb erán a g re g a r 120 litros de a g u a para ob ten e r a g u a a l 2 % d e sal.
147
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
¿ C u án to s litros d e una so lu c ió n a l 15% de a lc o h o l s e d e b en ag reg a r a o tra a l 6 % p a ra o b ten e r 180 litros de una
nueva solución a l 10% d e alcohol?
S o lu ció n
r
+
«litros al 15* de
alcohol
(180-*) Huos al
6%de alcohol
^
180litros
al 10%
de alcohol
Planteam iento:
É ste s e obtiene c o n la c an tid ad de alco h o l de c a d a recipiente:
15% d e a: + 6 % de ( 1 8 0 - * ) = 10% de 180
H arneam os la ecu ació n y la resolvem os:
l ^ - t + í ^ 0 ( l 8 0 _ -t ) = i ^ ( ' 8 0 )
< 5* + 6 (1 8 0 —* ) = 10(180)
1 5 * + 1 080 - 6 * = 1 800
9 * = 720
*=80
S e d e b en com binar 80 litros a l 15% d e alco h o l con 100 litros a l 6 % p a ra obtener 180 litros a l 10% d e alcohol.
EJE ÍC IC IO 6 7
Resuelve b s siguientes problem as:
1. A 120 litros de a g u a azu c ara d a a l 3% , ¿ cu á n ta a g u a s e d ebe evaporar p a ra a u m e n tar s u co ncentración a 5%?
2. A 80 litros de a g u a a l 1.5% de sal, ¿ c u á n ta a g u a d eb erá agregarse p a ra dism inuir s u concentración a l 1%?
3. ¿C u án to á c id o c lorhídrico s e debe ag reg a r a 120 g r de una solución a l 60% d e l á c id o p a ra o b ten e r u n a nueva solución
con 70% ?
4. Si s e tie n e n 120 litros de una so lu c ió n que contiene a z ú c a r a l 5% , ¿qué can tid ad de a g u a s e debe agregar p a ra obtener
una solución a l 2% ?
5 . De 50 litros de a g u a a l 4 % de sa l, ¿ q u é c an tid ad de a g u a s e debe ev ap o rar para o b ten e r una nueva solución a l 5% ?
6. U n rad ia d o r co n tie n e 1.5 litros de una m e z c la de a g u a y a n tic o n g elan te . Si 3 0 % de la m e z c la e s an tic o n g elan te ,
¿cuántos litros de an ticongelante puro se d e b en añadir p a ra q u e e n la nueva m ezcla represente 50% ?
7. Se tie n e n 18 o n z as de una m ezcla de a g u a hervida y leche de fórm ula a l 20% . Si se d e se a una m ezcla a l 15% de leche
(fe fórm ula, ¿cu án tas onzas de a g u a hervida hay q u e agregar?
8. E n una e m p re sa que fa b ric a m aterial m édico s e utiliza a lc o h o l e tílic o a l 10% p a ra lim piar las área s de producción. Si
a l alm a cé n llega un c o n te n ed o r de 2 0 lt c o n a lc o h o l e tílic o a l 15%, ¿ q u é c a n tid a d de a g u a s e debe ag reg a r p a ra poder
obtener e l alco h o l a l 10%?
9 . U n farm acéutico debe preparar 7 5 m i de una so lu c ió n co n u n ingrediente a ctiv o a l 2 % . Si s ó lo tien e e n ex istencia
soluciones a l 4 y 1%, ¿ cu á n to de c a d a so lu c ió n d eb erá m ezclar para la elab o rac ió n de la nueva solución a l 2% ?
10. Se re q u ie ren 100 m i de una so lu c ió n a l 3.5% de a lc o h o l, s i s ó lo s e tie n e n disponibles so lu cio n es a l 5 y 2 % , ¿qué
cantidad de c a d a solución d e b e rá m ezclarse p a ra obtener la solución requerida?
11. ¿ C u á n to s litros de una so lu c ió n de a lc o h o l a l 30% d e b en com binarse c o n o tra a l 3 % p a ra ob ten e r 3 0 litros de una
nueva so lu c ió n a l 12% ?
148
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
1
12. M ario quiere m ezclar una a le a c ió n de p iala a l 30% , c o n o lra a l 80% p a ra lograr u n a nueva a le a c ió n a l 60% . S i hay
30 onzas más de la ale ac ió n a l 80% que de la de 30% , ¿ c u á n ta s onzas hay de c a d a aleación?
13. U n a planta procesadora de alim entos dispone de d o s tip o s de m erm elada, u n a c o n 5 6 % y o tra c o n 80% de azúcar. Si
desea p roducir 2 400 litros de m erm elada a l 70% de azúcar, ¿ c u á n ta de c a d a tipo d e b e rá utilizar?
14. Se m ezclan 12 000 gram os de una ale ac ió n de c o b re c o n 8 000 gram os d e o tra que contiene 30% m enos que la pri­
m era, y s e obtiene una ale ac ió n co n 80% de cobre, ¿qué porcentaje de cobre hay e n c a d a aleación?
^
Vbrifle a t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre sp o n d ia n ta
• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre m onedas
E n e s te tipo de problem as se to m a en c u e n ta que e l producto d e l núm ero de billetes, m onedas, e tc ..., por s u d en o ­
m inación nos d a e l valor m onetario.
C arm en tien e $ 110 e n m onedas de $10 y $5, e l núm ero de m onedas de $ 10 excede e n 2 a las de $5, ¿ c u á n ta s m o­
nedas de $ 10 y d e $5 tien e C arm en?
S olución
Datos:
N úm ero de m onedas de $10: *
N úm ero de m onedas de $5 : * - 2
Planteam iento:
L a su m a de los productos d e l núm ero de m onedas por la denom inación de la m oneda nos d a e l total:
(denom inación) (m onedas de $ 10) + (den o m in ació n ) (m onedas de $ 5 ) = total
lQx + 5 (* - 2 ) = 110
R esolución:
10x + 5 ( * - 2 ) = 110
-»
10*+ 5 * - 1 0 = 1 1 0
10x + 5 * = 110 + 10
15* = 1 2 0
* = 8
C arm en tien e 8 m onedas de $10 y 6 m onedas d e $5.
C hrla re tira d e l b a n co $ 5 000, e n billetes de $500, $ 2 0 0 y $100. S i e l núm ero de b illetes de $ 2 0 0 ex cede e n 3 a los
de $100, y e l núm ero de b ille te s de $100 e s e l d oble d e los d e $500, ¿cu án to s b illetes de c a d a denom inación recibió
C arla?
S olución
Datos:
P lanteam iento:
B illetes de $200: *
2 0 0 * + 100(* -- 3 ) + 500
B illetes d e $100: * - 3
Se resu elve la ecuación:
= 5 000
P i* )-
B illetes de $500: x z l
2
2 0 0 * + 1 0 0 (* - 3 ) + 2 5 0 (* - 3 ) = 5 0 0 0
2 0 Q r + 1 OOx - 3 0 0 + 2 5 0 * - 7 5 0 = 5 0 0 0
2 0 0 * + 1 0 0 * + 25 0 * = 5 000 + 3 0 0 + 750
550* = 6 050
*=11
C a rla recibió 11 b illetes de $200, 8 de $ 100 y 4 de $500.
149
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 6 8
Resuelve los sig u ien te s problem as:
1. M arcos a h o rró $3 270 e n m onedas de $ 10, $ 5 y $2. Si e l núm ero de m onedas de $ 10 excede e n 2 0 a las de $ 5 y en
15 a las de $2, ¿cuántas m onedas de $ 5 pesos tien e M arcos?
2 . Paulina tien e $ 9 300 e n b illetes de $ 1 0 00, $500 y $ 2 0 0 . Si e l núm ero de b illetes de $500 excede e n 2 a los de $ 1 000
y e n 3 a los de $200, ¿cu án to s billetes de c a d a denom inación tien e P aulina?
3 . A ndrés tie n e 3 0 m onedas de $ 5 y $10. Si e n to ta l dispone de $200, ¿cuántas m onedas de c a d a d enom inación tiene?
4. Ju a n tien e 400 m onedas de 500 y $1. Si e n to ta l d ispone de $350, ¿ c u á n ta s m onedas de c a d a denom inación tiene?
5. S e d e se a re p artir $ 2 1 0 e n m onedas de $20, $ 1 0 y $ 5 , de ta l form a que e l núm ero de m onedas de c a d a denom inación
a ra e l m ism o. ¿C u án tas m onedas se necesitan de c a d a denom inación?
6 . Se d e se a te n e r $ 2 6 0 0 en billetes d e $200, $ 100 y $50, de tal m an era q u e e l núm ero d e billetes de m ayor denom inación
sea uno m ás q u e los d e m ediana d en o m in a ció n y d o s m ás que los de m enor denom inación, ¿cu á n to s billetes de c a d a
denom inación se ten d rá?
7 . G lo ria tien e e l triple de m onedas d e $ 5 que de $ 1 0 y 10 m onedas más de $ 2 que de $5. Si e n to ta l d ispone de $392,
¿cuántas m onedas d e c a d a denom inación tiene?
8. Iván d a a s u h ijo $ 9 0 e n m onedas de $ 2 y 500, s i e l núm ero de m onedas de $ 2 e s la m itad d e l núm ero de m onedas
de 500, ¿cu án tas m onedas de $ 2 pesos le d a a s u hijo?
9 . F abián tien e 12 m onedas de $ 5 y 3 3 de $2, a l llegar e l d ía d o m in g o s u papá le d a e l doble núm ero de m onedas de $2
que d e $5, F a b ián s e d a c u e n ta que tien e la m ism a c a n tid a d d e d in e ro e n m onedas de $ 2 que de $5, ¿c u á n ta s m onedas
efe $ 2 y de $ 5 le dio s u papá?
10. Sergio e s co n d u cto r de u n transporte co le ctiv o y ca m b ia e n e l b a n co $7 9 5 p o r m onedas de $ 5 , $2, $ 1 y de 500. Al
separar las m onedas de a cu e rd o c o n s u d enom inación se d a c u e n ta que e l núm ero de m onedas de $ 5 es la terc era
parte d e l núm ero de m onedas d e $2, la m itad de las de $1 y e l doble de 500, ¿cuántas m onedas d e $ 5 tiene?
11. R icard o c a m b ia un c h e q u e de $ 6 4 0 0 p o r b ille te s d e $ 2 0 0 , $ 1 0 0 , $ 5 0 y $ 2 0 , y le pide a l c a je ro q u e e l n ú m ero
de b ille te s de $ 2 0 0 s e a la m itad de los de $ 100, la c u a rta parte de los de $50 y la décim a parte de los de $20, ¿cu á n to s
billetes de $ 2 0 0 recibirá?
^
V ar¡fiea tu * r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu cio n e* c o rre s p o n d ie n te
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre costos
S andra pagó $66 p o r una p a sta dental, u n ja b ó n y un cham pú. Si e l co sto d e la p a sta excede e n $15 a l d e l ja b ó n y
e n $ 3 a l d e l cham pú, d ete rm in a e l co sto de c a d a uno de los artículos.
S o lu ció n
D atos:
C o sto de la pasta para dientes: x
C o sto d e l ja b ó n : x - 15
C o sto d e l cham pú: * - 3
Se plantea la e cu ació n y se resuelve:
* + ( r - 15) + ( r - 3 ) = 6 6
->
3 * - 18 = 66
3 x = 6 6 + 18
3 * = 84
84
X=T
* = 28
P o r tanto, los c o sto s de los artículos son: pasta d e n ta l $28, ja b ó n $13, c h am p ú $25.
1 5 0
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
d e r l a escuela pidió e l presupuesto para la fotografía de graduación de un grupo de 30 alum nos. Al momento d e realizar el
trato con e l estudio fotográfico se avisa que serán 10 alum nos más, si e l estudio respeta e l precio total y dism inuye e n $50
d costo de la fotografía por persona, ¿cuál hubiese sido e l costo Arde la fotografía por alum no para e l grupo de 3 0 alum nos?
S olución
Datos:
E l co sto total p a ra un grupo d e 30 alum nos e s: 30*
E l co sto total p a ra un grupo de 4 0 alum nos e s: 4 0 (* - 5 0 )
D ebido a q u e e l c o sto total e s e l m ism o, entonces:
30* = 4 0 (* - 50)
Se resuelve la ecu ació n :
3 0 * = 40*: - 2 0 0 0
->
30* - 4 0 * = - 2 000
- 1 0 * = - 2 000
-2 0 0 0
-1 0
* =
2 00
Por tanto, e l co sto de la fotografía p a ra un g ru p o d e 30 alum nos e s d e $ 2 0 0 por c a d a uno.
E l c o sto de producción por e je m p la r d e u n a revista se m a n a l e s de 2 8 cen tav o s. E l in g reso d e l distribuidor e s de
24 cen tav o s por c o p ia m ás 2 0 % d e los ingresos por c o n ce p to d e p u b licid ad a nunciada e n la revista c u a n d o so b re p a ­
sa n la s 3 0 0 0 c o p ias. ¿C u án tas c o p ia s d e b en publicarse y venderse c a d a se m a n a p a ra o b ten e r utilidades sem anales
(fe $ 1 0 0 0 ?
S olución
S e a * e l núm ero de ejem plares, e l 20% de los ingresos es
20 ( 2 4
6
j j j j * I = J 2 5 * cuaiK*° sobrepasan las 3 0 0 0 copias
28
C osto to ta l por sem an a = $ j ^ ( * + 3000)
Ingreso to ta l por se m a n a = $
24
100 í *
* 3000) + i f H
Se sa b e que:
U tilid ad = Ingresos - C ostos
P o r tanto.
[ ^ ( • ' +300° ) + ¿
" ] - S " - 3000) = ' 000
Se resuelve la ecu ació n :
« Í S í * * 3000^
^
3000) - 1000}
500{-láo (-+3 00°)- lis *=1000}
- 2 0 ( * + 3 000) + 2 4 * = 500 000
- 2 0 * - 6 0 0 0 0 + 2 4 * = 5 0 0 000
4 * = 500 0 0 0 + 6 0 000
5 6 0 000
*
4
* = 1 4 0 000
E l distribuidor d e b e rá vender 140 0 0 0 ejem plares p a ra o b ten e r utilidades de $ 1 000 sem an ales.
151
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 6 9
Resuelve los sig u ien te s problem as:
1.
Ju lio pagó por un traje, una c a m isa y unos z ap a to s, $ 2 700. Si la c a m isa c u e sta la se x ta parte del tra je y los zap a to s
cuestan e l doble de la cam isa, ¿ c u á l e s e l precio de los z a p a to s?
2.
A lejan d ra co m p ró una c h am arra , una b lu sa y u n pantalón. E l pantalón c o stó la m itad d e la ch am arra y la b lu sa las
tres décim as partes del c o sto d e l pantalón. Si e n to ta l pagó $ 1 320, ¿cu á l fue e l c o sto de c a d a prenda?
3.
A d ria n a pagó por su reinscripción, coleg iatu ra y un exam en extraordinario, $ 6 4 00. Si e l exam en c u e sta las dos quintas
partes de la inscripción y las dos novenas partes d e la colegiatura, ¿ cu á n to paga de co legiatura?
4.
U n a e m p re sa co m p ró a u to m ó v iles p a ra tr e s de s u s g e ren tes. E l p rim e r a u to m ó v il c o stó e l d oble d e l segundo m ás
$25 0 0 0 y e l terc ero $ 1 8 0 0 0 m enos q u e e l p rim ero . Si la e m p re s a invirtió $ 4 3 2 0 0 0 , ¿ c u á l e s e l precio de c a d a
autom óvil?
5.
Ja z m ín gan ó e l m artes e l doble de lo que g an ó e l lunes; e l m iércoles, e l doble de lo que g an ó e l m artes; e l jueves, e l
d oble de lo que g an ó el m iércoles; e l viernes, $30 m enos que e l jueves y e l sá b a d o $10 m ás que e l viernes. Si e n los
reis días Ja z m ín g an ó $ 1 500, ¿ c u á n to gan ó e l m iércoles?
6. U n a c o m p u ta d o ra y un e sc rito rio c o sta ro n $15 100, s i por e l e sc rito rio s e pagó la sexta parte de la c o m p u tad o ra más
$400, d e te rm in a e l precio de c a d a uno.
7. E n e l c u rso de á lg e b ra un profesor pidió reso lv er 16 problem as a l alu m n o m ás d e stac ad o de la c la se , co n la condición
(fe que por c a d a problem a resuelto correctam ente e l estudiante re cib iría $30, y por c a d a problem a e rróneo, perdería
$10. D espués de reso lv er los 16 problem as, e l pro fesor le p ag ó $240. ¿C u án to s problem as reso lv ió co rre c ta m en te el
alum no?
8. L u is dice: “ S i trip lic o m i din ero y pago $2 600 de una d e u d a m e q u e d arían $13 000 ". ¿C u án to din ero tien e L uis?
9 . “C o m p ré 20 discos por c ie rta cantid ad , s i hubiera a d q u irid o 4 discos m ás por la m ism a can tid ad , e l c o sto de c a d a
tis c o d ism in u iría e n $60. ¿ C u á l e s e l precio de c a d a d is c o ? ' (Sugerencia: s e a a: e l precio de los 2 0 discos).
10. E l sa la rio b á sic o de u n profesor e s de $ 4 0 po r hora, pero recibe un tan to y m edio de e s ta c u o ta por c a d a h o ra cuando
rebasa las 4 0 horas por sem ana. Si e l cheq u e que recibe e s de $ 2 800, ¿cuántas horas de tiem po ex tra trab a jó durante
la sem ana?
11. E l precio de 30 kg de una m ezcla de dos tipos de a rro z e s de $ 10.20 p o r kilogram o. S i uno de los tipos de arroz vale
$9.30 e l kilogram o y e l o tro $12, ¿ c u á n to s kilogram os de c a d a tipo d e este g ran o hay e n la m ezcla?
12. L as entradas para el esp e ctác u lo de un circ o cu e s ta n $60 p a ra ad u lto y $40 p a ra niño. Si una fam ilia pagó $ 3 2 0 por
reis boletos, ¿cu án to s boletos de c a d a cla se com pró?
13. E n u n partid o de fú tb o l se v endieron 12 0 0 0 b o leto s y se recau d aro n $ 8 0 0 0 00. S i los precios e ra n de $ 6 0 y $ 80,
¿cuántos boletos se vendieron de c a d a clase?
14. Ju a n m ez c la tre s tipos de c afé , e l p rim ero tie n e un p re c io de $ 100 e l kilogram o, e l seg u n d o de $70 y e l te rc e ro de
$105. L a m ez cla p e sa 2 0 kilogram os y la vende e n $ 9 0 e l kilogram o. Si la c a n tid a d d e l g ra n o de $ 7 0 e s e l doble
que la d e l c a fé de $ 100, ¿ cu á n to s kilogram os utilizó de c a d a grano?
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
----------------------------------------------------------------------------------- • P R O B L E M A S Y E JE R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre el tiempo requerido p a ra re a liz a r un tra b a jo
Un e stan q u e se llen a por una d e dos llaves e n 4 horas y la se g u n d a lo llena e n 6 horas, ¿cu á n to tie m p o ta rd a rá n en
llenar el estan q u e v acío s i se a b re n am bas llaves a l m ism o tiem po?
152
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
S olución
Datos:
T iem po to ta l de llenado:
E n una hora, e l estan q u e estará lleno en:
P rim era llave
4 horas
4 d e s u capacidad
S egunda llave
6 horas
i
L as dos llaves
* horas
- de s u capacidad
6
de s u capacidad
X
Planteam iento:
E n una hora las dos llaves llen arán - d e la cap a cid a d del estanque:
X
i
I -i
4 + 6 " *
Se plan tea la e cu a c ió n y s e resuelve:
I
i _ 1
4 + 6 " *
3* + 2 * = 12
5jc = 12
* = 2.4
2 .4 horas equivalen a 2 horas, .4 (6 0 ) = 2 4 m inutos
P o r consiguiente, las dos llaves ta rd a rá n 2 horas y 2 4 m inutos e n llenar e l e stan q u e.
Para la recolección de trig o s e utilizan dos co se ch a d o ras, la prim era ta rd a 8 horas y las d o s ju n ta s ta rd a n 4 .8 horas,
¿cuánto tiem po tard a rá la se g u n d a e n recolectar e l trigo?
Solución
Sea * e l tiem po que ta rd a la se g u n d a co se ch a d o ra e n recolectar e l trigo, entonces:
i
*
1_= _1____1_
1_ 1
8 " 4.8
* ~ 4 .8
8
Se resu elve la ecu ació n :
I_ A _ i
*"24
8
24 = 5 * -3 *
2 4 = 2*
* =
12
R esulta que la se g u n d a co se ch a d o ra tard a rá 12 horas e n recolectar e l trigo.
E JE R C IC IO 7 0
•
I
I
Resuelve los sig u ien te s problem as:
1. U n estan q u e s e llen a c o n u n a de d o s llaves e n 3 horas y c o n la se g u n d a e n 2 horas, ¿ c u á n to tiem po ta rd a rá n e n llenar
d estan q u e v acío si se a b re n las dos llaves?
•
*
2. C ierto trab a jo lo puede realizar D am ián e n 4 horas y B eatriz e n 6 horas. ¿ E n cu án to tiem po lo realizan am bos?
3.
•
I
*
•
•
;
U n a to rtille ría produce p o r d ía 350 kilogram os c o n la m áquina A , c o n la m áquina B la m ism a producción se obtiene
en dos días, si s e ponen a trab a ja r am b as m áquinas, ¿ c u á n to tiem po ta rd a rá n e n producir los 3 5 0 kilos de tortilla?
4. P a ra e n v asar leche se utilizan dos m áquinas, la prim era en v asa 2 400 botes e n 4 horas y la seg u n d a en v asa la m ism a
cantidad e n 8 horas, ¿ c u á n to tiem po tard a rán e n llen ar los 2 4 0 0 botes de leche am b as m áquinas?
5. P a ra sa c a r 2 0 000 c o p ia s se tienen tre s copiadoras, la prim era ta rd a 6 horas, la se g u n d a 8 horas y la te rc e ra 4 horas;
si s e utilizan las tre s copiadoras, ¿ c u á n to tiem po tard a rán e n realizar e sta tarea?
153
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
6. U n productor de leche puede v a ciar u n con ten ed o r co n una llave d e desag ü e e n 12 horas; este recipiente puede se r
llenado co n una llave e n 4 horas y co n una se g u n d a llave e n 6 horas. Si e l con ten ed o r inicialm ente e stá v acío y se
abren las tre s llaves sim ultáneam ente, ¿ en c u á n to tiem po se puede llenar?
7 . C ierta producción de to m illo s se re aliz a por la m áquina serie -4 e n una hora 2 0 m inutos, y por las m áquinas series A
y fi e n 1 hora, ¿ c u á n to tiem po tard a ría la m áquina se rie f i e n realizar la producción de tom illos?
8. U n a pipa de 1 500 litros de c a p a c id a d tie n e d o s llaves y un desagüe. L a p rim era llave la llen a e n 4 5 m inutos, la se ­
gunda e n 30 y el desag ü e la vacía e n 60 m inutos. Si la pipa e s tá vacía y se ab ren las d o s llaves y e l desagüe, ¿cuánto
tiem po ta rd a rá e n llenarse la pipa?
9 . T ánia y J o s é van a co n stru ir c ie rta c a n tid a d de ju g u e te s que se co n fo rm a n de tre s piezas c a d a uno. T an ia los construye
en 2 horas y m edia y am bos ta rd a n una hora 5 4 m inutos, ¿cu á n to tard a rá Jo sé e n co n stru ir los juguetes?
10. E n una e sc u e la s e tie n e n que h a c e r ju e g o s de cu atro hojas c a d a uno p a ra form ar 1200 exám enes, p a ra e llo s e form an
dos grupos de 3 personas; e l prim er g ru p o tard a rá tres horas 4 0 m inutos, m ientras q u e los dos grupos tardarán 3 horas,
¿ cuánto tiem po tard a rá e l seg u n d o g ru p o e n term in ar los 1 200 exám enes?
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
=
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre co m p aració n d e d istancias y tiempos
E n e s te tipo de problem as se utilizan la s sig u ien te s fórm ulas d e l m ovim iento re c tilín e o uniform e:
d = vi
v= t
/ = v
É stas se usan para determ inar la velocidad, d istan c ia y e l tiem po, respectivam ente.
U n au to m ó v il co n v elo cid ad constante de 21 m /s sale de la m eta 5 segundos d espués q u e un autom óvil, c u y a ve­
locidad c o n stan te e s d e 18 m /s, ¿ c u á n to tiem po transcurre p a ra que e l segundo alc an c e a l prim ero?
S o lu ció n
D atos:
Prim er autom óvil
Vel. 18 m/s
( / + 5) segundos
Segundo autom óvil
Vel. 21 m/s
i
t segundos
Planteam iento:
L as d istan c ias re co rrid as so n las m ism as, pero c a d a autom óvil co n distin to tiem po, s i d = vt, entonces:
D istancia reco rrid a por e l prim er au to m ó v il = d istan c ia re c o rrid a por e l seg u n d o autom óvil
1 8 (i + 5 ) = 2 1 (0
Se resuelve la ecu ació n :
1 8 (/ + 5 ) = 2 1 (/)
-»
1 8 r+ 9 0 = 2 1 /
9 0 = 2 1 / - 18/
9 0 = 3/
30 = /
E sto indica que e l segundo autom óvil d a rá alc an c e a l prim ero e n 30 segundos.
154
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
En c ie rta com p eten cia de atle tism o el c o rre d o r A s e e n cu e n tra a 30 m etros ad elan te del c o rre d o r B . E l co rre d o r A
lleva una velocidad constante de 7 km /h y e l co rre d o r B lleva una velocidad co n stan te de 8 km /h. Si los dos sa len
a l m ism o tiem po, ¿ d e sp u é s de cuántos m etros e l co rre d o r B a lc an z a rá a l co rre d o r A l
S olución
D atos:
C o rre d o r/!
C o rred o r B
v = 7 km/h
v = 8 km /h
* m etros
30 m
* m etros
P lanteam iento:
L a d istan c ia e n kilóm etros para c a d a c o rre d o r e s
^
30 + r
y
, respectivam ente.
A l m om ento d e sa lir e l tiem po e s e l m ism o para am b o s corredores, s i t = — , entonces;
v
tiem po p a ra e l c o rre d o r A = tiem po p a ra e l c o rre d o r B
x
30 + *
1000
1000
8
Se resuelve la ecu ació n :
*
_ 30 + *
8 * = 7(30 + * )
7 0 0 0 ” 8000
&* = 2 1 0 + 7 *
8 r - 7 * = 210
* =
210
E l co rre d o r B recorre 210 + 3 0 = 2 4 0 m etros a n te s de alc an z a r a l c o rre d o r A
E JE R C IC IO 71
•
Resuelve los sig u ien te s problem as:
I
\
1.
•
2. D os personas s e en cu e n tra n a una d istan c ia de 55 m etros, ¿ d esp u és de c u á n to tie m p o se e n co n trará n s i la prim era
cam in a a 1 m /s y la seg u n d a a 1.2 m/s?
•
!
\
•
•
I
*
;
U n au to m ó v il q u e v iaja a 6 0 m /s p a sa po r e l punto A 12 segundos a n te s de que un au to m ó v il que v iaja a 80 m /s pase
por e l m ism o punto, ¿cu á n to tie m p o tran scu rre antes de que e l segundo autom óvil alcance a l prim ero?
3. U n a u to m ó v il c o n una v elo cid ad c o n stan te de 6 0 km /h va p o r la av enida V iaducto, e n se n tid o c o n tra rio v iaja un
segundo au to m ó v il a una velocidad constante de 9 0 km /h. Si la d istan c ia que los se p a ra e s de 2 5 km, ¿ d esp u és de
cuánto tie m p o s e cru zarán ?
4. U n p ar de g u ardabosques tie n e n ap ara to s de radiocom unicación, c o n un alc an c e m áxim o de 2 kilóm etros. U no de
ellos re aliz a s u recorrido hacia e l o e ste a las 12:00 p.m . a una velocidad de 4 km /h, m ientras que e l otro sa le de la
m ism a base a las 12:10 p.m . y ca m in a h a cia e l e s te a una velocidad d e 6 km /h. ¿ A q u é hora d e ja n de com unicarse
am bos guardabosques?
155
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
5. U n a lan ch a q u e v iaja a 12 m /s p a sa p o r d eb ajo de un puente 3 segundos desp u és que u n b o te que v iaja a 9 m /s, ¿ d e s ­
pués de cuántos m etros la lan ch a a lc an z a rá a l b ote?
6. D os autom óviles se cru za n e n d irec ció n opuesta, s i e l prim ero lleva una velocidad d e 24 m /s y e l seg u n d o una v e lo ­
cidad de 26 m/s, ¿ cu á n to s segundos tran scu rren cu an d o los autom óviles e s tá n a 800 m uno d e l otro?
7. U n m otociclista persigue a u n auto m ó v il, e l au to m ó v il lleva una v elo cid ad de 80 km /h y la m otocicleta 120 km /h. Si
d au to m ó v il le lleva una ven taja de 500 m, ¿ q u é d istan c ia d e b e recorrer la m otocicleta para alcanzarlo?
8. U n a p ersona q u e v iaja a 3 .6 km /h p a sa p o r e l pu n to A a las 14:15 p .m .; 18 m inutos desp u és p a sa un a u to m ó v il por e l
m ism o punto a una velocidad de 6 8 .4 km /h, ¿ a qué hora a lc a n z a e l autom óvil a la persona?
9. D o s personas se en cu e n tra n a las 8:34 a.m ., la prim era c a m in a a 1.5 m /s hacia el o e ste y la se g u n d a c a m in a hacia el
este a 0 .5 m /s, ¿ a q u é hora la distan cia e n tre ello s es de 360 m ?
10. D os autom óviles parten e n sen tid o contrario d e l punto A , el prim ero parte a las 20:12 p.m . con una velocidad constante
(fc 4 0 km /h y e l segundo a las 2 0 :1 6 p.m . a una velocidad constante de 30 km /h, ¿ a qué hora la distan cia entre e llo s
será d e 26 km ?
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- • P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as d e a p lica ció n a la geom etría plana
Para los siguientes problem as s e tom an e n c u e n ta algunos conceptos b á sico s de geom etría. A q u í s e proporcionan
algunas fórm ulas para e l cálcu lo de perím etros y áreas.
Perím etro
Á rea
R ectángulo
P = 2(b + h)
A =bh
C uadrado
P =4l
A =l2
T riángulo
P = l l + l2 + l3
C írculo
P = 2n
* i«
II
Figura
i*
II
6
b = base, h = a ltu ra, / = lado, r = radio
D os á n g u lo s co m p le m e n ta rio s son aq u ello s que su m an 90°, ¿cu á n to m ide u n á n g u lo s i s u co m p lem en to e s e l doble
m ás 1 5 o?
S o lu ció n
D atos:
Planteam iento:
Á n g u lo : x
Á ngulo + C om plem ento = 90°
C om plem ento: 2 x + 1 5 °
x + ( 2 x + 1 5 ° ) = 90°
Se re su e lv e la ecuación:
x + 2 x + 1 5 ° = 90°
3 * + 1 5 ° = 90°
3* = 7 5 °
* = 25°
P o r tanto, e l ángulo e s de 2 5 °
156
C a p ít u l o
6
Ecuaciones d e primer grado
EJ perím etro de u n triá n g u lo isósceles e s de 4 8 c m . S i e l lado d iferen te eq uivale a - de la m e d id a d e los lados
iguales, ¿ cu á l e s la m edida de los lados d e l triángulo?
S olución
Datos:
Planteam iento:
M edida de los lados iguales: x
P erím etro = su m a de los lad o s = 4 8
M edida d e l lado diferente: - x
* + * + - * = 48
Se resuelve la ecuación:
3 x + 3 x + 2 x = 144
8 x = 144
* = 18
L os lados d e l trián g u lo isósceles so n 18 c m , 18 c m y 12 cm .
E l largo d e u n rectángulo m ide 4 metros m enos q u e e l c u ád ru p le d e s u ancho y s u perím etro m ide 32 m etros. ¿C uánto
m ide el largo?
Solución
Se plantea la e cu ació n y s e resuelve:
2[x + (Ax - 4)J = 32
4r -4
2 [ 5 * - 4 ] = 32
5x - 4 = 16
Datos:
5 x = 16 + 4
A ncho o altu ra: x
5 * = 20
L argo o base: A x - 4
x =A
Perím etro: 3 2 m etros
L a fórm ula para hallar e l perím etro de un
rectángulo e s: P = 2 (b + h)
Por tanto, e l largo d e l rectán g u lo mide:
4 (4 ) - 4 = 1 2 m etros
Si s e a u m e n ta n 8 m etros a los lados de un cu ad ra d o e l á r e a a u m e n ta e n 144 m 2. ¿ C u á n to m ide e l lado d e l cu ad ra d o
original?
Solución
Datos:
L a difere n cia de las á re a s e s igual a 144 m 2, s e plantea
la e cu a c ió n y s e resuelve:
L ado d e l prim er cuadrado: x
( x + 8 f - x 2 = 144
L ado d e l segundo cu ad rad o : x + 8
x 2+
Á rea d e l prim er cu ad rad o : x 2
\6 x + 6 A - x 2 = \AA
16* = 1 4 4 - 6 4
Á rea d e l segundo cu ad rad o : (x + 8)2
16* = 80
80
16
x =5
□
at+ 8
P o r tan to e l lado d e l cu ad ra d o o rig in a l m ide 5 m etros.
E JE R C IC IO 7 2
•
Resuelve los sig u ien te s problem as:
I
1. Si uno de d o s ángulos com plem entarios m ide 34° m ás que e l otro, ¿ c u á n to m ide e l án g u lo m ayor?
1
2. Dos ángulos so n suplem entarios si su m an 180°, ¿cuál es la m edida del ángulo cuyo suplem ento es e l triple del ángulo?
1 5 7
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
3. E l largo de un rectán g u lo m ide e l triple d e s u an ch o ; si e l perím etro m ide 9 6 cm , ¿cu á le s so n su s dim ensiones?
4. E l largo de un rectán g u lo m ide d iez m etros m ás que e l d o b le de s u a n c h o y s u perím etro m ide 164 m etros. ¿C u áles
son su s dim ensiones?
5 . E l an ch o de un rectán g u lo m ide c in c o m etros m enos que la c u a rta parte de s u larg o y s u perím etro m ide 8 0 m etros.
¿C u áles so n su s dim ensiones?
6 . E l perím etro de u n triángulo e sc alen o m ide 2 3 m etros. Si uno de los lados m ide dos m etros m enos q u e e l doble del
segundo lado y tre s m etros m ás que e l terc er lado, ¿ cu á n to m ide c a d a lado?
7 . L a base de un triá n g u lo m ide 36 c m y s u á re a 144 c m 2. ¿C u án to m ide la altura?
8. U n tro zo de m ad era de 14 c m se divide e n dos partes, de ta l m an era q u e la longitud de una de ellas e s las d o s quintas
partes de longitud de la o tra, ¿ cu á l es la longitud de c a d a parte?
9 . U n a c u e rd a de 7 5 c m s e divide e n dos partes, de ta l m anera que la longitud d e una de e lla s e s las tre s quintas partes
tfcl to ta l de la cuerda.
•
Si co n el tro zo m ás pequeño s e form a una circunferencia, d ete rm in a s u radio.
•
Si co n el tro zo de m ay o r longitud se form a un cuadrado, calc u la la longitud de uno de su s lados.
10. Si s e a u m en tan o ch o m etros a c a d a lado de un cu ad ra d o e l á re a au m e n ta 160 m2. ¿C u án to m ide e l lado del cuadrado
original?
11. E l largo de un rectángulo m ide el doble de s u ancho. Si s e aum entan cuatro m etros a c a d a lado e l á re a a u m e n ta 124 m 2.
¿C uáles so n las dim ensiones del rectángulo original?
12. E l largo de un rectán g u lo m ide c in c o m etros m enos que e l triple de s u ancho. Si s e au m en tan 10 m etros a l larg o el
á-ea au m e n ta 6 0 m2. ¿C u áles so n las dim ensiones d e l nuevo rectángulo?
13. L a d ifere n cia en tre las á rea s de dos círcu lo s e s de 209 Ttrn2. Si e l radio del c írc u lo m ayor m ide once m etros m ás que
d radio d e l círc u lo menor, ¿ cu á n to m ide e l radio d e l c írc u lo m ayor?
14. E l á r e a de un rectán g u lo e s d e 24w2c o n u n a n c h o de x . S i e l largo se a u m e n ta e n 3 y n o c a m b ia e l ancho, e l á re a
e su lta n te es d e 3 3 u2. D eterm in a la s dim ensiones del rectán g u lo inicial.
15. L a b a se de u n trián g u lo ex cede e n dos a s u a ltu ra ; s i la base se dism in u y e e n 3 y la a ltu ra s e au m e n ta e n 2, e l á re a del
nuevo trián g u lo es 3 m2 m enor que el á re a d e l triá n g u lo original. D eterm ina las dim ensiones del triá n g u lo original
16. S e d e s e a m andar a d ise ñ a r u n a ventana N o rm an d a (form a de rectán g u lo b a jo un se m ic írcu lo ). E l an ch o e s de tres
m etros, pero la a ltu ra h to d av ía no s e define. Si p a ra d ic h a ventana s e utilizan 2 4 m2 de vidrio, d e te rm in a la altu ra
cfcl rectán g u lo h.
17. Las dim ensiones de un rectángulo están e n relació n 2:1, s i estas dim ensiones se au m en tan e n 3 unidades, e l á re a del
nuevo rectángulo ex cede e n 63w2a l á re a d e l rectángulo inicial, ¿cu á l es e l largo d e l rectán g u lo inicial?
18. E l m arco de u n a pintura rectan g u lar m ide 5 c m de a n c h o y tien e un á r e a de 2 3 0 0 c m 2. E l largo de la pin tu ra m ide 20
cm m enos que e l triple de s u ancho. D eterm in a las dim ensiones de la pintura sin m arco.
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
D espejes de fórmulas
A l inicio d e l cap ítu lo se hab ló de que una e cu a c ió n e s una fórm ula para el c á lc u lo de a lg u n a m agnitud. E n e s te c a so
h abrá fórm ulas que ten g a n m ás de una variable que representen cie rta s m agnitudes y d e p en d e rá c u á l s e q u ie ra c onocer
para hacer e l despeje.
Para despejar una variable bastará c o n aplicar la operación inversa a c a d a m iem bro de la fórm ula. Si e l térm ino sum a,
se re s ta e l m ism o valor e n am bos m iem bros, s i m ultiplica, se divide, s i es una p otencia se obtiene una raíz, etcétera.
158
C a p ít u l o
Ecuaciones d e primer grado
E JE M P L O S --------------------------------------------------1
• • E n la fó rm u la A = b h , d e sp e ja b.
.1 .
Solución
UJ
A=b h
A
—=b
ti
-»
Se dividen am b o s m iem bros e n tre h
A
P o r lanto, b = —
2
• • - D e s p e j a c d e la fó rm u la a 2 = b 2 + c 2.
S olución
a 2 = b2 +c2
a 2- b 2 = c2
-»
S e re sta ¿>2 a am bos m iem bros
'la 2 - b 2 = c
y s e obtiene la raíz cu a d ra d a
P o r consiguiente, c = J a 2 - b 2
3
• • ■ D e s p e ja R \ e n la fórm ula
-^- = “ ■+ “
R,
R2
/c,
•
S olución
_i_
j _____i_ _ _ ¡_
+ R2
R,
Se re sta — a am bos m iem bros
R ,~ R t
2
Rl Z Rl = J _
R, R 2
Se resuelve la frac c ió n
Rt
R ¿ R 2 - / ? , ) = l ( / f , / ? 2)
R] -
Finalm ente, se obtiene:
4
••
R, ^
R t-R ,
S e m ultiplica por /?,(/?, /?,)
S e divide entre
Etespeja v d e la fó rm u la E = m g h + -, ^ ~ .
S olución
. /wv’2
E = mgh+ —
^
.
tnv2
E - m g h = —^ ~
—>
2 { E -m g h ) = mv2
2 ( E - m g h ) _ v2
Se re sta mgA
Se m ultiplica por 2
S e divide en tre m
m
2( E - m g h )
^
Se obtiene la raíz c u ad rad a
m
PorIanto, v = ) p £ z p * í
159
6
6
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 7 3
Realiza b q u e se indica e n c a d a caso:
1. D esp eja n de la fórm ula P V = n r i
11. E n u = a + ( n - \ ) d despeja*/
2. E n P = 2 t + 2 a)
12. D e sp e ja r de u = a r * '1
3. E n y = m x + b
4. E n 5 =
a -tr
1 -r
d e sp e ja i
d e sp e ja m
13. D e sp e ja P 0 d e P = P0e k
14. E n a =
d e sp e ja r
V '- V *
2d
d e sp e ja VQ
5. D esp eja F d e C = - ( F - 3 2 )
15.
6. D esp eja r de A = n r 2
16. D e s p e ja / de M = C ( l + i ) '
7. D esp eja b de A = ^ h ( B + b )
17. E n í g a =
8. E n m = #
X-,
18. D e sp e ja x d e y = ax2 + b x + c
9.
10.
d e sp e ja .r2
D e s p e ja m de F = G ^ f -
m‘ ,
1+ m 2m¡
d e sp e ja m ¡
a: ,
D esp eja /id e la fórm ula ( x - h ) 2 + ( y - A:)2 =
19. E n 1 = 1 - —
f
P P'
D esp eja F d e la fó rm ula r = ^ - y ¡ B 2 + C 2 - 4 A F
2A
Yfarlfka t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
1 6 0
d e sp e ja p '
20. D e sp e ja / de d = Vt + - a t 2
C a p ít u lo
Fu n c i ó n
7
u n ea l
HISTÓRICA
F r o n tis Viéte (1 5 4 0 -1 6 0 3 )
ntre el Renacimiento y el surgimiento de
la matemática moderna (s. XVIl), se desa­
rrolló un periodo de transición en e l que
se asentaron las bases de disciplinas como el
á lg e b ra, la trigonom etría, los logaritm os y
el análisis infinitesimal. La figura más importante
de este periodo fue el francés Frangois Viéte.
E
Considerado uno de las padres del álgebra, desarrolló una notación que
combina símbolos con abreviaturas y literales. Es lo que se conoce como
álgebra sincopada, para distinguirla del álgebra retórica utilizada en la
antigüedad y el álgebra simbólica que se usa en la actualidad.
Uno de sus hallazgos más importantes fue establecer claramente la distin­
ción entre variable y parámetro, lo que le permitió plantear fam ilias enteras
de ecuaciones con una sola expresión y así abordar la resolución de ecua­
ciones con un alto grado de generalidad, en lo que se entendió como una
aritmética generalizada.
Fran?ois V iéte (1540-1603)
7
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Plano cartesiano
E l plano c artesia n o se form a c o n dos re ctas perpendiculares, cu y o punto de intersección s e d e n o m in a origen. L a re c ta
h o rizo n tal re cib e e l nom bre de e je X o e je de las a b sc is a s y la re c ta v e rtica l recibe e l nom bre d e e je y o e je de las
ordenadas.
E l plano c artesia n o s e divide e n cu a tro regiones llam adas “c u ad ra n te s". A c a d a punto P se le a s ig n a un p ar o rd e ­
nado o co o rd en a d a P (x, y).
+ E je F
II
'
i
■ 1
1
1
0
m
*
*
»
»
*++
EjeX
IV
Localización de puntos
Para localizar un punto P ( x y ) e n e l plano c artesia n o se to m a co m o referencia e l origen, s e a v an z a tan to c o m o lo indica
e l prim er núm ero (ab scisa) hacia la d e re c h a o izquierda, seg ú n s e a s u sig n o , de e s e punto se av anza hacia a rrib a o hacia
abajo, tan to c o m o lo indica e l seg u n d o núm ero (ordenada) según se a s u signo.
Ejem plo
G ráfica los puntos: ( - 5, 4), (3, 2), ( - 2, 0), ( - 1, - 3), (0, - 4 ) y (5, - 1) e n e l plano cartesian o .
( - 5 , 4)
t - -
(3, 2)
‘” T
(- 2 ,0 )
( 5 ,- 1 )
(-1 , -3 )
E JE R C IC IO 7 4
Localiza e n el plano cartesiano y une b s puntos:
1. A (3, - 1) y fl(4, 3)
2. A(0, 2 ) y B(3, 0)
3. A ( - 1 ,2 ), B(4, 5 ) y C (2, - 3)
4. A(0, 5), B(2, l ) y C ( - 3 , - 4 )
5. A (l, 3), B ( - 2, 1), C (2, - 3 ) y D (4, 2 )
Vb rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
162
( 0 ,- 4 )
C a p ítu lo
7
Función linea!
Función
Es la relación q u e existe entre dos conjuntos, de m anera que a los elem entos de x les corresponde a lo más un elem ento d e y
Se d en o ta por:
y= m
Se lee, y es igual a f d c x
donde: x : variable independiente
y : variable dependiente
/ ( * ) : regla de corre sp o n d e n c ia
Constante
Es la función q u e aso c ia un m ism o valor a c a d a valor de la variable independiente
y =k
L a representación g rá fic a es una lín ea recta paralela al e je X, sobre la ord e n ad a k
Ejem plo
G ráfica la función y = 3
Solución
Se tra z a una recta paralela a l e je X , sobre la o rd e n ad a 3
Y
y= 3
3
Ecuación x = k
U na e c u a c ió n de la form a x = k n o e s una función. L a rep resen tació n g ráfica de e s ta ecu a c ió n e s una recta paralela
al e je Y que pasa por el valor de la ab sc isa k
Ejem plo
R epresenta e n una g ráfica la e c u a c ió n x = 2
Solución
Se tra z a una recta paralela a l e je Y, que pasa sobre la a b sc is a 2
Y,
x =2
163
7
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Lineal
L a función de la form a y = m x + b se llam a lineal, donde los parám etros rn, b representan la pendiente y o rd e n ad a al
origen, respectivam ente.
Ejem plos
Sean las funciones lineales:
e n donde:
m = 5 ,b = 2
2. y = - 4 x + —
e n donde:
m = - 4, b = —
3. y = - x - l
e n donde:
m = -,b = - l
4. y = - - x
e n donde:
m = --,b =0
5. y = 4
e n donde:
m = 0 ,b = 4
1.
y = 5x + 2
L a p e n d ie n te in d ic a e l n ú m e ro d e u n id a d e s q u e
in cre m e n ta o d is m in u y e y , c u a n d o x a u m e n ta . La
o rd e n ad a a l orig en es la d istan c ia d e l orig en a l punto
(0, b \ este punto se e n cu en tra sobre e l e je Y, y e s la
intersección co n la recta.
D onde:
Ax = x2- x t
Ay = y 2 - y ,
Dados dos puntos de la recta, la pendiente s e obtiene c o n la fórm ula:
Ax
x 2- x ¡
E JE M P L O S
• • ¿C u ál e s e l valor de la pendiente de la recta que pasa p o r los puntos A (- 1, 3 ) y fi(3, 6)?
I.
u
S o lu ció n
Sea:
A (- 1 ,3 ) = (x „ y,), e n to n ces x , = - 1, y , = 3
B ( 3, 6 ) = (x2, y2), e n to n c e s x ? = 3 , y ? = 6
E sto s valores se sustituyen e n la fórm ula:
_ y2 - y , _ 6 - 3 _ 6 - 3 _ 3
m=
X.-A:, 3—( —1) 3+1 4
P o r tanto, e l valor de la pendiente e s 4
164
____________________________________________________________________________________________________________________C a p i t u l o
Función linea!
2 ••
• ¿C uál es e l valor de la pendiente de la recta que p a sa por los puntos P { - 2,
1) y
(2(2, - 4)?
S olución
Sea:
P { - 2, 1) = (* „
e n to n c es x , = - 2 , y , = 1
(2(2, - 4 ) = ( x p y 2), e n to n c es * 2 = 2, y2 = - 4
E stos valores s e sustituyen en la fórm ula:
x 2- x t
- 4" 1
2 —( —2 )
2+2
4
5
4
P o r consiguiente, e l valor de la pendiente e s
G e n e ra lid a d e s
O S i m > 0, la función es creciente, e s decir, c u a n d o * aum en ta, tam b ién lo h ace y.
O Si m < 0, la función e s decreciente, e s decir, c u a n d o x aum en ta, y dism inuye.
X
O Si m = 0, se tien e una función constante.
165
7
7
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
EJE LC IC IO 7 5
Determ ina la pendiente d e la recta q u e pasa p o r b s puntos:
1. A ( - 2 ,4 ) y f í( 6 ,1 2 )
2. M ( l , 5 ) y f í ( 2 , - 7 )
3. t f ( - 4 , - 2 ) y f í ( 5 , 6 )
Vsrifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
G r á fic a
fó r a g ra fic ar una función lineal se lleva a ca b o lo siguiente:
I.
Se localiza la o rd e n ad a a l origen, e s decir, e l punto (0, b).
I I . A partir de e ste punto s e lo ca liz a o tro al tom ar a la pendiente co m o e l increm ento o d ecre m e n to vertical sobre e l
increm ento horizontal.
E JE M P L O S
■%_
1
.1 .
• • G ráfica la función y = | * + 4.
S o lu ció n
iu
G ráfica de la función
L a pendiente y o rd e n ad a a l orig en de la función:
2
y= -x +4
2
m =3
=>
2 increm ento vertical
— --------------------- ;--------3 in crem en to horizontal
b = 4 que rep resen ta e l punto (0, 4).
2
T raza la g ráfica de la función y = - - x + 2 .
S o lu ció n
L a pendiente y o rd e n ad a a l orig en de la función:
G ráfica de la función
y=~5
4 -4
rn = — = —
5
5
- 4 decrem ento vertical
5 in crem en to horizontal
b = 2 que rep resen ta e l punto (0 , 2 ).
166
C a p ítu lo
7
Función linea!
3
• • ■ 'D a z a la gráfica de la fu n c ió n y = - 5 * - 3 .
S olución
L a pendiente y ord e n ad a a l orig en d e la función:
G ráfica d e la función
y= -5x-3
- 5 decrem ento vertical
m = -5 = ^
1
b = -3
1 in crem en to horizontal
que representa e l punto (0 , - 3).
O tra form a de graficar una función lineal e s d ar valores de x , p a ra o b ten e r los respectivos valores d e y, c o n e sto s d o s
valores s e form an puntos coordenados. A este procedim iento s e le llam a tabulación.
Ejem plo
T raza la gráfica de la función y = 2 x - 3.
G ráfica d e la función
S olución
Se co n stru y e una ta b la co n valores arb itrario s e n x,
para o b ten e r los valores re sp ec tiv o s d e y.
y = 2* - 3
X
(x ,y )
-2
y = 2(~ 2 ) - 3 = - 7
( - 2 ,- 7 )
- 1
y = T í r 1) - 3 = - 5
( - 1 ,- 5 )
0
y = 2(0 ) - 3 = - 3
( 0 ,- 3 )
1
y = 2( i ) - 3 = - 1
0 , - 1)
2
y —2(2 ) - 3 = 1
(2 , 1)
EJE IC IC IO 7 6
11
1
(O
6.
2. y = n
7.
3. x = 4
8.
9.
5. y = 2 * + 5
-5
11
—
G ráfica las sig uientes funciones y ecuaciones:
1
1
5
* = 2 * -2
y = r +3
10. y = ~ * + 3
V e rific a t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n te
167
1
7
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Familia d e rectas
Se ha visto la función y = m x + b c o n valores co n stan tes p a ra m y b . e n este te m a a n aliza rem o s qué p a sa cu an d o s e fija
uno de los dos valores y e l otro s e d e ja libre. E ste tipo de funciones re cib en e l nom bre de f a m ilia d e rectas.
Ejem plos
1.
y = 3x + b
2. y = - x + b
3. y = m x - l
4. y = m x + 6
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
• • G ráfica una fam ilia de rectas de la función y = m x + 2.
S o lu ció n
L a función y = m x + 2 representa todas las rectas que tienen o rd e n ad a a l origen
2, e s decir, todas las rectas que intersecan al e je Y e n e l punto (0, 2).
S e grafican algunas de las rectas, c o n algunos valores p a ra rn:
S i m = 2 , entonces s e tiene la re c ta y = 2 x + 2
S i m = - 2, en to n ces se tien e la recta y = - 2 x + 2
S i m = 0 , entonces s e tiene la re c ta y = 2
2
• • G ráfica una fam ilia d e rectas de la e cu a ció n y = x
+ b.
S o lu ció n
L a función y = x + b rep resen ta todas las rectas que tienen pendiente 1
Se grafican algunas de estas rectas, c o n algunos valores p a ra b :
S i b = - 2 , se tien e la re c ta y = x - 2
S i b = - 1, se tien e la r e c ta y = x - 1
S i b = 0, s e tien e la recta y = x
S i b = 1, s e tien e la recta y = x + 1
Si¿> = 2, s e tien e la recta y = * + 2
EJE ÍC IC IO 7 7
G ráfica una fam ilia d e rectas para cad a función:
1. y = m x + 4
2. y = m x - 3
3. y = m x + l
4. y = 2x + b
5. y = - x + b
6. y = ^ x + b
Vfcrifica t u * r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e * c o r r e s p o n d ie n te
168
G ráfica
___________________________________________________________________________________________________________________ C a p i t u l o
7
Función linea!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Si tenem os dos variables *, y que cum plen la e cu a c ió n y = m x + b donde m , b s R , s e d ic e que dichas variables s e
relacionan linealm ente.
Para lo a n te rio r ex iste n problem as de la vida real que s e pueden rep resen tar co n u n m odelo lineal y a s í d a r un
valor e stim ad o de la v ariab le y para un c ie rto valor de la variable x.
Ejem plos
1. E l sa la rio s q u e recibe un em p lead o por tra b a ja r* horas
2. E l d e sg a ste d d e un a rtícu lo q u e se ha u sa d o t m eses
C inco m etros de te la tie n e n un c o sto de $300, en cu e n tra un m odelo lineal para e l c o sto y d ete rm in a ¿ cuánto cu esta n
25m ? y ¿cu án to s m etros de te la s e pueden com prar c o n $ 1 8 0 0 0 ?
S olución
Sean:
* : m etros de te la
y : c o sto por m etro de te la
E l c o s to y d e * m etros de te la s e re la c io n a c o n la función y = m x + b
Si se venden c e ro m etros de te la (* = 0), e l co sto e s c e ro pesos ( y = 0), entonces, a l su stitu ir estos valo res en
la función y = m x + b, se tien e que:
0 = m(0) + b - > b = 0
De ta l m anera que la función q u e d a de la form a siguiente:
y = mx
Si * = 5, e n to n c es y = 300, q u e so n los datos iniciales d e l problem a, co n ello s s e en cu e n tra e l valor de la pen­
diente, cu an d o se su stitu y en e n y = mx.
y = mx
300
300 = m (5 ) —> m = - j - = 6 0 -> m = 60
Por tanto, e l m odelo lineal es:
y = 60x
Se quiere co n o cer e l c o sto d e 2 5 m etros de tela.
y = 60*
y = 60 (2 5 ) = 1500
Por consiguiente, 2 5 m d e te la tie n e n un c o sto de $1500
Finalm ente, se d e se a sa b e r cu án to s m etros de te la s e pueden co m p ra r co n $ 1 8 000
y = 60*
18 0 0 0 = 6 ü r
1 8 000
=*
60
3 00 = *
C o n $ 18 000 s e pueden co m p ra r 300 m etros de tela.
169
7
C a p ítu lo
Á lgebra
2
E l d e lfín m ular m ide 1.5 m etros a l nacer y p e sa a lre d e d o r de 30 kilogram os. L os delfines jó v en e s s o n am am antados
d u ra n te 15 m eses, a l final de dich o periodo esto s cetác e o s m iden 2 .7 m etros y pesan 3 7 5 kilogram os.
S ea L y P la longitud e n m etros y e l peso e n kilogram os, respectivam ente, p a ra un de lfín m ular d e i m eses.
a)
Si la relació n en tre L y t e s lineal, e x p resa L e n térm inos de f.
b ) ¿C u ál e s e l aum ento d iario de la longitud para u n d e lfín joven?
c)
E xpresa P e n térm in o s de f, s i P y f e stán relacionados linealm ente.
d ) ¿C u ál e s e l peso de un d e lfín de c in c o m eses de edad?
S o lu ció n
a)
Si la relació n e n tre L y t e s lineal, e x p resa L e n térm inos d e f.
L = m t+ b
C u a n d o e l d e lfín e s recién n a c id o / = 0 y L = 1.5, a l su s titu ir e s to s v alo res e n la fu n c ió n a n te rio r s e tie n e que
b = 1.5 y e l m odelo q u e d a d e la siguiente form a:
L = m t + 1.5
3
L = mt + -
->
2
C uando / = 15, L = 2.7, estos valores s e sustituyen e n el m odelo an terior p a ra determ inar la pendiente.
L = m i+ -
2
2.7 = m(15) + |
—» 2 . 7 - 1 = 1 5 m
->
6
^ = 15m
-»
fs = m
P or tanto, la longitud L e n función d e l tie m p o fe s :
b ) ¿C u ál e s e l aum ento d iario de la longitud para u n d e lfín jo v en ?
^
E n la función lineal L, la parte que indica e l aum ento e n la longitud d e l d e lfín e s: — f, por consiguiente, se divide
/ e n tre 30 y s e su stitu y e / = 1
J _ = _1_
30 30
E ntonces:
— f = — í — ) = — = — = 0.00267
25
2 5 \ 30 y 750
375
L uego, e l aum ento diario en la longitud de un d e lfín e s de 0.00267 m.
c)
E xpresa P e n térm in o s d e /, s i P y / e stán relacionados linealm ente.
Se representa e l peso P e n función d e l tie m p o / c o n la función:
P = mt + b
C uando e l d e lfín es neonato s u peso e s de 3 0 kilogram os, e s decir,
/ = 0 y P = 30
A l su stitu ir esto s valores e n la función a n te rio r se o b tien e e l valor d e b,
P = nu + b
3 0 = m (0 ) + b
b = 30
1 7 0
C a p ítu lo
7
Función linea!
E l m odelo m atem ático para un d e lfín re c ié n nacido es:
P = m t + 30
L uego, a los 15 m eses un d e lfín p e sa 375 kg, entonces:
Si t = 15 y P = 375, s e tien e que:
P = m t + 30
345
3 7 5 = m ( 1 5 ) + 3 0 - > 3 7 5 - 3 0 = 1 5 m —> 3 4 5 = 1 5 m -> — = m
->
m = 23
Por consiguiente, e l p e so P e n térm in o s d e / s e expresa co n e l m odelo:
P = 23/ + 30
d)
¿ C u á l e s e l peso de un d e lfín de cin c o m eses de ed ad ?
Para o b ten e r e l peso P de un d e lfín de 5 m eses d e e d ad , s e sustituye / = 5 e n e l m odelo anterior:
P = 23/ + 30
P = 2 3 (5 ) + 30
P = 115 + 30
P = 145
P o r tanto, e l peso de un d e lfín de c in c o m eses de e d a d e s de 145 kilogram os.
EJE ÍC IC IO 7 8
Resuelve los siguientes problem as:
1. U n hom bre re cib e $ 1 2 0 por 3 horas de trab ajo . E x p resa e l su eld o 5 (en p eso s) e n térm inos d e l tie m p o / (horas).
2. U n bebé pesa 3.5 k g a l nacer y 3 años después alc an z a 10.5 kg. Supongam os q u e el peso P (en kg) en la infancia está
relacionado linealm ente con la ed ad / (en años).
o ) E x p re sa P e n térm in o s d e /.
b ) ¿C u án to pesará e l niño cu an d o c u m p la 9 años?
c ) ¿ A q u é e d a d p esará 2 8 kg?
3. L a can tid ad de c a lo r C (e n calo rías), requerida para c o n v ertir u n g ra m o de a g u a e n vapor, se rela cio n a linealm ente
con la tem p e ra tu ra T (e n °F ) de la atm ósfera. A 5 0 °F e s ta c onversión req u iere 592 c alo ría s y c a d a a u m e n to de 15°F
aum enta 9 .5 c a lo ría s la c an tid ad de calor. E x p re sa C e n térm in o s de T.
4. E l d u e ñ o de una fran q u ic ia de a g u a e m b o tellad a debe pag ar $ 5 0 0 p o r m es, m ás 5% de los ingresos m ensuales (I) por
c o n ce p to de uso de la m arca. Los costos de o p e rac ió n de la fran q u ic ia incluyen u n pag o fijo de $ 1 3 0 0 p o r m es de
serv icio s y m ano de obra. A dem ás, e l co sto para e m b o te llar y d istribuir el a g u a com p ren d e 50% de los ingresos.
a ) D eterm in a los gastos m ensuales G e n térm in o s de /.
b ) E x p resa la utilidad m ensual U e n térm inos de / (utilidad = ingreso - costo)
c)
In d ica e l ingreso m ensual necesario para que no haya pérdida ni ganancia.
5. L a relación en tre las lecturas de tem p eratu ra en las escalas Fahrenheit y C e lsiu s, está d a d a por: °C = í ( ° F - 3 2 )
á)
E ncuentra la tem p eratu ra e n que la lec tu ra es la m ism a e n am b as escalas.
b)
¿ E n qué valor debe esta r la lectura e n grados F a h re n h eit p a ra que s e a e l doble de la lectura e n grados C e lsiu s?
V itrific a tu s re s u lta d o s e n la s a c c ló n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n ta
171
C
S is t em a s
a p ít u lo
8
de e c u a c io n e s
H ISTÓ RICA
(D
c
8
£
r
G ab riel C ram er
alem álico suizo nacido en Ginebra
en e l a ñ o 1 7 0 4 , quien fa lle ció en
Bagnols-sur-Céze, F ra n c ia , 1 7 5 2 .
Fue catedrático de matemáticas (1 7 2 4 - 1 7 2 7 )
y de filosofía (1 7 5 0 -1 7 5 2 ) en la Universidad de G ineb ra. En 1 7 5 0 expu­
so en su obra Introducción al análisis d e las curvas a lg e b ra ica s la teoría
newtoniana referente a las curvas a lg e b raicas, clasificánd o las según el
grado de la ecuación. Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leíbniz
y a había utilizado al final del siglo xvn para resolver sistemas de ecuaciones
lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de
la correspondencia de Leibniz.
M
Gabriel C ra m e r (1704-1752)
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
Ecu ació n lineal
U na ecu a c ió n de la form a A x + B y + C = 0, d o n d e A, B y C son c o n stan tes re ales ta le s q u e A y B no son cero, recibe
e l nom bre de lineal.
Ejem p lo s
1. 2 x - 3 y - 4 = 0, e s una e cu a c ió n lineal co n : A = 2, f l = - 3 y C = - 4
2. - 5x + Ay = 0, e s una e cu a c ió n lineal co n : A = - 5 , B = 4 y C = 0
3. x + 2 = 0, e s una e cu a c ió n lineal con: A = 1, B = 0 y C = 2
4. 2 y - 3 = 0, e s una e cu ació n lineal co n : ^ = 0, f i = 2 y C = - 3
U na ecu ació n que se puede esc rib ir de la fo rm a A x + B y + C = 0 tam bién e s lineal.
Ejem p lo s
1. D a d a la e cu a c ió n 2x = 5 y - 6 , tam b ién se puede esc rib ir d e la form a: 2 x - 5y + 6 = 0
2. Para que la e cu a c ió n - x - —y = 2 te n g a la form a A x + B y + C = 0, s e elim in a n los denom inadores a l m ultiplicar
2
4
por 4 c a d a térm ino de la igualdad:
4 ( f * —1 , ) - 4 ( 2 )
A l re aliz a r la s op eracio n es se transform a e n 1Qx - 3 y = 8, finalm ente:
10* - 3y - 8 = 0
3. L a e cu a c ió n
x - y ) - 3 y = 4 x + 1, s e puede e sc rib ir d e la form a: A x + B y + C = 0, a l realizar e l producto indicado,
e lim in a r denom inadores y sim plificar:
^ (* -y )-3 y = 4 * + l
^x-^y-3 y= 4 x+ l
2U * ' F - 3^ =2(4* + i)
x-y-6y= Sx+ 2
x - y - 6 y - S x - 2 =0
Por tanto, la e cu a c ió n se transform a e n : - I x - l y - 2 = 0
4. L a e c u a c ió n y = - ^ x - 2 a l m ultip licarla p o r 3 s e obtiene 3y = 5 x - 6, p o r consiguiente se puede e sc rib ir com o:
5* - 3 y - 6 = 0
So lució n d e una e c u a c ió n lin eal
U na ecu a c ió n lineal tien e co m o conju n to solución todos los pares o rd e n ad o s {x, y ), que satisfacen la e cu a ció n , donde
* y y son núm eros reales.
174
C a p it u l o
8
Ejem plosC
Sistemas de ecuaciones
i M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
••
j , son soluciones de la ecu ació n : I r - 3 y -
\ferific a si los pares ord en ad o s ( 1 , - 4 ) , ^ 2, - í ^ j ,
14=0.
S o lu c ió n
Se sustituye c a d a par o rdenado e n la ecuación:
Ú Para ( 1 , - 4 )
2 x -3 y -1 4 = 0
2 ( 1 )—3 ( —4 ) —14 = 0
2 + 1 2 -1 4 = 0
0= 0
Por tanto, e l p ar o rdenado (1, - 4), e s solución.
Ú P a ra ( 2 -“ y ]
2 r-3 y -1 4 = 0
2(2)_3( ’y )",4=0
4 + 1 0 -1 4 = 0
0= 0
Por consiguiente, e l par o rd e n ad o ^ 2 , - ^ j es solu ció n ,
ú
Para
2 x - 3 y - 14=0
1 + —- 1 4 = 0
4
E ntonces, e l p ar o rd e n ad o
2
••
j no e s solución.
Vferificasi e l punto ( - 2 , 1), e s solución de la e c u a c ió n Ar+ | = ^ ( y ~ * ) “ 5
S o lu c ió n
Se sustituye e l punto e n la ecuación:
-2 + |= |[ . - ( - 2 ) ] - 5
- 2 + | = | [ l +2 ] - S
( continúa)
175
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
(continuación)
-2 * f-f(3 )-5
- 2 + i = ’ -S
2 2
I
2_
2
P or consiguiente ( - 2, 1), e s solución de la ecuación.
E JE R C IC IO 7 9
1. V erifica si los pares o rd e n ad o s ( 2 , - 3 ) , ( 7 ,0 ) y (1 ,5 ) so n solución d e la ecu ació n : 3 * - 5 y - 2 1 = 0 .
2. V erifica si los p u n to s
( ^ ’j ) y
son ^ ^ ‘ó n de la ecu ació n : 2 * + 4 y + 2 = 0 .
3. \ferific a si los pares o rd e n ad o s ( 3 , - 4 ) , ( - 3 , - 1 2 ) y ^ , 2j s o n so lu c ió n d e la e cu a ció n : ~^x = ^ y + 4 -
e s solución de la ecu ació n : 2 ( x - y ) - l = ^ ( x - Ú ) - y .
4. V erifica si e l punto
5. V erifica si e l punto
Ü
^ solución de la e c u a ció n : i ( x + 2 y ) + ^ y = ^ ( x + l ) - i - j * .
\ferifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
:
G ráfica
L a g rá fic a de u n a e c u a c ió n lin e a l A x + B y + C = 0, e s u n a re c ta q u e fo rm a n lo s p u n to s de su c o n ju n to so lu c ió n :
{ (x ,y )\A x + B y + C = 0 }.
E JE M P L O S------------------------------------------------------------------------------------•
o
o. 1 • • ¿C u ál e s la gráfica de la e cu a c ió n 2 x - 3 y + 7 = O?
.22,
UJ
S o lu c i ó n
Para ob ten e r la gráfica, b a sta c o n c o n o ce r d o s puntos d e la recta, p a ra lo c u a l s e sustituyen d o s valo res arb itrario s para
x o y e n la ecuación, y c o n esto se o btienen los d o s puntos que s e requieren.
S e a x = - 2, s e sustituye y se d e sp e ja y :
S e a x = 1, s e su stitu y e y se d e sp e ja y
2 * -3 y + 7 = 0
2 x -3 y + 7=0
2 (-2 )-3 y + 7 = 0
2 (l)-3 y + 7 = 0
-4 -3 y + 7 = 0
2 -3 y + 7 = 0
3 -3 y = 0
9 - 3y= 0
-3 y= -3
-3y= -9
-3
-9
y=\
y=3
P or tanto, e l punto e s ( - 2 ,1 )
Por consiguiente, e l punto e s (1 ,3 )
176
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
Por últim o, s e localizan los puntos e n e l plano y se tra z a una recta sobre ellos.
Gráfica
Y
X
O tra form a de graficar A x + B y + C = 0, e s tran sfo rm arla a la fo rm a y = m x + b y ap lic ar a lg u n o s de los m étodos vistos
e n e l ca p ítu lo 7.
E jem p lo
G ráfica la e cu a c ió n 3 x - A y - 12 = 0.
S o lu c ió n
Se d e sp e ja y e n la e cu a c ió n para ex p resarla a la form a y = m x + b
3 x -A y -\2 = 0
G ráfica
- A y= -3 x+ \2
Y
-3 x + \2
y= —
i—
E J E R C IC IO 8 0
Gráfica las sig u ien te s ecuaciones:
1. x + y - 3 = 0
6. 2 x + 7 y = 0
2. x - y + 2= 0
7. - 3 x + 5 y - 1 0 = 0
3. 3 x - 2 y + 6 = 0
8. S x = 2 y - 4
4.
4 jc + 3 y -1 2 = 0
5.
3x-A y= 0
U Orificatusresultadosen laseccióndesolucionescorrespondiente
177
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
S e ha visto que e l conju n to so lu c ió n de la e cu a c ió n A x + B y + C = 0, son todos los p a res o rd e n ad o s (x y ) que satisfacen
la ecuación.
E n un siste m a de d o s e cu a cio n e s co n d o s variables, que tiene la form a:
í a ix + b ly = c l
[a 2x + b 2y = c2
El c o n ju n to so lu c ió n lo form an todos los pares ord en ad o s que satisfacen am bas ecuaciones, e s decir:
{ ( ^ ) | a ^ + ¿ > i y = C | } n { ( x , )y ) |f l 2x + V = C 2 }
C a d a e cu ació n representa una recta e n e l plano, entonces, se pueden p resentar tres casos:
I.
L as re c ta s se in te rse c a n en u n p u n to . L a s re ctas só lo co in cid en e n un punto, por tanto, se d ic e que e l siste m a
tiene una solución.
E jem p lo
G ráfica y d ete rm in a la so lu c ió n d e l siguiente sistem a:
í x+2y= 4
\3 x-y = 5
S o lu c i ó n
S e gráfica c a d a una de las ecu a cio n e s a partir de encontrar la s intersecciones co n los e je s XY.
x + 2y = 4
Sea* = 0
Seay = 0
x+2y= 4
( 0)+ 2y= 4
4
„
ym r
2
Sea at= 0
x+2y= 4
x+ 2(0)= 4
3*- y = $
Sea >^= 0
3x-y= 5
3 x-y= 5
3 (0 )-y = 5
3 x -(0 )= 5
5
x=4
y = - 5
La intersección con
La intersección con
La intersección co n
e l e je .y es: ( 0 , 2 )
e l e je Ares: ( 4 , 0 )
d e j e .y e s: ( 0 , - 5 )
"= J
La intersección co n el
* CX ( f * ° )
G ráfica
L a solución e s e l punto d o n d e se intersecan las rectas, e n e ste c aso (2, 1)
178
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
II.
L as rectas son coincidentes. D o s ecu a cio n e s representan re ctas coincidentes si a l m ultiplicar una de e lla s por un
núm ero re a l k, s e obtiene la otra.
En un siste m a d e re c ta s c o in c id e n te s e l c o n ju n to so lu c ió n e s infinito, e s d e cir, e l c o n ju n to so lu c ió n so n to d o s los
puntos de la s rectas.
Ejem p lo
G ráfica y d ete rm in a e l c o n ju n to solución d e l siguiente sistem a:
¡x-2 y= 6
\3 x-6 y = \S
S o lu c ió n
Se g ráfica c a d a recta.
x - 2y = 6
Sea* = 0
Seay = 0
x-2y= 6
x--2y= 6
x-2
(0 )-2 y= 6
^„
Sea* = 0
6 = - 3^
3 * - 6 y = 18
Sea y = 0
3 * -6 y = 1 8
3 r-6 y = 1 8
0 )= 6
3 (0 )-6 y = 1 8
3 x -6 (0 )= 1 8
18
*=6
18
X=T
E l punto e s: ( 0 , - 3 )
E l punto es: ( 6 , 0 )
y= -3
x=6
E l punto e s: ( 0 , - 3 )
E l punto e s: ( 6 , 0 )
Se o bserva q u e las intersecciones d e las rectas co n los eje s, s o n los m ism os puntos.
G ráfica
L as re c ta s co in c id e n e n to d o s s u s p u n to s, p o r tan to , e l siste m a tiene un c o n ju n to infinito d e so lu c io n e s.
Se o bserva q u e si m ultiplicam os la ecu a c ió n x - 2 y = 6, por 3, se obtiene la o tra ecuación.
n i . L as re c ta s son p ara le la s. E n e s te caso, la s re c ta s no tienen n ingún punto e n c o m ú n , p o r tanto, e l siste m a no
tiene solución.
Ejem p lo
G ráfica y d ete rm in a e l c o n ju n to solución d e l siguiente sistem a:
¡2x-y= 4
\4 x -2 y = -\2
179
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
S o lu c i ó n
Se grafican la s recias.
4 c - 2 y = - 12
2 c -- y = 4
Seay = 0
Seax = 0
Sea x = 0
T
1
II
a
2x-y= 4
2 (0 )-y = 4
4x-2y= -12
2 x-( 0 )= 4
4
„
xm V
2
y= -4
4 x - 2 y = - 12
4 ( 0 )~ 2 y= -1 2
4 jc— 2 ( 0 ) = — 12
-1 2
-1 2
4
x=2
E l punto e s: ( 0 , - 4 )
Seay = 0
y= 6
E l punto e s: ( 2 , 0 )
El p u n to e s: ( 0 , 6 )
x= -3
E l punto e s: ( - 3 , 0 )
Se localizan los puntos de intersección y s e grafican las rectas.
G ráfica
A l gra fic ar la s re c ta s se o b se rv a que son p a ralela s, e s d e cir, n o h a y u n punto c o m ú n , p o r co n sig u ie n te no hay
solución, e n to n c es se d ic e q u e e l con ju n to so lu c ió n e s v acío .
ÍC IC IO 8 1
Gráfica y determ ina e l conjunto solución d e los sig uientes sistem as:
!x+ y= 2
■ \x -y = 6
‘
í 2x-3y= 6
1 6 x -9 y = 1 8
[x -5 y = \0
¡3x-2y= -2
[3 x -1 5 y = -1 5
[4x+ y= \
[ x+ 2y= 3
' [ 5 x -3 y = -l 1
[\0 x+ 6 y= 4
\ 5x+ 3y= 2
7
[2x+ y= 5
[6x+ 3y= -9
Í2x+ 3y= 5
• | 5x+4y= 2
| Vferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
M éto dos d e so lu ció n
H asta ahora se ha visto c ó m o reso lv er de form a g ráfica u n siste m a d e e cu a cio n e s c o n d o s variables, sin em bargo, este
m étodo e n algunas o casio n es puede ser poco preciso, por lo que ex isten procedim ientos alg eb raico s y que ad em ás de
ser prácticos resu ltan exactos.
1 8 0
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
Reducción (suma y resta)
Este m étodo co n siste e n m ultiplicar las ecu a cio n e s d a d a s por algún núm ero, d e ta l form a que a l sum ar las e cu a cio n e s
e quivalentes que resultan, u n a de las va ria b le s se elim in a p a ra obtener una e cu a c ió n c o n una incógnita, y a l resolverla
* d ete rm in a s u valor, para posteriorm ente sustituirla e n alg u n a de las ecu a cio n e s o rig in a les y a s í obtener e l valor de
Ejem plos!!]
la o tra incógnita.
M PLO S
1
# • R esuelve e l siguiente siste m a de ecuaciones:
Í2 * + 5 y = 1 9
[ 3 x-4y= - 6
S o lu c ió n
Se elig e la v a ria b le a elim inar, e n este eje m p lo se to m a x , p a ra e lim in a rla se n ecesita que lo s co eficien tes d e x de c a d a
ecuación sean iguales y de d istin to signo. L a prim era e cu ació n se m ultiplica p o r - 3 y la se g u n d a se m ultiplica p o r 2,
posteriorm ente se sum an las ecu a cio n e s y s e resuelve la e cu a c ió n resultante.
( 2 x + 5 y = \ 9 ) ( —3 )
-6 * -1 5 y = -5 7
(3 * -4 y = -6 )(2 )
6* -8 y = -1 2
-2 3 y = -6 9
-6 9
*"= 23
y= 3
El v a lo r d e y = 3 s e sustituye e n c u alq u iera de las ecuaciones, para o b ten e r e l valor d e x .
2 x + 5 y = \9 -»
2 * + 5 (3 )= 1 9
2*+15=19
2 * = 1 9 -1 5
2x=4
4
*=2
Se puede com probar e l resultado a l su stitu ir los v a lo re s o b ten id o s e n la o tra ecuación:
3x-4 y= -6
->
3 (2 )-4 < 3 )= -6
->
6 -1 2 = -6
->
-6 = -6
Por tanto, la solución d e l sistem a e s: x = 2, y = 3
2
R esuelve e l siguiente siste m a d e ecuaciones:
í 5 * -3 y = -7
[ 3 x + 5 y = -ll
S o lu c ió n
En este eje m p lo se elim in a la v a ria b le y , en to n ces s e m ultiplica la prim era e cu a c ió n por 5 y la se g u n d a p o r 3
( 5 x - 3 y = - 7 )( 5)
( 3 x + 5 y = - ll) ( 3) ^
2 5 x -\5 y = -3 5
9 at+ 1 5 y = - 3 3
34*
= -6 8
-6 8
X
181
34
„
1
( continúa)
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
(continua ció n )
El valor d e x = - 2, s e sustituye, e n c u alq u iera de las ecuaciones, para ob ten e r el v a lo r d e y .
3 x + 5 y= -\\ -*
3 (-2 )+ 5 y = -ll
-6 + 5 y= -\ 1
5 y = -ll+ 6
5 y = -5
y= -1
Por consiguiente, la solución d e l sistem a e s: x = - 2, y = - 1
L o s sig u ie n te s co n ju n to s in d ican e l c o n ju n to solución de un siste m a de re c ta s co in c id e n te s y paralelas, re sp ec tiv a ­
m ente.
{ ( x , y ) \ 0 x + 0 y = 0 } = { ( x , y ) \ x ty e R }
{ ( * , 7 ) |0 * + ( ) y = a , f l * 0 } = < l >
E JE M P L O S------------------------------------------------------------------------------------•
o
o . 1 • • D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
E
Q)
6 x -2 y= \0
3x-y= 5
S o lu c i ó n
La prim era e cu a c ió n se m ultiplica por 1 y la segunda p o r - 2 y s e sum an las ecuaciones equivalentes:
(6 * -2 y = 1 0 )(l)
6 x - 2^=10
( 3x-y= 5 ) ( - 2 )
-6 x+ 2 y= -\0
0x + 0y = 0
Se o b tien e la e c u a c ió n 0a: + Oy = 0, p o r tan to , h a y un c o n ju n to infinito d e so lu c io n e s; en to n ces, se tra ta d e d o s
rectas coincidentes, y s e dice que a l c o n ju n to so lu c ió n lo form an todos los pares ord en ad o s que satisfacen cu alq u iera
de la s ecu acio n es.
2
■E ncuentra e l con ju n to solución d e l sistem a:
-x+ 2y= 4
-3x+ 6y= 5
S o lu c i ó n
La prim era e cu a c ió n se m ultiplica por - 3 y la segunda por 1 y s e sum an las ecuaciones equivalentes.
(-* + 2 y = 4 )(-3 )
( -3 * + 6 y = 5 )( 1)
3 * -6 y = -1 2
-3 s+ 6 y = 5
0x + 0y = -7
R esulta la e cu a c ió n 0 * + Oy = - 7 , por consiguiente, e l con ju n to solución e s e l vacío.
182
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
EJE Í C I C I O 8 2
Determ ina la solución d e los siguientes sistem as d e ecuaciones por e l m étodo d e reducción:
4.
1. \ X +y=?
\x -y
|J
=2
2.
1 2 * -1 8 y = 1 3
-1 2 * + 3 0 y = -1 9
3.
3x-4y= -26
2 x-3 y= -\9
5
3x-2y= 0
7.
x-y= -1
¡5x-2y= 2
\ 7*+6y=38
5a+3b=2\
2a+4b=2
9.
5 m + n= -\
3m +2«=5
10 .
3x-4y= 7
9 x -l2 y = 2 \
[ 7 x +2 y = - 3
[2x-3y= -8
11.
-20x+ 5y= 2
4x-y= 5
Í
í 6 m + 4 v= 5
[ 9 w -8 v = 4
12 .
7p-q= 2
-2 \p + 3 q = 5
O rific a tus resultados en la sección de soluciones correspondiente,
Sustitución
Este m étodo co n siste e n d e sp e ja r una de la s v a ria b le s de c u alq u iera de la s d o s e c u a c io n e s y su stitu ir d ic h o d esp e je e n
la e cu a c ió n restante, así re su lta u n a ecu a c ió n de prim er grado, la c u a l se resuelve p a ra obtener e l v a lo r de u n a de las
Ejemplos^]
variables. E ste prim er v a lo r se sustituye en e l despeje para determ inar e l v a lo r de la variable que falta.
:m
pl o s
1
••
------------------------------------------------------------------------------------•
T k term ina los valo res d e x y y e n e l sistem a: j 5* + 3^ - j ' ' •
S o lu c ió n
En este eje m p lo se d e s p e ja * de la p rim era ecuación.
3 * - 4 y = - l 1 ->
3 * = 4 y -ll
4 y - 11
Se sustituye el d e sp e je e n la o tra e cu a c ió n y se resuelve la e cu a c ió n de prim er grado.
5x+3y=l
-»
5^ — ^
j+ 3 y = l
Se m ultiplica por 3
5 (4 y -ll)+ 9 y = 3
2 0 y -5 5 + 9 y = 3
2 0 y + 9 y = 3 + 55
29y=58
58
y 29
y=2
4 y -ll
Se sustituye e l v a lo r de y = 2 e n e l despeje * = — - —
X
4 (2 )-ll
8 -1 1
-3
3
3
3
Por tanto, los valo res son:
* = -1
y=2
183
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
2
• • 'D e t e r m i n a e l punto d e intersección de la s rectas:
[-x+ y= -7
[5 * + 3 y = 3
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja y de la prim era e cu a ció n .
-x+ y= -7
y= x- 7
El d esp e je se su stitu y e e n la se g u n d a e cu a ció n .
5x+3y=3
5 x + 3 (x -7 )= 3
5jc+ 3 x - 2 1 = 3
8a:—2 1 = 3
8x=24
x=3
Se su stitu y e x = 3, e n el d e sp e je y = x - 7
y = 3 -7 = -4
y— 4
Finalm ente, e l punto d e intersección d e l siste m a e s ( 3 , - 4 )
3
• • - O b t é n e l con ju n to solución del siste m a d e ecuaciones:
-2 x+ y= -4
6 x -3 y = 1 2
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja y de la prim era e cu a ció n .
-2 x+ y= -4
—» y = 2 x - 4
El d esp e je se sustituye e n la se g u n d a e cu a c ió n y se resu elv e la e c u a c ió n de prim er grado.
6 * -3 (2 * -4 )= 1 2
6 * -6 x + 1 2 = 1 2
6x-6x= 12-12
0x=0
La e c u a c ió n Ox = 0 in d ic a que la s re c ta s son c o in c id e n te s y tie n e n c o m o c o n ju n to solución to d o s los núm eros
reales, e sto significa que e l siste m a tiene u n con ju n to infinito d e soluciones.
D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
3x-4y= 7
6x-8y= 3
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja x de la prim era e cu a ció n .
3x-4y= 7
->
3x=4y+ 7
1 8 4
->
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
El desp e je s e sustituye e n la segunda ecu ació n y se resuelve la ecu ació n de prim er grado.
2 (4 y + 7 )-8 y = 3
8 y + 1 4 -8 y = 3
8 y -8 y = 3 -l4
0 y = - 11
L a e cu a c ió n no tien e solución
Por tanto, e l con ju n to solución e s v acio .
EJE ? C IC IO 8 3
Determ ina la solución d e los sig uientes sistem as d e ecuaciones por e l m étodo d e su stitución:
1.
2.
2 x + y = -\0
x-3y= 2
7.
2 m -5 n = \4
8.
5m + 2n= -23
3.
6 r-5 t= -\ 1
7 f-8 r= 1 5
9.
4.
9x-2y= -3
7 y -\2 x = \7
10.
5.
6.
8p-3q= 8
11.
2p+ 9q= \5
3x-4y= 32
12.
5x+ y= 38
1 1p - 3 q = - 2 8
\5 q -4 p = \6
¡7x-y= 75
[5x-2y= 42
f 12m - 1 6 v= 2 4
[ 3m- 4
v= 6
í -5 ^ r-1 5 y = 2
1
x + 3y=7
í 2x+ y= 9
\8 x+ 4 y = 3 6
i 4 p -3q= -2
[2 0 p -\5 q = -\
( J Vferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente ■
Igualación
En este m étodo s e e lig e una variable, la c u a l se d esp e ja de am b as ecu acio n es, los d espejes se igualan y se resuelve la
ecu ació n de prim er g ra d o q u e resulta. P o r últim o, e l v a lo r que se obtiene se su stitu y e e n c u alq u iera de los d e sp e je s
para hallar e l otro valor.
Ejempl
EJEMPLOS
1 • • D eterm ina e l punto de intersección d e la s rectas:
í 2x-3y= 9
\ 5 x+ 6y= -45
S o lu c ió n
Se d e sp e ja .rd e a m b a s ecu acio n es.
2 * -3 y = 9
5x+ 6y= -45
2x=3y+ 9
5x= -6y-45
_ 3y+9
^ ““ "
x = - 6 y - 45
5
185
(continúa)
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
( continuación)
Se igualan los d e sp e je s y se resuelve
El valor de y = - 5 se sustituye en
la e cu a c ió n de prim er grado.
cu alq u iera de los despejes.
