GUIA DIDACTICA PARA EL PROFESOR MATEMATI

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR
MATEMÁTICA
E
D U C A C I Ó N
B
Á S I C A
JAVIERA SETZ MENA
LICENCIADA EN MATEMÁTICA,
LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ROSSANA HERRERA CONCHA
PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO
FRANCISCO ROJAS SATELER
PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
El material didáctico Guía para el Profesor
Educación Matemática, para Octavo Año
de Educación Básica, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento
de Investigaciones Educativas
de Editorial Santillana, bajo la dirección de
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación del Proyecto:
EUGENIA ÁGUILA GARAY
Coordinación Área Matemática:
VIVIANA LÓPEZ FUSTER
Edición:
JAVIERA SETZ MENA
ÁNGELA BAEZA PEÑA
MARCIA VILLENA RAMÍREZ
Autores:
JAVIERA SETZ MENA
ROSSANA HERRERA CONCHA
FRANCISCO ROJAS SATELER
Corrección de estilo:
ISABEL SPOERER VARELA
Documentación:
PAULINA NOVOA VENTURINO
MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES
La realización gráfica ha sido efectuada
bajo la dirección de
VERÓNICA ROJAS LUNA
con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinación gráfica:
CARLOTA GODOY BUSTOS
Coordinación gráfica Licitación:
XENIA VENEGAS ZEBALLOS
Diagramación:
ALFREDO GALDAMES CID
XIMENA MONCADA LOMEÑA
FERNANDA PARDO LAGOS
LORETO FIGUEROA LIZANA
Cubierta:
XENIA VENEGAS ZEVALLOS
Producción:
GERMÁN URRUTIA GARÍN
www.santillana.cl
[email protected]
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
© 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILE
Impreso en Chile por World Color Chile S.A.
ISBN: 956 - 15 - 1264 - 5
Inscripción N° 159.848
Referencias del Texto Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro, de los autores: Cristián Vergara Bize,
Jaime Ávila Hidalgo, Lorna Jiménez Martínez, Ana Rojas Fernández.
Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003.
Índice
Fundamentación
4
Ejes del proyecto
4
Marco curricular
6
Objetivos Fundamentales Verticales para NB6
6
Contenidos Mínimos Obligatorios NB6
6
Objetivos Fundamentales Transversales
para la Educación Básica
Índice
8
Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)
10
Presentación
14
Organización del texto para el estudiante
14
Estructura de la guía para el profesor
16
Orientaciones didácticas
18
Unidad 1
18
Unidad 2
30
Unidad 3
40
Unidad 4
50
Unidad 5
64
Unidad 6
72
Unidad 7
84
Unidad 8
100
Unidad 9
110
Solucionario
124
Bibliografía
126
3
Fundamentación
Ejes del proyecto
Esta serie de textos ha sido elaborada sobre la base de los siguientes ejes:
1
Contexto educacional actual
El año 2007 el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a
diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia. En este
contexto, el Ministerio ha elaborado un Ajuste Curricular que tiene como propósito:
mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así como
a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico.
No se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su
enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes
que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la
sociedad actual.
Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática debe buscar, consolidar,
sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas
poseen. Busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que
posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así
profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propias
capacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la
Matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas
que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y
seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.
La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Objetivos
Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en el
Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, e
integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los
contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes:
aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género,
condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de
los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del
medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento.
Tanto el texto para el estudiante Matemática 8 como la Guía para el profesor se
organizan a partir de los cuatro ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos y
Azar, considerando como eje transversal el de razonamiento que incluye tanto la
resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de
situaciones o fenómenos, como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico
para la formulación de conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones y, discusión de
la validez de las conclusiones.
Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular visite:
www.curriculum–mineduc.cl/ayuda/ajuste–curricular/
4
Fundamentación
2
3
Trabajo con los conocimientos previos de los alumnos
Los textos consideran como punto de partida para el desarrollo de los contenidos, los
conocimientos previos y la experiencia de los estudiantes, a partir de los cuales van a adquirir
nuevos conocimientos y experiencias que serán la base de los aprendizajes que seguirán
construyendo en el transcurso de toda su vida escolar.
Metodología
4
5
Este es uno de los ejes fundamentales de esta nueva propuesta, que pone énfasis en la
explicitación de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; en la
formalización de los mismos; y en la ampliación y profundización de estos, cuando sea
pertinente.
Los contenidos se desarrollan de una manera secuencial, desde los conceptos generales a los
particulares, apelando en primer lugar a la experiencia (cotidianidad) de los niños y niñas, y
luego al análisis y desarrollo de los contenidos.
Trabajo con la transversalidad
En los textos de esta serie se promueve el trabajo sistemático e intencionado de algunos de
los Objetivos Fundamentales Transversales planteados para la Educación Básica, mediante el
trabajo y la generación de distintas situaciones de aprendizaje, que favorecen la formación
ética de los estudiantes, su autoconocimiento, desarrollo personal, y la capacidad para
relacionarse con los demás y con su entorno, de una manera apropiada.
Evaluación permanente
6
Para obtener información respecto de cómo evoluciona el aprendizaje de los estudiantes,
resulta fundamental evaluar durante todo el proceso. Por esta razón, en los textos se
presentan actividades que pueden convertirse en instancias de evaluación antes, durante y
después del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto permite mantener informados tanto al
docente como al estudiante, de sus respectivos progresos y debilidades, permitiendo así
tomar a tiempo las decisiones que sean pertinentes.
Variedad de recursos
Fundamentación
Esta propuesta ofrece materiales prácticos y útiles de apoyo al proceso de enseñanzaaprendizaje. Estos recursos entregan tanto al profesor(a) como al alumno(a), una mayor
potencialidad para trabajar con el texto.
5
Marco curricular
Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 (8º año básico)
1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.
2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural,
determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y
exponente natural.
3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a
través de ellas.
4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas
en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de
sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas
transformaciones.
6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de
una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos
rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar
este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes.
8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central,
ampliando al caso de datos agrupados en intervalos.
9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de
inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de
datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan.
10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con
resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.
11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casos
particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y
significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para
fundamentar opiniones y tomar decisiones.
Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 (8º año básico)
Números
1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número
natural por un número entero negativo y extensión de dichos
procedimientos a la multiplicación de números enteros.
2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la
división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho
algoritmo.
3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el
uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación
y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de
potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a
potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente
natural.
6
Marco curricular
4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que
involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros,
potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y
exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los
procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.
Álgebra:
5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos
variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis
del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y
gráficos.
6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre
variables dependientes e independientes en ellas e identificación de
sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e
interpretación de la notación de funciones.
7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones
de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en
contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en
forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con
el caso proporcional.
8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes
proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de
software gráfico.
9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso
de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.
Geometría:
10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras
geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y
empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las
invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.
11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y
argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas
en dichas teselaciones.
12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares
geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e
identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.
13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud
de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y
estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares
inscritos en la circunferencia.
14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen
del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y
cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un
procesador geométrico.
15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran
el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la
superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.
Marco curricular
7
Marco curricular
Datos y Azar:
16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar
información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en
intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante
experimentos o encuestas.
17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en
intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas,
a partir de diversos contextos y determinación de la media
aritmética y moda en estos casos.
18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en
algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características
de poblaciones, ejemplificación de casos.
19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos
contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación
acerca de la información que ellas entregan.
20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son
equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios
mediante el uso de herramientas tecnológicas.
21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en
experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos
o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio
multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de
los sucesos o eventos.
22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un
evento en un experimento aleatorio, con un número finito de
resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.
Objetivos Fundamentales Transversales para la Educación Básica
En relación a la formación ética:
• Ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal y actuar habitualmente
con generosidad y solidaridad, en el marco del reconocimiento y respeto por la justicia, la verdad,
los derechos humanos y el bien común.
• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias y reconocer el diálogo como fuente
permanente de humanización, de superación de diferencias y de aproximación a la verdad.
• Reconocer, respetar y defender la igualdad de derechos esenciales de todas las personas, sin distinción de
sexo, edad, condición física, etnia, religión o situación económica.
En relación con el crecimiento y autoafirmación personal:
• Promover y ejercitar el desarrollo físico personal en un contexto de respeto y valoración por la vida y el
cuerpo humano; desarrollar hábitos de higiene personal y social y de cumplimiento de normas de seguridad.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica.
• Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar información
relevante.
8
Marco curricular
• Ejercitar la habilidad de expresar y comunicar las opiniones, ideas, sentimientos y convicciones propias, con
claridad y eficacia.
• Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.
• Promover una adecuada autoestima, la confianza en sí mismo y un sentido positivo ante la vida.
En relación con la persona y su entorno:
• Participar responsablemente en las actividades de la comunidad y prepararse para ejercer en plenitud los
derechos y cumplir los deberes personales que reconoce y demanda la vida social de carácter democrático.
• Comprender y apreciar la importancia que tienen las dimensiones afectivas y espirituales y los principios y
normas éticas y sociales para un sano y equilibrado desarrollo sexual personal.
• Apreciar la importancia social, afectiva y espiritual de la familia y de la institucionalidad matrimonial.
• Proteger el entorno natural y promover sus recursos como contexto de desarrollo humano.
• Reconocer y valorar las bases de la identidad nacional en un mundo cada vez más globalizado e
interdependiente.
• Desarrollar la iniciativa personal, el trabajo en equipo y el espíritu emprendedor, y reconocer la
importancia del trabajo como forma de contribución al bien común, al desarrollo social y al crecimiento
personal, en el contexto de los procesos de producción, circulación y consumo de bienes y servicios.
Marco curricular
9
Marco Curricular
Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)
A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los
Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al docente para monitorear el progreso
en el aprendizaje de sus alumnos(as), identificando distintos niveles de logro.
Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos(as), y le ayudarán a
saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajes
del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando
ese proceso.
Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo
ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos(as)le servirá para atender la
diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar.
De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles
de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan
el logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso de
aprendizaje, para conocer los avances de los estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en
el nivel.
En este sentido, en nuestra propuesta las evaluaciones diagnósticas están ideadas para observar si los
estudiantes tienen las competencias descritas en el nivel 3, de modo que el docente puedan complementar sus
destrezas, previo al desarrollo de cada unidad. De igual forma, los contenidos y actividades están diseñados
para que todos los alumnos(as) cumplan satisfactoriamente los aprendizajes descritos en el nivel 4, y también
para que ellos alcancen algunas o todas las competencias descritas en el nivel 5.
A continuación, se presentan los niveles 3, 4 y 5, (correspondientes a los niveles de 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico,
y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento por
la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra
y Datos y Azar.
10
Marco curricular
Mapa de Progreso de Números y Operaciones
Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres
dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso de los números.
• Comprensión y uso de las operaciones.
• Razonamiento Matemático.
Nivel
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Marco curricular
Descripción
Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible
resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un
conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución
en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta
potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos,
establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza
operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en
diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican
descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas.
Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para
verificar la validez o falsedad de conjeturas.
Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden
resolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce sus
propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece
proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.
Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Utiliza raíces
cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva,
decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos.
Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben
establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas
formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y
relaciones matemáticas.
Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores.
Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica en
situaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para
ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje y
establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular
porcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritos
tanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelve
problemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la
información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o
conjetura planteada.
11
Marco Curricular
Mapa de Progreso de Álgebra
Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que
se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso del lenguaje algebraico.
• Comprensión y uso de relaciones algebraicas.
• Razonamiento Matemático.
Nivel
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
12
Descripción
Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial,
logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y
algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria
haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en
forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de
funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la
pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.
Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.
Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las
operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de
primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y
convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos
constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve
problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la
relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados
aludiendo a la situación que modela.
Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos
valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan
las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que
representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una
misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelve
ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la
igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las
estrategias utilizadas.
Marco curricular
Mapa de Progreso de Datos y Azar
Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro
dimensiones que se interrelacionan:
• Procesamiento de datos.
• Interpretación de información.
• Comprensión del azar.
• Razonamiento matemático.
Nivel
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Descripción
Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de
frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de
dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de
dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual
tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales
se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de
Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del
experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando
diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y
producto de las probabilidades.
Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y
desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde
tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de
representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e
inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo
de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento
simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de
probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también
las frecuencias relativas.
Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver un
problema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extrae
información respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficos
anteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos de
población y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios para
caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento en
contextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de su
experiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples.
Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde la
lectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimento
aleatorio simple, justificando en base a la información disponible.
Extraído de: Mapas de progreso del aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.
Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a:
www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/
Marco curricular
13
Presentación
Organización del texto para el estudiante
El texto Matemática 8 se organiza en 9 unidades, dos talleres de evaluación y actividades de ejercitación.
A continuación se describen los tipos de páginas y secciones de las unidades.
1. Páginas de inicio de unidad. Su función es motivar. Considera los
conocimientos previos y los que aprenderán en la unidad.
Título de la unidad
Necesitas recordar
Se proponen actividades para repasar y recordar aspectos importantes
relacionados con los contenidos, antes de iniciar el trabajo de la unidad.
Actividades iniciales
¿Qué aprenderás?
Se señalan los principales objetivos de la unidad.
Conexión con los objetivos fundamentales transversales (OFT)
Trabaja con los OFT pertinentes al tema de la unidad.
Sección que invita a los estudiantes a ingresar
al hipertexto donde encontraran recursos y actividades interactivas
que complementan el aprendizaje.
2. Páginas de desarrollo de contenidos. En estas páginas se desarrollan
los contenidos y se presentan situaciones problemáticas resueltas.
Incluyen tres grandes secciones: Explora, Practica y En equipo.
Explora
Se presenta la situación problema resuelta y se resaltan los
procedimientos fundamentales involucrados, al igual que los
conceptos.
Practica
Actividades para adquirir, reforzar, razonar y consolidar los contenidos
de la sección anterior.
En equipo
Se invita a los alumnos a trabajar en equipo para el desarrollo de
actividades relacionadas con los contenidos revisados, y así enriquecer
mediante la discusión el trabajo cooperativo y colaborativo.
3. Más problemas. Presenta un problema resuelto
paso a paso; la compresión del problema, la
planificación, la resolución y su revisión.
Se deja en evidencia la estrategia utilizada y se
dan actividades para ejercitar la estrategia
presentada.
14
Presentación
4. Cálculo mental. Se entregan distintas estrategias para
realizar cálculos de una manera más rápida y ágil.
5. Uso de la calculadora. Se pone a disposición de los
estudiantes la utilización de la calculadora como una
herramienta tecnológica que podrán incorporar a su
vida diaria.
6. Síntesis. Este es un espacio donde los alumnos
encontrarán un resumen de los conceptos y definiciones
tratados en la unidad. Además se les propone la
creación de su propio mapa conceptual.
7. Uso del computador. Oportunidad para conocer diversos programas y
conectar los contenidos trabajados en la unidad con una herramienta
tecnológica.
8. Evaluación. Páginas con preguntas de alternativa y de
desarrollo orientadas a evaluar el aprendizaje de los
contenidos trabajados en la unidad. Al finalizar se
encuentra la sección ¿Cómo trabajé? para que los
alumnos(as) puedan autoevaluarse.
¿Cómo trabajé?
9. Solucionario. Se dan las respuestas a las principales
actividades formuladas en el texto.
Presentación
15
Presentación
Estructura de la guía para el profesor
La Guía para el profesor del texto Matemática 8, es un material creado como apoyo al proceso de enseñanzaaprendizaje para el subsector de Educación Matemática. Esta propuesta de guía incorpora material concreto
de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de sus páginas.
En cada unidad se distinguen los diversos elementos, que se especifican a continuación:
1. Cuadro sinóptico. Este cuadro resume el marco curricular de la unidad
para cada momento pedagógico, que corresponden a diferentes tipos
de páginas del texto del alumno(a): inicio de unidad, desarrollo de
contenidos, resolución de problemas, cálculo mental, uso de la
calculadora, uso de la tecnología, juegos. Para cada uno de estos
momentos se detallan los contenidos de la unidad, los Contenidos
Mínimos Obligatorios (CMO), los aprendizajes esperados y los Objetivos
Fundamentales Transversales (OFT). Estos últimos se indican solo cuando
el objetivo es trabajado explícitamente en la unidad, no obstante,
debido a su carácter transversal, estos objetivos pueden ser trabajados,
si el docente lo estima, en otras instancias dentro de la unidad.
•
: Icono que indica cuales son las páginas, del texto del
alumno, en donde se trabaja con el hipertexto.
2. Propósito de la unidad. Luego
de ser presentado el cuadro
sinóptico, se entrega el
propósito de la unidad, siendo
esta una instancia de
introducción de los temas a
tratar. Para enriquecer la visión
del docente en los contenidos
de esta unidad, esta sección
consta de un esquema que
relaciona los conceptos clave
de la unidad.
16
Presentación
3. Orientaciones didácticas. Una vez contextualizada la unidad en el
marco curricular, se entregan orientaciones didácticas para cada
momento pedagógico. Las páginas de desarrollo de contenidos se
trabajan por contenido, considerando las siguientes secciones:
• Actividades previas. Se proponen actividades de motivación para introducir
y/o aproximar a los(as) alumnos(as) al contenido que se va a trabajar.
• Actividades complementarias. Se plantean variadas actividades cuyo
propósito es ejercitar, reforzar, ampliar y/o profundizar los contenidos
trabajados.
• Información para el docente. Esta sección está destinada al profesor,
cuyo objetivo es entregar información anexa que profundiza y
complementa la entregada en el texto. En algunos casos, se sugieren
direcciones de Internet, datos curiosos relacionados con el contenido,
o sugerencias para erradicar los preconceptos más comunes en los
estudiantes.
• Tarea. Se sugieren actividades para trabajar en la casa, que permiten
reforzar y/o ampliar el contenido tratado, o bien enlazarlo con el
tema siguiente.
4. Evaluación. En estas páginas se presenta un material complementario
de evaluación de los contenidos de la unidad, para que el docente
utilice según los requerimientos del grupo curso.
Para cada evaluación del texto del alumno se presentan los objetivos
evaluados y criterios de logro.
Presentación
17
UNIDAD
1Números positivos y negativos
Cuadro sinóptico
CMO
Estructura de la unidad
• Páginas de inicio. (Págs. 8 y 9)
• Empleo de procedimientos de
cálculo para multiplicar un
número natural por un número
entero negativo y extensión de • Páginas de desarrollo de
contenidos. (Págs. 10 - 19)
dichos procedimientos a la
multiplicación de números
enteros.
• Extensión del algoritmo de la
división de los números
naturales a la división de
números enteros. Discusión y
aplicación de dicho algoritmo.
Contenidos de la unidad
– Adiciones y sustracciones combinadas de números
positivos y negativos. (Págs. 10 y 11)
– Multiplicación de números positivos y negativos.
(Págs. 12 y 13)
– División de números positivos y negativos.
(Págs. 14 y 15)
– Multiplicaciones y divisiones combinadas de
números positivos y negativos. (Pág. 16 y 17)
• Resolución de problemas en
contextos diversos y
significativos que involucran las
4 operaciones aritméticas con
• Más problemas.
números enteros, […]
enfatizando en el análisis crítico (Págs. 20 y 21)
de los procedimientos de
resolución y de los resultados
• Cálculo mental. (Pág. 22)
obtenidos.
• Uso de la calculadora. (Pág. 22)
– Operatorias combinadas. (Págs. 18 y 19)
• Operaciones combinadas de números positivos y
negativos.
• Multiplicación de números positivos y negativos.
• Operaciones combinadas de números positivos y
negativos.
• Síntesis. (Pág. 23)
• Evaluación. (Págs. 24 y 25)
18
Unidad 1
Aprendizajes esperados
OFT
• Participar responsablemente en las
actividades de la comunidad.
• Resuelven adiciones y sustracciones de números positivos y negativos.
• Resuelven multiplicaciones de números positivos y negativos.
• Resuelven divisiones de números positivos y negativos.
• Resuelven multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos.
• Operan con números positivos y negativos en cualquier contexto y de
cualquier orden de magnitud interpretando adecuadamente los resultados.
• Interpretan situaciones en las que se involucran números positivos y
negativos, y realizan operaciones con ellos.
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
• Usan números positivos y negativos en la vida diaria.
• Comparan números positivos y negativos.
• Resuelven operatorias con números positivos y negativos.
• Desarrollar el pensamiento crítico y
reflexivo y el sentido de crítica y
autocrítica.
Números positivos y negativos
19
Propósito de la unidad
En esta unidad se profundiza el estudio de los números negativos, realizado en años anteriores, mediante
las propiedades y operatoria de la multiplicación y división, de esta manera se incorporan elementos que
permitirán al alumno resolver y comprender nuevos problemas. Desde esta perspectiva, se presentan
situaciones en contextos cercanos a los alumnos, que representan un desafío para las habilidades
cognitivas de los estudiantes pues trascienden a la simple memorización y reproducción de ciertas reglas,
especialmente en lo referido a la operatoria con números positivos y negativos.
Mapa conceptual
Números positivos y negativos
Operatoria
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Operatoria combinada
Aplicaciones
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 8 y 9)
Actividades complementarias
• Presentar la siguiente información, luego responden las preguntas.
– La fosa submarina más profunda del mundo es la fosa de las Marianas,
cercana a Guam, en el noroeste del océano Pacífico, que alcanza una
profundidad de 11 033 m. En cambio, la cumbre más alta del mundo es
el monte Everest, en la cordillera del Himalaya, con una altura de 8848
metros sobre el nivel del mar.
¿Qué distancia hay entre la cima del monte Everest y el fondo de la fosa
de las Marianas?
• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen otras preguntas y las respondan.
20
Unidad 1
Información para el docente
• Visitar http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm en donde
aparece información sobre la historia de los números negativos. Podrá
encontrar además aspectos sobre su utilización, los obstáculos para la
comprensión, y un apartado especial que trata del problema específico
de la regla de los signos para el producto. Esto le servirá como
complemento a su quehacer docente y le ayudará en el desarrollo e
implementación de sus prácticas pedagógicas.
No olvidar que las páginas o su contenido pueden cambiar.
Adiciones y sustracciones combinadas (páginas 10 y 11)
Actividades previas
• Analizar con los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones:
Al sumar dos números positivos el resultado de ellos es siempre mayor
que cada una de las partes, ya sean estas naturales o racionales.
¿Ocurrirá esto cuando se suman números positivos con negativos?
¿O números negativos con negativos?
Explorar las posibles respuestas que ellos puedan dar sobre estas
observaciones, para luego, al final de la sección, comparar los resultados.
Actividades complementarias
• Completar las cadenas siguiendo las operaciones en el sentido que indica
la flecha.
–47
–2,3
+6,7
–(–8)
–34
+22,9
+(–13)
+(–1,9)
–41
(7,8)
–78,5
–23
Información para el docente
Números positivos y negativos
+(–9,9)
+7,8
–35,4
¿?
• Es muy importante para el desarrollo del pensamiento matemático del
alumno(a), trabajar no solo con números enteros, sino también con
decimales positivos y negativos. Este tipo de trabajo aumenta la capacidad de
abstracción, facilita la rapidez de cálculo y la interpretación de soluciones.
• Es conveniente discutir con los(as) alumnos(as) las propiedades de los
números enteros, aunque no de una forma explícita. Trabajar con ellos
las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad de forma
aritmética (nunca algebraica) esto permite una mayor comprensión de
cómo y para qué se usan estos números, y poco a poco irán entendiendo
su estructura.
21
Orientaciones didácticas
Multiplicación de números positivos y negativos (páginas 12 y 13)
Actividades previas
• Plantear las secuencias siguientes y responder las preguntas que se
plantean.
3
•
0,7
2,5; 3
•
•
1,25; 3
2,2; 0,7
•
•
0,625
1,4; 0,7
•
¿Qué ocurre con el último producto
respecto del factor 3?
0,6
¿Qué ocurre con el último producto
respecto de los otros dos factores?
¿Puedes describir qué va pasando a medida que se desarrollan las secuencias?
Agregar otras secuencias semejantes para complementar, y además
preguntar: ¿Qué ocurriría si uno de los factores pasa a ser negativo?
Actividades complementarias
• Completar la siguiente tabla de regularidades.
Factores
5
•
6
5
4
4,8
•
16
2,8
•
10
•
–4
4
–4
•
5
2
•
5
•
0
5
•
–2
5
•
–4
Productos
Factores
8
0,8
•
4
0
–4
–1,2
•
2
–4
–4
–3,2
•
0 –5,2
•
–2
–4 –16
•
–4
Productos
Factores
•
•
•
–10
•
Productos
Información para el docente
• Es muy importante aclarar que los números negativos no “existen” en el
mundo real y que solo sirven como representación de fenómenos
concretos. Es conveniente para ello hacer un paralelo entre el “mundo
real” y el “mundo matemático” en donde en el primero, por ejemplo
5 °C bajo cero, puede ser expresado como –5 en el segundo, y por lo
tanto, hablar de “menos cinco” solo tiene sentido en la matemática
y no en la realidad.
También es importante señalar que los números los usamos como
medidas, que son siempre positivas, por lo que –5 metros no tiene
ningún sentido, si no se ocupa como representación y ligado a un
referente, como por ejemplo, el nivel del mar.
Posibles dificultades
• Es interesante observar cómo los(as) alumnos(as) están acostumbrados a
asumir que el producto es mayor que cada uno de los factores, esto
debido al trabajo con números enteros positivos. El dilema se les produce
cuando se incorporan los números decimales, pues el producto de dos
números entre cero y uno es menor que cada factor. Por este motivo se
plantea la secuencia de las actividades previas, para superar la idea
encasillada de que el producto es siempre mayor que los factores, pues
esto tampoco ocurre al multiplicar números positivos y negativos entre sí,
o números negativos entre sí.
22
Unidad 1
División de números positivos y negativos (páginas 14 y 15)
Actividades complementarias
• Completar la siguiente tabla de regularidades.
6:5
4:5
2:5
0:5
–2 : 5
–4 : 5
4,8 : 16
2,4 : 8
0,8 : 4
–1,2 : 2
–3,2 : 0
–5,2 : –2
10 : –4
4 : –4
0 : –4
–4 : –4
–10 : –4
–16 : –4
División
Cociente
División
Cociente
División
Cociente
Información para el docente
• Es muy importante trabajar con los(as) alumnos(as) diversos métodos de
regularidades, pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan
a su pensamiento aún concreto. El descubrir este tipo de propiedades tan
importantes por sus propios medios les ayuda a construir ese concepto en
forma más significativa.
Multiplicaciones y divisiones combinadas (páginas 16 y 17)
Actividades previas
• Basándose en el trabajo con multiplicaciones y divisiones, discutir cuáles
son las diferencias entre ellas en cuanto a la operatoria, los resultados y
los signos.
Actividades complementarias
• Completar.
: –5
•
7
+3
–5
+15
10
7
:2
•
–1
•
4
+2
–5
Números positivos y negativos
23
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Lo más importante de la operatoria combinada entre multiplicaciones y
divisiones es que los(as) alumnos(as) comprendan y apliquen el concepto
de inverso multiplicativo, y que al fin de cuentas, el multiplicar (o dividir)
por un cierto numero, es equivalente a dividir (o multiplicar) por el
inverso. Lo importante es desarrollar la reversibilidad de los
procedimientos, lo cual contribuye a desarrollar la habilidad de revertir
procesos, que influye directamente en los procesos cognitivos y lógicos
de los estudiantes.
Operatorias combinadas (páginas 18 y 19)
Actividades previas
• Discutir las relaciones que hay entre la adición y la multiplicación, y la
sustracción y la división. Lograr que los(as) alumnos(as) generen sus
propias conclusiones y solo después de eso formalizar el contenido.
Actividades complementarias
• Señalar los pares de secuencias de operaciones que son equivalentes.
a.
b.
c.
d.
Actividades complementarias
–37 + 48 : 4 – 56 + 51 • 2
124 + 57 • (2 – 34) : 16
(1348 : 4 – 37) : 100 • 7
(378 – (–24) – 2) : 4
• Los(as) alumnos(as) resuelven la siguiente situación:
Un grupo de 7 amigos está jugando cartas y anotan sus puntajes en cada
jugada.
Jugadas
Juan
Ignacia
Pedro
Claudio
Carolina Francisco
Ruth
1ª
–3
1
0
5
–5
–2
–8
2ª
2
1
–6
–4
6
9
2
3ª
–3
0
–1
0
–3
–9
–4
4ª
7
–2
–4
0
6
2
8
5ª
5
5
5
–6
–2
1
2
• Decidieron que el ganador o ganadora sería el que obtuviera el máximo
puntaje realizando las siguientes operaciones sobre los puntajes
obtenidos en cada jugada:
(1ª jugada) • (2ª jugada) + (3ª jugada) – ((4ª jugada – (5ª jugada))
¿Quién obtuvo el primer lugar?, ¿quién obtuvo el último lugar?
24
Unidad 1
Información para el docente
• El manejo aritmético con números positivos y negativos, decimales o no,
es decir, con los números racionales, es un objetivo importante al
finalizar octavo año, pues este es un curso terminal del ciclo básico, pero
a la vez es preparatorio para el ciclo medio. Empezar con este tema nos
da el tiempo suficiente para aproximarnos al nivel de comprensión y
aplicación que los(as) alumnos(as) lograrán de este tema, lo cual permite
guiar mejor las prácticas pedagógicas y apoyar de mejor forma a los(as)
alumnos(as) en procesos de aprendizaje.
Resolución de problemas (páginas 20 y 21)
Actividades previas
• Conversar con los(as) alumnos(as) sobre las estrategias que usan a la hora
de enfrentarse a un problema y tratar de resolverlo. Luego describir un
listado con las destrezas necesarias para llegar a “buen puerto” en la
resolución de un determinado problema.
Actividades complementarias
• Resolver el siguiente problema.
– Matías, al ir de la escuela a su casa, siempre inventa un juego, pues se va
caminando.
Esta vez decidió que por cada 7 baldosas de la vereda por la que camina,
iba a retroceder 3, a lo cual llamó una jugada. Si cada baldosa es
cuadrada y mide 13 cm de lado, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuál
es la distancia entre su escuela y su casa, si para llegar de una a otra
debe realizar 150 jugadas?
Información para el docente
• Es muy importante trabajar con los estudiantes la resolución de
problemas, pues desarrolla en ellos habilidades cognitivas que les serán
útiles en cualquier aspecto de su vida. Un autor que se dedicó a
investigar la resolución de problemas fue George Polya, quien desarrolló
un método heurístico de resolución de problemas. Podrá encontrar más
información al respecto en
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/polya.htm .
No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.
Tarea
• Pedir a los(as) alumnos(as) que inventen un problema que pueda ser
resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones:
[(44 – 22) : 11] • 3
Números positivos y negativos
25
Orientaciones didácticas
Cálculo mental (página 22)
Actividades previas
• Comentar con los(as) alumnos(as) los cálculos mentales que se hacen en
diversas situaciones de la vida cotidiana, como por ejemplo, al ir de
compras, al calcular promedios de notas, etc.
Comentar las estrategias que surjan de la conversación y sistematizarlas
en la pizarra, para lograr una mayor conciencia de ellas por parte de
los(as) alumnos(as).
Actividades complementarias
• Resolver los siguientes ejercicios calculando mentalmente.
a.
b.
c.
d.
e.
Información para el docente
53 + 11 + (–10) – 3 + 10 + (–1) – (–63) + 1
25 • –4 : 100 • –2 • –25 + (–50) – 2
41 • 6 : –41 • –2 • –3 + 82 – 3
5 • –7 • –8 : –5 : –8 : 7 + 50 • 2
6 • 59 : –3 • (–50) • 6 • 50 : –6 • 9
• Algunos aspectos por los cuales el cálculo mental puede ser muy valioso
para los(as) alumnos(as):
– Contribuye a la comprensión y sentido del número, al hacer uso de la
forma en que está constituido.
– Puede ser un dominio para contrastar las concepciones de los estudiantes
sobre los procedimientos de cálculo y su disponibilidad, ya que hace
emerger procesos cognitivos.
– Contribuye a enriquecer y flexibilizar la experiencia y comprensión
algorítmica.
– Estimula la búsqueda de soluciones por caminos alternativos.
– Es una ayuda para el cálculo estimado predictivo y un estilo de
comprobación de determinados resultados.
– Interviene en el desarrollo de las capacidades cognitivas.
– Estimula el análisis de situaciones numéricas.
– Da una visión participativa de las matemáticas.
– Puede ser lúdico, rehabilitador del cálculo y motivador.
26
Unidad 1
Uso de la calculadora (página 22)
Actividades complementarias
Información para el docente
• Escribir en la calculadora las siguientes secuencias de teclas y observar la
diferencia entre los resultados, a pesar de que están presentes los
mismos números y las mismas operaciones. Explicar por qué sucede esto.
12
+
(
24
:
2
)
=
(
12
+
24
)
:
2
=
(
12
+
24
:
2
)
=
• La calculadora y el computador no solo son instrumentos para la
realización de cálculos, sino que se convierten en potentes recursos
didácticos que permiten trabajar con los números de una forma más
cómoda, ágil y autónoma (por ejemplo, las fracciones). Realizar
estimaciones, cálculos aproximados y reconocimiento de regularidades en
conjuntos numéricos, permite al alumno(a) enfocarse más en el concepto
tratado que en la operatoria. Esto no implica necesariamente finalizar
con el uso de la calculadora, también se puede empezar con ella, para
luego comprobar conjeturas realizadas con el cálculo operatorio
habitual.
Evaluación (páginas 24 y 25)
Objetivos evaluados
• Usar números positivos y negativos en la vida diaria. (Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25)
• Comparar números positivos y negativos. (Preguntas 2 y 7; pág. 24)
• Resolver operatorias con números positivos y negativos. (Pregunta 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2; pág. 25)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25: responden correctamente al menos cuatro de las seis
preguntas planteadas.
• Preguntas 2 y 7; pág. 24: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.
• Preguntas 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2, pág. 25: responden correctamente al menos dos de las tres
actividades planteadas.
Números positivos y negativos
27
Evaluación 1
Marca la alternativa correcta
1. ((500 – 3000) + 2000) – 500 es igual a:
A.
B.
C.
D.
1000
–100
–1000
–2500
2. Al calentar un compuesto, aumenta su
temperatura en 0,5 ºC cada 2 minutos. Si a las 8
de la mañana registró una temperatura de –12 ºC,
¿cuál será la temperatura a las 9:00 de la
mañana?
A.
B.
C.
D.
48 ºC
15 ºC
3 ºC
–6 ºC
3. Dada la siguiente secuencia numérica: a, –7, –3, c,
5, 9, b, 17, determina el valor opuesto de
(a + b + c)
A.
B.
C.
D.
3
2
–2
–3
6. x vale –5 e y es equivalente al valor de x
aumentado en 8. z es igual al producto de x por y
dividido por 10. ¿Cuál es la relación correcta de
x, y y z?
A.
B.
C.
D.
7. 10
A.
B.
C.
D.
x<z<y
x<y<z
z<y<x
y<z<x
•
((–1,5 + 3,5) : 4 + (5)
•
(–2)) es igual a:
–105
–95
–80
115
8. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es igual
a 10?
A.
B.
C.
D.
50
2
–2
–50
9. Determina el valor de W para que el resultado en
la siguiente expresión sea cero. 10 – (10 + W – 50)
4. Se triplica el doble de un número resultando 42.
¿Cuál es el número?
A.
B.
C.
D.
–7
7
14
21
A.
B.
C.
D.
50
20
0
–50
5. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de
$10 000. ¿Cuánto se debe depositar para que el
monto de la cuenta quede en la situación opuesta?
A.
B.
C.
D.
28
–$20 000
–$10 000
$10 000
$20 000
Unidad 1
10. Cada vez que ingresa un número a una unidad
procesadora que calcula en tres etapas, se obtiene
un número de salida. ¿Qué número de salida se
obtiene si ingresa el número –10?
Entrada
D
T
M
Salida
D = Duplica
T = Triplica y
M = Calcula el valor absoluto
A.
B.
C.
D.
10
20
30
60
11. Si a • (–6) = 30 y –10
de a + b?
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
•
b = –40 ¿Cuál es el valor
–9
–1
1
9
20
14
18
54
• (3)
(–9)
•
7 + 3 es igual a:
–105
–32
38
104
15. Si a un número le añades 23, al resultado le
quitas 41 y esta diferencia la multiplicas por 2
obtienes 132. ¿Cuál es el número original?
A.
B.
C.
D.
12. 9 + 3 • (7 – 8) – 4 : (–4) – (9 + 12) : (1 – 4) es
igual a:
A.
B.
C.
D.
14. –15
96
79
84
282
16. Si P = –4; Q = 8 y R = 10, entonces el valor
opuesto del resultado de R – P – Q es:
A.
B.
C.
D.
–6
–2
6
14
17. La temperatura en la mañana era 12ºC y ascendió
2ºC por cada 30 minutos. Al cabo de 4 horas, ¿qué
temperatura se registró?
A.
B.
C.
D.
28ºC
26ºC
20ºC
18ºC
13. –27 : (–81 : –9) es igual a:
A.
B.
C.
D.
3
1
–1
–3
Números positivos y negativos
18. El antecesor y sucesor de –5 son respectivamente:
A.
B.
C.
D.
–4 y –6
–4 y –3
–6 y –4
–6 y –7
29
UNIDAD
2 Ecuaciones de primer grado
Cuadro sinóptico
CMO
Estructura de la unidad
• Planteamiento de ecuaciones • Páginas de inicio.
(Págs. 26 y 27)
que representan la relación
entre dos variables en
situaciones o fenómenos de
• Páginas de desarrollo de
la vida cotidiana y análisis
contenidos. (Págs. 28 - 41)
del comportamiento de
dichos fenómenos a través de
tablas y gráficos.
Contenidos de la unidad
– Igualdades y ecuaciones. (Págs. 28 y 29)
– Lenguaje algebraico. (Págs. 30 y 31)
– Ecuaciones con adiciones y sustracciones.
(Págs. 32 y 33)
– Ecuaciones con multiplicaciones. (Págs. 34 y 35)
– Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.
(Págs. 36 y 37)
– Ecuaciones con la incógnita en ambos lados.
(Págs. 38 y 39)
– Estudio de las soluciones. (Págs. 40 y 41)
• Más problemas.
(Págs. 42 y 43)
• Resolución de ecuaciones de primer grado.
• Cálculo mental. (Pág. 44)
• Resolución de ecuaciones de primer grado.
• Uso de la calculadora. (Pág. 44)
• Síntesis. (Pág. 45)
• Evaluación. (Págs. 46 y 47)
30
Unidad 2
Aprendizajes esperados
OFT
• Ejercitar la habilidad de expresar y
comunicar las opiniones, ideas y
sentimientos y convicciones propias.
• Reconocen una ecuación como una igualdad.
• Traducen enunciados verbales al lenguaje algebraico.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Resuelven ecuaciones con adiciones y sustracciones.
• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones.
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas.
• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.
• Resuelven ecuaciones con incógnita en ambos lados.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Estudian las soluciones de las ecuaciones.
• Resuelven problemas aplicando una estrategia de resolución.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Promover una adecuada autoestima y la
confianza en sí mismo.
• Traducen enunciados verbales al lenguaje matemático.
• Plantean y resuelven ecuaciones.
• Resuelven problemas usando ecuaciones.
Ecuaciones de primer grado
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas.
31
Propósito de la unidad
La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la generalización de situaciones,
mediante la utilización del lenguaje algebraico, de esta manera el alumno podrá resolver problemas más
complejos, en los cuales la solución no se puede obtener de manera directa. Muchas de las situaciones
planteadas están relacionadas con contextos geométricos, de este modo el alumno descubrirá una gama
de aplicaciones del lenguaje algebraico, especialmente en la resolución de ecuaciones. Por otra parte, se
pretende desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas
especialmente a estudiar la pertinencia de las soluciones obtenidas e interpretar los resultados.
Mapa conceptual
Ecuaciones de primer grado
Igualdades
Lenguaje
algebraico
Resolución de ecuaciones
Ecuaciones con adiciones
y sustracciones
Ecuaciones con
multiplicaciones
Ecuaciones con incógnita
en ambos lados
Estudio de las soluciones
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 26 y 27)
Actividades previas
32
• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen numéricamente las siguientes
expresiones y luego calculen.
– El doble de veinte.
– El cuádruple de seis.
– El doble de ocho, aumentado en dos.
– El triple de cuatro, disminuido en doce.
– Un medio de dos, elevado a ocho.
– Tres cuartos de veinte, aumentado en uno.
Unidad 2
Actividades complementarias
• Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
a.
1
+4
2
•
1
2
b. 0,3 –
(–1) = 2
•
•
(–2) + 2–1
10 = 2,7 +
3
4
c. 20 : 2,5 + 4 = 7
•
(–1) –
d. –3
•
6
•
(–4) + = 2
•
冢冣
1+
1
5
0
6
8
Igualdad y ecuaciones (páginas 28 y 29)
Actividades previas
• Escribir en la pizarra:
3x + 4 = 16
5
+ 4 = 12
4y – 5 = 20
¥ – 6 = 21
Luego preguntar: ¿Cuál de estas expresiones es una ecuación? ¿Por qué?
Aclare que una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un
número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica
(se cumple) para determinado valor numérico de ella.
En conjunto verifican que las expresiones anteriores son todas
“ecuaciones”, porque cumplen con la definición.
Actividades complementarias
Información para el docente
• Calcular el valor de las siguientes expresiones, para los siguientes valores.
1
a = 4, b = 3, c = (–1), d =
y e = (–2)
2
a. 3a + b – 2c =
d. a2 + 3c – 4e =
b. 4b – c + 2e =
e. 5e – a
c. 5a – 2b + c – 3e =
f. 3c5 + 4d – e + b =
•
b + d–1 =
• Ecuación significa “igualación”. Proviene del latín aequáre, que quiere
decir “igualar”, derivado del adjetivo aéquus, que es “igual”. De aquí la
relación que se hace de una ecuación y una balanza.
Lenguaje algebraico (páginas 30 y 31)
Actividades complementarias
• Escribir en lenguaje corriente las siguientes expresiones matemáticas.
a. 5x – 3
b. 2y +
1
2
=
=
m
–2 =
3
3
d. 5p + p =
4
c.
Ecuaciones de primer grado
33
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Al presentar ecuaciones a sus alumnos(as), no utilice siempre la misma
variable, por ejemplo “x”, ya que esto produce fijación. Además, al
momento de plantear ecuaciones léalas en voz alta, esto permite una
mayor comprensión del concepto de ecuación y plantear de manera
correcta las ecuaciones en lenguaje no matemático.
Ecuaciones con adiciones y sustracciones (páginas 32 y 33)
Actividades complementarias
Información para el docente
• Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 4x + x = 20
d. 14 + 3 = 4z
b. 2b – 6 = 12
e. 35 – 12 = 3a
c. 5y – 2y = 21
f. 3 + 4 = 5m + 4
• Acostumbre al alumno(a) a plantear y resolver ecuaciones con una
incógnita tanto en el costado derecho de la igualdad, como en el
costado izquierdo.
Por su nivel cognitivo, el alumno(a) resuelve correctamente y con mayor
facilidad ecuaciones que tienen incógnita en el costado izquierdo de la
igualdad; en el otro caso, tienen dificultades con los signos.
Ecuaciones con multiplicaciones (páginas 34 y 35)
Actividades previas
• Recordar a los(as) alumnos(as) lo que sucede cuando se tiene un
coeficiente a un costado de la igualdad y se desea despejar la incógnita.
Puede ejemplificarlo de la siguiente manera:
•
•
5 x=3
•
Actividades complementarias
2,3 n = 14
•
•
•
12 = 3 y
•
• Resolver las siguientes ecuaciones. Luego comparan sus resultados.
a. 4 x = 20
d. 140 = 4z
b. 12 b = 18
e. 35 = 7a
3
f.
= 3m
4
c. 2,5 y = 200
34
•
•
Unidad 2
Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones (páginas 36 y 37)
Actividades complementarias
• Resolver las siguientes ecuaciones. Luego, comprobar los resultados.
a. 144x + 22x = 12,6
d. 6,3
•
2 + 3 = 4z
b. 210b + 6 = 12
•
4
e. 3,5
•
12 = 30a
c. 15y – 12y = 23
•
2
f. 315
4,0 = 1,5m
•
• Escogen 2 ecuaciones de las anteriores e inventan un problema que
pueda ser resuelto utilizando las ecuaciones escogidas.
Ecuaciones con la incógnita en ambos lados (páginas 38 y 39)
Actividades complementarias
• Resolver las siguientes ecuaciones. Comparan sus respuestas con un
compañero(a).
a. 1220 + 221x = 20x
•
2n + 233 = 4054
•
1,2 = 3068a
b. 1320y – 680y = 18
•
4
f. 3,5
c. 1102 – 120z = 212
•
4
g. 31,5
d. 2350 + 3,5 m = 120
Tarea
e. 6,3
•
h. 2455k
1235 = 2b
•
0,4 = 21
• Leen y luego resuelven.
– El doble de un número, menos cuatro veces el mismo, es igual al número
aumentado en doce unidades.
Estudio de las soluciones (páginas 40 y 41)
Actividades complementarias
• Escribir la ecuación correspondiente, luego resolver interpretando la
solución.
a. Francisco es 3 años menor que Mónica, pero siete años mayor que
Rosario. Si la suma de las edades es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
b. El triple de la cantidad de dinero que tiene Felipe, aumentado en
$ 1200 es igual a la misma cantidad pero disminuida en $ 450.
¿Cuánto dinero tiene Felipe?
c. El largo de un rectángulo excede al ancho en 6 cm. Si cada medida se
aumenta en 3 cm, el área aumentaría en 57 cm2. ¿Cuáles son las
medidas de los lados del nuevo rectángulo?
Ecuaciones de primer grado
35
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Es importante aclarar que una ecuación es una función proposicional,
por lo cual tiene definido un dominio y un recorrido. Es importante
comprobar que la solución (conjunto solución) satisface la ecuación
original y que pertenece al domino de ella.
La comprensión de esto es básico para evitar dificultades en las
ecuaciones de segundo grado, como se muestra en el siguiente ejemplo:
X2 = 1
X = 兹苵
1 , luego se dice x = +– 1. Sin embargo, al graficar la ecuación
(mostrar su dominio), se observa solo una solución.
Más problemas (páginas 42 y 43)
Actividades complementarias
• Leer las siguientes situaciones y plantear una ecuación para resolverlas.
– A las 9 a.m. sale un auto de un punto A, con una velocidad de
80 km/h. Dos horas más tarde sale una camioneta del punto A, en
persecución del auto, con una velocidad de 120 km/h. ¿A qué
distancia del punto A lo alcanza?
– Entre dos bidones A y B de igual capacidad, se distribuyen en partes
2
desiguales 10 litros de agua. El bidón A se llenará si se vierten los
3
del agua contenida en el B, y este se llenaría si se le agrega la mitad
del agua contenida en A. ¿Cuánta agua contiene cada bidón y cuál es
su capacidad?
¿Puedes resolver los problemas anteriores sin el planteamiento de una
ecuación? Explica tu estrategia de resolución.
Posibles dificultades
• En los problemas anteriores no será fácil para los(as) alumnos(as)
plantear una ecuación, de hecho, las estrategias de resolución a las
cuales acudirán serán principalmente de carácter gráfico. Por ello es
importante plantear variados tipos de problemas en los que no sea tan
evidente la formulación de una ecuación.
Cálculo mental (página 44)
Actividades complementarias
36
• Resolver mentalmente las siguientes ecuaciones.
a. 4x = 20
d. 280 = 4q
b. 12y = 144
e. 350 = 7r
c. 2,5z = 2000
f. 1002 = 2m
Unidad 2
Uso de la calculadora (página 44)
Actividades previas
• Pedirles que examinen sus calculadoras y se familiaricen con cada una de
las teclas y funciones que realiza, haga notar que hay calculadoras en las
que primero se introducen los datos y luego la operación.