3y+9
—6 y —45
2
5
x=
5 (3 y + 9 )= 2 (-6 y -4 5 )
x-
3y+9
3 (-5 )+ 9
-1 5 + 9
1 5 y + 4 5 = -1 2 y -9 0
1 5 y + 1 2 y = -9 0 -4 5
*—
2 7 y = -1 3 5
-1 3 5
y=-
27
-3
x= -3
= -5
P or consiguiente, e l punto de intersección e s ( - 3 , - 5)
2
■R esuelve e l sig u ien te sistem a:
6 m -7 « = 4
2 m -1 4 « = -l
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja n d e am b as ecuaciones.
6 w -7 /;= 4
2 w - 1 4 m= - 1
-7n= -6m + 4
-1 4 /7 = -2 ro -l
-6 m + 4
n=-7
n=
-2m -\
-1 4
Se igualan los d e sp e je s y s e resuelve
E l v a lo r de m = — s e sustituye e n cu alq u iera
la e cu a c ió n de prim er grado.
de los despejes.
-6 m + 4
-7
-2 /7 7 -1
-2 /7 7 -1
"
77 =
—14
-1 4
- 1 4 ( -6 /7 7 + 4 ) = —7 ( —2/77—1 )
84/77-56=14/77 + 7
-1 4
84/77-14/77= 7+56
14
70/77=63
63
77 =
-1 4
777 =
70
9
77=;
777 =
14
14 ) ( 5 )
10
Por tanto, la solución es:
9
777=--10
1
77= —
5
186
5
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
3
• • • D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
2x-y= 5
-8 * + 4 y = -2 0
S o lu c ió n
Se d e sp e ja y de a m b a s e cu a cio n e s y se obtiene:
2x-y= 5
-» y =
-2x+ 5
—
-1
,
Sx-20
; - 8 * + 4 y = - 2 0 -> y = — -—
Se igualan los despejes:
-2
x+
5 _ 8 jc- 2 0
-1
4 (-2 jc + 5 ) = - l ( 8 ^ -2 0 )
4
-8 * + 2 0 = -8 * + 2 0
-
8jc + 8 *
=
-
20+20
0x=0
L a solución s o n to d o s lo s n úm eros re a le s y e l c o n ju n to so lu c ió n c o rre sp o n d e a to d o s los p a res o rd e n ad o s que
satisfacen la ecuación:
2x-y= 5
4
••
D iterm in a e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
3 * + 4 y = -2
-1 5 * -2 0 y = 7
S o lu c ió n
Se d e sp e ja Arde am b as ecu acio n es.
3 * + 4 y = -2
-1 5 x -2 0 y = 7
3x= -4y-2
-1 5 x = 2 0 y + 7
-4 y-2
x =■
20y+7
y
Se igualan los despejes:
-4 y -2 _20y+ 7
3
-1 5 (-4 y -2 )= 3 (2 0 y + 7 )
-1 5
60y+30=60y+21
6 0 y -6 0 y = 2 1 -3 0
0 y = -9
La e c u a c ió n no tiene solución, por tanto, e l con ju n to solución e s vacío .
187
-1 5
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
EJE ? C !C IO 8 4
Determ ina la solución d e los siguientes sistem as d e ecuaciones por e l m étodo d e igualación:
* -2 .y = ll
1.
tlJ t ri — 1
2.
8.
4 m -2«= 5
4a+ 5b= -3
-7 b + 3 a = -\3
3.
9.
-2 x + 3 y= \8
4.
10.
-5 y+ x= -2 3
11.
5x+ y= -20
6.
í 2a+b=\
\-5 b -6 a = -9
í 3m -5n= l
[9w +15«= 9
í 6 m - 3 v= 7
[ 8 m - 5 v= 1 0
í 6 x - 2 4 y = 36
\-3 x + \2 y = -\&
i
3p-2q= -5
2p+ q= -\
5.
U
7.
x + 5 y = - 17
12.
2x-3 y= -8
x+3y= 4
[ - 4 x - 12^=8
í 3p-9q= 5
1 P~3q=6
Vferlfica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Cram er (determinantes)
1.
D e te rm in a n te de 2 X 2. U n d eterm inante de 2 X 2 e s u n arreglo rectangular de núm eros d e la form a:
E JE M P L O S---------------------------------------------------2
o
■q _ 1 • • E ncuentra e l v a lo r d e l determ inante
-5
3
-6
2
-5
3
-6
E
0)
íIP
a
b
c
d
= a d -cb
S o lu c ió n
S e a p lic a la definición.
= ( 2 ) ( - 6 ) - ( 3 ) ( - 5 )= -1 2 + 1 5 = 3
P or tanto, e l resultado e s 3
2
• • •¿C u ál e s e l v a lo r d e l siguiente d eterm inante
-
i
3
S o lu c ió n
S e a p lic a la definición.
-1 5 + 1 2 _
3
5
Por consiguiente, e l resultado e s
188
3
5
C a p it u l o
Sistemas de ecuaciones
3
a
• • ‘ D eterm ina
1
a 2- b 2
a-b
S o lu c ió n
Se a p lic a la definición.
a
1
a 2- b 2
a-b
= ( a ) ( a - b ) - ( a 2- b 2 )(1 )= a2- a b - a 2+b2=b2- a b
Por consiguiente, e l resultado e s b 2 - a b
4
••
Resuelve
x
3 -x
4
x-3
x 2 x 2+ 3
9
x+9
S o lu c ió n
Se a p lic a la definición.
x
3-x
4
x-3
x2
x 2 +3
9
x+9
(* )(* -3 )-(4 )(3 -* )
x 2- 3 x - \ 2 + 4 x
x 2+ x - \2
( * 2 )( x + 9 ) - ( 9 ) ( x 2 + 3 )
* 3+ 9 * 2 - 9 * 2 - 2 7
jc3 - 2 7
(* + 4 )(* -3 )
( ^ - 3 ) ( ^ 2 + 3x+9)
x+4
x 2 + 3 x+9
x+4
Finalm ente, e l resultado e s
x 2+3x+9
EJE Í C I C I O 8 5
Encuentra e l valor d e los siguientes determ inantes:
a
2
-3
5
4.
4
5
-6
9
-3
7.
a
a-b
a
b
b-a
a-
10.
a
3
2.
3.
—0f ,
—
—0R
7
-1
-4
2
6
-3
A
‘t
5.
6.
\_
L1
-3
1
2
7
5
2
8.
9.
n ii— /m•
iw
irmij 41- /11•
m
2
3
-5
-4
_2
_3
(_j
4
Vferifkra tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
189
m -n
1
-6
3
-1
2
11.
x
x -2
5
x-2
x
5
5
x
8
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
2. D educción d el m étodo de C ra m e r. S e a e l sistem a de ecuaciones:
a ix + b iy = c x
a 2x + b 2y = c 2
Por e l m étodo de reducción se d ete rm in a V ’
(o
, *
+
) ( *>2 )
a xb2x + b xb2y = b2Cx
^
( a2x + b 2y = c 2 )(-¿>, )
- a ¿ ix - b xb2y = - b lc2
( a xb2 - a 2bx ) x = b 2c l - b lc2
C\ bx
c2 b2
V l-V 2
a xb2 - a 2bx
Oy by
<h b2
De form a analoga se d ete rm in a “y ”
( axx + b xy = c l ) ( - a 2 )
- a xa2x - a 2b ¡ y = - a 2c x
^
( a2x + b 2y = c 2 ) ( a, )
+ a xb2y = a xc 2
( a p 2 - a ^ ) x) y = axc2 - a 2cx
i
<r
1
a xb2 - a j y x
ax
Cy
*2
Oy
C2
by
a2
b2
Finalm ente, la solución g en eral d e l siste m a es:
<>i
b2
x" -S T T y'
<h
*2
ay
Cy
a2
Oí
°y
by
02
bi
con
ax
bx
<h
b2
*0
E l m étodo d e C ra m e r co n siste e n a p lic ar la s definiciones an te rio re s y según los resultados s e puede co n clu ir que
las re ctas son:
Ü C o n cu rre n te s: si los determ inantes so n d ifere n te s d e c e ro .
I
C oincidentes: si los de te rm in a n te s son todos iguales a c e ro .
I
P aralelas: si únicam ente e l d e term in an te denom inador e s igual a cero.
R ectas co n cu rren tes. Si o cu rre que:
a,
a2
bx
b2
*0
cx
bx
c2
b2
,
El sistem a tiene una solución que e s e l punto P ( x , y )
1 9 0
* 0 y
Oy
cy
a2
%
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
E jem p lo
A plica e l m étodo de C ra m e r y d ete rm in a la solución d e l sistem a:
í4x-y= -9
[3x+ 5y= -\
S o lu c ió n
4
-1
3
5
20 + 3
i
j
i
1
£
1
5
i
i-
-1
-1
i
x=
-9
1
1
Se a p lic a la solución g en eral
23
4
-9
3
-1
-4 + 2 7
23
4
-1
20+3
23
3
5
Por tanto, la solución e s x = - 2, y - 1, la s re ctas son co n cu rren tes
R e c ta s c o in c id e n te s . Si o c u rre que:
a,
<h
*>2
¿2
bx
ai
*2
<*2
= 0
¿2
E l siste m a tien e un c o n ju n to infinito de soluciones, e s decir, e s un siste m a d e d o s re ctas coin cid en tes. P o r tanto, el
conjunto e stá form ado por todos los p a res ord en ad o s que satisfacen cu alq u iera d e la s e cu a cio n e s d e l siste m a dado.
Ejem p lo
Aplica e l m étodo de C ra m e r y d ete rm in a la solución d e l sistem a:
2 * -y = 4
4 x -2 y = 8
S o lu c ió n
Se a p lic a la solución g en eral
X
4
-1
8
-2
-8 + 8
0
2
-1
-4 +4
0
4
-2
2
4
4
8
2
-1
4
-2
16 —16 _ 0
-4 + 4
0
El siste m a son re ctas coin cid en tes, por tanto, e l sistem a tiene un c o n ju n to infinito d e soluciones.
R e c ta s p a ra le la s . Si o c u rre que:
aa.\
b.
b\
02
b2
=0,
c4
b,
bi
C2
b2
*0 y
a.
a\
c.
c\
02
c2
*0
E ntonces e l siste m a no tie n e solución, e s decir, e l sistem a representa re ctas paralelas.
Ejem p lo
D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
2x-y= 5
- 6 x + 3y=2
1 9 1
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
S o lu c i ó n
Se ap lic a la solución general:
x=
5
-1
2
3
2
-1
-6
3
15+2
6 -6
2
5
17
-6
2
4+30
34
0
2
-1
6 -6
0
-6
3
P or consiguiente, e l siste m a no tiene solución.
EJE tC IC IO 86
Determ ina la solución d e los sig uientes sistem as d e ecu acio n es por e l m étodo d e Cram er:
'
2.
3.
(J
i 3 x -4 y = 1 5
í " •:2 x + 3 y = —12
f 4 m + 9 « = -3 5
[ 3 m -8 w = 1 8
7 a -1 0 6 = -6 4
5 6 + 3fl=19
4
5.
6.
í 3 x —8 y = - 1 3
[5 y+ 2 x= -\9
7.
5 0 -7 6 = 1 0
8 6 -6 a = -1 2
10 .
2x-9y= 3
\8 x -8 \y = -5
5 p-q= l
-2p+ 3q= 5
8.
1 0 m -3 « = 1 9
1 5 w -2 4 « = 3 5
11.
5jc—11>-=—6
4 0 x - 8 8 > ,= - 7
9.
7m + 2 v= - 5
- 3 5 m - 1 0 v= 2 5
12 .
6 0 /7 - 2 5 ^ = 1 5
-\2 p + 5 q = -3
9x - 4y= 8
6x-2y= 3
\ferifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Sistema de dos ecuaciones que se reducen a lineales
D ado un siste m a de ecu a cio n e s co n d o s variables, éste se transform a a:
¡ a lx + b ly = c l
\a 2X + b2y = c 2
E JE M P L O S---------------------------------------------------o
o . 1 • • R esuelve e l siste m a d e ecuaciones:
E
07
2c+19=3( y - x )
2{x-5 y)= 5 (y-5 )-& y
S o lu c i ó n
S e realizan la s op eracio n es indicadas e n c a d a e cu ació n y se sim plifican.
2 x + \9 = 3 (y -x )
2 ( x - 5 y ) = 5 ( y - 5 ) - 8y
2x+ 19= 3y-3x
2 x-10y= 5y-25-8y
2 x + 3 x-3 y = -\9
2 jc -1 0 y -5 y + 8 y = -2 5
5 x-3 y= -\9
2 x -ly = -2 5
Se obtiene e l sistem a de ecuaciones:
5 x - 3 y = - 19
2 x -ly = -2 5
192
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
Q ue se resuelve por a lg ú n m étodo visto, por ejem plo, reducción.
5 * -3 y = -1 9
( 5 x - 3 y = - 1 9 )( - 2 )
5 at—3 ( 3 ) = —19
(2 x -7 y = -2 5 )(5 )
5 * -9 = -1 9
5 * = -1 9 + 9
5 x = -\0
-\0 x+ 6 y= 3 S
1 0 * - 3 5 > > - - 125
-2 9 y = -8 7
_ -1 0
-8 7
y
X
5
x= -2
-2 9
y=3
2 * + 1 9 = 3 (y -* )
E ntonces, la solución d e l sistem a
es
2 (x-5 y)= S (y-5 )-S y
••
x= -2
y= 3
D eterm ina la solución del siste m a de ecuaciones:
jL -y =i
10 5 4
^+ 2y= *
3
y 2
S o lu c ió n
Para elim inar la s fraccio n es se m ultiplica por e l m ínim o co m ú n m últiplo de los denom inadores de c a d a ecuación.
( á - H H
20*
2 0 y _ 20
10
5
4
4 * + 12y= 15
2 * -4 y = 5
S e obtiene e l siste m a de ecuaciones:
í2 * -4 y = 5
1 4 * + 12y= 15
y s e e lig e a lg ú n m étodo d e solución, e n e ste ca so e l de igualación.
2 x-4y= 5
2*=5+4y
4 * + 12y= 15
4 * = 1 5 -1 2 y
^ 1 5 -B y
x- 5+*y
2
4
Se igualan los d e sp e je s y s e resuelve
Se su stitu y e y = - e n cu alq u ier despeje:
la e cu a c ió n de prim er grado:
5 + 4 y _ 1 5 -1 2 y
*=
2
4
(4 )(5 + 4 y )= (2 )(l5 -1 2 y )
2 0 + 1 6 y = 3 0 - 24y
40
2
5+4
*=
16 y + 2 4 y = 3 0 - 2 0
40y=10
10
1
y
5+ 4y
*=
2
5+1
6
*=3
4
(continúa)
193
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
(icontinuación)
Por consiguiente, la solución d e l sistem a
± . y =i
10 5 4
2x
5
~ v +2y = ~
x=3
1
y= 4
>•-D eterm ina la so lu c ió n del sistem a:
o+5
,
¿>+5
_
— +6=— +3
2 ( « ~ 3 ) , , b- 1
5
5
S o lu c i ó n
S e elim in an la s fraccio n es a l m ultiplicarlas por e l m ínim o co m ú n m últiplo y s e sim plifican la s ecu acio n es.
a (* -3 )
^
M
+ ( 21) ( 6 ) =
7 ( a + 5 ) + ( 2 1) (
( ^
1
+(3 )(2 I)
l f c l +
3 )(6 + 5 ) + ( 3 ) ( 2 1)
* -i
(5 )
l(5 ) = ^ l l
2 (o -3 )+ 5 = l(6 -l)
7o+ 35+ 216=36+ 15 +63
2 o -6 + 5 = 6 -l
7o+ 2 1 6 -3 6 = 1 5 + 6 3 -3 5
2 o -6 = -l+ 6 -5
70+186=43
2o-6 = 0
Se obtiene e l sistem a de ecuaciones:
í 7o+186=43
[ 2 o -6 = 0
Q ue s e resuelve por algún m étodo visto, por ejem plo, sustitución.
De la segunda e cu ació n s e d e sp e ja a 6.
Se sustituye 6 = 2 a de la prim era, y s e re su el­
v e la ecu ació n de prim er grado.
2 o -6 = 0
7o+186=43
2o=6
7 o + 1 8 (2 o )= 4 3
7o+36o=43
43
4 3 o = 4 3 -> o = —
43
0
Luego, si 6 = 2 o e n to n c es 6 = 2 ( 1 ) = 2
Por tanto, la solución d e l sistem a
£ r * ‘ =í r «
2 (o -3 )| ,6 - 1
5
5
1 9 4
16=2
=
1
C a p it u l o
Sistemas de ecuaciones
4 • • Determina la solución del sistema:
5 > /a x + l= 2 ( 2 V 3 x + > /2 y )
S o lu c ió n
Se resuelven los productos indicados de cada ecuación y se simplifican:
5 ^ + 1 = 2 (2 7 3 * + ^ )
5 n /3 * + 1 = 4 V 3 * + 2 > /2 y
5 n /3 * -4 v 3 * -2 n /2 v = -1
j3 x-2 -j2 y= -\
(7 3 ^ - 7 3 = 2 y
- 2- f
3 x - j 3 =2 y - J2
3 x -2 y= j3 -j2
Se obtiene el sistema de ecuaciones:
sÍ3x-2s¡2y= -\
3 x -2 y= j3 -sÍ2
Que se resuelve por algún método visto, por ejemplo, Cramer.
*=
c,
6,
-1
-2 \¡2
c2
¿>2
7 5 -7 5
-2
a,
6,
73
-2 7 5
a2
b2
3
-2
( —! ) ( —2 ) - ( 7 5 - 7 5 ) ( - 2 7 5 )
(7 3 )(-2 )-(3 )(-2 7 2 )
276-2
2 (^ -1 )
672 - 273
2 (372-7^ )
75-1
372 + 73
37 2 -7 3 372+73
37276 +73 7 6 -3 x 5 -7 3 _ 6 7 3 + 3 ^ -3 7 2 -7 3
1 8 -3
(3 ^ r -(v 5 )!
y=
ai
Ci
°2
C2
ax
b,
°2
b2
73
-1
3 73-72
73 -275
-2
3
573
73
15
3
(7 3 )(7 1 -7 2 )-(3 )(-l)
(7 3 )(-2 )-(3 )(-2 7 2 )
6 - 76
6J2+ 2J3
6 7 2-275
6 \2 + 2 \¡3
_ 3 -7572+ 3
-2 7 3+ 672
_ 3 6 s¡2 + 1 2 7 3 - 6 7 6 ^ - 2 7 6 7 3
( 6 V 2 ) 2 - ( 2 7 3 )2
_ 3675 +1273 -1 2 7 3 - 6 7 2 _ 3 0 7 5 _ 72
72-12
Finalmente, la solución del sistema es
195
60
2
8
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
—+ —= i
x
5 • • •Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
y
2 - 2 - u
x
y
S o lu c i ó n
Se multiplica la primera ecuación por 3
3 I —+ —=
x
2 + 2 = 3
a: y
1
y
—
- - — = -1 3
* - J L ______
= - 13
1LJL _____
Se suman las ecuaciones resultantes para eliminar a la variabley, entonces se resuelve la ecuación que se obtiene.
2 + Z = 3- ,3
* *
Luego se sustituye el valor de
x=-
-»
í - i o
*
-
* --2 -— i
-1 0
2
2 ,en la ecuación i+ i = 1 y se obtiene el valor de la otra variable.
1 ,
1 ,
-1 + -=1
-» 7—1 + —
=1
y
í_Ij y
"2. + -1 =I, “> “1 =3, ->
x
Por tanto, la solución al sistema de ecuaciones es
y
at = —~
;
y
y =
2 +2 =„
x
6 ••■Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
y
— --= -1 3
x
y
S o lu c i ó n
El sistema se representa de la siguiente forma:
Se propone un cambio de variable:
Sea u = - y
x
v = - , entonces se obtiene el sistema de ecuaciones:
y
í 2 m+ 3 v=11
[ 10m- 2 v = - 1 3
Que se resuelve por algún método visto.
Las soluciones del sistema son: m =
- - ;
v=
4
196
2
1
y=~
3
C a p it u l o
Sstemas de ecuaciones
Luego, los resultados se sustituyen e n los cam b io s de variable, para hallar e l v a lo r d e x y y.
Si w = - - entonces:
Si v = 4 entonces:
1
u=x
1
v=—
y
_ ! - !
2~x
-x= 2
4=1
x= -2
1
ym 4
Por consiguiente, la so lu c ió n del siste m a es:
x= -2
1
y=4
ai + £
b=
U tiliza e l m étodo de C ra m e r p a ra reso lv er e l sistem a:
2
2a x —
= a1
S o lu c ió n
Se a p lic a la solución general.
i
2
x=
cx
6,
c2
b}
a.
bx
<h
b2
■■
h
r
2a
a
-
í
w
- i - f
g
L
2a
- i - b
”T
_3o2
( - 3 a J )(* )
3a
=a
b
1
a
2a
y=
<h
2
a2
I
2- 4 a 2
l
— O___
a_2a
m
b2
-
H
i
)
-s-
2a
3a 2
a _ ( - 3 o 2 ) ( * ) _ - 3 a !6
_3a
b
(_ 3 a )(a )
Finalm ente, la solución d e l sistem a de ecu a cio n e s es:
\x= a
i y=h
197
-3 a 2
t
b~ b
8
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
EJERCICIO 8 7
D eterm ina la solución d e los siguientes sistem as d e ecuaciones:
A T = y-3
‘■ I
9.
2y=5+*
£ _ Z - _ i
4
3
6
£ T
+ Z _—44
2
5
b=a+7
3a= 2 b -\7
10 .
1 + 1 - 2
*
18.
2£ + £ = i
5
*
- 7 m = 2 ( 3/1+ 13)
ln = 2 { m - 5 )
UT —
5 — 1\
x
y
2x 5
,
— + - y=l
3
6y
20
3.
* ♦ ‘ - 4
x
y
17.
11.
12
2 + i= -6
2
5 " 5
3 £ _ ^ _ 3 3
14
2
a:
19.
.y
2—+T ——
2 — “ I, 6O
j:
y
14
—
2 (A :-3 ) + 5 = y - l
4
12 .
- 5
<1+ 5 P
4
6
4
‘ f
6.
2( w - l ) - m = n
13.
3
2
2
x _ y = l7
3
Jñ x-JÍy= 2
+
4
ax
21.
b
22.
i
-
5
12
3
23.
2 ( a - 2 )+ ¿> = -4
1
1
- + - = 5
9
* + ;,= ü
5 at = 2 y + l
a:
15.
16.
m
n
2
3
-+ £ = 1 2
m
n
(J Verificatusresultadosenlaseccióndesolucionescorrespondiente
198
6
2a
2
-X + * = a + b
a b
bx ay _ ,
-+ -f= 2 a b
a
b
i ( x + l)+ ^ = 0
2 x = 3 y - 22
5ab
£ +J£=2
1
7.
by
2 + 3 "
12
14.
Jix + J 2 y= 5
=5
J
1 t4- - —
8 OJ
5
a:
y
2y+5_ \
*+1
3(m + 2 ) - 2 ( n - 4 ) = 2n + m
*
20.
n
7 ( * + 5 ) + 21y = 3 ( y + 5 ) + 6 3
■t-
4.
10
- 2 + - = —
a:
y
4
2y
y
L
y
2á
(a+ 6 )(a-¿> )
3
2
a-5b
x
y
a2- b 2
x J a +y\>b =
~>a
}
x+y =
a2- b 2
a-b
a-b
J a - Jb
C a p it u l o
8
Sstemas de ecuaciones
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IO N
Los sistem as de ecuaciones lineales so n u n a herram ienta im portante p a ra la resolución d e problem as que involucran
a m ás de d o s variables, c u y a aplicació n e s frecuente e n la econom ía, la adm inistración, la física, etcétera.
En una tienda d ep artam e n ta l ponen e n o fe rta c am isa s y p antalones q u e e stán fu e ra de tem porada. E l prim er d ía se
vendieron cin c o pantalones y siete c am isas, para to ta liz ar $ 1060, e l seg u n d o d ía d e v en tas se invirtieron las c a n ti­
d a d es y s e ganaron $ 1 100. ¿ C u á l fue e l precio de u n pantalón y de una c am isa?
So lució n
Se plan tea c o n d o s variables los p recio s de los artículos:
x . precio de u n pantalón.
y : precio de una cam isa.
C o n los d a to s d e l problem a se plantean las ecu a cio n e s sim ultáneas:
S e m ultiplica e l núm ero de o b jeto s por el precio de c a d a uno de e llo s y la sum a s e rá la c an tid ad de la s ventas.
Í 5 * + T y = l 060
|7 * + 5 . y = l 100
E sta e cu a c ió n s e resuelve por cu alq u iera d e los m étodos anteriores, e n e ste c a s o por e l d e reducción:
- 3 5 * - 4 9 y = - 7 420
3 5 * + 25y =
5 500
- 2 4 y = - 1 920
Se su stitu y e y = 80 e n c u alq u iera de la s e c u a c io n e s o riginales y s e o b tien e x,
5x + 7 y = 1 060
5* + 7 (8 0 ) =1 060
5 x + 560 = 1 060
x _ i o « t * o _ IOO
Por tanto, e l precio de un pantalón e s d e $ 1 0 0 y e l d e u n a c a m isa de $80
A l revisar su s fa c tu ra s d e pago, e l señor M én d ez se percata de q u e la e m p re sa d e m ensajería y paq u etería L a Palo­
ma, le c o b ró $ 1 9 2 4 por un e n v ío que e n total p e sa b a 2 9 kilogram os, e n to n c es pide a su se c re taria a c la ra r cu án to le
cobraron por paquete. L a c o m p a ñ ía a cla ró que por los p aq u etes q u e en v ió a M onterrey co b ró a $92 por kilogram o
y por los que m andó a Pachuca $30 e l kilogram o. ¿ C u án to s kilogram os env iaro n a c a d a ciudad?
So lució n
Se plan tea c o n d o s variables los d a to s que se d e b en encontrar:
x: c a n tid a d de kilogram os q u e se m andaron a M onterrey
y : ca n tid a d de kilogram os que s e en v iaro n a P achuca
E n total se m andaron 29 kilogram os, entonces,
x + y = 29
Luego, s i p o r c a d a k ilo g ra m o q u e s e e n v ió a M o n te rrey y P a c h u ca s e co b ró $92 y $ 30, respectivam ente,
9 2 * + 3 0 y = 1 924
199
C a p it u l o
Á LG EB R A
e ntonces, e l siste m a es:
x + y = 29
9 2 x + 30y = 1 924
e l c u a l se reso lv erá por e l m étodo de sustitución:
despeje d e *
sustitución d e * = 29 - y e n 9 2 * + 30y = 1 924
x + y = 29
9 2 ( 2 9 - y ) + 3 0 y = 1 924
x =2 9-y
2 668 -
92y + 3 0 y = 1 924
- 6 2 y = 1 9 2 4 - 2 668
" 744 = 1 2
v = --------^
-6 2
A l su stitu ir y = 12 e n la prim era e cu a ció n ,
x + y = 29
x + 12 = 29
x = 2 9 - 12
* = 17
P or consiguiente, se m andaron 17 kilos a M onterrey y 12 a Pachuca.
tC IC IO 88
Resuelve los siguientes problem as:
1.
2.
E ncuentra d o s núm eros positivos c u y a sum a s e a 225 y s u difere n cia sea 135
Si d o s á n g u lo s so n suplem entarios, su sum a e s de 180°, si la difere n cia en tre d o s á n g u lo s suplem entarios e s 100°,
¿cuál e s e l v a lo r de c a d a án gulo?
3.
L a d ifere n cia de d o s núm eros e s 30 y ^ d e su sum a e s 26. D eterm in a los núm eros.
4.
E ncuentra d o s núm eros, c u y a d ifere n cia de su s recíprocos sea 2 y la sum a de su s recíp ro co s sea 14.
5. E n un parque d e d iv ersio n es 6 en tra d as d e adulto y 8 d e niño cu esta n $880 y 4 e n tra d a s d e adulto y 5 de niño, $570,
¿cuál e s e l p re c io de e n tra d a por un ad u lto y p o r un niño?
6. U na c o le cc ió n d e m onedas an tig u a s de $5 y $10, sum an la c a n tid a d d e $85. S i hay 12 m onedas e n total, ¿ c u á n ta s
m onedas de $ 10 hay?
7. E l perím etro de un triángulo isósceles e s de 48 cm , c a d a lado igual excede e n 9 c m a l larg o de la base. D eterm in a las
dim ensiones d e l triángulo.
8. U na agenda e le c tró n ic a y un traductor c u e s ta n $1 300. Si la ag e n d a e le c tró n ic a tien e u n co sto de $200 m ás q u e e l
traductor, ¿cuánto cu e sta c a d a artícu lo ?
9. E l herm ano de A ntonio e s 3 v eces m ás grande que é l, hace 3 a ñ o s su herm ano e r a 6 v e c e s m ás g ra n d e que A ntonio,
¿cuáles son su s e d a d e s actualm ente?
10. L os ^ de la sum a d e 2 núm eros e s 9 2 y los ^ de s u d ifere n cia e s 3. E ncuentra los núm eros.
3
8
11. C a rlo s y G a b rie l fueron a l su perm ercado a co m p ra r lo necesario para una reunión co n a m ig o s d e l colegio, llevaban
un to ta l d e $500 para gastar. C a rlo s g a stó d o s terceras partes d e s u dinero, m ientras q u e G a b rie l tr e s qu in tas partes,
regresaron a c a s a co n un total de $ 180, ¿ cu á n to llevaba c a d a uno al ir a l superm ercado?
12. D ividir e l núm ero 550 e n 2 partes, ta le s q u e s i de los \ d e la p rim era se re sta \ d e la segunda, se obtiene 160,
5
4
¿cuáles son las partes?
2 0 0
C a p it u l o
8
Sstemas de ecuaciones
13. E l co cien te d e 2 núm eros e s 5 y su d ifere n cia e s 56, ¿cu á le s s o n los núm eros?
14. La su m a d e 2 n úm eros e s 52, s u diferencia, d iv id id a en tre e l m en o r d a 5 co m o co cien te y 3 c o m o residuo, ¿cu á le s
son los núm eros?
15. Si a l din ero que tie n e A lejan d ra se le añad en $30, te n d rá e l triple de lo que tie n e B eatriz, y s i a B eatriz se le ag reg an
$10, tendrá la m itad d e lo q u e tien e A lejandra, ¿ cuánto din ero tiene A lejandra y B eatriz?
16. U n a lan ch a viajó co rrien te a rrib a 36 km e n 4 horas. Si la co rrien te h u b iese sido d e l cuádruplo, e l v ia je lo hubiera
hecho e n 6 horas, ¿cuál e s la rap id ez de la lan ch a y de la co rriente?
17. U n g ra n je ro posee c ie rta ca n tid a d de an im a le s, en tre g a llin as y borregos, de ta l fo rm a que a l su m a r e l núm ero de
cabezas e l resultado e s 4 4 y la sum a de las patas e s 126. ¿C u án tas g a llin as y c u án to s bo rreg o s tiene?
18. El m ism o g ra n je ro a l com prar los bo rreg o s y las gallinas pagó u n to ta l de $6 450. D espués y a l m ism o precio, adquirió
10 bo rreg o s y 14 gallin as, por los c u a le s pagó $3 420, ¿ cu á l e s el co sto de c a d a borrego y c a d a gallina?
19. Un vendedor de libros d e c ie n c ia s vendió tres de g e o m e tría a n alítica y 5 d e á lg e b ra lineal e n $870. A l d ía siguiente,
vendió 2 de g eom etría an alítica y 3 de á lg e b ra lineal e n $540, ¿cuál e s el precio d e c a d a libro?
2 0 . ¿ C u án to s litros de una so lu c ió n a l 6% y c u án to s de o tra a l 3 0 % se d e b en m ezclar p a ra o b te n e r 50 litros de una nueva
solución a l 12%?
2 1 . Un m exicano esp e cialista e n m ezclas de café d e se a ex p o rta r e l g ran o e n b o lsa s que c o n te n g an un kilogram o. D ebe
c om binar g ra n o s de los estad o s de C h ia p a s y V eracruz. E l co sto p o r kilogram o de e sto s tip o s de café e s $30 y $24,
respectivam ente. Si la b o lsa c u e s ta $25.50, ¿qué c a n tid a d de c a d a c a fé lleva d ic h a m ezcla?
[J
Vteriftca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
Para reso lv er un siste m a de este tipo, se pueden utilizar los m ism os m étodos e m p le ad o s para reso lv er los siste m a s de
dos variables, aunque se recom ienda em p lear e l de reducción y de Cramer.
El siste m a puede ten e r solución única, c o n ju n to infinito d e soluciones o no te n e r solución.
Reducción (suma y resta)
Se procede de la m ism a form a que e n los sistem as de ecu a cio n e s co n d o s variables, e s decir, se tom an d o s de la s tre s
ecuaciones y s e elim in a una d e las variables. Posteriorm ente, se tom a cu alq u iera de la s e cu a cio n e s que se e lig ie ro n y
e n la que no se utilizó s e e lim in a la m ism a va ria b le , de tal m anera que s e o b tie n e n d o s ecu a cio n e s c o n d o s variables;
al h allar la solución d e l sistem a se d ete rm in a el v a lo r de la s d o s variables, d e sp u é s se sustituyen e n cu alq u iera de las
tres ecu a cio n e s originales, para ob ten e r la terc er variable.
U E M P L O S ----------------------------------------------------------------------------- •
"o.
1
••
& term ina la solución del siste m a de ecuaciones:
E
2 x - 3 y - 5 z = -1 9
3x-4y+ z= -2
x+ y+ z=6
S o lu c ió n
2 x - 3 y - 5 z = - \ 9 -------------------( l )
3 x - 4 y + z = - 2 ------------------ ( 2 )
x+ y+ z= 6
------------------ ( 3 )
( continúa)
2 0 1
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
( continuación)
Se tom an d o s ecu acio n es, por ejem p lo la e cu a c ió n ( 1 ) y ( 2 ) y por e l m étodo de elim in ació n se elim in a x.
(2 * -3 y -5 z= -1 9 )(-3 )
- 6 x + 9 y + 15z = 57
6 x-8y+
( 3 * -4 y + z = -2 )( 2 )
2z = - 4
y + 1 7 z = 5 3 ------------- ( A )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 3 ) , se e lim in a x y se o b tien e la e cu a c ió n ( B )
(2 r-3 y -5 z = -1 9 )(l)
2 * -3 y -5 z= -1 9
( x+ y+ z= 6)(-2 )
-2 x -2 y -2 z= -\2
- 5 y - 7 z = - 3 1 ------------- ( 5 )
C o n la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B ) e l sistem a resultante es:
í y+ 17z= 53
|- 5 y - 7 z = - 3 1
Se resu elv e e l siste m a que re su lta
Se sustituye e l v a lo r de z = 3 e n las ecu a cio n e s
(fe las ecu a cio n e s ( A ) y ( B ) .
( A ) o ( B ) p a ra d ete rm in a r e l valor de y.
(y + 1 7 z= 5 3 )(5 )
( _ 5y - 7 z = - 3 l ) ( l )
5y+85z= 265
y+ 17z=53
-5 y -7 z = -3 1
y + 1 7 (3 )= 5 3
y+51=53
78z=234
y - 5 3 -5 1
y=2
Z =?H
78
z=3
Los valo res z = 3, y = 2, s e sustituyen e n cu alq u iera de la s tr e s e cu a cio n e s originales.
x + y + z = 6 -* x+ 2+ 3= 6
x+ 5= 6
x= 6-5
x=\
Finalm ente, la solución d e l siste m a e s * = 1, y = 2, z = 3
2
• • R esuelve e l siguiente sistem a:
*+ 2z= 6
3 y -5 z = -1 7
2x+3y= - 1
So lu ció n
x
+ 2 z = 6 ------------------------ ( l )
3 y - 5 z = - \ 7 ------------------- ( 2 )
2x+3y
= - 1 ---------------------- ( 3 )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y se elim in a a y.
(3 y -5 z = -1 7 )(-l)
(2 * + 3 y
= - l ) ( 1)
-3 y + 5 z = 1 7
2x+3y
2x
202
= -1
+ 5 z = 1 6 -------------- ( A )
C a p it u l o
Sstemasdeecuaciones
S e tom an la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( A ) y s e re su elv e e l sistem a:
f x+ 2z= 6
l2 * + 5 z = 1 6
(x + 2 * -6 X -2 )
-2 * -4 z = -1 2
(2 * + 5 z = 1 6 )(l)
2*+ 5z= 16
E l v a lo r d e z = 4 se sustituye e n cu alq u iera de
las e c u a c io n e s ( 1 ) o ( A )
x+ 2z= 6
z= 4
x+ 2(4)= 6
*+
8=6
6-8
* =
* = -2
f ó r a hallar e l v a lo r d e y, s e su stitu y e z = 4, e n la e cu a c ió n ( 2 )
3 y -5 z = -1 7
3 y -5 ( 4 )= -1 7
3 y - 2 0 = -1 7
3 y = -1 7 + 2 0
3y=3
3
y=5
v=1
Por tanto, la solución d e l siste m a es:
* = -2
y =1
z=4
3
••
I ^ te rm in a e l c o n ju n to solución d e l siguiente sistem a:
2 * -3 y -4 z = 5
5 * -4 y -2 z = 4
6 * -9 y -1 2 z = 5
S o lu c ió n
2 * - 3 y - 4 z = 5 --------------------- ( l )
5 * - 4 y - 2 z = 4 --------------------- ( 2 )
6 x - 9 y - 1 2 z = 5 --------------------- ( 3 )
Se tom an las ecu a cio n e s ( 1 ) y ( 2 ) y s e elim in a *.
( 2x-3y-4z= 5)( -5 )
(5 * -4 y -2 z = 4 )(2 )
-1 0 * + 1 5y+ 20z = -2 5
1 0 * - 8y - 4 z = 8
7 y + 1 6 z = - 1 7 --------------------- ( A )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y s e e lim in a *.
(5 * -4 y -2 z= 4 )(-6 )
- 3 0 * + 2 4 y + 12z = - 2 4
(6 * -9 y -1 2 z = 5 )(5 )
3 0 * - 4 5 y - 6 0 z = 25
- 2 1 y - 4 8 z = l ------------------------ ( B )
203
8
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
( continuación)
C o n la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B ), s e resuelve el siste m a d e e c u a c io n e s que se form a:
í
7 y + 1 6 z = -1 7
|- 2 1 y - 4 8 z = l
(7 y + 1 6 z = -1 7 )(3 )
21y+ 48z = -5 1
( -2 1 y -4 8 z = l)(1 )
-2 1 y -4 8 z =
1
1y + Oz = - 5 0
N o hay solución para la ecu a c ió n 0y + 0 z = - 5 0 , por tanto, e l c o n ju n to solución e s vacío.
4
■D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
3 * -5 y + 2 z= 6
x —3 y - 4 z = 5
6 * -1 0 y + 4 z= 1 2
So lu ció n
3 x - 5 y + 2 z = 6 ---------------------- ( l )
x - 3 y - 4 z = 5 ----------------------( 2 )
6 * - 1 0 y + 4 z = 1 2 ------------------( 3 )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) y s e e lim in a X
3 x - 5 y + 2z = 6
(3 * -5 y + 2 z = 6 )(l)
( x-3y-4z= 5 )(-3 )
- 3 x + 9 y + 12z = - 1 5
4 y + 1 4 z = - 9 ----------------- ( A )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y se e lim in a x.
( x - 3 y - 4 z = 5 ) ( —6 )
( 6 * -1 0 y + 4 z = 1 2 )(l)
- 6 * + 1 8 y + 2 4 z = -3 0
6 x -\0 y + 4z=12
8 y + 2 8 z = - 1 8 ------------------ ( B )
Se resu elv e e l siste m a que form an la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B ) .
Í4 y + 1 4 z = -9
{ 8 y + 2 8 z= -1 8
( 4y+ 1 4 z = -9 ) ( - 2 )
-8 y -2 8 z = 1 8
( 8y + 2 8 z = - 1 8 ) ( l )
8 y + 2 8 z = -1 8
0y+0z = 0
Por consiguiente, e l siste m a tien e un conju n to infinito d e soluciones.
5
• • R esuelve e l sistem a:
x _ 3 y_ 5 z =9
6 4
6
2
£ _ y _ z _ 13
6~3
2
2 0 4
2
4
6
2
2
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
So lució n
Se elim in an la s fraccio n es de c a d a e cu ació n a l m ultiplicar por e l m ínim o c o m ú n m últiplo d e los denom inadores.
*
3y
5z
6
4
6
Í X
_y_ z
" 3’ 2 ~
U
í -2 +
z
^
4 ~2
9
12)
V
->
2 * - 9 y - 1 0 z = 5 4 --------------------- ( l )
'
13V6 )
* - 2 y - 3 z = 1 3 ------------------------ ( 2 )
2
Se tom an la s e c u a c io n e s (1 ) y ( 2 ) y se elim in a x .
- 2 * + 9 y + 10z = - 5 4
( 2 * - 9 y - 1 0 z = 5 4 ) ( —1)
( x -2 y -3 z= \3 ){l)
2x-4 y-
6 z = 26
5 y + 4 z = - 2 8 ------------------ ( A )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y s e e lim in a x.
- 6 * + \ 2 y + 18z = - 7 8
( * -2 y -3 z = 1 3 )(-6 )
(6 x + 3 y -2 z = -\4 )(1 )
6 * + 3y -
2z = - \ 4
\ 5 y + 16z = - 9 2 ------------------ ( 5 )
Se resuelve e l siste m a de ecu a cio n e s en tre ( A ) y ( B )
í 5 y + 4 z= -2 8
\ 1 5 y + 1 6 z= -9 2
( 5y + 4 z = - 2 8 ) ( - 3 )
(I5 y + 1 6 z — 9 2 ) f l )
- 15y - 12 z = 84
H valor d e z s e sustituye e n c u alq u iera de las
1 5 y + 1 6 2= - 9 2
dos ecuaciones.
5 y + 4sr( - 24r
) = - 228
8
—
2 = -4
z= ~ 2
5 y -8 = -2 8
5 y = -2 8 + 8
5y = - 2 0
20
^ = -y
y= -4
L u eg o los v a lo re s d e y = - 4 , z = - 2 s e su stitu y en e n c u a lq u ie ra de la s tre s e c u a c io n e s o rig in a les, p a ra h a lla r el
valor d e x.
x - 2 y - 3 z = 13
* -2 (-4 )-3 (-2 )= 1 3
* + 8+6=13
*+14=13
* = 1 3 -1 4
* = -1
Por tanto, la solución es:
'* = - 1
y= -4
z = -2
205
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
D eterm inantes
Un determ inante de tre s por tres e s un arreglo rectan g u lar de núm eros de la siguiente form a:
b2
6,
63
4 ^ * 3
fó ra h allar e l d e term in an te de un arre g lo rectan g u lar de n úm eros de la form a anterior, s e repiten lo s 2 prim eros
renglones y s u solución e stá d a d a por:
ci + a2 bi cl +ai bl ^
Para resolver un siste m a de tres ecu a cio n e s co n tre s va ria b le s d e la form a:
a lx + b ly + c lz = d l
a2x + b 2y + c 2z = d 2
a i x + b Jy + c i z = d i
Se a p lic a n las siguientes fórm ulas:
4
4 4
4 4
b t
4
4
*3 4
a x
¿2
»
1» —
y
a x
<h
<h
¿2
<h
4 *3
¿2
^3
2
b t
<h
»
2
bx
b
4
4 4
*3 4 4
<*X
^2
¿2
4 ¿3
a x
bx
<h
b 2
E jem p lo
D eterm ina la solución d e l siguiente siste m a d e ecu a cio n e s por e l m étodo de C ram er.
3 j t+ 2 y - z = 1 2
x-y+ 4 z= \9
5x-3y+ z= S
S o lu c i ó n
S e ap lican la s fórm ulas y s e hallan los determ in an tes.
12
2 -1
12
2
-1
19
-1
4
19 - 1
4
8 -3
1
12 2 - 1
8
-3
1
19 - 1
3
2 - 1
1
-1
4
5
-3
1
4
3 2 -1
1 -1
4
( - 1 2 + 5 7 + 6 4 ) - ( 3 8 -1 4 4 + 8 )
207
(-3 + 3 + 4 0 )-(2 -3 6 + 5 )
69
5 -3
1
3 2 -1
1 -1
4
2 0 6
¿2
*3 4 ¿3
C a p it u l o
Sstemas de ecuaciones
( 5 7 - 8 + 2 4 0 ) - ( 1 2 + 9 6 - 9 5 ) _ 276
( -3 + 3 + 4 0 )-(2 -3 6 + 5)
=4
69
( - 2 4 - 3 6 + 1 9 0 )-(1 6 -1 7 1 -6 0 )
345
( - 3 + 3 + 4 0 ) - ( 2 - 3 6 + 5)
69
Finalm ente, la solución d e l sistem a de ecu a cio n e s es:
=5
x=3
y =4
z= 5
EJERCICIO 8 9
Resuelve los siguientes siste m a s d e ecuaciones:
2 x - y + 5 z = 16
1.
x - 6 y+ 2z = -9
3x +4 y -z = 3 2
2 d + 2 e + f = 11
d + e + 3 f = \3
m + 3 n - 5 r= -4
3 m -5 « + r=0
9.
---+ -= 7
a b e
d - e - 4 f = -4
2.
m +r= 8
4 /i-2 m -3 r= 1
5.
6.
I+ I-I= 5
a b e
2n -3 r = 3
2 m + 3w - 4 r = 19
x = 2{\ + 2 y ) - 9 z
10.
y = 2 (2 z-x )-l3
z = 2 (y + 4 ) + 3x
-A U
-2 = n
a b e
3.
x - 2 y + 3 z = 10
2 x+ y-6 z = 1
4 x - 2 y - 9 z = 15
7.
3 x - 2 y + z = \6
2 x+ 3y-8z =2
x - y + 3 z = 14
11.
x-y+ z= 4
2x+ y-z= 5
x + 3 y - 4 z = -5
2
4.
(_j
3 x+ 5y-z= 4
\0 y-6 x-3 z= \
4 z-\5 y + 9 x = - \
12 .
Vferifkra tus resultados en la sección de soluciones correspondiente ■
207
3
1
a +b
1 1
—X _X
a b
3 1
e
2
a
c
b
c
1
— 11
11
—
—
— 7/
= 8o
—
8
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IO N
T re s pro feso res co m p ra ro n libros: uno d e e llo s pag ó $845 p o r 3 d e álgebra, 5 d e g eo m e tría a n a lític a y 2 de cálcu lo
d iferen cial; otro p a g ó $ 5 8 0 p o r 2 de g eo m e tría analítica, 4 de á lg e b ra y uno d e c á lc u lo d ife re n c ia l; e l ú ltim o de
e llo s p a g ó $ 6 0 5 p o r u n o d e á lg e b ra , 3 d e g e o m e tría a n a lític a y 3 d e c á lc u lo d ife re n c ia l. ¿ C u á l e s e l p re c io
d e c a d a libro?
So lu ció n
S e a * : c o sto d e l libro d e álgebra
y c o sto d e l libro de g eom etría an alítica
z : c o sto d e l libro d e c á lc u lo d iferencial
3x + 5 y
El sistem a d e ecu a cio n e s que resuelve e l problem a es:
4x + 2y
x +3y
+ 2 z =.8 4 5 ..........( 1 )
+ z
— 5 8 0 ..........( 2 )
+ 3 z = 6 0 5 ............( 3 )
Se a p lic a e l m étodo de reducción p a ra e lim in a r r.
A l m ultiplicar p o r - 2 la e cu a c ió n ( 2 )
A l m u ltip licar por - 3 la segunda
y sum ar c o n la ecu ació n ( 1 )
ecu ació n y sum ar la e cu a c ió n ( 3 )
— 8x —4 y —2 z = —1 160
3x+ 5y + 2z =
-5x+
y
845
= -3 1 5
- \ 2 x - 6 y - 3 z = - 1 740
x + 3 y + 3z =
-\\x -3 y
605
= - 1 135
Se re aliz a u n nuevo siste m a c o n las ecu a cio n e s resultantes:
3 (- 5x + y = - 3 \ 5 )
- 1 L t - 3 y = - 1 135
- \5x + 3y = -
945
- \ \ x - 3 y = - \ 135
-2 6 *
= -2 0 8 0
* =
- 2 080
-2 6
* =
S i * = 80, en to n ces
- 5 ( 8 0 ) + y = - 3 1 5 4 0 0 + y = - 3 1 5 - > y = - 3 1 5 + 400 = 85
S i * = 80, y = 85, por tanto
3(80) + 5 (85) + 2z = 845
2 4 0 + 425 + 2 z = 845 —>2z = 845 - 2 4 0 - 425
8 4 5 -2 4 0 -4 2 5
= 90
P or co n sig u ien te, e l libro de á lg e b ra tien e un precio de $80, e l d e geom etría an alítica de $85 y e l de cá lc u lo
d iferencial c u e s ta $90
E J E R C IC IO 9 0
Resuelve los siguientes problem as:
1.
J o s é c o m p ró c ie rto d ía 3 p a le ta s, 5 h e la d o s y 2 d u lc e s , p o r to d o pag ó $2 8 . A l d ía sig u ien te , a d q u irió 4 paletas,
3 h e la d o s y 5 du lces c o n $25 y e l últim o d ía, una paleta, un helado y un d ulce que le c o staro n $7. ¿C u ál e s e l costo
de c a d a golosina?
2 0 8
C a p it u l o
8
Sstemas de ecuaciones
2. M iguel, Fabián y Juan C a rlo s cierto d ía fueron a com prar ropa. M iguel com pró 3 cam isas, 4 pantalones y 3 playeras;
Fabián, 5 cam isas, 3 pantalones y 4 playeras y Ju a n C arlos, 2 cam isas, 6 p antalones y u n a playera. Si pagaron $4 100,
$4 600 y $ 4 000, ¿cuál e s el precio de c a d a prenda?
3. E duardo, H ugo y A rturo fueron a co m p ra r ropa. E duardo s e c o m p ró 3 playeras, 2 p antalones y 5 pares de calc e ta s y
pagó $1 710. H u g o adquirió 2 playeras, 3 pantalones y 4 pares d e c alc e ta s co n $2 090 y A rturo, 4 playeras, 2 panta­
lones y 3 pares de c alce tas p o r $1 730. ¿ C u ál e s el precio d e c a d a artícu lo ?
4. U n núm ero e stá form ado p o r 3 dígitos, e l díg ito d e la s c e n ten a s e s la sum a de los o tro s dos, la sum a de la s decen as
y c e n te n a s e s ig u al a 7 v e c e s la s unidades. D e term in a e l núm ero, de tal m a n e ra q u e si s e in v ierten los d íg ito s, la
d iferencia se a 594.
Ü
\fcrlffca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente,
Descomposición de una fracción algeb raica en suma de fracciones parciales
Al re aliz a r una sum a de fraccio n es se obtiene la sim plificación d e la m ism a, por ejem plo:
2
1
2x + 4 + x + 3
= 2 (* + 2 )+ l(x + 3 ) =
x+ 3 + x+2
=
x 2 +3x + 2x + 6
(x + 3 )(x + 2 )
3x+7
x2+5x+6
Sin em bargo, e n o casio n es e s necesario d e sc o m p o n e r una frac c ió n co m o la sum a d e su s fraccio n es p arciales, esto
es, re aliz a r e l p ro c eso inverso.
d o n d e e l g ra d o d e P ( x ) e s m e n o r q u e Q{x) y
C a so I. U n a frac c ió n d e la fo rm a
Q (x ) = ( x + x ,X * + x j - . . . ( x + x j , y n in g u n o s e repite, se p u e d e d e sc o m p o n e r e n la su m a d e las frac c io n e s p a r­
cia les c o m o sig u e :
P (x) _
A
Q (x)
x
B
|
+ x,
x
Z
+ x¡
x
+ xñ
Ejemplos
E J E M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
••
E x p resa
x
+ *— c o m o una sum a d e fraccio n es parciales.
-x -6
So lució n
Se facto riza e l d enom inador y a c a d a factor lineal le corresponde una constante c o m o num erador:
3x + \
3 x +\
x2- x - 6
A
( x - 3 ) ( x + 2)
+
* -3
B
x +2
Se d esarro lla la sum a de fraccio n es
3x + l
(x-3 )(x+ 2 )
= A (x+ 2) + B (x -3 )
( x - 3 ) ( x + 2)
Para que se c u m p la e sta igualdad se igualan los num eradores, e l resultado e s e l siguiente:
3 x + 1 = A (x + 2 ) + B (x - 3)
3x + \ = A x + 2A + B x - 3 B
A l agrupar los térm inos que c o n tien en x y los independientes, resulta:
3x+ l= x (A + B ) + 2 A - 3 B
(continúa)
2 0 9
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
(continuación)
E ntonces s e g e n e ra un siste m a d e d o s e c u a c io n e s c o n d o s incógnitas, I j
resultado A = 2 y B = 1
j
L$b - \
que a * re s0 *v e r*° ^ co m o
P or tanto, la frac c ió n co m o sum a de p arciales es:
3*+ 1
=
x2-x -6
2
2
|
1
x +2
x -3
x +4
• • E x p resa —r ~— ,------- c o m o una sum a de fraccio n es parciales.
x 3 + 3x2 + 2 x
So lu ció n
S e descom pone e n facto res e l denom inador de la fracción:
x+4
x +4
x 3 + 3x2 + 2 x
x ( x + 2 ) ( x + l)
A c a d a denom inador le corresponde una constante c o m o sigue:
x+4
A
x ( x + 2 ) ( x + 1)
x
B
x +2
C
x +1
Se resu elv e la sum a de fracciones
x+4
¿ ( x + 2 ) ( x + l) + S x ( x + l) - h C x (x + 2 )
* (* + 2 X * + l)
* (* + 2 )(* + l)
L os num eradores se igualan:
x + 4 = ^ ( x + 2 ) ( x + l) + f l x ( x + l ) + C x ( x + 2)
x + 4 = ^ ( x 2 + 3 x + 2 ) + f lx ( x + l) + C x (x + 2)
x + 4 = Ax2 + 3 A x + 2 A + Bx2 + B x + C x 2 + 2C x
Se agrupan térm inos sem ejantes:
x +4 =
x 2( A
+ B + C ) + x ( 3 A + B + 2 C ) + 2A
A l igualar los respectivos coeficientes, s e obtiene e l siguiente sistem a,
A+B+C=0
3A + B + 2 C =
2A = 4
El cu al se resuelve y e l resultado e s: A = 2, B = 1 y C = - 3
P or tanto, la frac c ió n expresada c o m o sum a de fraccio n es parciales es:
x+4
_ 2 ,
x (x + 2 )(x + l)
3
x
1
3
x +2
x +1
• • ¿C u ál e s la desco m p o sició n e n fraccio n es p arciales — j p — - — 7
So lu ció n
Se descom pone e l denom inador:
4x2 - 2 x + 1 _ 4x2- 2 x + 1 _
4xJ - x
"
x (4 x 2- l )
2 1 0
4x2 - 2x + 1
~ x ( 2 x + l)(2 x -l)
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
a c a d a factor d e l denom inador le corresponde una constante de la siguiente m anera:
4x2-2 x + \
A
B
C
= —+
+
*
2x + \ 2 x - \
x ( 2* + l ) ( 2 * - l )
A l resolver la fracción d e l lado derecho:
4 x 2- 2 x + 1
= A ( 2 x + \) ( 2 x -\) + B x ( 2 x - \) + C x(2 x+ \)
x ( 2 x + l ) ( 2 x - 1)
x ( 2 x + l ) ( 2 x - l)
A l igualar los num eradores se obtiene:
4 x 2 - 2 x + l = A ( 2 x + l ) ( 2 x - l ) + B x ( 2 x - l ) + C x ( 2 x + l)
4 x 2 - 2 x + l = A ( 4 x 2 - l ) + B x ( 2 x - l ) + Cx ( 2 x + l)
4 x 2 - 2 x + l = 4 A x 2 - A + 2 B x 2 - B X + 2 C X 2 + Cx
A l ag ru p ar térm in o s sem ejantes, se d ete rm in a que:
4 x 2 - 2 x + 1 = x 2( 4 A + 2 B + 2 C ) + x ( - B + C ) - A
4 A + 2B + 2 C = 4
-B + C = -2
-A = 1
Al igualar los coeficientes s e obtiene e l siguiente sistem a,
Este sistem a de ecu a cio n e s se resuelve p o r c u alq u ier m étodo a lg eb raico , d e l c u al re su lta rán los siguientes valores,
A = - l , B = 3 y C = 1, por tanto, la desco m p o sició n de fraccio n es parciales es:
4x2- 2 x +\ _
1 |
4xi - x
C a so I I . U n a frac c ió n de la fo rm a
x
3
|
2 x +1
1
2 x-\
donde e l g ra d o d e P ( x ) e s m e n o r q u e Q(x) y
Q(x)=(x + x ¡ y ( x + x j ” , .. ( x + x ¡y , to d o fa cto r que se rep ite n v e ce s, s e descom pone e n la su m a d e frac c io n e s p ar­
d a le s c o m o sigue:
A
B
(* + * i)
( * + * ,) 2
Ejemplos
E JE M P L O S
1
••
-3 - + ...+
Z
"■ ( x + Xly
•
E xpresa la fracción:
^ +^ 2----- co m o una sum a de fraccio n es parciales.
S o lu c ió n
Se descom pone e l denom inador e n factores:
x2+ x - \
x 3+ 2x2 + x
=
x2+ x -\
x (x 2+ 2 x + \)
= x2+ x -\
x (x+ \)2
(continúa)
211
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
( continuación)
A c a d a denom inador le corresponde una constante c o m o num erador:
x 2+ x - \ = A + _ B _ +
x ( * + l)2
*
*
C
+ 1 (* + l)2
Se resu elv e la sum a de fracciones:
jc2 + j c - 1
= A ( x + 1)2 + B x ( x + l ) + C r
x ( x + \)2 =
x (x+ \)2
Se igualan los num eradores:
* 2 + * - l = a (x 2 + 2 x + \ ) + b [ x 2 + x ) + C r
A l a g ru p ar térm inos sem ejantes se d ete rm in a que:
x 2 + x - \ = x 2( A + B ) + x ( 2 A + B + C ) + A
A +B = 1
Se igualan los coeficientes de am bos lados para o b ten e r e l siguiente sistem a.
2A + B + C = 1
A = -1
Q ue a l resolverlo por cu alq u ier m étodo, d a co m o resultado: A = - l , B = 2 y C = l , p o r tanto, la descom posición
en fraccio n es parciales es:
x2+ x -l
=
x 3+ 2x2+ x
2
1 [
x
2
|
x +\
1
(x + \ ) 2
• • ' ¿C uál e s la desco m p o sició n c o m o una sum a d e fraccio n es parciales d e 2
+ 1*^+20
So lu ció n
Se descom pone e l denom inador:
8+ 3X-X2
8+3 X - X 2
2 x 3 + 1 b r2 + 2 0 * + 1 2
(2 * + 3 ) ( * + 2 )2
A c a d a factor lineal le corresponde una constante c o m o num erador,
+3 x -x 2
[2x+ 3)(x+ 2Y
A
+
2x+ 3
B
x+2
C
+
(x+ 2 y
A l reso lv er la sum a de fraccio n es parciales re su lta que:
8+3 J-J2
= A ( x + 2 )2 + B ( 2 x + 3 ) ( x + 2 ) + C ( 2 x + 3)
(2x + 3)(x + 2 f
( 2 x +3 ) ( x +2 ) 2
2 1 2
+12 ^
C a p it u l o
8
Sstemasdeecuaciones
Se d e sa rro llan los productos e igualan los num eradores:
S + 3 X - X 2 = ¿ ( x 2 + 4 x + 4 ) + f l( 2 x 2 + 7 * + 6 ) + C ( 2 x + 3 )
A hora, a l ag ru p ar térm inos sem ejantes,
8+ 3 x -x 2 =
x 2( A
+ 2 B ) + x (4 A + 7 B + 2 C ) + 4 A + 6 B + 3C
A + 2B = -1
Se igualan los coeficientes de am bos lados para form ar e l siguiente sistem a,
4A + 7B + 2C =3
4 A + 6 B + 3C = 8
Q ue a l resolverlo por cu alq u ier m étodo se d ete rm in a que: A = 5, B = - 3 y C = 2 , por tanto, la d esco m p o sició n en
fracciones parciales es:
S + 3x-x2
5
3
I x ' + l íx 2 + 20x+ ¡2
2x + 3
x+2
2
+
(* + 2 )J
EJE ? C IC IO 91
D escom pón e n sum a d e fracciones parciales las siguientes fracciones
1.
5x+\
12.
(x+ l)(x-l)
2.
*(*+2)(x-3)
2 9 x -5 6
13.
(3 x-7 )(2 x-3 )
3.
4.
8
14.
{ 5 x - 4 ) ( 5 x + 4)
6.
x -\2
15.
\9 -4 x
16.
x 2-\\x + 2 S
2(2x+ 7)
17.
4x2 -1
7.
2x + 5
18.
x 2 +5x+6
5 x -\3
19.
' 6x2 + \3 x -5
9.
10.
11.
[J
2 X 2 + 7 x + 14
( * + l ) ( * - 2 ) ( * + 4)
3x2 - 5 x - \ 7
(x + 3 )(x -2 )2
(x +2)(x-5)
5.
4* + 7 * -1 2
5x+\
20 .
12 + x - x 2
-ll(*»3)
21.
14- 3 x -2 x 2
\ 6 x 2 - 4 8 x + 15
2 x * -7 x 2 +3x
9x2+ 4 x - 4
x i + x2- 2 x
30 - 3 0 x - 2 9 x 2
6x3+ 5x2 - 6x
2x2- 6 x - 2 6
x 3+ 2x2 - 5 x - 6
4x2 +9x + ll
2xi - x 2- 5 x - 2
- x2
x 3 + 3x2 + 3 x + l
- x 3- 2 x 2 + 5 x - l
x 4 - 3 x 3 + 3x2 - x
3 r-5
22.
9 jc2 - 1 2 x + 4
2xi -3 0 x
x 4 - 1 8 x 2 + 81
Nferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
213
8
C a p it u l o
Á LG EB R A
Caso I I I . U n a fracció n d e la fo rm a
d o n d e e l g ra d o d e P ( x ) e s m e n o r q u e Q(x) y Q ( x ) contiene fa cto res de
segundo g rad o y ninguno d e e llo s s e repite, en to n ces s e puede d escom poner de la siguiente m anera:
P (x)
Ax+ B
Cx+D
|
Q ( x ) ax2 + b x + c
(
|
a ¿ 2 + b lx + cl
M x+N p
aHx ? + b Hx + c n
Ejemplos
E JE M P L O S------------------------------------------------------------------------------------ •
1
• • E xpresa c o m o una sum a de fraccio n es parciales la siguiente expresión:
^
x + 3x
So lu ció n
S e facto riza e l denom inador:
4 x 2+ 6
4 x 2+ 6
x i + 3x
* (* * + 3 )
E l d enom inador se co n fo rm a de un fa cto r lineal y un fa cto r cuadrático, e n to n c es la sum a se rep resen ta com o:
4x2 + 6
= A + Bx +C
x ( x 2 +3)
x
x 2+ 3
Se resuelve la sum a de fracciones y se igualan num eradores:
4x 2+ 6
_ A
¿ (x 2 - ^ )
(B x+ C )
a ( x 2 + 3)
x + x2+3
+ (B x+ C )x
jc(a:2 + 3)
4 x 2 + 6 = A(X2 + 3 ) + ( B x + C ) ( x )
4x* + 6 =
+ 3A + B x 1 + C x
4X1 + 6 = X2(A + B ) + C x + 3 A
P ara q u e se c u m p la la ig u ald a d , los n u m e ra d o re s d e b en se r ig u ales, e n to n c e s s e fo rm a e l sig u ie n te siste m a
A+B= 4
C =0
3A = 6
, q u e a l resolverse da: A = 2, B = 2 y C = 0, por tanto, la d esco m p o sició n e n fraccio n es parciales es:
4x2 + 6
x* + 3 x
2
=
2
2x+0
x
x 2+ 3
• •■ D e s c o m p o n e n una sum a d e fraccio n es parciales la expresión:
2
2x
= - +
x x 2+ 3
4x* - 1 Lx2 + \ l x
[ x 2 - 3 x + l) ( x 2 + 2 )
So lu ció n
E l d e n o m in a d o r c o n tie n e ú n ica m en te fa c to re s de seg u n d o g ra d o , p o r tan to , la s fra c c io n e s p a rc ia le s q u e d a n d e la
siguiente m anera:
4 x i - \ \ x 2+ \7 x
(x 2 - 3 * + l) ( x 2 + 2 )
=
Ax +B
Cx + D
x 2 - 3 x + \ + x 2 +2
A l reso lv er la sum a de fraccio n es e igualando num eradores s e obtiene:
4 x ? - \ \ x ? + \ 7 x = (A x + B ){x 2+ 2) + (Cx+ D )(x 2 - 3 x + \ )
4 x i - \ \ x 2 + \7 x = A xi + 2A x + B x2 + 2 B + C x i - 3 C x 2 + C x + Dx2 - 3 D x + D
214
C a p it u l o
8
Sistemas de ecuaciones
Se ag ru p an térm in o s sem ejantes:
4 x 3- \ \ x 2 + \7 x =
x
3( A + C ) + x 2( B - 3 C + D ) + x ( 2 A + C - 3 D ) + 2 B + D
Para que se c u m p la la igualdad, los num eradores d e b en se r iguales, entonces:
A + C= 4
B -3 C +D =- \ 1
2A + C - 3 D = 17
2B + D = 0
A l resolver el siste m a de ecu a cio n e s se d e te rm in a q u e : A = l, B = 2, C = 3 y D = - 4
Por tanto, la descom posición e n fraccio n es p arciales es:
4xi - \ \ x 2+ n x
=
(* 2- 3 x + l)(x 2+ 2)
x+2
3x-4
x 2- 3 x + \ + x 2 +2
j d o n d e e l g ra d o d e P (x) e s m e n o r q u e Q ( x ) y Q (x ) co n tie n e fa c to re s de
C a so IV. U n a frac c ió n d e la fo rm a
segundo g rad o y a lg u n o d e e llo s se repite, en to n ces a c a d a fa cto r d e la form a: (ax2 + b x + c)" le co rresp o n d e una sum a
efe fracciones:
Ax + B
Cx+D
[
( a x 2 + b x + c )”
(ax2 +bx+ c)"~l
t
Mx +N
+
ax2+ bx + c
E jem p lo
c
a p
■
• i i • • .
3x* + x * + 4 x 2 + 6 x + 3
E xpresa e n sum a de fraccio n es p arciales la siguiente:
x s + 2 x 3+ x --------
S o lu c ió n
A l factorizar e l d enom inador s e obtiene:
3x 4 + * 3 + 4jc2 + 6 jc + 3 = 3 x * + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3
x 5+ 2 x 3+x
x ( x 2 + 1)2
La descom posición es:
3 x 4 + x* + 4 X 2 + 6 x + 3
* (* 2+ i) 2
A
Bx+ C
= —+
*
(* 2 + i) 2
D x+E
*2+ i
Se resuelve la sum a de fracciones:
2 x , + x ‘ + ‘\ x 2 + 6 x + ’¡ =
x ^ + l)2
+ 1)' + { B x * C ) ( x ) + ( Q t + E ) ^ * 2 + l)
=
x ^ l ) 2
Se igualan los num eradores y s e desarro llan los productos:
3 x 4 + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3 = A x4 + 2 A x 2 + A + B x 2 + C x+ D x 4 + Dx2 + E x 3 + Ex
Se ag ru p an tam bién los térm in o s sem ejantes:
3x4 + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3 = x 4 ( A + D ) + x 3( E ) + x 2( 2 A + B + D ) + x ( C + E ) + A
( continúa)
215
8
C a p it u l o
ÁLG EB R A
( continuación)
A+D =3
E =1
2A + B + D = 4
C+E =6
D e e sta igualdad se form a el siste m a d e ecuacio n es
A =3
A l resolver e l sistem a d e e cu a cio n e s se obtienen los siguientes valores:
A = 3 , B = - 2 , C = 5, D = 0 y E = 1
P or tanto, la descom posición c o m o sum a de fraccio n es p arciales es:
3x* + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3
3
=
-
x5 + 2 x 3+ x
a:
5 -2 x
+
" ------------- T T
1
+
(jc2 + l ) 2
*2 + 1
E J E R C IC IO 9 2
Expresa co m o una sum a d e fracciones parciales a las siguientes:
]
4x2 + x - 9
n
5x2 - 1 8 x - l
' 2 x i + Ax2 - 6 x - 2 0
x3- 3 x
4x2- x - \
x 4 + x 3- 5 x 2 - 2 x + 9
3x s + 3 x 2 + x + l
*
2x2 - 3 x + 3
3-
x 3- 2 x 2 + x - 2
4-
x* - 2 x 2 - 35
x 3+ x 2 + x + 1
13‘ ( ^ + Ar_ i ) 2
x 2-1 9
-5 x 4- 9 x 2 + x - 7
14' x 6 + 3x4 + 3 x 2 + 1
3 x2 + 2 x - 2
5-
2 x 4 - x i - 9 x 2+ 3 x + \ \
x3 - l
, 5 -x 5 + x 4 - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x + 4
- 6 x i + x 2- 3 2 x + 3
6'
2 x 4 + 10x3 + 2 4 x 2 + 2 7 x + 1 6
*‘ + 8^+ 15
16'
x 4 - 2 x 3- 4 x 2- ll x - 6
7'
x ' + x3- 6 x
8'
* J - 5 x 2 + 5* + 3
x ( ^ + 3 x + 4 )2
- x 5 + x 4 - 2x3+ 4x2 - x + 2
17
x4 + 2x4 + x 2
S .t2 - 9 x - 8
11jc3 - S
9‘
jc2 —3 0 jc-
4 ( x 2 + l)
l8 ' *8 + 4 * ‘ + 4 x <
8
3 x 5 - 3 j 2 + 4 ;t2 - 6 j t - 5
2 r 4 + 3 x 2 - 35
19‘
- l x 2- 4 2 x + 2 4
10'
U
x5 - 6x3+ 9x
(x 2 - 2 ) 2( x 2 f l )
2xs - 4
x 3+ 5x2 - 3 *
20-
O rific a tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
2 1 6
x,
+ \3x ‘ - 3
x
2+ 5 x - 5
(x ' - - \ ) ( x ' - - x + \ ) 2
C a p ít u lo
9
Po t e n c ia c ió n
H ISTÓ RICA
0
1C
1
&
E x p o n e n te d e u n a p o te n c ia
l primero que colocó el exponente en una posición elevada con res­
pecto a la línea base fue Nicolás Chuauet en el siglo XV. Sin embargo,
lo colocaba directamente en el coeficiente, de modo que 5 x 2, lo
escribía como 5 2.
E
En 1 6 3 6 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que
utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de uti­
lizar números romanos. Así, 5 x 2 lo escribía como 5x".
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos nume­
rales romanos por los indoarábigos. N o deja de ser curioso, sin embargo,
que para la potencia cuadrada no utilizara la notación elevada, sino que
siguiera escribiendo, como muchos hasta entonces, x 2 como xx.
Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos
o x x x (x 3) sólo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso noso­
tros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos
que estamos elevando x "al cuadrado", aunque no pensemos en absoluto
en calcular el área de un cuadrado de lado x.
x x (X2)
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Definición
E s la o p e rac ió n e n la c u a l la c a n tid a d lla m ad a b a se s e debe m u ltip lic ar por e lla m ism a las v e c e s q u e lo in d iq u e el
exponente.
O a" = a a ■
d o n d e a e s la b a s e y n e l e x p o n e n te .
n - veces
E JE M P L O S
• • A l d e sa rro lla r* 4, s e obtiene:
.1 .
S o lu ció n
uj
A l se r e l exponente 4, la b a se * s e m ultiplica 4 veces e lla m isma:
x = *• *• *• *
Por consiguiente, c u a n d o s e tien e * 4, e s lo m ism o que si se m ultiplica 4 veces la b a se *.
2 • • •¿C u ál e s e l resultado de
(-2 xf ?
S o lu ció n
Se m ultiplica la base por s í m ism a tre s veces, por tanto:
( - 2 * r = ( - 2 ,) ( - 2 * ) ( - 2 ,) = - 8 ^
Finalm ente, s e obtiene: ( - 2 * ) ? - - 8 * 3
Teoremas d e los exponentes
S i a , b , m , n s R y a, b * 0, entonces:
© a " a m = a ' tm
D em ostración
a ” - a m= ( a ■a - a a . . . • á ) ( a • a a • a . . . • á ) = a - a a ■a . . . - a = a " +m
ti veces
m veces
n + m v eces
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------•
1
.SL
• • ¿C u ál e s e l resultado d e * 3- * 5?
S o lu ció n
tu
S e a p lic a el te o re m a y s e obtiene:
2
*E ncuentra e l resultado d e (-5 m )(8 m 3X -2m 2).
S o lu ció n
Se m ultiplican los co eficien tes ( -5 )(8 )(-2 ), d espués se a p lic a e l te o re m a y se obtiene:
(-5 m )(8 m 3)(-2 m 2) = 80w 1+3f2 = 80m6
218
C a p ítu lo
Potenciodón
D e m o s tra c ió n
m veces
a . .. a = ( r ~ "
a"
n veces
rc - ti veces
E je m p lo s
E JE M P L O S
m5
• • ¿C uál es e l resu lta d o de — ?
m
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e obtiene:
= m 5"2 = m }
E ncuentra e l resultado de:
-3 m
.
S olución
Prim ero se dividen los coeficientes y después se ap lic a el teorem a:
- 2 7 m7 _ -2 7
-3 m 3
9m*
-3
O a# = 1
D e m o s tra c ió n
Al a p lic ar el te o re m a de división, c o n m = n , re su lta que:
á
=a
am
Ejem plo
¿C uál es e l resu lta d o de ( - 1 2 m 7)°?
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e de te rm in a que:
( - 1 2 m 7 )° = l
o
a- = ¿
D e m o s tra c ió n
a
=a
2 1 9
0-1»
o
=— =a
c
9
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Ejem plo
¿C u ál e s e l resultado de ( - 3 * ) 2 ?
S o lu ció n
Se ap lic a el te o re m a y después se d esarro lla la potencia:
\-2
'
1
~ ( - 3 ,) !
1
1
(-3 x )(-3 * )
Por tanto, se tien e q u e : (—3 a:)-2 = —
yA
O
(« ■ )"= o*-
D em ostración
( a - ) " = ( a " ) ( a ') ( a " ) . . . ( a " ) = d
"
=d m
m veces
Ejem plo
¿C u ál e s una expresión eq uivalente a (m 4) ?
S o lu ció n
S e a p lic a el te o re m a y s e d ete rm in a que:
( m * f = m{* 3) = m a
O
(a
D em ostroción
Al a p lic ar el te o re m a de m ultiplicación, c o n m = n , entonces s e obtiene:
( a b e ) " = ( a b c ) ( a b c ) . . . ( a b c ) = ( a a ‘. . ‘a ) ( b b . . . b ) ( c c . . . c ) = a Ñb Ñc Ñ
n veces
Ejem plo
D eterm ina una expresión eq uivalente a:
(a 3
y 4 • z2) .
S o lu ció n
Al a p lic a r e l t e o r e m a s e o b tie n e q u e : ( a 3 y 4 z 2)4 = x (* 4)y (4,<4)z<2,<4) =
•
a 12
-y 16 - z 8
( :í í
D em ostración
n v eces
( « Y - ( E 'í (
ÍEl
( a a a ‘- a _ <*_
U J ~ { b ) { b ) { b ) " ' { b ) ~ b b b : . r b ~ bÑ
Ejem plo
¿C u ál e s e l resultado de d e sa rro lla r I m 2n
I ?
220
C a p ítu lo
Potenciodón
S olución
A plica el teorem a, y d ete rm in a que:
(m
v5
4 n 3Y
/
,\5
(m 4 )
I r 2 J " (r>)5 "
/
,\5
(n * )
m»
»'5
|V)'
O
D em ostración
Í-T"
=(-a \=
-« 1 =a-" =í-í
\b)
"
W
U J
y
Ejem plo
-2
¿C uál es e l resultado d e de sa rro llar
j
?
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e obtiene que:
íN sf
L uego, a l e le v ar a l cu ad ra d o s e tien e e l desarrollo:
j |y J
9y2
(3 y y
1 ( 2 * ) ’ “ 4**
P o r tanto, | ~
j
3y I
= %
4 /
E JE R C IC IO 9 3
A p lica la definición y desarrolla las sig uientes potencias:
M
3
2. H v f
5. - ( 2
1 B - 'I
4.
a‘ f
7.
S T
(- 6 x V )S
* ( H
8.
[- (2 a t)!
18.
(Á - ÍJ
Sim plifica las sig uientes exp re sio n es y muestra e l resultado sin exp o nentes negativos:
9 . ( 3 y ) ( - 5 y 2)
10. x Y x - y
12. ( - m V ) ( » T V )
■3.
■3- 4« V4 a
16
16.
4
a
m_2
3" _25
«
tnim
H
1
pi| m
H
H
p—
«
20.
17
m
‘ 17 ít V
221
19.
m
v( " 3í ”
(-2 * )‘
2);
9
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
21.
-9 * °
25.
(fl-V )-'
29.
( 2 a , )! ( 3 a ) 3
33.
^
^
(a V )
( 6 a ‘l _
22.
2 ( x - 5y)°
26. (* .* * ■ * > )-
30.
34.
^
( 3 .) 3
23.
5 x '3
24.
-M
27. (z-J -z3 z0) '3
-’
31.
32' ~
{ 0 jT
28. [ ( x + 2 , r f
Verifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
Sim plificación
Se a p lic a n los teo re m a s de los exponentes, según se presen ten e n la ex p resió n ; e sto sig n ific a que e l o rd en e n q u e se
realicen e sta rá d ete rm in a d o p o r las operaciones c o rresp o n d ien tes, a s í c o m o por los sig n o s de a g ru p ac ió n que e stén
involucrados.
E JE M P L O S
• • Sim plifica la siguiente expresión y d a e l resultado co n exponentes positivos.
w
S o lu ció n
Se ap lic a el te o re m a (a-b)" = d b" y posteriorm ente s e re aliz a e l producto de los exponentes.
E l elem ento con expo n en te negativo s e transform a a potencia positiva y se re aliz a la m ultiplicación de fracciones.
* V
X y
= — y6 =
x6 y
y6
Por tanto, la sim plificación e s: ^
X
2
Sim plifica la siguiente expresión y elim in a los exponentes negativos.
(* 2 + l p ( - r 2 + l)*
(* ’ + i f
S o lu ció n
E n e s ta ex p resió n la b a se involucrada e s e l b in o m io * 2 + 1, por lo q u e se tra b a ja únicam ente c o n los exponentes, se
sim plifica e l num erador y d espués s e sim plifica la división c o m o sigue:
- P » .) - H
( * 2 + 1)2
(^ + l)5
222
- ( ,...)
C a p ítu lo
9
Potenciodón
Al elim in a r e l exponente negativo la expresión resultante es:
=7Tí
P o r consiguiente, la sim plificación es:
3
1
*2 + l
' Sim plifica la siguiente expresión:
y
Solución
Se re aliz a la div isió n den tro d e l paréntesis:
= ( 2y ^ r
Se ele v a c a d a uno de los facto res a l exponente
2” , aquellos que resu lten c o n exponente negativo s e transform an
a s u expresión equivalente c o n exponente positivo h a sta obtener la sim plificación deseada.
(2 t y
4
!r
= 2 -’ ^
>2,-2 _ _ L _ L v«2._L _ y12
v
4
2T2 / ; ' ,’ rZ2
4a:8z2
• • Sim plifica a l m áxim o la siguiente expresión:
í
1 5
2
(im r iy
(2 m " V )
Solución
Se resuelven las potencias para c a d a uno de los paréntesis:
2m 3 n ó
___________
í “
2 6m i n 6
( 2 m “V ) ' ( 2 m n ) s
( W
p
V
2 6m 2n 5
)
( F
w
j p w
)
Se m ultiplican los factores d e l d e n o m in a d o r y por últim o s e re aliz a la división:
2 m n
(
í V
^
2 m 2n s
_
V
l ' r
V
2 6m 2n s _ 06-* m2-7M5-<-i) _ o?
^
-
i w
-
2
m
"
" 2 m "
E l resultado co n tie n e exponentes negativos, entonces se convierte a exponente positivo p a ra o b ten e r la sim plifi­
cac ió n final:
-5 6 _
2 m n = 2
Por tanto, la sim plificación e s: ^ 7-
m
2 2 3
.6
*
6 _
— - n = ——
m
m
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
5
• • • Sim plifica la siguiente expresión a l m áxim o y que no co n ten g a exponentes negativos.
i
i
S o lu ció n
Se desarrollan los paréntesis internos a l elevar c a d a uno de los factores a l exponente correspondiente:
3
3
( ,- y y ) M * V ) r
( * - v * r
Se resuelve e l producto e n e l num erador de la fracción y se realiza la división:
3
14 3
i+3Z
32
*y«
' 5 5 '
x
6y 6z
r
x 2y 3z
y
17
J
_I3
Se e le v a c a d a uno de los factores a la p otencia 3:
L os e x p o n e n te s re su lta n te s so n n eg ativ o s, p o r lo q u e se tran sfo rm a n a o tro fa c to r eq u iv a len te c o n e x p o n en te
positivo
"7
*
P or consiguiente, la sim plificación e s:
-7
1
1
1
~ É '~ H = ~ z~ W
x 2 y 2
x 2y 2
y
l7 ,3
x 2y 2
6
• • 'R e d u c e a s u m ínim a expresión:
(« y r - N T
(ab cT
S o lu ció n
Se desarro llan los paréntesis internos:
-1
-1
a V 4 V
1
c5
{a b e )1
2 2 4
1
^
1
[ a 2b 2
{ o’3
C a p ítu lo
9
Potenciodón
L u eg o , s i una frac c ió n e s tá ele v ad a a un e xponente negativo, é s ta e s ig u al a s u recíp ro co e levado a l exponente
positivo, í ^ j
= í “ J
entonces:
'
ra v ‘ r
a'b
1
>
c 3
[ « V “ J a2b
3
L a ex p resió n resultante s e sim plifica de diversas fo rm as, u n a de ellas e s m ultiplicar las fra c c io n e s y p o r últim o
B alizar la división resultante:
V ¿ rV 3l
< 1
c3
3
<rV3c 3
=a
13
a *b~*
fl^ V 3"3
a'b
A
1
A
3 = a'b'°c 3
El factor c o n exponente negativo se tran sfo rm a e n o tro equivalente de exponente positivo:
7
P o r tanto, la sim plificación es:
7
a h 10
■Reduce a s u m ínim a expresión:
x 2+x 1
Solución
Se tran sfo rm an c a d a uno de los sum andos a exponente positivo y s e sim plifica la frac c ió n co m p le ja resultante:
1
X
+X
x -2+x~'
1
= i-
J
\+x
¿ _
_
1>
X2
_
l± x
l
*
X
.y2 ( l + x ) _
2
x* (\+ x )
*
x~
P o r tanto, la sim plificación e s: —
X
8
■Sim plifica la siguiente expresión y e lim in a los exponentes negativos.
a 2- b~2
a 1+b~l
S olución
C a d a uno de los sum andos c o n exponente negativo s e expresa e n otro equivalente c o n exponente positivo:
_1
a '- b - 2
a-'+b~l
1_
_ a2 ~b2
1
1
a b
{continúa)
2 2 5
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(co n tin u a ció n )
Las transform aciones d a n co m o resu lta d o una frac c ió n com pleja, la cu al a l sim p lificarla s e obtiene:
J _ _ _ l_
b 2- a 2
~2 Í l _ _
a 2b 2
I+ I
a b
b+ a
ab
Por consiguiente, la sim plificación e s:
_ a b \ b 2 ~ ° 2) _ c ¡ b ( b + a ) ( b - a ) _ b - a
a 2b 2 ( b + a )
ab
a 2b 2( b + a )
ab
-
EJE ÍC IC IO 9 4
Aplica tos teo rem as d e tos exp o nentes y sim plifica cad a una d e las sig uientes exp resiones:
10.
1. \ x * y sz 2
(* -3 n * -3 )s
19.
[ ( ^
v
r ^
y
^
f j 2
(* -3 )3
( jr+ 3 y )2 ( j r + 3 y ) 5
20.
11.
(* 2 ^
3.
x 2y 3
21.
12.
(x -2 y )-2 - ( x - 2 y r
(x -2 yy
x*y^
4.
r
x y z
13.
22.
2x - 'y ~ ¡
a~3 - ¿ T 3
a~*+b~3
14.
(5 * y r-(-^ -y f
23.
(* v r
_3 i I
6.
x 2y *z
a ~ 2b'c~2
3
4
I
15.
a'~2b V 2
24.
x * y 6z 2
16.
y -y
* ° -y
( « V c 6)3
25. ( x - 2 + y ^ ) ( x - 2 - y -> )
a ' b 2c
4 a*b-
8.
(2 a w
9.
( * x 3y * z 4
W
£}
y
V z *
11 . -— l— T (2 a b -2) '
(3 a 2b 3) - 1
}
18.
26.
x V ( y ~ 2 - x - 2)
x - y
(m v y
27.
x y ~ 2 + x ~ 2y
x - ' + y -'
(«V)i
V # rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
2 2 6
r
C a p ítu lo
9
Potenciodón
Potencia d e un binom io
Factorial d e un número
A la ex p resió n r! se le d e n o m in a “fa cto ria l de i ' y s e define c o m o e l producto de to d o s los núm eros naturales a n te ­
riores a r.
r! = r ( r - l X r - 2 ) - ...-1
c o n r> 0
Si r = 0, entonces 0 ! - 1
E je m p lo s!
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
O btén e l resultado de: 4!
Solución
Al a p lic ar la definición, s e o b tien e que:
4! = 4-3-2-1 = 24
P o r tanto, 4! = 24
2
••
D eterm ina e l resultado de 6!
S olución
Se d e sa rro lla c a d a uno de los factoriales y se realiza la operación resultante:
6! = 6-5-4-3-2-l= 720
P o r consiguiente, 6! = 720
Binomio d e N ew ton
Para u n núm ero n e l d esa rro llo de:
(a
=
+
+
^ c f~ 2b 2 + n ^n
2^ ( f ~ 3bi +
...
w (« —
—2 ) . . . . ( « - r + 1)
. . . + - ^ -------------'---- }-cC
r!
t f + . .. + n a t f ’ + ¿>"
E l procedim iento a n te rio r se llam a teorem a d e l b in o m io de N ew ton o fórm ula p a ra e l binom io de N ew ton.
S i n e s n a tu ra l, e l d esa rro llo de (a + b )" cu m p le c o n las siguientes c a ra c te rístic a s:
a ) E l prim er térm in o e s a " y e l últim o térm ino e s b \
b ) A l d e sa rro llar e l binom io s e o b tie n e n (n + 1) térm inos.
c)
C onform e a u m e n ta n los térm in o s, la p otencia d e l p rim e r térm in o a dism in u y e e n 1 y la d e l seg u n d o té rm in o b
au m e n ta e n 1.
d)
Para obtener e l i-ésim o térm in o s e utiliza la fórm ula:
« simo, «("- 'X" - 2)-•<"~1+2)
( 1-1 )1
2 2 7
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
EJEMPLOS--------------------------------------------------------- •
1
.1 .
• • D esarrolla: (x + 2y)4.
S o lu ció n
S e a p lic a el d esa rro llo d e l binom io de N ew ton, hasta o b ten e r e l seg u n d o térm ino elevado a l exponente 4:
( ¿ + 2 y ) ‘ = (x )‘ + 4 (x )‘ - \ 2 y ) ' +
M ‘ ~2 ( 2 y f +
4 ( 4 ~ ' K 4 ~ 2 ) (x )‘ - \ 2 y f *
♦ 4 <4 - ' ) ^ 2)( 4 - 3> « ~ c W
Se desarro llan los factoriales e n los denom inadores de c a d a fracción, se desarro llan las potencias y s e sim plifica
a l m áxim o c a d a uno de los sum andos:
= <*)‘ + 4 ( * ) W +
W (2y)! + 4g
= *‘ + 4<r'X2>.) + ( t f W
22) ( 1l) « P C W
) + 4 « ( 8 / ) + (*°X 1 6 / )
Finalm ente, se realizan los productos y se obtiene e l desarrollo:
= x* + 8 ^ y + 24x2y 2 + 32ry? + 16y4
2
• • - D e s a r r o lla : ( Z ^ - S y 2)5.
S o lu ció n
Se ap lic a el te o re m a d e l binom io de N ew ton y s e tien e que:
( 2 / - 3 / ) s= ( 2 tJ)5+ 5 (2 t 2)s - | ( - 3 / ) l + 5 Í 1 J 1 ( 2 / ) 5- 2(—3 / ) '+
2!
+ 5( 5^
2 ) (^
- !(_ 3 y I) !+ S (S - l )( 5 - 2 )( S - 3) (^
, 5 ( 5 —1 )(5 —2 ) ( 5 —3 ) ( 5 —4 )
Se sim plifican las fracciones y se desarro llan las potencias:
= (2V2)5 +
3 /)' + ^
( 2 r !)í( - 3 y 2) 2 +
(Z «*)’( - 3 / ) 3 +
= 3 2 t10 + 5 (1 6 t!)( - 3 / ) + 10(&t6) ( V ) + 1 0(4*4X - 2 7 / ) + 5 (2 t2)(81ys) + ( 2 í2) ° ( - 2 4 3 / ° )
Por últim o, se realizan los productos y s e obtiene e l desarrollo:
= 32**° - 2 4 0 * y + 7 2 0 / y 4 - 1 0 8 Q r y + 8 1 Q ry 8 - 2 4 3 y 10
2 2 8
5. 4(_ ^
C a p ítu lo
9
Potenciodón
S i n e s e n te ro negativo o fraccio n ario , e l d esarro llo de (a + b j cum ple co n las siguientes c a ra c te rístic a s:
á ) E l prim er térm in o e s a" y no existe un últim o térm ino.
b)
E l núm ero de térm inos e s infinito.
c ) E l desa rro llo de esto s binom ios recibe e l nom bre de se ries.
d ) C onform e a u m en tan los térm in o s la p otencia d e l prim er térm in o a dism in u y e e n 1, y la d e l seg u n d o térm in o b,
au m e n ta e n 1.
é)
Para obtener e l i-ésim o térm in o s e utiliza la fórm ula:
i-ésim o = n (n ~ » ) ( " ~ 2 ) " " ( n ~ ' + 2 )
0 -1 )!
E je m p lo s
EJEM PLOS
1
••
D esarrolla: ( x + l) " 3.
Solución
Se ap lic a e l desarrollo de N ew to n h a sta obtener los térm inos deseados, en este caso se d esarro lla h a sta cinco térm inos
21
+ ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) w - v j í + ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) ( - 3 - 3 ) (x)- , - . ( 1 ) V
3!
’
4!
Se sim p lifican todos y c a d a uno d e los coeficientes de c a d a térm in o , a s í c o m o los exponentes:
=(*)"*+(-3x*)_1(i) + I'-=y
y
^
w 5c>2+ (~33 ~^)(,~5> w 6(D3+
= ^ - 3- 3 ( a: - 4X 1) + 6(J: - 5X 1 ) - 1 0 ( í - 6X l ) +
= JC-3 - l t - 4 + 6 t - 5 - l a t - 6 + 1 5 í - , - . . .
C o m o los exponentes s o n negativos, ésto s se expresan en s u eq uivalente positivo, lo que re su lta en:
\___ 3
15 _
“ x 3" ^ + / "
2
••
/ + /
“ -
E ts a rro lla :(A :+ 2 )2 .
S olución
Al a p lic ar el te o re m a de N ew to n h a sta c in c o térm inos:
( , + 2)3 = ( * ) 3 + ( Í ) M
í
- '( 2 ) '
' ) ( # - 3( 2 ) 3 +
+E
i
^
y»
W i - 3(2,3+E
H
p
í H
) W i - , 2 r+ _.
®♦
{continúa)
2 2 9
9
C a p ítu lo
Á
lg e b r a
(co n tin u a ció n )
Se sim plifica c a d a uno de los sum andos a l m áxim o:
- ( 4 +
(
0
*
)
h
2
y
4
* r 3( 2)3+
- m
i
-I
1 -2
1 - ^ 5
_2
= x 2 + x 2 - - x 2 + - x 2 - - x 2 + ...
2
2
8
P or últim o, se co n v ierten los exponentes negativos a positivos y se obtiene e l d esarrollo:
\
1
1
1
= x 2 + — ------- r + —
2x2
------ =-+...
lx 2
%x2
EJ E IC IC IO 9 5
Desarrolla tos sig u ien te s binom ios:
i. ( 3 - 2 * r
5. ( ^ - l ) 6
z
6. ( 2 - , ) '
1 0. ( a:3 + 5 y 3) 3
14. ( 3 a + 1 ) ’
3. ( x - 2 y f
7. p +
.1 . ( * - l ) -
1 5. ( at+ 2 ) '
* M
, íf - .r
1 2. ( 2 at— 1) ~3
1 6. ( at- 2 ) ' 4'
9 ( H
J
1 3. ( at- 1 ) " 4
i
(i+ , r
4
f
f ' f
V s rifle a t u s re s u lta d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e --------------
C á lcu lo del hésimo término
fó r a d ete rm in a r e l i-ésim o térm in o d e l b in o m io (a + b)R, se utiliza la siguiente fórm ula:
i-ésim o
0 * -l)!
E JE M P L O S
1
.1 .
• • C a lc u la e l c u a rto térm in o d e (2j»r+ 3) .
S o lu ció n
UJ
E n e ste c a s o i = 4, por tanto, e n e l num erador só lo h abrá tres facto res num éricos:
4o. térm in o = ^
^
1
( 2
*
) ^
(3 )^ = | | M
( Z t )I ( 3 ) 5= I 0 ( 4 a » ) ( 2 7 ) = 1 08 0 .r:
E ntonces, e l cu arto térm ino d e l bin o m io ( 2 * + 3)s e s: 1 0 8 0 a:2
2 3 0
C a p ítu lo
9
Potenciodón
2
• • E tte rm in a e l sexto térm in o de ( - t + l ) 2.
S olución
Para e n co n trar e l se x to térm in o se to m a e n c u e n ta que i = 6 y, p o r tan to , só lo s e tie n e n c in c o térm in o s e n e l num erador,
luego:
S e x to té r m in o =
í r í ^ R
~
3h
^ l {x^
{lr
=J
- X~ h r
=
2 5 6 a: 2
T
Por tanto, e l se x to térm ino d e l b in o m io (-* + 1)2 e s:
2 5 6 a: 2
E J E R C IC IO 9 6
Determ ina e l térm ino que se indica en cada uno de b s siguientes ejercido s:
1. T ercer térm in o d e (3 a:+ 5 )7
5. O ctav o térm in o de (3 a: - 5 ) 10
2.
Q u in to térm in o de
6. Sexto térm in o de ( x - 2 ) " 4
3.
C u a rto térm in o de ( 4 x y - 7 )6
7. Q u in to térm in o d e ( a : - l)" ‘
1
4 . Sexto térm in o de ( 8a: + l)S
1
8. C u a rto térm in o d e (4 a :+ 9 )5
M irifica t u s r e s u lta d o s a n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Triángulo de Pascal
Al d e sa rro llar e l bin o m io (a + b )", los elem entos tie n e n co m o coeficientes:
,
n (/i-l)
w (n -l)(n -2 )
1,* ,----------------- j -----L etcaera.
E specíficam ente:
(a + b )° = 1
(a + b ) 1 = a + b
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b2
(a + b )3 = a 3 + 3><?b + 3 ab2 + b 3
y a s í sucesivam ente.
E l triángulo de Pascal se form a con los coefidentes de los elem entos a l elevar un binom io a una p o ten d a n con n e Z \
E ntonces se tom an los coeficientes de los térm inos:
(a + b f
1
(a + b )1
1 1
(a + b)2
1 2
(a + b)3
(a + b)*
1
1 3
1
4
3
6
231
1
4
1
9
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
A hora bien , los extrem os de c a d a p otencia siem pre so n la unidad y los sig u ien te s núm eros de c a d a p otencia se
o btienen a l su m a r dos a dos los dígitos que s e tie n e n e n e l renglón in m ediato superior.
E JE M P L O S
1
• ® H alla los co eficien tes de (a + b f .
.1 .
S o lu ció n
iu
A este binom io le an te ce d e (<a + b)*, cuyos coeficientes son:
(a + b)*
1 4
6
4 1
luego se c o lo ca la unidad a los extrem os y s e su m an d o s a dos de la siguiente form a:
1
1+4
4+6 6+4
4+1
1
Finalm ente, los coeficientes son:
( a + b)s
2 ••
1 5
10
10 5
1
D esarrolla e l sig u ien te binom io (3 * - 2y)4.
S o lu ció n
A l to m a r los núm eros d e l triángulo e n la fila de un bin o m io co n potencia 4, s e tiene:
(3 x - 2y)4 = l(3 x )4 + 4(3x)3( - 2 y ) + 6 ( 3 x ) \ - 2y )2 + 4 (3 * )( - 2y)3 + 1 ( - 2y)4
= (8Ur4) + 4(27A - 2y ) + 6 (9 * W
) + 4 (3 * )( - Sy3) + (1 6 y 4)
= 81* - 2 1 6 ^ y + 2 1 6 * V - 96*y3 + 16y4
3 ••
D esarrolla e l sig u ien te binom io (x 2 + 2y)6.
S o lu ció n
S e utilizan los coeficientes p a ra la p otencia 6 y s e obtiene:
(x 2 + 2 y f =
= l ( / ) ‘ + 6 fx 2f ( 2 y ) + 1
+ 2 0 ( / ) 5(2y)3 + 1 5 ( / ) !(2y)4 + 6 ( / ) < 2 / 5 + 1(2 y f
= (* “ ) + (*x'°)(2 y) + 1 5 ( / ) ( 4 / ) + 2 0 C / X 8 / ) + 1 5 ( / ) ( 1 6 / ) + 6 (^ K 3 2 y s) + ( 6 4 / )
= x a + 1 2 /° y + 6 0 / / + 1 6 0 / / + 2 4 0 / / + 1 9 2 / / + 6 4 /
EJE ÍC IC IO 9 7
Desarrolla tos sig u ien te s binom ios co n el triángulo d e Pascal:
1. ( 2 x + l) 4
7. (x 2 + 5y)6
4. (1 - x ) 6
2. (3 - 2y)7
5. (5 m - 2 r if
3. ( r + 1)8
6. (a + 2b)*
10.
( H
‘■ ( M í
9. ( x + y - 2 f
11. ( r - 1 ) 12
12.
m
V e rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n te
2 3 2
i
C
a p ít u l o
10
Ra d ic a c ió n
H ISTÓ RICA
O
1C
o
s
E l sig n o ra d ic a l
C
hristoph Rudolff (1 5 00-154 5), alemán,
publica en 1 5 2 5 el primer tratado de
álgebra en alemán vulgar titulado Coss.
En esta obra aparece, por primera vez, el sím­
bolo Ó , para indicar la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número se
designaba antes del siglo XVI con un punto delante del número.
En el siglo XVIII Leonhard Euler utilizó por primera vez nuestro actual símbolo
de raíz, originado de la deformación de la letra V , la primera letra de la
palabra radix con la que se designaba a la raíz cuadrada.
Leonhard E uler (1707-1783)
10 C a p í t u l o ____________________________________________________________________________________
ÁlG EB R A
R ad ica l
L a expresión
Va recibe e l nom bre de radical y se d efine com o:
V a = b s i y s ó lo s i b" = a
Elementos d e un rad ical
Un radical e s una expresión algebraica, q u e s e form a co n los siguientes elem entos:
coeficiente, radicando e índice de raíz
Ejem plos
Coeficiente
R adicando
ín d ic e de raíz
2
3
2
1
2xy
3
5*
3^y
4
2^3
5x*y¡3x2y
R aíz principal d e un rad ical
S e a a u n núm ero real y n en te ro positivo m ayor a 1:
© S i a = 0 , e n to n c e s Va = 0
© S i a > 0 , e n to n c e s V a = b ta l q u e fr" = a
Ejem plos
y¡25 = ± 5 porque (5)2 = 2 5 y ( - 5)2 = 25.
/ T
i
( íY
i
Í T =3porqueU J =TO S i a < 0 y n im p a r, e n to n c e s Va = b c o n b < 0
Ejem plo
l f - \ 024 = - 4 p o rq u e ( - 4 ) 5 = - 1 024.
© S i a < 0 y n p a r, e n to n c e s Va no e s n ú m e ro r e a l.
Ejem plo
•J -9 no e s un núm ero real, y a que no existe un núm ero x , ta l que: x 2 = - 9 .
R a d ic a l co m o exponente
Sea
Va un núm ero real, entonces e ste radical se expresa com o:
Va = a■
2 3 4
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
Teoremas
O ( " /a )" = a
D em ostración
Se expresa e l ra d ic al \ía c o m o exponente, se ele v a la expresión y se obtiene:
(V 5 )’ = ( a - ) " = < r = a
Por consiguiente, ( \ ''a )
=a
Ejem plo
O btén e l resultado de ( n/5 ) .
Solución
Se a p lic a e l te o re m a y s e d e te rm in a que:
(7 5 )'= 3
O
v a " = a si a <
0 y /i e s
im p a r
O
v a" = |a | si a < 0 y n es par
Ejem plo
Ejem plo
D eterm in a d resu lta d o de
O btén la siguiente raíz: y ( - 8 1 )4 .
S olución
So lución
Se a p lic a e l teo rem a y s e obtiene:
Se ap lic a e l teo rem a y el resultado e s:
^
= -2
*/(-8l)" = | —8 1 1 = 8 1
O Sea e l ra d ic a l " a " la ex p resió n equivalente e s
el ex ponente d e l ra d ic a n d o e l n u m erad o r.
, donde e l índice e s e l d en o m in ad o r d e la fracció n y
D em ostración
El radical s e expresa c o m o exponente fraccionario y s e m ultiplican los exponentes:
m
1
E je m p lo s
M PLO S
1
• • E x p resa \ x *
c o n ex ponente fraccionario.
S olución
A l dividir e l exponente d e l radicando por e l índice de la raíz resulta:
2
• • ■ E x p r e s a Vm c o n ex ponente fraccionario.
S olución
E n este ca so se tra ta de una raíz cu a d ra d a y e l exponente de la base e s 1, por tanto, e l índice e s 2, entonces:
m - Vm
2 3 5
-
m2
10 C a p í t u l o
ÁlGEBRA
3
• • - E x p r e s a el ra d ic al Sy J ( a + b f c o n ex ponente fraccionario.
S o lu ció n
Se d ivide e l exponente por e l índice y resulta:
^ (fl+ ó )3 = (« + * )*
4
• • - E x p r e s a el ra d ic al Ijx* + y4 c o n exponente fraccionario.
S o lu ció n
E l radicando e s un polinom io que se to m a c o m o un so lo elem ento, e sto es:
Se a p lic a la división d e l exponente en tre e l índice y s e obtiene:
\’lx r + 7 = lj(x‘ + y ‘ )‘ = ( * * + / ) *
EJE ÍC IC IO 9 8
Representa e n form a d e exp onente fraccionario b s siguientes radicales:
ii. t¡ x y
16. ¡ & - 1 &
7.
12. ^ 7 + 7
>7. l - T x + t f
3. V 7
*■ V M
13. ^
lo . v m
4. V a 1
9.
14.
1. \/m
2.
6.
17
5. s ¡ ¿ '
s¡5x
10. ’^
y
7
^ 7 + T j7
15. t x + 2 y )"
f
\n
19. y ¡ m ( n + p f
20. H T n f' V 7
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Representación de un exponente fra cc io n a rio com o ra d ica l
m
D ada la ex p resió n a* s u representación c o m o un radical e s: \ c F , donde e l num erador e s e l exponente d e l radical y
e l denom inador e l índice de la raíz.
E J E M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
"5.
.1 .
tu
1
• • E x p resa e n form a de radical: y 3.
S o lu ció n
E l exponente del radicando e s la unidad y e l índice de la raíz e s 3, por tanto:
¿ = 3n/ 7 = ^
2 3 6
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
2
• • ‘E scribe co m o radical: 4 (m + n ) * .
S olución
El exponente del radicando e s 2 y e l índice de la raíz e s 5, e l coeficiente 4 perm anece igual, por lo que resulta:
4 (m + n ) s = 4 \,(m + n ) 2
3
• • - T r a n s f o r m a a radical la siguiente expresión: * 3 + y 3.
Solución
Se tran sfo rm a a radical c a d a uno de los sum andos y se obtiene:
i
i
x s+ y* =
+
EJE IC IC IO 9 9
R epresenta e n form a d e radical.
i
1. V
3 2 1
9. - z ' y *
13. (2 x + y ) s
2
1
10. ni* - ti*
1
14. ( m + n ) 2
1
1
11. a 7 +¿>7
15. ( a 3 + * 3) 3
1
1
12. x * - y*
16.
5. ( W ) ‘
4
2. 5 ’
6.
2
3. m 3
2
7. l y 5
4. (3 y )T
8. 3a sb 7
(Syf
3
8
2
Var¡fiea t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ■
Teoremas
Los teorem as d e los exponentes tam bién s e aplican a los radicales, y a que s e expresan co m o exponentes fraccionarios.
©
" j a - b c = "¿a-V b-síc
D em ostración
Se ex p resa e l radical co m o exponente fraccionario y s e ap lic a e l te o re m a correspondiente de exponentes p a ra obtener:
i
"Ja b e =(a b
c)
i
¿
"=¿1" bn
i
cn=
Ejem plo
R ealiza: j 2 S y .
Solución
Se a p lic a e l te o re m a y s e de te rm in a que:
!¡2¡¿ry = t l 2 l í ? l f r
2 3 7
"ja •"jb ■"je
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
o
n
i.ib
D em ostración
Se expresa e l radical c o m o exponente fraccionario y se ap lic a el teo rem a:
i
i
a"
a _ (flV
b ~ {b )
, p a ra d em o stra r que:
sfa
~
Vb
Ejem plo
Efectúa: y y .
S o lu ció n
Se ap lic a el te o re m a para la división y d espués e l d e l producto p a ra obtener c o m o resultado:
¡5a _ v'5a _ v'5 4 a
\ 3 ~
O
&
* $ 0 = ^0
D em ostración
Al a p lic ar los teorem as de los exponentes, se d e m u e stra que:
i
i\ r
i
Ejem plo
D esarrolla: \jt/3 x .
S o lu ció n
C o n los respectivos teorem as se d ete rm in a que:
C á lcu lo d e raíces
P a ra o b ten e r ra íc e s de c an tid ad e s nu m éricas o e xpresiones a lg eb raicas, s e a p lic a la fó rm u la c o m o se ilu stra e n los
siguientes ejem plos:
a
= a'
E JE M P LO S
1
I.
# • O btén: v 16.
S o lu ció n
Se descom pone e l ra d ic an d o e n su s facto res prim os y se a p lic a la fó rm u la a n te rio r para ob ten e r co m o resultado:
\/l6 =Jl* =2^=22=4
2 3 8
C a p itu lo
Rod ¡coció n
2 • • Obtén el resultado de: V^243.
S olución
Se expresael radicando de la siguiente manera:
-2 4 3 = (-3 )5
Se aplica la fórmulay se obtiene como resultado:
\/- 2 4 3 =
= ( - 3 ) '= - 3
3 • • Determina la raíz de: \64a:3.
S olución
Se expresacada uno de los elementos del radicando de la siguiente manera:
64*3 = 2 V
Se aplica el respectivoteorema de radicales para obtener como resultado:
^64? =
4 • • Efectúa la siguiente operación:
= 2 ?J
= 2 >x = 4 *
32x'V 243y0 '
Solución
Se descomponen los coeficientes en factores primos yse aplican los respectivos teoremas para obtener:
3Zr5 _ ¡¥ 7 ~
\ 243y
5 • • Encuentrael resultado de:
\¡ ¥ 7
V35y°
_ ix
3| yT
t¡¥ y *
V
g ]\ .
S olución
3 *
U/t
1
u
Se aplica el teorema de la división y se extrae la raíz:
4
3* ( V I
1
5 y 2
Se multiplican las expresiones y se simplifica el resultado para finalmente obtener:
6
\5 x y 2
1
4 5 Ay2
3
• • ¿Cuál es el resultado de \/(í —3a:)6 ?
Solución
Se aplica la fórmula para obtener como resultado:
^ ( 1 - 3 * ) 6 = ( 1 - 3 x) ’= ( 1 - 3 x)2
2 3 9
10
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
7
• • - O b t é n e l resultado de N/ l - 8 * y + 16*4y4 .
S o lu ció n
Se facto riza la expresión:
i- 8 * y + ió * y = (i-4 * y )2
Se a p lic a la fó rm ula p a ra extraer la raíz:
J l - S x 2y 2 + \ 6 x y
= v( i-4 í y ) ! = (i-4 í y ) 5 = |i - 4 í y
Por tanto, la raíz de la expresión e s: |l - 4 x 2y 21
EJE
ÍC IC IO
1 0 0
D eterm ina las sig u ien te s raíces:
1.
sñ29
6, M
11. * /2 7 m V
16 .
2.
?/8
7.
12. Í 5 / 2 Í 6 ? 1
17. ± J { x + S ) '
3.
flíi
8. 4 3 ^ 3 2
13. x y 2i l l 6 x ‘ y ‘2
18.
V 16
5/2Í6
n/25
J x ' - l x 2/
+ /
N/x:2 + 2 x y + y 2
4.
v Í9 6
9.
5.
f2 S 6
10.
*/=64
14. m n
15.
y2" ¡25x2m
xm\
.
32
m 5 „>°
yu
19.
3*
**
y¡x2 - \ 0 x y + 2 5 y 2
2 x -\0 y
a:2 +
20.
4xy + 4y2
V
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d a so lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
Sim p lificació n
U n ra d ic al de la fo rm a v a " c o n m > n , se puede sim p lific a r ex p resa n d o a m c o m o un p ro d u cto d e b a se s d o n d e e l
exponente de una de ellas e s m ú ltiplo de n.
E JE M P LO S
«*»
1
.a>_
• • Sim plifica e l siguiente radical:
n/ ?
2.
S o lu ció n
UJ
E l radicando s e descom pone e n factores, de la siguiente m anera:
x 13 = x l2x
Se a p lic a e l teo rem a de radicales para e l producto y s e obtiene:
= U x ,2x = Zlx12 ! l x = x * iJ x = x i !Íx
2 4 0
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
2
Reduce la siguiente expresión: j j 2 x 3y * z s .
Solución
E l c o eficie n te 72 s e descom pone e n su s factores prim os y las bases s e ex p resan com o:
72 = 2 3 -32 = 2 2 -2 -3 2
* 3 = * 2*
z 5 = z 4z
Se ap lican los teorem as co rrespondientes y e l radical se sim plifica co m o sigue:
>/72*3y V = y l ? ‘2 ‘$ ¿ x f z Az = 2 ^ -3U y U >/2*Z = 6 x y V > / S z
P o r consiguiente, la sim plificación e s: 6xy V %/2xz
3 ••
Sim plifica: ^ ^ 1 2 8 x :6y5z.
S olución
Se d esco m p o n e 128 e n factores prim os y la b a se y se expresa de esta m anera:
y s = y 3y 2
1 2 8 = 2 7 = 2 6 -2
Se procede a sim plificar la expresión:
Finalm ente, e l resultado e s: 2 x 2y l¡ 2 y 2z
4
• • Sim plifica la expresión: — 3|5 4 q ^ c
3 V
8 a:
S olución
Se descom pone c a d a uno de los elem entos que co n fo rm a n e l radicando y s e sim plifica para o b ten e r co m o resultado:
2 }l'5 4 a V c 7 _ 2 , 2 -3 3a W c 6c _ 2
3 V
8 a:4
3 V
3
2 3 a:3a:
3 >a*b*c3 J 2 a c
3 3
2 3a:3
V x
2 í 3 a frV
3{
2x
o frV J 2 «
a:
V
a:
E J E R C IC IO 1 0 1
Simplifica b s sig u ien te s radicales:
9. 2{¡243xsy z
1. , / ?
5.
2. J Z l x W
6. (¡625x'y'
10. 5 t'8 0 a V e *
3. <J(Am,n 1z‘
7. 3 V 5 0 o V
11. 2\ll29m, na
4. \/2 7 m 5n '5
8. 5 j 9 p ‘q 1
12. 2xl)x‘? z >
241
,Í 2 a c
3 I_
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
13.
- 3 m ¡ /l2 8 m 'V "
19.
25.
v'9m 5 - I 8 m ! n
2 /
14.
i v í 8a5
20. \ l ^ r -
26.
vW
,5
|? / 3 2 a V
2,
„
\‘T I a 'b ’ - S i a ' b '
16.
|* 6 0 m V p !
22.
28.
* m J - 2 m B + n J )J
17.
¿ * 7 Í V
23.
29.
!¡2 K (x + yy ( x - y y
24. £ * J“ Z
* 8 1 /
30.
v 4 ,~ 4 m t m :
^
7
, 8.
§ 3y
^ 7
+ 4 0 i V + 2 5 iy '
V» rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Introducción de factores
S e e sc rib e e l fa cto r o los fa c to re s que s e d e se an introducir e n e l radical, elev ad o s a u n expo n en te igual a l índice del
radical.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
1
.SL
• • Introduce e l coeficiente del ra d ic al 3\¡2 a la raíz.
S o lu ció n
IAJ
E l coeficiente s e introduce e n el radical elevado a l cuadrado:
372 = 7 (3 7 -2
Se realizan las operaciones correspondientes y s e obtiene:
= \Í9 -2 = 7 Í 8
Por tan to : 3>¡2 = V Í8
2
• • 'I n t r o d u c e en la raíz 2 x \ j y e l coeficiente.
S o lu ció n
S e c o lo c a den tro del radical el coeficiente 2 x e levado a l exponente 3:
2 ,* = ^
f~ y
Se d esarro lla la p otencia y se re aliz a e l producto para o b ten e r co m o resultado:
2 4 2
C a p itu lo
Rod ¡coció n
3
■Introduce los factores e n e l ra d ic al 2 x * y tfx y * .
S olución
Se c o lo c a e l coeficiente den tro de la raíz c o n ex ponente 4:
Z r ’y V V
= H
V
Se d esarro lla la potencia y s e re a liz a la m ultiplicación:
= t¡ \6 x Y x y 2 = t¡ Í 6 7 7
P o r tanto, e l resultado e s: *>j\6x9y 6
4
• • Introduce el coeficiente e n e l radical: 7 ? ?í— .
b
\ a
S olución
L a fracción e n tra e le v ad a a l índice d e l radical, se realizan las operaciones y s e obtiene:
5 ••
3a J 2 b
J Í 3 a ) 3 2¿>
A l i a ? 2 b _ i \54a*b _ J 5 4 a ¿
b¿ \ a
\V b ¿ )
V b6
Introduce 3a e n el radical de la expresión:
a
a
V ab6
V b5
3a
,— — .
\¡2 a 'x
Solución
Se sig u en los m ism os pasos que e n los ejem plos an te rio re s y s e obtiene co m o resultado:
(3 a )2 _
3a
sj2a*x
6
V
¡9 a 2_
VI t f x
3*
H T
\ 2ax
Introduce el coeficiente d e l ra d ic al —i — J x 2 - y2 a la raíz.
* -y
Solución
E l coeficiente s e introduce y s e e le v a a l cu ad ra d o y la fracción resultante se sim plifica:
\x + y
x -y
E JE R C IC IO 1 0 2
Introduce a la raíz b s factores:
3 J5
4.
^
7.
5yJl
5. - 5s/3
3
8.
4V 2
6.
9.
. 5 a 2b 2c \J2 a c
m 3rt \'wm
a 3|4 b
b V 5a
243
10
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
•3-
15•7^ 2%?
4 a: \ 3 y
16. (2 a +
14.
b )M
\3 a
,7- —+ J a^
».
18. Í ± 1 . U 1 x - \ Va: - 1
20.
jc-
2
A :+ a \
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
2a*
=
Sum a y resta
E stas operaciones s e e fec tú a n s i y só lo si e l índice del radical y el ra d ic an d o so n iguales (radicales sem ejan tes).
a tfd
+ b Trf - c * fd = ( a + b - c ) 7 d
EJEM PLOS
1
o_
• • R e a líz a la siguiente o p eració n : 3 7 5 + 4 7 5 .
S o lu ció n
UJ
L os ra d ic a le s so n se m ejan te s, p o r tanto, se re a liz a la o p e rac ió n únicam ente c o n los co eficien tes y s e o b tien e co m o
resultado:
3 \ ¡ 5 + 4 s Í 5 = ( 3 + 4 ) 7 5 = 7 n /5
2
• • - S im p lif ic a la siguiente operación: 5 7 3 * + ó 7 3 x - 1 0 7 3 * .
S o lu ció n
L os radicales so n sem ejan tes, entonces se realiza la operación c o n los coeficientes y e l resultado es:
5 7 S + 6 7 S - 1 0 7 3 Í = (5 + 6 - 1 0 ) 7 3 Í = ^
3
• • - ¿ C u á l e s e l resultado de ^ 7 5 - i 7 6 + ^ 7 6 - 7 5 ?
S o lu ció n
Se ag ru p an los radicales sem ejantes:
\ ifs
3
-i
4
&
+i
2
&
- í/5 = 11/5 - Vs - i ./ó+ i^ 6
Se re aliz a la reducción:
Finalm ente, e l resultado e s:
3
\ 5 + i v6
4
2 4 4
3
4
2
C a p itu lo
Rod ¡coció n
4
• • - R e d u c e la siguiente expresión: 3 y s¡2 x - 2 x y ¡ 3 y + 5 y \¡ 2 x + 7 x j 3 y .
Solución
Se ag ru p an los térm inos sem ejan tes y se sim plifican p a ra obtener c o m o resultado:
3>yj2x - 2 x y f i y + 5 y \ / 2 x + 7 x ^ 3 y = 3 y j l x + 5 y j 2 x - 2 x y ¡ 3 y + 7 x y¡3 y
= (3 y + 5 y )y ¡ 2 x + (-2 x + 7 x )fiy
= S y j2 x + 5 x y ¡ 3 y
5 • • - Sim plifica la siguiente
expresión: 3 \¡2 0
+ 4 J 12 -
2 v '4 5 - v'75.
Solución
Los radicales no so n sem ejan tes, entonces s e efec tú a n las sim plificaciones de c a d a radical:
x/20 = \¡2?~-~5 = 2 y j5
-s/l2 = \¡2?~-3 = 2y¡3
V45 = > / 3 M = 3 > / 5
N/7 5 = ^ 5 ^ 3 = 5 V3
Se reem plazan los radicales y s e re aliz a la reducción para obtener:
3 v/2Ó + 4 7 Í 2 - 2 n/ 4 5 - %/ 7 5 = 3 ( 2 v/5 ) + 4 ( 2 V 3 ) - 2 ( 3 > / 5 ) - 5 > / 3
= 6 n/5 + 8 n/3 - 6>/5 - 5 > ^ = ( 6 - 6 ) n/5 + ( 8 - 5 ) n/3 = 3 n/3
6
• • - E f e c t ú a l a siguiente o p eració n : ^ 1 8 x 2y i + x ^ ¡3 2 y i - 5 y¡ 2 x 2y i .
S olución
Se sim plifica c a d a uno de los radicales y s e re aliz a la operación, e l resultado es:
V
T
s
T
/
-5 > /2 ^ =
+
a:
- 5V 2?7y
= 3 t y y f f y + 2 2x y y j2 y - 5 x y > ¡ 2 y
= 3 x y y j2 y + 4 x y s¡ 2 y - 5 x y sl 2 y = 2 xy^¡2 y
7
••
Sim plifica a y j\2 a b + V98¿>sc - 5 ^ 3 0 ^ - b \ 18b e + a \í3 a b .
Solución
Se sim plifica c a d a uno de los radicales:
= a '¡ 2 2 3 a b + ^Í2 1 2 b 2b c - 5 ^ 3 a 2a b - b J 2 3 2bc + a ^ 3 a b
= a ( 2 s l ^ ) + 7 b s l 2 b c - - 5 [ a s /3 á b ) - - b ( 3 j2 b c ) + a s Í 3 ^ b
= 2 a y / ^ + 7 b J 2 b c - 5 a y ¡ 3 ^ b - 3 b J 2 b c + a y ¡ rM
Se ag ru p an los térm inos sem ejan tes y se re d u ce n para o b ten e r c o n » resultado:
= 2 a J 3 a b - 5 a > j3 a b + a j 3 a b + l b J 2 b c - 3 b 4 2 b c
= -2 a j3 a b + 4b4?bc
2 4 5
10
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 1 0 3
Realiza las siguientes o p e racio n es co n radicales:
1. 3 n/ 5 + 2 v 5
20.
a \ '4 b + yJa 2b + J 2 S a 2b
2.
2 3 /3 -7 3 /3 -3 /3
21.
3 / 2 ^ + 4 ^ 3 /3 ^ + 3 3 7 5 7
3.
4 n/ 7 - 8 > / 7 + 6 n/ 7 - 2 > / 7
22 . 4V 3 2 7 - 4 X 2 3/512
4.
3 N /5 + 2 N /7 -4 X /5 + 6 V 7
23.
5.
2 > /3 - 4 v / 2 + 5 V 3 - 2 V 2 - 1 0 > / 3 - V 2
24.
6. - 7 Í 0 - Í 7 Í 3 + Í V Í 0 + - 7 Í 3
4
6
2
25.
3
a 2b \ 'c + ^ -a 2 J b 2c - ] - b \ !a*c + ^ -a 2b ^ c
4
3
2
fo a V
b \ l \ 6 2 a 9b
6
4
2 , ¡ 2 r i*
l a 2b ^ 2 ¿ b
£
^ 2 7 5 ^ 6
5 ^
^
12 “ 8
3
4 " 4 " 2
26.
6 3fin - 1 0 3ím
27.
V4 9 ^ - V 5 0 Í V + ^ n/ 9 ? -
28.
x / x V - J 4 8 r 5y 2 - x y ^ A x y * + y> j27xs
10. 5 f ¡ x y - 2 í l x y - ^ i f x y
29.
3x\¡2y + n/tsV - 2 \/2?y -
11. */28 + v'175 - V63
30.
2a\¡5Q b2c + 5 c \ 2 7 a 2b - 3 ^ 3 2 a V c + n/ V & c 2
12. 2> /Í8 + 5 x/ 5 0 - 4 n/2
31.
3 ^ i y -5 J4 V
13. 3 > /7 5 + 2 n/ Í 2 - 4 > / 2 4 3
32.
1 5 ¿ > t é a V + 6 a 3 '3 a V 4 - 5 { l 5 a 6b 7 - 6 Ú S a 9b H
14. 2 n/ 4 5 + 3 > /Í 8 + > /2 Ó - n^
33.
i V 20a3 + i\'3 a ¿ > 3 - ^ f l / 5 ¿ r
15. 2 > / 7 2 - 4 N/ l 8 + 5 V l 2 - 3 v / 4 8
34.
16. 2>/98 - 3>/80 - n/3 3 8 + \/20
35.
17. 3 \/4 0 5 - 2 n/9 9 + 2 > /5 0 0 - 4 - / Í 3 3 Í
36.
V 16a - 3 2 + >/25a - 5 0 - V 9 a - 1 8
18. - v /4 5 0 - - V 8 0 0 - - %^ 2 0 + v'80
5
4
5
37.
x/*3 + 2 jc2 + 3lCn/ at+ 2 —5^/ a:2 ( a: + 2)
38
9 V * V - 3 x 2y3 - 2 x y yj 4 x - \ 2 y + 5 x sjx y 2 - 3 y 3
7
8.
9.
19.
O
2 a yf x y 2 - 3 ^ j a 2x y 2 + 4 y\¡a * x
v'3 4 3 a4 + a 2J \ 7 5 - 3 ^ 7 ?
° V 16
"
8
- 2 x l ¡ 6 4 f +y\¡3¡2x
x y 'J x f
5 a b ¡2a 5
3 \ 9b +
1
]5a¿>6
3*\ 12
,
"
|8 a 3
V 9b +
_ 5a V
V
48
v ,rific a tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
M ultip licación
C o n ín d ic e s ig u a le s. C u a n d o los índices de los radicales s o n iguales, s e m ultiplican los radicandos y s e sim plifica,
de s e r posible, e l resultado.
* l a - ! ¡ b ‘ t¡c = \ !a b c
2 4 6
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
EJEM PLOS---------------------------------------------------------•
■ §.
1
••
M ultiplica y sim plifica la siguiente expresión: 7 8 • 7 2 .
.1 .
Solución
Se m ultiplican los radicandos y e l radical resultante s e sim plifica, e l resultado es:
7 8 -\/2 = 7 ( 8 ) ( 2 ) = 7 Í 6 = v^ = ( 2 4) 5 = 2 2 = 4
2
• • ■ R ealiza la siguiente m u ltiplicación: l¡9 x y 2 • $ 9 x * y .
S olución
Se re aliz a e l producto de los térm in o s internos de los radicales y e l resultado s e sim plifica:
{Í9x,? • ! ¡ 9 ? y = 3/(9*y2) ( 9 * 4y ) = ^ W
3
=
= # '3 r Y
/ = 3xy &
• sjóx^y5 • y]%xy4 .
• • - E f e c t ú a e l sig u ien te producto: ^
S olución
Se re aliz a e l producto de los radicales y e l resultado s e m ultiplica por el coeficiente para ob ten e r co m o resultado:
2 v ¿ ? 7 V iv =
4
= f v
• • ■ R e a liz a la siguiente o p eració n :
W
= f ( 2 2v / ^ ) =
a 5a
j-
S olución
Se re aliz a e l producto d e l m onom io por c a d a uno de los térm inos d e l binom io:
Se sim plifican los radicales y el resultado final es:
= \ XW
)"
W
í ) = \ ¿ y 2 - \ * y 2J x
E J E R C IC IO 1 0 4
Efectúa y simplifica las sig u ien te s operaciones:
1. 7 3 - 7 6
6.
2. 7 Í 5 - 7 Í Ó
7.
3.
8.
13.
9.
14.
7 Í2 -7 6
4. ( 3 7 ó ) ( 3 7 Í 5 )
5.
y jx / -yfxy
-& 7
\ E .\ 4 7
10. \ !a
\a* Ja*
2 4 7
11.
n .
iE -E E -E E
12.
31' ^ | | 4
í/ 7
)
15. ( - 2 E d > ^ - l 6 ¡ ? b ) [ £ F b ' )
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
I j í
17.
21. ( V 3 - 4 ) 2
26.
22- ( 7 - j 2 - & ) ( 7 s l 2 + S )
2 7 . \ /l + x / í • V i - n / Í
28.
18.
s¡6 (S -* )
23. (\/2 m + n ) ( 7 2 m - 4 n )
19.
\/5 ( \/2 5 - v /s )
24.
+ tfy +l j f )
25. s f i + y - ^ - y 1
20.
J l^ i
■tf ' / * - S
29.
tl'3x2- 6 x y + 3 /
>f
30. 'J(l + j 2 y . ; J ( j 2 - ¡ y
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
C o n índices diferentes
Para m ultiplicar rad icales co n índices diferentes s e b u sc a un índice com ún, que re su lta d e l m ínim o c o m ú n m últiplo de
los índices de los radicales y recibe e l nom bre de m ínim o co m ú n índice.
Ejemplos
EJEM PLOS
1
• • R ealiza la siguiente o p eració n : \¡5x* J 3 x .
S o lu ció n
Los índices de las raíces so n 3 y 2 respectivam ente, se b u sc a e l índice com ún:
2
3, 2
3, 1
3
e l m ínim o co m ú n índice e s 6
1, 1
Se tran sfo rm an las raíces a un índice 6, de la siguiente m anera:
V i ? = '^ ( 5 , ') ' = ^ i v
Se e fe c tú a la m ultiplicación, s e sim plifica e l radical y se o b tien e co m o resultado:
< S V * S V
2
= ‘ / ( 5 V ) ( 3 V ) = V 5 2 . 3 3 . x 7 = \ ;5 2 • 3 ?
x 6x = xV éT Sx
• • ■ R e a liz a la sig u ien te o p e ra c ió n : $[x*y J x y .
S o lu ció n
Se b u sc a e l m ínim o co m ú n índice de 4 y 2
4, 2
2, 1
2
2
m ínim o co m ú n índice = 4
1, 1
Se tran sfo rm an las raíces a índice 4 y s e re aliz a la m ultiplicación:
t¡ 7 y jx y = ^
{* Í ( x y Y = ijT y i¡x2y 2 = tj(x 2y )(x 2y 2) = i[7 y * = x ífx y *
2 4 8
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
EJE IC IC IO 1 0 5
Efectúa las siguientes operacio n es:
5
l . i l i d i
.
9,
3
13.
\ f a \ í a <Ja
]
14.
3.
“7 7
4. 7 v
^
72A
i. € 7 4Tx
11.
n-¡7 s¡y‘4y
8-
12- p - 4^ y
15.
j( v V
iT xfy^z
M trifk a t u s re s u lta d o s a n la sa c c ló n d a so lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
División
Con índices iguales
Se re aliz a la división d e los radicandos y s e sim plifica e l resultado.
— - J*£
tIb ~ U
Ejemplos
EJEM PLOS--------------------------------- -^ = -----------------•
••
R esuelve la siguiente operación: —7— -.
V 3a:2
S olución
Se hace la división y e l resultado s e sim plifica p a ra obtener:
^
=
73?
«
Z
S
=
7
V 3^
2
t7
= 73V =3*
n
/Í28aV
• • E fectúa la siguiente o p eració n : — ; ■■»■— .
V8fl ¿>
Solución
Se dividen las expresiones, s e sim plifica e l resultado y s e obtiene que:
V sT Í
_
3 • • ■¿C uál es
e l resu lta d o de
= J ^ 4 f =J ñ *
=
V 8 a !í>
= 2 !í>’ v'a = 4 é ! 7 ¿
l j U 5 x , y '2z .
■ —
?
y 320* y z
Solución
L os coeficientes de las expresiones se sim plifican y se re aliz a la división co n las bases:
7 l 3 5 * V JZ
n ^ 7 7 7
j2 7
^
J2 7
xyz
^
,0 1
J 27
xy
Se sim plifica e l radical para o b ten e r finalm ente:
h 6
z3
22
2 4 9
Z
^
4z
^
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
« g
E .
\4 a b c
S o lu ció n
Se d esco m p o n en los co eficien tes e n sus factores prim os y se ap lican los respectivos teo re m a s de exponentes:
L /8 -V fe -y
« ¡4 rte -
4,'( 2 T « w
,p A
“ V
- ) l T
J .- .J 2
e
= V2
J 1
•]- * * * * *
V
O
^
. 1 ,.2
- V2
“
*
c
4 p ^
« V
< »V
= \liV = W
= i r
Por consiguiente, e l resultado es:
4¿>
EJE JC IC IO 1 0 6
Realiza b s siguientes cocientes d e radicales:
5.
m n
2
5 ^ 7
Vlfi^ V
9
y ix y
6
L-3888a V
|0
v W ftV
?
V 5ac
4
v/l28-t y
■ jZ x 'y 2
g
u
- J lí a b 9
v '5 6 7 m V
'
y 'S Q z V
'
,2
14
-Jlx2
'
V 275«V
]g
V 624P?
'
, fi
v ^ ie m n V 2
‘ v' 5 W
V lW m V 5
2Q
V
C o n índices diferentes
Se tran sfo rm an los radicales a un índice com ún y se re aliz a la división.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
.a».
tu
,
|
n/Í2 8
• • E fe c tú a la sig u ien te división: - j = - .
So lu ció n
E l m ínim o co m ú n índice d e 2 y 3 e s 6, s e expresa c a d a uno de los radicales co n e ste índice:
T Í2 8 = V2 f = w ^ ( 277 = t / F
Se rem plazan los rad icales y s e e fe c tú a la división:
VÍ6
4 ?
V2
2 5 0
? 3 2 ? ?
V -3 7 5 m V
' v I 5 3 m V p 's
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ie n te
O
-q_
tf3 1 2 S y V
< to r n a n 2
|5
\l2 4 3 y V 2
\jT2y 6x
\ 14 0 4 s ‘y~*
'
> /Ü ü V
vA 4«y
17
■ v W ’a
' Í 5 4 Z- V 2
xM-gft
'
jf lS t-w -
J» 2 » -«
,3
' V l6 m -V u
L 'M ?
3
n / 9 ^
t f 6 = & 7 = <*2^ 2 ‘ f = 5/2i '
¡ ¡ ll x 'y '2
\¡576x~f y~H
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
Z
• • Sim plifica:
V *V *
j '
•
¡Jx y
Solución
Se en cu en tra e l índice c o m ú n de 8 y 4, s e tran sfo rm an los radicales y se obtiene:
5/1
EJE IC IC IO 1 0 7
Efectúa las sig u ien te s divisiones:
3/6
\¡ 2 a 2b
S
tla V
2. ■ J* 7
3.
q
■ tM
6. \ 4 Z a + ^ 2 4 a
6
t ¡ l 2 x 3y
a.
n
7. € ? * { l l 2 5 a 2
^
V4 a 2
g
. ^ ?
V x -l
15. 'í (f l- 6)5
\¡4 x y 2
■J6x2
- \lia b +
, 4
. o / 'g
12
r
$ ¡(a -b )5
7 l2 a V
"+>fi
Ü 4ab
Vferíflca t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te i
R a cio n a liza ció n
Racionalización del denom inador d e una fracción
E sta o p e rac ió n tran sfo rm a a l d enom inador e n una c an tid ad racional.
C
c o n m < n s e m ultiplica e l num erador y e l d e n o ­
D e n o m in a d o r m o n o m io . En una fra c c ió n de la form a
m inador por si b ”~m :
a _ a
"sjbm
'_a4 ^ '
\ !b m ”'Jb"~m
”sfb*~mtm
\b ”
b
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
1
I
• • R acionaliza e l d e n o m in a d o r de: -^= .
S olución
E l factor, por e l q u e s e m ultiplica e l num erador y e l denom inador, re su lta de la expresión l¡2 y es igual a : si2 5"1 - \ / A
Se re aliz a la m ultiplicación y s e obtiene:
_L = _L
^
_
y 2 "^ 2 ‘^ 7 "
251
3 ^ ~ _3^4
&
=
2
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
• • - R a c io n a liz a e l d enom inador de:
\l$ * y
S o lu ció n
E l fa c to r que m ultiplica la expresión e s $j(5xy)*~* = \¡(5 x y f
A l re aliz a r la m ultiplicación, se d e te rm in a que:
ix y
3 ry
ij(5 x y f
3 xyt¡(5xyY
Ix y fa x y )3
3 ac j T i
ry
3
• • R acionaliza e l d enom inador de la ex p resió n ,3/— .
V 4 a:
S o lu ció n
Se se p a ra la expresión co m o el c o c ie n te de raíces, se m ultiplica num erador y d enom inador por e l con ju g ad o de y/2?x
y s e ra c io n a liz a p a ra obtener co m o resultado:
J T _
ijl
V 4í
C
_
L/3
^ /2 ? _
l!¥ ~ x
^
1
&
2 í
2a:
D e n o m in a d o r b in o m io . U n a e x p resió n de la form a —
s e racio n aliza m ultiplicando a l num erador y den o a±b
m inador por e l con ju g ad o d e l denom inador, e sto es:
Si e l denom inador es de la fo rm a a + b , en to n ces e l co n ju g ad o e s a - b .
Si e l denom inador es de la fo rm a a - b , entonces e l co n ju g ad o e s a + b.
E l producto de binom ios conjugados es una difere n cia de cuadrados:
(a + b ) ( a - b ) = a 2- b 2
E n la m ultiplicación ap lican las leyes de los exponentes y los radicales p a ra sim plificar las expresiones, c o m o se
m uestra a co n tin u ació n e n los siguientes ejem plos:
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • R acionaliza e l num erador de la expresión:
S o lu ció n
E l conj ugado de \¡S - 2 e s S
+ 2 que m ultiplica a l num erador y denom inador:
3
J S -2 ~
3
sÍ
y /5 + 2
3 ( > /5 + 2 )
5 - 2 \ Í 5 + 2 ~ ^ 2.( 2 ) 2 ~
Entonces, e l resultado de la racio naliza ció n es:
3\J5 +6
2 5 2
3J5+ 6
5 -4
3 n /5 + 6
_
1
„ ,7
+
C a p itu lo
10
Rod ¡coció n
2
*R acionaliza e l denom inador de
la expresión:
^ '3 x + 3 j 2 y
S olución
E l co n ju g a d o d e l denom inador e s v 3 * - 3 ^ 2 y , a l m ultiplicar e l num erador y e l denom inador s e reduce la expresión
y e l resultado es:
_
-J z i-jr y
x / 3 ^ - 3 ^ _ ( '/ ^ ) Í - 3 , / ^ - '/ f o y + 3 ( '/ 2 ^ ) ~
S x + ljly
( 7 3 Í f - (3 v/ ^ )’
_ 3 * - 4 N/ 6 j t y + 3 ( 2 y )
to -9 (2 y )
_ 3 x - 4 sj 6 x y + 6 y
3 * -1 8 y
A l final, e l resultado de la racionalización es:
Para racionalizar una expresión, cu y o índice d e l radical es 3, s e m ultiplica p o r una ex p resió n que dé co m o resultado
una su m a o difere n cia d e cubos.
Si e l d enom inador es de la form a (a + b), su co n ju g ad o e s (a2 - ab + b2).
Si e l d enom inador es de la form a (a - b ), su co n ju g ad o e s (a2 + a b + b2).
L os resultados de la m ultiplicación so n los siguientes:
( a + b X a 2 - a b + b2) = ai + bi
( a - b)(a2 + a b + b 2) = a 3 - b 3
Ejem plo
R acionaliza e l d enom inador de la expresión:
* /í-r
S olución
E ntonces, e l co n ju g ad o d e l d e n o m in a d o r y f x - 1 es:
( \Z í) 2 + ( \ Z í ) ( l ) + ( l ) 2 o b ien
+
+ 1
Al m ultiplicar el num erador y e l d enom inad or por e l conjugado d e l denom inador, resulta una expresión equivalente
que carece de raíces en e l denom inador.
2
=
iTx- 1
2
+ & + ¡ = 2 ^ J ? +^
« 5 -r* 7 + « + i
+ l) = 2 ? f ? + 2 } f c + 2
( ^ ) ’ -(i)J
x~'
E JE R C IC IO 1 0 8
Racionaliza el denom inador en las sig uientes expresiones:
1
&
2
J5
4
'
3a _
6*^
1 - 1'25
3' f e
• ^
J L
il?
6. —= =
t¡2xy
2 5 3
^
OTa
8.
‘
-V
Ifitfb
10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
9.
fá L
2
12.
10.
11.
,g.
15.
3 -V 2
V 8A3y
J 16 ab3
\ 2 5 a2b5
13.
16.
1 -V 5 Í
-1
1 -V 3
14.
I7 .
—t= —
19.
4 ía -4 2 b
' lTx - 1
I z í
20.
i+ S
1 -2 7 3
Racionalización del numerador de una fracción
E sta o p e rac ió n perm ite tran sfo rm a r e l num erador e n una c an tid ad racional.
J¡ym
Sea la f r a c c i ó n
, la racionalización d e l num erador es:
a
4m ir _ V b "
a
" 'V ™ __ ^ b m' H~m _
a
"¿b^
a t fb ™
'fb*
_
a '4 b ™
b
a "'Ib™
S O jd lU S lj
EJEM PLOS
1
# • R acionaliza e l num erador e n la expresión:
S o lu ció n
E l fa cto r por e l cu al se m ultiplicará ta n to num erador c o m o denom inador e s J 5 x
J5 x_ = y¡5x > / 5 = V 5 V
3a:
2
3a
' JSx
3a:>/5*
=
5a:
lx j5 x
=
5_
3 j5 x
• • • R a c io n a liz a e l num erador e n la expresión:
4at - 9 y
S o lu ció n
Se facto riza e l d enom inador y se m ultiplica por e l con ju g ad o de la expresión \¡2 x - f e y para obtener:
=
4 x 2- 9 y 2
-J li-fiy
-J 2 j + ^ 3 y =
( 2 x + 3 y ) ( 2 x ~ 3 y ) \¡2 x + v 3 y
~ ( ^ f
(2 x + 3 y )(2 x -3 y )(j2 ¿ -t-fij)
= ___________ 2 x - 3 y __________
{ 2 x * 3 ,) [ 2 x - 3 ,^ 2 x + ^ y )
_
1__________
‘ (2 x + 3 y ) ( J l i + ^Y y )
3
• • • R acionaliza la expresión: J x + \¡3.
S o lu ció n
Se m ultiplica la expresión por s u conjugado, tan to e n e l num erador c o m o e n e l denom inador, e n e ste c a s o J x r
.
+
_ J x + y/3 s f x - &
1
2 5 4
_ ( ^ ) “ (> /3)
¿ ¿ S
_
a t-3
¿ c -J i
C a p itu lo
Rod ¡coció n
4 ••
R acionaliza e l num erador e n la expresión:
y+ 2
m
S olución
D ebido a que las raíces so n cúbicas, s e lo m a e l con ju g ad o de la expresión: l j y + l l 2 co m o
P o r lanío:
l¡y + t¡2 = & + 1Í2 f j y 2 - í¡2 y + 3/4 =
y+ 2
y+ 2
^ - l ¡ T y + i[ i
(fó f+ (i¡ 2 )'
( y + 2 )(? jy í - t f f y + l f i )
= _______ y * 2
____
( y + 2 ) ( jf- ! ¡ 2 - y + i.f4 )
1
EJE ÍC IC IO 1 0 9
Racionaliza tos num eradores d e las sig uientes fracciones:
1.
2
73
6. —
3*
578
16.
37óJ
17. y f x - s / 5
1 2 a:
4 a:
o
^
r
tl*y
, 0
19.
x -9
,5
. ^
6xy
&
S
Jx + 2 jy
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te i
2 5 5
\fx -3
jc —27
14.
X2
5 - 2xy’
18.
+
* 1
u jI
w
wl
1
'
\0 x -\2 y
20.
\¡ a -2 \fb
a -8 ¿ >
& -fy
y2
“4
10
C
a p ít u l o
N ú m ero s
i
i
c o m p le jo s
HISTÓRICA
Los n ú m e ro s co m p le jo s
O En el siglo XVI Rafael lo Bombelli fue uno de
los primeros en admitir la utilidad de que los
números negativos tuviesen raíces cuadra­
das. Fue el primero en escribir las reglas de
suma, resta y producto de los complejos.
O En 17 7 7 el matemático suizo Leonhard Euler
simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la
letra / (por imaginario), introdujo la forma binómica /2 = —1 y con él
definitivamente se introducen los imaginarios a la matemática.
O Gauss, en su tesis doctoral de 1 7 9 9 , demostró su famoso teorema fun­
damental del álgebra: todo polinomio con coeficientes complejos tiene
al menos una raíz compleja, y estableció en 1831 la interpretación geo­
métrica de los complejos: x + yi -» (x, y).
O Otros términos que han sido usados para referirse a los números com­
plejos son: “sofisticados" por Cardano, "sin sentido" por Néper, "inex­
plicables" por Girard, "incomprensibles" por Huygens e "imposibles"
(diversos autores).
Cari Friedrich G auss
(1777-1855)
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
N úm eros im aginarios
E l c o n ju n to de los núm eros im aginarios surge de la n e ce sid ad de obtener la raíz cu a d ra d a d e un núm ero negativo para
lo c u a l se d efine c o m o unidad im aginaria: i = 7 = 1 .
N úm ero im aginario puro
Se denom ina a s í a los núm eros de la form a
bi dond e b e s un núm ero re a l y b * 0.
Ejem plos
L as siguientes can tid ad es so n núm eros im aginarios puros:
2 ¡ ,- 4 i, | í ,
Si
E n los siguientes ejem plos se ilustra c ó m o o b ten e r núm eros im aginarios puros:
EJEM PLOS
1
# • O b té n e l resultado de: 7 = 2 5 .
S o lu ció n
iIT
Se expresa e l radicando com o: - 2 5 = 2 5 ( - l ) y se a p lic a n los teo re m a s co rrespondientes de radicales:
7 = 2 5 = 7 2 5 (-l) = 7 2 5 7 = 1 = 5 7 = í
S e su stitu y e -/—I = i para obtener:
7 ^ 5
2
=57= 1 = 5
i
• • ■ ¿ C u á l e s e l resultado de 2 - J - 7 7 ?
V 16
S o lu ció n
Se ap lic a e l m ism o procedim iento que e n e l ejem p lo a n te rio r y s e obtiene co m o resultado:
EJE LC IC IO 1 1 0
Representa las siguientes raíces en térm inos d e la unid ad imaginaria i:
1. V—16
5.
7 -6 2 5
2.
7=36
6.
7=8
10. 7 -1 6 2
3.
7=49
7.
7=50
11.
7-1 2 1
8. 7 = 5 4
4.
9.
7 -1 2 5
j~ ñ
15.
16.
j - ?
2 5 8
14. 2 - 7 -1 1 2
V 49
12.
V s rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
13. 3 + 7 - 3 6
í - 7 * *
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
Suma y resta
Para re aliz a r e stas operaciones se su m an o restan los co eficien tes d e i:
ai +bi-ci =(a +b-c) i
EJEM PLOS
í
i #.■E fec tú a la siguiente o p eració n :
1
7 -3 6 + 4 v -9 .
S olución
Se obtienen los nú m ero s im aginarios puros:
v - 3 6 = ^ 3 6 ( - 1 ) = 6 7 - 1 = 6/
7 - 9 = j 9 ( - l ) = 3 7 - 1 = 3i
Se rem plazan los radicales y se realiza la operación p a ra obtener co m o resultado:
7 = 3 6 + 4 7= 9 = 6 / + 4 ( 3 /) = 6 / + 1 2 / = (6 + 1 2 ) / = 18/
¿ C u ál es e l resu lta d o de: 7 = 5 + ^ v —4 5 - - i 7 - 2 0 ?
Solución
Se expresan las raíces e n térm inos de la unidad im aginaria:
7 = 5 = v '5 ( - l ) = v/5/
7=20 = y jl2 - 5 ( - l ) = 2 7 5 /
= ^/32 - 5 ( - l ) = 3 7 5 /
Se su stitu y en los núm eros y s e realizan las operaciones:
7 ^ + 1 ^ 4 5 - 1 x / ^ Ó = V 5i + ^ (3 x /5 i) - i ( 2 x / 5 í )
= 7 5 i + 2 7 5 / -7 s/
= (7 5 + 2 7 5 -7 5 ) i
= 275 i
3 #•
D eterm ina el re su lta d o de: i 7 - 4 + - 7 - 9 - - 0 - 2 5 .
2
5
3
S olución
Se extraen las raíces, se m ultiplican por los coeficientes y se re aliz a la operación p a ra obtener c o m o resultado:
I ^ 4 +| 7 ^ _ I^ = I(2 í)+ | (3 i)4 (5 / )= i+ | i4 i
f,
6
= (1+H
5V
8 .
,= Ü '
R ealiza la siguiente o p eració n : 7 = 7 2 + 7 - 4 8 - 7 - 1 6 2 - 7 - 3 0 0 .
Solución
Se expresa c a d a uno de los radicales e n térm inos de la unidad im aginaria:
7 = 7 2 = 7 3 6 2 -7 = 1 = 6 7 2 /
7 = 1 6 2 = 7 8 1 = 2 -7 = 1 = 9 7 2 /
7=48 = 7 1 6 ^ - 7 ^ = 4 7 3 /
7 = 3 0 0 = 7 1 0 0 - 3 •7 = 1 = 1 0 7 3 /
{continúa)
2 5 9
1 1
C a p it u l o
ÁLGEBRA
{continuación)
Se sustituye y se procede a efectuar la operación:
7 —72 + > £ 4 8 - 7 -1 6 2 - 7 -3 0 0 = 6 72 i + 4 7 5 / - 9 7 2 / - 1 o75¿
= 6 7 2 ; - 9 7 2 ¡ + 4 7 3 / - 1075i
= ( 6 7 5 - 9 7 í) ; + (4 7 3 -1 0 7 3 );
= -3 ^ ;-6 -/3 i
= ( - 3 7 2 - 6 7 3 ) í o = -3 (7 2 + 2 7 3 );
Finalmente, el resultado de la operación es: ( —3 ^ 2 —6 7 5 ) i o = - 3 ( 7 2 + 2 7 5 ) ¡
EJE LC IC IO 1 1 1
Efectúa las sig u ien te s operaciones:
1.
7^9+37^4
2.
> P Í 6 + v/2 5 - > / =9 - > / 4
3.
V ^4 - 3 x ^ 1 + 4 n - 9 - 5 v1- 1 6
4.
8.
!T ^Z 7 + i ^ 5 0 4 ^ ñ
3
2
4
9. ^ n/ 4 i + 3 > / 9 - Í > / - 1 0 0 + 2
10. 1 3 - V (9 )(4 ) + 4 > ^ 2 5 - 2 0 /
+
11. - s / - ? +
at-s/^-9
—n/—16 a:2
5.
v ^ + v ^ - n / ^
12. y J - l & x ' + x s . t & c - S x ^
6.
3 \[ - 2 + 2 \ ¡ ^ S - sf^ 3 2 - v ^ d 8
13. « /-6 5 6 1 + V ^ 5 6
7.
^ +
^ 7 5 - ^ 9 8 - ^
14.
+ £ * * /I ^
V srífica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Potencias d e /
Se obtienen a l elevar la unidad im aginaria i = >/—I a la e n é sim a potencia, c o n n € N.
/' = /
I2 = ( ^ T ) 2 = - 1
/3 = /2 / = - ! / = - i
i 4 = i 2 -12 = ( - 1 ) ( - 1 ) = 1
P ara las potencias m ayores q u e 4, los resultados so n equivalentes a los anteriores; c o n e l fin de poder determ inarlos,
la potencia se descom pone de la siguiente m anera:
i" = i 4" 4* = i* c o n « = 4 m +
D onde n, m y k e N, adem ás n > 4 y k < 4
2 6 0
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
E J E M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------]
• • ¿C u ál es e l resu lta d o d e i 13?
.1 .
Solución
UJ
L a p otencia i 13 s e rep resen ta co m o sigue:
y!3 = y
12+1 = J - 4 ( 3 H
Se a p lic a la fórm ula a n te rio r y s e obtiene:
Por tanto, s e deduce que: i
2
= i
• • O b té n e l resultado de: i'6 + 2 / 9 - i 11.
S olución
Se obtienen los valores de las potencias de /:
i 6 = ¿« O - = y2 = _ !
i 9 « i * * = i> = i
i u = j 4» * 3 = i 3 = - i
Al su stitu ir estas equivalencias y re aliz a r las operaciones se d ete rm in a que:
i 6 + 2 i9 - i u = - l + 2 i - ( - i ) = - l + 2 i + i = - l + 3 í .
EJE ?C IC IO 1 1 2
Desarrolla las potencias y sim plifica las o p eraciones:
1.
i 14
9.
2 i ,7 + 3 í 21 - y 5
2. i 15
10. i 55 - r + Í 77
3.
11. i 9 - 2 i 12 + i ,s -3 Z 23
3 i31
4. i 58
5.
y65
12.
i 100 — | 2 4
13.
y2 + y4 + y6 + y8 +
+ y2- g j „
gg
j ^
, .
6. 2 i 3 + 3 i 5
14. i 3 + i 5 + i 7 + i 9 + . . . + ; 2"+l s i n e s p ar o im par
7. i 8 - t 9 + i'°
15. H a lla e l resultado de: i + i 2 + i 3 + . . . + / '“
8.
16. V erifica la siguiente igualdad: i"+l + i" +2 = - i " + i" +l
i 4 + / 3 - 3 i 16 + 4 i 5
V erifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rra s p o n d ia n ta
AAjItiplicación y división
Para re aliz a r e sta s o p eracio n es, los rad icales s e tie n e n q u e e x p resa r e n térm in o s de i, posteriorm ente s e a p lic a n las
siguientes fórm ulas:
f ó r a n ú m ero s im a g in ario s la o p e ra c ió n * /-2 • n/—2 * %/( - 2 ) ( - 2 ) , y a q u e v a - \íb - Va
verdaderas s i a y
so n positivos.
261
y
=
só l° so n
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
E JE M P L O S ------------------------------------------------------------------5 ^
1
• • D e te r m in a d resultado de-
|
v-4 .
N'6
iu
S o lu ció n
Se expresan las raíces e n térm in o s de /, ¡ara después realizar la operación:
2
• • - E f e c t ú a e l producto de: 7 ^ 9 - 7 ^ 2 8 - J - j -
S o lu ció n
Se expresan las raíces e n térm in o s de i, re realiza e l producto y e l resultado es:
3 ••
E fec tú a
S o lu ció n
S e obtienen las raíces:
v - 2 5 = s/2 5 ( - l) = n/25 • - £ ¡ = 5 ¡
J ^ 4 = f i f í ) = 4 i v £ í = 2¡
Se sustituyen las equivalencias y s e de te rm in a que:
V -2 5
5/
5
4 ^
2i
2
___________ ,
. . , \ / - 4 8 + V—7 5 — \/-T 4 7
O b té n e l co cien te de: -------------- j — ------------ .
V—12
4 ••
S o lu ció n
Se sim plifican los radicales, se realiza la división y se obtiene c o m o resultado:
7 - 4 8 + 7 - 7 5 - 7 - 1 4 7 _ 4> /3f ■»5>/3 i - 7 > / 3 / _ 2 7 3 /
=
7^12
5
2%/3 i
• • Sim plifica la siguiente expresión:
273/
.
S o lu ció n
S e sustituyen las equivalencias de c a d a potencia y se sim plifica:
i4 - 2 / 2 + l
i3- / 5
(l)-2 (-l) + l
"
(-/)-(/)
2 6 2
~
1+ 2 + 1
4
2
-2 1
= - 2¿ =
i
1
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
EJE ÍC IC IO 1 1 3
Realiza las sig uientes operaciones:
•/—12
1. 7 ^ 3 - 7 ^ 2 7
11.
2.
12.
7^5
7 = 8 -7 ^ 6 4
7 ^
7 - 4 + y '- 4 9
3.
^ - 7 ^ - T
13.
^
T ío o
14.
7 -5 + 7 -4 5 + v-2 0
7^125
15. ( T ^ + T ^ - T ^ s o j + T ^
16
6'
25
7.
8.
81
V
16.
(i3 + i5) + ( l - , )
4*
1
I7 - 74
i4 - 2 i 2 +1
5 (3 x /^ + 2 v t9 )
18.
V -1 8 (V -2 + V -3
f-i™
;2«
;"-2
7 -1 4 4
9.
19.
79
7=36
20.
10.
" ^ V - 2 ,- 3
i + i 2 + i 3 + ... + i ,“ '
i + / 2 + i 3 + . ..+ i 9W
7 5
M irifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
N úm eros com plejos
Se form an por una parte real y una im aginaria.
Son de la form a z = a + bi, c o n a, b e R, donde:
a = R e (z ) parte real y b = Im (z ) parte im aginaria
U n núm ero com plejo s e rep resen ta de las siguientes form as:
fo rm a re c ta n g u la r o binom ial
fo rm a c a rte sia n a
z = a + bi
z = (a ,b )
z=a
z = ( a ,0 )
z = b¡
* « (0 ,b )
EJEM PLOS
• • R ep resen ta e n form a c a rte sia n a los núm eros co m plejos: z, = - 4 + 5i, Z j= 2 i, z, = 8.
Solución
F o rm a c a rte sia n a
Zi = - 4 + 5 /
Z ,= ( - 4 , 5 )
z 2= 2 i
z2= ( 0 , 2 )
23=8
23= ( 8 ,0 )
2 6 3
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
2
• • - R e p r e s e n ta en form a binom ial o rectangular los siguientes núm eros com plejos: z ,= ( 3 , - 1 ), Z j= ( 2 ,0 ) y z ,= ( 0 , - 3).
S o lu ció n
F o r m a b in o m ia l
2, = ( 3 , - 1 )
2, = 3 - 1
2a = ( 2 , 0 )
23 = (0, - 3 )
2, = 2
z3 = - 3 /
EJE IC IC IO 1 1 4
Representa b s sig uientes núm eros com ptejos e n su form a binom ial o cartesiana, seg ún sea e l caso :
1. 2 + 3 /
7. (0 , - 2 )
2. ( - 1 ,5 )
8.
3. 7/
9. (3 ,0 )
4
4
2 5 3 "4 '
1
3
10.
5. 5 - 2 /
11.
(i-
12. 1 - /
« 8 H )
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Suma y resta
S ean los núm eros co m p lejo s z = a + b i, w = c + d i
Se define:
z + w = (a + c ) + (b + d ) i = (a + c , b + d )
z - w = ( a - c ) + ( b - d)i=(a - c , b - d )
E JE M P LO S
-q_
1
• • S ean los núm eros co m p le jo s z = 2 + 3 / y w = - 4 + 6/, realiza: (z + » v ) y ( z - » v ) .
S o lu ció n
iu
Se aplica la fórm ula para la su m a y la resta, p a ra obtener:
Z + »v = ( 2 + 3 / ) + ( - 4 + 6 / ) = ( 2 + ( - 4 ) ) + ( 3 + 6 ) / = - 2 + 9 /
Z - »v = ( 2 + 3 0 - ( - 4 + 6 / ) = ( 2 - ( - 4 ) ) + ( 3 - 6 > ' = 6 - 3 /
2
• • ■ ¿ C u á l e s e l resultado d e (4 - 2¡) + ( - 3 + 4 0 ?
S o lu ció n
Se aplica la fórm ula de la re sta y s e obtiene:
( 4 - 2 0 + ( - 3 + 4 0 = ( 4 + ( - 3 ) ) + ( - 2 + 4 )/= 1 + 2 / = ( 1 , 2 )
2 6 4
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
3 ••■Efectúa la siguiente operación: (- 5 , - 4) - (- 6, 1 ).
S olución
Se representan am bos c o m p le jo s e n s u form a rectan g u lar y s e re aliz a la operación:
( - 5 , - 4 ) - ( - 6 , 1) = ( - 5 - 4 i ) - ( - 6 + / ) = ( - 5 - ( - 6 ) ) + ( - 4 - 1) / = 1 - 5/
E ste resultado tam b ién se rep resen ta c o m o ( 1 , - 5 )
4 •-
R esuelve: ( | + | i
S olución
Se expresa e l segundo su m an d o e n s u form a rectangular y se e fe c tú a la sum a:
-4 4
• (4 3
P o r consiguiente, e l resultado e s: - ^ + ^ 1 o
AAjItiplicación por un e sca la r
Para e fe c tu a r la operación s e m ultiplica el e sc alar por la parte real e im aginaria d e l núm ero co m p le jo co m o lo indica
la siguiente fórm ula:
c { a + b i) = a c + b c i
E JE M P L O S
1
.1 .
# • R ealiza la operación: 3 ( 2 - 5 / ) .
Solución
iu
Se re aliz a la m ultiplicación de 3 por am bos elem entos d e l núm ero com plejo:
3 (2 - 5 i ) = 3 ( 2 ) - 3 ( 5 / ) = 6 - 1 5 /
Por tanto, e l resultado de la operación e s: 6 - 1 5 /
2
• • - O b t é n e l resultado de: 3 ( 7 - 4/) - 2 ( - 3 + 2 /) .
S olución
Se re aliz a e l producto de los esc alare s por los núm eros com plejos:
3 ( 7 —4 / ) —2 ( —3 + 2 / ) = ( ( 3 ) ( 7 ) —( 3 ) ( 4 ) /) + ( ( —2 ) ( —3 ) + ( —2 ) ( 2 ) /)
= (2 1 - 1 2 / ) + ( 6 - 4/)
= ( 2 1 + 6 ) + ( - 1 2 —4 ) /
= 2 7 -1 6 /
265
11
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
S o lu ció n
Se m ultiplican los coeficientes, s e ag ru p an los térm inos sem ejan tes y s e reducen:
P or consiguiente, e l resultado e s: 3 - —/
1. ( 3 ,2 ) + ( 7 , - l )
2.
( - 2 , 5 ) - ( - 3 , 5)
3.
( 1 ,- 3 ) + ( - 3 , - 2 )
4.
(0 , —6 ) —(—5, 0)
8.
( 7 2 , - 3 ) - ( 0 , 2)
9.
( 7 3 , 7 2 ) - ( 0 , 0)
10. Si Z = 2 + 3 / y Z, = 5 - 4 i , e n c u e n t r a z + z ,
11.
Si Zi = 3 —2 /
y
z2 = 3 + 2i,
obtén Zi + z2
12.
Si z, = 4 - 5 /
y
Z2 = 4 - 5/, en cu e n tra Zi - Z2
13. Si iv = 3 - 4 / y iv, = 2 + 7i, re a liz a iv, - iv
14. Si z = 1 - *', z , = 1 + / y Zi = i , e n cu e n tra z , - z + Zj
15.
Si z1= 7 —3 / y z2 = 4 -
16.
Si z = 2 - 3i , z ,
, c a lc u la z ( + z2
= 10/ y Zj
= 2 + 3 / , re aliz a Z+Z2 - z .
2 6 6
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
17. Si z ,= - - - i y ¿2 = í 7 , 7 i,e n c u e n tr a z,
5
O
\ 5
O y
18. Si Z, = - + - i, 2, = 7 - 7 / y z 3 = 7 - 2 / , ob tén z , - ( ^ + Zj)
4 6
2 3
4
19. S i z, = 1 - i, Z¡ = - 2 + 5 i y z3 = 1 + 3 /, en cu e n tra 2 , - 2 2 + 23
2 0 . Si z, - 3 - 2 1, z2 = - 4 - / , y z3 = - 2 - 3í, ¿ cu á l es e l resu lta d o d e 2 z , - 3z2 + 23?
2 1 . Si z, = 7 + 4 /, Zj = 6 - 2 / y z, = - 3 - 3/. E fec tú a : z, - ^
1 3
2 2 . Si z, = 7 - - / ,
2 4
^
+ “ 23
2
3
3
2? = 4 - 7 /, y z3 = 1+ 7 '- E fec tú a : 4 z , - - 2, + 5 z 3
3
2
4
V srifica tu * re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu cio n e* c o r r e s p o n d ie n t e .
M ultiplicación
S ean los núm eros com p lejo s z = a + b i y w = c + di, se define e l producto com o:
z • w = (a + b¡)(c + d i) = (a c - b d ) + (a d + b c)i
E JE M P L O S
• • R ealiza la siguiente operación: (3 - 2 i ) ( - 4 + Si).
I.
Solución
AJ
Se o bserva que: a = 3, b = - 2 , c = - 4 y d = 5, a p lican d o la definición s e obtiene:
(3 - 2 ¿ X - 4 + 5 0 = [(3 K - 4 ) - (-2 X 5 )] + [(3X 5) + ( - 2 ) ( - 4 ) ] i
= ( - 1 2 + 10) + ( 1 5 + 8)1
= - 2 + 23/
2
o
( - 2 ,2 3 )
• • H a lla e l resultado de: (2 - 5 0 (2 + 5/).
Solución
Se identifican los valores
a =2
b =-5
c = 2 d= 5
Se a p lic a la definición: (ac - b d ) + (a d + b c)i, para d ete rm in a r que:
(2 - 5 0 (2 + 5 0 = [(2 )(2 ) - ( - 5)(5)J + [(2 )(5 ) + ( - 5 )(2 )j/
= ( 4 + 2 5 ) + ( 1 0 - 10)/
= 2 9 + 0 / o (2 9 ,0 )
3
• • ¿C u ál es e l resu lta d o de
+
j
Solución
Al a p lic ar la definición se obtiene:
(continúa)
2 6 7
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
= 11 +
11+ 14
14
57.
" 5 + 10'
E J E R C IC IO 1 1 6
Efectúa las sig u ien te s operaciones:
1. ( 3 - 4 / ) < - 3 - 2 f )
2. (2, 3X 1, - 1)
3 . (2, 0X 3, 2)
4. (1 - ¿ X 2 , - 1)
5. ( 1 + 2 i) 2
6. ( 7 2 , ^ ) ( 7 2 , V 3 )
7. S i z = ^ , ~ j y w = (2 ,3) , d e te rm in a z » v
8. Si z, =
y Zz= ( ° » \ / 2 ) , e fe c tú a z, ^
9. Si w = 6 - 2 / y »v, = 3i, en cu e n tra iv- w,
10.
S iz =
( 4 , - l ) Zi= ( 2 , - 3 ) y z 2 = (-1 * 1 ) obtén z2(z + Z i)
11.
Si z =
1 —3* iv = Q , o j y v = 2 + /, d e te rm in a z (» v -v )
12. S i z = ( l ,2 ) Z |= ( 2 ,0 ) y z 2=
e n cu e n tra
z
- Z | - 4 z2
13. Si z = 1 - 3i, d ete rm in a z2
14. S i iv =
| , i j , e fe c tú a tv2
15.
S i Zi =
3 + 2 / y z2 = 1 - 3 i, e n cu e n tra (zi *z2 )2
16.
Si z =
1 + / y »v = 1 - i , re a liz a z2 • w 2
17. Si z = 2 / - 3 ,
w = 1 - 2 / y v = 4 + 3 # ,re aliz a la operación: 2 z - 3 » v + v
18. Si z, = 6 - 3 í , Zj = 4 + 2 / y Z3 = ^ - ^ 1, de te rm in a : ^ Z , + ^ Z 2 - 6 z3j
19. P ru e b a q u e s i z = a + b i y w = a - bi, en to n ces z* w = R e (z )2 + I m ( z ) 2
20 . P ru e b a que s i zl = 1+ / y z2= l - 1, e n to n c es z," •z2" = [ R e ( z ,) + R e(z2) J
■
21. P rueba q u e s i w = ( l , l ) en to n ces iv2,= ( - 1 ) ( 2 ,0 ) " c o n n p ar e N
22. P ru e b a q u e s i w = ( l , l ) en to n ces »♦**"= ( 0 ,2 )" c o n n im par e N
Vb rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
2 6 8
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
División
z
a+ bi
Sean los c o m p le jo s z = a + W , w = x + y i, la división — = ------- :
T
w
x + yi
Se define com o:
z_ _ a+ b i _ í a x + b y \
( b x -a y ).
w
W + y 2)'
x+ yi
W + y 2)
Ejemplos
E JE M P L O S
• • R ealiza la siguiente operación:
6 + 4/
3 -5 /
Solución
Se identifican los valores:
a =6
b = 4 x =3
y=- 5
Se a p lic a la definición:
6 + 4/
(6 )(3 )+ (4 )(-5 )
(4 )(3 )-(6 )(-5 )
( 3 ) 2 + ( - 5 )2
( 3 ) 2 + ( - 5 )2
3 -5 /"
•
( 1 8 ) + ( —2 0 )
(1 2 ) —(—3 0 )
9 + 25
9 + 25
_ 1 8 -2 0
12 + 3 0 .
9 + 25
9 + 25 '
2
42.
= -------+ — i
34
34
1
21.
= ” Í7 + Í 7 I
6 + 4/
1
21.
f
1 21)
nt0, 3^17 = ~ n + Í 7' 0 [ “ n ’n j
H alla e l resultado de:
4 -/
2 + 3/
Solución
Los valores de a = 4, b = - 1 , x = 2 , y = 3, se a p lic a la definición:
4 -/
(4 )(2 )+ ( - .) ( 3 )
2 + 3/
( 2 f + ( 3 )2
. _ ( 8) + ( - 3 ) ,( - 2 ) - ( l 2 ) .
(-l)(2 )-(4 )(3 )
.
( 2 ) 2 + (3 )¡
4+9
.
= 8 -3
4 +9
-2 -1 2 .
4+9
4+9 1
5
-1 4 .
" 1 3 + 13 '
-
—
" 13
4 —/
P o r consiguiente, ^ +
5
14
—
•
13'
/ , e l c u a l e n s u form a cartesia n a e s |Í 7^
- -, -- 7^1
V1 3 ’ 1 3 J
2 6 9
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
3 • • ' R e aliza la siguiente o p e ra c ió n :
3- i'
S o lu ció n
Se obtienen los respectivos valores:
a= 2
b= 0
y = -1
*=3
Sustituyendo e n la definición, s e obtiene:
2
3 -/
4
• • D e te r m in a d resultado de:
( ( 2 ) ( 3 ) + ( 0 ) ( - l ) '> ( ( 0 ) ( 3 ) - ( 2 ) ( - l ) V
( 6 W 2 V
3 1.
{
1 10 J
5 5
(3 )2 + ( - ! ) ’
J
1
(3 )3 + ( - l ) 2
J
1 10 J
l+ i
S o lu ció n
Al a p lic ar la definición se obtiene:
’ (0)(1)+(1)(1)1
/
1+1
Por tanto, —^
l+ i
"
(1)2 + ( 1 ) 2
.
*r
0 )(D -(o)(i)l
(D2+ (i)2
.
<-
0+1
1- 0 .
.
_1 1_1 m
1+ 1
1+ 1
2
2
- - + —i
2
2
EJE ÍC IC IO 1 1 7
Efectúa las sig u ien te s operaciones:
1.
‘
1—2 1
2.
8. S i Z\ = 3 + 2 i y z2 = 1 “ 2 /, en cu e n tra —
Zi
9. S i z , = 3 + 2 / y z = l - i , re aliz a ~
•3 +
Z
10. S i z = l - 7 / y w = 1 + 2 / , d ete rm in a —
»v
3.
-— —
i
4
> / 2 -V 3 i
V 2 + V3/
i i s i z = 4 - 3 i y iv = l+ 2 i,e fe c tú a -
1 2\ 2 /
V2 i
12 s ¡ z = i _ 3 / y
5
6.
7.
1-
2=
2
= 2 + 7/ , ¿ cu á i e s e l resultado d e — ?
z
13.
S i Zi = 3 - i, 22 = l + i y z3 = y¡2 + i, re aliz a Z| + 2?
z?
14.
S i z , = 2 + i, Z2 = 1 + 2 i, 2j = 3 - 2 i y 2, = - 2 + 3/, efectúa:
Z3 +Z4
1-
Vitrifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d o so lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Representación g ráfica
fó r a rep resen tar e n e l plano cartesia n o cu alq u ier núm ero com plejo de la form a z = a + b i, se ubica a la parte re a l en
e l e je horizontal (e je re a l) y a la p a rte im ag in a ria e n el e je vertical ( e je im aginario).
2 7 0
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
Sea e l núm ero co m p le jo z = a + b¡, entonces s u representación gráfica es:
Ejemplos
E J E M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------------------------ •
• • G ráfica e l siguiente núm ero co m plejo: z = 4 + 5/.
S olución
Se convierte e n la form a c a rte sia n a z = ( 4 ,5 ) , y s u gráfica es:
E je im aginario
2
• • - G r á f ic a : Z2 = - 4 - 6 / .
S olución
Se u b ic a e l p u n to ( - 4, - 6 ) e n e l plano y se une c o n e l orig en m ediante un seg m en to de recta, y se obtiene la re p re ­
sentación g rá fic a d e z 2-
E je im aginario
E J E R C IC IO 1 1 8
Gráfica tos siguientes núm eros com plejos:
1.
Z, = - 6 + 5 i
5 .2 5 = 5 - 2 /
9 . v = ( 2 ,3 X 1 ,- 1 )
2.
*2= (A - 4 )
6.
* 6 = ( 6 -2)
3.
*3= ( - 1 . - 2 )
7.
* = ( l,2 ) + ( - 3 ,- 5 )
,1 . >v2 = ( 3 , - 1 )(2 ,0 ) —( —1,— l)
4.
z .= - 2 + 4¡
8.
Z = ( - 4 ,6 ) - ( 1 ,- 3 )
12. ^
10. w' = ~ i
_ (1 ,2 )-(2 ,-1 )
(^
Vitrifica t u s re s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
271
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Valor absoluto o módulo
E l m ódulo de un com plejo es la d istan cia que existe d e l orig en a l punto que d ete rm in a e l núm ero com p lejo . Su m ag­
nitud e s tá d a d a por la fórm ula:
z \ = \a + b¡\= sj[R e(z)J + [/m (z)J =>la2+ b2
y s u representación g ráfica es:
Propiedades d el valor absoluto
S ean los núm eros c o m p le jo s z y z,, entonces:
1. | z | = 0 s i y s ó l o s i z = 0
2. |z + z , | S | z | + | z , |
3. |z ’Zi| =
|*H*il
E JE M P LO S
1 • • O b té n e l m ódulo de z = 3 - 4i.