Actividades complementarias
• Utilizando la calculadora, resuelven las siguientes ecuaciones:
a. 4x = 12,45
d. 134,5 – x = 245,67
b. 3y = 3,01
e. 3y – 3,45 = 85,9
c. 6,3 + z = 21,4
f. 342,5 + 89,7 = 3z
Información para el docente
• La siguiente página tiene excelentes enlaces, programas y calculadoras
para descargar; recursos educativos clasificados según nivel, actividades,
juegos matemáticos, etc. www.matematicas.net/paraiso/online.php .
No olvidar que las direcciones o su contenido pueden variar.
Comentarios
• www.edu.aytolacoruna.es . Web educativa del Ayuntamiento de La
Coruña, España, que tiene acceso a un aula virtual, donde se tratan
temas de diferentes áreas de estudio. En los recursos de matemática hay
acceso a temas teóricos, enlaces de interés, juegos, anécdotas, etc.
No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.
• www.escolares.com.ar/ . Sitio argentino que presenta una sección de
contenidos por área. En el área de Matemática se pueden encontrar
contenidos de álgebra, geometría y estadística, además de juegos y
problemas de ingenio.
No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.
Evaluación (páginas 46 y 47)
Objetivos evaluados
• Traducir enunciados verbales al lenguaje matemático. (Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46)
• Plantear y resolver ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46)
• Resolver problemas usando ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47)
Criterios de logro
• Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46: responde correctamente dos de los tres ejercicios formulados.
• Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46: responde correctamente al menos cinco de las siete preguntas
formuladas.
• Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47: responde correctamente al menos tres de las seis preguntas formuladas.
Ecuaciones de primer grado
37
Evaluación 2
Marca la alternativa correcta
1. Un cuarto de veintiocho, disminuido en dos tercios
de nueve, se puede representar por la expresión:
A. 4
2
3
28 –
•
9
•
B.
1
2
– 28 –
4
3
C.
1
4
D.
1
2
– 28 –
+9
4
3
•
28 –
•
9
冢 23 9冣
•
2. Siete veces dos quintos de la cuarta parte de m es
igual a la mitad de m disminuida en m. Expresado
en lenguaje algebraico es igual a:
A. 7
•
B. 7
•
C. 7
•
D.
1
7
2
5
•
•
m m
=
–m
4
2
38
75
15
–15
–75
A.
15
2
B.
4
5
C.
15
7
D.
25
14
A.
B. –
D. –
2
5
•
m m
=
–m
4
2
•
k – (5 – k) = 1 – k, el valor de k
•
(h – 10h), el
13
80
2
5
m
m
=m–
4
2
•
2
5. En la ecuación 3h – 4(h – 4) =
5
valor de h es:
C.
•
4
5
es de:
2 m m
:
=
–m
5 4
2
3. En la ecuación 4
A.
B.
C.
D.
4. En la ecuación
13
80
80
13
80
13
6. Si p = –1; q = 1 y r = 0, entonces, en la siguiente
ecuación el valor de m es igual a:
20 – 2y = 5 – 3y, el valor de y es:
3p – q + 4r – 2m = m – r + 6p + 2q
A.
B.
C.
D.
2
p
q
r
Unidad 2
7. Los siete tercios de las cuatro quintas partes de x,
disminuido en cuatro, es igual al opuesto de x,
aumentado en tres. Expresado en lenguaje
algebraico es igual a:
1
A. 7
3
•
x
– 4 = –x + 3
4
B.
7
3
•
4
5
•
x–4=–
1
+3
x
C.
7
3
•
4
5
•
x – 4 = –x + 3
D.
7
3
•
4
5
•
x–4=
1
+3
x
冢
冣
A. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es
igual a tres veces m, aumentado en tres veces
nueve cuartos, disminuidos en m.
B. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es
igual a un tercio de m aumentado en tres
veces nueve cuartos, disminuidos en m.
C. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es
igual a m dividida en tres, aumentado en tres
veces nueve cuartos, disminuidos en m.
D. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es
igual a tres dividido en m, aumentado en tres
veces la diferencia entre nueve cuartos y m.
9. En una carnicería existe una balanza que dispone
de pesos de 200, 300 y 500 gramos. Si una señora
desea comprar 4,5 kilos de carne, el carnicero
debe colocar en la balanza:
A.
B.
C.
D.
5 pesos de 200 g, 7 de 300 g y 3 de 500 g
4 pesos de 300 g, 4 de 200 g y 5 de 500 g
3 pesos de 500 g, 7 de 200 g y 2 de 300 g
5 pesos de 300 g, 4 de 500 g y 3 de 200 g
Ecuaciones de primer grado
A.
B.
C.
D.
60 años
30 años
40 años
50 años
11. En la construcción de un muro se utilizaron
ladrillos de 30 cm de largo, 7 cm de alto y 15 cm
de ancho. Si el muro tiene 2,86 m de largo y
0,70 m de alto y una separación entre ladrillos
de 2 centímetros, ¿cuántos ladrillos se ocuparán
en el muro?
5 •
3
9
m–2=
+3•
–m ,
8
m
4
expresada en lenguaje natural es:
8. La ecuación
10. Si dos tercios de la edad de mi tío Pancho
disminuido en dos séptimos de 49 es igual a 20,
¿Qué edad tendrá mi tío en 9 años más?
A.
B.
C.
D.
73
72
71
70
12. En hacer una tarea de 120 ejercicios de
ecuaciones, un alumno ha demorado 2 horas en
90 de ellos. Si quiere terminar en 15 minutos más
para ver un programa de televisión, ¿cuánto se
debería demorar, en promedio, por cada ejercicio
que le queda por resolver?
A.
B.
C.
D.
30 segundos
15 segundos
2 segundos
0,8 segundos
13. El doble de la suma de un número y 5, es igual a
24. ¿Cuál es el número?
A.
B.
C.
D.
7
5
9
12
39
UNIDAD
3Geometría
Cuadro sinóptico
CMO
• Caracterización de la
circunferencia y el círculo
como lugares geométricos y
su representación mediante
lenguaje conjuntista e
identificación de sus
elementos: arco, cuerda,
secante y tangente.
• Definición del número pi
y su relación con el diámetro
y la longitud de una
circunferencia. Cálculo de la
longitud de una
circunferencia y estimación
del área del círculo por
medio de polígonos
regulares inscritos en la
circunferencia.
• Resolución de problemas en
situaciones significativas que
involucran el cálculo de la
longitud de la circunferencia,
el área del círculo, […].
40
Estructura de la unidad
Contenidos de la unidad
• Páginas de inicio.
(Págs. 48 y 49)
• Páginas de desarrollo de
contenidos. (Págs. 50 - 59)
– Ángulos entre paralelas cortadas por una
transversal. (Págs. 50 a 53)
– Ángulos en polígonos. (Págs. 54 y 55)
– La circunferencia y sus elementos.
(Págs. 56 y 57)
– Poligonos regulares.
(Págs. 58 y 59)
• Más problemas.
(Págs. 60 y 61)
• Construcción y propiedades de paralelogramos.
• Uso del computador.
(Pág. 62)
• Paralelismo y propiedades de figuras geométricas.
• Síntesis. (Pág. 63)
• Evaluación. (Págs. 64 y 65)
Unidad 3
Aprendizajes esperados
OFT
• Reconocen e identifican ángulos entre paralelas.
• Reconocen ángulos en polígonos.
• Reconocen y construyen circunferencias y sus elementos.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Construyen y calculan elementos de poligonos regulares.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
• Calculan ángulos entre rectas paralelas.
• Calculan ángulos en diversas figuras.
• Resuelven problemas relativos a circunferencias.
Geometría
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
41
Propósito de la unidad
La tercera unidad es la primera destinada al estudio de la geometría, en ella se tratan elementos tales
como ángulos entre paralelas, ángulos en polígonos, circunferencia y sus elementos y polígonos regulares.
Esta unidad es muy importante en el aprendizaje de la geometría, en tanto permite construir los
conceptos y relaciones básicas que los alumnos utilizarán para resolver situaciones más complejas.
En cuanto a la resolución de problemas, las estrategias se orientan hacia la búsqueda de regularidades
geométricas, por ejemplo, aquellas referidas a los ángulos interiores de polígonos regulares.
Mapa conceptual
Geometría
Ángulos
Correspondientes
Polígonos
Alternos
internos
Alternos
externos
Ángulos en
polígonos
Suma de
ángulos
interiores
Circunferencia y círculo
Polígonos
regulares
Sector
circular
Suma de
ángulos
exteriores
Segmento
circular
Elementos
Cuerda
Arco
Radio
Diámetro
Tangente
Rectas en la
circunferencia
Secante
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 48 y 49)
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que en la siguiente figura identifiquen
diferentes tipos de cuadriláteros y triángulos, siendo AMJF un rectángulo.
D
A
B
G
C
H
F
E
I
N
M
42
L
K
J
Unidad 3
Información para el docente
• Es importante que los(as) alumnos(as) se familiaricen con una geometría
conceptual, más que en las formas y medidas concretas; ello favorece el
aprendizaje de los conceptos más fundamentales, y no tanto el cálculo,
que se puede dejar para la resolución de problemas, de manera de darle
sentido y contexto a las medidas que puedan aparecer en un
determinado ejercicio.
Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal (páginas 50 a 53)
Actividades previas
• Detectar en los(as) alumnos(as) las ideas previas que tienen sobre
paralelismo, para ello puede formular las siguientes preguntas:
– ¿Qué entienden por paralelo?
– ¿En qué situaciones han escuchado esa palabra?
– ¿Qué sería algo no paralelo?
– ¿Han escuchado lo que es perpendicular?
– ¿En qué situaciones podrían decir que existen elementos
perpendiculares?
Actividades complementarias
• Observando un plano del barrio del colegio, identificar las calles
paralelas, no paralelas, y si hay o no diagonales que las intercepten.
Analizar la correspondencia de ángulos entre las avenidas principales y
las calles secundarias. A partir de esto inventan una ruta alrededor del
colegio dando indicaciones que involucren seguir una trayectoria y
realizar rotaciones angulares en diferentes esquinas.
• Dada la figura, completar la tabla para los distintos valores dados.
L1
C
B
G
A
L1
// L2
D
E
L2
A
B
F
C
30º
60º
Geometría
C
D
E
80º
50º
F
G
70º
40º
43
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Al hablar de ángulos y sumas de ángulos hay que establecer,
constantemente, la diferencia entre lo que es el ángulo y lo que es la
medida del ángulo. Los(as) alumnos(as), al ejercitar, lo que realmente
hacen es sumar las medidas de los ángulos, no los ángulos, por lo que es
muy relevante que ellos tengan presente esta diferencia.
La circunferencia y sus elementos (páginas 56 y 57)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as):
– Si observamos nuestro entorno cotidiano, ¿dónde vemos circunferencias
y círculos?
– ¿Se observan realmente objetos con forma de circunferencia?
– ¿Es lo mismo la circunferencia que el círculo? Justifíca.
Actividades complementarias
• Dibujar una circunferencia de radio 4 cm e indicar un punto A en ella. A
continuación con un transportador, marcar puntos cada 10° alrededor de
la circunferencia empezando en el punto A. Cada uno de estos puntos es
el centro de otra circunferencia que pasa por A, como se muestra en la
figura.
¿Puedes adivinar cuál será la forma de la figura resultante?
A
Información para el docente
44
• Es muy importante que los(as) alumnos(as) distingan los conceptos de
circunferencia y círculo, pero no de una forma abstracta, sino de manera
concreta con ejemplos en la realidad. Mostrar ejemplos de
circunferencias que no puedan ser confundidas con círculos, y viceversa.
Diferenciar en un mismo objeto, las circunferencias y círculos que están
presentes en él, esto permite comprender mejor el concepto.
Unidad 3
Polígonos regulares (páginas 58 y 59)
Actividades complementarias
• Dibujar tres hexágonos regulares como los de la figura. Cortarlos por las
líneas punteadas de manera que con las trece piezas resultantes se forme
un hexágono regular más grande que los tres originales.
Información para el docente
• En el trabajo con polígonos, es muy conveniente aplicar un método
inductivo en lo que se refiere a: planteamiento de fórmulas relacionadas
con ángulos interiores, cantidad de diagonales y suma de ángulos
interiores. El establecimiento de patrones por medio de tablas le permite
al alumno deducir por sus propios medios estas fórmulas, dando así
mayor significado a su aprendizaje.
Más problemas (páginas 60 y 61)
Actividades complementarias
• Construir con regla y compás dos rectas paralelas, un triángulo
equilátero, un rombo y un hexágono regular.
Información para el docente
• Las construcciones con regla y compás son prácticas que refuerzan el
dominio de todas las propiedades de las figuras que se construyen. Por
ejemplo, para construir dos rectas paralelas, se debe saber que es
equivalente a construir la recta perpendicular a la perpendicular de la
recta inicial. El manejo de las propiedades se puede lograr haciendo
análisis de los objetos geométricos que se van a construir desde distintos
puntos de vista. Para indagar más sobre construcciones con regla y
compás puede visitar la página http://wims.unice.fr/wims/en_home.html
donde encontrará ejemplos y problemas de construcción. No olvidar que
las direcciones o su contenido pueden cambiar.
Uso del computador (páginas 62)
Actividades previas
Geometría
• Dar a los(as) alumnos(as) algún tiempo en los computadores para
familiarizarse con los elementos geométricos que puede facilitar un
procesador de textos como Word (herramientas de dibujo, planillas,
tablas, etc.).
45
Orientaciones didácticas
Actividades complementarias
• En la página www.santillana.cl/ebasica/mat8 aparecen dibujados varios
grupos de rectas paralelas cortadas por otros grupos de rectas paralelas
formando paralelogramos y triángulos. Si mueves los puntos P, Q, R o S
podrás estudiar y analizar las propiedades de estas figuras.
a. ¿Cómo son entre sí los ángulos de los triángulos grises?
b. ¿Cómo son entre sí los triángulos grises?
c. Si mides todos los ángulos posibles, ¿cuántas medidas distintas
tendrías?
d. ¿Qué relación hay entre los triángulos grises y los triángulos blancos?
e. ¿Qué sucede si sigues trazando rectas paralelas? ¿Qué ocurre con
el plano?
• Trabajando en el programa Cabri – géomètre II los(as) alumnos(as) deben
investigar cuáles son sus aplicaciones y luego construir algunas de las
figuras que se han aprendido en esta unidad, como por ejemplo, rectas
paralelas, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, circunferencias,
coronas circulares, etc.
A continuación deben exponer algunos de sus resultados, como se
muestra en la figura.
46
Unidad 3
Información para el docente
• Entre los programas para trabajar la geometría, Cabri es uno de los más
accesibles para los(as) alumnos(as) del segundo ciclo básico. Es menos
algebraico y agudiza la intuición. También existen programas más
exploratorios, como lo es PolyPro, (que muestra los diferentes cuerpos
geométricos), The Geometer’s Sketchpad, GrafEq, Graphmatica, Maple 6,
entre otros.
Evaluación (páginas 64 y 65)
Objetivos evaluados
• Calcular ángulos entre rectas paralelas. (Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64)
• Calcular ángulos en diversas figuras. (Preguntas 5, 6; pág. 64)
• Resolver problemas relativos a circunferencias. (Preguntas 1, 2; pág. 65)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64: responden correctamente al menos tres de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 5, 6; pág. 64: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.
• Preguntas 1, 2; pág. 65: realizan correctamente al menos una de las 2 actividades planteadas.
Geometría
47
Evaluación 3
Marca la alternativa correcta
5. ¿Cuál es el número de lados que tiene un
polígono, si la suma de los ángulos interiores
es 4140º?
1. ¿Cuánto vale x?
A.
B.
C.
D.
30º
60º
70º
80º
A.
B.
C.
D.
x
80º
22
23
24
25
20º
2. La figura muestra dos triángulos rectángulos
congruentes con vértice común en C. ¿Cuánto
vale x?
A.
B.
C.
D.
30º
60º
120º
150º
B
60º
A
C
6. Determina la suma total de ángulos de giro que
realiza un móvil desde A hasta B, sabiendo que
los ángulos x corresponden a ángulos interiores
de un hexágono regular.
A.
B.
C.
D.
840º
700º
600º
564º
x
x
E
x
60º
B
x
D
A
3. ¿Cuál es el valor de x?
A.
B.
C.
D.
60º
80º
100º
150º
L3
7. Determina el valor del ángulo x, si la figura
corresponde a dos hexágonos regulares.
L1 // L3 y L2 // L4
L2
80º
L1
A.
B.
C.
D.
50º
60º
80º
100º
x
x
L4
4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un
polígono convexo regular de 7 lados?
A.
B.
C.
D.
48
700º
900º
1260º
1800º
Unidad 3
8. La figura es un romboide. Determina el valor de
los ángulos 2x y x + 30 respectivamente.
A.
B.
C.
D.
30º y 30º
45º y 45º
60º y 60º
120º y 120º
2x
60º
x + 30
12. Determina la medida del ángulo AOB. Se sabe
que el triángulo ABC es equilátero y O es centro
de la circunferencia.
A.
B.
C.
D.
150º
120º
60º
30º
C
O
B
A
9. Determina el valor de x, si la figura es un
pentágono regular.
A.
B.
C.
D.
18º
25º
36º
72º
13. Determina el valor de x e y, respectivamente.
L1 // L2
L1
A.
B.
C.
D.
x
x = 90º, y = 90º
x = 60º, y = 60º
x = 90º, y = 60º
x = 60º, y = 90º
x
O
A
C
y
B
L2
10. Determina el ángulo de vértice ABC, si el ángulo
de centro AOC mide 105º.
A.
B.
C.
D.
37,5º
52,5º
75,º
85,5º
14. Si L1 // L2 determina el valor de x.
L1
A
O
80º
C
x
L2
B
11. Determina el valor de x, si las rectas L1 y L2 pasan
por el centro de la circunferencia.
A.
B.
C.
D.
22º
44º
56º
68º
L1
L2
A.
B.
C.
D.
40º
60º
80º
140º
60º
40º
x
108º
Geometría
49
UNIDAD
4Medición
Cuadro sinóptico
CMO
• Formulación de conjeturas
relacionadas con el cálculo
del volumen del cilindro y
cono; cálculo del área de la
superficie del cilindro y cono,
y verificación, en casos
particulares, mediante el uso
de un procesador
geométrico.
Estructura de la unidad
Contenidos de la unidad
• Páginas de inicio.
(Págs. 66 y 67)
• Páginas de desarrollo de
contenidos. (Págs. 68 – 87)
– Áreas y perímetros de polígonos compuestos.
(Págs. 68 y 69)
– Áreas y perímetros de polígonos regulares.
(Págs. 70 y 71)
– Perímetro de la circunferencia. (Págs. 72 y 73)
• Resolución de problemas en
situaciones significativas que
involucran el cálculo de […]
la superficie del cilindro,
cono y pirámides y el
volumen del cilindro y cono.
– Área del círculo. (Págs. 74 y 75)
– Áreas y perímetros de figuras compuestas.
(Págs. 76 y 77)
– Medición del volumen. (Págs. 78 y 79)
– Área y volumen de pirámides. (Págs. 80 y 81)
– El cilindro. (Págs. 82 y 83)
– Red del cono recto. (Págs. 84)
– Área del cono recto. (Págs. 85)
– Volumen de cuerpos redondos. (Págs. 86 y 87)
• Más problemas.
(Págs. 88 y 89)
• Cálculo de volúmen de cuerpos redondos.
• Uso del computador.
(Pág. 90)
• Cálculo de áreas en un geoplano.
• Síntesis. (Pág. 91)
• Evaluación. (Págs. 92 y 93)
50
Unidad 4
Aprendizajes esperados
OFT
• Promover el interés y la capacidad de
conocer la realidad, utilizar el conocimiento
y seleccionar la información relevante.
• Calculan áreas y perímetros de polígonos compuestos.
• Calculan áreas y perímetros de polígonos regulares.
• Calculan el perímetro de una circunferencia.
• Calculan áreas de cilindros.
• Calculan áreas y perímetros de figuras compuestas.
• Miden volúmenes.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Calculan áreas y volúmenes de una pirámide.
• Reconocen el cilindro.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Construyen un cono.
• Calculan áreas de un cono recto.
• Calculan volúmenes de cuerpos redondos.
• Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución.
• Promover una adecuada autoestima y la
confianza en sí mismo.
• Calculan el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia.
• Calculan el área y el perímetro de figuras compuestas.
• Calculan el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos.
Medición
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
51
Propósito de la unidad
En esta unidad se estudian y profundizan conceptos de geometría plana, tales como: polígonos
compuestos, circunferencia y círculo; y de geometría en el espacio, como: pirámides, cilindros y conos,
poniendo mayor énfasis en el cálculo de áreas y volúmenes. Respecto a la búsqueda de regularidades, el
estudiante podrá descubrir la representación geométrica del número Pi,
lo cual será de utilidad para la comprensión de las fórmulas correspondientes para el cálculo de perímetro
de la circunferencia y el área del círculo. En cuanto al desarrollo de habilidades, esta unidad pretende
motivar al estudiante a desarrollar el interés por descubrir y observar las formas y relaciones existentes
en el entorno en que vivimos, y por otra parte, reforzar estrategias de trabajo y de manejo conceptual,
especialmente aquellos relativos a áreas y volúmenes.
Mapa conceptual
Medición
Perímetro
Polígonos
Área
Figuras
compuestas
Volumen
Figuras
compuestas
Círculo
Polígonos
Cuerpos
geométricos
Circunferencia
Cuerpos
poliedros
Polígonos
regulares
Pirámides
Cuerpos
poliedros
Cuerpos
redondos
Pirámides
Cuerpos
redondos
Cono
Cilindro
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 66 y 67)
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que dibujen dos figuras que tengan el mismo
perímetro y dos figuras que tengan igual área. Comparan sus respuestas
con un compañero(a).
Preguntar: ¿Pueden coincidir en un cuadrado la medida del área y la del
perímetro? Explica.
52
Unidad 4
Información para el docente
• Seguramente en la pregunta anterior, los(as) alumnos(as) tratarán de
buscar una relación numérica que les permita responder la pregunta;
darán algunos valores y calcularan su área y su perímetro, sin embargo,
no pensarán en la expresión global que significa calcular áreas
(producto) y perímetros (suma). Para inducir a la relación correcta,
plantee las expresiones en términos algebraicos, es decir:
Área de un cuadrado de
lado x
Perímetro de un cuadrado de
2
x
lado x
x + x + x + x = 4x
Preguntar: ¿Es posible que algún número entero satisfaga la siguiente
ecuación?
x2 = 4x
Esta ecuación tiene solución 0 y 4, luego la única posibilidad de
coincidencia se dará si el cuadrado tiene lado 4 unidades.
• ¿Pueden coincidir en un rectángulo la medida del área y la del perímetro?
Explica.
Tarea
Áreas y perímetros de polígonos compuestos (páginas 68 y 69)
• Los(as) alumnos(as) calculan áreas y perímetros de triángulos y
cuadriláteros.
Actividades previas
3 cm
5 cm
8m
5 cm
2 cm
Actividades complementarias
Medición
2m
X cm
6,4 cm
• Pedir a los(as) alumnos(as) que midan las siguientes figuras y luego
calculen el área y el perímetro, por medio de descomposiciones.
53
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Durante años los(as) profesores(as) hemos reducido el estudio del
perímetro y el área a una serie de cálculos algorítmicos olvidando la
génesis de estos conceptos: la medición. En la práctica se acostumbra dar
ejercicios con medidas previamente establecidas (dadas), de modo que
los(as) alumnos(as) nunca tengan que medir.
Áreas y perímetro de polígonos regulares (páginas 70 y 71)
Actividades previas
Preguntar: ¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un polígono regular?
Presente en la pizarra un pentágono regular, luego pregunte a sus
estudiantes de qué forma se podría descomponer para calcular su área
y perímetro, y si es recomendable descomponerlo en rectángulos y
triángulos, tal como se vio en las páginas anteriores.
Actividades complementarias
• Determinar el área de la parte sombreada en cada figura.
1. a =12 cm
2. a = 18 cm
b =10 cm
b = 21 cm
ρ1 = 8 cm
ρ1 = 15 cm
ρ2 = 7 cm
h = 17 cm
a
b
ρ2
ρ1
Información para el docente
a
b h
ρ1
• Es posible que sus estudiantes interpreten ρ como la distancia entre el
centro del polígono regular y uno de sus vértices, lo que no es cierto.