.1 .
S o lu ció n
UJ
Se sustituye a = 3 y 6 = - 4 e n la fó rm u la y se obtiene c o m o resultado:
| z 1= 1 3 - 4 / 1= \/( 3 ) 2 + ( —4 )2 = \/9 + "Í6 = \j25 = 5
E l resultado indica que e xisten 5 unidades d e l orig en al punto z = (3, - 4)
2
• • - ¿ C u á l e s e l m ódulo d e l núm ero co m p le jo z2 =
S o lu ció n
- rf«
Se sustituyen los valores y s e obtiene:
1
N
3
=
2
« s/3
__ .i
2
' -
Ií - í Y + í - ^ T
\¡l 2 ) + {
2 j
• • • D e te r m in a e l valor ab so lu to d e l núm ero co m p le jo
(1, 7).
S o lu ció n
Se sustituyen los valores e n la fórm ula y re su lta que e l m ódulo de z4 es:
| z4| = >/(1)2 + ( 7 ) 2 = V T T 4 9 = n/5 0 = 7 2 5 ^ 2 = 5 ^ 2
2 7 2
C a p ít u l o 1 1
Números complejos
4
•••P a ra
z = 3 + 4 / y w= 2 -
/, p ru e b a q u e |z +
»v| < |z|+|»v|.
Solución
Se obtiene
|z+>v|
L as m agnitudes de los núm eros
com plejos e n e l plano cartesia n o s e
\z + w\ = |( 3 + 4 / ) + ( 2 - / ) | = |5 + 3/|
representan tfc la siguiente m anera:
= 734
luego,
H + H
= |3 + 4 i | + | 2 - i |
= V (3)2 + ( 4 ) 2 + j ( 2 ) 2 + (—l f
= 5+75
Ftor tanto, se c o m p ru e b a que:
|z+»v| < | z | + | »v |
7 3 4 < 5 + 75
C o n ju g ad o
El co n ju g ad o d e l co m p le jo z = a + b i,s e define com o:
z = a -b i
Ejem plos
C o m p le jo
C o n ju g a d o
3+7/
3-7/
-4-8/
- 4 + 8/
-3
-3
-4/
4/
T eorem a: s e a z = a + b i en to n ces z • z = a2 + b2
P r o p ie d a d e s
Sean los núm eros com p lejo s z = a + b i y w = c + di, entonces:
1. z + w = Z + w
2 . z ' »v = z • w
3. z + z = R e (z )
4. z - z = - 2 Im (z )
5. \ z f = Z Z
6 ' S l Z * ° ' ~ z ~ ¡¡j7
2 7 3
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
D e m o strac io n e s
1. Se d ete rm in a la su m a de los c o m p le jo s z y w:
z + w = (a + b i) + ( c + d i) = (a + c ) + ( b + d ) i
L uego e l co n ju g ad o de
z + w se define com o:
z + w = (a + c )-{b + d )i
Se d esarro lla la operación, aso c ia n d o co m o se observa y se d ete rm in a que:
z + w = (a + c ) - ( b + d ) i = (a + c ) + ( - b - d ) i = ( a - b ) + ( c - d ) i = z + w
2. E l producto de los com p lejo s z y w es:
Z • w = ( a + b i ) ( c + d i ) = (a c - b d ) + (a d + b e ) i
Luego, e l co n ju g ad o d e z - w s e define com o:
z • w = (a c - b d ) - {cid + b e ) i
Se d esarro lla la o p e rac ió n y s e ag ru p an de la siguiente form a:
(ac - b d ) - (a d + b c ) i = (ac - b d ) + ( - a d - b e ) i
= (oc - H > X - ¿ ) ) + (fl (~ d ) + ( - b X c )) i
= (a - b i) (c - di)
= z-w
3. Se d ete rm in a la su m a d e l co m p le jo z y s u c o n ju g a d o z :
z - z = ( a - b í) + ( a + b i) = ( a + a ) + { - b + b ) i = 2 a + 0 ¡ = 2 a
P e ro a e s la parte real d e l co m p le jo z, por lo tan to
z + z = 2 R e(z)
4. Se obtiene la d ifere n cia d e l con ju g ad o z y e l co m p le jo z:
z - z = ( a - b i ) ~ ( a + b i) = ( a - a ) + ( - b - ¿>)i = Oa - 2bi = - 2b i
P ero b i es la parte im aginaria d e z, entonces:
z - z = 2 Im (z)
5. S e obtiene e l valor ab so lu to de z y se ele v a a l cuadrado:
| z f = (Va2 + b 2 )2 = a 2 + b 2
f t r o s i z = a + b i en to n ces z - z = a 2+ b2 por lo tanto:
| z f = (V ü 2 +¿>2 )
= a2 + b2 = z z
6. S iendo z = a + bi, s e re aliz a la división i obteniendo:
z
1 _ l+ O i
z
f(l)(a )+ (0 )(ft)
a+W [
(o )M -0 )W
a 2 +/»2
a2+¿2
}
(a 2+ ^ H f l 2+^2) í
a
~ a 2 + b2
2 7 4
b
a2+ b2 '
C a p it u l o 1 1
Números complejos
E l denom inador de c a d a térm in o e s e l m ism o, entonces se tien e que:
a -b i
_
z
a2+ b2
P e ro z = a - b i y \ z |2 = a 1+ b2, en to n ces s e obtiene:
1= j_
W*
E JE M P L O S
1
••
Z 4* IV
S i z = 2 + 3 / y w = - 1 + / , d ete rm in a ^ = - .
iS*
Solución
Se ap lic a n la s propiedades de los com plejos:
z + w = z + w = (2 - 3 i) + ( - 1 - / ) = (2 - 1) + ( - 3 - l ) i = 1 - 4 /
z ^ w = z w = (2 - 3 / ) ( - 1 - i) = - 5 + i
Luego,
2
Z+w
1 -4 #
9
19.
Z»v
-5 + /
26
26*
• • - S i z = - 4 + / y w = - 2 + 5 / , d e te rm in a 7= — ^77=— r
( h '+ » v) ( z - z )
Solución
Se ap lic a n la s propiedades de los c o m p le jo s y s e obtiene:
z-z
\z \2
(» v + » v )(¿ -z )
[2 R e (» v )][-2 Im (z )]
Se sustituyen e l valor ab so lu to d e z, e l núm ero re a l de w y e l núm ero im aginario de z:
f _________
[2 R e (w )][-2 Im (z )]
( - 4 ) 2 + ( l )2
17
17
[2 (-2 )]-[-2 (i)]
( - 4 )(-2 /)
8/
Se realiza la división:
17 = 17 1
8/
8
i
P e ro i = - L = ■ 2 1 . = - i , en to n ces s e o b tie n e ::
i
|i|
( 0 ) +(1)
17/
a
17.
= ¥ (“ ' ) = - J '
2 7 5
1 1
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 1 1 9
Encuentra e l v a b ra b s o lu to o m ódulo d e b s siguientes núm eros co m p lejo s:
1. 2 + 3 /
4. 3 i
7.
10.
j + v2<
G H
2. 5 - 4 /
5. 1 - 2 /
8.
3. 4 - 5 /
6. 6 - 7 /
9.
11.
I -
( 7 2 ,o)
12.
7 2 -3 /
19. ( 0 , - 3 )
22.
( - 1 .- 1 )
23.
-
Determ ina e l conjugado d e b s sig uientes núm eros com plejos:
13. 5 + 4 /
16. 5 /
14. ( - 5 ,0 )
17. i /
» - 1 4
15. 1 + /
18. (2,1)
21. - 2 + 6/
4
24.
Í M
Sean b s núm eros co m p lejo s z = 2 / + 1, z, =: 4 - 2 / y z, = (5,1) dem uestra q u e :
25.
|z + z ,| < |z | + | z , |
28. K z .+ ^ K z J l =
26.
|z -z ,| = | z | . | z , |
29.
27.
|z, + Z j + z |
£ |z, + z ¡ |+ |z |
I-W
\zzrZz\ = | z | ‘U i |* k l
30. \ z r z 2\+ \z2 -z\
< I ^ K l - 2.1+1 «o
N ota: E sta s dem ostraciones no se incluyen en las solu ciones.
Sean b s co m p lejo s z = 2 - 3 í, w = 1 + i y v = 2 - i , determ ina:
31.
36. (z - ¡)- (w - w )
41.
Z W
Z + »v
32.
iv + v - z - » v
37.
( v - v ) ( z + »v)
42.
V
|vf
33.
34.
Ty
38.
------
w v -z-v
39.
( z - ,v ) ( » v - v )
Z + IV
=
43.
44.
v + »v
i V+
7=-
W\
¡2
V•V
w+v
35.
\/\
(w -* v )(v -v )
/—
40.
v- V
— =
45.
z-z
Yfcrlflca t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
2 7 6
+ Z — v + JV
______________ C a p ítu lo 1 2
E c u a c io n e s
de seg u n d o grado
STÓRICA
E
n la reseña del capítulo 2 se mencionó a
al-Khwarizmi y su método geométrico para
resolver ecuaciones de segundo arado,
que se conoce como método de completar el
cuadrado y consiste en lo siguiente:
Ejemplo
Sea la ecuación x 2 + 4 x = 45
O Se comienza por construir un cuadrado de lado x, ABCD , cuya área
será x 2.
O Se prolonga el lado AB y A D en 2 unidades, resultan 2 rectángulos;
la suma de dichas áreas es 2 x + 2 x = 4x, que da como resultado el
segundo término de la ecuación.
O la figura se completa con un cuadrado de 2 unidades por lado, cuya
área es 2 • 2 = 4 unidades cuadradas.
O El área total del cuadrado es x 2 + 4 x + 4 .
O Se suman 4 unidades cuadradas en ambos términos y se resuelve la
ecuación.
x 2 + 4 x = 45
x2 - 4 x + 4 = 45
(x + 2)2 = 4 9
Por tanto, una solución es x = 5.
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Definición
L a ecu ació n de la fo rm a aX1 + b x + c = 0, donde a, b , c € R y a * 0, e s una e cu ació n de seg u n d o grad o ; al térm in o a X
se le llam a cuadrático, a b x lineal, c e s e l térm in o independiente y se clasifican de la siguiente form a:
C om pletas: ax2 + b x + c = 0
E cuaciones de
seg u n d o grado
M ixtas: ax2 + b x = 0, c o n c = 0
Incom pletas:
Puras: ax2 + c = 0, c o n b = 0
Solución de una ecu ació n d e segundo g ra d o completa
L as ecuaciones de seg u n d o grad o tie n e n dos soluciones, tam b ién se denom inan raíces.
Existen tre s m étodos para reso lv er una e cu a c ió n de segundo grado:
© C o m pletan d o el trin o m io c u a d ra d o p erfecto
Para c o m p le ta r e l trinom io cu ad ra d o perfecto se su m a n , e n am b o s m ie m b ro s de la igualdad, e l c u a d ra d o de la
Ejemplos
E JE M P L O S --------------------------------------------------1
# • R esuelve la e cu a ció n : x 2 + 4 x + 3 = 0.
S o lu ció n
S e d e ja n los térm inos e n a: e n e l prim er m iem bro de la ecuación.
¿ + 4 r + 3 = 0 -> x 2 + 4 x = - 3
(* + 2 )2 = l
Se facto riza e l trinom io cu ad ra d o perfecto
Se extrae la raíz cu a d ra d a e n am b o s m iem bros
x + 2 = ± \fl
x+ 2 = ±\
x = -2 ± \
Se d esp e ja a la incógnita
de la igualdad s e obtienen los valores de x ,
x¡ = - 2 + \ = - \ o Xi = —2 —1 = —3
Por tanto, las soluciones o ra íc es de la e cu a c ió n son: x t = - 1 o x 2 = - 3
2 ••
D eterm in a las raíces de la e c u a ció n : x * - 6 x - 27 = 0 .
S o lu ció n
Se d e ja n los térm inos e n x e n e l prim er m iem bro y s e procede a co m p le ta r e l trinom io cu ad ra d o perfecto.
X * - 6 x - T J = 0 -> x 2 - 6 x = 2 7
( * - 3 ) ’ = 36
Se facto riza e l trinom io cu ad ra d o perfecto
se a p lic a raíz cu a d ra d a e n am b o s m iem bros.
* - 3 = ±V 36
x - 3= ±6
2 7 8
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
efe la igualdad s e obtienen los valores de *,
*, = 3 + 6 = 9 o *2 = 3 - 6 = -3
Por tanto, las raíces de la e cu a c ió n so n : * , = 9 o
3
=- 3
• • E n cu e n tra la s raíces de la ecu ació n : x 2 - 5 x - 6 = 0.
Solución
E l térm in o independiente s e c o lo c a d e l lado d e rec h o d e l sig n o ig u al y se procede a co m p le ta r e l trin o m io cuadrado
perfecto,
x 1- 5 x - 6 = 0 - » * 2 - 5 * = 6
GB
i '
Se s u m a | -^ | = — e n am b o s m iem bros
25
25
*2 - 5 * + — = 6 + —
(
Se fectoriza e l trinom io cu ad ra d o perfecto
5V _49
2J
4
5
i 49
x - —= ± J —
Se a p lic a raíz cu a d ra d a
’ -
K
efe la igualdad se obtienen los valores de *,
5
7
2
.
X, = 2 ~ 2 = ~ 2 = ~
5
7
° *2= 2
12
-
2 = ~2 =
P o r tanto, las soluciones de la e cu a c ió n son:
*, = - 1 o *? = 6
4
• • D eterm ina las soluciones de la e cu a c ió n x 2 + 4 x + 5 =
0.
S olución
Xl + 4 x + 5 = 0 - » x } + 4 x = - 5
x 2+ 4 x + 4 = - 5 + 4
( * + 2 ) 2= - l
x+ 2= ± ^\
x+ 2= ±i
x = -2 ± i
de la igualdad se obtienen los valores de *, que s o n los núm eros com plejos:
* , = - 2 + i o * , = —2 —i
5 ••
R esuelve la e cu a c ió n 2 ¿
+ 7 * + 3 = 0.
S olución
Se divide la e cu a c ió n entre 2 y se co m p le ta e l trinom io cu ad ra d o perfecto.
r 2
Se su m a
2
2
. ,
= — e n am bos m iem bros
-G B
2 7
49
3 49
B + -* + — = - - + —
2
16
2
16
(icontinúa)
2 7 9
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(co n tin u a ció n )
RJ-
s e facto riza e l m iem bro izquierdo,
,
j (
16
± 44
x + ~l =
4
se a p lic a raíz cu a d ra d a e n am b o s m iem bros.
25
x ~ l ± *
4 4
Finalm ente, las raíces de la ecu ació n so n : x¡ =
6
o x¡ = -?>
• • D eterm in a las soluciones de la e cu a c ió n 3.x2 - 5 x + 2 = 0.
S o lu ció n
Se dividen am bos m iem bros de la igualdad en tre e l coeficiente d e l térm ino cuadrático, q u e e n e ste ca so e s 3,
& - 5 x + 2 = 0 ->
3
3
En la e cu a c ió n resultante s e co m p le ta e l trinom io cu ad ra d o perfecto y se d e sp e ja * .
5
2
„
2
* " 3 * + 3=0 ^
5
25
2
25
* - 3 * + 36 = " 3 + 36
H B
5
X“ 6 =:
X -~ 6 = ± ~6
P or tanto, las raíces de la e cu a c ió n son: * , = 1 o -^ = ~
E n cu e n tra las raíces de la e cu a c ió n 6*2 - 1 lx y + 3y2 = 0, c o n y c o m o una constante.
S o lu ció n
S e divide la e cu a c ió n en tre 6 y se co m p le ta e l trinom io cu ad ra d o perfecto.
2
11
3 2
a
«
2
11
11
121
3 2
2
3
* “ 6 * + M 4' ~
(
V
W
11 Y 49
lx- ñ y) m m
11
4 .
121
2
a
f
7
^ -Í2 > = ± Í2 y
Por consiguiente, las ra íc es de la e cu a c ió n son:
7
11
18
3
"* = ñ y + Í 2 y = ñ y = 2 y ^
2 8 0
7
11
4
1
= - ñ y + l2 y = l2 y = 3y
2
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
EJERCICIO 1 2 0
Determ ina las raíces d e las siguientes ecuaciones d e segundo g rad o y com p leta e l trinom io cu ad rad o perfecto, donde
y, z y w s o n variables y a y b constantes.
1. Xl + 5 x + 4 = 0
11. 2 x l + 5 x + 2 = 0
2. 6 x - 2 7 = - x 2
12. 10»v2 - 1 3 w - 3 = 0
3. ^ + l U + 3 0 = 0
13. - 3X2 + 7 x + 6 = 0
4. y 2+ 1 0 = 6 y
14. 3 6 r = 1 3 + 3 6 r
5. iv2 - 4 0 = 3w
15. 4*2 + 5 f o = - 6 2
6. z2- 3 0 = 13z
16. - 3 2 a w - 15a2 = - I v ?
7. X1 - IOat + 2 4 = 0
17. x 2 + 3 b x - \ 0 b 2 = 0
8. x 2 + 8* = 2 4 0
18. b 2x 2 = b x + 30
9. 2 x + 5 = - ^
19. a 2y 2 + 3a¿ry + 2¿>2 = 0
10.
20. 2 1 a y - \ 4 y 2 = 10a2
3x2 = * + 2
V itrifica t u s re s u lta d o s e n la s o cc ló n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Fórmula general
Deducción d e la fórmula general para ecuaciones de segundo grado
Sea la e cu ació n g en eral de seg u n d o grado:
a x2 + b x + c = 0
L a e cu a c ió n s e divide en tre a ,
a x 2+ b x + c = 0 - > x 2 + - x +
a
- =0
a
x2 + - x = - —
E1 térm in o independiente se c o lo ca
en e l seg u n d o m iem bro
2 b
b~
b
c
x + - x + — y = — y -----a
4¿í
4a
a
se co m p le ta e l trinom io cu ad ra d o perfecto,
se factoriza e l lado izquierdo, y se re aliz a la resta
en e l seg u n d o m iem bro
f
A ¿V
r
2a
¿>2 - 4 iac
J
4 fl2
, b
. ¡b2 - 4ac
x + — - ± . -------- ^—
2a
V 4 a~
i
i j
se realiza el despeje p a ra x,
b
. J b 2 - 4 ac
X + — = ± ----- -------2a
2a
b
' “
cSe obtiene
«w
ila ac
i
i
fó rm u la g e n e ra l
S
\ b 2 - 4 ac
1 -
—
-b ± Jb 2- 4 a c
*= -
Finalm ente, las soluciones o raíces de la e cu a c ió n son:
-b + \lb2 - 4 a c
r ----------- o x 2 =
2a
281
¿
- b - 'lb 2 - 4 ac
2a
2a
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
E J E M P L O S -------------------------------------------------------------------------------------------------------•
1
.1 .
• • R esuelve la e cu a c ió n
- 5 x - 2 = 0.
S o lu ció n
S e identifican los valores d e a, b y c de a cuerdo co n la e cu a c ió n dada.
a = 3, b = - 5 , c = - 2
Se sustituyen e n la fórm ula general.
X=
- ( - 5 ) í >/ ( - 5 ) 2 - 4 ( 3 ) ( - 2 )
2 (3 )
5 ± y' 25 + 2 4
5 í> /4 9
6
6
“
5±7
"
6
Para concluir, las raíces son:
5+7
Í1 = _
2
12
= _
„
= 2 ° , J
5 -7
2
1
• • D eterm in a la s raíces de la e cu a c ió n 2x* - 3 x = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o co n la ecu ació n : a = 2, b = - 3, c = 0, los valores se sustituyen e n la fórm ula general,
3 í &
_ - ( - 3 ) í >/(^ 3 )2 - 4 ( 2 ) ( 0 ) _ 3 í n / 9 - 0
X
2 (2 )
4
_ 3 í 3
4
4
n , , .
,
3+3
6 3
3 -3
0
_
= —= 0
P or tanto, las raíces so n : x . = ------ = — = - o x , =
4
4 2
4
4
3
• • E ncuentra las soluciones de la ecu a c ió n ¿ - 9 = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o co n la ecu ació n : a = 1, ¿ = 0, c = - 9 , s e su stitu y en los valores e n la fórm ula general,
_ - 0 ± n/(0 )2 - 4 ( 1 ) ( - 9 ) _ - 0 ± \ / 0 + 3 6 _ ± n/ 36 _ ± 6 _ a ,
2(1 )
=
2
=
2
= 2 = J
P or consiguiente, la soluciones so n : * , = - 3 0 ^ = 3
4
• • D eterm in a las ra íc es de la e cu a c ió n x 2 + 4 x + 5 = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o co n la ecu ació n : a = 1, b = 4, c = 5, los valores se sustituyen e n la fó rm u la general,
- ( 4 ) ± V (4)2 - 4 ( l ) ( 5 )
2 (1 )
-4 ± ¿ A
-4 ± V l6 -2 0
=
2
=
2
=
-4 ± 2 i
2
= “2 ± '
F inalm ente, las raíces de la ecu ació n so n : jc, = - 2 + i, x 2 = - 2 - i
E JE R C IC IO 1 2 1
Em plea la fórm ula g e n eral y encuentra las raíces d e las sig uientes ecuaciones:
1. * * + 1 5 = &r
3. * 2 + 6 r = - 8
5. 4.T2- 2 0 * + 25 = 0
7. 5y2 - 2 y - 3 = 0
2. ¿ = x + 6
4. x 2 - 2 x - 15 = 0
6. 6aT + 1 3 * - 5 = 0
8. x 2 - 6 * + 2 = 0
2 8 2
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
9.
10.
^ + 2 r-5 = 0
+5 = 0
1 1 . 4x 2 = - 4
Q
x
- 17
12. 36y2 - 24y = - 8 5
15. y 2 - | a y = 0
18. X* ~ = Q
13. Wl - 5 w = 0
16. aXl - b x = 0
19. a 2x 2 + b2 = 0
17. a:2 - 2 5
20. a V - 1 6
14. | z 2 + - z
3
6
=
0
=
0
=
0
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Propiedades d e las raíces o soluciones de una ecuación d e segundo grado
L a ex p resió n / = b2 - 4¿tc e s e l discrim in an te de una ecu a c ió n de seg u n d o grado, y perm ite d ete rm in a r si las raíces
son reales o im aginarias.
1. Si / > 0 , las raíces so n reales y diferentes.
2 . Si 7 = 0 , entonces las raíces so n reales e iguales y s u valor e s: x = - -7 - .
2a
3. Si / < 0 , entonces las ra íc es so n com plejas.
E J E M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------------------------ •
"q_
1
• • D eterm ina e l cará cte r de las raíces de la e cu a c ió n 20* 2- * - 1= 0 .
. 2.
Solución
UJ
A l su stitu ir los valores de a = 2 0 , b = - 1, c = - 1 e n e l d iscrim inante, se obtiene:
/ = ( - l )2 - 4(20) ( - 1) = 1 + 80 = 81
De acu e rd o co n e l resultado / > 0, s e deduce que la ecu ació n tien e 2 soluciones reales y diferentes.
2 ••
'E n c u e n tra e l c ará cte r de las raíces de la e cu a c ió n 4 / - 8y
+7
= 0.
Solución
A l su stitu ir los valores de a = 4, b = - 8, c = 7 en e l discrim inante, se d e te rm in a que:
/ = ( - Sj2- 4 (4 ) ( 7 ) = 6 4 - 112 = - 4 8
E n e ste c a s o / < 0 , por tanto, las raíces so n com plejas.
EJE ÍC IC IO 1 2 2
Determ ina e l carácter d e las raíces d e las sig uientes ecuaciones:
1. x 2 - 8 * + 12 = 0
7.
x 2+ 4 x - 5 = 0
x 1+ 6x + 16 = 0
8.
w2- 2w + 5 = 0
2.
3.
j X2- 4 x + j = 0
9.
10. x 2 + 6x + 9 = 0
4 . 36.x2 - 6 0 * + 2 5 = 0
5 . 4x2 - 3 * = 0
11. * 2 - 4 * + 5 = 0
6. j? + 8 1 = 0
( J 'v
sl6y2 - ( s l 2 - s f e ) y - \ =
12.
V b rifle a t u s re s u lta d o s a n la s a c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r a s p o n d ia n ta
2 8 3
¿ * 2+ 2*+ 5= 0
0
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Factorización
O tra form a d e reso lv er una ecu a c ió n de seg u n d o g rad o e s facto riz a n d o la ex p resió n e igualando a c e ro c a d a factor,
para posteriorm ente d esp e ja r a la incógnita.
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •
1
# • R esuelve la e cu a c ió n x 2 - 7 * + 10 = 0.
S o lu ció n
C o n la form a j f + b x + c se fa cto riz a e l trinom io.
* 2 - 7 * + 10 = 0
(* -5 X * -2 ) = 0
C a d a factor se iguala a cero y se resuelve c a d a ecuación.
* -5 = 0 o * -2 = 0
*=5 o *= 2
Por tanto, las raíces de la e cu a c ió n son: * , = 5 o * 2 = 2
2
• • D eterm in a p a r a * la e c u a c ió n * * + l l a r + 1 0 ^ = 0.
S o lu ció n
Se facto riza e l trinom io.
* ^ + 11 a x + \ 0 a2 = 0
(x + \0á)(x + a ) = 0
C a d a factor se iguala a cero y se resuelve c a d a ecuación,
* + 10a = 0 o x + a = 0
* = - 10a o x = - a
Por consiguiente, las ra íc es de la e cu a c ió n so n : * , = - 10a o x 2 = - a
3 ••
R esuelve la e cu a c ió n
ó*2-
7* - 3 = 0.
S o lu ció n
C o n la form a ax2 + b x + c se facto riza la expresión
.
6 (6 * 2- 7 * - 3 )
6 r - 7 * - 3 = 0 —» - i
------- = 0
6
3 6 ^ -7 (6 x )-1 8 , 0
6
( 6 * - 9 ) ( 6 * + 2)
Q
6
E l d enom inador s e descom pone e n su s factores prim os (6 = 3 - 2 )
(6 * -9 )(6 * + 2) = Q
3 -2
Se re aliz a la sim plificación
(2 * - 3X 3* + 1) = 0
C a d a factor se iguala a cero y se resuelve c a d a ecuación.
2 * -3 = 0 o 3 * + 1=0
2r = 3o3* = - 1
P o r tanto, la s raíces o so lu cio n es de la e cu a c ió n son: * , = ^ ox> = - ^
2 8 4
_________________ C a p í t u l o
Ecuaciones d e segundo grado
4
••■ D e te rm in a las raíces de la ecu a c ió n 3x* + 1 9 * - 14 = 0 .
S olución
Se a p lic a e l fa cto r por agru p ació n de térm inos y se facto riza la expresión.
3*2 + 1 9 * - 14 = 0
Se d esco m p o n e 19*e n 2 1 * - 2 * ,
3x2 + 2 U - 2 r - 14 = 0
Se ag ru p an térm in o s y s e facto riza
3*(* + 7 ) - 2 (* + 7 ) = 0
(3 * -2 )(* + 7 )= 0
C a d a factor s e iguala a c ero y s e resuelve c a d a e cu a ció n .
3* - 2 = 0 o * + 7 = 0
x =\
o * =-7
Finalm ente, las raíces son: * , = ^ o * , = - 7
5 ••
D eterm ina las soluciones de la e cu a c ió n * 2 - 3n/2 * - 8 = 0.
S olución
Se facto riza e l trinom io,
3\^2
jt —8
=0
(í-4 ^ )(í+ x /2 )= 0
C a d a factor s e iguala a c ero y s e resuelve c a d a e cu a ció n .
i -
4x/2 = 0 , 0 * + - J l = 0
* = 4 x /2 0 * = - - j l
P o r consiguiente, la s soluciones de la ecu a c ió n so n : * , = 4> /2 o x¡ = - v‘2
EJE ÍC IC IO 1 2 3
Em plea el m étodo factorización y resuelve las siguientes ecuaciones:
1. *2 - 5 * - 6 = 0
10. 14*2 - 3 3 * - 5 = 0
19.
2. * ^ + l l * + 2 4 = 0
11. 20*2 + 3 * - 2 = 0
20.
3. / - y - 2 0 = 0
12. 5z2 = 1 7 z - 1 4
21.
4. ¿ = * + 9 0
13. lOiv2 = 7 w + 6
22.
5. - iv2 + 5u» - 4 = 0
14. 14*2 + 17* - 6 = 0
23.
6. 3y2 - 1 ly + 10 = 0
15. - 2*2 = 7 * - 15
24.
7. 3*2 - * - 2 = 0
16. 6 r 2 + 11¿>* = 10¿»2
25.
8. 2y2 = 4 - 7 y
17. 2x2 + 2a2b2 = 5abx
9. 3*2 - 6 = 7 *
18. a V - 2 a * - 3 = 0
V itrific a t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ■
2 8 5
17
1
+— y + - =
67
6
5
1
12*
6 ~~
1
2
15
15
— w------
12
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
Solución de una ecu ació n d e segundo g ra d o incompleta
M ixtas
T ien e la fo rm a a x2 + b x = 0 ; p a ra o b te n e r las ra íc e s de la ex p re sió n s e a p lic a e l fa c to r com ún, y una de su s ra íc es
siem pre es cero.
EJEMPLOS--------------------------------------------------------- •
1
I.
# • D eterm in a las soluciones de la e cu a c ió n x2 - 5 x = 0.
S o lu ció n
ií
Se facto riza por fa cto r com ún.
*2- 5* = 0
x(x -5 ) = 0
C a d a factor se iguala a cero y se resuelve c a d a e cu a c ió n de prim er grado.
* = 0 o * -5 = 0
x= 5
Finalm ente, las soluciones de la ecu ació n son:
j
2
,= 0
o i2=
5
• • D eterm in a la s raíces de la e cu a c ió n ( x - 3 )2- ( 2 x + 5)2 = - 16.
S o lu ció n
Se d e sa rro llan los productos notables y se sim plifica la expresión:
(x - 3)2 - ( 2 r + 5)2 = - 16
x l - 6 x + 9 - ( 4 x i + 2 0 x + 2 5) + 16 = 0
^ - f o + 9 - 4 ^ -2 0 * -2 5 +16 = 0
- 3x2- 2 6 x = 0
Se a p lic a factorización po r factor com ún.
x ( - 3 a: - 2 6 ) = 0
Se iguala a c e ro c a d a factor.
* = 0 o -3 * -2 6 = 0
- 3 x = 26
26
*=”T
Por tanto, las raíces de la e cu a c ió n son:
x t =n
0 o x 2= ~
286
26
_________________ C a p í t u l o
Ecuaciones d e segundo grado
E JE R C IC IO 1 2 4
Encuentra las raíces d e las sig u ien te s ecuaciones:
1.
X* + 6x = 0
6.
2.
4x2 - 8 * = 0
7.
3.
5x - X 2 = 0
8 .( y + 4 f = ( 4 - y ) ( 4 + y )
4.
3 a:2 + 2 a: = 0
9.
5 . X 2- x = 0
I X 1- 5x = 0
^
6
+ | 4
=
2
3
0
^
= - 5 x+2
4-x
1 0 . 5 ( x + 3 ) - 5 ( x ? - l ) = X* + 7 ( 3 - x ) - l
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Puras
S o n d e l a f o r m a ax2+ c = 0 , p a r a o b t e n e r s u s r a í c e s o s o l u c i o n e s s e d e s p e j a a: o s e f a c t o r i z a l a e x p r e s i ó n .
EJEMPLOS
# • R esuelve la e cu a c ió n x 2 - 9 = 0.
.1 .
Solución
Se re aliz a e l despeje para o b ten e r los siguientes valores de x,
x 2 - 9 = 0 - > x 2 = 9 - > x = ±y¡9
x =±3
Por tan to a:1 = 3 o x 2 = - 3
2
• • E ncuentra la s soluciones de la e cu a c ió n
a:-
j = ^ —7 .
3
a
—1
S olución
Se elim in an los denom inadores y se sim plifica la expresión,
=
x
->
(2 * -3 X » -l) = (* -2 X * -3 )
2x2 - 2 x - 3 x + 3 = x 2 - 3 x - 2 x + 6
*
2 x2 - 2 x - 3 x + 3 - x 2 + 3 x + 2 x - 6 = 0
^ -3 =0
X1 = 3
se d esp e ja a a:,
* = ±\¡3
P o r consiguiente, las soluciones de la e cu a c ió n so n : at, = v‘3
3
oa ^
= -
n/3
• • ¿ C u á le s so n las raíces de la e cu a c ió n 4a2 - 1 = 0 ?
S olución
Se facto riza la expresión co m o u n a d iferencia d e cuadrados, s e iguala a c ero c a d a factor y se d esp e ja x.
4 a 2 —1=0
-»
(2 a - 1 ) ( 2 a + 1 )= 0
2 a —1 = 0 ; 2 a + 1 = 0
1
1
*1 ~ 2 o x 2 ~ ~ 2
2 8 7
12
12
C a p ítu lo
ÁlGEBRA
4
• • •E n cu e n tra las soluciones de la ecu a c ió n x2 + 4 = 0.
S o lu ció n
AT2 + 4 = 0 —> AT2 = —4 —» AT= ± v '- 4
x =±2i
Por consiguiente, las soluciones de la e cu a c ió n son:
x l = 2 io x 2= -2 ¿
5
• • • E ncuentra las soluciones de la ecu a c ió n 2x2 + 162 = 0.
S o lu ció n
2 x2 + 162 = 0 -> 2X1 = - 162
*2= -8 1
x = ± \ '- 8 1
Se extrae raíz c u ad rad a a am b o s m iem bros
x =± 9i
Por consiguiente, las soluciones de la e cu a c ió n son:
x x= - 9 i
E JE R C IC IO 1 2 5
Determ ina las raíces d e las siguientes ecuaciones:
1. X 1 - 4 = 0
2 . 1 - x 2= 0
3. h ? -1 00 = 0
4. 3 r - 192 = 0
5. 4 / - 1 2 = 0
6. I6x2 - O t = 0
7. 25z2 - 36 = 0
8. 135 = ( 2 y + 3 ) ( 2 y - 3)
9. (w+ 2 ) ( 2 w - 1) = ( w - 2 )( w + 5 ) + 15
, 0.
x -2
2 x-3
13. y 2 + 16 = 0
14. w2 + 2 5 = 0
15. ^ + 1 = 0
V # rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
2 8 8
o x2=
9i
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
E xisten diversos problem as c u y a solución s e obtiene a l plantear y reso lv er una e cu a c ió n de segundo grado.
L a su m a de dos núm eros e s 18 y la d e su s c uadrados e s 180, ¿cuáles s o n los núm eros?
S olución
P rim er núm ero: x
S egundo núm ero: 18 - x
E cuación:
X1 + ( 1 8 - * ) 2 = 180
x 2 + 3 2 4 - 36* + X2 - 180 = 0
2x2 - 3 6 r + 1 4 4 = 0
xiZ- 1 8 r + 72 = 0
(* -1 2 X * -6 ) = 0
* -1 2 = 0 o jr-6 = 0
x =
a l dividir e n tre 2
s e resuelve la ecu ació n
s e factoriza
c a d a factor se iguala c o n c ero
1 2 o a: = 6
Finalm ente, ten e m o s que los núm eros so n 12 y 6
E n / segundos la a ltu ra /», e n m etros so b re e l nivel d e l suelo, d e un proyectil e s tá d a d a por la e cu a c ió n h = 80 / - 5 /2,
¿ cuánto tard a rá e l proyectil e n llegar a 320 m sobre e l nivel d e l suelo?
S olución
C on la e cu a c ió n h = 80 / - 5 / 2, s e o b tien e la a ltu ra d e l proyectil e n cu alq u ier instante.
Para determ inar e l tiem po que tard a e l proyectil e n ten e r u n a altu ra d e 320 m, este valor se e v alú a en la ecuación
dada, es decir:
h = m -5 t2
320= 8 0 /-5 /2
Se obtiene una ecu ació n de segundo grado, la c u a l se resuelve p a ra /
320 = 80 / - 512
5 12 - 80/ + 320 = 0
se iguala co n cero
s e d ivide e n tre 5
/2 - 1 6 /+ 6 4 = 0
( / - 8 )2 = 0
s e facto riza
/- 8= 0
se extrae raíz e n am b o s m iem bros
/= 8
s e obtiene e l valor de /
por tanto, e l proyectil tard a rá 8 segundos en e sta r a 320 m sobre e l nivel d e l suelo.
D eterm ina la s dim ensiones de un rectángulo, s i s u perím etro es de 2 8 0 m y s u á re a e s de 4 0 0 0 m2.
Solución
T
2(b a se) + 2 (a ltu ra) = perím etro
2 x + 2 (a ltu ra) = 2 8 0
1 4 0 -*
x + (a ltu ra ) = 140
a ltu ra = 1 4 0 - x
2 8 9
12
C a p ítu lo
Á
lg e b r a
E l á re a de un rectángulo e s e l producto de la base por la altura:
Á rea: 4 1 4 0 - * ) = 4 000
Se resu elv e la e cu a c ió n de segundo grado.
4 1 4 0 - * ) = 4 000
140* - 4 - 4 0 0 0 = 0
- 4 +14Q* - 4 0 0 0 = 0
4 - 14Qr + 4 0 0 0 = 0
a l m ultiplicar p o r - 1
s e obtiene u n a ecuación d e segundo grado
(* - 40)(* - 100) = 0
s e resu elv e la ecu ació n y s e obtiene:
* - 4 0 = 0 o * - 100 = 0
* = 4 0 o * = 100
De acu e rd o co n lo anterior, las dim ensiones del rectán g u lo so n 40 y 100 m etros.
4
A partir de una pieza c u a d ra d a de hoja d e lata, se desea co n stru ir una c a ja c o n base cu a d ra d a y sin tap a , quitando
c uadrados e n la s e sq u in a s d e 2 c m p o r lado y d oblando h a cia a rrib a los lados; s i la c a ja d ebe te n e r 9 8 cm 3, ¿cuáles
son la s dim ensiones d e la pieza de hoja de la ta que d e b erá usarse?
S o lu ció n
Se co n stru y e una figura c o n los datos que se proporcionaron.
E l volum en de la c a ja es:
V = (A lto)(L argo)(A ncho)
V = 2 ( x - 4)(* - 4 ) = 2 (* - 4)2 = 2 ( 4 - 8* + 16) = 2 4 - 16* + 32, entonces
V = 9 8 = 2 4 - 16* + 32, s e obtiene una e cu a c ió n de seg u n d o grado.
Se resu elv e la ecu ació n :
2 4 - 16* + 32 = 98
2 4 - 16* + 32 - 9 8 = 0
2 4 -1 6 * -6 6 = 0
4 - 8* - 33 = 0
s e divide e n tre 2
s e facto riza
(* - 11)(* + 3 ) = 0
Los valores so n : * = 11 o * = - 3, la longitud de los lados de la hoja de la ta no pueden s e r negativos.
Finalm ente, la longitud d e l cu ad ra d o e s de 11 c m por lado.
5
U n co m e rcia n te c o m p ró d ete rm in a d o núm ero d e pelotas c o n $ 7 2 0 y vendió algunas, e xcepto 18, g a n ó $6 e n c a d a
una. S abía que c o n e l din ero d e la venta po d ría hab er com prado 3 pelo tas más q u e antes, calc u la el precio de c a d a
pelota.
2 9 0
_________________ C a p í t u l o
Ecuaciones d e segundo grado
S olución
P íecio de co m p ra de c a d a pelota: x
N úm ero de pelotas:
x
fre c io de venta de c a d a pelota: x + 6
Total d e la venta: ^ ™
- 1 8 j ( . r + 6)
N úm ero de pelotas com pradas co n e l to ta l de la venta:
720
+ 3
x
C osto d e la co m p ra de 3 pelotas m ás: x
+ 3j
Ecuación:
( 7 2 0 - 1 8 a:)( a: + 6 ) _ . t ( 7 2 0 + 3.y)
x
x
n O x + 4 3 2 0 - 18a:2 - 1 0 8 a : = 7 2 0 a : + 3 a :2
a l dividir e n tre 3
2 1 a:2 + 1 0 & * - 4 3 2 0 = 0
7 a :2 + 3 6 a - 1 4 4 0 = 0
Se a p lic a la fórm ula general.
- ( 3 6 ) ± v '( 3 6 ) 2 - 4 ( 7 ) ( - 1 4 4 0 )
- 3 6 ± v '4 1 6 1 6
-3 6 ± 204
2 (7 )
14
14
x =
E ntonces, las so lu cio n es son:
-3 6 - 2 0 4 _
*l_
L a s ra íc es
14
de la e cu a c ió n so n : x¡ ^
~
240 _
14 _
1 2 0 q _ - 3 6 + 2 0 4 _ 168
7
0
—
14
-
_ ]2
14 -
o a , = 12 , pe ro el precio d e un artícu lo no puede s e r negativo, por
tanto, e l precio de c a d a pelota e s $ 12.
E JE R C IC IO 1 2 6
•
!
Resuelve los siguientes problemas:
1.
2.
E n cu e n tra 2 núm eros en tero s que su m en 4 2 y c u y o producto s e a 40 5 .
5
E n cu e n tra 2 núm eros naturales que s u producto s e a 360 y el co cien te d e l m ayor en tre e l m enor s e a — .
2
♦
•
3.
E n cu e n tra 3 núm eros consecutivos im pares, c u y a su m a de su s cuadrados s e a 83.
1
4.
E n cu e n tra 3 núm eros en tero s consecutivos pares, c u y a su m a de su s cuadrados s e a 596.
291
12
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
5. L a sum a de u n núm ero y s u recíp ro co e s — . H alla los núm eros.
6. L a su m a de 2 núm eros es 25 y la sum a de su s recíprocos e s j . E ncuentra los núm eros.
7. U n ag ricu lto r tien e n e ce sid ad d e c e rc a r 2 5 0 0 0 m 2 de s u p a rce la ; d ic h a p ropiedad e s rectan g u lar y c o lin d a co n un
río, por lo q u e no necesita cerc ar ese lado. ¿Q u é dim ensiones tien e e l terre n o s i e l propietario dispone d e 4 5 0 m de
cerca?
8. L a base de un triángulo e s 3 veces s u altura. Su área es de 150 m2, ¿cuáles so n las dim ensiones de la base y la altura?
9. E ncuentra la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, c u y a superficie e s d e 6 m 2, perím etro de 12 m e hipo­
ten u sa de 5 m.
10. Se d e se a co n stru ir un recipiente, sin tapa, de fondo cuadrado y lados rectangulares, co n u n a a ltu ra d e 6 m , s i e l m aterial
para e l fondo c u e sta $8 0 0 po r m etro cu ad ra d o y e l de los lados $ 1 200, ¿ c u á l e s e l volum en que s e puede o b ten e r con
$ 1 2 8 000?
11. D eterm ina las dim ensiones de un rectángulo c u y a a ltu ra e s i
de s u b a se y s u á re a e s de 9 7 2 cm 2.
12. A lejandro tien e 4 a ñ o s m ás que A lfre d o y e l c u a d ra d o de la e d a d de A lejandro, au m e n tad o e n e l c u a d ra d o de la ed ad
efe A lfred o , equivalen a 80 años. E ncuentra las ed ad e s de A lejandro y A lfred o .
13. E l cu ad ra d o de un núm ero dism in u id o e n 13 eq uivale a l ex ce so de 5 0 sobre e l doble d e l núm ero. D e term in a dicho
núm ero.
14. E n c ie rto parque de la C iudad de M éxico se d e se a p lantar 195 á rb o le s, de ta l m an era q u e e l núm ero d e é sto s por fila
exceda e n 2 a l núm ero de filas. D eterm in a la c an tid ad de filas, a s í co m o e l núm ero de árb o les por fila.
15. U n productor de conservas e n a lm íb ar desea envasar s u producto e n u n a la ta cilindrica, c u y a altu ra es de 8 centím etros
y s u volum en de 128 n cm 3. E n cu e n tra el radio de la lata.
16. M ario va a c o n stru ir una c a ja sin tap a , c u y o volum en debe s e r de 3 1 2 c m 3; u tilizará una lám ina rectan g u lar e n la cu al
a jrta rá c uadrados de 2 c en tím e tro s por lado e n las esq u in as. Si é l sabe que la superficie total de la hoja a l q u ita r los
c uadrados e s de 256 cm 2, ¿cu á le s so n las dim ensiones de d ic h a hoja?
17. L a e d a d actu al de R icardo so n trece m edios de la e d a d de s u hijo, e l próxim o añ o s u e d a d s e rá igual al c u a d ra d o de
la e d a d de s u hijo dism in u id o e n 9 añ o s. D eterm in a la ed ad actu al de R icardo.
18. Un fam oso ju g ad o r de béisbol lanza una pelota verticalm ente hacia arriba, tan fuerte co m o le es posible. L a altu ra que
alcanza la pelota después d e / segundos la determ ina la ecuación h = 40/ - S/2. ¿C u án to tie m p o le llevará a la pelota
regresar a l su elo ?
19. E n / segundos la a ltu ra h e n pies, sobre e l nivel d e l suelo, de u n proyectil e s tá d a d a por la e cu a c ió n h = 240/ - 16i 2,
¿cuánto ta rd a iá e l proyectil e n llegar a 900 ft sobre el nivel d e l suelo?
20. D os llaves llenan un depósito e n 6 horas, ¿cu á n to tiem po necesitaría c a d a una, por se p a ra d o , para llenarlo s i una tard a
16 h más que la otra?
21. U n a p ersona g a stó $ 2 000 en regalos, obsequió 30 a su s fam iliares y am igos, el resto los vendió y g an ó $ 1 0 por regalo.
U na vez vendidos todos los obsequios, s e dio c u e n ta de que podía co m p ra r la m ism a c an tid ad inicial de regalos y 5
más. ¿C u ál es e l c o sto de c a d a presente?
22. E n cu e n tra las longitudes de los lados de u n trián g u lo rectángulo, s i s u perím etro e s de 2 4 unidades y s u á re a e s de 24
unidades cuadradas.
V e rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
2 9 2
=
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
Función cu ad rática
L a función c u ad rá tic a e s una función polinom ial de la form a y = ax2 + b x + c, d o n d e a , b , c y x s R con a * 0
Análisis d e una función cu ad rática
1. L a función c u ad rá tic a representa una parábola, la c u a l puede s e r cóncava hacia arrib a o hacia ab ajo , depende del
coeficiente d e l térm ino cuadrático.
2. L a función to m a s u valor m áxim o o m ínim o e n el punto (
{
2a
4a
, e l cual se llam a vértice de la parábola.
3. Si a > 0, en to n ces la parábola es c ó n cav a hacia a rrib a y s u vértice rep resen ta e l punto m ínim o de la función.
4. Si a < 0, en to n ces la parábola es c ó n cav a hacia a b a jo y s u vértice representa e l punto m áxim o de la función.
5. Si la g ráfica interseca a l e je X e n 2 puntos, ésto s se conocen co m o soluciones o raíces de la ecuación ax2 + b x + c = 0;
s i e s tangente, la e cu a ció n ax2 + b x + c = 0 só lo tien e una raíz c u y o valor e s -
, en c a s o de que la función no
interseque a l e je de la s X , entonces las raíces no so n reales.
Ejemplos
M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • G rá fic a y = X1 + 5* - 6 e indica las raíces.
S olución
Se re aliz a una ta b la c o n u n núm ero suficiente d e valores p a ra x , los c u a le s s e sustituyen e n la función.
Tabla de valores
-6
0
-5
-6
-4
-1 0
-3
-1 2
49
-2
- 1
4
-
12
-
10
-6
0
L a parábola c o rta e l e je de la s X e n los valores x = - 6 y x = 1
P o r tanto, las ra íc es so n : x = - 6 o x = 1
2
■E n cu e n tra las coordenadas del vértice, las raíces y tra z a la gráfica de la parábola: y = x 1- 4 x
+ 4.
Solución
Se identifican los valores de a, b y c y se sustituyen e n la fórm ula,
a = 1,
-4 , c = 4
Se o bserva q u e e l valor d e a es m ayor que cero, entonces la parábola es có n cav a h a cia a rrib a y s u vértice representa
un punto m ínim o.
Para d ete rm in a r las coordenadas d e l vértice se utiliza la fórm ula
_ b _ 4a c - b 2 }
2a
4a
)
(continúa)
2 9 3
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continua ció n )
Al su stitu ir los valores e n la fórm ula se obtiene:
_ ( - 4 ) 4 ( l )(4 )
2(0 ’
( 4 )2
4(1)
= V (2 ,0 )
Se re aliz a una ta b la c o n un núm ero suficiente de valores p a ra x , los que se su stitu irán e n la función.
T abla de valores
- 1
L a parábola interseca e n un s o lo punto del e je de las X, es decir, la parábola es tangente a l e je X.
P o r tanto, la raíz de la e cu ació n e s x = 2
3
• • D eterm in a las c oordenadas d e l vértice, las raíces y tra z a la g ráfica de la parábola: y = - x 2+ 2 x - 4
S o lu ció n
Se identifican los valores de a, b y c y s e sustituyen e n la fórm ula,
a = - \ , b = 2, c = - 4
Se o b se rv a que e l valor de a e s m enor que c e ro , entonces la parábola e s cóncava hacia a b a jo y s u vértice representa
u n punto m áxim o.
Las c oordenadas del v é rtice son:
(
b
4 a c - b 2)
(2 )
4 (-l)(-4 )-(2 )!
L
2a
4a
2 ( - l )•
4 (-l)
v!
)
= V ( 1, - 3 )
Se re aliz a una ta b la c o n un núm ero suficiente de valores p a ra * , q u e s e sustituyen e n la función.
T abla de valores
*
y
-2
-1 2
- 1
-7
0
-4
1
-3
2
-4
3
-7
4
-1 2
La parábola no interseca a l e je X.
Por consiguiente, las raíces no so n reales
2 9 4
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
E JE R C IC IO 1 2 7
Encuentra las co o rd enad as d e l vértice y determ ina las raíces d e las siguientes funciones:
1. y = 2x2 - 8 * + 6
6. y = x2- 2x + 1
2 . y = - 2 x ? + 2 x + 12
7. y = x 2- 4 x + 1 3
3 . y = x * - x - 20
8. y = 1 0 x - 2 5 - x 2
4. y = S + 4 x - 3
9. y = - 9 - x 2
5. y = X* + 2 x + 5
10. y = 2 x 2- 6 x
V erifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
f ó r a enco n trar la solución ó ptim a (m áxim o o m ínim o) de un problem a, es necesario plantear u n a función cuadrática;
la a b sc isa del vértice representa e l valor que optim iza a la función y la o rd e n ad a e l valor óptim o.
E n cu e n tra 2 núm eros c u y a sum a s e a 2 0 y s u producto s e a m áxim o.
S olución
f tim e r núm ero = x
S egundo núm ero = 2 0 - x
P roducto = ( x) (2 0 - x )
Se o b tien e la fu n c ió n P ( x ) = ( x) (2 0 - x ) = 2 0 x - a 2
L a g ráfica de la función representa u n a parábola c ó n cav a h a cia ab ajo , entonces el vértice s e rá e l punto m áxim o;
e sto significa que e l valor d e x e n e l vértice d a rá un valor m áxim o.
b _
*
~2a
20
2( - l )
20
~ -2
Si Ares 10, entonces e l valor d e 2 0 - a:, e s 10
P o r tanto, los valo res so n 10 y 10
U n gra n je ro d e se a c e rc a r un terreno re ctan g u la r y d ispone de 3 2 0 m de ala m b re , ¿qué dim ensiones d e b e te n e r el
terreno p a ra que s u á re a s e a m áxim a?
x
S o lu ció n
Se determ in an la s dim ensiones e n térm in o s de una variable,
2 (b a s e ) + 2 (altura) = perím etro
160 - x
2 x + 2 (altura) = 320
x + (altura) = 160
altura = 1 6 0 - a :
E l á re a es e l producto de la b a se por la altura, s e hace e l producto y co n e sto s e o b tien e la función A (r).
A(a:) = a< 1 6 0 - a:)
A (a:)= 1 6 0 r - x 2
La e c u a c ió n re p re se n ta u n a p a ráb o la có n cav a h a cia a b a jo , p o r lo q u e e l v é rtice s e r á e l punto m áx im o ; esto
significa que e l valor d e Aren e l vértice d a iá un á re a m áxim a.
b
160
160
X ~ ~ 2a _ ~ 2 ( - l ) - _ - 2
Se deduce que las dim ensiones del terre n o s o n 80 m etros de largo por 80 de ancho.
2 9 5
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
E n cu e n tra dos núm eros en tero s c u y a d ifere n cia e s 12 y cu y o producto s e a m ínim o.
S o lu ció n
P rim er núm ero: x
Segundo núm ero: x + 12
P ro d u cto = (* ) ( x + 12)
S e obtiene la función P (x) = (*) (* + 12) = x2 + 12*
L a función representa u n a parábola c ó n cav a hacia arriba, entonces el vértice s e r á e l punto m ínim o; esto significa
q u e e l valor d e * e n el v é rtice d a rá un valor m ínim o.
b
X—
(1 2 )
12
T a - 2 0 J - T
- 6
Si * e s - 6, entonces e l valor de 12 + x, e s 6
P or tanto, los valores s o n 6 y - 6
EJE LC IC IO 1 2 8
Plantea funciones cuadráticas y resuelve lo s sig uientes problem as.
1. E n cu e n tra 2 núm eros c u y a su m a sea 100 y s u producto s e a m áxim o.
2. E ncuentra dos núm eros enteros c u y a d ifere n cia s e a 2 0 y s u producto s e a m ínim o.
3. L a su m a de 2 núm eros es 40, ¿cu á le s so n los núm eros s i la su m a de su s cuadrados e s un valor m ínim o?
4. S e quiere c erc ar un terre n o rectan g u lar co n 220 m etros de alam bre. E n cu e n tra las dim ensiones d e l terre n o para q u e
su á re a s e a m áxim a.
5. S e a rro ja u n a pelota c o n u n a velocidad de 9 6 pies p o r segundo, la a ltu ra s que a lc a n z a e n un tie m p o t lo d e te rm in a la
siguiente ec u a ció n : s = 9 6 t - 3 2?. C a lc u la la a ltu ra m áxim a que alcanza.
6. D e una hoja rectan g u lar de 7 6 c m de perím etro s e co rta n c u ad ra d o s de 2 c m po r lado p a ra co n stru ir una c a ja sin tapa.
D iterm in a las dim ensiones de la hoja p a ra obtener e l volum en m áxim o.
7. U n a ed ito rial vende a los expendios de revistas una publicación científica a $60 e l ejem plar, y c a d a 50 ejem plares que
excedan los 500, e l precio de venta dism inuye $2, ¿cu án to s ejem plares e x tra s d ebe a d q u irir un expendio para que la
editorial te n g a un ingreso m áxim o?
8. U n a ju g u e te ría vende * pelotas a p pesos c o n p = 150 - 4*, e l c o s to de producción de * pelotas e s C = 7 0 * - 2x2.
D eterm ina e l núm ero de pelotas que debe vender la ju g u ete ría para o b ten e r una g an an cia m áxim a.
9. U n fabricante de lápices distribuye a las papelerías 30 c a ja s c o n 100 lápices c a d a una a un precio de $0.80 p o r lápiz,
y por c a d a c a ja que exceda las 3 0 e l precio de v enta dism in u y e e n 2 c en tav o s por lápiz. ¿C u án tas cajas debe vender
d fabricante a las papelerías p a ra o b ten e r ingresos m áxim os?
10. U n tro zo de alam b re de 100 c m se p a rte e n dos trozos, un de ello s se d o b la p a ra form ar un triángulo equilátero, y el
trozo restante s e d obla para form ar un cuadrado, ¿có m o se debe c o rta r el alam b re para que la su m a de las área s del
triángulo y cu ad ra d o s e a m ínim a?
V srífica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Relación entre b s raíces de una ecuación de segundo grado
E ntre los coeficientes y las raíces de una e cu ació n d e seg u n d o g rad o existen dos relaciones, la sum a y e l producto.
S ean las raíces de la e cu a c ió n a x l + b x + c = 0
- b + \ lb 2 - 4 a c
* '=
fe
2 9 6
- b - J b 2-4 a c
fe---
_________________ C a p í t u l o
Ecuaciones d e segundo grado
Suma de raíces
—b + ' J b 2 —4 a c
- b - \ib 2 - 4 a c
X \ + X 2 = ----------------------
+ ---------------------
2 a
2 a
~ b + ' ■ ’b 2 - 4 a c + ( - b - J b 2 - 4 a c
= --------------------------------- -- -------------------------------
2a
- b + \¡b2 - 4 a c - b - \ i b 2 - 4 a c _ - 2 b _ _ b
2 a
2 a
a
E ntonces, la su m a de las raíces es:
xt+x2= —
b
a
xx x, =
( - b + \ !b 2 - 4 a c \
(
2a
b2- b 2+ 4ac
4 a2
)
[
irM
1
■t*
§
i
<31
Producto d e raíces
2a
(-b )2- ( J b 2 - 4 a c )
j
b>
(2 a ) 2
(2 a f
4ac = c
4a2
a
P o r tanto, e l producto de las ra íc es es:
x ,x ,=
E JE M P L O S
■§_
1
• • H alla e l valor de la su m a de las raíces de la e cu a c ió n X 1 + x - 6 = 0.
Ul
Se determ in an los valores de los co eficien tes de la e cu a c ió n y se sustituyen e n la fórm ula.
a = 1, b = l , c = - 6
b
C o m p ro b a c ió n
L a s raíces de la e cu a c ió n so n : x t = - 3, x 2 = 2
* l+ * 2 = - J = - l
+X2 = - 3 + 2 = - 1
P o r consiguiente, x , + x 2 = - 1
2
• • E n cu e n tra e l valor d e l producto de la s raíces de la e cu a c ió n x 2 - 6 x + 9 = 0.
S o lu c ió n
Se determ in an los valores de los co eficien tes de la e cu a c ió n y se sustituyen e n la fórm ula.
a= \,b =- 6 ,c = 9
c
xr x2= a
C o m p ro b a c ió n
L as raíces de la e cu a c ió n so n : x t = 3, x ¡ = 3
x
, x2 = j = 9
U ,X x 2) = (3 )(3 ) = 9
Por tanto, x , x 2 = 9
2 9 7
12
12
C a p í t u l o _______________________________________________________________________________________
ÁlG EB R A
E J E R C IC IO 1 2 9
Determ ina e l v a lo r d e la suma y e l producto d e las raíces m ediante la relación entre ellas.
1. 4X2 - 9 = 0
6. * 2+ 4 * + 3 = 0
2. * * - 2 5 = 0
7 . - x 2+ * + 12 = 0
3 . x 2- x = 0
8. 2 * 2 + * - l = 0
4. 3 ^ + 8jc = 0
9. 9x* + 27a: + 14= 0
5. *2- 5 * + 6 = 0
10. x 2 + l a x + 12a2 = 0
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
D educción de una ecu ació n de segundo g ra d o d a d a s las raíce s
S ean * , , x¡, las ra íc es de la e cu a c ió n a X 1 + b x + c = 0 , en to n ces
* , +x¡ = - b y x x x2 = c
P or tanto, la e cu a c ió n es:
x 2+ bx + c = 0 -» x 2 —
-at2) = 0
EJEM PLOS
• • D eterm in a la ecu ació n de segundo grado, s i las raíces so n : - 3, 5.
S o lu ció n
Se d e te rm in a * ,, x¡, y s e sustituyen e n la fórm ula.
*, = - 3 o*?= 5
* ’ - ( • * , + * 2) * + U * í ) =
o
*2 -(-3 + 5 )* + (-3 )(5 ) = 0
se sim plifica
x 2 —2 * —15 = 0
P or consiguiente, la e cu a c ió n e s: * 2 - 2 * - 1 5 = 0
2
• •■ E n c u e n tra la e cu a c ió n de segundo grado, s i las ra íc es son: 1 - 4 i, 1 + 4i.
S o lu ció n
Se d e te rm in a * ,, *j, y s e sustituyen e n la fórm ula.
* , = 1 - 4 / o *2= 1 + 4/
* 2 - ( * , + * 2) * + ( * , * 2) = 0
* 2-[(l-4 i)+ (l+ 4 i)]* + [ (l-4 i)(l+ 4 i) ]= 0
x 2- 2 * + 1 7 = 0
Se sim plifican las op eracio n es
Finalm ente, la e cu ació n e s: * 2 - 2 * + 1 7 = 0
3
• • 'D e t e r m i n a la ecu ació n de segundo grado, s i s u s ra íc es son:
S o lu ció n
S e sustituyen e n la fó rm ula * , = -
, x^ =
2 9 8
j.
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
x2
*2) =0
3
2
x 2+ - x - — = 0
20
s e m ultiplica por 20
20
20*2+ 3 * - 2 = 0
Por consiguiente, la e cu a c ió n es:
20*2+ 3 * - 2 = 0
EJE ÍC IC IO 1 3 0
Determ ina la ecuación d e segundo g rad o , q u e tiene co m o raíces los valo res d a d o s.
1. 3, - 3
2. - 7 , 0
3. 4 i , - 4 i
4. 4, 1
5. - 5 , - 3
6. - 2 + 5 i, - 2 - 5i
* !■ ’
‘
9.
b ,-3 b
10. 2 a , 5a
M irifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Ecu acio n es con ra d ica le s
En este tipo de ecuaciones se recom ienda despejar de la expresión un radical, que s e eleva a l cuadrado la igualdad para que
se g en ere una e cu ació n de prim ero o segundo g rado; en ca so de q u e existan dos o más radicales, se rep ite lo anterior.
EJEM PLOS
1
• • R esuelve la e cu a c ió n J x - 5 - 4 = 0.
Solución
Se d e sp e ja e l radical y se ele v an am b o s m iem bros a l cuadrado:
\ x ~ - 5 = 4 - > ( v/ ^ T 5 ) 2 = ( 4 ) 2 —> * - 5 = 1 6 —> * = 16 + 5
* =
2 ••
21
R esuelve n/3*2 - 4 * + 1 = * + 1.
S olución
Se elev an am b o s m iem bros de la igualdad:
(v /3*2 - 4 * + l ) 2 = ( * + l ) 2
(icontinúa)
2 9 9
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continuación)
Se realizan las operaciones y se sim plifican los térm in o s
3x 2 - 4 x + \ = x 2 + 2 x + \
3x2 - 4 x - x 2 - 2 x - \ + \ = 0
2x2 - 6 x = 0
Se obtiene una e cu a c ió n de segundo grad o y s e facto riza p a ra resolver:
2 * (* -3 )= 0
2* = 0 o * - 3 = 0
x = o o x =3
P or tanto, las so lu cio n es son: x = 0 o x = 3
3
• • 'R e s u e l v e la siguiente ecu ació n : \ f x + 3
+ \5 x -1=
4.
S o lu ció n
Se d e sp e ja uno de los radicales,
-> \ f x + 3 = 4 - \ l 5 x —1
7*+ 3 + 7 5 * -l = 4
Se ele v an al cu ad ra d o am b o s m iem bros,
( ' / r + 3 ) 2 = ^ 4 - \ f 5 x - l } 2 —» a: + 3 = 1 6 - 8 J S x - l + ( 7 5 * - 7 ) 2
at + 3 = 1 6 - 8 >j5x— 1 + 5 x - \
x + 3 - 5 x + l - 1 6 = - 8 y / S x —í
- 4 v - 1 2 = -8 V 5 7 = 1
s e divide p o r - 4,
* + 3 = 2 7 5 * -1
Para elim in a r la raíz, de nuevo s e e lev an a l cu ad ra d o am bos m iem bros,
( at+ 3 )2 = ( 2 V 5 j r - l ) 2 —» ** + 6 * + 9 = 4(5jr - 1)
*2+ 6* + 9 = 2 ( k - 4
x 2 - 14* + 13 = 0
( x - 1 3 X * - 1) = 0
x - 13 = 0
o
x - 1=0
x = 13
o
x= 1
Se su stitu y en los valores q u e se obtienen e n la e cu ació n d a d a ; s i la igualdad no s e cum ple o s e obtienen radicandos
negativos, entonces la solución no s e adm ite.
C o m p ro b a c ió n
Si jc= 13
S i* = l
n/Í3 + 3 + n/ 5 ( 1 3 ) - 1 = 4
7 í+ 3 + 7 5 (l)-l = 4
716+764=4
74 + 7 4 = 4
4+8=4
2+2=4
12 * 4
4 =4
P or consiguiente, x = 13 no e s solu ció n , finalm ente, x = l s í e s solución.
3 0 0
_________________ C a p í t u l o
12
Ecuaciones d e segundo grado
EJE IC IC IO 1 3 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. J i - 5 = 2
10.
yj3 + x + \ j 2 x - 1 = 3
2.
11.
n£
12.
sj9 -x = x -3
4.
13. 2 + 4 \ J x = yJl6x + 5
14.
yj3x + 6 - ~Jx+ 3 = 1
\2 x + 5 -x =\
15.
\Jx + 1 - \ U x - 3 - l
7. 2 * = 5 + V 4 - *
16.
-J2 -X + y jll+ x = 5
8.
\ fx + 2 + x = l0
17.
JY ^ x + J Í +
9.
yj4 x+ \3 + 2 x = \
18.
J x + y J x + \ = 3 + sj\0
5. 7 = * + V * - l
6.
^
£1
*
+
—
II
l
3. y J l x - 4 - 3 = 0
+ 5 - n/ ^ 3 = 2
+
UJ
1
= 3
x
= J2
Vbrifle a t u s r e s u lta d o s a n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n tí
Sistem a de ecuaciones cu ad rática s
G eom étricam ente e ste tipo de sistem as d e ecuaciones se g e n era n c u a n d o se intersecan una re c ta y una c u rv a c o n e c u a ­
ción c u ad rá tic a (circunferencia, parábola, elip se e hip érb o la) o dos ecuaciones c u ad rá tic as; la solución que sa tisfac e
am bas ecuaciones so n los puntos de intersección.
Procedimiento paro la resolución de un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal
aan dos incógnitas
1. D e la e cu a c ió n lineal se d e sp e ja una incógnita.
2. E l valor de la incógnita q u e se d e sp e jó se su stitu y e e n la m ism a incógnita de la e cu a c ió n c u ad rática, y s e obtiene
una e cu ació n cu ad rá tic a co n una so la incógnita.
3. Se o b tie n e n las so lu cio n es o raíces de la e cu ació n c u ad rá tic a, posteriorm ente ésto s s e e valúan e n e l d espeje, o b te ­
niendo los puntos d e intersección.
Ejem plo
i
i •,
í ^ + y 2 = io
R esuelve e l sistem a: j r+y _ 2 - 0
d
S olución
Se d e sp e ja de la e cu a c ió n lineal x + y - 2 = 0 una de las incógnitas,
* = 2 -y
* sustituye e n la ecu ació n cu ad rá tic a la incógnita d e sp ejad a y se resuelve la ecu ació n :
x 2 + y 2 = 10
- » ( 2 —y )2 + y 2 = 10
4 - 4 y + y 2+ f -
10 = 0
2 / - 4y - 6 = 0
y2 - 2 y - 3 = 0
(y -3 X y + l) = 0
y = 3
o
y = - 1
{continúa)
301
12
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
(continuación)
Se sustituyen los valores de y = 3, y = - 1 e n x - 2 - y , s e obtiene:
S i y = 3, * = 2 - 3 = - 1, s i y = - 1, x = 2 - ( - 1) = 3
P or tanto, la solución d e l siste m a s o n los puntos:
( - 1 ,3 ) y ( 3 , - 1 )
Procedimiento paro la resolución de un sistema de dos ecuaciones cuadráticas
1. L a s d o s ecuaciones s e m ultiplican p o r un núm ero, d e ta l form a que a l efectu ar la su m a de las ecuaciones eq u iv a ­
lentes, se elim in a una de las dos incógnitas.
2. Se re s u é lv e la e cu a c ió n de segundo grad o q u e se obtuvo e n e l punto anterior.
3. P a ra concluir, las raíces obtenidas se e valúan e n alg u n a de las dos ecu a cio n e s originales, para o b ten e r los puntos
d e intersección.
Ejem plo
R esuelve el
S o lu ció n
Al a p lic ar e l m étodo de reducción, s e m ultiplica por 3 la se g u n d a ecuación,
x 2 + 3 y 2 = 31
9x* - 3 y 2 = 9
10*2
= 40
a l resolver la ecuación, se d ete rm in a que,
x =2
o
x = -2
E stos resultados se sustituyen e n c u alq u iera de las ecuaciones d a d as para en co n trar e l valor d e y.
S i x = 2 , y = - j 3 x 1 —3 = ^ 3 ( 2 ) J - 3 = V Í 2 —3 = >/9 = ± 3
S ix= -2 ,
y = ’J S x 1 - 3 = y*3(-2)2 —3 = \ f \ 2 - 3 = >/9 = ±3
Finalm ente, las soluciones son:
(2 ,3 ) , ( 2 , - 3 ) , ( - 2 , 3 ) y ( - 2 , - 3 )
Procedimiento para la resolución de un sistema cuadrático mixto
1. L a s dos ecuaciones s e m ultiplican p o r un núm ero, de ta l form a que a l efectu ar la su m a de las ecuaciones eq u iv a ­
lentes, se elim ine e l térm in o independiente.
2. D e l punto a n te rio r s e obtiene una ecu ació n cu ad rá tic a co n dos incógnitas igualada a c e ro , la c u a l se factoriza.
3. C a d a uno de los factores se igualan a c e ro y se d esp e ja una de las dos incógnitas, q u ed an d o una e n función de la
otra.
4. L os d espejes anteriores s e su stitu y en e n cu alq u iera de las ecuaciones o riginales, lo que g e n e ra una e c u a c ió n de
segundo g rad o c o n una incógnita.
5. Se d e te rm in a n las raíces de la ecu a c ió n de seg u n d o g ra d o y s e e valúan e n s u respectiva igualdad obtenida e n el
paso 3, finalm ente se o b tie n e n los puntos de intersección.
3 0 2
_________________ C a p í t u l o
Ecuaciones d e segundo grado
Ejem plo
R esuelve e l sistem a:
¡2a2 - 3 a b + b 2 = 15
\a 2 -2 a b + b 2 =9
Solución
Se elim in a e l térm in o independiente,
3 ( 2 a 2 - 3 a b + b 2 = 15)
6tj 2 - 9a¿> + 3b2 = 45
^
- 5 ( a 2 -2o¿>+¿>2 = 9 )
- 5 a 2 + 1 0 o ¿ > -5 ¿ 2 = ^ 5
ab - 2 b 2= 0
a 2+
L a e cu a c ió n resultante se resuelve p a ra a:
(a + 2 b )(a -b ) = 0
a = - 2b
o
<2 = ¿>
Se sustituye e n la seg u n d a e cu a c ió n y se resu elv e p a ra b , y se d ete rm in a que,
si a = - 2b, en to n ces { - 2 b f - 2 ( - 2 b ) ( b ) + b 2 = 9
9¿>2 = 9
b =± 1
s i a = b, en to n ces ( b f - 2 ( b ) ( b ) + b 2 = 9
0*9
Para a = b, la ecu ació n e s inconsistente.
Se calcu la n los valores de a su stitu y en d o b = 1 y b = - 1, e n la relación,
a = - 2b
P o r consiguiente, las soluciones e n e l ord en (a , b ) son:
( - 2 , 1), ( 2 , - 1 )
E JER C IC IO 1 3 2
Resuelve los siguientes siste m a s d e ecuaciones:
J J * 2_4y = 0
6 J-» v2 + »v2 - z 2 + 7 = 0
\w =2 z-l
’ [* -y =0
2
\ a 2+ b2 = 9
?
¿ \ a + b = 3
J ^
b 2 + 3 a 2 = 57
3/»2 = - 4 3
í 9X2- 2y2 = 1
| 2 a:2 - y 2 = 9
j* + y = 0
4
j
[-a 2-
[9 ^ + 2 y 2=l
= 8
o
U 2 -¿>2 = - 2 8
[ a 2 + b 2 = 36
I2 r-y = 0
í x * - x y + y 2 = 19
’ \ x - y =2
[ tf2 +a¿>+¿>2 = 4 9
l" ' \ a 2- a b - 2 b 2 = 0
3 0 3
12
1 2
C a p ítu lo
Á
lg e b r a
16.
11.
x 2 + x y + 2 y 2 = 32
„ l
a 2 + 2 b 2 = 2¡7
- b 2- a b = -6
17.
6 m 2 - 6 m n + 3n2 - 1 5 = 0
2 7 2 60
m + 2W = T
13. |
w2 + 2 w z + z2 = 4
w2 + 3 w z - 4 = 0
18.
,4 ..
a2- 2 a b - b 2 = - l
a2-3 a b + b 2 = -5
19.
, |
a 2- a b = - \ b 2
4
3d2 -¿>2 + 9 = 0
2 p 2 - 3 / * ? + «?2 =15
1 , 2
1 ,
3 P - 3 W + 3 Í
=3
10r2 - 1 5 r í - 5 í 2 - 1 0 = 0
3w2 + 2w z + 2 z 2 = 18
20.
6 iv2 + 3w z + 2 z 2 = 24
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
3 0 4
a b + 6 a 2 = 10
8a 2 - 6 a b - 4 b 2 + 80 = 0
C
a p ít u l o
13
D e s ig u a l d a d e s
Thomas H a rrio t I 1560-1621)
ngresó a la Universidad de Oxford en el año
1577, cuando tenía 17 años de edad.
I
Fue un excelente astrónomo y el primer inglés
que tuvo un telescopio, además, uno de los pri­
meros que observó y habló de los manchas solares con lo que rompió en
definitivo con lo antigua concepción de lo perfección solar.
A lo largo de su vida escribió miles de páginas detallando sus estudios
y observaciones en campos tan diversos como la óptica, la química, la
balística, la astronomía y las matemáticas. Diez años después de su muerte
editaron su tratado sobre ecuaciones, en el que se pone de manifiesto su
destreza en la resolución de algunas ecuaciones de tercer y cuarto grado.
En este tratado de álgebra se dan algunas novedades en la notación. Una
de ellas es el empleo de los signos menor que y mayor que empleados en
la actualidad. Muchos matemáticos, por tanto, le han atribuido la paterni­
dad de los signos < y >.
T hom as H arriot (1560-1621)
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Definición
E s la re la c ió n d e o rd en q u e ex iste e n tre d o s c an tid ad e s y s e re p re se n ta c o n los sím b o lo s m e n o r q u e (< ) y m a y o r
q u e (>).
D ada la expresión 3 x - 2 < 8, donde x e s una variable, s u solución e s e n co n trar e l con ju n to de valores que la s a ­
tisfagan, s i e sto ocurre recibe e l nom bre de c o n ju n to solución de la desigualdad.
Ejem plo
\ferifica cu ál de los siguientes elem entos d e l c o n ju n to {-3, 2, 4, 5}, so n soluciones de la d e sig u ald ad 3xr —2 < 8.
S o lu ció n
S e sustituye c a d a valor e n la desigualdad:
Para x = - 3
3( - 3 ) - 2 < 8
- 9 - 2< 8
- 11 < 8
D esigualdad verdadera
Para x = 2
3 (2 ) - 2 < 8
6
-
2<8
4 < 8
D esigualdad verdadera
R ira x = 4
3 (4 ) - 2 < 8
12
-
2
<
8
10 < 8
D esigualdad falsa
Para x = 5
3 (5 ) - 2 < 8
15 —2 < 8
13 < 8
D esigualdad falsa
En este ejem p lo los valores que hicieron verdadera la desig u ald ad so n soluciones de la expresión.
Propiedades d e la s desig uald ad es
S ean a , b , c e R.
1.
Si a > b y b > c, en to n ces a > c
2.
S i a > b , en to n ces a + c > b + c y a - c > b - c
3.
Si a > b y c > 0, en to n ces a c > b e y “ > “
4.
a b
Si a > b y c < 0 , en to n ces a c < b c y - c -
3 0 6
C a p ítu lo
13
Desigualdades
Tabla d e desigualdades
D esig u a ld a d
In te rv a lo
x> a
(a,~)
x< a
( - 00. a)
x£ a
[a, «o)
x<Sa
(-~,a)
a<x< b
( a, b)
a^xsb
[a, b]
a<xíb
(a, b]
a < ,x < b
[a, b)
-oo < X < oo
(- 00,00)
G rá fic a 2
G r á f ic a 1
a
— oo
oo
a
oo
a
— oo
b
a
■fr
b
a
b
£
bfota: (o, b) es un intervalo abierto, [a, b ] es cerrado y (a, b] o [a, b) semiabierto o semicerrado.
D esig uald ad lin e a l co n una v a ria b le
Para d e te rm in a r e l c o n ju n to so lu c ió n de u n a d e sig u ald ad , s e p ro c ed e d e la m is m a m a n e ra co m o e n u n a ecu a c ió n
lineal: s e d e sp e ja la variab le y se to m a n e n co n sid eració n las propiedades de las desig u ald ad es.
s o jd u islj
EJEM PLOS
1
• • R esuelve la desig u ald ad 6 x - 10 > 3 x + 5.
Solución
Al d esp e ja r a: se ag ru p an todos los térm in o s que con ten g an la variable e n uno de su s m iem bros, y los térm in o s in d e ­
pendientes e n e l otro, finalm ente, se sim plifica.
6 x - 3 x > 5 + 10
6 * - 10 > 3 * + 5
3 x > 15
se divide p o r 3
15
J> 7
*>5
R jr la propiedad 3, e l sen tid o de la desig u ald ad no c a m b ia
L a d e sig u ald ad x > 5 , tien e la form a x > a de la tab la , por tanto, e l intervalo que rep resen ta e l c o n ju n to solución
es (5 , o°), y s u representación g ráfica es:
O
3 0 7
♦
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
• • - D e t e r m in a e l intervalo y g ráfica e l conju n to so lu c ió n de la desigualdad: 2 * - 6 + 3 x > & * + 2 1 .
S o lu ció n
2 * -6 + 3x>& *+21
2r + 3 jr-& r> 2 1 + 6
->
- 3 x > 27
P o r la propiedad 4, e l sen tid o d e l signo de la desig u ald ad ca m b ia
« 3
x< -9
L a desig u ald ad x < - 9, tien e la form a x < a d e la tab la , p o r tan to , e l intervalo que re p re se n ta e l c o n ju n to solución
es ( -oo, - 9 ] y s u representación g ráfica es:
-9
3 ••
2 x —3
D eterm in a e l c o n ju n to solución de 3
< — - — < 7.
S o lu ció n
Se m ultiplica la desig u ald ad por 5, p a ra e lim in a r e l denom inador.
3 < ^ y ^ < 7
- » (3 )(5 ) < 2 x - 3 < (7 )(5 ) -> 15 < 2 * - 3 < 3 5 -> 15 + 3 < 2 * < 3 5 + 3
Se su m a 3 a c a d a extrem o de la desig u ald ad
18 < 2 x < 3 8
S e divide e n tre 2 todos los m iem bros
18 2 x
38
— < — c —
9 < x < 19
Por la propiedad 2 , e l signo de la desig u ald ad no ca m b ia
La desig u ald ad tien e la form a a < x < b, por tanto, e l intervalo so lu c ió n e s [9, 19) y la gráfica es:
O
19
4 ••
2_3*
¿ C u á l e s e l intervalo solución p a ra la siguiente desig u ald ad 4
> — - — >- 2 ?
S o lu c ió n :
4 >
> “ 2 - » (4 ) (7 ) > 2 - 3 * > ( - 2 ) ( 7 ) - >
Se re sta 2 a c a d a m iem bro
2 8 > 2 -3 x > -1 4
28 - 2 > - 3 x > - 1 4 - 2
26 > - 3 r > -1 6
Se divide e n tre - 3 y se ca m b ia el se n tid o d e la desig u ald ad
^
< x < —y
26
~
16
<X<T
L a desig u ald ad tien e la form a a < x < b, por consiguiente, e l intervalo so lu c ió n es:
3 0 8
C a p ítu lo
Desigualdades
5
■D eterm ina e l c o n ju n to solución de (5 *
+ 2)2-
2 x > (5 * - 4 ) ( 5 a
+ 4 ).
Solución
Se desarro llan la s operaciones indicadas.
(5 * + 2 )2 - 2 * > ( 5 * - 4 ) (5 * + 4 )
->
25a 2 + 2 0 * + 4 - 2 a > 25a 2 - 1
2 5 a 2 + 2 0 a: - 2 x - 2 5 a 2 > - 16 - 4
Se ag ru p an los térm inos y s e sim plifican
Se divide en tre 18 y s e sim plifica
18* > - 20
P o r la propiedad 3, e l sig n o no c a m b ia
x >
P o r la propiedad 3 , e l sig n o no c a m b ia
a
■"20
18
10
Finalm ente, re su lta que e l conju n to solución e s e l intervalo
> ——
9
f- f- i
EJE ÍC IC IO 1 3 3
Determ ina e l conjunto solución d e las sig uientes d e sigu aldad es:
.,
5
2L
6 X " 5 > 4 X “ Í0
2
3
1
1. 12 a - 4 > 7 a + 11
5 - a
a
—17 ^ a
7a - 3
2 . 3 a + 9 > 7a - 3
‘
2
4
" 3
3. 2 a - 5 < a - 9
2 3 . - 7 < 4 a + 1 < 13
4 . 4 a - 2 > 12a + 6
24. - 6 < 2 r - 3 < 4
5. 2 r - 1 > 27 + 6a
2 5 . - 8 < 3a + 1 < - 2
6 . a - 9 < 8a - 1
2 6 . - 10 < a — 1 < —2
7. 2 x - 4 + 6 x < \Q x - 7
27. - 1 1 < 3 a - 2 < 7
8. 3 a + 7 - 2 * > 4 a - 3 + 2 *
28. - 15 < a + 8 < - 2
9 . 0 . 6 r + 3 . 4 < 8 . 4 + 0 .1 a
29. - 5 < 3 a + 1 < 1 3
12
10. 4 (a - 3 ) - 8 < 5 - a
30. 8 - a < 5a + 3 2 < a + 36
11.
3 1 . - 1 0 0 < 0 .1 a < 10
16a + ( 5 - a ) > 3 0
1 2 . ( 8 a + 1)( a - 7 ) > ( 2 a - 3 ) ( 4 a + 5 )
3 2 . a 2 + 2 ^ a2 + 5 a < a 2 + 3
1 3 . a( a + 1 2 ) > ( a - 4 ) 2
33.
1 4 . (4 a + 1 ) ( 2 a - 2 ) > 8 a( a + 5 )
34.
1 < 5 ~ X <7
-6 <
<
4
15.
*
- ‘ >3
3
35.
110.
6
- ^ ±—í . >^ 1n1_—3JA
r
-_ J5 —
2
< 1
-3 <
6
y-i
2
3y-2
2 £
37
5
2 < 4 ~~X < 6
3
38. 0 < 6 18-
\ +
10
— r —á < —0 —— r
2
3
39.
20.
— - —< 3 a + —
3
7
3
40.
\ x -
r
~
^ a <9
\
4 < a-^ < 9
3
V a rific a t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ■
3 0 9
5
9
13
13 C a p í t u l o
Á
lg e b r a
D e sig u ald ad cu ad rática con una v a ria b le
M étodo por c a so s
P a ra e n co n trar e l conju n to solu ció n , se fa cto riz a la expresión cuadrática, la ex p resió n q u e se obtiene s e d iv id e e n casos,
a los q u e s e hace un análisis d e signos, co m o se ilustra e n e l siguiente ejem plo.
Ejem plo
D eterm ina e l c o n ju n to solución de la desig u ald ad x 2 + x - 6 < 0.
S o lu ció n
Se facto riza la desig u ald ad y s e an aliza n su s factores:
(* + 3 ) ( * - 2 ) < 0
E l producto de los binom ios e s negativo, entonces e xisten 2 casos:
C a so I
* -2 < 0
C a so II
y x+ 3>0
*+3<0
y * -2 > 0
El c o n ju n to so lu c ió n de c a d a c aso re su lta de la intersección de los intervalos que s e o btienen a l resolver las d e s ­
igualdades que d a n orig en a c a d a caso.
S o lu c ió n del c aso I
S o lu c ió n d e l c a s o II
x-2 < 0 y * + 3>0
x< 2 y * > -3
* +3<0
x< -3
(-o o ,2 )n (-3 ,o o )
( - o o , - 3 ) n ( 2 ,°o )
O
—
o
■■ I l- l -I' i H H - t I- I- I
H - I-H - H 4 H -1- H —
- o o - 3
0
y jc -2 > 0
y x> 2
2
00
- o o - 3
( - 3 ,o o ) n ( - o o ,2 ) = ( - 3 , 2 )
0 2
( - o o ,- 3 ) n ( 2 ,o o ) = (p
La unión de los intervalos e s e l c o n ju n to solución de la desigualdad.
( - 3 ,2 ) u H - 3 ,2 )
Para concluir, e l con ju n to solución es e l intervalo: ( - 3 ,2 )
M étodo por intervalos
S e facto riza la expresión cu ad rática, después se b uscan valores que hagan c e ro a c a d a factor, en to n ces los valores s e
indican e n la re c ta num érica y se form an los intervalos a analizar.
Ejem plo
R esuelve la desig u ald ad x 2 - 5* - 6 > 0.
S o lu ció n
S e facto riza la expresión cu ad rática.
Ce- 6 ) (at + 1 ) > O
El c o n ju n to solución son los valores que hacen e l producto positivo.
3 1 0
C a p ítu lo
13
Desigualdades
Se buscan los valores que hacen c ero a c a d a factor.
* -6 = 0
x=6
*+1=0
y
,= -i
L os valores so n 6 y - 1 , se localizan e n la re c ta num érica y s e form an los intervalos.
( - 0 0 ,- 1 )
I
4 ------------1— m ! > i
-o o
-2 -1 0
( - 1 ,6 )
i i i
i
1 2 3 4
|( 6 ,o o )
i ó h
►
5 6 7
00
De c a d a intervalo s e to m a un valor cualquiera, e l c u a l s e sustituye e n los facto res p a ra dete rm in a r los sig n o s de
éstos. Posteriorm ente, s e m ultiplican los sig n o s p a ra to m a r c o m o so lu c ió n e l intervalo o los intervalos que cum plen
con la desig u ald ad dada.