Enfatice que se trata de la distancia entre dicho punto y uno de los lados
del polígono, que corresponde a la altura del triángulo central, formado
por dos vértices consecutivos del polígono y su centro.
• Enfatice que los alumnos y alumnas remplacen correctamente las
medidas en la ecuación correspondiente, especialmente en las
actividades donde se presentan dos polígonos distintos. Si tienen dudas,
sugiera que pueden observar las figuras para relacionar los datos, por
ejemplo, si un polígono está dentro de otro, necesariamente sus medidas
serán menores.
Perímetro de la circunferencia (páginas 72 y 73)
Actividades previas
• Medir usando un cordel la longitud de distintos objetos circulares, luego
completar la tabla.
Longitud de la
circunferencia (lc)
54
Longitud
del diámetro (ld)
Razón 冢
lc
ld
冣
Unidad 4
Preguntar: ¿Cómo se llama la razón entre la longitud de una
circunferencia y la medida de su diámetro? (Explicar que corresponde al
valor numérico de π).
Actividades complementarias
• Calcular el perímetro de cada circunferencia dado el radio. Considerar
π = 3,14.
3
a. r = 3 cm
c. r =
m
4
b. r = 2,4 cm
d. r = 0,6 m
• Calcular el radio de cada circunferencia dado su perímetro. Considerar
π = 3,14.
a. P = 7 cm
b. P = 62,8 cm
Información para el docente
c. P = 150,72 m
d. P = 0,314 km
• En la actividad 29 de la página 73 del texto del alumno(a), se pide
calcular el perímetro de una corona circular. Haga notar al alumno(a)
que debe calcular el perímetro y no el área (suma de los contornos), ya
que esta figura, por ser utilizada generalmente para el cálculo de áreas,
genera cierta fijación, al igual que cualquier figura achurada, y el
alumno(a) simplemente aplica una fórmula sin darse cuenta de lo que se
le está preguntando.
Área del círculo (páginas 74 y 75)
Actividades previas
• Presente en la pizarra las siguientes figuras, luego pregunte cuál de ellas
son circunferencias y cuáles son círculos. Explican por qué.
Plantee las siguientes proposiciones. Los(as) alumnos(as) determinarán si
son verdaderas o falsas, de acuerdo a las respuestas dadas anteriormente.
Podemos calcular:
– El perímetro de una circunferencia.
– El perímetro de un círculo.
– El área de una circunferencia.
– El área de un círculo.
– El perímetro y el área de una circunferencia.
– El perímetro y el área de un círculo.
Medición
55
Actividades complementarias
• Determinar el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de su
área. Considerar π = 3,1.
a. A = 12 cm
b. A = 31,4 cm
c. A = 40 m
d. A = 0,3 km
• Calcular la medida de los siguientes sectores circulares.
a.
b.
c.
d.
60º
O
Información para el docente
O
45º
O
O
120º
• La actividad previa le permitirá aclarar a sus alumnos(as) las propiedades
que cumplen tanto la circunferencia (lugar geométrico de los puntos que
equidistan a igual distancia de un centro, esa distancia es llamada radio)
como el círculo (superficie plana definida por una circunferencia).
Orientaciones didácticas
Áreas y perímetros de figuras compuestas (páginas 76 y 77)
Actividades previas
56
• Presentar a los(as) alumnos(as) formas geométricas como las siguientes,
para que determinen las figuras que las componen.
a.
c.
b.
d.
Unidad 4
Actividades complementarias
a.
• Calcular el área achurada y el perímetro total de la figura, dada la
siguiente información.
b.
Rectángulo de lado mayor 6 cm
y lado menor 4 cm.
Circunferencias congruentes.
c.
Circunferencias congruentes
de radio 4 cm.
Circunferencias pequeñas
congruentes de diámetro 1 cm.
Circunferencia mayor: radio 3 cm.
• Calcular el área del sector circular generado por una taza y su platillo.
Tarea
Medición del volumen (páginas 78 y 79)
• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:
1
– ¿Cuántos cm3 tiene un vaso de
de litro? Analizar las respuestas y las
8
Actividades previas
estrategias utilizadas en la resolución del problema.
Actividades complementarias
x 1000
x 1000
km3
• Es importante recordar las equivalencias entre distintas unidades de
medida. Para ello, presentar las siguientes relaciones, luego completar.
hm3
x 1000
÷1000
÷1000
x 1000
dm3
m3
dam3
÷1000
x 1000
÷1000
x 1000
cm3
÷1000
mm3
÷1000
V = 1 cm3
3
1 dm es el volumen de un cubo de arista 1 dm.
Medición
1 km3 es el volumen de un cubo de arista
.
1 m3
.
1 cm3
.
57
Orientaciones didácticas
Área y volumen de pirámides (páginas 80 y 81)
Actividades previas
• Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres; con una red
construyen una pirámide y luego establezcan alguna relación que les
permita calcular su área y su volumen. Comparan sus conjeturas con las
de otro grupo.
Actividades complementarias
• Calcular el volumen de las siguientes pirámides.
2m
3m
2m
2m
4m
4m
2m
2m
2m
El cilindro (páginas 82 y 83)
Actividades previas
• Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres, armen el prisma y
el cilindro y realicen la siguiente actividad. (Ambos deben tener la misma
área basal e igual altura).
– Comprobar que el prisma y el cilindro tienen igual altura.
h
B
B
r
– Llenar con arena el prisma y luego vaciarlo en el cilindro. ¿Qué conclusión
pueden obtener?
– Establecer algebraicamente la relación encontrada.
58
Unidad 4
Actividades complementarias
Diámetro = 4 cm
Altura = 12 cm
• Calcular el volumen de los siguientes cilindros dado el diámetro y la
altura.
Diámetro = 8 cm
Altura = 8 cm
Diámetro = 12 cm
Altura = 6 cm
Información para el docente
• En la actividad anterior haga notar a los alumnos(as), que los datos que
se están entregando no son aplicables directamente a una fórmula.
Deben darse cuenta de que primero hay que calcular el radio de cada
cilindro, el cual está dado por el diámetro, para luego aplicar la fórmula
que les permite determinar el volumen de un cilindro.
Tarea
• Calcular el volumen real de un envase en forma de cilindro. Luego
comparar la medida obtenida con el contenido que se indica en el envase.
Tener en cuenta la unidad de volumen usada para poder comparar las
mediciones.
Red del cono recto (página 84)
Actividades previas
• Pedir a los(as) alumnos(as) que se organicen en parejas y realicen la
siguiente actividad. Luego responden las preguntas. (Para la actividad
necesitan un palito de maqueta, papel lustre, tijeras y pegamento).
– Toman un palito de maqueta y un triángulo rectángulo de papel lustre.
– Pegan el triángulo al palito de maqueta por uno de sus catetos.
– Luego lo hacen girar.
¿Qué cuerpo se observa al hacer girar el palito de maqueta, en el mismo
sentido?
¿Podrían explicar cómo se genera un cono y qué figuras lo forman?
Medición
59
Orientaciones didácticas
Actividades complementarias
• Lee y luego resuelve.
a. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector circular de un cono de radio
3 cm y generatriz 5 cm?
b. ¿Cuánto debe medir la generatriz para construir un cono de radio
7 cm y α = 90º?
c. Construye un cono cuyo perímetro basal sea 8 π cm y generatriz 11 cm.
Información para el docente
• El cono circular recto es el cuerpo de revolución engendrado por un
triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.
La hipotenusa del triángulo es la generatriz g del cono. El cateto sobre el
cual se gira es la altura h. El otro cateto es el radio r, de la base.
El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector
circular de radio g y ángulo
α=
r • 360º
.
g
Área del cono recto (página 85)
Actividades complementarias
• Calcular el área de un cono, dado su radio y su generatriz. Considera
π = 3,14.
a. r = 2 cm, g = 6 cm
d. r = 2,6 cm, g = 6,4 cm
b. r = 4 cm, g = 8 cm
e. r = 5 cm, g = 10,2 cm
c. r = 3,5 cm, g = 10 cm
f. r = 3,6 cm, g = 8 cm
Volumen de cuerpos redondos (páginas 86 y 87)
Actividades previas
60
• Escribir en la pizarra los nombres de diversos cuerpos geométricos,
poliedros y cuerpos redondos, luego preguntar cuáles son cuerpos
redondos y cómo calcular sus volúmenes.
Unidad 4
Actividades complementarias
• Calcular el volumen de los siguientes cuerpos redondos.
1.
2.
3.
r
h
h
r
h
r
Radio = 2 cm
Altura = 8 cm
Radio = 2 cm
Altura = 6 cm
Radio = 2 cm
Altura = 10 cm
Más problemas (páginas 88 y 89)
Información para el docente
• Motive a sus alumnos(as) para que siempre busquen al menos dos
estrategias de resolución para un mismo problema (si es que las hay).
Esto les permite desarrollar sus habilidades y observar que un mismo
problema puede tener diversos caminos de solución.
Uso del computador (página 90)
Información para el docente
• En la siguiente dirección web encontrará un geoplano interactivo, que le
permitirá realizar la actividad en concreto con sus alumnos(as), podrán
de una manera más didáctica descubrir las regularidades presentes en la
actividad.
www.santillana.cl/ebasica/mat8 .
Evaluación (páginas 92 y 93)
Objetivos evaluados
• Calcular el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. (Preguntas 1, 2; pág. 92)
• Calcular el área y el perímetro de figuras compuestas. (Preguntas 3, 4, 8; pág. 92. Preguntas 1, 2, 3; pág. 93)
• Calcular el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos. (Preguntas 5, 6, 7; pág. 92. Pregunta 4; pág. 93)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2; pág. 92: responden correctamente los ejercicios formulados.
• Preguntas 3, 4, 8; pág. 92 y preguntas 1, 2, 3; pág. 93: responden correctamente al menos cuatro de las
seis preguntas formuladas.
• Preguntas 5, 6, 7; pág. 92 y pregunta 4, pág. 93: responden correctamente al menos tres de las cuatro
preguntas planteadas.
Medición
61
Evaluación 4
Marca la alternativa correcta
5. Un cuadrado de lado 32 m, tiene inscritas
4 circunferencias. Calcula el área pintada.
Para tus cálculos considera π = 3
A.
B.
C.
D.
1. Calcula el área del siguiente polígono.
A.
B.
C.
D.
70 m2
78 m2
86 m2
150 m2
8
7
32 u
4
4
4
4
2
2
4
4
4
6. Determina el volumen de la pirámide de base
cuadrada.
4
7
A.
B.
C.
D.
37,5 m2
64,3 m2
225 m2
274,75 m2
576 cm3
480 cm3
356 cm3
278 cm3
10 cm
2. Calcula el área pintada de la figura.
A.
B.
C.
D.
64 m2
220,16 m2
768 m2
1024 m2
O
10 m
12 cm
45º
7. Calcula el perímetro de la figura pintada.
3. ¿Cuál de las siguientes corresponde al volumen
de la mitad de una esfera de radio 3 cm.
A.
B.
C.
D.
3
36 m
27 m3
56,52 m3
216 m3
6 + 9π cm
54 - 9π cm2
6 + 6π cm
A
18 + 9π cm
B
C
D
J
4. ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyo
lado mide 6 cm y cuyo apotema mide 5 cm?
I
E
H
F
G
CE, EG, HJ y JB son arcos de
A. 105 cm2
B. 90 cm
A.
B.
C.
D.
circunferencia.
2
El rectángulo ADFI mide 9 cm
de largo y 6 de ancho.
C. 60 cm2
D. 45 cm2
6m
62
Unidad 4
8. Calcula el volumen de acero inoxidable que se
necesita para elaborar una cañería cuyas
dimensiones son:
diámetro externo ( de ) = 12 cm
diámetro interno ( di ) = 10 cm
Largo ( L ) = 100 cm
A.
B.
C.
D.
A. 16 (1 + 3 ) cm2
L
B. 32
3
3
3454 cm
6000 cm3
7500 cm3
10 800 cm3
11. ¿Cuál es el área que se obtiene al armar una red
de una pirámide cuadrada cuyo lado de la base
mide 4 cm y sus caras laterales corresponden a
triángulos equiláteros?
3 cm2
C. 16 2 cm
di
2 3
2
D. 32 2 cm2
3
de
9. El área y el perímetro de una figura formada por
un triángulo isósceles de altura 4 metros y una
semicircunferencia de diámetro 6 metros es:
d
12. Un tarro de pelotas de tenis tiene 4 pelotas
perfectamente calzadas en su interior. Determina
el volumen del tarro cuya forma es cilíndrica,
sabiendo que el diámetro de cada pelota es
12 cm.
A.
B.
C.
D.
1296 cm3
5426 cm3
3888 cm3
15 552 cm3
h
A.
B.
C.
D.
área = 39 m2; perímetro 28 m
área = 26,13 m2; perímetro 19,42 m
área = 25,5 m2; perímetro 28 m
área = 39 m2; perímetro 19 m
10. Un automóvil se desplaza 1200 metros.
Determina el radio de las ruedas, sabiendo que
dieron 400 vueltas en el total del trayecto.
A.
B.
C.
D.
3m
2m
1m
0,5 m
Medición
13. Un círculo ubicado en el vértice C de un triángulo
equilátero rueda por el lado CB. ¿Qué radio debe
tener el círculo para que justo de una vuelta,
desde el vértice C al vértice B, sabiendo que el
lado del triángulo mide 6 cm?
A.
B.
C.
D.
3m
2m
1m
0,5 m
r
C
A
B
63
UNIDAD
5Funciones
Cuadro sinóptico
CMO
Estructura de la unidad
Contenidos de la unidad
• Páginas de inicio. (Págs. 94 y 95)
• Reconocimiento de funciones
en diversos contextos, distinción
entre variables dependientes e
independientes en ellas e
– Noción de función. (Págs. 96 y 97)
identificación de sus elementos
• Páginas de desarrollo de
constituyentes: dominio,
contenidos. (Págs. 96 a 107)
recorrido, uso e interpretación
– Variables dependientes e independientes. (Págs. 98
de la notación de funciones.
a 101)
– Representación de una función. (Págs. 102 y 103)
– Imagen y preimagen. (Págs. 104 y 105)
– Dominio de una función. (Pág. 106)
– Recorrido de una función. (Pág. 107)
• Más problemas.
(Págs. 108 y 109)
• Representación de una función
• Uso de computador (Pág. 110)
• Representación de una función
• Síntesis (Pág. 111)
• Evaluación. (Págs. 112 y 113)
64
Unidad 5
Aprendizajes esperados
OFT
• Reconocer la importancia del trabajo
como forma de desarrollo personal,
familiar y social.
• Determinan cuándo dos variables están relacionadas por una función.
• Reconocen y resuelven problemas que involucran variables dependientes e
independientes.
• Desarrollar las habilidades intelectuales
relacionadas con la clarificación,
evaluación y generación de ideas.
• Reconocen funciones en diversos contextos
• Calculan el valor de la imagen y de la preimagen de un número bajo una
función.
• Determinan el dominio de una función.
• Determinan el recorrido de una función.
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
• Representan algebraicamente una función.
• Aplican el concepto de imagen y preimagen.
• Evalúan una función.
• Aplican la noción de función.
• Representan gráficamente una función.
Funciones
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
65
Propósito de la unidad
La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la representación de relaciones,
mediante la utilización del concepto y la notación de funciones, de esta manera el alumno podrá resolver
problemas más complejos, en los cuales necesita representar una relación entre dos variables, por
ejemplo, una relación proporcional. Muchas de las situaciones planteadas están relacionadas con
situaciones cotidianas, de este modo el alumno descubrirá una gama de aplicaciones de las funciones,
tanto mediante su representación algebraica como mediante su gráfica. Por otra parte, se pretende
desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas especialmente a
estudiar los conceptos involucrados en la noción de función.
Mapa conceptual
Funciones
Noción
Variable
dependiente
Representación
Variable
independiente
Algebraica
Gráfica
Tabla de
valores
Preimagen
Imagen
Dominio
Recorrido
Aplicaciones
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 94 y 95)
Actividades complementarias
• Resuelve las siguientes ecuaciones
a.
b.
c.
d.
e.
f.
66
4x – 3 + 7 = 2x
7x + 2x – 5 = 20 – x
12x – 4 = 28 – 2x
9x – 18 = 3x – 30
3y – 14 + 7y = 4y – 1y + 16
–4x + 2x + 6 – 2 = 4x + 12
Unidad 5
• Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F).
a.
b.
c.
d.
e.
f.
8 + 2 • (–2) = –8 : –2
–16 • (–3) + 20 = –14 + 6 • 7
–40 : 8 – 10 = – 3 • 8 + 9
9 – 0,25 • 20 – 3,5 = 8 : 8 – 1
32 : 4 – 7 = – 4,2 • 4 + 3,2
24 • (–2) + 48 = (–6 + 8) • 7 – 14
Noción de función (páginas 96 y 97)
Actividades complementarias
• Determinar en cada caso si la relación entre las variables corresponde a
una función o no.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Información para el docente
Un número cualquiera y su inverso multiplicativo.
La longitud del lado de un hexágono regular y su área.
El número de pisos de un edificio y la cantidad de escaleras que tiene.
La longitud del lado de un triángulo cualquiera y su perímetro.
El número de teléfono y una persona.
El tiempo de conexión a Internet y el valor.
Un joven y sus primos.
• Es fundamental que sus estudiantes distingan una función de alguna
otra relación entre dos variables, es necesario que para cada uno de los
valores posibles de x, le corresponda un único valor de y (y no dos
valores distintos). Enfatice la idea de que la unicidad se refiere al valor
de y que está relacionado con cada valor de x, de modo que no se
confunda con la idea de que todos los valores de y deben ser el mismo.
Variables dependientes e independientes (páginas 98 a 101)
Actividades complementarias
• Describe la relación entre las siguientes variables, en cada caso justifica.
a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de
dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura
o el tamaño de la pared?
b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la
cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de
agua o el precio de la cuenta?
c. Sueldo de una persona y horas de trabajo. ¿Cuál es la variable
dependiente?
d. Dinero de la deuda total e intereses de una deuda. ¿Cuál es la
variable independiente?
Información para el docente
Funciones
• Es importante tener en cuenta que el concepto de dependencia e
independencia entre las variables es fundamental. Por este motivo, se
debe recalcar la idea que a cada valor de x le corresponde un único valor
de y.
67
Orientaciones didácticas
Representación de una función (páginas 102 y 103)
Actividades complementarias
• Un acuario se puede llenar vaciando 12 bidones de 15 litros cada uno,
por lo que con bidones de 5 litros se deben ocupar 36 bidones, para el
mismo fin.
a. ¿Cuál es la función que modela estos valores?
b. Construye el gráfico correspondiente.
c. Observando la gráfica anterior, ¿cuántos bidones de 30 L se necesitan
para llenar el acuario? ¿Y bidones de 6 L?, ¿y de 20 L?
Información para el docente
• Recuérdeles a sus alumnos(as) las características que debe tener el gráfico
de una función: Asignar la variable independiente al eje X y la
independiente al eje Y e identificarlas, establecer la escala necesaria para
cada eje y escribir sus números. Enfatice el orden correcto de las variables
en un par ordenado y la forma de ubicar los puntos en el gráfico.
Imagen y preimagen (páginas 104 y 105)
Actividades complementarias
•Completa la siguiente tabla:
Función
Imagen de 0 Imagen de 5 Preimagen de 65 Preimagen de 0
f(x)= 3x – 5
g(x)= 12x + 9
h(x)= –3 – 7
Información para el docente
• Comprender el concepto de imagen y preimagen de uno o más valores
bajo una función es el paso previo para comprender el dominio y
recorrido de la función, por lo que compruebe que los alumnos(as)
calculan correctamente la imagen y preimagen, y que pueden decidir
cuándo no existen, en cada caso, antes de continuar con la unidad.
Dominio de una función (página 106)
Actividades complementarias
68
• Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se
presentan a continuación, y el dominio de la función en cada caso.
a. Se dice que una coneja a partir del segundo año de vida, tiene 28
hijos por año; Si x es la edad de la coneja, ¿qué función entrega la
cantidad de hijos que ha tenido?
b. Un automóvil rinde 12 km por cada litro de bencina cuando recorre la
ciudad. ¿Qué función indica el gasto de bencina cuando se han
recorrido x kilómetros?
c. Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos; ¿Qué
función nos da la cantidad de bacterias que hay después de x minutos
si al comienzo había 7 bacterias?
Unidad 5
Recorrido de una función (página 107)
Actividades complementarias
• Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se
presentan a continuación y el recorrido de la función en cada caso.
a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de
dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura
o el tamaño de la pared?
b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la
cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de
agua o el precio de la cuenta?
Más problemas (páginas 108 y 109)
Información para el docente
• Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un
problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,
discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe
obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del
contexto. Para ello les puede plantear las siguientes preguntas:
- ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?
- ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema?
A continuación es recomendable generar un debate acerca de las
diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos
puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para
resolver una misma situación.
Uso de computador (página 110)
Información para el docente
• Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de
poder utilizar un software computacional, ya que este recurso
tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las
diferentes funciones estudiadas.
• Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en esta página, es
fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los
conceptos trabajados en la unidad.
Evaluación (páginas 112 y 113)
Objetivos evaluados
• Representar algebraicamente una función. (Pregunta 1; pág. 112 y pregunta 3 de pág. 113)
• Evaluar afirmaciones que involucran conceptos tratados en la unidad (Preguntas 2 y 5; pág.112)
• Aplicar el concepto de imagen y preimagen. (Pregunta 3, 4 y 7; pág.112 y pregunta 2 de pág. 113)
• Evaluar una función. (Pregunta 6; pág. 112)
• Aplicar la noción de función. (Pregunta 8; pág.112)
• Representar gráficamente una función. (Pregunta 1; pág. 113)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 5 y 8; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 3, 4, 6 y 7; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 1 y 2; pág. 113: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.
Funciones
69
Evaluación 5
Marca la alternativa correcta
1. La imagen de 27 en la función f (x) = 2x + 7 es:
A. 20
B. 47
C. 54
D. 61
2. La preimagen de 33 en la función f (x) = 6x – 9
es:
A. 5,5
B. 5
C. 4
D. 7
3. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?
A. El recorrido de una función es el conjunto de
todas sus preimágenes.
B. La variable dependiente corresponde a la
variable y.
C. El recorrido de la función y = 4x está
compuesto por los números pares.
D. La preimagen de 13 bajo la función y = 2x – 1
es 6.
4. El valor de la función f (x) = 25 – 5x cuando x = 5
es:
A. 0
B. –50
C. 20
D. 30
5. En una confitería se envasan 24 bombones en cada
caja. ¿Cuál es la función que modela el número
total de bombones envasados?
A.
B.
C.
D.
70
y = 24 – x
y = x + 24
y = 24x
x = 24y
6. Según la pregunta anterior, la variable
independiente, ¿a qué corresponde?
A.
B.
C.
D.
A la cantidad de bombones en cada caja.
A la cantidad de cajas.
Al total de bombones.
Ninguna de las anteriores.
7. ¿Cuál de las siguientes frases se relaciona con la
función f (x) = 30 – 12x?
A.
B.
C.
D.
La imagen de 3 es 6.
La preimagen de 42 es 1.
La imagen de 0 es 18.
La preimagen de 6 es 2.
8. Matilde elaboró 240 alfajores y quiere envasarlos
en cajas que contengan la misma cantidad de
unidades. En este contexto, ¿cuál de las siguientes
frases es falsa?
A. La función que modela esta situación es
y = 240
x
B. La variable dependiente es la cantidad de
alfajores que se envasan en cada caja.
C. 120 pertenece al recorrido de la función.
D. 60 pertenece al dominio de la función.
9. Según la pregunta anterior, ¿cuál de las siguientes
frases es verdadera?
A. El dominio de la función son todos los
números naturales.
B. El dominio de la función es igual a su
recorrido.
C. El recorrido de la función son todos los
números enteros entre 1 y 240.
D. Ninguna de las anteriores.
Unidad 5
14. La única afirmación falsa con respecto a la
2
función f(x) = xx –+ 1
1 es:
10. El valor de la función f (x) = 3x + 18 cuando
x = 6 es:
A.
B.
C.
D.
A. f(–1) = –1
B. f(–3) = –5
2
–1
C. f
=5
6
2
36
18
54
111
冢 冣
D. f(3) = 5
11. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa?
A. El dominio de una función es el conjunto de
todas sus preimágenes.
B. La variable x corresponde a la variable
dependiente.
C. La preimagen de –15 bajo la función
y = 30 – 9x es 5.
D. La imagen de 7 bajo la función
y = 4x – 5 es 23.
12. ¿Cuál de las siguientes relaciones no corresponde
a una función?
A. El área de una mesa rectangular y la longitud
de su ancho.
B. La longitud del radio de una circunferencia y
su área.
C. La edad de una persona y la cantidad de hijos
e hijas que tiene.
D. La longitud de un lado de un triángulo y su
altura.
13. ¿Cuál es la función que modela los valores de la
siguiente tabla?
x
1
2
3
4
5
6
y
17
14
11
8
5
2
A.
B.
C.
D.
15. Con respecto a la función g(x) = 2x – 1 se afirma
x – 6
que:
I. g(6) no existe.
II. g(3) es un entero negativo.
1
III. g
es negativo.
2
冢冣
De las afirmaciones son verdaderas:
A.
B.
C.
D.
Solo I
Solo II
I y III
II y III
16. ¿Cuál es la función que modela los valores de la
siguiente tabla?
x
1
2
3
4
5
6
y
2
6
11
18
27
38
A.
B.
C.
D.
y = 4x – 2
y = x2 – 2
y = 2x + 2
Ninguna de las anteriores.
y = 22 – 5x
y = 20 – 3x
y = 2x + 15
Ninguna de las anteriores.
Funciones
71
UNIDAD
6Relaciones proporcionales
Cuadro sinóptico
CMO
• Reconocimiento y
representación como una
función de las relaciones de
proporcionalidad directa e
inversa entre dos variables, en
contextos significativos.
Comparación con variables
relacionadas en forma no
proporcional y argumentación
acerca de la diferencia con el
caso proporcional.
Estructura de la unidad
Contenidos de la unidad
• Páginas de inicio.
(Págs. 118 y 119)
• Páginas de desarrollo de
contenidos. (Págs. 118 - 141)
– Razones y proporciones. (Págs. 120 y 121)
– Variaciones proporcionales y no proporcionales.
(Págs. 122 y 123)
– Proporcionalidad directa. (Págs. 124 a 127)
• Análisis de diversas situaciones
que representan tanto
magnitudes proporcionales
como no proporcionales,
mediante el uso de software
gráfico.
– Proporcionalidad inversa. (Págs. 128 a 131)
– Semejanza y proporcionalidad. (Págs. 132 y 133)
• Resolución de problemas en
diversos contextos que implican
el uso de la relación de
proporcionalidad como modelo
matemático.
– Escala. (Págs. 134 y 135)
– Porcentajes. (Págs. 136 y 137)
– Aplicaciones del porcentaje en el comercio.
(Págs. 138 y 139)
– El impuesto al valor agregado: IVA.
(Págs. 140 y 141)
• Más problemas.
(Págs. 142 y 143)
• Aplicación y cálculo de escalas.
• Cálculo mental. (Pág. 144)
• Cálculo de porcentajes.
• Uso de la calculadora. (Pág. 144) • Cálculo de porcentajes.
72
• Síntesis. (Pág. 145)
• Cálculo de porcentajes.
• Evaluación. (Págs. 146 y 147)
• IVA.
Unidad 6
Aprendizajes esperados
• Reconocen razones y proporciones.
OFT
• Desarrollar las habilidades intelectuales
relacionadas con la clarificación,
evaluación y generación de ideas.
• Reconocen y resuelven problemas que involucran variaciones proporcionales • Desarrollar las habilidades intelectuales
relacionadas con la clarificación,
y no proporcionales.
evaluación y generación de ideas.
• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad directa.
• Desarrollar las habilidades intelectuales
relacionadas con la clarificación,
evaluación y generación de ideas.
• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad inversa.
• Desarrollar las habilidades intelectuales
relacionadas con la clarificación,
evaluación y generación de ideas.
• Resuelven problemas que involucran semejanza y proporcionalidad.
• Resuelven problemas que involucran cálculo de escalas.
• Calculan porcentajes en contextos concretos.
• Calculan porcentajes en contextos concretos.
• Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un
porcentaje.
• Reconocer la importancia del trabajo
como forma de desarrollo personal,
familiar y social.
• Resuelven problemas de cálculo de impuestos.
• Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un
porcentaje.
• Reconocer la importancia del trabajo
como forma de desarrollo personal,
familiar y social.
• Desarrollar la capacidad de resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
• Resuelven problemas usando proporcionalidad directa.
• Resuelven problemas usando proporcionalidad inversa.
• Aplican el concepto de razón.
• Aplican el concepto de escala.
• Resuelven problemas aplicando porcentajes.
• Resuelven situaciones relacionadas con el comercio.
• Aplican porcentaje correspondiente al IVA.
Relaciones proporcionales
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
73
Propósito de la unidad
El concepto de proporcionalidad no es desconocido para los alumnos, pues ha sido estudiado en Séptimo
Año Básico. Desde esta perspectiva, la unidad se ha estructurado dando importancia a la distinción entre
situaciones en las cuales se presente una variación proporcional, y otras en las que no se presente. Del
mismo modo, las actividades requieren de una reflexión respecto de la dinámica de las variaciones
proporcionales, ya que más que propiciar el entendimiento de la mecánica propia para resolver diversas
situaciones, lo que se busca es que visualicen la manera cómo se relacionan las variables. En cuanto a la
aplicación de la proporcionalidad se trabaja la semejanza de figuras planas, el diseño de dibujos a escala y
de manera muy especial porcentajes, utilizando para este último, ejemplos de contextos reales como el
comercio.
Mapa conceptual
Relaciones proporcionales
Variaciones
proporcionales y no
proporcionales
Semejanza y
proporcionalidad
Razón
Proporción
Escala
Directa
Inversa
Porcentaje
Aplicaciones
IVA
Descuentos
Aumentos porcentuales
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 116 y 117)
Actividades complementarias
• Discutir con los(as) alumnos(as) en cuáles de los siguientes problemas las
magnitudes varían proporcionalmente.
a. Al comprar 3 kilos de pan, Juan paga una cantidad de dinero que
asciende a $750, y al comprar 5 kilos paga $1250.
b. Pedro manda una cadena de e-mails a tres compañeros, y cada uno
de ellos a su vez manda este e-mail a tres amigos más y así
sucesivamente.
c. Dos amigos se toman una bebida de 3 litros en una hora, en cambio,
seis amigos se toman esta misma cantidad en media hora.
74
Unidad 6
Razones y proporciones (páginas 118 y 119)
• Determinar si las siguientes relaciones representan una fracción o una
razón.
Actividades previas
a.
b.
c.
d.
Cantidad de alumnos(as) del 8° A y la cantidad de alumnos del colegio.
Cantidad de mujeres de Chile y la cantidad de hombres de Chile.
Cantidad de adultos mayores respecto de la población total del país.
Cantidad de basura que produce un hogar con respecto a la cantidad
promedio de personas que viven en un hogar.
• Determinar la constante de proporcionalidad en los siguientes
problemas.
Actividades complementarias
a. Los ángulos interiores de un pentágono irregular están en la razón
1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5.
b. Una persona, viajando en automóvil, se percata de que por cada
kilómetro que avanza, aumenta su velocidad en 0,5 km/h.
• Es importante hacer ver a los(as) alumnos(as) las diferencias que se
presentan entre fracción y razón. La primera de estas es una relación
parte – todo, en cambio, la segunda es una relación parte – parte. Es
relevante hacer notar que la razón puede comparar cantidades de la
misma magnitud, y cantidades de magnitudes distintas.
Información para el docente
Variaciones proporcionales y no proporcionales (páginas 120 y 121)
• Mostrar a los alumnos y alumnas esquemas de figuras que sean
proporcionales y no proporcionales. Luego, pedir que realicen las
mediciones necesarias para determinar si las figuras dadas son o no
proporcionales. Por ejemplo,
Actividades complementarias
a.
b.
Relaciones proporcionales
75
Orientaciones didácticas
Proporcionalidad directa (páginas 122 a 125)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas encuentran
magnitudes o variables que aumenten o disminuyan a la vez?
Actividades complementarias
• Construir una tabla de valores y el gráfico correspondiente para
encontrar la respuesta a la siguiente situación:
– Una impresora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar una
enciclopedia de 3600 páginas, ¿cuánto tiempo se demora la máquina en
hacerlas?
• Resuelve los siguientes problemas.
a. Doce metros de género cuestan $ 2400. ¿Cuánto cuestan 5 metros?
b. Diez obreros cavan, en cinco horas, una zanja de 60 m de longitud.
¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros trabajando
en las mismas condiciones?
c. Si una persona de 1,85 m de altura proyecta una sombra de 1,35 m de
longitud, calcula la altura de un árbol que en el mismo instante
proyecta una sombra de 20 metros.
Proporcionalidad inversa (páginas 126 a 129)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas
encuentran magnitudes o variables donde si una aumenta, la otra
disminuye, y viceversa?
Actividades complementarias
• Construir una tabla y su gráfico correspondiente para dar respuesta a la
siguiente situación: Un automóvil debe recorrer una distancia de 360 km.
¿Cuáles son los tiempos y las velocidades que puede alcanzar este auto,
de manera de recorrer la distancia indicada?
• Resuelve los siguientes problemas.
a. Con mi dinero puedo comprar 25 dulces a $ 30 cada uno. Si suben a
$ 35, ¿cuánto podré comprar?
b. Si 50 telares producen cierta cantidad de tela en 240 horas. ¿Cuántas
horas demoran 120 telares iguales en producir la misma cantidad de
tela?
c. Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientes
respectivamente. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la
primera ha dado 144 vueltas?
d. Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se
necesitarían si se quiere pintar en 80 días?
e. En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos en
dar una vuelta a la pista a 250 km/h. Si el segundo auto demoró
2,8 minutos, ¿a qué velocidad promedio dio la vuelta a la pista?
76
Unidad 6
Posibles dificultades
• Los alumnos tienden a pensar que si dos variables aumentan o
disminuyen a la vez se tiene una proporción directa, mientras que al
enfrentarse a dos variables en la cual una aumenta y la otra disminuye se
tiene una proporción inversa.
Se debe aclarar que el comportamiento de las variables en ambos casos
debe ser proporcional.
Actividades complementarias
Para alumnos más avanzados:
• Construir una tabla e identificar la proporcionalidad en cada uno de los
siguientes problemas:
a. Si tres secretarias pueden digitar seis manuscritos en doce días,
¿cuántos días tomaría a dos de ellas digitar tres de esos documentos?
b. Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿Cuántas nueces come una
ardilla en un día? Intuye la respuesta y luego compruébala.
c. Para llenar un estanque se necesitan dos llaves (A y B). Estando
abierta la llave A, el estanque se llena en 2 horas, y estando abierta la
llave B el estanque se llena en una hora y media. ¿Cuánto demora en
llenarse estando abiertas las dos llaves?
Comentario
• Lo más relevante del trabajo con proporcionalidad compuesta es la
identificación de cada uno de los tipos de proporcionalidad que están
involucrados en los problemas. Pero esta identificación se dificulta por el
poco contacto que tienen los alumnos con las magnitudes que se
relacionan de una u otra forma en la realidad; en su vida cotidiana
manejan muy pocas magnitudes como para que puedan determinar los
tipos de proporcionalidad en problemas de enunciados verbales. Es por
esto que el profesor debe ejercitar el manejo de magnitudes, y que los
alumnos(as) experimenten concretamente con ellas.
Semejanza y proporcionalidad (páginas 130 y 131)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as):
– ¿Un cuadrado pequeño y uno grande, son iguales o parecidos?
– ¿Y dos circunferencias?
– ¿En qué se diferencia una circunferencia pequeña de una grande?
Actividades complementarias
Para alumnos más avanzados:
• Ingresar a la página www.descartes.cnice.mec.es y seleccionar Unidades
Didácticas. Allí encontrarán una serie de temas, de los cuales eligen
Semejanza y Homotecia. A partir de lo que ahí descubran y al realizar las
actividades que se plantean, contestan las siguientes preguntas:
Relaciones proporcionales
77
Orientaciones didácticas
– ¿Qué es una homotecia?
– ¿Qué se obtiene de ella al ser aplicada a un polígono?
– ¿Qué es el centro de homotecia?
– ¿Qué significa que la razón de homotecia k sea positiva mayor que 1?
¿Sea positiva menor que 1? ¿Sea negativa mayor que –1? ¿Sea negativa
menor que –1? ¿Qué significa que sea cero?
Si en la figura de la casa se hace variar el centro de homotecia “O”,
¿qué sucede con la figura?
Si en la misma figura se hace variar solo la razón de homotecia k,
¿qué sucede con la figura?
No olvidar que las páginas web o su contenido pueden variar.
Escala (páginas 132 y 133)
Información para el docente
• Para medir y cambiar escalas el instrumento más usado es el escalímetro. Es
bueno que los(as) alumnos(as) se familiaricen con este tipo de instrumentos,
pues observan en la realidad cómo aplicar los conocimientos que van
aprendiendo de forma teórica. Otro instrumento interesante para mostrar y
manipular es el pantógrafo, el cual permite construir polígonos semejantes a
uno determinado, fijando previamente la razón de proporcionalidad.
Porcentaje (páginas 134 y 135)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son las situaciones en que han
escuchado hablar de porcentaje? ¿Qué representa un porcentaje? ¿Puede
tener relación con las fracciones?
Actividades complementarias
• Asocia cada porcentaje con la fracción (o expresión) que le es equivalente.
La mitad
33,333...%
1
2
Información para el docente
78
30%
La cuarta parte
Un tercio
25%
50%
3
10
1
3
• El porcentaje, al ser una razón de consecuente cien, también está ligado
al campo de las fracciones. Es importante que los(as) alumnos(as)
comprendan la equivalencia de significado que existe entre porcentajes y
fracciones, además de su equivalencia numérica. Por ejemplo, decir el
1
50% de un cierto número, o decir
del número, o decir “la mitad” del
2
Unidad 6
número, son expresiones que no solo arrojan un valor numérico equivalente,
sino que su carga de significado también lo es, esto le permitirá comprender
mejor el campo de problemas que abarcan los porcentajes.
Aplicaciones de porcentajes en el comercio (páginas 136 y 137)
Actividades complementarias
• Determinar el porcentaje final de ganancia o pérdida en cada uno de los
siguientes problemas.
– Una persona compra un artículo en $80 000 y lo vende con un 10% de
ganancia. En seguida el artículo se vuelve a vender pero ahora con un
10% de pérdida. ¿El artículo queda en el precio original?
– Una librería vende los libros con un 20% de descuento si la venta es a
plazo; pero si es al contado hace además un 5% de descuento adicional
calculado sobre el precio de venta a plazo. Si un libro está marcado con
$n, ¿cuánto dinero se pagará por él, si el pago es al contado?
¿Los cálculos confirman la intuición? ¿Por qué?
El impuesto al valor agregado: IVA (páginas 138 y 139)
Actividades complementarias
• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación.
– En el kiosco del colegio de Manuel se compran periódicamente los
productos que después se venden a los alumnos. Manuel le ayuda a don
José, el dueño del kiosco, a ordenar las facturas que le pasan los distintos
proveedores. Él observa que a lo que cuesta cada producto se le agrega
un valor más, siendo el total de esta cantidad lo que debe pagar don
José. Manuel mira una de las facturas y observa que el monto final es
$243 000 pero que el costo de los productos es $196 830.
Averiguar cuánto más pagó don José y a qué porcentaje corresponde del
costo inicial y a qué porcentaje corresponde del monto final. Comparar
estos porcentajes. ¿Qué pueden concluir?
Más problemas (páginas 140 y 141)
Actividades complementarias
• Realizar el siguiente desafío con un(a) compañero(a), anotando todos los
pasos que siguieron para llegar al resultado final. Comentar el
procedimiento seguido con tu profesor(a).
– Matías depositó en una cuenta de ahorros $100 000 con una tasa de
interés mensual de 3,5%. Después de algún tiempo, Matías quiso invertir
su dinero pero encontró que había más del que había depositado.
Construye una tabla para que Matías entienda cómo fue que aumentó su
capital inicial y por qué sucedió.
Relaciones proporcionales
79
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• En el proceso de resolución de problemas es muy importante la
validación de las respuestas en el contexto en que se circunscribe el
problema. Este punto va más allá de verificar si los cálculos están
correctos; va en el sentido de dar significado al problema y analizar si el
problema tenía sentido en sí mismo. Este tipo de análisis genera en el
alumno(a) la habilidad de cuestionar, que es estrictamente necesaria en
matemáticas y en la resolución de problemas en general.
Cálculo mental (página 142)
Actividades complementarias
Información para el docente
• Calcular mentalmente las siguientes relaciones porcentuales.
a. el 50% de 40 es
g. 8 es el 12% de
b. el 25 % de 70 es
h. 33 es el 30% de
c. el 35% de 200 es
i. 20 es el
% de 100
d. el 15% de 300 es
j. 45 es el
% de 90
e. 5 es el 20% de
k. 80 es el
% de 40
f. 23 es el 50% de
l. 44 es el
% de 440
• Es muy importante incentivar cálculo mental en situaciones o problemas
referidos a relaciones proporcionales, pues ya no es solo el cálculo el que
se está ejercitando, sino que además se está llevando a un plano superior
de comprensión las mismas relaciones que involucran a ciertas variables.
El cálculo mental aquí también cumple una de sus tareas fundamentales,
que es hacer trabajar a los(as) alumnos(as) las combinaciones aditivas y
multiplicativas básicas que le permiten encontrar con mayor rapidez una
respuesta.
Uso de la calculadora (página 142)
Actividad previa
• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son los beneficios de usar la
calculadora en los procedimientos de resolución de problemas? ¿Qué
desventajas tiene este uso? ¿Siempre es conveniente usarla?
Actividades complementarias
• Utilizar la calculadora para determinar rápidamente los aumentos y los
descuentos en las siguientes situaciones que suelen presentarse en el
comercio.
a. ¡Oferta! Lleve tres y pague 2. ¿Cuál es el porcentaje de descuento por
producto, si el pago total es $1650?
80
Unidad 6
b. Un producto se vende sin IVA y cuesta $8 735. ¿Cuánto cuesta con el
impuesto incorporado?
c. Si se desea calcular el 13% de aumento en el precio de un producto
que cuesta $467, ¿se puede multiplicar este precio por 1,13 para
obtener la respuesta? Inténtalo.
d. Si se desea calcular la disminución del 8% en el precio de un producto
(que cuesta 800 pesos), ¿se puede multiplicar por 0,92 para obtener la
disminución efectiva? Inténtalo.
• Otra vía para aplicar el concepto de porcentaje es la utilización en el
sueldo o salario al tener un contrato de trabajo.
Para esto se puede trabajar con una planilla de sueldos, para lo cual es
necesario saber los porcentajes de descuento. El sueldo bruto se
descompone en sueldo líquido (80,1%), cotización de AFP (12,5%),
cotización de salud (7%) y seguro de cesantía (0,4%).
Utilizando la información anterior, completar la siguiente tabla:
Sueldo
bruto
Sueldo
líquido
AFP
Salud
Seguro
de cesantía
$ 259 000
$
$
$
$
$
$ 155 000
$
$
$
$
$
$
$ 9550
$
$
$
$
$
$ 3040
Evaluación (páginas 144 y 145)
Objetivos evaluados
• Resolver problemas usando proporcionalidad directa. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 146)
• Resolver problemas usando proporcionalidad inversa. (Pregunta 4; pág. 146)
• Resolver problemas usando proporcionalidad compuesta. (Pregunta 5; pág.146)
• Aplicar el concepto de razón. (Preguntas 6 y 7; pág.146)
• Aplicar el concepto de escala. (Pregunta 7; pág.146)
• Resolver problemas aplicando porcentajes. (Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág.146)
• Resolver situaciones relacionadas con el comercio. (Pregunta 1; pág.147)
• Aplicar porcentaje correspondiente al IVA. (Preguntas 2 y 3; pág.147)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 3 y 4; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 5, 6 y 7; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
• Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág. 146: responden correctamente al menos tres de las cinco preguntas
planteadas.
• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 147: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
Relaciones proporcionales
81
Evaluación 6
Marca la alternativa correcta
1. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente proporción?
x
10
=
12 15
A.
B.
C.
D.
x=8
x=5
x=3
x=2
A.
B.
C.
D.
2. En la figura hay dos rectángulos semejantes.
Determina el largo del rectángulo mayor (x).
A.
B.
C.
D.
11 centímetros
12 centímetros
14 centímetros
21 centímetros
7 cm
2 cm
x cm
6 cm
3. Una secretaria escribe en promedio 1500 palabras
en 15 minutos. ¿cuántas palabras escribe en 1
hora?
A.
B.
C.
D.
3000
6000
9000
15 000
4. Si debes leer un libro de 50 páginas y te demoras
5 páginas por hora. ¿Cuántos días demoras si solo
lees 2 horas diaramente?
A.
B.
C.
D.
82
5. Isabel midió la sala de clases, y esta tiene 15 metros
de largo y 5 de ancho. Si debe dibujar un plano
de su sala usando una escala de 1 : 25, ¿cuáles son
las medidas en centímetros del plano de la sala?
Largo 80 cm; ancho 40 cm
Largo 60 cm; ancho 20 cm
Largo 10 cm; ancho 50 cm
Largo 10 cm; ancho 30 cm
6. Diego e Isabel se reparten 36 dulces en
proporción a sus edades, que son 3 y 9 años
respectivamente. ¿Cuántos dulces le corresponden
a cada uno?
A.
B.
C.
D.
8 y 28 dulces
9 y 27 dulces
10 y 26 dulces
12 y 24 dulces
7. El sueldo de Carlos es de $250 000 y será
reajustado en un 25% pero como tiene una
deuda equivalente al 25% de su sueldo inicial con
la empresa, se la van a descontar el primer mes.
¿cuánto recibe el primer y segundo mes?
A.
B.
C.
D.
1º mes = $250 000; 2º mes = $312 500
1º mes = $150 000; 2º mes = $312 500
1º mes = $215 000; 2º mes = $230 000
1º mes = $200 000; 2º mes = $215 000
8. El 50% de un número es 29. ¿Cuál es el número?
A.
B.
C.
D.
14
25
32
58
1 día
5 días
10 días
15 días
Unidad 6
9. ¿Cuánto vale X, si A es directamente proporcional
a B?
A.
B.
C.
D.
A
9
X
B
3
15
45
9
15
5
10. ¿Cuánto vale Y, si A es inversamente proporcional
a B?
A.
B.
C.
D.
A
9
Y
B
15
3
5
9
15
45
11. El precio con IVA de un producto es $35 000,
¿cuál es el precio sin IVA aproximadamente?
A.
B.
C.
D.
$41 300
$28 700
$29 412
$17 000
12. Mauricio ha depositado $1.000.000 en el banco
durante 6 meses. Cada mes ganó 1% de interés.
¿Qué monto tiene el cabo del 6º mes
aproximadamente?
A.
B.
C.
D.
$1 600 000
$1 060 000
$1 061 520
$1 051 010
Relaciones proporcionales
13. Un colegio abrió sus puertas con 300 alumnos
inscritos. Al año siguiente las matrículas
aumentaron en un 30% y este año creció en un
50% ¿cuántos alumnos hay en la actualidad?
A.
B.
C.
D.
585
540
495
740
14. Un campamento tiene provisiones para 24 niños
durante 16 días. Si los niños aumentan a 48
¿cuántos días durarán las provisiones?
A.
B.
C.
D.
10 días
8 días
16 días
32 días
15. 12 alumnos pintan 3 cuadros en 4 días. ¿Cuántos
cuadros pintan 24 alumnos en 20 días?
A.
B.
C.
D.
35 cuadros
18 cuadros
30 cuadros
9 cuadros
16. Don Juan fabrica y vende volantines en
septiembre. Este año estimó que vendería
350 unidades. Si el costo de fabricación es $21 000
y la ganancia la define como el equivalente al
60% del costo. ¿A qué precio debe vender cada
volantín para obtener esa ganancia?