Para e l intervalo (-<*>, -1 )
Se to m a e l valor d e * = - 4 y se sustituye e n c a d a factor:
( - 4 - 6 ) ( - 4 + 1) = ( - 1 0 ) ( - 3 ) = 3 0
E l producto e s positivo ( - ) ( - ) = +
Para e l intervalo (- 1 , ó)
Se to m a e l valor d e * = O y s e su stitu y e e n los factores:
(O - 6 ) (O + 1) = ( - 6 ) (1 ) = - 6
E l producto e s negativo ( - ) (+ ) = -
Para e l intervalo (ó, °°]
Se to m a e l valor d e * = 7 y se su stitu y e e n c a d a factor:
(7 - 6 ) (7 + 1) = (1) (8) = 8
E l producto e s positivo (+ ) (+ ) = +
E l intervalo so lu c ió n e s la unión de los intervalos donde e l producto e s positivo, e s decir,
( - oo, - 1) U (6, oo)
O tra form a de resolver una d e sig u ald ad c u ad rá tic a m ediante intervalos, es c o n stru ir una ta b la q u e indique los signos
resultantes de c a d a factor y e l signo re su lta d e l producto de d ich o s facto res.
Ejem plo
Resuelve la desig u ald ad * 2 - 2 5 > 0.
Solución
Se facto riza la expresión cu ad rática.
* 2 - 25 > O
(* + 5 ) (* - 5 ) > O
Se buscan los valores que hacen c ero a c a d a factor.
*+ 5 = 0
* -5 = 0
* = - 5
* = 5
311
13 C a p í t u l o
Á
lg e b r a
Los valores que hacen c ero a l producto so n x = 5 y x = - 5, en to n ces los intervalos que se form an son:
■<o, - 5 J i
<—
l- 5 ,5 j
— A -f
-5
1
1
1
- 3
1
0
1
1
i [5 ,-:
14 — ►
1
1
Tabla d e signos
I - 5 , 51
( — ° ° i “ 51
p a ra x = - 6
In te rv a lo
p a ra x =
[5, °o)
0
p a ra x = 6
Signo d e x - 5
- 6 - 5 = - 11
0 - 5=-5
6 - 5=+ 1
Signo d e x + 5
- 6 + 5 =- 1
0+5=+5
6 + 5 = + 11
Signo d e l producto (x - 5) (x + 5)
( - ) ( - ) =+
(-X +)=-
(+X+)=+
El c o n ju n to solución so n los valores que hacen e l producto positivo o cero.
P or tanto, e l conju n to solución e s ( - «>, - 5 ] u [5, ©o)
Ejem plo
R esuelve la siguiente desigualdad: ó * 2 < I x + 3.
S o lu ció n
Se aco m o d an los térm in o s e n uno de los m iem bros y se facto riza la expresión cuadrática.
6*2 < 7 * + 3
-> 6 r 2 - 7 * - 3 < 0
( 2 * - 3 ) ( 3 x + 1) < 0
2 * -3 = 0
3
3 x + l=0
*= 2
E ntonces los intervalos q u e se form an son:
. ( 4 1 ) , \( ¿H )
\
ó)
«---- I I I I l<í>i 'i i j>—i—i— ►
-2
- I
.
3
2
2
2
Tabla d e signos
(4 })
(Í-)
Signo d e 2 x - 3
Signo d e 3x + 1
Signo d e l producto ( 2 x - 3 ) ( 3 x + 1 )
( —X —) =
El producto es menor que cero, entonces e l intervalo solución e s
3 1 2
(-X +)=-
(4 9-
(+ )(+ )=
C a p ítu lo
13
Desigualdades
M étodo gráfico
En las siguientes gráficas la parte so m b re ad a representa a l conjunto solución de las diferentes desigualdades cuadráticas,
la línea co n tin u a representa un intervalo cerra d o y la lín ea disc o n tin u a o punteada indica que e l intervalo solución e s
abierto, éste s e d e te rm in a a l enco n trar las raíces de la e cu ació n de seg u n d o grado.
figura 2
1
1
1
»
'
B
>
1
X l\
„ •
\a > 0 /
a x 2 + b x + c > 0 —> ( - 005X , ) u ( x 2,‘>°)
figura 4
figura 3
t#
i
a >0
X\
\
X2
ax2+ b x + c < 0 ->
a>0
_
/
Xí
X2
a x 2 + b x + c < 0 - > ( * ,,* 2)
[* ,,* 2]
figura 6
— *------*1'
a < o0
' x2
►
a x 2 + b x + c > 0 - > (x p X j)
figura 7
/
figura 8
\
/
■
ax2+ b x + c < 0
\
,
a<0
- » ( - ° ° , a : , ] u [ x 2,oo)
Los valores d e x t y x 2 so n las ra íc es de la e cu ació n c u a d rá tic a a x 2 + b x + c = 0 c o n x¡ <x¡
Ejemplos
EJEM PLOS
• • D eterm ina p o r m étodo gráfico e l c o n ju n to solución de la desig u ald ad x 2 + 2 x - 8 > 0 .
Solución
Se determ in an las raíces de la e cu a c ió n x 2 + 2 x - 8 = 0 , por cu alq u ier m étodo, por ejem p lo factorización.
(* + 4 )(* -2 ) = 0
(<con tin ú a )
3 1 3
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
D espués, c a d a factor se iguala a cero y se obtienen las raíces:
* + 4 = 0 —> * = - 4 y * - 2 = 0
P or tanto, las raíces so n : at, = —4 , a 2= 2 , y a que
a
-> a = 2
,<x2
L a desig u ald ad tien e la form a a x ? + b x + c > O d e l a figura 1, c o n a positivo; la fó rm ula q u e re p re se n ta e l conjunto
solución e s: ( -
° ° ,a ,
]u [
a
2 ,° ° )
Finalm ente, e l c o n ju n to solución e s: ( - ® ° ,- 4 ]u [2 ,o o )
2 ••
R esuelve por m étodo gráfico la desig u ald ad - 3 a 2 >2* - 1 .
S o lu ció n
Se a co m o d an los térm in o s, - 3 a 2 - 2 a + 1 > 0 , se determ in an las raíces de la e cu a c ió n - 3 a 2 - 2 a + 1 = 0 , las c u a le s son:
a
, -
1, a2 — —
E J E R C IC IO 1 3 4
Determ ina e l conjunto solución d e las siguientes d e sig u ald ad es p o r cu alq u ier m étodo.
1. - a 2 + 9 > 0
2.
1 6 - a2 > 0
3 . 2 5 - a2 < 0
4.
a2
- 36 > 0
5 . a — 3 a2 > 0
6 . - a 2 + 5a < 0
7 . - 2 a2 + 8 a < 0
8 . a2 - a - 2 0 > 0
9 . 2 x2 - 5 a - 3 < 0
10 . 6 a2 - 7 a - 3 < 0
11 . a2 + 3 a + 6 > - 2 * + 2
12 . ( 2 a + 5 ) ( 2 x r - 3 ) > 3 a - 1 2
13 . ( 3 a - 2 )( a + 5 ) < 14 a - 8
14. ( * - 3 ) ( 2 * + 1 ) > 0
3 1 4
C a p ítu lo
13
Desigualdades
D esig uald ad racio n a l
E n e ste tip o de desigualdades se a n aliza e l sig n o d e l num erador y d e l denom inador, p a ra o b ten e r e l sig n o d e l cociente,
según s e a la desig u ald ad dada.
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • R esuelve la desig u ald ad - — - < 0.
3x- 6
Solución
E n e l prim er m iem bro e l num erador e s positivo, en to n ces p a ra que la división s e a negativa, c o m o lo indica la d e sig u a l­
dad, e s necesario que e l denom inador s e a negativo, e s decir:
3 * - 6 < 0 -» x < 2
P o r tanto, e l intervalo solución e s ( - «>, 2 )
2 ••
R esuelve la desig u ald ad
-
> 0.
Solución
E n e l prim er m iem bro e l num erador e s positivo, en to n ces para que la división s e a positiva e s necesario que e l d e n o ­
m inador s e a positivo, e s decir:
5 * -2 > 0
Por consiguiente, e l intervalo solución e s
(H
M étodo por ca so s
L a desig u ald ad d a d a s e tran sfo rm a a o tra, la c u a l se c o m p a ra c o n cero y se an aliza n los sig n o s d e l cociente.
EJEM PLOS
1
E
.SL
UJ
• • D eterm ina e l con ju n to so lu c ió n de ----- - > 2 .
x+ \
Solución
Se ag ru p an los térm inos e n un m iem bro de la desig u ald ad y s e realizan las op eracio n es indicadas:
—
—
2>0
-
x+ \
* ~ 2 ( -t + l ) > 0
- *
x+\
- >
—
x + \
—
>0
x+l
- ^ > 0
x+ \
A l a p lic ar la propiedad 4 d e las desig u ald ad es, la nueva desig u ald ad a resolver es:
^ < 0
x +\
E n un c o c ie n te e l d e n o m in a d o r debe s e r d istin to de c e ro , e n to n c es é ste re p re se n ta un intervalo a b ie rto ; e n e ste
ejem plo el c o c ie n te e s m enor o igual a cero, en to n ces existen 2 caso s.
C aso I
C a so II
* + l< 0
AT+ 1> 0
3 1 5
13 C a p í t u l o
Á
lg e b r a
Solución d el c a so I
La soluciónes la intersección de los intervalos.
*+ 2 <o
*+1
*+l<0 -> *<-1 -> (-oo,-l)
Si* + 1<0, entonces, por la propiedad 4, al multiplicar
por (* + 1) se invierte el signo de la desigualdad.
x+ 2> 0
->
x > -2
[-2,oo)
->
( - 00 ,-1 )n[-2,oo)
x+ 2> 0
l
l
i
i
l
l
i
i
l
l
-2 -1 0
-0 0
í
í
1
2
00
( - 00 ,-1 )n[-2,oo) = [-2,-1)
Solución d d caso I I
^
<
*+1
La soluciónes la intersección de los intervalos.
o
*+l>0 -> *>-1 -» (-1,®°)
Si*+ 1> 0, entonces por la propiedad 3, nose invierteel
signo de la desigualdad al multiplicar por (*+ 1).
x+ 2<
0
-» ( - 00,- 2 ]
x < -2
( -l,oo )n (- 00,- 2 ]
( S f ] (* + i ) s o ( * + i )
x+ 2<
0
'
-0 0
i1
i1
t1
1
1i
'
-2 -1 0
1
2
00
í1
( - 00,- 2 ] n(-l,oo) = 0
El intervalo de soluciones es la unión de los intervalos resultantes en cada caso.
[ - 2 ,- 1 ) u H - 2 , - 1 )
Finalmente, la solución de la desigualdad es: [ -2, -l)
2 • • Resuelve la siguiente desigualdad —í—> —— .
2 -x
x +1
S o lu ció n
De acuerdo con la desigualdad, existen 4 casos, los cuales se indican de la siguiente forma:
C aso I
2
—at> 0 y
* + l> 0
C aso I I
2 -* > 0
y *+l < 0
C aso I I I
2
- x
< 0
yx
+ \> 0
y*
+ l
C aso I V
2 -x< 0
<0
3 1 6
C a p ítu lo
13
Desigualdades
Solución d e l caso I
Si 2 - x > 0
-» x < 2
L a so lu c ió n d e l prim er c a s o e s la in tersecció n de los 3
-> ( - o o ,2 )
intervalos.
-> x > - 1 -> (—l,oo)
Si * + l > 0
( - l,o o ) n
[ l,o o ) n
(-o o ,2 )
Se m ultiplica la desigualdad por e l producto (2 - x ) ( x + 1),
d c u a l e s positivo, entonces, e l se n tid o de la desigualdad
no ca m b ia de dirección.
¿
iH
—
-0 0
( 2-*>(í +1) - - ¿ t (2- * X * +1)
1 ( * + 1 )> 2 ( 2 - ,)
- 1 - l- l- l—
-1
0
1
2
©o
La solución es:
* + l> 4 -2 *
x
+ 2x > 4 - 1
X>1
( - 00, 2 ) n í " 1’00) n
-> 3 x > 3
[ l , ~ ) = [l,2 )
—> [ l,o o )
Solución d e l caso I I
Si 2 - x > 0
-> x < 2
-> ( -
La so lu c ió n d e l seg u n d o c a so e s la in te rse cc ió n d e los
00, 2 )
3 intervalos.
Si
AT+1< 0 ->
-» (-«>,-1)
x < -\
Se m ultiplica la desigualdad por e l producto (2 -*)(*+
( - 00, - 1 ) n (-«>,1] n (-«>,2)
1),
el c u a l e s negativo, en to n ces e l se n tid o de la desigualdad
cam bia de direcció n .
— I-I-M
¿ ( 2-*)(*+') s : ¿ t (2-* x *+')
1(*+1)S2(2-*)
- 1 0
La solución es:
x + \< 4 - 2 x
->
x + 2 x< 4 -\
*<1 ->
-I-I—
1 2
(-=0,-1)
3x< 3
( - ° ° ,l]
Solución d e l caso I I I
S i 2 —JC< 0
-> x > 2 - »
La so lu c ió n d e l te rc e r c a so e s la in te rse cc ió n d e lo s 3
(2 ,00)
intervalos
Si * + l> 0
-> x > - 1 -> ( - l,o o )
(2,oo) n ( - l ,o o ) r \
Se m ultiplica la desigualdad por e l producto (2 - * ) ( * + 1),
el
pe npQativn
HpeicjiialHaH
t i piiíil
vUüi co
iivgaiivu, pntnnrpe
tiu u iitto pl
t i oepntiHnHp
tn u u u u t la utoiguuiuuu
cam bia de direcció n .
¿
(2 - ^ +1) S ¿
t
—
( 2 - ^ + I)
-00
l(* + l)S 2 (2 -* )
I - M
-1
0
- I 1
1 -1 —
2
La solución es:
x + \< 4 -2 x
(2,oo) n
x + 2 x< 4 -\
3x< 3
x< \
—> ( - ° ° , l ]
3 1 7
( —I , 00) n ( - ° ° , l ] = 0
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
S o lu c ió n d e l c aso IV
-> x > 2
Si 2 - * < 0
La so lu c ió n d e l c u a rto c a so e s la in te rse cc ió n d e los 3
-> ( 2 ,o o )
intervalos
Si * + l< 0
-> * < - 1
-> ( - o o , - l )
(2 ,oo) n
( - 00, - 1) n
[l,o o )
Se m ultiplica la desigualdad por e l producto (2 - * ) ( * + 1),
d c u a l e s positivo, en to n ces e l sen tid o de la desigualdad
no ca m b ia de direcció n .
1
_ i _ ( 2 _ A :)(x + 1 ) > _ i í ( 2 _
^
+1)
-0 0
1( * + 1) > 2 ( 2 - , )
0
- M
-2
c
- l - l -1
0
1
r
1 -1 —
2
L a solución es:
* + l> 4 -2 *
( 2 ,oo) r
* + 2 * > 4 -l
( - 00, - 1 ) n
[ 1,00) = 0
3*>3
x>\
—> [ l,oo )
La unión de los intervalos e s la so lu c ió n de la desigualdad.
( - 00, - 1 ) u
[ 1,2 ) u * u * = ( — o . - l )
u
[ 1, 2 )
M étodo por intervalos
C o n siste e n en c o n tra r los valores que hagan c e ro a l n u m era d o r y a l d e nom inador, p a ra d e te rm in a r los intervalos y
realizar e l an álisis de signos, co m o se ilustra e n los siguientes ejem plos.
E je m p lo s
EJEM PLOS
• • R esuelve
3
1
----- - <
2*+3
x-2
S o lu ció n
Se ag ru p an los térm in o s e n un m iem bro de la desig u ald ad y s e re aliz a la o p e rac ió n indicada.
!_ < o
2* + 3
x -2
2x+3
3 ( * - 2 ) - ( 2 * + 3 ) <Q
x-2
^
3 r - 6 - 2 y - 3 <Q
(2x + 3 ) (x -2 )
(2 * + 3 )(* -2 )
x-9
<0
(2 * + 3 )(jt-2 )
Se determ inan aquellos valores q u e hacen c ero a l num erador y al denom inador, para o b ten e r los posibles intervalos
que darán e l conju n to solución.
* - 9 = 0 —» x = 9
;
2* + 3 = O -> * =
* - 2 = 0 -» x = 2
;
E l denom inador debe de se r diferen te de ce ro , por consiguiente, p a ra x = ~ ^ y * = 2 , los intervalos so n ab ierto s y
p a ra * = 9, e s cerrado, en to n ces los intervalos que se van a a n aliza r son:
3 \
/
— o o .--
«— 4
-o o
►-2”
.
3
■ 4 .2
1 1
0
(2,9]
1
¿
2
3 1 8
[9,oo)
4
6
9
1— ►
oo
13
C a p ítu lo
Desigualdades
Tabla d e signos
in te rv a lo
(- !• * )
<2, 91
[9 ,0 0 )
Signo d e x - 9
-
-
-
+
Signo d e 2 x + 3
-
+
+
+
Signo d e x - 2
-
-
+
+
(-)
r innn
x 3)(x_
- ^ 2)
S
9 n ° Hn
d e (2 x +
x-9
Si
(_)
(- )(- )
(-)
- +
(+ )(- )
j
0, entonces e l intervalo solución de la desig u ald ad e s
( 2 * + 3 ) ( ,- 2 )
2
• • R esuelve la desig u ald ad
(+) ( + )( + )
( + )( + )
+
u (2, 9J
+ 2} > 0 .
U “ 5 )(x + 3 )
S olución
Se b u sc a n los v alo res que h a ce n c e ro los facto res, c o n esto s valores s e co n stru y en los intervalos q u e d a n o rig e n al
con ju n to solución de la desigualdad.
R ú a el fa cto r (** + 2),
í j
R ú a e l fa cto r (3 - x ) , 3 - * = 0 - » x = 3
+ 2 = 0 -» í ! = - 2 ->
j
=
^
R ira e l fa cto r (* - 5), * - 5 = 0 - > * = 5
La raíz e s im aginaria, e sto significa que e l lacto r siem pre
R ú a e l fa cto r (* + 3), * + 3 = 0 - » * = - 3
tendrá un valor positivo.
L uego, e l d enom inador debe s e r distin to d e cero, en to n ces p a ra x = 5 y x = - 3, los intervalos so n ab ie rto s y para
x = 3, e l intervalo e s cerrado.
< -« * -3 )
<
-o o
.
( - 3 ,3 ]
t - O
—3
I
I
I
O
.1 3 ,5 ) |( 5 ,o o )
i
I
*
3
I
5
-------►
oo
Se construye la tab la , no s e to m a e n c u e n ta e l fa c to r (x 2 + 2), y a q u e e s positivo e n todos los valores de a:, y no
afecta a l sig n o del cociente.
in te rv a lo
(-
( - 3 , 31
- 3)
[3 , 5)
(5 , «o)
Signo d e 3 - x
+
+
-
-
Signo d e x - 5
-
-
-
+
Signo d e x + 3
-
+
+
+
Sirmn rir
*
Sl9" ° do (x - 5Xx + 3)
(+ )
(-)(-)
+
+
.
(+ )
(-)( + )
Finalm ente, la solución de la desig u ald ad e s: ( - oo, - 3 ) u [3, 5)
3 1 9
+
-
< ">
-
(- )( +)
-
.
( -)
-
( + )( + )
+
1
13 C a p í t u l o
Á
lg e b r a
EJE IC IC IO 1 3 5
Determ ina e l conjunto solución d e las sig uientes desigu aldad es.
5
>0
6.
4 x —3
3
<0
7.
>0
9.
5
>0
>0.
6 - 2*
2
>
* + 1
(* -2 )2
(r
3 H 2 , - 3 ) SQ
* * 1 ¿ 0
x - 3
3
^ < 0
2x-5
6
(* -!)(* + 2 )
J2
2x-5
3.
n. / (*+4\> °
^ < 0
2x-4
- i - <
3j» t+ 1
* +2
13.
(x+ 6 )(x-l)
- 3
x
2
- 4
x
* -2
V a rífk a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
D e sig u ald ad que tiene la exp resió n ( x - a ) ( x - b) ( x - c )...
U n a form a práctica p a ra d ete rm in a r e l c o n ju n to solu ció n , e s c o n stru ir una ta b la co n los intervalos q u e s e form an al
en co n trar los valores que hacen c e ro a c a d a factor, co m o se ilustra e n e l siguiente eje m p lo .
Ejem plo
R esuelve la desig u ald ad ( * - 2 ) ( * - 4 ) ( * + 2 ) > 0.
S o lu ció n
Se determ in an los valores que hacen c ero a c a d a factor para form ar los intervalos.
R i r a * - 2 = 0 -> x = 2
;
í k r a . r - 4 = 0 -> * = 4
( - 0 0 ,- 2 ]
I [ - 2 ,2 ]
« ----------- 1 I
— oo
—4
l
i l
—2
;
Para* + 2 = 0 -> x = - 2
|[ 2 , 4 ] | [ 4 , o o )
\
i
0
*
2
\
*
4
\-------►
oo
Tabla d e signos
In te rv a lo
-21
1-2 . 2]
[2 . 41
[4 . ~ )
+
+
Signo d e x - 2
-
-
Signo d e x - 4
-
-
Signo d e x + 2
-
+
+
+
(-X -X-) —
< - X - X +)» +
(+ )( -X +) =-
( + K +X + ) - +
Signo d e (x - 2)(x - 4)(x + 2)
+
L a desig u ald ad indica q u e e l producto e s positivo, en to n ces s e tom an los intervalos cu y o producto e s positivo, es
decir, [ - 2 , 2 ] y [ 4 ,° o ) , luego, la unión de esto s intervalos e s e l con ju n to solu ció n .
Finalmente, la solución de la desigualdad es: [ - 2 , 2 ] u [ 4 ,° o )
3 2 0
I
13
C a p ítu lo
Desigualdades
E J E R C IC IO 1 3 6
Determ ina e l conjunto solución d e las sig uientes desigualdades.
1. ( * + 2 ) ( * - 4 ) ( 2 - * ) ( r + 1 ) > 0
2. ¿ + 2*2 - 4 x - 8 > 0
3. ¿ + 2x2- x - 2 < 0
4. y -
1 2 at+ 1 6 < 0
5. x * > 9 x
6 . x * - l l ¿ - l& x - 8 > 0
V arifica t u s r e s u lta d o s e n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rra s p o n d ia n ta
D esig uald ad es con v a lo r absoluto
E l con ju n to so lu c ió n de una d e sig u ald ad que involucra valor abso lu to , e s tá dad o por las siguientes propiedades:
Sean o , /» g /? y b > 0
1.
| a | < b s e e x p resa com o:
3 . | a \ > b s e expresa com o:
- b < a < b o b ien a > - b y a < b
2.
- a > b o a > b o b ien a < - b o a > b
| a | < b s e expresa com o:
4. | a \ > b s e expresa com o:
- b < a < b o b ien a > - b y a < b
- a > b o a > b o b ien a £ - b o a > b
EJEM PLOS
# • D eterm ina e l c o n ju n to so lu c ió n de |* + 1| < 7.
1.
Solución
J
L a d e sig u ald ad |* + 1| < 7 , tien e la form a de la propiedad 1, entonces:
- 7 < * + 1< 7
O bien:
- 7 < * +1
- 8<*<6
* + 1<7
-7-\< x
x< 7 -1
x<6
- 8 < jc
-8
6
P o r consiguiente, e l con ju n to so lu c ió n e s e l intervalo ( - 8, 6 )
►• E n cu e n tra e l conju n to so lu c ió n de \2x- 11 > 7.
Solución
2
l
IV
-J
L a d e sig u ald ad \2x - 1 1> 7 tien e la form a de la propiedad 4 , entonces:
i
2
-2 x + 1>7
-2x>7 - 1
2 x > 7 +1
2 at> 8
H
' a !
x>4
VI
4
1
■
-3 > *> 4
2x- 1>7
P o r tanto, e l con ju n to so lu c ió n e s e l intervalo ( -
321
- 3 ] u [4,°o)
—oo
-3
4
-
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Casos especiales de desigualdades con valor absoluto
E n este tip o de desigualdades s e ap lican las propiedades anteriores, para obtener d o s desigualdades lineales; e l conjunto
solución de la desig u ald ad e s la unión o intersección de los intervalos solución de c a d a desig u ald ad obtenida.
Ejemplos
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
1
• • D eterm in a e l c o n ju n to solución de la desig u ald ad |* - 2 | > 3 x + 1.
S o lu ció n
L a d e sig u ald ad |* - 2 | > 3 * + 1 tie n e la form a de la fórm ula 4, entonces se representa com o:
P r im e r a d e s ig u a ld a d
S e g u n d a d e s ig u a ld a d
-(* -2 ) >3*+ 1
* -2 > (3 x + l)
x - 2 >3x+ 1
x-2x> \ +2
- a: + 2 > 3 jc + 1
-3 x-x> -2 + 1
- 4* > - 1
-
-2 r> 3
i
—oo
1 31 1
L-1
1 1
oí
* 4
4
Finalm ente, las soluciones de c a d a desig u ald ad son:
* 4 - » ( - “ ■?]
;
X~ ~ 2
Se d ete rm in a la unión de los intervalos:
Para concluir, la solución de la desig u ald ad es:
(- • i]
2
• • R esuelve la desigualdad
x -\
x +2
>4.
S o lu ció n
L a desig u ald ad tie n e la form a de la propiedad 3, entonces se tie n e n las siguientes desigualdades.
L a desig u ald ad
> 4» s e tran sfo rm a a:
x- 1
x+ 2
>4
x -\
---------- 4 > 0
x +2
3 2 2
—3at—9
x+ 2
>0
i
1
1
i
1
2
C a p ítu lo
13
Desigualdades
Al aplicar e l procedim iento para resolver u n a desigualdad racional, por e l m étodo de intervalos, los valores q u e hacen
cero al num erador y a l denom inador so n x = - 3 y x = - 2 , respectivam ente, e l denom inador debe se r distinto d e cero;
entonces e l intervalo es abierto, lo m ism o para e l num erador ya que la desigualdad es estrictam ente m ayor que cero, por
tanto los intervalos que se form an son:
( - o o ,- 3 ) , ( - 3 , - 2 ) , ( - 2 ,o o )
Tabla d e signos
In te rv a lo
( -
- 3 )
( - 3, - 2 )
(-2,00)
Signo d e - 3 x - 9
+
-
-
Signo d e x + 2
-
-
+
.
3x- 9
j
+
* * * * 1 +2
“
E l conjunto solución para la desigualdad
x -l
x+2
= +
+
> 4 es: ( - 3, - 2 ) , de m anera sim ilar, s e obtiene el conjunto solución
efe la d e sig u ald ad - | ::— r I > 4 , d a n d o c o m o so lu c ió n e l intervalo ^ - 2 , ~ j ; la u n ió n de las soluciones o b ten id a s da
- m
h -
origen a l con ju n to so lu c ió n de la desig u ald ad original, por consig u ien te la solución es:
( - 3, - 2 ) u
3
■R esuelve
la desig u ald ad
|* + 11> 11 -
2 r |.
S olución
U na form a de reso lv er e l ejercicio e s elevar a l cu ad ra d o am b o s m iem bros,
(Iat + 11)2 > ( I 1 - 2 j c I )2 -> ( * + 1 )2 > ( 1 - 2
* )2
x 2 + 2 x + \ > \ - 4 x + 4x2
0 > l - 4 x + 4x2 - x 1- 2 x - \
0 > 3 x 2- 6 x
3X2 - 6 x < 0
o bien,
3x{ x - 2 ) < O
fectorizar,
L os valores c o n factores iguales a cero so n : x = O y x = 2, por consiguiente, los intervalos s e definen com o: ( - «>, O J,
[ 0 , 2 J y [ 2, oo )
Tabla d e signos
In te rv a lo
01
( -
[0 .
21
P ,~ >
Signo d e 3 x
-
+
+
Signo d e x - 2
-
-
+
(- )(- )= +
(+X -) =-
( + )( + )= +
Signo d e 3 x(x - 2)
H intervalo de solución es [ O, 2 ]
3 2 3
1
13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJE LC IC IO 1 3 7
Determ ina e l conjunto solución d e las sig uientes desigu aldad es:
1
<1
10 .
2. W < 7
11. | x - I I < 2 r
3. |x - 5 |> 4
12. |2 * + 3| > * + 3
4 . |5at — 3| < 12
13. \ 2 - 2 x \ < x - 4
8
4*~ 2
x+\
|8 - 2 « j > 2
14.
6. | 7 * - 1 | < 0
15.
7 . \ 2 x - 1| < 19
16. \ x \ < \ x - \ \
8.
17. |3 * - 4| > |* + 4|
5.
9.
^
3
1. W ^ 7
x-2
|6 - | j j > 9
* +4
<1
>2
- ( * - 1 0 ) < 10
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
G rá fic a d e una d esig u ald ad lin eal con dos va riab le s
U na desig u ald ad lineal que tien e la form a:
a ) y < m x + b no incluye a la recta
c ) y > m x + b no incluye a la re c ta
b ) y < m x + b incluye a la re c ta
d ) y > m x + b incluye a la recta
E n una d e sig u ald ad lineal de dos variables, e l c o n ju n to solución e s la región que s e form a por e l c o n ju n to d e todos
los pares ordenados (* ,y ) que sa tisfac en la desigualdad.
EJEM PLOS
• • D eterm in a la gráfica d e l conju n to so lu c ió n de y > - 2.
S o lu ció n
G rá fic a
Prim ero, s e g ráfica la recta y = - 2, co n una lín ea punteada,
Y
y a que e l sig n o de la desig u ald ad re p re se n ta un intervalo
3
abierto.
2
L uego s e so m b re a la región que contiene a to d o s los
1
puntos de ordenada estrictam ente m ayores q u e - 2 , en este
c a so so n todos los puntos que s e en cu e n tra n por a rrib a de
-4 -3
la recta punteada.
1 2
- 2 -1
3
4
-1
-2
3 2 4
y > - 2
C a p ítu lo
13
Desigualdades
2
• • 'E n c u e n tra la región d e l conju n lo so lu c ió n de x < 5.
Solución
G rá fic a
Y
Se g ráfica la re c ia x = 5, e l sig n o de la d e sig u ald ad indica
3
que la lín ea e s continua.
2
E l c o n ju n to so lu c ió n so n los puntos d e l plano cuyas
abscisas so n m enores o iguales a 5.
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
3 • • - D eterm ina la g ráfica d e l conju n to so lu c ió n d e y > x
+ 2.
S olución
G rá fic a
i
Se g rá fic a y = x + 2 ; é s ta s e re p re se n ta c o n u n a recta
punteada, y a que e l signo rep resen ta intervalo ab ierto , la
/
/
3
c e t a divide a l plano c artesia n o e n 2 planos.
/
P la n o I
f ó r a d e te rm in a r la reg ió n s o lu c ió n d e l siste m a , s e
V
/
sustituye u n pu n to perteneciente a una de las regiones y
32 v erifica que c u m p la co n la d e sig u ald ad . Por eje m p lo ,
/
A
e l punto: ( - 1, 4)
y>*+2
/
4 > - 1+2
'
4 > 1
E l punto s í satisface la desigualdad.
L a región q u e es la so lu c ió n de la desigualdad, e s el
con ju n to de puntos que e s tá n e n la reg ió n por a rrib a de
la recta punteada, e s decir, e l c o n ju n to de puntos que se
encuentran e n e l plano I.
P o r e l c o n tra rio , s i e l p u n to e le g id o n o sa tis fa c e la
desigualdad, la región q u e re p re s e n ta d conju n to solución
será e l plano co n tra rio a l punto.
3 2 5
/
•
/
/
-3 /-2
/
/
P la n o II
1
,
-1
0
_i
1
-2
/
1
2
3
A
13
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
E JE R C IC IO 1 3 8
Gráfica las siguientes d esigu aldad es lineales:
1.
y>
2.
3.
6
4. y < 3
7.
jc <
-3
10. 3 x - 2 y < 0
y < -5
5.*> 4
8. x > 4
11. x + y < 1
y >4
6.x ^ - 3
9. 2 x - y > 3
a
f* !* !
Vitrifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n te
Sistem a de d esig u ald ad e s lineales co n dos v a ria b le s
E l c o n ju n to so lu c ió n de un siste m a de d esigualdades e s la intersección de las regiones so lu c ió n de c a d a desigualdad
lineal.
EJEMPLOS
i|
• •
íy> 2
R ep resen ta gráficam ente e l c o n ju n to solución d e l siste m a j ^ < _ J .
S o lu ció n
Se en cu e n tra la región so lu c ió n de c a d a desigualdad. L a solución e s e l c o n ju n to de todos los puntos que s e e ncuentren
en la intersección de las regiones.
1
—
H
VI
Y
4
3
>>
>2
CN
A
y
3
4
1
- 4 -3 -2
-1
1
2
3
X
4
-4 -3 -2
0
1
2
x<-\
2
• • • D e te r m in a gráficam ente e l conju n to so lu c ió n del siste m a
+ * _ ^ Q.
Gráfica
S o lu ció n
El siste m a tien e la form a:
y > *-
2
y < 1-x
Se g ráfica la re c ta y = x - 2 , c o n lín ea c o n tin u a y a que
e l signo de la desig u ald ad indica intervalo c e rra d o ; luego,
s e g ráfica la recta y = 1 - x , co n u n a lín ea punteada, y a q u e
e l sig n o de la desig u ald ad indica intervalo ab ierto .
Se g rá fic a la reg ió n so lu c ió n d e c a d a d e sig u ald ad y
la in tersecció n de la s regiones s o n todos los puntos que
satisfacen e l conju n to so lu c ió n del sistem a.
y> x- 2
3 2 6
X
C a p ítu lo
Desigualdades
Finalm ente, la g ráfica que representa a la región que co n tie n e e l c o n ju n to de todos los pares ordenados es:
G rá fic a
EJE 5 C IC IO 1 3 9
Determ ina la región q u e e s solución d e los sig uientes sistem as:
1.
y> 2
6.
x<3
y<-3
7.
x<4
-2<x<2
8.
y«
-l< y< 4
9.
0<x<3
x+y> 3
x-y<\
10.
ÍZ r-3 y > 9
ly < 3 * -1 0
Í2A:+y<l
U -y
>2
¡x+2y>0
l * —3 y < 0
[x<y
¡x + y < l
íy < x -4
b < i-*
( J ) Vitrifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente i
3 2 7
13
C
a p ít u l o
14
Lo g a r it m o s
H ISTÓ RICA
O
<c
s
&
Jo h n N a p ie r
E
término logaritmo lo acuñó el matemá­
tico escocés John Napier, a partir de los
términos griegos lógos (razón) y arithmós
(número) para designar a la correspondencia,
que había descubierto, entre los términos de
una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó "números
artificiales", pero luego cambió de opinión.
Al logaritmo que tiene por base el número
periano.
se le llama, en su honor, ne-
Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a
usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo des­
cubrimiento: "Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar
la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se
evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman
en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplica­
ción por la adición y la división por la substracción. Además, el cálculo de
las raíces también se realiza con gran facilidad".
Jo h n N ap ier (1550-1617)
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Definición
E l lo& , N = a , e s e l expo n en te a , a l que se ele v a la b a se b para o b ten e r el arg u m e n to N.
logh N = a <=* N = b a
C o n N y b núm eros reales positivos y b diferente de 1
EJEM PLOS
• • E m plea la d efinición de logaritm o para tran sfo rm a r las sig u ien te s expresiones a s u form a exponencial:
.SL
F o rm a logarítm ica
F o rm a exponencial
1.
2 4 3 = 35
2.
,o g ± = 6
1 64
3.
lo g ^ - 3
4.
2 ••
log3 243 = 5
log
- L = m 6
64
\2 )
2- = I
— = 3
-2 1
f l V = -L
U J
27
T ransform a las siguientes expresiones exponenciales e n expresiones logarítm icas:
F o rm a exponencial
1.
F o rm a lo g arítm ica
N = (J lf
lo g „ 5JV = 3
z
1o^ ¿ = - 3
3.
(s is )'=25
l o g , 25 = 4
4.
xp= y
lo g , y = p
EJE ÍC IC IO 1 4 0
C onvierte a s u form a exponencial los siguientes logaritm os:
1. l0 g 2 8 = 3
4. l0 g 6 ^
2.
log, 16 = 4
3.
log3 81 = 4
= -2
7. lo g d > / 6 = i
10. l0g(,_ 1( 128 = 7
5. l o g ^ 9 = 4
8. lo g 3( x - 1 ) = 2
11. log3,2 4 3 = 5
6. lo g 7 3 4 3 = x
9. ^ . 6 2 5 = 4
12. lo g ,* .,, 256 = 8
Transforma a s u form a logarítm ica las siguientes expresiones:
13. 172 = a
16. — = N 2
16
19. 2* = 2 5 6
22. — = 3-4
81
14. 625 = 54
17. Í | 1
20. ( x - 2 ) ’ = 8
23. 5 ^ = 1 2 5
■
15. 6 4 ^ = 4
18. ( * + 3 ) = 24
21. x K = z
24. 441 = (3 x + 2)2
= |
V s rific a t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
3 3 0
C a p ítu lo
Logaritmos
Aplicación de b definición de logaritmo
En los siguientes eje m p lo s s e a p lic a la definición de logaritm o para en co n trar el valor de la incógnita.
Ejemplos
EJEM PLOS
1
• • E n cu e n tra e l valor de a e n la expresión: lo g a 2 1 6 = 3.
Solución
Se escribe e l logaritm o e n s u form a exponencial y se d esp e ja la incógnita:
loga2 1 6 = 3
—>
2 1 6 = 0*
5/216 = a
—>
—>
6=a
P o r consiguiente, e l resultado e s: a = 6
2 • • ' E n cu e n tra e l valor de m e n
lo g
m = 3.
Solución
Se tran sfo rm a a s u form a exponencial la ex p resió n y s e d esarro lla e l exponente:
=
lo g ? m = 3
P o r tanto, e l resultado es: m = 2s¡2
3 • • *D eterm ina e l valor d e a: e n
la expresión: log 3
= x.
Solución
L a expresión se tran sfo rm a a la form a exponencial.
lo g , — = x
53 7 2 9
-»
3* = —!—
729
E l núm ero 729 s e descom pone e n facto res prim os y la ecu ació n se expresa com o:
3 * = - ? -----»3* = 4 r —> y = y *
129
3
De la últim a igualdad se obtiene: x = - 6
EJE ÍC IC IO 1 4 1
Encuentra e l v a lo r d e las incógnitas e n las siguientes expresiones:
0
1.
l o g ,2 5 = 2
6. logd 4 9 = |
11. lo g 27w = |
16. log* ^ =
2.
lo g , 6 4 = 3
7. log3 * = 4
12. lo g 3x = - 2
17. l o g ^ — = x
2
3.
log>. 81 = 4
8. log2 m = 3
13. lo g * ¿ = 0 .2
4.
logb 3125 = - 5
9. logQ5y = 5
14. lo g 8* =
a333...
18. lo g 160 . 5 = y
19. lo g , 512 = *
8
5.
lo g , 32 = |
15. log,, 216 = x
10. lo g ,W = |
V e rific a t u s re s u lta d o s a n la s a c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r a s p o n d ia n ta
331
14
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Propied ad es
Para c u a lq u ie r M, N, b > 0 y b * 0, s e cum ple que:
1.
lo g „ l= 0
5. log,, M N = I0 & M + log,, N
2.
logft b = 1
6. logft ~
3.
logh M " = n log* M
7. logr AÍ = lnAf, ln = logaritm o n atural y e = 2.718281...
4.
log* \ Í M = - log* M
ti
= log,, M - logb N
Im portante: la s siguientes e xpresiones no so n igualdades.
logk (A / + W ) ^ l o g t M + l o g t /V
l0g‘ ( ^ ' ) ’í ^
L^ '
D em ostraciones de las propiedades de los logaritm os:
1.
lo g , 1 = 0
D e m o s tr a c ió n :
S e a log* 1 = a , e sta ex p resió n se tran sfo rm a a s u form a exponencial:
—> 1 = b a
log* 1 =
fó r a que ba = 1, se debe cu m p lir q u e a = 0 , entonces, a l su stitu ir e s te resultado se d ete rm in a que:
lo g * l = a = 0
2.
lo g , b = \
D e m o s tr a c ió n :
S e a lo g hb = a , se a p lic a la definición de logaritm o y la ex p resió n exponencial es la siguiente:
loghb =
P ero b = b \ por consiguiente b x = b° y
a=
—» b = ba
1
A l su stitu ir este resultado se obtiene: lo g , b =
3.
a
a=
1
lo g , A/" = n lo g * A /
D e m o s tr a c ió n :
S e a x = lo g , M , s u form a exponencial e s b* = M , a l e le v ar e s ta expresión a la e n é sim a p otencia s e de te rm in a q u e :
( b x)H= M m
-> b™ = M "
La form a logarítm ica d e e s ta expresión: log,, M " = n x
Se su stitu y e * = log*A f, y s e obtiene: lo g , M " = n lo g , M
4.
lo g , \ M = —lo g , M
n
D e m o s tr a c ió n :
S e a x = lo g , A /, s u form a exponencial e s b x = M , se extrae la raíz e n é sim a e n am bos m iem bros de la igualdad:
= "sÍM
3 3 2
C a p itu lo
14
Logaritmos
E l prim er m iem bro de e s ta igualdad s e ex p resa c o m o : b " =
M
A hora e sta nueva igualdad se tran sfo rm a a s u form a logarítm ica: logh v M = n
Se su stitu y e x = I0& M , y s e d ete rm in a que: logh v'M = - l o g b M
n
5.
logh M N = logft M + log„ N
Dem ostración:
S ea x = log* M y y = log* N , é s ta es la form a exponencial de am b as expresiones:
b '= M
; by= N
=M N
Al m ultiplicar e sta s expresiones se ob tien e:
->
b**y = M N
Se tran sfo rm a a s u form a logarítm ica: logfe M N = x + y
Se su stitu y e x = log* M y y = lo&, N , é s te e s e l resultado:
togft M N = log6 M + lo g ft
6.
lo g ft ~
= logb M - logft N
Dem ostración:
Sea x = logfc M y y = logft N , é s ta es s u form a exponencial:
b '= M
; by= N
Se divide la p rim era expresión en tre la segunda:
* 1 = *L
by
N
^
N
A dem ás se tran sfo rm a a s u form a logarítm ica la últim a expresión:
lo g h~ Ñ = x - y
Al final se su stitu y e x = logfe M y y = log,, N y re su lta que:
log„ ~
= logfc M - logb N
A p lic a ció n de las p ro p ied ad es p ara el d esarro llo d e expresiones
E l logaritm o de u n a expresión a lg e b raic a se re p re se n ta de form a d istin ta m ediante s u s propiedades y viceversa; una
expresión que co ntiene varios logaritm os se tran sfo rm a a o tra q u e co n ten g a un so lo argum ento.
E JE M P L O S
• • C o n la a p lic ac ió n de las propiedades de los logaritm os d e sa rro lla e sta expresión: lo g jV 2.
Solución
L a base x s e en cu en tra afec ta d a por el expo n en te 12, por tanto se ap lic a la propiedad 3 y s e obtiene:
lo g j* '2 = 121ogj.r
3 3 3
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
• • - D e s a r r o ll a la sig u ien te expresión: lo g 2 3x 4 <Jy.
S o lu ció n
Se ap lic a la propiedad para e l logaritm o de un producto (propiedad 5):
log 2 3 * 4 sjy = lo g , 3 + log2 x 4 + lo g 2 J y
Se a p lic a n las propiedades 3 y 4 y la ex p resió n q u e d a así:
= lo g , 3 + 4 log2 x + ^ lo g 2 y
3
••■ D e s a rro lla a s u fo rm a más sim p le la expresión: logj. \ ¡{ x -
5 )3.
S o lu ció n
Se ap lic a la propiedad 4 para el radical:
log , V ( * - 5 )3 = ^ ' ° g , ( * - 5 ) 3
A hora a l ap lic ar la propiedad 3, se d ete rm in a que:
= T [ 31o g y( - * - 5 ) ] =
4
f
l° g ,( ^ - 5 )
• • ■ ¿ C u á l e s el d esa rro llo de la expresión lo g „ ; — ^ r ?
(* -y )
S o lu ció n
Se ap lic a la propiedad para la div isió n (propiedad 6):
lo g , ^ 4 - =
logü( x + y Y - l o g a ( * - y ) 2
(*- y)
Para o b ten e r la expresión que m uestre e l d esarrollo final se a p lic a la propiedad 3:
= 31ogd ( * + y ) - 2 logd ( x - y)
5
• • D esarro lla la sig u ien te expresión
S o lu ció n
Se ap lican las propiedades de los logaritm os y s e sim plifica a l m áxim o, p a ra obtener:
ln
E n seg u id a s e ap lic a la propiedad d e l co cien te y e l producto (propiedades 5 y 6).
= 3 [ l n ^ 3’ + l n ( * + 1) - \n2x* ]
En e l su stra e n d o se a p lic a nuevam ente la p ropiedad d e l producto, y re su lta que:
= 3 [ l n e 3* + l n ( * + 1) - (ln 2 + lnjr2) ]
3 3 4
C a p itu lo
14
Logaritmos
Finalm ente, se ap lic a la propiedad d e l exponente y s e elim in an los signos de agrupación:
= 3 [ 3 * ln * + ln ( * + l ) - l n 2 - 2 1 n * ] = 9 * + 31n(* + l ) - 3 1 n 2 - 6 1 n *
6
• • 1D esarrolla la sig u ien te expresión: log
Solución
Se a p lic a la propiedad p a ra la raíz de un núm ero (propiedad 4):
.
Í3 ?
l0íW
1
3*4
= 3l0g27
D espués se a p lic a la propiedad para e l logaritm o de un c o c ie n te (propiedad 6):
= i ( l o g 3 * 4 - l o g 2 y 5)
A l a p lic ar la propiedad para e l logaritm o de una m ultiplicación s e obtiene:
= i [(lo g 3 + lo g a:4 ) - ( log 2 + log y5) ]
Se a p lic a tam b ién la propiedad 3 p a ra exponentes:
= i [(lo g 3 + 4 log x ) - (lo g 2 + 5 lo g y )]
Se can celan los sig n o s de agru p ació n y éste e s e l d esa rro llo de la expresión:
= ^ [log 3 + 4 lo g * - log 2 - 51ogy]
1
4
1
5
= 3 l0g 3 + 3 l0g ^ " 3 l0g 2 " 3 l0g y
7
• • ' E scribe c o m o logaritm o la siguiente expresión: log * + lo g y - log z.
S olución
L a su m a de 2 logaritm os de igual base, se expresa co m o e l logaritm o d e l producto de los argum entos:
l o g * + l o g y - l o g z = log x y - log z
L a d ifere n cia de logaritm os de igual base, se expresa co m o e l logaritm o d e l c o c ie n te de los argum entos:
xy
lo g x y - l o g z = log —
P o r tanto:
xy
l o g * + l o g y - l o g z = log —
8
• • E x p resa c o m o logaritm o: 2 + 3 l o g / a + 1) - ^ loga(a - 1).
S olución
Se sa b e que logd a = 1, entonces:
2 + 3 1 o g J( a + l ) - ^ logu( a - l ) = 2 \ o g üa + 3 1 o g d(a + l ) - ^ l o g ^ a - l )
{continúa)
3 3 5
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continua ció n )
Los coeficientes representan los exponentes de los argum entos:
= l o g y + lo g ,(a + 1 f - lo g , ( a - 1)
Se a p lic a n las propiedades de los logaritm os p a ra la su m a y d iferencia:
.
a 2( a + \ Y
,
a 2( a + \ y
= lo g .— ^
r - = lQg ,
(a -.)*
4V
—
,■
'
Por consiguiente:
2 + 3 log¿ a + 1) - i
9 ••
E sc rib e c o m o logaritnx) la siguiente expresión:
i
log
lo g fl( a - 1) = log„
(*+ 1) + i
log (x - 2 ) - 21og* - 31ogC*
+3).
S o lu ció n
Al a p lic ar las propiedades de los logaritm os y sim p lific a rse obtiene:
= l o g ( .r + 1) 3+ l o g ( * - 1 )3- lo g at2 - log ( x + 3)3
= l o g ( .r + 1) 3+ lo g (* - 1 )3- [lo g a:2 + lo g (x :+ 3 )3]
= l o g ( ^ + l ) ^ - l ) ' 3- l o g ^ 2( j r + 3 ) 3
= io s ( * + 0 f r - i ) ~ 3 _ ,
8
j
! ( í + 3 )!
( ( * + ') ( * - ') ) *
g
jP ( * + 3 ) 3
= log
v ( x + 3r
1 0 • • E x p resa c o m o logaritm o: x - 3 + ^ ln (jc - 2 ) - i
ln(^r + 1).
S o lu ció n
Se sa b e que ln e = 1, entonces:
3+
| ln ( r - 2 ) - i \n ( x + 1) = ( x - 3 ) ln e + | l n ( j c - 2 ) - i (* + 1)
Al a p lic a r la s propiedades de los logaritm os, se tie n e que:
3 < « -3 )
lne1*-3' + ln(x-2)S - ln(*+l)5 = ln*31 2* V',' " = i n ’P
(x + l)í
e
V
*+‘
Por consiguiente:
a :-3 +
\
ln (a: - 2 ) - i ln(x + 1 ) = l n ^
3 3 6
^
f
--
C a p itu lo
14
Logaritmos
EJE íC IC IO 1 4 2
Utiliza las pro pied ad es d e los logaritm os para desarrollar las siguientes expresiones:
3 * 3( l - 2 * ) ‘
1. loga 7 4
,0 - l 0 g i M
7 T 7 ]
2. log6 3~
u . io g 4 7 3 ? 7
3. lo g ,
12. l o g \ ^ r + y ) V
4. lo g 5 ^ y 2
13. log
5. logj x 3y 2z
14. lo g
6. t a ( 3 * V ) ’
•5. l o g . ^ f
(* -y )
i
16. log
7. log(A r+y)3(A r-z )
\lx -3 (x + z f
17. log
8. l Q g .4 -
(x + 3 )(y -5 )
(* + 6 )4V y -2
2
18. lns
W
( - r ( ^
A p lica las p ro p ie d ad e s d e tos lo g aritm o s para e xp re sa r tos sig u ien tes lo g aritm o s co m o e l lo g a ritm o d e un soto argum entó:
O
19. 2 1 n 5 + 2 1 n *
228.
8 . 1 - log4 (m - 1 ) - lo g 4 (m + 1 )
2 0 . 3 1 o g m -2 1 o g n
29.
2 1 . ^ l o g 7A r + ilo g 7 y
30.
2 2 . ln 8 + 4 *
31.
2 3 . |lo g w » + 4 1 o g w
32.
2 4 . 2 x + lo g , 3
33.
25. - ^ l o g t ( í + l ) - ^ l o g 6 ( í + 2 )
34. i l O g l í + l l + ^ l O g f j T - l J - i l O g í - l
2 6 . lo g 3 + lo g > ’- l o g . r
35.
2 7 . lo g 2 x - log2 >•- lo g 2 z
36.
v , r i ^ c a t u * re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n e * c o r r e s p o n d ie n te (
3 3 7
4
_5
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
E cu acio n es logarítm icas
E n estas ecuaciones las incógnitas s e en cu e n tra n afectadas por logaritm os, s u solución s e obtiene a l a p lic a r las p ro ­
piedades y la definición de logaritm o.
EJEM PLOS
• • R esuelve la siguiente ecu ació n : log 5 ( 2 * + 1) = 2.
S o lu ció n
UJ
A l a p lic ar la definición de logaritm o, la ex p resió n log s ( 2 x + 1) = 2 se c onvierte en:
2* + l = 52
A hora a l resolver e sta e cu a ció n , se obtiene:
2 * + l= 5 2
->
2*+1 =25
2 * = 24
* = 12
2
• • '¿ C u á l e s so n los valores de * que sa tisfac en la e cu a c ió n l o g ( * + 2 ) + l o g ( * - l ) = 1?
S o lu ció n
Se ap lic a la propiedad 5 para ex p resarla e n térm ino de un s o lo logaritm o:
lo g (* + 2 ) + l o g ( * - l) = 1
-»
lo g (* + 2 ) ( * - l ) = l
-»
lo g (* 2 + * - 2 ) = l
Se a p lic a la d efinición de logaritm o y se resuelve factorizando la e cu a c ió n que resulta:
lo g (* 2 + * - 2 ) = l
->
* 2 + * - 2 = 10‘
x2+ * - 2 -1 0 = 0
*2 + * - 1 2 = 0
(* + 4 )(* -3 ) = 0
*+4=0
y
* -3 = 0
Por consiguiente, los valores que sa tisfac en las igualdades so n : * = - 4 y * = 3, y e l valor que satisface la e cu ació n
es* = 3
3
• • R esuelve: log3( 4 * - 5 ) = log3( 2 * + l ) .
S o lu ció n
S e a g ru p a n los logaritm os en e l prim er m iem bro de la igualdad y se a p lic a la propiedad 6:
log3( 4 * - 5 ) = log3( 2 * + l )
->
lo g 3( 4 * - 5 ) - l o g 3(2 * + l) = 0
->
loS3^ “ y = 0
Se a p lic a la d efinición de logaritm o y se resuelve la ecu ació n q u e resulta:
± ¡ = 1 . 3”
2* + l
-»
2*+l
1
-»
4 T -5 -& + 1
2* = 6
*= 3
4
• • R esuelve la e cu a ció n : lo g 2 > / 3 * - l = 1- lo g 2 J x + \ .
S o lu ció n
Se ag ru p a n los logaritm os e n un s o lo m iem bro d e la igualdad:
lo g , v 3 * - 1 + lo g , y j x + l = 1
3 3 8
C a p itu lo
14
Logaritmos
Se a p lic a la propiedad 5 para expresar la sum a de logaritm os co m o e l logaritm o de un producto:
log2 (V 3* - i )(V a: + i ) = 1
Se tran sfo rm a la ex p resió n a s u form a exponencial y s e m ultiplican los factores:
(v /3 ^ T )(V r+ T ) = 2'
->
^3x? + 2 x - 1= 2
Para elim in a r la raíz se elevan a l cu ad ra d o am bos m iem bros de la igualdad:
(V 3 * 2 + 2 * - l ) ’ = ( 2 ) !
->
3 x 2 + 2 x —1 = 4
Se resuelve la e cu a c ió n resultante:
3x2 + 2 x - l = 4
->
3x* + 2 r - 1 - 4 = 0
->
3x" + 2 * - 5 = 0
3x2 + 5 * - 3 * - 5 = 0
x (3 r + 5 ) -
1 (3 * + 5 ) = 0
(3 x + 5 )(* - 1 ) = 0
5
* = - -,* = 1
y 1 , e l valor que satisface la e cu a c ió n logarítm ica e s x = 1
Por consiguiente, los valores de la incógnita so n :
5 ••
R esuelve la e c u a ció n : ln (* + 5 ) = 2 + l n * .
S olución
Los logaritm os se c o lo c an de un so lo lado de la igualdad:
ln (* + 5 ) - l n . r = 2
Se a p lic a la propiedad de división de argum entos:
l n ^
X
= 2
Se tran sfo rm a a s u form a exponencial y se resuelve la ecu ació n resultante:
e1 =
x
xe2 = x + 5
xe2 - x = 5
x ie2- 1) = 5
5
x—
e2- \
EJE IC IC IO 1 4 3
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítm icas:
1. log2 ( * + 3) = 2
5. lo g V*2 + 6 4 = 1
2. log4 ( 4 - 3 j c ) = 3
6. lo g 3 81 - lo g 3(jc - 4 ) = 2
3. log6( 5 at—9 )2 = 4
7. lo g 7( * + 9 ) + lo g 74 9 = 4
4. log4 yj\5 x+ l = 2
8. lo g 5 2 5 - log5 (at + 1 0 0 ) = - 1
3 3 9
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
18.
log ¿ ( . * - 3 ) + log - ( * + 2 ) = 4 + log ^ *
10. log j * + lo g3( 2 * - 3 ) = 3
19.
log2( * + l ) + log2( 3 * - 5 )
11. log(jc + 2 ) = - 1 + log(3a: —1 4)2
20. lo g ^ (V * + 1) = 1+ log,3 y / x - 1
12 . lo g5( 4 —a:) 3 = log5 ( 6 + a:) 3
2 1 . l n ( x + l ) = 1 + l n ( j r — 1)
13. lo g ( 2 r + 10)2 — log( 1 —a:) = 2
22. ln * + ln ( * - 3 e ) = ln 4 + 2
14. lo g8( * - 4 ) + logg( a :- 1) = log8 5 * - log8 3
2 3 . l n ( * - 2 ) = ln 1 2 - l n ( * + 2 )
15. lo g6 \^3r + l = log6 l/\0 + log6 ti x - 2
2 4 . ln ( * - 1 ) - ln ( * - 2 ) =
16. lo g ( 8 * + 4 ) + lo g ( 7 * + 1 6 ) = lo g ( j c - 2 ) 2 + 2
25. l n ( 2 * - 3 ) - l n
17. lo g 2(jc —1) — lo g , (3 jc + 1) = 3 - lo g , ( 6 * + 2 )
26. ln ( x 2 + * ) + \ne = ln(jc + 1)
9.
lo g (* + 3 )2 = l + l o g ( 3 * - l l )
= log2( 5 * - 3 ) + 2
1
(^.
2
+ 1) = *
V» riflea tu s resultados en la secdón de soluciones correspondiente ^
■=
E cu acio n es exp onenciales
L as ecuacio n es que tie n e n la incógnita e n e l exponente se llam an ecuacio n es expo n en ciales y s u solución se obtiene
a l a p lic ar los sig u ien te s m étodos:
1.
Si el argum ento o resultado s e puede expresar c o m o p otencia de la base, sólo s e igualan exponentes.
2.
Se a p lic a n las propiedades de los logaritm os p a ra enco n trar e l valor de la incógnita.
EJEM PLOS
• • E ncuentra e l valor de la incógnita e n la ecu ació n : 2 *+1= 32.
.1 .
S o lu ció n
m
Se expresa a 32 c o n » 2 , s e sustituye e n la ecu ació n :
2* +l = 3 2
->
2 X* ' = 25
En la e cu a c ió n resultante las bases so n iguales, entonces, tam b ién los exponentes:
*+1=5
Al reso lv er e s ta ecuación, se d ete rm in a q u e : * = 4
2 ••
O b té n e l valor de la incógnita e n la e c u a ció n : 9 '~ 1 = 81*.
S o lu ció n
E l resu lta d o 81‘ se expresa co m o 9 2,,a l su stitu ir la equivalencia:
9 « -' = 8 F
->
9 , " l = 9 2*
Para que la igualdad s e cum pla, tan to bases c o m o exponentes d e b en s e r iguales, e ntonces:
* - 1 = 2 *
Se resuelve la e cu a c ió n y re su lta q u e : * = - 1
3 4 0
C a p itu lo
Logaritmos
3
• • R e s u é l v e l a siguiente ecu ació n : 4 * ~ 2 = 8 ,_ \
S olución
A m bas bases se d esco m p o n en e n su s fa c to re s prim os y la ecu ació n s e expresa com o:
4 *_2 = 8 ,_*
- >
< ? )*“ * = < ? ) '- * ->
2 a « -2 > =
2 3 ( . - rt
Se elim in an las bases y se igualan los exponentes, p a ra obtener la ecu ació n :
2 (* “ 2 ) = 3(1 - x )
Finalm ente s e resuelve la e cu ació n y se d ete rm in a el valor de la incógnita:
2 (* -2 )= 3 (l - x )
2x - 4 = 3 - 3 x
2x + 3x = 3 + 4
5x =7
7
*= ?
O r a fo rm a d e reso lv er una e cu a c ió n exponencial es a p lic ar logaritm os, c o m o ilustran los siguientes ejem p lo s:
EJEM PLOS
• • R esuelve la siguiente ecu ació n : 5 x = 62 S2.
1
Solución
AJ
Se ap lic a n logaritm os a los dos m iem bros de la igualdad:
logó* = lo g 6 2 5 2
Se a p lic a la propiedad 3 para de sp e ja r a x y se efec tú a n la s operaciones:
* lo g 5 = 21o g 6 2 5
^ _ 2 lo g 6 2 5 _ 2 (2 .7 9 5 9 ) _ tí
r
lo g 5
0.6 9 8 9
P o r tanto, x = 8
2
• • • ¿ C u á l es e l valor de la in cógnita e n la siguiente ecu ació n : 32,_l = 7?
S olución
Se ap lic a n logaritm os e n am b o s m iem bros de la igualdad,
log 32*-1 = log 7
Se a p lic a la propiedad 3, s e d e sp e ja a: y s e obtiene co m o resultado:
( 2 x - l ) lo g 3 = lo g 7 - > 2 x - 1 = ' - ^ 1
log 3
Í2 8 l+ i
x= Jog3_ =
2
341
i 3 8 5 6
14
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
3 ••
¿ C u á l e s e l valor de Aren la e cu a c ió n 3 2x- 5 (3 * ) + 6
= 0?
S o lu ció n
E sta e cu a c ió n s e e x p resa c o m o una e cu a c ió n de segundo grado, de la form a:
(3 O2 - 5 ( 3 * ) + 6 = 0
Se facto riza y se resu elv en las ecuaciones resultantes:
(3 í - 3 ) ( 3 , - 2 ) = 0
3* - 3 = 0
3* - 2 = 0
3* = 3
3* = 2
log 3* = log 3
lo g 3* = log 2
x log 3 = log 3
*
a: log
3 = lo g 2
log 3
0.4771 _ x
x _ log 2
03010
log 3
0.4771
X
0.4771
log 3
P or consiguiente, las soluciones de la e cu a c ió n son: 1 y 0.6309
4 ••
e2y + 4
R esuelve la e cu a ció n : — ¿ j— = 3.
S o lu ció n
L a ecu ació n se expresa de la siguiente m anera:
¿ * + 4 = 3 e2y
Se d esp e ja e l térm in o e ^ \
- 3 e2y = - 4
-2 « * = - 4
^
=2
E n am bos m iem bros de la igualdad s e a p lic a e l logaritm o natural y s e obtiene:
In e 2y= ln2
2 yln¿ = ln 2
2y ( l ) = l n 2
2 y = ln2
y = U til
y = l n \Í2
EJE ÍC IC IO 1 4 4
Resuelve las siguientes ecu acio n es exp onenciales:
s
II
H
•T)
2. 3* = 8
3
9 2* —9°
8 . 7 3x-3 = 343
15. 5* = 6 2 5 i+*
9 . 3to+s = 3
16. 4 9 l"2* = 7 ,
10. 4 1+1 = 16,_l
17. 2 5 l "2 = 5'-J
4. 6 4 ‘ = 8
11. 5 2,-3 = 4
18. y = 243‘-2
5. ( 2 3 7 ) * = 2 .83
12. 3* = 0.1 5
19. 2 _<**3) = 3 2 ’
6 . ( 2 4 ) * = 5.76
13. (0.125)* = 1 2 8
20. 3** = 7 2 9
7. 5 X" ' = 25
14. 2 lx" = 256
21. 2 x‘~2x = 8
3 4 2
0.6309
C a p itu lo
14
27.
23. 6 2i +s - 3 6 = 0
28. 1 2 ^ _2x+3 = 1 728
UJ
Í T
= #V 81
32.
33.
II
22. 2 5 ’ + 5 í+l = 750
4 e ix - 5
+
1
Logaritmos
=3
e * -l
ex
3
el - 2
ex+2
6
24. 4 x’+3, _ J _
16
29. 5 ( 7 2l", ) = 7 ( 5 I+2)
34.
25. 7 ( 3 ) x+,- 5 I+2 =
30. 2 ”2’ + 2~x = 2
35. e 2x+ l J 7 ^ = l - e
26. log2 (9 J-| + 7 ) = log2 (3»-1+ l) 2 31.
ey - \
2
2 -3 ^ > ’
36.
7
e x + e~x
3
ex - e ~ x
2
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te ^
e 2x-
■
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
L os logaritm os so n una herram ienta excelente p a ra la solución de problem as propios de las ciencias, a continuación
se ejem plifica s u uso:
O Q uím ica
E n qu ím ica los logaritm os s e em plean p a ra c alcu la r la acid ez de las soluciones.
pH = - l o g [ H ‘ ]
Donde:
pH = acid ez de una solución.
[ H * ] = c o ncentración d e iones d e hidrógeno e n iones-gram o equivalente p o r litro.
D eterm ina e l pH de una solución, que tien e una concentración d e iones d e hidrógeno d e 10” 8 iones-g/lt.
S o lu c ió n
L a c o n ce n tra c ió n d e iones de hidrogeno e n la solución e s de:
[ H * ] = 1 0 -8 io n es-g /lt
Se su stitu y e e ste valor e n la fórm ula y s e obtiene:
pH = - l o g [ H - ]
p H = - l o g [ lO"1] se a p lic a la p ropiedad 3
p H = - ( - 8 ) lo g [ 1 0 ] = (8 )(l)
pH = 8
2
E n cu e n tra la co ncentración de iones de hidrógeno de una solu ció n , s i s u pH e s de 7.
S o lu c ió n
Se sustituye pH = 7 e n la fó rm ula y s e d e sp e ja [ H* ]
p H = -lo g [H ’ ]
7 = - lo g [ H ']
- 7 = lo g [ H ']
a n tilo g ( - 7 ) = [ H ’ ]
Por consiguiente, la concentración de iones de hidrógeno d e una solución es:
[ H’ ] = 10"7 iones-g/lt
3 4 3
14 C a p í t u l o
Á lgebra
O Sism ología
E n sism o lo g ía los logaritm os se e m p le an p a ra c alcu la r la intensidad de un sism o por m edio d e l siguiente m odelo
m atem ático:
7* = I° g y
Donde:
IR = intensidad d e l sism o (e sca la R ichter)
A = am p litu d (m icróm etros)
l = periodo (tiem po e n segundos q u e d u ra una o sc ila ció n )
¿ C u á l e s la intensidad de un sism o e n la e sc a la R ic h te r s i s u am p litu d e s de 8 000 m icróm etros y s u periodo d e 0 .09
segundos?
S o lu c ió n
Se sustituye A = 8 0 0 0 m icróm etros y P = 0 .09 segundos e n la fórm ula:
A
*
8000
g7
7* =log^
= log ( 8 8 888.89)
= 4.9 5
Por tanto, e l sism o tien e una inten sid ad d e 4 .95 grados e n la e sc ala Richter.
U n sism o tien e una intensidad de 5 .7 g ra d o s e n la e sc a la R ichter, s i la am p litu d d e l m o v im ien to e s d e 9 021.37
m icróm etros, ¿ cu á l e s s u periodo?
S o lu c ió n
Se d esp e ja la am plitud de la fórm ula:
A
7* = 1° g y
“>
A
a n ü lo g I R = t =
A
anti log I R
Se sustituye e n e s ta últim a fó rm u la I R = 5 .7 y A = 9 0 2 1 .3 7 m icróm etros:
I=
9 021.37
anti log 5.7
= 902U 7_ =
501187.23
Por consiguiente, e l periodo de una oscilación e s de 0.0179 segundos.
O D ecaim iento radiactivo
O tra a p lic ac ió n d e lo s logaritm os s e lleva a c a b o e n e l d e ca im ien to radiactivo. E l d e ca im ien to radiactivo de un
m aterial e s tá dad o por la fórm ula:
C = C „ ( 2)~'
Donde:
C = can tid ad de m aterial radiactivo d espués d e c ie rto tiem po
t = a ntigüedad d e l m aterial
C0= cantidad presente c u a n d o / = 0
n = vida m edia del m aterial
3 4 4
C a p itu lo
14
Logaritmos
E l tiem po d e v id a m edia de un m aterial e s d e 2 5 años, ¿cuánto de dich o m aterial q u e d a después d e haber transcurrido
15 años?
S o lu c ió n
Se sustituye e n la fó rm ula n = 2 5 y / = 15 años:
C = C „(2) •
-»
C =
c„(2)'*
C - C .& T
C = C0 (0 .6 5 9 ) = 0.659C 0
P o r consiguiente, q u e d a 0 .6 5 9 C 0 o 65.9% del m aterial inicial.
¿ C u á l e s la a ntigüedad de una figura de m ad era que tien e la c u a rta parte d e s u c o n ten id o o rig in a l de ca rb o n o 14, si
la vida m edia d e l m aterial es de 5 9 0 0 años?
S o lu c ió n
C on las propiedades de los logaritm os s e d e sp e ja /:
C = C „ (2 p
j M
2 )""
-»
l0 g ( ^ ) = l° g ( 2 )"”
Se su stitu y e C = ^ -C Q y n = 5 900 e n la últim a fórm ula:
4
(5 9 0 0 ) log
—
V
4 0
c
L
A
(5 9 0 0 )lo g (0 .2 5 ) _
( -3 5 5 2 .1 5 )
0 .3 0 1 0
801.16 años
Por tanto, la antigüedad de la pieza e s d e 11 801.16 añ o s.
L a d esin teg ració n de c ie rta su sta n c ia radiactiva s e rige por e l m odelo m atem ático:
P = P0e
- 0 .0 0 7 2 /
D onde p 0 es la c a n tid a d inicial de su sta n c ia y / e s e l tie m p o e n añ o s. ¿ C alcu la e l tie m p o de vida m edia de la
sustancia?
S o lu c ió n
E l tie m p o d e vida m edia e s e l tiem po necesario p a ra que la m itad de la su sta n c ia s e desintegre, e s d e c ir p = - p 0.
entonces, se d e sp e ja t de la fórm ula:
m'
P_= ( r» °"ra
|n -2 - = ine~°a m '
Po
Po
ln —
ln — = - 0 .0 0 7 2 / ln<?
p0
3 4 5
^-= 1
0.0072
14 C a p í t u l o
Á lgebra
Se su stitu y e P = ^ P o y se realizan las operaciones:
1
n
ln —
ln ——
t=
t = -------£ a _ = — ^ 1 = 96.27
0.0 0 7 2
0.0072
0 .0 0 7 2
P o r consiguiente, e l tiem po de vida m edia d e d ic h a su sta n c ia e s de 96.27 añ o s.
O Población
El crec im ien to de población e stá d ete rm in a d o por la fórm ula:
N = N ,e a
Donde:
N = núm ero de habitantes de una población e n d ete rm in a d o tiem po
N 0 = núm ero d e habitantes e n una población inicial, cu a n d o / = 0
K = constante
í = tiem po
8
E l m odelo m atem ático que rige e l c rec im ien to de una población es:
N = 3500e°O25í
C alcula e l núm ero de habitantes que habrá e n 2 0 años.
S o lu c ió n
Se sustituye e l valor d e / = 2 0 e n la fórm ula:
N = 3 5 0 0 e on25{™)
= 35 00 é°-5 = 5 7 7 0 .5 2
P or tanto, e n 20 a ñ o s h abrá aproxim adam ente 5 7 7 0 habitantes.
9
E l sig u ien te m odelo m uestra e l crecim iento de una población de insectos:
N = &50(3)0,m,
D onde N e s e l núm ero de insectos y t e l tiem po en d ías. ¿ E n qué tiem po la población s e r á de 10 200 insectos?
S o lu c ió n
Se d e sp e ja / de la fórm ula:
¡V = 8 5 0 (3 n "
w
"-= (3 )°* "
850 w
l n — = 0.094/ ln ( 3 )
850
w
ln —
— ^ 5 2 - = ,
0 .0 9 4 ln (3 )
Se su stitu y e N = 10 200 e n la últim a fórm ula:
10200
, J
n -.85Q
0 .0 9 4 1 n (3 )
ln !2
0 .0 9 4 ln (3 )
Z 4849
0.1032
P o r consiguiente, d e b en tran scu rrir 24.07 días para que s e increm ente la población de insectos a 10 200.
3 4 6
C a p itu lo
14
Logaritmos
10
E n un c u ltiv o de lab o ra to rio la s b a c te ria s au m e n taro n d e u n a p o b lació n in ic ia l d e 4 8 0 a 1 2 0 0 e n c in c o horas.
¿C uánto tard a rá la población e n au m e n tar a 8 000?
S o lu c ió n
Se d ete rm in a el valor de k para la población inicial, donde N 0 = 48 0 , N = 1 2 00, t = 5,
N =N o e‘
->
1 2 0 0 = 4 8 0 ¿ * 5)
™ 9 . = e Sk
4 80
->
-»
¿ * = 2.5
Se a p lic a logaritm o natural p a ra d e sp e ja r k:
ln
) = In 2 .5
->
S k In ( ¿ ) = ln 2 .5
^ = _ l n | 5 _ = 0.9^162 =Q m
-»
E ntonces, e l m odelo m atem ático s e expresa com o: N = N 0ea 'a l
Se su stitu y e e n la fó rm ula N = 8 0 0 0 y N 0 = 480
8 000 = 48 0 ¿<QI83,Í
f ó r a d e sp e ja r / s e ap lic a n logaritm os naturales:
—
= e° 'm
480
->
^8000 _ j
480
a ie r
= 0 . 183/
480
, 8000
ln
/ = — 4 § 0 _ = , 5.37
0.183
Por tanto, e n 15.37 horas o e n 15 horas 2 2 m inutos 12 segundos, la s b a c te ria s au m e n tará n d e 480 a 8 000
O Ley del e n fria m ie n to d e N ew ton
C o n e sta ley s e obtiene la tem p eratu ra T d e un cuerpo e n función del tiem po /; d o n d e T es la tem p eratu ra am biente,
e l m odelo m atem ático que la rige es:
T = T '+ C e kl
Donde:
V = tem p e ra tu ra d e l am biente
T = tem p eratu ra del cu erp o desp u és d e c ie rto tiem po, ad e m á s T < V
C y k = constantes
U n a b a rra d e m etal s e ex tra e de u n ho m o c u y a te m p e ra tu ra e s d e 2 5 0 °C . Si la tem p eratu ra d e l am biente e s de 32°C
y d espués de 10 m inutos la tem p e ra tu ra de la b a rra es d e 90°C , ¿ cu á l e s s u te m p e ra tu ra desp u és de 30 m inutos?
S o lu c ió n
L a te m p e ra tu ra d e l a m b ie n te e s T ' = 3 2 °C , la te m p e ra tu ra d e la b a r ra a l m om ento d e s a c a rla d e l h o m o e s d e
T = 2 5 0 °C y / = 0. A l su stitu ir e sto s valores e n la ley del en friam ien to d e N ew ton.
T = T + C eu
250 = 3 2 + C e m
250 = 32 + C
250 - 32 = C
218 = C
Se sustituye e l valor d e C = 2 18°C e n la ley:
7’ = 3 2 + 2 1 8 ¿ ü
Se su stitu y e / = 10 m inutos y T = 9 0 °C e n la ley y se d e sp e ja é*°0)
9 0 = 3 2 + 218¿*<lo)
9° ~ 3 2 = ¿ * <l0>
218
3 4 7
0 2 6 6 0 = e l0i
14 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
E n la últim a igualdad s e a p lic a logaritm o n atural a am b o s m iem bros para d esp e ja r a fc
ln 0 2 6 6 0 = ln^'°*
ln 0.2 6 6 0 = \ 0 k l n e
ln 0.2660
- 0 .1 3 2 4 = *
A l su stitu ir este valor se obtiene que la ley d e l en friam ien to para la barra es:
T = 32+ 2 1 8 ¿~ <LI3WÍ
Finalm ente, s e su stitu y e t = 3 0 m inutos e n la fórm ula anterior:
T = 3 2 + 218íf tll3M<30)
T = 3 2 + 2 1 8 ífi972
= 3 2 + 2 1 8 (0 .0 1 8 8 3 )
= 3 2 + 4.1049
= 3 6 .1 0 4 9 °C
P or consiguiente, la tem p eratu ra de la b a rra después de 3 0 m inutos e s de: 36.1049 °C
EJE ÍC IC IO 1 4 5
Resuelve b s siguientes problem as:
1. O b té n e l pH de una solución, c u y a co ncentración e s de 1 .9 0 x 10"s iones de hidrógeno/lt.
2. L a c o n ce n tra c ió n de una co n serv a de vinagre de iones de hidrógeno e s de 6 x 10“*. D eterm in a s u pH.
3. ¿C u ál es la c o n ce n tra c ió n de iones de hidrógeno de una sustancia, cu y o pH es de 9?
4. U n sism o s e presenta c o n 6 0 0 0 m icróm etros de am p litu d y un periodo de 0 .3 segundos. D eterm in a la intensidad del
m ovim iento sísm ico e n la e sc ala Richter.
5. E ncuentra e l periodo de un sism o de 9 0 0 0 0 m icróm etros c o n intensidad de 5 grados e n la e sc ala Richter.
6. U n sism o tiene u n periodo 0 .35 segundos de duración y alc a n z a 4 grados en la esc ala Richter. ¿C uál es s u am plitud?
7. E l tiem po de vida m edia de un m aterial e s d e 4 0 años. ¿C u án to d e dich o m aterial q u e d a después de 30 añ o s?
8. L a vida m edia d e l tritio es de 12.5 añ o s. ¿C u án to tard a rá e n desintegrarse 30% de una m uestra d e e ste m etal?
9. L a d esin teg ració n de una su sta n c ia radiactiva e stá dada por e l siguiente m odelo:
v = v o€-°fl05í
D onde V0 e s la can tid ad inicial de m aterial y / e s e l tiem po. ¿C u ál e s e l tiem po de vida m edia de dich o m aterial?
10. E l m odelo que rige el crec im ien to poblacional de una ciu d a d es:
N = 15 000e°m ‘
D onde N e s e l núm ero de habitantes y t e l tiem po e n años. ¿C uántos habitantes h abrá den tro de 10 añ o s?
11. E n un c u ltiv o de laboratorio las b acterias a u m e n ta ro n d e una población inicial de 150 a 830 e n 2 horas. ¿C uánto
tardarán e n llegar a 3 000?
12. L a población actual de ratas en una ciudad es de 40 000; s i se duplican c a d a 8 años, ¿cuándo h abrá 500 000 roedores?
13. D e l horno de una e stu fa se s a c a una rosca, c u y a tem p eratu ra e s de 180°C. Si la te m p e ra tu ra d e l am biente e s de 25°C ,
y desp u és de 8 m inutos la tem p eratu ra de la ro sc a es de 100°C, ¿ cu á l e s s u tem p eratu ra después de 15 m inutos?
3 4 8
C a p itu lo
14
Logaritmos
1
14. L a tem p eratu ra d e l am b ie n te una tard e e s de 2 1°C. Si se sirv e a g u a para c a fé c o n una tem p eratu ra de 95°C , y después
de 4 m inutos la tem p e ra tu ra d e l a g u a e s de 80°C, ¿ cu á l e s s u tem p eratu ra después de 2 0 m inutos?
15. U n a b a rra de alu m in io se en cu e n tra a una te m p e ra tu ra de 4 0 0 °C y la tem p eratu ra am biental e s de 28°C . Si después
d e 30 m inutos la te m p e ra tu ra de la b a rra e s d e 300°C, ¿ c u á n to s m inutos d e b en tran scu rrir p a ra que s u tem p eratu ra
sea d e 120°C ?
V e rific a tu s re s u lta d o s a n la s a c c ió n d a s o lu c io n a s co rre sp o n d ia n ta ^
3 4 9
C
a p ít u l o
i
5
P r o g r e s io n e s
Sucesión d e Fibo n acci
eonardo de Pisa n ació en Italia y fue
educado en África del norte. Su obra
principal es Líber A p a c i [libro a c e rc o d e l
á b a co ), donde expone la importancia del sis­
tema de numeración indoarábiga. Escrita en
1 2 0 2 sólo se conserva una versión de 1228, donde aparece un problema
sobre el nacimiento de conejos, que da origen a la sucesión de Fibonacci.
Por muchos años fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir
muchas de sus propiedades, además de que Kepler la relacionó con la
sección áurea y el crecimiento de las plantas.
L
La sucesión de Fibonacci se define por:
f ,= f 2 = 1
í, = í ,-i + Í.-2 para n > 3
cuyos primeros términos son:
1, 1 ,2 , 3, 5, 8, 1 3 , 2 1 , 3 4 , 5 5 , 8 9 ,...
L e o n a r d o d e P is a " F ib o n a c c i"
(1170-1250)
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Sucesión infinita
U na sucesión e s de la form a:
a l , a 2 9 a3, a v . . . t am, . . .
donde ane s e l térm in o g en eral y s e d en o ta por:
* , = / ( * ) o { a ,}
S iendo w u n núm ero natural, a sí: a , representa e l prim er térm in o , a2 e l segundo térm in o , a 3 el te rc e r térm in o , a K
e l vigésim o se x to térm ino y aHe l w-ésim o térm ino de la su cesió n .
so|diuajg
EJEMPLOS
1
• • L a su c e sió n c o n w-ésimo térm in o a = -7 - , co n n s N , s e escrib e com o:
4w
i
I
_L
_L
4 ’ 8 ’ 12 ” ” 4w * ”
2
• • E sc rib e la su c e sió n co n w-ésim o térm in o {3'}.
S o lu c ió n
Ya que n es n atural en to n ces to m a los valores 1, 2 ,3 , 4 ,...,
a2 = 3 2
a, = 3'
a3 = 33
a 4 = 34
...
P o r consiguiente, la su c e sió n es:
3 1, 32, 33, 34,..., 3 " ,...
3
o
3 , 9 ,2 7 , 8 1 ,. ..
••■ E n c u e n tra los térm in o s que co n fo rm a n la su c e sió n co n térm ino g e n e ra l a„ = — —
w
S o lu c ió n
E l térm ino g en eral es:
2w - l
"■ = —
Para d ete rm in a r los elem entos de la sucesión, se su stitu y en los núm eros naturales:
S iw = l , a , =
2 (0 - l
- ^ —
e.
2 ( 2 ) —1
2
,
2 (3 )-1
2 -1
1
= —
=-= 1
4 -1
3
= ~2~ = 2
6 -1
4 - =—
5
=3
Por tanto, los térm in o s de la su c e sió n so n : 1, 4 , r
2 3
3 5 2
— —w
a„ = 3n
C a p itu lo
Progresiones
4
• • - D e t e r m in a los 4 prim eros térm inos de { ( - l)" + l - 2 n ).
S o lu c ió n
Se sustituyen los v alo res d e rt = 1, 2 ,3 , 4 e n el térm in o general:
S i n = 1 ,a , = ( - l ) ,+l - 2 ( 1 ) = (—l) 2 - 2 = 1 - 2 = - 1
S i n = 2 , a 2 = (_ l) 2+l - 2 ( 2 ) = ( - l ) 3 - 4
= -1 -4 = -5
Si /i = 3 , a 3 = ( —l ) 3*4 - 2 ( 3 ) = ( - 1 ) 4 - 6
= 1- 6 = - 5
S i „ = 4,
= ( - ! ) * ' - 2 ( 4 ) = (—l) 5 - 8 = — 1 — 8 = —9
Se concluye que los c u atro prim eros térm in o s son:
- 1 ,- 5 ,- 5 ,- 9
5
• • - D e t e r m in a los 5 prim eros térm inos de la su cesió n , s i a , = 2 y a -+ , = 3 a „.
S o lu c ió n
Ete acu e rd o co n la regla g en eral se tien e que:
ax= 2
01 = 3 0 ,= 3 (2 ) = 6
= 3fl2 = 3 (6 ) = 18
= 3 tí, = 3 (1 8 ) = 54
as = 3^4 = 3 (5 4 ) = 162
P o r consiguiente, los 5 prim eros térm inos de la su c e sió n son:
2, 6, 18, 54, 162
EJE R C IC IO 1 4 6
Escribe b s 5 prim eros térm in o s d e las siguientes sucesiones:
7. { ( „ - ! ) ( „ - 2 ) }
11. <*, = 2 , ^
= 2* + 1
1 ,f l, + l = —
3 -a ,
12. a x= —
353
17. a, = 4 , 0 ^ , =
18. a , = 3,
K
Vn
a, r '
15
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Sum a
D ada una su c e sió n infinita a „ a 3,..., a
la su m a de los prim eros m térm in o s se expresa com o:
m
5 X
1
= <*,+ a 2+ a 3
donde 1 y m so n los valores m ínim o y m áxim o de la variable de la su m a j .
E v a lu a c ió n d e u n a s u m a . Es e l resultado de la su m a d e los prim eros m térm inos de una su cesió n .
E je m p lo s
E J E M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------------------------ •
5
1
• • D eterm in a la sum a:
/■i
S o lu c ió n
S e sustituyen los valores 1, 2, 3, 4 , 5 e n el térm in o g en eral y s e realiza la sum a:
X /
= 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 2 5 = 55
Por tanto, la su m a e s: 55
6
2
• • E n cu e n tra e l resultado de la su m a : ^ ( j + 2 ) .
¡-i
S o lu c ió n
S e su s titu y e n los valores: 3 , 4 , 5 , 6 e n e l térm in o g e n era l, y se su m a n los re su lta d o s p arciales p a ra o b te n e r c o m o
resultado final:
¿0+2)
= ( 3 + 2 ) + ( 4 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 6 + 2 ) = 5 + 6 + 7 + 8 = 26
>-3
7
3 ••
D eterm in a la su m a : ^ 3 .
i-i
S o lu c ió n
D ebido a que no existe y e n la fórm ula de sustitución, 3 s e sum a 7 veces y s e obtiene:
¿ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21
5
4
• • - ¿ C u á l e s e l resultado d e £ ( y + 2 ) ( y - 3 ) ?
S o lu c ió n
Se sustituyen los en tero s del 1 a l 5:
É 0 + 2 ) ( y - 3 ) = (1 + 2)(1 —3 ) + (2 + 2 ) ( 2 - 3 ) + (3 + 2 ) ( 3 - 3 ) + ( 4 + 2 ) ( 4 - 3 ) + (5 + 2 ) ( 5 - 3 )
1
Se realizan las operaciones de los paréntesis y, por últim o, s e e fe c tú a la su m a para obtener:
= ( 3 ) ( - 2 ) + ( 4 ) ( - l ) + ( 5 ) ( 0 ) + ( 6 ) ( l ) + ( 7 )(2 )
= - 6 - 4 + 0 + 6 + 14
=
10
5
Por tanto: 5 1 (y + 2 )(y —3) = 1 0
3 5 4
C a p itu lo
15
Progresiones
4
5
• • D eterm ina e l valor de c que c u m p la co n la siguiente igualdad: ] £ ( c j - l) 2 = 214.