A.
B.
C.
D.
$145 el volantín
$115 el volantín
$84 el volantín
$96 el volantín
83
UNIDAD
7Potencias
Cuadro sinóptico
CMO
Estructura de la unidad
• Páginas de inicio.
• Utilización de estrategias de
(Págs. 148 y 149)
cálculo mental y escrito que
implican el uso de potencias
de base entera y exponente
• Páginas de desarrollo de
natural, determinación y
contenidos. (Págs. 150 – 167)
aplicación de propiedades
relativas a la multiplicación y
división de potencias que
tienen base entera y
exponente natural, y
extensión a potencias de base
fraccionaria o decimal
positiva y exponente natural.
Contenidos de la unidad
– Potencias de exponente natural. (Págs. 150 y 151)
– Multiplicación de potencias de igual base.
(Págs. 152 y 153)
– División de potencias de igual base.
(Págs. 154 y 155)
– Potencias de exponente negativo. (Págs. 156 y 157)
– Multiplicación y división de potencias de igual
exponente. (Págs. 158 y 159)
• Resolución de problemas en
contextos diversos y
significativos que involucran
[…] potencias de base entera,
fraccionaria o decimal
positiva y exponente natural,
enfatizando en el análisis
crítico de los procedimientos
de resolución y de los
resultados obtenidos.
– Crecimiento exponencial. (Págs. 160 – 162)
– Decrecimiento exponencial. (Págs. 163 – 165)
– Potencias de base 10. (Págs. 166 y 167)
• Más problemas.
(Págs. 168 y 169)
• Regularidades en el cálculo de potencias.
• Cálculo mental. (Pág. 170)
• Cálculo de potencias.
• Uso de la calculadora. (Pág. 170) • Cálculo de potencias.
• Síntesis. (Pág. 171)
• Evaluación. (Págs. 172 y 173)
84
Unidad 7
Aprendizajes esperados
OFT
• Desarrollar la iniciativa personal y el
trabajo en equipo.
• Interpretan y calculan problemas de potencias de exponente entero.
• Resuelven problemas de multiplicación de potencias de igual base.
• Resuelven problemas de división de potencias de igual base.
• Interpretan y resuelven problemas de potencias de exponente negativo.
• Resuelven multiplicaciones y divisiones de potencias de igual exponente.
• Interpretan y resuelven problemas que involucren crecimiento exponencial.
• Interpretan y resuelven problemas que involucren decrecimiento
exponencial.
• Resuelven problemas de potencias de base 10.
• Promover el interés y la capacidad de
conocer la realidad, utilizar el
conocimiento y seleccionar información
relevante.
• Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución, la describen y • Desarrollar la capacidad de resolver
la justifican de acuerdo al contexto del problema.
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
• Desarrollan potencias de bases enteras y fraccionarias.
• Aplican propiedades de las potencias.
• Comprenden y calculan potencias.
• Resuelven problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial.
• Calculan potencias de base 10.
Potencias
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
85
Propósito de la unidad
En Séptimo Año Básico, los alumnos aprendieron la notación de potencia y la utilizaron para expresar
grandes cantidades de manera reducida, en las cuales el exponente y la base correspondían a números
positivos. En esta unidad se generaliza el concepto de potencia a exponentes tanto positivos como
negativos. El énfasis de esta unidad está en la comprensión y deducción de las propiedades de las
potencias mediante regularidades y estudio de patrones, así como su aplicación en el estudio de
fenómenos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Por otra parte, se trabaja la resolución de
problemas a lo largo de toda la unidad dando especial importancia a la búsqueda de estrategias
apropiadas para diferentes tipos de situaciones.
Mapa conceptual
Potencias
Exponente natural
Exponente negativo
Base 10
Operatoria con potencias
Multiplicación
División
Aplicaciones
Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 146 y 147)
Actividades complementarias
• Una vez realizadas las actividades de estas páginas plantear a los(as)
alumnos(as) las siguientes situaciones que serán resueltas por medio de
la estrategia de resolución de problemas, llamada diagrama de árbol.
– Francisca y Maximiliano juegan lanzando una moneda tres veces, si salen
dos o más caras gana Maximiliano, si salen tres resultados iguales gana
Francisca. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar?
86
Unidad 7
c
c
cc
ccc
cs
ccs
csc
sc
css
scc
ss
scs
ssc
sss
– Pablo y Karina juegan lanzado dos dados, si el producto de los números
es mayor que 12 gana Pablo, si no, gana Karina.
¿Quién tiene más posibilidades de ganar?
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
2
3
4
5
6
4
6
8 10 12
Posibles dificultades
6
9 12 15 18
8 12 16 20 24
• El diagrama de árbol es una estrategia de resolución de problemas que
permite comprender visualmente el proceso matemático que se está
desarrollando. Haga consciente al alumno de la importancia de un orden
correcto de la información, ya que la mayor dificultad se presenta
cuando los(as) alumnos(as) consideran más de una vez una misma
información. Un árbol genealógico, que considere, padres, abuelos,
bisabuelos y tatarabuelos, puede ser una buena manera de practicar esta
estrategia.
Potencias de exponente natural (páginas 148 y 149)
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan la siguiente situación,
recomiende la utilización de un diagrama de árbol. Luego comparan sus
resultados.
– Felipe está interesado en participar en una cadena solidaria por e-mail.
Esta consiste en que cada vez que una persona reciba un e-mail, al día
siguiente lo reenvía a dos personas, y así sucesivamente, es decir, cada
día hay el doble de e-mails que el día anterior. Si Felipe comienza la
cadena enviando dos e-mails:
Potencias
87
Orientaciones didácticas
a. ¿Cuántas personas recibirán un e-mail al quinto día?
b. ¿Qué día se recibieron 1.024 e-mails?
• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen en forma de potencia las
siguientes operaciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2•2•2•2•2•2•2
4•4•4•4•4•4•4•4•4•4
6•6•6•6•6
7•7•7•7•7•7•7•7•7
10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10
13 • 13 • 13 • 13
Multiplicación de potencias de igual base (páginas 150 y 151)
Actividades previas
• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen como factor de potencias de
una misma base, los siguientes productos:
a. 32 = 2 • 4 • 4 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25
b. 81 =
c. 256 =
d. 125 =
e. 216 =
f. 10 000 =
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan las siguientes situaciones.
Luego comparan sus resultados y estrategias utilizadas.
– Florencia busca una tenida para la fiesta del fin de semana, aún no
decide si usar jeans, pantalón de tela, polera azul, negra, lila o verde.
¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar Florencia?
– Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado:
tres sabores distintos más una salsa. ¿Cuántas distintas combinaciones
de copas de helado ofrece la gelatería si los sabores de helado y las
salsas son los siguientes?
Sabor de helado
Salsa
- chocolate
- chocolate
- café
- manjar
- piña
- frutilla
- frutilla
- vainilla
- menta chips
88
Unidad 7
• Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban como una potencia y luego
calculen el valor.
6
1
冢 12 冣 • 冢 12 冣
a. 62 • 64 • 61 =
d.
b. 24 • 27 • 23 • 22 =
e. (0,3)5 • (0,4)4 • (0,4)2 =
c. (–1)2 • (–1)4 • (–1)6 • (–1)3 =
f. (2,3)4 • (2,3)4 • (2,3)4 =
=
División de potencias de igual base (páginas 152 y 153)
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios:
a. 64 : 62 =
6
d. (–4)6 : (–4)2 =
4
冢 12 冣 : 冢 12 冣
10
=
e.
冢 14 冣
c. (–5)9 : (–5)7 =
f.
2
冢 10
冣
b.
7
: (0,25)6 =
: (0,2)3 =
• Pedir a los(as) alumno(as) que en parejas formulen un problema que sea
necesario resolver por medio de la división de potencias de igual base,
este debe cumplir los siguientes requisitos:
– Debe estar escrito en lenguaje natural. (Juan quiere pintar una sala, si el
largo mide ...)
– Deben formular el problema en lenguaje matemático. (Sea x el largo ...)
– Deben especificar la estrategia utilizada. (Hacer un diagrama).
Información para el docente
• Plantear a los(as) alumnos(as) que la mecánica utilizada para resolver
problemas que involucren división de potencias de igual base, no es
necesario saberla de memoria. Recuérdeles que ellos poseen otras
herramientas que pueden utilizar al momento de enfrentar estos
problemas, por ejemplo, la simplificación.
Este tipo de actividades le permitirá ver el grado de conocimiento de sus
alumnos(as); si son capaces de formular y resolver un problema de
manera correcta, quiere decir que existe una apropiación del contenido.
En este caso, tome en cuenta que el problema no necesariamente debe
ser formulado en forma de potencia, lo importante es que en la
resolución del problema se utilice la división de potencias. Puede tomar
como ejemplo la situación problemática planteada al inicio de la página
154 del texto del alumno(a).
Potencias
89
Orientaciones didácticas
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios. Luego
formular las siguientes preguntas:
a. 104 : 103 =
b. 冢–
d. (–1)3 : (–1)2 =
1 6
1 6
冣
: 冢– 冣 =
5
5
c. (0,6)8 : (0,6)7 =
e.
10
冢 12 冣
f. 冢–
: (0,5)10 =
8 9
6 8
冣
: 冢– 冣 =
4
3
– ¿Observas alguna regularidad en los valores que encontraste?
– ¿Cómo son los exponentes de las potencias que obtuviste como
resultado?
– ¿Cómo expresas una potencia elevada a uno?, ¿qué quiere decir?
– ¿Cómo expresas una potencia elevada a cero?, ¿qué quiere decir?
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que unan las expresiones equivalentes.
2
冢– 10
冣
a. (4)7 : (4)7
b.
8
7
冢 13 冣 : 冢 13 冣
c. (0,2)6 : (0,2)5
2
d.
冢 10
冣
5
e.
冢 12 冣
9
0,5
46 : 46
: (2)2
1
: (0,5)8
冢 13 冣
Potencias de exponente negativo (páginas 154 y 155)
Variante metodológica
• Para introducir este contenido utilice las regularidades, escriba en la
pizarra las siguientes potencias y guíe a sus alumnos(as), por medio de
una conversación, a que ellos mismos se den cuenta de lo que sucede
cuando un exponente de una potencia tiene valor negativo.
25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16
23 = 2 • 2 • 2 = 8
22 = 2 • 2 = 4
21 = 2 = 2
90
Unidad 7
20 = 1 = 1
1
2–1 =
?
=
冢
冣
2–2 =
?
=
冢
冣
2–3 =
?
=
1
8
冢
2
3
冣
=
=
=
1
8
Se espera que los(as) alumnos(as) se den cuenta de que los valores de las
potencias se van dividiendo por dos, y que cuando el exponente es
negativo este se convierte a fracción.
Repita el mismo procedimiento para potencias de base 5 y 10.
Una vez que sus alumnos(as) logren comprender esto, introduzca la
mecánica.
Actividades complementarias
• Resuelve lo siguiente.
a. 32 =
d. (1,1)–3 =
b. 2–1 =
e. (0,4)–5 =
c. (–1)–4 =
f. 冢–
1 –6
冣 =
3
Información para el docente
• Es de suma importancia trabajar regularidades con los(as) alumnos(as),
pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan a su
pensamiento aún concreto. Estas deben ser expuestas del tal forma que
sea el alumno(a) quien descubra dicha regularidad, ello le permitirá una
apropiación del contenido, un entendimiento real de la naturaleza e
importancia de los nuevos conocimientos.
Tarea
• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen dos secuencias distintas que
involucren potencias, luego la comparten con un compañero(a) y
discuten la regularidad presente.
Multiplicación y división de potencias de igual exponente (páginas 156 y 157)
Actividades complementarias
• Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas. Luego establecen
conclusiones en relación con el producto y el cociente de potencias de
distinta base e igual exponente.
– ¿Cuál es el área de un rectángulo, cuyo largo es 64 y ancho 24?
– ¿Cuál es el largo de otro rectángulo de igual área que el anterior y de
ancho 24?
Potencias
91
Orientaciones didácticas
– ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de otros rectángulos que tengan
igual área que el rectángulo inicial?
• Pedir a los(as) alumnos(as) que determinen cuánto mide el ancho de un
rectángulo:
– Si el área mide 105 y el largo del rectángulo es 105.
– Si el área es 1012 y su largo también mide 1012.
– Si el área y el largo miden 73.
– Si el área y el largo miden lo mismo.
Información para el docente
• Las propiedades de las potencias se prestan mucho para realizar tablas
de regularidades y hacer que los(as) alumnos(as) busquen los patrones de
comportamiento en los distintos elementos que la tabla presenta. Puede
plantear una tabla que muestre la variación en el perímetro de una
figura geométrica dada la medida de sus lados en potencias.
Tarea
• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen el siguiente ejercicio en
potencias, luego lo resuelven utilizando las propiedades de las potencias.
[(64 • 1) : 8] • 512
Actividades complementarias
• Calcular las siguientes potencias elevadas a un exponente.
5
a. 冢52冣 =
d. (1,54)–3 =
冢
2
冣
b. (–13) =
1 5
e. 冢 冣
2
c. (0,54)2 =
f. (0,22)–6 =
7
=
Información para el docente
• Es muy importante recordar las propiedades de potencias trabajadas
hasta este minuto (multiplicación de potencias de igual base, división de
potencias de igual base, potencias de exponente 1 y 0, potencias de
exponente negativo), para que el alumno(a) tenga una visualización de
lo aprendido en la unidad.
Tarea
• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen y resuelvan un problema que
sea posible desarrollar por medio de potencias elevadas a un exponente.
Crecimiento exponencial (páginas 158 a 160)
Actividad previa
92
• Preguntar a los(as) alumnos(as) qué entienden por crecimiento
exponencial.
¿Qué se imaginan que es? ¿En qué situaciones y bajo qué contexto lo
han escuchado?
Unidad 7
Actividades complementarias
• Plantear las siguientes situaciones:
– Se observa que en determinadas condiciones de laboratorio el
crecimiento experimentado por un cultivo de bacterias corresponde al
doble del día anterior.
– El señor Liberona observa que durante una semana de primavera y bajo
buenas condiciones climáticas, su planta preferida muestra dos nuevos
brotes cada día.
a. Luego, interpretan la información confeccionando una tabla que
muestre el aumento de cada población (bacterias y plantas).
b. Buscan un patrón numérico que se repita en este aumento sucesivo y
lo asocian a una potencia de base 2 (caso de las bacterias).
c. Comparan ambos crecimientos y asocian el aumento en el cultivo de
bacterias como un crecimiento de carácter exponencial,
diferenciándolo del aumento aditivo que representan los brotes de la
planta. Por último, confeccionan un gráfico simple para cada situación
y comparan con sus compañeros(as).
Decrecimiento exponencial (páginas 161 a 163)
Actividades complementarias
• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:
– Una empresa está liquidando sus productos, por cierre de local. Según los
registros, cada semana se vende la mitad del stock, y debido a que no se
continuará con el negocio no se repone el stock. Un local de la competencia,
se encuentra en la misma situación, pero cada semana se venden 30
productos y al igual que el local anterior, tampoco repone el stock.
Luego, realizar una tabla para representar la cantidad de productos que
quedan en el stock en cada uno de los locales. (Para ello establezca un
número determinado de productos al inicio de las ventas).
Realizar un gráfico que muestre el descenso de la cantidad de productos
en stock de cada local.
Analizar el comportamiento del descenso de la cantidad de productos.
Diferenciar los dos tipos de decrecimiento y asociar al decrecimiento
exponencial y lineal respectivamente.
Tarea
• Plantear una situación de la vida real en que se observe un
decrecimiento exponencial.
Potencias de base 10 (páginas 164 y 165)
Actividades previas
Potencias
• Hacer preguntas que permitan a los(as) alumnos(as) comprender la
necesidad de establecer una nueva representación para los números de
grandes cifras. Por ejemplo:
93
Orientaciones didácticas
– ¿Cuál es el número finito mayor que ustedes conocen? (Seguramente
indicarán alguno con bastantes ceros)
– ¿Cómo escribimos ese número en la pizarra?
– ¿Y si deseamos sumar ese número con otro de igual extensión, qué
dificultad se nos presenta?
Actividades complementarias
• Pedir a los(as) alumnos(as) que interpreten la información entregada en
la siguiente tabla, ella presenta la longitud del diámetro de cada uno de
los planetas del Sistema Solar y la distancia al Sol, expresadas en
kilómetros.
Planeta
Diámetro
Júpiter
1,4 • 10 km
Marte
6,8 • 10 km
Mercurio
0,49 • 10 km
Neptuno
4,85 • 10 km
Saturno
1,21 • 10 km
Tierra
1,27 • 10 km
Urano
5,1 • 10 km
Distancia al Sol
3
777,7 millones de km
3
228 millones de km
4
57 850 000 km
4
4,5 miles de millones de km
3
1 428 000 000 km
4
149,5 millones de km
4
2,87 miles de millones de km
– ¿Cuál de los planetas tiene mayor diámetro?, ¿cuál tiene menor
diámetro?
– Entre Saturno y Júpiter, ¿cuál está más alejado del Sol? ¿Por qué?
– En el caso del diámetro de la Tierra, ¿qué representa el 104? ¿A cuántos
kilómetros corresponde dicha longitud?
Más problemas (páginas 166 y 167)
Información para el docente
94
• La resolución de problemas es una estrategia que se logra a través de un
proceso sistemático progresivo, determinado por etapas en las que se
van desarrollando, gradualmente, las habilidades y conocimientos
necesarios para alcanzar dicho contenido.
Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas.
Los(as) alumnos(as) se ven enfrentados frecuentemente a resolver
problemas. Pensar el pensar se denomina en psicología metacognición.
George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, dedicó gran
parte de su trabajo a desarrollar una teoría para la resolución de
problemas en matemática y a dar descripciones detalladas de varios
Unidad 7
métodos heurísticos. Propone un modelo que permite encarar las
situaciones problemáticas especialmente en el área matemática, la que se
ha denominado “la propuesta de Polya”.
En un plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca de cómo
actuar al resolver un problema:
– Comprender el problema.
– Crear o configurar un plan.
– Ponerlo en práctica.
– Examinar la solución obtenida.
Según Polya, para resolver un problema, proceso muy importante en la
formación matemática de los(as) alumnos(as) y para el desarrollo de su
capacidad de reflexión, es conveniente plantearse algunas preguntas con
respecto al problema, en cada una de las etapas o pasos de la resolución.
A continuación se ejemplifican algunas:
– ¿Entiendes todo lo que se dice?
– ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?
– ¿Distingues cuáles son los datos?
– ¿Sabes a qué quieres llegar?
– ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se
define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
– Ensayo y error (Conjeturar y probar la conjetura).
– Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar
completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera
tomar un nuevo curso.
– ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el
problema?
– ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Cálculo mental (página 168)
Actividad previa
• Antes de realizar un cálculo mental, explique a sus alumnos(as) que la
riqueza de la actividad está focalizada en no utilizar un registro
algebraico. Indíqueles que fijen su atención en lo que se les está
preguntando antes de resolver el problema.
Actividades complementarias
• Calcular mentalmente.
Potencias
a. (1)9 =
d. (–5)1 =
b. (–1)7 =
e.
冢 12 冣
c. (–2)2 =
f.
冢 12 冣
3
–1
=
=
95
Orientaciones didácticas
• Calcular mentalmente las siguientes operaciones
a.
1
冢4
b. 冢–
c.
: 3冣–2
1
2 6
+
冣
5
10
1
冢3
– 1冣–1
d. (0,4 + 0,5)2
e. 冢2 •
3 3
冣
4
f. 冢1 +
1 –1
冣
5
g. (–5 + 0,4 • 10 + 5)–2
h. 冢2 – 4 –
1
+ 4冣–3
2
• Es importante mostrar a los niños que los números se pueden asociar de
manera tal que permiten hacer más fácil el cálculo mental. Se podría
hacer referencia a la asociatividad.
• Pedir a los(as) alumnos(as) que identifiquen en otras secciones del texto,
qué ejercicios son factibles de hacer mediante cálculo mental.
Pregúnteles: ¿qué condiciones debe cumplir un ejercicio para ser resuelto
por medio del cálculo mental?
Uso de la calculadora (página 168)
Actividades previas
• Pedir a los(as) alumnos(as) que investiguen sus calculadoras y se
familiaricen con cada una de las teclas y funciones que realiza. Haga
notar que hay calculadoras en que primero se introducen los datos y
luego la operación.
Actividades complementarias
• Utilizando la calculadora, resuelven los siguientes problemas:
a. 74 =
d. (–10)5 =
b. 4–7 =
e. (0,4)3 =
c.(0)–8 =
f. (0,9)–6 =
Pedir que realicen los mismos ejercicios, como multiplicación iterada, es
decir, la potencia 74, la calculan como: 7 x 7 x 7 x 7, luego reflexionan
acerca de la notación y la utilización de esta herramienta.
Información para el docente
96
• En la página http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htm
encontrará una pequeña reseña sobre la historia de la calculadora. La
primera máquina sumadora la inventó el matemático francés Blaise
Pascal (1623-1662).
No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.
Unidad 7
Evaluación (páginas 170 y 171)
Objetivos evaluados
• Escribir potencias. (Pregunta 1, pág. 173)
• Aplicar propiedades de potencias. (Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173)
• Comprender y calcular potencias. (Preguntas 1, 2, pág. 172 y pregunta 2, pág. 173)
• Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. (Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173)
• Calcular potencias de base 10. (Pregunta 5, pág. 172)
Criterios de logro
• Pregunta 1, pág. 173: responde correctamente la pregunta formulada.
• Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173: responde correctamente al menos 4 de las 6
preguntas planteadas.
• Preguntas 1, 2; pág. 172 y pregunta 2, pág. 173: responde 2 de las 3 preguntas formuladas.
• Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173: responde correctamente las preguntas formuladas.
• Pregunta 5, pág. 172: responde correctamente la pregunta formulada.
Potencias
97
Evaluación 7
Marca la alternativa correcta
5. El área de un terreno cuadrado es de 160 000 m2.
Si se desea cercar el terreno y solo hay alambre
para cercar 103 m, ¿cuánto alambre falta?
1. El producto 20 • 21 • 22 • 23 es igual a:
A.
B.
C.
D.
16
32
64
128
A.
B.
C.
D.
200 m
600 m
1000 m
2000 m
2. 82 + 43 • 22 es igual a:
A.
B.
C.
D.
6. Si A = 2–2, B = –2–2 y C = (–2)–2, el valor de
A • B • C es igual a:
64
116
132
320
3. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
“Menos cinco elevado al cuadrado, multiplicado
por menos cinco elevado al cuadrado”.
A.
B.
C.
D.
–100
–625
100
625
Cuando ingresa un valor, este se multiplica por
3–2 (A), luego multiplica por 103 (B) y finalmente
divide por 3 que corresponde a la operación (C).
Si ingresa el valor 0,027 ¿cuál es el valor de la
salida?
A.
B.
C.
D.
–2
1
2
9
1
16
B. –
1
8
C. –
1
64
D.
4. Una máquina realiza las siguientes operaciones:
Entrada
A. –
A
B
C
Salida
7. Un restaurante de lujo puso todos sus precios en
formato de potencia para atraer más clientes.
Observa el anuncio y determina el valor que
deben cancelar Francisca y Federico al consumir:
Francisca: Plato premiun y bebida
Federico: Ensalada, plato especialidad de la casa,
bebida y postre
Precio ($)
Ensalada
3 • 102
Plato Ejecutivo
22 • 102
Plato Especialidad de la casa
3 • 22 • 103
Plato Premiun
32 • 2 • 103
Bebida
52 • 10
Postre
103
A.
B.
C.
D.
98
1
64
$34 500
$31 800
$18 250
$16 250
Unidad 7
8.
5
2
–1 2
4
8
0 2
冤冢 冣 冥 冤冢 冣 冥
A.
•
es igual a:
2
25
13. ¿Cuántos cuadrados de lado 24 cm pueden
obtenerse de una cartulina que mide 24 cm
y 27 cm?
A.
B.
C.
D.
4
B.
25
C.
25
2
D.
25
4
14. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base AB
mide 32 • 22 • 102 cm y la altura CD mide
0,000009 cm?
9. Una camioneta transporta 1000 bandejas. Cada
bandeja contiene 10 compartimientos, y en cada
compartimiento hay 10 sobres, ¿cuántos sobres
transporta la camioneta?
A.
B.
C.
D.
105 sobres
104 sobres
103 sobres
102 sobres
10. (0,02)5 •
A.
B.
C.
D.
4
8
4
冤 冥 冤 冥
•
(10)2
4
es igual a:
2 000 000
20 000
0,02
0,0002
10
81
810
27 000
冢
A.
B.
C.
D.
15.
11. El triple de 3 • 104, amplificando 9 veces y
dividido por 103, es igual a:
A.
B.
C.
D.
4 cuadrados
8 cuadrados
27 cuadrados
28 cuadrados
冤
0,081 cm2
0,012 cm2
0,0162 cm2
0,324 cm2
冤(–2)4 • 8–2 • 23冥
A.
B.
C.
D.
(2–1 • 8–1)–1
2
冥
–2
es igual a:
1
2
8
16
16. El año 1900 a través del censo se registró en una
ciudad una población de 20 000 personas, el año
1930 fue de 60 000; 30 años después de 180 000
personas. Si el aumento se mantiene constante,
entonces, para el año 2020 se puede estimar una
población de:
A.
B.
C.
D.
540 000 personas
720 000 personas
1 440 000 personas
1 620 000 personas
冣
12. (–1)120 • 冤(–1)121 • 1111冥 : (–1)3 es igual a:
A.
B.
C.
D.
–1
0
1
3
Potencias
99
UNIDAD
8Movimientos en el plano
Cuadro sinóptico
CMO
Estructura de la unidad
• Páginas de inicio.
• Realización de traslaciones,
(Págs. 174 y 175)
reflexiones y rotaciones de
figuras geométricas planas a
través de construcciones con
• Páginas de desarrollo de
regla y compás y empleando
contenidos. (Págs. 176 – 187)
un procesador geométrico,
discusión acerca de las
invariantes que se generan al
realizar estas transformaciones.
• Construcción de teselaciones
regulares y semirregulares y
argumentación acerca de las
transformaciones isométricas
utilizadas en dichas
teselaciones.
Contenidos de la unidad
– Transformaciones geométricas. (Págs. 176 y 177)
– Traslación. (Págs. 178 y 179)
– Reflexión. (Págs. 180 y 181)
– Rotación. (Págs. 182 y 183)
– Teselaciones. (Págs. 184 y 185)
– Uso de un software geométrico. (Págs. 186 y 187)
• Más problemas.
(Págs. 188 y 189)
– Aplicación de transformaciones isométricas.
• Uso del computador. (Pág. 190) – Usando un software geométrico.
• Síntesis. (Pág. 191)
• Evaluación. (Págs. 192 y 193)
100
Unidad 8
Aprendizajes esperados
OFT
• Desarrollar la iniciativa personal y el
trabajo en equipo.
• Caracterizan transformaciones de figuras geométricas planas y reconocen
algunas de sus propiedades.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Efectúan traslaciones de figuras geométricas planas.
• Efectúan reflexiones de figuras geométricas planas.
• Efectúan rotaciones de figuras geométricas planas.
• Aplican transformaciones isométricas sucesivas para construir teselaciones.
• Utilizan un software geométrico para construir transformaciones
isométricas.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y
metódico y el sentido de crítica y
autocrítica.
• Reconocer la aplicación de transformaciones isométricas. Caracterizar
transformaciones isométricas realizadas a figuras geométricas.
Movimientos en el plano
• Desarrollar la capacidad para resolver
problemas, la creatividad y las
capacidades de autoaprendizaje.
101
Propósito de la unidad
En años anteriores, los alumnos y alumnas estudiaron diferentes tipos de polígonos, sus características y
clasificaciones (según la medida de sus lados y según la medida de sus lados y ejes de simetría). El objetivo
de esta unidad es que los estudiantes apliquen los conocimientos geométricos adquiridos en cursos
anteriores para identificar, reconocer y construir transformaciones isométricas de figuras planas
(traslaciones, reflexiones, y rotaciones).
Con el objetivo de lograr mejores aprendizajes, se incluyen actividades relacionadas con la utilización de
softwares geométricos para realizar diferentes transformaciones isométricas, especialmente teselaciones,
facilitando la visualización de las transformaciones realizadas, vinculando de esta manera la matemática y
la tecnología.
Mapa conceptual
Movimientos
en el plano
Transformaciones
no isométricas
Traslaciones
Vector de
traslación
Transformaciones
isométricas
Rotaciones
Reflexiones
Eje de simetría
Centro de
rotación
Ángulo de
rotación
Teselaciones
Polígonos regulares
Polígonos irregulares
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 172 y 173)
Información para el docente
102
• Maurits Cornelius Escher (1898-1972) es uno de los artistas gráficos más
reconocidos en el mundo. Sus trabajos articulan la geometría con su
fascinación por el infinito. Algunas de las más famosas obras de este
artista pueden encontrarse en diferentes sitios webs, por ejemplo:
http://www.mcescher.com Además, sus obras se pueden apreciar en
algunas de sus publicaciones, tales como el libro: Estampas y dibujos,
(Editorial Taschen, 2000).
Unidad 8
Actividades complementarias
• Para continuar motivando a los alumnos(as) muestre otras imágenes en
las cuales se puedan reconocer transformaciones de figuras geométricas.
Para guiar el trabajo puede plantear las siguientes preguntas:
- ¿Qué figuras observas en la imagen?
- ¿Se repiten algunas de estas figuras?
- ¿Qué elementos de las imágenes variaron al repetirlas?
Posibles dificultades
• En los ejercicios se pide a los alumnos que midan ángulos utilizando
transportador, es posible que algunos alumnos no sepan o no recuerden
cómo medir ángulos utilizando este instrumento. Para evitar este
problema, previo al desarrollo de los ejercicios, sería conveniente
recordar el uso del transportador.
Transformaciones geométricas (páginas 174 y 175)
Información para el docente
• Antes de comenzar a estudiar los diferentes tipos de transformaciones
isométricas, es necesario que sus alumnos y alumnas sepan identificar una
transformación isométrica y una transformación no isométrica. Para
reforzar esta diferenciación se propone la siguiente actividad previa.
Actividades previas
• Pedir a los alumnos que realicen la siguiente actividad:
- A cada una de las siguientes figuras aplica una transformación
isométrica y una transformación no isométrica.
- Indica qué cambió y qué se mantuvo en cada una de las
transformaciones realizadas.
- Intercambia las transformaciones que realizaste con tu compañero(a).
¿En qué se diferencian las transformaciones realizadas por ambos?
Movimientos en el plano
103
Orientaciones didácticas
Traslación (páginas 176 y 177)
Actividad previa
• Para introducir este contenido es recomendable realizar una indagación
acerca de las ideas previas que presentan los alumnos respecto a la
traslación. Para esto se sugiere realizar y discutir acerca de las siguientes
preguntas:
- ¿Qué significa para ti trasladar una figura?
- ¿Crees que al trasladar una figura esta cambia?, ¿qué cambia?
Actividades complementarias
• Para ayudar a los alumnos(as) que presentan mayor dificultad, se
propone entregar papeles cuadriculados con algunas figuras dibujadas y
luego pedirles que realicen lo siguiente:
- Mueve la figura 5 cuadraditos al norte.
- Mueve la figura 3 cuadraditos al oeste.
- Mueve la figura 1 cuadradito al este.
- Mueve la figura 6 cuadraditos al sur.
Para la realización de la actividad anterior es recomendable repasar con los
alumnos la posición de cada punto cardinal (utilización de la rosa de los
vientos).
Reflexión (páginas 178 y 179)
Información para el docente
• Una reflexión, también denominada simetría axial, es una
transformación isométrica en la cual cada punto de la figura reflejada se
asocia a otro punto llamado imagen. El punto imagen tiene las
siguientes características:
- El punto y su imagen están a igual distancia de una línea recta llamada
eje de simetría.
- El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de
simetría.
Tarea
• Pedir a los alumnos(as) que revisen las reflexiones realizadas en la
sección “Practica” utilizando un espejo. Para esto es recomendable
explicar a los estudiantes qué procedimiento deben realizar.
104
Unidad 8
Rotación (páginas 180 y 181)
Información para el docente
• Para trabajar el concepto de rotación explicar a los alumnos(as) que las
longitudes de los arcos dependen de la distancia al centro de giro y que
la medida de un ángulo no depende de la longitud del arco.
• Es importante mencionar que una rotación cuyo ángulo de giro es 180º
en torno a un centro de rotación también se conoce como simetría
central.
Actividades complementarias
• Para profundizar el contenido, plantee lo siguiente:
- Al rotar una figura, ¿se mantiene el paralelismo entre sus segmentos?
- Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus ángulos?
- Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus segmentos?
Teselaciones (páginas 182 y 183)
Actividades previas
• Pida a los estudiantes que recorten un triángulo cualquiera, luego pida
que intenten cubrir una superficie dada utilizando solo triángulos de
iguales medidas al recortado. Pida a los alumnos que evalúen si fue
posible realizar la actividad anterior, ¿qué dificultades tuvieron?
Información para el docente
• Para que sea posible realizar una teselación regular, la medida del ángulo
interior del polígono regular debe ser un divisor de 360º.
Los polígonos regulares con los cuales siempre es posible realizar una
teselación son: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular.
Usando un software geométrico (páginas 184 y 185)
Información para el docente
• Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de
poder utilizar un software computacional, ya que este recurso
tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las
diferentes transformaciones isométricas estudiadas.
• Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en estas páginas,
es fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los
conceptos trabajados en la unidad, como también haber realizado los
diferentes tipos de transformaciones isométricas en forma manual.
• Existen varios softwares geométricos de uso gratuito, estos pueden ser
descargados desde Internet, por ejemplo, GeoGebra, es muy sencillo de
usar, y puede ser descargado desde el sitio http://www.geogebra.org
Movimientos en el plano
105
Orientaciones didácticas
Más problemas (páginas 186 y 187)
Información para el docente
• Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un
problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,
discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe
obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del
contexto. Para lo anterior les puede plantear preguntas como las
siguientes:
- ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?,
¿podrías explicarlos?
- ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema?
A continuación es recomendable generar un debate acerca de las
diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos
puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para
resolver una misma situación.
Uso del computador (página 188)
Información para el docente
• Para poder trazar segmentos en el geoplano trabajado en esta página, se
debe hacer clic en los puntos que lo determinan. Del mismo modo, para
construir un polígono se deben seleccionar con el mouse cada uno de los
vértices que lo forman, una vez seleccionados, automáticamente
aparecerá el color (este puede ser cambiado en el extremo inferior
izquierdo).
Actividades complementarias
• Pida a los alumnos(as) que impriman las teselaciones realizadas, pueden
intercambiarlas y compararlas con las realizadas por sus compañeros(as),
determinando cuál es el patrón de cada una de ellas.
Evaluación (páginas 190 y 191)
Objetivos evaluados
• Reconocer las características de una transformación isométrica, tales como traslaciones, reflexiones y
rotaciones, identificando qué cambia y qué se mantiene al aplicar cada una de ellas. (Preguntas 1, 2, 3, 4
y 5; pág. 192).
• Identificar los polígonos con los cuales es posible construir una teselación. (Preguntas 6, 7; pág. 192
y pregunta 8; pág. 193).
• Construir una teselación con ciertos criterios dados. (Pregunta 9; pág. 193).
106
Unidad 8
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192: responde correctamente tres de los cinco ejercicios formulados.
• Preguntas 6, 7; pág. 192 y pregunta 8; pág. 193: responde correctamente dos de los tres ejercicios
formulados.
• Pregunta 9; pág. 193: responde correctamente el ejercicio formulado.
Movimientos en el plano
107
Evaluación 8
Marca la alternativa correcta
1. Indica cuál de las siguientes alternativas no
corresponde a una transformación isométrica.
A.
B.
C.
D.
Traslación.
Ampliación.
Rotación.
Reflexión.
4. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible
teselar el plano?
A.
B.
C.
D.
2. ¿Qué transformación isométrica se realizó a la
siguiente figura?
5. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene dos ejes
de simetría?
F
D
E
A.
B.
C.
D.
Un triángulo equilátero.
Un cuadrado.
Un rectángulo.
Un trapecio isósceles.
F´
6. Una teselación semirregular está formada por:
D´
A.
B.
C.
D.
Rotación.
Reflexión.
Traslación.
Ninguna de las anterirores.
E´
A.
B.
C.
D.
Un polígono regular.
Un polígono regular y otro no regular.
Dos polígonos regulares.
Un polígono cualquiera.
7. La transformación isométrica que se muestra a
continuación corresponde a:
3. Se puede teselar un plano usando:
A.
B.
C.
D.
Pentágonos regulares.
Circunferencias.
Triángulos equiláteros.
Heptágonos regulares.
A.
B.
C.
D.
108
Una rotación.
Una traslación.
Una reflexión.
No es transformación isométrica.
Unidad 8
8. La transformación isométrica que se muestra a
continuación corresponde a:
o
11. De las siguientes características no corresponde a
una rotación:
A. Todos los puntos de la figura se mueven en
torno a un punto fijo.
B. Se realiza respecto a un ángulo.
C. La figura no cambia su forma.
D. Es posible que la figura cambie su forma.
12. Las teselaciones regulares pueden:
A.
B.
C.
D.
Una rotación.
Una traslación.
Una reflexión.
No es una transformación isométrica.
9. La siguiente figura se trasladó:
A. Estar compuestas por cualquier polígono
regular.
B. Ser deformaciones del triángulo equilátero.
C. Estar formados por dos o más polígonos
regulares.
D. Estar formadas por hexágonos regulares.
13. Las siguientes imágenes corresponden a:
A. Dos cuadrados hacia el norte y tres cuadros
hacia el este.
B. Dos cuadrados hacia el norte y tres hacia el
oeste.
C. Dos cuadrados hacia el sur y tres cuadros hacia
el este.
D. Otra traslación.
10. ¿Cuál de la siguientes corresponde a una
transformación geométrica, pero no a una
transformación isométrica?
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
Una rotación.
Una teselación regular.
Una teselación semiregular.
Una teselación no regular.
Una simetría.
Una rotación.
Una reducción.
Un giro.
Movimientos en el plano
109
UNIDAD
9 Tratamiento de la información
Cuadro sinóptico
CMO
• Resolución de problemas en los cuales
es necesario interpretar información a
partir de tablas de frecuencia con datos
agrupados en intervalos, tomados de
diversas fuentes o recolectados
mediante experimentos o encuestas.
Estructura de la unidad
• Páginas de inicio.
(Págs. 192 y 193)
• Tablas de frecuencia absoluta.
• Páginas de desarrollo de
– Interpretación de gráficos. (Págs. 194 y 195)
contenidos. (Págs. 194 a 215)
• Construcción de tablas de frecuencia
con datos agrupados en intervalos, en
forma manual y mediante herramientas
tecnológicas, a partir de diversos
contextos y determinación de la media
aritmética y moda en estos casos.
– Interpretación de tablas. (Págs. 196 a 198)
– Construcción de tablas para datos
agrupados. (Pág. 199)
• Discusión respecto de la importancia de
tomar muestras al azar en algunos
experimentos aleatorios para inferir
sobre las características de poblaciones,
ejemplificación de casos.
– Media aritmética y moda para datos
agrupados. (Págs. 200 y 201)
– Censo (Págs. 202 y 203)
• Análisis del comportamiento de una
muestra de datos, en diversos contextos,
usando medidas de tendencia central y
argumentación acerca de la información
que ellas entregan.
– Muestreo (Págs. 204 y 205)
– Análisis de encuestas. (Págs. 206 a 209)
• Análisis de ejemplos en diversas
situaciones donde los resultados son
equiprobables, a partir de la simulación
de experimentos aleatorios mediante el
uso de herramientas tecnológicas.
– La probabilidad. (Págs. 210 y 211)
– Sucesos equiprobables. (Págs. 212 y 213)
• Identificación del conjunto de los
resultados posibles en experimentos
aleatorios simples (espacio muestral) y
de los eventos o sucesos como
subconjuntos de aquél, uso del principio
multiplicativo para obtener la
cardinalidad del espacio muestral y de
los sucesos o eventos.
• Asignación en forma teórica de la
probabilidad de ocurrencia de un
evento en un experimento aleatorio,
con un número finito de resultados
posibles y equiprobables, usando el
modelo de Laplace.
Contenidos de la unidad
– Regla de Laplace (páginas 214 y 215)
• Lectura e interpretación de gráficos.
• Construcción de gráficos.
• Más problemas.
(Págs. 216 y 217)
• Uso del computador.
(Pág. 218)
• Síntesis. (Págs. 219)
• Evaluación. (Págs. 220 y 221)
110
Unidad 9
Aprendizajes esperados
OFT
• Analizan críticamente información estadística, identifican las
fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
el sentido de crítica y autocrítica.
• Analizan críticamente información estadística, identifican las
fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.
• Desarrollar la capacidad de juicio y
aplicar criterios morales a problemas del medio
ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.
• Construyen tablas de datos agrupados según información
entregada en distintas situaciones contextualizadas.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
el sentido de crítica y autocrítica.
• Leen, analizan y obtienen información a partir de tablas para
datos agrupados.
• Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios
morales a problemas del medio ambiente,
económicos, sociales y de la vida diaria.
• Analizan situaciones en las que la información se obtiene
mediante un censo.
• Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios
morales a problemas del medio ambiente,
económicos, sociales y de la vida diaria.
• Infieren características de una población a partir de una muestra
• Reconocer la importancia del trabajo como forma
de desarrollo personal, familiar y social.
• Leen y analizan críticamente resultados de encuestas de opinión.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
el sentido de crítica y autocrítica.
• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de
experimentos aleatorios.
• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de
experimentos aleatorios, donde los resultados son equiprobables.
• Desarrollar la capacidad de juicio y
aplicar criterios morales a problemas del medio
ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.
• Asignan en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un
evento en un experimento aleatorio, usando regla de Laplace.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
el sentido de crítica y autocrítica.
• Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la
creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.
•
•
•
•
Obtienen información a partir de un conjunto de datos.
Trabajan con las medidas de tendencia central.
Interpretan distintos tipos de gráficos.
Trabajan con frecuencias absolutas y relativas.
Tratamiento de la información
111
Propósito de la unidad
En esta última unidad del texto se pretende formalizar algunas técnicas acerca del manejo de la
información, tales como el registro de datos a través de un proceso ordenado (recolección, conteo,
tabulación y representación gráfica). Para esto se profundiza en el estudio e interpretación de diferentes
tipos de gráficos y tablas.
Dado que el manejo de la información es un elemento latente en la cotidianidad de los alumnos, se
plantean elementos necesarios para que ellos puedan analizar encuestas, utilizando para esto información
verídica extraída de diversas fuentes. Respecto al uso del computador, se incluyen actividades utilizando
una planilla Excel, de manera que los alumnos pongan la tecnología al servicio de sus aprendizajes.
Mapa conceptual
Tratamiento de la información
Interpretación de gráficos
Gráfico
de barras
Gráfico
circular
Interpretación de tablas
Pictograma
Sucesos equiprobables
Histograma
Probabilidad
Regla de Laplace
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
porcentual
Frecuencia
absoluta
Promedio
Moda
Censo
Muestreo
Análisis de encuestas
Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 192 y 193)
Actividad previa
112
• Después de un día de ventas en un almacén, don Pepe, su dueño, realiza
el recuento de algunos productos vendidos. Durante el día vendió 5 kg
de azúcar, 20 kg de pan, 3 litros de aceite, 10 botellas de bebida y 6
panes de margarina.
Construye una tabla y ayúdale a Don Pepe a ordenar el registro de su venta.
Unidad 9
Información para el docente
• Los diferentes medios de registro de información (tablas y gráficos) son
muy útiles para la comprensión de los sucesos que se miden. El registro
en tablas permite organizar por categorías la cantidad de sucesos que
corresponden a aquella categoría, lo cual da una idea parcial de lo que
ocurre con cada una de ellas. Además, es muy conveniente, pues facilita
el proceso de construcción de gráficos.
• Más allá del cálculo de las diferentes medidas de tendencia central, lo
relevante es que los(as) alumnos(as) puedan usarlas para interpretar y
explicar algún determinado fenómeno de la realidad. Por ello es
importante relacionar estas medidas entre sí, y no dejarlas aisladas en el
análisis. Si se desea ir más allá, es conveniente analizar qué ocurre con la
media cuando hay datos extremos en la muestra (sensible a datos
extremos) y comparar con la mediana (más estable que la media cuando
hay datos extremos en la muestra). En esa línea es conveniente señalar
que la moda representa el suceso de mayor frecuencia, pensando en
conectarlo con lo que viene más adelante, específicamente en lo que se
refiere a tablas y gráficos.
Actividades complementarias
• Trabajar y discutir con los(as) alumnos(as) el siguiente problema:
Carlos obtuvo en una prueba los siguientes puntajes: 7, 3, 8, 2 y 5.
¿Puedes compensarlos para saber cuál es el puntaje medio que obtuvo?
El objetivo de este problema es introducir el concepto de media
aritmética a través de la compensación.
• En un campeonato de fútbol se recabó la siguiente información:
– La cantidad de partidos jugados en las distintas fechas fueron:
4, 3, 2, 2, 4 y 1.
– La cantidad de goles por partido fueron los siguientes:
3, 4, 6, 2, 1, 0, 6, 3, 2, 1, 6, 3, 2, 1, 7 y 4.
– Los jugadores expulsados por partido fueron:
0, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 1 y 2.
Contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es la media de los goles por
partido? ¿Cuál es la moda de los jugadores expulsados?¿Qué explicación
das a la mediana de la cantidad de partidos jugados?
Interpretación de gráficos (páginas 194 y 195)
Actividades previas
Tratamiento de la información
• Comentar con los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas: ¿Conocen
algún tipo de gráfico? ¿Dónde los han visto? ¿Para qué sirven?
113
Orientaciones didácticas
Actividades complementarias
• En siete empresas distintas se realizó una encuesta que abordaba la
percepción del clima laboral. El gráfico presenta los porcentajes que se
obtuvieron en cada una.
Buen clima laboral
Clima laboral medio
Mal clima laboral
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3 Empresa 4 Empresa 5 Empresa 6 Empresa 7
Analízalo y contesta las preguntas que se plantean a continuación.
– ¿Qué título le pondrías al gráfico? ¿Cómo designarías el eje vertical y el
horizontal?
– ¿Cuáles son las empresas en donde la mayoría de la gente percibe un
mejor y peor clima laboral?
– ¿En qué empresa es más alto el porcentaje de empleados que considera
tener un clima laboral medio?
– ¿En cuántas empresas, más de la mitad de los empleados consideran
tener un clima laboral bueno?
– ¿En cuántas empresas, solo entre el 10% y 50% de los empleados
considera tener un clima laboral medio?
Interpretación de tablas (páginas 196 a 198)
Actividades complementarias
114
• En la siguiente tabla se muestra la cantidad de alumnos y alumnas
seleccionados en diversos talleres culturales de un colegio.
Taller
Cantidad de alumnos (as)
Artesanía
28
Guitarra
45
Pintura
15
Flauta
18
Grabado
29
Canto
13
Unidad 9
A partir de esta información, ¿cuántos alumnos y alumnas quedaron
seleccionados en talleres relacionados con la música? ¿Y cuántos en
talleres relacionados con otras expresiones artísticas?
Construcción de tablas para datos agrupados (página 199)
Actividades complementarias
• Los siguientes datos corresponden a la duración, en horas, del uso
continuo de 50 ampolletas iguales, para ser sometidas a un control de
calidad.
480
570
775
826
890
666
830
680
720
710
496
802
712
560
590
746
452
660
793
679
724
795
683
794
750
668
810
490
870
762
780
886
830
676
489
880
720
895
715
793
801
714
560
760
725
570
680
660
708
751
a. ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos?
b. Si se agruparan en siete intervalos, ¿cuál sería el tamaño del intervalo
correspondiente?
c. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete
intervalos, considerando la frecuencia absoluta, frecuencia acumulada y
frecuencia relativa.
d. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de menos de 576 horas?
e. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de 700 horas o más?