H
S o lu c ió n
Se d e sa rro lla la sum a:
( c - 1)2 + (2 c - 1)2 + ( 3 c - 1)2 + ( 4 c - 1)2 = 214
Se d e sa rro llan los binom ios y s e red u cen los térm inos sem ejantes, p a ra luego resolver la e cu a c ió n resultante:
c2 - 2 c + l + 4 c 2 - 4 c + \ + 9 c 2 - 6 c + 1 + 16c2 - 8c + 1 = 2 1 4
30c2 - 2 0 c - 2 1 0 = 0
3c2 - 2 c - 2 1 = 0
Por consiguiente: c = 3 y
EJE tC IC IO 1 4 7
D e te r m in a la s s i g u i e n t e s s u m a s :
1.
X ( 2 ,- 3 )
jmi
3.
10
2-
S ( y 2- 4 y )
5.
X (0 >
y-1
6.
£ 2
y-o J
6
4.
/■o
1-77)
9
y-'
y-i
7. £ ( - 2 ) ' ¡.o
9. £ „
;-i
10
„
8. 1 3
>0.
y“ 4
y-i
D e te r m in a e l v a lo r d e c q u e c u m p la c o n la s s i g u i e n t e s ig u a l d a d e s :
2
u
¿ H
286
tt
V e rific a tu s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e so lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Progresión aritm ética o sucesión aritm ética
L a su c e sió n a r a v a y . . ., an, es una progresión a ritm é tic a s i existe un núm ero re a l r, ta l que para to d o núm ero natural
m s e c u m p le que:
Donde la d ifere n cia co m ú n o razó n e s r = am- a m_ i
Ejem plos
D eterm ina s i las siguientes sucesiones so n aritm éticas:
a)
2 , 6 , 10, 1 4 , . . . , 4 n - 2
b) - 3 , - 5 , - 7 , - 9 ,..., - 2 n - l
c)
2 , 4 , 7, l l , . , . , ” 2 + ” + 2
3 5 5
15 C a p í t u l o
Á lgebra
S o lu c ió n
a)
D e la sucesión: 2, 6, 10, 1 4 ,..., 4w - 2 , d ete rm in a la d ifere n cia com ún:
r = a m- a m_ , = [ 4 ( m ) - 2 ] - [ 4 ( m - l ) - 2 ] = [ 4 m - 2 ] - [ 4 m - 4 - 2 ]
= 4 m -2 -4 m + 4 + 2
= 4
E sto sig n ific a q u e los térm in o s d e la su c e sió n s e e n c u e n tra n su m a n d o 4 a l té rm in o a n te rio r, p o r ta n to , la
sucesión e s aritm ética.
b)
Se d ete rm in a la d ifere n cia c o m ú n de la sucesión:
r = a m- a m_ , = [ - 2 ( m ) - l ] - [ - 2 ( m - l ) - 1 ] = [ - 2 m - \ ] - [ - 2 m + 2 - \ \
= - 2 m - 1 + 2/w - 2 + 1
= -2
Por consiguiente, la su c e sió n e s aritm ética.
c)
Se d ete rm in a la razó n o difere n cia com ún:
r = c¡m~ a m_ i =
(m )2 + (m ) + 2
\ m 2 +w i + 2 l
J l
2
2
\m 2- m + 2 ]
I1
2
J
_ 2ttt
2
=m
La d ifere n cia no es constante, en to n ces la su c e sió n no e s aritm ética.
Fórmula p ara determinar el n é sim o término en una progresión aritmética
S e a la p ro g resió n a ritm é tic a + a ,, o ,, a ,, .. ., a H, c o n razó n r, e n to n c e s e l w-ésim o térm in o d e la su c e sió n e s tá d ad o
por:
a m= a , + ( n - 1 )r
fó r a to d o n > 1
Donde:
a R= w-ésim o térm ino de la progresión
a , = prim er térm ino de la progresión
n = núm ero de térm inos e n la progresión
r = razó n o d ifere n cia co m ú n
—>
r = an -
= ... =
= a2- a t
E JE M P LO S
j
<L
ií
# • D eterm in a e l 8o térm in o de la progresión -r 1, 4, 7, 10,...
S o lu c ió n
S e identifica e l prim er térm ino, e l núm ero de térm inos y la razó n para sustituir e n la fórm ula d e l w-ésimo térm ino:
<*, = 1, w = 8 y r = 4 - 1 = 3
3 5 6
C a p ítu lo
15
Progresiones
Por consiguiente:
*„ = * , + ( « - l ) r
-»
tí8 = l + ( 8 - l ) ( 3 )
a« = l + ( 7 ) ( 3 )
^ = 1 + 2 1 = 22
E ntonces, e l 8o térm ino de la progresión e s 2 2
2
• • ¿C u ál es e l T térm ino e n la progresión 7 , 7 , 7 ... ?
2 6 6
S o lu c ió n
Se determ in an los valores de los elem entos
1
2
„
5
1 1
n =l y r = 6 ~ 2 = 3
Al su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
a , = a lH n - l ) r
-»
0,= I + (7 _ l ) ( l j = I + ó Q
a 1=
i
* 2
1+ 4
fl’ = —
5
= 2
Finalm ente, e l 1° térm ino e s ^
3
• • - Si e n una progresión aritm étic a e l te rc e r y noveno térm in o so n 11 y 35, d ete rm in a el sé p tim o térm ino.
S o lu c ió n
Efe acu e rd o a l problem a:
ai = a l + ( 3 - \ ) r
as = a i + ( 9 - \ ) r
ai = a l + 2 r
o* = tí, + 8 r
11 = tí, + 2 r
3 5 = a, + 8 r
Se g en era un siste m a de ecu a cio n e s c o n incógnitas tí, y r:
[tí,
+ 2 r =
11
[ t í , + 8 r = 35
Del cu al, a l resolverlo, se obtiene que:
tí, = 3 y r = 4
Luego, e l séptim o térm ino es:
tí7 = tí, + ( 7 - l ) r = 3 + (6 )(4 ) = 3 + 2 4 = 2 7
Fórmulas p ara determinar el primer término, número d e términos y la razón
Todas estas fórm ulas se deducen d e la fó rm ula a Ñ= a , + (n - l ) r y dependen de los elem entos que s e tengan com o datos.
O Para enco n trar e l prim er térm ino se d e sp e ja tí,:
aD= a , + ( n - \ ) r
—>
P o r tanto:
tí, - t í , - ( n - 1 >
3 5 7
1 )r = tí.
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
O Para en co n trar la razó n s e d esp e ja r:
aB = a x + (rt - l ) r
->
<2, - <2, = (ai - l ) r
r =
->
n —1
P or consiguiente:
Ai —1
O P a ra ob ten e r e l núm ero de térm in o s se d e sp e ja n :
aR = a , + ( n - \ ) r
->
->
w=
^ ^ +1
En consecuencia:
a „ -a , +r
Ai —-------- !-----
r
E je m p lo s
E JE M P LO S
# • E n cu e n tra e l prim er térm ino de una progresión aritm ética, s i se sabe que e l 13° térm ino e s - 2 8 y la razó n e s - 6 .
S o lu c ió n
Se determ in an los valores de los elem entos:
d I3 = - 28,
aí =
13 y r = - 6
A l su stitu ir en la fó rm u la s e obtiene a ,:
2
2
<, = <, ? - ( a i - l ) r
2
->
<, = - 2 8 - ( 1 3 - 1 ) ( - 6 )
<2, = - 2 8 - ( 1 2 X - 6 )
a , = - 2 8 + 72
<2, = 44
P or tanto, e l prim er térm ino e s 44
El procedim iento de los despejes es e l m ism o s i s e sustituyen los valores directam ente e n la fórm ula:
a R= a , + ( n - l ) r
2
••
D eterm in a la razón de la progresión aritm étic a cu y o prim er térm ino e s 6 y e l 16o e s 9.
S o lu c ió n
Se determ in an los elem entos q u e s e tie n e n c o m o datos:
=
=
a ,= 6
y
n =
16
A l su stitu ir en la fó rm u la y d e sp e ja r r.
a B= a i + ( n - l ) r
->
9 = 6 + (1 6 -l)r
9 - 6 = (1 5 )r
Finalmente, la razón de la progresión aritm ética es i
3 5 8
9 -6
3
1
15
15
5
C a p itu lo
15
Progresiones
3
• • ■¿C u ál es e l núm ero de térm inos que tien e la progresión aritm étic a + 4.5, 6 .6 ,..., 25.5?
S o lu c ió n
Se obtienen los datos:
tí, = 4.5, tí, = 2 5 .5 y r = 6 . 6 - 4 . 5 = 2 .1
Se sustituyen los valores y se d e sp e ja n :
tí, = tí, + (w - l ) r
2 5.5 = 4 .5 + (n - 1)(2.1)
->
2 5 . 5 - 4 . 5 + 2.1
T i-----------
" =
23.1
E ntonces, la progresión tien e 11 térm inos.
EJE ÍC IC IO 1 4 8
D eterm ina cu á le s d e la s sig u ien tes su cesio n es so n aritm éticas:
1.
4 ,9 , 1 4 ,..., 5 « - l
4. I2, 22, 32, . . . , n 2
5. 2, 4, 6 ,..., 2 n
Z 2, 4, 8 ,..., 2"
3' 1 ’ 6 ’f
(
í
W+ ^ )
6. * + l , 2 * + 3 , 3 * + 5 , .. ., « * + 2 n - l
Encuentra e l térm ino q u e se indica para cada una d e la s sig u ie n te s p ro g resio n es aritm éticas:
7. E l 8o térm in o en: + 2, 5, 8,...
8. E l 11° térm ino en: + 1,
12. E l 7o térm in o en: + 120, 108, 96,...
5 3
9. E l 15° térm ino en: + —
4
E l 12° térm ino en: + 0.5, 0 , - 0 . 5 , . . .
12 12 4
»•••
, 4 - E l ,8 ° térm ino e n : + - 5 , 22, 49,...
10. E l 10° térm ino en: + 1, 7, 1 3 ,...
15. E l 13° térm ino en: + 15, 11.5, 8,...
11. E l 16° térm ino en: + 3 ,
16. E l 17° térm ino e n : +
4
2
,...
4
, 0.875, 1,...
D ados alg u n o s elem ento s d e una p ro g resió n aritm é tica, d eterm in a e l elem en to q u e s e p id e:
17. E l 1“ térm ino s i e l 13° térm ino e s 6 7 y la razón e s 5
18. L a r a z ó n s i e l 1a térm ino e s 7 y e l 1 0 ° e s - l l
19. E l núm ero de elem entos de la progresión: + 120, 5 1 9 ,..., 3 312
2
13
20. L a razó n s i e l 1er térm in o e s - y e l 8o - —
2 1 . E l 11° térm ino s i e l 3oe s - 4 y e l 7o e s - 16
2 2 . E l 1“ térm ino s i e l 20° e s - 6 2.5 y la razó n e s - 2.5
2 3 . E l núm ero de térm in o s de la progresión: r - , - , . . . , 4 8
8
2 4 . E l 1er térm ino s i e l 5o e s - 9 y e l 9o e s - 2 5
2 5 . E l 1“ térm ino s i e l 11° e s
2 6 . Si la razó n e s ^
y la razón
d e l núm ero de térm inos y e l 1” y últim o térm in o son: 0 .1 5 y 3.75, respectivam ente, d ete rm in a el
núm ero de térm inos.
3 5 9
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
27. L a razó n s i el cu arto térm ino e s ^ y e l 11° e s 2
3
27
28. E l 5o térm in o s i e l 2o e s — y e l octavo e s -----4
4
29. E l 7 o térm in o s i e l 3”° e s 4 « - 1y e l 10° e s 1 \ n - 8
™
r«
• . oo
4 4 « -1 9
30. E l 4 térm in o s i e l o e s --------6
yel
4 3 n -2 0
15 -------- -------------- -------------3
V erifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d e so lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Sumo d e los n primeros términos en una progresión aritmética
S ea la progresión aritm ética:
* a v ar a3
a„
E ntonces, la su m a de los prim eros « térm inos s e define com o:
S» = Í X
= a ,+ a 2+ a ¡ + ... + a ,
JmI
D e m o strac ió n :
S = a , + a 2 + ...................... + a ^¡ + a„
S = a , + ( a ,+ r) + ............ + [al + ( n - 2 ) r ] + [ai + ( n - \ ) r ]
Al c a m b ia r el ord en de los térm inos y realizar una sum a vertical, s e obtiene:
S = a t + ( at+ r ) + ...................... + [a , + (« - 2 )r] + [a, + (« - 1 )r]
+
S = [at + (n - l ) r j + [a, + (« - 2)rJ + ....................+ [a, + r] + a,
2S = [2a ,+ (n - l) r ] + [2 a ,+ (« - l) r ] + .................. + [2at+(n - l ) r j + [2a ,+ (n - 1 )r]
« veces
I------------------------------------------
-------------------------------------------------1
Por tanto:
2 S = n [ 2 a , + ( r t - 1 ) r]
A dem ás sabem os q u e a n=
S = ^ [2 o , + ( « - l) r ]
-»
+ (n - 1 )r, entonces:
s=
|[ o ,+ a , + ( n -l) r ]
L uego, la fórm ula para hallar la su m a de los prim eros n térm inos e stá de te rm in a d a por:
n ( a ,+ a .)
2
so |d iu a jg
E JE M P LO S
• • D eterm in a la sum a de los prim eros 12 térm in o s de la progresión aritm ética:
* 2 , 7 , 12,...
S o lu c ió n
E n e s ta progresión los datos son:
a t= 2, « = 1 2 y r = 7 - 2 = 5
P or consiguiente, e l 12° térm ino es:
a 12 = * , + ( « - l ) i
->
a l2 = 2 + ( 1 2 - 1 ) ( 5 )
flw = 2 + ( U X 5 )
a ,2 = 2 + 5 5 = 5 7
360
C a p ítu lo
Progresiones
L uego, p a ra e n co n trar la su m a de los 12 térm inos se sustituyen e n la fórm ula los siguientes valores:
a x= 2, a ,2 = 5 7 y n = 12
Finalm ente,
^
.b
" (« ■ + « !.)
12 ( 2 + 5 7 )
1 2 (5 9 )
E ntonces, la sum a de los 12 térm inos e s: 354
2
• • E n cu e n tra la su m a de los 15 prim eros térm inos de la progresión:
19
17
3 ’ 3 '
S o lu c ió n
Efe e s ta progresión los datos son:
19
tí, = —
1
3
fC
17 19
2
n = 15 y r = —----- — = - J
3
3
3
Se en cu en tra e l 15° térm ino:
tí15 = tí, + ( « - l ) r
-»
a iS= j + ( l 5 - l ) ^ - | j
->
als = J
19
+ ( I4 ) ( - | ]
28
a's= T ~ T
f ó r a e n co n trar la su m a de los 15 térm inos, s e sustituye e n la fórm ula:
19
tí,= —
n = t<
15
tíls = - 3*
E ntonces, la su m a d e los 15 prim eros térm inos e s 25
EJE ÍC IC IO 1 4 9
Resuelve los siguientes problem as:
1. ¿C u ál es la su m a de los prim eros 8 térm inos de: 4- 1, 7, 1 3 ,...?
2. D eterm ina la su m a de los 9 térm inos q u e conform an la progresión: 4- - 5 ,. .. ,7
13 7
3. E n cu e n tra la sum a de los prim eros 8 térm in o s de: 4-3, —
,...
4. ¿C u ál es la su m a de los 9 prim eros térm in o s de: 4- 120, 108, 9 6 ,...?
5. E n cu e n tra la su m a de los 13 térm inos de: 4-15, 11.5, 8,...
6. D eterm ina la sum a de los 12 prim eros térm in o s de la progresión: 4- 21, 24, 2 7 .
7. D eterm ina la su m a de los 11 prim eros térm in o s de: 4- -1 5 , - 1 2 , - 9 ,...
8. ¿C u ál es la sum a de los térm inos de la progresión: 4- 1 0 00, 988,..., -1 8 8 ?
9. D eterm ina la su m a de los térm inos en la progresión: 4-1, 2, 3 , . . . / i
10. E n cu e n tra la sum a de los térm in o s de la progresión: 4- 2, 4, 6,...,2w
361
.
15
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
11. ¿C u ál es la su m a de los térm inos de la progresión: -r 1 ,3 , 5 , .. ., 2 n - 1?
12. ¿Cuál e s e l núm ero de térm inos de una progresión aritm ética, cuya su m a es 42. Si e l últim o térm ino es 31 y la razón es 5?
13. D eterm ina e l núm ero de térm in o s de una progresión aritm ética, c u y a sum a e s ^
, s i e l prim er térm in o e s i
y la
, 1
razó n —.
4
14. L a su m a d e 3 2 elem entos e n una progresión a ritm é tic a e s 1 200. Si la razón e s 3, d ete rm in a e l prim er térm in o .
15. L a su m a de 5 0 térm in o s de una progresión aritm étic a e s 2 550. Si la razó n e s 2, ¿ cu á l e s e l prim er y últim o térm ino
tfc la progresión?
^
V ar¡fiea t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Un co n stru cto r a p ila c ie rto núm ero d e bloques de gran ito de la siguiente m anera: 15 bloques e n la b a s e y 2 m enos
en c a d a fila su p erio r a la anterior. Si e n la últim a fila su p erio r co lo c ó 1, e n cu en tra el to ta l de b lo q u es q u e apiló.
S o lu c ió n
E l problem a indica que e l prim er térm in o d e la progresión a ritm é tic a e s 15, y que a l dism in u ir de 2 b loques por
fila, resulta:
-r 15, 13, 11,...
L os datos conocidos so n : a x = 15, r = - 2 y a = 1, en to n ces s e debe d e c alcu la r e l núm ero de filas que s e pueden
apilar.
„ = 2 lZ £ l + i
« = 1 H Í5 .+ 1 = 7 + 1 = 8
r
-2
Luego, la su m a e stá de te rm in a d a por:
S.
" (* ,+ < Ü
j
8 J 1 5 + 1)
S‘ ---------- 2
128
~T
E ntonces, e l con stru cto r a p iló 6 4 bloques de granito.
E JE R C IC IO 1 5 0
1. E l estacionam iento de un centro com ercial tien e la sig u ie n te disposición d e lugares: la prim era fila tiene 50, la segunda
47, y c a d a fila subsiguiente tie n e 3 m enos que la anterior. Si la últim a fila tien e 2 3 lugares, ¿d e cuántos lugares dispone
el estacionam iento?
2. U n a lb a ñ il a p ila rá ladrillos de ta l form a que la base te n g a 50, la se g u n d a c a p a 48, la te rc e ra 46, y a s í sucesivam ente
hasta que la c a p a su p erio r te n g a 24, ¿cu án to s ladrillos e n total a p ila rá el alb añ il?
3. U n a em p re sa va a re p artir en tre 18 de sus em p le ad o s $13 2 75, c o m o b o n o de puntualidad. Si la d ifere n cia en tre c a d a
uno de los bonos es de $75, d ete rm in a cu án to recibió e l trab a ja d o r m ás puntual.
4. Se ap ila n 135 rollos de te la de ta l m an era que la b a se te n d rá e l doble de rollos que la últim a, y la d ifere n cia de rollos
entre c a d a una de las cap as s e r á de 1. ¿ C u á n to s rollos d ebe ten e r la últim a c ap a?
5. S e van a c o lo c ar en filas los asientos p a ra u n auditorio, d e ta l m anera q u e la p rim era te n g a 20, la seg u n d a 23, la tercera
26 y a s í sucesivam ente. Si e n total se co lo c a ro n 819 asientos, ¿cuántas filas se form aron?
V e rific a t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rr e s p o n d ie n te
3 6 2
C a p itu lo
15
Progresiones
hterpoloción d e medios aritméticos
Los m edios aritm ético s so n los térm in o s que se en cu e n tra n en tre e l p rim e r y e l últim o térm in o , y dep en d en d ire c ta ­
m ente del valor de la razón.
La interpolación de m edios aritm ético s co n siste e n e n co n trar los térm in o s de to d a la progresión a p artir de co n o cer
e l prim er y últim o térm ino.
E J E M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------------------------ •
1
• • Interpola 4 m edios aritm ético s en tre 5 y 32.5.
S o lu c ió n
Íaj
En e sta progresión los elem entos dados son:
a x= 5 y a H= 3 2.5
Para e n co n trar e l núm ero de térm inos e s necesario su m a r los m edios aritm ético s m ás 2 (p rim e r y últim o térm ino),
entonces:
n =6
C o n los d a to s anteriores s e en cu e n tra la razón:
a ,-a ,
r = —— —
n- 1
3 2 .5 -5
r = ------------6 -1
—>
= 2X 5
r
5
r = 5 .5
Por tanto, la progresión e s tá de te rm in a d a por:
+ 5, ( 5 + 5 .5 ) , (1 0 .5 + 5 .5 ), (1 6 + 5.5), (2 1 .5 + 5.5), 32.5
+ 5,
10.5,
16,
2 1 .5 ,
27,
32.5
Y los 4 m edios a ritm étic o s son:
10.5, 16, 21.5, 27
2
• • Interpola 5 m edios aritm ético s en tre 11 y - 13.
S o lu c ió n
Los térm inos dados son,
o ¡= 11, a = - \ 3 y n = l
Se obtiene la razón,
a -a .
r= —
L
n- 1
->
-1 3 -1 1
-2 4
r = ------------- =
7 -1
6
P o r consiguiente, los m edios a ritm étic o s son:
7, 3 , - 1 , - 5 , - 9
3 6 3
= -4
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
M e d ia aritm ética o prom edio aritmético
O S e a n los núm eros * , y x¿, entonces la m edia a ritm é tic a o prom edio a ritm étic o s e define por:
2
O S e a e l c o n ju n to d e n ú m ero s * ,, x 2, * 3,...,* b, e n c o n se c u e n c ia la m e d ia a ritm é tic a o p ro m ed io a ritm é tic o s e
determ ina a sí:
* , + * 2 + * 3 + ...+ * ,
n
E JE M P LO S
# • E n e l g ru p o de d a n z a s e inscribieron 9 alum nos, cu y as e d ad e s son: 12,13, 13,14, 1 5 ,1 2 ,1 4 ,1 5 , 11. D eterm ina la ed ad
prom edio d e l grupo.
S o lu c ió n
Se su m an todas las edades y el resultado s e divide en tre e l núm ero de éstas, entonces:
12 + 1 3 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 12 + 14 + 1 5 + 1 1
= 13.2
E d a d prom edio = --------------------------P o r tanto, la e d a d prom edio e s de 13.2 años.
2
■U n alum no tiene en s u s 4 prim eras evaluaciones las siguientes calificaciones: 7 .6 ,9 , 8.4 y 7.8. ¿Q ué calificación necesita
ten e r en la q u in ta e valuación p a ra e x en tar la m ateria c o n 8?
S o lu c ió n
S e a * la quinta evaluación y e l prom edio 8, entonces:
_
sum a de las evaluaciones
P rom edio = -------------------------------------total de evaluaciones
_
7 .6 + 9 + 8.4 + 7 .8 + *
8 = ------------------------------5
A l d esp e ja r * de la expresión se obtiene:
5 ( 8 ) - (7 .6 + 9 + 8.4 + 7 .8 ) = *
4 0 - 3 2 .8 = *
7 .2 = *
P or consiguiente, la calific ac ió n m ínim a que n ecesita p a ra e x en tar e s 7.2
EJE ÍC IC IO 1 5 1
Resuelve b s siguientes problem as:
1.
Interpola 5 m edios aritm ético s e n la progresión, c u y o prim er y últim o térm in o so n : 21 y 60.
2.
Interpola 7 m edios aritm ético s e n la progresión, cuyos extrem os son: 5 y
3.
Interpola 6 m edios aritm ético s e n tre -
4.
Interpola 7 m edios aritm ético s e n tre 0 .5 y 8 -i.
5.
Interpola 6 m edios aritm ético s en tre - 3 y 0.5.
6. Interpola 3 m edios aritm ético s e n tre i
17.
y3.
y
7. ¿C u ál es e l prom edio de un alum no cu y as calificaciones son: 6, 9, 8.4, 7 .8 y 10?
V » rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
3 6 4
C a p itu lo
15
Progresiones
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
L a co m p añ ía d e dulces L a P asita co m p ró una m áquina registradora a un precio de $ 1 2 000. Al c a b o de 6 a ñ o s la
vendió e n $5 520. L a dep reciació n a n u a l e s constante, c a lc u la e l valor de la registradora al final de c a d a año.
S o lu c ió n
É sta e s u n a progresión aritm ética, cuyos precio s inicial y final son: $12 000 y $ 5 520 respectivam ente, entonces,
se d e b en interpolar 5 periodos (años).
E n consecuencia:
a, = 12000, a n = 5 5 2 0 y n = l
Se en cu en tra la dep reciació n a n u a l (razó n ):
5 5 2 0 -1 2 000
-6 4 8 0
r = -------------------- = ----------- = - 1 080
7 -1
6
rt- 1
E l signo negativo indica que el co sto d e la m áquina va a dism in u ir $1 0 8 0 por año.
P o r tanto, e l valor de la m áquina a l final d e c a d a a ñ o es:
1“ año:
$ 10 920
4o año:
$ 7 680
2o año:
$ 9 840
5o año:
$ 6 600
3 " año:
$ 8 760
6o año:
$ 5 520
EJE ÍC IC IO 1 5 2
1. E n un sa ló n de c la se s de 15 a lu m n o s la e d a d prom edio e s 7 .8 ; 9 de ello s tie n e n 8 a ñ o s ; la e d a d de otros 3 e s 7. ¿C u ál
es la e d a d de los restantes s i tie n e n los m ism os añ o s?
2. ¿C u ál e s la calific ac ió n que debe o b ten e r un alu m n o e n e l c u a rto bim estre p a ra e x en tar c o n 8.5 la m ate ria de biología,
si e n los 3 prim eros bim estres obtuvo las siguientes evaluaciones: 8.7, 7 .9 y 7.6?
3. D eterm ina e l prom edio de una progresión aritm étic a que se co n fo rm a d e och o térm inos, s u prim er térm ino e s 2 y el
últim o 16.
4. O b té n la m edia aritm étic a de la progresión aritm étic a a v a¡,
5. E l lado norte d e l teja d o de una c a s a lo form an 4 7 6 tejas, o rdenadas de ta l form a que la prim era h ilera tie n e 80 y la
últim a 56. D eterm in a e l núm ero de hileras y el d e tejas que contiene c a d a hilera.
6. Si e l lado norte de un teja d o co n sta de x m enos 5 0 hileras, y x e s e l núm ero d e te ja s que tien e la p rim era hilera. Si
las hileras subsecuentes exceden e n 4 te ja s a la anterior, y e l total de te ja s utilizadas e s de 576, d ete rm in a e l núm ero
efe hileras y m ediante una interpolación precisa e l núm ero d e tejas de c a d a hilera.
V itrifica t u s re s u lta d o s e n la sa c c ló n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n ta
Progresión geom étrica o sucesión geom étrica
A la su c e sió n a v (%, a y ...t a ^ se le llam a su c e sió n o progresión geom étrica, s i p a ra todo am que p ertenezca a la sucesión
existe una constante r diferente de cero, ta l que:
D onde la razó n co m ú n e s r = ^ 5±L y s e d e n o ta co n e l sím b o lo -H-
3 6 5
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Ejem plos
D eterm ina c u á l de las siguientes su cesiones es geom étrica.
a)
.
;
c)
3 ,6 ,3 2 1 I
I
9 ’ 2 7 ’ 81 ’
J _
3 -
1 ,4 , 7 , .. ., 3 / i - 2
S o lu c ió n
a)
Se obtiene la razó n com ún:
,
« ...
am
3 -2 1" " - 1
3 -2 —
3 -2 3- 2 " “'
Se o b se rv a que los ele m en to s de la progresión: 3 ,6 , 1 2 ,..., 3 -2 " " ' s e o btienen a l m u ltip licar po r 2 e l térm ino
que le precede, por tan to la progresión e s geom étrica.
b)
Se d ete rm in a la razó n co m ú n para la com probación:
1
1
r = 5=11 = 3 ^ lK' _ 3"+2 _ 3 am
_ !_
J _
3"*1
Significa que los térm inos su b secu en tes de la progresión:
1
9
- entonces se deduce q u e e s progresión geom étrica.
c)
_ 1
3 "+2
3
~ >“ 7
2 7 81
- 7^ x o b tie n e n a l m u ltip licar por
3
A l o b ten e r la razón de la progresión:
_
r=
3 ( m + l ) - 2 = 3m + 3 - 2
3 (m )-2
3 m -2
= 3m +l
3 m -2
L a progresión no e s g e o m é tric a, y a que los térm in o s sig u ien te s n o se p u ed en o b te n e r a l m u ltip lic ar p o r la
razón resultante.
Fórmula para obtener el rrésimo término en una progresión geométrica
S ea la progresión g e o m é tric a + + a , a» 03, . . . , a Hy razó n co m ú n r,e n to n c e s e l n -ésim o térm ino se define com o:
Donde:
an = n-ésim o térm in o
r = razó n de la progresión
a¡ = prim er térm in o
ti = núm ero de térm in o s de la progresión
E JE M P LO S
• • D eterm in a e l 9o térm in o de la progresión + + 10, 2 0 , 40,...
S o lu c ió n
Se obtiene la razó n a l d iv id ir uno de los elem entos en tre s u antecesor:
r_
r ~ 20 _ 10
3 6 6
-2
C a p itu lo
Progresiones
E ntonces, los elem entos dados son:
a , = 1 0 ,r = 2 y n = 9
A l sustituir, s e obtiene e l 9 o térm ino:
r - 1
a9 = 10(2)9 ~1 = 10(2)8
->
a9 = 10(256)
0, = 2560
Finalm ente, e l 9 o térm ino e s 2 560
2
• • D eterm ina e l T térm in o de+ + 2 0 0 , 100, 50,...
S o lu c ió n
D ; la progresión s e tie n e n co m o datos:
a '= 2 0 0 ’ r = W o = \
y n = 7
L uego, p a ra e n co n trar e l T térm ino se sustituye en la fórm ula:
a„ = o , - r -
->
a, = (2 0 0 )fijM
a , = (2 0 0 ) ( i )
( 1 ^ 200
25
fl’ = < 2 0 0 ) - U J = 6 4 - = T
25
E ntonces, e l T térm ino e s —
8
3
• • Si e n una progresión geo m étrica e l 3 ° y T térm inos s o n 18 y 1 458, ¿cu á l es e l 5o térm ino?
S o lu c ió n
D ; acu e rd o co n e l problem a
a i = a xri ~ '
a 1 = a xr ~ x
18 = a xr 2
1458 = a xr 6
Se obtienen las ecuaciones:
a xr 2 = 1 8
a xr 6 = 1458
y
P e ro a xr 6 = a xr 2- r 4 = 18r4, entonces
18r4 = 1 4 5 8
->
18
A l su stitu ir este valor, se obtiene a x:
A (3 )! = 1 8 ^ a , = y = 2
E n con secu en cia, e l 5 o térm in o es:
as = a xr 4 = ( 2 ) ( 3 ) 4 = ( 2 ) ( 8 l ) = 162
3 6 7
->
r = 3
15
15 C a p í t u l o
Á lgebra
Fórmulas para obtener el 1® término, número de términos y la razón
Todas la s fórm ulas subsecuentes s e o btienen de aH = a, • r*~'
© P a ra en co n trar e l 1" térm ino:
© P a ra en co n trar la razón:
<*■ = a .- '-" -'
“>
© P a ra determ inar e l núm ero de térm in o s que contiene la progresión geom étrica:
^ =
-
n - l? g ag ~ l ° g q , + l ° g r
lo g r
_>
E stas fórm ulas se a p lic an , según las necesidades de los ejercicio s que s e d e b en resolver, c o m o se ejem p lifica a c o n ­
tinuación:
E J E M P L O S -------------------------------------------------------------------------------------------------------# • E n una progresión geo m étrica la razón e s - y e l 8o térm in o e s - . C a lc u la e l 1“ térm in o .
E
2
8
S o lu c ió n
±¡
L os datos e n este problem a son:
•
aí = -
„
n =a
8
i
r= —
2
E ntonces, a l su stitu ir los valores e n nuestra fórm ula, se obtiene:
a, = 4 A
a, = - 4 ^
->
= - L
=
O
=
16
Por tanto, e l Ia térm ino de la progresión e s 16
2
• • ¿ C u á l e s la razó n de la progresión geom étrica, c u y o l ” y 7 o térm ino e s j
y 3 125 respectivam ente?
S o lu c ió n
L os elem entos que se tie n e n co m o datos son:
¿
n =l
¿r7 = 3 125
Luego, a l su stitu ir e n nuestra fórm ula se obtiene e l valor de la razón, entonces:
r =Í Í
->
Finalmente, la razón d e la progresión e s 5
3 6 8
r . m
. <
S
6
S
- 3
C a p itu lo
Progresiones
3
■¿D e cuántos térm in o s e stá form ada la sig u ien te progresión g eom étrica?
+ + 1 ,2 , . . . ,5 1 2
S o lu c ió n
D ; la progresión s e tiene:
a, = 1
an = 512
r= y = 2
Se sustituyen los valores p a ra obtener e l núm ero de térm inos.
= lo g (5 1 2 ) —log ( l ) + lo g (2) = 2 .7 0 9 2 - 0 + .3010 _
lo g (2 )
.3010
E l núm ero de térm inos de la progresión geo m étrica e s 10
EJE ÍC IC IO 1 5 3
De las sig u ien te s sucesiones determ ina cuál e s geom étrica:
12
3.
1 ,2 ,4 ,..., 2 ±
i
3*
2 ’ 4
-
4. - 4 , - 2 , 0 , .. ., 2 * - 6
^
C, 3 ^ 3
2 " “'
3
,...,«
1, 2, 6 , . . . , « !
6. 3 ,6 , 1 2 ,..., 3-2"-'
D eterm ina e l térm ino q u e s e indica e n c a d a una d e las sig u ien te s pro g resio n es geom étricas:
7. E l 6o térm in o d e
1
- 1 , 3 ,...
13. E l 12° térm ino de + +
3
3
2
8. E l 9o térm in o d e + + - , 1 , - ,
1
4
.
|
743
81
^
64
32
16
E l 9o térm in o d e + + 1 , - m 3, m 6, ...
15. E l 10° térm ino de + + n 4, n \ 1 ,...
9. E l 5o térm in o d e + + - 5 , 1 0 , - 2 0 , . . .
10. E l r térm in o d e -H- 2 5 , |
729
16. E l T térm in o d e ++
,...
11. E l 10° térm ino de + + - 9 , - 3 , - 1 , . . .
17. E l 13° térm ino de + + 231"4, 2 5*"5, 2 7” 6,..
12. E l 8o térm in o d e + + 8 , 4, 2 , .. .
18. E l 9o térm in o d e + + a v a tr 2, <j,r4,...
D ados a lg u n o s ele m en to s d e una progresión g eo m étrica, halla e l e le m e n to q u e s e pide:
19. E l 1“ térm ino, s i la razó n e s — y e l 6o térm ino e s —
2
16
2 0 . E l 2o térm in o , s i s u razó n e s - 2 y e l T e s - 128
21. L a razón, s i e l 1“ térm ino e s - y e l 5o e s
22. L a razón, s i e l 1er térm ino e s - 8 y e l T e s
729
2 3 . E l núm ero de térm in o s de + + - 2 , - 6 , . . , - 1 6 2
2
2 4 . E l núm ero de térm in o s s i la razó n e s
1
64
- , e l Io térm ino e s - y e l últim o
5
2
2 5 . E l núm ero de térm in o s de + + 5 ‘ ,5 2**1 , . . . , 5 91*8
3 6 9
78125
- - ---
15
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
y el T ^
26. E l 1 " térm ino si e l 4 o e s ^
27. E l 4 o térm in o s i e l 2o e s 1 y e l 9o e s
-X~{
m
—x 7
28. E l 11° térm ino si e l 3 oe s 2 6‘" y e l 9 o e s 2 6*
^
V a r¡fie a tu s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
U n c u ltiv o d e 2 0 0 0 0 b acterias a u m e n ta s u población 2 5 % p o r hora. ¿ C u á n ta s b a c te ria s s e g e n era n e n la se x ta
hora?
S o lu c ió n
E l cultivo e s e l 100% inicial de b acterias, a la prim era hora au m e n ta 25% , e sto indica q u e e l porcentaje actu al es
125% o — de la c a n tid a d in icial; luego, e l núm ero d e ele m en to s que conform an la sucesión e s e l térm in o inicial
más los 6 térm in o s siguientes.
De acu e rd o co n los datos:
a.
= 2 0 00 0 , r = 4
yn =l
A l su stitu ir en la fó rm u la p a ra obtener e l n -ésim o térm ino:
a n = a xr n~ x
a 7 = 2 0 000
= 7 6 2 9 3 .9 * 7 6 294
P or tanto, a l c a b o de 6 horas h abrá aproxim adam ente 7 6 294 b acterias.
EJE ÍC IC IO 1 5 4
1. D eterm ina la su c e sió n de 4 térm inos, cu y o prim er y cu a rto térm ino sea 9 y - 1, de ta l m anera que los tre s prim eros
núm eros form en una progresión geo m étrica y los últim os 3, una progresión aritm ética.
2. U n a g e n e ra c ió n c e lu la r e s la d iv isió n de una c é lu la e n 2 . Si s e tie n e n 8 c élu las in iciales, ¿ c u á n ta s c élu las s e han
generado tra s 10 generaciones celu lare s?
3. T res núm eros form an una progresión aritm étic a c o n una ra z ó n d e 2. Si e l segundo núm ero s e increm en ta e n 1 y el
tercero e n 5, los núm eros resultantes form an una progresión g eo m étrica. D e term in a los n ú m ero s de la progresión
aritm ética
4. D eterm ina e l núm ero de células iniciales s i s e o btuvieron 9 8 304 desp u és de 14 g eneraciones celulares.
5 . U n cu ltiv o de 25 000 b acterias a u m e n ta 5% e n 2 0 m inutos. ¿C u ál s e r á la población d e b acterias a l tran scu rrir una
hora 2 0 m inutos?
6. D e l problem a a n te rio r estab lec e la fó rm ula g e n e ra l que d ete rm in a e l núm ero de b acterias e n t horas.
7. Se invierten $ 2 3 0 000 a una c u e n ta q u e d a p o r concepto de intereses 5 % anual. ¿C uánto s e te n d rá a l final de 8 años?
8. E n cierta ciudad nacieron 32 5 0 0 bebés en el a ñ o 2005, s i e l núm ero de nacim ientos se increm enta 20% anual, ¿cuántos
bebés s e e stim a que n azcan e n e l añ o 2009?
9. Se tien e un cu ad ra d o de á r e a 1 024 cm 2 y s e inscribe otro c u a d ra d o de ta l m an era que los extrem os co in cid an c o n los
puntos m edios d e l prim ero; después se inscribe otro cu ad ra d o e n e l segundo co n la m ism a disposición. Si s e conoce
que e l á re a de un cu ad ra d o inscrito e s la m itad d e l á re a d e l cu ad ra d o e n e l que s e inscribe, ¿cu á l e s e l á re a d e l noveno
cuadrado inscrito?
V itrific a tu s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
3 7 0
C a p itu lo
15
Progresiones
Suma d e los n primeros términos d e uno progresión geométrica
D educción de la fórm ula.
Sea la progresión g e o m é tric a -H- a t , a^, O j,.., a„, llam em os S a la su m a de los prim eros n térm inos, entonces:
«
S = ' £ a l = a , + a 2 + a , + ................... + a „
)■>
->
( 1)
-»
(2)
A l m ultiplicar por la razón la igualdad:
S r = a t -r + a 2 r + a 3 r + ................ aR -r
Al restar a la ecu ació n 2 la ecu ació n 1, tenem os:
a, r + a 2 r + a 3 -r + ...................... + aH r
S r=
-S =
-a , -
a¡ r -
a ^ r ......................
S r - S = an r - a i
E ntonces:
pero aR = a ,r"_l
S ( r —1 ) = f l . - r - a ,
S { r - \) = a ^ 'r - a x
S ( r - l) = a ,r -- a ,
Finalm ente:
* =
a .( r - - l)
r —1,
(r" -l)
( l- /)
-----r - 1r = a ' *1-----—r
sojduisj]
E JE M P L O S
# • D eterm ina la su m a de los prim eros 8 térm inos de la progresión geom étrica:
S o lu c ió n
En e sta progresión los datos son:
4
° i
=
3
3
r
=
2
n
=
8
L uego, a l su stitu ir e n la fórm ula s e obtiene la su m a de los 8 térm inos:
4 V 6561
S =
3 A 256
-1
- ( 8Y 63051 - 6305
_ U Jl
r-1
i-
Se concluye que la su m a de los prim eros 8 térm inos de la progresión es
371
6305
96
256
J
_
96
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
• • " E n c u e n tr a e l Ia térm ino de una progresión geom étrica, cuya su m a de los prim eros 10 térm inos es 341 y la razón e s - 2 .
S o lu c ió n
De acu e rd o a l problem a los datos son:
n = 10, r = - 2
y 5 = 341
Al su stitu ir en la fó rm u la y d e sp e ja r a , s e obtiene:
Q, ( r - - ' )
4(-2)'°-l]
r -1
- 2 -1
Se sim plifica la expresión y s e desp e ja a x\
a ,[ ( - 2 ) " - l]
341'
q [1 0 2 4 -1 ]
-3
341"
( 3)(341)
-3
a ,_
1023
-1 0 2 3
“
1023
Por tanto, e l Ia térm ino de la progresión e s - 1
3
• • - D e te r m in a e l núm ero de elem entos de u n a progresión geom étrica, cuya su m a es 1093, su 1” térm ino es 1 y la razón es 3.
S o lu c ió n
De acu e rd o co n e l problem a:
a , = 1, r = 3 y 5 = 1093
Al su stitu ir en la fó rm u la de la su m a de térm inos:
a .( r - - l)
l(3 " -l)
5 = — ------------------------- 1 0 9 3 = -—-------r —1
3 -1
A l sim plificar y d esp e ja r n se obtiene:
1093 = —
2
2186 = 3 " - 1
2 1 8 7 = 3"
(3 )7 = 3"
l =n
P or consiguiente, se realizó la su m a de los prim eros 7 térm inos de la progresión.
EJE IC IC IO 1 5 5
Encuentra la sum a d e lo s prim eros térm ino s q u e se ind ican en las sig u ien tes p ro g resio n es geom étricas:
1. Seis térm in o s d e -H- - 9 , - 3 , - 1 ,
3
2
2 . Siete térm in o s de -H- - , 1 , - , . . .
3 - N ueve térm inos d e -H- - 5 , 1 0 , - 2 0 , . . .
4. D iez térm in o s d e -H -9, 12, 1 6 ,...
5 . Q uince térm in o s de ¿ , -7 , i , . . .
8 4 2
6 . D ieciocho térm in o s d e -H- 2 , 4, 8 ,...
3 7 2
C a p itu lo
15
Progresiones
7. Doce térm inos d e + + > /3 , 3, \ l x j ,...
8. Diez térm inos de -H -1, - s / 2 , 2 , . . .
9. Veinte térm inos d e + + n , n2, n3,...
10. N ueve térm inos d e + + 2 1"2,2*_l, 2 \ . . .
11. « té rm in o s d e -H- o ,, a¡r2,
,
•
1 1 1
12. « té r m in o s d e -H - — , — , — *•••
2 4
8
Resuelve los sig u ien te s problem as:
13. E ncuentra e l núm ero de térm inos d e una progresión geom étrica; s i la su m a e s 255, e l 1” térm ino es - 3 y la razón - 2.
14. D eterm ina la razón com ún de una progresión geom étrica si el 1" térm ino e s - 8 y el 6o térm ino - i .
15. ¿Cuál es e l 1“ térm ino de una progresión geom étrica, cuya su m a de los prim eros 8 térm inos e s
81
y la razón es
31
1
1
16. ¿C u ál es e l últim o térm ino de una progresión geo m étrica c u y a sum a e s — , su I o térm in o e s — y la razó n 64
4
2
3
?
17. D eterm ina e l 1“ térm ino d e una progresión geom étrica si la sum a de los prim eros 6 térm inos es 364 y la razón e s - 3.
18. ¿C u ál e s la razó n de una progresión geom étrica, si la su m a e s
e l 1" térm ino e s ^ y e l últim o térm in o es
19. E n cu e n tra e l núm ero de térm in o s de una progresión geom étrica, s i la su m a e s
*^s , e l 1” térm ino e s X2y la razón
es —.
x
Vitrifica t u s re s u lta d o s e n la sa c c ló n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ía n ta
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
U n a co m p añ ía de autos tien e estim a d o vender 5 0 0 0 autos e n 2 0 1 0 y durante los 10 años siguientes in c re m e n ta re n
5% anual las ventas con respecto al año anterior. D eterm ina cuántos autom óviles pretende vender la com pañía en ese
periodo.
S o lu c ió n
Ete acu e rd o co n e l problem a los d a to s son:
a , = 5 0 0 0 , r = 1 0 0 % + 5 % = 1 0 5 % = 1.05
S =
- f e )
5 10= 5
10
ooo ;
, - , -0 5 ,°
1 1 - 1 .0 5
= 5 0 0 0 (1 2 .5 7 7 8 )
= 62 889.46 » 6 2 8 9 0 au to s
P o r consiguiente la c o m p a ñ ía pretende vender aproxim adam ente 6 2 890 autos e n los siguientes 10 añ o s.
3 7 3
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
U n a ep id e m ia a ta c a a 2 500 habitantes de u n a población e n 2006, y po r c a d a a ñ o que tran scu rre la c lín ic a d e sa lu d
de la e n tid a d o b se rv a que las personas que padecen la en ferm ed a d s e in crem en ta e n un 5 % ¿ C u á n to s habitantes
habrán padecido la e n ferm ed a d para e l añ o 20 1 0 ?
S o lu c ió n
De acu e rd o a l problem a, los d a to s so n los siguientes:
ü , = 2 5 00, r = 1 0 5 % = 1.05 y n = 5
Sustituyendo e n la fórm ula, s e obtiene:
1—r
1 - 1 .0 5
2 500(1 - 1 .2 7 6 2 ) _ 2 5 0 0 ( -0 .2 7 6 2 )
- 0 .0 5
- 0 .0 5
= 13 814 habitantes
P or tanto, p a ra e l añ o 2 0 1 0 habrán padecido la ep id e m ia 13 814 habitantes aproxim adam ente.
E JE R C IC IO 1 5 6
1. U n triá n g u lo eq uilátero s e divide e n 4 triángulos e quiláteros m ás pequeños de igual área , ésto s a s u vez se dividen
en otros 4 triángulos c a d a uno; e ste procedim iento s e repite p a ra c a d a trián g u lo resultante. ¿ C u án to s triángulos s e
tendrán e n total desp u és de realizar 6 veces esta o peración?
2. C a ro lin a tien e p apá y m am á, a s u vez ésto s tienen c a d a uno a s u padre y m adre, y a s í sucesivam ente. ¿C u án tas p er­
sonas e n el árb o l gen ealó g ico de C a ro lin a existen h a sta 7 g eneraciones atrá s, incluyéndola a ella?
3. E n cierta población la producción de m aíz en el a ñ o 2001 fue d e 2 0 000 toneladas; po r diversas cuestiones e s a cantidad
ha te n id o una d ism inución de 25% anual. ¿Q ué can tid ad de m aíz se produjo d esd e 2001 h a sta 2006?
4. D urante e l a ñ o 2 0 0 5 cie rto hospital atendió 5 110 partos; sin em bargo, este núm ero s e increm entó 10% anual. ¿C uántos
partos e stim a e l hospital a te n d e r desde 2 0 0 6 hasta el a ñ o 2 0 1 0 ?
5. L a población e n M éxico e n e l añ o 2 0 0 0 e stá cu an tificad a e n 100 m illones de personas. Si p a ra e l añ o 2002 las a u ­
toridades registraron 104 m illones de m exicanos, ¿ a q u é ritm o está c re c ie n d o la p o b lació n e n nuestro país? Si se
m antiene e s te crecim iento, p a ra e l añ o 2 0 1 0 ¿cu án to s habitantes tendrá el territo rio m exicano?
(^} Verifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
Progresión geom étrica infinita
S ea u n a progresión geom étrica, c u y o 1“ valor e s a ,= 100 y la ra z ó n r = ¿ , ¿ q u é le su c e d e a la sum a de los prim eros
w térm inos?
El com portam iento de la progresión:
2 ’
C a p ítu lo
15
Progresiones
5 , = 220000- - 220000| —
^ j|
s i« = 3
5» = 2 0 0 - 2001 - — I
s i« = 8
5 , p = 2 0 0 - 2 0 0 1 ------ !------ I
20
( 10 4 8 5 7 6 )
s i « = 20
De m an era que, co n fo rm e n crece, e l térm in o
j
se hace m ás pequeño y tiende a cero.
E s p o r e s o q u e p a ra c u a lq u ie r progresión g e o m é tric a infinita, donde la ra z ó n e s m e n o r q u e la u nidad, se debe
considerar la su m a de los prim eros n térm inos igual a:
S ,= —
" 1- r
V W < 1
11
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • D eterm ina la su m a de la progresión geo m étrica infinita: 9, 3, 1,...
S o lu c ió n
Los d a to s proporcionados por la progresión so n a x = 9, r = C om o la ra z ó n \r\ < 1 entonces se utiliza:
S -
• ~ ~ r
5
-
S' ~ ,
1
"
3
2
"
-
-
2
3
E n con secu en cia, la su m a de térm in o s de la progresión geo m étrica infinita e s: ^
2
• • O b té n la razó n de una progresión geo m étrica infinita si e l 1 " térm ino es 4 y la sum a e s 8.
S o lu c ió n
D ; acu e rd o a l problem a, los datos son:
a , = 4 ,S „ = 8
Al su stitu ir e n la fórm ula de la sum a de una progresión infinita:
"
ü,
=—
1- r
4
8 = -----1- r
A l d e sp e ja r r de la ecu ació n se obtiene:
8(1 — r) = 4
8 - 8r = 4
-8 r = -4
E JE R C IC IO 1 5 7
Realiza b siguiente:
•
I
•
_3
1. E n cu e n tra la sum a infinita de térm in o s de la progresión -H- - 6 , 3, — ,...
z
•
2.
3
1 1
D eterm ina la su m a de térm inos de la progresión infinita -H- — , — , -
3 7 5
r= ^
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
3. ¿C u ál es e l valor de la su m a infinita de térm in o s de la progresión -H- 6, 2, ^ ,...?
9
3
4. ¿C u ál es e l valor de la su m a de térm in o s de la progresión infinita + + — , - , 1,...?
5. L a su m a de térm inos de una progresión infinita e s 3 y la razón e s — ■. D eterm in a e l 1“ térm in o de la progresión.
6. E l 1" térm ino de una progresión infinita e s 2 >/3 y la su m a de los térm inos e s 5 J 3 . E n cu e n tra la razón.
7.
a
3a
E l 1* térm in o de una progresión infinita e s —c o n b > a y a , b e N y l a su m a e s — . ¿ C u á l e s la razó n de la progre-
áón?
8.
24
h
U n trián g u lo eq uilátero de á re a 1 cm 2 s e d ivide en 4 triángulos equiláteros m ás pequeños de á re a - cm 2, a s u vez,
uno
efe los 4 triángulos se divide nuevam ente e n o tro s 4 triángulos de — c m 2, y s e repite e l procedim iento sucesivam ente
16
con 1 de los 4 triángulos resultantes. ¿ C u á l e s e l resultado de la su m a de las áreas de los triángulos?
9. S e tien e un cu ad ra d o de á r e a 1 0 2 4 cm 2 y s e inscribe otro cuadrado, de ta l m an era que los vértices extrem os coincidan
con los puntos m edios d e l prim ero, y a s í sucesivam ente. Si y a s e con o ce que e l á re a de un cu ad ra d o e s e l d oble del
que se inscribe, d ete rm in a la su m a de las áreas de todos los cuadrados que s e pueden inscribir d e e s a m anera.
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
Interpolación d e m edios geométricos
L a interpolación d e m edios g eo m étrico s co n siste e n e n co n trar un c ie rto núm ero de térm in o s, en tre e l I o y últim o, para
form ar una progresión geom étrica.
E je m p lo s
E JE M P LO S
# • Interpola 4 m edios g eom étricos e n la progresión -H- -
3,..., 96.
S o lu c ió n
A l interpolar 4 m edios geom étricos, la progresión estará form ada por 6 térm inos, entonces:
a ,=- 3, « = 6 y a ó = 96
Se procede a c alcu la r la razón, a p artir de:
r =
r = 6^
U
f
V-3
= ^ 3 2 = -2
Por tanto, la progresión qu e d a c o m o a co n tin u ació n se m uestra:
-3,
-3,
- 2 (-
3),
-2 (6 ),
- 2 ( - 12),
-2 (2 4 ),
-2 (-4 8 )
6,
-1 2 ,
24,
-4 8 ,
96
Los m edios geom étricos son:
6, - 1 2 , 2 4 , - 4 8
2
• • 'I n t e r p o l a 5 m edios g eom étricos e n la siguiente progresión: -H -16,...,
S o lu c ió n
L os datos de la progresión so n : a, = 16, a , =
yn = 7
Zj O
3 7 6
ZX)
C a p itu lo
15
Progresiones
At e d i a g e o m é t r ic a
© S ean los núm eros x, y x 2, en to n ces s u m edia geo m étrica s e define por:
sjx¡x2 s i x, y x 2 so n positivos
~ \jx ¡ x 2 s i x , y x* so n negativos
O S ean los n ú m ero s x „ x » x , , e n t o n c e s , s u m edia geo m étrica se d efine com o:
yjx ¡x2x 3-*xn
E JE M P L O S
• • D eterm ina la m edia geo m étrica de 12 y 48.
§_
S o lu c ió n
ií
Se b u sc a un térm in o que form e una progresión geo m étrica co n los elem entos dados, entonces a l a p lic ar la fórm ula:
M edia g e o m é tric a = <](1 2 )(4 8 ) = y/576 = 2 4
E sto indica que la progresión g e o m é tric a form ada es:
12, 24, 48
Y s e co m p ru eb a c o n la razó n :
24
48
„
r = ~Í2 = 2 4 =
P o r tanto, la m edia geo m étrica e s 2 4
2 ••
E n cu e n tra la m edia geo m étrica de los núm eros 3, 9, 2 7 y 81.
S o lu c ió n
Se a p lic a la fórm ula:
M edia g e o m é tric a = ^/( 3) ( 9 ) (2 7 ) (81)
Al sim plificar la raíz s e obtiene:
t¡ ¥
= V 3 * -3 2 = >/3*
Finalm ente, la m edia geo m étrica e s: 9 v'3
3 7 7
= 32n/3 = 9 J 3
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJE R C IC IO 1 5 8
Realiza la interp o lació n d e tos m ed io s g e o m étrico s q u e se in d ican :
1. C in co m edias geom étricas en tre i
y 32.
4
2. T res m edias g eom étricas en tre 12 y — .
3. C u a tro m edias geom étricas e n tre - 3 y - 96.
4. C in co m edias g eom étricas en tre 1 ^ y 6 144.
5. T res m edias g eom étricas en tre 2 >/3 y 18 >/3.
I
26
6. C u a tro m edias geom étricas en tre - y 2
7. Seis m edias geom étricas e n tre - 128 y - 1
8. T res m edias g eom étricas e n tre ( x - l ) 2 y
( x ~ l) 6
81
.
a2
8
9. T res m edias g eom étricas en tre — y
.
2
a
10. C u a tro m edias geom étricas en tre
y 4.
D eterm ina la m edia geom étrica d e tos sig u ie n te s núm eros:
11. 6 y 9
12. - 4 y - 8
13. 5 y 25
14. 9 y 16
15. 2, 3 y 6
16. 4, 8 y 3 2
17. 1 ,3 , 9 y 27
' 8-
*
2 ’ 4 ’ ¥ y I?
V itrifica tu s resultados an la sacdón da solucionas correspondianta
Interés compuesto
U n a de las a p lic ac io n e s m ás im portantes de las progresiones geom étricas e s e l in te rés com puesto, p o r s u c o n sta n t
uso en la eco n o m ía y la adm inistración.
C onsidera un c a p ita l inicial de $ 100, que s e invierte e n una ta s a fija de 10% de interés a n u a l com puesto. C alcu l
e l interés co m p u e sto por periodo e n los prim eros 5 añ o s.
A/, = 1 0 0 ( 1 + 0 .1 ) = 110
prim er añ o
M 2 = 110(1 + 0 . 1) = 121
seg u n d o año
3 7 8
C a p itu lo
15
Progresiones
A/, = 1 2 1 ( 1 + 0 .1 ) = 133.1
te rc e r año
A/4 = 133.1(1 + 0 .1 ) = 146.41
c u a rto año
M s = 146.41(1 + 0 .1 ) = 161.051
quin to año
A hora bien, s i s e d e se a c a lc u la r e l m o n to que g e n e ra u n c a p ita l e n dete rm in a d o tiem po, c o n una ta s a de interés
fija, s e utiliza:
M =C
H
'
Donde:
M = m onto gen era d o
C = cap ital inicial
i = ta s a de interés porcentual anual
n = núm ero de capitalizaciones a l año
t = tie m p o que s e invierte e l cap ital
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • U n a m a de c a s a a h o rra e n un b a n co $ 5 00 0 , la institución b a n ca ria le d a un interés a n u a l de 6% . C a lc u la e l m onto que
o b ten d rá e n 12 añ o s.
S o lu c ió n
Los datos de este problem a so n los siguientes:
i = 6% an u al
C = $5 0 0 0
n = 1 periodo
l = 12 años
E ntonces, a l su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
A/ = C ^ l + ^ j
->
v(**2)
Af = 5 0 0 0 ^ l + ~ y ~ j
M = 5 0 0 0 (1 .0 6 )'2
M = 10 060.98
P o r tanto, e s a a m a de c a s a recibirá después de 12 años la can tid ad
2
• • F e m a n d o invierte $ 3
000 e n
un negocio que le d a rá
de $10 060.98
10%de interés co m p u e sto anual, cap italizab le sem estralm ente.
¿C uál s e rá e l m onto que recibirá a l ca b o de 5 añ o s?
S o lu c ió n
Los d a to s de este problem a son los siguientes:
C = $ 3 000
n = 2 p e riodos
i = 10% an u a l
E ntonces, a l su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
M = C ^ l+ ij
->
a/
= 3
ooo^ i
+ 2 ^ 2 | X>
A/ = 3 0 0 0 (1 .0 5 )10
M = 4 886.68
Finalm ente, F e m an d o re cib irá d espués de 5 años la c an tid ad de $4 886.68
3 7 9
/ = 5 años
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
3
• • C a lc u la e l tiem po p a ra d u p licar una inversión de 10% de interés a n u a l cap italizab le trim estralm ente.
S o lu c ió n
Si s e quiere d u p licar e l capital, e s to indica que M = 2 C, luego la inversión e s cap italiz a b le trim estralm ente (« = 4),
por tanto:
-
N
i
^
a
c
- c
^
f
2 = (1 .0 2 5 )4'
Se a p lic a n logaritm os de la siguiente m anera para de sp e ja r /:
lo g 2 = log (1 .0 2 5 )4'
->
log 2 = 4 / (lo g 1.025)
1=
lo g 2
4 log 1.025
1 = 1 años
E ntonces, s e concluye que e l tiem po necesario para d u p licar la inversión e s de 7 años.
EJE ÍC IC IO 1 5 9
D eterm ina e l m onto q u e s e genera en cad a uno d e b s sig u ien tes p ro blem as:
1. $10 0 0 0 que se invierten a una ta s a d e 10% d e interés co m p u e sto an u al, d u ra n te 10 añ o s.
2. $32 000 se invierten a 12% de interés c o m p u e sto anual, c ap italiz a b le se m estra lm e n te durante 6 añ o s.
3. $32 158 que vencen e n 7 .5 añ o s, a 6% de interés co m p u e sto an u al.
4. $24 0 0 0 que vencen e n 6 ^ añ o s, a 9 % de interés co m p u e sto an u al, c ap italiz a b le cu atrim estralm en te.
5. $ 9 500 que ven cen e n 8 ^ años, a 4% de in te rés co m p u e sto an u al, cap italiz a b le trim estralm en te.
3
6. $15 4 0 0 que vencen e n 3 añ o s, a 6 - % de interés co m p u e sto an u al, c ap italiz a b le trim e stralm e n te.
7. $ 9 5 0 que ven cen e n 2 ^ añ o s, a 1 2 ^ % de interés c o m p u e sto anual, c ap italiz a b le trim e stralm e n te.
8. $ 6 0 0 0 que ven cen e n 3 ^ añ o s, a 1 0 - j % d e in te rés co m p u e sto an u al, cap italiz a b le m ensualm ente.
9. $6 0 0 0 q u e ven cen e n 3 ^ añ o s, a 10 j % d e in te rés co m p u e sto an u a l c ap italiz a b le cu atrim estralm en te.
3
10. $ 1 5 4 0 0 0 que ven cen e n 3 añ o s, a 6 — % de interés co m p u e sto an u al, cap italiz a b le se m an a lm e n te .
4
Resu elve b s sig u ien tes p ro blem as:
11. U n a co m p añ ía de seguros presenta a un padre de fam ilia u n fideicom iso p a ra q u e s u hijo de 8 años reciba una cantidad
tfc $40 0 0 0 c u a n d o te n g a 2 2 añ o s. D eterm in a la c an tid ad inicial que debe d e stin a r s i s e le o fre c e un co n tra to c o n una
tasa de 6 % de interés co m p u e sto an u al, capitalizab le sem estralm ente.
12. U n a d e u d a de $ 9 000 den tro de 5 añ o s, d e b e rá liquidarse co n u n pag o de $ 14 747.55, ¿ a q u é ta s a de in te rés trim estral
está co m prom etido e l préstam o?
13. ¿Q ué ta s a d e interés co m p u e sto an u a l d u p lica una in w rsió n e n 5 años?
3 8 0
C a p itu lo
15
Progresiones
14. ¿ Q u é ta s a de interés co m p u e sto anual, capitalizable trim estralm en te, duplica el valor de la inversión e n 10 años?
15. ¿Q ué tiem po s e necesita p a ra trip licar una inversión c o n rendim iento de 10% de interés com puesto anual, capitalizable
cuatrim estralm ente?
16. E l índice de crecim iento q u e se plantea p a ra u n a población de 6 7 0 0 habitantes e s d e 2 % anual. ¿C u án to h abrá crecido
la población e n 2 0 añ o s?
17. ¿ Q u é tie m p o habrá tran scu rrid o p a ra q u e un c a p ita l de $ 5 3 0 0 se co n v irtiera e n $ 5 627.45, c o n una ta s a de interés
c om puesto anual d e 2 %, cap italizab le m ensualm ente?
18. U n a e m p re sa pide u n p réstam o b a n ca rio de $ 4 0 0 000 p a ra la co m p ra de m aquinaria. Si dich o c réd ito e s tá su je to a
5 % de interés co m p u e sto anual, cap italizab le sem estralm en te, y e l tie m p o para pagarlo e s de 10 añ o s, ¿ c u á l s e rá el
m onto q u e s e pagará?
19. E m ilia invierte $ 8 5 0 0 0 durante 3 años y recibe un m onto de $ 9 2 881. ¿C u ál fue la ta s a de interés com puesto a n u a l
a la que fue so m etid a d ic h a inversión?
2 0 . ¿ C u á l fue e l in te rés que gen era ro n $20 0 0 0 s i s e invirtieron c o n una ta s a de 12% de in te rés co m p u e sto an u al, c a p ita ­
lizable m ensualm ente durante 4 añ o s?
M irifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a so lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
D epreciación
Se define c o m o la pérdida de valor de un a ctiv o físico (autom óviles y casas, en tre otros), c o m o consecuencia d e l uso
o d e l tran scu rso d e l tiem po. M uchos de ello s tie n e n una vida útil durante un periodo finito.
E n e s te c a p ítu lo só lo s e ab o rd ará e l m étodo de porcentaje fijo, que s e define com o:
S = C (l-d )'
Donde:
S : valor de salvam ento o valor de desecho
C: c o s to original d e l activo
d : ta s a de dep reciació n anual
t: vida útil c a lc u la d a e n años
5 0 |d u i a | g
E J E M P L O S -------------------------------------------------------------------------------------------------------•
• • L a ta s a de depreciación de u n a utom óvil d e l a ñ o e stá c alcu la d a e n 8% anual. Si un clie n te paga en u n a a g en c ia $120 000
por una unidad, ¿cu á l se rá el valor de d e se c h o del au to m ó v il a l final de s u vida útil, s i se c alc u la que es de 5 añ o s?
S o lu c ió n
Efe acu e rd o c o n los datos:
C = 120 000, d = 8% = 0.0 8 y t = 5
A l su stitu ir los valores en la fó rm u la y d e sa rro llar las operaciones s e obtiene:
5 = 120 0 0 0 ( 1 - 0 .0 8 ) 5 = 120 0 0 0 (0 .9 2 )5 = 120 0 0 0 (0 .6 5 9 0 ) = 7 9 080
Por tanto, e l valor d e l au to m ó v il a los cin c o años es de $ 7 9 080
2 ••
U n a p izz ería co m p ra u n a m o to c icleta e n $ 4 2 0 0 0 p a ra e l reparto d e s u m ercan cía. Se c a lc u la q u e s u v id a ú til s e rá
de 4 a ñ o s y a l final de e lla s u v a lo r de d e se c h o s e rá d e $ 1 5 0 0 0 , d e te rm in a la ta s a de d e p re c ia c ió n a n u a l de la m o ­
to cicleta.
381
15 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
S o lu c ió n
De acu e rd o co n los datos:
C = 4 2 000, 5 = 15 0 0 0 y / = 4
A l su stitu ir los valores e n la fórm ula y d e sp e ja n d o d, s e obtiene:
1-d =
15 0 0 0 = 4 2 0 0 0 ( 1 -¿Y *
v
'
4 15 0 0 0
V 4 2 000
1 - í / = 0.7730
d = 0.227
d = 2 2.7%
P or consiguiente, la ta s a de dep reciació n e s de 22.7%
3
• • ■ S e ad q u irió u n a m áquina de bordado, cu y o p re c io fu e de $78 6 00. Si s u valor de d e se c h o e s de $ 2 0 60 4 .5 0 y la ta s a
de dep reciació n e s de 20% an u al, c a lc u la la vida útil de la bordadora.
S o lu c ió n
De acu e rd o co n los datos:
C = 7 8 6 0 0 , S = 2 0 604.50 y
¿ = 2 0 % = 0 .2 0
A l su stitu ir en la fórm ula:
S = C (l-rf)'
2 0 6 0 4 .5 = 7 8 6 0 0 ( 1 - 0 .2 0 ) '
Se a p lic a n logaritm os para d esp e ja r /:
_ lo g (2 0 6 0 4 .5 )- l o g ( 7 8 6 0 0 ) _
'_
lo g (0 .8 0 )
P or tanto, la vida útil de la m áquina de bordado es d e 6 años.
EJE IC IC IO 1 6 0
Realiza b s siguientes problem as:
1. L a ta s a de d e p rec ia c ió n de una m áquina e stá c a lc u la d a e n 12% an u al. Si s u c o sto e s de $ 2 0 0 0 00, ¿ cu á l s e rá s u valor
(fe desecho, s i tien e una vida útil de 10 años?
2. E l c o s to de una im presora e s de $ 8 0 0 0 y s e c a lc u la que s u vida ú til e s de 3 añ o s. Si la ta s a de d e p rec ia c ió n e s de
23% , d ete rm in a s u valor de desecho.
3. U n ag ricu lto r c o m p ró un tra c to r c o n valor d e $ 3 0 0 0 0 0 y c a lc u la q u e tien e u n a v id a ú til d e 7 añ o s, a l c a b o de los
cuales s u valor d e d e se c h o e s de $ 4 0 045. ¿C u ál e s la ta s a de dep reciació n d e l trac to r?
4. U n edificio tie n e un c o s to de $ 1 2 0 0 0 0 0 , se le ha e stim a d o un valor de sa lv am en to de $ 2 2 6 432, y una probable vida
útil de 2 0 añ o s. D eterm in a s u ta s a de dep reciació n anual.
5. U n a e sc u e la ad q u irió una cam io n eta e n $ 2 3 0 0 0 0 para e l transporte de m aterial, s i la ta s a de d e p rec ia c ió n an u a l e s
efe 12%, ¿ cu á l s e r á s u valor a l c a b o de 3 añ o s?
6. U n autom óvil tien e un c o sto de $ 9 6 000, una vida útil d e 5 años y un valor de salvam ento de $31 457. D eterm in a la
tasa de dep reciació n an u al.
7. Se ad q u irió una planta de luz cu y o c o s to fu e de $ 2 2 0 000, s e le ha estim ad o un valor de sa lv am en to de $30 2 3 8 ; si
la ta s a de dep reciació n e s de 18% anual, ¿ cu á l e s s u vida útil?
V e rific a t u s re s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rr e s p o n d ie n te
3 8 2
C
a p ít u l o
M
16
a t r ic e s
rthur Cayley, matemático británico. En
1838 ingresó en el Trinity College de
Cambridge, donde estudió matemáti­
cas y fue nombrado profesor de esta disciplina;
permaneció en Cambridge durante el resto de
sus días. Uno de los matemáticos más prolíficos
de la historia, publicó a lo largo de su vida más de novecientos artículos
científicos. Es considerado como uno de los padres del álgebra lineal,
introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades. Con
posterioridad empleó estos resultados para estudiar la geometría analítica
de dimensión n.
A
A rthur Cayley (1821-1895)
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Definición
U na m atriz e s un arreg lo rectangular de núm eros de la form a:
0,2
02, 022
*11
*13
• •
*■/
*23
• •
*2»
*31
*32
* »
• •
* *
*«>
* -2
* « 3
• *
* « .
Los núm eros a ,„ a ¡2, a a,...¿i9 reciben el nom bre de elem entos de la matriz. Para sim plificar la notación, la m atriz se
expresa: A = (a¿). E l prim er sub ín d ice de c a d a ele m en to indica e l renglón, y e l seg u n d o la c o lu m n a de la m atriz donde
se en cu e n tra e l elem ento.
c,
C2
"*m
*12
*13
• • *1»
*21
*22
*23
* • *2»
©
*32
* ffl
.
*»3
• • *«-.
a 31 —> C olum na
•
*3»
«2
*3
|
4
Renglón
*,2
D onde: R „ R 2, R „ so n renglones y C„ C2, . . . , CBso n colum nas.
Ejem plos
S ea la m atriz
D eterm ina: O j , , y
-2
1
6
-3
4
-5
1 6
-4 0
-7
1
a 43
S o lu c ió n
a 2,: e s e l valor que s e e n cu e n tra e n e l renglón 2, c olum na
1, e s decir, a2i = - 3
a ¿ . e s e l valor que s e e n cu e n tra e n e l renglón 2 , c olum na 2 , e s decir, 0^ = 4
e s e l valor que s e e n cu e n tra e n e l renglón 3, c olum na
a tí: e s e l valor que s e e n cu e n tra e n e l renglón 4, c olum na
3, e s decir,
= - 7
3, e s decir, aa = 1
O rd en d e una motriz
E l tam añ o de una m atriz de m renglones y n colum nas se con o ce c o m o o rd en y s e d en o ta p o r m x n.
Ejem plos
O rd e n = 1 x 3
O rd e n = 3 x 1
O rd e n = 2 x 2
3 8 4
O rd e n = 2 x 3
C a p itu lo
16
Matrices
Núm ero d e elementos d e una matriz
En una m atriz de m renglones y n colum nas, e l núm ero de elem entos e s m x n , m veces n elem en to s.
Ejem plos
*n
r * u *«2 ]
L*21 *22 J
[ a u ax2 tf13]
*21
m x n = 1x 3 =3
.*31.
k 1i = 3o
m x n = 3O X
w x« =2 x 2 = 4
3 elem entos
3 elementos
4 elem entos
[*11 *12 *13 1
L*21*22 *23 J
m xn=2x3=
6 elem entos
Tipos d e m atrices
M atriz c u a d ra d a . E s aq u e lla c u y o núm ero de renglones e s ig u al a l núm ero de c olum nas; e s decir, u n a m atriz de n
renglones c o n n colum nas, recibe e l nom bre de m atriz cu a d ra d a de o rd en n.
«11*12 *13
«21 *22 *23
r*„ «12 I
[ *21 «22J
*11
«12
«13
•
«1-
«21
«22
«23
•
«2«
«31
«32
«33
•
«3»
*»■
«„2
«»3
•
*».
.*31 *32 *33.
M atriz cu a d ra d a de o rd e n 3
M atriz c u ad rad a de o rd en 2
M atriz cu a d ra d a de o rd en n
Ejem plos
r 2
" 71
A =
L4 “ J
3
1 0'
2 -1 - 2
1
1
1
M atriz cu a d ra d a de o rd en 2
M atriz cu a d ra d a de o rd e n 3
M atriz ren g ló n . Es aq u ella de o rd e n 1 x n
1
«n
«.2
«.3 « u - «i„
]
Ejem plos
A=[ 1 2 - 1 5 ]
« = [ - 3 7 3 -1
O rd e n = 1 x 4
O rd e n = 1 x 5
M atriz c o lu m n a . Es aqu ella de o rd e n m x 1
«n
*2!
*31
Ejem plos
-1
A =
[-5]
B
O rd e n = 2 x 1
2
7
-5
O rd e n = 4 x 1
3 8 5
ü]
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
M a triz c e ro (m atriz n u la ). E s a q u e lla e n la c u a l todos los elem entos so n c e ro .
Ejem plos
o = [ o o o]
o =
0‘
0
0
0
o =
'0 0 0 '
0 0 0
0 0 0
o =
ro 0
0 0
0 0
M atriz nula de
M atriz nula de
M a triz nula de
M atriz nula de
ord en 1 x 3
ord en 4 x 1
ord en 3
o rd en 3 x 2
la tr iz diagonal. Es aq u e lla m atriz de o rd en ti que tie n e elem entos d istin to s de c e ro e n la d iag o n a l principal, e s decir,
na m atriz c u a d ra d a M = ( m v ) , d o n d e
= 0 siem pre q u e i * j
0
0 0
tn2 0 0
0 "*33 0
0 0 mu
0
0
0
M
0
. 0
0
.
..
..
..
0
0
0
0
0
Ejem plos
A =
B
n
1
0
0'
0
-6
0
0
0
-1
c=
'- 4
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-6
0
0
0
0
1
M atriz id e n tid a d (m atriz u n id a d ). Es a q u e lla m atriz diagonal de o rd en ti, cuyos elem entos d istin to s de c e ro so n 1,
s e de n o ta p o r IH
" 1
0
0
0
0
1
0
0
00
00
10
01
0
0
0
0
... 0
... 0
... 0
....0
0 0 0 0 0 ... 1
Ejem plos
1 0 0
0 10
0 0 1
10]
o ij
M atriz identidad d e ord en 2
M atriz identidad de o rd en 3
M atriz tria n g u la r su p e rio r. E s aqu ella m atriz cu a d ra d a de o rd e n ti, donde los e le m en to s a ^ = 0, p a ra i > j , e s decir,
todos los elem entos d eb ajo de la diagonal principal so n cero.
A =
0
0
0
3 8 6
*12 *13 • • *.„
*22 *23 • *2»
0 *33 • *3,
0
0
• *™
C a p itu lo
16
Matrices
Ejem plos
V a _ o ~1
[í
2 -1 3 '
0 7 5
0 0 1
C =
g
M atriz su p erio r de o rd en 2
M atriz su p erio r de o rd en 3
M atriz tria n g u la r inferior. E s aq u ella m atriz cu ad rad a de orden n , donde a¡j=0 , para t < /', e s decir, todos los elem entos
por a rrib a de la diagonal principal son cero.
A =
« u
0
0
«2.
«22
0
.
.
«3.
«32
«33
•
« -.
«„2
«»3
*
0
0
0
Ejem plos
2 0 0 0
5 7 0 0
9 4 1 0
i - í "i
1 3
M atriz inferior de o rd en 2
6
1
M atriz inferior de o rd en 4
M atriz sim é tric a . Es a q u e lla m atriz cu a d ra d a de o rd en n, ta l que los elem entos
Ejem plos
A= r« n
«>2
11
L «21
«22
J
'
bn ¿>I2 ¿>,3
b2i bn b ^
¿>„ ¿>32 ¿>33
J
C =
5 6 -3 '
6 1
4
-3 4
2
L a m atriz A de o rd en 2,
L a m atriz B de o rd en 3,
L a m atriz C de o rd en 3,
e s sim étrica si:
es sim étrica si:
es sim étrica porque:
6,2 =¿>21
bn = biX
{«.2 = «21
C 12= C 2 != 6
*■13 ^31
^
^23=^32 = 4
M atrices iguales. D os m atrices so n iguales s i tie n e n e l m ism o o rd en y su s elem entos co rresp o n d ien tes so n re sp ec ti­
vam ente iguales.
E je m p lo s
E JE M P L O S
# • D eterm ina s i las m atrices
\j\6
1
5
4
-1
2
-3
-i
0
3
1
y
( - 1 )2
J
1
5
-3
a
0
S o lu c ió n
Las m atrices so n iguales porque so n d e l m ism o ord en y su s elem entos so n iguales:
sf\6
1
5
-1
2
-3
0
3
1
3 8 7
4
=
-i
( - 1 )2
Ja
1
0
5
-3
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2
• • " D e te r m in a e l valor de x , y , w y z , para que:
í"x + y
[ 2 »v
6z
2 x -3 y
T J-1
2 1
J [ 6 - 7J
S o lu c ió n
L as m atrices tie n e n la m ism a dim ensión, a l realizar la igualdad de térm inos s e obtiene e l siguiente sistem a:
x+ y= - 1
6z=2
2»v=6
2 x -3 y= -7
A l reso lv er e l siste m a resulta q u e x = - 2 , y = l , w = 3 y z =
EJE ÍC IC IO 1 6 1
D eterm ina tos va lo re s d e la s in có g n itas, para que la s m atrices sean ig u ales.
II
r—------ 1
en -c
1.
4.
o>
1
0- 1.
•»%
+
1
Ly + i
i]
*+3
*1
5
2 , + l] = 1 6 -
7
3 -* '
x
-4
y
-1
2-y
-1
8
0
2
z + 12
8
2
0
10
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n a s c o rre s p o n d ie n te
M ultiplicación por un e sca la r
S e a A = ( a .) una m atriz de o rd en m x n y A u n núm ero real, e n to n c es XA = ( ^ ) e s decir, si:
0„
A =
<*12
a
13
<hi
022
an
<hi
0*2
os
_oml
Om2
om3
Mi
02.
entonces X A
=
0^ .
E sta nueva m atriz tam b ién recibe e l nom bre de m a triz esc a la r.
3 8 8
X au
Xa, 3
^*21
M 2
M s
•
k
Mi
X an
Xah 1
•
X aln
Xami
X am2
X a mi
• Xa„
C a p itu lo
Matrices
E JE M P L O S
2
l
I
i
-
Si A =
-1
4
6
0
-2
1
3
d ete rm in a 3A.
S o lu c ió n
EJ e sc alar 3 se m ultiplica por c a d a uno de los elem entos d e la m atriz.
3A =
6
Si B =
[6
-3
41
h
-2
ij
'3 ( 2 )
4
0
6
-2
3 (4 )
3 (-0 1
3 (6 )
3 (0 )
3 ( 2)
1
3
3(1)
3 (3 )
6
-3
12 18
0 -6
3
9
.
18
0
-6
3
9
e n cu e n tra i
-1
-3
12
P o r consiguiente, 3A =
2
B.
S o lu c ió n
M J -
----------- 1
El e sc a la r — m ultiplica a c a d a uno de los térm in o s de la m atriz.
Por tanto, - B =
3
-
i
[ 3
- i
1
-
=
1
2
f - i
Sumo
Sean A = (a¡¡) y B = (b¡) dos m atrices de o rd en m x n , la su m a d e A y B está de te rm in a d a por:
A + B = (a¡p + ( b ^
D onde A + B e s la m atriz de o rd en m x n q u e re su lta de su m a r los elem entos correspondientes.
E J E M P L O S ------------------------------------------------------------------------------------------------------ •
-q _
1
• • D eterm in a A + B para las m atrices:
A =
3
6
2
4
-1
0
D eterm ina A + B
3 8 9
yB =
"2
-1
6
-7
4
0
16
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
S o lu c ió n
L as m atrices tie n e n e l m ism o orden, e n e s te c a so , 3 x 2 , entonces la su m a se puede realizar; la d efinición indica que
c a d a térm in o de la p rim era m atriz s e su m a c o n los térm in o s co rrespondientes de la se g u n d a m atriz, e s decir, s e sum an
a n + b u , a l2 + b í2, a , , + b 2 l, . . . , a , , + b M ,
A +B =
P or tanto, A + B =
2
5
5
8
-3
3
0
3
6'
2
4
-1
0
+
2
-1 '
6
-7
4
0
=
3+2
6 + ( —l)
2+6
4 + (-7 )
-1 + 4
0+0
=
5
5
8
-3
3
0
• • ‘ Sean las m atrice s:
- 31
8 j yD = L
6
2 1
r~
>r.
1
6
8 - 7
cc
-2
-2
1
■—
1
5
C =
-7
J
D eterm ina 3C + 2D
S o lu c ió n
Se d ete rm in a c a d a m atriz escalar:
= [3 (5 )
3C =
[_3(—2 )
2D =
~2( l)
3 (-2 )
3 (6 )
3 (-3 )] = M 5
-6
18
-9 ]
3 (8 )
3 (-7 )
3 (8 ) J
24
-2 1
24j
2 (-4 )
2 (6 )
2 (2 )
2 (8 )
2 (1 )
[-6
2 (-5 )l_ f-2
2 (-7 )J
-8
16
-1 0 ]
[ '2 4 2 ~'4J
Las m atrices tie n e n e l m ism o orden, 2 x 4, a l sum ar s e obtiene:
= [-6
t
-S
Z H
¿
1
2:S]-R -28_s -.¿9]
J ¡
F inalm ente, 3 C + 2 0 = [ 13
In v e rs o a d itiv o
E l inverso aditivo de una m atriz A tfc o rd e n m x n e s - A .
SiA =
en to n ces - A = ( - a¡¡), es decir, e l inverso aditivo de una m atriz se obtiene a l m ultiplicar c a d a elem ento
por e l e sc a la r - 1, e n o tras palabras, e l inverso a d itiv o de una m atriz A e s o tra m atriz - A , ta l q u e A + ( - A ) = 0, donde
O e s la m atriz c e ro o nula.
Ejem plo
r-3
-5
yB =
S ÍA = [ 7
-2
2
-1
0'
-4
5
7 , d e te rm in a - A , - B y verifica que A + ( - A ) = 0.
-1 0
1
3
3 9 0
C a p itu lo
16
Matrices
S o lu c ió n
Se obtiene la m atriz inverso aditivo de la m atriz A y B .
l(
A = [ 7
- 2] —
* = H )[
J 2] - * - A =
7
7
-10
1
3
l( 2 )J -2
-4
5
7
-10
1
3
-» -* = (-1 )
51
2j
* -B =
10
1
0'
r1
5
3
.-7
-1 (7 )
2 - 1 0
-4
-1 (-5 )1 _
«n
1
2 - 1 0
3)
-1
-3
Se realiza la o p e rac ió n A + ( - A )
r-3
A +(
—5 l
r
3
5l
- 2 J + L -7
2J = [ 7 -7
-5 + 5 l
ro
0]
—2 + 2 J = |_0
oj
1
~A ) = [ 7
r-3 + 3
0
-2 1
1, —B = 4 -5
L-7 2J
10 -1 -3
-1
j
P o r tanto, - A =
y A + (-A ) = 0
Resta
La d ifere n cia o re s ta de dos m atrices m x n . s e define:
A - B =A + (-B )
D onde - B e s e l inverso ad itivo de B.
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • E n cu e n tra A - B si
S o lu c ió n
Para d ete rm in a r la resta, la se g u n d a m atriz s e m ultiplica por e l e sc a la r - 1, en to n ces la nueva m atriz se su m a c o n la
prim era y q u e d a co m o resultado:
A - B = A + <rM> [ f
V ] - [4
" 2 ] = [ ? V ] + < - '> [ 4
’
P o r consiguiente, A - B =
2
• • Sean las m atrices M =
-3
4
0
1
5
1
ro
^
h
”2]
:
a
11
\
y N =
2
-1
0
-4
0
3
, dete rm in a r 3Af - 2 N .
S o lu c ió n
L a o p e rac ió n 3AÍ - 2 N s e puede e x p resa r c o m o e n 3Af + ( - 2iV), se o btienen las m atrices e scalares y finalm ente se
sum an.
3M =
-9
12
0
3
15
3
391
y
-7 N =
"-4
2
0
8
0
-6
(continúa)
16 C a p í t u l o
Á lgebra
(co n tin u a ció n )
15+ 0
3 -6
'- 1 3
11
14
15
=
—
3+8
12+2
0+0
=
1
0
o
8
2
__
0
'- 4
+
1
-1 3
14
F inalm ente, 3 M - 2 N e s
3
15
3
vo
12
0
o
3'
-9
3 M - 2 N = 3A# + ( - 2 N ) =
1
VO
1
•t-
Entonces,
11
15
-3
• • ' D a d a la siguien te igualdad:
3
\m + 2
_
L !
ni
. 4j
-n i
[1 0
.
=
„
5 j
[3
[m - 2
[
y
8l
„ , d ete rm in a el valor de las incógnitas.
7j
S o lu c ió n
Se realizan las operaciones indicadas.
w]
\m - 2
L
4 j -
l
-n i
7
[1 0
81
J =[ 3
7J
3 -y
•
3 -,
5 j =
r 2m +8
•r,
1
^T
>r
[ 2m + 8 A n l
>
i
—
e
'
3 n -(-n )
[ 3( m + 2 ) - ( m - 2 )
i
[m + 2
L os térm in o s resultantes s e igualan c o n los térm in o s c o rresp o n d ien tes de la m atriz d e l segundo m ie m b ro , y se
obtiene e l siguiente siste m a de ecuaciones:
2m + 8 = 10
4n = 8
3 -y = 3
Al reso lv er e l siste m a se o btienen los siguientes valores: y = 0 , m = 1 y w = 2
EJE LC IC IO 1 6 2
Para las siguientes m atrices, efectú a A +
B, A - B, A - A ,
4 A - 3 B y 2A 4. A =
“
-[?