Información para el docente
• El rango es un buen indicador de la dispersión de los datos cuando se
presentan dos valores que se alejan demasiado de los otros valores, pues
en esta caso se podría pensar erróneamente que los datos están muy
dispersos, cuando en realidad no lo están.
• Es importante trabajar con los estudiantes preguntas de análisis como las
planteadas al terminar este contenido.
Media aritmética y moda para datos agrupados (páginas 200 y 201)
Actividades complementarias
Tratamiento de la información
• Utilizando los datos acerca del control de calidad de las ampolletas:
a. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete
intervalos, considerando la frecuencia absoluta y la marca de clase
correspondiente.
b. Calcula su media aritmética y su moda.
115
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Junto con el trabajo de obtener el valor de la media aritmética y la
moda, mediante las fórmulas presentadas, es esencial saber interpretar
estos valores en la situación plateada.
• En la fórmula para obtener el valor de la moda, recordar que el tamaño
de cada intervalo debe ser el mismo, de no ser así no se puede utilizar
esta fórmula.
Censo (páginas 202 y 203)
Información para el docente
• El censo más conocido en Chile es el censo de población y vivienda, sin
embargo se sugiere aclarar a sus estudiantes que no es el único. Por
ejemplo, existe el censo agropecuario y forestal, que se realizó por
última vez el año 2007, y tiene por finalidad conocer obtener
antecedentes más estables en el tiempo acerca de las principales
características agrícolas, ganaderas y forestales del país.
• El Instituto Nacional de Estadísticas de Chile publicó un libro sobre la
historia de los censos en Chile, llamado “Retratos de nuestra identidad:
Los Censos de Población en Chile y su evolución histórica hacia el
Bicentenario”. Esta publicación presenta a través de un enfoque sencillo
y pedagógico un balance cronológico de la evolución del ejercicio censal.
El libro cuenta con el patrocinio de la Comisión Bicentenario y tiene
como objetivo central determinar cómo los censos reflejan la realidad
chilena. Puede acceder al libro a través de Internet, en la dirección:
http://www.ine.cl/canales/usuarios/cedoc_online/flip_ine/
Muestreo (páginas 204 y 205)
Actividades complementarias
1. Decide en cada caso si es más conveniente estudiar una muestra o la
población, es decir, si es necesario realizar un censo. Justifica tu decisión.
a. La vida útil de las ampolletas que fabrica cierta empresa.
b. La estatura promedio de los estudiantes entre 10 y 12 años en Chile.
c. El color de pelo de un grupo de siete personas.
d. El deporte favorito de los estudiantes de un colegio.
e. Los efectos de un medicamento para cierta enfermedad.
Información para el docente
• Es importante aclarar a sus estudiantes que para que los resultados
obtenidos a partir del estudio de una muestra sean válidos para toda la
población, es decir, para que podamos concluir aspectos sobre la
población a partir de los resultados de la muestra, esta debe ser
representativa de la población. Para determinar si una muestra es
representativa, se deben cumplir ciertos requisitos, por ejemplo, se debe
determinar el tamaño de muestra necesario para el estudio. Para que sus
estudiantes comprendan mejor esto puede comentar con ellos la
siguiente situación:
116
Unidad 9
– Se desea saber el número de horas que los y las estudiantes de 8º
Básico en Chile dedican a hacer deporte, para esto se selecciona una
muestra que considera los alumnos de 8º Básico de tres colegios
distintos de la Región Metropolitana.
En este ejemplo, esta muestra no es representativa, ya que no se puede
inferir sobre el número de horas que los y las adolescentes de Chile
dedican a hacer deportes con los resultados obtenidos de solo los
alumnos (varones) de tres colegios. Además, es necesario que la muestra
abarque todo el territorio nacional, ya que puede que existan diferencias
significativas entre los y las adolescentes que viven tanto en diferentes
regiones de Chile, como en condiciones distintas, por ejemplo, si viven en
zonas urbanas o rurales.
• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente,
con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña
escala las características de la población. Si los individuos que componen
el universo son muy distintos entre ellos tenderemos a tomar una
muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que
componen el universo sean similares.
Análisis de encuestas (páginas 206 a 209)
Actividades previas
• Comentar con los(as) alumnos(as): ¿Alguna vez han contestado una
encuesta? ¿De qué temas tratan? ¿Son largas o cortas? ¿Qué medios se
utilizan para realizar encuestas (papel, teléfono, páginas Web)?
Actividades complementarias
• En grupos de tres, los(as) alumnos(as) deben elaborar una encuesta
que plantee ciertas preguntas clave sobre temas como medio ambiente,
cultura, deportes, etc. La encuesta debe contener los indicadores de sexo
y edad, y tendrán que aplicarla a 30 personas. Es importante que la
formulación de las preguntas se haga de manera clara y precisa, para
que las respuestas sean predecibles y clasificables, y sea fácil tabular los
resultados de cada una (las preguntas no deben ser más de 10). Evitar las
respuestas abiertas, pues su tabulación es más compleja y subjetiva que
las preguntas de respuesta cerrada.
Cada grupo de respuestas se debe organizar en tablas de frecuencias y
gráficos circulares (porcentuales) o de barras. Finalmente los(as)
alumnos(as) expondrán sus trabajos al curso con conclusiones claras y
relevantes respecto de las preguntas iniciales que se plantearon.
Tratamiento de la información
117
Orientaciones didácticas
Información para el docente
• Las encuestas son utilizadas para distintos tipos de estudios estadísticos,
como los censos y los estudios de marketing. Los censos los realizan
los países para recopilar información sobre la población que vive allí,
sus hábitos de vida, de consumo, etc. Los estudios de marketing los
realizan las empresas para saber cómo están siendo usados sus productos
en el mercado, y cuál es la percepción de los consumidores respecto de
ellos.
Para realizar un buen análisis de las encuestas hay que contraponer las
hipótesis planteadas con los resultados que arroja, de manera de
observar qué ocurre con el fenómeno que se está midiendo.
Tarea
• Buscar información sobre el último censo realizado en Chile (año 2002) y
analizar los resultados sobre la cantidad de población respecto del censo
anterior, realizado el año 1992. En la siguiente página encontrará la
información necesaria para desarrollar la tarea: www.ine.cl . No olvidar
que las direcciones o su contenido pueden variar.
La probabilidad (páginas 210 y 211)
Actividades complementarias
• Como este contenido no ha sido revisado en cursos anteriores, es
trascendental que el docente comience con actividades lúdicas y
motivantes. Pueden ser las siguientes:
- Llevar una bolsa con varias bolitas de colores y hacer apuestas con los
alumnos: ¿qué bolita crees que sacaré? ¿A qué color de bolita
apuestas? Pedir que fundamenten todas sus respuestas.
- La misma actividad anterior invita a la formalización de la terminología
de probabilidad (términos que son revisados en estas páginas), tales
como seguro, imposible, casi posible, etc. Se propone dar ejemplos de
la vida cotidiana de acontecimientos que se clasifiquen según seguro,
casi seguro, bastante seguro, bastante probable, probable, poco
probable, casi imposible e imposible.
Tarea
• Algunos de los términos pueden ser encontrados con diferentes
nombres, esto dependerá de la bibliografía revisada, por ejemplo,
experimento determinístico o suceso determinístico o evento
determinístico. Experimento aleatorio, suceso aleatorio o evento
aleatorio. Todos ellos responden a las mismas características.
• Los conceptos de frecuencias relativa y absoluta han sido trabajados en
el contenido de estadística, por lo que tienen ideas previas de lo que
puede significar. La relevancia de tratar estos conceptos, está entre otras,
en sustentar de manera empírica el cálculo de probabilidad. Para esto se
recomienda trabajar con material concreto: monedas, dados, etc.
Lo importante es que los alumnos logren hacer tablas, calcular las
118
Unidad 9
frecuencias y concluir regularidades.
• Es significativo que los estudiantes manejen distintas representaciones de un
número racional, de esta manera, la probabilidad puede ser interpretada de
diferentes formas, y no solo como un porcentaje. Esto permitirá la
comprensión de la cuantificación de la probabilidad (cuantificación de la
certeza). Ejemplificación con actividades intuitivas para los alumnos, como
por ejemplo, al lanzar una moneda, quiero que salga cara. ¿Qué
posibilidades de ganar tengo? Tenemos un 50% ó 1 ó 0,5.
2
Sucesos equiprobables (páginas 212 y 213) y Regla de Laplace (páginas 214 y 215)
Información para el docente
• En general, para trabajar todas las actividades planteadas en estas
páginas, hay que enfatizar que dos o más sucesos son equiprobables solo
cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, si en una
urna hay 4 bolitas rojas y 7 bolitas negras, y me preguntan: ¿qué color de
bolita es la que tiene la mayor probabilidad de ser extraída?, claramente
tiene mayor probabilidad de salir, una bolita negra que una roja. Esta
situación podría llevar a pensar que no son sucesos equiprobables, sin
embargo, hay que recalcar que si bien las bolitas de color negro tienen
mayor probabilidad de salir, la equiprobabilidad está dada porque cada
bolita, independiente del color, tienen la misma probabilidad de ser
extraídas.
• La aclaración anterior es fundamental para entender el porqué se aplica
la Regla de Laplace para este tipo de eventos.
Actividad complementaria
• Las siguientes actividades pueden ser planteadas para aquellos estudiantes
que no presentan mayor dificultad con el contenido de probabilidad.
a. Al lanzar 2 monedas el aire simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad
que salga al menos un sello?
- Una moneda tiene 2 posibilidades de resultado (espacio muestral del
lanzamiento de una moneda) al ser lanzada: “sale cara” o “sale
sello”.
- Simbolizaremos de la siguiente manera: C: cara, S: sello
Moneda 1: {C , S}
Moneda 2: {C , S}
- Por lo tanto, al ser lanzada dos monedas simultáneamente se dan
las siguientes combinaciones: {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}. Es decir,
4 posibilidades (espacio muestral del lanzamiento de dos monedas).
- Luego, se pregunta la probabilidad de que salga al menos un sello.
Observando el espacio muestral de ambas monedas contamos
3 posibilidades que salga sello, de un total de 4.
- Entonces, al ser lanzada dos monedas simultáneamente la
probabilidad de obtener un sello es de 3
4
b. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro verde. ¿Qué resultado es el que
tiene mayor probabilidad?
Tratamiento de la información
119
Orientaciones didácticas
Interesa observar al producto del puntaje obtenido en los dados, es decir,
A: producto del puntaje de los dados.
Los posibles resultados se muestran en la tabla:
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
Luego, la probabilidad de que ocurra el evento A dado, es:
P(A = 1) = 1/36 ˜ 0,028
˜
P(A = 2) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 3) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 4) = 3/36 ˜ 0,08
˜
P(A = 5) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 6) = 4/36 ˜ 0,11
˜
P(A = 8) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 9) = 1/36 ˜ 0,028
˜
P(A = 10) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 11) = 4/36 ˜ 0,11
˜
P(A = 15) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 16) = 1/36 ˜ 0,028
˜
P(A = 18) = 2/36 ˜ 0,06
˜
˜
P(A = 24) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 25) = 1/36 ˜ 0,028
˜
P(A = 30) = 2/36 ˜ 0,06
˜
P(A = 36) = 1/36 ˜ 0,028
˜
P(A = 20) = 2/36 ˜ 0,06
Como se puede observar, la mayor probabilidad corresponde a P(A = 6) y
P(A = 12), es decir, obtener como resultado del producto 6 ó 12.
Más problemas (páginas 216 y 217)
Actividades complementarias
• El curso de Felipe realizó un estudio sobre las costumbres alimenticias
que tienen sus profesores. Los resultados fueron los siguientes:
Hombres
Mujeres
Comida casera
10
15
Comida rápida
25
10
Ensaladas
5
30
Carnes
20
15
¿Cómo puede saber Felipe con qué grafico es mejor resumir la
información que está en la tabla?
Información para el docente
120
• La resolución de problemas en estadística requiere de habilidades que
apuntan a la reflexión y análisis de los datos obtenidos. No basta con
comprobar la solución, como podría suceder en los problemas de planteo
y resolución de ecuaciones, sino además se deben interpretar y organizar
los resultados, de modo tal que al comunicarlos sean entendibles por
cualquier tipo de público, los gráficos simples y claros son muy
importantes en este proceso.
Unidad 9
Uso del computador (página 218)
Actividades previas
• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Qué programas computacionales
conocen? ¿Cuáles manejan con mayor facilidad? ¿Saben la diferencia
entre un procesador de textos y una planilla de cálculo?
Actividades complementarias
• Copiar la siguiente tabla en una planilla Excel y obtener la media
utilizando la fórmula que este programa tiene incorporada. Cada
columna representa la cantidad de poleras de color que tienen 3
integrantes de una familia.
Azul
Amarillo
Verde
Blanco
Negro
Papá
3
1
1
0
2
Mamá
2
5
0
2
1
Hijo
4
6
8
1
6
– ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color amarillo? ¿Y
de color blanco?
– ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color azul? ¿Y de
color verde?
– ¿Qué quiere decir que la media obtenida en las poleras de color negro
sea 3?
Tarea
• Que los(as) alumnos(as) investiguen en Excel cuáles son los distintos tipos
de gráficos que tiene incorporado, de qué forma están agrupados los
datos y cómo se lee la información que entregan.
Evaluación (páginas 220 y 221)
Objetivos evaluados
• Obtener información a partir de un conjunto de datos. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220)
• Interpretar distintos tipos de gráficos. (Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221)
• Trabajar con frecuencias absolutas y relativas. (Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220)
Criterios de logro
• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
• Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221: responden correctamente al menos tres actividades
planteadas.
• Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
Reforzamiento
Tratamiento de la información
• Es importante reforzar aquellos ítems que no fueron logrados por los
alumnos. Sería recomendable pedir a cada uno que revise y detecte sus
errores y luego invente dos preguntas similares a las que resolvió
erróneamente.
121
Evaluación 9
Marca la alternativa correcta
Los resultados corresponden a una encuesta acerca
de la preferencia de ganador para un reality de
televisión. Observa los datos y luego responde las
preguntas 1, 2, 3, 4 y 5.
5. ¿Qué tabla resume la información anterior de
manera correcta?
A. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?
Nombre
L, R, R, X, L, X, X, F, H, L, X, F, R, H, F, X, X, X, L, X, X,
R, R, L, X, R, H, X, R, F
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Félix
Hernán
(L) Leonardo, (R) Rodolfo, (X) Ximena, (F) Félix,
(H) Hernán
1. ¿Cuál es el total de personas encuestadas?
A.
B.
C.
D.
40 personas
35 personas
30 personas
25 personas
Total
Nombre
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Félix
3. ¿Cuál es el que menos votos registró?
A.
B.
C.
D.
122
Conteo
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Félix
Hernán
5
7
10
3
3
Total
30
Nombre
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Hernán
5 votos
4 votos
3 votos
2 votos
30
C. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?
4. ¿Cuántos votos más obtuvo Ximena que Rodolfo?
A.
B.
C.
D.
/////
///////
11
////
///
B. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?
2. ¿cuál de los postulantes obtuvo más votos?
A.
B.
C.
D.
Conteo
D.
Preferencia
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Félix
Hernán
5
7
11
4
3
Total
30
Nombre
Conteo
Leonardo
Rodolfo
Ximena
Félix
Hernán
5
7
11
3
3
Total
30
Unidad 9
Observa la tabla que muestra las edades de un grupo
que asiste a clases de guitarra. Luego responde las
preguntas 6 y 7.
Variable estadística (edad)
Frecuencia
2–6
1
6 – 10
5
10 – 14
Observa la tabla y luego responde las preguntas
9, 10 y 11.
Circulación y distribución del diario
“El Metropolitano” en 1999
Región
Unidades
vendidas
Región
Unidades
vendidas
10
I
580
VII
720
14 – 18
18
II
430
VIII
1200
18 – 22
8
III
340
IX
600
IV
500
X
410
V
1500
XI
380
RM
38 640
XII
100
VI
600
6. La media de las edades es:
A.
B.
C.
D.
10,57 años
12,57 años
14,57 años
16 años
7. La mediana y la moda respectiva de las edades de
las personas del grupo están en el intervalo:
A.
B.
C.
D.
14 – 18 años
10 – 14 años
6 – 10 años
2 – 6 años
8. Si tu intención en el trimestre es sacarte un 6,0 de
promedio en Matemática, ¿cuánto debes sacarte
en la prueba final, que pondera un 30%, si las
notas que tienes son: 6,2; 5,5 y 5,8?
A.
B.
C.
D.
6,1
6,2
6,4
6,5
9. ¿Qué cantidades de diarios se vendió en todo el
país en 1999?
A.
B.
C.
D.
10. Respecto al total, ¿Qué porcentaje se vendió en la
Región Metropolitana?
A.
B.
C.
D.
60%
75%
80%
84%
11. En las tres regiones de menor venta, ¿cuánto se
vendió en total?
A.
B.
C.
D.
Tratamiento de la información
38 000
42 000
46 000
48 000
910 unidades
890 unidades
850 unidades
820 unidades
123
Solucionario
Evaluación 1
Evaluación 2
Evaluación 3
Evaluación 4
Evaluación 5
124
1. C
6. A
11. B
16. C
2. C
7. B
12. B
17. A
3. D
8. D
13. D
18. C
4. B
9. A
14. C
5. D
10. D
15. C
1. C
6. D
11. B
2. A
7. C
12. A
3. D
8. D
13. A
4. C
9. B
5. D
10. A
1. B
6. C
11. D
2. C
7. B
12. B
3. C
8. C
13. A
4. B
9. C
14. A
5. D
10. B
1. D
6. B
11. D
2. D
7. C
12. B
3. C
8. A
13. C
4. B
9. B
5. B
10. D
1. D
6. B
11. B
2. D
7. D
12. C
3. B
8. B
13. B
4. A
9. B
14. C
5. C
10. A
15. A
16. D
Solucionario
Evaluación 6
Evaluación 7
Evaluación 8
Evaluación 9
Solucionario
1. A
6. B
11. C
2. D
7. A
12. C
3. B
8. D
13. A
4. B
9. A
14. B
5. B
10. D
15. C
1. C
6. C
11. C
2. D
7. B
12. C
3. D
8. B
13. B
4. B
9. A
14. C
5. B
10. C
15. D
1. B
6. C
11. D
2. C
7. C
12. D
3. C
8. C
13. C
4. A
9. A
5. C
10. C
1. C
5. C
9. C
2. C
6. C
10. D
3. D
7. A
11. D
4. B
8. C
16. D
16. D
125
Bibliografía
• Artigue, M. (1994). Una introducción a la didáctica de la matemática, en Enseñanza de la Matemática.
Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE.
• Bermeosolo, J. (1994). Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Santiago: Documentos de
apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767.
• Brousseau, Guy. (1993). Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por
Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC,
Argentina.
• Chevallard Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, Buenos Aires, Aique.
• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y
aprendizaje. Barcelona, Horsori.
• Figueroa, Lourdes. (2001). Para qué sirve medir. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España.
• Flavell, John (1985). El desarrollo cognitivo y el aprendizaje. Madrid: Visor.
• Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad
Católica de Valparaíso, Chile.
• Mateos, Mar (2001). Metacognición y educación, Buenos Aires, Aique.
• MINEDUC. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, Ministerio
de Educación de Chile, 2001.
• National Council of Teachers of Mathematics (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática.
Sevilla: Sociedad Andaluza.
• Novak, J. (1988). Aprendiendo a aprender. Barcelona: Ediciones Martínez Roca S.A.
• Ontoria A. (1993). Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España.
• Pozo, J.L. (1990). Teorías cognitivas del aprendizaje. Madrid: Morata.
• Rencoret, María del Carmen. (2002). Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza.
Editorial Andrés Bello, Santiago, Chile.
• Saldaña, D., Aguilera, A. (2000). La evaluación de los procesos metacognitivos: estrategias y problemática
actuales, En Rivero, A. (Comp) (2003): Estudios de Psicología, 189-204, Madrid, Universidad Autónoma de
Madrid.
• Sternberg, R., Apear-Swerling L. (1996). Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España.
• Vygotski, L. (1995). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Barcelona: Libergraf, S.A.
Sitios web
•
•
•
•
•
Educación: www.educarchile.cl
El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
Geometría: www.geometriadinamica.cl
Servicio Nacional del Consumidor: www.sernac.cl
Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl
Recuerde que algunas páginas web pueden cambiar su contenido o caducar después de un tiempo
determinado.
126
Bibliografía
Mapas de Progreso:
algunas ideas para su uso como apoyo al mejoramiento continuo del aprendizaje
Los textos escolares son una importante herramienta para la implementación del
currículum en la sala de clases. En conjunto con los Programas de Estudio y los Mapas de
Progreso, buscan apoyar el trabajo que se realiza en los establecimientos educacionales
para que los estudiantes logren mayores aprendizajes, en base a las definiciones que
establece el Marco Curricular nacional.
En el siguiente esquema se presenta la pregunta orientadora que busca responder cada
uno de los instrumentos curriculares:
Los Mapas de Progreso describen resumidamente los conocimientos, habilidades y
comprensiones que caracterizan cada uno de los 7 niveles en que se desarrolla el
aprendizaje de una determinada competencia o dominio clave. Son una herramienta
curricular no obligatoria, que complementa a los Programas de Estudio y los Textos
escolares, y pueden ser utilizados de diversas formas.
A continuación, se describen dos de ellas, que pueden ser de utilidad para apoyar el
desarrollo del aprendizaje que promueve este texto de estudio:
1. Reflexión conjunta sobre la progresión de los aprendizajes que promueve el
currículum para mejorar la articulación entre profesores del sector.
Si se hace una lectura de los siete niveles de los Mapas ya pueden ser un interesante
aporte, debido a que muestran una visión sintética de lo que se espera se logre como
aprendizaje en los 12 años de escolaridad. Su estructura concisa describe una
panorámica de todo el trayecto escolar, aportando una mirada longitudinal, que
favorece la reflexión pedagógica entre profesores de distintos cursos.
Por ejemplo, a partir de la revisión de un Mapa de Progreso, puede hacerse una
reflexión conjunta respecto de la manera en que progresa el aprendizaje, estableciendo
un análisis general, entre profesores del sector y la jefatura técnica, en relación a
¿cómo estamos entendiendo la progresión del aprendizaje respecto de este referente?
Los profesores y profesoras pueden revisar y analizar en conjunto los aprendizajes
constitutivos de una determinada competencia, y definir acciones a seguir que sean
coherentes con el logro de dichos aprendizajes, en base a preguntas como: ¿de qué
forma estamos ordenando el trabajo y organizándonos en conjunto para ir progresando
en el logro de estos aprendizajes de nuestros alumnos y alumnas?
Los Mapas favorecen la articulación dentro y entre los ciclos de enseñanza de un
establecimiento educacional, promoviendo una comprensión común respecto al
aprendizaje y aportando claves para observar su progresión. Ello propicia la
responsabilidad compartida en entre docentes y el trabajo en equipo dentro del
establecimiento.
2. Reflexión conjunta sobre los trabajos de alumnos y alumnas, para monitorear el
progreso de su aprendizaje en relación a la expectativa que describe el Mapa.
Los Mapas de Progreso definen el crecimiento del aprendizaje de los estudiantes, a
través de descripciones de sus distintas etapas, y de trabajos de alumnos en cada una de
estas. Con el fin de apoyar la observación del aprendizaje, los Mapas presentan tareas,
estímulos o motivaciones que se utilizaron para recoger evidencias del aprendizaje,
buscando observar el desempeño de los alumnos y alumnas en la competencia descrita
en el Mapa.
El docente puede aplicar estas tareas, las que puede encontrar en los anexos de cada
uno de los Mapas (www.curriculum-mineduc.cl ) u otras que el equipo docente puede
desarrollar, para luego analizar la evidencia del desempeño de sus estudiantes e inferir
el nivel de aprendizaje en relación a las descripciones realizadas por el Mapa.
Es importante que esta observación y análisis de los trabajos de alumnos y alumnas sea
desarrollado en conjunto por los profesores del sector, de modo de reflexionar entre
pares y desarrollar una visión compartida respecto a cómo progresa el aprendizaje de
sus alumnos en las distintas competencias claves.