2. A = [ 2
2
3. A =
1
2
1 M
0
?
i]
1 ],J 3= [ - 6
-7
0
-3
'- 4
2
1
7
3]
[ f l" 7
5
Í
[v-4
1 -c d \
5'
-6
5. A =
7.
+ 2 Í 3
[-v
-3
-3
-6
- 11 „
[ 1 - 6 4
~ [-3
2
7
I
3
2
5
0
3
7 i
En las siguientes igualdades, d eterm ina el valor d e las incógnitas.
6.
2
4
0B
Í
= [ 6
7
Oj
[-1 -7
3 9 2
“"I
5 J
2
0
B =
o l
i
3
2
-5
8
4
3
3
5
2
C a p ítu lo
16
Matrices
nx + \
7. 2
1
5
0
-3
3
l-» v
2
n
y -l
-2
2
4
-
2
8 -n
-5
6
0
~w
1
8.
11
.
—IV
3'
9
12
-7
2v
*
+
z -1
—1
3
4
-2
5
10
10
13
6
-4
V
2
-4
-1
1
=
-4
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
M ultiplicación
S ea A = (a,¡) una m atriz de o rd en m x n, y B = ( b#) una m atriz de o rd e n n x p, la m u ltiplicación A B d a c o m o resultado
la m atriz C = (c#) d e o rd en m x p , ta l que
*# = <*«*■j + a J>v +
+ aj> 4
Para:
i = 1 ,2 , 3, 4,..., m ;
j = 1, 2 ,3 , 4 ,..., n
E l núm ero de colum nas de la m atriz A , e s igual a l núm ero de renglones de la m atriz B.
M atriz A
M atriz B
m xn
nxp
t i___________ _____________ * t
T am año de A B e s m x p
Ejem plos
M a triz A
M a triz B
M a triz A B
2x3
3x4
2x4
1 x2
2x3
1x3
5x4
4x2
5x2
3x1
3x1
N o definida
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • R ealiza la m ultiplicación de las siguientes m atrices:
-g .V E : a
S o lu c ió n
A e s u n a m atriz d e 2 x 2 y B de 2 x 3, p o r tanto, la m u ltiplicación s e puede realizar. A l a p lic a r la d efinición s e procede
tfc la sig u ien te m anera: s e m ultiplica e l prim er renglón por c a d a una de las colum nas de la se g u n d a m atriz.
AB =
3 (—O
2 ( 0 ) + 3(1)
2 (3 ) + 3 ( 5 ) j = j l 3
2 lj
g
Se realiza la m ism a operación co n e l segundo renglón.
2
0
3]
---- 1
4
•—
4
3
5
■—
4
1 -»
2
—
AB =
4 (1 )
5 (3 ) + 4 ( 5 ) ] = [ e 4 3 5 ]
( continúa)
3 9 3
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(co n tin u a ció n )
Finalm ente, se unen los resultados para o b ten e r la m atriz A B ,
AB =
n
3
211
[6
4
35J
Su ord en e s de 2 x 3
2
3
1
0
4
2
-2
1
0
• • D e t e r m i n a / ? 2s i R =
-1
S o lu c ió n
Se tra n s fo rm a R 2 e n R 2 = RR-, e sto e s p o sib le s i R e s u n a m atriz c u a d ra d a y s e pro ced e a re a liz a r las op eracio n es
indicadas e n e l ejem p lo anterior.
R 2=
3
1
-1
2
0
4
2
0
-2
3
1
-1
0
4
-2
1
1
0
3 (3 ) + l ( 0 ) - l ( - 2 )
3(1) + 1 ( 4 ) —1(1)
3 ( —1) + 1 ( 2 ) —1(0)
0 (3 ) + 4 ( 0 ) + 2 ( - 2 )
0 (l)+ 4 (4 ) + 2 (l)
0 ( - l ) + 4 ( 2 ) + 2 (0 )
—2 ( 3 ) + 1 ( 0 ) + 0 ( —2 )
- 2 ( l ) + 1 ( 4 ) + 0 (1 )
11
6
-1 '
-4
18
8
-6
2
4
entonces R 2 =
'1 1
6
-4
18
8
-6
2
4
- 2 ( - 1 ) + 1 ( 2 ) + 0 (0 )
-1
P ro p ied ad es de la s m atrices
Sean las m atrices P , Q , R de o rd en m x n , 0 la m atriz nula de m x n, I la m atriz identidad y r , s escalares, entonces:
P ro p ie d a d e s
1
C o nm utativa d e la sum a
P +Q = Q +P
A so cia tiva d e la sum a
P +( Q + R )= ( P +Q) + R
Id entid ad d e la sum a
p+o =
D istrib u tiva izquierda
r ( P + Q ) = r P+r G
D istrib u tiva derecha
(1
r+s)P=rP+sP
Inverso ad itivo
P +( - P ) = 0
A so cia tiva d e la m u ltip licació n d e e sca la re s
(rs)P = r(sP )
A so cia tiva d e la m u ltip licació n
P(Q R)= (PQ )R
Id en tid ad d e la m ultiplicación
/p=p/=p
D istrib utiva p o r la izq uierda
P [ Q + R ) = PQ + PR
D istrib utiva p o r la d erech a
( Q + R ) P = QP+ RP
3 9 4
0 +P=P
C a p itu lo
16
Matrices
EJE IC IC IO 1 6 3
Para las sig u ien te s m atrices dete rm in a A B , B A , A(B - 2 Q y A (B C \ e n c aso d e se r posible.
1. A = [ s
7 ]y « = [_ ¡]
2. A = [3
0
‘4
-1
1
0
-3
2
2
-1
0
2
1
2
'0
y B =
-1
-2 '
-2
0
-1
-1
-2
0
7. A =
í 5 4 31
l
• < r
0 2
í 1 21
=
i
8. A =
O
1
i
3
-1
i!>
0
—
-2
-------
yB =
4 A = L3 2
0
1
3. A =
-l] y B =
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la se c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n te
1'
2
-1
0
1
1
Determinantes
H determ inante de una m atriz A de o rd en n , e s un núm ero e sc a la r que s e relaciona co n la m atriz, m ediante una regla
de operación. D en o tad a por detA = | A \
S ea l a m a triz d e o rd e n 2
A =
r«ii o\ 1
2
L <*21 22 J
H determ inante de A e stá d a d o por:
y H
= « n *«22—«12 ‘«21
X (+)
Por tanto.
detA = * u °i:
a a r
= «II «22 —«i2 «21
Ejem plo
E valúa e l d eterm inante de la m atriz:
A =
S o lu c ió n
C áda ele m en to de la m atriz se sustituye en la fó rm u la y s e realizan las operaciones.
detA =
4 1
-2 5
Finalmente, e l detA = 2 2
3 9 5
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
S eo la m a triz d e o rd e n 3
au a,2 al3
A =
«21
«22
«23
«31
«32
«33
Se e sc rib e e l d e te rm in a n te de 3 x 3, p a ra reso lv erlo se repiten los d o s p rim ero s ren g lo n es y s e m u ltip lican las
entradas e n diagonal co m o s e indica:
^
(_)
x(-)
d e t( Á ) =
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
* ( - )
Por tanto, e l d eterm inante es:
au
aB +a2l
*«13+ «31 «12 ' « 23) “ («21 « d «33 + « i i «32 «23 + « 3 i ‘«22 ‘ « 13)
*«22 «33 +«21 ‘«32 «13 + « 3 i ' «12 «23 ” «21' «12 ‘«33“ «11 «32 ‘ « 23“ «31 ‘ «22 «13
detA
=
(
detA
=
au
Ejem plo
E l d eterm inante de la m atriz B , es:
B =
2 -1 0
-2 3 4
-5 1 6
S o lu c ió n
Se form a e l siguiente arreglo: se a u m en tan los dos prim eros renglones d e l determ inante, c o m o s e indica, desp u és s e
procede a su stitu ir los térm inos e n la fórm ula y se realizan las operaciones indicadas e n la fórm ula.
Por consiguiente, e l d eterm inante es:
det B = (2 )(3 )(6 ) + ( - 2 ) ( l ) ( 0 ) + ( - 5 ) ( - l ) ( 4 ) - ( - 2 ) ( - l ) ( 6 ) - ( 2 ) ( l ) ( 4 ) - ( - 5 ) ( 3 ) ( 0 )
= 3 6 + 0 + 2 0 - 1 2 - 8 - 0 = 36
En con secu en cia, e l d e tB = 36
Propied ad es
1.
Si se in tercam bian dos renglones de una m atriz A de o rd en n, e l determ inante de la m atriz resultante e s:
detA = - detA
2.
Si so n c e ro todos los elem entos de un renglón o c o lu m n a de una m atriz A de o rd en n, entonces
detA = 0
3.
Si 2 renglones so n iguales de una m atriz A de o rd en n, entonces
detA = 0
4.
Si s e tien e una m atriz A de o rd en n, y a s e a m atriz trian g u lar su p erio r o inferior, entonces
detA = producto d e los elem entos de la diagonal principal
3 9 6
C a p itu lo
16
Matrices
5.
Si un renglón de una m atriz se m ultiplica por un e sc a la r A., entonces
detA = A. detA
6.
Si A y B so n m atrices de o rd en n, entonces
d e tA fl = detA detB
E je m p lo s
E JE M P L O S
• • V erifica la p ropiedad 2 s i A =
“ ■E
°!
S o lu c ió n
Se o bserva que e n uno de los ren g lo n es de la m atriz todos so n ceros, luego se procede a en co n trar e l determ inante de
la m atriz A
v ->
detA =
= (0 (O )-(o )(-3 ) = 0 - 0 = 0
V)
Finalm ente, e l detA = 0, y se v erifica la p ropiedad 2
2
• • ■V erifica la p ropiedad 4 s i A = ^
^j .
S o lu c ió n
Se o bserva que la m atriz es trian g u lar superior, en to n ces e l producto de la d iag o n a l principal es:
(5 )(4 )= 2 0
Luego, s e procede a hallar el d eterm inante de la m atriz A
y - >
detA =
= ( 5 ) ( 4 ) - ( 0 ) ( l ) = 2 0 - 0 = 20
N + )
P o r tanto, detA = ( 5 ) ( 4 ) = 20
Finalm ente, se verifica la propiedad 4
3
• • V erifica que e l detA = 0 s i A =
1 3 2
2 34
1 3 2
S o lu c ió n
(-)
> < ->
detA =
\ ( + )
^ ( + )
*
(+ )
det A = (l) (3 )(2 )+ (2 )( 3 ) (2 )+ ( l)( 3 ) (4 )-( 2 ) (3 ) (2 )-( l)( 3 ) (4 )-( l) (3 )(2 )
=
6
+
12+ 12- 12- 1 2 - 6
=
0
P o r consiguiente.
detA = 0
3 9 7
16
C a p ítu lo
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 1 6 4
Encuentra e l d e te rm in a n te d e las sig u ien te s m atrices:
[2 -3 1
L4
r-2
2. B =
.
5 J
r 0 5 1
[ !0 - 4 J
6 1
1 -7 J
3 -1 8 '
5 6 4
0 4 -3
4. E =
5. D =
- 2 - 5 -1
- 4 -1 - 3
1 0 -6
Vitrifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
M a triz inversa
D ada una m atriz c u a d ra d a P de o rd en n, si existe una m atriz Q tal que:
P Q = Q P = /„
E ntonces, se dice que la m atriz g e s la m atriz inversa de i* y s e d e n o ta P -1, de ta l form a que:
P P l = P lP = I n
Donde:
/„: M atriz identidad de o rd en n
fó ra que ex ista la inversa de la m atriz P e s necesario que la m atriz se a cu ad rad a y e l d e tP ^ O
M é t o d o d e G a u s s jo r d a n
S e u tiliz a la m atriz au m e n tad a , la c u a l s e o b tien e a l uni r la m atriz c u a d ra d a d e o rd e n n co n la m atriz id en tid ad I H;
una vez a u m e n ta d a la m atriz, por m e d io de operaciones elem en tales, s e obtiene o tra m atriz.
>n
P2I
.
P„
Pn
-
Pi, \ 1
0
-
0'
P22
.
...
1
.
•
...
•••
0
.
*
0
...
l_
.
. ..
P2 n \ 0
.. 11 ..
* ! *
P.2
•••
P„ !0
"1 0
~
0
4.1
4.2
-
4 .,
0
1 0
0
0
4 2|
422
•••
42,
0
0
1
4„
4,2
-
4„.
...
Si e n el p roceso alg ú n ele m en to de la diagonal principal es cero, entonces la m atriz no tien e inversa.
E JE M P LO S
g-
1
•••O b té n * -| , s i * = p
_ * J.
S o lu c ió n
Se au m e n ta la m atriz y se efec tú a n las op eracio n es indicadas:
1 0'
0
¡ 3
! -1
-3 ! 0
1* .
“1
I
>
'I b *
1
1 ii 1 0 I2RX—
Jfj-4^2
L
! 3
1
i! 7
7
-7 ¡ - i
2
1
0
0
3 9 8
-
1 -3 ! o
0
-7
-i
. 3
1 o !
i7
ii•
1
0 i ¡
i7
rp,-SKi-K,
C a p itu lo
Matrices
P o r tanto, R _l =
3
1 '
7
7
1
_2
.7
2
7.
1
2
-1
• • D eterm in a B~l s i B = 2
1
0
4
-2
3
S o lu c ió n
F inalm ente, B ~ 1=
1
2
-1
2
1
0
4
-2
3
0
0'
"l
2
-1
1
0
0'
io
1
0
0
3
-2
2
-1
0
lo
0
1 2
4
-2
3
0
0
1
!
1
1
2
-1
1
0
0
1
2
-1 ! 1
0
0'
0
3
-2
2
-1
0
0
3
-2 i2
-1
0
0
10
-7
4
0
-1
0
0
1
-10
3
1
2
-1 ! i
-
! 1
1
0
0
3
0 i 18
-2 1
0
0
1
-1 0
8
0'
3
1
2
0
9
-1 0
3
0
1
0
6
-7
2
0
0
1
8
-1 0
3
-3
4
-1
6 - 7
2
8
3
-10
1
1r, - r,
~
2R~~tR¡
2
0
1
0
0
0
1 :8
i
¡ 8
0
0
-7
2
-1 0
4
1
0
0
-3
4
-i
0
1
0
6
-7
2
0
0
-1 0
3
1
8
-1R;+2R,-R,
EJE ÍC IC IO 1 6 5
D eterm ina la m atriz inversa d e la s sig u ie n te s m atrices:
n
a l
2. B =
-2j
r-i
oí
L 5
2j
5. E =
_ l'
3
ll
O
1-2
1
2
2
r-’
4. D =
1. A =
1
2
1
-1
-1
1
2
1
2
-1
5
4
3
2
1
0
'- 4
-2
0
-2
-1
-2
6
8. H =
2
C=
0
1 -1
0
-3
6. F =
[ - 3
2 ]
-1
2
9.
J =
1
2
5
2
-1
1
-2
2 - 3
-3
0 - 3
Q
3
1 0 '
-1 3
4
3.
f
V e rific a t u s re s u lta d o s e n la s a c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n te
3 9 9
1 - 2
16
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Inversa de una m atriz p a ra resolver sistem as de ecuacio nes
Sea e l sistema:
allx l + a lIx 2+ ...+ a ls m= cl
a2íx t + a 22x 2 + ...+ a2llx l,= c 2
« » .* .+ « . 2 * 2 +•••+«-■*,=«,.
Si e l sistem a se expresa en forma matricial se obtiene:
^11
«.2
«.3
• « 1» "
V
«i
« 2.
«22
«23
• « 2«
x2
«2
«31
«32
«33
• «3»
x3
«-1
«<"2
««3
• «»,.
y .
=
«3
Sea
A =
«11
«12
«13
• «U
*1
«i
«21
«22
«23
• « 2,
x2
«2
«31
«32
«33
• «3, , x =
_««.
«-2
«»3
• «-».
y c=
*
C?
x*.
Entonces:
AX =C
Si existe A -1, s e multiplican por A ~ xa ambos miembros de la igualdad
Se obtiene: A~lA X = A~XC , pero A A ~ X= I entonces, I X = A~*C. —> X = A ~ XC.
Esta última expresión resuelve el sistem a de ecuaciones.
s o |d u i 3 ¡ 3
E JE M P LO S
1
- 3y = 7
• • Resuelve e l siguiente sistem a: i t + 4 y _ _ 2 ‘
S o lu c ió n
c=
X =
Se definen las matrices A , X y C , entonces: A =
- P
í]
BI
Luego, s e obtiene la matriz inversa A
1
-3
1
°1
4
o
> L
o i -i
¡ 11
—
n
=*
l?
4
0
-3
1
i
o
o
i
11
o ii: —
i 2
4 0 0
4
11
° 1
°
^
-f c
4_
y
11
11
J_
2_
11
11.
11
’l
C a p itu lo
16
Matrices
P o r consiguiente, A ~ l =
4
3
11
1
11
2
11
11
Finalm ente, p a ra h allar los valores de las incógnitas se ap lic a la expresión: X = A ~ l C
E ntonces:
4
X =
2 '
íi
11
_
n (7 )+ n (_2)
2 P l-
1
. 11
[-J
-> X =
- n ( 7 ) +n ( - 2 )
11.
Por tanto, las so lu cio n es d e l siste m a son:
x = 2 ,y = - \
x+ y-2 z= -4
2
••■ R e s u e lv e e l siguiente sistem a:
2 x -y-z= \
3 x -2 y + z= 7
S o lu c ió n
1
-2
2
-1
-1
3
-2
1
1
Se definen las m atrices A , X y C, entonces: A =
-4 '
x
,x =
y
1
y C =
7 _
zm
Se obtiene la m atriz A~'
1
1
2
-1
3
-2
-2
1
0
o'
-1
0
1
0
1 0
0
1
'
1
1
-2
0
1
-1
0 - 5
1
2
-
—
3
-3
7
1
0
0
0
-3
1
0„
1
0
-3
3 -2
1 0
-5
7 -3
0
1
0
-1
0
1
-1
0
0
2
1
-
—
o
o’
0
o
1
0
1
-
0
3
0
-
-2K,
-1
1 -1
0
0
1 -2
1
o
o
0
1 o
0
0
-
1
0
-
—
0
-
—
1
2
2
1
P o r tanto, A ' =
(continúa)
401
16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(co n tin u a ció n )
Finalm ente, para hallar los valores de la s incógnitas se a p lic a la expresión:
X = A lC
E ntonces:
1
f
2
2
2
5
_ 7
6
6
5
2
1
.6
6
2
1
x
X =
y
z
=
_
1
-4
1
1
=
-1
2
7
1
.
P or tanto, las soluciones d e l siste m a so n : x = \ , y = - \ y z = 2
EJE ÍC IC IO 1 6 6
R esu elve b s sig u ien tes sistem as d e e cu acio n es p o r e l m étodo d e la inversa d e una m atriz.
1.
2.
3.
£ }
í A x - y =22
[ 3x+ 5y = 5
4.
a - 2 b + c = \2
2 a + b -c = 3
a - b + 3c = \3
2 x -y+ 3 z = 5
7m+9w = -10
5.
I n - 'i m =16
x + 4 y + z = 12
3 x - 5 y - 2 Z= 7
6 a + 7 b = -A
6.
a - 2 b = 31
V arífica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
4 0 2
\x + 2 y -z = \
< 3 * + y + 2 z = -2
[x-y+ Az = -6
C a p ít u lo 1 7
Ra íc e s
de u n p o lin o m io
N iccolo Fontana-Tartaglia (1 5 0 0 -1 5 5 7 )
oció en Brescia y murió en Venecia. Su
verdadero nombre era Fontana, pero
fue apodado Tartaglia por su tartamu­
dez, causada por una cuchillada asestada por
un soldado francés, que le derivó secuelas en el
habla. Fue el primero en idear un procedimiento general de resolución de
ecuaciones de tercer grado, manteniendo en secreto sus métodos. Cardano
le engañó bajo la promesa de mantener en secreto estos métodos pero,
faltando a su honor, los publicó. En 1 5 3 7 publicó su primer libro sobre
teoría balística.
N ic c o lo F o n ta n a -T a r ta g lia
(1500-1557)
1
7
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
Teorem a del factor y del residuo
Sea el polinomio/(*)= a
bx+ces
a)
b ) b x +c
-7
b
^
+...+ a0
factor de /(*) si /
j
noes factor de/(*) si/
ybx + c r n
binomio, entonces.*
=0
j = k , con k * 0, donde k es el residuodel cociente de/(*) con b x + c , asimismo.
resulta de resolver la ecuación b x + c = 0
E JE M P LO S
1
# • D em uestra que 3* - 1 es factor d el polinomio / ( * ) = 3** + 2x* - 19* + 6.
Í.
S o lu ció n
u
E l binom io 3* - 1 , se iguala con cero y s e despeja x
3 * -l= 0
-+
*= i
Este resultado de la ecuación se evalúa e n /(* ):
Como el resultado d e
2 ••
j = 0 ’ entonces se concluye que 3 a: — 1, si e s factor d el polinomio.
O btén e l residuo de dividir 4** -
1l*2- x + 14 entre x -
3.
S o lu ció n
Al aplicar el teorem a del residuo, se iguala con c e ro * - 3 y el resultado del despeje s e sustituye en el polinomio/( * ) =
4 a3 - 1 1 * * - * + 14
/( 3 ) = 4(3 )3- 11(3 )2 - (3 ) + 14 = 20
Por tanto e l residuo de la división e s
Identifica cuál de las siguientes expresiones 5* + 1, * - 4 y *+ 4, son factores del polinom io/;*) = 10x3+ 57.x2 + 71* + 12.
S o lu ció n
L as expresiones 5* + 1, * - 4 y * + 4, s e igualan con cero y s e despeja a * , para luego evaluar los valores obtenidos
en /(* ):
n - s j = ioi
/ i V ( i\
j) « . y .
1
\3
+
3 ••
20
/ ( 4 ) = 1 0 (4 )3 + 5 7 ( 4 )2 + 7 1 ( 4 ) + 1 2 = 1848,
/"(—4 ) = 1 0 (—4
por tanto* - 4 , no es fector
)3 + 5 7 ( —4 )2 + 7 1 ( - 4 ) + 12 = 0 ,
4 0 4
por tanto*+ 4 , si es factor
C a p ítu lo
17
Raíces d e un polinomio
4
•••D e te rm in a e l valor de k , ta l q u e /(*) = 3k x i + (4k + 5 ) * ? - \ 9 x -
12, sea divisible por: x + 3.
Solución
Para q u e f ( x ) s e a divisible por x + 3, se debe de cum plir q u e/ ( - 3 ) = 0, entonces:
/ ( - 3 ) = 3 * (-3 )3+ (4 k + 5 )(-3 )2- 19 (-3 ) - 1 2 = 0
Se resuelve la ecuación para k:
- 4 5 k + 90 = 0
->
k= 2
Por tanto, e l valor de k = 2 y e l polinomio queda expresado como:
f(x ) =
6*3+
5 • • -Determina los valores d e k , tales q u e /( * ) = kx* - (A2-
13r2 - 19* -1 2
2)x2 -
(A+ 3)2x - 20, se a divisible
por: 3* + 2 .
Solución
fó ra que e l polinomio sea divisible por 3x + 2 , s e debe cum plir que
j = 0» entonces:
Al desarrollar la expresión se obtiene la ecuación de segundo grado:
3A2 + 5 0 k - 177 = 0
59
Cuyas soluciones para A, son los valores, 3 y — —, entonces los polinomios son:
f ( x ) = 3 a?- 7 r2 - 3 6 * - 2 0 y f ( x ) = - ^ [ l 7 7 *3+ 3463x2 + 2500a: + 1 8 0 ]
Raíces
+ ...+ a, a:1 + a„ el núm ero d e raíces o c e ro s corresponde a l g rad o n d el
Ebdo e l polinom io f ( x ) = aRx f +
polinomio y son aquellos valores que cum plen la condición f(x„ )= 0, éstos pueden se r reales, com plejos o am bos, de
acuerdo a las características propias d el polinomio.
EJEMPLOS--------------------------------------------------------- 1
Lu
• • Demuestra que -
2, 1 y
3 son raíces d el polinom io/C r) =*3- 2 *2 - 5 * +
6.
Solución
Se sustituyen los valores -
2,
1 y 3 en e l polinomio:
/ ( - 2 ) = ( - 2 )3- 2 ( - 2 )2 - 5 ( - 2 ) +
/ ( l ) = ( l j J - 2 ( l ) 2- 5 ( l ) +
6=
6=
-
8 -8
l -2 -5 +
+ 10+6 = 0
6=
0
/ ( 3 ) = ( 3 f - 2 (3 )2 - 5 ( 3 ) + 6 = 2 7 - 1 8 - 1 5 + 6 = 0
Todos los residuos so n iguales a
0, por consiguiente, s e dem uestra que estos
nomio.
4 0 5
valores son raíces o ceros d el poli­
1
7
C a p it u l o
ÁLGEBRA
2 ••■ Prueba que -
i, i y
^
son las raíces d el polinomio f ( x ) = 3x 3-
x2+ 3x - 1.
S o lu ció n
Los valores - i, i y - son sustituidos en e l polinomio
/ ( - i ) = 3<-i)3- ( - O 2 + 3 (- i) - 1 = 3 ( - í3) - (i2) - 3i - 1 = - 3Í3- i2- 3 / - 1
= -3 (-i)-(-l)-3 i-l
= 3 /+ 1 - 3 Í - 1
=0
/(O = 3 (/)3- ( i )2 + 3(/) - 1 = 3 ( /3) - (í2) + 3/ - 1 = 3i3- i2 + 3/ - 1
= 3 ( - i) - ( - 1) + 3 i - 1
= - 3/ + 1+ 3 / - 1
=0
H
*
- -
Por tanto, se prueba que - i, t y - son las raíces d el polinomio.
3 ••
D eterm ina cuáles de los siguientes números 4, 1,
- 20.
1 + i y -1
- 2i son c e ro s d el polinom io /(*) =
+ 5x*+7x*+7x
S o lu ció n
Se sustituye uno a uno los números en e l polinomio, esto con e l fin de sab er cuáles son raíces d el mismo.
/ ( 4 ) = (4 )4+ 5<4)3+ 7 (4 )2+ 7(4) - 20 = 696
/( 1 ) = (1 )4+ 5<1)3+ 7 (1 )2+ 7(1) - 2 0 = 0
/ ( l + i ) = ( l + i)4+ 5 ( l + i)3+ 7 ( l + i )2+ 7(1 + i) - 20 = -2 7 + 3 li
/ ( - 1 - 2 i) = ( - 1 - 2i )4+ 5 ( - l - 2i )3+ 7 ( - l - 2i )2 + 7 ( - l - 2i) - 20 = 0
Por consiguiente, los valores 1 y - 1 - 2 i son los únicos que son raíces d el polinomio.
Si las raíces de un polinomio so n x v x 2, x y . .., x Ñentonces e l polinomio se puede expresar de la siguiente forma:
f(x ) = ( x -
- A*)(r - x j . . .( x - * ,)
Ejemplos
EJEMPLOS
• • D eterm ina e l polinomio cuyas raíces son los números - 3,
0 y 4.
S o lu ció n
Dado que existen tres raíces, e l polinomio a obtener es:
/(* ) = ( r -( -3 ) X * -0 X * -( 4 ) )
/(* ) = <* + 3X*X*-4),
Se desarrolla e l producto de los binomios y finalmente e l polinomio es:
f(x) = x i - x 2- \ 2 x
4 0 6
C a p ítu lo
17
Raíces d e un polinomio
2 ••
Determina e l polinomio de tercer grado con ceros en -
1,
1
35
2
8
- y /(- 2 ) =- — .
Solución
Dado que e l polinomio es de tercer grado, se representa como:
/(* ) = ( x -
Y s e sabe q u e / ( - 2 ) = - ^
- x j i x - *,)
8
entonces:
/•(-2 )= (-2 + l) ( - 2 - i) ( - 2 - x ,)
->
= (-l)(-f)(-2 -^ )
Al resolver para x¡, se obtiene que:
1
Por tanto, e l polinomio que cum ple las condiciones establecidas es:
/w=(*+,)H )HH+
3
• • O btén e l polinomio de tercer grado si se sabe que sus raíces son: -
1 - 1, - 1 + * y
5.
Solución
El polinomio se representa de la forma:
/ ( * ) = ( i - ( - 1 - í ) ) ( a t - ( - 1 + í ) ) ( j : - 5 ) = (jr + l + ;) ( j r + l - ¿ ) ( j r - 5 )
A l desarrollar e l producto se obtiene:
f(x ) = x s - 3 x l - & x - \ 0
4 ••
E ncuentra e l polinomio de cuarto grado si se sabe que su s raíces son: 2 i, - 3, y adem ás / ( -
1) = -5 0
y /(O ) = - 48.
S olución
Al tratarse de un polinomio de cuarto grado se representa como:
f ( x ) = ( x - * ,)(* - JjX * - Xy)(x - x j
/ ( * ) = ( x - 2 i ) ( x + $ ) ( x - x 3) ( x - x 4)
f t r o se sabe q u e / ( - 1) = -5 0 , entonces:
/ ( - ! ) = (-1 - 2 i)(—1 + 3)(—1 - X j ) ( - 1 - r 4)
-»
- 5 0 = ( - 1 - 2 i ) ( 2 ) ( - l -JC ,)(-1 - * ,)
También s e cumple q u e/(O ) = - 4 8 , por tanto:
/ ( 0 ) = ( 0 - 2 / ) ( 0 + 3 ) ( 0 - j r , ) ( 0 - x 4)
4 0 7
->
- 4 8 = ( - 2 j) ( 3 ) ( - jr s) ( - * 4)
1
7
C a p ít u l o
Á lgebra
Donde se genera e l siguiente sistema:
8
*3 *4 = T
I
* 3+^4 + *,*4 =
2 4 -2 /
1+ 2/
El cual tiene com o soluciones *3= 4 y *4= - 2/, por lo que e l polinomio queda definido como:
/( * ) = ( x - 2 /) ( * + 3 ) ( x - 4 )(* + 2 /)
f ( x ) = Ai* - Jt3 -
-+
8a2 - 4r -
48
C á lcu lo d e la s raíces por división sintética
fó ra encontrar las raíces de un polinomio se em plea la división sintética, a sí com o los diversos métodos de facto ri­
zación y resolución de ecuaciones, adem ás de hacer uso de la regla de los signos d e Descartes.
Regla d e b s signos d e Descartes
Esta regla nos permite determinar e l tipo de raíz posible para un polinomio (positiva, negativa o compleja)
Sea e l polinomio f { x ) = aHx H+ « V i *'*’1+ ...+ a, x ' + üo, entonces sucede que:
© E l número de raíces positivas es igual o menor en dos a l número de cambios de signo d el polinomio.
© E l número de raíces negaivas es igual o menor en dos a l número de cam bios de signo de la evaluación f ( - x ) .
© E l número de raíces complejas depende del número de raíces positivas o negativas que tenga e l polinomio. Si
el polinomio con coeficientes reales tiene una raíz com pleja entonces tam bién tiene com o raíz su conjugado.
E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------------------- •
"o_
LU
1
• • Dado e l polinomio f ( x ) = x} - 2 x r - l \ x +
12, determ ina sus raíces.
S o lu ció n
Si se aplica la regla de Descartes se observa que:
1.
Existen dos cambios de signos e n /(* ), en consecuencia e l polinomio tiene dos posibles o ninguna raíz positiva
f(¿ )= + x i - 2 x ¡ - n x + \ 2
2.
Se evalúa /( - * ) , para determinar las posibles raíces negativas
f ( - x ) = - x 3- 2 x ‘ + 11* + 12
w
Se observa que sólo hay un cam bio d e signo, por tanto existe una posible raíz negativa.
De acuerdo con la regla de los signos de Descartes las posibles combinaciones de raíces son:
Raíces positivas
2
0
R aíces negativas
1
1
Raíces com plejas
0
2
4 0 8
C a p ítu lo
17
Raíces d e un polinomio
Se factoriza e l polinomio mediante e l uso de la división sintética, como a continuación se ilustra,
que el coeficiente de x 3 es 1, se tom an únicamente los divisores de
12 =
Divisores de
12
{ ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 4, ± 6, ±
12 }
Éstos son los posibles valores para los cuales el valor del residuo de la división sintética puede ser cero.
Se ordenan los coeficientes d el polinomio y, con los valores anteriores, s e efectúan las operaciones siguientes:
1
1
-2
1
-1
4
1
3
-1 1
-1
-1 2
12
0
12
-12
0
-3
-3
1
0
Finalmente, las raíces d el polinomio son: x , = 1, x 2 = 4 y x i = - 3
2
# • 1Dado e l polinomio /( * ) = x 5+ 3x 4-
2x* - 10*2-
12*, determ ina sus raíces.
S olución
Este polinomio carece de térm ino independiente, entonces una de las raíces es cero y mediante una factorización el
polinomio s e expresa como:
/(* )= x p ( * ) = x ( y + 3x 3- 2 * 2 -
10*
-
12 )
Se aplica la regla de Descartes a l polinomio p ( x ) para determinar e l número de posibles raíces:
1.
Existe un cam bio de signo en p(x), en consecuencia e l polinomio tiene una o ninguna posible raíz positiva
p ( x ) = ¿ + 3x 3- 2 * 2 - 1 0 r -
12
w
2.
Se evalúa e l polinomio p ( - *), para determ inar las posibles raíces negativas
p (-x) = + *
- 3 * ?- 2 x ?+ 1 0 * - 12
Se observa que hay tres cambios de signo, por tanto existen tres, una o ninguna posibles raíces negativas.
De acuerdo con la regla de Descartes las combinaciones posibles de raíces son:
R aíces positivas
1
1
R aíces negativas
3
Raíces com plejas
0
Raíz cero
1
1
1
2
1
0
0
4
C on e l método de división sintética se factoriza e l polinomio p (x )
1
3
2
1
1
5
-2
10
8
-3
-6
2
2
-10
16
6
-6
0
-12
12
0
o
-3
Se observa que no existe ningún divisor d e 2 que d é com o residuo cero en la división sintética, por tanto las dos
raíces restantes son complejas y conjugadas. H asta este momento la factorización d el p olinom io/(*)es:
f ( x ) = x ( x - 2 ) { x + Z ) ( x '* 2 x + 2)
( continúa)
4 0 9
1
7
C a p ít u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Se iguala a cero e l polinomio X1+ 2 x + 2 y se obtienen las raíces restantes:
- 2 ± / ( 2 )J —4 (1 )(2 )
*=
-2
-2 ± V 4 ^ 8
Iffl
=^
—
± 7 = 4 - 2 ± 2i
=^
—
=^
- =- , ± '
Por tanto, las raíces d el polinomio f ( x ) son:
X\ =
3 ••
0, x 2= 2, x 3 = -
D eterm ina las raíces d el polinomio /(*) = 36*
3,
=-
1 + / , x s = — 1-
i
+ 24** + 13*2 + 6* + 1.
S o lu ció n
E l polinomio se expresa de la siguiente manera:
/ ( * ) = 3 6 * + 2 4 * , + 4x 2 + 9*2 + 6jt + 1
Se agrupan los términos
/ ( * ) = ( 3 6 ^ + 24X3 + 4 X 2) + ( 9 ¿ + 6 x + 1)
El fector com ún da:
f(x )= 4 x 2(9x2+ 6 x + 1 )+ \ (9 x ¡ + 6 x + 1 ) = (4 * * + 1) ( 9x* + 6 x + 1)
Para hallar las raíces d e f(x ), se iguala a cero e l polinomio, entonces
(4 * 2 + l ) ( 9
*2 + 6* + 1) = 0
4 r 2 + 1 = 0 ; 9a:2 + 6jc + 1 = 0
x‘=
4
/
;
X=±2'
( 3 * + l )2 = 0
1
* ="3
se dice que existe multiplicidad cuando una raíz se repite dos o más veces, com o en este caso, por tanto las raíces del
polinomio son:
- i
- i
_ - i
*i - 2 ,X ¡~ ~ 2 ’ X}~X*~ ~ 3
E JE R C IC IO 1 6 7
•
Indica cu áles d e b s sig uientes binom ios so n factores d e l polinom io propuesto:
10; x - X x - 1,AT- 5
:
1. f ( x ) = x3- 4x2- 7 * +
;
2 . g(x) = 2xi + x2- 7 x - & , 2 x + 3 ,x + 2 ,x + 1
j
3 . p ( * ) = 3 * 4- 8 * ’ - 8
'
4 . f ( x ) = x * - ¿ + l x 2- 9 x - 1 8 ;* + 1, * + 3 / , * -
!
5 . A ( * ) = y + 20 *2 + 6 4 ; * + i , * - i , * + 2 i , * - 2 i
1
6 . m (x) = x s +6Xt + 2 3 * * + 3 4 * * + 2 6 * ; * + 6 , * , * + 1 - i , x - 1 + i , * + 2 + 3 i
•
*2 + 3 2 * - 1 6 ; 3 x - 2 , * + 2 , * - 2
2/, * + 2 /
4 1 0
C a p ítu lo
Raíces d e un polinomio
Determ ina e l residuo q u e se obtiene al divid ir e l polinom io p o r los binom ios d a d o s:
7. C*3+ 13a? + 14* -
8.
88) + ( x + 2)
( 2xi + 5 x i - x - 6 ) + (2 x + 1)
9. ( 6*^ + 3 7 ^ + 3 2 * - 1 5 ) + ( 2 x - 3 )
10.
(¿l + 2 r 3- 7 * 2- 8 . r + 1 2 ) + ( * + l )
11. (5*4 - 2 6 * 3 + 15*2 + 3 & r - 8 ) + (A: + 2)
12. ( j ? - 3x 4- 5*3+ 15a:2 + 4 * - 12) + (* + 3)
Determ ina tos valo res d e lepara que e l polinom io:
13. f ( x ) = ¿ - k x 2 - ( 5 k + l) x + 12,se a divisible p o r . r - 4
14. /( * ) = 2x3+ (2* + l) * z- ( * l + l ) x - 2 4 , sea divisible p o r 2* + 3
15. f ( x ) = jfcr3- (k 2 - l )*2 + (7* + 5 ) x -
12, sea divisible
por 3x - 1
16. /( * ) =(2Jc2 - 2 ) j ? - ( 5 * - l)*2 - (3/r2—4 k + 3 ) x - 6 , s e a divisible por 5 x + 1
17. f ( x ) = k x * - 2 k x l - (4 k 2 - 3 )x2 + ( k - 2 ) x + 15, se a d iv is ib le por * + 3
Indica si tos valo res propuestos son raíces d e tos polinom ios:
18. /( * ) = * * - 1 2 ^ + 4 7 * - 6 0 ; x = 3 , x = 4 , x = 5
19. /( * ) = 2 ^ + 3 ^ + 18* + 27; x = 3 i , x = - 3 i , x =
20. / ( a:) = ^ + 1 0 ^ + 2 7 ^ + 18; * = 1, at = - 2 , * = - 9
Determ ina cu áles d e tos valo res propuestos son raíces d e tos polinom ios:
21 .
f(x ) = 2 ¿ - 13^ + 7 * +
22;
*= y
2 2 . / ( * ) = 5a3 - 17*2 + 1 3 r + 15;
jc =
jc = - 2, jc =
-1
2 + / , jc = - 2 - i , * =
23. /( x ) = 6x3+ 5jt2 - 19a: — 10; x = - \ , x = |
*=
24. / ( a ) = a - 4 a 3+ 7a2 - 16a + 12; x = - 3 , x = - \ , x = 2 i , x = - 2 i
25. /( a ) = 25 a 4 - 100a3- 19a2 + 8 2 * - 2 4 ; x = 4 , x = \ , x ^ * = - |
Encuentra e l polinom io cuyas raíces son:
26. x = - 5 , x = 0, x = 1
27. x = 3 , x = - 3 , x = - 4
28. * = - x = 4/, x = —4/
29. , = ? f , = ^ = f
30. a = 4, a = - 5 , a = 3 -
2i, x
= 3 + 2i
31. x = i, x = - i , x = — x = Encuentra el polinom io q u e cum pla co n las siguientes características:
32. Polinomio de tercer grado, con raíz en - , / ( l ) = 10, / ( - 1 ) = - 4
33. Polinomio de tercer grado con raíz en 1 ,/(1 ) = 0 , /( 0 ) = 1
34. Polinom io que sea de cuarto grado, con raíces, - 1 , i y - i , adem ás /( 3 ) = 40
35. Polinomio de cuarto grado con raíces en - 3 , multiplicidad 2 en raíz
36. Polinom io que sea de cuarto grado, multiplicidad 3 en la raíz
1y f(0 ) = -3
2 y f { - \ ) = -2 7
37. Polinomio de quinto grado con raíces 1, - 1 y / ( - 2 ) = 0, / ( 0) = - 2 , f { 2 ) = 60
411
17
1
7
C a p ít u l o
Á lgebra
Determ ina las raíces d e b s siguientes p o lin o m b s:
3 8 . f ( x ) = x3 - 5x2- x + 5
3 9 . m = x i - 12 ^ + 4 7 ^ - 6 0
4 0 . f ( x ) = 15X 3 - 5 2 r - 3 Q r +
8
4 1 . / ( * ) = 2 * 3 + 1 3 * 2 + 3 0 * + 25
4 2 . / ( * ) =x* -
6x3-
13*2 + 4 2 *
4 3 . / ( * ) = x* - * * + lO *2- 1 6 * - 96
4 4 . / C * ) = 6jc4 + * 3- 2 a * :2- 4 2 r - 2 0
4 5 . / ( * ) = 2 ^ + 13x4 + 19** + jc2+ 1 7 at- 12
V# rifle a tu s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te
4 1 2
Solución a los ejercicios
Á lG E B R A
Eje r c ic io 6
l . J u f i » { - 3 , - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2 ,4 ,6 }
Eje r c ic io 1
1 .8
4 .®
7. e
10. 8
2 .8
5 .e
8 .8
1 1 .8
3. e
6 .e
9. e
12. 8
Eje r c ic io 2
1 . R = { i e W | x e s d i v is o r d e 1 0 }
2 .A =
{ 2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 ,8 ,9 }
3 .S = { 4 }
2. A r B m
xe N
4.
C=
{
5.
V=
{ - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2 }
{2 }
| x e s d iv is o r d e 2 0 }
6 . ( 3 = { e ,o ,u }
7 . 7 -= { 2 , 3 , 4 , 5 }
8
S=
10.
{ 2 ,3 ,7 }
{ xe
9. t/=
M=
N
| a re s u n m ú lt ip l o d e 4 }
{ 2 ,1 0 ,5 0 }
Eje r c ic io 3
3 . A ' m { 3 ,4 ,5 ,6 , 7 }
6. «(r) -1
1 .n (4 ) -8
2 .n (f l) - l
7 .n (M ) -0
3 .« (s )-4
8. n(¿)-4
4 .n (tf) - 0
9 "M -~
10.n(o)-12
5 . „ (< ? ) —
Eje r c ic io 4
4. fl' n { - 3, - 2, - 1 , 0 , 1 , 3 , 5 , 7 }
1. Ig u a le s
2 . E q u i v a le n t e s y d is ju n to s
3 . D is ju n to s
4 . D is ju n to s
5 . E q u iv a le n te s
6 . E q u iv a le n te s y d is ju n to s
7 . E q u iv a le n te s y d is ju n to s
8 . D is ju n to s
9 . D is ju n to s
10. I g u a le s
5 . 4 - B » { - 3 ,- 2 , - 1 ,0 ,1 }
Eje r c ic io 5
1. 8 s u b c o n ju n t o s
2 . 3 2 s u b c o n ju n t o s
3 . 1 6 s u b c o n ju n t o s
f ) \ a'
{ c , e ) , { c f } , { e , f ) , { a , c >e ) , { a , c , f } , { a , e , f ) ,
{ { ) • { * ) • { * )-{ * !•{
5.
{
c .e .f)
.{
a ,c ,€ ,f)
{ { } . { '} . M . { 3 } . { ‘ } . M
6.
6 B - A =
}
.{ U } .{ W
} .
{ 2 ,3 ¡ ,{ 2 ,6 } ,{ 3 .6 ¡ ,{ 1 ,2 ,3 j ,{ 1 ,2 ,6 } ,{ 1 ,3 ,6 } ,
{ 2 .3 .6 } .{ U 3 .6 } }
’ { { } - { '} - { 3 } .{ » } .{ > . 3 } . { W } . { 3 .» } .{ . .3 , » } }
8 { { } •{ 5 ) { 6 } . { 7 } . { 5 . 6 } . { 5 . 7 } .{ 6 , 7 } .{ 5 .6 .7 } }
4 1 4
{ 4 ,6 }
Solucióna losejercicios
Eje r c ic io 7
Eje r c ic io 8
i.
1 . ¿ u S - { 0 ,1 .2 , 3 ,4 , 6 ,8 , 1 2 1
2 . f l u C « { 0 4 . 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 1 2 }
3 . C u D « { 0 4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
4.
D uB-
{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,1 2 1
5 . - 4 n i ? - { 2 ,4 ,6 }
6. A n
D » { 4 ,6 }
2.
I . C r E « {0 4 ,2 ,3 ,4 ,5 J
8.
B rC
9 .A
- { U , 5 , 7 ,9 , 1 0 4 1 4 2 ,1 3 , 1 4 ,1 5 4 6 , 1 7 ,1 8
10.
B1-
™{ 1 ,2 ,3 ,4 }
)
{ 0 .5 ,7 ,8 ,9 4 0 ,1 1 ,1 3 ,1 4 ,1 5 4 6 ,1 7 ,1 8 }
I I . C - { 6 , 7 ,8 .9 ,1 0 4 1 4 2 ,1 3 ,1 4 ,1 5 .1 6 .1 7 ,1 8 }
U
12.
- { 0 4 , 2 ,7 , 8 ,9 , 1 0 4 1 4 2 ,1 3 , 1 4 ,1 5 4 6 , 1 7 ,1 8 }
W .A - B
■ { 0 ,8 }
3.
1 4 .C - £ > - { 0 4 ,2 ¡
15.
E - A " {0 ,5 ,7 ,8 ,9 }
16. B
-A m { \¿ , 12}
1 7 . ^ n i ? - { 1 ,3 ,1 2 }
18. A u
B1-
{ 0 , 2 ,4 , 5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 3 ,1 4 ,1 5 4 6 ,1 7 ,1 8 }
1 9 . f l ' n F - { l 0 4 1 4 3 , 1 4 4 5 4 6 ,1 7 , 1 8 }
4.
20.
A - G - { U , 5 , 7 ,9 , 1 0 4 1 4 3 ,1 5 , 1 7 }
21.
(A u B f m { 5 , 7 , 9 4 0 4 1 4 3 , 1 4 4 5 4 6 . 1 7 , 1 8
22.
(A n B f m{ 0 , 1 , 3 , 5 ,7 , 8 ,9 4 0 , 1 1 ,1 2 4 3 , 1 4 4 5 ,1 6 4 7 , 1 8 }
23.
(A u
24.
B u (F -
}
f ) n C - { 0 ,2 ,4 ¡
G ) - { 1 , 2 ,3 ,4 ,6 ,1 2 ,1 5 ,1 7 }
2 5 . ( F - G ) n £ ' - { 1 5 ,1 7 }
2 6 . ( f n G ) u D - { 3 ,4 ,5 ,6 4 4 4 6 .1 8 }
5.
27. r n ( i u C ) - {
28.
(E u F ) n
1 2 .1 4 ,1 6 ,1 8 }
( 4 u G ) « { 0 ,2 ,4 ,6 ,8 4 4 4 6 ,1 8 }
2 9 .(C u £ )n ( F u G ) - {
30.
( S u D) u
(F n
G) - {
} - í
1 , 2 ,3 , 4 . 5 , 6 4 2 4 4 4 6 , 1 8
}
3 1 . ( f l u í í ' - ( £ u G ) ' = { 0 ,7 ,8 ,9 ,1 4 ,1 6 ,1 8 }
3 2 . ( J ' n f l ' ) - ( F n F > { 5 ,7 ,9 ,1 4 ,1 5 4 6 ,1 7 ,1 8 }
415
Á lG E B R A
6.
B’ n ( A - Q
((A -B )v (B ^ C )y
(A v C )r(B -C )
(A'uB'í-CA'uCT)
7.
Ej e r c i c i o 9
8.
1. ^4 u f l ■ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
(A -B )u (A n C )
9.
2 . - 4 n f l ■ { 2 ,3 }
(A r tB r C y
3 . ^ 'u f l '- { 0 , l , 4 ,5 . 6 ,7 , 8 ,9 )
4 1 6
Solucióna losejercicios
4. j f r\ B" m [ 6 . 8 , 9
}
6 ( A u B u C y - { 6 ,9 }
9.
(A - B)’ u C •
10.
(A n B ) 'n (A
11.
(4 - B ) 'n ( B -
{ 0 4 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }
n
Bf) -
{ 6 ,8 ,9 )
C ) ' - { 2 ,5 ,6 ,8 ,9 }
7.
Eje r c ic io 1 0
8.
(A - B)’ n (B r .
O ' - { 3 ,6 ,7 ,8 ,9 }
l.
V
D
p
(
V /\6/\
\
49
417
16
)
a) 101 p e r s o n a s
b) 1 5 8 p e r s o n a s
c) 100 p e r s o n a s
J
i
Á lG E B R A
2.
Eje r c ic io 1 3
a) 5 2
1 .f l A Ó
n iñ o s
2. Ú A ~6
ó ) 7 3 n iñ o s
3.
c) 100 n iñ o s
d) 3 2 n iñ o s
~a v ~b
4 .6 v a
5. ~a a ó
6.
~<a a 6 )
Eje r c ic io 1 4
1. ~a = “ E s p a ñ a n o e s t á e n E u r o p a
3.
2.
a) 8 p e r s o n a s
b) 5 p e r s o n a s
c) 10 p e r s o n a s
d) 2 6 p e r s o n a s
é) 3 4 p e r s o n a s
f ) 3 6 p e rso n a s
3.
-b -
y
6 n o es n ú m ero p a r ”
“ L o s p e r r o s n o l a d r a n o 1 2 n o e s m ú lt ip l o d e 3 ”
= “ 5 n o e s n ú m e r o p a r o e s m ú lt ip l o d e 1 5 ”
4.
~d= “ 7 e s
5.
~e = “ 6
p rim o
y
n o e s d iv is o r d e 2 1 ”
e s n ú m e ro im p a r o e l tu c á n e s u n a v e ”
Eje r c ic io 1 5
1.
C o n v ersa:
“S i 3 n o e s p a r , e n to n c e s e s d iv is o r d e 6 ”
4.
C o n t r a p o s itiv a :
а) 5
p e rso n a s
“S i 3 e s p a r, e n to n c e s n o e s d iv is o r d e 6 "
б )1 5 p e rso n a s
In v ersa :
c )5 5 p e rso n a s
d) 3 1
“S i 3 n o e s d iv is o r d e 6 , e n to n c e s e s p a r ”
p e rso n a s
2.
C o n v ersa:
“S i * e s d i v is o r d e 2 5 , e n to n c e s e s m ú lt ip l o d e 5 ”
C o n t r a p o s itiv a :
5.
“S i * n o e s d i v is o r d e 2 5 , e n to n c e s n o e s m ú lt ip l o d e 5 ”
а) 5 0
n iñ o s
In v ersa :
б ) 1 3 n iñ o s
“S i * n o e s m ú lt ip l o d e 5 , e n to n c e s n o e s d i v is o r d e 2 5 ”
c ) 2 0 n iñ o s
d)
16 n iñ o s
3.
C o m e rsa :
“S i u n t r i á n g u lo n o e s u n c u a d r i lá t e r o , e n to n c e s e s u n p o l íg o n o ”
C o n tr a p o s itiv a :
“S i u n t r i á n g u lo e s u n c u a d r i lá t e r o , e n to n c e s n o e s u n p o l íg o n o ”
Eje r c ic io 1 2
Im e rsa :
1. “ E s p a ñ a e s tá e n E u r o p a y J a p ó n e s t á e n A s i a ”
“S i u n t r i á n g u lo n o e s u n p o l íg o n o , e n to n c e s e s u n c u a d r i lá t e r o ”
2 . “ E s p a ñ a e s tá e n E u r o p a o J a p ó n e s tá e n A s i a ”
3 . “ E s p a ñ a n o e s tá e n E u ro p a ”
4.
4 . “J a p ó n n o e s tá e n A s ia ”
5 . “ S i E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a , e n to n c e s J a p ó n e s tá e n A s i a ”
C o n v ersa:
“S i l a L u n a e s u n s a té l it e , e n to n c e s M a r t e n o e s u n p l a n e t a ”
6 . “ E s p a ñ a e s tá e n E u r o p a , s i y s ó l o s i J a p ó n e s tá e n A s i a ”
7 . “ E s p a ñ a n o e s t á e n E u r o p a y J a p ó n e s tá e n A s i a ”
C o n t r a p o s itiv a :
8 . “ E s p a ñ a e s tá e n E u r o p a o J a p ó n n o e s t á e n A s i a ”
“S i l a L u n a n o e s u n s a té lite , e n to n c e s M a r t e e s u n p l a n e t a ”
9 . “ N o e s v e r d a d q u e E s p a ñ a e s tá e n E u r o p a o J a p ó n e s t á e n A s i a ”
In v ersa :
10. “ N o e s v e r d a d q u e E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a y J a p ó n e s tá e n A s i a ”
“S i M a r t e e s u n p l a n e t a , e n to n c e s l a L u n a n o e s u n s a té lite ”
4 1 8
Solucióna losejercicios
5.
C o n v ersa:
“ S i 1 7 n o e s m ú lt ip l o d e 5 0 , e n to n c e s e s n ú m e r o p r i m o ”
C o n t ra p o s itiva:
“ S i 1 7 e s m ú lt ip l o d e 5 0 , e n to n c e s n o e s n ú m e r o p r i m o ”
In v e rs a :
“ S i 1 7 n o e s n ú m e r o p r im o , e n to n c e s e s m ú lt ip l o d e 5 0 ”
Eje r c ic io 1 6
1. { 2,4,6,8}
7 . - * = “x * T \ x e N
~ g = ux > 7 " ; x e N
2' { 2’4 1
8.
- h = “x n o e s p a r y x < 8 ” ; x e N
- h =
“x n o e s p a r y x
2
8"; x e N
3 . { 1 ,2 , 3 ,4 . 5 .6 , 7 ,9 , 1 2 ,1 5 , 1 8 ,. .. )
9 .~ i= “x $ 4 o xn o e sp a r” ; xe N
- / = “x < 4 o xno es par” ; x e AT
4 . { 2 ,3 ,4 .5 .6 ,7 ,8 )
5.
10.
~ j = “x i
5 o x n o e s p r i m o ” ; x e AT
~ j = “x > 5 o x n o e s p rim o ” ; x e N
4 1 9
Á lG E B R A
Eje r c ic io 1 7
1. F a ls o
2 . F a ls o
3 . F a ls o
4 . V e r d a d e ro
5 . V e rd a d e ro
6 . V e r d a d e ro
Eje r c ic io 1 8
i.
3.
p
V
V
f
í
p v -q
V
V
f
V
~R
f
V
f
V
R
V
f
V
p
V
V
f
f
2.
~p=*~q
-?
V
L .
V
V
/
f
V
V
~p
f
f
V
V
R
V
f
V
f
4.
P R
V V
V f
V
f
pv q
-(pvq)
V
V
V
L
>
!
V
f
.
~R
~(pvq)=>~q
f
v
V
V
V
V
/
V
f
f
p
V
V
R
V
pv R
V
P=*R
V
f
V
V
V
f
'
f
V
V
6.
5.
p
V
V
f
f
R
V
pAq
f
V
f
f
f
f
(p A q)<=>(pV q)
pvq
v
V
v
V
V
f
f
V
f
f
f
“ (F = *í)
( p v q) A ~ (p = > í)
f
V
/
V
f
f
8.
7.
p
V
V
f
f
R
V
P=>R
V
f
V
1
V
V
f
(p=>R)v ( q=>p)
R=*P
v
V
p
V
V
V
V
V
V
!
V
R
V
P=*R
V
pA(p=»q)
V
f
V
f
V
V
f
1
f
p
V
V
V
V
R
V
V
{p A (p=> í))= »p
f
'
V
V
V
V
9.
p
V
V
R
V
~p
f
f
V
f
f
f
V
V
f
~R
f
V
f
V
~p*~q
pv q
-(pvq)
f
V
V
V
f
f
f
V
f
f
v
f
(—p A ~q)=>~(pv q)
V
V
V
V
10.
11.
p
V
V
V
V
f
f
f
f
R
V
V
f
f
V
V
f
f
r
V
pv q
pv r
V
V
V
V
V
( p v q) A ( p v r)
V
V
V
V
V
f
f
f
f
V
v
V
V
V
V
/
V
f
f
V
f
f
f
f
V
V
f
f
f
f
4 2 0
r
~R
f
f
/
V
f
f
f
V
V
V
V
f
V
V
f
f
f
V V
V f
V
f
f
~p
V
/
f
f
V
V
i-R ^ñ
~p V (~ q * > r )
f
V
V
f
V
V
/
/
V
V
f
V
V
V
V
f
Solucióna losejercicios
Ej e r c ic io 1 9
Ej e r c ic io 2 2
1. x - 3
2. 3a+8
l .^ x í . { ( l .2 ) .( l .4 ) .( 2 .2 ) ,( 2 ,4 ) .( i 2 ).(3 .4 )}
> 4 x C - {(l,3 )^ l,5 ),(l,6 ),(2 ,3 ),
(2 ,5 ),(2 ,6 ),(3 ,3 ),(3 .S ),(3 ,6 )}
4.100-x
3 .íx C - {(2 ,3 ) ,(2 ,5 ),(2 ,6 ),( 4 ,3 ),( 4 ^ ),(4 ,6 )}
5.
2a * 2 , 2a* 4
con
a eZ
7.(,♦ ,)*
5. C x í - {(3 ,2 ),(3 ,4 ),( J 2 ) ,(5 ,4 ),(6 ,2 ),(6 ,4 )}
8 .x2 * y 2
A x (B x C ) - {(1,2,3) ,( 1,2,5) ^1,2,6) ,( l ,4,3) ,( l, 4,5) ,( l, 4,6)
6.
x ,x + 1
6 . 2a,
4. B x A - { (2 J ) ,(2 ,2 ) ,(2,3) ,(4, i) ,( 4. 2) ,(4 .3 )}
(2 ,2 ,3),(2,2,5),(2,2,ó) ,(2,4,3) ,(2,4,5) ,(2,4.6)
9 x
(3.2.3) ,(3,2,5) ,(3,2,6) ,(3.4,3), (3.4,5), (3,4,6)}
10. ^
(«4x f l) x C - { ( l ,2 ,3 ) ^1,2,5),(l,2 ,6 ),(l,4 ,3 ),(l,4 ,5 ),(l,4 ,6 )
7.
11.yfa*>íb
(2 ^ ^ ),(2 ^ ^ ),(2 ,2 ,6 ),(2 ,4 ,3 ) ^ 2,4,5),(2,4,6)
1 2 . 5 x - 10
(3.2.3) ,(3,2,5) ,(3,2,6) ,(3,4.3), (3.4,5), (3 ,4 ,6 )}
8. (A u B) x (A n
c) - { (l,3 ) ,(2,3) .(3,3) ,( 4 3 ) }
14. 2 x * ( 2 x
9. (A - B) x C - {(1,3) (1,5) (1 ,6 ) ,(3,3) ,(3 ,s) ,(3 ,6 ))
15. 2 y { l 0 )
1 0 .( ^ - C ) x ( ^ n C ) - { ( l ,3 ) ,( 2 3 ) }
16.
*2 ) *
+y m
(2x
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3 (2 * ) + ^ ( 2 x
* 4)
2 ly
-^ x y z -4
17. ( a + 6 ) * - 4 9
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1. -5*
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19.
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2 (3 a + a ) ■ 2 (4 a ) -
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2Q.x+(x +3) +(x +5 )- P
19. ah-ab1
10. 2n
18.
2 1 .x -0 .1 5 x -0 .8 5 *
2.13 a2b
20. a3b2c - 2a2be2
3. -lOxy2
12.0
21.7*2 - 10^ + 8
4 .0
1 3 .0 .0 5 6 -^ 6
22. —8ni2* 4mn + 5n2
5.10 a2b
14. -2abi c
23. 2*2**1 + Sx3*-2
6. -8a
15. -3m‘ "?
2 4 .-9a-*5 + 7x**2
7 .-x
16. -3 * + 3 y
25. - — a2 + 3a6
4
8. 8ab
17.6
26.
9. -a2
18, -\\m-8n
21.-2x - 3 y
22. 5 0 - 2*
2 3 .x ,8 0 - x
24. 2 x +1, 2 x + 3, 2 x + 5 c o n
xeZ
25.AmX[3x-3)
2 6 . x - 10
» .* * - §
28 . x ,2 x ,1 8 0 ° - 3 x
2 9 . 0 .3 0 x
6
30. 2 x + 4
20
31. - x + 3 ( x + l ) - — - 1 0
3
1
1 x
32. 2 x - 3 ( x - l ) + 7
Ej e r c ic io 21
i. - i
2 .5
3 .3
4. 1
5 . 14
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7 .- 2
8O. - 6¿
9 . 24
E je r c ic io 2 3
10 5
2 1 .—
12
“ '3
1. U n n ú m e r o a u m e n t a d o e n tre s u n id a d e s .
2 . E l d o b l e d e u n n ú m e r o d i s m in u i d o e n o n c e u n i d a d e s .
1 1 ,®
144
.2 3 .
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14.24
a. 1
11
« ¡5
4
3 . E l trip le d e l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o .
2 2 .^
16
4 . L a s c in c o s e x ta s p a r t e s d e u n n ú m e r o c u a lq u ie r a .
5 . E l re c ip ro c o d e u n n ú m e ro .
23. — —
156
6 . E l c u a d r a d o d e l a s u m a d e d o s c a n t i d a d e s d ife r e n te s .
24. 432
8 . E l c o c ie n t e d e u n n ú m e r o e n t r e s u c o n s e c u tiv o .
7 . L a s u m a d e lo s c u b o s d e d o s n ú m e r o s .
9 . E l q u i n t u p l o d e u n n ú m e r o e q u iv a le a t r e i n t a u n id a d e s .
1 5 .- —
8
20. - —
61
10. E l t r i p le d e u n n ú m e r o d is m in u i d o e n d o s u n i d a d e s e q u iv a le a v e in tic in c o .
* ?
4 2 1
Á lG E B R A
11. L a s tre s c u a r t a s p a r t e s d e u n n ú m e r o a u m e n t a d o e n d o s u n i d a d e s e q u iv a le n
Eje r c ic io 2 5
a d ic h o n ú m e ro .
1 .- 3 / + 2 4 -5
12. U n a s e x ta p a r t e d e l a d i f e r e n c i a d e d o s c a n t i d a d e s a u m e n t a d a e n tre s u n i­
d a d e s e q u iv a le a l a s u m a d e d i c h o s n ú m e r o s .
2 . x3 - 5 x 2 - 1 0 x + ll
13. E l c o c ie n t e d e d o s n ú m e r o s e q u iv a le a u n q u i n t o d e s u d if e r e n c ia .
3 .-5 a 5 + 4a4 - 7 a 3 + 2a2 - 9 a - l
14. L a d i f e r e n c ia d e lo s c u a d r a d o s d e d o s c a n ti d a d e s .
15. L a d i f e r e n c ia d e l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o c o n e l d o b l e d e l m is m o .
4 . 1 5 x 47 - 1 7 x V - 5 x 7 4
16. E l c u a d r a d o d e l a s e m i s u m a d e d o s c a n ti d a d e s .
17. L a r a í z c u a d r a d a d e l c o c ie n t e d e l a s u m a d e lo s n ú m e r o s e n t r e l a d i f e r e n c ia
d e e llo s .
5 . - a 56
- Aa 46 2 -
2 a 36 3 +
6 . - X a *2 - 1 3 X * * 1 - X a
5ab5 - 1
+I2xa~l
18. L a s u m a d e lo s c u a d r a d o s d e d o s n ú m e r o s e n te r o s con secu tiT O S .
7 . 1 0 a 2- 1 - 6 a 2" - 5 a " * 1 + a - 3
Eje r c ic io 2 4
1 .1 0 x -5
2.
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A .- l p * 2 q - l r
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5 . S x 2 + lO x + 2
6 . - 2 a 3 + ftr 2
5
15
12. 2a- 2
-5
7. 2x4 + x3 + 2x2 - x
1 3 . 18x3 - 18x2 + 5 x + 1
8. x2 - 2x
14. 2 a 4 -
9 . 3yi
15. - 4 x V
10.
2?
- 3 / -3 y -\
16.
+ 7z2 - 7z - 1
1 1 .- 9 X 2 + 3 x 7 - 1 1 /
1 2 .x 5 + x 4 - x 3 + 6 x 2 - 3 x - 2
13.
-23x3y -
14. 4 x 4
x 2/
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a + 5
- 6 x6 7 4 + 1 2 x 57 2
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+ 2 « * - 2 + m ' “5 - 3/71“ * - 4 m ” 9
17. -1 5 fl* * B + 4 a ” 9 - 5 a " * 2 + V
18.
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Eje r c ic io 2 6
16. I x 2 - 3 X 7 - V
19. W
3
11. - 3 x + 7 7 + 5
í*
24
1. 8 x + 7
7 . 19X2 + 4 x - 1 2 7
2 . - 1 l a + 3 6 + 2c
8 . -2x - 2O7
3 . -2 3 x + 37
9 .-5 x -2 7 + 1 8 z
4 . 2 3 m - 1 4n
10. - 5 x + 5 7 - 8 Z
5 . - 1 2 a + 26
11 . 2 a - — 6
6. -1 8 x + 7 7
12.“1 5 x+^7
15
10
_ f , _ ]1 ,
Eje r c ic io 2 7
22. 3a3* + 2 a 2
1 .-1 5 X 2
7 . - x 2/ /
2 . 2 4 X 8/ /
8 . - 4 a 46c
3 . - 1 4 a 96c8
9.
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23 .x2a + x2a"2
4 .--x > /
10
2A.--b'- + -6 * + - 6
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25 . | x ^ + l x ,- 2> - i x I- 3>
mn p
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5. 5 0 n V
6 .-3 c " m V
422
12. -2 7 m7/»3
Solucióna losejercicios
1 3 .0 .W V
22. -56x9y 8z2
14. Oimabcxyz
23.30xvz
15. -10d~ 2¿ " V
24. 4 8 x V
16. -42ms**V ‘ *5
25. § d » W
3
íy.-íóx^’V " 5
26. - V ¿ 4c4
18.
27. 40d6,*463,*3d**2
ü
19. i f l S" J¿2,* V * 4
4
28. - i v - y » 1
x 3 - 3 x 2y+ 3xy2 - y 3
2 0 .-2 x," l y
29. 2 4 x*‘V -*1
2 1 .-3 0d V d
30. 20d8,’ 266m2,*3fl5**3
9x2 + 3 x y -2 y 2
n4 -3 n 2 -2 8
4 j
31
* s
3 ,
*-í*
12
x3 + 3x2y+3xy2 + y 3
m3+n3
m3-n3
1 5x3 - 2 2 x 2y - 1 3 V
Ej e r c i c i o 2 8
+ > 4/
I.8^ 8-1 4^ 2^
-27d3 + 51d2é + 40d¿2 - 2863
2.
4a*-2a3-6a2 + l l d - 4
- lW
+ 9m4 - 18/n2 + 9m
3.3 x* y-7 x* y-2 x* y
15x5 -2 0 x4 - 9X3 + 12x2 - 18x + 24
4. -6d36 + 2 1 d V -2 4 d 6 3
x4 - 3 x 3 + 3 x - l
5. 2 4 d V - 2 8 d V + 16dV
15
6. - 3 5 * V * 2 + 1 5 * V * + 20x 2y V
10
18
7. 40m*np3 - 24m5p4 + 48m3p3
10¿ - X S y +l l x S - l y *
8. - 1 2 d V + 21d3¿c4 +6dc5
^ +^
6
9. 15w**7»»2**1 - 9 r n '* V * * 4 + &^, *2^2,•l
10. -Mar**3 - IZ t”* 1+ lóx* + 18*fl"' - 4xa~1
20
15
+63v _ V
30
40
2
* rf
II.- 9 a 3,*2¿3” 1 + 21d3 ,,lé3**2 +12fl2" 1* 2**2
24. m*
,«.3
2 5.
12. -25r 5" y 3**1 + 10x5~ V " * 2 + 20x5**2y 3"’ 3
26. x2- 5 + 2r2~ 4 -3 X 2- 3 -4 X 2- 2 + 2 X2 * " 1
13. -Ud**5*»*2^ * 5 +12<r*b>*3S -Sa'b^'c6
27. x2" 3 +
U .I « V - i« V - - < * 4
28. 6 x 4
3
2
5
25
30. 4x5y - 6 x Y - 2 X 2/
- « V e * —« V e - - «i3c
5
x2**1 - 2 x 2a
4 x 2 í *2 +
- 3 1 x 3 + 4 3 x 2 - 6x - 8
29. -18x4 - 25x2 - 14x- 9
15.*V *8*V - Í * V
16 . — « V e -
.
25
17. -4fl6"*4í 2" c 4 + ^ .fl—V
2
-1 2 jy 5
31. m2 - 2mp - n2 + p2
20
4
18. -3X2" -3 + x2" -2 - r x2"*1
32. -2m2 + 5mn -mp - 3n2 - np + 10p2
33. a 2
- i2
+2bc- c1
3 4 .x6 - 2 x 5 - x 4 +
4 x 3 - 4 x + 2
35.3x4 - l l x 3+ 20x2 - 7 x - 5
19.— o - ' i 3-*'
5
20.
- ^ m 3“ V ~ 4 + m3” 2* * * 3 + y m3* * 5
36. - x 2- * 4 +
2 X 2***5 -
x2- * 2 + x2-
37. 2X2"*3 + 7*2"*2 + 7x2" ’ 1 + x2- - x2- 1
38. a6 - 2d462 - 4 d V + 7d65 - 2¿6
Ej e r c i c i o 2 9
1 .x * - 5 x - 1 4
2. m2 + m - 72
3 .x 2 - 5 x + 6
4 .3X2 + 19x + 28
39. m"*2 - 2m" + 8 ^ ' - 3m"“2
40. 30x5,Ml + 3 4 x * - 31xs’ -' - 23X*"2 + 3 x * " 3
41. m6 + 2m* - 2m4 - 3m3 + 2m2 - m -1
42. i x 5+ - x 4- —x3 - —x2 + —x + 9
4
-a 2'*3 +
72
12
48
2
5. óx2 - l l x - 10
43.
6. 25x2 - 16y2
44. d2**6 + d2**5 + 5d2**4 + 4d2**3 - d2**2 - Sd2" 1 - 5a2'
423
2 a 2**2 + 2 a 2**1 - 4 d 2’ - d 2- 1 + o 2* "2
Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 3 0
Ej e r c i c i o 3 2
1 .3 a V
13. -3 a * 4V 4V ' 3
l.x + 2
28. 4X2 - 6xy + 9y2
2.H >x4
M .í^ y - s y - v - 2
2 .X + 1
29. x4 + 2X2y 2 + 4 /
3 . 2a V
15.1
4 -- 4 PV
16 . — a r2
20
5 . -3 a*b
6 . 5a6b6
18. -4 x y 5
7 -jx V
i9 . - < r A' é - 2
8. - 2 . V
2 0 .1 .V
6
3
2 1 .-ft7 4p
10. ^ V
2 2 . - i c JJ 5-*
2
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1 1 .-2 » ^ ^
23.
12.5aM~6b2"*7
2 4 . - a 4" -1 i 2- 2
8
3 .x + 3 y
3 0 .a 3 + a 2 + a
4 .x + 3
3 1 .X - 4
5 .X - 6
3 2 .2 x 2 + x y + 3 /
6. x + 6
3 3 .3X2 + x - 2
7. m -4 n
3 4 .3X2 —x +1
8 . x - 10 y
35. 2 x 2 - 3x - 1
9.B 2 - 6
36. 2 x 2 - 3 x - 5
10. m3 + 4
3 7 .4 a 2 - 6 a - 7
1 1 .x 4 + 2
38. 6x2 - 3 x - 4
12.x6 - 7
39. 7X2 + x - 4
2aV
Ej e r c i c i o 3 1
13.3 x - 7
40. Sx2 - 9 x - 3
14. 4m - 3
4 1 .4 x2 + 3 x - 1
15. 5 a - 7
42. 5a3 - 3 a 26 - 6 a 6 2 - 265
16. 2a + 36
4 3 .4 x 5 - 6 x 4 - 7 x 3 - 8 x 2 - 3 x + 2
1 .x + 2
2.
2x+l
3 . -5 x + 2y
17. 7 m - 3
4 . 2x* - x +1
5 . x2 + 3 x - 4
18. 3 a + 46
4 5 .4 x -U
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6 . - 2 x 4 + ¿Ox 2 + 3x
z
19. 7 m - 3n
7. 9 m V - 5 m V + 1
8 . 4o662 + 6 a 56 - i o 3
2 0 .3 x - 2 ^
o
« • i - 4 !
9 .4 * V - 7 * V - 1
10. i a - 5
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12. - - « V
3
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2 1 .3 b»2 - 5 b 2
48. x442- x 4 4 l+ x 4
22. 3b»2 + 5
49. a " - ' -6 > “ l
23. 5/n3 - 6
50. n f - 2b»*-1 + m T 2
24. 5m2 - 3m - 2
51. m " 2 + 3m**’ -2rrf
2 5 .3 x 2 + 7 x - 6
52. m ‘42 + 2m‘4' - m ‘
26. 2 a - 7
53. -S m 2' 42 + bi2’4' + 3b»2*
2 7 .x 2 + x y + /
54. x T A - x ’"4 3 - 2 x " 4 2 + x " 4'
2o*64 - - t ? b
9
1 3 .? x V - V /+ 5 x 3
5
46. 4 m - - n
3
4 4
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5
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Ej e r c i c i o 3 3
j
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zu
l.ó í2 - / + 6
7 . 4 x + >>
2 . x2 + 2 x + 4 4 0 0
8 . 6f4 + f 3 + 7 f2 - 2
3 . 5 x 2 + 6xy+ .y2
9.40X 2 + 3 6 x + 8
16. 2 + 1 2 a * 6 > c '- 1 6 a 2 ,62V '
17. J x ' - y 2 - 2 x 4y - í
6
18. -4 a 3" * 2* 3" + 3a2M*',b2m~*‘ - ■2a"4l6— 1
19. - 2 a 4— ‘ i - *40 + 5t?m~*b*A - ■V - v - 2-
5
4 .1 5 y 2 + 1 4 y + 3
10.9X2 - 1
5 . 20x2 - 7 x y - 6 y 2
11.15X2 + 4 x - 3
6 . 12w3 - 8 w 2 - 1 3 h - 3
12. 20x2 - 3 x - 9
20. 9 x V z 3 + 2 x 2‘- | / ' , z f4 2 -
4 2 4
Solucióna losejercicios
46. a4 + 10a3 + 33a2 + 4 0 a + 16
4 7 . a4 + 6a3 + 5a2- 1 2 a + 4
48. *4- 4 / + 6 / - 4 * + 1
Ej e r c ic io 3 4
4 9 . / + 2*7 + /
- 4x- 47+4
1.**+ 16*+ 64
50. 4a2- 1 2 a 6 + 9 / + 4 a - 6 6 + 1
2 . n ? - 2 0 m + 100
51. 1 6 » /+ 2 5 / + / + 40»»i»t + 8 m p + lQnp
3 ./-6 a + 9
4 . / + 2 7+ 1
52.
9v4+ 4 7 4 +
1
+
1 2 /7 2 - 6 / - 4 7 2
53. - a 2 + i ¿ 2+ c 2 + a c + - a 6 + - 6 c
4
9
3
3
5 ./+ 1 0 7 + 2 5
6 ./- 1 2 /» + 3 6
7 .1 -2 6 + é 2
8. / -
10*+ 25
53. 4
/
9. 4 + 4n+ n2
10. 16 - 8m + m2
11. / + I87+ 8I
12.a2- 24*+ 144
4
/
^
4
/
. 1 . 1
xy
a
yz
56. 0* + & + < * - 2 a * / + 2 o V - 2 ¿ V r
5 7 . a2* ‘ 2- 4a2* +1+ 2a2* +4a21-1+a2* -2
Ej e r c ic io 3 5
1 3 . / + 3Q p + 2 2 5
14. 4a2- 4a + 1
1 ./-9
2 .a 2- !
15
16
6 9
16.9a2*2- 6 a*+ 1
1 7 .» // + lítamn + 64a2
18.4Sb2-42a6+ 9¿2
19. 4 / + 12*7+ 9/
3 .Z -4
4 . i 2 - 64
5 .2 5 -/
6. 8 1 - a 2
7. » / - /
2 0 . i 2 + 0 . 4 r + 0 .0 4
8 ./ / - /
21. 1 6 /+
4 0 /y + 2 5 /
22.81a6- 1 8 /6 + « V
23. 3 6 n V + Z frn n p + 9m10/
24. a,0- 2 / 6 5+ 6,°
9 .9 /- 2 5 7 2
10. l ó m 2 - 8 1 / r 2
11. 462- 9c2
12. 36*10 - 1
13. 9 m 6 - 6 4
14. 2 5 / / - 1 6 /
26.
27.
- / - *
16
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15.81a2/ - c 14
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2 1 . x8 - 6 x4 - 7 2
2 . m 2 + 3 m - 28
2 2 . x*°+ / - 2
3 .x 2- 12x+ 20
2 3 . a 6 - 7 a 3 + 10
4 .x 2- l l x + 3 0
2 4 . x4" " 2 + 2X2" ’ ' - 3 5
5 . x 2 + lO x + 2 4
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3 . 8 1 x 4 - 162x3 - 9 9 x 2 + 1 8 0 x + 100
1 3 .2 5 6 /- 3 2 // + y8
4 .6 2 5 x 4 - 1 8 0 0 / + 1 2 9 6
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5 . m 6 - 12m 4 + 4 8 m 2 - 6 4
1 5 . x 4 - y✓4
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1 6 . m 6 - 12m 4 + 4 8 ^ - 6 4
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7 . n 8 - 3 6n4 + 8 4 o 2 - 4 9
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8 . x , 6 - 2 x 8/
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9 . 16m 4 - 4 m 3 - 2 0 0 /n 2 - 1 4 8 m - 4 8
49
+ 6 m - 24
L / / > + _ L
225
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2 . m 4 - 6 5 m 2+ 6 4
11. 4x2 - 4 x - 2 4
12. W
1 1 .x 4 - 4 1 / + 4 0 0
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3 2 . — x 4 + — x 2/
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1 8 .x 4 - 1 0 / + 9
1 9 . m 8 - 1 lm 4 - 8 0
2 0 . n 12 - 4 8 n 8 + 7 6 8 / - 4 0 9 6
- — .y4
12
1 3 . 3 6 / - 6 x - 12
33. a2 +
14. 16*2 - 2 8 x + 10
34. a 2- 4 a 6 + 4 Í2 +
1 5 .2 -9 x + 9 /
3 5 . x2 - 2 ^ + y 2 - 4 x z + 4 y z - 2 l /
62 + 7 a + 7 6 + 12
6a-
126+5
Ej e r c i c i o 3 9
- 2
1 6 .2 5 / + 5 0 x + 24
36. 4 / + 4ay + y2 + 2 x + y
1 7 . 4 - 2 x - 42X 2
37.
1. a ( a + 1)
1 4 . 55m\r? x + 2 n 3x2 - 4 / )
18. 2 5 - 3 5 x - 1 8 /
3 8 . o 2- 6 2 + 3 / - 4 o c - 2 6 c
2 . a 36 ( 6 - 2 )
1 5 . 5 / ( 5 x5 - 2 x3 + 3 x - 1 )
3 9 . / - 6 / - 4 / + x y - 3 * z + lly z
3 . a 2(a 2 + a - 1)
1 6 . 3 a ( 3 f l - 4 6 + 5 a 262 - 8 6 3)
4 0 . a 2 + / - 2 5 6 2+ 2ac
4 . 6 x 4( 3 x + 5 )
1 7 . 1 2 k / o( 1 + 2 o t i - 3 /n 2 + W
5 . 12x^(4 - x - 2X2)
1 8 . a 26 (3 + 6 o 6 - 5 o 2/
1 9 .x 4 - 4 / - 6 0
20.
r r f- \2rr? +
32
m* +
»
2 / / / + n4 + 4 * / + 4 / - 4 5
Ej e r c i c i o 3 7
6 . 5 6 2( 5 + 7 6 2 - 9 6 3)
1 9 . 8 / y ( 2 x y - x2 - 3 - 5 / )
l.x 3- 3 / + 3 x - l
7 . l l o ( x - l l a x + 3 a 2)
2 0 . 5 0 o 6 < (2 a6 2 - 3 6 c + 6 ^ - 4 c)
2 . m 3 + 18 * / + 108m + 216
8 . 3o i< 3 a4 - 4 a 6 2 + 5 6 - 6 a 263)
2 1 .3
3 .x 3- 6 a 2 + 1 2 x - 8
9 . 3 ( 3 / + 2 x + 1)
22. 2 x (3 x - lf tx + 3)
la2xQaxy -
2 x 2y 2 - 4 )
4 . a 3 + 30a2 + 3 0 0 a + 1 0 0 0
10. 4 x 2( / - 2 x + 3 )
5 . / - 2 1 / + 1 4 7 n -3 4 3
11. 6 A
6 . x3 + 9X2 + 2 7 x + 2 7
12. 1 4 x V - 2 x + 4 / )
2 5 .4 /( 2 * - 5 X 2 x - 3)
7 . 1 - 3 x + 3x2 - x 3
13. 1 7 o ( 2 / + 3 a y - 4 / )
2 6 . ( 2 x - 1X 3 - 2 x )
x-y -
2 3 .3 (x + 1X 2- x )
2 4 . x ( x + 2 X x - 1)
l)
8 . 1 000 - 3 0 0 m + 3 0 « 2- m 3
Ej e r c i c i o 4 0
9 . 8 / + 1 2 /+ 6 x + 1
rifan +
10. 2 7 a 3 - 108a2 + 144a - 6 4
1. ( m +
11. 8 / + 3 6 / + 5 4 x + 2 7
2 .(x 2 + l X 3 x - l )
1 2 .(x + 3 X /-5 )
1 2 .1 - 1 2 m + 48/M2 - 6 4 wí'
3 .(x + y X a -6 )
13. ( 6 - 3m X 3 z - y )
1 3 .2 7 /- 1 0 8 /y + 1 4 4 ^ - 6 4 /
4 .(y -3 a X 2 /-l)
1 4 . (a 2 + IX * + 1)
14. 1 2 5 m + 1 5 0 m V + 6 0 m n ° + 8 n
5 .(f l- 2 6 X m - 3 n )
1 5 . ( l - 3 f l 2X 2 f l + 1)
15. 2 7 . / / - 5 4 x6/ /
6 . (a 2 - 3 ¿ X 4 x - 5 y )
1 6 . ( 3 x - 7 X / + 1)
1 7 . ( 1 - 4 a X ¿ - 1)
+ 3 6 * V - 822
x)
l l . ( 6 - c X y 2 + m 2)
16. 6 4 / + 9 6 / y + 4 8 / / + 8 / /
7 .(m 2 - 3 n X ^ V )
1 7 . 2 7 m 12- 1 0 8 m " n + 1 4 4 m ‘°n 2 - 6 4 m 9/*3
8 . ( 5 m + n 2X m n + p 2)
18. (3 m + 2X 6m 2 - 5 )
*18
v . ^/
9 . ( 3 a - 26X>*4 + 1)
19. ( x r +
+ /^
+ I x^ +' —
3
27
10. ( 2 m + 3 n X x 4 + 5 )
4 2 6
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+ 8oV + 4aV )
myfaty- mz)
2 0 . ( / / + / / n ^ í 2 + m n 2)
Solucióna losejercicios
Ej e r c i c i o 4 3
Ej e r c i c i o 4 1
3 1 .(y2 + 1 2 xX /-5 *)
32. ( a - 6 + 8 X * - 6 - 3 )
1 .(*+ 2 X *+ i)
■6. ( a r * + l ) ( * - ¿ ) ( j r + i )
i . ( * - i X * + i)
2 .(* + 7 X * -7 )
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) H
2. (m - 6 X « - 5)
3 .(» - 4 X « - 3 )
)
3 . (9 -* X * + 9)
is. ( * * - / * ) ( * > ' + / * )
4 . (4 * -3 X 4 * + 3 )
1 9 . (a * * 3 - 3 i ^ ) ( f l ' * J + 3 6 3' )
5 . (a 2 + 6 2X a - 6 X a + 6 )
2 0 . ( m 2**4 - s j p ^ + s )
6 - í*2 + 8X *2 - 8 )
21. (l - * ")(l + *")
2 2 . ( m 3" 2'
7 . 4 ( 5 - 2*X 5 + 2 * )
-rtAx*y)j[mix~2y +
33. <*y - 1i x * y +9)
4 .(y - 8 X y - 7 )
34. (m2/ + 12) ( m V - 11)
5 .(* + 6 X * + 1)
6 .(* + 4 X * + 3 )
3 5 .(n -1 8 X n -1 6 )
36. (y+ 25Xy- 22)
7. (a + 6X^+4)
37 .(c-4 4X c+ 2 2)
8. (6 - 5 X 6 - 2 )
9. (m - 5 X « - 4 )
10.(y+3Xy+ 1)
38.(a+ 21Xfl+ 12)
39. (*+ 33X *+ 11)
40. ( t - 54X1-45)
1 1 .(r- 4 X * - 1)
12. (n+ 4Xn + 2)
42- (4 - * X * + 3)
4 1 .(* + 8 X 3 - * )
13.(fl-18Xfl + 2)
14.0-+6XV-5)
43. (* + 8 X 5 - * )
44. (7 —*X*+ 6)
8 . ( 6 * - 1 X 6 * + 1)
2 3 .(4 * * - 7 / ) ( 4 * * + 7 / )
9 . ( 2 - 5 * X 5 * + 2)
2 4 . (* + > '- 4 X * - j '+ 2 )
1 5 .(r-9 X v + 2 )
16. (x - 10>>Xv- 8>»)
45. (8 - 3*X3*+ 2)
46. (2 *+ 9 X 1 -2 *)
2 5 .(2 * + . y + 6 X 2 r - j '- 4 )
17. ( a - 106Xa+56)
47. (7 - 8*X8*+ 11)
26.
18. (m - 10nXm+ 3n)
48. (13 - 5*X5x+ 11)
19. (x + Syfo- 7y)
4 9 .(* fl- 9 ) ( * a - 4 )
20. (m2+ 4 X m - lX « + 1)
50. (62 , +9)(é2* - 8 )
21. (y - 2 X v + 2 X ^ -2 )
51.(^* +64)(^ +l)
22. (n + 4 X n -4 X n -2 X n + 2 )
5 2 .(* 4’ + 2 ) ( l- * ‘,) ( l+ * fl)( l + * 2a
23. (a-6 X fl+ 6X fl- IX * + 1)
5 3 .( 9 - * “
2 4 . ( í 2 - 10X *2 + 9 )
5 4 .(* -7 X * -3 )
1 0 . ( 2 a 2 - 3 & X 2 a 2 + 36c)
1 1 .^ + Ó X ^ -ó )
12.
( * - 4 ^ - 1 X * + 4 j * - 1)
( 4 a 26 * + ciX 4a2 6 * - / ) 2 7 . ( 3 * - 1 X 9 * - 7 )
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2 8 . (3 * + 2yX 5x + 6y)
29. 4 (7 * -9 X 1 3 * -6 )
30. 3 ¿ (3 * - 2X 5*+ 6)
Ej e r c i c i o 4 2
l.( a + 4 ) 2
1 3 .( 1 0 a 2 - 3 6 ) 2
2 5 .(2 m -n + 3 )2
2 . ( m - 5 )2
1 4 . (a 4 + 6 be)2
2 6 . (,5a-b)2
3 .(n - 4 ) 2
1 5 .(9 /+ ll) 2
2 7 .4 /
4 .(* -3 )2
1 6 . (7 * 3 - 5 a y 2) 2
28. (3 a - 6 ) 2
5 .ÍT + 6 ) 2
17. (2 0 a 5 + l)2
29 . (6 - m ) 2
6 . ( 3 a - 5 )2
1 8 . (* 4 + 9 ?
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1 2 . a 2(1 2 * 2a - l ) 2
2 7 . (y -7 X V + 2 )
57. 6 a (6 a - 5)
28. (m -7 n X m + 3n)
5 8 . ( * + 3 y + 11X 2 - * -
2 9 .(5 -¿ X l+ ¿ )
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3 0 . (z + 5 ) ( r - 4 )
5 9 .4 ( 4 * + 7X 1 - * )
2 4 . [3 a + 3 * - 2 J 2
5y)
6 0 . ( * + 3 y X 4 > '- * )
l.( 5 m - 2 X m + 3 )
1 6 .(3 y + 6 X 5 y -2 6 )
2 .(3 a + lX a -2 )
17. ( n - 3 m X 6n + 5m )
3. (3 ^ + 2 X 2 ^ + 1 )
18. ( 3 * + 5 X 6 - * )
4 .( 2 * - lX * + 2 )
1 9 . ( 4 6 2 + 5 X 3 - 2 6 2)
5 .(4 n + 3 X n + 3 )
2 0 . ( 5 * - 3 y X 6 * + 7 y)
6 .(4 * + 1 X 5 * -1 )
2 1 .(2 a 4 + 5 X 5 a 4 + 2 )
7 . ( 7 a + 5X «*- 7)
2 2 .(2 a - 1 5 6 X 3 a + 6 )
8 . ( y + 2 X 2 ^ + 1)
23.
9 .(4 * + 1X 5 * + 2 )
24. (3 /-1 0 X 1 Q /+ 3 )
J
,
10. ( 3 a + 6 ) 2
5 6 . ( 5 * + >» + 7 X 5 * + j * - 6 )
31.(v a* + 2)
V
9 . (2 a -5 6 )2
y
5 5 . 2 ( * - 9 X 2 * + 1)
2 6 .(5 y + 7 X 5 J-+ 6 )
Ej e r c i c i o 4 4
\2
7 . (1 l e - 6 )2
8 . ( 4 a + 3 6 )2
___ _
25. (a i+ 4 X a 6 - 3 )
36.(v m - 3 J
Í3 * 2 - 2 X - 2 * 2 - 3 )
10. ( 3 m + 2 X 5 m - 6 )
2 5 . ( 2 m —n X 3 m - 4 n )
11. ( 2 * + 5 X 1 0 * - 3 )
2 6 . (2 a* -
1 2 .(6 + 1 0 X 2 6 + 9 )
27. (3 a-2 6 X 8 a+ 7 6 )
1 3 .(2 /+ 3 X 3 /-2 )
14.
15. ( 3 a 6 - 5 X 2 a 6 + 5 )
427
7yX3ax+ 5y)
2 8 . (* y + 2X 4*y - 5 )
( 2 ^ - 7 X 7 / / + 2 )2 9 . ( a 26 - 3 c X 5 a 26 + 2 c )
30. (m +
\0nX2m-
lln )
Á lG E B R A
13. (o2 + Sifya4 - 5o V + 256®)
14. ( 2 / + 9 X 4 * - 1 8 / + 81)
15. (3/n2 + 7nJX9m4- 21m V + 49b 6)
Ej e r c i c i o 4 5
3H)
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19. í * 4*1- y 2* * ^ 2 * x a¥ly 2a +y 4a)
2 0 . ( 3 y - ^ * 3 x y * 3 y 2)
21. (* + _y)(/ - 4*y + 7 / )
22. (-2nX 27«* + 18oti + 4 / )
2 3 .-(o + 2 ¿ X 7 /+ 19ab+ 13b2)
24.¿ (5 * -y )(7 /+ 5 ^ + 19/ )
* ü '- a * * f )
Ej e r c i c i o 4 7
1 .(*+ 4 > -X /-4 ^ + 1 6 /)
2. (o - 2 X / + 2o5 + 4o4 +803 + 16o2+32o+64)
3. (3 - 2*X81 + 54*+ 36/ + 2 4 / + 16*4)
4. (*+ lXx6 - / + * - / + / - * + 1)
5. (m - «X"*4 + "**" + "í2/ + " * / + n*)
6. (* - o¿X*6 + /<»5 + * W + / / / + / f lV +«¿5* + a6*6)
7.(1 -*2X1 + o + *22+*23+o4)
8. (xy* 5X * V - 5 / / + 2 5 / / - 125xy+ 625)
9. ( * - 1X / + / + / + / + / + / + / + *+ 1)
10. (* + 2 X / - 2 / + 4 / - 8 / + 16*4 - 3 2 / + 6 4 / - 128r + 256)
10.(Vx +5)(2n/Í +3)
1 1 .( 3 > ^ - 2 ) ( 4 n/» + i )
12.(5m/x +4)(3^-7)
13.1 x 2 - 3 y
2x2 + y2
3*3 -8
14. 2*3 + 5
15.
*3 +2
Ej e r c i c i o 4 8
1. (m+ 2n+ lX m -2 n + 1)
2. (y + * - 3 X y - * - 3 )
3 .( * - y + 5 X * + y - 5 )
4. (m2- n s- 3 X ' / + / + 3)
5. (7tt? - 5 m + 3BX7»*2 + 5m - 3n)
6. (m + <2- * - 3X"* + *2+ * + 3)
7.(1 -*2 -3 n X l + *2+ 3n)
8. (m-n+ IX"» + n+ 3)
9 .( 1 - y + 5X 1+ y - 5)
10. (5/» + m* 1X5/»- m - 1)
11. (m - n + 2X"»+ n+ 10)
12. ( * + y + 4*2 + 35*X*+ y - 4*2- 3 / )
13.(10-3y + m - o/»X10 - 3 y - m + ap)
14.(o+ 55 + m + 3nX*» + 5b-m-3n )
15. (2m - 7n- 3*2- 55X2"» - 7n+ 3o + 55)
3 * 3 -1
16. ( J x + y - 2^5J x +y + 4
17. 3 * * - 8 /
2
2
18. 2*3 + 3/3
4*3 + 5y 2
2
2
4*3 - 5 /
Ej e r c i c i o 4 6
1 .(2 *- iX 4 / + 2 * + 1)
2. (* + 3 X ¿ - 3 * + 9)
3 .(2 * + > X4/~ 2*y + / )
4. (3o-5X9o2+ 3*25+5*)
5 .(2 a+ 352X4ú2-6o52+ 954)
6.(4*2-9X16^ + 360 + 81)
7. (8 - 30^64 + 24oJ + 9o6)
8 . ( / - 2 / X * 4+ 2 / / + 4 / )
9. (1 - 6mXl + 6m + 36*/)
10. (o - 5 X / + 5o + 25)
11. (3m + 4ni x W - \2mr? + lón6)
12. (7* - 8 / X 4 9 / + 56*^ + 6 4 / )
Ej e r c i c i o 4 9
1 .(* - 2 X * - i)
2 .(* - 5 X * + 4 )
3 .(m -5 X " » -2 )
4- ( * - 8 X *+ 6)
5 .(0 - 10Xa+4)
6. (n + 9X" - 6)
7. (3*+ 4X*+ 2)
8. (3m+2X2m+ 1)
4 2 8
Solucióna losejercicios
1 4 .(* - 3 X * - 2 X * - IX » + 1 f
9 . ( 3 f l - 4X** + 1)
10. ( 3 x + 4 X 2 x - 3 )
11 . ( « * + i» +
1 2 . ( f l * - 2f l -
l X ¿ - n + 1)
IX**2 + 2a - 1)
1 3 . (m 4 - 2 m 2rf2 + 4 n 4X m 4 + 2! « V + 4 n 4)
1 4 . ( i 2 + 5 * - l O X ^ - 5 * - 10)
1 5 .( 8 a 2 - 6 a + 7 X 8 a 2 + 6 a + 7)
15. (fl- 6X** + 2X*»+ 5X**2-**+ 3)
1 6 .(*-3 X *-2 X * + 1X»+ 2X2*- 1)
1 7 .(* - 3 X * - 2 X * - IX»2 + 2*+ 4 )
1 8 .(* - 2 X * - 1 X * + 3 X 2 * - 1X3*+5)
19. (n - 3X«+ 3 X " - 2X» + 2X**- IX» + 1)
20. ( * - 5 X * - 1X*+ 1 X2*+ 7X»2+ 1)
1 6 .( f l l6 l - a 6 + l l X f l 2é 2 + * ¿ '+ 11)
17. (frn 2 - 5 m n -
Irfyfin? +
5 m n - 7/I2)
18.(*2+ x7 + t 2x »2- x7 + 7 2)
2 0 . (2 m 4 + 5 m V -
l ¿ \2 m A-
5 m V - 7n 4)
Ej e r c i c i o 5 2
mcm
MCD
Ej e r c i c i o 5 0
I .7 # *
210#*
2. 2Amy
3.2*y
4 . 13a6c
1 440m V
4 0 # *
4 .(y 2 + l ) ( y - 2 X y + 2 )
5. 15mn‘
2 100mV +2
5 . ( m - l ) 2 ( m + 1)
6. 11*V
7. ó a ^ - l ) 2
8. 9(a - ¿X* + y)
9 .6
10. 19a(l + b)
1 3 2 *+V +*
360 «**(*-1J4
135(a - bf(x + y)2
360(2*+ l)2(x -7 X * + 8)2
228 a \l +b f
10. ( 2 + m X 2 - m X 4 - 2 m + m 2X 4 + 2 m + m 2)
II.*+ 1
*«*+ 1)
I I.(* - 4 X r - 3 X * + 4 X * + 3 )
12. m - 1
13. m+ n
14. x - y
(m - 1X«+ lX"*2 + "*+ O
I.4r-7Xr+4)
2 .3 (a -2 X « * + l)
3 . 3 m ( m - l X m + 1)
6 . a (2 * + lX 3 * -2 )
7 .* * + lX r- l)
8 . 2 a ( 2 * + 1 X 2 * - 1)
9 . « a 2 * 2 X a - IX** + 1)
1 2 .(a - 6 X * * 2 - * * 6 + 6 2X a + 6)2
1 3 . a (a 4 + 64X**2 + é 2X** +
bYfl -
6)
14. a (* + l)3
1 6 . ( a + IX **- IX**2 - * > + ! )
1 7 . 4 m 2( y - 1 X ^ + 7 + 1)
1 8 . ImrAp- 2)(p + 3 )
W
n?n(m+n)
( * “ J')2(*+ 7)
3 x y (* - 2 X * + 2 X * + l)
**(3fl- l)2(9to2+ 3fl+l)
m(m - 4X"* + 3X"* + 2X"* - 5)
15. * - 2
16. 3a - 1
17. m -4
18. « a - 1)
19. 26+ 1
1 5 . (fl3 + 2X**2 + 3 a + 9X**~ 3 )
1 9 . ( 4 + flX 4 -* * X 1 6 + o2)
156 a
12**V 1)
(26+ 1X66+ 1X6- 3 )
(y - 3Xy+ 2 )(y - 1X 27+ lX2y+ 3)
20. y - 3
2 0 . ( a - ¿X**4 + ¿ft**2 + ^X ** + ¿ )
2 1 . 2 ( 2 * + 1 X 2 * - IX » 2 + 1)
Ej e r c i c i o 5 3
22. 5 m (* y + 2 X y -lX y + 1)
2a + 26
2 3 . (*J+ 3 X * * - 3X**2 + 3 a + 9X**2 - 3 a + 9 )
2 4 . * * - 7 X * + 7X *? + » 7 +
25. (a- l ) 2 (** - ¿X**+ b)
2 6 .4 a tf-a + lX**2 + **+
lab
j f c ? - x y + y 2)
1)
2 7 .(m -lX m + 2 X m - 2 )
2 8 .X y + 2 X y + 6 X y -2 X y -6 )
2 9 ,m ( m 2 + 1 X « - 1 X " * + 1)
30.
2¿b_
a -2b
12.
a +l
2a
13.
3 * + 47
5 .
1 .( 6 - l ) 2( 6 + l)
rn2n
—
n +m
2 .(* r-lX » r+ 1 X ^ + 2 )
6.
3 - ( * - 3 X * - 2 X * + 1)
2
b(m-n)
m* n
*2 + 2 * + 4
1 4 .-
4 .(* -4 X * + 2 X * + 3 )
5. (* - 1X 2*- 1X 2*+3)
7. -
15.^ - g .t Z
x-y
* + 2y
17.
* + 7
6 . ( m + 2 X « * + 1)
2 X 2 y-3 )
8.
8 .(a - 3 X a -lX * * + lX * * + 3 )
9 . ( * - 4 X * + 5 X 3 * + 1)
9.
1 0 . ( m + 5 X m + 4X***2 - 3 m + 7 )
*+13
* +6
n -2
n* 1
12- ( * “ 2 ) 2 ( * + I X * - 1)
10.
4 2 9
2*+ 3 ^
3 *+
7
2 5 .-1
2*
27.
*+1
*+ 3
*-1
*-4
1 8 .^
* +27
2 8 .^
19.
29.
* + 7
11.(n-2)2(n+ l)2
13- ( * - l)2 ( * + 2 X * - 3 )
y-x
2-P
26.
*-1
*-2
3*
w-z
24. ^ ± 1
7 2 + 3>7 +
7 +
la *2
H + 2
23.
* + 4
16.
*+2
22.
* -3 7
5 - 3m
Ej e r c i c i o 5 1
7. (y + 1X 37+
5 * + 7
2n ?-fm - 8
-rr^lm -y)2
21.
11.
20.
fl-*/
2ab
7 +2
4-7
7(7+1)
30. (2 ~ a) (fl4
a -l
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 5 4
1 4* - 3
3 3b - 1
Ax
4
\9m - 9
An
fl
7.
3y-5
6.
2y
8 .5
n
2n
2 o ^ -6
*2 + l
5 .-
9. 1
2x
U .- 2 ± |
x +5
16. X+6
Ax +1
14.
l , * + 3>
2*+ l
3*+ 4
15 x2 +3x+ 2
í 2 -9 * + 1 8
18 ^
fl-1
Ej e r c ic io 5 5
Ej e r c ic io 5 7
14.
20
2.
-\2 x
5**
i.A
7*+9
15
6x
9x* + 12*3
I**
3.
3x* - 7 x - S
2.
+ 12
aV
13.
x +4
x
x + 11
x2 -7 x
x2( 2 x .3 f
(3*2 + 2 p (* 2 - 4 p
1
2 * -1
14.
3.
14*
1 6 .- -
18*2
12.
Ax2
3 (x -2 )I
,6 * i (2*3 + l)5
15.
* 2-2 *-3 5
x2 - 8x
4.
Ax2 + 7 * - 1 8
2x - 24*
17.
12*2
4 (x + y)
3
3( 5 - *2) 2 (* 2 + 2)*
x2 * l
5 .-
S*2
18.
2x2 + 3x
x -9
(l6 * 4 - 9 * 2p
18.
x+9
2h
19.
4*6 + 2H1
7 .-
20.
( ( ,* * ) ’ - 3 ) ^ - 3 )
* 2 - 3 * - 40
*+1
( . ♦ 4 ) ( , + 8 ) ( ,- 3 )
*-1
2 * 2 + 2*2 -5 * + 3 4
x2 - 6 * - » 5
* +3
x2 + * - 1 2
) ( ,- 2 ) ( , + 4)
19.
21.
( ( * + * )’ + l ) ( * 2 + l )
4
22.
x -3
3x
x
x-2
24.
5 * +1
25.
( s -> )(*-> )
7*2 - 2 0 * + 3
26.
*+4
2 * -1
2 *+ 5
21.
1
m -mn +n2
*-7
22.
x 3 +2
82 2
2*2 - * - 3
2xz +27xy-5y2
a+ i
fl2 + a + i
x-3
x -10
5fl
a* 1
18(fl+6)
t
fl-1
* (2 x + 3)
rs
f +1
8.
11.
. 3
2. y
. B I+ 1
6 .— —
4
9 .2
6
10 .
EJERCICIO 5 9
i( i- 3 )
8bx
4 16*
36
6 -6
8.
1
X
óx2 - 7 x + 2
-7
2
1 1 .—
1 .—
x+1
2*
12 .2 ± 3
*-5
„
B —1
2n -1
430
i
.
10.
t
2 ¿-4 )
5 .A
4 jy
óx2 +9
7.
3 (« * 3 )
7ab x
a-b
x2 - !
(* + 5 ^ )(* -2 ^ )(* -^ )
Ej e r c ic io 5 6
1.
a2 + a6
E je r c ic io 5 8
3m
r2 - S2
- 9 ) ( , + 3)
B
B2 +2
3*2 - 1 4 * + 8
23.
S -i
* 2 + 6x + 8
20.
2 * -5
x
6
a +b
x 2 + 6x + 9
x2 - 1 1 * + 30
o
5x + l
17.
x2
x * h * 2 )(x * l)
6. -
1
16.
fl + 3
3x2 + 5x
( * * ‘ ) ( * + 3)
12.
2x2 - * - 2 5
x2-25
y
2y-3
w+ 3
b i- 5
Solucióna losejercicios
11. ab-b 2
5 .? * y* 1
7 .y = - 5
14. * - - —
9
8 .y = 2
, , , - í
9. y — 1
1 6 .* = - 1
12. a-2b
b -a
7.x
x +2
13.
2(x + 1)5 (2 * + 3)5
8.
n -3
14.
n2 +4n
p - if
9.
a-4b
a-3b
-2
15.
(3 * - l) 5 ( 3 * - l) 5
10.
16.
1 5 . h = - 14
2. j»= 10
1 6 .* = --
2
4
S x ^ S *2 * !)*
30.2= —
2
19
18. y = - 2
32. x - 3
5. x= 4
1 9 .* = 6
33. * = - 2
6 .^ = 3
20. x = —
10
3 4 .x - - 3
7 .,- i
21.y= - 3
3 5 .* — 1
x= -2
1 8 .* = 0
12. X * 2
1 9 .* -3
13. * ■ - 3
2 0 .x --—
8
1 . * = 18
y9 . * = o8
2. x - —
5
1 0 .* -3
3 * - - ?
4
11 * =
4
-V
6
**. xr=
——
IX
1 2. *X -■
?Z
-
8
w
1 7 . z2 - - ^—
2 5 .* = 1
1 8 .* -7
26.
19 * - - —
* = 35
2 7 * - !
XU.
2 0 *A -" " —
11
31. xm-4
4.
n .,- 1
Ej e r c i c i o 6 2
1 7 .* - -
3. z = - 1
1 7 .* -? ?
7
1 -5 * 3
Eje r c ic io 6 0
1. x—3
10. h = 19
x3 -1 0 *
2 8 *X ■
xo.
—
2
3
11
5. * - - —
2
1 3 .* - —
13
2 1 .* - ’
11
2 9 .x -9
6 x - 8
14 * ■ 3
2 2 * —
¡í
31
30 x - - I
2
7/ . *x ■
- - *—
5
*1 5 z ■
-*
5
"“—
2X,}.
3 *X —
Z.
12
- ^---8
v3 1i . ¿2 ■
3
8 .* = 6
1 6 -* - ~
2 4 .j= 2
32.
y=
6
Ej e r c i c i o 6 3
1
II
H
■I
H
*■«
8. m = 1
4
1 5 .x
-
2 2 .* =
14
2 .y —~ l . y —4
9 .* = - ^ ,* = 0
1 6 .x
s
4
^
n
_ 3
2
9. w = - 2
l0 l" 7
1 1 .* = 5
12. * = 2
—
S
24.2= 3
“ ■ '- ¡i
37. No tiene solución
3. m = - ,m
3
38. Todos los reales
4 .,= 3 , * = - f
= -4
39. Todos los reales
5 ._ y = 0 , ^ = 4
40. No tiene solución
6. m
1 7 .x
11 a r = - 3 , a : = - 3
18X = 7
1 2 .* = 1 8 ,* = - 2
1 9 .x
1
1
X =I
- ! • « - *
2 6 .* = -
=-
3, m = - 2
13.^= - 3
14.
1 0 .* = 7 ,* = 1
1 3 .* =
1
1 4 .* = -4 ,* =
1
z= - 8
9
^
2 0 .x
5
21 .x
- -,* =
Eje r c ic io 6 4
i.* = a
Eje r c ic io 6 1
6 .* =
m+ n
7 .* = b-a
23
_ 59
_ 53
8
8
= - 9 ,* = 3
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 6 8
Ej e r c ic io 6 5
2 .2 3 4 y 217
1 8 .1 5 y 8
1 9 .1 4 y 6
2.
3.
2 0 .3 2 y 24
3 .
2 1 .3 5
2 2 .6 4
4 . 1 0 0 d e 50C, 3 0 0 d e $ l
5 .6 8 y 32
6 . 2 8 y 70
2 3 . 15
6 . 8 d e $ 2 0 0 ,7 d e $ 1 0 0 ,6 d e $50
7.18 y 12
2 4 .4 5
7 .1 2
8 . 12 y 8
2 5 .7 2
8 . 30 m onedas
I .1 0 3 , 1 0 4 .1 0 5
9 0 ,9 2 , 9 4
4 . 1 3 . 1 5 17
I .1 8 0 m o n ed a s
7 d e $ 5 0 0 ,5 d e $ 1 0 0 0 ,4 d e $ 200
2 0 d e $ 5 ,1 0 d e $10
5 . 6 m onedas
d e $ 1 0 ,3 6 d e
2 6 . 38
2 7 . 54
1 0 .6 0
1 1 -7 y 3
2 8 .2 4
I I . 8 b ille te s
12.6 y 5
2 9 .9 7
1 3 .8
3 0 .9 6
14. 24 y 12
15. 30 y 10
3 1 . 124
3 2 .2 6 4
1 6 . 2 0 . 1 5 y 10
3 3 .4 3 6
1.
A n d r é s : 3 5 a ñ o s , C a r lo s : 3 1 a ñ o s , R o d o lf o : 2 4 a ñ o s
2 .2 4 años
$600
2 . c h a m a r r a : $800
p a n ta l ó n : $ 4 0 0
M u sa: $ 120
3 .
1.
m onedas
Ej e r c ic io 6 9
1 7 .5 5 y 5
Ej e r c ic io 6 6
$3600
4 . 1 8 5 0 0 0 , 8 0 0 0 0 ,1 6 7 0 0 0
5 . $200
6 . e s c r i to r io : $ 2 5 0 0
c o m p u ta d o ra : $1 2600
3 . L u z : 11 a ñ o s , M a r í a : 1 4 a ñ o s , T a n i a : 1 7 a ñ o s
4 . D e n tro d e 6 a ñ o s
7 .1 0
5 . C a r lo s : 3 0 a ñ o s , M a u r i c io : 1 0 a ñ o s
8 . $5200
6 . B á r b a ra : 8 a ñ o s , P a t r i c ia 1 6 a ñ o s
7. 7 años
8. Ornar: 16 años, Alejandra: 36 años
p r o b le m a s c o r r e c to s
9 . $360
10. 2 0 h o r a s e x tr a s
11. 2 0 k g d e $ 9 .3 0
10 k g d e $12
9 .8 años
1 0 .2 0 a ñ o s
12. 4 d e a d u l t o y 2 d e n iñ o
I I . G u i l le r m o : 4 8 a ñ o s , P a tr ic ia : 3 6 a ñ o s
13.
12. J o a q u ín : 1 0 a ñ o s , J u li á n : 2 0 a ñ o s , C a m il o : 3 0 a ñ o s
1 4 .4 k g d e $ 1 00
8 0 0 0 d e $ 60 y 4 0 0 0 d e $80
13. A n t o n i o : 2 5 a ñ o s , I v a n : 1 5 a ñ o s
8 kg d e $70
1 4 .1 8 a ñ o s
8 k g d e $105
15.
J u a n C a r lo s : 1 5 a ñ o s , D a n ie l 2 0 a ñ o s
Ej e r c ic io 7 0
Ej e r c ic io 6 7
1.
1 h o r a 12 m in u t o s
1 . 4 8 litro s
2 . 2 h o r a s 2 4 m in u to s
2 . 4 0 litro s
3 .
3 .4 0 g ram o s
4.
4.
6.
1 6 h o ra s
2 h o r a s 4 0 m in u to s
1 8 0 litro s
5 . 1 0 litro s
0 .6 litro s
5 .1
6.
7 .6 onzas
h o ra s
3 h o ra s
7 . 4 h o ras
8 . 10 litro s
9 . 2 5 m i a l 4 % , 5 0 m i a l 1%
8 . 2 5 ^ m in u to s
10. 5 0 m i a l 5 % , 5 0 m i a l 2 %
11.10 litros al 30%, 20 litros al 3%
1 2 .6 0
13.
9 . 7 — h o ras
12
o n z a s a l 30% , 9 0 o n zas a l 80%
1 0 0 0 litro s a l 5 6 % , 1 4 0 0 litro s a l 8 0 %
d e $2
$ 5 , 1 2 d e $2
9 .8 0
10.12
9 .6 de
$ 5 ,4 6
10. 1 6 h o r a s 3 0 m in u t o s
1 4 .9 2 % y 6 2 %
432
Solucióna losejercicios
Ej e r c i c i o 7 1
I .3 6 segu n d o s
2 .2 5 segu n d o s
Ej e r c i c i o 7 4
3 . 1 0 m in u to s
i.
4 .1 2 :1 8 p m
5 . 1 0 8 m e tr o s
6 .1 6 seg u n d o s
7 .1 .5 k m
8 . 1 4 :3 4 p m
9 . 8 :3 7 a m
1 0 .2 0 :3 6 p m
Ej e r c i c i o 7 2
1 .6 2 °
2.
2 .4 5 °
3 . a n c h o : 12 c m , la rg o : 3 6 c m
4 . a n c h o : 2 4 m e tr o s , l a r g o : 5 8 m e tr o s
5 . a n c h o : 4 m e tr o s , l a r g o : 3 6 m e tr o s
6 . 6 , 7 y 10 m e t r o s
7 .8 c m
8 .1 0 y 4 cm
9 . r a d i o : — , l a r g o : 1 1 .2 5 c m
x
10. 6 m e tr o s
I I . a n c h o : 9 m e tr o s , l a r g o : 1 8 m e tr o s
12. a n c h o : 6 m e tr o s , l a r g o : 2 3 m e tr o s
1 3 . r a d i o : 1 5 m e tr o s
3.
14. a n c h o : 3 u n i d a d e s , l a r g o : 8 u n id a d e s
15. b a s e : 6 u n i d a d e s , a l t u r a : 4 u n id a d e s
6 4 -3 *
16. A -
8
1 7 .1 2 u n id a d e s
18. a n c h o :
(O c m ,
l a r g o : 160 c m
Ej e r c i c i o 7 3
Pv
rt
1. n 2. Cm
3.
m
4. r.
5.
11. dm
u -a
n
-1
P -2<i
mZ-b
J
a -s
C -s
9
F m -C
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4.
14
+ 32
Fr‘2
15. m -
GM
1 6 . f - (i— - 1
• - 4
7. ¿ ■ —
-
B
m ? tg a
8- x2 "
y2 - y l *m xl
9 .h -x ± y jr 2-
10. Fm
-b ± \jb2 + 4a(y - c)
1 8 .x -
m
(y -k f
4A
19-
2a
p’ ■
20. trn
Pf
f
-
p
- v ± \ 2 d f l + v2
433
A lg eb r a
4.
5.
5.
Ej e r c i c i o 7 5
1. tn —1
2.m = - 12
3 .- 5
4.
m=
5.
m =—
14
27
Ej e r c i c i o 7 6
i.
6.
J —
2
2.
•F" *
3.
x-4
434
Solucióna losejercicios
4.
9.
10.
Ej e r c ic io 7 7
-i
Ej e r c ic io 7 8
2.
1 .5 = 40/
4. a) G = — /+
20
2 . a ) /* = - r + 3 .5
b ) F = 2 4 .5 k g
c ) t = 10 a ñ o s 6 m e s e s
3.c
- » r+ !™
30
3
3.
Ej e r c ic io 7 9
1 . ( 2 , - 3 ) , ( 7 , 0 ) s o n s o lu c i ó n
2.
j e s s o lu c ió n
3 . ( 3 , - 4 ) , ( - 3 , - 1 2 ) s o n s o lu c i ó n
4.
[ 1e s s o lu c i ó n
U
3)
5 . 1 - - . — I es solución
• m
435
1800
b ) 17= ¿ / - l 800
20
c)R =
$4000
5 . a ) C = F = -4 C P
b ) C = 160°yF = 32C P
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 8 0
2.
3.
10.
436
Solucióna losejercicios
6.
Ej e r c ic io 81
C o n j u n t o in f i n it o d e s o l u d o n e s ( r e c ta s c o i n d d e n l e s )
Y
..( 4 .- 2 )
2.
C o n j u n to i n fin ito d e s o lu c i o n e s
7 . C o n j u n t o v a c ío ( r e c ta s p a r a l e la s )
( r e c ta s c o in c id e n te s )
y
3.
C o n j u n to v a d o ( r e c ta s p a r a l e la s )
8.
- 2 ,3
Ej e r c ic io 8 2
r-3
1 > "3
|7 - 1
1
*■ 3
2.
ym
2
«■ 5.
0 ,1
'l;:r
■I;:
‘ i;:
-3
437
9.
3
4
1 0 . C o n j u n t o in f i n it o d e s o l u d o n e s
11. N o hay s o lu d ó n
1 2 . N o h a y s o lu c i ó n
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 8 3
Ej e r c ic io 8 7
1
\y — 2
U
5.
b - 2
d e s o lu c io n e s
- 3
j,.8
|n — 4
\y
*■ -
■
1
f e
y— 2
1
11. C o n j u n to in fin ito
>4
--2
d e s o lu c io n e s
19.
« -i
2
y— 4
12. N o h a y s o lu c i ó n
.5
Ej e r c ic io 8 4
9.
U -i
u ——
6
_2
m -2
1
n -2
¡ J 14
[y- 0
10. C o n j u n t o in fin ito
*1;
(n -5
6.
f
j* -V 3
■3
- i;
e
5
15I:
2
ffjn 12. N o h a y s o lu c i ó n
16.
E je r c ic io 8 8
180
9 -I
3 .0
l.la b -a 2
4 . 39
8 . n2 -3 m n
■i 4 5
a+b
a
6. —
| P r im e r a p a r t e - 3 5 0
12.
I S e g u n d a p a rte = 2 0 0
140°
■i 4 0 D
x -2
x+5
* l:
■C
I 5 | A l e ja n d r a tie n e = $ 1 2 0
4.
Ej e r c ic io 8 6
y—
8.
‘ 3
1^
30
1
ma+b
2 3 > - fl+
Iya - b
i- 2
'2
5. —
*--3
I B e a triz t ie n e = $ 5 0
7.
6
l„ - 2
(6 - 0
5 I $ 8 0 p o r a d u lto
^
| $ 5 0 p o r n iñ o
m — 2
2-
«— 3
a — 2
3
•
- !
i
7.
9 . C o n j u n t o i n fin ito d e s o lu c io n e s
I L ad o s ig u a le s - 19 c m
g
1 0 . N o h a y s o lu c i ó n
I A g en d a-$ 7 5 0
lg
I H e r m a n o - 15a ñ o í
| A n to n io = 5 a ñ o s
10.
73
1 2 . C o n j u n t o in f i n it o d e s o lu c io n e s
11.
I c a r i o s te n ia $ 3 0 0
I G a b r ie l te n ia $ 2 0 0
438
1 G a l li n a s = $ 3 0
1 B o rreg o s= $ 3 0 0
I9
(T ra d u c to r-$ 5 5 0
165
7
1 7 1 2 5 g a llin a s
|B a s e - 1 0 c m
1 1 . N o h a y s o lu c i ó n
'- 3
L an ch a: 10 k m /h
C o r r ie n te : 1 k m / h
1 19 b o r re g o s
” " _ 3
2
6.
6 . 5 m o n ed as d e $10
9
C
N r-i
■ ■
a. o-
=
8.
6 -5
x— 7
y-1
:- a 2
m b2
■1
5
Ej e r c ic io 8 5
2 .6 2
22.
— 7
1
rx--
1 .2 3
\ [X
mb
y -a
1
3
8.
-
21
- 3
d e s o lu c io n e s
U -3
b -4
xm w
ym s
11. N o h a y s o lu c i ó n
U -1
20.
1-1
■
2
1 m -3
3
3
- I;
■i” .
5
i> - 3
b —4
! >
* -2
9
y -3
2.
x - 3
10. N o h a y s o lu c i ó n
-1 2
3
17.
— 2
(;.r
■ I” . 4.
r , - 1
9 . C o n j u n t o in f i n it o
I Á l^ b ra L =$120
I G e o m e tr ía A = $ 9 0
20.
1 12 .5 I t d e l a d e 3 0 %
[ 3 7 .5 I td e l a d e 6%
| V e ra c r u z = 0 . 7 5 k g
21.
| C h i a p a s = 0 .2 5 k g
Solucióna losejercicios
_ 3 ____ 2_
Ej e r c ic io 8 9
*-8
X -7
ym 3
7.
2-1
x+3
4 -x
- i—
■V- 6
2 -4
J L
x -2
2x+7
1
d -6
fl-5
e— 2
2.
8.
/-3
3* - 2 " ( 3 * - 2 ) 2
6— 2
c— 3
12. - - - í — + —
x
m - 7
9.
x -3
1_
x -2
x + l
1
2
n -3
r-1
2
1
x+4
3
+3 + x - 2 " ( x _ 2 )2
x
"3
15. - + — - — + — —
” 3
x—
1
'■ 3
2— 1
4.
x + 2
2
x-3
>-— 3
1
3.
3
10.
y-3
2x - 1 x - 3
x
4
, , 2
3
4
16. - +
+ -------x
x - l
x+2
2-2
1________ 1_____ 5
2 x + 3 ~ 3 x -2 ~ x
m — 3
n— 2
r ■-1
11.
x -3
_ J _ + J ------
J--4
2 -5
_ 2 ______ 6 __
x+ l
x+3
x -2
3
x + I~ 2 x + l + x -2
1
1
a—
2
1
1
( x + l)2
*+'
( x + l)3
4
6.
12.
3
- i
1^
c -1
"2
21. 1
*
1
P a r e s d e c a lc e ta s = $ 5 0
H e la d o = $ 4
3.
D u lc e = $ l
P a n ta ló n = $ 5 5 0
Ej e r c ic io 9 2
P la y e r a = $ 1 2 0
*
C e n te n a s = 8
C a m is a = £ 3 0 0
P a n ta ló n = $ 5 0 0
P la y e r a = $ 4 0 0
4.
x2 - 3
1
D ecenas= 6
.
x -2
3x*+1
U n id a d e s = 2
x + l
N ú m e ro = 8 6 2
J L .+ i= L
x -2
Ej e r c ic io 91
3
x + l
x-l
—-— + — -—
3x - 7 2 x -3
1
5 x -4
2
1
5*+ 4
6.
7.
8
6
2x+ 1
1
x + 3
8.
3
2x+ 5
2x + 3
x2 + x + l
x + l
7x
x2 + 5
x2 + 3
x2 - 2
x -3
x -3
x+ 2
2
x2 + 5
x -2
8
x2 + 5 x -3
x
3
3 x-1
x
- l
x2 + 4x + 5
439
1
| 5 x -l
2x2 - 7
1
x2 + 3
x - 2x -
—
x -4
2 x -l
1
x - l
x
_ 3 ___ 1_
x -l
1
7 I _ * + 3 • *+1
1_
x +2 ~ x - 5
5 .-
^ + 1
2
x2 + 5 ~ x2 - 7
2
»-•
1
( x + 3 )2 + ar + 3 ’ ( x - 3
P a le ta =$2
2.
2
( * - .f
1
22.
Ej e r c ic io 9 0
3
1
+
1
2 x -4
1
f * * '3
Á lG E B R A
12. —+ —
EJERCICIO 9 4
- r -—
x^ - 3
1
2x+l
y_
i
2.x*
X
13.
X2 + X - 1
19. 1 6 /°
l l . ( x + 3;»)«
20. x2 + /
3 . xc*y*
12. / 2
21. ( x - 2yf
4.
13.
i'3 - ' )
x -3
14.
1 0 .1
l l
1
5
5.
x+1
1
x2 + 3 x + 4
(x 2 + 3 x + 4 ) '
a3b2
22.
4z
15. — + — !---------- —
* +1 /2
x2 - 2
16.
(Ax3
2x2
23.
1
6 .c
24.
15.
x V
,7v
"
7. 6 * y
x2 + l
+1
i'
3x4-1
19.
(* H !
5 x + 17
20.
y2
9.
1
17.
1 4 - 34x
Sb¿>12
8
2 6. x + >>
18. m V
27.
EJERCICIO 9 5
1.27 -54 x+ 36 v2-8x3
2. 1 +4 x +6 j 2+4zí + x 4
3 .x3- 6x2>>+ 1 2 x / - g /
2
13. a8
6. 16 -32x+ 24v2-8 x 3 + x4
2 5 .1
b2
7 . x10 + 5 x * / + lOx6/
26 ?
. - ^
625
+ lOx4/
+ 5xV + / °
_ x 5 5x4 5X3 5x2 5x
+
1
8 . --------- +
32 16
4
2
2
2 . l ó x 2/
3
8
5 .x6-6 x 3+ 15x4 - 20X3 + 15x2- 6 x + 1
Ej e r c ic io 9 3
1 .2 7 /
4
“
9 81~ 2 7 + 6~~ " ¿ " ‘"íó
* 7
10. x9 + 15xV + 75x3/ + 125/
4 . - 2 1 6 X 6/
28. (x + 2 > )6
„
* 7
5 . - 3 2 * 30
1
1
V
1
3
12 1 ,
3
Sx3 16x4
6 . — m ~*
16
"
i
3
i
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5
l
15
32X6
128x7
-
32. 1
9. - 1 5 /
2 1 .-9
3 3 . o 2* 2
2 2 .2
3 4 . 7 2 a 13
a 7*7*7*7*7* "
10
7
2
5
3(3 x )s
9(3x)3
oo
3
1 1 .x
- 7
-mn
1 6 .-7 +
* - = ?
. 32 +
2 -----T
9x3 81x3
_ L +_ 2 L +_ z z _
7 + II +
15
2x 4
4 4 0
oo
I9 - ¿ ^ °
2 0 . 16x4
12 .
l
18. —
8 . 1 6 flV
10 . x /
1
x4 + ~6+ ‘ +
2 9 . 108a9
I7 ’ 17fl4¿
1
8x 4
ló x 4
1
25' x4/
4 x ,0zu
16
y
y*
«V
x2 - 2 " " x2 +1
.
I
y-x
/ - /
16.
8. 16a*2
18.-5-______ !—
b3 -a 3
a3 *b 3
8
8 l(3 x )a
80
1155
128x 4
U
243(3x)j
x2 - ^ * /
*y
Solucióna losejercicios
Ej e r c i c i o 9 6
Ej e r c i c i o 9 9
5 .-2 5 3 1 2 5 0 0 Ü T 5
1 . 127575a5
,
2. — a4
8
i. «
1792
3 . - 4 3 9 0 4 0 a 5/
2 . ’V ?
i o . 5> ¿ ? - &
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Ej e r c i c i o 9 7
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6 . > /* V
1. 16a4 + 3 2 a 5 + 2 4 a 2 + 8 a + 1
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2 .2 1 8 7 - 10206y + 2 0 4 1 2 / - 2 2 6 8 Q /+ 1 5 1 2 0 / - 6 0 4 8 / + 1 3 4 4 / - 1 2 8 /
7 .7 ^ 7
1 5 ' l /(
3 . a 8 + 8 a 7 + 2 8 a 6 + 5 6 a 5 + 7Qr4 + 5 6 a 3 + 2 8 a 2 + 8 a + 1
4 . a 6 - 6 a 5 + 15a4 - 2 0 a 5 + 15a2 - 6 a + 1
,\2
*
)
|
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16. J i m - '- » - 2)
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8. 3 1 7 1 7
5 . 3 125OT5 - 6 2 5 0 m 4n + 5 0 0 0 W lV - 2 0 0 0 otz« 5 + 4 0 O n n 4 - 3 2 / í 5
6 . / + 16fl76 + 1 1 2 a V + 4 4 8 a V + 1 120fl464 + 1 7 9 2 d V + 1 7 9 2 a 2¿ 6 + 1024a¿>7
Ej e r c i c i o 1 0 0
+ 2566®
7 . a*2 + 3 0 x * °y + 3 7 5 a 8/
+ 2 5 0 0 a 6/
+ 9 3 7 5 a 4/
+ 1 8 7 5 0 a 2/
1 .2 7
+ 15625/
21
7
1
s * 7 . 7x5 . 2 1 a 3 . 3 5 a ¿ 3 5
8 . ----- + -------+ -------- + -------+ — + ------ + -------+ —
128
64
32
16
8a
4/
2/
a7
9 . a 5 + 3 a V - ó / + 3 a / - 12xy + 1 2 a + / r 10
S r7
y
y
6 / +
I2y -
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1 1 .3 m V
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14.
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443
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1 6 .4 - 10/
2 1 .2 + 3 /
12.0
17.1
2 2 .4 + 5 /
1 3 .-1 + 11/
18. - - + — /
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1 4.3/
1 9 .4 -3 /
Ej e r c ic io 1 1 6
1 .-1 7 + 6/
2 .5 + /
1 3 .-8 -6 /
1 4 .» -!/
400 5
8 .-2 + — /
2
3 .6 + 4/
4 .1 - 3 /
9 .6 + 18/
10. - 2 + 10/
15.32 - 126/
1 6 .4
5 . - 3 + 4/
ll.- y + 4 /
17. - 5 + 13/
6 . - 1 + 2V6/
1 2 ./
18. - 3 + 4 /
Ej e r c ic io 1 1 9
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16. - 5/
31 .3 + 2/
2. v'41
3 2 .2 - 4 /
19. ( a + b i)( a -b i)- -=a2 - b 2¡2 = a2 * b 2
3. %41
= R e(z)2 + Im (z)2
4 .3
5.45
2 0 . ( 1 + / ^ ( 1 - / ) " == ( . - ^ r = ( . * * r
6. v'85
21. m»2" = ( l + /)2" = | ( l ♦ I1)2 J = (2»J° si n es par,
8.45
18. (2 .-1 )
19. (0 .3 )
33. 1 + 8/
3 4 .2 - 9 /
35.4
H
*
2 1 .- 2 - 6 /
36. 11
22. (- 1 .1 )
3 7 .- 4 + 6 /
2 3 .-2 - ü /
3 8 .7 - 6 /
entonces n = 2 k con k e Z , sustituyendo:
< * r = ( * ) “ =<«
- M
9.42
* ■ (- • • <
' « •VJJf
= H ) 5(2)“
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12. V il
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1 3 .5 -4 /
2 2 . H ^ = ( l + / f =■
[ ( . ♦ / f J = ( 2 / ) ' = (0 .2 )“
14.-5
l
2
3/
25 a 30.
No se incluye
la solución
39.1 + - /
3
40. f /
o
4 1 .1 1 = 2
13
4 2 .2 ± í
5
43. 1
44. —
12
Ej e r c ic io 1 1 7
5
_ 5-12/
2. ———
5
_ -2 + 3/
9. — —
2
3 .- 3 - /
i o . - , 3 ' 9/
5
1 - 1 - 2 4tí
5
l l . - 2 + IL'
25
13
5 -4 2
6. 1 + /
7.2±i
1 5 .1 -/
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l.i= l
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Ej e r c ic io 1 2 0
p -129-107/
10
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3
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2 . * — 9 ,^ - 3
7 . z í - 6 , z 2- 4
3. x, " - ó .a j « - 5
8. x, « -20, x 2 -12
4. y , - 3 + / , y2 - 3 - /
9 . * , - - l + 2/,*2 — 1-2/
5. >f| - - 5 , h 2»8
1 4 .-/
2
4 4 4
1 0 .^ - 1 .x , — j
Solucióna losejercicios
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10.
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20 . *
1 5 .* ,— i . * , — ¿ i
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22.
16.
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11.
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* - 5
17.
23.
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10
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12.
24.
18.
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1 1 .*,=
1 .* ,= 3 ,* ,= 5
13.
12 . * ,
2 . * , = 3 ,* j = - 2
1
3
1
3 . * ,= - 4 ,* * = - 2
13. w, = 0, *2 = 5
4. x ,= 5,X2= - 3
14. z,
3
.
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19.
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20.
* — 5
21.
15.
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2&
7
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25.
* 2" 7
14.
0. * = - -
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- - 7
* , — 3 \¿3
2-5V 3
* 4
1 7 .*, = - 5 ,* 2 = 5
7. * , = — , * = 1
Ej e r c ic io 1 2 4
18.*,
8 .* ,= 3 -> /7 ,*2 = 3 + >/7
1
1
■ I^ = 2
* -0
6.
*2— 6
1 9 .*,
9 . x l = - l - y ¡ 6 , x 2 = - l + >¡6
10.*, = 2 - / ,* * = 2 + /
2 0 . h ,
4
4
a
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* ,- 0
* -0
2.
; — .* * * -
7.
* -2
Ej e r c ic io 1 2 2
5
* 2" 7
1
* 2" I
* ,- 0
8.
3.
* ,- 0
* 2 - 5
1. R e a le s y d ife r e n te s
2 . C o m p le ja s
*i-o
3. Complejas
4.
4 . R e a le s e ig u a le s
* ,-o
9.
2
* - 3
*2 — 8
5 . R e a le s y d ife r e n te s
6 . C o m p le ja s
5.
* ,- 0
10.
*2 - !
7 . R e a le s y d ife r e n te s
* ,- 0
*2 - 2
8 . C o m p le ja s
E je r c ic io 1 2 5
11. Complejas
1.
X1— 2
1
4
a
*2 " 2
1 2 . R e a le s e ig u a le s
2
* — 6.
* -3
11 .
2
* 2" ¡
E je r c ic io 1 2 3
*2 - 6
* 1-
J * ' - 1
* ,-!
-9
* 2 - 10
* - 3
i* --1 0
2.
* ,- 8
*
5.
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13.
*2-1
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*2 -6
1
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4 .I* - 8
H*! ■-'/7
9.
14.
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5.
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10.
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9 . R e a le s y d ife r e n te s
1 0 . R e a le s e ig u a le s
15.
r.r
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 1 2 6
J2
7.
[ A lf r e d o » 4 a ñ o s
2.3 0
y
12
4 . 1 2 , 1 4 y 16
15. r = 4 c m
14
V *2 -7
5 .1 y 5
16.
10.
8.
[ f i l a s - 13
20
9.
12
1
[ á r b o l e s » 15
14.
?
x , . x2 -
1 3 .7
3 .3 .5 y 7
6 .5 y
* +*2 — 3
x . +X j- l
[ A l e ja n d r o = 8 a ñ o s
1 . 2 7 y 15
* ■ * -3
\*l+ *l—
\* i *2-'2 o2
Eje r c ic io 1 3 0
[ a n c h o = 16 c m
1. x2 - 9 - 0
6 . x2 + 4 x + 2 9 - 0
2 . x2 + 7 x - 0
7. 2 x 2 - 5 x + 2 - 0
S V + ló -O
8 .2 0 x 2 + 1 9 x + 3 - 0
4 . x2 - 5 x +4 - 0
9 . X2 + 2 b x - i b 2 - 0
5 . x^ + S x + lS -O
1 0 . x 2 - 7 a x + 10*i2 - 0
17. 3 9 añ o s
I la r jj) - 2 0 0 m
18. 5
[ b a s e - 125 m
segundos
Ila r g o = 2 5 0 m
1 9 . 7 .5 s e g u n d o s
[ b a s e - lO O m
g
[a ltu ra =
10 m
20.
(b ase -30 m
[p rim e ra lla v e = 8 h
9. 3 ,4 y 5
2 1 . $20
10. 9 6 m 5
22. 8 , 6
11.
Eje r c ic io 1 3 1
[ s e g u n d a l la v e = 2 4 h
10 u n i d a d e s
I a lt u r a = 18 m
7 .x -3
8 .X -7
14. x - 1
9 .x — 1
15. x - 3
3.-13
2
[b ase- 5 4 m
Ej e r c ic io 1 2 7
1 .K ( 2 ,- 2 )
1 .x -4 9
2. x - - 8
,3 ”
y
x¡ - , , * j “ 3
4. x - 5
lO .x -1
1 6 .x — 2 ,- 7
5 .x -5
11.x
1 7 . x — 1,1
6. x - 2
1 2 .X - 1
—4
1 8 .X - 9
Eje r c ic io 1 3 2
2 K í- f )
1. (0 ,0 ), (4 ,4 )
2 . (0 ,3 ), (3 ,0 )
3
4 .
3 .( 3 ,- 3 ) ,( - 3 ,3 )
4 . (2 ,4 ), ( - 2 , - 4 )
- 2 , * j m<¡7 -2
K (- 2 ,- 7 )
5 . ( - 3 , - 5 ) , (5 ,3 )
5. v ( - 1 ,4 )
x ,- - 1 +
2i,x2 — 1 - 2 /
x ,- l,x 2 - l
7. v [ 2 , 9 )
x ,- 2 + 3 /,* j- 2 - 3 /
8 . K ( 5 ,0 )
x ,-5 ,x 2 - 5
9. K ( 0 ,-9 )
6 . (3 ,2 ), ( - 3 , - 1)
7. (4 ,3 ), ( 4 , - 3 ) , ( - 4 , 3 ) , ( - 4 , - 3 )
6 . K ( 1 .0 )
U
){
3
)
9 . ( 2 , 4 > £ ),(2 , - 4 v '2 ) , ( - 2 , 4 v S ) , ( - 2 , - 4 v ^ )
* ,- 3 í,* j- - 3 /
» . (7, - 7 ),( - 7 ,7 ) , (2 n7 ,V 7 ) ,( - 2 n^7, - V7)
10
K( i -I )
3
11. (4 ,2 ), ( - 4 , - 2 ) , (5 ,1 ), ( —5, —1)
Ej e r c ic io 1 2 8
1 .5 0
y
12. ( 5 ,l) ,(-5 , - i ) , ( - n/3, 2 ^ 3 ) ,( A - 2 n/3¡
6 . 1 9 c m y 19 c m
50
13.(1, l ) X - l , - l ) , ( - 2 , 0 ) , (2 ,0 )
2.-10 y 10
7 . 5 0 0 q 'e m p la re s
3 .2 0 y 20
8 .20 p e lo ta s
4 .
55
y
55
14. (3 ,2 ), ( - 3 , - 2 ), (4i, i), ( - 4/, - 0
9 . 3 5 c a ja s
10
5 . 7 2 p ie s
( 5 6 .5 c m
16. (3 ,6 ), ( - 3 , - 6 )
[ 4 3 .5 c m
,7.(2
E je r c ic io 1 2 9
*1 + *2 “ 0
3.
18. ( - 2 , 1 ) , ( 2 , - 1 )
* l* * 2 ml
*1*2-0
5.
W
6.
x ,x 2-6
17
2.
X\ * X2 “ 0
25
4.
- f
*t'*2m0
* i + *2 - 4
( ~ 1 , - 4 ) , ( 2 , - 7 ) , ( 1 , 4 ) , ( - 2 , 7)
*\ '*2 “ 3
4 4 6
^
17
Solucióna losejercicios
Ej e r c ic io 1 3 3
1 .( 3 .- )
21.
2. - . 3 )
22. - . 1 3 ]
3. - . - 4 )
23. - 2 .3 )
4.
24. [ - 2 1 '
2’2,
5. - . - 7 )
25. [ - 3 .- 1 ]
6.
26. [ - 9 ,- 1
-H
7.
H
00, 1o ]
29. - 2 .4 )
10. -
00. 5 ]
30. [-4 ,1 )
- i]
14.
2. - )
32.
ll- ( - 4 .- 2 ) u ( l.~ )
5. ( - , 3 )
12 ( — - 2 ) u
6. [ - 3 .2 )
13.
4. ( -
00. - 4 )
5 . ( - 3 ,0 ) u ( 3 .- )
3 - (— - 2 M - 1 . 1 )
6. ( -
00,-2 ) u ( 4.oo)
Ej e r c ic io 1 3 7
_ 1 19
2
i
10 33
3 ’3
37. - 1 4 ,- 2
i
i
38. - 2 .4 ]
6]
19 l
-3 -J
12. ( - 00,-2 ]u [0 .o o )
4.
13.«
- H
5 .( - .3 H 5 ,- )
1 5 .( - í.° ) u ( ° .4 )
M
7. [- 9 .1 0 ]
8. ( -
[ “ •!)
" (i- )
3 . ( — .l ) u ( 9 . ~ )
9 19]
2* 2 J
39.
40.
2. ( - 7 .7 )
00,-4 ) u ( 20,oo
17 .(-o o ,0)u (4 ,o o )
9. [2 ,1 8 ]
Ej e r c ic io 1 3 4
1. - 3, 3)
7. — , 0 ) u ( 4 , - )
2. [ - 4 4 ]
8. - , - 4
3.1 - , - 5 ] u [ 5. - )
9. |
4.1[ — , - « ) u ( 6 . - )
10.
5.
l l . l [ - 00,-4
6.1
6) u ( 1, 4]
2 - [ 2 ,~ M - 2 )
21 1
36.
21, - )
H]
|.4 )
7 .( - ~ ,- l] u ( 3 .~ )
. ” 2 ’2 )
.
18. [ 6, 00)
20.
4 . ( - ~ ,2 ) w ( 2 .- )
1 .[ - 2 ,- l] u [ 2 .4 ]
[M
i
5 5J
35.
16. ( 6. 00)
19. - . -
2 ) u ( 2,4 ]
Ej e r c ic io 1 3 6
34.
17. [ -
9.
33. -1 6 .8 )
H
15.
8. (- 1 ,3 ) u ( l l , » )
10.
31. -1000,100)
H
13.
*(-!)
28. [- 2 3 ,- 1 0 )
9. -
12.
4i-J
27. - 3 ,3 )
8. — . 2 )
11.
Ej e r c ic io 1 3 5
[!-)
Ej e r c ic io 1 3 8
2.
[+ )
y - 6
[-H ]
12.1[-0 0 .-1 ;
447
8.
6.
y~ 3x-10
/
/
2x-3 y-9 /
y
9.
2.
7.
3.
8.
10.
11.
4.
9.
0<x<3
-X
12.
5.
4 4 8
10.
y
r
Solucióna losejercicios
11. - l o g 4 3 + l o g 4 * + 21 o g 4 ,
Ej e r c ic io 1 4 0
12. 21og(*+ , ) + l o g z
1. 8 - 2 *
13.1ogl7a - 2
2.
14.
16 = * 4
3.81
= 34
log5 62 5 -4
1 3 .1 o g * - lo g ,
15. log* 4 - -
14. l o g a + l o g 6 - l o g c - l o g ¿
16. logj, 1 - 2
4 .1 - 6 36
lo
5 .9 - ( V 3 j
1 5 .1 o g j( * + , ) - 4 1 o g j ( * - ,)
16. 2 1 o g * - l o g ( * - 3 ) - 2 1 o g ( * + z)
1 7 108f U ' - 2
6. 343 = 7*
18. logj ( * + 3) - 4
7. ¡6m (af
19. logj 256 - *
8. * - 1 = 3*
20.
9. 625 = w*
21.
10. 128 = (x- l) 7
22
11. 243 = (3xJ*
23.
12. 256 = ( 2 * - l)8
24' 1^ 2 , 441- 2
17. l o g ( * + 3 ) + ^ l o g ( , - 5 ) - 2 l o g ( * + 6 ) - 1 l o g ( , - 2 )
8 -3
18' 3 ' 3 +| lD(X+l) +¿ In(X" 1)
log, z « w
19.
1. x= 5
9 ./ - 5
y =3
3-
4 * =5
17.
1 1 .* = 3
1 8 .,= - -
1 2 .*= i
9
6. a= 343
13.6= 2
z<
21. log, v’* V
30.
22. In8z4*
3 1 .ln- "
19.
*= -6
i* * #
23. logn4 vm2
32.
24. logj 3-4‘
fe**4
33,'ogj I—
log
25. log^
34.
log
35.
log-
*= -3
“M
7. *=81
ln - y
*7
(* - y f
16 " = - f
10. N= 8
5. * = 4
2 9 .1 o g íí¿
15.*= 3
8. m = 8
2 .x = 4
28' ^
2 0 .1 o g £
log, 12 5--3 *
Ej e r c ic io 14 1
\a25x1
í* * * )*
14.*= 2
26.
£
log
1.41og„7
27.
logj —
2 .- -lo g , 3
Ej e r c ic io 1 4 3
l
10*6
ío *’***1(* + 1]5
^
Ej e r c ic io 1 4 2
y*
1.* = 1
3 . - + - lo g *
3
3
3 lo g j
6. 8
* +2 1og3 y + lo g j z
3 .* = 9 , * = - —
1 2 .*= -1
5 .* =
1 3 .* = 0 , * = -3 5
1 4 .* = 6
6 ,* = -6
6 .* = 13
7. *= 4 0
g ,7 - 2 lo g ,x
2
9. ln * + 2 1 n ,- 3 - 4 1 n z
1 0 . l o f e 3 + 3 lo g 5 * + 6 l o f e ( 1 - 2 * ) -
9
4 .* = 17
7. 3 1 o g (* + , ) + l o g ( * - z )
2
11. * = 8 , * - —
5
+21n3 +41n*
8. l o
9 .* = 17, * = 7
2. *=-20
4 . lo g 5 + lo g * + 2 1 o g ,
5-
“ (gfj
8. *= 25
log,2 -
y logsx - log^ 2~yt)
4 4 9
1 5 .* = 3
.6 ,x = .2 .,= l
Á lG E B R A
e +l
e' +3
2 5 .* = -----2-4*'
1/. *= 5
2 1 .* = — «•-1
18. *= 6
22.
19. *= 7
2 3 .* = 4
1 1 * 1 1 1
2 ' 3’4 ’ 5
2. 9.9, 9.99,9.999, 9.9999, 9.99999
20. *= 4
2 4 .,= ^ - '
V e-1
3 2 5 10 17 26
’ 4 ’ 9 ’ 16 ’ 25
EJERCICIO 1 4 6
x= 4e
2 6 .* = *
Ej e r c ic io 1 4 4
\ .x —4
4 .41 .52 . 3M 7. 2
1 9 .- 4
2 0 .* =
V6 , * = - \ 6
log 3
s . i . M
. ^
2 6 24 40
6 .- 1 ,4 ,- 9 ,1 6 ,- 2 5
7 .0 ,0 ,2 ,6 ,1 2
3 .* = 0
2 1 .* = 3 ,* = - 1
4 .x ——
2 2 .* = 2
5 .* = 1.20557
2 3 .* = - 2
, o. i . - i . ! , - * . !
3 2
5 3
6. x= 2
24. * = - ! ,* = -2
11.2,5,11,23,47
7. * = 3
2 5 .* = - 1
1 2 .1 .1 ,1 ,1 ,1
2
2
2
8. * = 2
2 6 .* = 2
13 1 _ I _ 1 _ Z _ ! 2
3 ’ 3’ 3 ' 3’ 3
9. *= -1
2 7 .* =
1 4 .2 7 ,- 9 ,3 ,- 1 ,1
10. *= 3
2 8 .* = 0 ,* = 2
n y - 2 log 2 + 3 log 5
2 log 5
29. * = 21og7+ log5
21og7- log5
12. *=-1.72683
30.
« S ..- 2
31. j»= ln 11 - ln 13
14. i = 3
3 2 .* = 2 ,* = 1
15. x=-4
33. *■ ln$2
16’ x ~ |
3 4 .* = 0
3. S I
140
4. 126
1 7 .* = 3
3 5 .* - ln ( l- > £ )
5 . n/7-1
2
1
2
3
4
5
8 " 2 ' ” 3 ' _ 4 * “ 5 , "6
9. 1 ,2 ,3 ,4 ,5
1082
2 log 2 - log 3
1 5 .- 1 ,- 1 ,- 2 ,- 6 ,- 2 4
16.
-2,4,1 6 ,2 5 6 ,6 5 5 3 6
* =0
2^3
1 8 .3 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1
Ej e r c ic io 1 4 7
1.48
2. 165
6.
8.21
9. n2
10. " ( " ' l
2
11. c= 3
12. c= 1
18
13. c= 3
36. * ■In >¡5
—
7 "7
Ej e r c ic io 1 4 5
1.pH = 4.7212
2. pH = 3.2218
3 .1 x 10"9
4. 4.3010
5 .0.9 segundos
6. 3500 micrómetros
7.59.46%
8. 6.4321 años
- f
Ej e r c ic io 1 4 8
9.138.62 años
10.18321 habitantes
11.3.5 horas
12. 29.15 años
13. T= 64.762°C
14. T= 94.84°C
15./= 133.9 min
1. Si es
7. a, = 23
13.«,2 = - 5
19. n = 9
2. No es
8, <*,, = 1
14.
20. r= - I
fll8 = 454
4
3. Si es
9. a,5 = ^
4. No es
10. a)0= 55
15. fli3 = -2 7
1 6 .4 /17
=H
21. au = -28
22.4», = -1 5
4
5. Si es
l l . f l l6 = ^
17. a , = 7
23. n = 10
6. Si es
12. *»7= 48
18. r= - 2
24. a , = 7
450
Solucióna losejercicios
25.
o, =
6
n = 10
26.
27. r = —
4
29.07 = 8 n -5
2
3 0 .» , = ^
19.
o, = 2
23. n =
5
27. o4 =
m
2J
O
Ej e r c ic io 1 4 9
20. ^ = 4
24. n = 8
r= -
2 5 .ix = 9
21.
2 8 .o „ =
3
1. 5¿ = 176
2 .5 9 = 9
3. Sa= 31
6 .5 I2 = 450
7 .5n = 0
8 .5 = 40600
11.5= n2
12. n= 12
13. n= 10
4.5^=648
n(n + l)
9. 5 = —-------
14. o, = - 9
5 .5 ,,
10. 5= n(n+ 1)
15.fl, = 2,o ,= 100
=-7 8
2 6 .,, = !
4
Ej e r c ic io 1 5 4
5 . 30388
' • 4
r '
9 ,3 ,1 ,- 1
Ej e r c ic io 1 5 0
1. 365 lugares
2.518 ladrillos
3. $1375
4. 9 rollos
5. 18 filas
7 . $ 3 3 9 8 1 4 .7
3 .3 ,5 ,7
4 .6
8 . 67392
células
9 . 4
bebés
cm2
1. 2 7 - , 3 4 .4 0 - , 4 7 ,5 3 2
7
3 . 5 ,
2 . 6 ^ , 8 , 9 ^ , 1 1 ,1 2 ^ ,1 4 ,1 5 ^
,,S - =
=^
2 .5 ,
2
*\t
ii
¿?
Ej e r c ic io 1 5 5
Ej e r c ic io 15 1
2
6 . o , = 2 5 0 0 0 ( 1 .0 5 )
células
2 .4 0 9 6
bacterias
1 * .,
, , , =^
486
=- 8
5 5
13. n
=8
989527
4 - 5 io -
3 115-,f- 2- 2Í 2!
4. 1 -, 2 - , 3 - ,4 - ,
2
2
2
2
55 S5
5 - , 6 - , 7—
2 2 2
.J
14.
2187
2
3 2 786 7
-
r =—
1 5 .0 , = 2 7
6 . 5 I8 = 5 2 4 2 8 6
5 . - 2 5 , - 2 , - 1 .5 ,- 1 ,- 0 .5 ,0
. 5 4 1 1
7 . 5 ,2 =
1 0 9 2 + 3 6 4 v '3
1 7 .0 ,
=-2
6 ’3' 6
7.
P ro m e d io
= 8 .2 4
8 . 5 ,0 = 3 1 - 3 1
4 l
18.
r= 2
o o
9-J “ "
Ej e r c ic io 1 5 2
1 .8 a ñ o s
n 2'
-»
19. n = 7
n - 1
10. 5 , = 51 1-2 "J
2 . 9 . 8 d e c a lific a c ió n
3 . P ro m e d io = 9
a.
Ej e r c ic io 1 5 6
+o
4 . P r o m e d i o = —------ —
triángulos
personas
3 . 6 5 7 6 1 . 7 ton.
1 .5 4 6 1
5. 7 hileras y constan de 80, 76 ,7 2,68 ,64 ,6 0,5 6 tqas
6. 8 hileras de 58,62,66, 70,74, 78,82 y 86 tejas
2 .1 2 7
paitos
% por año, 1 1 0 . 4 millones
4 .3 4 3 1 6 .7 6
Ej e r c ic io 1 5 3
5 . 1 .0 1
1. Si es
7. o6= - 81
13. 0,2 = —
243
2. Si es
8 „ - 128
14. 09= m24
3. No es
9. o5= - 80
15.o,0= nu
128
1. 5= - 4
n+ 1
8 . 5 = - cm2
3
9 . 5 = 2 0 4 8 cm2
3 . 5 = 9
5. No es
6. Si es
“ ■ - "" S í
n“
-T ¿
6. r = 5
ll
10. a7= —
Ej e r c ic io 1 5 7
fN
4. No es
"“ “ - S i ?
17.fl,J= 227*-16
18. a,= o ,r16
5 . 5 = *
8
451
Á lG E B R A
Ej e r c ic io 1 5 8
2.4.1 i
11.3 sfc
3 .- 6 ,- 1 2 ,- 2 4 ,- 4 8
12. -4>/2
4 .6 ,2 4 ,9 6 , 384,1536
13.5>/5
5 .6 ,6 ^ 3 ,18
2 8 32 128
14. 12
3 9
3 - 9 31 J n i 1 3
A
1 - 4 8J
-8
4. A+B .
6
25 -30
5. A+Bm
15.^36
' 3 ' 9 ’ 27’ 81
7 .- 6 4 ,- 3 2 , - 1 6 ,- 8 .- 4 ,- 2
3
17.3V3
9.a,2,~
a
,
3
2
A-Am
0
0
0
0
0
0
0
0
■ 1. $17483
11.
25% trimestral
2. $64390.28
24 -0 8 -
110% anual
13. 14.86%
14.7%
15.11.1 años
16.9955 habitantes
17.3 años
18. $655446.5
19. 3%
20. $12244.5
3. $49783.2
4. $43346.6
5. $13324.4
6. $18824.8
7. $1292.2
8. $8723.2
9. $8682.5
10. $188542
, 4 4 -3 8 »
26
-
14
3
1
8
8
-6
_3
5
3
2
19
27
_8
5
!0 »6 í4
,4
§
o
6. { a - 7 ,¿ « 2 ,c - 2 ,d - 5 ,v — 3 ,* - 4
7 . { « — 3,wm-lO .x -3 ,^ -6
8 . { v - 4 , h>— 2 ,x - 3 ,.y - 7 ,z - 2
Ej e r c ic io 1 6 3
5
-5
1. ABm -2 ],BAm
Ej e r c ic io 1 6 0
1. $55700.19
2. $3652.26
3.25%
4.8%
7
5
1
3
19
3
23
5
-1
4
1. $25937.4
2. ABm 5 - j ]
5. $156738.56
6 . 20 %
7. 10 años de vida útil
3 .B A -
5 -4
-5
0
-6
4 .ABm
Ej e r c ic io 16 1
\.a=2,b= - 1
2.x= -2,y= 4, z = 0
3 .f = 2 ,r = 1,t = 1,
4.x= 7,y= l ,z = - 2
1
5
i
5
4 4 - 3 8 - [2 6
6 -1 2
4 -8 -
4
20
- 2 ] ,4 - 4 - [ c
-21 - 5 ] ,2 4 - O S - [4
-2 -2
3.A+Bm 3 - 6
3
-7
-1
1
18
5
-33
-10
,2 4 - 0 8 -
2 0
4 -6
-4 j
0 0
i
-4
-8
84:
-21
-8J
84 =
7. ABm
íñ
4
BAm 1
2
-1
0
-3
7
5
3
8 .4 8 -
11 3 '
1 5'
17 - 3
4 2 ,4 ( 8 - 2 C ) 4 0 ,X ( Í C ) . 8 -2
2 0
-2 2
2
0
o o]
Ej e r c ic io 1 6 4
0 0
4 -4 - 0 0
4 -14
-43
-2
6
0 2]
-8]
3 V]
6. ABm
6
1 ^ - 4 [O
° °1
0 2h
4J - 4 °0 Oj
Oj
2. 4+ 8 - [ - 4 7 4 ] , 4 - B - [ 8
-5
5. ABm - 8
-2
E je r c ic io 1 6 2
f - 3 11 , 2 4 - 0 8 - í ” 6 21
0 2 j*
[ 0 4j
1
- 7 -7
-5
4A -3Bm
10
0
Ej e r c ic io 1 5 9
l.Á + B '
-2
16.8^2
27
9
¡
_51 >4 >4
-6J '
4 -6
0j D
8 b■
1611f ¿si
2 4—
-V
8 -12
7j
1
16
3
23
(> - !)' ( , - . f
8.
-
- 5
4A-3Bm
1
10. 1 , n/ 2 ,2 ,2 n6
D
1 .1 ,2 ,4 ,8 ,1 6
1.det4 = 22
2. detS- 8
3. detC= - 50
4. detD - 43
5. detE= 122
452
'I
8' 13j
Solucióna losejercicios
Ej e r c ic io 1 6 5
Ej e r c ic io 1 6 7
1 .(x - l ) y ( x - 5 )
J )
2 . (x + l).y (2 x + 3 )
3 .( x + 2 X 3 x -2 ) .y ( x - 2 )
4 .( 2 +
2.
B-
I
3. C - -
4. D
7
7
12
3
-
2
10. R e s id u o 12
7.
7
11. R e s id u o 2 6 4
1
1
6
6
2
1
1
6
6
2
_1
1
1
2
2
2
_1
F
9 . R e s id u o —
5
1
6.
8 . R e s id u o - 2
.
5.
7 . R e s id u o - 7 2
6
■
12. R e s i d u o - 2 4 0
13.
5
8
4
_1
4
_ 2
i
-i
"
3
1
3
i
3 - 3
17
7. G - '-
2
-3
18
6
-1 2
5
-1 4
6
17
19. T b d o s s o n ra íc e s
17
17
4
17
17
_1
9. /
10
0
1
3
?
5
5
3
5
4
5
5
-1 0
2
4
6
-1 1
2
2 2 .2 = 2 + 1 ,2 = - -
-8
6 - 8
6
6
6
_1
_1
1
2
-1
6
18
-2
6
8
4 ,2 = ^
26./ W
1
=
2,
+ 4 ^ -5 2
2 7 . / ( x ) = x 3 + 4x2 - 9 x - 3 6
8J 3 + 2Z 2 - 4 3 2 - 3 0
24 - Sx3 - 13*2 + 1 3 3 2 - 2 6 0
3 1 . / ( x ) = 6 x 4 - 5 ^ + 7x 2 - 5 x + 1
3 0 . / ( 2) =
43
49
-1 9
1
6
-1
79
31
-6 7
-7 9
31
-1
6
6
6
-3 2
-3 8
14
-2
16
19
7
3
3
~ 3
2 /,x = - 2
2=
-3
-2
-1
_ 67
2=
25.
2 9 . / ( 2) =
19
6
24.
2 8 . / ( x ) = 3 x 3 - x 2 + 4 8 x - 16
49
-
21
_3
5
43
2 0 . N i n g u n o e s r a íz
17
34
1
k= 4,k=
18. T o d o s s o n ra le e s
-3
.
£
~5
16.
17. * = 4 , * = - i
3
-3
2
_ 22
_1_
8. H~'m
k=6,k=j
73
8
_1_
. 17
15.
'
12
_5 _
k= 2
14. ¿ = 3 , * = - 6
_5_
.2 4
l)> > (x + 3 / )
5 . ( 2 + 2 i) y ( 2 - 2 i)
6 .(x ),(x + i - / ) . y ( * + 2 + 3i)
.1
6
1 -1
3 2 . / ( x ) = 3 x 3 + 522 + 4 2 - 2
3 3 . / ”( 2> = X3 —X2 —X + 1
4 - 2 3 - 2 2- 2 - 2
6x 2 + 8x - 3
3 6 . / ( 2 ) = x 4 - 4 t 3 + I 62 - 16
3 7 . / ( x ) = x 5 + 2 x 4- x - 2
38 . 2 = - 1, 2 = 1, 2 = 5
3 4 ./( 2 )= 2
3 5 . / ( x ) = x4-
3 9 .2 = 5 ,2 = 4 ,2 = 3
Ej e r c ic io 1 6 6
4 0 .2 = 1 - ,2 =
, 2 = 4
*■5
i.! * " 5
\y— 2
5| « — 4
|n - 2
1.1— 11
u — 110
4.
5.
y m2
2— 1
41 .2 = - -
12= —2 + /, 2 = —2 —/
a=4
b— 3
2 -1
2 ,x = - 3 , 2 = 7 ,2 = 0
43. 2 = - 4 / , 2 = 4 »,2 = - 2 , 2 = 3
y— i
44. 2
c-2
2— 2
42. 2 =
= - ^ ,
2 =^ , 2 = -1
+ /,
2= -1 -
4 5 . x = - / , x = 1, 2 = - 4 , 2 = - 3 , x = -
453
/
Anexo: Ejercicios preliminares
Á lG E B R A
O p e ra c io n e s co n n ú m ero s e n te ro s :
1. 6 - 4
17.
-1 2
3
\5_
2. - 8 + 6
18.
-5
-28
3. 3 + 7
19.
4. - 5 - 7
20. - ( - 3 ) + ( 5 ) - 2 ( -
5. - 2 - 5 + 6 + 4
21. ( - 2 ) + ( + 5 )
f. —J1 —O
ft — R
. l SJ + + + /7
0.
5+
zz.
7. 8 + 6 + 3 - 5 - 9 - 2
23. 7 —( 5 + 3 ) — ( —1
8. 4 + 5 - 1 + 2 - 7 - 3
24. 5 - ( - 4 - 3 ) - (7
9. - 2 + 6 - 8 - 1 2 + 1 0 - 3 - 7
25. 6 - 2 ( 1 - 3 - 4 ) -
10. 1 - 5 + 9 - 3 + 1 6 - 8 + 1 3
26.
-1 4
A
+
tf, +
j. O
\V
o — ZJ
13+ 15
7
11. 3 ( - 2 )
27.
-3 -1 2 -5
10
12. ( - 5 X - 4 )
28.
30 + 6
9+ 3
13. - 6 ( 5 )
29.
1 4 -2
2+4
14. ( 4 X 3 X 5 )
30.
8+ 5+7
6 -3 -7
15. 2 ( - 4 X - 3 )
31.
2 ( 5 - 7 ) + 20
5+3
16. 3 - ( - 4 )
32.
(4 - 3 ) + 3 ( 2 + 4 5 (4 ) - 6 ( 3 )
D esco m p o sició n e n fa c to re s p rim o s tos sig u ie n te s n ú m ero s:
33. 6
40. 46 0
34. 8
41.
35. 20
42. 576
36. 50
43. 98 0
3 7 . 72
44. 1000
38. 120
45. 1120
39. 225
46.
125
1800
D eterm in a e l M C D d e tos sig u ie n te s n ú m ero s:
47. 8 y 6
53. 2 4 , 3 6 y 42
4 8 . 9 y 18
54. 2 0 , 3 5 y 70
4 9 . 12 y 24
55. 3 2 , 2 8 y 72
50. 36 y 18
56. 1 8 ,2 4 , 7 2 y 144
51. 6 , 18 y 48
57. 12, 2 8 , 4 4 y 120
¿nexo: Ejercicios preliminares
D eterm ina e l mcm d e b s sig u ien tes núm eros:
59. 6 y 3
65. 7, 14 y 21
60. 9 y 6
6 6 . 3, 10, 12
61. 12 y 18
67. 8 ,9 , 12 y 18
62. 20 y 25
6 8 . 2, 3, 6 y 12
63. 2, 6 y 4
69. 8, 12, 16 y 24
64. 8, 9 y 12
70. 4 ,6 , 15 y 18
Efectúa las sig u ien tes o p eracfo n es con fraccb n es:
«
*M
89. - + — + —
6 15 30
1*1
90. V * + - L
2 3 24
91.
73. I A
I
7 7 7
5
74 . L9 + l3+ 17
4
4
15
9
92. l l + l - l
2 4 8
4
,6 . 2 | + 5 ¡ + |
-
>
! - K
*
4 - f
,7 . ' 1 - 1
95. > - 1 - 3 *
4 12
6
78. ¡ 2 - 1
96. 5 ^ - 2 ^ + 4
6
79-
6
2H
4
97. « - I - 1 - - L
5 4 15 20
4
80. 1 t - 3 t + 2 t
8> 4 - f
98' 2 ~ ' V T 2
-H
I-i
- T
* 'M-H
83.
6
+2
2
101 . - x -
3
«1*1
*
8
102 . - x 6 3
3 9
103. 2 —x —
t A
8 6 . 1+ 1
,04. f x 3 ±
87. «
105. l | x 2 |
"
| . i
11*1
,06. i x H x l ^
3 6
78
*
457
Á lG E B R A
4
,0 8 -
15 + 6
113. 2 — * —
4
8
i x ¿ x á x15
109. - + —
5
15
114.
no.
115.
4
2
6
3
1
112.
107. - x - x 3
6
8
r 4
r
5
116. 4 . "
5
E fe c tú a la s s ig u ie n te s o p e r a c io n e s :
117. 6 2
125.
V 25
118. 4 3
126.
V 8Í
119. ( - 2 ) 4
127.
V 64
120. ( - 3 ) 3
128. ^ 8
121. - 5 2
129. ^ 7
130. V Í 6
-
m
»
- (i) *
131.
124.
v'4
132. 3 /2 4 3
í
^32
R a c io n a liz a la s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s :
3
138.
Í^ 3
1
139.
3V 2
140.
6
4^3
141.
2
W5
14
142.
458
O p e r a c io n e s c o n n m e r o s e n t e r o s :
1.2
2 .- 2
3.10
4 .- 1 2
5 .3
6 .- 1
7.1
8 .0
9 .- 1 6
10.23
11.-6
12.20
2 3 .-3
24. 4
25.28
26.4
13.-30
14.60
15.24
16.7
1 7 .-4
1 8 .-3
19.2
20.13
21.3
22. - 16
2 7 .-2
28. 3
29.2
3 0 .-5
31.2
32. 8
83 .5
3
100.
84. —
8
101.
85. 4
102.
8 6 .5
3
39
20
19
88.1
105.
S9ü
_5_
106.
54
90.21
92.12
* 5
- I
95.-11
6
1
18
5_
108.
16
107.
109.
3
2
110.
5
2
111.
112.
5
8
8
5
113.2
53.6
54.5
55.4
56.6
57.4
58. 12
D e t e r m in a e l m cm d e lo s s ig u ie n l
59.6
60. 18
61.36
62.100
63. 12
64.72
1
9
117
103.
40
104.
«■ 5
D e t e r m in a e l M C D d e lo s s ig u ie n t e s n m e r o s :
47.2
48.9
49. 12
50. 18
51.6
52.5
2
87. IZ
6
D e s c o m p o s ic ió n e n f a c t o r e s p r im o s lo s s ig u ie n t e s
n m e ro s:
3 3 .2 x 3
34. 2 x 2 x 2
35.2x2x5
36. 2 x 5 x 5
37.2x2x2x3x3
38.2x2x2x3x5
39.3x3x5x5
40.2x2x5x23
41.5x5x5
42.2x2x2x2x2x2x3x3
43.2x2x5x7x7
44.2x2x2x5x5x5
45.2x2x2x2x2x5x7
46.2x2x2x3x3x5x5
35
48
65.42
66.60
67.72
68. 12
ffí. 48
70.180
9 7 .1
114. —
15
98
27
i
"■ 5
"‘ I
E fe c t a l a s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s :
117. 36
118.64
119.16
120. - 27
121.-25
122. —
16
124.2
125.5
126.9
127.8
128.2
129.3
130.2
131.2
132.3
E fe c t a l a s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s c o n f r a c c io n e s :
81
123. - —
16
71.5
R a c io n a liz a l a s s ig u ie n t e s e x p r e s i o n e s :
"■ i
72. —
5
6
73 .?
7
78.1
133.
1
79. 2
134. —
74. —
4
34
75.—
11
_ 29
8 0 .?
8
135. '¡2
81. -1
136.
2_v6
3
3
82. 2
137.
6v5
5
76 3
138. —
2
7
459
. 39.^2
6
.4 4
141. i ®
25
142. \^7
Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas, muchas veces incomprendida, pero
valorada por todas aquellas personas que han logrado modelar problemas de la vida cotidia­
na y darles solución gracias a su dominio y comprensión. Además, cualquiera que pretenda
iniciar estudios en cursos de matemáticas avanzadas, sin duda, necesita dominar Álgebra
para tener éxito en su aprendizaje.
E l libro tie n e p o r o b je tiv o c o n v e rt ir s e e n la r e fe r e n c ia in m e d ia ta p a r a e n t e n d e r y a p r e n d e r lo
re la c io n a d o c o n e l Á lg e b r a . D iv id id o e n d ie c is ie te c a p ítu lo s , d o n d e s e e n c u e n t ra n t e m a s c o m o :
•
C o n ju n t o s y ló g ic a .
•
C o n c e p t o s b á s ic o s d e l Á lg e b r a .
•
P r o d u c t o s n o ta b le s .
•
F a c t o riz a c ió n .
•
F r a c c io n e s a lg e b ra ic a s .
•
E c u a c i o n e s d e p r im e r y s e g u n d o g r a d o c o n a p lic a c io n e s .
•
F u n c ió n lineal.
•
S is t e m a s d e e c u a c io n e s .
•
P o te n c ia c ió n .
•
R a d ic a c ió n .
•
N ú m e r o s c o m p le jo s
•
D e s ig u a ld a d e s .
•
L o g a ritm o s .
•
P ro g r e s io n e s .
•
M a tr ic e s y ra íc e s d e u n a e c u a c ió n .
S i n d u d a a lg u n a , e s t e m a te ria l e s u n a h e r r a m ie n ta im p o rta n te p a r a e l p ro fe s o r, y a q u e e n ­
c o n t r a r á u n a a y u d a in v a lu a b le p a r a tr a b a ja r la p a rte p r á c tic a c o n s u s e s tu d ia n te s y r e fo rz a r
a q u e llo s t e m a s q u e s e n e c e s it a n p a r a p o d e r in ic ia r c u r s o s m á s a v a n z a d o s c o m o : T r i g o ­
n o m e tr ía , G e o m e t r ía a n a lític a o e l m is m o C á lc u lo .
B a jo e l f u n d a m e n t o d e q u e la p e r s o n a q u e a p r e n d e M a te m á tic a s , p ie n s a , a n a liz a , r a z o n a
y, p o r ta n to , a c t ú a c o n ló g ic a , e l lib ro s e p r e s e n ta c o n u n e n f o q u e 1 0 0 % p rá c tic o . E s d e c ir,
s e a b o r d a c o n s e n c ille z la t e o r ía y s e p o n e m a y o r é n f a s is e n lo s e je m p lo s q u e s e r v ir á n al
e s tu d ia n te p a r a r e s o lv e r lo s e je r c ic io s p r o p u e s to s y v e r ific a r s u a p r e n d iz a je c o n s u lt a n d o la s
r e s p e c tiv a s r e s p u e s t a s q u e s e e n c u e n t r a n a l fin a l d e l libro. T a m b i é n e n c o n t r a r á u n a s e r ie d e
p r o b le m a s d e a p lic a c ió n , lo s c u a le s v in c u la n la s m a t e m á t ic a s a s itu a c io n e s re a le s .
P o r t o d o e llo ,
Álgebra e s
u n lib ro d e r e f e r e n c ia o b lig a d a q u e n o p u e d e fa lta r e n la b ib lio te c a
p e r s o n a l d e c u a lq u ie r e s tu d ia n te o p ro fe s o r, y a q u e e s u n a o b r a p a r a e l q u e a p r e n d e y p a ra
el q ue enseña.
P a r a o b t e n e r m á s in f o r m a c ió n a c e r c a d e l C o le g io N a c io n a l d e M a te m á tic a s v is ite :
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